{"paper":{"id":"informator-maturalny-matematyka-2010","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2010,"month":null,"level":null,"variant":null,"exam_pdf":"informator-maturalny-matematyka-2010/informator-maturalny-matematyka-2010.pdf","key_pdf":null,"question_count":99,"source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2010","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny"},"questions":[{"id":"informator-maturalny-matematyka-2010/zad/1","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2010","number":"1","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2010,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 1. (1 pkt)\nPunkty\n(\n)\n2\n,1 -\nA\n,\n(\n)\n2\n,4\nC\nsą dwoma wierzchołkami trójkąta równobocznego ABC.\nWysokość tego trójkąta jest równa\nA.\n2\n3\n5\nB.\n3\n3\n5\nC.\n6\n3\n5\nD.\n9\n3\n5","answer":"A","answer_text":null,"solution":"AC = sqrt((4-1)^2+(2-(-2))^2) = sqrt(9+16) = 5. Wysokość trójkąta równobocznego o boku a wynosi a*sqrt(3)/2, więc h = 5*sqrt(3)/2. Odpowiedź: A.","image":"img/informator-maturalny-matematyka-2010/zad-1.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":36,"source":"ai","answer_source":"ai","answer_text_source":null,"solution_source":"ai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2010","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny"},{"id":"informator-maturalny-matematyka-2010/zad/2","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2010","number":"2","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2010,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 2. (1 pkt)\nWskaż nierówność, która opisuje przedział zaznaczony na osi liczbowej.\nA.\n3\n2 ≤\nx\nB.\n3\n2 ≤\nx\nC.\n2\n3 ≤\nx\nD.\n2\n3 ≤\nx","answer":"A","answer_text":null,"solution":"Środek przedziału: (-5+1)/2 = -2, połowa długości: (1-(-5))/2 = 3. Przedział to |x-(-2)|<=3, czyli |x+2|<=3. Odpowiedź: A.","image":"img/informator-maturalny-matematyka-2010/zad-2.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":36,"source":"ai","answer_source":"ai","answer_text_source":null,"solution_source":"ai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2010","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny"},{"id":"informator-maturalny-matematyka-2010/zad/3","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2010","number":"3","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2010,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 3. (1 pkt)\nDrut o długości 27 m pocięto na trzy części, których stosunek długości jest równy 2:3:4.\nJaką długość ma najkrótsza z tych części?\nA. 4,5 m\nB. 6 m\nC. 6,75 m\nD. 9 m","answer":"B","answer_text":null,"solution":"27 m podzielone w stosunku 2:3:4 (9 części): 1 część = 27/9 = 3 m. Najkrótsza część = 2*3 = 6 m. Odpowiedź: B.","image":"img/informator-maturalny-matematyka-2010/zad-3.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":36,"source":"ai","answer_source":"ai","answer_text_source":null,"solution_source":"ai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2010","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny"},{"id":"informator-maturalny-matematyka-2010/zad/4","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2010","number":"4","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2010,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 4. (1 pkt)\nIle punktów wspólnych ma prosta o równaniu\n2\ny\nx\nz okręgiem o środku w początku\nukładu współrzędnych i promieniu 2?\nA. 0\nB. 1\nC. 2\nD. 3","answer":"C","answer_text":null,"solution":"Prosta x+y-2=0, odległość od O(0,0): |0+0-2|/sqrt(2) = 2/sqrt(2) = sqrt(2) ≈ 1,41 < 2 (promień). Prosta przecina okrąg w dwóch punktach. Odpowiedź: C.","image":"img/informator-maturalny-matematyka-2010/zad-4.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":36,"source":"ai","answer_source":"ai","answer_text_source":null,"solution_source":"ai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2010","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny"},{"id":"informator-maturalny-matematyka-2010/zad/5","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2010","number":"5","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2010,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 5. (1 pkt)\nLiczby:\n11\n,3\n,1\nx\n, w podanej kolejności, są pierwszym, drugim i trzecim wyrazem ciągu\narytmetycznego. Liczba x jest równa\nA. 5\nB. 9\nC. 16\nD. 20\n5\n1\nx\nPrzykładowy arkusz egzaminacyjny z matematyki\nPoziom podstawowy\n37\nBRUDNOPIS\nPrzykładowy arkusz egzaminacyjny z matematyki\nPoziom podstawowy\n38","answer":"C","answer_text":null,"solution":"Ciąg arytmetyczny: 1, 3, x-11. Różnica: 3-1=2, więc x-11 = 3+2 = 5, stąd x = 16. Odpowiedź: C.","image":"img/informator-maturalny-matematyka-2010/zad-5.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":36,"source":"ai","answer_source":"ai","answer_text_source":null,"solution_source":"ai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2010","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny"},{"id":"informator-maturalny-matematyka-2010/zad/6","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2010","number":"6","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2010,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 6. (1 pkt)\nNa rysunku 1. jest przedstawiony wykres funkcji\n( )\nx\nf\ny =\nFunkcja przedstawiona na rysunku 2. jest określona wzorem\nA.\n( )\n2\ny\nf x\nB.\n( )\n2\ny\nf x\nC.\n(\n)\n2\ny\nf x\nD.\n(\n)\n2\ny\nf x","answer":"B","answer_text":null,"solution":"Wykres na rys. 2 powstaje z wykresu f przez przesunięcie o wektor [0,-2] (wartości y są mniejsze o 2 dla tych samych x), czyli y = f(x) - 2. Odpowiedź: B.","image":"img/informator-maturalny-matematyka-2010/zad-6.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":38,"source":"ai","answer_source":"ai","answer_text_source":null,"solution_source":"ai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2010","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny"},{"id":"informator-maturalny-matematyka-2010/zad/7","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2010","number":"7","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2010,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 7. (1 pkt)\nKąt α jest ostry i\n4\n3\ncos\nα\n. Wtedy\nα\nsin\njest równy\nA. 4\n1\nB.\n4\n7\nC. 16\n7\nD.\n16\n7","answer":"B","answer_text":null,"solution":"sin^2α = 1 - cos^2α = 1 - 9/16 = 7/16, α ostry więc sinα = sqrt(7)/4. Odpowiedź: B.","image":"img/informator-maturalny-matematyka-2010/zad-7.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":38,"source":"ai","answer_source":"ai","answer_text_source":null,"solution_source":"ai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2010","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny"},{"id":"informator-maturalny-matematyka-2010/zad/8","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2010","number":"8","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2010,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 8. (1 pkt)\nWskaż funkcję kwadratową, której zbiorem wartości jest przedział\n)\n2,\n∞.\nA.\n2\n2\n2 +\nx\ny\nB.\n(\n)\n2\n1\n2 -\nx\ny\nC.\n(\n)\n2\n1\n2\n2 +\nx\ny\nD.\n(\n)\n2\n1\n2 -\n= x\ny","answer":"D","answer_text":null,"solution":"Potrzebna parabola z ramionami w górę i wierzchołkiem o rzędnej -2 (zbiór wartości <-2,∞)). y=(x+1)^2-2 ma współczynnik przy x^2 równy 1>0 i wierzchołek (-1,-2). Odpowiedź: D.","image":"img/informator-maturalny-matematyka-2010/zad-8.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":38,"source":"ai","answer_source":"ai","answer_text_source":null,"solution_source":"ai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2010","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny"},{"id":"informator-maturalny-matematyka-2010/zad/9","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2010","number":"9","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2010,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 9. (1 pkt)\nLiczba log36 jest równa\nA. 2log18\nB. log 40\n2log 2\nC. 2log 4\n3log 2\nD. 2log6\nlog1","answer":"D","answer_text":null,"solution":"log36 = log(6^2) = 2log6 = 2log6 - log1 (bo log1=0). Odpowiedź: D.","image":"img/informator-maturalny-matematyka-2010/zad-9.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":38,"source":"ai","answer_source":"ai","answer_text_source":null,"solution_source":"ai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2010","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny"},{"id":"informator-maturalny-matematyka-2010/zad/10","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2010","number":"10","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2010,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 10. (1 pkt)\nIle jest wszystkich liczb naturalnych dwucyfrowych, w których obie cyfry są parzyste?\nA. 16\nB. 20\nC. 24\nD. 25","answer":"B","answer_text":null,"solution":"Cyfra dziesiątek parzysta i niezerowa: {2,4,6,8} - 4 możliwości; cyfra jedności parzysta: {0,2,4,6,8} - 5 możliwości. Razem 4*5=20. Odpowiedź: B.","image":"img/informator-maturalny-matematyka-2010/zad-10.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":38,"source":"ai","answer_source":"ai","answer_text_source":null,"solution_source":"ai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2010","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny"},{"id":"informator-maturalny-matematyka-2010/zad/11","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2010","number":"11","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2010,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 11. (1 pkt)\nPowierzchnia boczna stożka po rozwinięciu jest półkolem o promieniu 12 cm. Podstawa tego\nstożka jest kołem o promieniu\nA. 12 cm\nB. 6 cm\nC. 3 cm\nD. 1 cm\n0\n1\n1\nx\ny\n( )\nx\nf\ny =\n0\n1\n1\nx\ny\nRys. 1.\nRys. 2.\nPrzykładowy arkusz egzaminacyjny z matematyki\nPoziom podstawowy\n39\nBRUDNOPIS\nPrzykładowy arkusz egzaminacyjny z matematyki\nPoziom podstawowy\n40","answer":"B","answer_text":null,"solution":"Promień rozwinięcia (półkole) = tworząca stożka l=12. Długość łuku półkola = π*12 = obwód podstawy = 2πr, stąd r=6 cm. Odpowiedź: B.","image":"img/informator-maturalny-matematyka-2010/zad-11.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":38,"source":"ai","answer_source":"ai","answer_text_source":null,"solution_source":"ai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2010","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny"},{"id":"informator-maturalny-matematyka-2010/zad/12","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2010","number":"12","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2010,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 12. (1 pkt)\nWyniki sprawdzianu z matematyki są przedstawione na diagramie\nMediana ocen uzyskanych przez uczniów jest równa\nA. 6\nB. 5\nC. 4,5\nD. 4","answer":"B","answer_text":null,"solution":"Liczebności ocen 1-6: 1,4,2,4,4,8 (suma n=23). Mediana to 12. wartość w kolejności rosnącej - wypada w grupie oceny 5 (skumulowane do oceny 4: 11, do oceny 5: 15). Mediana = 5. Odpowiedź: B.","image":"img/informator-maturalny-matematyka-2010/zad-12.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":40,"source":"ai","answer_source":"ai","answer_text_source":null,"solution_source":"ai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2010","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny"},{"id":"informator-maturalny-matematyka-2010/zad/13","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2010","number":"13","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2010,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 13. (1 pkt)\nProsta l ma równanie\n11\n2 -\nx\ny\n. Wskaż równanie prostej równoległej do l.\nA.\nx\ny\n2\nB.\nx\ny\n2\nC.\nx\ny\n2\n1\nD.\nx\ny\n2\n1","answer":"A","answer_text":null,"solution":"Prosta równoległa do y=2x-11 ma ten sam współczynnik kierunkowy 2, np. y=2x. Odpowiedź: A.","image":"img/informator-maturalny-matematyka-2010/zad-13.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":40,"source":"ai","answer_source":"ai","answer_text_source":null,"solution_source":"ai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2010","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny"},{"id":"informator-maturalny-matematyka-2010/zad/14","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2010","number":"14","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2010,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 14. (1 pkt)\nLiczba rozwiązań równania (\n)(\n)\n0\n2\n5\n3\nx\nx\nx\njest równa\nA. 3\nB. 2\nC. 1\nD. 0","answer":"C","answer_text":null,"solution":"(x+3)/((5-x)(x+2))=0 wymaga x+3=0 czyli x=-3, przy dziedzinie x≠5, x≠-2. x=-3 spełnia dziedzinę - jedno rozwiązanie. Odpowiedź: C.","image":"img/informator-maturalny-matematyka-2010/zad-14.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":40,"source":"ai","answer_source":"ai","answer_text_source":null,"solution_source":"ai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2010","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny"},{"id":"informator-maturalny-matematyka-2010/zad/15","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2010","number":"15","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2010,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 15. (1 pkt)\nWskaż przedział, który jest zbiorem rozwiązań nierówności\n3\n6\n1\n4\nx\nx\n<\nA. (\n)\n2\n,-\n∞\nB. (\n)\n2\n,\n∞\nC. (\n)\n∞\n-,2\nD. (\n)\n∞\n,2","answer":"D","answer_text":null,"solution":"x/4+1/6<x/3, mnożymy przez 12: 3x+2<4x, stąd 2<x, czyli x∈(2,+∞). Odpowiedź: D.","image":"img/informator-maturalny-matematyka-2010/zad-15.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":40,"source":"ai","answer_source":"ai","answer_text_source":null,"solution_source":"ai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2010","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny"},{"id":"informator-maturalny-matematyka-2010/zad/16","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2010","number":"16","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2010,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 16. (1 pkt)\nPrzekątna prostopadłościanu o wymiarach 3 × 4 × 5 ma długość\nA.\n5\n2\nB.\n3\n2\nC.\n2\n5\nD.\n15\n2","answer":"C","answer_text":null,"solution":"Przekątna prostopadłościanu = sqrt(3^2+4^2+5^2) = sqrt(50) = 5*sqrt(2). Odpowiedź: C.","image":"img/informator-maturalny-matematyka-2010/zad-16.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":40,"source":"ai","answer_source":"ai","answer_text_source":null,"solution_source":"ai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2010","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny"},{"id":"informator-maturalny-matematyka-2010/zad/17","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2010","number":"17","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2010,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 17. (1 pkt)\nLiczba\n7\nx\njest miejscem zerowym funkcji liniowej ( )\n(\n)\n7\n3\nx\na\nx\nf\ndla\nA.\n7\na\nB.\n2\na\nC.\n3\na\nD.\n1\na","answer":"B","answer_text":null,"solution":"f(-7)=0: (3-a)*(-7)+7=0, -21+7a+7=0, 7a=14, a=2. Odpowiedź: B.","image":"img/informator-maturalny-matematyka-2010/zad-17.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":40,"source":"ai","answer_source":"ai","answer_text_source":null,"solution_source":"ai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2010","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny"},{"id":"informator-maturalny-matematyka-2010/zad/18","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2010","number":"18","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2010,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 18. (1 pkt)\nZbiorem rozwiązań nierówności\n2\n9\nx ≥\njest\nA.\n)\n(\n∞\n∪\n∞\n,3\n3\n,\nB.\n3\n,3\nC.\n)\n∞\n-,3\nD.\n)\n∞\n,3\nliczba osób\n1 2 3 4 5 6\n1\nocena\n0\n2\n3\n4\n5\n6\n7\n8\nPrzykładowy arkusz egzaminacyjny z matematyki\nPoziom podstawowy\n41\nBRUDNOPIS\nPrzykładowy arkusz egzaminacyjny z matematyki\nPoziom podstawowy\n42","answer":"A","answer_text":null,"solution":"x^2≥9 oznacza |x|≥3, czyli x≤-3 lub x≥3: (-∞,-3⟩∪⟨3,+∞). Odpowiedź: A.","image":"img/informator-maturalny-matematyka-2010/zad-18.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":40,"source":"ai","answer_source":"ai","answer_text_source":null,"solution_source":"ai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2010","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny"},{"id":"informator-maturalny-matematyka-2010/zad/19","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2010","number":"19","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2010,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 19. (1 pkt)\nZaznaczony na rysunku kąt α jest równy\nA.\n°\n50\nB.\n°\n40\nC.\n°\n30\nD.\n°\n10","answer":"A","answer_text":null,"solution":"Kąt wpisany 40° oparty na łuku BC odpowiada kątowi środkowemu 2*40°=80° na tym samym łuku. Kąt środkowy 80° dzieli się na kąt 30° i szukany kąt α, więc α=80°-30°=50°. Odpowiedź: A.","image":"img/informator-maturalny-matematyka-2010/zad-19.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":42,"source":"ai","answer_source":"ai","answer_text_source":null,"solution_source":"ai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2010","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny"},{"id":"informator-maturalny-matematyka-2010/zad/20","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2010","number":"20","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2010,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 20. (1 pkt)\nKtóra z liczb jest rozwiązaniem równania (\n)\n(\n)\nx\nx\nx\nx\n3\n2\n3\n1\n2\n?\nA. 11\n8\nB.\n11\n4\nC. 7\n4\nD.\n1","answer":"C","answer_text":null,"solution":"2(x-1)+x = x-3(2-3x) → 2x-2+x = x-6+9x → 3x-2=10x-6 → 4=7x → x=4/7. Odpowiedź: C.","image":"img/informator-maturalny-matematyka-2010/zad-20.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":42,"source":"ai","answer_source":"ai","answer_text_source":null,"solution_source":"ai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2010","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny"},{"id":"informator-maturalny-matematyka-2010/zad/21","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2010","number":"21","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2010,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 21. (1 pkt)\nLiczba\n40\n20\n2\n4\n⋅\njest równa\nA.\n40\n4\nB.\n50\n4\nC.\n60\n8\nD.\n800\n8","answer":"A","answer_text":null,"solution":"2^40 * 4^20 = 2^40 * 2^40 = 2^80 = (2^2)^40 = 4^40. Odpowiedź: A.","image":"img/informator-maturalny-matematyka-2010/zad-21.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":42,"source":"ai","answer_source":"ai","answer_text_source":null,"solution_source":"ai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2010","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny"},{"id":"informator-maturalny-matematyka-2010/zad/22","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2010","number":"22","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2010,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 22. (1 pkt)\nWskaż liczbę, której 4% jest równe 8.\nA. 3,2\nB. 32\nC. 100\nD. 200","answer":"D","answer_text":null,"solution":"4% liczby x równe 8: 0,04x=8, x=200. Odpowiedź: D.","image":"img/informator-maturalny-matematyka-2010/zad-22.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":42,"source":"ai","answer_source":"ai","answer_text_source":null,"solution_source":"ai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2010","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny"},{"id":"informator-maturalny-matematyka-2010/zad/23","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2010","number":"23","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2010,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 23. (1 pkt)\nKąt α jest ostry i cos\n0,9\nα =\n. Wówczas\nA.\no\n30\nα <\nB.\no\n30\nα =\nC.\no\n45\nα =\nD.\no\n45\nα >","answer":"A","answer_text":null,"solution":"cos30°=√3/2≈0,866<0,9=cosα. Funkcja cosinus jest malejąca dla kątów ostrych, więc α<30°. Odpowiedź: A.","image":"img/informator-maturalny-matematyka-2010/zad-23.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":42,"source":"ai","answer_source":"ai","answer_text_source":null,"solution_source":"ai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2010","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny"},{"id":"informator-maturalny-matematyka-2010/zad/24","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2010","number":"24","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2010,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 24. (1 pkt)\nTrzeci wyraz ciągu geometrycznego jest równy 4, a czwarty wyraz tego ciągu jest równy ( 2)\nPierwszy wyraz tego ciągu jest równy\nA. 16\nB.\n16\nC. 8\nD.\n8","answer":"A","answer_text":null,"solution":"Iloraz ciągu: q = a4/a3 = -2/4 = -1/2. a1 = a3/q^2 = 4/(1/4) = 16. Odpowiedź: A.","image":"img/informator-maturalny-matematyka-2010/zad-24.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":42,"source":"ai","answer_source":"ai","answer_text_source":null,"solution_source":"ai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2010","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny"},{"id":"informator-maturalny-matematyka-2010/zad/25","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2010","number":"25","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2010,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 25. (1 pkt)\nZe zbioru liczb {1,2,3,4,5,6,7,8} wybieramy losowo jedną liczbę. Liczba p jest\nprawdopodobieństwem wylosowania liczby podzielnej przez 3. Wtedy\nA.\n0,3\np <\nB.\n0,3\np =\nC.\n1\n3\np =\nD.\n1\n3\np >\n°\n40\n°\n30\nα\nO\nr\nPrzykładowy arkusz egzaminacyjny z matematyki\nPoziom podstawowy\n43\nBRUDNOPIS\nPrzykładowy arkusz egzaminacyjny z matematyki\nPoziom podstawowy\n44\nZADANIA OTWARTE\nRozwiązania zadań o numerach od 26. do 33. należy zapisać w wyznaczonych miejscach\npod treścią zadania.","answer":"A","answer_text":null,"solution":"Liczby podzielne przez 3 w zbiorze {1,...,8}: {3,6} - 2 liczby. p=2/8=1/4=0,25<0,3. Odpowiedź: A.","image":"img/informator-maturalny-matematyka-2010/zad-25.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":42,"source":"ai","answer_source":"ai","answer_text_source":null,"solution_source":"ai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2010","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny"},{"id":"informator-maturalny-matematyka-2010/zad/26","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2010","number":"26","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2010,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 26. (2 pkt)\nDany jest ciąg (\n)\nn\na\nokreślony wzorem\n(\n)\n2\n2\n1\nn\nn\na\nn\nn\ndla\n1\n≥\nn\n. Oblicz\n2\na i\n5\na .\nOdpowiedź:\n2\na =\ni\n5\na =\nPrzykładowy arkusz egzaminacyjny z matematyki\nPoziom podstawowy\n45","answer":null,"answer_text":null,"solution":"a_n = (-1)^n * (2-n)/n^2.\na_2 = (-1)^2*(2-2)/2^2 = 1*0/4 = 0.\na_5 = (-1)^5*(2-5)/5^2 = -1*(-3)/25 = 3/25.\nOdpowiedź: a2 = 0 i a5 = 3/25.","image":"img/informator-maturalny-matematyka-2010/zad-26.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":44,"source":"ai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"ai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2010","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny"},{"id":"informator-maturalny-matematyka-2010/zad/27","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2010","number":"27","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2010,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 27. (2 pkt)\nRozwiąż równanie\n0\n12\n12\n2\n3\nx\nx\nx\nOdpowiedź:","answer":null,"answer_text":null,"solution":"x^3-12x^2+x-12=0. Grupujemy: x^2(x-12)+1*(x-12)=0, czyli (x-12)(x^2+1)=0. Ponieważ x^2+1>0 dla każdego x rzeczywistego, jedyne rozwiązanie to x=12.\nOdpowiedź: x=12.","image":"img/informator-maturalny-matematyka-2010/zad-27.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":45,"source":"ai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"ai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2010","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny"},{"id":"informator-maturalny-matematyka-2010/zad/28","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2010","number":"28","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2010,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 28. (2 pkt)\nPunkt E leży na ramieniu BC trapezu ABCD , w którym AB\nCD. Udowodnij, że\nAED\nBAE\nCDE\n)\n)\n)\nPrzykładowy arkusz egzaminacyjny z matematyki\nPoziom podstawowy\n46","answer":null,"answer_text":null,"solution":"Dowód: Poprowadźmy przez punkt E prostą k równoległą do AB (a więc i do CD, bo AB∥CD). Prosta k dzieli kąt AED na dwa kąty: kąt między EA i k oraz kąt między k i ED.\nPonieważ AB∥k, kąty BAE i (kąt między AE i k) są kątami naprzemianległymi przy prostej AE przecinającej równoległe AB i k, więc |∢BAE| = |∢(AE,k)|.\nPonieważ CD∥k, kąty CDE i (kąt między ED i k) są kątami naprzemianległymi przy prostej DE przecinającej równoległe CD i k, więc |∢CDE| = |∢(k,ED)|.\nStąd |∢AED| = |∢(AE,k)| + |∢(k,ED)| = |∢BAE| + |∢CDE|, co należało udowodnić.","image":"img/informator-maturalny-matematyka-2010/zad-28.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":45,"source":"ai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"ai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2010","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny"},{"id":"informator-maturalny-matematyka-2010/zad/29","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2010","number":"29","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2010,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 29. (2 pkt)\nPodaj przykład liczb całkowitych dodatnich a i b, spełniających nierówność\n9\n5\n9\n4\n<\n< b\na\nOdpowiedź: Liczby takie to np.:\na =\ni\nb =","answer":null,"answer_text":null,"solution":"Szukamy liczb całkowitych dodatnich a,b takich, że 4/9 < a/b < 5/9. Dla a=1, b=2: a/b=1/2=0,5. Ponieważ 4/9≈0,444 < 0,5 < 5/9≈0,556, warunek jest spełniony.\nOdpowiedź: a=1, b=2 (przykładowo).","image":"img/informator-maturalny-matematyka-2010/zad-29.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":46,"source":"ai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"ai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2010","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny"},{"id":"informator-maturalny-matematyka-2010/zad/30","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2010","number":"30","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2010,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 30. (2 pkt)\nDany jest prostokąt o bokach a i b oraz prostokąt o bokach c i d . Długość boku c to 90%\ndługości boku a. Długość boku d to 120% długości boku b. Oblicz, ile procent pola prostokąta\no bokach a i b stanowi pole prostokąta o bokach c i d .\nOdpowiedź: Pole prostokąta o bokach c i d stanowi % pola prostokąta o bokach a i b.\nPrzykładowy arkusz egzaminacyjny z matematyki\nPoziom podstawowy\n47","answer":null,"answer_text":null,"solution":"c=0,9a, d=1,2b. Pole prostokąta o bokach c,d: c*d = 0,9a*1,2b = 1,08*a*b. Zatem pole to 108% pola prostokąta o bokach a i b.\nOdpowiedź: 108%.","image":"img/informator-maturalny-matematyka-2010/zad-30.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":46,"source":"ai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"ai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2010","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny"},{"id":"informator-maturalny-matematyka-2010/zad/31","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2010","number":"31","points":6,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2010,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 31. (6 pkt)\nDwa pociągi towarowe wyjechały z miast A i B oddalonych od siebie o 540 km. Pociąg\njadący z miasta A do miasta B wyjechał o godzinę wcześniej niż pociąg jadący z miasta B do\nmiasta A i jechał z prędkością o 9 km/h mniejszą. Pociągi te minęły się w połowie drogi.\nOblicz, z jakimi prędkościami jechały te pociągi.\nPrzykładowy arkusz egzaminacyjny z matematyki\nPoziom podstawowy\n48","answer":null,"answer_text":null,"solution":"Niech v - prędkość pociągu z B (km/h), wtedy pociąg z A jedzie z prędkością v-9. Każdy pociąg pokonuje do miejsca spotkania 540/2=270 km. Pociąg z A jechał o godzinę dłużej (wyjechał godzinę wcześniej), więc:\n270/(v-9) = 270/v + 1.\n270v = 270(v-9) + v(v-9)\n270v = 270v - 2430 + v^2 - 9v\n0 = v^2 - 9v - 2430\nΔ=81+9720=9801=99^2, v=(9+99)/2=54 (odrzucamy ujemny pierwiastek).\nPrędkość pociągu z B: 54 km/h, pociągu z A: 54-9=45 km/h.\nOdpowiedź: 45 km/h i 54 km/h.","image":"img/informator-maturalny-matematyka-2010/zad-31.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":47,"source":"ai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"ai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2010","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny"},{"id":"informator-maturalny-matematyka-2010/zad/32","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2010","number":"32","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2010,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 32. (4 pkt)\nDane są dwa pojemniki. W pierwszym z nich znajduje się 9 kul: 4 białe, 3 czarne i 2 zielone.\nW drugim pojemniku jest 6 kul: 2 białe , 3 czarne i 1 zielona. Z każdego pojemnika losujemy\npo jednej kuli. Oblicz prawdopodobieństwo wylosowania dwóch kul tego samego koloru.\nPrzykładowy arkusz egzaminacyjny z matematyki\nPoziom podstawowy\n49","answer":null,"answer_text":null,"solution":"P(biała,biała) = (4/9)(2/6) = 8/54.\nP(czarna,czarna) = (3/9)(3/6) = 9/54.\nP(zielona,zielona) = (2/9)(1/6) = 2/54.\nP(ten sam kolor) = (8+9+2)/54 = 19/54.\nOdpowiedź: 19/54.","image":"img/informator-maturalny-matematyka-2010/zad-32.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":48,"source":"ai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"ai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2010","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny"},{"id":"informator-maturalny-matematyka-2010/zad/33","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2010","number":"33","points":5,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2010,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 33. (5 pkt)\nWysokość ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest równa 8. Krawędź boczna jest\nnachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem\n°\n40 . Oblicz objętość tego ostrosłupa.\nPrzykładowy arkusz egzaminacyjny z matematyki\nPoziom podstawowy\n50\nBRUDNOPIS\nPrzykładowy arkusz egzaminacyjny z matematyki\nPoziom podstawowy\n51\nKarta odpowiedzi\nWypełnia piszący\nNr\nzadania\nA\nB\nC\nD\n1.\n2.\n3.\n4.\n5.\n6.\n7.\n8.\n9.\n10.\n11.\n12.\n13.\n14.\n15.\n16.\n17.\n18.\n19.\n20.\n21.\n22.\n23.\n24.\n25.\nWypełnia sprawdzający\nNr\nzadania\nX\n0\n1\n2\n26.\n27.\n28.\n29.\n30.\nNr\nzadania\nX\n0\n1\n2\n3\n4\n5\n6\n31.\n32.\n33.\nSuma\npunktów\n0\n1\n2\n3\n4\n5\n6\n7\n8\n9\nCyfra\ndziesiątek\nCyfra\njednostek\nD\nJ\n52\nZestaw P1\nOdpowiedzi do zadań zamkniętych\nNr zadania\n1\n2\n3\n4\n5\n6\n7\n8\n9\n10\n11\n12\n13\n14\n15\n16\n17\n18\n19\n20\n21\n22\n23\n24\n25\nOdpowiedź A A B C C B B D D B\nB\nB\nA\nC\nD\nC\nB\nA\nA C A D A\nA\nA\nOdpowiedzi do zadań otwartych\nNumer zadania\nOdpowiedź\n26\n2\n0,\na =\n5\n3\n25\na =\n27\n12\nx\n28\nDowód\n29\nnp.\n1,\na =\n2\nb =\n30\n%\n108\n31\n45km/h, 54 km/h\n32\n54\n19\n33\n2\n1024\n484,9\n3 tg 40\nV =\n≈\n⋅\n°\nPRZYKŁADOWY ARKUSZ\nEGZAMINACYJNY\nZ MATEMATYKI\nPOZIOM PODSTAWOWY\nCzas pracy 170 minut\nInstrukcja dla piszącego\n1. Sprawdź, czy arkusz zawiera 17 stron.\n2. W zadaniach od 1. do 20. są podane 4 odpowiedzi: A, B, C, D,\nz których tylko jedna jest prawdziwa. Wybierz tylko jedną\nodpowiedź i zaznacz ją na karcie odpowiedzi.\n3. Zaznaczając odpowiedzi w części karty przeznaczonej dla\nzdającego, zamaluj\npola do tego przeznaczone. Błędne\nzaznaczenie otocz kółkiem\ni zaznacz właściwe.\n4. Rozwiązania zadań od 21. do 29. zapisz starannie i czytelnie\nw wyznaczonych miejscach. Przedstaw swój tok rozumowania\nprowadzący do ostatecznego wyniku.\n5. Pisz czytelnie. Używaj długopisu/pióra tylko z czarnym\ntuszem/atramentem.\n6. Nie używaj korektora. Błędne zapisy przekreśl.\n7. Pamiętaj, że zapisy w brudnopisie nie podlegają ocenie.\n8. Obok numeru każdego zadania podana jest maksymalna liczba\npunktów możliwych do uzyskania.\n9. Możesz korzystać z zestawu wzorów matematycznych, cyrkla\ni linijki oraz kalkulatora.\n10. Wypełnij tę część karty odpowiedzi, którą koduje zdający.\nNie wpisuj żadnych znaków w części przeznaczonej dla\negzaminatora.\nŻyczymy powodzenia!\nZestaw P2\nZa rozwiązanie\nwszystkich zadań\nmożna otrzymać\nłącznie\n50 punktów\nPrzykładowy arkusz egzaminacyjny z matematyki\nPoziom podstawowy\n54\nZADANIA ZAMKNIĘTE\nW zadaniach od 1. do 20. wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi jedną\npoprawną odpowiedź.\nZadanie 1. (1 pkt)\nLiczba\n20\n40\n2\n4\n⋅\njest równa\nA.\n60\n2\nB.\n50\n4\nC.\n60\n8\nD.\n800\n8\nZadanie 2. (1 pkt)\nZbiór rozwiązań nierówności\n1\n3 ≥\nx\njest przedstawiony na rysunku\nA.\nB.\nC.\nD.\nZadanie 3. (1 pkt)\nO zdarzeniach losowych A, B wiadomo, że: ( )\n5,0\nA\nP\n, ( )\n3,0\nB\nP\ni (\n)\n7,0\n∪B\nA\nP\nPrawdopodobieństwo iloczynu zdarzeń A i B spełnia warunek\nA.\n(\n)\n0,2\nP A\nB\n∩\nB.\n(\n)\n0,3\nP A\nB\n∩\n>\nC.\n(\n)\n0,2\nP A\nB\n∩\n<\nD.\n(\n)\n0,3\nP A\nB\n∩\nZadanie 4. (1 pkt)\nWskaż liczbę, której 6% jest równe 6.\nA. 0,36\nB. 3,6\nC. 10\nD. 100\nZadanie 5. (1 pkt)\nRóżnica miar dwóch sąsiednich kątów wewnętrznych równoległoboku jest równa 30°.\nKąt rozwarty tego równoległoboku jest równy\nA. 105°\nB. 115°\nC. 125°\nD. 135°\nZadanie 6. (1 pkt)\nFunkcja f jest określona wzorem ( )\n⎩\n⎨\n⎧\n>\n≤\n3\ndla\n2\n3\ndla\n4\nx\nx\nx\nx\nx\nf\nIle miejsc zerowych ma ta funkcja?\nA. 0\nB. 1\nC. 2\nD. 3\n4\n4\nx\n0\n4\nx\n0\n2\n4\nx\n0\n2\n4\nx\n0\nPrzykładowy arkusz egzaminacyjny z matematyki\nPoziom podstawowy\n55\nBRUDNOPIS\nPrzykładowy arkusz egzaminacyjny z matematyki\nPoziom podstawowy\n56\nZadanie 7. (1 pkt)\nKąt α jest ostry i\n4\n3\nsin\nα\n. Wówczas\nA.\no\n30\nα <\nB.\no\n30\nα =\nC.\no\n45\nα =\nD.\no\n45\nα >\nZadanie 8. (1 pkt)\nLiczba\n3\n5\n3\n4\n7\n7 ⋅\njest równa\nA.\n5\n4\n7\nB.\n3\n7\nC.\n9\n20\n7\nD.\n2\n7\nZadanie 9. (1 pkt)\nDana jest funkcja\n( )\nx\nf\ny =\nokreślona dla\n8\n,1\n∈\nx\n, której wykres jest przedstawiony\nna rysunku:\nWskaż zbiór wartości tej funkcji.\nA. {\n}\n8\n,7\n,6\n,5\n,4\n,3\n,2\n,1,0\n,1\nB. (\n)\n4\n,1\nC.\n4\n,1\nD.\n8\n,1\nZadanie 10. (1 pkt)\nTrzeci wyraz ciągu geometrycznego jest równy 4, a piąty wyraz tego ciągu jest równy 1.\nPierwszy wyraz tego ciągu jest równy\nA.\n4\nB. 4 2\nC. 16\nD.\n2\n16\nZadanie 11. (1 pkt)\nPewien wielościan ma 6 krawędzi. Liczba jego ścian jest równa\nA. 4\nB. 5\nC. 6\nD. 9\nZadanie 12. (1 pkt)\nWykres funkcji kwadratowej ( )\n(\n)\n2\n3\n2 -\n= x\nx\nf\nnie ma punktów wspólnych z prostą o równaniu\nA.\n3\ny\nB.\n1\ny\nC.\n1\ny\nD.\n3\ny\n0\n1\n1\nx\ny\nPrzykładowy arkusz egzaminacyjny z matematyki\nPoziom podstawowy\n57\nBRUDNOPIS\nPrzykładowy arkusz egzaminacyjny z matematyki\nPoziom podstawowy\n58\nZadanie 13. (1 pkt)\nOdcinki AB i CD są równoległe. Długości odcinków AB, CD i AD są podane na rysunku.\nDługość odcinka DE jest równa\nA.\n44\nB. 40\nC. 36\nD. 15\nZadanie 14. (1 pkt)\nWskaż równanie okręgu o środku\n(\n)\n2\n,1 -\nS\ni promieniu\n2\nr\nA.\n(\n)\n(\n)\n2\n2\n1\n2\n2\ny\nx\nB.\n(\n)\n(\n)\n2\n2\n1\n2\n2\ny\nx\nC.\n(\n)\n(\n)\n4\n2\n1\n2\n2\ny\nx\nD.\n(\n)\n(\n)\n4\n2\n1\n2\n2\ny\nx\nZadanie 15. (1 pkt)\nRównanie\nx\nx\nx\n3\n1\n2\nA.\nma dwa rozwiązania:\n1\n,\n3\n1\nx\nx\nB.\nma dwa rozwiązania:\n1\n,\n3\n1\nx\nx\nC.\nnie ma żadnego rozwiązania.\nD.\nma tylko jedno rozwiązanie:\n1\nx\nZadanie 16. (1 pkt)\nSuma długości wszystkich krawędzi sześcianu jest równa 24. Objętość tego sześcianu jest\nrówna\nA.\n64\nB. 27\nC. 24\nD. 8\nE\nA\nB\nC\nD\n32\n24\n20\nPrzykładowy arkusz egzaminacyjny z matematyki\nPoziom podstawowy\n59\nBRUDNOPIS\nPrzykładowy arkusz egzaminacyjny z matematyki\nPoziom podstawowy\n60\nZadanie 17. (1 pkt)\nCiąg (\n)\nn\na\njest określony wzorem\n(\n) (\n)\nn\nn\na\nn\nn\n2\n1\n2 -\ndla\n1\n≥\nn\n. Wtedy\nA.\n3\n3 >\na\nB.\n3\n3 =\na\nC.\n2\n3 <\na\nD.\n2\n3 =\na\nZadanie 18. (1 pkt)\nLiczba\n12\nlog\njest równa\nA.\n4\nlog\n3\nlog ⋅\nB.\n4\nlog\n3\nlog +\nC.\n4\nlog\n16\nlog\nD.\n2\nlog\n10\nlog\nZadanie 19. (1 pkt)\nZbiorem rozwiązań nierówności\nx\nx\n4\n2 >\njest\nA.\n(\n)\n(\n)\n,\n4\n0,\n-∞-\n∪\n+ ∞\nB.\n(\n)\n4,∞\nC.\n(\n)\n(\n)\n∞\n∪\n∞\n,2\n2\n,\nD.\n(\n)\n(\n)\n∞\n∪\n∞\n,4\n0\n,\nZadanie 20. (1 pkt)\nProsta l ma równanie\n2\n7 +\nx\ny\n. Równanie prostej prostopadłej do l i przechodzącej przez\npunkt\n(\n)\n0,1\nP =\nma postać\nA.\n7\n1\ny\nx\nB.\n1\n7 +\nx\ny\nC.\n1\n7\n1\nx\ny\nD.\n1\n1\n7\ny\nx\nPrzykładowy arkusz egzaminacyjny z matematyki\nPoziom podstawowy\n61\nBRUDNOPIS\nPrzykładowy arkusz egzaminacyjny z matematyki\nPoziom podstawowy\n62\nZADANIA OTWARTE\nRozwiązania zadań o numerach od 21. do 29. należy zapisać w wyznaczonych miejscach\npod treścią zadania.\nZadanie 21. (2 pkt)\nPunkty\n(\n)\n5\n,3 -\nA\n,\n(\n)1\n,4 -\nB\n,\n(\n)\n3\n,2\nC\nsą wierzchołkami trójkąta równoramiennego.\nOblicz długość ramienia tego trójkąta.\nOdpowiedź:\nPrzykładowy arkusz egzaminacyjny z matematyki\nPoziom podstawowy\n63\nZadanie 22. (2 pkt)\nRozwiąż równanie\n0\n12\n3\n4\n2\n3\nx\nx\nx\nOdpowiedź:\nZadanie 23. (2 pkt)\nW trójkącie prostokątnym przyprostokątne mają długości 2 i 4, a jeden z kątów ostrych\nma miarę α . Oblicz\nα\nα cos\nsin\n⋅\nOdpowiedź:\ncos\nsin\n⋅\nα\nα\nPrzykładowy arkusz egzaminacyjny z matematyki\nPoziom podstawowy\n64\nZadanie 24. (2 pkt)\nUczeń otrzymał pięć ocen: 5, 3, 6, x, 3. Średnia arytmetyczna tych ocen jest równa 4.\nOblicz x i medianę tych pięciu ocen.\nOdpowiedź:\nx\n, a mediana tych pięciu ocen jest równa\nZadanie 25. (2 pkt)\nLiczby\n6\n,3\n,2\nx\nx\nsą w podanej kolejności pierwszym, drugim i trzecim wyrazem ciągu\narytmetycznego. Oblicz x.\nOdpowiedź:\nx\nPrzykładowy arkusz egzaminacyjny z matematyki\nPoziom podstawowy\n65\nZadanie 26. (6 pkt)\nDo zbiornika o pojemności\n3\n700m można doprowadzić wodę dwiema rurami. W ciągu jednej\ngodziny pierwsza rura dostarcza do zbiornika o\n3\n5m wody więcej niż druga rura. Czas\nnapełniania zbiornika tylko pierwszą rurą jest o 16 godzin krótszy od czasu napełniania tego\nzbiornika tylko drugą rurą. Oblicz, w ciągu ilu godzin pusty zbiornik zostanie napełniony,\njeśli woda będzie doprowadzana przez obie rury jednocześnie.\nPrzykładowy arkusz egzaminacyjny z matematyki\nPoziom podstawowy\n66\nZadanie 27. (4 pkt)\nRzucamy dwa razy symetryczną, sześcienną kostką, której jedna ściana ma jedno oczko, dwie\nściany mają po dwa oczka i trzy ściany mają po trzy oczka. Oblicz prawdopodobieństwo\nzdarzenia: liczby oczek otrzymane w obu rzutach różnią się o 1.\nPrzykładowy arkusz egzaminacyjny z matematyki\nPoziom podstawowy\n67\nZadanie 28. (5 pkt)\nPodstawą ostrosłupa ABCS jest trójkąt równoboczny ABC o boku długości 8. Punkt D jest\nśrodkiem krawędzi AB , odcinek DS jest wysokością ostrosłupa. Krawędzie AS i BS mają\ndługość 7. Oblicz długość krawędzi CS tego ostrosłupa.\nPrzykładowy arkusz egzaminacyjny z matematyki\nPoziom podstawowy\n68\nZadanie 29. (5 pkt)\nPunkt M leży wewnątrz prostokąta ABCD (zob. rysunek). Udowodnij, że\n2\n2\n2\n2\nDM\nBM\nCM\nAM\nA\nB\nC\nD\nM\nPrzykładowy arkusz egzaminacyjny z matematyki\nPoziom podstawowy\n69\nBRUDNOPIS\nPrzykładowy arkusz egzaminacyjny z matematyki\nPoziom podstawowy\n70\nKarta odpowiedzi\nWypełnia piszący\nNr\nzadania\nA\nB\nC\nD\n1.\n2.\n3.\n4.\n5.\n6.\n7.\n8.\n9.\n10.\n11.\n12.\n13.\n14.\n15.\n16.\n17.\n18.\n19.\n20.\nWypełnia sprawdzający\nNr\nzadania\nX\n0\n1\n2\n21.\n22.\n23.\n24.\n25.\nNr\nzadania\nX\n0\n1\n2\n3\n4\n5\n6\n26.\n27.\n28.\n29.\nSuma\npunktów\n0\n1\n2\n3\n4\n5\n6\n7\n8\n9\nCyfra\ndziesiątek\nCyfra\njednostek\nD\nJ\n71\nZestaw P2\nOdpowiedzi do zadań zamkniętych.\nNr zadania\n1\n2\n3\n4\n5\n6\n7\n8\n9\n10\n11\n12\n13\n14\n15\n16\n17\n18\n19\n20\nOdpowiedź\nB A C D A A D B C C\nA\nA\nB\nC\nA D C B\nD\nC\nOdpowiedzi do zadań otwartych.\nNumer zadania\nOdpowiedź\n21\n65\n= AC\nAB\n22\n3\n,3\n,4\nx\nx\nx\n23\n5\n2\ncos\nsin\n⋅\nα\nα\n24\n3\nx\n, mediana jest równa 3\n25\n1\nx\n26\n23 godziny 20 minut\n27\n9\n4\n28\n9\nCS\n29\nDowód\n72\nPODSTAWOWE ZAŁOŻENIA OCENIANIA ZADAŃ OTWARTYCH\nROZSZERZONEJ ODPOWIEDZI\nRozwiązanie zadania oceniamy według tego, jak daleko dotarł rozwiązujący na drodze\ndo całkowitego rozwiązania zadania. Rozwiązanie zadania przydzielamy do jednej\nz następujących kategorii:\n1. rozwiązanie, w którym nie ma istotnego postępu;\n2. został dokonany istotny krok w kierunku rozwiązania, ale nie zostały pokonane\nzasadnicze trudności zadania;\n3. zostały pokonane zasadnicze trudności zadania, ale w trakcie ich pokonywania zostały\npopełnione błędy, usterki;\n4. zasadnicze trudności zadania zostały pokonane bezbłędnie, rozwiązanie zadania\nnie zostało dokończone lub w dalszej części rozwiązania wystąpiły poważne błędy\nmerytoryczne;\n5. zasadnicze trudności zadania zostały pokonane bezbłędnie, jednak dalsza część\nrozwiązania zadania zawiera usterki (błędy rachunkowe, zgubienie rozwiązań, brak\nwyboru właściwych rozwiązań itp.);\n6. zadanie zostało rozwiązane bezbłędnie.\nPRZYKŁADY OCENIANIA ZADAŃ OTWARTYCH\nROZSZERZONEJ ODPOWIEDZI\nZadanie 1. (6 pkt)\nDwa pociągi osobowe wyjechały z miast A i B oddalonych od siebie o 616 km. Pociąg jadący\nz miasta A do miasta B wyjechał o godzinę wcześniej niż pociąg jadący z miasta B do miasta\nA i jechał z prędkością o 11 km/h mniejszą. Pociągi te dojechały do celu w tym samym\nmomencie. Oblicz, z jakimi prędkościami jechały te pociągi.\nRozwiązanie, w którym postęp jest wprawdzie niewielki, ale konieczny na drodze\ndo całkowitego rozwiązania zadania 1 pkt\nZapisanie zależności między drogą, prędkością i czasem dla jednego z pociągów,\nnp.:\nt\nv ⋅\n616\n(dla pociągu jadącego z miasta B do miasta A)\nRozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 pkt\nZapisanie układu równań z niewiadomymi v i t - odpowiednio z prędkością i czasem dla\npociągu wyjeżdżającego z B:\n(\n) (\n)\n⎩\n⎨\n⎧\n⋅\n⋅\n1\n11\n616\n616\nt\nv\nt\nv\n73\nPokonanie zasadniczych trudności zadania 3 pkt\nZapisanie równania z jedną niewiadomą v lub t, np:\n(\n)\n⎟⎠\n⎞\n⎜⎝\n⎛\n⋅\n1\n616\n11\n616\nv\nv\nlub\n(\n)\n616\n616\n11\n1\nt\nt\n⎛\n⎞\n⋅\n⎜\n⎟\n⎝\n⎠\nZdający nie musi zapisywać układu równań, może bezpośrednio zapisać równanie z jedną\nniewiadomą.\nZostały pokonane zasadnicze trudności zadania, ale w trakcie ich pokonywania zostały\npopełnione błędy rachunkowe lub usterki 2 pkt\nRozwiązanie zadania do końca lecz z usterkami, które jednak nie przekreślają\npoprawności rozwiązania (np. błędy rachunkowe) 4 pkt lub 5 pkt\n¾ doprowadzenie równania wymiernego do równania kwadratowego 4 pkt\n¾ rozwiązanie równania z niewiadomą t bezbłędnie i nieobliczenie prędkości pociągów\nalbo rozwiązanie równania z niewiadomą v lub t z błędem rachunkowym i konsekwentne\nobliczenie prędkości obu pociągów 5 pkt\nRozwiązanie bezbłędne 6 pkt\nObliczenie prędkości pociągów: 77 km/h i 88 km/h.\nUwagi do schematu oceniania zadania 1.\n1. Jeżeli zdający poda tylko odpowiedź, to otrzymuje 0 pkt - zdający nie stosuje się\ndo instrukcji dla zdającego umieszczonej na pierwszej stronie arkusza (punkt 4.).\n2. Jeżeli zdający oznacza:\nv - prędkość pociągu z A,\nt - czas przejazdu pociągu z B,\nlub odwrotnie i zapisze równanie:\n616\nv t⋅=\n, to otrzymuje 0 pkt (brak postępu).\n3. Jeżeli\nzdający\npomyli\njednostki\nlub\nporównuje\nwielkości\nróżnych\ntypów,\nnp. czas i prędkość, to otrzymuje 0 pkt.\n4. Jeżeli zdający zapisał układ równań\n(\n) (\n)\n616\n11\n1\n616\nv t\nv\nt\n⋅=\n⎧\n⎨\n⋅\n⎩\nlub (\n) (\n)\n616\n11\n1\n616\nv t\nv\nt\n⋅=\n⎧\n⎨\n⋅\n⎩\nto otrzymuje 1 pkt (za postęp).\n74\nZadanie 2. (5 pkt)\nPodstawą ostrosłupa ABCS jest trójkąt równoboczny ABC o boku długości 8. Punkt D jest\nśrodkiem krawędzi AB, odcinek DS jest wysokością ostrosłupa. Krawędzie AS i BS mają\ndługość 7. Oblicz długość krawędzi CS tego ostrosłupa.\nRozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 pkt\nWykonanie rysunku ostrosłupa, zaznaczenie na nim odcinka DS będącego jego\nwysokością oraz zaznaczenie, że odcinek ten jest jednocześnie wysokością ściany\nbocznej ABS.\nUwaga. Nie wymagamy rysunku, jeżeli z dalszych obliczeń wynika, że zdający\npoprawnie interpretuje treść zadania.\nPokonanie zasadniczych trudności zadania 4 pkt\nZdający poprawnie obliczy wysokość podstawy\n3\n4\nh\noraz wysokość ostrosłupa\n33\nH\nUwaga. Jeżeli jedną z tych wysokości zdający obliczy z błędem rachunkowym i na tym\nskończy rozwiązywanie zadania, to otrzymuje 3 pkt\nRozwiązanie zadania do końca lecz z usterkami, które jednak nie przekreślają\npoprawności rozwiązania (np. błędy rachunkowe) 4 pkt\nZdający popełni jeden błąd rachunkowy przy obliczaniu długości dowolnego spośród\ntrzech odcinków DC, DS, CS.\nRozwiązanie bezbłędne 5 pkt\nObliczenie długości krawędzi CS:\n9\nCS\nPrzyznajemy 0 pkt, gdy zdający źle zinterpretuje treść zadania.\n75\nVIII. ZBIÓR PRZYKŁADOWYCH ZADAŃ\nMATURALNYCH\nZADANIA ZAMKNIĘTE\nZadanie 1.\n(1 pkt)\nLiczba 30\n90\n3\n9\n⋅\njest równa\nA.\n210\n3\nB.\n300\n3\nC.\n120\n9\nD.\n2700\n27\nZadanie 2.\n(1 pkt)\nLiczba\n8\n3\n2\n3\n3\n9\n⋅\njest równa\nA.\n3\n3\nB.\n32\n9\n3\nC.\n4\n3\nD.\n5\n3\nZadanie 3.\n(1 pkt)\nLiczba log 24 jest równa\nA. 2log 2\nlog 20\nB.\n2\nlog\n2\n6\nlog\nC. 2log6\nlog12\nD. log30\nlog6\nZadanie 4.\n(1 pkt)\nLiczba 30 to p% liczby 80, zatem\nA.\n40\np <\nB.\n40\np =\nC.\n42,5\np =\nD.\n42,5\np >\nZadanie 5.\n(1 pkt)\n4% liczby x jest równe 6, zatem\nA.\n150\nx =\nB.\n150\nx <\nC.\n240\nx =\nD.\n240\nx >\nZadanie 6.\n(1 pkt)\nLiczba y to 120% liczby .x Wynika stąd, że\nA.\n0,2\ny\nx\nB.\n0,2\ny\nx\nx\nC.\n0,2\nx\ny\nD.\n0,2\nx\ny\ny\nZadanie 7.\n(1 pkt)\nRozwiązaniem równania\n3\n1\n2\n2\nx\nx\njest liczba\nA.\n4\n3\nB.\n3\n4\nC. 3\n8\nD. 8\n3\n76\nZadanie 8.\n(1 pkt)\nMniejszą z dwóch liczb spełniających równanie\n2\n5\n6\n0\nx\nx\njest\nA.\n6\nB.\n3\nC.\n2\nD.\n1\nZadanie 9.\n(1 pkt)\nLiczba 1 jest miejscem zerowym funkcji liniowej ( )\n(\n)\n1\n2\nx\nm\nx\nf\n. Wynika stąd, że\nA.\n0\nm =\nB.\n1\nm =\nC.\n2\nm =\nD.\n3\nm =\nZadanie 10. (1 pkt)\nFunkcja f jest określona wzorem\n3\n4 dla\n1\n( )\n2\n1 dla\n1\nx\nx\nf x\nx\nx\n<\n⎧\n= ⎨\n≥\n⎩\n. Ile miejsc zerowych ma ta funkcja?\nA. 0\nB. 1\nC. 2\nD. 3\nZadanie 11. (1 pkt)\nRysunek przedstawia wykres funkcji\n( )\nx\nf\ny =\nWskaż rysunek, na którym jest przedstawiony wykres funkcji\n(\n)1\nx\nf\ny\nA.\nB.\nC.\nD.\n0\n1\n1\nx\ny\n( )\nx\nf\ny =\n0\n1\n1\nx\ny\n0\n1\n1\nx\ny\n0\n1\n1\nx\ny\n0\n1\n1\nx\ny\n77\n-1\n5\nx\n0\n-3\n3\nx\n0\n5\n1\nx\n0\n5\n1\nx\n0\nZadanie 12. (1 pkt)\nKtóry z zaznaczonych przedziałów jest zbiorem rozwiązań nierówności | 2\n| 3\nx\n≤\n?\nA.\nB.\nC.\nD.\nZadanie 13. (1 pkt)\nWskaż równanie osi symetrii paraboli określonej równaniem\n2\n4\n11\ny\nx\nx\nA.\n4\nx = -\nB.\n2\nx = -\nC.\n2\nx =\nD.\n4\nx =\nZadanie 14. (1 pkt)\nWskaż funkcję kwadratową, której zbiorem wartości jest przedział (\n3\n,\n∞\nA.\n(\n)\n2\n( )\n2\n3\nf x\nx\nB.\n(\n)\n2\n( )\n2\n3\nf x\nx\nC.\n(\n)\n2\n( )\n2\n3\nf x\nx\nD.\n(\n)\n2\n( )\n2\n3\nf x\nx\nZadanie 15. (1 pkt)\nZbiorem rozwiązań nierówności\n2\n5\nx ≥\njest\nA. (\n) (\n)\n+∞\n∪\n∞\n,5\n5\n,\nB. (\n)\n∞\n∪\n∞\n,\n5\n5\n,\nC.\n)\n∞\n,\n5\nD.\n)\n∞\n,5\nZadanie 16. (1 pkt)\nWykres funkcji kwadratowej\n(\n)\n2\n( )\n3\n1\n4\nf x\nx\nnie ma punktów wspólnych z prostą\no równaniu\nA.\n1\ny\nB.\n1\ny\nC.\n3\ny = -\nD.\n5\ny = -\n78\nZadanie 17. (1 pkt)\nProsta o równaniu y\na\nma dokładnie jeden punkt wspólny z wykresem funkcji kwadratowej\n2\n( )\n6\n10.\nf x\nx\nx\nWynika stąd, że\nA.\n3\na =\nB.\n0\na =\nC.\n1\na = -\nD.\n3\na = -\nZadanie 18. (1 pkt)\nJaka jest najmniejsza wartość funkcji kwadratowej\n2\n( )\n4\n3\nf x\nx\nx\n- w przedziale\n3\n,0\n?\nA.\n7\nB.\n4\nC.\n3\nD.\n2\nZadanie 19. (1 pkt)\nDane są wielomiany\n3\n2\n( )\n3\n2 ,\n( )\n2\n3 .\nW x\nx\nx V x\nx\nx\nStopień wielomianu\n( )\n( )\nW x V x\n⋅\njest\nrówny\nA. 6\nB. 5\nC. 4\nD. 3\nZadanie 20. (1 pkt)\nIle rozwiązań rzeczywistych ma równanie\n4\n5\n13\n0\nx -\n?\nA. 1\nB. 2\nC. 3\nD. 4\nZadanie 21. (1 pkt)\nWskaż liczbę rozwiązań równania\n2\n11\n0\n11\nx\nx\nA. 0\nB. 1\nC. 2\nD. 3\nZadanie 22. (1 pkt)\nWskaż równanie prostej równoległej do prostej o równaniu\n2\n7\ny\nx\nA.\n2\n7\ny\nx\nB.\n1\n5\n2\ny\nx\nC.\n1\n2\n2\ny\nx\nD.\n2\n1\ny\nx\nZadanie 23. (1 pkt)\nKtóre z równań opisuje prostą prostopadłą do prostej o równaniu\n4\n5\ny\nx\n+ ?\nA.\n4\n3\ny\nx\nB.\n1\n3\n4\ny\nx\nC.\n1\n3\n4\ny\nx\nD.\n4\n3\ny\nx\nZadanie 24. (1 pkt)\nPunkty\n(\n)\n3\n,1\nA\ni\n(\n)\n9\n,7\nC\nsą przeciwległymi wierzchołkami prostokąta ABCD. Promień\nokręgu opisanego na tym prostokącie jest równy\nA. 10\nB. 6 2\nC. 5\nD. 3 2\n79\nZadanie 25. (1 pkt)\nLiczba punktów wspólnych okręgu o równaniu (\n)\n(\n)\n2\n2\n3\n1\n4\nx\ny\nz osiami układu\nwspółrzędnych jest równa\nA. 0\nB. 1\nC. 2\nD. 4\nZadanie 26. (1 pkt)\nŚrodek S okręgu o równaniu\n2\n2\n4\n6\n221\n0\nx\ny\nx\ny\nma współrzędne\nA.\n( 2,3)\nS = -\nB.\n(2, 3)\nS =\nC.\n( 4,6)\nS = -\nD.\n(4, 6)\nS =\nZadanie 27. (1 pkt)\nDane są długości boków\n5\nBC\ni\n3\nAC\ntrójkąta prostokątnego ABC o kącie ostrym β\n(zobacz rysunek). Wtedy\nA.\n3\nsin\n5\nβ =\nB.\n4\nsin\n5\nβ =\nC.\n3 34\nsin\n34\nβ =\nD.\n5 34\nsin\n34\nβ =\nZadanie 28. (1 pkt)\nKąt α jest ostry i\n1\nsin\n4\nα =\n. Wówczas\nA.\n3\ncos\n4\nα <\nB.\n3\ncos\n4\nα =\nC.\n13\ncos\n4\nα =\nD.\n13\ncos\n4\nα >\nZadanie 29. (1 pkt)\nKąt α jest kątem ostrym i\n1\ntg\n2\nα =\n. Jaki warunek spełnia kąt α ?\nA.\n30\nα <\nD\nB.\n30\nα =\nD\nC.\n60\nα =\nD\nD.\n60\nα >\nD\nA\nB\nC\nβ\n80\nα\nβ\nS\nA\nB\nZadanie 30. (1 pkt)\nKąt między cięciwą AB a styczną do okręgu w punkcie A (zobacz rysunek) ma miarę\nD\n62\nα\nWówczas\nA.\nD\n118\nβ\nB.\nD\n124\nβ\nC.\nD\n138\nβ\nD.\nD\n152\nβ\nZadanie 31. (1 pkt)\nKąt środkowy i kąt wpisany są oparte na tym samym łuku. Suma ich miar jest równa180 .D\nJaka jest miara kąta środkowego?\nA. 60D\nB. 90D\nC. 120D\nD. 135D\nZadanie 32. (1 pkt)\nRóżnica miar kątów wewnętrznych przy ramieniu trapezu równoramiennego, który nie jest\nrównoległobokiem, jest równa 40 .D Miara kąta przy krótszej podstawie tego trapezu jest równa\nA. 120D\nB. 110D\nC. 80D\nD. 70D\nZadanie 33. (1 pkt)\nOdcinki BC i DE są równoległe. Długości odcinków AC, CE i BC są podane na rysunku.\nDługość odcinka DE jest równa\nA. 6\nB. 8\nC. 10\nD. 12\nA\nB\nC\nD\nE\n4\n6\n4\n81","answer":"A","answer_text":null,"solution":null,"image":"img/informator-maturalny-matematyka-2010/zad-33.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":49,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2010","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny"},{"id":"informator-maturalny-matematyka-2010/zad/34","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2010","number":"34","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2010,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 34. (1 pkt)\nPole kwadratu wpisanego w okrąg o promieniu 4 cm jest równe\nA. 64 cm2\nB. 32 cm2\nC. 16 cm2\nD. 8 cm2","answer":"B","answer_text":null,"solution":"Kwadrat wpisany w okrąg o promieniu 4: przekątna kwadratu = 2r = 8, bok a=8/sqrt(2)=4*sqrt(2), pole = a^2 = 32 cm^2. Odpowiedź: B.","image":"img/informator-maturalny-matematyka-2010/zad-34.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":81,"source":"ai","answer_source":"ai","answer_text_source":null,"solution_source":"ai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2010","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny"},{"id":"informator-maturalny-matematyka-2010/zad/35","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2010","number":"35","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2010,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 35. (1 pkt)\nCiąg (\n)\nn\na\njest określony wzorem\n(\n) (\n)\n2\n3\n9\ndla\n1.\nn\nn\na\nn\nn\n⋅\n≥\nWynika stąd, że\nA.\n3\n81\na = -\nB.\n3\n27\na = -\nC.\n3\n0\na =\nD.\n3\n0\na >","answer":"C","answer_text":null,"solution":"a_n=(-3)^n*(9-n^2). a_3=(-3)^3*(9-9) = -27*0 = 0. Odpowiedź: C.","image":"img/informator-maturalny-matematyka-2010/zad-35.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":81,"source":"ai","answer_source":"ai","answer_text_source":null,"solution_source":"ai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2010","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny"},{"id":"informator-maturalny-matematyka-2010/zad/36","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2010","number":"36","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2010,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 36. (1 pkt)\nLiczby\n,1\nx\n4 i 8 (w podanej kolejności) są pierwszym, drugim i trzecim wyrazem ciągu\narytmetycznego. Wówczas liczba x jest równa\nA. 3\nB. 1\nC.\n1\nD.\n7","answer":"B","answer_text":null,"solution":"Ciąg arytmetyczny: x-1, 4, 8. Różnica: 8-4=4=4-(x-1), stąd x-1=0, x=1. Odpowiedź: B.","image":"img/informator-maturalny-matematyka-2010/zad-36.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":81,"source":"ai","answer_source":"ai","answer_text_source":null,"solution_source":"ai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2010","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny"},{"id":"informator-maturalny-matematyka-2010/zad/37","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2010","number":"37","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2010,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 37. (1 pkt)\nLiczby\n8\n, 4 i\n1\nx\n(w podanej kolejności) są pierwszym, drugim i trzecim wyrazem ciągu\ngeometrycznego. Wówczas liczba x jest równa\nA.\n3\nB.\n5,1\nC. 1\nD. 15","answer":"A","answer_text":null,"solution":"Ciąg geometryczny: -8, 4, x+1. Iloraz q=4/(-8)=-1/2. x+1=4*q=4*(-1/2)=-2, x=-3. Odpowiedź: A.","image":"img/informator-maturalny-matematyka-2010/zad-37.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":81,"source":"ai","answer_source":"ai","answer_text_source":null,"solution_source":"ai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2010","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny"},{"id":"informator-maturalny-matematyka-2010/zad/38","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2010","number":"38","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2010,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 38. (1 pkt)\nWszystkich liczb naturalnych dwucyfrowych, które są podzielne przez 6 lub przez 10, jest\nA. 25\nB. 24\nC. 21\nD. 20","answer":"C","answer_text":null,"solution":"Liczby dwucyfrowe podzielne przez 6: 15 (od 12 do 96), przez 10: 9 (od 10 do 90), przez 30 (6 i 10 jednocześnie): 3 (30,60,90). |A∪B| = 15+9-3 = 21. Odpowiedź: C.","image":"img/informator-maturalny-matematyka-2010/zad-38.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":81,"source":"ai","answer_source":"ai","answer_text_source":null,"solution_source":"ai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2010","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny"},{"id":"informator-maturalny-matematyka-2010/zad/39","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2010","number":"39","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2010,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 39. (1 pkt)\nWszystkich liczb naturalnych dwucyfrowych, których obie cyfry są mniejsze od 5 jest\nA. 16\nB. 20\nC. 25\nD. 30","answer":"B","answer_text":null,"solution":"Cyfra dziesiątek < 5 i ≠0: {1,2,3,4} - 4 możliwości; cyfra jedności <5: {0,1,2,3,4} - 5 możliwości. Razem 4*5=20. Odpowiedź: B.","image":"img/informator-maturalny-matematyka-2010/zad-39.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":81,"source":"ai","answer_source":"ai","answer_text_source":null,"solution_source":"ai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2010","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny"},{"id":"informator-maturalny-matematyka-2010/zad/40","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2010","number":"40","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2010,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 40. (1 pkt)\nLiczba sposobów, na jakie Ala i Bartek mogą usiąść na dwóch spośród pięciu miejsc w kinie, jest\nrówna\nA. 25\nB. 20\nC. 15\nD. 12","answer":"B","answer_text":null,"solution":"Liczba sposobów usadzenia 2 osób na 2 z 5 (różnych) miejsc: 5*4=20 (kolejność ma znaczenie - różne miejsca). Odpowiedź: B.","image":"img/informator-maturalny-matematyka-2010/zad-40.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":81,"source":"ai","answer_source":"ai","answer_text_source":null,"solution_source":"ai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2010","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny"},{"id":"informator-maturalny-matematyka-2010/zad/41","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2010","number":"41","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2010,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 41. (1 pkt)\nMediana danych: 0, 1, 1, 2, 3, 1 jest równa\nA. 1\nB. 1,5\nC. 2\nD. 2,5","answer":"A","answer_text":null,"solution":"Dane posortowane: 0,1,1,1,2,3 (n=6). Mediana = średnia 3. i 4. wartości = (1+1)/2=1. Odpowiedź: A.","image":"img/informator-maturalny-matematyka-2010/zad-41.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":81,"source":"ai","answer_source":"ai","answer_text_source":null,"solution_source":"ai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2010","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny"},{"id":"informator-maturalny-matematyka-2010/zad/42","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2010","number":"42","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2010,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 42. (1 pkt)\nMediana danych przedstawionych w tabeli liczebności jest równa\nwartość\n0\n1\n2\n3\nliczebność\n5\n2\n1\n1\nA. 0\nB. 0,5\nC. 1\nD. 5\n82","answer":"A","answer_text":null,"solution":"n=5+2+1+1=9 danych. Posortowane: pięć zer, dwie jedynki, dwójka, trójka. Mediana = 5. wartość = 0. Odpowiedź: A.","image":"img/informator-maturalny-matematyka-2010/zad-42.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":81,"source":"ai","answer_source":"ai","answer_text_source":null,"solution_source":"ai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2010","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny"},{"id":"informator-maturalny-matematyka-2010/zad/43","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2010","number":"43","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2010,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 43. (1 pkt)\nŚrednia arytmetyczna danych przedstawionych na diagramie częstości jest równa\nA. 1\nB. 1,2\nC. 1,5\nD. 1,8","answer":"A","answer_text":null,"solution":"Średnia = 0*0,4+1*0,3+2*0,2+3*0,1 = 0+0,3+0,4+0,3 = 1. Odpowiedź: A.","image":"img/informator-maturalny-matematyka-2010/zad-43.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":82,"source":"ai","answer_source":"ai","answer_text_source":null,"solution_source":"ai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2010","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny"},{"id":"informator-maturalny-matematyka-2010/zad/44","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2010","number":"44","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2010,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 44. (1 pkt)\nZe zbioru liczb {1,2,3,4,5,6,7,8} wybieramy losowo jedną liczbę. Liczba p oznacza\nprawdopodobieństwo otrzymania liczby podzielnej przez 3. Wtedy\nA.\n0,25\np <\nB.\n0,25\np =\nC.\n1\n3\np =\nD.\n1\n3\np >","answer":"B","answer_text":null,"solution":"Liczby podzielne przez 3 w {1,...,8}: {3,6} - 2 liczby. p=2/8=0,25. Odpowiedź: B.","image":"img/informator-maturalny-matematyka-2010/zad-44.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":82,"source":"ai","answer_source":"ai","answer_text_source":null,"solution_source":"ai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2010","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny"},{"id":"informator-maturalny-matematyka-2010/zad/45","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2010","number":"45","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2010,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 45. (1 pkt)\nO zdarzeniach losowych A i B są zawartych w Ω wiadomo, że\n⊂\nB\nA ,\n( )\n0,7\nP A\ni ( )\n0,3\nP B\n. Wtedy\nA.\n(\n)\n1\nP A\nB\n∪\nB.\n(\n)\n0,7\nP A\nB\n∪\nC.\n(\n)\n0,4\nP A\nB\n∪\nD.\n(\n)\n0,3\nP A\nB\n∪","answer":"B","answer_text":null,"solution":"B⊂A więc A∪B=A, zatem P(A∪B)=P(A)=0,7. Odpowiedź: B.","image":"img/informator-maturalny-matematyka-2010/zad-45.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":82,"source":"ai","answer_source":"ai","answer_text_source":null,"solution_source":"ai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2010","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny"},{"id":"informator-maturalny-matematyka-2010/zad/46","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2010","number":"46","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2010,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 46. (1 pkt)\nPrzekątna sześcianu ma długość 3. Pole powierzchni całkowitej tego sześcianu jest równe\nA. 54\nB. 36\nC. 18\nD. 12","answer":"C","answer_text":null,"solution":"Przekątna sześcianu d=a*sqrt(3)=3, więc a=3/sqrt(3)=sqrt(3). Pole całkowite = 6a^2 = 6*3 = 18. Odpowiedź: C.","image":"img/informator-maturalny-matematyka-2010/zad-46.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":82,"source":"ai","answer_source":"ai","answer_text_source":null,"solution_source":"ai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2010","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny"},{"id":"informator-maturalny-matematyka-2010/zad/47","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2010","number":"47","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2010,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 47. (1 pkt)\nPole powierzchni całkowitej sześcianu jest równe 24 cm2. Objętość tego sześcianu jest równa\nA. 8 cm3\nB. 16 cm3\nC. 27 cm3\nD. 64 cm3\n3\nczęstość w %\n0\n1\n2\n3\n10\nwartość\n20\n30\n40\n0\n83","answer":"A","answer_text":null,"solution":"Pole całkowite 6a^2=24, a^2=4, a=2. Objętość = a^3=8 cm^3. Odpowiedź: A.","image":"img/informator-maturalny-matematyka-2010/zad-47.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":82,"source":"ai","answer_source":"ai","answer_text_source":null,"solution_source":"ai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2010","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny"},{"id":"informator-maturalny-matematyka-2010/zad/48","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2010","number":"48","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2010,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 48. (1 pkt)\nPrzekątna prostopadłościanu o wymiarach 2 × 3 × 5 ma długość\nA.\n13\nB.\n29\nC.\n34\nD.\n38","answer":"D","answer_text":null,"solution":"Przekątna prostopadłościanu = sqrt(2^2+3^2+5^2) = sqrt(4+9+25) = sqrt(38). Odpowiedź: D.","image":"img/informator-maturalny-matematyka-2010/zad-48.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":83,"source":"ai","answer_source":"ai","answer_text_source":null,"solution_source":"ai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2010","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny"},{"id":"informator-maturalny-matematyka-2010/zad/49","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2010","number":"49","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2010,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 49. (1 pkt)\nPrzekrój osiowy walca jest kwadratem o boku długości 6. Objętość tego walca jest równa\nA.\nπ\n18\nB.\nπ\n54\nC.\nπ\n108\nD.\nπ\n216","answer":"B","answer_text":null,"solution":"Przekrój osiowy walca to kwadrat o boku 6: h=6, średnica podstawy=6, r=3. V=πr^2h=π*9*6=54π. Odpowiedź: B.","image":"img/informator-maturalny-matematyka-2010/zad-49.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":83,"source":"ai","answer_source":"ai","answer_text_source":null,"solution_source":"ai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2010","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny"},{"id":"informator-maturalny-matematyka-2010/zad/50","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2010","number":"50","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2010,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 50. (1 pkt)\nPrzekrój osiowy stożka jest trójkątem równobocznym o boku długości 6. Pole powierzchni\nbocznej tego stożka jest równe\nA.\nπ\n12\nB.\nπ\n18\nC.\nπ\n27\nD.\nπ\n36\n2\n3\n5\n6\n6\n84\nZADANIA OTWARTE KRÓTKIEJ ODPOWIEDZI","answer":"B","answer_text":null,"solution":"Przekrój osiowy stożka to trójkąt równoboczny o boku 6: tworząca l=6, średnica podstawy=6, r=3. Pole boczne = πrl = π*3*6=18π. Odpowiedź: B.","image":"img/informator-maturalny-matematyka-2010/zad-50.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":83,"source":"ai","answer_source":"ai","answer_text_source":null,"solution_source":"ai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2010","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny"},{"id":"informator-maturalny-matematyka-2010/zad/51","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2010","number":"51","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2010,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 51. (2 pkt)\nRozwiąż równanie 2\n3\n1\n1 2\n2\nx\nx","answer":null,"answer_text":null,"solution":"(2-3x)/(1-2x) = -1/2, dziedzina x≠1/2. Mnożymy na krzyż: 2(2-3x) = -1(1-2x) → 4-6x = -1+2x → 5=8x → x=5/8 (spełnia dziedzinę).\nOdpowiedź: x=5/8.","image":"img/informator-maturalny-matematyka-2010/zad-51.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":84,"source":"ai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"ai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2010","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny"},{"id":"informator-maturalny-matematyka-2010/zad/52","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2010","number":"52","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2010,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 52. (2 pkt)\nRozwiąż układ równań\n3\n5\n2\n3\nx\ny\nx\ny\n⎧\n⎨\n⎩","answer":null,"answer_text":null,"solution":"Układ: x+3y=5, 2x-y=3. Z drugiego równania: y=2x-3. Podstawiamy: x+3(2x-3)=5 → x+6x-9=5 → 7x=14 → x=2, y=2*2-3=1.\nOdpowiedź: x=2, y=1.","image":"img/informator-maturalny-matematyka-2010/zad-52.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":84,"source":"ai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"ai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2010","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny"},{"id":"informator-maturalny-matematyka-2010/zad/53","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2010","number":"53","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2010,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 53. (2 pkt)\nRozwiąż nierówność\n0\n7\n6\n2\n≤\n+ x\nx","answer":null,"answer_text":null,"solution":"x^2+6x-7≤0. Pierwiastki: x^2+6x-7=(x+7)(x-1)=0, x=-7 lub x=1. Parabola ma ramiona w górę, więc nierówność spełniona między pierwiastkami: x∈⟨-7,1⟩.\nOdpowiedź: x∈⟨-7,1⟩.","image":"img/informator-maturalny-matematyka-2010/zad-53.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":84,"source":"ai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"ai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2010","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny"},{"id":"informator-maturalny-matematyka-2010/zad/54","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2010","number":"54","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2010,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 54. (2 pkt)\nRozwiąż równanie\n0\n3\n6\n2\n2\n3\nx\nx\nx","answer":null,"answer_text":null,"solution":"2x^3-x^2-6x+3=0. Grupujemy: x^2(2x-1) - 3(2x-1) = 0, czyli (2x-1)(x^2-3)=0.\nStąd x=1/2 lub x^2=3, czyli x=sqrt(3) lub x=-sqrt(3).\nOdpowiedź: x=1/2, x=sqrt(3) lub x=-sqrt(3).","image":"img/informator-maturalny-matematyka-2010/zad-54.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":84,"source":"ai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"ai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2010","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny"},{"id":"informator-maturalny-matematyka-2010/zad/55","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2010","number":"55","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2010,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 55. (2 pkt)\nO funkcji liniowej f wiadomo, że\n(1)\n2\nf\noraz, że do wykresu tej funkcji należy punkt\n(\n)\n3\n,2\nP\n. Wyznacz wzór funkcji f.","answer":null,"answer_text":null,"solution":"f(x)=ax+b. f(1)=a+b=2. Punkt P=(-2,3) należy do wykresu: -2a+b=3.\nOdejmujemy równania: (a+b)-(-2a+b)=2-3 → 3a=-1 → a=-1/3.\nb=2-a=2+1/3=7/3.\nOdpowiedź: f(x) = -1/3 x + 7/3.","image":"img/informator-maturalny-matematyka-2010/zad-55.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":84,"source":"ai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"ai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2010","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny"},{"id":"informator-maturalny-matematyka-2010/zad/56","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2010","number":"56","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2010,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 56. (2 pkt)\nOblicz miejsca zerowe funkcji\n2\n1 dla\n0\n( )\n2 dla\n0\nx\nx\nf x\nx\nx\n≤\n⎧\n= ⎨\n>\n⎩","answer":null,"answer_text":null,"solution":"Dla x≤0: 2x+1=0 → x=-1/2 (spełnia warunek x≤0) - to jest miejsce zerowe.\nDla x>0: x+2=0 → x=-2, ale to nie spełnia warunku x>0 - odrzucamy.\nOdpowiedź: jedyne miejsce zerowe to x=-1/2.","image":"img/informator-maturalny-matematyka-2010/zad-56.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":84,"source":"ai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"ai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2010","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny"},{"id":"informator-maturalny-matematyka-2010/zad/57","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2010","number":"57","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2010,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 57. (2 pkt)\nNaszkicuj wykres funkcji\n2\n1 dla\n0\n( )\n2 dla\n0\nx\nx\nf x\nx\nx\n≤\n⎧\n= ⎨\n>\n⎩","answer":null,"answer_text":null,"solution":"Wykres funkcji składa się z dwóch fragmentów półprostych:\n- dla x≤0: fragment prostej y=2x+1 (nachylenie 2), kończący się w punkcie (0,1) - punkt ten należy do wykresu (zamknięty), przechodzi przez (-1/2,0).\n- dla x>0: fragment prostej y=x+2 (nachylenie 1), zaczynający się tuż po punkcie (0,2) - punkt (0,2) NIE należy do wykresu tej części (bo dla x=0 obowiązuje pierwszy wzór), narysowany jako otwarte kółko, wykres rośnie np. przez punkt (1,3).\nWykres ma zatem 'skok' w x=0: z wartości 1 (dla x=0, pierwszy wzór) do granicy 2 (dla x→0+, drugi wzór).","image":"img/informator-maturalny-matematyka-2010/zad-57.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":84,"source":"ai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"ai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2010","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny"},{"id":"informator-maturalny-matematyka-2010/zad/58","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2010","number":"58","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2010,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 58. (2 pkt)\nOblicz najmniejszą wartość funkcji kwadratowej\n2\n( )\n6\n1\nf x\nx\nx\n+ w przedziale\n1,0","answer":null,"answer_text":null,"solution":"f(x)=x^2-6x+1, wierzchołek paraboli w x=3 (poza przedziałem <0,1>). Ponieważ parabola ma ramiona w górę i wierzchołek jest na prawo od przedziału, funkcja jest malejąca na <0,1>, więc najmniejsza wartość jest w x=1: f(1)=1-6+1=-4.\nOdpowiedź: najmniejsza wartość funkcji na <0,1> wynosi -4.","image":"img/informator-maturalny-matematyka-2010/zad-58.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":84,"source":"ai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"ai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2010","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny"},{"id":"informator-maturalny-matematyka-2010/zad/59","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2010","number":"59","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2010,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 59. (2 pkt)\nWielomiany\n( )\n(\n)\n2\nb\nx\nax\nx\nW\ni ( )\nx\nx\nx\nx\nV\n2\n3\n2\nsą równe. Oblicz\ni .\na\nb","answer":null,"answer_text":null,"solution":"W(x)=ax(x+b)^2 = ax(x^2+2bx+b^2) = ax^3+2abx^2+ab^2x.\nPorównując z V(x)=x^3+2x^2+x: a=1, 2ab=2, ab^2=1.\nZ a=1: 2b=2 → b=1. Sprawdzenie: ab^2=1*1=1 ✓.\nOdpowiedź: a=1, b=1.","image":"img/informator-maturalny-matematyka-2010/zad-59.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":84,"source":"ai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"ai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2010","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny"},{"id":"informator-maturalny-matematyka-2010/zad/60","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2010","number":"60","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2010,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 60. (2 pkt)\nWyrażenie\n3\n3\n1\nx\nx\nx\n+ zapisz w postaci ilorazu dwóch wielomianów.","answer":null,"answer_text":null,"solution":"3/(x-3) - x/(x+1), wspólny mianownik (x-3)(x+1):\n= [3(x+1) - x(x-3)] / [(x-3)(x+1)]\n= [3x+3 - x^2+3x] / [(x-3)(x+1)]\n= (-x^2+6x+3) / (x^2-2x-3).\nOdpowiedź: (-x^2+6x+3)/(x^2-2x-3), czyli równoważnie -(x^2-6x-3)/((x-3)(x+1)).","image":"img/informator-maturalny-matematyka-2010/zad-60.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":84,"source":"ai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"ai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2010","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny"},{"id":"informator-maturalny-matematyka-2010/zad/61","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2010","number":"61","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2010,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 61. (2 pkt)\nNapisz równanie prostej równoległej do prostej o równaniu 2\n11\n0\nx\ny\ni przechodzącej\nprzez punkt\n(1,2).\nP =","answer":null,"answer_text":null,"solution":"Prosta 2x-y-11=0 ma współczynnik kierunkowy 2. Prosta równoległa przechodząca przez P=(1,2): y-2=2(x-1) → y=2x, czyli 2x-y=0.\nOdpowiedź: 2x-y=0 (y=2x).","image":"img/informator-maturalny-matematyka-2010/zad-61.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":84,"source":"ai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"ai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2010","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny"},{"id":"informator-maturalny-matematyka-2010/zad/62","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2010","number":"62","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2010,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 62. (2 pkt)\nWyznacz równanie okręgu stycznego do osi Oy, którego środkiem jest punkt\n(\n)\n5\n,3 -\nS\n85","answer":null,"answer_text":null,"solution":"Okrąg styczny do osi Oy o środku S=(3,-5): promień r = odległość środka od osi Oy = |3| = 3.\nRównanie: (x-3)^2+(y+5)^2=9.\nOdpowiedź: (x-3)²+(y+5)²=9.","image":"img/informator-maturalny-matematyka-2010/zad-62.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":84,"source":"ai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"ai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2010","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny"},{"id":"informator-maturalny-matematyka-2010/zad/63","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2010","number":"63","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2010,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 63. (2 pkt)\nWyznacz równanie okręgu o środku\n(\n)\n5\n,3 -\nS\nprzechodzącego przez początek układu\nwspółrzędnych.","answer":null,"answer_text":null,"solution":"Promień r = |SO| = sqrt(3^2+(-5)^2) = sqrt(9+25) = sqrt(34) (odległość środka S=(3,-5) od początku układu).\nRównanie: (x-3)^2+(y+5)^2=34.\nOdpowiedź: (x-3)²+(y+5)²=34.","image":"img/informator-maturalny-matematyka-2010/zad-63.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":85,"source":"ai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"ai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2010","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny"},{"id":"informator-maturalny-matematyka-2010/zad/64","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2010","number":"64","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2010,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 64. (2 pkt)\nWyznacz równanie prostej zawierającej środkową CD trójkąta ABC, którego wierzchołkami\nsą punkty:\n(\n)1\n,2 -\nA\n,\n(\n)1,6\nB\n,\n(\n)\n10\n,7\nC","answer":null,"answer_text":null,"solution":"Środkowa CD trójkąta ABC prowadzi z wierzchołka C do środka D boku AB.\nD = ((-2+6)/2, (-1+1)/2) = (2,0).\nProsta CD przez C=(7,10) i D=(2,0): współczynnik kierunkowy = (10-0)/(7-2) = 2.\nRównanie: y-0=2(x-2) → y=2x-4.\nOdpowiedź: y=2x-4.","image":"img/informator-maturalny-matematyka-2010/zad-64.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":85,"source":"ai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"ai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2010","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny"},{"id":"informator-maturalny-matematyka-2010/zad/65","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2010","number":"65","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2010,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 65. (2 pkt)\nW trójkącie prostokątnym, w którym przyprostokątne mają długości 2 i 4, jeden z kątów\nostrych ma miarę .\nα Oblicz sin\ncos .\nα\nα\n⋅","answer":null,"answer_text":null,"solution":"Przyprostokątne 2 i 4, przeciwprostokątna = sqrt(2^2+4^2)=sqrt(20)=2sqrt(5).\nsinα = 2/(2sqrt(5)) = 1/sqrt(5), cosα = 4/(2sqrt(5)) = 2/sqrt(5).\nsinα*cosα = 2/5.\nOdpowiedź: sinα·cosα = 2/5.","image":"img/informator-maturalny-matematyka-2010/zad-65.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":85,"source":"ai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"ai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2010","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny"},{"id":"informator-maturalny-matematyka-2010/zad/66","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2010","number":"66","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2010,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 66. (2 pkt)\nKąt α jest ostry i\n1\nsin\n4\nα =\nOblicz\n2\n3\n2tg α","answer":null,"answer_text":null,"solution":"sinα=1/4, α ostry, więc cos^2α=1-1/16=15/16, cosα=sqrt(15)/4.\ntgα=sinα/cosα=(1/4)/(sqrt(15)/4)=1/sqrt(15), tg^2α=1/15.\n3+2tg^2α = 3+2/15 = 45/15+2/15 = 47/15.\nOdpowiedź: 47/15.","image":"img/informator-maturalny-matematyka-2010/zad-66.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":85,"source":"ai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"ai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2010","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny"},{"id":"informator-maturalny-matematyka-2010/zad/67","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2010","number":"67","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2010,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 67. (2 pkt)\nPunkt D leży na boku BC trójkąta równoramiennego ABC, w którym\nBC\nAC =\n. Odcinek\nAD dzieli trójkąt ABC na dwa trójkąty równoramienne w taki sposób, że\nCD\nAD\nAB\n(patrz rysunek). Oblicz miary kątów trójkąta ABC.","answer":null,"answer_text":null,"solution":"Niech kąt przy podstawie AB: |∢BAC|=|∢ABC|=β (bo AC=BC), wtedy |∢ACB|=180°-2β.\nTrójkąt ABD: AB=AD, więc |∢ABD|=|∢ADB|=β (∢ABD=∢ABC=β), stąd |∢BAD|=180°-2β.\nTrójkąt ADC: AD=DC, więc |∢DAC|=|∢DCA|=|∢BCA|=180°-2β.\nPonieważ |∢BAD|+|∢DAC|=|∢BAC|=β:\n(180°-2β)+(180°-2β)=β\n360°-4β=β\nβ=72°.\nKąt przy C: 180°-2*72°=36°.\nOdpowiedź: kąty trójkąta ABC wynoszą 72°, 72° i 36° (przy A i B po 72°, przy C 36°).","image":"img/informator-maturalny-matematyka-2010/zad-67.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":85,"source":"ai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"ai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2010","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny"},{"id":"informator-maturalny-matematyka-2010/zad/68","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2010","number":"68","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2010,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 68. (2 pkt)\nOblicz pole trójkąta równoramiennego ABC, w którym\n24\nAB\ni\n13\n= BC\nAC","answer":null,"answer_text":null,"solution":"Trójkąt równoramienny: AB=24 (podstawa), AC=BC=13. Wysokość h opuszczona na AB: h=sqrt(13^2-12^2)=sqrt(169-144)=sqrt(25)=5.\nPole = (1/2)*24*5=60.\nOdpowiedź: 60.","image":"img/informator-maturalny-matematyka-2010/zad-68.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":85,"source":"ai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"ai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2010","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny"},{"id":"informator-maturalny-matematyka-2010/zad/69","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2010","number":"69","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2010,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 69. (2 pkt)\nLiczby 4, 10, c są długościami boków trójkąta równoramiennego. Oblicz c.","answer":null,"answer_text":null,"solution":"Boki 4,10,c trójkąta równoramiennego. Możliwości: c=4 (boki 4,4,10 - nie spełnia nierówności trójkąta: 4+4=8<10, odrzucamy) lub c=10 (boki 4,10,10 - spełnia: 4+10>10).\nOdpowiedź: c=10.","image":"img/informator-maturalny-matematyka-2010/zad-69.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":85,"source":"ai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"ai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2010","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny"},{"id":"informator-maturalny-matematyka-2010/zad/70","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2010","number":"70","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2010,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 70. (2 pkt)\nLiczby 6, 10, c są długościami boków trójkąta równoramiennego. Oblicz c.","answer":null,"answer_text":null,"solution":"Boki 6,10,c trójkąta równoramiennego. c=6: boki 6,6,10 (6+6>10 - spełnia); c=10: boki 6,10,10 (spełnia).\nOdpowiedź: c=6 lub c=10.","image":"img/informator-maturalny-matematyka-2010/zad-70.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":85,"source":"ai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"ai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2010","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny"},{"id":"informator-maturalny-matematyka-2010/zad/71","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2010","number":"71","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2010,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 71. (2 pkt)\nLiczby 6, 10, c są długościami boków trójkąta prostokątnego. Oblicz c.","answer":null,"answer_text":null,"solution":"Boki 6,10,c trójkąta prostokątnego. Jeśli c jest przeciwprostokątną: c=sqrt(6^2+10^2)=sqrt(136)=2sqrt(34). Jeśli 10 jest przeciwprostokątną: c=sqrt(10^2-6^2)=sqrt(64)=8.\nOdpowiedź: c=8 lub c=2sqrt(34).","image":"img/informator-maturalny-matematyka-2010/zad-71.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":85,"source":"ai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"ai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2010","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny"},{"id":"informator-maturalny-matematyka-2010/zad/72","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2010","number":"72","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2010,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 72. (2 pkt)\nLiczby\n1\nx\n, x, 5 są długościami boków trójkąta równoramiennego. Oblicz x.\nA\nB\nC\nD\n86","answer":null,"answer_text":null,"solution":"Boki x-1, x, 5 trójkąta równoramiennego. Przypadki: x-1=5 → x=6 (boki 5,6,5 - spełnia nierówność trójkąta); x=5 (boki 4,5,5 - spełnia). (x-1=x niemożliwe).\nOdpowiedź: x=5 lub x=6.","image":"img/informator-maturalny-matematyka-2010/zad-72.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":85,"source":"ai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"ai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2010","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny"},{"id":"informator-maturalny-matematyka-2010/zad/73","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2010","number":"73","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2010,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 73. (2 pkt)\nObwód czworokąta wypukłego ABCD jest równy 50 cm. Obwód trójkąta ABD jest równy 46 cm,\na obwód trójkąta BCD jest równy 36 cm. Oblicz długość przekątnej BD.","answer":null,"answer_text":null,"solution":"Obwód ABCD: AB+BC+CD+DA=50. Obwód ABD: AB+BD+DA=46. Obwód BCD: BC+CD+DB=36.\nSuma obwodów trójkątów: (AB+BC+CD+DA)+2BD = 46+36=82, czyli 50+2BD=82, 2BD=32, BD=16.\nOdpowiedź: BD=16.","image":"img/informator-maturalny-matematyka-2010/zad-73.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":86,"source":"ai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"ai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2010","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny"},{"id":"informator-maturalny-matematyka-2010/zad/74","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2010","number":"74","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2010,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 74. (2 pkt)\nIle wyrazów ujemnych ma ciąg (\n)\nn\na\nokreślony wzorem\n24\n2\n2\nn\nn\nan\ndla\n1\n≥\nn\n?","answer":null,"answer_text":null,"solution":"a_n=n^2-2n-24=0 dla n=(2±sqrt(4+96))/2=(2±10)/2, czyli n=6 lub n=-4. Dla n między -4 a 6 wyraz jest ujemny (parabola w górę).\nDla n≥1 całkowitych: n=1,2,3,4,5 dają a_n<0 (a_6=36-12-24=0, nie jest ujemne).\nOdpowiedź: 5 wyrazów (dla n=1,2,3,4,5).","image":"img/informator-maturalny-matematyka-2010/zad-74.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":86,"source":"ai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"ai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2010","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny"},{"id":"informator-maturalny-matematyka-2010/zad/75","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2010","number":"75","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2010,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 75. (2 pkt)\nLiczby 2,\n3\nx\n, 8 są w podanej kolejności pierwszym, drugim i czwartym wyrazem ciągu\narytmetycznego. Oblicz x.","answer":null,"answer_text":null,"solution":"Ciąg arytmetyczny: a1=2, a2=x-3, a4=8. Różnica d=a2-a1=x-5.\na4=a1+3d=2+3(x-5)=3x-13=8, stąd 3x=21, x=7.\nOdpowiedź: x=7.","image":"img/informator-maturalny-matematyka-2010/zad-75.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":86,"source":"ai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"ai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2010","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny"},{"id":"informator-maturalny-matematyka-2010/zad/76","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2010","number":"76","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2010,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 76. (2 pkt)\nWyrazami ciągu arytmetycznego (\n)\nn\na\nsą kolejne liczby naturalne, które przy dzieleniu przez\n5 dają resztę 2. Ponadto\n3\n12.\na =\nOblicz\n15\na .","answer":null,"answer_text":null,"solution":"Wyrazy ciągu to kolejne liczby naturalne dające resztę 2 z dzielenia przez 5: 2,7,12,17,... (różnica d=5). a3=12 potwierdza a1=2.\na15=a1+14d=2+14*5=2+70=72.\nOdpowiedź: a15=72.","image":"img/informator-maturalny-matematyka-2010/zad-76.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":86,"source":"ai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"ai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2010","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny"},{"id":"informator-maturalny-matematyka-2010/zad/77","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2010","number":"77","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2010,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 77. (2 pkt)\nIle jest liczb naturalnych czterocyfrowych takich, że w ich zapisie dziesiętnym występuje\njedna cyfra nieparzysta i trzy cyfry parzyste?\nUwaga: przypominamy, że zero jest liczbą parzystą.","answer":null,"answer_text":null,"solution":"Liczba czterocyfrowa: cyfra tysięcy d1∈{1..9}, pozostałe d2,d3,d4∈{0..9}. Cyfry nieparzyste: 5 (1,3,5,7,9), parzyste: 5 (0,2,4,6,8), przy czym d1 parzyste i niezerowe: 4 możliwości (2,4,6,8).\nPrzypadek A: nieparzysta jest cyfra tysięcy: 5 (wybór d1) * 5*5*5 (pozostałe parzyste) = 5*125=625.\nPrzypadek B: nieparzysta jest jedna z pozostałych trzech cyfr (3 wybory pozycji), d1 parzyste niezerowe (4), cyfra nieparzysta (5), pozostałe dwie parzyste (5*5=25): 3*4*5*25=1500.\nRazem: 625+1500=2125.\nOdpowiedź: 2125 liczb.","image":"img/informator-maturalny-matematyka-2010/zad-77.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":86,"source":"ai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"ai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2010","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny"},{"id":"informator-maturalny-matematyka-2010/zad/78","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2010","number":"78","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2010,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 78. (2 pkt)\nIle jest liczb naturalnych dwucyfrowych podzielnych przez 15 lub 20?","answer":null,"answer_text":null,"solution":"Liczby dwucyfrowe podzielne przez 15: 15,30,45,60,75,90 (6 liczb). Podzielne przez 20: 20,40,60,80 (4 liczby). Podzielne przez oba (NWW(15,20)=60): 60 (1 liczba).\n|A∪B|=6+4-1=9.\nOdpowiedź: 9 liczb.","image":"img/informator-maturalny-matematyka-2010/zad-78.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":86,"source":"ai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"ai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2010","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny"},{"id":"informator-maturalny-matematyka-2010/zad/79","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2010","number":"79","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2010,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 79. (2 pkt)\nIle jest liczb naturalnych trzycyfrowych, w których cyfra dziesiątek jest o 2 większa od cyfry\njedności?","answer":null,"answer_text":null,"solution":"Liczba trzycyfrowa: cyfra jedności d3∈{0,...,7} (bo cyfra dziesiątek d3+2≤9) - 8 możliwości, cyfra dziesiątek wyznaczona jednoznacznie, cyfra setek d1∈{1,...,9} - 9 możliwości.\nRazem: 9*8=72.\nOdpowiedź: 72 liczby.","image":"img/informator-maturalny-matematyka-2010/zad-79.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":86,"source":"ai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"ai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2010","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny"},{"id":"informator-maturalny-matematyka-2010/zad/80","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2010","number":"80","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2010,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 80. (2 pkt)\nNa jednej prostej zaznaczono 3 punkty, a na drugiej 4 punkty (patrz rysunek). Ile jest\nwszystkich trójkątów, których wierzchołkami są trzy spośród zaznaczonych punktów ?","answer":null,"answer_text":null,"solution":"Wszystkich trójek punktów: C(7,3)=35. Odejmujemy trójki współliniowe: z prostej z 3 punktami - C(3,3)=1, z prostej z 4 punktami - C(4,3)=4.\nLiczba trójkątów: 35-1-4=30.\nOdpowiedź: 30 trójkątów.","image":"img/informator-maturalny-matematyka-2010/zad-80.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":86,"source":"ai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"ai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2010","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny"},{"id":"informator-maturalny-matematyka-2010/zad/81","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2010","number":"81","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2010,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 81. (2 pkt)\nŚrednia arytmetyczna liczb: 3, 1, 1, 0, x, 0 jest równa 2. Oblicz x.\n87","answer":null,"answer_text":null,"solution":"Średnia z liczb 3,1,1,0,x,0 wynosi 2: (3+1+1+0+x+0)/6=2, więc 5+x=12, x=7.\nOdpowiedź: x=7.","image":"img/informator-maturalny-matematyka-2010/zad-81.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":86,"source":"ai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"ai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2010","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny"},{"id":"informator-maturalny-matematyka-2010/zad/82","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2010","number":"82","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2010,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 82. (2 pkt)\nOblicz średnią arytmetyczną danych przedstawionych na poniższym diagramie częstości","answer":null,"answer_text":null,"solution":"Średnia = 0*0,45+1*0,30+2*0,15+3*0,10 = 0+0,30+0,30+0,30 = 0,9.\nOdpowiedź: 0,9.","image":"img/informator-maturalny-matematyka-2010/zad-82.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":87,"source":"ai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"ai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2010","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny"},{"id":"informator-maturalny-matematyka-2010/zad/83","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2010","number":"83","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2010,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 83. (2 pkt)\nOblicz medianę danych: 0, 1, 3, 3, 1, 1, 2, 1.","answer":null,"answer_text":null,"solution":"Dane posortowane: 0,1,1,1,1,2,3,3 (n=8). Mediana = średnia 4. i 5. wartości = (1+1)/2=1.\nOdpowiedź: 1.","image":"img/informator-maturalny-matematyka-2010/zad-83.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":87,"source":"ai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"ai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2010","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny"},{"id":"informator-maturalny-matematyka-2010/zad/84","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2010","number":"84","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2010,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 84. (2 pkt)\nOblicz medianę danych przedstawionych w postaci tabeli liczebności\nwartość\n0\n1\n2\n3\nliczebność\n4\n3\n1\n1","answer":null,"answer_text":null,"solution":"n=4+3+1+1=9. Dane posortowane: cztery zera, trzy jedynki, dwójka, trójka. Mediana = 5. wartość = 1.\nOdpowiedź: 1.","image":"img/informator-maturalny-matematyka-2010/zad-84.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":87,"source":"ai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"ai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2010","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny"},{"id":"informator-maturalny-matematyka-2010/zad/85","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2010","number":"85","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2010,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 85. (2 pkt)\nZe\nzbioru\nliczb\n{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11}\nwybieramy\nlosowo\njedną\nliczbę.\nOblicz\nprawdopodobieństwo otrzymania liczby podzielnej przez 3 lub przez 2.","answer":null,"answer_text":null,"solution":"Zbiór {1,...,11}. Podzielne przez 3: {3,6,9} - 3 liczby. Podzielne przez 2: {2,4,6,8,10} - 5 liczb. Podzielne przez 6 (oba): {6} - 1 liczba.\n|A∪B|=3+5-1=7. p=7/11.\nOdpowiedź: 7/11.","image":"img/informator-maturalny-matematyka-2010/zad-85.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":87,"source":"ai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"ai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2010","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny"},{"id":"informator-maturalny-matematyka-2010/zad/86","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2010","number":"86","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2010,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 86. (2 pkt)\nZe zbioru liczb naturalnych dwucyfrowych wybieramy losowo jedną liczbę. Oblicz\nprawdopodobieństwo otrzymania liczby podzielnej przez 15.","answer":null,"answer_text":null,"solution":"Liczb dwucyfrowych jest 90 (10-99). Podzielnych przez 15: 15,30,45,60,75,90 - 6 liczb.\np=6/90=1/15.\nOdpowiedź: 1/15.","image":"img/informator-maturalny-matematyka-2010/zad-86.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":87,"source":"ai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"ai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2010","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny"},{"id":"informator-maturalny-matematyka-2010/zad/87","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2010","number":"87","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2010,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 87. (2 pkt)\nRzucamy dwa razy symetryczną sześcienną kostką do gry. Oblicz prawdopodobieństwo\notrzymania iloczynu oczek równego 5.","answer":null,"answer_text":null,"solution":"Iloczyn oczek =5 (5 liczba pierwsza): możliwe pary (1,5),(5,1) - 2 z 36 wszystkich wyników.\np=2/36=1/18.\nOdpowiedź: 1/18.","image":"img/informator-maturalny-matematyka-2010/zad-87.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":87,"source":"ai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"ai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2010","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny"},{"id":"informator-maturalny-matematyka-2010/zad/88","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2010","number":"88","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2010,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 88. (2 pkt)\nA i B są takimi zdarzeniami losowymi zawartymi w Ω , że A\nB\n⊂\noraz ( )\n3,0\nA\nP\ni ( )\n4,0\nB\nP\nOblicz (\n).\nP A\nB\n∪","answer":null,"answer_text":null,"solution":"A⊂B, więc A∪B=B. P(A∪B)=P(B)=0,4.\nOdpowiedź: 0,4.","image":"img/informator-maturalny-matematyka-2010/zad-88.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":87,"source":"ai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"ai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2010","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny"},{"id":"informator-maturalny-matematyka-2010/zad/89","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2010","number":"89","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2010,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 89. (2 pkt)\nA i B są takimi zdarzeniami losowymi zawartymi w Ω , że A\nB\n⊂\noraz ( )\n3,0\nA\nP\ni ( )\n7,0\nB\nP\nOblicz prawdopodobieństwo różnicy\nA\nB \\\nczęstość w %\n0\n1\n2\n3\n10\nwartość\n15\n30\n45\n0\n88","answer":null,"answer_text":null,"solution":"A⊂B, więc P(B\\A)=P(B)-P(A)=0,7-0,3=0,4.\nOdpowiedź: 0,4.","image":"img/informator-maturalny-matematyka-2010/zad-89.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":87,"source":"ai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"ai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2010","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny"},{"id":"informator-maturalny-matematyka-2010/zad/90","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2010","number":"90","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2010,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 90. (2 pkt)\nPrzekątna sześcianu ma długość 9. Oblicz pole powierzchni całkowitej tego sześcianu.","answer":null,"answer_text":null,"solution":"Przekątna sześcianu d=a√3=9, więc a=9/√3=3√3. Pole całkowite=6a^2=6*27=162.\nOdpowiedź: 162.","image":"img/informator-maturalny-matematyka-2010/zad-90.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":88,"source":"ai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"ai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2010","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny"},{"id":"informator-maturalny-matematyka-2010/zad/91","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2010","number":"91","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2010,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 91. (2 pkt)\nPrzekrój osiowy stożka jest trójkątem równoramiennym o podstawie długości 12. Wysokość\nstożka jest równa 8. Oblicz pole powierzchni bocznej tego stożka.","answer":null,"answer_text":null,"solution":"Przekrój osiowy: podstawa (średnica) 12, więc r=6; wysokość h=8. Tworząca l=√(r²+h²)=√(36+64)=√100=10.\nPole boczne = πrl = π*6*10 = 60π.\nOdpowiedź: 60π.","image":"img/informator-maturalny-matematyka-2010/zad-91.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":88,"source":"ai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"ai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2010","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny"},{"id":"informator-maturalny-matematyka-2010/zad/92","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2010","number":"92","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2010,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 92. (2 pkt)\nOblicz sinus kąta między przekątną sześcianu a jego płaszczyzną podstawy.\n9\n12\n8\n89","answer":null,"answer_text":null,"solution":"Niech krawędź sześcianu = a. Przekątna sześcianu d=a√3. Kąt θ między przekątną a płaszczyzną podstawy: sinθ = wysokość(=a)/przekątna(=a√3) = 1/√3 = √3/3.\nOdpowiedź: sinθ = √3/3.","image":"img/informator-maturalny-matematyka-2010/zad-92.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":88,"source":"ai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"ai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2010","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny"},{"id":"informator-maturalny-matematyka-2010/zad/93","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2010","number":"93","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2010,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 93. (2 pkt)\nCzworokąty ABCD i APQR są kwadratami (patrz rysunek). Udowodnij, że\nDR\nBP =","answer":null,"answer_text":null,"solution":"Kwadraty ABCD i APQR mają wspólny wierzchołek A, oba o tej samej orientacji (przeciwnie do ruchu wskazówek zegara, jak na rysunku). Rozważmy obrót ρ o środku A i kącie 90° w kierunku zgodnym z orientacją kwadratów.\nPonieważ ABCD jest kwadratem: |AB|=|AD| oraz |∢BAD|=90°, więc ρ(B)=D.\nPonieważ APQR jest kwadratem (ta sama orientacja): |AP|=|AR| oraz |∢PAR|=90°, więc ρ(P)=R.\nObrót jest izometrią (zachowuje odległości), więc |BP| = |ρ(B)ρ(P)| = |DR|.\nStąd |BP|=|DR|, co należało udowodnić.","image":"img/informator-maturalny-matematyka-2010/zad-93.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":89,"source":"ai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"ai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2010","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny"},{"id":"informator-maturalny-matematyka-2010/zad/94","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2010","number":"94","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2010,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 94. (2 pkt)\nNa boku BC trójkąta ABC wybrano punkt D tak, by\n)\n)\nCAD\nABC . Odcinek AE jest\ndwusieczną kąta DAB. Udowodnij, że\nCE\nAC =\nA\nB\nC\nD\nP\nQ\nR\nA\nB\nC\nD\nE\n90\nZADANIA OTWARTE ROZSZERZONEJ ODPOWIEDZI","answer":null,"answer_text":null,"solution":"Niech |∢ABC|=|∢CAD|=β oraz niech AE dzieli |∢DAB| na dwa równe kąty α (|∢DAE|=|∢EAB|=α), z punktami C, D, E, B leżącymi w tej kolejności na boku BC.\nKąt |∢CAE| = |∢CAD|+|∢DAE| = β+α.\nW trójkącie AEB: |∢EAB|=α, |∢ABE|=|∢ABC|=β, więc |∢AEB|=180°-α-β (suma kątów trójkąta).\nPonieważ C, E, B są współliniowe, |∢AEC| = 180° - |∢AEB| = α+β.\nZatem |∢CAE| = |∢AEC| = α+β, więc trójkąt ACE jest równoramienny (kąty przy podstawie AE są równe), skąd boki naprzeciw tych kątów są równe: |AC| = |CE|, co należało udowodnić.","image":"img/informator-maturalny-matematyka-2010/zad-94.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":89,"source":"ai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"ai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2010","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny"},{"id":"informator-maturalny-matematyka-2010/zad/95","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2010","number":"95","points":null,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2010,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 95.\nOblicz sumę wszystkich liczb trzycyfrowych zapisanych wyłącznie za pomocą cyfr wybranych\nze zbioru {0, 1, 2, 3}.","answer":null,"answer_text":null,"solution":"Liczby trzycyfrowe z cyframi ze zbioru {0,1,2,3} (cyfry mogą się powtarzać): cyfra setek d1∈{1,2,3} (3 możliwości), cyfry dziesiątek i jedności d2,d3∈{0,1,2,3} (po 4 możliwości) - łącznie 3*4*4=48 liczb.\nSuma cyfr setek: każda z wartości {1,2,3} pojawia się 4*4=16 razy, suma=16*(1+2+3)=96, wkład do sumy: 100*96=9600.\nSuma cyfr dziesiątek: każda z wartości {0,1,2,3} pojawia się 3*4=12 razy, suma=12*(0+1+2+3)=72, wkład: 10*72=720.\nSuma cyfr jedności: analogicznie 72, wkład: 1*72=72.\nSuma wszystkich liczb = 9600+720+72 = 10392.\nOdpowiedź: 10392.","image":"img/informator-maturalny-matematyka-2010/zad-95.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":90,"source":"ai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"ai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2010","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny"},{"id":"informator-maturalny-matematyka-2010/zad/96","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2010","number":"96","points":null,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2010,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 96.\nZ pojemnika, w którym są dwa losy wygrywające i trzy losy puste, losujemy dwa razy\npo jednym losie bez zwracania. Oblicz prawdopodobieństwo, że otrzymamy co najmniej\njeden los wygrywający. Wynik przedstaw w postaci ułamka nieskracalnego.","answer":null,"answer_text":null,"solution":"W pojemniku 2 losy wygrywające i 3 puste (5 losów). P(co najmniej jeden wygrywający) = 1 - P(oba puste).\nP(oba puste) = C(3,2)/C(5,2) = 3/10.\nP(co najmniej jeden wygrywający) = 1 - 3/10 = 7/10.\nOdpowiedź: 7/10.","image":"img/informator-maturalny-matematyka-2010/zad-96.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":90,"source":"ai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"ai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2010","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny"},{"id":"informator-maturalny-matematyka-2010/zad/97","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2010","number":"97","points":null,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2010,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 97.\nZ miejscowości A i B oddalonych od siebie o 182 km wyjeżdżają naprzeciw siebie dwaj\nrowerzyści. Rowerzysta jadący z miejscowości B do miejscowości A jedzie ze średnią\nprędkością mniejszą od 25 km/h. Rowerzysta jadący z miejscowości A do miejscowości B\nwyjeżdża o 1 godzinę wcześniej i jedzie ze średnią prędkością o 7 km/h większą od średniej\nprędkości drugiego rowerzysty. Rowerzyści spotkali się w takim miejscu, że rowerzysta\njadący z miejscowości A przebył do tego miejsca 13\n9 całej drogi z A do B. Z jakimi średnimi\nprędkościami jechali obaj rowerzyści?","answer":null,"answer_text":null,"solution":"Niech v - prędkość rowerzysty z B (km/h, v<25), v+7 - prędkość rowerzysty z A. Rowerzysta z A przebył do miejsca spotkania 9/13 drogi, czyli 9/13*182=126 km, w czasie t=126/(v+7).\nRowerzysta z B wyjechał godzinę później, więc jechał czas t-1, pokonując 182-126=56 km: v*(t-1)=56.\nPodstawiamy t: v*(126/(v+7) - 1) = 56 → v*(126-(v+7))/(v+7) = 56 → v*(119-v) = 56(v+7) → 119v-v^2 = 56v+392 → v^2-63v+392=0.\nΔ=3969-1568=2401=49^2, v=(63±49)/2, czyli v=56 lub v=7. Ponieważ v<25, v=7.\nPrędkość rowerzysty z B: 7 km/h, rowerzysty z A: 7+7=14 km/h.\nOdpowiedź: 7 km/h i 14 km/h.","image":"img/informator-maturalny-matematyka-2010/zad-97.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":90,"source":"ai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"ai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2010","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny"},{"id":"informator-maturalny-matematyka-2010/zad/98","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2010","number":"98","points":null,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2010,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 98.\nUczeń przeczytał książkę liczącą 480 stron, przy czym każdego dnia czytał taką samą liczbę\nstron. Gdyby czytał każdego dnia o 8 stron więcej, to przeczytałby tę książkę o 3 dni\nwcześniej. Oblicz, ile dni uczeń czytał tę książkę.","answer":null,"answer_text":null,"solution":"Niech x - liczba stron czytanych dziennie, liczba dni=480/x. Czytając x+8 stron dziennie: 480/(x+8) = 480/x - 3.\nMnożymy przez x(x+8): 480x = 480(x+8) - 3x(x+8) → 480x = 480x+3840-3x^2-24x → 3x^2+24x-3840=0 → x^2+8x-1280=0.\nΔ=64+5120=5184=72^2, x=(-8+72)/2=32 (odrzucamy ujemny pierwiastek).\nLiczba dni = 480/32 = 15.\nOdpowiedź: uczeń czytał książkę 15 dni.","image":"img/informator-maturalny-matematyka-2010/zad-98.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":90,"source":"ai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"ai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2010","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny"},{"id":"informator-maturalny-matematyka-2010/zad/99","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2010","number":"99","points":null,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2010,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 99.\nLiczby a, b, c tworzą w podanej kolejności ciąg geometryczny. Suma tych liczb jest równa 93.\nTe same liczby, w podanej kolejności są pierwszym, drugim i siódmym wyrazem ciągu\narytmetycznego. Oblicz a, b i c.\nZadanie 100.\nWyznacz wzór na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego wiedząc, że suma pierwszych pięciu jego\nwyrazów jest równa 10, a wyrazy trzeci, piąty i trzynasty tworzą w podanej kolejności ciąg\ngeometryczny.\nZadanie 101.\nPodstawą ostrosłupa prawidłowego czworokątnego ABCDS jest kwadrat ABCD. Pole trójkąta\nrównoramiennego ACS jest równe 120 oraz\n13\n:\n10\n:\nAS\nAC\n. Oblicz pole powierzchni\nbocznej tego ostrosłupa.\n91\nZadanie 102.\nPodstawą ostrosłupa ABCDE jest kwadrat ABCD. Punkt F jest środkiem krawędzi AD,\nodcinek EF jest wysokością ostrosłupa (patrz rysunek). Oblicz objętość ostrosłupa, jeśli\nwiadomo, że\n15\nAE\n,\n17\nBE\nZadanie 103.\nDany jest trójkąt prostokątny ABC, w którym\n30\nBC\n,\n40\nAC\n,\n50\nAB\n. Punkt W jest\nśrodkiem okręgu wpisanego w ten trójkąt. Okrąg wpisany w trójkąt ABC jest styczny do boku\nAB w punkcie M. Oblicz długość odcinka CM.\nZadanie 104.\nNa zewnątrz trójkąta prostokątnego ABC, w którym\n90\n°\n)ACB\noraz\n5\nAC\n,\n12\nBC\nzbudowano kwadrat ACDE (patrz rysunek). Punkt H leży na prostej AB i kąt\n90\n°\n)EHA\nOblicz pole trójkąta HAE.\nZadanie 105.\nWykaż, że prawdziwa jest nierówność\n26\n50\n50\n2\n1\n2\n1\n2\n<\nA\nB\nC\nD\nE\nH\nA\nB\nC\nM\nW\nA\nB\nC\nD\nE\nF\n92\nZadanie 106.\nUdowodnij, że jeśli\na) x, y są liczbami rzeczywistymi, to\nxy\ny\nx\n2\n2\n2\n≥\nb) x, y, z są liczbami rzeczywistymi takimi, że\n1\nz\ny\nx\n, to\n3\n1\n2\n2\n2\n≥\nz\ny\nx\nZadanie 107.\nPunkt D leży na boku BC trójkąta równoramiennego ABC, w którym\nBC\nAC =\n. Odcinek\nAD dzieli trójkąt ABC na dwa trójkąty równoramienne w taki sposób, że\nCD\nAD =\noraz\nBD\nAB =\n(patrz rysunek). Udowodnij, że\n5\n= ⋅\n)\n)\nADC\nACD .\nZadanie 108.\nDane są dwa półokręgi o wspólnym środku O i średnicach odpowiednio AB i CD (punkty A, B, C,\nD i O są współliniowe). Punkt P leży na wewnętrznym półokręgu, punkt R leży na zewnętrznym\npółokręgu, punkty O, P i R są współliniowe. Udowodnij, że\n180\n°\n)\n)\nAPB\nCRD\nA\nB\nC\nD\nA\nB\nC\nD\nR\nP\nO\n93\nPrzykładowe zadania\nOdpowiedzi do zadań zamkniętych\nOdpowiedzi do zadań otwartych\nNr\nzadania\nOdpowiedź\nNr\nzadania\nOdpowiedź\n51\n8\n5\nx\n80\n30trójkątów\n52\n2\nx\n,\n1\ny\n81\n7\nx\n53\n1,7\n∈\nx\n82\n9,0\n54\n2\n1\nx\nlub\n3\nx\nlub\n3\nx\n83\n1\n55\n3\n7\n3\n1\nx\ny\n84\n1\n56\n2\n1\nx\n85\n11\n7\n57\nwykres\n86\n15\n1\n58\n4\ny\n87\n18\n1\n59\n1\na\n1\nb\n88\n4,0\n60\n(\n)(\n)1\n3\n3\n6\n2\nx\nx\nx\nx\n89\n4,0\n61\n0\n2\n-y\nx\n90\n162\n62\n(\n)\n(\n)\n9\n5\n3\n2\n2\ny\nx\n91\nπ\n60\n63\n(\n)\n(\n)\n34\n5\n3\n2\n2\ny\nx\n92\n3\n3\n64\n4\n2 -\nx\ny\n93\ndowód\n65\n5\n2\n94\ndowód\nNr zadania\n1\n2\n3\n4\n5\n6\n7\n8\n9\n10\n11\n12\n13\n14\n15\n16\n17\n18\n19\n20\n21\n22\n23\n24\n25\nOdpowiedź A C B A A B D B D A\nD\nC\nC\nA\nB D\nC\nC B B B D\nB C\nC\n26\n27\n28\n29\n30\n31\n32\n33\n34\n35\n36\n37\n38\n39\n40\n41\n42\n43\n44\n45\n46\n47\n48\n49\n50\nA C D A B C B C B C\nB A\nC\nB B A\nA\nA\nB B C A D\nB\nB\n94\n66\n15\n47\n95\n10392\n67\n36°, 72°, 72°\n96\n10\n7\n68\n60\n97\n7km h , 14km h\n69\n10\nc\n98\n15\n70\n6\nc\nlub\n10\nc\n99\n⎪⎩\n⎪⎨\n⎧\n75\n15\n3\nc\nb\na\nlub\n⎪⎩\n⎪⎨\n⎧\n31\n31\n31\nc\nb\na\n71\n8\nc\nlub\n34\n2\nc\n100\n2\nn\na\nlub\n7\n3 -\n= n\nan\n72\n5\nx\nlub\n6\nx\n101\n313\n20\n73\n16\nBD\n102\n3\n209\n64\n74\n5 wyrazów\n103\n145\n2\n75\n7\nx\n104\n169\n750\n76\n72\n15 =\na\n105\ndowód\n77\n2125\n106\ndowód\n78\n9 liczb\n107\ndowód\n79\n72 liczby\n108\ndowód\nCentralna Komisja Egzaminacyjna\nul Łucka 11, 00-842 Warszawa\ntel. 022 656 38 00, fax 022 656 37 57\nwww.cke.edu.pl ckesekr@cke.edu.pl\nOKE Gdańsk\nul. Na Stoku 49, 80-874 Gdańsk,\ntel. (0-58) 320 55 90, fax.320 55 91\nwww.oke.gda.pl komisja@oke.gda.pl\nOKE Łódź\nul. Praussa 4, 94-203 Łódź\ntel. (0-42) 634 91 33 s: 664 80 50/51/52\nfax. 634 91 54\nwww.komisja.pl komisja@komisja.pl\nOKE Jaworzno\nul. Mickiewicza 4, 43-600 Jaworzno\ntel.(0-32) 616 33 99 w.101\nfax.616 33 99 w.108, www.oke.jaw.pl\noke@oke.jaw.pl\nOKE Poznań\nul. Gronowa 22, 61-655 Poznań\ntel.(0-61) 852 13 07, 852 13 12, fax. 852 14 41\nwww.oke.poznan.pl\nsekretariat@oke.poznan.pl\nOKE Kraków\nal. F. Focha 39, 30-119 Kraków\ntel.(0-12) 618 12 01/02/03, fax.427 28 45\nwww.oke.krakow.pl oke@oke.krakow.pl\nOKE Warszawa\nul. Grzybowska 77, 00-844 Warszawa\ntel. (0-22) 457 03 35, fax. 457 03 45\nwww.oke.waw.pl info@oke.waw.pl\nOKE Łomża\nul. Nowa 2, 18-400 Łomża\nTel/fax. (0-86) 216 44 95\nwww.okelomza.com\nsekretariat@oke.lomza.com\nOKE Wrocław\nul. Zielińskiego 57, 53-533 Wrocław\ntel. sek. (0-71) 785 18 52, fax. 785 18 73\nwww.oke.wroc.pl sekret@oke.wroc.pl\nOKE\nGDAŃSK\nOKE\nŁOMŻA\nOKE\nWARSZAWA\nOKE\nKRAKÓW\nOKE\nJAWORZNO\nOKE\nŁÓDŹ\nOKE\nWROCŁAW\nOKE\nPOZNAŃ","answer":"A","answer_text":null,"solution":null,"image":"img/informator-maturalny-matematyka-2010/zad-99.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":90,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2010","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny"}]}