{"paper":{"id":"informator-maturalny-matematyka-2008","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2008,"month":null,"level":null,"variant":null,"exam_pdf":"informator-maturalny-matematyka-2008/informator-maturalny-matematyka-2008.pdf","key_pdf":null,"question_count":11,"source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2008","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny"},"questions":[{"id":"informator-maturalny-matematyka-2008/zad/1","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2008","number":"1","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2008,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 1. (4 pkt)\nNa wspólne konto państwa Kowalskich wpływa co miesiąc3200 złotych. Na początku\nkażdego miesiąca małżonkowie dzielą całą tę kwotę. Na diagramie kołowym przedstawiono\nstrukturę planowanych przez państwa Kowalskich miesięcznych wydatków.\ninne\n5%\nubrania\n12%\ngaz i energia\n14%\nczynsz\n400zł\nw yżyw ienie\nKorzystając z tych danych oblicz:\na) o ile złotych miesięczne wydatki państwa Kowalskich na gaz i energię są większe niż\nna ubrania.\nb) ile procent tej kwoty przeznaczają państwo Kowalscy na wyżywienie.\nc) ile pieniędzy państwo Kowalscy przeznaczają łącznie co miesiąc na gaz i energię oraz\nczynsz.\n37","answer":null,"answer_text":null,"solution":null,"image":"img/informator-maturalny-matematyka-2008/zad-1.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":36,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2008","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny"},{"id":"informator-maturalny-matematyka-2008/zad/2","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2008","number":"2","points":3,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2008,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 2. (3 pkt)\nZważono 150 losowo wybranych kostek masła produkowanego przez pewien zakład\nmleczarski. Wyniki badań przedstawiono w tabeli.\nMasa kostki masła ( w dag )\n16\n18\n19\n20\n21\n22\nLiczba kostek masła\n1\n15\n24\n68\n26\n16\nNa podstawie danych przedstawionych w tabeli oblicz średnią arytmetyczną oraz odchylenie\nstandardowe masy kostki masła.\n38","answer":null,"answer_text":null,"solution":null,"image":"img/informator-maturalny-matematyka-2008/zad-2.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":37,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2008","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny"},{"id":"informator-maturalny-matematyka-2008/zad/3","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2008","number":"3","points":5,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2008,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 3. (5 pkt)\nDany jest wykres funkcji\n( )\nx\nf\ny =\nokreślonej dla\n6\n6,\nx\n∈\n-9\n-8\n-7\n-6\n-5\n-4\n-3\n-2\n-1\n1\n2\n3\n4\n5\n6\n7\n8\n9\n-7\n-6\n-5\n-4\n-3\n-2\n-1\n1\n2\n3\n4\n5\n6\n7\nx\ny\nKorzystając z wykresu funkcji zapisz:\na) maksymalne przedziały, w których funkcja jest rosnąca,\nb) zbiór argumentów, dla których funkcja przyjmuje wartości dodatnie,\nc) największą wartość funkcji f w przedziale\n5, 5\n,\nd) miejsca zerowe funkcji ( )\n(\n)1\nx\nf\nx\ng\n,\ne) najmniejszą wartość funkcji ( )\n( )\n2\nx\nf\nx\nh\n39","answer":null,"answer_text":null,"solution":null,"image":"img/informator-maturalny-matematyka-2008/zad-3.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":38,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2008","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny"},{"id":"informator-maturalny-matematyka-2008/zad/4","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2008","number":"4","points":3,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2008,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 4. (3 pkt)\nDany jest ciąg geometryczny, w którym\n1\n12\na =\n,\n3\n27\na =\na) Ile jest ciągów spełniających podane warunki? Odpowiedź uzasadnij.\nb) Oblicz wyraz\n6a tego ciągu, który jest rosnący. Wynik podaj w postaci ułamka\ndziesiętnego.\n40","answer":null,"answer_text":null,"solution":null,"image":"img/informator-maturalny-matematyka-2008/zad-4.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":39,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2008","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny"},{"id":"informator-maturalny-matematyka-2008/zad/5","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2008","number":"5","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2008,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 5. (4 pkt)\nPrzed wejściem do przychodni lekarskiej znajdują się schody mające 8 stopni po 15 cm\nwysokości każdy. Obok schodów jest podjazd dla niepełnosprawnych o nachyleniu 7D .\nOblicz długość podjazdu. Wynik podaj w zaokrągleniu do 10 cm. (sin 7\n0,1219\n≈\nD\n)\n41","answer":null,"answer_text":null,"solution":null,"image":"img/informator-maturalny-matematyka-2008/zad-5.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":40,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2008","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny"},{"id":"informator-maturalny-matematyka-2008/zad/6","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2008","number":"6","points":6,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2008,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 6. (6 pkt)\nW układzie współrzędnych dane są dwa punkty:\n( 2,2)\nA = -\ni\n(4,4)\nB =\na) Wyznacz równanie symetralnej odcinka AB .\nb) Prosta AB oraz prosta o równaniu\n0\n11\n2\n3\ny\nx\nprzecinają się w punkcie C .\nOblicz współrzędne punktu C .\n42","answer":null,"answer_text":null,"solution":null,"image":"img/informator-maturalny-matematyka-2008/zad-6.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":41,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2008","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny"},{"id":"informator-maturalny-matematyka-2008/zad/7","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2008","number":"7","points":7,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2008,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 7. (7 pkt)\nPaństwo Nowakowie przeznaczyli 26000 zł na zakup działki. Do jednej z ofert dołączono\nrysunek w skali 1:1000 dwóch przylegających do siebie działek. Jeden metr kwadratowy\ngruntu w tej ofercie kosztuje 35 zł. Oblicz, czy przeznaczona przez państwa Nowaków kwota\nwystarczy na zakup działki P2.\nA\nB\nC\nD\nE\nP1\n2\nP\n5 cm\nAE\n,\n13 cm,\nEC =\n6,5 cm.\nBC =\n43","answer":null,"answer_text":null,"solution":null,"image":"img/informator-maturalny-matematyka-2008/zad-7.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":42,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2008","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny"},{"id":"informator-maturalny-matematyka-2008/zad/8","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2008","number":"8","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2008,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 8. (4 pkt)\nW roku 2005 na uroczystości urodzin zapytano jubilata, ile ma lat. Jubilat odpowiedział:\n„Jeśli swój wiek sprzed 10 lat pomnożę przez swój wiek za 11 lat, to otrzymam rok mojego\nurodzenia”. Ułóż odpowiednie równanie, rozwiąż je i zapisz, w którym roku urodził się ten\njubilat.\n44","answer":null,"answer_text":null,"solution":null,"image":"img/informator-maturalny-matematyka-2008/zad-8.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":43,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2008","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny"},{"id":"informator-maturalny-matematyka-2008/zad/9","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2008","number":"9","points":5,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2008,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 9. (5 pkt)\nDana jest funkcja\n5\n6\n)\n(\n2\nx\nx\nx\nf\na) Narysuj f parabolę, która jest wykresem funkcji f i zaznacz na rysunku współrzędne jej\nwierzchołka oraz punktów przecięcia paraboli z osiami układu współrzędnych.\nb) Odczytaj z wykresu zbiór wartości funkcji f.\nc) Rozwiąż nierówność\n0\n)\n(\n≥\nx\nf\n0\n1\n1\nx\ny\n45","answer":null,"answer_text":null,"solution":null,"image":"img/informator-maturalny-matematyka-2008/zad-9.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":44,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2008","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny"},{"id":"informator-maturalny-matematyka-2008/zad/10","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2008","number":"10","points":3,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2008,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 10. (3 pkt)\nGracz rzuca dwa razy symetryczną sześcienną kostką do gry i oblicza sumę wyrzuconych\noczek. Jeśli suma ta jest jedną z liczb: 6, 7 lub 8, to gracz wygrywa. W pozostałych\nprzypadkach przegrywa.\na) Uzupełnij tabelę, tak aby przedstawiała wszystkie możliwe wyniki tego doświadczenia\nlosowego.\nSUMA WYRZUCONYCH OCZEK\nb) Podaj liczbę wyników sprzyjających wygranej gracza i oblicz prawdopodobieństwo\nwygranej.\nI rzut\nII\nrzut\n1\n2\n3\n4\n5\n6\n1\n2\n3\n4\n5\n6\n7\n2\n3\n4\n3\n4\n5\n4\n5\n5\n6\n46","answer":null,"answer_text":null,"solution":null,"image":"img/informator-maturalny-matematyka-2008/zad-10.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":45,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2008","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny"},{"id":"informator-maturalny-matematyka-2008/zad/11","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2008","number":"11","points":6,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2008,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 11. (6 pkt)\nDach wieży ma kształt powierzchni bocznej ostrosłupa prawidłowego czworokątnego,\nktórego krawędź podstawy ma długość 4 m. Ściana boczna tego ostrosłupa jest nachylona do\npłaszczyzny podstawy pod kątem\no\n60 .\na) Sporządź pomocniczy rysunek i zaznacz na nim podane w zadaniu wielkości.\nb) Oblicz, ile sztuk dachówek należy kupić, aby pokryć ten dach, wiedząc, że do pokrycia\n1\n2\nm potrzebne są 24 dachówki. Przy zakupie należy doliczyć 8% dachówek na zapas.\n47\nOCENIANIE\nPOZIOM PODSTAWOWY\nPrzedstawione w tabeli rozwiązania zadań należy traktować jako przykładowe. Odpowiedzi\nzdającego mogą przybierać różną formę, ale muszą być poprawne merytorycznie\ni rachunkowo.\nNumer\nzadania\nEtapy rozwiązania zadania\nLiczba\npunktów\n1.1 Obliczenie różnicy wydatków: 64 zł.\n1\n1.2 Obliczenie, ile procent kwoty 3200 zł Kowalscy przeznaczają na\nczynsz :\n%\n5,\n12\n1\n1.3 Obliczenie, ile procent kwoty 3200 zł Kowalscy przeznaczają na\nwyżywienie:\n%\n5,\n56\n1\n1.\n1.4 Obliczenie łącznej kwoty, którą państwo Kowalscy przeznaczają\nmiesięcznie na gaz i energię oraz czynsz: 848 zł.\n1\n2.1 Obliczenie średniej arytmetycznej:\n20\nx =\n1\n2.2 Obliczenie wariancji:\n2\n19\n15\nσ\n1\n2.\n2.3 Obliczenie odchylenia standardowego:\n1,2(6)\n1,125\nσ =\n≈\n1\n3.1 Podanie przedziałów, w których funkcja jest rosnąca:\n3,0 i 3,6\n1\n3.2\nPodanie zbioru argumentów, dla których funkcja przyjmuje wartości\ndodatnie:\n)\n(\n)\n(\n6\n5\n1 1\n5 6\n,\n,\n,\n∪-\n∪\n1\n3.3 Podanie największej wartości funkcji f w przedziale\n5 5,\n: 1.\n1\n3.4 Podanie miejsc zerowych funkcji g: 4, 0, 2, 6\n1\n3.\n3.5 Wyznaczenie najmniejszej wartości funkcji h: 2\n1\n4.1 Wyznaczenie ilorazu ciągu geometrycznego:\n3\n2\nq =\nlub\n3\n2\nq = -\ni zapisanie odpowiedzi: Są dwa ciągi spełniające warunki zadania.\n2\n4.\n4.2 Obliczenie\n6\na :\n6\n91,125\na =\n1\n48\n5.1\nWykonanie rysunku lub wprowadzenie oznaczeń.\nJeżeli zdający nie wykona rysunku, ale wprowadzi czytelne oznaczenia\nprzyznajemy punkt.\n1\n5.2 Obliczenie długości odcinka BC : 120 cm.\n1\n5.3\nZapisanie zależności sin\nBC\nCAB\nAC\n)\ni wyznaczenie długości odcinka\nAC :\nsin 7\nBC\nAC =\nD .\n1\n5.\n5.4 Obliczenie przybliżonej długości podjazdu i podanie odpowiedzi:\n980 cm.\n1\n6.1\nWyznaczenie równania prostej przechodzącej przez punkty A i B:\n1\n8\n3\n3\ny\nx\n1\n6.2 Wyznaczenie współrzędnych środka odcinka AB: (\n)\n1,3 .\n1\n6.3 Wyznaczenie współczynnika kierunkowego symetralnej odcinka AB:\n3\na = -.\n1\n6.4 Zapisanie równania symetralnej:\n3\n6\ny\nx\n1\n6.5 Zapisanie układu równań:\n3\n2\n11\n0\n1\n8\n0\n3\n3\nx\ny\nx\ny\n⎧⎪⎨\n⎪⎩\n1\n6.\n6.6 Wyznaczenie współrzędnych punktu C:\n(\n)\n7,5\nC =\n1\n49\n7.1\nZauważenie podobieństwa trójkątów ACE i DCB.\nWyznaczenie skali podobieństwa k trójkątów ACE i DCB :\n6,5\n1\n13\n2\nBC\nk\nEC\n1\n7.2\nWyznaczenie zależności między polami trójkątów podobnych\nP i\n2P :\n2\n1\n4\nP\nP\n1\n7.3 Obliczenie długości odcinka AC:\n12cm\nAC =\n1\n7.4 Obliczenie pola działki P (na rysunku): P =30 cm2.\n1\n7.5 Obliczenie pola działki P (w rzeczywistości): P =3000 m2.\n1\n7.6 Obliczenie pola działki\n2P :\n2P =750 m2.\n1\n7.\n7.7 Obliczenie kosztu zakupu działki\n2P i podanie poprawnej odpowiedzi:\nPrzeznaczona kwota nie wystarczy na zakup tej działki.\n1\n8.1\nZapisanie równania opisującego podaną w zadaniu sytuację,\nnp.:\nx\nx\nx\n⋅\n2005\n)\n11\n(\n)\n10\n(\n, gdzie x oznacza obecny wiek jubilata\n(Zapis założenia\n0\n>\nx\nalbo\n∈N\nx\nmoże być pominięty).\n1\n8.2 Doprowadzenie wyjściowego równania do postaci równania\nkwadratowego zupełnego:\n0\n2115\n2\n2\n+ x\nx\n1\n8.3 Rozwiązanie równania:\n47\nx\noraz\n45\nx\n1\n8.\n8.4 Zapisanie odpowiedzi: Jubilat urodził się w 1960 roku.\n1\n9.1 Wyznaczenie wierzchołka paraboli:\n(3,4)\nW =\n1\n9.2 Naszkicowanie wykresu funkcji f.\n1\n9.3 Podanie zbioru wartości funkcji: (\n,4\n-∞\n1\n9.4 Wyznaczenie miejsc zerowych funkcji:\n1\n1\nx = ,\n2\n5\nx =\n1\n9.\n9.5 Podanie zbioru rozwiązań nierówności:\n1,5\nx∈\n1\nA\nC\nE\nC\nB\nD\nP\nP2\n50\n10.1 Uzupełnienie tabeli (punkt przyznajemy również w przypadku jednego\nbłędu nieuwagi).\n1\n10.2 Podanie liczby wyników sprzyjających wygranej gracza: 16.\n1\n10.\n10.3 Obliczenie prawdopodobieństwa wygranej: 4\n9 .\n1\n11.1 Sporządzenie rysunku i wprowadzenie oznaczeń.\n1\n11.2 Wyznaczenie wysokości ściany bocznej:\n4m\nh =\n1\n11.3 Obliczenie pola powierzchni dachu:\n2\n32m\nP =\n1\n11.4\nObliczenie liczby dachówek, które należy kupić.\nLiczba dachówek bez zapasu - 768.\nLiczba dachówek z zapasem - 108\n768\n829 44\n⋅\n%\n,\n2\n11.\n11.5 Podanie prawidłowej odpowiedzi: 830.\n1\nZa prawidłowe rozwiązanie każdego z zadań inną metodą niż przedstawiona w schemacie\nprzyznajemy maksymalną liczbę punktów.\n51\ndysleksja\nEGZAMIN MATURALNY\nZ MATEMATYKI\nPOZIOM ROZSZERZONY\nCzas pracy 180 minut\nInstrukcja dla zdającego\n1. Sprawdź,\nczy\narkusz\negzaminacyjny\nzawiera\n14 stron\n(zadania 1 - 12). Ewentualny brak zgłoś przewodniczącemu\nzespołu nadzorującego egzamin.\n2. Rozwiązania zadań i odpowiedzi zamieść w miejscu na to\nprzeznaczonym przy każdym zadaniu.\n3. W\nrozwiązaniach\nzadań\nprzedstaw\ntok\nrozumowania\nprowadzący do ostatecznego wyniku.\n4. Pisz czytelnie. Używaj długopisu/pióra tylko z czarnym\ntuszem/atramentem.\n5. Nie używaj korektora, a błędne zapisy wyraźnie przekreśl.\n6. Pamiętaj, że zapisy w brudnopisie nie podlegają ocenie.\n7. Możesz korzystać z zestawu wzorów matematycznych, cyrkla,\nlinijki oraz kalkulatora.\n8. Wypełnij tę część karty odpowiedzi, którą koduje zdający.\nNie wpisuj żadnych znaków w części przeznaczonej dla\negzaminatora.\n9. Na karcie odpowiedzi wpisz swoją datę urodzenia i PESEL.\nZamaluj\npola odpowiadające cyfrom numeru PESEL. Błędne\nzaznaczenie otocz kółkiem\ni zaznacz właściwe.\nŻyczymy powodzenia!\nZa rozwiązanie\nwszystkich zadań\nmożna otrzymać\nłącznie\n50 punktów\nWypełnia zdający przed\nrozpoczęciem pracy\nPESEL ZDAJĄCEGO\nKOD\nZDAJĄCEGO\nMiejsce\nna naklejkę\nz kodem szkoły\n52\nZadanie 1. (6 pkt)\nDany jest ciąg (\n)\nna\no wyrazie ogólnym\n5\n3\n7\nn\nn\na\n1,2,3,\nn =\na) Sprawdź, czy ciąg (\n)\nna\njest arytmetyczny.\nb) Oblicz, dla jakiej wartości x liczby\n2\n4\n11\n,\n2,\na\nx\na\nsą kolejnymi wyrazami ciągu\ngeometrycznego.\n53\nZadanie 2. (3 pkt)\nObiekty A i B leżą po dwóch stronach jeziora. W terenie dokonano pomiarów odpowiednich\nkątów i ich wyniki przedstawiono na rysunku. Odległość między obiektami B i C jest równa\n400 m. Oblicz odległość w linii prostej między obiektami A i B i podaj wynik, zaokrąglając\ngo do jednego metra.\n54\nZadanie 3. (3 pkt)\nDana jest funkcja kwadratowa ( )\n2\n2\n1\n2 -\nx\nx\nf\na) Narysuj wykres funkcji f w przedziale\n)\n4 3,\nb) Narysuj\nwykres\nfunkcji\n)\n(\n)\n(\n)\n(\nx\nf\nx\nf\nx\ng\n,\nktórej\ndziedziną\njest\nzbiór\n(\n)\n(\n)\n(\n)\n5,\n2\n2,2\n2,5\n∪-\n∪\nc) Zapisz zbiór rozwiązań nierówności\n0\n)\n(\n<\nx\ng\n55\nZadanie 4. (4 pkt)\nW prostokącie ABCD wierzchołek D połączono odcinkami ze środkami E i F boków AB i BC,\nzaś M i N to punkty przecięcia tych odcinków z przekątną AC (patrz rysunek).\na) Uzasadnij, że odcinki AM, MN i NC są jednakowej długości.\nb) Uzasadnij, że trójkąty AEM i CNF mają równe pola.\nA\nB\nC\nD\nE\nF\nM\nN\n56\nZadanie 5. (4 pkt)\nDane są punkty\n(\n)\n32\n,4\nA\ni\n(\n)\n16\n,\n36\nB\n. Wykaż, że koło o średnicy AB jest zawarte\nw II ćwiartce prostokątnego układu współrzędnych.\n57\nZadanie 6. (6 pkt)\nDany jest wielomian\n( )\nd\nx\ncx\nx\nx\nW\n7\n2\n3\na) Wyznacz wartości współczynników c i d wielomianu W, gdy jest podzielny przez\ndwumian (\n)\n2\nx\n, zaś przy dzieleniu przez dwumian (\n)1\nx\notrzymujemy resztę 3.\nb) Dla\n5\nc\ni\n3\nd\nrozwiąż nierówność\n( )\n0\nW x ≤\n58\nZadanie 7. (3 pkt)\nWyznacz wszystkie rozwiązania równania\n2\n2cos\ncos\nx\nx\nnależące do przedziału 0,2π .\n59\nZadanie 8. (4 pkt)\nDany jest ciąg\n)\n(\nn\na\no wyrazie ogólnym\n1\n120\n= n\nan\ndla każdej liczby naturalnej\n1\nn ≥.\nZe zbioru liczb {\n}\n1\n2\n3\n11\n,\n,\n,\n,\na a a\na\nlosujemy kolejno, trzy razy po jednej liczbie\nze zwracaniem. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia A - wylosujemy trzy liczby całkowite,\nktóre będą kolejnymi wyrazami ciągu malejącego.\n60\nZadanie 9. (6 pkt)\nNa okręgu o danym promieniu r opisano trapez równoramienny ABCD o dłuższej podstawie\nAB i krótszej CD. Punkt styczności K dzieli ramię BC tak, że\n3\n2\nKB\nCK\na) Wyznacz długość ramienia tego trapezu.\nb) Oblicz cosinus kąta CBD .\n61\nZadanie 10. (6 pkt)\nDany jest ostrosłup prawidłowy trójkątny, w którym długość krawędzi podstawy jest równa a.\nKąt między krawędzią boczną i krawędzią podstawy ma miarę 45D . Ostrosłup przecięto\npłaszczyzną przechodzącą przez krawędź podstawy i środek przeciwległej jej krawędzi\nbocznej. Sporządź rysunek ostrosłupa i zaznacz otrzymany przekrój. Oblicz pole tego\nprzekroju.\n62\nZadanie 11. (5 pkt)\nOstrokątny trójkąt równoramienny ABC o podstawie AB jest wpisany w okrąg o równaniu\n2\n2\n25\nx\ny\n. Punkty A i B leżą na prostej o równaniu\n5\ny\nx\na) Oblicz współrzędne punktów: A, B, C.\nb) Oblicz kąty trójkąta ABC.\n63\nOCENIANIE\nPOZIOM ROZSZERZONY\nPrzedstawione w tabeli rozwiązania zadań należy traktować jako przykładowe. Odpowiedzi\nzdającego mogą przybierać różną formę, ale muszą być poprawne merytorycznie\ni rachunkowo.\nNumer\nzadania\nEtapy rozwiązania zadania\nLiczba\npunktów\n1.1 Zapisanie wyrazu\n1\nna + :\n1\n2\n3\n7\nn\nn\na +\nlub\n(\n)\n1\n5\n3\n1\n7\nn\nn\na +\n1\n1.2\nWyznaczenie różnicy ciągu:\n1\n3\n7\nn\nn\na\na\noraz zapisanie wniosku: ciąg\n(\n)\nna\njest ciągiem arytmetycznym.\n1\n1.3 Wyznaczenie wyrazów ciągu (\n)\nna\n:\n4\n1\na = -;\n11\n4\na = -.\n1\n1.4 Wykorzystanie definicji lub własności ciągu geometrycznego do zapisania\nwarunków zadania.\n1\n1.5 Zapisanie równania (alternatywy równań ) z jedną niewiadomą x.\n1\n1.\n1.6 Rozwiązanie równania i podanie odpowiedzi:\n0\nx =\n1\n2.1\nZastosowanie twierdzenia sinusów do wyznaczenia szukanej odległości:\nnp.\n400\nsin 20\nsin30\nAB\nD\nD .\n1\n2.2 Obliczenie odległości obiektu A od obiektu B:\n200\nsin 20\nAB =\nD .\n1\n2.\n2.3 Podanie odpowiedzi: 585 metrów.\n1\n3.1 Narysowanie wykresu funkcji\n2\n( )\n0,5\n2\nf x\nx\nw przedziale\n)\n4 3,\n1\n3.2 Narysowanie wykresu funkcji\n( )\n( )\n( )\nf x\ng x\nf x\nw podanej dziedzinie.\n1\n3.\n3.3 Zapisanie zbioru rozwiązań nierówności:\n(\n)\n2,2\nx∈-\n1\nA\nC\nB\n130D\n30D\n64\n4.1\nWyznaczenie skali podobieństwa par trójkątów podobnych:\nCNF\nΔ\n∼AND\nΔ\ni AEM\nΔ\n∼MDC\nΔ\n:\n1\n2\nk =\n1\n4.2 Sformułowanie wniosku dotyczącego długości odcinków\n,\n,\nAM MN NC .\n1\n4.3 Wyznaczenie długości odcinków, które są potrzebne do obliczenia pól\ntrójkątów AEM i CNF.\n1\n4.\n4.4 Wykazanie równości pól trójkątów.\n1\n5.1 Wyznaczenie współrzędnych środka koła:\n(\n)\n20,24\nS = -\n1\n5.2 Wyznaczenie długości promienia koła:\n8 5\nr =\n1\n5.\n5.3 Uzasadnienie odpowiedzi.\n2\n6.1 Obliczenie wartości\n(\n)\n2\nW\noraz\n( )1\nW\n:\n(\n)\n22\n4\n2\nd\nc\nW\n,\n( )\n8\n1\nd\nc\nW\n1\n6.2 Ułożenie układu równań:\n⎩\n⎨\n⎧\n5\n22\n4\nd\nc\nd\nc\n1\n6.3 Rozwiązanie układu równań:\n9,\n14\nc\nd\n1\n6.5 Wyznaczenie pierwiastków wielomianu:\n1\n2\n1,\n3\nx\nx\n2\n6.\n6.6 Rozwiązanie nierówności:\n(\n,3\nx∈-∞\n1\n7.1 Wyznaczenie\nx\ncos z danego równania:\n0\ncos\nx\nlub\n2\n1\ncos\nx\n1\n7.\n7.2\nWybranie i zapisanie rozwiązań należących do przedziału 0,2π :\n1\n2\n3\n3\n,\n,\n3\n2\n2\nx\nx\nx\nπ\nπ\nπ\n,\n4\n5\n3\nx =\nπ .\n2\n8.1\nZapisanie jedenastu początkowych wyrazów ciągu:\n⎭⎬⎫\n⎩⎨⎧\n10\n,\n11\n10\n10\n,\n12\n,\n3\n1\n13\n,\n15\n,\n7\n1\n17\n,\n20\n,\n24\n,\n30\n,\n40\n,\n60\n1\n8.2 Obliczenie liczby wszystkich zdarzeń elementarnych:\n1331\n113 =\n1\n8.3 Obliczenie liczby zdarzeń sprzyjających:\n56\n3\n8 =\n⎟⎟\n⎠\n⎞\n⎜⎜\n⎝\n⎛\n1\n8.\n8.4 Obliczenie prawdopodobieństwa: 1331\n56 .\n1\n65\nZa prawidłowe rozwiązanie każdego z zadań inną metodą niż przedstawiona w schemacie\nprzyznajemy maksymalną liczbę punktów.\n9.1\nWykorzystanie własności czworokąta opisanego na okręgu i stosunku podziału\nramienia BC przez punkt styczności K do wprowadzenia oznaczeń np. długość\nramienia trapezu\nx\nx\nBC\n3\n2 +\n, długości podstaw\nx\nAB\n6\n,\nx\nCD\n4\n1\n9.2 Wykorzystanie twierdzenia Pitagorasa i wyznaczenie x:\nr\nx\n6\n6\n1\n9.3 Wyznaczenie długości ramienia:\nr\nBC\n6\n6\n5\n1\n9.4 Wyznaczenie długości przekątnej trapezu:\nr\nBD\n6\n6\n7\n1\n9.5\nZastosowanie twierdzenia cosinusów w trójkącie BCD:\n2\n2\n2\n2 6\n5 6\n7 6\n5 6\n7 6\n2\ncos\n3\n6\n6\n6\n6\nr\nr\nr\nr\nr\nCBD\n⎛\n⎞\n⎛\n⎞\n⎛\n⎞\n⎛\n⎞\n-⋅\n⋅\n⋅\n⎜\n⎟\n⎜\n⎟\n⎜\n⎟\n⎜\n⎟\n⎜\n⎟\n⎜\n⎟\n⎜\n⎟\n⎜\n⎟\n⎝\n⎠\n⎝\n⎠\n⎝\n⎠\n⎝\n⎠\n)\n1\n9.\n9.6 Wykonanie obliczeń i podanie odpowiedzi:\n29\ncos\n35\nCBD =\n)\n1\n10.1 Sporządzenie rysunku ostrosłupa z zaznaczonym przekrojem.\n1\n10.2 Obliczenie długości krawędzi bocznej ostrosłupa:\n2\n2\na\n1\n10.3\nWyznaczenie cosinusa kąta nachylenia krawędzi bocznej ostrosłupa do\npłaszczyzny jego podstawy:\n6\ncos\n3\nα\n1\n10.4 Obliczenie długości wysokości przekroju:\n6\n4\na\n2\n10.\n10.5 Obliczenie pola przekroju:\n2\n6\n8\nS\na .\n1\n11.1 Wyznaczenie współrzędnych punktów A, B:\n(\n)\n0, 5\nA =\n,\n(\n)\n5,0\nB =\n1\n11.2 Wyznaczenie równania symetralnej odcinka AB: y\nx\n1\n11.3 Obliczenie współrzędnych punktu C:\n5 2 5 2\n,\n2\n2\nC\n⎛\n⎞\n= ⎜\n⎟\n⎜\n⎟\n⎝\n⎠\n2\n11.\n11.4 Obliczenie miar kątów trójkąta ABC: 45D , 67,5D, 67,5D.\n1\nCentralna Komisja Egzaminacyjna\nul Łucka 11, 00-842 Warszawa\ntel. 022 656 38 00, fax 022 656 37 57\nwww.cke.edu.pl ckesekr@cke.edu.pl\nOKE Gdańsk\nul. Na Stoku 49, 80-874 Gdańsk,\ntel. (0-58) 320 55 90, fax.320 55 91\nwww.oke.gda.pl komisia@oke.gda.pl\nOKE Łódź\nul. Praussa 4, 94-203 Łódź\ntel. (0-42) 634 91 33 s: 664 80 50/51/52\nfax. 634 91 54\nwww.komisia.pl komisja@komisja.pl\nOKE Jaworzno\nul. Mickiewicza 4, 43-600 Jaworzno\ntel.(0-32) 616 33 99 w.101\nfax.616 33 99 w.108, www.oke.jaw.pl\noke@oke.jaw.pl\nOKE Poznań\nul. Gronowa 22, 61-655 Poznań\ntel.(0-61) 852 13 07, 852 13 12, fax. 852 14 41\nwww.oke.poznan.pl\nsekretariat@oke.poznan.pl\nOKE Kraków\nal. F. Focha 39, 30-119 Kraków\ntel.(0-12) 618 12 01/02/03, fax.427 28 45\nwww.oke.krakow.pl oke@oke.krakow.pl\nOKE Warszawa\nul. Grzybowska 77, 00-844 Warszawa\ntel. (0-22) 457 03 35, fax. 457 03 45\nwww.oke.waw.pl info@oke.waw.pl\nOKE Łomża\nul. Nowa 2, 18-400 Łomża\nTel/fax. (0-86) 216 44 95\nwww.okelomza.com\nsekretariat@oke.lomza.com\nOKE Wrocław\nul. Zielińskiego 57, 53-533 Wrocław\ntel. sek. (0-71) 785 18 52, fax. 785 18 73\nwww.oke.wroc.pl sekret@oke.wroc.pl\nOKE\nGDAŃSK\nOKE\nŁOMŻA\nOKE\nWARSZAWA\nOKE\nKRAKÓW\nOKE\nJAWORZNO\nOKE\nŁÓDŹ\nOKE\nWROCŁAW\nOKE\nPOZNAŃ","answer":null,"answer_text":null,"solution":null,"image":"img/informator-maturalny-matematyka-2008/zad-11.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":46,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2008","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny"}]}