{"paper":{"id":"fizyka-2026-maj-matura-stara-rozszerzona","subject":"fizyka","category":"matura","year":2026,"month":"maj","level":"rozszerzona","variant":"stara","exam_pdf":"fizyka-2026-maj-matura-stara-rozszerzona/fizyka-2026-maj-matura-stara-rozszerzona.pdf","key_pdf":"fizyka-2026-maj-matura-stara-rozszerzona-odpowiedzi/fizyka-2026-maj-matura-stara-rozszerzona-odpowiedzi.pdf","question_count":37,"source_label":"Fizyka · Matura · maj 2026 (rozszerzona)","subject_label":"Fizyka","category_label":"Matura"},"questions":[{"id":"fizyka-2026-maj-matura-stara-rozszerzona/zad/1","paper_id":"fizyka-2026-maj-matura-stara-rozszerzona","number":"1","points":null,"ptype":"open","subject":"fizyka","category":"matura","year":2026,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 1.\nW chwili 𝑡0 = 0 s z wysokości ℎ0 ponad podłożem wyrzucono pionowo w górę ciało 𝒞.\nWartość prędkości ciała 𝒞 w chwili 𝑡0 oznaczymy jako v0. Ciało wzniosło się pionowo na\nwysokość maksymalną ℎ𝑚𝑎𝑥, po czym opadło na podłoże.\nPrzyjmij, że:\nciało 𝒞 porusza się w komorze próżniowej, bez działania sił oporu, w inercjalnym układzie\nodniesienia, w jednorodnym, ziemskim polu grawitacyjnym\nprzyśpieszenie ziemskie ma wartość 𝑔= 9,81 m/s2.","answer":null,"answer_text":"1","solution":null,"image":"img/fizyka-2026-maj-matura-stara-rozszerzona/zad-1.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":4,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Fizyka · Matura · maj 2026 (rozszerzona)","subject_label":"Fizyka","category_label":"Matura"},{"id":"fizyka-2026-maj-matura-stara-rozszerzona/zad/1.1","paper_id":"fizyka-2026-maj-matura-stara-rozszerzona","number":"1.1","points":1,"ptype":"true_false","subject":"fizyka","category":"matura","year":2026,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 1.1. (0-1)\nAnalizujemy ruch ciała 𝒞 od chwili 𝑡0 do momentu uderzenia w podłoże.\nOceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Zaznacz P, jeśli stwierdzenie jest\nprawdziwe, albo F - jeśli jest fałszywe.\nPrzyśpieszenie ciała 𝒞 zależy od jego masy.\nP\nF\nCzas trwania ruchu ciała 𝒞 zależy od v0.\nP\nF\nInformacja do zadań 1.2.-1.3.\nNa poniższym wykresie przedstawiono zależność ℎ(𝑡) - wysokości od czasu - dla ruchu\nciała 𝒞 od chwili 𝑡0 do momentu uderzenia w podłoże. Na wykresie zaznaczono wybrane\npunkty 𝐴, 𝑊, 𝐵 oraz podano ich współrzędne (za pomocą liczb i symboli).\nWykres\nA = (0 ; h0)\nW = (0,8 ; hmax)\nB = (1,8 ; 0)\n0\n2\n4\n0\n0,5\n1\n1,5\n2\nt, s\nh\nEFAP-R0_100","answer":null,"answer_text":"Zadanie 1.1. (0-1)\nWymagania określone w podstawie programowej1\nWymagania ogólne\nWymagania szczegółowe\nI. Znajomość i umiejętność\nwykorzystania pojęć i praw fizyki do\nwyjaśniania procesów i zjawisk\nw przyrodzie.\nIII. Wykorzystanie i przetwarzanie\ninformacji zapisanych w postaci tekstu,\ntabel, wykresów, schematów i rysunków.\nZdający:\n1.5) rysuje i interpretuje wykresy zależności\nparametrów ruchu od czasu;\n1.6) oblicza parametry ruchu podczas\nswobodnego spadku i rzutu pionowego.\nZasady oceniania\n1 pkt - poprawne zaznaczenia w dwóch stwierdzeniach.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna lub niepełna albo brak odpowiedzi.\nPełne rozwiązanie\nFP","solution":null,"image":"img/fizyka-2026-maj-matura-stara-rozszerzona/zad-1.1.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":4,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Fizyka · Matura · maj 2026 (rozszerzona)","subject_label":"Fizyka","category_label":"Matura"},{"id":"fizyka-2026-maj-matura-stara-rozszerzona/zad/1.2","paper_id":"fizyka-2026-maj-matura-stara-rozszerzona","number":"1.2","points":2,"ptype":"open","subject":"fizyka","category":"matura","year":2026,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 1.2. (0-2)\nOblicz v𝟎. Zapisz obliczenia.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 1.2. (0-2)\nWymagania ogólne\nWymagania szczegółowe\nI. Znajomość i umiejętność\nwykorzystania pojęć i praw fizyki do\nwyjaśniania procesów i zjawisk\nw przyrodzie.\nIII. Wykorzystanie i przetwarzanie\ninformacji zapisanych w postaci tekstu,\ntabel, wykresów, schematów i rysunków.\nZdający:\n1.4) wykorzystuje związki pomiędzy\npołożeniem, prędkością i przyspieszeniem\nw ruchu jednostajnym i jednostajnie zmiennym\ndo obliczania parametrów ruchu;\n1.5) rysuje i interpretuje wykresy zależności\nparametrów ruchu od czasu;\n1.6) oblicza parametry ruchu podczas\nswobodnego spadku i rzutu pionowego.\n1 Rozporządzenie Ministra Edukacji Narodowej z dnia 27 sierpnia 2012 r. w sprawie podstawy programowej\nwychowania przedszkolnego oraz kształcenia ogólnego w poszczególnych typach szkół (Dz.U. z 2012 r. poz.\n977).\nZasady oceniania2\n2 pkt - poprawna metoda obliczenia prędkości początkowej rzutu w górę oraz podanie\nprawidłowego wyniku liczbowego z jednostką: v0 ≈7,85 m/s\n1 pkt - zapisanie/zastosowanie zależności między prędkością końcową a prędkością\npoczątkową, czasem i przyśpieszeniem w ruchu jednostajnie opóźnionym oraz\nuwzględnienie, że prędkość końcowa wynosi zero, a przyśpieszenie jest równe\nprzyśpieszeniu grawitacyjnemu, np. zapisy równoważne poniższym:\n0 = v0 -𝑔𝑡𝐴𝑊\nLUB\n- skorzystanie z symetrii w czasie dla rzutu pionowego w górę i spadku swobodnego\noraz zapisanie/zastosowanie zależności między prędkością końcową a czasem\ni przyśpieszeniem w spadku swobodnym bez prędkości początkowej, np.:\nv0 = v𝑘 𝑠𝑝𝑎𝑑𝑎𝑛𝑖𝑒= 𝑔𝑡𝑊𝐴 (lub zapisy równoważne)\nLUB\n- zapisanie kompletu równań wynikających z równań ruchu (lub/i zasady zachowania\nenergii mechanicznej), z których można obliczyć 𝑣0, z prawidłową identyfikacją\nczasów w równaniach na ℎ𝑚𝑎𝑥 i ℎ0, np. zapisy równoważne poniższym:\nℎ𝑚𝑎𝑥= v0\n2\n2𝑔+ ℎ0 oraz ℎ𝑚𝑎𝑥= ℎ0 + v0 ⋅0,8 -1\n2 𝑔⋅0,82 oraz ℎ𝑚𝑎𝑥= 1\n2 𝑔⋅12\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązania3\nSposób 1.\nCiało 𝒞 w chwili 𝑡0 = 0 s miało prędkość początkową o wartości v0 skierowaną pionowo\nw górę, a w chwili 𝑡= 0,8 s ciało osiągnęło wysokość maksymalną i miało prędkość końcową\nrówną zero: v𝑘= 0. Od chwili 𝑡0 = 0 s w czasie 𝑡𝐴𝑊= 0,8 s ciało poruszało się ruchem\njednostajnie opóźnionym z przyśpieszeniem grawitacyjnym 𝑔⃗. Skorzystamy z zależności\nprędkości od czasu w ruchu jednostajnie opóźnionym z przyśpieszeniem o wartości 𝑔:\nv𝑘= v0 -𝑔𝑡𝐴𝑊 oraz v𝑘= 0\n0 = v0 -9,81 m\ns2 ⋅0,8 s → v0 = 9,81 m\ns2 ⋅0,8 s ≈7,85 m\ns\nSposób 2.\nSkorzystamy z symetrii w czasie między wznoszeniem swobodnym w rzucie pionowym\na spadkiem swobodnym z przyśpieszeniem grawitacyjnym (wartość prędkości początkowej\nwznoszenia jest równa wartości prędkości końcowej spadania). Rozważmy ruch zastępczy -\nspadek swobodny (z ℎ𝑚𝑎𝑥 do ℎ0) bez prędkości początkowej w czasie 𝑡𝑊𝐴= 0,8 s. Zatem:\nv0 = v𝑘 𝑠𝑝𝑎𝑑𝑎𝑛𝑖𝑎 oraz v𝑘 𝑠𝑝𝑎𝑑𝑎𝑛𝑖𝑎= 𝑔𝑡𝑊𝐴= 9,81 m\ns2 ⋅0,8 s ≈7,85 m\ns\nv0 ≈7,85 m\ns\n2 Pod opisem warunków za przyznanie punktów w niektórych przypadkach podano przykładowe zapisy (lub\nprzykładowe zapisy równoważne), które spełniają te warunki w minimalnym stopniu.\n3 Przykładowe rozwiązania mogą zawierać dodatkowe wyjaśnienia/komentarze, które nie podlegają ocenie.\nWymagane elementy rozwiązania zdającego podlegające ocenie są wyszczególnione i opisane w kryteriach\npunktacji zasad oceniania. Dodatkowe komentarze w rozwiązaniu zamieszczono w celach dydaktycznych.\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":null,"image":"img/fizyka-2026-maj-matura-stara-rozszerzona/zad-1.2.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":5,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Fizyka · Matura · maj 2026 (rozszerzona)","subject_label":"Fizyka","category_label":"Matura"},{"id":"fizyka-2026-maj-matura-stara-rozszerzona/zad/1.3","paper_id":"fizyka-2026-maj-matura-stara-rozszerzona","number":"1.3","points":3,"ptype":"open","subject":"fizyka","category":"matura","year":2026,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 1.3. (0-3)\nOblicz 𝒉𝟎. Zapisz obliczenia.\nEFAP-R0_100","answer":null,"answer_text":"Zadanie 1.3. (0-3)\nWymagania ogólne\nWymagania szczegółowe\nIV. Budowa prostych modeli fizycznych\ni matematycznych do opisu zjawisk.\nIII. Wykorzystanie i przetwarzanie\ninformacji zapisanych w postaci tekstu,\ntabel, wykresów, schematów i rysunków.\nZdający:\n1.4) wykorzystuje związki pomiędzy\npołożeniem, prędkością i przyspieszeniem\nw ruchu jednostajnym i jednostajnie zmiennym\ndo obliczania parametrów ruchu;\n1.5) rysuje i interpretuje wykresy zależności\nparametrów ruchu od czasu;\n1.6) oblicza parametry ruchu podczas\nswobodnego spadku i rzutu pionowego.\nZasady oceniania (dla rozwiązania sposobem 1.)\nRozwiązanie będzie podlegało ocenie, gdy zdający spełni co najmniej jeden z poniższych\nwarunków lub ich kombinację, określoną dalej w schemacie punktowania.\nWarunek h_max-metoda\nPoprawna metoda obliczenia ℎ𝑚𝑎𝑥, tzn. skorzystanie ze związku między drogą a czasem\ni przyśpieszeniem grawitacyjnym w spadku swobodnym (od punktu 𝑊 do 𝐵) bez prędkości\npoczątkowej, oraz uwzględnienie, że 𝑡𝑊𝐵= 1 s, np. zapisy równoważne poniższym:\nℎ𝑚𝑎𝑥= 1\n2 𝑔𝑡𝑊𝐵\n2 oraz 𝑡𝑊𝐵= 1 s\nWarunek Δh-metoda\nPoprawna metoda 1. obliczenia różnicy wysokości Δℎ𝑊𝐴, tzn. skorzystanie ze związku\nmiędzy drogą a czasem i przyśpieszeniem grawitacyjnym w spadku swobodnym (od punktu\n𝑊 do 𝐴) bez prędkości początkowej, oraz uwzględnienie, że 𝑡𝑊𝐴= 0,8 s, np. zapisy\nrównoważne poniższym:\nΔℎ𝑊𝐴= 1\n2 𝑔𝑡𝑊𝐴\n2 oraz 𝑡𝑊𝐴= 0,8 s\nALBO\nPoprawna metoda 2. (zobacz Uwaga przy kroku 2. w sposobie 1. rozwiązania) obliczenia\nróżnicy wysokości Δℎ𝐴𝑊, tzn. skorzystanie ze związku między drogą a prędkością\npoczątkową, czasem i przyśpieszeniem grawitacyjnym w rzucie pionowym (od punktu 𝐴 do\npunktu 𝑊), oraz uwzględnienie, że 𝑡𝐴𝑊= 0,8 s, np. zapisy równoważne poniższym:\nΔℎ𝐴𝑊= v0𝑡𝐴𝑊-1\n2 𝑔𝑡𝐴𝑊\n2 oraz 𝑡𝐴𝑊= 0,8 s\nWarunek h_0-metoda\nZapisanie równania wskazującego na strategię rozwiązania, np. zapisy równoważne\nponiższym:\nℎ0 = ℎ𝑚𝑎𝑥-Δℎ𝐴𝑊\nSchemat punktowania (dla rozwiązania sposobem 1.)\n3 pkt - poprawna metoda obliczenia wysokości ℎ0, z której wyrzucono pionowo w górę\nciało 𝒞 oraz podanie prawidłowego wyniku liczbowego z jednostką: ℎ0 ≈1,8 m\n2 pkt - spełnienie warunków: h_max-metoda oraz Δh-metoda oraz h_0-metoda\nLUB\n- spełnienie warunków: h_max-metoda oraz h_0-metoda oraz podanie prawidłowej\nwartości ℎ𝑚𝑎𝑥≈4,9 m\nLUB\n- spełnienie warunków: Δh-metoda oraz h_0-metoda oraz podanie prawidłowej\nwartości Δℎ≈3,1 m\nLUB\n- spełnienie warunków: Δh-metoda oraz h_max-metoda oraz podanie prawidłowej\nwartości dla Δℎ≈3,1 m lub ℎ𝑚𝑎𝑥≈4,9 m.\n1 pkt - spełnienie warunku h_max-metoda\nLUB\n- spełnienie warunku Δh-metoda\nLUB\n- spełnienie warunku h_0-metoda\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nZasady oceniania (dla rozwiązania sposobem 2.)\n3 pkt - poprawna metoda obliczenia wysokości ℎ0, z której wyrzucono pionowo w górę\nciało 𝒞, oraz podanie prawidłowego wyniku liczbowego z jednostką: ℎ0 ≈1,8 m\n2 pkt - poprawne zapisanie kinematycznego równania ruchu dla ciała 𝒞 oraz\nzapisanie/uwzględnienie warunków, że ℎ= 0 dla 𝑡𝐴𝐵= 1,8 s, oraz v0 = 𝑔𝑡𝐴𝑊, np.:\n0 = ℎ0 + 𝑔𝑡𝐴𝑊𝑡𝐴𝐵-1\n2 𝑔𝑡𝐴𝐵\n2 (lub zapisy równoważne)\n1 pkt - poprawne zapisanie kinematycznego równania ruchu dla ciała 𝒞, np.:\nℎ(𝑡) = ℎ0 + v0𝑡-1\n2 𝑔𝑡2 (lub zapisy równoważne)\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nZasady oceniania (dla rozwiązania sposobem 3.)\n3 pkt - poprawna metoda obliczenia wysokości ℎ0, z której wyrzucono pionowo w górę\nciało 𝒞, oraz podanie prawidłowego wyniku liczbowego z jednostką: ℎ0 ≈1,8 m\n2 pkt - spełnienie warunku za 1 pkt oraz zapisanie/uwzględnienie warunków, że ℎ= 0 dla\n𝑡𝐴′𝐵= 0,2 s (𝐴’ jest punktem symetrycznym do 𝐴), oraz v0 = 𝑔𝑡𝐴𝑊, np.:\n0 = ℎ0 -(𝑔𝑡𝐴𝑊⋅0,2 + 1\n2 𝑔⋅0,22) (lub zapisy równoważne)\n1 pkt - poprawne zapisanie kinematycznego równania ruchu (jednostajnie przyśpieszonego)\ndla ciała 𝒞, licząc czas od momentu gdy osiągnie z powrotem wysokość ℎ0, np.:\nℎ(𝑡) = ℎ0 -𝑠(𝑡) = ℎ0 -(v0𝑡+ 1\n2 𝑔𝑡2) (lub zapisy równoważne)\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nZasady oceniania (dla rozwiązania sposobem 4.)\n3 pkt - poprawna metoda obliczenia wysokości ℎ0, z której wyrzucono pionowo w górę\nciało 𝒞, oraz podanie prawidłowego wyniku liczbowego z jednostką: ℎ0 ≈1,8 m\n2 pkt - spełnienie warunku za 1 pkt oraz zapisanie/uwzględnienie warunku, że v0 = 𝑔𝑡𝐴𝑊,\noraz poprawna metoda obliczenia ℎ𝑚𝑎𝑥, np. zapisy równoważne poniższym:\nℎ0 = ℎ𝑚𝑎𝑥-v0\n2\n2𝑔 oraz v0 = 𝑔𝑡𝐴𝑊 oraz ℎ𝑚𝑎𝑥= 1\n2 𝑔𝑡𝑊𝐵\n2\n1 pkt - poprawne zapisanie równania zasady zachowania energii mechanicznej (lub z\nrównań ruchu z wyeliminowanym czasem), np. zapisy równoważne poniższym:\nℎ0 = ℎ𝑚𝑎𝑥-v0\n2\n2𝑔\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nZasady oceniania (dla rozwiązania sposobem 5.)\n3 pkt - poprawna metoda obliczenia wysokości ℎ0, z której wyrzucono pionowo w górę\nciało 𝒞, oraz podanie prawidłowego wyniku liczbowego z jednostką: ℎ0 ≈1,8 m\n2 pkt - spełnienie warunku za 1 pkt oraz podstawienie do równania paraboli współrzędnych\npunktów 𝐴 i 𝐵 oraz wyznaczenie zależności między ℎ0 i ℎ𝑚𝑎𝑥, np. zapisy\nrównoważne poniższym:\n{ ℎ0 = 𝑘(0 -0,8)2 + ℎ𝑚𝑎𝑥\n0 = 𝑘(1,8 -0,8)2 + ℎ𝑚𝑎𝑥\n→ ℎ0 = 0,36ℎ𝑚𝑎𝑥\nLUB\n- spełnienie warunku za 1 pkt oraz podstawienie do równania paraboli współrzędnych\npunktów 𝐴 i 𝐵 oraz poprawna metoda wyznaczenia ℎ𝑚𝑎𝑥, np. zapisy równoważne\nponiższym:\n{ ℎ0 = 𝑘(0 -0,8)2 + ℎ𝑚𝑎𝑥\n0 = 𝑘(1,8 -0,8)2 + ℎ𝑚𝑎𝑥\noraz ℎ𝑚𝑎𝑥= 1\n2 𝑔𝑡𝑊𝐵\n2\n1 pkt - zapisanie równania paraboli (której fragment jest wykresem ℎ(𝑡)) w postaci\nkanonicznej z podstawionymi współrzędnymi wierzchołka 𝑊, np. zapisy równoważne\nponiższym:\nℎ(𝑡) = 𝑘(𝑡-0,8)2 + ℎ𝑚𝑎𝑥\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób 1.\nOkreślimy strategię postępowania:\nKrok 1. Obliczymy ℎ𝑚𝑎𝑥.\nKrok 2. Obliczymy Δℎ𝐴𝑊. Skorzystamy z symetrii w czasie między wznoszeniem\nswobodnym w rzucie pionowym a spadkiem swobodnym bez prędkości początkowej\n(oba ruchy z przyśpieszeniem grawitacyjnym):\nΔℎ𝐴𝑊= Δℎ𝑊𝐴 oraz 𝑡𝑤𝑧𝑛𝑜𝑠𝑧𝑒𝑛𝑖𝑎 𝐴𝑊= 𝑡𝑠𝑝𝑎𝑑𝑎𝑛𝑖𝑎 𝑊𝐴\nKrok 3. Obliczymy ℎ0. Skorzystamy z faktu, że ℎ𝑚𝑎𝑥= ℎ0 + Δℎ𝐴𝑊.\nKrok 1. Obliczymy ℎ𝑚𝑎𝑥. Skorzystamy ze związku między drogą (równą wysokości\nmaksymalnej) a przyśpieszeniem (równym grawitacyjnemu) i czasem w ruchu jednostajnie\nprzyśpieszonym. Czas opadania od punktu 𝑊 do 𝐵 określimy na podstawie wykresu:\nℎ𝑚𝑎𝑥= 1\n2 𝑔𝑡𝑊𝐵\n2 gdzie 𝑡𝑊𝐵= 𝑡𝐵-𝑡𝑊= 1,8 s -0,8 s = 1,0 s\nℎ𝑚𝑎𝑥= 1\n2 ⋅9,81\nm\ns2 ⋅(1 s)2 = 4,905 m\nKrok 2. Obliczymy Δℎ𝐴𝑊:\nΔℎ𝐴𝑊= Δℎ𝑊𝐴 oraz 𝑡𝑤𝑧𝑛𝑜𝑠𝑧𝑒𝑛𝑖𝑎 𝐴𝑊= 𝑡𝑠𝑝𝑎𝑑𝑎𝑛𝑖𝑎 𝑊𝐴= 0,8 s\nΔℎ𝑊𝐴= 1\n2 𝑔𝑡𝑠𝑝𝑎𝑑𝑎𝑛𝑖𝑎 𝑊𝐴\n2\nΔℎ𝑊𝐴= 1\n2 ⋅9,81 m\ns2 ⋅(0,8 s)2 = 3,1392 m zatem Δℎ𝐴𝑊= 3,1392 m\nUwaga! Krok 2. można zrealizować drugą metodą, z wykorzystaniem równań ruchu dla rzutu\npionowego w górę oraz z obliczonej wcześniej prędkości początkowej:\nΔℎ𝐴𝑊= v0𝑡𝐴𝑊-1\n2 𝑔𝑡𝐴𝑊\n2\n= 7,848 m\ns ⋅0,8 s - 1\n2 ⋅9,81 m\ns2 ⋅(0,8 s)2 = 3,1392 m\nKrok 3. Obliczymy ℎ0:\nℎ0 = ℎ𝑚𝑎𝑥-Δℎ𝐴𝑊\nℎ0 = 4,905 m -3,1392 m = 1,7658 m ≈1,8 m\nSposób 2.\nSkorzystamy z równania ruchu jednostajnie opóźnionego ciała 𝒞, z położeniem\npoczątkowym ℎ0, prędkością początkową v0 i przyśpieszeniem grawitacyjnym 𝑔:\nℎ(𝑡) = ℎ0 + v0𝑡-1\n2 𝑔𝑡2\nZauważmy, że dla 𝑡= 𝑡𝐴𝐵 mamy ℎ= 0, ponadto v0 = 𝑔𝑡𝐴𝑊:\n0 = ℎ0 + v0𝑡𝐴𝐵-1\n2 𝑔𝑡𝐴𝐵\n2 oraz v0 = 𝑔𝑡𝐴𝑊\n0 = ℎ0 + 𝑔𝑡𝐴𝑊𝑡𝐴𝐵-1\n2 𝑔𝑡𝐴𝐵\n2\nObliczymy ℎ0. Z wykresu odczytamy czasy 𝑡𝐴𝑊 oraz 𝑡𝐴𝐵 i podstawimy do powyższego\nrównania:\n0 = ℎ0 + 9,81 m\ns2 ⋅(0,8 s) ⋅(1,8 s) -1\n2 ⋅9,81 m\ns2 ⋅(1,8 s)2\nℎ0 = 1\n2 ⋅9,81 m\ns2 ⋅(1,8 s)2 -9,81 m\ns2 ⋅(0,8 s) ⋅(1,8 s)\nℎ0 = 1,7658 m ≈1,8 m\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nSposób 3.\nSkorzystamy z równania ruchu jednostajnie przyśpieszonego ciała 𝒞, licząc czas 𝑡 od\nmomentu, gdy osiągnie z powrotem wysokość ℎ0 w chwili 𝑡𝐴′ = 1,6 s (na wykresie jest to\npunkt 𝐴’ symetryczny do punktu 𝐴). Prędkość początkowa tego ruchu ma wartość v0 i jest\nskierowana w dół. Zapiszemy równanie ruchu jednostajnie przyśpieszonego\nz przyśpieszeniem o wartości 𝑔:\nℎ(𝑡) = ℎ0 -𝑠(𝑡) = ℎ0 -(v0𝑡+ 1\n2 𝑔𝑡2 )\nZauważmy, że dla 𝑡= 𝑡𝐴′𝐵= 0,2 s mamy ℎ= 0, ponadto v0 = 𝑔𝑡𝐴𝑊:\n0 = ℎ0 -(v0 ⋅0,2 s + 1\n2 𝑔⋅(0,2 s)2) oraz v0 = 𝑔𝑡𝐴𝑊= 7,85 m\ns\nℎ0 = 7,85 m\ns ⋅0,2 s + 1\n2 ⋅9,81 m\ns2 ⋅(0,2 s)2\nℎ0 = 1,7662 m ≈1,8 m\nSposób 4.\nZapiszemy równanie wynikające z zasady zachowania energii mechanicznej:\n𝑔ℎ𝑚𝑎𝑥= v0\n2\n2 + 𝑔ℎ0 → ℎ0 = ℎ𝑚𝑎𝑥-v0\n2\n2𝑔\nWyznaczymy ℎ𝑚𝑎𝑥 oraz v0:\nℎ𝑚𝑎𝑥= 1\n2 𝑔𝑡𝑊𝐵\n2 oraz v0 = 𝑔𝑡𝐴𝑊\nZ powyższych równań wynika:\nℎ0 = 1\n2 𝑔𝑡𝑊𝐵\n2\n-1\n2 𝑔𝑡𝐴𝑊\n2\n= 1\n2 ⋅9,81 ⋅(12 -0,82) m = 1,7658 m ≈1,8 m\nSposób 5.\nWyznaczymy równanie paraboli, której fragment jest wykresem zależności ℎ(𝑡). Skorzystamy\nz postaci kanonicznej równania paraboli. Współczynnik wiodący równania paraboli oznaczymy\njako 𝑘. Współrzędne wierzchołka to 𝑊= (𝑡𝑊; ℎ𝑊) = (0,8 ; ℎ𝑚𝑎𝑥) zatem:\n1) ℎ(𝑡) = 𝑘(𝑡-𝑡𝑤)2 + ℎ𝑊 → 2) ℎ(𝑡) = 𝑘(𝑡-0,8)2 + ℎ𝑚𝑎𝑥\nUwaga! W równaniach podstawiamy wartości liczbowe lub symbole odpowiednich wielkości\nbez wypisywania jednostek, przy czym zakładamy, że są to jednostki podstawowe układu SI.\nDo równania 2) podstawimy współrzędne punktów 𝐴 i 𝐵:\n{𝐴= (0; ℎ0) →ℎ(𝑡)\n𝐵= (1,8 ; 0) →ℎ(𝑡) → { ℎ0 = 𝑘(0 -0,8)2 + ℎ𝑚𝑎𝑥\n0 = 𝑘(1,8 -0,8)2 + ℎ𝑚𝑎𝑥\n{ℎ0 = 0,64𝑘+ ℎ𝑚𝑎𝑥\n0 = 𝑘⋅12 + ℎ𝑚𝑎𝑥\n→ {ℎ0 = 0,64 ⋅(-ℎ𝑚𝑎𝑥 ) + ℎ𝑚𝑎𝑥\n𝑘= -ℎ𝑚𝑎𝑥\nZatem:\n{ℎ0 = 0,36ℎ𝑚𝑎𝑥\n𝑘= -ℎ𝑚𝑎𝑥\nPrzykładowy sposób 1. prowadzenia dalszego rachunku\nNa podstawie równania ruchu jednostajnego opóźnionego: ℎ(𝑡) = ℎ0 + v0𝑡-\n𝑎𝑡2\n2 ,\nzauważamy, że współczynnik wiodący równania paraboli wynosi 𝑘= -\n𝑎\n2. Zatem:\n{\nℎ0 = 0,36ℎ𝑚𝑎𝑥\n-𝑔\n2 = -ℎ𝑚𝑎𝑥 → {\nℎ0 = 0,36 ⋅𝑔\n2\nℎ𝑚𝑎𝑥= 𝑔\n2\n→ {ℎ0 = 1,7685 m ≈1,77 m\nℎ𝑚𝑎𝑥= 4,905 m\nPrzykładowy sposób 2. prowadzenia dalszego rachunku\nObliczymy ℎ𝑚𝑎𝑥 ze wzoru na wysokość w spadku swobodnym:\nℎ𝑚𝑎𝑥= 1\n2 𝑔𝑡𝑊𝐵\n2\n→ ℎ𝑚𝑎𝑥= 1\n2 ⋅9,81\nm\ns2 ⋅(1 s)2 = 4,905 m\nZatem:\nℎ0 = 0,36ℎ𝑚𝑎𝑥 = 0,36 ⋅4,905 m ≈1,77 m","solution":null,"image":"img/fizyka-2026-maj-matura-stara-rozszerzona/zad-1.3.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":5,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Fizyka · Matura · maj 2026 (rozszerzona)","subject_label":"Fizyka","category_label":"Matura"},{"id":"fizyka-2026-maj-matura-stara-rozszerzona/zad/2","paper_id":"fizyka-2026-maj-matura-stara-rozszerzona","number":"2","points":null,"ptype":"open","subject":"fizyka","category":"matura","year":2026,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 2.\nDo jednego z końców nierozciągliwej nici o długości 𝑙 zamocowano niewielkie ciało ℬ\no masie 𝑚. Drugi koniec nici jest unieruchomiony w punkcie 𝑆. Następnie ciało ℬ wprawiono\nw ruch po okręgu o środku w punkcie 𝑆 w płaszczyźnie pionowej.\nPrzyjmij model zjawiska, w którym:\n\nna ciało ℬ podczas ruchu działają dwie siły:\n𝐹⃗𝑔 - siła grawitacji oraz 𝐹⃗𝑛 - siła reakcji nici\n\npomijamy wszelkie opory ruchu, masę nici, a ciało ℬ\ntraktujemy jako punkt materialny\n\nciało ℬ porusza się w inercjalnym układzie odniesienia,\nw jednorodnym, ziemskim polu grawitacyjnym.\nSytuację ilustruje rysunek powyżej, na którym oznaczono przyśpieszenie ziemskie 𝑔⃗.","answer":null,"answer_text":"2","solution":null,"image":"img/fizyka-2026-maj-matura-stara-rozszerzona/zad-2.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":6,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Fizyka · Matura · maj 2026 (rozszerzona)","subject_label":"Fizyka","category_label":"Matura"},{"id":"fizyka-2026-maj-matura-stara-rozszerzona/zad/2.1","paper_id":"fizyka-2026-maj-matura-stara-rozszerzona","number":"2.1","points":2,"ptype":"open","subject":"fizyka","category":"matura","year":2026,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 2.1. (0-2)\nNa poniższym rysunku przedstawiono wektory prędkości ciała ℬ w dwóch różnych chwilach\nczasu podczas opisanego ruchu tego ciała po okręgu.\nDługość boku kratki odpowiada umownej jednostce odległości.\nRysunek\nNa rysunku powyżej wyznacz konstrukcyjnie środek okręgu, po którym porusza się\nciało 𝓑. Podpisz środek tego okręgu jako 𝑺.\nZapisz w wykropkowanym miejscu poniżej długość 𝒍 promienia tego okręgu. Wyraź tę\ndługość w umownych jednostkach odległości.\n𝑙= długości boku kratki\nUwaga! W tym przykładzie środek 𝑆 okręgu leży w punkcie kratowym.\nvሬԦ1\nvሬԦ2\n𝑆\nℬ\n𝑙\n𝑔Ԧ\nEFAP-R0_100","answer":null,"answer_text":"Zadanie 2.1. (0-2)\nWymagania ogólne\nWymagania szczegółowe\nIV. Budowa prostych modeli fizycznych\ni matematycznych do opisu zjawisk.\nIII. Wykorzystanie i przetwarzanie\ninformacji zapisanych w postaci tekstu,\ntabel, wykresów, schematów i rysunków.\nZdający:\n1.1) rozróżnia wielkości wektorowe od\nskalarnych […];\n1.14) […] opisuje wektory prędkości\ni przyspieszenia dośrodkowego.\nZasady oceniania\n2 pkt - poprawne wyznaczenie konstrukcyjne położenia środka 𝑆 okręgu oraz wpisanie\nprawidłowej wartości liczbowej dla długości promienia okręgu.\n1 pkt - poprawna (co do zasady) metoda przeprowadzenia konstrukcji położenia środka 𝑆\nokręgu za pomocą prostych prostopadłych do wektorów prędkości (albo symetralnej\nodcinka łączącego początki wektorów prędkości i prostej prostopadłej do jednego\nz wektorów prędkości)\nLUB\n- poprawne oznaczenie położenia środka 𝑆 okręgu bez konstrukcji oraz wpisanie\nprawidłowej wartości liczbowej dla długości promienia okręgu.\n0 pkt - rozwiązanie niepoprawne albo brak rozwiązania.\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nPełne rozwiązanie\n𝑙= długości kratek","solution":null,"image":"img/fizyka-2026-maj-matura-stara-rozszerzona/zad-2.1.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":6,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Fizyka · Matura · maj 2026 (rozszerzona)","subject_label":"Fizyka","category_label":"Matura"},{"id":"fizyka-2026-maj-matura-stara-rozszerzona/zad/2.2","paper_id":"fizyka-2026-maj-matura-stara-rozszerzona","number":"2.2","points":1,"ptype":"closed","subject":"fizyka","category":"matura","year":2026,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 2.2. (0-1)\nNa którym rysunku (spośród A-D) prawidłowo przedstawiono siły - grawitacji 𝑭ሬ⃗𝒈 oraz\nreakcji nici 𝑭ሬ⃗𝒏 - działające na ciało 𝓑 podczas ruchu po okręgu, gdy przechodzi ono\nprzez najniższe położenie? Zaznacz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nA.\nB.\nC.\nD.\n𝑆\n𝐹Ԧ𝑔\n𝐹Ԧ𝑛\n𝐹𝑛> 𝐹𝑔\n𝑆\n𝐹Ԧ𝑔\n𝐹Ԧ𝑛\n𝐹𝑔> 𝐹𝑛\n𝑆\n𝐹Ԧ𝑔\n𝐹Ԧ𝑛\n𝐹𝑛= 𝐹𝑔\n𝑆\n𝐹Ԧ𝑔\n𝐹Ԧ𝑛\n𝐹𝑔= 𝐹𝑛\nEFAP-R0_100","answer":null,"answer_text":"Zadanie 2.2. (0-1)\nWymagania ogólne\nWymagania szczegółowe\nI. Znajomość i umiejętność\nwykorzystania pojęć i praw fizyki do\nwyjaśniania procesów i zjawisk\nw przyrodzie.\nIII. Wykorzystanie i przetwarzanie\ninformacji zapisanych w postaci tekstu,\ntabel, wykresów, schematów i rysunków.\nZdający:\n1.3) (G) podaje przykłady sił i rozpoznaje je\nw różnych sytuacjach praktycznych;\n1.9) (G) posługuje się pojęciem siły ciężkości.\n1.8) wyjaśnia ruch ciał na podstawie drugiej\nzasady dynamiki Newtona;\n1.13) składa i rozkłada siły działające wzdłuż\nprostych nierównoległych;\n1.14) […] opisuje wektory prędkości\ni przyspieszenia dośrodkowego.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nB\n10\nvሬ⃗1\nvሬ⃗2\n𝑆","solution":null,"image":"img/fizyka-2026-maj-matura-stara-rozszerzona/zad-2.2.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":7,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Fizyka · Matura · maj 2026 (rozszerzona)","subject_label":"Fizyka","category_label":"Matura"},{"id":"fizyka-2026-maj-matura-stara-rozszerzona/zad/2.3","paper_id":"fizyka-2026-maj-matura-stara-rozszerzona","number":"2.3","points":4,"ptype":"open","subject":"fizyka","category":"matura","year":2026,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 2.3. (0-4)\nSiła 𝐹⃗𝑛, z jaką nić działa na ciało ℬ podczas jego ruchu po okręgu, zmienia swoją wartość.\nNajwiększą wartość tej siły oznaczymy jako 𝐹𝑛 𝑚𝑎𝑥, a najmniejszą - jako 𝐹𝑛 𝑚𝑖𝑛.\nDany jest iloraz największej i najmniejszej wartości prędkości ciała ℬ podczas jego ruchu po\nokręgu:\nv𝑚𝑎𝑥\nv𝑚𝑖𝑛\n= √3\nOblicz iloraz\n𝑭𝒏 𝒎𝒂𝒙\n𝑭𝒏 𝒎𝒊𝒏\n. Zapisz obliczenia.\nEFAP-R0_100\nEFAP-R0_100","answer":null,"answer_text":"Zadanie 2.3. (0-4)\nWymagania ogólne\nWymagania szczegółowe\nIV. Budowa prostych modeli fizycznych\ni matematycznych do opisu zjawisk.\nIII. Wykorzystanie i przetwarzanie\ninformacji zapisanych w postaci tekstu,\ntabel, wykresów, schematów i rysunków.\nZdający:\n1.3) (G) podaje przykłady sił i rozpoznaje je\nw różnych sytuacjach praktycznych;\n1.9) (G) posługuje się pojęciem siły ciężkości.\n1.8) wyjaśnia ruch ciał na podstawie drugiej\nzasady dynamiki Newtona;\n1.13) składa i rozkłada siły działające wzdłuż\nprostych nierównoległych;\n1.14) […] opisuje wektory prędkości\ni przyspieszenia dośrodkowego.\n3.2) oblicza wartość energii kinetycznej\ni potencjalnej ciał w jednorodnym polu\ngrawitacyjnym;\n3.3) wykorzystuje zasadę zachowania energii\nmechanicznej do obliczania parametrów ruchu.\nZasady oceniania\nRozwiązanie będzie podlegało ocenie, gdy zdający spełni co najmniej jeden z poniższych\nwarunków lub ich kombinację, określoną dalej w schemacie punktowania.\nWarunek SIŁY_MAX\nZapisanie związku między wartością siły wypadkowej (dośrodkowej) działającej na ciało ℬ\nw najniższym położeniu a maksymalną wartością siły reakcji nici i wartością siły grawitacji,\nnp. zapisy równoważne poniższym:\n𝐹𝑑𝑜 𝑚𝑎𝑥= 𝐹𝑛 𝑚𝑎𝑥-𝐹𝑔\nWarunek SIŁY_MIN\nZapisanie związku między wartością siły wypadkowej (dośrodkowej) działającej na ciało ℬ\nw najwyższym położeniu a minimalną wartością siły reakcji nici i wartością siły grawitacji, np.\nzapisy równoważne poniższym:\n𝐹𝑑𝑜 𝑚𝑖𝑛= 𝐹𝑛 𝑚𝑖𝑛+ 𝐹𝑔\nUwaga! W przypadku rozwiązania zadania w układzie nieinercjalnym wszystkie warunki\ni wzory pozostają analogiczne z tą różnicą, że zamiast siły wypadkowej pełniącej rolę\ndośrodkowej rozważa się „siłę” odśrodkową (bezwładności) i zamiast II zasady dynamiki\nrozważa się równowagę sił (łącznie z „siłą” odśrodkową).\nWarunek SIŁY_MAX+WZORY\nSpełnienie warunku SIŁY_MAX oraz zastosowanie wzoru na wartość siły dośrodkowej\n(zastosowanie II zasady dynamiki) z uwzględnieniem prędkości maksymalnej 𝑣𝑚𝑎𝑥\ni zastosowanie wzoru na wartość siły grawitacji: np. zapisy równoważne poniższym:\n𝑚𝑣𝑚𝑎𝑥\n2\n𝑙\n= 𝐹𝑛 𝑚𝑎𝑥-𝑚𝑔\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nWarunek SIŁY_MIN+WZORY\nSpełnienie warunku SIŁY_MIN oraz zastosowanie wzoru na wartość siły dośrodkowej\n(zastosowanie II zasady dynamiki) z uwzględnieniem prędkości minimalnej 𝑣𝑚𝑖𝑛\ni zastosowanie wzoru na wartość siły grawitacji: np. zapisy równoważne poniższym:\n𝑚𝑣𝑚𝑖𝑛\n2\n𝑙\n= 𝐹𝑛 𝑚𝑖𝑛+ 𝑚𝑔\nWarunek ZZE\nZapisanie równania wynikającego z zasady zachowania energii mechanicznej w najniższym\ni najwyższym położeniu ciała ℬ oraz uwzględnienie w tym równaniu prędkości 𝑣𝑚𝑖𝑛, 𝑣𝑚𝑎𝑥\nwe wzorach na energie kinetyczne i uwzględnienie różnicy wysokości 2𝑙 we wzorze na\nenergię potencjalną, np. zapisy równoważne poniższym:\n𝑚𝑣𝑚𝑎𝑥\n2\n2\n= 𝑚𝑣𝑚𝑖𝑛\n2\n2\n+ 𝑚𝑔2𝑙\nWarunek ZZE+ZALEŻNOŚĆ\nSpełnienie warunku ZZE oraz wykorzystanie związku\n𝑣𝑚𝑎𝑥\n𝑣𝑚𝑖𝑛= √3, oraz wyprowadzenie\nzależności między 𝑣𝑚𝑎𝑥 albo 𝑣𝑚𝑖𝑛 a iloczynem 𝑔𝑙, np. zapisy równoważne poniższym:\n(𝑚𝑣𝑚𝑎𝑥\n2\n2\n= 𝑚𝑣𝑚𝑖𝑛\n2\n2\n+ 𝑚𝑔2𝑙 oraz 𝑣𝑚𝑎𝑥\n𝑣𝑚𝑖𝑛\n= √3) → (𝑣𝑚𝑖𝑛= √2𝑔𝑙 albo 𝑣𝑚𝑎𝑥= √6𝑔𝑙)\nSchemat punktowania\n4 pkt - poprawna metoda obliczenia ilorazu sił reakcji nici oraz podanie prawidłowego\nwyniku liczbowego:\n𝐹𝑛 𝑚𝑎𝑥\n𝐹𝑛 𝑚𝑖𝑛= 7\n3 pkt - spełnienie warunków:\nSIŁY_MAX+WZORY oraz SIŁY_MIN+WZORY oraz ZZE+ZALEŻNOŚĆ\n2 pkt - spełnienie warunków: SIŁY_MAX+WZORY oraz SIŁY_MIN+WZORY\nLUB\n- spełnienie warunku ZZE+ZALEŻNOŚĆ\nLUB\n- spełnienie warunków: SIŁY_MAX oraz SIŁY_MIN oraz ZZE\nLUB\n- spełnienie warunków: (SIŁY_MAX+WZORY albo SIŁY_MIN+WZORY) oraz ZZE\n1 pkt - spełnienie warunku SIŁY_MAX\nLUB\n- spełnienie warunku SIŁY_MIN\nLUB\n- spełnienie warunku ZZE\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nZagadnienie rozwiążemy w inercjalnym układzie odniesienia. Siła reakcji nici działająca na\nciało ℬ podczas ruchu po okręgu ma największą wartość, gdy przechodzi ono przez\nnajniższe położenie (gdzie ma największą prędkość), a najmniejszą wartość - gdy\nprzechodzi ono przez najwyższe położenie (gdzie ma najmniejszą prędkość).\nSiła reakcji nici ma kierunek wzdłuż nici i zwrot do środka okręgu. Zatem siła wypadkowa\ndziałająca na ciało ℬ w górnym i dolnym położeniu ma charakter siły dośrodkowej i wiąże się\nz siłą reakcji nici i siłą grawitacji działającą na ℬ następująco:\n1) {𝐹𝑑𝑜 𝑚𝑎𝑥= 𝐹𝑛 𝑚𝑎𝑥-𝐹𝑔\n𝐹𝑑𝑜 𝑚𝑖𝑛= 𝐹𝑛 𝑚𝑖𝑛+ 𝐹𝑔\nZastosujemy wzór na siłę dośrodkową (równoważnie: II zasadę dynamiki i wzór na\nprzyśpieszenie dośrodkowe):\n2)\n{\n𝑚𝑣𝑚𝑎𝑥\n2\n𝑙\n= 𝐹𝑛 𝑚𝑎𝑥-𝑚𝑔\n𝑚𝑣𝑚𝑖𝑛\n2\n𝑙\n= 𝐹𝑛 𝑚𝑖𝑛+ 𝑚𝑔\n→ 2a)\n{\n𝐹𝑛 𝑚𝑎𝑥= 𝑚𝑣𝑚𝑎𝑥\n2\n𝑙\n+ 𝑚𝑔\n𝐹𝑛 𝑚𝑖𝑛= 𝑚𝑣𝑚𝑖𝑛\n2\n𝑙\n-𝑚𝑔\nOkreślimy związek między maksymalną a minimalną wartością prędkości na podstawie\nzasady zachowania energii mechanicznej. Energia mechaniczna w najwyższym położeniu\njest równa energii mechanicznej w najniższym położeniu. Ponadto wykorzystamy związek\nmiędzy tymi prędkościami podany w treści zadania. Z tych zależności wyznaczymy prędkości\nmaksymalną i minimalną w funkcji 𝑔 oraz 𝑙:\n3) {\n𝑚𝑣𝑚𝑎𝑥\n2\n2\n= 𝑚𝑣𝑚𝑖𝑛\n2\n2\n+ 𝑚𝑔2𝑙\n𝑣𝑚𝑎𝑥\n𝑣𝑚𝑖𝑛\n= √3\n→\n3a) {\n𝑚(3𝑣𝑚𝑖𝑛\n2\n)\n2\n= 𝑚𝑣𝑚𝑖𝑛\n2\n2\n+ 𝑚𝑔2𝑙\n𝑣𝑚𝑎𝑥\n𝑣𝑚𝑖𝑛\n= √3\n→ 3b) { 𝑣𝑚𝑖𝑛= √2𝑔𝑙\n𝑣𝑚𝑎𝑥= √6𝑔𝑙\nWartości prędkości otrzymane w pkt 3b) podstawimy do pkt 2a):\n4) {\n𝐹𝑛 𝑚𝑎𝑥= 𝑚(6𝑔𝑙)\n𝑙\n+ 𝑚𝑔\n𝐹𝑛 𝑚𝑖𝑛= 𝑚(2𝑔𝑙)\n𝑙\n-𝑚𝑔\n→ 4a) {𝐹𝑛 𝑚𝑎𝑥= 7𝑚𝑔\n𝐹𝑛 𝑚𝑖𝑛= 𝑚𝑔\nZapiszemy rozwiązanie:\n5) 𝐹𝑛 𝑚𝑎𝑥\n𝐹𝑛 𝑚𝑖𝑛\n= 7\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":null,"image":"img/fizyka-2026-maj-matura-stara-rozszerzona/zad-2.3.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":8,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Fizyka · Matura · maj 2026 (rozszerzona)","subject_label":"Fizyka","category_label":"Matura"},{"id":"fizyka-2026-maj-matura-stara-rozszerzona/zad/3","paper_id":"fizyka-2026-maj-matura-stara-rozszerzona","number":"3","points":null,"ptype":"open","subject":"fizyka","category":"matura","year":2026,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 3.\nBloczek 𝒲, który jest jednorodnym walcem, podwieszono do sufitu. Przez ten bloczek\nprzerzucono linę. Do jednego końca liny przymocowano ciężarek 𝒞, a do drugiego końca liny\nprzyłożono zewnętrzną siłę 𝐹⃗. Siła 𝐹⃗ oraz drugi koniec liny są skierowane pod kątem 𝛼 do\npoziomu (zobacz rysunek obok).\nPrzyjmij model zjawiska, w którym:\n\nmasę walca (bloczka 𝒲) oznaczymy jako 𝑚𝑤\n\npromień walca (bloczka 𝒲) oznaczymy jako 𝑅\n\nmasę ciężarka oznaczymy jako 𝑚𝑐\n\nmoment bezwładności walca (bloczka 𝒲)\nwzględem jego osi wyraża się wzorem:\n𝐼0 = 1\n2 𝑚𝑤𝑅2\n\nlina jest nierozciągliwa i nie ślizga się po bloczku\n\nmasę liny pomijamy\n\nbloczek może obracać się wokół swojej osi bez tarcia\n\nruch układu rozpatrujemy w inercjalnym układzie odniesienia, w jednorodnym, ziemskim\npolu grawitacyjnym. Przyśpieszenie ziemskie oznaczymy jako 𝑔⃗.","answer":null,"answer_text":null,"solution":null,"image":"img/fizyka-2026-maj-matura-stara-rozszerzona/zad-3.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":10,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Fizyka · Matura · maj 2026 (rozszerzona)","subject_label":"Fizyka","category_label":"Matura"},{"id":"fizyka-2026-maj-matura-stara-rozszerzona/zad/3.1","paper_id":"fizyka-2026-maj-matura-stara-rozszerzona","number":"3.1","points":1,"ptype":"closed","subject":"fizyka","category":"matura","year":2026,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 3.1. (0-1)\nRozważamy taką sytuację 1., w której ciężarek oraz bloczek się nie poruszają.\nDokończ zdanie. Zaznacz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nWartość 𝐹 siły 𝐹⃗ w opisanej sytuacji 1. wyraża się wzorem\nA. 𝐹= 𝑚𝑐𝑔\nB. 𝐹= (𝑚𝑐+ 𝑚𝑤)𝑔\nC. 𝐹= 𝑚𝑐𝑔⋅cos 𝛼\nD. 𝐹= 𝑚𝑐𝑔⋅sin 𝛼\n𝒞\n𝒲\n𝑅\n𝐹Ԧ\n𝑔Ԧ\n𝛼\nEFAP-R0_100","answer":"A","answer_text":"Zadanie 3.1. (0-1)\nWymagania ogólne\nWymagania szczegółowe\nI. Znajomość i umiejętność\nwykorzystania pojęć i praw fizyki do\nwyjaśniania procesów i zjawisk\nw przyrodzie.\nZdający:\n2.3) oblicza momenty sił;\n2.4) analizuje równowagę brył sztywnych,\nw przypadku gdy siły leżą w jednej\npłaszczyźnie (równowaga sił i momentów sił).\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nA","solution":null,"image":"img/fizyka-2026-maj-matura-stara-rozszerzona/zad-3.1.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":10,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Fizyka · Matura · maj 2026 (rozszerzona)","subject_label":"Fizyka","category_label":"Matura"},{"id":"fizyka-2026-maj-matura-stara-rozszerzona/zad/3.2","paper_id":"fizyka-2026-maj-matura-stara-rozszerzona","number":"3.2","points":4,"ptype":"open","subject":"fizyka","category":"matura","year":2026,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 3.2. (0-4)\nRozważamy taką sytuację 2., w której bloczek się obraca, a ciężarek porusza się pionowo\nw dół z przyśpieszeniem 𝑎⃗ (skierowanym w dół) o wartości:\n𝑎= 1\n2 𝑔\nWyznacz 𝑭 - wartość siły 𝑭ሬ⃗ w opisanej sytuacji 2. - w zależności tylko od wartości\nprzyśpieszenia ziemskiego 𝒈 oraz od masy ciężarka 𝒎𝒄 i masy walca 𝒎𝒘.\nZapisz odpowiednie równania i przekształcenia oraz podaj postać wzoru na 𝑭.\nEFAP-R0_100","answer":null,"answer_text":"Zadanie 3.2. (0-4)\nWymagania ogólne\nWymagania szczegółowe\nI. Znajomość i umiejętność\nwykorzystania pojęć i praw fizyki do\nwyjaśniania procesów i zjawisk\nw przyrodzie.\nIV. Budowa prostych modeli fizycznych\ni matematycznych do opisu zjawisk.\nZdający:\n2.3) oblicza momenty sił;\n2.6) opisuje ruch obrotowy bryły sztywnej wokół\nosi przechodzącej przez środek masy […];\n2.7) analizuje ruch obrotowy bryły sztywnej pod\nwpływem momentu sił;\nALBO\n2.9) uwzględnia energię kinetyczną ruchu\nobrotowego w bilansie energii.\n3.3) wykorzystuje zasadę zachowania energii\nmechanicznej do obliczania parametrów ruchu.\nZasady oceniania (dla rozwiązania sposobem 1. albo 3.)\n4 pkt - poprawna metoda wyznaczenia wartości 𝐹 siły działającej na bloczek oraz zapisanie\nprawidłowej postaci wzoru na 𝐹:\n𝐹= 1\n2 𝑔(𝑚𝑐-1\n2 𝑚𝑤) (lub przekształconego równoważnie)\n3 pkt - spełnienie warunku za 2 pkt z pierwszego myślnika oraz uwzględnienie związku\nmiędzy przyśpieszeniem liniowym ciężarka a przyśpieszeniem kątowym bloczka\ni wzoru na moment bezwładności bloczka, np. zapisy równoważne poniższym:\n𝑚𝑐𝑎= 𝐹𝑔-𝐹𝑛 oraz 1\n2 𝑚𝑤𝑅2 𝑎\n𝑅= 𝑅𝐹𝑛-𝑅𝐹\nLUB\n- (dotyczy rozwiązania sposobem 3.) spełnienie warunku za 2 pkt opisanego przy\ntrzecim myślniku oraz uwzględnienie związku między przyśpieszeniem liniowym\nciężarka a przyśpieszeniem kątowym bloczka i wzoru na moment bezwładności\nwalca i „doklejonego” ciężarka, np. zapisy równoważne poniższym:\n(1\n2 𝑚𝑤𝑅2 + 𝑚𝑐𝑅2 ) 𝑎\n𝑅 = 𝑚𝑐𝑔𝑅-𝐹𝑅\n2 pkt - zapisanie poprawnych dwóch równań wyrażających II zasadę dynamiki dla ruchu\npostępowego ciężarka i ruchu obrotowego bloczka oraz uwzględnienie w nich\npoprawnych wyrażeń opisujących wartość siły wypadkowej działającej na ciężarek\ni wartość wypadkowego momentu siły działającego na bloczek, np.:\n𝑚𝑐𝑎= 𝐹𝑔-𝐹𝑛 oraz 𝐼0𝜖= 𝑅𝐹𝑛-𝑅𝐹 (lub zapisy równoważne)\nLUB\n- zapisanie dwóch równań wyrażających II zasadę dynamiki dla ruchu postępowego\nciężarka i ruchu obrotowego bloczka, uwzględniających odpowiednie siły, z błędem\nznaku przy sile wypadkowej lub wypadkowym momencie sił (tzn. błędny znak może\nbyć w obu) oraz uwzględnienie związku między przyśpieszeniem liniowym ciężarka\na przyśpieszeniem kątowym bloczka i wzoru na moment bezwładności bloczka\nLUB\n- (dotyczy rozwiązania sposobem 3.) zapisanie jednego równania wyrażającego\nII zasadę dynamiki ruchu obrotowego układu zastępczego walec-ciężarek (bez nici),\nw chwili, gdy ciężarek (jako punkt materialny) jest na poziomie osi walca i jest\n„doklejony” do walca oraz uwzględnienie sumarycznego momentu bezwładności\nukładu względem osi walca oraz uwzględnienie poprawnego momentu sił\ndziałających na układ walec-ciężarek, np. zapisy równoważne poniższym:\n(𝐼0 + 𝐼𝑐 )𝜖= 𝐹𝑔𝑅-𝐹𝑅\n1 pkt - zapisanie poprawnego równania wyrażającego II zasadę dynamiki dla ruchu\npostępowego ciężarka z uwzględnieniem masy 𝑚𝑐 cieżarka oraz zapisanie równania\nwyrażającego II zasadę dynamiki dla ruchu obrotowego bloczka z uwzględnieniem\nmomentu bezwładności 𝐼0 bloczka, np. zapisy równoważne poniższym\n𝑚𝑐𝑎= 𝐹𝑤 oraz 𝐼0𝜖= 𝑀\nUwaga! W tym warunku nie wymaga się poprawnego rozpisania 𝐹𝑤 i 𝑀.\nLUB\nZasady oceniania rozwiązań zadań\n- zapisanie poprawnego wyrażenia na wartość siły wypadkowej działającej na ciężarek\noraz zapisanie poprawnego wyrażenia na wartość wypadkowego momentu siły\ndziałającego na bloczek, np. zapisy równoważne poniższym:\n𝐹𝑤= 𝐹𝑔-𝐹𝑛 oraz 𝑀= 𝑅𝐹𝑛-𝑅𝐹\nUwaga! W tym warunku nie wymaga się równań II zasady dynamiki.\nLUB\n- zapisanie poprawnego równania ruchu wyrażającego II zasadę dynamiki dla ruchu\npostępowego ciężarka oraz uwzględnienie w tym równaniu poprawnego wyrażenia\nopisującego wartość siły wypadkowej działającej na ciężarek, np.:\n𝑚𝑐𝑎= 𝐹𝑔-𝐹𝑛 (lub zapisy równoważne)\nLUB\n- zapisanie poprawnego równania ruchu wyrażającego II zasadę dynamiki dla ruchu\nobrotowego bloczka względem osi symetrii oraz uwzględnienie w tym równaniu\npoprawnego wyrażenia opisującego wartość wypadkowego momentu siły\ndziałającego na bloczek, np. zapisy równoważne poniższym:\n𝐼0𝜖= 𝑅𝐹𝑛-𝑅𝐹\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nZasady oceniania (dla rozwiązania sposobem 2.)\n4 pkt - poprawna metoda wyznaczenia wartości 𝐹 siły działającej na bloczek oraz zapisanie\nprawidłowej postaci wzoru na 𝐹:\n𝐹= 1\n2 𝑔(𝑚𝑐-1\n2 𝑚𝑤) (lub przekształconego równoważnie)\n3 pkt - spełnienie warunku za 2 pkt oraz zastosowanie wzoru na moment bezwładności\nbloczka, oraz zastosowanie związku między prędkością a przyśpieszeniem i drogą\n(z wyeliminowanym czasem) w ruchu jednostajnie przyśpieszonym ciężarka bez\nprędkości początkowej, np. zapisy równoważne poniższym:\n1\n2 𝑚𝑐𝑣2 + 1\n2 ⋅1\n2 𝑚𝑤𝑅2 𝑣2\n𝑅2 -𝑚𝑐𝑔ℎ= -𝐹ℎ oraz 𝑣2 = 2𝑎ℎ\nalbo\n𝑚𝑐𝑎ℎ+ 1\n2 𝑚𝑤𝑎ℎ-𝑚𝑐𝑔ℎ= -𝐹ℎ\n2 pkt - zapisanie poprawnego równania wynikającego z twierdzenia o zmianie energii\nmechanicznej i pracy siły niepotencjalnej oraz zastosowanie wzorów na energię\nkinetyczną ruchu postępowego ciężarka, ruchu obrotowego bloczka i energię\npotencjalną ciężarka, oraz zastosowanie związku między prędkością liniową ciężarka\na prędkością kątową bloczka, np. zapisy równoważne poniższym:\n(1\n2 𝑚𝑐𝑣2 + 1\n2 𝐼0𝜔2 -𝑚𝑐𝑔ℎ= -𝐹ℎ oraz 𝑣= 𝜔𝑅)\nalbo w jednym równaniu\n1\n2 𝑚𝑐𝑣2 + 1\n2 𝐼0\n𝑣2\n𝑅2 -𝑚𝑐𝑔ℎ= -𝐹ℎ\nLUB\n- zapisanie równania wynikającego z twierdzenia o zmianie energii mechanicznej\ni pracy siły niepotencjalnej, uwzględniającego odpowiednie rodzaje energii i wzory na\nte energie, z błędem znaku przy energiach albo/i pracy oraz zastosowanie związku\nmiędzy prędkością liniową ciężarka a prędkością kątową bloczka oraz zastosowanie\nwzoru na moment bezwładności bloczka, oraz zastosowanie związku między\nprędkością a przyśpieszeniem i drogą (z wyeliminowanym czasem) w ruchu\njednostajnie przyśpieszonym ciężarka bez prędkości początkowej.\n1 pkt - zapisanie poprawnego równania wynikającego z twierdzenia o zmianie energii\nmechanicznej i pracy siły niepotencjalnej oraz uwzględnienie (poprzez oznaczenie)\nw tym równaniu zmiany energii kinetycznej ciężarka, zmiany energii kinetycznej ruchu\nobrotowego walca i zmiany energii potencjalnej ciężarka, np. zapisy równoważne\nponiższym:\nΔ𝐸𝑝𝑜𝑡 𝑐+ Δ𝐸𝑘𝑖𝑛 𝑝𝑜𝑠𝑡 𝑐+ Δ𝐸𝑘𝑖𝑛 𝑜𝑏𝑟 𝑤= 𝑊𝐹\nalbo zapis w postaci przyrównania energii\n𝐸𝑘𝑖𝑛 𝑘𝑜ń𝑐 𝑝𝑜𝑠𝑡 𝑐+ 𝐸𝑘𝑖𝑛 𝑘𝑜ń𝑐 𝑜𝑏𝑟 𝑤+ 𝐸𝑝𝑜𝑡 𝑘𝑜ń𝑐 𝑐= 𝐸𝑝𝑜𝑡 𝑝𝑜𝑐𝑧 𝑐-|𝑊𝐹|\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób 1. (zastosowanie zasad dynamiki)\nNa ciężarek 𝒞 działają dwie siły: siła reakcji nici 𝐹⃗𝑛 oraz siła\ngrawitacji 𝐹⃗𝑔. Ponieważ ciężarek przyśpiesza w dół, to siła\nwypadkowa działająca na ciężarek ma kierunek pionowy i zwrot\nw dół. Wartość tej siły wypadkowej jest opisana wyrażeniem:\n𝐹𝑤= 𝐹𝑔-𝐹𝑛\nNa bloczek 𝒲 działają dwa momenty sił: 𝑀ሬሬ⃗𝑛 - moment siły reakcji\nnici 𝐹⃗𝑛 oraz 𝑀ሬሬ⃗𝐹 - moment siły 𝐹⃗. Wypadkowy moment siły\ndziałający na bloczek jest opisany wyrażeniem:\n𝑀= 𝑅𝐹𝑛-𝑅𝐹\nZapiszemy równania wynikające z II zasady dynamiki dla ruchu\npostępowego ciężarka 𝒞 oraz dla ruchu obrotowego bloczka 𝒲\n(względem osi symetrii):\n{ 𝑚𝑐𝑎= 𝑚𝑐𝑔-𝐹𝑛\n𝐼0𝜖= 𝑅𝐹𝑛-𝑅𝐹\nRuch przyśpieszony ciężarka 𝒞 przekłada się na ruch obrotowy z przyśpieszeniem kątowym\nbloczka 𝒲. Zastosujemy związek 𝑎= 𝜖𝑅 między przyśpieszeniem liniowym ciężarka\na przyśpieszeniem kątowym bloczka. Ponadto wykorzystamy wzór na 𝐼0:\n{\n𝑚𝑐𝑎= 𝑚𝑐𝑔-𝐹𝑛\n1\n2 𝑚𝑤𝑅2 ⋅𝑎\n𝑅= 𝑅𝐹𝑛-𝑅𝐹 → {\n𝑚𝑐𝑎= 𝑚𝑐𝑔-𝐹𝑛\n1\n2 𝑚𝑤𝑎= 𝐹𝑛-𝐹\n𝑚𝑐𝑎+ 1\n2 𝑚𝑤𝑎= 𝑚𝑐𝑔-𝐹 → 𝐹= 𝑚𝑐𝑔-𝑚𝑐𝑎-1\n2 𝑚𝑤𝑎\n𝒞\n𝒲\n𝑅\n𝐹⃗\n𝐹⃗𝑛\n𝛼\n𝐹⃗𝑔\n-𝐹⃗𝑛\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nWykorzystamy warunek zadania: 𝑎=\n1\n2 𝑔, zatem:\n𝐹= 𝑚𝑐𝑔-𝑚𝑐\n1\n2 𝑔-1\n2 𝑚𝑤⋅1\n2 𝑔= 1\n2 𝑚𝑐𝑔-1\n4 𝑚𝑤𝑔\n𝐹= 1\n2 𝑔(𝑚𝑐-1\n2 𝑚𝑤)\nSposób 2. (zastosowanie twierdzenia o pracy i zmianie energii mechanicznej)\nZastosujemy twierdzenie o zmianie energii mechanicznej układu i pracy siły niepotencjalnej\ndziałającej na układ: zmiana energii mechanicznej układu jest równa pracy siły\nniepotencjalnej. Siła 𝐹⃗ ma zwrot przeciwny do zwrotu ruchu, zatem jej praca jest ujemna:\nΔ𝐸𝑚𝑒𝑐ℎ= -|𝑊𝐹|\nZmianę energii mechanicznej rozpiszemy na zmianę energii potencjalnej układu i zmianę\nenergii kinetycznej układu (ciężarka i bloczka):\nΔ𝐸𝑝𝑜𝑡+ Δ𝐸𝑘𝑖𝑛= -|𝑊𝐹|\nΔ𝐸𝑝𝑜𝑡 𝑐+ Δ𝐸𝑝𝑜𝑡 𝑤+ Δ𝐸𝑘𝑖𝑛 𝑝𝑜𝑠𝑡 𝑐+ Δ𝐸𝑘𝑖𝑛 𝑜𝑏𝑟 𝑤= -|𝑊𝐹|\nPrędkości liniowa ciężarka i kątowa bloczka na początku ruchu są równe 0. Te prędkości\nw stanie końcowym oznaczymy - odpowiednio - jako 𝑣 oraz 𝜔. Załóżmy, że między stanem\npoczątkowym a końcowym ciężarek przebył drogę ℎ. Na takiej też drodze siła 𝐹⃗ wykonuje\npracę. Zatem:\n𝑚𝑐𝑔(0 -ℎ) + 0 + (1\n2 𝑚𝑐𝑣2 -0) + (1\n2 𝐼0𝜔2 -0) = -𝐹ℎ\nRuch postępowy ciężarka przekłada się na ruch obrotowy bloczka, więc wykorzystamy\nzwiązek 𝑣= 𝜔𝑅 i wzór na moment bezwładności bloczka:\n-𝑚𝑐𝑔ℎ+ 1\n2 𝑚𝑐𝑣2 + 1\n2 ⋅1\n2 𝑚𝑤𝑅2 𝑣2\n𝑅2 = -𝐹ℎ\n-𝑚𝑐𝑔ℎ+ 1\n2 𝑚𝑐𝑣2 + 1\n4 𝑚𝑤𝑣2 = -𝐹ℎ\nWykorzystamy związek 𝑣2 = 2𝑎ℎ wynikający z równań ruchu jednostajnie przyśpieszonego:\n-𝑚𝑐𝑔ℎ+ 1\n2 𝑚𝑐2𝑎ℎ+ 1\n4 𝑚𝑤2𝑎ℎ= -𝐹ℎ\n-𝑚𝑐𝑔ℎ+ 𝑚𝑐𝑎ℎ+ 1\n2 𝑚𝑤𝑎ℎ= -𝐹ℎ\nWykorzystamy związek 𝑎=\n1\n2 𝑔, podany w treści zadania:\n-𝑚𝑐𝑔ℎ+ 𝑚𝑐\n1\n2 𝑔ℎ+ 1\n2 𝑚𝑤\n1\n2 𝑔ℎ= -𝐹ℎ\n-𝑚𝑐𝑔+ 𝑚𝑐\n1\n2 𝑔+ 1\n2 𝑚𝑤\n1\n2 𝑔= -𝐹\n𝐹= 𝑚𝑐𝑔-𝑚𝑐\n1\n2 𝑔-1\n4 𝑚𝑤 𝑔= 𝑚𝑐\n1\n2 𝑔-1\n4 𝑚𝑤 𝑔\n𝐹= 1\n2 𝑔(𝑚𝑐-1\n2 𝑚𝑤)\nSposób 3. (zastosowanie układu zastępczego)\nRozważamy układ zastępczy, którego „chwilowa” dynamika jest równoważna dynamice\nukładu opisanego w zadaniu. Załóżmy, że ciężarek jest „doklejony” do walca i znajduje się na\nwysokości osi walca. Ciężarek traktujemy jako punkt materialny.\nAnalizujemy „chwilowe” równanie ruchu obrotowego układu. Na taki układ działają momenty\ndwóch sił: siły 𝐹⃗ oraz siły 𝐹⃗𝑔 ciężkości „doklejonego” ciężarka. Chwilowy moment\nbezwładności układu jest sumą momentów bezwładności walca oraz ciężarka.\nZapiszemy chwilowe równanie ruchu obrotowego dla takiego układu:\n(𝐼0 + 𝐼𝑐 )𝜖= 𝐹𝑔𝑅-𝐹𝑅\nPodstawimy odpowiednie wzory, wykonamy przekształcenia i wyznaczymy 𝐹:\n(1\n2 𝑚𝑤𝑅2 + 𝑚𝑐𝑅2 ) 𝑎\n𝑅 = 𝑚𝑐𝑔𝑅-𝐹𝑅\n1\n2 𝑚𝑤𝑎+ 𝑚𝑐𝑎= 𝑚𝑐𝑔-𝐹\n1\n2 𝑚𝑤\n1\n2 𝑔 + 𝑚𝑐\n1\n2 𝑔= 𝑚𝑐𝑔-𝐹\n1\n4 𝑚𝑤𝑔-1\n2 𝑚𝑐𝑔= -𝐹\n𝐹= 1\n2 𝑚𝑐𝑔-1\n4 𝑚𝑤𝑔= 1\n2 𝑔(𝑚𝑐-1\n2 𝑚𝑤)","solution":null,"image":"img/fizyka-2026-maj-matura-stara-rozszerzona/zad-3.2.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":11,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Fizyka · Matura · maj 2026 (rozszerzona)","subject_label":"Fizyka","category_label":"Matura"},{"id":"fizyka-2026-maj-matura-stara-rozszerzona/zad/4","paper_id":"fizyka-2026-maj-matura-stara-rozszerzona","number":"4","points":null,"ptype":"open","subject":"fizyka","category":"matura","year":2026,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 4.\nW pewnym ośrodku materialnym 𝒪1 rozchodzi się ultradźwiękowa fala płaska ℱ o ustalonej\namplitudzie. W zadaniach 4.1.-4.4. pomijamy efekty związane z pochłanianiem tej fali\nw ośrodku.","answer":null,"answer_text":null,"solution":null,"image":"img/fizyka-2026-maj-matura-stara-rozszerzona/zad-4.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":12,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Fizyka · Matura · maj 2026 (rozszerzona)","subject_label":"Fizyka","category_label":"Matura"},{"id":"fizyka-2026-maj-matura-stara-rozszerzona/zad/4.1","paper_id":"fizyka-2026-maj-matura-stara-rozszerzona","number":"4.1","points":2,"ptype":"open","subject":"fizyka","category":"matura","year":2026,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 4.1. (0-2)\nNa rysunku 1. przedstawiono obraz fali ℱ w pewnej chwili czasu 𝑡0. Pionowe odcinki\nodpowiadają powierzchniom falowym (fazowym) odległym od siebie kolejno o długość fali 𝜆1.\nNa rysunku 1. wyróżniono odcinki 𝑎 i 𝑏 - pokrywające się z dwiema powierzchniami falowymi\nw chwili 𝑡0. Czas przejścia fali ℱ od 𝑎 do 𝑏 jest równy Δ𝑡𝑎𝑏= 0,07 ms.\nRysunek 1.\nOblicz 𝒇 - częstotliwość opisanej fali ultradźwiękowej. Zapisz obliczenia.\n𝒪1\n𝑎\n𝑏\nEFAP-R0_100","answer":null,"answer_text":"Zadanie 4.1. (0-2)\nWymagania ogólne\nWymagania szczegółowe\nI. Znajomość i umiejętność\nwykorzystania pojęć i praw fizyki do\nwyjaśniania procesów i zjawisk\nw przyrodzie.\nIII. Wykorzystanie i przetwarzanie\ninformacji zapisanych w postaci tekstu,\ntabel, wykresów, schematów i rysunków.\nZdający:\n6.4) (G) posługuje się pojęciami: amplitudy,\nokresu i częstotliwości, prędkości i długości fali\ndo opisu fal harmonicznych oraz stosuje do\nobliczeń związki między tymi wielkościami.\n6.8) stosuje w obliczeniach związek między\nparametrami fali: długością, częstotliwością,\nokresem, prędkością.\n𝒞\n𝒲\n𝑅\n𝐹⃗\n𝛼\n𝐹⃗𝑔\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nZasady oceniania\n2 pkt - poprawna metoda obliczenia częstotliwości fali oraz podanie prawidłowego wyniku\nliczbowego z jednostką: 𝑓≈1,3 ⋅105 Hz\n1 pkt - zauważenie i zapisanie/wykorzystanie zależności Δ𝑥𝑎𝑏= 9𝜆1 oraz\nzapisanie/zastosowanie wzoru na prędkość fali (lub proporcji Δ𝑡∝Δ𝑥 z niej\nwynikającej), np. zapisy równoważne poniższym:\nΔ𝑥𝑎𝑏= 9𝜆1 oraz (𝑣1 = Δ𝑥𝑎𝑏\nΔ𝑡𝑎𝑏\nalbo 𝑣1 = λ1\n𝑇)\nalbo w jednym zapisie\n𝑇= Δ𝑡𝑎𝑏\n9\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nZauważmy, że odległość od odcinka 𝑎 do 𝑏 jest równa dziewięciu długościom fali:\nΔ𝑥𝑎𝑏= 9𝜆1\nPrędkość fali można wyrazić wzorami:\n𝑣1 = 𝜆1\n𝑇 oraz 𝑣1 = Δ𝑥𝑎𝑏\nΔ𝑡𝑎𝑏\n, skąd wynika, że Δ𝑥𝑎𝑏\nλ1\n= Δ𝑡𝑎𝑏\n𝑇\nZ powyższego wynika, że:\nΔ𝑡𝑎𝑏= 9𝑇 → 𝑇= 0,07 ms\n9\n= 7\n9 ⋅10-2 ms = 0, (7) ⋅10-5 ms\nZatem:\n𝑓= 1\n𝑇= 9\n7 ⋅105 Hz ≈1,29 ⋅105 Hz = 129 kHz","solution":null,"image":"img/fizyka-2026-maj-matura-stara-rozszerzona/zad-4.1.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":12,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Fizyka · Matura · maj 2026 (rozszerzona)","subject_label":"Fizyka","category_label":"Matura"},{"id":"fizyka-2026-maj-matura-stara-rozszerzona/zad/4.2","paper_id":"fizyka-2026-maj-matura-stara-rozszerzona","number":"4.2","points":1,"ptype":"closed","subject":"fizyka","category":"matura","year":2026,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 4.2. (0-1)\nW innej sytuacji w ośrodku materialnym 𝒪1 rozchodzi się ultradźwiękowa fala płaska 𝒲 -\nrożniąca się od fali ℱ. Długość tej fali 𝒲 jest równa połowie długości fali ℱ.\nPrędkości fal 𝒲 i ℱ są sobie równe.\nDokończ zdanie. Zaznacz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nOkres fali 𝒲 w porównaniu do okresu fali ℱ jest\nA. taki sam.\nB. 2 razy większy.\nC. √2 razy większy.\nD. dwa razy mniejszy.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 4.2. (0-1)\nWymagania ogólne\nWymagania szczegółowe\nI. Znajomość i umiejętność\nwykorzystania pojęć i praw fizyki do\nwyjaśniania procesów i zjawisk\nw przyrodzie.\nZdający:\n6.4) (G) posługuje się pojęciami: amplitudy,\nokresu i częstotliwości, prędkości i długości fali\ndo opisu fal harmonicznych oraz stosuje do\nobliczeń związki między tymi wielkościami.\n6.8) stosuje w obliczeniach związek między\nparametrami fali: długością, częstotliwością,\nokresem, prędkością.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nD","solution":null,"image":"img/fizyka-2026-maj-matura-stara-rozszerzona/zad-4.2.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":13,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Fizyka · Matura · maj 2026 (rozszerzona)","subject_label":"Fizyka","category_label":"Matura"},{"id":"fizyka-2026-maj-matura-stara-rozszerzona/zad/4.3","paper_id":"fizyka-2026-maj-matura-stara-rozszerzona","number":"4.3","points":1,"ptype":"closed","subject":"fizyka","category":"matura","year":2026,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 4.3. (0-1)\nZałóżmy, że fala płaska ℱ dociera do przeszkody, w której jest wąska szczelina.\nZa i przed przeszkodą znajduje się ten sam ośrodek 𝒪1.\nNa którym rysunku (spośród A-D) prawidłowo przedstawiono kolejne powierzchnie\nfalowe po przejściu fali przez szczelinę? Zaznacz właściwą odpowiedź spośród\npodanych.\nA.\nB.\nC.\nD.\nEFAP-R0_100","answer":null,"answer_text":"Zadanie 4.3. (0-1)\nWymagania ogólne\nWymagania szczegółowe\nI. Znajomość i umiejętność\nwykorzystania pojęć i praw fizyki do\nwyjaśniania procesów i zjawisk\nw przyrodzie.\nIII. Wykorzystanie i przetwarzanie\ninformacji zapisanych w postaci tekstu,\ntabel, wykresów, schematów i rysunków.\nZdający:\n6.4) (G) posługuje się pojęciami: amplitudy,\nokresu i częstotliwości, prędkości i długości fali\ndo opisu fal harmonicznych oraz stosuje do\nobliczeń związki między tymi wielkościami.\n6.11) wyjaśnia zjawisko ugięcia fali w oparciu o\nzasadę Huygensa.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nA","solution":null,"image":"img/fizyka-2026-maj-matura-stara-rozszerzona/zad-4.3.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":13,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Fizyka · Matura · maj 2026 (rozszerzona)","subject_label":"Fizyka","category_label":"Matura"},{"id":"fizyka-2026-maj-matura-stara-rozszerzona/zad/4.4","paper_id":"fizyka-2026-maj-matura-stara-rozszerzona","number":"4.4","points":3,"ptype":"open","subject":"fizyka","category":"matura","year":2026,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 4.4. (0-3)\nFala płaska ℱ rozchodząca się w ośrodku 𝒪1 pada na granicę ośrodków 𝒪1 i 𝒪2 pod\nkątem 𝛼1 (zobacz rysunek 2.) i przechodzi do ośrodka 𝒪2. Wartości prędkości fali ℱ\nw ośrodkach 𝒪1 i 𝒪2 oznaczymy - odpowiednio - jako v1 i v2, przy czym:\nv1 = 2v2\nPozioma linia 𝑘 na rysunku 2. wyznacza kierunek biegu fali ℱ w ośrodku 𝒪1.\nPionowe linie (np. 𝑙, 𝑚, 𝑛, 𝑝, 𝑞, 𝑠) odpowiadają powierzchniom falowym fali ℱ w ośrodku 𝒪1.\nKreską przerywaną oznaczono linie pomocnicze. W ośrodku 𝒪2 nie narysowano kierunku\nbiegu fali ℱ ani jej powierzchni falowych.\nRysunek 2.\nNa rysunku 2. dorysuj kierunek biegu fali 𝓕 w ośrodku 𝓞𝟐 oraz dorysuj powierzchnie\nfalowe fali 𝓕 w ośrodku 𝓞𝟐 - tzn. narysuj kontynuację linii 𝒌 oraz linii 𝒍, 𝒎, 𝒏, 𝒑, 𝒒, 𝒔.\nUwzględnij relację (większy, równy, mniejszy) między kątem padania a kątem\nzałamania fali na granicy ośrodków oraz uwzględnij prawidłowe ułożenie powierzchni\nfalowych względem kierunku biegu fali 𝓕 w ośrodku 𝓞𝟐.\nUwaga! Nie musisz obliczać/wyznaczać miary kąta załamania.\nWpisz poniżej wartość ilorazu długości fali - odpowiednio - w ośrodkach 𝓞𝟏 i 𝓞𝟐:\n𝜆1\n𝜆2 =\n𝒪1\nvሬԦ1\n𝒪2\n𝛼1\n𝜆1\n𝑘\n𝑙\n𝑚\n𝑛\n𝑝\n𝑞\n𝑠\nEFAP-R0_100","answer":null,"answer_text":"Zadanie 4.4. (0-3)\nWymagania ogólne\nWymagania szczegółowe\nIV. Budowa prostych modeli fizycznych\ni matematycznych do opisu zjawisk.\nIII. Wykorzystanie i przetwarzanie\ninformacji zapisanych w postaci tekstu,\ntabel, wykresów, schematów i rysunków.\nZdający:\n6.4) (G) posługuje się pojęciami: amplitudy,\nokresu i częstotliwości, prędkości i długości fali\ndo opisu fal harmonicznych oraz stosuje do\nobliczeń związki między tymi wielkościami.\n6.9) opisuje załamanie fali na granicy\nośrodków.\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nZasady oceniania\nRozwiązanie będzie podlegało ocenie, gdy zdający spełni co najmniej jeden z poniższych\nwarunków lub ich kombinację, określoną dalej w schemacie punktowania.\nWarunek K - poprawne dorysowanie kierunku biegu fali ℱ w ośrodku 𝒪2, tzn. dorysowanie\nprostej, będącej kontynuacją linii 𝑘 w ośrodku 𝒪2, w obszarze między liniami przerywanymi\nznajdującymi w ośrodku 𝒪2.\nWarunek IDF - wpisanie prawidłowej wartości ilorazu długości fal:\n𝜆1\n𝜆2 = 2\nWarunek PF - poprawne dorysowanie powierzchni falowych fali ℱ w ośrodku 𝒪2, tzn.\ndorysowanie prostych będących kontynuacjami w ośrodku 𝒪2 co najmniej trzech linii spośród\n𝑙, 𝑚, 𝑛, 𝑝, 𝑞, 𝑠 (odchylonych w lewo względem nich).\nUwaga! Ten warunek może być spełniony także bez narysowanego kierunku rozchodzenia\nsię fali w ośrodku 𝒪2 (wystarczy narysowanie samych linii będących kontynuacjami 𝑙, 𝑚, 𝑛,\n𝑝, 𝑞, 𝑠, które w 𝒪2 odchylają się w lewo).\nSchemat punktowania\n3 pkt - spełnienie trzech warunków: K oraz IDF oraz PF.\n2 pkt - spełnienie dwóch warunków: (K oraz IDF) albo (K oraz PF) albo (IDF oraz PF).\n1 pkt - spełnienie jednego warunku: K albo IDF albo PF.\n0 pkt - rozwiązanie niepoprawne albo brak rozwiązania.\nPełne rozwiązanie\n𝜆1\n𝜆2 =\n𝒪1\nvሬ⃗1\n𝒪2\n𝛼1\n𝜆1\n𝑘\n𝑙\n𝑚\n𝑛\n𝑝\n𝑞\n𝑠\n2","solution":null,"image":"img/fizyka-2026-maj-matura-stara-rozszerzona/zad-4.4.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":14,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Fizyka · Matura · maj 2026 (rozszerzona)","subject_label":"Fizyka","category_label":"Matura"},{"id":"fizyka-2026-maj-matura-stara-rozszerzona/zad/5","paper_id":"fizyka-2026-maj-matura-stara-rozszerzona","number":"5","points":null,"ptype":"open","subject":"fizyka","category":"matura","year":2026,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 5.\nPewna planetoida ℛ krąży wokół Słońca po orbicie eliptycznej jedynie pod wpływem siły\ngrawitacji Słońca. Orbita planetoidy ℛ leży w tej samej płaszczyźnie co orbita Ziemi\ni przecina się z nią w dwóch punktach (zobacz rysunek).\nPrzyjmij następujące dane i założenia:\nnajwiększą odległość planetoidy ℛ od środka 𝑆 Słońca oznaczymy jako 𝑟𝐴= |𝑆𝐴|\nnajmniejsza odległość planetoidy ℛ od środka 𝑆 Słońca jest równa 𝑟𝑃= |𝑆𝑃| = 0,81 au\ndługość osi wielkiej orbity planetoidy ℛ jest równa |𝑃𝐴| = 5,62 au\nwartość prędkości planetoidy ℛ w punkcie 𝐴 orbity oznaczymy jako v𝐴\nwartość prędkości planetoidy ℛ w punkcie 𝑃 orbity jest równa v𝑃= 43,29 km/s\nśrodek orbity planetoidy ℛ oznaczymy jako 𝑂\noraz\norbitę Ziemi traktujemy w przybliżeniu jako orbitę kołową\nodległość Ziemi od środka Słońca jest równa 𝑟Z = 1,0 au\nokres obiegu Ziemi dookoła Słońca wynosi 𝑇Z = 1,00 rok ziemski\npomijamy wpływ innych ciał (oprócz Słońca) na ruch planetoidy ℛ oraz na ruch Ziemi.\nRysunek","answer":null,"answer_text":null,"solution":null,"image":"img/fizyka-2026-maj-matura-stara-rozszerzona/zad-5.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":15,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Fizyka · Matura · maj 2026 (rozszerzona)","subject_label":"Fizyka","category_label":"Matura"},{"id":"fizyka-2026-maj-matura-stara-rozszerzona/zad/5.1","paper_id":"fizyka-2026-maj-matura-stara-rozszerzona","number":"5.1","points":1,"ptype":"open","subject":"fizyka","category":"matura","year":2026,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 5.1. (0-1)\nNa powyższym rysunku narysuj wektor siły 𝑭ሬ⃗, z jaką Słońce działa na planetoidę 𝓡\nw oznaczonym położeniu na orbicie. Zachowaj odpowiedni kierunek, zwrot oraz punkt\nzaczepienia tego wektora (długość może być dowolna).\n𝑆\n𝑃\n𝐴\n𝑂\nZiemia\nℛ\n𝑎ℛ= 1\n2 |𝑃𝐴|\n(długość półosi wielkiej)\nEFAP-R0_100","answer":null,"answer_text":"Zadanie 5.1. (0-1)\nWymagania ogólne\nWymagania szczegółowe\nI. Znajomość i umiejętność\nwykorzystania pojęć i praw fizyki do\nwyjaśniania procesów i zjawisk\nw przyrodzie.\nIII. Wykorzystanie i przetwarzanie\ninformacji zapisanych w postaci tekstu,\ntabel, wykresów, schematów i rysunków.\nZdający:\n1.5) (P) wyjaśnia wpływ siły grawitacji Słońca na\nruch planet […].\n4.2) rysuje linie pola grawitacyjnego, rozróżnia\npole jednorodne od pola centralnego;\n4.3) oblicza wartość i kierunek pola\ngrawitacyjnego na zewnątrz ciała sferycznie\nsymetrycznego.\nZasady oceniania\n1 pkt - poprawne narysowanie wektora siły 𝐹⃗, tzn. narysowanie wektora zaczepionego w ℛ\ni skierowanego wzdłuż odcinka ℛ𝑆 w stronę 𝑆.\n0 pkt - rozwiązanie niepoprawne albo brak rozwiązania.\nRozwiązanie\n𝑆\n𝑃\n𝐴\n𝑂\nZiemia\nℛ\n𝐹⃗\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":null,"image":"img/fizyka-2026-maj-matura-stara-rozszerzona/zad-5.1.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":15,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Fizyka · Matura · maj 2026 (rozszerzona)","subject_label":"Fizyka","category_label":"Matura"},{"id":"fizyka-2026-maj-matura-stara-rozszerzona/zad/5.2","paper_id":"fizyka-2026-maj-matura-stara-rozszerzona","number":"5.2","points":2,"ptype":"open","subject":"fizyka","category":"matura","year":2026,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 5.2. (0-2)\nOblicz 𝑻𝓡 - okres obiegu planetoidy 𝓡 wokół Słońca. Zapisz obliczenia.\nWynik podaj w latach ziemskich.\nWskazówka: Okres obiegu ciała dookoła Słońca po orbicie eliptycznej o półosi wielkiej 𝑎 jest\nrówny okresowi obiegu ciała dookoła Słońca po orbicie kołowej o promieniu 𝑟= 𝑎.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 5.2. (0-2)\nWymagania ogólne\nWymagania szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i przetwarzanie\ninformacji zapisanych w postaci tekstu,\ntabel, wykresów, schematów i rysunków.\nIV. Budowa prostych modeli fizycznych\ni matematycznych do opisu zjawisk.\nZdający:\n4.8) oblicza okresy obiegu planet i ich średnie\nodległości od gwiazdy, wykorzystując III prawo\nKeplera dla orbit kołowych.\nZasady oceniania\n2 pkt - poprawna metoda obliczenia okresu obiegu dookoła Słońca planetoidy ℛ oraz\npodanie prawidłowego wyniku liczbowego w latach ziemskich: 𝑇ℛ≈4,7 roku\n1 pkt - zapisanie równania III prawa Keplera (dla planetoidy ℛ i Ziemi), z uwzględnieniem\n(np. poprzez oznaczenia lub podanie wartości danych liczbowych) okresów obiegu\nplanetoidy ℛ i Ziemi dookoła Słońca, półosi wielkiej orbity planetoidy ℛ, promienia\norbity Ziemi, oraz poprawna metoda wyznaczenia długości półosi wielkiej orbity\nplanetoidy ℛ , np. zapisy równoważne poniższym:\n(𝑇ℛ\n2\n𝑎ℛ\n3 = 𝑇𝑍\n2\n𝑎𝑍\n3 albo 𝑇ℛ\n2\n𝑎ℛ\n3 =\n(1 rok)2\n(1 au)3 ) oraz (𝑎ℛ=\n|𝑃𝐴|\n2\nalbo oznaczenie 𝑎ℛ na osi)\nLUB\n- (dotyczy rozwiązania sposobem 2.) powołanie się na równość okresów obiegu\ndookoła Słońca planetoidy ℛ i ciała 𝒞 poruszającego się po orbicie kołowej\no promieniu równym 𝑟𝒞= 𝑎ℛ oraz zapisanie relacji identyfikującej siłę grawitacji\ndziałającą na ciało 𝒞 jako siłę dośrodkową (lub relacji identyfikującej przyśpieszenie\ndośrodkowe jako przyśpieszenie grawitacyjne), oraz uwzględnienie wzorów na te siły\n(lub przyśpieszenia) oraz uwzględnienie wzoru na prędkość liniową (lub kątową), np.\nzapisy równoważne poniższym:\n(𝑟𝒞= 𝑎ℛ oraz 𝑇𝒞= 𝑇ℛ ) oraz 𝑚ℛ𝑣2\n𝑟𝒞\n= 𝐺𝑀𝑆𝑚ℛ\n𝑟𝒞\n2\noraz 𝑣= 2𝜋𝑟𝒞\n𝑇𝒞\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób 1. (zastosowanie III prawa Keplera)\nPlanetoida ℛ oraz Ziemia obiegają wspólne centrum grawitacyjne - Słońce. Do obliczenia\nokresu obiegu planetoidy ℛ dookoła Słońca wykorzystamy III prawo Keplera:\n𝑇ℛ\n2\n𝑎ℛ\n3 = 𝑇𝑍\n2\n𝑎𝑍\n3 → 𝑇ℛ= √(𝑎ℛ\n𝑎𝑍\n)\n3\n⋅𝑇𝑍\ngdzie 𝑎ℛ jest długością półosi wielkiej orbity planetoidy ℛ, 𝑎𝑍 jest promieniem orbity Ziemi,\n𝑇ℛ i 𝑇𝑍 są okresami obiegu planetoidy ℛ i Ziemi dookoła Słońca.\nWyznaczymy 𝑎ℛ:\n𝑎ℛ= |𝑃𝐴|\n2\n= 2,81 au\nPodstawimy dane do równania wynikającego z III prawa Keplera:\n𝑇ℛ= √(2,81 au\n1 au )\n3\n⋅1 rok ≈4,7 roku\nSposób 2. (zastosowanie zasad dynamiki w ruchu po okręgu)\nUwaga! Poniżej przedstawiony sposób rozwiązania jest prawidłowy, jednak nie jest\nrekomendowany dla tego zadania, ponieważ nie jest optymalny (ze względu na użycie\nwiększej liczby zależności i konieczność przeliczenia na lata ziemskie).\nWykorzystamy metodę zastępczej orbity kołowej dla eliptycznej orbity planetoidy ℛ.\nRozważmy ciało 𝒞 poruszające się po orbicie kołowej o takim promieniu 𝑟𝒞, który jest równy\ndługości półosi wielkiej orbity eliptycznej planetoidy ℛ:\n𝑟𝒞= 𝑎ℛ → 𝑟𝒞= 2,81 au\nZgodnie z III prawem Keplera dla orbit kołowych i eliptycznych, okres obiegu ciała 𝒞 dookoła\nSłońca jest równy okresowi obiegu planetoidy ℛ dookoła Słońca:\n𝑇𝒞= 𝑇ℛ\nPrzy takim założeniu obliczymy 𝑇𝒞 z wykorzystaniem II zasady dynamiki dla ruchu po okręgu.\nFunkcję siły dośrodkowej działającej na ciało 𝒞 pełni siła grawitacji pochodząca od Słońca:\n𝑚𝒞(2𝜋\n𝑇𝒞\n)\n2\n𝑟𝒞= 𝐺𝑀𝑆𝑚𝒞\n𝑟𝒞\n2\n→ 𝑇𝒞= 2𝜋√𝑟𝒞3\n𝐺𝑀𝑆\n𝑇𝒞= 2𝜋√\n(2,81 ⋅1,50 ⋅1011 m)3\n6,67 ⋅10-11 N ⋅m2\nkg2\n⋅1,99 ⋅1030 kg\n≈ 14,9 ⋅107 s\n𝑇ℛ= 𝑇𝒞= 14,9 ⋅107 s\nWynik wyrazimy w latach ziemskich:\n𝑇𝑅≈\n14,9 ⋅107 s\n3,65 ⋅2,4 ⋅3,6 ⋅102+1+3 s\nrok\n≈4,7 roku\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":null,"image":"img/fizyka-2026-maj-matura-stara-rozszerzona/zad-5.2.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":16,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Fizyka · Matura · maj 2026 (rozszerzona)","subject_label":"Fizyka","category_label":"Matura"},{"id":"fizyka-2026-maj-matura-stara-rozszerzona/zad/5.3","paper_id":"fizyka-2026-maj-matura-stara-rozszerzona","number":"5.3","points":1,"ptype":"closed","subject":"fizyka","category":"matura","year":2026,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 5.3. (0-1)\nWartość przyśpieszenia planetoidy ℛ w punktach 𝑃 oraz 𝐴 orbity oznaczymy - odpowiednio -\njako 𝑎𝑃 oraz 𝑎𝐴.\nDokończ zdanie. Zaznacz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nIloraz\n𝑎𝑃\n𝑎𝐴\njest równy\nA.\n|𝑆𝐴|\n|𝑆𝑃|\nB.\n|𝑆𝑃|\n|𝑆𝐴|\nC. (\n|𝑆𝐴|\n|𝑆𝑃|)\n2\nD. (\n|𝑆𝑃|\n|𝑆𝐴|)\n2\nEFAP-R0_100","answer":null,"answer_text":"Zadanie 5.3. (0-1)\nWymagania ogólne\nWymagania szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i przetwarzanie\ninformacji zapisanych w postaci tekstu,\ntabel, wykresów, schematów i rysunków.\nI. Znajomość i umiejętność\nwykorzystania pojęć i praw fizyki do\nwyjaśniania procesów i zjawisk\nw przyrodzie.\nZdający:\n1.8) wyjaśnia ruch ciał na podstawie drugiej\nzasady dynamiki Newtona.\n4.1) wykorzystuje prawo powszechnego\nciążenia do obliczenia siły oddziaływań\ngrawitacyjnych między masami punktowymi\ni sferycznie symetrycznymi;\n4.3) oblicza wartość i kierunek pola\ngrawitacyjnego na zewnątrz ciała sferycznie\nsymetrycznego.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nC","solution":null,"image":"img/fizyka-2026-maj-matura-stara-rozszerzona/zad-5.3.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":16,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Fizyka · Matura · maj 2026 (rozszerzona)","subject_label":"Fizyka","category_label":"Matura"},{"id":"fizyka-2026-maj-matura-stara-rozszerzona/zad/5.4","paper_id":"fizyka-2026-maj-matura-stara-rozszerzona","number":"5.4","points":3,"ptype":"open","subject":"fizyka","category":"matura","year":2026,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 5.4. (0-3)\nOblicz v𝑨 - wartość prędkości planetoidy 𝓡 w punkcie 𝑨 orbity. Zapisz obliczenia.\nEFAP-R0_100","answer":null,"answer_text":"Zadanie 5.4. (0-3)\nWymagania ogólne\nWymagania szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i przetwarzanie\ninformacji zapisanych w postaci tekstu,\ntabel, wykresów, schematów i rysunków.\nIV. Budowa prostych modeli fizycznych\ni matematycznych do opisu zjawisk.\nZdający:\n2.8) stosuje zasadę zachowania momentu pędu\ndo analizy ruchu.\nALBO\n4.5) oblicza zmiany energii potencjalnej\ngrawitacji i wiąże je z pracą lub zmianą energii\nkinetycznej.\nZasady oceniania (dla rozwiązania sposobem 1.)\n3 pkt - poprawna metoda obliczenia prędkości planetoidy ℛ w punkcie aphelium oraz\npodanie prawidłowego wyniku liczbowego z jednostką: 𝑣𝐴≈7,3 km/s\n2 pkt - zapisanie równości momentów pędu (względem środka Słońca) planetoidy ℛ\nw punktach 𝐴 (aphelium) i 𝑃 (peryhelium) orbity oraz uwzględnienie w tym równaniu\nprędkości planetoidy w punktach 𝐴, 𝑃 i odległości od środka Słońca do punktów 𝐴, 𝑃,\noraz prawidłowe wyznaczenie odległości od środka Słońca do punktu 𝐴, np. zapisy\nrównoważne poniższym:\n𝑚ℛ𝑣𝐴𝑟𝐴= 𝑚ℛ𝑣𝑃𝑟𝑃 oraz 𝑟𝐴= |𝑃𝐴| -𝑟𝑃\nalbo w jednym równaniu\n𝑣𝐴(|𝑃𝐴| -𝑟𝑃) = 𝑣𝑃𝑟𝑃\n1 pkt - zapisanie równości momentów pędu (względem środka Słońca) planetoidy ℛ\nw punktach 𝐴 (aphelium) i 𝑃 (peryhelium) orbity oraz uwzględnienie w tym równaniu\nprędkości planetoidy w punktach 𝐴, 𝑃 i odległości od środka Słońca do punktów 𝐴, 𝑃,\nnp. zapisy równoważne poniższym:\n𝑚ℛ𝑣𝐴𝑟𝐴= 𝑚ℛ𝑣𝑃𝑟𝑃\nLUB\n- poprawna metoda obliczenia odległości od środka Słońca do punktu 𝐴 (aphelium)\norbity planetoidy ℛ oraz wyznaczenie tej odległości (na symbolach lub liczbach), np.\nzapisy równoważne poniższym:\n(|𝑃𝐴| = 𝑟𝑃+ 𝑟𝐴 → 𝑟𝐴= |𝑃𝐴| -𝑟𝑃) albo 𝑟𝐴= 5,62 au -0,81 au = 4,81 au\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nZasady oceniania (dla rozwiązania sposobem 2.)\n3 pkt - poprawna metoda obliczenia prędkości planetoidy ℛ w punkcie aphelium oraz\npodanie prawidłowego wyniku liczbowego z jednostką: 𝑣𝐴≈ 7,3 km/s\n2 pkt - zapisanie równań wyrażających zasadę zachowania energii mechanicznej oraz\nzapisanie równań wyrażających zasadę zachowania momentu pędu dla planetoidy ℛ\n(tzn. przyrównanie energii mechanicznych oraz momentów pędu planetoidy ℛ\nw punktach 𝑃 i 𝐴), oraz wykorzystanie wzorów na energie mechaniczne i momenty\npędu w punktach 𝑃 i 𝐴, oraz poprawne wyprowadzenie wzoru na wartość prędkości\nplanetoidy ℛ w punkcie 𝐴, np. zapisy równoważne poniższym:\n{\n𝑚ℛ𝑣𝑃\n2\n2\n-𝐺𝑀𝑆𝑚ℛ\n𝑟𝑃\n= 𝑚ℛ𝑣𝐴\n2\n2\n-𝐺𝑀𝑆𝑚ℛ\n𝑟𝐴\n𝑚ℛ𝑣𝑃𝑟𝑃= 𝑚ℛ𝑣𝐴𝑟𝐴\n→ 𝑣𝐴= √2𝐺𝑀𝑆\n(𝑟𝐴+ 𝑟𝑃) ⋅𝑟𝑃\n𝑟𝐴\nLUB\n- bezpośrednie zapisanie wzoru na prędkość planetoidy ℛ w punkcie 𝐴 orbity oraz\nprawidłowe wyznaczenie odległości od środka Słońca do punktu 𝐴, np. zapisy\nrównoważne poniższym:\n𝑣𝐴= √2𝐺𝑀𝑆\n(𝑟𝐴+ 𝑟𝑃) ⋅𝑟𝑃\n𝑟𝐴\n→ 𝑟𝐴= |𝑃𝐴| -𝑟𝑃\nZasady oceniania rozwiązań zadań\n1 pkt - zapisanie równań wyrażających zasadę zachowania energii mechanicznej oraz\nzapisanie równań wyrażających zasadę zachowania momentu pędu planetoidy ℛ\n(tzn. przyrównanie energii mechanicznych oraz momentów pędu planetoidy ℛ\nw punktach 𝑃 i 𝐴), np. zapisy równoważne poniższym:\n𝐸𝑃= 𝐸𝐴 oraz 𝐿𝑃= 𝐿𝐴\nLUB\n- bezpośrednie zapisanie wzoru (bez wyprowadzenia) na prędkość planetoidy ℛ\nw punkcie 𝐴 orbity, np. zapisy równoważne poniższym:\n𝑣𝐴= √2𝐺𝑀𝑆\n(𝑟𝐴+ 𝑟𝑃) ⋅𝑟𝑃\n𝑟𝐴\nLUB\n- poprawna metoda obliczenia odległości od środka Słońca do punktu 𝐴 (aphelium)\norbity planetoidy ℛ oraz wyznaczenie tej odległości (na symbolach lub liczbach), np.\nzapisy równoważne poniższym:\n(|𝑃𝐴| = 𝑟𝑃+ 𝑟𝐴 → 𝑟𝐴= |𝑃𝐴| -𝑟𝑃) albo 𝑟𝐴= 5,62 au -0,81 au = 4,81 au\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nZasady oceniania (dla rozwiązania sposobem 3.)\n3 pkt - poprawna metoda obliczenia prędkości planetoidy ℛ w punkcie aphelium oraz\npodanie prawidłowego wyniku liczbowego z jednostką: 𝑣𝐴≈7,3 km/s\n2 pkt - zapisanie równości energii mechanicznych planetoidy ℛ w punktach 𝐴 (aphelium) i 𝑃\n(peryhelium) orbity oraz uwzględnienie w wyrażeniu na energię mechaniczną wzorów\nna energię potencjalną i na energię kinetyczną, oraz prawidłowe wyznaczenie\nodległości od środka Słońca do punktu 𝐴, np. zapisy równoważne poniższym:\n𝑚ℛ𝑣𝑃\n2\n2\n-𝐺𝑀𝑆𝑚ℛ\n𝑟𝑃\n= 𝑚ℛ𝑣𝐴\n2\n2\n-𝐺𝑀𝑆𝑚ℛ\n𝑟𝐴\noraz 𝑟𝐴= |𝑃𝐴| -𝑟𝑃\nalbo w jednym równaniu\n𝑚ℛ𝑣𝑃\n2\n2\n-𝐺𝑀𝑆𝑚ℛ\n𝑟𝑃\n= 𝑚ℛ𝑣𝐴\n2\n2\n-𝐺𝑀𝑆𝑚ℛ\n|𝑃𝐴| -𝑟𝑃\n1 pkt - zapisanie równości energii mechanicznych planetoidy ℛ w punktach 𝐴 (aphelium) i 𝑃\n(peryhelium) orbity oraz uwzględnienie w wyrażeniu na energię mechaniczną energii\npotencjalnej i energii kinetycznej (wystarczy poprzez oznaczenie), np. zapisy\nrównoważne poniższym:\n𝐸𝐴 𝑘𝑖𝑛+ 𝐸𝐴 𝑝𝑜𝑡= 𝐸𝑃 𝑘𝑖𝑛+ 𝐸𝑃 𝑝𝑜𝑡\nLUB\n- poprawna metoda obliczenia odległości od środka Słońca do punktu 𝐴 (aphelium)\norbity planetoidy ℛ oraz wyznaczenie tej odległości (na symbolach lub liczbach), np.\nzapisy równoważne poniższym:\n(|𝑃𝐴| = 𝑟𝑃+ 𝑟𝐴 → 𝑟𝐴= |𝑃𝐴| -𝑟𝑃) albo 𝑟𝐴= 5,62 au -0,81 au = 4,81 au\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób 1. (zastosowanie zasady zachowania momentu pędu)\nWykorzystamy zasadę zachowania momentu pędu planetoidy ℛ względem punktu centrum\ngrawitacyjnego. Moment pędu planetoidy w punkcie perycentrum jest równy momentowi\npędu planetoidy w punkcie apocentrum:\n𝐿𝐴= 𝐿𝑃\nWykorzystamy wzór na moment pędu. Prędkości planetoidy w punktach apocentrum\ni perycentrum są prostopadłe do promienia wodzącego, zatem:\n𝑚ℛ𝑣𝐴𝑟𝐴= 𝑚ℛ𝑣𝑃𝑟𝑃 → 𝑣𝐴𝑟𝐴= 𝑣𝑃𝑟𝑃\n𝑣𝐴= 𝑟𝑃\n𝑟𝐴\n𝑣𝑃\nWyznaczymy 𝑟𝐴:\n𝑟𝐴+ 𝑟𝑃= |𝑃𝐴| → 𝑟𝐴= |𝑃𝐴| -𝑟𝑃= 5,62 au -0,81 au = 4,81 au\nPodstawimy dane liczbowe do wzoru na 𝑣𝐴:\n𝑣𝐴= 0,81 au\n4,81 au ⋅43,29 km\ns = 7,29 km\ns ≈7,3 km\ns\nSposób 2. (wyprowadzenie wzoru z zasad zachowania)\nUwaga! Poniżej przedstawiony sposób nie jest rekomendowany dla tego zadania, ponieważ\nnie wykorzystuje 𝑣𝑃 i wymaga więcej rachunków algebraicznych oraz liczbowych niż\nsposób 1. Ten sposób byłby konieczny, gdyby w zadaniu nie była podana prędkość 𝑣𝑃.\nObliczymy wartość 𝑣𝐴 prędkości, jaką ma planetoida ℛ w punkcie 𝐴 orbity. Wykorzystamy\nzasadę zachowania energii mechanicznej oraz zasadę zachowania momentu pędu dla\nplanetoidy ℛ. Przyrównamy te wielkości w punktach 𝑃 i 𝐴 orbity eliptycznej:\n{𝐸𝑃= 𝐸𝐴\n𝐿𝑃= 𝐿𝐴\nDo powyższego układu równań podstawimy odpowiednie wzory na energię mechaniczną\ni moment pędu, następnie przekształcimy układ równań i wyznaczymy 𝑣𝐴:\n{\n𝑚ℛ𝑣𝑃\n2\n2\n-𝐺𝑀𝑆𝑚ℛ\n𝑟𝑃\n= 𝑚ℛ𝑣𝐴\n2\n2\n-𝐺𝑀𝑆𝑚ℛ\n𝑟𝐴\n𝑚ℛ𝑣𝑃𝑟𝑃= 𝑚ℛ𝑣𝐴𝑟𝐴\n→\n{\n𝑣𝑃\n2 -2𝐺𝑀𝑆\n𝑟𝑃\n= 𝑣𝐴\n2 -2𝐺𝑀𝑆\n𝑟𝐴\n𝑣𝑃= 𝑟𝐴\n𝑟𝑃\n𝑣𝐴\n𝑣𝐴\n2 -(𝑟𝐴\n𝑟𝑃\n)\n2\n𝑣𝐴\n2 = 2𝐺𝑀𝑆\n𝑟𝐴\n-2𝐺𝑀𝑆\n𝑟𝑃\n𝑣𝐴\n2 (1 -(𝑟𝐴\n𝑟𝑃\n)\n2\n) = 2𝐺𝑀𝑆(1\n𝑟𝐴\n-1\n𝑟𝑃\n)\n𝑣𝐴\n2 (𝑟𝑃\n2 -𝑟𝐴\n2\n𝑟𝑃\n2\n) = 2𝐺𝑀𝑆(𝑟𝑃-𝑟𝐴\n𝑟𝐴𝑟𝑃\n)\n𝑣𝐴\n2 (𝑟𝑃+ 𝑟𝐴\n𝑟𝑃\n) = 2𝐺𝑀𝑆(1\n𝑟𝐴\n)\nZasady oceniania rozwiązań zadań\n𝑣𝐴= √2𝐺𝑀𝑆\n(𝑟𝑃+ 𝑟𝐴) ⋅𝑟𝑃\n𝑟𝐴\n= √\n𝐺𝑀𝑆\n|𝑃𝐴|\n2\n⋅\n𝑟𝑃\n|𝑃𝐴| -𝑟𝑃\n𝑣𝐴= √6,674 ⋅10-11 N ⋅m2\nkg2\n⋅1,988 ⋅1030 kg\n2,81 ⋅1,496 ⋅1011 m\n⋅0,81 au\n4,81 au ≈7,29 ⋅103 m\ns ≈7,3 km\ns\nSposób 3. (zastosowanie zasady zachowania energii mechanicznej)\nUwaga! Poniżej przedstawiony sposób nie jest rekomendowany dla tego zadania, ponieważ\nnie jest optymalny - wymaga więcej rachunków liczbowych niż sposób 1.\nObliczymy wartość 𝑣𝐴 prędkości, jaką ma planetoida ℛ w punkcie 𝐴 orbity. Wykorzystamy\nzasadę zachowania energii mechanicznej dla planetoidy ℛ. Przyrównamy energie\nmechaniczne w punktach 𝑃 i 𝐴 orbity eliptycznej oraz uwzględnimy w energii mechanicznej\nenergię kinetyczną i energię potencjalną:\n𝐸𝑃= 𝐸𝐴 czyli 𝐸𝑃 𝑘𝑖𝑛+ 𝐸𝑃 𝑝𝑜𝑡= 𝐸𝐴 𝑘𝑖𝑛+ 𝐸𝐴 𝑝𝑜𝑡\nDo powyższego równania podstawimy odpowiednie wzory i wyznaczymy 𝑣𝐴:\n𝑚ℛ𝑣𝑃\n2\n2\n-𝐺𝑀𝑆𝑚ℛ\n𝑟𝑃\n= 𝑚ℛ𝑣𝐴\n2\n2\n-𝐺𝑀𝑆𝑚ℛ\n𝑟𝐴\n𝑣𝑃\n2 -2𝐺𝑀𝑆\n𝑟𝑃\n= 𝑣𝐴\n2 -2𝐺𝑀𝑆\n𝑟𝐴\n𝑣𝐴= √𝑣𝑃\n2 -2𝐺𝑀𝑆\n𝑟𝑃\n+ 2𝐺𝑀𝑆\n𝑟𝐴\n= √𝑣𝑃\n2 -2𝐺𝑀𝑆(𝑟𝐴-𝑟𝑃\n𝑟𝐴𝑟𝑃\n)\n𝑣𝐴= √𝑣𝑃\n2 -2𝐺𝑀𝑆\n|𝑃𝐴| -2𝑟𝑃\n(|𝑃𝐴| -𝑟𝑃)𝑟𝑃\n𝑣𝐴= √(43,29 km\ns )\n2\n-2 ⋅6,674 ⋅10-11 N ⋅m2\nkg2\n⋅1,988 ⋅1030 kg\n4 au\n4,81 ⋅0,81 au2\n𝑣𝐴= √(43,29 km\ns )\n2\n-2 ⋅6,674 ⋅10-11 ⋅1,988 ⋅1030\n4\n4,81 ⋅0,81 ⋅\n1\n1,496 ⋅1011 m2\ns2\n𝑣𝐴≈√1 874,02 km2\ns2 - 1 821,09 km2\ns2 ≈7,3 km\ns","solution":null,"image":"img/fizyka-2026-maj-matura-stara-rozszerzona/zad-5.4.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":17,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Fizyka · Matura · maj 2026 (rozszerzona)","subject_label":"Fizyka","category_label":"Matura"},{"id":"fizyka-2026-maj-matura-stara-rozszerzona/zad/6","paper_id":"fizyka-2026-maj-matura-stara-rozszerzona","number":"6","points":null,"ptype":"open","subject":"fizyka","category":"matura","year":2026,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 6.\nNa poniższym wykresie przedstawiono zależność ciśnienia 𝑝 od objętości 𝑉 dla pewnej\nprzemiany termodynamicznej 𝐴→𝐵 ustalonej masy gazu doskonałego. Przyjmij, że:\nciepło molowe tego gazu przy stałej objętości wynosi 𝐶𝑉=\n3\n2 𝑅, gdzie 𝑅 jest stałą gazową\nstany 𝐴 i 𝐵 gazu znajdują się w punktach kratowych siatki wykresu\n𝐴𝐵 jest odcinkiem prostym.\nWykres","answer":null,"answer_text":null,"solution":null,"image":"img/fizyka-2026-maj-matura-stara-rozszerzona/zad-6.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":18,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Fizyka · Matura · maj 2026 (rozszerzona)","subject_label":"Fizyka","category_label":"Matura"},{"id":"fizyka-2026-maj-matura-stara-rozszerzona/zad/6.1","paper_id":"fizyka-2026-maj-matura-stara-rozszerzona","number":"6.1","points":1,"ptype":"true_false","subject":"fizyka","category":"matura","year":2026,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 6.1. (0-1)\nOceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Zaznacz P, jeśli stwierdzenie jest\nprawdziwe, albo F - jeśli jest fałszywe.\nW przemianie 𝐴→𝐵 temperatura bezwzględna 𝑇 gazu zmienia się wprost\nproporcjonalnie do kwadratu objętości tego gazu.\nP\nF\nW przemianie 𝐴→𝐵 średnia wartość prędkości cząsteczek gazu wzrasta.\nP\nF","answer":null,"answer_text":"Zadanie 6.1. (0-1)\nWymagania ogólne\nWymagania szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i przetwarzanie\ninformacji zapisanych w postaci tekstu,\ntabel, wykresów, schematów i rysunków.\nI. Znajomość i umiejętność\nwykorzystania pojęć i praw fizyki do\nwyjaśniania procesów i zjawisk\nw przyrodzie.\nZdający:\n5.1) […] stosuje równanie gazu doskonałego\n(Clapeyrona) do wyznaczenia parametrów\ngazu;\n5.3) interpretuje wykresy ilustrujące przemiany\ngazu doskonałego;\n5.4) opisuje związek pomiędzy temperaturą\nw skali Kelwina a średnią energią kinetyczną\ncząsteczek.\nZasady oceniania\n1 pkt - poprawne zaznaczenia w dwóch stwierdzeniach.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna lub niepełna albo brak odpowiedzi.\nPełne rozwiązanie\nPP\nKomentarz do rozwiązania zadania 6.1. (do pierwszego zdania)\nZ równania Clapeyrona wynika, że 𝑇∝𝑝𝑉. Z treści zadania i wykresu wynika, że ciśnienie\njest wprost proporcjonalne do objętości: 𝑝= 𝑘𝑉 dla pewnego 𝑘. Zatem 𝑇∝𝑘𝑉⋅𝑉∝𝑉2.","solution":null,"image":"img/fizyka-2026-maj-matura-stara-rozszerzona/zad-6.1.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":18,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Fizyka · Matura · maj 2026 (rozszerzona)","subject_label":"Fizyka","category_label":"Matura"},{"id":"fizyka-2026-maj-matura-stara-rozszerzona/zad/6.2","paper_id":"fizyka-2026-maj-matura-stara-rozszerzona","number":"6.2","points":1,"ptype":"open","subject":"fizyka","category":"matura","year":2026,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 6.2. (0-1)\nDokończ zdanie. Wpisz właściwą liczbę w wykropkowane miejsce.\nIloraz temperatur bezwzględnych gazu w stanach 𝐵 i 𝐴 jest równy\n𝑇𝐵\n𝑇𝐴=\n𝐵\n𝐴\n0 5 10 15 20 25 30 35 𝑉, 10-3 m3\n𝑝, 104 Pa\n2\n1\n3\n0\n4\n5\n6\nEFAP-R0_100","answer":null,"answer_text":"Zadanie 6.2. (0-1)\nWymagania ogólne\nWymagania szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i przetwarzanie\ninformacji zapisanych w postaci tekstu,\ntabel, wykresów, schematów i rysunków.\nI. Znajomość i umiejętność\nwykorzystania pojęć i praw fizyki do\nwyjaśniania procesów i zjawisk\nw przyrodzie.\nZdający:\n5.1) […] stosuje równanie gazu doskonałego\n(Clapeyrona) do wyznaczenia parametrów\ngazu;\n5.3) interpretuje wykresy ilustrujące przemiany\ngazu doskonałego.\nZasady oceniania\n1 pkt - poprawne dokończenie zdania: wpisanie prawidłowej wartości ilorazu temperatur:\n6,25 lub\n25\n4\n0 pkt - rozwiązanie niepoprawne albo brak rozwiązania.\nRozwiązanie\nIloraz temperatur gazu w stanach 𝐵 i 𝐴 jest równy\n𝑇𝐵\n𝑇𝐴=\n6,25\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":null,"image":"img/fizyka-2026-maj-matura-stara-rozszerzona/zad-6.2.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":18,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Fizyka · Matura · maj 2026 (rozszerzona)","subject_label":"Fizyka","category_label":"Matura"},{"id":"fizyka-2026-maj-matura-stara-rozszerzona/zad/6.3","paper_id":"fizyka-2026-maj-matura-stara-rozszerzona","number":"6.3","points":4,"ptype":"open","subject":"fizyka","category":"matura","year":2026,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 6.3. (0-4)\nOblicz 𝑸𝑨𝑩 - ciepło pobrane przez gaz w opisanej przemianie 𝑨→𝑩.\nZapisz obliczenia.\nWskazówka: Praca siły parcia w przemianie 𝐴→𝐵 jest równa co do wartości bezwzględnej\npolu pod wykresem zależności 𝑝(𝑉) dla przemiany 𝐴→𝐵.\nEFAP-R0_100","answer":null,"answer_text":"Zadanie 6.3. (0-4)\nWymagania ogólne\nWymagania szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i przetwarzanie\ninformacji zapisanych w postaci tekstu,\ntabel, wykresów, schematów i rysunków.\nIV. Budowa prostych modeli fizycznych\ni matematycznych do opisu zjawisk.\nZdający:\n5.1) […] stosuje równanie gazu doskonałego\n(Clapeyrona) do wyznaczenia parametrów\ngazu;\n5.3) interpretuje wykresy ilustrujące przemiany\ngazu doskonałego;\n5.4) opisuje związek pomiędzy temperaturą\nw skali Kelwina a średnią energią kinetyczną\ncząsteczek;\n5.5) stosuje pierwszą zasadę termodynamiki,\nodróżnia przekaz energii w formie pracy od\nprzekazu energii w formie ciepła;\n5.7) posługuje się pojęciem ciepła molowego\nw przemianach gazowych;\n5.8) analizuje pierwszą zasadę termodynamiki\njako zasadę zachowania energii.\nZasady oceniania (dla rozwiązania sposobem 1.)\nRozwiązanie będzie podlegało ocenie, gdy zdający spełni co najmniej jeden z poniższych\nwarunków lub ich kombinację, określoną dalej w schemacie punktowania.\nWarunek IZT\nZapisanie I zasady termodynamiki dla przemiany 𝐴→𝐵 z poprawnym uwzględnieniem\nkonwencji znaków (stosowanej konsekwentnie), np. zapisy równoważne poniższym:\nΔ𝑈𝐴𝐵= |𝑄𝐴𝐵| -|𝑊𝐴𝐵|\nWarunek ΔU1\nZapisanie związku między zmianą energii wewnętrznej w przemianie 𝐴→𝐵 a przyrostem\ntemperatury, ciepłem molowym przy stałej objętości i liczbą moli, np.:\nΔ𝑈𝐴𝐵= 𝑛3\n2 𝑅Δ𝑇𝐴𝐵 (lub zapisy równoważne)\nWarunek ΔU2\nSkorzystanie ze wzoru na energię wewnętrzną wyrażoną przez objętość i ciśnienie oraz\nzapisanie prawidłowej postaci wzoru na przyrost energii wewnętrznej w przemianie 𝐴→𝐵\n(wyrażonej przez objętości i ciśnienia w stanach 𝐴 i 𝐵), np. zapisy równoważne poniższym:\n(𝑈𝐴= 3\n2 𝑝𝐴𝑉𝐴 oraz 𝑈𝐵= 3\n2 𝑝𝐵𝑉𝐵) → Δ𝑈𝐴𝐵= 3\n2 (𝑝𝐵𝑉𝐵-𝑝𝐴𝑉𝐴 )\nWarunek W\nPoprawna metoda obliczenia pracy siły parcia w przemianie 𝐴→𝐵 oraz podanie\nprawidłowego wzoru na tę pracę (wyrażoną przez objętości i ciśnienia w stanach 𝐴 i 𝐵), np.:\n|𝑊𝐴𝐵| = Pole pod 𝑝(𝑉) = 1\n2 (𝑝𝐴+ 𝑝𝐵)(𝑉𝐵-𝑉𝐴) (lub zapisy równoważne)\nWarunek ΔT\nPoprawna metoda wyznaczenia przyrostu temperatury w przemianie 𝐴→𝐵, tzn.\nwykorzystanie równań Clapeyrona dla stanów 𝐴 i 𝐵, oraz zapisanie prawidłowej postaci\nprzyrostu temperatury (albo przyrostu temperatury z czynnikiem 𝑛𝑅), np. zapisy równoważne\nponiższym:\n(𝑝𝐴𝑉𝐴= 𝑛𝑅𝑇𝐴 oraz 𝑝𝐵𝑉𝐵= 𝑛𝑅𝑇𝐵) → 𝑛𝑅Δ𝑇𝐴𝐵= 𝑝𝐵𝑉𝐵-𝑝𝐴𝑉𝐴\nSchemat punktowania (dla rozwiązania sposobem 1.)\n4 pkt - poprawna metoda obliczenia ciepła pobranego w przemianie 𝐴→𝐵 oraz podanie\nprawidłowego wyniku liczbowego z jednostką: 𝑄𝐴𝐵= 2 100 J\n3 pkt - spełnienie warunków: IZT oraz W oraz ΔU1 oraz ΔT\nLUB\n- spełnienie warunków: IZT oraz W oraz ΔU2\n2 pkt - spełnienie warunków: IZT oraz ΔU1\nLUB\n- spełnienie warunków: IZT oraz W\nLUB\n- spełnienie warunków: ΔU1 oraz W\nLUB\n- spełnienie warunków: (ΔU1 oraz ΔT) albo ΔU2\n1 pkt - spełnienie warunku IZT\nLUB\n- spełnienie warunku ΔU1\nLUB\n- spełnienie warunku W\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nZasady oceniania (dla rozwiązania sposobami 2A i 2B i podobnymi)\n4 pkt - poprawna metoda obliczenia ciepła pobranego w przemianie 𝐴→𝐵 oraz podanie\nprawidłowego wyniku liczbowego z jednostką: 𝑄𝐴𝐵= 2 100 J\n3 pkt - założenie, że przemiana 𝐴→𝐵 jest częścią cyklu 𝐴→𝐵→𝐶→𝐴, który składa się\nz przemian izochorycznej i izobarycznej (jak w obu warunkach za 1 pkt) oraz\npoprawne zapisanie pierwszej zasady termodynamiki dla cyklu oraz poprawna\nmetoda obliczenia ciepła 𝑄𝐵𝐶 i ciepła 𝑄𝐶𝐴 oraz poprawna metoda obliczenia pracy\ncałkowitej w cyklu\nLUB\n- zauważenie, że dla dowolnej przemiany 𝐴→𝑋→𝐵 i dla przemiany 𝐴→𝐵 zachodzi\nzwiązek Δ𝑈𝐴𝐵= Δ𝑈𝐴𝑋+ Δ𝑈𝑋𝐵 oraz poprawna metoda obliczenia Δ𝑈𝐴𝑋 i Δ𝑈𝑋𝐵 oraz\nzapisanie I zasady termodynamiki dla przemiany 𝐴→𝐵 z poprawnym\nuwzględnieniem konwencji znaków (stosowanej konsekwentnie).\n2 pkt - założenie, że przemiana 𝐴→𝐵 jest częścią cyklu 𝐴→𝐵→𝐶→𝐴, który składa się\nz przemian izochorycznej i izobarycznej (jak w obu warunkach za 1 pkt) oraz\npoprawne zapisanie pierwszej zasady termodynamiki dla odpowiedniego\ncyklu, oraz poprawna metoda obliczenia ciepła 𝑄𝐵𝐶 albo ciepła 𝑄𝐶𝐴\nALBO\nZasady oceniania rozwiązań zadań\npoprawne zapisanie pierwszej zasady termodynamiki dla odpowiedniego\ncyklu oraz poprawna metoda obliczenia pracy całkowitej w cyklu\nALBO\npoprawna metoda obliczenia ciepła 𝑄𝐵𝐶 albo ciepła 𝑄𝐶𝐴 oraz poprawna\nmetoda obliczenia pracy całkowitej w cyklu\nALBO\npoprawna metoda obliczenia ciepła 𝑄𝐵𝐶 oraz ciepła 𝑄𝐶𝐴\nLUB\n- zauważenie, że dla dowolnej przemiany 𝐴→𝑋→𝐵 i dla przemiany 𝐴→𝐵 zachodzi\nzwiązek Δ𝑈𝐴𝐵= Δ𝑈𝐴𝑋+ Δ𝑈𝑋𝐵 oraz poprawna metoda obliczenia Δ𝑈𝐴𝑋 albo Δ𝑈𝑋𝐵\nLUB\n- zauważenie, że dla dowolnej przemiany 𝐴→𝑋→𝐵 i dla przemiany 𝐴→𝐵 zachodzi\nzwiązek Δ𝑈𝐴𝐵= Δ𝑈𝐴𝑋+ Δ𝑈𝑋𝐵 oraz zapisanie I zasady termodynamiki dla przemiany\n𝐴→𝐵 z poprawnym uwzględnieniem konwencji znaków (stosowanej konsekwentnie).\n1 pkt - założenie, że przemiana 𝐴→𝐵 jest częścią cyklu 𝐴→𝐵→𝐶→𝐴, który składa się\nz przemiany izochorycznej 𝐵→𝐶 i przemiany izobarycznej 𝐶→𝐴 oraz\npoprawne zapisanie pierwszej zasady termodynamiki dla cyklu, np.:\n0 = |𝑄𝐴𝐵| -|𝑄𝐵𝐶| -|𝑄𝐶𝐴| -|𝑊𝐴𝐵𝐶|\nALBO\npoprawna metoda obliczenia ciepła 𝑄𝐵𝐶 albo ciepła 𝑄𝐶𝐴, np.:\n|𝑄𝐵𝐶| = 3\n2 𝑛𝑅Δ𝑇𝐵𝐶 albo |𝑄𝐶𝐴| = 5\n2 𝑛𝑅Δ𝑇𝐶𝐴\nALBO\npoprawna metoda obliczenia pracy całkowitej w cyklu, np.:\n|𝑊𝐴𝐵𝐶| = 1\n2 (𝑝𝐵-𝑝𝐴)(𝑉𝐵-𝑉𝐴)\nLUB\n- założenie, że przemiana 𝐴→𝐵 jest częścią cyklu 𝐴→𝐵→𝐶→𝐴, który składa się\nz przemiany izobarycznej 𝐵→𝐶 i przemiany izochorycznej 𝐶→𝐴 oraz\npoprawne zapisanie pierwszej zasady termodynamiki dla cyklu, np.:\n0 = |𝑄𝐴𝐵| -|𝑄𝐵𝐶| -|𝑄𝐶𝐴| + |𝑊𝐴𝐵𝐶|\nALBO\npoprawna metoda obliczenia ciepła 𝑄𝐵𝐶 albo ciepła 𝑄𝐶𝐴, np.:\n|𝑄𝐵𝐶| = 5\n2 𝑛𝑅Δ𝑇𝐵𝐶 albo |𝑄𝐶𝐴| = 3\n2 𝑛𝑅Δ𝑇𝐶𝐴\nALBO\npoprawna metoda obliczenia pracy całkowitej w cyklu, np.:\n|𝑊𝐴𝐵𝐶| = 1\n2 (𝑝𝐵-𝑝𝐴)(𝑉𝐵-𝑉𝐴)\nLUB\n- zauważenie, że dla dowolnej przemiany 𝐴→𝑋→𝐵 i dla przemiany 𝐴→𝐵 zachodzi\nzwiązek: Δ𝑈𝐴𝐵= Δ𝑈𝐴𝑋+ Δ𝑈𝑋𝐵\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób 1. (optymalny, z wykorzystaniem IZT i bezpośrednim obliczeniem Δ𝑈𝐴𝐵)\nZapiszemy I zasadę termodynamiki dla przemiany termodynamicznej 𝐴→𝐵. Zastosujemy\nkonwencję znaków, zgodnie z którą, gdy gaz pobiera energię w formie pracy lub ciepła, to\nwielkości te oznaczamy jako dodatnie, a gdy traci energię w postaci pracy lub ciepła, to\nwielkości te oznaczamy jako ujemne. Gaz się rozpręża, więc traci energię w formie pracy\ni jednocześnie pobiera energię w formie ciepła. Zatem:\n1) Δ𝑈𝐴𝐵= |𝑄𝐴𝐵| -|𝑊𝐴𝐵| → 1a) |𝑄𝐴𝐵| = Δ𝑈𝐴𝐵+ |𝑊𝐴𝐵|\nDo wyznaczenia zmiany energii wewnętrznej wykorzystamy związek między energią\nwewnętrzną a temperaturą:\n2) Δ𝑈𝐴𝐵= 𝑛𝐶𝑉Δ𝑇𝐴𝐵 → 2a) Δ𝑈𝐴𝐵= 𝑛3\n2 𝑅Δ𝑇𝐴𝐵\nPrzyrost temperatury określimy na podstawie równań Clapeyrona dla stanów 𝐴 i 𝐵:\n3) 𝑝𝐴𝑉𝐴= 𝑛𝑅𝑇𝐴 oraz 𝑝𝐵𝑉𝐵= 𝑛𝑅𝑇𝐵 →\n4) 𝑛𝑅Δ𝑇𝐴𝐵= 𝑛𝑅𝑇𝐵-𝑛𝑅𝑇𝐴= 𝑝𝐵𝑉𝐵-𝑝𝐴𝑉𝐴\nRównanie 4) wykorzystamy w równaniu 2a):\n5) Δ𝑈𝐴𝐵= 3\n2 (𝑝𝐵𝑉𝐵-𝑝𝐴𝑉𝐴) = 1 575 J\nDo wyznaczenia pracy w przemianie 𝐴→𝐵 zastosujemy następujący lemat: praca\nw przemianie termodynamicznej jest równa polu pod wykresem zależności 𝑝(𝑉) dla danej\nprzemiany. Zatem:\n6) |𝑊𝐴𝐵| = Pole pod 𝑝(𝑉) = 1\n2 (𝑝𝐴+ 𝑝𝐵)(𝑉𝐵-𝑉𝐴) = 525 J\nWzory 5) oraz 6) wykorzystamy we wzorze 1a):\n7) |𝑄𝐴𝐵| = 3\n2 (𝑝𝐵𝑉𝐵-𝑝𝐴𝑉𝐴) + 1\n2 (𝑝𝐴+ 𝑝𝐵)(𝑉𝐵-𝑉𝐴)\nDo powyższego wzoru podstawimy dane liczbowe i wykonamy obliczenia:\n8a) |𝑄𝐴𝐵| = (3\n2 ⋅(5 ⋅25 -2 ⋅10) + 1\n2 ⋅(2 + 5)(25 -10)) ⋅101 N ⋅m\n8b) |𝑄𝐴𝐵| = (157,5 + 52,5) ⋅101 J = 2 100 J\nSposób 2A.\nRozważmy taki cykl przemian 𝐴→𝐵→𝐶→𝐴, w którym:\nprzemiana 𝐴→𝐵 to przemiana opisana w zadaniu\nprzemiana 𝐵→𝐶 jest izochoryczna, gdzie 𝑉𝐶= 𝑉𝐵= 25 ⋅10-3 m3 oraz 𝑝𝐴≤𝑝≤𝑝𝐵\nprzemiana 𝐶→𝐴 jest izobaryczna, gdzie 𝑝𝐶= 𝑝𝐴= 2 ⋅104 Pa oraz 𝑉𝐴≤𝑉≤𝑉𝐵.\nW przemianie 𝐴→𝐵 gaz pobiera ciepło 𝑄𝐴𝐵 z grzejnicy, w przemianie 𝐵→𝐶 gaz oddaje\nciepło 𝑄𝐵𝐶 do chłodnicy, w przemianie 𝐶→𝐴 gaz oddaje ciepło 𝑄𝐶𝐴 do chłodnicy. Pracę\ncałkowitą wykonaną przez siłę parcia w całym cyklu oznaczymy jako 𝑊𝐴𝐵𝐶. Zmiana energii\nwewnętrznej w całym cyklu wynosi zero, zatem na mocy I zasady termodynamiki mamy:\nZasady oceniania rozwiązań zadań\n1) 0 = |𝑄𝐴𝐵| -|𝑄𝐵𝐶| -|𝑄𝐶𝐴| -|𝑊𝐴𝐵𝐶| zatem\n2) |𝑄𝐴𝐵| = |𝑊𝐴𝐵𝐶| + |𝑄𝐵𝐶| + |𝑄𝐶𝐴|\nObliczymy pracę jako pole obszaru ograniczonego figurą wykresu:\n3) |𝑊𝐴𝐵𝐶| = 1\n2 (𝑝𝐵-𝑝𝐴)(𝑉𝐵-𝑉𝐴) = 1\n2 ⋅(5 -2) ⋅(25 -10) 101 J = 45\n2 ⋅101 J\nObliczymy 𝑄𝐵𝐶, wykorzystamy przy tym równanie Clapeyrona:\n4) |𝑄𝐵𝐶| = 3\n2 𝑛𝑅Δ𝑇𝐵𝐶= 3\n2 Δ𝑝𝐵𝐶𝑉𝐶= 3\n2 (𝑝𝐵-𝑝𝐴)𝑉𝐵= 3\n2 ⋅(5 -2) ⋅25 ⋅101 J = 225\n2 ⋅101 J\nPodobnie obliczymy 𝑄𝐶𝐴:\n5) |𝑄𝐶𝐴| = 5\n2 𝑛𝑅Δ𝑇𝐶𝐴= 5\n2 𝑝𝐶Δ𝑉𝐶𝐴= 5\n2 𝑝𝐴(𝑉𝐵-𝑉𝐴) = 5\n2 ⋅2 ⋅(25 -10) ⋅101 J = 75 ⋅101 J\nWyniki z równań 3) i 4) i 5) podstawiamy do równania 2):\n6) |𝑄𝐴𝐵| = 45\n2 ⋅101 J + 225\n2 ⋅101 J + 75 ⋅101 J = 210 ⋅101 J = 2 100 J\nSposób 2B.\nRozważmy taki cykl przemian 𝐴→𝐵→𝐶→𝐴, w którym:\nprzemiana 𝐴→𝐵 to przemiana opisana w zadaniu\nprzemiana 𝐵→𝐶 jest izobaryczna, gdzie 𝑝𝐶= 𝑝𝐵= 5 ⋅104 Pa oraz 𝑉𝐴≤𝑉≤𝑉𝐵\nprzemiana 𝐶→𝐴 jest izochoryczna, gdzie 𝑉𝐶= 𝑉𝐴= 10 ⋅10-3 m3 oraz 𝑝𝐴≤𝑝≤𝑝𝐵.\nW przemianie 𝐴→𝐵 gaz pobiera ciepło 𝑄𝐴𝐵 z grzejnicy, w przemianie 𝐵→𝐶 gaz oddaje\nciepło 𝑄𝐵𝐶 do chłodnicy, w przemianie 𝐶→𝐴 gaz oddaje ciepło 𝑄𝐶𝐴 do chłodnicy. Kierunek\ncyklu odpowiada pompie cieplnej. Pracę całkowitą przeciwko sile parcia w całym cyklu\noznaczymy jako 𝑊𝐴𝐵𝐶. Zmiana energii wewnętrznej w całym cyklu wynosi zero, zatem na\nmocy I zasady termodynamiki mamy:\n1) 0 = |𝑄𝐴𝐵| -|𝑄𝐵𝐶| -|𝑄𝐶𝐴| + |𝑊𝐴𝐵𝐶|\nzatem:\n2) |𝑄𝐴𝐵| = |𝑄𝐵𝐶| + |𝑄𝐶𝐴| -|𝑊𝐴𝐵𝐶|\nObliczymy pracę jako pole obszaru ograniczonego figurą wykresu:\n3) |𝑊𝐴𝐵𝐶| = 1\n2 (𝑝𝐵-𝑝𝐴)(𝑉𝐵-𝑉𝐴) = 1\n2 ⋅(5 -2) ⋅(25 -10) 101 J = 45\n2 ⋅101 J\nObliczymy 𝑄𝐵𝐶, wykorzystamy przy tym równanie Clapeyrona:\n4) |𝑄𝐵𝐶| = 5\n2 𝑛𝑅Δ𝑇𝐵𝐶= 5\n2 𝑝𝐶Δ𝑉𝐵𝐶= 5\n2 𝑝𝐵(𝑉𝐵-𝑉𝐴) = 5\n2 ⋅5 ⋅(25 -10) ⋅101 J = 375\n2 ⋅101 J\nPodobnie obliczymy 𝑄𝐶𝐴:\n5) |𝑄𝐶𝐴| = 3\n2 𝑛𝑅Δ𝑇𝐶𝐴= 3\n2 Δ𝑝𝐶𝐴𝑉𝐴= 3\n2 (𝑝𝐵-𝑝𝐴)𝑉𝐴= 3\n2 ⋅(5 -2) ⋅10 ⋅101 J = 45 ⋅101 J\nWyniki z równań 3) i 4) i 5) podstawiamy do równania 2):\n6) |𝑄𝐴𝐵| = 375\n2 ⋅101 J + 45 ⋅101 J -45\n2 ⋅101 J = 210 ⋅101 J = 2 100 J\nInne, podobne sposoby rozwiązania\nZadanie można rozwiązać sposobem, w którym zmianę energii wewnętrznej Δ𝑈𝐴𝐵 oblicza się\njako sumę zmian energii wewnętrznych Δ𝑈𝐴𝑋+ Δ𝑈𝑋𝐵 w przemianach 𝐴→𝑋 (izobarycznej lub\nizochorycznej) oraz 𝑋→𝐵 (izochorycznej lub izobarycznej). Ten sposób niepotrzebnie\nwydłuża obliczenie zmiany energii wewnętrznej Δ𝑈𝐴𝐵 (porównaj ze sposobem 1.)","solution":null,"image":"img/fizyka-2026-maj-matura-stara-rozszerzona/zad-6.3.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":19,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Fizyka · Matura · maj 2026 (rozszerzona)","subject_label":"Fizyka","category_label":"Matura"},{"id":"fizyka-2026-maj-matura-stara-rozszerzona/zad/7","paper_id":"fizyka-2026-maj-matura-stara-rozszerzona","number":"7","points":null,"ptype":"open","subject":"fizyka","category":"matura","year":2026,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 7.\nTrzy punktowe ładunki elektryczne: 𝑄1, 𝑄2 i 𝑄3\numieszczono w wierzchołkach kwadratu (zobacz rysunek\nobok). Ładunki te pozostają nieruchome. Pomiędzy\nładunkami jest próżnia.\nDługość boku tego kwadratu jest równa 𝑎.\nWartości ładunków 𝑄1, 𝑄2 i 𝑄3 wyrażają się poprzez\npewną dodatnią wartość 𝑄 następująco:\n𝑄1 = +𝑄 𝑄2 = -𝑄 𝑄3 = +𝑄\nW wierzchołku kwadratu oznaczonym jako 𝑃 nie ma\nładunku elektrycznego.","answer":null,"answer_text":null,"solution":null,"image":"img/fizyka-2026-maj-matura-stara-rozszerzona/zad-7.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":20,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Fizyka · Matura · maj 2026 (rozszerzona)","subject_label":"Fizyka","category_label":"Matura"},{"id":"fizyka-2026-maj-matura-stara-rozszerzona/zad/7.1","paper_id":"fizyka-2026-maj-matura-stara-rozszerzona","number":"7.1","points":1,"ptype":"closed","subject":"fizyka","category":"matura","year":2026,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 7.1. (0-1)\nNa którym rysunku (spośród A-D) prawidłowo zaznaczono kierunek i zwrot\nwypadkowej siły elektrycznej działającej na ładunek 𝑸𝟑? Zaznacz właściwą odpowiedź\nspośród podanych.\nA.\nB.\nC.\nD.\n𝑄1 = +𝑄\n𝑄3 = +𝑄\n𝑃\n𝑎\n𝑄2 = -𝑄\n𝑄1\n𝑄3\n𝑃\n𝑎\n𝑄2\n𝑄1\n𝑄3\n𝑃\n𝑎\n𝑄2\n𝑄1\n𝑄3\n𝑃\n𝑎\n𝑄2\n𝑄3\n𝑄2\n𝑄1\n𝑃\n𝑎\nEFAP-R0_100","answer":null,"answer_text":"Zadanie 7.1. (0-1)\nWymagania ogólne\nWymagania szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i przetwarzanie\ninformacji zapisanych w postaci tekstu,\ntabel, wykresów, schematów i rysunków.\nI. Znajomość i umiejętność\nwykorzystania pojęć i praw fizyki do\nwyjaśniania procesów i zjawisk\nw przyrodzie.\nZdający:\n1.1) rozróżnia wielkości wektorowe od\nskalarnych; wykonuje działania na wektorach\n(dodawanie, odejmowanie, rozkładanie na\nskładowe);\n1.13) składa i rozkłada siły działające wzdłuż\nprostych nierównoległych.\n7.1) wykorzystuje prawo Coulomba do\nobliczenia siły oddziaływania\nelektrostatycznego między ładunkami\npunktowymi.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nA","solution":null,"image":"img/fizyka-2026-maj-matura-stara-rozszerzona/zad-7.1.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":20,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Fizyka · Matura · maj 2026 (rozszerzona)","subject_label":"Fizyka","category_label":"Matura"},{"id":"fizyka-2026-maj-matura-stara-rozszerzona/zad/7.2","paper_id":"fizyka-2026-maj-matura-stara-rozszerzona","number":"7.2","points":4,"ptype":"open","subject":"fizyka","category":"matura","year":2026,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 7.2. (0-4)\nWektor wypadkowego natężenia pola elektrycznego w punkcie 𝑃 oznaczymy jako 𝐸ሬ⃗𝑃.\nWyznacz 𝑬𝑷 - wartość wektora natężenia 𝑬ሬሬ⃗𝑷 - w zależności tylko od 𝒂, od 𝑸 oraz od\nodpowiedniej stałej fizycznej.\nZapisz odpowiednie równania i przekształcenia oraz podaj postać wzoru na 𝑬𝑷.\nUwaga! Zamieszczony rysunek ma charakter pomocniczy.\n𝑄1 = +𝑄\n𝑄3 = +𝑄\n𝑃\n𝑎\n𝑄2 = -𝑄\nRysunek pomocniczy\nEFAP-R0_100","answer":null,"answer_text":"Zadanie 7.2. (0-4)\nWymagania ogólne\nWymagania szczegółowe\nIV. Budowa prostych modeli fizycznych\ni matematycznych do opisu zjawisk.\nIII. Wykorzystanie i przetwarzanie\ninformacji zapisanych w postaci tekstu,\ntabel, wykresów, schematów i rysunków.\nZdający:\n1.1) rozróżnia wielkości wektorowe od\nskalarnych; wykonuje działania na wektorach\n(dodawanie, odejmowanie, rozkładanie na\nskładowe).\n7.2) posługuje się pojęciem natężenia pola\nelektrostatycznego;\n7.3) oblicza natężenie pola centralnego\npochodzącego od jednego ładunku punktowego.\nZasady oceniania\nRozwiązanie będzie podlegało ocenie, gdy zdający spełni co najmniej jeden z poniższych\nwarunków lub ich kombinację, określoną dalej w schemacie punktowania.\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nWarunek Ei (dla i=1 albo i=2, albo i=3 będą to - odpowiednio - warunki E1 albo E2, albo E3)\nPoprawna metoda wyznaczenia wartości 𝐸1 albo 𝐸2, albo 𝐸3 natężeń wektorów pól\nelektrycznych pochodzących - odpowiednio - od ładunków 𝑄1 albo 𝑄2, albo 𝑄3 oraz\npodanie prawidłowej postaci wzoru na wartość 𝐸𝑖 natężenia pola od ładunku 𝑄𝑖 w zależności\ntylko od 𝑎, od 𝑄 i od odpowiedniej stałej fizycznej, np. zapisy równoważne poniższym:\n𝐸1 = 𝑘𝑄\n𝑎2 albo 𝐸3 = 𝑘𝑄\n𝑎2 albo 𝐸2 =\n𝑘𝑄\n(√2𝑎)2 = 1\n2 ⋅𝑘𝑄\n𝑎2\nWarunek E1=E3\nZapisanie zależności (równości) między wartościami 𝐸1 i 𝐸3 natężeń wektorów pól\nelektrycznych pochodzących od ładunków 𝑄1 i 𝑄3, np. zapisy równoważne poniższym:\n𝐸1 = 𝐸3\nWarunek E1=2E2\nZapisanie zależności między wartościami 𝐸1 i 𝐸2 (albo 𝐸3 i 𝐸2) natężeń pól elektrycznych\npochodzących od ładunków 𝑄1 i 𝑄2 (albo 𝑄3 i 𝑄2), np. zapisy równoważne poniższym:\n𝐸1 = 2𝐸2 albo 𝐸3 = 2𝐸2\nWarunek E13\nZapisanie zależności między wartością 𝐸13 wypadkowego natężenia pola elektrycznego\npochodzącego od ładunków 𝑄1 i 𝑄3 a wartością 𝐸1 (lub 𝐸3) natężenia pola pochodzącego od\nładunku 𝑄1 (lub 𝑄3) albo podanie prawidłowej postaci wzoru na wartość 𝐸13 w zależności\ntylko od 𝑎, od 𝑄 i od odpowiedniej stałej fizycznej, np. zapisy równoważne poniższym:\n(𝐸13 = √2𝐸1 lub 𝐸13 = √2𝐸3 ) albo 𝐸13 = √2 ⋅𝑘𝑄\n𝑎2\nWarunek EP-metoda\nZapisanie zależności między wartościami 𝐸𝑃 a 𝐸13 i 𝐸2, np. zapisy równoważne poniższym:\n𝐸𝑃= 𝐸13 -𝐸2\nSchemat punktowania\n4 pkt - poprawna metoda wyznaczenia wartości 𝐸𝑃 natężenia pola elektrycznego w punkcie 𝑃\noraz zapisanie prawidłowej postaci wzoru: 𝐸𝑃=\n𝑘𝑄\n𝑎2 (√2 -\n1\n2)\n3 pkt - spełnienie warunków: EP-metoda oraz E13 oraz (E1=2E2 albo E2)\nLUB\n- spełnienie warunków: E13 oraz E2 oraz wskazanie (np. na rysunku lub zapisem\nsłownym lub algebraicznym), że wektory 𝐸ሬ⃗13 i 𝐸ሬ⃗2 leżą na jednej prostej (mogą mieć\nnieprawidłowe zwroty).\n2 pkt - spełnienie warunku E13\nLUB\n- spełnienie warunku EP-metoda oraz (E1=2E2 albo E2)\nLUB\n- spełnienie warunków Ei dla i=1 oraz i=2 oraz i=3\nLUB\n- spełnienie warunków: E1=E3 oraz E1=2E2\n1 pkt - spełnienie warunku Ei (tzn. dla jednego dowolnego i)\nLUB\n- spełnienie warunku E1=E3\nLUB\n- spełnienie warunku E1=2E2\nLUB\n- spełnienie warunku EP-metoda\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nWektor natężenia pola elektrycznego 𝐸ሬ⃗𝑃 jest\nwektorową sumą wektorów natężeń 𝐸ሬ⃗1, 𝐸ሬ⃗2 i 𝐸ሬ⃗3,\npochodzących - odpowiednio - od ładunków:\n𝑄1, 𝑄2 i 𝑄3.\nZapiszemy wektorowo:\n𝐸ሬ⃗𝑃= 𝐸ሬ⃗1 + 𝐸ሬ⃗2 + 𝐸ሬ⃗3 = 𝐸ሬ⃗13 + 𝐸ሬ⃗2\ngdzie 𝐸ሬ⃗13 jest sumą wektorów 𝐸ሬ⃗1 i 𝐸ሬ⃗3.\nNa rysunku obok przedstawiono wektory 𝐸ሬ⃗1, 𝐸ሬ⃗2 i 𝐸ሬ⃗3\noraz geometryczny sposób wyznaczenia wektora 𝐸ሬ⃗𝑃.\nWartość wektora 𝐸ሬ⃗𝑃 wyraża się wzorem:\n1) 𝐸𝑃= 𝐸13 -𝐸2\nWartości wektorów 𝐸ሬ⃗1 i 𝐸ሬ⃗3 są sobie równe i wyrażają się wzorem:\n2) 𝐸1 = 𝐸3 = 𝑘𝑄\n𝑎2\nWartość wektora 𝐸ሬ⃗13 wyraża się wzorem (długość przekątnej kwadratu o bokach 𝐸1 i 𝐸3):\n3) 𝐸13 = √2 ⋅𝐸1 = √2 ⋅𝑘𝑄\n𝑎2\nWartość wektora 𝐸ሬ⃗2 wyraża się wzorem:\n4) 𝐸2 = 𝑘𝑄\n𝑑2 =\n𝑘𝑄\n(√2𝑎)2 = 1\n2 ⋅𝑘𝑄\n𝑎2\nWzory 4) i 3) podstawimy do wzoru 1):\n5) 𝐸𝑃= √2 ⋅𝑘𝑄\n𝑎2 -1\n2 ⋅𝑘𝑄\n𝑎2 = 𝑘𝑄\n𝑎2 (√2 -1\n2)\n𝑄1 = +𝑄\n𝑄3 = +𝑄\n𝑃\n𝑎\n𝑄2 = -𝑄\nRysunek pomocniczy\n𝐸ሬ⃗2\n𝐸ሬ⃗𝑃\n𝐸ሬ⃗1\n𝐸ሬ⃗3\n𝑑\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":null,"image":"img/fizyka-2026-maj-matura-stara-rozszerzona/zad-7.2.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":21,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Fizyka · Matura · maj 2026 (rozszerzona)","subject_label":"Fizyka","category_label":"Matura"},{"id":"fizyka-2026-maj-matura-stara-rozszerzona/zad/8","paper_id":"fizyka-2026-maj-matura-stara-rozszerzona","number":"8","points":null,"ptype":"open","subject":"fizyka","category":"matura","year":2026,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 8.\nSzklana kula 𝒦 o środku w punkcie 𝑆 jest umieszczona w powietrzu. Współczynnik\nzałamania światła w szkle, z którego jest wykonana kula 𝒦, jest równy 𝑛𝑠𝑧= 1,50.\nWspółczynnik załamania światła w powietrzu przyjmujemy równy 𝑛𝑝= 1,00.\nWewnątrz kuli 𝒦, w punkcie 𝐷 tuż pod jej powierzchnią, znajduje się mała świecąca dioda.\nTa dioda emituje światło do wnętrza kuli w taki sposób, że jej światło pada na każdy punkt\nwewnętrznej powierzchni kuli 𝒦.\nOkazuje się, że światło diody wychodzi z kuli 𝒦 jedynie przez fragment jej powierzchni,\nzaznaczony na schematycznym rysunku fioletowym łukiem 𝐴𝐵.\nNa rysunku przedstawiono przekrój kuli 𝒦 w płaszczyźnie zawierającej diodę i środek kuli.\nMiarę kąta ∠𝐵𝐷𝐴 oznaczono jako 𝜑. Kreską przerywaną oznaczono odcinki pomocnicze.\nRysunek","answer":null,"answer_text":null,"solution":null,"image":"img/fizyka-2026-maj-matura-stara-rozszerzona/zad-8.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":22,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Fizyka · Matura · maj 2026 (rozszerzona)","subject_label":"Fizyka","category_label":"Matura"},{"id":"fizyka-2026-maj-matura-stara-rozszerzona/zad/8.1","paper_id":"fizyka-2026-maj-matura-stara-rozszerzona","number":"8.1","points":3,"ptype":"open","subject":"fizyka","category":"matura","year":2026,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 8.1. (0-3)\nOblicz 𝝋. Zapisz obliczenia.\nUwaga! W obliczeniach wykorzystaj odpowiedni związek spośród podanych poniżej:\nsin 30° = 0,5 | sin 42° ≈0,67 | cos 60° = 0,5 | cos 48° ≈0,67 | tg 34° ≈0,67 | tg 56° ≈1,5\n𝐴\n𝑆\n𝐵\n𝐷\n𝜑\nEFAP-R0_100","answer":null,"answer_text":"Zadanie 8.1. (0-3)\nWymagania ogólne\nWymagania szczegółowe\nIV. Budowa prostych modeli fizycznych\ni matematycznych do opisu zjawisk.\nIII. Wykorzystanie i przetwarzanie\ninformacji zapisanych w postaci tekstu,\ntabel, wykresów, schematów i rysunków.\nZdający:\n1.1) rozróżnia wielkości wektorowe od\nskalarnych; wykonuje działania na wektorach\n(dodawanie, odejmowanie, rozkładanie na\nskładowe).\n7.2) posługuje się pojęciem natężenia pola\nelektrostatycznego;\n7.3) oblicza natężenie pola centralnego\npochodzącego od jednego ładunku punktowego.\nZasady oceniania\n3 pkt - poprawna metoda obliczenia 𝜑 oraz podanie prawidłowego wyniku liczbowego\nwyrażonego w stopniach lub w radianach: 𝜑≈83,6° (lub 𝜑≈84° )\n2 pkt - zauważenie i zapisanie, że kąt ∠𝑆𝐵𝐷 lub ∠𝐷𝐴𝑆 jest kątem granicznym dla przejścia\nświatła ze szkła do powietrza, oraz zapisanie równania (z uwzględnieniem\nwspółczynnika załamania światła w szkle), z którego można obliczyć kąt graniczny dla\nprzejścia światła przez granicę szkło - powietrze, np. zapisy równoważne poniższym:\n(𝛼𝑔= |∠𝑆𝐵𝐷| oraz sin 𝛼𝑔\nsin 90° = 𝑛𝑝\n𝑛𝑠𝑧\n) albo w jednym równaniu: sin |∠𝑆𝐵𝐷| = 1\n1,5\nLUB\n- zauważenie i zapisanie, że kąt ∠𝑆𝐵𝐷 lub ∠𝐷𝐴𝑆 jest kątem granicznym dla przejścia\nświatła ze szkła do powietrza, oraz wyprowadzenie/zapisanie zależności między\n𝛼𝑔 a 𝜑, np. zapisy równoważne poniższym:\n𝛼𝑔= |∠𝑆𝐵𝐷| oraz 𝜑= 2 ⋅|∠𝑆𝐵𝐷| (albo w jednym równaniu: 𝜑= 2 ⋅𝛼𝑔 )\n1 pkt - zauważenie i zapisanie, że kąt ∠𝑆𝐵𝐷 lub ∠𝐷𝐴𝑆 jest kątem granicznym dla przejścia\nświatła ze szkła do powietrza, np. zapisy równoważne poniższym:\n𝛼𝑔= |∠𝑆𝐵𝐷| lub 𝛼𝑔= |∠𝐷𝐴𝑆|\nLUB\n- wyprowadzenie/zapisanie zależności: 𝜑= 2 ⋅|∠𝑆𝐵𝐷|\nUwaga! W tym warunku identyfikacja ∠𝑆𝐵𝐷 jako kąta granicznego nie jest wymagana.\nLUB\n- zapisanie równania na kąt graniczny bez identyfikacji lub z błędną identyfikacją tego\nkąta (oznaczeniem lub na rysunku lub wynikającym dalej z kontekstu) oraz\nuwzględnienie w tym równaniu wartości współczynnika załamania światła w szkle, np.:\nsin 𝛼𝑔= 2\n3 (lub zapisy równoważne)\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nZauważmy, że skoro światło wysłane z punktu 𝐷 przechodzi przez fragment kuli oznaczony\nłukiem 𝐴𝐵 (na rysunku przekroju kuli), to kąt padania promienia na granicę ośrodków\nw punkcie 𝐵, czyli ∠𝑆𝐵𝐷 (lub ∠𝐷𝐴𝑆), jest kątem granicznym dla szkła:\n𝛼𝑔= |∠𝑆𝐵𝐷| (lub 𝛼𝑔= |∠𝐷𝐴𝑆|)\nZastosujemy wzór na kąt graniczny dla przejścia szkło - powietrze:\nsin 𝛼𝑔\nsin 90° = 𝑛𝑝\n𝑛𝑠𝑧\n→ sin 𝛼𝑔= 1\n1,5 = 2\n3 = 0, (6) ≈0,67\nMiarę kąta granicznego wyznaczymy z podanych w Uwadze do zadania związków:\n𝛼𝑔= arcsin(0,67) ≈42° → |∠𝑆𝐵𝐷| = 𝛼𝑔≈42°\nNastępnie powiążemy kąt ∠𝐵𝐷𝐴 (o mierze 𝜑) z kątem granicznym ∠𝑆𝐵𝐷 (o mierze 𝛼𝑔) na\npodstawie elementarnych własności geometrycznych. Na mocy symetrii zjawiska wiemy, że\ntrójkąty 𝑆𝐵𝐷 i 𝐴𝑆𝐷 są przystające. Dalej, z własności trójkątów równoramiennych 𝑆𝐵𝐷\ni 𝐴𝑆𝐷, mamy:\n(|∠𝑆𝐵𝐷| = |∠𝐵𝐷𝑆| = 𝛼𝑔 oraz |∠𝐷𝐴𝑆| = |∠𝑆𝐷𝐴| = 𝛼𝑔) → |∠𝐵𝐷𝐴| = 2𝛼𝑔\nZatem skoro:\n(|∠𝐵𝐷𝐴| = 𝜑 oraz |∠𝐵𝐷𝐴| = 2𝛼𝑔) to 𝜑= 2𝛼𝑔\nObliczymy 𝜑:\n𝜑= 2 ⋅42° ≈84°","solution":null,"image":"img/fizyka-2026-maj-matura-stara-rozszerzona/zad-8.1.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":22,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Fizyka · Matura · maj 2026 (rozszerzona)","subject_label":"Fizyka","category_label":"Matura"},{"id":"fizyka-2026-maj-matura-stara-rozszerzona/zad/8.2","paper_id":"fizyka-2026-maj-matura-stara-rozszerzona","number":"8.2","points":1,"ptype":"closed","subject":"fizyka","category":"matura","year":2026,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 8.2. (0-1)\nKulę 𝒦 zanurzono w wodzie. Współczynnik załamania światła w wodzie jest równy 𝑛𝑤= 1,33.\nDokończ zdanie. Zaznacz odpowiedź A albo B oraz odpowiedź 1. albo 2.\nKąt graniczny dla szkła kuli 𝒦 określony względem wody, w porównaniu do kąta\ngranicznego dla szkła kuli 𝒦 określonego względem powietrza, będzie\nA.\nmniejszy,\nw związku z czym pole powierzchni,\nprzez którą wychodzi światło z kuli,\n1.\nsię zmniejszy.\nB.\nwiększy,\n2.\nsię zwiększy.\nEFAP-R0_100","answer":null,"answer_text":"Zadanie 8.2. (0-1)\nWymagania ogólne\nWymagania szczegółowe\nI. Znajomość i umiejętność\nwykorzystania pojęć i praw fizyki do\nwyjaśniania procesów i zjawisk\nw przyrodzie.\nZdający:\n10.6) stosuje prawa odbicia i załamania fal do\nwyznaczenia biegu promieni w pobliżu granicy\ndwóch ośrodków;\n10.7) opisuje zjawisko całkowitego\nwewnętrznego odbicia i wyznacza kąt graniczny.\n𝐴\n𝑆\n𝐵\n𝐷\n𝛼𝑔\n𝛼𝑔\n𝛼𝑔\n𝛼𝑔\n𝜑\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna lub niepełna albo brak odpowiedzi.\nPełne rozwiązanie\nB2","solution":null,"image":"img/fizyka-2026-maj-matura-stara-rozszerzona/zad-8.2.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":23,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Fizyka · Matura · maj 2026 (rozszerzona)","subject_label":"Fizyka","category_label":"Matura"},{"id":"fizyka-2026-maj-matura-stara-rozszerzona/zad/9","paper_id":"fizyka-2026-maj-matura-stara-rozszerzona","number":"9","points":3,"ptype":"open","subject":"fizyka","category":"matura","year":2026,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 9. (0-3)\nElektron porusza się po okręgu w zewnętrznym jednorodnym polu magnetycznym.\nWartość wektora indukcji magnetycznej tego pola jest równa 𝐵= 1,70 mT.\nWektor prędkości vሬ⃗ elektronu jest prostopadły do wektora indukcji magnetycznej 𝐵ሬ⃗.\nWartość prędkości elektronu jest dużo mniejsza od wartości prędkości światła w próżni.\nOblicz 𝑻 - okres obiegu tego elektronu po okręgu. Zapisz obliczenia.\nPrzyjmij do obliczeń, że:\nmasa elektronu jest równa (w zaokrągleniu): 𝑚𝑒≈9,109 ⋅10-31 kg\nwartość bezwzględna ładunku elektrycznego elektronu wynosi: |𝑒| ≈1,602 ⋅10-19 C.\nEFAP-R0_100","answer":null,"answer_text":"Zadanie 9. (0-3)\nWymagania ogólne\nWymagania szczegółowe\nIV. Budowa prostych modeli fizycznych\ni matematycznych do opisu zjawisk.\nZdający:\n1.14) oblicza parametry ruchu jednostajnego\npo okręgu; opisuje wektory prędkości\ni przyspieszenia dośrodkowego.\n9.3) analizuje ruch cząstki naładowanej\nw stałym jednorodnym polu magnetycznym.\nZasady oceniania\n3 pkt - poprawna metoda obliczenia okresu oraz podanie prawidłowego wyniku liczbowego\nz jednostką: 𝑇≈2,10 ⋅10-8 s\n2 pkt - zapisanie równania identyfikującego siłę Lorentza działającą na elektron jako siłę\ndośrodkową oraz uwzględnienie w tym równaniu wzorów na te siły (z prędkością albo\nprędkością kątową), oraz uwzględnienie/zapisanie związku między prędkością (lub\nprędkością kątową) a okresem, np. zapisy równoważne poniższym:\n𝑚𝑒\n𝑣2\n𝑟= 𝑞𝑣𝐵 oraz 𝑣= 2𝜋𝑟\n𝑇\nalbo\n𝑚𝑒𝜔2𝑟= 𝑞𝑣𝐵 oraz 𝑣= 𝜔𝑟 oraz 𝜔= 2𝜋\n𝑇\nalbo w jednym równaniu\n𝑚𝑒(2𝜋\n𝑇)\n2\n𝑟= 𝑞(2𝜋𝑟\n𝑇) 𝐵\n1 pkt - zapisanie równania identyfikującego siłę Lorentza działającą na elektron jako siłę\ndośrodkową, np. zapisy równoważne poniższym:\n𝑚𝑒𝑎𝑑𝑜= 𝐹𝐿 albo 𝐹𝑑𝑜= 𝐹𝐿\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nNa elektron poruszający się po okręgu w jednorodnym polu magnetycznym działa siła\nLorentza, która jednocześnie pełni funkcję siły dośrodkowej. Zapiszemy równanie II zasady\ndynamiki identyfikujące siłę Lorentza jako siłę dośrodkową:\n𝑚𝑒𝑎𝑑𝑜= 𝐹𝐿\nZastosujemy wzory na przyśpieszenie dośrodkowe oraz na siłę Lorentza.\nWektor prędkości jest prostopadły do wektora indukcji magnetycznej, zatem:\n𝑚𝑒\n𝑣2\n𝑟= 𝑞𝑣𝐵 → 𝑚𝑒\n𝑣\n𝑟= 𝑞𝐵\nSkorzystamy ze związku między okresem a prędkością w ruchu jednostajnym po okręgu:\n𝑚𝑒\n(2𝜋𝑟\n𝑇)\n𝑟\n= 𝑞𝐵 → 𝑚𝑒(2𝜋\n𝑇) = 𝑞𝐵 → 𝑇= 2𝜋𝑚𝑒\n𝑞𝐵\nDo otrzymanego wzoru podstawimy dane liczbowe i wartości stałych:\n𝑇≈\n2 ⋅3,142 ⋅9,109 ⋅10-31 kg\n1,602 ⋅10-19 C ⋅1,70 ⋅10-3 T ≈21,0 ⋅10-9\nkg\nC ⋅(N ⋅s\nC ⋅m)\n= 2,10 ⋅10-8 s","solution":null,"image":"img/fizyka-2026-maj-matura-stara-rozszerzona/zad-9.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":24,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Fizyka · Matura · maj 2026 (rozszerzona)","subject_label":"Fizyka","category_label":"Matura"},{"id":"fizyka-2026-maj-matura-stara-rozszerzona/zad/10","paper_id":"fizyka-2026-maj-matura-stara-rozszerzona","number":"10","points":3,"ptype":"open","subject":"fizyka","category":"matura","year":2026,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 10. (0-3)\nElektron wpada w obszar pola elektrycznego w próżni, w którym zostaje wyhamowany.\nWartość prędkości elektronu w punkcie 𝑋 pola była równa v𝑋= 4,000 ⋅104 m/s, a wartość\nprędkości elektronu w punkcie 𝑌 pola była równa v𝑌= 0.\nOblicz napięcie elektryczne 𝑼𝑿𝒀 między punktami 𝑿 oraz 𝒀. Zapisz obliczenia.\nPrzyjmij do obliczeń, że:\nmasa elektronu jest równa (w zaokrągleniu): 𝑚𝑒≈9,109 ⋅10-31 kg\nwartość bezwzględna ładunku elektrycznego elektronu wynosi: |𝑒| ≈1,602 ⋅10-19 C.\nEFAP-R0_100","answer":null,"answer_text":"Zadanie 10. (0-3)\nWymagania ogólne\nWymagania szczegółowe\nIV. Budowa prostych modeli fizycznych\ni matematycznych do opisu zjawisk.\nI. Znajomość i umiejętność\nwykorzystania pojęć i praw fizyki do\nwyjaśniania procesów i zjawisk\nw przyrodzie.\nZdający:\n2.3) (G) opisuje wpływ wykonanej pracy na\nzmianę energii.\n3.2) oblicza wartość energii kinetycznej […];\n3.3) wykorzystuje zasadę zachowania energii\nmechanicznej do obliczania parametrów ruchu.\n7.11) analizuje ruch cząstki naładowanej\nw stałym jednorodnym polu elektrycznym.\nZasady oceniania\n3 pkt - poprawna metoda obliczenia napięcia oraz podanie prawidłowego wyniku liczbowego\nz jednostką: 𝑈𝑋𝑌≈ 4,55 mV (lub 4,6 mV albo 4,5 mV)\n2 pkt - zapisanie/wykorzystanie związku wynikającego z twierdzenia o pracy siły\nwypadkowej i zmianie energii kinetycznej oraz zapisanie/wykorzystanie wyrażenia na\nenergię kinetyczną oraz zapisanie/wykorzystanie wyrażenia na pracę siły\nelektrycznej oraz poprawne zidentyfikowanie wszystkich danych, np. zapisy\nrównoważne poniższym:\n|𝑒|𝑈𝑋𝑌= 1\n2 𝑚𝑒𝑣𝑋\n2 → 1,602 ⋅10-19 C ⋅𝑈𝑋𝑌= 1\n2 ⋅9,109 ⋅10-31 kg ⋅ (4 ⋅104 m\ns )\n2\n1 pkt - zapisanie związku wynikającego z twierdzenia o pracy siły wypadkowej (tu\nelektrycznej) i zmianie energii kinetycznej oraz wykorzystanie wzoru na pracę siły\nelektrycznej, np. zapisy równoważne poniższym:\n|𝑒|𝑈𝑋𝑌= Δ𝐸𝑘𝑖𝑛 𝑋𝑌\nLUB\n- zapisanie związku wynikającego z twierdzenia o pracy siły wypadkowej (tu\nelektrycznej) i zmianie energii kinetycznej oraz wykorzystanie wzoru na energię\nkinetyczną, np. zapisy równoważne poniższym:\n𝑊𝐹𝑒𝑙= 1\n2 𝑚𝑒𝑣𝑋\n2 -0\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nZastosujemy twierdzenia o pracy siły wypadkowej i zmianie energii kinetycznej: praca siły\npola elektrycznego działającej na elektron jest równa zmianie energii kinetycznej, która\nzaszła gdy elektron wyhamował do zerowej prędkości. Ta praca jest ujemna, ponieważ siła\nelektryczna ma zwrot przeciwny do zwrotu prędkości elektronu. Zatem:\n1a) -|𝑒|𝑈𝑋𝑌= 𝐸𝑘𝑖𝑛𝑌-𝐸𝑘𝑖𝑛𝑋 → 1b) -|𝑒|𝑈𝑋𝑌= 0 -𝐸𝑘𝑖𝑛𝑋 → 1c) |𝑒|𝑈𝑋𝑌= 𝐸𝑘𝑖𝑛𝑋\nZastosujemy wzór na energię kinetyczną elektronu w punkcie 𝑋:\n2) |𝑒|𝑈𝑋𝑌= 1\n2 𝑚𝑒𝑣𝑋\n2 → 3) 𝑈𝑋𝑌= 𝑚𝑒\n2|𝑒| 𝑣𝑋\n2\nDo wzoru 3) podstawimy dane liczbowe i wykonamy obliczenia:\n𝑈𝑋𝑌= 9,109 ⋅10-31 kg\n2 ⋅1,602 ⋅10-19 C ⋅(4 ⋅104 m\ns )\n2\n≈45,49 ⋅10-4 V ≈4,55 mV","solution":null,"image":"img/fizyka-2026-maj-matura-stara-rozszerzona/zad-10.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":25,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Fizyka · Matura · maj 2026 (rozszerzona)","subject_label":"Fizyka","category_label":"Matura"},{"id":"fizyka-2026-maj-matura-stara-rozszerzona/zad/11","paper_id":"fizyka-2026-maj-matura-stara-rozszerzona","number":"11","points":null,"ptype":"open","subject":"fizyka","category":"matura","year":2026,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 11.\nIzotop neonu\nNe\n23\nulega rozpadowi promieniotwórczemu w wyniku przemiany β-.\nW wyniku tego rozpadu powstają: cząstka β- (elektron), jądro pewnego pierwiastka, który\noznaczymy jako X, oraz antyneutrino elektronowe ν̃. Antyneutrino ma zerowy ładunek\nelektryczny, a jego masę możemy pominąć.","answer":null,"answer_text":null,"solution":null,"image":"img/fizyka-2026-maj-matura-stara-rozszerzona/zad-11.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":26,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Fizyka · Matura · maj 2026 (rozszerzona)","subject_label":"Fizyka","category_label":"Matura"},{"id":"fizyka-2026-maj-matura-stara-rozszerzona/zad/11.1","paper_id":"fizyka-2026-maj-matura-stara-rozszerzona","number":"11.1","points":2,"ptype":"open","subject":"fizyka","category":"matura","year":2026,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 11.1. (0-2)\nPoniżej przedstawiono schemat rozpadu β- jądra neonu\nNe\n23\nNe\n10\n23\n→\nX\n… + β- + ν̃\n0\n0\nsymbol (lub nazwa) pierwiastka X:\nUzupełnij powyższy schemat tak, aby powstało równanie rozpadu 𝛃-.\nWpisz w wykropkowane miejsca w schemacie właściwe liczby: atomową i masową,\na pod schematem - symbol (lub nazwę) pierwiastka 𝐗, którego jądro powstaje w tym\nrozpadzie.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 11.1. (0-2)\nWymagania ogólne\nWymagania szczegółowe\nIV. Posługiwanie się informacjami\npochodzącymi z analizy materiałów\nźródłowych, w tym tekstów\npopularnonaukowych i źródeł\ninternetowych, oraz ocenianie\nwiarygodności źródeł.\nII. Rozwiązywanie problemów\nz wykorzystaniem praw i zależności\nfizycznych.\nZdający:\nI.2) posługuje się […] tablicami fizycznymi\ni chemicznymi oraz kartą wybranych wzorów\ni stałych fizykochemicznych.\nXII.5) posługuje się pojęciami pierwiastek, jądro\natomowe, izotop, proton, neutron, elektron;\nopisuje skład jądra atomowego na podstawie\nliczb masowej i atomowej;\nXII.6) zapisuje reakcje jądrowe, stosując\nzasadę zachowania liczby nukleonów i zasadę\nzachowania ładunku;\nXII.9) […] opisuje rozpady […] beta ( β+, β-).\nZasady oceniania\n2 pkt - poprawne uzupełnienie schematu równania rozpadu β- jądra neonu\nNe\n10\n23\n, tzn.\nwpisanie właściwych liczb: atomowej i masowej, oraz zapisanie symbolu lub nazwy\npierwiastka, którego jądro powstaje:\nNa\n11\n23\nalbo Na albo sód\n1 pkt - poprawne uzupełnienie schematu równania rozpadu β- jądra neonu\nNe\n10\n23\n(tzn.\nwpisanie właściwych liczb atomowej i masowej powstałego jądra)\nLUB\n- poprawne zapisanie symbolu lub nazwy pierwiastka X:\nNa\n11\n23\nalbo Na albo sód\n0 pkt - rozwiązanie niepoprawne lub niepełne albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nNe\n10\n23\n→\nX\n11\n23 + β- + ν̃\n0\n0\nsymbol (lub nazwa) pierwiastka X:\nNa\n11\n23\nalbo Na albo sód","solution":null,"image":"img/fizyka-2026-maj-matura-stara-rozszerzona/zad-11.1.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":26,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Fizyka · Matura · maj 2026 (rozszerzona)","subject_label":"Fizyka","category_label":"Matura"},{"id":"fizyka-2026-maj-matura-stara-rozszerzona/zad/11.2","paper_id":"fizyka-2026-maj-matura-stara-rozszerzona","number":"11.2","points":1,"ptype":"true_false","subject":"fizyka","category":"matura","year":2026,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 11.2. (0-1)\nW chwili tuż przed opisanym rozpadem jądro neonu\nNe\n23\nbyło nieruchome.\nOceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Zaznacz P, jeśli stwierdzenie jest\nprawdziwe, albo F - jeśli jest fałszywe.\nMasa jądra neonu\nNe\n23\njest większa od łącznej sumy mas produktów\nrozpadu β- tego jądra.\nP\nF\nProdukty rozpadu β- jądra neonu\nNe\n23\nuzyskują energię kinetyczną.\nP\nF\nEFAP-R0_100","answer":null,"answer_text":"Zadanie 11.2. (0-1)\nWymagania ogólne\nWymagania szczegółowe\nI. Znajomość i umiejętność\nwykorzystania pojęć i praw fizyki do\nwyjaśniania procesów i zjawisk\nw przyrodzie.\nZdający:\n3.2) (P) posługuje się pojęciami: energii\nspoczynkowej […];\n3.3) (P) […] opisuje rozpady alfa, beta\n(wiadomości o neutrinach nie są wymagane) […];\n3.5) (P) opisuje reakcje jądrowe, stosując […]\nzasadę zachowania energii.\nZasady oceniania\n1 pkt - poprawne zaznaczenia w dwóch stwierdzeniach.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna lub niepełna albo brak odpowiedzi.\nPełne rozwiązanie\nPP","solution":null,"image":"img/fizyka-2026-maj-matura-stara-rozszerzona/zad-11.2.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":26,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Fizyka · Matura · maj 2026 (rozszerzona)","subject_label":"Fizyka","category_label":"Matura"},{"id":"fizyka-2026-maj-matura-stara-rozszerzona/zad/11.3","paper_id":"fizyka-2026-maj-matura-stara-rozszerzona","number":"11.3","points":4,"ptype":"open","subject":"fizyka","category":"matura","year":2026,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 11.3. (0-4)\nBadano próbkę promieniotwórczą 𝒫 zawierającą jądra izotopu neonu\nNe\n23\n. Łączną masę\njąder neonu\nNe\n23\n, które pozostają w próbce 𝒫 po upływie czasu 𝑡 od chwili początkowej\n𝑡0 = 0 min, oznaczymy jako 𝑚. Na podstawie pomiarów promieniowania powstającego\npodczas rozpadów β- tych jąder neonu obliczono 𝑚 dla różnych chwil czasu.\nNa poniższym wykresie przedstawiono zależność log10 𝑚 od czasu 𝑡. Wartości logarytmu\nobliczono dla wartości liczbowych masy 𝑚 wyrażonej w pewnych jednostkach umownych.\nWykres\nNa podstawie wykresu oblicz 𝑻 - czas połowicznego rozpadu jąder neonu\n𝐍𝐞\n𝟐𝟑\nZapisz obliczenia.\nWskazówki: 1) Jeśli 𝑎𝑐= 𝑏 oraz 𝑎> 0, 𝑎≠1, 𝑏> 0, to 𝑐= log𝑎𝑏.\n2) Możesz wykorzystać wzory:\nlog10(𝑥⋅𝑦) = log10 𝑥+ log10 𝑦 dla 𝑥> 0, 𝑦> 0\nlog10 (\n𝑥\n𝑦) = log10 𝑥-log10 𝑦 dla 𝑥> 0, 𝑦> 0\nlog10 0,5 ≈-0,301 lub log10 2 ≈0,301\n-0,4\n-0,2\n0\n0,2\n0,4\n0,6\n0,8\n1\n1,2\n1,4\n0\n0,5\n1\n1,5\n2\n2,5\n3\nt, min\nlog10m\nEFAP-R0_100\nEFAP-R0_100\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\nFIZYKA\nPoziom rozszerzony\nFormuła 2015\nFIZYKA\nPoziom rozszerzony\nFormuła 2015\nFIZYKA\nPoziom rozszerzony\nFormuła 2015","answer":null,"answer_text":"Zadanie 11.3. (0-4)\nWymagania ogólne\nWymagania szczegółowe\nIV. Budowa prostych modeli fizycznych\ni matematycznych do opisu zjawisk.\nIII. Wykorzystanie i przetwarzanie\ninformacji zapisanych w postaci tekstu,\ntabel, wykresów, schematów i rysunków.\nZdający:\n3.4) (P) opisuje rozpad izotopu\npromieniotwórczego, posługując się pojęciem\nczasu połowicznego rozpadu; rysuje wykres\nzależności liczby jąder, które uległy rozpadowi\nod czasu […].\n12.3) przeprowadza złożone obliczenia\nliczbowe, posługując się kalkulatorem;\n12.5) dopasowuje prostą 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏 do\nwykresu i ocenia trafność tego postępowania;\noblicza wartości współczynników 𝑎 i 𝑏 (ocena\nich niepewności nie jest wymagana).\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nZasady oceniania (dla rozwiązania sposobem 1a. oraz 1b.)\n4 pkt - poprawna metoda obliczenia czasu połowicznego rozpadu jąder neonu\nNe\n23\noraz\npodanie prawidłowego wyniku liczbowego z jednostką, mieszczącego się\nw przedziale: od 𝑇= 0,60 min do 𝑇= 0,65 min\n3 pkt - poprawna metoda obliczenia log10 (\n𝑚0\n2 ) dla 𝑡= 𝑇 oraz podanie prawidłowej wartości\ntego logarytmu, np. zapisy równoważne poniższym:\nlog10 𝑚0 = 1,4 → log10 (1\n2 𝑚0) = log10 (1\n2) + 1,4 ≈1,1 dla 𝑡= 𝑇\nalbo (z pośrednim obliczeniem 𝑚0)\nlog10 𝑚0 = 1,4 → 𝑚0 = 101,4 ju → log10 (1\n2 ⋅101,4) ≈1,1 dla 𝑡= 𝑇\nLUB\n- poprawna metoda obliczenia log10 (\n𝑚0\n2 ) dla 𝑡= 𝑇 oraz podanie błędnej wartości\ntego logarytmu, oraz konsekwentne dla tej błędnej wartości odczytanie i podanie\nczasu 𝑇, np. zapisy równoważne poniższym:\nlog10 𝑚0 = 1,4 → log10 (1\n2 𝑚0) ≈𝑦 (𝑦≠1,1) dla 𝑡= 𝑇= 𝑥\n2 pkt - zapisanie poprawnej wartości logarytmu masy 𝑚0 jąder neonu\nNe\n23\nw próbce 𝒫\nw chwili 𝑡0 = 0 oraz zapisanie warunku, że dla czasu połowicznego rozpadu 𝑡= 𝑇\n𝑚𝑇=\n1\n2 𝑚0 (albo że wartość logarytmu wynosi log10 (\n𝑚0\n2 )), np. zapisy równoważne\nponiższym:\nlog10 𝑚0 = 1,4 oraz dla 𝑡= 𝑇 mamy 𝑚𝑇= 1\n2 𝑚0\nalbo\nlog10 𝑚0 = 1,4 oraz dla 𝑡= 𝑇 mamy log10 𝑚𝑇= log10 (𝑚0\n2 )\nLUB\n- zapisanie poprawnej wartości logarytmu masy 𝑚0 jąder neonu\nNe\n23\nw próbce 𝒫\nw chwili 𝑡0 = 0 oraz poprawne obliczenie tej masy i podanie jej prawidłowej wartości\nliczbowej wyrażonej w jednostkach umownych, np. zapisy równoważne poniższym:\nlog10 𝑚0 = 1,4 oraz 𝑚0 = 101,4 ju\n1 pkt - zapisanie poprawnej wartości logarytmu masy jąder neonu\nNe\n23\nw próbce 𝒫 w chwili\n𝑡0 = 0, np. zapisy równoważne poniższym:\nlog10 𝑚0 = 1,4\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nZasady oceniania (dla rozwiązania sposobem 2.)\n4 pkt - poprawna metoda obliczenia czasu połowicznego rozpadu jąder neonu\nNe\n23\noraz\npodanie prawidłowego wyniku liczbowego z jednostką, mieszczącego się\nw przedziale: od 𝑇= 0,60 min do 𝑇= 0,65 min\n3 pkt - zapisanie wzoru na logarytm masy jąder neonu\nNe\n23\npozostających w próbce 𝒫\nw postaci zależności liniowej względem czasu 𝑡 oraz prawidłowa identyfikacja\nwspółczynnika kierunkowego tej zależności, oraz podanie (na podstawie wykresu)\nprawidłowej wartości tego współczynnika, np. zapisy równoważne poniższym:\nlog10 𝑚(𝑡) = log10 𝑚0 + 𝑡\n𝑇log10 (1\n2) oraz 𝐴=\nlog10 (1\n2)\n𝑇\noraz\n𝐴=\n-0,2 -1,4\n(3,3 -0) min = -0,485 1\nmin\nLUB\n- zapisanie wzoru na logarytm masy jąder neonu\nNe\n23\npozostających w próbce 𝒫\nw postaci zależności liniowej względem czasu 𝑡 oraz prawidłowa identyfikacja\nwspółczynnika kierunkowego tej zależności, oraz podanie błędnej wartości tego\nwspółczynnika, oraz konsekwentne dla tej błędnej wartości obliczenie i podanie\nczasu 𝑇, np. zapisy równoważne poniższym:\nlog10 𝑚(𝑡) = log10 𝑚0 + 𝑡\n𝑇log10 (1\n2) oraz 𝐴=\nlog10 (1\n2)\n𝑇\noraz\n𝐴= 𝑧 1\nmin oraz 𝑇=\nlog10 (1\n2)\n𝑧\n= 𝑥\n2 pkt - zapisanie wzoru na logarytm masy jąder neonu\nNe\n23\npozostających w próbce 𝒫\nw postaci zależności liniowej względem czasu 𝑡 oraz prawidłowa identyfikacja\nwspółczynnika kierunkowego tej zależności, np. zapisy równoważne poniższym:\nlog10 𝑚(𝑡) = log10 𝑚0 + 𝑡\n𝑇log10 (1\n2) oraz 𝐴=\nlog10 (1\n2)\n𝑇\n1 pkt - zapisanie obustronnego logarytmu wzoru - na masę jąder neonu\nNe\n23\npozostających\nw próbce 𝒫 - wynikającego z prawa rozpadu promieniotwórczego, np. zapisy\nrównoważne poniższym:\nlog10 𝑚(𝑡) = log10 (𝑚0 ⋅(1\n2)\n𝑡\n𝑇\n) albo 𝑚(𝑡) = 𝑚0 ⋅(1\n2)\n𝑡\n𝑇\n|| log10\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nZasady oceniania (dla rozwiązania sposobem 3.)\n4 pkt - poprawna metoda obliczenia czasu połowicznego rozpadu jąder neonu\nNe\n23\noraz\npodanie prawidłowego wyniku liczbowego z jednostką, mieszczącego się\nw przedziale: od 𝑇= 0,60 min do 𝑇= 0,65 min\n3 pkt - spełnienie warunku za 2 pkt dla dwóch wybranych punktów z wykresu oraz zapisanie\njednego równania z wyeliminowanym 𝑚0, z którego można obliczyć 𝑇, np. zapisy\nrównoważne poniższym:\n(𝑚0 (1\n2)\n𝑡1\n𝑇\n= 10𝐿1 oraz 𝑚0 (1\n2)\n𝑡2\n𝑇\n= 10𝐿2 ) → (1\n2)\n𝑡2-𝑡1\n𝑇\n= 10𝐿2-𝐿1\nLUB\n- zapisanie jednego z równań określonych w pierwszym myślniku za 3 pkt z błędnie\nodczytaną jedną współrzędną punktu (np. 𝑡1 lub 𝐿1) oraz konsekwentne dla tej\nbłędnej wartości obliczenie i podanie czasu 𝑇, np. zapisy równoważne poniższym:\n𝑚0 ⋅(1\n2)\n𝑡1\n𝑇\n= 10𝐿1 → obliczenia → 𝑇= (𝑡2 -𝑡1) ⋅log10 2\n𝐿1 -𝐿2\n= wartość\n2 pkt - wyznaczenie masy dla dowolnie wybranej chwili czasu, na podstawie współrzędnych\nwybranego punktu wykresu oraz zastosowanie prawa rozpadu z uwzględnieniem\nwspółrzędnych tego punktu, np. zapisy równoważne poniższym:\n𝑃1 = (𝑡1 ; 𝐿1) → 𝑚1(𝑡1) = 10𝐿1 → 𝑚0 (1\n2)\n𝑡1\n𝑇\n= 10𝐿1\n1 pkt - wyznaczenie masy dla dowolnie wybranej chwili czasu, na podstawie współrzędnych\nwybranego punktu wykresu, np. zapisy równoważne poniższym:\n𝑃1 = (𝑡1 ; 𝐿1) → 𝑚1(𝑡1) = 10𝐿1\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nZasady oceniania (dla rozwiązania sposobem 4.)\n4 pkt - poprawna metoda obliczenia czasu połowicznego rozpadu jąder neonu\nNe\n23\noraz\npodanie prawidłowego wyniku liczbowego z jednostką, mieszczącego się\nw przedziale: od 𝑇= 0,60 min do 𝑇= 0,65 min\n3 pkt - spełnienie warunków za 2 pkt określonych w pierwszym oraz drugim myślniku oraz\nzastosowanie równania wynikającego z prawa rozpadu promieniotwórczego oraz\nzapisanie jednego równania z wyeliminowanym 𝑚0, z którego można obliczyć 𝑇, np.\nzapisy równoważne poniższym:\n101,4 ⋅(1\n2)\n𝑡1\n𝑇\n= 10𝐿1\nLUB\n- zapisanie równania określonego w pierwszym myślniku za 3 pkt z błędnie odczytaną\njedną współrzędną punktu (np. 𝑡1 lub 𝐿1) oraz konsekwentne dla tej błędnej wartości\nobliczenie i podanie czasu 𝑇, np. zapisy równoważne poniższym:\n101,4 ⋅(1\n2)\n𝑡1\n𝑇\n= 10𝐿1 → obliczenia → 𝑇= 𝑡1 ⋅log10 2\n1,4 -𝐿1\n= wartość\n2 pkt - wyznaczenie masy dla dowolnie wybranej chwili czasu, na podstawie współrzędnych\nwybranego punktu wykresu oraz zapisanie poprawnej wartości logarytmu masy jąder\nneonu\nNe\n23\nw próbce 𝒫 w chwili 𝑡0 = 0, np. zapisy równoważne poniższym:\n𝑃1 = (𝑡1 ; 𝐿1) → 𝑚1(𝑡1) = 10𝐿1 oraz log10 𝑚0 = 1,4\nLUB\n- zapisanie poprawnej wartości logarytmu masy 𝑚0 jąder neonu\nNe\n23\nw próbce 𝒫\nw chwili 𝑡0 = 0 oraz poprawne obliczenie tej masy i podanie jej prawidłowej wartości\nliczbowej wyrażonej w jednostkach umownych, np. zapisy równoważne poniższym:\nlog10 𝑚0 = 1,4 oraz 𝑚0 = 101,4 ju\n1 pkt - wyznaczenie masy dla dowolnie wybranej chwili czasu, na podstawie współrzędnych\nwybranego punktu wykresu, np. zapisy równoważne poniższym:\n𝑃1 = (𝑡1 ; 𝐿1) → 𝑚1(𝑡1) = 10𝐿1\nLUB\n- zapisanie poprawnej wartości logarytmu masy jąder neonu\nNe\n23\nw próbce 𝒫 w chwili\n𝑡0 = 0, np. zapisy równoważne poniższym:\nlog10 𝑚0 = 1,4\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób 1a. (z wykorzystaniem 𝑚0 i definicji 𝑇)\nDo wyznaczenia czasu połowicznego rozpadu jąder neonu\nNe\n23\nwykorzystamy wykres oraz\ndefinicję czasu połowicznego rozpadu. Oznaczymy jako 𝑚0 początkową masę jąder neonu\nNe\n23\nw próbce 𝒫 w chwili 𝑡0 = 0 oraz odczytamy z wykresu wartość log10 𝑚0:\n𝑚(𝑡0 = 0) = 𝑚0 zatem log10 𝑚0 = 1,4\nPo czasie 𝑡= 𝑇 w próbce 𝒫 pozostanie połowa początkowej masy jąder neonu\nNe\n23\n:\n𝑚(𝑡= 𝑇) = 𝑚𝑇= 1\n2 𝑚0\nObliczymy wartość logarytmu połowy początkowej masy jąder neonu\nNe\n23\n(masy wyrażonej\nw jednostkach umownych ju):\nlog10 𝑚𝑇= log10 (1\n2 ⋅𝑚0) = log10 (1\n2) + log10 𝑚0 ≈\n≈-0,301 + 1,4 = 1,099 ≈1,1\nZ wykresu odczytamy czas 𝑇, dla którego logarytm połowy początkowej masy jąder neonu\nNe\n23\nwynosi w przybliżeniu log10 𝑚𝑇≈1,1.\nlog10 𝑚𝑇≈1,1 dla 𝑇≈0,62 min\n-0,4\n-0,2\n0\n0,2\n0,4\n0,6\n0,8\n1\n1,2\n1,4\n0\n0,5\n1\n1,5\n2\n2,5\n3\nt, min\nlog10m\nSposób 1b. (z wykorzystaniem 𝑚0 i definicji 𝑇)\nDo wyznaczenia czasu połowicznego rozpadu jąder neonu\nNe\n23\nwykorzystamy wykres oraz\ndefinicję czasu połowicznego rozpadu. Oznaczymy jako 𝑚0 początkową masę jąder neonu\nNe\n23\nw próbce 𝒫 w chwili 𝑡0 = 0:\n𝑚(𝑡0 = 0) = 𝑚0\nNastępnie wyznaczymy 𝑚0 w jednostkach umownych (ju). W tym celu najpierw odczytamy\nz wykresu wartość log10 𝑚0:\n1) log10 𝑚0 = 1,4 zatem\n2) 𝑚0 = 101,4 ju ≈25,12 ju\nPo czasie 𝑡= 𝑇 w próbce 𝒫 pozostanie połowa początkowej masy jąder neonu\nNe\n23\n:\n𝑚(𝑡= 𝑇) = 𝑚𝑇= 1\n2 𝑚0 → 3) 𝑚𝑇= 1\n2 ⋅101,4 ju ≈12,56 ju\nObliczymy wartość logarytmu połowy początkowej masy jąder neonu\nNe\n23\n:\n4) log10 𝑚𝑇= log10 (101,4\n2 ) ≈1,099\nZ wykresu odczytamy czas 𝑇, dla którego logarytm połowy początkowej masy jąder neonu\nNe\n23\nwynosi w przybliżeniu log10 𝑚𝑇≈1,1.\n5) log10 𝑚𝑇≈1,1 dla 𝑇≈0,62 min\nSposób 2. (z wykorzystaniem i interpretacją równania prostej)\nUwaga! Sposób 2. jest rekomendowany jako bardziej dokładny od sposobu 1., ponieważ\nwspółczynnik nachylenia prostej można wyznaczyć z większą dokładnością niż odciętą\npunktu wykresu o rzędnej 1,1.\nZapiszemy równanie wynikające z prawa rozpadu promieniotwórczego:\n1) 𝑚(𝑡) = 𝑚0 ⋅(1\n2)\n𝑡\n𝑇\ngdzie 𝑇 jest czasem połowicznego rozpadu jąder neonu\nNe\n23\nZlogarytmujemy obie strony zależności 1) logarytmem o podstawie 10, następnie wykonamy\nprzekształcenia równoważne z wykorzystaniem własności logarytmów:\n2a) log10 𝑚(𝑡) = log10 (𝑚0 ⋅(1\n2)\n𝑡\n𝑇\n)\n2b) log10 𝑚(𝑡) = log10 𝑚0 + 𝑡\n𝑇log10 (1\n2)\nZależność 2b) przepiszemy w postaci wskazującej na zależność liniową logarytmu masy od\nczasu. Następnie zidentyfikujemy współczynniki tej zależności liniowej:\n3a) log10 𝑚(𝑡) =\nlog10 (1\n2)\n𝑇\n⋅𝑡+ log10 𝑚0\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nZatem:\n3b) log10 𝑚(𝑡) = 𝐴⋅𝑡+ 𝐵\ngdzie:\n4) 𝐴=\nlog10 (1\n2)\n𝑇\noraz 𝐵= log10 𝑚0\nObliczymy współczynnik 𝐴 z wykresu, a następnie z równania 4) obliczymy czas\npołowicznego rozpadu 𝑇:\n5) 𝐴=\n-0,2 -1,4\n(3,3 -0) min = -0,485 1\nmin\n6) -0,485 1\nmin =\nlog10 (1\n2)\n𝑇\n→ 𝑇=\nlog10 (1\n2)\n-0,485 min\n7) 𝑇=\nlog10 (1\n2)\n-0,485 min ≈-0,301\n-0,485 min ≈0,62 min\nSposób 3. (z wykorzystaniem równania rozpadu i dwóch dowolnych punktów wykresu)\nRozważmy punkty na wykresie leżące najbliżej punktów kratowych (i w miarę odległe od\nsiebie), np.:\n𝑃1 = (𝑡1 ; 𝐿1) = (𝑡1 ; log10 𝑚1) = (0,4 min; 1,2)\n𝑃2 = (𝑡2 ; 𝐿2) = (𝑡2 ; log10 𝑚2) = (3,3 min; -0,2)\nTo oznacza, że:\n1,2 = log10 𝑚(0,4) → 101,2 = 𝑚(0,4) → 101,2 = 𝑚0 (1\n2)\n0,4\n𝑇\n-0,2 = log10 𝑚(3,3) → 10-0,2 = 𝑚(3,3) → 10-0,2 = 𝑚0 (1\n2)\n3,3\n𝑇\nOstatnie równania w powyższych wierszach wynikają z równania prawa rozpadu\npromieniotwórczego: 𝑚(𝑡) = 𝑚0 (\n1\n2)\n𝑡\n𝑇. Z tych równań wyeliminujemy 𝑚0:\n101,2\n10-0,2 = (1\n2)\n0,4-3,3\n𝑇\n→ 101,4 = (1\n2)\n-2,9\n𝑇\n→ 101,4 = 2\n2,9\n𝑇\nOstatnie równanie powyżej zlogarytmujemy stronami (logarytmem o podstawie 2):\nlog2 101,4 = 2,9\n𝑇 → 2,9\n𝑇= 1,4 ⋅ log2 10 →\n2,9\n𝑇⋅1,4 =\n1\nlog10 2\nZatem:\n𝑇= 2,9 ⋅log10 2\n1,4\n= 0,6235 … ≈0,62 min\nDodatkowe przykłady\nPoniżej zapiszemy wzór ogólny na 𝑇 dla punktów 𝑃1 = (𝑡1 ; 𝐿1) i 𝑃2 = (𝑡2 ; 𝐿2). Ten wzór\nwynika z analogicznego jak powyżej rachunku przeprowadzonego na symbolach:\n𝑇= (𝑡2 -𝑡1) ⋅log10 2\n𝐿1 -𝐿2\nPrzykład 1.\n𝑃1 = (0; 1,4) 𝑃2 = (2,88 ; 0) → 𝑇= 2,88 ⋅log10 2\n1,4\nmin ≈0,62 min\nPrzykład 2.\n𝑃1 = (0,2; 1,3) 𝑃2 = (1,85 ; 0,5) → 𝑇= 1,65 ⋅log10 2\n0,8\nmin ≈0,62 min\nSposób 4. (z wykorzystaniem równania rozpadu oraz masy początkowej i punktu wykresu)\nZ wykresu wyznaczymy 𝑚0 = 𝑚(𝑡= 0):\n1) log10 𝑚0 = 1,4 zatem\n2) 𝑚0 = 101,4 ju ≈25,12 ju\nRozważmy dowolny punkt na wykresie leżący najbliżej punktów kratowych, np.:\n𝑃1 = (𝑡1; 𝐿1) = (𝑡1 ; log10 𝑚1) = (0,4 min; 1,2)\nTo oznacza, że:\n3) 1,2 = log10 𝑚(0,4) → 4) 101,2 = 𝑚(0,4)\nUwzględnimy równanie wynikające z prawa rozpadu promieniotwórczego:\n5) 𝑚(𝑡) = 𝑚0 (1\n2)\n𝑡\n𝑇\n→ 6) 𝑚(0,4) = 𝑚0 (1\n2)\n0,4\n𝑇\nZ równań 2) i 4) i 6) wynika, że:\n101,2 = 101,4 ⋅(1\n2)\n0,4\n𝑇\n→ 10-0,2 = (1\n2)\n0,4\n𝑇\n→ 100,2 = 2\n0,4\n𝑇\nOstatnie równanie powyżej zlogarytmujemy stronami (logarytmem o podstawie 10):\n0,2 = 0,4\n𝑇log10 2 → 𝑇= 0,4\n0,2 log10 2 → 𝑇≈0,60 min\nDodatkowe przykłady\nPoniżej zapiszemy wzór ogólny na 𝑇 dla punktu 𝑃1 = (𝑡1 ; 𝐿1) i masy 𝑚0 = 101,4 ju. Ten\nwzór wynika z analogicznego jak powyżej rachunku przeprowadzonego na symbolach.\n𝑇= 𝑡1 ⋅log10 2\n1,4 -𝐿1\nPrzykład 1.\n𝑃1 = (1,65; 0,6) → 𝑇= 1,65 ⋅log10 2\n1,4 -0,6\nmin ≈0,62 min\nPrzykład 2.\n𝑃1 = (2,05; 0,4) → 𝑇= 2,05 ⋅log10 2\n1,4 -0,4\nmin ≈0,62 min","solution":null,"image":"img/fizyka-2026-maj-matura-stara-rozszerzona/zad-11.3.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":27,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Fizyka · Matura · maj 2026 (rozszerzona)","subject_label":"Fizyka","category_label":"Matura"}]}