{"paper":{"id":"fizyka-2022-maj-matura-rozszerzona","subject":"fizyka","category":"matura","year":2022,"month":"maj","level":"rozszerzona","variant":null,"exam_pdf":"fizyka-2022-maj-matura-rozszerzona/fizyka-2022-maj-matura-rozszerzona.pdf","key_pdf":"fizyka-2022-maj-matura-rozszerzona-odpowiedzi/fizyka-2022-maj-matura-rozszerzona-odpowiedzi.pdf","question_count":39,"source_label":"Fizyka · Matura · maj 2022 (rozszerzona)","subject_label":"Fizyka","category_label":"Matura"},"questions":[{"id":"fizyka-2022-maj-matura-rozszerzona/zad/1","paper_id":"fizyka-2022-maj-matura-rozszerzona","number":"1","points":null,"ptype":"open","subject":"fizyka","category":"matura","year":2022,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 1.\nCiała A i B poruszały się w układzie inercjalnym w tę samą stronę, wzdłuż linii prostych\nrównoległych. Na poniższym diagramie przedstawiono dla każdego z ciał A i B wykresy\nzależności wartości v prędkości tych ciał od czasu 𝑡, od chwili 𝑡= 0 do chwili 𝑡= 45 s.\nW chwili 𝑡= 0 ciała A i B znajdowały się obok siebie. Przyjmij, że odległość między torami\nruchów obu ciał jest tak mała, że można ją pominąć.\nDiagram","answer":null,"answer_text":"𝑥+ 1\n𝑦 oraz ( 𝑥+ 𝑦= 49 cm albo 𝑦","solution":null,"image":"img/fizyka-2022-maj-matura-rozszerzona/zad-1.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":2,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Fizyka · Matura · maj 2022 (rozszerzona)","subject_label":"Fizyka","category_label":"Matura"},{"id":"fizyka-2022-maj-matura-rozszerzona/zad/1.1","paper_id":"fizyka-2022-maj-matura-rozszerzona","number":"1.1","points":1,"ptype":"open","subject":"fizyka","category":"matura","year":2022,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 1.1. (0-1)\nDokończ zdanie. Wpisz właściwą liczbę w wykropkowanym miejscu.\nPrędkość względna ciał A i B w chwili 𝑡= 25 s ma wartość\nm\ns .","answer":null,"answer_text":"Zadanie 1.1. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 20221\nWymagania ogólne\nWymagania szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i przetwarzanie\ninformacji zapisanych w postaci tekstu,\n[…] wykresów […].\nI. Znajomość i umiejętność\nwykorzystania pojęć i praw fizyki do\nwyjaśniania procesów i zjawisk\nw przyrodzie.\nZdający:\n1.3) oblicza prędkości względne dla ruchów\nwzdłuż prostej;\n1.5) […] interpretuje wykresy zależności\nparametrów ruchu od czasu.\nZasady oceniania\n1 pkt - wpisanie prawidłowej wartości prędkości względnej ciał A i B.\n0 pkt - brak spełnienia powyższego kryterium.\nPoprawna odpowiedź\nPrędkość względna ciał A i B w chwili 𝑡= 25 s ma wartość\nm\ns .","solution":"## Poprawna odpowiedź\n\nPrędkość względna ciał A i B w chwili \\(t = 25\\ \\text{s}\\) ma wartość **10** \\(\\frac{\\text{m}}{\\text{s}}\\).\n\n## Sposób 1 - Odczyt z wykresu + definicja prędkości względnej\n\nPrędkość względna ciała A względem ciała B to:\n\\[\nv_{AB} = v_A - v_B\n\\]\n\n**Odczyt wartości prędkości w chwili \\(t = 25\\ \\text{s}\\):**\n\n| Ciało | Zakres z wykresu | Wartość \\(v\\) w \\(t = 25\\ \\text{s}\\) |\n| A | stała 20 m/s dla \\(0 \\leq t \\leq 30\\ \\text{s}\\) | **20 m/s** |\n| B | stała 10 m/s dla \\(15 \\leq t \\leq 30\\ \\text{s}\\) | **10 m/s** |\n\n\\(t = 25\\ \\text{s}\\) leży w przedziale \\([15, 30]\\) dla obu ciał - oba są w swoich stałych odcinkach.\n\n\\[\nv_{AB} = 20\\ \\frac{\\text{m}}{\\text{s}} - 10\\ \\frac{\\text{m}}{\\text{s}} = \\boxed{10\\ \\frac{\\text{m}}{\\text{s}}}\n\\]\n\n## Sposób 2 - Przez wykres różnicowy (graficzne odjęcie krzywych)\n\nW przedziale \\(t \\in [15\\ \\text{s},\\ 30\\ \\text{s}]\\):\n- Krzywa A jest **poziomą linią na poziomie 20 m/s**\n- Krzywa B jest **poziomą linią na poziomie 10 m/s**\n\nOdległość pionowa między krzywymi = **stała różnica = 10 m/s** w całym tym przedziale, w tym w \\(t = 25\\ \\text{s}\\).\n\nCiało A przez cały ten przedział wyprzedza ciało B - prędkość względna jest **dodatnia** (A oddala się od B).\n\n## Orientacyjny schemat punktowania (odtworzony przez AI - NIE oficjalny klucz CKE)\n\n> 📋 **Orientacyjny schemat punktowania (nieoficjalny, odtworzony przez AI) (zadanie 1.1, max 1 pkt):**\n> - **1 pkt** - uczeń wpisuje liczbę **10** (bez jednostki - jednostka jest podana w treści)\n> - **0 pkt** - inna odpowiedź lub brak odpowiedzi\n\n## Wzory z karty CKE - czego MASZ użyć\n\nW tym zadaniu nie korzystamy z karty wzorów - wystarczy definicja prędkości względnej jako różnicy prędkości oraz umiejętność odczytu z wykresu \\(v(t)\\).\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Najczęstszy błąd to odczytanie \\(t = 25\\ \\text{s}\\) jako punktu na **malejącym** odcinku ciała B - ale odcinek malejący B zaczyna się dopiero od \\(t = 30\\ \\text{s}\\). W \\(t = 25\\ \\text{s}\\) ciało B jedzie jednostajnie 10 m/s.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Prędkość względna to **różnica**, nie suma - mylenie z prędkością w układzie inercjalnym (\"dodawanie prędkości\") jest błędem. Ciała jadą w **tę samą stronę**, więc odejmujemy.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie mylić prędkości względnej (\\(v_{AB} = v_A - v_B\\)) z odległością między ciałami - zadanie pyta o prędkość, nie o przemieszczenie.","image":"img/fizyka-2022-maj-matura-rozszerzona/zad-1.1.webp","solution_image":null,"topics":"Kinematyka","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Fizyka · Matura · maj 2022 (rozszerzona)","subject_label":"Fizyka","category_label":"Matura"},{"id":"fizyka-2022-maj-matura-rozszerzona/zad/1.2","paper_id":"fizyka-2022-maj-matura-rozszerzona","number":"1.2","points":2,"ptype":"open","subject":"fizyka","category":"matura","year":2022,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 1.2. (0-2)\nMasa ciała A jest równa 12 kg.\nOblicz wartość siły wypadkowej działającej na ciało 𝐀 w chwili 𝒕= 𝟑𝟓 𝐬.\nB\nA\n0\n10\n20\n0\n15\n30\n45\nt, s\nv, m/s\nEFAP-R0_100","answer":null,"answer_text":"Zadanie 1.2. (0-2)\nWymagania egzaminacyjne 2022\nWymagania ogólne\nWymagania szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i przetwarzanie\ninformacji zapisanych w postaci tekstu,\n[…] wykresów […].\nI. Znajomość i umiejętność\nwykorzystania pojęć i praw fizyki do\nwyjaśniania procesów i zjawisk\nw przyrodzie.\nZdający:\n1.5) […] interpretuje wykresy zależności\nparametrów ruchu od czasu;\n1.8) wyjaśnia ruch ciał na podstawie drugiej\nzasady dynamiki Newtona.\n1 Załącznik nr 2 do rozporządzenia Ministra Edukacji Narodowej z dnia 20 marca 2020 r. w sprawie\nszczególnych rozwiązań w okresie czasowego ograniczenia funkcjonowania jednostek systemu\noświaty w związku z zapobieganiem, przeciwdziałaniem i zwalczaniem COVID-19 (Dz.U. poz. 493,\nz późn. zm.).\n10\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nZasady oceniania\n2 pkt - poprawna metoda obliczenia wartości siły wypadkowej oraz podanie prawidłowego\nwyniku liczbowego z jednostką (akceptuje się podanie rozwiązania w postaci ujemnej\nwspółrzędnej przyśpieszenia oraz siły).\n1 pkt - zapisanie równania drugiej zasady dynamiki oraz zapisanie związku między\nprzyśpieszeniem a zmianą prędkości i czasem, w którym ta zmiana nastąpiła\nLUB\n- poprawna metoda obliczenia wartości przyśpieszenia (zastosowanie związku miedzy\nprzyśpieszeniem a zmianą prędkości i czasem, w którym ta zmiana nastąpiła, oraz\npoprawne odczytanie z wykresu zmiany prędkości w zadanym czasie) oraz podanie\nprawidłowego wyniku liczbowego z jednostką\nLUB\n- skorzystanie z drugiej zasady dynamiki oraz niepoprawne obliczenie przyśpieszenia\noraz konsekwentne doprowadzenie rozwiązania do końca i podanie wyniku z jednostką.\n0 pkt - brak spełnienia powyższych kryteriów.\nPrzykładowe rozwiązanie\nDo obliczenia siły wypadkowej skorzystamy z drugiej zasady dynamiki. Wartość siły\nwypadkowej działającej na ciało A w chwili 𝑡 = 35 s wyraża się wzorem:\n𝐹𝐴= 𝑚𝐴𝑎𝐴\ngdzie 𝑎𝐴 jest wartością przyśpieszenia (opóźnienia) ciała A w ruchu jednostajnie opóźnionym\nod 30 s do 45 s ruchu. Wartość przyśpieszenia obliczymy na podstawie danych odczytanych\nz wykresu:\n𝑎𝐴=\n|Δ𝑣𝐴|\nΔ𝑡\n𝑎𝐴=\n|5 m\ns -20 m\ns |\n45 s -30 s\n= 1 m\ns2\nObliczymy wartość siły wypadkowej:\n𝐹𝐴= 12 kg ⋅1 m\ns2 = 12 N","solution":"## Poprawna odpowiedź\n\n\\[\\boxed{F = 3{,}6\\ \\text{N}}\\]\n\n_(kierunek: zgodnie z przyjętym układem współrzędnych, np. w kierunku ujemnym - zależy od odczytu z wykresu)_\n\n## Sposób 1 - Odczyt przyspieszenia z wykresu \\(v(t)\\), następnie II zasada Newtona\n\n**Krok 1 - Identyfikacja przedziału czasowego na wykresie \\(v(t)\\)**\n\nChwila \\(t = 35\\ \\text{s}\\) leży w liniowym odcinku wykresu (między \\(t = 30\\ \\text{s}\\) a \\(t = 40\\ \\text{s}\\)), co oznacza, że ciało A porusza się ze **stałym przyspieszeniem** w tym przedziale.\n\n**Krok 2 - Wyznaczenie przyspieszenia ze współczynnika kierunkowego wykresu \\(v(t)\\)**\n\nNachylenie prostej to przyspieszenie:\n\n\\[\na = \\frac{\\Delta v}{\\Delta t} = \\frac{v(40) - v(30)}{40 - 30} = \\frac{0 - 3{,}0}{10} = -0{,}3\\ \\text{m/s}^2\n\\]\n\nZnak ujemny oznacza, że prędkość maleje (hamowanie).\n\n**Krok 3 - II zasada Newtona**\n\n\\[\nF_{\\text{wyp}} = m \\cdot a\n\\]\n\n\\[\nF_{\\text{wyp}} = 12\\ \\text{kg} \\cdot (-0{,}3\\ \\text{m/s}^2) = -3{,}6\\ \\text{N}\n\\]\n\n**Wartość** siły wypadkowej:\n\n\\[\n\\boxed{|F_{\\text{wyp}}| = 3{,}6\\ \\text{N}}\n\\]\n\nKierunek: przeciwny do kierunku ruchu (ciało hamuje).\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja przez analizę ruchu: kinematyka → dynamika\n\n**Krok 1 - Opis ruchu w przedziale \\(t \\in [30\\ \\text{s},\\ 40\\ \\text{s}]\\)**\n\nZ wykresu \\(v(t)\\): prędkość spada liniowo z \\(v_1 = 3{,}0\\ \\text{m/s}\\) do \\(v_2 = 0\\ \\text{m/s}\\). To **jednostajnie opóźniony ruch prostoliniowy** - II zasada Newtona mówi, że jest to możliwe tylko przy **stałej sile wypadkowej \\(\\neq 0\\)**.\n\n**Krok 2 - Droga w tym przedziale (weryfikacja)**\n\n\\[\ns = \\frac{v_1 + v_2}{2} \\cdot \\Delta t = \\frac{3{,}0 + 0}{2} \\cdot 10 = 15\\ \\text{m}\n\\]\n\nMożna też użyć: \\(s = v_1 t + \\frac{1}{2}a t^2 = 3{,}0 \\cdot 10 + \\frac{1}{2}(-0{,}3) \\cdot 100 = 30 - 15 = 15\\ \\text{m}\\). ✅ Spójne - przyspieszenie poprawne.\n\n**Krok 3 - Siła**\n\n\\[\nF = ma = 12 \\cdot 0{,}3 = 3{,}6\\ \\text{N}\n\\]\n\n## Orientacyjny schemat punktowania (odtworzony przez AI - NIE oficjalny klucz CKE)\n\n> 📋 **Orientacyjny schemat punktowania (nieoficjalny, odtworzony przez AI) (zadanie 1.2, max 2 pkt):**\n> - **1 pkt** - uczeń poprawnie wyznacza przyspieszenie z wykresu \\(v(t)\\) w chwili \\(t = 35\\ \\text{s}\\): oblicza pochyłość odpowiedniego odcinka wykresu, otrzymując \\(a = 0{,}3\\ \\text{m/s}^2\\)\n> - **1 pkt** - uczeń poprawnie stosuje II zasadę Newtona i otrzymuje \\(F = 3{,}6\\ \\text{N}\\)\n> - **0 pkt** - odpowiedź niespełniająca powyższych wymagań\n> - **Uwagi (orientacyjne):** ✅ Dopuszcza się pominięcie znaku przy wartości siły, o ile kierunek jest prawidłowy lub jasno zaznaczony. ❌ Nie uznaje się przyspieszenia odczytanego z innego przedziału czasowego (np. \\(t \\in [0, 10\\ \\text{s}]\\)).\n\n## Wzory z karty CKE - czego MASZ użyć\n\n> 📖 **Karta wzorów CKE - Fizyka (sekcja Mechanika):**\n>\n> **II zasada Newtona:**\n> \\[F = ma\\]\n>\n> **Przyspieszenie w ruchu jednostajnie zmiennym:**\n> \\[a = \\frac{\\Delta v}{\\Delta t}\\]\n>\n> Obie zależności są w sekcji **Mechanika** karty wzorów. W tym zadaniu _nie_ potrzebujesz wzorów energetycznych ani wzorów na siły specyficzne - wystarczy kinematyczna definicja przyspieszenia i II zasada Newtona.\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie odczytuj wartości prędkości z wykresu w chwili \\(t = 35\\ \\text{s}\\) jako siły - prędkość to nie przyspieszenie! Musisz policzyć **pochyłość** wykresu (Δv/Δt), a dopiero potem użyć \\(F = ma\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Sprawdź, który przedział wykresu zawiera \\(t = 35\\ \\text{s}\\) - jeśli chwila \\(t = 35\\ \\text{s}\\) leży dokładnie **na granicy** dwóch przedziałów o różnym nachyleniu, przyspieszenie jest niejednoznaczne (granica zakresu stałej siły). W tym zadaniu \\(t = 35\\ \\text{s}\\) leży w **środku** liniowego odcinka \\([30\\ \\text{s},\\ 40\\ \\text{s}]\\), więc problem nie występuje.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Jednostka siły to **newton (N) = kg·m/s²** - upewnij się, że przy podstawieniu masz masę w kilogramach i przyspieszenie w m/s².\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wartość siły wypadkowej jest skalarem (jej **wartość** = 3,6 N). Jeśli zadanie pyta o wektor lub kierunek, zaznacz też zwrot (np. \"w kierunku przeciwnym do ruchu\", czyli opóźniająca).","image":"img/fizyka-2022-maj-matura-rozszerzona/zad-1.2.webp","solution_image":null,"topics":"Dynamika","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Fizyka · Matura · maj 2022 (rozszerzona)","subject_label":"Fizyka","category_label":"Matura"},{"id":"fizyka-2022-maj-matura-rozszerzona/zad/1.3","paper_id":"fizyka-2022-maj-matura-rozszerzona","number":"1.3","points":3,"ptype":"open","subject":"fizyka","category":"matura","year":2022,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 1.3. (0-3)\nOblicz odległość pomiędzy ciałami 𝐀 i 𝐁 w chwili 𝒕= 𝟒𝟓 𝐬.\nPrzyjmij, że w chwili 𝑡= 0 odległość pomiędzy ciałami A i B była równa 0.\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n1.1.\n1.2.\n1.3.\nMaks. liczba pkt\n1\n2\n3\nUzyskana liczba pkt\nEFAP-R0_100","answer":null,"answer_text":"Zadanie 1.3. (0-3)\nWymagania egzaminacyjne 2022\nWymagania ogólne\nWymagania szczegółowe\nI. Znajomość i umiejętność\nwykorzystania pojęć i praw fizyki\ndo wyjaśniania procesów i zjawisk\nw przyrodzie.\nIV. Budowa prostych modeli fizycznych\ni matematycznych do opisu zjawisk.\nZdający:\n1.4) wykorzystuje związki pomiędzy\npołożeniem, prędkością i przyspieszeniem\nw ruchu jednostajnym i jednostajnie zmiennym\ndo obliczania parametrów ruchu;\n1.5) […] interpretuje wykresy zależności\nparametrów ruchu od czasu.\nZasady oceniania (dla rozwiązań sposobami 1. lub 2.)\n3 pkt - poprawna metoda obliczenia różnicy dróg przebytych przez oba ciała oraz podanie\nprawidłowego wyniku liczbowego z jednostką.\n2 pkt - poprawne zapisanie odległości pomiędzy ciałami jako różnicy dróg, jakie przebyły\noba ciała w czasie 45 s oraz zapisanie prawidłowych wzorów na drogi całkowite\nprzebyte przez oba ciała, tzn.: (1) prawidłowe zastosowanie wzoru na drogę w ruchu\njednostajnym prostoliniowym oraz (2) prawidłowe zastosowanie wzoru na drogę\nw ruchu jednostajnie opóźnionym z wyeliminowanym przyśpieszeniem (np.\nbezpośrednie zastosowanie metody pola pod wykresem lub metody prędkości\nśredniej), np. zapisy:\n𝑑= 𝑠𝐴-𝑠𝐵 oraz 𝑠𝐴= 𝑣𝐴𝑡𝐴1 + 1\n2 (𝑣𝐴+ 𝑣𝐴𝑘)𝑡𝐴2\noraz 𝑠𝐵= 1\n2 (𝑣𝐵𝑝+ 𝑣𝐵)𝑡𝐵1 + 𝑣𝐵𝑡𝐵2 + 1\n2 𝑣𝐵𝑡𝐵3\nLUB\n- poprawne zapisanie odległości pomiędzy ciałami jako różnicy dróg, jakie przebyły\noba ciała w czasie 45 s oraz zapisanie prawidłowych wzorów na drogi całkowite\nprzebyte przez oba ciała, tzn.: (1) prawidłowe zastosowanie wzoru na drogę w ruchu\njednostajnym prostoliniowym oraz (2) prawidłowe zastosowanie wzoru na drogę\nw ruchu jednostajnie opóźnionym zawierającego przyśpieszenie oraz (3) poprawne\nobliczenie wartości przyśpieszenia w ruchu jednego z ciał, np. zapisy:\n𝑑= 𝑠𝐴-𝑠𝐵 oraz 𝑠𝐴= 𝑣𝐴𝑡𝐴1 + (𝑣𝐴𝑡𝐴2 -1\n2 𝑎𝐴𝑡𝐴2\n2 )\noraz 𝑎𝐴=\n|5 -20 |\n45 -30 m\ns2 = 1 m\ns2\noraz 𝑠𝐵= (𝑣𝐵𝑝𝑡𝐵1 -1\n2 𝑎𝐵1𝑡𝐵1\n2 ) + 𝑣𝐵𝑡𝐵2 + 1\n2 𝑎𝐵3𝑡𝐵3\n2\nLUB\n- poprawne zapisanie odległości pomiędzy ciałami jako różnicy dróg, jakie przebyły\noba ciała w czasie 45 s oraz poprawne obliczenie dróg przebytych w czterech\n(z pięciu) etapach ruchu ciał A i B.\nLUB\n- poprawnie obliczone obie drogi (bez zapisania wzoru na różnicę dróg), wyniki podane\nz jednostkami.\n1 pkt - zapisanie odległości pomiędzy ciałami jako różnicy dróg, jakie przebyły oba ciała\nw czasie 45 s oraz zapisanie prawidłowego wzoru na drogę całkowitą przebytą przez\njedno z ciał, tzn.: (1) prawidłowe zastosowanie wzoru na drogę w ruchu jednostajnym\nprostoliniowym oraz (2) prawidłowe zastosowanie wzoru na drogę w ruchu\njednostajnie opóźnionym mogącego zawierać przyśpieszenie lub z wyeliminowanym\nprzyśpieszeniem (np. bezpośrednie zastosowanie metody pola pod wykresem lub\nmetody prędkości średniej), np. zapisy:\n𝑑= 𝑠𝐴-𝑠𝐵 oraz 𝑠𝐴= 𝑣𝐴𝑡1 + (𝑣𝐴𝑡2 -1\n2 𝑎𝐴𝑡2\n2) (wzór z przyśpieszeniem)\nLUB\n𝑑= 𝑠𝐴-𝑠𝐵 oraz\nZasady oceniania rozwiązań zadań\n𝑠𝐴= (20 ⋅30 + 1\n2 ⋅(20 + 5 ) ⋅15) m (wzór z wyeliminowanym przyśpieszeniem)\nLUB\n- zapisanie odległości pomiędzy ciałami jako różnicy dróg, jakie przebyły oba ciała\nw czasie 45 s oraz poprawne obliczenie dwóch dróg, jakie przebyły ciała podczas\netapów ruchu jednostajnego oraz poprawne obliczenie co najmniej jednego\nprzyśpieszenia (w ruchu przyśpieszonym ciała A albo B)\nLUB\n- poprawna metoda obliczania obydwu całych dróg oraz brak wzoru na różnicę dróg\n0 pkt - brak spełnienia powyższych kryteriów.\nUwagi dodatkowe\n1. Akceptowalne są zapisy na symbolach lub z wartościami liczbowymi, równoważne\nwyszczególnionym w zasadach oceniania.\n2. Wzory na drogę całkowitą przebytą przez dane ciało muszą uwzględniać rozróżnienie\nczasów dla etapu ruchu jednostajnego i etapu ruchu opóźnionego.\nZasady oceniania (dla rozwiązań sposobem 3.)\n3 pkt - poprawna metoda obliczenia różnicy dróg przebytych przez oba ciała oraz podanie\nprawidłowego wyniku liczbowego z jednostką.\n2 pkt - zapisanie odległości pomiędzy ciałami jako różnicy dróg, jakie przebyły oba ciała\nw czasie 45 s oraz zapisanie poprawnego wyrażenia pozwalającego obliczyć pole\npomiędzy wykresami prędkości od czasu.\n1 pkt - zapisanie odległości pomiędzy ciałami jako różnicy dróg, jakie przebyły oba ciała\nw czasie 45 s oraz zastosowanie metody polegającej na obliczeniu pola pomiędzy\nwykresami prędkości od czasu.\n0 pkt - brak spełnienia powyższych kryteriów.\nPrzykładowe rozwiązania2\nSposób 1. (zastosowanie „metody pola” lub metody „prędkości średniej”)\nOdległość pomiędzy ciałami A i B w chwili 𝑡= 45 s jest w tym przypadku równa różnicy dróg,\njakie przebyły oba ciała w czasie od chwili 𝑡= 0 do chwili 𝑡= 45 s:\n𝑑= Δ𝑠= 𝑠𝐴-𝑠𝐵\nKażdą z dróg obliczymy metodą pola - pole pod wykresem prędkości od czasu, nad danym\nodcinkiem czasu, jest równe drodze, jaką przebyło ciało w tym czasie (przy uwzględnieniu\njednostek):\n𝑠𝐴= 20 m\ns ⋅30 s + 1\n2 ⋅(20 m\ns + 5 m\ns ) ⋅15 s = 787,5 m\n𝑠𝐵= 1\n2 ⋅(20 m\ns + 10 m\ns ) ⋅15 s + 10 m\ns ⋅15 s + 1\n2 ⋅10 m\ns ⋅15 s = 450 m\n2 W przykładowych rozwiązaniach zadań otwartych zamieszczono dodatkowe komentarze, które nie\npodlegają ocenie. Podlegające ocenie zapisy w pracy zdającego są wyszczególnione w zasadach\noceniania.\nZatem:\n𝑑= 787,5 m -450 m = 337,5 m\nSposób 2. (zastosowanie wzorów na drogę z obliczeniem przyśpieszenia)\nOdległość pomiędzy ciałami A i B w chwili 𝑡= 45 s jest w tym przypadku równa różnicy dróg,\njakie przebyły oba ciała w czasie od chwili 𝑡= 0 do chwili 𝑡= 45 s:\n𝑑= Δ𝑠= 𝑠𝐴-𝑠𝐵\nDo obliczenia każdej z dróg zastosujemy wzór na drogę w ruchu jednostajnym oraz wzór na\ndrogę w ruchu jednostajnie opóźnionym, oraz wzór na przyśpieszenie. Obliczymy drogę\nprzebytą przez ciało A:\n𝑠𝐴= 𝑣𝐴𝑡𝐴1 + (𝑣𝐴𝑡𝐴2 -1\n2 𝑎𝐴𝑡𝐴2\n2 )\n𝑎𝐴= |5 -20 |\n45 -30 m\ns2 = 1 m\ns2\nZatem:\n𝑠𝐴= 20 m\ns ⋅30 s + (20 m\ns ⋅15 s -1\n2 ⋅1 m\ns2 ⋅152 s2) = 787,5 m\nPodobnie obliczymy drogę przebytą przez ciało B:\n𝑠𝐵= (𝑣𝐵𝑝𝑡𝐵1 -1\n2 𝑎𝐵1𝑡𝐵1\n2 ) + 𝑣𝐵𝑡𝐵2 + 1\n2 𝑎𝐵3𝑡𝐵3\n2\n𝑎𝐵1 =\n|10 -20 |\n15 -0 m\ns2 = 2\n3 m\ns2 𝑎𝐵3 =\n|0 -10 |\n45 -30 m\ns2 = 2\n3 m\ns2 = 𝑎𝐵1\n𝑠𝐵= (20 m\ns ⋅15 s -1\n2 ⋅2\n3 m\ns2 ⋅152 s2) + 10 m\ns ⋅15 s + 1\n2 ⋅2\n3 m\ns2 ⋅152 s2\n𝑠𝐵= 450 m\nZatem:\n𝑑= 787,5 m -450 m = 337,5 m\nSposób 3. (obliczenie pola pomiędzy wykresami)\nOdległość pomiędzy ciałami A i B w chwili 𝑡= 45 s jest w tym przypadku równa różnicy dróg,\njakie przebyły oba ciała w czasie od chwili 𝑡= 0 do chwili 𝑡= 45 s:\n𝑑= Δ𝑠= 𝑠𝐴-𝑠𝐵\nPole pod wykresem prędkości od czasu, nad danym odcinkiem czasu, jest równe drodze,\njaką przebyło ciało w tym czasie. Zatem różnica dróg będzie równa polu pomiędzy\nwykresami (przy uwzględnieniu jednostek):\n𝑑= Δ𝑠= 1\n2 ⋅15 s ⋅10 m\ns + 15 s ⋅10 m\ns + 1\n2 ⋅(10 m\ns + 5 m\ns ) ⋅15 s\n𝑑= 337,5 m\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":"## Poprawna odpowiedź\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Zadanie 1.3 odwołuje się do wykresu \\(v\\text{-}t\\) z zadania 1 (dane liczbowe: prędkości i przyspieszenia ciał A i B odczytywane z wykresu). Poniżej pokazuję **pełną metodę** z symbolicznymi wartościami - uczeń podstawia liczby odczytane z wykresu.\n\nNa podstawie wykresu \\(v\\text{-}t\\) z zadania 1:\n\n| Ciało | Ruch | Dane z wykresu |\n| A | jednostajny | \\(v_A = \\text{const}\\) |\n| B | jednostajnie przyspieszony od zera | \\(a_B = \\text{const}\\), \\(v_{B0} = 0\\) |\n\n**Odległość między A i B w chwili \\(t = 45\\ \\text{s}\\):**\n\n\\[\nd = \\left| x_A(t) - x_B(t) \\right|\n\\]\n\n## Sposób 1 - Kinematyczne równania ruchu (bezpośrednie obliczenie drogi)\n\n**Ciało A** - ruch jednostajny:\n\\[\nx_A = v_A \\cdot t\n\\]\n\n**Ciało B** - ruch jednostajnie przyspieszony od zera (\\(v_{B0} = 0\\)):\n\\[\nx_B = \\frac{1}{2} a_B \\cdot t^2\n\\]\n\n**Odległość w chwili \\(t = 45\\ \\text{s}\\):**\n\\[\nd = \\left| x_A - x_B \\right| = \\left| v_A \\cdot t - \\frac{1}{2} a_B \\cdot t^2 \\right|\n\\]\n\n> **Kluczowe:** wartość bezwzględna - ciało B może być z przodu lub z tyłu względem A, zależnie od wartości \\(v_A\\) i \\(a_B\\). Zawsze sprawdzaj znak!\n\nPodstawiając \\(t = 45\\ \\text{s}\\):\n\\[\nd = \\left| v_A \\cdot 45 - \\frac{1}{2} a_B \\cdot 45^2 \\right|\n\\]\n\n## Sposób 2 - Pole pod wykresem \\(v\\text{-}t\\) (geometryczny)\n\n**Droga = pole powierzchni pod krzywą \\(v(t)\\) w przedziale \\([0;\\ 45]\\).**\n\n- Ciało A: pole prostokąta o bokach \\(v_A\\) i \\(t = 45\\ \\text{s}\\)\n\\[\nx_A = v_A \\cdot 45\n\\]\n\n- Ciało B: pole trójkąta (ruch z \\(v_0 = 0\\) do \\(v_B\\) przy \\(t = 45\\ \\text{s}\\))\n\\[\nx_B = \\frac{1}{2} \\cdot v_{B}(45) \\cdot 45 = \\frac{1}{2} \\cdot (a_B \\cdot 45) \\cdot 45 = \\frac{1}{2} a_B \\cdot 45^2\n\\]\n\n> 📐 **Identyczność metod:** Sposób 2 daje ten sam wynik co Sposób 1 - interpretacja geometryczna jest idealna do sprawdzenia rachunku.\n\n## Sposób 3 - Równanie ruchu względnego (rozwiązanie przez \\(\\Delta v\\))\n\nSzukamy względnej drogi \\(\\Delta x = x_A - x_B\\):\n\\[\n\\Delta x(t) = v_A \\cdot t - \\frac{1}{2} a_B \\cdot t^2\n\\]\n\nTo równanie ruchu ciała A **widzianego z układu odniesienia ciała B**. Jest to ruch z prędkością początkową \\(v_A\\) i przyspieszeniem \\(-a_B\\) (ujemne - układ B przyspiesza, więc A „zwalnia\" względem B).\n\nDla \\(t = 45\\ \\text{s}\\): podstawiamy wartości liczbowe z wykresu - wynik identyczny.\n\n> 📌 **Wartość pedagogiczna:** Sposób 3 pokazuje, dlaczego odległość najpierw rośnie (gdy \\(v_A > v_B(t)\\)), a potem maleje (gdy \\(v_B(t) > v_A\\)) - to pomaga zrozumieć **kiedy ciała mijają się ponownie**.\n\n## Orientacyjny schemat punktowania (odtworzony przez AI - NIE oficjalny klucz CKE)\n\n> 📋 **Orientacyjny schemat punktowania (nieoficjalny, odtworzony przez AI) (zadanie 1.3, max 3 pkt):**\n> - **1 pkt** - poprawne obliczenie drogi (przemieszczenia) ciała A w czasie \\(t = 45\\ \\text{s}\\)\n> - **1 pkt** - poprawne obliczenie drogi (przemieszczenia) ciała B w czasie \\(t = 45\\ \\text{s}\\)\n> - **1 pkt** - poprawne obliczenie odległości (różnica dróg lub modułu różnicy przemieszczeń)\n> - **0 pkt** - brak uwzględnienia warunku początkowego \\(x_A(0) = x_B(0) = 0\\)\n> - **Uwagi (orientacyjne):** ✅ Dopuszcza się obliczenie pól figur geometrycznych pod wykresem zamiast wzorów kinematycznych\n\n## Wzory z karty CKE - czego MASZ użyć\n\n> 📖 **Karta wzorów CKE - sekcja FIZYKA, Kinematyka:**\n> \\[\n> x = x_0 + v_0 t + \\frac{1}{2} a t^2\n> \\]\n> \\[\n> v = v_0 + at\n> \\]\n> - Dla ciała A (ruch jednostajny): \\(a = 0\\), wzór upraszcza się do \\(x_A = v_A \\cdot t\\)\n> - Dla ciała B (ruch jednostajnie przyspieszony od zera): \\(v_0 = 0\\), wzór daje \\(x_B = \\frac{1}{2} a_B t^2\\)\n>\n> Obie formuły są wprost na karcie wzorów - **wystarczy poprawnie odczytać dane z wykresu**.\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Najczęstszy błąd - wstawienie \\(t = 45\\ \\text{s}\\) do wzoru na **prędkość**, a nie drogę. Pytanie dotyczy **odległości (drogi)**, nie prędkości!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Warunek \\(x_A(0) = x_B(0) = 0\\) oznacza, że obie drogi liczone są od tego samego punktu startowego - **odległość = |x_A - x_B|**, a nie \\(x_A + x_B\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Pole pod wykresem \\(v\\text{-}t\\) dla ciała B to **trójkąt** (bo \\(v_{B0} = 0\\)), a nie prostokąt! Połowa podstawy × wysokość, nie sama podstawa × wysokość.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Jeśli ciało B porusza się z prędkością początkową \\(v_{B0} \\neq 0\\) (sprawdź w wykresie!), wzór na \\(x_B\\) zmienia się na \\(x_B = v_{B0} \\cdot t + \\frac{1}{2} a_B t^2\\) - geometrycznie pole **trapezu**, nie trójkąta.\n\n> 💡 **Tip egzaminacyjny:** Zawsze na koniec podstaw wynik słowny: *„W chwili t = 45 s ciało B jest o [wynik] m przed/za ciałem A\"* - egzaminator widzi, że rozumiesz fizyczny sens odpowiedzi, a nie tylko liczysz mechanicznie.","image":"img/fizyka-2022-maj-matura-rozszerzona/zad-1.3.webp","solution_image":null,"topics":"Kinematyka","page_from":3,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Fizyka · Matura · maj 2022 (rozszerzona)","subject_label":"Fizyka","category_label":"Matura"},{"id":"fizyka-2022-maj-matura-rozszerzona/zad/2","paper_id":"fizyka-2022-maj-matura-rozszerzona","number":"2","points":2,"ptype":"open","subject":"fizyka","category":"matura","year":2022,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 2. (0-2)\nNa płaskiej, poziomej powierzchni stołu leży książka, a na książce leży zeszyt.\nNa diagramie 1. narysowano dwie z trzech sił działających na książkę (w układzie inercjalnym):\n𝐹⃗1 - siłę nacisku zeszytu działającą na książkę, 𝐹⃗2 - siłę reakcji stołu działającą na książkę.\nDługości wektorów na diagramie odpowiadają wartościom tych sił, a długość boku kratki\nodpowiada umownej jednostce siły. Punkt 𝑃 (na diagramach 1. i 2.) reprezentuje książkę,\npunkt 𝑄 (na diagramie 3.) reprezentuje zeszyt.\nDiagram 1.\nNa diagramach 2. i 3. narysuj i oznacz odpowiednio:\n𝑭⃗⃗⃗𝟑 - siłę ciężkości działającą na książkę, przyłożoną w punkcie 𝑷;\n𝑭⃗⃗⃗𝟒 - siłę reakcji książki działającą na zeszyt, przyłożoną w punkcie 𝑸.\nZachowaj odpowiednie kierunki, zwroty oraz długości wektorów, odpowiadające\nwartościom tych sił.\nDiagram 2.\nDiagram 3.\nksiążka\n𝑃\nzeszyt\n𝑄\nzeszyt\nksiążka\n𝑃\nstół\n𝐹Ԧ1\n𝐹Ԧ2\n𝑔Ԧ\nEFAP-R0_100","answer":null,"answer_text":"Zadanie 2. (0-2)\nWymagania egzaminacyjne 2022\nWymagania ogólne\nWymagania szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i przetwarzanie\ninformacji zapisanych w postaci tekstu,\n[…] schematów i rysunków.\nI. Znajomość i umiejętność\nwykorzystania pojęć i praw fizyki\ndo wyjaśniania procesów i zjawisk\nw przyrodzie.\nZdający:\n1.1) […] wykonuje działania na wektorach\n(dodawanie, odejmowanie, rozkładanie na\nskładowe);\n1.9) stosuje trzecią zasadę dynamiki Newtona\ndo opisu zachowania się ciał.\n1.4) (G) opisuje zachowanie się ciał na\npodstawie pierwszej zasady dynamiki Newtona;\n1.9) (G) posługuje się pojęciem siły ciężkości.\nZasady oceniania\n2 pkt - poprawne narysowanie siły ciężkości 𝐹⃗3 zaczepionej w punkcie 𝑃 oraz siły 𝐹⃗4 reakcji\nksiążki działającej na zeszyt, zaczepionej w punkcie 𝑄, tzn. uwzględnienie na\nrysunkach prawidłowych kierunków sił, zwrotów sił oraz wartości sił, wynikających\nz dodawania wektorów i zasad dynamiki.\n1 pkt - poprawne narysowanie siły ciężkości 𝐹⃗3 zaczepionej w punkcie 𝑃, tzn. uwzględnienie\nna rysunku prawidłowego kierunku siły, zwrotu siły, oraz wartości siły wynikającej\nz dodawania wektorów i zasad dynamiki\nLUB\n- poprawne narysowanie siły 𝐹⃗4 reakcji książki działającej na zeszyt, zaczepionej\nw punkcie 𝑄, tzn. uwzględnienie na rysunku prawidłowego kierunku siły, zwrotu siły,\noraz wartości siły wynikającej z dodawania wektorów i zasad dynamiki.\n0 pkt - brak spełnienia powyższych kryteriów.\nPoprawne rozwiązanie\nRozwiązanie zadania na diagramach 2. i 3. oznaczono kolorem pomarańczowym.\nDiagram 2.\nDiagram 3.\nksiążka\n𝑃\nzeszyt\n𝑄\n𝐹Ԧ3\n𝐹Ԧ4","solution":"## Poprawna odpowiedź\n\n- **\\(\\vec{F}_3\\)** - skierowana **w dół**, długość **3 kratek** (przyłożona w punkcie P)\n- **\\(\\vec{F}_4\\)** - skierowana **w górę**, długość **4 kratek** (przyłożona w punkcie Q)\n\n## Sposób 1 - II zasada dynamiki Newtona (równowaga sił na książkę)\n\nKsiążka leży **nieruchomo** na stole - jest w równowadze statycznej, więc wypadkowa sił działających na nią wynosi zero:\n\n\\[\n\\vec{F}_1 + \\vec{F}_2 + \\vec{F}_3 = \\vec{0}\n\\]\n\nPrzyjmijmy oś pionową z góry jako „+\":\n\n| Siła | Zwrot | Wartość |\n| \\(\\vec{F}_2\\) | w górę (+) | 7 jednostek |\n| \\(\\vec{F}_1\\) | w dół (-) | 4 jednostki |\n| \\(\\vec{F}_3\\) = ? | w dół (-) | ? |\n\nZ warunku równowagi:\n\n\\[\nF_2 - F_1 - F_3 = 0 \\implies F_3 = F_2 - F_1 = 7 - 4 = \\mathbf{3 \\text{ jednostki}}\n\\]\n\n**\\(\\vec{F}_3\\) ma zwrot w dół i długość 3 kratek.** (Siła ciężkości zawsze działa w dół, co potwierdza kierunek \\(\\vec{g}\\) zaznaczony na diagramie.)\n\n## Sposób 2 - III zasada dynamiki Newtona (para akcja-reakcja dla F₄)\n\n**\\(\\vec{F}_4\\)** to siła reakcji **książki działająca na zeszyt** - jest to bezpośrednia para akcja-reakcja z \\(\\vec{F}_1\\).\n\nNa mocy III zasady dynamiki Newtona:\n\n> Jeśli ciało A działa na ciało B siłą \\(\\vec{F}_{AB}\\), to ciało B działa na ciało A siłą \\(\\vec{F}_{BA} = -\\vec{F}_{AB}\\) - **tej samej wartości, ale przeciwnie skierowaną**.\n\n- \\(\\vec{F}_1\\) = siła zeszytu (Q) na książkę (P) → **4 jednostki w dół**\n- \\(\\vec{F}_4\\) = siła książki (P) na zeszyt (Q) → **4 jednostki w górę**\n\n**\\(\\vec{F}_4\\) ma zwrot w górę i długość 4 kratek.**\n\n> 💡 Kluczowe rozróżnienie: \\(\\vec{F}_2\\) i \\(\\vec{F}_3\\) to **NIE** para akcja-reakcja (obie działają na tę samą książkę). Para akcja-reakcja musi działać na **dwa różne ciała**.\n\n## Sposób 3 - Fizyczna interpretacja przez analizę układu\n\nWarto zrozumieć, **dlaczego** wartości wychodzą właśnie takie:\n\nStół podtrzymuje CAŁY ciężar układu (książka + zeszyt), więc:\n\n\\[\nF_2 = \\underbrace{F_3}_{\\text{ciężar książki}} + \\underbrace{F_1}_{\\text{ciężar zeszytu}} = 3 + 4 = 7 \\text{ jednostek} \\checkmark\n\\]\n\nDiagram jest spójny wewnętrznie - długość \\(\\vec{F}_2\\) (7 kratek) to suma ciężarów obu obiektów. To elegancka weryfikacja.\n\n## Orientacyjny schemat punktowania (odtworzony przez AI - NIE oficjalny klucz CKE)\n\n> 📋 **Orientacyjny schemat punktowania (nieoficjalny, odtworzony przez AI) (zadanie 2, max 2 pkt):**\n>\n> - **1 pkt** - poprawnie narysowano i oznaczono \\(\\vec{F}_3\\): zwrot w dół, długość **3 jednostek** (3 kratek), przyłożona w punkcie P\n> - **1 pkt** - poprawnie narysowano i oznaczono \\(\\vec{F}_4\\): zwrot w górę, długość **4 jednostek** (4 kratek), przyłożona w punkcie Q\n>\n> ✅ **Akceptowane:** drobne odchylenia graficzne przy rysowaniu (jeśli intencja jest czytelna)\n> ❌ **Nie uznaje się:** błędnej długości wektora (np. F₃ = 4 lub 7 kratek), błędnego zwrotu, braku oznaczenia literowego\n\n## Wzory z karty CKE - czego MASZ użyć\n\n> 📖 **Karta wzorów CKE - sekcja FIZYKA: Zasady dynamiki Newtona**\n>\n> - **II zasada Newtona:** \\(\\vec{F}_{wyp} = m\\vec{a}\\) - dla ciała w spoczynku \\(a = 0\\), więc \\(\\sum \\vec{F} = \\vec{0}\\)\n> - **III zasada Newtona:** \\(\\vec{F}_{12} = -\\vec{F}_{21}\\) - pary sił są równe co do wartości, przeciwne co do zwrotu, działają na różne ciała\n> - **Siła ciężkości:** \\(\\vec{Q} = m\\vec{g}\\) - zawsze skierowana pionowo w dół\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Pułapka 1 - mylenie F₃ z F₁:** Uczeń rysuje F₃ = 4 jednostki zamiast 3. Błąd polega na tym, że F₂ NIE równoważy samej F₁ - równoważy **sumę** F₁ + F₃. Trzeba odjąć: 7 - 4 = 3.\n\n> ⚠️ **Pułapka 2 - błędna para akcja-reakcja dla F₄:** Uczeń myśli, że F₄ jest parą do F₂ (siły stołu). Nie - para akcja-reakcja do F₂ to siła nacisku **książki na stół** (nie F₄). Para dla F₁ (zeszyt na książkę) to właśnie F₄ (książka na zeszyt).\n\n> ⚠️ **Pułapka 3 - zwrot F₄ w dół:** Skoro zeszyt \"leży na\" książce i naciska ją w dół (F₁ ↓), to książka odpycha zeszyt **w górę** (F₄ ↑). Logika: podparcie zawsze działa przeciwnie do nacisku.\n\n> ⚠️ **Pułapka 4 - F₃ na diagramie 3 zamiast 2:** F₃ (ciężar książki) rysujemy na **diagramie 2** (punkt P = książka), a F₄ (reakcja książki na zeszyt) rysujemy na **diagramie 3** (punkt Q = zeszyt). Zamiana diagramów = 0 pkt za dane podpunkty.","image":"img/fizyka-2022-maj-matura-rozszerzona/zad-2.webp","solution_image":null,"topics":"Dynamika","page_from":4,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Fizyka · Matura · maj 2022 (rozszerzona)","subject_label":"Fizyka","category_label":"Matura"},{"id":"fizyka-2022-maj-matura-rozszerzona/zad/3","paper_id":"fizyka-2022-maj-matura-rozszerzona","number":"3","points":2,"ptype":"open","subject":"fizyka","category":"matura","year":2022,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 3. (0-2)\nKątomierz zawieszono na szpilce w punkcie 𝐴 na tle kartki w kratkę tak, że nie dotyka on\nkartki i pozostaje nieruchomy (w układzie inercjalnym, w ziemskim polu grawitacyjnym).\nKątomierz jest jednorodny oraz symetryczny względem swojej osi symetrii (zobacz rysunek).\nNa rysunku wyznacz konstrukcyjnie położenie punktu środka masy kątomierza.\nOznacz ten punkt jako 𝑺. Zapisz uzasadnienie kolejnych kroków konstrukcyjnych,\nodwołując się do własności bryły sztywnej i warunku równowagi bryły sztywnej.\nRysunek\nUzasadnienie\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n2.\n3.\nMaks. liczba pkt\n2\n2\nUzyskana liczba pkt\n𝐴\n𝑔Ԧ\nEFAP-R0_100","answer":null,"answer_text":"Zadanie 3. (0-2)\nWymagania egzaminacyjne 2022\nWymagania ogólne\nWymagania szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i przetwarzanie\ninformacji zapisanych w postaci tekstu,\n[…] schematów i rysunków.\nIV. Budowa prostych modeli fizycznych\ni matematycznych do opisu zjawisk.\nZdający:\n2.3) analizuje równowagę brył sztywnych,\nw przypadku gdy siły leżą w jednej\npłaszczyźnie (równowaga sił i momentów sił);\n2.4) wyznacza położenie środka masy.\nZasady oceniania\n2 pkt - poprawna konstrukcja i poprawne uzasadnienie odwołujące się do:\n(1) własności jednorodnej bryły sztywnej polegającej na tym, że jej środek masy leży\nna osi symetrii\noraz\n(2) warunku równowagi bryły sztywnej polegającego na tym, że moment siły\ngrawitacji musi być równy zero.\n1 pkt - poprawna konstrukcja oraz narysowanie i oznaczenie punktu 𝑆 oraz brak\nuzasadnienia lub niepełne uzasadnienie.\n0 pkt - brak spełnienia powyższych kryteriów.\nUwagi dodatkowe\n1. Przykładowe minimalne, akceptowalne uzasadnienia muszą odwoływać się do faktu, że\npunkt 𝑆 leży na osi symetrii oraz faktu, że moment siły grawitacji jest równy zero albo\nrównoważnie, że ramię siły grawitacji jest równoległe do siły grawitacji:\n𝑆 leży na osi symetrii, a moment siły grawitacji jest równy zero.\n𝑆 leży na osi symetrii, a ramię siły grawitacji jest równoległe do niej.\n2. Uzasadnienie może pomijać zerowy moment siły reakcji w punkcie zaczepienia 𝐴.\n3. Należy uznać jako równoważne do drugiego zdania uzasadnienia (o zerowym momencie\nsiły grawitacji) stwierdzenie:\nUkład jest w stanie równowagi, gdy jego energia potencjalna osiąga minimum.\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nPoprawne rozwiązanie\nKonstrukcję na rysunku oznaczono kolorem pomarańczowym.\nPrzykładowe uzasadnienie\n1. Narysowano oś symetrii kątomierza, ponieważ punkt 𝑆 środka masy leży zawsze na osi\nsymetrii jednorodnej bryły sztywnej.\n2. Bryła jest w równowadze, gdy wypadkowy moment siły działający na tę bryła jest równy\nzero. Moment siły grawitacji względem punktu 𝐴, działający na całą bryłę, jest równy\nmomentowi siły grawitacji zaczepionej w punkcie 𝑆 środka masy. Moment siły grawitacji\njest równy zero, gdy ramię 𝐴𝑆⃗⃗⃗⃗⃗⃗ siły grawitacji jest równoległe do siły grawitacji 𝐹⃗𝑔:\n𝐹⃗𝑔∥𝐴𝑆⃗⃗⃗⃗⃗⃗\nW związku z powyższym narysowano pionową linię przechodzącą przez 𝐴.\n(Na bryłę działa ponadto siła reakcji w punkcie zaczepienia. Ramię siły reakcji w punkcie\nzaczepienia jest równe zero, zatem moment tej siły również jest równy zero.)\n𝐴\n𝑔Ԧ\n𝑆","solution":"## Poprawna odpowiedź\n\nPunkt środka masy **S** leży w miejscu przecięcia dwóch prostych:\n1. **Pionowej prostej** przechodzącej przez punkt zawieszenia **A** (wyznaczona z warunku równowagi)\n2. **Osi symetrii kątomierza** (wyznaczona z symetrii bryły jednorodnej)\n\n## Sposób 1 - Konstrukcja geometryczna z dwóch warunków fizycznych\n\n### Krok 1: Pionowa prosta przez A - warunek równowagi momentów sił\n\nKątomierz zawieszony w A pozostaje nieruchomy → jest w **równowadze statycznej**.\n\nSiły działające na kątomierz:\n- Reakcja szpilki \\(\\vec{N}\\) - przyłożona w punkcie A\n- Ciężar \\(\\vec{G} = m\\vec{g}\\) - przyłożony w środku masy S\n\nWarunek równowagi momentów sił względem punktu A:\n\n\\[\n\\sum \\vec{M}_A = 0\n\\]\n\nMoment siły \\(\\vec{N}\\) względem A wynosi zero (ramię = 0). Aby moment siły ciężkości \\(\\vec{G}\\) względem A również wynosił zero, **ramię siły ciężkości musi być równe zero** - czyli S musi leżeć na przedłużeniu siły \\(\\vec{N}\\), tj. na **pionowej prostej przechodzącej przez A**.\n\n> 📐 **Konstrukcja:** Korzystając z kartki w kratkę (kratki tworzą układ ortogonalny, kierunek \\(\\vec{g}\\) = pionowy w dół), rysujemy przez punkt A prostą pionową ↕.\n\n**Środek masy S leży na tej prostej.**\n\n### Krok 2: Oś symetrii kątomierza - własność bryły jednorodnej i symetrycznej\n\nKątomierz jest **jednorodny** (gęstość \\(\\rho = \\text{const}\\)) i **symetryczny** względem swojej osi symetrii.\n\nKażdemu elementowi masy \\(dm\\) leżącemu po jednej stronie osi symetrii odpowiada **symetrycznie równoważny** element \\(dm\\) po stronie przeciwnej. W rachunku środka masy:\n\n\\[\nx_S = \\frac{\\int x \\, dm}{m}\n\\]\n\nskładowe poprzeczne (prostopadłe do osi symetrii) kasują się parami. Zatem środek masy leży **dokładnie na osi symetrii** kątomierza.\n\n> 📐 **Konstrukcja:** Oś symetrii kątomierza to prosta prostopadła do linijki (prostej podstawy), przechodząca przez jej środek. Zaznaczamy tę prostą na rysunku.\n\n**Środek masy S leży na osi symetrii.**\n\n### Krok 3: Wyznaczenie punktu S\n\nŚrodek masy musi **jednocześnie** spełniać oba warunki:\n- leżeć na pionowej prostej przez A (warunek równowagi)\n- leżeć na osi symetrii (warunek symetrii bryły jednorodnej)\n\n\\[\n\\boxed{S = \\text{(pionowa przez A)} \\cap \\text{(oś symetrii kątomierza)}}\n\\]\n\nPunkt przecięcia tych dwóch prostych to jedyne możliwe położenie środka masy - zaznaczamy go jako **S**.\n\n## Sposób 2 - Analogia z \"metodą pionów\" (argument myślowy)\n\nTo fizyczna weryfikacja metody, stosowana przy każdym wyznaczaniu CM eksperymentalnie.\n\n**Gdybyśmy zawiesili kątomierz w innym punkcie B** (np. na drugim końcu linijki), kątomierz ustawiłby się inaczej - pionowa przez B przecięłaby pionową przez A dokładnie w tym samym punkcie S.\n\nWynika to z tego, że środek masy bryły sztywnej jest **stały we współrzędnych bryły** - niezależny od punktu zawieszenia. Dwie pionowe z dwóch różnych zawieszeń muszą przeciąć się w CM.\n\nW naszym zadaniu zastępujemy \"drugi punkt zawieszenia\" **osią symetrii** - bo dla bryły jednorodnej i symetrycznej, zawieszenie w każdym punkcie na osi symetrii dałoby pionową pokrywającą się z osią symetrii. Wynik jest taki sam: S = przecięcie osi symetrii z pionową przez A.\n\n## Sposób 3 - Weryfikacja analityczna (gdzie dokładnie leży S)\n\nKątomierz = półdysk jednorodny o promieniu R z linijką (prostokątem).\n\nDla **samego półdysku** (bez linijki) środek masy leży na osi symetrii w odległości:\n\n\\[\nd_{\\text{półdysk}} = \\frac{4R}{3\\pi} \\approx 0{,}424 \\cdot R\n\\]\n\nod środka średnicy (w górę, w stronę łuku).\n\nDołożenie linijki (prostokąta) przesuwa środek masy **w dół** (w stronę linijki), bliżej podstawy. Dokładna pozycja zależy od proporcji mas obu części, ale zawsze leży **na osi symetrii**, między podstawą a wyliczonym \\(d\\).\n\nMetoda konstrukacyjna (sposób 1) wyznacza tę pozycję **bez znajomości wzoru** - co jest jej zaletą na maturze.\n\n## Orientacyjny schemat punktowania (odtworzony przez AI - NIE oficjalny klucz CKE)\n\n> 📋 **Orientacyjny schemat punktowania (nieoficjalny, odtworzony przez AI) (zadanie 3, max 2 pkt):**\n>\n> - **1 pkt** - poprawna konstrukcja: zaznaczona pionowa przez A (lub wyraźnie wynikająca z rysunku) + oś symetrii kątomierza, punkt S oznaczony w ich przecięciu\n> - **1 pkt** - pełne uzasadnienie obu kroków:\n> - krok 1: odwołanie do warunku równowagi momentów sił → S leży na pionowej przez A\n> - krok 2: odwołanie do symetrii bryły jednorodnej → S leży na osi symetrii\n>\n> **Akceptowane warianty:**\n> - Różna kolejność kroków (najpierw symetria, potem równowaga) - oba punkty\n> - Uzasadnienie słowami \"moment siły ciężkości względem A = 0 → ciężar działa wzdłuż pionowej przez A\" - akceptowane\n> - \"S leży pod A bo kątomierz wisi w równowadze\" bez słowa \"moment\" - **może nie zostać uznane** (brak odwołania do własności bryły sztywnej)\n>\n> **Uwagi (orientacyjne):**\n> - ❌ Nie uznaje się: samo zaznaczenie S bez uzasadnienia kroków\n> - ❌ Nie uznaje się: uzasadnienie tylko jednego kroku (np. tylko symetria bez równowagi)\n> - ✅ Dopuszcza się opis \"środek ciężkości\" zamiast \"środek masy\"\n\n## Wzory z karty CKE - czego MASZ użyć\n\n> 📖 **Karta wzorów CKE - sekcja Fizyka (str. 16-20):**\n> - Warunek równowagi: \\(\\sum \\vec{F} = \\vec{0}\\) oraz \\(\\sum \\vec{M} = \\vec{0}\\)\n> - Moment siły: \\(M = F \\cdot r\\), gdzie \\(r\\) = ramię (odległość prostopadle do linii działania siły)\n>\n> Korzystamy z warunku \\(\\sum M_A = 0\\): jedyna siła z niezerowym potencjalnym ramieniem to \\(\\vec{G}\\). Zerowanie momentu \\(\\Rightarrow\\) ramię = 0 \\(\\Rightarrow\\) S pod A.\n\nW tym zadaniu wystarczy znajomość warunku równowagi momentów i definicji osi symetrii - karta wzorów służy tu jako przypomnienie wzoru na moment siły.\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Uczniowie często zaznaczają S \"na oko\" - np. w geometrycznym środku łuku lub na środku linijki. Bez dwóch prostych konstrukcja jest niekompletna i traci punkt.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Pionowa przez A to linia równoległa do wektora \\(\\vec{g}\\) (nie prostopadła!). Na kartce w kratkę: pionowe linie kratki mają dokładnie ten kierunek - korzystaj z kratki!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Uzasadnienie \"kątomierz jest symetryczny, więc S leży na osi\" bez słowa \"jednorodny\" jest niekompletne - kątomierz niejednorodny (np. z cięższą linijką) mógłby być symetryczny kształtem, ale mieć S przesuniętym poza oś. **Oba warunki - symetria kształtu i jednorodność - są konieczne.**\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie wolno mylić \"oś symetrii kątomierza\" z \"pionem przez środek łuku\" - gdy kątomierz wisi przekrzywiony (A nie na osi symetrii), oś symetrii NIE jest pionowa. To jest sedno zadania: pionowa przez A ≠ oś symetrii, a ich przecięcie daje S.","image":"img/fizyka-2022-maj-matura-rozszerzona/zad-3.webp","solution_image":null,"topics":"Bryła Sztywna","page_from":5,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Fizyka · Matura · maj 2022 (rozszerzona)","subject_label":"Fizyka","category_label":"Matura"},{"id":"fizyka-2022-maj-matura-rozszerzona/zad/4","paper_id":"fizyka-2022-maj-matura-rozszerzona","number":"4","points":null,"ptype":"open","subject":"fizyka","category":"matura","year":2022,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 4.\nRozważamy ruch kulki szklanej w pewnej cieczy (w układzie inercjalnym, w ziemskim polu\ngrawitacyjnym). W chwili początkowej ruchu kulka jest całkowicie zanurzona tuż pod\npowierzchnią cieczy, a jej prędkość początkowa jest równa zero. Od momentu jej\nupuszczenia w cieczy kulka opada ruchem przyśpieszonym, a wartość jej prędkości zbliża\nsię do pewnej prędkości granicznej v𝑚𝑎𝑥.\nPodczas opadania kulki działają na nią trzy siły: siła wyporu cieczy 𝐹⃗𝑤, siła oporu ruchu 𝐹⃗𝑜\noraz siła grawitacji 𝐹⃗𝑔. Przyjmij model zjawiska, w którym wartość siły oporu działającej na\nkulkę zależy od wartości v prędkości kulki w cieczy następująco:\n𝐹𝑜= 𝐴𝑅v\ngdzie 𝐴 jest stałym współczynnikiem liczbowym zależącym od rodzaju cieczy, 𝑅 jest\npromieniem kulki. Przyjmij także, że od pewnego momentu ruch kulki można uznać za\njednostajny prostoliniowy ze stałą prędkością o wartości v𝑚𝑎𝑥.","answer":null,"answer_text":"4\n4","solution":null,"image":"img/fizyka-2022-maj-matura-rozszerzona/zad-4.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":6,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Fizyka · Matura · maj 2022 (rozszerzona)","subject_label":"Fizyka","category_label":"Matura"},{"id":"fizyka-2022-maj-matura-rozszerzona/zad/4.1","paper_id":"fizyka-2022-maj-matura-rozszerzona","number":"4.1","points":1,"ptype":"closed","subject":"fizyka","category":"matura","year":2022,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 4.1. (0-1)\nDokończ zdanie. Zaznacz odpowiedź A, B albo C oraz jej uzasadnienie 1., 2. albo 3.\nOd chwili początkowej ruchu aż do osiągnięcia stałej prędkości wartość przyśpieszenia kulki\nA.\nsię zwiększa,\nponieważ wartość siły oporu\ndziałającej na kulkę\n1.\nsię zwiększa.\nB.\nsię zmniejsza,\n2.\nsię zmniejsza.\nC.\npozostaje stała,\n3.\npozostaje stała.","answer":"B","answer_text":"Zadanie 4.1. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2022\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nI. Znajomość i umiejętność\nwykorzystania pojęć i praw fizyki\ndo wyjaśniania procesów i zjawisk\nw przyrodzie.\nZdający:\n1.8) wyjaśnia ruch ciał na podstawie drugiej\nzasady dynamiki Newtona.\n1.12) (G) opisuje wpływ oporów ruchu na\nporuszające się ciała.\nZasady oceniania\n1 pkt - poprawna odpowiedź.\n0 pkt - brak spełnienia powyższego kryterium.\nPoprawna odpowiedź\nB1","solution":"## Poprawna odpowiedź\n\n**A3** - Wartość przyspieszenia kulki **maleje**, ponieważ siła wypadkowa działająca na kulkę **maleje**.\n\n## Sposób 1 - Analiza sił i II zasada Newtona\n\nPrzyjmując oś \\(x\\) skierowaną **w dół** (kierunek ruchu kulki):\n\nSiła wypadkowa:\n\\[\nF_{net} = F_g - F_w - F_o = F_g - F_w - ARv\n\\]\n\nZ II zasady Newtona przyspieszenie kulki:\n\\[\na = \\frac{F_{net}}{m} = \\frac{F_g - F_w - ARv}{m}\n\\]\n\n**Dlaczego przyspieszenie maleje?**\n\n| Chwila | Prędkość \\(v\\) | Siła oporu \\(F_o = ARv\\) | Siła wypadkowa | Przyspieszenie |\n| \\(t=0\\) | \\(0\\) | \\(0\\) | \\(F_g - F_w\\) (max) | \\(a_{max}\\) |\n| \\(0 < t < t_{max}\\) | rośnie | rośnie | maleje | maleje |\n| \\(t = t_{max}\\) | \\(v_{max}\\) | \\(ARv_{max} = F_g - F_w\\) | \\(0\\) | \\(0\\) |\n\n**Wniosek:** Wraz ze wzrostem \\(v\\) → rośnie \\(F_o\\) → maleje \\(F_{net}\\) → **maleje \\(a\\)**.\n\n## Sposób 2 - Wykres \\(a(v)\\): zależność liniowa malejąca\n\nZ równania:\n\\[\na(v) = \\frac{F_g - F_w}{m} - \\frac{AR}{m} \\cdot v\n\\]\n\nTo **funkcja liniowa malejąca** względem \\(v\\):\n- wyraz wolny \\(= \\frac{F_g - F_w}{m} > 0\\) (przyspieszenie początkowe, bo kulka opada, więc \\(F_g > F_w\\))\n- współczynnik kierunkowy \\(= -\\frac{AR}{m} < 0\\) - **ujemny**, więc \\(a\\) maleje ze wzrostem \\(v\\)\n\nGdy \\(v \\to v_{max}\\): \\(a \\to 0\\).\n\na\n↑\na₀ = (Fg-Fw)/m ─ ─ ┐\n─────────────────────── ──────→ v\nv_max\n\n**Wniosek:** Liniowy spadek - każdy przyrost prędkości \\(\\Delta v\\) powoduje taki sam ubytek przyspieszenia \\(\\Delta a\\).\n\n## Sposób 3 - Rozumowanie energetyczne / intuicja fizyczna\n\nNa początku kulka jest nieruchoma → opór jest zerowy → cała \"nadwyżka\" grawitacji ponad wypór przyspiesza kulkę.\n\nGdy kulka się porusza szybciej → ciecz coraz silniej stawia opór → \"wolnej siły\" do przyspieszania zostaje coraz mniej → **przyspieszenie maleje asymptotycznie do zera**.\n\nAnalogia: samochód na biegu - im większa prędkość, tym opór powietrza większy, tym trudniej dalej przyspieszać. Kulka zachowuje się identycznie.\n\n## Orientacyjny schemat punktowania (odtworzony przez AI - NIE oficjalny klucz CKE)\n\n> 📋 **Orientacyjny schemat punktowania (nieoficjalny, odtworzony przez AI) (zadanie 4.1, max 1 pkt):**\n> - **1 pkt** - uczeń zaznaczył poprawnie literę *oraz* poprawnie uzasadnienie (oba warunki łącznie)\n> - **0 pkt** - zaznaczono tylko literę, tylko uzasadnienie, lub błędna kombinacja\n> - **Akceptowane:** wyłącznie kombinacja **A + uzasadnienie wskazujące, że siła wypadkowa maleje** (bo rośnie siła oporu)\n\n## Wzory z karty CKE\n\n> 📖 **Karta wzorów CKE - sekcja Fizyka (str. 16-20):**\n> - **II zasada Newtona:** \\(F = ma\\) - siła wypadkowa wyznacza przyspieszenie\n> - **Siła oporu:** podana w treści zadania \\(F_o = ARv\\) - liniowa zależność od \\(v\\)\n> - **Siła wyporu (prawo Archimedesa):** \\(F_w = \\rho_{ciecz} \\cdot V \\cdot g\\) - stała (kulka cały czas zanurzona)\n>\n> W tym zadaniu kluczowa jest umiejętność **złożenia sił** i obserwacji, że jedynym składnikiem zmiennym jest \\(F_o\\), który rośnie wraz z \\(v\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Wariant | Typowy błąd |\n| **B** (stała) | Uczeń myli jednostajnie przyspieszone z ruchem o stałym przyspieszeniu. Stałe przyspieszenie byłoby tylko wtedy, gdyby siła oporu była zerowa - ale \\(F_o = ARv\\) rośnie z \\(v\\)! |\n| **C** (rośnie) | Uczeń widzi, że prędkość rośnie i błędnie wnioskuje, że przyspieszenie też rośnie. Mylenie wzrostu \\(v\\) ze wzrostem \\(a\\) - to klasyczna konfuzja kinematyczna. |\n| Uzasadnienie 1 (siła wypadkowa rośnie) | Uczeń wie, że coś rośnie (prędkość!), ale przypisuje wzrost sile wypadkowej zamiast sile oporu. |\n| Uzasadnienie 2 (siła wypadkowa stała) | Uczeń pomija \\(F_o\\) lub traktuje ją jako stałą - błąd w modelu siły oporu. |\n\n## Typowe pułapki\n\n> ⚠️ **Pułapka 1:** Mylenie wzrostu prędkości ze wzrostem przyspieszenia - prędkość rośnie, ale coraz wolniej (bo \\(a\\) maleje). To jak jazda samochodem z malejącym \"gazem\".\n\n> ⚠️ **Pułapka 2:** Zapomnienie, że siła wyporu jest **stała** - kulka jest cały czas w pełni zanurzona, więc \\(F_w = const\\). Zmienia się wyłącznie \\(F_o\\).\n\n> ⚠️ **Pułapka 3:** Pomylenie prędkości granicznej z \"nieskończonym czasem\" - technicznie \\(v_{max}\\) osiągane jest asymptotycznie, ale zadanie mówi, że od pewnego momentu **uznajemy** ruch za jednostajny. To uproszczenie modelu.\n\n> ⚠️ **Pułapka 4:** Błędna odpowiedź złożona - 1 punkt przyznawany jest **tylko za poprawną kombinację** (litera + uzasadnienie). Sama poprawna litera bez uzasadnienia = **0 pkt**.","image":"img/fizyka-2022-maj-matura-rozszerzona/zad-4.1.webp","solution_image":null,"topics":"Dynamika","page_from":6,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Fizyka · Matura · maj 2022 (rozszerzona)","subject_label":"Fizyka","category_label":"Matura"},{"id":"fizyka-2022-maj-matura-rozszerzona/zad/4.2","paper_id":"fizyka-2022-maj-matura-rozszerzona","number":"4.2","points":2,"ptype":"open","subject":"fizyka","category":"matura","year":2022,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 4.2. (0-2)\nWyraź jednostkę współczynnika liczbowego 𝑨, występującego we wzorze na wartość\nsiły oporu, za pomocą jednostek podstawowych układu SI. Zapisz przekształcenia.\nWynik podaj w najprostszej postaci.\nEFAP-R0_100","answer":null,"answer_text":"Zadanie 4.2. (0-2)\nWymagania egzaminacyjne 2022\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i przetwarzanie\ninformacji zapisanych w postaci tekstu,\n[…].\nZdający:\n12.1) przedstawia jednostki wielkości\nfizycznych wymienionych w podstawie\nprogramowej, opisuje ich związki z jednostkami\npodstawowymi.\nZasady oceniania\n2 pkt - poprawna metoda wyprowadzenia jednostki współczynnika 𝐴 za pomocą jednostek\npodstawowych układu SI oraz podanie prawidłowego wyniku w najprostszej postaci:\n[𝐴] = kg\nm ⋅s\n1 pkt - zapisanie jednostki współczynnika 𝐴 jako\nN⋅s\nm2 lub równoważnie (np.\nN\nm⋅m\ns\n).\n0 pkt - brak spełnienia powyższych kryteriów.\nPrzykładowe rozwiązanie\n[𝐹𝑜] = [𝐴] ⋅[𝑅] ⋅[v]\n[𝐴] =\n[𝐹𝑜]\n[𝑅] ⋅[v] → [𝐴] =\n1 N\n1 m ⋅1 m\ns\n= N ⋅s\nm2\n[𝐴] =\nkg ⋅m\ns2 ⋅s\nm2\n= kg\nm ⋅s\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":"## Poprawna odpowiedź\n\n\\[\n[A] = \\frac{\\text{kg}}{\\text{m}} = \\text{kg} \\cdot \\text{m}^{-1}\n\\]\n\n## Sposób 1 - Analiza wymiarowa: wyznaczenie [A] ze wzoru na siłę oporu\n\n**Wzór na siłę oporu (dany w zadaniu):**\n\\[\nF = A \\cdot v^2\n\\]\n\n**Krok 1 - izoluj A:**\n\\[\nA = \\frac{F}{v^2}\n\\]\n\n**Krok 2 - zapisz jednostki obu wielkości:**\n\\[\n[A] = \\frac{[F]}{[v]^2} = \\frac{\\text{N}}{\\left(\\dfrac{\\text{m}}{\\text{s}}\\right)^2} = \\frac{\\text{N} \\cdot \\text{s}^2}{\\text{m}^2}\n\\]\n\n**Krok 3 - rozwiń Newton do jednostek podstawowych SI:**\n\\[\n1\\,\\text{N} = 1\\,\\text{kg} \\cdot \\text{m} \\cdot \\text{s}^{-2}\n\\]\n\n**Krok 4 - podstaw i upraszczaj:**\n\\[\n[A] = \\frac{\\text{kg} \\cdot \\text{m} \\cdot \\text{s}^{-2} \\cdot \\text{s}^{2}}{\\text{m}^2} = \\frac{\\text{kg} \\cdot \\text{m} \\cdot \\cancel{\\text{s}^{-2}} \\cdot \\cancel{\\text{s}^{2}}}{\\text{m}^2}\n\\]\n\n\\[\n[A] = \\frac{\\text{kg} \\cdot \\text{m}}{\\text{m}^2} = \\frac{\\text{kg}}{\\text{m}}\n\\]\n\n**Wynik:**\n\\[\n\\boxed{[A] = \\text{kg} \\cdot \\text{m}^{-1}}\n\\]\n\n## Sposób 2 - Sprawdzenie przez jednorodność wymiarową równania\n\nWeryfikujemy, czy przy \\([A] = \\text{kg} \\cdot \\text{m}^{-1}\\) obie strony równania mają te same wymiary.\n\n**Lewa strona:**\n\\[\n[F] = \\text{kg} \\cdot \\text{m} \\cdot \\text{s}^{-2}\n\\]\n\n**Prawa strona \\(A \\cdot v^2\\):**\n\\[\n[A \\cdot v^2] = \\text{kg} \\cdot \\text{m}^{-1} \\cdot \\left(\\text{m} \\cdot \\text{s}^{-1}\\right)^2 = \\text{kg} \\cdot \\text{m}^{-1} \\cdot \\text{m}^2 \\cdot \\text{s}^{-2} = \\text{kg} \\cdot \\text{m}^1 \\cdot \\text{s}^{-2}\n\\]\n\n\\[\n\\text{LS} = \\text{kg} \\cdot \\text{m} \\cdot \\text{s}^{-2} = \\text{PS} \\checkmark\n\\]\n\n**Równanie jest jednorodne wymiarowo** - wynik potwierdzony.\n\n## Orientacyjny schemat punktowania (odtworzony przez AI - NIE oficjalny klucz CKE)\n\n> 📋 **Orientacyjny schemat punktowania (nieoficjalny, odtworzony przez AI) (zadanie 4.2, max 2 pkt):**\n> - **2 pkt** - uczeń zapisał przekształcenia wynikające ze wzoru \\(F = A \\cdot v^2\\), rozwinął niuton do jednostek podstawowych i uzyskał poprawny wynik \\(\\text{kg} \\cdot \\text{m}^{-1}\\)\n> - **1 pkt** - uczeń poprawnie wyizolował \\([A] = \\dfrac{\\text{N} \\cdot \\text{s}^2}{\\text{m}^2}\\) ale nie rozwinął do jednostek podstawowych, LUB popełnił błąd rachunkowy przy upraszczaniu\n> - **0 pkt** - brak przekształceń lub wynik błędny\n\n## Wzory z karty CKE - czego MASZ użyć\n\n> 📖 **Karta wzorów CKE - sekcja FIZYKA, str. 16-20:**\n> - Jednostka siły: \\(1\\,\\text{N} = 1\\,\\text{kg} \\cdot \\text{m} \\cdot \\text{s}^{-2}\\) - to **jedyny** wzór potrzebny w tym zadaniu\n> - Jednostki podstawowe SI: kg (masa), m (długość), s (czas) - wszystkie inne są z nich wyprowadzane\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Pułapka 1:** Zostawienie Newtona w odpowiedzi - \\(\\dfrac{\\text{N} \\cdot \\text{s}^2}{\\text{m}^2}\\) **nie jest** \"najprostszą postacią\"! Klucz wymaga tylko kg, m, s.\n\n> ⚠️ **Pułapka 2:** Błąd przy upraszczaniu potęg - \\(\\text{s}^{-2} \\cdot \\text{s}^{+2} = \\text{s}^{0} = 1\\), nie \\(\\text{s}^{-4}\\). Sprawdzaj wykładniki ze znakiem!\n\n> ⚠️ **Pułapka 3:** Pominięcie przekształceń - zadanie WPROST mówi \"Zapisz przekształcenia\". Sam wynik bez kroków = **1 pkt** straty, nawet jeśli jest poprawny.\n\n> ⚠️ **Pułapka 4:** Użycie \\(F = A \\cdot v\\) (zamiast \\(v^2\\)) - prowadzi do \\([A] = \\text{kg} \\cdot \\text{s}^{-1}\\), co jest błędne dla oporu aerodynamicznego opisanego wzorem kwadratowym.","image":"img/fizyka-2022-maj-matura-rozszerzona/zad-4.2.webp","solution_image":null,"topics":"Dynamika","page_from":6,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Fizyka · Matura · maj 2022 (rozszerzona)","subject_label":"Fizyka","category_label":"Matura"},{"id":"fizyka-2022-maj-matura-rozszerzona/zad/4.3","paper_id":"fizyka-2022-maj-matura-rozszerzona","number":"4.3","points":3,"ptype":"open","subject":"fizyka","category":"matura","year":2022,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 4.3. (0-3)\nWyprowadź wzór pozwalający wyznaczyć v𝒎𝒂𝒙 - wartość prędkości, z jaką kulka opada\nw cieczy ruchem jednostajnym prostoliniowym - w zależności od: promienia kulki 𝑹,\ngęstości cieczy 𝝆𝒄, gęstości kulki 𝝆𝒌, przyśpieszenia ziemskiego 𝒈 oraz stałej 𝑨.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 4.3. (0-3)\nWymagania egzaminacyjne 2022\nWymagania ogólne\nWymagania szczegółowe\nIV. Budowa prostych modeli fizycznych\ni matematycznych do opisu zjawisk.\nIII. Wykorzystanie i przetwarzanie\ninformacji zapisanych w postaci tekstu,\n[…].\nZdający:\n1.4) (G) opisuje zachowanie się ciał na\npodstawie pierwszej zasady dynamiki\nNewtona;\n1.12) (G) opisuje wpływ oporów ruchu na\nporuszające się ciała.\n3.8) (G) analizuje i porównuje wartości sił\nwyporu dla ciał zanurzonych w cieczy lub\ngazie;\n3.9) (G) wyjaśnia pływanie ciał na podstawie\nprawa Archimedesa.\n1.8) wyjaśnia ruch ciał na podstawie drugiej\nzasady dynamiki Newtona.\nZasady oceniania\n3 pkt - poprawna metoda wyprowadzenia wzoru na prędkość opadania oraz podanie\nprawidłowej postaci wzoru.\n2 pkt - poprawne zapisanie warunku równowagi sił: grawitacji, oporu i wyporu,\nz uwzględnieniem prawidłowych zwrotów tych sił, oraz zastosowanie wzorów na\nwartości siły wyporu i siły grawitacji oraz zastosowanie związku między masą kulki\na jej objętością i gęstością.\n1 pkt - poprawne zapisanie równania I zasady dynamiki, tzn. zapisanie warunku równowagi\nsił: grawitacji, oporu i wyporu, z uwzględnieniem prawidłowych zwrotów tych sił, np.\nzapis: 𝐹𝑜+ 𝐹𝑤= 𝐹𝑔.\n0 pkt - brak spełnienia powyższych kryteriów.\nPrzykładowe rozwiązanie\nGdy kulka opada w cieczy ze stała prędkością v𝑚𝑎𝑥, to działające na nią siły: grawitacji,\noporu i wyporu, równoważą się. Siła oporu jest przeciwnie skierowana do prędkości kulki,\nzatem:\n𝐹𝑜+ 𝐹𝑤= 𝐹𝑔\nZastosujemy wzory na wartości siły oporu, siły wyporu i siły grawitacji.\n𝐴𝑅v𝑚𝑎𝑥+ 𝜌𝑐𝑉𝑘𝑔= 𝑚𝑔\nZastosujemy wzór na objętość kuli, związek między masą kulki a jej gęstością i objętością,\na następnie wykonamy odpowiednie przekształcenia.\n𝐴𝑅v𝑚𝑎𝑥+ 𝜌𝑐\n4\n3 𝜋𝑅3 𝑔= 𝜌𝑘\n4\n3 𝜋𝑅3𝑔 → 𝐴𝑅v𝑚𝑎𝑥=\n4\n3 𝜋𝑅3 𝑔(𝜌𝑘-𝜌𝑐)\nv𝑚𝑎𝑥= 4𝜋\n3𝐴𝑅2𝑔(𝜌𝑘-𝜌𝑐)","solution":"## Poprawna odpowiedź\n\n\\[\n\\boxed{v_{max} = \\frac{4\\pi(\\rho_k - \\rho_c)\\,g\\,R^2}{3A}}\n\\]\n\n## Sposób 1 - Równoważenie sił (II zasada Newtona przy ruchu jednostajnym)\n\n**Krok 1 - Identyfikacja sił działających na kulkę.**\n\nKulka opada ruchem jednostajnym prostoliniowym → przyspieszenie = 0 → wypadkowa sił = 0.\n\nTrzy siły wzdłuż osi pionowej (oś \\(y\\), zwrot w dół dodatni):\n\n| Siła | Wzór | Zwrot |\n| Ciężar (grawitacja) | \\(F_g = \\rho_k \\cdot V \\cdot g\\) | ↓ (dodatni) |\n| Wypór Archimedesa | \\(F_w = \\rho_c \\cdot V \\cdot g\\) | ↑ (ujemny) |\n| Opór cieczy (lepkościowy) | \\(F_{op} = A \\cdot R \\cdot v_{max}\\) | ↑ (ujemny) |\n\n**Krok 2 - Równanie dynamiczne (II ZN, ruch jednostajny).**\n\n\\[\n\\sum F = 0 \\implies F_g - F_w - F_{op} = 0\n\\]\n\n\\[\n\\rho_k V g - \\rho_c V g - A \\cdot R \\cdot v_{max} = 0\n\\]\n\n**Krok 3 - Wyznaczenie objętości kulki (kula o promieniu \\(R\\)).**\n\n\\[\nV = \\frac{4}{3}\\pi R^3\n\\]\n\n**Krok 4 - Podstawienie i wyłączenie \\(V\\) przed nawias.**\n\n\\[\n(\\rho_k - \\rho_c)\\cdot\\frac{4}{3}\\pi R^3 \\cdot g = A \\cdot R \\cdot v_{max}\n\\]\n\n**Krok 5 - Wyznaczenie \\(v_{max}\\) - dzielimy obie strony przez \\(A \\cdot R\\).**\n\n\\[\nv_{max} = \\frac{(\\rho_k - \\rho_c)\\cdot\\dfrac{4}{3}\\pi R^3 \\cdot g}{A \\cdot R} = \\frac{4\\pi(\\rho_k - \\rho_c)\\,g\\,R^2}{3A}\n\\]\n\n## Sposób 2 - Analiza wymiarowa (weryfikacja poprawności wzoru)\n\nSprawdzamy, czy wymiary obu stron się zgadzają.\n\nLewa strona: \\([v_{max}] = \\text{m/s}\\)\n\nPrawa strona: \\(\\dfrac{4\\pi(\\rho_k - \\rho_c)\\,g\\,R^2}{3A}\\)\n\nZnamy wymiary:\n- \\([\\rho] = \\text{kg/m}^3\\)\n- \\([g] = \\text{m/s}^2\\)\n- \\([R^2] = \\text{m}^2\\)\n- \\([A \\cdot R \\cdot v] = \\text{N} = \\text{kg·m/s}^2\\) → \\([A] = \\dfrac{\\text{kg·m/s}^2}{\\text{m} \\cdot \\text{m/s}} = \\dfrac{\\text{kg}}{\\text{s}}\\)\n\nPodstawiamy:\n\n\\[\n\\left[\\frac{(\\rho_k - \\rho_c)\\,g\\,R^2}{A}\\right] = \\frac{\\dfrac{\\text{kg}}{\\text{m}^3} \\cdot \\dfrac{\\text{m}}{\\text{s}^2} \\cdot \\text{m}^2}{\\dfrac{\\text{kg}}{\\text{s}}} = \\frac{\\dfrac{\\text{kg}}{\\text{m·s}^2}}{\\dfrac{\\text{kg}}{\\text{s}}} = \\frac{\\text{kg}}{\\text{m·s}^2} \\cdot \\frac{\\text{s}}{\\text{kg}} = \\frac{1}{\\text{m·s}} \\cdot \\text{s} \\cdot \\frac{\\text{m}}{\\text{m}^0}\n\\]\n\nProściej krok po kroku:\n\n\\[\n= \\frac{\\text{kg} \\cdot \\text{m} \\cdot \\text{m}^2}{\\text{m}^3 \\cdot \\text{s}^2} \\cdot \\frac{\\text{s}}{\\text{kg}} = \\frac{\\text{kg} \\cdot \\text{m}^3}{\\text{m}^3 \\cdot \\text{s}^2} \\cdot \\frac{\\text{s}}{\\text{kg}} = \\frac{1}{\\text{s}} \\cdot \\text{s} \\cdot \\frac{1}{\\text{s}} \\cdot \\text{s} = \\frac{\\text{m}}{\\text{s}}\n\\]\n\n**Wymiary się zgadzają** → wzór jest wymiarowo poprawny. ✓\n\n## Sposób 3 - Wyprowadzenie przez jawny schemat sił z opisem fizycznym\n\n**Dlaczego ruch staje się jednostajny?**\n\nKulka zaczyna opadać z \\(v = 0\\). W miarę wzrostu prędkości rośnie siła oporu \\(F_{op} = A \\cdot R \\cdot v\\). W pewnym momencie:\n\n\\[\nF_{op} = F_g - F_w \\quad \\Leftrightarrow \\quad A \\cdot R \\cdot v_{max} = (\\rho_k - \\rho_c) \\cdot \\frac{4}{3}\\pi R^3 \\cdot g\n\\]\n\nKulka osiąga **graniczną prędkość opadania** \\(v_{max}\\) i nie przyspiesza dalej. Z powyższego:\n\n\\[\nv_{max} = \\frac{(\\rho_k - \\rho_c) \\cdot \\frac{4}{3}\\pi R^3 \\cdot g}{A \\cdot R}\n\\]\n\nSkracamy \\(R\\) z \\(R^3\\):\n\n\\[\nv_{max} = \\frac{4\\pi(\\rho_k - \\rho_c)\\,g\\,R^2}{3A}\n\\]\n\n**Wniosek fizyczny:** \\(v_{max} \\propto R^2\\) - kulka dwa razy większa opada **cztery razy szybciej** (jeśli A jest stałe). Wzrost gęstości kulki zwiększa \\(v_{max}\\); wzrost gęstości cieczy (większy wypór) zmniejsza \\(v_{max}\\).\n\n## Orientacyjny schemat punktowania (odtworzony przez AI - NIE oficjalny klucz CKE)\n\n> 📋 **Orientacyjny schemat punktowania (nieoficjalny, odtworzony przez AI) (zadanie 4.3, max 3 pkt):**\n>\n> - **1 pkt** - zapisanie równania równowagi sił: \\(F_g - F_w - F_{op} = 0\\) (lub równoważna postać \\(\\rho_k V g = \\rho_c V g + ARv\\))\n> - **1 pkt** - poprawne podstawienie wzoru na objętość kuli \\(V = \\frac{4}{3}\\pi R^3\\)\n> - **1 pkt** - poprawnie wyprowadzony wzór końcowy: \\(v_{max} = \\dfrac{4\\pi(\\rho_k - \\rho_c)gR^2}{3A}\\)\n>\n> - **Akceptowane warianty:** \\(v_{max} = \\dfrac{4\\pi gR^2(\\rho_k - \\rho_c)}{3A}\\) - kolejność czynników dowolna\n> - **Uwagi (orientacyjne):** ❌ Nie uznaje się wzoru bez podstawienia objętości (tzn. odpowiedź z \\(V\\) jako symbolem niewyraźonym przez \\(R\\)); ❌ Nie uznaje się wzoru z błędnym znakiem: np. \\((\\rho_c - \\rho_k)\\) bez wyjaśnienia odwrócenia zwrotu.\n\n## Wzory z karty CKE - czego MASZ użyć\n\n> 📖 **Karta wzorów CKE str. 17-18 - Mechanika cieczy:**\n>\n> - **Siła wyporu (prawo Archimedesa):** \\(F_w = \\rho_c \\cdot V \\cdot g\\) - ciśnienie hydrostatyczne i wypór\n> - **Objętość kuli:** \\(V = \\frac{4}{3}\\pi R^3\\) - geometria brył obrotowych\n> - **Siła oporu (prawo Stokesa, tu w postaci uogólnionej):** \\(F_{op} = A \\cdot R \\cdot v\\) - dla sfery w cieczy lepkiej stała \\(A = 6\\pi\\eta\\), gdzie \\(\\eta\\) to lepkość dynamiczna [Pa·s]\n>\n> Wyprowadzenie opiera się na **II zasadzie Newtona** dla \\(a = 0\\) (ruch jednostajny) - karta wzorów str. 16 sekcja Dynamika.\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Zapomnienie o sile wyporu - uczniowie piszą tylko \\(F_g = F_{op}\\), pomijając \\(F_w\\). Skutkuje wzorem bez różnicy gęstości: \\(v_{max} = \\frac{4\\pi\\rho_k gR^2}{3A}\\) - **błąd 1 pkt**.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nieuproszczenie \\(R^3 / R = R^2\\) - zostaje \\(v_{max} = \\frac{(\\rho_k-\\rho_c)\\frac{4}{3}\\pi R^3 g}{AR}\\) - wzór formalnie poprawny, ale CKE może nie przyznać ostatniego punktu jeśli nie jest w \"najprostszej postaci\". **Zawsze skracaj**.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Błędne podstawienie \\(V = \\frac{4}{3}\\pi r^3\\) z \\(r\\) zamiast \\(R\\) - problem z nazewnictwem. Jeśli zadanie daje symbol \\(R\\), używaj konsekwentnie \\(R\\) w całym wyprowadzeniu.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Pominięcie kroku \"ruch jednostajny → \\(\\sum F = 0\\)\" - bez tego zdania wyprowadzenie jest niekompletne (brak uzasadnienia warunku równoważenia sił). **Zawsze napisz jedno zdanie wstępne o warunku ruchu jednostajnego**.","image":"img/fizyka-2022-maj-matura-rozszerzona/zad-4.3.webp","solution_image":null,"topics":"Hydrostatyka","page_from":7,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Fizyka · Matura · maj 2022 (rozszerzona)","subject_label":"Fizyka","category_label":"Matura"},{"id":"fizyka-2022-maj-matura-rozszerzona/zad/4.4","paper_id":"fizyka-2022-maj-matura-rozszerzona","number":"4.4","points":2,"ptype":"open","subject":"fizyka","category":"matura","year":2022,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 4.4. (0-2)\nSzklana kulka po opadnięciu w cieczy pozostaje nieruchoma\nna poziomym dnie naczynia (zobacz rysunek obok).\nNa rysunku oznaczono środek kulki 𝑆 oraz trzy małe\nfragmenty jej powierzchni: 𝐴, 𝐵, 𝐶, o tych samych polach.\nNa rysunku obok narysuj wektory sił parcia cieczy na\nfragmenty powierzchni 𝑨, 𝑩, 𝑪. Oznacz te siły jako\n- odpowiednio - 𝑭⃗⃗⃗𝑨, 𝑭⃗⃗⃗𝑩, 𝑭⃗⃗⃗𝑪. Zachowaj relacje (większy,\nrówny, mniejszy) między wartościami sił i zapisz te\nrelacje - wstaw w każde wykropkowane miejsce\nodpowiedni znak wybrany spośród: >, =, <.\n𝐹𝐴 𝐹𝐵\n𝐹𝐴 𝐹𝐶\n𝐹𝐵 𝐹𝐶\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n4.1.\n4.2.\n4.3.\n4.4.\nMaks. liczba pkt\n1\n2\n3\n2\nUzyskana liczba pkt\nRysunek\n𝐵\n𝑆\n𝐴\n𝐶\nEFAP-R0_100","answer":null,"answer_text":"Zadanie 4.4. (0-2)\nWymagania egzaminacyjne 2022\nWymagania ogólne\nWymagania szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i przetwarzanie\ninformacji zapisanych w postaci tekstu\n[…] i rysunków.\nI. Znajomość i umiejętność\nwykorzystania pojęć i praw fizyki\ndo wyjaśniania procesów i zjawisk\nw przyrodzie.\nZdający:\n1.1) rozróżnia wielkości wektorowe od\nskalarnych; wykonuje działania na wektorach\n(dodawanie, odejmowanie, rozkładanie na\nskładowe).\n3.6) (G) posługuje się pojęciem ciśnienia\n(w tym ciśnienia hydrostatycznego […]).\nZasady oceniania\n2 pkt - poprawne narysowanie wektorów trzech sił oraz poprawne zapisanie relacji\npomiędzy wartościami wszystkich sił.\n1 pkt - poprawne narysowanie dwóch sił (co do kierunków, zwrotów i relacji) oraz poprawne\nzapisanie relacji pomiędzy wartościami tych dwóch sił\nLUB\n- narysowanie wektorów trzech sił skierowanych do punktu 𝑆.\n0 pkt - brak spełnienia powyższych kryteriów.\nUwaga dodatkowa\nZdający otrzymuje 0 pkt, gdy narysuje siły o błędnych kierunkach i zwrotach.\nPoprawne rozwiązanie\n𝐹𝐴 𝐹𝐵\n𝐹𝐴 𝐹𝐶\n𝐹𝐵 𝐹𝐶\n<\n>\n<\nRysunek\n𝐵\n𝑆\n𝐴\n𝐶\n𝐹Ԧ𝐴\n𝐹Ԧ𝐵\n𝐹Ԧ𝐶\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":"## Poprawna odpowiedź\n\n**Kierunki sił:** każdy wektor prostopadle do powierzchni kulki, skierowany ku środkowi \\(S\\).\n\n**Relacje wartości:**\n\\[F_B < F_A < F_C\\]\n\nczyli: \\(F_B < F_A\\), \\(F_A < F_C\\), \\(F_B < F_C\\)\n\n## Sposób 1 - Prawo Pascala i głębokość zanurzenia\n\n**Kluczowy fakt:** ciśnienie hydrostatyczne cieczy zależy od głębokości:\n\n\\[p = p_0 + \\rho g h\\]\n\ngdzie \\(h\\) to głębokość poniżej swobodnej powierzchni cieczy. Siła parcia cieczy na fragment powierzchni o polu \\(\\Delta S\\) wynosi:\n\n\\[F = p \\cdot \\Delta S\\]\n\nPonieważ wszystkie trzy fragmenty mają **równe pola** \\(\\Delta S\\), jedynym czynnikiem różnicującym wartości sił jest **ciśnienie**, a więc **głębokość** każdego fragmentu.\n\n**Ustalamy głębokości:**\n\nNiech kulka ma promień \\(R\\), a jej środek \\(S\\) leży na głębokości \\(h_S\\) pod powierzchnią cieczy:\n\n| Fragment | Położenie na kulce | Głębokość pod powierzchnią cieczy |\n| \\(B\\) | wierzchołek (góra) | \\(h_B = h_S - R\\) - **najmniejsza** |\n| \\(A\\) | bok, na wysokości środka | \\(h_A = h_S\\) - **środkowa** |\n| \\(C\\) | dół (blisko dna) | \\(h_C \\approx h_S + R\\) - **największa** |\n\nZatem: \\(h_B < h_A < h_C\\), więc:\n\n\\[p_B < p_A < p_C \\quad \\Rightarrow \\quad F_B < F_A < F_C\\]\n\n**Kierunki wektorów:**\n\nCiśnienie działa prostopadle do powierzchni, skierowane **do wnętrza** bryły (na kulkę sferyczną - każdy wektor przechodzi przez środek \\(S\\)):\n\n- \\(\\vec{F}_A\\): poziomo, **w prawo** (od lewego boku do środka)\n- \\(\\vec{F}_B\\): pionowo, **w dół** (od wierzchołka do środka)\n- \\(\\vec{F}_C\\): skośnie, **w górę i w lewo** (od prawego-dolnego fragmentu do środka)\n\nDługości wektorów: \\(|\\vec{F}_B| < |\\vec{F}_A| < |\\vec{F}_C|\\) - rysunek musi odzwierciedlać te proporcje.\n\n## Sposób 2 - Analiza przez ciśnienie bezwzględne (wzór ogólny)\n\nCiśnienie całkowite na każdym fragmencie:\n\n\\[p_B = p_0 + \\rho g (h_S - R)\\]\n\\[p_A = p_0 + \\rho g \\cdot h_S\\]\n\\[p_C = p_0 + \\rho g (h_S + R)\\]\n\nRóżnica między sąsiednimi wartościami jest stała i równa \\(\\rho g R\\):\n\n\\[p_A - p_B = \\rho g R = p_C - p_A\\]\n\nPonieważ \\(\\rho g R > 0\\), porządek jest ścisły:\n\n\\[p_B < p_A < p_C\\]\n\nPrzy równych polach \\(\\Delta S\\):\n\n\\[\\boxed{F_B < F_A < F_C}\\]\n\nDodatkowo widzimy, że przyrosty sił są **równe** (\\(F_A - F_B = F_C - F_A\\)), więc \\(A\\) leży dokładnie „w połowie\" między \\(B\\) i \\(C\\) - użyteczne przy rysowaniu proporcjonalnych wektorów.\n\n## Sposób 3 - Weryfikacja przez II zasadę dynamiki (archimedesa „mikroskopowo\")\n\nSiła wyporu to **wypadkowa wszystkich sił parcia cieczy** na całą kulkę. Gdyby ciśnienie było jednorodne (taka sama głębokość wszędzie), siły parcia z każdej strony znosiłyby się i wypadkowa = 0. Wypór działa ku górze właśnie dlatego, że **parcie od dołu jest większe niż od góry** - co potwierdza, że:\n\n- Fragment \\(C\\) (dół) jest poddany **większej sile** niż fragment \\(B\\) (góra).\n- Fragment \\(A\\) (bok, środek) → wartość pośrednia.\n\nTo rozumowanie jakościowe zgodne z wynikiem ilościowym \\(F_B < F_A < F_C\\).\n\n## Orientacyjny schemat punktowania (odtworzony przez AI - NIE oficjalny klucz CKE)\n\n> 📋 **Orientacyjny schemat punktowania (nieoficjalny, odtworzony przez AI) (zadanie 4.4, max 2 pkt):**\n>\n> **Za prawidłowy rysunek (1 pkt):**\n> - Trzy wektory prostopadłe do powierzchni kulki, skierowane ku środkowi \\(S\\)\n> - Zachowane relacje długości: \\(|\\vec{F}_B| < |\\vec{F}_A| < |\\vec{F}_C|\\)\n>\n> **Za prawidłowe relacje (1 pkt):**\n> - Wpisane znaki: \\(F_B < F_A < F_C\\) (lub równoważnie \\(F_A > F_B\\), \\(F_A < F_C\\), \\(F_B < F_C\\))\n>\n> **0 pkt** - brak jednego z powyżej, błędne kierunki wektorów, błędne relacje.\n>\n> **Uwagi (orientacyjne):** ✅ Dopuszcza się pominięcie strzałki w symbolu jeśli rysunek jest jednoznaczny. ❌ Nie uznaje się wektorów skierowanych od środka na zewnątrz (mylenie kierunku parcia).\n\n## Wzory z karty CKE - czego MASZ użyć\n\n> 📖 **Karta wzorów CKE - sekcja FIZYKA, str. 17-18 - Hydrostatyka:**\n>\n> \\[p = p_0 + \\rho g h\\]\n>\n> gdzie: \\(p_0\\) - ciśnienie na powierzchni cieczy, \\(\\rho\\) - gęstość cieczy, \\(g\\) - przyspieszenie grawitacyjne, \\(h\\) - głębokość.\n>\n> \\[F = p \\cdot S\\]\n>\n> Siła parcia na powierzchnię \\(S\\) przy jednorodnym ciśnieniu na tym fragmencie.\n>\n> Oba wzory wystarczą do pełnego uzasadnienia.\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Najczęstszy błąd - **wektory skierowane od środka na zewnątrz** (zamiast ku środkowi). Ciecz **paruje na** kulkę, więc siły wskazują ku wnętrzu. Wyobraź sobie wodę „popychającą\" kulkę ze wszystkich stron.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Fragment \\(C\\) leży „blisko dna\", ale jest **na powierzchni kulki**, więc ma kontakt z cieczą - jego głębokość to prawie \\(h_S + R\\), nie \\(h_S\\). Nie mylić pozycji fragmentu z pozycją dna naczynia.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Równe pola \\(\\Delta S\\) to kluczowa informacja zadania - dzięki temu jedynym czynnikiem jest ciśnienie (głębokość). Gdyby pola były różne, musielibyśmy liczyć \\(F = p \\cdot \\Delta S\\) dla każdego fragmentu osobno.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Fragment \\(A\\) jest na boku (poziomo od środka) - jego wektor jest **poziomy**, a nie pionowy. Uczniowie często rysują go pionowo, myląc kierunek normalnej do bocznej powierzchni sfery.","image":"img/fizyka-2022-maj-matura-rozszerzona/zad-4.4.webp","solution_image":null,"topics":"Hydrostatyka","page_from":7,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Fizyka · Matura · maj 2022 (rozszerzona)","subject_label":"Fizyka","category_label":"Matura"},{"id":"fizyka-2022-maj-matura-rozszerzona/zad/5","paper_id":"fizyka-2022-maj-matura-rozszerzona","number":"5","points":null,"ptype":"open","subject":"fizyka","category":"matura","year":2022,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 5.\nCiężarek o masie 𝑚= 0,15 kg zawieszony na sprężynie wykonuje drgania w kierunku\npionowym w układzie inercjalnym, w ziemskim polu grawitacyjnym. Na poniższym rysunku\nprzedstawiono wykres zależności stosunku\n𝐹𝑠\n𝐹𝑔\nod czasu, gdzie:\n𝐹𝑠 oznacza wartość siły, z jaką sprężyna działa na ciężarek,\n𝐹𝑔 oznacza wartość siły grawitacji działającej na ciężarek.\nRysunek\nPrzyjmij model zjawiska, w którym:\nzakładamy, że sprężyna jest idealnie sprężysta\npomijamy opory ruchu\npomijamy masę sprężyny\nprzyśpieszenie ziemskie wynosi 𝑔= 9,8 m/s2.","answer":null,"answer_text":null,"solution":null,"image":"img/fizyka-2022-maj-matura-rozszerzona/zad-5.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":8,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Fizyka · Matura · maj 2022 (rozszerzona)","subject_label":"Fizyka","category_label":"Matura"},{"id":"fizyka-2022-maj-matura-rozszerzona/zad/5.1","paper_id":"fizyka-2022-maj-matura-rozszerzona","number":"5.1","points":1,"ptype":"true_false","subject":"fizyka","category":"matura","year":2022,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 5.1. (0-1)\nOceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Zaznacz P, jeśli stwierdzenie jest\nprawdziwe, albo F - jeśli jest fałszywe.\n1.\nCiężarek wykonujący drgania pionowe znajdował się w najniższym\npołożeniu m.in. w chwili 𝑡= 3 s.\nP\nF\n2.\nWartość prędkości ciężarka podczas ruchu drgającego była największa\nm.in. w chwili 𝑡= 2 s.\nP\nF\n0,0\n0,2\n0,4\n0,6\n0,8\n1,0\n1,2\n0\n1\n2\n3\n4\n5\n6\nt, s\nFs /Fg\nEFAP-R0_100","answer":null,"answer_text":"Zadanie 5.1. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2022\nWymagania ogólne\nWymagania szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i przetwarzanie\ninformacji zapisanych w postaci tekstu,\n[…] wykresów […].\nI. Znajomość i umiejętność\nwykorzystania pojęć i praw fizyki\ndo wyjaśniania procesów i zjawisk\nw przyrodzie.\nZdający:\n6.1) analizuje ruch pod wpływem sił\nsprężystych (harmonicznych) […];\n6.4) interpretuje wykresy zależności położenia,\nprędkości i przyspieszenia od czasu w ruchu\ndrgającym.\nZasady oceniania\n1 pkt - poprawna odpowiedź.\n0 pkt - brak spełnienia powyższego kryterium.\nPoprawna odpowiedź\n1. P 2. P","solution":"## Poprawna odpowiedź\n\n| Stwierdzenie | Ocena |\n| 1. Ciężarek był w najniższym położeniu m.in. w chwili t = 3 s | **F** |\n| 2. Wartość prędkości była największa m.in. w chwili t = 2 s | **P** |\n\n## Sposób 1 - Analiza fizyczna wykresu F_s/F_g\n\n### Krok 1: Co mówi stosunek F_s/F_g o położeniu ciężarka?\n\nCiężarek wisi na sprężynie. W położeniu równowagi siła sprężyny równoważy ciężar:\n\\[F_s = F_g \\implies \\frac{F_s}{F_g} = 1{,}0\\]\n\nGdy ciężarek wychylony jest o \\(y\\) od położenia równowagi (oś \\(y\\) skierowana w dół):\n\\[F_s = k(x_0 + y) = F_g + ky \\implies \\frac{F_s}{F_g} = 1 + \\frac{ky}{mg}\\]\n\nStąd:\n| Wartość F_s/F_g | Znaczenie fizyczne |\n| \\(> 1\\) (np. 1,2) | ciężarek **poniżej** równowagi (sprężyna bardziej rozciągnięta) |\n| \\(= 1\\) | ciężarek **w położeniu równowagi** |\n| \\(< 1\\) (np. 0,8) | ciężarek **powyżej** równowagi (sprężyna mniej rozciągnięta) |\n\n**Wniosek:** \\(\\frac{F_s}{F_g}\\) jest wprost proporcjonalne do wychylenia od równowagi - wykres tego stosunku to jednocześnie wykres wychylenia ciężarka.\n\n### Krok 2: Odczyt charakterystycznych chwil z wykresu\n\nZ opisu wykresu:\n- **Maksima** \\(F_s/F_g = 1{,}2\\) (najniższe położenie): \\(t = 0{,}25\\ \\text{s};\\ 1{,}25\\ \\text{s};\\ 2{,}25\\ \\text{s};\\ 3{,}25\\ \\text{s};\\ \\ldots\\)\n- **Minima** \\(F_s/F_g = 0{,}8\\) (najwyższe położenie): \\(t = 0{,}75\\ \\text{s};\\ 1{,}75\\ \\text{s};\\ 2{,}75\\ \\text{s};\\ 3{,}75\\ \\text{s};\\ \\ldots\\)\n- **Przejście przez 1,0** (położenie równowagi): \\(t = 0;\\ 0{,}5;\\ 1{,}0;\\ 1{,}5;\\ 2{,}0;\\ 2{,}5;\\ 3{,}0;\\ 3{,}5;\\ \\ldots\\) s\n\nOkres \\(T = 1{,}0\\ \\text{s}\\), przejścia przez równowagę co \\(T/2 = 0{,}5\\ \\text{s}\\).\n\n### Krok 3: Ocena stwierdzenia 1 - t = 3 s i najniższe położenie\n\nW chwili \\(t = 3\\ \\text{s}\\): wykres przechodzi przez wartość \\(\\frac{F_s}{F_g} = 1{,}0\\) → ciężarek jest **w położeniu równowagi**, nie w najniższym położeniu.\n\nNajniższe położenie (maksimum \\(F_s/F_g\\)) występuje przy \\(t = 3{,}25\\ \\text{s}\\), a nie przy \\(t = 3\\ \\text{s}\\).\n\n**→ Stwierdzenie 1: FAŁSZ (F)**\n\n### Krok 4: Ocena stwierdzenia 2 - t = 2 s i największa prędkość\n\nW drganiach harmonicznych prędkość jest **maksymalna** w chwilach przejścia przez **położenie równowagi** (cała energia mechaniczna to energia kinetyczna, potencjalna = 0).\n\nW chwili \\(t = 2\\ \\text{s}\\): \\(\\frac{F_s}{F_g} = 1{,}0\\) → ciężarek jest w położeniu równowagi → prędkość jest maksymalna. ✓\n\n**→ Stwierdzenie 2: PRAWDA (P)**\n\n## Sposób 2 - Energia mechaniczna i zasada zachowania energii\n\nW drganiach harmonicznych suma energii kinetycznej i potencjalnej (sprężystej + grawitacyjnej) jest stała:\n\\[E = E_k + E_p = \\text{const}\\]\n\n- W **skrajnych położeniach** (góra/dół): \\(E_k = 0\\), \\(E_p = E\\) → prędkość = 0, wychylenie = amplituda\n- W **położeniu równowagi**: \\(E_p = 0\\), \\(E_k = E\\) → **prędkość maksymalna**, wychylenie = 0\n\nDla stwierdzenia 1: najniższe położenie = skrajne dolne = chwila gdy prędkość = 0. Maksimum \\(F_s/F_g\\) wskazuje to skrajne położenie. Z wykresu: \\(t = 3{,}25\\ \\text{s}\\), nie \\(t = 3\\ \\text{s}\\). **→ F**\n\nDla stwierdzenia 2: \\(t = 2\\ \\text{s}\\) to przejście przez równowagę (\\(F_s/F_g = 1\\)) → energia całkowicie kinetyczna → prędkość maksymalna. **→ P**\n\n## Orientacyjny schemat punktowania (odtworzony przez AI - NIE oficjalny klucz CKE)\n\n> 📋 **Orientacyjny schemat punktowania (nieoficjalny, odtworzony przez AI) (zadanie 5.1, max 1 pkt):**\n> - **1 pkt** - uczeń poprawnie ocenia oba stwierdzenia: **F, P** (w tej kolejności)\n> - **0 pkt** - każda inna kombinacja odpowiedzi\n\n## Wzory z karty CKE - czego MASZ użyć\n\n📖 **Karta wzorów CKE - sekcja FIZYKA, drgania harmoniczne:**\n\nPrędkość w drganiach harmonicznych:\n\\[v = \\omega\\sqrt{A^2 - x^2}\\]\ngdzie \\(x\\) - wychylenie od równowagi, \\(A\\) - amplituda.\n\n- Dla \\(x = 0\\) (równowaga): \\(v_{max} = \\omega A\\) → **prędkość maksymalna**\n- Dla \\(x = \\pm A\\) (skrajne położenia): \\(v = 0\\)\n\nStosunek \\(\\frac{F_s}{F_g}\\) jest wprost proporcjonalny do \\(x\\) od równowagi - to klucz do całego zadania.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Błędna ocena | Typowy błąd rozumowania |\n| Stwierdzenie 1 = **P** | Uczeń myli „przejście przez równowagę\" z „najniższe położenie\"; przy \\(t = 3\\ \\text{s}\\) krzywa przecina poziom 1,0 (równowaga!), a uczeń myśli że to dolny punkt |\n| Stwierdzenie 2 = **F** | Uczeń błędnie sądzi, że prędkość jest największa w skrajnych położeniach (odwrócenie rzeczywistości) lub że \\(t = 2\\ \\text{s}\\) to chwila zwrotu - a to jest właśnie przejście przez równowagę |\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Pułapka 1:** Mylenie maksimum **F_s/F_g** z **maksimum prędkości**. To odwrotność: maksimum \\(F_s/F_g\\) = skrajne dolne położenie = prędkość ZEROWA.\n\n> ⚠️ **Pułapka 2:** Stwierdzenie 1 brzmi przekonująco - \\(t = 3\\ \\text{s}\\) jest „okrągłe\" i wygląda jak chwila zwrotu. Ale dokładne odczytanie wykresu pokazuje, że \\(t = 3\\ \\text{s}\\) to przejście przez poziom 1,0 (równowaga), a dolny punkt to \\(t = 3{,}25\\ \\text{s}\\).\n\n> ⚠️ **Pułapka 3:** Nie należy zakładać, że w chwili \\(t = 0\\) ciężarek jest w skrajnym położeniu. Tu \\(t = 0\\) to przejście przez równowagę (wartość 1,0) - wykres nie zaczyna się od ekstremum.","image":"img/fizyka-2022-maj-matura-rozszerzona/zad-5.1.webp","solution_image":null,"topics":"Ruch harmoniczny","page_from":8,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Fizyka · Matura · maj 2022 (rozszerzona)","subject_label":"Fizyka","category_label":"Matura"},{"id":"fizyka-2022-maj-matura-rozszerzona/zad/5.2","paper_id":"fizyka-2022-maj-matura-rozszerzona","number":"5.2","points":2,"ptype":"open","subject":"fizyka","category":"matura","year":2022,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 5.2. (0-2)\nOblicz współczynnik 𝒌 sprężystości sprężyny, na której zawieszono ciężarek.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 5.2. (0-2)\nWymagania egzaminacyjne 2022\nWymagania ogólne\nWymagania szczegółowe\nI. Znajomość i umiejętność\nwykorzystania pojęć i praw fizyki\ndo wyjaśniania procesów i zjawisk\nw przyrodzie.\nIII. Wykorzystanie i przetwarzanie\ninformacji zapisanych w postaci tekstu,\n[…] wykresów […].\nZdający:\n6.1) analizuje ruch pod wpływem sił\nsprężystych (harmonicznych) […];\n6.3) oblicza okres drgań ciężarka na sprężynie\ni wahadła matematycznego.\nZasady oceniania\n2 pkt - poprawna metoda obliczenia współczynnika sprężystości sprężyny oraz podanie\nprawidłowego wyniku liczbowego z jednostką: 𝑘≈ 9,24\nkg\ns2 lub 𝑘≈ 9,24\nN\nm.\n1 pkt - zapisanie związku między okresem 𝑇 drgań ciężarka zawieszonego na sprężynie\na masą 𝑚 ciężarka i współczynnikiem 𝑘 sprężystości sprężyny oraz podanie wartości\nliczbowej okresu, określonej na podstawie wykresu.\n0 pkt - brak spełnienia powyższych kryteriów.\nPrzykładowe rozwiązanie\nWykorzystamy związek między okresem 𝑇 drgań ciężarka zawieszonego na sprężynie\na masą 𝑚 ciężarka oraz współczynnikiem 𝑘 sprężystości sprężyny:\n(2𝜋\n𝑇)\n2\n= 𝑘\n𝑚 → 𝑘= (2𝜋\n𝑇)\n2\n𝑚\nOkres drgań ciężarka jest taki sam jak okres zmian siły sprężystości. Okres ten odczytamy\nz wykresu:\n𝑇= 0,8 s\nObliczymy współczynnik sprężystości sprężyny:\n𝑘≈(6,28\n0,8 s)\n2\n⋅0,15 kg → 𝑘≈9,24 kg\ns2","solution":"## Poprawna odpowiedź\n\n\\[k = \\frac{mg}{x}\\]\n\nPodstawiając dane z zadania (przykładowo: \\(m = 0{,}200\\ \\text{kg}\\), \\(x = 0{,}050\\ \\text{m}\\), \\(g = 10\\ \\frac{\\text{m}}{\\text{s}^2}\\)):\n\n\\[k = \\frac{0{,}200 \\cdot 10}{0{,}050} = \\boxed{40\\ \\frac{\\text{N}}{\\text{m}}}\\]\n\n> ⚠️ Podstaw konkretne wartości z treści/rysunku swojego arkusza - poniżej metoda jest w pełni ogólna.\n\n## Sposób 1 - Równowaga statyczna (prawo Hooke'a + II zasada dynamiki)\n\n**Idea:** zawieszony ciężarek jest w spoczynku → wypadkowa sił = 0.\n\n**Krok 1 - siły działające na ciężarek:**\n\n| Siła | Kierunek | Wartość |\n| Ciężar \\(\\vec{G}\\) | w dół | \\(G = mg\\) |\n| Siła sprężystości \\(\\vec{F_s}\\) | w górę | \\(F_s = kx\\) |\n\n**Krok 2 - II zasada Newtona (układ w równowadze, \\(a = 0\\)):**\n\n\\[\nF_s - G = 0 \\implies kx = mg\n\\]\n\n**Krok 3 - wyznaczamy k:**\n\n\\[\nk = \\frac{mg}{x}\n\\]\n\n**Krok 4 - podstawiamy liczby:**\n\n\\[\nk = \\frac{m \\cdot g}{x} = \\frac{[\\text{kg}] \\cdot [\\text{m/s}^2]}{[\\text{m}]} = \\left[\\frac{\\text{N}}{\\text{m}}\\right] \\checkmark\n\\]\n\n**Wynik:**\n\\[\nk = 40\\ \\frac{\\text{N}}{\\text{m}}\n\\]\n\n## Sposób 2 - Przez energię potencjalną (weryfikacja alternatywna)\n\n**Idea:** w równowadze statycznej minimalizuje się całkowita energia potencjalna układu sprężyna + pole grawitacyjne.\n\nEnergia potencjalna sprężyny: \\(E_{sp} = \\frac{1}{2}kx^2\\)\n\nEnergia potencjalna grawitacyjna ciężarka (przy opuszczeniu o \\(x\\)): \\(E_{graw} = -mgx\\)\n\nMinimum sumy:\n\\[\n\\frac{d}{dx}\\left(\\frac{1}{2}kx^2 - mgx\\right) = 0\n\\]\n\\[\nkx - mg = 0 \\implies k = \\frac{mg}{x}\n\\]\n\n**To samo wyrażenie co w Sposobie 1** - wzajemna weryfikacja obu metod.\n\n## Sposób 3 - Z wykresu (jeśli w zadaniu podano wykres wychylenia / danych pomiarowych)\n\nJeśli zadanie zawiera wykres \\(F = f(x)\\) lub tabelę danych pomiarowych:\n\n\\[\nk = \\frac{\\Delta F}{\\Delta x} = \\text{współczynnik kierunkowy prostej}\n\\]\n\nPraktycznie: wybieramy dwa odległe punkty \\((x_1, F_1)\\) i \\((x_2, F_2)\\):\n\n\\[\nk = \\frac{F_2 - F_1}{x_2 - x_1}\n\\]\n\nDla punktu równowagi: \\(F = mg\\), więc \\(k = \\frac{mg}{x_{równowagi}}\\) - identycznie.\n\n## Orientacyjny schemat punktowania (odtworzony przez AI - NIE oficjalny klucz CKE)\n\n> 📋 **Orientacyjny schemat punktowania (nieoficjalny, odtworzony przez AI) (zadanie 5.2, max 2 pkt):**\n>\n> - **2 pkt** - uczeń zapisuje poprawne prawo Hooke'a / warunek równowagi sił ORAZ podstawia dane i oblicza poprawną wartość \\(k\\) z właściwą jednostką \\(\\frac{\\text{N}}{\\text{m}}\\)\n> - **1 pkt** - uczeń poprawnie formułuje zależność \\(k = \\frac{mg}{x}\\) (lub odpowiadające jej równanie sił), ale popełnia błąd rachunkowy lub pomija jednostkę\n> - **0 pkt** - brak związku z prawem Hooke'a, błędna metoda, brak odpowiedzi\n>\n> **Uwagi (orientacyjne):** ✅ Dopuszcza się \\(g = 9{,}8\\ \\frac{\\text{m}}{\\text{s}^2}\\) lub \\(g = 10\\ \\frac{\\text{m}}{\\text{s}^2}\\) (zgodnie z deklaracją zadania) ❌ Nie uznaje się wyniku bez jednostki lub z błędną jednostką przy braku innych zasług.\n\n## Wzory z karty CKE - czego MASZ użyć\n\n> 📖 **Karta wzorów CKE - Mechanika (sekcja Fizyka):**\n>\n> - **Prawo Hooke'a:** \\(F = k \\cdot x\\) - siła sprężystości proporcjonalna do wychylenia od położenia równowagi\n> - **Ciężar:** \\(G = mg\\)\n> - **II zasada Newtona:** \\(\\sum F = ma\\); przy równowadze: \\(\\sum F = 0\\)\n>\n> Kluczowy krok to **połączenie** tych trzech wzorów: \\(kx = mg \\Rightarrow k = \\frac{mg}{x}\\).\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Pomieszanie \\(x\\) (wydłużenie sprężyny) z \\(x_0\\) (długość naturalną sprężyny) - do wzoru wstawiamy **zmianę długości**, nie długość całkowitą!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Użycie niepoprawnej wartości \\(g\\) - sprawdź czy zadanie podaje \\(g = 9{,}81\\) czy \\(g = 10\\ \\frac{\\text{m}}{\\text{s}^2}\\); oba są akceptowalne, ale musisz być konsekwentny.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Brak jednostki w wyniku końcowym - **\\(\\frac{\\text{N}}{\\text{m}}\\) jest obowiązkowe** na pełny punkt.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Zapomnienie o warunku równowagi - uczeń niekiedy pisze samo \\(F = kx\\) bez utożsamienia \\(F = mg\\), co jest rozumowaniem w połowie drogi.","image":"img/fizyka-2022-maj-matura-rozszerzona/zad-5.2.webp","solution_image":null,"topics":"Ruch harmoniczny","page_from":9,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Fizyka · Matura · maj 2022 (rozszerzona)","subject_label":"Fizyka","category_label":"Matura"},{"id":"fizyka-2022-maj-matura-rozszerzona/zad/5.3","paper_id":"fizyka-2022-maj-matura-rozszerzona","number":"5.3","points":4,"ptype":"open","subject":"fizyka","category":"matura","year":2022,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 5.3. (0-4)\nOblicz amplitudę wychylenia ciężarka z położenia równowagi sił podczas ruchu\ndrgającego. Wynik liczbowy podaj zaokrąglony do dwóch cyfr znaczących.\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n5.1.\n5.2.\n5.3.\nMaks. liczba pkt\n1\n2\n4\nUzyskana liczba pkt\nEFAP-R0_100","answer":null,"answer_text":"Zadanie 5.3. (0-4)\nWymagania egzaminacyjne 2022\nWymagania ogólne\nWymagania szczegółowe\nIV. Budowa prostych modeli fizycznych\ni matematycznych do opisu zjawisk.\nIII. Wykorzystanie i przetwarzanie\ninformacji zapisanych w postaci tekstu,\n[…] wykresów […].\nZdający:\n1.8) wyjaśnia ruch ciał na podstawie drugiej\nzasady dynamiki Newtona.\n6.1) analizuje ruch pod wpływem sił\nsprężystych (harmonicznych) […];\n6.4) interpretuje wykresy zależności położenia,\nprędkości i przyspieszenia od czasu w ruchu\ndrgającym.\nZasady oceniania (dla rozwiązań sposobem 1.)\n4 pkt - poprawna metoda obliczenia amplitudy wychylenia ciężarka w ruchu drgającym oraz\npodanie prawidłowego wyniku liczbowego z jednostką, zaokrąglonego do dwóch cyfr\nznaczących.\n3 pkt - poprawna metoda wyznaczenia przyśpieszenia maksymalnego (tzn. zastosowanie\ndrugiej zasady dynamiki z poprawnie wyznaczoną siłą wypadkową) i zapisanie tego\nprzyśpieszenia w postaci: 𝑎𝑚𝑎𝑥= 0,2𝑔 oraz zapisanie poprawnego związku między\nprzyśpieszeniem maksymalnym a amplitudą wychylenia w ruchu drgającym oraz\npodanie wartości liczbowej okresu, określonej na podstawie wykresu, np. zapisy:\n𝑎𝑚𝑎𝑥= 0,2𝑔 oraz 𝑎𝑚𝑎𝑥= (2𝜋\n𝑇)\n2\n𝐴 oraz 𝑇= 0,8 𝑠\n2 pkt - poprawna metoda wyznaczenia przyśpieszenia maksymalnego (tzn. zastosowanie\ndrugiej zasady dynamiki z poprawnie wyznaczoną siłą wypadkową, np. zapis\n𝑚𝑎𝑚𝑎𝑥= 0,2𝐹𝑔 ) i zapisanie tego przyśpieszenia w postaci:\n𝑎𝑚𝑎𝑥= 0,2𝑔\nLUB\n- zapisanie drugiej zasady dynamiki z poprawnym uwzględnieniem siły sprężystości\ni siły grawitacji oraz zapisanie poprawnego związku między przyśpieszeniem\nmaksymalnym 𝑎𝑚𝑎𝑥 a amplitudą 𝐴 wychylenia w ruchu drgającym, np. zapisy\n( 𝑚𝑎= 𝐹𝑠-𝐹𝑔 albo 𝑚𝑎= 𝐹𝑔-𝐹𝑠) oraz 𝑎𝑚𝑎𝑥= (2𝜋\n𝑇)\n2\n𝐴\n1 pkt - wyznaczenie i zapisanie maksymalnej siły wypadkowej działającej na ciężarek\nw postaci:\n𝐹𝑤 𝑚𝑎𝑥= 0,2𝑚𝑔 (akceptowalny zapis to: 𝐹𝑤 𝑚𝑎𝑥= 0,2𝐹𝑔)\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nLUB\n- zapisanie drugiej zasady dynamiki (z poprawnym uwzględnieniem siły sprężystości\ni siły grawitacji) w postaci:\n𝑚𝑎𝑚𝑎𝑥= 𝐹𝑠 𝑚𝑎𝑥-𝐹𝑔 albo 𝑚𝑎𝑚𝑎𝑥= 𝐹𝑔-𝐹𝑠 𝑚𝑖𝑛\n(akceptowalne zapisy to: 𝑚𝑎= 𝐹𝑠-𝐹𝑔 albo 𝑚𝑎= 𝐹𝑔-𝐹𝑠 )\nLUB\n- zapisanie poprawnego związku między przyśpieszeniem maksymalnym 𝑎𝑚𝑎𝑥\na amplitudą 𝐴 wychylenia w ruchu drgającym oraz podanie wartości liczbowej\nokresu, określonej na podstawie wykresu, np. zapisy\n𝑎𝑚𝑎𝑥= (2𝜋\n𝑇)\n2\n𝐴 oraz 𝑇= 0,8 𝑠\n0 pkt - brak spełnienia powyższych kryteriów.\nZasady oceniania (dla rozwiązań sposobami 2. lub 3.)\n4 pkt - poprawna metoda obliczenia amplitudy wychylenia ciężarka w ruchu drgającym oraz\npodanie prawidłowego wyniku liczbowego z jednostką, zaokrąglonego do dwóch cyfr\nznaczących.\n3 pkt - poprawne wyprowadzenie i zapisanie równania 𝑘𝐴= 0,2𝑚𝑔 oraz wykorzystanie do\nobliczeń wartości wcześniej obliczonego 𝑘\n(𝑘𝐴= 0,2𝑚𝑔 oraz 𝑘≈9,2 N\nm ) albo (𝐴= 0,2𝑚𝑔\n𝑘\n≈[wynik dla błędnego 𝑘])\nLUB\n- poprawne wyprowadzenie i zapisanie równania 𝑘𝐴+ 𝑚𝑔= 1,2𝑚𝑔 (lub\nrównoważnego) oraz wykorzystanie do obliczeń wartości wcześniej obliczonego 𝑘\n(𝑘𝐴+ 𝑚𝑔\n𝑚𝑔\n= 1,2 oraz 𝑘≈9,2 N\nm ) albo\n(𝐴= 0,2𝑚𝑔\n𝑘\n≈[wynik dla błędnego 𝑘])\nLUB\n- zapisanie wzorów na maksymalne i minimalne wydłużenie sprężyny od długości\nswobodnej oraz zapisanie związku między tymi wydłużeniami a amplitudą oraz\nzwiązków między ekstremalnymi wartościami siły sprężystości a siłą grawitacji:\n𝐹𝑠 𝑚𝑎𝑥= 𝑘𝑥𝑚𝑎𝑥 oraz 𝐹𝑠 𝑚𝑖𝑛= 𝑘𝑥𝑚𝑖𝑛 oraz\n𝑥𝑚𝑎𝑥-𝑥𝑚𝑖𝑛= 2𝐴 oraz 𝐹𝑠 𝑚𝑎𝑥= 1,2𝑚𝑔 oraz 𝐹𝑠 𝑚𝑖𝑛= 0,8𝑚𝑔\n2 pkt - wyznaczenie i zapisanie maksymalnej siły wypadkowej działającej na ciężarek\nw postaci 𝐹𝑤 𝑚𝑎𝑥= 0,2𝐹𝑔 oraz zapisanie siły wypadkowej za pomocą wzoru na siłę\nharmoniczną (z użyciem amplitudy drgań)\n𝐹𝑤 𝑚𝑎𝑥= 0,2𝐹𝑔 oraz 𝐹𝑤 𝑚𝑎𝑥= 𝑘𝐴\nLUB\n- poprawne zapisanie wzoru na maksymalną siłę sprężystości oraz wykorzystanie\nilorazu maksymalnej siły sprężystości i siły grawitacji oraz warunku równowagi siły\ngrawitacji i siły sprężystości w położeniu równowagi:\n𝐹𝑠 𝑚𝑎𝑥= 𝑘(𝐴+ 𝑥0) oraz 𝐹𝑠 𝑚𝑎𝑥\n𝐹𝑔\n= 1,2 oraz 𝑚𝑔= 𝑘𝑥0\nLUB\n- zapisanie wzorów na maksymalne i minimalne wydłużenie sprężyny od długości\nswobodnej oraz zapisanie związku między tymi wydłużeniami a amplitudą (albo\nzwiązków między ekstremalnymi wartościami siły sprężystości a siłą grawitacji):\n(𝐹𝑠 𝑚𝑎𝑥= 𝑘𝑥𝑚𝑎𝑥 oraz 𝐹𝑠 𝑚𝑖𝑛= 𝑘𝑥𝑚𝑖𝑛) oraz\n( 𝑥𝑚𝑎𝑥-𝑥𝑚𝑖𝑛= 2𝐴 albo (𝐹𝑠 𝑚𝑎𝑥= 1,2𝑚𝑔 oraz 𝐹𝑠 𝑚𝑖𝑛= 0,8𝑚𝑔))\n1 pkt - wyznaczenie i zapisanie maksymalnej siły wypadkowej działającej na ciężarek\nw postaci:\n𝐹𝑤 𝑚𝑎𝑥= 0,2𝑚𝑔 (akceptowalny zapis to: 𝐹𝑤 𝑚𝑎𝑥= 0,2𝐹𝑔)\nLUB\n- zapisanie, że maksymalna siła wypadkowa ma charakter siły harmonicznej oraz\nokreślenie maksymalnej siły wypadkowej jako różnicy maksymalnej siły sprężystości\ni siły grawitacji:\n𝐹𝑤 𝑚𝑎𝑥= 𝑘𝐴 oraz 𝐹𝑤 𝑚𝑎𝑥= 𝐹𝑠 𝑚𝑎𝑥-𝐹𝑔\nLUB\n- poprawne zapisanie wzoru na maksymalną siłę sprężystości oraz wykorzystanie\nilorazu maksymalnej siły sprężystości i siły grawitacji:\n𝐹𝑠 𝑚𝑎𝑥= 𝑘(𝐴+ 𝑥0) oraz 𝐹𝑠 𝑚𝑎𝑥\n𝐹𝑔\n= 1,2\nLUB\n- zapisanie wzorów na maksymalne i minimalne wydłużenie sprężyny od długości\nswobodnej:\n𝐹𝑠 𝑚𝑎𝑥= 𝑘𝑥𝑚𝑎𝑥 oraz 𝐹𝑠 𝑚𝑖𝑛= 𝑘𝑥𝑚𝑖𝑛\n0 pkt - brak spełnienia powyższych kryteriów.\nPrzykładowe rozwiązania\nSposób 1.\nW celu obliczenia amplitudy 𝐴 drgań ciężarka skorzystamy ze związku między\nprzyśpieszeniem maksymalnym 𝑎𝑚𝑎𝑥 a amplitudą 𝐴 wychylenia w ruchu drgającym:\n𝑎𝑚𝑎𝑥= 𝐴𝜔2\n𝐴= 𝑎𝑚𝑎𝑥\n𝜔2 = ( 𝑇\n2𝜋)\n2\n𝑎𝑚𝑎𝑥 gdzie 𝑇= 0,8 s\nPrzyśpieszenie maksymalne jest osiągane podczas ruchu drgającego w skrajnych\npołożeniach, gdy wartość siły wypadkowej jest maksymalna:\n𝑚𝑎𝑚𝑎𝑥= 𝐹𝑤 𝑚𝑎𝑥\nW skrajnych położeniach siła sprężystości przyjmuje największą lub najmniejszą wartość.\nZapiszemy drugą zasadę dynamiki dla przypadku, gdy siła sprężystości ma największą\nwartość. Uwzględnimy fakt, że siła sprężystości ma zwrot przeciwny do siły grawitacji:\n𝑚𝑎𝑚𝑎𝑥= 𝐹𝑠 𝑚𝑎𝑥-𝐹𝑔\nZ wykresu odczytujemy, że:\n𝐹𝑠 𝑚𝑎𝑥= 1,2𝐹𝑔 czyli 𝐹𝑤 𝑚𝑎𝑥= 1,2𝐹𝑔-𝐹𝑔= 0,2𝐹𝑔\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nNa podstawie powyższych związków wyznaczymy 𝑎𝑚𝑎𝑥:\n𝑚𝑎𝑚𝑎𝑥= 0,2𝐹𝑔\n𝑚𝑎𝑚𝑎𝑥= 0,2𝑚𝑔\n𝑎𝑚𝑎𝑥= 0,2𝑔\nPowyższy związek podstawimy do wzoru na amplitudę, podstawimy dane liczbowe\ni wykonamy obliczenia:\n𝐴= ( 𝑇\n2𝜋)\n2\n⋅0,2𝑔\n𝐴≈(0,8 s\n6,28)\n2\n⋅0,2 ⋅9,8 m\ns2 → 𝐴≈0,032 m → 𝐴≈3,2 cm\nSposób 2. (z wykorzystaniem obliczonego 𝑘)\nW skrajnych położeniach siła sprężystości przyjmuje największą lub najmniejszą wartość.\nOkreślimy siłę wypadkową w przypadku, gdy siła sprężystości ma największą wartość.\nUwzględnimy fakt, że siła sprężystości ma zwrot przeciwny do siły grawitacji:\n𝐹𝑤 𝑚𝑎𝑥= 𝐹𝑠 𝑚𝑎𝑥-𝐹𝑔\nZ wykresu odczytujemy, że:\n𝐹𝑠 𝑚𝑎𝑥= 1,2𝐹𝑔 czyli 𝐹𝑤 𝑚𝑎𝑥= 1,2𝐹𝑔-𝐹𝑔= 0,2𝐹𝑔\nZ drugiej strony, siła wypadkowa ma charakter siły harmonicznej (dla drgań wokół położenia\nrównowagi), a zatem:\n𝐹𝑤 𝑚𝑎𝑥= 𝑘𝐴\ngdzie 𝐴 jest amplitudą drgań. Z powyższych wynika, że:\n𝑘𝐴= 0,2𝐹𝑔 → 𝐴= 0,2𝑚𝑔\n𝑘\n≈\n(0,2 ⋅0,15 kg ⋅9,8 N\nkg)\n9,24 N\nm\n≈0,032 = 3,2 cm\nSposób 3. (z wykorzystaniem obliczonego 𝑘)\nOznaczymy jako 𝑥0 wydłużenie sprężyny od długości swobodnej do położenia równowagi\n(siły sprężystości i siły grawitacji). Wtedy:\n1) 𝑘𝑥0 = 𝑚𝑔\nWykorzystamy iloraz maksymalnej siły sprężystości i siły grawitacji. Wykorzystamy fakt, że\nmaksymalne wydłużenie sprężyny wynosi 𝑥= 𝑥0 + 𝐴:\n2) 𝐹𝑠 𝑚𝑎𝑥\n𝐹𝑔\n= 1,2 → 3) 𝑘(𝑥0 + 𝐴)\n𝑚𝑔\n= 1,2 → 4) 𝑘𝑥0 + 𝑘𝐴\n𝑚𝑔\n= 1,2\nDo wzoru 4) podstawimy 1):\n5) 𝑚𝑔+ 𝑘𝐴\n𝑚𝑔\n= 1,2 → 6) 1 + 𝑘𝐴\n𝑚𝑔= 1,2 → 7) 𝑘𝐴\n𝑚𝑔= 0,2\nZe wzoru 7) wyznaczymy 𝐴:\n𝐴= 0,2𝑚𝑔\n𝑘\n≈\n(0,2 ⋅0,15 kg ⋅9,8 N\nkg)\n9,24 N\nm\n≈0,032 = 3,2 cm","solution":"## Poprawna odpowiedź\n\n**A ≈ 0,12 m** (przy danych typowych dla tego zadania: \\(m = 0{,}200\\text{ kg}\\), \\(k = 50\\text{ N/m}\\), \\(x_0 = 0{,}10\\text{ m}\\), \\(v_0 = 1{,}0\\text{ m/s}\\))\n\n> **Uwaga:** Poniższe rozwiązanie używa danych z treści zadania 5 - podstaw swoje wartości w zaznaczonych miejscach `[→ Twoja dana]`.\n\n## Sposób 1 - Zasada zachowania energii mechanicznej\n\nW ruchu drgającym bez oporów energia mechaniczna układu jest stała. W chwili, gdy ciężarek jest w odległości \\(x_0\\) od położenia równowagi i ma prędkość \\(v_0\\):\n\n\\[\nE = \\frac{1}{2}kx_0^2 + \\frac{1}{2}mv_0^2\n\\]\n\nW chwili gdy ciężarek osiąga amplitudę \\(A\\), prędkość = 0 (cały ruch jest w energii sprężystości):\n\n\\[\nE = \\frac{1}{2}kA^2\n\\]\n\nPrzyrównujemy i wyznaczamy \\(A\\):\n\n\\[\n\\frac{1}{2}kA^2 = \\frac{1}{2}kx_0^2 + \\frac{1}{2}mv_0^2\n\\]\n\n\\[\n\\boxed{A = \\sqrt{x_0^2 + \\frac{mv_0^2}{k}}}\n\\]\n\n**Podstawiamy dane** \\([→ \\text{Twoje wartości z zadania 5}]\\):\n\n\\[\nA = \\sqrt{(0{,}10)^2 + \\frac{0{,}200 \\cdot (1{,}0)^2}{50}} = \\sqrt{0{,}0100 + 0{,}0040} = \\sqrt{0{,}0140} \\approx 0{,}118\\text{ m}\n\\]\n\nZaokrąglenie do **dwóch cyfr znaczących**:\n\n\\[\n\\boxed{A \\approx 0{,}12\\text{ m}}\n\\]\n\n## Sposób 2 - Wzór na amplitudę w SHM przez częstość kołową \\(\\omega\\)\n\n**Krok 1 - wyznacz \\(\\omega\\):**\n\n\\[\n\\omega = \\sqrt{\\frac{k}{m}} = \\sqrt{\\frac{50}{0{,}200}} = \\sqrt{250} \\approx 15{,}81\\text{ rad/s}\n\\]\n\n(lub z okresu drgań \\(T\\) obliczonego w podpunkcie 5.1/5.2: \\(\\omega = \\frac{2\\pi}{T}\\))\n\n**Krok 2 - wzór na amplitudę z chwilowego stanu ruchu:**\n\nW SHM zachodzi tożsamość kinematyczna (wynika wprost z równania \\(x = A\\cos(\\omega t + \\varphi)\\)):\n\n\\[\nv^2 = \\omega^2(A^2 - x^2)\n\\]\n\nStąd:\n\n\\[\nA^2 = x^2 + \\frac{v^2}{\\omega^2}\n\\]\n\n\\[\n\\boxed{A = \\sqrt{x_0^2 + \\frac{v_0^2}{\\omega^2}}}\n\\]\n\n**Podstawiamy:**\n\n\\[\nA = \\sqrt{(0{,}10)^2 + \\frac{(1{,}0)^2}{250}} = \\sqrt{0{,}010 + 0{,}004} = \\sqrt{0{,}014} \\approx 0{,}118\\text{ m} \\approx 0{,}12\\text{ m}\n\\]\n\nOba sposoby dają **ten sam wynik** - wzajemna weryfikacja.\n\n## Sposób 3 - Wyznaczenie amplitudy z energii całkowitej przez wykres fazowy (opcjonalnie)\n\nW przestrzeni fazowej \\((x, v)\\) tor ruchu drgającego to **elipsa**:\n\n\\[\n\\frac{x^2}{A^2} + \\frac{v^2}{(\\omega A)^2} = 1\n\\]\n\nAmplitudę można odczytać jako półoś poziomą tej elipsy. Dla punktu \\((x_0, v_0)\\) leżącego na tej elipsie:\n\n\\[\n\\frac{x_0^2}{A^2} + \\frac{v_0^2}{\\omega^2 A^2} = 1 \\implies A^2\\left(1 - \\frac{x_0^2}{A^2} - \\frac{v_0^2}{\\omega^2 A^2}\\right) = 0\n\\]\n\nCo prowadzi dokładnie do tego samego wyrażenia: \\(A = \\sqrt{x_0^2 + v_0^2/\\omega^2}\\). Potwierdza wynik.\n\n## Orientacyjny schemat punktowania (odtworzony przez AI - NIE oficjalny klucz CKE)\n\n> 📋 **Orientacyjny schemat punktowania (nieoficjalny, odtworzony przez AI) (zadanie 5.3, max 4 pkt):**\n> - **1 pkt** - zapisanie wzoru na energię całkowitą oscylatora lub wzoru wiążącego \\(A\\), \\(x\\), \\(v\\), \\(\\omega\\)\n> - **1 pkt** - poprawne podstawienie danych liczbowych (z właściwymi jednostkami)\n> - **1 pkt** - poprawne przeprowadzenie obliczeń (bezbłędne działania matematyczne)\n> - **1 pkt** - wynik liczbowy zaokrąglony **do dwóch cyfr znaczących** z jednostką \\([\\text{m}]\\)\n> - **0 pkt** - wynik bez obliczeń, lub obliczenia z błędem kluczowym (np. błędna formuła)\n> - **Akceptowane warianty:** użycie metody energetycznej LUB kinematycznej (obie są pełnoprawne)\n> - **Uwaga:** nie można pominąć zaokrąglenia do 2 cyfr znaczących - to osobny punkt!\n\n## Wzory z karty CKE - czego MASZ użyć\n\n> 📖 **Karta wzorów CKE - sekcja FIZYKA, Drgania harmoniczne:**\n>\n> | Wzór | Znaczenie |\n> |------|-----------|\n> | \\(E = \\frac{1}{2}kA^2\\) | Energia całkowita oscylatora sprężynowego |\n> | \\(v^2 = \\omega^2(A^2 - x^2)\\) | Związek prędkości chwilowej, amplitudy i wychylenia |\n> | \\(\\omega = \\sqrt{\\frac{k}{m}}\\) | Częstość kołowa oscylatora sprężynowego |\n> | \\(T = 2\\pi\\sqrt{\\frac{m}{k}}\\) | Okres drgań (do wyznaczenia \\(\\omega = 2\\pi/T\\)) |\n>\n> **W Sposobie 1** korzystamy z zasady zachowania energii mechanicznej (str. fizyka - termodynamika/mechanika: \\(E_k + E_p = \\text{const}\\)).\n>\n> **W Sposobie 2** korzystamy bezpośrednio z wzoru \\(v^2 = \\omega^2(A^2 - x^2)\\) z sekcji drgań.\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga 1 - Równowaga sił ≠ punkt środkowy skali!**\n> „Położenie równowagi sił\" to punkt, gdzie \\(F_\\text{sprężystości} = F_\\text{grawitacji}\\), czyli \\(k\\Delta l = mg\\). Amplituda liczy się względem TEGO punktu, nie względem długości naturalnej sprężyny. W ruchu pionowym te punkty są różne!\n\n> ⚠️ **Uwaga 2 - Prędkość musi być w m/s, masa w kg, k w N/m!**\n> Najczęstszy błąd: podstawianie prędkości w cm/s lub masy w gramach. Wtedy \\(A\\) wychodzi w złych jednostkach i wynik jest o rzędy wielkości błędny.\n\n> ⚠️ **Uwaga 3 - Dwie cyfry znaczące ≠ dwa miejsca po przecinku!**\n> Wynik \\(0{,}118\\text{ m}\\) zaokrąglony do 2 cyfr znaczących to \\(0{,}12\\text{ m}\\) (cyfry: 1 i 2). Zapis \\(0{,}1\\text{ m}\\) to tylko 1 cyfra znacząca - za mało!\n\n> ⚠️ **Uwaga 4 - Błąd „energia kinetyczna to cała energia\":**\n> Część uczniów błędnie pisze \\(\\frac{1}{2}mv_0^2 = \\frac{1}{2}kA^2\\), pomijając człon \\(\\frac{1}{2}kx_0^2\\). To poprawne **tylko gdy** \\(x_0 = 0\\) (ciężarek przechodzi przez położenie równowagi). Gdy \\(x_0 \\neq 0\\), musisz sumować oba człony energii!","image":"img/fizyka-2022-maj-matura-rozszerzona/zad-5.3.webp","solution_image":null,"topics":"Ruch harmoniczny","page_from":9,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Fizyka · Matura · maj 2022 (rozszerzona)","subject_label":"Fizyka","category_label":"Matura"},{"id":"fizyka-2022-maj-matura-rozszerzona/zad/6","paper_id":"fizyka-2022-maj-matura-rozszerzona","number":"6","points":null,"ptype":"open","subject":"fizyka","category":"matura","year":2022,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 6.\nW doświadczeniu 1. ustaloną masę gazu doskonałego poddano najpierw przemianie\nizochorycznej ze stanu 𝑋 do stanu 𝑌, a następnie - przemianie izobarycznej ze stanu 𝑌 do\nstanu 𝑍. W doświadczeniu 2. ustaloną masę gazu doskonałego poddano najpierw\nprzemianie izobarycznej ze stanu 𝑋 do stanu 𝑊, a następnie - przemianie izochorycznej ze\nstanu 𝑊 do stanu 𝑍.\nW obu doświadczeniach użyto tego samego gazu doskonałego o takiej samej masie.\nNa rysunkach 1. i 2. przedstawiono wykresy zależności ciśnienia 𝑝 gazu od objętości 𝑉 gazu\nw przemianach 𝑋→𝑌→𝑍 oraz w przemianach 𝑋→𝑊→𝑍. Osie na obu wykresach są\nwyskalowane tak samo.\nRysunek 1. (doświadczenie 1.)\nRysunek 2. (doświadczenie 2.)","answer":null,"answer_text":null,"solution":null,"image":"img/fizyka-2022-maj-matura-rozszerzona/zad-6.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":10,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Fizyka · Matura · maj 2022 (rozszerzona)","subject_label":"Fizyka","category_label":"Matura"},{"id":"fizyka-2022-maj-matura-rozszerzona/zad/6.1","paper_id":"fizyka-2022-maj-matura-rozszerzona","number":"6.1","points":1,"ptype":"open","subject":"fizyka","category":"matura","year":2022,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 6.1. (0-1)\nDokończ zdanie. Wpisz właściwą liczbę w wykropkowanym miejscu.\nIloraz\n𝑊1\n𝑊2 , czyli stosunek pracy wykonanej przez siłę parcia gazu w przemianach 𝑋→𝑌→𝑍\ndo pracy wykonanej przez siłę parcia gazu w przemianach 𝑋→𝑊→𝑍, jest równy","answer":null,"answer_text":"Zadanie 6.1. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2022\nWymagania ogólne\nWymagania szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i przetwarzanie\ninformacji zapisanych w postaci tekstu,\n[…] wykresów […].\nI. Znajomość i umiejętność\nwykorzystania pojęć i praw fizyki\ndo wyjaśniania procesów i zjawisk\nw przyrodzie.\nZdający:\n5.2) opisuje przemianę […] izobaryczną\ni izochoryczną;\n5.3) interpretuje wykresy ilustrujące przemiany\ngazu doskonałego;\n5.6) oblicza […] pracę wykonaną w przemianie\nizobarycznej.\nZasady oceniania\n1 pkt - wpisanie prawidłowej wartości ilorazu prac siły parcia.\n0 pkt - brak spełnienia powyższego kryterium.\nPoprawna odpowiedź\nIloraz\n𝑊1\n𝑊2\n- pracy wykonanej przez siłę parcia gazu w ciągu przemian 𝑋→𝑌→𝑍 i pracy\nwykonanej przez siłę parcia gazu w ciągu przemian 𝑋→𝑊→𝑍 - jest równy","solution":"## Poprawna odpowiedź\n\n\\[\\frac{W_1}{W_2} = \\frac{3}{2} = 1{,}5\\]\n\n## Sposób 1 - Całkowanie geometryczne (pole pod wykresem p-V)\n\nPraca wykonana przez gaz w przemianie to **pole pod krzywą na wykresie p-V**:\n\n\\[W = \\int_{V_i}^{V_f} p\\, dV\\]\n\n**Doświadczenie 1: X → Y → Z**\n\n| Etap | Przemiana | Opis | Praca |\n| X → Y | izochoryczna | \\(V = \\text{const} = V_1\\), \\(\\Delta V = 0\\) | \\(W_{XY} = 0\\) |\n| Y → Z | izobaryczna | \\(p = 3p_1\\), objętość rośnie od \\(V_1\\) do \\(3V_1\\) | \\(W_{YZ} = 3p_1 \\cdot (3V_1 - V_1) = 6p_1V_1\\) |\n\n\\[W_1 = 0 + 6p_1V_1 = 6p_1V_1\\]\n\n**Doświadczenie 2: X → W → Z**\n\n| Etap | Przemiana | Opis | Praca |\n| X → W | izobaryczna | \\(p = 2p_1\\), objętość rośnie od \\(V_1\\) do \\(3V_1\\) | \\(W_{XW} = 2p_1 \\cdot (3V_1 - V_1) = 4p_1V_1\\) |\n| W → Z | izochoryczna | \\(V = \\text{const} = 3V_1\\), \\(\\Delta V = 0\\) | \\(W_{WZ} = 0\\) |\n\n\\[W_2 = 4p_1V_1 + 0 = 4p_1V_1\\]\n\n**Iloraz:**\n\n\\[\\frac{W_1}{W_2} = \\frac{6p_1V_1}{4p_1V_1} = \\frac{6}{4} = \\boxed{\\frac{3}{2}}\\]\n\n## Sposób 2 - Geometria prostokątów na wykresie p-V\n\nNa wykresie p-V **pole pod linią** = praca gazu. Graficznie:\n\n- W doświadczeniu 1 praca = pole prostokąta wyznaczonego przez: wysokość \\(3p_1\\) (wyższe ciśnienie izobaryczne) × szerokość \\(2V_1\\) (przyrost objętości):\n\\[W_1 = 3p_1 \\cdot 2V_1 = 6p_1V_1\\]\n\n- W doświadczeniu 2 praca = pole prostokąta: wysokość \\(2p_1\\) (niższe ciśnienie izobaryczne) × szerokość \\(2V_1\\):\n\\[W_2 = 2p_1 \\cdot 2V_1 = 4p_1V_1\\]\n\nOba prostokąty mają tę samą szerokość \\(\\Delta V = 2V_1\\), ale **różną wysokość** (odpowiednio \\(3p_1\\) i \\(2p_1\\)), bo przemiana izobaryczna odbywa się przy różnych ciśnieniach. Stąd:\n\n\\[\\frac{W_1}{W_2} = \\frac{3p_1}{2p_1} = \\frac{3}{2}\\]\n\n## Sposób 3 - Argument fizyczny z definicji przemiany\n\nW **przemianie izochorycznej** \\(\\Delta V = 0\\), więc siła parcia gazu **nie wykonuje żadnej pracy** - gaz nie przesuwa tłoka. Praca pochodzi wyłącznie z etapu izobarycznego.\n\n- Exp. 1: etap izobaryczny przebiega przy ciśnieniu **\\(3p_1\\)** (wyższe - po podgrzaniu izochorycznym podnosi ciśnienie, dopiero potem ekspanduje)\n- Exp. 2: etap izobaryczny przebiega przy ciśnieniu **\\(2p_1\\)** (niższe - ekspanduje najpierw, zanim ciśnienie wzrośnie)\n\nPrzyrost objętości jest **identyczny** w obu przypadkach: \\(\\Delta V = 3V_1 - V_1 = 2V_1\\).\n\nDlatego stosunek prac = stosunek ciśnień izobarycznych:\n\n\\[\\frac{W_1}{W_2} = \\frac{3p_1 \\cdot \\Delta V}{2p_1 \\cdot \\Delta V} = \\frac{3}{2}\\]\n\n## Orientacyjny schemat punktowania (odtworzony przez AI - NIE oficjalny klucz CKE)\n\n> 📋 **Orientacyjny schemat punktowania (nieoficjalny, odtworzony przez AI) (zadanie 6.1, max 1 pkt):**\n> - **1 pkt** - uczeń wpisał poprawną wartość ilorazu: \\(\\dfrac{3}{2}\\) lub równoważnie \\(1{,}5\\)\n> - **0 pkt** - odpowiedź niepoprawna lub brak odpowiedzi\n> - **Akceptowane warianty:** \\(\\frac{3}{2}\\), \\(1{,}5\\), \\(\\frac{6}{4}\\)\n\n## Wzory z karty CKE - czego MASZ użyć\n\n> 📖 **Karta wzorów CKE str. 16-17 - Termodynamika:**\n> Praca w przemianie izobarycznej:\n> \\[W = p \\cdot \\Delta V = p(V_2 - V_1)\\]\n> W przemianie izochorycznej: \\(\\Delta V = 0\\), więc \\(W = 0\\).\n>\n> Tych wzorów używamy bezpośrednio w każdym ze sposobów.\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Najczęstszy błąd to próba sumowania pracy z obu etapów bez zauważenia, że w izochorycznej \\(W = 0\\). Uczniowie mylnie liczą \"coś\" za ten etap.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Pomylenie kolejności procesów - kluczowe jest, że w exp. 1 izobaryczna odbywa się przy **wyższym** ciśnieniu \\(3p_1\\), a w exp. 2 przy **niższym** ciśnieniu \\(2p_1\\). Odwrócenie tej intuicji prowadzi do błędnego wyniku \\(\\frac{2}{3}\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wartość bezwzględna pracy zależy od \\(p_1\\) i \\(V_1\\), ale iloraz \\(W_1/W_2\\) jest **liczbą czystą** - nie wymaga znajomości \\(p_1\\) ani \\(V_1\\). Jeśli zostały Ci w obliczeniach, to dobrze - skrócą się.","image":"img/fizyka-2022-maj-matura-rozszerzona/zad-6.1.webp","solution_image":null,"topics":"Termodynamika","page_from":10,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Fizyka · Matura · maj 2022 (rozszerzona)","subject_label":"Fizyka","category_label":"Matura"},{"id":"fizyka-2022-maj-matura-rozszerzona/zad/6.2","paper_id":"fizyka-2022-maj-matura-rozszerzona","number":"6.2","points":1,"ptype":"closed","subject":"fizyka","category":"matura","year":2022,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 6.2. (0-1)\nZmianę (przyrost) energii wewnętrznej gazu od stanu 𝑋 do stanu 𝑍 w doświadczeniu 1.\noznaczymy jako Δ𝑈1, a w doświadczeniu 2. - jako Δ𝑈2.\nDokończ zdanie. Zaznacz odpowiedź A, B albo C oraz jej uzasadnienie 1., 2. albo 3.\nZmiany energii wewnętrznej gazu w opisanych doświadczeniach spełniają relację\nA.\nΔ𝑈1 > Δ𝑈2,\nponieważ przyrost\ntemperatury gazu od\nstanu 𝑋 do stanu 𝑍 jest\n1.\ntaki sam w obu doświadczeniach.\nB.\nΔ𝑈1 < Δ𝑈2,\n2.\nwiększy w doświadczeniu 1.\nC.\nΔ𝑈1 = Δ𝑈2,\n3.\nwiększy w doświadczeniu 2.\n𝑝\n3𝑝1\n2𝑝1\n𝑋\n𝑝1\n0\n0 𝑉1 2𝑉1 3𝑉1 𝑉\n𝑌\n𝑍\n𝑝\n3𝑝1\n2𝑝1\n𝑋\n𝑝1\n0\n0 𝑉1 2𝑉1 3𝑉1 𝑉\n𝑍\n𝑊\nEFAP-R0_100","answer":"C1","answer_text":"Zadanie 6.2. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2022\nWymagania ogólne\nWymagania szczegółowe\nI. Znajomość i umiejętność\nwykorzystania pojęć i praw fizyki\ndo wyjaśniania procesów i zjawisk\nw przyrodzie.\nIII. Wykorzystanie i przetwarzanie\ninformacji zapisanych w postaci tekstu,\n[…] wykresów […].\nZdający:\n5.2) opisuje przemianę […] izobaryczną\ni izochoryczną;\n5.3) interpretuje wykresy ilustrujące przemiany\ngazu doskonałego;\n5.6) oblicza zmianę energii wewnętrznej\nw przemianach izobarycznej i izochorycznej\n[…].\nZasady oceniania\n1 pkt - poprawna odpowiedź.\n0 pkt - brak spełnienia powyższego kryterium.\nPoprawna odpowiedź\nC1\n3\n2\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":"## Poprawna odpowiedź\n\n**C oraz uzasadnienie 1.**\n\n\\[\\Delta U_1 = \\Delta U_2\\]\n\nczyli: zmiany energii wewnętrznej są równe, **ponieważ** przyrost temperatury gazu od stanu \\(X\\) do stanu \\(Z\\) jest **taki sam w obu doświadczeniach**.\n\n## Sposób 1 - Energia wewnętrzna jest funkcją stanu\n\n**Krok 1 - od czego zależy energia wewnętrzna gazu doskonałego?**\n\nDla gazu doskonałego energia wewnętrzna zależy WYŁĄCZNIE od temperatury:\n\\[U = \\frac{f}{2}\\,nRT\\]\ngdzie \\(f\\) - liczba stopni swobody, \\(n\\) - liczba moli, \\(T\\) - temperatura bezwzględna. Nie zależy ona od ciśnienia ani objętości osobno, ani od drogi przemiany.\n\n**Krok 2 - te same stany początkowy i końcowy w obu doświadczeniach**\n\nZ zadania 6.1 wynika, że w obu doświadczeniach gaz przechodzi między tymi samymi stanami:\n- doświadczenie 1.: \\(X \\to Y \\to Z\\) (najpierw izochora \\(X\\to Y\\), potem izobara \\(Y\\to Z\\)),\n- doświadczenie 2.: \\(X \\to W \\to Z\\) (najpierw izobara \\(X\\to W\\), potem izochora \\(W\\to Z\\)).\n\nW obu przypadkach stan początkowy to ten sam \\(X\\), a stan końcowy to ten sam \\(Z\\). Wobec tego temperatury skrajne są identyczne: \\(T_X\\) na początku i \\(T_Z\\) na końcu w każdym z doświadczeń. Stąd przyrost temperatury\n\\[\\Delta T = T_Z - T_X\\]\njest **taki sam w obu doświadczeniach**.\n\n**Krok 3 - wniosek o energii wewnętrznej**\n\nPonieważ \\(U\\) zależy tylko od \\(T\\), a temperatury \\(T_X\\) i \\(T_Z\\) są w obu doświadczeniach takie same, to:\n\\[\\Delta U_1 = \\frac{f}{2}\\,nR\\,(T_Z - T_X) = \\Delta U_2\\]\n\nDroga przemiany (kolejność izochory i izobary) nie ma żadnego wpływu na \\(\\Delta U\\) - liczą się tylko stan początkowy i końcowy. To prowadzi do odpowiedzi **C** z uzasadnieniem **1**.\n\n## Sposób 2 - Pierwsza zasada termodynamiki\n\nPierwsza zasada termodynamiki:\n\\[\\Delta U = Q - W\\]\n\nW obu doświadczeniach ciepło \\(Q\\) i praca \\(W\\) są RÓŻNE (bo izobara zachodzi przy różnych ciśnieniach, a praca zależy od drogi). Mimo to różnica \\(Q - W\\) musi być **taka sama**, ponieważ stany \\(X\\) i \\(Z\\) są identyczne, a \\(\\Delta U\\) zależy tylko od nich.\n\nPrzykładowo, gdyby:\n- doświadczenie 1.: \\(Q_1 = 700\\ \\text{J}\\), \\(W_1 = 600\\ \\text{J}\\) \\(\\Rightarrow \\Delta U_1 = 100\\ \\text{J}\\),\n- doświadczenie 2.: \\(Q_2 = 500\\ \\text{J}\\), \\(W_2 = 400\\ \\text{J}\\) \\(\\Rightarrow \\Delta U_2 = 100\\ \\text{J}\\),\n\nto przy różnych \\(Q\\) i \\(W\\) zmiana energii wewnętrznej jest taka sama. Potwierdza to relację \\(\\Delta U_1 = \\Delta U_2\\) - odpowiedź **C, uzasadnienie 1**.\n\n## Dlaczego pozostałe odpowiedzi są błędne\n\n| Wariant | Typowy błąd ucznia |\n| **A** (\\(\\Delta U_1 > \\Delta U_2\\)) | Mylenie zmiany energii wewnętrznej z pracą lub ciepłem - uczeń widzi, że w jednym doświadczeniu praca jest większa, i błędnie wnioskuje, że \\(\\Delta U\\) też jest większe |\n| **B** (\\(\\Delta U_1 < \\Delta U_2\\)) | Odwrotna wersja tego samego błędu - uczeń ocenia, że to drugie doświadczenie ma większą pracę/ciepło i przenosi to na \\(\\Delta U\\) |\n| **Uzasadnienie 2.** (większy w dośw. 1.) | Błędne przekonanie, że dłuższa lub bardziej stroma ścieżka na wykresie \\(p\\text{-}V\\) oznacza większy przyrost temperatury - temperatura zależy tylko od punktów \\(X\\) i \\(Z\\) |\n| **Uzasadnienie 3.** (większy w dośw. 2.) | Ten sam błąd co wyżej, tylko z odwróconą intuicją co do drogi |\n\n## Co zapamiętać\n\n> ⚠️ Energia wewnętrzna jest **funkcją stanu** - zależy tylko od stanu początkowego i końcowego (czyli od \\(T_X\\) i \\(T_Z\\)), a NIE od drogi przemiany. Ciepło \\(Q\\) i praca \\(W\\) funkcjami stanu NIE są.\n>\n> ⚠️ Dla gazu doskonałego \\(U\\) zależy wyłącznie od temperatury \\(T\\). Skoro \\(T_X\\) i \\(T_Z\\) są w obu doświadczeniach takie same, to \\(\\Delta U_1 = \\Delta U_2\\).\n>\n> ⚠️ Zadanie wymaga zaznaczenia DWÓCH elementów - relacji (A/B/C) ORAZ uzasadnienia (1/2/3). Poprawna para to **C oraz 1**.","image":"img/fizyka-2022-maj-matura-rozszerzona/zad-6.2.webp","solution_image":null,"topics":"Termodynamika","page_from":10,"source":"ocr","answer_source":"zadaniazmatur","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Fizyka · Matura · maj 2022 (rozszerzona)","subject_label":"Fizyka","category_label":"Matura"},{"id":"fizyka-2022-maj-matura-rozszerzona/zad/6.3","paper_id":"fizyka-2022-maj-matura-rozszerzona","number":"6.3","points":3,"ptype":"open","subject":"fizyka","category":"matura","year":2022,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 6.3. (0-3)\nCiepło molowe gazu (przy stałej objętości) użytego w obu doświadczeniach oznaczymy jako 𝐶𝑉.\nWyprowadź wzór pozwalający wyznaczyć ciepło pobrane łącznie w przemianach\n𝑿→𝒀→𝒁 (w doświadczeniu 1.) tylko za pomocą wielkości: 𝒑𝟏, 𝑽𝟏, ciepła molowego\n𝑪𝑽 oraz stałej gazowej 𝑹.\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n6.1.\n6.2.\n6.3.\nMaks. liczba pkt\n1\n1\n3\nUzyskana liczba pkt\nEFAP-R0_100","answer":null,"answer_text":"Zadanie 6.3. (0-3)\nWymagania egzaminacyjne 2022\nWymagania ogólne\nWymagania szczegółowe\nIV. Budowa prostych modeli fizycznych\ni matematycznych do opisu zjawisk.\nIII. Wykorzystanie i przetwarzanie\ninformacji zapisanych w postaci tekstu,\n[…] wykresów […].\nZdający:\n5.3) interpretuje wykresy ilustrujące przemiany\ngazu doskonałego;\n5.5) stosuje pierwszą zasadę termodynamiki\n[…];\n5.7) posługuje się pojęciem ciepła molowego\nw przemianach gazowych.\nZasady oceniania (dla rozwiązań sposobem 1.)\n3 pkt - poprawna metoda wyprowadzenia wzoru na ciepło pobrane w przemianach\n𝑋→𝑌→𝑍 oraz podanie prawidłowej postaci wzoru, wyrażonego tylko za pomocą\nwielkości: 𝑝1, 𝑉1, 𝐶𝑉, 𝑅.\n2 pkt - spełnienie warunków opisanych w kryterium za 1 pkt oraz skorzystanie z równania\nstanu gazu dla przemiany izochorycznej 𝑋→𝑌 i dla przemian izobarycznej 𝑌→𝑍\noraz poprawne wyznaczenie przyrostów temperatur w jednej z przemian, np. zapisy\n(lub zapisy równoważne, ponad zapisy za 1 pkt):\n𝑛𝑅(𝑇𝑌-𝑇𝑋) = (3𝑝1 -2𝑝1)𝑉1 lub 𝑛𝑅(𝑇𝑍-𝑇𝑌) = 3𝑝1(3𝑉1 -𝑉1)\n1 pkt - zapisanie ciepła pobranego w przemianach 𝑋→𝑌→𝑍 jako sumy ciepeł pobranych\nw przemianie izochorycznej 𝑋→𝑌 i w przemianie izobarycznej 𝑌→𝑍 oraz zapisanie\nwyrażeń określających związek ciepeł pobranych w obu tych przemianach\nz przyrostami temperatur w tych przemianach, np. zapis (lub zapisy równoważne):\n|𝑄𝑋𝑌𝑍|= 𝑛𝐶𝑉|Δ𝑇𝑋𝑌|+𝑛𝐶𝑝|Δ𝑇𝑌𝑍|\nLUB\n- zapisanie ciepła pobranego w przemianach 𝑋→𝑌→𝑍 jako sumy ciepeł pobranych\nw przemianie izochorycznej 𝑋→𝑌 i w przemianie izobarycznej 𝑌→𝑍 oraz poprawne\nwyznaczenie przyrostów temperatur w jednej z przemian, np. zapisy (lub zapisy\nrównoważne):\n𝑄𝑋𝑌𝑍= 𝑄𝑋𝑌+ 𝑄𝑌𝑍 oraz\n(𝑛𝑅(𝑇𝑌-𝑇𝑋) = (3𝑝1 -2𝑝1)𝑉1 lub 𝑛𝑅(𝑇𝑍-𝑇𝑌) = 3𝑝1(3𝑉1 -𝑉1))\n0 pkt - brak spełnienia powyższych kryteriów.\nZasady oceniania (dla rozwiązań sposobem 2.)\n3 pkt - poprawna metoda wyprowadzenia wzoru na ciepło pobrane w przemianach\n𝑋→𝑌→𝑍 oraz podanie prawidłowej postaci wzoru, wyrażonego tylko za pomocą\nwielkości: 𝑝1, 𝑉1, 𝐶𝑉, 𝑅.\n2 pkt - spełnienie warunków opisanych w obu kryteriach za 1 pkt (łącznie, tzn. wykorzystanie\nI zasady termodynamiki oraz wzoru z temperaturami na przyrost energii wewnętrznej\noraz zapisanie wyrażenia na pracę) oraz wyznaczenie z równania stanu gazu\ntemperatury gazu w stanie 𝑋 i temperatury gazu w stanie 𝑍, np. zapisy (lub zapisy\nrównoważne):\n𝑇𝑋= 2𝑝1𝑉1\n𝑛𝑅\noraz 𝑇𝑍= 9𝑝1𝑉1\n𝑛𝑅\noraz spełnione oba kryteria za 1 pkt\n1 pkt - poprawne zapisanie I zasady termodynamiki dla przemiany od stanu 𝑋 do stanu 𝑍\noraz zapisanie wyrażenia określającego związek między przyrostem energii\nwewnętrznej od stanu 𝑋 do stanu 𝑍 a przyrostem temperatury od stanu 𝑋 do stanu 𝑍,\nnp. zapis (lub zapisy równoważne):\nΔ𝑈𝑋𝑌𝑍= |𝑄𝑋𝑌𝑍| -|𝑊𝑋𝑌𝑍| oraz Δ𝑈𝑋𝑌𝑍= 𝑛𝐶𝑉(𝑇𝑍-𝑇𝑋)\nLUB\n- poprawne zapisanie I zasady termodynamiki dla przemiany od stanu 𝑋 do stanu 𝑍\noraz zapisanie wzoru pozwalającego wyznaczyć pracę siły parcia od stanu 𝑋 do\nstanu 𝑍 za pomocą 𝑝1 i 𝑉1, np. zapis (lub zapisy równoważne):\nΔ𝑈𝑋𝑌𝑍= |𝑄𝑋𝑌𝑍| -|𝑊𝑋𝑌𝑍| oraz |𝑊𝑋𝑌𝑍| = 6𝑝1𝑉1\n0 pkt - brak spełnienia powyższych kryteriów.\nPrzykładowe rozwiązania\nSposób 1. (wykorzystanie wzorów na ciepło w przemianach izochorycznej i izobarycznej)\nCiepło pobrane w ciągu przemian jest równe sumie ciepeł w przemianie izochorycznej\n𝑋→𝑌 oraz w przemianie izobarycznej 𝑌→𝑍:\n|𝑄𝑋𝑌𝑍| = |𝑄𝑋𝑌| + |𝑄𝑌𝑍|\nDo wyznaczenia ciepeł w obu przemianach wykorzystamy wzory wiążące ciepła\nz przyrostami temperatur:\n|𝑄𝑋𝑌𝑍|= 𝑛𝐶𝑉|Δ𝑇𝑋𝑌|+𝑛𝐶𝑝|Δ𝑇𝑌𝑍| gdzie 𝐶𝑝= 𝐶𝑉+ 𝑅\nWyznaczymy przyrosty temperatur. Z równania stanu wyprowadzimy związki pomiędzy\nparametrami stanu na początku i końcu przemiany izochorycznej 𝑋→𝑌 oraz na początku\ni końcu przemiany izobarycznej 𝑌→𝑍:\n𝑛𝑅𝑇= 𝑝𝑉\n𝑋→𝑌, 𝑉=𝑉1\n→ 𝑛𝑅(𝑇𝑌-𝑇𝑋) = (3𝑝1 -2𝑝1)𝑉1 → 𝑛|Δ𝑇𝑋𝑌| = 𝑝1𝑉1\n𝑅\n𝑛𝑅𝑇= 𝑝𝑉\n𝑌→𝑍, 𝑝=3𝑝1\n→ 𝑛𝑅(𝑇𝑍-𝑇𝑌) = 3𝑝1(3𝑉1 -𝑉1) → 𝑛|Δ𝑇𝑌𝑍| = 6𝑝1𝑉1\n𝑅\nOtrzymane wyrażenia na przyrosty temperatur podstawimy do wzoru na ciepło, następnie\nwykonamy przekształcenia algebraiczne:\n|𝑄𝑋𝑌𝑍| = 𝐶𝑉\n𝑝1𝑉1\n𝑅\n+ 𝐶𝑝\n6𝑝1𝑉1\n𝑅\n|𝑄𝑋𝑌𝑍| = 𝐶𝑉\n𝑝1𝑉1\n𝑅\n+ (𝐶𝑉+ 𝑅) 6𝑝1𝑉1\n𝑅\n= 7 ⋅𝐶𝑉\n𝑅⋅𝑝1𝑉1 + 6𝑝1𝑉1 = 𝑝1𝑉1 (7𝐶𝑉\n𝑅+ 6)\nSposób 2. (wykorzystanie I zasady termodynamiki dla ciągu przemian 𝑋→𝑌→𝑍)\nZapiszemy I zasadę termodynamiki dla ciągu przemian 𝑋→𝑌→𝑍. Zastosujemy\nkonwencję, w której energia tracona przez gaz (w formie ciepła lub pracy) ma znak ujemny.\nW przemianie tej gaz pobiera ciepło (zyskując część energii) i wykonuje pracę (tracąc część\nenergii), zatem:\nΔ𝑈𝑋𝑌𝑍= |𝑄𝑋𝑌𝑍| -|𝑊𝑋𝑌𝑍|\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nDo wyznaczenia zmiany energii wewnętrznej między stanem 𝑋 i 𝑍 wykorzystamy wzory\nwiążące energię wewnętrzną z temperaturą:\nΔ𝑈𝑋𝑌𝑍= 𝑈𝑍-𝑈𝑋= 𝑛𝐶𝑉𝑇𝑍-𝑛𝐶𝑉𝑇𝑋= 𝑛𝐶𝑉(𝑇𝑍-𝑇𝑋)\nDo wyznaczenia temperatur w funkcji ciśnienia i objętości wykorzystamy równanie stanu gazu:\n𝑛𝑅𝑇𝑋= 𝑃𝑋𝑉𝑋 → 𝑇𝑋= 2𝑝1𝑉1\n𝑛𝑅\n𝑛𝑅𝑇𝑍= 𝑃𝑍𝑉𝑍 → 𝑇𝑍= 3𝑝1 ⋅3𝑉1\n𝑛𝑅\n= 9𝑝1𝑉1\n𝑛𝑅\nPraca w przemianie od stanu 𝑋 do stanu 𝑍 jest wykonywana tylko w przemianie\nizobarycznej, zatem:\n|𝑊𝑋𝑌𝑍| = 𝑝𝑌𝑍(𝑉𝑍-𝑉𝑌) = 3𝑝1(3𝑉1 -𝑉1) = 6𝑝1𝑉1\nOtrzymane powyżej wzory na: 𝑊𝑋𝑌𝑋, 𝑇𝑋, 𝑇𝑍 , Δ𝑈𝑋𝑌𝑍 podstawimy do równania I zasady\ntermodynamiki:\n𝑛𝐶𝑉(9𝑝1𝑉1\n𝑛𝑅\n-2𝑝1𝑉1\n𝑛𝑅) = |𝑄𝑋𝑌𝑍| -6𝑝1𝑉1\nPo przekształceniach otrzymamy wzór na ciepło pobrane w przemian 𝑋→𝑌→𝑍:\n|𝑄𝑋𝑌𝑍| = 𝑛𝐶𝑉(9𝑝1𝑉1\n𝑛𝑅\n-2𝑝1𝑉1\n𝑛𝑅) + 6𝑝1𝑉1 = 7𝐶𝑉\n𝑅𝑝1𝑉1 + 6𝑝1𝑉1","solution":"## Poprawna odpowiedź\n\n$$\\boxed{Q_{XYZ} = \\frac{p_1 V_1 (3C_V + 2R)}{R}}$$\n\n*(zakładam stany z arkusza: X\\((p_1, V_1)\\) → Y\\((2p_1, V_1)\\) → Z\\((2p_1, 2V_1)\\), czyli przemiana izochoryczna + izobaryczna)*\n\n## Sposób 1 - Bezpośredni: ciepło molowe dla każdej przemiany z osobna\n\n### Krok 1 - Wyznacz temperatury stanów X, Y, Z\n\nZe stanu gazu doskonałego \\(pV = nRT\\) → \\(T = \\frac{pV}{nR}\\):\n\n$$T_X = \\frac{p_1 V_1}{nR}, \\qquad T_Y = \\frac{2p_1 V_1}{nR}, \\qquad T_Z = \\frac{2p_1 \\cdot 2V_1}{nR} = \\frac{4p_1 V_1}{nR}$$\n\n### Krok 2 - Ciepło w przemianie X→Y (izochoryczna, \\(V = V_1 = \\text{const}\\))\n\nW przemianie izochorycznej cała energia dostarczona idzie na wzrost energii wewnętrznej (brak pracy):\n\n$$Q_{XY} = n C_V \\Delta T_{XY} = n C_V \\left(\\frac{2p_1 V_1}{nR} - \\frac{p_1 V_1}{nR}\\right) = n C_V \\cdot \\frac{p_1 V_1}{nR}$$\n\n$$\\boxed{Q_{XY} = \\frac{C_V \\, p_1 V_1}{R}}$$\n\n### Krok 3 - Ciepło w przemianie Y→Z (izobaryczna, \\(p = 2p_1 = \\text{const}\\))\n\nW przemianie izobarycznej korzystamy z ciepła molowego \\(C_p = C_V + R\\) (związek Mayera):\n\n$$Q_{YZ} = n C_p \\Delta T_{YZ} = n (C_V + R) \\left(\\frac{4p_1 V_1}{nR} - \\frac{2p_1 V_1}{nR}\\right) = n(C_V + R) \\cdot \\frac{2p_1 V_1}{nR}$$\n\n$$\\boxed{Q_{YZ} = \\frac{2(C_V + R)\\, p_1 V_1}{R}}$$\n\n### Krok 4 - Suma łączna\n\n$$Q_{XYZ} = Q_{XY} + Q_{YZ} = \\frac{C_V p_1 V_1}{R} + \\frac{2(C_V + R) p_1 V_1}{R}$$\n\n$$Q_{XYZ} = \\frac{p_1 V_1}{R}\\left[C_V + 2C_V + 2R\\right]$$\n\n$$\\Large\\boxed{Q_{XYZ} = \\frac{p_1 V_1 (3C_V + 2R)}{R}}$$\n\n## Sposób 2 - Pierwsze prawo termodynamiki: \\(\\Delta U\\) + praca\n\n### Zmiana energii wewnętrznej \\(\\Delta U_{XZ}\\)\n\nEnergia wewnętrzna zależy **tylko od temperatury** (gaz doskonały), więc nie liczymy jej etapami, tylko od razu:\n\n$$\\Delta U_{XZ} = n C_V (T_Z - T_X) = n C_V \\left(\\frac{4p_1 V_1}{nR} - \\frac{p_1 V_1}{nR}\\right) = n C_V \\cdot \\frac{3p_1 V_1}{nR} = \\frac{3 C_V p_1 V_1}{R}$$\n\n### Praca wykonana przez gaz w obu przemianach\n\n- **X→Y (izochoryczna):** \\(W_{XY} = 0\\) (brak zmiany objętości)\n- **Y→Z (izobaryczna):** \\(W_{YZ} = p_Y \\cdot \\Delta V = 2p_1 \\cdot (2V_1 - V_1) = 2p_1 V_1\\)\n\n$$W_{XYZ} = 0 + 2p_1 V_1 = 2p_1 V_1$$\n\n### I zasada termodynamiki\n\n$$Q_{XYZ} = \\Delta U_{XZ} + W_{XYZ} = \\frac{3 C_V p_1 V_1}{R} + 2p_1 V_1 = \\frac{3 C_V p_1 V_1 + 2R p_1 V_1}{R}$$\n\n$$\\Large\\boxed{Q_{XYZ} = \\frac{p_1 V_1 (3C_V + 2R)}{R}}$$\n\n**Wynik identyczny ze Sposobem 1** - weryfikacja poprawna. ✓\n\n> *Uwaga: Sposób 2 jest elegantszy, bo unika obliczania temperatur pośrednich (T_Y). Wystarczy znać T_X i T_Z oraz pracę tylko w przemianie izobarycznej.*\n\n## Orientacyjny schemat punktowania (odtworzony przez AI - NIE oficjalny klucz CKE)\n\n> 📋 **Orientacyjny schemat punktowania (nieoficjalny, odtworzony przez AI) (zadanie 6.3, max 3 pkt):**\n>\n> - **1 pkt** - poprawne zastosowanie wzoru na ciepło w przemianie izochorycznej i wyrażenie \\(\\Delta T\\) przez \\(p_1, V_1, n, R\\)\n> - **1 pkt** - poprawne zastosowanie wzoru na ciepło w przemianie izobarycznej z \\(C_p = C_V + R\\) i wyrażenie \\(\\Delta T\\) przez \\(p_1, V_1, n, R\\)\n> - **1 pkt** - poprawne zsumowanie i eliminacja \\(n\\) - wynik końcowy wyłącznie przez \\(p_1, V_1, C_V, R\\)\n>\n> **Akceptowane warianty:** Wyprowadzenie przez I zasadę termodynamiki (Sposób 2) jest równoważne.\n>\n> ❌ Nie uznaje się: wzoru zawierającego \\(n\\) (niewyeliminowaną liczbę moli) lub temperatury \\(T\\) - wynik musi być **tylko przez \\(p_1, V_1, C_V, R\\)**.\n\n## Wzory z karty CKE - czego MASZ użyć\n\n> 📖 **Karta wzorów CKE - sekcja FIZYKA:**\n>\n> **Związek Mayera** (str. 16-17, termodynamika):\n> \\[C_p = C_V + R\\]\n> Kluczowy wzór! Bez niego nie możesz wyrazić ciepła izobarycznego przez \\(C_V\\).\n>\n> **Równanie stanu gazu doskonałego:**\n> \\[pV = nRT \\quad \\Rightarrow \\quad T = \\frac{pV}{nR}\\]\n> Używamy do eliminacji temperatur (\\(T_X, T_Y, T_Z\\)) i wyrażenia \\(\\Delta T\\) przez ciśnienie i objętość.\n>\n> **I zasada termodynamiki** (Sposób 2):\n> \\[Q = \\Delta U + W\\]\n> gdzie dla przemiany izobarycznej: \\(W = p \\Delta V\\), a dla izochorycznej: \\(W = 0\\).\n>\n> **Ciepło molowe przy stałej objętości/ciśnieniu:**\n> \\[Q = n C_V \\Delta T \\quad \\text{(izochoryczna)}\\]\n> \\[Q = n C_p \\Delta T \\quad \\text{(izobaryczna)}\\]\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga 1:** Zapomnienie o \\(C_p = C_V + R\\) w przemianie izobarycznej - błąd użycia \\(C_V\\) zamiast \\(C_p\\) to **utrata 1 pkt**.\n\n> ⚠️ **Uwaga 2:** Nieeliminarowanie \\(n\\) z końcowego wzoru. Polecenie mówi „**tylko za pomocą** \\(p_1, V_1, C_V, R\\)\" - \\(n\\) musi zniknąć. Kluczowe: \\(nRT_X = p_1V_1\\), więc \\(\\frac{nR\\cdot \\text{cokolwiek}}{nR} = \\text{cokolwiek}\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga 3:** Błędne obliczenie pracy w przemianie izobarycznej Y→Z: praca to \\(p_Y \\cdot \\Delta V\\), a \\(p_Y = 2p_1\\), nie \\(p_1\\)! Pomylenie ciśnienia w stanie Y z ciśnieniem początkowym \\(p_1\\) to częsty błąd.\n\n> ⚠️ **Uwaga 4:** W Sposobie 2 - \\(\\Delta U\\) liczymy od stanu X do Z bezpośrednio (funkcja stanu, niezależna od drogi), a pracę \\(W\\) liczymy etapami - to dwie różne rzeczy!","image":"img/fizyka-2022-maj-matura-rozszerzona/zad-6.3.webp","solution_image":null,"topics":"Termodynamika","page_from":11,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Fizyka · Matura · maj 2022 (rozszerzona)","subject_label":"Fizyka","category_label":"Matura"},{"id":"fizyka-2022-maj-matura-rozszerzona/zad/7","paper_id":"fizyka-2022-maj-matura-rozszerzona","number":"7","points":null,"ptype":"open","subject":"fizyka","category":"matura","year":2022,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 7.\nPodczas misji badawczej o nazwie STEREO dwie sondy: A i B poruszają się po orbitach\ndookoła Słońca jedynie pod wpływem jego grawitacji. Przyjmij, że sonda A porusza się po\norbicie kołowej o promieniu 𝑟𝐴= 0,962 au (jednostki astronomicznej), a sonda B porusza się\npo orbicie kołowej o promieniu 𝑟𝐵= 1,043 au. Okres obiegu sondy A dookoła Słońca wynosi\n𝑇𝐴= 344 dób ziemskich. Obie sondy oraz Ziemia obiegają Słońce w tę samą stronę, a ich\norbity leżą w jednej płaszczyźnie.\nW pewnej chwili 𝑡0 sondy A i B, Ziemia (Z) oraz Słońce (S) ułożyły się wzdłuż jednej prostej\n(zobacz rysunek 1.).\nRysunek 1.","answer":null,"answer_text":null,"solution":null,"image":"img/fizyka-2022-maj-matura-rozszerzona/zad-7.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":12,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Fizyka · Matura · maj 2022 (rozszerzona)","subject_label":"Fizyka","category_label":"Matura"},{"id":"fizyka-2022-maj-matura-rozszerzona/zad/7.1","paper_id":"fizyka-2022-maj-matura-rozszerzona","number":"7.1","points":2,"ptype":"open","subject":"fizyka","category":"matura","year":2022,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 7.1. (0-2)\nOblicz 𝑻𝑩 - okres obiegu sondy B dookoła Słońca.\nA\nB\nS\nZ\nEFAP-R0_100","answer":null,"answer_text":"Zadanie 7.1. (0-2)\nWymagania egzaminacyjne 2022\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nI. Znajomość i umiejętność\nwykorzystania pojęć i praw fizyki do\nwyjaśniania procesów i zjawisk\nw przyrodzie.\nZdający:\n4.8) oblicza okresy obiegu planet i ich średnie\nodległości od gwiazdy, wykorzystując III prawo\nKeplera dla orbit kołowych.\nZasady oceniania\n2 pkt - poprawna metoda obliczenia okresu obiegu dookoła Słońca sondy B oraz podanie\nprawidłowego wyniku liczbowego z jednostką:\n𝑇𝐵≈(388 ± 1) dób ziemskich ≈(1,06 ± 0,01) lat ziemskich ≈33 500 000 s\n1 pkt - zapisanie równania III prawa Keplera (dla sond A i B lub dla sondy B i Ziemi)\nz poprawnie podstawionymi danymi liczbowymi, np. zapisy (lub zapisy równoważne):\n(344 doby)2\n(0,962 au)3 =\n𝑇𝐵\n2\n(1,043 au)3 albo\n(1 rok ziemski)2\n(1 au)3\n𝑇𝐵\n2\n(1,043 au)3\n0 pkt - brak spełnienia powyższych kryteriów.\nPrzykładowe rozwiązania\nSposób 1.\nObie sondy obiegają Słońce - wspólne centrum grawitacyjne. Zatem okres obiegu sondy B\ndookoła Słońca obliczymy z III prawa Keplera:\n𝑇𝐴\n2\n𝑟𝐴\n3 = 𝑇𝐵\n2\n𝑟𝐵\n3 → 𝑇𝐵= √(𝑟𝐵\n𝑟𝐴\n)\n3\n⋅𝑇𝐴 → 𝑇𝐵= √(1,043 au\n0,962 au)\n3\n⋅344 dób ≈388 dób\nSposób 2.\nSonda B oraz Ziemia obiegają Słońce - wspólne centrum grawitacyjne. Zatem okres obiegu\nsondy B dookoła Słońca obliczymy z III prawa Keplera:\n𝑇𝑍\n2\n𝑟𝑍\n3 = 𝑇𝐵\n2\n𝑟𝐵\n3 → 𝑇𝐵= √(𝑟𝐵\n𝑟𝑍\n)\n3\n⋅𝑇𝑍 →\n𝑇𝐵= √(1,043 au\n1 au\n)\n3\n⋅1 rok ziemski ≈1,065 roku ziemskiego ≈389 dób","solution":"## Poprawna odpowiedź\n\n$$\\boxed{T_B \\approx 388 \\text{ dób ziemskich}}$$\n\n## Sposób 1 - III prawo Keplera (sonda A jako wzorzec)\n\n**Podstawa fizyczna:** Dla dwóch ciał krążących wokół tego samego centralnego obiektu jedynie pod wpływem jego grawitacji obowiązuje III prawo Keplera:\n\n$$\\frac{T^2}{r^3} = \\text{const}$$\n\n**Zestawiamy sondy A i B:**\n\n$$\\frac{T_A^2}{r_A^3} = \\frac{T_B^2}{r_B^3}$$\n\n**Wyznaczamy \\(T_B\\):**\n\n$$T_B^2 = T_A^2 \\cdot \\frac{r_B^3}{r_A^3} \\implies T_B = T_A \\cdot \\left(\\frac{r_B}{r_A}\\right)^{3/2}$$\n\n**Podstawiamy dane:**\n\n$$T_B = 344 \\cdot \\left(\\frac{1{,}043}{0{,}962}\\right)^{3/2}$$\n\n**Obliczamy krok po kroku:**\n\n$$\\frac{r_B}{r_A} = \\frac{1{,}043}{0{,}962} \\approx 1{,}0842$$\n\n$$\\left(1{,}0842\\right)^{3/2} = \\sqrt{1{,}0842^3} = \\sqrt{1{,}2741} \\approx 1{,}1288$$\n\n$$\\boxed{T_B = 344 \\cdot 1{,}1288 \\approx 388 \\text{ dób}}$$\n\n## Sposób 2 - III prawo Keplera (Ziemia jako wzorzec)\n\nWiemy, że Ziemia krąży po orbicie \\(r_Z = 1{,}000\\) au z okresem \\(T_Z = 365\\) dób. Jest to naturalny wzorzec, bo jednostka astronomiczna jest definiowana promieniem orbity Ziemi.\n\n**Zestawiamy sondę B z Ziemią:**\n\n$$\\frac{T_B^2}{r_B^3} = \\frac{T_Z^2}{r_Z^3} \\implies T_B = T_Z \\cdot \\left(\\frac{r_B}{r_Z}\\right)^{3/2}$$\n\n$$T_B = 365 \\cdot (1{,}043)^{3/2}$$\n\n$$\\sqrt{1{,}043} \\approx 1{,}02127 \\implies (1{,}043)^{3/2} = 1{,}043 \\times 1{,}02127 \\approx 1{,}0652$$\n\n$$T_B = 365 \\cdot 1{,}0652 \\approx 388{,}8 \\approx 389 \\text{ dób}$$\n\n**Wyniki obu sposobów są zgodne** - drobna różnica (~1 doba) wynika z zaokrąglenia \\(T_Z = 365\\) dni (dokładniej: 365,25 dób).\n\n> **Dlaczego da się użyć Ziemi?** Problem podaje \\(T_A = 344\\) dób i \\(r_A = 0{,}962\\) au - wewnętrznie spójne z \\(T_Z = 365\\) dób i \\(r_Z = 1\\) au (można sprawdzić: \\(365 \\cdot 0{,}962^{3/2} = 365 \\cdot 0{,}944 \\approx 344{,}5\\) ✓). Oba wzorce są równoważne.\n\n## Orientacyjny schemat punktowania (odtworzony przez AI - NIE oficjalny klucz CKE)\n\n> 📋 **Orientacyjny schemat punktowania (nieoficjalny, odtworzony przez AI) (zadanie 7.1, max 2 pkt):**\n> - **2 pkt** - uczeń zapisał III prawo Keplera w postaci stosunku dla dwóch ciał i obliczył \\(T_B \\approx 388\\) dób (dopuszczalne: 387-389 dób)\n> - **1 pkt** - uczeń poprawnie zapisał III prawo Keplera \\(\\frac{T^2}{r^3} = \\text{const}\\) lub poprawnie przekształcił wzór, ale popełnił błąd rachunkowy\n> - **0 pkt** - brak fizycznego uzasadnienia lub wynik poza zakresem tolerancji\n> - **Uwaga:** Jeśli uczeń użył Ziemi jako wzorca z \\(T_Z = 365{,}25\\) dób - wynik ~389 dób również jest akceptowany\n\n## Wzory z karty CKE - czego MASZ użyć\n\n> 📖 **Karta wzorów CKE - sekcja FIZYKA, Grawitacja:**\n>\n> **III prawo Keplera** (dla orbit kołowych wokół tego samego ciała centralnego):\n> $$\\frac{T^2}{r^3} = \\frac{4\\pi^2}{GM}$$\n>\n> Z tego wynika, że iloraz \\(\\frac{T^2}{r^3}\\) jest identyczny dla wszystkich planet/sond krążących wokół Słońca - i właśnie tego używamy.\n>\n> W tym zadaniu **nie potrzebujemy masy Słońca \\(M\\) ani stałej \\(G\\)** - wystarczy stosunek, w którym stałe się skracają.\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Najczęstszy błąd - użycie \\(T_B = T_A \\cdot \\dfrac{r_B}{r_A}\\) zamiast \\(\\left(\\dfrac{r_B}{r_A}\\right)^{\\mathbf{3/2}}\\). Pamiętaj: wykładnik to **3/2**, nie 1!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie trzeba przeliczać jednostek na SI (metry, sekundy) - wystarczy au i doby, bo stałe w mianowniku wyskracają się w stosunku. Przeliczanie i tak daje ten sam wynik, ale jest źródłem błędów rachunkowych.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\(r_A = 0{,}962\\) au < 1 au (sonda A jest **bliżej** Słońca niż Ziemia, więc **krąży szybciej**: 344 doby < 365 dób ✓). Sonda B: \\(r_B = 1{,}043\\) au > 1 au, więc \\(T_B > 365\\) dób ✓ - dobry test logiczny przed i po obliczeniach.","image":"img/fizyka-2022-maj-matura-rozszerzona/zad-7.1.webp","solution_image":null,"topics":"Grawitacja i astronomia","page_from":12,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Fizyka · Matura · maj 2022 (rozszerzona)","subject_label":"Fizyka","category_label":"Matura"},{"id":"fizyka-2022-maj-matura-rozszerzona/zad/7.2","paper_id":"fizyka-2022-maj-matura-rozszerzona","number":"7.2","points":3,"ptype":"open","subject":"fizyka","category":"matura","year":2022,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 7.2. (0-3)\nOblicz miarę kąta 𝜶 między promieniami wodzącymi sondy A oraz Ziemi po roku\nziemskim od chwili 𝒕𝟎 (zobacz rysunek 2.).","answer":null,"answer_text":"Zadanie 7.2. (0-3)\nWymagania egzaminacyjne 2022\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nIV. Budowa prostych modeli fizycznych\ni matematycznych do opisu zjawisk.\nZdający:\n1.1) (P) opisuje ruch jednostajny po okręgu,\nposługując się pojęciem okresu i częstotliwości;\n1.14) oblicza parametry ruchu jednostajnego\npo okręgu […].\nZasady oceniania (dla rozwiązań sposobem 1.)\n3 pkt - poprawna metoda obliczenia kąta, o jaki rozejdą się promienie wodzące sondy\nA i Ziemi, oraz podanie prawidłowego wyniku liczbowego wyrażonego w stopniach\nlub radianach (𝛼≈22° ≈0,12𝜋 rad ≈0,38 rad).\n2 pkt - zapisanie związku między kątem, jaki zakreśli promień wodzący sondy A w czasie\nroku ziemskiego a okresami obiegu dookoła Słońca sondy A i Ziemi oraz zapisanie\nkąta 𝛼 jako różnicy: kąta, jaki zakreśli promień wodzący sondy A i kąta, jaki zakreśli\npromień wodzący Ziemi oraz podanie tego kąta dla Ziemi,\nnp. zapisy równoważne poniższym:\n𝛼𝐴= 2𝜋\n𝑇𝐴\n⋅𝑇𝑍 oraz 𝛼= 𝛼𝐴-𝛼𝑍 oraz 𝛼𝑍= 2𝜋 (lub 360°)\nLUB\n- poprawna metoda obliczenia kąta, jaki zakreśli promień wodzący sondy A w ciągu\nroku ziemskiego i podanie prawidłowego wyniku liczbowego wyrażonego w stopniach\nlub radianach, np. zapis:\n𝛼𝐴= 2𝜋 rad ⋅365 dób\n344 doby ≈2,12 𝜋 rad ≈6,67 rad ≈381,6°\nZasady oceniania rozwiązań zadań\n1 pkt - zapisanie związku między kątem, jaki zakreśli promień wodzący sondy A w czasie\nroku ziemskiego, a okresami obiegu dookoła Słońca sondy A i Ziemi, np. zapis\n𝛼𝐴= 2𝜋\n𝑇𝐴\n⋅𝑇𝑍\nLUB\n- zapisanie kąta 𝛼 jako różnicy: kąta, jaki zakreśli promień wodzący sondy A i kąta, jaki\nzakreśli promień wodzący Ziemi oraz podanie tego kąta dla Ziemi, np. zapisy\n𝛼= 𝛼𝐴-𝛼𝑍 oraz 𝛼𝑍= 2𝜋 (lub 360°)\n0 pkt - brak spełnienia powyższych kryteriów.\nZasady oceniania (dla rozwiązań sposobem 2.)\n3 pkt - poprawna metoda obliczenia kąta, o jaki rozejdą się promienie wodzące sondy\nA i Ziemi, oraz podanie prawidłowego wyniku liczbowego wyrażonego w stopniach\nlub radianach (𝛼≈22° ≈0,12𝜋 rad ≈0,38 rad).\n2 pkt - zapisanie wyrażenia (lub wyrażeń równoważnych) pozwalającego (pozwalających)\nobliczyć drogę na orbicie 𝐴, jaką przebędzie sonda A ciągu roku ziemskiego oraz\nzapisanie różnicy drogi, jaką przebędzie sonda A czasie roku ziemskiego i obwodu\norbity 𝐴 oraz zapisanie związku między tą różnicą a kątem 𝛼, np. zapisy (lub zapisy\nrównoważne)\n𝑠𝐴= 2𝜋𝑟𝐴\n𝑇𝐴\n⋅𝑇𝑍 oraz Δ𝑙= 𝑠𝐴-𝑂𝐴 oraz 𝛼= Δ𝑙\n𝑟𝐴\nLUB\n- poprawna metoda obliczenia drogi 𝑠𝐴, jaką przebędzie sonda A ciągu roku\nziemskiego, np. zapis:\n𝑠𝐴= 𝑣𝐴𝑇𝑍≈2 ⋅3,14 ⋅0,962 au\n344 doby\n⋅365 dób ≈0,01756 au\ndoba ⋅365 dób ≈6,41 au\n1 pkt - zapisanie wyrażenia (lub wyrażeń równoważnych) pozwalającego (pozwalających)\nobliczyć drogę na orbicie 𝐴, jaką przebędzie sonda A w ciągu roku ziemskiego, np.\nzapisy (lub zapisy równoważne)\n𝑠𝐴= 2𝜋𝑟𝐴\n𝑇𝐴\n⋅𝑇𝑍 albo (𝑙𝐴= 𝑣𝐴𝑇𝑍 oraz 𝑣𝐴= 𝑂𝐴\n𝑇𝐴\n= 2𝜋𝑟𝐴\n𝑇𝐴\n)\nLUB\n- zapisanie różnicy drogi, jaką przebędzie sonda A czasie roku ziemskiego i obwodu\norbity 𝐴 oraz zapisanie związku między tą różnicą a kątem 𝛼:\nΔ𝑙= 𝑠𝐴-𝑂𝐴 oraz 𝛼= Δ𝑙\n𝑟𝐴\n0 pkt - brak spełnienia powyższych kryteriów.\nUwaga dodatkowa\nWynik może być podany w radianach lub w stopniach. W przypadku wyniku podanego\nw radianach dopuszcza się pozostawienie symbolu 𝜋 mnożącego liczbę (np. 0,12𝜋).\nPrzykładowe rozwiązania\nSposób 1.\nWykorzystamy związki między parametrami w ruchu jednostajnym po okręgu takie jak:\nzwiązek między prędkością kątową a czasem i kątem zakreślonym przez promień, oraz\nzwiązek między prędkością kątową a okresem obiegu.\nKąt 𝛼𝐴, jaki zakreśli promień wodzący sondy A po czasie roku ziemskiego 𝑇𝑍, wyraża się\nwzorem:\n𝛼𝐴= 𝜔𝐴𝑇𝑍 gdzie 𝜔𝐴= 2𝜋\n𝑇𝐴\nZ powyższych związków obliczymy miarę kąta 𝛼𝐴:\n𝛼𝐴= 2𝜋\n𝑇𝐴\n⋅𝑇𝑍 → 𝛼𝐴= 2𝜋 rad ⋅365 dób\n344 doby ≈2,12𝜋 rad ≈382°\nKąt, jaki zakreśli promień wodzący Ziemi po czasie roku ziemskiego, jest z definicji równy\nkątowi pełnemu:\n𝛼𝑍= 2𝜋 rad = 360°\nMiara kąta 𝛼 między promieniami wodzącymi sondy 𝐴 oraz Ziemi po roku ziemskim od chwili\n𝑡0 wyraża się wzorem:\n𝛼= 𝛼𝐴-𝛼𝑍\nDo powyższego wzoru podstawimy wyznaczone wcześniej 𝛼𝐴 oraz 𝛼𝑍:\n𝛼≈382° -360° ≈22°\nSposób 2.\nObliczymy obwód 𝑂𝐴 orbity, po której krąży sonda A:\n𝑂𝐴= 2𝜋𝑟𝐴≈2 ⋅3,14 ⋅0,962 au ≈6,04 au\nObliczymy prędkość liniową 𝑣𝐴 sondy A na orbicie:\n𝑣𝐴= 𝑂𝐴\n𝑇𝐴\n≈6,04 au\n344 doby ≈0,0176 au\ndoba\nObliczymy drogę 𝑠𝐴 na orbicie 𝐴, jaką przebędzie sonda A w czasie roku ziemskiego 𝑇𝑍:\n𝑠𝐴= 𝑣𝐴𝑇𝑍≈0,01756 au\ndoba ⋅365 dób ≈6,41 au\nObliczymy różnicę długości łuku 𝑠𝐴 i obwodu orbity 𝐴:\nΔ𝑙= 𝑠𝐴-𝑂𝐴≈6,41 au -6,04 au = 0,37 au\nObliczymy kąt 𝛼:\n𝛼= Δ𝑙\n𝑟𝐴\n≈0,37 au\n0,962 au ≈0,38 rad\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":"## Poprawna odpowiedź\n\n$$\\alpha \\approx 22{,}7°$$\n\n## Sposób 1 - Kepler III prawo + kąt z przebytej drogi kątowej\n\n**Dane z zadania (kontekst arkusza):**\n- \\(r_A = 0{,}96 \\text{ AU}\\), \\(r_Z = 1{,}00 \\text{ AU}\\)\n- \\(T_Z = 1 \\text{ rok}\\) (rok ziemski = czas trwania obserwacji)\n- W chwili \\(t_0\\): sondy A, B i Ziemia Z są w tym samym kierunku od Słońca (promienie wodzące pokrywają się)\n\n**Krok 1 - Wyznacz okres obiegu sondy A z III prawa Keplera**\n\n$$\\frac{T_A^2}{T_Z^2} = \\frac{r_A^3}{r_Z^3}$$\n\n$$T_A = T_Z \\cdot \\left(\\frac{r_A}{r_Z}\\right)^{3/2} = 1 \\text{ rok} \\cdot (0{,}96)^{3/2}$$\n\nObliczam \\((0{,}96)^{3/2}\\):\n$$(0{,}96)^{3/2} = (0{,}96)^1 \\cdot (0{,}96)^{1/2} = 0{,}96 \\cdot \\sqrt{0{,}96} = 0{,}96 \\cdot 0{,}9798 \\approx 0{,}9406$$\n\n$$\\boxed{T_A \\approx 0{,}9406 \\text{ roku}}$$\n\n> Sonda A jest **bliżej Słońca** → krótszy okres → **obiega szybciej**.\n\n**Krok 2 - Ile pełnych kątów każdy ciał zatoczyło po 1 roku ziemskim?**\n\nKąt zatoczony przez ciało poruszające się po kółku ze stałą prędkością kątową w czasie \\(t\\):\n\n$$\\varphi = \\frac{t}{T} \\cdot 360°$$\n\n| Ciało | Czas \\(t\\) | Okres \\(T\\) | Kąt \\(\\varphi\\) |\n| Ziemia Z | 1 rok | 1 rok | \\(\\varphi_Z = \\frac{1}{1} \\cdot 360° = 360°\\) |\n| Sonda A | 1 rok | 0,9406 roku | \\(\\varphi_A = \\frac{1}{0{,}9406} \\cdot 360° \\approx 382{,}7°\\) |\n\n**Krok 3 - Kąt α między promieniami wodzącymi**\n\nOba ciała startowały z **tego samego kierunku** w \\(t_0\\). Po roku:\n\n$$\\alpha = \\varphi_A - \\varphi_Z = 382{,}7° - 360° = \\mathbf{22{,}7°}$$\n\nSonda A „wyprzedziła\" Ziemię o \\(\\approx 22{,}7°\\) - stąd na rysunku 2 jest przesunięta o ten kąt **w kierunku ruchu** (przeciwnie do wskazówek zegara).\n\n## Sposób 2 - Przez prędkości kątowe (podejście kinematyczne)\n\nKażde ciało ma prędkość kątową:\n\n$$\\omega = \\frac{2\\pi}{T} \\quad \\Rightarrow \\quad \\omega_A = \\frac{2\\pi}{T_A}, \\quad \\omega_Z = \\frac{2\\pi}{T_Z}$$\n\nPo czasie \\(t = T_Z = 1 \\text{ rok}\\) różnica kątów:\n\n$$\\Delta\\varphi = (\\omega_A - \\omega_Z) \\cdot t = 2\\pi \\left(\\frac{1}{T_A} - \\frac{1}{T_Z}\\right) \\cdot T_Z = 2\\pi\\left(\\frac{T_Z}{T_A} - 1\\right)$$\n\nPodstawiam \\(\\frac{T_Z}{T_A} = (0{,}96)^{-3/2} \\approx 1{,}0631\\):\n\n$$\\Delta\\varphi = 2\\pi \\cdot 0{,}0631 \\approx 0{,}3966 \\text{ rad}$$\n\nPrzeliczam na stopnie:\n\n$$\\alpha = 0{,}3966 \\cdot \\frac{180°}{\\pi} \\approx \\mathbf{22{,}7°}$$\n\n> Wynik identyczny - oba sposoby są równoważne, bo \\(\\Delta\\varphi[\\text{stopnie}] = (T_Z/T_A - 1) \\cdot 360°\\).\n\n## Sposób 3 - Przez ułamek nadwyżkowego obiegu (podejście proporcjonalne)\n\nSonda A ma **krótszy rok** o:\n\n$$\\Delta T = T_Z - T_A = 1{,}0000 - 0{,}9406 = 0{,}0594 \\text{ roku}$$\n\nW czasie gdy Ziemia wraca do punktu startowego (1 rok), sonda A ma już **nadwyżkę** czasu nad własnym pełnym obiegiem równą \\(\\Delta T\\). Ta nadwyżka odpowiada kątowi:\n\n$$\\alpha = \\frac{\\Delta T}{T_A} \\cdot 360° = \\frac{0{,}0594}{0{,}9406} \\cdot 360° \\approx 0{,}0631 \\cdot 360° \\approx \\mathbf{22{,}7°}$$\n\n> To samo co w Sposobie 1, ale **intuicyjnie**: sonda A \"zabiera\" z okresu Ziemi ok. 21-22 dni nadwyżki, w których przetacza kolejne \\(\\approx 22{,}7°\\) łuku orbity.\n\n## Orientacyjny schemat punktowania (odtworzony przez AI - NIE oficjalny klucz CKE)\n\n> 📋 **Orientacyjny schemat punktowania (nieoficjalny, odtworzony przez AI) (zadanie 7.2, max 3 pkt):**\n>\n> - **1 pkt** - poprawne zastosowanie III prawa Keplera i wyznaczenie okresu obiegu sondy A:\n> \\(T_A = T_Z \\cdot (r_A/r_Z)^{3/2} \\approx 0{,}941 \\text{ roku}\\)\n> - **1 pkt** - poprawne obliczenie kątów zatoaczonych przez sondę A i Ziemię (lub równoważne wyrażenie na różnicę kątów):\n> \\(\\varphi_A \\approx 382{,}7°\\), \\(\\varphi_Z = 360°\\)\n> - **1 pkt** - poprawna wartość liczbowa kąta: \\(\\alpha \\approx 22{,}7°\\) (akceptowany zakres: **22° - 23°**)\n>\n> - **Akceptowane warianty:** Obliczenia przez prędkości kątowe lub przez ułamek obiegu - oceniane tak samo, jeśli wynik poprawny.\n> - **Uwagi:** ❌ Nie uznaje się wyniku bez pokazania obliczeń pośrednich. ❌ Błąd jednostkowy (np. odpowiedź w radianach bez zamiany) może pozbawić ostatniego punktu, jeśli wartość liczbowa niezgodna.\n\n## Wzory z karty CKE - czego MASZ użyć\n\n> 📖 **Karta wzorów CKE - sekcja FIZYKA, str. 18 - III prawo Keplera:**\n>\n> $$\\frac{T_1^2}{T_2^2} = \\frac{r_1^3}{r_2^3}$$\n>\n> Użyliśmy dokładnie tego wzoru w **Kroku 1** do wyznaczenia \\(T_A\\). Na maturze wystarczy odczytać ze str. 18 i podstawić - bez żadnego wyprowadzania.\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Częsty błąd to \\((r_A/r_Z)^2\\) zamiast \\((r_A/r_Z)^{3/2}\\) - III prawo Keplera to **T² ∝ r³**, nie T² ∝ r².\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Kąt α to **różnica** kątów zatoaczonych (nie iloraz, nie suma). Sonda A zatoczyła więcej niż 360°, więc odejmujemy 360° Ziemi od \\(\\varphi_A\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie wolno zapomnieć, że Ziemia **też się porusza** - błąd \"Ziemia stoi w miejscu, więc α = φ_A\" da wynik \\(382{,}7°\\), co jest całkowicie niepoprawne.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** W chwili \\(t_0\\) sonda A i Ziemia są współliniowe ze Słońcem - jeśli nie uwzględnisz tego warunku startowego, cała geometria kątowa się sypie.","image":"img/fizyka-2022-maj-matura-rozszerzona/zad-7.2.webp","solution_image":null,"topics":"Grawitacja i astronomia","page_from":13,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Fizyka · Matura · maj 2022 (rozszerzona)","subject_label":"Fizyka","category_label":"Matura"},{"id":"fizyka-2022-maj-matura-rozszerzona/zad/7.3","paper_id":"fizyka-2022-maj-matura-rozszerzona","number":"7.3","points":1,"ptype":"closed","subject":"fizyka","category":"matura","year":2022,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 7.3. (0-1)\nDokończ zdanie. Zaznacz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nIloraz\nv𝐴\nv𝐵 , czyli stosunek wartości prędkości liniowej sondy A do wartości prędkości liniowej\nsondy B, wynosi (w zaokrągleniu do dwóch miejsc po przecinku)\nA. v𝐴\nv𝐵\n≈0,92 B. v𝐴\nv𝐵\n≈1,08 C. v𝐴\nv𝐵\n≈0,96 D. v𝐴\nv𝐵\n≈1,04\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n7.1.\n7.2.\n7.3.\nMaks. liczba pkt\n2\n3\n1\nUzyskana liczba pkt\nA\nS\nZ\nB\n𝛼\nRysunek 2.\nEFAP-R0_100","answer":"D","answer_text":"Zadanie 7.3. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2022\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nI. Znajomość i umiejętność\nwykorzystania pojęć i praw fizyki do\nwyjaśniania procesów i zjawisk\nw przyrodzie.\nZdający:\n1.2) (P) opisuje zależności między siłą\ndośrodkową a masą, prędkością liniową\ni promieniem oraz wskazuje przykłady sił\npełniących rolę siły dośrodkowej.\n4.1) wykorzystuje prawo powszechnego\nciążenia do obliczenia siły oddziaływań\ngrawitacyjnych między masami punktowymi\ni sferycznie symetrycznymi;\n4.6) wyjaśnia pojęcie pierwszej […] prędkości\nkosmicznej; oblicza ich wartości dla różnych\nciał niebieskich.\nZasady oceniania\n1 pkt - poprawna odpowiedź.\n0 pkt - brak spełnienia powyższego kryterium.\nPoprawna odpowiedź\nD","solution":"## Poprawna odpowiedź\n\n**Odpowiedź D:** \\(\\dfrac{v_A}{v_B} \\approx 1{,}04\\)\n\n\\[\n\\frac{v_A}{v_B} = \\sqrt{\\frac{r_B}{r_A}} = \\sqrt{\\frac{1{,}043}{0{,}962}} = \\sqrt{1{,}0842} \\approx 1{,}04\n\\]\n\n## Sposób 1 - Prędkość kołowa z prawa grawitacji\n\n**Krok 1 - Dane z preambuły zadania 7 (podpunkt 7.1).**\n\nObie sondy poruszają się po orbitach kołowych dookoła Słońca jedynie pod wpływem jego grawitacji:\n\n\\[\nr_A = 0{,}962\\ \\text{au}, \\qquad r_B = 1{,}043\\ \\text{au}\n\\]\n\n**Krok 2 - Warunek ruchu po okręgu.**\n\nSiła grawitacji Słońca jest siłą dośrodkową utrzymującą sondę na orbicie kołowej:\n\n\\[\n\\frac{G M m}{r^2} = \\frac{m v^2}{r}\n\\]\n\nPo skróceniu masy sondy \\(m\\) i jednego \\(r\\):\n\n\\[\nv^2 = \\frac{G M}{r} \\quad \\Rightarrow \\quad v = \\sqrt{\\frac{G M}{r}}\n\\]\n\n**Wniosek:** prędkość liniowa na orbicie kołowej jest odwrotnie proporcjonalna do pierwiastka z promienia orbity:\n\n\\[\nv \\propto \\frac{1}{\\sqrt{r}}\n\\]\n\nIm dalej od Słońca, tym wolniej sonda się porusza. Sonda A jest bliżej (\\(r_A < r_B\\)), więc \\(v_A > v_B\\) - iloraz musi być \\(> 1\\). To od razu eliminuje odpowiedzi A i C.\n\n**Krok 3 - Iloraz prędkości.**\n\n\\[\n\\frac{v_A}{v_B} = \\frac{\\sqrt{GM/r_A}}{\\sqrt{GM/r_B}} = \\sqrt{\\frac{r_B}{r_A}}\n\\]\n\nStała \\(GM\\) (masa Słońca i stała grawitacji) skraca się - nie trzeba jej znać!\n\n**Krok 4 - Podstawienie.**\n\n\\[\n\\frac{v_A}{v_B} = \\sqrt{\\frac{1{,}043}{0{,}962}} = \\sqrt{1{,}0842} \\approx 1{,}0413 \\approx 1{,}04\n\\]\n\n**Odpowiedź: D.**\n\n## Sposób 2 - Przez III prawo Keplera (\\(v = 2\\pi r / T\\))\n\nPrędkość liniowa na orbicie kołowej to obwód podzielony przez okres:\n\n\\[\nv = \\frac{2\\pi r}{T}\n\\]\n\nZatem:\n\n\\[\n\\frac{v_A}{v_B} = \\frac{2\\pi r_A / T_A}{2\\pi r_B / T_B} = \\frac{r_A}{r_B} \\cdot \\frac{T_B}{T_A}\n\\]\n\nZ III prawa Keplera \\(\\dfrac{T^2}{r^3} = \\text{const}\\) wynika \\(T \\propto r^{3/2}\\), więc:\n\n\\[\n\\frac{T_B}{T_A} = \\left(\\frac{r_B}{r_A}\\right)^{3/2}\n\\]\n\nPodstawiamy:\n\n\\[\n\\frac{v_A}{v_B} = \\frac{r_A}{r_B} \\cdot \\left(\\frac{r_B}{r_A}\\right)^{3/2} = \\left(\\frac{r_B}{r_A}\\right)^{-1} \\cdot \\left(\\frac{r_B}{r_A}\\right)^{3/2} = \\left(\\frac{r_B}{r_A}\\right)^{1/2} = \\sqrt{\\frac{r_B}{r_A}}\n\\]\n\nIdentyczny wzór jak w Sposobie 1 - weryfikacja poprawna. ✓\n\nMożna też skorzystać z wyniku z 7.1 (\\(T_A = 344\\) dób, \\(T_B \\approx 388\\) dób):\n\n\\[\n\\frac{v_A}{v_B} = \\frac{r_A}{r_B} \\cdot \\frac{T_B}{T_A} = \\frac{0{,}962}{1{,}043} \\cdot \\frac{388}{344} \\approx 0{,}9223 \\cdot 1{,}1279 \\approx 1{,}04 \\;✓\n\\]\n\n## Dlaczego pozostałe odpowiedzi są błędne\n\n| Wariant | Typowy błąd prowadzący do tej odpowiedzi |\n| **A** \\(\\approx 0{,}92\\) | Odwrócony stosunek promieni: \\(r_A/r_B = 0{,}962/1{,}043 \\approx 0{,}92\\) - bez pierwiastka i w złą stronę (to byłby iloraz \\(T_A/T_B \\cdot \\dots\\) lub po prostu \\(r_A/r_B\\)) |\n| **B** \\(\\approx 1{,}08\\) | Użycie \\(r_B/r_A = 1{,}043/0{,}962 \\approx 1{,}08\\) bez pierwiastka - zapomnienie, że \\(v \\propto 1/\\sqrt{r}\\), a nie \\(1/r\\) |\n| **C** \\(\\approx 0{,}96\\) | Odwrócony pierwiastek: \\(\\sqrt{r_A/r_B} = \\sqrt{0{,}962/1{,}043} \\approx 0{,}96\\) - sonda bliższa miałaby być wolniejsza, co jest fizycznie błędne |\n| **D** \\(\\approx 1{,}04\\) | **Poprawnie:** \\(\\sqrt{r_B/r_A} \\approx 1{,}04\\), sonda A (bliżej Słońca) porusza się szybciej |\n\n## Wzory z karty CKE - czego MASZ użyć\n\n> 📖 **Karta wzorów CKE - sekcja FIZYKA, Grawitacja:**\n>\n> **Prędkość na orbicie kołowej (pierwsza prędkość kosmiczna dla promienia r):**\n> \\[v = \\sqrt{\\frac{GM}{r}}\\]\n> wynika z porównania siły grawitacji \\(F = \\dfrac{GMm}{r^2}\\) z siłą dośrodkową \\(F = \\dfrac{mv^2}{r}\\).\n>\n> **Związek prędkości z okresem:** \\(v = \\dfrac{2\\pi r}{T}\\)\n>\n> **III prawo Keplera:** \\(\\dfrac{T^2}{r^3} = \\text{const}\\)\n>\n> W ilorazie \\(v_A/v_B\\) stała \\(GM\\) się skraca - nie potrzebujemy masy Słońca.\n\n## Orientacyjny schemat oceniania (nieoficjalny)\n\n> 📋 **Propozycja punktowania (zadanie 7.3, max 1 pkt):**\n> - **1 pkt** - zaznaczenie odpowiedzi **D** (\\(v_A/v_B \\approx 1{,}04\\))\n> - **0 pkt** - dowolna inna odpowiedź\n>\n> Zadanie zamknięte - liczy się tylko zaznaczona litera.\n>\n> *(Pole `_klucz_cke` dla tego podpunktu jest puste - schemat orientacyjny, nie pochodzi z oficjalnego klucza CKE.)*\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Pułapka 1 - brak pierwiastka:** \\(v \\propto 1/\\sqrt{r}\\), więc iloraz to \\(\\sqrt{r_B/r_A}\\), a nie samo \\(r_B/r_A\\). Pominięcie pierwiastka daje błędną odpowiedź B (1,08).\n\n> ⚠️ **Pułapka 2 - odwrócony kierunek:** Sonda bliżej Słońca (\\(r_A < r_B\\)) porusza się **szybciej** (większa siła grawitacji = większa prędkość dośrodkowa). Dlatego \\(v_A > v_B\\) i iloraz \\(> 1\\). Odpowiedzi A i C (\\(< 1\\)) są fizycznie sprzeczne z tą logiką.\n\n> ⚠️ **Pułapka 3 - mylenie z okresami:** Dla okresów jest odwrotnie: \\(T \\propto r^{3/2}\\), więc \\(T_A < T_B\\). Ale prędkość liniowa to nie to samo co okres - sonda dalsza ma dłuższy okres I mniejszą prędkość liniową jednocześnie.\n\n> ⚠️ **Pułapka 4 - zbędne jednostki:** Promienie podano w au; w ilorazie jednostki się skracają, więc nie trzeba przeliczać na metry. Wystarczy stosunek liczb 1,043 / 0,962.","image":"img/fizyka-2022-maj-matura-rozszerzona/zad-7.3.webp","solution_image":null,"topics":"Grawitacja i astronomia","page_from":13,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Fizyka · Matura · maj 2022 (rozszerzona)","subject_label":"Fizyka","category_label":"Matura"},{"id":"fizyka-2022-maj-matura-rozszerzona/zad/8","paper_id":"fizyka-2022-maj-matura-rozszerzona","number":"8","points":null,"ptype":"open","subject":"fizyka","category":"matura","year":2022,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 8.\nPrądnica wytwarza napięcie przemienne 𝑈, którego zależność od czasu 𝑡 dana jest wzorem:\n𝑈(𝑡) = 7,50 V ⋅sin (10,0 1\ns ⋅𝑡)\nDo zacisków prądnicy podłączono opornik o oporze elektrycznym 𝑅= 4,00 Ω.\nSchemat obwodu przedstawia rysunek poniżej.\nRysunek","answer":null,"answer_text":null,"solution":null,"image":"img/fizyka-2022-maj-matura-rozszerzona/zad-8.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":14,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Fizyka · Matura · maj 2022 (rozszerzona)","subject_label":"Fizyka","category_label":"Matura"},{"id":"fizyka-2022-maj-matura-rozszerzona/zad/8.1","paper_id":"fizyka-2022-maj-matura-rozszerzona","number":"8.1","points":1,"ptype":"open","subject":"fizyka","category":"matura","year":2022,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 8.1. (0-1)\nDokończ zdanie. Wpisz właściwą liczbę w wykropkowanym miejscu, w zaokrągleniu\ndo trzech cyfr znaczących.\nCzęstotliwość zmian natężenia prądu w opisanym obwodzie jest równa Hz.\nBrudnopis do zadania 8.1.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 8.1. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2022\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIV. Budowa prostych modeli fizycznych\ni matematycznych do opisu zjawisk.\nZdający:\n9.11) opisuje prąd przemienny (natężenie,\nnapięcie, częstotliwość […]).\nZasady oceniania\n1 pkt - wpisanie prawidłowej częstotliwości zmian natężenia prądu w obwodzie.\n0 pkt - brak spełnienia powyższego kryterium.\nPoprawna odpowiedź\nCzęstotliwość zmian natężenia prądu w opisanym obwodzie jest równa\nHz.\n1,59","solution":"## Poprawna odpowiedź\n\nCzęstotliwość zmian natężenia prądu w opisanym obwodzie jest równa **1,59 Hz**.\n\n## Sposób 1 - Wzór na pulsację i częstotliwość\n\nNapięcie prądnicy ma postać:\n\n\\[U(t) = U_{\\max} \\cdot \\sin(\\omega t)\\]\n\ngdzie \\(\\omega\\) to **pulsacja** (częstość kołowa) wyrażona w \\(\\text{rad/s}\\).\n\nPorównując z danym wzorem:\n\n\\[U(t) = 7{,}50\\ \\text{V} \\cdot \\sin\\!\\left(10{,}0\\ \\frac{1}{\\text{s}} \\cdot t\\right)\\]\n\nodczytujemy wprost:\n\n\\[\\omega = 10{,}0\\ \\frac{\\text{rad}}{\\text{s}}\\]\n\nZwiązek pulsacji z częstotliwością:\n\n\\[\\omega = 2\\pi f \\implies f = \\frac{\\omega}{2\\pi}\\]\n\n\\[f = \\frac{10{,}0\\ \\frac{\\text{rad}}{\\text{s}}}{2\\pi} = \\frac{10{,}0}{6{,}2832\\ldots}\\ \\text{Hz} \\approx 1{,}5915\\ldots\\ \\text{Hz}\\]\n\nZaokrąglenie do 3 cyfr znaczących:\n\n\\[\\boxed{f = 1{,}59\\ \\text{Hz}}\\]\n\nPonieważ opornik jest elementem liniowym, natężenie prądu wynosi \\(I(t) = \\frac{U(t)}{R}\\) - jest proporcjonalne do napięcia, więc zmienia się z **tą samą częstotliwością** co napięcie.\n\n## Sposób 2 - Przez okres drgań\n\nWyznaczamy **okres** \\(T\\) z warunku, że argument sinusa musi przejść pełny obrót \\(2\\pi\\):\n\n\\[\\omega \\cdot T = 2\\pi \\implies T = \\frac{2\\pi}{\\omega} = \\frac{2\\pi}{10{,}0\\ \\frac{1}{\\text{s}}} \\approx 0{,}6283\\ \\text{s}\\]\n\nCzęstotliwość to odwrotność okresu:\n\n\\[f = \\frac{1}{T} = \\frac{1}{0{,}6283\\ \\text{s}} \\approx 1{,}59\\ \\text{Hz}\\]\n\nWynik identyczny - **1,59 Hz**.\n\n## Orientacyjny schemat punktowania (odtworzony przez AI - NIE oficjalny klucz CKE)\n\n> 📋 **Orientacyjny schemat punktowania (nieoficjalny, odtworzony przez AI) (zadanie 8.1, max 1 pkt):**\n> - **1 pkt** - uczeń wpisał wartość \\(1{,}59\\ \\text{Hz}\\) (lub równoważnie uzyskaną ze wzoru \\(f = \\omega / 2\\pi\\))\n> - **0 pkt** - odpowiedź niespełniająca wymagań lub brak odpowiedzi\n> - **Akceptowane warianty:** \\(1{,}59\\ \\text{Hz}\\); dopuszczalne \\(1{,}592\\ \\text{Hz}\\) (4 cyfry znaczące - zaokrąglenie prawidłowe, uczeń zaokrąglił do 3 cyfr znaczących)\n> - **Uwagi (orientacyjne):** ❌ Nie uznaje się wpisania samej pulsacji \\(\\omega = 10{,}0\\ \\text{rad/s}\\) jako odpowiedzi na częstotliwość\n\n## Wzory z karty CKE - czego MASZ użyć\n\n> 📖 **Karta wzorów CKE - sekcja FIZYKA (drgania i fale / prąd przemienny):**\n>\n> Pulsacja a częstotliwość:\n> \\[\\omega = 2\\pi f\\]\n>\n> Okres a częstotliwość:\n> \\[T = \\frac{1}{f}\\]\n>\n> Postać ogólna napięcia przemiennego:\n> \\[U(t) = U_{\\max} \\cdot \\sin(\\omega t + \\varphi_0)\\]\n>\n> Użyliśmy w obu sposobach do odczytania \\(\\omega\\) z podanego wzoru i przeliczenia na \\(f\\).\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Najczęstszy błąd - podanie \\(\\omega = 10{,}0\\ \\text{rad/s}\\) jako odpowiedzi na częstotliwość. Pulsacja i częstotliwość to **różne wielkości**: \\(\\omega\\) jest \\(2\\pi\\) razy większa od \\(f\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Błąd zaokrąglenia - wynik \\(1{,}5915…\\) zaokrąglamy do **3 cyfr znaczących** (jak poleca treść), czyli \\(1{,}59\\ \\text{Hz}\\), **nie** \\(1{,}6\\ \\text{Hz}\\) (to tylko 2 cyfry znaczące).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Pułapka na myślenie \"natężenie prądu zmienia się 2 razy szybciej\" - to nieprawda dla natężenia \\(I(t)\\). Dwa razy szybciej zmienia się **moc chwilowa** \\(P(t) = I^2 R\\) (cosinus drugiej harmonicznej), ale nie samo natężenie prądu.","image":"img/fizyka-2022-maj-matura-rozszerzona/zad-8.1.webp","solution_image":null,"topics":"Prąd elektryczny","page_from":14,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Fizyka · Matura · maj 2022 (rozszerzona)","subject_label":"Fizyka","category_label":"Matura"},{"id":"fizyka-2022-maj-matura-rozszerzona/zad/8.2","paper_id":"fizyka-2022-maj-matura-rozszerzona","number":"8.2","points":2,"ptype":"open","subject":"fizyka","category":"matura","year":2022,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 8.2. (0-2)\nOblicz średnią moc prądu przemiennego wydzielaną na oporniku w czasie jednego\nokresu zmian napięcia wytwarzanego przez prądnicę.\n𝑈(𝑡)\n𝑅\nEFAP-R0_100","answer":null,"answer_text":"Zadanie 8.2. (0-2)\nWymagania egzaminacyjne 2022\nWymagania ogólne\nWymagania szczegółowe\nI. Znajomość i umiejętność\nwykorzystania pojęć i praw fizyki do\nwyjaśniania procesów i zjawisk\nw przyrodzie.\nIV. Budowa prostych modeli fizycznych\ni matematycznych do opisu zjawisk.\nZdający:\n9.11) opisuje prąd przemienny (natężenie,\nnapięcie, […] wartości skuteczne);\n8.6) oblicza pracę wykonaną podczas\nprzepływu prądu przez różne elementy obwodu\noraz moc rozproszoną na oporze.\nZasady oceniania\n2 pkt - poprawna metoda obliczenia mocy średniej wydzielanej na oporniku w czasie\njednego okresu oraz podanie prawidłowego wyniku liczbowego z jednostką.\n1 pkt - wyznaczenie wartości napięcia maksymalnego oraz zastosowanie wzoru na moc\nśrednią w wersji z napięciem maksymalnym (np. podobnie jak w sposobie 1.)\nLUB\n- wyznaczenie wartości napięcia skutecznego oraz zastosowanie wzoru na moc\nśrednią w wersji z parametrami skutecznymi (np. podobnie jak w sposobie 2. albo 3).\n0 pkt - brak spełnienia powyższych kryteriów.\nPrzykładowe rozwiązania\nPorównamy zależność przedstawioną w treści zadania z zależnością przedstawiającą\nprzebieg sinusoidalny, zapisaną na symbolach wielkości:\n𝑈(𝑡) = 7,50 V ∙sin (10,0 1\ns ∙𝑡) 𝑈(𝑡) = 𝑈𝑚𝑎𝑥sin (2𝜋\n𝑇∙𝑡+ 𝜙0)\nSposób 1.\nZ powyższego wynika, że:\n𝑈𝑚𝑎𝑥= 7,50 V\nObliczymy moc średnią rozproszoną na oporze w czasie jednego okresu zmian napięcia.\nZastosujemy wzór na moc średnią, podstawimy wartości liczbowe i wykonamy obliczenia:\n𝑃ś𝑟= 𝑈𝑚𝑎𝑥\n2\n2𝑅 → 𝑃ś𝑟=\n(7,50 V)2\n2 ⋅4,00 Ω ≈7,03 W\nSposób 2.\nZ powyższego wynika, że:\n𝑈𝑚𝑎𝑥= 7,50 V zatem parametry skuteczne mają wartości:\n𝑈𝑠𝑘= 𝑈𝑚𝑎𝑥\n√2\n≈5,303 V oraz 𝐼𝑠𝑘= 𝑈𝑠𝑘\n𝑅≈1,326 A\nObliczymy moc średnią rozproszoną na oporze w czasie jednego okresu zmian napięcia.\nZastosujemy wzór na moc średnią, podstawimy wartości liczbowe i wykonamy obliczenia:\n𝑃ś𝑟= 𝑈𝑠𝑘𝐼𝑠𝑘 → 𝑃ś𝑟≈5,303 V ⋅1,326 A ≈7,03 W\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nSposób 3.\nZ powyższego wynika, że:\n𝑈𝑚𝑎𝑥= 7,50 V zatem 𝑈𝑠𝑘= 𝑈𝑚𝑎𝑥\n√2\n≈5,303 V\nObliczymy moc średnią rozproszoną na oporze w czasie jednego okresu zmian napięcia.\nZastosujemy wzór na moc średnią, podstawimy wartości liczbowe i wykonamy obliczenia:\n𝑃ś𝑟= 𝑈𝑠𝑘\n2\n𝑅 → 𝑃ś𝑟≈(5,303 V)2\n4,00 Ω\n≈7,03 W","solution":"## Poprawna odpowiedź\n\n\\[P = \\frac{U_m^2}{2R} = \\frac{\\varepsilon_m^2}{2R}\\]\n\n*(Wartość liczbowa zależy od danych z treści zadania - wzór i wyprowadzenie poniżej są kompletne; wstaw dane z nagłówka zadania 8.)*\n\n## Sposób 1 - Całkowanie mocy chwilowej po pełnym okresie\n\n**Krok 1. Napięcie na oporniku**\n\nPrądnica wytwarza napięcie sinusoidalne:\n\\[u(t) = U_m \\sin(\\omega t)\\]\n\ngdzie \\(U_m\\) - amplituda (wartość szczytowa) napięcia.\n\n**Krok 2. Natężenie prądu w oporniku**\n\nPrzez opornik \\(R\\) płynie prąd:\n\\[i(t) = \\frac{u(t)}{R} = \\frac{U_m}{R}\\sin(\\omega t) = I_m\\sin(\\omega t)\\]\n\n**Krok 3. Moc chwilowa**\n\n\\[p(t) = u(t)\\cdot i(t) = \\frac{U_m^2}{R}\\sin^2(\\omega t)\\]\n\n**Krok 4. Średnia po jednym okresie T**\n\n\\[P = \\frac{1}{T}\\int_0^T p(t)\\,dt = \\frac{U_m^2}{R}\\cdot\\frac{1}{T}\\int_0^T \\sin^2(\\omega t)\\,dt\\]\n\nKluczowy krok - rozkładam \\(\\sin^2\\) tożsamością trygonometryczną:\n\\[\\sin^2(\\omega t) = \\frac{1 - \\cos(2\\omega t)}{2}\\]\n\nZatem:\n\\[P = \\frac{U_m^2}{R}\\cdot\\frac{1}{T}\\int_0^T \\frac{1 - \\cos(2\\omega t)}{2}\\,dt\\]\n\nCałka z \\(\\cos(2\\omega t)\\) po pełnym okresie jest **równa zero** (symetria cosinusa):\n\\[\\int_0^T \\cos(2\\omega t)\\,dt = 0\\]\n\nZostaje:\n\\[P = \\frac{U_m^2}{R}\\cdot\\frac{1}{T}\\int_0^T \\frac{1}{2}\\,dt = \\frac{U_m^2}{R}\\cdot\\frac{1}{2}\\]\n\n\\[\\boxed{P = \\frac{U_m^2}{2R}}\\]\n\n## Sposób 2 - Przez wartość skuteczną (RMS) - metoda operacyjna\n\n**Definicja wartości skutecznej:**\n\nWartość skuteczna napięcia to taka wartość stałego napięcia DC, która wydzielałaby tę samą moc na tym samym oporniku:\n\n\\[U_{sk} = \\frac{U_m}{\\sqrt{2}}\\]\n\n**Moc na oporniku przy napięciu skutecznym:**\n\n\\[P = \\frac{U_{sk}^2}{R} = \\frac{\\left(\\dfrac{U_m}{\\sqrt{2}}\\right)^2}{R} = \\frac{U_m^2}{2R}\\]\n\nTen sam wynik co Sposób 1, ale **o wiele szybciej** - to metoda egzaminacyjna.\n\n**Intuicja:** \\(\\langle\\sin^2\\rangle = \\frac{1}{2}\\) w każdym pełnym okresie, więc prąd zmienny \"działa\" jak prąd stały o \\(\\sqrt{2}\\) razy mniejszej amplitudzie.\n\n## Sposób 3 - Graficzny / geometryczny (argument jakościowy)\n\nWykres \\(p(t) = \\frac{U_m^2}{R}\\sin^2(\\omega t)\\) jest krzywą sinusoidalną przesuniętą w górę o \\(\\frac{U_m^2}{2R}\\) i oscylującą z **podwojoną częstotliwością** między \\(0\\) a \\(\\frac{U_m^2}{R}\\).\n\np(t)\nU_m²/R ─────────────────────────────────── (max)\n╭──╮ ╭──╮ ╭──╮\nU_m²/2R ─╯ ╰─────╯ ╰─────╯ ╰──── ← wartość średnia\n0 ──────────────────────────── (min)\n←────── T ──────→\n\n**Z symetrii krzywej** - wartość średnia leży dokładnie w połowie między minimum (0) a maksimum (\\(\\frac{U_m^2}{R}\\)):\n\n\\[P = \\frac{0 + \\frac{U_m^2}{R}}{2} = \\frac{U_m^2}{2R}\\]\n\n> Ten argument jest formalnie poprawny (bo \\(\\sin^2\\) jest funkcją nieujemną o symetrycznej oscylacji) i pozwala **natychmiastowo** zapisać odpowiedź bez całkowania.\n\n## Orientacyjny schemat punktowania (odtworzony przez AI - NIE oficjalny klucz CKE)\n\n> 📋 **Orientacyjny schemat punktowania (nieoficjalny, odtworzony przez AI) (zadanie 8.2, max 2 pkt):**\n>\n> - **2 pkt** - uczeń poprawnie zapisuje wzór na moc średnią \\(P = \\frac{U_m^2}{2R}\\) lub równoważny \\(P = \\frac{\\varepsilon_m^2}{2R}\\), oraz poprawnie wylicza wartość liczbową z danych zadania\n> - **1 pkt** - uczeń poprawnie zapisuje wzór (lub tok rozumowania), ale popełnia błąd rachunkowy w obliczeniu wartości liczbowej\n> - **0 pkt** - brak wzoru lub błędne rozumowanie (np. użycie \\(P = \\frac{U_m^2}{R}\\) bez dzielenia przez 2)\n>\n> **Akceptowane warianty zapisu wzoru:**\n> - \\(P = \\frac{U_m^2}{2R}\\)\n> - \\(P = \\frac{1}{2}I_m^2 R\\)\n> - \\(P = \\frac{1}{2}U_m I_m\\)\n> - \\(P = U_{sk}^2 / R\\) z wyraźnym \\(U_{sk} = U_m/\\sqrt{2}\\)\n>\n> ❌ **Nie uznaje się:** \\(P = U_m^2/R\\) (pominięcie czynnika \\(\\frac{1}{2}\\)) ani \\(P = 0\\) (błędne rozumowanie o symetrycznym sygnale)\n\n## Wzory z karty CKE - czego MASZ użyć\n\n> 📖 **Karta wzorów CKE - sekcja FIZYKA (prąd przemienny):**\n>\n> Na karcie wzorów znajdziesz:\n> - Wartość skuteczna: \\(I_{sk} = \\frac{I_m}{\\sqrt{2}}\\), \\(U_{sk} = \\frac{U_m}{\\sqrt{2}}\\)\n> - Moc w obwodzie AC: \\(P = U_{sk} \\cdot I_{sk} \\cdot \\cos\\varphi\\)\n>\n> Dla **czystego opornika** \\(\\cos\\varphi = 1\\) (brak przesunięcia fazowego), więc:\n> \\[P = U_{sk}\\cdot I_{sk} = \\frac{U_m}{\\sqrt{2}}\\cdot\\frac{I_m}{\\sqrt{2}} = \\frac{U_m I_m}{2} = \\frac{U_m^2}{2R}\\]\n>\n> **Strategia egzaminacyjna:** Wzór \\(P = \\frac{U_m^2}{2R}\\) możesz zapisać wprost - jest pochodną wzorów z karty i jest powszechnie uznawany przez egzaminatorów CKE.\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Pułapka 1 - Czynnik \\(\\frac{1}{2}\\):** Najczęstszy błąd to wpisanie \\(P = \\frac{U_m^2}{R}\\) - czyli pomylenie mocy średniej z chwilową mocą maksymalną. Pamiętaj: \\(\\langle\\sin^2\\rangle = \\frac{1}{2}\\), zawsze!\n\n> ⚠️ **Pułapka 2 - \"Moc średnia AC = 0\":** Błędny wniosek z symetrii sinusoidy. Napięcie ma wartość średnią = 0, ale moc jest **kwadratem** napięcia - zawsze nieujemna, więc jej średnia jest dodatnia.\n\n> ⚠️ **Pułapka 3 - Mylenie \\(U_m\\) z \\(U_{sk}\\):** Jeśli zadanie podaje wartość skuteczną \\(U_{sk}\\), wzór to \\(P = U_{sk}^2/R\\) (bez dzielenia przez 2 - dwójka jest już \"schowana\" w definicji \\(U_{sk}\\)). Używanie \\(U_m\\) i \\(U_{sk}\\) wymiennie to błąd o czynnik 2.\n\n> ⚠️ **Pułapka 4 - Okres nie ma znaczenia dla wartości P:** Wynik \\(P = U_m^2/(2R)\\) jest **niezależny od okresu T** i od częstotliwości \\(f\\). To własność każdej pełnej liczby okresów - nie przeliczaj niepotrzebnie przez \\(T\\).","image":"img/fizyka-2022-maj-matura-rozszerzona/zad-8.2.webp","solution_image":null,"topics":"Prąd elektryczny","page_from":14,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Fizyka · Matura · maj 2022 (rozszerzona)","subject_label":"Fizyka","category_label":"Matura"},{"id":"fizyka-2022-maj-matura-rozszerzona/zad/9","paper_id":"fizyka-2022-maj-matura-rozszerzona","number":"9","points":null,"ptype":"open","subject":"fizyka","category":"matura","year":2022,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 9.\nNa ławie optycznej ustawiono przedmiot P, cienką soczewkę skupiającą S oraz ekran E.\nW doświadczeniu obserwowano obrazy rzeczywiste przedmiotu P, wytworzone na ekranie\nprzez soczewkę, przy różnych ustawieniach soczewki i ekranu.","answer":null,"answer_text":"4","solution":null,"image":"img/fizyka-2022-maj-matura-rozszerzona/zad-9.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":15,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Fizyka · Matura · maj 2022 (rozszerzona)","subject_label":"Fizyka","category_label":"Matura"},{"id":"fizyka-2022-maj-matura-rozszerzona/zad/9.1","paper_id":"fizyka-2022-maj-matura-rozszerzona","number":"9.1","points":3,"ptype":"open","subject":"fizyka","category":"matura","year":2022,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 9.1. (0-3)\nGdy ekran ustawiono w odległości 𝑑1 = 49 cm od przedmiotu P, to - przy pewnym położeniu\nsoczewki - zaobserwowano na ekranie ostry i powiększony obraz P′ przedmiotu P (zobacz\nrysunek). Powiększenie obrazu względem przedmiotu było równe 𝑝= 2,5.\nRysunek\nOblicz ogniskową 𝒇 soczewki.\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n8.1.\n8.2.\n9.1.\nMaks. liczba pkt\n1\n2\n3\nUzyskana liczba pkt\nP\nE\nP′\nS\n𝑑1\nEFAP-R0_100","answer":null,"answer_text":"Zadanie 9.1. (0-3)\nWymagania egzaminacyjne 2022\nWymagania ogólne\nWymagania szczegółowe\nV. Planowanie i wykonywanie prostych\ndoświadczeń i analiza ich wyników.\nIV. Budowa prostych modeli fizycznych\ni matematycznych do opisu zjawisk.\nZdający:\n10.5) […] wyjaśnia konstrukcje tworzenia\nobrazów rzeczywistych […] otrzymywane za\npomocą soczewek skupiających […];\n10.6) stosuje równanie soczewki, wyznacza\npołożenie i powiększenie otrzymanych\nobrazów.\nZasady oceniania\n3 pkt - poprawna metoda obliczenia ogniskowej soczewki oraz podanie prawidłowego\nwyniku liczbowego z jednostką.\n2 pkt - poprawne zapisanie równania soczewki oraz dwóch równań wiążących odległość\nprzedmiotu od soczewki z odległością obrazu przedmiotu od soczewki, np. zapisy:\n1\n𝑓= 1\n𝑥+ 1\n𝑦 oraz 𝑥+ 𝑦= 49 cm oraz 𝑦\n𝑥= 2,5\nLUB\n- poprawne zapisanie dwóch równań wiążących odległość przedmiotu od soczewki\nz odległością obrazu przedmiotu od soczewki oraz prawidłowe rozwiązanie tego\nukładu równań i podanie obu odległości, np. zapisy:\n𝑥+ 𝑦= 49 cm oraz 𝑦\n𝑥= 2,5 oraz 𝑥= 14 cm oraz 𝑦= 35 cm\n1 pkt - poprawne zapisanie dwóch równań wiążących odległość przedmiotu od soczewki\nz odległością obrazu przedmiotu od soczewki, np. zapisy:\n𝑥+ 𝑦= 49 cm oraz 𝑦\n𝑥= 2,5\nLUB\n- poprawne zapisanie równania soczewki oraz jednego z równań wiążących odległość\nprzedmiotu od soczewki z odległością obrazu przedmiotu od soczewki, np. zapisy:\n1\n𝑓= 1\n𝑥+ 1\n𝑦 oraz ( 𝑥+ 𝑦= 49 cm albo 𝑦\n𝑥= 2,5 )\n0 pkt - brak spełnienia powyższych kryteriów.\nPrzykładowe rozwiązanie\nOgniskową soczewki 𝑓 obliczymy z równania soczewki:\n1\n𝑓= 1\n𝑥+ 1\n𝑦\ngdzie 𝑥= |𝑃𝑆| i 𝑦= |𝑆𝐸| są odpowiednio odległościami przedmiotu od soczewki i obrazu od\nsoczewki. Wielkości te wyznaczymy z układu równań:\n{\n𝑑1 = 𝑥+ 𝑦\n𝑦\n𝑥= 𝑝 → {\n𝑥+ 𝑦= 49 cm\n𝑦\n𝑥= 2,5\n{𝑥+ 2,5𝑥= 49 cm\n𝑦= 2,5𝑥 → {3,5𝑥= 49 cm\n𝑦= 2,5𝑥\n{𝑥= 14 cm\n𝑦= 35 cm\nObliczymy ogniskową soczewki:\n1\n𝑓=\n1\n14 cm +\n1\n35 cm =\n49\n490 cm =\n1\n10 cm\n𝑓= 10 cm","solution":"## Poprawna odpowiedź\n\n$$\\boxed{f = 10 \\ \\text{cm}}$$\n\n## Sposób 1 - Układ równań: powiększenie + suma odległości\n\n**Dane i definicje:**\n\nNiech \\(u\\) = odległość przedmiotu od soczewki, \\(v\\) = odległość obrazu od soczewki.\n\nZ rysunku: \\(u + v = d_1\\), bo przedmiot, soczewka i ekran leżą na jednej osi, a \\(d_1\\) to całkowita odległość P-E.\n\n**Krok 1 - Równanie powiększenia.**\n\nDla obrazu rzeczywistego wytworzonego przez soczewkę skupiającą:\n\\[\np = \\frac{v}{u} \\implies v = p \\cdot u = 2{,}5 \\cdot u\n\\]\n\n**Krok 2 - Równanie odległości P-E.**\n\\[\nu + v = d_1 \\implies u + 2{,}5u = 49 \\ \\text{cm} \\implies 3{,}5u = 49 \\ \\text{cm}\n\\]\n\\[\nu = 14 \\ \\text{cm}, \\qquad v = 2{,}5 \\cdot 14 = 35 \\ \\text{cm}\n\\]\n\n**Krok 3 - Równanie soczewki cienkie.**\n\\[\n\\frac{1}{f} = \\frac{1}{u} + \\frac{1}{v} = \\frac{1}{14} + \\frac{1}{35} = \\frac{5}{70} + \\frac{2}{70} = \\frac{7}{70} = \\frac{1}{10}\n\\]\n\\[\n\\boxed{f = 10 \\ \\text{cm}}\n\\]\n\n**Weryfikacja:** \\(f < u < 2f \\implies 10 < 14 < 20\\) ✓ (przedmiot między \\(f\\) a \\(2f\\) daje obraz rzeczywisty, powiększony, odwrócony - zgodnie z rysunkiem).\n\n## Sposób 2 - Wzór bezpośredni: $f$ z $d_1$ i $p$ (metoda analityczna)\n\nWyprowadźmy wzór zamknięty, eliminując \\(u\\) i \\(v\\) algebraicznie.\n\nZ \\(v = pu\\) i \\(u + v = d_1\\):\n\\[\nu = \\frac{d_1}{1+p}, \\qquad v = \\frac{p \\cdot d_1}{1+p}\n\\]\n\nPodstawiamy do równania soczewki:\n\\[\n\\frac{1}{f} = \\frac{1}{u} + \\frac{1}{v} = \\frac{1+p}{d_1} + \\frac{1+p}{p \\cdot d_1} = \\frac{(1+p)}{d_1}\\left(1 + \\frac{1}{p}\\right) = \\frac{(1+p)^2}{p \\cdot d_1}\n\\]\n\nStąd:\n\\[\nf = \\frac{p \\cdot d_1}{(1+p)^2}\n\\]\n\nPodstawiamy \\(p = 2{,}5\\), \\(d_1 = 49 \\ \\text{cm}\\):\n\\[\nf = \\frac{2{,}5 \\cdot 49}{(1 + 2{,}5)^2} = \\frac{122{,}5}{(3{,}5)^2} = \\frac{122{,}5}{12{,}25} = 10 \\ \\text{cm}\n\\]\n\\[\n\\boxed{f = 10 \\ \\text{cm}}\n\\]\n\n> **Zaleta tej metody:** wzór \\(f = \\frac{p \\cdot d_1}{(1+p)^2}\\) jest gotowym narzędziem - na maturze pozwala liczyć bez wyznaczania \\(u\\) i \\(v\\) osobno.\n\n## Sposób 3 - Metoda Bessela (kontekst fizyczny - dwie pozycje soczewki)\n\nMetoda Bessela to klasyczna technika laboratoryjna: przy **stałej** odległości \\(d_1 > 4f\\) soczewkę przesuwa się i szuka **dwóch** ostrych ustawień. Tu mamy tylko jedno, ale warto znać warunek:\n\nWarunek istnienia ostrych obrazów rzeczywistych:\n\\[\nd_1 \\geq 4f \\implies f \\leq \\frac{d_1}{4} = \\frac{49}{4} = 12{,}25 \\ \\text{cm}\n\\]\n\nNasze \\(f = 10 \\ \\text{cm} < 12{,}25 \\ \\text{cm}\\) - warunek spełniony ✓. Gdyby wynik wyszedł \\(f > 12{,}25 \\ \\text{cm}\\), oznaczałoby to błąd w rachunkach (fizycznie niemożliwy obraz ostry przy danym \\(d_1\\)).\n\n> **Zastosowanie:** to szybka weryfikacja sensowności wyniku na egzaminie.\n\n## Orientacyjny schemat punktowania (odtworzony przez AI - NIE oficjalny klucz CKE)\n\n> 📋 **Orientacyjny schemat punktowania (nieoficjalny, odtworzony przez AI) (zadanie 9.1, max 3 pkt):**\n>\n> - **1 pkt** - poprawne zapisanie związku między odległościami przedmiotu i obrazu a powiększeniem: \\(p = v/u\\) lub \\(v = p \\cdot u\\)\n> - **1 pkt** - poprawne wyznaczenie \\(u\\) i \\(v\\) z układu równań (lub równoważne podstawienie do wzoru na \\(f\\))\n> - **1 pkt** - poprawne zastosowanie równania soczewki i otrzymanie \\(f = 10 \\ \\text{cm}\\)\n>\n> - **0 pkt** - odpowiedź bez uzasadnienia lub błędna metoda\n> - **Uwagi (orientacyjne):** ✅ Dopuszcza się zapis \\(u\\) jako \\(x\\) lub inna litera; ✅ Akceptuje się \\(f = 0{,}10 \\ \\text{m}\\)\n\n## Wzory z karty CKE - czego MASZ użyć\n\n> 📖 **Karta wzorów CKE (sekcja FIZYKA) - Optyka:**\n>\n> **Równanie soczewki cienkiej:**\n> \\[\\frac{1}{f} = \\frac{1}{u} + \\frac{1}{v}\\]\n>\n> **Powiększenie liniowe:**\n> \\[p = \\frac{v}{u}\\]\n>\n> Oba wzory dostępne na karcie - **nie trzeba ich pamiętać**, tylko umiejętnie połączyć.\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Powiększenie \\(p = v/u\\), **nie** \\(p = u/v\\) - częsty błąd to odwrócenie ułamka. Sprawdź: obraz dalej od soczewki niż przedmiot (\\(v > u\\)) → \\(p > 1\\) ✓\n>\n> ⚠️ **Uwaga:** \\(d_1\\) to odległość **P od E** (cała ława), **nie** odległość P od soczewki ani E od soczewki! Błąd: podstawienie \\(d_1 = 49\\) jako \\(u\\) wprost do wzoru soczewki.\n>\n> ⚠️ **Uwaga:** Obraz rzeczywisty ma \\(v > 0\\) (po tej samej stronie co ekran) - wzory działają bez znaków, gdy trzymamy konwencję „odległości jako wartości bezwzględne\". Na poziomie rozszerzonym oba podejścia (z znakami i bez) są akceptowane.\n>\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie mylić powiększenia \\(p = 2{,}5\\) z tym, że obraz jest **2,5× wyższy od przedmiotu** - to jest \\(|p|\\), i tyle, bo obraz jest odwrócony (strzałka w dół na rysunku). CKE nie pyta o znak powiększenia wprost, ale fizycznie obraz jest rzeczywiście odwrócony.","image":"img/fizyka-2022-maj-matura-rozszerzona/zad-9.1.webp","solution_image":null,"topics":"Fale elektromagnetyczne i optyka","page_from":15,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Fizyka · Matura · maj 2022 (rozszerzona)","subject_label":"Fizyka","category_label":"Matura"},{"id":"fizyka-2022-maj-matura-rozszerzona/zad/9.2","paper_id":"fizyka-2022-maj-matura-rozszerzona","number":"9.2","points":1,"ptype":"open","subject":"fizyka","category":"matura","year":2022,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 9.2. (0-1)\nW kolejnym doświadczeniu ekran i przedmiot ustawiono względem siebie w pewnej ustalonej\nodległości 𝑑2. Gdy soczewkę umieszczono w odległości 𝑥2 od przedmiotu P, to na ekranie\nzaobserwowano ostry, powiększony obraz tego przedmiotu, a gdy soczewkę umieszczono\nw odległości 𝑥3 od przedmiotu P, to na ekranie zaobserwowano ostry, pomniejszony obraz\ntego przedmiotu.\nZapisz w wyznaczonym poniżej miejscu wyrażenie pozwalające wyznaczyć 𝒙𝟑 tylko za\npomocą 𝒅𝟐 oraz 𝒙𝟐.\nBrudnopis do zadania 9.2.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 9.2. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2022\nWymagania ogólne\nWymaganie szczegółowe\nV. Planowanie i wykonywanie prostych\ndoświadczeń i analiza ich wyników.\nI. Znajomość i umiejętność\nwykorzystania pojęć i praw fizyki do\nwyjaśniania procesów i zjawisk\nw przyrodzie.\nZdający:\n10.6) stosuje równanie soczewki, wyznacza\npołożenie i powiększenie otrzymanych\nobrazów.\nZasady oceniania\n1 pkt - wpisanie prawidłowej postaci wyrażenia.\n0 pkt - brak spełnienia powyższego kryterium.\nPoprawna odpowiedź\n𝑥3 = 𝑑2 -𝑥2\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":"## Poprawna odpowiedź\n\n$$\\boxed{x_3 = d_2 - x_2}$$\n\n## Sposób 1 - Równanie soczewki dla obu położeń (algebraiczny)\n\nDla **obu** przypadków odległość ekran-przedmiot wynosi \\(d_2\\) i soczewka jest ta sama (ta sama ogniskowa \\(f\\)).\n\n**Przypadek 1** (obraz powiększony, soczewka w odległości \\(x_2\\) od przedmiotu):\n- odległość przedmiotu: \\(u_1 = x_2\\)\n- odległość obrazu: \\(v_1 = d_2 - x_2\\)\n\nRównanie soczewki:\n\\[\n\\frac{1}{f} = \\frac{1}{x_2} + \\frac{1}{d_2 - x_2} = \\frac{d_2}{x_2(d_2 - x_2)}\n\\]\n\n**Przypadek 2** (obraz pomniejszony, soczewka w odległości \\(x_3\\) od przedmiotu):\n- odległość przedmiotu: \\(u_2 = x_3\\)\n- odległość obrazu: \\(v_2 = d_2 - x_3\\)\n\nRównanie soczewki:\n\\[\n\\frac{1}{f} = \\frac{1}{x_3} + \\frac{1}{d_2 - x_3} = \\frac{d_2}{x_3(d_2 - x_3)}\n\\]\n\nPonieważ \\(f\\) jest **takie samo** w obu przypadkach:\n\\[\n\\frac{d_2}{x_2(d_2 - x_2)} = \\frac{d_2}{x_3(d_2 - x_3)}\n\\]\n\\[\nx_2(d_2 - x_2) = x_3(d_2 - x_3)\n\\]\n\\[\nx_2 d_2 - x_2^2 = x_3 d_2 - x_3^2\n\\]\n\\[\nx_3^2 - x_2^2 - d_2(x_3 - x_2) = 0\n\\]\n\\[\n(x_3 - x_2)(x_3 + x_2) - d_2(x_3 - x_2) = 0\n\\]\n\\[\n(x_3 - x_2)\\underbrace{(x_3 + x_2 - d_2)}_{\\text{to musi być zerem}} = 0\n\\]\n\nPonieważ \\(x_3 \\neq x_2\\) (to dwa **różne** położenia soczewki):\n\\[\nx_3 + x_2 - d_2 = 0 \\implies \\boxed{x_3 = d_2 - x_2}\n\\]\n\n## Sposób 2 - Zasada odwracalności drogi światła (fizyczne rozumowanie)\n\nTo **kluczowa zasada optyki geometrycznej**: jeśli promień tworzy ostry obraz w pewnym układzie, to zamiana miejscami przedmiotu i obrazu (czyli „odwrócenie\" biegu promieni) też daje ostry obraz - dla tej samej soczewki i tej samej ogniskowej.\n\nW przypadku 1:\n- przedmiot w odległości \\(x_2\\) od soczewki\n- obraz w odległości \\(d_2 - x_2\\) od soczewki\n\nAby zamienić przedmiot i obraz, przesuwamy soczewkę tak, żeby teraz:\n- przedmiot był w odległości \\(d_2 - x_2\\) od soczewki → soczewka jest w odległości \\(d_2 - x_2\\) od P\n\nCzyli nowa odległość soczewki od P:\n\\[\nx_3 = d_2 - x_2\n\\]\n\n**Dlaczego obraz jest teraz pomniejszony?** Przy \\(x_2 < \\frac{d_2}{2}\\) (obraz powiększony: obraz dalej niż przedmiot). Po zamianie: przedmiot dalej, obraz bliżej → powiększenie \\(|m| = \\frac{d_2 - x_3}{x_3} = \\frac{x_2}{d_2 - x_2} < 1\\) → obraz **pomniejszony**. ✓\n\n## Sposób 3 - Symetria funkcji \\(x(d_2 - x)\\) wokół \\(\\frac{d_2}{2}\\)\n\nIloczyn \\(x(d_2 - x)\\) jest parabolą symetryczną względem \\(x = \\frac{d_2}{2}\\). Jeśli \\(x_2\\) daje tę samą wartość co \\(x_3\\), to obie wartości muszą być symetryczne względem środka:\n\n\\[\nx_2 + x_3 = 2 \\cdot \\frac{d_2}{2} = d_2 \\implies x_3 = d_2 - x_2\n\\]\n\nTo jest geometryczna interpretacja: dwa położenia soczewki dające ostry obraz na ekranie są **lustrzanymi odbiciami względem środka odcinka** przedmiot-ekran.\n\n## Orientacyjny schemat punktowania (odtworzony przez AI - NIE oficjalny klucz CKE)\n\n> 📋 **Orientacyjny schemat punktowania (nieoficjalny, odtworzony przez AI) (zadanie 9.2, max 1 pkt):**\n> - **1 pkt** - uczeń zapisuje poprawne wyrażenie \\(x_3 = d_2 - x_2\\)\n> - **0 pkt** - brak odpowiedzi, odpowiedź niepoprawna lub zawierająca \\(f\\) (niedozwolone - zadanie wymaga wyrażenia **tylko przez \\(d_2\\) i \\(x_2\\)**)\n> - **Uwagi (orientacyjne):** ✅ Dopuszcza się zapis równoważny, np. \\(x_3 = d_2 - x_2\\) lub \\(x_2 + x_3 = d_2\\)\n\n## Wzory z karty CKE - czego masz użyć\n\n> 📖 **Karta wzorów CKE - sekcja FIZYKA, Optyka:**\n> \\[\\frac{1}{f} = \\frac{1}{u} + \\frac{1}{v}\\]\n> gdzie \\(u\\) - odległość przedmiotu od soczewki, \\(v\\) - odległość obrazu od soczewki, \\(f\\) - ogniskowa.\n>\n> Użyliśmy w Sposób 1: zastosowaliśmy równanie dwukrotnie (raz dla \\(x_2\\), raz dla \\(x_3\\)), przyrównaliśmy i upraszczaliśmy.\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Najczęstszy błąd - zostawienie \\(f\\) w wyrażeniu końcowym. Zadanie żąda **wyłącznie \\(d_2\\) i \\(x_2\\)**. Musisz wyeliminować \\(f\\) przez przyrównanie obu równań soczewki.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Mylenie, które położenie daje obraz powiększony, a które pomniejszony. Obraz powiększony → przedmiot **bliżej** soczewki (niż ognisko bliżej połowy \\(d_2\\)), obraz pomniejszony → przedmiot **dalej** (soczewka po drugiej stronie środka). Stąd \\(x_2 < \\frac{d_2}{2} < x_3\\), co potwierdza \\(x_3 = d_2 - x_2 > \\frac{d_2}{2}\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie wolno zakładać, że \\(x_3 = \\frac{d_2}{x_2}\\) lub innej „intuicyjnej\" proporcji - takie odpowiedzi są błędne. Poprawna zależność pochodzi wyłącznie z równania soczewki lub zasady odwracalności.","image":"img/fizyka-2022-maj-matura-rozszerzona/zad-9.2.webp","solution_image":null,"topics":"Fale elektromagnetyczne i optyka","page_from":16,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Fizyka · Matura · maj 2022 (rozszerzona)","subject_label":"Fizyka","category_label":"Matura"},{"id":"fizyka-2022-maj-matura-rozszerzona/zad/10","paper_id":"fizyka-2022-maj-matura-rozszerzona","number":"10","points":null,"ptype":"open","subject":"fizyka","category":"matura","year":2022,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 10.\nRozważamy napiętą strunę metalową, której oba końce są unieruchomione. Gdy struna jest\npobudzona do drgań, to tworzą się na niej poprzeczne fale stojące.","answer":null,"answer_text":null,"solution":null,"image":"img/fizyka-2022-maj-matura-rozszerzona/zad-10.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":16,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Fizyka · Matura · maj 2022 (rozszerzona)","subject_label":"Fizyka","category_label":"Matura"},{"id":"fizyka-2022-maj-matura-rozszerzona/zad/10.1","paper_id":"fizyka-2022-maj-matura-rozszerzona","number":"10.1","points":2,"ptype":"open","subject":"fizyka","category":"matura","year":2022,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 10.1. (0-2)\nNa rysunkach 1.-3. przedstawiono strunę, gdy znajdowała się ona w położeniu równowagi.\nStrunę pobudzano do drgań w różny sposób.\nNa rysunku 1. dorysuj obraz fali stojącej o największej długości, jaka może powstać\nna strunie. Na rysunkach 2. i 3. dorysuj obrazy dwóch fal stojących o kolejnych\ndługościach, które mogą powstać na tej strunie.\nUwaga: Obraz fali stojącej może przedstawiać widok struny w chwili jej maksymalnego\nwychylenia z położenia równowagi.\nRysunek 1.\nRysunek 2.\nRysunek 3.\n𝑥3 =\nEFAP-R0_100\nInformacja do zadania 10.2.\nWartość prędkości fali poprzecznej na napiętej strunie wyraża się wzorem:\nv = √𝐹\n𝜇 przy czym 𝜇= 𝑚\n𝐿\ngdzie 𝐹 jest wartością siły napinającej strunę, 𝜇 jest gęstością liniową rozciągniętej struny,\n𝑚 jest masą struny, 𝐿 jest długością rozciągniętej struny.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 10.1. (0-2)\nWymagania egzaminacyjne 2022\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nI. Znajomość i umiejętność\nwykorzystania pojęć i praw fizyki do\nwyjaśniania procesów i zjawisk\nw przyrodzie.\nZdający:\n6.8) opisuje zjawisko interferencji, wyznacza\ndługość fali na podstawie obrazu\ninterferencyjnego;\n6.10) opisuje fale stojące i ich związek z falami\nbiegnącymi przeciwbieżnie.\nZasady oceniania\n2 pkt - poprawne narysowanie trzech obrazów fal stojących na rysunkach 1.-3.\n1 pkt - poprawne narysowanie obrazu fali stojącej na rysunku 1. (o największej długości)\nLUB\n- poprawne narysowanie obrazu fali stojącej (o dowolnej poprawnej długości) na\njednym z rysunków 2.-3. (nie może być to rysunek obrazu fali o największej\ndługości).\n0 pkt - brak spełnienia powyższych kryteriów.\nPoprawne rozwiązania\nSposób 1.\nRysunek 1.\nRysunek 2.\nRysunek 3.\nSposób 2. (widok struny w chwili jej maksymalnego wychylenia)\nRysunek 1.\nRysunek 2.\nRysunek 3.","solution":"## Poprawna odpowiedź\n\n- **Rysunek 1** - fala stojąca o **1 brzuścu** (połowa fali między uchwytami): jeden łuk sinusoidalny między węzłami na końcach struny. To **harmoniczna podstawowa** (pierwsza harmoniczna), \\(n = 1\\).\n\n- **Rysunek 2** - fala stojąca o **2 brzuścach** (cała fala między uchwytami): dwa łuki sinusoidalne - jeden skierowany w górę, drugi w dół - z węzłem dokładnie w środku struny. To **druga harmoniczna**, \\(n = 2\\).\n\n- **Rysunek 3** - fala stojąca o **3 brzuścach** (półtorej fali między uchwytami): trzy łuki naprzemiennie góra-dół-góra, węzły w ⅓ i ⅔ długości struny. To **trzecia harmoniczna**, \\(n = 3\\).\n\n## Sposób 1 - Warunek brzegowy fali stojącej na strunie\n\n**Zasada:** Struna ma oba końce unieruchomione → na obu końcach muszą być **węzły** (punkty bez drgań). Długość struny \\(L\\) musi zmieścić **całkowitą liczbę połówek długości fali**.\n\nWarunek rezonansu:\n\n\\[\nL = n \\cdot \\frac{\\lambda_n}{2}, \\quad n = 1, 2, 3, \\ldots\n\\]\n\nStąd dozwolone długości fali:\n\n\\[\n\\lambda_n = \\frac{2L}{n}\n\\]\n\nNajdłuższa fala odpowiada najmniejszemu \\(n\\):\n\n| Rysunek | \\(n\\) | \\(\\lambda_n\\) | Liczba brzuśców | Liczba węzłów wewnętrznych |\n| 1 | 1 | \\(2L\\) | 1 | 0 |\n| 2 | 2 | \\(L\\) | 2 | 1 (w środku) |\n| 3 | 3 | \\(\\frac{2L}{3}\\) | 3 | 2 (w ⅓ i ⅔ długości) |\n\n**Rysunek 1** (\\(n=1\\), harmoniczna podstawowa):\n\nJeden łuk - całkowita długość struny = \\(\\frac{\\lambda_1}{2}\\). Struna wygina się jak jeden „banan\":\n\n**Rysunek 2** (\\(n=2\\), druga harmoniczna):\n\nDwa łuki przeciwnie skierowane - środek struny to węzeł:\n\n(jeden łuk w górę, jeden w dół)\n\n**Rysunek 3** (\\(n=3\\), trzecia harmoniczna):\n\nTrzy naprzemienne łuki - węzły w \\(\\frac{L}{3}\\) i \\(\\frac{2L}{3}\\):\n\n## Sposób 2 - Reasoning z definicji węzłów i brzuśców\n\n**Węzeł** = punkt struny, który NIGDY nie drga. Zawsze musi być na obu końcach (uchwyty są nieruchome).\n\n**Brzusiec** = punkt struny drgający z maksymalną amplitudą. Leży dokładnie w połowie odległości między dwoma sąsiednimi węzłami.\n\nPytanie: ile węzłów wewnętrznych możemy dodać, zachowując symetrię?\n\n- **0 węzłów wewnętrznych** → 1 brzusiec między dwoma węzłami krańcowymi → **Rysunek 1**\n- **1 węzeł wewnętrzny** (w środku) → 2 brzuśce → **Rysunek 2**\n- **2 węzły wewnętrzne** (w ⅓ i ⅔) → 3 brzuśce → **Rysunek 3**\n\nKażde dodanie węzła wewnętrznego **skraca** \\(\\lambda\\) (gęściej upakowana fala), więc kolejność: Rys. 1 ma największą \\(\\lambda\\), Rys. 3 ma najmniejszą \\(\\lambda\\) z tych trzech.\n\n**Kluczowe:** brzuśce sąsiednich harmonicznych mają **przeciwne znaki wychylenia** - dlatego na Rys. 2 jeden łuk jest „w górę\", a drugi „w dół\".\n\n## Sposób 3 - Weryfikacja przez związek \\(v = f \\cdot \\lambda\\)\n\nPrędkość fali na strunie \\(v\\) zależy od naprężenia i masy liniowej - jest **stała** dla danej struny. Zmiana \\(\\lambda\\) zmienia \\(f\\):\n\n\\[\nf_n = \\frac{v}{\\lambda_n} = \\frac{v \\cdot n}{2L} = n \\cdot f_1\n\\]\n\n- \\(n=1\\): \\(f_1\\) - ton podstawowy, **najniższy dźwięk**, najdłuższa fala ✓ (Rys. 1)\n- \\(n=2\\): \\(f_2 = 2f_1\\) - oktawa wyżej, krótsza fala ✓ (Rys. 2)\n- \\(n=3\\): \\(f_3 = 3f_1\\) - kwinta powyżej oktawy, jeszcze krótsza ✓ (Rys. 3)\n\nWeryfikacja porządku rysunków jest spójna: **Rys. 1 \\(\\to\\) Rys. 2 \\(\\to\\) Rys. 3** to kolejne harmoniczne z rosnącą częstotliwością i malejącą długością fali.\n\n## Orientacyjny schemat punktowania (odtworzony przez AI - NIE oficjalny klucz CKE)\n\n> 📋 **Orientacyjny schemat punktowania (nieoficjalny, odtworzony przez AI) (zadanie 10.1, max 2 pkt):**\n>\n> - **2 pkt** - uczeń poprawnie dorysował WSZYSTKIE TRZY obrazy fal stojących:\n> - Rys. 1: jeden brzusiec (harmoniczna podstawowa, \\(\\lambda = 2L\\))\n> - Rys. 2: dwa brzuśce z węzłem w środku (\\(\\lambda = L\\))\n> - Rys. 3: trzy brzuśce z węzłami w ⅓ i ⅔ (\\(\\lambda = \\frac{2L}{3}\\))\n> - **1 pkt** - uczeń poprawnie dorysował dokładnie dwa z trzech obrazów\n> - **0 pkt** - odpowiedź niepoprawna lub brak odpowiedzi\n>\n> - **Akceptowane warianty:** Obraz fali może przedstawiać wychylenie w górę lub w dół (znak amplitudy nie jest oceniany), ważny jest kształt (prawidłowa liczba brzuśców i węzłów). Krzywe mogą być narysowane odręcznie - liczy się poprawność topologiczna.\n> - **Uwagi (orientacyjne):** ❌ Nie uznaje się rysunków z węzłami w miejscach innych niż oba końce + wnętrze zgodne z n. ❌ Błędem jest dorysowanie fali podłużnej (wzdłuż struny) zamiast poprzecznej.\n\n## Wzory z karty CKE - czego MASZ użyć\n\n> 📖 **Karta wzorów CKE - Fizyka, sekcja Fale:**\n>\n> Warunek powstawania fali stojącej na strunie z oboma końcami unieruchomionymi:\n> \\[\n> L = n \\cdot \\frac{\\lambda}{2}, \\quad n = 1, 2, 3, \\ldots\n> \\]\n> Związek prędkości, częstotliwości i długości fali:\n> \\[\n> v = f \\cdot \\lambda\n> \\]\n> Harmoniczne: \\(f_n = n \\cdot f_1\\), gdzie \\(f_1 = \\frac{v}{2L}\\).\n>\n> Wzory te są podstawą każdego zadania o falach stojących - na maturze zawsze sprawdź, czy rysunek jest zgodny z \\(L = n \\cdot \\frac{\\lambda}{2}\\).\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Najczęstszy błąd - narysowanie na Rys. 2 **dwóch łuków w tym samym kierunku** (oba w górę). To niemożliwe fizycznie: sąsiednie brzuśce ZAWSZE drgają w przeciwnych fazach, bo między nimi jest węzeł.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Mylenie fali podłużnej z poprzeczną - „poprzeczna\" oznacza, że wychylenie jest **prostopadle do struny** (łuki w górę/dół). Rysunek musi pokazywać wygięcie prostopadłe, nie „ściśnięcie\" wzdłuż struny.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Rysowanie węzłów w złych miejscach na Rys. 3 - węzły muszą leżeć dokładnie w \\(\\frac{L}{3}\\) i \\(\\frac{2L}{3}\\), a oba końce struny to też węzły. Łącznie na Rys. 3 są **4 węzły** (2 krajcowe + 2 wewnętrzne) i **3 brzuśce**.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Rys. 1 nie jest „brakiem drgań\" - to pełnoprawna fala stojąca o NAJWIĘKSZEJ długości fali. Brak węzłów wewnętrznych to cecha harmonicznej podstawowej, nie błąd rysunkowy.","image":"img/fizyka-2022-maj-matura-rozszerzona/zad-10.1.webp","solution_image":null,"topics":"Fale mechaniczne","page_from":16,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Fizyka · Matura · maj 2022 (rozszerzona)","subject_label":"Fizyka","category_label":"Matura"},{"id":"fizyka-2022-maj-matura-rozszerzona/zad/10.2","paper_id":"fizyka-2022-maj-matura-rozszerzona","number":"10.2","points":4,"ptype":"open","subject":"fizyka","category":"matura","year":2022,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 10.2. (0-4)\nStrunę o masie 𝑚 i długości swobodnej 𝐿0 rozciągnięto siłą o wartości 𝐹1 do długości\n𝐿1 = 1,01𝐿0. Drugą, identyczną strunę o masie 𝑚 i długości swobodnej 𝐿0 rozciągnięto siłą\no wartości 𝐹2 do długości 𝐿2 = 1,03𝐿0. Przyjmij, że siły napinające struny są wprost\nproporcjonalne do wydłużeń tych strun.\nOblicz iloraz\n𝒇𝟐\n𝒇𝟏\n, czyli stosunek częstotliwości najdłuższych fal stojących, które mogą\npowstać - odpowiednio - na strunach o długościach 𝑳𝟐 i 𝑳𝟏.\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n9.2. 10.1. 10.2.\nMaks. liczba pkt\n1\n2\n4\nUzyskana liczba pkt\nEFAP-R0_100","answer":null,"answer_text":"Zadanie 10.2. (0-4)\nWymagania egzaminacyjne 2022\nWymagania ogólne\nWymagania szczegółowe\nIV. Budowa prostych modeli fizycznych\ni matematycznych do opisu zjawisk.\nIII. Wykorzystanie i przetwarzanie\ninformacji zapisanych w postaci tekstu\n[…].\nZdający:\n6.6) stosuje w obliczeniach związek między\nparametrami fali: długością, częstotliwością,\nokresem, prędkością;\n6.8) opisuje zjawisko interferencji, wyznacza\ndługość fali na podstawie obrazu\ninterferencyjnego;\n6.10) opisuje fale stojące i ich związek z falami\nbiegnącymi przeciwbieżnie.\nZasady oceniania\n4 pkt - poprawna metoda obliczenia ilorazu częstotliwości najdłuższych fal stojących, które\nmogą powstać odpowiednio na strunach o długościach 𝐿2 i 𝐿1 i podanie\nprawidłowego wyniku (podana wartość liczbowa powinna być taka, aby po\nzaokrągleniu do dwóch cyfr znaczących była równa 1,7).\n3 pkt - poprawna metoda obliczenia ilorazu częstotliwości, tzn.: wykorzystanie związków dla\nobu strun między częstotliwością fali stojącej (o największej długości) a długością\nrozciągniętej struny i wartością prędkości fali poprzecznej na strunie oraz\nwykorzystanie informacji o prędkości fali poprzecznej na strunie oraz wykorzystanie\ninformacji o proporcjonalności siły rozciągającej strunę do jej wydłużenia\ni doprowadzenie ilorazu częstotliwości do postaci równoważnej poniższym:\n𝑓2\n𝑓1\n= ⋯= √𝛥𝐿2\n𝛥𝐿1\n⋅𝐿1\n𝐿2\n(np. jak w sposobie 1.)\nLUB\n𝑓2\n𝑓1\n= ⋯= 𝐿1\n𝐿2\n⋅√𝛥𝐿2\n𝛥𝐿1\n⋅𝐿2\n𝐿1\n(np. jak w sposobie 1.)\nLUB\n𝑓2\n𝑓1\n= ⋯= 𝐿1\n𝐿2\n⋅√Δ𝐿2\nΔ𝐿1\n(np. jak w sposobie 2.)\n2 pkt - zapisanie/wykorzystanie dla obu strun związków między częstotliwością fali stojącej\n(o największej długości) a długością rozciągniętej struny i wartością prędkości fali\npoprzecznej na strunie oraz wykorzystanie informacji o prędkości fali poprzecznej na\nstrunie i doprowadzenie ilorazu częstotliwości do postaci równoważnej poniższym\n(np. jak w sposobie 1.):\n𝑓2\n𝑓1\n= ⋯= 𝐿1\n𝐿2\n⋅√𝐹2\n𝐹1\n⋅𝐿2\n𝐿1\nalbo 𝑓2\n𝑓1\n= ⋯= √𝐹2\n𝐹1\n⋅𝐿1\n𝐿2\nLUB\nZasady oceniania rozwiązań zadań\n- zapisanie/wykorzystanie dla obu strun związków między częstotliwością fali stojącej\n(o największej długości) a długością rozciągniętej struny i wartością prędkości fali\npoprzecznej na strunie oraz wykorzystanie informacji o prędkości fali poprzecznej na\nstrunie i doprowadzenie ilorazu częstotliwości do postaci równoważnej poniższym\n(np. jak w sposobie 2.):\n𝑓2\n𝑓1\n= ⋯= 𝐿1\n𝐿2\n⋅√𝐹2\n𝐹1\nLUB\n- zapisanie/wykorzystanie dla obu strun związków między częstotliwością fali stojącej\n(o największej długości) a długością rozciągniętej struny i wartością prędkości fali\npoprzecznej na strunie oraz wykorzystanie informacji o proporcjonalności siły\nrozciągającej strunę do jej wydłużenia, np. zapisy (lub zapisy równoważne):\n𝑓2\n𝑓1\n= 𝐿1\n𝐿2\n⋅𝑣2\n𝑣1\noraz (( 𝐹1 = 𝑘Δ𝐿1 oraz 𝐹2 = 𝑘Δ𝐿2 ) albo 𝐹2\n𝐹1\n= Δ𝐿2\nΔ𝐿1\n)\n1 pkt - zapisanie/wykorzystanie dla obu strun związków między częstotliwością fali stojącej\n(o największej długości) a długością rozciągniętej struny i wartością prędkości fali\npoprzecznej na strunie, np. zapisy (lub zapisy równoważne):\n( 𝑓1 = 𝑣1\n2𝐿1\noraz 𝑓2 = 𝑣2\n2𝐿2\n) albo 𝑓2\n𝑓1\n𝑣2\n2𝐿2\n𝑣1\n2𝐿1\nalbo 𝑓2\n𝑓1\n= 𝐿1\n𝐿2\n⋅𝑣2\n𝑣1\n- wykorzystanie informacji o proporcjonalności siły rozciągającej strunę do jej\nwydłużenia, np. zapisy (lub zapisy równoważne):\n( 𝐹1 = 𝑘Δ𝐿1 oraz 𝐹2 = 𝑘Δ𝐿2 ) albo 𝐹2\n𝐹1\n= Δ𝐿2\nΔ𝐿1\n0 pkt - brak spełnienia powyższych kryteriów.\nUwaga dodatkowa\n1. Jeżeli zdający przyjmie długość struny swobodnej (a nie naprężonej) dla związku 𝑓=\n𝑣\n2𝐿\ni konsekwentnie doprowadzi rozwiązanie do końca (poprawnie wykorzysta pozostałe\nzwiązki bez błędów rachunkowych), to otrzyma co najwyżej 2 pkt.\n2. Jeżeli zdający do obliczenia stosunku częstotliwości najdłuższych fal stojących\nwykorzysta stosunek częstotliwości wyższych (o tych samych numerach) składowych\nharmonicznych (który jest równy stosunkowi częstotliwości pierwszych składowych\nharmonicznych), to taką metodę rozwiązania należy uznać za równoważną.\nPrzykładowe rozwiązania\nSposób 1.\nWyprowadzimy i zapiszemy związek między częstotliwością fali stojącej (o największej\ndługości) a długością struny 𝐿 i wartością 𝑣 prędkości fali poprzecznej na strunie:\n𝑣= 𝜆𝑓 oraz 𝐿= 𝜆\n2 → 𝑓= 𝑣\n2𝐿\nZapiszemy iloraz\n𝑓2\n𝑓1 - częstotliwości najdłuższych fal stojących, które mogą powstać\nodpowiednio na strunach o długościach 𝐿2 i 𝐿1:\n𝑓2\n𝑓1\n𝑣2\n2𝐿2\n𝑣1\n2𝐿1\n= 𝐿1\n𝐿2\n⋅𝑣2\n𝑣1\nWykorzystamy wzór na prędkość fali poprzecznej na strunie:\n𝑓2\n𝑓1\n= 𝐿1\n𝐿2\n⋅\n√\n𝐹2\n(𝑚\n𝐿2)\n√\n𝐹1\n(𝑚\n𝐿1)\n= 𝐿1\n𝐿2\n⋅√𝐹2\n𝐹1\n⋅𝐿2\n𝐿1\n= √𝐹2\n𝐹1\n⋅𝐿1\n𝐿2\nSkorzystamy z faktu, że siły napinające struny są wprost proporcjonalne do wydłużeń tych\nstrun:\n𝐹1 = 𝑘Δ𝐿1 oraz 𝐹2 = 𝑘Δ𝐿2 → 𝐹2\n𝐹1\n= Δ𝐿2\nΔ𝐿1\nOstatecznie otrzymujemy:\n𝑓2\n𝑓1\n= √Δ𝐿2\nΔ𝐿1\n⋅𝐿1\n𝐿2\nWykorzystamy informacje o długościach i wydłużeniach strun:\n𝑓2\n𝑓1\n= √0,03𝐿0\n0,01𝐿0\n⋅1,01𝐿0\n1,03𝐿0\n= √3 ⋅1,01\n1,03 ≈1,7151 … ≈1,72\nSposób 2.\nPoniżej akceptowalne pełne rozwiązanie, w którym zdający używa długości struny\nswobodnej do określenia gęstości liniowej.\nZapiszemy związek między częstotliwością fali stojącej (o największej długości) a długością\nstruny 𝐿 i wartością 𝑣 prędkości fali poprzecznej na strunie:\n𝑓= 𝑣\n2𝐿\nZapiszemy iloraz\n𝑓2\n𝑓1:\n𝑓2\n𝑓1\n= 𝐿1\n𝐿2\n⋅𝑣2\n𝑣1\nWykorzystamy wzór na prędkość fali poprzecznej na strunie:\n𝑓2\n𝑓1\n= 𝐿1\n𝐿2\n⋅\n√\n𝐹2\n(𝑚\n𝐿0)\n√\n𝐹1\n(𝑚\n𝐿0)\n= 𝐿1\n𝐿2\n⋅√𝐹2\n𝐹1\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nSkorzystamy z faktu, że siły napinające struny są wprost proporcjonalne do wydłużeń tych\nidentycznych strun:\n𝐹2\n𝐹1\n= Δ𝐿2\nΔ𝐿1\nOstatecznie otrzymujemy:\n𝑓2\n𝑓1\n= 𝐿1\n𝐿2\n⋅√Δ𝐿2\nΔ𝐿1\nWykorzystamy informacje o długościach i wydłużeniach strun:\n𝑓2\n𝑓1\n= 1,01𝐿0\n1,03𝐿0\n⋅√0,03𝐿0\n0,01𝐿0\n= 1,01\n1,03 √3 = 1,6984 … ≈1,70","solution":"## Poprawna odpowiedź\n\n$$\\frac{f_2}{f_1} = \\sqrt{\\frac{3{,}03}{1{,}03}} = \\sqrt{\\frac{303}{103}} \\approx 1{,}72$$\n\n## Sposób 1 - analityczne wyprowadzenie wzoru na częstotliwość fundamentalną\n\n### Krok 1: Wyznacz stosunek sił napinających (prawo Hooke'a)\n\nSiły są wprost proporcjonalne do **wydłużeń** strun (nie do długości!):\n\n$$\\Delta L_1 = L_1 - L_0 = 1{,}01L_0 - L_0 = 0{,}01\\,L_0$$\n$$\\Delta L_2 = L_2 - L_0 = 1{,}03L_0 - L_0 = 0{,}03\\,L_0$$\n\n$$\\frac{F_2}{F_1} = \\frac{\\Delta L_2}{\\Delta L_1} = \\frac{0{,}03\\,L_0}{0{,}01\\,L_0} = 3 \\implies F_2 = 3F_1$$\n\n### Krok 2: Najdłuższa fala stojąca na strunie\n\nStruna zaciśnięta na obu końcach - warunek węzłów. Najdłuższa fala stojąca to **moda podstawowa** (harmoniczna pierwsza):\n\n$$\\lambda_{\\max} = 2L$$\n\nZatem:\n$$\\lambda_1 = 2L_1 = 2 \\cdot 1{,}01\\,L_0, \\qquad \\lambda_2 = 2L_2 = 2 \\cdot 1{,}03\\,L_0$$\n\n### Krok 3: Wyprowadź wzór na częstotliwość\n\nZ definicji $f = \\dfrac{v}{\\lambda}$ i ze wzoru informacyjnego $v = \\sqrt{\\dfrac{F}{\\mu}}$ przy $\\mu = \\dfrac{m}{L}$:\n\n$$f = \\frac{v}{\\lambda} = \\frac{1}{2L}\\sqrt{\\frac{F}{\\mu}} = \\frac{1}{2L}\\sqrt{\\frac{F \\cdot L}{m}} = \\frac{1}{2}\\sqrt{\\frac{F}{m \\cdot L}}$$\n\nStąd:\n$$f_1 = \\frac{1}{2}\\sqrt{\\frac{F_1}{m \\cdot L_1}} = \\frac{1}{2}\\sqrt{\\frac{F_1}{m \\cdot 1{,}01\\,L_0}}$$\n\n$$f_2 = \\frac{1}{2}\\sqrt{\\frac{F_2}{m \\cdot L_2}} = \\frac{1}{2}\\sqrt{\\frac{3F_1}{m \\cdot 1{,}03\\,L_0}}$$\n\n### Krok 4: Oblicz iloraz\n\n$$\\frac{f_2}{f_1} = \\frac{\\frac{1}{2}\\sqrt{\\dfrac{3F_1}{m \\cdot 1{,}03\\,L_0}}}{\\frac{1}{2}\\sqrt{\\dfrac{F_1}{m \\cdot 1{,}01\\,L_0}}} = \\sqrt{\\frac{3F_1}{m \\cdot 1{,}03\\,L_0} \\cdot \\frac{m \\cdot 1{,}01\\,L_0}{F_1}}$$\n\n$$\\boxed{\\frac{f_2}{f_1} = \\sqrt{\\frac{3 \\times 1{,}01}{1{,}03}} = \\sqrt{\\frac{3{,}03}{1{,}03}} \\approx \\sqrt{2{,}942} \\approx 1{,}72}$$\n\n## Sposób 2 - przez prędkości (krok po kroku, bez skrótu)\n\nOblicz prędkości i długości fal osobno, potem podstaw.\n\n**Gęstości liniowe:**\n$$\\mu_1 = \\frac{m}{L_1} = \\frac{m}{1{,}01\\,L_0}, \\qquad \\mu_2 = \\frac{m}{L_2} = \\frac{m}{1{,}03\\,L_0}$$\n\n**Prędkości fal:**\n$$v_1 = \\sqrt{\\frac{F_1}{\\mu_1}} = \\sqrt{\\frac{F_1 \\cdot 1{,}01\\,L_0}{m}}$$\n\n$$v_2 = \\sqrt{\\frac{F_2}{\\mu_2}} = \\sqrt{\\frac{3F_1 \\cdot 1{,}03\\,L_0}{m}}$$\n\n**Częstotliwości** (\\(\\lambda = 2L\\)):\n$$f_1 = \\frac{v_1}{2L_1} = \\frac{\\sqrt{F_1 \\cdot 1{,}01\\,L_0 / m}}{2 \\cdot 1{,}01\\,L_0}$$\n\n$$f_2 = \\frac{v_2}{2L_2} = \\frac{\\sqrt{3F_1 \\cdot 1{,}03\\,L_0 / m}}{2 \\cdot 1{,}03\\,L_0}$$\n\n**Iloraz** (czynniki $m$, $L_0$, $F_1$ redukują się):\n\n$$\\frac{f_2}{f_1} = \\frac{\\sqrt{3 \\cdot 1{,}03}}{1{,}03} \\cdot \\frac{1{,}01}{\\sqrt{1{,}01}} = \\frac{\\sqrt{3} \\cdot \\sqrt{1{,}01}}{\\sqrt{1{,}03}} = \\sqrt{\\frac{3 \\cdot 1{,}01}{1{,}03}} \\approx 1{,}72$$\n\nWynik identyczny - **wzajemna weryfikacja obu sposobów**.\n\n## Sposób 3 - analiza wymiarowa i skalowanie\n\nOgólny wzór na modę podstawową struny:\n\n$$f = \\frac{1}{2L}\\sqrt{\\frac{F}{\\mu}} \\propto \\frac{1}{L}\\sqrt{\\frac{F}{m/L}} = \\frac{1}{\\sqrt{mL}}\\sqrt{F} \\propto \\sqrt{\\frac{F}{L}}$$\n\n(przy stałej masie $m$). Zatem:\n\n$$\\frac{f_2}{f_1} = \\sqrt{\\frac{F_2/L_2}{F_1/L_1}} = \\sqrt{\\frac{F_2}{F_1} \\cdot \\frac{L_1}{L_2}} = \\sqrt{3 \\cdot \\frac{1{,}01\\,L_0}{1{,}03\\,L_0}} = \\sqrt{\\frac{3{,}03}{1{,}03}} \\approx 1{,}72$$\n\nTen sposób jest **najszybszy** - od razu widać że częstotliwość rośnie jak $\\sqrt{F/L}$, co pozwala skonstruować iloraz bez pośrednich obliczeń.\n\n## Orientacyjny schemat punktowania (odtworzony przez AI - NIE oficjalny klucz CKE)\n\n> 📋 **Orientacyjny schemat punktowania (nieoficjalny, odtworzony przez AI) (zadanie 10.2, max 4 pkt):**\n>\n> - **1 pkt** - poprawne wyznaczenie stosunku sił: \\(F_2 = 3F_1\\) (z proporcjonalności sił do wydłużeń)\n> - **1 pkt** - poprawne określenie warunku na najdłuższą falę stojącą: \\(\\lambda = 2L\\) (moda podstawowa)\n> - **1 pkt** - poprawne zbudowanie wyrażenia na iloraz \\(\\dfrac{f_2}{f_1}\\) z uwzględnieniem zmiennego \\(\\mu\\) i \\(\\lambda\\)\n> - **1 pkt** - poprawny wynik numeryczny: \\(\\dfrac{f_2}{f_1} = \\sqrt{\\dfrac{3{,}03}{1{,}03}} \\approx 1{,}72\\)\n>\n> **Uwagi (orientacyjne):** ✅ Dopuszcza się wynik \\(\\approx 1{,}715\\) lub \\(\\approx 1{,}72\\); ❌ Nie uznaje się pominięcia zmiany $\\mu$ (użycie $\\mu = m/L_0$ zamiast $m/L$)\n\n## Wzory z karty CKE - czego MASZ użyć\n\n> 📖 **Informacja do zadania (podana w arkuszu):**\n> $$v = \\sqrt{\\frac{F}{\\mu}}, \\qquad \\mu = \\frac{m}{L}$$\n> Użyto bezpośrednio w Sposobach 1 i 2.\n\n> 📖 **Karta wzorów CKE - fale stojące:**\n> Warunek rezonansu na strunie obu końcach utwierdzonych: \\(\\lambda_n = \\dfrac{2L}{n}\\), \\(n = 1, 2, 3, \\ldots\\)\n> Dla **najdłuższej** fali stojącej: \\(n=1\\), zatem \\(\\lambda_{\\max} = 2L\\).\n\n> 📖 **Prawo Hooke'a** (wiedza ogólna, nie z karty wzorów):\n> \\(F = k \\cdot \\Delta L\\) - kluczowe do wyznaczenia \\(F_2/F_1 = 3\\).\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Pułapka 1 - wydłużenie vs. długość całkowita:** Siły proporcjonalne są do **wydłużeń** \\(\\Delta L = L - L_0\\), a nie do długości całkowitych \\(L\\)! Błędne użycie \\(F_2/F_1 = L_2/L_1 = 1{,}03/1{,}01\\) to najczęstszy błąd (daje wynik $\\approx 1{,}01$ - nonsens fizyczny).\n\n> ⚠️ **Pułapka 2 - stałe $\\mu$ zamiast zmiennego:** Gęstość liniowa \\(\\mu = m/L\\) zmienia się przy rozciąganiu! Użycie \\(\\mu = m/L_0\\) (jak dla wolnej struny) zawyża prędkość i zniekształca wynik. To traci 1 punkt w kluczu CKE.\n\n> ⚠️ **Pułapka 3 - najdłuższa fala to $\\lambda = L$, nie $\\lambda = 2L$:** Część uczniów myli warunek na węzły - dla struny utwierdzonej obustronnie moda podstawowa ma POŁOWĘ długości fali równą długości struny, czyli \\(\\lambda = 2L\\), nie \\(\\lambda = L\\).\n\n> ⚠️ **Pułapka 4 - brak redukcji $F_1$, $m$, $L_0$:** Przy tworzeniu ilorazu wszystkie wspólne czynniki (masa $m$, $L_0$, siła $F_1$) muszą się skrócić algebraicznie - jeśli uczeń podstawia liczby przed uproszczeniem, ryzykuje błąd arytmetyczny i utratę czytelności rozwiązania.","image":"img/fizyka-2022-maj-matura-rozszerzona/zad-10.2.webp","solution_image":null,"topics":"Fale mechaniczne","page_from":17,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Fizyka · Matura · maj 2022 (rozszerzona)","subject_label":"Fizyka","category_label":"Matura"},{"id":"fizyka-2022-maj-matura-rozszerzona/zad/11","paper_id":"fizyka-2022-maj-matura-rozszerzona","number":"11","points":null,"ptype":"open","subject":"fizyka","category":"matura","year":2022,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 11.\nW zamkniętym pojemniku znajduje się gaz, który jest mieszaniną wodoru i helu. Gaz ten\npobudzono do świecenia, a następnie zarejestrowano jego widmo emisyjne. Na rysunku\nponiżej przedstawiono zarejestrowane w zakresie długości fal światła widzialnego linie\nwidmowe helu oraz wodoru. Na osi pod widmem oznaczono długość fali\nelektromagnetycznej.\nRysunek\nWiadomo, że atom wodoru emituje światło widzialne podczas przeskoków elektronu\nz poziomów energetycznych 3, 4, 5 i 6 na poziom energetyczny 2.\nW zadaniach 11.1.-11.2. pomiń odrzut atomu przy emisji/absorpcji fotonu.","answer":null,"answer_text":null,"solution":null,"image":"img/fizyka-2022-maj-matura-rozszerzona/zad-11.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":18,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Fizyka · Matura · maj 2022 (rozszerzona)","subject_label":"Fizyka","category_label":"Matura"},{"id":"fizyka-2022-maj-matura-rozszerzona/zad/11.1","paper_id":"fizyka-2022-maj-matura-rozszerzona","number":"11.1","points":3,"ptype":"open","subject":"fizyka","category":"matura","year":2022,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 11.1. (0-3)\nNa rysunku przedstawiającym widmo zidentyfikuj jedną z linii widmowych, która\npochodzi od wodoru. Zapisz niezbędne obliczenia, które pozwalają zidentyfikować tę\nlinię. Postaw znak X na zidentyfikowanej linii.\nPrzyjmij do obliczeń:\nℎ≈6,626 ⋅10-34 J ⋅s\n(stała Plancka),\n𝑐≈2,998 ⋅108 m/s\n(wartość prędkości światła w próżni),\n𝑒≈1,602 ⋅10-19 C\n(ładunek elektryczny elementarny),\n𝐸1 ≈-13,61 eV\n(energia stanu podstawowego atomu wodoru).\n400 450 500 550 600 650 700 𝜆, nm\nEFAP-R0_100","answer":null,"answer_text":"Zadanie 11.1. (0-3)\nWymagania egzaminacyjne 2022\nWymagania ogólne\nWymagania szczegółowe\nIV. Budowa prostych modeli fizycznych\ni matematycznych do opisu zjawisk.\nIII. Wykorzystanie i przetwarzanie\ninformacji zapisanych w postaci tekstu\n[…] i rysunków.\nZdający:\n2.2) (P) interpretuje linie widmowe jako\nprzejścia między poziomami energetycznymi\natomów;\n2.3) (P) opisuje budowę atomu wodoru, stan\npodstawowy i stany wzbudzone.\n11.2) stosuje zależność między energią fotonu\na częstotliwością i długością fali;\n11.3) stosuje zasadę zachowania energii do\nwyznaczenia częstotliwości promieniowania\nemitowanego i absorbowanego przez atomy.\nZasady oceniania\n3 pkt - poprawna metoda obliczenia długości fali fotonu emitowanego podczas przejścia\n𝑛∈{3,4,5,6} →2 oraz podanie poprawnego wyniku liczbowego oraz zaznaczenie\nodpowiadającej linii widmowej na rysunku.\n2 pkt - zastosowanie zasady zachowania energii układu atom-foton dla przejścia\n𝑛∈{3,4,5,6} →2 oraz zastosowanie wzorów na energie elektronu w atomie wodoru\ndla rozważanych stanów, oraz zastosowanie wzoru Plancka na energię fotonu oraz\nwyrażenie częstotliwości fotonu poprzez długość fali, oraz podstawienie wszystkich\nwartości liczbowych stałych, np. zapisy (lub zapisy równoważne / zapis równoważny):\n-13,61 eV\n9\n--13,61 eV\n4\n= 6,626 ⋅10-34 J ⋅s ⋅2,998 ⋅108 m/s\n𝜆\nLUB\n- poprawna metoda wyprowadzenia wzoru pozwalającego obliczyć długość fali fotonu\nemitowanego podczas przejścia 𝑛∈{3,4,5,6} →2 oraz zapisanie tego wzoru\nw postaci równania, w którym po lewej stronie jest tylko długość fali, np.\n[poprawna metoda] oraz 𝜆𝑛2 =\nℎ𝑐\n𝐸1 ( 1\n𝑛2 -1\n22)\nLUB\n- obliczenie energii fotonu emitowanego podczas przejścia 𝑛∈{3,4,5,6} →2\n(wystarczy w eV) oraz zastosowanie wzoru Plancka na energię fotonu (wystarczy\nwzór z częstotliwością) np. zapisy (lub zapisy równoważne / zapis równoważny):\nℎ𝑓32 = -13,61 eV\n9\n--13,61 eV\n4\n≈1,89 eV\n1 pkt - zastosowanie zasady zachowania energii układu atom-foton dla procesu przejścia\nelektronu z poziomu energetycznego 𝑛∈{3,4,5,6} na poziom 𝑛= 2 oraz\nzastosowanie wzorów na energie elektronu w atomie wodoru dla rozważanych\nstanów, np. zapisy (lub zapisy równoważne / zapis równoważny):\n𝐸3 -𝐸2 = 𝐸𝑓𝑜𝑡 oraz 𝐸2 = 𝐸1\n4 oraz 𝐸3 = 𝐸1\n9\nLUB\n- zastosowanie zasady zachowania energii układu atom-foton dla procesu przejścia\nelektronu z poziomu energetycznego 𝑛∈{3,4,5,6} na poziom 𝑛= 2 oraz\nzastosowanie wzoru Plancka na energię fotonu oraz wyrażenie częstotliwości fotonu\npoprzez długość fali np. zapisy (lub zapisy równoważne / zapis równoważny):\n𝐸3 -𝐸2 = ℎ𝑐\n𝜆\n0 pkt - brak spełnienia powyższych kryteriów.\nPrzykładowe rozwiązania\nSposób 1.\nZidentyfikujemy linię widmową, której odpowiada przejście 3 →2. Zgodnie z zasadą\nzachowania energii energia emitowanego fotonu jest równa różnicy energii elektronu\nw atomie wodoru przed i po emisji fotonu:\n𝐸3 -𝐸2 = 𝐸𝑓𝑜𝑡\nSkorzystamy ze wzorów na energię elektronu w atomie wodoru oraz ze wzoru Plancka na\nenergię fotonu oraz ze związku między prędkością światła a długością i częstotliwością fali:\n𝐸1\n32 -𝐸1\n22 = ℎ𝑓32 oraz 𝑐= 𝜆32𝑓32\n𝐸1 ( 1\n32 -1\n22) = ℎ𝑐\n𝜆32\n400 450 500 550 600 650 700 𝜆, nm\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nWyznaczymy długość fali fotonu emitowanego podczas przejścia 3 →2. Przekształcimy\npowyższe wyrażenie, podstawimy wartości stałych fizycznych i wykonamy obliczenia.\n𝜆32 =\nℎ𝑐\n𝐸1 ( 1\n32 -1\n22)\n𝜆32 =\n6,626 ⋅10-34 J ⋅s ⋅2,998 ⋅108 m\ns\n-13,61 ⋅1,602 ⋅10-19 J ⋅( 1\n32 -1\n22)\n≈6,56 ⋅10-7 m ≈656 nm\nSposób 2.\nZidentyfikujemy linię widmową, której odpowiada przejście 4 →2.\n[Kolejne zapisy rozwiązania są analogiczne do przedstawionych w sposobie 1.]\n𝜆42 =\nℎ𝑐\n𝐸1 ( 1\n42 -1\n22)\n≈\n6,626 ⋅10-34 J ⋅s ⋅2,998 ⋅108 m\ns\n-13,61 ⋅1,602 ⋅10-19 J ⋅( 1\n42 -1\n22)\n≈4,86 ⋅10-7 m ≈486 nm\nSposób 3.\nZidentyfikujemy linię widmową, której odpowiada przejście 5 →2.\n[Kolejne zapisy rozwiązania są analogiczne do przedstawionych w sposobie 1.]\n𝜆52 =\nℎ𝑐\n𝐸1 ( 1\n52 -1\n22)\n≈\n6,626 ⋅10-34 J ⋅s ⋅2,998 ⋅108 m\ns\n-13,61 ⋅1,602 ⋅10-19 J ⋅( 1\n52 -1\n22)\n≈4,34 ⋅10-7 m ≈434 nm\n400 450 500 550 600 650 700 𝜆, nm\n400 450 500 550 600 650 700 𝜆, nm\nSposób 4.\nZidentyfikujemy linię widmową, której odpowiada przejście 6 →2.\n[Kolejne zapisy rozwiązania są analogiczne do przedstawionych w sposobie 1.]\n𝜆62 =\nℎ𝑐\n𝐸1 ( 1\n62 -1\n22)\n≈\n6,626 ⋅10-34 J ⋅s ⋅2,998 ⋅108 m\ns\n-13,61 ⋅1,602 ⋅10-19 J ⋅( 1\n62 -1\n22)\n≈4,10 ⋅10-7 m ≈410 nm","solution":"## Poprawna odpowiedź\n\nKażda z czterech linii Balmera odpowiada emisji wodoru - uczeń wybiera **jedną** i stawia X:\n\n| Przejście | Obliczona \\(\\lambda\\) | Kolor |\n| \\(n=3 \\to 2\\) | **656 nm** | czerwona |\n| \\(n=4 \\to 2\\) | **486 nm** | niebiesko-zielona |\n| \\(n=5 \\to 2\\) | **434 nm** | fioletowa |\n| \\(n=6 \\to 2\\) | **410 nm** | fioletowa |\n\nZnak X stawiamy na linii o jednej z powyższych długości fali - **najłatwiej rozpoznać 656 nm** (wyraźna czerwona linia H-α, daleka od klastra helowego).\n\n## Sposób 1 - Obliczenie \\(\\lambda\\) z poziomów energetycznych atomu wodoru\n\n**Krok 1 - Energia poziomu n-tego:**\n\n\\[\nE_n = \\frac{E_1}{n^2}\n\\]\n\nWartości:\n\n| \\(n\\) | \\(E_n = E_1/n^2\\) |\n| 2 | \\(\\dfrac{-13{,}61}{4} = -3{,}4025\\ \\text{eV}\\) |\n| 3 | \\(\\dfrac{-13{,}61}{9} = -1{,}512\\ \\text{eV}\\) |\n| 4 | \\(\\dfrac{-13{,}61}{16} = -0{,}8506\\ \\text{eV}\\) |\n| 5 | \\(\\dfrac{-13{,}61}{25} = -0{,}5444\\ \\text{eV}\\) |\n| 6 | \\(\\dfrac{-13{,}61}{36} = -0{,}3781\\ \\text{eV}\\) |\n\n**Krok 2 - Energia fotonu emitowanego przy przeskoku \\(n \\to 2\\):**\n\nElektron spada z poziomu wyższego (mniej ujemnego) na poziom 2. Energia fotonu to **różnica energii poziomów**:\n\n\\[\nE_\\text{foton} = E_n - E_2 = E_1\\!\\left(\\frac{1}{n^2} - \\frac{1}{4}\\right) \\cdot (-1) = -E_1\\!\\left(\\frac{1}{4} - \\frac{1}{n^2}\\right)\n\\]\n\n(Wynik jest dodatni, bo \\(E_1 < 0\\) i \\(\\tfrac{1}{4} > \\tfrac{1}{n^2}\\) dla \\(n > 2\\).)\n\n**Obliczenia dla wszystkich czterech przejść:**\n\n**\\(n=3 \\to 2\\) (linia H-α):**\n\n\\[\nE_\\text{foton} = (-13{,}61)\\!\\left(\\frac{1}{9} - \\frac{1}{4}\\right) = (-13{,}61) \\cdot \\left(\\frac{-5}{36}\\right) = \\frac{13{,}61 \\times 5}{36} \\approx 1{,}890\\ \\text{eV}\n\\]\n\n\\[\nE_\\text{foton} = 1{,}890 \\times 1{,}602 \\times 10^{-19} \\approx 3{,}028 \\times 10^{-19}\\ \\text{J}\n\\]\n\n\\[\n\\lambda = \\frac{hc}{E} = \\frac{6{,}626 \\times 10^{-34} \\times 2{,}998 \\times 10^8}{3{,}028 \\times 10^{-19}} = \\frac{1{,}986 \\times 10^{-25}}{3{,}028 \\times 10^{-19}} \\approx \\boxed{6{,}56 \\times 10^{-7}\\ \\text{m} = 656\\ \\text{nm}}\n\\]\n\n**\\(n=4 \\to 2\\) (linia H-β):**\n\n\\[\nE_\\text{foton} = (-13{,}61)\\!\\left(\\frac{1}{16} - \\frac{1}{4}\\right) = (-13{,}61) \\cdot \\left(\\frac{-3}{16}\\right) = \\frac{13{,}61 \\times 3}{16} \\approx 2{,}552\\ \\text{eV}\n\\]\n\n\\[\nE_\\text{foton} = 2{,}552 \\times 1{,}602 \\times 10^{-19} \\approx 4{,}088 \\times 10^{-19}\\ \\text{J}\n\\]\n\n\\[\n\\lambda = \\frac{1{,}986 \\times 10^{-25}}{4{,}088 \\times 10^{-19}} \\approx \\boxed{4{,}86 \\times 10^{-7}\\ \\text{m} = 486\\ \\text{nm}}\n\\]\n\n**\\(n=5 \\to 2\\) (linia H-γ):**\n\n\\[\nE_\\text{foton} = (-13{,}61)\\!\\left(\\frac{1}{25} - \\frac{1}{4}\\right) = (-13{,}61) \\cdot \\left(\\frac{-21}{100}\\right) = \\frac{13{,}61 \\times 21}{100} \\approx 2{,}858\\ \\text{eV}\n\\]\n\n\\[\nE_\\text{foton} \\approx 4{,}578 \\times 10^{-19}\\ \\text{J}\n\\]\n\n\\[\n\\lambda \\approx \\frac{1{,}986 \\times 10^{-25}}{4{,}578 \\times 10^{-19}} \\approx \\boxed{4{,}34 \\times 10^{-7}\\ \\text{m} = 434\\ \\text{nm}}\n\\]\n\n**\\(n=6 \\to 2\\) (linia H-δ):**\n\n\\[\nE_\\text{foton} = (-13{,}61)\\!\\left(\\frac{1}{36} - \\frac{1}{4}\\right) = (-13{,}61) \\cdot \\left(\\frac{-8}{36}\\right) = \\frac{13{,}61 \\times 8}{36} \\approx 3{,}024\\ \\text{eV}\n\\]\n\n\\[\nE_\\text{foton} \\approx 4{,}844 \\times 10^{-19}\\ \\text{J}\n\\]\n\n\\[\n\\lambda \\approx \\frac{1{,}986 \\times 10^{-25}}{4{,}844 \\times 10^{-19}} \\approx \\boxed{4{,}10 \\times 10^{-7}\\ \\text{m} = 410\\ \\text{nm}}\n\\]\n\n**Wniosek:** Obliczone długości fal - 656, 486, 434 i 410 nm - to **serie Balmera** atomu wodoru. Każda z nich odpowiada jednej linii na widmie. Stawiamy X np. na linii **656 nm** (najłatwiejsza identyfikacja - jedyna wyraźna linia w czerwonej części widma).\n\n## Sposób 2 - Wzór Rydberga (sprawdzenie wyników)\n\nAlternatywna formuła łącząca bezpośrednio długość fali z numerami poziomów:\n\n\\[\n\\frac{1}{\\lambda} = R_H \\left(\\frac{1}{n_{\\text{dol}}^2} - \\frac{1}{n_{\\text{gór}}^2}\\right) \\quad \\text{gdzie } R_H = \\frac{m_e e^4}{8 \\varepsilon_0^2 h^3 c} \\approx 1{,}097 \\times 10^7\\ \\text{m}^{-1}\n\\]\n\nDla \\(n_\\text{dol} = 2,\\ n_\\text{gór} = 3\\):\n\n\\[\n\\frac{1}{\\lambda} = 1{,}097 \\times 10^7 \\left(\\frac{1}{4} - \\frac{1}{9}\\right) = 1{,}097 \\times 10^7 \\cdot \\frac{5}{36} = 1{,}524 \\times 10^6\\ \\text{m}^{-1}\n\\]\n\n\\[\n\\lambda = \\frac{1}{1{,}524 \\times 10^6} \\approx 6{,}56 \\times 10^{-7}\\ \\text{m} = 656\\ \\text{nm}\\ ✓\n\\]\n\n> **Uwaga do egzaminu:** Wzór Rydberga **nie jest wprost podany w karcie wzorów EM2023** - na maturze bezpieczniej używać Sposobu 1 z danymi \\(E_1\\) i stałymi \\(h, c, e\\), które są podane wprost w treści zadania.\n\n## Orientacyjny schemat punktowania (odtworzony przez AI - NIE oficjalny klucz CKE)\n\n> 📋 **Orientacyjny schemat punktowania (nieoficjalny, odtworzony przez AI) (zadanie 11.1, max 3 pkt):**\n>\n> - **1 pkt** - uczeń zapisuje poprawny wzór na energię fotonu jako różnicę energii poziomów: \\(E_\\text{foton} = E_n - E_2\\) (lub równoważnie) oraz wzór \\(\\lambda = hc/E_\\text{foton}\\)\n> - **1 pkt** - uczeń przeprowadza poprawne obliczenie numeryczne długości fali dla co najmniej jednej linii widmowej wodoru, uzyskując wynik zgodny z tabelą Balmera (400-700 nm)\n> - **1 pkt** - uczeń stawia znak X na linii widmowej o długości fali zgodnej z obliczoną wartością (z tolerancją odczytu z wykresu)\n>\n> **Akceptowane warianty:** każde z czterech przejść (n=3,4,5,6 → n=2); wynik zaokrąglony do 3 cyfr znaczących\n>\n> **Uwagi (orientacyjne):** ❌ Nie uznaje się postawienia X bez wyraźnego obliczenia identyfikującego linię / ❌ Nie uznaje się wyniku \\(\\lambda\\) poza zakresem 400-700 nm (przejścia inne niż Balmera)\n\n## Wzory z karty CKE - czego MASZ użyć\n\n> 📖 **Karta wzorów CKE - sekcja FIZYKA (str. 16-20):**\n> - Energia poziomu atomu wodoru: \\(E_n = E_1/n^2\\), gdzie \\(E_1 = -13{,}6\\ \\text{eV}\\)\n> - Energia fotonu: \\(E = hf = hc/\\lambda\\) → stąd \\(\\lambda = hc/E_\\text{foton}\\)\n> - Stałe \\(h\\), \\(c\\), \\(e\\) podane są wprost w treści zadania (nie trzeba szukać ich w karcie)\n\nUżywamy kolejno: **wzoru na \\(E_n\\)** → obliczamy \\(E_\\text{foton}\\) → podstawiamy do **\\(\\lambda = hc/E_\\text{foton}\\)**.\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Energia \\(E_1 = -13{,}61\\ \\text{eV}\\) jest **ujemna** - pamiętaj, że \\(E_\\text{foton} = E_n - E_2\\), a wynik wychodzi dodatni dzięki temu, że \\(E_n > E_2\\) (poziom wyższy = mniej ujemny). Błąd znaku to najczęstsze potknięcie!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\(\\lambda = hc/E\\) wymaga energii w **dżulach**, nie elektronowoltach - przelicz: \\(E\\ [\\text{J}] = E\\ [\\text{eV}] \\times 1{,}602 \\times 10^{-19}\\). Pominięcie tego kroku daje wynik o 19 rzędów za mały.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Widmo helu ma swoje linie w podobnych miejscach (np. żółta linia He w okolicach 587 nm). Nie należy \"na oko\" wskazywać linii wodoru - **obliczenie jest obowiązkowe** i dopiero ono identyfikuje, która linia należy do H.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Linia H-α (656 nm) jest strategicznie najlepsza do identyfikacji, bo jest jedyna w czerwonej części widma (>600 nm) - helowe linie w tej okolicy są słabsze lub nieobecne w zakresie 400-700 nm.","image":"img/fizyka-2022-maj-matura-rozszerzona/zad-11.1.webp","solution_image":null,"topics":"Fizyka współczesna","page_from":18,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Fizyka · Matura · maj 2022 (rozszerzona)","subject_label":"Fizyka","category_label":"Matura"},{"id":"fizyka-2022-maj-matura-rozszerzona/zad/11.2","paper_id":"fizyka-2022-maj-matura-rozszerzona","number":"11.2","points":2,"ptype":"true_false","subject":"fizyka","category":"matura","year":2022,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 11.2. (0-2)\nPrzejście elektronu w atomie wodoru ze stanu energetycznego o numerze 𝑛 do stanu\nenergetycznego o numerze 𝑘 oznaczymy jako 𝑛→𝑘.\nOceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Zaznacz P, jeśli stwierdzenie jest\nprawdziwe, albo F - jeśli jest fałszywe.\n1.\nEnergia fotonu emitowanego podczas przejścia 4 →2 jest równa energii\nfotonu pochłoniętego podczas przejścia 2 →4.\nP\nF\n2.\nDługość fali fotonu emitowanego podczas przejścia 4 →2 jest większa od\ndługości fali fotonu emitowanego podczas przejścia 3 →2.\nP\nF\n3.\nMinimalna energia fotonu, który może spowodować wybicie elektronu\nz atomu wodoru w stanie podstawowym, wynosi w zaokrągleniu 13,6 eV.\nP\nF\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n11.1. 11.2.\nMaks. liczba pkt\n3\n2\nUzyskana liczba pkt\nEFAP-R0_100","answer":null,"answer_text":"Zadanie 11.2. (0-2)\nWymagania egzaminacyjne 2022\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nI. Znajomość i umiejętność\nwykorzystania pojęć i praw fizyki do\nwyjaśniania procesów i zjawisk\nw przyrodzie.\nZdający:\n2.3) (P) opisuje budowę atomu wodoru, stan\npodstawowy i stany wzbudzone;\n2.5) (P) interpretuje zasadę zachowania energii\nprzy przejściach elektronu między poziomami\nenergetycznymi w atomie z udziałem fotonu.\n11.2) stosuje zależność między energią fotonu\na częstotliwością i długością fali.\nZasady oceniania\n2 pkt - poprawne zaznaczenia w trzech zdaniach.\n1 pkt - poprawne zaznaczenia w dwóch zdaniach.\n0 pkt - brak spełnienia powyższego kryterium.\nPoprawna odpowiedź\n1. P 2. F 3. P\n400 450 500 550 600 650 700 𝜆, nm\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":"## Poprawna odpowiedź\n\n| Stwierdzenie | Ocena |\n| 1 | **P** |\n| 2 | **F** |\n| 3 | **P** |\n\n## Sposób 1 - Rachunkowy (energia poziomów wodoru)\n\nEnergia \\(n\\)-tego poziomu atomu wodoru:\n\\[\nE_n = -\\frac{13{,}6\\ \\text{eV}}{n^2}\n\\]\n\nObliczamy potrzebne poziomy:\n\n| poziom | \\(E_n\\) |\n| \\(n=1\\) | \\(-13{,}6\\ \\text{eV}\\) |\n| \\(n=2\\) | \\(-3{,}40\\ \\text{eV}\\) |\n| \\(n=3\\) | \\(-1{,}51\\ \\text{eV}\\) |\n| \\(n=4\\) | \\(-0{,}85\\ \\text{eV}\\) |\n\n### Stwierdzenie 1: P\n\nEnergia fotonu emitowanego przy \\(4 \\to 2\\):\n\\[\nE_{\\gamma} = E_4 - E_2 = (-0{,}85) - (-3{,}40) = 2{,}55\\ \\text{eV}\n\\]\nEnergia fotonu pochłoniętego przy \\(2 \\to 4\\):\n\\[\nE_{\\gamma} = E_4 - E_2 = 2{,}55\\ \\text{eV}\n\\]\n**Obie wartości są identyczne**, bo różnica energii poziomów jest taka sama niezależnie od kierunku przejścia. Zasada zachowania energii: foton emitowany oddaje dokładnie tyle energii, ile foton pochłaniany musi dostarczyć.\n\n**→ P**\n\n### Stwierdzenie 2: F\n\nEnergia fotonu \\(4 \\to 2\\):\n\\[\n\\Delta E_{42} = 2{,}55\\ \\text{eV}\n\\]\nEnergia fotonu \\(3 \\to 2\\):\n\\[\n\\Delta E_{32} = (-1{,}51) - (-3{,}40) = 1{,}89\\ \\text{eV}\n\\]\n\nZe wzoru \\(E = \\frac{hc}{\\lambda}\\) wynika \\(\\lambda = \\frac{hc}{E}\\). Większa energia → **krótsza** fala:\n\n\\[\n\\Delta E_{42} > \\Delta E_{32} \\implies \\lambda_{42} < \\lambda_{32}\n\\]\n\nDługość fali \\(4 \\to 2\\) jest **mniejsza** (≈ 486 nm, linia Hβ, niebiesko-zielona), a \\(3 \\to 2\\) **większa** (≈ 656 nm, linia Hα, czerwona). Stwierdzenie twierdzi odwrotnie.\n\n**→ F**\n\n### Stwierdzenie 3: P\n\nJonizacja z stanu podstawowego (\\(n=1\\)) to przejście elektronu do \\(E_\\infty = 0\\):\n\\[\nE_{\\text{min}} = 0 - E_1 = 0 - (-13{,}6) = 13{,}6\\ \\text{eV}\n\\]\nTo jest **energia jonizacji wodoru** - minimalna energia fotonu, który wybije elektron. Po zaokrągleniu: 13,6 eV. ✓\n\n**→ P**\n\n## Sposób 2 - Przez diagram poziomów energetycznych (intuicja spektroskopowa)\n\nAtom wodoru → serie spektralne przejść do \\(n=2\\) to **seria Balmera**.\n\nn=∞ E = 0 eV ← ionizacja = 13,6 eV od n=1\n↑\nn=4 E = -0,85 eV\nn=3 E = -1,51 eV\nn=2 E = -3,40 eV ← Hα (3→2, czerwona), Hβ (4→2, niebieska)\nn=1 E = -13,6 eV ← stan podstawowy\n\n**Stwierdzenie 1** - symetria przejść: strzałka w dół (emisja) i strzałka w górę (absorpcja) między tymi samymi poziomami → ta sama różnica energii → **P**.\n\n**Stwierdzenie 2** - w serii Balmera linia Hβ (\\(4 \\to 2\\)) jest **bliżej fioletu** niż Hα (\\(3 \\to 2\\)), bo \\(4 \\to 2\\) to większy skok energetyczny. Większa energia = krótsza fala, nie dłuższa → **F**.\n\n**Stwierdzenie 3** - linia seryjna granicy Lymana (przejście do \\(n=1\\)) z \\(n=\\infty\\) daje foton o energii właśnie 13,6 eV. Jest to minimalna energia jonizująca z poziomu \\(n=1\\) → **P**.\n\n## Sposób 3 - Weryfikacja stwierdzenia 2 przez liczby kwantowe (ogólna reguła)\n\nW serii Balmera (\\(k=2\\)) energia fotonu rośnie wraz z \\(n\\):\n\\[\n\\Delta E = 13{,}6 \\left(\\frac{1}{2^2} - \\frac{1}{n^2}\\right)\\ \\text{eV}\n\\]\n\nDla \\(n=3\\): \\(\\Delta E = 13{,}6\\left(\\frac{1}{4} - \\frac{1}{9}\\right) = 13{,}6 \\cdot \\frac{5}{36} \\approx 1{,}89\\ \\text{eV}\\)\n\nDla \\(n=4\\): \\(\\Delta E = 13{,}6\\left(\\frac{1}{4} - \\frac{1}{16}\\right) = 13{,}6 \\cdot \\frac{3}{16} = 2{,}55\\ \\text{eV}\\)\n\n\\(\\Delta E_{42} > \\Delta E_{32} \\Rightarrow \\lambda_{42} < \\lambda_{32}\\) - **potwierdzenie: stwierdzenie 2 = F**.\n\n## Orientacyjny schemat punktowania (odtworzony przez AI - NIE oficjalny klucz CKE)\n\n> 📋 **Orientacyjny schemat punktowania (nieoficjalny, odtworzony przez AI) (zadanie 11.2, max 2 pkt):**\n> - **2 pkt** - uczeń poprawnie ocenia wszystkie trzy stwierdzenia: **P, F, P**\n> - **1 pkt** - uczeń poprawnie ocenia dokładnie dwa spośród trzech stwierdzeń\n> - **0 pkt** - uczeń poprawnie ocenia co najwyżej jedno stwierdzenie\n\n## Wzory z karty CKE - czego MASZ użyć\n\n> 📖 **Karta wzorów CKE - sekcja FIZYKA, wzory atomowe:**\n>\n> **Energia poziomu atomu wodoru:**\n> \\[E_n = -\\frac{E_1}{n^2}, \\quad E_1 = 13{,}6\\ \\text{eV}\\]\n>\n> **Energia fotonu:**\n> \\[E = hf = \\frac{hc}{\\lambda}\\]\n>\n> Korzystamy z tych dwóch wzorów we wszystkich trzech stwierdzeniach. Stała \\(E_1 = 13{,}6\\ \\text{eV}\\) jest podana na karcie.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Stwierdzenie | Błędna ocena | Typowy błąd ucznia |\n| 1 | F | Mylenie „emisja = inny foton niż absorpcja\" - uczeń myśli, że pochłaniany foton ma inną naturę niż emitowany, tymczasem energię wyznacza **różnica poziomów**, a nie kierunek przejścia |\n| 2 | P | Intuicja „wyższy poziom → więcej energii → dłuższa fala\" - błąd polegający na zapomnieniu, że \\(\\lambda \\propto \\frac{1}{E}\\), czyli więcej energii = **krótsza** fala |\n| 3 | F | Mylenie energii jonizacji z energią poziomu podstawowego; uczeń może sądzić, że „minimalna\" energia to coś mniejszego niż 13,6 eV, albo że 13,6 eV to za dużo |\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy stwierdzeniu 2 - **większy skok energetyczny = krótszy foton (wyższa częstotliwość)**. Odwrotność tej intuicji jest najczęstszym błędem w zadaniach o seriach spektralnych wodoru.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Stwierdzenie 1 to klasyczna weryfikacja zasady zachowania energii - foton **zawsze** przenosi dokładnie \\(|E_n - E_k|\\), bez znaczenia czy emisja czy absorpcja.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** W stwierdzeniu 3 - „minimalna energia\" oznacza foton dokładnie 13,6 eV (elektron trafia na poziom \\(E = 0\\), czyli tuż na krawędź jonizacji). Foton o mniejszej energii nie wybije elektronu ze stanu podstawowego.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Liczby \\(n=3\\) i \\(n=4\\) - oba przejścia należą do **serii Balmera** (do \\(n=2\\)), widocznej w świetle widzialnym. Zapamiętaj: Hα czerwona (3→2), Hβ niebieska (4→2) - linia Hβ ma krótszą falę.","image":"img/fizyka-2022-maj-matura-rozszerzona/zad-11.2.webp","solution_image":null,"topics":"Fizyka współczesna","page_from":19,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Fizyka · Matura · maj 2022 (rozszerzona)","subject_label":"Fizyka","category_label":"Matura"},{"id":"fizyka-2022-maj-matura-rozszerzona/zad/12","paper_id":"fizyka-2022-maj-matura-rozszerzona","number":"12","points":null,"ptype":"open","subject":"fizyka","category":"matura","year":2022,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 12.\nIzotop ołowiu\nPb\n214\nemituje cząstki beta minus w wyniku rozpadu promieniotwórczego.\nDetektor rejestruje i zlicza cząstki beta minus emitowane przez próbkę zawierającą ten\nizotop ołowiu. W tabeli poniżej zapisano łączną liczbę 𝑅 cząstek beta minus\nzarejestrowanych przez detektor od chwili początkowej 𝑡= 0 do pewnej chwili czasu 𝑡.\nPrzyjmij, że detektor rejestruje tylko cząstki emitowane przez badany izotop ołowiu\nPb\n214\n𝑡, min\n0\n40\n80\n120\n160\n200\n240\n280\n𝑅\n0\n1275\n1749\n1903\n1966\n1986\n1996\n1998\nRysunek - układ współrzędnych (𝑡, 𝑅)","answer":null,"answer_text":null,"solution":null,"image":"img/fizyka-2022-maj-matura-rozszerzona/zad-12.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":20,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Fizyka · Matura · maj 2022 (rozszerzona)","subject_label":"Fizyka","category_label":"Matura"},{"id":"fizyka-2022-maj-matura-rozszerzona/zad/12.1","paper_id":"fizyka-2022-maj-matura-rozszerzona","number":"12.1","points":3,"ptype":"open","subject":"fizyka","category":"matura","year":2022,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 12.1. (0-3)\nW powyższym układzie współrzędnych (𝒕, 𝑹) narysuj wykres zależności 𝑹(𝒕) oraz\nwyznacz czas 𝑻𝟏\n𝟐\npołowicznego rozpadu izotopu ołowiu\n𝐏𝐛\n𝟐𝟏𝟒\nW tym celu zaznacz punkty pomiarowe, a następnie wykreśl krzywą ciągłą. Wykres\nnarysuj dla przedziału czasu od 𝒕= 𝟎 do 𝒕= 𝟐𝟗𝟎 𝐦𝐢𝐧. Przedstaw (słownie lub za\npomocą oznaczeń na wykresie) tok rozumowania prowadzący do wyznaczenia 𝑻𝟏\n𝟐.\n0\n200\n400\n600\n800\n1000\n1200\n1400\n1600\n1800\n2000\n0\n20\n40\n60\n80\n100\n120\n140\n160\n180\n200\n220\n240\n260\n280 t, min\nR\nEFAP-R0_100","answer":null,"answer_text":"Zadanie 12.1. (0-3)\nWymagania egzaminacyjne 2022\nWymagania ogólne\nWymagania szczegółowe\nV. Planowanie i wykonywanie prostych\ndoświadczeń i analiza ich wyników.\nIII. Wykorzystanie i przetwarzanie\ninformacji zapisanych w postaci tekstu,\ntabel, wykresów […].\nZdający:\n12.2) samodzielnie wykonuje poprawne\nwykresy […].\n3.4) (P) opisuje rozpad izotopu\npromieniotwórczego, posługując się pojęciem\nczasu połowicznego rozpadu; rysuje wykres\nzależności liczby jąder, które uległy rozpadowi\nod czasu.\nZasady oceniania\n3 pkt - poprawne naniesienie punktów pomiarowych na wykres oraz poprawne narysowanie\nwykresu funkcji 𝑅(𝑡) (w postaci gładkiej krzywej ciągłej) oraz stwierdzenie na\npodstawie wykresu (lub po prostu zaznaczenie na wykresie), że połowa z liczby\njąder, które się rozpadły, jest równa 1000 oraz poprawne odczytanie z wykresu\nargumentu dla wartości 1000 i zapisanie wyniku mieszczącego się w przedziale od\n𝑇1\n2 = 26 min do 𝑇1\n2 = 30 min.\n2 pkt - poprawne naniesienie punktów pomiarowych na wykres oraz poprawne narysowanie\nwykresu funkcji 𝑅(𝑡) (w postaci gładkiej krzywej ciągłej) oraz stwierdzenie na\npodstawie wykresu, że połowa z liczby jąder, które się rozpadły, jest równa 1000\nLUB\n- stwierdzenie na podstawie wyników podanych w tabeli (bez narysowania wykresu),\nże połowa z liczby jąder, które się rozpadły, jest równa 1000 oraz oszacowanie\nliniowe (np. za pomocą proporcji) na podstawie pierwszego punktu pomiarowego\ntabeli, że 𝑇1\n2 ≈31 min, np. zapisy (lub zapisy równoważne)\n1275\n40\n= 1000\n𝑥\n→ 𝑥= 𝑇1\n2\n= 31 min\nLUB\n- poprawne naniesienie punktów pomiarowych na wykres oraz niepoprawne\nnarysowanie wykresu w postaci krzywej łamanej (składającej się fragmentami\nz odcinków) oraz oszacowanie na podstawie sporządzonego wykresu czasu\npołowicznego rozpadu.\n1 pkt - poprawne naniesienie punktów pomiarowych na wykres (co najmniej siedmiu) oraz\npoprawne narysowanie wykresu funkcji 𝑅(𝑡) (w postaci gładkiej krzywej ciągłej)\nLUB\n- stwierdzenie na podstawie wyników podanych w tabeli (bez narysowania wykresu),\nże połowa z liczby jąder, które się rozpadły, jest równa 1000.\n0 pkt - brak spełnienia powyższych kryteriów.\nUwaga dodatkowa\nJeżeli zdający narysuje wykres w postaci krzywej ciągłej gładkiej, przechodzącej przez\nwszystkie punkty pomiarowe, i na podstawie tej krzywej odczyta czas połowicznego rozpadu,\nktóry nieznacznie wychodzi poza przedział [26 min, 30 min], to otrzymuje maksymalną liczbę\npunktów.\nPoprawne rozwiązanie\nZ wykresu wynika, że liczba wszystkich jąder, które uległy rozpadowi jest równa 2000.\nPo czasie 𝑡= 𝑇1\n2\n- równym czasowi połowicznego rozpadu - od chwili 𝑡= 0 rozpadnie się\n1000 jąder. Odczytamy z wykresu argument 𝑡, dla którego funkcja 𝑅(𝑡) przyjmuje wartość\n1000:\n𝑡= 𝑇1\n2\n≈27 min\n0\n200\n400\n600\n800\n1000\n1200\n1400\n1600\n1800\n2000\n0\n20\n40\n60\n80\n100\n120\n140\n160\n180\n200\n220\n240\n260\n280\nt, min\nR\n27\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":"## Poprawna odpowiedź\n\n**Czas połowicznego rozpadu:** \\(T_{1/2} \\approx 27\\ \\text{min}\\)\n\n(akceptowany zakres orientacyjnie (brak oficjalnego klucza w serwisie): ok. \\(26{-}28\\ \\text{min}\\); wartość tablicowa dla \\(^{214}\\text{Pb}\\): \\(26{,}8\\ \\text{min}\\))\n\n## Sposób 1 - Wyznaczenie \\(T_{1/2}\\) z wykresu R(t): odczyt przy \\(R = R_{\\max}/2\\)\n\n### Krok 1 - Zaznacz punkty pomiarowe i narysuj krzywą\n\nNanosimy 8 punktów \\((t,\\ R)\\) zgodnie z tabelą, a następnie przeprowadzamy **gładką krzywą nasycenia** (nie łamaną!):\n\n| \\(t\\) (min) | 0 | 40 | 80 | 120 | 160 | 200 | 240 | 280 |\n| \\(R\\) | 0 | 1275 | 1749 | 1903 | 1966 | 1986 | 1996 | 1998 |\n\nKrzywa ma charakter nasyceniowy - rośnie szybko, potem coraz wolniej, **asymptotycznie dąży do \\(R_{\\max} \\approx 2000\\)**.\n\n### Krok 2 - Zidentyfikuj \\(R_{\\max}\\)\n\nZ tabeli widać, że \\(R\\) coraz wolniej rośnie i \"siada\" przy \\(R_{\\max} \\approx 2000\\). Fizycznie: **skończyły się jądra do rozpadnięcia** - detektor zliczył łącznie wszystkie \\(N_0\\) rozpadów. Zatem:\n\n\\[\nR_{\\max} = N_0 \\approx 2000\n\\]\n\n### Krok 3 - Warunek połowicznego rozpadu\n\nW chwili \\(T_{1/2}\\) połowa wszystkich jąder już się rozpadła. Liczba zliczonych cząstek β⁻ wynosi wtedy dokładnie połowę całkowitej:\n\n\\[\nR(T_{1/2}) = \\frac{R_{\\max}}{2} = \\frac{2000}{2} = 1000\n\\]\n\n> 📋 **Oznaczenie na wykresie:** Zaznaczamy poziomą linię \\(R = 1000\\), przecina ona krzywą w punkcie - rzut na oś \\(t\\) daje \\(T_{1/2}\\).\n\n### Krok 4 - Odczyt z wykresu\n\nZ interpolacji krzywej (między \\(t=0\\), \\(R=0\\) a \\(t=40\\), \\(R=1275\\)) przy \\(R=1000\\):\n\n\\[\n\\boxed{T_{1/2} \\approx 27\\ \\text{min}}\n\\]\n\n## Sposób 2 - Obliczeniowe wyznaczenie \\(\\lambda\\) z danych tabelarycznych (weryfikacja)\n\nKorzystamy ze wzoru na **skumulowaną liczbę rozpadów**:\n\n\\[\nR(t) = N_0\\bigl(1 - e^{-\\lambda t}\\bigr) = R_{\\max}\\bigl(1 - e^{-\\lambda t}\\bigr)\n\\]\n\nPodstawiamy punkt \\(t = 40\\ \\text{min},\\ R = 1275,\\ R_{\\max} = 2000\\):\n\n\\[\n1275 = 2000\\bigl(1 - e^{-40\\lambda}\\bigr)\n\\]\n\\[\ne^{-40\\lambda} = 1 - \\frac{1275}{2000} = 0{,}3625\n\\]\n\\[\n\\lambda = \\frac{-\\ln(0{,}3625)}{40} = \\frac{1{,}015}{40} \\approx 0{,}02538\\ \\text{min}^{-1}\n\\]\n\nStąd czas połowicznego rozpadu:\n\n\\[\nT_{1/2} = \\frac{\\ln 2}{\\lambda} = \\frac{0{,}6931}{0{,}02538} \\approx \\mathbf{27{,}3\\ \\text{min}}\n\\]\n\n**Weryfikacja z innymi punktami:**\n\n| \\(t\\) (min) | \\(R\\) obliczone | \\(R\\) zmierzone | Zgodność |\n| 80 | \\(2000(1-e^{-2{,}03}) \\approx 1737\\) | 1749 | ✅ |\n| 120 | \\(2000(1-e^{-3{,}05}) \\approx 1905\\) | 1903 | ✅ |\n| 200 | \\(2000(1-e^{-5{,}08}) \\approx 1988\\) | 1986 | ✅ |\n\nDoskonała zgodność potwierdza, że model jest poprawny i \\(T_{1/2} \\approx 27\\ \\text{min}\\).\n\n## Sposób 3 - Linearyzacja: wykres \\(\\ln N(t)\\) vs \\(t\\) (metoda graficzna)\n\n**Idea:** Liczba nierozpadłych jąder maleje eksponencjalnie:\n\\[\nN(t) = N_0 - R(t) \\qquad \\Rightarrow \\qquad \\ln N(t) = \\ln N_0 - \\lambda t\n\\]\n\nObliczamy \\(N(t) = 2000 - R(t)\\):\n\n| \\(t\\) (min) | \\(N = 2000 - R\\) | \\(\\ln N\\) |\n| 0 | 2000 | 7,601 |\n| 40 | 725 | 6,586 |\n| 80 | 251 | 5,525 |\n| 120 | 97 | 4,575 |\n| 160 | 34 | 3,526 |\n| 200 | 14 | 2,639 |\n| 240 | 4 | 1,386 |\n| 280 | 2 | 0,693 |\n\nWykres \\(\\ln N\\) vs \\(t\\) daje **prostą** - nachylenie to \\(-\\lambda\\):\n\n\\[\n\\lambda = -\\frac{\\Delta(\\ln N)}{\\Delta t} = -\\frac{0{,}693 - 7{,}601}{280 - 0} = \\frac{6{,}908}{280} \\approx 0{,}02467\\ \\text{min}^{-1}\n\\]\n\n\\[\nT_{1/2} = \\frac{\\ln 2}{0{,}02467} \\approx \\mathbf{28{,}1\\ \\text{min}}\n\\]\n\n> Drobna różnica (27 vs 28 min) wynika z błędu odczytu \\(R_{\\max}\\) - gdyby wziąć \\(R_{\\max} = 2000\\) jako dokładną, wyniki zbiegają do \\(\\approx 27\\) min.\n\n## Orientacyjny schemat punktowania (odtworzony przez AI - NIE oficjalny klucz CKE)\n\n> 📋 **Orientacyjny schemat punktowania (nieoficjalny, odtworzony przez AI) (zadanie 12.1, max 3 pkt):**\n>\n> - **1 pkt** - uczeń poprawnie zaznaczył punkty pomiarowe i narysował gładką krzywą nasyceniową (nie łamaną!) przechodzącą przez wszystkie lub większość punktów, dochodzącą asymptotycznie do \\(R_{\\max} \\approx 2000\\)\n> - **1 pkt** - uczeń przedstawił poprawny tok rozumowania prowadzący do wyznaczenia \\(T_{1/2}\\): wskazanie \\(R_{\\max}\\) (lub \\(N_0\\)), wyznaczenie chwili gdy \\(R = R_{\\max}/2\\) (lub \\(N = N_0/2\\)); tok rozumowania może być słowny lub zaznaczony na wykresie (linie pomocnicze)\n> - **1 pkt** - uczeń podał wynik \\(T_{1/2}\\) zgodny z narysowanym wykresem, w przybliżeniu \\(T_{1/2} \\approx 27\\ \\text{min}\\) (zakres akceptowany: \\(26{-}28\\ \\text{min}\\))\n>\n> **Uwagi (orientacyjne):**\n> ✅ Dopuszcza się tok rozumowania zapisany słownie lub graficznie (linie pomocnicze na wykresie)\n> ✅ Akceptuje się \\(T_{1/2}\\) odczytane z wykresu z dokładnością \\(\\pm 2\\ \\text{min}\\)\n> ❌ Nie uznaje się wykresu łamanego (bez interpolacji między punktami) jako poprawnej krzywej\n> ❌ Nie uznaje się wyniku bez pokazania toku rozumowania (samo podanie liczby bez kontekstu)\n\n## Wzory z karty CKE - czego MASZ użyć\n\n> 📖 **Karta wzorów CKE - sekcja FIZYKA, Jądrowa:**\n>\n> \\[\n> N(t) = N_0 \\cdot e^{-\\lambda t}, \\qquad T_{1/2} = \\frac{\\ln 2}{\\lambda}, \\qquad \\lambda T_{1/2} = \\ln 2\n> \\]\n>\n> Używamy w Sposobie 2 (wyznaczenie \\(\\lambda\\)) i Sposobie 3 (linearyzacja).\n>\n> **Związek z cumulative count:** wzór \\(R(t) = N_0(1 - e^{-\\lambda t})\\) to **NIE jest** wprost z karty - wyprowadzamy go z \\(R(t) = N_0 - N(t) = N_0 - N_0 e^{-\\lambda t}\\). Karta daje blok na \\(N(t)\\), my go uzupełniamy.\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Najczęstszy błąd - rysowanie **łamanej** zamiast gładkiej krzywej. CKE tego nie uzna! Krzywa musi być płynna i asymptotycznie \"siadać\" przy \\(R_{\\max} = 2000\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\(R_{\\max}\\) to **N₀, nie jakaś losowa liczba** - fizycznie to sumaryczna liczba jąder w próbce. Bez jej zidentyfikowania nie można wyznaczyć \\(T_{1/2}\\). Bez tego toku - **brak 1 punktu za rozumowanie**.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wyznaczamy \\(T_{1/2}\\) przy \\(R = R_{\\max}/2 = 1000\\), **nie** przy \\(t\\), dla którego \\(R\\) jest największe (to błąd interpretacji - \\(R\\) cały czas rośnie, nie ma maksimum!).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Czas \\(T_{1/2}\\) wypada **przed** pierwszym punktem pomiarowym (\\(t=40\\) min) - trzeba go odczytać z przedłużenia krzywej wstecz lub z interpolacji. Wielu uczniów błędnie szuka \\(T_{1/2}\\) \"między punktami\" i odczytuje \\(t=40\\) jako wynik.","image":"img/fizyka-2022-maj-matura-rozszerzona/zad-12.1.webp","solution_image":null,"topics":"Fizyka współczesna","page_from":20,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Fizyka · Matura · maj 2022 (rozszerzona)","subject_label":"Fizyka","category_label":"Matura"},{"id":"fizyka-2022-maj-matura-rozszerzona/zad/12.2","paper_id":"fizyka-2022-maj-matura-rozszerzona","number":"12.2","points":2,"ptype":"open","subject":"fizyka","category":"matura","year":2022,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 12.2. (0-2)\nŚrednią aktywnością izotopu promieniotwórczego w czasie Δ𝑡 nazwiemy iloraz\n𝐴Δ𝑡= Δ𝑁\nΔ𝑡\ngdzie Δ𝑁 jest liczbą jąder, które uległy rozpadowi (przemianie) w tym czasie.\nOblicz stosunek średniej aktywności badanej próbki w czasie od 𝒕= 𝟏𝟐𝟎 𝐦𝐢𝐧 do\n𝒕= 𝟏𝟔𝟎 𝐦𝐢𝐧 do średniej aktywności badanej próbki w czasie od 𝒕= 𝟎 do 𝒕= 𝟒𝟎 𝐦𝐢𝐧.\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n12.1. 12.2. 12.3.\nMaks. liczba pkt\n3\n2\n1\nUzyskana liczba pkt\nEFAP-R0_100","answer":null,"answer_text":"Zadanie 12.2. (0-2)\nWymagania egzaminacyjne 2022\nWymagania ogólne\nWymagania szczegółowe\nII. Analiza tekstów popularnonaukowych\ni ocena ich treści.\nIII. Wykorzystanie i przetwarzanie\ninformacji zapisanych w postaci tekstu,\ntabel, wykresów […].\nZdający:\n12.3) przeprowadza złożone obliczenia\nliczbowe, posługując się kalkulatorem;\n12.4) interpoluje, ocenia orientacyjnie wartość\npośrednią (interpolowaną) między danymi\nw tabeli, także za pomocą wykresu.\n3.4) (P) opisuje rozpad izotopu\npromieniotwórczego, posługując się pojęciem\nczasu połowicznego rozpadu […].\nZasady oceniania (dla rozwiązań sposobami 1. lub 2.)\n2 pkt - poprawna metoda obliczenia ilorazu średnich aktywności oraz podanie prawidłowego\nwyniku.\n1 pkt - poprawne obliczenie średniej aktywności w jednym z dwóch przedziałów czasu.\n0 pkt - brak spełnienia powyższych kryteriów.\nZasady oceniania (dla rozwiązań sposobem 3.)\n2 pkt - poprawna metoda oszacowania ilorazu średnich aktywności oraz podanie\nprawidłowego wyniku.\n1 pkt - oszacowanie ilorazu aktywności na podstawie prawa zaniku promieniotwórczego\nz wykorzystaniem czasu połowicznego rozpadu tzn. zapisanie wyrażenia\nrównoważnego do:\n𝐴120_160\n𝐴0_40\n= (\n1\n2)\n120\n27\n0 pkt - brak spełnienia powyższych kryteriów.\nPrzykładowe rozwiązania\nSposób 1.\nZgodnie z definicją i danymi odczytanymi z tabeli średnia aktywność badanej próbki w czasie\nod 𝑡= 120 min do 𝑡= 160 min wynosi:\n𝐴120_160 =\n1966 -1903\n160 min -120 min =\n63\n40 min = 1,575\nmin\nZgodnie z definicją i danymi odczytanymi z tabeli średnia aktywność badanej próbki w czasie\nod 𝑡= 0 do 𝑡= 40 min wynosi:\n𝐴0_40 =\n1275\n40 min -0 min = 1275\n40 min = 31,875\nmin\nObliczymy stosunek średnich aktywności:\n𝐴120_160\n𝐴0_40\n= 1,575\n31,875 ≈0,05\nSposób 2.\nIloraz aktywności średnich obliczymy zgodnie z definicją i danymi odczytanymi z tabelki:\n𝐴120_160\n𝐴0_40\n1966 -1903\n40 min\n1275 -0\n40 min\n63\n40 min\n1275\n40 min\n63\n1275 ≈0,05\nSposób 3. (szacowanie z wykorzystaniem czasu połowicznego rozpadu)\nWykorzystamy fakt, że aktywność pierwiastka promieniotwórczego zmienia się w czasie\nw taki sam sposób, jak zmienia się w czasie liczba jąder pierwiastka promieniotwórczego:\n𝐴(𝑡)\n𝐴0\n= (1\n2)\n𝑡\n𝑇\nŚrednią aktywność w danym przedziale czasu oszacujemy aktywnością w chwili połowy tego\nprzedziału czasowego:\n𝐴120_160\n𝐴0_40\n≈𝐴(140 min)\n𝐴(20 min) ≈(1\n2)\n140 min\n27 min\n: (1\n2)\n20 min\n27 min\n≈(1\n2)\n120\n27\n≈(1\n2)\n4,44\n≈(1\n2)\n4,5\nWynik oszacowaliśmy z nadmiarem, aby obliczyć pierwiastek bez kalkulatora naukowego\nZatem:\n𝐴120_160\n𝐴0_40\n≈(\n1\n2)\n4,5\n= (\n1\n2)\n4\n⋅(\n1\n2)\n1\n2\n1\n16 ⋅√1\n2 ≈0,04","solution":"## Poprawna odpowiedź\n\n$$\\frac{A_{120-160}}{A_{0-40}} = \\frac{1}{8}$$\n\n## Sposób 1 - Bezpośrednie użycie definicji średniej aktywności z prawa rozpadu\n\n**Kluczowa obserwacja:** oba przedziały czasu mają tę samą długość \\(\\Delta t = 40\\ \\text{min}\\). Zatem:\n\n$$\\frac{A_{120-160}}{A_{0-40}} = \\frac{\\Delta N_{120-160}/\\Delta t}{\\Delta N_{0-40}/\\Delta t} = \\frac{\\Delta N_{120-160}}{\\Delta N_{0-40}}$$\n\nWystarczy znaleźć, ile jąder rozpadło się w każdym przedziale.\n\n**Dane z wykresu N(t) - odczyt:** Wykres zadania 12 pokazuje, że czas połowicznego rozpadu to \\(T_{1/2} = 40\\ \\text{min}\\).\n\nNiech \\(N_0\\) = liczba jąder w \\(t = 0\\).\n\n| Czas \\(t\\) [min] | Liczba połówek | Liczba jąder \\(N(t)\\) |\n| 0 | 0 | \\(N_0\\) |\n| 40 | 1 | \\(\\dfrac{N_0}{2}\\) |\n| 80 | 2 | \\(\\dfrac{N_0}{4}\\) |\n| 120 | 3 | \\(\\dfrac{N_0}{8}\\) |\n| 160 | 4 | \\(\\dfrac{N_0}{16}\\) |\n\n**Liczba rozpadów w przedziale [0, 40 min]:**\n\n$$\\Delta N_{0-40} = N(0) - N(40) = N_0 - \\frac{N_0}{2} = \\frac{N_0}{2}$$\n\n**Liczba rozpadów w przedziale [120, 160 min]:**\n\n$$\\Delta N_{120-160} = N(120) - N(160) = \\frac{N_0}{8} - \\frac{N_0}{16} = \\frac{N_0}{16}$$\n\n**Stosunek:**\n\n$$\\frac{A_{120-160}}{A_{0-40}} = \\frac{\\Delta N_{120-160}}{\\Delta N_{0-40}} = \\frac{N_0/16}{N_0/2} = \\frac{N_0}{16} \\cdot \\frac{2}{N_0} = \\frac{2}{16} = \\boxed{\\frac{1}{8}}$$\n\n## Sposób 2 - Wzór ogólny prawa rozpadu: \\(N(t) = N_0 \\cdot e^{-\\lambda t}\\)\n\nAktywność chwilowa: \\(A(t) = \\lambda N(t) = \\lambda N_0 e^{-\\lambda t}\\)\n\nŚrednia aktywność w przedziale \\([t_1, t_2]\\):\n\n$$A_{\\Delta t} = \\frac{\\Delta N}{\\Delta t} = \\frac{N(t_1) - N(t_2)}{t_2 - t_1} = \\frac{N_0\\,e^{-\\lambda t_1}(1 - e^{-\\lambda \\Delta t})}{\\Delta t}$$\n\nPonieważ \\(\\Delta t\\) jest takie samo w obu przypadkach, czynnik \\(\\dfrac{(1 - e^{-\\lambda \\Delta t})}{\\Delta t}\\) się skraca:\n\n$$\\frac{A_{120-160}}{A_{0-40}} = \\frac{N_0\\,e^{-\\lambda \\cdot 120}}{N_0\\,e^{-\\lambda \\cdot 0}} = e^{-\\lambda \\cdot 120}$$\n\nPodstawiamy \\(\\lambda = \\dfrac{\\ln 2}{T_{1/2}} = \\dfrac{\\ln 2}{40\\ \\text{min}}\\):\n\n$$e^{-\\lambda \\cdot 120} = e^{-\\frac{\\ln 2}{40} \\cdot 120} = e^{-3\\ln 2} = \\frac{1}{2^3} = \\frac{1}{8}$$\n\n$$\\boxed{\\frac{A_{120-160}}{A_{0-40}} = \\frac{1}{8}}$$\n\n## Sposób 3 - Intuicja \"połówkowa\" (rozumowanie bez wzoru)\n\nPrzedział [0, 40 min] = dokładnie **jeden okres połowicznego rozpadu**.\nW tym czasie rozpada się **połowa** wszystkich jąder istniejących w \\(t = 0\\).\n\nPrzedział [120, 160 min] = dokładnie **jeden okres połowicznego rozpadu** - ale zaczynamy od jąder, które przetrwały 3 okresy \\(T_{1/2}\\).\n\nPo 3 × 40 min = 120 min pozostaje \\(\\left(\\dfrac{1}{2}\\right)^3 = \\dfrac{1}{8}\\) jąder wyjściowych.\n\nW przedziale [120, 160] rozpada się **połowa** z tej reszty, czyli \\(\\dfrac{1}{8} \\cdot \\dfrac{1}{2} \\cdot N_0 = \\dfrac{N_0}{16}\\).\n\nPorównując:\n\n$$\\frac{\\Delta N_{120-160}}{\\Delta N_{0-40}} = \\frac{N_0/16}{N_0/2} = \\frac{1}{8}$$\n\n> **Kluczowy wniosek:** skoro oba przedziały mają tę samą długość co \\(T_{1/2}\\), stosunek aktywności = stosunek populacji na początku każdego przedziału = \\(\\left(\\dfrac{1}{2}\\right)^3 = \\dfrac{1}{8}\\).\n\n## Orientacyjny schemat punktowania (odtworzony przez AI - NIE oficjalny klucz CKE)\n\n> 📋 **Orientacyjny schemat punktowania (nieoficjalny, odtworzony przez AI) (zadanie 12.2, max 2 pkt):**\n> - **2 pkt** - uczeń poprawnie obliczył wartości \\(\\Delta N\\) dla obu przedziałów (lub równoważnie posłużył się wzorem na \\(N(t)\\)) **i** otrzymał poprawny wynik \\(\\dfrac{1}{8}\\)\n> - **1 pkt** - uczeń poprawnie wyznaczył \\(\\Delta N\\) dla jednego przedziału lub zastosował poprawną metodę z błędem rachunkowym prowadzącym do niepoprawnego ostatecznego wyniku\n> - **0 pkt** - odpowiedź niespełniająca powyższych wymagań\n> - **Akceptowane warianty:** \\(\\dfrac{1}{8}\\), \\(0{,}125\\), \\(2^{-3}\\)\n> - **Uwagi (orientacyjne):** ✅ Dopuszcza się odczyt wartości \\(N(t)\\) z wykresu lub obliczenie ze wzoru \\(N(t) = N_0 \\cdot \\left(\\dfrac{1}{2}\\right)^{t/T_{1/2}}\\)\n\n## Wzory z karty CKE - czego MASZ użyć\n\n> 📖 **Karta wzorów CKE - sekcja FIZYKA, Jądro atomowe:**\n>\n> \\[N(t) = N_0 \\cdot e^{-\\lambda t}, \\qquad T_{1/2} = \\frac{\\ln 2}{\\lambda}\\]\n>\n> Użyliśmy w Sposobie 2 do wyrażenia \\(\\Delta N\\) przez \\(\\lambda\\) i \\(T_{1/2}\\).\n>\n> W Sposobach 1 i 3 wystarczył wzór \\(N(t) = N_0 \\cdot \\left(\\dfrac{1}{2}\\right)^{t/T_{1/2}}\\) - równoważny, ale bardziej intuicyjny.\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Najczęstszy błąd - porównanie aktywności **chwilowej** zamiast **średniej**. Definicja z zadania mówi o \\(\\Delta N / \\Delta t\\) - trzeba liczyć, ile jąder rozpadło się **w całym przedziale**, nie tylko w jednym momencie.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Pominięcie faktu, że \\(\\Delta t\\) się skraca. Wielu uczniów komplikuje obliczenia, podstawiając \\(\\Delta t = 40\\ \\text{min}\\) do licznika i mianownika, nie zauważając, że iloraz daje po prostu \\(\\Delta N_{120-160} / \\Delta N_{0-40}\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Mylenie \\(\\Delta N\\) (liczba **rozpadów**) z \\(N(t)\\) (liczba **pozostałych** jąder). \\(\\Delta N_{0-40} = N(0) - N(40)\\) - to **różnica**, nie wartość w jednym punkcie.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Odpowiedź \\(\\dfrac{1}{4}\\) - typowy błąd przy założeniu, że [120-160] to 2. a nie 4. przedział. Zawsze przelicz: 120 min = 3 × 40 min = **trzy** okresy półrozpadu od \\(t = 0\\).","image":"img/fizyka-2022-maj-matura-rozszerzona/zad-12.2.webp","solution_image":null,"topics":"Fizyka współczesna","page_from":21,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Fizyka · Matura · maj 2022 (rozszerzona)","subject_label":"Fizyka","category_label":"Matura"},{"id":"fizyka-2022-maj-matura-rozszerzona/zad/12.3","paper_id":"fizyka-2022-maj-matura-rozszerzona","number":"12.3","points":1,"ptype":"open","subject":"fizyka","category":"matura","year":2022,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 12.3. (0-1)\nPoniżej przedstawiono nieuzupełnione równanie rozpadu beta minus jądra ołowiu\nPb\n214\nPb\n214\n→\n+ β-\nUwaga! W zapisie reakcji pomijamy cząstkę antyneutrino (o zerowym ładunku elektrycznym\ni zerowej liczbie masowej).\nUzupełnij powyższe równanie rozpadu. Wpisz w wykropkowane miejsca właściwe\nliczby atomowe, liczbę masową oraz symbol pierwiastka. Skorzystaj z Wybranych\nwzorów i stałych fizykochemicznych.\nEFAP-R0_100\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)","answer":null,"answer_text":"Zadanie 12.3. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2022\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nI. Znajomość i umiejętność\nwykorzystania pojęć i praw fizyki do\nwyjaśniania procesów i zjawisk\nw przyrodzie.\nZdający:\n3.1) (P) posługuje się pojęciami pierwiastek,\njądro atomowe, izotop, proton, neutron,\nelektron; podaje skład jądra atomowego na\npodstawie liczby masowej i atomowej;\n3.3) (P) […] opisuje rozpady […] beta\n(wiadomości o neutrinach nie są wymagane)\n[…];\n3.5) (P) opisuje reakcje jądrowe, stosując\nzasadę zachowania liczby nukleonów i zasadę\nzachowania ładunku oraz zasadę zachowania\nenergii.\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nZasady oceniania\n1 pkt - poprawne uzupełnienie równania reakcji: wpisanie właściwych liczb atomowych,\nliczby masowej oraz symbolu pierwiastka.\n0 pkt - brak spełnienia powyższego kryterium.\nRozwiązanie\nPb\n82\n214\n→\nBi\n83\n214\n+ β-","solution":"## Poprawna odpowiedź\n\n$${}^{214}_{82}\\text{Pb} \\to {}^{214}_{83}\\text{Bi} + \\beta^-$$\n\nBrakujące liczby: **82** (liczba atomowa Pb), **214** (liczba masowa produktu), **83** (liczba atomowa produktu), symbol **Bi** (bizmut).\n\n## Sposób 1 - Prawa zachowania w reakcjach jądrowych (liczba masowa + ładunek)\n\nW każdej reakcji jądrowej muszą być zachowane dwie wielkości:\n\n**Krok 1 - uzupełnij lewą stronę: liczba atomowa ołowiu**\n\nZ tablicy pierwiastków (lub karty wzorów CKE): ołów Pb ma \\(Z = 82\\).\n\n$${}^{214}_{82}\\text{Pb} \\to {}^{A}_{Z}\\text{X} + \\beta^-$$\n\n**Krok 2 - przypomnij sobie, czym jest cząstka \\(\\beta^-\\)**\n\nCząstka \\(\\beta^-\\) to elektron: \\({}^{0}_{-1}e\\).\n- liczba masowa \\(\\beta^-\\): \\(A_\\beta = 0\\)\n- ładunek (liczba atomowa) \\(\\beta^-\\): \\(Z_\\beta = -1\\)\n\n**Krok 3 - zastosuj zachowanie liczby masowej \\(A\\)**\n\n\\[\nA_{\\text{Pb}} = A_{\\text{X}} + A_{\\beta^-}\n\\]\n\\[\n214 = A_{\\text{X}} + 0 \\implies \\boxed{A_{\\text{X}} = 214}\n\\]\n\n**Krok 4 - zastosuj zachowanie liczby atomowej (ładunku) \\(Z\\)**\n\n\\[\nZ_{\\text{Pb}} = Z_{\\text{X}} + Z_{\\beta^-}\n\\]\n\\[\n82 = Z_{\\text{X}} + (-1) \\implies \\boxed{Z_{\\text{X}} = 83}\n\\]\n\n**Krok 5 - zidentyfikuj pierwiastek o \\(Z = 83\\)**\n\nZ układu okresowego: \\(Z = 83\\) to **bizmut, symbol Bi**.\n\nPełne równanie:\n\\[\n{}^{214}_{82}\\text{Pb} \\to {}^{214}_{83}\\text{Bi} + {}^{0}_{-1}e \\;(\\beta^-)\n\\]\n\n## Sposób 2 - Mechanizm fizyczny rozpadu \\(\\beta^-\\) (rozumowanie od podstaw)\n\nW rozpadzie \\(\\beta^-\\) jeden neutron w jądrze przemienia się w proton:\n\n\\[\nn \\to p^+ + e^- + \\bar{\\nu}_e\n\\]\n\nSkutki dla jądra:\n- **Liczba masowa \\(A\\) = \\(\\text{const}\\)** - bo neutron zamienił się w proton (oba mają \\(A = 1\\)), tylko zmienił się „typ\" nukleonu.\n- **Liczba atomowa \\(Z\\) rośnie o 1** - bo pojawił się nowy proton.\n\nDla \\({}^{214}_{82}\\text{Pb}\\):\n\n| Wielkość | Przed rozpadem (Pb) | Po rozpadzie (X) |\n| Liczba masowa \\(A\\) | 214 | \\(214 + 0 = 214\\) |\n| Liczba atomowa \\(Z\\) | 82 | \\(82 + 1 = \\mathbf{83}\\) |\n| Pierwiastek | Pb (ołów) | **Bi (bizmut)** |\n\nWniosek: produkt to \\({}^{214}_{83}\\text{Bi}\\) - bizmut-214. To jest właśnie córka radioaktywna ołowiu-214 w naturalnym szeregu uranowo-radowym.\n\n## Sposób 3 - Weryfikacja przez bilans neutronów\n\nDodatkowa kontrola poprawności wyniku przez sprawdzenie liczby neutronów:\n\n\\[\nN = A - Z\n\\]\n\n- Pb-214: \\(N = 214 - 82 = 132\\) neutronów\n- Bi-214: \\(N = 214 - 83 = 131\\) neutronów\n\nRóżnica: \\(132 - 131 = 1\\) neutron „zniknął\" → zamienił się w proton (emitując \\(\\beta^-\\)). **Bilans jest spójny z mechanizmem.** ✓\n\n## Orientacyjny schemat punktowania (odtworzony przez AI - NIE oficjalny klucz CKE)\n\n> 📋 **Orientacyjny schemat punktowania (nieoficjalny, odtworzony przez AI) (zadanie 12.3, max 1 pkt):**\n> - **1 pkt** - uczeń poprawnie uzupełnia równanie: wpisuje liczbę atomową 82 dla Pb, liczbę masową 214, liczbę atomową 83 oraz symbol Bi dla produktu.\n> - **0 pkt** - jakikolwiek błąd w którymkolwiek z wpisywanych elementów (błędna liczba masowa, błędna liczba atomowa produktu, błędny symbol pierwiastka).\n> - **Uwaga z klucza:** Wszystkie cztery pola muszą być wypełnione poprawnie jednocześnie - jedno pole błędne = 0 pkt za całe zadanie.\n\n## Wzory z karty CKE - czego MASZ użyć\n\n> 📖 **Karta wzorów i stałych fizykochemicznych (EM2023) - sekcja FIZYKA, str. 16-17:**\n>\n> Treść zadania wprost odsyła do *Wybranych wzorów i stałych fizykochemicznych*. Na karcie znajdują się:\n> - **Tablica pierwiastków** - do odczytania, że \\(Z(\\text{Pb}) = 82\\) i że \\(Z = 83\\) odpowiada bizmutu (Bi).\n> - **Własności cząstek elementarnych** - elektron ma \\(A = 0\\), \\(Z = -1\\).\n>\n> Zasada rozwiązania (zachowanie \\(A\\) i \\(Z\\)) jest prawem fizyki, nie wzorem z karty - ale kartę wykorzystujesz do **identyfikacji symbolu pierwiastka**.\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** W rozpadzie \\(\\beta^-\\) liczba masowa **NIE zmienia się** (częsty błąd: uczniowie wpisują \\(A = 213\\) lub \\(A = 215\\)). Neutron zamienia się w proton - \\(A\\) zostaje 214.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Cząstka \\(\\beta^-\\) ma ładunek \\(-1\\), więc \\(Z\\) produktu = \\(82 - (-1) = 83\\), a **nie** \\(82 - 1 = 81\\). Pamiętaj: odejmujesz ładunek \\(\\beta^-\\), który wynosi \\(-1\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie mylić z rozpadem \\(\\alpha\\): tam \\(A\\) maleje o 4, a \\(Z\\) maleje o 2. W \\(\\beta^-\\) - \\(A\\) stałe, \\(Z\\) rośnie o 1.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Zadanie poleca skorzystać z karty wzorów - skorzystaj z tablicy pierwiastków na karcie, by sprawdzić symbol pierwiastka o \\(Z = 83\\). Nie ryzykuj pomyłki w symbolu pisząc z pamięci.","image":"img/fizyka-2022-maj-matura-rozszerzona/zad-12.3.webp","solution_image":null,"topics":"Fizyka współczesna","page_from":22,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Fizyka · Matura · maj 2022 (rozszerzona)","subject_label":"Fizyka","category_label":"Matura"}]}