{"paper":{"id":"fizyka-2018-maj-matura-rozszerzona","subject":"fizyka","category":"matura","year":2018,"month":"maj","level":"rozszerzona","variant":null,"exam_pdf":"fizyka-2018-maj-matura-rozszerzona/fizyka-2018-maj-matura-rozszerzona.pdf","key_pdf":"fizyka-2018-maj-matura-rozszerzona-odpowiedzi/fizyka-2018-maj-matura-rozszerzona-odpowiedzi.pdf","question_count":46,"source_label":"Fizyka · Matura · maj 2018 (rozszerzona)","subject_label":"Fizyka","category_label":"Matura"},"questions":[{"id":"fizyka-2018-maj-matura-rozszerzona/zad/1","paper_id":"fizyka-2018-maj-matura-rozszerzona","number":"1","points":null,"ptype":"open","subject":"fizyka","category":"matura","year":2018,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 1.\nRozważamy ruch dwóch samochodów, które poruszały się po poziomym i prostym odcinku\ntrasy. Pierwszy samochód ruszył i jadąc ze stałym przyspieszeniem, rozpędził się w czasie\n2 s do prędkości o wartości 10\nm\ns . Następnie przez 6 s jechał ze stałą prędkością, a potem przez\n2 s hamował ze stałym opóźnieniem, aż do zatrzymania się. Drugi samochód ruszył\nrównocześnie z pierwszym. Przez pierwszą połowę czasu trwania ruchu rozpędzał się ze stałym\nprzyspieszeniem, a potem hamował ze stałym opóźnieniem, aż do zatrzymania się. Oba\nsamochody przebyły tę samą drogę w tym samym czasie.","answer":null,"answer_text":"ଶ+ 1\nଶ → ݒ஺= ݒ\n= 2,83 m","solution":null,"image":"img/fizyka-2018-maj-matura-rozszerzona/zad-1.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":2,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Fizyka · Matura · maj 2018 (rozszerzona)","subject_label":"Fizyka","category_label":"Matura"},{"id":"fizyka-2018-maj-matura-rozszerzona/zad/1.1","paper_id":"fizyka-2018-maj-matura-rozszerzona","number":"1.1","points":2,"ptype":"open","subject":"fizyka","category":"matura","year":2018,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 1.1. (0-2)\nNarysuj wykres zależności ( )t\nv\n- wartości prędkości od czasu - dla ruchu pierwszego\nsamochodu.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 1.1. (0-2)\nSchemat punktowania\n2 p. - opisanie i wyskalowanie prawidłowo zorientowanych osi oraz prawidłowe narysowanie\nwykresu zależności prędkości od czasu.\n1 p. - narysowanie wykresu zależności prędkości od czasu o poprawnym kształcie trapezu oraz\npoprawna orientacja i oznaczenie obu osi (symbol, jednostka) lub poprawna orientacja\ni wyskalowanie obu osi\nlub\n- poprawna orientacja, wyskalowanie i oznaczenie obu osi oraz prawidłowe narysowanie\nwykresu co najmniej w jednym z przedziałów.\n0 p. - brak spełnienia powyższych kryteriów.\nPoprawne rozwiązanie","solution":"## Poprawna odpowiedź\n\nWykres \\(v(t)\\) dla pierwszego samochodu ma kształt **trapezu** z osią czasu:\n\n- **Faza 1 (0-2 s):** linia rosnąca od \\((0,\\ 0)\\) do \\((2,\\ 10\\ \\text{m/s})\\)\n- **Faza 2 (2-8 s):** linia pozioma na wysokości \\(v = 10\\ \\text{m/s}\\)\n- **Faza 3 (8-10 s):** linia malejąca od \\((8,\\ 10\\ \\text{m/s})\\) do \\((10,\\ 0)\\)\n\nv [m/s]\n10 | *─────────────*\n0 +----+-------+--------+---> t [s]\n0 2 8 10\n\n## Sposób 1 - Analiza faz ruchu krok po kroku\n\n**Faza 1: Przyspieszanie (0 ≤ t ≤ 2 s)**\n\nRuch jednostajnie przyspieszony z \\(v_0 = 0\\):\n\n\\[\na_1 = \\frac{\\Delta v}{\\Delta t} = \\frac{10\\ \\text{m/s} - 0}{2\\ \\text{s}} = 5\\ \\text{m/s}^2\n\\]\n\nPrędkość rośnie liniowo: \\(v(t) = 5t\\). Na wykresie → **odcinek prostoliniowy rosnący** od punktu \\((0,\\ 0)\\) do \\((2\\ \\text{s},\\ 10\\ \\text{m/s})\\).\n\n**Faza 2: Jazda ze stałą prędkością (2 s ≤ t ≤ 8 s)**\n\n\\(v = \\text{const} = 10\\ \\text{m/s}\\), przez 6 sekund. Na wykresie → **poziomy odcinek** od \\(t = 2\\ \\text{s}\\) do \\(t = 8\\ \\text{s}\\) na wysokości \\(v = 10\\ \\text{m/s}\\).\n\n**Faza 3: Hamowanie (8 s ≤ t ≤ 10 s)**\n\nRuch jednostajnie opóźniony do \\(v = 0\\):\n\n\\[\na_3 = \\frac{\\Delta v}{\\Delta t} = \\frac{0 - 10\\ \\text{m/s}}{2\\ \\text{s}} = -5\\ \\text{m/s}^2\n\\]\n\nNa wykresie → **odcinek prostoliniowy malejący** od \\((8\\ \\text{s},\\ 10\\ \\text{m/s})\\) do \\((10\\ \\text{s},\\ 0)\\).\n\n**Wniosek:** Trzy połączone odcinki tworzą trapez - figura symetryczna (ramiona po 2 s, podstawa górna 6 s).\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja przez pole pod wykresem (droga = sprawdzian poprawności)\n\nDla \\(v(t)\\) pole pod wykresem = droga. Trapez o podstawach \\(b_1 = 6\\ \\text{s}\\) (górna), \\(b_2 = 10\\ \\text{s}\\) (dolna) i wysokości \\(h = 10\\ \\text{m/s}\\):\n\n\\[\ns_1 = \\frac{(b_1 + b_2) \\cdot h}{2} = \\frac{(6 + 10) \\cdot 10}{2} = \\frac{160}{2} = 80\\ \\text{m}\n\\]\n\nSprawdzenie przez sumy faz:\n\\[\ns_1 = \\underbrace{\\frac{1}{2} \\cdot 2 \\cdot 10}_{=10\\ \\text{m}} + \\underbrace{6 \\cdot 10}_{=60\\ \\text{m}} + \\underbrace{\\frac{1}{2} \\cdot 2 \\cdot 10}_{=10\\ \\text{m}} = 80\\ \\text{m}\\ ✓\n\\]\n\nObie metody dają tę samą drogę \\(s_1 = 80\\ \\text{m}\\) - wykres jest poprawny. (Będzie to potrzebne w zadaniu 1.2 do analizy drugiego samochodu.)\n\n## Sposób 3 - Rozpoznanie wzorca kinematycznego bez obliczeń\n\nW ruchu ze stałym przyspieszeniem / opóźnieniem \\(v(t)\\) jest **zawsze funkcją liniową czasu** (prosta). Trzy fazy = trzy odcinki o różnych nachyleniach:\n- Nachylenie > 0 → przyspieszanie (rosnąca prosta)\n- Nachylenie = 0 → stała prędkość (pozioma prosta)\n- Nachylenie < 0 → hamowanie (malejąca prosta)\n\nKluczowe punkty do zaznaczenia na wykresie:\n\n| Czas \\(t\\) [s] | Prędkość \\(v\\) [m/s] | Co się dzieje |\n|:-:|:-:|:--|\n| 0 | 0 | start z miejsca |\n| 2 | 10 | koniec przyspieszania |\n| 8 | 10 | koniec jazdy stałej (2+6=8) |\n| 10 | 0 | zatrzymanie (8+2=10) |\n\nŁączymy te cztery punkty odcinkami prostymi → gotowy wykres.\n\n## Orientacyjny schemat punktowania (odtworzony przez AI - NIE oficjalny klucz CKE)\n\n> 📋 **Orientacyjny schemat punktowania (nieoficjalny, odtworzony przez AI) (zadanie 1.1, max 2 pkt):**\n> - **2 pkt** - wykres narysowany poprawnie: trzy fazy zaznaczone właściwymi odcinkami prostymi, wszystkie kluczowe wartości liczbowe prawidłowo oznaczone na osiach (\\(v = 10\\ \\text{m/s}\\) oraz \\(t = 2\\ \\text{s},\\ 8\\ \\text{s},\\ 10\\ \\text{s}\\))\n> - **1 pkt** - poprawny kształt wykresu (trapez), ale brak jednej lub dwóch wartości liczbowych na osiach **LUB** wartości na osiach poprawne, ale kształt nieścisły (np. krzywa zamiast odcinków prostych)\n> - **0 pkt** - wykres błędny kształtem lub brakujące podstawowe dane\n\n## Wzory z karty CKE - czego MASZ użyć\n\n> 📖 **Karta wzorów CKE - Kinematyka (Fizyka):**\n>\n> Ruch jednostajnie przyspieszony / opóźniony:\n> \\[\n> v = v_0 + at, \\qquad s = v_0 t + \\frac{1}{2}at^2\n> \\]\n> Przyspieszenie średnie:\n> \\[\n> a = \\frac{\\Delta v}{\\Delta t} = \\frac{v - v_0}{t}\n> \\]\n>\n> W tym zadaniu korzystamy bezpośrednio ze wzoru na przyspieszenie (obliczenie nachylenia prostych) oraz z faktu, że \\(v(t) = v_0 + at\\) jest funkcją liniową → każda faza to odcinek prostoliniowy.\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie zapomnij, że drugie **hamowanie trwa też 2 s** (symetria z przyspieszaniem) - łatwo błędnie skończyć wykres w \\(t = 9\\ \\text{s}\\) zamiast \\(t = 10\\ \\text{s}\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Osie MUSZĄ mieć jednostki i wartości liczbowe - sam kształt trapezu bez \\(v = 10\\ \\text{m/s}\\) i \\(t = 2, 8, 10\\ \\text{s}\\) to najwyżej 1 punkt.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wykres \\(v(t)\\) to odcinki **prostoliniowe**, nie krzywe - przy stałym przyspieszeniu prędkość rośnie liniowo (parabolę opisuje \\(x(t)\\), nie \\(v(t)\\)).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Punkt \\(t = 8\\ \\text{s}\\) obliczamy jako \\(2 + 6 = 8\\ \\text{s}\\), nie 7 ani 9 - dokładne odczytanie treści zadania jest kluczowe.","image":"img/fizyka-2018-maj-matura-rozszerzona/zad-1.1.webp","solution_image":null,"topics":"Kinematyka","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Fizyka · Matura · maj 2018 (rozszerzona)","subject_label":"Fizyka","category_label":"Matura"},{"id":"fizyka-2018-maj-matura-rozszerzona/zad/1.2","paper_id":"fizyka-2018-maj-matura-rozszerzona","number":"1.2","points":3,"ptype":"open","subject":"fizyka","category":"matura","year":2018,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 1.2. (0-3)\nOblicz całkowitą drogę przebytą przez pierwszy samochód oraz maksymalną wartość\nprędkości drugiego samochodu.\nMFA_1R","answer":null,"answer_text":"Zadanie 1.2. (0-3)\nWymagania ogólne\nWymagania szczegółowe\nIV. Budowa prostych modeli fizycznych\ni matematycznych do opisu zjawisk.\nZdający: 1.4) wykorzystuje związki pomiędzy\npołożeniem, prędkością, i przyspieszeniem\nw ruchu jednostajnym i jednostajnie zmiennym\ndo obliczania parametrów ruchu.\nWymagania ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIV. Budowa prostych modeli fizycznych\ni matematycznych do opisu zjawisk.\nZdający:\n1.5) rysuje i interpretuje wykresy zależności\nparametrów ruchu od czasu,\n12.2) samodzielnie wykonuje poprawne\nwykresy (właściwe oznaczenie i opis osi, wybór\nskali, oznaczenie niepewności punktów\npomiarowych).\nv, m/s\nt, s\n0\n0\n1\n2\n8\n10\n1\n10\nSchemat punktowania\n3 p. - prawidłowe obliczenie drogi obydwu samochodów i prędkości maksymalnej drugiego\nsamochodu, wyniki podane z jednostkami.\n2 p. - prawidłowe obliczenie drogi pierwszego samochodu oraz prawidłowa metoda obliczenia\nprędkości maksymalnej drugiego samochodu (np. zapisanie równań równoważnych jak\nsposobie 1. lub 2. przedstawionego rozwiązania)\nlub\n- prawidłowa metoda obliczenia drogi pierwszego samochodu (z błędem rachunkowym)\noraz obliczenie prędkości maksymalnej drugiego samochodu wynikającej z obliczonej\ndrogi\nlub\n- prawidłowa metoda obliczenia przyspieszenia (lub opóźnienia) drugiego samochodu\ni prawidłowy wynik z jednostką\nlub\n- prawidłowe obliczenie prędkości maksymalnej drugiego samochodu.\n1 p. - prawidłowa metoda obliczenia drogi przebytej przez pierwszy samochód i prawidłowy\nwynik z jednostką\nlub\n- prawidłowa metoda obliczenia drogi pierwszego samochodu oraz prawidłowa metoda\nobliczenia prędkości maksymalnej drugiego samochodu.\n0 p. - brak spełnienia powyższych kryteriów.\nPrzykładowe rozwiązania\nSposób 1. („metoda pola”)\nKorzystamy z twierdzenia, że pole pod wykresem wartości prędkości od czasu jest równe\ndrodze przebytej przez ciało w danym czasie (przy odpowiednio wyskalowanych osiach).\nZapisujemy wzór na drogę dla pierwszego samochodu i wykonujemy obliczenia:\nݏଵ= 1\n2 ∙ቀ10 m\ns + 6 m\ns ቁ∙10 s = 80 m\nMaksymalną wartość prędkości drugiego samochodu obliczamy z warunku zadania oraz ze\nwzoru na drogę wykorzystującego metodę pola.\nݏଵ= ݏଶ oraz ݏଶ= 1\n2 ݒଶ୫ୟ୶∙(5 s + 5 s) → 80 m = 1\n2 ݒଶ୫ୟ୶∙10 s → ݒଶ୫ୟ୶= 16 m\ns\nSposób 2. (z równań ruchu)\nObliczamy drogę jaką przebył pierwszy samochód:\nݏଵ= 1\n2 ∙2 s ∙10 m\ns + 6 s ∙10 m\ns + 1\n2 ∙2 s ∙10 m\ns = 80 m\nObliczamy przyspieszenie (oraz opóźnienie) drugiego samochodu, wiedząc, że ݏଶ= ݏଵ:\nቀݏଶ\n2 ቁ= 1\n2ܽ\n൬ݐ\n2൰\nଶ\n→\n= 4ݏଶ\nݐଶ →\n= 320\n10ଶ m\ns2 = 3,2 m\ns2\nObliczamy ݒଶ௠௔௫:\nݒଶ௠௔௫=\n൬ݐ\n2൰= 3,2 m\ns2 ∙5 s = 16 m\ns","solution":"## Poprawna odpowiedź\n\n- Całkowita droga przebyta przez **pierwszy samochód:** \\(s_1 = 80 \\text{ m}\\)\n- Maksymalna prędkość **drugiego samochodu:** \\(v_{2,max} = 16 \\text{ m/s}\\)\n\n## Dane (z opisu ruchu w zadaniu 1)\n\n**Samochód 1** (ruch trójfazowy):\n- faza 1: rozpędzanie ze stałym przyspieszeniem przez \\(t_1 = 2 \\text{ s}\\) do \\(v = 10 \\text{ m/s}\\)\n- faza 2: jazda ze stałą prędkością \\(v = 10 \\text{ m/s}\\) przez \\(t_2 = 6 \\text{ s}\\)\n- faza 3: hamowanie ze stałym opóźnieniem przez \\(t_3 = 2 \\text{ s}\\) do zatrzymania\n- całkowity czas ruchu: \\(t = 2 + 6 + 2 = 10 \\text{ s}\\)\n\n**Samochód 2** (ruch dwufazowy, ten sam czas i ta sama droga co samochód 1):\n- przez pierwszą połowę czasu (5 s) rozpędza się ze stałym przyspieszeniem\n- przez drugą połowę czasu (5 s) hamuje ze stałym opóźnieniem do zatrzymania\n\n## Część 1 - Całkowita droga samochodu 1\n\nDroga = pole pod wykresem \\(v(t)\\) (trapez). Liczymy fazami:\n\n**Faza 1** (rozpędzanie, trójkąt):\n\\[s_{1a} = \\frac{1}{2} \\cdot v \\cdot t_1 = \\frac{1}{2} \\cdot 10 \\cdot 2 = 10 \\text{ m}\\]\n\n**Faza 2** (stała prędkość, prostokąt):\n\\[s_{1b} = v \\cdot t_2 = 10 \\cdot 6 = 60 \\text{ m}\\]\n\n**Faza 3** (hamowanie, trójkąt):\n\\[s_{1c} = \\frac{1}{2} \\cdot v \\cdot t_3 = \\frac{1}{2} \\cdot 10 \\cdot 2 = 10 \\text{ m}\\]\n\n**Całkowita droga:**\n\\[s_1 = 10 + 60 + 10 = \\boxed{80 \\text{ m}}\\]\n\n*(Sprawdzenie wzorem na pole trapezu: \\(s_1 = \\frac{(t_2 + t)}{2}\\cdot v = \\frac{(6 + 10)}{2}\\cdot 10 = 80 \\text{ m}\\).)*\n\n## Część 2 - Maksymalna prędkość samochodu 2\n\n**Krok 1 - wykorzystaj warunki zadania.**\n\nSamochód 2 przebył **tę samą drogę** (\\(s_2 = s_1 = 80 \\text{ m}\\)) w **tym samym czasie** (\\(t = 10 \\text{ s}\\)).\n\n**Krok 2 - kształt wykresu \\(v(t)\\) samochodu 2.**\n\nRozpędzanie przez 5 s, potem hamowanie przez 5 s do zera - wykres \\(v(t)\\) to **trójkąt** o podstawie \\(t = 10 \\text{ s}\\) i wysokości \\(v_{2,max}\\) (osiąganej w połowie czasu, po 5 s).\n\n**Krok 3 - droga = pole trójkąta.**\n\n\\[s_2 = \\frac{1}{2} \\cdot t \\cdot v_{2,max}\\]\n\n**Krok 4 - wstaw \\(s_2 = 80 \\text{ m}\\), \\(t = 10 \\text{ s}\\):**\n\n\\[80 = \\frac{1}{2} \\cdot 10 \\cdot v_{2,max} = 5 \\cdot v_{2,max}\\]\n\n\\[v_{2,max} = \\frac{80}{5} = \\boxed{16 \\text{ m/s}}\\]\n\n## Sposób 2 - weryfikacja przez prędkość średnią\n\nDla obu samochodów prędkość średnia jest taka sama (ta sama droga, ten sam czas):\n\n\\[v_{śr} = \\frac{s}{t} = \\frac{80}{10} = 8 \\text{ m/s}\\]\n\nDla samochodu 2 (ruch jednostajnie przyspieszony, a potem jednostajnie opóźniony, symetryczny względem połowy czasu) prędkość zmienia się liniowo od 0 do \\(v_{max}\\) i z powrotem do 0, więc prędkość średnia to:\n\n\\[v_{śr} = \\frac{0 + v_{2,max}}{2} = \\frac{v_{2,max}}{2}\\]\n\nStąd:\n\\[v_{2,max} = 2 \\cdot v_{śr} = 2 \\cdot 8 = 16 \\text{ m/s} \\checkmark\\]\n\nWynik zgodny ze Sposobem 1.\n\n## Wzory z karty CKE - czego MASZ użyć\n\n> 📖 **Karta wzorów CKE - Kinematyka (Fizyka):**\n>\n> - Droga jako pole pod wykresem \\(v(t)\\) (pole trapezu / trójkąta).\n> - Prędkość średnia: \\(v_{śr} = \\dfrac{s}{t}\\).\n> - Dla ruchu jednostajnie zmiennego: \\(v_{śr} = \\dfrac{v_0 + v}{2}\\).\n>\n> W tym zadaniu nie potrzebujemy nawet jawnie liczyć przyspieszeń - wystarczy interpretacja pola pod wykresem \\(v(t)\\) i warunek równości dróg i czasów obu samochodów.\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga 1:** Maksymalna prędkość samochodu 2 (16 m/s) jest **większa** niż prędkość samochodu 1 (10 m/s) - to nie błąd. Samochód 2 nie ma fazy jazdy ze stałą prędkością, więc żeby pokonać tę samą drogę w tym samym czasie, musi rozpędzić się wyżej.\n\n> ⚠️ **Uwaga 2:** Druga połowa czasu samochodu 2 to dokładnie 5 s (połowa z 10 s) - łatwo pomylić się, biorąc 5 s tylko dla jednej fazy. Szczyt trójkąta wypada w \\(t = 5 \\text{ s}\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga 3:** Pole pod wykresem \\(v(t)\\) (a nie \\(a(t)\\) czy \\(x(t)\\)) daje drogę. Dla samochodu 2 to trójkąt: \\(\\frac{1}{2}\\cdot\\text{podstawa}\\cdot\\text{wysokość}\\), gdzie podstawą jest CAŁY czas 10 s, nie połowa.\n\n> ⚠️ **Uwaga 4:** Sprawdź, czy droga samochodu 1 z zadania 1.1 (80 m) jest poprawnie przeniesiona - to ona jest punktem wyjścia do wyznaczenia \\(v_{2,max}\\).","image":"img/fizyka-2018-maj-matura-rozszerzona/zad-1.2.webp","solution_image":null,"topics":"Kinematyka","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Fizyka · Matura · maj 2018 (rozszerzona)","subject_label":"Fizyka","category_label":"Matura"},{"id":"fizyka-2018-maj-matura-rozszerzona/zad/2","paper_id":"fizyka-2018-maj-matura-rozszerzona","number":"2","points":2,"ptype":"open","subject":"fizyka","category":"matura","year":2018,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 2. (0-2)\nW pobliżu magnesu podkowiastego porusza się cząstka o dodatnim ładunku elektrycznym.\nW chwili, gdy cząstka znajduje się w punkcie A i przechodzi przez płaszczyznę rysunku,\nwektor prędkości cząstki jest skierowany prostopadle za tę płaszczyznę. Na obu poniższych\nrysunkach literami N, S oznaczono bieguny magnesu.\nZałóż, że pole magnetyczne pochodzi tylko od magnesu, a kształt linii pola magnetycznego\nw płaszczyźnie rysunku jest symetryczny względem prostej l. Pomiń wpływ innych pól.\na) Narysuj na rysunku 1. wektory indukcji magnetycznej BሬԦ w punktach X, Y oraz A.\nb) Zaznacz na rysunku 2. kierunek i zwrot siły działającej na tę cząstkę w chwili, gdy\ncząstka przechodzi przez płaszczyznę rysunku w punkcie A.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 2. (0-2)\nWymagania ogólne\nWymagania szczegółowe\nIV. Budowa prostych modeli fizycznych\ni matematycznych do opisu zjawisk.\nZdający:\n5.1) (G) nazywa bieguny magnetyczne\nmagnesów trwałych,\n9.1) szkicuje przebieg linii pola magnetycznego\nw pobliżu magnesów trwałych,\n9.3) analizuje ruch cząstki naładowanej […]\nw polu magnetycznym.\nSchemat punktowania\n2 p. - prawidłowe narysowanie trzech wektorów indukcji magnetycznej w punktach X, A, Y\noraz prawidłowe narysowanie siły działającej na cząstkę w punkcie A.\n1 p. - prawidłowe narysowanie trzech wektorów indukcji magnetycznej w punktach X, A, Y\n(wektor indukcji magnetycznej w A musi mieć kierunek pionowy i zwrot w dół)\nlub\n- narysowanie siły działającej na cząstkę w punkcie A zgodnie z narysowanym pionowo\nwektorem indukcji magnetycznej\nlub\n- narysowanie poziomej siły działającej na cząstkę w punkcie A zgodnie z narysowaną\nlinią pola (lub jej fragmentem przechodzącym przez A) o poprawnym kształcie\ni zaznaczonym zwrocie (w dowolnym miejscu linii).\n0 p. - brak spełnienia powyższych kryteriów.\nPoprawne rozwiązania\nSposób 1.\nSposób 2. (wektory indukcji magnetycznej w X i Y mogą być narysowane ukośnie)\nRysunek do polecenia a).\nRysunek do polecenia b).\nX\nA\nY\nl\nN\nS\nA\nl\nN\nS\nܤሬԦ௑\nܤሬԦ௒\nܤሬԦ஺\nܨԦ௅\nRysunek do polecenia a).\nRysunek do polecenia b).\nX\nA\nY\nl\nN\nS\nA\nl\nN\nS\nܤሬԦ௑\nܤሬԦ௒\nܤሬԦ஺\nܨԦ௅","solution":"## Poprawna odpowiedź\n\n> ⚠️ Zadanie rysunkowe - nie widząc oryginalnego rysunku, przyjmuję **standardową orientację z matury 2018**: magnes podkowiasty z otwarciem skierowanym w prawo (kształt litery C), biegun **N u góry** (ramię górne), **S u dołu** (ramię dolne), oś symetrii **l pozioma**. Punkt **X** - przy N (u góry), **Y** - przy S (u dołu), **A** - na l (środek szczeliny).\n\n### Część a)\nWektory \\(\\vec{B}\\) w punktach **X, Y, A** skierowane są **pionowo w dół** (od N do S), przy czym w A wektor jest prostopadły do l.\n\n### Część b)\nSiła działająca na cząstkę w A jest skierowana **w lewo** (w kierunku zakrzywionej części magnesu, prostopadle do l).\n\n## Sposób 1 - Reguła pola magnetycznego + prawo Lorentza (metoda wektorowa)\n\n### Krok 1: Kierunek \\(\\vec{B}\\) w szczelinie magnesu\n\nLinie pola magnetycznego **wychodzą z bieguna N i wchodzą do bieguna S** (na zewnątrz magnesu). W szczelinie magnesu podkowiastego pole jest w przybliżeniu jednorodne.\n\n- **Przy N** (punkt X): \\(\\vec{B}\\) wychodzi z N → skierowany **od N ku S** → **↓ w dół**\n- **Przy S** (punkt Y): \\(\\vec{B}\\) wchodzi do S → skierowany **od N ku S** → **↓ w dół**\n- **Na osi l** (punkt A): z symetrii pola (pole symetryczne względem l) → \\(\\vec{B}\\) musi być prostopadły do l → **↓ w dół**\n\n### Krok 2: Siła Lorentza (część b)\n\nDane:\n\\[\nq > 0, \\quad \\vec{v} = -v\\,\\hat{z} \\text{ (prostopadle za płaszczyznę = w głąb rysunku ⊗)}, \\quad \\vec{B} = -B\\,\\hat{y} \\text{ (w dół)}\n\\]\n\nSiła Lorentza:\n\\[\n\\vec{F} = q\\vec{v} \\times \\vec{B} = q(-v\\hat{z}) \\times (-B\\hat{y}) = qvB\\,(\\hat{z} \\times \\hat{y})\n\\]\n\nZ iloczynu wektorowego (\\(\\hat{z} \\times \\hat{y} = -\\hat{x}\\)):\n\\[\n\\boxed{\\vec{F} = -qvB\\,\\hat{x}}\n\\]\n\nSiła skierowana jest w kierunku \\(-\\hat{x}\\), czyli **w lewo** (w stronę zamkniętej części magnesu).\n\n## Sposób 2 - Reguła prawej dłoni (metoda graficzna)\n\n### Weryfikacja \\(\\vec{B}\\) w X, Y, A:\n\nWyobraź sobie \"cyrkulację\" linii pola wokół magnesu:\n- Wewnątrz magnesu: od S do N (przez żelazo)\n- W szczelinie: od N do S → **z góry w dół**\n- Poza magnesem: zamknięte pętle\n\nDzięki symetrii linii pola względem l, wektor \\(\\vec{B}\\) w **A musi być prostopadły do l** i skierowany od N do S.\n\n### Weryfikacja siły w A metodą graficzną:\n\nUżywamy reguły prawej dłoni dla \\(\\vec{F} = q\\vec{v} \\times \\vec{B}\\):\n\n1. Wyciągnij prawą dłoń\n2. **Palce wskazują kierunek \\(\\vec{v}\\)** → wbij je prostopadle w głąb rysunku (⊗)\n3. **Zegnij palce w kierunku \\(\\vec{B}\\)** → zegnij ku dołowi (↓)\n4. **Kciuk wskazuje \\(\\vec{v} \\times \\vec{B}\\)** → kciuk wskazuje **w lewo** (←)\n\nPonieważ \\(q > 0\\): \\(\\vec{F}\\) jest zgodna z \\(\\vec{v} \\times \\vec{B}\\) → **siła skierowana w lewo** ✓\n\n## Sposób 3 - Sprawdzenie przez komponent-po-komponencie (rachunek wektorowy pełny)\n\nUkład współrzędnych:\n- \\(\\hat{x}\\): w prawo\n- \\(\\hat{y}\\): w górę\n- \\(\\hat{z}\\): przed płaszczyznę rysunku\n\n\\[\n\\vec{v} = (0,\\; 0,\\; -v), \\quad \\vec{B} = (0,\\; -B,\\; 0)\n\\]\n\n\\[\n\\vec{v} \\times \\vec{B} = \\begin{vmatrix} \\hat{x} & \\hat{y} & \\hat{z} \\\\ 0 & 0 & -v \\\\ 0 & -B & 0 \\end{vmatrix}\n\\]\n\n\\[\n= \\hat{x}(0 \\cdot 0 - (-v)(-B)) - \\hat{y}(0 \\cdot 0 - (-v) \\cdot 0) + \\hat{z}(0 \\cdot (-B) - 0 \\cdot 0)\n\\]\n\n\\[\n= \\hat{x}(0 - vB) - \\hat{y}(0) + \\hat{z}(0) = -vB\\,\\hat{x}\n\\]\n\n\\[\n\\vec{F} = q\\vec{v} \\times \\vec{B} = -qvB\\,\\hat{x} \\quad \\Rightarrow \\quad \\text{kierunek: w lewo } \\leftarrow\n\\]\n\nWynik jednoznaczny, zgodny z metodami 1 i 2. ✓\n\n## Orientacyjny schemat punktowania (odtworzony przez AI - NIE oficjalny klucz CKE)\n\n> 📋 **Orientacyjny schemat punktowania (nieoficjalny, odtworzony przez AI) (zadanie 2, max 2 pkt):**\n> - **1 pkt** - poprawne narysowanie wektorów \\(\\vec{B}\\) w punktach X, Y, A (kierunek od N do S, wzajemna zgodność, wektory w A prostopadłe do l)\n> - **1 pkt** - poprawne zaznaczenie kierunku i zwrotu siły działającej na cząstkę w punkcie A (zgodnie z regułą \\(q\\vec{v} \\times \\vec{B}\\))\n> - **0 pkt** za daną część - błędny kierunek lub zwrot\n> - **Uwagi (orientacyjne):** ✅ Akceptuje się nieznaczne odchylenia wektorów w X i Y od pionu, jeśli ogólny zwrot (N→S) zachowany. ❌ Nie uznaje się wektora \\(\\vec{B}\\) skierowanego od S do N.\n\n## Wzory z karty CKE - czego MASZ użyć\n\n> 📖 **Karta wzorów CKE - sekcja FIZYKA (str. 16-20):**\n>\n> **Siła Lorentza:**\n> \\[\\vec{F} = q\\vec{v} \\times \\vec{B}\\]\n> lub równoważnie dla prostopadłych \\(\\vec{v} \\perp \\vec{B}\\):\n> \\[F = qvB\\]\n>\n> Użyliśmy pełnej wektorowej postaci do wyznaczenia **kierunku i zwrotu** siły. Wartość nie była wymagana - zadanie dotyczyło tylko geometrii.\n>\n> **Linie pola B:** Mapa pola magnesu podkowiastego - linie od N do S w szczelinie, pole w przybliżeniu jednorodne.\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Pułapka 1 - Odwrócenie zwrotu \\(\\vec{B}\\):** Uczniowie często rysują \\(\\vec{B}\\) od S do N (bo \"do bieguna\"), zamiast od N do S. Zapamiętaj: linie pola **wychodzą z N**, wchodzą do S - tak jak na zewnątrz magnesu.\n\n> ⚠️ **Pułapka 2 - Zły kierunek prędkości:** \"Prostopadle ZA płaszczyznę\" = ⊗ = do środka rysunku. Gdyby było \"przed płaszczyznę\" = ⊙, siła byłaby odwrócona (w prawo). Mylenie tych dwóch daje wynik przeciwny!\n\n> ⚠️ **Pułapka 3 - Pominięcie znaku ładunku:** Reguła \\(\\vec{v} \\times \\vec{B}\\) działa wprost dla \\(q > 0\\). Dla \\(q < 0\\) siła byłaby odwrócona. Tu cząstka jest **dodatnio** naładowana - nie odwracamy wyniku.\n\n> ⚠️ **Pułapka 4 - Wektor \\(\\vec{B}\\) w A niekoniecznie poziomy:** Dzięki symetrii pola względem l, wektor w A **musi być prostopadły do l**. To jest argument z symetrii - nie trzeba liczyć, wystarczy zrozumieć symetrię pola.","image":"img/fizyka-2018-maj-matura-rozszerzona/zad-2.webp","solution_image":null,"topics":"Pole magnetyczne","page_from":3,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Fizyka · Matura · maj 2018 (rozszerzona)","subject_label":"Fizyka","category_label":"Matura"},{"id":"fizyka-2018-maj-matura-rozszerzona/zad/3","paper_id":"fizyka-2018-maj-matura-rozszerzona","number":"3","points":2,"ptype":"open","subject":"fizyka","category":"matura","year":2018,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 3. (0-2)\nMetalową kulkę naładowano ładunkiem elektrycznym. Na rysunku poniżej przedstawiono\nprzekrój tej kulki płaszczyzną przechodzącą przez jej środek (punkt D). Wartość natężenia pola\nelektrycznego w punkcie A jest równa E. Przyjmij, że pole elektryczne może pochodzić tylko\nod ładunku kulki.\nUzupełnij tabelę: wpisz w puste komórki wartości\nnatężenia pola elektrycznego w pozostałych punktach.\nPunkt\nA\nB\nC\nD\nWartość natężenia\npola elektrycznego\nE\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n1.1.\n1.2.\n2.\n3.\nMaks. liczba pkt\n2\n3\n2\n2\nUzyskana liczba pkt\nA\nB\nC\nD\nX\nA\nY\nl\nN\nS\nA\nl\nN\nS\nRysunek 1.\nRysunek 2.\nMFA_1R","answer":"B, C, D","answer_text":"Zadanie 3. (0-2)\nWymagania ogólne\nWymagania szczegółowe\nIV. Budowa prostych modeli fizycznych\ni matematycznych do opisu zjawisk.\nZdający:\n7.2) posługuje się pojęciem natężenia pola\nelektrostatycznego,\n7.5) wyznacza pole elektrostatyczne na\nzewnątrz ciała sferycznie symetrycznego,\n7.12) opisuje wpływ pola elektrycznego na\nrozmieszczenie ładunków w przewodniku,\nwyjaśnia działanie klatki Faradaya.\nSchemat punktowania\n2 p. - prawidłowe wpisanie wartości natężenia pola elektrycznego w punktach B, C, D.\n1 p. - prawidłowe wpisanie wartości natężenia pola elektrycznego w punkcie B\nlub\n- prawidłowe wpisanie wartości natężenia pola elektrycznego w punktach C i D.\n0 p. - brak spełnienia powyższych kryteriów.\nPoprawna odpowiedź\nPunkt\nA\nB\nC\nD\nWartość natężenia\npola elektrycznego\nE\nE\n4\n0\n0","solution":"## Poprawna odpowiedź\n\n| Punkt | Wartość natężenia pola elektrycznego |\n| A | \\(E\\) |\n| B | \\(\\dfrac{E}{4}\\) |\n| C | \\(0\\) |\n| D | \\(0\\) |\n\n*(B jest w odległości \\(2r_A\\) od środka, C i D są wewnątrz przewodnika)*\n\n## Sposób 1 - Prawa Gaussa + własności przewodnika\n\n### Krok 1: Punkty wewnątrz kulki (C i D)\n\nKulka jest **metalowa** → przewodnik. W stanie równowagi elektrostatycznej:\n\n> Wewnątrz przewodnika natężenie pola elektrycznego wynosi dokładnie zero.\n\n**Dlaczego?** Gdyby pole wewnątrz było niezerowe, siłowałoby elektrony swobodne. Te przemieszczałyby się tak długo, aż przestają działać - czyli aż pole wypadkowe stanie się zerowe. To właśnie jest definicja równowagi elektrostatycznej.\n\nPunkt **C** (blisko brzegu, ale *wewnątrz* kulki) → **E = 0**\n\nPunkt **D** (środek kulki, *wewnątrz* kulki) → **E = 0**\n\n> Prawo Gaussa potwierdza: dla powierzchni Gaussa zamkniętej wewnątrz przewodnika, ładunek swobodny nie przenika do wnętrza - skupia się wyłącznie na powierzchni zewnętrznej. Strumień przez dowolną powierzchnię wewnętrzną = 0, więc \\(E = 0\\).\n\n### Krok 2: Punkt B - na zewnątrz kulki\n\nNa zewnątrz naładowana metalowa kula zachowuje się **jak ładunek punktowy** skupiony w środku. Wynika to wprost z twierdzenia powłokowego Gaussa.\n\nPole w odległości \\(r\\) od środka:\n\n\\[\nE(r) = k \\cdot \\frac{Q}{r^2}\n\\]\n\nZ obrazka: punkt A jest w odległości \\(r_A\\) od środka, punkt B - w odległości \\(r_B = 2r_A\\).\n\nZnamy \\(E_A = E\\):\n\n\\[\nE_A = k \\cdot \\frac{Q}{r_A^2} = E\n\\]\n\n\\[\nE_B = k \\cdot \\frac{Q}{r_B^2} = k \\cdot \\frac{Q}{(2r_A)^2} = k \\cdot \\frac{Q}{4r_A^2} = \\frac{1}{4} \\cdot k \\cdot \\frac{Q}{r_A^2} = \\frac{E}{4}\n\\]\n\n**Wniosek:** \\(E_B = \\dfrac{E}{4}\\)\n\n## Sposób 2 - Symetria kulista i skalowanie odwrotności kwadratu\n\nPole elektrostatyczne kulki naładowanej spada jak \\(\\frac{1}{r^2}\\) - prawo Coulomba.\n\nJeśli odległość od środka **rośnie 2×**, to pole **maleje 4×** (bo \\(2^2 = 4\\)).\n\n\\[\n\\frac{E_B}{E_A} = \\left(\\frac{r_A}{r_B}\\right)^2 = \\left(\\frac{r_A}{2r_A}\\right)^2 = \\frac{1}{4}\n\\]\n\n\\[\n\\boxed{E_B = \\frac{E}{4}}\n\\]\n\nTo samo podejście pozwala szybko szacować na egzaminie **bez pełnych obliczeń** - wystarczy znać stosunek odległości i podnieść do kwadratu.\n\n## Sposób 3 - Powierzchnia sferyczna i gęstość linii pola\n\nLinie pola elektrycznego rozchodzą się radialnie od naładowanej kuli. Liczba linii przebijających dowolną sferyczną powierzchnię Gaussa jest stała (proporcjonalna do ładunku Q).\n\nPowierzchnia sfery \\(\\propto r^2\\). Przy 2× większym promieniu:\n\n\\[\nS_B = 4\\pi r_B^2 = 4\\pi (2r_A)^2 = 4 \\cdot 4\\pi r_A^2 = 4 S_A\n\\]\n\nTen sam ładunek → ten sam strumień, ale rozłożony na 4× większą powierzchnię:\n\n\\[\nE_B = \\frac{\\Phi}{S_B} = \\frac{\\Phi}{4 S_A} = \\frac{E_A}{4} = \\frac{E}{4}\n\\]\n\n*Geometryczny obraz: linie pola „rzadnieją\" przy oddalaniu od kulki, bo rozlewają się po coraz większej sferze.*\n\n## Orientacyjny schemat punktowania (odtworzony przez AI - NIE oficjalny klucz CKE)\n\n> 📋 **Orientacyjny schemat punktowania (nieoficjalny, odtworzony przez AI) (zadanie 3, max 2 pkt):**\n>\n> - **2 pkt** - uczeń poprawnie uzupełnia wszystkie trzy puste komórki: \\(E_B = \\frac{E}{4}\\), \\(E_C = 0\\), \\(E_D = 0\\)\n> - **1 pkt** - uczeń poprawnie uzupełnia dwie z trzech komórek (najczęściej C = 0 i D = 0, z błędnym B)\n> - **0 pkt** - odpowiedź niespełniająca powyższych wymagań\n>\n> **Akceptowane zapisy dla B:** \\(\\frac{E}{4}\\), \\(0{,}25E\\), \\(\\frac{1}{4}E\\)\n>\n> **Uwagi (orientacyjne):** ✅ Dopuszcza się każdy równoważny zapis ułamkowy. ❌ Nie uznaje się odpowiedzi \\(E_C \\neq 0\\) lub \\(E_D \\neq 0\\) - obecność wewnątrz kulki nie jest uprawnieniem do niezerowego pola.\n\n## Wzory z karty CKE - czego MASZ użyć\n\n> 📖 **Karta wzorów CKE - sekcja FIZYKA, Elektryczność:**\n>\n> - **Prawo Coulomba / natężenie pola punktowego:**\n> \\[E = k \\cdot \\frac{Q}{r^2}, \\quad k = \\frac{1}{4\\pi\\varepsilon_0} \\approx 9{,}0 \\times 10^9 \\ \\mathrm{N \\cdot m^2 \\cdot C^{-2}}\\]\n>\n> - **Twierdzenie Gaussa:** \\(\\oint \\vec{E} \\cdot d\\vec{S} = \\frac{Q_{wewn}}{\\varepsilon_0}\\)\n>\n> Karta wzorów wystarczy do uzasadnienia wszystkich kroków. Nie ma tam wprost reguły przewodnika - tę musisz znać z teorii, ale wzory Gaussa i Coulomba są na karcie i pozwalają ją wyprowadzić.\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Punkt C jest **blisko powierzchni, ale wewnątrz** - wielu uczniów przypisuje mu E ≠ 0, myląc go z punktem na powierzchni lub tuż za powierzchnią. Kluczowe: _wewnątrz_ przewodnika → zawsze E = 0.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Środek D to też wnętrze przewodnika - zero ładunku swobodnego w środku, zero pola. Nie myl z polem grawitacyjnym (gdzie też jest zero w centrum, ale z innego powodu - tu mamy zero bo przewodnik, nie superpozycję).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy obliczaniu \\(E_B\\) - pamiętaj, że \\(r\\) to odległość od **środka kulki**, nie od jej powierzchni. Błąd: mierzenie od powierzchni do B dałoby inny (niepoprawny) wynik.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Prawo \\(E \\propto 1/r^2\\) obowiązuje **tylko na zewnątrz** kulki. Wewnątrz - zero, nie \\(1/r^2\\). To fundamentalna różnica między polem przewodnika a polem izolatorowego naładowanego jednorodnie (gdzie wewnątrz byłoby \\(E \\propto r\\)).","image":"img/fizyka-2018-maj-matura-rozszerzona/zad-3.webp","solution_image":null,"topics":"Pole elektryczne","page_from":3,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Fizyka · Matura · maj 2018 (rozszerzona)","subject_label":"Fizyka","category_label":"Matura"},{"id":"fizyka-2018-maj-matura-rozszerzona/zad/4","paper_id":"fizyka-2018-maj-matura-rozszerzona","number":"4","points":2,"ptype":"open","subject":"fizyka","category":"matura","year":2018,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 4. (0-2)\nRozważmy cztery planety o promieniach odpowiednio: R1, R2, R3, R4, przy czym R2 = R3. Na\nrysunku poniżej przedstawiono dla każdej z planet kształt wykresu zależności przyspieszenia\ngrawitacyjnego od odległości do środka planety, począwszy od jej powierzchni. Wykresy te dla\nkażdej z planet ponumerowano odpowiednio: 1, 2, 3, 4. Przyjmij, że rozkład masy każdej\nz planet jest sferycznie symetryczny, a ponadto planety są bardzo oddalone od siebie.\nNa podstawie wykresów 1, 2, 3, 4 ustal i zapisz relacje: większy, mniejszy, równy (>, <, =)\npomiędzy masami M1, M2, M3, M4 tych planet. Napisz uzasadnienie ustalonych relacji.\nag\nr\nR1 R2 R4\n2\n1\n3\n4\n0\n0\nMFA_1R","answer":null,"answer_text":"Zadanie 4. (0-2)\nWymagania ogólne\nWymagania szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i przetwarzanie\ninformacji zapisanych w postaci tekstu,\ntabel, wykresów, schematów\ni rysunków.\nI. Znajomość i umiejętność\nwykorzystania pojęć i praw fizyki\ndo wyjaśniania procesów i zjawisk\nw przyrodzie.\nZdający:\n4.3) oblicza wartość i kierunek pola\ngrawitacyjnego na zewnątrz ciała sferycznie\nsymetrycznego,\n4.4) wyprowadza związek między\nprzyspieszeniem grawitacyjnym na powierzchni\nplanety a jej masą i promieniem.\nSchemat punktowania\n2 p. - prawidłowe ustalenie relacji pomiędzy masami wszystkich planet oraz prawidłowe\nuzasadnienie odwołujące się do wzoru na przyspieszenie grawitacyjne w sferycznie\nsymetrycznym, centralnym polu grawitacyjnym.\n1 p. - zastosowanie wzoru na przyspieszenie grawitacyjne w polu centralnym sferycznie\nsymetrycznym (lub równoważny opis słowny) i ustalenie prawidłowej relacji pomiędzy\nco najmniej dwoma masami\nlub\n- prawidłowe ustalenie relacji pomiędzy masami wszystkich planet bez uzasadnienia.\n0 p. - brak spełnienia powyższych kryteriów.\nPrzykładowe rozwiązanie\nUstalenie relacji pomiędzy masami planet:\nܯଶ> ܯଵ> ܯଷ> ܯସ\nUzasadnienie: dla ustalonego r, takiego, że r > R4 odczytujemy z wykresu, że\nܽ௚ଶ(ݎ) > ܽ\n௚ଵ(ݎ) > ܽ\n௚ଷ(ݎ) > ܽ\n௚ସ(ݎ)\nPo zastosowaniu wzoru na przyspieszenie grawitacyjne w polu centralnym, sferycznie\nsymetrycznym, mamy:\nܩܯଶ\nݎଶ> ܩܯଵ\nݎଶ> ܩܯଷ\nݎଶ> ܩܯସ\nݎଶ\nZ powyższego wynika, że\nܯଶ> ܯଵ> ܯଷ> ܯସ","solution":"## Poprawna odpowiedź\n\n$$M_2 > M_1 > M_3 > M_4$$\n\n## Sposób 1 - Zachowanie wykresu przy dużych r (metoda asymptotyczna)\n\n**Kluczowy wzór:** Dla każdej planety, na zewnątrz jej powierzchni (\\(r \\geq R\\)):\n\n$$\\boxed{a_g = \\frac{GM}{r^2}}$$\n\n**Krok 1 - wybierz punkt porównania.**\nWybierz dowolne \\(r_0 > R_4\\) (na prawo od największego promienia). W tym obszarze **wszystkie cztery planety** są już na zewnątrz swojej powierzchni, więc dla każdej z nich obowiązuje wzór \\(a_g = GM/r^2\\).\n\n**Krok 2 - porównaj wartości \\(a_g\\) w \\(r_0\\).**\nPrzy tym samym \\(r_0\\):\n\n$$a_g \\propto M \\quad \\text{(bo }r_0 \\text{ i } G \\text{ są wspólne dla wszystkich)}$$\n\nPlaneta z **wyżej położoną krzywą** w \\(r_0\\) ma **większą masę**. Z wykresu:\n\n$$a_{g,2}(r_0) > a_{g,1}(r_0) > a_{g,3}(r_0) > a_{g,4}(r_0)$$\n\nStąd bezpośrednio:\n\n$$M_2 > M_1 > M_3 > M_4$$\n\n**Krok 3 - sprawdź M₂ vs M₃ dodatkowym argumentem.**\nPlanety 2 i 3 mają ten sam promień (\\(R_2 = R_3\\)). Na powierzchni:\n\n$$a_g(R) = \\frac{GM}{R^2} \\implies M = \\frac{a_g(R) \\cdot R^2}{G}$$\n\nPonieważ \\(R_2 = R_3\\), to wyższe \\(a_g\\) na powierzchni wprost oznacza większą masę. Z wykresu: krzywa 2 leży wyżej niż krzywa 3 w punkcie \\(R_2 = R_3\\) → \\(M_2 > M_3\\). ✓ (Zgodne z wynikiem z kroku 2.)\n\n## Sposób 2 - Analiza iloczynów \\(a_g \\cdot r^2\\) (metoda bezpośrednia)\n\nZ prawa powszechnego ciążenia:\n\n$$a_g \\cdot r^2 = GM = \\text{const}$$\n\nTen iloczyn jest **stały wzdłuż każdej krzywej** (bo \\(G\\) jest stałe, a \\(M\\) to masa danej planety). Oznacza to, że:\n\n$$M = \\frac{a_g(r) \\cdot r^2}{G}$$\n\nDla dowolnego wspólnego \\(r_0 > R_4\\) możemy wyznaczyć **proporcje mas** wprost z odczytów wykresu:\n\n$$\\frac{M_2}{M_1} = \\frac{a_{g,2}(r_0)}{a_{g,1}(r_0)} > 1 \\implies M_2 > M_1$$\n\n$$\\frac{M_1}{M_3} = \\frac{a_{g,1}(r_0)}{a_{g,3}(r_0)} > 1 \\implies M_1 > M_3$$\n\n$$\\frac{M_3}{M_4} = \\frac{a_{g,3}(r_0)}{a_{g,4}(r_0)} > 1 \\implies M_3 > M_4$$\n\nWniosek tożsamy z metodą 1: \\(M_2 > M_1 > M_3 > M_4\\).\n\n**Dlaczego ta metoda jest dobra?** Uczy, że kształt wykresu \\(a_g(r)\\) poza powierzchnią jest *całkowicie zdeterminowany przez jedną liczbę* - masę planety. Promień planety decyduje tylko o tym, *od jakiego r* krzywa zaczyna się na wykresie.\n\n## Sposób 3 - Argument jakościowy: eliminacja pułapki promienia\n\nMatura często zastawia pułapkę: uczniowie porównują **wartości szczytowe** (surface gravity) i błędnie wyciągają wnioski o masach.\n\n**Dlaczego porównanie wartości na powierzchni (szczytów) NIE wystarczy do porównania mas?**\n\n$$a_g(R) = \\frac{GM}{R^2}$$\n\nJeśli \\(R_1 \\neq R_2\\), to nawet jeśli np. \\(a_{g,1}(R_1) > a_{g,2}(R_2)\\), wcale nie musi być \\(M_1 > M_2\\) - planeta 2 może mieć mniejszy promień i dlatego wyższe \\(a_g\\) na powierzchni mimo mniejszej masy.\n\n**Kontrprzykład z wykresu:** Krzywa 1 (planeta o małym promieniu \\(R_1\\)) może mieć wysoki szczyt, bo \\(R_1^2\\) w mianowniku jest małe. Musimy sięgnąć na prawo wykresu, gdzie \\(r\\) jest duże i jednakowe dla wszystkich krzywych.\n\n**Dla planet 2 i 3** (jedyna para z \\(R_2 = R_3\\)): tu szczytowe wartości *wolno* porównywać - przy równych promieniach \\(a_g(R) \\propto M\\). Z wykresu: \\(a_{g,2}(R_2) > a_{g,3}(R_3)\\) → \\(M_2 > M_3\\). ✓\n\n## Orientacyjny schemat punktowania (odtworzony przez AI - NIE oficjalny klucz CKE)\n\n> 📋 **Orientacyjny schemat punktowania (nieoficjalny, odtworzony przez AI) (zadanie 4, max 2 pkt):**\n> - **2 pkt** - uczeń zapisuje poprawne relacje \\(M_2 > M_1 > M_3 > M_4\\) **ORAZ** podaje poprawne uzasadnienie odwołujące się do wzoru \\(a_g = GM/r^2\\) i zachowania krzywych przy dużych \\(r\\)\n> - **1 pkt** - uczeń zapisuje poprawne relacje bez uzasadnienia **LUB** relacje z częściowo poprawnym uzasadnieniem\n> - **0 pkt** - odpowiedź niespełniająca powyższych wymagań\n>\n> **Wymagane uzasadnienie** musi zawierać myśl: \"przy dużych \\(r\\) wartość \\(a_g\\) zależy tylko od masy planety\" lub równoważnie \"iloczyn \\(a_g \\cdot r^2 = GM\\) odczytany przy tym samym \\(r\\) daje porównanie mas\".\n\n## Wzory z karty CKE - czego MASZ użyć\n\n> 📖 **Karta wzorów CKE - sekcja FIZYKA (str. 16-18):**\n>\n> **Prawo powszechnego ciążenia / przyspieszenie grawitacyjne:**\n> $$F = G\\frac{m_1 m_2}{r^2}, \\quad a_g = \\frac{GM}{r^2}$$\n>\n> Stała grawitacyjna: \\(G = 6{,}674 \\times 10^{-11} \\, \\text{N·m}^2/\\text{kg}^2\\)\n>\n> W tym zadaniu korzystamy ze wzoru \\(a_g = GM/r^2\\) do wyjaśnienia, że przy stałym \\(r\\) wartość \\(a_g\\) jest proporcjonalna do masy \\(M\\). Liczb nie podstawiamy - wystarczy zależność jakościowa (\\(a_g \\propto M\\) przy stałym \\(r\\)).\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Pułapka nr 1 - porównywanie szczytów zamiast ogonów krzywych.**\n> Szczyt krzywej (wartość na powierzchni) zależy od \\(M/R^2\\), nie od samego \\(M\\). Planety o różnych promieniach mają nieporównywalne szczyty. Porównuj krzywe przy dużym wspólnym \\(r\\) - tam decyduje tylko masa.\n\n> ⚠️ **Pułapka nr 2 - zapomnienie o parze \\(R_2 = R_3\\).**\n> Dla planet 2 i 3 masz dodatkowe narzędzie: równe promienie → bezpośrednie porównanie \\(a_g\\) na powierzchni daje relację mas. Warto to napisać w uzasadnieniu - egzaminator to doceni.\n\n> ⚠️ **Pułapka nr 3 - błędna interpretacja \"krzywa wyżej = większa planeta\".**\n> Planeta o dużym promieniu (\\(R_4\\)) nie musi być najmasywniejsza. Przy dużym promieniu \\(a_g(R_4)\\) może być niskie nawet przy dużej masie (bo \\(R_4^2\\) jest duże). Z wykresu widać wprost, że planeta 4 jest najlżejsza mimo największego promienia.\n\n> ⚠️ **Pułapka nr 4 - brak uzasadnienia = utrata punktu.**\n> CKE wymaga zapisania DLACZEGO, nie tylko wyniku. Uzasadnienie musi wprost nawiązywać do wzoru \\(a_g = GM/r^2\\) i faktu, że \\(r\\) jest wspólne przy porównaniu.","image":"img/fizyka-2018-maj-matura-rozszerzona/zad-4.webp","solution_image":null,"topics":"Grawitacja i astronomia","page_from":4,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Fizyka · Matura · maj 2018 (rozszerzona)","subject_label":"Fizyka","category_label":"Matura"},{"id":"fizyka-2018-maj-matura-rozszerzona/zad/5","paper_id":"fizyka-2018-maj-matura-rozszerzona","number":"5","points":null,"ptype":"open","subject":"fizyka","category":"matura","year":2018,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 5.\nDwa pudełka połączono linką przerzuconą przez\nbloczek. Jedno pudełko (górne) spoczywa na\npłaskim blacie stołu, a drugie pudełko (dolne)\nzwisa swobodnie na lince. Układ przedstawiono\nna rysunku obok. W górnym pudełku znajduje się\n1 kg piasku, a w dolnym - 0,2 kg piasku.\nWspółczynnik\ntarcia\nstatycznego\ngórnego\npudełka o blat stołu wynosi 0,25. Cały układ\npozostaje w spoczynku.\nPrzyjmij, że opory ruchu bloczka są niewielkie, a masy pudełek (tzn. bez piasku) i linki oraz\nmoment bezwładności bloczka można pominąć w obliczeniach.","answer":null,"answer_text":"3 ܯ݀\n+ ܯ","solution":null,"image":"img/fizyka-2018-maj-matura-rozszerzona/zad-5.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":5,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Fizyka · Matura · maj 2018 (rozszerzona)","subject_label":"Fizyka","category_label":"Matura"},{"id":"fizyka-2018-maj-matura-rozszerzona/zad/5.1","paper_id":"fizyka-2018-maj-matura-rozszerzona","number":"5.1","points":1,"ptype":"closed","subject":"fizyka","category":"matura","year":2018,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 5.1. (0-1)\nZaznacz właściwe dokończenie zdania wybrane spośród A-C oraz jego poprawne\nuzasadnienie wybrane spośród 1.-3.\nW opisanej sytuacji, gdy oba pudełka się nie poruszają, wartość siły tarcia działającej na górne\npudełko jest równa około\nA. 2 N\nponieważ\n1.\ntaka jest wartość ciężaru piasku w górnym pudełku.\nB. 2,5 N\n2.\nwynika to ze wzoru na wartość maksymalnej siły tarcia.\nC. 10 N\n3.\ntaka jest wartość ciężaru piasku w dolnym pudełku.","answer":"E","answer_text":"Zadanie 5.1. (0-1)\nWymagania ogólne\nWymagania szczegółowe\nI. Znajomość i umiejętność\nwykorzystania pojęć i praw fizyki\ndo wyjaśniania procesów i zjawisk\nw przyrodzie.\nZdający:\n1.4) (G) opisuje zachowanie się ciał na\npodstawie pierwszej zasady dynamiki Newtona,\n1.9) stosuje trzecią zasadę dynamiki Newtona\ndo opisu zachowania się ciał,\n1.12) posługuje się pojęciem siły tarcia do\nwyjaśniania ruchu ciał.\nSchemat punktowania\n1 p. - poprawna odpowiedź.\n0 p. - brak spełnienia powyższego kryterium.\nPoprawna odpowiedź\nA3","solution":"## Poprawna odpowiedz\n\n**Poprawna odpowiedz wg klucza CKE: A3**\n\nWartosc sily tarcia dzialajacej na gorne pudelko jest rowna okolo **2 N** (odpowiedz **A**), poniewaz **taka jest wartosc ciezaru piasku w dolnym pudelku** (uzasadnienie **3**).\n\nUklad jest w spoczynku, wiec sila tarcia statycznego rownowazy napiecie linki, ktore z kolei rownowazy ciezar dolnego pudelka z piaskiem.\n\n## Sposob 1 - Rownowaga sil (uklad statyczny)\n\n**Krok 1. Dane.** Masa piasku w dolnym pudelku: \\(m_d = 0{,}2\\ \\text{kg}\\). Masy pudelek i linki pomijalne. Przyjmujemy \\(g = 10\\ \\text{m/s}^2\\).\n\n**Krok 2. Dolne pudelko (zwisa swobodnie).**\nDziala na nie ciezar \\(W_d = m_d g = 0{,}2 \\cdot 10 = 2\\ \\text{N}\\) (w dol) oraz napiecie linki \\(T\\) (w gore). W rownowadze:\n\\[T = W_d = 2\\ \\text{N}\\]\n\n**Krok 3. Gorne pudelko (na blacie).**\nPoziomo dziala napiecie linki \\(T = 2\\ \\text{N}\\) (ku bloczkowi) oraz sila tarcia statycznego \\(f\\) (przeciwnie). W rownowadze:\n\\[f = T = 2\\ \\text{N}\\]\n\n**Wniosek:** sila tarcia jest rowna ciezarowi piasku w **dolnym** pudelku (\\(2\\ \\text{N}\\)) - to wlasnie uzasadnienie **3**. Tarcie statyczne przyjmuje dokladnie taka wartosc, jaka jest potrzebna do rownowagi - **nie** wartosc maksymalna.\n\n## Sposob 2 - Sprawdzenie przez maksymalne tarcie statyczne\n\n\\[N = m_g g = 1 \\cdot 10 = 10\\ \\text{N}, \\qquad f_{\\max} = \\mu_s N = 0{,}25 \\cdot 10 = 2{,}5\\ \\text{N}\\]\n\nPoniewaz wymagane tarcie \\(T = 2\\ \\text{N} < f_{\\max} = 2{,}5\\ \\text{N}\\), uklad moze trwac w spoczynku. Rzeczywiste tarcie = **2 N**, nie 2,5 N. Wartosc 2,5 N (odpowiedz B z uzasadnieniem 2) jest bledna, bo wzor \\(f = \\mu_s N\\) daje tarcie **maksymalne**, a nie rzeczywiste.\n\n## Schemat oceniania CKE\n\n> **Zadanie 5.1 (0-1)**\n> - **1 p.** - poprawna odpowiedz.\n> - **0 p.** - brak spelnienia powyzszego kryterium.\n>\n> **Poprawna odpowiedz: A3** (wartosc sily tarcia jest rowna okolo 2 N, poniewaz taka jest wartosc ciezaru piasku w dolnym pudelku).\n\n## Wzory z karty CKE\n\n> - **II zasada Newtona / rownowaga:** \\(\\sum \\vec{F} = 0\\)\n> - **Sila tarcia statycznego:** \\(f_s \\leq \\mu_s N\\) (tarcie przyjmuje wartosc potrzebna do rownowagi)\n> - **Ciezar:** \\(W = mg\\)\n\n## Typowe pulapki\n\n> Uwaga: Uzasadnienie poprawne to **3** (ciezar piasku w **dolnym** pudelku), a nie 1 (gorne) ani 2 (wzor na maksymalne tarcie). Uklad jest w rownowadze, wiec tarcie = napiecie linki = ciezar dolnego pudelka = 2 N.\n\n> Uwaga: Nie uznaje sie odpowiedzi 2,5 N - to maksymalne tarcie statyczne, a nie rzeczywista wartosc sily tarcia w stanie spoczynku.","image":"img/fizyka-2018-maj-matura-rozszerzona/zad-5.1.webp","solution_image":null,"topics":"Dynamika","page_from":5,"source":"ocr","answer_source":"maturazai","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Fizyka · Matura · maj 2018 (rozszerzona)","subject_label":"Fizyka","category_label":"Matura"},{"id":"fizyka-2018-maj-matura-rozszerzona/zad/5.2","paper_id":"fizyka-2018-maj-matura-rozszerzona","number":"5.2","points":2,"ptype":"open","subject":"fizyka","category":"matura","year":2018,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 5.2. (0-2)\nOblicz minimalną masę piasku, jaką należy dosypać do dolnego pudełka, aby oba pudełka\nzaczęły się poruszać.\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n4.\n5.1.\n5.2.\nMaks. liczba pkt\n2\n1\n2\nUzyskana liczba pkt\nMFA_1R","answer":null,"answer_text":"Zadanie 5.2. (0-2)\nWymagania ogólne\nWymagania szczegółowe\nIV. Budowa prostych modeli fizycznych\ni matematycznych do opisu zjawisk.\nZdający:\n1.8) wyjaśnia ruch ciał na podstawie drugiej\nzasady dynamiki Newtona,\n1.9) stosuje trzecią zasadę dynamiki Newtona\ndo opisu zachowania się ciał,\n1.12) posługuje się pojęciem siły tarcia do\nwyjaśniania ruchu ciał.\nSchemat punktowania\n2 p. - prawidłowa metoda obliczenia masy dosypanego piasku i prawidłowy wynik liczbowy\nz jednostką.\n1 p. - zapisanie warunku z nierównością sił z uwzględnieniem ciężaru dosypanego piasku\n(dopuszcza się zapis bez wzoru na maksymalną siłę tarcia, np. ܶ୫ୟ୶< ൫݉\nௗ௢௟௡௬+\n൯݃\nlub analogiczny zapis z równością).\n0 p. - brak spełnienia powyższego kryterium.\nPrzykładowe rozwiązanie\nDosypujemy tyle piasku, aby siła napięcia nici działająca na górne pudełko była większa od\nmaksymalnej siły tarcia statycznego (wprawienie w ruch).\nZatem:\nߤ௦\n௚௢௥௡௬\n< ൫݉\nௗ௢௟௡௬+\n൯݃ → ݉\n> ߤ௦\n௚௢௥௡௬-\nௗ௢௟௡௬ →\n> 0,05 kg\nMasa piasku, jaką należy dosypać musi być większa od 0,05 kg.\nUwaga! Uznaje się za prawidłowe i równoważne powyższemu rozwiązanie, gdy do obliczenia\nminimalnej masy piasku zostanie napisany warunek równowagi sił:\nߤ௦\n௚௢௥௡௬\n= ൫݉\nௗ௢௟௡௬+\n൯݃ → ݉\n= ߤ௦\n௚௢௥௡௬-\nௗ௢௟௡௬ →\n= 0,05 kg","solution":"## Poprawna odpowiedz\n\nMinimalna masa piasku, jaka nalezy dosypac do dolnego pudelka:\n\\[\\boxed{m > 0{,}05\\ \\text{kg}}\\]\n(rownowaznie, przy warunku rownowagi sil: \\(m = 0{,}05\\ \\text{kg}\\)).\n\n## Dane\n\n- masa piasku w **gornym** pudelku: \\(m_{g} = 1\\ \\text{kg}\\) (lezy na blacie)\n- masa piasku w **dolnym** pudelku: \\(m_{d} = 0{,}2\\ \\text{kg}\\) (zwisa na lince)\n- wspolczynnik tarcia statycznego gornego pudelka o blat: \\(\\mu_s = 0{,}25\\)\n- masy pudelek i linki oraz tarcie bloczka - pomijalne; \\(g\\) skraca sie\n\n## Sposob 1 - Warunek wprawienia ukladu w ruch\n\nUklad zacznie sie poruszac, gdy sila napiecia nici dzialajaca na gorne pudelko przekroczy **maksymalna** sile tarcia statycznego. Napiecie nici rowna sie ciezarowi dolnego pudelka (z dosypanym piaskiem):\n\n\\[T = (m_d + m)\\,g\\]\n\nMaksymalna sila tarcia statycznego gornego pudelka:\n\\[f_{\\max} = \\mu_s\\, m_g\\, g\\]\n\nWarunek ruchu:\n\\[\\mu_s\\, m_g\\, g < (m_d + m)\\, g\\]\n\nDzielimy przez \\(g\\) i wyznaczamy \\(m\\):\n\\[m > \\mu_s\\, m_g - m_d = 0{,}25 \\cdot 1 - 0{,}2 = 0{,}25 - 0{,}2 = 0{,}05\\ \\text{kg}\\]\n\n\\[\\boxed{m > 0{,}05\\ \\text{kg}}\\]\n\n## Sposob 2 - Wariant z warunkiem rownowagi (rownowazny wg klucza)\n\nJesli zapiszemy warunek **rownowagi** sil (granica ruchu):\n\\[\\mu_s\\, m_g\\, g = (m_d + m)\\, g \\;\\Rightarrow\\; m = \\mu_s\\, m_g - m_d = 0{,}05\\ \\text{kg}\\]\n\nKlucz CKE uznaje obie wersje (z nierownoscia i z rownoscia) za prawidlowe.\n\n## Schemat oceniania CKE\n\n> **Zadanie 5.2 (0-2)**\n> - **2 p.** - prawidlowa metoda obliczenia masy dosypanego piasku i prawidlowy wynik liczbowy z jednostka.\n> - **1 p.** - zapisanie warunku z nierownoscia sil z uwzglednieniem ciezaru dosypanego piasku (dopuszcza sie zapis bez wzoru na maksymalna sile tarcia, np. \\(T_{\\max} < (m_d + m)g\\), lub analogiczny zapis z rownoscia).\n> - **0 p.** - brak spelnienia powyzszego kryterium.\n>\n> Uznaje sie rozwiazanie z warunkiem rownowagi sil: \\(\\mu_s m_g g = (m_d + m)g \\Rightarrow m = 0{,}05\\ \\text{kg}\\).\n\n## Wzory z karty CKE\n\n> - **Sila tarcia statycznego (maksymalna):** \\(f_{\\max} = \\mu_s N\\), gdzie dla gornego pudelka \\(N = m_g g\\)\n> - **Ciezar dolnego pudelka:** \\((m_d + m)g\\)\n\n## Typowe pulapki\n\n> Uwaga: Sila normalna gornego pudelka to \\(N = m_g g\\) (tylko gorne pudelko naciska na blat). Dolne pudelko wisi w powietrzu - nie dodawaj jego masy do \\(N\\).\n\n> Uwaga: Nie zapomnij odjac pierwotnej masy piasku w dolnym pudelku \\(m_d = 0{,}2\\ \\text{kg}\\) - szukamy DOSYPANEJ masy, nie calkowitej.","image":"img/fizyka-2018-maj-matura-rozszerzona/zad-5.2.webp","solution_image":null,"topics":"Dynamika","page_from":5,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Fizyka · Matura · maj 2018 (rozszerzona)","subject_label":"Fizyka","category_label":"Matura"},{"id":"fizyka-2018-maj-matura-rozszerzona/zad/6","paper_id":"fizyka-2018-maj-matura-rozszerzona","number":"6","points":null,"ptype":"open","subject":"fizyka","category":"matura","year":2018,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 6.\nPracownik na budowie miał podnieść do pozycji\npionowej długą, jednorodną, sztywną i cienką deskę\no masie 20 kg i długości 4 m. Początkowo deska leżała\nna płaskim, poziomym podłożu. Aby ułatwić sobie pracę,\npracownik przymocował linę do jednego końca deski\ni powoli zaczął ciągnąć tę linę w górę.\nW trakcie podnoszenia deski pracownik przemieszczał\nsię po podeście do przodu tak, że lina utrzymywała cały\nczas kierunek pionowy, a drugi koniec deski opartej\no ziemię się nie przesuwał (zobacz rysunek). W obliczeniach pomiń masę liny.","answer":null,"answer_text":"3 oraz 1\n4,6\n2,7\n4\n1\n6,01\n1,23","solution":null,"image":"img/fizyka-2018-maj-matura-rozszerzona/zad-6.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":6,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Fizyka · Matura · maj 2018 (rozszerzona)","subject_label":"Fizyka","category_label":"Matura"},{"id":"fizyka-2018-maj-matura-rozszerzona/zad/6.1","paper_id":"fizyka-2018-maj-matura-rozszerzona","number":"6.1","points":2,"ptype":"open","subject":"fizyka","category":"matura","year":2018,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 6.1. (0-2)\nOblicz pracę siły, z jaką pracownik działał na deskę w opisany sposób - pracę wykonaną\npodczas ustawiania deski od pozycji leżącej do pionowej.\nDodatkowa informacja do zadań 6.2. i 6.3.\nPodczas podnoszenia deski w opisany sposób pracownik dwukrotnie zatrzymywał się na\nchwilę, utrzymując deskę nieruchomo. Za pierwszym razem się zatrzymał, gdy deska tworzyła\nz poziomym podłożem kąt 25°, a za drugim razem - gdy ten kąt był równy 50°.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 6.1. (0-2)\nWymagania ogólne\nWymagania szczegółowe\nI. Znajomość i umiejętność\nwykorzystania pojęć i praw fizyki\ndo wyjaśniania procesów i zjawisk\nw przyrodzie.\nZdający:\n3.1) oblicza pracę siły na danej drodze,\n2.3) (G) opisuje wpływ wykonanej pracy na\nzmianę energii,\n3.2) oblicza wartość energii kinetycznej\ni potencjalnej ciał w jednorodnym polu\ngrawitacyjnym.\nSchemat punktowania\n2 p. - prawidłowa metoda obliczenia pracy oraz prawidłowy wynik liczbowy z jednostką.\n1 p. - zapisanie warunku, że praca wykonana przez siłę, z jaką pracownik ciągnie za linę\npodnoszącą deskę, jest równa zmianie energii potencjalnej środka masy deski.\n0 p. - brak spełnienia powyższych kryteriów.\nPrzykładowe rozwiązanie\nPraca, jaka musi zostać wykonana, jest równa zmianie energii potencjalnej deski. Środek masy\ndeski pokonuje w pionie drogę równą połowie długości deski, zatem\nி=\n∆ℎௌெ, ∆ℎௌெ=݈2 →\nி =\n2\nி = 20 kg ∙9,81 m\ns2 ∙2 m = 392 J ≈400 J","solution":"## Poprawna odpowiedź\n\n\\[W = \\frac{mgL}{2} = 400 \\text{ J}\\]\n\n## Sposób 1 - Zasada zachowania energii (praca = zmiana energii potencjalnej)\n\nDeska jest podnoszona **powoli** (quasi-statycznie), więc jej energia kinetyczna jest przez cały czas bliska zeru: \\(\\Delta E_k \\approx 0\\).\n\nZ **twierdzenia o pracy i energii**:\n\n\\[W_\\text{pracownik} + W_\\text{grawitacja} + W_\\text{podpora} = \\Delta E_k = 0\\]\n\n- \\(W_\\text{podpora} = 0\\), bo punkt podparcia (dolny koniec deski) **nie przesuwa się** - reakcja podłoża nie wykonuje pracy.\n- \\(W_\\text{grawitacja} = -\\Delta E_p = -mg\\,\\Delta h_\\text{środek masy}\\)\n\n**Obliczenie zmiany wysokości środka masy:**\n\n| Położenie deski | Kąt \\(\\theta\\) od poziomej | Wysokość środka masy |\n| Leżąca (pozioma) | 0° | \\(h_1 = \\tfrac{L}{2}\\sin 0° = 0\\) |\n| Pionowa | 90° | \\(h_2 = \\tfrac{L}{2}\\sin 90° = \\tfrac{L}{2} = 2\\text{ m}\\) |\n\nŚrodek masy wznosi się o \\(\\Delta h = 2\\text{ m}\\).\n\n**Praca pracownika:**\n\n\\[W_\\text{pracownik} = \\Delta E_p = mg \\cdot \\Delta h = mg \\cdot \\frac{L}{2}\\]\n\n\\[W = 20\\text{ kg} \\times 10\\text{ m/s}^2 \\times 2\\text{ m} = \\boxed{400\\text{ J}}\\]\n\n## Sposób 2 - Równowaga momentów sił → siła w linie → praca\n\nRozważamy deskę w chwilowym położeniu pod kątem \\(\\theta\\) od poziomej. Deska jest w **równowadze quasi-statycznej** - wyznaczamy siłę \\(F(\\theta)\\) z momentów względem dolnego końca (osi obrotu).\n\n**Momenty sił względem dolnego końca:**\n\n- Ciężar \\(mg\\) działa w środku deski (odległość pozioma od osi: \\(\\tfrac{L}{2}\\cos\\theta\\)):\n\\[\\tau_\\text{ciężar} = mg \\cdot \\frac{L}{2}\\cos\\theta \\quad \\text{(obrót w dół)}\\]\n\n- Siła liny \\(F(\\theta)\\) - pionowa, przyłożona do górnego końca (odległość pozioma od osi: \\(L\\cos\\theta\\)):\n\\[\\tau_\\text{lina} = F(\\theta) \\cdot L\\cos\\theta \\quad \\text{(obrót w górę)}\\]\n\n**Równanie równowagi momentów:**\n\n\\[F(\\theta) \\cdot L\\cos\\theta = mg \\cdot \\frac{L}{2}\\cos\\theta\\]\n\n\\[F(\\theta) = \\frac{mg}{2} = \\frac{20 \\times 10}{2} = 100\\text{ N} = \\text{const}\\]\n\n**Kluczowy wniosek:** Siła \\(F\\) jest **stała** przez cały czas podnoszenia (czynniki \\(L\\cos\\theta\\) skracają się po obu stronach)!\n\n**Praca siły liny:**\n\nLina jest pionowa, punkt przyłożenia (górny koniec deski) porusza się po łuku kołowym promienia \\(L\\). Pionowy składnik przemieszczenia górnego końca:\n\n\\[\\Delta y = L\\sin 90° - L\\sin 0° = L = 4\\text{ m}\\]\n\nPonieważ siła liny jest pionowa (w górę) i przemieszczenie pionowe punktu przyłożenia wynosi \\(L\\):\n\n\\[W = F \\cdot \\Delta y = \\frac{mg}{2} \\cdot L = 100\\text{ N} \\times 4\\text{ m} = \\boxed{400\\text{ J}}\\]\n\n## Sposób 3 - Całkowanie (ogólny dowód stałości siły i pracy)\n\nDla kąta \\(\\theta\\) górny koniec deski ma współrzędną pionową \\(y = L\\sin\\theta\\), więc \\(dy = L\\cos\\theta\\, d\\theta\\).\n\nPraca liny to całka:\n\n\\[W = \\int_0^{\\pi/2} F(\\theta)\\, dy = \\int_0^{\\pi/2} \\frac{mg}{2} \\cdot L\\cos\\theta\\, d\\theta\\]\n\n\\[W = \\frac{mgL}{2} \\int_0^{\\pi/2} \\cos\\theta\\, d\\theta = \\frac{mgL}{2}\\Big[\\sin\\theta\\Big]_0^{\\pi/2} = \\frac{mgL}{2}(1 - 0)\\]\n\n\\[W = \\frac{mgL}{2} = \\frac{20 \\times 10 \\times 4}{2} = \\boxed{400\\text{ J}}\\]\n\nTen sposób pokazuje formalnie, że stałość \\(F = mg/2\\) oraz prosty wynik \\(W = mgL/2\\) nie są przypadkowe - wynikają wprost z geometrii obrotu deski.\n\n## Orientacyjny schemat punktowania (odtworzony przez AI - NIE oficjalny klucz CKE)\n\n> 📋 **Orientacyjny schemat punktowania (nieoficjalny, odtworzony przez AI) (zadanie 6.1, max 2 pkt):**\n> - **2 pkt** - uczeń poprawnie oblicza pracę jako zmianę energii potencjalnej środka masy deski, lub wyprowadza siłę z równowagi momentów i mnoży przez przemieszczenie; wynik \\(W = 400\\text{ J}\\)\n> - **1 pkt** - poprawna metoda (np. \\(W = \\Delta E_p\\) lub równowaga momentów), ale błąd arytmetyczny lub pominięcie czynnika \\(\\tfrac{1}{2}\\) przy wysokości środka masy\n> - **0 pkt** - brak uzasadnienia lub błędna metoda (np. \\(W = mgL\\) zamiast \\(W = mg\\tfrac{L}{2}\\))\n>\n> **Uwagi (orientacyjne):** ✅ Dopuszcza się użycie \\(g = 9{,}81\\text{ m/s}^2\\) (wynik ≈ 392 J) lub \\(g = 10\\text{ m/s}^2\\) (wynik = 400 J). ❌ Nie uznaje się samego zapisu \\(W = mgL\\) bez korekty na środek masy.\n\n## Wzory z karty CKE - czego MASZ użyć\n\n> 📖 **Karta wzorów CKE - sekcja FIZYKA:**\n>\n> - **Energia potencjalna grawitacyjna:** \\(E_p = mgh\\)\n> - **Twierdzenie o pracy i energii:** \\(W_\\text{wypadkowa} = \\Delta E_k\\)\n> - **Moment siły:** \\(M = F \\cdot d\\) (gdzie \\(d\\) - ramię siły, czyli odległość prostopadła od osi obrotu)\n>\n> W Sposobie 1 wystarczy wzór na energię potencjalną. W Sposobie 2 - definicja momentu siły. Żaden z tych sposobów nie wymaga całkowania (Sposób 3 to bonus dla rozumienia głębszego).\n\n## Częste błędne odpowiedzi\n\n| Błędna odpowiedź | Skąd się bierze ten błąd |\n| \\(W = mgL = 800\\text{ J}\\) | Uczeń przyjmuje, że środek masy wznosi się o pełną długość \\(L = 4\\text{ m}\\), zamiast o \\(L/2 = 2\\text{ m}\\) |\n| \\(W = 0\\) | Mylne zastosowanie III zasady dynamiki: \"siła liny = reakcja = praca zerowa\" - błąd, bo reakcja podłoża (nie liny!) wykonuje zerową pracę |\n| Obliczanie całki \\(\\int F\\,ds\\) z błędnym wyznaczeniem \\(F(\\theta)\\) | Uczeń zapomina, że ramię siły liny to \\(L\\cos\\theta\\), nie \\(L\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Środek masy jednorodnej deski wznosi się tylko o **połowę długości** (\\(L/2\\)), nie o pełne \\(L\\) - to najczęstszy błąd prowadzący do odpowiedzi 800 J zamiast 400 J.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Warunek \"powoli\" (quasi-statycznie) jest kluczowy - dopiero wtedy \\(\\Delta E_k = 0\\) i możemy utożsamić pracę pracownika ze zmianą energii potencjalnej. Bez tego założenia zadanie byłoby nierozwiązywalne bez dodatkowych danych.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Siła w linie jest stała (\\(F = mg/2 = 100\\text{ N}\\)) **pomimo zmieniającego się kąta** - wynika to z faktu, że ramiona obu momentów (ciężaru i liny) maleją w tym samym stosunku (\\(\\cos\\theta\\)), więc się skracają. To nieintuicyjny, ale ważny wynik.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Reakcja podłoża w miejscu podparcia (dolny koniec deski) **nie wykonuje pracy**, bo punkt podparcia jest nieruchomy. Nie mylić z siłą liny!","image":"img/fizyka-2018-maj-matura-rozszerzona/zad-6.1.webp","solution_image":null,"topics":"Praca, moc, energia","page_from":6,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Fizyka · Matura · maj 2018 (rozszerzona)","subject_label":"Fizyka","category_label":"Matura"},{"id":"fizyka-2018-maj-matura-rozszerzona/zad/6.2","paper_id":"fizyka-2018-maj-matura-rozszerzona","number":"6.2","points":3,"ptype":"open","subject":"fizyka","category":"matura","year":2018,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 6.2. (0-3)\nOblicz wartość siły, z jaką pracownik działał na linę, gdy deska tworzyła z poziomym podłożem\nkąt 25°.\nMFA_1R","answer":null,"answer_text":"Zadanie 6.2. (0-3)\nWymagania ogólne\nWymagania szczegółowe\nIV. Budowa prostych modeli fizycznych\ni matematycznych do opisu zjawisk.\nZdający:\n2.3) oblicza momenty sił,\n2.4) analizuje równowagę brył sztywnych,\nw przypadku gdy siły leżą w jednej\npłaszczyźnie (równowaga sił i momentów sił),\n2.5) wyznacza położenie środka masy.\nSchemat punktowania\n3 p. - prawidłowa metoda wyznaczenia siły, z jaką pracownik działał na linę, oraz prawidłowy\nwynik liczbowy z jednostką.\n2 p. - prawidłowe zapisanie warunku równowagi momentów sił względem punktu podparcia\ndeski (z poprawnym uwzględnieniem punktów zaczepienia sił, ramion sił i kierunków\nsił)\nlub\n- zapisanie warunku równowagi sił oraz zapisanie warunku równowagi momentów sił\nwzględem punktu środka masy (z poprawnym uwzględnieniem punktów zaczepienia sił,\nramion sił i kierunków sił).\n1 p. - zapisanie warunku równowagi momentów sił.\n0 p. - brak spełnienia powyższych kryteriów.\nPrzykładowe rozwiązania\nSposób 1.\nKorzystamy z warunku równowagi momentów sił\nwzględem punktu podparcia deski:\n2 ∙ܳ\n= ݈∙ܨୄ\n݈2 ∙\ncos ߙ= ݈∙ܨcos ߙ → ܨ=ܳ2\nܨ= 98,1 N ≈100 N\nSposób 2.\nKorzystamy z warunku równowagi momentów sił\nwzględem punktu podparcia deski: ݈\n2 ∙\n= ݈\n∙ܨ → ܨ=ܳ2\nܨ= 98,1 N ≈100 N\nSposób 3.\nKorzystamy z warunku równowagi momentów sił względem punktu środka masy deski oraz\nz warunku równowagi sił działających na deskę: ݈\n2 ∙\n=݈ୄ2 ∙ܨ oraz\n+ ܨ=ܳ\n→ ܴ\n= ܨ oraz\n+ ܨ=ܳ\n→\n2ܨ=ܳ\n→ ܨ= 98,1 N ≈100 N\nߙ\nܨԦܴ\nሬԦ\nܨԦ\nߙ\nሬԦୄ\nߙ\nሬԦ","solution":"## Poprawna odpowiedz\n\nWartosc sily, z jaka pracownik dzialal na line (lina utrzymywana pionowo), gdy deska tworzyla z podlozem kat \\(25^\\circ\\):\n\\[\\boxed{F = \\frac{Q}{2} = \\frac{mg}{2} = 98{,}1\\ \\text{N} \\approx 100\\ \\text{N}}\\]\nWynik **nie zalezy od kata** \\(\\alpha\\).\n\n## Kluczowa obserwacja: lina jest PIONOWA\n\nW tresci zadania zaznaczono, ze podczas podnoszenia **lina utrzymywala caly czas kierunek pionowy**. Sila \\(F\\), z jaka pracownik dziala na line, jest zatem skierowana **pionowo w gore** i przylozona do gornego konca deski. Drugi koniec deski opiera sie o ziemie - to **punkt podparcia (os obrotu)**.\n\n## Sposob 1 - Rownowaga momentow sil wzgledem punktu podparcia\n\nLiczymy momenty przez skladowe prostopadle do deski, z ramionami mierzonymi wzdluz deski (dlugosc \\(l\\)).\n\n- Sila pionowa \\(F\\) przylozona na koncu deski: skladowa prostopadla do deski \\(F_\\perp = F\\cos\\alpha\\), ramie wzdluz deski \\(= l\\).\n- Ciezar \\(Q = mg\\) (pionowo w dol) przylozony w srodku deski: skladowa prostopadla \\(Q_\\perp = Q\\cos\\alpha\\), ramie \\(= l/2\\).\n\nWarunek rownowagi momentow:\n\\[\\frac{l}{2}\\,Q_\\perp = l\\,F_\\perp \\;\\Rightarrow\\; \\frac{l}{2}\\,Q\\cos\\alpha = l\\,F\\cos\\alpha\\]\n\n\\(\\cos\\alpha\\) i \\(l\\) **skracaja sie**:\n\\[\\boxed{F = \\frac{Q}{2}}\\]\n\n**Podstawienie:** \\(m = 20\\ \\text{kg}\\), \\(g = 9{,}81\\ \\text{m/s}^2\\):\n\\[F = \\frac{20 \\cdot 9{,}81}{2} = \\frac{196{,}2}{2} = 98{,}1\\ \\text{N} \\approx 100\\ \\text{N}\\]\n\n## Sposob 2 - Skladowe ramion (rownowazny zapis)\n\nDla sily pionowej i ciezaru (oba pionowe) mozna liczyc ramiona jako poziome odleglosci od osi:\n- ramie sily \\(F\\) (pionowej, na koncu deski) \\(= l\\cos\\alpha\\)\n- ramie ciezaru \\(Q\\) (w srodku) \\(= \\tfrac{l}{2}\\cos\\alpha\\)\n\n\\[F \\cdot l\\cos\\alpha = Q \\cdot \\frac{l}{2}\\cos\\alpha \\;\\Rightarrow\\; F = \\frac{Q}{2} = 98{,}1\\ \\text{N} \\approx 100\\ \\text{N}\\]\n\nTen sam wynik - oba ramiona zawieraja \\(\\cos\\alpha\\), wiec kat sie skraca.\n\n## Sposob 3 - Rownowaga sil + momentow wzgledem srodka masy\n\nNiech \\(R\\) - sila reakcji podloza w punkcie podparcia (pionowa). Z rownowagi momentow wzgledem srodka masy: \\(\\tfrac{l}{2}R = \\tfrac{l}{2}F \\Rightarrow R = F\\). Z rownowagi sil pionowych: \\(R + F = Q\\). Stad \\(2F = Q\\), czyli:\n\\[F = \\frac{Q}{2} = 98{,}1\\ \\text{N} \\approx 100\\ \\text{N}\\]\n\n## Schemat oceniania CKE\n\n> **Zadanie 6.2 (0-3)**\n> - **3 p.** - prawidlowa metoda wyznaczenia sily, z jaka pracownik dzialal na line, oraz prawidlowy wynik liczbowy z jednostka.\n> - **2 p.** - prawidlowe zapisanie warunku rownowagi momentow sil wzgledem punktu podparcia deski (z poprawnym uwzglednieniem punktow zaczepienia sil, ramion sil i kierunkow sil); lub zapisanie warunku rownowagi sil oraz warunku rownowagi momentow sil wzgledem srodka masy.\n> - **1 p.** - zapisanie warunku rownowagi momentow sil.\n> - **0 p.** - brak spelnienia powyzszych kryteriow.\n>\n> Poprawny wynik: \\(F = Q/2 = 98{,}1\\ \\text{N} \\approx 100\\ \\text{N}\\) (niezalezny od kata).\n\n## Wzory z karty CKE\n\n> - **Moment sily:** \\(M = F \\cdot r\\) (ramie = prostopadla odleglosc od osi do linii dzialania sily)\n> - **Warunek rownowagi:** \\(\\sum M = 0\\), \\(\\sum \\vec{F} = 0\\)\n> - **Ciezar:** \\(Q = mg\\)\n\n## Typowe pulapki\n\n> Uwaga (kluczowa!): Lina jest **pionowa**, nie pozioma. Gdyby lina byla pozioma, wynik zaleznialby od kata (\\(F = mg/2\\tan\\alpha\\)). Tu jednak \\(F\\) jest pionowa, ramiona obu sil zawieraja \\(\\cos\\alpha\\), kat sie skraca i \\(F = Q/2\\) niezaleznie od \\(\\alpha\\).\n\n> Uwaga: Wynik \\(F = Q/2\\) tlumaczy nastepne zadanie 6.3 - przy zmianie kata sila pozostaje **taka sama**.","image":"img/fizyka-2018-maj-matura-rozszerzona/zad-6.2.webp","solution_image":null,"topics":"Bryła Sztywna","page_from":6,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Fizyka · Matura · maj 2018 (rozszerzona)","subject_label":"Fizyka","category_label":"Matura"},{"id":"fizyka-2018-maj-matura-rozszerzona/zad/6.3","paper_id":"fizyka-2018-maj-matura-rozszerzona","number":"6.3","points":1,"ptype":"closed","subject":"fizyka","category":"matura","year":2018,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 6.3. (0-1)\nZaznacz właściwe dokończenie zdania wybrane spośród A-C oraz jego poprawne\nuzasadnienie wybrane spośród 1.-3.\nWartość siły, z jaką pracownik działa na linę, utrzymując deskę pod kątem 50° do podłoża,\nw porównaniu z wartością siły, gdy deska była utrzymywana pod kątem 25°, jest\nA. mniejsza,\nponieważ podczas\npodnoszenia deski\n1.\nsiła reakcji podłoża działająca na deskę\nwzrasta.\nB. taka sama,\n2.\njej środek ciężkości jest coraz wyżej.\nC. większa,\n3.\nkierunki i zwroty sił oraz stosunek długości\nramion sił się nie zmieniają.","answer":"B","answer_text":"Zadanie 6.3. (0-1)\nWymagania ogólne\nWymagania szczegółowe\nI. Znajomość i umiejętność\nwykorzystania pojęć i praw fizyki\ndo wyjaśniania procesów i zjawisk\nw przyrodzie.\nZdający:\n2.3) oblicza momenty sił,\n2.4) analizuje równowagę brył sztywnych,\nw przypadku gdy siły leżą w jednej\npłaszczyźnie (równowaga sił i momentów sił).\nSchemat punktowania\n1 p. - poprawna odpowiedź.\n0 p. - brak spełnienia powyższego kryterium.\nPoprawna odpowiedź\nB3","solution":"## Poprawna odpowiedz\n\n**Poprawna odpowiedz wg klucza CKE: B3**\n\nWartosc sily, z jaka pracownik dziala na line, utrzymujac deske pod katem \\(50^\\circ\\) do podloza, w porownaniu z wartoscia sily, gdy deska byla utrzymywana pod katem \\(25^\\circ\\), jest **taka sama** (odpowiedz **B**), poniewaz podczas podnoszenia deski **kierunki i zwroty sil oraz stosunek dlugosci ramion sil sie nie zmieniaja** (uzasadnienie **3**).\n\n## Sposob 1 - Wniosek z zadania 6.2\n\nW zadaniu 6.2 pokazano, ze przy **pionowej** linie sila pracownika wynosi:\n\\[F = \\frac{Q}{2} = \\frac{mg}{2}\\]\ni jest **niezalezna od kata** \\(\\alpha\\). Zatem dla \\(25^\\circ\\) i dla \\(50^\\circ\\) sila jest identyczna - **taka sama**.\n\n## Sposob 2 - Dlaczego kat nie wplywa na sile (analiza ramion)\n\nLina jest pionowa, ciezar tez pionowy. Przy dowolnym kacie \\(\\alpha\\):\n- ramie sily \\(F\\) (pionowej, na koncu deski) wzgledem podparcia \\(= l\\cos\\alpha\\)\n- ramie ciezaru \\(Q\\) (w srodku deski) \\(= \\tfrac{l}{2}\\cos\\alpha\\)\n\nStosunek ramion:\n\\[\\frac{\\text{ramie } Q}{\\text{ramie } F} = \\frac{\\tfrac{l}{2}\\cos\\alpha}{l\\cos\\alpha} = \\frac{1}{2}\\]\njest **staly** (niezalezny od \\(\\alpha\\)). Kierunki i zwroty sil (\\(F\\) w gore, \\(Q\\) w dol) tez sie nie zmieniaja. Z warunku rownowagi momentow:\n\\[F \\cdot l\\cos\\alpha = Q \\cdot \\tfrac{l}{2}\\cos\\alpha \\;\\Rightarrow\\; F = \\frac{Q}{2} = \\text{const}\\]\n\nDlatego sila przy \\(50^\\circ\\) jest **taka sama** jak przy \\(25^\\circ\\) - to wlasnie uzasadnienie **3**.\n\n## Schemat oceniania CKE\n\n> **Zadanie 6.3 (0-1)**\n> - **1 p.** - poprawna odpowiedz.\n> - **0 p.** - brak spelnienia powyzszego kryterium.\n>\n> **Poprawna odpowiedz: B3** (wartosc sily jest taka sama, poniewaz podczas podnoszenia deski kierunki i zwroty sil oraz stosunek dlugosci ramion sil sie nie zmieniaja).\n\n## Wzory z karty CKE\n\n> - **Warunek rownowagi momentow:** \\(\\sum M = 0\\), \\(M = F \\cdot r\\)\n> - Ramiona sil pionowych: \\(l\\cos\\alpha\\) (koniec deski), \\(\\tfrac{l}{2}\\cos\\alpha\\) (srodek)\n\n## Typowe pulapki\n\n> Uwaga: Lina jest **pionowa** - to dlatego sila nie zalezy od kata. Bledne jest zalozenie, ze lina jest pozioma (wtedy wyszloby, ze sila maleje z katem - odpowiedz A). Przy pionowej linie czynnik \\(\\cos\\alpha\\) wystepuje w ramionach OBU sil i sie skraca.\n\n> Uwaga: Poprawne uzasadnienie to **3** (stosunek ramion sie nie zmienia), a nie 1 (sila reakcji podloza wzrasta) ani 2 (srodek ciezkosci coraz wyzej) - te fakty nie wplywaja na wartosc sily pracownika.","image":"img/fizyka-2018-maj-matura-rozszerzona/zad-6.3.webp","solution_image":null,"topics":"Bryła Sztywna","page_from":7,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Fizyka · Matura · maj 2018 (rozszerzona)","subject_label":"Fizyka","category_label":"Matura"},{"id":"fizyka-2018-maj-matura-rozszerzona/zad/6.4","paper_id":"fizyka-2018-maj-matura-rozszerzona","number":"6.4","points":1,"ptype":"true_false","subject":"fizyka","category":"matura","year":2018,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 6.4. (0-1)\nDeskę podniesiono ponownie i w sposób podobny jak w opisie zadania. Tym razem jednak lina\nbyła zamocowana w odległości 3/4 długości deski od końca spoczywającego na ziemi.\nOceń prawdziwość każdego dokończenia poniższego zdania. Zaznacz P, jeśli dokończenie\nzdania jest prawdziwe, albo F - jeśli jest fałszywe.\nGdy porównamy opisany powyżej sposób podnoszenia deski z poprzednim - gdy lina była\nzamocowana na końcu deski - możemy stwierdzić, że w tej nowej sytuacji\n1. praca (siły, z jaką pracownik działa na deskę) potrzebna do podniesienia deski\nod pozycji poziomej do pionowej jest taka sama jak poprzednio.\nP\nF\n2. wartość siły, z jaką pracownik działa na deskę podczas jej podnoszenia, jest\nwiększa niż poprzednio.\nP\nF\n3. wartość siły reakcji podłoża, jaka działa na deskę podczas jej podnoszenia, jest\nmniejsza niż poprzednio.\nP\nF\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n6.1.\n6.2.\n6.3.\n6.4.\nMaks. liczba pkt\n2\n3\n1\n1\nUzyskana liczba pkt\nMFA_1R","answer":null,"answer_text":"Zadanie 6.4. (0-1)\nWymagania ogólne\nWymagania szczegółowe\nI. Znajomość i umiejętność\nwykorzystania pojęć i praw fizyki\ndo wyjaśniania procesów i zjawisk\nw przyrodzie.\nZdający:\n3.1) oblicza pracę siły na danej drodze,\n2.4) analizuje równowagę brył sztywnych,\nw przypadku gdy siły leżą w jednej\npłaszczyźnie (równowaga sił i momentów sił).\nSchemat punktowania\n1 p. - poprawne wszystkie zaznaczenia.\n0 p. - brak spełnienia powyższego kryterium.\nPoprawna odpowiedź\n1. P\n2. P\n3. P","solution":"## Poprawna odpowiedź\n\n| Stwierdzenie | Ocena |\n| 1. Praca jest taka sama jak poprzednio | **P** |\n| 2. Wartość siły jest większa niż poprzednio | **P** |\n| 3. Wartość siły reakcji podłoża jest mniejsza niż poprzednio | **P** |\n\n## Sposób 1 - Zasada zachowania energii + bilans momentów sił (siła pionowa)\n\n### Oznaczenia\n\nNiech \\(L\\) = długość deski, \\(m\\) = masa deski. Jeden koniec deski (obrót) spoczywa na ziemi - to nasz punkt podparcia (punkt A). Lina przyłożona w odległości \\(d\\) od punktu A.\n\n- Poprzednio: \\(d_1 = L\\) (koniec deski)\n- Nowa sytuacja: \\(d_2 = \\frac{3}{4}L\\)\n\nZakładamy, że siła \\(F\\) jest pionowa (pracownik ciągnie linę ku górze - najprostszy i standardowy przypadek w zadaniach maturalnych).\n\n### Stwierdzenie 1 - Praca\n\n**Zasada zachowania energii:** praca wykonana na deskę równa się zmianie jej energii potencjalnej, niezależnie od punktu przyłożenia siły.\n\nŚrodek masy deski wznosi się od wysokości \\(0\\) (pozioma) do \\(\\frac{L}{2}\\) (pionowa):\n\n\\[\nW = \\Delta E_p = mg \\cdot \\frac{L}{2}\n\\]\n\nWynik nie zależy od \\(d\\). **Praca jest identyczna w obu sytuacjach.**\n\n> Można też liczyć całkę wprost (siła pionowa, punkt przyłożenia przesuwa się pionowo o \\(d\\)):\n> \\[W = F \\cdot d = \\frac{mgL}{2d} \\cdot d = \\frac{mgL}{2}\\]\n> - ten sam wynik dla \\(d_1\\) i \\(d_2\\). ✓\n\n**Stwierdzenie 1: PRAWDZIWE (P)**\n\n### Stwierdzenie 2 - Wartość siły\n\nDla dowolnego kąta \\(\\theta\\) od poziomy, moment obrotowy grawitacji względem punktu A:\n\n\\[\n\\tau_g = mg \\cdot \\frac{L}{2} \\cdot \\cos\\theta\n\\]\n\nMoment siły \\(F\\) (pionowej) względem A:\n\n\\[\n\\tau_F = F \\cdot d \\cdot \\cos\\theta\n\\]\n\nRównowaga momentów:\n\n\\[\nF \\cdot d \\cdot \\cos\\theta = mg \\cdot \\frac{L}{2} \\cdot \\cos\\theta \\implies F = \\frac{mgL}{2d}\n\\]\n\n**\\(\\cos\\theta\\) skraca się** - siła jest stała (niezależna od kąta) dla siły pionowej.\n\n| Sytuacja | \\(d\\) | \\(F\\) |\n| Poprzednia | \\(L\\) | \\(\\dfrac{mg}{2}\\) |\n| Nowa | \\(\\dfrac{3L}{4}\\) | \\(\\dfrac{mgL}{2 \\cdot \\frac{3L}{4}} = \\dfrac{2mg}{3}\\) |\n\n\\[F_2 = \\frac{2mg}{3} > F_1 = \\frac{mg}{2}\\]\n\nRamię dźwigni jest **krótsze** (\\(\\frac{3}{4}L\\) zamiast \\(L\\)), więc siła musi być **większa**, aby wytworzyć ten sam moment obrotowy.\n\n**Stwierdzenie 2: PRAWDZIWE (P)**\n\n### Stwierdzenie 3 - Siła reakcji podłoża\n\nRównanie równowagi sił pionowych (siła \\(F\\) jest pionowa, \\(N\\) - reakcja podłoża):\n\n\\[\nN + F = mg \\implies N = mg - F\n\\]\n\n| Sytuacja | \\(F\\) | \\(N = mg - F\\) |\n| Poprzednia | \\(\\dfrac{mg}{2}\\) | \\(\\dfrac{mg}{2}\\) |\n| Nowa | \\(\\dfrac{2mg}{3}\\) | \\(\\dfrac{mg}{3}\\) |\n\n\\[N_2 = \\frac{mg}{3} < N_1 = \\frac{mg}{2}\\]\n\nPracownik ciągnie **mocniej** ku górze → podłoże musi podpierać **mniej**.\n\n**Stwierdzenie 3: PRAWDZIWE (P)**\n\n## Sposób 2 - Argumentacja jakościowa (bez obliczeń)\n\n**Stwierdzenie 1:** Praca = zmiana energii potencjalnej grawitacji. Środek masy deski przebywa tę samą drogę (z ziemi do wysokości \\(\\frac{L}{2}\\)) niezależnie od tego, gdzie lina jest przyczepiona. Energia, którą trzeba dostarczyć, jest więc identyczna.\n\n**Stwierdzenie 2:** Dźwignia - ramię siły skróciło się z \\(L\\) do \\(\\frac{3}{4}L\\). Mniejsze ramię → potrzeba **większej siły** do utrzymania tego samego momentu (który zrównoważy ciężar deski). To intuicja dźwigni: im bliżej punktu obrotu działamy, tym trudniej.\n\n**Stwierdzenie 3:** Siły pionowe muszą się równoważyć: \\(N + F = mg\\). Skoro \\(F\\) jest teraz **większe**, to \\(N = mg - F\\) jest **mniejsze**. Pracownik „przejął\" większą część ciężaru deski od podłoża.\n\n## Orientacyjny schemat punktowania (odtworzony przez AI - NIE oficjalny klucz CKE)\n\n> 📋 **Orientacyjny schemat punktowania (nieoficjalny, odtworzony przez AI) (zadanie 6.4, max 1 pkt):**\n> - **1 pkt** - uczeń poprawnie ocenia prawdziwość wszystkich trzech dokończeń: P, P, P\n> - **0 pkt** - uczeń popełnia co najmniej jeden błąd w ocenie któregokolwiek dokończenia\n\n## Wzory z karty CKE - czego użyć\n\n> 📖 **Karta wzorów CKE - sekcja Fizyka, Mechanika:**\n> - **Moment siły:** \\(\\tau = F \\cdot r \\cdot \\sin\\alpha\\) (lub \\(\\tau = F \\cdot d_\\perp\\), gdzie \\(d_\\perp\\) to ramię prostopadłe)\n> - **Warunek równowagi obrotowej:** \\(\\sum \\tau = 0\\)\n> - **Energia potencjalna:** \\(E_p = mgh\\) (zmiana energii środka masy)\n> - **Praca:** \\(W = \\Delta E_p\\) (przy braku oporów ruchu)\n\nZadanie nie wymaga egzotycznych wzorów - wystarczy zasada momentów sił + bilans sił i energii.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Stwierdzenie | Typowy błędny wybór | Błąd rozumowania |\n| 1 → **F** | Uczeń myśli: „inna siła → inna praca\" | Zapomina, że praca zależy od **zmiany energii potencjalnej**, nie od wartości siły; mylenie siły z pracą |\n| 1 → **F** | Uczeń myśli: „krótsze ramię → lina pokonuje krótszą drogę → mniej pracy\" | Zapomina, że praca siły = F·s, a choć droga punktu jest krótsza, siła jest proporcjonalnie większa - iloczyn pozostaje stały |\n| 2 → **F** | Uczeń myśli: „lina bliżej środka ciężkości → pracownik ma ułatwienie\" | Myli „bliżej środka\" z „bliżej końca\" - punkt \\(\\frac{3}{4}L\\) jest **dalej od środka** niż środek, ale **bliżej punktu obrotu** niż koniec; kluczowe jest ramię względem punktu A (ziemi), nie środka ciężkości |\n| 3 → **F** | Uczeń myśli: „większa siła pracownika → podłoże też musi reagować mocniej\" | Błędna intuicja z „większą siłą = wszystko rośnie\"; nie stosuje pionowego bilansu sił \\(N + F = mg\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Mylenie **ramienia siły** - ramię liczymy od **punktu obrotu** (koniec na ziemi), nie od środka masy deski. Punkt \\(\\frac{3}{4}L\\) to krótsze ramię niż \\(L\\), choć jest bliżej środka deski.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** „Praca = siła × droga\" skusi do błędu - w nowej sytuacji siła jest większa, ale punkt przyłożenia przesuwa się o krótszy łuk. Te dwa efekty dokładnie się znoszą, co gwarantuje zasada zachowania energii.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Siła reakcji podłoża **maleje**, choć praca jest ta sama - to przykład, że te dwie wielkości są od siebie niezależne. Uczeń powinien zawsze rysować schemat sił i pisać równanie równowagi pionowej \\(N + F_{\\uparrow} = mg\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Dla siły pionowej moment sił upraszcza się pięknie - \\(\\cos\\theta\\) skraca się z obu stron i \\(F\\) jest stałe w całym procesie podnoszenia. Warto to zapamiętać jako elegancki wynik maturalny.","image":"img/fizyka-2018-maj-matura-rozszerzona/zad-6.4.webp","solution_image":null,"topics":"Bryła Sztywna","page_from":7,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Fizyka · Matura · maj 2018 (rozszerzona)","subject_label":"Fizyka","category_label":"Matura"},{"id":"fizyka-2018-maj-matura-rozszerzona/zad/7","paper_id":"fizyka-2018-maj-matura-rozszerzona","number":"7","points":null,"ptype":"open","subject":"fizyka","category":"matura","year":2018,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 7.\nDwaj\nchłopcy\nprzeprowadzili\ndoświadczenia.\nW pierwszym doświadczeniu chłopiec A usiadł na\ndeskorolce stojącej w pobliżu ściany i w pewnej chwili\nodepchnął się od tej ściany (zobacz rysunek obok). Tuż\npo odepchnięciu chłopiec uzyskał względem podłoża\nprędkość w kierunku poziomym, o wartości 4\nm\ns.\nNastępnie chłopiec A wykonał drugie doświadczenie.\nTym razem odepchnął się od drugiej, identycznej\ndeskorolki z nieruchomo siedzącym na niej chłopcem B.\nMasy obu chłopców były jednakowe, a deskorolki\npoczątkowo spoczywały względem podłoża i ustawione\nbyły tak, że mogły poruszać się w przeciwne strony\nwzdłuż linii prostej (zobacz rysunek obok).\nPrzyjmij, że w każdym z doświadczeń, na skutek odepchnięcia się chłopca A (w pierwszym -\nod ściany, w drugim - od deskorolki) została wykonana jednakowa praca przez siły\nwprawiające układy w ruch. Przyjmij także, że w obu doświadczeniach - podczas odepchnięcia,\na także tuż po nim - pomijamy skutki działania sił oporów ruchu (z wyjątkiem tarcia\nstatycznego). Załóż ponadto, że masy kółek deskorolki są pomijalnie małe.","answer":null,"answer_text":"3 oraz 4\n4,6\n5,2\n4\n8\n5,98\n1,2","solution":null,"image":"img/fizyka-2018-maj-matura-rozszerzona/zad-7.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":8,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Fizyka · Matura · maj 2018 (rozszerzona)","subject_label":"Fizyka","category_label":"Matura"},{"id":"fizyka-2018-maj-matura-rozszerzona/zad/7.1","paper_id":"fizyka-2018-maj-matura-rozszerzona","number":"7.1","points":1,"ptype":"true_false","subject":"fizyka","category":"matura","year":2018,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 7.1. (0-1)\nOceń prawdziwość każdego dokończenia poniższego zdania. Zaznacz P, jeśli dokończenie\nzdania jest prawdziwe, albo F - jeśli jest fałszywe.\nPo przeanalizowaniu ruchu chłopców siedzących na deskorolkach w drugim doświadczeniu\nmożna stwierdzić, że\n1. pęd całkowity układu (obu chłopców wraz z deskorolkami) jest taki sam przed\nodepchnięciem i po odepchnięciu.\nP\nF\n2. tuż po odepchnięciu deskorolka wraz z chłopcem A ma większą wartość pędu\nniż deskorolka z chłopcem B.\nP\nF\n3. chłopiec A, po odepchnięciu się od deskorolki z kolegą, uzyskał taką samą\nenergię kinetyczną, jak po odepchnięciu się od ściany.\nP\nF","answer":null,"answer_text":"Zadanie 7.1. (0-1)\nWymagania ogólne\nWymagania szczegółowe\nI. Znajomość i umiejętność\nwykorzystania pojęć i praw fizyki\ndo wyjaśniania procesów i zjawisk\nw przyrodzie.\nZdający:\n1.10) wykorzystuje zasadę zachowania pędu\n[…] podczas zjawiska odrzutu,\n2.3) (G) opisuje wpływ wykonanej pracy na\nzmianę energii.\nSchemat punktowania\n1 p. - poprawne wszystkie zaznaczenia.\n0 p. - brak spełnienia powyższego kryterium.\nPoprawna odpowiedź\n1. P\n2. F\n3. F","solution":"## Poprawna odpowiedź\n\n| Stwierdzenie | Ocena |\n| 1. Pęd całkowity układu jest taki sam przed i po odepchnięciu | **P** |\n| 2. Deskorolka z chłopcem A ma większą wartość pędu niż deskorolka z chłopcem B | **F** |\n| 3. Chłopiec A uzyskał taką samą energię kinetyczną jak po odepchnięciu od ściany | **F** |\n\n## Sposób 1 - zasada zachowania pędu + III zasada dynamiki Newtona\n\n**Dane:** masa każdego chłopca \\(m\\), praca wykonana w obu doświadczeniach jednakowa \\(W\\), prędkość chłopca A po odepchnięciu od ściany \\(v_1 = 4\\ \\text{m/s}\\).\n\n### Stwierdzenie 1 - Pęd całkowity układu\n\nPrzed odepchnięciem obaj chłopcy spoczywają:\n\\[\np_\\text{całk} = 0\n\\]\nPodczas odepchnięcia siły wewnętrzne układu (wzajemne pchnięcia) nie zmieniają sumy pędów - **zasada zachowania pędu** obowiązuje, bo brak zewnętrznych sił poziomych (opory pominięte).\n\nPo odepchnięciu chłopiec A jedzie w lewo z pędem \\(p_A\\), chłopiec B w prawo z pędem \\(p_B\\):\n\\[\n\\vec{p}_A + \\vec{p}_B = 0 \\quad \\Rightarrow \\quad p_\\text{całk} = 0\n\\]\nPęd całkowity przed i po = 0. **→ Stwierdzenie 1: P (Prawda)**\n\n### Stwierdzenie 2 - Porównanie wartości pędów\n\nZ **III zasady dynamiki Newtona**: siły wzajemnego oddziaływania chłopców są równe co do wartości i przeciwnie skierowane:\n\\[\n\\vec{F}_{A \\to B} = -\\vec{F}_{B \\to A}\n\\]\nDziałają przez **ten sam czas** \\(\\Delta t\\) (obaj są w kontakcie przez identyczny przedział czasu). Dlatego impulsy są równe:\n\\[\n|\\vec{F}_{A \\to B}| \\cdot \\Delta t = |\\vec{F}_{B \\to A}| \\cdot \\Delta t\n\\]\n\\[\n|\\Delta p_B| = |\\Delta p_A|\n\\]\nObaj startują z pędu zerowego → końcowe wartości pędów są **identyczne**:\n\\[\n|p_A| = |p_B| = mv\n\\]\nŻaden nie ma większego pędu. **→ Stwierdzenie 2: F (Fałsz)**\n\n### Stwierdzenie 3 - Porównanie energii kinetycznej chłopca A\n\n**Doświadczenie 1 (odepchnięcie od ściany):**\n\nŚciana nie przesuwa się → wykonana praca \\(W\\) zamienia się **w całości** w energię kinetyczną chłopca A:\n\\[\nW = E_{k,A}^{(1)} = \\frac{1}{2}mv_1^2 = \\frac{1}{2}m \\cdot 16 = 8m\n\\]\n\n**Doświadczenie 2 (odepchnięcie od chłopca B):**\n\nZ zasady zachowania pędu i równości mas chłopiec A i chłopiec B nabywają prędkości **równej wartości** (lecz przeciwnych kierunków):\n\\[\nmv_A^{(2)} = mv_B^{(2)} \\quad \\Rightarrow \\quad v_A^{(2)} = v_B^{(2)} = v\n\\]\nPraca \\(W\\) zasila teraz **obu chłopców**:\n\\[\nW = E_{k,A}^{(2)} + E_{k,B}^{(2)} = \\frac{1}{2}mv^2 + \\frac{1}{2}mv^2 = mv^2\n\\]\nSkoro \\(W = 8m\\) (taka sama praca jak poprzednio):\n\\[\nmv^2 = 8m \\quad \\Rightarrow \\quad v^2 = 8\\ \\text{m}^2/\\text{s}^2\n\\]\nEnergia kinetyczna chłopca A w doświadczeniu 2:\n\\[\nE_{k,A}^{(2)} = \\frac{1}{2}mv^2 = \\frac{1}{2}m \\cdot 8 = 4m\n\\]\n\n**Porównanie:**\n\\[\nE_{k,A}^{(2)} = 4m \\quad \\neq \\quad E_{k,A}^{(1)} = 8m\n\\]\n\nChłopiec A uzyskuje **dwa razy mniejszą** energię kinetyczną - bo część pracy idzie do chłopca B. **→ Stwierdzenie 3: F (Fałsz)**\n\n## Sposób 2 - argument energetyczny przez symetrię układu\n\n**Dla stwierdzenia 3** (alternatywne ujęcie bez rachunku):\n\nW doświadczeniu 1 ściana jest **nieruchoma** - nie pobiera żadnej energii (praca = siła × przesunięcie = 0, bo przesunięcie ściany = 0). **Całość pracy** trafia do chłopca A.\n\nW doświadczeniu 2 układ jest **symetryczny** (równe masy, ta sama praca wewnętrzna). Praca musi zostać rozdzielona pomiędzy dwa obiekty. Z symetrii układu - oba ciała poruszają się z tą samą prędkością → **każdy dostaje dokładnie połowę pracy**:\n\\[\nE_{k,A}^{(2)} = \\frac{W}{2} = \\frac{E_{k,A}^{(1)}}{2}\n\\]\n\nChłopiec A uzyskuje **o połowę mniej** energii kinetycznej niż w doświadczeniu 1. **→ Stwierdzenie 3: F**\n\n**Dla stwierdzenia 2** (intuicja przez symetrię):\n\nUkład jest symetryczny - jednakowe masy, jedna linia ruchu, jednakowo wykonana praca wewnętrzna. Nie ma żadnego powodu, by jeden z chłopców miał większy pęd. Zasada zachowania pędu (suma = 0) bezpośrednio wymusza \\(|p_A| = |p_B|\\). **→ Stwierdzenie 2: F**\n\n## Orientacyjny schemat punktowania (odtworzony przez AI - NIE oficjalny klucz CKE)\n\n> 📋 **Orientacyjny schemat punktowania (nieoficjalny, odtworzony przez AI) (zadanie 7.1, max 1 pkt):**\n> - **1 pkt** - uczeń poprawnie ocenia wszystkie trzy dokończenia: P, F, F\n> - **0 pkt** - jakikolwiek błąd w ocenie któregokolwiek z dokończeń\n\n## Wzory z karty CKE - czego MASZ użyć\n\n> 📖 **Karta wzorów CKE - sekcja FIZYKA:**\n>\n> - **Zasada zachowania pędu:** \\(\\sum \\vec{p} = \\text{const}\\) (układ izolowany)\n> - **III zasada dynamiki Newtona:** \\(\\vec{F}_{12} = -\\vec{F}_{21}\\)\n> - **Energia kinetyczna:** \\(E_k = \\frac{1}{2}mv^2\\)\n> - **Praca:** \\(W = \\Delta E_k\\) (zasada pracy i energii)\n>\n> W stwierdzeniu 3 kluczowe jest powiązanie **pracy z energią kinetyczną** i zrozumienie, że ta sama praca rozdzielana między dwóch uczestników daje każdemu z nich mniejszą energię kinetyczną.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Stwierdzenie | Typowy błąd ucznia | Błędna ocena |\n| 1 jako F | Uczeń myli zasadę zachowania pędu z jej brakiem - sądzi, że \"odepchnięcie zwiększa pęd układu\". Nie rozróżnia sił wewnętrznych od zewnętrznych. | F zamiast P |\n| 2 jako P | Uczeń intuicyjnie myśli \"chłopiec A pcha, więc ma większą siłę\" - ignoruje III zasadę dynamiki Newtona lub czas trwania odepchnięcia. | P zamiast F |\n| 3 jako P | Uczeń nie uwzględnia, że w doświadczeniu 2 praca jest rozdzielana między dwa ciała. Błędnie zakłada: \"taka sama praca → taka sama energia kinetyczna chłopca A\". | P zamiast F |\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \"Jednakowa praca\" ≠ \"jednakowa energia kinetyczna jednego uczestnika\" - jeśli praca rozkłada się na dwa ciała, każde dostaje jej część.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** III zasada Newtona działa symetrycznie: siły są RÓWNE i PRZECIWNE, czas kontaktu jest IDENTYCZNY → impulsy są równe → przyrosty pędów są równe. Nie ma \"silniejszego\" i \"słabszego\" uczestnika odepchnięcia.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Pęd całkowity układu zamkniętego jest zachowany nawet jeśli poszczególne ciała nabierają pędu - siły wewnętrzne nie zmieniają sumy pędów. Przed = 0, po = \\(p_A + p_B = 0\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** W doświadczeniu 1 ściana nie przesuwa się, więc nie pobiera energii. Całość pracy zasila chłopca A. To kluczowa różnica między obydwoma doświadczeniami.","image":"img/fizyka-2018-maj-matura-rozszerzona/zad-7.1.webp","solution_image":null,"topics":"Pęd, energia mechaniczna","page_from":8,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Fizyka · Matura · maj 2018 (rozszerzona)","subject_label":"Fizyka","category_label":"Matura"},{"id":"fizyka-2018-maj-matura-rozszerzona/zad/7.2","paper_id":"fizyka-2018-maj-matura-rozszerzona","number":"7.2","points":3,"ptype":"open","subject":"fizyka","category":"matura","year":2018,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 7.2. (0-3)\nOblicz wartość prędkości, którą uzyskał chłopiec A tuż po odepchnięciu się od drugiej\ndeskorolki.\nB\nA\nDoświadczenie 2\nA\nDoświadczenie 1\nMFA_1R","answer":null,"answer_text":"Zadanie 7.2. (0-3)\nWymagania ogólne\nWymagania szczegółowe\nIV. Budowa prostych modeli fizycznych\ni matematycznych do opisu zjawisk.\nZdający:\n1.10) wykorzystuje zasadę zachowania pędu do\nobliczania prędkości ciał […] podczas zjawiska\nodrzutu,\n2.3) (G) opisuje wpływ wykonanej pracy na\nzmianę energii,\n3.2) oblicza wartość energii kinetycznej ciał\n[…].\nSchemat punktowania\n3 p. - prawidłowa metoda wyznaczenia prędkości chłopca A oraz prawidłowy wynik liczbowy\nz jednostką.\n2 p. - uwzględnienie relacji pomiędzy prędkościami chłopców po odepchnięciu się oraz\nzapisanie równości prac wraz z prawidłowym wykorzystaniem związków pomiędzy\npracami i energiami kinetycznymi.\n1 p. - uwzględnienie relacji pomiędzy prędkościami chłopców po odepchnięciu się (ݒ஺= ݒ஻)\nlub\n- zapisanie równości prac wraz z prawidłowym wykorzystaniem związków pomiędzy\npracami i energiami kinetycznymi.\n0 p. - brak spełnienia powyższych kryteriów.\nPrzykładowe rozwiązanie\nW celu rozwiązania zadania korzystamy:\n1) z założenia, że praca wykonana przez siły wprawiające układy w ruch, jest w obu\ndoświadczeniach taka sama:\nଵ=\nଶ\n2) ze związku pomiędzy pracą i zmianą energii kinetycznej w pierwszym doświadczeniu:\nଵ= ܧ௞௜௡ଵ ௞௢௡-ܧ௞௜௡ଵ ௣௢௖௭= 1\n2\n஺ݒଶ-0\n3) ze związku pomiędzy pracą i zmianami energii kinetycznych w drugim doświadczeniu:\nଶ= 1\n2\n஺ݒ஺\nଶ-0 + 1\n2\n஻ݒ஻\nଶ-0\n4) z zasady zachowania pędu układu (chłopcy A i B z deskorolkami) w drugim doświadczeniu\ni założenia o równości mas chłopców:\n0 =\n஺ݒ஺-\n஻ݒ஻ oraz\n஺=\n஻\nZ 4) uzyskujemy, że ݒ஺= ݒ஻. W związku z tym, na mocy 1), 2) i 3), możemy obliczyć\nprędkość, jaką uzyskał chłopiec A tuż po odepchnięciu się od B. Zatem:\n1\n2\n஺ݒଶ= 1\n2\n஺ݒ஺\nଶ+ 1\n2\n஻ݒ஻\nଶ → ݒଶ= ݒ஺\nଶ+ ݒ஻\nଶ → ݒଶ= 2ݒ஺\nଶ → ݒ஺= ݒ\n√2\n= 2,83 m\ns\nUwaga! Zasada zachowania pędu może być zastąpiona innym argumentem. Podczas\nodepchnięcia, zgodnie z trzecią zasadą dynamiki, na obu chłopców działają siły o tych samych\nwartościach i przeciwnych zwrotach. Siły te, działające w tym samym czasie na takie same masy\nchłopców, nadadzą chłopcom prędkości o tych samych wartościach i przeciwnych zwrotach.","solution":"Mam pełen kontekst z `parent_informacja`. Teraz piszę rozwiązanie.\n\n## Poprawna odpowiedź\n\n\\[v_A = 2\\sqrt{2}\\ \\text{m/s} \\approx 2{,}83\\ \\text{m/s}\\]\n\n## Dane z treści zadania\n\n| Wielkość | Wartość |\n| Prędkość chłopca A po odepchnięciu od **ściany** (doświadczenie 1) | \\(v_1 = 4\\ \\text{m/s}\\) |\n| Masy chłopców | \\(m_A = m_B = m\\) (jednakowe) |\n| Praca wykonana w obu doświadczeniach | \\(W_1 = W_2 = W\\) |\n| Masy kółek deskorolek | pomijalnie małe |\n| Stan początkowy w doświadczeniu 2 | obaj chłopcy w spoczynku |\n\n**Kluczowe zrozumienie:** „Odepchnięcie się od *drugiej deskorolki*\" = doświadczenie 2, w którym chłopiec A (na swojej deskorolce) odpycha się od deskorolki z chłopcem B.\n\n## Sposób 1 - Zasada zachowania energii: porównanie pracy w obu doświadczeniach\n\n### Krok 1: Oblicz pracę \\(W\\) z doświadczenia 1 (odepchnięcie od ściany)\n\nŚciana jest nieruchoma - nie przesuwa się, więc **nie pobiera żadnej energii**. Cała praca \\(W\\) przekształca się wyłącznie w energię kinetyczną chłopca A:\n\n\\[W = \\frac{1}{2}m_A v_1^2 = \\frac{1}{2}m \\cdot (4\\ \\text{m/s})^2 = 8m\\ [\\text{J}]\\]\n\n### Krok 2: Zastosuj zasadę zachowania pędu w doświadczeniu 2\n\nUkład (chłopiec A + chłopiec B) spoczywa - **całkowity pęd początkowy = 0**. Siły oporów pominięte → zasada zachowania pędu:\n\n\\[0 = m_A \\cdot v_A - m_B \\cdot v_B\\]\n\nPonieważ \\(m_A = m_B = m\\):\n\n\\[\\boxed{v_A = v_B = v}\\]\n\nObaj chłopcy uzyskują prędkości **równej wartości** (w przeciwnych kierunkach).\n\n### Krok 3: Zastosuj zasadę zachowania energii w doświadczeniu 2\n\nTa sama praca \\(W = 8m\\) zasilana jest **dwa ciała** (chłopiec A i chłopiec B):\n\n\\[W = E_{k,A} + E_{k,B} = \\frac{1}{2}mv^2 + \\frac{1}{2}mv^2 = mv^2\\]\n\n\\[mv^2 = 8m\\]\n\n\\[v^2 = 8\\ \\text{m}^2/\\text{s}^2\\]\n\n\\[\\boxed{v_A = v = \\sqrt{8}\\ \\text{m/s} = 2\\sqrt{2}\\ \\text{m/s} \\approx 2{,}83\\ \\text{m/s}}\\]\n\n## Sposób 2 - Argument przez symetrię + proporcja energii kinetycznych\n\n### Krok 1: Symetria układu\n\nObaj chłopcy mają jednakowe masy. Siły wzajemnego oddziaływania (III zasada Newtona) są równe co do wartości i działają przez **ten sam czas**. Impulsy są identyczne → obaj nabywają prędkości tej samej wartości:\n\n\\[v_A = v_B = v\\]\n\n### Krok 2: Podział pracy\n\nW doświadczeniu 1 cała praca \\(W\\) trafia do jednego chłopca:\n\\[E_{k,A}^{(1)} = W = \\frac{1}{2}m v_1^2\\]\n\nW doświadczeniu 2 z symetrii praca dzieli się **na pół** (oba ciała poruszają się z tą samą prędkością, mają tę samą masę):\n\\[E_{k,A}^{(2)} = \\frac{W}{2} = \\frac{1}{2} \\cdot \\frac{1}{2}m v_1^2 = \\frac{1}{4}m v_1^2\\]\n\n### Krok 3: Oblicz prędkość\n\n\\[\\frac{1}{2}m v_A^2 = \\frac{1}{4}m v_1^2\\]\n\n\\[v_A^2 = \\frac{v_1^2}{2} = \\frac{16}{2} = 8\\ \\text{m}^2/\\text{s}^2\\]\n\n\\[\\boxed{v_A = 2\\sqrt{2}\\ \\text{m/s} \\approx 2{,}83\\ \\text{m/s}}\\]\n\n## Sposób 3 - Bezpośrednie podstawienie z układu równań\n\nUkład 2 równań:\n\n\\[\n\\begin{cases}\nm v_A = m v_B & \\text{(zasada zachowania pędu: } p_{pocz} = 0 \\text{)} \\\\\n\\frac{1}{2}m v_A^2 + \\frac{1}{2}m v_B^2 = W & \\text{(zasada zachowania energii)}\n\\end{cases}\n\\]\n\nZ równania 1: \\(v_A = v_B = v\\). Podstawiając do równania 2:\n\n\\[m v^2 = W = \\frac{1}{2}m \\cdot (4)^2 = 8m\\]\n\n\\[v = \\sqrt{8} = 2\\sqrt{2}\\ \\text{m/s}\\]\n\n**Interpretacja fizyczna:** Chłopiec A w doświadczeniu 2 jest **wolniejszy** niż w doświadczeniu 1 (\\(2\\sqrt{2} \\approx 2{,}83\\ \\text{m/s} < 4\\ \\text{m/s}\\)), bo ta sama praca rozproszona jest na dwa ciała zamiast jednego.\n\n## Orientacyjny schemat punktowania (odtworzony przez AI - NIE oficjalny klucz CKE)\n\n> 📋 **Orientacyjny schemat punktowania (nieoficjalny, odtworzony przez AI) (zadanie 7.2, max 3 pkt):**\n>\n> - **1 pkt** - uczeń poprawnie oblicza pracę wykonaną w pierwszym doświadczeniu (lub stosuje związek \\(W = \\frac{1}{2}mv_1^2\\))\n> - **1 pkt** - uczeń stosuje zasadę zachowania pędu i wykazuje, że \\(v_A = v_B\\) (lub poprawnie ustawia bilans energii z dwoma składnikami kinetycznymi)\n> - **1 pkt** - uczeń otrzymuje poprawny wynik liczbowy: \\(v_A = 2\\sqrt{2}\\ \\text{m/s} \\approx 2{,}83\\ \\text{m/s}\\)\n>\n> - **Akceptowane warianty:** \\(2\\sqrt{2}\\ \\text{m/s}\\), \\(\\sqrt{8}\\ \\text{m/s}\\), \\(2{,}8\\ \\text{m/s}\\), \\(2{,}83\\ \\text{m/s}\\)\n> - **Uwagi (orientacyjne):** ✅ Masa \\(m\\) nie musi być liczbowa - wystarczy prawidłowy zapis symboliczny prowadzący do poprawnego wyniku\n> - **Uwagi (orientacyjne):** ❌ Nie uznaje się odpowiedzi \\(v_A = 4\\ \\text{m/s}\\) (bez uzasadnienia, że warunki są inne) ani \\(v_A = 2\\ \\text{m/s}\\) (pomylenie z \\(\\frac{v_1}{2}\\) zamiast \\(\\frac{v_1}{\\sqrt{2}}\\))\n\n## Wzory z karty CKE - czego MASZ użyć\n\n> 📖 **Karta wzorów CKE - sekcja FIZYKA, Mechanika:**\n>\n> - **Zasada zachowania pędu** (układ izolowany): \\(\\sum \\vec{p} = \\text{const}\\)\n> \\[\\Rightarrow\\quad m_A v_A = m_B v_B \\quad (\\text{pęd początkowy} = 0)\\]\n>\n> - **Energia kinetyczna:** \\(E_k = \\frac{1}{2}mv^2\\)\n>\n> - **Zasada pracy i energii** (zasada zachowania energii): \\(W = \\Delta E_k\\)\n>\n> Wystarczą **dwa narzędzia**: zasada zachowania pędu + zasada zachowania energii. Nie potrzebujesz kinematyki ani sił.\n\n## Częste błędne odpowiedzi\n\n| Błędny wynik | Skąd pochodzi błąd |\n| \\(v_A = 4\\ \\text{m/s}\\) | Uczeń sądzi, że skoro praca ta sama → prędkość taka sama; ignoruje fakt, że w doświadczeniu 2 energia rozdziela się na dwa ciała |\n| \\(v_A = 2\\ \\text{m/s}\\) | Uczeń błędnie myśli: „prędkość dzieli się na dwa\\\" - podziela prędkość zamiast energii; \\(\\frac{v_1}{2} = 2\\), ale poprawnie: \\(\\frac{v_1}{\\sqrt{2}} = 2\\sqrt{2}\\) |\n| \\(v_A = v_1\\sqrt{2} \\approx 5{,}66\\ \\text{m/s}\\) | Uczeń odwraca argument: sumuje energię zamiast ją dzielić (błąd znaku w rozumowaniu energetycznym) |\n| Brak wyniku liczbowego | Uczeń nie podstawia \\(W = 8m\\) bo nie widzi, skąd wziąć wartość pracy; zapomina, że praca z doświadczenia 1 jest znana |\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Prędkość **nie** dzieli się przez 2 - dzieli się **energia kinetyczna**. Z \\(E_{k,A} = W/2\\) wynika \\(\\frac{1}{2}mv_A^2 = \\frac{W}{2}\\), co daje \\(v_A = v_1/\\sqrt{2}\\), a **nie** \\(v_1/2\\). To czynnik \\(\\sqrt{2}\\), nie 2!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Masa chłopca \\(m\\) nie jest podana liczbowo - i **nie musi być**. Wyskraca się ze wszystkich równań. Sprawdź: w obliczeniach \\(m\\) pojawia się i znika. Uczeń, który szuka wartości \\(m\\) i nie może jej znaleźć, traci czas.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** „Odepchnięcie od ściany\" vs „odepchnięcie od drugiej deskorolki\" - kluczowa różnica to **ilość ciał, które pobierają energię**. Ściana = nieruchoma = nie pobiera nic. Chłopiec B = porusza się = pobiera połowę.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** W doświadczeniu 2 chłopiec A siedzi na **swojej** deskorolce i odpycha się od **deskorolki chłopca B** - obie deskorolki uczestniczą w ruchu, ale ponieważ masy kółek są pomijalnie małe, pomijamy je w obliczeniach pędu i energii.","image":"img/fizyka-2018-maj-matura-rozszerzona/zad-7.2.webp","solution_image":null,"topics":"Pęd, energia mechaniczna","page_from":8,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Fizyka · Matura · maj 2018 (rozszerzona)","subject_label":"Fizyka","category_label":"Matura"},{"id":"fizyka-2018-maj-matura-rozszerzona/zad/8","paper_id":"fizyka-2018-maj-matura-rozszerzona","number":"8","points":null,"ptype":"open","subject":"fizyka","category":"matura","year":2018,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 8.\nNa wykresach poniżej przedstawiono cykle termodynamiczne dwóch silników cieplnych. Osie\nna obu wykresach są wyskalowane tak samo. Substancją roboczą w każdym silniku jest 1 mol\ngazu doskonałego o tym samym cieple molowym. Silnik I w jednym cyklu pracy oddaje łącznie\n19 kJ ciepła, a pobiera łącznie 23 kJ ciepła (3 kJ w przemianie izochorycznej i 20 kJ\nw przemianie izobarycznej).","answer":null,"answer_text":"3 oraz 5\n4,6\n5,6\n4\n16\n6,04\n1,25","solution":null,"image":"img/fizyka-2018-maj-matura-rozszerzona/zad-8.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":9,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Fizyka · Matura · maj 2018 (rozszerzona)","subject_label":"Fizyka","category_label":"Matura"},{"id":"fizyka-2018-maj-matura-rozszerzona/zad/8.1","paper_id":"fizyka-2018-maj-matura-rozszerzona","number":"8.1","points":2,"ptype":"closed","subject":"fizyka","category":"matura","year":2018,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 8.1. (0-2)\nW poniższych zdaniach podkreśl właściwe określenia, tak aby relacje pomiędzy\nwielkościami dotyczącymi obu silników były prawdziwe.\n1. Praca całkowita wykonana w jednym cyklu przez silnik I jest (mniejsza niż / taka sama\njak / większa niż) praca całkowita wykonana w jednym cyklu przez silnik II.\n2. Maksymalna temperatura gazu w silniku I jest (mniejsza niż / taka sama jak / większa niż)\nmaksymalna temperatura gazu w silniku II.","answer":"1. mniejsza niż, 2. taka sama jak","answer_text":"Zadanie 8.1. (0-2)\nWymagania ogólne\nWymagania szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i przetwarzanie\ninformacji zapisanych w postaci tekstu,\ntabel, wykresów, schematów\ni rysunków.\nI. Znajomość i umiejętność\nwykorzystania pojęć i praw fizyki\ndo wyjaśniania procesów i zjawisk\nw przyrodzie.\nZdający:\n5.3) interpretuje wykresy ilustrujące przemiany\ngazu doskonałego,\n5.6) oblicza […] pracę wykonaną w przemianie\nizobarycznej,\n5.1) stosuje równanie stanu gazu doskonałego\ndo wyznaczenia parametrów gazu.\nSchemat punktowania\n2 p. - prawidłowe podkreślenia w obu zdaniach.\n1 p. - prawidłowe podkreślenia w jednym zdaniu.\n0 p. - brak spełnienia powyższych kryteriów.\nPoprawna odpowiedź\n1. Praca całkowita wykonana w jednym cyklu przez silnik I jest (mniejsza niż / taka sama\njak / większa niż) praca całkowita wykonana w jednym cyklu przez silnik II.\n2. Maksymalna temperatura gazu w silniku I jest (mniejsza niż / taka sama jak / większa niż)\nmaksymalna temperatura gazu w silniku II.","solution":"## Poprawna odpowiedź\n\nW obu zdaniach należy podkreślić **taka sama jak**:\n\n- Zdanie 1: praca całkowita silnika I jest **taka sama jak** praca całkowita silnika II.\n- Zdanie 2: maksymalna temperatura gazu w silniku I jest **taka sama jak** maksymalna temperatura gazu w silniku II.\n\n| Wielkość | Silnik I | Silnik II | Relacja |\n| Praca \\(W\\) (pole cyklu) | \\(2p_1V_1\\) | \\(2p_1V_1\\) | \\(W_I = W_{II}\\) - **równa** |\n| Maksymalne \\(pV\\) (czyli \\(T_{max}\\)) | \\(6p_1V_1\\) | \\(6p_1V_1\\) | \\(T_{max,I} = T_{max,II}\\) - **równa** |\n\n## Sposób 1 - Zdanie 1: praca to pole prostokąta na wykresie p-V\n\nPraca wykonana w jednym cyklu = **pole obszaru zamkniętego przez cykl** na wykresie \\(p\\)-\\(V\\). Oba cykle to prostokąty (z opisu wykresu):\n\n**Silnik I** - wierzchołki \\((V_1,p_1)\\to(3V_1,p_1)\\to(3V_1,2p_1)\\to(V_1,2p_1)\\):\n\\[\nW_I = \\Delta V_I \\cdot \\Delta p_I = (3V_1 - V_1)(2p_1 - p_1) = 2V_1 \\cdot p_1 = 2p_1V_1\n\\]\n\n**Silnik II** - wierzchołki \\((V_1,p_1)\\to(2V_1,p_1)\\to(2V_1,3p_1)\\to(V_1,3p_1)\\):\n\\[\nW_{II} = \\Delta V_{II} \\cdot \\Delta p_{II} = (2V_1 - V_1)(3p_1 - p_1) = V_1 \\cdot 2p_1 = 2p_1V_1\n\\]\n\n\\[\n\\boxed{W_I = W_{II} = 2p_1V_1}\n\\]\n\nOba prostokąty mają **takie samo pole** mimo różnych kształtów - jeden jest szeroki i niski (\\(2V_1 \\times p_1\\)), drugi wąski i wysoki (\\(V_1 \\times 2p_1\\)), ale iloczyny boków są identyczne. Stąd w zdaniu 1: **taka sama jak**.\n\n> Kontrola spójności z danymi liczbowymi silnika I: \\(W_I = Q_{pob} - Q_{odd} = 23 - 19 = 4\\ \\text{kJ}\\), więc \\(2p_1V_1 = 4\\ \\text{kJ}\\), czyli \\(p_1V_1 = 2\\ \\text{kJ}\\). To samo pole \\(2p_1V_1\\) ma silnik II, więc \\(W_{II} = 4\\ \\text{kJ}\\) - zgodnie.\n\n## Sposób 2 - Zdanie 2: maksymalna temperatura = maksymalny iloczyn \\(pV\\)\n\nDla 1 mola gazu doskonałego z równania stanu \\(pV = nRT = RT\\), więc temperatura jest **wprost proporcjonalna do iloczynu \\(pV\\)**:\n\\[\nT = \\frac{pV}{R}\n\\]\n\nNajwyższą temperaturę gaz ma w tym wierzchołku cyklu, w którym **iloczyn \\(p\\cdot V\\) jest największy**. Sprawdzamy wszystkie wierzchołki obu prostokątów:\n\n**Silnik I:**\n\\[\n(V_1,p_1)\\to p_1V_1,\\quad (3V_1,p_1)\\to 3p_1V_1,\\quad (3V_1,2p_1)\\to 6p_1V_1,\\quad (V_1,2p_1)\\to 2p_1V_1\n\\]\n\\[\n(pV)_{max,I} = 6p_1V_1 \\quad\\Rightarrow\\quad T_{max,I} = \\frac{6p_1V_1}{R}\n\\]\n\n**Silnik II:**\n\\[\n(V_1,p_1)\\to p_1V_1,\\quad (2V_1,p_1)\\to 2p_1V_1,\\quad (2V_1,3p_1)\\to 6p_1V_1,\\quad (V_1,3p_1)\\to 3p_1V_1\n\\]\n\\[\n(pV)_{max,II} = 6p_1V_1 \\quad\\Rightarrow\\quad T_{max,II} = \\frac{6p_1V_1}{R}\n\\]\n\n\\[\n\\boxed{T_{max,I} = T_{max,II} = \\frac{6p_1V_1}{R}}\n\\]\n\nW obu silnikach najwyższa temperatura wypada w „prawym górnym\" wierzchołku prostokąta i wynosi tyle samo. Stąd w zdaniu 2: **taka sama jak**.\n\n> Osie obu wykresów są wyskalowane tak samo (informacja z treści), więc porównanie iloczynów \\(pV\\) w jednostkach \\(p_1V_1\\) jest w pełni uprawnione.\n\n## Sposób 3 - Argument poglądowy (bez liczenia każdego wierzchołka)\n\nMaksymalne \\(p\\) i maksymalne \\(V\\) w obu cyklach spotykają się w jednym wierzchołku (prawy górny róg prostokąta):\n\n- Silnik I: \\(p_{max} = 2p_1\\), \\(V_{max} = 3V_1\\) → \\((pV)_{max} = 2p_1 \\cdot 3V_1 = 6p_1V_1\\).\n- Silnik II: \\(p_{max} = 3p_1\\), \\(V_{max} = 2V_1\\) → \\((pV)_{max} = 3p_1 \\cdot 2V_1 = 6p_1V_1\\).\n\nIloczyn \\(2\\cdot 3 = 3\\cdot 2\\) jest identyczny - dlatego maksymalne temperatury są **równe**. Tę samą symetrię (zamiana ról ciśnienia i objętości: silnik II to silnik I „obrócony\") widać też w pracy: oba pola wynoszą \\(2p_1V_1\\).\n\n## Uwaga o kluczu CKE\n\n> ℹ️ W danych tego pytania nie ma zapisanego oryginalnego klucza punktowania CKE (`_klucz_cke`), dlatego nie cytuję sztywnego schematu punktów. Powyższe podkreślenia wynikają jednoznacznie z geometrii obu wykresów p-V podanej w treści i nie wymagają klucza - oba zdania: **taka sama jak**.\n\n## Wzory z karty CKE - czego MASZ użyć\n\n> 📖 **Karta wzorów - sekcja Fizyka, termodynamika:**\n>\n> - **Praca w cyklu** = pole zamkniętego obszaru na wykresie \\(p\\)-\\(V\\) (dla prostokąta: \\(W = \\Delta p \\cdot \\Delta V\\))\n> - **Równanie stanu gazu doskonałego:** \\(pV = nRT\\) → dla \\(n = 1\\): \\(T = \\dfrac{pV}{R}\\)\n>\n> Do obu zdań wystarczy odczyt wierzchołków prostokątów z wykresu - pracy nie trzeba liczyć w dżulach, a temperatur w kelwinach. Porównujemy wielkości w jednostkach \\(p_1V_1\\).\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wiele osób sądzi „wyższy prostokąt = wyższa praca\" albo „wyższe ciśnienie = wyższa temperatura\". Liczy się **pole** (dla pracy) i **iloczyn \\(pV\\)** (dla temperatury), a nie sam jeden wymiar. Tutaj \\(2V_1\\cdot p_1 = V_1\\cdot 2p_1\\) oraz \\(2p_1\\cdot 3V_1 = 3p_1\\cdot 2V_1\\) - wszystko wychodzi równo.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Maksymalna temperatura NIE jest tam, gdzie jest największe samo ciśnienie - jest tam, gdzie największy jest iloczyn \\(p\\cdot V\\). W obu cyklach to prawy górny wierzchołek prostokąta.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Osie obu wykresów wyskalowane są tak samo (z treści) - to warunek konieczny, by wprost porównywać iloczyny \\(pV\\) między silnikami. Gdyby skale były różne, porównanie liczbowe byłoby niemożliwe.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** To zadanie zamknięte typu „podkreśl właściwe określenie\" - w odpowiedzi wystarczy jeden z trzech wariantów na zdanie (mniejsza niż / taka sama jak / większa niż). Tu oba razy: **taka sama jak**. Dane liczbowe o cieple (23 kJ, 19 kJ) przydają się do kontroli, ale do samych podkreśleń wystarcza geometria wykresów.","image":"img/fizyka-2018-maj-matura-rozszerzona/zad-8.1.webp","solution_image":null,"topics":"Termodynamika","page_from":9,"source":"ocr","answer_source":"zadaniazmatur","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Fizyka · Matura · maj 2018 (rozszerzona)","subject_label":"Fizyka","category_label":"Matura"},{"id":"fizyka-2018-maj-matura-rozszerzona/zad/8.2","paper_id":"fizyka-2018-maj-matura-rozszerzona","number":"8.2","points":1,"ptype":"open","subject":"fizyka","category":"matura","year":2018,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 8.2. (0-1)\nOblicz sprawność silnika I.\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n7.1.\n7.2.\n8.1.\n8.2.\nMaks. liczba pkt\n1\n3\n2\n1\nUzyskana liczba pkt\np\n(0,0)\n3p1\n2p1\np1\np\nV\n2V1\nsilnik I\nsilnik II\n3V1\nV1\nV\n(0,0)\n3p1\n2p1\np1\n2V1\nV1\n3V1\nMFA_1R","answer":null,"answer_text":"Zadanie 8.2. (0-1)\nWymagania ogólne\nWymagania szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i przetwarzanie\ninformacji zapisanych w postaci tekstu,\ntabel, wykresów, schematów\ni rysunków.\nZdający: 5.10) analizuje przedstawione cykle\ntermodynamiczne, oblicza sprawność silników\ncieplnych w oparciu o wymienione ciepło\ni wykonaną pracę.\nSchemat punktowania\n1 p. - prawidłowe obliczenie sprawności silnika I.\n0 p. - brak spełnienia powyższego kryterium.\nPrzykładowe rozwiązanie\nߟ=ܹ\n௖௔௟௞௢௪௜௧௔\n௣௢௕௥௔௡௘\n௣௢௕௥௔௡௘-\n௢ௗௗ௔௡௘\n௣௢௕௥௔௡௘\n→ ߟ= 23 kJ -19 kJ\n23 kJ\n= 0,17 (ߟ= 17%)","solution":"## Poprawna odpowiedz\n\nSprawnosc silnika I:\n\\[\\boxed{\\eta_I = 0{,}17 = 17\\%}\\]\n\n## Dane (z tresci zadania 8)\n\nSilnik I w jednym cyklu:\n- pobiera lacznie cieplo \\(Q_\\text{pobrane} = 23\\ \\text{kJ}\\) (3 kJ w przemianie izochorycznej + 20 kJ w izobarycznej),\n- oddaje lacznie cieplo \\(Q_\\text{oddane} = 19\\ \\text{kJ}\\).\n\n## Sposob 1 - Definicja sprawnosci przez cieplo\n\nPraca calkowita w cyklu (zasada zachowania energii):\n\\[W_\\text{calkowita} = Q_\\text{pobrane} - Q_\\text{oddane} = 23\\ \\text{kJ} - 19\\ \\text{kJ} = 4\\ \\text{kJ}\\]\n\nSprawnosc:\n\\[\\eta_I = \\frac{W_\\text{calkowita}}{Q_\\text{pobrane}} = \\frac{Q_\\text{pobrane} - Q_\\text{oddane}}{Q_\\text{pobrane}} = \\frac{23\\ \\text{kJ} - 19\\ \\text{kJ}}{23\\ \\text{kJ}} = \\frac{4}{23} = 0{,}17\\]\n\n\\[\\boxed{\\eta_I = 0{,}17 = 17\\%}\\]\n\n## Sposob 2 - Praca jako pole cyklu p-V (weryfikacja)\n\nCykl silnika I to prostokat o bokach \\(\\Delta V = 2V_1\\) i \\(\\Delta p = p_1\\), wiec praca \\(W = 2p_1V_1\\). Z bilansu cieplnego \\(W = 4\\ \\text{kJ}\\), wiec \\(p_1V_1 = 2\\ \\text{kJ}\\). Sprawnosc \\(\\eta = W/Q_\\text{pobrane} = 4/23 = 0{,}17\\) - zgodnie ze Sposobem 1.\n\n## Schemat oceniania CKE\n\n> **Zadanie 8.2 (0-1)**\n> - **1 p.** - prawidlowe obliczenie sprawnosci silnika I.\n> - **0 p.** - brak spelnienia powyzszego kryterium.\n>\n> Przykladowe rozwiazanie: \\(\\eta = \\dfrac{Q_\\text{pobrane} - Q_\\text{oddane}}{Q_\\text{pobrane}} = \\dfrac{23\\ \\text{kJ} - 19\\ \\text{kJ}}{23\\ \\text{kJ}} = 0{,}17\\) (17%).\n\n## Wzory z karty CKE\n\n> - **Sprawnosc silnika cieplnego:** \\(\\eta = \\dfrac{W}{Q_\\text{pobrane}} = 1 - \\dfrac{Q_\\text{oddane}}{Q_\\text{pobrane}}\\)\n> - **Zasada zachowania energii:** \\(W = Q_\\text{pobrane} - Q_\\text{oddane}\\)\n\n## Typowe pulapki\n\n> Uwaga: Sprawnosc liczymy wzgledem ciepla **pobranego** (23 kJ), a nie oddanego. \\(\\eta = W/Q_\\text{pobrane}\\), nie \\(W/Q_\\text{oddane}\\).\n\n> Uwaga: Sprawnosc jest bezwymiarowa - CKE akceptuje zapis \\(0{,}17\\) i \\(17\\%\\) jako rownowazne.","image":"img/fizyka-2018-maj-matura-rozszerzona/zad-8.2.webp","solution_image":null,"topics":"Termodynamika","page_from":9,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Fizyka · Matura · maj 2018 (rozszerzona)","subject_label":"Fizyka","category_label":"Matura"},{"id":"fizyka-2018-maj-matura-rozszerzona/zad/8.3","paper_id":"fizyka-2018-maj-matura-rozszerzona","number":"8.3","points":2,"ptype":"open","subject":"fizyka","category":"matura","year":2018,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 8.3. (0-2)\nWyznacz ciepło pobrane w przemianie izochorycznej przez silnik II. Powołaj się na\nodpowiednie zależności.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 8.3. (0-2)\nWymagania ogólne\nWymagania szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i przetwarzanie\ninformacji zapisanych w postaci tekstu,\ntabel, wykresów, schematów\ni rysunków.\nIV. Budowa prostych modeli fizycznych\ni matematycznych do opisu zjawisk.\nZdający:\n5.1) stosuje równanie stanu gazu doskonałego\ndo wyznaczenia parametrów gazu,\n5.3) interpretuje wykresy ilustrujące przemiany\ngazu doskonałego,\n5.6) oblicza zmianę energii wewnętrznej\nw przemianach izobarycznej i izochorycznej,\n5.7) posługuje się pojęciem ciepła molowego\nw przemianach gazowych.\nSchemat punktowania\n2 p. - prawidłowa metoda wyznaczenia ciepła (z powołaniem się na równanie Clapeyrona\ni wykorzystaniem zależności między wymienionym ciepłem i przyrostem temperatury)\noraz prawidłowy wynik.\n1 p. - zapisy pozwalające wyznaczyć stosunek ciepeł pobranych w obu przemianach\nizochorycznych równy stosunkowi przyrostu temperatur\nlub\n- zapisanie, że w przemianie izochorycznej przyrost temperatury jest proporcjonalny do\nprzyrostu ciśnienia oraz zapisanie wzoru na ciepło pobrane w przemianie izochorycznej\nlub\n- zapisanie prawidłowego wyniku bez powoływania się na odpowiednie zależności.\n0 p. - brak spełnienia powyższych kryteriów.\nPrzykładowe rozwiązanie\nKorzystamy ze wzoru na ciepło pobrane w przemianie izochorycznej (w objętości V1) przez\nsilnik II oraz z własności tej przemiany i równania Clapeyrona:\nூூ=\n௏∆ܶூூ oraz ∆݌ூூ=\nଵ\n∆ܶூூ\nPodobne związki mamy dla przemiany izochorycznej (w objętości V1) w silniku I:\nூ=\n௏∆ܶூ oraz ∆݌ூ=\nଵ\n∆ܶூ\nZauważamy, że stosunek ciepeł jest równy stosunkowi przyrostów temperatur, a stosunek\nprzyrostów temperatur jest równy stosunkowi przyrostów ciśnień:\nூூ\nூ\n= ∆ܶூூ\n∆ܶூ\n→\nூூ\nூ\n= ∆݌ூூ\n∆݌ூ\n= 3݌ଵ-݌ଵ\n2݌ଵ-݌ଵ\n= 2\nOstatecznie otrzymujemy\nூூ= 2\nூ= 2 ∙3 kJ = 6 kJ.","solution":"## Poprawna odpowiedz\n\nCieplo pobrane w przemianie izochorycznej przez silnik II:\n\\[\\boxed{Q_{II} = 6\\ \\text{kJ}}\\]\n\n## Dane\n\n- Silnik I: cieplo pobrane w przemianie izochorycznej \\(Q_I = 3\\ \\text{kJ}\\); przyrost cisnienia w izochorze \\(\\Delta p_I = 2p_1 - p_1 = p_1\\) (z wykresu p-V, \\(V = V_1\\)).\n- Silnik II: przyrost cisnienia w izochorze \\(\\Delta p_{II} = 3p_1 - p_1 = 2p_1\\) (z wykresu p-V, \\(V = V_1\\)).\n- Substancja robocza: 1 mol gazu doskonalego o tym samym cieple molowym; osie obu wykresow wyskalowane tak samo.\n\n## Sposob 1 - Stosunek ciepel = stosunek przyrostow cisnienia\n\nW przemianie izochorycznej cieplo pobrane:\n\\[Q = n c_V \\Delta T\\]\nZ rownania Clapeyrona przy \\(V = V_1 = \\text{const}\\):\n\\[\\Delta p = \\frac{nR}{V_1}\\,\\Delta T \\;\\Rightarrow\\; \\Delta T = \\frac{V_1}{nR}\\,\\Delta p\\]\n\nPoniewaz \\(n\\), \\(c_V\\) i \\(V_1\\) sa takie same dla obu silnikow, stosunek ciepel rowna sie stosunkowi przyrostow temperatury, a ten - stosunkowi przyrostow cisnienia:\n\\[\\frac{Q_{II}}{Q_I} = \\frac{\\Delta T_{II}}{\\Delta T_I} = \\frac{\\Delta p_{II}}{\\Delta p_I} = \\frac{3p_1 - p_1}{2p_1 - p_1} = \\frac{2p_1}{p_1} = 2\\]\n\nStad:\n\\[Q_{II} = 2\\,Q_I = 2 \\cdot 3\\ \\text{kJ} = \\boxed{6\\ \\text{kJ}}\\]\n\n## Sposob 2 - Bezposrednio przez I zasade termodynamiki\n\nW przemianie izochorycznej \\(W = 0\\), wiec \\(Q = \\Delta U = n c_V \\Delta T = \\dfrac{c_V}{R} V_1 \\Delta p\\). Dla silnika II przyrost cisnienia \\(\\Delta p_{II} = 2p_1\\) jest **dwukrotnie wiekszy** niz dla silnika I (\\(\\Delta p_I = p_1\\)) przy tej samej objetosci \\(V_1\\) i tym samym \\(c_V\\). Zatem \\(Q_{II} = 2 Q_I = 6\\ \\text{kJ}\\).\n\n## Schemat oceniania CKE\n\n> **Zadanie 8.3 (0-2)**\n> - **2 p.** - prawidlowa metoda wyznaczenia ciepla (z powolaniem sie na rownanie Clapeyrona i wykorzystaniem zaleznosci miedzy wymienionym cieplem i przyrostem temperatury) oraz prawidlowy wynik.\n> - **1 p.** - zapisy pozwalajace wyznaczyc stosunek ciepel pobranych w obu przemianach izochorycznych rowny stosunkowi przyrostu temperatury; lub zapisanie, ze w przemianie izochorycznej przyrost temperatury jest proporcjonalny do przyrostu cisnienia oraz zapisanie wzoru na cieplo pobrane w przemianie izochorycznej; lub zapisanie prawidlowego wyniku bez powolywania sie na odpowiednie zaleznosci.\n> - **0 p.** - brak spelnienia powyzszych kryteriow.\n>\n> Wynik: \\(Q_{II} = 2 Q_I = 6\\ \\text{kJ}\\).\n\n## Wzory z karty CKE\n\n> - **I zasada termodynamiki:** \\(Q = \\Delta U + W\\); dla izochory \\(W = 0 \\Rightarrow Q = \\Delta U\\)\n> - **Energia wewnetrzna:** \\(\\Delta U = n c_V \\Delta T\\)\n> - **Rownanie stanu (Clapeyrona):** \\(pV = nRT \\Rightarrow \\Delta p = \\tfrac{nR}{V_1}\\Delta T\\) przy \\(V = \\text{const}\\)\n\n## Typowe pulapki\n\n> Uwaga: Kluczowy jest fakt, ze osie obu wykresow sa wyskalowane tak samo - dopiero wtedy mozna porownywac przyrosty cisnienia (\\(p_1\\) vs \\(2p_1\\)) miedzy silnikami.\n\n> Uwaga: W izochorze przyrost cisnienia odczytujemy z wykresu p-V; dla silnika II to \\(3p_1 - p_1 = 2p_1\\), dwa razy wiecej niz dla silnika I (\\(p_1\\)), stad cieplo dwa razy wieksze.","image":"img/fizyka-2018-maj-matura-rozszerzona/zad-8.3.webp","solution_image":null,"topics":"Termodynamika","page_from":10,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Fizyka · Matura · maj 2018 (rozszerzona)","subject_label":"Fizyka","category_label":"Matura"},{"id":"fizyka-2018-maj-matura-rozszerzona/zad/9","paper_id":"fizyka-2018-maj-matura-rozszerzona","number":"9","points":null,"ptype":"open","subject":"fizyka","category":"matura","year":2018,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 9.\nKulę o promieniu 40 cm zawieszono na linie o długości 6 m.\nNastępnie układ wychylono o pewien kąt i puszczono\nswobodnie. Rysunek 1. przedstawia sytuację w chwili, gdy\nkula jest wychylona maksymalnie względem pionu, natomiast\nrysunek 2. - gdy kula przechodzi przez najniższy punkt toru\n(a lina - przez położenie pionowe).","answer":null,"answer_text":"3 oraz 6\n4,6\n5,8\n4\n32\n6,02\n1,24","solution":null,"image":"img/fizyka-2018-maj-matura-rozszerzona/zad-9.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":10,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Fizyka · Matura · maj 2018 (rozszerzona)","subject_label":"Fizyka","category_label":"Matura"},{"id":"fizyka-2018-maj-matura-rozszerzona/zad/9.1","paper_id":"fizyka-2018-maj-matura-rozszerzona","number":"9.1","points":1,"ptype":"open","subject":"fizyka","category":"matura","year":2018,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 9.1. (0-1)\nPrzyjmij, że na kulę działają dwie siły: FሬԦr - siła reakcji napiętej\nliny, FሬԦg - siła grawitacji. Pomiń siłę oporu powietrza. Analizę\nprzeprowadź w układzie odniesienia związanym z Ziemią\ni przyjmij, że jest on inercjalny.\nNa rysunku 2. - czyli w chwili, gdy kula przechodzi przez\nnajniższy punkt toru - dorysuj wektory tych sił wraz z ich\noznaczeniem. Zachowaj relacje (większy, mniejszy, równy)\nmiędzy wartościami sił i zapisz poniżej tę relację - wstaw\njeden ze znaków: >, =, < .\nFr Fg\nRysunek 1. Rysunek 2.\nMFA_1R","answer":null,"answer_text":"Zadanie 9.1. (0-1)\nWymagania ogólne\nWymagania szczegółowe\nIV. Budowa prostych modeli fizycznych\ni matematycznych do opisu zjawisk.\nZdający:\n1.2) (P) wskazuje przykłady sił pełniących rolę\nsiły dośrodkowej,\n1.1) wykonuje działania na wektorach\n(dodawanie, odejmowanie, rozkładanie na\nskładowe),\n1.8) wyjaśnia ruch ciał na podstawie drugiej\nzasady dynamiki Newtona.\nSchemat punktowania\n1 p. - prawidłowe narysowanie wektorów sił wraz z ich\noznaczeniami oraz prawidłowe zapisanie relacji\npomiędzy wartościami sił.\n0 p. - brak spełnienia powyższego kryterium.\nPoprawne rozwiązanie\n(Rysunek obok).\nܨ௥ > ܨ௚","solution":"## Poprawna odpowiedź\n\n$$F_r > F_g$$\n\nWektor \\(\\vec{F}_r\\) (siła napiętej liny) skierowany **pionowo w górę**, wektor \\(\\vec{F}_g\\) (siła grawitacji) skierowany **pionowo w dół** - oba przyłożone do środka kuli. Na rysunku 2 wektor \\(\\vec{F}_r\\) musi być **narysowany dłużej** niż \\(\\vec{F}_g\\).\n\n## Sposób 1 - II zasada dynamiki Newtona w najniższym punkcie toru (ruch po okręgu)\n\nW najniższym punkcie toru kula porusza się po łuku okręgu. Środek okręgu znajduje się **powyżej** kuli (w punkcie zawieszenia liny). Znaczy to, że przyspieszenie dośrodkowe \\(\\vec{a}_d\\) jest skierowane **pionowo w górę**.\n\nZ II zasady Newtona (wypadkowa = \\(m \\cdot \\vec{a}_d\\)):\n\n$$F_r - F_g = \\frac{mv^2}{R}$$\n\ngdzie \\(R = L + r = 6{,}0\\ \\text{m} + 0{,}40\\ \\text{m} = 6{,}40\\ \\text{m}\\) (odległość od punktu zawieszenia do środka kuli), a \\(v\\) - prędkość kuli w najniższym punkcie.\n\nKula została wychylona o niezerowy kąt i puszczona - w najniższym punkcie **ma prędkość \\(v > 0\\)**. Zatem:\n\n$$\\frac{mv^2}{R} > 0 \\implies F_r - F_g > 0 \\implies \\boxed{F_r > F_g}$$\n\n**Wniosek:** Siła reakcji liny musi być **większa** od siły grawitacji, bo ich wypadkowa (skierowana ku górze) dostarcza siły dośrodkowej potrzebnej do ruchu po łuku.\n\n## Sposób 2 - Energetyczny (weryfikacja że \\(v \\neq 0\\) w najniższym punkcie)\n\nKula wychylona maksymalnie ma \\(v = 0\\) i pewną wysokość \\(h > 0\\) ponad najniższym punktem. Przy swobodnym opadaniu (bez oporów powietrza) cała energia potencjalna zamienia się w kinetyczną:\n\n$$mgh = \\frac{1}{2}mv^2 \\implies v^2 = 2gh > 0$$\n\nSkoro \\(v^2 > 0\\), to \\(\\dfrac{mv^2}{R} > 0\\), co z równania:\n\n$$F_r - F_g = \\frac{mv^2}{R} > 0$$\n\nponownie daje \\(F_r > F_g\\). Gdyby kąt wychylenia był zerowy (\\(h = 0\\)), dostalibyśmy \\(F_r = F_g\\) - ale zadanie mówi, że kula **przechodzi przez najniższy punkt**, co znaczy, że rzeczywiście była wychylona.\n\n## Sposób 3 - Intuicja fizyczna (siła dośrodkowa jako „nadmiar\" siły liny)\n\nGdyby \\(F_r = F_g\\), siły by się równoważyły → wypadkowa = 0 → kula poruszałaby się **po linii prostej** (albo stałaby w miejscu). Ale w najniższym punkcie toru kula zmienia kierunek ruchu (zakręca w górę) - potrzebna jest wypadkowa siła **do góry**. Jedyną siłą działającą ku górze jest \\(\\vec{F}_r\\). Musi więc być **silniejsza** od grawitacji, żeby po odjęciu \\(F_g\\) została jeszcze „reszta\" do zakręcenia toru.\n\n## Orientacyjny schemat punktowania (odtworzony przez AI - NIE oficjalny klucz CKE)\n\n> 📋 **Orientacyjny schemat punktowania (nieoficjalny, odtworzony przez AI) (zadanie 9.1, max 1 pkt):**\n> - **1 pkt** - uczeń poprawnie narysował oba wektory sił (kierunek, zwrot: \\(\\vec{F}_r\\) w górę wzdłuż liny, \\(\\vec{F}_g\\) w dół) z zachowaniem relacji \\(F_r > F_g\\) (wektor \\(\\vec{F}_r\\) dłuższy od \\(\\vec{F}_g\\)) **oraz** wpisał znak „\\(>\\)\"\n> - **0 pkt** - wektory błędnie narysowane, błędny znak relacji lub brak relacji\n\n## Wzory z karty CKE - czego MASZ użyć\n\n> 📖 **Karta wzorów CKE - sekcja FIZYKA, kinematyka i dynamika ruchu po okręgu:**\n>\n> Przyspieszenie dośrodkowe: \\(a_d = \\dfrac{v^2}{r}\\)\n>\n> II zasada Newtona: \\(\\vec{F}_{wyp} = m\\vec{a}\\)\n>\n> Użyte w Sposobie 1: z obu wzorów wynika \\(F_r - F_g = \\dfrac{mv^2}{R}\\), skąd relacja \\(F_r > F_g\\).\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Najczęstszy błąd - napisanie \\(F_r = F_g\\). Uczniowie mylą „kula wisi na linie\" (statyka, równowaga → \\(F_r = F_g\\)) z „kula w ruchu przez najniższy punkt\" (dynamika, zakrzywiony tor → \\(F_r > F_g\\)).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Drugi częsty błąd - rysowanie \\(\\vec{F}_r\\) pod kątem (ukośnie), bo „pamiętają rysunek 1 z wychyleniem\". Na rysunku 2 lina jest **pionowa**, więc \\(\\vec{F}_r\\) musi być też **pionowo w górę**.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie pomyl punktu przyłożenia - oba wektory przyłożone do **środka masy kuli** (środka geometrycznego kuli), nie do punktu styku liny z kulą.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Relacja \\(F_r > F_g\\) jest prawdziwa **dla każdego niezerowego kąta wychylenia**. Im większy kąt wychylenia (wyższa wysokość \\(h\\)), tym większe \\(v^2\\) w najniższym punkcie i tym bardziej \\(F_r\\) przewyższa \\(F_g\\).","image":"img/fizyka-2018-maj-matura-rozszerzona/zad-9.1.webp","solution_image":null,"topics":"Dynamika","page_from":10,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Fizyka · Matura · maj 2018 (rozszerzona)","subject_label":"Fizyka","category_label":"Matura"},{"id":"fizyka-2018-maj-matura-rozszerzona/zad/9.2","paper_id":"fizyka-2018-maj-matura-rozszerzona","number":"9.2","points":2,"ptype":"open","subject":"fizyka","category":"matura","year":2018,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 9.2. (0-2)\nOszacuj czas, po jakim kula dotrze od najwyższego do najniższego punktu toru jej ruchu.\nWykorzystaj wartość przyspieszenia ziemskiego równą\n2\nm\n9,81 s\ng =\ni pomiń masę liny.\nWynik podaj z dokładnością do dwóch cyfr znaczących.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 9.2. (0-2)\nWymagania ogólne\nWymagania szczegółowe\nIV. Budowa prostych modeli fizycznych\ni matematycznych do opisu zjawisk.\nZdający: 6.3) oblicza okres drgań […] wahadła\nmatematycznego.\nSchemat punktowania\n2 p. - prawidłowa metoda wyznaczenia czasu oraz prawidłowy wynik liczbowy z jednostką\nzawarty w przedziale czasu od t = 1,2 s do t = 1,3 s.\n1 p. - prawidłowa metoda pozwalająca wyznaczyć czas, po jakim kula dotrze od najwyższego\ndo najniższego punktu toru\nlub\n- prawidłowe obliczenie okresu drgań wahadła\nlub\n- oszacowanie czasu bez powołania się na odpowiednie zależności.\n0 p. - brak spełnienia powyższych kryteriów.\nPrzykładowe rozwiązania\nSposób 1.\nOszacujemy okres wahań, przyjmując układ za wahadło matematyczne.\nRysunek 1. Rysunek 2.\nܨԦ௚\nܨԦ௥\nZa długość wahadła przyjmiemy odległość od nieruchomego końca liny do środka masy kuli:\n=݀\n+ ݎ = 6 m + 0,4 m = 6,4 m\nZastosujemy wzór na okres wahadła matematycznego o długości l:\n= 2ߨඨ݈݃\n= 2 ∙3,14 ∙ඨ\n6,4 m\n9,81 m\nsଶ\n= 5,07 s ≈ 5,1 s\nCzas, po jakim kula dotrze od najwyższego do najniższego punktu toru, wynosi ćwierć okresu:\nݐ=ܶ4 = 1,27 s ≈1,3 s\nUwaga! Za długość wahadła l można było przyjąć wartość od l =d do l = d+2r. Zdający nie\nmusi uwzględniać poprawek wynikających z modelu wahadła fizycznego. Skrajne wyniki\nwychodzą wtedy odpowiednio: T = 4,91 s ≈ 4,9 s oraz t = 1,23 s ≈ 1,2 s; T = 5,23 s ≈ 5,2 s\noraz t = 1,31 s ≈ 1,3 s.\nSposób 2.\nPoniżej przykładowe rozwiązanie - dla tych zdających, którzy do rozwiązania mogli użyć metod\nwykraczających poza podstawę programową - z wykorzystaniem modelu wahadła fizycznego\nzamiast matematycznego. Zapiszemy wzór na okres wahadła fizycznego:\n= 2ߨඨ\nܫ௭\n(\n+ ܯ) ∙݃\n∙݈ௌெ\ngdzie ܫ௭ jest momentem bezwładności układu lina - kula względem punktu zaczepienia,\njest\nmasą kuli, ܯ jest masą liny, ݈ௌெ jest odległością od punktu zaczepienia liny do środka masy\nukładu lina - kula. Skorzystamy dalej ze wzoru na środek masy oraz wzoru Steinera\ni addytywności momentów bezwładności:\nܫ௭= 2\n5\nݎଶ+\n(ݎ+݀\n)ଶ+ 1\n3 ܯ݀\nଶ, ݈ௌெ=\n(\n+ ݎ)݉\n+ 1\n2 ܯ݀݉\n+ ܯ\nPo podstawieniu otrzymujemy:\n= 2ߨඩ\n2\n5݉\nݎଶ+\n(ݎ+݀\n)ଶ+ 1\n3 ܯ݀\nଶ\n∙(݀\n+ ݎ)݉\n+ 1\n2݃ܯ݀\nZgodnie z poleceniem pominiemy masę liny ܯ:\n= 2ߨඩ\n2\n5݉\nݎଶ+\n(ݎ+݀\n)ଶ\n∙(݀\n+ ݎ)݉\n= ⋯= 2ߨඨ݀\n+ ݎ݃∙ඨ2\n5 ∙ቀ\nݎ\nݎ+݀\nቁ\nଶ\n+ 1\nPo podstawieniu danych z zadania otrzymujemy:\n= 2ߨ ඨ݀\n+ ݎ݃∙ඨ2\n5 ∙ቀ\nݎ\nݎ+݀\nቁ\nଶ\n+ 1 ≈2ߨඨ݀\n+ ݎ݃∙1,0008 ≈5,08 s ≈ 5,1 s\nCzas, po jakim kula dotrze od najwyższego do najniższego punktu toru ruchu, wynosi ćwierć\nokresu:\nݐ=ܶ4 = 1,27 s ≈1,3 s","solution":"## Poprawna odpowiedz\n\nCzas, po jakim kula dotrze od najwyzszego do najnizszego punktu toru, to cwierc okresu drgan wahadla:\n\\[\\boxed{t = \\frac{T}{4} \\approx 1{,}3\\ \\text{s}}\\]\n(wartosc z przedzialu od \\(1{,}2\\ \\text{s}\\) do \\(1{,}3\\ \\text{s}\\), zaleznie od przyjetej dlugosci wahadla).\n\n## Dane (z tresci zadania 9)\n\n- promien kuli: \\(r = 40\\ \\text{cm} = 0{,}4\\ \\text{m}\\)\n- dlugosc liny: \\(d = 6\\ \\text{m}\\)\n- \\(g = 9{,}81\\ \\text{m/s}^2\\); mase liny pomijamy\n- za dlugosc wahadla przyjmujemy odleglosc od nieruchomego konca liny do srodka masy kuli: \\(l = d + r = 6 + 0{,}4 = 6{,}4\\ \\text{m}\\)\n\n## Sposob 1 - Model wahadla matematycznego\n\nKula na linie wykonuje drgania wahadlowe. Punkt najwyzszy = polozenie skrajne (amplituda, \\(v = 0\\)); punkt najnizszy = polozenie rownowagi. Czas przejscia od amplitudy do polozenia rownowagi to **cwierc okresu**.\n\nOkres wahadla:\n\\[T = 2\\pi\\sqrt{\\frac{l}{g}} = 2 \\cdot 3{,}14 \\cdot \\sqrt{\\frac{6{,}4\\ \\text{m}}{9{,}81\\ \\text{m/s}^2}} = 5{,}07\\ \\text{s} \\approx 5{,}1\\ \\text{s}\\]\n\nSzukany czas:\n\\[t = \\frac{T}{4} = \\frac{5{,}07\\ \\text{s}}{4} = 1{,}27\\ \\text{s} \\approx 1{,}3\\ \\text{s}\\]\n\n## Sposob 2 - Ruch harmoniczny (weryfikacja)\n\nWychylenie katowe \\(\\varphi(t) = A\\cos(\\omega t)\\), gdzie \\(\\omega = \\sqrt{g/l}\\). Najnizszy punkt (\\(\\varphi = 0\\)) wahadlo osiaga, gdy \\(\\omega t = \\tfrac{\\pi}{2}\\):\n\\[t = \\frac{\\pi}{2\\omega} = \\frac{\\pi}{2}\\sqrt{\\frac{l}{g}} = \\frac{3{,}14}{2}\\sqrt{\\frac{6{,}4}{9{,}81}} = 1{,}27\\ \\text{s} \\approx 1{,}3\\ \\text{s}\\]\nTen sam wynik.\n\n## Schemat oceniania CKE\n\n> **Zadanie 9.2 (0-2)**\n> - **2 p.** - prawidlowa metoda wyznaczenia czasu oraz prawidlowy wynik liczbowy z jednostka zawarty w przedziale czasu od \\(t = 1{,}2\\ \\text{s}\\) do \\(t = 1{,}3\\ \\text{s}\\).\n> - **1 p.** - prawidlowa metoda pozwalajaca wyznaczyc czas, po jakim kula dotrze od najwyzszego do najnizszego punktu toru; lub prawidlowe obliczenie okresu drgan wahadla; lub oszacowanie czasu bez powolania sie na odpowiednie zaleznosci.\n> - **0 p.** - brak spelnienia powyzszych kryteriow.\n>\n> Uwaga (klucz): za dlugosc wahadla \\(l\\) mozna przyjac wartosc od \\(l = d\\) do \\(l = d + 2r\\); skrajne wyniki: \\(T = 4{,}91\\ \\text{s}\\) i \\(t \\approx 1{,}2\\ \\text{s}\\); \\(T = 5{,}23\\ \\text{s}\\) i \\(t \\approx 1{,}3\\ \\text{s}\\).\n\n## Wzory z karty CKE\n\n> - **Okres wahadla matematycznego:** \\(T = 2\\pi\\sqrt{\\dfrac{l}{g}}\\)\n> - Szukany czas: \\(t = \\dfrac{T}{4}\\)\n\n## Typowe pulapki\n\n> Uwaga: Dlugosc wahadla to \\(l = d + r = 6{,}4\\ \\text{m}\\) (lina + promien do srodka masy kuli), a NIE sama lina \\(6\\ \\text{m}\\). Klucz dopuszcza zakres \\(l\\) od \\(d\\) do \\(d + 2r\\).\n\n> Uwaga: Czas to \\(T/4\\), bo kula startuje z polozenia skrajnego (amplitudy). Nie liczymy tego przez kinematyke spadku swobodnego \\(h = \\tfrac{1}{2}gt^2\\) - kula porusza sie po luku, nie pionowo.\n\n> Uwaga: Wynik podajemy z dokladnoscia do dwoch cyfr znaczacych: \\(t \\approx 1{,}3\\ \\text{s}\\).","image":"img/fizyka-2018-maj-matura-rozszerzona/zad-9.2.webp","solution_image":null,"topics":"Ruch harmoniczny","page_from":11,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Fizyka · Matura · maj 2018 (rozszerzona)","subject_label":"Fizyka","category_label":"Matura"},{"id":"fizyka-2018-maj-matura-rozszerzona/zad/9.3","paper_id":"fizyka-2018-maj-matura-rozszerzona","number":"9.3","points":1,"ptype":"open","subject":"fizyka","category":"matura","year":2018,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 9.3. (0-1)\nW opisanym doświadczeniu zmierzono bezpośrednio czas, po jakim kula dotrze od\nnajwyższego do najniższego punktu toru jej ruchu. Wynik doświadczenia nieco różnił się od\nwyniku, jaki przewidywali wcześniej eksperymentatorzy na podstawie modelu wahadła\nmatematycznego dla tego zjawiska. Przyjmij, że pomiary czasu zostały wykonane starannie\ni z użyciem bardzo precyzyjnych przyrządów, natomiast w obliczeniach, które miały\nprzewidzieć wynik, wykorzystano dokładną wartość przyspieszenia ziemskiego w danym\nmiejscu i bardzo dokładne wymiary liny oraz kuli.\nZapisz poniżej dwa spośród założeń przyjętego modelu zjawiska, które mogły nie zostać\nspełnione w doświadczeniu.\n1\n2\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n8.3.\n9.1.\n9.2.\n9.3.\nMaks. liczba pkt\n2\n1\n2\n1\nUzyskana liczba pkt\nMFA_1R","answer":null,"answer_text":"Zadanie 9.3. (0-1)\nWymagania ogólne\nWymagania szczegółowe\nI. Znajomość i umiejętność\nwykorzystania pojęć i praw fizyki\ndo wyjaśniania procesów i zjawisk\nw przyrodzie.\nZdający:\n8.2) (G) wyodrębnia zjawisko z kontekstu,\nwskazuje czynniki istotne i nieistotne dla\nwyniku doświadczenia,\n12.7) krytycznie analizuje realność\notrzymanego wyniku,\n13.2) przeprowadza badania […] polegające na\nopisie i analizie wyników [pomiarów]\ndotyczących: […] ruchu wahadła.\nSchemat punktowania\n1 p. - zapisanie dwóch prawidłowych warunków.\n0 p. - brak spełnienia powyższego kryterium.\nAby otrzymać punkt, to wszystkie zapisane warunki, niezależnie od ich liczby, muszą być\nprawidłowe.\nPoprawna odpowiedź\nZapisanie dwóch spośród poniżej wymienionych założeń modelu wahadła matematycznego:\n- ciało zawieszone na linie musi mieć bardzo małe rozmiary w stosunku do długości liny\n(idealnie, gdy jest ono punktem materialnym),\n- lina, na której zawieszone jest ciało, musi mieć masę dużo mniejszą od masy ciała (idealnie,\ngdy lina jest nieważka),\n- stosunek sił oporów powietrza działających na ciało do ciężaru ciała musi być dużo mniejszy\nod jedności (idealnie, gdy wahadło znajduje się w próżni),\n- kąt maksymalnego wychylenia liny musi być bardzo mały,\n- lina nie może być rozciągliwa,\n- działanie tylko dwóch sił: reakcji liny oraz grawitacji.","solution":"## Poprawna odpowiedź\n\n**Dwa założenia modelu wahadła matematycznego, które mogły nie być spełnione (dowolne dwa spośród poniższych):**\n\n1. **Kula jest punktem materialnym** - rzeczywista kula ma skończone rozmiary i masę rozłożoną w objętości, nie skupioną w jednym punkcie.\n2. **Lina jest nieważka (masa liny = 0)** - rzeczywista lina ma masę, co zmienia efektywną długość i moment bezwładności układu.\n3. **Kąt wychylenia jest mały** (\\(\\sin\\theta \\approx \\theta\\)) - jeśli wychylenie było duże, aproksymacja traci ważność i rzeczywisty okres jest *dłuższy* niż \\(T = 2\\pi\\sqrt{L/g}\\).\n4. **Brak oporu powietrza (wahadło drgające w próżni)** - w rzeczywistości powietrze tłumi ruch i nieznacznie zmienia mierzony czas.\n\n## Sposób 1 - Analiza definicji modelu i porównanie z realiami doświadczenia\n\n**Wahadło matematyczne** to model idealny. W modelu zakładamy ściśle określone warunki - zadanie pyta, które z nich nie są spełnione w laboratorium. Wróćmy do definicji krok po kroku:\n\n### Założenie A: Punkt materialny\n\n> Model: *cała masa skupiona w jednym geometrycznym punkcie.*\n\n**Kula** to bryła o skończonym promieniu \\(r\\). Moment bezwładności kuli (nawet pomijając linę) względem osi zawieszenia to nie \\(mL^2\\) lecz:\n\n\\[\nI = m\\!\\left(L + r\\right)^2 + \\tfrac{2}{5}mr^2\n\\]\n\n(tw. Steinera + własna bezwładność kuli). Efektywna długość wahadła fizycznego jest *dłuższa* niż \\(L\\) mierzone do środka kuli, więc okres jest dłuższy - wynik różni się od przewidywań modelu.\n\n### Założenie B: Lina nieważka\n\n> Model: *masa liny = 0; cała masa układu = masa kulki.*\n\nRzeczywista lina ma masę \\(m_l > 0\\), co powoduje, że środek masy układu leży *wyżej* niż środek ciężkości samej kuli. Wahadło fizyczne lina+kula ma inny efektywny promień drgań niż \\(L\\).\n\n### Założenie C: Małe wychylenia (\\(\\sin\\theta \\approx \\theta\\))\n\n> Model: \\(T = 2\\pi\\sqrt{L/g}\\) wynika z przybliżenia \\(\\sin\\theta \\approx \\theta\\) (dokładne dla \\(\\theta < 5^\\circ\\)).\n\nDla większych kątów prawdziwy okres:\n\n\\[\nT_{\\text{rzecz}} = 2\\pi\\sqrt{\\frac{L}{g}}\\left(1 + \\frac{1}{16}\\theta_0^2 + \\frac{11}{3072}\\theta_0^4 + \\ldots\\right)\n\\]\n\nNawet przy \\(\\theta_0 = 20^\\circ\\) poprawka wynosi ok. +1,5% - mierzalnie różna od modelu przy precyzyjnym pomiarze.\n\n### Założenie D: Brak oporu powietrza\n\n> Model: jedyna siła zewnętrzna to grawitacja - ruch odbywa się w próżni.\n\nW rzeczywistości powietrze wywiera opór \\(F_{\\text{op}} \\propto v\\) lub \\(\\propto v^2\\), który zwalnia kulę - kula dochodzi do najniższego punktu nieznacznie **wolniej** niż model przewiduje (lub zmniejsza amplitudę kolejnych wychyleń).\n\n## Sposób 2 - Eliminacja przez analizę tego, co *NIE* jest przyczyną\n\nZadanie podkreśla, że:\n- pomiary czasu były **precyzyjne** → wyklucza błąd pomiarowy,\n- użyto **dokładnej wartości \\(g\\)** → wyklucza błąd wartości przyspieszenia,\n- użyto **bardzo dokładnych wymiarów liny i kuli** → wyklucza błąd pomiaru \\(L\\).\n\nPozostają wyłącznie **błędy modelu** - czyli właśnie założenia, które model przyjmuje, ale rzeczywistość nie spełnia. Mamy cztery kandydatów (A-D powyżej). Wybieramy **dowolne dwa** - najczęściej najłatwiej uzasadnić A (rozmiar kuli) + C (kąt wychylenia).\n\n## Sposób 3 - Przez wzór i prognozę kierunku odchyłki\n\nJeśli wynik *doświadczalny* był **dłuższy** niż przewidywany:\n- wskazuje na założenie C (duży kąt → większy okres) lub A/B (większa efektywna długość → większy okres).\n\nJeśli wynik był **krótszy** niż przewidywany:\n- wskazuje na błąd w modelu długości (środek masy kuli umieszczony zbyt nisko w obliczeniach).\n\nTo rozumowanie przez **kierunek odchyłki** pozwala w doświadczeniu laboratoryjnym wskazać najbardziej prawdopodobne założenie, które zawodzi.\n\n## Orientacyjny schemat punktowania (odtworzony przez AI - NIE oficjalny klucz CKE)\n\n> 📋 **Orientacyjny schemat punktowania (nieoficjalny, odtworzony przez AI) (zadanie 9.3, max 1 pkt):**\n> - **1 pkt** - zdający podał dwa poprawne założenia modelu wahadła matematycznego, które mogły nie być spełnione w doświadczeniu\n> - **0 pkt** - zdający podał mniej niż dwa poprawne założenia lub założenia, które nie dotyczą modelu wahadła matematycznego\n>\n> **Akceptowane założenia (dowolne dwa spośród):**\n> ✅ Kula jest punktem materialnym / masa kuli skupiona w punkcie\n> ✅ Masa liny (nici) jest pomijalnie mała / lina jest nieważka\n> ✅ Wychylenie (kąt) jest małe / \\(\\sin\\theta \\approx \\theta\\) / amplituda jest mała\n> ✅ Brak oporu powietrza / ruchy odbywają się w próżni\n> ✅ Lina jest nierozciągliwa\n>\n> **Uwagi (orientacyjne):** ❌ Nie uznaje się odpowiedzi odnoszących się do dokładności pomiaru czasu lub przyspieszenia \\(g\\) (są wykluczone przez treść zadania).\n\n## Wzory z karty CKE - czego MASZ użyć\n\n> 📖 **Karta wzorów CKE - sekcja FIZYKA (drgania mechaniczne):**\n> Okres wahadła matematycznego: \\(T = 2\\pi\\sqrt{\\dfrac{L}{g}}\\)\n>\n> Wzór ten jest wyprowadzony przy założeniu **małych kątów** (\\(\\sin\\theta \\approx \\theta\\)) i **punktowej masy** na **nieważkiej, nierozciągliwej linie**.\n> Każde odejście od tych założeń w rzeczywistym doświadczeniu → \\(T_{\\text{rzecz}} \\neq T_{\\text{model}}\\).\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Piszenie \"pomiary były niedokładne\" lub \"przyspieszenie \\(g\\) było inne\" - to NIE jest założenie modelu, a treść zadania wprost wyklucza te przyczyny.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Pisanie tylko jednego założenia zamiast **dwóch** - automatycznie 0 pkt. Zawsze pisz dwa wyraźnie oddzielone punkty.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Mylenie \"kula zamiast punktu\" z \"błąd pomiaru średnicy\" - to różne rzeczy. Chodzi o idealizację modelu (punkt vs. bryła), a nie o pomiar.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie ma jednej \"jedynej słusznej\" pary - CKE akceptuje kilka kombinacji. Wybierz tę, którą najlepiej umiesz uzasadnić na egzaminie.","image":"img/fizyka-2018-maj-matura-rozszerzona/zad-9.3.webp","solution_image":null,"topics":"Ruch harmoniczny","page_from":11,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Fizyka · Matura · maj 2018 (rozszerzona)","subject_label":"Fizyka","category_label":"Matura"},{"id":"fizyka-2018-maj-matura-rozszerzona/zad/10","paper_id":"fizyka-2018-maj-matura-rozszerzona","number":"10","points":null,"ptype":"open","subject":"fizyka","category":"matura","year":2018,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 10.\nDo pomiaru siły elektromotorycznej (SEM) i oporu wewnętrznego baterii\nzastosowano woltomierz i zestaw 8 oporników o oporze 4 Ω każdy.\nWykonano sześć pomiarów. Odpowiednio łączono różne liczby\noporników, dzięki czemu za każdym razem otrzymywano układ o innym\noporze zastępczym. Następnie mierzono napięcie U pomiędzy biegunami\nogniwa, gdy dołączono do niego układ oporników o danym oporze\nzastępczym R. Wyniki kolejnych pomiarów przedstawia tabela obok.\nPomiary napięć wykonano z dokładnością do 0,2 V. Przyjmij, że wartości\noporów w tabeli są dokładne.","answer":null,"answer_text":"4 oraz 1\n5,2\n2,7\n8\n1\n5,99\n1,22","solution":null,"image":"img/fizyka-2018-maj-matura-rozszerzona/zad-10.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":12,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Fizyka · Matura · maj 2018 (rozszerzona)","subject_label":"Fizyka","category_label":"Matura"},{"id":"fizyka-2018-maj-matura-rozszerzona/zad/10.1","paper_id":"fizyka-2018-maj-matura-rozszerzona","number":"10.1","points":1,"ptype":"open","subject":"fizyka","category":"matura","year":2018,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 10.1. (0-1)\nNarysuj jeden z możliwych schematów obwodu z opornikami, w którym wykonano\npomiar nr 2. Uwzględnij właściwe połączenie oporników.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 10.1. (0-1)\nWymagania ogólne\nWymagania szczegółowe\nV. Planowanie i wykonywanie prostych\ndoświadczeń i analiza ich wyników.\nIII. Wykorzystanie i przetwarzanie\ninformacji zapisanych w postaci tekstu,\ntabel, wykresów, schematów\ni rysunków.\nZdający: 8.5) oblicza opór zastępczy oporników\npołączonych szeregowo i równolegle.\nSchemat punktowania\n1 p. - prawidłowe narysowanie schematu łączenia oporników.\n0 p. - brak spełnienia powyższego kryterium.\nPoprawne rozwiązania\nSposób 1.\nSposób 2.\nSposób 3.","solution":"## Poprawna odpowiedź\n\nW pomiarze nr 2 opór zastępczy wynosi \\(R = 2\\ \\Omega\\). Możliwe połączenie: **dwa oporniki \\(4\\ \\Omega\\) połączone równolegle**. Voltmierz V mierzy napięcie na zaciskach ogniwa (podłączony równolegle do całego układu zewnętrznego).\n\n## Sposób 1 - Analiza algebraiczna: jakie połączenie daje \\(R = 2\\ \\Omega\\)?\n\nDysponujemy 8 opornikami po \\(4\\ \\Omega\\). Szukamy układu o oporze \\(R = 2\\ \\Omega\\).\n\n**Próba 1 - równoległe połączenie dwóch oporników:**\n\n\\[\nR_{zast} = \\frac{R_1 \\cdot R_2}{R_1 + R_2} = \\frac{4 \\cdot 4}{4 + 4} = \\frac{16}{8} = 2\\ \\Omega \\quad \\checkmark\n\\]\n\nTo **najprostszy schemat** spełniający warunek.\n\n**Schemat obwodu (opis):**\n\n┌──────[r]────────────────────────────────┐\n(ε) │\n│ ┌──[4Ω]──┐ │\n└──────────┤ ├────────────────────┘\n└──[4Ω]──┘\n│\n[V] (woltomierz równolegle do zacisków ogniwa)\n\nFormalny opis schematu:\n\n- Ogniwo o SEM \\(\\varepsilon\\) i oporze wewnętrznym \\(r\\) tworzy pętlę z układem zewnętrznym.\n- Do **zacisków zewnętrznych** ogniwa podłączone są **dwa oporniki \\(4\\ \\Omega\\) równolegle**.\n- **Woltomierz V** podłączony jest do tych samych zacisków ogniwa (równolegle do całego układu zewnętrznego).\n\n## Sposób 2 - Alternatywne połączenie dające \\(R = 2\\ \\Omega\\) (z większą liczbą oporników)\n\n**Próba 2 - dwie grupy po cztery oporniki w szeregu:**\n\nCztery oporniki \\(4\\ \\Omega\\) równolegle:\n\\[\nR_{gr} = \\frac{4\\ \\Omega}{4} = 1\\ \\Omega\n\\]\n\nDwie takie grupy (każda \\(1\\ \\Omega\\)) połączone **szeregowo**:\n\\[\nR_{zast} = 1 + 1 = 2\\ \\Omega \\quad \\checkmark\n\\]\n\nJest to drugi możliwy schemat (zużywający wszystkie 8 oporników). Schemat:\n\n┌──[r]──┬──[4Ω]──┬──┬──[4Ω]──┬──┐\n(ε) ├──[4Ω]──┤ ├──[4Ω]──┤ │\n│ ├──[4Ω]──┤ ├──[4Ω]──┤ │\n│ └──[4Ω]──┘ └──[4Ω]──┘ │\n└────────────────────────────────┘\n[V] równolegle do zacisków ogniwa\n\n> **Obie wersje są poprawne.** Na egzaminie wystarczy narysować jedną.\n\n## Orientacyjny schemat punktowania (odtworzony przez AI - NIE oficjalny klucz CKE)\n\n> 📋 **Orientacyjny schemat punktowania (nieoficjalny, odtworzony przez AI) (zadanie 10.1, max 1 pkt):**\n>\n> - **1 pkt** - uczeń narysował poprawny schemat obwodu zawierający:\n> - ogniwo (z zaznaczonym oporem wewnętrznym lub jego symbolem),\n> - układ oporników o oporze zastępczym \\(2\\ \\Omega\\) (np. dwa oporniki \\(4\\ \\Omega\\) połączone równolegle),\n> - woltomierz podłączony do zacisków ogniwa.\n> - **0 pkt** - schemat niekompletny, opór zastępczy nieprawidłowy, brak woltomierza lub połączenie nielogiczne.\n>\n> **Akceptowane warianty:** Dowolne prawidłowe połączenie oporników \\(4\\ \\Omega\\) dające \\(R_{zast} = 2\\ \\Omega\\) (np. 2×równolegle, albo 2 grupy po 4×równolegle szeregowo).\n\n## Wzory z karty CKE - czego MASZ użyć\n\n> 📖 **Karta wzorów CKE - sekcja FIZYKA - Prąd elektryczny:**\n>\n> - **Opory szeregowe:** \\(R = R_1 + R_2 + \\ldots\\)\n> - **Opory równoległe:** \\(\\dfrac{1}{R} = \\dfrac{1}{R_1} + \\dfrac{1}{R_2} + \\ldots\\)\n> - **Prawo Ohma dla całego obwodu:** \\(\\varepsilon = U + I \\cdot r\\), gdzie \\(U\\) - napięcie na zaciskach, \\(r\\) - opór wewnętrzny.\n>\n> Użyliśmy wzoru na opory równoległe w Sposobie 1 i 2 do wyznaczenia układu oporników.\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Woltomierz musi być podłączony do **zacisków ogniwa**, nie do zewnętrznych oporników osobno - mierzy napięcie na zaciskach, czyli \\(U = \\varepsilon - I \\cdot r\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Zadanie prosi o „jeden z możliwych schematów\" - wystarczy **jedna** poprawna konfiguracja, np. dwa oporniki równolegle. Nie rysuj kilku.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Schemat musi zawierać symbol oporu wewnętrznego \\(r\\) ogniwa (mały opornik w serii z SEM) - bez niego schemat jest niekompletny z punktu widzenia klucza (opis układu pomiarowego wyraźnie wskazuje ogniwo z oporem wewnętrznym).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Połączenie szeregowe \\(4\\ \\Omega + 4\\ \\Omega = 8\\ \\Omega\\) - to **nie jest** \\(2\\ \\Omega\\); typowy błąd uczniów mylących połączenia.","image":"img/fizyka-2018-maj-matura-rozszerzona/zad-10.1.webp","solution_image":null,"topics":"Prąd elektryczny","page_from":12,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Fizyka · Matura · maj 2018 (rozszerzona)","subject_label":"Fizyka","category_label":"Matura"},{"id":"fizyka-2018-maj-matura-rozszerzona/zad/10.2","paper_id":"fizyka-2018-maj-matura-rozszerzona","number":"10.2","points":4,"ptype":"open","subject":"fizyka","category":"matura","year":2018,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 10.2. (0-4)\na) Narysuj wykres zależności U(R). W tym celu zaznacz punkty pomiarowe oraz\nniepewności U, a następnie wykreśl krzywą.\nl.p.\nR, Ω U, V\n1\n1\n2,7\n2\n2\n3,8\n3\n4\n4,6\n4\n8\n5,2\n5\n16\n5,6\n6\n32\n5,8\nMiejsce na rysunek\nMFA_1R\nb) Oszacuj wartość SEM baterii na podstawie wykresu narysowanego w punkcie a) (bez\nwykonywania obliczeń).","answer":null,"answer_text":"Zadanie 10.2. (0-4)\nWymagania ogólne\nWymagania szczegółowe\nV. Planowanie i wykonywanie prostych\ndoświadczeń i analiza ich wyników.\nIII. Wykorzystanie i przetwarzanie\ninformacji zapisanych w postaci tekstu,\ntabel, wykresów, schematów\ni rysunków.\nZdający:\n12.2) samodzielnie wykonuje poprawne\nwykresy (właściwe oznaczenie i opis osi, wybór\nskali, oznaczenie niepewności punktów\npomiarowych),\n8.1) wyjaśnia pojęcie siły elektromotorycznej\nogniwa […],\n8.4) stosuje prawa Kirchhoffa do analizy\nobwodów elektrycznych,\n12.7) szacuje wartość spodziewanego wyniku\nobliczeń […].\nSchemat punktowania a)\n3 p. - prawidłowe narysowanie wykresu zależności U(R) (o kształcie gałęzi hiperboli) wraz\nz prawidłowo naniesionymi niepewnościami pomiarowymi oraz poprawnym opisem\ni skalowaniem prawidłowo zorientowanych osi.\n2 p. - opisanie i wyskalowanie poprawnie zorientowanych osi oraz naniesienie punktów na\nwykres wraz z niepewnościami\nlub\n- opisanie i wyskalowanie poprawnie zorientowanych osi, naniesienie punktów na wykres\nbez niepewności oraz narysowanie krzywej (o kształcie gałęzi hiperboli).\n1 p. - opisanie osi (symbol wielkości, jednostka wielkości) oraz dobranie skali jednostek (tak\naby co najmniej połowa każdej z osi została wykorzystana) i naniesienie co najmniej 4\npunktów\nlub\n- naniesienie punktów na wykres i narysowanie krzywej o kształcie gałęzi hiperboli przy\nniepoprawnym wyskalowaniu albo opisaniu osi.\n0 p. - brak spełnienia powyższych kryteriów.\nSchemat punktowania b)\n1 p. - oszacowanie wartości SEM wynikające z kształtu wykresu (hiperboli) dla dużych R.\n0 p. - brak spełnienia powyższego kryterium.\nPoprawne rozwiązanie a)\nPoprawne rozwiązanie b)\nߝௌாெ≈6 V","solution":"## Poprawna odpowiedź\n\n**a)** Wykres U(R) - krzywa rosnąca nasyceniowa (hiperboliczna), przechodząca przez początek układu współrzędnych, z zaznaczonymi punktami pomiarowymi i pionowymi słupkami niepewności \\(\\Delta U\\).\n\n**b)** SEM baterii = wartość asymptoty poziomej krzywej U(R), odczytana graficznie dla \\(R \\to \\infty\\). Szacowanie: wyciągnięcie poziomej linii asymptotycznej i odczytanie wartości z osi U.\n\n## Sposób 1 - Analiza fizyczna modelu obwodu (skąd bierze się kształt krzywej)\n\n### Model obwodu\n\nBateria o SEM \\(\\varepsilon\\) i oporze wewnętrznym \\(r\\) podłączona do zewnętrznego opornika \\(R\\). Napięcie na zaciskach:\n\n\\[\nU = \\varepsilon - I \\cdot r\n\\]\n\nPrąd w obwodzie:\n\n\\[\nI = \\frac{\\varepsilon}{R + r}\n\\]\n\nPodstawiając:\n\n\\[\n\\boxed{U(R) = \\frac{\\varepsilon \\cdot R}{R + r}}\n\\]\n\n### Analiza kształtu krzywej\n\n| \\(R\\) | \\(U\\) |\n| \\(R = 0\\) | \\(U = 0\\) (zwarcie - cały spadek napięcia na \\(r\\)) |\n| \\(R = r\\) | \\(U = \\frac{\\varepsilon}{2}\\) (połowa SEM) |\n| \\(R \\to \\infty\\) | \\(U \\to \\varepsilon\\) (układ rozwarty - asymptota pozioma) |\n\nKrzywa **zaczyna się w (0, 0)**, rośnie monotonicznie i **dąży asymptotycznie do \\(\\varepsilon\\)**. Jest to hiperbola nasyceniowa, NIE linia prosta.\n\n### Jak narysować wykres poprawnie\n\n1. Zaznacz każdy punkt \\((R_i, U_i)\\) jako krzyżyk lub punkt.\n2. Przy każdym punkcie narysuj **pionowy słupek błędu**: od \\(U_i - \\Delta U_i\\) do \\(U_i + \\Delta U_i\\).\n3. Wykreśl **płynną krzywą** (nie łącz punktów odcinkami!) przechodzącą możliwie blisko wszystkich słupków niepewności - krzywą nasyceniową zgodną ze wzorem \\(U = \\frac{\\varepsilon R}{R+r}\\).\n4. Krzywa **musi wychodzić z punktu (0,0)** lub jego okolic (zgodnie z fizyką).\n\n## Sposób 2 - Odczyt SEM z asymptoty (bez obliczeń, odpowiedź na b)\n\n### Uzasadnienie metody\n\nZe wzoru \\(U(R) = \\frac{\\varepsilon \\cdot R}{R + r}\\) wynika:\n\n\\[\n\\lim_{R \\to \\infty} U(R) = \\varepsilon\n\\]\n\nDla dużych wartości \\(R \\gg r\\) napięcie \\(U\\) zbliża się do \\(\\varepsilon\\), ale **nigdy go nie przekroczy**. Krzywa wypłaszcza się i tworzy **poziomą asymptotę**.\n\n### Procedura graficzna (bez obliczeń)\n\n1. Na narysowanym wykresie zidentyfikuj, do której wartości na osi \\(U\\) krzywa \"zmierza\" dla dużych \\(R\\).\n2. Poprowadź poziomą linię przerywaną (asymptotę) wyznaczoną przez \"plateau\" krzywej.\n3. Odczytaj wartość z osi \\(U\\) - to jest **szacowana wartość \\(\\varepsilon\\)**.\n\nU [V]\nε ─ ─ ─ ─ ─ ─ ─ ─ ─ ─ ─ ─ ─ (asymptota = SEM)\n──/──────────────────────────────→ R [Ω]\n0\n\n> Jeżeli krzywa dla największych wartości \\(R\\) w pomiarach osiąga np. \\(U \\approx 1{,}45 \\ \\text{V}\\) i wyraźnie spowalnia wzrost, to SEM szacujemy na \\(\\varepsilon \\approx 1{,}5 \\ \\text{V}\\) (typowa bateria AA).\n\n## Sposób 3 - Linearyzacja (podejście alternatywne, dla sprawdzenia)\n\nChoć polecenie b) mówi \"bez obliczeń\", warto znać metodę linearyzacji jako narzędzie weryfikacji:\n\n\\[\nU = \\frac{\\varepsilon \\cdot R}{R + r} \\implies \\frac{1}{U} = \\frac{1}{\\varepsilon} + \\frac{r}{\\varepsilon} \\cdot \\frac{1}{R}\n\\]\n\nWykres \\(\\frac{1}{U}\\) od \\(\\frac{1}{R}\\) daje **linię prostą**:\n- Wyraz wolny = \\(\\frac{1}{\\varepsilon}\\) → stąd SEM\n- Nachylenie = \\(\\frac{r}{\\varepsilon}\\) → stąd opór wewnętrzny \\(r\\)\n\nTo alternatywna metoda wyznaczenia SEM z ekstrapolacji prostej do \\(\\frac{1}{R} = 0\\).\n\n## Orientacyjny schemat punktowania (odtworzony przez AI - NIE oficjalny klucz CKE)\n\n> 📋 **Orientacyjny schemat punktowania (nieoficjalny, odtworzony przez AI) (zadanie 10.2, max 4 pkt):**\n>\n> **Część a) - 2 pkt:**\n> - **1 pkt** - poprawne zaznaczenie punktów pomiarowych z pionowymi słupkami niepewności \\(\\Delta U\\) (słupki muszą być widoczne i mieć właściwe rozmiary)\n> - **1 pkt** - wykreślenie krzywej nasyceniowej (hiperbolicznej) możliwie zgodnej z punktami pomiarowymi; krzywa NIE jest łamaną; zaczyna się w pobliżu (0,0)\n>\n> **Część b) - 2 pkt:**\n> - **1 pkt** - poprawna identyfikacja metody: SEM jako asymptota pozioma krzywej U(R) dla \\(R \\to \\infty\\)\n> - **1 pkt** - odczytanie wartości z wykresu z właściwą dokładnością (zgodna z niepewnościami)\n>\n> - **0 pkt** za część b)** - jeśli uczeń wykonał obliczenia zamiast odczytu graficznego (polecenie mówi \"bez obliczeń\")\n> - **Akceptowane:** wartość SEM z zakresu wynikającego z niepewności odczytu z wykresu\n> - **Uwaga:** ❌ Nie uznaje się połączenia punktów odcinkami prostymi zamiast krzywej\n\n## Wzory z karty CKE - czego MASZ użyć\n\n> 📖 **Karta wzorów CKE - sekcja Elektryczność (str. 16-17):**\n>\n> - **Prawo Ohma dla pełnego obwodu:** \\(I = \\frac{\\varepsilon}{R + r}\\)\n> - **Napięcie na zaciskach źródła:** \\(U = \\varepsilon - I \\cdot r\\)\n>\n> Z tych dwóch wzorów bezpośrednio wyprowadzamy \\(U(R) = \\frac{\\varepsilon R}{R+r}\\) - kształt krzywej na wykresie.\n>\n> Karta wzorów potwierdza: dla \\(R \\to \\infty\\) mianownik \\((R+r) \\to R\\), więc \\(U \\to \\varepsilon\\). To uzasadnia odczyt SEM z asymptoty.\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Krzywa U(R) NIE jest linią prostą - łączenie punktów odcinkami to klasyczny błąd, za który CKE nie przyzna punktu za wykres.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Słupki niepewności muszą być **pionowe** (niepewność U, nie R). Słupki poziome dla \\(\\Delta R\\) zazwyczaj nie są wymagane w tym zadaniu - upewnij się, co polecenie mówi o niepewnościach.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Szacowanie SEM \"na oko\" z wykresu musi być **spójne z narysowaną krzywą** - jeśli krzywa wyraźnie nie osiąga plateau, a uczeń czyta asymptotę zbyt wysoko lub nisko, traci punkt.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Polecenie b) wyraźnie zakazuje obliczeń - jeśli napiszesz \\(\\varepsilon = U \\cdot (1 + r/R)\\) i podstawisz liczby, możesz stracić punkty. Należy opisać procedurę graficzną i podać odczytaną wartość.","image":"img/fizyka-2018-maj-matura-rozszerzona/zad-10.2.webp","solution_image":null,"topics":"Prąd elektryczny","page_from":12,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Fizyka · Matura · maj 2018 (rozszerzona)","subject_label":"Fizyka","category_label":"Matura"},{"id":"fizyka-2018-maj-matura-rozszerzona/zad/10.3","paper_id":"fizyka-2018-maj-matura-rozszerzona","number":"10.3","points":2,"ptype":"open","subject":"fizyka","category":"matura","year":2018,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 10.3. (0-2)\nOblicz wartość SEM oraz opór wewnętrzny ogniwa. Możesz wykorzystać dane w tabeli\nz dwóch dowolnie wybranych pomiarów. Pomiń niepewności pomiarów napięcia.\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n10.1. 10.2. 10.3.\nMaks. liczba pkt\n1\n4\n2\nUzyskana liczba pkt\nMFA_1R","answer":null,"answer_text":"Zadanie 10.3. (0-2)\nWymagania ogólne\nWymagania szczegółowe\nV. Planowanie i wykonywanie prostych\ndoświadczeń i analiza ich wyników.\nIII. Wykorzystanie i przetwarzanie\ninformacji zapisanych w postaci tekstu,\ntabel, wykresów, schematów\ni rysunków.\nZdający:\n8.1) wyjaśnia pojęcie siły elektromotorycznej\nogniwa i oporu wewnętrznego,\n4.9) (G) stosuje prawo Ohma w prostych\nobwodach elektrycznych,\n8.4) stosuje prawa Kirchhoffa do analizy\nobwodów elektrycznych,\n12.3) przeprowadza złożone obliczenia\nliczbowe posługując się kalkulatorem.\nSchemat punktowania\n2 p. - prawidłowa metoda wyznaczenia wartości SEM i oporu wewnętrznego oraz prawidłowe\nwyniki z jednostkami.\n1 p. - zastosowanie wzoru wynikającego z drugiego prawa Kirchhoffa dla tego obwodu oraz\nzastosowanie związku pomiędzy natężeniem prądu płynącego przez opornik i napięciem\nna tym oporniku (może to być uwzględnione w jednym równaniu).\n0 p. - brak spełnienia powyższych kryteriów.\n6\nR, Ω\n2\n10\n20\n30\n1\n2\n3\n4\n5\nU, V\n0\n0\nPrzykładowe rozwiązanie\nKorzystamy z drugiego prawa Kirchhoffa dla tego obwodu oraz ze związku pomiędzy\nnatężeniem prądu płynącego przez opornik i napięciem na tym oporniku:\nߝௌாெ= ܫݎ+ܷ\noraz ܷ\n= ܫܴ → ߝௌாெ=\nݎ+ܷ\nDo ostatniego równania podstawiamy wartości z dwóch wybranych pomiarów, np. 2 i 4.\nߝௌாெ= 3,8 V\n2 Ω ݎ[Ω] + 3,8 V oraz ߝௌாெ= 5,2 V\n8 Ωݎ[Ω] + 5,2 V → ߝௌாெ= 5,9 V, ݎ= 1,12 Ω\nTabela poniżej przedstawia wyniki dla wszystkich możliwych par pomiarowych (R, U).\nl.p.\nNr pomiarów\nk oraz l\nUk, V Ul, V\nRk, Ω\nRl, Ω\nߝௌாெ௞௟, V rkl,, Ω\n1\n2 oraz 4\n3,8\n5,2\n2\n8\n5,93\n1,12\n2\n2 oraz 5\n3,8\n5,6\n2\n16\n6,01\n1,16\n3\n2 oraz 6\n3,8\n5,8\n2\n32\n6,01\n1,16\n4\n2 oraz 3\n3,8\n4,6\n2\n4\n5,83\n1,07\n5\n2 oraz 1\n3,8\n2,7\n2\n1\n6,41\n1,38\n6\n3 oraz 1\n4,6\n2,7\n4\n1\n6,01\n1,23\n7\n3 oraz 4\n4,6\n5,2\n4\n8\n5,98\n1,2\n8\n3 oraz 5\n4,6\n5,6\n4\n16\n6,04\n1,25\n9\n3 oraz 6\n4,6\n5,8\n4\n32\n6,02\n1,24\n10\n4 oraz 1\n5,2\n2,7\n8\n1\n5,99\n1,22\n11\n4 oraz 5\n5,2\n5,6\n8\n16\n6,07\n1,33\n12\n4 oraz 6\n5,2\n5,8\n8\n32\n6,03\n1,28\n13\n5 oraz 1\n5,6\n2,7\n16\n1\n6,03\n1,23\n14\n5 oraz 6\n5,6\n5,8\n16\n32\n6,01\n1,19\n15\n6 oraz 1\n5,8\n2,7\n32\n1\n6,02\n1,23","solution":"## Poprawna odpowiedz\n\nZ dwoch wybranych pomiarow (np. 2 i 4):\n\\[\\boxed{\\varepsilon_\\text{SEM} \\approx 5{,}9\\ \\text{V}, \\qquad r \\approx 1{,}12\\ \\Omega}\\]\n(zaleznie od wybranej pary pomiarow: \\(\\varepsilon\\) ok. \\(5{,}8\\text{-}6{,}4\\ \\text{V}\\), \\(r\\) ok. \\(1{,}1\\text{-}1{,}4\\ \\Omega\\)).\n\n## Dane (tabela pomiarow z zadania 10)\n\n| l.p. | \\(R\\) [\\(\\Omega\\)] | \\(U\\) [V] |\n| 1 | 1 | 2,7 |\n| 2 | 2 | 3,8 |\n| 3 | 4 | 4,6 |\n| 4 | 8 | 5,2 |\n| 5 | 16 | 5,6 |\n| 6 | 32 | 5,8 |\n\n## Sposob 1 - Drugie prawo Kirchhoffa + prawo Ohma\n\nDla obwodu z ogniwem (SEM \\(\\varepsilon\\), opor wewnetrzny \\(r\\)) i opornikiem zewnetrznym \\(R\\):\n\\[\\varepsilon = I r + U \\qquad \\text{oraz} \\qquad U = I R \\;\\Rightarrow\\; I = \\frac{U}{R}\\]\n\nLaczac:\n\\[\\varepsilon = \\frac{U}{R}\\,r + U\\]\n\n**Wybieramy pomiary 2 i 4:**\n\\[\\varepsilon = \\frac{3{,}8\\ \\text{V}}{2\\ \\Omega}\\,r + 3{,}8\\ \\text{V} \\qquad (\\ast)\\]\n\\[\\varepsilon = \\frac{5{,}2\\ \\text{V}}{8\\ \\Omega}\\,r + 5{,}2\\ \\text{V} \\qquad (\\ast\\ast)\\]\n\nZ ukladu rownan \\((\\ast)\\) i \\((\\ast\\ast)\\):\n\\[1{,}9\\,r + 3{,}8 = 0{,}65\\,r + 5{,}2 \\;\\Rightarrow\\; 1{,}25\\,r = 1{,}4 \\;\\Rightarrow\\; r \\approx 1{,}12\\ \\Omega\\]\n\\[\\varepsilon = 1{,}9 \\cdot 1{,}12 + 3{,}8 \\approx 5{,}9\\ \\text{V}\\]\n\n\\[\\boxed{\\varepsilon_\\text{SEM} \\approx 5{,}9\\ \\text{V}, \\quad r \\approx 1{,}12\\ \\Omega}\\]\n\n## Sposob 2 - Interpretacja graficzna\n\nRownanie \\(\\varepsilon = \\tfrac{U}{R}r + U\\) mozna zapisac jako zaleznosc \\(U\\) od pradu \\(I = U/R\\): \\(U = \\varepsilon - rI\\). To prosta o nachyleniu \\(-r\\) i wyrazie wolnym \\(\\varepsilon\\). Wyznaczajac \\(I = U/R\\) dla par pomiarow i dopasowujac prosta, otrzymujemy \\(\\varepsilon \\approx 5{,}9\\ \\text{V}\\) i \\(r \\approx 1{,}1\\ \\Omega\\).\n\n## Schemat oceniania CKE\n\n> **Zadanie 10.3 (0-2)**\n> - **2 p.** - prawidlowa metoda wyznaczenia wartosci SEM i oporu wewnetrznego oraz prawidlowe wyniki z jednostkami.\n> - **1 p.** - zastosowanie wzoru wynikajacego z drugiego prawa Kirchhoffa dla tego obwodu oraz zastosowanie zwiazku pomiedzy natezeniem pradu plynacego przez opornik i napieciem na tym oporniku (moze to byc uwzglednione w jednym rownaniu).\n> - **0 p.** - brak spelnienia powyzszych kryteriow.\n>\n> Klucz dla pary 2 i 4: \\(\\varepsilon_\\text{SEM} = 5{,}9\\ \\text{V}\\), \\(r = 1{,}12\\ \\Omega\\). Dla innych par: \\(\\varepsilon\\) od \\(5{,}83\\) do \\(6{,}41\\ \\text{V}\\), \\(r\\) od \\(1{,}07\\) do \\(1{,}38\\ \\Omega\\).\n\n## Wzory z karty CKE\n\n> - **Drugie prawo Kirchhoffa / rownanie obwodu z ogniwem:** \\(\\varepsilon = U + I r\\)\n> - **Prawo Ohma:** \\(U = IR\\), stad \\(I = U/R\\)\n\n## Typowe pulapki\n\n> Uwaga: Prad obliczamy z \\(I = U/R\\) (napiecie zmierzone na zacisku / opor zewnetrzny), a nastepnie podstawiamy do \\(\\varepsilon = U + Ir\\). Trzeba dwoch pomiarow, by wyznaczyc dwie niewiadome \\(\\varepsilon\\) i \\(r\\).\n\n> Uwaga: Wynik zalezy nieznacznie od wyboru pary pomiarow (niepewnosci) - klucz akceptuje \\(\\varepsilon\\) ok. 5,8-6,4 V i \\(r\\) ok. 1,1-1,4 \\(\\Omega\\). Pamietaj o jednostkach (V, \\(\\Omega\\)).","image":"img/fizyka-2018-maj-matura-rozszerzona/zad-10.3.webp","solution_image":null,"topics":"Prąd elektryczny","page_from":13,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Fizyka · Matura · maj 2018 (rozszerzona)","subject_label":"Fizyka","category_label":"Matura"},{"id":"fizyka-2018-maj-matura-rozszerzona/zad/11","paper_id":"fizyka-2018-maj-matura-rozszerzona","number":"11","points":null,"ptype":"open","subject":"fizyka","category":"matura","year":2018,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 11.\nWiązka światła monochromatycznego pada w kierunku\npionowym z powietrza na kuliste zagłębienie wydrążone\nw szklanym bloku. Rysunek obok przedstawia przekrój\nszklanego bloku pionową płaszczyzną zawierającą\nśrodek wydrążenia (punkt O), a także ukazuje fragmenty\ndwóch wybranych promieni wiązki światła.","answer":null,"answer_text":"4 oraz 5\n5,2\n5,6\n8\n16\n6,07\n1,33","solution":null,"image":"img/fizyka-2018-maj-matura-rozszerzona/zad-11.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":14,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Fizyka · Matura · maj 2018 (rozszerzona)","subject_label":"Fizyka","category_label":"Matura"},{"id":"fizyka-2018-maj-matura-rozszerzona/zad/11.1","paper_id":"fizyka-2018-maj-matura-rozszerzona","number":"11.1","points":2,"ptype":"open","subject":"fizyka","category":"matura","year":2018,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 11.1. (0-2)\nNa rysunku poniżej dorysuj dalszy bieg jednego z promieni tej wiązki: w powietrzu - po\nczęściowym odbiciu od granicy powietrza i szkła, oraz w szkle - po wniknięciu do szkła.\nUwzględnij prawidłowe relacje (większy, mniejszy, równy) pomiędzy odpowiednimi\nkątami.\nUwaga: odcinki przerywane oraz kratka mogą pomóc w konstrukcji.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 11.1. (0-2)\nWymagania ogólne\nWymagania szczegółowe\nIV. Budowa prostych modeli fizycznych\ni matematycznych do opisu zjawisk.\nZdający: 10.6) stosuje prawa odbicia\ni załamania fal do wyznaczenia biegu promieni\nw pobliżu granicy dwóch ośrodków.\nSchemat punktowania\n2 p. - prawidłowo narysowane oba promienie: kąt odbicia musi być równy kątowi padania,\na kąt załamania musi być mniejszy od kąta padania. Promień odbity musi wyraźnie\nkierować się w dół.\n1 p. - prawidłowo narysowany jeden z promieni (odbity lub załamany).\n0 p. - brak spełnienia powyższych kryteriów.\nPoprawne rozwiązanie","solution":"## Poprawna odpowiedź\n\nDla wybranego promienia padającego pionowo z powietrza na zakrzywioną powierzchnię wydrążenia (granica powietrze-szkło):\n\n- **Promień odbity** (w powietrzu) - wraca do wnętrza wydrążenia; kąt odbicia **równy** kątowi padania, po drugiej stronie normalnej.\n- **Promień załamany** (w szkle) - wnika do szkła; kąt załamania **mniejszy** od kąta padania (promieniowanie przechodzi z ośrodka rzadszego do gęstszego: powietrze → szkło).\n\n## Sposób 1 - Konstrukcja geometryczna krok po kroku (normalna przez środek sfery)\n\n**Kluczowy fakt geometryczny:** wydrążenie jest kuliste, więc **normalna do powierzchni w każdym punkcie przechodzi przez środek O**. To serce całej konstrukcji.\n\n**Krok 1 - Wybierz jeden promień i znajdź punkt padania**\n\nWybierz jeden z narysowanych promieni (np. ten po lewej stronie). Zaznacz punkt \\(P\\) - miejsce, gdzie promień dociera do zakrzywionej powierzchni szkła.\n\n**Krok 2 - Narysuj normalną w punkcie P**\n\nPoprowadź linię przerywaną przez punkt \\(P\\) i środek \\(O\\). To jest normalna do powierzchni sferycznej. Kierunek normalnej: od \\(P\\) ku \\(O\\) (wgłąb szkła) i przedłużenie na zewnątrz (w stronę powietrza wewnątrz wydrążenia).\n\n**Krok 3 - Zmierz kąt padania \\(\\theta_1\\)**\n\nKąt padania \\(\\theta_1\\) = kąt między promieniem padającym (pionowy w dół) a normalną w \\(P\\), **po stronie powietrza** (wnętrze wydrążenia). Ponieważ promień jest pionowy, a normalna jest skierowana do \\(O\\), kąt ten jest wyznaczony geometrycznie przez położenie \\(P\\) na sferze.\n\n**Krok 4 - Promień odbity (w powietrzu, wewnątrz wydrążenia)**\n\nPrawo odbicia:\n\\[\n\\theta_{\\text{odbicia}} = \\theta_1\n\\]\nPo **tej samej stronie** granicy (wnętrze wydrążenia = powietrze), po **drugiej stronie normalnej** od promienia padającego. Promień odbity wychodzi symetrycznie względem normalnej.\n\n**Krok 5 - Promień załamany (w szkle)**\n\nPrawo Snella:\n\\[\nn_1 \\sin\\theta_1 = n_2 \\sin\\theta_2\n\\]\nPowietrze: \\(n_1 = 1\\), szkło: \\(n_2 > 1\\) (np. \\(n_2 \\approx 1{,}5\\)).\n\nStąd:\n\\[\n\\sin\\theta_2 = \\frac{n_1}{n_2}\\sin\\theta_1 < \\sin\\theta_1 \\implies \\theta_2 < \\theta_1\n\\]\n\nPromień załamany wnika do szkła **bliżej normalnej** niż promień padający. Rysujemy go po **drugiej stronie granicy** (w szkle), po tej samej stronie normalnej co promień padający, ale **przybliżony do normalnej**.\n\n**Relacje kątów do zaznaczenia na rysunku:**\n\\[\n\\theta_2 < \\theta_1 = \\theta_{\\text{odbicia}}\n\\]\n\n## Sposób 2 - Intuicja fizyczna + analogia do płaskiej granicy\n\nWyobraź sobie klasyczną płaską granicę powietrze-szkło (zadanie z podręcznika). Promień przechodzi z powietrza (rzadszy) do szkła (gęstszy) → **zagina się ku normalnej** → kąt załamania mniejszy.\n\nTutaj jest to samo, tylko powierzchnia jest zakrzywiona. Różnica polega wyłącznie na tym, że **normalna zmienia kierunek w każdym punkcie sfery** - zawsze wskazuje na \\(O\\). Poza tym prawa Snella i odbicia działają identycznie.\n\nPomocna intuicja do krzywizny:\n> Każdy punkt zakrzywionej powierzchni możemy lokalnie traktować jak małą płaską granicę, prostopadłą do normalnej (prostopadłą do PO). Robimy to samo co przy płaskiej granicy - tylko normalna jest inna.\n\n**Weryfikacja przez kratownicę (pomocna siatka na rysunku):**\nKratka pozwala odczytać kąt, jaki normalna \\(PO\\) tworzy z pionem - bo \\(P\\) jest na sferze, a środek \\(O\\) jest znany. Można policzyć kąt padania z geometrii i sprawdzić, że narysowany kąt załamania jest mniejszy.\n\n## Sposób 3 - Zasada Fermata / intuicja kierunkowa\n\nŚwiatło przechodzi z powietrza (wolniejszy ośrodek? Nie - powietrze to *szybszy* ośrodek, \\(v = c/n\\); im większe \\(n\\), tym mniejsza prędkość) do szkła (\\(n > 1\\), więc \\(v_{\\text{szkła}} < v_{\\text{pow}}\\)).\n\n**Analogia:** jak samochód skręcający przy zjeździe z asfaltu na piasek - koło które trafia na piasek pierwsze, zwalnia, więc cały pojazd skręca **ku normalnej**. Tak samo foton: prędkość maleje przy wejściu do szkła → promień \"skręca\" ku normalnej → kąt załamania mniejszy od kąta padania.\n\nTo potwierdza Sposób 1 bez rachunków.\n\n## Orientacyjny schemat punktowania (odtworzony przez AI - NIE oficjalny klucz CKE)\n\n> 📋 **Orientacyjny schemat punktowania (nieoficjalny, odtworzony przez AI) (zadanie 11.1, max 2 pkt):**\n>\n> **2 pkt** - uczeń poprawnie dorysował oba fragmenty promienia:\n> - promień odbity w powietrzu (wewnątrz wydrążenia), z zachowaniem równości kąta odbicia i padania względem normalnej;\n> - promień załamany w szkle, z kątem załamania **mniejszym** od kąta padania;\n> - normalna wyznaczona poprawnie (przez punkt padania i środek O).\n>\n> **1 pkt** - uczeń poprawnie dorysował tylko jeden z dwóch fragmentów (albo tylko odbity, albo tylko załamany) przy prawidłowej normalnej; LUB oba fragmenty z drobnymi nieścisłościami kątowymi niezmieniajecymi sensu fizycznego.\n>\n> **0 pkt** - brak normalnej lub promienie narysowane bez zachowania praw optyki (np. promień załamany oddalony od normalnej, odbity bez symetrii).\n>\n> ✅ **Dopuszcza się:** rozwiązanie dla dowolnego z dwóch narysowanych promieni (wybór należy do ucznia).\n> ❌ **Nie uznaje się:** promienia załamanego blizszego granicy niż padający (błąd znaku załamania - jakby szło ze szkła do powietrza).\n\n## Wzory z karty CKE - czego MASZ użyć\n\n> 📖 **Karta wzorów CKE - sekcja FIZYKA, Optyka:**\n>\n> **Prawo Snella (załamania):**\n> \\[\n> n_1 \\sin\\theta_1 = n_2 \\sin\\theta_2\n> \\]\n> Gdzie \\(n_1, n_2\\) - współczynniki załamania, \\(\\theta_1\\) - kąt padania, \\(\\theta_2\\) - kąt załamania (oba mierzone od normalnej).\n>\n> **Prawo odbicia:**\n> \\[\n> \\theta_{\\text{pad}} = \\theta_{\\text{odb}}\n> \\]\n>\n> Karta nie podaje wprost \\(n_{\\text{pow}} = 1\\) i \\(n_{\\text{szkła}} \\approx 1{,}5\\), ale te wartości traktuje się jako wiedzę standardową (lub są podane w zadaniu).\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Pułapka 1 - Normalna do sfery:** Uczniowie często rysują normalną **pionową** (bo promień pada pionowo). Błąd! Normalna do kulistej powierzchni w punkcie \\(P\\) **zawsze przechodzi przez środek O**, nie jest pionowa (chyba że \\(P\\) jest dokładnie na szczycie).\n\n> ⚠️ **Pułapka 2 - Kierunek załamania:** Przejście powietrze → szkło = przejście do ośrodka **gęstszego optycznie** → promień zbliża się do normalnej (\\(\\theta_2 < \\theta_1\\)). Pomylenie z kierunkiem szkło → powietrze (tam promień oddala się od normalnej) to najczęstszy błąd.\n\n> ⚠️ **Pułapka 3 - Kąty od granicy, nie od normalnej:** Kąty padania, odbicia i załamania mierzy się **od normalnej**, nie od powierzchni granicznej. Rysując kąty od linii powierzchni, uczeń odwraca relację (duży kąt staje się małym i odwrotnie).\n\n> ⚠️ **Pułapka 4 - Pominięcie odbicia:** Zadanie wymaga narysowania **obu**: promienia odbitego (w powietrzu) ORAZ załamanego (w szkle). Narysowanie tylko załamanego to utrata 1 punktu.","image":"img/fizyka-2018-maj-matura-rozszerzona/zad-11.1.webp","solution_image":null,"topics":"Fale elektromagnetyczne i optyka","page_from":14,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Fizyka · Matura · maj 2018 (rozszerzona)","subject_label":"Fizyka","category_label":"Matura"},{"id":"fizyka-2018-maj-matura-rozszerzona/zad/11.2","paper_id":"fizyka-2018-maj-matura-rozszerzona","number":"11.2","points":1,"ptype":"open","subject":"fizyka","category":"matura","year":2018,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 11.2. (0-1)\nKuliste zagłębienie wydrążone w szklanym bloku\nwypełniono całkowicie pewną cieczą, a wiązkę światła\nskierowano pionowo w dół - podobnie jak poprzednio.\nZaobserwowano, że kierunek promieni po przejściu\nprzez granicę ośrodków cieczy i szkła był taki sam jak\nkierunek promieni biegnących w powietrzu i cieczy\n(zobacz rysunek obok).\nNapisz, jakimi własnościami optycznymi powinna charakteryzować się ta ciecz, aby\nopisany bieg promieni był możliwy. Uzasadnij swoją odpowiedź.\nO\nszkło\npowietrze\npowietrze\nO\nszkło\nszkło\nciecz\npowietrze\nMFA_1R","answer":null,"answer_text":"Zadanie 11.2. (0-1)\nWymagania ogólne\nWymagania szczegółowe\nI. Znajomość i umiejętność\nwykorzystania pojęć i praw fizyki\ndo wyjaśniania procesów i zjawisk\nw przyrodzie.\nZdający:\n7.5) (G) opisuje (jakościowo) bieg promieni\nprzy przejściu światła z ośrodka rzadszego do\nośrodka gęstszego optycznie i odwrotnie,\n8.2) (G) wyodrębnia zjawisko z kontekstu,\nwskazuje czynniki istotne i nieistotne dla\nwyniku doświadczenia.\nSchemat punktowania\n1 p. - prawidłowa odpowiedź.\n0 p. - brak spełnienia powyższego kryterium.\nPoprawna odpowiedź\nOpisany w zadaniu bieg promieni będzie możliwy, gdy bezwzględny współczynnik załamania\ndla tej cieczy jest równy bezwzględnemu współczynnikowi załamania szkła, w którym\nwykonano wydrążenie. W takiej sytuacji, na mocy prawa Snelliusa, kąt załamania promienia\nw cieczy będzie równy kątowi padania promienia na granicę cieczy i szkła.\nlub\nOpisany w zadaniu bieg promieni będzie możliwy, gdy prędkość światła w tej cieczy równa\njest prędkości światła w szkle, w którym wykonano wydrążenie. W takiej sytuacji, na mocy\nprawa Snelliusa, kąt załamania promienia w cieczy będzie równy kątowi padania promienia na\ngranicę cieczy i szkła.\nUwaga! Uznawane są odpowiedzi, w których powołano się na równość „gęstości optycznych”\ncieczy i szkła.\nO\nszkło\nα\nα\nβ","solution":"## Poprawna odpowiedź\n\nCiecz powinna mieć **taki sam współczynnik załamania światła jak szkło**, czyli \\(n_{\\text{ciecz}} = n_{\\text{szkło}}\\).\n\n## Sposób 1 - Prawo Snella: warunek braku zmiany kierunku\n\nNa granicy dwóch ośrodków obowiązuje **prawo Snella (prawo załamania):**\n\n\\[\nn_1 \\sin \\theta_1 = n_2 \\sin \\theta_2\n\\]\n\ngdzie \\(\\theta_1\\) - kąt padania (w cieczy), \\(\\theta_2\\) - kąt załamania (w szkle).\n\nPromień **nie zmienia kierunku** wtedy i tylko wtedy, gdy:\n\n\\[\n\\theta_2 = \\theta_1\n\\]\n\nPodstawiając do prawa Snella:\n\n\\[\nn_1 \\sin \\theta_1 = n_2 \\sin \\theta_1 \\implies n_1 = n_2\n\\]\n\n**Wniosek:** Promień zachowuje kierunek na granicy ciecz-szkło dla **dowolnego kąta padania** wyłącznie wtedy, gdy \\(n_{\\text{ciecz}} = n_{\\text{szkło}}\\).\n\n> To kluczowe: zagłębienie jest **kuliste**, więc różne promienie padają na granicę pod **różnymi kątami** \\(\\theta_1\\). Gdyby warunek \\(n_1 = n_2\\) zachodził tylko dla jednego konkretnego kąta - eksperyment nie zadziałałby dla całej wiązki. Jedynym rozwiązaniem spełniającym warunek dla **wszystkich** kątów jednocześnie jest równość współczynników.\n\n## Sposób 2 - Rozumowanie geometryczne: dlaczego MUSI być \\(n_1 = n_2\\)\n\nRozpatrzmy dwa promienie wiązki padającej pionowo:\n\n| Promień | Kąt padania na granicę ciecz-szkło | Co się dzieje gdy \\(n_1 \\neq n_2\\) |\n| Środkowy (oś symetrii) | \\(\\theta_1 = 0°\\) | Brak zmiany kierunku ✓ (ale to trywialne - normalny kąt!) |\n| Boczny | \\(\\theta_1 > 0°\\) | Zmiana kierunku ✗ (bo \\(\\sin\\theta_2 \\neq \\sin\\theta_1\\)) |\n\nSkoro **wiązka** (nie tylko jeden promień) zachowuje kierunek, warunek musi działać dla każdego \\(\\theta_1\\) - to możliwe **tylko gdy \\(n_1 = n_2\\)**, bo wtedy prawo Snella daje zawsze \\(\\theta_2 = \\theta_1\\).\n\nFizycznie: jeśli oba ośrodki mają identyczny współczynnik załamania, granica między nimi optycznie **nie istnieje** - światło „nie widzi\" granicy i przechodzi bez odchylenia.\n\n## Sposób 3 - Analogia z cieczą optycznie niewidoczną\n\nZnane doświadczenie: szklany pręt zanurzony w glicerynie (o podobnym \\(n\\)) staje się **niewidoczny** - właśnie dlatego, że na granicy szkło-gliceryna nie ma załamania ani odbicia.\n\nTutaj identyczna sytuacja: ciecz wypełniająca zagłębienie musi być **optycznie nieodróżnialna od szkła**, tzn. mieć ten sam współczynnik załamania \\(n\\).\n\n> Gdyby \\(n_{\\text{ciecz}} > n_{\\text{szkło}}\\) - promień uginałby się ku normalnej przy wyjściu z cieczy do szkła.\n> Gdyby \\(n_{\\text{ciecz}} < n_{\\text{szkło}}\\) - promień uginałby się od normalnej.\n> Tylko \\(n_{\\text{ciecz}} = n_{\\text{szkło}}\\) - brak ugięcia.\n\n## Orientacyjny schemat punktowania (odtworzony przez AI - NIE oficjalny klucz CKE)\n\n> 📋 **Orientacyjny schemat punktowania (nieoficjalny, odtworzony przez AI) (zadanie 11.2, max 1 pkt):**\n> - **1 pkt** - uczeń podał, że ciecz ma taki sam współczynnik załamania jak szkło (\\(n_{\\text{ciecz}} = n_{\\text{szkło}}\\)) **ORAZ** uzasadnił to odwołaniem do prawa Snella lub braku załamania na granicy ośrodków\n> - **0 pkt** - brak uzasadnienia, lub uzasadnienie niepoprawne, lub sama odpowiedź bez uzasadnienia\n> - ✅ **Dopuszcza się:** sformułowania \"ciecz i szkło są optycznie jednakowe\", \"oba ośrodki mają tę samą gęstość optyczną\", \"ciecz ma taką samą prędkość światła jak szkło\"\n> - ❌ **Nie uznaje się:** \"ciecz jest przezroczysta\", \"ciecz nie załamuje światła\" (bez powiązania z \\(n\\) szkła)\n\n## Wzory z karty CKE - czego MASZ użyć\n\n> 📖 **Karta wzorów CKE (fizyka) - Prawo Snella:**\n>\n> \\[n_1 \\sin \\alpha_1 = n_2 \\sin \\alpha_2\\]\n>\n> oraz definicja współczynnika załamania:\n>\n> \\[n = \\frac{c}{v}\\]\n>\n> gdzie \\(c\\) - prędkość światła w próżni, \\(v\\) - prędkość w ośrodku.\n>\n> **Użyliśmy** prawa Snella w Sposobach 1 i 2 do wykazania, że brak zmiany kierunku \\(\\Leftrightarrow\\) \\(n_1 = n_2\\).\n>\n> Alternatywnie z definicji: \\(n_{\\text{ciecz}} = n_{\\text{szkło}} \\Rightarrow v_{\\text{ciecz}} = v_{\\text{szkło}}\\) - prędkość światła w obu ośrodkach jest taka sama.\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie wystarczy napisać „ciecz nie załamuje światła\" - to NIEPOPRAWNE sformułowanie. Ciecz sama w sobie może załamywać, ale **na granicy** z tym konkretnym szkłem nie dochodzi do zmiany kierunku. Kluczowe: \\(n_{\\text{ciecz}} = n_{\\text{szkło}}\\), nie \\(n_{\\text{ciecz}} = 1\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Pomylenie z padaniem prostopadłym (pod kątem \\(0°\\)): przy normalnym kącie padania promień centralny ZAWSZE przechodzi bez zmiany - ale to nie rozwiązuje zagadki dla promieni bocznych. Zagłębienie jest kuliste, więc należy rozpatrzyć całą wiązkę.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie mylić warunku \\(n_1 = n_2\\) z całkowitym wewnętrznym odbiciem (TIR). TIR wymaga \\(n_1 > n_2\\) i kąta większego od granicznego - tutaj jest odwrotna sytuacja: promienie przechodzą swobodnie.","image":"img/fizyka-2018-maj-matura-rozszerzona/zad-11.2.webp","solution_image":null,"topics":"Fale elektromagnetyczne i optyka","page_from":14,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Fizyka · Matura · maj 2018 (rozszerzona)","subject_label":"Fizyka","category_label":"Matura"},{"id":"fizyka-2018-maj-matura-rozszerzona/zad/12","paper_id":"fizyka-2018-maj-matura-rozszerzona","number":"12","points":null,"ptype":"open","subject":"fizyka","category":"matura","year":2018,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 12.\nNapięta stalowa struna ma długość 90 cm. Jej oba końce są unieruchomione tak, że naprężenie\ni długość struny (tzn. odległość pomiędzy jej końcami) się nie zmieniają. Strunę kilkakrotnie\npobudzano do drgań w różny sposób, w rezultacie uzyskiwano fale stojące o różnych\nczęstotliwościach.","answer":null,"answer_text":"4 oraz 6\n5,2\n5,8\n8\n32\n6,03\n1,28","solution":null,"image":"img/fizyka-2018-maj-matura-rozszerzona/zad-12.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":15,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Fizyka · Matura · maj 2018 (rozszerzona)","subject_label":"Fizyka","category_label":"Matura"},{"id":"fizyka-2018-maj-matura-rozszerzona/zad/12.1","paper_id":"fizyka-2018-maj-matura-rozszerzona","number":"12.1","points":1,"ptype":"closed","subject":"fizyka","category":"matura","year":2018,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 12.1. (0-1)\nZaznacz poprawne dokończenie zdania.\nJeżeli ߣ oznacza długość fali stojącej, to najmniejsza odległość pomiędzy węzłem a strzałką\nfali stojącej na strunie jest zawsze równa\nA. 4\nλ\nB. 3\nλ\nC. 2\nλ\nD. λ","answer":"A","answer_text":"Zadanie 12.1. (0-1)\nWymagania ogólne\nWymagania szczegółowe\nI. Znajomość i umiejętność\nwykorzystania pojęć i praw fizyki\ndo wyjaśniania procesów i zjawisk\nw przyrodzie.\nZdający: 6.12) opisuje fale stojące […].\nSchemat punktowania\n1 p. - zaznaczenie poprawnej odpowiedzi.\n0 p. - brak spełnienia powyższego kryterium.\nPoprawna odpowiedź\nA","solution":"## Poprawna odpowiedź\n\n\\[\\boxed{\\dfrac{\\lambda}{4}}\\]\n\nNajmniejsza odległość pomiędzy węzłem a strzałką fali stojącej wynosi zawsze **ćwierć długości fali** \\(\\dfrac{\\lambda}{4}\\).\n\n## Sposób 1 - Geometria fali stojącej (rozkład węzłów i strzałek)\n\nFala stojąca powstaje z superpozycji dwóch fal biegnących w przeciwnych kierunkach. Jej opis matematyczny:\n\n\\[\ny(x, t) = 2A\\sin(kx)\\cos(\\omega t)\n\\]\n\ngdzie \\(k = \\dfrac{2\\pi}{\\lambda}\\).\n\n**Węzły** (\\(y = 0\\) dla każdego \\(t\\)) - gdy \\(\\sin(kx) = 0\\):\n\n\\[\nkx = n\\pi \\quad \\Rightarrow \\quad x_n = n\\dfrac{\\lambda}{2}, \\quad n = 0, 1, 2, \\ldots\n\\]\n\n**Strzałki/antywęzły** (maksymalna amplituda) - gdy \\(|\\sin(kx)| = 1\\):\n\n\\[\nkx = \\dfrac{\\pi}{2} + n\\pi \\quad \\Rightarrow \\quad x_a = \\dfrac{\\lambda}{4} + n\\dfrac{\\lambda}{2}, \\quad n = 0, 1, 2, \\ldots\n\\]\n\n**Odległość między sąsiednim węzłem a strzałką:**\n\n\\[\n\\Delta x = x_a - x_n = \\dfrac{\\lambda}{4} + n\\dfrac{\\lambda}{2} - n\\dfrac{\\lambda}{2} = \\dfrac{\\lambda}{4}\n\\]\n\nWęzły i strzałki **przeplatają się naprzemiennie** co \\(\\dfrac{\\lambda}{4}\\) - każda strzałka leży dokładnie w połowie odcinka między dwoma sąsiednimi węzłami.\n\n## Sposób 2 - Rysunek / intuicja geometryczna\n\nNarysujmy jeden pełny okres fali stojącej:\n\nW S W S W\n0 λ/4 λ/2 3λ/4 λ\n\n- **W** = węzeł (brak drgań)\n- **S** = strzałka (maksymalne drgania)\n\nWidać wprost: odległość W→S = \\(\\dfrac{\\lambda}{4}\\), odległość W→W = \\(\\dfrac{\\lambda}{2}\\), odległość S→S = \\(\\dfrac{\\lambda}{2}\\).\n\n**Najmniejsza możliwa** odległość między węzłem a strzałką = sąsiedni węzeł i strzałka = \\(\\dfrac{\\lambda}{4}\\).\n\nNie istnieje węzeł i strzałka bliżej siebie - wynikałoby to wprost ze wzoru na superpozycję fal.\n\n## Sposób 3 - Analogia z falą stojącą na strunie o długości \\(L\\)\n\nDla struny zapiętej na obu końcach warunek rezonansowy:\n\n\\[\nL = n \\cdot \\dfrac{\\lambda}{2} \\quad \\Rightarrow \\quad \\lambda = \\dfrac{2L}{n}\n\\]\n\nDla \\(L = 90\\text{ cm}\\):\n\n| \\(n\\) | \\(\\lambda\\) | węzły | strzałki | odl. W→S |\n| 1 | 180 cm | 0, 90 cm | 45 cm | **45 cm = \\(\\frac{\\lambda}{4}\\)** |\n| 2 | 90 cm | 0, 45, 90 cm | 22,5; 67,5 cm | **22,5 cm = \\(\\frac{\\lambda}{4}\\)** |\n| 3 | 60 cm | 0, 30, 60, 90 cm | 15; 45; 75 cm | **15 cm = \\(\\frac{\\lambda}{4}\\)** |\n\nWe **wszystkich** harmonicznych najmniejsza odległość W→S = \\(\\dfrac{\\lambda}{4}\\). Reguła jest **uniwersalna** - niezależna od \\(n\\) i wartości \\(\\lambda\\).\n\n## Orientacyjny schemat punktowania (odtworzony przez AI - NIE oficjalny klucz CKE)\n\n> 📋 **Orientacyjny schemat punktowania (nieoficjalny, odtworzony przez AI) (zadanie 12.1, max 1 pkt):**\n> - **1 pkt** - uczeń zaznaczył odpowiedź \\(\\dfrac{\\lambda}{4}\\)\n> - **0 pkt** - zaznaczono inną odpowiedź lub nie zaznaczono żadnej\n\n## Wzory z karty CKE - czego MASZ użyć\n\n> 📖 **Karta wzorów CKE - sekcja FIZYKA, fale mechaniczne:**\n> Karta zawiera zapis fali stojącej i warunek rezonansu struny:\n> \\[L = n\\dfrac{\\lambda}{2}\\]\n> oraz ogólny zapis \\(k = \\dfrac{2\\pi}{\\lambda}\\).\n> Znając rozkład węzłów i strzałek ze wzoru fali stojącej, odległość \\(\\dfrac{\\lambda}{4}\\) wynika bezpośrednio.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Wariant | Typowy błąd prowadzący ucznia |\n| \\(\\dfrac{\\lambda}{2}\\) | Uczeń myli odległość **węzeł→węzeł** (lub strzałka→strzałka) z odległością węzeł→strzałka. Odległość między sąsiednimi węzłami to \\(\\dfrac{\\lambda}{2}\\), ale pytanie dotyczy W→S, nie W→W. |\n| \\(\\lambda\\) | Uczeń utożsamia \\(\\lambda\\) z całym „cyklem\" fali stojącej i nie dostrzega, że jeden cykl zawiera **dwa** odcinki W→S. |\n| \\(\\dfrac{\\lambda}{8}\\) | Błąd obliczeniowy - połowienie \\(\\dfrac{\\lambda}{4}\\) bez podstawy fizycznej. Żaden szczególny punkt fali nie leży w \\(\\dfrac{\\lambda}{8}\\) od węzła. |\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Najczęstszy błąd - myląca nazwa „odległość między węzłem a strzałką\" z „odległością między dwoma węzłami\". Węzeł→węzeł = \\(\\dfrac{\\lambda}{2}\\), węzeł→strzałka = \\(\\dfrac{\\lambda}{4}\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Pytanie mówi o **fali stojącej o długości \\(\\lambda\\)** - tj. \\(\\lambda\\) jest tutaj parametrem tej konkretnej fali, nie rozmiary struny. Odpowiedź \\(\\dfrac{\\lambda}{4}\\) jest słuszna dla **każdej** fali stojącej, niezależnie od częstotliwości harmonicznej.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Dane o długości struny \\(L = 90\\text{ cm}\\) są **zbędne** do tego podpunktu - służą do zadania 12.2 (wyznaczanie konkretnych częstotliwości). Nie daj się zmylić i nie podstawiaj \\(L\\) tam, gdzie mowa o \\(\\lambda\\).","image":"img/fizyka-2018-maj-matura-rozszerzona/zad-12.1.webp","solution_image":null,"topics":"Fale mechaniczne","page_from":15,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Fizyka · Matura · maj 2018 (rozszerzona)","subject_label":"Fizyka","category_label":"Matura"},{"id":"fizyka-2018-maj-matura-rozszerzona/zad/12.2","paper_id":"fizyka-2018-maj-matura-rozszerzona","number":"12.2","points":1,"ptype":"open","subject":"fizyka","category":"matura","year":2018,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 12.2. (0-1)\nWyznacz największą długość fali stojącej możliwej do wytworzenia na tej strunie.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 12.2. (0-1)\nWymagania ogólne\nWymagania szczegółowe\nIV. Budowa prostych modeli fizycznych\ni matematycznych do opisu zjawisk.\nZdający: 6.12) opisuje fale stojące […].\nSchemat punktowania\n1 p. - prawidłowe wyznaczenie maksymalnej długości fali stojącej.\n0 p. - brak spełnienia powyższego kryterium.\nPrzykładowe rozwiązanie\nOdległość pomiędzy unieruchomionymi końcami struny musi być wielokrotnością połowy\ndługości fali. W przypadku największej możliwej długości fali połowa tej długości musi się\nrównać długości struny:\n∙ߣ\n2 = ݀ → 1 ∙ߣ௠௔௫\n2\n= ݀ → ߣ୫ୟ୶ = 2݀ → ߣ୫ୟ୶ = 180 cm","solution":"## Poprawna odpowiedź\n\n\\[\\boxed{\\lambda_{\\max} = 2L}\\]\n\nDla struny o długości \\(L\\) największa możliwa długość fali stojącej wynosi **dwa razy długość struny**. Jeśli \\(L = 0{,}60\\ \\text{m}\\), to \\(\\lambda_{\\max} = 1{,}20\\ \\text{m}\\).\n\n## Sposób 1 - Warunek węzłów dla struny (podejście geometryczne)\n\n**Dlaczego struna w ogóle daje fale stojące?**\n\nStruna jest zamocowana na obu końcach - oba końce muszą być **węzłami** (punkty o zerowej amplitudzie drgań). To zasadnicze ograniczenie geometryczne.\n\n**Warunek rezonansowy:**\n\nMiędzy dwoma węzłami mieści się dokładnie **połowa długości fali**. Dlatego na strunie o długości \\(L\\) musi zmieścić się **całkowita liczba półfal**:\n\n\\[L = n \\cdot \\frac{\\lambda}{2}, \\quad n = 1, 2, 3, \\ldots\\]\n\n**Szukamy maksymalnego \\(\\lambda\\)** - czyli **minimalnego \\(n\\)**. Minimalne \\(n = 1\\):\n\n\\[L = 1 \\cdot \\frac{\\lambda_{\\max}}{2}\\]\n\n\\[\\boxed{\\lambda_{\\max} = 2L}\\]\n\n**Fizycznie:** W tej harmonicznej (tonacja podstawowa) na całej strunie mieści się dokładnie **jedna półfala** - brzuch pośrodku, węzły na końcach.\n\n**Podstawiając \\(L = 0{,}60\\ \\text{m}\\):**\n\n\\[\\lambda_{\\max} = 2 \\cdot 0{,}60\\ \\text{m} = 1{,}20\\ \\text{m}\\]\n\n## Sposób 2 - Analiza harmonicznych (podejście przez szereg)\n\nZbudujmy tabelę możliwych fal stojących dla tej struny:\n\n| Harmoniczna | \\(n\\) | Wzór | \\(\\lambda\\) |\n| podstawowa (1.) | 1 | \\(2L/1\\) | \\(2L\\) ← **maksymalna** |\n| 2. harmoniczna | 2 | \\(2L/2\\) | \\(L\\) |\n| 3. harmoniczna | 3 | \\(2L/3\\) | \\(2L/3\\) |\n| \\(n\\)-ta harmoniczna | \\(n\\) | \\(2L/n\\) | maleje z \\(n\\) |\n\nWidać wyraźnie: **\\(\\lambda\\) maleje wraz ze wzrostem \\(n\\)**, więc maksimum osiągamy dla \\(n = 1\\).\n\n\\[\\lambda_{\\max} = \\frac{2L}{1} = 2 \\cdot 0{,}60\\ \\text{m} = 1{,}20\\ \\text{m}\\]\n\n**Wniosek alternatywny:** Nie istnieje fala stojąca z \\(\\lambda > 2L\\) na tej strunie - taka fala nie mogłaby mieć węzłów jednocześnie na obu końcach.\n\n## Sposób 3 - Weryfikacja przez rysunek (podejście poglądowe)\n\nNarysujmy próbę dopasowania fali o \\(\\lambda = 3L\\):\n\nWęzeł Węzeł\n|←--------- L = 0,60 m --------→|\n\nDla λ = 3L: ~~~ (1/3 fali - nie kończy się węzłem na prawym końcu!) ✗\nDla λ = 2L: ~~~ węzeł - brzuch - węzeł (½ fali mieści się dokładnie) ✓\nDla λ = L: węzeł - brzuch - węzeł - brzuch - węzeł (cała fala) ✓\n\nJedynym rozwiązaniem dającym **węzeł na obu końcach** przy **największej możliwej** \\(\\lambda\\) jest właśnie \\(\\lambda = 2L\\).\n\n## Orientacyjny schemat punktowania (odtworzony przez AI - NIE oficjalny klucz CKE)\n\n> 📋 **Orientacyjny schemat punktowania (nieoficjalny, odtworzony przez AI) (zadanie 12.2, max 1 pkt):**\n> - **1 pkt** - uczeń wyznacza poprawnie największą długość fali stojącej, np. zapisując warunek \\(L = \\frac{\\lambda}{2}\\) lub \\(\\lambda_{\\max} = 2L\\) i podaje wynik liczbowy \\(1{,}20\\ \\text{m}\\) (lub \\(120\\ \\text{cm}\\))\n> - **0 pkt** - odpowiedź niespełniająca powyższego wymagania, np. podanie \\(\\lambda = L\\) lub brak uzasadnienia\n> - **Akceptowane warianty:** zapis przez wzór ogólny lub bezpośredni wynik numeryczny; dopuszczalne obie jednostki (m lub cm)\n\n## Wzory z karty CKE\n\n> 📖 **Karta wzorów CKE - sekcja FIZYKA (Fale mechaniczne):**\n>\n> Fale stojące na strunie: \\(L = n \\cdot \\dfrac{\\lambda}{2}\\), \\(n = 1, 2, 3, \\ldots\\)\n>\n> Częstotliwości harmonicznych: \\(f_n = n \\cdot \\dfrac{v}{2L}\\), gdzie \\(v\\) - prędkość fali w strunie.\n>\n> W tym zadaniu korzystamy z **pierwszego wzoru** (warunek geometryczny węzłów), podstawiając \\(n = 1\\) dla największego \\(\\lambda\\).\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Pułapka 1:** Mylenie \\(\\lambda_{\\max} = L\\) z \\(\\lambda_{\\max} = 2L\\) - to **najczęstszy błąd**. Uczeń widzi strunę o długości \\(L\\) i pisze \\(\\lambda = L\\), zapominając, że między sąsiednimi węzłami mieści się tylko **połowa fali**, nie cała.\n>\n> ⚠️ **Pułapka 2:** Mylenie fali stojącej z biegnącą - dla fali biegnącej długość struny nie ogranicza \\(\\lambda\\). Tu jednak struna jest **zamocowana na obu końcach** → warunek węzłów jest bezwzględny.\n>\n> ⚠️ **Pułapka 3:** Pominięcie słowa **„stojącej\"** - gdyby pytanie brzmiało o falę biegnącą, każda długość fali byłaby możliwa. Fala stojąca = konkretne skwantowanie \\(\\lambda\\).","image":"img/fizyka-2018-maj-matura-rozszerzona/zad-12.2.webp","solution_image":null,"topics":"Fale mechaniczne","page_from":15,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Fizyka · Matura · maj 2018 (rozszerzona)","subject_label":"Fizyka","category_label":"Matura"},{"id":"fizyka-2018-maj-matura-rozszerzona/zad/12.3","paper_id":"fizyka-2018-maj-matura-rozszerzona","number":"12.3","points":2,"ptype":"open","subject":"fizyka","category":"matura","year":2018,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 12.3. (0-2)\nDwie kolejne częstotliwości fal stojących, uzyskanych w tym doświadczeniu, to przykładowo\n450 Hz oraz 675 Hz.\nUdowodnij, że możliwe na tej strunie jest wytworzenie fali stojącej o częstotliwości\n1575 Hz.\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n11.1. 11.2. 12.1. 12.2. 12.3.\nMaks. liczba pkt\n2\n1\n1\n1\n2\nUzyskana liczba pkt\nMFA_1R","answer":null,"answer_text":"Zadanie 12.3. (0-2)\nWymagania ogólne\nWymagania szczegółowe\nI. Znajomość i umiejętność\nwykorzystania pojęć i praw fizyki\ndo wyjaśniania procesów i zjawisk\nw przyrodzie.\nZdający:\n6.12) opisuje fale stojące i ich związek z falami\nbiegnącymi przeciwbieżnie,\n6.8) stosuje w obliczeniach związek pomiędzy\nparametrami fali: długością, częstotliwością,\nokresem, prędkością.\nSchemat punktowania\n2 p. - prawidłowe wykazanie, że możliwe jest wytworzenie drgania o częstotliwości 1575 Hz.\n1 p. - zastosowanie zależności pomiędzy n-tą częstotliwością drgania a częstotliwością\npodstawową\nlub\n- zapisanie związku pomiędzy częstotliwością i długością fali oraz warunku na długość\nfali stojącej na strunie.\n0 p. - brak spełnienia powyższych kryteriów.\nPrzykładowe rozwiązania\nSposób 1.\nKorzystamy ze wzoru na częstotliwość drgania n-tej składowej harmonicznej dla struny\nz unieruchomionymi końcami i zauważamy, że różnica kolejnych częstotliwości jest stała\ni równa częstotliwości pierwszej składowej harmonicznej:\n௡= ݊ ݂ଵ → ݂௡-\n௡ିଵ=\n݂ଵ-(\n-1) ݂ଵ=\nଵ → ݂ଵ= 675 Hz -450 Hz = 225 Hz\nSprawdzamy, czy możliwe jest wytworzenie drgania o częstotliwości 1575 Hz:\n1575 Hz =\n∙225 Hz → ݇\n= 7\nOdp.: Tak, możliwe jest wytworzenie drgań o częstotliwości 1575 Hz.\nSposób 2.\nWyprowadzamy wzór na częstotliwość drgania n-tej składowej harmonicznej dla struny\no długości d z unieruchomionymi końcami:\nݒ= ߣ݂ → ݒ= 2݀݊\n∙\n→ ݂௡=\n∙ݒ\n2݀ → ݂௡= ݊ ݂ଵ oraz ݂ଵ= ݒ\n2݀\nZauważamy, że różnica kolejnych częstotliwości jest stała i równa częstotliwości pierwszej\nskładowej harmonicznej:\n௡= ݊ ݂ଵ → ݂௡-\n௡ିଵ=\nଵ → ݂ଵ= 675 Hz -450 Hz = 225 Hz\nSprawdzamy, czy możliwe jest wytworzenie drgania o częstotliwości 1575 Hz:\n1575 Hz =\n∙225 Hz → ݇\n= 7\nOdp.: Tak, możliwe jest wytworzenie drgań o częstotliwości 1575 Hz.\nSposób 3.\nKorzystamy ze wzoru (lub wyprowadzamy ten wzór, jak powyżej) na częstotliwość drgania\nn-tej składowej harmonicznej dla struny z unieruchomionymi końcami:\n௡= ݊ ݂ଵ\nPodstawiamy dane i wyznaczamy ݂ଵ:\n675 Hz =\nଵ oraz 450 Hz = (\n-1)݂ଵ → ݂ଵ= 225 Hz\nSprawdzamy, czy możliwe jest wytworzenie drgania o częstotliwości 1575 Hz.\n1575 Hz =\n∙225 Hz → ݇\n= 7\nOdp.: Tak, możliwe jest wytworzenie drgań o częstotliwości 1575 Hz.","solution":"## Poprawna odpowiedź\n\nTak, 1575 Hz jest możliwe - to **7. harmoniczna** tej struny. Częstotliwość podstawowa struny wynosi \\(f_1 = 225\\ \\text{Hz}\\), a \\(1575 = 7 \\cdot 225\\).\n\n## Sposób 1 - wyznaczenie częstotliwości podstawowej z różnicy kolejnych harmonicznych\n\n**Krok 1. Własność harmonicznych struny.**\n\nDla struny napiętej (obu końców zamocowanych) możliwe częstotliwości fal stojących tworzą szereg harmoniczny:\n\n\\[\nf_n = n \\cdot f_1, \\quad n = 1, 2, 3, \\ldots\n\\]\n\nDwie **kolejne** (sąsiednie) harmoniczne to \\(f_n\\) i \\(f_{n+1}\\). Ich różnica:\n\n\\[\nf_{n+1} - f_n = (n+1)\\cdot f_1 - n \\cdot f_1 = f_1\n\\]\n\n**Różnica dwóch kolejnych częstotliwości jest zawsze równa częstotliwości podstawowej \\(f_1\\).**\n\n**Krok 2. Wyznaczam \\(f_1\\).**\n\n\\[\nf_1 = 675\\ \\text{Hz} - 450\\ \\text{Hz} = 225\\ \\text{Hz}\n\\]\n\nWeryfikacja: \\(450 = 2 \\cdot 225\\) (2. harmoniczna) i \\(675 = 3 \\cdot 225\\) (3. harmoniczna) - rzeczywiście kolejne. ✓\n\n**Krok 3. Sprawdzam 1575 Hz.**\n\n\\[\n\\frac{1575\\ \\text{Hz}}{225\\ \\text{Hz}} = 7\n\\]\n\nWynik jest **liczbą całkowitą dodatnią**, zatem:\n\n\\[\n1575\\ \\text{Hz} = 7 \\cdot f_1\n\\]\n\nCzęstotliwość 1575 Hz odpowiada **7. harmonicznej**, co jest fizykalnie możliwe na tej strunie. \\(\\blacksquare\\)\n\n## Sposób 2 - wyznaczenie \\(f_1\\) z ilorazu i weryfikacja przez rozkład\n\n**Krok 1. Sprawdzam iloraz danych częstotliwości.**\n\n\\[\n\\frac{675}{450} = \\frac{3}{2}\n\\]\n\nIloraz \\(\\frac{3}{2}\\) wskazuje, że dane harmoniczne to \\(n\\)-ta i \\((n+1)\\)-ta dla \\(n = 2\\), czyli:\n\n\\[\nf_n = 2 f_1 = 450\\ \\text{Hz} \\implies f_1 = 225\\ \\text{Hz}\n\\]\n\n\\[\nf_{n+1} = 3 f_1 = 675\\ \\text{Hz} \\implies f_1 = 225\\ \\text{Hz} \\quad \\checkmark\n\\]\n\n**Krok 2. Rozkład 1575 Hz.**\n\n\\[\n1575 = 225 \\cdot 7 = f_1 \\cdot 7\n\\]\n\nLiczba 7 jest dodatnią liczbą całkowitą → **7. harmoniczna istnieje** dla każdej struny. ✓\n\n## Sposób 3 - NWD (największy wspólny dzielnik) jako częstotliwość podstawowa\n\nDla dowolnego zestawu harmonicznych struny, **częstotliwość podstawowa \\(f_1\\) jest największym wspólnym dzielnikiem** wszystkich obserwowanych częstotliwości.\n\n\\[\n\\text{NWD}(450,\\ 675) = ?\n\\]\n\n\\[\n450 = 2 \\cdot 225, \\quad 675 = 3 \\cdot 225 \\implies \\text{NWD}(450, 675) = 225\\ \\text{Hz}\n\\]\n\nZatem \\(f_1 = 225\\ \\text{Hz}\\). Teraz:\n\n\\[\n1575 = 225 \\cdot k \\implies k = \\frac{1575}{225} = 7 \\in \\mathbb{Z}^+\n\\]\n\nPonieważ \\(k = 7\\) jest dodatnią liczbą całkowitą, 1575 Hz **należy do dozwolonego szeregu harmonicznego** tej struny. \\(\\blacksquare\\)\n\n## Orientacyjny schemat punktowania (odtworzony przez AI - NIE oficjalny klucz CKE)\n\n> 📋 **Orientacyjny schemat punktowania (nieoficjalny, odtworzony przez AI) (zadanie 12.3, max 2 pkt):**\n>\n> - **1 pkt** - uczeń wyznacza częstotliwość podstawową struny: \\(f_1 = 675 - 450 = 225\\ \\text{Hz}\\) (lub równoważnie przez iloraz / NWD)\n> - **1 pkt** - uczeń wykazuje, że \\(1575\\ \\text{Hz} = 7 \\cdot 225\\ \\text{Hz}\\), czyli jest całkowitą wielokrotnością \\(f_1\\), i formułuje wniosek\n> - **0 pkt** - brak wyznaczenia \\(f_1\\) lub brak jednoznacznego wniosku o całkowitości \\(k\\)\n>\n> ✅ **Dopuszcza się:** wyznaczenie \\(f_1\\) metodą ilorazu lub NWD zamiast różnicy.\n> ❌ **Nie uznaje się:** samego podania \\(1575 = 7 \\cdot 225\\) bez wyjaśnienia skąd pochodzi 225 Hz.\n\n## Wzory z karty CKE - czego MASZ użyć\n\n> 📖 **Karta wzorów CKE - sekcja FIZYKA (fale mechaniczne):**\n> Warunek fali stojącej na strunie obustronnie zamocowanej:\n> \\[\n> l = n \\cdot \\frac{\\lambda}{2}, \\quad n = 1, 2, 3, \\ldots\n> \\]\n> Ponieważ \\(f = \\frac{v}{\\lambda}\\), stąd:\n> \\[\n> f_n = n \\cdot \\frac{v}{2l} = n \\cdot f_1\n\\]\n> To jest bezpośrednie uzasadnienie, dlaczego **tylko całkowite wielokrotności \\(f_1\\)** są możliwe.\n\nUżyliśmy tego w Sposobie 1 (własność szeregu harmonicznego) i Sposobie 3 (NWD).\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Najczęstszy błąd - uczeń sprawdza *tylko*, że \\(1575 / 450 = 3{,}5\\) (niecałkowite!) i wyciąga błędny wniosek, że 1575 Hz jest niemożliwe. Błąd: sprawdza stosunek do *jednej* z harmonicznych, zamiast do **podstawowej \\(f_1\\)**.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie wystarczy napisać „1575 = 7 × 225\". Trzeba **uzasadnić skąd pochodzi 225 Hz** (różnica kolejnych harmonicznych = \\(f_1\\)) - bez tego klucz CKE odejmuje 1 punkt.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Dwie „kolejne\" częstotliwości fal stojących - słowo **kolejne** jest kluczowe! Gdyby to były dowolne dwie harmoniczne (nie sąsiednie), różnica NIE musiałaby być \\(f_1\\). W tym zadaniu warunek „kolejne\" gwarantuje \\(f_1 = \\Delta f\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie mylić struny z rurą: rura otwarta ma harmoniczne \\(1, 2, 3, \\ldots\\) jak struna; rura zamknięta ma **tylko nieparzyste** \\(1, 3, 5, \\ldots\\) - ale to inne zadanie!","image":"img/fizyka-2018-maj-matura-rozszerzona/zad-12.3.webp","solution_image":null,"topics":"Fale mechaniczne","page_from":15,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Fizyka · Matura · maj 2018 (rozszerzona)","subject_label":"Fizyka","category_label":"Matura"},{"id":"fizyka-2018-maj-matura-rozszerzona/zad/13","paper_id":"fizyka-2018-maj-matura-rozszerzona","number":"13","points":null,"ptype":"open","subject":"fizyka","category":"matura","year":2018,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 13.\nW pewnym doświadczeniu strumień cząstek α (jąder helu) skierowano prostopadle na cienką\nfolię ze złota, umieszczoną w próżni.","answer":null,"answer_text":"5 oraz 1\n5,6\n2,7\n16\n1\n6,03\n1,23","solution":null,"image":"img/fizyka-2018-maj-matura-rozszerzona/zad-13.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":16,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Fizyka · Matura · maj 2018 (rozszerzona)","subject_label":"Fizyka","category_label":"Matura"},{"id":"fizyka-2018-maj-matura-rozszerzona/zad/13.1","paper_id":"fizyka-2018-maj-matura-rozszerzona","number":"13.1","points":1,"ptype":"open","subject":"fizyka","category":"matura","year":2018,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 13.1. (0-1)\nNa rysunku poniżej zaznaczono dwie cząstki α (z różnych chwil czasu) zbliżające się do jądra\nzłota z początkowo jednakowymi prędkościami. Przyjmujemy, że cząstki α przelatują obok\njądra złota jedna po drugiej w takim odstępie czasu, że nie dochodzi do wzajemnego\noddziaływania między tymi cząstkami. Zakładamy, że każda z cząstek α, gdy przechodzi\nw pobliżu jądra, oddziałuje tylko z tym jednym jądrem złota, a ponadto jądro złota pozostaje\nnieruchome.\nNa rysunku poniżej naszkicuj przybliżone tory ruchu obu cząstek α.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 13.1. (0-1)\nWymagania ogólne\nWymagania szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i przetwarzanie\ninformacji zapisanych w postaci tekstu,\ntabel, wykresów, schematów\ni rysunków.\nIV. Budowa prostych modeli fizycznych\ni matematycznych do opisu zjawisk.\nZdający:\n3.1) (P) posługuje się pojęciami […] jądro\natomowe,\n3.3) (P) wymienia właściwości promieniowania\njądrowego α,\n7.1) wykorzystuje prawo Coulomba,\n1.8) wyjaśnia ruch ciał na podstawie drugiej\nzasady dynamiki Newtona.\nSchemat punktowania\n1 p. - prawidłowo narysowane tory obu cząstek: oba tory odchylają się od jądra, a krzywizna\ntoru cząstki poruszającej się bliżej jądra jest większa.\n0 p. - brak spełnienia powyższego kryterium.\nPoprawne rozwiązanie\nNarysowanie dwóch zakrzywionych torów, jak na rysunku poniżej, uwzględniających:\n1) odchylanie się każdego z nich do góry (cząstka α i jądro złota odpychają się),\n2) większe zakrzywienia toru cząstki poruszającej się bliżej jądra (cząstka α bliżej jądra podlega\nwiększej sile, co skutkuje większymi zmianami wektora pędu cząstki w ustalonych odstępach\nczasu).\nα\nα\nAu","solution":"## Poprawna odpowiedź\n\nObie cząstki α poruszają się po **torach hiperbolicznych**, odgiętych **od jądra złota** (odpychanie kulombowskie). Cząstka bliższa osi (mniejszy parametr zderzenia \\(b_1\\)) zostaje odchylona pod **kątem większym**, cząstka dalsza (większy \\(b_2\\)) - pod **kątem mniejszym**.\n\n## Sposób 1 - Analiza siły Coulomba i parametru zderzenia\n\n**Krok 1 - Rodzaj oddziaływania**\n\nCząstka α ma ładunek \\(q_\\alpha = +2e\\). Jądro złota ma ładunek \\(q_{Au} = +79e\\).\nOba ładunki są **dodatnie** → siła Coulomba jest **odpychająca**:\n\n\\[\nF = k \\frac{q_\\alpha \\cdot q_{Au}}{r^2}\n\\]\n\nCząstka α jest odchylana **od** jądra, nie w jego stronę.\n\n**Krok 2 - Parametr zderzenia \\(b\\)**\n\nParametr zderzenia \\(b\\) to prostopadła odległość między osią ruchu cząstki α (daleko od jądra, gdzie siła jest pomijalna) a środkiem jądra złota.\n\n←b₁→ • cząstka 1 (bliższa osi)\n--------Au--------- ←b₂→ • cząstka 2 (dalsza osi)\n\nIm **mniejsze \\(b\\)**, tym silniejsze odpychanie (cząstka przechodzi bliżej jądra) → **większy kąt odchylenia** \\(\\theta\\).\n\nZależność (Rutherford):\n\n\\[\n\\cot\\frac{\\theta}{2} = \\frac{2E \\cdot b}{k \\cdot q_\\alpha \\cdot q_{Au}}\n\\]\n\ngdzie \\(E = \\frac{1}{2}mv^2\\) - energia kinetyczna cząstki.\n\n**Krok 3 - Kształt torów**\n\nTor każdej cząstki α w polu Coulomba to **hiperbola** z jądrem złota w ognisku. Asymptoty hiperboli to:\n- kierunek wlotu (daleko przed jądrem)\n- kierunek wylotu (daleko za jądrem)\n\n**Szkic poprawnych torów:**\n\n↑ (mniejsze b) cząstka 1: silnie odgięta\n\\ /← tor 1 (duże θ)\n·Au·\n/ \\← tor 2 (małe θ)\n↑ (większe b) cząstka 2: słabo odgięta\n\nObie krzywe są **symetryczne** względem linii łączącej punkt wlotu z jądrem (oś symetrii hiperboli) i odginają się **od** jądra.\n\n## Sposób 2 - Zasada zachowania energii i pędu (wnioskowanie jakościowe)\n\n**Zachowanie energii:**\n\n\\[\n\\frac{1}{2}mv_0^2 = \\frac{1}{2}mv^2 + k\\frac{q_\\alpha q_{Au}}{r}\n\\]\n\nW najwyższym punkcie zbliżenia prędkość cząstki maleje (energia kinetyczna zamienia się w potencjalną). Po oddaleniu od jądra energia kinetyczna wraca do wartości początkowej - **prędkość skalarna cząstki jest taka sama jak na wlocie**, ale zmienił się **kierunek**.\n\n**Zachowanie momentu pędu względem jądra:**\n\n\\[\nL = m v_0 b = mvr \\sin\\phi = \\text{const}\n\\]\n\nCząstka z \\(b_1 < b_2\\) ma **mniejszy moment pędu** → bliżej jądra → silniejsze odpychanie → większy kąt odchylenia.\n\n**Wniosek rysunkowy:**\n- Cząstka 1 (\\(b_1\\) mały): tor ostro zagięty w górę/dół (zależnie od strony)\n- Cząstka 2 (\\(b_2\\) duży): tor lekko zagięty, prawie prosty\n\n## Sposób 3 - Graniczne przypadki (rozumowanie ekstremalnych wartości b)\n\nGraniczne przypadki pomagają ocenić poprawność szkicu:\n\n| Graniczny przypadek | Parametr \\(b\\) | Kąt \\(\\theta\\) | Tor |\n| Centralne zderzenie (czołowe) | \\(b = 0\\) | \\(\\theta = 180°\\) | odbicie wprost z powrotem |\n| Bardzo daleko od jądra | \\(b \\to \\infty\\) | \\(\\theta \\to 0°\\) | prosta (brak odchylenia) |\n| Przypadek z zadania - bliżej | \\(b_1\\) małe | \\(\\theta_1\\) duże | mocno zagięta hiperbola |\n| Przypadek z zadania - dalej | \\(b_2\\) duże | \\(\\theta_2\\) małe | lekko zagięta hiperbola |\n\nOba tory z zadania leżą **między** tymi granicznymi przypadkami, co potwierdza poprawność kierunku odgięcia i jego wielkości.\n\n## Orientacyjny schemat punktowania (odtworzony przez AI - NIE oficjalny klucz CKE)\n\n> 📋 **Orientacyjny schemat punktowania (nieoficjalny, odtworzony przez AI) (zadanie 13.1, max 1 pkt):**\n> - **1 pkt** - uczeń naszkicował oba tory cząstek α jako krzywe odgięte od jądra złota, przy czym cząstka bliższa jądra jest odchylona pod większym kątem niż cząstka dalsza.\n> - **0 pkt** - tory narysowane w stronę jądra (przyciąganie), oba odgięte pod równym kątem, lub brak uwzględnienia różnicy odchylenia.\n> - **Akceptowane warianty:** przybliżone tory (nie muszą być idealną hiperbolą); kąty odchylenia nie muszą być dokładne - ważne, że tor 1 (bliższy) odchylony bardziej niż tor 2.\n> - **Uwagi (orientacyjne):** ✅ Dopuszcza się zaznaczenie torów jako łuków (nie muszą być hiperbolami); ❌ Nie uznaje się torów prostych (bez zakrzywienia) ani torów ku jądru.\n\n## Wzory z karty CKE - czego MASZ użyć\n\n> 📖 **Karta wzorów CKE - sekcja FIZYKA:**\n> - Prawo Coulomba: \\(F = k\\frac{q_1 q_2}{r^2}\\) - do uzasadnienia odpychania\n> - Energia potencjalna układu dwóch ładunków: \\(E_p = k\\frac{q_1 q_2}{r}\\)\n> - Zasada zachowania energii mechanicznej\n>\n> Wzór Rutherforda na kąt rozpraszania \\(\\cot\\frac{\\theta}{2} = \\frac{2Eb}{kq_\\alpha q_{Au}}\\) **nie jest na karcie CKE** - ale nie jest potrzebny do narysowania szkicu. Wystarczy rozumowanie: **im bliżej jądra, tym większe odpychanie, tym większy kąt odchylenia.**\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Najczęstszy błąd - narysowanie torów **ku jądru** (jakby było przyciąganie grawitacyjne). Pamiętaj: α i Au to **oba ładunki dodatnie** → **odpychanie**, tory odginają się **od** jądra!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Równy kąt odchylenia dla obu cząstek - błąd! Mają **tę samą prędkość początkową**, ale **różne parametry zderzenia** \\(b\\). Bliższa = mocniej odgięta.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Prosta linia zamiast krzywej - tor musi być **zakrzywiony** (siła działa przez cały czas zbliżania i oddalania, nie punktowo).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Tor symetrii - każdy tor jest symetryczny względem **swojej** osi (linii łączącej punkt najwyższego zbliżenia z centrum jądra), nie względem wspólnej osi cząstki 2.","image":"img/fizyka-2018-maj-matura-rozszerzona/zad-13.1.webp","solution_image":null,"topics":"Fizyka współczesna","page_from":16,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Fizyka · Matura · maj 2018 (rozszerzona)","subject_label":"Fizyka","category_label":"Matura"},{"id":"fizyka-2018-maj-matura-rozszerzona/zad/13.2","paper_id":"fizyka-2018-maj-matura-rozszerzona","number":"13.2","points":1,"ptype":"closed","subject":"fizyka","category":"matura","year":2018,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 13.2. (0-1)\nWyniki doświadczenia opisanego w zadaniu 13. okazały się następujące. Bardzo duża część\nwystrzelonych cząstek α przelatywała przez folię ze złota prawie bez zmiany kierunku ruchu,\nniewielka część z nich po przejściu przez folię zmieniła kierunek ruchu, a znikoma część\ncząstek α odbijała się od folii pod różnymi kątami. Eksperymentatorzy, chcący poznać budowę\natomu, założyli, że zmiana kierunku ruchu cząstek α jest spowodowana oddziaływaniem\nCoulomba z ładunkami znajdującymi się w atomach złota. Ponadto wiedzieli oni, że nośnikami\nładunku ujemnego są elektrony, a każdy z nich jest kilka tysięcy razy lżejszy od cząstki α.\nZaznacz prawidłowe dokończenie zdania wybrane spośród A-C oraz 1.-3.\nWyniki eksperymentu przemawiały za tym, aby przyjąć model atomu, w którym\nA. ładunek dodatni jest rozmieszczony\nw atomie tak samo jak ładunek ujemny,\na jego masa\n1. jest dużo większa od całej\nmasy ładunku ujemnego.\nB. większą część atomu równomiernie\nwypełnia tylko ładunek dodatni,\n2. jest dużo mniejsza od całej\nmasy ładunku ujemnego.\nC. ładunek dodatni zajmuje bardzo małą\nczęść atomu,\n3. jest taka sama jak cała masa\nładunku ujemnego.\nα\nα\nAu\nMFA_1R","answer":"E","answer_text":"Zadanie 13.2. (0-1)\nWymagania ogólne\nWymagania szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i przetwarzanie\ninformacji zapisanych w postaci tekstu,\ntabel, wykresów, schematów\ni rysunków.\nI. Znajomość i umiejętność\nwykorzystania pojęć i praw fizyki\ndo wyjaśniania procesów i zjawisk\nw przyrodzie.\nZdający:\n3.1) (P) posługuje się pojęciami […] jądro\natomowe, […] proton, […] elektron; podaje\nskład jądra atomowego,\n12.8) przedstawia […] tezy poznanego artykułu\npopularnonaukowego z dziedziny fizyki.\nSchemat punktowania\n1 p. - poprawna odpowiedź.\n0 p. - brak spełnienia powyższego kryterium.\nPoprawna odpowiedź\nC1","solution":"## Poprawna odpowiedz\n\n**Poprawna odpowiedz wg klucza CKE: C1**\n\nWyniki eksperymentu przemawialy za tym, aby przyjac model atomu, w ktorym **ladunek dodatni zajmuje bardzo mala czesc atomu** (odpowiedz **C**), **a jego masa jest duzo wieksza od calej masy ladunku ujemnego** (uzasadnienie **1**).\n\n## Sposob 1 - Analiza obserwacji Rutherforda\n\n| Obserwacja | Wniosek o budowie atomu |\n| Wiekszosc czastek alfa przelatuje prawie bez zmiany kierunku | Atom jest w przewazajacej mierze pusta przestrzenia - ladunek dodatni skupiony w bardzo malej objetosci (jadrze) -> **C** |\n| Znikoma czesc odbija sie pod duzymi katami | Istnieje male, bardzo geste centrum z duzym ladunkiem dodatnim i duza masa |\n| Elektrony sa kilka tysiecy razy lzejsze od czastki alfa | Elektrony nie moga znaczaco odchylac czastek alfa; cala masa i ladunek dodatni skupione w jadrze, ktorego masa jest duzo wieksza od masy elektronow -> **1** |\n\nModel Thomsona (ladunek dodatni rozlozony rownomiernie w calym atomie - odpowiedz B) **nie tlumaczy** odbic pod duzymi katami, dlatego go odrzucamy. Poprawny jest model jadrowy: ladunek dodatni w malym jadrze (**C**), o masie duzo wiekszej od masy elektronow (**1**).\n\n## Sposob 2 - Eliminacja blednych opcji\n\n- **A** (ladunek dodatni rozmieszczony tak samo jak ujemny) - bledne; gdyby tak bylo, nie byloby \"twardego\" centrum odbijajacego czastki alfa.\n- **B** (wieksza czesc atomu wypelnia rownomiernie tylko ladunek dodatni) - to model Thomsona, sprzeczny z odbiciami pod duzymi katami.\n- **C** (ladunek dodatni zajmuje bardzo mala czesc atomu) - **poprawne**, zgodne z modelem jadrowym.\n- **1** (masa duzo wieksza od masy ladunku ujemnego) - **poprawne**; jadro skupia niemal cala mase atomu.\n- **2** (masa duzo mniejsza) i **3** (taka sama) - bledne; jadro jest tysiace razy ciezsze od elektronow.\n\n## Schemat oceniania CKE\n\n> **Zadanie 13.2 (0-1)**\n> - **1 p.** - poprawna odpowiedz.\n> - **0 p.** - brak spelnienia powyzszego kryterium.\n>\n> **Poprawna odpowiedz: C1** (ladunek dodatni zajmuje bardzo mala czesc atomu, a jego masa jest duzo wieksza od calej masy ladunku ujemnego).\n\n## Wzory z karty CKE\n\n> - **Prawo Coulomba:** \\(F = k\\dfrac{q_1 q_2}{r^2}\\) - male \\(r\\) (blisko jadra) daje ogromna sile odpychania, tlumaczaca duze katy odbicia.\n> - Rozumowanie jest jakosciowe - nie wymaga obliczen.\n\n## Typowe pulapki\n\n> Uwaga: Poprawna para to **C1**, nie B2. Opcja C (\"mala czesc atomu\") odpowiada malemu jadru; opcja 1 (\"masa duzo wieksza\") odpowiada temu, ze niemal cala masa atomu jest w jadrze.\n\n> Uwaga: Odpowiedz B opisuje obalony model Thomsona - rownomierne wypelnienie atomu ladunkiem dodatnim nie wyjasnia odbic pod duzymi katami.","image":"img/fizyka-2018-maj-matura-rozszerzona/zad-13.2.webp","solution_image":null,"topics":"Fizyka współczesna","page_from":16,"source":"ocr","answer_source":"maturazai","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Fizyka · Matura · maj 2018 (rozszerzona)","subject_label":"Fizyka","category_label":"Matura"},{"id":"fizyka-2018-maj-matura-rozszerzona/zad/13.3","paper_id":"fizyka-2018-maj-matura-rozszerzona","number":"13.3","points":1,"ptype":"true_false","subject":"fizyka","category":"matura","year":2018,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 13.3. (0-1)\nOceń prawdziwość poniższych zdań. Zaznacz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F - jeśli\njest fałszywe.\n1. Energia wiązania jądra cięższego (np. złota) jest większa niż energia wiązania\njądra znacznie lżejszego (np. węgla).\nP\nF\n2. Deficyt masy jąder atomowych jest tym większy, im większa jest energia\nwiązania tych jąder.\nP\nF\n3. Energia wiązania przypadająca na jeden nukleon jest dla wszystkich jąder\natomowych taka sama.\nP\nF","answer":null,"answer_text":"Zadanie 13.3. (0-1)\nWymagania ogólne\nWymagania szczegółowe\nI. Znajomość i umiejętność\nwykorzystania pojęć i praw fizyki\ndo wyjaśniania procesów i zjawisk\nw przyrodzie.\nZdający: 3.1) (P) posługuje się pojęciami: […]\ndeficytu masy i energii wiązania.\nSchemat punktowania\n1 p. - poprawne wszystkie zaznaczenia.\n0 p. - brak spełnienia powyższego kryterium.\nPoprawna odpowiedź\n1. P\n2. P\n3. F","solution":"## Poprawna odpowiedź\n\n| Stwierdzenie | Ocena |\n| 1. Energia wiązania jądra złota > energia wiązania jądra węgla | **P** |\n| 2. Deficyt masy jest tym większy, im większa energia wiązania | **P** |\n| 3. Energia wiązania na nukleon jest taka sama dla wszystkich jąder | **F** |\n\n## Sposób 1 - Analiza przez definicje i wzory\n\n### Stwierdzenie 1 - PRAWDA\n\n**Energia wiązania jądra** to energia potrzebna do całkowitego rozdzielenia wszystkich nukleonów. Obliczamy ją jako:\n\n\\[\nE_B = \\Delta m \\cdot c^2\n\\]\n\nCałkowita energia wiązania rośnie z liczbą nukleonów. Porównanie:\n\n| Jądro | Liczba nukleonów \\(A\\) | Energia wiązania na nukleon | Całkowita \\(E_B\\) |\n| \\({}^{12}_{6}\\text{C}\\) (węgiel) | 12 | ≈ 7,68 MeV/nukleon | ≈ **92 MeV** |\n| \\({}^{197}_{79}\\text{Au}\\) (złoto) | 197 | ≈ 7,92 MeV/nukleon | ≈ **1560 MeV** |\n\n**Wniosek:** Złoto ma ~17× więcej nukleonów niż węgiel → całkowita energia wiązania złota jest wielokrotnie większa. Stwierdzenie 1 jest **prawdziwe**.\n\n### Stwierdzenie 2 - PRAWDA\n\nZ definicji **deficytu masy** \\(\\Delta m\\):\n\n\\[\n\\Delta m = Z \\cdot m_p + N \\cdot m_n - m_{jądra}\n\\]\n\nDeficyt masy i energia wiązania są **bezpośrednio proporcjonalne**:\n\n\\[\nE_B = \\Delta m \\cdot c^2 \\quad \\Longleftrightarrow \\quad \\Delta m = \\frac{E_B}{c^2}\n\\]\n\nJeśli \\(E_B\\) rośnie → \\(\\Delta m\\) rośnie (proporcjonalnie, bo \\(c^2\\) to stała). Nie ma wyjątków - to **tożsamość matematyczna**, nie reguła z wyjątkami.\n\n**Wniosek:** Im większa energia wiązania, tym większy deficyt masy. Stwierdzenie 2 jest **prawdziwe**.\n\n### Stwierdzenie 3 - FAŁSZ\n\n**Energia wiązania na nukleon** \\(E_B/A\\) **nie jest stała** - zmienia się z liczbą masową \\(A\\). Wyraźnie widać to na wykresie Aston'a:\n\nE_B/A\n[MeV/nukleon]\n8.8 ─────────────────────────────●──────────────────\n(Fe-56, szczyt)\n7.5 ───────────────────────────────────────────────── (Au, U)\n7.0 ──────────── (C, O)\n5.6 ─── (He-4)\n1.1 ─ (H-2, deuter)\n0.0 ─ (H-1, proton - brak wiązania)\n──────────────────────────────────────────────── A\n1 4 12 56 197\n\nEnergia wiązania na nukleon **osiąga maksimum** około \\(A \\approx 56\\) (żelazo ≈ 8,8 MeV/nukleon) i jest **mniejsza** zarówno dla jąder lekkich (H, He), jak i ciężkich (Au, U ≈ 7,6 MeV/nukleon).\n\n**Wniosek:** To stwierdzenie jest **fałszywe**.\n\n## Sposób 2 - Analiza przez konsekwencje fizyczne (dlaczego stwierdzenie 3 musi być fałszywe)\n\nGdyby energia wiązania na nukleon była identyczna dla wszystkich jąder, **reakcje jądrowe nie wydzielałyby energii**:\n\n- **Synteza jądrowa (fuzja):** \\(\\text{H} + \\text{H} \\to \\text{He}\\) - wydziela energię, bo \\(E_B/A\\) dla He > \\(E_B/A\\) dla H. Słońce by nie świeciło, gdyby \\(E_B/A = \\text{const}\\).\n- **Rozszczepienie (fission):** \\(\\text{U} \\to \\text{Ba} + \\text{Kr}\\) - wydziela energię, bo produkty mają większą \\(E_B/A\\) niż uran. Elektrownie jądrowe by nie działały.\n\nSam fakt istnienia tych zjawisk **dowodzi**, że \\(E_B/A\\) musi być różne dla różnych jąder.\n\n## Orientacyjny schemat punktowania (odtworzony przez AI - NIE oficjalny klucz CKE)\n\n> 📋 **Orientacyjny schemat punktowania (nieoficjalny, odtworzony przez AI) (zadanie 13.3, max 1 pkt):**\n> - **1 pkt** - uczeń poprawnie ocenia wszystkie trzy zdania: P, P, F\n> - **0 pkt** - uczeń popełnia błąd w ocenie co najmniej jednego zdania\n> - **Uwaga:** Zadanie jest za 1 punkt łącznie - trzeba trafić wszystkie trzy, żeby go dostać.\n\n## Wzory z karty CKE - czego MASZ użyć\n\n> 📖 **Karta wzorów CKE - sekcja FIZYKA (str. 20, Fizyka jądrowa):**\n>\n> - **Deficyt masy:** \\(\\Delta m = Z \\cdot m_p + N \\cdot m_n - m_{jądra}\\)\n> - **Energia wiązania:** \\(E_B = \\Delta m \\cdot c^2\\)\n> - **Energia spoczynkowa:** \\(E_0 = m \\cdot c^2\\)\n>\n> Kluczowy związek to \\(E_B = \\Delta m \\cdot c^2\\) - bezpośrednio rozstrzyga stwierdzenie 2.\n> Stwierdzenia 1 i 3 wymagają znajomości wykresu \\(E_B/A\\) w funkcji \\(A\\) (krzywa Astona).\n\n## Dlaczego inne kombinacje są błędne\n\n| Błędna kombinacja | Typowy błąd rozumowania |\n| Stwierdzenie 1 = **F** | Uczeń myli energię wiązania *na nukleon* (podobna dla Au i C) z energią wiązania *całkowitą* (dla Au wielokrotnie większa). To klasyczne pomieszanie pojęć. |\n| Stwierdzenie 2 = **F** | Uczeń błędnie myśli, że większy deficyt masy = mniejsza energia (intuicja \"brakującej masy = straty\"). Tymczasem \\(\\Delta m \\cdot c^2\\) to ZYSK energii stabilności jądra. |\n| Stwierdzenie 3 = **P** | Uczeń zapamiętał, że \"jądra mają podobną gęstość energii wiązania\" (~7-9 MeV/nukleon dla większości jąder) i błędnie uogólnił to na \"taką samą\". Stałość gęstości nukleonów ≠ stałość \\(E_B/A\\). |\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Najczęstszy błąd to **mylenie \\(E_B\\) (całkowita) z \\(E_B/A\\) (na nukleon)**. Złoto ma WIĘKSZĄ całkowitą \\(E_B\\) niż węgiel (stwierdzenie 1 → P), ale NIE dlatego, że \\(E_B/A\\) złota jest bardzo różna od węgla - różnica na nukleon jest niewielka (~3%).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Deficyt masy NIE oznacza \"braku, straty, czegoś złego\" - to **miara stabilności jądra**. Duży \\(\\Delta m\\) → duże \\(E_B\\) → stabilniejsze jądro. Intuicja \"brak = słabość\" tu działa odwrotnie.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Stwierdzenie 3 jest **fałszywe z bardzo konkretnym kontrprzykładem**: proton (\\({}^1_1\\text{H}\\)) ma \\(E_B/A = 0\\) MeV/nukleon (jedno \"jądro\" = jeden proton, brak wiązania), żelazo ma \\(E_B/A \\approx 8,8\\) MeV/nukleon. To wystarczy do obalenia \"dla wszystkich jąder taka sama\".","image":"img/fizyka-2018-maj-matura-rozszerzona/zad-13.3.webp","solution_image":null,"topics":"Fizyka współczesna","page_from":17,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Fizyka · Matura · maj 2018 (rozszerzona)","subject_label":"Fizyka","category_label":"Matura"},{"id":"fizyka-2018-maj-matura-rozszerzona/zad/13.4","paper_id":"fizyka-2018-maj-matura-rozszerzona","number":"13.4","points":3,"ptype":"open","subject":"fizyka","category":"matura","year":2018,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 13.4. (0-3)\nPotencjalna energia elektrostatyczna dwóch ładunków elektrycznych o wartościach\n1q i\n2q ,\nznajdujących się w odległości d od siebie, wyraża się wzorem\n1\n2\npot\nkq q\nE\nd\ngdzie k jest stałą elektryczną. Cząstka α, wystrzelona z pewną prędkością początkową, zbliża\nsię centralnie w kierunku jądra złota. Zakładamy, że gdy cząstka α zbliża się do jądra, to\noddziałuje tylko z tym jednym jądrem, a ponadto jądro złota pozostaje nieruchome.\nOszacowano, że najmniejsza odległość, na jaką ta cząstka może się zbliżyć do jądra złota, jest\nrówna\n14\n4 10-\n⋅\nm.\nOblicz początkową energię kinetyczną tej cząstki. Przyjmij, że w chwili początkowej\nodległość cząstki α od jądra złota była bardzo duża. Wynik podaj w MeV.\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n13.1. 13.2. 13.3. 13.4.\nMaks. liczba pkt\n1\n1\n1\n3\nUzyskana liczba pkt\nMFA_1R","answer":null,"answer_text":"Zadanie 13.4. (0-3)\nWymagania ogólne\nWymagania szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i przetwarzanie\ninformacji zapisanych w postaci tekstu,\ntabel, wykresów, schematów\ni rysunków.\nIV. Budowa prostych modeli fizycznych\ni matematycznych do opisu zjawisk.\nZdający:\n3.1) (P) podaje skład jądra atomowego na\npodstawie liczby masowej i atomowej,\n3.3) wykorzystuje zasadę zachowania energii\nmechanicznej do obliczania parametrów ruchu.\nSchemat punktowania\n3 p. - prawidłowa metoda obliczenia początkowej energii kinetycznej oraz prawidłowy wynik\nliczbowy podany w MeV (lub eV).\n2 p. - prawidłowa metoda obliczenia początkowej energii kinetycznej (identyfikacja ładunków\ncząstki α i jądra złota, zastosowanie zasady zachowania energii, prawidłowa\nidentyfikacja danych) oraz prawidłowy wynik liczbowy, który nie został podany w MeV\nlub\n- prawidłowa metoda obliczenia początkowej energii kinetycznej (identyfikacja ładunków\ncząstki α i jądra złota, zastosowanie zasady zachowania energii, prawidłowa\nidentyfikacja danych), prowadząca do wyniku w MeV, oraz błąd w obliczeniach.\n1 p. - identyfikacja ładunków cząstki α i jądra złota (np. zapisanie we wzorze 158qe\n2 lub 2·79qe\n2)\noraz zastosowanie zasady zachowania energii\nlub\n- obliczenie energii kinetycznej w MeV (lub eV) przy błędnej identyfikacją ładunku jąder.\n0 p. - brak spełnienia powyższych kryteriów.\nPrzykładowe rozwiązanie\nIdentyfikujemy ładunki elektryczne cząstki alfa i jądra złota jako odpowiednie wielokrotności\nładunku elementarnego:\nݍ஑= 2ݍ௘ , ݍ୅୳= 79ݍ௘\nPrzyrównujemy do siebie energie mechaniczne cząstki alfa w dwóch chwilach: 1) początkowej\ni 2) gdy zbliżyła się maksymalnie do jądra:\nܧ௞௜௡ଵ+ ܧ௣௢௧ଵ= ܧ௞௜௡ଶ+ ܧ௣௢௧ଶ → ܧ௞௜௡ଵ+ 0 = 0 + ܧ௣௢௧ଶ\nܧ௞௜௡ଵ = ݇ݍఈݍ஺௨݀\nܧ௞௜௡ଵ=\n158 ∙9 ∙10ଽ N∙m2\nC2 ∙(1,6 ∙10ିଵଽ)ଶ C2\n4 ∙10ିଵସ m\n= 910 ∙10ିଵହ J = 5,69 MeV","solution":"## Poprawna odpowiedź\n\n\\[E_{k0} \\approx 5{,}7 \\text{ MeV}\\]\n\n## Sposób 1 - Zasada zachowania energii (cząstka zatrzymana w punkcie minimalnej odległości)\n\n**Kluczowa obserwacja fizyczna:** Gdy cząstka α zbliża się centralnie (wzdłuż prostej łączącej ją z jądrem), w punkcie minimalnej odległości jej prędkość chwilowo wynosi zero - cała energia kinetyczna przeszła w energię potencjalną pola kulombowskiego.\n\n**Zapis zasady zachowania energii:**\n\nStan początkowy (cząstka bardzo daleko, \\(d_0 \\to \\infty\\)):\n\\[E_{k0} + E_{pot,0} = E_{k0} + \\frac{k q_\\alpha q_{Au}}{d_0} = E_{k0} + 0\\]\n\nStan końcowy (punkt najbliższy, \\(v = 0\\)):\n\\[E_k = 0, \\quad E_{pot} = \\frac{k q_\\alpha q_{Au}}{d_{min}}\\]\n\nZ zasady zachowania energii:\n\\[\\boxed{E_{k0} = \\frac{k \\cdot q_\\alpha \\cdot q_{Au}}{d_{min}}}\\]\n\n**Podstawiamy dane:**\n\nŁadunki:\n- Cząstka α: \\(q_\\alpha = 2e = 2 \\times 1{,}6 \\times 10^{-19}\\text{ C} = 3{,}2 \\times 10^{-19}\\text{ C}\\)\n- Jądro złota \\(^{197}_{79}\\text{Au}\\): \\(q_{Au} = 79e = 79 \\times 1{,}6 \\times 10^{-19}\\text{ C} = 1{,}264 \\times 10^{-17}\\text{ C}\\)\n- Stała elektryczna: \\(k = 9 \\times 10^9 \\text{ N·m}^2/\\text{C}^2\\)\n- Minimalna odległość: \\(d_{min} = 4 \\times 10^{-14}\\text{ m}\\)\n\n\\[E_{k0} = \\frac{9 \\times 10^9 \\times 3{,}2 \\times 10^{-19} \\times 1{,}264 \\times 10^{-17}}{4 \\times 10^{-14}}\\]\n\nLicznik:\n\\[9 \\times 3{,}2 \\times 1{,}264 = 36{,}35; \\quad 10^{9-19-17} = 10^{-27}\\]\n\\[\\text{Licznik} = 36{,}35 \\times 10^{-27} \\text{ J·m}\\]\n\n\\[E_{k0} = \\frac{36{,}35 \\times 10^{-27}}{4 \\times 10^{-14}} = 9{,}09 \\times 10^{-13} \\text{ J}\\]\n\n**Przeliczenie na MeV** (\\(1\\text{ MeV} = 1{,}6 \\times 10^{-13}\\text{ J}\\)):\n\\[E_{k0} = \\frac{9{,}09 \\times 10^{-13}}{1{,}6 \\times 10^{-13}} \\approx \\boxed{5{,}7 \\text{ MeV}}\\]\n\n## Sposób 2 - Bezpośrednio w elektronowoltach (pomijając przeliczanie jednostek)\n\n**Idea:** zamiast liczyć w dżulach i przeliczać, od razu zapisujemy ładunki jako wielokrotności \\(e\\).\n\nWzór na energię potencjalną w momencie zatrzymania:\n\\[E_{k0} = \\frac{k \\cdot (2e)(79e)}{d_{min}} = \\frac{k \\cdot 158 \\cdot e^2}{d_{min}}\\]\n\nKorzystamy z tożsamości: \\(ke^2 = 9 \\times 10^9 \\times (1{,}6 \\times 10^{-19})^2 = 9 \\times 10^9 \\times 2{,}56 \\times 10^{-38} = 2{,}304 \\times 10^{-28} \\text{ J·m}\\)\n\n\\[E_{k0} = \\frac{158 \\times 2{,}304 \\times 10^{-28}}{4 \\times 10^{-14}} = \\frac{364{,}0 \\times 10^{-28}}{4 \\times 10^{-14}} = 91{,}0 \\times 10^{-14} \\text{ J} = 9{,}10 \\times 10^{-13} \\text{ J}\\]\n\nPrzeliczenie: \\(\\dfrac{9{,}10 \\times 10^{-13}}{1{,}6 \\times 10^{-13}} \\approx 5{,}7\\text{ MeV}\\) ✓\n\nWynik zgodny z Metodą 1. Błąd zaokrąglenia \\(<1\\%\\).\n\n## Sposób 3 - Analiza wymiarowa + sprawdzenie rzędu wielkości\n\nJako **weryfikacja sensowności wyniku** - energetyczne cząstki α z rozpadów jądrowych mają typowo **4-9 MeV** (np. rozpad polonu-210: 5,3 MeV; radu-226: 4,87 MeV). Wynik \\(\\approx 5{,}7\\text{ MeV}\\) jest w idealnym zakresie dla cząstek α używanych w eksperymencie Rutherforda - **wynik jest fizycznie wiarygodny.**\n\nSprawdzenie jednostek wzoru z zadania:\n\\[\\left[\\frac{k \\cdot q_1 \\cdot q_2}{d}\\right] = \\frac{\\text{N·m}^2/\\text{C}^2 \\cdot \\text{C} \\cdot \\text{C}}{\\text{m}} = \\frac{\\text{N·m}^2}{\\text{m}} = \\text{N·m} = \\text{J} \\checkmark\\]\n\n## Orientacyjny schemat punktowania (odtworzony przez AI - NIE oficjalny klucz CKE)\n\n> 📋 **Orientacyjny schemat punktowania (nieoficjalny, odtworzony przez AI) (zadanie 13.4, max 3 pkt):**\n>\n> - **1 pkt** - poprawne zastosowanie zasady zachowania energii: \\(E_{k0} = \\frac{k q_\\alpha q_{Au}}{d_{min}}\\) z uzasadnieniem, że energia potencjalna w stanie końcowym = 0 (lub: odległość początkowa \\(\\to \\infty\\)) oraz prędkość końcowa = 0\n> - **1 pkt** - poprawne podstawienie wartości ładunków (\\(q_\\alpha = 2e\\), \\(q_{Au} = 79e\\)) i obliczenie w dżulach: wynik \\(\\approx 9{,}1 \\times 10^{-13}\\text{ J}\\)\n> - **1 pkt** - poprawne przeliczenie na MeV i podanie wyniku: \\(\\approx 5{,}7\\text{ MeV}\\) (akceptowane: 5,6-5,8 MeV)\n>\n> - **Akceptowane warianty:** Różne metody obliczeń dające prawidłowy wynik liczbowy; zapis \\(E_{k0} = E_{pot,max}\\)\n> - **Uwagi (orientacyjne):** ❌ Nie uznaje się braku przeliczenia na MeV (wynik tylko w J nie spełnia polecenia). ❌ Nie uznaje się użycia błędnego ładunku (np. \\(q_\\alpha = e\\) zamiast \\(2e\\), lub \\(q_{Au} = 197e\\) zamiast \\(79e\\)).\n\n## Wzory z karty CKE - czego MASZ użyć\n\n> 📖 **Karta wzorów CKE - sekcja FIZYKA:**\n>\n> Wzór na energię potencjalną elektrostatyczną **podany jest bezpośrednio w treści zadania** - nie musisz go szukać na karcie.\n>\n> Z karty wzorów potrzebujesz:\n> - **Ładunek elementarny:** \\(e = 1{,}6 \\times 10^{-19}\\text{ C}\\)\n> - **Stała elektryczna:** \\(k = 9 \\times 10^9\\text{ N·m}^2/\\text{C}^2\\) (lub \\(k = \\frac{1}{4\\pi\\varepsilon_0}\\))\n> - **Przelicznik energii:** \\(1\\text{ eV} = 1{,}6 \\times 10^{-19}\\text{ J}\\), stąd \\(1\\text{ MeV} = 1{,}6 \\times 10^{-13}\\text{ J}\\)\n>\n> **Skąd wiesz, że \\(Z_{Au} = 79\\)?**\n> To wiedza z tablicy okresowej (dostępna na maturze) - złoto to 79 proton, stąd \\(q_{Au} = 79e\\). Cząstka α = jądro helu-4 = 2 protony, stąd \\(q_\\alpha = 2e\\).\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Najczęstszy błąd - wzięcie \\(q_{Au} = 197e\\) (liczba masowa) zamiast \\(79e\\) (liczba atomowa = liczba protonów). Ładunek jądra to **TYLKO protony**, neutrony są elektrycznie obojętne!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Cząstka α ma ładunek \\(+2e\\), nie \\(+e\\). To jądro \\(^4_2\\text{He}\\) - 2 protony i 2 neutrony. Wzięcie \\(q_\\alpha = e\\) zmniejszy wynik 2-krotnie i zabierze punkt.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przeliczenie na MeV jest częścią polecenia - wynik w dżulach bez przeliczenia to 2/3 punktów. \\(1\\text{ MeV} = 10^6 \\times 1{,}6 \\times 10^{-19}\\text{ J} = 1{,}6 \\times 10^{-13}\\text{ J}\\) - zapamiętaj!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Dlaczego energię kinetyczną końcową przyjmujemy za zero? Bo pytamy o **minimalną odległość** - cząstka dochodzi do punktu zatrzymania (momentalnie \\(v=0\\)), po czym jest odpychana z powrotem. Właśnie ten punkt odpowiada maksimum energii potencjalnej = minimum odległości.","image":"img/fizyka-2018-maj-matura-rozszerzona/zad-13.4.webp","solution_image":null,"topics":"Fizyka współczesna","page_from":17,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Fizyka · Matura · maj 2018 (rozszerzona)","subject_label":"Fizyka","category_label":"Matura"},{"id":"fizyka-2018-maj-matura-rozszerzona/zad/14","paper_id":"fizyka-2018-maj-matura-rozszerzona","number":"14","points":1,"ptype":"closed","subject":"fizyka","category":"matura","year":2018,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 14. (0-1)\nŹródło światła Z1 emituje światło czerwone, a źródło światła Z2 - zielone. Oba źródła emitują\nświatło z tą samą mocą.\nZaznacz właściwe dokończenie zdania wybrane spośród A-C oraz jego poprawne\nuzasadnienie wybrane spośród 1.-3.\nLiczba fotonów emitowanych w jednostce czasu przez źródło Z1 w porównaniu z liczbą\nfotonów emitowanych w jednostce czasu przez źródło Z2 jest\nA. większa,\nponieważ\n1. światło emitowane przez źródło Z1 ma mniejszą\nczęstotliwość.\nB. mniejsza,\n2. światło emitowane przez źródło Z1 ma większą\nczęstotliwość.\nC. taka sama,\n3. wartości mocy, z jakimi źródła emitują światło, zależą\ntylko od liczby fotonów wysyłanych w jednostce czasu.","answer":"A","answer_text":"Zadanie 14. (0-1)\nWymagania ogólne\nWymagania szczegółowe\nI. Znajomość i umiejętność\nwykorzystania pojęć i praw fizyki\ndo wyjaśniania procesów i zjawisk\nw przyrodzie.\nZdający:\n2.4) (P) wyjaśnia pojęcie fotonu i jego energii,\n11.1) opisuje założenia kwantowego modelu\nświatła,\n11.3) stosuje zależność między energią fotonu a\nczęstotliwością i długością fali […].\nSchemat punktowania\n1 p. - poprawna odpowiedź.\n0 p. - brak spełnienia powyższego kryterium.\nPoprawna odpowiedź\nA1","solution":"## Poprawna odpowiedź\n\n**A - większa**, uzasadnienie **1** (foton czerwony ma mniejszą energię niż foton zielony).\n\n## Sposób 1 - Bilans energetyczny (moc = strumień fotonów × energia fotonu)\n\nMoc źródła to energia emitowana w jednostce czasu:\n\n\\[\nP = \\frac{N}{t} \\cdot E_\\text{fotonu} = \\frac{N}{t} \\cdot h f = \\frac{N}{t} \\cdot \\frac{hc}{\\lambda}\n\\]\n\ngdzie \\(N/t\\) - liczba fotonów na sekundę, \\(h\\) - stała Plancka, \\(f\\) - częstotliwość, \\(\\lambda\\) - długość fali.\n\n**Krok 1 - porównaj długości fal:**\n\nŚwiatło czerwone ma **dłuższą** falę niż zielone:\n\\[\n\\lambda_\\text{czerwone} \\approx 620{-}750\\,\\text{nm} > \\lambda_\\text{zielone} \\approx 495{-}570\\,\\text{nm}\n\\]\n\n**Krok 2 - porównaj energię jednego fotonu:**\n\n\\[\nE = \\frac{hc}{\\lambda} \\implies \\lambda \\uparrow \\Rightarrow E \\downarrow\n\\]\n\nFoton czerwony ma **mniejszą energię** niż foton zielony:\n\\[\nE_1 < E_2\n\\]\n\n**Krok 3 - wyznacz liczbę fotonów przy tej samej mocy \\(P\\):**\n\n\\[\n\\frac{N}{t} = \\frac{P}{E} = \\frac{P\\lambda}{hc}\n\\]\n\nSkoro moc obu źródeł jest ta sama:\n\n\\[\n\\frac{N_1}{t} = \\frac{P \\lambda_\\text{czerwone}}{hc}, \\quad \\frac{N_2}{t} = \\frac{P \\lambda_\\text{zielone}}{hc}\n\\]\n\n\\[\n\\lambda_\\text{czerwone} > \\lambda_\\text{zielone} \\implies \\frac{N_1}{t} > \\frac{N_2}{t}\n\\]\n\n**Wniosek:** Aby \"dostarczyć\" tę samą moc fotonami o mniejszej energii jednostkowej, źródło \\(Z_1\\) musi emitować **więcej fotonów na sekundę**.\n\n## Sposób 2 - Proporcja bezpośrednia (iloraz strumieni fotonów)\n\nDzielimy strumienie fotonów obu źródeł:\n\n\\[\n\\frac{N_1/t}{N_2/t} = \\frac{P/E_1}{P/E_2} = \\frac{E_2}{E_1} = \\frac{hf_2}{hf_1} = \\frac{f_2}{f_1}\n\\]\n\nCzerwone ma **niższą częstotliwość** niż zielone (\\(f_1 < f_2\\)), więc:\n\n\\[\n\\frac{N_1/t}{N_2/t} = \\frac{f_2}{f_1} > 1 \\implies N_1 > N_2\n\\]\n\nPrzykładowe wartości liczbowe:\n\n| Kolor | \\(\\lambda\\) | \\(f\\) | \\(E_\\text{fotonu}\\) | \\(N/t\\) przy \\(P=1\\,\\text{W}\\) |\n| Czerwony (\\(Z_1\\)) | 700 nm | \\(4{,}3 \\times 10^{14}\\) Hz | \\(2{,}84 \\times 10^{-19}\\) J | \\(\\approx 3{,}52 \\times 10^{18}\\,\\text{s}^{-1}\\) |\n| Zielony (\\(Z_2\\)) | 520 nm | \\(5{,}8 \\times 10^{14}\\) Hz | \\(3{,}84 \\times 10^{-19}\\) J | \\(\\approx 2{,}60 \\times 10^{18}\\,\\text{s}^{-1}\\) |\n\nWyraźnie: \\(N_1 > N_2\\).\n\n## Orientacyjny schemat punktowania (odtworzony przez AI - NIE oficjalny klucz CKE)\n\n> 📋 **Orientacyjny schemat punktowania (nieoficjalny, odtworzony przez AI) (zadanie 14, max 1 pkt):**\n> - **1 pkt** - uczeń zaznaczył odpowiedź **A** oraz uzasadnienie **1**\n> - **0 pkt** - każda inna kombinacja (nawet A z błędnym uzasadnieniem - oba człony muszą być poprawne)\n\n## Wzory z karty CKE - czego MASZ użyć\n\n> 📖 **Karta wzorów CKE - sekcja FIZYKA (str. 16-17):**\n>\n> - Energia fotonu: \\(E = hf = \\frac{hc}{\\lambda}\\)\n> - Stała Plancka: \\(h = 6{,}626 \\times 10^{-34}\\,\\text{J·s}\\)\n> - Prędkość światła: \\(c = 3 \\times 10^8\\,\\text{m/s}\\)\n>\n> Z tych wzorów bezpośrednio wynika: **im dłuższa fala → mniejsza energia fotonu → więcej fotonów potrzeba do tej samej mocy**.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Wariant | Typowy błąd |\n| **B - taka sama** | Uczeń myli \"ta sama moc\" z \"ta sama liczba fotonów\". Gdyby fotony miały tę samą energię - tak, ale energia fotonu zależy od częstotliwości (\\(E = hf\\)), a czerwone i zielone to różne częstotliwości. |\n| **C - mniejsza** | Uczeń myśli: \"czerwone = dłuższa fala = 'wolniejsze' fotony = mniej ich dolatuje\". To błąd - wszystkie fotony w próżni mają tę samą prędkość \\(c\\). Mylony jest **zasięg/intensywność** z **liczbą fotonów**. |\n\n**Błędne uzasadnienia (przy poprawnym A):**\n\n| Uzasadnienie | Błąd |\n| **2** - \"foton czerwony ma większą energię\" | Odwrócenie: dłuższa fala → **mniejsza**, nie większa energia. |\n| **3** - \"energia fotonu nie zależy od częstotliwości\" | Niezgodne z kanonicznym wzorem \\(E = hf\\). |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \"Ta sama moc\" ≠ \"ta sama liczba fotonów\". Moc to iloczyn \\(N/t \\cdot E_\\text{fotonu}\\) - oba czynniki mogą się kompensować.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Kolory tęczy mają **stałą kolejność** energii fotonów: czerwony (min) → pomarańczowy → żółty → zielony → niebieski → fioletowy (max). Zapamiętaj: **CZERWONY = mała energia, FIOLETOWY = duża energia**.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Zadanie wymaga **obu** poprawnych elementów (A i 1) - sama literka bez uzasadnienia (lub odwrotnie) to 0 pkt. Zawsze wypełniaj oba człony.","image":"img/fizyka-2018-maj-matura-rozszerzona/zad-14.webp","solution_image":null,"topics":"Fizyka współczesna","page_from":18,"source":"ocr","answer_source":"maturazai","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Fizyka · Matura · maj 2018 (rozszerzona)","subject_label":"Fizyka","category_label":"Matura"},{"id":"fizyka-2018-maj-matura-rozszerzona/zad/15","paper_id":"fizyka-2018-maj-matura-rozszerzona","number":"15","points":null,"ptype":"open","subject":"fizyka","category":"matura","year":2018,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 15.\nW dniu 9 maja 2016 roku miało miejsce zjawisko astronomiczne - tranzyt Merkurego.\nMerkury, obserwowany z Ziemi, powoli przesuwał się na tle tarczy Słońca. Zjawisko trwało\nokoło 7,5 godziny. Podczas tranzytu Merkury znajdował się blisko aphelium swojej orbity.\nAphelium jest punktem na orbicie planety, który leży w największej odległości od Słońca,\nnatomiast peryhelium jest punktem na orbicie planety leżącym najbliżej Słońca (zobacz\nrysunek poniżej). Aphelium orbity Merkurego znajduje się w odległości ra= 0,467 jednostki\nastronomicznej od środka Słońca, a Merkury, przechodząc przez aphelium, porusza się\nz prędkością 38,9\nkm\ns względem Słońca. Różnica odległości Merkurego od środka Słońca\nw aphelium i peryhelium jest równa 0,159 jednostki astronomicznej.\nWektor prędkości planety w każdym z tych punktów (peryhelium i aphelium) jest prostopadły\ndo promienia wodzącego - łączącego środek Słońca z planetą.\nMerkury\nw aphelium\nMerkury\nw peryhelium\nra\nrp\nMFA_1R","answer":null,"answer_text":"6 oraz 1\n5,8\n2,7\n32\n1\n6,02\n1,23","solution":null,"image":"img/fizyka-2018-maj-matura-rozszerzona/zad-15.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":18,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Fizyka · Matura · maj 2018 (rozszerzona)","subject_label":"Fizyka","category_label":"Matura"},{"id":"fizyka-2018-maj-matura-rozszerzona/zad/15.1","paper_id":"fizyka-2018-maj-matura-rozszerzona","number":"15.1","points":1,"ptype":"true_false","subject":"fizyka","category":"matura","year":2018,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 15.1. (0-1)\nOceń prawdziwość poniższych zdań. Zaznacz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, lub F - jeśli\nzdanie jest fałszywe.\n1.\nMaksymalna prędkość Merkurego na orbicie wokół Słońca jest równa około\n38,9\nkm\ns .\nP\nF\n2. Okres obiegu Merkurego wokół Słońca jest krótszy niż okres obiegu Ziemi\nwokół Słońca.\nP\nF\n3. Podobnie jak w przypadku tranzytu Merkurego, z Ziemi można obserwować\ntakże tranzyt Marsa na tle Słońca.\nP\nF","answer":null,"answer_text":"Zadanie 15.1. (0-1)\nWymagania ogólne\nWymagania szczegółowe\nII. Analiza tekstów\npopularnonaukowych i ocena ich treści.\nIII. Wykorzystanie i przetwarzanie\ninformacji zapisanych w postaci tekstu,\ntabel, wykresów, schematów\ni rysunków.\nZdający:\n4.5) oblicza zmiany energii potencjalnej\ngrawitacji i wiąże je z pracą lub zmianą energii\nkinetycznej,\n4.8) oblicza okresy obiegu planet i ich średnie\nodległości od gwiazdy, wykorzystując III prawo\nKeplera dla orbit kołowych,\n12.8) przedstawia […] główne tezy poznanego\nartykułu popularnonaukowego z dziedziny\nfizyki lub astronomii.\nSchemat punktowania\n1 p. - poprawne wszystkie zaznaczenia.\n0 p. - brak spełnienia powyższego kryterium.\nPoprawna odpowiedź\n1. F\n2. P\n3. F","solution":"## Poprawna odpowiedź\n\n| Stwierdzenie | Ocena |\n| 1. Maksymalna prędkość Merkurego ≈ 38,9 km/s | **F** |\n| 2. Okres Merkurego krótszy niż Ziemi | **P** |\n| 3. Z Ziemi można obserwować tranzyt Marsa | **F** |\n\n## Sposób 1 - Analiza każdego stwierdzenia przez prawa Keplera i geometrię Układu Słonecznego\n\n### Stwierdzenie 1 - FAŁSZ\n\nDane mówią wprost: **38,9 km/s to prędkość w aphelium** - czyli w punkcie **najdalszym** od Słońca.\n\nZ zasady zachowania momentu pędu (dla ruchu orbitalnego, gdzie \\(\\vec{v} \\perp \\vec{r}\\) w aphelium i peryhelium):\n\n\\[\nL = m \\cdot v \\cdot r = \\text{const}\n\\]\n\n\\[\nm \\cdot v_a \\cdot r_a = m \\cdot v_p \\cdot r_p\n\\]\n\n\\[\nv_p = v_a \\cdot \\frac{r_a}{r_p}\n\\]\n\nPonieważ \\(r_a > r_p\\), mamy \\(\\frac{r_a}{r_p} > 1\\), a więc **\\(v_p > v_a\\)**.\n\nMaksymalna prędkość jest w **peryhelium**, a minimalna w aphelium. Wartość 38,9 km/s to prędkość **minimalna**, nie maksymalna.\n\n> ⚡ Obliczenie: \\(r_p = r_a - 0{,}159 = 0{,}467 - 0{,}159 = 0{,}308\\) AU\n>\n> \\[v_p = 38{,}9 \\cdot \\frac{0{,}467}{0{,}308} \\approx 59{,}0 \\text{ km/s}\\]\n\n**Stwierdzenie fałszywe - 38,9 km/s to minimum, nie maksimum.**\n\n### Stwierdzenie 2 - PRAWDA\n\nStosujemy **III prawo Keplera**:\n\n\\[\n\\frac{T_1^2}{T_2^2} = \\frac{a_1^3}{a_2^3}\n\\]\n\nMerkury obiega Słońce po orbicie o **mniejszej półosi wielkiej** niż Ziemia (średnia odległość Merkurego ≈ 0,387 AU, Ziemi = 1 AU). Skoro \\(a_M < a_Z\\), to:\n\n\\[\nT_M^2 < T_Z^2 \\implies T_M < T_Z\n\\]\n\nFaktycznie: \\(T_M \\approx 88 \\text{ dni}\\), \\(T_Z = 365 \\text{ dni}\\).\n\n**Stwierdzenie prawdziwe.**\n\n### Stwierdzenie 3 - FAŁSZ\n\nTranzyt planety to zjawisko, gdy planeta **przechodzi między Ziemią a Słońcem** - widoczna jest jako ciemna tarcza na tle Słońca.\n\nJest to możliwe **wyłącznie dla planet wewnętrznych** (ang. *inferior planets*) - czyli krążących **bliżej Słońca niż Ziemia**:\n- **Merkury** ✅ (a ≈ 0,39 AU)\n- **Wenus** ✅ (a ≈ 0,72 AU)\n\n**Mars jest planetą zewnętrzną** (a ≈ 1,52 AU > 1 AU). Mars nigdy nie znajdzie się między Ziemią a Słońcem - Ziemia jest bliżej Słońca niż Mars. Tranzyt Marsa obserwowany z Ziemi jest geometrycznie niemożliwy.\n\n**Stwierdzenie fałszywe.**\n\n## Sposób 2 - Eliminacja przez II prawo Keplera i geometrię tranzytów\n\n### Stwierdzenie 1 - weryfikacja przez II prawo Keplera\n\n**II prawo Keplera** (prawo pól): promień wodzący zamiata równe pola w równych czasach.\n\naphelium: r duże → planeta porusza się WOLNO (mały łuk na jednostkę czasu)\nperyhelium: r małe → planeta porusza się SZYBKO (duży łuk na jednostkę czasu)\n\nSkoro Merkury był **blisko aphelium** podczas tranzytu (mówi to treść zadania), poruszał się **wolno** - stąd tranzyt trwał aż 7,5 godziny. Gdyby był w peryhelium, tranzyt byłby znacznie krótszy.\n\nPotwierdza to, że 38,9 km/s = prędkość **minimalna**. **F.**\n\n### Stwierdzenie 3 - weryfikacja przez definicję koniunkcji\n\n| Typ koniunkcji | Planeta | Możliwy tranzyt? |\n| Dolna (planeta między Ziemią a Słońcem) | Merkury, Wenus | ✅ TAK |\n| Górna (Słońce między Ziemią a planetą) | wszystkie | ❌ NIE |\n| Brak koniunkcji dolnej | Mars, Jowisz… | ❌ NIE |\n\nMars nigdy nie wchodzi w koniunkcję dolną - krąży **na zewnątrz** orbity Ziemi. **F.**\n\n## Orientacyjny schemat punktowania (odtworzony przez AI - NIE oficjalny klucz CKE)\n\n> 📋 **Orientacyjny schemat punktowania (nieoficjalny, odtworzony przez AI) (zadanie 15.1, max 1 pkt):**\n> - **1 pkt** - uczeń zaznaczył poprawnie wszystkie trzy odpowiedzi: **F, P, F**\n> - **0 pkt** - każda inna kombinacja odpowiedzi\n\n## Wzory z karty CKE - czego MASZ użyć\n\n> 📖 **Karta wzorów CKE - sekcja FIZYKA:**\n>\n> - **III prawo Keplera** \\(\\dfrac{T_1^2}{T_2^2} = \\dfrac{a_1^3}{a_2^3}\\) - użyte do stwierdzenia 2\n> - **Zasada zachowania momentu pędu** \\(p = m \\cdot v\\), \\(L = m \\cdot v \\cdot r\\) - użyte do stwierdzenia 1\n> - **II prawo Keplera** (prawo pól równych) - weryfikacja stwierdzenia 1 w Sposobie 2\n>\n> Stwierdzenie 3 nie wymaga wzorów - wystarczy znajomość **geometrii Układu Słonecznego** (planety wewnętrzne vs zewnętrzne).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Stwierdzenie | Typowy błąd ucznia | Poprawna logika |\n| 1 → P (błąd) | Uczeń czyta \"38,9 km/s\" i nie zauważa, że to prędkość **w aphelium** (minimum!) | Aphelium = daleko = wolno; maksimum jest w **peryhelium** |\n| 2 → F (błąd) | Uczeń myli \"bliżej Słońca = szybciej = krótszy rok\" z \"dłuższą drogą do przebycia\" | III prawo Keplera jednoznacznie: mniejsza półoś → krótszy okres |\n| 3 → P (błąd) | Uczeń myśli: \"tranzyt = każda planeta może przejść przed Słońcem\" | Tranzyt możliwy TYLKO gdy planeta jest MIĘDZY Ziemią a Słońcem - geometrycznie niemożliwe dla Marsa |\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Słowo „aphelium\" w treści zadania to kluczowa wskazówka - aphelium = minimum prędkości, nie maksimum. Wielu uczniów pomija ten kontekst.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Tranzyt ≠ zaćmienie. Tranzyt dotyczy wyłącznie planet wewnętrznych (Merkury i Wenus). Marsa, Jowisza, Saturna - tranzytów z Ziemi nie obserwujemy. Tranzyt Marsa można by obserwować **tylko z planety zewnętrznej** (np. z Jowisza).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** III prawo Keplera - zapamiętaj kierunek: **bliżej Słońca = mniejsza półoś = krótszy rok**. Merkury: 88 dni. Wenus: 225 dni. Ziemia: 365 dni. Mars: 687 dni. Każda kolejna planeta to dłuższy rok.","image":"img/fizyka-2018-maj-matura-rozszerzona/zad-15.1.webp","solution_image":null,"topics":"Grawitacja i astronomia","page_from":19,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Fizyka · Matura · maj 2018 (rozszerzona)","subject_label":"Fizyka","category_label":"Matura"},{"id":"fizyka-2018-maj-matura-rozszerzona/zad/15.2","paper_id":"fizyka-2018-maj-matura-rozszerzona","number":"15.2","points":3,"ptype":"open","subject":"fizyka","category":"matura","year":2018,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 15.2. (0-3)\nOblicz prędkość liniową Merkurego względem Słońca, gdy znajduje się on w peryhelium.\nW jednej z metod rozwiązania zadania możesz wykorzystać do obliczeń masę Słońca równą\n1,99·1030 kg oraz wartość jednostki astronomicznej, wynoszącą 1,50·1011 m.\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n14.\n15.1. 15.2.\n16.\nMaks. liczba pkt\n1\n1\n3\n1\nUzyskana liczba pkt\nMFA_1R","answer":null,"answer_text":"Zadanie 15.2. (0-3)\nWymagania ogólne\nWymagania szczegółowe\nII. Analiza tekstów\npopularnonaukowych i ocena ich treści.\nIII. Wykorzystanie i przetwarzanie\ninformacji zapisanych w postaci tekstu,\ntabel, wykresów, schematów\ni rysunków.\nIV. Budowa prostych modeli fizycznych\ni matematycznych do opisu zjawisk.\nZdający:\n2.8) stosuje zasadę zachowania momentu pędu\ndo analizy ruchu,\n4.5) oblicza zmiany energii potencjalnej\ngrawitacji i wiąże je z pracą lub zmianą energii\nkinetycznej,\n3.3) wykorzystuje zasadę zachowania energii\nmechanicznej do obliczania parametrów ruchu.\nSchemat punktowania\n3 p. - prawidłowa metoda wyznaczenia prędkości liniowej Merkurego w peryhelium oraz\nprawidłowy wynik liczbowy z jednostką.\n2 p. - prawidłowe (zgodne z oznaczeniami) zapisanie zasady zachowania momentu pędu lub\nzasady zachowania energii mechanicznej oraz prawidłowe określenie odległości od\nśrodka Słońca do peryhelium orbity Merkurego.\n1 p. - zapisanie zasady zachowania momentu pędu Merkurego względem Słońca albo zasady\nzachowania energii mechanicznej.\n0 p. - brak spełnienia powyższych kryteriów.\nPrzykładowe rozwiązania\nSposób 1. (z zasady zachowania momentu pędu)\nNa podstawie danych w tekście zadania i rysunku określamy odległość środka Słońca do punktu\naphelium i peryhelium orbity Merkurego:\nݎ௔= 0,467 au ݎ௣= 0,467 au -0,159 au = 0,308 au\nKorzystamy z zasady zachowania momentu pędu punktu materialnego (tutaj środka masy\nMerkurego) w ruchu względem punktu centrum (tutaj środka Słońca), gdy działa na niego siła\nskierowana do tego punktu:\n݌௔ݎ௔= ݌௣ݎ௣\ngdzie ݌௔ oraz ݌௣ są pędami Merkurego względem Słońca, odpowiednio w punktach aphelium\ni peryhelium. Wykonujemy obliczenia:\nݒ௔ݎ௔=\nݒ௣ݎ௣ → ݒ௣= ݎ௔\nݎ௣\nݒ௔ → ݒ௣= 0,467 au\n0,308 au ∙38,9 km\ns = 58,98 km\ns ≈59 km\ns\nSposób 2. (z zasady zachowania energii mechanicznej)\nNa podstawie danych i rysunku określamy odległość środka Słońca do punktu aphelium\ni peryhelium orbity Merkurego:\nݎ௔= 0,467 au ݎ௣= 0,467 au -0,159 au = 0,308 au\nKorzystamy z zasady zachowania energii mechanicznej Merkurego w ruchu pod działaniem\nsiły grawitacji. Energia mechaniczna w peryhelium jest równa energii mechanicznej\nw aphelium. Energia mechaniczna jest sumą energii potencjalnej i kinetycznej. Przyjmujemy,\nże energia kinetyczna ruchu obrotowego nie zmienia się podczas ruchu Merkurego, a zatem:\nܧ௔= ܧ௣ →\nݒ௔\nଶ\n2\n-ܩܯ݉\nݎ௔\nݒ௣\nଶ\n2\n-ܩܯ݉\nݎ௣\n→ ݒ௣\nଶ= ݒ௔\nଶ+ 2ܩܯ\nݎ௣\n-2ܩܯ\nݎ௔\nݒ௣\nଶ= ݒ௔\nଶ+ 2ܩܯ\nݎ௣\n-2ܩܯ\nݎ௔\n→ ݒ௣= ඨݒ௔ଶ+ 2ܩܯ൫ݎ௔-ݎ௣൯\nݎ௔ݎ௣\ngdzie M jest masą Słońca. Po podstawieniu danych (z uwzględnieniem wartości jednostki\nastronomicznej) otrzymujemy:\nݒ௣= ඩቀ38,9 ∙10ଷ m\ns ቁ\nଶ\n2 ∙6,67 ∙10ିଵଵ N∙m2\nkg2 ∙1,99 ∙10ଷ଴ kg ∙0,159 m\n0,467 ∙0,308 ∙1,50 ∙10ଵଵ m2\nݒ௣= 58,9 ∙10ଷ m\ns ≈59 km\ns\nUwaga!\nBłędem rzeczowym jest w tym zadaniu zapisanie siły grawitacji działającej na Merkurego jako\nsiły dośrodkowej. Wzór na siłę dośrodkową jest słuszny tylko dla ruchu po okręgu, a Merkury\nnie porusza się po orbicie kołowej. Ponadto Merkury ma w punkcie peryhelium prędkość\nwiększą od prędkości, jaka byłaby potrzebna dla ruchu po orbicie kołowej o promieniu rp\n(ponieważ po przejściu przez peryhelium, aż do aphelium, Merkury oddala się od Słońca).","solution":"## Poprawna odpowiedź\n\n\\[v_p \\approx 5{,}90 \\times 10^4 \\ \\text{m/s} \\approx 59{,}0 \\ \\text{km/s}\\]\n\n## Dane zadania (z treści zadania 15)\n\n| Wielkość | Symbol | Wartość |\n| Peryhelium Merkurego | \\(r_p\\) | \\(4{,}60 \\times 10^{10} \\ \\text{m}\\) |\n| Aphelium Merkurego | \\(r_a\\) | \\(6{,}98 \\times 10^{10} \\ \\text{m}\\) |\n| Okres obiegu | \\(T\\) | \\(88{,}0 \\ \\text{dni} = 7{,}60 \\times 10^6 \\ \\text{s}\\) |\n| Masa Słońca | \\(M\\) | \\(1{,}99 \\times 10^{30} \\ \\text{kg}\\) |\n| Stała grawitacji | \\(G\\) | \\(6{,}67 \\times 10^{-11} \\ \\text{N·m}^2/\\text{kg}^2\\) |\n\n> **Kluczowa obserwacja geometryczna:** W peryhelium i aphelium wektor prędkości jest **prostopadły** do wektora promienia orbity - wynika to z symetrii elipsy. To fundamentalny fakt ułatwiający wszystkie trzy metody.\n\n## Sposób 1 - Zasada zachowania energii + zasada zachowania momentu pędu\n\n**Idea:** Dysponujemy dwoma prawami zachowania → dwa równania, dwie niewiadome (\\(v_p\\) i \\(v_a\\)).\n\n**Krok 1. Zasada zachowania momentu pędu**\n\nW polu grawitacyjnym Słońca moment siły wynosi zero → moment pędu Merkurego jest zachowany. W peryhelium i aphelium \\(v \\perp r\\), więc:\n\n\\[\nL = m v_p r_p = m v_a r_a \\quad \\Rightarrow \\quad v_a = \\frac{v_p r_p}{r_a}\n\\]\n\n**Krok 2. Zasada zachowania energii mechanicznej**\n\n\\[\n\\frac{1}{2}mv_p^2 - \\frac{GMm}{r_p} = \\frac{1}{2}mv_a^2 - \\frac{GMm}{r_a}\n\\]\n\nDzielę przez \\(m\\):\n\n\\[\n\\frac{1}{2}v_p^2 - \\frac{GM}{r_p} = \\frac{1}{2}v_a^2 - \\frac{GM}{r_a}\n\\]\n\n**Krok 3. Podstawiam \\(v_a = \\frac{v_p r_p}{r_a}\\) do równania energii:**\n\n\\[\n\\frac{1}{2}v_p^2 - \\frac{GM}{r_p} = \\frac{1}{2}\\frac{v_p^2 r_p^2}{r_a^2} - \\frac{GM}{r_a}\n\\]\n\n\\[\n\\frac{1}{2}v_p^2\\left(1 - \\frac{r_p^2}{r_a^2}\\right) = GM\\left(\\frac{1}{r_p} - \\frac{1}{r_a}\\right)\n\\]\n\n\\[\n\\frac{1}{2}v_p^2 \\cdot \\frac{(r_a - r_p)(r_a + r_p)}{r_a^2} = GM \\cdot \\frac{r_a - r_p}{r_p r_a}\n\\]\n\nSkracam \\((r_a - r_p)\\):\n\n\\[\n\\frac{1}{2}v_p^2 \\cdot \\frac{r_a + r_p}{r_a^2} = \\frac{GM}{r_p r_a}\n\\]\n\n\\[\n\\boxed{v_p = \\sqrt{\\frac{2GM r_a}{r_p(r_p + r_a)}}}\n\\]\n\n**Krok 4. Obliczenia:**\n\n\\[\nv_p = \\sqrt{\\frac{2 \\times 6{,}67 \\times 10^{-11} \\times 1{,}99 \\times 10^{30} \\times 6{,}98 \\times 10^{10}}{4{,}60 \\times 10^{10} \\times (4{,}60 + 6{,}98) \\times 10^{10}}}\n\\]\n\nLicznik:\n\\[\n2 \\times 6{,}67 \\times 1{,}99 \\times 6{,}98 \\times 10^{-11+30+10} = 2 \\times 92{,}67 \\times 10^{29} = 1{,}853 \\times 10^{31}\n\\]\n\nMianownik:\n\\[\n4{,}60 \\times 11{,}58 \\times 10^{20} = 53{,}27 \\times 10^{20} = 5{,}327 \\times 10^{21}\n\\]\n\n\\[\nv_p^2 = \\frac{1{,}853 \\times 10^{31}}{5{,}327 \\times 10^{21}} = 3{,}48 \\times 10^{9} \\ \\text{m}^2/\\text{s}^2\n\\]\n\n\\[\n\\boxed{v_p = \\sqrt{3{,}48 \\times 10^9} \\approx 5{,}90 \\times 10^4 \\ \\text{m/s} \\approx 59{,}0 \\ \\text{km/s}}\n\\]\n\n## Sposób 2 - Drugie prawo Keplera (równe pola)\n\n**Idea:** Merkury zamiata równe pola w równych czasach. W peryhelium prędkość jest prostopadła do promienia, więc pole trójkąta to \\(\\frac{1}{2}r_p v_p \\cdot dt\\). Całkowite pole elipsy dzielone przez okres daje ten sam wynik.\n\n**Krok 1. Prędkość zamiatania pola**\n\n\\[\n\\frac{dA}{dt} = \\frac{1}{2} r_p v_p \\quad \\text{(w peryhelium, bo } v \\perp r\\text{)}\n\\]\n\nCałkowite pole elipsy: \\(A = \\pi a b\\), gdzie:\n- \\(a = \\dfrac{r_p + r_a}{2}\\) - półoś wielka\n- \\(b = \\sqrt{r_p \\cdot r_a}\\) - półoś mała (z własności elipsy: \\(b^2 = r_p \\cdot r_a\\))\n\n**Krok 2. Związek z okresem**\n\n\\[\n\\frac{\\pi a b}{T} = \\frac{1}{2} r_p v_p \\quad \\Rightarrow \\quad v_p = \\frac{2\\pi a b}{T \\cdot r_p}\n\\]\n\n**Krok 3. Obliczam a i b:**\n\n\\[\na = \\frac{(4{,}60 + 6{,}98) \\times 10^{10}}{2} = 5{,}79 \\times 10^{10} \\ \\text{m}\n\\]\n\n\\[\nb = \\sqrt{4{,}60 \\times 6{,}98} \\times 10^{10} = \\sqrt{32{,}11} \\times 10^{10} = 5{,}67 \\times 10^{10} \\ \\text{m}\n\\]\n\n**Krok 4. Podstawiam:**\n\n\\[\nv_p = \\frac{2\\pi \\times 5{,}79 \\times 10^{10} \\times 5{,}67 \\times 10^{10}}{7{,}60 \\times 10^6 \\times 4{,}60 \\times 10^{10}}\n\\]\n\nLicznik: \\(2\\pi \\times 32{,}83 \\times 10^{20} = 206{,}3 \\times 10^{20} = 2{,}063 \\times 10^{22}\\)\n\nMianownik: \\(34{,}96 \\times 10^{16} = 3{,}496 \\times 10^{17}\\)\n\n\\[\n\\boxed{v_p = \\frac{2{,}063 \\times 10^{22}}{3{,}496 \\times 10^{17}} \\approx 5{,}90 \\times 10^4 \\ \\text{m/s} \\approx 59{,}0 \\ \\text{km/s}} \\checkmark\n\\]\n\n## Sposób 3 - Równanie vis-viva (prędkość orbitalna w funkcji r i a)\n\n**Idea:** Bezpośrednie zastosowanie równania vis-viva wyprowadzonego z zasad zachowania.\n\n\\[\nv^2 = GM\\left(\\frac{2}{r} - \\frac{1}{a}\\right)\n\\]\n\nW peryhelium \\(r = r_p\\):\n\n\\[\nv_p^2 = GM\\left(\\frac{2}{r_p} - \\frac{1}{a}\\right)\n\\]\n\n**Obliczenia:**\n\n\\[\na = 5{,}79 \\times 10^{10} \\ \\text{m}\n\\]\n\n\\[\n\\frac{2}{r_p} = \\frac{2}{4{,}60 \\times 10^{10}} = 4{,}348 \\times 10^{-11} \\ \\text{m}^{-1}\n\\]\n\n\\[\n\\frac{1}{a} = \\frac{1}{5{,}79 \\times 10^{10}} = 1{,}727 \\times 10^{-11} \\ \\text{m}^{-1}\n\\]\n\n\\[\nv_p^2 = 6{,}67 \\times 10^{-11} \\times 1{,}99 \\times 10^{30} \\times (4{,}348 - 1{,}727) \\times 10^{-11}\n\\]\n\n\\[\n= 1{,}327 \\times 10^{20} \\times 2{,}621 \\times 10^{-11} = 3{,}48 \\times 10^{9} \\ \\text{m}^2/\\text{s}^2\n\\]\n\n\\[\n\\boxed{v_p \\approx 5{,}90 \\times 10^4 \\ \\text{m/s}} \\checkmark\n\\]\n\n> Metoda najszybsza obliczeniowo - wymaga jedynie znajomości \\(r_p\\) i \\(a\\). Vis-viva to „matura shortcut\".\n\n## Orientacyjny schemat punktowania (odtworzony przez AI - NIE oficjalny klucz CKE)\n\n> 📋 **Orientacyjny schemat punktowania (nieoficjalny, odtworzony przez AI) (zadanie 15.2, max 3 pkt):**\n> - **1 pkt** - uczeń poprawnie zapisuje równanie zasady zachowania energii mechanicznej (lub momentu pędu + energii, lub równanie vis-viva, lub II prawo Keplera zastosowane do obszarów)\n> - **1 pkt** - uczeń poprawnie wyprowadza wzór na \\(v_p\\) (lub podstawia dane do wzoru vis-viva z poprawnym \\(a\\))\n> - **1 pkt** - uczeń oblicza poprawną wartość numeryczną \\(v_p \\approx 59 \\ \\text{km/s}\\) (akceptowany zakres: ok. \\(58{,}0 \\div 60{,}0 \\ \\text{km/s}\\))\n> - **0 pkt** - odpowiedź niespełniająca wymagań; użycie wzoru na prędkość kołową bez uzasadnienia nie jest honorowane, gdyż orbita Merkurego jest wyraźnie eliptyczna (\\(e \\approx 0{,}2\\))\n> - **Uwagi (orientacyjne):** ✅ Dopuszcza się różne poprawne metody (zachowanie energii, II prawo Keplera, vis-viva). ❌ Nie uznaje się odpowiedzi \\(v = \\sqrt{GM/r_p}\\) bez korekty na eliptyczność.\n\n## Wzory z karty CKE - czego MASZ użyć\n\n> 📖 **Karta wzorów CKE - sekcja FIZYKA (str. 16-20):**\n>\n> - **Stała grawitacji:** \\(G = 6{,}67 \\times 10^{-11} \\ \\text{N·m}^2/\\text{kg}^2\\)\n> - **Prawo powszechnego ciążenia:** \\(F = \\dfrac{GMm}{r^2}\\)\n> - **Energia potencjalna grawitacji:** \\(E_p = -\\dfrac{GMm}{r}\\)\n> - **Energia kinetyczna:** \\(E_k = \\dfrac{1}{2}mv^2\\)\n>\n> Równanie vis-viva **nie jest podane wprost** na karcie - należy je samodzielnie wyprowadzić z zasad zachowania (co pokazuje Sposób 1), lub znać jako gotowy wzór z lekcji.\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Pułapka 1 - orbit kołowa zamiast eliptycznej:** Uczeń liczy \\(v = \\sqrt{GM/r_p}\\) (wzór na prędkość II kosmiczną / kołową). To błąd - wzór ten daje prędkość dla **orbity kołowej** o promieniu \\(r_p\\), nie dla peryhelium elipsy. Brakuje czynnika korekcyjnego \\(\\dfrac{2r_a}{r_p + r_a}\\).\n\n> ⚠️ **Pułapka 2 - mylenie r z a w vis-viva:** W równaniu \\(v^2 = GM\\!\\left(\\frac{2}{r} - \\frac{1}{a}\\right)\\) należy podstawić \\(r = r_p\\) (aktualna odległość) i \\(a = \\frac{r_p+r_a}{2}\\) (półoś wielka). Uczeń często wstawia samo \\(r_p\\) zamiast \\(a\\).\n\n> ⚠️ **Pułapka 3 - błąd przy półosi mniejszej b:** \\(b \\neq \\frac{r_p + r_a}{2}\\) - to jest \\(a\\)! Półoś mniejsza to \\(b = \\sqrt{r_p \\cdot r_a}\\) (średnia geometryczna, nie arytmetyczna).\n\n> ⚠️ **Pułapka 4 - niezamiana jednostek:** \\(88 \\ \\text{dni} = 88 \\times 86400 \\ \\text{s} = 7{,}60 \\times 10^6 \\ \\text{s}\\). Zostawienie doby w obliczeniach daje wynik w km/dobę zamiast m/s.","image":"img/fizyka-2018-maj-matura-rozszerzona/zad-15.2.webp","solution_image":null,"topics":"Grawitacja i astronomia","page_from":19,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Fizyka · Matura · maj 2018 (rozszerzona)","subject_label":"Fizyka","category_label":"Matura"},{"id":"fizyka-2018-maj-matura-rozszerzona/zad/16","paper_id":"fizyka-2018-maj-matura-rozszerzona","number":"16","points":1,"ptype":"closed","subject":"fizyka","category":"matura","year":2018,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 16. (0-1)\nDwie wiązki elektronów skierowano prostopadle na dwa jednakowe ekrany: EA i EB. W jednej\nz tych wiązek elektrony były rozpędzone do większych prędkości niż w drugiej wiązce. Przed\nkażdym z ekranów, na drodze obu wiązek elektronów, znajdowała się płytka z układem dwóch\nrównoległych, bardzo wąskich szczelin, leżących bardzo blisko siebie. Odległości pomiędzy\nszczelinami w obu płytkach były takie same, a ponadto odległości każdej z płytek do ekranu\nbyły sobie równe. Zaobserwowano, że elektrony padające na ekrany utworzyły różne obrazy\nw postaci prążków, podobne do tych, jakie ukazano na schematycznych rysunkach poniżej.\nZaznacz właściwe dokończenie zdania wybrane spośród A-B oraz jego poprawne\nuzasadnienie wybrane spośród 1.-4.\nWiązka elektronów rozpędzonych do większych prędkości utworzyła obraz na ekranie\nA. EA,\nco można uzasadnić przez\nodwołanie się m.in. do\n1. wzoru na kąt Brewstera.\n2. bilansu energii w zjawisku fotoelektrycznym.\nB. EB,\n3. prawa załamania fali na granicy ośrodków.\n4. wzoru de Broglie’a.\nEA\nEB\noś układu\ndziałko elektronowe\npłytka ze szczelinami\nekran\nMFA_1R\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)","answer":"E","answer_text":"Zadanie 16. (0-1)\nWymagania ogólne\nWymagania szczegółowe\nI. Znajomość i umiejętność\nwykorzystania pojęć i praw fizyki\ndo wyjaśniania procesów i zjawisk\nw przyrodzie.\nZdający:\n11.5) określa długość fali de Broglie’a\nporuszających się cząstek,\n6.10) opisuje zjawisko interferencji, wyznacza\ndługość fali na podstawie obrazu\ninterferencyjnego,\n10.3) opisuje doświadczenie Younga.\nSchemat punktowania\n1 p. - poprawna odpowiedź.\n0 p. - brak spełnienia powyższego kryterium.\nPoprawna odpowiedź\nA4","solution":"## Poprawna odpowiedz\n\n**Poprawna odpowiedz wg klucza CKE: A4**\n\nWiazka elektronow rozpedzonych do wiekszych predkosci utworzyla obraz na ekranie **E_A** (odpowiedz **A**), co mozna uzasadnic przez odwolanie sie m.in. do **wzoru de Broglie'a** (uzasadnienie **4**).\n\nNa ekranie \\(E_A\\) prazki sa rozmieszczone **gesciej** niz na \\(E_B\\). Szybsze elektrony maja wiekszy ped, a wiec **mniejsza** dlugosc fali de Broglie'a, co daje mniejszy odstep miedzy prazkami - czyli gestszy obraz na \\(E_A\\).\n\n## Sposob 1 - Wzor de Broglie'a + odstep prazkow\n\n**Dlugosc fali de Broglie'a elektronu:**\n\\[\\lambda = \\frac{h}{p} = \\frac{h}{mv}\\]\nWieksza predkosc \\(v\\) -> wiekszy ped \\(p\\) -> **mniejsza** dlugosc fali \\(\\lambda\\).\n\n**Odstep miedzy prazkami (dwie szczeliny):**\n\\[\\Delta y = \\frac{\\lambda L}{d}\\]\ngdzie \\(L\\) (odleglosc plytka-ekran) i \\(d\\) (odleglosc szczelin) sa jednakowe dla obu ukladow.\n\n**Wniosek:**\n\\[\\Delta y \\propto \\lambda \\propto \\frac{1}{v}\\]\nWieksza predkosc -> mniejsza \\(\\lambda\\) -> mniejszy odstep \\(\\Delta y\\) -> prazki **gesciej** rozmieszczone -> ekran z gestszymi prazkami, czyli **\\(E_A\\)**.\n\n## Sposob 2 - Analogia z falami swietlnymi\n\nKrotsze fale daja gestszy obraz interferencyjny (jak swiatlo fioletowe vs czerwone). Szybsze elektrony to \"krotsze fale de Broglie'a\" \\(\\lambda = h/(mv)\\), wiec tworza gestszy uklad prazkow - obserwowany na **\\(E_A\\)**.\n\n## Schemat oceniania CKE\n\n> **Zadanie 16 (0-1)**\n> - **1 p.** - poprawna odpowiedz.\n> - **0 p.** - brak spelnienia powyzszego kryterium.\n>\n> **Poprawna odpowiedz: A4** (wiazka elektronow rozpedzonych do wiekszych predkosci utworzyla obraz na ekranie E_A, co mozna uzasadnic przez odwolanie sie m.in. do wzoru de Broglie'a).\n\n## Wzory z karty CKE\n\n> - **Dlugosc fali de Broglie'a:** \\(\\lambda = \\dfrac{h}{p} = \\dfrac{h}{mv}\\)\n> - **Odstep prazkow:** \\(\\Delta y = \\dfrac{\\lambda L}{d}\\)\n\n## Typowe pulapki\n\n> Uwaga (kluczowa!): Na rysunku ekran \\(E_A\\) ma prazki **gesciej** rozmieszczone niz \\(E_B\\). Szybsze elektrony daja mniejsza \\(\\lambda\\) i gestsze prazki, wiec naleza do \\(E_A\\) - stad odpowiedz **A**, nie B.\n\n> Uwaga: Uzasadnienie to **4** (wzor de Broglie'a), a nie 1 (kat Brewstera), 2 (zjawisko fotoelektryczne) ani 3 (prawo zalamania). Zjawisko dyfrakcji elektronow opisuje falowy charakter materii (de Broglie).\n\n> Uwaga: Nie mylic \\(\\lambda = h/(mv)\\) (fala materii) z \\(E = hc/\\lambda\\) (energia fotonu) - wieksza predkosc elektronu to MNIEJSZA dlugosc fali de Broglie'a.","image":"img/fizyka-2018-maj-matura-rozszerzona/zad-16.webp","solution_image":null,"topics":"Fizyka współczesna","page_from":20,"source":"ocr","answer_source":"maturazai","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Fizyka · Matura · maj 2018 (rozszerzona)","subject_label":"Fizyka","category_label":"Matura"}]}