{"paper":{"id":"informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-rozszerzony","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2023,"month":null,"level":null,"variant":null,"exam_pdf":"informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-rozszerzony/informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-rozszerzony.pdf","key_pdf":null,"question_count":33,"source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2023","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny"},"questions":[{"id":"informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-rozszerzony/zad/1","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-rozszerzony","number":"1","points":6,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2023,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 1. (0-6)\nDany jest układ równań\n{𝑚𝑥+ 𝑦= 𝑚2\n4𝑥+ 𝑚𝑦= 8\n(1)\nz niewiadomymi 𝑥 i 𝑦 oraz parametrem 𝑚.\nWyznacz wszystkie wartości parametru 𝒎, dla których układ jest oznaczony, a para\nliczb (𝒙, 𝒚) będąca rozwiązaniem układu spełnia warunek |𝒙+ 𝒚| < 𝟐.\nPrzykładowe zadania z rozwiązaniami\n13\nWymaganie ogólne\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji.\n3.\nTworzenie pomocniczych obiektów matematycznych na podstawie istniejących,\nw celu przeprowadzenia argumentacji lub rozwiązania problemu.\nWymagania szczegółowe\nIII. Równania i nierówności. Zdający:\n2R) rozwiązuje równania i nierówności wymierne nie trudniejsze niż\n𝑥+1\n𝑥(𝑥-1) +\n1\n𝑥+1 ≥\n2𝑥\n(𝑥-1)(𝑥+1) .\nIV. Układy równań. Zdający:\n1)\nrozwiązuje układy równań liniowych z dwiema niewiadomymi […].\n14\nInformator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie rozszerzonym od roku szkolnego 2022/2023\nZasady oceniania\n6 pkt - poprawna metoda wyznaczenia wszystkich wartości parametru 𝑚 spełniających\nwarunki zadania oraz prawidłowy wynik.\n5 pkt - rozwiązanie nierówności |\n𝑚2-2𝑚+4\n𝑚+2\n| < 2.\n4 pkt - rozwiązanie jednej z nierówności\n𝑚2 -2𝑚+ 4\n𝑚+ 2\n> -2 lub 𝑚2 -2𝑚+ 4\n𝑚+ 2\n< 2\n3 pkt - zapisanie nierówności\n𝑚2 -2𝑚+ 4\n𝑚+ 2\n> -2 i 𝑚2 -2𝑚+ 4\n𝑚+ 2\n< 2\n2 pkt - wyznaczenie z układu (1) 𝑥 oraz 𝑦.\n1 pkt - określenie wartości parametru 𝑚, dla jakich układ jest oznaczony i wyznaczenie\nz układu (1) 𝑥 lub 𝑦.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nRozwiązujemy układ (1) metodą podstawiania. Z pierwszego równania układu wyznaczamy 𝑦:\n𝑦= 𝑚2 -𝑚𝑥\ni wstawiamy do drugiego równania układu:\n4𝑥+ 𝑚(𝑚2 -𝑚𝑥) = 8\n(4 -𝑚2)𝑥= 8 -𝑚3\nZatem układ jest oznaczony, gdy 𝑚∈ℝ\\{-2; 2}. Wtedy\n𝑥= 8 -𝑚3\n4 -𝑚2 = (2 -𝑚)(4 + 2𝑚+ 𝑚2)\n(2 -𝑚)(2 + 𝑚)\n= 4 + 2𝑚+ 𝑚2\n𝑚+ 2\nStąd\n𝑦= 𝑚2 -𝑚𝑥= 𝑚2 -𝑚⋅𝑚2 + 2𝑚+ 4\n𝑚+ 2\n= 𝑚3 + 2𝑚2 -𝑚(𝑚2 + 2𝑚+ 4)\n𝑚+ 2\n= -4𝑚\n𝑚+ 2\nWyznaczamy wartości parametru 𝑚, dla których prawdziwa jest nierówność |𝑥+ 𝑦| < 2:\n|4 + 2𝑚+ 𝑚2\n2 + 𝑚\n+ -4𝑚\n𝑚+ 2| < 2\n|𝑚2 -2𝑚+ 4\n𝑚+ 2\n| < 2\nPrzykładowe zadania z rozwiązaniami\n15\n𝑚2 -2𝑚+ 4\n𝑚+ 2\n> -2 i 𝑚2 -2𝑚+ 4\n𝑚+ 2\n< 2\n𝑚2 -2𝑚+ 4\n𝑚+ 2\n+ 2𝑚+ 4\n𝑚+ 2 > 0 i 𝑚2 -2𝑚+ 4\n𝑚+ 2\n-2𝑚+ 4\n𝑚+ 2 < 0\n𝑚2 + 8\n2 + 𝑚> 0 i 𝑚2 -4𝑚\n2 + 𝑚\n< 0\n(𝑚2 + 8)(𝑚+ 2) > 0 i 𝑚∈ℝ\\{-2; 2} i (𝑚2 -4𝑚)(𝑚+ 2) < 0 i 𝑚∈ℝ\\{-2; 2}\n𝑚∈(-2, 2) ∪(2, +∞) i 𝑚∈(-∞, -2) ∪(0, 2) ∪(2, 4)\nco daje nam 𝑚∈(0, 2) ∪(2, 4).","answer":null,"answer_text":null,"solution":null,"image":"img/informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-rozszerzony/zad-1.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":12,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2023","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny"},{"id":"informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-rozszerzony/zad/2","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-rozszerzony","number":"2","points":3,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2023,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 2. (0-3)\nDane są liczby 𝑎= (log√5 2) ⋅ log2 25 i 𝑏=\nlog5 6\nlog5 8.\nOblicz 𝒂𝒃+𝟏.\nWymagania ogólne\nI.\nSprawność rachunkowa […].\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji.\n1.\nStosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\n16\nInformator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie rozszerzonym od roku szkolnego 2022/2023\nWymagania szczegółowe\nI.\nLiczby rzeczywiste. Zdający:\n1)\nwykonuje działania ([ ] potęgowanie, pierwiastkowanie, logarytmowanie) w zbiorze\nliczb rzeczywistych;\nR)\nstosuje wzór na zamianę podstaw logarytmu.\nZasady oceniania\n3 pkt - poprawne obliczenie 𝑎𝑏+1 i prawidłowy wynik.\n2 pkt - poprawne obliczenie 𝑎 oraz przekształcenie 𝑏 do prostszej postaci np. 𝑏= log2 √6\n3\n1 pkt - poprawnie obliczenie 𝑎 lub przekształcenie 𝑏 do postaci logarytmu o podstawie 2 lub 4,\nnp. 𝑏= log2 √6\n3\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nObliczamy 𝑎 oraz 𝑏 z wykorzystaniem wzoru na zamianę podstawy logarytmu:\n𝑎= log√5 2 ⋅log2 25 = log2 2\nlog2 √5\n⋅2 log2 5 = log2 2\n1\n2 log2 5\n⋅2 log2 5 = 4\n𝑏= log5 6\nlog5 8 = log8 6 = log2 6\nlog2 8 = 1\n3 log2 6 = log2 √6\n3\nObliczamy 𝑎𝑏+1:\n𝑎𝑏+1 = 4log2 √6\n3\n+1 = 4log2 √6\n3\n⋅41 = 22 log2 √6\n3\n⋅4 = 2log2 √36\n3\n⋅4 = 4√36\n3","answer":null,"answer_text":null,"solution":null,"image":"img/informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-rozszerzony/zad-2.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":15,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2023","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny"},{"id":"informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-rozszerzony/zad/3","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-rozszerzony","number":"3","points":3,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2023,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 3. (0-3)\nNa diagramie obok przedstawiono fragment wykresu\nwielomianu 𝑊 określonego wzorem\n𝑊(𝑥) = 4𝑥3 -19𝑥2 -12𝑥+ 18\ndla każdego 𝑥∈ℝ.\nOblicz wszystkie pierwiastki wielomianu 𝑾.\n0,2\n𝑥\n𝑦\n1\n𝑊\nPrzykładowe zadania z rozwiązaniami\n17\nWymagania ogólne\nII. Wykorzystanie i tworzenie informacji.\n1.\nInterpretowanie i operowanie informacjami przedstawionymi w formie […]\ndiagramów, tabel.\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji.\n2.\nDobieranie i tworzenie modeli matematycznych przy rozwiązywaniu problemów\npraktycznych i teoretycznych.\nWymagania szczegółowe\nII. Wyrażenia algebraiczne. Zdający:\n6)\ndzieli wielomian jednej zmiennej 𝑊(𝑥) przez dwumian postaci 𝑥-𝑎,\n1R) znajduje pierwiastki całkowite i wymierne wielomianu o współczynnikach\ncałkowitych.\nZasady oceniania\n3 pkt - obliczenie wszystkich pierwiastków wielomianu 𝑊.\n2 pkt - sprawdzenie, że liczba 3\n4 jest pierwiastkiem wielomianu oraz podzielenie\nwielomianu 𝑊 przez dwumian (𝑥-3\n4).\n1 pkt - zastosowanie twierdzenia o pierwiastkach wymiernych wielomianu i określenie liczb\nwymiernych mogących być pierwiastkami wielomianu 𝑊.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nSkorzystamy z twierdzenia o pierwiastkach wymiernych wielomianu o współczynnikach\ncałkowitych.\nNa mocy tego twierdzenia wnosimy, że jeśli wielomian 𝑊 ma pierwiastek wymierny, to należy\non do zbioru\n𝕄= {±1, ±2, ±3, ±6, ±9, ±18, ± 9\n2 , ± 9\n4 , ± 3\n2 , ± 3\n4 , ± 1\n2 , ± 1\n4}\n18\nInformator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie rozszerzonym od roku szkolnego 2022/2023\nNa podstawie fragmentu wykresu funkcji 𝑊 stwierdzamy, że jeden z pierwiastków wielomianu\nznajduje się w przedziale (3\n5 , 4\n5). Tylko jedna liczba ze zbioru 𝕄 leży w tym przedziale i jest\nto ułamek 3\n4.\nSprawdzamy, czy liczba 3\n4 jest pierwiastkiem wielomianu 𝑊:\n𝑊(3\n4) = 4 ⋅(3\n4)\n3\n-19 ⋅(3\n4)\n2\n-12 ⋅3\n4 + 18 = 27\n16 -171\n16 -144\n16 + 288\n16 = 0\nZatem wielomian jest podzielny przez dwumian (𝑥-3\n4).\nDzielimy wielomian 𝑊 przez dwumian (𝑥-3\n4) i zapisujemy go w postaci iloczynowej:\n𝑊(𝑥) = (𝑥-3\n4) (4𝑥2 -16𝑥-24).\nPierwiastkami trójmianu 4𝑥2 -16𝑥-24 są liczby: 2 -√10 oraz 2 + √10.\nPierwiastkami wielomianu 𝑊 są liczby: 2 -√10, 2 + √10 oraz 3\n4.","answer":null,"answer_text":null,"solution":null,"image":"img/informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-rozszerzony/zad-3.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":16,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2023","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny"},{"id":"informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-rozszerzony/zad/4","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-rozszerzony","number":"4","points":3,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2023,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 4. (0-3)\nFunkcja 𝑓 jest określona wzorem\n𝑓(𝑥) = - 3𝑥+ 41\n𝑥- 13\ndla 𝑥≠13.\nPunktem kratowym nazywamy punkt w układzie współrzędnych, którego obie współrzędne są\nliczbami całkowitymi.\nWyznacz wszystkie punkty kratowe należące do wykresu funkcji 𝒇.\nPrzykładowe zadania z rozwiązaniami\n19\nWymagania ogólne\nI.\nWykorzystanie i tworzenie informacji.\n1.\nInterpretowanie i operowanie informacjami przedstawionymi w tekście […].\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n3.\nDobieranie argumentów do uzasadnienia poprawności rozwiązywania problemów,\ntworzenie ciągu argumentów, gwarantujących poprawność rozwiązania […].\nWymagania szczegółowe\nII. Wyrażenia algebraiczne. Zdający:\n7)\nmnoży i dzieli wyrażenia wymierne.\nV. Funkcje. Zdający:\n13)\nposługuje się funkcją 𝑓(𝑥) = 𝑎\n𝑥 […].\nZasady oceniania\n3 pkt - prawidłowe określenie wszystkich czterech możliwych przypadków, dla których\n2\n𝑥-13 ∈ℤ i prawidłowe wyznaczenie czterech punktów kratowych.\n2 pkt - prawidłowe określenie dwóch z czterech możliwych przypadków, dla których\n2\n𝑥-13 ∈ ℤ i prawidłowe wyznaczenie dwóch punktów kratowych.\n1 pkt - przekształcenie postaci ogólnej funkcji homograficznej do postaci kanonicznej.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nFunkcję 𝑓 przedstawiamy w postaci:\n𝑓(𝑥) = -3𝑥+ 41\n𝑥-13\n= (-3(𝑥-13) + 2\n𝑥-13\n= -3 +\n2\n𝑥-13 .\nWyznaczamy punkty kratowe.\nWartość funkcji będzie liczbą całkowitą tylko wtedy, gdy 2\n𝑥-13 ∈ℤ.\nSzukamy całkowitych wartości 𝑥 (rożnych od 13) takich, dla których (𝑥-13) jest\ndzielnikiem 2. To prowadzi do następujących czterech przypadków:\n 𝑥-13 = -2, co daje 𝑥= 11 i 𝑓(𝑥) = -3 -1 = -4 ∈ℤ\n 𝑥-13 = -1, co daje 𝑥= 12 i 𝑓(𝑥) = -3 -2 = -5 ∈ℤ\n 𝑥-13 = 1, co daje 𝑥= 14 i 𝑓(𝑥) = -3 + 2 = -1 ∈ℤ\n 𝑥-13 = 2, co daje 𝑥= 15 i 𝑓(𝑥) = -3 + 1 = -2 ∈ℤ.\nDo wykresu funkcji 𝑓 należą cztery punkty kratowe o współrzędnych: (11, -4), (12, -5),\n(14, -1), (15, -2).\n20\nInformator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie rozszerzonym od roku szkolnego 2022/2023","answer":null,"answer_text":null,"solution":null,"image":"img/informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-rozszerzony/zad-4.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":18,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2023","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny"},{"id":"informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-rozszerzony/zad/5","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-rozszerzony","number":"5","points":3,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2023,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 5. (0-3)\nWielomian 𝑊 jest określony wzorem 𝑊(𝑥) = (𝑥-1)(𝑥2 -𝑚𝑥+ 𝑚-1) dla każdego 𝑥∈ℝ.\nWyznacz wszystkie wartości parametru 𝒎, dla których wielomian 𝑾 ma dokładnie\njeden pierwiastek rzeczywisty.\nWymaganie ogólne\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n1.\nPrzeprowadzanie rozumowań, także kilkuetapowych, podawanie argumentów\nuzasadniających poprawność rozumowania […].\nWymaganie szczegółowe\nIII. Równania i nierówności. Zdający:\n5R) […] analizuje równania i nierówności kwadratowe z parametrami, w szczególności\nwyznacza liczbę rozwiązań w zależności od parametrów, podaje warunki, przy\nktórych rozwiązania mają żądaną własność, i wyznacza rozwiązania w zależności\nod parametrów.\nZasady oceniania\n3 pkt - zapisanie zbioru tych wszystkich wartości parametru 𝑚, dla których wielomian 𝑊 ma\ndokładnie jeden pierwiastek rzeczywisty.\n2 pkt - wyznaczenie tych wszystkich wartości parametru 𝑚, dla których funkcja\n𝑓(𝑥) = 𝑥2 -𝑚𝑥+ 𝑚-1 nie ma miejsc zerowych\nLUB\nwyznaczenie tych wszystkich wartości parametru 𝑚, dla których funkcja\n𝑓(𝑥) = 𝑥2 -𝑚𝑥+ 𝑚-1 ma dokładnie jedno miejsce zerowe równe 1.\nPrzykładowe zadania z rozwiązaniami\n21\n1 pkt - zapisanie, że liczba 1 jest pierwiastkiem wielomianu 𝑊 i zapisanie warunków, jakie\nmuszą być spełnione, aby wielomian 𝑊 miał dokładnie jedno miejsce zerowe.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nZauważmy, że liczba 1 jest pierwiastkiem wielomianu 𝑊. Zatem wielomian 𝑊 ma dokładnie\njeden\npierwiastek\nrzeczywisty\ntylko\nwtedy,\ngdy\nfunkcja\n𝑓(𝑥) = 𝑥2 -𝑚𝑥+ 𝑚-1 ma dokładnie jedno miejsce zerowe równe 1 lub gdy funkcja 𝑓\nnie ma miejsc zerowych.\nZatem\nΔ < 0 lub (Δ = 0 i 𝑥0 = 1)\n𝑚2 -4𝑚+ 4 < 0 lub (m2 -4m + 4 = 0 i -𝑏\n2𝑎= 1)\n(𝑚-2)2 < 0 lub ((𝑚-2)2 = 0 i 𝑚\n2 = 1)\nNierówność (𝑚-2)2 < 0 jest sprzeczna, natomiast z warunków\n(𝑚-2)2 = 0 i 𝑚\n2 = 1\notrzymujemy 𝑚= 2.\nOdp. 𝑚= 2.","answer":null,"answer_text":null,"solution":null,"image":"img/informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-rozszerzony/zad-5.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":20,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2023","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny"},{"id":"informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-rozszerzony/zad/6","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-rozszerzony","number":"6","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2023,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 6. (0-4)\nFunkcja kwadratowa 𝑓 jest określona wzorem 𝑓(𝑥) = 𝑝𝑥2 + (𝑝-1)𝑥+ 1 -2𝑝 dla\nkażdego 𝑥∈ℝ.\nWyznacz wszystkie wartości parametru 𝒑, dla których funkcja 𝒇 ma dokładnie dwa\nmiejsca zerowe różniące się o 𝟏.\n22\nInformator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie rozszerzonym od roku szkolnego 2022/2023\nWymaganie ogólne\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n1.\nPrzeprowadzanie rozumowań, także kilkuetapowych, podawanie argumentów\nuzasadniających poprawność rozumowania […].\nWymagania szczegółowe\nIII. Równania i nierówności. Zdający:\n3R) stosuje wzory Viète’a dla równań kwadratowych;\n5R) […] analizuje równania i nierówności kwadratowe z parametrami, w szczególności\nwyznacza liczbę rozwiązań w zależności od parametrów, podaje warunki, przy\nktórych rozwiązania mają żądaną własność, i wyznacza rozwiązania w zależności\nod parametrów.\nZasady oceniania\n4 pkt - zapisanie zbioru tych wszystkich wartości parametru 𝑝, dla których funkcja ma\ndokładnie dwa miejsca zerowe różniące się o 1 .\n3 pkt - zapisanie nierówności Δ > 0 w zależności od parametru 𝑝 i jej rozwiązanie oraz\nzapisanie warunku |𝑥1 -𝑥2| = 1 w zależności od parametru 𝑝 i jego rozwiązanie.\n2 pkt - zapisanie nierówności Δ > 0 w zależności od parametru 𝑝 i jej rozwiązanie\nLUB\nzapisanie warunku |𝑥1 -𝑥2| = 1 w zależności od parametru 𝑝 i jego rozwiązanie.\n1 pkt - wyznaczenie warunków koniecznych i dostatecznych na to, aby funkcja 𝑓 miała\ndokładnie dwa miejsca zerowe różniące się o 1.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nWyznaczamy warunki konieczne i dostateczne na to, aby funkcja 𝑓 miała dokładnie dwa\nmiejsca zerowe różniące się o jeden:\nW1. 𝑝≠0\n(z treści zadania 𝑓 jest funkcją kwadratową)\nW2. Δ > 0\n(aby funkcja 𝑓 miała dokładnie dwa miejsca zerowe)\nW3. |𝑥1 -𝑥2| = 1 (aby miejsca zerowe funkcji 𝑓 różniły się o 1).\nPrzykładowe zadania z rozwiązaniami\n23\nRozwiązujemy warunek W2:\nΔ > 0\n(𝑝-1)2 -4𝑝(1 -2𝑝) > 0\n9𝑝2 -6𝑝+ 1 > 0\n(3𝑝-1)2 > 0\n𝑝∈(-∞, 1\n3) ∪(1\n3 , +∞)\nRozwiązujemy warunek W3. Skorzystamy tutaj ze wzorów Viète’a.\n|𝑥1 -𝑥2| = 1\n(𝑥1 -𝑥2)2 = 1\n(𝑥1 + 𝑥2)2 -4𝑥1 ⋅𝑥2 = 1\nGdy 𝑝≠0 mamy\n(-𝑝-1\n𝑝\n)\n2\n-4 ⋅1 -2𝑝\n𝑝\n= 1\n(𝑝-1)2 -4𝑝(1 -2𝑝) = 𝑝2\n8𝑝2 -6𝑝+ 1 = 0\n𝑝= 1\n2 lub 𝑝= 1\n4\nPo uwzględnieniu wszystkich warunków otrzymujemy: 𝑝= 1\n2 lub 𝑝= 1\n4 .\n24\nInformator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie rozszerzonym od roku szkolnego 2022/2023\nFUNKCJE, CIĄGI, TRYGONOMETRIA,\nOPTYMALIZACJA I RACHUNEK RÓŻNICZKOWY","answer":null,"answer_text":null,"solution":null,"image":"img/informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-rozszerzony/zad-6.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":21,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2023","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny"},{"id":"informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-rozszerzony/zad/7","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-rozszerzony","number":"7","points":3,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2023,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 7. (0-3)\nFunkcja 𝑓 jest określona wzorem 𝑓(𝑥) =\n3𝑥\n𝑥+1 dla każdego 𝑥∈(-1; +∞).\nWykaż, że 𝑓 jest funkcją rosnąca.\nWymaganie ogólne\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n1.\nPrzeprowadzanie rozumowań, także kilkuetapowych, podawanie argumentów\nuzasadniających poprawność rozumowania, odróżnianie dowodu od przykładu.\nWymagania szczegółowe\nV. Funkcje. Zdający:\n3R) dowodzi monotoniczności funkcji zadanej wzorem.\nXIII. Optymalizacja i rachunek różniczkowy. Zdający:\n5R) stosuje pochodną do badania monotoniczności funkcji.\nPrzykładowe zadania z rozwiązaniami\n25\nZasady oceniania\ndla rozwiązań sposobami 1., 2. oraz 3.\n3 pkt - przeprowadzenie pełnego dowodu.\n2 pkt - poprawne określenie znaku\nróżnicy 𝑓(𝑥2) -𝑓(𝑥1) =\n3(𝑥2 -𝑥1)\n(𝑥2 + 1)(𝑥1 + 1) > 0\nLUB\npochodnej 𝑓′(𝑥) =\n3\n(𝑥+ 1)2 > 0\nLUB\nprzekształcenie nierówności 𝑥2 > 𝑥1 do postaci 3 -\n1\n𝑥1+1 < 3 -\n1\n𝑥2+1.\n1 pkt - przyjęcie założeń 𝑥1, 𝑥2 ∈(-1; +∞) i 𝑥2 > 𝑥1 oraz obliczenie różnicy\n𝑓(𝑥2) -𝑓(𝑥1) =\n3(𝑥2 -𝑥1)\n(𝑥2 + 1)(𝑥1 + 1)\nLUB\nprzyjęcie założenia 𝑥∈(-1;+∞) oraz obliczenie pochodnej\n𝑓′(𝑥) =\n3\n(𝑥+ 1)2\nLUB\nprzyjęcie założeń 𝑥1, 𝑥2 ∈(-1; +∞) i 𝑥2 > 𝑥1 oraz przekształcenie nierówności\n𝑥2 > 𝑥1 do postaci\n1\n𝑥2+1 <\n1\n𝑥1+1.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\ndla rozwiązań sposobami 4. oraz 5.\n3 pkt - przeprowadzenie pełnego dowodu.\n2 pkt - zapisanie, że wykres funkcji 𝑓 można otrzymać z przesunięcia wykresu funkcji 𝑔(𝑥) =\n-3\n𝑥 o wektor [-1, 3]\nLUB\nuzasadnienie, że wraz ze wzrostem liczby 𝑥> -1 wartość ułamka\n3\n𝑥+1\nzmniejsza się.\n1 pkt - zapisanie funkcji 𝑓 w postaci 𝑓(𝑥) = 3 -\n3\n𝑥+1 .\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób 1. (z wykorzystaniem definicji).\nNiech 𝑥1, 𝑥2 ∈(-1, +∞) oraz 𝑥2 > 𝑥1. Wtedy\n𝑓(𝑥2) -𝑓(𝑥1) =\n3𝑥2\n𝑥2 + 1 -\n3𝑥1\n𝑥1 + 1 = 3𝑥2(𝑥1 + 1) -3𝑥1(𝑥2 + 1)\n(𝑥2 + 1)(𝑥1 + 1)\n3(𝑥2 -𝑥1)\n(𝑥2 + 1)(𝑥1 + 1)\nDla 𝑥2 > 𝑥1 różnica 𝑥2 -𝑥1 jest dodatnia, ponadto dla 𝑥1, 𝑥2 ∈(-1, +∞) każda z sum\n26\nInformator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie rozszerzonym od roku szkolnego 2022/2023\n(𝑥2 + 1) oraz (𝑥1 + 1) jest dodatnia, więc iloraz\n3(𝑥2 -𝑥1)\n(𝑥2 + 1)(𝑥1 + 1) również jest dodatni.\nOznacza to, że 𝑓(𝑥2) > 𝑓(𝑥1) dla 𝑥1, 𝑥2 ∈(-1, +∞) oraz 𝑥2 > 𝑥1, zatem funkcja 𝑓 jest\nrosnąca w przedziale (-1, +∞).\nTo kończy dowód.\nSposób 2. (z wykorzystaniem rachunku różniczkowego).\nNiech 𝑥∈(-1, +∞). Obliczamy pochodną 𝑓′ funkcji 𝑓:\n𝑓′(𝑥) = (3𝑥)′ ⋅(𝑥+ 1) -(3𝑥) ⋅(𝑥+ 1)′\n(𝑥+ 1)2\n= 3(𝑥+ 1) -3𝑥⋅1\n(𝑥+ 1)2\n3\n(𝑥+ 1)2\ndla każdego 𝑥∈(-1, +∞).\nFunkcja 𝑓 jest różniczkowalna w przedziale (-1, +∞), a jej pochodna jest w każdym punkcie\ntego przedziału dodatnia. Zatem funkcja 𝑓 jest w tym przedziale rosnąca.\nTo kończy dowód.\nSposób 3. (oparty na definicji funkcji rosnącej).\nNiech 𝑥1, 𝑥2 ∈(-1, +∞) będą dwoma dowolnymi argumentami funkcji 𝑓. Załóżmy, że\n𝑥1 < 𝑥2. Wtedy\n0 < 𝑥1 + 1 < 𝑥2 + 1\nDzieląc obie strony tej nierówności przez liczbę dodatnią (𝑥1 + 1)(𝑥2 + 1), otrzymujemy\nnierówność równoważną\n1\n𝑥2 + 1 <\n1\n𝑥1 + 1\ni dalej\n3\n𝑥2 + 1 <\n3\n𝑥1 + 1\n3\n𝑥1 + 1 < -\n3\n𝑥2 + 1\n3 -\n3\n𝑥1 + 1 < 3 -\n3\n𝑥2 + 1\n3𝑥1 + 3\n𝑥1 + 1 -\n3\n𝑥1 + 1 < 3𝑥2 + 3\n𝑥2 + 1 -\n3\n𝑥2 + 1\n3𝑥1\n𝑥1 + 1 <\n3𝑥2\n𝑥2 + 1\n𝑓(𝑥1) < 𝑓(𝑥2)\nTo oznacza, że funkcja 𝑓 jest rosnąca.\nPrzykładowe zadania z rozwiązaniami\n27\nSposób 4. (z wykorzystaniem własności funkcji postaci 𝑦= 𝑎\n𝑥 ).\nWzór funkcji 𝑓 przedstawiamy w postaci:\n𝑓(𝑥) =\n3𝑥\n𝑥+ 1 = (3𝑥+ 3) -3\n𝑥+ 1\n= 3 -\n3\n𝑥+ 1 .\nWykres funkcji 𝑓 można uzyskać przez przesunięcie wykresu funkcji 𝑔(𝑥) = -3\n𝑥 (określonej\ndla 𝑥> 0) o wektor [-1, 3]. Z wykresu/własności funkcji 𝑔 wynika, że funkcja 𝑔 jest\nrosnąca dla 𝑥> 0, więc funkcja 𝑓 jest rosnąca dla 𝑥> -1.\nTo kończy dowód.\nSposób 5. (oparty na umiejętności porównywania ułamków).\nWzór funkcji 𝑓 przedstawiamy w postaci:\n𝑓(𝑥) =\n3𝑥\n𝑥+ 1 = (3𝑥+ 3) -3\n𝑥+ 1\n= 3 -\n3\n𝑥+ 1 .\nDla każdej liczby rzeczywistej 𝑥> -1 ułamek 3\n𝑥+1 jest dodatni, a ponieważ licznik jest stały\ni dodatni, to ułamek jest tym mniejszy, im jego mianownik jest większy. Zatem ze wzrostem\nliczby 𝑥> -1 liczba 3 -\n3\n𝑥+1 jest coraz większa. Tym samym funkcja 𝑓 jest rosnąca.","answer":null,"answer_text":null,"solution":null,"image":"img/informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-rozszerzony/zad-7.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":24,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2023","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny"},{"id":"informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-rozszerzony/zad/8","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-rozszerzony","number":"8","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2023,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 8. (0-2)\nOblicz granicę 𝐥𝐢𝐦\n𝒏→∞√𝟔𝒏+ 𝟕𝒏\n𝒏\n28\nInformator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie rozszerzonym od roku szkolnego 2022/2023\nWymaganie ogólne\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji.\n1.\nStosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nWymaganie szczegółowe\nVI. Ciągi. Zdający:\n1R) oblicza granice ciągów, korzystając z granic ciągów typu\n1\n𝑛, √𝑎\n𝑛\noraz twierdzeń\no granicach sumy, różnicy, iloczynu i ilorazu ciągów zbieżnych, a także twierdzenia\no trzech ciągach.\nZasady oceniania\n2 pkt - prawidłowa metoda obliczenia granicy (zastosowanie twierdzenia o trzech ciągach)\ni prawidłowy wynik.\n1 pkt - zauważenie, że 7𝑛≤6𝑛+ 7𝑛≤2 ⋅7𝑛 i obliczenie granic ciągów 𝑎𝑛= √7𝑛\n𝑛\noraz\n𝑐𝑛= √2 ⋅7𝑛\n𝑛\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nSkorzystamy z twierdzenia o trzech ciągach.\nRozważmy ciągi 𝑎𝑛= √7𝑛\n𝑛\noraz 𝑐𝑛= √2 ⋅7𝑛\n𝑛\nokreślone dla każdego 𝑛∈ℕ.\nZauważmy, że 7𝑛≤6𝑛+ 7𝑛≤2 ⋅7𝑛 dla każdego 𝑛∈ℕ, więc\n√7𝑛\n𝑛\n≤√6𝑛+ 7𝑛\n𝑛\n≤ √2 ⋅7𝑛\n𝑛\nPonadto lim\n𝑛→∞√7𝑛\n𝑛\n= 7 oraz lim\n𝑛→∞√2 ⋅7𝑛\n𝑛\n= lim\n𝑛→∞√2\n𝑛\n⋅lim\n𝑛→∞√7𝑛\n𝑛\n= 1 ⋅7 = 7, więc na podstawie\ntwierdzenia o trzech ciągach lim\n𝑛→∞√6𝑛+ 7𝑛\n𝑛\n= 7.\nPrzykładowe zadania z rozwiązaniami\n29","answer":null,"answer_text":null,"solution":null,"image":"img/informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-rozszerzony/zad-8.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":27,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2023","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny"},{"id":"informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-rozszerzony/zad/9","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-rozszerzony","number":"9","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2023,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 9. (0-4)\nSyzyf codziennie stoi przed zadaniem wtoczenia\nciężkiej kamiennej kuli na szczyt pewnej góry.\nW chwili 𝑡= 0 znajduje się on w punkcie 𝒪\noddalonym od szczytu o 4 km, a położenie 𝑥\nSyzyfa wtaczającego kulę jest opisane równaniem\n𝑥(𝑡) = -𝑡3 + 16,5𝑡2 + 180𝑡 dla 𝑡∈[0, 24]\ngdzie 𝑥 jest wyrażone w metrach, a 𝑡 -\nw godzinach.\nOś 𝒪𝑥 jest skierowana do wierzchołka góry i jest styczna w każdym punkcie do zbocza góry.\nOblicz najmniejszą odległość, na jaką Syzyf zbliży się do wierzchołka góry, oraz\nmaksymalną prędkość, z jaką wtacza kamień pod górę.\nWymaganie ogólne\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji.\n1.\nStosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nWymagania szczegółowe\nXIII. Optymalizacja i rachunek różniczkowy. Zdający:\n3R) […] podaje interpretację geometryczną i fizyczną pochodnej;\n4R) oblicza pochodną funkcji potęgowej o wykładniku rzeczywistym […];\n5R) stosuje pochodną do badania monotoniczności funkcji;\n6R) rozwiązuje zadania optymalizacyjne z zastosowaniem pochodnej.\n30\nInformator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie rozszerzonym od roku szkolnego 2022/2023\nZasady oceniania\n4 pkt - poprawna metoda wyznaczenia najmniejszej odległości, na jaką Syzyf zbliży się do\nwierzchołka góry, i poprawna metoda wyznaczenia największej wartości prędkości,\nz jaką wtaczany jest kamień, wraz z prawidłowymi wynikami liczbowymi.\n3 pkt - zapisanie, że prędkość jest pochodną funkcji położenia i znalezienie ekstremów\nfunkcji 𝑥′.\n2 pkt - zbadanie monotoniczności funkcji 𝑥 i znalezienie ekstremów funkcji 𝑥.\n1 pkt - obliczenie pochodnej funkcji 𝑥.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nNajpierw wyznaczymy najmniejszą odległość, na jaką Syzyf zbliży się do wierzchołka góry.\nObliczamy pochodną funkcji 𝑥:\n𝑥′(𝑡) = -3𝑡2 + 33𝑡+ 180 dla\n𝑡∈[0, 24]\ni obliczamy jej miejsca zerowe:\n𝑥′(𝑡) = 0\n-3𝑡2 + 33𝑡+ 180 = 0\n𝑡2 -11𝑡-60 = 0\nΔ = 361\n𝑡1 = 15 𝑡2 < 0\nPonieważ:\n𝑥′(𝑡) > 0 dla 𝑡∈[0,15)\n𝑥′(𝑡) < 0 dla 𝑡∈(15, 24]\nwięc\nfunkcja 𝑥 jest rosnąca w przedziale [0, 15]\nfunkcja 𝑥 jest malejąca w przedziale [15, 24]\nZatem 𝑥𝑚𝑎𝑥= 𝑥(15) = 3037,5 i Syzyf zbliży się do wierzchołka góry na odległość 962,5 m.\nObliczamy maksymalną wartość prędkości, z jaką Syzyf wtacza kulę.\nNiech v oznacza prędkość Syzyfa wtaczającego kulę.\nPonieważ v = 𝑥′ , więc\nv(𝑡) = 𝑥′(𝑡) = -3𝑡2 + 33𝑡+ 180 dla\n𝑡∈[0, 24]\nKorzystamy z własności funkcji kwadratowej i obliczamy największą wartość prędkości, z jaką\nSyzyf wtacza kulę:\n𝑝= -𝑏\n2𝑎= -\n33\n2 ⋅(-3) = 11\n2 ∈[0, 24]\nPrzykładowe zadania z rozwiązaniami\n31\n𝑣(11\n2 ) > 0\nZatem największa wartość prędkości, z jaką Syzyf wtacza kulę pod górę jest równa\nv(5,5) = 270,75 m/h.","answer":null,"answer_text":null,"solution":null,"image":"img/informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-rozszerzony/zad-9.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":29,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2023","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny"},{"id":"informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-rozszerzony/zad/10","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-rozszerzony","number":"10","points":6,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2023,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 10. (0-6)\nCztery miasta 𝐴, 𝐵, 𝐶 i 𝐷 znajdują się w wierzchołkach kwadratu o boku 300 km. Pewna\nfirma dostała zlecenie na zaprojektowanie sieci dróg, która będzie łączyć każde dwa z tych\nmiast. Sieć ma posiadać dwa węzły, a łączna długość dróg w sieci ma być możliwie\nnajmniejsza. (Przykład sieci dróg z dwoma węzłami, łączącej każde dwa z miast,\nprzedstawiono na poniższym rysunku).\nOblicz, jaka musi być długość najkrótszej takiej sieci dróg i gdzie muszą być\nzlokalizowane węzły tej sieci.\n𝐴\n𝐶\n𝐷\n𝐵\nwęzły\n300 km\n300 km\n32\nInformator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie rozszerzonym od roku szkolnego 2022/2023\nWymaganie ogólne\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n4.\nStosowanie i tworzenie strategii przy rozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach\nnietypowych.\nWymagania szczegółowe\nXIII. Optymalizacja i rachunek różniczkowy. Zdający:\n4R) oblicza pochodną funkcji potęgowej o wykładniku rzeczywistym […];\n5R) stosuje pochodną do badania monotoniczności funkcji;\n6R) rozwiązuje zadania optymalizacyjne z zastosowaniem pochodnej.\nZasady oceniania\n6 pkt - obliczenie długości najkrótszej sieci z dwoma węzłami i podanie lokalizacji węzłów\nwzględem miast.\n5 pkt - obliczenie długości najkrótszej sieci z dwoma węzłami.\n4 pkt - obliczenie wartości najmniejszej funkcji 𝑓.\n3 pkt - obliczenie pochodnej funkcji 𝑓.\n2 pkt - wyrażenie długości sieci za pomocą odległości węzłów od prostych odpowiednio 𝐴𝐷\ni 𝐵𝐶.\n1 pkt - uzasadnienie, że węzły muszą się znajdować na symetralnej odcinka 𝐴𝐷.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe zadania z rozwiązaniami\n33\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nRozpatrzmy sieć dróg złożoną z odcinków 𝐴𝐾, 𝐾𝐿, 𝐿𝐶, 𝐵𝐿 i 𝐷𝐾 (zobacz rysunek 1.)\nProwadzimy prostą 𝑝 równoległą do 𝐴𝐷 i przechodzącą przez 𝐾 i zaznaczamy na niej\npunkt 𝐾’ taki, że |𝐴𝐾′| = |𝐷𝐾′|.\nProwadzimy prostą równoległą do 𝐵𝐶 i przechodzącą przez 𝐿 i zaznaczamy na niej punkt 𝐿’\ntaki, że |𝐵𝐿′| = |𝐶𝐿′| (patrz rysunek 2.).\nPokażemy, że sieć dróg z węzłami 𝐾 i 𝐿 można zastąpić siecią krótszą - z węzłami 𝐾’ i 𝐿’.\nNiech 𝐷’ będzie punktem symetrycznym do punktu 𝐷 względem prostej 𝑝. Wówczas punkty\n𝐷’, 𝐾’ oraz 𝐴 są współliniowe, więc\n|𝐷𝐾| + |𝐾𝐴| = |𝐷′𝐾| + |𝐾𝐴| ≥|𝐷′𝐴| = |𝐷𝐾′| + |𝐾′𝐴|.\nPodobnie pokazujemy, że |𝐵𝐿| + |𝐿𝐶| ≥|𝐵𝐿′| + |𝐿′𝐶|. Ponadto odcinek 𝐾′𝐿′ jest\nrównoległy do prostej 𝐴𝐵, więc |𝐾′𝐿′| ≤|𝐾𝐿|. Zatem sieć dróg z węzłami 𝐾′ i 𝐿′ jest krótsza\nniż z węzłami 𝐾 i 𝐿.\nOznaczmy odległość punktu 𝐾′ od prostej 𝐴𝐷 przez 𝑥, natomiast punktu 𝐿′ od prostej 𝐵𝐶\nprzez 𝑦. Długość 𝑑 sieci z węzłami 𝐾′ i 𝐿′ jest równa\n𝐴\n𝐵\n𝐶\n𝐷\n𝐾\n𝐿\nRysunek 1.\n𝐴\n𝐶\n𝐷\n𝐵\n𝐾\n𝐿\nRysunek 2.\n𝐾′\n𝐿′\n𝑝\n34\nInformator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie rozszerzonym od roku szkolnego 2022/2023\n𝑑= 2√1502 + 𝑥2 + 2√1502 + 𝑦2 + 300 -𝑥-𝑦\ngdzie 𝑥∈[0,300] i 0 ≤𝑥+ 𝑦< 300.\nZbadamy funkcję 𝑓(𝑥) = 2√1502 + 𝑥2 -𝑥 określoną dla 𝑥∈[0,300].\n𝑓′(𝑥) = 2 ⋅1\n2 ⋅\n1\n√1502 + 𝑥2 ⋅2𝑥-1 =\n2𝑥\n√1502 + 𝑥2 -1\n𝑓′(𝑥) = 0\n2𝑥\n√(1502 + 𝑥2)\n= 1\n4𝑥2 = 𝑥2 + 1502\n𝑥= 50√3\n𝑓′(𝑥) > 0 ⟺ 𝑥∈(50√3, 300]\n𝑓′(𝑥) < 0 ⟺ 𝑥∈[0,50√3)\nFunkcja 𝑓 jest malejąca w przedziale [0, 50√3] i rosnąca w przedziale [50√3, 300].\nNajmniejszą wartość funkcja przyjmuje w punkcie 𝑥= 50√3 i wartość ta jest równa\n𝑓(50√3) = 150√3.\nZatem\n𝑑= 𝑓(𝑥) + 𝑓(𝑦) + 300 ≥300(1 + √3)\nprzy czym równość zachodzi tylko wtedy, gdy 𝑥= 𝑦= 50√3. Najkrótsza sieć dróg ma zatem\ndługość 300(1 + √3) km i składa się z 5 odcinków: 𝐴𝐾′, 𝐾′𝐿′, 𝐿′𝐶, 𝐵𝐿′ i 𝐷𝐾′.\nWęzeł 𝐾′ jest równo oddalony (w odległości 100√3 km) od miast 𝐴 i 𝐷, natomiast węzeł 𝐿′\njest równo oddalony (w odległości 100√3 km) od miast 𝐵 i 𝐶 (patrz rysunek 2.).\nZauważmy jeszcze, że w przypadku sieci dróg z jednym węzłem, najkrótsza taka sieć będzie\nmiała długość równą 600√2 km (i węzeł w środku kwadratu 𝐴𝐵𝐶𝐷). Będzie więc dłuższa\nniż sieć z dwoma węzłami.\nPrzykładowe zadania z rozwiązaniami\n35","answer":null,"answer_text":null,"solution":null,"image":"img/informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-rozszerzony/zad-10.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":31,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2023","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny"},{"id":"informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-rozszerzony/zad/11","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-rozszerzony","number":"11","points":3,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2023,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 11. (0-3)\nFunkcja 𝑓 jest określona wzorem 𝑓(𝑥) = 2𝑥-3\n𝑥+ 2 + 4 log1\n2\n𝑥 dla wszystkich 𝑥> 0.\nWykaż, że funkcja 𝒇 ma co najmniej jedno miejsce zerowe, które należy do\nprzedziału [𝟏\n𝟐, 𝟒].\nWymaganie ogólne\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n1.\nprzeprowadzanie rozumowań, także kilkuetapowych, podawanie argumentów\nuzasadniających poprawność rozumowania, odróżnianie dowodu od przykładu.\nWymaganie szczegółowe\nXIII. Optymalizacja i rachunek różniczkowy. Zdający:\n2R) stosuje własność Darboux do uzasadniania istnienia miejsca zerowego funkcji\ni znajdowania przybliżonej wartości miejsca zerowego.\nZasady oceniania\n3 pkt - przeprowadzenie pełnego dowodu.\n2 pkt - zauważenie, że 𝑓(1\n2) > 0 i 𝑓(4) < 0 oraz uzasadnienie, że funkcja 𝑓 jest ciągła.\n1 pkt - obliczenie wartości funkcji 𝑓 np. na krańcach przedziału [1\n2 , 4].\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\n36\nInformator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie rozszerzonym od roku szkolnego 2022/2023\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nObliczymy wartości funkcji na krańcach przedziału [1\n2 , 4].\n𝑓(1\n2) =\n2 ⋅1\n2 -3\n1\n2 + 2\n+ 4 log1\n2\n1\n2 = -4\n5 + 4 = 3 1\n5\n𝑓(4) = 2 ⋅4 -3\n4 + 2\n+ 4 log1\n2\n4 = 5\n6 -8 = -7 1\n6\nZauważmy, że 𝑓(1\n2) > 0 i 𝑓(4) < 0.\nFunkcja 𝑓 jest funkcją ciągłą, jako suma funkcji ciągłych. Ma zatem własność Darboux.\nDlatego w przedziale [1\n2 , 4] przyjmuje wszystkie wartości z zakresu [-7\n1\n6 , 3\n1\n5].\nW szczególności przyjmuje wartość 0 dla pewnego 𝑥0 ∈[1\n2 , 4].\nTo kończy dowód.","answer":null,"answer_text":null,"solution":null,"image":"img/informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-rozszerzony/zad-11.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":35,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2023","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny"},{"id":"informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-rozszerzony/zad/12","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-rozszerzony","number":"12","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2023,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 12. (0-4)\nFunkcja 𝑓 jest określona wzorem 𝑓(𝑥) = 𝑥4 + 0,5 ⋅(2𝑥+ 1)4 dla każdego 𝑥∈ℝ.\nOblicz najmniejszą wartość tej funkcji.\nPrzykładowe zadania z rozwiązaniami\n37\nWymaganie ogólne\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n4.\nStosowanie i tworzenie strategii przy rozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach\nnietypowych.\nWymagania szczegółowe\nXIII. Optymalizacja i rachunek różniczkowy. Zdający:\n4R) oblicza pochodną funkcji potęgowej o wykładniku rzeczywistym oraz oblicza\npochodną, korzystając z twierdzeń o pochodnej sumy, różnicy, iloczynu, ilorazu\ni funkcji złożonej;\n5R) stosuje pochodną do badania monotoniczności funkcji;\n6R) rozwiązuje zadania optymalizacyjne z zastosowaniem pochodnej.\nZasady oceniania\ndla rozwiązania sposobem 1.\n4 pkt - obliczenie wartości najmniejszej funkcji 𝑓.\n3 pkt - uzasadnienie (np. poprzez badanie monotoniczności funkcji), że funkcja 𝑓 przyjmuje\nwartość najmniejszą dla 𝑥= -1\n3.\n2 pkt - obliczenie miejsc zerowych pochodnej funkcji 𝑓.\n1 pkt - wyznaczenie pochodnej funkcji 𝑓.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\ndla rozwiązania sposobem 2.\n4 pkt - obliczenie wartości najmniejszej funkcji 𝑓.\n3 pkt - zapisanie, że funkcja kwadratowa 𝑦= 6𝑥2 + 4𝑥+ 1 osiąga wartość najmniejszą\nrówną 1\n3 dla 𝑥= -1\n3.\n2 pkt - zapisanie nierówności\n√2\n3 ⋅𝑓(𝑥) ≥6𝑥2 + 4𝑥+ 1\n3\n1 pkt - zapisanie nierówności\n√𝑥4 + 𝑥4 + (2𝑥+ 1)4\n3\n≥𝑥2 + 𝑥2 + (2𝑥+ 1)2\n3\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\n38\nInformator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie rozszerzonym od roku szkolnego 2022/2023\ndla rozwiązania sposobem 3.\n4 pkt - obliczenie wartości najmniejszej funkcji 𝑓.\n3 pkt - przekształcenie wyrażenia 9𝑡4 + 4𝑡3 + 2𝑡2 + 1\n54 do postaci\n9𝑡2 ((𝑡+ 2\n9)\n2\n+ 14\n81) + 1\n54\n2 pkt - zastosowanie wzoru na czwartą potęgę sumy/różnicy dwóch wyrażeń i zapisanie\nfunkcji 𝑓 jako\n𝑓(𝑡-1\n3) = 9𝑡4 + 4𝑡3 + 2𝑡2 + 1\n54\n1 pkt - zastosowanie podstawienia 𝑡= 𝑥-1\n3 i zapisanie funkcji 𝑓 w postaci\n𝑓(𝑡-1\n3) = (𝑡-1\n3)\n4\n+ 1\n2 ⋅(2 (𝑡-1\n3) + 1)\n4\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób 1.\nWyznaczamy pochodną funkcji 𝑓 korzystając z twierdzenia o pochodnej funkcji złożonej:\n𝑓′(𝑥) = 4𝑥3 + 0,5 ⋅4(2𝑥+ 1)3 ⋅2 dla 𝑥∈ℝ .\nObliczamy miejsca zerowe pochodnej funkcji 𝑓:\n4𝑥3 + 0,5 ⋅4(2𝑥+ 1)3 ⋅2 = 0\n𝑥3 + (2𝑥+ 1)3 = 0\n(𝑥+ 2𝑥+ 1)[𝑥2 -𝑥(2𝑥+ 1) + (2𝑥+ 1)2] = 0\n(3𝑥+ 1)(3𝑥2 + 3𝑥+ 1) = 0\n3𝑥+ 1 = 0 lub 3𝑥2 + 3𝑥+ 1 = 0\nPierwsze z tych równań ma rozwiązanie 𝑥= -1\n3 , natomiast drugie jest sprzeczne.\nSprawdzamy, czy w punkcie 𝑥= -1\n3 funkcja 𝑓 osiąga ekstremum. Badamy monotoniczność\nfunkcji 𝑓 stosując rachunek pochodnych:\n𝑓′(𝑥) = 4𝑥3 + 0,5 ⋅4(2𝑥+ 1)3 ⋅2 = 4(3𝑥+ 1)(3𝑥2 + 3𝑥+ 1)\n𝑓′(𝑥) > 0 dla 𝑥∈(-1\n3 ; +∞)\n𝑓′(𝑥) < 0 dla 𝑥∈(-∞; -1\n3)\nwięc\nfunkcja 𝑓 jest malejąca w zbiorze (-∞; -1\n3]\nPrzykładowe zadania z rozwiązaniami\n39\nfunkcja 𝑓 jest rosnąca w zbiorze [-1\n3 ; +∞),\nco oznacza, że w punkcie 𝑥= -1\n3 funkcja 𝑓 ma ekstremum lokalne, będące jednocześnie\nminimum globalnym. Funkcja 𝑓 osiąga wartość najmniejszą równą\n𝑓(-1\n3) = (-1\n3)\n4\n+ 0,5 ⋅(-1\n3)\n4\n= 1\n54\nSposób 2.\nKorzystamy z nierówności między średnimi liczbowymi.\nDla każdych liczb nieujemnych 𝑎, 𝑏, 𝑐 średnia kwadratowa z tych liczb jest niemniejsza od\nśredniej arytmetycznej tych liczb:\n√𝑎2 + 𝑏2 + 𝑐2\n3\n≥𝑎+ 𝑏+ 𝑐\n3\nNiech 𝑥 będzie dowolną liczbą rzeczywistą. Korzystając z nierówności między średnią\nkwadratową a arytmetyczną liczb 𝑥2, 𝑥2, (2𝑥+ 1)2 otrzymujemy:\n√𝑥4 + 𝑥4 + (2𝑥+ 1)4\n3\n≥𝑥2 + 𝑥2 + (2𝑥+ 1)2\n3\n√2𝑥4 + (2𝑥+ 1)4\n3\n≥2𝑥2 + (2𝑥+ 1)2\n3\n√2\n3 ⋅𝑥4 + 0,5(2𝑥+ 1)4\n1\n≥6𝑥2 + 4𝑥+ 1\n3\n√2\n3 ⋅𝑓(𝑥) ≥6𝑥2 + 4𝑥+ 1\n3\ndla każdego 𝑥∈ℝ.\nFunkcja kwadratowa 𝑦= 6𝑥2 + 4𝑥+ 1 osiąga wartość najmniejszą dla 𝑥= -4\n2⋅6 = -1\n3\nrówną 6 (-1\n3)\n2\n+ 4 ⋅(-1\n3) + 1 = 1\n3 , więc\n√2\n3 ⋅𝑓(𝑥) ≥6𝑥2 + 4𝑥+ 1\n3\n≥1\n9\n𝑓(𝑥) ≥1\n54\ndla każdego 𝑥∈ℝ.\n40\nInformator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie rozszerzonym od roku szkolnego 2022/2023\nPonieważ\n𝑓(-1\n3) = (-1\n3)\n4\n+ 0,5 ⋅(-1\n3)\n4\n= 1\n54\nwięc najmniejsza wartość funkcji 𝑓 jest równa 1\n54.\nSposób 3.\nNiech 𝑡= 𝑥+\n1\n3 dla 𝑥∈ℝ. Wtedy\n𝑓(𝑡-1\n3) = (𝑡-1\n3)\n4\n+ 1\n2 ⋅(2 (𝑡-1\n3) + 1)\n4\n= (𝑡-1\n3)\n4\n+ 1\n2 ⋅(2𝑡+ 1\n3)\n4\ndla 𝑡∈ℝ\nWykorzystamy dwukrotnie wzór na czwartą potęgę sumy dwóch składników\n(𝑎+ 𝑏)4 = 𝑎4 + 4𝑎3𝑏+ 6𝑎2𝑏2 + 4𝑎𝑏3 + 𝑏4\nWówczas\n𝑓(𝑡-1\n3) = 𝑡4 -4𝑡3 ⋅1\n3 + 6𝑡2 ⋅1\n9 -4𝑡⋅1\n27 + 1\n81 +\n+ 1\n2 (16𝑡4 + 4 ⋅8𝑡3 ⋅1\n3 + 6 ⋅4𝑡2 ⋅1\n9 + 4 ⋅2𝑡⋅1\n27 + 1\n81) =\n= 9𝑡4 + 4𝑡3 + 2𝑡2 + 1\n54 = 9𝑡2 (𝑡2 + 4\n9 𝑡+ 2\n9) + 1\n54 =\n= 9𝑡2 ((𝑡+ 2\n9)\n2\n+ 14\n81) + 1\n54\nPonieważ dla każdego 𝑡∈ℝ prawdziwe są nierówności:\n(𝑡+ 2\n9)\n2\n+ 14\n81 > 0 i 9𝑡2 ≥0\nwięc 𝑓(𝑡-1\n3) ≥1\n54 , przy czym 𝑓(𝑡-1\n3) = 1\n54 wtedy i tylko wtedy, gdy 𝑡= 0 (czyli dla\n𝑥= -1\n3).\nZatem najmniejsza wartość funkcji 𝑓 jest równa 1\n54.\nPrzykładowe zadania z rozwiązaniami\n41","answer":null,"answer_text":null,"solution":null,"image":"img/informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-rozszerzony/zad-12.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":36,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2023","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny"},{"id":"informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-rozszerzony/zad/13","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-rozszerzony","number":"13","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2023,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 13. (0-4)\nW nieskończonym malejącym ciągu geometrycznym (𝑎𝑛), określonym dla 𝑛≥1, jest\nspełniony warunek\n𝑎5 + 𝑎3\n𝑎3\n= 29\n25 .\nSuma wszystkich wyrazów tego ciągu o numerach parzystych jest równa 6.\nWyznacz wzór na 𝒏-ty wyraz ciągu (𝒂𝒏).\nWymaganie ogólne\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji.\n1.\nStosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nWymaganie szczegółowe\nVI. Ciągi. Zdający:\n2R) rozpoznaje zbieżne szeregi geometryczne i oblicza ich sumę.\nZasady oceniania\n4 pkt - obliczenie ilorazu, pierwszego wyrazu ciągu oraz zapisanie wzoru ogólnego ciągu.\n3 pkt - obliczenie ilorazu lub pierwszego wyrazu ciągu.\n2 pkt - zapisanie dwóch równań z niewiadomymi 𝑞 i 𝑎1, które pozwalają na obliczenie ilorazu\nciągu oraz pierwszego wyrazu ciągu.\n1 pkt - zapisanie równania z niewiadomymi 𝑞 i/lub 𝑎1, które wynika z treści zadania.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\n42\nInformator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie rozszerzonym od roku szkolnego 2022/2023\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nZ warunku\n𝑎5 + 𝑎3\n𝑎3\n= 29\n25\noraz z informacji o monotoniczności ciągu otrzymamy iloraz 𝑞 ciągu (𝑎𝑛):\n𝑎3 ⋅𝑞2 + 𝑎3\n𝑎3\n= 29\n25\n𝑞2 + 1 = 29\n25\n𝑞= 2\n5 lub 𝑞= -2\n5\nCiąg jest ściśle monotoniczny, więc 𝑞= 2\n5.\nPonieważ dla 𝑞= 2\n5 ciąg ten jest zbieżny, więc sumę\n𝑎2 + 𝑎4 + 𝑎6 + … = 6\nmożemy zapisać następująco:\n𝑎1 ⋅𝑞\n1 -𝑞2 = 6\ni otrzymujemy\n𝑎1 ⋅2\n5\n1 -(2\n5)\n2 = 6\n𝑎1 = 63\n5\nWzór ogólny ciągu ma postać: 𝑎𝑛= 63\n5 ⋅(2\n5)\n𝑛-1","answer":null,"answer_text":null,"solution":null,"image":"img/informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-rozszerzony/zad-13.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":41,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2023","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny"},{"id":"informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-rozszerzony/zad/14","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-rozszerzony","number":"14","points":3,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2023,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 14. (0-3)\nFunkcja 𝑓 jest określona wzorem 𝑓(𝑥) = 𝑥6 -2𝑥4 -𝑥3 + 1 dla każdego 𝑥∈ℝ.\nWykaż, że liczba 𝟓 należy do zbioru wartości tej funkcji.\nPrzykładowe zadania z rozwiązaniami\n43\nWymaganie ogólne\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n1.\nPrzeprowadzanie rozumowań, także kilkuetapowych, podawanie argumentów\nuzasadniających poprawność rozumowania, odróżnianie dowodu od przykładu.\nWymaganie szczegółowe\nXIII. Optymalizacja i rachunek różniczkowy. Zdający:\n2R) stosuje własność Darboux do uzasadniania istnienia miejsca zerowego\ni znajdowania przybliżonej wartości miejsca zerowego.\nZasady oceniania\n3 pkt - przeprowadzenie pełnego dowodu.\n2 pkt - uzasadnienie, że funkcja 𝑓 jest funkcją ciągłą, wskazanie argumentu, dla którego\nwartość funkcji jest mniejsza od 5 wraz z obliczeniem wartości funkcji dla tego\nargumentu i wskazanie argumentu, dla którego wartość funkcji jest większa od 5 wraz\nz obliczeniem wartości funkcji dla tego argumentu.\n1 pkt - uzasadnienie, że funkcja 𝑓 jest funkcją ciągłą, wskazanie argumentu, dla którego\nwartość funkcji jest mniejsza od 5 i obliczenie wartości funkcji dla tego argumentu\nLUB\nuzasadnienie, że funkcja 𝑓 jest funkcją ciągłą, wskazanie argumentu, dla którego\nwartość funkcji jest większa od 5 i obliczenie wartości funkcji dla tego argumentu\nLUB\nwskazanie argumentu, dla którego wartość funkcji jest mniejsza od 5 wraz\nz obliczeniem wartości funkcji dla tego argumentu i wskazanie argumentu, dla którego\nwartość funkcji jest większa od 5 wraz z obliczeniem wartości funkcji dla tego\nargumentu.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\n44\nInformator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie rozszerzonym od roku szkolnego 2022/2023\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nFunkcja 𝑓 jest funkcją ciągłą w zbiorze liczb rzeczywistych, ponieważ jest funkcją\nwielomianową.\nPonieważ 𝑓(0) = 1 oraz 𝑓(2) = 64 -32 -8 + 1 = 25 i funkcja jest ciągła na\nprzedziale (0, 2), więc, na mocy twierdzenia Darboux, przyjmuje w przedziale (0, 2) wszystkie\nwartości pośrednie pomiędzy 𝑓(0) a 𝑓(2). Wobec tego istnieje taki argument 𝑥∈(0, 2), dla\nktórego zachodzi 𝑓(𝑥) = 5. To oznacza, że liczba 5 należy do zbioru wartości funkcji.","answer":null,"answer_text":null,"solution":null,"image":"img/informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-rozszerzony/zad-14.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":42,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2023","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny"},{"id":"informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-rozszerzony/zad/15","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-rozszerzony","number":"15","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2023,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 15. (0-4)\nRozwiąż nierówność\n(𝟐-𝐜𝐨𝐬𝒙)𝟐≤𝟒𝐬𝐢𝐧𝟐𝒙\n𝟐-𝟒𝐜𝐨𝐬𝟐𝒙\n𝟐+ 𝟒, 𝟕𝟓\nw zbiorze (𝟎, 𝝅).\nPrzykładowe zadania z rozwiązaniami\n45\nWymagania ogólne\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji.\n1.\nStosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n2.\nDostrzeganie regularności, podobieństw oraz analogii, formułowanie wniosków na\nich podstawie i uzasadnianie ich poprawności.\nWymaganie szczegółowe\nVII. Trygonometria. Zdający:\n6R) rozwiązuje równania i nierówności trygonometryczne […].\nZasady oceniania\n4 pkt - poprawne rozwiązanie podanej w poleceniu nierówności w zbiorze (0, 𝜋).\n3 pkt - poprawne rozwiązanie jednej z nierówności cos 𝑥≤\n√3\n2 lub cos 𝑥≥-\n√3\n2 .\n2 pkt - zapisanie nierówności cos2 𝑥≤3\n4 w postaci koniunkcji dwóch nierówności.\n1 pkt - przekształcenie nierówności do postaci, w której występuje jedna funkcja\ntrygonometryczna zmiennej 𝑥.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nPrzekształcamy nierówność podaną w treści zadania do prostszej postaci. Skorzystamy ze\nwzoru na cosinus podwojonego kąta:\n(2 -cos 𝑥)2 ≤4 sin2 𝑥\n2 -4 cos2 𝑥\n2 + 4 3\n4\ncos2 𝑥-4 cos 𝑥+ 4 ≤-4 (cos2 𝑥\n2 -sin2 𝑥\n2) + 4 3\n4\ncos2 𝑥-4 cos 𝑥+ 4 ≤-4 cos (2 ⋅𝑥\n2) + 4 3\n4\ncos2 𝑥≤3\n4\n|cos 𝑥| ≤√3\n2\ncos 𝑥≤√3\n2 i cos 𝑥 ≥-√3\n2\nKorzystamy z wykresu funkcji cosinus i odczytujemy rozwiązania ostatnich dwóch nierówności\nw przedziale (0, 𝜋):\n𝑥∈[ 𝜋\n6 , 𝜋) i 𝑥∈(0, 5\n6 𝜋]\nOtrzymujemy rozwiązanie: 𝑥∈[ π\n6 , 5\n6π ].\n46\nInformator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie rozszerzonym od roku szkolnego 2022/2023","answer":null,"answer_text":null,"solution":null,"image":"img/informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-rozszerzony/zad-15.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":44,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2023","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny"},{"id":"informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-rozszerzony/zad/16","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-rozszerzony","number":"16","points":3,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2023,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 16. (0-3)\nWykaż, że równanie 𝒙𝟒-𝟕𝒙𝟑+ 𝟗𝒙𝟐+ 𝟖𝒙-𝟐= 𝟎 ma w przedziale (-𝟐, 𝟐) co najmniej\ndwa różne rozwiązania.\nWymagania ogólne\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n1.\nPrzeprowadzanie rozumowań […];\n4.\nStosowanie i tworzenie strategii przy rozwiazywaniu zadań, również w sytuacjach\nnietypowych.\nWymaganie szczegółowe\nXIII. Optymalizacja i rachunek różniczkowy. Zdający:\n2R) stosuje własność Darboux do uzasadniania istnienia miejsca zerowego funkcji […].\nZasady oceniania\n3 pkt - przeprowadzenie pełnego dowodu.\n2 pkt - podanie dla funkcji 𝑓(𝑥) = 𝑥4 -7𝑥3 + 9𝑥2 + 8𝑥-2 takich trzech argumentów\n𝑥1 < 𝑥2 < 𝑥3 leżących w przedziale (-2, 2), dla których 𝑓(𝑥1) > 0, 𝑓(𝑥2) < 0\ni 𝑓(𝑥3) > 0.\n1 pkt - podanie dla funkcji 𝑓(𝑥) = 𝑥4 -7𝑥3 + 9𝑥2 + 8𝑥-2 takich dwóch argumentów\n𝑥1 < 𝑥2 leżących w przedziale (-2, 2), dla których 𝑓(𝑥1) ⋅𝑓(𝑥2) < 0.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nNiech 𝑓 będzie funkcją określoną wzorem 𝑓(𝑥) = 𝑥4 -7𝑥3 + 9𝑥2 + 8𝑥-2 dla 𝑥∈ℝ.\nObliczymy wartości funkcji 𝑓 w kilku punktach przedziału (-2, 2):\n𝑓(-1) = (-1)4 -7 ⋅(-1)3 + 9 ⋅(-1)2 + 8 ⋅(-1) -2 = 7\n𝑓(0) = -2\nPrzykładowe zadania z rozwiązaniami\n47\n𝑓(1) = 14 -7 ⋅13 + 9 ⋅12 + 8 ⋅1 -2 = 9\nFunkcja 𝑓 jest ciągła jako funkcja wielomianowa, więc na mocy twierdzenia Darboux\nfunkcja 𝑓 przyjmuje w przedziale (-1, 0) wszystkie wartości ze zbioru (-2, 7).\nZatem istnieje 𝑥1 ∈(-1,0) takie, że 𝑓(𝑥1) = 0.\nPodobnie, funkcja 𝑓 przyjmuje w przedziale (0, 1) wszystkie wartości ze zbioru (-2, 9),\nwięc istnieje 𝑥2 ∈(0, 1) takie, że 𝑓(𝑥2) = 0.\nTo oznacza, że w przedziale (-2, 2) równanie podane w treści zadania ma co najmniej dwa\nróżne rozwiązania.","answer":null,"answer_text":null,"solution":null,"image":"img/informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-rozszerzony/zad-16.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":46,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2023","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny"},{"id":"informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-rozszerzony/zad/17","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-rozszerzony","number":"17","points":3,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2023,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 17. (0-3)\nCiąg (𝑎𝑛) jest określony wzorem\n𝑎𝑛= (𝑛+ 5)2 ⋅(\n𝑝+ 1\n(𝑛+ 1)(𝑛+ 2) +\n2𝑝+ 2\n(𝑛+ 2)(𝑛+ 3)) dla 𝑛≥1.\nWyznacz wszystkie wartości parametru 𝒑, dla których granica ciągu jest równa 𝟏𝟐.\n48\nInformator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie rozszerzonym od roku szkolnego 2022/2023\nWymaganie ogólne\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji.\n1.\nStosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nWymaganie szczegółowe\nVI. Ciągi. Zdający:\n1R) oblicza granice ciągów, korzystając z […] twierdzeń o granicach sumy, różnicy,\niloczynu i ilorazu ciągów zbieżnych […].\nZasady oceniania\n3 pkt - poprawna metoda obliczenia granicy ciągu (𝑎𝑛) i prawidłowo wyznaczona\nwartość 𝑝.\n2 pkt - wyznaczenie granicy ciągu (𝑎𝑛) w zależności od 𝑝.\n1 pkt - obliczenie jednej z granic:\nlim\n𝑛→+∞\n(𝑛+5)\n2\n(𝑛+1)(𝑛+2) lub lim\n𝑛→+∞\n(𝑛+5)\n2\n(𝑛+2)(𝑛+3).\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nPrzekształcamy wzór ciągu (𝑎𝑛) do postaci\n𝑎𝑛= (𝑝+ 1) ⋅\n(𝑛+ 5)2\n(𝑛+ 1)(𝑛+ 2) + (2𝑝+ 2) ⋅\n(𝑛+ 5)2\n(𝑛+ 2)(𝑛+ 3)\nObliczamy następujące granice:\nlim\n𝑛→+∞\n(𝑛+ 5)2\n(𝑛+ 1)(𝑛+ 2) = lim\n𝑛→+∞\n𝑛2 ⋅(1 + 5\n𝑛)\n2\n𝑛2 ⋅(1 + 1\n𝑛) (1 + 2\n𝑛)\n= lim\n𝑛→+∞\n(1 + 5\n𝑛)\n2\n(1 + 1\n𝑛) (1 + 2\n𝑛)\n= 1\nlim\n𝑛→+∞\n(𝑛+ 5)2\n(𝑛+ 2)(𝑛+ 3) = lim\n𝑛→+∞\n𝑛2 ⋅(1 + 5\n𝑛)\n2\n𝑛2 ⋅(1 + 2\n𝑛) (1 + 3\n𝑛)\n= lim\n𝑛→+∞\n(1 + 5\n𝑛)\n2\n(1 + 2\n𝑛) (1 + 3\n𝑛)\n= 1\nZatem\nlim\n𝑛→+∞𝑎𝑛= lim\n𝑛→+∞[(𝑝+ 1) ⋅\n(𝑛+ 5)2\n(𝑛+ 1)(𝑛+ 2) + (2𝑝+ 2) ⋅\n(𝑛+ 5)2\n(𝑛+ 2)(𝑛+ 3)] =\n= (𝑝+ 1) ⋅lim\n𝑛→+∞\n(𝑛+ 5)2\n(𝑛+ 1)(𝑛+ 2) + (2𝑝+ 2) ⋅lim\n𝑛→+∞\n(𝑛+ 5)2\n(𝑛+ 2)(𝑛+ 3) =\n= (𝑝+ 1) ⋅1 + (2𝑝+ 2) ⋅1 = 3𝑝+ 3\nZ warunków zadania otrzymujemy 12 = 3𝑝+ 3, więc 𝑝= 3.\nPrzykładowe zadania z rozwiązaniami\n49","answer":null,"answer_text":null,"solution":null,"image":"img/informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-rozszerzony/zad-17.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":47,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2023","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny"},{"id":"informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-rozszerzony/zad/18","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-rozszerzony","number":"18","points":null,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2023,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 18.\nRozpatrujemy wszystkie takie prostopadłościany, w których suma długości wszystkich\nkrawędzi jest równa 80, pole powierzchni całkowitej jest równe 256 i żadna z krawędzi bryły\nnie jest krótsza niż 4.","answer":null,"answer_text":null,"solution":null,"image":"img/informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-rozszerzony/zad-18.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":49,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2023","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny"},{"id":"informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-rozszerzony/zad/18.1","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-rozszerzony","number":"18.1","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2023,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 18.1. (0-4)\nWykaż, że układ równań\n𝟒𝒂+ 𝟒𝒃+ 𝟒𝒄= 𝟖𝟎\n(1)\n𝟐𝒂𝒃+ 𝟐𝒃𝒄+ 𝟐𝒄𝒂= 𝟐𝟓𝟔\n(2)\nz niewiadomymi 𝒂 oraz 𝒃 ma rozwiązanie, które jest parą liczb rzeczywistych nie\nmniejszych od 𝟒 wtedy i tylko wtedy, gdy 𝒄∈[𝟒, 28\n3 ].\n50\nInformator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie rozszerzonym od roku szkolnego 2022/2023\nWymagania ogólne\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji.\n1.\nStosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych;\n3.\nTworzenie pomocniczych obiektów matematycznych na podstawie istniejących,\nw celu przeprowadzenia argumentacji lub rozwiązania problemu.\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n3.\n[…] tworzenie ciągu argumentów, gwarantujących poprawność rozwiązania […].\nWymaganie szczegółowe\nIIII. Równania i nierówności. Zdający:\n5R) analizuje […] równania i nierówności kwadratowe z parametrami […], podaje\nwarunki, przy których rozwiązania mają żądaną własność […].\nPrzykładowe zadania z rozwiązaniami\n51\nZasady oceniania\n4 pkt - powołanie się na odpowiednie własności funkcji 𝑓 prowadzące do wniosku, że układ\n(1)-(2) ma rozwiązanie w zbiorze liczb rzeczywistych nie mniejszych od 4.\n3 pkt - przyjęcie założenia 𝑐∈[4, 28\n3 ] i zbudowanie funkcji\n𝑓(𝑎) = 𝑎2 + (𝑐-20)𝑎+ (𝑐2 -20𝑐+ 128) dla podanego zakresu parametru 𝑐.\n2 pkt - obliczenie wyróżnika równania i podanie argumentacji prowadzącej do wniosku\n𝑐∈[4, 28\n3 ].\n1 pkt - przyjęcie założenia, że układ (1)-(2) ma rozwiązanie i zapisanie prawidłowego\nrównania kwadratowego z niewiadomą 𝑎 (lub 𝑏) i parametrem 𝑐.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nZałóżmy, że układ równań (1)-(2) ma rozwiązanie w zbiorze liczb rzeczywistych nie\nmniejszych od 4. Wtedy\n{𝑎+ 𝑏+ 𝑐= 20\n𝑎𝑏+ 𝑏𝑐+ 𝑐𝑎= 128\n(3)\nPrzekształcamy układ równań do postaci, w której otrzymamy równanie kwadratowe\nz niewiadomą 𝑎 i parametrem 𝑐:\n{𝑏= 20 -𝑎-𝑐\n𝑎(20 -𝑎-𝑐) + (20 -𝑎-𝑐)𝑐+ 𝑐𝑎= 128\n{𝑏= 20 -𝑎-𝑐\n-𝑎2 + (-𝑐+ 20)𝑎+ (-𝑐2 + 20𝑐-128) = 0\n{𝑏= 20 -𝑎-𝑐\n𝑎2 + (𝑐-20)𝑎+ (𝑐2 -20𝑐+ 128) = 0\nRównanie 𝑎2 + (𝑐-20)𝑎+ (𝑐2 -20𝑐+ 128) = 0 ma z założenia rozwiązanie, więc\nwyróżnik Δ𝑎 jest nieujemny, co prowadzi do:\nΔ𝑎≥0\n(𝑐-20)2 -4(𝑐2 -20𝑐+ 128) ≥0\n-3𝑐2 + 40𝑐-112 ≥0\n-3(𝑐-4) (𝑐-28\n3 ) ≥0\n𝑐∈[4, 28\n3 ]\n52\nInformator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie rozszerzonym od roku szkolnego 2022/2023\nJeśli 𝑐∈[4, 28\n3 ], to funkcja 𝑓(𝑎) = 𝑎2 + (𝑐-20)𝑎+ (𝑐2 -20𝑐+ 128) ma co najmniej\njedno miejsce zerowe (gdyż Δ𝑎≥0).\nWykresem funkcji 𝑓 jest parabola, której wierzchołek 𝑊= (𝑝, 𝑞) ma rzędną niedodatnią\n𝑞= -Δ\n4.\nOdcięta 𝑝= -𝑐-20\n2\n∈[16\n3 , 8], a ponadto 𝑓(4) = 𝑐2 -16𝑐+ 64 = (𝑐-8)2 ≥0.\nZatem 𝑓 ma miejsce zerowe w zbiorze [4, +∞).\nPodobnie argumentujemy, że funkcja 𝑔(𝑏) = 𝑏2 + (𝑐-20)𝑏+ (𝑐2 -20𝑐+ 128) ma\nmiejsce zerowe w przedziale [4, +∞).\nZatem układ (1)-(2) ma rozwiązanie w zbiorze liczb rzeczywistych nie mniejszych od 4.","answer":null,"answer_text":null,"solution":null,"image":"img/informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-rozszerzony/zad-18.1.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":49,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2023","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny"},{"id":"informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-rozszerzony/zad/18.2","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-rozszerzony","number":"18.2","points":3,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2023,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 18.2. (0-3)\nObjętość każdego z rozpatrywanych prostopadłościanów można wyrazić za pomocą funkcji\n𝑉(𝑐) = 𝑐3 -20𝑐2 + 128𝑐\ngdzie 𝑐∈[4, 28\n3 ] jest długością jednej z krawędzi bryły.\nSpośród rozpatrywanych prostopadłościanów oblicz objętość tego prostopadłościanu,\nktórego objętość jest najmniejsza.\nPrzykładowe zadania z rozwiązaniami\n53\nWymaganie ogólne\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji.\n1.\nStosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nWymaganie szczegółowe\nXIII. Optymalizacja i rachunek różniczkowy. Zdający:\n6R) rozwiązuje zadania optymalizacyjne z zastosowaniem pochodnej.\nZasady oceniania\n3 pkt - obliczenie\nnajmniejszej\nmożliwej\nobjętości\nprostopadłościanu\no\npodanych\nwłasnościach.\n2 pkt - obliczenie argumentu, dla którego funkcja 𝑉 osiąga minimum globalne.\n1 pkt - obliczenie pochodnej funkcji 𝑉.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nW celu znalezienia prostopadłościanu, którego objętość jest najmniejsza, należy zbadać\nfunkcję 𝑉(𝑐).\nObliczamy pochodną funkcji 𝑉 i obliczamy miejsca zerowe pochodnej funkcji 𝑉:\n𝑉′(𝑐) = 3𝑐2 -40𝑐+ 128\n𝑉′(𝑐) = 0\n3𝑐2 -40𝑐+ 128 = 0\n54\nInformator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie rozszerzonym od roku szkolnego 2022/2023\nΔ = 64\n𝑐= 8 lub 𝑐= 16\n3\nZbadamy monotoniczność funkcji 𝑉. Ponieważ\n𝑉′(𝑐) > 0 dla 𝑐∈[4, 16\n3 ) ∪(8, 28\n3 ]\n𝑉′(𝑐) < 0 dla 𝑐∈(16\n3 , 8)\nwięc\nfunkcja 𝑉 jest rosnąca w przedziałach [4, 16\n3 ] oraz [8, 28\n3 ]\nfunkcja 𝑉 jest malejąca w przedziale [16\n3 , 8].\nPonieważ 𝑉(4) = 256, 𝑉(8) = 256 oraz 𝑉(28\n3 ) ≈265, więc najmniejsza możliwa\nobjętość prostopadłościanu jest równa 256.","answer":null,"answer_text":null,"solution":null,"image":"img/informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-rozszerzony/zad-18.2.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":52,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2023","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny"},{"id":"informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-rozszerzony/zad/19","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-rozszerzony","number":"19","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2023,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 19. (0-4)\nNa rysunku obok przedstawiono położenie miejscowości\n𝐴, 𝐵 i 𝐶 oraz zaznaczono odległości między nimi.\nO godzinie 9:00 z miejscowości 𝐴 do 𝐶 wyruszył zastęp\nharcerzy\n„Tropiciele”\ni\nprzemieszczał\nsię\nz prędkością 4 km/h. O tej samej godzinie z miejscowości\n𝐵 do 𝐴 wyruszył zastęp harcerzy „Korsarze”\ni przemieszczał się z prędkością 2 km/h.\nWyznacz godzinę, o której odległość między tymi zastępami harcerzy będzie\nnajmniejsza.\n𝐴\n𝐵\n𝐶\n15 km\n20 km\nPrzykładowe zadania z rozwiązaniami\n55\nWymagania ogólne\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji.\n2.\nDobieranie i tworzenie modeli matematycznych przy rozwiązywaniu problemów\npraktycznych i teoretycznych.\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n4)\nStosowanie i tworzenie strategii przy rozwiązywaniu zadań […].\nWymagania szczegółowe\nXIII. Optymalizacja i rachunek różniczkowy. Zdający:\n4)\noblicza pochodną funkcji potęgowej o wykładniku rzeczywistym oraz oblicza\npochodną, korzystając z twierdzeń o pochodnej sumy, różnicy, iloczynu, ilorazu\ni funkcji złożonej;\n6R) rozwiązuje zadania optymalizacyjne z zastosowaniem pochodnej.\nZasady oceniania\ndla rozwiązania sposobem 1.\n4 pkt - prawidłowa metoda wyznaczenia chwili, w której odległość między zastępami będzie\nnajmniejsza i prawidłowa odpowiedź.\n3 pkt - uzasadnienie, że odległość 𝑑 jest najmniejsza wtedy, gdy wyrażenie\npodpierwiastkowe 20𝑡2 -60𝑡+ 225 jest możliwie najmniejsze oraz podanie zakresu\nzmienności 𝑡.\n2 pkt - wyrażenie odległości 𝑑 między zastępami za pomocą czasu 𝑡, jaki upłynął od\nmomentu wyruszenia zastępów.\n56\nInformator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie rozszerzonym od roku szkolnego 2022/2023\n1 pkt - wyrażenie odległości poszczególnych zastępów od miejscowości 𝐴 za pomocą czasu,\njaki upłynął od momentu wyruszenia zastępów.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\ndla rozwiązania sposobem 2.\n4 pkt - uzasadnienie (np. poprzez zbadanie monotoniczności), że dla 𝑡= 1,5 funkcja 𝑑(𝑡)\nosiąga minimum globalne i podanie prawidłowej odpowiedzi.\n3 pkt - podanie dziedziny funkcji 𝑑(𝑡), obliczenie pochodnej funkcji 𝑑(𝑡) i znalezienie\npunktów krytycznych.\n2 pkt - wyrażenie odległości 𝑑 między zastępami za pomocą czasu 𝑡, jaki upłynął od\nmomentu wyruszenia zastępów.\n1 pkt - wyrażenie odległości poszczególnych zastępów od miejscowości 𝐴 za pomocą czasu,\njaki upłynął od momentu wyruszenia zastępów.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób 1.\nNiech 𝑑1 będzie odległością (w km) zastępu „Tropiciele” od miejscowości 𝐴.\nWyznaczamy zależność 𝑑1 od czasu 𝑡 (w godzinach), jaki upłynął od chwili wyruszenia\nzastępu z miejscowości 𝐴:\n𝑑1(𝑡) = 4𝑡\ndla 𝑡∈[0, 5].\nNiech 𝑑2 będzie odległością (w km) zastępu „Korsarze” od miejscowości 𝐴.\nWyznaczamy zależność 𝑑2 od czasu 𝑡 (w godzinach), jaki upłynął od chwili wyruszenia\nzastępu z miejscowości B:\n𝑑2(𝑡) = 15 -2𝑡\ndla 𝑡∈[0, 15\n2 ].\nOdległość 𝑑 między zastępami w chwili 𝑡 jest równa\n𝑑(𝑡) = √𝑑1\n2(𝑡) + 𝑑2\n2(𝑡) = √16𝑡2 + (15 -2𝑡)2 dla 𝑡∈[0, 15\n2 ].\nBadamy, dla jakiego argumentu 𝑡∈[0, 15\n2 ] funkcja 𝑑 osiąga wartość najmniejszą.\nPonieważ funkcja 𝑔(𝑥) = √𝑥 jest funkcją rosnącą w przedziale [0, +∞), więc funkcja 𝑑\nosiąga wartość najmniejszą wtedy, gdy funkcja\n𝑓(𝑡) = 16𝑡2 + (15 -2𝑡)2 = 20𝑡2 -60𝑡+ 225 określona dla 𝑡∈[0, 15\n2 ]\nosiąga wartość najmniejszą.\nFunkcja 𝑓 jest funkcją kwadratową, która osiąga wartość najmniejszą dla\n𝑡= 60\n2⋅20 = 1,5 ∈[0, 15\n2 ].\nPrzykładowe zadania z rozwiązaniami\n57\nZatem funkcja 𝑑 osiąga wartość najmniejszą dla argumentu 𝑡= 1,5.\nOdległość między zastępami harcerzy będzie najmniejsza o godzinie 10:30.\nSposób 2.\nNiech 𝑑1 będzie odległością (w km) zastępu „Tropiciele” od miejscowości 𝐴.\nWyznaczamy zależność 𝑑1 od czasu 𝑡 (w godzinach), jaki upłynął od chwili wyruszenia\nzastępu z miejscowości 𝐴:\n𝑑1(𝑡) = 4𝑡\ndla 𝑡∈[0, 5].\nNiech 𝑑2 będzie odległością (w km) zastępu „Korsarze” od miejscowości 𝐴.\nWyznaczamy zależność 𝑑2 od czasu 𝑡 (w godzinach), jaki upłynął od chwili wyruszenia\nzastępu z miejscowości 𝐵:\n𝑑2(𝑡) = 15 -2𝑡\ndla 𝑡∈[0, 15\n2 ].\nOdległość 𝑑 między zastępami w chwili 𝑡 wynosi\n𝑑(𝑡) = √𝑑1\n2(𝑡) + 𝑑2\n2(𝑡) = √16𝑡2 + (15 -2𝑡)2 dla 𝑡∈[0, 15\n2 ].\nBadamy, dla jakiego argumentu 𝑡∈[0, 15\n2 ] funkcja 𝑑 osiąga wartość najmniejszą.\nObliczamy pochodną funkcji 𝑑:\n𝑑′(𝑡) = (√16𝑡2 + (15 -2𝑡)2)\n′\n⋅[16𝑡2 + (15 -2𝑡)2]′ =\n1\n2√16𝑡2 + (15 -2𝑡)2 ⋅[32𝑡+ 2 ⋅(15 -2𝑡) ⋅(-2)] =\n20𝑡-30\n√16𝑡2 + (15 -2𝑡)2\ndla 𝑡∈[0, 15\n2 ].\nWyznaczamy miejsca zerowe pochodnej funkcji 𝑑:\n20𝑡-30\n√16𝑡2 + (15 -2𝑡)2 = 0\n𝑡= 3\n2 ∈[0, 15\n2 ]\nSprawdzamy, czy w punkcie 𝑡= 3\n2 funkcja 𝑑 osiąga ekstremum.\nBadamy monotoniczność funkcji 𝑑. Ponieważ\n𝑑′(𝑡) > 0 dla 𝑡∈(3\n2 , 15\n2 ]\n58\nInformator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie rozszerzonym od roku szkolnego 2022/2023\n𝑑′(𝑡) < 0 dla 𝑡∈[0, 3\n2)\nwięc\nfunkcja 𝑑 jest rosnąca w przedziale [3\n2 , 15\n2 ]\nfunkcja 𝑑 jest malejąca w przedziale [0, 3\n2],\nco oznacza, że w punkcie 𝑡= 1,5 funkcja 𝑑 osiąga wartość najmniejszą.\nOdległość między zastępami harcerzy będzie najmniejsza o godzinie 10:30.","answer":null,"answer_text":null,"solution":null,"image":"img/informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-rozszerzony/zad-19.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":54,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2023","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny"},{"id":"informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-rozszerzony/zad/20","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-rozszerzony","number":"20","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2023,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 20. (0-4)\nFirma X wytwarza pewien produkt D. Badania\nrynku pokazały, że związek między ilością 𝑄\nproduktu D, jaką firma jest w stanie zbyć na\nrynku, a ceną 𝑃 produktu jest następujący:\n𝑃(𝑄) = 90 -0,1𝑄 dla 𝑄∈[0, 900]\ngdzie 𝑃 jest ceną za jednostkę produktu\nw złotych, a 𝑄 - ilością produktu w tys. sztuk.\nKoszty 𝐾 wytworzenia produktu D zależą od ilości 𝑄 wytwarzanego produktu następująco:\n𝐾(𝑄) = 0,002𝑄3 + 𝑄2 + 29,9985𝑄+ 50\ngdzie 𝐾 jest kosztem produkcji w tys. zł.\nOblicz, przy jakiej wielkości produkcji firma X osiąga największy dochód. Wynik podaj\nzaokrąglony z dokładnością do 100 sztuk.\nPrzykładowe zadania z rozwiązaniami\n59\nWymagania ogólne\nII. Wykorzystanie i tworzenie informacji.\n1.\nInterpretowanie i operowanie informacjami przedstawionymi w tekście […].\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji.\n2.\nDobieranie i tworzenie modeli matematycznych przy rozwiązywaniu problemów\npraktycznych i teoretycznych.\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n4.\nStosowanie i tworzenie strategii przy rozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach\nnietypowych.\nWymagania szczegółowe\nXIII. Optymalizacja i rachunek różniczkowy. Zdający:\n4R) oblicza pochodną funkcji potęgowej o wykładniku rzeczywistym oraz oblicza\npochodną, korzystając z twierdzeń o pochodnej sumy, różnicy, iloczynu, ilorazu\ni funkcji złożonej;\n5R) stosuje pochodną do badania monotoniczności funkcji;\n6R) rozwiązuje zadania optymalizacyjne z zastosowaniem pochodnej.\nZasady oceniania\n4 pkt - prawidłowa metoda wyznaczenia wielkości produkcji gwarantującej maksymalny\ndochód i prawidłowy wynik zaokrąglony z podaną dokładnością.\n3 pkt - znalezienie ekstremów lokalnych funkcji dochodu 𝑍(𝑄).\n2 pkt - zapisanie dochodu w zależności od 𝑄.\n1 pkt - zapisanie przychodu w zależności od 𝑄.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\n60\nInformator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie rozszerzonym od roku szkolnego 2022/2023\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nDochód 𝑍 firmy to przychód 𝑅 pomniejszony o koszty 𝐾.\nPonieważ przychód wyraża się zależnością 𝑅= 𝑄⋅𝑃, więc\n𝑅(𝑄) = 90𝑄-0,1𝑄2\nWyznaczamy zależność dochodu od wielkości produkcji:\n𝑍(𝑄) = 𝑅(𝑄) -𝐾(𝑄)\n𝑍(𝑄) = -0,002𝑄3 -1,1𝑄2 + 60,0015𝑄-50\nW celu znalezienia optymalnej wielkości produkcji, przy której dochód jest możliwie\nnajwiększy, należy zbadać funkcję 𝑍.\nObliczamy pochodną funkcji 𝑍 i miejsca zerowe pochodnej:\n𝑍′(𝑄) = -0,006𝑄2 -2,2𝑄+ 60,0015\ndla 𝑄∈[0, 900]\n𝑍′(𝑄) = 0\n-0,006𝑄2 -2,2𝑄+ 60,0015 = 0 i 𝑄∈[0, 900]\nΔ = (-2,2)2 -4 ⋅(-0,006) ⋅60,0015 = 6,280036\n𝑄1 = 2,2 -√6,280036\n2 ⋅ (-0,006)\n= 25,5 (𝑄2 < 0)\nPonieważ:\n𝑍′(𝑄) > 0 dla 𝑄∈[0, 𝑄1]\n𝑍′(𝑄) < 0 dla 𝑄∈[𝑄1, 900]\nwięc\nfunkcja 𝑍 jest rosnąca w przedziale [0, 𝑄1]\nfunkcja 𝑍 jest malejąca w przedziale [𝑄1, 900]\nZatem funkcja 𝑍 przyjmuje największą wartość dla argumentu 𝑄1 = 25,5.\nDochód firmy jest największy przy wielkości produkcji 25 500 sztuk.\nPrzykładowe zadania z rozwiązaniami\n61\nPLANIMETRIA, GEOMETRIA ANALITYCZNA, STEREOMETRIA","answer":null,"answer_text":null,"solution":null,"image":"img/informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-rozszerzony/zad-20.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":58,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2023","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny"},{"id":"informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-rozszerzony/zad/21","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-rozszerzony","number":"21","points":5,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2023,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 21. (0-5)\nW ostrosłupie prawidłowym czworokątnym 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸 punkt 𝑂 jest środkiem symetrii podstawy\nostrosłupa. Stosunek obwodu podstawy 𝐴𝐵𝐶𝐷 do sumy długości wszystkich krawędzi\nostrosłupa jest równy 1: 5. Przez przekątną 𝐴𝐶 podstawy i środek 𝑆 krawędzi bocznej 𝐵𝐸\npoprowadzono płaszczyznę.\nOblicz stosunek pola otrzymanego przekroju do pola podstawy ostrosłupa oraz miarę\nkąta 𝑩𝑺𝑶 (w zaokrągleniu do 𝟏°).\n62\nInformator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie rozszerzonym od roku szkolnego 2022/2023\nWymagania ogólne\nII. Wykorzystanie i tworzenie informacji.\n1.\nInterpretowanie i operowanie informacjami przedstawionymi w tekście, zarówno\nmatematycznym, jak i popularnonaukowym, a także w formie wykresów, diagramów,\ntabel.\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n4.\nStosowanie i tworzenie strategii przy rozwiazywaniu zadań, również w sytuacjach\nnietypowych.\nWymaganie szczegółowe\nX. Stereometria. Zdający:\n2R) wyznacza przekroje sześcianu i ostrosłupów prawidłowych oraz oblicza ich pola,\ntakże z wykorzystanie trygonometrii.\nZasady oceniania\ndla rozwiązań sposobami 1. oraz 2.\n5 pkt - wyznaczenie miary kąta 𝐵𝑆𝑂 oraz obliczenie stosunku pola przekroju do pola\npodstawy ostrosłupa.\n4 pkt - obliczenie wartości cosinusa kąta 𝐵𝑆𝑂 oraz stosunku pola przekroju do pola podstawy\nostrosłupa\nLUB\nwyznaczenie miary kąta 𝐵𝑆𝑂.\nPrzykładowe zadania z rozwiązaniami\n63\n3 pkt - obliczenie stosunku pola przekroju do pola podstawy ostrosłupa\nLUB\nobliczenie wartości cosinusa kąta 𝐵𝑆𝑂.\n2 pkt - wyznaczenie długości odcinka 𝑂𝑆 w zależności od długości krawędzi podstawy.\n1 pkt - wyznaczenie długości krawędzi bocznej w zależności od długości krawędzi podstawy.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\ndla rozwiązania sposobem 3.\n5 pkt - wyznaczenie miary kąta 𝐵𝑆𝑂 oraz obliczenie stosunku pola przekroju do pola\npodstawy ostrosłupa.\n4 pkt - obliczenie cosinusa kąta 𝑂𝐸𝐵 lub 𝐹𝐵𝑆.\n3 pkt - obliczenie stosunku pola przekroju do pola podstawy ostrosłupa.\n2 pkt - wyznaczenie długości odcinków 𝑆𝐹 i 𝑂𝐹.\n1 pkt - wyznaczenie długości krawędzi bocznej w zależności od długości krawędzi podstawy.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób 1.\nPrzyjmijmy oznaczenia jak na rysunku 1.\nWyznaczamy zależność 𝑏 od 𝑎.\nZ treści zadania mamy\n4𝑎\n4𝑎+4𝑏=\n1\n5 , co daje 𝑏= 4𝑎.\nRysunek 1.\n𝐴\n𝐵\n𝐶\n𝐷\n𝐸\n𝑆\n𝑂\nα\n𝑎\n𝑏\n64\nInformator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie rozszerzonym od roku szkolnego 2022/2023\nWyznaczamy zależność |𝑂𝑆| od 𝑎.\nTrójkąt 𝑂𝐵𝐸 jest prostokątny, punkt 𝑆 jest środkiem\nprzeciwprostokątnej,\nwięc 𝑆 jest\nśrodkiem\nokręgu\nopisanego na trójkącie 𝑂𝐵𝐸 (patrz rysunek 2.).\nZatem |𝑂𝑆| = 2𝑎.\nObliczamy stosunek pola przekroju 𝐴𝐶𝑆 do pola podstawy\nostrosłupa:\n𝑃𝐴𝐶𝑆\n𝑃𝐴𝐵𝐶𝐷\n1\n2 ⋅𝑎√2 ⋅|OS|\n𝑎2\n1\n2 ⋅𝑎√2 ⋅2𝑎\n𝑎2\n= √2\nDo trójkąta 𝐵𝑆𝑂 zastosujemy twierdzenie cosinusów w celu obliczenia cosinusa kąta 𝐵𝑆𝑂:\n(𝑎√2\n2 )\n2\n= (2𝑎)2 + (2𝑎)2 -2 ⋅2𝑎⋅2𝑎⋅cos 𝛼\nZ ostatniego równania otrzymujemy cos 𝛼= 15\n16 , więc 𝛼≈20°.\nSposób 2.\nPrzyjmijmy oznaczenia jak na rysunku 1.\nWyznaczamy zależność 𝑏 od 𝑎.\nZ treści zadania mamy\n4𝑎\n4𝑎+4𝑏=\n1\n5 , co daje 𝑏= 4𝑎.\nDla trójkąta 𝐵𝐸𝐶 zastosujemy twierdzenie cosinusów w celu obliczenia cosinusa kąta 𝐵𝐸𝐶:\n𝑎2 = 𝑏2 + 𝑏2 -2 ⋅𝑏⋅𝑏⋅cos |∡𝐵𝐸𝐶|\n𝑎2 = 16𝑎2 + 16𝑎2 -2 ⋅4𝑎⋅4𝑎⋅cos |∡𝐵𝐸𝐶|\ncos |∡𝐵𝐸𝐶| = 31\n32\nKorzystamy z twierdzenia cosinusów zastosowanego do trójkąta 𝐶𝑆𝐸 i wyznaczamy długość\nodcinka 𝑆𝐶:\n|𝑆𝐶|2 = 𝑏2 + (1\n2 𝑏)\n2\n-2 ⋅1\n2 𝑏⋅𝑏⋅cos |∡𝐵𝐸𝐶|\n𝑂\n𝐵\n𝐸\n𝑆\nα\n2𝑎\n2𝑎\nRysunek 2.\nPrzykładowe zadania z rozwiązaniami\n65\n|𝑆𝐶|2 = 16𝑎2 + 4𝑎2 -16𝑎2 ⋅31\n32\n|𝑆𝐶|2 = 9\n2 𝑎2\n|𝑆𝐶| = 3𝑎\n√2\nStosujemy twierdzenie Pitagorasa do trójkąta 𝑂𝐶𝑆 w celu wyznaczenia długości odcinka 𝑂𝑆:\n|𝑂𝑆|2 = |𝑆𝐶|2 -(√2𝑎\n2 )\n2\n|𝑂𝑆|2 = 9\n2 𝑎2 -1\n2 𝑎2\n|𝑂𝑆| = 2𝑎\nObliczamy stosunek pola przekroju 𝐴𝐶𝑆 do pola podstawy ostrosłupa:\n𝑃𝐴𝐶𝑆\n𝑃𝐴𝐵𝐶𝐷\n1\n2 ⋅𝑎√2 ⋅|𝑂𝑆|\n𝑎2\n1\n2 ⋅𝑎√2 ⋅2𝑎\n𝑎2\n= √2\nW celu obliczenia cosinusa kąta 𝐵𝑆𝑂 zastosujemy do trójkąta 𝐵𝑆𝑂 (patrz rysunek 2.)\ntwierdzenie cosinusów:\n(𝑎√2\n2 )\n2\n= (2𝑎)2 + (2𝑎)2 -2 ⋅2𝑎⋅2𝑎⋅cos 𝛼\nZ ostatniego równania otrzymujemy cos 𝛼= 15\n16 , więc 𝛼≈20°.\nSposób 3.\nWyznaczamy zależność 𝑏 od 𝑎.\nZ treści zadania mamy\n4𝑎\n4𝑎+4𝑏=\n1\n5 , co daje 𝑏= 4𝑎.\nStosujemy twierdzenie Pitagorasa dla trójkąta prostokątnego 𝐵𝑂𝐸 i obliczamy długość\nodcinka 𝑂𝐸:\n|𝑂𝐸|2 = |𝐵𝐸|2 -|𝑂𝐵|2\n|𝑂𝐸|2 = 62\n4 𝑎2\n66\nInformator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie rozszerzonym od roku szkolnego 2022/2023\n|𝑂𝐸| = √62\n2 𝑎\nOznaczmy przez 𝐹 rzut prostokątny punktu 𝑆 na odcinek 𝑂𝐵.\nPonieważ |∡𝑂𝐸𝐵| = |∡𝐹𝑆𝐵|, |∡𝑂𝐵𝐸| = |∡𝐹𝐵𝑆| i trójkąty 𝐵𝑂𝐸 oraz 𝐵𝐹𝑆 są prostokątne,\nwięc są podobne (na mocy cechy kkk podobieństwa trójkątów). Trójkąty 𝐵𝑂𝐸 i 𝐵𝐹𝑆 są\npodobne w skali 𝑘=\n|𝐵𝐸|\n|𝐵𝑆| = 4𝑎\n2𝑎= 2. Zatem 𝐹 jest środkiem odcinka 𝑂𝐵, więc\n|𝑂𝐹| = 1\n2 |𝑂𝐵| = 𝑎√2\n4 oraz |𝑆𝐹| = 1\n2 |𝑂𝐸| = √62\n4 𝑎\nObliczamy długość odcinka 𝑂𝑆:\n|𝑂𝑆|2 = |𝑂𝐹|2 + |𝑆𝐹|2\n|𝑂𝑆|2 = (𝑎√2\n4 )\n2\n+ (√62\n4 𝑎)\n2\n|𝑂𝑆| = 2𝑎\nObliczamy stosunek pola przekroju 𝐴𝐶𝑆 do pola podstawy ostrosłupa:\n𝑃𝐴𝐶𝑆\n𝑃𝐴𝐵𝐶𝐷\n1\n2 ⋅𝑎√2 ⋅|𝑂𝑆|\n𝑎2\n1\n2 ⋅𝑎√2 ⋅2𝑎\n𝑎2\n= √2\nPonieważ\ncos|∡𝐹𝑆𝐵| =\n|𝐹𝑆|\n|𝐵𝑆| =\n√62\n4 𝑎\n2𝑎\n= √62\n8\ni trójkąt 𝑂𝑆𝐵 jest równoramienny, więc 𝛼= 2 ⋅|∡𝐹𝑆𝐵|. Zatem\ncos 𝛼= cos(2 ⋅|∡𝐹𝑆𝐵|) = 2 cos2|∡𝐹𝑆𝐵| -1 = 2 ⋅(√62\n8 )\n2\n-1 = 15\n16\nskąd 𝛼≈20°.\nPrzykładowe zadania z rozwiązaniami\n67","answer":null,"answer_text":null,"solution":null,"image":"img/informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-rozszerzony/zad-21.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":61,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2023","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny"},{"id":"informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-rozszerzony/zad/22","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-rozszerzony","number":"22","points":5,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2023,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 22. (0-5)\nProste o równaniach 2𝑥+ 𝑦-4𝑚-4 = 0 i 𝑥-3𝑦+ 5𝑚+ 5 = 0 przecinają się\nw punkcie 𝑃 o współrzędnych (𝑥𝑃, 𝑦𝑃).\nWyznacz wszystkie wartości parametru 𝒎, dla których współrzędne punktu 𝑷\nspełniają warunki:\n𝒙𝑷> 𝟎, 𝒚𝑷> 𝟎, 𝒚𝑷≥𝒙𝑷\n𝟐 oraz 𝒚𝑷< -𝟐\n𝒙𝑷+ 𝟖.\n68\nInformator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie rozszerzonym od roku szkolnego 2022/2023\nWymaganie ogólne\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n4.\nStosowanie i tworzenie strategii przy rozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach\nnietypowych.\nWymaganie szczegółowe\nIV. Układy równań. Zdający:\n1)\nrozwiązuje układy równań liniowych z dwiema niewiadomymi, podaje ich\ninterpretację geometryczną układów oznaczonych, nieoznaczonych i sprzecznych.\nZasady oceniania\n5 pkt - uwzględnienie wszystkich warunków zadania oraz poprawny wynik.\n4 pkt - rozwiązanie nierówności\n2(𝑚+ 1) ≥(𝑚+ 1)2 oraz 2(𝑚+ 1) < -\n2\n𝑚+ 1 + 8\n3 pkt - rozwiązanie jednej z nierówności\n2(𝑚+ 1) ≥(𝑚+ 1)2 lub 2(𝑚+ 1) < -\n2\n𝑚+ 1 + 8\n2 pkt - wyznaczenie wartości 𝑚, dla których punkt 𝑃 leży w I ćwiartce układu współrzędnych.\n1 pkt - wyznaczenie współrzędnych punktu 𝑃 w zależności od 𝑚.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nPunkt 𝑃 leży na obu prostych, więc\n{2𝑥𝑃+ 𝑦𝑃-4𝑚-4 = 0\n𝑥𝑃-3𝑦𝑃+ 5𝑚+ 5 = 0\nZ powyższego układu równań wyznaczamy współrzędne punktu 𝑃:\n𝑥𝑃= 𝑚+ 1\n𝑦𝑃= 2(𝑚+ 1)\nPonieważ 𝑥𝑃> 0 i 𝑦𝑃> 0, więc\n𝑚+ 1 > 0 i 2(𝑚+ 1) > 0\nco daje 𝑚∈(-1, +∞).\nUwzględniamy warunki zadania 𝑦𝑃≥𝑥𝑃\n2 i 𝑦𝑃< -2\n𝑥𝑃+ 8 :\n2(𝑚+ 1) ≥(𝑚+ 1)2 i 2(𝑚+ 1) < -\n2\n𝑚+ 1 + 8\n-(𝑚+ 1)(𝑚-1) ≥0 i 2(𝑚+ 1)2\n𝑚+ 1\n2\n𝑚+ 1 -8(𝑚+ 1)\n𝑚+ 1\n< 0\n𝑚∈[-1, 1] i 2𝑚2 -4𝑚-4\n𝑚+ 1\n< 0\nPrzykładowe zadania z rozwiązaniami\n69\n𝑚∈[-1, 1] i 2(𝑚2 -2𝑚-2)(𝑚+ 1) < 0\n𝑚∈[-1, 1] i 2(𝑚-(1 -√3))(𝑚-(1 + √3))(𝑚+ 1) < 0\n𝑚∈[-1, 1] i 𝑚∈(-∞, -1) ∪(1 -√3, 1 + √3)\n𝑚∈(1 -√3, 1]\nPonieważ 𝑚∈(-1, +∞) i 𝑚∈(1 -√3, 1], więc ostatecznie 𝑚∈(1 -√3, 1].","answer":null,"answer_text":null,"solution":null,"image":"img/informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-rozszerzony/zad-22.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":67,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2023","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny"},{"id":"informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-rozszerzony/zad/23","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-rozszerzony","number":"23","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2023,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 23. (0-4)\nTrapez 𝐴𝐵𝐶𝐷 jest wpisany w okrąg o równaniu 𝑥2 + 𝑦2 -38𝑥+ 22𝑦-96 = 0.\nWierzchołek 𝐴 trapezu ma obie współrzędne ujemne, a odcinek 𝐴𝐵 jest dłuższą z podstaw\ntego trapezu. Przekątna 𝐴𝐶 trapezu 𝐴𝐵𝐶𝐷 jest zawarta w prostej o równaniu 𝑦= 𝑥.\nOblicz sinus kąta 𝑨𝑩𝑪.\nWymaganie ogólne\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n4.\nStosowanie i tworzenie strategii przy rozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach\nnietypowych.\n70\nInformator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie rozszerzonym od roku szkolnego 2022/2023\nWymagania szczegółowe\nIX. Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej. Zdający:\n1R) stosuje równanie okręgu w postaci ogólnej.\nVII. Trygonometria. Zdający:\n5)\nstosuje twierdzenie sinusów […].\nZasady oceniania\ndla rozwiązania sposobem 1.\n4 pkt - zastosowanie twierdzenia sinusów do trójkąta 𝐴𝐵𝐶 i obliczenie sinusa kąta 𝐴𝐵𝐶.\n3 pkt - obliczenie długości promienia okręgu oraz długości odcinka |𝐴𝐶|.\n2 pkt - obliczenie długości promienia oraz współrzędnych wierzchołków 𝐴 i 𝐶 trapezu\nLUB\nobliczenie współrzędnych wierzchołków 𝐴 i 𝐶 trapezu oraz obliczenie długości\nodcinka 𝐴𝐶.\n1 pkt - obliczenie długości promienia okręgu\nLUB\nobliczenie współrzędnych wierzchołków 𝐴 i 𝐶 trapezu.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\ndla rozwiązania sposobem 2.\n4 pkt - zastosowanie twierdzenia sinusów do trójkąta 𝐴𝐵𝐶 i obliczenie sinusa kąta 𝐴𝐵𝐶.\n3 pkt - obliczenie długości odcinka 𝐴𝐶.\n2 pkt - obliczenie odległości środka okręgu od prostej zawierającej przekątną 𝐴𝐶 trapezu.\n1 pkt - obliczenie długości promienia okręgu.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób 1.\nObliczamy długość promienia 𝑅 okręgu z równania ogólnego okręgu:\n𝑅2 = (38\n2 )\n2\n+ (-22\n2 )\n2\n-(-96) = 578\n𝑅= 17√2\nObliczamy współrzędne wierzchołków 𝐴 i 𝐶 trapezu:\n{𝑥2 + 𝑦2 -38𝑥+ 22𝑦-96 = 0\n𝑦= 𝑥\n2𝑥2 -16𝑥-96 = 0\n𝑥= -4 lub 𝑥= 12\nPonieważ wierzchołek A trapezu ma obie współrzędne ujemne, więc otrzymujemy\n𝐴(-4, -4) oraz 𝐶(12, 12).\nPrzykładowe zadania z rozwiązaniami\n71\nObliczamy długość odcinka 𝐴𝐶:\n|𝐴𝐶| = √(12 + 6)2 + (12 + 6)2 = 16√2\nPo zastosowaniu twierdzenia sinusów do trójkąta 𝐴𝐵𝐶 otrzymujemy\n|𝐴𝐶|\nsin |∡𝐴𝐵𝐶| = 2𝑅\nsin |∡𝐴𝐵𝐶| = |𝐴𝐶|\n2𝑅= 16√2\n34√2\n= 8\n17\nSposób 2.\nObliczamy współrzędne środka 𝑆 okręgu i długość 𝑅 promienia okręgu:\n𝑥2 + 𝑦2 -38𝑥+ 22𝑦-96 = 0\n(𝑥-19)2 -361 + (𝑦+ 11)2 -121 -96 = 0\n(𝑥-19)2 + (𝑦+ 11)2 = (17√2)\n2\nZatem środek 𝑆 okręgu ma współrzędne 𝑆= (19, -11), a długość 𝑅 promienia okręgu\nwynosi 𝑅= 17√2.\nNiech 𝐸 będzie środkiem odcinka 𝐴𝐶. Obliczamy |𝑆𝐸| jako odległość punktu 𝑆 od prostej\n𝐴𝐶 o równaniu 𝑥-𝑦= 0:\n𝑑(𝑆, 𝐴𝐶) = |𝑆𝐸| =\n|19 + 11|\n√2\n= 15√2\nStosujemy twierdzenie Pitagorasa do trójkąta 𝐶𝐸𝑆 w celu obliczenia długości odcinka 𝐸𝐶\n(połowa długości przekątnej 𝐴𝐶 trapezu 𝐴𝐵𝐶𝐷):\n|𝐸𝐶|2 = 𝑅2 -|𝑆𝐸|2\n|𝐸𝐶|2 = (17√2)\n2 -(15√2)\n2 = 128\nZatem |𝐴𝐶| = 2 ⋅|𝐸𝐶| = 16√2.\nPo zastosowaniu twierdzenia sinusów do trójkąta 𝐴𝐵𝐶 otrzymujemy\n|𝐴𝐶|\nsin |∡𝐴𝐵𝐶| = 2𝑅\nsin |∡𝐴𝐵𝐶| = |𝐴𝐶|\n2𝑅= 16√2\n34√2\n= 8\n17\n72\nInformator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie rozszerzonym od roku szkolnego 2022/2023","answer":null,"answer_text":null,"solution":null,"image":"img/informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-rozszerzony/zad-23.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":69,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2023","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny"},{"id":"informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-rozszerzony/zad/24","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-rozszerzony","number":"24","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2023,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 24. (0-4)\nCzworokąt 𝐴𝐵𝐶𝐷 jest równoległobokiem takim, że 𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = [-21, -7] i 𝐷𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ = [15, 8].\nOblicz pole tego równoległoboku.\nWymaganie ogólne\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n4.\nStosowanie i tworzenie strategii przy rozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach\nnietypowych.\nPrzykładowe zadania z rozwiązaniami\n73\nWymagania szczegółowe\nVII. Trygonometria. Zdający:\n4)\nkorzysta z wzorów sin2 𝛼+ cos2 𝛼= 1 […].\nVIII. Planimetria. Zdający:\n2)\n[…] stosuje twierdzenie odwrotne do twierdzenia Pitagorasa i twierdzenie cosinusów\n[…].\nIX. Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej. Zdający:\n3R) zna pojęcie wektora i oblicza jego współrzędne oraz długość, dodaje wektory […].\nZasady oceniania\ndla rozwiązania sposobem 1.\n4 pkt - poprawna metoda obliczenia pola równoległoboku i prawidłowy wynik.\n3 pkt - obliczenie sinusa kąta 𝐵𝐷𝐶.\n2 pkt - zastosowanie twierdzenia cosinusów do obliczenia cosinusa kąta 𝐵𝐷𝐶.\n1 pkt - obliczenie długości boków trójkąta 𝐵𝐶𝐷.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\ndla rozwiązań sposobami 2. oraz 3.\n4 pkt - poprawna metoda obliczenia pola równoległoboku i prawidłowy wynik.\n3 pkt - obliczenie pola trójkąta 𝐵𝐶𝐷.\n2 pkt - zastosowanie wzoru do obliczenia pola trójkąta 𝐵𝐶𝐷.\n1 pkt - wyrażenie współrzędnych punktów 𝐵 i 𝐶 za pomocą współrzędnych punktu 𝐷\nLUB\nobliczenie długości boków trójkąta 𝐵𝐶𝐷.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób 1.\nObliczamy długości boków trójkąta 𝐵𝐶𝐷:\nBC⃗⃗⃗⃗⃗ = BD⃗⃗⃗⃗⃗ + DC⃗⃗⃗⃗⃗ = [-21, -7] + [15, 8] = [-6, 1]\n|𝐵𝐶| = √(-6)2 + 12 = √37\n|𝐶𝐷| = √152 + 82 = √289 = 17\n|𝐵𝐷| = √(-21)2 + (-7)2 = √490 = 7√10\nOznaczmy kąt 𝐵𝐷𝐶 przez 𝛼.\nZ twierdzenia cosinusów oraz ze wzoru sin2 𝛼+ cos2 𝛼= 1 obliczamy sinus kąta 𝛼:\n|𝐵𝐶|2 = |𝐵𝐷|2 + |𝐶𝐷|2 -2 ⋅|𝐵𝐷| ⋅|𝐶𝐷| ⋅cos 𝛼\n37 = 490 + 289 -2 ⋅7√10 ⋅17 ⋅cos 𝛼\n74\nInformator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie rozszerzonym od roku szkolnego 2022/2023\ncos 𝛼=\n53\n17√10\nKąt 𝛼 jest kątem ostrym, więc\nsin 𝛼= √1 -cos2 𝛼= √1 -2809\n2890 = √81\n2890 =\n9\n17√10\nObliczamy pole równoległoboku:\n𝑃𝐴𝐵𝐶𝐷= |𝐶𝐷| ⋅|𝐵𝐷| ⋅sin 𝛼\n𝑃𝐴𝐵𝐶𝐷= 17 ⋅7√10 ⋅\n9\n17√10\n= 63\nPole czworokąta 𝐴𝐵𝐶𝐷 jest równe 63.\nSposób 2.\nNiech 𝑥𝐷 , 𝑦𝐷 będą współrzędnymi punktu 𝐷, tj. 𝐷= (𝑥𝐷, 𝑦𝐷).\nWyrazimy współrzędne punktów 𝐵 i 𝐶 za pomocą współrzędnych punktu 𝐷.\nPonieważ 𝐷𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = -𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = [21, 7], więc 𝐵= (21 + 𝑥𝐷, 7 + 𝑦𝐷) i podobnie:\n𝐷𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ = [15, 8], więc 𝐶= (15 + 𝑥𝐷, 8 + 𝑦𝐷).\nKorzystamy ze wzoru na pole trójkąta (przy danych wierzchołkach trójkąta) w celu obliczenia\npola trójkąta 𝐵𝐶𝐷:\n𝑃𝐵𝐶𝐷= 1\n2 |[(15 + 𝑥𝐷) -(21 + 𝑥𝐷)][𝑦𝐷-(7 + 𝑦𝐷)] -[(8 + 𝑦𝐷) -(7 + 𝑦𝐷)][𝑥𝐷-(21 + 𝑥𝐷)]|\n𝑃𝐵𝐶𝐷= 1\n2 |(-6) ⋅(-7) -1 ⋅(-21)| = 63\n2\nObliczamy pole równoległoboku 𝐴𝐵𝐶𝐷:\n𝑃𝐴𝐵𝐶𝐷= 2 ⋅𝑃𝐵𝐶𝐷= 63\nPole równoległoboku 𝐴𝐵𝐶𝐷 jest równe 63.\nSposób 3.\nOznaczmy: 𝑎= |𝐵𝐷|, 𝑏= |𝐵𝐶| , 𝑐= |𝐶𝐷|, 2𝑝= 𝑎+ 𝑏+ 𝑐.\nObliczamy długości boków trójkąta 𝐵𝐶𝐷:\n𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐷𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ = [-21, -7] + [15, 8] = [-6, 1]\n𝑏= |𝐵𝐶| = √(-6)2 + 12 = √37\n𝑐= |𝐶𝐷| = √152 + 82 = √289 = 17\nPrzykładowe zadania z rozwiązaniami\n75\n𝑎= |BD| = √(-21)2 + (-7)2 = √490 = 7√10\nSkorzystamy ze wzoru Herona w celu obliczenia pola trójkąta 𝐵𝐶𝐷.\n𝑝= 𝑎+ 𝑏+ 𝑐\n2\n= 7√10 + √37 + 17\n2\n𝑝-𝑎= √37 + 17 -7√10\n2\n𝑝-𝑏= 7√10 + 17 -√37\n2\n𝑝-𝑐= √37 + 7√10 -17\n2\n𝑝(𝑝-𝑎) ⋅(𝑝-𝑏)(𝑝-𝑐) = (√37 + 17)\n2 -(7√10)\n2\n4\n⋅(7√10)\n2 -(17 -√37)\n2\n4\n𝑝(𝑝-𝑎)(𝑝-𝑏)(𝑝-𝑐) = 34√37 -164\n4\n⋅34√37 + 164\n4\n𝑝(𝑝-𝑎)(𝑝-𝑏)(𝑝-𝑐) = 15876\n16\n𝑃𝐵𝐶𝐷= √15876\n16\n= 63\n2\nObliczamy pole równoległoboku 𝐴𝐵𝐶𝐷:\n𝑃𝐴𝐵𝐶𝐷= 2 ⋅𝑃𝐵𝐶𝐷= 63\nPole równoległoboku 𝐴𝐵𝐶𝐷 jest równe 63.\n76\nInformator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie rozszerzonym od roku szkolnego 2022/2023","answer":null,"answer_text":null,"solution":null,"image":"img/informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-rozszerzony/zad-24.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":72,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2023","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny"},{"id":"informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-rozszerzony/zad/25","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-rozszerzony","number":"25","points":3,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2023,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 25. (0-3)\nDany jest sześcian 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹𝐺𝐻 o krawędzi długości 𝑎. Punkt 𝑃 jest środkiem krawędzi 𝐶𝐺\ntego sześcianu (zobacz rysunek poniżej).\nOblicz odległość wierzchołka 𝑪 od płaszczyzny zawierającej punkty 𝑩, 𝑫 oraz 𝑷.\n𝐴\n𝐵\n𝐶\n𝐷\n𝐸\n𝐹\n𝐺\n𝐻\n𝑃\n|𝑃𝐺|= |𝑃𝐶|\n𝑎\nPrzykładowe zadania z rozwiązaniami\n77\nWymaganie ogólne\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n4.\nStosowanie i tworzenie strategii przy rozwiązywaniu zadań […].\nWymaganie szczegółowe\nX. Stereometria. Zdający:\n2R) wyznacza przekroje sześcianu […].\nZasady oceniania\ndla rozwiązań sposobami 1.-4.\n3 pkt - poprawna metoda obliczenia odległości wierzchołka 𝐶 od płaszczyzny zawierającej\npunkty 𝐵, 𝐷 oraz 𝑃 i podanie prawidłowego wyniku.\n2 pkt - obliczenie pola trójkąta 𝐶𝑃𝑆 i wyrażenie pola tegoż trójkąta za pomocą ℎ (gdzie ℎ\njest szukaną docelowo odległością w zadaniu)\nLUB\nobliczenie sinusa kąta 𝑆𝑃𝐶 i wyrażenie sinusa kąta 𝐾𝑃𝐶 za pomocą ℎ (gdzie ℎ\njest szukaną docelowo odległością w zadaniu)\nLUB\nwyrażenie objętości ostrosłupa 𝐵𝐶𝐷𝑃 o podstawie 𝐵𝐶𝐷 za pomocą 𝑎 i wyrażenie\nobjętości ostrosłupa 𝐵𝐷𝑃𝐶 o podstawie 𝐵𝐷𝑃 za pomocą 𝑎 oraz ℎ (gdzie ℎ jest\nszukaną docelowo odległością w zadaniu)\nLUB\nzastosowanie twierdzenia Pitagorasa do trójkątów 𝑆𝐾𝐶 oraz 𝑃𝐾𝐶 i zapisanie\nrównania\n(√2\n2 𝑎)\n2\n-(|𝑃𝑆| -|𝐾𝑃|)2 = (𝑎\n2)\n2\n-|𝐾𝑃|2\n1 pkt - obliczenie\nodległości\npomiędzy\nśrodkiem\n𝑆\npodstawy\n𝐴𝐵𝐶𝐷\nsześcianu\na punktem 𝑃.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób 1. (z wykorzystaniem równości pól trójkąta)\nOznaczmy przez 𝑆 punkt przecięcia się przekątnych podstawy 𝐴𝐵𝐶𝐷 sześcianu, natomiast\nprzez ℎ - wysokość trójkąta 𝐶𝑃𝑆 opuszczoną z wierzchołka 𝐶 na bok 𝑃𝑆.\nStosujemy twierdzenie Pitagorasa do trójkąta 𝐶𝑃𝑆 celem obliczenia długości boku 𝑃𝑆:\n|𝑃𝑆|2 = |𝐶𝑆|2 + |𝐶𝑃|2\n|𝑃𝑆|2 = (1\n2 𝑎√2)\n2\n+ (1\n2 𝑎)\n2\n|𝑃𝑆| = √3\n2 𝑎\n78\nInformator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie rozszerzonym od roku szkolnego 2022/2023\nPonieważ pole trójkąta 𝐶𝑃𝑆 jest równe\n𝑃𝐶𝑃𝑆= 1\n2 |𝐶𝑆| ⋅|𝐶𝑃| = 1\n2 ⋅1\n2 𝑎⋅1\n2 𝑎√2 = √2\n8 𝑎2\noraz\n𝑃𝐶𝑃𝑆= 1\n2 |𝑃𝑆| ⋅ℎ= 1\n2 ⋅1\n2 𝑎√3 ⋅ℎ= √3\n4 𝑎ℎ ,\nwięc\n√2\n8 𝑎= √3\n4 𝑎ℎ ,\nco daje ℎ=\n√6\n6 𝑎.\nSzukana odległość jest równa\n√6\n6 𝑎.\nSposób 2. (z wykorzystaniem równości sinusów kąta)\nOznaczmy:\n𝑆 - punkt przecięcia się przekątnych podstawy 𝐴𝐵𝐶𝐷 sześcianu,\nℎ - wysokość trójkąta 𝐶𝑃𝑆 opuszczoną z wierzchołka 𝐶 na bok 𝑃𝑆,\n𝐾 - spodek wysokości trójkąta 𝐶𝑃𝑆 opuszczonej z wierzchołka 𝐶 na bok 𝑃𝑆.\nStosujemy twierdzenie Pitagorasa do trójkąta 𝐶𝑃𝑆 celem obliczenia długości boku 𝑃𝑆:\n|𝑃𝑆|2 = |𝐶𝑆|2 + |𝐶𝑃|2\n|𝑃𝑆|2 = (1\n2 𝑎√2)\n2\n+ (1\n2 𝑎)\n2\n|𝑃𝑆| = √3\n2 𝑎\nObliczamy wartość sinusa kąta 𝑆𝑃𝐶 w trójkącie prostokątnym 𝑆𝐶𝑃:\nsin|∡𝑆𝑃𝐶| = |𝐶𝑆|\n|𝑃𝑆| =\n1\n2 𝑎√2\n1\n2 𝑎√3\n= √2\n√3\n= √6\n3\nZapisujemy sinus kąta 𝐾𝑃𝐶 jako stosunek długości odpowiednich boków w trójkącie\nprostokątnym 𝐶𝐾𝑃:\nsin|∡𝐾𝑃𝐶| =\n|𝐶𝐾|\n|𝐶𝑃| = ℎ\n1\n2 𝑎\nPonieważ |∡𝑆𝑃𝐶| = |∡𝐾𝑃𝐶|, więc z ostatnich dwóch równości otrzymujemy\nℎ\n1\n2 𝑎\n= √6\n3\nPrzykładowe zadania z rozwiązaniami\n79\nℎ= √6\n6 𝑎\nSzukana odległość jest równa\n√6\n6 𝑎.\nSposób 3. (z wykorzystaniem równości objętości ostrosłupa)\nOznaczmy:\n𝑆 - punkt przecięcia się przekątnych podstawy 𝐴𝐵𝐶𝐷 sześcianu,\nℎ - wysokość trójkąta 𝐶𝑃𝑆 opuszczoną z wierzchołka 𝐶 na bok 𝑃𝑆,\n𝐾 - spodek wysokości trójkąta 𝐶𝑃𝑆 opuszczonej z wierzchołka 𝐶 na bok 𝑃𝑆.\nStosujemy twierdzenie Pitagorasa do trójkąta 𝐶𝑃𝑆 celem obliczenia długości boku 𝑃𝑆:\n|𝑃𝑆|2 = |𝐶𝑆|2 + |𝐶𝑃|2\n|𝑃𝑆|2 = (1\n2 𝑎√2)\n2\n+ (1\n2 𝑎)\n2\n|𝑃𝑆| = √3\n2 𝑎\nObliczamy objętość ostrosłupa 𝐵𝐶𝐷𝑃 o podstawie trójkątnej 𝐵𝐶𝐷 i wysokości opuszczonej\nna podstawę 𝐵𝐶𝐷 z wierzchołka 𝑃:\n𝑉𝐵𝐶𝐷𝑃= 1\n3 ⋅𝑃Δ𝐵𝐶𝐷⋅|𝐶𝑃| = 1\n3 ⋅1\n2 𝑎2 ⋅1\n2 𝑎= 1\n12 𝑎3\nObliczamy objętość ostrosłupa 𝐵𝐷𝑃𝐶 o podstawie trójkątnej 𝐵𝐷𝑃 i wysokości opuszczonej\nna podstawę 𝐵𝐷𝑃 z wierzchołka 𝐶:\n𝑉𝐵𝐷𝑃𝐶= 1\n3 ⋅𝑃Δ𝐵𝐷𝑃⋅|𝐶𝐾| = 1\n3 ⋅1\n2 ⋅𝑎√2 ⋅√3\n2 𝑎⋅ℎ= √6\n12 𝑎2ℎ\nPonieważ 𝑉𝐵𝐶𝐷𝑃= 𝑉𝐵𝐷𝑃𝐶 , więc\n1\n12 𝑎3 = √6\n12 𝑎2ℎ\nℎ= √6\n6 𝑎\nSzukana odległość jest równa\n√6\n6 𝑎.\n80\nInformator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie rozszerzonym od roku szkolnego 2022/2023\nSposób 4. (z wykorzystaniem równości boku trójkątów prostokątnych)\nOznaczmy:\n𝑆 - punkt przecięcia się przekątnych podstawy 𝐴𝐵𝐶𝐷 sześcianu,\nℎ - wysokość trójkąta 𝐶𝑃𝑆 opuszczoną z wierzchołka 𝐶 na bok 𝑃𝑆,\n𝐾 - spodek wysokości trójkąta 𝐶𝑃𝑆 opuszczonej z wierzchołka 𝐶 na bok 𝑃𝑆,\n𝑥 - długość odcinka 𝐾𝑃.\nStosujemy twierdzenie Pitagorasa do trójkąta 𝐶𝑃𝑆 celem obliczenia długości boku 𝑃𝑆:\n|𝑃𝑆|2 = |𝐶𝑆|2 + |𝐶𝑃|2\n|𝑃𝑆|2 = (1\n2 𝑎√2)\n2\n+ (1\n2 𝑎)\n2\n|𝑃𝑆| = √3\n2 𝑎\nTrójkąty 𝑆𝐾𝐶 oraz 𝑃𝐾𝐶 są prostokątne i mają wspólny bok 𝐾𝐶, więc\nℎ2 = |𝑆𝐶|2 -|𝑆𝐾|2 i ℎ2 = |𝑃𝐶|2 -|𝐾𝑃|2\nℎ2 = (𝑎√2\n2 )\n2\n-(|𝑃𝑆| -𝑥)2 i ℎ2 = (𝑎\n2)\n2\n-𝑥2\nℎ2 = (𝑎√2\n2 )\n2\n-(√3\n2 𝑎-𝑥)\n2\ni ℎ2 = (𝑎\n2)\n2\n-𝑥2\n(𝑎√2\n2 )\n2\n-(√3\n2 𝑎-𝑥)\n2\n= (𝑎\n2)\n2\n-𝑥2\nskąd otrzymujemy 𝑥=\n√3\n6 𝑎.\nPodstawiamy 𝑥=\n√3\n6 𝑎 do równania ℎ2 = (\n𝑎\n2)\n2\n-𝑥2 i otrzymujemy\nℎ2 = (𝑎\n2)\n2\n-(√3\n6 𝑎)\n2\nℎ= √6\n6 𝑎\nSzukana odległość jest równa\n√6\n6 𝑎.\nPrzykładowe zadania z rozwiązaniami\n81","answer":null,"answer_text":null,"solution":null,"image":"img/informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-rozszerzony/zad-25.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":76,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2023","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny"},{"id":"informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-rozszerzony/zad/26","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-rozszerzony","number":"26","points":5,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2023,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 26. (0-5)\nDany jest trapez prostokątny 𝐴𝐵𝐶𝐷 o kątach prostych przy wierzchołkach 𝐴 i 𝐷. Ramię 𝐵𝐶\ntrapezu ma długość 5. W ten trapez wpisano okrąg o środku w punkcie 𝑆 i promieniu 2.\nPunkt 𝑃 jest punktem styczności okręgu i dłuższej podstawy 𝐴𝐵 tego trapezu (zobacz\nrysunek).\nWykaż, że trójkąty 𝑩𝑷𝑺 i 𝑩𝑺𝑪 są trójkątami podobnymi, oraz oblicz skalę tego\npodobieństwa.\n𝐴\n𝐶\n𝐷\n𝑆\n𝐵\n𝑃\n2\n5\n82\nInformator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie rozszerzonym od roku szkolnego 2022/2023\nWymaganie ogólne\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n1)\nPrzeprowadzanie rozumowań, także kilkuetapowych, podawanie argumentów\nuzasadniających poprawność rozumowania […].\nWymagania szczegółowe\nVIII. Planimetria. Zdający:\n12)\nprzeprowadza dowody geometryczne;\nR)\nstosuje własności czworokątów […] opisanych na okręgu.\nZasady oceniania\ndla rozwiązań sposobami 1.-3.\n5 pkt - obliczenie skali podobieństwa trójkątów 𝑃𝐵𝑆 oraz 𝑆𝐵𝐶.\n4 pkt - obliczenie długości odcinka stycznej (zawierającej odcinek 𝐵𝐶) od punktu 𝐵 do\npunktu styczności z okręgiem\nLUB\nstwierdzenie, że każdy z obliczonych stosunków odpowiednich boków trójkątów 𝐵𝑃𝑆\ni 𝐵𝑆𝐶 jest skalą podobieństwa.\n3 pkt - uzasadnienie, że trójkąty 𝐵𝑃𝑆 i 𝐵𝑆𝐶 są podobne.\n2 pkt - uzasadnienie, że kąt 𝐵𝑆𝐶 jest kątem prostym\nLUB\nobliczenie długości boków trójkątów 𝐵𝑆𝐶 oraz 𝐵𝑃𝑆\nLUB\nobliczenie długości boków trójkąta 𝐵𝑃𝑆 i uzasadnienie równości miar kątów 𝑃𝐵𝑆\noraz 𝑆𝐵𝐶 (lub 𝐵𝐶𝑆 oraz 𝑆𝐶𝐷).\n1 pkt - uzasadnienie równości miar kątów 𝑃𝐵𝑆 oraz 𝑆𝐵𝐶 (lub 𝐵𝐶𝑆 oraz 𝑆𝐶𝐷)\nLUB\nobliczenie długości boków trójkąta 𝐵𝑃𝑆.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób 1.\nWykażemy, że trójkąty 𝐵𝑃𝑆 i 𝐵𝑆𝐶 są podobne.\nPunkt 𝑆 jest równooddalony od boków 𝐴𝐵 i 𝐵𝐶 trapezu jako środek okręgu wpisanego\nw trapez, więc leży na dwusiecznej kąta 𝐴𝐵𝐶. Zatem |∡𝑃𝐵𝑆| = |∡𝑆𝐵𝐶|.\nPodobna argumentacja prowadzi do stwierdzenia, że |∡𝐵𝐶𝑆| = |∡𝑆𝐶𝐷|.\nOznaczmy miary kątów 𝑃𝐵𝑆 oraz 𝐵𝐶𝑆 jako - odpowiednio - 𝛼 oraz 𝛽 (rysunek 1.).\n𝐶\n𝐷\n𝑆\n𝐴\n𝐵\n𝑃\n𝛽\n𝛽\n𝛼\n𝛼\nRysunek 1.\nPrzykładowe zadania z rozwiązaniami\n83\nPonieważ suma miar kątów przy ramieniu trapezu wynosi 180°, więc 2𝛼+ 2𝛽= 180°,\nskąd dalej 𝛼+ 𝛽= 90°. Dlatego:\n|∡𝐵𝑆𝐶| = 180° -(𝛼+ 𝛽) = 90°\noraz\n|∡𝑃𝑆𝐵| = 180° -(90° + 𝛼) = 𝛽.\nTo oznacza, że Δ𝐵𝑃𝑆 ~ Δ𝐵𝑆𝐶 (na podstawie cechy kkk podobieństwa trójkątów).\nObliczymy skalę podobieństwa trójkątów 𝐵𝑃𝑆 oraz 𝐵𝑆𝐶.\nNiech 𝐸 i 𝐹 oznaczają punkty styczności okręgu i odcinków - odpowiednio - 𝐵𝐶 oraz 𝐶𝐷\n(rysunek 2.).\nPonieważ |∡𝑆𝐵𝐸| = |∡𝐶𝑆𝐸| oraz |∡𝐸𝑆𝐵| = |∡𝐸𝐶𝑆|, więc trójkąty prostokątne 𝑆𝐵𝐸\ni 𝐶𝑆𝐸 są podobne. Zatem\n|𝑆𝐸|\n|𝐵𝐸| = |𝐶𝐸|\n|𝑆𝐸|\ni dalej\n|𝑆𝐸|2 = |𝐵𝐸| ⋅|𝐶𝐸|\n4 = (5 -|𝐶𝐸|) ⋅|𝐶𝐸|\n|𝐶𝐸|2 -5|𝐶𝐸| + 4 = 0\n|𝐶𝐸| = 1 lub |𝐶𝐸| = 4\nZ twierdzenia o odcinkach stycznych mamy |𝑃𝐵| = |𝐵𝐸| oraz |𝐶𝐸| = |𝐶𝐹|.\nPonieważ |𝐴𝐵| < |𝐶𝐷|, więc |𝐶𝐸| < |𝐸𝐵| i w konsekwencji |𝐶𝐸| = 1 oraz |𝐵𝐸| = 4.\nPo zastosowaniu twierdzenia Pitagorasa do trójkąta 𝐵𝑆𝐸 otrzymujemy |𝐵𝑆| = 2√5.\n𝐶\n𝐷\n2\n𝑆\n5\n𝐸\n𝐵\n𝑃\n𝐴\n𝐹\nRysunek 2.\n84\nInformator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie rozszerzonym od roku szkolnego 2022/2023\nObliczamy skalę podobieństwa trójkątów 𝐵𝑆𝐶 i 𝐵𝑃𝑆:\n𝑘=\n|𝐵𝐶|\n|𝐵𝑆| =\n5\n2√5\n= √5\n2\nSposób 2.\nWykażemy, że trójkąty 𝐵𝑃𝑆 i 𝐵𝑆𝐶 są podobne.\nNiech 𝐸 i 𝐹 oznaczają punkty styczności okręgu i odcinków - odpowiednio - 𝐵𝐶 oraz 𝐶𝐷.\nOznaczmy przez 𝐺 rzut prostokątny wierzchołka 𝐶 na podstawę 𝐴𝐵 trapezu (rysunek 3.).\nPunkt 𝑆 jest równooddalony od boków 𝐴𝐵 i 𝐵𝐶 trapezu jako środek okręgu wpisanego\nw trapez, więc wysokość trapezu jest równa 4.\nDo trójkąta 𝐵𝐺𝐶 stosujemy twierdzenie Pitagorasa i obliczamy długość odcinka 𝐵𝐺:\n|𝐵𝐺|2 + |𝐺𝐶|2 = |𝐵𝐶|2\n|𝐵𝐺|2 + 42 = 52\n|𝐵𝐺| = 3\nPonieważ 𝐺 jest rzutem prostokątnym wierzchołka 𝐶 na podstawę 𝐴𝐵, więc\n|𝐺𝑃| = |𝐹𝐶|\nKorzystamy z twierdzenia o okręgu wpisanym w czworokąt i otrzymujemy\n|𝐴𝐷| + |𝐵𝐶| = |𝐴𝐵| + |𝐶𝐷|\n4 + 5 = |𝐴𝑃| + |𝐹𝐶| + |𝐵𝐺| + |𝐹𝐶| + |𝐷𝐹|\n9 = 2|𝐴𝑃| + 2|𝐹𝐶| + 3\n6 = 2|𝑆𝑃| + 2|𝐹𝐶|\n|𝐹𝐶| = 1\nZatem |𝑃𝐵| = |𝑃𝐺| + |𝐺𝐵| = 4.\n𝐶\n𝐷\n2\n5\n𝑆\n𝐵\n𝑃\n𝐹\n𝐴\n𝐺\n𝐸\nRysunek 3.\nPrzykładowe zadania z rozwiązaniami\n85\nStosujemy twierdzenie Pitagorasa do trójkąta 𝐵𝑃𝑆 celem obliczenia |𝐵𝑆|:\n|𝐵𝑃|2 + |𝑃𝑆|2 = |𝐵𝑆|2\n42 + 22 = |𝐵𝑆|2\n|𝐵𝑆| = 2√5\nZatem trójkąt 𝐵𝑃𝑆 ma boki o długościach: |𝐵𝑃| = 4, |𝑃𝑆| = 2 i |𝐵𝑆| = 2√5.\nZ twierdzenia o odcinkach stycznych |𝐶𝐸| = |𝐹𝐶|, więc |𝐶𝐸| = 1.\nStosujemy twierdzenie Pitagorasa do trójkąta 𝑆𝐸𝐶 celem obliczenia |𝐶𝑆|:\n22 + 12 = |𝐶𝑆|2\n|𝐶𝑆| = √5\nZatem trójkąt 𝐵𝑆𝐶 ma boki o długościach: |𝐵𝑆| = 2√5, |𝐶𝑆| = √5, |𝐵𝐶| = 5.\nPonieważ\n|𝐵𝐶|\n|𝐵𝑆| =\n5\n2√5\n= √5\n2 oraz\n|𝐶𝑆|\n|𝑃𝑆| = √5\n2 oraz\n|𝐵𝑆|\n|𝐵𝑃| = 2√5\n4\n= √5\n2 ,\nwięc trójkąty 𝐵𝑃𝑆 oraz 𝐵𝑆𝐶 są podobne (na podstawie cechy kkk podobieństwa trójkątów).\nTo kończy dowód.\nKażdy z obliczonych powyżej stosunków długości odpowiednich boków trójkątów 𝐵𝑃𝑆 oraz\n𝐵𝑆𝐶 jest równy skali podobieństwa tychże trójkątów.\nSkala podobieństwa trójkątów 𝐵𝑃𝑆 oraz 𝐵𝑆𝐶 jest równa 𝑘=\n|𝐵𝐶|\n|𝐵𝑆| =\n√5\n2 .\nSposób 3.\nWykażemy, że trójkąty 𝐵𝑃𝑆 i 𝐵𝑆𝐶 są podobne.\nOznaczmy przez 𝛼 miarę kąta 𝑃𝐵𝑆, przez 𝐺 - rzut prostokątny punktu 𝐶 na podstawę 𝐴𝐵\ntrapezu, przez 𝐹 - punkt styczności okręgu z odcinkiem 𝐶𝐷 (rysunek 4.).\nPunkt 𝑆 jest równooddalony od boków 𝐴𝐵 i 𝐵𝐶 trapezu jako środek okręgu wpisanego w\ntrapez, więc wysokość trapezu jest równa 4.\n𝐶\n𝐷\n2\n5\n𝑆\n𝛼\n𝐵\n𝑃\n𝐹\n𝐴\n𝐺\nRysunek 4.\n86\nInformator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie rozszerzonym od roku szkolnego 2022/2023\nDo trójkąta 𝐵𝐺𝐶 stosujemy twierdzenie Pitagorasa, aby obliczyć długość odcinka 𝐵𝐺:\n|𝐵𝐺|2 + |𝐺𝐶|2 = |𝐵𝐶|2\n|𝐵𝐺|2 + 42 = 52\n|𝐵𝐺| = 3\nPonieważ 𝐺 jest rzutem prostokątnym wierzchołka 𝐶 na podstawę 𝐴𝐵, więc\n|𝐺𝑃| = |𝐹𝐶|\nKorzystamy z twierdzenia o okręgu wpisanym w czworokąt i otrzymujemy\n|𝐴𝐷| + |𝐵𝐶| = |𝐴𝐵| + |𝐶𝐷|\n4 + 5 = |𝐴𝑃| + |𝐹𝐶| + |𝐵𝐺| + |𝐹𝐶| + |𝐷𝐹|\n9 = 2|𝐴𝑃| + 2|𝐹𝐶| + 3\n6 = 2|𝑆𝑃| + 2|𝐹𝐶|\n|𝐹𝐶| = 1\nZatem |𝑃𝐵| = |𝑃𝐺| + |𝐺𝐵| = 4.\nStosujemy twierdzenie Pitagorasa do trójkąta 𝐵𝑃𝑆 celem obliczenia |𝐵𝑆|:\n|𝐵𝑃|2 + |𝑃𝑆|2 = |𝐵𝑆|2\n42 + 22 = |𝐵𝑆|2\n|𝐵𝑆| = 2√5\nZatem trójkąt 𝐵𝑃𝑆 ma boki o długościach: |𝐵𝑃| = 4, |𝑃𝑆| = 2 i |𝐵𝑆| = 2√5.\nPunkt 𝑆 jest równooddalony od boków 𝐴𝐵 i 𝐵𝐶 trapezu jako środek okręgu wpisanego\nw trapez, więc leży na dwusiecznej kąta 𝐴𝐵𝐶. Zatem |∡𝑃𝐵𝑆| = |∡𝑆𝐵𝐶| = 𝛼.\nObliczamy stosunki długości odpowiednich boków trójkątów 𝐵𝑃𝑆 oraz 𝐵𝑆𝐶 leżących przy\nkątach - odpowiednio - 𝑃𝐵𝑆 oraz 𝑆𝐵𝐶:\n|𝐵𝑆|\n|𝐵𝑃| = 2√5\n4\n= √5\n2 |𝐵𝐶|\n|𝐵𝑆| =\n5\n2√5\n= √5\n2\nPonieważ stosunki długości odpowiednich boków trójkątów 𝐵𝑃𝑆 oraz 𝐵𝑆𝐶 są równe i równe\nsą miary kątów przyległych do tych boków, więc trójkąty 𝐵𝑃𝑆 i 𝐵𝑆𝐶 są podobne (na\npodstawie cechy bkb podobieństwa trójkątów).\nTo kończy dowód.\nKażdy z obliczonych powyżej stosunków długości odpowiednich boków trójkątów 𝐵𝑃𝑆 oraz\n𝐵𝑆𝐶 jest równy skali podobieństwa tychże trójkątów.\nSkala podobieństwa trójkątów 𝐵𝑃𝑆 oraz 𝐵𝑆𝐶 jest równa 𝑘=\n|𝐵𝐶|\n|𝐵𝑆| =\n√5\n2 .\nPrzykładowe zadania z rozwiązaniami\n87","answer":null,"answer_text":null,"solution":null,"image":"img/informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-rozszerzony/zad-26.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":81,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2023","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny"},{"id":"informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-rozszerzony/zad/27","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-rozszerzony","number":"27","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2023,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 27. (0-4)\nTomek i Marek chcą wejść docelowo na szczyt 𝑆\npewnej góry. W chwili początkowej znajdują się\nw punkcie 𝑃 położonym na stoku góry dokładnie na\npółnoc od szczytu na wysokości 𝐻0 metrów n.p.m.\nTomek i Marek chcą dotrzeć do bazy 𝐵 znajdującej\nsię\ndokładnie\nna\npołudnie\nod\nszczytu\nna\nprzeciwległym południowym stoku góry na wysokości\n𝐻1 metrów n.p.m., a następnie z bazy wejść na\nszczyt leżący na wysokości 𝐻2 metrów n.p.m. (patrz\nrysunek 1.).\nOblicz długość najkrótszej drogi, jaką muszą\npokonać, aby dotrzeć do bazy.\nPrzyjmij, że góra jest stożkiem o kącie rozwarcia 𝛼.\nWskazówka: Powierzchnia boczna stożka po rozcięciu\nwzdłuż tworzącej i rozłożeniu jest wycinkiem koła.\nNajkrótsza droga do bazy odpowiada najkrótszej drodze\nz punktu 𝑃 do 𝐵 na wycinku koła.\n𝑆\n𝛼\n𝐵\n𝑃\nRys. 1.\n88\nInformator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie rozszerzonym od roku szkolnego 2022/2023\nWymagania ogólne\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji.\n3.\nTworzenie pomocniczych obiektów matematycznych na podstawie istniejących,\nw celu przeprowadzenia argumentacji lub rozwiązania problemu. Dobieranie\ni tworzenie modeli matematycznych przy rozwiazywaniu problemów praktycznych\ni teoretycznych.\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n4.\nStosowanie i tworzenie strategii przy rozwiazywaniu zadań, również w sytuacjach\nnietypowych.\nWymagania szczegółowe\nVII. Trygonometria. Zdający:\n1R) stosuje miarę łukową […].\nVIII. Planimetria. Zdający:\n2)\n[…] stosuje twierdzenie odwrotne do twierdzenia Pitagorasa i twierdzenie\ncosinusów;\n6)\nstosuje wzory na pole wycinka koła i długość łuku okręgu.\nZasady oceniania\n4 pkt - prawidłowa metoda obliczenia długości odcinka 𝑃𝐵 na siatce stożka i prawidłowy\nwynik.\n3 pkt - obliczenie miary łukowej kąta 𝐵𝑆𝑃 na siatce stożka i obliczenie długości odcinków\n𝐵𝑆 oraz 𝑃𝑆.\n2 pkt - obliczenie miary łukowej kąta 𝐵𝑆𝑃 na siatce stożka\nLUB\nobliczenie długości odcinków 𝐵𝑆 oraz 𝑃𝑆.\n1 pkt - zapisanie, że najkrótsza droga jest równa długości odcinka 𝑃𝐵 na siatce stożka.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe zadania z rozwiązaniami\n89\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nNiech 𝑙 będzie długością tworzącej stożka, a 𝑅 - długością promienia podstawy.\nRozwiniemy powierzchnię boczną stożka, na której zaznaczymy kluczowe punkty 𝑃, 𝐵 i 𝑆.\nDługość odcinka 𝑃𝐵 oznaczymy jako 𝑑. Jest to długość najkrótszej trasy z punktu 𝑃 do\nbazy (zobacz rys. 1.).\nPowierzchnia boczna stożka po rozwinięciu jest wycinkiem koła o promieniu długości 𝑙.\nWyznaczymy miarę 𝛽 kąta środkowego tego wycinka.\nZe wzorów na pole powierzchni bocznej stożka oraz pole wycinka koła otrzymujemy\n𝜋⋅𝑅⋅𝑙= 𝛽\n2𝜋⋅𝜋⋅𝑙2\n𝛽= 2𝜋⋅𝑅\n𝑙\nZatem\n|∡𝐵𝑆𝑃| = 1\n2 𝛽= 𝜋⋅𝑅\n𝑙\nKąt rozwarcia stożka jest równy 𝛼, więc 𝑅\n𝑙= sin𝛼\n2, co prowadzi do\n|∡𝐵𝑆𝑃| = 𝜋⋅sin 𝛼\n2\nWyrazimy długości odcinków 𝐵𝑆 oraz 𝑃𝑆 w zależności od danych podanych w treści\nzadania.\n𝑆\n𝐵\n𝑃\n𝑑\nRysunek 1.\n90\nInformator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie rozszerzonym od roku szkolnego 2022/2023\nRozważmy przekrój osiowy stożka zawierający\npunkty 𝐵, 𝑃 oraz 𝑆 (zobacz rys. 2.). Punkt 𝑆′ na\nrysunku 2. jest rzutem prostokątnym punktu 𝑆 na\npodstawę stożka, natomiast punkt 𝑄 - punktem\nprzecięcia tworzącej 𝑆𝐵 z podstawą stożka.\nZ trójkątów 𝑆𝑆′𝑄 oraz 𝑆𝑇𝐵 otrzymujemy\n|𝐵𝑆| =\n|𝑆𝑇|\ncos 𝛼\n2\noraz |𝑆𝑄| =\n|𝑆𝑆′|\ncos 𝛼\n2\nZ treści zadania |𝑆𝑇| = 𝐻2 -𝐻1 oraz |𝑆𝑆′| = 𝐻2 -𝐻0, więc\n|𝐵𝑆| = 𝐻2 -𝐻1\ncos 𝛼\n2\noraz |𝑃𝑆| = |𝑆𝑄| = 𝐻2 -𝐻0\ncos 𝛼\n2\nStosujemy twierdzenie cosinusów do trójkąta 𝐵𝑆𝑃: i obliczamy |𝑃𝐵|:\n|𝑃𝐵|2 = |𝑃𝑆|2 + |𝐵𝑆|2 -2 ⋅|𝑃𝑆| ⋅|𝐵𝑆| ⋅cos |∡𝐵𝑆𝑃|\n𝑑= √(𝐻2 -𝐻0\ncos 𝛼\n2\n)\n2\n+ (𝐻2 -𝐻1\ncos 𝛼\n2\n)\n2\n-2(𝐻2 -𝐻0)(𝐻2 -𝐻1)\n(cos 𝛼\n2)\n2\n⋅cos (𝜋⋅sin 𝛼\n2)\n𝑑=\n√(𝐻2 -𝐻0)2 + (𝐻2 -𝐻1)2 -2(𝐻2 -𝐻0)(𝐻2 -𝐻1) cos (𝜋⋅sin 𝛼\n2)\ncos 𝛼\n2\n𝛼\n2\n𝑆\n𝑃\n𝐵\n𝑄\nRys. 2.\n𝑆'\n𝑇\nPrzykładowe zadania z rozwiązaniami\n91\nKOMBINATORYKA, RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA I STATYSTYKA","answer":null,"answer_text":null,"solution":null,"image":"img/informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-rozszerzony/zad-27.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":87,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2023","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny"},{"id":"informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-rozszerzony/zad/28","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-rozszerzony","number":"28","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2023,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 28. (0-4)\nNiech\n𝑛\nbędzie\nustaloną\nliczbą\nnaturalną\ndodatnią.\nZe\nzbioru\n𝕄= {1; 2; 3; … ; 3𝑛+ 1} losujemy jednocześnie trzy liczby. Zdarzenie 𝐴 odpowiada\njednoczesnemu wylosowaniu ze zbioru 𝕄 trzech liczb, takich że suma tych liczb przy dzieleniu\nprzez 3 daje resztę 1.\nOblicz prawdopodobieństwo zdarzenia 𝑨.\nWymaganie ogólne\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji.\n2.\nDobieranie i tworzenie modeli matematycznych przy rozwiazywaniu problemów\npraktycznych i teoretycznych.\nWymagania szczegółowe\nXI. Kombinatoryka. Zdający:\n1R) oblicza\nliczbę\nmożliwych\nsytuacji,\nspełniających\nokreślone\nkryteria,\nz wykorzystaniem reguły mnożenia i dodawania (także łącznie) oraz wzorów na\nliczbę: permutacji, kombinacji i wariacji, również w przypadkach wymagających\nrozważenia złożonego modelu zliczania elementów;\n2R) stosuje współczynnik dwumianowy (symbol Newtona) i jego własności przy\nrozwiązywaniu problemów kombinatorycznych.\nXII. Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka. Zdający:\n1)\noblicza prawdopodobieństwo w modelu klasycznym.\n92\nInformator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie rozszerzonym od roku szkolnego 2022/2023\nZasady oceniania\n4 pkt - zastosowanie poprawnej metody wyznaczenia szukanego prawdopodobieństwa oraz\nprawidłowy wynik.\n3 pkt - rozpatrzenie wszystkich możliwych przypadków, kiedy suma trzech liczb naturalnych\ndaje przy dzieleniu przez 3 resztę 1, tj. zapisanie, że moc zbioru 𝐴 wynosi\n(𝑛\n2) ⋅(𝑛+ 1\n1\n) + (𝑛+ 1\n2\n) ⋅(𝑛\n1) + (𝑛\n2) ⋅(𝑛\n1)\n2 pkt - rozpatrzenie tylko dwóch z wszystkich możliwych przypadków, kiedy suma trzech liczb\nnaturalnych daje przy dzieleniu przez 3 resztę 1 - tj. zapisanie, że moc zbioru 𝐴 wynosi\n(𝑛\n2) ⋅(𝑛+ 1\n1\n) + (𝑛+ 1\n2\n) ⋅(𝑛\n1)\nLUB\n(𝑛\n2) ⋅(𝑛+ 1\n1\n) + (𝑛\n2) ⋅(𝑛\n1)\nLUB\n(𝑛+ 1\n2\n) ⋅(𝑛\n1) + (𝑛\n2) ⋅(𝑛\n1)\n1 pkt - wyznaczenie liczby wszystkich trójelementowych podzbiorów zbioru 𝕄.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nWyznaczamy liczbę wszystkich trójelementowych podzbiorów zbioru 𝕄:\n(3𝑛+ 1\n3\n) =\n(3𝑛+ 1) ⋅3𝑛⋅(3𝑛-1)\n6\n(3𝑛+ 1)𝑛(3𝑛-1)\n2\nWyznaczamy moc zbioru 𝐴.\nZauważmy, że suma trzech liczb naturalnych daje przy dzieleniu przez 3 resztę 1, gdy:\n1) dwie z tych liczb są podzielne przez 3, a jedna z tych liczb daje przy dzieleniu przez 3\nresztę 1\nLUB\n2) dwie z tych liczb dają przy dzieleniu przez 3 resztę 1, a jedna z tych liczb daje przy\ndzieleniu przez 3 resztę 2\nLUB\n3) dwie z tych liczb dają przy dzieleniu przez 3 resztę 2, a jedna z tych liczb jest podzielna\nprzez 3.\nPonieważ w zbiorze 𝕄 mamy:\n𝑛 liczb podzielnych przez 3,\n𝑛+ 1 liczb, które przy dzieleniu przez 3 dają resztę 1,\n𝑛 liczb, które przy dzieleniu przez 3 dają resztę 2,\nwięc\n|𝐴| = (𝑛\n2) ⋅(𝑛+ 1\n1\n) + (𝑛+ 1\n2\n) ⋅(𝑛\n1) + (𝑛\n2) ⋅(𝑛\n1) =\nPrzykładowe zadania z rozwiązaniami\n93\n= 𝑛(𝑛-1)(𝑛+ 1)\n2\n+ (𝑛+ 1) ⋅𝑛⋅𝑛\n2\n+ 𝑛(𝑛-1)𝑛\n2\n= 𝑛(𝑛2 -1 + 𝑛2 + 𝑛+ 𝑛2 -𝑛)\n2\n= 𝑛(3𝑛2 -1)\n2\nPrawdopodobieństwo zdarzenia 𝐴 jest równe\n𝑃(𝐴) =\n𝑛(3𝑛2 -1)\n2\n(3𝑛+ 1)𝑛(3𝑛-1)\n2\n(3𝑛2 -1)\n(3𝑛+ 1)(3𝑛-1)","answer":null,"answer_text":null,"solution":null,"image":"img/informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-rozszerzony/zad-28.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":91,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2023","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny"},{"id":"informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-rozszerzony/zad/29","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-rozszerzony","number":"29","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2023,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 29. (0-4)\nPan Nowak często gra z synem w szachy. Obliczył,\nże 60% rozegranych partii wygrywa jego syn.\nOblicz, ile partii szachów musi rozegrać z synem pan Nowak, aby prawdopodobieństwo\nwygrania przez ojca przynajmniej jednej partii w całej rozgrywce było większe od 𝟎, 𝟗𝟓.\n94\nInformator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie rozszerzonym od roku szkolnego 2022/2023\nWymaganie ogólne\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji.\n2.\nDobieranie i tworzenie modeli matematycznych przy rozwiązywaniu problemów\npraktycznych i teoretycznych.\nWymaganie szczegółowe\nXII. Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka. Zdający:\n2R) stosuje schemat Bernoulliego.\nZasady oceniania\n4 pkt - rozwiązanie nierówności: 1 -(0,6)𝑛> 0,95 i podanie odpowiedzi.\n3 pkt - zastosowanie wzoru na prawdopodobieństwo uzyskania 𝑘 sukcesów w 𝑛 próbach\ni zapisanie nierówności: 1 -(0,6)𝑛> 0,95.\n2 pkt - zapisanie nierówności: 1 -𝑃(𝑆𝑛\n0) > 0,95.\n1 pkt - obliczenie prawdopodobieństwa sukcesu i porażki.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nPróbą Bernoullego jest rozegranie pojedynczej partii szachów z synem. Sukcesem w tej próbie\njest wygrana pana Nowaka z synem w pojedynczej partii.\nPrawdopodobieństwo sukcesu jest równe 𝑝= 0,4, natomiast prawdopodobieństwo porażki\njest równe 𝑞= 0,6.\nNiech 𝑛 oznacza szukaną liczbę partii oraz niech\n𝑆𝑛\n0 - oznacza niewygranie przez ojca żadnej partii szachów,\n𝑆𝑛\n1 - oznacza wygranie przez ojca jednej partii szachów,\n𝑆𝑛\n2 - oznacza wygranie przez ojca dwóch partii szachów,\n⋮\n𝑆𝑛\n𝑛 - oznacza wygranie przez ojca 𝑛 partii szachów.\nKorzystamy ze schematu Bernoullego. Prawdopodobieństwo wygrania przez pana Nowaka co\nnajmniej jednej partii szachów jest równe\n𝑃(𝑆𝑛\n1 ∪𝑆𝑛\n2 ∪𝑆𝑛\n3 ∪… ∪𝑆𝑛\n𝑛) = 1 -𝑃(𝑆𝑛\n0)\nZatem\n1 -𝑃(𝑆𝑛\n0) > 0,95\n1 -(𝑛\n0) ⋅(0,4)0 ⋅(0,6)𝑛> 0,95\n1 -(0,6)𝑛> 0,95\n(0,6)𝑛< 0,05\n𝑛≥6\nPan Nowak musi rozegrać z synem co najmniej sześć partii.\nPrzykładowe zadania z rozwiązaniami\n95","answer":null,"answer_text":null,"solution":null,"image":"img/informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-rozszerzony/zad-29.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":93,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2023","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny"},{"id":"informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-rozszerzony/zad/30","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-rozszerzony","number":"30","points":3,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2023,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 30. (0-3)\nPewna choroba dotyka 0,2% całej populacji i w początkowym stadium nie daje widocznych\nobjawów chorobowych. W ramach profilaktyki stosuje się pewien test przesiewowy, który daje\nwynik pozytywny lub negatywny. Prawdopodobieństwo tego, że test wykonany na osobie\nchorej da wynik pozytywny (oznaczający chorobę) jest równe 0,99. Ponadto wiadomo, że\nprawdopodobieństwo tego, że test wykonany na osobie zdrowej da wynik negatywny, jest\nrówne 0,98.\nPan X poddał się testowi, który dał wynik pozytywny. Pozytywny wynik oznacza podejrzenie\nchoroby.\nOblicz prawdopodobieństwo tego, że Pan X jest rzeczywiście chory.\nWymaganie ogólne\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji.\n1.\nStosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi […].\nWymaganie szczegółowe\nXII. Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka. Zdający:\n1R) […] stosuje wzór Bayesa […].\nZasady oceniania\n3 pkt - poprawna metoda obliczenia szukanego prawdopodobieństwa i prawidłowy wynik.\n2 pkt - zastosowanie wzoru Bayesa.\n1 pkt - obliczenie prawdopodobieństw warunkowych 𝑃(-|𝐶) oraz 𝑃(+|𝑍).\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\n96\nInformator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie rozszerzonym od roku szkolnego 2022/2023\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nPrzyjmijmy następujące oznaczenia:\n„+” - zdarzenie polegające na tym, że wylosowana osoba z populacji poddana testowi otrzyma\nwynik pozytywny,\n„-” - zdarzenie polegające na tym, że wylosowana osoba z populacji poddana testowi otrzyma\nwynik negatywny,\n𝑍 - zdarzenie polegające na tym, że wylosowana osoba z populacji jest zdrowa,\n𝐶 - zdarzenie polegające na tym, że wylosowana osoba z populacji jest chora.\nNależy obliczyć 𝑃(𝐶|+).\nZgodnie z treścią zadania:\n𝑃(𝐶) = 0,002,\nwięc\n𝑃(𝑍) = 0,998\n𝑃(+|𝐶) = 0,99,\nwięc\n𝑃(-|𝐶) = 0,01\n𝑃(-|𝑍) = 0,98,\nwięc\n𝑃(+|𝑍) = 0,02.\nStosujemy twierdzenie Bayesa i obliczamy szukane prawdopodobieństwo:\n𝑃(𝐶|+) = 𝑃(+|𝐶) ⋅\n𝑃(𝐶)\n𝑃(+|𝑍) ⋅𝑃(𝑍) + 𝑃(+|𝐶) ⋅𝑃(𝐶)\n𝑃(𝐶|+) = 0,99 ⋅\n0,002\n0,02 ⋅0,998 + 0,99 ⋅0,002 ≈0,09\nZatem szukane prawdopodobieństwo wynosi ok. 0,09.\nPrzykładowe zadania z rozwiązaniami\n97","answer":null,"answer_text":null,"solution":null,"image":"img/informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-rozszerzony/zad-30.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":95,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2023","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny"},{"id":"informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-rozszerzony/zad/31","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-rozszerzony","number":"31","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2023,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 31. (0-4)\nW pewnym mieście jest prostopadły układ ulic,\na ruch na każdej z nich jest dwukierunkowy. W\ncentrum miasta znajduje się park, gdzie\nobowiązuje całkowity zakaz ruchu pojazdów.\nSchemat ulic w tym mieście wraz z położeniem\nparku przedstawiono poniżej na rysunku.\nTomek znajduje się w punkcie 𝐴 miasta i chce\ndojechać najkrótszą drogą do punktu 𝐵.\nOblicz, ile jest najkrótszych dróg z 𝑨 do 𝑩.\n𝐴\n𝐵\nstarówka\n98\nInformator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie rozszerzonym od roku szkolnego 2022/2023\nWymagania ogólne\nII. Wykorzystanie i tworzenie informacji.\n2.\n[…] operowanie informacjami przedstawionymi w tekście […] w formie wykresów,\ndiagramów […].\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji.\n2.\nDobieranie i tworzenie modeli matematycznych przy rozwiązywaniu problemów\npraktycznych i teoretycznych.\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n4.\nStosowanie i tworzenie strategii przy rozwiazywaniu zadań, również w sytuacjach\nnietypowych.\nWymagania szczegółowe\nXI. Kombinatoryka. Zdający:\n1R) oblicza\nliczbę\nmożliwych\nsytuacji,\nspełniających\nokreślone\nkryteria,\nz wykorzystaniem reguły mnożenia i dodawania (także łącznie) oraz wzorów na\nliczbę […] kombinacji […];\n2R) stosuje współczynnik dwumianowy (symbol Newtona) i jego własności przy\nrozwiązywaniu problemów kombinatorycznych.\nZasady oceniania\n4 pkt - prawidłowa metoda wyznaczenia wszystkich najkrótszych dróg z 𝐴 do 𝐵 i prawidłowy\nwynik.\n3 pkt - obliczenie\nliczby\nwszystkich\nnajkrótszych\ndróg\nz\n𝐴\ndo\n𝐾\n(gdzie\n𝐾∈{𝐶, 𝐷, 𝐸, 𝐹, 𝐺}).\n2 pkt - zapisanie, że liczba wszystkich najkrótszych dróg z 𝐴 do 𝐵 przechodzących przez\npunkt 𝐾 (gdzie 𝐾∈{𝐶, 𝐷, 𝐸, 𝐹, 𝐺}) jest iloczynem liczby wszystkich najkrótszych dróg\nz 𝐴 do 𝐾 i liczby wszystkich najkrótszych dróg z 𝐾 do 𝐵.\n1 pkt - zapisanie, że każda najkrótsza droga z 𝐴 do 𝐵 musi przechodzić przez jeden\nz punktów 𝐶- 𝐺.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe zadania z rozwiązaniami\n99\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nW poniższym rozwiązaniu przez 𝑛(𝐾, 𝐿) rozumieć będziemy liczbę wszystkich najkrótszych\ndróg z punktu 𝐾 do punktu 𝐿.\nZaznaczmy na schemacie ulic punkty 𝐶, 𝐷, 𝐸, 𝐹, 𝐺 (patrz rysunek 1.).\nZauważmy, że każda najkrótsza droga z 𝐴 do 𝐵 musi przechodzić przez któryś z punktów\n𝐶, 𝐷, 𝐸, 𝐹 lub 𝐺. Ponadto, liczba wszystkich najkrótszych dróg z 𝐴 do 𝐵 przechodzących\nprzez 𝐶 jest równa 𝑛(𝐴, 𝐶) ⋅𝑛(𝐶, 𝐵). Analogicznie, liczba wszystkich najkrótszych dróg z 𝐴\ndo 𝐵 przechodzących przez 𝐷 jest równa 𝑛(𝐴, 𝐷) ⋅𝑛(𝐷, 𝐵) itd.\nObliczymy 𝑛(𝐴, 𝐶), czyli liczbę wszystkich najkrótszych dróg z 𝐴 do 𝐶. Kierunek wyznaczony\nna rysunku 1. przez prostą 𝐴𝐺 nazwiemy poziomym, a kierunek prostopadły do poziomego\n- pionowym. Każda najkrótsza droga z 𝐴 do 𝐶 składa się z dokładnie 11 odcinków:\n2 poziomych i 9 pionowych. Wskazanie 2 odcinków (spośród 11), które mają być poziome,\nokreśla nam jednoznacznie najkrótszą drogę z 𝐴 do 𝐶. Stąd najkrótszych dróg z 𝐴 do 𝐶\njest (11\n2 ).\nNa rysunku 2. przedstawiono najkrótszą drogę z 𝐴 do 𝐶, gdzie odcinki trzeci i ósmy są\npoziome, a pozostałe - pionowe.\nNa rysunku 3. przedstawiono najkrótszą drogę z 𝐴 do 𝐶, która odpowiada wyborowi odcinków\nszóstego i jedenastego jako odcinków poziomych.\nRysunek 1.\n𝐹\n𝐺\n𝐸\n𝐶\n𝐷\n𝐴\n𝐵\npark\n100\nInformator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie rozszerzonym od roku szkolnego 2022/2023\nPodobnie rozumując, otrzymujemy\n𝑛(𝐴, 𝐶) ⋅𝑛(𝐶, 𝐵) = (11\n2 ) ⋅(13\n0 ) = 55 ⋅1 = 55\n𝑛(𝐴, 𝐷) ⋅𝑛(𝐷, 𝐵) = (11\n3 ) ⋅(13\n1 ) = 165 ⋅13 = 2145\n𝑛(𝐴, 𝐸) ⋅𝑛(𝐸, 𝐵) = (11\n4 ) ⋅(13\n2 ) = 330 ⋅78 = 25740\n𝑛(𝐴, 𝐹) ⋅𝑛(𝐹, 𝐵) = (13\n1 ) ⋅(11\n3 ) = 13 ⋅165 = 2145\n𝑛(𝐴, 𝐺) ⋅𝑛(𝐺, 𝐵) = (13\n0 ) ⋅(11\n2 ) = 1 ⋅55 = 55\nwięc 𝑛(𝐴, 𝐵) = 55 + 2145 + 25740 + 2145 + 55 = 30140.\nRysunek 2.\n𝐶\n𝐴\n1\n2\n3\n4\n5\n6\n7\n8\n9\n10\n11\nRysunek 3.\n𝐶\n𝐴\n1\n2\n3\n4\n5\n6\n7\n8\n9\n10\n11\nInformacja o egzaminie maturalnym z matematyki dla absolwentów niesłyszących\n101\n3.\nInformacja o egzaminie maturalnym z matematyki dla\nabsolwentów niesłyszących\nInformacje o egzaminie maturalnym z matematyki przedstawione w rozdziale 1. Opis\negzaminu maturalnego z matematyki dotyczą również egzaminu dla absolwentów\nniesłyszących. Ponadto zdający niesłyszący przystępują do egzaminu maturalnego\nw warunkach i formie dostosowanych do potrzeb wynikających z ich niepełnosprawności.\nDostosowanie warunków przeprowadzenia egzaminu maturalnego dla absolwentów\nniesłyszących obejmuje m.in. czas trwania egzaminu. Dostosowanie formy egzaminu\nmaturalnego z matematyki dla absolwentów niesłyszących polega na przygotowaniu\nodpowiednich arkuszy, w których uwzględnia się zmianę sposobu formułowania treści\nniektórych zadań i poleceń. Zmiany te dotyczą zamiany pojedynczych słów, zwrotów lub\ncałych zdań - jeśli mogłyby one być niezrozumiałe lub błędnie zrozumiane przez osoby\nniesłyszące. Zadania mogą być dodatkowo uzupełnione szkicem, tabelą lub inną formą\ngraficzną ilustrującą ich treść. Jednak takie zmiany nie mogą wpływać na merytoryczną treść\nzadania oraz nie mogą dotyczyć terminów typowych dla danej dziedziny wiedzy.\nSzczegółowe informacje z tym związane określone są w Komunikacie dyrektora Centralnej\nKomisji Egzaminacyjnej w sprawie szczegółowych sposobów dostosowania warunków i form\nprzeprowadzania egzaminu maturalnego w danym roku szkolnym.\nW dalszej części tego rozdziału zostały przedstawione przykładowe zadania, które ilustrują\nsposób dostosowania niektórych zadań wybranych z rozdziału 2. Przykładowe zadania\nz rozwiązaniami. Zachowano tę samą numerację zadań.\n102\nInformator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie rozszerzonym od roku szkolnego 2022/2023\nZadanie 6. (0-4)\nFunkcja kwadratowa 𝑓 jest określona wzorem 𝑓(𝑥) = 𝑝𝑥2 + (𝑝-1)𝑥+ 1 -2𝑝 dla\nkażdego 𝑥∈ℝ.\nWyznacz wszystkie wartości parametru 𝒑, dla których funkcja 𝒇 ma dokładnie dwa\nmiejsca zerowe 𝒙𝟏 i 𝒙𝟐, których różnica równa się 𝟏.\nZasady oceniania\n4 pkt - zapisanie zbioru tych wszystkich wartości parametru 𝑝, dla których funkcja ma dwa\ndokładnie dwa miejsca zerowe różniące się o 1 .\n3 pkt - zapisanie nierówności Δ > 0 w zależności od parametru 𝑝 i jej rozwiązanie oraz\nzapisanie warunku |𝑥1 -𝑥2| = 1 w zależności od parametru 𝑝 i jego rozwiązanie.\n2 pkt - zapisanie nierówności Δ > 0 w zależności od parametru 𝑝 i jej rozwiązanie\nLUB\nzapisanie warunku |𝑥1 -𝑥2| = 1 w zależności od parametru 𝑝 i jego rozwiązanie.\n1 pkt - wyznaczenie warunków koniecznych i dostatecznych na to, aby funkcja 𝑓 miała\ndokładnie dwa miejsca zerowe różniące się o 1.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nInformacja o egzaminie maturalnym z matematyki dla absolwentów niesłyszących\n103\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nWyznaczamy warunki konieczne i dostateczne na to, aby funkcja 𝑓 miała dokładnie dwa\nmiejsca zerowe, których różnica wynosi jeden:\nW1. 𝑝≠0\n(z treści zadania 𝑓 jest funkcją kwadratową)\nW2. Δ > 0\n(aby funkcja 𝑓 miała dokładnie dwa miejsca zerowe)\nW3. |𝑥1 -𝑥2| = 1 (aby miejsca zerowe funkcji 𝑓 różniły się o 1).\nRozwiązujemy warunek W2:\nΔ > 0\n(𝑝-1)2 -4𝑝(1 -2𝑝) > 0\n9𝑝2 -6𝑝+ 1 > 0\n(3𝑝-1)2 > 0\n𝑝∈(-∞, 1\n3) ∪(1\n3 , +∞)\nRozwiązujemy warunek W3. Skorzystamy tutaj ze wzorów Viète’a.\n|𝑥1 -𝑥2| = 1\n(𝑥1 -𝑥2)2 = 1\n𝑥₁2 -2𝑥₁ ⋅𝑥₂ + 𝑥2² = 1\n𝑥₁2 -2𝑥₁ ⋅𝑥₂ + 𝑥2² + 2𝑥₁ ⋅𝑥₂ -2𝑥₁ ⋅𝑥₂ = 1\n(𝑥1 + 𝑥2)2 -4𝑥1 ⋅𝑥2 = 1\nGdy 𝑝≠0 mamy\n(-𝑝-1\n𝑝\n)\n2\n-4 ⋅1 -2𝑝\n𝑝\n= 1\n(𝑝-1)2 -4𝑝(1 -2𝑝) = 𝑝2\n8𝑝2 -6𝑝+ 1 = 0\n𝑝= 1\n2 lub 𝑝= 1\n4\nPo uwzględnieniu wszystkich warunków otrzymujemy: 𝑝= 1\n2 lub 𝑝= 1\n4 .\n104\nInformator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie rozszerzonym od roku szkolnego 2022/2023\nZadanie 9. (0-4)\nSyzyf codziennie próbuje wtoczyć ciężką kamienną\nkulę na szczyt pewnej góry. Niestety, nie udaje mu\nsię osiągnąć celu.\nPracę zaczyna w chwili 𝑡= 0 od punktu 𝒪\noddalonego od szczytu o 4 km. Położenie 𝑠\nSyzyfa wtaczającego kulę jest opisane równaniem\n𝑠(𝑡) = -𝑡3 + 16,5𝑡2 + 180𝑡 dla 𝑡∈[0, 24]\ngdzie 𝑠 jest wyrażone w metrach, a czas 𝑡 -\nw godzinach.\nOś 𝒪𝑠 jest skierowana do wierzchołka góry i jest styczna w każdym punkcie do zbocza góry.\nOblicz najmniejszą odległość, na jaką Syzyf zbliży się do wierzchołka góry, oraz\nmaksymalną prędkość, z jaką wtacza kamień pod górę.\nZasady oceniania\n4 pkt - poprawna metoda wyznaczenia najmniejszej odległości, na jaką Syzyf zbliży się do\nwierzchołka góry, i poprawna metoda wyznaczenia największej wartości prędkości,\nz jaką wtaczany jest kamień, wraz z prawidłowymi wynikami liczbowymi.\n3 pkt - zapisanie, że prędkość jest pochodną funkcji położenia i znalezienie ekstremów\nfunkcji 𝑠′.\n2 pkt - zbadanie monotoniczności funkcji 𝑠 i znalezienie ekstremów funkcji 𝑠.\n1 pkt - obliczenie pochodnej funkcji 𝑠.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nInformacja o egzaminie maturalnym z matematyki dla absolwentów niesłyszących\n105\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nNajpierw wyznaczymy najmniejszą odległość, na jaką Syzyf zbliży się do wierzchołka góry.\nObliczamy pochodną funkcji 𝑠:\n𝑠′(𝑡) = -3𝑡2 + 33𝑡+ 180 dla\n𝑡∈[0, 24]\ni obliczamy jej miejsca zerowe:\n𝑠′(𝑡) = 0\n-3𝑡2 + 33𝑡+ 180 = 0\n𝑡2 -11𝑡-60 = 0\nΔ = 361\n𝑡1 = 15 𝑡2 < 0\nPonieważ:\n𝑠′(𝑡) > 0 dla 𝑡∈[0,15)\n𝑠′(𝑡) < 0 dla 𝑡∈(15, 24]\nwięc\nfunkcja 𝑠 jest rosnąca w przedziale [0, 15]\nfunkcja 𝑠 jest malejąca w przedziale [15, 24]\nZatem dla 𝑡= 15 funkcja 𝑠 osiąga maksimum, 𝑠𝑚𝑎𝑥= 𝑠(15) = 3037,5. Syzyf po 15\ngodzinach pokonał 3037,5 m, a więc zbliżył się do wierzchołka góry na odległość\n4000 -3037,5 = 962,5 m.\nObliczamy maksymalną wartość prędkości, z jaką Syzyf wtacza kulę.\nNiech v oznacza prędkość Syzyfa wtaczającego kulę.\nPonieważ v = 𝑠′ , więc\nv(𝑡) = 𝑠′(𝑡) = -3𝑡2 + 33𝑡+ 180 dla\n𝑡∈[0, 24]\nKorzystamy z własności funkcji kwadratowej i obliczamy największą wartość prędkości, z jaką\nSyzyf wtacza kulę:\nPierwsza współrzędna wierzchołka paraboli 𝑦= -3𝑡2 + 33𝑡+ 180 ma wartość:\n𝑝= -𝑏\n2𝑎= -\n33\n2 ⋅(-3) = 11\n2 ∈[0, 24]\nWięc, 𝑣(11\n2 ) = -3 (11\n2 )\n2\n+ 33 (11\n2 ) + 180 = 270,75 > 0\nZatem największa wartość prędkości, z jaką Syzyf wtacza kulę pod górę jest równa\n270,75 m/h.\n106\nInformator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie rozszerzonym od roku szkolnego 2022/2023\nZadanie 10. (0-6)\nNa rysunku poniżej przedstawiono położenie czterech miast 𝐴, 𝐵, 𝐶 i 𝐷 oraz przykładową\nsieć dróg między nimi. Sieć trzeba tak zaprojektować, aby łączyła każde dwa z tych miast,\nmiała dwa węzły, a łączna długość jej dróg była możliwie najmniejsza. Punkty 𝐴, 𝐵, 𝐶 i 𝐷 to\nwierzchołki kwadratu o boku 300 km.\nOblicz, jaka musi być długość najkrótszej takiej sieci dróg i gdzie muszą być\nzlokalizowane węzły tej sieci.\n𝐴\n𝐶\n𝐷\n𝐵\nwęzły\n300 km\n300 km\nInformacja o egzaminie maturalnym z matematyki dla absolwentów niesłyszących\n107\nZasady oceniania\n6 pkt - obliczenie długości najkrótszej sieci z dwoma węzłami i podanie lokalizacji węzłów\nwzględem miast.\n5 pkt - obliczenie długości najkrótszej sieci z dwoma węzłami.\n4 pkt - obliczenie wartości najmniejszej funkcji 𝑓.\n3 pkt - obliczenie pochodnej funkcji 𝑓.\n2 pkt - wyrażenie długości sieci za pomocą odległości węzłów od prostych odpowiednio 𝐴𝐷\ni 𝐵𝐶.\n1 pkt - uzasadnienie, że węzły muszą się znajdować na symetralnej odcinka 𝐴𝐷.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nRozpatrzmy sieć dróg złożoną z odcinków 𝐴𝐾, 𝐾𝐿, 𝐿𝐶, 𝐵𝐿 i 𝐷𝐾 (zobacz rysunek 1.)\n𝐴\n𝐵\n𝐶\n𝐷\n𝐾\n𝐿\nRysunek 1.\n108\nInformator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie rozszerzonym od roku szkolnego 2022/2023\nProwadzimy prostą 𝑝 równoległą do 𝐴𝐷 i przechodzącą przez 𝐾 i zaznaczamy na niej\npunkt 𝐾’ taki, że |𝐴𝐾′| = |𝐷𝐾′|.\nProwadzimy prostą równoległą do 𝐵𝐶 i przechodzącą przez 𝐿 i zaznaczamy na niej punkt 𝐿’\ntaki, że |𝐵𝐿′| = |𝐶𝐿′| (patrz rysunek 2.).\nPokażemy, że sieć dróg z węzłami 𝐾 i 𝐿 można zastąpić siecią krótszą - z węzłami 𝐾’ i 𝐿’.\nNiech 𝐷’ będzie punktem symetrycznym do punktu 𝐷 względem prostej 𝑝. Wówczas punkty\n𝐷’, 𝐾’ oraz 𝐴 są współliniowe, więc\n|𝐷𝐾| + |𝐾𝐴| = |𝐷′𝐾| + |𝐾𝐴| ≥|𝐷′𝐴| = |𝐷𝐾′| + |𝐾′𝐴|.\nPodobnie pokazujemy, że |𝐵𝐿| + |𝐿𝐶| ≥|𝐵𝐿′| + |𝐿′𝐶|. Ponadto odcinek 𝐾′𝐿′ jest\nrównoległy do prostej 𝐴𝐵, więc |𝐾′𝐿′| ≤|𝐾𝐿|. Zatem sieć dróg z węzłami 𝐾′ i 𝐿′ jest krótsza\nniż z węzłami 𝐾 i 𝐿.\nOznaczmy odległość punktu 𝐾′ od prostej 𝐴𝐷 przez 𝑥, natomiast punktu 𝐿′ od prostej 𝐵𝐶\nprzez 𝑦 (zobacz rysunek 3).\nDługość 𝑑 sieci z węzłami 𝐾′ i 𝐿′ jest równa\n𝑑= 2√1502 + 𝑥2 + 2√1502 + 𝑦2 + 300 -𝑥-𝑦\ngdzie 𝑥∈[0,300] i 0 ≤𝑥+ 𝑦< 300.\n𝐴\n𝐶\n𝐷\n𝐵\n𝐾\n𝐿\nRysunek 2.\n𝐾′\n𝐿′\n𝑝\n𝐶\n𝐷\n𝑥\nRysunek 3.\n𝑦\n𝐿′\n𝐴\n𝐵\n𝐾′\nInformacja o egzaminie maturalnym z matematyki dla absolwentów niesłyszących\n109\nZauważmy, że funkcje 𝑓(𝑥) = 2√1502 + 𝑥2 -𝑥 i 𝑔(𝑦) = 2√1502 + 𝑦2 -𝑦 mają taką\nsamą postać, w związku z tym zbadamy tylko funkcję 𝑓(𝑥) = 2√1502 + 𝑥2 -𝑥 określoną\ndla 𝑥∈[0,300].\n𝑓′(𝑥) = 2 ⋅1\n2 ⋅\n1\n√1502 + 𝑥2 ⋅2𝑥-1 =\n2𝑥\n√1502 + 𝑥2 -1\n𝑓′(𝑥) = 0\n2𝑥\n√(1502 + 𝑥2)\n= 1\n4𝑥2 = 𝑥2 + 1502\n𝑥= 50√3\n𝑓′(𝑥) > 0 ⟺ 𝑥∈(50√3, 300]\n𝑓′(𝑥) < 0 ⟺ 𝑥∈[0,50√3)\nFunkcja 𝑓 jest malejąca w przedziale [0, 50√3] i rosnąca w przedziale [50√3, 300].\nNajmniejszą wartość funkcja przyjmuje w punkcie 𝑥= 50√3 i wartość ta jest równa\n𝑓(50√3) = 150√3.\nZatem\n𝑑= 𝑓(𝑥) + 𝑓(𝑦) + 300 ≥300(1 + √3)\nprzy czym równość zachodzi tylko wtedy, gdy 𝑥= 𝑦= 50√3. Najkrótsza sieć dróg ma zatem\ndługość 300(1 + √3) km i składa się z 5 odcinków: 𝐴𝐾′, 𝐾′𝐿′, 𝐿′𝐶, 𝐵𝐿′ i 𝐷𝐾′.\nWęzeł 𝐾′ jest równo oddalony (w odległości 100√3 km) od miast 𝐴 i 𝐷, natomiast węzeł 𝐿′\njest równo oddalony (w odległości 100√3 km) od miast 𝐵 i 𝐶 (patrz rysunek 3.).\nZauważmy jeszcze, że w przypadku sieci dróg z jednym węzłem, najkrótsza taka sieć będzie\nmiała długość równą 600√2 km (i węzeł w środku kwadratu 𝐴𝐵𝐶𝐷). Będzie więc dłuższa\nniż sieć z dwoma węzłami.\n110\nInformator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie rozszerzonym od roku szkolnego 2022/2023\nZadanie 19. (0-4)\nNa rysunku obok przedstawiono położenie miejscowości\n𝐴, 𝐵 i 𝐶 oraz zaznaczono odległości między nimi.\nO godzinie 9:00 z miejscowości 𝐴 do 𝐶 wyruszyli\nharcerze\nz\nzastępu\n„Tropiciele”\ni\nmaszerowali\nz prędkością 4 km/h. O tej samej godzinie z miejscowości\n𝐵 do 𝐴 wyruszyli harcerze z zastępu „Korsarze”\ni maszerowali z prędkością 2 km/h.\nWyznacz godzinę, o której odległość między tymi zastępami harcerzy będzie\nnajmniejsza.\n𝐴\n𝐵\n𝐶\n15 km\n20 km\nInformacja o egzaminie maturalnym z matematyki dla absolwentów niesłyszących\n111\nZasady oceniania\ndla rozwiązania sposobem 1.\n4 pkt - prawidłowa metoda wyznaczenia chwili, w której odległość między zastępami będzie\nnajmniejsza i prawidłowa odpowiedź.\n3 pkt - uzasadnienie, że odległość 𝑑 jest najmniejsza wtedy, gdy wyrażenie\npodpierwiastkowe 20𝑡2 -60𝑡+ 225 jest możliwie najmniejsze oraz podanie zakresu\nzmienności 𝑡.\n2 pkt - wyrażenie odległości 𝑑 między zastępami za pomocą czasu 𝑡, jaki upłynął od\nmomentu wyruszenia zastępów.\n1 pkt - wyrażenie odległości poszczególnych zastępów od miejscowości 𝐴 za pomocą czasu,\njaki upłynął od momentu wyruszenia zastępów.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\ndla rozwiązania sposobem 2.\n4 pkt - uzasadnienie (np. poprzez zbadanie monotoniczności), że dla 𝑡= 1,5 funkcja 𝑑(𝑡)\nosiąga minimum globalne i podanie prawidłowej odpowiedzi.\n3 pkt - podanie dziedziny funkcji 𝑑(𝑡), obliczenie pochodnej funkcji 𝑑(𝑡) i znalezienie\npunktów krytycznych.\n2 pkt - wyrażenie odległości 𝑑 między zastępami za pomocą czasu 𝑡, jaki upłynął od\nmomentu wyruszenia zastępów.\n1 pkt - wyrażenie odległości poszczególnych zastępów od miejscowości 𝐴 za pomocą czasu,\njaki upłynął od momentu wyruszenia zastępów.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób 1.\nNiech 𝑑1 będzie odległością (w km) zastępu „Tropiciele” od miejscowości 𝐴.\nWyznaczamy zależność 𝑑1 od czasu 𝑡 (w godzinach), jaki upłynął od chwili wyruszenia\nzastępu z miejscowości 𝐴:\n𝑑1(𝑡) = 4𝑡\ndla 𝑡∈[0, 5],\ngdzie 4 to prędkość (w km/h) marszu „Tropicieli”.\nNiech 𝑑2 będzie odległością (w km) zastępu „Korsarze” od miejscowości 𝐴.\nWyznaczamy zależność 𝑑2 od czasu 𝑡 (w godzinach), jaki upłynął od chwili wyruszenia\nzastępu z miejscowości B:\n𝑑2(𝑡) = 15 -2𝑡 dla 𝑡∈[0, 15\n2 ],\ngdzie 2 to prędkość (w km/h) marszu „Korsarzy”.\nOdległość 𝑑 między zastępami w chwili 𝑡 jest równa\n𝑑(𝑡) = √𝑑1\n2(𝑡) + 𝑑2\n2(𝑡) = √16𝑡2 + (15 -2𝑡)2 dla 𝑡∈[0, 15\n2 ].\n112\nInformator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie rozszerzonym od roku szkolnego 2022/2023\nBadamy, dla jakiego argumentu 𝑡∈[0, 15\n2 ] funkcja 𝑑 osiąga wartość najmniejszą.\nPonieważ funkcja 𝑔(𝑥) = √𝑥 jest funkcją rosnącą w przedziale [0, +∞), więc funkcja 𝑑\nosiąga wartość najmniejszą wtedy, gdy funkcja\n𝑓(𝑡) = 16𝑡2 + (15 -2𝑡)2 = 20𝑡2 -60𝑡+ 225 określona dla 𝑡∈[0, 15\n2 ]\nosiąga wartość najmniejszą.\nFunkcja 𝑓(𝑡) = 20𝑡2 -60𝑡+ 225 jest funkcją kwadratową, osiąga więc wartość\nnajmniejszą dla argumentu 𝑡 równego\n𝑡= --60\n2⋅20 = 1,5 ∈[0, 15\n2 ].\nZatem funkcja 𝑑 osiąga wartość najmniejszą dla argumentu 𝑡= 1,5.\nOdległość między zastępami harcerzy będzie najmniejsza po upływie półtorej godziny, czyli\no godzinie 10:30.\nSposób 2.\nNiech 𝑑1 będzie odległością (w km) zastępu „Tropiciele” od miejscowości 𝐴.\nWyznaczamy zależność 𝑑1 od czasu 𝑡 (w godzinach), jaki upłynął od chwili wyruszenia\nzastępu z miejscowości 𝐴:\n𝑑1(𝑡) = 4𝑡\ndla 𝑡∈[0, 5], gdzie 4 to prędkość (w km/h) marszu „Tropicieli”.\nNiech 𝑑2 będzie odległością (w km) zastępu „Korsarze” od miejscowości 𝐴.\nWyznaczamy zależność 𝑑2 od czasu 𝑡 (w godzinach), jaki upłynął od chwili wyruszenia\nzastępu z miejscowości 𝐵:\n𝑑2(𝑡) = 15 -2𝑡 dla 𝑡∈[0, 15\n2 ], gdzie 2 to prędkość (w km/h) marszu „Korsarzy”.\nOdległość 𝑑 między zastępami w chwili 𝑡 wynosi\n𝑑(𝑡) = √𝑑1\n2(𝑡) + 𝑑2\n2(𝑡) = √16𝑡2 + (15 -2𝑡)2 dla 𝑡∈[0, 15\n2 ].\nBadamy, dla jakiego argumentu 𝑡∈[0, 15\n2 ] funkcja 𝑑 osiąga wartość najmniejszą.\nObliczamy pochodną funkcji 𝑑:\n𝑑′(𝑡) = (√16𝑡2 + (15 -2𝑡)2)\n′\n⋅[16𝑡2 + (15 -2𝑡)2]′ =\n1\n2√16𝑡2 + (15 -2𝑡)2 ⋅[32𝑡+ 2 ⋅(15 -2𝑡) ⋅(-2)] =\n20𝑡-30\n√16𝑡2 + (15 -2𝑡)2\nInformacja o egzaminie maturalnym z matematyki dla absolwentów niesłyszących\n113\ndla 𝑡∈[0, 15\n2 ].\nWyznaczamy miejsca zerowe pochodnej funkcji 𝑑:\n20𝑡-30\n√16𝑡2 + (15 -2𝑡)2 = 0\n20𝑡-30 = 0\n𝑡= 3\n2 ∈[0, 15\n2 ]\nSprawdzamy, czy w punkcie 𝑡= 3\n2 funkcja 𝑑 osiąga ekstremum.\nBadamy monotoniczność funkcji 𝑑. Ponieważ\n𝑑′(𝑡) > 0 dla 𝑡∈(3\n2 , 15\n2 ]\n𝑑′(𝑡) < 0 dla 𝑡∈[0, 3\n2)\nwięc\nfunkcja 𝑑 jest rosnąca w przedziale [3\n2 , 15\n2 ]\nfunkcja 𝑑 jest malejąca w przedziale [0, 3\n2],\nco oznacza, że w punkcie 𝑡= 1,5 funkcja 𝑑 osiąga wartość najmniejszą.\nOdległość między zastępami harcerzy będzie najmniejsza po upływie półtorej godziny, czyli\no godzinie 10:30.\n114\nInformator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie rozszerzonym od roku szkolnego 2022/2023\nZadanie 21. (0-5)\nW ostrosłupie prawidłowym czworokątnym 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸 punkt 𝑂 jest środkiem symetrii podstawy\nostrosłupa. Stosunek obwodu podstawy 𝐴𝐵𝐶𝐷 do sumy długości wszystkich krawędzi\nostrosłupa jest równy 1: 5. Przez przekątną 𝐴𝐶 podstawy i środek 𝑆 krawędzi bocznej 𝐵𝐸\npoprowadzono płaszczyznę (patrz rysunek ).\nOblicz stosunek pola otrzymanego przekroju do pola podstawy ostrosłupa oraz miarę\nkąta 𝑩𝑺𝑶 (w zaokrągleniu do 𝟏°).\n𝐴\n𝐵\n𝐶\n𝐷\n𝐸\n𝑆\n𝑂\n𝛼\nInformacja o egzaminie maturalnym z matematyki dla absolwentów niesłyszących\n115\nZasady oceniania\ndla rozwiązań sposobami 1. oraz 2.\n5 pkt - wyznaczenie miary kąta 𝐵𝑆𝑂 oraz obliczenie stosunku pola przekroju do pola\npodstawy ostrosłupa.\n4 pkt - obliczenie wartości cosinusa kąta 𝐵𝑆𝑂 oraz stosunku pola przekroju do pola podstawy\nostrosłupa\nLUB\nwyznaczenie miary kąta 𝐵𝑆𝑂.\n3 pkt - obliczenie stosunku pola przekroju do pola podstawy ostrosłupa\nLUB\nobliczenie wartości cosinusa kąta 𝐵𝑆𝑂.\n2 pkt - wyznaczenie długości odcinka 𝑂𝑆 w zależności od długości krawędzi podstawy.\n1 pkt - wyznaczenie długości krawędzi bocznej w zależności od długości krawędzi podstawy.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\ndla rozwiązania sposobem 3.\n5 pkt - wyznaczenie miary kąta 𝐵𝑆𝑂 oraz obliczenie stosunku pola przekroju do pola\npodstawy ostrosłupa.\n4 pkt - obliczenie cosinusa kąta 𝑂𝐸𝐵 lub 𝐹𝐵𝑆.\n116\nInformator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie rozszerzonym od roku szkolnego 2022/2023\n3 pkt - obliczenie stosunku pola przekroju do pola podstawy ostrosłupa.\n2 pkt - wyznaczenie długości odcinków 𝑆𝐹 i 𝑂𝐹.\n1 pkt - wyznaczenie długości krawędzi bocznej w zależności od długości krawędzi podstawy.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób 1.\nPrzyjmijmy oznaczenia jak na rysunku 1.\nWyznaczamy zależność 𝑏 od 𝑎.\nZ treści zadania wiemy, że stosunek obwodu podstawy do\nsumy długości wszystkich krawędzi ostrosłupa jest równy 1: 5,\nwięc\n4𝑎\n4𝑎+4𝑏=\n1\n5 , co daje 𝑏= 4𝑎.\nWyznaczamy zależność |𝑂𝑆 | od 𝑎.\nTrójkąt 𝑂𝐵𝐸 jest\nprostokątny,\npunkt 𝑆 jest\nśrodkiem\nprzeciwprostokątnej, więc 𝑆 jest środkiem okręgu opisanego\nna trójkącie 𝑂𝐵𝐸 (patrz rysunek 2.).\nZatem |𝑂𝑆| = 2𝑎.\nObliczamy stosunek pola przekroju 𝐴𝐶𝑆 do pola podstawy\nostrosłupa:\n𝑃𝐴𝐶𝑆\n𝑃𝐴𝐵𝐶𝐷\n1\n2 ⋅𝑎√2 ⋅|OS|\n𝑎2\n1\n2 ⋅𝑎√2 ⋅2𝑎\n𝑎2\n= √2\n𝑂\n𝐵\n𝐸\n𝑆\nα\n2𝑎\n2𝑎\nRysunek 2.\n𝐴\n𝐵\n𝐶\n𝐷\n𝐸\n𝑆\n𝑂\n𝛼\nRysunek 1.\n𝑎\n𝑏\nInformacja o egzaminie maturalnym z matematyki dla absolwentów niesłyszących\n117\nDo trójkąta 𝐵𝑆𝑂 zastosujemy twierdzenie cosinusów w celu obliczenia cosinusa kąta 𝐵𝑆𝑂:\n(𝑎√2\n2 )\n2\n= (2𝑎)2 + (2𝑎)2 -2 ⋅2𝑎⋅2𝑎⋅cos 𝛼\nZ ostatniego równania otrzymujemy cos 𝛼= 15\n16 , więc 𝛼≈20°.\nSposób 2.\nPrzyjmijmy oznaczenia jak na rysunku 1.\nWyznaczamy zależność 𝑏 od 𝑎.\nZ treści zadania wiemy, że stosunek obwodu podstawy do sumy długości wszystkich krawędzi\nostrosłupa jest równy 1: 5, więc\n4𝑎\n4𝑎+4𝑏= 1\n5 , co daje 𝑏= 4𝑎.\nDla trójkąta 𝐵𝐸𝐶 zastosujemy twierdzenie cosinusów w celu obliczenia cosinusa kąta 𝐵𝐸𝐶:\n𝑎2 = 𝑏2 + 𝑏2 -2 ⋅𝑏⋅𝑏⋅cos |∡𝐵𝐸𝐶|\n𝑎2 = 16𝑎2 + 16𝑎2 -2 ⋅4𝑎⋅4𝑎⋅cos |∡𝐵𝐸𝐶|\ncos |∡𝐵𝐸𝐶| = 31\n32\nKorzystamy z twierdzenia cosinusów zastosowanego do trójkąta 𝐶𝑆𝐸 i wyznaczamy długość\nodcinka SC:\n|𝑆𝐶|2 = 𝑏2 + (1\n2 𝑏)\n2\n-2 ⋅1\n2 𝑏⋅𝑏⋅cos |∡𝐵𝐸𝐶|\n|𝑆𝐶|2 = 16𝑎2 + 4𝑎2 -16𝑎2 ⋅31\n32\n|𝑆𝐶|2 = 9\n2 𝑎2\n|𝑆𝐶| = 3𝑎\n√2\nStosujemy twierdzenie Pitagorasa do trójkąta 𝑂𝐶𝑆 w celu wyznaczenia długości odcinka 𝑂𝑆:\n|𝑂𝑆|2 = |𝑆𝐶|2 -(√2𝑎\n2 )\n2\n|𝑂𝑆|2 = 9\n2 𝑎2 -1\n2 𝑎2\n|𝑂𝑆| = 2𝑎\n118\nInformator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie rozszerzonym od roku szkolnego 2022/2023\nObliczamy stosunek pola przekroju 𝐴𝐶𝑆 do pola podstawy ostrosłupa:\n𝑃𝐴𝐶𝑆\n𝑃𝐴𝐵𝐶𝐷\n1\n2 ⋅𝑎√2 ⋅|OS|\n𝑎2\n1\n2 ⋅𝑎√2 ⋅2𝑎\n𝑎2\n= √2\nW celu obliczenia cosinusa kąta 𝐵𝑆𝑂 zastosujemy do trójkąta 𝐵𝑆𝑂 (patrz rysunek 2.)\ntwierdzenie cosinusów:\n(𝑎√2\n2 )\n2\n= (2𝑎)2 + (2𝑎)2 -2 ⋅2𝑎⋅2𝑎⋅cos 𝛼\nZ ostatniego równania otrzymujemy cos 𝛼= 15\n16 , więc 𝛼≈20°.\nSposób 3.\nWyznaczamy zależność 𝑏 od 𝑎.\nZ treści zadania wiemy, że stosunek obwodu podstawy do sumy długości wszystkich krawędzi\nostrosłupa jest równy 1: 5, więc\n4𝑎\n4𝑎+4𝑏= 1\n5 , co daje 𝑏= 4𝑎.\nStosujemy twierdzenie Pitagorasa dla trójkąta prostokątnego 𝐵𝑂𝐸 i obliczamy długość\nodcinka 𝑂𝐸:\n|𝑂𝐸|2 = |𝐵𝐸|2 -|𝑂𝐵|2\n|𝑂𝐸|2 = (4𝑎)² -(𝑎√2\n2 )\n2\n|𝑂𝐸|2 = 62\n4 𝑎2\n|𝑂𝐸| = √62\n2 𝑎\nOznaczmy przez 𝐹 rzut prostokątny punktu 𝑆 na odcinek 𝑂𝐵.\nPonieważ |∡𝑂𝐸𝐵| = |∡𝐹𝑆𝐵|, |∡𝑂𝐵𝐸| = |∡𝐹𝐵𝑆| i trójkąty 𝐵𝑂𝐸 oraz 𝐵𝐹𝑆 są prostokątne,\nwięc są podobne (na mocy cechy kkk podobieństwa trójkątów). Trójkąty 𝐵𝑂𝐸 i 𝐵𝐹𝑆 są\npodobne w skali 𝑘=\n|𝐵𝐸|\n|𝐵𝑆| = 4𝑎\n2𝑎= 2. Zatem 𝐹 jest środkiem odcinka 𝑂𝐵, więc\n|𝑂𝐹| = 1\n2 |𝑂𝐵| = 𝑎√2\n4 oraz |𝑆𝐹| = 1\n2 |𝑂𝐸| = √62\n4 𝑎\nInformacja o egzaminie maturalnym z matematyki dla absolwentów niesłyszących\n119\nObliczamy długość odcinka 𝑂𝑆:\n|𝑂𝑆|2 = |𝑂𝐹|2 + |𝑆𝐹|2\n|𝑂𝑆|2 = (𝑎√2\n4 )\n2\n+ (√62\n4 𝑎)\n2\n|𝑂𝑆| = 2𝑎\nObliczamy stosunek pola przekroju 𝐴𝐶𝑆 do pola podstawy ostrosłupa:\n𝑃𝐴𝐶𝑆\n𝑃𝐴𝐵𝐶𝐷\n1\n2 ⋅𝑎√2 ⋅|OS|\n𝑎2\n1\n2 ⋅𝑎√2 ⋅2𝑎\n𝑎2\n= √2\nPonieważ\ncos|∡𝐹𝑆𝐵| = |𝐹𝑆|\n|𝐵𝑆| =\n√62\n4 𝑎\n2𝑎\n= √62\n8\ni trójkąt 𝑂𝑆𝐵 jest równoramienny, więc 𝛼= 2 ⋅|∡𝐹𝑆𝐵|. Zatem\ncos 𝛼= cos(2 ⋅|∡𝐹𝑆𝐵|) = 2 cos2|∡𝐹𝑆𝐵| -1 = 2 ⋅(√62\n8 )\n2\n-1 = 15\n16\nskąd 𝛼≈20°.\nZadanie 23. (0-4)\nTrapez 𝐴𝐵𝐶𝐷 jest wpisany w okrąg o równaniu 𝑥2 + 𝑦2 -38𝑥+ 22𝑦-96 = 0.\nOdcinek 𝐴𝐵 jest dłuższą podstawą tego trapezu. Jego przekątna 𝐴𝐶 jest zawarta w prostej\no równaniu 𝑦= 𝑥. Wierzchołek 𝐴 trapezu ma obie współrzędne ujemne.\nOblicz sinus kąta 𝑨𝑩𝑪.\n120\nInformator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie rozszerzonym od roku szkolnego 2022/2023\nZasady oceniania\ndla rozwiązania sposobem 1.\n4 pkt - zastosowanie twierdzenia sinusów do trójkąta 𝐴𝐵𝐶 i obliczenie sinusa kąta 𝐴𝐵𝐶.\n3 pkt - obliczenie długości promienia okręgu oraz długości odcinka |𝐴𝐶|.\n2 pkt - obliczenie długości promienia oraz współrzędnych wierzchołków 𝐴 i 𝐶 trapezu\nLUB\nobliczenie współrzędnych wierzchołków 𝐴 i 𝐶 trapezu oraz obliczenie długości\nodcinka 𝐴𝐶.\n1 pkt - obliczenie długości promienia okręgu\nLUB\nobliczenie współrzędnych wierzchołków 𝐴 i 𝐶 trapezu.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\ndla rozwiązania sposobem 2.\n4 pkt - zastosowanie twierdzenia sinusów do trójkąta 𝐴𝐵𝐶 i obliczenie sinusa kąta 𝐴𝐵𝐶.\n3 pkt - obliczenie długości odcinka 𝐴𝐶.\n2 pkt - obliczenie odległości środka okręgu od prostej zawierającej przekątną 𝐴𝐶 trapezu.\n1 pkt - obliczenie długości promienia okręgu.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nInformacja o egzaminie maturalnym z matematyki dla absolwentów niesłyszących\n121\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób 1.\nObliczamy długość promienia 𝑅 okręgu z równania ogólnego okręgu.\nGdy 𝑥2 + 𝑦2 -2𝑎𝑥-2𝑏𝑦+ 𝑐= 0, to 𝑅2 = 𝑎2 + 𝑏2 -𝑐.\n𝑅2 = (38\n2 )\n2\n+ (-22\n2 )\n2\n-(-96) = 578\n𝑅= 17√2\nObliczamy współrzędne wierzchołków 𝐴 i 𝐶 trapezu, czyli punkty przecięcia okręgu i prostej:\n{𝑥2 + 𝑦2 -38𝑥+ 22𝑦-96 = 0\n𝑦= 𝑥\n𝑥2 + 𝑥2 -38𝑥+ 22𝑥-96 = 0\n2𝑥2 -16𝑥-96 = 0\nPo rozwiązaniu równania otrzymujemy: 𝑥= -4 lub 𝑥= 12.\nGdy 𝑥= -4, to 𝑦= -4. Gdy 𝑥= 12, to 𝑦= 12.\nPonieważ wierzchołek 𝐴 trapezu ma obie współrzędne ujemne, więc otrzymujemy\n𝐴= (-4, -4) oraz 𝐶= (12, 12).\nObliczamy długość odcinka 𝐴𝐶:\n|𝐴𝐶| = √(12 + 4)2 + (12 + 4)2 = 16√2\nPo zastosowaniu twierdzenia sinusów do trójkąta 𝐴𝐵𝐶 otrzymujemy\n|𝐴𝐶|\nsin |∡𝐴𝐵𝐶| = 2𝑅\nsin |∡𝐴𝐵𝐶| = |𝐴𝐶|\n2𝑅= 16√2\n34√2\n= 8\n17\nSposób 2.\nObliczamy współrzędne środka 𝑆 okręgu i długość 𝑅 promienia okręgu:\n𝑥2 + 𝑦2 -38𝑥+ 22𝑦-96 = 0\n(𝑥-19)2 -361 + (𝑦+ 11)2 -121 -96 = 0\n(𝑥-19)2 + (𝑦+ 11)2 = (17√2)\n2\nZatem środek 𝑆 okręgu ma współrzędne 𝑆= (19, -11), a promień okręgu ma długość\n𝑅= 17√2.\n122\nInformator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie rozszerzonym od roku szkolnego 2022/2023\nNiech 𝐸 będzie środkiem odcinka 𝐴𝐶. Obliczamy |𝑆𝐸| jako odległość punktu 𝑆 od\nprostej 𝐴𝐶 o równaniu 𝑥-𝑦= 0:\n𝑑(𝑆, 𝐴𝐶) = |𝑆𝐸| =\n|19 + 11|\n√2\n= 15√2\nStosujemy twierdzenie Pitagorasa do trójkąta 𝐶𝐸𝑆 w celu obliczenia długości odcinka 𝐸𝐶\n(połowa długości przekątnej 𝐴𝐶 trapezu 𝐴𝐵𝐶𝐷):\n|𝐸𝐶|2 = 𝑅2 -|𝑆𝐸|2\n|𝐸𝐶|2 = (17√2)\n2 -(15√2)\n2 = 128\nZatem |𝐴𝐶| = 2 ⋅|𝐸𝐶| = 16√2.\nPo zastosowaniu twierdzenia sinusów do trójkąta 𝐴𝐵𝐶 otrzymujemy\n|𝐴𝐶|\nsin |∡𝐴𝐵𝐶| = 2𝑅\nsin |∡𝐴𝐵𝐶| =\n|𝐴𝐶|\n2𝑅= 16√2\n34√2\n= 8\n17\nZadanie 27. (0-4)\nCelem wyprawy Tomka i Marka jest zdobycie\nszczytu 𝑆 pewnej góry. Wyprawę panowie\nrozpoczynają w punkcie 𝑃 położonym na\npółnocnym stoku góry, dokładnie na północ od\nszczytu, na wysokości 𝐻0 metrów n.p.m. Tomek\ni Marek chcą najpierw dojść do bazy 𝐵, znajdującej\nsię\ndokładnie\nna\npołudnie\nod\nszczytu,\nna\nprzeciwległym południowym stoku góry na wysokości\n𝐻1 metrów n.p.m. Następnie z bazy chcą wejść na\nszczyt leżący na wysokości 𝐻2 metrów n.p.m. (patrz\nrysunek 1.).\nOblicz długość najkrótszej drogi, jaką muszą\npokonać, aby dojść do bazy B.\nPrzyjmij, że góra jest stożkiem o kącie rozwarcia 𝛼.\nWskazówka: Powierzchnia boczna stożka po rozcięciu\nwzdłuż tworzącej i rozłożeniu jest wycinkiem koła.\nNajkrótsza droga do bazy jest równa najkrótszej drodze\nz punktu 𝑃 do 𝐵 na wycinku koła.\n𝑆\n𝛼\n𝐵\n𝑃\nRys. 1.\nInformacja o egzaminie maturalnym z matematyki dla absolwentów niesłyszących\n123\nZasady oceniania\n4 pkt - prawidłowa metoda obliczenia długości odcinka 𝑃𝐵 na siatce stożka i prawidłowy\nwynik.\n3 pkt - obliczenie miary łukowej kąta 𝐵𝑆𝑃 na siatce stożka i obliczenie długości odcinków\n|𝐵𝑆| oraz |𝑃𝑆|.\n2 pkt - obliczenie miary łukowej kąta 𝐵𝑆𝑃 na siatce stożka\nLUB\nobliczenie długości odcinków |𝐵𝑆| oraz |𝑃𝑆|.\n1 pkt - zapisanie, że najkrótsza droga jest równa długości odcinka 𝑃𝐵 na siatce stożka.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nNiech 𝑙 będzie długością tworzącej stożka, a 𝑟 - długością promienia podstawy.\nRozwiniemy powierzchnię boczną stożka, na której zaznaczymy punkty 𝑃, 𝐵 i 𝑆,\noznaczające: 𝑃- miejsce rozpoczęcia wyprawy, 𝐵-miejsce położenia bazy i 𝑆-szczyt góry.\nDługość odcinka 𝑃𝐵 oznaczymy jako 𝑑. Jest to długość najkrótszej drogi z punktu 𝑃 do\nbazy (zobacz rys. 1.).\n124\nInformator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie rozszerzonym od roku szkolnego 2022/2023\nPowierzchnia boczna stożka po rozwinięciu jest wycinkiem koła o promieniu długości 𝑙.\nWyznaczymy miarę 𝛽 kąta środkowego tego wycinka.\nZe wzorów na pole powierzchni bocznej stożka oraz pole wycinka koła otrzymujemy\n𝜋⋅𝑟⋅𝑙= 𝛽\n2𝜋⋅𝜋⋅𝑙2\n𝛽= 2𝜋⋅𝑟\n𝑙\nZatem\n|∡𝐵𝑆𝑃| = 1\n2 𝛽= 𝜋⋅𝑟\n𝑙\nKąt rozwarcia stożka jest równy 𝛼, więc 𝑟\n𝑙= sin 𝛼\n2 (patrz rysunek 2.), co po podstawieniu do\npoprzedniego równania daje\n|∡𝐵𝑆𝑃| = 𝜋⋅sin 𝛼\n2\nWyrazimy długości odcinków 𝐵𝑆 oraz 𝑃𝑆 w zależności od danych podanych w treści\nzadania.\nRozważmy przekrój osiowy stożka zawierający\npunkty 𝐵, 𝑃 oraz 𝑆 (zobacz rys. 2.). Punkt 𝑆′ na\nrysunku 2. jest rzutem prostokątnym punktu 𝑆 na\npodstawę stożka, natomiast punkt 𝑄 - punktem\nprzecięcia tworzącej 𝑆𝐵 z podstawą stożka.\nZ trójkątów 𝑆𝑆′𝑄 oraz 𝑆𝑇𝐵 otrzymujemy\n|𝐵𝑆| = |𝑆𝑇|\ncos 𝛼\n2\noraz |𝑆𝑄| = |𝑆𝑆′|\ncos 𝛼\n2\n𝑆\n𝐵\n𝑃\n𝑑\nRysunek 1.\n𝛼\n2\n𝛼\n2\n𝑆\n𝑃\n𝐵\n𝑄\nRys. 2.\n𝑆'\n𝑇\n𝑟\n𝑙\nInformacja o egzaminie maturalnym z matematyki dla absolwentów niesłyszących\n125\nZ treści zadania |𝑆𝑇| = 𝐻2 -𝐻1 oraz |𝑆𝑆′| = 𝐻2 -𝐻0, więc\n|𝐵𝑆| = 𝐻2 -𝐻1\ncos 𝛼\n2\noraz |𝑃𝑆| = |𝑆𝑄| = 𝐻2 -𝐻0\ncos 𝛼\n2\nStosujemy twierdzenie cosinusów do trójkąta 𝐵𝑆𝑃: i obliczamy |𝑃𝐵|:\n|𝑃𝐵|2 = |𝑃𝑆|2 + |𝐵𝑆|2 -2 ⋅|𝑃𝑆| ⋅|𝐵𝑆| ⋅cos |∡𝐵𝑆𝑃|\n𝑑= √(𝐻2 -𝐻0\ncos 𝛼\n2\n)\n2\n+ (𝐻2 -𝐻1\ncos 𝛼\n2\n)\n2\n-2(𝐻2 -𝐻0)(𝐻2 -𝐻1)\n(cos 𝛼\n2)\n2\n⋅cos (𝜋⋅sin 𝛼\n2)\n𝑑=\n√(𝐻2 -𝐻0)2 + (𝐻2 -𝐻1)2 -2(𝐻2 -𝐻0)(𝐻2 -𝐻1) cos (𝜋⋅sin 𝛼\n2)\ncos 𝛼\n2\nZadanie 29. (0-4)\nPan Nowak często gra z synem w szachy. Syn\nczęściej wygrywa niż ojciec. Pan Nowak obliczył, że\nsyn wygrywa 60% rozegranych partii.\nOblicz, ile partii szachów z synem musi rozegrać pan Nowak, aby prawdopodobieństwo\nwygrania przez ojca przynajmniej jednej partii w całej rozgrywce było większe od 𝟎, 𝟗𝟓.\n126\nInformator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie rozszerzonym od roku szkolnego 2022/2023\nZasady oceniania\n4 pkt - rozwiązanie nierówności: 1 -(0,6)𝑛> 0,95 i podanie odpowiedzi.\n3 pkt - zastosowanie wzoru na prawdopodobieństwo uzyskania 𝑘 sukcesów w 𝑛 próbach\ni zapisanie nierówności: 1 -(0,6)𝑛> 0,95.\n2 pkt - zapisanie nierówności: 1 -𝑃(𝑆𝑛\n0) > 0,95.\n1 pkt - obliczenie prawdopodobieństwa sukcesu i porażki.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nPróbą Bernoullego jest rozegranie jednej partii szachów ojca z synem. Sukcesem w tej próbie\njest wygrana ojca.\nZ treści zadania wynika, że 60% rozegranych partii wygrywa syn, czyli ojciec wygrywa 40%\nrozegranych partii. W związku z tym prawdopodobieństwo sukcesu ojca w tej próbie jest\nrówne 𝑝= 0,4, natomiast prawdopodobieństwo porażki jest równe 𝑞= 0,6.\nNiech 𝑛 oznacza szukaną liczbę partii oraz niech\n𝑆𝑛\n0 - oznacza niewygranie przez ojca żadnej partii szachów,\n𝑆𝑛\n1 - oznacza wygranie przez ojca jednej partii szachów,\n𝑆𝑛\n2 - oznacza wygranie przez ojca dwóch partii szachów,\n⋮\n𝑆𝑛\n𝑛 - oznacza wygranie przez ojca 𝑛 partii szachów.\nKorzystamy ze schematu Bernoullego. Prawdopodobieństwo wygrania przez pana Nowaka co\nnajmniej jednej partii szachów jest równe\n𝑃(𝑆𝑛\n1 ∪𝑆𝑛\n2 ∪𝑆𝑛\n3 ∪… ∪𝑆𝑛\n𝑛) = 1 -𝑃(𝑆𝑛\n0)\nZatem\n1 -𝑃(𝑆𝑛\n0) > 0,95\n1 -(𝑛\n0) ⋅(0,4)0 ⋅(0,6)𝑛> 0,95\n1 -(0,6)𝑛> 0,95\n(0,6)𝑛< 0,05\n𝑛≥6\nPan Nowak musi rozegrać z synem co najmniej sześć partii.\nInformacja o egzaminie maturalnym z matematyki dla absolwentów niesłyszących\n127\nZadanie 30. (0-3)\nPewna choroba atakuje 0,2% całej populacji. W początkowym stadium nie daje widocznych\nobjawów chorobowych. W ramach profilaktyki, aby wcześniej wykryć chorobę, stosuje się\npewien test przesiewowy. Test ten może dać wynik pozytywny, oznaczający podejrzenie\nchoroby lub negatywny, gdy brak podejrzenia choroby.\nTest ten czasami daje fałszywy wynik. Prawdopodobieństwo tego, że test wykonany na osobie\nchorej da wynik pozytywny, jest równe 0,99. Prawdopodobieństwo tego, że test wykonany na\nosobie zdrowej da wynik negatywny, jest równe 0,98.\nPan X poddał się testowi, który dał wynik pozytywny.\nOblicz prawdopodobieństwo tego, że Pan X jest naprawdę chory.\nZasady oceniania\n3 pkt - poprawna metoda obliczenia szukanego prawdopodobieństwa i prawidłowy wynik.\n2 pkt - zastosowanie wzoru Bayesa.\n1 pkt - obliczenie prawdopodobieństw warunkowych 𝑃(-|𝐶) oraz 𝑃(+|𝑍).\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nPrzyjmijmy następujące oznaczenia:\n„+” - zdarzenie polegające na tym, że wylosowana osoba z populacji poddana testowi otrzyma\nwynik pozytywny,\n„-” - zdarzenie polegające na tym, że wylosowana osoba z populacji poddana testowi otrzyma\nwynik negatywny,\n𝐶 - zdarzenie polegające na tym, że wylosowana osoba z populacji jest chora.\n𝑍 - zdarzenie polegające na tym, że wylosowana osoba z populacji jest zdrowa.\n128\nInformator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie rozszerzonym od roku szkolnego 2022/2023\nNależy obliczyć 𝑃(𝐶|+), czyli prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że pan X\njest chory pod warunkiem otrzymania pozytywnego wyniku testu.\nPonieważ 0,2% populacji choruje na tę chorobę, to 99,8% populacji to ludzie zdrowi, stąd:\n𝑃(𝐶) = 0,002\ni\n𝑃(𝑍) = 0,998.\nPrawdopodobieństwo zdarzenia, że chora osoba ma pozytywny wynik testu wynosi 0,99, więc\nprawdopodobieństwo, że ta osoba ma wynik negatywny, wynosi 1 -0,99 = 0,01. Stąd\n𝑃(+|𝐶) = 0,99\ni\n𝑃(-|𝐶) = 0,01.\nPrawdopodobieństwo zdarzenia, że zdrowa osoba ma negatywny wynik testu wynosi 0,98,\nwięc prawdopodobieństwo, że ta osoba ma wynik pozytywny, wynosi 1 -0,98 = 0,02. Stąd\n𝑃(-|𝑍) = 0,98\ni\n𝑃(+|𝑍) = 0,02.\nStosujemy twierdzenie Bayesa i obliczamy szukane prawdopodobieństwo:\n𝑃(𝐶|+) = 𝑃(+|𝐶) ⋅\n𝑃(𝐶)\n𝑃(+|𝑍) ⋅𝑃(𝑍) + 𝑃(+|𝐶) ⋅𝑃(𝐶)\n𝑃(𝐶|+) = 0,99 ⋅\n0,002\n0,02 ⋅0,998 + 0,99 ⋅0,002 ≈0,09\nZatem szukane prawdopodobieństwo wynosi około 0,09.\nInformacja o egzaminie maturalnym z matematyki dla absolwentów niesłyszących\n129\nZadanie 31. (0-4)\nW pewnym mieście jest prostopadły układ ulic,\nto znaczy, że ulice przecinają się pod kątem\nprostym.\nRuch\nna\nkażdej\nz\nnich\njest\ndwukierunkowy. W centrum miasta znajduje\nsię park, w którym obowiązuje całkowity zakaz\nruchu pojazdów. Schemat ulic w tym mieście\nwraz z położeniem parku przedstawiono na\nrysunku poniżej. Tomek samochodem chce\ndojechać najkrótszą drogą z punktu 𝐴 miasta\ndo punktu 𝐵.\nOblicz, ile jest możliwości wyboru najkrótszej drogi z 𝑨 do 𝑩.\n𝐴\n𝐵\nstarówka\n130\nInformator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie rozszerzonym od roku szkolnego 2022/2023\nZasady oceniania\n4 pkt - prawidłowa metoda wyznaczenia wszystkich najkrótszych dróg z 𝐴 do 𝐵 i prawidłowy\nwynik.\n3 pkt - obliczenie liczby wszystkich najkrótszych dróg z 𝐴 do 𝐾 (gdzie 𝐾∈{𝐶, 𝐷, 𝐸, 𝐹, 𝐺}).\n2 pkt - zapisanie, że liczba wszystkich najkrótszych dróg z 𝐴 do 𝐵 przechodzących przez\npunkt 𝐾 (gdzie 𝐾∈{𝐶, 𝐷, 𝐸, 𝐹, 𝐺}) jest iloczynem liczby wszystkich najkrótszych dróg\nz 𝐴 do 𝐾 i liczby wszystkich najkrótszych dróg z 𝐾 do 𝐵.\n1 pkt - zapisanie, że każda najkrótsza droga z 𝐴 do 𝐵 musi przechodzić przez jeden\nz punktów 𝐶- 𝐺.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nW poniższym rozwiązaniu przez 𝑛(𝐾, 𝐿) rozumieć będziemy liczbę wszystkich najkrótszych\ndróg z punktu 𝐾 do punktu 𝐿.\nZaznaczmy na schemacie ulic punkty 𝐶, 𝐷, 𝐸, 𝐹, 𝐺 (patrz rysunek 1.).\nInformacja o egzaminie maturalnym z matematyki dla absolwentów niesłyszących\n131\nZauważmy, że każda najkrótsza droga z 𝐴 do 𝐵 musi przechodzić przez któryś z punktów\n𝐶, 𝐷, 𝐸, 𝐹 lub 𝐺. Ponadto, liczba wszystkich najkrótszych dróg z 𝐴 do 𝐵 przechodzących\nprzez 𝐶 jest równa 𝑛(𝐴, 𝐶) ⋅𝑛(𝐶, 𝐵). Analogicznie, liczba wszystkich najkrótszych dróg z 𝐴\ndo 𝐵 przechodzących przez 𝐷 jest równa 𝑛(𝐴, 𝐷) ⋅𝑛(𝐷, 𝐵) itd.\nObliczymy 𝑛(𝐴, 𝐶), czyli liczbę wszystkich najkrótszych dróg z 𝐴 do 𝐶. Kierunek wyznaczony\nna rysunku 1. przez prostą 𝐴𝐺 nazwiemy poziomym, a kierunek prostopadły do poziomego\n- pionowym. Każda najkrótsza droga z 𝐴 do 𝐶 składa się z dokładnie 11 odcinków:\n2 poziomych i 9 pionowych. Wskazanie 2 odcinków (spośród 11), które mają być poziome,\nokreśla nam jednoznacznie najkrótszą drogę z 𝐴 do 𝐶. Stąd najkrótszych dróg z 𝐴 do 𝐶\njest (11\n2 ).\nNa rysunku 2. przedstawiono najkrótszą drogę z 𝐴 do 𝐶, gdzie odcinki trzeci i ósmy są\npoziome, a pozostałe - pionowe.\nNa rysunku 3. przedstawiono najkrótszą drogę z 𝐴 do 𝐶, która odpowiada wyborowi odcinków\nszóstego i jedenastego jako odcinków poziomych.\nRysunek 1.\n𝐹\n𝐺\n𝐸\n𝐶\n𝐷\n𝐴\n𝐵\npark\n132\nInformator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie rozszerzonym od roku szkolnego 2022/2023\nPodobnie rozumując, otrzymujemy\n𝑛(𝐴, 𝐶) ⋅𝑛(𝐶, 𝐵) = (11\n2 ) ⋅(13\n0 ) = 55 ⋅1 = 55\n𝑛(𝐴, 𝐷) ⋅𝑛(𝐷, 𝐵) = (11\n3 ) ⋅(13\n1 ) = 165 ⋅13 = 2145\n𝑛(𝐴, 𝐸) ⋅𝑛(𝐸, 𝐵) = (11\n4 ) ⋅(13\n2 ) = 330 ⋅78 = 25740\n𝑛(𝐴, 𝐹) ⋅𝑛(𝐹, 𝐵) = (13\n1 ) ⋅(11\n3 ) = 13 ⋅165 = 2145\n𝑛(𝐴, 𝐺) ⋅𝑛(𝐺, 𝐵) = (13\n0 ) ⋅(11\n2 ) = 1 ⋅55 = 55\nwięc 𝑛(𝐴, 𝐵) = 55 + 2145 + 25740 + 2145 + 55 = 30140.\nRysunek 2.\n𝐶\n𝐴\n1\n2\n3\n4\n5\n6\n7\n8\n9\n10\n11\nRysunek 3.\n𝐶\n𝐴\n1\n2\n3\n4\n5\n6\n7\n8\n9\n10\n11\nUchwała RGNiSW oraz KRASP o informatorach maturalnych od 2023 roku\n135\nUchwała Rady Głównej Nauki i Szkolnictwa Wyższego\noraz Konferencji Rektorów Akademickich Szkół Polskich\no informatorach maturalnych od 2023 roku\nZ opinii Recenzentów:\nZadania przedstawione w Informatorze na poziomie rozszerzonym pogrupowano\nwedług szeroko rozumianych działów […].\nNa poziomie rozszerzonym zrezygnowano z zadań zamkniętych […] zabieg ten może\nlepiej sprawdzać umiejętności matematyczne ucznia.\nNa szczególną uwagę zasługuje np. zadanie 4. Wprowadzone tam zostaje pojęcie\npunktu kratowego. Zadanie sprawdza, czy uczeń rozumie pojęcia zbudowane na bazie\nznanych sobie pojęć; jest to ważna umiejętność w rozwoju matematycznym […].\nBardzo interesujące i niestandardowe jest zadanie 31 […].\nKoncepcja egzaminu maturalnego, która wybija się z Informatora, jest ewolucją\nobecnego egzaminu maturalnego w kierunku jeszcze lepszego sprawdzania\numiejętności rozumowania, a nie mechanicznego rozwiązywania zadań […].\ndr hab. Maciej Borodzik\nUważam, że bardzo trafną propozycją jest to, że wśród zadań znajdują się zadania\nz kontekstem realistycznym/praktycznym. W celu rozwiązania takich zadań należy\nstworzyć odpowiedni model matematyczny, a następnie wykonać w jego ramach\nodpowiednie obliczenia. Przykładem takich zadań w Informatorze są zadania 10., 20.,\n27., 30., 31. […].\nZachęcam nauczycieli i uczniów do szczegółowego zapoznania się z Informatorem,\nstanowiącym ważną wskazówkę dydaktyczną w przygotowaniu do egzaminu\nmaturalnego z matematyki na poziomie rozszerzonym.\nEwa Dolaczyńska\nOgromną zaletą zaproponowanych zadań jest to, że niezależnie od rozbudowania\nproblemu i liczby punktów do zdobycia, proponowane problemy, sprawdzają\nelementarne umiejętności niezbędne do realizacji zagadnienia na poziomie\nrozszerzonym. Zarazem jednak zaproponowano także zadania wymagające\nnietypowych, twórczych rozwiązań opartych na odpowiednich twierdzeniach\nmatematycznych. […] Autorzy zaproponowanych zadań w bardzo ciekawy sposób\nwplatają treści i problemy umiejscowione w kontekście realistycznym do zadań\nmaturalnych. Zmuszają w ten sposób zdających do dogłębnej analizy problemu,\nodnalezienia właściwego modelu matematycznego, ewentualnie wymyślenia własnej\nstrategii rozwiązania. […] Zadania te będą stanowić wyzwanie zarówno dla przyszłych\nmaturzystów, jak i ich nauczycieli, których zadaniem na najbliższe lata będzie\nwykształcić w uczniach umiejętność twórczego, a nie odtwórczego podejścia do\nproblemu.\nAgata Górniak\nEGZAMIN\nMATURALNY\nMatematyka\nISBN 978-83-66725-06-5\n9 7 8 8 3 6 6 7 2 5 0 6 5","answer":null,"answer_text":null,"solution":null,"image":"img/informator-maturalny-matematyka-2023-poziom-rozszerzony/zad-31.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":97,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2023","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny"}]}