{"paper":{"id":"fizyka-2019-maj-matura-rozszerzona","subject":"fizyka","category":"matura","year":2019,"month":"maj","level":"rozszerzona","variant":null,"exam_pdf":"fizyka-2019-maj-matura-rozszerzona/fizyka-2019-maj-matura-rozszerzona.pdf","key_pdf":"fizyka-2019-maj-matura-rozszerzona-odpowiedzi/fizyka-2019-maj-matura-rozszerzona-odpowiedzi.pdf","question_count":35,"source_label":"Fizyka · Matura · maj 2019 (rozszerzona)","subject_label":"Fizyka","category_label":"Matura"},"questions":[{"id":"fizyka-2019-maj-matura-rozszerzona/zad/1","paper_id":"fizyka-2019-maj-matura-rozszerzona","number":"1","points":null,"ptype":"open","subject":"fizyka","category":"matura","year":2019,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 1.\nRzut z autu jest elementem gry w piłkę nożną i polega na wprowadzeniu piłki do gry z linii\nbocznej boiska. Podczas wykonywania autu piłkarz rzuca piłkę oburącz zza głowy.\nW zadaniach 1.1.-1.4. pomiń opory ruchu oraz przyjmij, że prędkość początkowa vሬԦ0 piłki\nrzuconej z autu ma kierunek poziomy, a przyspieszenie ziemskie ma wartość g = 9,81 m/s2.\nRysunek poniżej przedstawia położenia piłki podczas ruchu w jednakowych odstępach czasu.","answer":null,"answer_text":"1","solution":null,"image":"img/fizyka-2019-maj-matura-rozszerzona/zad-1.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":2,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Fizyka · Matura · maj 2019 (rozszerzona)","subject_label":"Fizyka","category_label":"Matura"},{"id":"fizyka-2019-maj-matura-rozszerzona/zad/1.1","paper_id":"fizyka-2019-maj-matura-rozszerzona","number":"1.1","points":2,"ptype":"open","subject":"fizyka","category":"matura","year":2019,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 1.1. (0-2)\nZawodnik podczas meczu wyrzuca piłkę z autu w kierunku poziomym. W momencie wyrzutu\npiłka znajduje się na wysokości h = 1,96 m ponad poziomą powierzchnią boiska.\nOblicz czas lotu piłki od momentu wyrzutu do chwili uderzenia piłki o ziemię.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 1.1. (0-2)\nWymagania ogólne\nWymaganie szczegółowe\nI. Znajomość i umiejętność\nwykorzystania pojęć i praw fizyki\ndo wyjaśniania procesów i zjawisk\nw przyrodzie.\nZdający:\n1.15) analizuje ruch ciał w dwóch wymiarach\nna przykładzie rzutu poziomego;\n1.6) oblicza parametry ruchu podczas\nswobodnego spadku.\nSchemat punktowania\n2 p. - prawidłowa metoda obliczenia czasu ruchu oraz prawidłowy wynik liczbowy\nz jednostką.\n1 p. - wyodrębnienie pionowej składowej ruchu i zapisanie prawidłowej zależności wiążącej\ndrogę/wysokość (lub położenie) z czasem spadku swobodnego pionowego bez prędkości\npoczątkowej.\n0 p. - brak spełnienia powyższych kryteriów.\nPrzykładowe rozwiązanie\nRzut poziomy jest złożeniem dwóch ruchów: spadku swobodnego w kierunku pionowym oraz\nruchu jednostajnego prostoliniowego w kierunku poziomym. Zatem czas trwania rzutu\npoziomego z wysokości h jest taki, jak czas ts trwania pionowego spadku swobodnego\nz wysokości h. Korzystamy z równań ruchu jednostajnie przyspieszonego dla pionowego\nspadku swobodnego bez prędkości początkowej:\nݕ(ݐ) = ℎ-ݏ(ݐ) = ℎ-1\n2݃ݐଶ\n௬ୀ଴, ௧ୀ௧ೞ\nሱۛۛۛۛۛۛ\nሮ\nℎ= 1\n2݃ݐ௦\nଶ → ݐ௦= ඨ2ℎ݃\nݐ௦= ඨ2 ∙1,96 m\n9,81 m/s2 ≈0,632 s ≈0,63 s","solution":"## Poprawna odpowiedź\n\n\\[t \\approx 0{,}632 \\text{ s}\\]\n\n## Sposób 1 - Kinematyka rzutu poziomego: analiza ruchu pionowego\n\n**Kluczowa idea:** W rzucie poziomym ruch pionowy jest niezależny od poziomego i jest **swobodnym spadkiem** (bez prędkości początkowej pionowej, bo \\(v_{0y} = 0\\)).\n\n**Krok 1 - Równanie ruchu pionowego**\n\nPiłka startuje z wysokości \\(h\\) z zerową prędkością pionową. Porusza się pionowo w dół zgodnie ze wzorem:\n\n\\[h = \\frac{1}{2} g t^2\\]\n\n**Krok 2 - Wyznaczenie czasu**\n\nPrzekształcamy do \\(t\\):\n\n\\[t^2 = \\frac{2h}{g}\\]\n\n\\[t = \\sqrt{\\frac{2h}{g}}\\]\n\n**Krok 3 - Podstawienie danych**\n\n\\[t = \\sqrt{\\frac{2 \\cdot 1{,}96 \\text{ m}}{9{,}81 \\text{ m/s}^2}} = \\sqrt{\\frac{3{,}92}{9{,}81}} = \\sqrt{0{,}3996\\ldots} \\approx \\boxed{0{,}632 \\text{ s}}\\]\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja przez energię (metoda energetyczna)\n\n**Kluczowa idea:** Energia potencjalna grawitacyjna zamienia się w kinetyczną składową pionową.\n\n**Krok 1 - Zasada zachowania energii dla składowej pionowej**\n\n\\[E_p = E_{k,\\text{pionowa}}\\]\n\n\\[mgh = \\frac{1}{2}m v_y^2\\]\n\n\\[v_y = \\sqrt{2gh}\\]\n\n**Krok 2 - Prędkość pionowa to wynik swobodnego spadku**\n\nPrędkość pionowa przy uderzeniu:\n\n\\[v_y = g \\cdot t\\]\n\n**Krok 3 - Wyznaczenie czasu**\n\n\\[g \\cdot t = \\sqrt{2gh} \\implies t = \\frac{\\sqrt{2gh}}{g} = \\sqrt{\\frac{2h}{g}}\\]\n\nTo samo wyrażenie co w Sposobie 1 - **zgodność metod potwierdza poprawność**.\n\n\\[t = \\sqrt{\\frac{2 \\cdot 1{,}96}{9{,}81}} \\approx 0{,}632 \\text{ s}\\]\n\n## Sposób 3 - Analiza wymiarowa i sprawdzenie jednostek\n\nKontrola wzoru \\(t = \\sqrt{\\dfrac{2h}{g}}\\):\n\n\\[\\left[\\sqrt{\\frac{\\text{m}}{\\text{m/s}^2}}\\right] = \\sqrt{\\text{s}^2} = \\text{s} \\checkmark\\]\n\n**Sprawdzenie numeryczne w drugą stronę:**\n\n\\[h = \\frac{1}{2} g t^2 = \\frac{1}{2} \\cdot 9{,}81 \\cdot (0{,}632)^2 = 4{,}905 \\cdot 0{,}3994 \\approx 1{,}96 \\text{ m} \\checkmark\\]\n\nWynik jest poprawny.\n\n## Schemat oceniania CKE\n\n> 📋 **Schemat punktowania CKE (zadanie 1.1, 0-2 pkt):**\n> - **2 pkt** - prawidłowa metoda obliczenia czasu ruchu oraz prawidłowy wynik liczbowy z jednostką.\n> - **1 pkt** - wyodrębnienie pionowej składowej ruchu i zapisanie prawidłowej zależności wiążącej drogę/wysokość (lub położenie) z czasem spadku swobodnego pionowego bez prędkości początkowej.\n> - **0 pkt** - brak spełnienia powyższych kryteriów.\n>\n> **Przykładowe rozwiązanie CKE:** Rzut poziomy jest złożeniem dwóch ruchów: spadku swobodnego w pionie oraz ruchu jednostajnego w poziomie. Czas trwania rzutu jest taki, jak czas spadku swobodnego z wysokości h: \\(h = \\frac{1}{2}gt_s^2 \\to t_s = \\sqrt{\\frac{2h}{g}} = \\sqrt{\\frac{2 \\cdot 1{,}96}{9{,}81}} \\approx 0{,}632 \\text{ s} \\approx 0{,}63 \\text{ s}\\).\n\n## Wzory z karty CKE - czego MASZ użyć\n\n> 📖 **Karta wzorów CKE - sekcja FIZYKA, Mechanika:**\n>\n> Rzut poziomy opisuje układ dwóch niezależnych ruchów:\n> - **Ruch poziomy:** \\(x = v_0 t\\) (jednostajny)\n> - **Ruch pionowy:** \\(y = \\frac{1}{2}g t^2\\) (swobodny spadek, \\(v_{0y} = 0\\))\n>\n> W zadaniu 1.1 używamy **wyłącznie składowej pionowej**: \\(h = \\frac{1}{2}g t^2\\), z czego:\n> \\[t = \\sqrt{\\frac{2h}{g}}\\]\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Najczęstszy błąd - wstawienie \\(v_0\\) do równania pionowego. Prędkość pozioma **NIE wpływa** na czas spadku. Piłka rzucona poziomo i upuszczona z tej samej wysokości **lądują jednocześnie**.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Użycie \\(g = 10 \\text{ m/s}^2\\) zamiast \\(g = 9{,}81 \\text{ m/s}^2\\) - w tej chwili zadanie PODAJE wartość \\(g\\), więc użycie innej wartości = błąd. Wynik z \\(g = 10\\): \\(t = \\sqrt{0{,}392} \\approx 0{,}626 \\text{ s}\\) - pozornie bliski, ale punkty za obliczenia tracisz.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Pominięcie pierwiastka - błąd algebraiczny \\(t = \\frac{2h}{g}\\) zamiast \\(t = \\sqrt{\\frac{2h}{g}}\\). Sprawdź jednostki: \\(\\frac{\\text{m}}{\\text{m/s}^2} = \\text{s}^2\\), trzeba wziąć \\(\\sqrt{\\phantom{x}}\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \"Czas lotu\" liczymy **od wyrzutu do uderzenia o ziemię** - h to pełna wysokość startowa, nie połowa toru.","image":"img/fizyka-2019-maj-matura-rozszerzona/zad-1.1.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":2,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Fizyka · Matura · maj 2019 (rozszerzona)","subject_label":"Fizyka","category_label":"Matura"},{"id":"fizyka-2019-maj-matura-rozszerzona/zad/1.2","paper_id":"fizyka-2019-maj-matura-rozszerzona","number":"1.2","points":2,"ptype":"open","subject":"fizyka","category":"matura","year":2019,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 1.2. (0-2)\nPiłka wyrzucona poziomo z autu, z wysokości h = 1,96 m, spadła na boisko w odległości\nx = 5,10 m - jeśli zmierzyć w kierunku poziomym od miejsca wyrzutu (zobacz rys. powyżej).\nOblicz wartość v0 prędkości początkowej piłki.\nh\nvሬԦ0\nx\nMFA_1R","answer":null,"answer_text":"Zadanie 1.2. (0-2)\nWymagania ogólne\nWymagania szczegółowe\nIV. Budowa prostych modeli fizycznych\ni matematycznych do opisu zjawisk.\nZdający:\n1.15) analizuje ruch ciał w dwóch wymiarach\nna przykładzie rzutu poziomego;\n1.4) wykorzystuje związki pomiędzy\npołożeniem, prędkością, i przyspieszeniem\nw ruchu jednostajnym i jednostajnie zmiennym\ndo obliczania parametrów ruchu.\nSchemat punktowania\n2 p. - prawidłowe obliczenie prędkości początkowej oraz prawidłowy wynik liczbowy\nz jednostką.\n1 p. - wykorzystanie prawidłowych zależności wiążących drogę/wysokość (lub położenie)\nz czasem w spadku pionowym bez prędkości początkowej oraz zależności wiążących\ndrogę/położenie z czasem w ruchu jednostajnym prostoliniowym (w poziomie)\nlub\n- wykorzystanie wzoru z wyeliminowanym czasem, wiążącego prędkość początkową\nv0 z zasięgiem x rzutu\nlub\n- wykorzystanie czasu trwania ruchu obliczonego w zadaniu 1.1. oraz zależności wiążącej\ndrogę (lub położenie) z czasem w ruchu jednostajnym prostoliniowym (w poziomie).\n0 p. - brak spełnienia powyższych kryteriów.\nPrzykładowe rozwiązanie\nZapisujemy kinematyczne równania spadku swobodnego w kierunku pionowym (bez prędkości\npoczątkowej w kierunku pionowym) oraz ruchu jednostajnego prostoliniowego w kierunku\npoziomym (z położeniem początkowym równym zero). Z równań tych wyznaczamy zależność\nwiążącą prędkość początkową v0 z zasięgiem x rzutu.\nݔ(ݐ) = ݒ଴ݐ, ݕ(ݐ) = ℎ-1\n2݃ݐଶ\n௬ୀ଴, ௧ୀ௧ೞ\nሱۛۛۛۛۛۛ\nሮ ݔ= ݒ଴ݐ௦,\n0 = ℎ -1\n2݃ݐ௦\nଶ\nݒ଴= ݔට݃2ℎ → ݒ଴= 5,1 m ∙ඨ9,81 m/s2\n2 ∙1,96 m ≈8,07 ≈8,1 m\ns","solution":"## Poprawna odpowiedź\n\n\\[v_0 \\approx 8{,}07 \\text{ m/s}\\]\n\n## Sposób 1 - Kinematyka rzutu poziomego: wyznaczenie czasu z ruchu pionowego\n\n**Kluczowa zasada:** w rzucie poziomym ruch pionowy i poziomy są **niezależne**.\n\n### Krok 1 - Ruch pionowy (swobodny spadek)\n\nPiłka spada z \\(h = 1{,}96\\) m bez prędkości pionowej, więc:\n\n\\[\nh = \\frac{1}{2}g t^2\n\\]\n\n\\[\nt = \\sqrt{\\frac{2h}{g}} = \\sqrt{\\frac{2 \\times 1{,}96}{9{,}81}} = \\sqrt{\\frac{3{,}92}{9{,}81}} = \\sqrt{0{,}3997} \\approx 0{,}632 \\text{ s}\n\\]\n\n> **Uwaga:** \\(h = 1{,}96\\) m dobrano nieprzypadkowo - przy \\(g = 9{,}8 \\text{ m/s}^2\\) otrzymujemy \\(t = \\sqrt{0{,}400} = 0{,}632\\) s równo.\n\n### Krok 2 - Ruch poziomy (jednostajny)\n\nW kierunku poziomym brak sił, więc \\(v_0 = \\text{const}\\):\n\n\\[\nx = v_0 \\cdot t \\implies v_0 = \\frac{x}{t} = \\frac{5{,}10}{0{,}632} \\approx \\boxed{8{,}07 \\text{ m/s}}\n\\]\n\n## Sposób 2 - Eliminacja \\(t\\): bezpośredni wzór na \\(v_0\\)\n\nŁączymy oba równania, eliminując czas:\n\n\\[\n\\begin{cases}\nx = v_0 \\cdot t \\\\\nh = \\dfrac{1}{2}g t^2\n\\end{cases}\n\\]\n\nZ pierwszego równania: \\(t = \\dfrac{x}{v_0}\\). Podstawiamy do drugiego:\n\n\\[\nh = \\frac{1}{2}g \\left(\\frac{x}{v_0}\\right)^2 \\implies v_0^2 = \\frac{g x^2}{2h}\n\\]\n\n\\[\nv_0 = x\\sqrt{\\frac{g}{2h}} = 5{,}10 \\cdot \\sqrt{\\frac{9{,}81}{2 \\times 1{,}96}} = 5{,}10 \\cdot \\sqrt{\\frac{9{,}81}{3{,}92}} = 5{,}10 \\cdot \\sqrt{2{,}503} = 5{,}10 \\cdot 1{,}582 \\approx \\boxed{8{,}07 \\text{ m/s}}\n\\]\n\n**Zaleta Sposobu 2:** jeden krok obliczeniowy, brak zaokrągleń pośrednich, mniejsze ryzyko błędu.\n\n## Sposób 3 - Przez prędkość końcową w kierunku pionowym\n\nPrzy uderzeniu w boisko piłka ma prędkość pionową:\n\n\\[\nv_y = \\sqrt{2gh} = \\sqrt{2 \\times 9{,}81 \\times 1{,}96} = \\sqrt{38{,}46} \\approx 6{,}20 \\text{ m/s}\n\\]\n\nCzas lotu:\n\n\\[\nt = \\frac{v_y}{g} = \\frac{6{,}20}{9{,}81} \\approx 0{,}632 \\text{ s}\n\\]\n\nPrędkość pozioma (bez zmiany przez cały lot):\n\n\\[\nv_0 = \\frac{x}{t} = \\frac{5{,}10}{0{,}632} \\approx \\boxed{8{,}07 \\text{ m/s}}\n\\]\n\n**Dlaczego \\(v_y = \\sqrt{2gh}\\)?** Bo to zasada zachowania energii dla ruchu pionowego: \\(\\frac{1}{2}mv_y^2 = mgh\\).\n\n## Schemat oceniania CKE\n\n> 📋 **Schemat punktowania CKE (zadanie 1.2, 0-2 pkt):**\n>\n> - **2 pkt** - prawidłowe obliczenie prędkości początkowej oraz prawidłowy wynik liczbowy z jednostką.\n> - **1 pkt** - wykorzystanie prawidłowych zależności wiążących drogę/wysokość (lub położenie) z czasem w spadku pionowym bez prędkości początkowej oraz zależności wiążących drogę/położenie z czasem w ruchu jednostajnym prostoliniowym (w poziomie) **LUB** wykorzystanie wzoru z wyeliminowanym czasem, wiążącego prędkość początkową \\(v_0\\) z zasięgiem \\(x\\) rzutu **LUB** wykorzystanie czasu trwania ruchu obliczonego w zadaniu 1.1. oraz zależności wiążącej drogę z czasem w ruchu jednostajnym (w poziomie).\n> - **0 pkt** - brak spełnienia powyższych kryteriów.\n>\n> **Przykładowe rozwiązanie CKE:** Z eliminacji czasu: \\(v_0 = x\\sqrt{\\frac{g}{2h}} = 5{,}1 \\cdot \\sqrt{\\frac{9{,}81}{2 \\cdot 1{,}96}} \\approx 8{,}07 \\approx 8{,}1 \\text{ m/s}\\).\n\n## Wzory z karty CKE - czego MASZ użyć\n\n> 📖 **Karta wzorów CKE - sekcja FIZYKA (str. 16-17 karty EM2023):**\n>\n> **Kinematyka - rzut poziomy:**\n> \\[x = v_0 t \\qquad y = \\frac{1}{2}gt^2\\]\n> *(w notacji karty: \\(s = v_0 t\\) dla ruchu jednostajnego; \\(s = \\frac{1}{2}at^2\\) dla ruchu jednostajnie przyspieszonego)*\n>\n> **Przyspieszenie grawitacyjne:** \\(g = 9{,}81 \\text{ m/s}^2\\) (podane na karcie)\n>\n> Używamy dokładnie tych dwóch wzorów - najpierw pionowy (czas), potem poziomy (prędkość).\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Pułapka 1 - mylenie składowych:** Uczeń wstawia \\(h\\) do wzoru poziomego lub \\(x\\) do pionowego. Zapamiętaj: **pionowy** → \\(h = \\frac{1}{2}gt^2\\), **poziomy** → \\(x = v_0 t\\).\n\n> ⚠️ **Pułapka 2 - kwadrat przy \\(t\\):** Z \\(h = \\frac{1}{2}gt^2\\) wynika \\(t = \\sqrt{2h/g}\\), **nie** \\(t = 2h/g\\). Brak pierwiastka to jeden z najczęstszych błędów na maturze.\n\n> ⚠️ **Pułapka 3 - niepewność \\(g\\):** Użycie \\(g = 10 \\text{ m/s}^2\\) jest dopuszczalne przez CKE, ale zmienia wynik końcowy. Jeśli w treści zadania nie podano \\(g\\), użyj wartości z karty wzorów (\\(9{,}81 \\text{ m/s}^2\\)) - to bezpieczniejsza strategia.\n\n> ⚠️ **Pułapka 4 - brak jednostki w odpowiedzi:** CKE wymaga wyniku z jednostką. Odpowiedź \"8,07\" bez \"m/s\" może nie dostać pełnego punktu za obliczenia.","image":"img/fizyka-2019-maj-matura-rozszerzona/zad-1.2.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":2,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Fizyka · Matura · maj 2019 (rozszerzona)","subject_label":"Fizyka","category_label":"Matura"},{"id":"fizyka-2019-maj-matura-rozszerzona/zad/1.3","paper_id":"fizyka-2019-maj-matura-rozszerzona","number":"1.3","points":1,"ptype":"closed","subject":"fizyka","category":"matura","year":2019,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 1.3. (0-1)\nSpośród rysunków A-D wybierz i zaznacz rysunek z wykresem prawidłowo\nprzedstawiającym zależność energii kinetycznej Ek od czasu t lotu piłki rzuconej poziomo.\nOsie na poniższych wykresach wyskalowano liniowo, a wykresy na rysunkach B, C, D są\nfragmentami parabol.\nA.\nB.\nC.\nD.","answer":"B","answer_text":"Zadanie 1.3. (0-1)\nWymagania ogólne\nWymagania szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i przetwarzanie\ninformacji zapisanych w postaci tekstu,\ntabel, wykresów, schematów\ni rysunków.\nZdający:\n1.5) […] interpretuje wykresy zależności\nparametrów ruchu od czasu;\n3.2) oblicza wartość energii kinetycznej ciał\n[…].\nSchemat punktowania\n1 p. - poprawna odpowiedź.\n0 p. - brak spełnienia powyższego kryterium.\nPoprawna odpowiedź\nB","solution":"## Poprawna odpowiedź\n\n**Rysunek B** - rosnąca parabola, której ramię zaczyna się od wartości dodatniej (nie od zera) w chwili \\(t = 0\\).\n\n## Sposób 1 - Analiza składowych prędkości w rzucie poziomym\n\nW rzucie poziomym (brak oporu powietrza):\n\n- Składowa pozioma prędkości: **stała** \\(v_x = v_0 = \\text{const}\\)\n- Składowa pionowa prędkości: **rośnie liniowo** \\(v_y = g \\cdot t\\)\n\nKwadrat prędkości całkowitej:\n\\[\nv^2 = v_x^2 + v_y^2 = v_0^2 + g^2 t^2\n\\]\n\nEnergia kinetyczna:\n\\[\nE_k = \\frac{1}{2}mv^2 = \\frac{1}{2}m v_0^2 + \\frac{1}{2}m g^2 t^2\n\\]\n\nZapisując to jako funkcję czasu:\n\\[\n\\boxed{E_k(t) = \\underbrace{\\frac{1}{2}mv_0^2}_{> 0,\\ \\text{stały}} + \\underbrace{\\frac{1}{2}mg^2}_{> 0} \\cdot t^2}\n\\]\n\n**Wnioski z tego wzoru:**\n1. Funkcja jest **parabolą** (bo \\(t^2\\))\n2. Jest **rosnąca** (współczynnik przy \\(t^2\\) dodatni)\n3. W chwili \\(t = 0\\) ma wartość **\\(E_k(0) = \\frac{1}{2}mv_0^2 > 0\\)** - zaczyna się od wartości **powyżej zera**, bo piłka ma prędkość poziomą\n4. Minimum paraboli jest dokładnie w \\(t = 0\\)\n\nTo jednoznacznie wskazuje na wykres **B**.\n\n## Sposób 2 - Analiza energetyczna: energia potencjalna + energia kinetyczna\n\nZ zasady zachowania energii mechanicznej:\n\\[\nE_k + E_p = \\text{const} = E_k(0) + 0\n\\]\n\n(za poziom odniesienia przyjmujemy punkt rzutu, więc \\(E_p(0) = 0\\))\n\nEnergia potencjalna w chwili \\(t\\):\n\\[\nE_p = mgh = mg \\cdot \\frac{1}{2}g t^2 = \\frac{1}{2}mg^2 t^2\n\\]\n\nZatem:\n\\[\nE_k(t) = E_k(0) + E_p(t)_{\\text{przetworzona}}\n\\]\n\nAle uwaga - \\(E_p\\) rośnie (bo piłka opada), więc i \\(E_k\\) musi rosnąć:\n\\[\nE_k(t) = E_k(0) + \\frac{1}{2}mg^2t^2\n\\]\n\nTen sam wynik: **parabola rosnąca, startująca od wartości dodatniej** → rysunek **B**.\n\n## Sposób 3 - Analiza granicznych przypadków (sanity check)\n\n| Chwila | Co się dzieje fizycznie | \\(E_k\\) |\n| \\(t = 0\\) | Piłka ma tylko \\(v_x = v_0\\), brak \\(v_y\\) | \\(E_k = \\frac{1}{2}mv_0^2 > 0\\) ✓ |\n| \\(t \\to \\infty\\) | \\(v_y \\gg v_x\\), energia rośnie bez ograniczeń | \\(E_k \\to \\infty\\) ✓ |\n| Czy \\(E_k\\) może spaść do zera? | Tylko gdyby \\(v = 0\\), ale \\(v_x = v_0 \\neq 0\\) zawsze | **NIE** ✓ |\n\nJedyna opcja to rosnąca parabola zaczynająca się od wartości **powyżej zera** → **B**.\n\n## Schemat oceniania CKE\n\n> 📋 **Schemat punktowania CKE (zadanie 1.3, 0-1 pkt):**\n> - **1 pkt** - poprawna odpowiedź.\n> - **0 pkt** - brak spełnienia powyższego kryterium.\n>\n> **Poprawna odpowiedź CKE: B**\n\n## Wzory z karty CKE - czego MASZ użyć\n\n> 📖 **Karta wzorów CKE - sekcja FIZYKA:**\n> - **Energia kinetyczna:** \\(E_k = \\frac{1}{2}mv^2\\)\n> - **Rzut poziomy - składowe prędkości:** \\(v_x = v_0\\), \\(v_y = gt\\)\n> - **Złożenie prędkości:** \\(v^2 = v_x^2 + v_y^2\\)\n>\n> Bezpośrednie zastosowanie: \\(E_k = \\frac{1}{2}m(v_0^2 + g^2t^2)\\) - parabola rosnąca z minimum > 0 przy \\(t=0\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Wariant | Typowy błąd ucznia |\n| **A** | Uczeń myśli, że skoro piłka \"traci wysokość\", to traci też energię kinetyczną - myli kierunki: energia potencjalna zamienia się na kinetyczną, więc \\(E_k\\) rośnie, nie maleje. Dodatkowo A to liniowa funkcja - a \\(E_k\\) jest kwadratowa w \\(t\\). |\n| **C** | Wykres C to parabola rosnąca, ale zaczynająca się od **zera** (\\(E_k(0)=0\\)). Błąd: uczeń zapomina, że piłka rzucona **poziomo** ma prędkość początkową \\(v_0 \\neq 0\\) - w chwili \\(t=0\\) już ma energię kinetyczną. |\n| **D** | Uczeń odwraca rozumowanie - \"piłka opada, więc zwalnia\". To błąd: opadanie **przyspiesza** piłkę pionowo; \\(v_y\\) rośnie, więc i \\(E_k\\) rośnie. Maleje jedynie energia potencjalna. |\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Najczęstszy błąd - mylenie \\(E_k\\) z \\(E_p\\). Energia potencjalna maleje podczas lotu (piłka opada), ale energia kinetyczna **rośnie** - zasada zachowania energii!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wykres C \"wygląda podobnie\" do B, ale różni się wartością w \\(t=0\\). Kluczowe pytanie: czy w chwili startu piłka ma energię kinetyczną? TAK - ma \\(v_0\\), więc \\(E_k(0) > 0\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\(E_k(t)\\) jest parabolą **tylko ze względu na \\(v_y = gt\\)**; składowa pozioma \\(v_x = \\text{const}\\) daje stały \"piedestał\" - dlatego parabola nie zaczyna się od zera.","image":"img/fizyka-2019-maj-matura-rozszerzona/zad-1.3.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":3,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Fizyka · Matura · maj 2019 (rozszerzona)","subject_label":"Fizyka","category_label":"Matura"},{"id":"fizyka-2019-maj-matura-rozszerzona/zad/1.4","paper_id":"fizyka-2019-maj-matura-rozszerzona","number":"1.4","points":1,"ptype":"closed","subject":"fizyka","category":"matura","year":2019,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 1.4. (0-1)\nPiłkę P1 rzucono poziomo (jak w opisie zadania 1.), a piłkę P2 (taką samą jak P1) upuszczono\nswobodnie z tej samej wysokości. Czas lotu piłki P1 do momentu uderzenia w ziemię\noznaczymy jako t1, a wartość prędkości tej piłki tuż przed uderzeniem w ziemię oznaczymy\njako v1. Analogicznie - czas lotu piłki P2 do momentu uderzenia w ziemię oznaczymy jako t2,\na wartość prędkości tej piłki tuż przed uderzeniem w ziemię oznaczymy jako v2.\nUzupełnij zdanie. Zaznacz właściwą odpowiedź wybraną spośród A-C oraz wybraną\nspośród 1-3.\nOdpowiedzi udzielaj zgodnie z modelem zjawiska, w którym pomijamy opory powietrza.\nZależność między czasami lotu obu piłek określa relacja\n, a zależność między\nwartościami prędkości piłek tuż przed uderzeniem w ziemię określa relacja\nA.\n1\n2\nt\nt\n1.\n1\n2\nv\nv\nB.\n1\n2\nt\nt\n>\n2.\n1\n2\nv > v\nC.\n1\n2\nt\nt\n<\n3.\n1\n2\nv < v\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n1.1.\n1.2.\n1.3.\n1.4.\nMaks. liczba pkt\n2\n2\n1\n1\nUzyskana liczba pkt\nEk\n0 0\nt\nEk\n0 0\nt\nEk\n0 0\nt\nEk\n0 0\nt\nA\nB\nC\n1 2 3\nMFA_1R","answer":"A","answer_text":"Zadanie 1.4. (0-1)\nWymagania ogólne\nWymagania szczegółowe\nI. Znajomość i umiejętność\nwykorzystania pojęć i praw fizyki\ndo wyjaśniania procesów i zjawisk\nw przyrodzie.\nZdający: 1.15) analizuje ruch ciał w dwóch\nwymiarach na przykładzie rzutu poziomego.\nSchemat punktowania\n1 p. - poprawna odpowiedź.\n0 p. - brak spełnienia powyższego kryterium.\nPoprawna odpowiedź\nA2","solution":"## Poprawna odpowiedź\n\n**Czasy lotu: A** (\\(t_1 = t_2\\)), **prędkości przed uderzeniem: 2** (\\(v_1 > v_2\\))\n\nPełna odpowiedź wg klucza CKE: **A2**.\n\n## Sposób 1 - Analiza składowych ruchu (metoda kinematyczna)\n\n### Czasy lotu\n\nObie piłki startują z tej samej wysokości \\(h\\). Kluczowy fakt: **w rzucie poziomym składowa pionowa prędkości początkowej wynosi zero** - dokładnie tak samo jak w swobodnym spadaniu.\n\nRuch w pionie jest zatem identyczny dla obu piłek:\n\\[\nh = \\frac{1}{2}g t^2\n\\]\n\nStąd:\n\\[\nt = \\sqrt{\\frac{2h}{g}}\n\\]\n\nWynik nie zależy od poziomej składowej prędkości początkowej, więc:\n\\[\n\\boxed{t_1 = t_2}\n\\]\n\n### Prędkości tuż przed uderzeniem\n\n**Piłka P₂** (swobodny spadek) - tylko składowa pionowa:\n\\[\nv_2 = g t_2\n\\]\n\n**Piłka P₁** (rzut poziomy z prędkością początkową \\(v_0\\)):\n- składowa pionowa: \\(v_y = g t_1 = g t_2\\) (taka sama jak \\(v_2\\)!)\n- składowa pozioma: \\(v_x = v_0\\) (stała przez cały lot)\n\nPrędkość wypadkowa:\n\\[\nv_1 = \\sqrt{v_x^2 + v_y^2} = \\sqrt{v_0^2 + (gt_2)^2} = \\sqrt{v_0^2 + v_2^2}\n\\]\n\nPonieważ \\(v_0 > 0\\):\n\\[\n\\boxed{v_1 = \\sqrt{v_0^2 + v_2^2} > v_2}\n\\]\n\n## Sposób 2 - Zasada niezależności ruchów (argument koncepcyjny)\n\nZasada niezależności składowych ruchu: **ruch poziomy i pionowy są od siebie niezależne**.\n\nPodział ruchu piłki P₁:\n\n| Składowa | P₁ | P₂ |\n| Pionowa | jak swobodny spadek (\\(v_{y0}=0\\), przyspieszenie \\(g\\)) | swobodny spadek (\\(v_0=0\\), przyspieszenie \\(g\\)) |\n| Pozioma | \\(v_x = v_0 = \\text{const}\\) | brak |\n\n**Wniosek dla czasu:** Czas lotu zależy WYŁĄCZNIE od ruchu pionowego (kiedy piłka \"osiągnie podłogę\"). Oba piony są identyczne → \\(t_1 = t_2\\).\n\n**Wniosek dla prędkości:** P₁ ma tę samą pionową składową prędkości co P₂, PLUS niezerową poziomą \\(v_0\\). Suma wektorowa jest większa niż sama składowa pionowa:\n\\[\nv_1 = \\sqrt{v_0^2 + v_2^2} > v_2\n\\]\n\n## Sposób 3 - Energia (weryfikacja przez zasadę zachowania energii)\n\nObie piłki zaczynają z tej samej wysokości \\(h\\).\n\n**Piłka P₂:**\n\\[\n\\frac{1}{2}mv_2^2 = mgh \\implies v_2 = \\sqrt{2gh}\n\\]\n\n**Piłka P₁** (ma dodatkowo energię kinetyczną ruchu poziomego \\(\\frac{1}{2}mv_0^2\\)):\n\\[\n\\frac{1}{2}mv_1^2 = \\frac{1}{2}mv_0^2 + mgh \\implies v_1 = \\sqrt{v_0^2 + 2gh}\n\\]\n\nPorównanie:\n\\[\nv_1 = \\sqrt{v_0^2 + 2gh} > \\sqrt{2gh} = v_2 \\quad \\checkmark\n\\]\n\nTo samo wyrażenie co w Sposobie 1, bo \\(2gh = (gt_2)^2 = v_2^2\\). Metody są spójne.\n\n## Schemat oceniania CKE\n\n> 📋 **Schemat punktowania CKE (zadanie 1.4, 0-1 pkt):**\n> - **1 pkt** - poprawna odpowiedź.\n> - **0 pkt** - brak spełnienia powyższego kryterium.\n>\n> **Poprawna odpowiedź CKE: A2** - czyli \\(t_1 = t_2\\) (wariant A) oraz \\(v_1 > v_2\\) (wariant 2).\n\n## Wzory z karty CKE - czego MASZ użyć\n\n> 📖 **Karta wzorów CKE - sekcja FIZYKA (kinematyka):**\n>\n> Swobodny spadek: \\(h = \\frac{1}{2}gt^2\\), \\(v = gt\\)\n>\n> Rzut poziomy: \\(x = v_0 t\\), \\(y = \\frac{1}{2}gt^2\\), prędkość wypadkowa \\(v = \\sqrt{v_x^2 + v_y^2}\\)\n>\n> Użyliśmy w Sposobie 1 do obliczenia czasu i prędkości wypadkowej. W Sposobie 3 - zasada zachowania energii mechanicznej.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n### Czasy lotu (A, B, C):\n\n| Wariant | Co mówi | Typowy błąd ucznia |\n| **B** | \\(t_1 > t_2\\) | Uczeń myśli, że pozioma prędkość \"wydłuża\" lot - myli czas z zasięgiem poziomym |\n| **C** | \\(t_1 < t_2\\) | Uczeń myśli, że \"rzucona\" piłka \"spada szybciej\" bo ma większą prędkość - myli prędkość wypadkową z pionową składową |\n\n### Prędkości końcowe (1, 2, 3):\n\n| Wariant | Co mówi | Typowy błąd ucznia |\n| **1** | \\(v_1 = v_2\\) | Uczeń wie, że czasy są równe, więc błędnie wnioskuje, że prędkości też muszą być równe - zapomina o składowej poziomej \\(v_0\\) w piłce P₁ |\n| **3** | \\(v_1 < v_2\\) | Rzadki błąd - brak fizycznego uzasadnienia; zazwyczaj pomylenie kierunku nierówności |\n\n## Typowe pułapki\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Największa pułapka: skoro \\(t_1 = t_2\\), uczeń często \"automatycznie\" wpisuje też \\(v_1 = v_2\\) - to **błąd**! Czas lotu zależy tylko od pionu, ale prędkość końcowa zależy od WSZYSTKICH składowych.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie mylić zasięgu poziomego (\\(x = v_0 t\\), tym razem \\(x_1 > x_2 = 0\\)) z czasem lotu - P₁ leci dalej w poziomie, ale **nie dłużej**.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** W modelu bez oporów powietrza składowa pozioma prędkości P₁ **nie maleje** - \\(v_x = v_0\\) przez cały lot. Gdyby były opory, \\(v_x\\) malałoby i zadanie byłoby znacznie trudniejsze.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Sposób przez energię (Sposób 3) to elegancka weryfikacja - nie trzeba liczyć składowych osobno; wystarczy zauważyć, że P₁ ma więcej energii kinetycznej na starcie.","image":"img/fizyka-2019-maj-matura-rozszerzona/zad-1.4.webp","solution_image":null,"topics":"Kinematyka","page_from":3,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Fizyka · Matura · maj 2019 (rozszerzona)","subject_label":"Fizyka","category_label":"Matura"},{"id":"fizyka-2019-maj-matura-rozszerzona/zad/2","paper_id":"fizyka-2019-maj-matura-rozszerzona","number":"2","points":1,"ptype":"closed","subject":"fizyka","category":"matura","year":2019,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 2. (0-1)\nRozważmy hipotetyczną sytuację, w której zawodnik z piłką\nznajdował się przez pewien czas w kabinie spadającej swobodnie\nz przyspieszeniem ziemskim gሬԦ. Kabina podczas spadania nie obraca\nsię. W pewnym momencie piłkarz - znajdujący się w stanie\nnieważkości - lekko rzucił piłkę. Prędkość początkowa uሬԦ0 rzuconej\npiłki, określona względem kabiny, ma kierunek równoległy do\npodłogi kabiny (zobacz rys. obok). Opory powietrza pomijamy.\nZaznacz poprawne dokończenie zdania wybrane spośród A-D.\nRuch piłki w układzie odniesienia związanym z kabiną, od momentu\nodrzucenia jej przez zawodnika do chwili uderzenia piłki w ścianę\nkabiny, będzie odbywał się\nA. wzdłuż linii prostej równoległej do podłogi kabiny, ze stałą prędkością.\nB. wzdłuż ramienia paraboli skierowanego w górę, z przyspieszeniem skierowanym w górę.\nC. wzdłuż ramienia paraboli skierowanego w dół, z przyspieszeniem skierowanym w dół.\nD. wzdłuż linii prostej równoległej do podłogi kabiny, z niezerowym przyspieszeniem.","answer":"A","answer_text":"Zadanie 2. (0-1)\nWymagania ogólne\nWymagania szczegółowe\nI. Znajomość i umiejętność\nwykorzystania pojęć i praw fizyki\ndo wyjaśniania procesów i zjawisk\nw przyrodzie.\nZdający:\n1.4) (P) wyjaśnia, na czym polega stan\nnieważkości, i podaje warunki jego\nwystępowania;\n1.11) wyjaśnia różnice między opisem ruchu\nciał w układach inercjalnych i nieinercjalnych;\n1.7) opisuje swobodny ruch ciał.\nSchemat punktowania\n1 p. - poprawna odpowiedź.\n0 p. - brak spełnienia powyższego kryterium.\nPoprawna odpowiedź\nA","solution":"## Poprawna odpowiedź\n\n**A** - wzdłuż linii prostej równoległej do podłogi kabiny, ze stałą prędkością (ruch prostoliniowy jednostajny).\n\n## Sposób 1 - Zasada nieważkości / Równoważność układów\n\n**Krok 1 - Jaki układ to kabina swobodnie spadająca?**\n\nKabina spada swobodnie z przyspieszeniem \\(\\vec{g}\\) - jest to **nieinercjalny układ odniesienia** przyspieszający względem Ziemi z przyspieszeniem \\(\\vec{g}\\) w dół.\n\n**Krok 2 - Siły w układzie kabiny**\n\nW układzie kabiny działa **sił pozorna** (bezwładności):\n\\[\n\\vec{F}_{\\text{bezwładności}} = -m\\vec{g} \\quad \\text{(w górę)}\n\\]\n\nSiła grawitacyjna na piłkę:\n\\[\n\\vec{F}_{\\text{graw}} = m\\vec{g} \\quad \\text{(w dół)}\n\\]\n\nWypadkowa sił w układzie kabiny:\n\\[\n\\vec{F}_{\\text{wyp}} = m\\vec{g} + (-m\\vec{g}) = \\vec{0}\n\\]\n\n➜ **Brak wypadkowej siły** na piłkę w układzie kabiny - to właśnie stan nieważkości.\n\n**Krok 3 - Wniosek z II zasady Newtona**\n\nZ \\(\\vec{F} = m\\vec{a}\\) i \\(\\vec{F} = \\vec{0}\\):\n\\[\n\\vec{a} = \\vec{0}\n\\]\n\nPiłka nie ma przyspieszenia. Porusza się ze stałą prędkością \\(\\vec{u}_0\\) - **ruchem prostoliniowym jednostajnym** równolegle do podłogi.\n\n## Sposób 2 - Zasada równoważności Einsteina (fizyka konceptualna)\n\nEinstein sformułował: **swobodnie spadający układ jest lokalnie równoważny inercjalnemu układowi bez grawitacji**.\n\nW kabinie swobodnie spadającej piłkarz jest **nieważki** - to samo co astronauta w orbicie czy pasażer windy w wolnym spadku. Żadna siła nie działa na piłkę po rzucie (opory pominięte).\n\nZgodnie z **I zasadą Newtona** (zasadą bezwładności): ciało, na które nie działa żadna siła, porusza się ruchem prostoliniowym jednostajnym.\n\nPiłka rzucona z \\(\\vec{u}_0\\) równolegle do podłogi - **leci prosto do ściany kabiny**, bez żadnego \"opadania\" względem podłogi.\n\n## Sposób 3 - Analiza w inercjalnym układzie Ziemi + transformacja\n\n**W układzie Ziemi (inercjalnym):**\n\nPiłka ma:\n- prędkość poziomą: \\(v_x = u_0\\) (od rzutu, równolegle do podłogi)\n- prędkość pionową: \\(v_{y0} = v_{\\text{kabiny}}\\) w chwili rzutu (spada razem z kabiną)\n- przyspieszenie: \\(\\vec{g}\\) w dół\n\nW układzie Ziemi piłka wykonuje rzut poziomy (paraboliczny).\n\n**Transformacja do układu kabiny:**\n\nOdejmujemy ruch kabiny (kabina spada swobodnie z przyspieszeniem \\(\\vec{g}\\)):\n\n| Wielkość | W ukł. Ziemi | Ruch kabiny | W ukł. kabiny |\n| prędkość pionowa piłki | \\(v_{y0} - gt\\) | \\(v_{y0} - gt\\) | **0** |\n| prędkość pozioma piłki | \\(u_0\\) | 0 | **\\(u_0\\)** |\n| traj. piłki | parabola | - | prosta pozioma |\n\n➜ W układzie kabiny piłka porusza się **poziomo ze stałą prędkością** \\(u_0\\). Tor to odcinek prosty równoległy do podłogi.\n\n## Schemat oceniania CKE\n\n> 📋 **Schemat punktowania CKE (zadanie 2, 0-1 pkt):**\n> - **1 pkt** - poprawna odpowiedź.\n> - **0 pkt** - brak spełnienia powyższego kryterium.\n>\n> **Poprawna odpowiedź CKE: A** (ruch wzdłuż linii prostej równoległej do podłogi kabiny, ze stałą prędkością).\n\n## Wzory z karty CKE - czego MASZ użyć\n\n> 📖 **Karta wzorów CKE - Mechanika (str. 16):**\n> - **I zasada Newtona:** jeśli \\(\\vec{F}_{\\text{wyp}} = \\vec{0}\\), ciało porusza się ruchem prostoliniowym jednostajnym (lub spoczywa).\n> - **II zasada Newtona:** \\(\\vec{F} = m\\vec{a}\\) → jeśli \\(\\vec{F} = \\vec{0}\\), to \\(\\vec{a} = \\vec{0}\\).\n>\n> Klucz do zadania: wykazać, że w układzie kabiny wypadkowa siła na piłkę = 0, a stąd z I zasady Newtona → ruch prostoliniowy jednostajny.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Wariant | Typowy błąd ucznia |\n| **B** (parabola skierowana w górę, przyspieszenie w górę) | Uczeń błędnie sądzi, że siła bezwładności przeważa nad grawitacją - w rzeczywistości obie znoszą się i wypadkowe przyspieszenie = 0 |\n| **C** (parabola skierowana w dół, przyspieszenie w dół) | Uczeń zapomina o transformacji do układu kabiny - parabola to tor w *układzie Ziemi*, nie w układzie kabiny; w kabinie ciało jest nieważkie |\n| **D** (prosta równoległa do podłogi, z niezerowym przyspieszeniem) | Uczeń poprawnie rozpoznaje prostoliniowy tor, ale błędnie zakłada niezerowe przyspieszenie - w stanie nieważkości \\(\\vec{a} = 0\\), więc ruch jest jednostajny |\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Pułapka 1:** Parabola to tor *w układzie Ziemi*. W układzie kabiny - prosta. To klasyczny błąd mylenia układów odniesienia!\n>\n> ⚠️ **Pułapka 2:** \"Stan nieważkości\" nie oznacza braku grawitacji - grawitacja nadal działa, ale siła bezwładności w układzie kabiny dokładnie ją znosi. Wypadkowa = 0.\n>\n> ⚠️ **Pułapka 3:** Nie mylić \"kabina nie obraca się\" z \"kabina nie spada\" - brak obrotu oznacza tylko, że osie kabiny zachowują kierunek. Kabina nadal swobodnie spada.\n>\n> ⚠️ **Pułapka 4:** Zasada równoważności Einsteina: kabina swobodnie spadająca = układ inercjalny bez grawitacji - to fundamentalne twierdzenie OTW, warto je zapamiętać jako skrót myślowy do całej klasy takich zadań.","image":"img/fizyka-2019-maj-matura-rozszerzona/zad-2.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":4,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Fizyka · Matura · maj 2019 (rozszerzona)","subject_label":"Fizyka","category_label":"Matura"},{"id":"fizyka-2019-maj-matura-rozszerzona/zad/3","paper_id":"fizyka-2019-maj-matura-rozszerzona","number":"3","points":null,"ptype":"open","subject":"fizyka","category":"matura","year":2019,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 3.\nUczniowie badali zależność ruchu bryły sztywnej od jej momentu\nbezwładności. W tym celu wykorzystali przyrząd zwany wahadłem\nOberbecka. Obracająca się część przyrządu jest zbudowana\nz jednorodnego walca i czterech prętów zamocowanych na tym\nwalcu. Pręty leżą w jednej płaszczyźnie, są do siebie prostopadłe,\na walec może swobodnie się obracać wokół swojej osi symetrii O.\nOś O jest nieruchoma i pozioma. Ponadto na prętach zamocowane\nsą jednakowe obciążniki, które można mocować w różnej odległości\nod walca (zobacz rys. obok). Opisaną bryłę wprawia się w ruch\nobrotowy za pomocą ciężarka P zawieszonego na lekkiej\nnierozciągliwej nitce nawiniętej na walec. Podczas ruchu ciężarka\nw dół nitka nie ślizga się po walcu.\nUczniowie mierzyli czas t opuszczania się ciężarka P z wysokości h.\nDoświadczenie powtarzano, ale za każdym razem modyfikowano\njego warunki - w kolejnych próbach obciążniki mocowano w innych\nmiejscach na prętach albo zmieniano wysokość, z której opuszcza\nsię ciężarek. Rozmieszczenie obciążników pozostawało za każdym\nrazem symetryczne, tzn. obciążniki były położone w jednakowych\nodległościach od osi obrotu. W chwili początkowej każdego\nz doświadczeń cały układ spoczywał.\nPomijamy wpływ oporów powietrza oraz tarcia pomiędzy walcem\na osią obrotu, pomijamy także masę nitki.\ngሬԦ\nuሬԦ0\nP\nO\nh\nMFA_1R","answer":null,"answer_text":null,"solution":null,"image":"img/fizyka-2019-maj-matura-rozszerzona/zad-3.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":4,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Fizyka · Matura · maj 2019 (rozszerzona)","subject_label":"Fizyka","category_label":"Matura"},{"id":"fizyka-2019-maj-matura-rozszerzona/zad/3.1","paper_id":"fizyka-2019-maj-matura-rozszerzona","number":"3.1","points":2,"ptype":"open","subject":"fizyka","category":"matura","year":2019,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 3.1. (0-2)\nGdy ciężarek opuszcza się ruchem przyspieszonym, to działają na niego dwie siły: FሬԦB - siła\nreakcji napiętej nitki oraz FሬԦg - siła grawitacji (przyjmij, że obie te siły są zaczepione w punkcie\nB). Natomiast na walec w punkcie A działa siła FሬԦA - siła reakcji napiętej nitki.\nNa rysunku powyżej dorysuj wektory wymienionych sił wraz z ich oznaczeniem.\nZachowaj relacje (większy, równy, mniejszy) między wartościami narysowanych\nwektorów i zapisz te relacje - wstaw w miejsca poniżej jeden ze znaków: >, =, <.\nUwaga: kratka na rysunku może pomóc w poprawnym narysowaniu wektorów sił.\n1) FB Fg\n2) FB FA","answer":null,"answer_text":"Zadanie 3.1. (0-2)\nWymagania ogólne\nWymagania szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i przetwarzanie\ninformacji zapisanych w postaci tekstu,\ntabel, wykresów, schematów\ni rysunków.\nI. Znajomość i umiejętność\nwykorzystania pojęć i praw fizyki\ndo wyjaśniania procesów i zjawisk\nw przyrodzie.\nZdający:\n1.8) wyjaśnia ruch ciał na podstawie drugiej\nzasady dynamiki Newtona;\n1.9) stosuje trzecią zasadę dynamiki Newtona\ndo opisu zachowania się ciał;\n2.7) analizuje ruch obrotowy bryły sztywnej\npod wpływem momentu sił;\n1.1) […] wykonuje działania na wektorach.\nSchemat punktowania\n2 p. - prawidłowe narysowanie oznaczonych sił FሬԦB, FሬԦg, FሬԦA oraz prawidłowe wpisanie relacji\n1) i 2).\n1 p. - prawidłowe narysowanie oznaczonych sił FሬԦB, FሬԦg oraz prawidłowe zapisanie relacji 1)\nmiędzy nimi\nlub\n- prawidłowe narysowanie oznaczonych sił FሬԦA, FሬԦB oraz prawidłowe zapisanie relacji 2)\nmiędzy nimi\nlub\n- prawidłowe narysowanie oznaczonych sił FሬԦB, FሬԦg, FሬԦA oraz brak zapisu obu relacji (nie\ndotyczy błędnie wpisanych relacji).\n0 p. - brak spełnienia powyższych kryteriów.\nPoprawne rozwiązanie\n(Rysunek obok).\n1) FB < Fg\n2) FB = FA","solution":"## Poprawna odpowiedź\n\n**Relacje między wartościami sił:**\n\n$$F_A = F_B < F_g$$\n\nczyli: $F_A \\ [=]\\ F_B$ oraz $F_B \\ [<]\\ F_g$\n\n**Wektory na rysunku:**\n- W punkcie B (ciężarek P): $\\vec{F}_g$ - w dół (dłuższy), $\\vec{F}_B$ - w górę (krótszy, $F_B < F_g$)\n- W punkcie A (krawędź walca): $\\vec{F}_A$ - w dół wzdłuż nitki (tej samej długości co $\\vec{F}_B$)\n\n## Sposób 1 - II zasada dynamiki dla ciężarka P\n\nCiężarek P opada **ruchem przyspieszonym** (przyspieszenie $a > 0$).\n\nObie siły na ciężarek działają wzdłuż pionu. II zasada Newtona dla ciężarka P (oś y w dół):\n\n$$F_g - F_B = ma$$\n\nPonieważ $m > 0$ i $a > 0$:\n\n$$F_g - F_B > 0 \\implies \\boxed{F_g > F_B}$$\n\n## Sposób 2 - Zasada sznurka lekkiego (brak masy nitki)\n\nZadanie wyraźnie mówi: **„pomijamy masę nitki\"** → nitka jest lekka i nierozciągliwa.\n\nDla lekkiej nierozciągliwej nitki naprężenie (napięcie) jest **takie samo w każdym przekroju**.\n\nSiła, z jaką naprężona nitka działa na ciężarek P w punkcie B:\n$$F_B = T \\quad \\text{(napięcie nitki)}$$\n\nSiła, z jaką ta sama naprężona nitka działa na walec w punkcie A:\n$$F_A = T \\quad \\text{(to samo napięcie)}$$\n\nStąd:\n$$\\boxed{F_A = F_B}$$\n\nPołączone z wynikiem Sposobu 1:\n$$F_A = F_B < F_g$$\n\n## Sposób 3 - Argument energetyczny / intuicyjny\n\nGdyby $F_B = F_g$, wypadkowa siła na ciężarek byłaby zero → ruch jednostajny lub spoczynek. Ale układ **startuje ze spoczynku i przyspiesza** - zatem siła wypadkowa musi być niezerowa, skierowana w dół:\n\n$$F_g > F_B \\quad \\checkmark$$\n\nGdyby $F_A \\neq F_B$, lekka nitka miałaby niezerową wypadkową siłę → nieskończone przyspieszenie (bo $m_\\text{nitki} = 0$) - **fizycznie niemożliwe**. Więc $F_A = F_B$.\n\n## Schemat oceniania CKE\n\n> 📋 **Schemat punktowania CKE (zadanie 3.1, 0-2 pkt):**\n>\n> - **2 pkt** - prawidłowe narysowanie oznaczonych sił \\(\\vec{F}_B\\), \\(\\vec{F}_g\\), \\(\\vec{F}_A\\) oraz prawidłowe wpisanie relacji 1) i 2).\n> - **1 pkt** - prawidłowe narysowanie oznaczonych sił \\(\\vec{F}_B\\), \\(\\vec{F}_g\\) oraz prawidłowe zapisanie relacji 1) między nimi **LUB** prawidłowe narysowanie sił \\(\\vec{F}_A\\), \\(\\vec{F}_B\\) oraz prawidłowe zapisanie relacji 2) między nimi **LUB** prawidłowe narysowanie sił \\(\\vec{F}_B\\), \\(\\vec{F}_g\\), \\(\\vec{F}_A\\) oraz brak zapisu obu relacji (nie dotyczy błędnie wpisanych relacji).\n> - **0 pkt** - brak spełnienia powyższych kryteriów.\n>\n> **Poprawne rozwiązanie CKE:** 1) \\(F_B < F_g\\); 2) \\(F_B = F_A\\).\n\n## Wzory z karty CKE - czego MASZ użyć\n\n> 📖 **Karta wzorów CKE str. 16-17 - Dynamika:**\n> II zasada Newtona: $\\vec{F} = m\\vec{a}$\n>\n> W tym zadaniu korzystamy z niej bezpośrednio dla ciężarka P. Karta przypomina też, że dla liny/nitki lekkiej napięcie jest jednorodne - to standardowe założenie dynamiki układów.\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Najczęstszy błąd - narysowanie $\\vec{F}_A$ **w górę** (w kierunku do osi walca). Siła nitki na walec w punkcie A jest skierowana **wzdłuż nitki, w dół** - nitka „ciągnie\" krawędź walca ku dołowi.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Pomylenie $F_A = F_B$ z $F_A = F_g$ - „bo siła musi się równoważyć\". Siły **na walcu** się nie równoważą (walec obraca się!), a na ciężarku: $F_g \\neq F_B$ bo jest przyspieszenie.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Brak opisów wektorów na rysunku = utrata punktu. Klucz CKE wymaga **oznaczeń** $\\vec{F}_B$, $\\vec{F}_g$, $\\vec{F}_A$ przy każdej strzałce.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie wpisuj $F_A < F_B$ - to błąd logiczny sprzeczny z założeniem lekkiej nitki. Relacja $F_A = F_B$ jest konsekwencją **braku masy nitki**, nie symetrii układu.","image":"img/fizyka-2019-maj-matura-rozszerzona/zad-3.1.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":5,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Fizyka · Matura · maj 2019 (rozszerzona)","subject_label":"Fizyka","category_label":"Matura"},{"id":"fizyka-2019-maj-matura-rozszerzona/zad/3.2","paper_id":"fizyka-2019-maj-matura-rozszerzona","number":"3.2","points":5,"ptype":"open","subject":"fizyka","category":"matura","year":2019,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 3.2. (0-5)\nWartość a przyspieszenia opadającego ciężarka uczniowie wyznaczyli przy użyciu stopera,\nprzymiaru liniowego i po przyjęciu założenia, że a jest stałe. Zmierzono czas t = 1,6 s opadania\nciężarka z wysokości h = 0,960 m.\na) Zapisz wzór pozwalający obliczyć wartość a przyspieszenia ciężarka na podstawie\nzmierzonych t i h. Oblicz a.\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n2.\n3.1.\nMaks. liczba pkt\n1\n2\nUzyskana liczba pkt\nA\nB\nMFA_1R\nDodatkowa informacja do zadania 3.2.\nGdy wielkości fizyczne y oraz x wiąże zależność y = f(x), to y można wyznaczyć z pomiaru x.\nWtedy, jeśli znana jest niepewność pomiarowa ∆x wielkości x, to jej wkład do niepewności\npomiarowej ∆y wielkości y można określić następująco:\n1 |\n(\n)\n(\n) |\n2\ny\nf x\nx\nf x\nx\nΔ\n+ Δ\n-Δ\nW opisanym doświadczeniu wartość a przyspieszenia ciężarka zależy od dwóch mierzonych\nwielkości: t i h.\nb) Oblicz niepewność wyznaczenia a przy założeniu, że pomiar t jest dokładny, a pomiar\nh wykonano z niepewnością Δh = 5 mm.\nc) Oblicz niepewność wyznaczenia a przy założeniu, że pomiar h jest dokładny, a pomiar\nt wykonano z niepewnością Δt = 0,1 s.\nd) Ustal i zapisz, która z niepewności: Δt = 0,1 s czy Δh = 5 mm, w większym stopniu\nwpływa na niepewność wyznaczenia przyspieszenia. Uzasadnij odpowiedź.\nMFA_1R","answer":null,"answer_text":"Zadanie 3.2. (0-5)\nWymagania ogólne\nWymagania szczegółowe\nV. Planowanie i wykonywanie prostych\ndoświadczeń i analiza ich wyników.\nZdający:\n1.4) wykorzystuje związki pomiędzy\npołożeniem, prędkością, i przyspieszeniem\nw ruchu jednostajnym i jednostajnie zmiennym\ndo obliczania parametrów ruchu;\n12.6) opisuje podstawowe zasady niepewności\npomiaru (szacowanie niepewności pomiaru\n[…], wskazywanie wielkości, której pomiar ma\ndecydujący wkład na niepewność otrzymanego\nwyniku wyznaczonej wielkości fizycznej).\na) (0-2)\nSchemat punktowania\n2 p. - prawidłowe obliczenie przyspieszenia i prawidłowy wynik liczbowy z jednostką.\n1 p. - prawidłowe zapisanie wzoru wiążącego przyspieszenie z drogą/wysokością i czasem\nw ruchu jednostajnie przyspieszonym bez prędkości początkowej\nlub\n- zapisanie wyrażenia z bezpośrednio podstawionymi do wzoru na przyspieszenie\nwartościami liczbowymi drogi i czasu (bez zapisu wzoru na symbolach).\n0 p. - brak spełnienia powyższych kryteriów.\nPrzykładowe rozwiązanie\nZapiszemy wzór i wykonamy obliczenia:\n= 2ℎ\nݐଶ\n= 2 ∙0,960 m\n1,6ଶ s2\n= 0,750 m\nsଶ\nb) (0-1)\nSchemat punktowania\n1 p. - prawidłowe obliczenie wkładu niepewności pomiaru wysokości do niepewności\nprzyspieszenia.\n0 p. - brak spełnienia powyższego kryterium.\nA\nB\nFሬԦB\nFሬԦA\nFሬԦg\nPrzykładowe rozwiązanie\nObliczamy niepewność a przyjmując, że pomiar t jest dokładny, a pomiar h wykonano\nz niepewnością Δh = 5 mm. W związku z tym h traktujemy jako zmienną we wzorze na\nprzyspieszenie:\n∆ܽ௛= 1\n2 ∙ቤ2(ℎ+ ∆ℎ)\nݐଶ\n- 2(ℎ-∆ℎ)\nݐଶ\nቤ= 2∆ℎ\nݐଶ= 2 ∙5 ∙10ିଷ m\n1,6ଶ s2\n≈ 3,91 ∙10ିଷ m\ns2 ≈0,004 m\ns2\nc) (0-1)\nSchemat punktowania\n1 p. - prawidłowe obliczenie wkładu niepewności pomiaru czasu do niepewności\nprzyspieszenia.\n0 p. - brak spełnienia powyższego kryterium.\nPrzykładowe rozwiązanie\nObliczamy niepewność a przyjmując, że pomiar h jest dokładny, a pomiar t wykonano\nz niepewnością Δt = 0,1 s. W związku z tym t traktujemy jako zmienną we wzorze na\nprzyspieszenie:\n∆ܽ௧= 1\n2 ∙ฬ\n2ℎ\n(ݐ+ ∆ݐ)ଶ-\n2ℎ\n(ݐ-∆ݐ)ଶฬ= ฬ0,960 m\n1,7ଶ sଶ- 0,960 m\n1,5ଶ sଶฬ≈9,45 ∙10ିଶ m\nsଶ≈0,1 m\nsଶ\nd) (0-1)\nSchemat punktowania\n1 p. - poprawna odpowiedź i prawidłowe uzasadnienie.\n0 p. - brak spełnienia powyższego kryterium.\nPrzykładowe rozwiązanie\nOdpowiedź.\nNa niepewność wyznaczenia przyspieszenia w większym stopniu wpływa niepewność pomiaru\nczasu.\nUzasadnienie odpowiedzi\nSposób 1.\nWkład niepewności pomiaru czasu jest ok. 25 razy większy od wkładu niepewności wysokości:\n∆ܽ௧\n∆ܽ௛\n≈0,1\n0,004 = 25\nSposób 2.\nPonieważ ∆ܽ௧> ∆ܽ௛.\nSposób 3. (przybliżony dla tej zależności)\nNiepewności względne pomiaru czasu i wysokości wynoszą:\n∆ݐ\nݐ= 0,1 s\n1,6 s ≈0,06 ∆ℎ\nℎ=\n5 mm\n960 mm ≈0,005\nPonieważ wysokość jest mierzona dokładniej - co widać z porównania niepewności\nwzględnych - to na niepewność przyspieszenia bardziej wpływa niepewność pomiaru czasu.\nSposób 4. (z użyciem metod wykraczających poza podstawę programową)\nSkorzystamy ze wzoru przybliżonego na niepewność: ∆ݕ≈|݂’(ݔ)|∆ݔ. Wtedy:\n∆ܽ௧\n∆ܽ௛\n≈2∆ݐ\n∆ℎ∙ℎ\nݐ= 24\nWkład niepewności pomiaru czasu jest większy od wkładu niepewności wysokości.","solution":"## Poprawna odpowiedź\n\n- a) \\(a = \\dfrac{2h}{t^2} = 0{,}750 \\text{ m/s}^2\\)\n- b) wkład niepewności pomiaru wysokości: \\(\\Delta a_h \\approx 0{,}004 \\text{ m/s}^2\\) (przy \\(\\Delta h = 5\\) mm)\n- c) wkład niepewności pomiaru czasu: \\(\\Delta a_t \\approx 0{,}1 \\text{ m/s}^2\\) (przy \\(\\Delta t = 0{,}1\\) s)\n- d) na niepewność wyznaczenia przyspieszenia w **większym stopniu** wpływa niepewność pomiaru **czasu** (\\(\\Delta a_t \\approx 25 \\cdot \\Delta a_h\\))\n\n## Sposób 1 - Wzór kinematyczny + propagacja niepewności metodą CKE\n\n### Krok 1 - Wyprowadzenie wzoru na \\(a\\)\n\nCiężarek opada ze spoczynku (v₀ = 0) ze stałym przyspieszeniem:\n\n\\[h = \\frac{1}{2}at^2 \\implies \\boxed{a = \\frac{2h}{t^2}}\\]\n\n### Krok 2 - Obliczenie wartości \\(a\\)\n\n\\[a = \\frac{2 \\cdot 0{,}960}{(1{,}6)^2} = \\frac{1{,}920}{2{,}56} = \\mathbf{0{,}75 \\text{ m/s}^2}\\]\n\n### Krok 3 - Niepewność wkładu pomiaru czasu \\(\\Delta a_t\\) (część c zadania)\n\nPomiar \\(t\\) wykonano z niepewnością **\\(\\Delta t = 0{,}1 \\text{ s}\\)** (założenie z treści).\n\nStosuję wzór z treści zadania dla zmiennej \\(t\\) (h = const):\n\n\\[\\Delta a_t = \\frac{1}{2}\\left|\\frac{2h}{(t+\\Delta t)^2} - \\frac{2h}{(t-\\Delta t)^2}\\right|\\]\n\n\\[\\Delta a_t = \\frac{1}{2}\\left|\\frac{2 \\cdot 0{,}960}{(1{,}7)^2} - \\frac{2 \\cdot 0{,}960}{(1{,}5)^2}\\right| = \\frac{1}{2}\\left|\\frac{0{,}960}{1{,}7^2} - \\frac{0{,}960}{1{,}5^2}\\right| \\cdot 2\\]\n\n\\[\\Delta a_t = \\frac{1}{2}\\left|0{,}6643 - 0{,}8533\\right| = \\frac{1}{2} \\cdot 0{,}1890 \\approx 9{,}45 \\cdot 10^{-2} \\approx \\mathbf{0{,}1 \\text{ m/s}^2}\\]\n\n### Krok 4 - Niepewność wkładu pomiaru wysokości \\(\\Delta a_h\\) (część b zadania)\n\nPomiar \\(h\\) wykonano z niepewnością **\\(\\Delta h = 5 \\text{ mm} = 5 \\cdot 10^{-3} \\text{ m}\\)** (założenie z treści).\n\nStosuję wzór dla zmiennej \\(h\\) (t = const):\n\n\\[\\Delta a_h = \\frac{1}{2}\\left|\\frac{2(h+\\Delta h)}{t^2} - \\frac{2(h-\\Delta h)}{t^2}\\right| = \\frac{1}{2} \\cdot \\frac{4\\Delta h}{t^2} = \\frac{2\\Delta h}{t^2}\\]\n\n\\[\\Delta a_h = \\frac{2 \\cdot 5 \\cdot 10^{-3}}{(1{,}6)^2} = \\frac{0{,}010}{2{,}56} \\approx 3{,}91 \\cdot 10^{-3} \\approx \\mathbf{0{,}004 \\text{ m/s}^2}\\]\n\n### Krok 5 - Porównanie wkładów i wynik\n\nWkład niepewności pomiaru czasu jest ok. **25 razy większy** od wkładu niepewności wysokości:\n\n\\[\\frac{\\Delta a_t}{\\Delta a_h} \\approx \\frac{0{,}1}{0{,}004} = 25\\]\n\n> **Wniosek (część d):** Na niepewność wyznaczenia przyspieszenia w **większym stopniu wpływa niepewność pomiaru czasu** \\(\\Delta t\\). Dokładniejszy stoper (np. czujnik fotoelektryczny) radykalnie poprawiłby wynik.\n\n\\[\\boxed{a = 0{,}750 \\text{ m/s}^2, \\quad \\Delta a_h \\approx 0{,}004 \\text{ m/s}^2, \\quad \\Delta a_t \\approx 0{,}1 \\text{ m/s}^2}\\]\n\n## Sposób 2 - Metoda rachunku różniczkowego (weryfikacja)\n\nDla \\(a = f(h, t) = \\frac{2h}{t^2}\\) liczymy pochodne cząstkowe:\n\n\\[\\frac{\\partial a}{\\partial h} = \\frac{2}{t^2}, \\qquad \\frac{\\partial a}{\\partial t} = -\\frac{4h}{t^3}\\]\n\nWkłady do niepewności metodą różniczkową:\n\n\\[\\Delta a_h = \\left|\\frac{\\partial a}{\\partial h}\\right| \\cdot \\Delta h = \\frac{2}{(1{,}6)^2} \\cdot 5 \\cdot 10^{-3} = \\frac{2}{2{,}56} \\cdot 0{,}005 \\approx 0{,}0039 \\text{ m/s}^2\\]\n\n\\[\\Delta a_t = \\left|\\frac{\\partial a}{\\partial t}\\right| \\cdot \\Delta t = \\frac{4 \\cdot 0{,}960}{(1{,}6)^3} \\cdot 0{,}1 = \\frac{3{,}84}{4{,}096} \\cdot 0{,}1 = 0{,}9375 \\cdot 0{,}1 \\approx 0{,}094 \\text{ m/s}^2\\]\n\n**Wyniki zgodne z Metodą 1** (\\(\\Delta a_h \\approx 0{,}004\\), \\(\\Delta a_t \\approx 0{,}1\\)) - to potwierdza poprawność obu podejść. Wzór z treści zadania jest symetrycznym przybliżeniem pochodnej.\n\n## Sposób 3 - Analiza względnych wkładów niepewności\n\nSprawdzam, **jaka frakcja** wartości \\(a\\) pochodzi z każdej niepewności:\n\n\\[\\frac{\\Delta a_t}{a} = \\frac{0{,}1}{0{,}75} \\approx 12{,}5\\%\\]\n\n\\[\\frac{\\Delta a_h}{a} = \\frac{0{,}004}{0{,}75} \\approx 0{,}5\\%\\]\n\nWkład względny z \\(\\Delta t\\) jest **\\(\\approx 25\\) razy większy** niż z \\(\\Delta h\\). Wynika to ze struktury wzoru:\n\n\\[a = \\frac{2h}{t^2}\\]\n\nCzas \\(t\\) wchodzi do potęgi drugiej - każda względna niepewność \\(t\\) wchodzi **podwójnie** do wyniku:\n\n\\[\\frac{\\Delta a}{a} \\approx 2\\frac{\\Delta t}{t} = 2 \\cdot \\frac{0{,}1}{1{,}6} \\approx 12{,}5\\%\\]\n\nco idealnie zgadza się z obliczeniami.\n\n## Schemat oceniania CKE\n\n> 📋 **Schemat punktowania CKE (zadanie 3.2, 0-5 pkt - części a-d):**\n>\n> **a) (0-2):**\n> - 2 p. - prawidłowe obliczenie przyspieszenia i prawidłowy wynik liczbowy z jednostką.\n> - 1 p. - prawidłowe zapisanie wzoru wiążącego przyspieszenie z drogą/wysokością i czasem w ruchu jednostajnie przyspieszonym bez prędkości początkowej **LUB** zapisanie wyrażenia z bezpośrednio podstawionymi wartościami liczbowymi (bez zapisu wzoru na symbolach).\n> - Przykład: \\(a = \\frac{2h}{t^2} = \\frac{2 \\cdot 0{,}960}{1{,}6^2} = 0{,}750 \\text{ m/s}^2\\).\n>\n> **b) (0-1):**\n> - 1 p. - prawidłowe obliczenie wkładu niepewności pomiaru wysokości do niepewności przyspieszenia.\n> - Przykład: \\(\\Delta a_h = \\frac{2\\Delta h}{t^2} = \\frac{2 \\cdot 5 \\cdot 10^{-3}}{1{,}6^2} \\approx 3{,}91 \\cdot 10^{-3} \\approx 0{,}004 \\text{ m/s}^2\\).\n>\n> **c) (0-1):**\n> - 1 p. - prawidłowe obliczenie wkładu niepewności pomiaru czasu do niepewności przyspieszenia.\n> - Przykład: \\(\\Delta a_t = \\frac{1}{2}\\left|\\frac{2h}{(t+\\Delta t)^2} - \\frac{2h}{(t-\\Delta t)^2}\\right| = \\left|\\frac{0{,}960}{1{,}7^2} - \\frac{0{,}960}{1{,}5^2}\\right| \\approx 9{,}45 \\cdot 10^{-2} \\approx 0{,}1 \\text{ m/s}^2\\).\n>\n> **d) (0-1):**\n> - 1 p. - poprawna odpowiedź i prawidłowe uzasadnienie.\n> - Odpowiedź CKE: na niepewność wyznaczenia przyspieszenia w większym stopniu wpływa niepewność pomiaru **czasu**. Uzasadnienie: wkład \\(\\Delta a_t\\) jest ok. 25 razy większy od \\(\\Delta a_h\\) (\\(0{,}1 / 0{,}004 = 25\\)); albo: \\(\\Delta a_t > \\Delta a_h\\).\n\n## Wzory z karty CKE - czego MASZ użyć\n\n> 📖 **Karta wzorów EM2023 - kinematyka (str. 16-17):**\n>\n> - Ruch jednostajnie przyspieszony ze spoczynku: \\(h = \\frac{1}{2}at^2\\)\n> - Bezpośrednio z karty wyprowadzamy: \\(a = \\frac{2h}{t^2}\\)\n>\n> Wzór na propagację niepewności podany jest w **treści zadania** (nie w karcie wzorów CKE) - to dodatkowy wzór specjalny do tego zadania; matura dostarcza go sama.\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Zapomnienie o czynniku 2 - pisanie \\(a = h/t^2\\) zamiast \\(a = 2h/t^2\\). Pamiętaj: ze wzoru na drogę \\(h = \\frac{1}{2}at^2\\) dostajemy \\(a = \\frac{2h}{t^2}\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Pomylenie kolejności w różnicy \\(f(x+\\Delta x) - f(x-\\Delta x)\\): tutaj funkcja \\(a(t) = 2h/t^2\\) jest **malejąca** względem \\(t\\), więc \\(a(t+\\Delta t) < a(t-\\Delta t)\\). Wzór zawiera wartość bezwzględną - nie ma znaczenia kolejność, ale **nie gubimy znaku**.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Pominięcie niepewności \\(\\Delta h\\) „bo mała\" - bez rachunku nie wiesz, że jest mała! CKE wymaga, żebyś policzył oba wkłady i dopiero wtedy stwierdzić, który dominuje.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Zaokrąglenie \\(a = 0{,}750\\) m/s² jest dokładne. Wkład \\(\\Delta a_t \\approx 9{,}45 \\cdot 10^{-2} \\approx 0{,}1\\) m/s², a \\(\\Delta a_h \\approx 3{,}91 \\cdot 10^{-3} \\approx 0{,}004\\) m/s² - zaokrąglamy do jednej-dwóch cyfr znaczących zgodnie z kluczem CKE. Dominuje wkład pomiaru czasu (część d).","image":"img/fizyka-2019-maj-matura-rozszerzona/zad-3.2.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":5,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Fizyka · Matura · maj 2019 (rozszerzona)","subject_label":"Fizyka","category_label":"Matura"},{"id":"fizyka-2019-maj-matura-rozszerzona/zad/3.3","paper_id":"fizyka-2019-maj-matura-rozszerzona","number":"3.3","points":3,"ptype":"open","subject":"fizyka","category":"matura","year":2019,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 3.3. (0-3)\nPo wyznaczeniu wartości a przyspieszenia ciężarka uczniowie postanowili wyznaczyć moment\nbezwładności I (względem osi O) obracającej się części wahadła Oberbecka. W tym celu\nskorzystali ze wzoru:\n2\n1\ng\nI\nmr\na\n\n\n\n\n\n\ngdzie: m - masa ciężarka P, r - promień walca, g - wartość przyspieszenia ziemskiego.\nWyprowadź powyższy wzór. Użyj jednej z metod: skorzystaj z równań dynamiki dla\nruchu ciężarka i ruchu walca albo z zasady zachowania energii mechanicznej.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 3.3. (0-3)\nWymagania ogólne\nWymagania szczegółowe\nIV. Budowa prostych modeli fizycznych\ni matematycznych do opisu zjawisk.\nZdający:\n2.2) rozróżnia pojęcia: masa i moment\nbezwładności;\n2.7) analizuje ruch obrotowy bryły sztywnej\npod wpływem momentu sił;\n2.9) uwzględnia energię kinetyczną ruchu\nobrotowego w bilansie energii;\n3.3) wykorzystuje zasadę zachowania energii\nmechanicznej do obliczania parametrów ruchu.\nSchemat punktowania\n(dla rozwiązania sposobem 1.)\n3 p. - prawidłowe wykonanie przekształceń algebraicznych i doprowadzenie do żądanej\nzależności (krok 3.).\n2 p. - prawidłowe wykonanie kroku 1. oraz wykorzystanie związków 3)-5) niezbędnych do\nwyprowadzenia żądanej zależności (krok 2.).\n1 p. - zapisanie równań drugiej zasady dynamiki dla ruchu obrotowego walca z układem\nprętów oraz dla ruchu postępowego ciężarka (krok 1.).\n0 p. - brak spełnienia powyższych kryteriów.\nPrzykładowe rozwiązanie\nSposób 1. (z równań dynamiki)\nKrok 1. Zapisujemy równania dynamiki ruchu obrotowego walca z układem prętów oraz dla\nruchu postępowego ciężarka:\n1)\n= ܨ௚ - ܨ஻ - II zasada dynamiki dla ruchu postępowego ciężarka;\n2) ܫ߳= ݎܨ஺ - II zasada dynamiki dla ruchu obrotowego walca z prętami.\nKrok 2. Wykorzystujemy związki niezbędne do wyprowadzenia żądanej zależności:\n3) ܨ஺= ܨ஻= ܨ - III zasada dynamiki (oddziaływanie ciężarka z walcem);\n4)\n=߳ݎ - związek między przyspieszeniem liniowym i kątowym (brak poślizgu);\n5) ܨ௚=\n- wzór na siłę grawitacji.\nPowyższe związki zdający może uwzględnić bezpośrednio w równaniach dynamiki, np.:\n=݉݃\n- ܨ\nܫܽݎ= ݎܨ\nKrok 3. Wykonujemy przekształcenia algebraiczne i wyprowadzamy żądany wzór:\n൝݉ܽ\n= ܨ௚ - ܨ\nܫܽݎ= ݎܨ\n→ ൝݉ܽ\n=݉݃\n- ܨ\nܨ= ܫܽ\nݎଶ\n→\n=݉݃\n- ܫܽ\nݎଶ →\nܫ= ݎଶ\n݉\n(݃\n-ܽ\n) =݉\nݎଶቀ݃ܽ\n-1ቁ\nSchemat punktowania\n(dla rozwiązania sposobem 2.)\n3 p. - prawidłowe wykonanie przekształceń algebraicznych i doprowadzenie do żądanej\nzależności (krok 3.).\n2 p. - prawidłowe wykonanie kroku 1. oraz wykorzystanie związków 1)-2) niezbędnych do\nwyprowadzenia żądanej zależności (krok 2.).\n1 p. - prawidłowe zapisanie zasady zachowania energii dla układu walca z prętami i ciężarka\nłącznie z wykorzystaniem wzorów na energię potencjalną oraz energię kinetyczną ruchu\npostępowego i obrotowego (krok 1.).\nUwaga: dopuszcza się w zapisie pominięcie MgH - energii potencjalnej walca z prętami.\n0 p. - brak spełnienia powyższych kryteriów.\nPrzykładowe rozwiązanie\nSposób 2. (z zasady zachowania energii)\nKrok 1. Zapisujemy zasadę zachowania energii dla układu walca z prętami i ciężarka łącznie\nz wykorzystaniem wzorów na energię potencjalną oraz energię kinetyczną ruchu postępowego\ni obrotowego. Masę walca z prętami oznaczymy M, wysokość środka masy walca nad\nwybranym poziomem oznaczymy H, a wysokość ciężarka nad wybranym poziomem\noznaczymy h:\nܧ௣௢௖௭ ௞௜௡ ௖+ ܧ௣௢௖௭ ௞௜௡ ௪+ ܧ௣௢௖௭ ௣௢௧ ௖+ ܧ௣௢௖௭ ௣௢௧ ௪= ܧ௞௢௡ ௞௜௡ ௖+ ܧ௞௢௡ ௞௜௡ ௪+ ܧ௞௢௡ ௣௢௧ ௖+ ܧ௞௢௡ ௣௢௧ ௪\n0 + 0 +\nℎ+ ܯ݃ܪ= 1\n2݉\nݒଶ+ 1\n2 ܫ߱\nଶ+ 0 + ܯ݃ܪ\nℎ= 1\n2݉\nݒଶ+ 1\n2 ܫ߱\nଶ\nKrok 2. Wykorzystujemy związki, niezbędne do wyprowadzenia żądanej zależności:\n1) ݒ=߱\nݎ - związek między prędkością liniową i kątową (brak poślizgu);\n2) ݒଶ= 2ܽℎ - wzór wynikający z równań ruchu jednostajnie przyspieszonego\nalbo\nݒ=ܽ\nݐ oraz ℎ=\nଵ\nଶܽݐଶ - kinematyka ruchu jednostajnie przyspieszonego.\nPowyższe związki zdający może uwzględnić bezpośrednio w równaniu zasady zachowania\nenergii, np.:\nݒଶ\n2ܽ = 1\n2\nݒଶ+ 1\n2 ܫݒଶ\nݎଶ\nKrok 3. Wykonujemy przekształcenia algebraiczne i wyprowadzamy żądany wzór:\n∙ݒଶ\n2ܽ = 1\n2\nݒଶ+ 1\n2 ܫ∙ݒଶ\nݎଶ →\n+ ܫ\nݎଶ → ܫ=݉\nݎଶቀ݃ܽ\n-1ቁ","solution":"## Poprawna odpowiedź\n\nWzór do wyprowadzenia:\n$$I = mr^2\\left(\\frac{g}{a} - 1\\right)$$\n\nWyprowadzenie można przeprowadzić **dwiema metodami** - obie są akceptowane przez CKE.\n\n## Sposób 1 - Równania dynamiki (II zasada Newtona dla ruchu postępowego i obrotowego)\n\n**Krok 1 - Układ sił na ciężarek P (ruch postępowy)**\n\nNa ciężarek P o masie \\(m\\) działają dwie siły:\n- ciężar \\(mg\\) - w dół\n- napięcie nitki \\(T\\) - w górę\n\nCiężarek opada z przyspieszeniem \\(a\\), zatem **II zasada Newtona dla ciężarka**:\n\n$$mg - T = ma \\quad \\text{(1)}$$\n\n**Krok 2 - Równanie obrotowe dla walca**\n\nNić owija się na walcu o promieniu \\(r\\). Siła \\(T\\) wytwarza moment siły:\n$$\\tau = T \\cdot r$$\n\n**II zasada Newtona dla ruchu obrotowego** (względem osi O):\n$$\\tau = I \\cdot \\alpha \\quad \\Longrightarrow \\quad T \\cdot r = I \\cdot \\alpha \\quad \\text{(2)}$$\n\n**Krok 3 - Warunek kinematyczny (więź: nić się nie ślizga)**\n\nPunkt na obwodzie walca ma przyspieszenie styczne równe przyspieszeniu ciężarka:\n$$a = \\alpha \\cdot r \\quad \\Longrightarrow \\quad \\alpha = \\frac{a}{r} \\quad \\text{(3)}$$\n\n**Krok 4 - Podstawienie (3) do (2)**\n\n$$T \\cdot r = I \\cdot \\frac{a}{r} \\quad \\Longrightarrow \\quad T = \\frac{I \\cdot a}{r^2} \\quad \\text{(4)}$$\n\n**Krok 5 - Podstawienie (4) do (1) i wyznaczenie \\(I\\)**\n\n$$mg - \\frac{I \\cdot a}{r^2} = ma$$\n\n$$mg = ma + \\frac{I \\cdot a}{r^2} = a\\left(m + \\frac{I}{r^2}\\right)$$\n\n$$\\frac{mg}{a} = m + \\frac{I}{r^2}$$\n\n$$\\frac{I}{r^2} = m\\left(\\frac{g}{a} - 1\\right)$$\n\n$$\\boxed{I = mr^2\\left(\\frac{g}{a} - 1\\right)}$$\n\n## Sposób 2 - Zasada zachowania energii mechanicznej\n\n**Krok 1 - Opis sytuacji**\n\nCiężarek opada o wysokość \\(h\\), startując ze spoczynku. W chwili końcowej:\n- ciężarek ma prędkość \\(v\\),\n- walec obraca się z prędkością kątową \\(\\omega\\).\n\nUkład jest zachowawczy (pomijamy straty), zatem **energia potencjalna ciężarka całkowicie przechodzi w energię kinetyczną**:\n\n$$mgh = \\frac{1}{2}mv^2 + \\frac{1}{2}I\\omega^2 \\quad \\text{(A)}$$\n\n**Krok 2 - Warunek kinematyczny**\n\n$$v = \\omega r \\quad \\Longrightarrow \\quad \\omega = \\frac{v}{r} \\quad \\text{(B)}$$\n\n**Krok 3 - Kinematyka jednostajnie przyspieszonego ruchu (start ze spoczynku)**\n\n$$v^2 = 2ah \\quad \\Longrightarrow \\quad h = \\frac{v^2}{2a} \\quad \\text{(C)}$$\n\n**Krok 4 - Podstawienie (B) i (C) do (A)**\n\n$$mg \\cdot \\frac{v^2}{2a} = \\frac{1}{2}mv^2 + \\frac{1}{2}I\\cdot\\frac{v^2}{r^2}$$\n\nDzielimy obie strony przez \\(\\frac{v^2}{2}\\) (zakładamy \\(v \\neq 0\\)):\n\n$$\\frac{mg}{a} = m + \\frac{I}{r^2}$$\n\n**Krok 5 - Wyznaczenie \\(I\\)**\n\n$$\\frac{I}{r^2} = \\frac{mg}{a} - m = m\\left(\\frac{g}{a} - 1\\right)$$\n\n$$\\boxed{I = mr^2\\left(\\frac{g}{a} - 1\\right)}$$\n\n## Schemat oceniania CKE\n\n> 📋 **Schemat punktowania CKE (zadanie 3.3, 0-3 pkt):**\n>\n> **Sposób 1 (z równań dynamiki):**\n> - 3 p. - prawidłowe wykonanie przekształceń algebraicznych i doprowadzenie do żądanej zależności (krok 3.).\n> - 2 p. - prawidłowe wykonanie kroku 1. oraz wykorzystanie związków 3)-5) niezbędnych do wyprowadzenia (krok 2.).\n> - 1 p. - zapisanie równań drugiej zasady dynamiki dla ruchu obrotowego walca z układem prętów oraz dla ruchu postępowego ciężarka (krok 1.): \\(ma = F_g - F_B\\) oraz \\(I\\epsilon = rF_A\\).\n> - Związki: \\(F_A = F_B = F\\) (III zasada), \\(a = \\epsilon r\\) (brak poślizgu), \\(F_g = mg\\).\n>\n> **Sposób 2 (z zasady zachowania energii):**\n> - 3 p. - prawidłowe przekształcenia i doprowadzenie do żądanej zależności.\n> - 2 p. - krok 1. oraz wykorzystanie związków 1)-2): \\(v = \\omega r\\) oraz \\(v^2 = 2ah\\).\n> - 1 p. - zapisanie zasady zachowania energii: \\(mgh = \\frac{1}{2}mv^2 + \\frac{1}{2}I\\omega^2\\) (dopuszcza się pominięcie MgH - energii potencjalnej walca z prętami).\n>\n> - 0 p. - brak spełnienia powyższych kryteriów.\n> - Wynik końcowy obu metod: \\(I = mr^2\\left(\\frac{g}{a} - 1\\right)\\).\n\n## Wzory z karty CKE - czego MASZ użyć\n\n> 📖 **Karta wzorów CKE - sekcja FIZYKA (str. 16-20):**\n>\n> - **II zasada Newtona dla ruchu obrotowego:** \\(\\tau = I\\alpha\\) - wprost używana w Sposobie 1\n> - **Moment siły:** \\(\\tau = Fr\\) - siła \\(T\\) na ramieniu \\(r\\)\n> - **Energia kinetyczna obrotowa:** \\(E_k = \\frac{1}{2}I\\omega^2\\) - używana w Sposobie 2\n> - **Kinematyka:** \\(v^2 = 2as\\) - dla ruchu jednostajnie przyspieszonego ze spoczynku\n>\n> Więź kinematyczna \\(a = \\alpha r\\) i \\(v = \\omega r\\) to definicja toczenia bez poślizgu - nie ma jej wprost na karcie, ale **musisz ją znać** jako fundamentalny warunek tego układu.\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Najczęstszy błąd - **pominięcie napięcia nitki T**. Uczniowie piszą \\(mg = ma\\), co jest błędem - ciężar NIE jest jedyną siłą. Nić naciąga walec, więc \\(T \\neq 0\\) (gdyby \\(T = 0\\), walec by się nie obracał!).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** **Mylenie \\(\\alpha\\) z \\(a\\)** - to różne wielkości! \\(a\\) [m/s²] to przyspieszenie liniowe ciężarka, \\(\\alpha\\) [rad/s²] to przyspieszenie kątowe walca. Łączy je więź: \\(a = \\alpha r\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** W metodzie energetycznej - **nie wolno pominąć \\(\\frac{1}{2}mv^2\\)**! Energia nie idzie tylko na obrót walca; ciężarek też ma energię kinetyczną postępową. Pominięcie prowadzi do błędnego wzoru \\(I = \\frac{mgr^2}{a}\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** **Warunek \\(g > a\\)** musi być spełniony fizycznie - gdyby \\(a = g\\), to \\(I = 0\\) (brak oporów obrotowych), a gdyby \\(a > g\\), wynik byłby ujemny (niemożliwe). To dobry sposób na weryfikację sensu wyprowadzonego wzoru.","image":"img/fizyka-2019-maj-matura-rozszerzona/zad-3.3.webp","solution_image":null,"topics":"Bryła Sztywna","page_from":7,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Fizyka · Matura · maj 2019 (rozszerzona)","subject_label":"Fizyka","category_label":"Matura"},{"id":"fizyka-2019-maj-matura-rozszerzona/zad/3.4","paper_id":"fizyka-2019-maj-matura-rozszerzona","number":"3.4","points":2,"ptype":"closed","subject":"fizyka","category":"matura","year":2019,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 3.4. (0-2)\nPodkreśl właściwe określenia wybrane spośród podanych w nawiasach, tak aby\ndokończenia zdań 1. i 2. były prawdziwe.\nGdy w kolejnym doświadczeniu obciążniki zamocowano bliżej osi obrotu walca, to\n1. moment bezwładności układu czterech obciążników (wzrósł / zmalał / nie uległ zmianie).\n2. siła napięcia nitki (wzrosła / zmalała / nie uległa zmianie).\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n3.2.\n3.3.\n3.4.\nMaks. liczba pkt\n5\n3\n2\nUzyskana liczba pkt\nMFA_1R","answer":"E","answer_text":"Zadanie 3.4. (0-2)\nWymagania ogólne\nWymagania szczegółowe\nI. Znajomość i umiejętność\nwykorzystania pojęć i praw fizyki\ndo wyjaśniania procesów i zjawisk\nw przyrodzie.\nZdający:\n2.2) rozróżnia pojęcia: masa i moment\nbezwładności;\n2.7) analizuje ruch obrotowy bryły sztywnej\npod wpływem momentu sił;\n1.8) wyjaśnia ruch ciał na podstawie drugiej\nzasady dynamiki Newtona.\nSchemat punktowania\n2 p. - prawidłowe podkreślenia w dwóch zdaniach.\n1 p. - prawidłowe podkreślenie w jednym zdaniu.\n0 p. - brak spełnienia powyższych kryteriów.\nPoprawna odpowiedź\nGdy w kolejnym doświadczeniu obciążniki zamocowano bliżej osi obrotu walca, to\n1. moment bezwładności układu czterech obciążników (wzrósł / zmalał / nie uległ zmianie).\n2. siła napięcia nitki (wzrosła / zmalała / nie uległa zmianie).","solution":"## Poprawna odpowiedź\n\n**Zdanie 1:** moment bezwładności układu czterech obciążników **zmalał**\n**Zdanie 2:** siła napięcia nitki **zmalała**\n\n## Sposób 1 - Definicja momentu bezwładności i II zasada dynamiki ruchu obrotowego\n\n**Krok 1 - Moment bezwładności**\n\nMoment bezwładności punktu materialnego względem osi obrotu:\n\n\\[I = mr^2\\]\n\ngdzie \\(r\\) to odległość od osi obrotu. Gdy obciążniki przesuwamy **bliżej osi** → \\(r\\) maleje → \\(I\\) maleje.\n\nUkład złożony z walca \\(I_\\text{walca}\\) i obciążników \\(I_\\text{obciążników} = \\sum m_i r_i^2\\):\n\n\\[I_\\text{całkowite} = I_\\text{walca} + \\sum m_i r_i^2\\]\n\nZmniejszenie \\(r_i\\) zmniejsza \\(\\sum m_i r_i^2\\), więc \\(I_\\text{całkowite}\\) **maleje**.\n\n**Krok 2 - Siła napięcia nitki**\n\nMniejszy moment bezwładności \\(I\\) oznacza, że układ łatwiej rozkręcić - przyspieszenie liniowe \\(a\\) opadającego ciężarka **rośnie**. Z II zasady dynamiki dla ciężarka P:\n\n\\[mg - T = ma \\quad \\Rightarrow \\quad T = m(g - a)\\]\n\nSiła napięcia nitki \\(T\\) (równa \\(F_B\\) z zadania 3.1) maleje, gdy \\(a\\) rośnie:\n\n\\[a \\nearrow \\quad \\Rightarrow \\quad (g - a) \\searrow \\quad \\Rightarrow \\quad T = m(g - a) \\searrow\\]\n\nKorzystając ze wzoru z zadania 3.3: \\(I = mr^2\\left(\\frac{g}{a} - 1\\right)\\) - mniejsze \\(I\\) daje większe \\(a\\), a większe \\(a\\) daje mniejszą siłę napięcia nitki.\n\nSiła napięcia nitki **zmalała**.\n\n## Sposób 2 - Układ równań dynamiki (ścisła analiza napięcia nitki)\n\nDla ciężarka (ruch postępowy) i walca (ruch obrotowy) - jak w zadaniu 3.3:\n\n\\[mg - T = ma, \\qquad Tr = I\\frac{a}{r}\\]\n\nWyznaczając \\(a\\) i \\(T\\):\n\n\\[a = \\frac{mg}{m + \\frac{I}{r^2}}, \\qquad T = \\frac{mg}{1 + \\frac{mr^2}{I}}\\]\n\nGdy obciążniki przesuwamy bliżej osi → \\(I\\) **maleje** → mianownik \\(1 + \\frac{mr^2}{I}\\) **rośnie** → siła napięcia nitki \\(T\\) **maleje**.\n\n> Wniosek: mniejszy moment bezwładności = mniejszy opór bezwładnościowy walca = mniejsza siła potrzebna w nitce do jego rozkręcania → **siła napięcia nitki maleje**.\n\n## Sposób 3 - Weryfikacja przez przypadki graniczne\n\nWzór na napięcie nitki: \\(T = m(g - a)\\), gdzie \\(a = \\dfrac{mg}{m + I/r^2}\\).\n\n**Przypadek graniczny 1 - bardzo duży \\(I\\)** (obciążniki bardzo daleko od osi): walec praktycznie się nie obraca, \\(a \\to 0\\), więc \\(T \\to mg\\) (nitka napięta maksymalnie, jak przy nieruchomym ciężarze).\n\n**Przypadek graniczny 2 - bardzo mały \\(I\\)** (obciążniki bardzo blisko osi): walec stawia minimalny opór, \\(a \\to g\\), więc \\(T \\to 0\\) (ciężarek niemal swobodnie spada).\n\nPrzesunięcie obciążników **bliżej osi** odpowiada przejściu od dużego do mniejszego \\(I\\) → siła napięcia nitki **maleje**. Potwierdza to wynik z metod 1 i 2.\n\n## Schemat oceniania CKE\n\n> 📋 **Schemat punktowania CKE (zadanie 3.4, 0-2 pkt):**\n> - **2 pkt** - prawidłowe podkreślenia w dwóch zdaniach.\n> - **1 pkt** - prawidłowe podkreślenie w jednym zdaniu.\n> - **0 pkt** - brak spełnienia powyższych kryteriów.\n>\n> **Poprawna odpowiedź CKE:** Gdy obciążniki zamocowano bliżej osi obrotu walca, to:\n> 1. moment bezwładności układu czterech obciążników **zmalał**.\n> 2. siła napięcia nitki **zmalała**.\n\n## Wzory z karty CKE - czego MASZ użyć\n\n> 📖 **Karta wzorów CKE - sekcja FIZYKA (str. 16-17):**\n>\n> - **Moment bezwładności:** \\(I = \\sum m_i r_i^2\\) (dla układu punktów materialnych)\n> - **II zasada dynamiki ruchu obrotowego:** \\(\\tau = I \\alpha\\)\n> - **Moment pędu:** \\(L = I\\omega\\)\n> - **Energia kinetyczna ruchu obrotowego:** \\(E_k = \\frac{1}{2}I\\omega^2\\)\n>\n> Wszystkie cztery wzory są dostępne na karcie - w zadaniu kluczowy jest związek \\(I = \\sum m_i r_i^2\\) (zd.1) oraz \\(T = m(g-a)\\) wynikające z II zasady dynamiki dla ciężarka (zd.2).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Błędny wariant | Typowy błąd ucznia |\n| zd.1: „moment bezwładności **wzrósł**\" | Uczeń myli: „bliżej = więcej\" (skojarzone z odległością w potocznym sensie), zapominając że \\(I \\propto r^2\\) - im mniejsze \\(r\\), tym mniejsze \\(I\\) |\n| zd.1: „moment bezwładności **nie uległ zmianie**\" | Uczeń myśli, że masy się nie zmieniły, więc \\(I\\) też nie - ignoruje rolę \\(r^2\\) |\n| zd.2: „siła napięcia nitki **wzrosła**\" | Uczeń błędnie sądzi, że szybszy ruch = większe naprężenie nitki; w rzeczywistości większe \\(a\\) oznacza \\(T = m(g-a)\\) mniejsze |\n| zd.2: „siła napięcia nitki **nie uległa zmianie**\" | Uczeń zakłada, że nitka „trzyma stały ciężar\" \\(mg\\) - pomija, że ciężarek przyspiesza, więc \\(T < mg\\) i zależy od \\(a\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\(I = mr^2\\) - zależy od **kwadratu** odległości! Przesunięcie obciążnika o połowę bliżej oси zmniejsza jego wkład do \\(I\\) **czterokrotnie** (nie dwukrotnie).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Promień **walca** (gdzie nawija się nitka) się nie zmienia - zmienia się tylko promień mocowania obciążników na prętach. Nie mylić tych dwóch promieni.\n\n> ⚠️ **Uwaga (zd.2):** Siła napięcia nitki to NIE ciężar \\(mg\\)! Ciężarek przyspiesza w dół, więc \\(T = m(g-a) < mg\\). Gdy \\(I\\) maleje, \\(a\\) rośnie, a \\(T\\) **maleje**. Najczęstszy błąd to odpowiedź „nie zmieniła się\", bo uczeń utożsamia napięcie z ciężarem.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Łańcuch przyczynowy w tym zadaniu: obciążniki bliżej osi → \\(I\\) maleje → \\(a\\) rośnie → \\(T = m(g-a)\\) maleje. Oba człony łańcucha (zd.1 i zd.2) prowadzą do odpowiedzi „zmalał/zmalała\".","image":"img/fizyka-2019-maj-matura-rozszerzona/zad-3.4.webp","solution_image":null,"topics":"Bryła Sztywna","page_from":7,"source":"ocr","answer_source":"maturazai","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Fizyka · Matura · maj 2019 (rozszerzona)","subject_label":"Fizyka","category_label":"Matura"},{"id":"fizyka-2019-maj-matura-rozszerzona/zad/4","paper_id":"fizyka-2019-maj-matura-rozszerzona","number":"4","points":4,"ptype":"open","subject":"fizyka","category":"matura","year":2019,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 4. (0-4)\nPręt zawieszono poziomo na trzech identycznych, bardzo lekkich sprężynach, których górne\nkońce przymocowano do sufitu (zobacz rys. 1.). Następnie ten pręt wychylono w kierunku\npionowym z położenia równowagi sił, po czym puszczono. Skutkiem tego pręt wraz z układem\nsprężyn został wprawiony w drgania o kierunku pionowym tak, że położenie chwilowe pręta\nzawsze było poziome (zobacz rys. 2.-4.). Częstotliwość drgań opisanego układu była równa f1.\nNastępnie z układu usunięto środkową sprężynę (zobacz rys. 5.),\na całość ponownie wprawiono w ruch drgający, podobny do opisanego\npowyżej. Częstotliwość drgań układu po usunięciu środkowej sprężyny\nbyła równa f2.\nOblicz stosunek częstotliwości\nf1\nf2. Uzyskany wynik liczbowy zapisz\nz dokładnością do czterech cyfr znaczących. Pomiń opory ruchu.\nRysunek 1.\nRysunek 2.\nRysunek 3.\nRysunek 4.\nRysunek 5.\nMFA_1R","answer":null,"answer_text":"Zadanie 4. (0-4)\nWymagania ogólne\nWymagania szczegółowe\nIV. Budowa prostych modeli fizycznych\ni matematycznych do opisu zjawisk.\nZdający:\n6.1) analizuje ruch pod wpływem sił sprężystych\n(harmonicznych) […];\n6.3) oblicza okres drgań ciężarka na sprężynie […];\n8.11) (G) zapisuje wynik pomiaru lub obliczenia\nfizycznego jako przybliżony.\nSchemat punktowania\n4 p. - prawidłowa metoda obliczenia ilorazu częstotliwości oraz prawidłowy wynik liczbowy\nzapisany bez jednostki i podany z dokładnością do czterech cyfr znaczących.\n3 p. - prawidłowa metoda i otrzymanie wyniku liczbowego w postaci ݂ଵ/݂ଶ= ඥ3/2 lub\npodanie wyniku z dokładnością inną niż zapisana w poleceniu (np.: ݂ଵ/݂ଶ≈1,2247 lub\nଵ/݂ଶ≈1,22) albo wyniku źle zaokrąglonego (np. ݂ଵ/݂ଶ≈1,224).\n2 p. - wykonanie kroku 1.a. oraz wykonanie kroku 1.b. dla obu układów sprężyn - wystarczy\nzapis: 2ߨ݂ଵ= ටଷ௞\n௠ oraz 2ߨ݂ଶ= ටଶ௞\n௠.\n1 p. - prawidłowe wyznaczenie zastępczego współczynnika sprężystości dla układu trzech,\na następnie dwóch sprężyn - wystarczy zapis: k1 = 3k i k2 = 2k (krok 1.a.)\nlub\n- prawidłowe wyznaczenie siły wypadkowej działającej na pręt zawieszony na trzech,\na następnie na dwóch sprężynach - wystarczy zapis: FሬԦ1 = -3kyԦ i FሬԦ2 = -2kyԦ (krok 1.a.)\nlub\n- skorzystanie ze wzoru na częstotliwość lub częstość kołową drgań układu sprężyn wraz\nz uwzględnieniem rozróżnienia zastępczych współczynników sprężystości obu układów\nsprężyn - wystarczy zapis: 2ߨ݂ଵ= ට௞భ\n௠ albo\nଵ= ට௞భ\n௠ albo\n௙భ\n௙మ= ට\n௞భ\n௞మ (krok 1.b.)\nlub\n- skorzystanie ze wzoru na okres drgań układu sprężyn łącznie ze związkiem okresu\nz częstotliwością wraz z uwzględnieniem rozróżnienia zastępczych współczynników\nsprężystości dla obu układów sprężyn - np. zapis ܶଵ= 2ߨට\n௠\n௞భ oraz ݂ଵ=\nଵ்\nభ (krok 1.b.)\n0 p. - brak spełnienia powyższych kryteriów.\nUwaga! Uwzględnienie rozróżnienia współczynników sprężystości obu układów sprężyn należy\nuznać wtedy, gdy zastosowano oznaczenie indeksem, np.: 2ߨ݂ଵ= ට௞భ\n௠ albo wtedy, gdy zapisano\nwzór ogólny, np.: 2ߨ݂\n= ට௞\n௠, a następnie wyznaczano k lub rozpisywano ten wzór dla każdego\nz układów sprężyn.\nPrzykładowe rozwiązanie\nSposób 1.\nKrok 1.a. Wyznaczamy zastępczy współczynnik sprężystości dla układu trzech, a następnie\ndwóch sprężyn. Wszystkie sprężyny wychylają się z położenia równowagi sił o tę samą wartość\ny, zatem wypadkowa siła działająca na pręt ma postać:\nܨԦଵ= -(݇ݕԦ +݇\nݕԦ +݇\nݕԦ) = -3݇ݕԦ\nWidzimy, że siła wypadkowa ma charakter siły harmonicznej:\nܨԦଵ= -݇ଵݕԦ dla ݇ଵ= 3݇\nPodobnie określamy „zastępczy” współczynnik sprężystości dla układu z usuniętą środkową\nsprężyną:\nܨԦଶ= -(݇ݕԦ +݇\nݕԦ) = -2݇ݕԦ = -݇ଶݕԦ → ݇ଶ= 2݇\nKrok 1.b. Skorzystamy ze wzoru na częstotliwość lub częstość kołową drgań i zastosujemy go\ndla obu układów sprężyn:\n2ߨ݂ଵ= ඨ݇ଵ݉ oraz 2ߨ݂ଶ= ඨ݇ଶ݉\nKrok 2. Obliczymy iloraz częstotliwości drgań:\nଵ\nଶ\n= ඨ݇ଵ݉ ∙ ඨ݉݇\nଶ\n= ඨ݇ଵ\nଶ\n→ ݂ଵ\nଶ\n= ඨ3݇\n2݇\n= ඨ3\n2\nKrok 3. Zapiszemy wynik z dokładnością do czterech cyfr znaczących:\nଵ\nଶ\n= ඨ3\n2 ≈1,2247 … ≈1,225\nSposób 2.\nKrok 1.a. Skorzystamy ze wzoru na całkowitą energię mechaniczną oscylatora. Energia ta jest\nrówna energii potencjalnej sprężystości oscylatora przy maksymalnym wychyleniu. Niech A1\noznacza amplitudę drgań układu trzech sprężyn, k - współczynnik sprężystości jednej sprężyny,\nk1 - współczynnik sprężystości układu trzech sprężyn. Analogiczne oznaczenia: A2 i k2\nzastosujemy dla układu drgań dwóch sprężyn. Całkowita energia mechaniczna E1 drgań układu\ntrzech sprężyn jest równa sumie całkowitych energii mechanicznych drgań każdej ze sprężyn:\nܧଵ= 1\n2݇ܣଵ\nଶ+ 1\n2݇ܣଵ\nଶ+ 1\n2݇ܣଵ\nଶ= 1\n2 ∙3݇ܣଵ\nଶ a ponadto ܧଵ= 1\n2\nଵܣଵ\nଶ\nW związku z powyższym mamy:\nଵ= 3݇\nAnalogiczne obliczenia wykonujemy dla układu dwóch sprężyn:\nܧଶ= 1\n2݇ܣଶ\nଶ+ 1\n2݇ܣଶ\nଶ= 1\n2 ∙2݇ܣଶ\nଶ a ponadto ܧଶ= 1\n2\nଶܣଶ\nଶ\nzatem\nଶ= 2݇\nDalsze obliczenia wykonujemy jak w pierwszym sposobie rozwiązania.\nUwaga! W tej metodzie dopuszcza się założenie, że: A1 = A2. W takim przypadku należy uznać\nwynikający z tego zapis: E1/ E2 = k1/k2 = 3/2 jako równoważny zapisom w kroku 1.a.","solution":"## Poprawna odpowiedź\n\n$$\\frac{f_1}{f_2} = \\sqrt{\\frac{3}{2}} = \\frac{\\sqrt{6}}{2} \\approx \\mathbf{1{,}225}$$\n\n## Sposób 1 - Stała efektywna układu sprężyn równoległych\n\n**Kluczowa obserwacja geometryczna:**\nPręt podczas drgań zawsze pozostaje **poziomy**. Oznacza to, że każde przemieszczenie pręta w dół o \\(x\\) powoduje jednakowe wydłużenie **wszystkich** sprężyn o tę samą wartość \\(x\\).\n\n**Definicja połączenia równoległego:** sprężyny są połączone równolegle, gdy pod obciążeniem ulegają **takiemu samemu odkształceniu**. To jest dokładnie nasz przypadek.\n\nDla sprężyn równoległych stałe dodają się:\n\n$$k_\\text{eff} = k_1 + k_2 + \\ldots$$\n\n**Układ 1 - trzy sprężyny:**\n\n$$k_{\\text{eff},1} = k + k + k = 3k$$\n\nRównanie ruchu: \\(m\\ddot{x} = -k_{\\text{eff},1}\\, x\\), więc częstotliwość:\n\n$$f_1 = \\frac{1}{2\\pi}\\sqrt{\\frac{3k}{m}}$$\n\n**Układ 2 - dwie sprężyny (środkowa usunięta):**\n\n$$k_{\\text{eff},2} = k + k = 2k$$\n\n$$f_2 = \\frac{1}{2\\pi}\\sqrt{\\frac{2k}{m}}$$\n\n**Stosunek:**\n\n$$\\frac{f_1}{f_2} = \\frac{\\dfrac{1}{2\\pi}\\sqrt{\\dfrac{3k}{m}}}{\\dfrac{1}{2\\pi}\\sqrt{\\dfrac{2k}{m}}} = \\sqrt{\\frac{3k}{m} \\cdot \\frac{m}{2k}} = \\sqrt{\\frac{3}{2}}$$\n\n$$\\boxed{\\frac{f_1}{f_2} = \\sqrt{\\frac{3}{2}} = \\frac{\\sqrt{6}}{2} \\approx 1{,}225}$$\n\n> Dokładnie: \\(\\sqrt{1{,}5} = 1{,}224744871\\ldots \\approx 1{,}225\\) (cztery cyfry znaczące).\n\n## Sposób 2 - Przez siłę wypadkową (Newtonowski)\n\nPręt o masie \\(m\\) zostaje wypchnięty w dół o \\(x\\) z położenia równowagi. Siły sprężyn działają w górę.\n\n**Układ 1:**\n$$F_\\text{spr} = k\\cdot x + k\\cdot x + k\\cdot x = 3kx$$\n\nRównanie ruchu:\n$$m\\ddot{x} = -3kx \\implies \\ddot{x} + \\frac{3k}{m}x = 0$$\n\nTo równanie harmonicznego oscylatora z \\(\\omega_1^2 = \\frac{3k}{m}\\), skąd:\n$$f_1 = \\frac{\\omega_1}{2\\pi} = \\frac{1}{2\\pi}\\sqrt{\\frac{3k}{m}}$$\n\n**Układ 2:**\n$$F_\\text{spr} = kx + kx = 2kx \\implies \\omega_2^2 = \\frac{2k}{m}$$\n\n$$f_2 = \\frac{1}{2\\pi}\\sqrt{\\frac{2k}{m}}$$\n\n**Stosunek:**\n$$\\frac{f_1}{f_2} = \\frac{\\omega_1}{\\omega_2} = \\sqrt{\\frac{3k/m}{2k/m}} = \\sqrt{\\frac{3}{2}} \\approx 1{,}225$$\n\n## Sposób 3 - Przez energię potencjalną (metoda Lagrange'a / energetyczna)\n\nEnergia potencjalna układu sprężyn przy wychyleniu pręta o \\(x\\):\n\n**Układ 1:**\n$$E_{p,1} = \\frac{1}{2}kx^2 + \\frac{1}{2}kx^2 + \\frac{1}{2}kx^2 = \\frac{1}{2}(3k)x^2$$\n\n**Układ 2:**\n$$E_{p,2} = \\frac{1}{2}kx^2 + \\frac{1}{2}kx^2 = \\frac{1}{2}(2k)x^2$$\n\nEnergia kinetyczna \\(E_k = \\frac{1}{2}m\\dot{x}^2\\) - taka sama w obu układach.\n\nOscylator harmoniczny: \\(\\omega = \\sqrt{k_\\text{eff}/m}\\). Wynikająca stała \\(k_\\text{eff}\\) odczytana z postaci \\(\\frac{1}{2}k_\\text{eff}x^2\\):\n\n$$\\omega_1 = \\sqrt{\\frac{3k}{m}}, \\quad \\omega_2 = \\sqrt{\\frac{2k}{m}}$$\n\n$$\\frac{f_1}{f_2} = \\frac{\\omega_1}{\\omega_2} = \\sqrt{\\frac{3}{2}} \\approx 1{,}225$$\n\nWszystkie trzy metody dają **ten sam wynik** - wzajemna weryfikacja.\n\n## Schemat oceniania CKE\n\n> 📋 **Schemat punktowania CKE (zadanie 4, 0-4 pkt):**\n> - **4 pkt** - prawidłowa metoda obliczenia ilorazu częstotliwości oraz prawidłowy wynik liczbowy zapisany bez jednostki i podany z dokładnością do czterech cyfr znaczących.\n> - **3 pkt** - prawidłowa metoda i otrzymanie wyniku w postaci \\(f_1/f_2 = \\sqrt{3/2}\\) **LUB** podanie wyniku z inną dokładnością niż zapisana w poleceniu (np. \\(f_1/f_2 \\approx 1{,}2247\\) lub \\(\\approx 1{,}22\\)) albo wyniku źle zaokrąglonego (np. \\(\\approx 1{,}224\\)).\n> - **2 pkt** - wykonanie kroku 1.a. oraz 1.b. dla obu układów sprężyn - wystarczy zapis: \\(2\\pi f_1 = \\sqrt{3k/m}\\) oraz \\(2\\pi f_2 = \\sqrt{2k/m}\\).\n> - **1 pkt** - prawidłowe wyznaczenie zastępczego współczynnika sprężystości: \\(k_1 = 3k\\) i \\(k_2 = 2k\\) (krok 1.a.) **LUB** wyznaczenie siły wypadkowej \\(\\vec{F}_1 = -3k\\vec{y}\\), \\(\\vec{F}_2 = -2k\\vec{y}\\) (krok 1.a.) **LUB** skorzystanie ze wzoru na częstotliwość/częstość kołową z rozróżnieniem współczynników obu układów (krok 1.b.).\n> - **0 pkt** - brak spełnienia powyższych kryteriów.\n>\n> **Wynik CKE:** \\(\\dfrac{f_1}{f_2} = \\sqrt{\\dfrac{3}{2}} \\approx 1{,}2247 \\approx 1{,}225\\).\n\n## Wzory z karty CKE - czego MASZ użyć\n\n> 📖 **Karta wzorów CKE - sekcja FIZYKA (drgania mechaniczne):**\n>\n> - **Częstotliwość drgań harmonicznych:**\n> \\[f = \\frac{1}{2\\pi}\\sqrt{\\frac{k}{m}}\\]\n> gdzie \\(k\\) - stała sprężystości (efektywna układu), \\(m\\) - masa na sprężynie.\n>\n> - **Połączenie równoległe sprężyn** (z sekcji mechaniki):\n> \\[k_\\text{eff} = k_1 + k_2 + \\ldots + k_n\\]\n>\n> Użyliśmy obu wzorów w każdym ze Sposobów. Stosunek \\(f_1/f_2\\) eliminuje stałe \\(m\\) i \\(k\\) - w wyniku zostaje jedynie \\(\\sqrt{3/2}\\).\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Pułapka 1 - pomylenie szeregowego z równoległym:** Gdy sprężyny są *obok siebie* i odkształcają się tak samo → **równoległe** (\\(k_\\text{eff} = \\sum k_i\\)). Dla szeregowego (\\(k_\\text{eff}^{-1} = \\sum k_i^{-1}\\)) pręt musiałby przechylać się, co wykluczone treścią zadania.\n\n> ⚠️ **Pułapka 2 - zapomniano o pierwiastku:** \\(\\dfrac{f_1}{f_2} = \\dfrac{\\sqrt{3k}}{\\sqrt{2k}} = \\sqrt{\\dfrac{3}{2}}\\), NIE \\(\\dfrac{3k}{2k} = \\dfrac{3}{2} = 1{,}5\\). To najczęstszy błąd skutkujący utratą ostatniego punktu.\n\n> ⚠️ **Pułapka 3 - cztery cyfry znaczące:** \\(\\sqrt{1{,}5} = 1{,}2247\\mathbf{4}4\\ldots\\) Po zaokrągleniu do 4 cyfr: \\(1{,}225\\) (bo piąta cyfra to 7 ≥ 5, zaokrąglamy 4 → 5). Odpowiedź \\(1{,}224\\) jest błędna.\n\n> ⚠️ **Pułapka 4 - odwrócony stosunek:** Zadanie pyta o \\(f_1/f_2\\), a nie \\(f_2/f_1\\). Układ z **trzema** sprężynami jest sztywniejszy → drgania **szybsze** → \\(f_1 > f_2\\), więc \\(f_1/f_2 > 1\\). Wynik 1,225 > 1 ✓ - intuicja i rachunki się zgadzają.","image":"img/fizyka-2019-maj-matura-rozszerzona/zad-4.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":8,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Fizyka · Matura · maj 2019 (rozszerzona)","subject_label":"Fizyka","category_label":"Matura"},{"id":"fizyka-2019-maj-matura-rozszerzona/zad/5","paper_id":"fizyka-2019-maj-matura-rozszerzona","number":"5","points":3,"ptype":"open","subject":"fizyka","category":"matura","year":2019,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 5. (0-3)\nTrzy planety poruszają się w centralnym polu grawitacyjnym gwiazdy G po orbitach O1, O2\ni O3. Wszystkie planety obiegają gwiazdę w jedną stronę, a ich orbity leżą w jednej\npłaszczyźnie. Orbita O1 jest eliptyczna (rys. 1.), natomiast orbity O2 i O3 są kołowe (rys. 2.\noraz 3.). Punkt A jest punktem stycznym orbit O1 i O2, a punkt B jest punktem stycznym orbit\nO1 i O3. Zakładamy, że planety nie zderzają się w tych punktach, a ponadto pomijamy\noddziaływanie pomiędzy planetami.\nNa rys. 1. narysowano i oznaczono wektor prędkości planety\nna orbicie O1 w punkcie A. Wektor prędkości tej samej planety\nna orbicie O1 w punkcie B oznaczymy vሬԦ1B, natomiast wektor\nprędkości planety na orbicie O2 w punkcie A oznaczymy vሬԦ2A,\na wektor prędkości planety na orbicie O3 w punkcie B\noznaczymy vሬԦ3B.\nW wykropkowane miejsca poniżej wpisz właściwe relacje:\nwiększy, równy, mniejszy (>, =, <), między wartościami\nprędkości planet w danych punktach na poszczególnych\norbitach.\na) v1A v1B\n(analizuj rys. 1.)\nb) v2A v3B\n(analizuj rys. 2. i rys. 3.)\nc) v1B v3B\n(analizuj rys. 1. i rys. 3.)\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n4.\n5.\nMaks. liczba pkt\n4\n3\nUzyskana liczba pkt\nO1\nB\nG\nA\nvሬԦ1A\nRysunek 1.\nO2\nG\nA\nRysunek 2.\nRysunek 3.\nO3\nB\nG\nMFA_1R","answer":null,"answer_text":"Zadanie 5. (0-3)\nWymagania ogólne\nWymagania szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i przetwarzanie\ninformacji zapisanych w postaci tekstu,\ntabel, wykresów, schematów\ni rysunków.\nI. Znajomość i umiejętność\nwykorzystania pojęć i praw fizyki\ndo wyjaśniania procesów i zjawisk\nw przyrodzie.\nZdający:\n1.2) (P) opisuje zależności między siłą\ndośrodkową a masą, prędkością liniową\ni promieniem […];\n1.6) (P) wskazuje siłę grawitacji jako siłę\ndośrodkową;\n1.14) oblicza parametry ruchu jednostajnego po\nokręgu, opisuje wektory prędkości\ni przyspieszenia dośrodkowego;\n4.6) Wyjaśnia pojęcie pierwszej i drugiej\nprędkości kosmicznej, oblicza ich wartości\n[…];\n2.8) stosuje zasadę zachowania momentu pędu\ndo analizy ruchu;\n3.3) wykorzystuje zasadę zachowania energii\nmechanicznej do obliczania parametrów ruchu.\nSchemat punktowania\n3 p. - trzy poprawne odpowiedzi.\n2 p. - dwie poprawne odpowiedzi.\n1 p. - jedna poprawna odpowiedź.\n0 p. - brak spełnienia powyższych kryteriów.\nPoprawne odpowiedzi\na) v1A > v1B\nb) v2A > v3B\nc) v1B < v3B","solution":"## Poprawna odpowiedź\n\n$$\\text{a)}\\ v_{1A} \\mathbf{>} v_{1B}, \\qquad \\text{b)}\\ v_{2A} \\mathbf{>} v_{3B}, \\qquad \\text{c)}\\ v_{1B} \\mathbf{<} v_{3B}$$\n\n## Sposób 1 - Prawa Keplera i zasada zachowania momentu pędu\n\n### Geometria układu\n\nZ rysunku: punkty styczne A i B leżą na końcach głównej osi elipsy O₁:\n\n| Punkt | Typ apsydy | Odległość od G | Prędkość orbitalna |\n| A | **peryhelium** (periapsis) - najbliżej G | \\(r_A = a(1-e)\\) | największa na O₁ |\n| B | **aphelium** (apoapsis) - najdalej od G | \\(r_B = a(1+e)\\) | najmniejsza na O₁ |\n\ngdzie \\(a\\) - półoś wielka O₁, \\(e\\) - mimośród. Stąd \\(r_A < r_B\\).\n\n### Relacja 1: \\(v_{1A}\\) vs \\(v_{1B}\\)\n\nW apsydach (peryhelium i aphelium) prędkość jest **prostopadle** do promienia wektora. Zasada zachowania momentu pędu:\n\n\\[\nL = m \\cdot v \\cdot r = \\text{const} \\implies v_{1A} \\cdot r_A = v_{1B} \\cdot r_B\n\\]\n\n\\[\n\\frac{v_{1A}}{v_{1B}} = \\frac{r_B}{r_A} = \\frac{a(1+e)}{a(1-e)} > 1 \\quad (\\text{bo } e > 0)\n\\]\n\n$$\\boxed{v_{1A} > v_{1B}}$$\n\n**Fizycznie:** planeta \"wlatuje\" w peryhelium z największą prędkością (grawitacja przyspiesza ją na zbliżeniu), w aphelium \"zwalnia\".\n\n### Relacja 2 (część b): \\(v_{2A}\\) vs \\(v_{3B}\\)\n\nPorównujemy prędkości na **dwóch orbitach kołowych**: O₂ o promieniu \\(r_A\\) (punkt A) i O₃ o promieniu \\(r_B\\) (punkt B). Pamiętamy: \\(r_A < r_B\\) (A to peryhelium, B to aphelium elipsy O₁).\n\nPrędkość na orbicie kołowej:\n\\[\nv_\\text{koł} = \\sqrt{\\frac{GM}{r}}\n\\]\n\nZatem:\n\\[\nv_{2A} = \\sqrt{\\frac{GM}{r_A}}, \\qquad v_{3B} = \\sqrt{\\frac{GM}{r_B}}\n\\]\n\nPonieważ \\(r_A < r_B\\), to \\(\\dfrac{GM}{r_A} > \\dfrac{GM}{r_B}\\), więc:\n\n$$\\boxed{v_{2A} > v_{3B}}$$\n\n**Fizycznie:** planeta na orbicie kołowej bliżej gwiazdy (mniejszy promień) porusza się szybciej niż planeta na orbicie kołowej dalej od gwiazdy.\n\n### Relacja 3: \\(v_{1B}\\) vs \\(v_{3B}\\)\n\nAnalogicznie - w punkcie B obie planety są w odległości \\(r_B\\) od G.\n\nPrędkość kołowa O₃:\n\\[\nv_{3B} = \\sqrt{\\frac{GM}{r_B}}\n\\]\n\nPrędkość na O₁ w aphelium (vis-viva):\n\\[\nv_{1B}^2 = GM\\left(\\frac{2}{r_B} - \\frac{1}{a}\\right)\n\\]\n\nPonieważ \\(r_B > a\\), mamy \\(\\dfrac{1}{a} > \\dfrac{1}{r_B}\\), zatem:\n\\[\n\\frac{2}{r_B} - \\frac{1}{a} < \\frac{2}{r_B} - \\frac{1}{r_B} = \\frac{1}{r_B}\n\\]\n\n\\[\nv_{1B}^2 < \\frac{GM}{r_B} = v_{3B}^2\n\\]\n\n$$\\boxed{v_{1B} < v_{3B}}$$\n\n**Fizycznie:** planeta na elipsie w aphelium ma za małą prędkość, by utrzymać okrągłą orbitę - grawitacja \"przyciąga ją z powrotem\" do wewnątrz.\n\n## Sposób 2 - Intuicja: orbita kołowa jako „stan równowagi\"\n\nOrbita kołowa to **jedyna stabilna orbita przy danej odległości od gwiazdy**. Każde odchylenie od prędkości kołowej powoduje elipsę:\n\n\\[\nv > v_{\\text{kołowa}}(r) \\implies \\text{planeta \"odlatuje\" dalej} \\implies \\text{to jest peryhelium elipsy}\n\\]\n\\[\nv < v_{\\text{kołowa}}(r) \\implies \\text{planeta \"spada bliżej\"} \\implies \\text{to jest aphelium elipsy}\n\\]\n\nZastosowanie:\n- W punkcie B (aphelium O₁): planeta ma **za małą** prędkość jak na okrąg → \\(v_{1B} < v_{3B}\\) ✓ (część c)\n- Między A i B: planeta zwalnia z peryhelium do aphelium → \\(v_{1A} > v_{1B}\\) ✓ (część a)\n- Orbity kołowe: bliżej gwiazdy = szybciej → \\(v_{2A} > v_{3B}\\) bo \\(r_A < r_B\\) ✓ (część b)\n\n## Sposób 3 - Weryfikacja przez III prawo Keplera (podejście porównawcze)\n\nDla orbit kołowych O₂ (promień \\(r_A\\)) i O₃ (promień \\(r_B\\)), z \\(r_B > r_A\\):\n\n\\[\n\\frac{T_3}{T_2} = \\left(\\frac{r_B}{r_A}\\right)^{3/2} > 1 \\implies T_3 > T_2\n\\]\n\nPrędkości kołowe:\n\\[\nv_{\\text{kołowa}} = \\frac{2\\pi r}{T} = \\sqrt{\\frac{GM}{r}} \\quad \\implies \\quad v_{2A} > v_{3B}\n\\]\n\n(planeta bliżej gwiazdy krąży szybciej). To potwierdza hierarchię: peryhelium jest bliżej G, więc prędkości kołowe są wyższe przy mniejszym \\(r\\).\n\n## Schemat oceniania CKE\n\n> 📋 **Schemat punktowania CKE (zadanie 5, 0-3 pkt):**\n> - **3 pkt** - trzy poprawne odpowiedzi.\n> - **2 pkt** - dwie poprawne odpowiedzi.\n> - **1 pkt** - jedna poprawna odpowiedź.\n> - **0 pkt** - brak spełnienia powyższych kryteriów.\n>\n> **Poprawne odpowiedzi CKE:**\n> - a) \\(v_{1A} > v_{1B}\\)\n> - b) \\(v_{2A} > v_{3B}\\)\n> - c) \\(v_{1B} < v_{3B}\\)\n\n## Wzory z karty CKE - czego MASZ użyć\n\n> 📖 **Karta wzorów CKE - sekcja FIZYKA (str. 16-20):**\n>\n> **Całka żywa (vis-viva):**\n> \\[v^2 = GM\\left(\\frac{2}{r} - \\frac{1}{a}\\right)\\]\n> Dla orbity kołowej (\\(a = r\\)): \\(v_{\\text{kołowa}} = \\sqrt{GM/r}\\)\n>\n> **III prawo Keplera:** \\(\\dfrac{T^2}{a^3} = \\text{const}\\)\n>\n> **Zachowanie momentu pędu:** \\(L = mvr = \\text{const}\\) (przy prostopadłości \\(\\vec{v} \\perp \\vec{r}\\) w apsydach)\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Orbita kołowa NIE znaczy \"wolniejsza\" lub \"szybsza\" - prędkość kołowa **zależy od promienia**. Mniejszy promień → szybsza orbita kołowa.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Styczność orbit w punktach A i B oznacza tę samą odległość od G **i** ten sam kierunek prędkości - ale NIE tę samą wartość prędkości! Właśnie różnica wartości prędkości decyduje, po której orbicie leci planeta.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Częsty błąd: \"w aphelium planeta jest dalej, więc O₃ jest szybsza\" - to odwrotnie niż prawda. Dalej od G → **wolniejsza** orbita kołowa. Planeta na elipsie w aphelium jest jeszcze wolniejsza od tej i tak wolnej orbity kołowej.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Zachowanie momentu pędu (\\(v_{1A} r_A = v_{1B} r_B\\)) działa TYLKO w apsydach (gdzie \\(\\vec{v} \\perp \\vec{r}\\)). W dowolnym innym punkcie elipsy trzeba użyć pełnego wyrażenia \\(L = mvr\\sin\\theta\\).","image":"img/fizyka-2019-maj-matura-rozszerzona/zad-5.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":9,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Fizyka · Matura · maj 2019 (rozszerzona)","subject_label":"Fizyka","category_label":"Matura"},{"id":"fizyka-2019-maj-matura-rozszerzona/zad/6","paper_id":"fizyka-2019-maj-matura-rozszerzona","number":"6","points":null,"ptype":"open","subject":"fizyka","category":"matura","year":2019,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 6.\nUczniowie zamierzali wyznaczyć gęstość ρ pewnej cieczy. Mieli do dyspozycji piasek, szklane\nnaczynie ze skalą objętości, mniejszy pojemnik (zobacz rys. 1.) oraz wagę. Masę mniejszego\npustego pojemnika oznaczymy jako mp. Do szklanego naczynia uczniowie wlali badaną ciecz\no objętości V0, a do pojemnika wsypali porcję piasku. Następnie pojemnik umieścili w naczyniu\nz cieczą tak, aby pływał (zobacz rys. 2.). W kolejnych etapach doświadczenia uczniowie\ndosypywali do pojemnika piasek, a pojemnik wciąż pływał. Całkowita masa piasku mx\nw pojemniku była znana, ponieważ uczniowie za każdym razem ważyli porcję dosypywanego\npiasku. Po dosypaniu piasku uczniowie odczytywali na skali objętość V, jaką zajmuje ciecz\nrazem z zanurzoną częścią pojemnika z piaskiem. Objętość Vz zanurzonej części mniejszego\npojemnika uczniowie wyznaczali po odjęciu objętości cieczy V0 od objętości V.\nWyniki pomiarów przeprowadzonych podczas doświadczenia przedstawiono na poniższym\nwykresie. Zaznaczono punkty pomiarowe (mx, Vz) oraz niepewności ∆Vz. Pomiary masy piasku\nmx przyjęto za dokładne.\nUczniowie uznali, że zależność między objętością Vz zanurzonej części pojemnika z piaskiem\na masą piasku mx w tym pojemniku jest liniowa, czyli że opisuje ją wyrażenie:\nz\nx\nV\nA m\nB\n= ⋅\ndla pewnych współczynników A i B\nRysunek 1.\nV0\nmx\nρ\nmp\nRysunek 2.\nV\n600\n500\n400\n300\n200\n100\n0\n0\n100\n200\n300\n400\nVz, cm3\nmx, g\nMFA_1R","answer":null,"answer_text":null,"solution":null,"image":"img/fizyka-2019-maj-matura-rozszerzona/zad-6.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":10,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Fizyka · Matura · maj 2019 (rozszerzona)","subject_label":"Fizyka","category_label":"Matura"},{"id":"fizyka-2019-maj-matura-rozszerzona/zad/6.1","paper_id":"fizyka-2019-maj-matura-rozszerzona","number":"6.1","points":3,"ptype":"open","subject":"fizyka","category":"matura","year":2019,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 6.1. (0-3)\na) Na wykresie zamieszczonym w opisie zadania 6. narysuj prostą najlepiej dopasowaną\ndo danych eksperymentalnych przedstawionych na tym wykresie.\nb) Na podstawie wykresu prostej wyznacz objętość zanurzonej części pojemnika, gdyby\npływał i nie było w nim piasku.\nc) Na podstawie danych odczytanych z wykresu prostej oblicz współczynnik A.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 6.1. (0-3)\nWymagania ogólne\nWymagania szczegółowe\nV. Planowanie i wykonywanie prostych\ndoświadczeń i analiza ich wyników.\nIII. Wykorzystanie i przetwarzanie\ninformacji zapisanych w postaci tekstu,\ntabel, wykresów, schematów\ni rysunków.\nZdający:\n12.2) samodzielnie wykonuje poprawne\nwykresy (właściwe oznaczenie i opis osi, wybór\nskali, oznaczenie niepewności punktów\npomiarowych);\n12.5) dopasowuje prostą y = ax + b do wykresu\ni ocenia trafność tego dopasowania; oblicza\nwartości współczynników a i b.\na) (0-1)\nSchemat punktowania\n1 p. - prawidłowe narysowanie prostej najlepiej dopasowanej do danych eksperymentalnych\nprzedstawionych na wykresie.\n0 p. - brak spełnienia powyższego kryterium.\nPoprawne rozwiązanie\nNa zielono oznaczono prostą dopasowaną orientacyjnie do punktów pomiarowych\nw najbardziej optymalny sposób, natomiast liniami przerywanymi oznaczono wybrane do\nobliczeń w punkcie c) przyrosty argumentów i wartości na tej prostej.\n600\n500\n400\n300\n200\n100\n0\n0\n100\n200\n300\n400\nVz, cm3\nmx, g\nΔVz\nΔmx\nb) (0-1)\nSchemat punktowania\n1 p. - prawidłowe wyznaczenie objętości (wraz z jednostką) zanurzonej części pustego\npojemnika, wynikające z przecięcia narysowanej prostej z osią rzędnych oraz mieszczące\nsię w przedziale od ok. 115 cm3 do ok. 175 cm3.\n0 p. - brak spełnienia powyższego kryterium.\nPoprawne rozwiązanie\nObjętość zanurzonej części pustego pojemnika (\n௫= 0) wyznaczamy przez odczytanie\nprzybliżonej wartości miejsca przecięcia wykresu prostej z osią rzędnych ܸ௭:\n௭(0) ≈150 cm3\nc) (0-1)\nSchemat punktowania\n1 p. - prawidłowe obliczenie wartości współczynnika A (wraz z jednostką) na podstawie\ndanych odczytanych z wykresu narysowanej prostej. Obliczona wartość współczynnika\nA powinna mieścić się w przedziale od 1,05 cm3/g do 1,3 cm3/g.\n0 p. - brak spełnienia powyższego kryterium.\nPrzykładowe rozwiązanie\nZ wykresu prostej ܸ௭= ܣ݉\n௫+ ܤ odczytujemy wybrany przyrost ∆ܸ௭ oraz odpowiadający temu\nprzyrost ∆\n௫ (albo odwrotnie). Następnie obliczamy wartość współczynnika A:\nܣ= ∆ܸ௭\n∆\n௫\n= 575 cm3 -325 cm3\n360 g -150 g\n≈1,19 cm3\ng\n≈1,2 cm3\ng","solution":"## Poprawna odpowiedź\n\n- **a)** Narysować prostą najlepiej dopasowaną do punktów pomiarowych (przechodzącą przez słupki niepewności \\(\\Delta V_z\\); nie musi przechodzić przez (0,0)).\n- **b)** Objętość zanurzonej części pustego pojemnika (\\(m_x = 0\\)) odczytujemy jako miejsce przecięcia prostej z osią \\(V_z\\): \\(V_z(0) \\approx 150 \\text{ cm}^3\\) (akceptowany przedział: od ok. 115 cm³ do ok. 175 cm³).\n- **c)** Współczynnik kierunkowy: \\(A = \\dfrac{\\Delta V_z}{\\Delta m_x} \\approx 1{,}2 \\text{ cm}^3/\\text{g}\\) (akceptowany przedział: od 1,05 do 1,3 cm³/g).\n\n## Sposób 1 - Odczyt wykresu i wyznaczenie współczynników A i B\n\n**Krok 1 (część a) - narysowanie prostej najlepszego dopasowania**\n\nRysujemy prostą tak, by przechodziła przez słupki niepewności \\(\\Delta V_z\\) możliwie wszystkich punktów pomiarowych, z równomiernym rozkładem punktów po obu stronach. Prosta **nie musi** przechodzić przez początek układu - jej wyraz wolny \\(B = V_z(0) \\neq 0\\), bo pusty pojemnik o masie \\(m_p\\) też się zanurza.\n\n**Krok 2 (część b) - odczyt objętości zanurzonej części pustego pojemnika**\n\nDla pustego pojemnika \\(m_x = 0\\). Odczytujemy miejsce przecięcia narysowanej prostej z osią rzędnych \\(V_z\\):\n\n\\[V_z(0) = B \\approx 150 \\text{ cm}^3\\]\n\nWartość mieści się w akceptowanym przez CKE przedziale od ok. 115 cm³ do ok. 175 cm³.\n\n**Krok 3 (część c) - obliczenie współczynnika A z wykresu**\n\nWybieramy dwa punkty **leżące na narysowanej prostej** (nie punkty pomiarowe!), jak najdalej od siebie, i liczymy nachylenie:\n\n\\[A = \\frac{\\Delta V_z}{\\Delta m_x} = \\frac{575 \\text{ cm}^3 - 325 \\text{ cm}^3}{360 \\text{ g} - 150 \\text{ g}} \\approx 1{,}19 \\frac{\\text{cm}^3}{\\text{g}} \\approx 1{,}2 \\frac{\\text{cm}^3}{\\text{g}}\\]\n\nWartość mieści się w akceptowanym przedziale od 1,05 do 1,3 cm³/g.\n\n> **Jednostki:** \\(V_z\\) w \\(\\text{cm}^3\\), \\(m_x\\) w g, więc \\(A\\) ma jednostkę \\(\\text{cm}^3/\\text{g}\\). (Obliczenie gęstości \\(\\rho = 1/A\\) należy dopiero do zadania 6.2c - tutaj wyznaczamy sam współczynnik A.)\n\n## Sposób 2 - Analiza graficzna: jak poprawnie narysować prostą najlepszego dopasowania\n\n**Zasada narysowania prostej:**\n\n1. **Prosta musi przechodzić przez maksymalną liczbę punktów** lub mieć punkty równomiernie po obu stronach prostej\n2. **Słupki niepewności \\(\\Delta V_z\\)** - prosta musi przechodzić przez słupki niepewności wszystkich (lub prawie wszystkich) punktów\n3. Prosta **nie musi** przechodzić przez początek układu współrzędnych (bo \\(B = m_p/\\rho \\neq 0\\) dla pojemnika o niezerowej masie \\(m_p\\))\n\n**Wyznaczenie nachylenia \\(A\\) metodą graficzną:**\n\nWybieramy **dwa punkty LEŻĄCE NA PROSTEJ** (nie punkty pomiarowe!) - jak najdalej od siebie, by zminimalizować błąd odczytu:\n\n\\[A = \\frac{V_{z}^{(2)} - V_{z}^{(1)}}{m_{x}^{(2)} - m_{x}^{(1)}}\\]\n\n> ⚠️ Bierzemy punkty z narysowanej PROSTEJ, nie z tabelki danych pomiarowych!\n\n**Obliczenie gęstości:**\n\n\\[\\rho = \\frac{1}{A} \\qquad \\left[\\frac{\\text{g}}{\\text{cm}^3}\\right]\\]\n\n## Sposób 3 - Weryfikacja wymiaru (analiza jednostek)\n\nSprawdzamy, czy wyprowadzony wzór ma sens wymiarowy:\n\n\\[A = \\frac{1}{\\rho} \\implies [A] = \\frac{1}{\\text{g/cm}^3} = \\frac{\\text{cm}^3}{\\text{g}}\\]\n\nZ wykresu: oś \\(V_z\\) w \\(\\text{cm}^3\\), oś \\(m_x\\) w g → nachylenie \\(A\\) faktycznie ma jednostkę \\(\\text{cm}^3/\\text{g}\\) ✓\n\nGęstość wody wynosi \\(1{,}00\\ \\text{g/cm}^3\\), cieczy lżejszych (np. oleje) ok. \\(0{,}8{-}0{,}9\\ \\text{g/cm}^3\\), solanki - \\(1{,}1{-}1{,}2\\ \\text{g/cm}^3\\). Wynik odczytany z wykresu powinien należeć do tego zakresu - to szybka weryfikacja sensowności odpowiedzi.\n\n## Schemat oceniania CKE\n\n> 📋 **Schemat punktowania CKE (zadanie 6.1, 0-3 pkt - części a-c):**\n>\n> **a) (0-1):** 1 p. - prawidłowe narysowanie prostej najlepiej dopasowanej do danych eksperymentalnych przedstawionych na wykresie.\n>\n> **b) (0-1):** 1 p. - prawidłowe wyznaczenie objętości (wraz z jednostką) zanurzonej części pustego pojemnika, wynikające z przecięcia narysowanej prostej z osią rzędnych oraz mieszczące się w przedziale od ok. 115 cm³ do ok. 175 cm³. Przykład: \\(V_z(0) \\approx 150 \\text{ cm}^3\\).\n>\n> **c) (0-1):** 1 p. - prawidłowe obliczenie wartości współczynnika A (wraz z jednostką) na podstawie danych odczytanych z wykresu narysowanej prostej. Obliczona wartość powinna mieścić się w przedziale od 1,05 cm³/g do 1,3 cm³/g. Przykład: \\(A = \\frac{\\Delta V_z}{\\Delta m_x} = \\frac{575 - 325}{360 - 150} \\approx 1{,}19 \\approx 1{,}2 \\text{ cm}^3/\\text{g}\\).\n>\n> **0 pkt** dla każdej części - brak spełnienia powyższego kryterium.\n\n## Wzory z karty CKE - czego MASZ użyć\n\n> 📖 **Karta wzorów CKE - sekcja Mechanika / Hydrostatyka:**\n> - Prawo Archimedesa: \\(F_\\text{wyp} = \\rho_\\text{cieczy} \\cdot g \\cdot V_\\text{zanurzona}\\)\n> - Warunek pływania: \\(F_\\text{wyp} = mg\\) (gdy ciało pływa w równowadze)\n>\n> Kluczowe użycie: Krok 1-3 w Sposobie 1 - dokładnie te wzory pozwoliły wyprowadzić \\(A = 1/\\rho\\).\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Prosta najlepszego dopasowania **NIE przechodzi przez (0,0)** - wyraz wolny \\(B = m_p/\\rho \\neq 0\\), bo pojemnik ma niezerową masę własną \\(m_p\\). Rysowanie prostej przez początek układu to błąd!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Do wyznaczenia \\(A\\) bierzemy punkty **z narysowanej prostej**, nie ze zbioru punktów pomiarowych. Wzięcie punktu pomiarowego zamiast punktu z prostej = błąd metodyczny.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie mylić \\(\\rho = 1/A\\) z \\(\\rho = A\\). Zależność \\(V_z \\sim m_x\\) ma nachylenie \\(A = V/m = \\text{cm}^3/\\text{g}\\), czyli odwrotność gęstości - nie gęstość samą w sobie. Intuicja: im gęstsza ciecz, tym mniejszy \\(V_z\\) potrzebny do utrzymania tej samej masy → małe \\(A\\) → duże \\(\\rho = 1/A\\). ✓\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Jednostka przy wyniku b) (\\(V_z(0)\\) w cm³) oraz c) (\\(A\\) w cm³/g) **musi być podana** - brak jednostki to utrata punktu w kluczu CKE!","image":"img/fizyka-2019-maj-matura-rozszerzona/zad-6.1.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":11,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Fizyka · Matura · maj 2019 (rozszerzona)","subject_label":"Fizyka","category_label":"Matura"},{"id":"fizyka-2019-maj-matura-rozszerzona/zad/6.2","paper_id":"fizyka-2019-maj-matura-rozszerzona","number":"6.2","points":5,"ptype":"open","subject":"fizyka","category":"matura","year":2019,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 6.2. (0-5)\na) Zapisz warunek równowagi sił działających na pływający pojemnik z piaskiem i wyraź\nzapisany warunek za pomocą wielkości wymienionych w treści zadania 6.\nb) Wyprowadź dwa wzory: wzór przedstawiający zależność współczynnika A od gęstości\ncieczy ρ oraz wzór przedstawiający zależność współczynnika B od gęstości cieczy ρ\ni masy pustego pojemnika mp.\nc) Oblicz gęstość cieczy ρ. Przyjmij, że współczynnik A wynosi 1,2 cm3/g.\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n6.1.\n6.2.\nMaks. liczba pkt\n3\n5\nUzyskana liczba pkt\nMFA_1R","answer":null,"answer_text":"Zadanie 6.2. (0-5)\nWymagania ogólne\nWymagania szczegółowe\nIV. Budowa prostych modeli fizycznych\ni matematycznych do opisu zjawisk.\nI. Znajomość i umiejętność\nwykorzystania pojęć i praw fizyki\ndo wyjaśniania procesów i zjawisk\nw przyrodzie.\nZdający:\n1.4) (G) opisuje zachowanie się ciał na\npodstawie pierwszej zasady dynamiki Newtona;\n3.3) (G) posługuje się pojęciem gęstości;\n3.8) (G) analizuje i porównuje wartości sił\nwyporu dla ciał zanurzonych w cieczy lub gazie;\n3.9) (G) wyjaśnia pływanie ciał na podstawie\nprawa Archimedesa.\na) (0-2)\nSchemat punktowania\n2 p. - prawidłowe zapisanie warunku równowagi sił za pomocą wielkości wymienionych\nw treści zadania (jeżeli łącznie z zapisem skalarnym wystąpi wektorowy zapis\nrównowagi sił, to on także musi być prawidłowy).\n1 p. - prawidłowe zapisanie warunku równowagi sił: siły wyporu, ciężaru pustego pojemnika\noraz ciężaru piasku. Oznaczenia sił muszą umożliwiać ich identyfikację.\nlub\n- prawidłowe zapisanie warunku równowagi sił za pomocą wielkości wymienionych\nw treści zadania przy popełnionym błędzie w znaku (zwrocie wektora) w wektorowym\nzapisie równowagi sił.\n0 p. - brak spełnienia powyższych kryteriów.\nPrzykładowe rozwiązanie\nZapisujemy - dla przykładu wektorowo, następnie skalarnie - warunek równowagi sił: siły\nwyporu ܨԦ஺, ciężaru pustego pojemnika ܳሬԦ௣ oraz ciężaru piasku ܳሬԦ௫:\nܨԦ஺+ܳሬԦ௫+ܳሬԦ௣= 0ሬԦ lub -ܨԦ஺=ܳሬԦ௫+ܳሬԦ௣ → ܨ஺=\n௫+\n௣\nZapisujemy powyższy warunek za pomocą wielkości wymienionych w treści zadania: ܸ௓,\n௫,\n௣, ߩ. W tym celu korzystamy ze wzorów na siłę wyporu oraz ciężar:\nܨ஺=\n௭ߩ݃, ܳ\n௫=\n௫݃, ܳ\n௣=\n௣݃\nPodstawiamy powyższe wzory do warunku równowagi sił:\n௭ߩ݃\n=݉\n௫\n+݉\n௣݃ → ܸ௭ߩ=݉\n௫+\n௣ lub (\n-ܸ\n଴)ߩ=݉\n௫+\n௣\nb) (0-2)\nSchemat punktowania\n2 p. - prawidłowa metoda wyprowadzenia wzorów na współczynniki A i B oraz prawidłowa\npostać obu wzorów.\n1 p. - prawidłowa metoda wyprowadzenia wzoru na jeden ze współczynników A lub B oraz\nprawidłowa postać tego współczynnika\nlub\n- prawidłowa metoda wyprowadzenia wzorów na oba współczynniki A i B.\n0 p. - brak spełnienia powyższych kryteriów.\nPrzykładowe rozwiązanie\nWzór otrzymany w punkcie a) przekształcamy do postaci wzoru kierunkowego prostej:\n௭ߩ=݉\n௫+\n௣ → ܸ௭= 1\nߩ∙\n௫+\n௣\nߩ\nPorównujemy powyższy wzór z równaniem prostej, następnie identyfikujemy współczynniki:\n௭= ܣ݉\n௫+ ܤ oraz ܸ௭= 1\nߩ∙\n௫+\n௣\nߩ → ܣ= 1\nߩ , ܤ=݉\n௣\nߩ\nUwaga! Współczynnik B można wyznaczyć inną metodą. B jest równy objętości zanurzonej\nczęści pustego pojemnika - czyli objętości cieczy wypartej przez pusty pojemnik. Z warunku\npływania pustego pojemnika mp = mwyp cieczy wynika, że: B = Vz pusty = mp /ρ.\nc) (0-1)\nSchemat punktowania\n1 p. - prawidłowa metoda wyznaczenia gęstości i prawidłowy wynik liczbowy z jednostką.\n0 p. - brak spełnienia powyższego kryterium.\nPrzykładowe rozwiązanie\nPrzyrównujemy wartość współczynnika A do wyprowadzonej zależności i wykonujemy\nobliczenia:\nܣ= 1\nߩ → 1,2 cm3\ng\n= 1\nߩ → ߩ≈0,83 g\ncm3 = 830 kg\nm3","solution":"## Poprawna odpowiedz\n\n- a) Warunek rownowagi: \\(F_A = Q_x + Q_p\\), czyli sila wyporu = ciezar piasku + ciezar pustego pojemnika. Wyrazony przez wielkosci z zadania: \\(V_z\\rho g = m_x g + m_p g\\), stad \\(V_z\\rho = m_x + m_p\\).\n- b) \\(A = \\dfrac{1}{\\rho}\\) oraz \\(B = \\dfrac{m_p}{\\rho}\\).\n- c) \\(\\rho \\approx 0{,}83 \\text{ g/cm}^3 = 830 \\text{ kg/m}^3\\).\n\n## Sposob 1 - Warunek rownowagi (Archimedes) i identyfikacja wspolczynnikow\n\n### Czesc a) - warunek rownowagi sil\n\nPlywajacy pojemnik z piaskiem jest w rownowadze: sila wyporu \\(\\vec{F}_A\\) rownowazy ciezar pustego pojemnika \\(\\vec{Q}_p\\) oraz ciezar piasku \\(\\vec{Q}_x\\):\n\n\\[\\vec{F}_A + \\vec{Q}_x + \\vec{Q}_p = \\vec{0} \\qquad \\text{lub} \\qquad F_A = Q_x + Q_p\\]\n\nKorzystamy ze wzorow na sile wyporu i ciezar (wielkosci z tresci zadania 6.: \\(V_z, m_x, m_p, \\rho\\)):\n\n\\[F_A = V_z\\rho g, \\qquad Q_x = m_x g, \\qquad Q_p = m_p g\\]\n\nPodstawiamy do warunku rownowagi i skracamy \\(g\\):\n\n\\[\\boxed{V_z\\rho g = m_x g + m_p g \\quad \\Longrightarrow \\quad V_z\\rho = m_x + m_p}\\]\n\n### Czesc b) - wyprowadzenie wzorow na A i B\n\nPrzeksztalcamy wynik z czesci a) do postaci wzoru kierunkowego prostej \\(V_z = A m_x + B\\):\n\n\\[V_z\\rho = m_x + m_p \\quad \\Longrightarrow \\quad V_z = \\frac{1}{\\rho}\\cdot m_x + \\frac{m_p}{\\rho}\\]\n\nPorownujemy z \\(V_z = A m_x + B\\) i identyfikujemy wspolczynniki:\n\n\\[\\boxed{A = \\frac{1}{\\rho}} \\qquad \\boxed{B = \\frac{m_p}{\\rho}}\\]\n\n> Uwaga (metoda alternatywna dla B): wspolczynnik B jest rowny objetosci zanurzonej czesci pustego pojemnika. Z warunku plywania pustego pojemnika \\(m_p = m_{\\text{wyp cieczy}}\\) wynika \\(B = V_{z\\,\\text{pusty}} = m_p/\\rho\\) - zgodne z powyzszym.\n\n### Czesc c) - obliczenie gestosci cieczy\n\nPrzyrownujemy wartosc wspolczynnika \\(A = 1{,}2 \\text{ cm}^3/\\text{g}\\) (z zadania 6.1c) do wyprowadzonej zaleznosci \\(A = 1/\\rho\\):\n\n\\[A = \\frac{1}{\\rho} \\quad \\Longrightarrow \\quad \\rho = \\frac{1}{A} = \\frac{1}{1{,}2 \\text{ cm}^3/\\text{g}} \\approx 0{,}83 \\frac{\\text{g}}{\\text{cm}^3} = 830 \\frac{\\text{kg}}{\\text{m}^3}\\]\n\n## Sposob 2 - Bilans masy wypartej cieczy (podejscie objetosciowe)\n\nPojemnik plywa, gdy masa wypartej cieczy = masa ukladu (pojemnik + piasek). To bezposrednie sformulowanie prawa Archimedesa:\n\n\\[m_{\\text{wyparta ciecz}} = m_{\\text{uklad}} \\quad \\Longrightarrow \\quad \\rho V_z = m_p + m_x\\]\n\nTo samo rownanie co w czesci a) Sposobu 1. Dalej identycznie:\n\n\\[V_z = \\frac{1}{\\rho} m_x + \\frac{m_p}{\\rho} \\quad \\Longrightarrow \\quad A = \\frac{1}{\\rho},\\ B = \\frac{m_p}{\\rho}\\]\n\noraz \\(\\rho = 1/A = 1/1{,}2 \\approx 0{,}83 \\text{ g/cm}^3 = 830 \\text{ kg/m}^3\\).\n\n## Sposob 3 - Weryfikacja wymiaru i sensownosci wyniku\n\nSprawdzamy jednostki: \\([A] = \\text{cm}^3/\\text{g}\\), wiec \\([\\rho] = [1/A] = \\text{g/cm}^3\\). ✓\n\nGestosc \\(830 \\text{ kg/m}^3 = 0{,}83 \\text{ g/cm}^3\\) jest mniejsza od gestosci wody (\\(1000 \\text{ kg/m}^3\\)) - to typowa wartosc dla lekkich cieczy organicznych (np. oleju, nafty). Wynik jest fizycznie sensowny.\n\n## Schemat oceniania CKE\n\n> 📋 **Schemat punktowania CKE (zadanie 6.2, 0-5 pkt - czesci a-c):**\n>\n> **a) (0-2):**\n> - 2 p. - prawidlowe zapisanie warunku rownowagi sil za pomoca wielkosci wymienionych w tresci zadania (jezeli lacznie z zapisem skalarnym wystapi wektorowy zapis rownowagi sil, to on takze musi byc prawidlowy).\n> - 1 p. - prawidlowe zapisanie warunku rownowagi sil: sily wyporu, ciezaru pustego pojemnika oraz ciezaru piasku (oznaczenia musza umozliwiac ich identyfikacje) LUB prawidlowe zapisanie warunku za pomoca wielkosci z tresci przy popelnionym bledzie w znaku (zwrocie wektora) w zapisie wektorowym.\n> - Przyklad: \\(V_z\\rho g = m_x g + m_p g \\to V_z\\rho = m_x + m_p\\).\n>\n> **b) (0-2):**\n> - 2 p. - prawidlowa metoda wyprowadzenia wzorow na wspolczynniki A i B oraz prawidlowa postac obu wzorow.\n> - 1 p. - prawidlowa metoda wyprowadzenia wzoru na jeden ze wspolczynnikow A lub B oraz prawidlowa postac tego wspolczynnika LUB prawidlowa metoda wyprowadzenia wzorow na oba wspolczynniki A i B (z drobnym bledem).\n> - Wynik: \\(A = 1/\\rho\\), \\(B = m_p/\\rho\\).\n>\n> **c) (0-1):**\n> - 1 p. - prawidlowa metoda wyznaczenia gestosci i prawidlowy wynik liczbowy z jednostka.\n> - Przyklad: \\(A = 1/\\rho \\to 1{,}2 \\text{ cm}^3/\\text{g} = 1/\\rho \\to \\rho \\approx 0{,}83 \\text{ g/cm}^3 = 830 \\text{ kg/m}^3\\).\n>\n> **0 pkt** dla kazdej czesci - brak spelnienia powyzszych kryteriow.\n\n## Wzory z karty CKE - czego MASZ uzyc\n\n> 📖 **Karta wzorow CKE - Mechanika plynow:**\n> - Prawo Archimedesa: \\(F_A = \\rho g V_z\\) (gdzie \\(V_z\\) - objetosc zanurzonej czesci).\n> - Warunek plywania (rownowagi): \\(F_A = Q\\) - sila wyporu rowna ciezarowi ukladu.\n> - Ciezar: \\(Q = mg\\).\n>\n> Uzyte w czesci a): \\(F_A = V_z\\rho g\\), \\(Q_x = m_x g\\), \\(Q_p = m_p g\\).\n\n## Typowe pulapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Pulapka 1 - gestosc piasku zamiast gestosci cieczy.** Sila wyporu zalezy WYLACZNIE od gestosci cieczy \\(\\rho\\), w ktorej plywa pojemnik, NIE od gestosci piasku. Piasek decyduje tylko o ciezarze ukladu.\n\n> ⚠️ **Pulapka 2 - pominiecie masy pustego pojemnika \\(m_p\\).** W warunku rownowagi po stronie ciezaru wystepuja DWA skladniki: \\(m_x\\) (piasek) ORAZ \\(m_p\\) (pusty pojemnik). Stad niezerowy wyraz wolny \\(B = m_p/\\rho\\).\n\n> ⚠️ **Pulapka 3 - pomylenie A z 1/A.** Z \\(V_z = (1/\\rho)m_x + m_p/\\rho\\) wynika \\(A = 1/\\rho\\), wiec \\(\\rho = 1/A\\), a NIE \\(\\rho = A\\). Im gestsza ciecz, tym mniejszy \\(V_z\\) potrzebny do uniesienia tej samej masy - male A, duze \\(\\rho\\).\n\n> ⚠️ **Pulapka 4 - jednostki gestosci.** \\(1{,}2 \\text{ cm}^3/\\text{g}\\) daje \\(\\rho \\approx 0{,}83 \\text{ g/cm}^3\\). Przeliczenie: \\(0{,}83 \\text{ g/cm}^3 = 830 \\text{ kg/m}^3\\) (mnozymy przez 1000). Brak jednostki przy wyniku = utrata punktu w kluczu CKE.","image":"img/fizyka-2019-maj-matura-rozszerzona/zad-6.2.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":11,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Fizyka · Matura · maj 2019 (rozszerzona)","subject_label":"Fizyka","category_label":"Matura"},{"id":"fizyka-2019-maj-matura-rozszerzona/zad/7","paper_id":"fizyka-2019-maj-matura-rozszerzona","number":"7","points":null,"ptype":"open","subject":"fizyka","category":"matura","year":2019,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 7.\nRozważamy soczewkę dwuwklęsłą (zobacz rys. obok) wykonaną ze szkła\no bezwzględnym współczynniku załamania światła n = 1,6.","answer":null,"answer_text":null,"solution":null,"image":"img/fizyka-2019-maj-matura-rozszerzona/zad-7.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":12,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Fizyka · Matura · maj 2019 (rozszerzona)","subject_label":"Fizyka","category_label":"Matura"},{"id":"fizyka-2019-maj-matura-rozszerzona/zad/7.1","paper_id":"fizyka-2019-maj-matura-rozszerzona","number":"7.1","points":1,"ptype":"closed","subject":"fizyka","category":"matura","year":2019,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 7.1. (0-1)\nOpisaną soczewkę umieszczano w różnych ośrodkach. Wartości bezwzględnych\nwspółczynników załamania światła dla tych ośrodków podano w tabeli poniżej.\nSpośród ośrodków 1.-5. podanych w tabeli wybierz i zaznacz tylko te ośrodki, w których\nopisana soczewka jest skupiająca. Uwzględnij wszystkie możliwości.\nOśrodek 1.\nOśrodek 2.\nOśrodek 3.\nOśrodek 4.\nOśrodek 5.\nn1 = 1,1\nn2 = 1,7\nn3 = 2,2\nn4 = 1,6\nn5 = 1,5","answer":"E","answer_text":"Zadanie 7.1. (0-1)\nWymagania ogólne\nWymagania szczegółowe\nI. Znajomość i umiejętność\nwykorzystania pojęć i praw fizyki\ndo wyjaśniania procesów i zjawisk\nw przyrodzie.\nZdający:\n7.5) (G) opisuje (jakościowo) bieg promieni\nprzy przejściu światła z ośrodka rzadszego do\nośrodka gęstszego optycznie i odwrotnie;\n7.6) (G) opisuje bieg promieni przechodzących\nprzez soczewkę skupiającą i rozpraszającą […];\n10.6) stosuje prawo […] załamania fal do\nwyznaczenia biegu promieni w pobliżu granicy\ndwóch ośrodków.\nSchemat punktowania\n1 p. - poprawna odpowiedź.\n0 p. - brak spełnienia powyższego kryterium.\nPoprawna odpowiedź\nZaznaczenie ośrodka 2. oraz ośrodka 3.","solution":"## Poprawna odpowiedź\n\n**Soczewka jest skupiająca w ośrodkach, w których współczynnik załamania ośrodka jest większy niż współczynnik załamania soczewki, tj. \\(n_{\\text{ośrodek}} > 1{,}6\\).**\n\n*(Zaznacz te wiersze tabeli, gdzie podana wartość n > 1,6)*\n\n## Sposób 1 - Równanie soczewkarzy z ośrodkiem zewnętrznym\n\nOgólne równanie soczewkarzy dla soczewki zanurzonej w ośrodku o współczynniku \\(n_M\\):\n\n\\[\n\\frac{1}{f} = \\left(\\frac{n_L}{n_M} - 1\\right)\\left(\\frac{1}{R_1} - \\frac{1}{R_2}\\right)\n\\]\n\ngdzie:\n- \\(n_L = 1{,}6\\) - współczynnik załamania soczewki (szkło)\n- \\(n_M\\) - współczynnik załamania ośrodka zewnętrznego\n- \\(R_1, R_2\\) - promienie krzywizny powierzchni\n\n**Kluczowa obserwacja - geometria soczewki dwuwklęsłej:**\n\nDla soczewki dwuwklęsłej, przyjmując konwencję znaków (powierzchnia pierwsza wklęsła: \\(R_1 < 0\\), powierzchnia druga wklęsła widziana od drugiej strony: \\(R_2 > 0\\)):\n\n\\[\nK = \\frac{1}{R_1} - \\frac{1}{R_2} < 0\n\\]\n\nZnak ogniskowej zależy wyłącznie od znaku czynnika \\(\\left(\\frac{n_L}{n_M} - 1\\right)\\):\n\n| Warunek | \\(\\dfrac{n_L}{n_M} - 1\\) | \\(\\dfrac{1}{f} = (\\ldots)\\cdot K\\) | Typ soczewki |\n| \\(n_M < n_L = 1{,}6\\) | \\(> 0\\) | \\((+)\\cdot(-) < 0\\) → \\(f < 0\\) | **rozpraszająca** |\n| \\(n_M = n_L = 1{,}6\\) | \\(= 0\\) | \\(0\\) → \\(f \\to \\infty\\) | **neutralna** (brak skupiania) |\n| \\(n_M > n_L = 1{,}6\\) | \\(< 0\\) | \\((-)\\cdot(-) > 0\\) → \\(f > 0\\) | **skupiająca ✓** |\n\n**Wniosek:** Soczewka skupia tylko wtedy, gdy \\(n_M > 1{,}6\\).\n\n## Sposób 2 - Fizyczna intuicja: odwrócenie roli powierzchni\n\nSoczewka dwuwklęsła w powietrzu rozszerza wiązki, bo każda z jej powierzchni wklęsłych **odchyla promień od osi** (działa jak zwierciadło wklęsłe odwrócone).\n\n**Co się dzieje, gdy ośrodek ma wyższy n niż soczewka?**\n\nGdy \\(n_M > n_L\\), promień przechodzący ze szkła do ośrodka **zagina się w stronę osi** (bo przechodzi do ośrodka optycznie gęstszego i „zwalnia\"). To odwraca zwykłe działanie każdej powierzchni:\n\n- Normalna soczewka dwuwklęsła w powietrzu: wklęsła powierzchnia **rozbija** wiązkę\n- Ta sama soczewka w ośrodku gęstszym: wklęsła powierzchnia **skupia** wiązkę\n\nAnalogia: **soczewka skupiająca włożona w gęstszy ośrodek staje się rozpraszająca - i odwrotnie**. Kształt soczewki i jej działanie optyczne jest nierozerwalnie związane z kontrastem współczynników załamania.\n\n## Sposób 3 - Sprawdzenie przez prawo Snella na powierzchni soczewki\n\nRozpatrzmy jeden promień padający na lewą (wklęsłą) powierzchnię soczewki:\n\n**Przypadek A: \\(n_M < n_L\\) (np. powietrze \\(n=1\\), soczewka \\(n=1{,}6\\)):**\n\n\\[\nn_M \\sin\\theta_1 = n_L \\sin\\theta_2 \\implies \\sin\\theta_2 = \\frac{n_M}{n_L}\\sin\\theta_1 < \\sin\\theta_1\n\\]\n\nPromień po wejściu do gęstszego szkła **przybliża się do normalnej** → na wklęsłej powierzchni normalna wskazuje na zewnątrz osi → promień jest **odsuwany od osi** → rozbieżność.\n\n**Przypadek B: \\(n_M > n_L\\) (ośrodek gęstszy niż soczewka):**\n\n\\[\nn_M \\sin\\theta_1 = n_L \\sin\\theta_2 \\implies \\sin\\theta_2 = \\frac{n_M}{n_L}\\sin\\theta_1 > \\sin\\theta_1\n\\]\n\nPromień po wejściu do rzadszego szkła **oddala się od normalnej** → na wklęsłej powierzchni to oznacza **zbliżanie do osi optycznej** → zbieżność → soczewka skupiająca ✓\n\n## Schemat oceniania CKE\n\n> 📋 **Schemat punktowania CKE (zadanie 7.1, 0-1 pkt):**\n> - **1 pkt** - poprawna odpowiedź.\n> - **0 pkt** - brak spełnienia powyższego kryterium.\n>\n> **Poprawna odpowiedź CKE:** zaznaczenie ośrodka 2. oraz ośrodka 3. (czyli ośrodki o \\(n_2 = 1{,}7\\) i \\(n_3 = 2{,}2\\), bo tylko dla nich \\(n_{\\text{ośrodek}} > n_{\\text{soczewki}} = 1{,}6\\), więc soczewka dwuwklęsła staje się skupiająca).\n\n## Wzory z karty CKE - czego MASZ użyć\n\n> 📖 **Karta wzorów CKE - sekcja FIZYKA (optyka geometryczna):**\n>\n> Na karcie wzorów EM2023 znajdziesz równanie soczewkarzy w postaci:\n> \\[\\frac{1}{f} = (n-1)\\left(\\frac{1}{R_1} - \\frac{1}{R_2}\\right)\\]\n> gdzie \\(n\\) to względny współczynnik załamania soczewki względem ośrodka. Gdy soczewka jest zanurzona w ośrodku zewnętrznym, \\(n_{\\text{wzgl}} = \\frac{n_L}{n_M}\\). To właśnie ta zamiana \\(n \\to \\frac{n_L}{n_M}\\) jest kluczem do zadania.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Błędny wybór | Typowy błąd ucznia |\n| Ośrodek z \\(n = 1{,}6\\) | Uczeń myśli \"ten sam materiał = bez zmiany\" → ale soczewka staje się neutralna, NIE skupiająca (f → ∞) |\n| Ośrodki z \\(n < 1{,}6\\) | Uczeń pamięta \"soczewka skupiająca skupia\" i nie zastanawia się nad ośrodkiem - typowe pominięcie efektu zanurzenia |\n| Żaden ośrodek | Błędne przekonanie, że \"soczewka dwuwklęsła ZAWSZE rozprasza\" - prawda tylko gdy \\(n_M < n_L\\) |\n| Wszystkie 5 ośrodków | Uczeń nie rozumie różnicy i zaznacza wszystko \"na wszelki wypadek\" |\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \"Soczewka skupiająca vs rozpraszająca\" to NIE jest stała cecha soczewki - zależy od kontrastu współczynników załamania. Soczewka dwuwypukła zanurzona w ośrodku o \\(n > n_L\\) staje się **rozpraszająca** - i analogicznie tu.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Ośrodek z \\(n = n_L = 1{,}6\\) to **pułapka** - soczewka staje się \"niewidzialna\" optycznie (brak skupiania), ale pytanie dotyczy skupiania → NIE zaznaczamy.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Polecenie mówi \"uwzględnij **wszystkie** możliwości\" - za pominięcie choćby jednego ośrodka z \\(n > 1{,}6\\) tracisz cały punkt. Sprawdź każdy wiersz tabeli osobno.","image":"img/fizyka-2019-maj-matura-rozszerzona/zad-7.1.webp","solution_image":null,"topics":"Fale elektromagnetyczne i optyka","page_from":12,"source":"ocr","answer_source":"maturazai","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Fizyka · Matura · maj 2019 (rozszerzona)","subject_label":"Fizyka","category_label":"Matura"},{"id":"fizyka-2019-maj-matura-rozszerzona/zad/7.2","paper_id":"fizyka-2019-maj-matura-rozszerzona","number":"7.2","points":1,"ptype":"closed","subject":"fizyka","category":"matura","year":2019,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 7.2. (0-1)\nTylko jeden spośród poniższych czterech rysunków A-D przedstawia prawidłowe położenie\nobrazu przedmiotu P - obrazu widzianego przez obserwatora i uzyskanego przy pomocy\nopisanej soczewki umieszczonej w powietrzu (obraz przedmiotu P przedstawia szara strzałka).\nSpośród rysunków A-D wybierz i zaznacz rysunek prawidłowo przedstawiający obraz\nprzedmiotu P widziany przez obserwatora patrzącego z prawej strony soczewki.\nA.\nB.\nC.\nD.\nP\nP\nP\nP\nMFA_1R","answer":"B","answer_text":"Zadanie 7.2. (0-1)\nWymagania ogólne\nWymagania szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i przetwarzanie\ninformacji zapisanych w postaci tekstu,\ntabel, wykresów, schematów\ni rysunków.\nZdający: 10.8) rysuje i wyjaśnia konstrukcje\ntworzenia obrazów rzeczywistych i pozornych\notrzymywane za pomocą soczewek\nskupiających i rozpraszających.\nSchemat punktowania\n1 p. - poprawna odpowiedź.\n0 p. - brak spełnienia powyższego kryterium.\nPoprawna odpowiedź\nB","solution":"## Poprawna odpowiedź\n\n**B** - obraz po lewej stronie soczewki (po stronie przedmiotu), wyprostowany, **mniejszy** niż przedmiot P.\n\n## Sposób 1 - Własności soczewki dwuwklęsłej (rozpraszającej)\n\nSoczewka dwuwklęsła jest soczewką **rozpraszającą** → jej ogniskowa jest **ujemna** (\\(f < 0\\)).\n\nDla soczewki rozpraszającej obowiązuje **zasada ogólna** niezależna od położenia przedmiotu:\n\n| Cecha obrazu | Dlaczego |\n| **Pozorny** (wirtualny) | Promienie po przejściu przez soczewkę są rozbieżne; przecinają się tylko po przedłużeniu, po tej samej stronie co przedmiot |\n| **Prosty** (wyprostowany) | Obraz pozorny zawsze ma tę samą orientację co przedmiot |\n| **Pomniejszony** (\\|m\\| < 1) | Wiązka rozszerza się - obraz jest bliżej soczewki niż przedmiot |\n| **Po stronie przedmiotu** | Obraz pozorny leży po lewej (tam gdzie P) |\n\nPodsumowanie: obraz jest **z lewej strony, skierowany w górę, mniejszy od P** → rysunek **B**.\n\n## Sposób 2 - Równanie soczewki (obliczeniowe)\n\nPrzyjmijmy konwencję znaków (odległości mierzone od soczewki, w prawo = „+\"):\n\n- przedmiot P: \\(x_P = -d\\) (po lewej, \\(d > 0\\))\n- ogniskowa rozpraszającej: \\(f = -|f|\\)\n\nRównanie soczewki:\n\n\\[\n\\frac{1}{x'} = \\frac{1}{f} + \\frac{1}{x_P} = \\frac{1}{-|f|} + \\frac{1}{-d} = -\\left(\\frac{1}{|f|} + \\frac{1}{d}\\right) < 0\n\\]\n\nPonieważ \\(x' < 0\\) → obraz leży **po lewej stronie** (po stronie przedmiotu) → obraz **pozorny**.\n\nPowiększenie:\n\n\\[\nm = \\frac{x'}{x_P} = \\frac{x'}{-d}\n\\]\n\nPonieważ \\(x' < 0\\) i \\(-d < 0\\):\n\n\\[\nm = \\frac{\\text{ujemna}}{\\text{ujemna}} > 0 \\quad \\Rightarrow \\quad \\text{obraz wyprostowany}\n\\]\n\nWartość bezwzględna:\n\n\\[\n|m| = \\frac{|x'|}{d}, \\quad \\text{a z równania:} \\quad \\frac{1}{|x'|} = \\frac{1}{|f|} + \\frac{1}{d} > \\frac{1}{d} \\quad \\Rightarrow \\quad |x'| < d \\quad \\Rightarrow \\quad |m| < 1\n\\]\n\nObraz **pomniejszony**. Wszystko wskazuje na **B**.\n\n## Sposób 3 - Śledzenie promieni (konstrukcja obrazu)\n\nTrzy promienie szczególne dla soczewki rozpraszającej:\n\n1. **Promień równoległy do osi** → po przejściu przez soczewkę biegnie tak, jakby wychodził z ogniska \\(F\\) po **lewej** stronie (ognisko pozorne).\n2. **Promień skierowany ku ognisku \\(F'\\) po prawej** → po przejściu wychodzi równolegle do osi.\n3. **Promień przez środek optyczny** → przechodzi bez odchylenia.\n\nPrzedłużenia promieni 1 i 2 przecinają się **po lewej stronie soczewki**, bliżej niej niż przedmiot, tworząc obraz **pozorny, prosty, pomniejszony** → **B**.\n\n> 📖 **Karta wzorów CKE str. 17 - Optyka geometryczna:**\n> Równanie soczewki: \\(\\frac{1}{f} = \\frac{1}{x} + \\frac{1}{x'}\\), powiększenie \\(m = \\frac{x'}{x}\\).\n> Stosujemy w Sposobie 2 do wyznaczenia znaku i modułu \\(x'\\) oraz \\(m\\).\n\n## Schemat oceniania CKE\n\n> 📋 **Schemat punktowania CKE (zadanie 7.2, 0-1 pkt):**\n> - **1 pkt** - poprawna odpowiedź.\n> - **0 pkt** - brak spełnienia powyższego kryterium.\n>\n> **Poprawna odpowiedź CKE: B**\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Wariant | Typowy błąd ucznia |\n| **A** | Uczeń wie, że obraz jest po lewej i wyprostowany - ale błędnie sądzi, że soczewka rozpraszająca może powiększać (myli z skupiającą, gdzie przedmiot między \\(F\\) a soczewką daje obraz powiększony) |\n| **C** | Uczeń myśli, że powiększenie = 1 (że obraz ma taki sam rozmiar) - to niemożliwe dla soczewki rozpraszającej przy skończonej odległości przedmiotu |\n| **D** | Uczeń myli soczewkę rozpraszającą ze skupiającą: obraz po **prawej** i odwrócony pojawia się tylko dla soczewki skupiającej, gdy przedmiot leży **za** ogniskiem - soczewka rozpraszająca nigdy nie daje obrazu rzeczywistego |\n\n## Typowe pułapki\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Soczewka dwuwklęsła = rozpraszająca = \\(f < 0\\). **Zawsze** (dla każdego położenia przedmiotu rzeczywistego) daje obraz **pozorny, prosty, pomniejszony**.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Obraz pozorny NIE może być po prawej stronie soczewki - obserwator patrzy z prawej i widzi obraz jako „przesunięty ku sobie w lewo\", ale sam obraz jest wirtualny, po stronie przedmiotu.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie mylić z soczewką skupiającą gdy \\(x < f\\) - tam też obraz jest pozorny i wyprostowany, ALE **powiększony**. Soczewka rozpraszająca ZAWSZE pomniejsza.","image":"img/fizyka-2019-maj-matura-rozszerzona/zad-7.2.webp","solution_image":null,"topics":"Fale elektromagnetyczne i optyka","page_from":12,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Fizyka · Matura · maj 2019 (rozszerzona)","subject_label":"Fizyka","category_label":"Matura"},{"id":"fizyka-2019-maj-matura-rozszerzona/zad/7.3","paper_id":"fizyka-2019-maj-matura-rozszerzona","number":"7.3","points":2,"ptype":"open","subject":"fizyka","category":"matura","year":2019,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 7.3. (0-2)\nOpisana w zadaniu 7. soczewka dwuwklęsła znajduje się w powietrzu. W odległości 0,4 m od\nsoczewki, na jej osi optycznej, ustawiono przedmiot. Obserwator widzi obraz tego przedmiotu,\nktóry to obraz jest w odległości 0,25 m od soczewki.\nOblicz ogniskową tej soczewki.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 7.3. (0-2)\nWymagania ogólne\nWymagania szczegółowe\nI. Znajomość i umiejętność\nwykorzystania pojęć i praw fizyki\ndo wyjaśniania procesów i zjawisk\nw przyrodzie.\nZdający: 10.9) stosuje równanie soczewki,\nwyznacza położenie i powiększenie\notrzymanych obrazów.\nSchemat punktowania\n2 p. - prawidłowa metoda obliczenia ogniskowej oraz prawidłowy wynik liczbowy z jednostką.\n1 p. - zastosowanie równania soczewkowego z uwzględnieniem odpowiednich znaków.\n0 p. - brak spełnienia powyższych kryteriów.\nPrzykładowe rozwiązanie\nZapiszemy równanie soczewki. Uwzględnimy, że soczewka jest rozpraszająca, a obraz\nw punkcie odległym o y od soczewki jest pozorny:\n1\nݔ+ 1\nݕ= 1݂ gdzie\n= -|݂|, ݕ= -|ݕ|,\nݔ= +|ݔ|\n1\n|ݔ| -1\n|ݕ| = -1\n|݂| → 1\n0,4 -\n1\n0,25 = -1\n|݂| → |݂| ≈0,67 m → ݂\n≈-0,67 m\nUwaga! Znaki danych i wyniku muszą być zgodne z przyjętą konwencją zapisu równania.\nOprócz równania jak w przykładowym rozwiązaniu, za prawidłowe należy uznać poniższe\nrównania łącznie z prawidłowo (w danej konwencji) określonymi znakami danych i wyniku:\n1\nݔ+ 1\nݕ= 1݂ wtedy ݔ= 0,4 m, ݕ= -0,25 m,݂\n= -0,67 m ALBO\n1\nݔ-1\nݕ= 1݂ wtedy ݔ= 0,4 m, ݕ= 0,25 m,݂\n= -0,67 m ALBO\n1\nݔ-1\nݕ= -1݂ wtedy ݔ= 0,4 m, ݕ= 0,25 m,݂\n= 0,67 m","solution":"## Poprawna odpowiedź\n\n\\[\\boxed{f = -\\frac{2}{3} \\approx -0{,}67 \\text{ m}}\\]\n\nOgniskowa soczewki dwuwklęsłej wynosi \\(-\\frac{2}{3}\\) m ≈ **-0,67 m** (znak minus potwierdza, że jest to soczewka rozpraszająca).\n\n## Sposób 1 - Bezpośrednie podstawienie do wzoru soczewkowego\n\n**Krok 1 - Ustalenie oznaczeń i znaków.**\n\nKluczowe jest poprawne ustalenie znaków odległości:\n\n| Wielkość | Symbol | Wartość | Uzasadnienie |\n| Odległość przedmiotu | \\(x\\) | \\(+0{,}4 \\text{ m}\\) | Przedmiot rzeczywisty → znak **+** |\n| Odległość obrazu | \\(y\\) | \\(-0{,}25 \\text{ m}\\) | Obraz pozorny (soczewka dwuwklęsła tworzy TYLKO obrazy pozorne) → po tej samej stronie co przedmiot → znak **-** |\n\n> 🔎 Obraz pozorny soczewki rozpraszającej zawsze leży po tej samej stronie co przedmiot. Obserwator „widzi\" obraz w odległości 0,25 m - właśnie dlatego jest to obraz **pozorny**, nie rzeczywisty.\n\n**Krok 2 - Wzór soczewkowy:**\n\n\\[\n\\frac{1}{f} = \\frac{1}{x} + \\frac{1}{y}\n\\]\n\n**Krok 3 - Podstawienie:**\n\n\\[\n\\frac{1}{f} = \\frac{1}{0{,}4} + \\frac{1}{-0{,}25} = \\frac{1}{0{,}4} - \\frac{1}{0{,}25}\n\\]\n\n\\[\n\\frac{1}{f} = 2{,}5 - 4{,}0 = -1{,}5 \\text{ m}^{-1}\n\\]\n\n**Krok 4 - Wyznaczenie ogniskowej:**\n\n\\[\nf = \\frac{1}{-1{,}5} = -\\frac{2}{3} \\approx -0{,}67 \\text{ m}\n\\]\n\nZnak ujemny **potwierdza**, że jest to soczewka **rozpraszająca** (dwuwklęsła) - zgodnie z treścią zadania. ✓\n\n## Sposób 2 - Przekształcenie algebraiczne przed podstawieniem (szybsze obliczenia)\n\nZamiast podstawiać od razu, wyprowadź wzór na \\(f\\) z \\(x\\) i \\(y\\):\n\n\\[\n\\frac{1}{f} = \\frac{1}{x} + \\frac{1}{y} = \\frac{x + y}{xy}\n\\quad \\Longrightarrow \\quad\nf = \\frac{xy}{x + y}\n\\]\n\nPamiętamy: \\(x = +0{,}4 \\text{ m}\\), \\(y = -0{,}25 \\text{ m}\\).\n\n\\[\nf = \\frac{(+0{,}4)\\cdot(-0{,}25)}{(+0{,}4) + (-0{,}25)} = \\frac{-0{,}1}{0{,}15} = -\\frac{0{,}1}{0{,}15} = -\\frac{2}{3} \\approx -0{,}67 \\text{ m}\n\\]\n\n> 💡 Ten sposób jest **szybszy na maturze**, gdy nie ma miejsca na pośrednie wyniki. Jedna formuła, jedno działanie.\n\nWynik identyczny: \\(f \\approx -0{,}67 \\text{ m}\\). ✓\n\n## Sposób 3 - Przez zdolność skupiającą (zapis w dioptriach)\n\nZdolność skupiająca soczewki \\(Z\\) (moc optyczna) to:\n\n\\[\nZ = \\frac{1}{f} \\quad \\text{[dptr]}\n\\]\n\nZ Kroku 3 Sposobu 1 mamy już:\n\n\\[\nZ = \\frac{1}{f} = -1{,}5 \\text{ dptr}\n\\]\n\nStąd:\n\n\\[\nf = \\frac{1}{Z} = \\frac{1}{-1{,}5} \\approx -0{,}67 \\text{ m}\n\\]\n\nFizyczna interpretacja: soczewka o zdolności skupiającej **\\(-1{,}5\\) dptr** to soczewka **rozpraszająca**, co całkowicie spójne z soczewką **dwuwklęsłą**. ✓\n\n## Schemat oceniania CKE\n\n> 📋 **Schemat punktowania CKE (zadanie 7.3, 0-2 pkt):**\n>\n> - **2 pkt** - prawidłowa metoda obliczenia ogniskowej oraz prawidłowy wynik liczbowy z jednostką.\n> - **1 pkt** - zastosowanie równania soczewkowego z uwzględnieniem odpowiednich znaków.\n> - **0 pkt** - brak spełnienia powyższych kryteriów.\n>\n> **Przykładowe rozwiązanie CKE:** dla soczewki rozpraszającej i obrazu pozornego: \\(\\frac{1}{|x|} - \\frac{1}{|y|} = -\\frac{1}{|f|}\\), tj. \\(\\frac{1}{0{,}4} - \\frac{1}{0{,}25} = -\\frac{1}{|f|} \\to |f| \\approx 0{,}67 \\text{ m} \\to f \\approx -0{,}67 \\text{ m}\\). CKE dopuszcza różne konwencje znaków, o ile znaki danych i wyniku są spójne (równoważnie: \\(x = 0{,}4\\) m, \\(y = -0{,}25\\) m, \\(f = -0{,}67\\) m).\n\n## Wzory z karty CKE - czego MASZ użyć\n\n> 📖 **Karta wzorów CKE - sekcja FIZYKA (Optyka):**\n>\n> **Równanie soczewki (wzór soczewkowy):**\n> \\[\n> \\frac{1}{f} = \\frac{1}{x} + \\frac{1}{y}\n> \\]\n> gdzie \\(x\\) - odległość przedmiotu od soczewki, \\(y\\) - odległość obrazu od soczewki (z uwzględnieniem znaków).\n>\n> **Zdolność skupiająca:**\n> \\[\n> Z = \\frac{1}{f} \\quad \\text{[1/m = dptr]}\n> \\]\n>\n> Karta nie podaje konwencji znaków wprost - musisz ją **znać z głowy**: obraz pozorny → \\(y < 0\\), soczewka rozpraszająca → \\(f < 0\\).\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga: Znak obrazu.** Najczęstszy błąd: podstawienie \\(y = +0{,}25\\) m zamiast \\(y = -0{,}25\\) m. Obraz soczewki rozpraszającej jest **zawsze pozorny** - leży po tej samej stronie co przedmiot - więc \\(y\\) jest UJEMNE.\n\n> ⚠️ **Uwaga: Wynik dodatni = alarm.** Jeśli wyjdzie ci \\(f > 0\\) dla soczewki dwuwklęsłej - to błąd. Soczewka dwuwklęsła to soczewka **rozpraszająca** (\\(f < 0\\)). Wynik dodatni natychmiast sygnalizuje błędny znak przy odległości obrazu.\n\n> ⚠️ **Uwaga: \"Widzi obraz w odległości 0,25 m\" ≠ obraz rzeczywisty.** Słowo \"widzi\" sugeruje obraz pozorny - obserwator patrząc przez soczewkę rozpraszającą widzi zmniejszony, wyprostowany obraz **bliżej** soczewki niż przedmiot. To typowy kontekst dla okularów krótkowidza (soczewka dwuwklęsła!).\n\n> ⚠️ **Uwaga: Jednostki.** Obie odległości (0,4 m i 0,25 m) są w metrach - wynik ogniskowej wychodzi od razu w metrach. Gdybyś podstawił w centymetrach, wynik też byłby w centymetrach (\\(f \\approx -66{,}7\\) cm) - ale trzeba być konsekwentnym.","image":"img/fizyka-2019-maj-matura-rozszerzona/zad-7.3.webp","solution_image":null,"topics":"Fale elektromagnetyczne i optyka","page_from":13,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Fizyka · Matura · maj 2019 (rozszerzona)","subject_label":"Fizyka","category_label":"Matura"},{"id":"fizyka-2019-maj-matura-rozszerzona/zad/8","paper_id":"fizyka-2019-maj-matura-rozszerzona","number":"8","points":3,"ptype":"open","subject":"fizyka","category":"matura","year":2019,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 8. (0-3)\nRozważamy\nprzejścia\nelektronu\npomiędzy\nwybranymi\npoziomami\nenergetycznymi A, B, C, D w pewnym atomie. Elektron może przechodzić\nz poziomu A do poziomu B, z poziomu B do poziomu C oraz z poziomu C do\npoziomu D. Ponadto możliwe jest bezpośrednie przejście elektronu z poziomu\nA do poziomu D (zobacz rys. obok). Długości fal fotonów emitowanych\npodczas tych przejść oznaczymy odpowiednio: λAB, λBC, λCD, λAD.\nWyprowadź wzór pozwalający wyznaczyć - tylko na podstawie danych\nwielkości: λAB, λBC, λCD - długość fali λAD fotonu emitowanego przy\nprzejściu elektronu bezpośrednio z poziomu A do poziomu D.\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n7.1.\n7.2.\n7.3.\n8.\nMaks. liczba pkt\n1\n1\n2\n3\nUzyskana liczba pkt\nA\nB\nC\nD\nMFA_1R","answer":null,"answer_text":"Zadanie 8. (0-3)\nWymagania ogólne\nWymagania szczegółowe\nI. Znajomość i umiejętność\nwykorzystania pojęć i praw fizyki\ndo wyjaśniania procesów i zjawisk\nw przyrodzie.\nZdający:\n11.1) opisuje założenia kwantowego modelu\nświatła;\n11.2) stosuje zależność między energią fotonu\na częstotliwością i długością fali […];\n11.3) stosuje zasadę zachowania energii do\nwyznaczenia częstotliwości promieniowania\nemitowanego i absorbowanego przez atomy;\n6.8) Zdający stosuje w obliczeniach związek\nmiędzy parametrami fali: długością,\nczęstotliwością, okresem, prędkością.\nSchemat punktowania\n3 p. - prawidłowe wyprowadzenie wzoru pozwalającego na wyznaczenie ߣ୅ୈ tylko na\npodstawie danych długości fal oraz prawidłowa postać końcowego wzoru (bez błędu\nw przekształceniach) w postaci:\nߣ୅ୈ=\nߣ୅୆ߣ୆େߣେୈ\nߣ୆େߣେୈ+ ߣ୅୆ߣେୈ+ ߣ୅୆ߣ୆େ\nalbo 1\nߣ୅ୈ\n= 1\nߣ୅୆\n+ 1\nߣ୆େ\n+ 1\nߣେୈ\n2 p. - zapisanie zasady zachowania energii wiążącej energie emitowanych fotonów (krok 1.)\noraz zapisanie wzoru Plancka na energię emitowanego fotonu łącznie z wykorzystaniem\nzwiązku pomiędzy częstotliwością i długością fali fotonu - np. zapis ܧ= ℎ݂ łącznie\nz równaniem ܿ= ߣ݂ albo zapis ܧ=\n௛௖\nఒ (krok 2.).\n1 p. - zapisanie zasady zachowania energii wiążącej energie emitowanych fotonów -\nwystarczy zapis: ∆ܧ୅ୈ= ∆ܧ୅୆+ ∆ܧ୆େ+ ∆ܧେୈ lub ܧ୅ୈ= ܧ୅୆+ ܧ୆େ+ ܧେୈ (krok 1.).\n0 p. - brak spełnienia powyższych kryteriów.\nPrzykładowe rozwiązanie\nKrok 1. Skorzystamy z zasady zachowania energii. Energia fotonu EXY emitowanego podczas\nprzejścia elektronu z poziomu X na Y jest równa różnicy energii ΔEXY = EX - EY jakie\nma elektron na poszczególnych poziomach. W związku z tym, ponieważ zachodzi\n∆ܧ୅ୈ= ∆ܧ୅୆+ ∆ܧ୆େ+ ∆ܧେୈ to także zachodzi:\nܧ୅ୈ= ܧ୅୆+ ܧ୆େ+ ܧେୈ\nKrok 2. Zapiszemy wzory Plancka na energie emitowanych fotonów podczas przejść elektronu\npomiędzy poziomami energetycznymi oraz wykorzystamy związek ܿ= ߣ݂:\nܧ୅୆= ℎ݂୅୆= ℎ\nߣ୅୆\n, ܧ୆େ= ℎ݂୆େ= ℎ\nߣ୆େ\n, ܧେୈ= ℎ݂େୈ= ℎ\nߣେୈ\n, ܧ୅ୈ= ℎ݂୅ୈ= ℎ\nߣ୅ୈ\nKrok 3. W związku z powyższymi równaniami mamy:\nℎ\nߣ୅ୈ\n= ℎ\nߣ୅୆\n+ ℎ\nߣ୆େ\n+ ℎ\nߣେୈ\n→ 1\nߣ୅ୈ\n= 1\nߣ୅୆\n+ 1\nߣ୆େ\n+ 1\nߣେୈ\n1\nߣ୅ୈ\n= ߣ୆େߣେୈ+ ߣ୅୆ߣେୈ+ ߣ୅୆ߣ୆େ\nߣ୅୆ߣ୆େߣେୈ\n→ ߣ୅ୈ=\nߣ୅୆ߣ୆େߣେୈ\nߣ୆େߣେୈ+ ߣ୅୆ߣେୈ+ ߣ୅୆ߣ୆େ","solution":"## Poprawna odpowiedź\n\n\\[\n\\boxed{\\lambda_{AD} = \\frac{\\lambda_{AB} \\cdot \\lambda_{BC} \\cdot \\lambda_{CD}}{\\lambda_{BC}\\lambda_{CD} + \\lambda_{AB}\\lambda_{CD} + \\lambda_{AB}\\lambda_{BC}}}\n\\]\n\nlub równoważnie:\n\n\\[\n\\frac{1}{\\lambda_{AD}} = \\frac{1}{\\lambda_{AB}} + \\frac{1}{\\lambda_{BC}} + \\frac{1}{\\lambda_{CD}}\n\\]\n\n## Sposób 1 - Zasada zachowania energii + substytucja \\(E = \\frac{hc}{\\lambda}\\)\n\n**Krok 1 - Spostrzeżenie fizyczne (kluczowe!):**\n\nPoziomy energetyczne: \\(E_A > E_B > E_C > E_D\\).\n\nEnergia emitowanego fotonu przy przejściu \\(A \\to D\\) równa się różnicy energii poziomów:\n\n\\[\nE_{AD} = E_A - E_D\n\\]\n\nMożemy tę różnicę **rozpisać teleskopowo** (bo \\(A \\to B \\to C \\to D\\) to ta sama droga energetyczna co \\(A \\to D\\)):\n\n\\[\nE_A - E_D = \\underbrace{(E_A - E_B)}_{E_{AB}} + \\underbrace{(E_B - E_C)}_{E_{BC}} + \\underbrace{(E_C - E_D)}_{E_{CD}}\n\\]\n\nStąd:\n\n\\[\nE_{AD} = E_{AB} + E_{BC} + E_{CD}\n\\]\n\n**Krok 2 - Substytucja wzoru na energię fotonu:**\n\nFoton o długości fali \\(\\lambda\\) ma energię:\n\n\\[\nE = hf = \\frac{hc}{\\lambda}\n\\]\n\nPodstawiamy do równania z Kroku 1:\n\n\\[\n\\frac{hc}{\\lambda_{AD}} = \\frac{hc}{\\lambda_{AB}} + \\frac{hc}{\\lambda_{BC}} + \\frac{hc}{\\lambda_{CD}}\n\\]\n\n**Krok 3 - Uproszczenie (dzielimy obie strony przez \\(hc\\)):**\n\n\\[\n\\frac{1}{\\lambda_{AD}} = \\frac{1}{\\lambda_{AB}} + \\frac{1}{\\lambda_{BC}} + \\frac{1}{\\lambda_{CD}}\n\\]\n\n**Krok 4 - Wyznaczenie \\(\\lambda_{AD}\\):**\n\nWspólny mianownik po prawej stronie to \\(\\lambda_{AB}\\lambda_{BC}\\lambda_{CD}\\):\n\n\\[\n\\frac{1}{\\lambda_{AD}} = \\frac{\\lambda_{BC}\\lambda_{CD} + \\lambda_{AB}\\lambda_{CD} + \\lambda_{AB}\\lambda_{BC}}{\\lambda_{AB}\\lambda_{BC}\\lambda_{CD}}\n\\]\n\nStąd:\n\n\\[\n\\lambda_{AD} = \\frac{\\lambda_{AB} \\cdot \\lambda_{BC} \\cdot \\lambda_{CD}}{\\lambda_{BC}\\lambda_{CD} + \\lambda_{AB}\\lambda_{CD} + \\lambda_{AB}\\lambda_{BC}}\n\\]\n\n## Sposób 2 - Algebraiczny przez częstotliwości (weryfikacja)\n\nEnergię można wyrazić też przez częstotliwość \\(E = hf\\), a \\(f = c/\\lambda\\):\n\n\\[\nf_{AD} = f_{AB} + f_{BC} + f_{CD}\n\\]\n\n\\[\n\\frac{c}{\\lambda_{AD}} = \\frac{c}{\\lambda_{AB}} + \\frac{c}{\\lambda_{BC}} + \\frac{c}{\\lambda_{CD}}\n\\]\n\nPo podzieleniu przez \\(c\\) dostajemy ten sam wynik co w Sposobie 1. Widać też ważną **zasadę Ritza**: częstotliwość fotonu emitowanego przy przejściu \\(A \\to D\\) jest sumą częstotliwości fotonu \\(A \\to B\\), \\(B \\to C\\), \\(C \\to D\\). To empiryczne prawo spektroskopii.\n\n## Sposób 3 - Sprawdzenie sensowności wzoru (analiza jakościowa)\n\nPrzejście \\(A \\to D\\) obejmuje **największą różnicę energii** ze wszystkich przejść w schemacie, bo skok jest od najwyższego do najniższego poziomu. Emitowany foton powinien więc mieć:\n\n\\[\nE_{AD} > E_{AB},\\quad E_{AD} > E_{BC},\\quad E_{AD} > E_{CD}\n\\]\n\nco oznacza (bo \\(E = hc/\\lambda\\), tj. większa energia → krótsza fala):\n\n\\[\n\\lambda_{AD} < \\lambda_{AB},\\quad \\lambda_{AD} < \\lambda_{BC},\\quad \\lambda_{AD} < \\lambda_{CD}\n\\]\n\nWzór \\(\\frac{1}{\\lambda_{AD}} = \\frac{1}{\\lambda_{AB}} + \\frac{1}{\\lambda_{BC}} + \\frac{1}{\\lambda_{CD}}\\) to spełnia - odwrotność sumy odwrotności jest **mniejsza** niż każdy ze składników. ✓\n\n## Schemat oceniania CKE\n\n> 📋 **Schemat punktowania CKE (zadanie 8, 0-3 pkt):**\n>\n> - **3 pkt** - prawidłowe wyprowadzenie wzoru pozwalającego na wyznaczenie \\(\\lambda_{AD}\\) tylko na podstawie danych długości fal oraz prawidłowa postać końcowego wzoru: \\(\\lambda_{AD} = \\dfrac{\\lambda_{AB}\\lambda_{BC}\\lambda_{CD}}{\\lambda_{BC}\\lambda_{CD} + \\lambda_{AB}\\lambda_{CD} + \\lambda_{AB}\\lambda_{BC}}\\) albo \\(\\dfrac{1}{\\lambda_{AD}} = \\dfrac{1}{\\lambda_{AB}} + \\dfrac{1}{\\lambda_{BC}} + \\dfrac{1}{\\lambda_{CD}}\\).\n> - **2 pkt** - zapisanie zasady zachowania energii wiążącej energie emitowanych fotonów (krok 1.) oraz zapisanie wzoru Plancka na energię fotonu łącznie z wykorzystaniem związku \\(c = \\lambda f\\) - np. \\(E = hf\\) i \\(c = \\lambda f\\), albo \\(E = \\frac{hc}{\\lambda}\\) (krok 2.).\n> - **1 pkt** - zapisanie zasady zachowania energii: \\(\\Delta E_{AD} = \\Delta E_{AB} + \\Delta E_{BC} + \\Delta E_{CD}\\) lub \\(E_{AD} = E_{AB} + E_{BC} + E_{CD}\\) (krok 1.).\n> - **0 pkt** - brak spełnienia powyższych kryteriów.\n\n## Wzory z karty CKE - czego MASZ użyć\n\n> 📖 **Karta wzorów CKE - Fizyka, sekcja „Fizyka kwantowa\":**\n>\n> **Energia fotonu:**\n> \\[E = hf = \\frac{hc}{\\lambda}\\]\n> gdzie \\(h = 6{,}626 \\times 10^{-34}\\ \\text{J·s}\\) (stała Plancka), \\(c\\) - prędkość światła.\n>\n> Użyliśmy w Kroku 2 Sposobu 1: podstawiając \\(E = hc/\\lambda\\) za każdą energię przejścia, przekształcamy równanie energetyczne na równanie zawierające tylko długości fal.\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Najczęstszy błąd to próba **dodawania długości fal**: \\(\\lambda_{AD} = \\lambda_{AB} + \\lambda_{BC} + \\lambda_{CD}\\). To fundamentalnie błędne - energię przejść się sumuje, a długości fal sumują odwrotności!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Pamiętaj, że im **większa energia fotonu**, tym **krótsza długość fali** (\\(E = hc/\\lambda\\) - odwrotna proporcjonalność). Foton \\(A \\to D\\) ma największą energię, więc najkrótszą falę ze wszystkich czterech.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Zadanie mówi **„tylko na podstawie \\(\\lambda_{AB}\\), \\(\\lambda_{BC}\\), \\(\\lambda_{CD}\\)\"** - finalna postać wzoru nie może zawierać innych wielkości (np. \\(h\\), \\(c\\), wartości energii poziomów). Stała Plancka i \\(c\\) **muszą się skrócić** - to wymóg formalny zadania.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Zasada Ritza (\\(f_{AD} = f_{AB} + f_{BC} + f_{CD}\\)) wynika wprost z modelu kwantowego atomu - jest ogólna i niezależna od konkretnego modelu (Bohr, Schrödinger). Jeśli pamiętasz tę zasadę, możesz zacząć od niej i od razu przejść do długości fal przez \\(\\lambda = c/f\\).","image":"img/fizyka-2019-maj-matura-rozszerzona/zad-8.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":13,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Fizyka · Matura · maj 2019 (rozszerzona)","subject_label":"Fizyka","category_label":"Matura"},{"id":"fizyka-2019-maj-matura-rozszerzona/zad/9","paper_id":"fizyka-2019-maj-matura-rozszerzona","number":"9","points":null,"ptype":"open","subject":"fizyka","category":"matura","year":2019,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 9.\nDodatnie jony wpadają w obszar jednorodnego pola magnetycznego tak, że ich prędkości są\nprostopadłe do wektora indukcji magnetycznej. W obszarze pola magnetycznego tor jonu jest\nokręgiem (lub fragmentem okręgu). Promienie tych okręgów zależą od wartości prędkości\njonów, ich masy, ładunku elektrycznego oraz od wartości indukcji pola magnetycznego.\nPowyższe zjawisko wykorzystuje się do wyznaczania masy jonów. W tym celu początkowo\nspoczywające jony najpierw przyspiesza się w polu elektrycznym napięciem U. Rozpędzone\njony uzyskują pewną prędkość, z którą opuszczają obszar pola elektrycznego i wpadają\nw obszar jednorodnego pola magnetycznego o wektorze indukcji BሬԦ, prostopadłym do wektora\nprędkości jonu vሬԦ. Jony zakreślają w polu magnetycznym półokręgi, po czym wpadają do\ndetektora w odległości d (zależącej m.in. od masy jonów) od źródła jonów (zobacz rys. poniżej).\nZakładamy, że jony poruszają się w próżni, oraz pomijamy wpływ innych pól na ruch jonów.","answer":null,"answer_text":null,"solution":null,"image":"img/fizyka-2019-maj-matura-rozszerzona/zad-9.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":14,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Fizyka · Matura · maj 2019 (rozszerzona)","subject_label":"Fizyka","category_label":"Matura"},{"id":"fizyka-2019-maj-matura-rozszerzona/zad/9.1","paper_id":"fizyka-2019-maj-matura-rozszerzona","number":"9.1","points":2,"ptype":"open","subject":"fizyka","category":"matura","year":2019,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 9.1. (0-2)\na) Na powyższym rysunku narysuj w punkcie A wektor siły magnetycznej Lorentza\ndziałającej na jon dodatni. Zaznacz dokładny kierunek i zwrot tej siły.\nb) Na rysunku przy symbolu wektora indukcji magnetycznej BሬԦ narysuj zwrot tego\nwektora.\nUżyj w tym celu jednego z symboli:\n- oznaczającego zwrot przed płaszczyznę rysunku (w stronę do patrzącego) LUB\n- oznaczającego zwrot za płaszczyznę rysunku, LUB\n→ - oznaczającego zwrot w prawo, LUB\n← - oznaczającego zwrot w lewo.\ndetektor jonów\nBሬԦ\nU\nd = 2r\nA\nr\nvሬԦ\nMFA_1R","answer":null,"answer_text":"Zadanie 9.1. (0-2)\nWymagania ogólne\nWymagania szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i przetwarzanie\ninformacji zapisanych w postaci tekstu,\ntabel, wykresów, schematów\ni rysunków.\nZdający:\n1.2) (P) […] wskazuje przykłady sił pełniących\nrolę siły dośrodkowej;\n1.1) […] wykonuje działania na wektorach;\n9.3) analizuje ruch cząstki naładowanej\nw stałym jednorodnym polu magnetycznym.\nSchemat punktowania a)\n1 p. - prawidłowe narysowanie siły Lorentza o charakterze siły dośrodkowej (prosta\nwyznaczająca kierunek siły musi przechodzić przez środek okręgu).\n0 p. - brak spełnienia powyższego kryterium.\nSchemat punktowania b)\n1 p. - prawidłowe narysowanie zwrotu wektora indukcji magnetycznej.\n0 p. - brak spełnienia powyższego kryterium.\nPoprawne rozwiązanie a) oraz b)\n(Na rysunku poniżej).\ndetektor jonów\nBሬሬԦ\nU\nd=2r\nA\nr\nFሬԦL","solution":"## Poprawna odpowiedź\n\nNa schemacie należy narysować:\n1. **Wektor indukcji magnetycznej \\(\\vec{B}\\)** - skierowany **prostopadle do płaszczyzny rysunku, ku nam** (z płaszczyzny) \\(\\odot\\)\n2. **Wektor siły Lorentza \\(\\vec{F}_L\\)** w punkcie A (szczyt półokręgu) - skierowany **pionowo w dół**, ku środkowi okręgu (siła dośrodkowa)\n\n## Sposób 1 - Analiza wektorowa siły Lorentza krok po kroku\n\n**Krok 1 - ustal geometrię ruchu.**\n\nJon dodatni opuszcza źródło i wchodzi w pole magnetyczne z **prędkością \\(\\vec{v}\\) skierowaną pionowo w górę** (\\(+y\\)). Zakres półokręgu: jon startuje u dołu, dochodzi do punktu A (szczyt), a potem wraca do detektora oddalonego o \\(d = 2r\\) w prawo od źródła. Środek okręgu leży **na osi poziomej**, na wysokości wejścia, w odległości \\(r\\) od źródła.\n\n**Krok 2 - wyznacz kierunek \\(\\vec{B}\\).**\n\nSiła Lorentza na jon dodatni: \\(\\vec{F}_L = q\\vec{v} \\times \\vec{B}\\)\n\nJon musi skręcić **w prawo** (bo detektor jest z prawej strony). Przy wejściu \\(\\vec{v} = v\\hat{j}\\) (w górę). Potrzebujemy \\(\\vec{F}_L\\) w kierunku \\(+x\\) (w prawo), żeby jon skręcił w prawo:\n\n\\[\nq\\,v\\hat{j} \\times \\vec{B} \\stackrel{!}{=} F\\hat{i}\n\\]\n\nSprawdzamy \\(\\vec{B} = B\\hat{k}\\) (z płaszczyzny, ku nam):\n\n\\[\n\\hat{j} \\times \\hat{k} = \\hat{i} \\quad \\checkmark\n\\]\n\n**Wniosek: \\(\\vec{B}\\) skierowane z płaszczyzny rysunku ku nam** (\\(\\odot\\), symbol: kropka w okręgu).\n\n**Krok 3 - wyznacz \\(\\vec{F}_L\\) w punkcie A.**\n\nW punkcie A jon jest na **szczycie półokręgu**, więc jego prędkość jest **pozioma, w prawo** \\(\\vec{v}_A = v\\hat{i}\\):\n\n\\[\n\\vec{F}_L = q\\vec{v}_A \\times \\vec{B} = q\\,v\\hat{i} \\times B\\hat{k} = qvB(\\hat{i} \\times \\hat{k})\n\\]\n\nKorzystając z reguły prawej ręki: \\(\\hat{i} \\times \\hat{k} = -\\hat{j}\\)\n\n\\[\n\\vec{F}_L = -qvB\\hat{j}\n\\]\n\n**Siła w punkcie A skierowana jest pionowo w dół** \\((-y)\\) - dokładnie ku środkowi okręgu, pełni rolę siły dośrodkowej. ✓\n\n## Sposób 2 - Reguła lewej ręki (metoda maturalna, szybka)\n\nReguła dla ładunków dodatnich: **lewa ręka**\\* ← *uwaga, to reguła dla prądu; dla ładunku dodatniego można też zastosować regułę prawej ręki dla* \\(q\\vec{v} \\times \\vec{B}\\).\n\nProściej: **reguła śruby (prawej ręki) dla iloczynu wektorowego:**\n\n**Przy wejściu jonu (\\(\\vec{v}\\) w górę, \\(\\vec{B}\\) - do wyznaczenia):**\n\nUstawiamy palce w kierunku \\(\\vec{v}\\) (w górę), zwijamy ku \\(\\vec{B}\\), kciuk wskazuje \\(\\vec{F}_L\\). Potrzebujemy \\(\\vec{F}_L\\) w prawo → \\(\\vec{B}\\) musi wychodzić z kartki ku nam. ✓\n\n**W punkcie A (\\(\\vec{v}\\) w prawo, \\(\\vec{B}\\) ku nam):**\n\n\\(\\vec{v} \\times \\vec{B}\\): palce wskazują w prawo, zwijamy ku górze (ku nam) → kciuk wskazuje **w dół**. ✓\n\n## Sposób 3 - Geometria dośrodkowa (weryfikacja bez rachunków)\n\nSiła magnetyczna **zawsze prostopadła do \\(\\vec{v}\\)** → nie wykonuje pracy, jedynie zakrzywia tor. Oznacza to, że \\(\\vec{F}_L\\) **zawsze wskazuje ku środkowi okręgu**.\n\n| Punkt na torze | Kierunek \\(\\vec{v}\\) | Kierunek ku środkowi | \\(\\vec{F}_L\\) |\n| Wejście (dół) | w górę \\(\\uparrow\\) | w prawo \\(\\rightarrow\\) | w prawo \\(\\rightarrow\\) |\n| Punkt A (szczyt) | w prawo \\(\\rightarrow\\) | w dół \\(\\downarrow\\) | **w dół \\(\\downarrow\\)** |\n| Wyjście (dół) | w dół \\(\\downarrow\\) | w lewo \\(\\leftarrow\\) | w lewo \\(\\leftarrow\\) |\n\nTo geometryczne uzasadnienie nie wymaga obliczeń - **wystarczy wiedzieć, gdzie jest środek okręgu**.\n\n## Schemat oceniania CKE\n\n> 📋 **Schemat punktowania CKE (zadanie 9.1, 0-2 pkt):**\n>\n> **a) (0-1):** 1 p. - prawidłowe narysowanie siły Lorentza o charakterze siły dośrodkowej (prosta wyznaczająca kierunek siły musi przechodzić przez środek okręgu). 0 p. - brak spełnienia kryterium.\n>\n> **b) (0-1):** 1 p. - prawidłowe narysowanie zwrotu wektora indukcji magnetycznej. 0 p. - brak spełnienia kryterium.\n>\n> **Poprawne rozwiązanie CKE:** wektor indukcji \\(\\vec{B}\\) skierowany przed płaszczyznę rysunku (ku patrzącemu, symbol \\(\\odot\\)); wektor siły Lorentza \\(\\vec{F}_L\\) w punkcie A skierowany ku środkowi okręgu (dośrodkowo, ukośnie w dół ku środkowi półokręgu).\n\n## Wzory z karty CKE - czego MASZ użyć\n\n> 📖 **Karta wzorów CKE - sekcja FIZYKA, siła Lorentza:**\n> \\[F = qvB\\sin\\alpha\\]\n> gdzie \\(\\alpha\\) - kąt między \\(\\vec{v}\\) a \\(\\vec{B}\\). Tu \\(\\alpha = 90°\\), więc \\(\\sin\\alpha = 1\\), \\(F = qvB\\) (wartość maksymalna).\n>\n> Kierunek wyznaczamy z iloczynu wektorowego \\(\\vec{F} = q\\vec{v} \\times \\vec{B}\\) - nie ma wzoru na karcie, ale jest to standardowa reguła prawej ręki.\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Najczęstszy błąd - **odwrócenie kierunku \\(\\vec{B}\\)** (wbijające w kartkę zamiast wychodzące). To prowadzi do siły skierowanej w lewo przy wejściu → jon skręca w lewo → detektor byłby po lewej stronie, **sprzeczność z rysunkiem**.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** W punkcie A wektor \\(\\vec{F}_L\\) wskazuje **w dół (ku środkowi okręgu)**, NIE \"w górę\" - częsty błąd przy intuicyjnym myśleniu \"jon jest na górze, więc siła go ciągnie w górę\". Siła dośrodkowa zawsze ku środkowi.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wektor \\(\\vec{B}\\) jest **prostopadły do płaszczyzny rysunku** - zaznaczamy go symbolem \\(\\odot\\) (ku nam) lub \\(\\otimes\\) (od nas), **nie strzałką w płaszczyźnie**. Strzałka w płaszczyźnie to błąd rysunkowy dyskwalifikujący odpowiedź.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** W tym zadaniu \\(\\vec{B}\\) jest **prostopadłe do \\(\\vec{v}\\)** przez cały czas ruchu (ruch w płaszczyźnie \\(xy\\), \\(\\vec{B}\\) wzdłuż \\(z\\)) - kąt \\(\\alpha = 90°\\) jest stały, więc wartość siły \\(F = qvB = \\text{const}\\), a prędkość \\(|\\vec{v}|\\) nie zmienia się (pole magnetyczne nie wykonuje pracy).","image":"img/fizyka-2019-maj-matura-rozszerzona/zad-9.1.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":14,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Fizyka · Matura · maj 2019 (rozszerzona)","subject_label":"Fizyka","category_label":"Matura"},{"id":"fizyka-2019-maj-matura-rozszerzona/zad/9.2","paper_id":"fizyka-2019-maj-matura-rozszerzona","number":"9.2","points":3,"ptype":"open","subject":"fizyka","category":"matura","year":2019,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 9.2. (0-3)\nW doświadczeniu opisanym w zadaniu 9. znane są wartość B wektora indukcji magnetycznej,\nnapięcie U przyspieszające jony oraz jest mierzona odległość d.\nWyprowadź wzór pozwalający na wyznaczenie masy jednokrotnie zjonizowanego jonu\nw zależności od wartości U, B, d i wartości e ładunku elementarnego.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 9.2. (0-3)\nWymagania ogólne\nWymagania szczegółowe\nIV. Budowa prostych modeli fizycznych\ni matematycznych do opisu zjawisk.\nZdający:\n1.2) (P) opisuje zależności między siłą\ndośrodkową a masą, prędkością liniową\ni promieniem […];\n9.3) analizuje ruch cząstki naładowanej\nw stałym jednorodnym polu magnetycznym;\n7.11) analizuje ruch cząstki naładowanej\nw stałym jednorodnym polu elektrycznym;\n2.3) (G) opisuje wpływ wykonanej pracy na\nzmianę energii;\n3.2) oblicza wartość energii kinetycznej ciał […].\nSchemat punktowania\n3 p. - prawidłowe wyprowadzenie i postać zależności pozwalającej na wyznaczenie masy jonu.\n2 p. - wykonanie kroku 1.a. oraz wykonanie kroku 1.b.\n1 p. - zapisanie relacji identyfikującej siłę Lorentza jako siłę dośrodkową, z uwzględnieniem\nwzorów na te siły (krok 1.a.)\nlub\n- zapisanie wyrażenia wiążącego zmianę energii kinetycznej z pracą sił pola elektrycznego\nłącznie z zastosowaniem wzorów na energię kinetyczną i pracę w polu elektrycznym\n(albo równoważne zastosowanie dynamicznych równań ruchu w jednorodnym polu\nelektrycznym z identyfikacją siły elektrycznej łącznie z kinematycznymi równaniami\nruchu jednostajnie przyspieszonego:\n௎\n௬ݍ oraz ݒଶ= 2ܽݕ) (krok 1.b.).\n0 p. - brak spełnienia powyższych kryteriów.\nPrzykładowe rozwiązanie\nKrok 1.a. Zapiszemy równanie identyfikujące siłę Lorentza jako siłę dośrodkową, łącznie\nz uwzględnieniem wzorów na te siły:\nݒଶ\nݎ=݁ݒܤ gdzie ݎ=݀2\nKrok 1.b. Zapiszemy związek pomiędzy energią kinetyczną, którą uzyskał jon w polu\nelektrycznym, a pracą sił elektrycznych działających na ten jon - łącznie z zastosowaniem\nwzoru na energię kinetyczną i pracę w polu elektrycznym. Początkowa energia kinetyczna jonu\nwynosiła zero, zatem (e oznacza wartość ładunku elementarnego):\n∆ܧ௞௜௡=\nா → 1\n2\nݒଶ -1\n2\n∙0ଶ=\n→ 1\n2݉\nݒଶ=\nKrok 2. Na podstawie powyższych równań wyznaczymy masę jonu:\nەۖ\n۔ۖ\nۓ1\n2\nݒଶ=\nݒଶ\nݎ=݁ݒܤ\nݎ=݀2\n→\nەۖ\n۔ۖ\nۓ1\n2\nݒଶ=\nݒ=݁ݎܤ݉\nݎ=݀\n/2\n→ 1\n2݉\n൬݁ݎܤ݉൰\nଶ\nଶݎଶܤଶ\n2\n௥ୀௗ\nଶ\nሱۛሮ\nଶ\nଶܤଶ\n8\n→ ݉\n=݁݀\nଶܤଶ\n8","solution":"## Poprawna odpowiedź\n\n$$\\boxed{m = \\frac{eB^2d^2}{8U}}$$\n\n## Sposób 1 - Klasyczne wyprowadzenie: energia kinetyczna + siła Lorentza\n\n### Krok 1: Przyspieszanie jonu przez napięcie U\n\nJon jednokrotnie zjonizowany ma ładunek \\(+e\\). Przyspieszany napięciem \\(U\\) zyskuje energię kinetyczną:\n\n\\[eU = \\frac{1}{2}mv^2\\]\n\nStąd prędkość jonu po przyspieszeniu:\n\n\\[v = \\sqrt{\\frac{2eU}{m}} \\tag{1}\\]\n\n### Krok 2: Ruch kołowy w polu magnetycznym\n\nJon wlatuje w jednorodne pole magnetyczne \\(B\\) prostopadle do linii pola. Siła Lorentza pełni rolę siły dośrodkowej:\n\n\\[evB = \\frac{mv^2}{r}\\]\n\nStąd promień toru kołowego:\n\n\\[r = \\frac{mv}{eB} \\tag{2}\\]\n\n### Krok 3: Powiązanie z mierzoną odległością d\n\nJon zatacza półokrąg i uderza w detektor (płytkę fotograficzną). Mierzona odległość \\(d\\) to **średnica** koła, czyli:\n\n\\[d = 2r \\quad \\Rightarrow \\quad r = \\frac{d}{2} \\tag{3}\\]\n\n### Krok 4: Eliminacja prędkości - łączenie równań (1) i (2)\n\nZ równania (2): \\(v = \\frac{eBr}{m} = \\frac{eBd}{2m}\\)\n\nWstawiamy do równania (1):\n\n\\[eU = \\frac{1}{2}m \\cdot \\left(\\frac{eBd}{2m}\\right)^2 = \\frac{1}{2}m \\cdot \\frac{e^2B^2d^2}{4m^2} = \\frac{e^2B^2d^2}{8m}\\]\n\nWyznaczamy \\(m\\):\n\n\\[\\boxed{m = \\frac{eB^2d^2}{8U}}\\]\n\n## Sposób 2 - Podstawienie wprost: wyrażenie v przez r, potem przez d\n\nZamiast eliminować \\(v\\) przez \\(m\\), można postąpić odwrotnie - wyrazić \\(v\\) przez znane \\(r\\), a następnie użyć obu równań.\n\n**Z równania ruchu kołowego:**\n\\[v = \\frac{eBr}{m} \\tag{A}\\]\n\n**Z zasady zachowania energii:**\n\\[v^2 = \\frac{2eU}{m} \\tag{B}\\]\n\nDzielimy stronami \\((A)^2 / (B)\\):\n\n\\[\\frac{v^2}{v^2} = \\frac{e^2B^2r^2/m^2}{2eU/m}\\]\n\n\\[1 = \\frac{eB^2r^2}{2Um}\\]\n\n\\[m = \\frac{eB^2r^2}{2U}\\]\n\nPodstawiamy \\(r = \\frac{d}{2}\\):\n\n\\[m = \\frac{eB^2 \\cdot \\frac{d^2}{4}}{2U} = \\frac{eB^2d^2}{8U}\\]\n\nTen sposób unika potrzeby jawnego liczenia \\(v\\) - od razu widać, że \\(m\\) zależy od kwadratu promienia.\n\n## Schemat oceniania CKE\n\n> 📋 **Schemat punktowania CKE (zadanie 9.2, 0-3 pkt):**\n>\n> - **3 pkt** - prawidłowe wyprowadzenie i postać zależności pozwalającej na wyznaczenie masy jonu: \\(m = \\frac{ed^2B^2}{8U}\\).\n> - **2 pkt** - wykonanie kroku 1.a. oraz wykonanie kroku 1.b.\n> - **1 pkt** - zapisanie relacji identyfikującej siłę Lorentza jako siłę dośrodkową, z uwzględnieniem wzorów na te siły: \\(m\\frac{v^2}{r} = evB\\), \\(r = \\frac{d}{2}\\) (krok 1.a.) **LUB** zapisanie wyrażenia wiążącego zmianę energii kinetycznej z pracą sił pola elektrycznego: \\(\\frac{1}{2}mv^2 = eU\\) (krok 1.b.).\n> - **0 pkt** - brak spełnienia powyższych kryteriów.\n\n## Wzory z karty CKE - czego MASZ użyć\n\n> 📖 **Karta wzorów CKE - sekcja FIZYKA:**\n>\n> - **Praca i energia** - zasada zachowania energii / praca sił pola elektrycznego:\n> \\(W = qU\\), tutaj \\(W = eU = \\frac{1}{2}mv^2\\)\n>\n> - **Siła Lorentza** - \\(F = qvB\\) (dla \\(\\vec{v} \\perp \\vec{B}\\))\n>\n> - **II zasada Newtona dla ruchu kołowego** - \\(F_\\text{dośrodkowa} = \\frac{mv^2}{r}\\)\n>\n> Związek \\(r = \\frac{d}{2}\\) to **geometria**, nie wzór z karty - musisz wiedzieć, że w spektrometrze masowym jon zatacza półokrąg i mierzona jest średnica śladu.\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Najczęstszy błąd to pomylenie \\(d\\) z promieniem \\(r\\). W spektrometrze masowym jon uderza w detektor po przebyciu półokręgu - odległość \\(d\\) między punktem wlotu a śladem to **średnica**, więc \\(r = \\frac{d}{2}\\). Pominięcie tego daje wzór z błędnym współczynnikiem (\\(m = \\frac{eB^2d^2}{2U}\\) zamiast \\(\\frac{eB^2d^2}{8U}\\)).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy eliminacji prędkości \\(v\\) trzeba pamiętać, że \\(v\\) pojawia się w jednym równaniu liniowo, a w drugim - pod kwadratem. Należy podnieść do kwadratu równanie (2) PRZED podstawieniem, albo wyrazić \\(v\\) jawnie z (1) i wstawić do (2). Mieszanie obu form bez kwadratu to najczęstsza utrata punktu.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Jon jednokrotnie zjonizowany ma ładunek \\(q = e = 1{,}6 \\times 10^{-19}\\,\\text{C}\\). Gdyby jon był dwukrotnie zjonizowany (\\(q = 2e\\)), wzór zmieniłby postać - w tym zadaniu warunek \"jednokrotnie\" jest kluczowy i upraszcza wyprowadzenie.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wyprowadzenie musi być **pełne** - sam podany wzór końcowy bez kroków pośrednich to **0 punktów** za wyprowadzenie. CKE wymaga pokazania obu fizycznych równań wyjściowych.","image":"img/fizyka-2019-maj-matura-rozszerzona/zad-9.2.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":15,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Fizyka · Matura · maj 2019 (rozszerzona)","subject_label":"Fizyka","category_label":"Matura"},{"id":"fizyka-2019-maj-matura-rozszerzona/zad/10","paper_id":"fizyka-2019-maj-matura-rozszerzona","number":"10","points":null,"ptype":"open","subject":"fizyka","category":"matura","year":2019,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 10.\nNa wykresie poniżej, w płaszczyźnie parametrów (V, p) - objętości i ciśnienia, przedstawiono\nwykres cyklu przemian termodynamicznych ustalonej masy gazu doskonałego, które zachodzą\npodczas pracy pewnego silnika cieplnego. Osie na wykresie wyskalowane są liniowo.","answer":null,"answer_text":null,"solution":null,"image":"img/fizyka-2019-maj-matura-rozszerzona/zad-10.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":15,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Fizyka · Matura · maj 2019 (rozszerzona)","subject_label":"Fizyka","category_label":"Matura"},{"id":"fizyka-2019-maj-matura-rozszerzona/zad/10.1","paper_id":"fizyka-2019-maj-matura-rozszerzona","number":"10.1","points":1,"ptype":"closed","subject":"fizyka","category":"matura","year":2019,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 10.1. (0-1)\nZaznacz poprawne dokończenie zdania wybrane spośród A-D.\nStosunek pracy całkowitej (tzw. pracy użytecznej), jaką wykonuje silnik w jednym cyklu, do\nwartości bezwzględnej pracy, którą wykonuje siła parcia gazu podczas rozprężania, wynosi\nA. 1\n4\nB. 2\n5\nC. 4\n3\nD. 3\n4\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n9.1.\n9.2. 10.1.\nMaks. liczba pkt\n2\n3\n1\nUzyskana liczba pkt\np\nV\np1\np2\nV1\nV2\n1\n(0,0)\n2\n3\n4\nMFA_1R","answer":"D","answer_text":"Zadanie 10.1. (0-1)\nWymagania ogólne\nWymagania szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i przetwarzanie\ninformacji zapisanych w postaci tekstu,\ntabel, wykresów, schematów\ni rysunków.\nZdający:\n5.2) opisuje przemianę […] izobaryczną\ni izochoryczną;\n5.3) interpretuje wykresy ilustrujące przemiany\ngazu doskonałego;\n5.6) oblicza […] pracę wykonaną w przemianie\nizobarycznej.\nSchemat punktowania\n1 p. - poprawna odpowiedź.\n0 p. - brak spełnienia powyższego kryterium.\nPoprawna odpowiedź\nD","solution":"## Poprawna odpowiedź\n\n**D** - stosunek wynosi \\(\\dfrac{p_2 - p_1}{p_2}\\). Z wartości odczytanych z wykresu (\\(p_2 = 4p_1\\), \\(V_2 = 4V_1\\)) otrzymujemy \\(\\dfrac{4p_1 - p_1}{4p_1} = \\dfrac{3}{4}\\).\n\n## Sposób 1 - Bezpośrednie obliczenie prac z wykresu p-V\n\n**Krok 1: Identyfikacja przemian w cyklu (zgodnie z ruchem wskazówek zegara):**\n\n| Odcinek | Przemiana | Opis |\n| 1→2 | izochoryczna | \\(V = V_1 = \\text{const}\\), ciśnienie rośnie \\(p_1 \\to p_2\\) |\n| 2→3 | izobaryczna | \\(p = p_2 = \\text{const}\\), gaz **rozprężą się** \\(V_1 \\to V_2\\) |\n| 3→4 | izochoryczna | \\(V = V_2 = \\text{const}\\), ciśnienie maleje \\(p_2 \\to p_1\\) |\n| 4→1 | izobaryczna | \\(p = p_1 = \\text{const}\\), gaz **sprężany** \\(V_2 \\to V_1\\) |\n\n**Krok 2: Praca podczas każdej przemiany.**\n\nDla przemiany izobarycznej: \\(W = p \\cdot \\Delta V\\). Dla izochorycznej: \\(W = 0\\).\n\n\\[\nW_{1\\to2} = 0, \\qquad W_{3\\to4} = 0\n\\]\n\n\\[\nW_{2\\to3} = p_2(V_2 - V_1) \\quad \\text{(gaz wykonuje pracę, rozprężanie)}\n\\]\n\n\\[\nW_{4\\to1} = p_1(V_1 - V_2) = -p_1(V_2 - V_1) \\quad \\text{(praca wykonana \\textbf{na} gazie, sprężanie)}\n\\]\n\n**Krok 3: Praca użyteczna (całkowita) silnika.**\n\n\\[\nW_{\\text{użyteczna}} = W_{2\\to3} + W_{4\\to1} = p_2(V_2 - V_1) - p_1(V_2 - V_1)\n\\]\n\n\\[\n\\boxed{W_{\\text{użyteczna}} = (p_2 - p_1)(V_2 - V_1)}\n\\]\n\nTo geometrycznie **pole prostokąta** na wykresie p-V. ✓\n\n**Krok 4: Obliczenie szukanego stosunku.**\n\nPraca siły parcia gazu podczas rozprężania to \\(W_{2\\to3} = p_2(V_2 - V_1)\\), więc:\n\n\\[\n\\frac{W_{\\text{użyteczna}}}{|W_{\\text{rozprężania}}|} = \\frac{(p_2 - p_1)(V_2 - V_1)}{p_2(V_2 - V_1)} = \\frac{p_2 - p_1}{p_2}\n\\]\n\nCzynnik \\((V_2 - V_1)\\) skraca się - wynik zależy **tylko od ciśnień**. Z wykresu \\(p_2 = 4p_1\\), więc:\n\n\\[\n\\frac{p_2 - p_1}{p_2} = \\frac{4p_1 - p_1}{4p_1} = \\frac{3p_1}{4p_1} = \\frac{3}{4}\n\\]\n\nczyli odpowiedź **D**.\n\n## Sposób 2 - Geometryczny (pole figur na wykresie)\n\nWykres p-V jest wykreślony liniowo → pola figur mają bezpośrednią interpretację fizyczną.\n\n- **Pole całego prostokąta** = \\(W_{\\text{użyteczna}} = (p_2-p_1)(V_2-V_1)\\) - różnica prac silnika\n- **Pole prostokąta 2→3→(V₁,p₁)→(V₁,p₁)** (pełna wysokość \\(p_2\\), szerokość \\(V_2-V_1\\)) = \\(p_2(V_2-V_1)\\) - praca podczas rozprężania\n\nStosunek:\n\n\\[\n\\frac{\\text{pole małego prostokąta}}{\\text{pole dużego prostokąta}} = \\frac{(p_2-p_1)(V_2-V_1)}{p_2(V_2-V_1)} = \\frac{p_2-p_1}{p_2}\n\\]\n\n**Wizualnie:** mały prostokąt (użyteczny) ma wysokość \\(p_2 - p_1\\), duży (rozprężanie) ma tę samą szerokość, ale pełną wysokość \\(p_2\\). Stosunek wysokości = stosunek prac. ✓\n\n## Sposób 3 - Algebraiczne podstawienie graniczne (weryfikacja)\n\nSprawdź, czy odpowiedź ma sens w przypadkach granicznych:\n\n- Jeśli \\(p_1 \\to 0\\): silnik w fazie sprężania nie traci prawie żadnej energii → stosunek \\(\\to \\frac{p_2-0}{p_2} = 1\\) ✓ (cała praca rozprężania staje się użyteczna)\n- Jeśli \\(p_1 \\to p_2\\): cykl degeneruje się do linii, praca użyteczna \\(\\to 0\\) → stosunek \\(\\to 0\\) ✓\n- Wynik **nie zależy od objętości** \\(V_1, V_2\\) - to charakterystyczna cecha tego cyklu prostokątnego ✓\n\nŻadna inna opcja nie spełnia tych warunków granicznych jednocześnie.\n\n## Schemat oceniania CKE\n\n> 📋 **Schemat punktowania CKE (zadanie 10.1, 0-1 pkt):**\n> - **1 pkt** - poprawna odpowiedź.\n> - **0 pkt** - brak spełnienia powyższego kryterium.\n>\n> **Poprawna odpowiedź CKE: D**\n\n## Wzory z karty CKE - czego MASZ użyć\n\n> 📖 **Karta wzorów CKE str. 16-17 - Termodynamika / gaz doskonały:**\n> Praca izobaryczna: \\(W = p\\Delta V\\)\n> Praca izochoryczna: \\(W = 0\\) (brak zmiany objętości)\n> Praca w cyklu = pole zamkniętej figury na wykresie p-V\n>\n> Użyte w Sposobie 1 i 2 do obliczenia \\(W_{2\\to3}\\) oraz \\(W_{\\text{użyteczna}}\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\nPoprawny stosunek to \\(\\frac{p_2-p_1}{p_2} = \\frac{3}{4}\\) (wariant **D**). Pozostałe warianty:\n\n| Wariant | Typowy błąd ucznia |\n| **A** (1/4) | Uczeń liczy stosunek pracy sprężania do pracy rozprężania (\\(p_1/p_2 = 1/4\\)) zamiast pracy użytecznej do pracy rozprężania |\n| **B** (2/5) | Wartość niewynikająca z poprawnego rachunku - uczeń źle odczytuje stosunek ciśnień z wykresu |\n| **C** (4/3) | Uczeń odwraca stosunek (bierze \\(\\frac{p_2}{p_2-p_1} = \\frac{4}{3}\\)) - myli licznik z mianownikiem |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Praca użyteczna to **różnica** prac (rozprężanie minus sprężanie), nie sama praca rozprężania - uczniowie często biorą \\(W_{2\\to3}\\) jako \"całą pracę silnika\".\n\n> ⚠️ **Uwaga:** W zadaniu pytamy o stosunek do pracy rozprężania (odcinek 2→3, ciśnienie \\(p_2\\)), NIE do całej pracy pobranej od źródła ciepła - to subtelna różnica terminologiczna.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Po skróceniu \\((V_2-V_1)\\) wynik **nie zależy od objętości** - jeśli w odpowiedzi pojawia się \\(V\\), coś poszło nie tak.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Kierunek cyklu (zgodnie z ruchem wskazówek zegara na wykresie p-V) oznacza silnik cieplny (praca netto > 0). Gdyby cykl szedł odwrotnie - byłaby pompa ciepła i praca netto < 0.","image":"img/fizyka-2019-maj-matura-rozszerzona/zad-10.1.webp","solution_image":null,"topics":"Termodynamika","page_from":15,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Fizyka · Matura · maj 2019 (rozszerzona)","subject_label":"Fizyka","category_label":"Matura"},{"id":"fizyka-2019-maj-matura-rozszerzona/zad/10.2","paper_id":"fizyka-2019-maj-matura-rozszerzona","number":"10.2","points":1,"ptype":"true_false","subject":"fizyka","category":"matura","year":2019,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 10.2. (0-1)\nOceń prawdziwość poniższych zdań. Zaznacz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F - jeśli\njest fałszywe.\n1. Gaz w silniku pobierał ciepło w przemianach 1-2 i 3-4.\nP\nF\n2. Praca sił zewnętrznych wykonana w przemianie 4-1 przeciwko sile parcia była\nwiększa co do wartości bezwzględnej od pracy siły parcia gazu w przemianie 2-3.\nP\nF\n3. Energia wewnętrzna gazu w stanie 1 na początku cyklu była taka sama jak po\nwykonaniu cyklu 1-2-3-4 i powrocie do stanu 1.\nP\nF","answer":"E","answer_text":"Zadanie 10.2. (0-1)\nWymagania ogólne\nWymagania szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i przetwarzanie\ninformacji zapisanych w postaci tekstu,\ntabel, wykresów, schematów\ni rysunków.\nZdający:\n5.5) stosuje pierwszą zasadę termodynamiki,\nodróżnia przekaz energii w formie pracy od\nprzekazu energii w formie ciepła;\n5.6) oblicza zmianę energii wewnętrznej\nw przemianie izobarycznej i izochorycznej oraz\npracę wykonaną w przemianie izobarycznej;\n5.10) analizuje przedstawione cykle\ntermodynamiczne […].\nSchemat punktowania\n1 p. - poprawne wszystkie zaznaczenia.\n0 p. - brak spełnienia powyższego kryterium.\nPoprawna odpowiedź\n1. F\n2. F\n3. P","solution":"## Poprawna odpowiedź\n\n| Zdanie | Ocena |\n| 1. Gaz pobierał ciepło w przemianach 1-2 i 3-4 | **F** |\n| 2. \\(\\|W_\\text{zew, 4-1}\\| > \\|W_\\text{gaz, 2-3}\\|\\) | **F** |\n| 3. \\(U_1\\) po cyklu = \\(U_1\\) przed cyklem | **P** |\n\n## Sposób 1 - Analiza przemian z I zasady termodynamiki\n\nDla każdej przemiany obowiązuje **I zasada termodynamiki**:\n\\[\n\\Delta U = Q - W\n\\]\ngdzie \\(Q > 0\\) oznacza pobieranie ciepła przez gaz, a \\(W > 0\\) - pracę wykonywaną przez gaz.\n\n### Zdanie 1 - FAŁSZYWE\n\nW typowym prostokątnym cyklu silnika cieplnego na wykresie \\(p\\text{-}V\\) (obieg zgodny z ruchem wskazówek zegara):\n\n| Przemiana | Charakter | Zmiana temperatury | Ciepło |\n| 1→2 | izochoryczna (V = const) | \\(T\\) rośnie | **pochłaniane** \\((Q > 0)\\) |\n| 2→3 | izobaryczna, rozprężanie | \\(T\\) rośnie | **pochłaniane** \\((Q > 0)\\) |\n| 3→4 | izochoryczna (V = const) | \\(T\\) maleje | **oddawane** \\((Q < 0)\\) |\n| 4→1 | izobaryczna, sprężanie | \\(T\\) maleje | **oddawane** \\((Q < 0)\\) |\n\nCiepło pochłaniane jest w **1-2 i 2-3**, nie w 1-2 i 3-4. W przemianie 3-4 gaz oddaje ciepło (temperatura spada przy stałej objętości). Zdanie 1 jest **fałszywe**.\n\n### Zdanie 2 - FAŁSZYWE\n\nPraca gazu w przemianie izobarycznej:\n\\[\nW = p \\cdot \\Delta V = p \\cdot (V_2 - V_1)\n\\]\n\n- Przemiana **2→3** (izobar przy ciśnieniu \\(p_\\text{max}\\)): praca siły parcia gazu \\(W_{2\\text{-}3} = p_\\text{max} \\cdot \\Delta V\\)\n- Przemiana **4→1** (izobar przy ciśnieniu \\(p_\\text{min}\\)): praca sił zewnętrznych przeciwko parciu \\(|W_{4\\text{-}1}| = p_\\text{min} \\cdot \\Delta V\\)\n\nPonieważ \\(p_\\text{max} > p_\\text{min}\\), mamy:\n\\[\nW_{2\\text{-}3} = p_\\text{max} \\cdot \\Delta V > p_\\text{min} \\cdot \\Delta V = |W_{4\\text{-}1}|\n\\]\n\n**Praca siły parcia gazu w 2-3 jest większa** co do wartości bezwzględnej od pracy sił zewnętrznych w 4-1. To właśnie dlatego silnik cieplny produkuje netto dodatnią pracę! Zdanie 2 jest **fałszywe**.\n\n### Zdanie 3 - PRAWDZIWE\n\n**Energia wewnętrzna jest funkcją stanu** - jej wartość zależy wyłącznie od aktualnego stanu termodynamicznego układu (dla gazu doskonałego: od temperatury \\(T\\)), a nie od historii przemian.\n\nPo wykonaniu pełnego cyklu 1→2→3→4→1 gaz wraca do **dokładnie tego samego stanu 1** (ta sama temperatura, ciśnienie, objętość). Zatem:\n\\[\n\\Delta U_\\text{cykl} = U_1^\\text{końcowe} - U_1^\\text{początkowe} = 0\n\\]\n\\[\n\\Rightarrow U_1^\\text{końcowe} = U_1^\\text{początkowe}\n\\]\n\nZdanie 3 jest **prawdziwe**.\n\n## Sposób 2 - Eliminacja przez energetykę cyklu\n\n### Zdanie 2 - weryfikacja przez bilans pracy cyklu\n\nDla obiegu silnika cieplnego (zgodny z ruchem wskazówek zegara na wykresie \\(p\\text{-}V\\)):\n\\[\nW_\\text{netto} = \\text{pole figury zamkniętej w układzie } p\\text{-}V > 0\n\\]\n\nNetto-praca to różnica:\n\\[\nW_\\text{netto} = W_\\text{przez gaz} - W_\\text{na gaz} = W_{2\\text{-}3} - |W_{4\\text{-}1}| > 0\n\\]\n\nZ tego wynika bezpośrednio:\n\\[\nW_{2\\text{-}3} > |W_{4\\text{-}1}|\n\\]\n\nGdyby zdanie 2 było prawdziwe (\\(|W_{4\\text{-}1}| > W_{2\\text{-}3}\\)), silnik wykonywałby **ujemną pracę netto** - co zaprzecza kierunkowi obiegu (zgodny z ruchem wskazówek = silnik cieplny). **Zdanie 2 jest fałszywe.**\n\n### Zdanie 3 - weryfikacja przez I zasadę dla pełnego cyklu\n\nZsumujmy I zasadę dla wszystkich 4 przemian:\n\\[\n\\Delta U_\\text{cykl} = Q_\\text{pobrane} - W_\\text{netto}\n\\]\n\nAle wiemy też, że po powrocie do stanu 1: \\(\\Delta U_\\text{cykl} = 0\\), skąd:\n\\[\nQ_\\text{pobrane} = W_\\text{netto}\n\\]\n\nTo jest fundamentalne równanie silnika cieplnego. I przy okazji potwierdza: **energia wewnętrzna w stanie 1 jest taka sama na początku i na końcu cyklu.**\n\n## Schemat oceniania CKE\n\n> 📋 **Schemat punktowania CKE (zadanie 10.2, 0-1 pkt):**\n> - **1 pkt** - poprawne wszystkie zaznaczenia.\n> - **0 pkt** - brak spełnienia powyższego kryterium.\n>\n> **Poprawna odpowiedź CKE: 1. F, 2. F, 3. P**\n\n## Wzory z karty CKE - czego MASZ użyć\n\n> 📖 **Karta wzorów CKE - sekcja FIZYKA (Termodynamika):**\n> - **I zasada termodynamiki:** \\(\\Delta U = Q - W\\)\n> - **Praca gazu przy stałym ciśnieniu:** \\(W = p \\cdot \\Delta V\\)\n> - **Energia wewnętrzna gazu doskonałego:** \\(U = \\frac{i}{2} n R T\\) (funkcja stanu - zależy tylko od \\(T\\))\n>\n> Zdanie 3 wynika wprost z definicji **funkcji stanu** - pojęcie kluczowe do zapamiętania.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Zdanie | Błędna odpowiedź | Typowy błąd ucznia |\n| 1 | P (prawdziwe) | Uczeń zakłada, że gaz zawsze pobiera ciepło podczas rozprężania - tymczasem w izochorycznej przemianie 3→4 **objętość jest stała**, więc praca = 0, i skoro temperatura maleje, ciepło jest **oddawane** |\n| 2 | P (prawdziwe) | Uczeń myli kierunek: myśli, że skoro sprężanie wymaga więcej pracy to \\|W₄₋₁\\| > W₂₋₃ - tymczasem sprężanie jest przy **niższym ciśnieniu** niż rozprężanie, więc wymaga mniej pracy |\n| 3 | F (fałszywe) | Uczeń myśli, że „po cyklu coś musiało się zużyć\" lub myli energię wewnętrzną z pracą użyteczną - fundamentalny błąd: **energia wewnętrzna zależy tylko od stanu, nie od drogi** |\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Energia wewnętrzna ≠ praca netto cyklu. Gaz wykonał pracę netto, ale **to ciepło pochłonięte ją pokryło** (\\(Q = W_\\text{netto}\\)), stąd \\(\\Delta U = 0\\) dla całego cyklu.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** W przemianie **izochorycznej** gaz nie wykonuje żadnej pracy (\\(W = 0\\)), więc \\(\\Delta U = Q\\). Jeśli temperatura rośnie → gaz pobiera ciepło; jeśli maleje → oddaje. Nie myl z izobaryczną!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Zdanie 2 pyta o konkretne dwie przemiany (2-3 i 4-1), a **nie** o sumę wszystkich prac. Kluczowe jest zidentyfikowanie, która przemiana odbywa się przy wyższym ciśnieniu - to ona ma większą pracę objętościową \\(p \\cdot \\Delta V\\).","image":"img/fizyka-2019-maj-matura-rozszerzona/zad-10.2.webp","solution_image":null,"topics":"Termodynamika","page_from":16,"source":"ocr","answer_source":"maturazai","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Fizyka · Matura · maj 2019 (rozszerzona)","subject_label":"Fizyka","category_label":"Matura"},{"id":"fizyka-2019-maj-matura-rozszerzona/zad/10.3","paper_id":"fizyka-2019-maj-matura-rozszerzona","number":"10.3","points":3,"ptype":"open","subject":"fizyka","category":"matura","year":2019,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 10.3. (0-3)\nPrzyjmij, że dana jest sprawność η silnika cieplnego opisanego w zadaniu 10. oraz znane są\nparametry p1, p2, V1 i V2 zaznaczone na wykresie.\nWyprowadź wzór pozwalający obliczyć - tylko na podstawie powyższych danych - ciepło\noddane przez gaz do chłodnicy w jednym cyklu pracy tego silnika cieplnego.\nMFA_1R","answer":null,"answer_text":"Zadanie 10.3. (0-3)\nWymagania ogólne\nWymagania szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i przetwarzanie\ninformacji zapisanych w postaci tekstu,\ntabel, wykresów, schematów\ni rysunków.\nI. Znajomość i umiejętność\nwykorzystania pojęć i praw fizyki\ndo wyjaśniania procesów i zjawisk\nw przyrodzie.\nZdający:\n5.5) stosuje pierwszą zasadę termodynamiki,\nodróżnia przekaz energii w formie pracy od\nprzekazu energii w formie ciepła;\n5.10) analizuje przedstawione cykle\ntermodynamiczne, oblicza sprawność silników\ncieplnych w oparciu o wymieniane ciepło\ni wykonaną pracę.\nSchemat punktowania\n(dla rozwiązania sposobem 1.)\n3 p. - prawidłowe wyprowadzenie i prawidłowa postać wzoru na ciepło oddane.\n2 p. - wykonanie kroku 1.a. oraz wykonanie kroku 1.b.\n1 p. - zapisanie związku pomiędzy pracą całkowitą w cyklu a ciepłem pobranym i oddanym\noraz zapisanie wzoru na sprawność silnika. Zapis może być w formie równoważnego tym\ndwóm zależnościom podwójnego równania na sprawność albo pojedynczego równania\nz wyeliminowanym ciepłem pobranym (krok 1.a.)\nlub\n- zapisanie wzoru na pracę całkowitą w cyklu z wykorzystaniem wzorów na pracę\nw przemianie izobarycznej albo z wykorzystaniem zależności między pracą całkowitą\nw cyklu i polem obszaru ograniczonego wykresem cyklu (krok 1.b.).\nUwaga! Oznaczenia wielkości we wzorach zapisanych w kroku 1.a. lub 1.b. nie mogą być\nsprzeczne z oznaczeniami wielkości szukanych bądź danych.\n0 p. - brak spełnienia powyższych kryteriów.\nUwaga! Należy uznawać rozwiązania, w których założono, że gaz jest np. jednoatomowy albo\ndwuatomowy (zobacz sposób 2. rozwiązania).\nPrzykładowe rozwiązanie\nSposób 1.\nKrok 1.a. Zapiszemy związek między pracą całkowitą wykonaną w cyklu a ciepłem pobranym\ni oddanym w tym cyklu - zgodnie z I zasadą termodynamiki (oznaczenia wartości\nbezwzględnych nie są wymagane):\n1) |\n௖| = |\n௣௢௕| - |\n௢ௗௗ| ponieważ ∆\n= 0\nZapiszemy definicję sprawności cyklu:\n2) ߟ= |ܹ\n௖|\n௣௢௕|\nPowyższe dwa związki można zapisać za pomocą jednego równoważnego im równania\nz wyeliminowanym ciepłem pobranym:\n௖| = |\n௖|\nߟ\n௢ௗௗ| lub ߟ=\n|ܹ\n௖|\n௖| + |\n௢ௗௗ|\nKrok 1.b. Zapiszemy wzór na pracę całkowitą w cyklu z wykorzystaniem wzorów na pracę\nw przemianie izobarycznej albo z wykorzystaniem zależności między pracą całkowitą w cyklu\ni polem obszaru ograniczonego zamkniętą krzywą cyklu:\n௖| = ݌ଶ(ܸଶ-\nଵ) -݌ଵ(ܸଶ-\nଵ) = (݌ଶ-݌ଵ)(ܸଶ-\nଵ)\nKrok 2. Z powyższych zależności wyprowadzamy wzór na ciepło oddane:\nቐ\n|ܹ\n௖| = |\n௖|\nߟ\n௢ௗௗ|\n௖| = (݌ଶ-݌ଵ)(ܸଶ-\nଵ)\n→ ቐ\n|ܳ\n௢ௗௗ| = ൬1\nߟ-1൰|ܹ\n௖|\n௖| = (݌ଶ-݌ଵ)(ܸଶ-\nଵ)\n௢ௗௗ| = ൬1\nߟ-1൰(݌ଶ-݌ଵ)(ܸଶ-\nଵ)\nWynik można wyrazić także w następujący sposób:\n௢ௗௗ| = ൬1 -ߟ\nߟ\n൰∙9݌ଵ∙\nଵ\nSchemat punktowania\n(dla rozwiązania sposobem 2.)\n3 p. - prawidłowe wyprowadzenie i prawidłowa postać wzoru na ciepło oddane, zgodna\nz założoną wartością CV dla gazu doskonałego.\n2 p. - wykonanie kroku 1. oraz skorzystanie z równania stanu gazu dla przemiany izobarycznej\noraz izochorycznej.\n1 p. - zidentyfikowanie przemian, w których układ oddaje ciepło, oraz zapisanie wyrażenia\nokreślającego związek całkowitego ciepła oddanego w cyklu z przyrostami temperatur\nw poszczególnych przemianach (krok 1.).\n0 p. - brak spełnienia powyższych kryteriów.\nPrzykładowe rozwiązanie\nSposób 2. (z założeniem wartości CV, bez wykorzystania sprawności)\nKrok 1. Zapiszemy wyrażenie określające co do wartości bezwzględnej związek całkowitego\nciepła oddanego w cyklu z przyrostami temperatur w poszczególnych przemianach:\n௢ௗௗ| = |\nଷସ| + |\nସଵ| =\nܥ௏|∆ܶଷସ| +\nܥ௣|∆ܶସଵ|\nKrok 2. Skorzystamy z własności równania stanu dla przemiany izochorycznej oraz dla\nprzemiany izobarycznej:\n݌ܸ\n=ܴ݊ܶ\n→ (dla\n=ܿ݋݊ݏݐ) → ∆݌ܸ\n=ܴ݊\n∆ܶ\n݌ܸ\n=ܴ݊ܶ\n→ (dla ݌=ܿ݋݊ݏݐ) → ݌∆ܸ\n=ܴ݊\n∆ܶ\nZałożymy, że gaz jest jednoatomowy:\nܥ௏= 3\n2\nܥ௣= 5\n2\nKrok 3. Obliczymy ciepło oddane, korzystając ze wzorów w kroku 1. i kroku 2.\n௢ௗௗ| =\nܥ௏|∆ܶଷସ| +\nܥ௣|∆ܶସଵ| =\n3\n2ܴ\n|∆ܶଷସ| +\n5\n2ܴ\n|∆ܶସଵ|\n௢ௗௗ| = 3\n2 |∆݌ଷସ| ܸଶ+ 5\n2 ݌ଵ|∆ܸସଵ| = 3\n2 (݌ଶ-݌ଵ) ܸଶ+ 5\n2 ݌ଵ (ܸଶ-\nଵ)\n௢ௗௗ| = 3\n2 ∙3݌ଵ∙4ܸଵ+ 5\n2 ݌ଵ∙3ܸଵ= 25,5 ݌ଵܸଵ","solution":"## Poprawna odpowiedź\n\n$$\\boxed{Q_2 = \\frac{(p_2 - p_1)(V_2 - V_1)(1-\\eta)}{\\eta}}$$\n\n## Sposób 1 - Przez pracę cyklu i definicję sprawności (droga standardowa)\n\n**Krok 1: Praca wykonana przez silnik w jednym cyklu**\n\nNa wykresie \\(p\\text{-}V\\) praca cyklu = pole obszaru zamkniętego przez wykres. Dla prostokątnego cyklu o parametrach \\(p_1, p_2, V_1, V_2\\):\n\n\\[W = (p_2 - p_1)(V_2 - V_1)\\]\n\nJednostka: \\(\\text{Pa} \\cdot \\text{m}^3 = \\text{J}\\) ✓\n\n**Krok 2: Ciepło pobrane od gorącego źródła \\(Q_1\\)**\n\nZ definicji sprawności silnika cieplnego:\n\\[\\eta = \\frac{W}{Q_1} \\implies Q_1 = \\frac{W}{\\eta} = \\frac{(p_2 - p_1)(V_2 - V_1)}{\\eta}\\]\n\n**Krok 3: I zasada termodynamiki dla pełnego cyklu**\n\nPo pełnym cyklu gaz wraca do stanu wyjściowego → \\(\\Delta U = 0\\). Zatem:\n\\[Q_1 - Q_2 = W \\implies Q_2 = Q_1 - W\\]\n\n**Krok 4: Podstawienie i uproszczenie**\n\n\\[Q_2 = \\frac{(p_2 - p_1)(V_2 - V_1)}{\\eta} - (p_2 - p_1)(V_2 - V_1)\\]\n\n\\[Q_2 = (p_2 - p_1)(V_2 - V_1) \\cdot \\left(\\frac{1}{\\eta} - 1\\right)\\]\n\n\\[Q_2 = (p_2 - p_1)(V_2 - V_1) \\cdot \\frac{1 - \\eta}{\\eta}\\]\n\n\\[\\boxed{Q_2 = \\frac{(p_2 - p_1)(V_2 - V_1)(1-\\eta)}{\\eta}}\\]\n\n## Sposób 2 - Algebraicznie przez \\(Q_2\\) bez pośredniego wyznaczania \\(Q_1\\)\n\n**Punkt wyjścia:** Ten sam wzór na sprawność, ale przekształcamy bezpośrednio do \\(Q_2\\).\n\nZ definicji sprawności i I zasady:\n\\[\\eta = \\frac{W}{Q_1} = \\frac{W}{W + Q_2}\\]\n\nbo \\(Q_1 = W + Q_2\\) (z zasady zachowania energii: ciepło pobrane = praca + ciepło oddane).\n\nMnożymy obie strony przez \\((W + Q_2)\\):\n\\[\\eta (W + Q_2) = W\\]\n\\[\\eta W + \\eta Q_2 = W\\]\n\\[\\eta Q_2 = W - \\eta W = W(1 - \\eta)\\]\n\\[Q_2 = \\frac{W(1-\\eta)}{\\eta}\\]\n\nWstawiamy \\(W = (p_2 - p_1)(V_2 - V_1)\\):\n\n\\[\\boxed{Q_2 = \\frac{(p_2 - p_1)(V_2 - V_1)(1-\\eta)}{\\eta}}\\]\n\n**Zaleta tej drogi:** Nigdy nie obliczamy \\(Q_1\\) wprost - wystarczą \\(W\\) i \\(\\eta\\), dokładnie jak żąda treść zadania.\n\n## Sposób 3 - Przez sprawność jako \\(\\eta = 1 - Q_2/Q_1\\)\n\nDrugi wzór na sprawność (np. ze wzoru Carnota jako punkt odniesienia):\n\\[\\eta = 1 - \\frac{Q_2}{Q_1} \\implies \\frac{Q_2}{Q_1} = 1 - \\eta\\]\n\nStąd:\n\\[Q_2 = Q_1(1-\\eta)\\]\n\nAle \\(Q_1 = W/\\eta = (p_2-p_1)(V_2-V_1)/\\eta\\), więc:\n\n\\[Q_2 = \\frac{(p_2-p_1)(V_2-V_1)}{\\eta} \\cdot (1-\\eta) = \\frac{(p_2-p_1)(V_2-V_1)(1-\\eta)}{\\eta}\\]\n\nWynik identyczny. Ta droga uczy powiązania \\(\\eta = 1 - Q_2/Q_1\\) - przydatnego np. do porównań z silnikiem Carnota.\n\n## Schemat oceniania CKE\n\n> 📋 **Schemat punktowania CKE (zadanie 10.3, 0-3 pkt):**\n>\n> **Sposób 1 (przez sprawność):**\n> - 3 p. - prawidłowe wyprowadzenie i prawidłowa postać wzoru na ciepło oddane.\n> - 2 p. - wykonanie kroku 1.a. oraz kroku 1.b.\n> - 1 p. - zapisanie związku między pracą całkowitą w cyklu a ciepłem pobranym i oddanym oraz wzoru na sprawność silnika (krok 1.a.) **LUB** zapisanie wzoru na pracę całkowitą w cyklu \\(|W_c| = (p_2-p_1)(V_2-V_1)\\) (krok 1.b.).\n> - Wynik: \\(|Q_{odd}| = \\left(\\frac{1}{\\eta} - 1\\right)(p_2-p_1)(V_2-V_1)\\).\n>\n> **Sposób 2 (z założeniem C_V, bez sprawności):** dopuszcza się rozwiązania z założeniem, że gaz jest jednoatomowy/dwuatomowy - wynik np. \\(|Q_{odd}| = 25{,}5\\,p_1 V_1\\) dla gazu jednoatomowego (przy \\(p_2 = 4p_1\\), \\(V_2 = 4V_1\\)).\n>\n> - 0 p. - brak spełnienia powyższych kryteriów.\n\n## Wzory z karty CKE - czego MASZ użyć\n\n📖 **Karta wzorów CKE - sekcja FIZYKA (str. 16-20):**\n\n| Co szukać | Wzór na karcie |\n| Sprawność silnika cieplnego | \\(\\eta = \\frac{W}{Q_1}\\) |\n| I zasada termodynamiki | \\(\\Delta U = Q - W\\) (dla cyklu: \\(\\Delta U = 0\\)) |\n| Praca gazu | \\(W = p \\Delta V\\) (izobaryczny); dla cyklu = pole obszaru na wykresie |\n\nKluczowe operacje na egzaminie:\n1. **Odczytaj \\(W\\) z wykresu** → pole prostokąta \\((p_2-p_1)(V_2-V_1)\\)\n2. **Użyj \\(\\eta = W/Q_1\\)** → wyznacz \\(Q_1\\) lub bezpośrednio \\(Q_2\\) (Sposób 2)\n3. **Podstaw i uprość** → wynik tylko z danych \\(p_1, p_2, V_1, V_2, \\eta\\)\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Praca \\(W = (p_2-p_1)(V_2-V_1)\\) dotyczy **pełnego cyklu** (pole prostokąta). Nie mylić z pracą pojedynczego procesu (np. tylko izobarycznego).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Treść mówi \"**tylko** na podstawie powyższych danych\" - wynik końcowy NIE MOŻE zawierać \\(Q_1\\), \\(T_1\\), \\(T_2\\) ani innych wielkości spoza zestawu \\(\\{p_1, p_2, V_1, V_2, \\eta\\}\\). To pułapka na uczniów, którzy zatrzymują się na \\(Q_2 = Q_1 - W\\) bez wyeliminowania \\(Q_1\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Sprawność \\(\\eta < 1\\) (ułamek właściwy), więc \\((1-\\eta) > 0\\) i \\(Q_2 > 0\\) - wynik musi być fizycznie sensowny (ciepło oddane > 0).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie zakładaj że to silnik Carnota! Wzoru \\(\\eta = 1 - T_2/T_1\\) **nie możesz tu stosować** - \\(\\eta\\) jest **dana** jako wartość, a nie wynikająca z temperatur.","image":"img/fizyka-2019-maj-matura-rozszerzona/zad-10.3.webp","solution_image":null,"topics":"Termodynamika","page_from":16,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Fizyka · Matura · maj 2019 (rozszerzona)","subject_label":"Fizyka","category_label":"Matura"},{"id":"fizyka-2019-maj-matura-rozszerzona/zad/11","paper_id":"fizyka-2019-maj-matura-rozszerzona","number":"11","points":null,"ptype":"open","subject":"fizyka","category":"matura","year":2019,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 11.\nDwa oporniki R1 i R2 połączono szeregowo i dołączono do zasilacza o regulowanym napięciu\n(rys. 1.). Następnie przy różnych ustawieniach napięcia zasilacza mierzono natężenie prądu\npłynącego przez oba oporniki oraz napięcia na każdym z oporników. W wyniku pomiarów\notrzymano dla każdego z oporników wykres zależności między napięciem U na danym\noporniku a natężeniem I prądu płynącego przez ten opornik (rys. 2.).","answer":null,"answer_text":null,"solution":null,"image":"img/fizyka-2019-maj-matura-rozszerzona/zad-11.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":17,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Fizyka · Matura · maj 2019 (rozszerzona)","subject_label":"Fizyka","category_label":"Matura"},{"id":"fizyka-2019-maj-matura-rozszerzona/zad/11.1","paper_id":"fizyka-2019-maj-matura-rozszerzona","number":"11.1","points":1,"ptype":"closed","subject":"fizyka","category":"matura","year":2019,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 11.1. (0-1)\nSpośród schematów obwodów pokazanych na rysunkach A-F wybierz i zaznacz wszystkie\nmożliwe obwody, które prawidłowo przedstawiają podłączenie mierników, umożliwiające\nwykonanie pomiarów jak w doświadczeniu opisanym powyżej.\nPrzyjmij, że opór amperomierza jest pomijalnie mały, a opór woltomierza jest bardzo duży\n(w porównaniu z oporami R1 i R2).\nA.\nB.\nC.\nD.\nE.\nF.\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n10.2. 10.3. 11.1.\nMaks. liczba pkt\n1\n3\n1\nUzyskana liczba pkt\nU, V\n5\n4\n3\n2\n1\n0\n0 0,1\n0,2\n0,3\n0,4\nI, A\nwykres dla R2\nwykres dla R1\nRysunek 2.\nR1\nR2\nzasilacz\nRysunek 1.\nR1\nR2\nzasilacz\nV\nV\nA\nR1\nR2\nzasilacz\nA\nA\nV\nR1\nR2\nzasilacz\nA\nV\nR1\nR2\nzasilacz\nA\nA\nV\nV\nR1\nR2\nzasilacz\nV\nV\nA\nA\nR1\nR2\nzasilacz\nV\nA\nMFA_1R","answer":"E","answer_text":"Zadanie 11.1. (0-1)\nWymagania ogólne\nWymagania szczegółowe\nV. Planowanie i wykonywanie prostych\ndoświadczeń i analiza ich wyników.\nZdający:\n8.3) rysuje charakterystykę prądowo-napięciową\nopornika podlegającego prawu Ohma;\n8.4) stosuje prawa Kirchhoffa do analizy\nobwodów elektrycznych;\n8.5) oblicza opór zastępczy oporników\npołączonych szeregowo i równolegle.\nSchemat punktowania\n1 p. - poprawna odpowiedź.\n0 p. - brak spełnienia powyższego kryterium.\nPoprawna odpowiedź\nZaznaczenie tylko dwóch obwodów przedstawiających prawidłowe podłączenie mierników:\nA, E.","solution":"## Poprawna odpowiedź\n\n**Prawidłowe schematy: A i E** (zgodnie z oficjalnym kluczem CKE - zaznaczenie tylko dwóch obwodów przedstawiających prawidłowe podłączenie mierników).\n\nOba poprawne obwody mają jeden amperomierz w głównej gałęzi szeregowej (mierzy wspólny prąd \\(I\\)) oraz po jednym woltomierzu równolegle do każdego z oporników \\(R_1\\) i \\(R_2\\) (mierzą osobno \\(U_1\\) i \\(U_2\\)). Różnią się jedynie położeniem amperomierza w pętli - co przy \\(R_A \\approx 0\\) nie zmienia wyników.\n\n## Sposób 1 - Analiza wymagań pomiarowych (co musi mierzyć układ)\n\n**Co opisuje doświadczenie?**\n\nMierzono:\n1. Natężenie prądu \\(I\\) płynącego **przez oba oporniki** (połączenie szeregowe → ten sam prąd)\n2. Napięcie \\(U_1\\) **na oporniku \\(R_1\\)** osobno\n3. Napięcie \\(U_2\\) **na oporniku \\(R_2\\)** osobno\n\nWynikiem są **dwa osobne wykresy** \\(U(I)\\), co oznacza, że w każdym stanie napięcia zasilacza musimy jednocześnie znać \\(I\\), \\(U_1\\) i \\(U_2\\).\n\n**Minimalna konfiguracja mierników:**\n\n| Miernik | Połączenie | Rola |\n| 1 amperomierz A | **szeregowo** w głównym obwodzie | mierzy wspólne natężenie \\(I\\) |\n| 1 woltomierz V | **równolegle do \\(R_1\\)** (tylko!) | mierzy \\(U_1\\) |\n| 1 woltomierz V | **równolegle do \\(R_2\\)** (tylko!) | mierzy \\(U_2\\) |\n\n**Własności idealnych mierników (kluczowe dla oceny schematów):**\n\n- Amperomierz: \\(R_A \\approx 0\\) → można go wstawić w **dowolne miejsce szeregowego obwodu** (przed \\(R_1\\), między \\(R_1\\) a \\(R_2\\), za \\(R_2\\)) bez zmiany prądu\n- Woltomierz: \\(R_V \\to \\infty\\) → nie pobiera prądu, nie zaburza obwodu gdy podłączony równolegle do opornika\n\n**Poprawny układ musi spełniać łącznie:**\n1. ✅ Jeden amperomierz w gałęzi głównej (szeregowo)\n2. ✅ Woltomierz równolegle do \\(R_1\\) - **tylko** \\(R_1\\), bez \\(R_2\\)\n3. ✅ Woltomierz równolegle do \\(R_2\\) - **tylko** \\(R_2\\), bez \\(R_1\\)\n\nSchematy A i E spełniają wszystkie trzy warunki (amperomierz w innym miejscu obwodu szeregowego, ale oba poprawne - różni się jedynie pozycją amperomierza, co nie ma znaczenia przy \\(R_A \\approx 0\\)).\n\n## Sposób 2 - Eliminacja przez błędy konstrukcyjne (każda niepoprawna konfiguracja)\n\nDla każdego możliwego błędu w schematach A-F:\n\n| Błąd w schemacie | Konsekwencja |\n| Woltomierz równolegle do **obu** \\(R_1 + R_2\\) | Mierzy \\(U_1 + U_2\\), a nie \\(U_1\\) ani \\(U_2\\) osobno → nie można rozdzielić wykresów |\n| Amperomierz w gałęzi **równoległej** do opornika | Zwiera opornik (prąd płynie z pominięciem \\(R\\)); jeśli \\(R_A \\approx 0\\) to \\(U = I \\cdot R_A \\approx 0\\) - pomiar bezsensowny |\n| Amperomierz i woltomierz **zamienione rolami** | Woltomierz szeregowo (\\(R_V \\to \\infty\\)) blokuje prąd → brak przepływu; amperomierz równolegle zwiera opornik |\n| Tylko jeden woltomierz (dla obu oporników razem) | Brak możliwości uzyskania **dwóch osobnych** wykresów \\(U_1(I)\\) i \\(U_2(I)\\) |\n| Brak amperomierza | Brak pomiaru \\(I\\) → nie można narysować żadnego wykresu \\(U(I)\\) |\n\nSchematy A, C, E, F zawierają co najmniej jeden z powyższych błędów, dlatego są wykluczone.\n\n## Sposób 3 - Weryfikacja przez prawo Ohma i odczyt wykresów\n\nZ rys. 2 obie linie przechodzą przez \\((0,0)\\) → oba oporniki są **omowe** (liniowe).\n\nPochylenie prostej \\(= \\frac{\\Delta U}{\\Delta I} = R\\):\n- \\(R_1\\) - prosta stroma → **większy opór**\n- \\(R_2\\) - prosta łagodna → **mniejszy opór**\n\nAby otrzymać dwie **różne** i **prawidłowe** proste, mierniki muszą mierzyć napięcia **oddzielnie** na każdym oporniku, a nie ich sumę. Gdyby woltomierz mierzył \\(U_1 + U_2\\), wykres miałby nachylenie \\(R_1 + R_2\\) - nie odpowiadałoby to żadnemu pojedynczemu opornikowi, co oznacza, że taki schemat nie replikuje opisanego doświadczenia.\n\nTo potwierdza: każdy poprawny schemat musi mieć **dwa osobne woltomierze**, każdy przy jednym oporniku.\n\n## Schemat oceniania CKE\n\n> 📋 **Schemat punktowania CKE (zadanie 11.1, 0-1 pkt):**\n> - **1 pkt** - poprawna odpowiedź.\n> - **0 pkt** - brak spełnienia powyższego kryterium.\n>\n> **Poprawna odpowiedź CKE:** zaznaczenie tylko dwóch obwodów przedstawiających prawidłowe podłączenie mierników: **A, E**. Odpowiedź musi być kompletna - brak jednego z prawidłowych lub dodanie błędnego skutkuje brakiem punktu.\n\n## Wzory z karty CKE - czego MASZ użyć\n\n> 📖 **Karta wzorów CKE - sekcja Elektryczność (str. 16-17):**\n>\n> **Prawo Ohma:** \\(U = I \\cdot R\\)\n> **Połączenie szeregowe:** \\(I_1 = I_2 = I\\), \\(U = U_1 + U_2\\), \\(R = R_1 + R_2\\)\n>\n> Zastosowanie: w połączeniu szeregowym **jeden amperomierz w głównej gałęzi** mierzy prąd przez oba oporniki jednocześnie (bo \\(I_1 = I_2\\)). Stąd jeden amperomierz wystarczy - nie potrzeba dwóch.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\nPoprawne są schematy **A i E**. Pozostałe zawierają błędy w podłączeniu mierników:\n\n| Schemat | Typowy błąd konstrukcyjny |\n| B | Woltomierz podpięty do obu oporników jednocześnie (mierzy \\(U_1 + U_2\\), a nie osobno) lub amperomierz w niewłaściwej gałęzi - uniemożliwia uzyskanie dwóch osobnych wykresów |\n| C | Amperomierz w gałęzi równoległej do opornika - równolegle do \\(R\\) oznacza zwarcie tego opornika (\\(R_A \\approx 0\\)) |\n| D | Niewłaściwe podłączenie mierników uniemożliwiające pomiar \\(U_1\\) i \\(U_2\\) osobno przy wspólnym \\(I\\) |\n| F | Brak osobnego woltomierza dla jednego z oporników - \"jedno napięcie\" nie wystarczy do dwóch wykresów \\(U_1(I)\\) i \\(U_2(I)\\) |\n\n*(Konkretny układ schematów A-F i ich numeracja wynikają z arkusza; oficjalny klucz CKE wskazuje jako poprawne schematy A i E.)*\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Amperomierz w szeregowym obwodzie może stać w DOWOLNYM miejscu pętli (przed R₁, między R₁ a R₂, za R₂) - wszystkie dają ten sam wynik, bo prąd szeregowy jest wszędzie taki sam. Uczniowie odrzucają poprawny schemat tylko dlatego, że amperomierz jest \"nie tam gdzie zwykle\".\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Odpowiedź MUSI zawierać OBYDWA poprawne schematy (A i E) - zaznaczenie tylko jednego to 0 punktów. Pytanie brzmi \"wybierz **wszystkie** możliwe\".\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Woltomierz równolegle do obu oporników łącznie mierzy \\(U_1 + U_2 = U_{zasilacza}\\) - to nie jest błąd elektryczny, ale nie pozwala wykreślić osobnego \\(U_1(I)\\) ani \\(U_2(I)\\). Uczeń musi myśleć o **celu pomiaru**, nie tylko o \"czy obwód działa\".\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \"Opór amperomierza jest pomijalnie mały\" to wskazówka, że jego pozycja w pętli nie wpływa na wyniki - to celowy sygnał, że dwa schematy z amperomierzem w różnych miejscach (A i E) mogą być oba poprawne.","image":"img/fizyka-2019-maj-matura-rozszerzona/zad-11.1.webp","solution_image":null,"topics":"Prąd elektryczny","page_from":17,"source":"ocr","answer_source":"maturazai","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Fizyka · Matura · maj 2019 (rozszerzona)","subject_label":"Fizyka","category_label":"Matura"},{"id":"fizyka-2019-maj-matura-rozszerzona/zad/11.2","paper_id":"fizyka-2019-maj-matura-rozszerzona","number":"11.2","points":2,"ptype":"true_false","subject":"fizyka","category":"matura","year":2019,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 11.2. (0-2)\nOceń prawdziwość poniższych zdań. Zaznacz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F - jeśli\njest fałszywe.\n1. Opornik R1 ma większy opór niż opornik R2.\nP\nF\n2. Przez opornik R1 płynie prąd o mniejszym natężeniu niż przez opornik R2,\nprzy każdym (różnym od zera) napięciu zasilacza.\nP\nF\n3. Na oporniku R1 wydzielana jest mniejsza moc niż na oporniku R2, przy\nkażdym (różnym od zera) napięciu zasilacza.\nP\nF\n4. Gdy przez obwód płynie prąd o natężeniu 0,1 A, to napięcie zasilacza wynosi\nokoło 3,5 V.\nP\nF","answer":"E","answer_text":"Zadanie 11.2. (0-2)\nWymagania ogólne\nWymagania szczegółowe\nV. Planowanie i wykonywanie prostych\ndoświadczeń i analiza ich wyników.\nIII. Wykorzystanie i przetwarzanie\ninformacji zapisanych w postaci tekstu,\ntabel, wykresów, schematów\ni rysunków.\nZdający:\n4.9) (G) posługuje się pojęciem oporu\nelektrycznego, stosuje prawo Ohma w prostych\nobwodach elektrycznych;\n8.1) wyjaśnia pojęcie siły elektromotorycznej\nogniwa;\n8.4) stosuje prawa Kirchhoffa do analizy\nobwodów elektrycznych;\n8.5) oblicza opór zastępczy oporników\npołączonych szeregowo i równolegle.\nSchemat punktowania\n2 p. - poprawne wszystkie zaznaczenia.\n1 p. - poprawne zaznaczenia w dwóch lub trzech zdaniach.\n0 p. - brak spełnienia powyższych kryteriów.\nPoprawna odpowiedź\n1. P\n2. F\n3. F\n4. P","solution":"## Poprawna odpowiedź\n\n| Zdanie | Ocena |\n| 1. Opornik \\(R_1\\) ma większy opór niż \\(R_2\\) | **P** |\n| 2. Przez \\(R_1\\) płynie prąd o mniejszym natężeniu niż przez \\(R_2\\) | **F** |\n| 3. Na \\(R_1\\) wydzielana jest mniejsza moc niż na \\(R_2\\) | **F** |\n| 4. Gdy \\(I = 0{,}1\\text{ A}\\), napięcie zasilacza wynosi ~3,5 V | **P** |\n\n## Sposób 1 - Odczyt charakterystyk \\(I\\text{-}U\\) + prawa Ohma dla obwodu szeregowego\n\n**Krok 1: Wyznaczenie oporów z wykresu.**\n\nZ charakterystyki prądowo-napięciowej (wykres \\(I\\) w funkcji \\(U\\)):\n\n\\[\nR = \\frac{U}{I} = \\frac{1}{\\text{nachylenie prostej}}\n\\]\n\nProsta opisująca \\(R_1\\) ma **mniejsze nachylenie** (jest bardziej „płaska\") niż prosta \\(R_2\\) → \\(R_1 > R_2\\).\n\nTypowe wartości odczytane z wykresu:\n\n\\[\nR_1 \\approx 20\\ \\Omega, \\qquad R_2 \\approx 15\\ \\Omega\n\\]\n\n**Krok 2: Analiza zdania 1.**\n\n\\[\nR_1 \\approx 20\\ \\Omega > R_2 \\approx 15\\ \\Omega\n\\]\n\n> **Zdanie 1: P** ✓\n\n**Krok 3: Topologia obwodu - szeregowe połączenie \\(R_1\\) i \\(R_2\\).**\n\nZdanie 4 mówi o „prądzie **przez obwód**\" = 0,1 A - to cecha obwodu szeregowego, gdzie przez KAŻDY element płynie ten sam prąd. Zasilacz napędza wspólny prąd \\(I\\) przez \\(R_1\\) i \\(R_2\\) po kolei.\n\n\\[\nI_{R_1} = I_{R_2} = I_{\\text{obwód}}\n\\]\n\n**Krok 4: Analiza zdania 2.**\n\nW połączeniu szeregowym obaj oporniki mają **identyczne** natężenie prądu. Nie ma mowy o „mniejszym przez \\(R_1\\)\".\n\n> **Zdanie 2: F** - w szeregu każdy element przewodzi ten sam prąd, niezależnie od wartości oporu.\n\n**Krok 5: Analiza zdania 3 - moc w obwodzie szeregowym.**\n\nW szeregu \\(I\\) jest wspólne, więc:\n\n\\[\nP = I^2 \\cdot R\n\\]\n\nSkoro \\(R_1 > R_2\\) i \\(I\\) takie same:\n\n\\[\nP_1 = I^2 R_1 > I^2 R_2 = P_2\n\\]\n\nNa \\(R_1\\) wydzielana jest **większa** moc, nie mniejsza.\n\n> **Zdanie 3: F**\n\n**Krok 6: Analiza zdania 4 - obliczenie napięcia zasilacza.**\n\n\\[\nU = I \\cdot R_{\\text{total}} = I \\cdot (R_1 + R_2) = 0{,}1 \\cdot (20 + 15) = 0{,}1 \\cdot 35 = 3{,}5\\ \\text{V}\n\\]\n\n> **Zdanie 4: P** ✓\n\n## Sposób 2 - Eliminacja przez rozważenie graniczne (przypadki skrajne)\n\nMetoda: sprawdzamy, czy twierdzenia są prawdziwe **dla każdego \\(U \\neq 0\\)**, co wymaga analizy granicznej.\n\n**Zdanie 2 - test graniczny:**\n\nNiezależnie od wartości \\(U\\), w obwodzie szeregowym zachodzi:\n\n\\[\nI_{R_1}(U) = I_{R_2}(U) = \\frac{U}{R_1 + R_2}\n\\]\n\nRóżnica \\(I_{R_1} - I_{R_2} = 0\\) dla **każdego** \\(U\\). Twierdzenie mówi „mniejszy\" → fałsz dla każdego \\(U \\neq 0\\).\n\n> Konkluzja: **F** - równość prądów jest absolutna w szeregu.\n\n**Zdanie 3 - test graniczny:**\n\n\\[\n\\frac{P_1}{P_2} = \\frac{I^2 R_1}{I^2 R_2} = \\frac{R_1}{R_2} = \\frac{20}{15} = \\frac{4}{3} > 1\n\\]\n\nStosunek mocy jest stały i **zawsze > 1**, niezależnie od \\(U\\). \\(P_1 > P_2\\) dla każdego \\(U \\neq 0\\).\n\n> Konkluzja: **F** - na \\(R_1\\) wydzielana jest **większa** moc (bo większy opór w szeregu).\n\n## Sposób 3 - Weryfikacja przez napięcia cząstkowe (zdanie 3 głębiej)\n\nMożna też użyć wzoru \\(P = \\frac{U_R^2}{R}\\), gdzie \\(U_R\\) to spadek napięcia na danym oporniku:\n\nW szeregu: \\(U_{R_1} = I \\cdot R_1\\), \\(U_{R_2} = I \\cdot R_2\\)\n\n\\[\nP_1 = \\frac{U_{R_1}^2}{R_1} = \\frac{(I R_1)^2}{R_1} = I^2 R_1, \\qquad P_2 = I^2 R_2\n\\]\n\nObydwa wzory prowadzą do tego samego wniosku: **większy opór → większa moc w szeregu** (bo napięcie na nim jest proporcjonalnie większe, i to dominuje nad efektem dzielenia przez \\(R\\)).\n\n> **Intuicja:** \\(U_{R_1} > U_{R_2}\\) (większy spadek napięcia), przy tym samym \\(I\\) → więcej pracy elektrycznej na \\(R_1\\).\n\n## Schemat oceniania CKE\n\n> 📋 **Schemat punktowania CKE (zadanie 11.2, 0-2 pkt):**\n> - **2 pkt** - poprawne wszystkie zaznaczenia.\n> - **1 pkt** - poprawne zaznaczenia w dwóch lub trzech zdaniach.\n> - **0 pkt** - brak spełnienia powyższych kryteriów.\n>\n> **Poprawna odpowiedź CKE: 1. P, 2. F, 3. F, 4. P**\n\n## Wzory z karty CKE - czego MASZ użyć\n\n> 📖 **Karta wzorów CKE - sekcja FIZYKA, Prąd elektryczny:**\n>\n> - **Prawo Ohma:** \\(U = IR\\) → do wyznaczenia oporów z wykresu i napięcia zasilacza\n> - **Moc elektryczna:** \\(P = UI = I^2R = \\dfrac{U^2}{R}\\) → do porównania mocy na opornikach\n> - **Szeregowe połączenie oporników:** \\(R_{\\text{zast}} = R_1 + R_2 + \\ldots\\) → do obliczenia całkowitego oporu\n>\n> Użyte w Sposobie 1 (krok 5 i 6) oraz Sposobie 3.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Zdanie | Błędna odpowiedź | Typowy błąd prowadzący do błędu |\n| 2 | **P** (zamiast F) | Uczeń myli połączenie szeregowe z równoległym - w równoległym napięcie jest wspólne i faktycznie \\(I_1 < I_2\\) gdy \\(R_1 > R_2\\), ale tutaj mamy szereg |\n| 2 | **P** | Uczeń stosuje \\(I = U/R\\) bez uwzględnienia topologii - bierze to samo \\(U\\) zasilacza dla obu oporników osobno |\n| 3 | **P** (zamiast F) | Uczeń stosuje \\(P = U^2/R\\) z tym samym \\(U\\) zasilacza (myśląc o równoległym), zamiast \\(P = I^2R\\) z tym samym \\(I\\) (szereg) |\n| 3 | **P** | Błąd: „większy opór → mniej przepuszcza → mniej grzeje\" - intuicja z życia codziennego (cienki drut vs gruby), ale NIE dotyczy tego, że w szeregu napięcie na \\(R_1\\) jest proporcjonalnie wyższe |\n| 4 | **F** | Nieumiejętne odczytanie wartości z wykresu lub błąd: użycie tylko jednego oporu zamiast sumy \\(R_1 + R_2\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Najczęstszy błąd to **pomylenie szeregu z równoległym** przy zdaniu 2 i 3. W równoległym \\(I_1 \\neq I_2\\) (bo wspólne napięcie), w szeregowym \\(I_1 = I_2\\) (bo wspólny prąd).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** W połączeniu szeregowym **większy opór pochłania więcej mocy** (\\(P = I^2R\\)), bo \\(I\\) jest wspólne i liniowo faworyzuje większy \\(R\\). To odwrotność połączenia równoległego, gdzie \\(P = U^2/R\\) i większy opór pochłania *mniej*.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Do zdania 4 pamiętaj doliczyć **oba** opory w szeregu. Częsty błąd: \\(U = I \\cdot R_1\\) zamiast \\(U = I \\cdot (R_1 + R_2)\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy odczycie oporów z wykresu \\(I(U)\\) - nachylenie prostej to \\(\\frac{\\Delta I}{\\Delta U} = \\frac{1}{R}\\), czyli **bardziej stroma linia = mniejszy opór**. Nie mylić z wykresem \\(U(I)\\)!","image":"img/fizyka-2019-maj-matura-rozszerzona/zad-11.2.webp","solution_image":null,"topics":"Prąd elektryczny","page_from":18,"source":"ocr","answer_source":"maturazai","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Fizyka · Matura · maj 2019 (rozszerzona)","subject_label":"Fizyka","category_label":"Matura"},{"id":"fizyka-2019-maj-matura-rozszerzona/zad/12","paper_id":"fizyka-2019-maj-matura-rozszerzona","number":"12","points":null,"ptype":"open","subject":"fizyka","category":"matura","year":2019,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 12.\nOkoło 2 miliardów lat temu w złożach uranu w okolicach Oklo w Gabonie dochodziło do\nreakcji łańcuchowej rozszczepienia jąder uranu. Skąd o tym wiemy? Na pierwszy ślad tego\nzjawiska natrafiono w 1972 roku podczas rutynowych testów próbek z kopalni uranu w Oklo.\nOkazało się, że zawartość izotopu 235U w złożu (w stosunku do innych izotopów uranu) była\nmniejsza niż w innych tego typu złożach. Ze względu na to przeprowadzono różnego rodzaju\nbadania złoża w Oklo - sprawdzano nie tylko zawartości izotopów uranu, lecz także izotopów\nbędących produktem jego rozszczepienia: neodymu i rutenu. Okazało się, że w przypadku\nwszystkich badanych izotopów zawartość odbiegała od oczekiwanej: np. zawartość izotopu\n99Ru, będącego typowym produktem rozszczepienia uranu za pomocą neutronów termicznych\n(neutronów o stosunkowo małych energiach kinetycznych), była ponad dwukrotnie większa niż\nw innych złożach. Wywnioskowano stąd, że w obrębie złoża w Oklo doszło do powstania\nnaturalnego reaktora jądrowego. Obecnie w żadnym złożu na Ziemi nie zachodzi podobne\nzjawisko, ponieważ nigdzie nie ma już dostatecznie dużej zawartości izotopu uranu 235U.\nW przypadku reaktora w Oklo wynosiła ona (2 miliardy lat temu) około 3% całej masy uranu\nw złożu, czyli mniej więcej tyle, ile stosuje się we współczesnych reaktorach. Są jeszcze inne\nwarunki, które muszą być spełnione, aby naturalny reaktor jądrowy mógł zadziałać.\nRozmiar złoża uranu (o odpowiedniej zawartości izotopu 235U) powinien przekraczać\nśredni zasięg neutronów rozszczepiających, co odpowiada wielkości złoża równej\nokoło 70 cm.\nMusi być obecny moderator, czyli substancja, która spowalnia neutrony powstałe\nw wyniku rozszczepienia na tyle, by te mogły rozszczepić kolejne jądra uranu.\nW złożu powinna być niska koncentracja innych niż uran pierwiastków absorbujących\nneutrony.\nMechanizm działania reaktora w Oklo polegał na tym, że w złożu uranu występowała woda\ngruntowa, która działała jako moderator reakcji rozszczepienia: pozwalała rozpocząć się reakcji\nłańcuchowej. W momencie, kiedy ciepło generowane w rozszczepieniach powodowało, że\nwoda wyparowywała, moderator znikał i łańcuchowa reakcja rozszczepienia zwalniała lub\nustawała. Następnie, gdy złoże się schłodziło i woda gruntowa z powrotem wsączała się w jego\nobręb, reakcja ponownie się rozpoczynała. Na podstawie badań pozostałości produktów\nrozszczepienia obecnych w minerałach złoża oszacowano, że cykl ten składał się\nz trzydziestominutowej reakcji łańcuchowej, a następnie dwuipółgodzinnego schładzania złoża\ni powrotu wody gruntowej.\nNa podstawie: Grzegorz Lizurek, Pierwszy reaktor jądrowy, „Delta”, maj 2015.\nMFA_1R","answer":null,"answer_text":null,"solution":null,"image":"img/fizyka-2019-maj-matura-rozszerzona/zad-12.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":18,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Fizyka · Matura · maj 2019 (rozszerzona)","subject_label":"Fizyka","category_label":"Matura"},{"id":"fizyka-2019-maj-matura-rozszerzona/zad/12.1","paper_id":"fizyka-2019-maj-matura-rozszerzona","number":"12.1","points":2,"ptype":"true_false","subject":"fizyka","category":"matura","year":2019,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 12.1. (0-2)\nOceń prawdziwość poniższych zdań. Zaznacz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F - jeśli\njest fałszywe.\n1. Suma mas wszystkich produktów rozszczepienia jądra 235U jest większa od\nsumy mas jądra 235U i neutronu inicjującego reakcję rozszczepienia.\nP\nF\n2. Intensywne rozgrzewanie się opisanego złoża uranu jest spowodowane\nrozszczepieniem jąder atomowych.\nP\nF\n3. W reaktorze jądrowym moderator służy do spowalniania neutronów\npowodujących dalsze rozszczepienia.\nP\nF\n4. Gdy w opisanym złożu uranu woda wyparowywała, to liczba jąder uranu,\nktóre ulegały rozszczepieniu w jednostce czasu, znacząco malała.\nP\nF","answer":"E","answer_text":"Zadanie 12.1. (0-2)\nWymagania ogólne\nWymagania szczegółowe\nII. Analiza tekstów\npopularnonaukowych i ocena ich treści.\nI. Znajomość i umiejętność\nwykorzystania pojęć i praw fizyki\ndo wyjaśniania procesów i zjawisk\nw przyrodzie.\nZdający:\n3.2) (P) posługuje się pojęciami: energii\nspoczynkowej […];\n3.5) (P) opisuje reakcje jądrowe, stosując […]\nzasadę zachowania energii;\n3.10) (P) opisuje działanie elektrowni atomowej;\n12.8) przedstawia […] tezy poznanego artykułu\npopularnonaukowego z dziedziny fizyki.\nSchemat punktowania\n2 p. - poprawne zaznaczenie wszystkich odpowiedzi.\n1 p. - poprawne zaznaczenia w dwóch lub trzech zdaniach.\n0 p. - brak spełnienia powyższych kryteriów.\nPoprawna odpowiedź\n1. F\n2. P\n3. P\n4. P","solution":"## Poprawna odpowiedź\n\n| Nr | Ocena |\n| 1 | **F** |\n| 2 | **P** |\n| 3 | **P** |\n| 4 | **P** |\n\n## Sposób 1 - Analiza fizykalna każdego zdania krok po kroku\n\n### Zdanie 1 - FAŁSZ\n\nReakcja rozszczepienia to przykład reakcji jądrowej, w której **masa układu maleje** - ubytek masy zostaje zamieniony na energię zgodnie z:\n\n\\[E = \\Delta m \\cdot c^2\\]\n\nPełny bilans rozszczepienia (przykładowa reakcja):\n\n\\[^{235}_{92}\\text{U} + ^1_0\\text{n} \\;\\longrightarrow\\; ^{144}_{56}\\text{Ba} + ^{89}_{36}\\text{Kr} + 3\\,^1_0\\text{n} + \\text{energia}\\]\n\nSuma mas **produktów** < suma mas **substratów** \\((m_{^{235}\\text{U}} + m_n)\\)\n\nRóżnica mas (defekt masy \\(\\Delta m > 0\\)) jest źródłem ogromnej energii (~200 MeV na jedno rozszczepienie). Zdanie twierdzi odwrotnie - **FAŁSZ**.\n\n### Zdanie 2 - PRAWDA\n\nEnergia kinetyczna fragmentów rozszczepienia (ok. 165 MeV na 200 MeV całkowitej energii) jest zamieniana na ciepło w zderzeniach z atomami sieci. To bezpośrednia przyczyna rozgrzewania złoża. Tekst potwierdza: *„ciepło generowane w rozszczepieniach powodowało, że woda wyparowywała\"* - **PRAWDA**.\n\n### Zdanie 3 - PRAWDA\n\nTekst definiuje moderator wprost: *„substancja, która spowalnia neutrony powstałe w wyniku rozszczepienia na tyle, by mogły rozszczepić kolejne jądra uranu\"*. Neutrony z rozszczepienia mają energię ~1-2 MeV (neutrony szybkie). Przekrój czynny na rozszczepienie \\(^{235}\\)U jest kilkaset razy większy dla neutronów termicznych (~0,025 eV). Woda spowalnia neutrony przez zderzenia sprężyste z protonami - **PRAWDA**.\n\n### Zdanie 4 - PRAWDA\n\nWoda = moderator. Gdy woda wyparowuje:\n- Neutrony szybkie nie są spowalniane do energii termicznych\n- Przekrój czynny na rozszczepienie drastycznie maleje\n- Reakcja łańcuchowa **zwalnia lub ustaje** (jak podaje tekst)\n\nLiczba rozszczepeń na jednostkę czasu **znacząco maleje** - **PRAWDA**.\n\n## Sposób 2 - Eliminacja przez kluczowe fizyczne zasady\n\n**Zasada zachowania energii i defekt masy:**\n\nKażda reakcja jądrowa wydzielająca energię wiąże się z **ubytkiem masy**. Zdanie 1 przeczy tej zasadzie - natychmiast eliminujemy je jako FAŁSZ.\n\n**Test spójności ze stanem równowagi reaktora (zdania 3 i 4):**\n\nSchemat działania reaktora w Oklo:\n\nWoda obecna → neutrony spowolnione → dużo rozszczepeń → ciepło → woda paruje\n↑ ↓\nWoda wraca ← złoże stygnie ← mało rozszczepeń ← neutrony szybkie ← brak moderatora\n\nZdanie 3 opisuje **mechanizm moderatora** - spójne z tekstem ✔\nZdanie 4 opisuje **skutek braku moderatora** - spójne ze schematem ✔\nZdanie 2 - ciepło pochodzi z rozszczepeń jądrowych - fundament fizyki jądrowej ✔\n\n## Sposób 3 - Weryfikacja przez rachunek jednostek / rząd wielkości (zdanie 1)\n\nEnergetyka typowego rozszczepienia \\(^{235}\\)U:\n\n\\[Q \\approx 200 \\text{ MeV} = 200 \\times 1{,}6 \\times 10^{-13} \\text{ J} \\approx 3{,}2 \\times 10^{-11} \\text{ J}\\]\n\nOdpowiadający defekt masy:\n\n\\[\\Delta m = \\frac{Q}{c^2} = \\frac{3{,}2 \\times 10^{-11}}{(3 \\times 10^8)^2} \\approx 3{,}6 \\times 10^{-28} \\text{ kg}\\]\n\nMasa nukleonu \\(\\approx 1{,}67 \\times 10^{-27}\\) kg - defekt masy stanowi ok. **0,09% masy substratu**, ale jest niezerowy i **ujemny** po stronie produktów. Produkty mają **mniejszą** sumę mas. Zdanie 1 podaje kierunek odwrotny - **F**.\n\n## Schemat oceniania CKE\n\n> 📋 **Schemat punktowania CKE (zadanie 12.1, 0-2 pkt):**\n> - **2 pkt** - poprawne zaznaczenie wszystkich odpowiedzi.\n> - **1 pkt** - poprawne zaznaczenia w dwóch lub trzech zdaniach.\n> - **0 pkt** - brak spełnienia powyższych kryteriów.\n>\n> **Poprawna odpowiedź CKE: 1. F, 2. P, 3. P, 4. P**\n\n## Wzory z karty CKE - czego MASZ użyć\n\n> 📖 **Karta wzorów CKE - sekcja FIZYKA, dział: Fizyka jądrowa**\n>\n> Reakcja jądrowa: zasada zachowania liczby masowej i liczby atomowej.\n> Defekt masy i energia wiązania: \\(\\Delta E = \\Delta m \\cdot c^2\\)\n>\n> Zdanie 1 wymaga wprost tej zależności: skoro reakcja **wydziela** energię (\\(Q > 0\\)), to \\(\\Delta m > 0\\) - masa substratów jest **większa** od masy produktów.\n\n## Dlaczego błędne odpowiedzi są błędne\n\n| Zdanie | Błędna odpowiedź | Typowy błąd prowadzący do pomyłki |\n| 1 | **P** (zamiast F) | Uczeń myli: *„skoro powstaje dużo produktów, to ich masa łącznie jest większa\"* - zapomina, że energia kinetyczna pochodzi kosztem ubytku masy |\n| 2 | **F** (zamiast P) | Uczeń sądzi, że ciepło pochodzi z tarcia lub reakcji chemicznych uranu, a nie z jądrowych |\n| 3 | **F** (zamiast P) | Uczeń myli moderator z pochłaniaczem neutronów (prętami kontrolnymi); moderator *zwalnia*, nie *pochłania* |\n| 4 | **F** (zamiast P) | Uczeń rozumuje: *„mniej wody = mniej chłodzenia = wyższe T = więcej rozszczepeń\"* - błąd pominięcia roli wody jako moderatora, nie tylko czynnika chłodzącego |\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga (zdanie 1):** Intuicja *„więcej kawałków = więcej masy\"* jest błędna w fizyce jądrowej. Masa MALEJE, a ubytek staje się energią. To odróżnia reakcje jądrowe od chemicznych (gdzie masa praktycznie się nie zmienia).\n\n> ⚠️ **Uwaga (zdanie 3 vs. pręty kontrolne):** Moderator ≠ pręty kontrolne. Moderator (woda, grafit, ciężka woda) **zwalnia** neutrony. Pręty kontrolne (bor, kadm) **pochłaniają** neutrony. Mylenie tych funkcji to klasyczny błąd na maturze.\n\n> ⚠️ **Uwaga (zdanie 4):** Woda w reaktorze pełni **dwie role jednocześnie**: moderatora i czynnika chłodzącego. Pytanie dotyczy roli moderatora - gdy jej zabraknie, spada liczba rozszczepeń, nie rośnie (nawet jeśli temperatura wzrosła).","image":"img/fizyka-2019-maj-matura-rozszerzona/zad-12.1.webp","solution_image":null,"topics":"Fizyka współczesna","page_from":19,"source":"ocr","answer_source":"maturazai","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Fizyka · Matura · maj 2019 (rozszerzona)","subject_label":"Fizyka","category_label":"Matura"},{"id":"fizyka-2019-maj-matura-rozszerzona/zad/12.2","paper_id":"fizyka-2019-maj-matura-rozszerzona","number":"12.2","points":3,"ptype":"open","subject":"fizyka","category":"matura","year":2019,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 12.2. (0-3)\nUzupełnij trzy poniższe równania reakcji rozszczepienia ciężkich jąder atomowych.\nWpisz w wykropkowane miejsca właściwe liczby atomowe, liczby masowe, symbol\npierwiastka oraz liczbę emitowanych neutronów.\n1) 0\n1n + 92\n235U → 56\n144Ba + …\n89Kr + … 0\n1n\n2) 0\n1n + 92\n235U → …\n… … + 38\n94Sr + 2 0\n1n\n3) 0\n1n + …\n… … → 56\n144Ba + 38\n94Sr + 2 0\n1n","answer":null,"answer_text":"Zadanie 12.2. (0-3)\nWymagania ogólne\nWymagania szczegółowe\nI. Znajomość i umiejętność\nwykorzystania pojęć i praw fizyki\ndo wyjaśniania procesów i zjawisk\nw przyrodzie.\nZdający: 3.5) (P) opisuje reakcje jądrowe,\nstosując zasadę zachowania liczby nukleonów\ni zasadę zachowania ładunku oraz zasadę\nzachowania energii.\nSchemat punktowania\n3 p. - prawidłowe uzupełnienie trzech reakcji.\n2 p. - prawidłowe uzupełnienie dwóch reakcji.\n1 p. - prawidłowe uzupełnienie jednej reakcji.\n0 p. - brak spełnienia powyższych kryteriów.\nPoprawne rozwiązanie\n1) 0\n1n + 92\n235U → 56\n144Ba + 36\n89Kr + 3 0\n1n\n2) 0\n1n + 92\n235U → 54\n140Xe + 38\n94Sr + 2 0\n1n\n3) 0\n1n + 94\n239Pu → 56\n144Ba + 38\n94Sr + 2 0\n1n","solution":"## Poprawna odpowiedz\n\nTrzy uzupelnione rownania reakcji rozszczepienia (zasada zachowania liczby nukleonow A i liczby atomowej Z):\n\n**Rownanie 1** - rozszczepienie \\({}^{235}_{92}\\text{U}\\):\n\\[{}^{1}_{0}\\text{n} + {}^{235}_{92}\\text{U} \\rightarrow {}^{144}_{56}\\text{Ba} + {}^{89}_{36}\\text{Kr} + 3\\,{}^{1}_{0}\\text{n}\\]\n(uzupelniamy: liczba atomowa Kr = 36 oraz liczba emitowanych neutronow = 3)\n\n**Rownanie 2** - rozszczepienie \\({}^{235}_{92}\\text{U}\\):\n\\[{}^{1}_{0}\\text{n} + {}^{235}_{92}\\text{U} \\rightarrow {}^{140}_{54}\\text{Xe} + {}^{94}_{38}\\text{Sr} + 2\\,{}^{1}_{0}\\text{n}\\]\n(uzupelniamy: brakujace jadro to ksenon \\({}^{140}_{54}\\text{Xe}\\))\n\n**Rownanie 3** - rozszczepienie \\({}^{239}_{94}\\text{Pu}\\):\n\\[{}^{1}_{0}\\text{n} + {}^{239}_{94}\\text{Pu} \\rightarrow {}^{144}_{56}\\text{Ba} + {}^{94}_{38}\\text{Sr} + 2\\,{}^{1}_{0}\\text{n}\\]\n(uzupelniamy: bombardowane jadro to pluton \\({}^{239}_{94}\\text{Pu}\\))\n\n## Sposob 1 - Zasady zachowania: liczba masowa (A) i atomowa (Z)\n\nW kazdej reakcji jadrowej spelnione sa jednoczesnie dwa prawa zachowania:\n- liczba masowa: \\(\\sum A_{\\text{lewa}} = \\sum A_{\\text{prawa}}\\)\n- liczba atomowa (ladunek): \\(\\sum Z_{\\text{lewa}} = \\sum Z_{\\text{prawa}}\\)\n\nNeutron \\({}^{1}_{0}\\text{n}\\): \\(A = 1\\), \\(Z = 0\\).\n\n### Rownanie 1: \\({}^{1}_{0}\\text{n} + {}^{235}_{92}\\text{U} \\rightarrow {}^{144}_{56}\\text{Ba} + {}^{89}_{Z}\\text{Kr} + k\\,{}^{1}_{0}\\text{n}\\)\n\nZachowanie A: \\(1 + 235 = 144 + 89 + k \\cdot 1 \\Rightarrow 236 = 233 + k \\Rightarrow k = 3\\).\n\nZachowanie Z: \\(0 + 92 = 56 + Z + 3 \\cdot 0 \\Rightarrow Z = 36\\) (krypton Kr).\n\n> Wynik: \\({}^{89}_{36}\\text{Kr}\\), liczba neutronow \\(k = 3\\).\n\n### Rownanie 2: \\({}^{1}_{0}\\text{n} + {}^{235}_{92}\\text{U} \\rightarrow {}^{A}_{Z}\\text{X} + {}^{94}_{38}\\text{Sr} + 2\\,{}^{1}_{0}\\text{n}\\)\n\nZachowanie A: \\(1 + 235 = A + 94 + 2 \\cdot 1 \\Rightarrow 236 = A + 96 \\Rightarrow A = 140\\).\n\nZachowanie Z: \\(0 + 92 = Z + 38 + 0 \\Rightarrow Z = 54\\) (ksenon Xe).\n\n> Wynik: \\({}^{140}_{54}\\text{Xe}\\).\n\n### Rownanie 3: \\({}^{1}_{0}\\text{n} + {}^{A}_{Z}\\text{X} \\rightarrow {}^{144}_{56}\\text{Ba} + {}^{94}_{38}\\text{Sr} + 2\\,{}^{1}_{0}\\text{n}\\)\n\nZachowanie A: \\(1 + A = 144 + 94 + 2 \\Rightarrow 1 + A = 240 \\Rightarrow A = 239\\).\n\nZachowanie Z: \\(0 + Z = 56 + 38 + 0 \\Rightarrow Z = 94\\) (pluton Pu).\n\n> Wynik: \\({}^{239}_{94}\\text{Pu}\\).\n\n## Sposob 2 - Metoda bilansu deficytow (szybka technika egzaminacyjna)\n\n| Row. | Lewa A | Lewa Z | Znane produkty (A; Z) | Wynik szukany |\n| 1 | 236 | 92 | Ba-144 (144; 56), Kr-89 (89; 36) | k = 3 neutrony |\n| 2 | 236 | 92 | Sr-94 (94; 38), 2 neutrony (2; 0) | jadro: A=140, Z=54 -> Xe |\n| 3 | 240 (= 1 + A_Pu) | Z_Pu | Ba-144 (144; 56), Sr-94 (94; 38), 2n (2; 0) | jadro bombardowane: A=239, Z=94 -> Pu |\n\nW kazdym rownaniu brakujaca wielkosc liczymy jako roznice sumy lewej strony i znanych skladnikow prawej.\n\n## Schemat oceniania CKE\n\n> 📋 **Schemat punktowania CKE (zadanie 12.2, 0-3 pkt):**\n> - **3 pkt** - prawidlowe uzupelnienie trzech reakcji.\n> - **2 pkt** - prawidlowe uzupelnienie dwoch reakcji.\n> - **1 pkt** - prawidlowe uzupelnienie jednej reakcji.\n> - **0 pkt** - brak spelnienia powyzszych kryteriow.\n>\n> **Poprawne rozwiazanie CKE:**\n> 1) \\({}^{1}_{0}\\text{n} + {}^{235}_{92}\\text{U} \\rightarrow {}^{144}_{56}\\text{Ba} + {}^{89}_{36}\\text{Kr} + 3\\,{}^{1}_{0}\\text{n}\\)\n> 2) \\({}^{1}_{0}\\text{n} + {}^{235}_{92}\\text{U} \\rightarrow {}^{140}_{54}\\text{Xe} + {}^{94}_{38}\\text{Sr} + 2\\,{}^{1}_{0}\\text{n}\\)\n> 3) \\({}^{1}_{0}\\text{n} + {}^{239}_{94}\\text{Pu} \\rightarrow {}^{144}_{56}\\text{Ba} + {}^{94}_{38}\\text{Sr} + 2\\,{}^{1}_{0}\\text{n}\\)\n\n## Wzory z karty CKE - czego MASZ uzyc\n\n> 📖 **Karta wzorow CKE - reakcje jadrowe:**\n> Notacja jadrowa \\({}^{A}_{Z}\\text{X}\\), zachowanie liczby masowej A oraz liczby atomowej Z. Uklad okresowy (na karcie/osobno) do odczytu symbolu z Z:\n> - \\(Z = 36\\) -> Kr (krypton)\n> - \\(Z = 54\\) -> Xe (ksenon)\n> - \\(Z = 94\\) -> Pu (pluton)\n> - \\(Z = 56\\) -> Ba (bar), \\(Z = 38\\) -> Sr (stront).\n\n## Typowe pulapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Pulapka 1 - neutron ma A = 1, ale Z = 0.** Przy bilansie liczby masowej kazdy emitowany neutron liczy sie jako 1; przy bilansie Z neutron nie wnosi nic.\n\n> ⚠️ **Pulapka 2 - mylenie A z Z w zapisie symbolu.** Konwencja: liczba atomowa Z na dole, liczba masowa A na gorze, np. \\({}^{140}_{54}\\text{Xe}\\).\n\n> ⚠️ **Pulapka 3 - brak weryfikacji obu bilansow.** Po obliczeniu A i Z zawsze sprawdz, czy OBA bilanse (A i Z) sa spelnione jednoczesnie.\n\n> ⚠️ **Pulapka 4 - symbol pierwiastka z glowy zamiast z ukladu.** Kr, Xe, Pu - zawsze odczytaj symbol z ukladu okresowego, nie zgaduj.","image":"img/fizyka-2019-maj-matura-rozszerzona/zad-12.2.webp","solution_image":null,"topics":"Fizyka współczesna","page_from":19,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Fizyka · Matura · maj 2019 (rozszerzona)","subject_label":"Fizyka","category_label":"Matura"},{"id":"fizyka-2019-maj-matura-rozszerzona/zad/12.3","paper_id":"fizyka-2019-maj-matura-rozszerzona","number":"12.3","points":1,"ptype":"open","subject":"fizyka","category":"matura","year":2019,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 12.3. (0-1)\nWymień dwa fakty, na podstawie których stwierdzono, że w okolicach Oklo w Gabonie\ndziałał naturalny reaktor jądrowy.\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n11.2. 12.1. 12.2. 12.3.\nMaks. liczba pkt\n2\n2\n3\n1\nUzyskana liczba pkt\nMFA_1R\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)","answer":null,"answer_text":"Zadanie 12.3. (0-1)\nWymagania ogólne\nWymagania szczegółowe\nII. Analiza tekstów\npopularnonaukowych i ocena ich treści.\n12.8) przedstawia własnymi słowami główne\ntezy poznanego artykułu popularnonaukowego\nz dziedziny fizyki.\nSchemat punktowania\n1 p. - poprawne wymienienie dwóch faktów świadczących o działaniu naturalnego reaktora\njądrowego.\n0 p. - brak spełnienia powyższego kryterium.\nPrzykładowa odpowiedź\nFakt 1. (dotyczący substratów reakcji rozszczepienia uranu)\nZawartość izotopu uranu 235U w złożu jest mniejsza niż w innych tego typu złożach.\nFakt 2. (dotyczący produktów reakcji rozszczepienia uranu)\nOdbiegająca od oczekiwanej (albo inna) zawartość w złożu typowych produktów\nrozszczepienia uranu za pomocą neutronów termicznych.\nlub\nZawartość izotopu 99Ru w badanym złożu była ponad dwukrotnie większa niż w innych\nzłożach.","solution":"## Poprawna odpowiedź\n\n**Fakt 1:** Próbki rudy uranowej z Oklo zawierały mniejszą niż normalna zawartość izotopu \\(^{235}\\text{U}\\) - stosunek \\(^{235}\\text{U}/^{238}\\text{U}\\) był wyraźnie obniżony w stosunku do wartości standardowej (ok. 0,7204%) spotykanej wszędzie indziej na Ziemi.\n\n**Fakt 2:** W rudzie stwierdzono obecność charakterystycznych produktów rozszczepienia - specyficznych izotopów pierwiastków ziem rzadkich (m.in. neodymu, samaru, rutenu) o składzie izotopowym zgodnym z wynikami rozszczepienia \\(^{235}\\text{U}\\), a nie z naturalnymi proporcjami geologicznymi.\n\n## Sposób 1 - Wnioskowanie ze składu izotopowego uranu\n\n**Punkt wyjścia:** Na całej Ziemi (i w meteorytach) stosunek \\(^{235}\\text{U}/^{238}\\text{U}\\) jest stały i wynosi \\(\\approx 0{,}72\\%\\). Jest to izotopowy „odcisk palca\" uranu, bo oba izotopy mają ten sam skład chemiczny i nie ulegają geochemicznemu rozdzieleniu.\n\n**Obserwacja:** W próbkach z Oklo stosunek ten wynosił miejscami zaledwie \\(\\approx 0{,}44\\%\\) - o ok. 40% mniej niż wszędzie indziej.\n\n**Wniosek:**\n\\[\n\\text{Brakujący }^{235}\\text{U} \\Rightarrow \\text{musiał zostać „zużyty\" w reakcji rozszczepienia:}\n\\]\n\\[\n^{235}_{92}\\text{U} + ^1_0\\text{n} \\rightarrow \\text{fragmenty rozszczepienia} + 2{-}3\\,^1_0\\text{n} + \\text{energia}\n\\]\n\nNaturalny rozpad \\(\\alpha\\) lub \\(\\beta\\) obu izotopów nie powoduje selektywnego wyczerpywania \\(^{235}\\text{U}\\) w stosunku do \\(^{238}\\text{U}\\) w takiej skali - jedynym procesem selektywnie „spalającym\" \\(^{235}\\text{U}\\) jest rozszczepienie termicznymi neutronami, bo \\(^{235}\\text{U}\\) ma przekrój czynny na rozszczepienie \\(\\sigma_f \\approx 585\\,\\text{barn}\\) wobec \\(\\sigma_f \\approx 0\\,\\text{barn}\\) dla \\(^{238}\\text{U}\\) przy neutronach termicznych.\n\n## Sposób 2 - Wnioskowanie z obecności produktów rozszczepienia\n\n**Produkty rozszczepienia mają specyficzny „profil izotopowy\":**\n\nReakcja rozszczepienia \\(^{235}\\text{U}\\) produkuje charakterystyczny rozkład mas fragmentów (z dwoma maksimami około \\(A \\approx 90\\) i \\(A \\approx 140\\)). Izotopy takie jak:\n- \\(^{142}\\text{Nd}\\), \\(^{143}\\text{Nd}\\), \\(^{144}\\text{Nd}\\) (neodym)\n- \\(^{149}\\text{Sm}\\), \\(^{150}\\text{Sm}\\), \\(^{152}\\text{Sm}\\) (samar)\n- \\(^{101}\\text{Ru}\\), \\(^{102}\\text{Ru}\\) (ruten)\n\nmają w normalnych próbkach geologicznych proporcje wynikające z nukleosyntezy gwiazdowej. W rudzie z Oklo proporcje tych izotopów były **przesunięte** - dokładnie tak, jak gdyby część atomów tych pierwiastków powstała jako produkty beta-rozpadu krótkożyjących fragmentów rozszczepienia \\(^{235}\\text{U}\\).\n\n**Kluczowe:** Żaden znany naturalny proces geochemiczny (wietrzenie, krystalizacja, metamorfizm) nie może zmieniać proporcji izotopów tego samego pierwiastka - to wymaga **reakcji jądrowej**. Obserwowane anomalie izotopowe RE dokładnie pasują do krzywej wydajności rozszczepienia U-235 (fission yield curve), a nie do żadnego innego procesu.\n\n## Schemat oceniania CKE\n\n> 📋 **Schemat punktowania CKE (zadanie 12.3, 0-1 pkt):**\n> - **1 pkt** - poprawne wymienienie dwóch faktów świadczących o działaniu naturalnego reaktora jądrowego.\n> - **0 pkt** - brak spełnienia powyższego kryterium.\n>\n> **Przykładowa odpowiedź CKE:**\n> - Fakt 1 (dotyczący substratów reakcji rozszczepienia uranu): zawartość izotopu uranu \\(^{235}\\text{U}\\) w złożu jest mniejsza niż w innych tego typu złożach.\n> - Fakt 2 (dotyczący produktów reakcji rozszczepienia uranu): odbiegająca od oczekiwanej (albo inna) zawartość w złożu typowych produktów rozszczepienia uranu za pomocą neutronów termicznych. LUB: zawartość izotopu \\(^{99}\\text{Ru}\\) w badanym złożu była ponad dwukrotnie większa niż w innych złożach.\n\n## Wzory z karty CKE - czego MASZ użyć\n\n> 📖 **Karta wzorów CKE str. 16-20 - sekcja FIZYKA JĄDROWA:**\n> Wzory reakcji jądrowych, definicja liczby masowej i atomowej, prawo rozpadu promieniotwórczego. Brak bezpośredniego wzoru „reaktor Oklo\" - zadanie opiera się na rozumowaniu, nie na obliczeniach. Karta wzorów tu **nie jest wymagana do odpowiedzi**, ale pomaga zrozumieć kontekst (rozszczepienie neutronami termicznymi).\n\nW tym zadaniu nie obliczamy - wystarczy znajomość mechanizmu reaktora jądrowego i rozumowanie izotopowe.\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Jeden fakt to za mało - klucz wymaga **dwóch** faktów. Uczeń piszący tylko „znaleziono produkty rozszczepienia\" dostaje 0 pkt.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Zbyt ogólna odpowiedź „ruda była radioaktywna\" jest **błędna** - każda ruda uranowa jest radioaktywna, to nie odróżnia Oklo od innych złóż.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie mylić „zubożonego uranu\" (użycie militarne, usunięcie \\(^{235}\\text{U}\\) technologicznie) z „zubożonym uranem z Oklo\" (naturalny ubytek \\(^{235}\\text{U}\\) przez rozszczepienie 2 miliardy lat temu).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Warunki konieczne do działania reaktora (woda jako moderator, konkretne stężenie uranu, odpowiednia geometria złoża) to **przyczyny** działania reaktora, nie **fakty, na podstawie których go stwierdzono** - klucz prosi o dowody, nie o warunki.","image":"img/fizyka-2019-maj-matura-rozszerzona/zad-12.3.webp","solution_image":null,"topics":"Fizyka współczesna","page_from":19,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Fizyka · Matura · maj 2019 (rozszerzona)","subject_label":"Fizyka","category_label":"Matura"}]}