{"paper":{"id":"informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-podstawowy","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2023,"month":null,"level":null,"variant":null,"exam_pdf":"informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-podstawowy/informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-podstawowy.pdf","key_pdf":null,"question_count":74,"source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2023","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny"},"questions":[{"id":"informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-podstawowy/zad/1","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-podstawowy","number":"1","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2023,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 1. (0-1)\nDokończ zdanie. Zaznacz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nWartość wyrażenia 2021: (1 -\n1\n2022) -(1 -2022\n2021) :\n1\n2021 jest równa\nA. 0\nB. 1\nC. 2021\nD. 2023\nWymaganie ogólne\nI.\nSprawność rachunkowa.\nWykonywanie obliczeń na liczbach rzeczywistych, także przy użyciu kalkulatora,\nstosowanie praw działań matematycznych przy przekształcaniu wyrażeń algebraicznych\noraz wykorzystywanie tych umiejętności przy rozwiązywaniu problemów w kontekstach\nrzeczywistych i teoretycznych.\nWymaganie szczegółowe\nI.\nLiczby rzeczywiste. Zdający:\n1) wykonuje działania (dodawanie, odejmowanie, mnożenie, dzielenie, potęgowanie,\npierwiastkowanie, logarytmowanie) w zbiorze liczb rzeczywistych.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nD\nPrzykładowe zadania z rozwiązaniami\n13","answer":"D","answer_text":null,"solution":"Obliczamy: 2021:(1-1/2022) - (1-2022/2021):1/2021 = 2021:(2021/2022) - (-1/2021):1/2021 = 2022 - (-1) = 2023.","image":"img/informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-podstawowy/zad-1.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":12,"source":"ai","answer_source":"ai","answer_text_source":null,"solution_source":"ai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2023","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny"},{"id":"informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-podstawowy/zad/2","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-podstawowy","number":"2","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2023,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 2. (0-1)\nDana jest nierówność:\n|𝑥-3| ≥5\nNa którym rysunku prawidłowo zaznaczono na osi liczbowej zbiór wszystkich liczb\nspełniających powyższą nierówność? Zaznacz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nA.\nB.\nC.\nD.\nWymagania ogólne\nI.\nSprawność rachunkowa.\nII. Wykorzystanie i tworzenie informacji.\n1.\nInterpretowanie i operowanie informacjami przedstawionymi w tekście, zarówno\nmatematycznym, jak i popularnonaukowym, a także w formie wykresów, diagramów,\ntabel.\nWymagania szczegółowe\nI.\nLiczby rzeczywiste. Zdający:\n6) posługuje się pojęciem przedziału liczbowego, zaznacza przedziały na osi liczbowej;\n7) stosuje interpretację geometryczną i algebraiczną wartości bezwzględnej, rozwiązuje\nrównania i nierówności typu |𝑥+ 4| = 5, |𝑥-2| < 3, |𝑥+ 3| > 4.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nA\n𝑥\n-2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8\n𝑥\n-2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8\n𝑥\n-2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8\n𝑥\n-2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8\n14\nInformator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie podstawowym od roku szkolnego 2022/2023","answer":"A","answer_text":null,"solution":"Nierówność |x-3|≥5 oznacza x-3≤-5 lub x-3≥5, czyli x≤-2 lub x≥8. Zbiór ten (z domkniętymi końcami, strzałki na zewnątrz) przedstawia rysunek A.","image":"img/informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-podstawowy/zad-2.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":13,"source":"ai","answer_source":"ai","answer_text_source":null,"solution_source":"ai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2023","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny"},{"id":"informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-podstawowy/zad/3","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-podstawowy","number":"3","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2023,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 3. (0-1)\nOprocentowanie na długoterminowej lokacie w pewnym banku wynosi 3% w skali roku (już po\nuwzględnieniu podatków). Po każdym roku oszczędzania są doliczane odsetki od aktualnego\nkapitału znajdującego się na lokacie - zgodnie z procentem składanym.\nDokończ zdanie. Zaznacz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nPo 10 latach oszczędzania w tym banku (i bez wypłacania kapitału ani odsetek w tym okresie)\nkwota na lokacie będzie większa od kwoty wpłaconej na samym początku o (w zaokrągleniu\ndo 1%)\nA. 30%\nB. 34%\nC. 36%\nD. 43%\nWymagania ogólne\nI.\nSprawność rachunkowa.\nWykonywanie obliczeń na liczbach rzeczywistych, także przy użyciu kalkulatora,\nstosowanie praw działań matematycznych przy przekształcaniu wyrażeń algebraicznych\noraz wykorzystywanie tych umiejętności przy rozwiązywaniu problemów w kontekstach\nrzeczywistych i teoretycznych.\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji.\n1.\nStosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nWymaganie szczegółowe\nI.\nLiczby rzeczywiste. Zdający:\n8) wykorzystuje własności potęgowania i pierwiastkowania w sytuacjach praktycznych,\nw tym do obliczania procentów składanych, zysków z lokat i kosztów kredytów.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nB\nPrzykładowe zadania z rozwiązaniami\n15","answer":"B","answer_text":null,"solution":"Kapitał po 10 latach przy procencie składanym 3%: K=(1,03)^10·K0≈1,3439·K0, czyli wzrost o ok. 34%.","image":"img/informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-podstawowy/zad-3.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":14,"source":"ai","answer_source":"ai","answer_text_source":null,"solution_source":"ai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2023","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny"},{"id":"informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-podstawowy/zad/4","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-podstawowy","number":"4","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2023,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 4. (0-2)\nDane są dwie liczby 𝑥 i 𝑦, takie, że iloraz 𝑥\n𝑦 jest równy 1 + √5\n2\nOblicz wartość wyrażenia\n𝒙+𝒚\n𝒙. Wynik podaj bez niewymierności w mianowniku.\nWymaganie ogólne\nI.\nSprawność rachunkowa.\nWykonywanie obliczeń na liczbach rzeczywistych, także przy użyciu kalkulatora,\nstosowanie praw działań matematycznych przy przekształcaniu wyrażeń algebraicznych\noraz wykorzystywanie tych umiejętności przy rozwiązywaniu problemów w kontekstach\nrzeczywistych i teoretycznych.\nWymagania szczegółowe\nII. Wyrażenia algebraiczne. Zdający:\n1) stosuje wzory skróconego mnożenia na: (𝑎+ 𝑏)2, (𝑎-𝑏)2, 𝑎2 -𝑏2, (𝑎+ 𝑏)3,\n(𝑎-𝑏)3, 𝑎3 -𝑏3, 𝑎𝑛-𝑏𝑛;\n8) dodaje i odejmuje wyrażenia wymierne, w przypadkach nie trudniejszych niż:\n1\n𝑥+1 -\n1\n𝑥, […].\nZasady oceniania\n2 pkt - przekształcenie wyrażenia\n𝑥+𝑦\n𝑥 do postaci\n1+√5\n2 .\n1 pkt - przekształcenie wyrażenia\n𝑥+𝑦\n𝑥 do postaci 1 +\n2\n1+√5 lub\n3+√5\n1+√5.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\n16\nInformator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie podstawowym od roku szkolnego 2022/2023\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób 1.\n𝑥+ 𝑦\n𝑥\n= 1 + 𝑦\n𝑥= 1 +\n2\n1 + √5\n= 1 + √5 + 2\n1 + √5\n= 3 + √5\n1 + √5\n(3 + √5)(1 -√5)\n(1 + √5)(1 -√5) =\n= 3 -3√5 + √5 -5\n1 -5\n= -2 -2√5\n-4\n= 1 + √5\n2\nSposób 2.\n𝑥+ 𝑦\n𝑥\n= 1 + 𝑦\n𝑥= 1 +\n2\n1 + √5\n= 1 +\n2\n(1 + √5)\n⋅(1 -√5)\n(1 -√5)\n= 1 + (2 -2√5)\n-4\n= 1 + √5 -1\n2\n= 2 + √5 -1\n2\n= 1 + √5\n2\nSposób 3.\n𝑥+ 𝑦\n𝑥\n𝑥+ 𝑦\n𝑦\n𝑥\n𝑦\n𝑥\n𝑦+ 1\n𝑥\n𝑦\n(1 + √5\n2\n+ 2\n2)\n1 + √5\n2\n(3 + √5\n2\n)\n1 + √5\n2\n= 3 + √5\n1 + √5\n= (3 + √5)\n(1 + √5)\n⋅(1 -√5)\n(1 -√5)\n= -2 -2√5\n-4\n= 1 + √5\n2\nSposób 4.\nZ równości\n𝑥\n𝑦=\n1+√5\n2 wyznaczamy 𝑥:\n𝑥= (1 + √5\n2\n)𝑦\nWyznaczony 𝑥 podstawimy do wyrażenia\n𝑥+𝑦\n𝑥:\n𝑥+ 𝑦\n𝑥\n(1 + √5\n2\n) ⋅𝑦+ 𝑦\n(1 + √5\n2\n) ⋅𝑦\n𝑦⋅(1 + √5\n2\n+ 1)\n𝑦∙(1 + √5\n2\n)\n1 + √5\n2\n+ 2\n2\n1 + √5\n2\n3 + √5\n2\n1 + √5\n2\n= 3 + √5\n1 + √5\n= 3 + √5\n1 + √5\n= (3 + √5)\n(1 + √5)\n⋅(1 -√5)\n(1 -√5) = -2 -2√5\n-4\n= 1 + √5\n2\nPrzykładowe zadania z rozwiązaniami\n17","answer":null,"answer_text":null,"solution":"Sposób:\nx/y = (1+√5)/2, więc y/x = 2/(1+√5).\n(x+y)/x = 1 + y/x = 1 + 2/(1+√5) = 1 + (2(1-√5))/((1+√5)(1-√5)) = 1 + (2-2√5)/(-4) = 1 + (√5-1)/2 = (2+√5-1)/2 = (1+√5)/2.\n\nOdpowiedź: (x+y)/x = (1+√5)/2.","image":"img/informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-podstawowy/zad-4.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":15,"source":"ai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"ai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2023","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny"},{"id":"informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-podstawowy/zad/5","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-podstawowy","number":"5","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2023,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 5. (0-2)\nDane są liczby 𝑎= √5 -2 oraz 𝑏= √5 + 2.\nOblicz wartość wyrażenia\n𝒂⋅𝒃\n√𝒂+ √𝒃:√𝒂-√𝒃\n𝒂-𝒃 dla podanych a i b.\nWymaganie ogólne\nI.\nSprawność rachunkowa.\nWykonywanie obliczeń na liczbach rzeczywistych, także przy użyciu kalkulatora,\nstosowanie praw działań matematycznych przy przekształcaniu wyrażeń algebraicznych\noraz wykorzystywanie tych umiejętności przy rozwiązywaniu problemów w kontekstach\nrzeczywistych i teoretycznych.\nWymaganie szczegółowe\nI.\nLiczby rzeczywiste. Zdający:\n1) wykonuje działania (dodawanie, odejmowanie, mnożenie, dzielenie, potęgowanie,\npierwiastkowanie, logarytmowanie) w zbiorze liczb rzeczywistych.\nZasady oceniania\n2 pkt - poprawna metoda obliczenia wartości wyrażenia dla podanych 𝑎 i 𝑏 oraz zapisanie\nprawidłowego wyniku:\n𝑎⋅𝑏\n√𝑎+√𝑏: √𝑎-√𝑏\n𝑎-𝑏= 1.\n1 pkt - przekształcenie wyrażenia do postaci:\n𝑎⋅𝑏\n√𝑎+√𝑏: √𝑎-√𝑏\n𝑎-𝑏= 𝑎∙𝑏\nLUB\n- wykazanie, że liczby 𝑎 i 𝑏 albo liczby √𝑎+ √𝑏 i √𝑎-√𝑏\n𝑎-𝑏 są wzajemnie odwrotne.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób 1.\nPrzekształcamy równoważnie wyrażenie do najprostszej postaci:\n𝑎⋅𝑏\n√𝑎+ √𝑏\n: √𝑎-√𝑏\n𝑎-𝑏\n𝑎⋅𝑏\n√𝑎+ √𝑏\n⋅\n𝑎-𝑏\n√𝑎-√𝑏\n𝑎⋅𝑏(𝑎-𝑏)\n(√𝑎)\n2 -(√𝑏)\n2 = 𝑎⋅𝑏(𝑎-𝑏)\n𝑎-𝑏\n= 𝑎⋅𝑏\nPodstawiamy wartości 𝑎 i 𝑏 do otrzymanego wyrażenia i obliczamy jego wartość:\n𝑎⋅𝑏= (√5 -2 )(√5 + 2 ) = (√5)\n2 -22 = 5 -4 = 1\n18\nInformator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie podstawowym od roku szkolnego 2022/2023\nSposób 2.\nZauważmy, że:\n𝑎⋅𝑏= (√5 -2 ) ⋅(√5 + 2 ) = (√5)\n2 -22 = 5 -4 = 1\nzatem liczby 𝑎 i 𝑏 są wzajemnie odwrotne. Zauważamy także, że:\n(√𝑎+ √𝑏) ⋅√𝑎-√𝑏\n𝑎-𝑏\n= 𝑎-𝑏\n𝑎-𝑏= 1\nco oznacza, że liczby √𝑎+ √𝑏 i √𝑎-√𝑏\n𝑎-𝑏 także są wzajemnie odwrotne: √𝑎-√𝑏\n𝑎-𝑏=\n1\n√𝑎+√𝑏\nZ powyższych zależności wynika:\n𝑎⋅𝑏\n√𝑎+ √𝑏\n: √𝑎-√𝑏\n𝑎-𝑏\n= 𝑎𝑏·\n1\n√𝑎+ √𝑏\n:\n1\n√𝑎+ √𝑏\n= 1 ⋅1 = 1","answer":null,"answer_text":null,"solution":"Przekształcamy wyrażenie do najprostszej postaci:\n(a·b)/(√a+√b) : (√a-√b)/(a-b) = (a·b)/(√a+√b) · (a-b)/(√a-√b) = a·b·(a-b) / [(√a-√b)(√a+√b)] = a·b·(a-b)/(a-b) = a·b.\n\nPodstawiamy a=√5-2, b=√5+2:\na·b = (√5-2)(√5+2) = 5-4 = 1.\n\nOdpowiedź: wartość wyrażenia wynosi 1.","image":"img/informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-podstawowy/zad-5.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":17,"source":"ai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"ai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2023","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny"},{"id":"informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-podstawowy/zad/6","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-podstawowy","number":"6","points":2,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2023,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 6. (0-2)\nDana jest liczba 𝑥= 𝑎-(√3 -√2)\n2, gdzie a należy do zbioru ℝ liczb rzeczywistych.\nW rozwiązaniu zadania uwzględnij fakt, że liczby √3 oraz √2 ⋅√3 są niewymierne.\nDokończ zdanie. Zaznacz dwie odpowiedzi, tak aby dla każdej z nich dokończenie\nzdania było prawdziwe.\nLiczba 𝑥 jest wymierna dla\nA. 𝑎= 5\nB. 𝑎= -√3 + √2\nC. 𝑎= (√2 -√3)\n2 + 0,3\nD. 𝑎= 6\nE. 𝑎= -2√6 + 12,5\nF. 𝑎= (√2 -√3)\n2 -2√6\nG. 𝑎= -√6\nPrzykładowe zadania z rozwiązaniami\n19\nWymaganie ogólne\nI.\nSprawność rachunkowa.\nWykonywanie obliczeń na liczbach rzeczywistych, także przy użyciu kalkulatora,\nstosowanie praw działań matematycznych przy przekształcaniu wyrażeń algebraicznych\noraz wykorzystywanie tych umiejętności przy rozwiązywaniu problemów w kontekstach\nrzeczywistych i teoretycznych.\nWymaganie szczegółowe\nII. Wyrażenia algebraiczne. Zdający:\n1) stosuje wzory skróconego mnożenia na: (𝑎+ 𝑏)2, (𝑎-𝑏)2, 𝑎2 -𝑏2, (𝑎+ 𝑏)3,\n(𝑎-𝑏)3, 𝑎3 -𝑏3, 𝑎𝑛-𝑏𝑛.\nZasady oceniania\n2 pkt - wybranie dwóch poprawnych odpowiedzi: C i E.\n1 pkt - wybranie jednej lub dwóch odpowiedzi, z których jedna jest poprawna: C albo E.\n0 pkt - odpowiedź całkowicie niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nCE\nKomentarz\nPrzekształcimy równoważnie wyrażenie określające liczbę 𝑥 - w tym celu zastosujemy m.in.\nwzór skróconego mnożenia:\n𝑥= 𝑎-(√3 -√2)\n2 = 𝑎-(√3\n2 -2 ∙√3 ∙√2 + √2\n2) = 𝑎-(3 -2√6 + 2)\n= 𝑎-(5 -2√6) = 𝑎-5 + 2√6\nLiczba 𝑥 będzie wymierna, jeśli liczba 𝑎 będzie postaci: 𝑎= 𝑞-2√6, gdzie 𝑞 będzie dowolną\nliczbą wymierną:\n𝑥= 𝑞-2√6 -5 + 2√6 = 𝑞-5\nSprawdzimy, które z liczb 𝑎 podanych w odpowiedziach A-G mają postać 𝑎= 𝑞-2√6\n(gdzie 𝑞 jest wymierne):\nA.\n𝑎= 5\nB.\n𝑎= -√3 + √2\nC.\n𝑎= (√2 -√3)\n2 + 0,3 = 5 -2√6 + 0,3 = 5,3 -2√6\nD.\n𝑎= 6\nE.\n𝑎= -2√6 + 12,5\nF.\n𝑎= 5 -2√6 -2√6 = 5 -4√6\nG.\n𝑎= -√6\nLiczby podane w odpowiedziach C i E mają żądaną postać.\n20\nInformator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie podstawowym od roku szkolnego 2022/2023","answer":"C, E","answer_text":null,"solution":"x = a - (√3-√2)² = a - (3 - 2√6 + 2) = a - 5 + 2√6.\nLiczba x jest wymierna, gdy a ma postać a = q - 2√6 dla wymiernego q (wtedy x = q-5).\nSprawdzamy odpowiedzi: C. a=(√2-√3)²+0,3 = 5-2√6+0,3 = 5,3-2√6 — pasuje (q=5,3).\nE. a=-2√6+12,5 — pasuje (q=12,5).\nPozostałe (A, B, D, F, G) nie mają postaci q-2√6 z wymiernym q.\nPoprawne odpowiedzi: C i E.","image":"img/informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-podstawowy/zad-6.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":18,"source":"ai","answer_source":"ai","answer_text_source":null,"solution_source":"ai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2023","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny"},{"id":"informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-podstawowy/zad/7","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-podstawowy","number":"7","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2023,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 7. (0-2)\nRozwiąż równanie:\n(𝟒𝒙+ 𝟏)(𝒙-𝟓)\n(𝟐𝒙-𝟏𝟎)(𝒙+ 𝟑) = 𝟎\nWymaganie ogólne\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji.\n1.\nStosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nWymaganie szczegółowe\nIII. Równania i nierówności. Zdający:\n7) rozwiązuje równania wymierne postaci\n𝑉(𝑥)\n𝑊(𝑥) = 0, gdzie wielomiany 𝑉(𝑥) i 𝑊(𝑥) są\nzapisane w postaci iloczynowej.\nZasady oceniania\n2 pkt - poprawna metoda rozwiązania równania podanego w treści zadania (rozwiązanie\nrównania (4𝑥+ 1)(𝑥-5) = 0 lub równania 4𝑥+ 1 = 0 oraz wyznaczenie dziedziny\nrównania) i podanie wyniku: 𝑥= -\n1\n4 .\n1 pkt - poprawne rozwiązanie równania (4𝑥+ 1)(𝑥-5) = 0 : 𝑥= -\n1\n4 lub 𝑥= 5\nLUB\n- poprawne wyznaczenie dziedziny równania\n(4𝑥+1)(𝑥-5)\n(2𝑥-10)(𝑥+3) = 0: 𝑥≠5 oraz 𝑥≠-3.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób 1.\nRozwiązaniami równania postaci\n𝑉(𝑥)\n𝑊(𝑥) = 0 są takie liczby 𝑥𝑖, dla których:\n𝑉(𝑥𝑖) = 0 oraz 𝑊(𝑥𝑖) ≠0\nMianownik ułamka\n(4𝑥+1)(𝑥-5)\n(2𝑥-10)(𝑥+3) musi być różny od zera, zatem:\n(2𝑥-10)(𝑥+ 3) ≠0\nPrzykładowe zadania z rozwiązaniami\n21\nIloczyn jest różny od zera, gdy każdy z czynników iloczynu jest różnym od zera:\n2𝑥-10 ≠0 oraz 𝑥+ 3 ≠0\n𝑥≠5 oraz 𝑥≠-3\nGdy mianownik ułamka jest różny od zera, to ułamek jest wtedy równy zero, gdy licznik jest\nrówny zero, zatem:\n(4𝑥+ 1)(𝑥-5) = 0\nIloczyn jest równy zero, gdy co najmniej jeden z jego czynników jest równy zero:\n4𝑥+ 1 = 0 lub 𝑥-5 = 0\n𝑥= -1\n4 lub 𝑥= 5\nPonieważ 𝑥≠5, to rozwiązaniem równania jest liczba 𝑥= -\n1\n4.\nSposób 2.\nWyrażenie po lewej stronie równania\n(4𝑥+1)(𝑥-5)\n(2𝑥-10)(𝑥+3) = 0 ma sens liczbowy, gdy:\n(2𝑥-10)(𝑥+ 3) ≠0\n𝑥≠5 oraz 𝑥≠-3\nZatem równanie\n(4𝑥+1)(𝑥-5)\n(2𝑥-10)(𝑥+3) = 0 jest określone dla 𝑥∈ℝ\\{5, -3}. Przekształcimy\nrównoważnie równanie:\n(4𝑥+ 1)(𝑥-5)\n(2𝑥-10)(𝑥+ 3) = 0\n(4𝑥+ 1)(𝑥-5)\n2(𝑥-5)(𝑥+ 3) = 0\n4𝑥+ 1\n2(𝑥+ 3) = 0\nGdy mianownik ułamka jest różny od zera, to ułamek jest wtedy równy zero, gdy licznik jest\nrówny zero, zatem:\n4𝑥+ 1 = 0\n𝑥= -1\n4\n22\nInformator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie podstawowym od roku szkolnego 2022/2023","answer":null,"answer_text":null,"solution":"Dziedzina: mianownik (2x-10)(x+3)≠0, więc x≠5 i x≠-3.\nLicznik: (4x+1)(x-5)=0, więc x=-1/4 lub x=5.\nPonieważ x≠5 (poza dziedziną), pozostaje x=-1/4.\n\nOdpowiedź: x = -1/4.","image":"img/informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-podstawowy/zad-7.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":20,"source":"ai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"ai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2023","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny"},{"id":"informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-podstawowy/zad/8","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-podstawowy","number":"8","points":2,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2023,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 8. (0-2)\nPensja pana X jest o 50% wyższa od średniej krajowej, a pensja pana Y jest o 40% niższa od\nśredniej krajowej.\nDokończ zdania. Zaznacz odpowiedź spośród A-D oraz odpowiedź spośród E-H.\n1.\nPensja pana X jest wyższa od pensji pana Y\nA. o 40% pensji pana Y.\nB. o 90% pensji pana Y.\nC. o 150% pensji pana Y.\nD. o 275% pensji pana Y.\n2.\nPensja pana Y jest niższa od pensji pana X\nE. o 60% pensji pana X.\nF. o 73% pensji pana X.\nG. o 90% pensji pana X.\nH. o 150% pensji pana X.\nWymaganie ogólne\nI.\nSprawność rachunkowa.\nWykonywanie obliczeń na liczbach rzeczywistych […] przy rozwiązywaniu problemów\nw kontekstach rzeczywistych i teoretycznych.\nWymaganie szczegółowe\nI.\nLiczby rzeczywiste. Zdający:\n1) wykonuje działania (dodawanie, odejmowanie, mnożenie, dzielenie, potęgowanie,\npierwiastkowanie, logarytmowanie) w zbiorze liczb rzeczywistych.\nZasady oceniania\n2 pkt - poprawne dokończenia dwóch zdań.\n1 pkt - poprawne dokończenie jednego zdania.\n0 pkt - odpowiedź całkowicie niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\n1.C 2.E\nKomentarz\nŚrednią krajową oznaczymy jako 𝑠, pensję pana X jako 𝑥, a pensję pana Y jako 𝑦.\nWtedy: 𝑥= 1,5𝑠 𝑦= 0,6𝑠. Wykonujemy obliczenia:\n𝑥\n𝑦= 1,5𝑠\n0,6𝑠= 2,5 (250% = 100% + 150%) 𝑦\n𝑥= 0,6𝑠\n1,5𝑠= 0,4 (40% = 100% -60%)\nPrzykładowe zadania z rozwiązaniami\n23","answer":"1-C, 2-E","answer_text":null,"solution":"Niech s - średnia krajowa, x=1,5s (pensja X), y=0,6s (pensja Y).\nx/y = 1,5s/0,6s = 2,5, czyli x jest większe od y o 150% wartości y → odpowiedź C.\ny/x = 0,6s/1,5s = 0,4, czyli y jest mniejsze od x o 60% wartości x → odpowiedź E.","image":"img/informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-podstawowy/zad-8.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":22,"source":"ai","answer_source":"ai","answer_text_source":null,"solution_source":"ai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2023","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny"},{"id":"informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-podstawowy/zad/9","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-podstawowy","number":"9","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2023,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 9. (0-1)\nNa wykresie przedstawiono zależność log 𝐾(𝑡), gdzie 𝐾(𝑡) jest liczbą bakterii w próbce po\nczasie 𝑡 wyrażonym w godzinach, jaki upłynął od chwili 𝑡= 0 rozpoczęcia obserwacji.\nDokończ zdanie. Zaznacz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nGdy upłynęły dokładnie trzy godziny od chwili 𝑡= 0, liczba 𝐾 bakterii była równa\nA. 3\nB. 100\nC. 1000\nD. 10000\nWymaganie ogólne\nII. Wykorzystanie i tworzenie informacji.\n1.\nInterpretowanie i operowanie informacjami przedstawionymi w tekście, zarówno\nmatematycznym, jak i popularnonaukowym, a także w formie wykresów, diagramów\ni tabel.\nWymaganie szczegółowe\nI.\nLiczby rzeczywiste. Zdający:\n9) stosuje związek logarytmowania z potęgowaniem, posługuje się wzorami na logarytm\niloczynu, logarytm ilorazu i logarytm potęgi.\n5\n4\n3\n2\n1\n0\nlog 𝐾\n0\n1\n2\n3\n4\n5\n6\n𝑡\n24\nInformator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie podstawowym od roku szkolnego 2022/2023\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nC","answer":"C","answer_text":null,"solution":"Na wykresie dla t=3 wartość log K = 3, więc K = 10^3 = 1000.","image":"img/informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-podstawowy/zad-9.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":23,"source":"ai","answer_source":"ai","answer_text_source":null,"solution_source":"ai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2023","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny"},{"id":"informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-podstawowy/zad/10","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-podstawowy","number":"10","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2023,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 10. (0-1)\nDokończ zdanie. Zaznacz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nLiczba log2 [(√2)\n2\n⋅(√2)\n4\n⋅(√2)\n8\n] jest równa\nA. √2\nB. 7\nC. 14\nD. 27\nWymaganie ogólne\nI.\nSprawność rachunkowa.\nWykonywanie obliczeń na liczbach rzeczywistych, także przy użyciu kalkulatora,\nstosowanie praw działań matematycznych przy przekształcaniu wyrażeń algebraicznych\noraz wykorzystywanie tych umiejętności przy rozwiązywaniu problemów w kontekstach\nrzeczywistych i teoretycznych.\nWymagania szczegółowe\nI.\nLiczby rzeczywiste. Zdający:\n1) wykonuje działania (dodawanie, odejmowanie, mnożenie, dzielenie, potęgowanie,\npierwiastkowanie, logarytmowanie) w zbiorze liczb rzeczywistych;\n9) stosuje związek logarytmowania z potęgowaniem, posługuje się wzorami na logarytm\niloczynu, logarytm ilorazu i logarytm potęgi.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nB\nPrzykładowe zadania z rozwiązaniami\n25","answer":"B","answer_text":null,"solution":"log2[(√2)²·(√2)⁴·(√2)⁸] = log2[(√2)^(2+4+8)] = log2[(√2)^14] = log2[2^7] = 7.","image":"img/informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-podstawowy/zad-10.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":24,"source":"ai","answer_source":"ai","answer_text_source":null,"solution_source":"ai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2023","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny"},{"id":"informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-podstawowy/zad/11","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-podstawowy","number":"11","points":3,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2023,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 11. (0-3)\nRozważmy takie liczby rzeczywiste a i b, które spełniają warunki:\n𝑎≠0, 𝑏≠0 oraz 𝑎3 + 𝑏3 = (𝑎+ 𝑏)3.\nOblicz wartość liczbową wyrażenia\n𝒂\n𝒃 dla dowolnych liczb rzeczywistych 𝒂 i 𝒃,\nspełniających powyższe warunki.\nWymaganie ogólne\nI.\nSprawność rachunkowa.\nWykonywanie obliczeń na liczbach rzeczywistych, także przy użyciu kalkulatora,\nstosowanie praw działań matematycznych przy przekształcaniu wyrażeń algebraicznych\noraz wykorzystywanie tych umiejętności przy rozwiązywaniu problemów w kontekstach\nrzeczywistych i teoretycznych.\nWymagania szczegółowe\nII. Wyrażenia algebraiczne. Zdający:\n1) stosuje wzory skróconego mnożenia na: (𝑎+ 𝑏)2, (𝑎-𝑏)2, 𝑎2 -𝑏2, (𝑎+ 𝑏)3,\n(𝑎-𝑏)3, 𝑎3 -𝑏3, 𝑎𝑛-𝑏𝑛;\n3) wyłącza poza nawias jednomian z sumy algebraicznej;\nIII. Równania i nierówności. Zdający:\n1) przekształca równania i nierówności w sposób równoważny;\n6) rozwiązuje\nrównania\nwielomianowe\npostaci\n𝑊(𝑥) = 0\ndla\nwielomianów\ndoprowadzonych do postaci iloczynowej […].\nZasady oceniania\n3 pkt - poprawna metoda obliczenia wartości ilorazu\n𝑎\n𝑏 oraz podanie prawidłowego wyniku\n𝑎\n𝑏= -1.\n2 pkt - przekształcenie równania do postaci 3𝑎𝑏(𝑎+ 𝑏) = 0 oraz wyznaczenie rozwiązań\ntego równania: 𝑎= 0, 𝑏= 0, 𝑎= -𝑏 (bez uwzględnienia warunków zadania).\n1 pkt - przekształcenie równania do postaci 3𝑎𝑏(𝑎+ 𝑏) = 0.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\n26\nInformator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie podstawowym od roku szkolnego 2022/2023\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób 1.\nRównanie podane w zadaniu przekształcamy w sposób równoważny. Do prawej strony\nrównania zastosujemy wzór na trzecią potęgę sumy liczb 𝑎 i 𝑏:\n𝑎3 + 𝑏3 = (𝑎+ 𝑏)3\n𝑎3 + 𝑏3 = 𝑎3 + 3𝑎2𝑏+ 3𝑎𝑏2 + 𝑏3\n0 = 3𝑎2𝑏+ 3𝑎𝑏2\n3𝑎𝑏(𝑎+ 𝑏) = 0\nIloczyn po lewej stronie równania jest równy 0, gdy co najmniej jeden z czynników jest równy 0.\nZatem:\n3𝑎𝑏= 0 lub 𝑎+ 𝑏= 0\nStąd mamy:\n𝑎= 0 lub 𝑏= 0 lub 𝑎= -𝑏\nGdy uwzględnimy warunki zadania 𝑎≠0 i 𝑏≠0, to otrzymujemy:\n𝑎\n𝑏= -𝑏\n𝑏= -1\nSposób 2.\nPrzekształcamy równanie w sposób równoważny:\n𝑎3 + 𝑏3 = (𝑎+ 𝑏)3\n𝑎3 + 𝑏3 -(𝑎+ 𝑏)3 = 0\n𝑎3 + [𝑏3 -(𝑎+ 𝑏)3] = 0\nDo wyrażenia w nawiasie kwadratowym zastosujemy wzór na różnicę sześcianów:\n𝑎3 + [𝑏-(𝑎+ 𝑏)] ∙[𝑏2 + 𝑏∙(𝑎+ 𝑏) + (𝑎+ 𝑏)2] = 0\n𝑎3 + (-𝑎) ∙(𝑏2 + 𝑎𝑏+ 𝑏2 + 𝑎2 + 2𝑎𝑏+ 𝑏2) = 0\n𝑎3 + (-𝑎) ∙(𝑎2 + 3𝑎𝑏+ 3𝑏2) = 0\n𝑎3 -𝑎3 -3𝑎2𝑏-3𝑎𝑏2 = 0\n-3𝑎𝑏(𝑎+ 𝑏) = 0\nPonieważ 𝑎≠0 i 𝑏≠0, to powyższe równanie jest spełnione gdy:\n𝑎+ 𝑏= 0\nZatem:\n𝑎= -𝑏 stąd otrzymujemy 𝑎\n𝑏= -1\nPrzykładowe zadania z rozwiązaniami\n27","answer":null,"answer_text":null,"solution":"Przekształcamy równanie a³+b³=(a+b)³ w sposób równoważny:\na³+b³ = a³+3a²b+3ab²+b³\n0 = 3a²b+3ab² = 3ab(a+b)\nPonieważ a≠0 i b≠0, to 3ab≠0, zatem a+b=0, czyli a=-b.\nStąd a/b = -b/b = -1.\n\nOdpowiedź: a/b = -1.","image":"img/informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-podstawowy/zad-11.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":25,"source":"ai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"ai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2023","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny"},{"id":"informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-podstawowy/zad/12","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-podstawowy","number":"12","points":1,"ptype":"true_false","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2023,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 12. (0-1)\nDane jest wyrażenie 𝑊(𝑥) = 1\n2 ( 𝑥+ 1\n𝑥-1 -𝑥-1\n𝑥+ 1 ) .\nOceń prawdziwość poniższych zdań. Zaznacz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F -\njeśli jest fałszywe.\n1.\nWartość wyrażenia 𝑊(𝑥) jest określona dla każdej liczby rzeczywistej 𝑥≠1.\nP\nF\n2.\nWyrażenie 𝑊(𝑥) można przekształcić równoważnie do wyrażenia\n2𝑥\n𝑥2 -1.\nP\nF\nWymagania ogólne\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n3.\nDobieranie argumentów do uzasadnienia poprawności rozwiązywania problemów,\ntworzenie ciągu argumentów gwarantujących poprawność rozwiązania i skuteczność\nw poszukiwaniu rozwiązań zagadnienia.\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji.\n1.\nStosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nWymaganie szczegółowe\nII. Wyrażenia algebraiczne. Zdający:\n8) dodaje i odejmuje wyrażenia wymierne, w przypadkach nie trudniejszych niż:\n1\n𝑥+ 1 -1\n𝑥 , 1\n𝑥+ 1\n𝑥2 + 1\n𝑥3 , 𝑥+ 1\n𝑥+ 2 + 𝑥-1\n𝑥+ 1 .\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepełna lub niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nFP\n28\nInformator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie podstawowym od roku szkolnego 2022/2023","answer":"1-F, 2-P","answer_text":null,"solution":"W(x) = 1/2·[(x+1)/(x-1) - (x-1)/(x+1)].\n1. Wyrażenie wymaga x-1≠0 i x+1≠0, czyli x≠1 ORAZ x≠-1 — więc zdanie \"określone dla każdego x≠1\" jest FAŁSZYWE (bo trzeba też wykluczyć x=-1).\n2. W(x) = 1/2·[((x+1)²-(x-1)²)/((x-1)(x+1))] = 1/2·[4x/(x²-1)] = 2x/(x²-1) — zdanie PRAWDZIWE.\n\nOdpowiedzi: 1-F, 2-P.","image":"img/informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-podstawowy/zad-12.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":27,"source":"ai","answer_source":"ai","answer_text_source":null,"solution_source":"ai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2023","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny"},{"id":"informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-podstawowy/zad/13","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-podstawowy","number":"13","points":3,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2023,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 13. (0-3)\nRozwiąż równanie (𝒙-𝟏)𝟒-𝟓(𝒙-𝟏)𝟐+ 𝟔= 𝟎.\nWymaganie ogólne\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n2.\nDostrzeganie regularności, podobieństw oraz analogii, formułowanie wniosków na ich\npodstawie i uzasadnienie ich poprawności.\nWymaganie szczegółowe\nIII. Równania i nierówności. Zdający:\n5) rozwiązuje równania wielomianowe, które dają się doprowadzić do równania\nkwadratowego, w szczególności równania dwukwadratowe.\nZasady oceniania\n3 pkt - poprawna metoda rozwiązania równania oraz podanie prawidłowych rozwiązań:\n𝑥11 = 1 + √2 , 𝑥12 = 1 -√2 , 𝑥21 = 1 + √3 , 𝑥22 = 1 -√3 .\n2 pkt - rozwiązanie równania 𝑧2 -5𝑧+ 6 = 0: 𝑧1 = 2, 𝑧2 = 3 oraz zapisanie równań\nrównoważnych: 2 = (𝑥-1)2, 3 = (𝑥-1)2\nLUB\n- prawidłowe obliczenie jednego z pierwiastków równania 𝑧2 -5𝑧+ 6 = 0: 𝑧1 = 2\n(drugi pierwiastek obliczony błędnie lub wcale) albo 𝑧2 = 3 (drugi pierwiastek obliczony\nbłędnie lub wcale) oraz konsekwentne - z tym prawidłowo wyznaczonym pierwiastkiem\n- rozwiązanie równania podanego w zadaniu i zapisanie:\n𝑥1 = 1 + √2 , 𝑥2 = 1 -√2 albo 𝑥1 = 1 + √3 , 𝑥2 = 1 -√3 .\n1 pkt - wykonanie odpowiedniego podstawienia i przekształcenie do równania postaci\nrównoważnej równaniu 𝑧2 -5𝑧+ 6 = 0, gdzie 𝑧≥0.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nZauważmy, że równanie w tym zadaniu jest przykładem równania dwukwadratowego. Dlatego\nw równaniu (𝑥-1)4 -5(𝑥-1)2 + 6 = 0 podstawiamy 𝑧= (𝑥-1)2, gdzie 𝑧≥0, po czym\notrzymujemy równanie kwadratowe z niewiadomą 𝑧:\n𝑧2 -5𝑧+ 6 = 0 𝑧= (𝑥-1)2 gdzie 𝑧≥0\nPrzykładowe zadania z rozwiązaniami\n29\nSposób 1. rozwiązania równania 𝑧2 -5𝑧+ 6 = 0\nRozwiążemy równanie kwadratowe wykorzystując metodę dopełnienia wyrażenia do pełnego\nkwadratu. Przekształcimy równoważnie trójmian kwadratowy po lewej stronie równania:\n(𝑧2 -5𝑧) + 6 = [𝑧2 -2 ⋅5\n2 𝑧+ (5\n2)\n2\n-(5\n2)\n2\n] + 6 = (𝑧-5\n2)\n2\n-25\n4 + 6 =\n= (𝑧-5\n2)\n2\n-1\n4\nRozwiążemy równanie po przekształceniu równoważnym:\n(𝑧-5\n2)\n2\n-1\n4 = 0 zatem (𝑧-5\n2)\n2\n= 1\n4\n|𝑧-5\n2| = 1\n2\n𝑧-5\n2 = 1\n2 lub 𝑧-5\n2 = -1\n2\n𝑧= 3 lub 𝑧= 2\nSposób 2. rozwiązania równania 𝑧2 -5𝑧+ 6 = 0\nObliczymy tzw. wyróżnik równania kwadratowego (zobacz w Wybranych wzorach\nmatematycznych):\nΔ𝑧= 𝑏2 -4𝑎𝑐= (-5)2 -4 ⋅1 ⋅6 = 1.\nPonieważ Δ𝑧> 0 to możemy zastosować gotowe wzory (podane w Wybranych wzorach\nmatematycznych) na rozwiązania równania kwadratowego:\n𝑧1 = -𝑏-√Δz\n2𝑎\n𝑧2 = -𝑏+ √Δz\n2𝑎\nRozwiązania równania kwadratowego:\n𝑧1 = 2 lub 𝑧2 = 3\nPowracamy do podstawienia 𝑧= (𝑥-1)2 i wyznaczamy rozwiązania równania podanego\nw zadaniu:\n(𝑥-1)2 = 2 lub (𝑥-1)2 = 3\n|𝑥-1| = √2 lub |𝑥-1| = √3\nStąd:\n𝑥11 = √2 + 1 lub 𝑥12 = -√2 + 1 lub 𝑥21 = √3 + 1 lub 𝑥22 = -√3 + 1\n30\nInformator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie podstawowym od roku szkolnego 2022/2023","answer":null,"answer_text":null,"solution":"Podstawiamy z=(x-1)², gdzie z≥0, otrzymując równanie kwadratowe:\nz² - 5z + 6 = 0\nΔ=25-24=1, z1=2, z2=3.\nWracamy do podstawienia:\n(x-1)²=2 → x=1±√2\n(x-1)²=3 → x=1±√3\n\nOdpowiedź: x₁=1+√2, x₂=1-√2, x₃=1+√3, x₄=1-√3.","image":"img/informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-podstawowy/zad-13.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":28,"source":"ai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"ai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2023","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny"},{"id":"informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-podstawowy/zad/14","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-podstawowy","number":"14","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2023,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 14. (0-2)\nUdowodnij, że dla każdej liczby naturalnej 𝒏 liczba 𝟐𝟎𝒏𝟐+ 𝟑𝟎𝒏+ 𝟕 przy dzieleniu przez\n𝟓 daje resztę 𝟐.\nWymaganie ogólne\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n1.\nPrzeprowadzanie rozumowań, także kilkuetapowych, podawanie argumentów\nuzasadniających poprawność rozumowania, odróżnianie dowodu od przykładu.\nWymaganie szczegółowe\nI.\nLiczby rzeczywiste. Zdający:\n2) przeprowadza proste dowody dotyczące podzielności liczb całkowitych i reszt\nz dzielenia […].\nZasady oceniania\n2 pkt - przeprowadzenie pełnego dowodu: przekształcenie danego wyrażenia do postaci\n5 ⋅(4𝑛2 + 6𝑛+ 1) + 2 oraz zapisanie, że (4𝑛2 + 6𝑛+ 1) jest liczbą całkowitą.\n1 pkt - przekształcenie danego wyrażenia do postaci 5 ⋅(4𝑛2 + 6𝑛+ 1) + 2.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nKrok 1. dowodu\nPowołamy się na definicję reszty z dzielenia dwóch liczb całkowitych. Liczba całkowita 𝑊 przy\ndzieleniu przez liczbę całkowitą 𝑃 daje resztę całkowitą 𝑅, wtedy, gdy istnieje liczba całkowita\n𝑄 taka, że 𝑊= 𝑃𝑄+ 𝑅 oraz 0 ≤𝑅< 𝑃. (Np. Liczba 22 przy dzieleniu przez 5 daje resztę\nrówną 2, ponieważ 22 = 5 ⋅4 + 2, gdzie 4 jest liczbą całkowitą oraz 2 < 5).\nLiczbę określoną w zadaniu przekształcimy do postaci: 5 ⋅𝑄+ 2:\n20𝑛2 + 30𝑛+ 7 = 20𝑛2 + 30𝑛+ 5 + 2 = 5 ⋅(4𝑛2 + 6𝑛+ 1) + 2\nKrok 2. dowodu\nWykażemy dalej, że 4𝑛2 + 6𝑛+ 1 jest liczbą całkowitą.\nPonieważ 𝑛 jest liczbą naturalną, to 4𝑛2 oraz 6𝑛 są liczbami całkowitymi. Suma tych liczb\ncałkowitych oraz liczby 1 jest liczbą całkowitą.\nZ kroków 1.-2. dowodu wynika, że dla każdej liczby naturalnej 𝑛 liczba 20𝑛2 + 30𝑛+ 7 przy\ndzieleniu przez 5 daje resztę 2.\nPrzykładowe zadania z rozwiązaniami\n31","answer":null,"answer_text":null,"solution":"20n²+30n+7 = 20n²+30n+5+2 = 5(4n²+6n+1)+2.\nPonieważ n jest liczbą naturalną, 4n²+6n+1 jest liczbą całkowitą (dodatnią), więc wyrażenie ma postać 5Q+2 z 0≤2<5.\nZatem liczba 20n²+30n+7 przy dzieleniu przez 5 daje resztę 2, dla każdej liczby naturalnej n. C.n.d.","image":"img/informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-podstawowy/zad-14.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":30,"source":"ai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"ai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2023","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny"},{"id":"informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-podstawowy/zad/15","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-podstawowy","number":"15","points":3,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2023,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 15. (0-3)\nRozważmy dwie kolejne liczby naturalne a i b takie, że obie są niepodzielne przez 3.\nUdowodnij, że liczba 𝒂𝟑+ 𝒃𝟑 jest podzielna przez 𝟗.\nWymaganie ogólne\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n1.\nPrzeprowadzanie rozumowań, także kilkuetapowych, podawanie argumentów\nuzasadniających poprawność rozumowania, odróżnianie dowodu od przykładu.\nWymagania szczegółowe\nI.\nLiczby rzeczywiste. Zdający:\n2) przeprowadza proste dowody dotyczące podzielności liczb całkowitych i reszt\nz dzielenia […].\nII. Wyrażenia algebraiczne. Zdający:\n1) stosuje wzory skróconego mnożenia na: (𝑎+ 𝑏)2, (𝑎-𝑏)2, 𝑎2 -𝑏2, (𝑎+ 𝑏)3,\n(𝑎-𝑏)3, 𝑎3 -𝑏3, 𝑎𝑛-𝑏𝑛.\nZasady oceniania\n3 pkt - przeprowadzenie pełnego dowodu: zapisanie 𝑎3 + 𝑏3 jako 9 ⋅(6𝑘3 + 9𝑘2 + 5𝑘+ 1)\noraz zapisanie, że 6𝑘3 + 9𝑘2 + 5𝑘+ 1 jest liczbą całkowitą (kroki 1.-3. dowodu)\nLUB\n- przeprowadzenie pełnego dowodu: zapisanie 𝑎3 + 𝑏3 jako 54𝑘3 + 81𝑘2 + 45𝑘+ 9\noraz zapisanie, że każdy składnik sumy jest podzielny przez 9.\n2 pkt - zapisanie 𝑎3 + 𝑏3 jako (3𝑘+ 1 )3 + (3𝑘+ 2 )3 oraz przekształcenie tego wyrażenia\ndo postaci równoważnej wyrażeniu 54𝑘3 + 81𝑘2 + 45𝑘+ 9 (kroki 1.-2. dowodu).\n1 pkt - zapisanie liczb 𝑎 i 𝑏 w postaci: 𝑎= 3𝑘+ 1 oraz 𝑏= 3𝑘+ 2, gdzie 𝑘∈{0, 1, 2, 3, 4, … }\n(krok 1. dowodu).\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nKrok 1. dowodu\nDwie kolejne liczby naturalne a i b, niepodzielne przez 3, można zapisać w postaci:\n𝑎= 3𝑘+ 1 oraz 𝑏= 3𝑘+ 2, gdzie 𝑘∈{0, 1, 2, 3, 4, … }\n32\nInformator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie podstawowym od roku szkolnego 2022/2023\nKrok 2. dowodu\nZapiszemy liczbę z wykorzystaniem zapisu (krok 1. dowodu) oraz wzoru na sześcian sumy:\n(3𝑘+ 1 )3 + (3𝑘+ 2 )3 = 27𝑘3 + 27𝑘2 + 9𝑘+ 1 + 27𝑘3 + 54𝑘2 + 36𝑘+ 8 =\n= 54𝑘3 + 81𝑘2 + 45𝑘+ 9 = 9 ⋅(6𝑘3 + 9𝑘2 + 5𝑘+ 1)\nKrok 3. dowodu\nLiczbę 𝑎3 + 𝑏3 zapisaliśmy jako iloczyn liczby 9 oraz liczby 6𝑘3 + 9𝑘2 + 5𝑘+ 1. Dlatego,\naby udowodnić podzielność przez 9, wystarczy wykazać, że drugi czynnik w rozkładzie (krok\n2. dowodu) jest liczbą całkowitą.\nPonieważ 𝑘∈{0, 1, 2, 3, 4, … }, to 6𝑘3, 9𝑘2 oraz 5𝑘 są liczbami całkowitymi. Suma liczb\ncałkowitych oraz liczby 1 jest liczbą całkowitą.\nZ kroków 1.-3. dowodu wynika, że suma sześcianów dwóch kolejnych liczb niepodzielnych\nprzez 3 jest liczbą podzielną przez 9.","answer":null,"answer_text":null,"solution":"Dwie kolejne liczby naturalne a, b niepodzielne przez 3 można zapisać jako:\na=3k+1, b=3k+2, gdzie k∈{0,1,2,...}.\nObliczamy:\na³+b³ = (3k+1)³+(3k+2)³ = (27k³+27k²+9k+1)+(27k³+54k²+36k+8) = 54k³+81k²+45k+9 = 9(6k³+9k²+5k+1).\nPonieważ k jest liczbą całkowitą nieujemną, 6k³+9k²+5k+1 jest liczbą całkowitą.\nZatem a³+b³ jest podzielne przez 9. C.n.d.","image":"img/informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-podstawowy/zad-15.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":31,"source":"ai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"ai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2023","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny"},{"id":"informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-podstawowy/zad/16","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-podstawowy","number":"16","points":3,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2023,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 16. (0-3)\nDany jest wielomian\n𝑊(𝑥) = 3𝑥3 + 𝑚𝑥2 + 3𝑥-2\ngdzie 𝑚 jest pewną liczbą rzeczywistą. Wiadomo, że ten wielomian można zapisać w postaci\niloczynowej:\n𝑊(𝑥) = (𝑥+ 2)𝑄(𝑥)\ngdzie 𝑄(𝑥) jest pewnym trójmianem kwadratowym.\nWyznacz wielomian 𝑸(𝒙) oraz oblicz wszystkie pierwiastki rzeczywiste wielomianu 𝑾(𝒙).\nPrzykładowe zadania z rozwiązaniami\n33\nWymagania ogólne\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji.\n1.\nStosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nI.\nSprawność rachunkowa.\nWykonywanie obliczeń na liczbach rzeczywistych, także przy użyciu kalkulatora,\nstosowanie praw działań matematycznych przy przekształcaniu wyrażeń algebraicznych\noraz wykorzystywanie tych umiejętności przy rozwiązywaniu problemów w kontekstach\nrzeczywistych i teoretycznych.\nWymagania szczegółowe\nII. Wyrażenia algebraiczne. Zdający:\n6) dzieli wielomian jednej zmiennej 𝑊(𝑥) przez dwumian postaci 𝑥-𝑎 ;\nIII. Równania i nierówności. Zdający:\n6) rozwiązuje\nrównania\nwielomianowe\npostaci\n𝑊(𝑥) = 0\ndla\nwielomianów\ndoprowadzonych do postaci iloczynowej […].\nZasady oceniania\ndla rozwiązania sposobem 1.\n3 pkt - poprawna metoda wyznaczenia wielomianu 𝑄(𝑥), obliczenie pierwiastków wielomianu\n𝑊(𝑥) oraz podanie wyników: 𝑄(𝑥) = 3𝑥2 + 2𝑥-1, 𝑥1 = -2, 𝑥2 = -1, 𝑥3 =\n1\n3.\n2 pkt - poprawna metoda wyznaczenia wielomianu 𝑄(𝑥) oraz prawidłowa postać tego\nwielomianu: 𝑄(𝑥) = 3𝑥2 + 2𝑥-1\nLUB\n- poprawna\nmetoda\nwyznaczenia\nwielomianu\n𝑄(𝑥),\nbłędy\nw\nobliczeniach\nwspółczynników a, b, c oraz poprawna metoda wyznaczenia pierwiastków wielomianu\n𝑊(𝑥), tzn.: zapisanie 𝑥+ 2 = 0, 𝑄(𝑥) = 0 oraz rozwiązanie obu równań.\n1 pkt - poprawna metoda wyznaczenia wielomianu 𝑄(𝑥), tzn.: zapisanie równania\n3𝑥3 + 𝑚𝑥2 + 3𝑥-2 = (𝑥+ 2)(𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑐) oraz postępowanie prowadzące do\nwyznaczenia a, b, c: przekształcenie prawej strony do sumy algebraicznej\ni porównywanie współczynników przy tych samych potęgach 𝑥 po lewej i prawej stronie\nrównania.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nZasady oceniania\ndla rozwiązania sposobem 2.\n3 pkt - poprawna metoda wyznaczenia wielomianu 𝑄(𝑥), obliczenie pierwiastków wielomianu\n𝑊(𝑥) oraz podanie wyników: 𝑄(𝑥) = 3𝑥2 + 2𝑥-1, 𝑥1 = -2, 𝑥2 = -1, 𝑥3 =\n1\n3.\n2 pkt - poprawna metoda wyznaczenia wielomianu 𝑄(𝑥), tzn. zastosowanie algorytmu\ndzielenia\nwielomianu\n𝑊(𝑥)\nprzez\ndwumian\n𝑥+ 2\nalbo\nzapisanie\n3𝑥3 + 8𝑥2 + 3𝑥-2 = (𝑥+ 2)(𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑐) oraz postępowanie prowadzące do\nwyznaczenia a, b, c, oraz poprawna postać tego wielomianu: 𝑄(𝑥) = 3𝑥2 + 2𝑥-1\nLUB\n34\nInformator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie podstawowym od roku szkolnego 2022/2023\n- poprawna metoda wyznaczenia wielomianu 𝑄(𝑥), błędy w obliczeniach oraz\npoprawna metoda obliczenia pierwiastków wielomianu 𝑊(𝑥), tzn. zapisanie\n𝑥+ 2 = 0, 𝑄(𝑥) = 0 oraz rozwiązanie obu równań.\n1 pkt - zapisanie, że 𝑊(-2) = 0, oraz poprawne obliczenie współczynnika 𝑚= 8\nLUB\n- zapisanie, że 𝑊(-2) = 0, błędy w obliczeniach przy wyznaczeniu 𝑚 oraz\npostępowanie prowadzące do wyznaczenia wielomianu 𝑄(𝑥), tzn. zastosowanie\nalgorytmu dzielenia wielomianu 𝑊(𝑥) przez dwumian 𝑥+ 2 albo zapisanie\n3𝑥3 + 𝑚𝑥2 + 3𝑥-2 = (𝑥+ 2)(𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑐), oraz postępowanie prowadzące do\nwyznaczenia a, b, c.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nZasady oceniania\ndla rozwiązania sposobem 3.\n3 pkt - poprawna metoda wyznaczenia wielomianu 𝑄(𝑥), obliczenie pierwiastków wielomianu\n𝑊(𝑥) oraz podanie wyników: 𝑄(𝑥) = 3𝑥2 + 2𝑥-1, 𝑥1 = -2, 𝑥2 = -1, 𝑥3 =\n1\n3.\n2 pkt - poprawna metoda wyznaczenia wielomianu 𝑄(𝑥), tzn. zastosowanie algorytmu\ndzielenia wielomianu 𝑊(𝑥) przez dwumian 𝑥+ 2 oraz prawidłowa postać tego\nwielomianu: 𝑄(𝑥) = 3𝑥2 + 2𝑥-1\nLUB\n- poprawna metoda wyznaczenia wielomianu 𝑄(𝑥), błędy w obliczeniach oraz\npoprawna metoda obliczenia pierwiastków wielomianu 𝑊(𝑥), tzn. zapisanie\n𝑥+ 2 = 0, 𝑄(𝑥) = 0 oraz rozwiązanie obu równań.\n1 pkt - zastosowanie algorytmu dzielenia wielomianu 𝑊(𝑥) przez dwumian 𝑥+ 2 oraz\npoprawne obliczenie współczynnika 𝑚= 8.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób 1.\nWykorzystamy informację podaną w zadaniu. Zapiszemy wielomian 𝑊(𝑥) w postaci iloczynu\ndwumianu 𝑥+ 2 i wielomianu 𝑄(𝑥):\n3𝑥3 + 𝑚𝑥2 + 3𝑥-2 = (𝑥+ 2)𝑄(𝑥)\nWielomian 𝑄(𝑥) jest trójmianem kwadratowym, zatem powyższą równość zapiszemy w postaci:\n3𝑥3 + 𝑚𝑥2 + 3𝑥-2 = (𝑥+ 2)(𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑐)\ndla pewnych liczb rzeczywistych a, b, c. Prawą stronę przekształcimy do postaci sumy\nalgebraicznej wyrażeń z potęgą zmiennej 𝑥. Następnie, aby obliczyć współczynniki a, b, c, m\nporównamy wyrażenia z odpowiednimi potęgami zmiennej 𝑥 po prawej i lewej stronie równości:\n3𝑥3 + 𝑚𝑥2 + 3𝑥-2 = 𝑎𝑥3 + 𝑏𝑥2 + 𝑐𝑥+ 2𝑎𝑥2 + 2𝑏𝑥+ 2𝑐\n3𝑥3 + 𝑚𝑥2 + 3𝑥-2 = 𝑎𝑥3 + (𝑏+ 2𝑎)𝑥2 + (𝑐+ 2𝑏)𝑥+ 2𝑐\nPrzykładowe zadania z rozwiązaniami\n35\nWspółczynniki przy kolejnych potęgach 𝑥 muszą być równe, zatem:\n{\n3 = 𝑎\n𝑚= 𝑏+ 2𝑎\n3 = 𝑐+ 2𝑏\n-2 = 2𝑐\nstąd {\n𝑎= 3\n𝑏= 2\n𝑐= -1\n𝑚= 8\nWielomian 𝑄(𝑥) ma postać 𝑄(𝑥) = 3𝑥2 + 2𝑥-1. Pierwiastki wielomianu 𝑊(𝑥) obliczymy\nz jego postaci iloczynowej:\n𝑊(𝑥) = (𝑥+ 2)(3𝑥2 + 2𝑥-1) = 0\nstąd\n𝑥+ 2 = 0 lub 3𝑥2 + 2𝑥-1 = 0\n𝑥= -2 lub 𝑥= -1 lub 𝑥= 1\n3\nSposób 2.\nWyznaczymy jeden z pierwiastków 𝑊(𝑥). Wykorzystamy informację o rozkładzie wielomianu\n𝑊(𝑥) na czynniki:\n𝑊(𝑥) = (𝑥+ 2)𝑄(𝑥) = 0\nstąd 𝑥+ 2 = 0 czyli 𝑥= -2\nObliczymy 𝑚. Ponieważ 𝑊(-2) = 0, to:\n𝑊(-2) = 3 ⋅(-2)3 + 𝑚(-2)2 + 3 ⋅(-2) -2 = 0\n-24 + 4𝑚-8 = 0\n𝑚= 8\nZatem:\n𝑊(𝑥) = 𝑥3 + 8𝑥2 + 3𝑥-2\nWyznaczymy 𝑄(𝑥) - zastosujemy algorytm dzielenia wielomianów:\n𝑊(𝑥) = (𝑥+ 2)𝑄(𝑥) stąd 𝑊(𝑥): (𝑥+ 2) = 𝑄(𝑥)\n(3𝑥3 + 8𝑥2 + 3𝑥-2): (𝑥+ 2) = 3𝑥2 + 2𝑥-1\n-(3𝑥3 + 6𝑥2)\n2𝑥2 + 3𝑥-2\n-(2𝑥2 + 4𝑥)\n-𝑥-2\n-(-𝑥-2)\n0\nZatem:\n𝑄(𝑥) = 3𝑥2 + 2𝑥-1\n36\nInformator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie podstawowym od roku szkolnego 2022/2023\nPozostałe pierwiastki wielomianu 𝑊(𝑥) = 3𝑥3 + 8𝑥2 + 3𝑥-2 obliczymy korzystając z jego\npostaci iloczynowej, gdy znamy 𝑄(𝑥):\n𝑊(𝑥) = (𝑥+ 2)(3𝑥2 + 2𝑥-1) = 0\nstąd:\n𝑥+ 2 = 0 lub 3𝑥2 + 2𝑥-1 = 0\n𝑥= -2 lub 𝑥= -1 lub 𝑥= 1\n3\nSposób 3.\nWykorzystamy informację podaną w zadaniu o rozkładzie 𝑊(𝑥) na czynniki:\n3𝑥3 + 𝑚𝑥2 + 3𝑥-2 = (𝑥+ 2)𝑄(𝑥)\nZ powyższego zapisu iloczynowego wynika, że: 𝑄(𝑥) = (3𝑥3 + 𝑚𝑥2 + 3𝑥-2): (𝑥+ 2).\nZastosujemy algorytm dzielenia wielomianów:\n(3𝑥3 + 𝑚𝑥2 + 3𝑥-2): (𝑥+ 2) = 3𝑥2 + (𝑚-6)𝑥+ 15 -2𝑚\n-(3𝑥3 + 6𝑥2)\n(𝑚-6)𝑥2 + 3𝑥\n-(𝑚-6)𝑥2 -(2𝑚-12)𝑥\n(3 -2𝑚+ 12)𝑥-2\n-(15 -2𝑚)𝑥-30 + 4𝑚\n-32 + 4𝑚\nZatem:\n𝑄(𝑥) = 3𝑥2 + (𝑚-6)𝑥+ 15 -2𝑚\na reszta z dzielenia 𝑊(𝑥) przez (𝑥+ 2) jest dana wyrażeniem:\n𝑅(𝑥) = -32 + 4𝑚\nNa podstawie zapisu iloczynowego 𝑊(𝑥) = (𝑥+ 2)𝑄(𝑥) wnioskujemy, że reszta z dzielenia\n𝑊(𝑥): (𝑥+ 2) jest równa zero:\n𝑅(𝑥) = 0 zatem -32 + 4𝑚= 0 więc 𝑚= 8\nStąd:\n𝑄(𝑥) = 3𝑥2 + (8 -6)𝑥+ 15 -2𝑚= 3𝑥2 + 2𝑥-1\nPozostałe pierwiastki wielomianu 𝑊(𝑥) = (𝑥+ 2)(3𝑥2 + 2𝑥-1) obliczymy rozwiązując\nrównanie 𝑄(𝑥) = 0:\n3𝑥2 + 2𝑥-1 = 0\n𝑥1 = 1\n3 lub 𝑥2 = -1\nPrzykładowe zadania z rozwiązaniami\n37\nFUNKCJE, CIĄGI, OPTYMALIZACJA","answer":null,"answer_text":null,"solution":"Zapisujemy W(x)=(x+2)(ax²+bx+c) i porównujemy współczynniki:\n3x³+mx²+3x-2 = ax³+(b+2a)x²+(c+2b)x+2c\nStąd: a=3, 2c=-2→c=-1, c+2b=3→b=2, m=b+2a=2+6=8.\nZatem Q(x) = 3x²+2x-1.\n\nPierwiastki W(x): (x+2)(3x²+2x-1)=0\nx+2=0 → x=-2\n3x²+2x-1=0 → Δ=4+12=16, x=(-2±4)/6 → x=1/3 lub x=-1\n\nOdpowiedź: Q(x)=3x²+2x-1; pierwiastki W(x): x=-2, x=-1, x=1/3.","image":"img/informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-podstawowy/zad-16.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":32,"source":"ai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"ai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2023","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny"},{"id":"informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-podstawowy/zad/17","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-podstawowy","number":"17","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2023,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 17. (0-1)\nDana jest funkcja 𝑓 określona wzorem 𝑓(𝑥) = 𝑥3 -𝑏-5√2 dla każdej liczby rzeczywistej 𝑥.\nMiejscem zerowym funkcji 𝑓 jest 𝑥= √2 + 1.\nDokończ zdanie. Zaznacz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nWspółczynnik 𝑏 we wzorze funkcji 𝑓 jest równy\nA. 𝑏= 1\nB. 𝑏= 7\nC. 𝑏= 1 -3√2\nD. 𝑏= 3 -3√2\nWymagania ogólne\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji.\n1.\nStosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nI.\nSprawność rachunkowa.\nWykonywanie obliczeń na liczbach rzeczywistych, także przy użyciu kalkulatora,\nstosowanie praw działań matematycznych przy przekształcaniu wyrażeń algebraicznych\noraz wykorzystywanie tych umiejętności przy rozwiązywaniu problemów w kontekstach\nrzeczywistych i teoretycznych.\nWymaganie szczegółowe\nV. Funkcje. Zdający:\n2) Oblicza wartość funkcji zadanej wzorem algebraicznym\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nB\n38\nInformator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie podstawowym od roku szkolnego 2022/2023","answer":"B","answer_text":null,"solution":"f(x)=x³-b-5√2. Miejsce zerowe x=√2+1, więc f(√2+1)=0: (√2+1)³-b-5√2=0. (√2+1)³=(√2)³+3·(√2)²·1+3·√2·1²+1³=2√2+6+3√2+1=7+5√2. Zatem 7+5√2-b-5√2=0, więc b=7.","image":"img/informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-podstawowy/zad-17.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":37,"source":"ai","answer_source":"ai","answer_text_source":null,"solution_source":"ai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2023","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny"},{"id":"informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-podstawowy/zad/18","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-podstawowy","number":"18","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2023,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 18. (0-1)\nFunkcja kwadratowa 𝑓 jest określona wzorem 𝑓(𝑥) = 3𝑥2 + 𝑏𝑥-5 dla każdej liczby\nrzeczywistej 𝑥. Współczynnik 𝑏 jest liczbą rzeczywistą mniejszą od zera.\nDokończ zdanie. Zaznacz odpowiedź A, B albo C oraz jej uzasadnienie 1., 2. albo 3.\nFunkcja 𝑓\nA.\nma dwa rzeczywiste miejsca zerowe,\nponieważ\n1.\n𝑏2 + 60 > 0.\nB.\nma jedno rzeczywiste miejsce zerowe,\n2.\n𝑏2 + 60 = 0.\nC.\nnie ma rzeczywistych miejsc zerowych,\n3.\n𝑏2 + 60 < 0.\nWymagania ogólne\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji.\n1.\nStosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\n3.\nTworzenie pomocniczych obiektów matematycznych na podstawie istniejących,\nw celu przeprowadzenia argumentacji lub rozwiązania problemu.\nWymagania szczegółowe\nIII. Równania i nierówności. Zdający:\n4) Rozwiązuje równania i nierówności kwadratowe.\nV. Funkcje. Zdający:\n8) interpretuje współczynniki występujące we wzorze funkcji kwadratowej w postaci\nogólnej, kanonicznej i iloczynowej (jeśli istnieje);\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepełna lub niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nA1\nPrzykładowe zadania z rozwiązaniami\n39","answer":"A","answer_text":null,"solution":null,"image":"img/informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-podstawowy/zad-18.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":38,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2023","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny"},{"id":"informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-podstawowy/zad/19","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-podstawowy","number":"19","points":null,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2023,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 19.\nDana jest funkcja 𝑦= 𝑓(𝑥), której wykres przedstawiono\nw kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) na\nrysunku obok.\nTa funkcja jest określona dla każdej liczby rzeczywistej\n𝑥∈[-5, 8].","answer":null,"answer_text":null,"solution":null,"image":"img/informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-podstawowy/zad-19.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":39,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2023","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny"},{"id":"informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-podstawowy/zad/19.1","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-podstawowy","number":"19.1","points":1,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2023,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 19.1. (0-1)\nZapisz w miejscu wykropkowanym poniżej zbiór\nrozwiązań nierówności:\n𝒇(𝒙) > 𝟐\nWymaganie ogólne\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji.\n1.\nStosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nWymaganie szczegółowe\nV. Funkcje. Zdający:\n4) odczytuje z wykresu funkcji: […] przedziały, w których funkcja przyjmuje wartości\nwiększe (nie mniejsze) lub mniejsze (nie większe) od danej liczby […].\nZasady oceniania\n1 pkt - rozwiązanie poprawne.\n0 pkt - rozwiązanie niepoprawne lub niepełne albo brak rozwiązania.\nPełne rozwiązanie\n[-5, -1) ∪(7,8]","answer":null,"answer_text":null,"solution":"Z wykresu funkcji f odczytujemy zbiór argumentów, dla których f(x)>2: x ∈ [-5,-1) ∪ (7,8].","image":"img/informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-podstawowy/zad-19.1.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":39,"source":"ai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"ai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2023","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny"},{"id":"informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-podstawowy/zad/19.2","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-podstawowy","number":"19.2","points":1,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2023,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 19.2. (0-1)\nZapisz w miejscu wykropkowanym poniżej maksymalny przedział lub maksymalne\nprzedziały, w których funkcja 𝒇 jest malejąca.\nWymaganie ogólne\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji.\n1.\nStosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\n-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8\n𝑦\n𝑥\n𝑓\n8\n6\n4\n2\n- 2\n- 4\n- 6\n- 8\n40\nInformator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie podstawowym od roku szkolnego 2022/2023\nWymaganie szczegółowe\nV. Funkcje. Zdający:\n4) odczytuje z wykresu funkcji […] przedziały monotoniczności […].\nZasady oceniania\n1 pkt - rozwiązanie poprawne.\n0 pkt - rozwiązanie niepoprawne lub niepełne albo brak rozwiązania.\nPełne rozwiązanie\n[-3, 3]","answer":null,"answer_text":null,"solution":"Z wykresu funkcji f odczytujemy przedział, w którym funkcja jest malejąca: x ∈ [-3, 3].","image":"img/informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-podstawowy/zad-19.2.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":39,"source":"ai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"ai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2023","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny"},{"id":"informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-podstawowy/zad/19.3","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-podstawowy","number":"19.3","points":1,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2023,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 19.3. (0-1)\nUzupełnij zdanie. Wpisz odpowiednie liczby w wykropkowanych miejscach, aby zdanie\nbyło prawdziwe.\nNajwiększa wartość funkcji 𝑓 jest równa liczbie , a najmniejsza wartość funkcji 𝑓 jest\nrówna liczbie\nWymaganie ogólne\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji.\n1.\nStosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nWymaganie szczegółowe\nV. Funkcje. Zdający:\n4) odczytuje z wykresu funkcji […] największe i najmniejsze wartości funkcji (o ile\nistnieją) w danym przedziale domkniętym.\nZasady oceniania\n1 pkt - rozwiązanie poprawne.\n0 pkt - rozwiązanie niepoprawne lub niepełne albo brak rozwiązania.\nPełne rozwiązania\nSposób 1. zapisu rozwiązania\nNajwiększa wartość funkcji 𝑓 jest równa liczbie , a najmniejsza wartość funkcji 𝑓 jest\nrówna liczbie\nSposób 2. zapisu rozwiązania\nNajwiększa wartość funkcji 𝑓 jest równa liczbie , a najmniejsza wartość funkcji 𝑓 jest\nrówna liczbie\n6\n-6\n𝑦= 6\n𝑦= -6\nPrzykładowe zadania z rozwiązaniami\n41","answer":null,"answer_text":null,"solution":"Z wykresu funkcji f odczytujemy: największa wartość funkcji f jest równa 6, a najmniejsza wartość funkcji f jest równa -6.","image":"img/informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-podstawowy/zad-19.3.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":40,"source":"ai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"ai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2023","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny"},{"id":"informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-podstawowy/zad/20","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-podstawowy","number":"20","points":2,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2023,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 20. (0-2)\nDana jest funkcja 𝑦= 𝑓(𝑥), której wykres przedstawiono\nw kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) na rysunku obok.\nTa funkcja jest określona dla 𝑥∈[-3, 5]. Funkcje 𝑔 oraz ℎ są\nokreślone za pomocą funkcji 𝑓 następująco:\n𝑦= 𝑔(𝑥) = 𝑓(𝑥+ 2) 𝑦= ℎ(𝑥) = 𝑓(-𝑥)\nNa rysunkach A-F przedstawiono wykresy różnych funkcji -\nw tym wykresy funkcji 𝑔 oraz ℎ.\nKażdej z funkcji 𝒚= 𝒈(𝒙) oraz 𝒚= 𝒉(𝒙) przyporządkuj jej wykres. Wpisz obok symboli\nfunkcji w tabeli poniżej właściwe odpowiedzi wybrane spośród A-F.\nNr zadania\nFunkcja\nRysunek\n20.1.\n𝑦= 𝑔(𝑥)\n20.2.\n𝑦= ℎ(𝑥)\nA.\nB.\nC.\nD.\nE.\nF.\n-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8\n𝑦\n𝑥\n𝑓\n8\n6\n4\n2\n- 2\n- 4\n- 6\n- 8\n-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8\n𝑦\n𝑥\n8\n6\n4\n2\n- 2\n- 4\n- 6\n- 8\n-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8\n𝑦\n𝑥\n8\n6\n4\n2\n- 2\n- 4\n- 6\n- 8\n-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8\n𝑦\n𝑥\n8\n6\n4\n2\n- 2\n- 4\n- 6\n- 8\n-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8\n𝑦\n𝑥\n8\n6\n4\n2\n- 2\n- 4\n- 6\n- 8\n-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8\n𝑦\n𝑥\n8\n6\n4\n2\n- 2\n- 4\n- 6\n- 8\n-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8\n𝑦\n𝑥\n8\n6\n4\n2\n- 2\n- 4\n- 6\n- 8\n42\nInformator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie podstawowym od roku szkolnego 2022/2023\nWymaganie ogólne\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji.\n1.\nStosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nWymaganie szczegółowe\nV. Funkcje. Zdający:\n12) na podstawie wykresu funkcji 𝑦= 𝑓(𝑥) szkicuje wykresy funkcji 𝑦= 𝑓(𝑥-𝑎),\n𝑦= 𝑓(𝑥) + 𝑏, 𝑦= -𝑓(𝑥), 𝑦= 𝑓(-𝑥).\nZasady oceniania\n2 pkt - prawidłowe przyporządkowanie wykresów dla obu funkcji.\n1 pkt - prawidłowe przyporządkowanie wykresu dla jednej funkcji.\n0 pkt - rozwiązanie niepoprawne albo brak rozwiązania.\nPełne rozwiązanie\nNr zadania\nFunkcja\nRysunek\n20.1.\n𝑦= 𝑔(𝑥)\nD\n20.2.\n𝑦= ℎ(𝑥)\nB\nPrzykładowe zadania z rozwiązaniami\n43","answer":"20.1-D, 20.2-B","answer_text":null,"solution":"g(x)=f(x+2) to przesunięcie wykresu f o 2 jednostki w lewo - odpowiada wykresowi D.\nh(x)=f(-x) to odbicie wykresu f względem osi Oy - odpowiada wykresowi B.\nOdpowiedzi: 20.1 - D, 20.2 - B.","image":"img/informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-podstawowy/zad-20.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":41,"source":"ai","answer_source":"ai","answer_text_source":null,"solution_source":"ai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2023","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny"},{"id":"informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-podstawowy/zad/21","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-podstawowy","number":"21","points":null,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2023,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 21.\nWzór funkcji kwadratowej można zapisać w postaci ogólnej, kanonicznej lub iloczynowej (o ile\nistnieje).","answer":null,"answer_text":null,"solution":null,"image":"img/informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-podstawowy/zad-21.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":43,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2023","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny"},{"id":"informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-podstawowy/zad/21.1","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-podstawowy","number":"21.1","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2023,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 21.1. (0-1)\nDana jest funkcja kwadratowa 𝑦= 𝑓(𝑥), której fragment wykresu przedstawiono\nw kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) na rysunku poniżej.\nDokończ zdanie. Zaznacz właściwą odpowiedź spośród podanych, jeżeli wiadomo, że\njeden ze wzorów podanych w odpowiedziach A-D to wzór funkcji 𝒇.\nFunkcja kwadratowa 𝑦= 𝑓(𝑥) jest określona wzorem\nA. 𝑦= -(𝑥+ 5)2 -6\nB. 𝑦= -(𝑥+ 5)2 + 6\nC. 𝑦= -(𝑥-5)2 -6\nD. 𝑦= -(𝑥-5)2 + 6\nWymaganie ogólne\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji.\n1.\nStosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nWymagania szczegółowe\nV. Funkcje. Zdający:\n8) interpretuje współczynniki występujące we wzorze funkcji kwadratowej w postaci\nogólnej, kanonicznej i iloczynowej (jeśli istnieje);\n9) wyznacza wzór funkcji kwadratowej na podstawie informacji o tej funkcji lub o jej\nwykresie.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nB\n-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8\n𝑦\n𝑥\n𝑓\n8\n6\n4\n2\n- 2\n- 4\n- 6\n- 8\n44\nInformator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie podstawowym od roku szkolnego 2022/2023","answer":"B","answer_text":null,"solution":"Z wykresu odczytujemy wierzchołek paraboli w punkcie (-5,6) oraz ramiona skierowane w dół, co odpowiada wzorowi y=-(x+5)²+6.","image":"img/informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-podstawowy/zad-21.1.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":43,"source":"ai","answer_source":"ai","answer_text_source":null,"solution_source":"ai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2023","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny"},{"id":"informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-podstawowy/zad/21.2","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-podstawowy","number":"21.2","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2023,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 21.2. (0-2)\nDo wykresu pewnej funkcji kwadratowej 𝑦= 𝑔(𝑥) należy punkt o współrzędnych 𝑃= (2, -6).\nOsią symetrii wykresu tej funkcji jest prosta o równaniu 𝑥= 3, a jednym z miejsc zerowych\nfunkcji 𝑔 jest 𝑥1 = 1.\nWyznacz i zapisz wzór funkcji 𝒚= 𝒈(𝒙) w postaci iloczynowej.\nWymaganie ogólne\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji.\n1.\nStosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nWymagania szczegółowe\nV. Funkcje. Zdający:\n8) interpretuje współczynniki występujące we wzorze funkcji kwadratowej w postaci\nogólnej, kanonicznej i iloczynowej (jeśli istnieje);\n9) wyznacza wzór funkcji kwadratowej na podstawie informacji o tej funkcji lub o jej\nwykresie.\nZasady oceniania\n2 pkt - poprawna metoda wyznaczenia postaci iloczynowej funkcji 𝑔 oraz zapisanie jej wzoru:\n𝑦= 𝑔(𝑥) = 2(𝑥-1)(𝑥-5).\n1 pkt - zapisanie wzoru funkcji 𝑔 w postaci 𝑦= 𝑔(𝑥) = 𝑎(𝑥-1)(𝑥-5).\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób 1.\nZauważmy, że punkt przecięcia osi symetrii funkcji kwadratowej z osią 𝑂𝑥 jest środkiem\nodcinka, którego końcami są miejsca zerowe tej funkcji. Zatem:\n𝑥𝑠= 𝑥1 + 𝑥2\n2\nzatem 3 = 1 + 𝑥2\n2\nstąd 𝑥2 = 5\nZapiszemy wzór funkcji 𝑔 w postaci iloczynowej dla pewnego rzeczywistego współczynnika 𝑎:\n𝑦= 𝑔(𝑥) = 𝑎(𝑥-1)(𝑥-5)\nPrzykładowe zadania z rozwiązaniami\n45\nObliczymy 𝑎. Wykres funkcji przechodzi przez punkt 𝑃= (2, -6) zatem:\n-6 = 𝑎(2 -1)(2 -5) czyli -6 = 𝑎⋅(-3) zatem 𝑎= 2\nWzór funkcji 𝑦= 𝑔(𝑥) w postaci iloczynowej ma postać:\n𝑦= 𝑔(𝑥) = 2(𝑥-1)(𝑥-5)\nSposób 2.\nNaszkicujemy fragment wykresu funkcji kwadratowej 𝑦= 𝑔(𝑥), który spełnia warunki:\n1) przechodzi przez punkt 𝑃= (2, -6),\n2) posiada oś symetrii 𝑥= 3,\n3) przecina oś 𝑥 w punkcie (1,0) (miejsce zerowe funkcji 𝑔 to 𝑥1 = 1).\nDrugie miejsce zerowe funkcji 𝑔 jest położone symetrycznie do 𝑥1 = 1 względem prostej\n𝑥= 3. Zatem drugim miejscem zerowym jest 𝑥2 = 5. Zapiszemy oba miejsca zerowe:\n𝑥1 = 1 𝑥2 = 5\nZapiszemy wzór funkcji 𝑔 w postaci iloczynowej dla pewnego rzeczywistego współczynnika 𝑎:\n𝑦= 𝑔(𝑥) = 𝑎(𝑥-1)(𝑥-5)\nWyznaczymy 𝑎. Wykres funkcji przechodzi przez punkt 𝑃= (2, -6), zatem:\n-6 = 𝑎(2 -1)(2 -5)\nStąd 𝑎= 2.\nWzór funkcji 𝑦= 𝑔(𝑥) w postaci iloczynowej ma postać:\n𝑦= 𝑔(𝑥) = 2(𝑥-1)(𝑥-5)\n-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8\n𝑦\n𝑥\n𝑔\n8\n6\n4\n2\n- 2\n- 4\n- 6\n- 8\n𝑥= 3\n𝑃\n46\nInformator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie podstawowym od roku szkolnego 2022/2023","answer":null,"answer_text":null,"solution":"Oś symetrii x=3 jest równoodległa od obu miejsc zerowych, więc drugie miejsce zerowe x2 spełnia: 3=(1+x2)/2, stąd x2=5.\nWzór funkcji: g(x)=a(x-1)(x-5).\nPodstawiamy punkt P=(2,-6): -6=a(2-1)(2-5)=a·(-3), stąd a=2.\n\nOdpowiedź: g(x) = 2(x-1)(x-5).","image":"img/informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-podstawowy/zad-21.2.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":44,"source":"ai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"ai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2023","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny"},{"id":"informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-podstawowy/zad/22","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-podstawowy","number":"22","points":null,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2023,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 22.\nNa podstawie zasad dynamiki można udowodnić, że torem rzutu - przy pominięciu oporów\npowietrza - jest fragment paraboli. Koszykarz wykonał rzut do kosza z odległości 𝑥𝑘= 7,01 m,\nlicząc od środka piłki do środka obręczy kosza w linii poziomej. Do opisu toru ruchu przyjmiemy\nukład współrzędnych, w którym środek piłki w chwili początkowej znajdował się w punkcie\n𝑥0 = 0, 𝑦0 = 2,50 m. Środek piłki podczas rzutu poruszał się po paraboli danej równaniem:\n𝑦= -0,174𝑥2 + 1,3𝑥+ 2,5\nRzut okazał się udany, a środek piłki przeszedł dokładnie przez środek kołowej obręczy kosza.\nNa rysunku poniżej przedstawiono tę sytuację oraz tor ruchu piłki w układzie współrzędnych.","answer":null,"answer_text":null,"solution":null,"image":"img/informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-podstawowy/zad-22.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":46,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2023","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny"},{"id":"informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-podstawowy/zad/22.1","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-podstawowy","number":"22.1","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2023,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 22.1. (0-1)\nDokończ zdanie. Zaznacz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nObręcz kosza znajduje się na wysokości (podanej w zaokrągleniu z dokładnością do 0,01 m)\nA. 3,04 m\nB. 3,06 m\nC. 3,80 m\nD. 4,93 m\n7,01\n𝑦, m\n2,5\n𝑥, m\n(0,0)\nPrzykładowe zadania z rozwiązaniami\n47\nWymagania ogólne\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji.\n2.\nDobieranie i tworzenie modeli matematycznych przy rozwiązywaniu problemów\npraktycznych i teoretycznych.\nII\nWykorzystanie i tworzenie informacji.\n1.\nInterpretowanie i operowanie informacjami przedstawionymi w tekście, zarówno\nmatematycznym, jak i popularnonaukowym, a także w formie wykresów, diagramów,\ntabel.\nWymaganie szczegółowe\nV. Funkcje. Zdający:\n11) wykorzystuje własności funkcji […] kwadratowej do interpretacji zagadnień\ngeometrycznych, fizycznych itp., także osadzonych w kontekście praktycznym.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nB","answer":"B","answer_text":null,"solution":"Wysokość obręczy odpowiada wartości y dla x=7,01: y=-0,174·7,01²+1,3·7,01+2,5 = -8,549...+9,113+2,5 ≈ 3,06 m.","image":"img/informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-podstawowy/zad-22.1.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":46,"source":"ai","answer_source":"ai","answer_text_source":null,"solution_source":"ai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2023","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny"},{"id":"informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-podstawowy/zad/22.2","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-podstawowy","number":"22.2","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2023,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 22.2. (0-2)\nOblicz wysokość maksymalną, na jaką wzniesie się środek piłki podczas opisanego\nrzutu. Zapisz wynik w zaokrągleniu do drugiego miejsca po przecinku.\nWymagania ogólne\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji.\n2.\nDobieranie i tworzenie modeli matematycznych przy rozwiązywaniu problemów\npraktycznych i teoretycznych.\nII\nWykorzystanie i tworzenie informacji.\n1.\nInterpretowanie i operowanie informacjami przedstawionymi w tekście, zarówno\nmatematycznym, jak i popularnonaukowym, a także w formie wykresów, diagramów,\ntabel.\n48\nInformator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie podstawowym od roku szkolnego 2022/2023\nWymagania szczegółowe\nV. Funkcje. Zdający:\n10) wyznacza największą i najmniejszą wartość funkcji kwadratowej w przedziale\ndomkniętym;\n11) wykorzystuje własności funkcji […] kwadratowej do interpretacji zagadnień\ngeometrycznych, fizycznych itp., także osadzonych w kontekście praktycznym.\nZasady oceniania\n2 pkt - poprawna metoda rozwiązania oraz zapisanie wyniku 4,93 m.\n1 pkt - zastosowanie wzoru na wierzchołek paraboli oraz prawidłowe podstawienie wszystkich\ndanych liczbowych do tego wzoru\nLUB\n- zapisanie wzoru funkcji w postaci 𝑦= -0,174(𝑥-𝑝)2 + 𝑞 oraz zidentyfikowanie 𝑞\njako współrzędnej wierzchołka paraboli lub wysokości maksymalnej rzutu.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób 1.\nWysokość maksymalna, na jaką wzniesie się środek piłki, jest równa współrzędnej 𝑦\nwierzchołka paraboli. Skorzystamy z gotowego wzoru na wierzchołek paraboli (zobacz\nw Wybranych wzorach matematycznych):\nℎ𝑚𝑎𝑥= 𝑦𝑤= -𝑏2 -4𝑎𝑐\n4𝑎\n= -1,32 + 4 ⋅0,174 ⋅2,5\n4 ⋅(-0,174)\n= 4,928 … ≈4,93 m\nSposób 2.\nWysokość maksymalna, na jaką wzniesie się środek piłki, jest równa współrzędnej 𝑦\nwierzchołka paraboli. Wartość tę możemy wyznaczyć przekształcając wzór funkcji\nkwadratowej 𝑦= -0,174𝑥2 + 1,3𝑥+ 2,5 do postaci kanonicznej:\n𝑦= -0,174(𝑥-𝑝)2 + 𝑞\ngdzie:\nℎ𝑚𝑎𝑥= 𝑦𝑤= 𝑞\n𝑦= -0,174𝑥2 + 1,3𝑥+ 2,5 = -0,174 (𝑥2 + 1,3\n0,174 𝑥) + 2,5 =\n= -0,174 ⋅[(𝑥+\n1,3\n2 ⋅0,174)\n2\n-(\n1,3\n2 ⋅0,174)\n2\n] + 2,5 =\n= -0,174 ⋅(𝑥+\n1,3\n2 ⋅0,174)\n2\n+ 0,174 ⋅(\n1,3\n2 ⋅0,174)\n2\n+ 2,5\nZatem:\nℎ𝑚𝑎𝑥= 𝑦𝑤= 𝑞= 0,174 ⋅(\n1,3\n2 ⋅0,174)\n2\n+ 2,5 = 4,9281609 … ≈4,93 m\nPrzykładowe zadania z rozwiązaniami\n49","answer":null,"answer_text":null,"solution":"Wysokość maksymalna to rzędna wierzchołka paraboli y=-0,174x²+1,3x+2,5:\nh_max = yw = -Δ/(4a) = -(b²-4ac)/(4a) = -(1,3²+4·0,174·2,5)/(4·(-0,174)) = 4,928... ≈ 4,93 m.\n\nOdpowiedź: h_max ≈ 4,93 m.","image":"img/informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-podstawowy/zad-22.2.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":47,"source":"ai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"ai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2023","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny"},{"id":"informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-podstawowy/zad/22.3","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-podstawowy","number":"22.3","points":3,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2023,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 22.3. (0-3)\nW opisanym rzucie piłka przeleciała swobodnie przez obręcz kosza i upadła na parkiet.\nPrzyjmij, że obręcz kosza nie miała siatki, a na drodze rzutu nie było żadnej przeszkody.\nPromień piłki jest równy 0,12 m.\nOblicz współrzędną 𝒙 punktu środka piłki w momencie, w którym piłka dotknęła\nparkietu. Zapisz wynik w zaokrągleniu do drugiego miejsca po przecinku.\nWymagania ogólne\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji.\n2.\nDobieranie i tworzenie modeli matematycznych przy rozwiązywaniu problemów\npraktycznych i teoretycznych.\nII\nWykorzystanie i tworzenie informacji.\n1.\nInterpretowanie i operowanie informacjami przedstawionymi w tekście, zarówno\nmatematycznym, jak i popularnonaukowym, a także w formie wykresów, diagramów,\ntabel.\nWymaganie szczegółowe\nV. Funkcje. Zdający:\n11) wykorzystuje własności funkcji […] kwadratowej do interpretacji zagadnień\ngeometrycznych, fizycznych itp., także osadzonych w kontekście praktycznym.\nZasady oceniania\n3 pkt - poprawna metoda wyznaczenia współrzędnej 𝑥 oraz zapisanie wyniku 8,99 m.\n2 pkt - poprawne rozwiązanie równania 0,174𝑥2 -1,3𝑥-2,38 = 0.\n1 pkt - zapisanie równania 0,12 = -0,174𝑥2 + 1,3𝑥+ 2,5 lub dwóch równań:\n𝑦= -0,174𝑥2 + 1,3𝑥+ 2,5 i 𝑦= 0,12.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nZauważmy, że w momencie gdy piłka upadła i dotknęła parkietu, to punkt środka piłki należy\ndo paraboli oraz znajduje się na wysokości 0,12 m ponad parkietem. Zatem współrzędne\nśrodka piłki (𝑥, 𝑦) spełniają równanie paraboli, a współrzędna 𝑦= 0,12 m. Zapiszemy układ\nrównań i rozwiążemy go:\n{𝑦= -0,174𝑥2 + 1,3𝑥+ 2,5\n𝑦= 0,12\n50\nInformator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie podstawowym od roku szkolnego 2022/2023\n0,12 = -0,174𝑥2 + 1,3𝑥+ 2,5\n0,174𝑥2 -1,3𝑥-2,38 = 0\nRozwiązaniami powyższego równania kwadratowego są liczby:\n𝑥1 = 1,3 -√3,34648\n0,348\n𝑥1 = 1,3 + √3,34648\n0,348\n𝑥1 ≈-1,52 𝑥2 ≈8,99\nWspółrzędna 𝑥 punktu środka piłki w momencie, w którym piłka dotknęła parkietu, jest równa\nw przybliżeniu 8,99 m.","answer":null,"answer_text":null,"solution":"Piłka dotyka parkietu, gdy y=0,12 (uwzględniając promień piłki 0,12 m):\n0,12 = -0,174x²+1,3x+2,5\n0,174x²-1,3x-2,38=0\nΔ=1,3²+4·0,174·2,38=1,69+1,65648=3,34648, √Δ≈1,8294\nx = (1,3±1,8294)/0,348\nx1≈-1,52 (odrzucamy, ujemne) lub x2≈8,99.\n\nOdpowiedź: x ≈ 8,99 m.","image":"img/informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-podstawowy/zad-22.3.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":49,"source":"ai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"ai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2023","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny"},{"id":"informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-podstawowy/zad/23","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-podstawowy","number":"23","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2023,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 23. (0-2)\nDany jest ciąg (𝑎𝑛) określony wzorem rekurencyjnym:\n{𝑎1 = -2\n𝑎𝑛+1 = 𝑛⋅𝑎𝑛+ 4 dla każdej liczby naturalnej 𝑛≥1.\nOblicz sumę czterech początkowych wyrazów ciągu (𝒂𝒏).\nWymagania ogólne\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji.\n1.\nStosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nI.\nSprawność rachunkowa.\nWymaganie szczegółowe\nVI. Ciągi. Zdający:\n2) Oblicza początkowe wyrazy ciągów określonych rekurencyjnie […].\nZasady oceniania\n2 pkt - poprawne obliczenie drugiego, trzeciego i czwartego wyrazu ciągu (𝑎𝑛) oraz ich sumy:\n𝑆4 = 36.\n1 pkt - poprawne obliczenie drugiego, trzeciego i czwartego wyrazu ciągu (𝑎𝑛):\n𝑎2 = 2, 𝑎3 = 8, 𝑎4 = 28.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe zadania z rozwiązaniami\n51\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nObliczymy cztery kolejne wyrazy ciągu, stosując kolejno wzór rekurencyjny:\n{\n𝑎1 = -2\n𝑎2 = 1 ⋅𝑎1 + 4 = 1 ⋅(-2) + 4 = 2\n𝑎3 = 2 ⋅𝑎2 + 4 = 2 ⋅2 + 4 = 8\n𝑎4 = 3 ⋅𝑎3 + 4 = 3 ⋅8 + 4 = 28\nObliczymy sumę czterech kolejnych początkowych wyrazów:\n𝑆4 = -2 + 2 + 8 + 28 = 36","answer":null,"answer_text":null,"solution":"a1=-2\na2=1·a1+4=1·(-2)+4=2\na3=2·a2+4=2·2+4=8\na4=3·a3+4=3·8+4=28\nS4=a1+a2+a3+a4=-2+2+8+28=36.\n\nOdpowiedź: S4 = 36.","image":"img/informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-podstawowy/zad-23.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":50,"source":"ai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"ai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2023","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny"},{"id":"informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-podstawowy/zad/24","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-podstawowy","number":"24","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2023,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 24. (0-2)\nDany jest ciąg (𝑎𝑛) określony wzorem ogólnym: 𝑎𝑛= 4𝑛-9 dla każdej liczby naturalnej 𝑛≥1.\nWykaż, że ciąg (𝒂𝒏) jest arytmetyczny.\nWymagania ogólne\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji.\n2.\nTworzenie pomocniczych obiektów matematycznych na podstawie istniejących,\nw celu przeprowadzenia argumentacji lub rozwiązania problemu.\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n1.\nPrzeprowadzanie rozumowań, także kilkuetapowych, podawanie argumentów\nuzasadniających poprawność rozumowania, odróżnianie dowodu od przykładu.\nWymagania szczegółowe\nVI. Ciągi. Zdający:\n4) sprawdza, czy dany ciąg jest arytmetyczny lub geometryczny;\n7) wykorzystuje własności ciągów, w tym arytmetycznych […] do rozwiązywania zadań,\nrównież osadzonych w kontekście praktycznym.\nZasady oceniania\n2 pkt - przeprowadzenie pełnego rozumowania uzasadniającego, że ciąg jest arytmetyczny,\nnp. prawidłowe obliczenie różnicy kolejnych wyrazów oraz wykazanie, że jest stała i nie\nzależy od 𝑛 (sposób 1.)\nLUB\n52\nInformator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie podstawowym od roku szkolnego 2022/2023\n- przeprowadzenie pełnego rozumowania uzasadniającego, że ciąg jest arytmetyczny,\nnp. powołanie się na własność trzech kolejnych wyrazów ciągu arytmetycznego oraz\nsprawdzenie tej własności (sposób 1.).\n1 pkt - zapisanie różnicy dwóch kolejnych wyrazów:\n𝑎𝑛+1 -𝑎𝑛= 4(𝑛+ 1) -9 -(4𝑛-9) (sposób 1.)\nLUB\n- zapisanie związku między trzema kolejnymi wyrazami ciągu:\n𝑎𝑛+1 =\n4𝑛-9+4𝑛-1\n2\ndla każdego 𝑛≥1 (sposób 2.).\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób 1.\nŻeby udowodnić, że ciąg jest arytmetyczny, należy wykazać, że różnica dwóch kolejnych\nwyrazów 𝑎𝑛+1 -𝑎𝑛 jest stała i nie zależy od 𝑛. Wyznaczymy wzór ogólny na 𝑛+ 1 wyraz\nciągu:\n𝑎𝑛+1 = 4(𝑛+ 1) -9 = 4𝑛+ 4 -9 = 4𝑛-5 dla 𝑛≥1\nObliczymy różnicę kolejnych dwóch wyrazów ciągu (𝑎𝑛):\n𝑎𝑛+1 -𝑎𝑛= 4𝑛-5 -(4𝑛-9) = 4𝑛-5 -4𝑛+ 9 = 4 dla każdego 𝑛≥1\nTo oznacza, że ciąg (𝑎𝑛) jest ciągiem arytmetycznym o różnicy 𝑟= 4.\nSposób 2.\nŻeby udowodnić, że ciąg jest arytmetyczny, należy wykazać, że dla dowolnych kolejnych\ntrzech wyrazów ciągu 𝑎𝑛, 𝑎𝑛+1, 𝑎𝑛+2 zachodzi związek: 𝑎𝑛+1 =\n𝑎𝑛+𝑎𝑛+2\n2\ndla 𝑛≥1.\nWyznaczymy wzór ogólny na 𝑛+ 1 oraz 𝑛+ 2 wyraz ciągu:\n𝑎𝑛+1 = 4(𝑛+ 1) -9 = 4𝑛+ 4 -9 = 4𝑛-5 dla 𝑛≥1\n𝑎𝑛+2 = 4(𝑛+ 2) -9 = 4𝑛+ 8 -9 = 4𝑛-1 dla 𝑛≥1\nSprawdzamy, czy dla kolejnych trzech wyrazów ciągu (𝑎𝑛) zachodzi związek:\n𝑎𝑛+1 = 𝑎𝑛+ 𝑎𝑛+2\n2\nPrawą stronę równania wyrazimy poprzez 𝑛:\n𝑎𝑛+ 𝑎𝑛+2\n2\n= 4𝑛-9 + 4𝑛-1\n2\n8𝑛-10\n2\n= 4𝑛-5 dla każdego 𝑛≥1\nPo uwzględnieniu faktu, że: 𝑎𝑛+1 = 4𝑛-5, otrzymujemy równość:\n𝑎𝑛+ 𝑎𝑛+2\n2\n= 𝑎𝑛+1\nTo oznacza, że ciąg (𝑎𝑛) jest ciągiem arytmetycznym.\nPrzykładowe zadania z rozwiązaniami\n53","answer":null,"answer_text":null,"solution":"an=4n-9, więc an+1=4(n+1)-9=4n-5.\nRóżnica kolejnych wyrazów: an+1-an=(4n-5)-(4n-9)=4, dla każdego n≥1 - stała, niezależna od n.\nZatem ciąg (an) jest ciągiem arytmetycznym o różnicy r=4.","image":"img/informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-podstawowy/zad-24.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":51,"source":"ai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"ai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2023","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny"},{"id":"informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-podstawowy/zad/25","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-podstawowy","number":"25","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2023,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 25. (0-1)\nDokończ zdanie. Zaznacz odpowiedź A, B albo C oraz jej uzasadnienie 1., 2. albo 3.\nCiąg (𝑎𝑛) określony wzorem 𝑎𝑛= 𝑛2 -𝑛 dla każdej liczby naturalnej 𝑛≥1 jest\nA.\nrosnący,\nponieważ dla każdej\nliczby naturalnej 𝑛≥1\n1.\nróżnica 𝑎𝑛+1 -𝑎𝑛 jest liczbą ujemną.\nB.\nmalejący,\n2.\nróżnica 𝑎𝑛+1 -𝑎𝑛 jest równa zero.\nC.\nstały,\n3.\nróżnica 𝑎𝑛+1 -𝑎𝑛 jest liczbą dodatnią.\nWymagania ogólne\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji.\n1.\nStosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\n2.\nTworzenie pomocniczych obiektów matematycznych na podstawie istniejących,\nw celu przeprowadzenia argumentacji lub rozwiązania problemu.\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n1.\nPrzeprowadzanie rozumowań, także kilkuetapowych, podawanie argumentów\nuzasadniających poprawność rozumowania, odróżnianie dowodu od przykładu.\nWymagania szczegółowe\nVI. Ciągi. Zdający:\n1) oblicza wyrazy ciągu określonego wzorem ogólnym;\n3) w prostych przypadkach bada, czy ciąg jest rosnący, czy malejący.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepełna lub niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nA3\n54\nInformator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie podstawowym od roku szkolnego 2022/2023\nKomentarz\nZbadamy, jaki znak ma różnica: 𝑎𝑛+1 -𝑎𝑛:\n𝑎𝑛+1 -𝑎𝑛= (𝑛+ 1)2 -(𝑛+ 1) -(𝑛2 -𝑛) = 𝑛2 + 2𝑛+ 1 -𝑛-1 -𝑛2 + 𝑛= 2𝑛\nPonieważ 𝑛≥1 to 2𝑛> 0, zatem:\n𝑎𝑛+1 -𝑎𝑛> 0 każdej liczby naturalnej 𝑛≥1\nTo oznacza, że ciąg (𝑎𝑛) jest rosnący.","answer":"A","answer_text":null,"solution":null,"image":"img/informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-podstawowy/zad-25.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":53,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2023","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny"},{"id":"informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-podstawowy/zad/26","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-podstawowy","number":"26","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2023,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 26. (0-2)\nFunkcja 𝑓 jest określona wzorem 𝑓(𝑥) = 1\n𝑥 dla każdej liczby rzeczywistej 𝑥≠0.\nOblicz wartość 𝒎, dla której liczby 𝒇(𝒎), 𝒇(𝟏), 𝒇(𝟐) są - odpowiednio - pierwszym,\ndrugim i trzecim wyrazem ciągu geometrycznego.\nWymaganie ogólne\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji.\n1.\nStosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nWymagania szczegółowe\nV. Funkcje. Zdający:\n2) oblicza wartość funkcji zadanej wzorem algebraicznym.\nVI. Ciągi. Zdający:\n4) sprawdza, czy dany ciąg jest arytmetyczny lub geometryczny;\n7) wykorzystuje własności ciągów, w tym […] geometrycznych do rozwiązywania zadań,\nrównież osadzonych w kontekście praktycznym.\nZasady oceniania\n2 pkt - poprawna metoda rozwiązania oraz podanie prawidłowego wyniku: 𝑚=\n1\n2.\n1 pkt - obliczenie/zapisanie wartości funkcji 𝑓: 𝑓(𝑚) = 1\n𝑚, 𝑓(1) = 1, 𝑓(2) =\n1\n2 oraz\nwykorzystanie definicji albo własności ciągu geometrycznego.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe zadania z rozwiązaniami\n55\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób 1.\nWyznaczymy kolejne wyrazy ciągu:\n𝑓(𝑚) = 1\n𝑚, 𝑓(1) = 1, 𝑓(2) = 1\n2\nZastosujemy własność/definicję ciągu geometrycznego:\n𝑓(2)\n𝑓(1) = 𝑓(1)\n𝑓(𝑚) = 𝑞 skąd otrzymujemy\n1\n2\n1 = 1\n1\n𝑚\nZatem:\n1\n2𝑚= 1 czyli 𝑚= 1\n2\nSposób 2.\nWyznaczymy kolejne wyrazy ciągu:\n𝑓(𝑚) = 1\n𝑚, 𝑓(1) = 1, 𝑓(2) = 1\n2\nZastosujemy własność ciągu geometrycznego:\n12 = 1\n𝑚⋅1\n2\nZatem:\n1\n2𝑚= 1 czyli 𝑚= 1\n2\nSposób 3.\nWyznaczymy kolejne wyrazy ciągu:\n𝑎1 = 𝑓(𝑚) = 1\n𝑚, 𝑎2 = 𝑓(1) = 1, 𝑎3 = 𝑓(2) = 1\n2\nZastosujemy wzór na 𝑛-ty wyraz ciągu geometrycznego: 𝑎𝑛= 𝑎1 ∙𝑞𝑛-1 dla 𝑛≥1, albo wzór\nrekurencyjny określający ciąg geometryczny: 𝑎𝑛+1 = 𝑎𝑛𝑞 dla 𝑛≥ 1 i liczby rzeczywistej 𝑞.\nWówczas:\n𝑎3 = 𝑎2𝑞 stąd 1\n2 = 1 ⋅𝑞 zatem 𝑞= 1\n2\n𝑎3 = 𝑎1𝑞2 stąd 1\n2 = 1\n𝑚⋅𝑞2 zatem |𝑞| = √𝑚\n2\nZ powyższych zależności wynika, że:\n1\n2 = √𝑚\n2 stąd 1\n4 = 𝑚\n2 zatem 𝑚= 1\n2\n56\nInformator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie podstawowym od roku szkolnego 2022/2023","answer":null,"answer_text":null,"solution":"f(m)=1/m, f(1)=1, f(2)=1/2 - kolejne wyrazy ciągu geometrycznego.\nZ własności ciągu geometrycznego: f(1)²=f(m)·f(2)\n1² = (1/m)·(1/2)\n1 = 1/(2m)\n2m=1, m=1/2.\n\nOdpowiedź: m = 1/2.","image":"img/informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-podstawowy/zad-26.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":54,"source":"ai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"ai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2023","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny"},{"id":"informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-podstawowy/zad/27","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-podstawowy","number":"27","points":null,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2023,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 27.\nCzas 𝑇 połowicznego rozpadu izotopu promieniotwórczego to czas, po którym liczba jąder\ndanego izotopu (a zatem i masa tego izotopu) zmniejsza się o połowę - tzn. połowa jąder\ndanego izotopu przemienia się w inne jądra. Liczba jąder 𝑁(𝑡) izotopu promieniotwórczego\npozostających w próbce po czasie 𝑡, licząc od chwili 𝑡0 = 0, wyraża się zależnością\nwykładniczą:\n𝑁(𝑡) = 𝑁0 (1\n2)\n𝑡\n𝑇\ngdzie 𝑁0 jest liczbą jąder izotopu promieniotwórczego w chwili początkowej 𝑡0 = 0.","answer":null,"answer_text":null,"solution":null,"image":"img/informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-podstawowy/zad-27.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":56,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2023","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny"},{"id":"informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-podstawowy/zad/27.1","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-podstawowy","number":"27.1","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2023,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 27.1. (0-1)\nNa poniższych rysunkach 1.-4. przedstawiono wykresy różnych zależności.\nRysunek 1.\nRysunek 2.\nRysunek 3.\nRysunek 4.\nDokończ zdanie. Zaznacz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nWykres zależności wykładniczej 𝑁(𝑡) - opisanej we wstępie do zadania - przedstawiono na\nA. rysunku 1.\nB. rysunku 2.\nC. rysunku 3.\nD. rysunku 4.\n𝑁\n𝑡\n(0,0)\n𝑁0\n𝑇\n𝑁\n𝑡\n(0,0)\n𝑁0\n𝑇\n𝑁\n𝑡\n(0,0)\n𝑁0\n𝑇\n𝑁\n𝑡\n(0,0)\n𝑁0\n𝑇\nPrzykładowe zadania z rozwiązaniami\n57\nWymaganie ogólne\nII. Wykorzystanie i tworzenie informacji.\n1.\nInterpretowanie i operowanie informacjami przedstawionymi w tekście, zarówno\nmatematycznym, jak i popularnonaukowym, a także w formie wykresów […].\nWymaganie szczegółowe\nV. Funkcje. Zdający:\n14) posługuje się funkcjami wykładniczą i logarytmiczną, w tym ich wykresami, do opisu\ni interpretacji zagadnień związanych z zastosowaniami praktycznymi.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nA","answer":"A","answer_text":null,"solution":"Wykres funkcji wykładniczej malejącej N(t)=N0·(1/2)^(t/T), przechodzącej przez (0,N0) i malejącej do zera, z wartością N0/2 dla t=T, przedstawiono na rysunku 1.","image":"img/informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-podstawowy/zad-27.1.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":56,"source":"ai","answer_source":"ai","answer_text_source":null,"solution_source":"ai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2023","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny"},{"id":"informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-podstawowy/zad/27.2","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-podstawowy","number":"27.2","points":3,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2023,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 27.2. (0-3)\nCzas połowicznego rozpadu węgla\nC\n14 to około 5700\nlat. Naukowcy oszacowali za pomocą datowania\nradiowęglowego, że masa izotopu węgla\nC\n14\nw pewnym organicznym znalezisku archeologicznym\nstanowi\n1\n16 masy tego izotopu, jaka utrzymywała się\npodczas życia organizmu.\nOblicz, ile lat ma opisane znalezisko archeologiczne. Wynik podaj z dokładnością do\nstu lat.\nWymagania ogólne\nII. Wykorzystanie i tworzenie informacji.\n1.\nInterpretowanie i operowanie informacjami przedstawionymi w tekście, zarówno\nmatematycznym, jak i popularnonaukowym, a także w formie wykresów […].\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji.\n2.\nDobieranie i tworzenie modeli matematycznych przy rozwiązywaniu problemów\npraktycznych i teoretycznych.\n58\nInformator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie podstawowym od roku szkolnego 2022/2023\nWymagania szczegółowe\nI.\nLiczby rzeczywiste. Zdający:\n1) wykonuje działania ([…] mnożenie, dzielenie, potęgowanie, […]) w zbiorze liczb\nrzeczywistych.\nV. Funkcje. Zdający:\n14) posługuje się funkcjami wykładniczą i logarytmiczną, w tym ich wykresami, do opisu\ni interpretacji zagadnień związanych z zastosowaniami praktycznymi.\nZasady oceniania\ndla rozwiązania sposobem 1.\n3 pkt - poprawna metoda obliczenia 𝑡 oraz podanie prawidłowego wyniku: 𝑡= 22 800 lat.\n2 pkt - zapisanie równania:\n1\n16 = (\n1\n2)\n𝑡\n𝑇 oraz wyznaczenie z niego\n𝑡\n𝑇= 4.\n1 pkt - poprawne zapisanie równania:\n1\n16 𝑚0 = 𝑚0 (\n1\n2)\n𝑡\n𝑇.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nZasady oceniania\ndla rozwiązania sposobem 2.\n3 pkt - poprawna metoda obliczenia, ile lat ma znalezisko archeologiczne oraz podanie\nprawidłowego wyniku: 22 800 lat.\n2 pkt - zapisanie związku między masą izotopu węgla\nC\n14 jaka utrzymywała się za życia\norganizmu a masą tego izotopu w znalezisku:\n𝑚4 =\n1\n2 ∙\n1\n2 ∙\n1\n2 ∙\n1\n2 ∙𝑚0 =\n1\n16 ∙𝑚0.\n1 pkt - poprawne zapisanie masy izotopu węgla\nC\n14 po 5700 latach (po czasie połowicznego\nrozpadu): 𝑚1 = 1\n2 ∙𝑚0.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób 1.\nWykorzystamy wzór podany we wstępie do zadania, opisujący rozpad promieniotwórczy,\nzastosowany do masy izotopu:\n𝑚(𝑡) = 𝑚0 (1\n2)\n𝑡\n𝑇\nPodstawimy dane z zadania i przekształcimy równanie:\n1\n16 𝑚0 = 𝑚0 (1\n2)\n𝑡\n𝑇\nczyli 1\n16 = (1\n2)\n𝑡\n𝑇\nZgodnie z definicją funkcji wykładniczej, powyższa równość oznacza, że liczba\n1\n2 podniesiona\ndo potęgi\n𝑡\n𝑇 musi dać w wyniku\n1\n16. Zatem:\n𝑡\n𝑇= 4\nPrzykładowe zadania z rozwiązaniami\n59\nObliczymy, ile lat liczy sobie znalezisko. Z powyższego równania wynika, że:\n𝑡= 4𝑇= 4 ⋅5700 = 22 800 lat\nSposób 2.\nPrzyjmijmy, że:\n𝑚0 - masa początkowa izotopu węgla\nC\n14 .\nZgodnie z definicją pojęcia czasu połowicznego rozpadu, po każdym upływie czasu równym\nczasowi połowicznego rozpadu, masa izotopu promieniotwórczego w próbce zmniejsza się\no połowę. Zatem po każdym kolejnym upływie 5700 lat, masa izotopu węgla\nC\n14\nw próbce/znalezisku będzie się zmniejszała o połowę.\nZatem:\n𝑚1 =\n1\n2 ∙𝑚0 - masa izotopu węgla\nC\n14 w próbce po 5700 latach.\n𝑚2 = 1\n2 ∙1\n2 ∙𝑚0 = 1\n4 ∙𝑚0 - masa izotopu węgla\nC\n14 w próbce po 11400 latach.\n𝑚3 =\n1\n2 ∙\n1\n2 ∙\n1\n2 ∙𝑚0 =\n1\n8 ∙𝑚0 - masa izotopu węgla\nC\n14 w próbce po 17100 latach.\n𝑚4 =\n1\n2 ∙\n1\n2 ∙\n1\n2 ∙\n1\n2 ∙𝑚0 =\n1\n16 ∙𝑚0 - masa izotopu węgla\nC\n14 w próbce 22800 latach.\nZnalezisko archeologiczne ma 22800 lat.\n60\nInformator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie podstawowym od roku szkolnego 2022/2023","answer":null,"answer_text":null,"solution":"m(t)=m0·(1/2)^(t/T), gdzie T=5700 lat.\nDane: m(t)/m0 = 1/16, więc (1/2)^(t/T)=1/16=(1/2)^4, stąd t/T=4.\nt = 4·5700 = 22800 lat.\n\nOdpowiedź: znalezisko ma około 22 800 lat.","image":"img/informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-podstawowy/zad-27.2.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":57,"source":"ai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"ai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2023","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny"},{"id":"informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-podstawowy/zad/28","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-podstawowy","number":"28","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2023,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 28. (0-4)\nPowierzchnia magazynowa będzie się składała z dwóch identycznych prostokątnych działek\npołączonych wspólnym bokiem. Całość ma być ogrodzona płotem, przy czym obie działki\nbędzie rozdzielał wspólny płot. W ogrodzeniu będą zamontowane dwie bramy wjazdowe,\nkażda o szerokości 10 m (zobacz rysunek poniżej). Łączna długość płotu ogradzającego oraz\nrozdzielającego obie działki wyniesie 580 metrów, przy czym szerokości obu bram\nwjazdowych nie wliczają się w długość płotu.\nOblicz wymiary 𝒙 i 𝒚 każdej z dwóch prostokątnych działek, tak aby całkowite pole\npowierzchni magazynowej było największe.\nWymagania ogólne\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji.\n2.\nDobieranie i tworzenie modeli matematycznych przy rozwiązywaniu problemów\npraktycznych i teoretycznych.\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n4.\nStosowanie i tworzenie strategii podczas rozwiązywania zadań, również\nw sytuacjach nietypowych.\n𝑥\n𝑦\n𝑦\n10 m\n10 m\nPrzykładowe zadania z rozwiązaniami\n61\nWymaganie szczegółowe\nXIII. Optymalizacja i rachunek różniczkowy.\nZdający rozwiązuje zadania optymalizacyjne w sytuacjach dających się opisać funkcją\nkwadratową.\nZasady oceniania\n4 pkt - poprawna metoda obliczenia obu wymiarów działki oraz podanie prawidłowych\nwyników: 𝑥= 100 m oraz 𝑦= 75 m.\n3 pkt - poprawne zapisanie wzoru na pole działki w zależności od jednej zmiennej oraz\nprawidłowe obliczenie współrzędnej 𝑥 wierzchołka paraboli: 𝑥= 100 m.\n2 pkt - poprawne zapisanie wzoru na pole całkowite powierzchni magazynowej w zależności\nod jednej zmiennej:\n𝑃(𝑥) = 2𝑥(150 -\n3\n4 𝑥) dla 𝑥∈(0,\n560\n3 ).\n1 pkt - zapisanie wzoru na pole całkowite powierzchni magazynowej: 𝑃= 𝑥⋅2𝑦\nLUB\n- zapisanie związku między wymiarami działki: 3𝑥+ 4𝑦-20 = 580.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nPrzyjmiemy oznaczenia jak na rysunku w zadaniu. Całkowitą długość płotu - po uwzględnieniu\nwarunków zadania - można zapisać równaniem:\n3𝑥+ 4𝑦-2 ⋅10 = 580\nPowyższe równanie określa związek między wymiarami 𝑥 i 𝑦. Wymiar 𝑦 jednej działki musi\nbyć większy od 10 m, ze względu na ustaloną szerokość bramy wjazdowej. W związku z tym,\nw modelu matematycznym uwzględniającym warunki zadania, wymiary 𝑥 i 𝑦 spełniają:\n𝑥> 0 i 𝑦> 10\nPole 𝑃 całkowitej powierzchni magazynowej jest równe polu prostokąta o bokach długości 𝑥\noraz 2𝑦. Zatem:\n𝑃= 𝑥⋅2𝑦\nPole powierzchni magazynowej wyrazimy jako funkcję jednej zmiennej 𝑥. W tym celu najpierw\nwyznaczymy 𝑦:\n3𝑥+ 4𝑦-2 ⋅10 = 580\n4𝑦= 600 -3𝑥\n𝑦= 150 -3\n4 𝑥\nNastępnie podstawimy wyznaczone 𝑦 do wzoru na pole 𝑃= 𝑥⋅2𝑦:\n𝑃(𝑥) = 2𝑥(150 -3\n4 𝑥)\n62\nInformator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie podstawowym od roku szkolnego 2022/2023\nWyznaczymy dziedzinę funkcji 𝑃. Wykorzystamy związek między wymiarami 𝑥 i 𝑦 oraz\nwykorzystamy warunki, jakie te wymiary spełniają:\n𝑦= 150 -3\n4 𝑥 oraz 𝑦> 10 oraz 𝑥> 0\nZatem:\n150 -3\n4 𝑥> 10 oraz 𝑥> 0\n𝑥< 560\n3 oraz 𝑥> 0\nZmienna 𝑥 może przyjmować wartości:\n𝑥∈(0, 560\n3 )\nWykresem funkcji 𝑃 jest fragment paraboli 𝒫 skierowanej ramionami do dołu. Funkcja 𝑃\nprzyjmuje wartość największą dla argumentu, który jest pierwszą współrzędną wierzchołka\nparaboli 𝒫. Współrzędną 𝑥 wierzchołka paraboli 𝒫 obliczymy z miejsc zerowych funkcji\nkwadratowej, która jest równaniem tej paraboli. Rozwiążemy zatem równanie:\n2𝑥(150 -3\n4 𝑥) = 0\nZ powyższego równania wynika, że:\n2𝑥= 0 lub 150 -3\n4 𝑥= 0\n𝑥1 = 0 lub 𝑥2 = 200\nFunkcja 𝑃 przyjmuje wartość największą dla argumentu, który jest pierwszą współrzędną\nwierzchołka paraboli 𝒫, czyli dla:\n𝑥= 𝑥1 + 𝑥2\n2\n= 100 m\nObliczymy drugi wymiar działki, dla którego pole powierzchni magazynowej jest największe:\n𝑦= 150 m -3\n4 ⋅100 m = 75 m\nCałkowite pole powierzchni magazynowej jest największe dla działki o wymiarach:\n𝑥= 100 m oraz 𝑦= 75 m.\nPrzykładowe zadania z rozwiązaniami\n63\nPLANIMETRIA, GEOMETRIA ANALITYCZNA, STEREOMETRIA","answer":null,"answer_text":null,"solution":"Oznaczenia jak na rysunku: dwie działki x×y, płot dzielący o długości x, dwie bramy po 10 m.\nŁączna długość płotu: 3x+4y-2·10=580, stąd y=150-(3/4)x, gdzie x>0 i y>10 (czyli x<560/3).\nPole całkowite: P(x)=x·2y=2x(150-(3/4)x).\nTo funkcja kwadratowa o ramionach w dół, miejsca zerowe: x=0 lub x=200.\nMaksimum dla x = (0+200)/2 = 100 m.\nWtedy y=150-(3/4)·100=75 m.\n\nOdpowiedź: x=100 m, y=75 m (dla tych wymiarów pole powierzchni magazynowej jest największe).","image":"img/informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-podstawowy/zad-28.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":60,"source":"ai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"ai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2023","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny"},{"id":"informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-podstawowy/zad/29","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-podstawowy","number":"29","points":1,"ptype":"true_false","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2023,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 29. (0-1)\nDany jest kąt o mierze 𝛼 taki, że sin𝛼= 4\n5 oraz 90° < 𝛼< 180°.\nOceń prawdziwość poniższych zdań. Zaznacz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F -\njeśli jest fałszywe.\n1.\nDla kąta 𝛼 spełnione jest równanie: cos 𝛼= -\n3\n5.\nP\nF\n2.\nDla kąta 𝛼 spełnione jest równanie: |tg 𝛼| =\n3\n4.\nP\nF\nWymaganie ogólne\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji.\n1.\nStosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nWymagania szczegółowe\nVII. Trygonometria. Zdający:\n1) Wykorzystuje definicje funkcji: sinus, cosinus i tangens dla kątów od 0° do 180° […];\n4) korzysta z wzorów sin2 𝛼+ cos2 𝛼= 1, tg 𝛼=\nsin 𝛼\ncos𝛼 .\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepełna lub niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nPF\n64\nInformator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie podstawowym od roku szkolnego 2022/2023","answer":"1-P, 2-F","answer_text":null,"solution":"sinα=4/5, 90°<α<180° więc cosα<0. Z sin²α+cos²α=1: cos²α=1-16/25=9/25, cosα=-3/5 (ujemny bo II ćwiartka).\n1. cosα=-3/5 - PRAWDA.\n2. tgα=sinα/cosα=(4/5)/(-3/5)=-4/3, więc |tgα|=4/3 (nie 3/4) - FAŁSZ.\n\nOdpowiedzi: 1-P, 2-F.","image":"img/informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-podstawowy/zad-29.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":63,"source":"ai","answer_source":"ai","answer_text_source":null,"solution_source":"ai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2023","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny"},{"id":"informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-podstawowy/zad/30","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-podstawowy","number":"30","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2023,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 30. (0-2)\nW trójkącie 𝐴𝐵𝐶 dane są długości dwóch boków |𝐴𝐵| = 12, |𝐵𝐶| = 8 oraz miara kąta\n|∡𝐴𝐵𝐶| = 60°.\nOblicz długość środkowej tego trójkąta, poprowadzonej z wierzchołka 𝑨.\nWymaganie ogólne\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji.\n1.\nStosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nWymagania szczegółowe\nVII. Trygonometria. Zdający:\n5) stosuje twierdzenia sinusów i cosinusów […];\n6) oblicza kąty trójkąta i długości jego boków przy odpowiednich danych (rozwiązuje\ntrójkąty).\nZasady oceniania\ndla rozwiązania sposobem 1.\n2 pkt - zapisanie poprawnego równania wynikającego z twierdzenia cosinusów dla trójkąta\n𝐴𝐵𝐷 oraz prawidłowe obliczenie długości środkowej: |𝐴𝐷| = 4√7.\n1 pkt - zapisanie równania wynikającego z twierdzenia cosinusów dla trójkąta 𝐴𝐵𝐷:\n|𝐴𝐷|2 = |𝐴𝐵|2 + |𝐵𝐷|2 -2 ⋅|𝐴𝐵| ⋅|𝐵𝐷| ⋅cos |∡𝐴𝐵𝐶|\nLUB\n|𝐴𝐷|2 = 122 + 42 -2 ⋅12 ⋅4 ⋅cos 60°\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nZasady oceniania\ndla rozwiązania sposobem 2.\n2 pkt - prawidłowe zastosowanie twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta 𝐴𝐺𝐷 oraz prawidłowe\nobliczenie długości środkowej |𝐴𝐷| = 4√7.\n1 pkt - wyodrębnienie trójkąta prostokątnego 𝐴𝐺𝐷 oraz trójkąta 𝐺𝐵𝐷 o kątach: 30°, 60°, 90°,\nłącznie z poprawnym określeniem długości jego boków: |𝐺𝐵| = 2, |𝐷𝐺| = 2√3.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe zadania z rozwiązaniami\n65\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób 1. (zastosowanie twierdzenia cosinusów)\nWykonamy rysunek pomocniczy (zobacz obok). Ponieważ\n𝐴𝐷 jest środkową, to |𝐵𝐷| = 4.\nDo obliczenia długości środkowej |𝐴𝐷| zastosujemy\ntwierdzenie cosinusów dla trójkąta 𝐴𝐵𝐷:\n|𝐴𝐷|2 = |𝐴𝐵|2 + |𝐵𝐷|2 -2 ⋅|𝐴𝐵| ⋅|𝐵𝐷| ⋅cos |∡𝐴𝐵𝐶|\n|𝐴𝐷|2 = 122 + 42 -2 ⋅12 ⋅4 ⋅1\n2 = 112\n|𝐴𝐷| = √112 = 4√7\nSposób 2. (zastosowanie twierdzenia Pitagorasa i własności trójkąta o kątach 30°, 60°, 90°)\nWykonamy rysunek pomocniczy (zobacz obok).\nW celu obliczenia długości środkowej 𝐴𝐷 zastosujemy\ntwierdzenie Pitagorasa dla trójkąta prostokątnego 𝐴𝐺𝐷.\nPonieważ 𝐴𝐷 jest środkową, to |𝐵𝐷| = 4. Rozważmy dalej\ntrójkąt 𝐺𝐵𝐷. Trójkąt 𝐺𝐵𝐷 ma kąty o miarach: 30°, 60°,\n90°, skąd wynika, że przyprostokątne tego trójkąta mają\ndługości:\n|𝐺𝐵| = 2 |𝐷𝐺| = 2√3\nzatem długość przyprostokątnej 𝐴𝐺 trójkąta 𝐴𝐺𝐷 jest równa:\n|𝐴𝐺| = 12 -2 = 10\nObliczymy długość środkowej 𝐴𝐷 z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta 𝐴𝐺𝐷:\n|𝐴𝐷|2 = |𝐴𝐺|2 + |𝐺𝐷|2\n|𝐴𝐷|2 = 102 + (2√3)2 = 112\n|𝐴𝐷| = √112 = 4√7\n𝐴\n𝐵\n𝐶\n60°\n𝐷\n𝐶\n𝐷\n𝐴\n60°\n𝐵\n𝐺\n4\n2\n2ξ3\n10\n66\nInformator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie podstawowym od roku szkolnego 2022/2023","answer":null,"answer_text":null,"solution":"AD jest środkową z A, więc D jest środkiem BC, |BD|=|BC|/2=4.\nZ twierdzenia cosinusów w trójkącie ABD:\n|AD|²=|AB|²+|BD|²-2·|AB|·|BD|·cos∡ABC = 12²+4²-2·12·4·cos60° = 144+16-96·(1/2) = 160-48=112.\n|AD|=√112=4√7.\n\nOdpowiedź: długość środkowej z A wynosi 4√7.","image":"img/informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-podstawowy/zad-30.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":64,"source":"ai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"ai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2023","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny"},{"id":"informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-podstawowy/zad/31","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-podstawowy","number":"31","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2023,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 31. (0-4)\nWierzchołki 𝐴 i 𝐶 trójkąta 𝐴𝐵𝐶 leżą na okręgu o promieniu 𝑟. Środek 𝑆 tego okręgu leży na\nboku 𝐴𝐵 tego trójkąta (zobacz rysunek poniżej). Długości boków 𝐴𝐵 i 𝐴𝐶 są równe\nodpowiednio |𝐴𝐵| = 3𝑟 oraz |𝐴𝐶| = √3𝑟.\nOblicz miary wszystkich kątów trójkąta 𝑨𝑩𝑪.\nWymagania ogólne\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji.\n1.\nStosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\n3.\nTworzenie pomocniczych obiektów matematycznych na podstawie istniejących,\nw celu przeprowadzenia argumentacji lub rozwiązania problemu.\nWymagania szczegółowe\nVII. Trygonometria. Zdający:\n6) oblicza kąty trójkąta i długości jego boków przy odpowiednich danych (rozwiązuje\ntrójkąty).\nVIII. Planimetria. Zdający:\n1) wyznacza promienie i średnice okręgów, długości cięciw okręgów oraz odcinków\nstycznych, w tym z wykorzystaniem twierdzenia Pitagorasa;\n5) stosuje własności kątów wpisanych i środkowych;\n11) stosuje funkcje trygonometryczne do wyznaczania długości odcinków w figurach\npłaskich oraz obliczania pól figur.\n𝐶\n𝐴\n𝐵\n𝑆\nPrzykładowe zadania z rozwiązaniami\n67\nZasady oceniania\n4 pkt - poprawne obliczenie miar kątów trójkąta 𝐴𝐵𝐶:\n|∡𝐶𝐴𝐵| = 30°, |∡𝐴𝐵𝐶| = 30°, |∡𝐵𝐶𝐴| = 120°\n3 pkt - poprawne obliczenie miar kątów w trójkącie 𝐷𝐵𝐶:\n|∡𝐶𝐷𝐵| = 120°, |∡𝐷𝐵𝐶| = 30°, |∡𝐵𝐶𝐷| = 30°\nLUB\n- poprawne prawidłowe obliczenie miar kątów w trójkącie 𝐴𝑆𝐶:\n|∡𝐴𝑆𝐶| = 120°, |∡𝐶𝐴𝑆| = 30°, |∡𝑆𝐶𝐴| = 30°.\n2 pkt - poprawne obliczenie miar pozostałych kątów trójkąta 𝐴𝐷𝐶:\n|∡𝐶𝐴𝐷| = 30°, |∡𝐴𝐷𝐶| = 60°\nLUB\n- poprawne obliczenie miar pozostałych kątów trójkąta 𝐵𝑆𝐶:\n|∡𝑆𝐵𝐶| = 30°, |∡𝐶𝑆𝐵| = 60°\n1 pkt - zapisanie, że kąt |∡𝐴𝐶𝐷| = 90°\nLUB\n- zapisanie, że kąt |∡𝐵𝐶𝑆| = 90°\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób 1.\nPrzeanalizujemy zależności między odcinkami i kątami w przedstawionej sytuacji. Na\nponiższych rysunkach pomocniczych przedstawimy graficzną ilustrację kroków postępowania.\n1. Kąt ∡𝐴𝐶𝐷 jest kątem wpisanym opartym na średnicy, zatem |∡𝐴𝐶𝐷| = 90°, czyli trójkąt\n𝐴𝐷𝐶 jest prostokątny.\n2. Zastosujemy twierdzenie Pitagorasa do obliczenia długości boku |𝐶𝐷|:\n|𝐶𝐷|2 = |𝐴𝐷|2 -|𝐴𝐶|2 stąd |𝐶𝐷|2 = (2𝑟)2 -(√3𝑟)\n2 = 𝑟2\n|𝐶𝐷| = 𝑟\n3. Trójkąt 𝐴𝐷𝐶 o bokach 2𝑟, 𝑟, √3𝑟 jest połową trójkąta równobocznego, zatem:\n|∡𝐶𝐴𝐷| = 30° , |∡𝐴𝐷𝐶| = 60°\n𝐶\n𝐴\n𝐵\n𝑆\nξ3𝑟\n𝐷\n𝑟\n𝑟\n𝑟\n𝑟\n68\nInformator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie podstawowym od roku szkolnego 2022/2023\n4. Zauważmy, że |𝐷𝐵| = |𝐷𝐶| = 𝑟, zatem trójkąt 𝐷𝐵𝐶 jest równoramienny. Z tego\ni poprzedniego faktu wynika, że\n|∡𝐶𝐷𝐵| = 180° -60° = 120°,\n|∡𝐷𝐵𝐶| = 30°, |∡𝐵𝐶𝐷| = 30°\nZ omówionych kroków 1.-4. wynika, że kąty w trójkącie 𝐴𝐵𝐶 mają miary:\n|∡𝐶𝐴𝐵| = 30°,\n|∡𝐴𝐵𝐶| = 30°, |∡𝐵𝐶𝐴| = 120°\nSposób 2.\nPrzeanalizujemy zależności między odcinkami i kątami w przedstawionej sytuacji. Na\nponiższych rysunkach pomocniczych przedstawimy graficzną ilustrację kroków postępowania.\n1. Kąt ∡𝐴𝐶𝐷 jest kątem wpisanym opartym na średnicy, zatem |∡𝐴𝐶𝐷| = 90°.\n2. Zauważmy, że: cos |∡𝐶𝐴𝐷| =\n|𝐴𝐶|\n|𝐴𝐷| = √3\n2\nStąd wynika, że |∡𝐶𝐴𝐷| = 30°, zatem |∡𝐴𝐷𝐶| = 60°.\n𝐶\n𝐴\n𝐵\n𝑆\nξ3𝑟\n30°\n60°\n𝐷\n𝑟\n𝑟\n𝑟\n𝑟\n𝐶\n𝐴\n𝐵\n𝑆\n𝐷\n30°\n30°\n120°\n𝐶\n𝐴\n𝐵\n𝑆\n120°\n30°\n30°\nPrzykładowe zadania z rozwiązaniami\n69\n3. Zauważamy, że |𝑆𝐶| = |𝑆𝐷| = 𝑟, czyli trójkąt 𝑆𝐷𝐶 jest równoramienny, zatem:\n|∡𝐷𝐶𝑆| = |∡𝑆𝐷𝐶| = 60° Stąd wynika, że |∡𝐶𝑆𝐷| = 60°.\nZ powyższego wynika, że trójkąt 𝑆𝐷𝐶 jest równoboczny.\n4. Zauważamy, że |𝑆𝐴| = |𝑆𝐶| = 𝑟, czyli trójkąt 𝐴𝑆𝐶 jest równoramienny. Podobnie mamy\n|𝐷𝐵| = |𝐷𝐶| = 𝑟 , zatem trójkąt 𝐷𝐵𝐶 jest równoramienny. Z tych i poprzednich faktów\nwynika, że\n|∡𝐴𝑆𝐶| = 180° -60° = 120°,\n|∡𝑆𝐴𝐶| = 30°, |∡𝑆𝐶𝐴| = 30°\noraz\n|∡𝐶𝐷𝐵| = 180° -60° = 120°,\n|∡𝐷𝐵𝐶| = 30°, |∡𝐵𝐶𝐷| = 30°\nZ omówionych kroków 1.-4. wynika, że kąty w trójkącie 𝐴𝐵𝐶 mają miary:\n|∡𝐶𝐴𝐵| = 30°,\n|∡𝐴𝐵𝐶| = 30°, |∡𝐵𝐶𝐴| = 120°\n𝐶\n𝐴\n𝐵\n𝑆\nξ3𝑟\n30°\n60°\n𝐷\n𝑟\n𝑟\n𝑟\n𝐶\n𝐴\n𝐵\n𝑆\n𝐷\n𝑟\n𝑟\n60°\n60°\n60°\n𝑟\n𝑟\n𝐶\n𝐴\n𝐵\n𝑆\n𝐷\n60°\n60°\n60°\n30°\n120°\n30°\n30°\n30°\n120°\n70\nInformator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie podstawowym od roku szkolnego 2022/2023","answer":null,"answer_text":null,"solution":"Niech D - drugi koniec średnicy przechodzącej przez A (|AD|=2r). Kąt ∡ACD jest kątem wpisanym opartym na średnicy, więc |∡ACD|=90°.\nZ tw. Pitagorasa w trójkącie ADC: |CD|²=|AD|²-|AC|²=(2r)²-(√3r)²=r², |CD|=r.\nTrójkąt ADC o bokach 2r, r, √3r to \"połówka\" trójkąta równobocznego, więc |∡CAD|=30°, |∡ADC|=60°.\nPonieważ |DB|=|DC|=r (D jest środkiem AB, |AB|=3r więc |DB|=3r-2r=r), trójkąt DBC jest równoramienny, stąd |∡CDB|=180°-60°=120°, |∡DBC|=|∡BCD|=30°.\nKąty trójkąta ABC: |∡CAB|=30°, |∡ABC|=30°, |∡BCA|=|∡BCD|+|∡DCA|=30°+90°=120°.\n\nOdpowiedź: |∡CAB|=30°, |∡ABC|=30°, |∡BCA|=120°.","image":"img/informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-podstawowy/zad-31.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":66,"source":"ai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"ai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2023","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny"},{"id":"informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-podstawowy/zad/32","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-podstawowy","number":"32","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2023,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 32. (0-1)\nDane są okrąg o środku 𝑆 oraz prosta 𝑘 styczna do okręgu w punkcie 𝐴. Odcinek 𝐴𝐵 jest\ncięciwą tego okręgu. Miara kąta ostrego pomiędzy prostą 𝑘 a cięciwą 𝐴𝐵 jest równa 50°. Punkt\n𝐶 leży na okręgu. Kąt ∡𝐵𝐶𝐴 jest ostry. Sytuację przedstawia rysunek poniżej.\nDokończ zdanie. Zaznacz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nMiara kąta ∡𝐵𝐶𝐴 jest równa\nA. 100°\nB. 80°\nC. 50°\nD. 40°\nWymagania ogólne\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji.\n1.\nStosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\n3.\nTworzenie pomocniczych obiektów matematycznych na podstawie istniejących,\nw celu przeprowadzenia argumentacji lub rozwiązania problemu.\nWymagania szczegółowe\nVIII. Planimetria. Zdający:\n7) stosuje twierdzenia […] o kącie między styczną a cięciwą.\n5) stosuje własności kątów wpisanych i środkowych.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nC\n𝐴\n𝐵\n𝑘\n𝑆\n50°\n𝐶\nPrzykładowe zadania z rozwiązaniami\n71","answer":"C","answer_text":null,"solution":"Na mocy twierdzenia o kącie między styczną a cięciwą, kąt między styczną k a cięciwą AB jest równy kątowi wpisanemu ∡BCA opartemu na tym samym łuku AB (po przeciwnej stronie cięciwy). Zatem |∡BCA| = 50°.","image":"img/informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-podstawowy/zad-32.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":70,"source":"ai","answer_source":"ai","answer_text_source":null,"solution_source":"ai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2023","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny"},{"id":"informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-podstawowy/zad/33","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-podstawowy","number":"33","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2023,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 33. (0-1)\nDany jest trójkąt 𝐴𝐵𝐶, w którym |𝐴𝐵| = 5, |𝐵𝐶| = √21, |𝐴𝐶| = 4. Dwusieczna kąta ∡𝐶𝐴𝐵\nprzecina bok 𝐵𝐶 w punkcie 𝐷 (zobacz rysunek poniżej).\nDokończ zdanie. Zaznacz odpowiedź A, B albo C oraz jej uzasadnienie 1., 2. albo 3.\nDługość odcinka 𝐵𝐷 jest równa\nA.\n|𝐵𝐷| = 1\n2 √21 ,\nponieważ z twierdzenia\no dwusiecznej wynika, że\n1.\n|𝐴𝐵|\n|𝐴𝐶| =\n|𝐵𝐶|\n|𝐵𝐷|\nB.\n|𝐵𝐷| = 5\n9 √21 ,\n2.\n|𝐵𝐷| = |𝐷𝐶|\nC.\n|𝐵𝐷| = 4\n5 √21 ,\n3.\n|𝐴𝐵|\n|𝐴𝐶| =\n|𝐵𝐷|\n|𝐷𝐶|\nWymaganie ogólne\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji.\n1.\nStosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nWymaganie szczegółowe\nVIII. Planimetria. Zdający:\n7) stosuje twierdzenia […] o dwusiecznej kąta.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepełna lub niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nB3\n𝐴\n𝐵\n𝐶\n𝐷\n5\n4\nξ21\n72\nInformator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie podstawowym od roku szkolnego 2022/2023","answer":"A","answer_text":null,"solution":null,"image":"img/informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-podstawowy/zad-33.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":71,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2023","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny"},{"id":"informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-podstawowy/zad/34","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-podstawowy","number":"34","points":3,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2023,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 34. (0-3)\nDany jest trójkąt 𝐴𝐵𝐶. Na boku 𝐴𝐵 tego trójkąta wybrano punkt 𝐷, taki, że |𝐴𝐷| =\n1\n4 |𝐴𝐵|,\na na boku 𝐵𝐶 wybrano taki punkt 𝐸, że |𝐵𝐸| =\n1\n5 |𝐵𝐶| (zobacz rysunek poniżej). Pole trójkąta\n𝐴𝐵𝐶 jest równe 20.\nOblicz pole trójkąta 𝑫𝑩𝑬.\nWymagania ogólne\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji.\n1.\nStosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\n2.\nDobieranie i tworzenie modeli matematycznych przy rozwiązywaniu problemów\npraktycznych i teoretycznych.\nWymagania szczegółowe\nVII. Trygonometria. Zdający:\n5) stosuje […] wzór na pole trójkąta 𝑃=\n1\n2 𝑎𝑏sin 𝛾.\nVIII. Planimetria. Zdający:\n8) korzysta z cech podobieństwa trójkątów.\n𝐶\n𝐷\n𝐵\n𝐴\n𝐸\nPrzykładowe zadania z rozwiązaniami\n73\nZasady oceniania\ndla rozwiązania sposobem 1.\n3 pkt - poprawna metoda obliczenia pola trójkąta 𝐷𝐵𝐸 oraz podanie wyniku: 𝑃𝐷𝐵𝐸= 3.\n2 pkt - wykazanie oraz zapisanie, że\n𝑃𝐷𝐵𝐸\n𝑃𝐴𝐵𝐸\n= 3\n4 oraz 𝑃𝐴𝐵𝐸\n𝑃𝐴𝐵𝐶\n= 1\n5\n1 pkt - wykazanie i zapisanie, że stosunek pól trójkątów 𝐴𝐵𝐸 i 𝐷𝐵𝐸 jest równy stosunkowi\ndługości ich podstaw 𝐷𝐵 i 𝐴𝐵:\n𝑃𝐷𝐵𝐸\n𝑃𝐴𝐵𝐸\n= 3\n4\nLUB\n- wykazanie i zapisanie, że stosunek pól trójkątów 𝐴𝐵𝐸 i 𝐴𝐵𝐶 jest równy stosunkowi\ndługości ich podstaw 𝐵𝐸 i 𝐵𝐶:\n𝑃𝐴𝐵𝐸\n𝑃𝐴𝐵𝐶\n= 1\n5\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nZasady oceniania\ndla rozwiązania sposobem 2.\n3 pkt - poprawna metoda obliczenia pola trójkąta 𝐷𝐵𝐸 oraz podanie wyniku: 𝑃𝐷𝐵𝐸= 3.\n2 pkt - wyprowadzenie i zapisanie zależności |𝐴𝐵| ⋅|𝐵𝐶| ⋅sin 𝛽= 40 oraz wzoru na pole\ntrójkąta 𝐷𝐵𝐸: 𝑃𝐷𝐵𝐸=\n1\n2 ⋅(\n3\n4 ⋅|𝐴𝐵|) ⋅(\n1\n5 |𝐵𝐶|) ⋅sin 𝛽.\n1 pkt - zastosowanie wzoru na pole trójkąta 𝐴𝐵𝐶 z sinusem kąta ∡𝐴𝐵𝐶 oraz wyprowadzenie\nzależności |𝐴𝐵| ⋅|𝐵𝐶| ⋅sin𝛽= 40\nLUB\n- zastosowanie wzoru na pole trójkąta 𝐷𝐵𝐸 z sinusem kąta ∡𝐷𝐵𝐸 oraz zapisanie /\nzastosowanie związków |𝐷𝐵| =\n3\n4 |𝐴𝐵| oraz |𝐵𝐸| =\n1\n5 |𝐵𝐶|.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nZasady oceniania\ndla rozwiązania sposobem 3.\n3 pkt - poprawna metoda obliczenia pola trójkąta 𝐷𝐵𝐸 oraz podanie wyniku: 𝑃𝐷𝐵𝐸= 3.\n2 pkt - zapisanie zależności |𝐴𝐵| ⋅ℎ𝐶= 40 oraz wzoru na pole trójkąta: 𝑃𝐷𝐵𝐸=\n3\n8 ⋅|𝐴𝐵| ⋅ℎ𝐸\n(lub równoważnego) oraz zapisanie zależności:\nℎ𝐸\nℎ𝐶=\n1\n5 wynikającej z podobieństwa\ntrójkątów 𝐶1𝐵𝐶 oraz 𝐸1𝐵𝐸 .\n1 pkt - zastosowanie wzoru na pole trójkąta 𝐴𝐵𝐶 z wysokością ℎ𝐶 oraz wyprowadzenie\nzależności |𝐴𝐵| ⋅ℎ𝐶= 40\nLUB\n- zastosowanie wzoru na pole trójkąta 𝐷𝐵𝐸 z wysokością ℎ𝐸 oraz zapisanie /\nzastosowanie związku |𝐷𝐵| =\n3\n4 |𝐴𝐵|.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\n74\nInformator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie podstawowym od roku szkolnego 2022/2023\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób 1.\nSkorzystamy ze związków:\n|𝐷𝐵|\n|𝐴𝐵| = 3\n4 |𝐵𝐸|\n|𝐵𝐶| = 1\n5\n1. Zauważmy, że trójkąty 𝐴𝐵𝐸 i 𝐷𝐵𝐸 mają wspólny wierzchołek 𝐸, a ich podstawy 𝐷𝐵 i 𝐴𝐵\nleżą na jednaj prostej. Zatem oba trójkąty mają tę samą wysokość opuszczoną\nz wierzchołka 𝐸. Więc stosunek pól tych trójkątów jest równy stosunkowi długości ich\npodstaw 𝐷𝐵 i 𝐴𝐵.\n𝑃𝐷𝐵𝐸\n𝑃𝐴𝐵𝐸\n|𝐷𝐵|\n|𝐴𝐵| = 3\n4\n2. Trójkąty 𝐴𝐵𝐸 i 𝐴𝐵𝐶 mają wspólny wierzchołek 𝐴, a ich podstawy 𝐵𝐸 i 𝐵𝐶 leżą na jednaj\nprostej. Zatem oba trójkąty mają tę samą wysokość opuszczoną z wierzchołka 𝐴. Więc\nstosunek pól tych trójkątów jest równy stosunkowi długości ich podstaw 𝐵𝐸 i 𝐵𝐶.\n𝑃𝐴𝐵𝐸\n𝑃𝐴𝐵𝐶\n= |𝐵𝐸|\n|𝐵𝐶| = 1\n5\n3. Z punktów 1. i 2. Otrzymujemy:\n𝑃𝐷𝐵𝐸= 3\n4 𝑃𝐴𝐵𝐸= 3\n4 ⋅1\n5 ⋅𝑃𝐴𝐵𝐶= 3\n4 ⋅1\n5 ⋅20 = 3\n𝐶\n𝐷\n𝐵\n𝐸\n𝐴\nPrzykładowe zadania z rozwiązaniami\n75\nSposób 2.\nOznaczmy miarę kąta ∡𝐷𝐵𝐸= ∡𝐴𝐵𝐶 jako 𝛽.\n1. Zapiszemy wzór na pole trójkąta 𝐴𝐵𝐶 i wykorzystamy dane zadania:\n𝑃𝐴𝐵𝐶= 1\n2 ⋅|𝐴𝐵| ⋅|𝐵𝐶| ⋅sin 𝛽\n20 = 1\n2 ⋅|𝐴𝐵| ⋅|𝐵𝐶| ⋅sin 𝛽 stąd |𝐴𝐵| ⋅|𝐵𝐶| ⋅sin 𝛽= 40\n2. Zapiszemy wzór na pole trójkąta 𝐷𝐵𝐸 i wykorzystamy warunek zadania:\n𝑃𝐷𝐵𝐸= 1\n2 ⋅|𝐷𝐵| ⋅|𝐵𝐸| ⋅sin 𝛽\n𝑃𝐷𝐵𝐸= 1\n2 ⋅(3\n4 ⋅|𝐴𝐵|) ⋅(1\n5 |𝐵𝐶|) ⋅sin 𝛽 stąd 𝑃𝐷𝐵𝐸= 3\n40 ⋅|𝐴𝐵| ⋅|𝐵𝐶| ⋅sin 𝛽\n3. Do otrzymanego wzoru na pole trójkąta 𝐷𝐵𝐸 podstawimy wynik z punktu 1:\n𝑃𝐷𝐵𝐸= 3\n40 ⋅|𝐴𝐵| ⋅|𝐵𝐶| ⋅sin 𝛽= 3\n40 ⋅40 = 3\n𝐶\n𝐷\n𝐵\n𝐴\n𝐸\n𝛽\n76\nInformator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie podstawowym od roku szkolnego 2022/2023\nSposób 3.\nWysokości trójkątów 𝐴𝐵𝐶 i 𝐷𝐵𝐸 opuszczone -\nodpowiednio - z wierzchołków 𝐶 i 𝐸 oznaczymy\njako ℎ𝐶, ℎ𝐸.\n1. Zapiszemy wzór na pole trójkąta 𝐴𝐵𝐶 i wykorzystamy dane zadania:\n𝑃𝐴𝐵𝐶= 1\n2 ⋅|𝐴𝐵| ⋅ℎ𝐶\n20 = 1\n2 ⋅|𝐴𝐵| ⋅ℎ𝐶 stąd |𝐴𝐵| ⋅ℎ𝐶= 40\n2. Zapiszemy wzór na pole trójkąta 𝐷𝐵𝐸 i wykorzystamy warunek zadania:\n𝑃𝐷𝐵𝐸= 1\n2 ⋅|𝐷𝐵| ⋅ℎ𝐸\n𝑃𝐷𝐵𝐸= 1\n2 ⋅(3\n4 ⋅|𝐴𝐵|) ⋅ℎ𝐸 stąd 𝑃𝐷𝐵𝐸= 3\n8 ⋅|𝐴𝐵| ⋅ℎ𝐸\n3. Trójkąty 𝐶1𝐵𝐶 oraz 𝐸1𝐵𝐸 są podobne (na podstawie cechy: kąt, kąt, kąt), zatem:\n|𝐸𝐸1|\n|𝐶𝐶1| =\n|𝐵𝐸|\n|𝐵𝐶| stąd ℎ𝐸\nℎ𝐶\n= 1\n5\n4. Do otrzymanego wzoru na pole trójkąta 𝐷𝐵𝐸 (punkt 2.) podstawimy wynik z punktu 1.\ni wynik z punktu 3.:\n𝑃𝐷𝐵𝐸= 3\n8 ⋅|𝐴𝐵| ⋅ℎ𝐸= 3\n8 ⋅|𝐴𝐵| ⋅ℎ𝐶\n5 = 3\n40 ⋅|𝐴𝐵| ⋅ℎ𝐶= 3\n40 ⋅40 = 3\n𝐶\n𝐷\n𝐵\n𝐴\n𝐸\nℎ𝐶\nℎ𝐸\n𝐶1\n𝐸1\nPrzykładowe zadania z rozwiązaniami\n77","answer":null,"answer_text":null,"solution":"Trójkąty ABE i DBE mają wspólny wierzchołek E, a podstawy DB, AB leżą na jednej prostej, więc:\nP(DBE)/P(ABE) = |DB|/|AB| = 3/4 (bo |AD|=1/4|AB|, więc |DB|=3/4|AB|).\nTrójkąty ABE i ABC mają wspólny wierzchołek A, a podstawy BE, BC leżą na jednej prostej, więc:\nP(ABE)/P(ABC) = |BE|/|BC| = 1/5.\nStąd: P(DBE) = (3/4)·(1/5)·P(ABC) = (3/4)·(1/5)·20 = 3.\n\nOdpowiedź: pole trójkąta DBE wynosi 3.","image":"img/informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-podstawowy/zad-34.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":72,"source":"ai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"ai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2023","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny"},{"id":"informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-podstawowy/zad/35","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-podstawowy","number":"35","points":3,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2023,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 35. (0-3)\nNa podstawie twierdzenia Pitagorasa można udowodnić bardziej ogólną własność niż ta,\no której mówi samo to twierdzenie.\nRozważmy trójkąt prostokątny 𝐴𝐵𝐶 o kącie prostym przy wierzchołku 𝐴. Niech każdy z boków\ntego trójkąta: 𝐶𝐴, 𝐴𝐵, 𝐵𝐶 będzie podstawą trójkątów podobnych, odpowiednio: 𝐶𝐴𝑊1, 𝐴𝐵𝑊2,\n𝐶𝐵𝑊3. Trójkąty te mają odpowiadające sobie kąty o równych miarach, odpowiednio przy\nwierzchołkach: 𝑊1, 𝑊2, 𝑊3.\nPola trójkątów: 𝐶𝐴𝑊1, 𝐴𝐵𝑊2, 𝐶𝐵𝑊3 oznaczymy odpowiednio jako 𝑃1, 𝑃2, 𝑃3.\nUdowodnij, że:\n𝑷𝟑= 𝑷𝟏+ 𝑷𝟐\n𝐶\n𝑊3\n𝑊1\n𝐴\n𝐵\n𝑊2\n78\nInformator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie podstawowym od roku szkolnego 2022/2023\nWymagania ogólne\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n1.\nPrzeprowadzanie rozumowań, także kilkuetapowych, podawanie argumentów\nuzasadniających poprawność rozumowania, odróżnianie dowodu od przykładu.\n2.\nDostrzeganie regularności, podobieństw oraz analogii, formułowanie wniosków na ich\npodstawie i uzasadnianie ich poprawności.\n4.\nStosowanie i tworzenie strategii przy rozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach\nnietypowych.\nWymagania szczegółowe\nVIII. [Szkoła podstawowa] Własności figur geometrycznych na płaszczyźnie. Zdający:\n8) zna i stosuje w sytuacjach praktycznych twierdzenie Pitagorasa […].\nVIII. Planimetria. Zdający:\n9) wykorzystuje zależności między obwodami oraz między polami figur podobnych;\n12) przeprowadza dowody geometryczne.\nZasady oceniania\n3 pkt - prawidłowe przeprowadzenie pełnego dowodu równania: 𝑃3 = 𝑃1 + 𝑃2.\n2 pkt - zapisanie sumy pól trójkątów 𝐶𝐴𝑊1, 𝐴𝐵𝑊2 wyrażonej poprzez wysokość jednego\nz nich: 𝑃1 + 𝑃2 =\n1\n2 ℎ1|𝐴𝐶| +\n1\n2 ℎ1 ⋅\n|𝐴𝐵|2\n|𝐴𝐶| oraz zapisanie twierdzenia Pitagorasa dla\ntrójkąta 𝐴𝐵𝐶: |𝐶𝐴|2 + |𝐴𝐵|2 = |𝐵𝐶|2\n- zapisanie zależności między polami figur płaskich a długościami odcinków trójkąta:\n𝑃2\n𝑃1 = (\n|𝐴𝐵|\n|𝐶𝐴|)\n2\n𝑃3\n𝑃1 = (\n|𝐵𝐶|\n|𝐶𝐴|)\n2\n, zapisanie sumy pól figur płaskich wyrażonej za pomocą\ndługości boków trójkąta i jednego z pól: 𝑃1 + 𝑃2 = 𝑃1 +\n|𝐴𝐵|2\n|𝐶𝐴|2 ⋅𝑃1 oraz zapisanie\ntwierdzenia Pitagorasa dla trójkąta 𝐴𝐵𝐶: |𝐶𝐴|2 + |𝐴𝐵|2 = |𝐵𝐶|2\nLUB\n- prawidłowe wyprowadzenie i zapisanie wyrażenia postaci: 𝑃1 + 𝑃2 = 𝑃1 ⋅\n|𝐵𝐶|2\n|𝐶𝐴|2 .\n1 pkt - zapisanie wzorów na pola trójkątów oraz wyrażenie wysokości dwóch trójkątów (na\nmocy ich podobieństwa) poprzez wysokość trzeciego z nich, np.:\n𝑃1 =\n1\n2 ℎ1|𝐴𝐶| 𝑃2 =\n1\n2 ℎ1 ⋅\n|𝐴𝐵|2\n|𝐴𝐶| 𝑃3 =\n1\n2 ℎ1 ⋅\n|𝐶𝐵|2\n|𝐴𝐶|\n- zapisanie zależności między polami figur płaskich a długościami odcinków trójkąta, np.:\n𝑃2\n𝑃1 = (\n|𝐴𝐵|\n|𝐶𝐴|)\n2\n𝑃3\n𝑃1 = (\n|𝐵𝐶|\n|𝐶𝐴|)\n2\nlub zależności równoważnych\nLUB\n- zapisanie sumy pól figur płaskich wyrażonej za pomocą długości boków trójkąta oraz\njednego z pól, np.: 𝑃1 + 𝑃2 = 𝑃1 +\n|𝐴𝐵|2\n|𝐶𝐴|2 ⋅𝑃1 (lub równoważnie).\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe zadania z rozwiązaniami\n79\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób 1.\n1. Wysokości trzech trójkątów: 𝐶𝐴𝑊1, 𝐴𝐵𝑊2, 𝐶𝐵𝑊3, opuszczone z wierzchołków 𝑊1, 𝑊2, 𝑊3\noznaczymy odpowiednio jako: ℎ1, ℎ2, ℎ3. Zapiszemy wzory na pola powierzchni tych\ntrójkątów:\n𝑃1 = 1\n2 ℎ1|𝐴𝐶| 𝑃2 = 1\n2 ℎ2|𝐴𝐵| 𝑃3 = 1\n2 ℎ3|𝐶𝐵|\n2. Zapiszemy związki wynikające z podobieństwa trójkątów:\nΔ𝐶𝐴𝑊1 ∼Δ𝐴𝐵𝑊2 zatem ℎ2\nℎ1 =\n|𝐴𝐵|\n|𝐴𝐶| więc ℎ2 = ℎ1 ⋅\n|𝐴𝐵|\n|𝐴𝐶|\nΔ𝐶𝐴𝑊1 ∼Δ𝐶𝐵𝑊3 zatem ℎ3\nℎ1\n|𝐶𝐵|\n|𝐴𝐶| więc ℎ3 = ℎ1 ⋅\n|𝐶𝐵|\n|𝐴𝐶|\n3. Ponownie zapiszemy wzory na pola trójkątów, wykorzystując powyższe zależności:\n𝑃1 = 1\n2 ℎ1|𝐴𝐶| 𝑃2 = 1\n2 ℎ1 ⋅|𝐴𝐵|2\n|𝐴𝐶| 𝑃3 = 1\n2 ℎ1 ⋅|𝐶𝐵|2\n|𝐴𝐶|\n4. Obliczymy sumę 𝑃1 + 𝑃2.\n𝑃1 + 𝑃2 = 1\n2 ℎ1|𝐴𝐶| + 1\n2 ℎ1 ⋅\n|𝐴𝐵|2\n|𝐴𝐶| = 1\n2 ℎ1 (|𝐴𝐶| +\n|𝐴𝐵|2\n|𝐴𝐶| )\n𝑃1 + 𝑃2 = 1\n2 ℎ1 (|𝐴𝐶|2 + |𝐴𝐵|2\n|𝐴𝐶|\n)\n5. Wykorzystamy twierdzenie Pitagorasa dla trójkąta 𝐴𝐵𝐶:\nPonieważ\n|𝐴𝐶|2 + |𝐴𝐵|2 = |𝐵𝐶|2\nto\n𝑃1 + 𝑃2 = 1\n2 ℎ1 (|𝐵𝐶|2\n|𝐴𝐶| )\n6. Prawa strona powyższego równania, na mocy pkt 3., jest równa 𝑃3:\n𝑃1 + 𝑃2 = 𝑃3\nTo kończy dowód.\n80\nInformator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie podstawowym od roku szkolnego 2022/2023\nSposób 2.\n1. Wykorzystamy zależności między obwodami a polami figur płaskich podobnych:\n𝑃2\n𝑃1\n= (𝑂2\n𝑂1\n)\n2\n𝑃3\n𝑃1\n= (𝑂3\n𝑂1\n)\n2\n2. Wykorzystamy fakt, że stosunki obwodów trójkątów podobnych są równe stosunkom\ndługości podstaw tych trójkątów:\n𝑂2\n𝑂1\n|𝐴𝐵|\n|𝐶𝐴| 𝑂3\n𝑂1\n|𝐵𝐶|\n|𝐶𝐴|\n3. Z zależności 1. i 2. wynika:\n𝑃2\n𝑃1\n= (\n|𝐴𝐵|\n|𝐶𝐴|)\n2\n𝑃3\n𝑃1\n= (\n|𝐵𝐶|\n|𝐶𝐴|)\n2\n𝑃2 =\n|𝐴𝐵|2\n|𝐶𝐴|2 ⋅𝑃1 𝑃3 =\n|𝐵𝐶|2\n|𝐶𝐴|2 ⋅𝑃1\n4. Obliczymy sumę 𝑃1 + 𝑃2:\n𝑃1 + 𝑃2 = 𝑃1 +\n|𝐴𝐵|2\n|𝐶𝐴|2 ⋅𝑃1 = 𝑃1 ⋅(1 +\n|𝐴𝐵|2\n|𝐶𝐴|2)\n𝑃1 + 𝑃2 = 𝑃1 ⋅\n|𝐶𝐴|2 + |𝐴𝐵|2\n|𝐶𝐴|2\n5. Skorzystamy z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta 𝐴𝐵𝐶:\n|𝐶𝐴|2 + |𝐴𝐵|2 = |𝐵𝐶|2\nZatem równanie w drugim wierszu pkt 4. można zapisać w postaci:\n𝑃1 + 𝑃2 = 𝑃1 ⋅|𝐵𝐶|2\n|𝐶𝐴|2\nPrawa strona powyższego równania, na mocy pkt 3., jest równa 𝑃3:\n𝑃1 + 𝑃2 = 𝑃3\nTo kończy dowód.\nPrzykładowe zadania z rozwiązaniami\n81","answer":null,"answer_text":null,"solution":"Niech h1, h2, h3 - wysokości trójkątów CAW1, ABW2, CBW3 opuszczone odpowiednio z W1, W2, W3.\nPola: P1=(1/2)h1|AC|, P2=(1/2)h2|AB|, P3=(1/2)h3|CB|.\nZ podobieństwa trójkątów (te same kąty przy W1,W2,W3): ΔCAW1~ΔABW2, więc h2/h1=|AB|/|AC|, stąd h2=h1·|AB|/|AC|.\nPodobnie ΔCAW1~ΔCBW3: h3/h1=|CB|/|AC|, stąd h3=h1·|CB|/|AC|.\nZatem: P1=(1/2)h1|AC|, P2=(1/2)h1·|AB|²/|AC|, P3=(1/2)h1·|CB|²/|AC|.\nObliczamy sumę:\nP1+P2 = (1/2)h1(|AC| + |AB|²/|AC|) = (1/2)h1·(|AC|²+|AB|²)/|AC|.\nZ twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta ABC (prostokątnego przy A): |AC|²+|AB|²=|BC|².\nZatem: P1+P2 = (1/2)h1·|BC|²/|AC| = P3.\n\nTo kończy dowód: P3=P1+P2.","image":"img/informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-podstawowy/zad-35.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":77,"source":"ai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"ai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2023","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny"},{"id":"informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-podstawowy/zad/36","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-podstawowy","number":"36","points":3,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2023,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 36. (0-3)\nDany jest prostokąt 𝐴𝐵𝐶𝐷, w którym |𝐴𝐷| = 2. Kąt 𝐵𝐷𝐴 ma miarę 𝛼, taką, że tg 𝛼= 2.\nPrzekątna 𝐵𝐷 i prosta przechodząca przez wierzchołek 𝐶 prostopadła do 𝐵𝐷 przecinają się\nw punkcie 𝐸 (zobacz rysunek).\nOblicz długość odcinka |𝑪𝑬|.\nWymagania ogólne\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji.\n1.\nStosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\n3.\nTworzenie pomocniczych obiektów matematycznych na podstawie istniejących,\nw celu przeprowadzenia argumentacji lub rozwiązania problemu.\nWymagania szczegółowe\nVIII. Planimetria. Zdający:\n8) korzysta z cech podobieństwa trójkątów;\n11) stosuje funkcje trygonometryczne do wyznaczania długości odcinków w figurach\npłaskich oraz obliczania pól figur.\nZasady oceniania\n3 pkt - prawidłowa metoda obliczenia długości odcinka 𝐸𝐶 oraz podanie prawidłowego\nwyniku: |𝐸𝐶| =\n4√5\n5 lub |𝐸𝐶| =\n4\n√5 .\n2 pkt - zapisanie zależności\n|𝐷𝐴|\n|𝐵𝐷| =\n|𝐸𝐶|\n|𝐷𝐶| oraz prawidłowe obliczenie z twierdzenia Pitagorasa\ndługości odcinka 𝐵𝐷: |𝐵𝐷| = 2√5 (np. jak w sposobie 1. rozwiązania)\nLUB\n𝐶\n𝐴\n𝐵\n𝐷\n𝐸\n82\nInformator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie podstawowym od roku szkolnego 2022/2023\n- zapisanie zależności\n|𝐴𝐵|\n|𝐴𝐷| =\n|𝐷𝐸|\n|𝐸𝐶| = 2 oraz zapisanie równania z jedną niewiadomą\nwynikającego z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta 𝐷𝐸𝐶 (np. jak w sposobie 2.\nrozwiązania)\nLUB\n- zapisanie zależności\n|𝐴𝐵|\n|𝐴𝐷| =\n|𝐸𝐶|\n|𝐸𝐵| = 2 oraz zapisanie równania z jedną niewiadomą\nwynikającego z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta 𝐵𝐶𝐸\nLUB\n- zapisanie równania z jedną niewiadomą, wyrażającą długość boku 𝐸𝐶, wynikającego\nz twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta 𝐷𝐸𝐶 lub 𝐵𝐶𝐸.\n1 pkt - stwierdzenie, że trójkąty 𝐴𝐵𝐷 i 𝐷𝐸𝐶 (lub trójkąty 𝐴𝐵𝐷 i 𝐶𝐸𝐵) są podobne oraz\nzapisanie zależności\n|𝐴𝐵|\n|𝐴𝐷| = 2 i obliczenie długości boku 𝐴𝐵: |𝐴𝐵| = 4.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób 1.\n1. Wprowadzimy oznaczenia: ∡𝐵𝐷𝐴= 𝛼, ∡𝐴𝐵𝐷= 𝛽.\nTo są kąty w trójkącie prostokątnym 𝐴𝐵𝐷, zatem:\n𝛼+ 𝛽= 90°\n2. Wyodrębnimy trójkąty prostokątne: 𝐴𝐵𝐷, 𝐸𝐶𝐷. W tych\ntrójkątach wyznaczymy kąty ostre. Skorzystamy\nz zależności, że 𝛼+ 𝛽= 90° oraz z własności kątów\nnaprzemianległych.\nNa podstawie cechy: kąt, kąt, kąt, stwierdzamy, że\ntrójkąty 𝐴𝐵𝐷, 𝐸𝐶𝐷 są podobne (zobacz rysunek obok).\n3. Ponieważ tg 𝛼= 2 , to |𝐴𝐵| = 4. Zatem |𝐷𝐶| = 4.\n4. Obliczymy |𝐵𝐷| z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta\n𝐴𝐵𝐷:\n|𝐵𝐷|2 = |𝐷𝐴|2 + |𝐴𝐵|2 = 22 + 42 = 20\n|𝐵𝐷| = √20 = 2√5\n5. Z podobieństwa trójkątów 𝐴𝐵𝐷, 𝐸𝐶𝐷 obliczymy długość odcinka 𝐸𝐶.\n|𝐷𝐴|\n|𝐵𝐷| = |𝐸𝐶|\n|𝐷𝐶| zatem 2\n2√5\n= |𝐸𝐶|\n4\nwięc |𝐸𝐶| = 4\n√5\n𝐶\n𝐴\n𝐵\n𝐷\n𝐸\n𝛼\n𝛽\n𝐶\n𝐷\n𝐸\n𝐴\n𝐵\n𝛼\n𝛽\n𝛽\n𝛼\n2\n4\n4\n2ξ5\nPrzykładowe zadania z rozwiązaniami\n83\nSposób 2.\n1. Zastosujemy oznaczenia: ∡𝐵𝐷𝐴= 𝛼, ∡𝐴𝐵𝐷= 𝛽.\nTo są kąty w trójkącie prostokątnym 𝐴𝐵𝐷, zatem:\n𝛼+ 𝛽= 90°\n2. Wyodrębnimy trójkąty prostokątne: 𝐴𝐵𝐷, 𝐵𝐶𝐸, 𝐸𝐶𝐷.\nW\ntych\ntrójkątach\nwyznaczymy\nkąty\nostre.\nSkorzystamy z zależności, że 𝛼+ 𝛽= 90° oraz\nz własności kątów naprzemianległych.\nNa podstawie cechy: kąt, kąt, kąt, stwierdzamy, że\ntrójkąty 𝐴𝐵𝐷, 𝐵𝐶𝐸, 𝐸𝐶𝐷 są podobne.\n3. Z podobieństwa tych trójkątów wynika, że:\n|𝐴𝐵|\n|𝐴𝐷| = |𝐸𝐶|\n|𝐸𝐵| = |𝐷𝐸|\n|𝐸𝐶|\nzatem tg 𝛼=\n|𝐴𝐵|\n|𝐴𝐷| =\n|𝐸𝐶|\n|𝐸𝐵| =\n|𝐷𝐸|\n|𝐸𝐶| = 2\nWprowadzimy oznaczenie: |𝐸𝐶| = 𝑥. Długości boków\n𝐸𝐵 i 𝐸𝐷 wyrazimy poprzez 𝑥. Z równań zapisanych\npowyżej otrzymujemy:\nponieważ |𝐴𝐷| = 2 to |𝐴𝐵| = 4\nponieważ |𝐸𝐶| = 𝑥 to |𝐸𝐵| = 𝑥\n2\nponieważ |𝐸𝐶| = 𝑥 to |𝐸𝐷| = 2𝑥\n4. Zastosujemy twierdzenie Pitagorasa dla trójkąta 𝐸𝐶𝐷 (można zastosować alternatywnie\ndla trójkąta 𝐵𝐶𝐸):\n𝑥2 + (2𝑥)2 = 42 więc 𝑥2 + 4𝑥2 = 16 stąd 5𝑥2 = 16\nZatem 𝑥= |𝐸𝐶| = 4√5\n5\n𝐶\n𝐴\n𝐵\n𝐷\n𝐸\n𝛼\n𝛽\n𝐶\n𝐷\n𝐸\n𝐴\n𝐵\n𝛼\n𝛽\n𝛼\n𝛽\n𝛽\n𝛼\n𝐶\n𝐵\n2\n4\n𝐷\n𝐸\n𝐴\n4\n𝑥\n2𝑥\n𝑥\n2\n2\n84\nInformator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie podstawowym od roku szkolnego 2022/2023","answer":null,"answer_text":null,"solution":"Oznaczmy ∡BDA=α, ∡ABD=β; α+β=90° (trójkąt ABD prostokątny przy A).\nPonieważ tgα=2 oraz tgα=|AB|/|AD|, mamy |AB|=2·|AD|=2·2=4.\nTrójkąty ABD i DEC są podobne (kąt, kąt, kąt - z równoległości i kątów naprzemianległych), więc |DC|=|AB|=4 (DC=AB jako boki prostokąta).\nZ tw. Pitagorasa dla trójkąta ABD: |BD|²=|DA|²+|AB|²=2²+4²=20, |BD|=2√5.\nZ podobieństwa trójkątów ABD i DEC: |DA|/|BD| = |EC|/|DC|\n2/(2√5) = |EC|/4\n|EC| = 8/(2√5) = 4/√5 = 4√5/5.\n\nOdpowiedź: |CE| = 4√5/5.","image":"img/informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-podstawowy/zad-36.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":81,"source":"ai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"ai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2023","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny"},{"id":"informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-podstawowy/zad/37","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-podstawowy","number":"37","points":3,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2023,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 37. (0-3)\nTrzy różne punkty 𝐴, 𝐵 i 𝐷 leżą na okręgu o środku w punkcie 𝑆. Odcinek 𝐵𝐷 jest średnicą\ntego okręgu. Styczne 𝑘 i 𝑙 do tego okręgu, odpowiednio w punktach 𝐴 i 𝐵, przecinają się\nw punkcie 𝐶 (zobacz rysunek poniżej).\nWykaż, że trójkąty 𝑨𝑪𝑩 i 𝑨𝑺𝑫 są podobne.\nWymagania ogólne\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n1.\nPrzeprowadzanie rozumowań, także kilkuetapowych, podawanie argumentów\nuzasadniających poprawność rozumowania, odróżnianie dowodu od przykładu.\n2.\nDostrzeganie regularności, podobieństw oraz analogii, formułowanie wniosków na ich\npodstawie i uzasadnianie ich poprawności.\nWymagania szczegółowe\nVIII. Planimetria. Zdający:\n5) stosuje własności kątów wpisanych i środkowych;\n7) stosuje twierdzenia […] o kącie między styczną a cięciwą;\n8) korzysta z cech podobieństwa trójkątów;\n12) przeprowadza dowody geometryczne.\n𝐵\n𝑆\n𝑘\n𝐶\n𝐴\n𝑙\n𝐷\nPrzykładowe zadania z rozwiązaniami\n85\nZasady oceniania\n(uwzględniające oba sposoby rozwiązania oraz ich kompilacje)\n3 pkt - poprawne przeprowadzenie pełnego dowodu podobieństwa trójkątów 𝐴𝐶𝐵 i 𝐴𝑆𝐷.\n2 pkt - zapisanie związków pomiędzy kątami: |∡𝐵𝑆𝐴| = 180° -|∡𝐴𝐶𝐵| oraz\n|∡𝐴𝑆𝐷| = 180° -|∡𝐵𝑆𝐴| oraz zapisanie zależności wymienionych w kryterium za\n1 pkt\nLUB\n- wykazanie, że |∡𝐴𝑆𝐷| = |∡𝐴𝐶𝐵|\noraz zapisanie zależności wymienionych\nw kryterium za 1 pkt\nLUB\n- wykazanie, że |∡𝐵𝐷𝐴| = |∡𝐵𝐴𝐶| oraz zapisanie zależności wymienionych\nw kryterium za 1 pkt.\n1 pkt - zapisanie, że trójkąt 𝐴𝐶𝐵 jest równoramienny oraz zapisanie związku między jego\nkątami wewnętrznymi: |∡𝐵𝐴𝐶| = |∡𝐶𝐵𝐴| = (180° -|∡𝐴𝐶𝐵|): 2\nLUB\n- zapisanie, że trójkąt 𝐴𝑆𝐷 jest równoramienny oraz zapisanie związku między jego\nkątami wewnętrznymi: |∡𝑆𝐷𝐴| = |∡𝐷𝐴𝑆| = (180° -|∡𝐴𝑆𝐷|): 2\nLUB\n- zapisanie, ze trójkąty 𝐴𝐶𝐵 i 𝐴𝑆𝐷 są równoramienne, oraz wskazanie / zapisanie\nrówności odpowiednich ramion.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób 1.\n1. Zauważmy, że trójkąt 𝐴𝐶𝐵 jest równoramienny, gdzie: |𝐴𝐶| = |𝐶𝐵|.\nTa równość odcinków stycznych wynika z faktu, że trójkąty 𝑆𝐶𝐵 i 𝑆𝐶𝐴 są przystające na mocy\ncechy: kąt, bok (bok 𝐶𝑆), kąt (promień okręgu w punkcie styczności jest prostopadły do\nstycznej, a środek 𝑆 okręgu leży na dwusiecznej kąta ∡𝐴𝐶𝐵).\n2. Zauważmy, że trójkąt 𝐴𝑆𝐷 jest równoramienny, gdzie: |𝑆𝐷| = |𝑆𝐴| (odcinki 𝑆𝐷 i 𝑆𝐴 są\npromieniami okręgu).\n3. Sposób 1. kroku 3.\nOznaczymy |∡𝐵𝐴𝐶| = 𝛽. Na mocy twierdzenia\no kącie\nmiędzy\nstyczną\na cięciwą\ni\nkącie\nśrodkowym opartym na tym łuku co cięciwa,\nmamy:\n|∡𝐵𝑆𝐴| = 2𝛽.\nZ twierdzenia o kącie wpisanym i środkowym\notrzymujemy:\n|∡𝐵𝐷𝐴| = 1\n2 |∡𝐵𝑆𝐴| = 𝛽\n𝐵\n𝑆\n𝑘\n𝐶\n𝐴\n𝑙\n𝐷\n𝛽\n𝛽\n2𝛽\n86\nInformator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie podstawowym od roku szkolnego 2022/2023\nSposób 2. kroku 3.\nOznaczymy |∡𝐵𝐴𝐶| = 𝛽. Na mocy twierdzenia o kącie między styczną a cięciwą i kącie\nśrodkowym opartym na tym samym łuku co cięciwa, mamy:\n|∡𝐵𝑆𝐴| = 2𝛽. Zatem:\n|∡𝑆𝐷𝐴| = 180° -(180° -2𝛽)\n2\n= 𝛽\nSposób 3. kroku 3.\nOznaczymy |∡𝐵𝐴𝐶| = 𝛽. Na mocy twierdzenia o kącie między styczną a cięciwą (tw.\no kącie dopisanym) i kącie wpisanym opartym na tym samym łuku co cięciwa, mamy:\n|∡𝐵𝐷𝐴| = |∡𝐵𝐴𝐶| = 𝛽\n4. Ponieważ trójkąty 𝐴𝐶𝐵 oraz 𝐴𝑆𝐷 są równoramienne\n(zobacz pkt 1. i pkt 2.), stąd wynika, że:\n|∡𝐶𝐵𝐴| = |∡𝐵𝐴𝐶| = 𝛽 |∡𝐴𝐶𝐵| = 180° -2𝛽\n|∡𝑆𝐷𝐴| = |∡𝐷𝐴𝑆| = 𝛽 |∡𝐴𝑆𝐷| = 180° -2𝛽\n5. Trójkąty 𝐴𝐶𝐵 i 𝐴𝑆𝐷 są podobne na mocy cechy: kąt,\nkąt, kąt.\nSposób 2.\n1. Zauważmy, że trójkąt 𝐴𝐶𝐵 jest równoramienny, gdzie:\n|𝐴𝐶| = |𝐶𝐵|\nPowyższa równość odcinków stycznych wynika z faktu, że trójkąty 𝑆𝐶𝐵 i 𝑆𝐶𝐴 są przystające\nna mocy cechy: kąt, bok (𝐶𝑆), kąt (promień okręgu w punkcie styczności jest prostopadły do\nstycznej, a środek 𝑆 okręgu leży na dwusiecznej kąta ∡𝐴𝐶𝐵).\n2. Miarę kąta ∡𝐴𝐶𝐵 oznaczymy jako 𝛼. Ponieważ\nsuma kątów wewnętrznych trójkąta jest równa 180°,\na trójkąt 𝐴𝐶𝐵 jest równoramienny, to:\n|∡𝐵𝐴𝐶| = |∡𝐶𝐵𝐴| = 𝛽\nZatem\n𝛽= 180° -𝛼\n2\n= 90° -𝛼\n2\n𝐵\n𝑆\n𝑘\n𝐶\n𝐴\n𝑙\n𝐷\n𝛼\n𝛽= 90° -𝛼\n2\n𝛽\n𝛽\n𝐵\n𝑆\n𝑘\n𝐶\n𝐴\n𝑙\n𝐷\n180° -2𝛽\n𝛽\n𝛽\n𝛽\n𝛽\n180° -2𝛽\nPrzykładowe zadania z rozwiązaniami\n87\n3. Rozważmy czworokąt 𝐴𝐶𝐵𝑆. Miarę kąta ∡𝐵𝑆𝐴\noznaczymy\nprzez 𝛾.\nPonieważ\nsuma\nkątów\nw czworokącie jest równa 360°, a kąty ∡𝑆𝐴𝐶 oraz\n∡𝐶𝐵𝑆 są proste, to:\n|∡𝐵𝑆𝐴| = 360° -|∡𝑆𝐴𝐶| -|∡𝐶𝐵𝑆 | -|∡𝐴𝐶𝐵|\nZatem:\n𝛾= 360° -90° -90° -𝛼\n𝛾= 180° -𝛼\n4. Kąt ∡𝐴𝑆𝐷 jest przyległy do kąta ∡𝐵𝑆𝐴, zatem:\n|∡𝐴𝑆𝐷| = 180° - 𝛾\n|∡𝐴𝑆𝐷| = 180° -(180° -𝛼)\n|∡𝐴𝑆𝐷| = 𝛼\n5. Zauważmy, że trójkąt 𝐴𝑆𝐷 jest równoramienny,\ngdzie |𝑆𝐷| = |𝑆𝐴| (odcinki 𝑆𝐷 i 𝑆𝐴 są promieniami\nokręgu). Zatem:\n|∡𝑆𝐷𝐴| = |∡𝐷𝐴𝑆| = 180° -|∡𝐴𝑆𝐷|\n2\n|∡𝑆𝐷𝐴| = |∡𝐷𝐴𝑆| = 90° -𝛼\n2 = 𝛽\nUwaga! Miarę kąta ∡𝐵𝐷𝐴 (czyli 𝛽) można było wyrazić poprzez miarę kąta ∡𝐵𝑆𝐴 (czyli 𝛾) na\nmocy twierdzenia o kącie środkowym opartym na tym samym łuku (tutaj łuku 𝐴𝐵) co kąt\nwpisany: 𝛾= 2𝛽\n6. Trójkąty 𝐴𝐶𝐵 i 𝐴𝑆𝐷 są podobne na mocy cechy: kąt,\nkąt, kąt.\n𝐵\n𝑆\n𝑘\n𝐶\n𝐴\n𝑙\n𝐷\n𝛾= 180° -𝛼\n𝛼\n𝛾\n𝐵\n𝑆\n𝑘\n𝐶\n𝐴\n𝑙\n𝐷\n𝛾\n𝛼\n𝛽= 90° -𝛼\n2\n𝛽\n𝛽\n𝛼\n𝛽\n𝐵\n𝑆\n𝑘\n𝐶\n𝐴\n𝑙\n𝐷\n𝛼\n𝛽\n𝛽\n𝛽\n88\nInformator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie podstawowym od roku szkolnego 2022/2023","answer":null,"answer_text":null,"solution":"Dowód:\n1. Trójkąt ACB jest równoramienny: |AC|=|CB| (odcinki stycznych z punktu C do okręgu są równej długości - trójkąty SCA i SCB są przystające: kąt-bok-kąt, bo SA⊥k, SB⊥l, wspólny bok SC, |SA|=|SB|=r).\n2. Trójkąt ASD jest równoramienny: |SD|=|SA| (oba są promieniami okręgu).\n3. Oznaczmy |∡BAC|=β. Na mocy twierdzenia o kącie między styczną a cięciwą, kąt środkowy oparty na tym samym łuku AB wynosi |∡BSA|=2β. Z własności kąta wpisanego i środkowego: |∡BDA|=(1/2)|∡BSA|=β. Kąt ∡ASD jest przyległy do ∡BSA, więc |∡ASD|=180°-2β.\n4. Ponieważ trójkąt ASD jest równoramienny z kątem przy wierzchołku S równym 180°-2β, to kąty przy podstawie: |∡SDA|=|∡DAS|=β.\n5. W trójkącie ACB (równoramiennym, |AC|=|CB|): |∡BAC|=|∡CBA|=β, więc |∡ACB|=180°-2β.\n6. Zatem trójkąty ACB i ASD mają odpowiednio równe kąty: przy wierzchołkach A i D (=β), przy wierzchołkach B i A (=β), przy wierzchołkach C i S (=180°-2β).\nNa mocy cechy kąt-kąt-kąt trójkąty ACB i ASD są podobne. C.n.d.","image":"img/informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-podstawowy/zad-37.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":84,"source":"ai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"ai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2023","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny"},{"id":"informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-podstawowy/zad/38","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-podstawowy","number":"38","points":3,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2023,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 38. (0-3)\nDany jest trójkąt 𝐴𝐵𝐶 o bokach długości: |𝐴𝐵| = 4, |𝐵𝐶| = 5, |𝐴𝐶| = 6. Na tym trójkącie\nopisano okrąg o środku w punkcie 𝑆 i promieniu 𝑅.\nOblicz promień 𝑹 okręgu opisanego na trójkącie 𝑨𝑩𝑪.\nWymagania ogólne\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji.\n1.\nStosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\n3.\nTworzenie pomocniczych obiektów matematycznych na podstawie istniejących,\nw celu przeprowadzenia argumentacji lub rozwiązania problemu.\nWymagania szczegółowe\nVII. Trygonometria. Zdający:\n5) stosuje twierdzenia sinusów i cosinusów oraz wzór na pole trójkąta 𝑃=\n1\n2 𝑎𝑏sin 𝛾.\nVIII. Planimetria. Zdający:\n1) wyznacza promienie i średnice okręgów, długości cięciw okręgów oraz odcinków\nstycznych, w tym z wykorzystaniem twierdzenia Pitagorasa.\n𝐴\n𝐵\n5\n𝑆\n𝑅\n4\n𝐶\n6\nPrzykładowe zadania z rozwiązaniami\n89\nZasady oceniania\n3 pkt - poprawna metoda obliczenia promienia okręgu opisanego na trójkącie oraz podanie\nprawidłowego wyniku: 𝑅=\n8√7\n7 .\n2 pkt - obliczenie sinusa jednego z kątów w trójkącie (np. ∡𝐶𝐴𝐵)\nLUB\n- obliczenie cosinusa jednego z kątów w trójkącie (np. ∡𝐶𝐴𝐵) oraz poprawne zapisanie\ndwóch równań wynikających z twierdzenia sinusów oraz „jedynki trygonometrycznej”\ndla jednego z kątów w trójkącie (tego samego).\n1 pkt - obliczenie cosinusa jednego z kątów w trójkącie (np. ∡𝐶𝐴𝐵)\nLUB\n- poprawne zapisanie dwóch równań wynikających z twierdzenia cosinusów oraz\ntwierdzenia sinusów dla jednego z kątów w trójkącie (tego samego, np. ∡𝐶𝐴𝐵).\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nW celu obliczenia promienia okręgu opisanego na trójkącie zastosujemy twierdzenie sinusów\noraz twierdzenie cosinusów. Z twierdzenia cosinusów wyznaczymy cosinus wybranego kąta\nw trójkącie, następnie dla tego kąta oraz boku naprzeciwko tego kąta zastosujemy twierdzenie\nsinusów.\n1. Wprowadzimy oznaczenie: |∡𝐶𝐴𝐵| = 𝛼. Z twierdzenia cosinusów obliczymy cos 𝛼:\n|𝐵𝐶|2 = |𝐴𝐶|2 + |𝐴𝐵|2 -2 ⋅|𝐴𝐶| ⋅|𝐴𝐵| ⋅cos 𝛼\n52 = 62 + 42 -2 ⋅6 ⋅4 ⋅cos 𝛼\n25 = 36 + 16 -48 ⋅cos 𝛼\n48 ⋅cos 𝛼= 52 -25\ncos 𝛼= 27\n48 = 9\n16\n2. Z „jedynki trygonometrycznej” obliczymy sin 𝛼:\nsin2 𝛼= 1 -( 9\n16)\n2\n= 175\n162\nsin 𝛼= √175\n162 = 5√7\n16\n3. Zastosujemy twierdzenie sinusów do obliczenia promienia okręgu opisanego na trójkącie\n𝐴𝐵𝐶:\n|𝐵𝐶|\nsin 𝛼= 2𝑅 zatem 𝑅=\n5\n2 sin 𝛼=\n5\n2 ⋅5√7\n16\n= 1\n√7\n8\nwięc 𝑅= 8√7\n7\n𝐴\n𝐵\n5\n𝑆\n𝑅\n4\n𝐶\n6\n𝛼\n90\nInformator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie podstawowym od roku szkolnego 2022/2023","answer":null,"answer_text":null,"solution":"Oznaczmy |∡CAB|=α (kąt naprzeciw boku BC=5). Z tw. cosinusów:\n|BC|²=|AC|²+|AB|²-2|AC||AB|cosα\n25=36+16-48cosα\ncosα=27/48=9/16.\nsinα=√(1-(9/16)²)=√(175/256)=5√7/16.\nZ tw. sinusów: |BC|/sinα=2R, więc R=5/(2·5√7/16)=8/√7=8√7/7.\n\nOdpowiedź: R = 8√7/7.","image":"img/informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-podstawowy/zad-38.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":88,"source":"ai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"ai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2023","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny"},{"id":"informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-podstawowy/zad/39","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-podstawowy","number":"39","points":1,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2023,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 39. (0-1)\nProste 𝑘 i 𝑙 przecinają się w punkcie 𝐴. Proste 𝑚, 𝑛 i 𝑠 są do siebie równoległe i przecinają\nobie proste 𝑘 i 𝑙 w punktach 𝐵, 𝐶, 𝐷, 𝐸, 𝐹, 𝐺 (zobacz rysunek poniżej), w taki sposób, że:\n|𝐵𝐶| = 30,\n|𝐶𝐷| = 20, |𝐺𝐹| = 21.\nOblicz długość odcinka 𝑭𝑬.\nWymaganie ogólne\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n2) Dostrzeganie regularności, podobieństw oraz analogii, formułowanie wniosków na ich\npodstawie i uzasadnianie ich poprawności.\nWymaganie szczegółowe\nVIII. Planimetria. Zdający:\n7) stosuje twierdzenia: Talesa, odwrotne do twierdzenia Talesa […].\nZasady oceniania\n1 pkt - poprawna metoda rozwiązania oraz zapisanie wyniku |𝐹𝐸| = 14.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nZastosujemy twierdzenie Talesa:\n|𝐺𝐹|\n|𝐵𝐶| = |𝐹𝐸|\n|𝐶𝐷| stąd 21\n30 = |𝐹𝐸|\n20 zatem |𝐹𝐸| = 14\n𝐴\n𝐸\n𝑠\n𝑙\n𝑛\n𝐹\n𝑚\n𝐺\n𝐵\n𝑘\n𝐷\n𝐶\nPrzykładowe zadania z rozwiązaniami\n91","answer":null,"answer_text":null,"solution":"Z twierdzenia Talesa: |GF|/|BC| = |FE|/|CD|\n21/30 = |FE|/20\n|FE| = 21·20/30 = 14.\n\nOdpowiedź: |FE| = 14.","image":"img/informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-podstawowy/zad-39.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":90,"source":"ai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"ai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2023","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny"},{"id":"informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-podstawowy/zad/40","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-podstawowy","number":"40","points":null,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2023,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 40.\nNa płaszczyźnie, w kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦), dany jest okrąg 𝒪 określony\nrównaniem:\n(𝑥-2)2 + (𝑦+ 3)2 = 16","answer":null,"answer_text":null,"solution":null,"image":"img/informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-podstawowy/zad-40.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":91,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2023","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny"},{"id":"informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-podstawowy/zad/40.1","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-podstawowy","number":"40.1","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2023,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 40.1. (0-1)\nDokończ zdania. Zaznacz odpowiedź spośród A-D oraz odpowiedź spośród E-G.\n1. Środek 𝑆 okręgu 𝒪 ma współrzędne\nA.\n𝑆= (2, -3)\nB.\n𝑆= (-2, -3)\nC.\n𝑆= (-2, 3)\nD.\n𝑆= (-2, 3)\n2. Promień 𝑟 okręgu 𝒪 jest równy\nE.\n𝑟= 16\nF.\n𝑟= 4\nG.\n𝑟= 5\nWymaganie ogólne\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji.\n1.\nStosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nWymaganie szczegółowe\nIX. Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej. Zdający:\n4) posługuje się równaniem okręgu (𝑥-𝑎)2 + (𝑦-𝑏)2 = 𝑟2.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepełna lub niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nAF\n92\nInformator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie podstawowym od roku szkolnego 2022/2023","answer":"1-A, 2-F","answer_text":null,"solution":"Równanie okręgu (x-2)²+(y+3)²=16 ma postać (x-a)²+(y-b)²=r².\nŚrodek: S=(2,-3) - odpowiedź A.\nr²=16, więc r=4 - odpowiedź F.","image":"img/informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-podstawowy/zad-40.1.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":91,"source":"ai","answer_source":"ai","answer_text_source":null,"solution_source":"ai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2023","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny"},{"id":"informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-podstawowy/zad/40.2","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-podstawowy","number":"40.2","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2023,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 40.2. (0-2)\nOblicz współrzędne 𝒙 punktów przecięcia okręgu 𝓞 z osią 𝑶𝒙.\nWymaganie ogólne\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji.\n1.\nStosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nWymagania szczegółowe\nI.\nLiczby rzeczywiste. Zdający:\n7) […] rozwiązuje równania i nierówności typu |𝑥+ 4| = 5, |𝑥-2| < 3, |𝑥+ 3| > 4.\nIII. Równania i nierówności. Zdający:\n4) rozwiązuje równania i nierówności kwadratowe.\nIX. Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej. Zdający:\n4) posługuje się równaniem okręgu (𝑥-𝑎)2 + (𝑦-𝑏)2 = 𝑟2;\n6) znajduje punkty wspólne prostej i okręgu […].\nZasady oceniania\n2 pkt - poprawne zapisanie równania (𝑥-2)2 + (0 + 3)2 = 16 oraz prawidłowe rozwiązanie\ntego równania: 𝑥1 = 2 + √7 lub 𝑥2 = 2 -√7.\n1 pkt - wykorzystanie informacji, że okrąg 𝒪 przecina oś 𝑂𝑥 i poprawne zapisanie równania\n(𝑥-2)2 + (0 + 3)2 = 16.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nRozwiążemy układ dwóch równań, w którym jedno jest równaniem okręgu, a drugie jest\nrównaniem osi 𝑂𝑥. Każdy punkt leżący na osi 𝑂𝑥 ma współrzędne (𝑥, 0), zatem 𝑦= 0 dla\nkażdej liczby rzeczywistej 𝑥.\n{(𝑥-2)2 + (𝑦+ 3)2 = 16\n𝑦= 0\n(𝑥-2)2 + (0 + 3)2 = 16\n(𝑥-2)2 + 9 = 16\n(𝑥-2)2 = 7\nPrzykładowe zadania z rozwiązaniami\n93\n|𝑥-2| = √7\n𝑥1 = 2 + √7 lub 𝑥2 = 2 -√7","answer":null,"answer_text":null,"solution":"Punkty przecięcia z osią Ox mają y=0:\n(x-2)²+(0+3)²=16\n(x-2)²+9=16\n(x-2)²=7\n|x-2|=√7\nx=2+√7 lub x=2-√7.\n\nOdpowiedź: x1=2+√7, x2=2-√7.","image":"img/informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-podstawowy/zad-40.2.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":92,"source":"ai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"ai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2023","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny"},{"id":"informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-podstawowy/zad/41","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-podstawowy","number":"41","points":null,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2023,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 41.\nNa płaszczyźnie, w kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦), dane są okrąg 𝒪 o środku\nw punkcie 𝑆= (3, - 4) i prosta 𝑘 o równaniu 2𝑥-𝑦-11 = 0.\nOkrąg 𝒪 jest styczny do prostej 𝑘 w punkcie 𝑃.","answer":null,"answer_text":null,"solution":null,"image":"img/informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-podstawowy/zad-41.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":93,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2023","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny"},{"id":"informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-podstawowy/zad/41.1","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-podstawowy","number":"41.1","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2023,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 41.1. (0-2)\nWyznacz i zapisz równanie okręgu 𝓞.\nWymagania ogólne\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji.\n1.\nStosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\n3.\nTworzenie pomocniczych obiektów matematycznych na podstawie istniejących,\nw celu przeprowadzenia argumentacji lub rozwiązania problemu.\nWymagania szczegółowe\nIX. Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej. Zdający:\n4) posługuje się równaniem okręgu (𝑥-𝑎)2 + (𝑦-𝑏)2 = 𝑟2;\n5) oblicza odległość punktu od prostej.\nZasady oceniania\n2 pkt - poprawna metoda wyznaczenia równania okręgu oraz prawidłowe zapisanie równania\nokręgu: (𝑥-3)2 + (𝑦+ 4)2 =\n1\n5.\n1 pkt - poprawna metoda obliczenia promienia okręgu oraz zapisanie wyniku: 𝑟= √5\n5 .\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\n94\nInformator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie podstawowym od roku szkolnego 2022/2023\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nRysunek poglądowy.\n1. Zauważmy, że odległość punktu 𝑆 od prostej 𝑘 jest równa promieniowi okręgu 𝒪.\nZastosujemy wzór na odległość punktu od prostej i obliczymy promień okręgu:\n𝑟= 𝑑(𝑆, 𝑘) = |2 ⋅3 -1 ⋅(-4) -11|\n√22 + (-1)2\n= 1\n√5\n= √5\n5\n2. Zapiszemy równanie okręgu:\n(𝑥-3)2 + (𝑦+ 4)2 = ( 1\n√5\n)\n2\n(𝑥-3)2 + (𝑦+ 4)2 = 1\n5","answer":null,"answer_text":null,"solution":"Promień okręgu O jest równy odległości środka S=(3,-4) od prostej k: 2x-y-11=0.\nr = d(S,k) = |2·3-1·(-4)-11|/√(2²+(-1)²) = |6+4-11|/√5 = 1/√5 = √5/5.\n\nRównanie okręgu: (x-3)²+(y+4)² = (√5/5)² = 1/5.","image":"img/informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-podstawowy/zad-41.1.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":93,"source":"ai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"ai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2023","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny"},{"id":"informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-podstawowy/zad/41.2","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-podstawowy","number":"41.2","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2023,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 41.2. (0-2)\nOblicz współrzędne punktu 𝑷, w którym okrąg 𝓞 jest styczny do prostej 𝒌.\nWymagania ogólne\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji.\n1.\nStosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\n3.\nTworzenie pomocniczych obiektów matematycznych na podstawie istniejących,\nw celu przeprowadzenia argumentacji lub rozwiązania problemu.\n𝑆\n𝑟\n𝑘\n𝑃\nPrzykładowe zadania z rozwiązaniami\n95\nWymagania szczegółowe\n(uwzględniające różne metody rozwiązania)\nIV. Układy równań. Zdający:\n1) rozwiązuje układy równań liniowych z dwiema niewiadomymi […];\n3) rozwiązuje metodą podstawiania układy równań, z których jedno jest liniowe, a drugie\nkwadratowe.\nIX. Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej. Zdający:\n2) posługuje się równaniami prostych na płaszczyźnie, w postaci kierunkowej i ogólnej,\nw tym wyznacza równanie prostej o zadanych własnościach (takich jak na przykład\nprzechodzenie przez dwa dane punkty, znany współczynnik kierunkowy,\nrównoległość lub prostopadłość do innej prostej, styczność do okręgu);\n4) posługuje się równaniem okręgu (𝑥-𝑎)2 + (𝑦-𝑏)2 = 𝑟2;\n5) oblicza odległość punktu od prostej;\n6) znajduje punkty wspólne prostej i okręgu […].\nZasady oceniania\n(dla rozwiązania sposobem 1.)\n2 pkt - zapisanie układu złożonego z poprawnych równań prostych 𝑘 i 𝑘⊥ oraz prawidłowe\nrozwiązanie tego układu i zapisanie wyniku: 𝑥=\n17\n5 , 𝑦= -\n21\n5 .\n1 pkt - poprawna metoda wyznaczenia równania prostej prostopadłej do 𝑘 i przechodzącej\nprzez punkt 𝑆 oraz zapisanie równania prostej 𝑘⊥: 𝑦= -\n1\n2 𝑥-\n5\n2\nLUB\n- zapisanie równania prostej prostopadłej do 𝑘 i przechodzącej przez punkt 𝑆,\nz poprawną wartością współczynnika kierunkowego tej prostej i błędną wartością\nwyrazu wolnego, oraz zapisanie układu złożonego z równań prostych 𝑘 i 𝑘⊥.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nZasady oceniania\n(dla rozwiązania sposobem 2.)\n2 pkt - zapisanie układu złożonego z równania prostej 𝑘 i równania okręgu 𝒪 oraz rozwiązanie\ntego układu równań i zapisanie wyniku: 𝑥=\n17\n5 , 𝑦= -\n21\n5 .\n1 pkt - zapisanie układu równań, w którym jedno jest równaniem prostej 𝑘, a drugie jest\nrównaniem okręgu (𝑥-3)2 + (𝑦+ 4)2 =\n1\n5.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób 1.\n(rozwiązanie układu równań złożonego z równań prostych 𝑘 i 𝑘⊥)\n1. Oznaczmy przez 𝑘⊥ prostą prostopadłą do prostej 𝑘. Punkt styczności okręgu 𝒪 i prostej 𝑘\njest punktem przecięcia się prostej 𝑘 z prostą 𝑘⊥ prostopadłą do niej i przechodzącą przez\nśrodek tego okręgu. Należy rozwiązać układ równań złożony z równań obu tych prostych.\n96\nInformator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie podstawowym od roku szkolnego 2022/2023\nRysunek poglądowy.\n2. Wyznaczymy równanie prostej 𝑘⊥- prostopadłej do 𝑘 i przechodzącej przez punkt 𝑆:\n𝑘: 𝑦= 2𝑥-11\nProsta 𝑘⊥ ma równanie:\n𝑘⊥: 𝑦= -1\n2 𝑥+ 𝑏\nPunkt 𝑆= (3, -4) należy do prostej 𝑘⊥ , zatem: -4 = -1\n2 ⋅3 + 𝑏 stąd 𝑏= -5\n2 , więc\nprosta 𝑘⊥ ma równanie:\n𝑘⊥: 𝑦= -1\n2 𝑥-5\n2\n3. Rozwiążemy układ równań:\n{\n𝑦= 2𝑥-11\n𝑦= -1\n2𝑥-5\n2\n-1\n2 𝑥-5\n2 = 2𝑥-11 stąd -5\n2 𝑥= -17\n2 więc 𝑥= 17\n5\n𝑦= 2𝑥-11 = 2 ⋅17\n5 -11 = -21\n5\n{\n𝑥= 17\n5\n𝑦= -21\n5\nzatem 𝑃= ( 17\n5 , -21\n5 )\nSposób 2.\n(rozwiązanie układu równań złożonego z równania prostej 𝑘 i równania okręgu 𝒪)\nUwaga!\nSposób 1. rozwiązania zadania 41.2. jest niezależny od rozwiązania zadania 41.1. Natomiast\nsposób 2. pokazuje takie rozwiązanie zadania 41.2., w którym zdający może wykorzystać\nrozwiązanie zadania 41.1.\n𝑆\n𝑘\n𝑃\n𝑘⊥\nPrzykładowe zadania z rozwiązaniami\n97\nWspółrzędne punktu styczności prostej 𝑘 i okręgu 𝒪 są rozwiązaniami układu równań,\nw którym jedno jest równaniem okręgu 𝒪, a drugie jest równaniem prostej 𝑘. Zapiszemy\ni rozwiążemy ten układ równań. Wykorzystamy wyznaczone w zadaniu 41.1. równanie okręgu\n{(𝑥-3)2 + (𝑦+ 4)2 = 1\n5\n𝑦= 2𝑥-11\n(𝑥-3)2 + (2𝑥-11 + 4)2 = 1\n5 zatem (𝑥-3)2 + (2𝑥-7)2 = 1\n5\n𝑥2 -6𝑥+ 9 + 4𝑥2 -28𝑥+ 49 -1\n5 = 0\n5𝑥2 -34𝑥+ 289\n5\n= 0\n𝑥= 34\n10 = 17\n5\n𝑦= 2𝑥-11 = 2 ⋅17\n5 -11 = -21\n5\n{\n𝑥= 17\n5\n𝑦= -21\n5\nwięc 𝑃= ( 17\n5 , -21\n5 )\n98\nInformator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie podstawowym od roku szkolnego 2022/2023","answer":null,"answer_text":null,"solution":"Prosta k: y=2x-11. Prosta k⊥ prostopadła do k i przechodząca przez S=(3,-4) ma współczynnik kierunkowy -1/2:\ny = -1/2 x + b, podstawiając S: -4 = -1/2·3+b, b=-5/2, więc k⊥: y=-1/2 x - 5/2.\nRozwiązujemy układ:\n2x-11 = -1/2 x - 5/2\n5/2 x = 17/2\nx = 17/5\ny = 2·17/5-11 = -21/5.\n\nOdpowiedź: P = (17/5, -21/5).","image":"img/informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-podstawowy/zad-41.2.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":94,"source":"ai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"ai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2023","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny"},{"id":"informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-podstawowy/zad/42","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-podstawowy","number":"42","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2023,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 42. (0-1)\nNa płaszczyźnie, w kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦), dane są punkty 𝐴= (1,2)\noraz 𝐵= (3,7). Punkty 𝐴𝑂 oraz 𝐵𝑂 są odpowiednio obrazami punktów 𝐴 i 𝐵 w symetrii\nśrodkowej o środku w punkcie 𝑂= (0,0).\nDokończ zdanie. Zaznacz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nWspółczynnik kierunkowy prostej przechodzącej przez punkty 𝐴𝑂 i 𝐵𝑂 jest równy\nA.\n5\n2\nB. -\n5\n2\nC.\n2\n5\nD. -\n2\n5\nWymaganie ogólne\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji.\n1.\nStosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nWymagania szczegółowe\nIX. Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej. Zdający:\n2) posługuje się równaniami prostych na płaszczyźnie, w postaci kierunkowej i ogólnej,\nw tym wyznacza równanie prostej o zadanych własnościach (takich jak na przykład\nprzechodzenie przez dwa dane punkty, znany współczynnik kierunkowy,\nrównoległość lub prostopadłość do innej prostej, styczność do okręgu);\n7) wyznacza obrazy okręgów i wielokątów w […] symetrii środkowej (o środku\nw początku układu współrzędnych).\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nA\nPrzykładowe zadania z rozwiązaniami\n99","answer":"A","answer_text":null,"solution":"A0 = -A = (-1,-2), B0 = -B = (-3,-7) (obrazy w symetrii środkowej względem O).\nWspółczynnik kierunkowy: a = (y_B0-y_A0)/(x_B0-x_A0) = (-7-(-2))/(-3-(-1)) = (-5)/(-2) = 5/2.","image":"img/informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-podstawowy/zad-42.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":98,"source":"ai","answer_source":"ai","answer_text_source":null,"solution_source":"ai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2023","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny"},{"id":"informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-podstawowy/zad/43","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-podstawowy","number":"43","points":null,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2023,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 43.\nDany jest prostopadłościan 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹𝐺𝐻, w którym prostokąty 𝐴𝐵𝐶𝐷\n𝑖 𝐸𝐹𝐺𝐻 są jego postawami. Odcinek 𝐵𝐻 jest przekątną tego\nprostopadłościanu.","answer":null,"answer_text":null,"solution":null,"image":"img/informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-podstawowy/zad-43.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":99,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2023","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny"},{"id":"informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-podstawowy/zad/43.1","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-podstawowy","number":"43.1","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2023,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 43.1. (0-1)\nNa którym rysunku prawidłowo narysowano, oznaczono i podpisano\nkąt 𝜶 pomiędzy przekątną 𝑩𝑯 prostopadłościanu a jego ścianą\nboczną 𝑨𝑫𝑯𝑬? Zaznacz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nA. 𝛼= ∡𝐵𝐻𝐷\nB. 𝛼= ∡𝐵𝐻𝐸\nC. 𝛼= ∡𝐵𝐻𝐴\nD. 𝛼= ∡𝐵𝐻𝐾\nWymaganie ogólne\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji.\n1.\nStosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\n𝐴\n𝐵\n𝐶\n𝐷\n𝐸\n𝐹\n𝐺\n𝐻\n𝐴\n𝐶\n𝐸\n𝐺\n𝐻\n𝐹\n𝐷\n𝐵\n𝛼\n𝐴\n𝐶\n𝐸\n𝐺\n𝐻\n𝐹\n𝐷\n𝐵\n𝛼\n𝐻\n𝐺\n𝐸\n𝛼\n𝐹\n𝐶\n𝐷\n𝐴\n𝐵\n𝐻\n𝐺\n𝛼\n𝐸\n𝐹\n𝐶\n𝐷\n𝐴\n𝐵\n𝐾\n100\nInformator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie podstawowym od roku szkolnego 2022/2023\nWymagania szczegółowe\nX. Stereometria. Zdający:\n2) posługuje się pojęciem kąta między prostą a płaszczyzną oraz pojęciem kąta\ndwuściennego między półpłaszczyznami;\n3) rozpoznaje w graniastosłupach i ostrosłupach kąty między odcinkami (np.\nkrawędziami, krawędziami i przekątnymi) oraz kąty między ścianami, oblicza miary\ntych kątów.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nC","answer":"C","answer_text":null,"solution":"Kąt między przekątną BH a ścianą boczną ADHE jest kątem między odcinkiem BH a jego rzutem prostokątnym AH na tę ścianę (A jest rzutem B na ścianę ADHE). Zatem α=∡BHA. Odpowiedź: C.","image":"img/informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-podstawowy/zad-43.1.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":99,"source":"ai","answer_source":"ai","answer_text_source":null,"solution_source":"ai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2023","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny"},{"id":"informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-podstawowy/zad/43.2","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-podstawowy","number":"43.2","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2023,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 43.2. (0-4)\nW prostopadłościanie 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹𝐺𝐻 dane są:\ntg 𝛽= 9\n7 |𝐵𝐺| = 2 ⋅√130 |𝐵𝐻| = 2 ⋅√194\ngdzie odcinek 𝐵𝐻 jest przekątną prostopadłościanu, odcinek 𝐵𝐺 jest przekątną ściany bocznej\n𝐵𝐶𝐺𝐹, 𝛽 jest miarą kąta ∡𝐺𝐵𝐶. Sytuację ilustruje rysunek poniżej.\nOblicz pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu 𝑨𝑩𝑪𝑫𝑬𝑭𝑮𝑯.\n𝐴\n𝐵\n𝐶\n𝐷\n𝐸\n𝐹\n𝐺\n𝐻\n𝛽\nPrzykładowe zadania z rozwiązaniami\n101\nWymagania ogólne\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji.\n3.\nTworzenie pomocniczych obiektów matematycznych na podstawie istniejących,\nw celu przeprowadzenia argumentacji lub rozwiązania problemu.\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n4.\nStosowanie i tworzenie strategii przy rozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach\nnietypowych.\nWymagania szczegółowe\nX. Stereometria. Zdający:\n3) rozpoznaje w graniastosłupach i ostrosłupach kąty między odcinkami […];\n6) oblicza objętości i pola powierzchni graniastosłupów […] również z wykorzystaniem\ntrygonometrii i poznanych twierdzeń.\nZasady oceniania\n4 pkt - poprawna metoda obliczenia pola powierzchni całkowitej graniastosłupa oraz podanie\nprawidłowego wyniku: 𝑃𝑐= 1528.\n3 pkt - poprawne obliczenie długości wszystkich krawędzi prostopadłościanu: |𝐵𝐶| = 14,\n|𝐶𝐺| = 18, |𝐺𝐻| = 16\nLUB\n- poprawna metoda obliczenia długości wszystkich krawędzi prostopadłościanu, błąd\nrachunkowy w obliczeniach i poprawne zapisanie wzoru na pole powierzchni całkowitej\nprostopadłościanu.\n2 pkt - obliczenie długości dwóch krawędzi: |𝐵𝐶| = 14, |𝐶𝐺| = 18 oraz zapisanie równania\nwynikającego z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta 𝐵𝐺𝐻: |𝐵𝐺|2 + |𝐺𝐻|2 = |𝐻𝐵|2\nLUB\n- obliczenie długości krawędzi: |𝐺𝐻| = 16 oraz zapisanie równania wynikającego\nz twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta 𝐵𝐶𝐺:\n|𝐵𝐶|2 + |𝐶𝐺|2 = |𝐵𝐺|2 i zapisanie związku\n|𝐶𝐺|\n|𝐵𝐶| =\n9\n7.\n1 pkt - zapisanie równania wynikającego z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta 𝐵𝐶𝐺:\n|𝐵𝐶|2 + |𝐶𝐺|2 = |𝐵𝐺|2 oraz zapisanie związku\n|𝐶𝐺|\n|𝐵𝐶| =\n9\n7\nLUB\n- zauważenie, że trójkąt 𝐵𝐺𝐻 jest prostokątny, i zapisanie równania wynikającego\nz twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta 𝐵𝐺𝐻: |𝐵𝐺|2 + |𝐺𝐻|2 = |𝐻𝐵|2\nLUB\n- zapisanie równania 𝑎2 + 𝑏2 + 𝑐2 = 𝑑2 (lub z innymi oznaczeniami), gdzie 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑\nsą oznaczeniami odpowiednich odcinków w prostopadłościanie (zobacz przykładowe\nrozwiązanie).\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\n102\nInformator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie podstawowym od roku szkolnego 2022/2023\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nWprowadzimy oznaczenia dla odcinków (jak na rysunku obok) -\ndługości krawędzi prostopadłościanu oznaczymy przez 𝑎, 𝑏, 𝑐, a\nprzekątną prostopadłościanu i przekątną ściany 𝐵𝐶𝐺𝐹 oznaczymy\nprzez 𝑑 oraz 𝑒. Warunki zadania zapiszemy jako:\ntg 𝛽= 9\n7 𝑒= 2 ⋅√130 𝑑= 2 ⋅√194\n1. Wyznaczymy zależność między 𝑏 a 𝑐 w trójkącie 𝐵𝐶𝐺:\ntg 𝛽= 𝑐\n𝑏= 9\n7 stąd 𝑐= 9\n7 𝑏\n2. Zastosujemy twierdzenie Pitagorasa dla trójkąta prostokątnego\n𝐵𝐶𝐺, w celu obliczenia 𝑏 i 𝑐:\n𝑏2 + 𝑐2 = 𝑒2\nWykorzystamy związek z pkt. 1:\n𝑏2 + (9\n7𝑏)\n2\n= (2 ⋅√130)\n2\n130\n49 𝑏2 = 520\n𝑏2 = 196\nzatem\n𝑏= 14 oraz 𝑐=\n9\n7 ⋅14 = 18\n3. Zauważmy, że trójkąt 𝐵𝐺𝐻 jest prostokątny (kąt prosty jest przy wierzchołku 𝐺).\nZastosujemy twierdzenie Pitagorasa dla trójkąta prostokątnego 𝐵𝐺𝐻, w celu obliczenia 𝑎.\n𝑒2 + 𝑎2 = 𝑑2\n(2 ⋅√130)\n2 + 𝑎2 = (2 ⋅√194)\n2\n𝑎2 = 256\n𝑎= 16\n4. Obliczymy pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu:\n𝑃𝑐= 2𝑎𝑏+ 2𝑏𝑐+ 2𝑎𝑐\n𝑃𝑐= 2 ⋅16 ⋅14 + 2 ⋅14 ⋅18 + 2 ⋅16 ⋅18\n𝑃𝑐= 1528\n𝐶\n𝐸\n𝐺\n𝐻\n𝐹\n𝐷\n𝛽\n𝐴\n𝐵\n𝑎\n𝑏\n𝑐\n𝑑\n𝑒\n𝑎\nPrzykładowe zadania z rozwiązaniami\n103","answer":null,"answer_text":null,"solution":"Oznaczmy krawędzie prostopadłościanu: |BC|=b, |CG|=c, |AB|=a; przekątna ściany BCGF: e=|BG|=2√130; przekątna bryły: d=|BH|=2√194; β=∡GBC.\n\n1. W trójkącie prostokątnym BCG: tgβ=c/b=9/7, więc c=(9/7)b.\n2. Z tw. Pitagorasa: b²+c²=e²: b²+(9/7 b)²=(2√130)²=520\nb²(1+81/49)=520, b²·(130/49)=520, b²=196, b=14, c=(9/7)·14=18.\n3. Trójkąt BGH jest prostokątny (kąt prosty przy G): e²+a²=d²\n520+a²=(2√194)²=776\na²=256, a=16.\n4. Pole powierzchni całkowitej: Pc=2ab+2bc+2ac=2·16·14+2·14·18+2·16·18=448+504+576=1528.\n\nOdpowiedź: Pc = 1528.","image":"img/informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-podstawowy/zad-43.2.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":100,"source":"ai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"ai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2023","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny"},{"id":"informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-podstawowy/zad/44","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-podstawowy","number":"44","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2023,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 44. (0-1)\nDane są dwa prostopadłościany podobne: ℬ1 oraz ℬ2. Objętość prostopadłościanu ℬ1 jest\nrówna 𝑉, a objętość prostopadłościanu ℬ2 jest równa 27𝑉. Pole powierzchni całkowitej\nprostopadłościanu ℬ1 jest równe 𝑃.\nDokończ zdanie. Zaznacz odpowiedź A, B albo C oraz jej uzasadnienie 1., 2. albo 3.\nPole powierzchni całkowitej prostopadłościanu ℬ2 jest równe\nA. 27𝑃,\nponieważ stosunek pól\npowierzchni całkowitych\nprostopadłościanów\npodobnych jest równy\n1. stosunkowi objętości tych prostopadłościanów.\nB. 9𝑃,\n2. pierwiastkowi kwadratowemu ze stosunku\nobjętości tych prostopadłościanów.\nC. 3√3𝑃,\n3. kwadratowi stosunku długości odcinków\nodpowiadających w obu prostopadłościanach.\nWymagania ogólne\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji.\n1.\nStosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n2.\nDostrzeganie regularności, podobieństw oraz analogii, formułowanie wniosków na ich\npodstawie i uzasadnianie ich poprawności.\nWymaganie szczegółowe\nX. Stereometria. Zdający:\n7) wykorzystuje zależność między objętościami brył podobnych.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepełna lub niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nB3\n104\nInformator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie podstawowym od roku szkolnego 2022/2023","answer":"A","answer_text":null,"solution":null,"image":"img/informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-podstawowy/zad-44.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":103,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2023","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny"},{"id":"informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-podstawowy/zad/45","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-podstawowy","number":"45","points":null,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2023,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 45.\nHania zaprojektowała i wykonała czapeczkę na bal urodzinowy młodszego\nbrata. Czapeczka miała kształt powierzchni bocznej stożka o średnicy\npodstawy 𝑑= 20 cm, wysokości 𝐻= 25 cm i tworzącej 𝑙.\nŻeby wykonać czapeczkę, Hania najpierw narysowała na kartonie figurę\npłaską 𝐴𝐵𝑆 o kształcie wycinka koła o promieniu 𝑙 i środku 𝑆 (zobacz\nrysunek 1.). Następnie wycięła tę figurę z kartonu, odpowiednio ją\nwymodelowała i skleiła odcinek 𝑆𝐵 z odcinkiem 𝑆𝐴 (zobacz rysunek 2.).\nDo obliczeń przyjmij, że rzeczywiste figury są idealne.","answer":null,"answer_text":null,"solution":null,"image":"img/informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-podstawowy/zad-45.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":104,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2023","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny"},{"id":"informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-podstawowy/zad/45.1","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-podstawowy","number":"45.1","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2023,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 45.1. (0-1)\nDokończ zdanie. Zaznacz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nKąt rozwarcia stożka, którego powierzchnią boczną jest czapeczka, ma miarę (w zaokrągleniu\ndo 1°)\nA. 44°\nB. 136°\nC. 22°\nD. 68°\nWskazówka: skorzystaj z tablic wartości funkcji trygonometrycznych.\n𝐴\n𝐵\n𝑆\n𝑙\nRysunek 1.\nRysunek 2.\n𝑆\n𝑙\n𝐻\n𝐴= 𝐵\n𝑑\n𝑂\nPrzykładowe zadania z rozwiązaniami\n105\nWymaganie ogólne\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji.\n1.\nStosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nWymaganie szczegółowe\nX. Stereometria. Zdający:\n4) rozpoznaje w walcach i w stożkach kąt między odcinkami oraz kąt między odcinkami\ni płaszczyznami (np. kąt rozwarcia stożka, kąt między tworzącą a podstawą), oblicza\nmiary tych kątów.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nA","answer":"A","answer_text":null,"solution":"Promień podstawy r=d/2=10 cm, wysokość H=25 cm. Kąt rozwarcia stożka 2φ, gdzie φ - kąt między osią a tworzącą, tgφ=r/H=10/25=0,4.\nφ≈21,8°≈22°, więc kąt rozwarcia 2φ≈44°.\nOdpowiedź: A.","image":"img/informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-podstawowy/zad-45.1.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":104,"source":"ai","answer_source":"ai","answer_text_source":null,"solution_source":"ai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2023","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny"},{"id":"informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-podstawowy/zad/45.2","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-podstawowy","number":"45.2","points":3,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2023,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 45.2. (0-3)\nOblicz miarę kąta ∡𝑩𝑺𝑨 wycinka koła, z którego powstała powierzchnia boczna stożka\nopisanego we wstępie do zadania. Miarę kąta ∡𝑩𝑺𝑨 podaj w zaokrągleniu do jednego\nstopnia.\nWymagania ogólne\nII. Wykorzystanie i tworzenie informacji.\n1.\nInterpretowanie i operowanie informacjami przedstawionymi w tekście, zarówno\nmatematycznym, jak i popularnonaukowym, a także w formie wykresów, diagramów,\ntabel.\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji.\n2.\nDobieranie i tworzenie modeli matematycznych przy rozwiązywaniu problemów\npraktycznych i teoretycznych.\n106\nInformator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie podstawowym od roku szkolnego 2022/2023\nWymagania szczegółowe\nVIII. Planimetria. Zdający:\n6) stosuje wzory na pole wycinka koła i długość łuku okręgu.\nX. Stereometria. Zdający:\n6) oblicza objętości i pola powierzchni graniastosłupów, ostrosłupów, walca, stożka\ni kuli, również z wykorzystaniem trygonometrii i poznanych twierdzeń.\nZasady oceniania\n3 pkt - poprawna metoda obliczenia miary kąta ∡𝐵𝑆𝐴 (lub wyprowadzenie równania na miarę\nkąta: |∡𝐵𝑆𝐴| =\n𝑟\n√𝐻2+𝑟2 ⋅360°) oraz podanie prawidłowego wyniku ∡𝐵𝑆𝐴≈134°.\n2 pkt - poprawne wyprowadzenie i zapisanie związku 𝛼=\n𝑟\n𝑙⋅360° oraz zapisanie równania\nwynikającego z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta 𝐴𝑂𝑆: 𝑙2 = 𝑟2 + 𝐻2\n1 pkt - zapisanie równania\n𝛼\n360° ⋅2𝜋𝑙= 2𝜋𝑟\nLUB\n- zapisanie równania\n𝛼\n360° ⋅𝜋𝑙2 = 𝜋𝑟𝑙\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nWprowadzimy oznaczenia:\n𝑠𝐴𝐵 - długość łuku 𝐴𝐵 wycinka koła 𝐴𝐵𝑆.\n𝑃𝐴𝐵𝑆 - pole wycinka koła 𝐴𝐵𝑆.\n𝑟=\n𝑑\n2 - promień okręgu w podstawie stożka.\n𝛼= |∡𝐵𝑆𝐴| - miara kąta ∡𝐵𝑆𝐴 wycinka koła.\n𝛽 - połowa miary kąta rozwarcia stożka.\nSposób 1.\nWyprowadzimy wzór końcowy na symbolach danych (pominiemy obliczenia pośrednie).\n1. Zauważmy, że z łuku 𝐴𝐵 wycinka koła powstał okrąg w podstawie stożkowej czapeczki.\nZatem długość łuku 𝐴𝐵 jest równa długości (obwodowi) okręgu w podstawie stożka.\nZastosujemy wzór na długość łuku 𝐴𝐵 oraz wzór na obwód okręgu:\n𝐴\n𝑆\n𝑙\n𝐵\n𝛼\n𝑠𝐴𝐵\n𝑆\n𝑙\n𝐻\n𝐴= 𝐵\n𝛽\n𝑟\n𝑂\nPrzykładowe zadania z rozwiązaniami\n107\n𝑠𝐴𝐵= Obwpodstawy\n𝛼\n360° ⋅2𝜋𝑙= 2𝜋𝑟\n𝛼= 𝑟\n𝑙⋅360°\nUwaga\nZauważmy, że otrzymany wzór zadaje nadzwyczaj prostą relację między kątem wycinka koła\ni kątem rozwarcia stożka:\n𝛼= sin 𝛽⋅360°\n2. Wyrazimy 𝑙 poprzez 𝐻 i 𝑑 na podstawie twierdzenia Pitagorasa:\n𝑙2 = 𝐻2 + 𝑟2 zatem 𝑙2 = 𝐻2 + (𝑑\n2)\n2\n𝑙= √𝐻2 + (𝑑\n2)\n2\n3. Zapiszemy wzór na miarę kąta 𝛼 i ją obliczymy:\n𝛼=\n𝑑\n2\n√𝐻2 + (𝑑\n2)\n2 ⋅360°\n𝛼=\n10\n√252 + 102 ⋅360°\n𝛼≈134°\nSposób 2.\nWyprowadzimy wzór końcowy na symbolach danych (pominiemy obliczenia pośrednie).\n1. Zauważmy, że pole 𝐴𝐵𝑆 wycinka koła jest równe polu powierzchni bocznej stożka (polu\npowierzchni czapeczki). Zastosujemy wzór na pole 𝐴𝐵𝑆 wycinka koła oraz wzór na pole\npowierzchni bocznej stożka:\n𝑃𝐴𝐵𝑆= 𝑃𝑏\n𝛼\n360° ⋅𝜋𝑙2 = 𝜋𝑟𝑙\n𝛼= 𝑟\n𝑙⋅360°\nKrok 2. i 3. Jak w sposobie 1.\n108\nInformator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie podstawowym od roku szkolnego 2022/2023\nKOMBINATORYKA, RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA I STATYSTYKA","answer":null,"answer_text":null,"solution":"r=d/2=10 cm, H=25 cm. Tworząca: l=√(H²+r²)=√(625+100)=√725.\nDługość łuku AB wycinka koła = obwód podstawy stożka:\nα/360°·2πl = 2πr, stąd α = (r/l)·360°.\nα = (10/√725)·360° ≈ 133,6° ≈ 134°.\n\nOdpowiedź: |∡BSA| ≈ 134°.","image":"img/informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-podstawowy/zad-45.2.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":105,"source":"ai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"ai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2023","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny"},{"id":"informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-podstawowy/zad/46","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-podstawowy","number":"46","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2023,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 46. (0-2)\nPojedynczy znak w piśmie Braille’a dla niewidomych jest kombinacją od 1 do 6 wypukłych\npunktów, które mogą zajmować miejsca ułożone w dwóch kolumnach po trzy miejsca w każdej\nkolumnie. Poniżej podano przykład napisu w piśmie Braille’a. Czarne kropki w znaku\noznaczają wypukłości, a białe kropki oznaczają brak wypukłości. Pojedynczy znak w piśmie\nBraille’a musi zawierać co najmniej jeden punkt wypukły.\nOblicz, ile różnych pojedynczych znaków można zapisać w piśmie Braille’a.\nWymagania ogólne\nII. Wykorzystanie i tworzenie informacji.\n1.\nInterpretowanie i operowanie informacjami przedstawionymi w tekście, zarówno\nmatematycznym, jak i popularnonaukowym […].\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji.\n2.\nDobieranie i tworzenie modeli matematycznych przy rozwiązywaniu problemów\npraktycznych i teoretycznych.\nWymagania szczegółowe\nXI. Kombinatoryka. Zdający:\n1) zlicza obiekty w prostych sytuacjach kombinatorycznych;\n2) zlicza obiekty, stosując reguły mnożenia i dodawania (także łącznie) […].\nZasady oceniania\n2 pkt - zastosowanie prawidłowej metody do obliczenia wszystkich znaków, uwzględnienie\nwarunku zadania i podanie wyniku: 63.\n1 pkt - zapisanie wzoru na liczbę wszystkich możliwych znaków bez uwzględnienia warunku\nzadania (tzn. łącznie ze znakiem bez punktu wypukłego): 2 ⋅2 ⋅2 ⋅2 ⋅2 ⋅2\nLUB\nm\na\nt\nu\nr\ny\nPrzykładowe zadania z rozwiązaniami\n109\n- zastosowanie metody dodawania polegającej na bezpośrednim zliczeniu i dodaniu\nliczby znaków: z jednym punktem wypukłym, z dwoma punktami wypukłymi, z trzema\npunktami wypukłymi, z czterema punktami wypukłymi, z pięcioma punktami wypukłymi\ni z sześcioma punktami wypukłymi oraz prawidłowe zliczenie znaków w co najmniej\ntrzech spośród sześciu wymienionych grup.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób 1. (zastosowanie zasady mnożenia)\nZastosujemy regułę mnożenia. Zauważmy, że utworzenie znaku polega na podjęciu kolejno 6\ndecyzji o tym, jaki ma być rodzaj punktu - elementu znaku. Punkt może być wypukły albo\nmoże nie być wypukły. Zatem mamy dwie możliwości wyboru rodzaju punktu:\nalbo\nZgodnie\nz\nregułą\nmnożenia,\nw\ntakich\nprzypadkach\nliczbę\nmożliwości\nwyboru\nskładnika/elementu obiektu mnożymy przez siebie tyle razy, z ilu elementów składa się obiekt:\n2 ⋅2 ⋅2 ⋅2 ⋅2 ⋅2 = 64\nWszystkich możliwości (łącznie z utworzeniem konfiguracji 6 braków wypukłości) jest 64.\nPonieważ znak Braille’a musi zawierać co najmniej jeden punkt wypukły, to wszystkich znaków\njest:\n64 -1 = 63\nSposób 2. (bezpośrednie zliczenie liczby znaków z zastosowaniem zasady dodawania)\nBędziemy kolejno zliczać „na piechotę” znaki: z jednym punktem\nwypukłym, z dwoma punktami wypukłymi, z trzema punktami wypukłymi,\nz czterema punktami wypukłymi, z pięcioma punktami wypukłymi\ni z sześcioma punktami wypukłymi. Zbiory znaków z daną liczbą punktów\nwypukłych oznaczymy odpowiednio jako: 𝐴1, 𝐴2, 𝐴3, 𝐴4, 𝐴5, 𝐴6.\nAby zliczanie przeprowadzić metodycznie, ułatwimy sobie zadanie\nnumerując punkty w polu znaku, jak na rysunku obok.\n2 możliwości:\nalbo\n2 możliwości:\nalbo\n2 możliwości:\nalbo\n2 możliwości:\nalbo\n2 możliwości:\nalbo\n2 możliwości:\nalbo\n1\n4\n2\n5\n3\n6\n110\nInformator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie podstawowym od roku szkolnego 2022/2023\nW takiej konwencji, przykładowo:\n- znak\noznaczymy jedną cyfrą: (2);\n- znak\noznaczymy trójką cyfr: (1,3,4) - przy czym kolejność zapisu tych cyfr nie ma\nznaczenia.\n𝐴1 = {(1), (2), (3), (4), (5), (6)}\n|𝐴1| = 6\n𝐴2 =\n{\n(1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6),\n(2,3), (2,4), (2,5), (2,6),\n(3,4), (3,5), (3,6)\n(4,5), (4,6)\n(5,6) }\n|𝐴2| = 15\n𝐴3 =\n{\n(1,2,3), (1,2,4), (1,2,5), (1,2,6),\n(1,3,4), (1,3,5), (1,3,6),\n(1,4,5), (1,4,6), (1,5,6),\n(2,3,4), (2,3,5), (2,3,6)\n(2,4,5), (2,4,6), (2,5,6)\n(3,4,5), (3,4,6), (3,5,6)\n(4,5,6) }\n|𝐴3| = 20\nZauważmy, że każdemu znakowi z dwoma punktami wypukłymi możemy przyporządkować\nznak z czterema punktami wypukłymi, zamieniając punkty wypukłe na niewypukłe i odwrotnie:\nNp. znakowi\nprzyporządkujemy znak\nZatem znaków z czterema punktami wypukłymi jest tyle samo, co znaków z dwoma punktami\nwypukłymi. Podobnie argumentujemy, że znaków z pięcioma punktami wypukłymi jest tyle\nsamo co znaków z jednym punktem wypukłym:\n|𝐴4| = |𝐴2| = 15 |𝐴5| = |𝐴1| = 6\n𝐴6 = {(1,2,3,4,5,6)}\n|𝐴6| = 1\nWszystkich znaków w piśmie Braille’a jest:\n|𝐴1| + |𝐴2| + |𝐴3| + |𝐴4| + |𝐴5| + |𝐴6| = 6 + 15 + 20 + 15 + 6 + 1 = 63\nPrzykładowe zadania z rozwiązaniami\n111","answer":null,"answer_text":null,"solution":"Znak Braille'a to 6 miejsc, każde wypukłe lub nie: 2^6=64 możliwości (łącznie z pustym).\nPonieważ znak musi mieć co najmniej 1 punkt wypukły, odejmujemy przypadek pusty:\n64-1=63.\n\nOdpowiedź: 63 różne znaki.","image":"img/informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-podstawowy/zad-46.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":108,"source":"ai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"ai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2023","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny"},{"id":"informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-podstawowy/zad/47","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-podstawowy","number":"47","points":null,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2023,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 47.\nAndrzej ma w szafie 4 koszule: czerwoną, żółtą, zieloną i niebieską; 3 pary spodni: niebieskie,\nczarne i szare; oraz 5 par butów: czarne, szare, zielone, czerwone i niebieskie.\nAndrzej wybiera z szafy zestaw ubrania: jedną koszulę, jedną parę spodni i jedną parę butów.\nZestawy ubrania wybierane przez Andrzeja określimy jako różne, gdy będą różniły się kolorem\nchociaż jednego rodzaju elementu ubioru w zestawie.","answer":null,"answer_text":null,"solution":null,"image":"img/informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-podstawowy/zad-47.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":111,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2023","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny"},{"id":"informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-podstawowy/zad/47.1","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-podstawowy","number":"47.1","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2023,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 47.1. (0-1)\nDokończ zdanie. Zaznacz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nLiczba wszystkich możliwych, różnych zestawów ubrania, jakie może wybrać Andrzej, jest\nrówna\nA. 12\nB. 72\nC. 60\nD. 720\nWymaganie ogólne\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji.\n2.\nDobieranie i tworzenie modeli matematycznych przy rozwiązywaniu problemów\npraktycznych i teoretycznych.\nWymagania szczegółowe\nXI. Kombinatoryka. Zdający:\n1) zlicza obiekty w prostych sytuacjach kombinatorycznych;\n2) zlicza obiekty, stosując reguły mnożenia […].\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nC\n112\nInformator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie podstawowym od roku szkolnego 2022/2023","answer":"C","answer_text":null,"solution":"Liczba zestawów = liczba koszul × liczba spodni × liczba butów = 4·3·5 = 60. Odpowiedź: C.","image":"img/informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-podstawowy/zad-47.1.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":111,"source":"ai","answer_source":"ai","answer_text_source":null,"solution_source":"ai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2023","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny"},{"id":"informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-podstawowy/zad/47.2","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-podstawowy","number":"47.2","points":3,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2023,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 47.2. (0-3)\nOblicz, na ile sposobów można wybrać taki zestaw, w którym dokładnie jeden element\nubioru będzie niebieski.\nWymaganie ogólne\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji.\n2.\nDobieranie i tworzenie modeli matematycznych przy rozwiązywaniu problemów\npraktycznych i teoretycznych.\nWymagania szczegółowe\nXI. Kombinatoryka. Zdający:\n1) zlicza obiekty w prostych sytuacjach kombinatorycznych;\n2) zlicza obiekty, stosując reguły mnożenia i dodawania (także łącznie) dla dowolnej\nliczby czynności w sytuacjach nie trudniejszych niż […].\nZasady oceniania\n3 pkt - prawidłowe zastosowanie reguły mnożenia oraz reguły dodawania do obliczenia liczby\nzestawów z jednym elementem niebieskim i podanie prawidłowego wyniku: 26.\n2 pkt - zastosowanie reguły mnożenia do obliczenia liczby zestawów, w których kolor niebieski\nma albo koszula, albo spodnie, albo buty, i prawidłowe obliczenie liczby zestawów\nw każdym takim przypadku: 2 ⋅4 = 8, 3 ⋅4 = 12, 3 ⋅2 = 6.\n1 pkt - rozpisanie zestawów ubrań na trzy grupy: w których jeden element jest niebieski,\na pozostałe elementy są innych kolorów\nLUB\n- zastosowanie reguły mnożenia do obliczenia liczby zestawów, w których kolor niebieski\nma albo koszula, albo spodnie, albo buty, i prawidłowe obliczenie liczby zestawów\nw jednym takim przypadku: 2 ⋅4 = 8 albo 3 ⋅4 = 12 albo 3 ⋅2 = 6.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe zadania z rozwiązaniami\n113\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nRozpiszemy schematy zestawów ubrań, w których jeden element jest niebieski.\n1. Gdy w zestawie jest niebieska koszula, to spodnie mogą być wybrane na 2 sposoby (bez\nniebieskich), a buty na 4 sposoby (bez niebieskich).\nZestawów z niebieską koszulą jest: 2 ⋅4 = 8\n2. Gdy w zestawie są niebieskie spodnie, to koszule mogą być wybrane na 3 sposoby (bez\nniebieskiej), a buty na 4 sposoby (bez niebieskich).\nZestawów z niebieskimi spodniami jest: 3 ⋅4 = 12\n3. Gdy w zestawie są niebieskie buty, to koszule mogą być wybrane na 3 sposoby (bez\nniebieskiej), a spodnie na 2 sposoby (bez niebieskich).\nZestawów z niebieskimi butami jest: 3 ⋅2 = 6\n4. Zestaw z jednym elementem niebieskim może być: zestawem z niebieską koszulą lub\nzestawem z niebieskimi spodniami, lub zestawem z niebieskimi butami.\nZatem takich zestawów można wybrać:\n8 + 12 + 6 = 26\nczarne albo szare\n(2 możliwości)\nczarne albo szare, albo zielone, albo czerwone\n(4 możliwości)\nczerwona albo żółta, albo zielona\n(3 możliwości)\nczarne albo szare, albo zielone, albo czerwone\n(4 możliwości)\nczerwona albo żółta, albo zielona\n(3 możliwości)\nczarne albo szare\n(2 możliwości)\n114\nInformator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie podstawowym od roku szkolnego 2022/2023","answer":null,"answer_text":null,"solution":"Rozpatrujemy trzy rozłączne przypadki (dokładnie jeden element niebieski):\n1. Niebieska koszula: spodnie bez niebieskich (2 możliwości) × buty bez niebieskich (4 możliwości) = 2·4=8.\n2. Niebieskie spodnie: koszule bez niebieskiej (3) × buty bez niebieskich (4) = 3·4=12.\n3. Niebieskie buty: koszule bez niebieskiej (3) × spodnie bez niebieskich (2) = 3·2=6.\nSuma: 8+12+6=26.\n\nOdpowiedź: 26 sposobów.","image":"img/informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-podstawowy/zad-47.2.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":112,"source":"ai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"ai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2023","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny"},{"id":"informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-podstawowy/zad/48","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-podstawowy","number":"48","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2023,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 48. (0-4)\nSpośród wszystkich czterocyfrowych całkowitych liczb dodatnich losujemy jedną liczbę.\nOblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że wylosowana liczba\nbędzie parzysta, a w jej zapisie dziesiętnym wystąpią dokładnie jedna cyfra 𝟐 i dokładnie\njedna cyfra 𝟑.\nWymagania ogólne\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji.\n2.\nDobieranie i tworzenie modeli matematycznych przy rozwiązywaniu problemów\npraktycznych i teoretycznych.\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n2.\nDostrzeganie regularności, podobieństw oraz analogii, formułowanie wniosków na ich\npodstawie i uzasadnianie ich poprawności.\nWymagania szczegółowe\nXI. Kombinatoryka. Zdający:\n2) zlicza obiekty, stosując reguły mnożenia i dodawania (także łącznie) dla dowolnej\nliczby czynności w sytuacjach nie trudniejszych niż […].\nXII. Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka. Zdający:\n1) oblicza prawdopodobieństwo w modelu klasycznym.\nZasady oceniania\n4 pkt - poprawna metoda obliczenia prawdopodobieństwa wylosowania czterocyfrowej,\ndodatniej liczby parzystej, w której zapisie dziesiętnym wystąpią dokładnie jedna\ncyfra 2 i dokładnie jedna cyfra 3, oraz podanie wyniku: 𝑃(𝐴) =\n1\n25.\n3 pkt - poprawna metoda obliczenia, ile jest wszystkich całkowitych liczb czterocyfrowych\ndodatnich oraz ile pośród nich jest liczb parzystych, w których zapisie dziesiętnym\nwystępują dokładnie jedna cyfra 2 i dokładnie jedna cyfra 3 oraz podanie prawidłowych\nwyników: |Ω| = 9 000, |𝐴| = 360\nLUB\n- zapisanie 𝑃(𝐴) =\n|𝐴|\n|Ω| oraz |Ω| = 9 000 oraz prawidłowa metoda obliczenia |𝐴|- ile jest\ndodatnich liczb parzystych, w których zapisie dziesiętnym występują dokładnie jedna\ncyfra 2 i dokładnie jedna cyfra 3, z błędem rachunkowym w obliczeniach.\nPrzykładowe zadania z rozwiązaniami\n115\n2 pkt - poprawna metoda obliczenia, ile jest czterocyfrowych, dodatnich liczb parzystych,\nw których zapisie dziesiętnym występują dokładnie jedna cyfra 2 i dokładnie jedna\ncyfra 3, oraz podanie poprawnego wyniku: |𝐴| = 360\nLUB\n- poprawna metoda obliczenia, ile jest czterocyfrowych, dodatnich liczb parzystych,\nw których zapisie dziesiętnym występują dokładnie jedna cyfra 2 i dokładnie jedna cyfra\n3, błąd rachunkowy w obliczeniach oraz poprawna metoda obliczenia, ile jest wszystkich\ncałkowitych liczb czterocyfrowych dodatnich, i zapisanie wyniku: |Ω| = 9 000\n1 pkt - poprawna metoda obliczenia, ile jest wszystkich całkowitych liczb czterocyfrowych\ndodatnich, i zapisanie wyniku: |Ω| = 9 ⋅10 ⋅10 ⋅10 = 9 000\nLUB\n- rozpisanie zbioru zdarzeń sprzyjających z prawidłowo określonymi wszystkimi\nmożliwymi pozycjami cyfr 2 i 3 oraz cyframi parzystymi na końcu\nLUB\n- poprawna metoda zliczenia czterocyfrowych liczb parzystych z ostatnią (i dokładnie\njedną) cyfrą 2 oraz dokładnie jedną cyfrą 3 w zapisie, łącznie z podaniem wyniku: 176.\nLUB\n- poprawna metoda zliczenia czterocyfrowych liczb parzystych z ostatnią cyfrą parzystą\nróżną od 2 oraz dokładnie jedną cyfrą 3 i dokładnie jedną cyfrą 2 w zapisie, łącznie\nz podaniem wyniku: 184.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nZbiór zdarzeń elementarnych Ω składa się ze wszystkich czterocyfrowych całkowitych liczb\ndodatnich.\nSposób 1. obliczenia mocy zbioru Ω.\nNa diagramie poniżej rozpiszemy schemat liczby czterocyfrowej, gdzie dla każdej pozycji w\nzapisie dziesiętnym określimy, ile jest możliwości jej uzupełnienia.\nZgodnie z zasadą mnożenia, wszystkich liczb czterocyfrowych dodatnich jest:\n|Ω| = 9 ⋅10 ⋅10 ⋅10 = 9 000\n10 możliwości\nwyboru spośród\n{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}\n9 możliwości\nwyboru spośród\n{1,2,3,4,5,6,7,8,9}\n10 możliwości\nwyboru spośród\n{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}\n10 możliwości\nwyboru spośród\n{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}\n116\nInformator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie podstawowym od roku szkolnego 2022/2023\nSposób 2. obliczenia mocy zbioru Ω.\nWszystkich ciągów czterech cyfr (także z zerem na pierwszej pozycji)\njest 10 ⋅10 ⋅10 ⋅10 = 10 000. Od tej liczby należy odjąć liczbę takich liczb, w których na\npierwszej pozycji występuje zero - takich liczb jest 10 ⋅10 ⋅10 = 1000.\nZatem wszystkich liczb czterocyfrowych dodatnich jest\n|Ω| = 10 000 -1 000 = 9 000.\n(ciąg dalszy rozwiązania)\nOkreślimy zdarzenie 𝐴 jako zbiór takich czterocyfrowych dodatnich liczb parzystych, w których\nzapisie dziesiętnym występują dokładnie jedna cyfra 2 i dokładnie jedna cyfra 3. Na\nponiższych diagramach z pozycjami cyfr rozpiszemy schematy liczb czterocyfrowych,\nspełniających te warunki.\nLiczby parzyste, które mają cyfrę 2 na pozycji czwartej oraz cyfrę 3 na pozycjach trzeciej,\ndrugiej i pierwszej:\n10 możliwości\nwyboru spośród\n{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}\n10 możliwości\nwyboru spośród\n{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}\n10 możliwości\nwyboru spośród\n{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}\n10 możliwości\nwyboru spośród\n{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}\n7 możliwości\n{1,4,5,6,7,8,9}\n8 możliwości\n{0,1,4,5,6,7,8,9}\n2\n3\n7 możliwości\n{1,4,5,6,7,8,9}\n8 możliwości\n{0,1,4,5,6,7,8,9}\n2\n3\n8 możliwości\n{0,1,4,5,6,7,8,9}\n8 możliwości\n{0,1,4,5,6,7,8,9}\n2\n3\nPrzykładowe zadania z rozwiązaniami\n117\nLiczby parzyste, które na ostatniej pozycji mają cyfrę parzystą różną od cyfry 2 oraz cyfry\n2 i 3 (dokładnie po jednej) na różnych pozycjach od pierwszej do trzeciej:\nLiczbę zdarzeń elementarnych sprzyjających 𝐴 obliczymy z wykorzystaniem reguły mnożenia\ni dodawania łącznie:\n|𝐴| = 7 ⋅8 + 7 ⋅8 + 8 ⋅8 + 8 ⋅4 + 7 ⋅4 + 8 ⋅4 + 7 ⋅4 + 8 ⋅4 + 8 ⋅4 = 360\nObliczymy prawdopodobieństwo zdarzenia 𝐴:\n𝑃(𝐴) =\n|𝐴|\n|Ω| = 360\n9000 = 1\n25\n8 możliwości\n{0,1,4,5,6,7,8,9}\n4 możliwości\n{0,4,6,8}\n2\n3\n7 możliwości\n{1,4,5,6,7,8,9}\n4 możliwości\n{0,4,6,8}\n2\n3\n8 możliwości\n{0,1,4,5,6,7,8,9}\n4 możliwości\n{0,4,6,8}\n2\n3\n7 możliwości\n{1,4,5,6,7,8,9}\n4 możliwości\n{0,4,6,8}\n2\n3\n8 możliwości\n{0,1,4,5,6,7,8,9}\n4 możliwości\n{0,4,6,8}\n2\n3\n8 możliwości\n{0,1,4,5,6,7,8,9}\n4 możliwości\n{0,4,6,8}\n2\n3\n118\nInformator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie podstawowym od roku szkolnego 2022/2023","answer":null,"answer_text":null,"solution":"Zbiór zdarzeń elementarnych Ω = wszystkie liczby czterocyfrowe dodatnie: |Ω|=9·10·10·10=9000.\nZdarzenie A: liczba parzysta z dokładnie jedną cyfrą 2 i dokładnie jedną cyfrą 3.\nRozważamy rozmieszczenie cyfr 2 i 3 wśród 4 pozycji, z uwzględnieniem że ostatnia cyfra musi być parzysta, a pierwsza niezerowa:\n\nPrzypadek A: 2 jest na ostatniej pozycji (liczba parzysta), 3 na jednej z pozostałych trzech pozycji, pozostałe dwie cyfry ze zbioru {0,1,4,5,6,7,8,9} (bez 2,3), z zastrzeżeniem że pierwsza cyfra ≠0:\n- 3 na pozycji 1: 7 (pierwsza cyfra≠0,2,3) ... obliczenia jak w oficjalnym rozwiązaniu dają łącznie 360 liczb.\n\nZgodnie z pełnym rozpisaniem (jak w schemacie CKE, sumując wszystkie przypadki rozmieszczenia cyfr 2 i 3 oraz wyboru ostatniej cyfry parzystej):\n|A| = 7·8 + 7·8 + 8·8 + 8·4 + 7·4 + 8·4 + 7·4 + 8·4 + 8·4 = 360.\n\nP(A) = |A|/|Ω| = 360/9000 = 1/25.\n\nOdpowiedź: P(A) = 1/25.","image":"img/informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-podstawowy/zad-48.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":114,"source":"ai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"ai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2023","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny"},{"id":"informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-podstawowy/zad/49","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-podstawowy","number":"49","points":3,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2023,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 49. (0-3)\nPaweł i Grzegorz postanowili zagrać w grę losową. Ich wspólny\nkolega będzie kolejno rzucał sześcienną symetryczną kostką do gry,\nktórej ścianki są oznaczone od 1 do 6. Gdy na kostce wypadnie liczba\noczek mniejsza od 4, to Grzegorz daje Pawłowi 10 żetonów, a gdy\nna kostce wypadnie liczba oczek równa 6, to Paweł daje Grzegorzowi\n𝑥 żetonów. W pozostałych przypadkach żaden z graczy nie zyskuje\nani nie traci żetonów. Paweł i Grzegorz sprawiedliwie ustalili liczbę 𝑥\nżetonów tak, aby wartość oczekiwana zysku z gry Pawła była równa\nwartości oczekiwanej zysku z gry Grzegorza.\nOblicz ustaloną przez Pawła i Grzegorza liczbę 𝒙 żetonów.\nWymagania ogólne\nII. Wykorzystanie i tworzenie informacji.\n1. Interpretowanie i operowanie informacjami przedstawionymi w tekście, zarówno\nmatematycznym, jak i popularnonaukowym […].\n2. Używanie\njęzyka\nmatematycznego\ndo\n[…]\nopisu\nprowadzonych\nrozumowań\ni uzasadniania wniosków, a także do przedstawiania danych.\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji.\n2.\nDobieranie i tworzenie modeli matematycznych przy rozwiązywaniu problemów\npraktycznych i teoretycznych.\nWymagania szczegółowe\nXII. Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka. Zdający:\n1) oblicza prawdopodobieństwo w modelu klasycznym;\n5) oblicza wartość oczekiwaną, np. przy ustalaniu wysokości wygranej w prostych grach\nlosowych i loteriach.\nZasady oceniania\n3 pkt - poprawna metoda obliczenia liczby 𝑥 żetonów oraz zapisanie wyniku: 𝑥= 30 żetonów.\n2 pkt - poprawne zapisanie wyrażenia na wartość oczekiwaną zysku Pawła oraz na wartość\noczekiwaną zysku Grzegorza:\n𝔼𝑍𝑃= +10 ⋅\n1\n2 -𝑥⋅\n1\n6 + 0 ⋅\n2\n6, 𝔼𝑍𝐺= -10 ⋅\n1\n2 + 𝑥⋅\n1\n6 + 0 ⋅\n2\n6\nLUB\n- poprawne zapisanie wyrażenia na wartość oczekiwaną zysku Pawła i stwierdzenie lub\nzapisanie, że jest ona równa zero, np.: 10 ⋅\n1\n2 -𝑥⋅\n1\n6 + 0 ⋅\n2\n6 = 0\nPrzykładowe zadania z rozwiązaniami\n119\n1 pkt - określenie i zapisanie prawdopodobieństw, z jakimi Paweł (lub Grzegorz) traci (lub\nzyskuje) liczbę 10 żetonów i liczbę 𝑥 żetonów (samo zapisanie prawdopodobieństw\nzdarzeń, bez powiązania zdarzeń z odpowiednim zyskiem lub stratą i bez dalszych\nobliczeń, nie spełnia tego kryterium).\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nUwaga! Zgodnie z konwencją, do obliczeń przyjmuje się, że strata to zysk ujemny.\nSposób 1.\nWyprowadzimy wyrażenie ze zmienną 𝑥 na wartość oczekiwaną zysku z gry Pawła oraz na\nwartość oczekiwaną zysku z gry Grzegorza. Zaczniemy od Pawła.\n1. Określimy zdarzenia wraz z ich prawdopodobieństwami, dla których następuje wymiana\nżetonów w grze:\nΩ - zbiór wszystkich zdarzeń elementarnych - wyników rzutu kostką do gry.\nΩ = {1,2,3,4,5,6} zatem |Ω| = 6\n𝐴 - zdarzenie polegające na tym, że wypadła liczba oczek mniejsza od 4.\n𝐴= {1,2,3} zatem |𝐴| = 3\nczyli\n𝑃(𝐴) = 3\n6 = 1\n2\n𝐵 - zdarzenie polegające na tym, że wypadła liczba oczek równa 6.\n𝐵= {6} zatem |𝐵| = 1\nczyli\n𝑃(𝐵) = 1\n6\n𝐶 - zdarzenie polegające na tym, że wypadła liczba oczek równa 4 lub 5.\n𝐶= {4,5} zatem |𝐶| = 2\nczyli\n𝑃(𝐶) = 2\n6\n2. Zyski Pawła przy zajściu zdarzeń 𝐴, 𝐵, 𝐶 są następujące (zyski Pawła oznaczymy 𝑍𝑃):\n𝑍𝑃(𝐴) = +10 żetonów\n𝑍𝑃(𝐵) = -𝑥 żetonów\n𝑍𝑃(𝐶) = 0 żetonów\nPrawdopodobieństwa osiągnięcia tych zysków są takie, jak prawdopodobieństwa zdarzeń,\nprzy których te zyski zachodzą:\n120\nInformator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie podstawowym od roku szkolnego 2022/2023\n𝑃(𝑍𝑃(𝐴)) = 𝑃(𝐴) = 1\n2\n𝑃(𝑍𝑃(𝐵)) = 𝑃(𝐵) = 1\n6\n𝑃(𝑍𝑃(𝐶)) = 𝑃(𝐶) = 2\n6\n3. Obliczymy wartość oczekiwaną zysku z gry Pawła. Skorzystamy ze wzoru na wartość\noczekiwaną:\n𝔼𝑍𝑃= 𝑍𝑃(𝐴) ⋅𝑃(𝑍𝑃(𝐴)) + 𝑍𝑃(𝐵) ⋅𝑃(𝑍𝑃(𝐵)) + 𝑍𝑃(𝐶) ⋅𝑃(𝑍𝑃(𝐶))\n𝔼𝑍𝑃= +10 ⋅1\n2 -𝑥⋅1\n6 + 0 ⋅2\n6 = 5 -𝑥\n6\n4. Analogicznie zapiszemy wyrażenie na wartość oczekiwaną zysku z gry Grzegorza. Zyski\nGrzegorza przy zajściu zdarzeń 𝐴, 𝐵, 𝐶 są następujące (zyski Grzegorza oznaczymy 𝑍𝐺):\n𝑍𝐺(𝐴) = -10 żetonów\n𝑍𝐺(𝐵) = +𝑥 żetonów\n𝑍𝐺(𝐶) = 0 żetonów\nZatem wartość oczekiwana zysku z gry Grzegorza dana jest wzorem:\n𝔼𝑍𝐺= -10 ⋅1\n2 + 𝑥⋅1\n6 + 0 ⋅2\n6 = -5 + 𝑥\n6\n5. Zgodnie z warunkiem zadania, wartości oczekiwane zysku z gry Pawła i Grzegorza są sobie\nrówne, zatem:\n𝔼𝑍𝑃= 𝔼𝑍𝐺\n5 -𝑥\n6 = -5 + 𝑥\n6 więc 10 -2𝑥\n6 = 0\n𝑥= 30 żetonów\nSposób 2.\nWyprowadzimy wyrażenie ze zmienną 𝑥 na wartość oczekiwaną zysku Pawła.\nKroki 1.-3. są takie same jak w rozwiązaniu sposobem 1.\n4. Zauważmy, że ta gra ma następującą szczególną własność: zysk jednego gracza jest stratą\ndla drugiego gracza. To oznacza, że wartości oczekiwane zysków Pawła i Grzegorza\nmuszą być liczbami przeciwnymi, a z warunków zadania wynika - że muszą być liczbami\nrównymi sobie. To oznacza, że wartości oczekiwane zysków z gry każdego z graczy są\nrówne 0:\n𝔼𝑍𝑃= 0\n5 -𝑥\n6 = 0\n𝑥= 30 żetonów\nPrzykładowe zadania z rozwiązaniami\n121\nUwaga\nFakt, że wartości oczekiwane zysków obu graczy są równe, nie oznacza, że żaden z nich nie\nosiągnie realnie w rezultacie gry większego zysku. Gra jest losowa, więc może zaistnieć\nsytuacja, że podczas całej gry będą wypadały kolejno same szóstki i Grzegorz będzie zyskiwał\nzawsze po 30 żetonów. Równość wartości oczekiwanych oznacza - w rozumieniu potocznym\n- że żaden z graczy nie ma „statystycznej przewagi” w osiągnięciu większego zysku.\n122\nInformator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie podstawowym od roku szkolnego 2022/2023","answer":null,"answer_text":null,"solution":"Ω={1,2,3,4,5,6}. A - wypadła liczba <4: P(A)=3/6=1/2 (Paweł zyskuje 10).\nB - wypadła 6: P(B)=1/6 (Paweł traci x).\nC - wypadła 4 lub 5: P(C)=2/6 (bez zmian).\nWartość oczekiwana zysku Pawła: E(Zp)=10·1/2 - x·1/6 + 0·2/6 = 5 - x/6.\nWartość oczekiwana zysku Grzegorza: E(Zg)=-10·1/2 + x·1/6 + 0 = -5 + x/6.\nWarunek: E(Zp)=E(Zg): 5-x/6 = -5+x/6, 10 = 2x/6, x=30.\n\nOdpowiedź: x = 30 żetonów.","image":"img/informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-podstawowy/zad-49.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":118,"source":"ai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"ai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2023","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny"},{"id":"informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-podstawowy/zad/50","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-podstawowy","number":"50","points":null,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2023,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 50.\nNa wykresie słupkowym poniżej podano rozkład miesięcznych zarobków wszystkich\npracowników w pewnej firmie ℱ. Na osi poziomej podano - wyrażone w tysiącach złotych -\nmiesięczne wynagrodzenie netto pracowników firmy ℱ, a na osi pionowej przedstawiono liczbę\nosób, która osiąga podane zarobki.","answer":null,"answer_text":null,"solution":null,"image":"img/informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-podstawowy/zad-50.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":122,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2023","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny"},{"id":"informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-podstawowy/zad/50.1","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-podstawowy","number":"50.1","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2023,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 50.1. (0-1)\nDokończ zdanie. Zaznacz odpowiedź A, B albo C oraz jej uzasadnienie 1., 2. albo 3.\nDominantą miesięcznych zarobków w firmie ℱ jest\nA.\n10 tys. zł,\nponieważ\n1.\ntę wartość zarobków osiąga najwięcej osób\nw firmie ℱ.\nB.\n4,5 tys. zł,\n2.\nta wartość zarobków jest największa w firmie ℱ.\nC.\n4 tys. zł,\n3.\niloczyn tej wartości zarobków i liczby osób z takimi\nzarobkami jest największy w firmie ℱ.\nWymagania ogólne\nII. Wykorzystanie i tworzenie informacji.\n1.\nInterpretowanie i operowanie informacjami przedstawionymi w tekście, zarówno\nmatematycznym, jak i popularnonaukowym, a także w formie wykresów, diagramów,\ntabel.\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji.\n1.\nStosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nWymaganie szczegółowe\nXII. Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka. Zdający:\n3) […] znajduje […] dominantę.\n0\n1\n2\n3\n4\n5\n6\n7\n8\n9\n10\n11\n12\n13\n14\n15\n1,5\n2\n2,5\n3\n3,5\n4\n4,5\n5\n5,5\n6\n6,5\n7\n7,5\n8\n8,5\n9\n9,5\n10\nLiczba osób\nWysokość miesięcznych zarobków podana w tys. zł.\nPrzykładowe zadania z rozwiązaniami\n123\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepełna lub niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nC1","answer":"A","answer_text":null,"solution":null,"image":"img/informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-podstawowy/zad-50.1.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":122,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2023","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny"},{"id":"informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-podstawowy/zad/50.2","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-podstawowy","number":"50.2","points":1,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2023,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 50.2. (0-1)\nUzupełnij zdanie. Wpisz odpowiednią liczbę w wykropkowanym miejscu, aby zdanie\nbyło prawdziwe.\nMedianą miesięcznych zarobków w firmie ℱ jest tys. zł.\nWymagania ogólne\nII. Wykorzystanie i tworzenie informacji.\n1.\nInterpretowanie i operowanie informacjami przedstawionymi w tekście, zarówno\nmatematycznym, jak i popularnonaukowym, a także w formie wykresów, diagramów,\ntabel.\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji.\n1.\nStosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nWymaganie szczegółowe\nXII. Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka. Zdający:\n3) […] znajduje medianę […].\nZasady oceniania\n1 pkt - rozwiązanie poprawne.\n0 pkt - rozwiązanie niepoprawne albo brak rozwiązania.\nRozwiązanie\nMedianą miesięcznych zarobków w firmie ℱ jest tys. zł.\nKomentarz\nMedianą zarobków jest wartość znajdująca się po środku w uporządkowanym rosnąco\nzestawie zarobków wszystkich 75 pracowników firmy ℱ. Zatem będzie to wartość 4,5 tys. zł,\nznajdująca się na 38 pozycji w tak uporządkowanym zestawie danych.\n4,5\n124\nInformator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie podstawowym od roku szkolnego 2022/2023","answer":null,"answer_text":null,"solution":"Mediana to wartość środkowa uporządkowanego rosnąco zbioru zarobków 75 pracowników (pozycja 38). Odczytując z wykresu skumulowane liczebności, wartością tą jest 4,5 tys. zł.","image":"img/informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-podstawowy/zad-50.2.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":123,"source":"ai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"ai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2023","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny"},{"id":"informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-podstawowy/zad/50.3","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-podstawowy","number":"50.3","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2023,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 50.3. (0-2)\nOblicz, jaki % liczby wszystkich pracowników firmy 𝓕 stanowią osoby zarabiające\n5,5 tys. zł lub mniej.\nWymagania ogólne\nII. Wykorzystanie i tworzenie informacji.\n1.\nInterpretowanie i operowanie informacjami przedstawionymi w tekście, zarówno\nmatematycznym, jak i popularnonaukowym, a także w formie wykresów, diagramów,\ntabel.\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji.\n1.\nStosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nWymaganie szczegółowe\nXII. Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka. Zdający:\n2) stosuje skalę centylową.\nZasady oceniania\n2 pkt - poprawna metoda obliczenia jaki % liczby wszystkich pracowników firmy ℱ stanowią\nosoby zarabiające 5,5 tys. zł lub mniej oraz podanie wyniku 87%.\n1 pkt - poprawna metoda obliczenia jaki % liczby wszystkich pracowników firmy ℱ stanowią\nosoby zarabiające 5,5 tys. zł lub mniej.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nObliczymy, ile jest łącznie takich osób w firmie ℱ, które zarabiają miesięcznie 5,5 tys. zł lub\nmniej:\n𝑁1,5-5,5 = 1 + 1 + 4 + 7 + 10 + 14 + 13 + 9 + 6 = 65\nOkreślimy, jaki procent wszystkich osób w firmie stanowią łącznie osoby zarabiające\nmiesięcznie 5,5 tys. zł lub mniej:\n𝑐= 65\n75 ≈0,87 = 87%\nOsób w firmie ℱ zarabiających 5,5 tys. zł lub mniej jest 87%.\nPrzykładowe zadania z rozwiązaniami\n125","answer":null,"answer_text":null,"solution":"Liczba osób zarabiających 5,5 tys. zł lub mniej (sumując liczebności słupków od 1,5 do 5,5 tys. zł): 1+1+4+7+10+14+13+9+6=65.\nProcent wszystkich pracowników (75 osób): 65/75 ≈ 0,87 = 87%.\n\nOdpowiedź: 87%.","image":"img/informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-podstawowy/zad-50.3.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":124,"source":"ai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"ai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2023","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny"},{"id":"informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-podstawowy/zad/50.4","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-podstawowy","number":"50.4","points":2,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2023,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 50.4. (0-2)\nOblicz średnią miesięcznego wynagrodzenia netto wszystkich pracowników firmy 𝓕.\nWynik podaj bez zaokrąglania.\nWymagania ogólne\nII. Wykorzystanie i tworzenie informacji.\n1.\nInterpretowanie i operowanie informacjami przedstawionymi w tekście, zarówno\nmatematycznym, jak i popularnonaukowym, a także w formie wykresów, diagramów,\ntabel.\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji.\n1.\nStosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nWymaganie szczegółowe\nXII. Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka. Zdający:\n3) oblicza średnią arytmetyczną i średnią ważoną […].\nZasady oceniania\n2 pkt - poprawna metoda obliczenia średniej miesięcznych zarobków oraz podanie\nprawidłowego wyniku:\n1 pkt - poprawna metoda obliczenia średniej miesięcznych zarobków: obliczenie sumy\niloczynów wartości zarobków i liczby osób osiągających te zarobki oraz podzielenie tej\nsumy przez liczbę wszystkich pracowników.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nNa podstawie danych z wykresu obliczymy średnią miesięcznych zarobków pracowników firmy\nℱ:\n𝑥=\n(1 ⋅1,5 + 1 ⋅2 + 4 ⋅2,5 + 7 ⋅3 + 10 ⋅3,5 + 14 ⋅4 + 13 ⋅4,5 + 9 ⋅5 + 6 ⋅5,5) tys. zł\n(1 + 1 + 4 + 7 + 10 + 14 + 13 + 9 + 6 + 3 + 2 + 1 + 1 + 1 + 2)\n(3 ⋅6 + 2 ⋅6,5 + 1 ⋅7 + 1 ⋅7,5 + 1 ⋅8,5 + 2 ⋅10) tys. zł\n(1 + 1 + 4 + 7 + 10 + 14 + 13 + 9 + 6 + 3 + 2 + 1 + 1 + 1 + 2) = 336 tys. zł\n75\n𝑥= 4,48 tys. zł\n126\nInformator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie podstawowym od roku szkolnego 2022/2023\nInformacja o egzaminie maturalnym z matematyki dla absolwentów niesłyszących\n127\n3.\nInformacja o egzaminie maturalnym z matematyki dla\nabsolwentów niesłyszących\nInformacje o egzaminie maturalnym z matematyki przedstawione w rozdziale 1. Opis\negzaminu maturalnego z matematyki dotyczą również egzaminu dla absolwentów\nniesłyszących. Ponadto zdający niesłyszący przystępują do egzaminu maturalnego\nw warunkach i formie dostosowanych do potrzeb wynikających z ich niepełnosprawności.\nDostosowanie warunków przeprowadzenia egzaminu maturalnego dla absolwentów\nniesłyszących obejmuje m.in. czas trwania egzaminu. Dostosowanie formy egzaminu\nmaturalnego z matematyki dla absolwentów niesłyszących polega na przygotowaniu\nodpowiednich arkuszy, w których uwzględnia się zmianę sposobu formułowania treści\nniektórych zadań i poleceń. Zmiany te dotyczą zamiany pojedynczych słów, zwrotów lub\ncałych zdań - jeśli mogłyby one być niezrozumiałe lub błędnie zrozumiane przez osoby\nniesłyszące. Zadania mogą być dodatkowo uzupełnione szkicem, tabelą lub inną formą\ngraficzną ilustrującą ich treść. Jednak takie zmiany nie mogą wpływać na merytoryczną treść\nzadania oraz nie mogą dotyczyć terminów typowych dla danej dziedziny wiedzy.\nSzczegółowe informacje z tym związane określone są w Komunikacie dyrektora Centralnej\nKomisji Egzaminacyjnej w sprawie szczegółowych sposobów dostosowania warunków i form\nprzeprowadzania egzaminu maturalnego w danym roku szkolnym.\nW dalszej części tego rozdziału zostały przedstawione przykładowe zadania z matematyki na\npoziomie podstawowym, które ilustrują sposób dostosowania niektórych zadań wybranych\nz rozdziału 2. Przykładowe zadania z rozwiązaniami. Zachowano tę samą numerację zadań.\n128\nInformator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie podstawowym od roku szkolnego 2022/2023\nZadanie 1. (0-1)\nDokończ zdanie. Zaznacz prawidłową odpowiedź.\nWartość wyrażenia 2021: (1 -\n1\n2022) -(1 -2022\n2021) :\n1\n2021 jest równa\nA. 0\nB. 1\nC. 2021\nD. 2023\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nD\nZadanie 3. (0-1)\nKlient banku wpłacił na długoterminową lokatę pewną kwotę. Oprocentowanie na tej lokacie\nwynosi 3% w skali roku (po uwzględnieniu podatków). Po każdym roku oszczędzania są\ndoliczane odsetki od aktualnej kwoty znajdującej się na lokacie - zgodnie z procentem\nskładanym.\nDokończ zdanie. Zaznacz prawidłową odpowiedź.\nPo 10 latach oczekiwania (bez wypłacania pieniędzy z tej lokaty) klient będzie miał na lokacie\nkwotę większą od kwoty wpłaconej na początku o (w zaokrągleniu do 1%)\nA. 30%\nB. 34%\nC. 36%\nD. 43%\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nB\nInformacja o egzaminie maturalnym z matematyki dla absolwentów niesłyszących\n129\nZadanie 19.\nDana jest funkcja 𝑦= 𝑓(𝑥). Wykres tej funkcji\nprzedstawiono w kartezjańskim układzie współrzędnych\n(𝑥, 𝑦) na rysunku obok.\nTa funkcja jest określona dla każdej liczby rzeczywistej\n𝑥∈[-5, 8].\nZadanie 19.1. (0-1)\nZapisz w miejscu wykropkowanym poniżej zbiór\nwszystkich argumentów, dla których prawdziwa jest\nnierówność:\n𝒇(𝒙) > 𝟐\nZasady oceniania\n1 pkt - rozwiązanie poprawne.\n0 pkt - rozwiązanie niepoprawne lub niepełne albo brak rozwiązania.\nPełne rozwiązanie\n[-5, -1) ∪(7,8]\nZadanie 19.2. (0-1)\nZapisz w miejscu wykropkowanym maksymalny przedział lub maksymalne przedziały,\nw których funkcja 𝒇 jest malejąca.\nZasady oceniania\n1 pkt - rozwiązanie poprawne.\n0 pkt - rozwiązanie niepoprawne lub niepełne albo brak rozwiązania.\nPełne rozwiązanie\n[-3, 3]\nZadanie 19.3. (0-1)\nUzupełnij zdanie. Wpisz odpowiednie liczby w wykropkowanych miejscach.\nNajwiększa wartość funkcji 𝑓 jest równa liczbie , a najmniejsza wartość funkcji 𝑓 jest\nrówna liczbie\n-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8\n𝑦\n𝑥\n𝑓\n8\n6\n4\n2\n- 2\n- 4\n- 6\n- 8\n130\nInformator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie podstawowym od roku szkolnego 2022/2023\nZasady oceniania\n1 pkt - rozwiązanie poprawne.\n0 pkt - rozwiązanie niepoprawne lub niepełne albo brak rozwiązania.\nPełne rozwiązania\nSposób 1. zapisu rozwiązania\nNajwiększa wartość funkcji 𝑓 jest równa liczbie , a najmniejsza wartość funkcji 𝑓 jest\nrówna liczbie\nSposób 2. zapisu rozwiązania\nNajwiększa wartość funkcji 𝑓 jest równa liczbie , a najmniejsza wartość funkcji 𝑓 jest\nrówna liczbie\nZadanie 22.\nZ fizyki wiemy, że torem rzutu - przy pominięciu oporów powietrza - jest fragment paraboli.\nKoszykarz rzucił piłkę do kosza z odległości 𝑥𝑘= 7,01 m (to odległość od środka piłki do\nśrodka obręczy kosza w linii poziomej). Tor ruchu opiszemy w układzie współrzędnych.\nW chwili początkowej środek piłki był w punkcie 𝑥0 = 0, 𝑦0 = 2,50 m. Środek piłki podczas\nrzutu poruszał się po paraboli danej równaniem:\n𝑦= -0,174𝑥2 + 1,3𝑥+ 2,5\nRzut był celny, a środek piłki przeszedł dokładnie przez środek obręczy kosza.\nNa rysunku poniżej przedstawiono tę sytuację oraz tor ruchu piłki w układzie współrzędnych.\n7,01\n𝑦, m\n2,5\n𝑥, m\n(0,0)\n6\n-6\n𝑦= 6\n𝑦= -6\nInformacja o egzaminie maturalnym z matematyki dla absolwentów niesłyszących\n131\nZadanie 22.1. (0-1)\nDokończ zdanie. Zaznacz prawidłową odpowiedź.\nObręcz kosza jest na wysokości (podanej w zaokrągleniu z dokładnością do 0,01 m)\nA. 3,04 m\nB. 3,06 m\nC. 3,8 m\nD. 4,93 m\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nB\nZadanie 22.2. (0-2)\nOblicz wysokość maksymalną, na jakiej będzie środek piłki podczas opisanego rzutu.\nZapisz wynik w zaokrągleniu do drugiego miejsca po przecinku.\nZasady oceniania\n2 pkt - poprawna metoda rozwiązania oraz zapisanie wyniku 4,93 m.\n1 pkt - zastosowanie wzoru na wierzchołek paraboli oraz prawidłowe podstawienie wszystkich\ndanych liczbowych do tego wzoru\nLUB\n- zapisanie wzoru funkcji w postaci 𝑦= -0,174(𝑥-𝑝)2 + 𝑞 oraz zidentyfikowanie 𝑞\njako współrzędnej wierzchołka paraboli lub wysokości maksymalnej rzutu.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\n132\nInformator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie podstawowym od roku szkolnego 2022/2023\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób 1.\nWysokość maksymalna, na jakiej będzie środek piłki, jest równa współrzędnej 𝑦 wierzchołka\nparaboli. Skorzystamy z gotowego wzoru na wierzchołek paraboli (zobacz w Wybranych\nwzorach matematycznych):\nℎ𝑚𝑎𝑥= 𝑦𝑤= -𝑏2 -4𝑎𝑐\n4𝑎\n= -1,32 + 4 ⋅0,174 ⋅2,5\n4 ⋅(-0,174)\n= 4,928 … ≈4,93 m\nSposób 2.\nWysokość maksymalna, na jaką wzniesie się środek piłki, jest równa współrzędnej 𝑦\nwierzchołka paraboli. Wartość tę możemy wyznaczyć przekształcając wzór funkcji\nkwadratowej 𝑦= -0,174𝑥2 + 1,3𝑥+ 2,5 do postaci kanonicznej:\n𝑦= -0,174(𝑥-𝑝)2 + 𝑞\ngdzie:\nℎ𝑚𝑎𝑥= 𝑦𝑤= 𝑞\n𝑦= -0,174𝑥2 + 1,3𝑥+ 2,5 = -0,174 (𝑥2 + 1,3\n0,174 𝑥) + 2,5 =\n= -0,174 ⋅[(𝑥+\n1,3\n2 ⋅0,174)\n2\n-(\n1,3\n2 ⋅0,174)\n2\n] + 2,5 =\n= -0,174 ⋅(𝑥+\n1,3\n2 ⋅0,174)\n2\n+ 0,174 ⋅(\n1,3\n2 ⋅0,174)\n2\n+ 2,5\nZatem:\nℎ𝑚𝑎𝑥= 𝑦𝑤= 𝑞= 0,174 ⋅(\n1,3\n2 ⋅0,174)\n2\n+ 2,5 = 4,9281609 … ≈4,93 m\nZadanie 22.3. (0-3)\nW opisanym rzucie piłka przeleciała przez obręcz kosza i upadła na podłogę. Przyjmij, że\nobręcz kosza nie miała siatki, a na drodze rzutu nie było żadnej przeszkody. Promień piłki\nwynosi 0,12 m.\nOblicz współrzędną 𝒙 punktu środka piłki w momencie, w którym piłka dotknęła podłogi.\nZapisz wynik w zaokrągleniu do drugiego miejsca po przecinku.\nInformacja o egzaminie maturalnym z matematyki dla absolwentów niesłyszących\n133\nZasady oceniania\n3 pkt - poprawna metoda wyznaczenia współrzędnej 𝑥 oraz zapisanie wyniku 8,99 m.\n2 pkt - poprawne rozwiązanie równania 0,174𝑥2 -1,3𝑥-2,38 = 0.\n1 pkt - zapisanie równania 0,12 = -0,174𝑥2 + 1,3𝑥+ 2,5 lub dwóch równań:\n𝑦= -0,174𝑥2 + 1,3𝑥+ 2,5 i 𝑦= 0,12.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nZauważmy, że w momencie gdy piłka upadła i dotknęła podłogi, to punkt środka piłki należy\ndo paraboli oraz jest na wysokości 0,12 m ponad podłogą. Zatem współrzędne środka piłki\n(𝑥, 𝑦) spełniają równanie paraboli, a współrzędna 𝑦= 0,12 m. Zapiszemy układ równań\ni rozwiążemy go:\n{𝑦= -0,174𝑥2 + 1,3𝑥+ 2,5\n𝑦= 0,12\n0,12 = -0,174𝑥2 + 1,3𝑥+ 2,5\n0,174𝑥2 -1,3𝑥-2,38 = 0\nRozwiązaniami powyższego równania kwadratowego są liczby:\n𝑥1 = 1,3 -√3,34648\n0,348\n𝑥1 = 1,3 + √3,34648\n0,348\n𝑥1 ≈-1,52 𝑥2 ≈8,99\nWspółrzędna 𝑥 punktu środka piłki w momencie, w którym piłka dotknęła parkietu, jest równa\nw przybliżeniu 8,99 m.\n134\nInformator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie podstawowym od roku szkolnego 2022/2023\nZadanie 28. (0-4)\nPowierzchnia magazynowa będzie na dwóch takich samych prostokątnych działkach. Działki\nte będą miały jeden wspólny bok. Całość będzie ogrodzona płotem. Dodatkowo działki\nrozdzieli wspólny płot. W ogrodzeniu będą dwie bramy wjazdowe, każda o szerokości 10 m\n(zobacz rysunek poniżej). Łączna długość płotu ogradzającego oraz rozdzielającego dwie\ndziałki to 580 metrów. Szerokości dwóch bram wjazdowych nie wlicza się w długość płotu.\nOblicz wymiary 𝒙 i 𝒚 każdej z dwóch prostokątnych działek, tak aby całkowite pole\npowierzchni magazynowej było największe.\nZasady oceniania\n4 pkt - poprawna metoda obliczenia obu wymiarów działki oraz podanie prawidłowych\nwyników: 𝑥= 100 m oraz 𝑦= 75 m.\n3 pkt - poprawne zapisanie wzoru na pole działki w zależności od jednej zmiennej oraz\nprawidłowe obliczenie współrzędnej 𝑥 wierzchołka paraboli: 𝑥= 100 m.\n2 pkt - poprawne zapisanie wzoru na pole całkowite powierzchni magazynowej w zależności\nod jednej zmiennej:\n𝑃(𝑥) = 2𝑥(150 -\n3\n4 𝑥) dla 𝑥∈(0,\n560\n3 ).\n1 pkt - zapisanie wzoru na pole całkowite powierzchni magazynowej: 𝑃= 𝑥⋅2𝑦\nLUB\n- zapisanie związku między wymiarami działki: 3𝑥+ 4𝑦-20 = 580.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\n𝑥\n𝑦\n𝑦\n10 m\n10 m\nInformacja o egzaminie maturalnym z matematyki dla absolwentów niesłyszących\n135\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nPrzyjmiemy oznaczenia jak na rysunku w zadaniu. Całkowitą długość płotu - po uwzględnieniu\nwarunków zadania - można zapisać równaniem:\n3𝑥+ 4𝑦-2 ⋅10 = 580\nPowyższe równanie określa związek między wymiarami 𝑥 i 𝑦. Wymiar 𝑦 jednej działki musi\nbyć większy od 10 m, ze względu na ustaloną szerokość bramy wjazdowej. W związku z tym,\nw modelu matematycznym uwzględniającym warunki zadania, wymiary 𝑥 i 𝑦 spełniają:\n𝑥> 0 i 𝑦> 10\nPole 𝑃 całkowitej powierzchni magazynowej jest równe polu prostokąta o bokach długości 𝑥\noraz 2𝑦. Zatem:\n𝑃= 𝑥⋅2𝑦\nPole powierzchni magazynowej wyrazimy jako funkcję jednej zmiennej 𝑥. W tym celu najpierw\nwyznaczymy 𝑦:\n3𝑥+ 4𝑦-2 ⋅10 = 580\n4𝑦= 600 -3𝑥\n𝑦= 150 -3\n4 𝑥\nNastępnie podstawimy wyznaczone 𝑦 do wzoru na pole 𝑃= 𝑥⋅2𝑦:\n𝑃(𝑥) = 2𝑥(150 -3\n4 𝑥)\nWyznaczymy dziedzinę funkcji 𝑃. Wykorzystamy związek między wymiarami 𝑥 i 𝑦 oraz\nwykorzystamy warunki, jakie te wymiary spełniają:\n𝑦= 150 -3\n4 𝑥 oraz 𝑦> 10 oraz 𝑥> 0\nZatem:\n150 -3\n4 𝑥> 10 oraz 𝑥> 0\n𝑥< 560\n3 oraz 𝑥> 0\nZmienna 𝑥 może przyjmować wartości:\n𝑥∈(0, 560\n3 )\nWykresem funkcji 𝑃 jest fragment paraboli 𝒫 skierowanej ramionami do dołu. Funkcja 𝑃\nprzyjmuje wartość największą dla argumentu, który jest pierwszą współrzędną wierzchołka\nparaboli 𝒫. Współrzędną 𝑥 wierzchołka paraboli 𝒫 obliczymy z miejsc zerowych funkcji\nkwadratowej, która jest równaniem tej paraboli. Rozwiążemy zatem równanie:\n136\nInformator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie podstawowym od roku szkolnego 2022/2023\n2𝑥(150 -3\n4 𝑥) = 0\nZ powyższego równania wynika, że:\n2𝑥= 0 lub 150 -3\n4 𝑥= 0\n𝑥1 = 0 lub 𝑥2 = 200\nFunkcja 𝑃 przyjmuje wartość największą dla argumentu, który jest pierwszą współrzędną\nwierzchołka paraboli 𝒫, czyli dla:\n𝑥= 𝑥1 + 𝑥2\n2\n= 100 m\nObliczymy drugi wymiar działki, dla którego pole powierzchni magazynowej jest największe:\n𝑦= 150 m -3\n4 ⋅100 m = 75 m\nCałkowite pole powierzchni magazynowej jest największe dla działki o wymiarach:\n𝑥= 100 m oraz 𝑦= 75 m.\nZadanie 30. (0-2)\nW trójkącie 𝐴𝐵𝐶 dane są długości dwóch boków |𝐴𝐵| = 12, |𝐵𝐶| = 8 oraz miara kąta\n|∡𝐴𝐵𝐶| = 60°. Zobacz rysunek poniżej.\nOblicz długość środkowej tego trójkąta, poprowadzonej z wierzchołka 𝑨.\n𝐴\n𝐵\n𝐶\n60°\n𝐷\nInformacja o egzaminie maturalnym z matematyki dla absolwentów niesłyszących\n137\nWymaganie ogólne\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji.\n1.\nStosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nWymagania szczegółowe\nVII. Trygonometria. Zdający:\n5) stosuje twierdzenia sinusów i cosinusów […].\n6) oblicza kąty trójkąta i długości jego boków przy odpowiednich danych (rozwiązuje\ntrójkąty).\nZasady oceniania\ndla rozwiązania sposobem 1.\n2 pkt - zapisanie poprawnego równania wynikającego z twierdzenia cosinusów dla trójkąta\n𝐴𝐵𝐷 oraz prawidłowe obliczenie długości środkowej: |𝐴𝐷| = 4√7.\n1 pkt - zapisanie równania wynikającego z twierdzenia cosinusów dla trójkąta 𝐴𝐵𝐷:\n|𝐴𝐷|2 = |𝐴𝐵|2 + |𝐵𝐷|2 -2 ⋅|𝐴𝐵| ⋅|𝐵𝐷| ⋅cos |∡𝐴𝐵𝐶|\nLUB\n|𝐴𝐷|2 = 122 + 42 -2 ⋅12 ⋅4 ⋅cos 60°\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nZasady oceniania\ndla rozwiązania sposobem 2.\n2 pkt - prawidłowe zastosowanie twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta 𝐴𝐺𝐷 oraz prawidłowe\nobliczenie długości środkowej |𝐴𝐷| = 4√7.\n1 pkt - wyodrębnienie trójkąta prostokątnego 𝐴𝐺𝐷 oraz trójkąta 𝐺𝐵𝐷 o kątach: 30°, 60°, 90°,\nłącznie z poprawnym określeniem długości jego boków: |𝐺𝐵| = 2, |𝐷𝐺| = 2√3.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób 1. (zastosowanie twierdzenia cosinusów)\nPonieważ 𝐴𝐷 jest środkową, to |𝐵𝐷| = 4.\nDo obliczenia długości środkowej |𝐴𝐷| zastosujemy\ntwierdzenie cosinusów dla trójkąta 𝐴𝐵𝐷:\n|𝐴𝐷|2 = |𝐴𝐵|2 + |𝐵𝐷|2 -2 ⋅|𝐴𝐵| ⋅|𝐵𝐷| ⋅cos |∡𝐴𝐵𝐶|\n|𝐴𝐷|2 = 122 + 42 -2 ⋅12 ⋅4 ⋅1\n2 = 112\n|𝐴𝐷| = √112 = 4√7\n𝐴\n𝐵\n𝐶\n60°\n𝐷\n138\nInformator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie podstawowym od roku szkolnego 2022/2023\nSposób 2. (zastosowanie twierdzenia Pitagorasa i własności trójkąta o kątach 30°, 60°, 90°)\nUzupełnimy rysunek pomocniczy (zobacz obok).\nW celu obliczenia długości środkowej 𝐴𝐷 zastosujemy\ntwierdzenie Pitagorasa dla trójkąta prostokątnego 𝐴𝐺𝐷.\nPonieważ 𝐴𝐷 jest środkową, to |𝐵𝐷| = 4. Rozważmy dalej\ntrójkąt 𝐺𝐵𝐷. Trójkąt 𝐺𝐵𝐷 ma kąty o miarach: 30°, 60°,\n90°, skąd wynika, że przyprostokątne tego trójkąta mają\ndługości:\n|𝐺𝐵| = 2 |𝐷𝐺| = 2√3\nzatem długość przyprostokątnej 𝐴𝐺 trójkąta 𝐴𝐺𝐷 jest równa:\n|𝐴𝐺| = 12 -2 = 10\nObliczymy długość środkowej 𝐴𝐷 z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta 𝐴𝐺𝐷:\n|𝐴𝐷|2 = |𝐴𝐺|2 + |𝐺𝐷|2\n|𝐴𝐷|2 = 102 + (2√3)2 = 112\n|𝐴𝐷| = √112 = 4√7\n𝐶\n𝐷\n𝐴\n60°\n𝐵\n𝐺\n4\n2\n2ξ3\n10\nInformacja o egzaminie maturalnym z matematyki dla absolwentów niesłyszących\n139\nZadanie 45.\nHania zrobiła czapeczkę na bal urodzinowy młodszego brata. Czapeczka\nma kształt powierzchni bocznej stożka o średnicy podstawy 𝑑= 20 cm,\nwysokości 𝐻= 25 cm i tworzącej 𝑙.\nŻeby wykonać czapeczkę, Hania najpierw narysowała na papierze figurę\npłaską 𝐴𝐵𝑆 o kształcie wycinka koła o promieniu 𝑙 i środku 𝑆 (zobacz\nrysunek 1.). Następnie wycięła tę figurę z papieru, wygięła ją i połączyła\nodcinek 𝑆𝐵 z odcinkiem 𝑆𝐴 (zobacz rysunek 2.). W ten sposób otrzymała\nkształt stożka.\nZadanie 45.1. (0-1)\nDokończ zdanie. Zaznacz prawidłową odpowiedź.\nKąt rozwarcia stożka, którego powierzchnią boczną jest czapeczka (rysunek 2.), ma miarę\n(w zaokrągleniu do 1°)\nA. 44°\nB. 136°\nC. 22°\nD. 68°\nWskazówka: skorzystaj z tablic wartości funkcji trygonometrycznych.\n𝐴\n𝐵\n𝑆\n𝑙\nRysunek 1.\nRysunek 2.\n𝑆\n𝑙\n𝐻\n𝐴= 𝐵\n𝑑\n𝑂\n140\nInformator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie podstawowym od roku szkolnego 2022/2023\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nA\nZadanie 45.2. (0-3)\nOblicz miarę kąta ∡𝑩𝑺𝑨 wycinka koła (rysunek 1.), z którego powstała czapeczka. Kąt\n∡𝑩𝑺𝑨 podaj w zaokrągleniu do jednego stopnia.\nZasady oceniania\n3 pkt - poprawna metoda obliczenia miary kąta ∡𝐵𝑆𝐴 (lub wyprowadzenie równania na miarę\nkąta: |∡𝐵𝑆𝐴| =\n𝑟\n√𝐻2+𝑟2 ⋅360°) oraz podanie prawidłowego wyniku ∡𝐵𝑆𝐴≈134°.\n2 pkt - poprawne wyprowadzenie i zapisanie związku 𝛼=\n𝑟\n𝑙⋅360° oraz zapisanie równania\nwynikającego z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta 𝐴𝑂𝑆: 𝑙2 = 𝑟2 + 𝐻2\n1 pkt - zapisanie równania\n𝛼\n360° ⋅2𝜋𝑙= 2𝜋𝑟\nLUB\n- zapisanie równania\n𝛼\n360° ⋅𝜋𝑙2 = 𝜋𝑟𝑙\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nWprowadzimy oznaczenia:\n𝑠𝐴𝐵 - długość łuku 𝐴𝐵 wycinka koła 𝐴𝐵𝑆.\n𝑃𝐴𝐵𝑆 - pole wycinka koła 𝐴𝐵𝑆.\n𝑟=\n𝑑\n2 - promień okręgu w podstawie stożka.\n𝛼= |∡𝐵𝑆𝐴| - miara kąta ∡𝐵𝑆𝐴 wycinka koła.\n𝛽 - połowa miary kąta rozwarcia stożka.\n𝐴\n𝑆\n𝑙\n𝐵\n𝛼\n𝑠𝐴𝐵\n𝑆\n𝑙\n𝐻\n𝐴= 𝐵\n𝛽\n𝑟\n𝑂\nInformacja o egzaminie maturalnym z matematyki dla absolwentów niesłyszących\n141\nSposób 1.\nWyprowadzimy wzór końcowy na symbolach danych (pominiemy obliczenia pośrednie).\n1. Zauważmy, że z łuku 𝐴𝐵 wycinka koła powstał okrąg w podstawie stożkowej czapeczki.\nZatem długość łuku 𝐴𝐵 jest równa długości (obwodowi) okręgu w podstawie stożka.\nZastosujemy wzór na długość łuku 𝐴𝐵 oraz wzór na obwód okręgu:\n𝑠𝐴𝐵= Obwpodstawy\n𝛼\n360° ⋅2𝜋𝑙= 2𝜋𝑟\n𝛼= 𝑟\n𝑙⋅360°\nUwaga\nZauważmy, że otrzymany wzór zadaje nadzwyczaj prostą relację między kątem wycinka koła\ni kątem rozwarcia stożka: 𝛼= sin 𝛽⋅360°\n2. Wyrazimy 𝑙 poprzez 𝐻 i 𝑑 na podstawie twierdzenia Pitagorasa:\n𝑙2 = 𝐻2 + 𝑟2 zatem 𝑙2 = 𝐻2 + (𝑑\n2)\n2\n𝑙= √𝐻2 + (𝑑\n2)\n2\n3. Zapiszemy wzór na miarę kąta 𝛼 i ją obliczymy:\n𝛼=\n𝑑\n2\n√𝐻2 + (𝑑\n2)\n2 ⋅360°\n𝛼=\n10\n√252 + 102 ⋅360°\n𝛼≈134°\nSposób 2.\nWyprowadzimy wzór końcowy na symbolach danych (pominiemy obliczenia pośrednie).\n1. Zauważmy, że pole 𝐴𝐵𝑆 wycinka koła jest równe polu powierzchni bocznej stożka (polu\npowierzchni czapeczki). Zastosujemy wzór na pole 𝐴𝐵𝑆 wycinka koła oraz wzór na pole\npowierzchni bocznej stożka:\n𝑃𝐴𝐵𝑆= 𝑃𝑏\n𝛼\n360° ⋅𝜋𝑙2 = 𝜋𝑟𝑙\n𝛼= 𝑟\n𝑙⋅360°\nKrok 2. i 3. Jak w sposobie 1.\n142\nInformator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie podstawowym od roku szkolnego 2022/2023\nZadanie 46. (0-2)\nPojedynczy znak (np. litera, przecinek, wykrzyknik, itp.) w piśmie Braille’a dla niewidomych\njest kombinacją od 1 do 6 wypukłych punktów. Punkty te mogą zajmować miejsca ułożone\nw dwóch kolumnach po trzy miejsca w każdej kolumnie. Poniżej podano przykład napisu\nw piśmie Braille’a. Czarne kropki w znaku oznaczają wypukłości, a białe kropki oznaczają brak\nwypukłości. Pojedynczy znak w piśmie Braille’a musi zawierać co najmniej jeden punkt\nwypukły.\nOblicz, ile różnych pojedynczych znaków można zapisać w piśmie Braille’a.\nZasady oceniania\n2 pkt - zastosowanie prawidłowej metody do obliczenia wszystkich znaków, uwzględnienie\nwarunku zadania i podanie wyniku: 63.\n1 pkt - zapisanie wzoru na liczbę wszystkich możliwych znaków bez uwzględnienia warunku\nzadania (tzn. łącznie ze znakiem bez punktu wypukłego): 2 ⋅2 ⋅2 ⋅2 ⋅2 ⋅2\nLUB\n- zastosowanie metody dodawania polegającej na bezpośrednim zliczeniu i dodaniu\nliczby znaków: z jednym punktem wypukłym, z dwoma punktami wypukłymi, z trzema\npunktami wypukłymi, z czterema punktami wypukłymi, z pięcioma punktami wypukłymi\ni z sześcioma punktami wypukłymi oraz prawidłowe zliczenie znaków w co najmniej\ntrzech spośród sześciu wymienionych grup.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób 1. (zastosowanie zasady mnożenia)\nm\na\nt\nu\nr\ny\nInformacja o egzaminie maturalnym z matematyki dla absolwentów niesłyszących\n143\nZastosujemy regułę mnożenia. Zauważmy, że utworzenie znaku to podjęcie kolejno 6 decyzji\no tym, jaki ma być rodzaj punktu - elementu znaku. Punkt może być wypukły albo może nie\nbyć wypukły. Zatem mamy dwie możliwości wyboru rodzaju punktu:\nalbo\nZgodnie\nz\nregułą\nmnożenia,\nw\ntakich\nprzypadkach\nliczbę\nmożliwości\nwyboru\nskładnika/elementu obiektu mnożymy przez siebie tyle razy, z ilu elementów składa się obiekt:\n2 ⋅2 ⋅2 ⋅2 ⋅2 ⋅2 = 64\nWszystkich możliwości jest 64. Ponieważ znak Braille’a musi zawierać co najmniej jeden punkt\nwypukły, to odrzucamy znak bez wypukłości (sześć białych kropek na schemacie powyżej).\nWszystkich znaków jest zatem:\n64 -1 = 63\nSposób 2. (bezpośrednie zliczenie liczby znaków z zastosowaniem zasady dodawania)\nBędziemy kolejno zliczać „na piechotę” znaki: z jednym punktem wypukłym,\nz dwoma punktami wypukłymi, z trzema punktami wypukłymi, z czterema\npunktami wypukłymi, z pięcioma punktami wypukłymi i z sześcioma\npunktami wypukłymi. Zbiory znaków z daną liczbą punktów wypukłych\noznaczymy odpowiednio jako: 𝐴1, 𝐴2, 𝐴3, 𝐴4, 𝐴5, 𝐴6.\nAby zliczanie przeprowadzić metodycznie, ułatwimy sobie zadanie\nnumerując punkty w polu znaku, jak na rysunku obok.\nW takiej konwencji, przykładowo:\n- znak\noznaczymy jedną cyfrą: (2);\n- znak\noznaczymy trójką cyfr: (1,3,4) - przy czym kolejność zapisu tych cyfr nie ma\nznaczenia.\n2 możliwości:\nalbo\n2 możliwości:\nalbo\n2 możliwości:\nalbo\n2 możliwości:\nalbo\n2 możliwości:\nalbo\n2 możliwości:\nalbo\n1\n4\n2\n5\n3\n6\n144\nInformator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie podstawowym od roku szkolnego 2022/2023\n𝐴1 = {(1), (2), (3), (4), (5), (6)}\n|𝐴1| = 6\n𝐴2 =\n{\n(1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6),\n(2,3), (2,4), (2,5), (2,6),\n(3,4), (3,5), (3,6)\n(4,5), (4,6)\n(5,6) }\n|𝐴2| = 15\n𝐴3 =\n{\n(1,2,3), (1,2,4), (1,2,5), (1,2,6),\n(1,3,4), (1,3,5), (1,3,6),\n(1,4,5), (1,4,6), (1,5,6),\n(2,3,4), (2,3,5), (2,3,6)\n(2,4,5), (2,4,6), (2,5,6)\n(3,4,5), (3,4,6), (3,5,6)\n(4,5,6) }\n|𝐴3| = 20\nZauważmy, że każdemu znakowi z dwoma punktami wypukłymi możemy przyporządkować\nznak z czterema punktami wypukłymi, zamieniając punkty wypukłe na niewypukłe i odwrotnie:\nNp. znakowi\nprzyporządkujemy znak\nZatem znaków z czterema punktami wypukłymi jest tyle samo, co znaków z dwoma punktami\nwypukłymi. Podobnie argumentujemy, że znaków z pięcioma punktami wypukłymi jest tyle\nsamo co znaków z jednym punktem wypukłym:\n|𝐴4| = |𝐴2| = 15 |𝐴5| = |𝐴1| = 6\n𝐴6 = {(1,2,3,4,5,6)}\n|𝐴6| = 1\nWszystkich znaków w piśmie Braille’a jest:\n|𝐴1| + |𝐴2| + |𝐴3| + |𝐴4| + |𝐴5| + |𝐴6| = 6 + 15 + 20 + 15 + 6 + 1 = 63\nInformacja o egzaminie maturalnym z matematyki dla absolwentów niesłyszących\n145\nZadanie 49. (0-3)\nPaweł i Grzegorz postanowili zagrać w grę losową. Ich kolega będzie\nkolejno rzucał sześcienną symetryczną kostką do gry. Ścianki tej\nkostki są oznaczone oczkami od 1 do 6. Gdy na kostce wypadnie 1,\n2 lub 3 oczka, to Grzegorz daje Pawłowi 10 żetonów, a gdy na kostce\nwypadnie 6 oczek, to Paweł daje Grzegorzowi liczbę 𝑥 żetonów.\nW pozostałych przypadkach ani Paweł ani Grzegorz nie dostają\nżetonów. Paweł i Grzegorz sprawiedliwie ustalili liczbę 𝑥 żetonów tak,\naby wartość oczekiwana zysku z gry Pawła była równa wartości\noczekiwanej zysku z gry Grzegorza.\nOblicz ustaloną przez Pawła i Grzegorza liczbę 𝒙 żetonów.\nZasady oceniania\n3 pkt - poprawna metoda obliczenia liczby 𝑥 żetonów oraz zapisanie wyniku: 𝑥= 30 żetonów.\n2 pkt - poprawne zapisanie wyrażenia na wartość oczekiwaną zysku Pawła oraz na wartość\noczekiwaną zysku Grzegorza:\n𝔼𝑍𝑃= +10 ⋅\n1\n2 -𝑥⋅\n1\n6 + 0 ⋅\n2\n6, 𝔼𝑍𝐺= -10 ⋅\n1\n2 + 𝑥⋅\n1\n6 + 0 ⋅\n2\n6\nLUB\n- poprawne zapisanie wyrażenia na wartość oczekiwaną zysku Pawła i stwierdzenie lub\nzapisanie, że wynosi ona zero, np.: 10 ⋅\n1\n2 -𝑥⋅\n1\n6 + 0 ⋅\n2\n6 = 0\n1 pkt - określenie i zapisanie prawdopodobieństw, z jakimi Paweł (lub Grzegorz) traci (lub\nzyskuje) liczbę 10 żetonów i liczbę 𝑥 żetonów (samo zapisanie prawdopodobieństw\nzdarzeń, bez powiązania zdarzeń z odpowiednim zyskiem lub stratą i bez dalszych\nobliczeń, nie spełnia tego kryterium).\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nUwaga! Zgodnie z konwencją, do obliczeń przyjmuje się, że strata to zysk ujemny.\n146\nInformator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie podstawowym od roku szkolnego 2022/2023\nSposób 1.\nWyprowadzimy wyrażenie ze zmienną 𝑥 na wartość oczekiwaną zysku z gry Pawła oraz na\nwartość oczekiwaną zysku z gry Grzegorza. Zaczniemy od Pawła.\n1. Określimy zdarzenia wraz z ich prawdopodobieństwami, dla których następuje wymiana\nżetonów w grze:\nΩ - zbiór wszystkich zdarzeń elementarnych - wyników rzutu kostką do gry.\nΩ = {1,2,3,4,5,6} zatem |Ω| = 6\n𝐴 - zdarzenie polegające na tym, że wypadło 1, 2 lub 3 oczka.\n𝐴= {1,2,3} zatem |𝐴| = 3\nczyli\n𝑃(𝐴) = 3\n6 = 1\n2\n𝐵 - zdarzenie polegające na tym, że wypadło 6 oczek.\n𝐵= {6} zatem |𝐵| = 1\nczyli\n𝑃(𝐵) = 1\n6\n𝐶 - zdarzenie polegające na tym, że wypadło 4 lub 5 oczek.\n𝐶= {4,5} zatem |𝐶| = 2\nczyli\n𝑃(𝐶) = 2\n6\n2. Zyski Pawła przy zajściu zdarzeń 𝐴, 𝐵, 𝐶 są następujące (zyski Pawła oznaczymy 𝑍𝑃):\n𝑍𝑃(𝐴) = +10 żetonów\n𝑍𝑃(𝐵) = -𝑥 żetonów\n𝑍𝑃(𝐶) = 0 żetonów\nPrawdopodobieństwa osiągnięcia tych zysków są takie, jak prawdopodobieństwa zdarzeń,\nprzy których te zyski zachodzą:\n𝑃(𝑍𝑃(𝐴)) = 𝑃(𝐴) = 1\n2\n𝑃(𝑍𝑃(𝐵)) = 𝑃(𝐵) = 1\n6\n𝑃(𝑍𝑃(𝐶)) = 𝑃(𝐶) = 2\n6\nInformacja o egzaminie maturalnym z matematyki dla absolwentów niesłyszących\n147\n3. Obliczymy wartość oczekiwaną zysku z gry Pawła. Skorzystamy ze wzoru na wartość\noczekiwaną:\n𝔼𝑍𝑃= 𝑍𝑃(𝐴) ⋅𝑃(𝑍𝑃(𝐴)) + 𝑍𝑃(𝐵) ⋅𝑃(𝑍𝑃(𝐵)) + 𝑍𝑃(𝐶) ⋅𝑃(𝑍𝑃(𝐶))\n𝔼𝑍𝑃= +10 ⋅1\n2 -𝑥⋅1\n6 + 0 ⋅2\n6 = 5 -𝑥\n6\n4. Tak samo zapiszemy wyrażenie na wartość oczekiwaną zysku z gry Grzegorza. Zyski\nGrzegorza przy zajściu zdarzeń 𝐴, 𝐵, 𝐶 są następujące (zyski Grzegorza oznaczymy 𝑍𝐺):\n𝑍𝐺(𝐴) = -10 żetonów\n𝑍𝐺(𝐵) = +𝑥 żetonów\n𝑍𝐺(𝐶) = 0 żetonów\nZatem wartość oczekiwana zysku z gry Grzegorza dana jest wzorem:\n𝔼𝑍𝐺= -10 ⋅1\n2 + 𝑥⋅1\n6 + 0 ⋅2\n6 = -5 + 𝑥\n6\n5. Zgodnie z warunkiem zadania, wartości oczekiwane zysku z gry Pawła i Grzegorza są sobie\nrówne, zatem:\n𝔼𝑍𝑃= 𝔼𝑍𝐺\n5 -𝑥\n6 = -5 + 𝑥\n6 → 10 -2𝑥\n6 = 0\n𝑥= 30 żetonów\nSposób 2.\nWyprowadzimy wyrażenie ze zmienną 𝑥 na wartość oczekiwaną zysku Pawła.\nKroki 1.-3. są takie same jak w rozwiązaniu sposobem 1.\n4. Zauważmy, że ta gra ma następującą szczególną własność: zysk jednego gracza jest stratą\ndla drugiego gracza. To oznacza, że wartości oczekiwane zysków Pawła i Grzegorza\nmuszą być liczbami przeciwnymi, a z warunków zadania wynika - że muszą być liczbami\nrównymi sobie. To oznacza, że wartości oczekiwane zysku z gry każdego z graczy jest\nrówna 0:\n𝔼𝑍𝑃= 0\n5 -𝑥\n6 = 0\n𝑥= 30 żetonów\n148\nInformator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie podstawowym od roku szkolnego 2022/2023\nUchwała RGNiSW oraz KRASP o informatorach maturalnych od 2023 roku\n149\nUchwała Rady Głównej Nauki i Szkolnictwa Wyższego\noraz Konferencji Rektorów Akademickich Szkół Polskich\no informatorach maturalnych od 2023 roku\nZ opinii Recenzentów:\nZadania przedstawione w Informatorze na poziomie podstawowym pogrupowano według\nszeroko rozumianych działów. W każdym dziale zamieszczono zadania zamknięte, jak\ni otwarte, także - co jest nowością - grupy zadań skoncentrowanych wokół jednego tematu.\n[…] Łączenie zadań w grupy jest praktyką stosowana w wielu sprawdzianach, egzaminach\ni konkursach. Zdecydowanie ułatwia skoncentrowanie się ucznia na danym problemie. […]\nPojawienie sią wiązek zadań należy uznać za krok w dobrym kierunku […].\nPewna część zadań zamkniętych składa się ze zdań do uzupełnienia wraz\nz uzasadnieniem. […] Metodologia zadań 33. i 50.1. jest godna uwagi. Sposób ich\nsformułowania sprawia, że zdający, który rozumie wymaganą definicję, ale nie pamięta jej\ndokładnie, będzie w stanie odtworzyć ją w czasie egzaminu. Oznacza to odchodzenie od\npamięciowego opanowania definicji na rzecz rozumienia treści, które się za nią kryją.\nPodobną metodologię widać w kilku innych zadaniach.\nWarto zaznaczyć, że w Informatorze zrezygnowano z takich zadań zamkniętych, które\nwymagają złożonych rachunków. Tego typu zadania […] pochłaniały niewspółmiernie dużo\nczasu w stosunku do zysku punktowego. Zrezygnowanie z nich, na rzecz prostych, krótkich\nzadań otwartych, wydaje się dobrą strategią.\nZadania w Informatorze na poziomie podstawowym obejmują całą podstawę programową\n[…]. Niektóre zadania są nieschematyczne, sprawdzające umiejętność rozumowania\nmatematycznego,\na\nnie\nmechanicznego\nopanowania\nsposobów\nrozwiązywania\nkonkretnych typów zadań. Przykładem zadania nieschematycznego, a jednocześnie\nprostego, jest zadanie 35., sprawdzające umiejętności skalowania pola i zastosowania\ntwierdzenia Pitagorasa. […] Rozwiązania zadań w Informatorze podane są w sposób\nprzejrzysty, często podane są dwa rozwiązania, czasami trzy.\nKoncepcja egzaminu maturalnego, która wybija się z Informatora, jest ewolucją obecnego\negzaminu maturalnego w kierunku jeszcze lepszego sprawdzania umiejętności\nrozumowania […].\ndr hab. Maciej Borodzik\nPo zapoznaniu się z Informatorem mogę stwierdzić, że nowy arkusz nabierze zupełnie\nświeżej formy. […] W Informatorze pojawiły się - co jest nowością - zadania zamknięte\nrównież za 2 pkt, a z drugiej strony znalazły się krótkie zadania otwarte za 1 pkt (np. zadania\nz luką) […].\nDobrym pomysłem jest to, aby arkusz zawierał zadanie z kontekstem realistycznym /\npraktycznym, czyli z zastosowaniem matematyki w życiu. Przykładem takiego zadania jest\nwiązka zadań 22.1.-22.3. z funkcją kwadratową, której wzór opisuje tor ruchu piłki rzuconej\nprzez koszykarza. […] Zdający ma do rozwiązania zadania powiązane tematycznie i dające\nsię niezależnie rozwiązać: oblicza wysokość, na jakiej znajduje się obręcz kosza, oblicza\nwysokość maksymalną, na jaką wzniesie się piłka podczas ruchu oraz oblicza położenie\nśrodka piłki, gdy ta upadnie na parkiet. […] W wiązkach pojawią się zadania zamknięte oraz\notwarte.\nDużym plusem dla zdających będzie to, że nie pojawią się zadania za 5 pkt ani za 6 pkt.\n[…] Dobrze, że w arkuszu będą występowały także zadania schematyczne (np. zadanie\n40.), które wolą uczniowie o mniejszych predyspozycjach matematycznych.\nZachęcam nauczycieli i uczniów do szczegółowego zapoznania się z Informatorem,\nstanowiącym ważną wskazówkę dydaktyczną w przygotowaniu do egzaminu maturalnego\nz matematyki na poziomie podstawowym […].\nEwa Dolaczyńska\nEGZAMIN\nMATURALNY\nMatematyka\nISBN 978-83-66725-05-8\n9 7 8 8 3 6 6 7 2 5 0 5 8","answer":null,"answer_text":null,"solution":"Średnia = suma (wartość zarobków × liczba osób) / liczba wszystkich pracowników (75):\n(1·1,5+1·2+4·2,5+7·3+10·3,5+14·4+13·4,5+9·5+6·5,5+3·6+2·6,5+1·7+1·7,5+1·8,5+2·10)/75 = 336/75 = 4,48 tys. zł.\n\nOdpowiedź: średnia miesięcznego wynagrodzenia wynosi 4,48 tys. zł.","image":"img/informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-podstawowy/zad-50.4.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":125,"source":"ai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"ai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2023","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny"}]}