{"paper":{"id":"informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-podstawowy","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2025,"month":null,"level":null,"variant":null,"exam_pdf":"informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-podstawowy/informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-podstawowy.pdf","key_pdf":null,"question_count":84,"source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2025","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny"},"questions":[{"id":"informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-podstawowy/zad/1","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-podstawowy","number":"1","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2025,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 1. (0-1)\nDokończ zdanie. Zaznacz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nWartość wyrażenia 2024 ∶(1 -\n1\n2025) -(1 -2025\n2024) ∶\n1\n2024 jest równa\nA. 0\nB. 1\nC. 2024\nD. 2026\nWymaganie ogólne\nI.\nSprawność rachunkowa.\nWykonywanie obliczeń na liczbach rzeczywistych, także przy użyciu kalkulatora,\nstosowanie praw działań matematycznych przy przekształcaniu wyrażeń algebraicznych\noraz wykorzystywanie tych umiejętności przy rozwiązywaniu problemów w kontekstach\nrzeczywistych i teoretycznych.\nWymaganie szczegółowe\nI.\nLiczby rzeczywiste. Zdający:\n1) wykonuje działania (dodawanie, odejmowanie, mnożenie, dzielenie, potęgowanie,\npierwiastkowanie, logarytmowanie) w zbiorze liczb rzeczywistych.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nD\nPrzykładowe zadania z rozwiązaniami\n13","answer":"D","answer_text":null,"solution":null,"image":"img/informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-podstawowy/zad-1.webp","solution_image":null,"topics":"algebra","page_from":12,"source":"zadaniazmatur","answer_source":"zadaniazmatur","answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2025","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny"},{"id":"informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-podstawowy/zad/2","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-podstawowy","number":"2","points":2,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2025,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 2. (0-2)\nPensja pana X jest o 50% wyższa od średniej krajowej, a pensja pana Y jest o 40%\nniższa od średniej krajowej.\nDokończ zdania. Zaznacz odpowiedź spośród A-D oraz odpowiedź spośród E-H.\n1. Pensja pana X jest wyższa od pensji pana Y\nA. o 40% pensji pana Y.\nB. o 90% pensji pana Y.\nC. o 150% pensji pana Y.\nD. o 275% pensji pana Y.\n2. Pensja pana Y jest niższa od pensji pana X\nE. o 60% pensji pana X.\nF. o 73% pensji pana X.\nG. o 90% pensji pana X.\nH. o 150% pensji pana X.\nWymaganie ogólne\nI.\nSprawność rachunkowa.\nWykonywanie obliczeń na liczbach rzeczywistych […] przy rozwiązywaniu problemów\nw kontekstach rzeczywistych i teoretycznych.\nWymaganie szczegółowe\nI.\nLiczby rzeczywiste. Zdający:\n1) wykonuje działania (dodawanie, odejmowanie, mnożenie, dzielenie, potęgowanie,\npierwiastkowanie, logarytmowanie) w zbiorze liczb rzeczywistych.\nZasady oceniania\n2 pkt - poprawne dokończenia dwóch zdań.\n1 pkt - poprawne dokończenie jednego zdania.\n0 pkt - odpowiedź całkowicie niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\n1. C\n2. E\n14\nInformator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie podstawowym od roku szkolnego 2024/2025","answer":"1. C\n2. E","answer_text":null,"solution":null,"image":"img/informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-podstawowy/zad-2.webp","solution_image":null,"topics":"algebra","page_from":13,"source":"zadaniazmatur","answer_source":"zadaniazmatur","answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2025","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny"},{"id":"informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-podstawowy/zad/3","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-podstawowy","number":"3","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2025,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 3. (0-2)\nUdowodnij, że dla każdej liczby całkowitej 𝒏 liczba (𝟑𝒏+ 𝟓)𝟐+ 𝟏𝟏𝒏𝟐-𝟏𝟖\nprzy dzieleniu przez 𝟓 daje resztę 𝟐.\nWymaganie ogólne\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n1.\nPrzeprowadzanie rozumowań, także kilkuetapowych, podawanie argumentów\nuzasadniających poprawność rozumowania, odróżnianie dowodu od przykładu.\nWymaganie szczegółowe\nI.\nLiczby rzeczywiste. Zdający:\n2) przeprowadza proste dowody dotyczące podzielności liczb całkowitych i reszt\nz dzielenia […].\nZasady oceniania\n2 pkt - przekształcenie wyrażenia (3𝑛+ 5)2 + 11𝑛2 -18 do postaci\n5 ⋅(4𝑛2 + 6𝑛+ 1) + 2 oraz zapisanie, że 4𝑛2 + 6𝑛+ 1 jest liczbą całkowitą.\n1 pkt - przekształcenie wyrażenia (3𝑛+ 5)2 + 11𝑛2 -18 do postaci 20𝑛2 + 30𝑛+ 7.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nPowołamy się na definicję reszty z dzielenia dwóch liczb całkowitych. Liczba całkowita 𝑊\nprzy dzieleniu przez liczbę całkowitą 𝑃 daje resztę całkowitą 𝑅 wtedy, gdy istnieje liczba\ncałkowita 𝑄 taka, że 𝑊= 𝑃⋅𝑄+ 𝑅 oraz 0 ≤𝑅< |𝑃|.\n(Np. liczba 22 przy dzieleniu przez 5 daje resztę równą 2, ponieważ 22 = 5 ⋅4 + 2,\ngdzie 4 jest liczbą całkowitą oraz 2 < 5).\nLiczbę określoną w zadaniu przekształcimy do postaci 5 ⋅𝑄+ 2:\n(3𝑛+ 5)2 + 11𝑛2 -18 = 9𝑛2 + 30𝑛+ 25 + 11𝑛2 -18 = 20𝑛2 + 30𝑛+ 7 =\n= 20𝑛2 + 30𝑛+ 5 + 2 = 5 ⋅(4𝑛2 + 6𝑛+ 1) + 2\nPonieważ 𝑛 jest liczbą całkowitą, więc 4𝑛2 oraz 6𝑛 są liczbami całkowitymi.\nSuma tych liczb całkowitych oraz liczby 1 jest liczbą całkowitą.\nZatem liczba (3𝑛+ 5)2 + 11𝑛2 -18 przy dzieleniu przez 5 daje resztę 2.\nPrzykładowe zadania z rozwiązaniami\n15","answer":null,"answer_text":null,"solution":"Przekształcamy wyrażenie:\n(3n+5)² + 11n² - 18 = 9n² + 30n + 25 + 11n² - 18 = 20n² + 30n + 7 =\n= 20n² + 30n + 5 + 2 = 5·(4n² + 6n + 1) + 2\nPonieważ n jest liczbą całkowitą, 4n² oraz 6n są liczbami całkowitymi, więc suma\n4n²+6n+1 jest liczbą całkowitą. Zatem liczba (3n+5)²+11n²-18 przy dzieleniu przez 5\ndaje resztę 2, co należało udowodnić.","image":"img/informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-podstawowy/zad-3.webp","solution_image":null,"topics":"liczby_naturalne","page_from":14,"source":"ai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"ai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2025","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny"},{"id":"informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-podstawowy/zad/4","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-podstawowy","number":"4","points":3,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2025,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 4. (0-3)\nRozważmy dwie kolejne liczby naturalne 𝑎 i 𝑏 takie, że 𝑎< 𝑏 oraz obie są niepodzielne\nprzez 3.\nUdowodnij, że liczba 𝒂𝟐+ 𝟏𝟏𝒂𝒃+ 𝒃𝟐 jest podzielna przez 𝟗.\nWymaganie ogólne\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n1.\nPrzeprowadzanie rozumowań, także kilkuetapowych, podawanie argumentów\nuzasadniających poprawność rozumowania, odróżnianie dowodu od przykładu.\nWymaganie szczegółowe\nI.\nLiczby rzeczywiste. Zdający:\n2) przeprowadza proste dowody dotyczące podzielności liczb całkowitych i reszt\nz dzielenia […].\nZasady oceniania\n3 pkt - przeprowadzenie pełnego dowodu: zapisanie 𝑎2 + 11𝑎𝑏+ 𝑏2 jako\n9 ⋅(13𝑘2 + 13𝑘+ 3) oraz zapisanie, że 13𝑘2 + 13𝑘+ 3 jest liczbą całkowitą\nALBO\n- przeprowadzenie pełnego dowodu: zapisanie 𝑎2 + 11𝑎𝑏+ 𝑏2 jako\n117𝑘2 + 117𝑘+ 27 oraz zapisanie, że każdy składnik tej sumy jest podzielny\nprzez 9,\nALBO\n- przeprowadzenie pełnego dowodu: zapisanie 𝑎2 + 11𝑎𝑏+ 𝑏2 w postaci\n9𝑎𝑏+ (𝑎+ 𝑏)2 oraz zapisanie, że liczba 9𝑎𝑏 jest podzielna przez 9 oraz\nzapisanie, że liczba (𝑎+ 𝑏)2 jest podzielna przez 9 jako kwadrat liczby podzielnej\nprzez 3.\n2 pkt - zapisanie 𝑎2 + 11𝑎𝑏+ 𝑏2 jako (3𝑘+ 1)2 + 11(3𝑘+ 1)(3𝑘+ 2) + (3𝑘+ 2)2\noraz przekształcenie tego wyrażenia do postaci 117𝑘2 + 117𝑘+ 27\nALBO\n- zapisanie liczby 𝑎2 + 11𝑎𝑏+ 𝑏2 w postaci 9𝑎𝑏+ (𝑎+ 𝑏)2 oraz zapisanie, że\nliczba 𝑎+ 𝑏 jest podzielna przez 3.\n16\nInformator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie podstawowym od roku szkolnego 2024/2025\n1 pkt - zapisanie liczb 𝑎 i 𝑏 w postaci: 𝑎= 3𝑘+ 1 oraz 𝑏= 3𝑘+ 2, gdzie\n𝑘∈{0, 1, 2, 3, 4, … }\nALBO\n- zapisanie liczby 𝑎2 + 11𝑎𝑏+ 𝑏2 w postaci 9𝑎𝑏+ (𝑎+ 𝑏)2.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób 1.\nKrok 1. dowodu\nDwie kolejne liczby naturalne a i b, niepodzielne przez 3, można zapisać w postaci:\n𝑎= 3𝑘+ 1 oraz 𝑏= 3𝑘+ 2, gdzie 𝑘∈{0, 1, 2, 3, 4, … }\nKrok 2. dowodu\nZapiszemy liczbę 𝑎2 + 11𝑎𝑏+ 𝑏2 z wykorzystaniem zapisu z krok 1. dowodu:\n𝑎2 + 11𝑎𝑏+ 𝑏2 = (3𝑘+ 1)2 + 11(3𝑘+ 1)(3𝑘+ 2) + (3𝑘+ 2)2 =\n= 9𝑘2 + 6𝑘+ 1 + 11(9𝑘2 + 9𝑘+ 2) + 9𝑘2 + 12𝑘+ 4 =\n= 18𝑘2 + 18𝑘+ 5 + 99𝑘2 + 99𝑘+ 22 =\n= 117𝑘2 + 117𝑘+ 27 =\n= 9 ⋅(13𝑘2 + 13𝑘+ 3)\nKrok 3. dowodu\nLiczbę 𝑎2 + 11𝑎𝑏+ 𝑏2 zapisaliśmy jako iloczyn liczby 9 oraz liczby 13𝑘2 + 13𝑘+ 3.\nDlatego, aby udowodnić podzielność przez 9, wystarczy wykazać, że drugi czynnik\nw rozkładzie jest liczbą całkowitą.\nPonieważ 𝑘∈{0, 1, 2, 3, 4, … }, to 13𝑘2 oraz 13𝑘 są liczbami całkowitymi. Suma liczb\ncałkowitych oraz liczby 3 jest liczbą całkowitą. To kończy dowód.\nSposób 2.\nPrzekształcamy równoważnie wyrażenie 𝑎2 + 11𝑎𝑏+ 𝑏2:\n𝑎2 + 11𝑎𝑏+ 𝑏2 = 9𝑎𝑏+ 𝑎2 + 2𝑎𝑏+ 𝑏2 = 9𝑎𝑏+ (𝑎+ 𝑏)2\nLiczba 9𝑎𝑏 jest podzielna przez 9 dla dowolnych liczb naturalnych 𝑎 i 𝑏.\nLiczba 𝑎 przy dzieleniu przez 3 daje resztę 1.\nLiczba 𝑏 przy dzieleniu przez 3 daje resztę 2.\nStąd liczba 𝑎+ 𝑏 jest podzielna przez 3.\nLiczba (𝑎+ 𝑏)2 jest podzielna przez 9 jako kwadrat liczby podzielnej przez 3.\nZatem liczba 𝑎2 + 11𝑎𝑏+ 𝑏2 = 9𝑎𝑏+ (𝑎+ 𝑏)2 jest podzielna przez 9 jako suma dwóch\nliczb podzielnych przez 9. To należało udowodnić.\nPrzykładowe zadania z rozwiązaniami\n17","answer":null,"answer_text":null,"solution":"Dwie kolejne liczby naturalne a i b niepodzielne przez 3 mają postać:\na = 3k+1, b = 3k+2, gdzie k ∈ {0,1,2,...}.\na² + 11ab + b² = (3k+1)² + 11(3k+1)(3k+2) + (3k+2)² =\n= (9k²+6k+1) + 11(9k²+9k+2) + (9k²+12k+4) =\n= 18k²+18k+5 + 99k²+99k+22 = 117k²+117k+27 = 9·(13k²+13k+3)\nPonieważ k∈{0,1,2,...}, liczba 13k²+13k+3 jest liczbą całkowitą, więc a²+11ab+b²\njest podzielna przez 9, co kończy dowód.","image":"img/informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-podstawowy/zad-4.webp","solution_image":null,"topics":"liczby_naturalne","page_from":15,"source":"ai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"ai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2025","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny"},{"id":"informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-podstawowy/zad/5","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-podstawowy","number":"5","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2025,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 5. (0-2)\nWykaż, że dla każdej liczby naturalnej 𝒏≥𝟏 liczba 𝒏(𝒏𝟐+ 𝟑𝒏+ 𝟐) jest podzielna\nprzez 𝟔.\nWymaganie ogólne\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n1.\nPrzeprowadzanie rozumowań, także kilkuetapowych, podawanie argumentów\nuzasadniających poprawność rozumowania, odróżnianie dowodu od przykładu.\nWymaganie szczegółowe\nI.\nLiczby rzeczywiste. Zdający:\n2) przeprowadza proste dowody dotyczące podzielności liczb całkowitych i reszt\nz dzielenia […].\nZasady oceniania\n2 pkt - przekształcenie wyrażenia 𝑛(𝑛2 + 3𝑛+ 2) do postaci 𝑛(𝑛+ 1)(𝑛+ 2) oraz\nzapisanie, że wśród trzech kolejnych liczb naturalnych 𝑛, 𝑛+ 1, 𝑛+ 2 co najmniej\njedna jest podzielna przez 2 i dokładnie jedna jest podzielna przez 3.\n1 pkt - przekształcenie wyrażenia 𝑛(𝑛2 + 3𝑛+ 2) do postaci 𝑛(𝑛+ 1)(𝑛+ 2).\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nPrzekształcamy wyrażenie 𝑛(𝑛2 + 3𝑛+ 2) do postaci iloczynu trzech liczb naturalnych.\nObliczamy wyróżnik trójmianu 𝑛2 + 3𝑛+ 2 (zobacz w Wybranych wzorach matematycznych):\nΔ = 32 -4 ⋅1 ⋅2 = 1\ni stąd obliczamy jego pierwiastki:\n𝑛1 = -3 -√1\n2 ⋅1\n= -2\n𝑛2 = -3 + √1\n2 ⋅1\n= -1\n18\nInformator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie podstawowym od roku szkolnego 2024/2025\nZatem\n𝑛(𝑛2 + 3𝑛+ 2) = 𝑛(𝑛+ 1)(𝑛+ 2)\nWśród każdych trzech kolejnych liczb naturalnych 𝑛, 𝑛+ 1, 𝑛+ 2 co najmniej jedna jest\npodzielna przez 2 i dokładnie jedna jest podzielna przez 3.\nZatem liczba 𝑛(𝑛+ 1)(𝑛+ 2) dzieli się przez 2 oraz przez 3.\nPonadto liczby 2 oraz 3 są względnie pierwsze.\nZatem liczba 𝑛(𝑛2 + 3𝑛+ 2) = 𝑛(𝑛+ 1)(𝑛+ 2) jest podzielna przez 6.","answer":null,"answer_text":null,"solution":"n(n²+3n+2) = n(n+1)(n+2), bo pierwiastkami trójmianu n²+3n+2 są n=-1, n=-2.\nWśród trzech kolejnych liczb naturalnych n, n+1, n+2 co najmniej jedna jest podzielna\nprzez 2 i dokładnie jedna jest podzielna przez 3. Zatem iloczyn n(n+1)(n+2) dzieli się\nprzez 2 oraz przez 3, a ponieważ liczby 2 i 3 są względnie pierwsze, iloczyn ten jest\npodzielny przez 6. Zatem n(n²+3n+2) jest podzielne przez 6.","image":"img/informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-podstawowy/zad-5.webp","solution_image":null,"topics":"liczby_naturalne","page_from":17,"source":"ai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"ai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2025","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny"},{"id":"informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-podstawowy/zad/6","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-podstawowy","number":"6","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2025,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 6. (0-1)\nDokończ zdanie. Zaznacz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nLiczba √250\n3\n+ √54\n3\n√250\n3\n- √54\n3\njest równa\nA. √76\n49\n3\nB. (-1)\nC. 4\nD. 4√2\n3\nWymaganie ogólne\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji.\n1.\nStosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nWymaganie szczegółowe\nI.\nLiczby rzeczywiste. Zdający:\n3) stosuje własności pierwiastków dowolnego stopnia, w tym pierwiastków stopnia\nnieparzystego z liczb ujemnych.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nC\nPrzykładowe zadania z rozwiązaniami\n19","answer":"C","answer_text":null,"solution":null,"image":"img/informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-podstawowy/zad-6.webp","solution_image":null,"topics":"algebra","page_from":18,"source":"zadaniazmatur","answer_source":"zadaniazmatur","answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2025","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny"},{"id":"informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-podstawowy/zad/7","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-podstawowy","number":"7","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2025,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 7. (0-2)\nUdowodnij, że liczba 𝟑𝟒𝟓+ 𝟗𝟐𝟐+ 𝟐𝟕𝟏𝟒 jest podzielna przez 𝟑𝟕.\nWymaganie ogólne\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n1.\nPrzeprowadzanie rozumowań, także kilkuetapowych, podawanie argumentów\nuzasadniających poprawność rozumowania, odróżnianie dowodu od przykładu.\nWymagania szczegółowe\nI.\nLiczby rzeczywiste. Zdający:\n2) przeprowadza proste dowody dotyczące podzielności liczb całkowitych i reszt\nz dzielenia […];\n4) stosuje związek pierwiastkowania z potęgowaniem oraz prawa działań na potęgach\ni pierwiastkach.\nZasady oceniania\n2 pkt - przekształcenie wyrażenia 345 + 922 + 2714 do postaci 342 ⋅37.\n1 pkt - przekształcenie wyrażenia 345 + 922 + 2714 do postaci 345 + 344 + 342.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nKorzystając z własności działań na potęgach, otrzymujemy\n345 + 922 + 2714 = 345 + (32)22 + (33)14 = 345 + 344 + 342\nWyłączamy wspólny czynnik przed nawias\n345 + 344 + 342 = 342(33 + 32 + 1) = 342 ⋅37\nLiczba 342 jest liczbą całkowitą, zatem liczba 345 + 922 + 2714 jest podzielna przez 37.\n20\nInformator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie podstawowym od roku szkolnego 2024/2025","answer":null,"answer_text":null,"solution":"3^45 + 9^22 + 27^14 = 3^45 + (3²)^22 + (3³)^14 = 3^45 + 3^44 + 3^42 =\n= 3^42·(3³+3²+1) = 3^42·(27+9+1) = 3^42·37\nLiczba 3^42 jest liczbą całkowitą, zatem liczba 3^45+9^22+27^14 jest podzielna przez 37.","image":"img/informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-podstawowy/zad-7.webp","solution_image":null,"topics":"liczby_naturalne","page_from":19,"source":"ai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"ai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2025","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny"},{"id":"informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-podstawowy/zad/8","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-podstawowy","number":"8","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2025,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 8. (0-1)\nDokończ zdanie. Zaznacz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nLiczba |√5 -1| -3|2 -√5| jest równa\nA. (-7)\nB. 5 -4√5\nC. 4√5 -7\nD. 5 -2√5\nWymagania ogólne\nI.\nSprawność rachunkowa.\nWykonywanie obliczeń na liczbach rzeczywistych, także przy użyciu kalkulatora,\nstosowanie praw działań matematycznych przy przekształcaniu wyrażeń algebraicznych\noraz wykorzystywanie tych umiejętności przy rozwiązywaniu problemów w kontekstach\nrzeczywistych i teoretycznych.\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji.\n1.\nStosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nWymaganie szczegółowe\nI.\nLiczby rzeczywiste. Zdający:\n7) stosuje interpretację geometryczną i algebraiczną wartości bezwzględnej […].\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nD\nPrzykładowe zadania z rozwiązaniami\n21","answer":"D","answer_text":null,"solution":null,"image":"img/informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-podstawowy/zad-8.webp","solution_image":null,"topics":"bezwgledna","page_from":20,"source":"zadaniazmatur","answer_source":"zadaniazmatur","answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2025","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny"},{"id":"informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-podstawowy/zad/9","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-podstawowy","number":"9","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2025,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 9. (0-1)\nOprocentowanie na długoterminowej lokacie w pewnym banku wynosi 3% w skali roku (już\npo uwzględnieniu podatków). Po każdym roku oszczędzania są doliczane odsetki od\naktualnego kapitału znajdującego się na lokacie - zgodnie z procentem składanym.\nDokończ zdanie. Zaznacz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nPo 10 latach oszczędzania w tym banku (i bez wypłacania kapitału ani odsetek w tym\nokresie) kwota na lokacie będzie większa od kwoty wpłaconej na samym początku\no (w zaokrągleniu do 1%)\nA. 30%\nB. 34%\nC. 36%\nD. 43%\nWymagania ogólne\nI.\nSprawność rachunkowa.\nWykonywanie obliczeń na liczbach rzeczywistych, także przy użyciu kalkulatora,\nstosowanie praw działań matematycznych przy przekształcaniu wyrażeń algebraicznych\noraz wykorzystywanie tych umiejętności przy rozwiązywaniu problemów w kontekstach\nrzeczywistych i teoretycznych.\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji.\n1.\nStosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nWymaganie szczegółowe\nI.\nLiczby rzeczywiste. Zdający:\n8) wykorzystuje własności potęgowania i pierwiastkowania w sytuacjach praktycznych,\nw tym do obliczania procentów składanych, zysków z lokat i kosztów kredytów.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nB\n22\nInformator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie podstawowym od roku szkolnego 2024/2025","answer":"B","answer_text":null,"solution":null,"image":"img/informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-podstawowy/zad-9.webp","solution_image":null,"topics":"ciagi","page_from":21,"source":"zadaniazmatur","answer_source":"zadaniazmatur","answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2025","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny"},{"id":"informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-podstawowy/zad/10","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-podstawowy","number":"10","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2025,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 10. (0-1)\nNa wykresie przedstawiono zależność log 𝐾(𝑡), gdzie 𝐾(𝑡) jest liczbą bakterii w próbce po\nczasie 𝑡 wyrażonym w godzinach, jaki upłynął od chwili 𝑡= 0 rozpoczęcia obserwacji.\nDokończ zdanie. Zaznacz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nGdy upłynęły dokładnie trzy godziny od chwili 𝑡= 0, liczba 𝐾 bakterii była równa\nA. 3\nB. 100\nC. 1000\nD. 10000\nWymaganie ogólne\nII. Wykorzystanie i tworzenie informacji.\n1.\nInterpretowanie i operowanie informacjami przedstawionymi w tekście, zarówno\nmatematycznym, jak i popularnonaukowym, a także w formie wykresów, diagramów,\ntabel.\nWymaganie szczegółowe\nI.\nLiczby rzeczywiste. Zdający:\n9) stosuje związek logarytmowania z potęgowaniem, posługuje się wzorami na\nlogarytm iloczynu, logarytm ilorazu i logarytm potęgi.\n5\n4\n3\n2\n1\n0\nlog 𝐾(𝑡)\n0\n1\n2\n3\n4\n5\n6\n𝑡\nPrzykładowe zadania z rozwiązaniami\n23\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nC","answer":"C","answer_text":null,"solution":null,"image":"img/informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-podstawowy/zad-10.webp","solution_image":null,"topics":"logarytmy","page_from":22,"source":"zadaniazmatur","answer_source":"zadaniazmatur","answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2025","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny"},{"id":"informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-podstawowy/zad/11","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-podstawowy","number":"11","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2025,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 11. (0-1)\nDokończ zdanie. Zaznacz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nLiczba log2 [(√2)\n2\n⋅(√2)\n4\n⋅(√2)\n8\n] jest równa\nA. √2\nB. 7\nC. 14\nD. 27\nWymaganie ogólne\nI.\nSprawność rachunkowa.\nWykonywanie obliczeń na liczbach rzeczywistych, także przy użyciu kalkulatora,\nstosowanie praw działań matematycznych przy przekształcaniu wyrażeń algebraicznych\noraz wykorzystywanie tych umiejętności przy rozwiązywaniu problemów w kontekstach\nrzeczywistych i teoretycznych.\nWymagania szczegółowe\nI.\nLiczby rzeczywiste. Zdający:\n1) wykonuje działania (dodawanie, odejmowanie, mnożenie, dzielenie, potęgowanie,\npierwiastkowanie, logarytmowanie) w zbiorze liczb rzeczywistych;\n9) stosuje związek logarytmowania z potęgowaniem, posługuje się wzorami na\nlogarytm iloczynu, logarytm ilorazu i logarytm potęgi.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nB\n24\nInformator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie podstawowym od roku szkolnego 2024/2025","answer":"B","answer_text":null,"solution":null,"image":"img/informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-podstawowy/zad-11.webp","solution_image":null,"topics":"logarytmy","page_from":23,"source":"zadaniazmatur","answer_source":"zadaniazmatur","answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2025","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny"},{"id":"informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-podstawowy/zad/12","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-podstawowy","number":"12","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2025,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 12. (0-1)\nDane są liczby 𝑎= log2(3√5 + √13) oraz 𝑏= log2(3√5 -√13) .\nDokończ zdanie. Zaznacz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nLiczba 𝑎+ 𝑏 jest równa\nA. log2 45\nB. log2 30\nC. 4\nD. 5\nWymagania ogólne\nI.\nSprawność rachunkowa.\nWykonywanie obliczeń na liczbach rzeczywistych, także przy użyciu kalkulatora,\nstosowanie praw działań matematycznych przy przekształcaniu wyrażeń algebraicznych\noraz wykorzystywanie tych umiejętności przy rozwiązywaniu problemów w kontekstach\nrzeczywistych i teoretycznych.\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji.\n1.\nStosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nWymagania szczegółowe\nI.\nLiczby rzeczywiste. Zdający:\n1) wykonuje działania ([…] logarytmowanie) w zbiorze liczb rzeczywistych;\n9) stosuje związek logarytmowania z potęgowaniem, posługuje się wzorami na logarytm\niloczynu, logarytm ilorazu i logarytm potęgi.\nII. Wyrażenia algebraiczne. Zdający:\n1) stosuje wzory skróconego mnożenia na: (𝑎 + 𝑏)2, (𝑎 -𝑏)2, 𝑎2 - 𝑏2.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nD\nPrzykładowe zadania z rozwiązaniami\n25","answer":"D","answer_text":null,"solution":null,"image":"img/informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-podstawowy/zad-12.webp","solution_image":null,"topics":"logarytmy","page_from":24,"source":"zadaniazmatur","answer_source":"zadaniazmatur","answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2025","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny"},{"id":"informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-podstawowy/zad/13","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-podstawowy","number":"13","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2025,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 13. (0-2)\nDane są dwie liczby 𝑥 i 𝑦, takie że iloraz 𝑥\n𝑦 jest równy 1 + √5\n2\nOblicz wartość wyrażenia 𝒙+𝒚\n𝒙\nWynik podaj w postaci 𝒂+√𝒃\n𝒄\n, gdzie 𝒂, 𝒃, 𝒄 są liczbami całkowitymi dodatnimi.\nWymaganie ogólne\nI.\nSprawność rachunkowa.\nWykonywanie obliczeń na liczbach rzeczywistych, także przy użyciu kalkulatora,\nstosowanie praw działań matematycznych przy przekształcaniu wyrażeń algebraicznych\noraz wykorzystywanie tych umiejętności przy rozwiązywaniu problemów w kontekstach\nrzeczywistych i teoretycznych.\nWymagania szczegółowe\nI.\nLiczby rzeczywiste. Zdający:\n1) wykonuje działania (dodawanie, odejmowanie, mnożenie, dzielenie, potęgowanie,\npierwiastkowanie, logarytmowanie) w zbiorze liczb rzeczywistych.\nII. Wyrażenia algebraiczne. Zdający:\n1) stosuje wzory skróconego mnożenia na: (𝑎 + 𝑏)2, (𝑎 -𝑏)2, 𝑎2 - 𝑏2.\nZasady oceniania\n2 pkt - przekształcenie wyrażenia 𝑥+𝑦\n𝑥 do postaci 1+√5\n2\n1 pkt - przekształcenie wyrażenia 𝑥+𝑦\n𝑥 do postaci 1 +\n2\n1+√5 lub 3+√5\n1+√5.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\n26\nInformator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie podstawowym od roku szkolnego 2024/2025\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób 1.\n𝑥+ 𝑦\n𝑥\n= 1 + 𝑦\n𝑥= 1 +\n2\n1 + √5\n= 1 + √5 + 2\n1 + √5\n= 3 + √5\n1 + √5\n= 3 + √5\n1 + √5\n⋅1 -√5\n1 -√5\n= 3 -3√5 + √5 -5\n1 -5\n= -2 -2√5\n-4\n= 1 + √5\n2\nSposób 2.\n𝑥+ 𝑦\n𝑥\n= 1 + 𝑦\n𝑥= 1 +\n2\n1 + √5\n= 1 +\n2\n1 + √5\n⋅1 -√5\n1 -√5\n= 1 + 2 -2√5\n-4\n= 1 + √5 -1\n2\n= 2 + √5 -1\n2\n= 1 + √5\n2\nSposób 3.\n𝑥+ 𝑦\n𝑥\n𝑥+ 𝑦\n𝑦\n𝑥\n𝑦\n𝑥\n𝑦+ 1\n𝑥\n𝑦\n1 + √5\n2\n+ 2\n2\n1 + √5\n2\n3 + √5\n2\n1 + √5\n2\n= 3 + √5\n1 + √5\n= 3 + √5\n1 + √5\n⋅1 -√5\n1 -√5\n= -2 -2√5\n-4\n= 1 + √5\n2\nSposób 4.\nZ równości 𝑥\n𝑦= 1+√5\n2\nwyznaczamy 𝑥:\n𝑥= (1 + √5\n2\n) 𝑦\nWyznaczony 𝑥 podstawimy do wyrażenia 𝑥+𝑦\n𝑥 :\n𝑥+ 𝑦\n𝑥\n(1 + √5\n2\n) ⋅𝑦+ 𝑦\n(1 + √5\n2\n) ⋅𝑦\n𝑦⋅(1 + √5\n2\n+ 1)\n𝑦∙(1 + √5\n2\n)\n1 + √5\n2\n+ 2\n2\n1 + √5\n2\n3 + √5\n2\n1 + √5\n2\n= 3 + √5\n1 + √5\n= 3 + √5\n1 + √5\n⋅1 -√5\n1 -√5\n= -2 -2√5\n-4\n= 1 + √5\n2\nPrzykładowe zadania z rozwiązaniami\n27","answer":null,"answer_text":null,"solution":"x/y = (1+√5)/2, więc y/x = 2/(1+√5).\n(x+y)/x = 1 + y/x = 1 + 2/(1+√5) = 1 + 2(1-√5)/((1+√5)(1-√5)) = 1 + 2(1-√5)/(1-5) =\n= 1 + 2(1-√5)/(-4) = 1 + (√5-1)/2 = (2+√5-1)/2 = (1+√5)/2.\nWynik: (x+y)/x = (1+√5)/2.","image":"img/informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-podstawowy/zad-13.webp","solution_image":null,"topics":"algebra","page_from":25,"source":"ai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"ai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2025","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny"},{"id":"informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-podstawowy/zad/14","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-podstawowy","number":"14","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2025,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 14. (0-2)\nDane są liczby 𝑎= √5 -2 oraz 𝑏= √5 + 2.\nOblicz wartość wyrażenia\n𝒂⋅𝒃\n√𝒂+ √𝒃\n∶√𝒂-√𝒃\n𝒂-𝒃 dla podanych a i b.\nWymaganie ogólne\nI.\nSprawność rachunkowa.\nWykonywanie obliczeń na liczbach rzeczywistych, także przy użyciu kalkulatora,\nstosowanie praw działań matematycznych przy przekształcaniu wyrażeń algebraicznych\noraz wykorzystywanie tych umiejętności przy rozwiązywaniu problemów w kontekstach\nrzeczywistych i teoretycznych.\nWymagania szczegółowe\nI.\nLiczby rzeczywiste. Zdający:\n1) wykonuje działania (dodawanie, odejmowanie, mnożenie, dzielenie, potęgowanie,\npierwiastkowanie, logarytmowanie) w zbiorze liczb rzeczywistych.\nII. Wyrażenia algebraiczne. Zdający:\n1) stosuje wzory skróconego mnożenia na: (𝑎 + 𝑏)2, (𝑎 -𝑏)2, 𝑎2 - 𝑏2.\nZasady oceniania\n2 pkt - poprawna metoda obliczenia wartości wyrażenia dla podanych 𝑎 i 𝑏 oraz\nzapisanie poprawnego wyniku: 𝑎⋅𝑏\n√𝑎+√𝑏∶√𝑎-√𝑏\n𝑎-𝑏= 1.\n1 pkt - przekształcenie wyrażenia 𝑎⋅𝑏\n√𝑎+√𝑏∶√𝑎-√𝑏\n𝑎-𝑏 do postaci 𝑎⋅𝑏\nALBO\n- wykazanie, że liczby 𝑎 i 𝑏 albo liczby √𝑎+ √𝑏 i √𝑎-√𝑏\n𝑎-𝑏 są wzajemnie odwrotne.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób 1.\nPrzekształcamy równoważnie wyrażenie do najprostszej postaci:\n𝑎⋅𝑏\n√𝑎+ √𝑏\n∶√𝑎-√𝑏\n𝑎-𝑏\n𝑎⋅𝑏\n√𝑎+ √𝑏\n⋅\n𝑎-𝑏\n√𝑎-√𝑏\n= 𝑎⋅𝑏⋅(𝑎-𝑏)\n(√𝑎)\n2 -(√𝑏)\n2 = 𝑎⋅𝑏⋅(𝑎-𝑏)\n𝑎-𝑏\n= 𝑎⋅𝑏\n28\nInformator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie podstawowym od roku szkolnego 2024/2025\nPodstawiamy wartości 𝑎 i 𝑏 do otrzymanego wyrażenia i obliczamy jego wartość:\n𝑎⋅𝑏= (√5 -2 )(√5 + 2 ) = (√5)\n2 -22 = 5 -4 = 1\nSposób 2.\nZauważmy, że:\n𝑎⋅𝑏= (√5 -2 ) ⋅(√5 + 2 ) = (√5)\n2 -22 = 5 -4 = 1\nzatem liczby 𝑎 i 𝑏 są wzajemnie odwrotne. Zauważamy także, że:\n(√𝑎+ √𝑏) ⋅√𝑎-√𝑏\n𝑎-𝑏\n= 𝑎-𝑏\n𝑎-𝑏= 1\nco oznacza, że liczby √𝑎+ √𝑏 i √𝑎-√𝑏\n𝑎-𝑏 także są wzajemnie odwrotne, tj. √𝑎-√𝑏\n𝑎-𝑏=\n1\n√𝑎+√𝑏\nZ powyższych zależności wynika\n𝑎⋅𝑏\n√𝑎+ √𝑏\n∶√𝑎-√𝑏\n𝑎-𝑏\n= 𝑎𝑏·\n1\n√𝑎+ √𝑏\n∶\n1\n√𝑎+ √𝑏\n= 1 ⋅1 = 1","answer":null,"answer_text":null,"solution":"a=√5-2, b=√5+2. Przekształcamy wyrażenie:\n(a·b)/(√a+√b) : (√a-√b)/(a-b) = (a·b)/(√a+√b) · (a-b)/(√a-√b) =\n= a·b·(a-b)/((√a)²-(√b)²) = a·b·(a-b)/(a-b) = a·b.\na·b = (√5-2)(√5+2) = 5-4 = 1.\nWartość wyrażenia wynosi 1.","image":"img/informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-podstawowy/zad-14.webp","solution_image":null,"topics":"algebra","page_from":27,"source":"ai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"ai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2025","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny"},{"id":"informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-podstawowy/zad/15","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-podstawowy","number":"15","points":2,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2025,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 15. (0-2)\nDana jest liczba 𝑥= 𝑎-(√3 -√2)\n2, gdzie 𝑎 należy do zbioru liczb rzeczywistych.\nW rozwiązaniu zadania uwzględnij fakt, że liczby √2, √3 oraz √2 ⋅√3 są niewymierne.\nDokończ zdanie. Zaznacz dwie odpowiedzi, tak aby dla każdej z nich dokończenie\nzdania było prawdziwe.\nLiczba 𝑥 jest wymierna dla\nA. 𝑎= 5\nB. 𝑎= (√2 -√3)\n2 + 0,3\nC. 𝑎= 6\nD. 𝑎= -2√6 + 12,5\nE. 𝑎= (√2 -√3)\n2 -2√6\nF. 𝑎= -√6\nPrzykładowe zadania z rozwiązaniami\n29\nWymaganie ogólne\nI.\nSprawność rachunkowa.\nWykonywanie obliczeń na liczbach rzeczywistych, także przy użyciu kalkulatora,\nstosowanie praw działań matematycznych przy przekształcaniu wyrażeń algebraicznych\noraz wykorzystywanie tych umiejętności przy rozwiązywaniu problemów w kontekstach\nrzeczywistych i teoretycznych.\nWymaganie szczegółowe\nII. Wyrażenia algebraiczne. Zdający:\n1) stosuje wzory skróconego mnożenia na: (𝑎 + 𝑏)2, (𝑎 -𝑏)2, 𝑎2 - 𝑏2.\nZasady oceniania\n2 pkt - wybranie dwóch poprawnych odpowiedzi: B i D.\n1 pkt - wybranie jednej lub dwóch odpowiedzi, z których jedna jest poprawna: B albo D.\n0 pkt - odpowiedź całkowicie niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nBD\nKomentarz\nPrzekształcimy równoważnie wyrażenie określające liczbę 𝑥 - w tym celu zastosujemy m.in.\nwzór skróconego mnożenia:\n𝑥= 𝑎-(√3 -√2)\n2 = 𝑎-(√3\n2 -2 ∙√3 ∙√2 + √2\n2) = 𝑎-(3 -2√6 + 2) =\n= 𝑎-(5 -2√6) = 𝑎-5 + 2√6\nLiczba 𝑥 będzie wymierna, jeśli liczba 𝑎 będzie postaci: 𝑎= 𝑞-2√6, gdzie 𝑞 będzie\ndowolną liczbą wymierną:\n𝑥= 𝑞-2√6 -5 + 2√6 = 𝑞-5\nSprawdzimy, które z liczb 𝑎 podanych w odpowiedziach A-F mają postać 𝑎= 𝑞-2√6\n(gdzie 𝑞 jest wymierne):\nA.\n𝑎= 5\nB.\n𝑎= (√2 -√3)\n2 + 0,3 = 5 -2√6 + 0,3 = 5,3 -2√6\nC.\n𝑎= 6\nD.\n𝑎= -2√6 + 12,5\nE.\n𝑎= 5 -2√6 -2√6 = 5 -4√6\nF.\n𝑎= -√6\nLiczby podane w odpowiedziach B i D mają żądaną postać.\n30\nInformator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie podstawowym od roku szkolnego 2024/2025","answer":"BD","answer_text":null,"solution":null,"image":"img/informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-podstawowy/zad-15.webp","solution_image":null,"topics":"algebra","page_from":28,"source":"zadaniazmatur","answer_source":"zadaniazmatur","answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2025","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny"},{"id":"informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-podstawowy/zad/16","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-podstawowy","number":"16","points":1,"ptype":"true_false","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2025,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 16. (0-1)\nDane jest wyrażenie 𝑊(𝑥) =\n2𝑥2\n𝑥2 -4 ⋅𝑥-2\n𝑥\nOceń prawdziwość poniższych zdań. Zaznacz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F -\njeśli jest fałszywe.\n1.\nWartość wyrażenia 𝑊(𝑥) jest określona dla każdej liczby rzeczywistej 𝑥.\nP\nF\n2.\nJeżeli wartość wyrażenia 𝑊(𝑥) jest określona, to 𝑊(𝑥) =\n2𝑥\n𝑥+ 2 .\nP\nF\nWymagania ogólne\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n3.\nDobieranie argumentów do uzasadnienia poprawności rozwiązywania problemów,\ntworzenie ciągu argumentów gwarantujących poprawność rozwiązania\ni skuteczność w poszukiwaniu rozwiązań zagadnienia.\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji.\n1.\nStosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nWymagania szczegółowe\nII. Wyrażenia algebraiczne. Zdający:\n1) stosuje wzory skróconego mnożenia na: (𝑎 + 𝑏)2, (𝑎 -𝑏)2, 𝑎2 - 𝑏2;\n4) mnoży i dzieli wyrażenia wymierne.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepełna lub niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nFP\nPrzykładowe zadania z rozwiązaniami\n31","answer":"FP","answer_text":null,"solution":null,"image":"img/informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-podstawowy/zad-16.webp","solution_image":null,"topics":"algebra","page_from":30,"source":"zadaniazmatur","answer_source":"zadaniazmatur","answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2025","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny"},{"id":"informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-podstawowy/zad/17","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-podstawowy","number":"17","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2025,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 17. (0-1)\nDana jest nierówność\n2𝑥-1\n2\n-𝑥+ 2\n3\n≥1\n6\nNa którym rysunku poprawnie zaznaczono na osi liczbowej zbiór wszystkich liczb\nrzeczywistych spełniających powyższą nierówność? Zaznacz właściwą odpowiedź\nspośród podanych.\nA.\nB.\nC.\nD.\nWymaganie ogólne\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji.\n1.\nStosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nWymagania szczegółowe\nI.\nLiczby rzeczywiste. Zdający:\n6) posługuje się pojęciem przedziału liczbowego, zaznacza przedziały na osi liczbowej.\nIII. Równania i nierówności. Zdający:\n3) rozwiązuje nierówności liniowe z jedną niewiadomą.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nB\n𝑥\n0\n2\n1\n𝑥\n0\n2\n1\n𝑥\n0\n2\n1\n𝑥\n0\n2\n1\n32\nInformator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie podstawowym od roku szkolnego 2024/2025","answer":"B","answer_text":null,"solution":null,"image":"img/informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-podstawowy/zad-17.webp","solution_image":null,"topics":"rownania_i_nierownosci","page_from":31,"source":"zadaniazmatur","answer_source":"zadaniazmatur","answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2025","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny"},{"id":"informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-podstawowy/zad/18","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-podstawowy","number":"18","points":3,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2025,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 18. (0-3)\nDane jest równanie\n2\n2𝑥+ 1 = 𝑥-1\n𝑥+ 2\nWyznacz dziedzinę tego równania. Rozwiąż to równanie.\nWymaganie ogólne\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji.\n1.\nStosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nWymagania szczegółowe\nIII. Równania i nierówności. Zdający:\n1) przekształca równania i nierówności w sposób równoważny, w tym np. przekształca\nrównoważnie równanie\n5\n𝑥 + 1 = 𝑥 + 3\n2𝑥-1\n;\n4) rozwiązuje równania i nierówności kwadratowe.\nZasady oceniania\nCzęść I (Wyznaczenie dziedziny równania)\n1 pkt - poprawne wyznaczenie dziedziny równania: 𝑥≠-1\n2 i 𝑥≠-2.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nCzęść II (Rozwiązanie równania)\n2 pkt - poprawna metoda rozwiązania równania i obliczenie wszystkich rozwiązań równania:\n(-1), 5\n2.\n1 pkt - poprawne przekształcenie równania\n2\n2𝑥+1 = 𝑥-1\n𝑥+2 do równania kwadratowego, np.\n2(𝑥+ 2) = (2𝑥+ 1)(𝑥-1).\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe zadania z rozwiązaniami\n33\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nRównanie\n2\n2𝑥+1 = 𝑥-1\n𝑥+2 ma sens liczbowy dla 𝑥≠-1\n2 i 𝑥≠-2.\nPrzekształcamy równanie:\n2\n2𝑥+ 1 = 𝑥-1\n𝑥+ 2\n2(𝑥+ 2) = (2𝑥+ 1)(𝑥-1)\n2𝑥+ 4 = 2𝑥2 -2𝑥+ 𝑥-1\n2𝑥2 -3𝑥-5 = 0\nSposób 1. rozwiązania równania 2𝑥2 -3𝑥-5 = 0.\nObliczamy wyróżnik Δ trójmianu kwadratowego 2𝑥2 -3𝑥-5 (zobacz w Wybranych\nwzorach matematycznych):\nΔ = (-3)2 -4 ⋅2 ⋅(-5) = 9 + 40 = 49\nStąd\n𝑥1 = -(-3) -√49\n2 ⋅2\n= -1\n𝑥2 = -(-3) + √49\n2 ⋅2\n= 5\n2\nSposób 2. rozwiązania równania 2𝑥2 -3𝑥-5 = 0.\nRozwiążemy równanie kwadratowe, wykorzystując metodę dopełnienia wyrażenia do\npełnego kwadratu. Przekształcimy równoważnie trójmian kwadratowy 2𝑥2 -3𝑥-5:\n2𝑥2 -3𝑥-5 = 2 (𝑥2 -3\n2 𝑥) -5 = 2 [(𝑥-3\n4)\n2\n-9\n16] -5 = 2 (𝑥-3\n4)\n2\n-9\n8 -5 =\n= 2 (𝑥-3\n4)\n2\n-49\n8\nPrzekształcamy równoważnie równanie 2𝑥2 -3𝑥-5 = 0, otrzymując:\n2 (𝑥-3\n4)\n2\n-49\n8 = 0\n2 (𝑥-3\n4)\n2\n= 49\n8\n(𝑥-3\n4)\n2\n= 49\n16\n|𝑥-3\n4| = 7\n4\n34\nInformator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie podstawowym od roku szkolnego 2024/2025\n𝑥-3\n4 = 7\n4 lub 𝑥-3\n4 = -7\n4\n𝑥= 7\n4 + 3\n4 = 10\n4 = 5\n2 lub 𝑥= -7\n4 + 3\n4 = -4\n4 = -1\nSposób 3. rozwiązania równania 2𝑥2 -3𝑥-5 = 0.\nRozwiążemy równanie kwadratowe, wykorzystując metodę grupowania wyrazów:\n2𝑥2 -5𝑥+ 2𝑥-5 = 0\n2𝑥(𝑥-5\n2) + 2 (𝑥-5\n2) = 0\n(𝑥-5\n2) (2𝑥+ 2) = 0\n𝑥-5\n2 = 0 lub 2𝑥+ 2 = 0\n𝑥= 5\n2 lub 𝑥= -1\nOtrzymane pierwiastki są różne od liczby (-1\n2) oraz od liczby (-2), więc są\nrozwiązaniami danego równania.","answer":null,"answer_text":null,"solution":"Dziedzina: 2x+1≠0 i x+2≠0, czyli x≠-1/2 i x≠-2.\nPrzekształcamy równanie: 2/(2x+1) = (x-1)/(x+2)\n2(x+2) = (2x+1)(x-1)\n2x+4 = 2x²-2x+x-1\n2x+4 = 2x²-x-1\n2x²-3x-5 = 0\nΔ = 9+40 = 49, √Δ=7\nx₁ = (3-7)/4 = -1, x₂ = (3+7)/4 = 5/2\nOba rozwiązania należą do dziedziny.\nOdpowiedź: dziedzina x≠-1/2 i x≠-2; rozwiązania równania: x=-1 oraz x=5/2.","image":"img/informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-podstawowy/zad-18.webp","solution_image":null,"topics":"rownania_i_nierownosci","page_from":32,"source":"ai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"ai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2025","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny"},{"id":"informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-podstawowy/zad/19","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-podstawowy","number":"19","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2025,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 19. (0-2)\nRozwiąż nierówność\n(𝟑𝒙-𝟒)(𝒙-𝟏) < 𝒙\nWymaganie ogólne\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji.\n1.\nStosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nWymaganie szczegółowe\nIII. Równania i nierówności. Zdający:\n4) rozwiązuje równania i nierówności kwadratowe.\nPrzykładowe zadania z rozwiązaniami\n35\nZasady oceniania\n2 pkt - obliczenie pierwiastków trójmianu kwadratowego 3𝑥2 -8𝑥+ 4:\n𝑥1 = 2\n3 oraz 𝑥2 = 2\noraz zapisanie zbioru rozwiązań nierówności: 𝑥∈(2\n3 , 2)\nALBO\n- obliczenie pierwiastków trójmianu kwadratowego 3𝑥2 -8𝑥+ 4:\n𝑥1 = 2\n3 oraz 𝑥2 = 2\noraz przedstawienie zbioru rozwiązań nierówności w postaci graficznej z poprawnie\nzaznaczonymi końcami przedziałów\n1 pkt - obliczenie pierwiastków trójmianu kwadratowego 3𝑥2 -8𝑥+ 4:\n𝑥1 = 2\n3 oraz 𝑥2 = 2.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nPrzekształcamy nierówność:\n(3𝑥-4)(𝑥-1) < 𝑥\n3𝑥2 -3𝑥-4𝑥+ 4 < 𝑥\n3𝑥2 -8𝑥+ 4 < 0\nObliczamy wyróżnik trójmianu 3𝑥2 -8𝑥+ 4 (zobacz w Wybranych wzorach matematycznych):\nΔ = (-8)2 -4 ⋅3 ⋅4 = 16\ni obliczamy jego pierwiastki:\n𝑥1 = -(-8) -√16\n2 ⋅3\n= 2\n3\n𝑥2 = -(-8) + √16\n2 ⋅3\n= 2\nPodajemy zbiór rozwiązań nierówności: 𝑥∈(2\n3 , 2) lub zaznaczamy zbiór rozwiązań na osi\nliczbowej:\n2\n3\n𝑥\n2\n2\n3\n𝑥\n2\n36\nInformator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie podstawowym od roku szkolnego 2024/2025","answer":null,"answer_text":null,"solution":"(3x-4)(x-1) < x\n3x²-3x-4x+4 < x\n3x²-8x+4 < 0\nΔ = 64-48 = 16, √Δ=4\nx₁ = (8-4)/6 = 2/3, x₂ = (8+4)/6 = 2\nPonieważ współczynnik przy x² jest dodatni, nierówność jest spełniona między pierwiastkami.\nZbiór rozwiązań: x ∈ (2/3, 2).","image":"img/informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-podstawowy/zad-19.webp","solution_image":null,"topics":"rownania_i_nierownosci","page_from":34,"source":"ai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"ai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2025","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny"},{"id":"informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-podstawowy/zad/20","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-podstawowy","number":"20","points":3,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2025,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 20. (0-3)\nRozważmy takie liczby rzeczywiste a i b, które spełniają warunki:\n𝑎≠0, 𝑏≠0 oraz 𝑎3 + 𝑏3 = (𝑎+ 𝑏)(𝑎2 + 3𝑎𝑏+ 𝑏2).\nOblicz wartość liczbową wyrażenia 𝒂\n𝒃 dla dowolnych liczb rzeczywistych 𝒂 i 𝒃,\nspełniających powyższe warunki.\nWymaganie ogólne\nI.\nSprawność rachunkowa.\nWykonywanie obliczeń na liczbach rzeczywistych, także przy użyciu kalkulatora,\nstosowanie praw działań matematycznych przy przekształcaniu wyrażeń algebraicznych\noraz wykorzystywanie tych umiejętności przy rozwiązywaniu problemów w kontekstach\nrzeczywistych i teoretycznych.\nWymagania szczegółowe\nII. Wyrażenia algebraiczne. Zdający:\n2) dodaje, odejmuje i mnoży wielomiany jednej i wielu zmiennych;\n3) wyłącza poza nawias jednomian z sumy algebraicznej.\nIII. Równania i nierówności. Zdający:\n1) przekształca równania i nierówności w sposób równoważny, w tym np. przekształca\nrównoważnie równanie\n5\n𝑥 + 1 = 𝑥 + 3\n2𝑥-1\n;\n5) rozwiązuje równania wielomianowe postaci 𝑊(𝑥) = 0 dla wielomianów\ndoprowadzonych do postaci iloczynowej.\nZasady oceniania\n3 pkt - poprawna metoda obliczenia wartości ilorazu 𝑎\n𝑏 oraz podanie poprawnego wyniku\n𝑎\n𝑏= -1.\n2 pkt - przekształcenie równania do postaci 4𝑎𝑏(𝑎+ 𝑏) = 0 oraz wyznaczenie rozwiązań\ntego równania: 𝑎= 0, 𝑏= 0, 𝑎= -𝑏 (bez uwzględnienia warunków zadania).\n1 pkt - przekształcenie równania do postaci 4𝑎𝑏(𝑎+ 𝑏) = 0.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe zadania z rozwiązaniami\n37\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nRównanie podane w zadaniu przekształcamy w sposób równoważny.\n𝑎3 + 𝑏3 = (𝑎+ 𝑏)(𝑎2 + 3𝑎𝑏+ 𝑏2)\n𝑎3 + 𝑏3 = 𝑎3 + 3𝑎2𝑏+ 𝑎𝑏2 + 𝑎2𝑏+ 3𝑎𝑏2 + 𝑏3\n𝑎3 + 𝑏3 = 𝑎3 + 4𝑎2𝑏+ 4𝑎𝑏2 + 𝑏3\n0 = 4𝑎2𝑏+ 4𝑎𝑏2\n4𝑎𝑏(𝑎+ 𝑏) = 0\nIloczyn po lewej stronie równania jest równy 0, gdy co najmniej jeden z czynników jest\nrówny 0. Zatem:\n4𝑎𝑏= 0 lub 𝑎+ 𝑏= 0\nStąd mamy:\n𝑎= 0 lub 𝑏= 0 lub 𝑎= -𝑏\nGdy uwzględnimy warunki zadania 𝑎≠0 i 𝑏≠0, to pozostaje jedynie możliwość 𝑎= -𝑏.\nStąd otrzymujemy:\n𝑎\n𝑏= -𝑏\n𝑏= -1\n38\nInformator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie podstawowym od roku szkolnego 2024/2025","answer":null,"answer_text":null,"solution":"a³+b³ = (a+b)(a²+3ab+b²)\na³+b³ = a³+3a²b+ab²+a²b+3ab²+b³ = a³+4a²b+4ab²+b³\n0 = 4a²b+4ab² = 4ab(a+b)\nPonieważ a≠0 i b≠0, musi być a+b=0, czyli a=-b.\nZatem a/b = -b/b = -1.","image":"img/informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-podstawowy/zad-20.webp","solution_image":null,"topics":"algebra","page_from":36,"source":"ai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"ai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2025","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny"},{"id":"informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-podstawowy/zad/21","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-podstawowy","number":"21","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2025,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 21. (0-1)\nDokończ zdanie. Zaznacz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nUkład równań {\n𝑥+ 2𝑦= 1\n-4𝑥-8𝑦= -4\nA. nie ma rozwiązań.\nB. ma dokładnie jedno rozwiązanie.\nC. ma dokładnie dwa rozwiązania.\nD. ma nieskończenie wiele rozwiązań.\nWymaganie ogólne\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji.\n1.\nStosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nWymaganie szczegółowe\nIV. Układy równań. Zdający:\n1) rozwiązuje układy równań liniowych z dwiema niewiadomymi, podaje interpretację\ngeometryczną układów oznaczonych, nieoznaczonych i sprzecznych.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nD\nPrzykładowe zadania z rozwiązaniami\n39\nFUNKCJE, CIĄGI, OPTYMALIZACJA","answer":"D","answer_text":null,"solution":null,"image":"img/informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-podstawowy/zad-21.webp","solution_image":null,"topics":"uklady_rownan","page_from":38,"source":"zadaniazmatur","answer_source":"zadaniazmatur","answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2025","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny"},{"id":"informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-podstawowy/zad/22","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-podstawowy","number":"22","points":2,"ptype":"true_false","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2025,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 22. (0-2)\nFunkcja 𝑦= 𝑓(𝑥) jest określona za pomocą tabeli\n𝒙\n-3\n-2 -1\n0\n1\n2\n3\n𝒚\n-3\n2\n0\n1\n0\n2\n1\nOceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Zaznacz P, jeśli stwierdzenie jest\nprawdziwe, albo F - jeśli jest fałszywe.\nFunkcja 𝑓 ma dokładnie jedno miejsce zerowe.\nP\nF\nW kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) wykres funkcji 𝑓 jest\nsymetryczny względem osi 𝑂𝑦.\nP\nF\nNajwiększa wartość funkcji 𝑓 jest równa 3.\nP\nF\nWymaganie ogólne\nII. Wykorzystanie i tworzenie informacji.\n1.\nInterpretowanie i operowanie informacjami przedstawionymi w tekście, zarówno\nmatematycznym, jak i popularnonaukowym, a także w formie wykresów, diagramów,\ntabel.\nWymaganie szczegółowe\nV. Funkcje. Zdający:\n3) odczytuje i interpretuje wartości funkcji określonych za pomocą tabel, wykresów,\nwzorów itp., również w sytuacjach wielokrotnego użycia tego samego źródła\ninformacji lub kilku źródeł jednocześnie.\nZasady oceniania\n2 pkt - poprawne zaznaczenie w trzech zdaniach.\n1 pkt - poprawne zaznaczenie w dwóch zdaniach.\n0 pkt - brak spełnienia powyższych kryteriów.\nRozwiązanie\nFFF\n40\nInformator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie podstawowym od roku szkolnego 2024/2025","answer":"FFF","answer_text":null,"solution":null,"image":"img/informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-podstawowy/zad-22.webp","solution_image":null,"topics":"funkcje","page_from":39,"source":"zadaniazmatur","answer_source":"zadaniazmatur","answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2025","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny"},{"id":"informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-podstawowy/zad/23","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-podstawowy","number":"23","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2025,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 23. (0-1)\nDokończ zdanie. Zaznacz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nW kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) wykresy funkcji liniowych\n𝑓(𝑥) = (2𝑚+ 7)𝑥+ 5 oraz 𝑔(𝑥) = 3𝑥 nie mają punktów wspólnych dla\nA. 𝑚= -2\nB. 𝑚= -1\nC. 𝑚= 1\nD. 𝑚= 2\nWymaganie ogólne\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n1.\nPrzeprowadzanie rozumowań, także kilkuetapowych, podawanie argumentów\nuzasadniających poprawność rozumowania, odróżnianie dowodu od przykładu.\nWymaganie szczegółowe\nV. Funkcje. Zdający:\n5) interpretuje współczynniki występujące we wzorze funkcji liniowej.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nA\nPrzykładowe zadania z rozwiązaniami\n41","answer":"A","answer_text":null,"solution":null,"image":"img/informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-podstawowy/zad-23.webp","solution_image":null,"topics":"funkcje","page_from":40,"source":"zadaniazmatur","answer_source":"zadaniazmatur","answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2025","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny"},{"id":"informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-podstawowy/zad/24","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-podstawowy","number":"24","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2025,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 24. (0-1)\nDana jest funkcja 𝑓 określona wzorem:\n𝑓(𝑥) = {\n2𝑥-6\ndla 𝑥≤2\n𝑥-4\ndla 𝑥> 2\nDokończ zdanie. Zaznacz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nMiejscem zerowym funkcji 𝑓 jest liczba\nA. (-6)\nB. (-4)\nC. 3\nD. 4\nWymaganie ogólne\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji.\n1.\nStosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nWymagania szczegółowe\nV. Funkcje. Zdający:\n1) określa funkcje jako jednoznaczne przyporządkowanie za pomocą opisu słownego,\ntabeli, wykresu, wzoru (także różnymi wzorami na różnych przedziałach);\n3) odczytuje i interpretuje wartości funkcji określonych za pomocą tabel, wykresów,\nwzorów itp., również w sytuacjach wielokrotnego użycia tego samego źródła\ninformacji lub kilku źródeł jednocześnie.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nD\n42\nInformator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie podstawowym od roku szkolnego 2024/2025","answer":"D","answer_text":null,"solution":null,"image":"img/informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-podstawowy/zad-24.webp","solution_image":null,"topics":"funkcje","page_from":41,"source":"zadaniazmatur","answer_source":"zadaniazmatur","answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2025","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny"},{"id":"informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-podstawowy/zad/25","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-podstawowy","number":"25","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2025,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 25. (0-1)\nDana jest funkcja 𝑓 określona wzorem 𝑓(𝑥) = 𝑥2 -𝑏-2√2 dla każdej liczby\nrzeczywistej 𝑥. Miejscem zerowym funkcji 𝑓 jest 𝑥= √2 + 1.\nDokończ zdanie. Zaznacz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nWspółczynnik 𝑏 we wzorze funkcji 𝑓 jest równy\nA. (-3)\nB. 3\nC. 3 -√2\nD. 3 -2√2\nWymagania ogólne\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji.\n1.\nStosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nI.\nSprawność rachunkowa.\nWykonywanie obliczeń na liczbach rzeczywistych, także przy użyciu kalkulatora,\nstosowanie praw działań matematycznych przy przekształcaniu wyrażeń algebraicznych\noraz wykorzystywanie tych umiejętności przy rozwiązywaniu problemów w kontekstach\nrzeczywistych i teoretycznych.\nWymagania szczegółowe\nII. Wyrażenia algebraiczne. Zdający:\n1) stosuje wzory skróconego mnożenia na: (𝑎 + 𝑏)2, (𝑎 -𝑏)2, 𝑎2 - 𝑏2.\nV. Funkcje. Zdający:\n2) oblicza wartość funkcji zadanej wzorem algebraicznym.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nB\nPrzykładowe zadania z rozwiązaniami\n43","answer":"B","answer_text":null,"solution":null,"image":"img/informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-podstawowy/zad-25.webp","solution_image":null,"topics":"funkcje","page_from":42,"source":"zadaniazmatur","answer_source":"zadaniazmatur","answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2025","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny"},{"id":"informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-podstawowy/zad/26","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-podstawowy","number":"26","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2025,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 26. (0-1)\nFunkcja kwadratowa 𝑓 jest określona wzorem 𝑓(𝑥) = 3𝑥2 + 2𝑥+ 𝑚 dla każdej liczby\nrzeczywistej 𝑥. Współczynnik 𝑚 jest liczbą rzeczywistą mniejszą od zera.\nDokończ zdanie. Zaznacz odpowiedź A, B albo C oraz jej uzasadnienie 1., 2. albo 3.\nFunkcja 𝑓\nA.\nma dwa rzeczywiste miejsca zerowe,\nponieważ\n1.\n4 -12𝑚> 0\nB.\nma jedno rzeczywiste miejsce zerowe,\n2.\n4 -12𝑚= 0\nC.\nnie ma rzeczywistych miejsc zerowych,\n3.\n4 -12𝑚< 0\nWymagania ogólne\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji.\n1.\nStosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych;\n3.\nTworzenie pomocniczych obiektów matematycznych na podstawie istniejących,\nw celu przeprowadzenia argumentacji lub rozwiązania problemu.\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n1.\nPrzeprowadzanie rozumowań, także kilkuetapowych, podawanie argumentów\nuzasadniających poprawność rozumowania, odróżnianie dowodu od przykładu.\nWymagania szczegółowe\nIII. Równania i nierówności. Zdający:\n4) rozwiązuje równania i nierówności kwadratowe.\nV. Funkcje. Zdający:\n8) interpretuje współczynniki występujące we wzorze funkcji kwadratowej w postaci\nogólnej, kanonicznej i iloczynowej (jeśli istnieje).\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepełna lub niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nA1\n44\nInformator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie podstawowym od roku szkolnego 2024/2025","answer":"A","answer_text":null,"solution":null,"image":"img/informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-podstawowy/zad-26.webp","solution_image":null,"topics":"funkcje","page_from":43,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2025","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny"},{"id":"informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-podstawowy/zad/27","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-podstawowy","number":"27","points":null,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2025,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 27.\nWykres funkcji 𝑦= 𝑓(𝑥) przedstawiono w kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦)\nna rysunku poniżej.","answer":null,"answer_text":null,"solution":null,"image":"img/informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-podstawowy/zad-27.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":44,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2025","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny"},{"id":"informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-podstawowy/zad/27.1","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-podstawowy","number":"27.1","points":1,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2025,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 27.1. (0-1)\nZapisz w miejscu wykropkowanym poniżej zbiór rozwiązań nierówności 𝒇(𝒙) > 𝟐.\nWymaganie ogólne\nII. Wykorzystanie i tworzenie informacji.\n1.\nInterpretowanie i operowanie informacjami przedstawionymi w tekście, zarówno\nmatematycznym, jak i popularnonaukowym, a także w formie wykresów, diagramów,\ntabel.\nWymaganie szczegółowe\nV. Funkcje. Zdający:\n4) odczytuje z wykresu funkcji: […] przedziały, w których funkcja przyjmuje wartości\nwiększe (nie mniejsze) lub mniejsze (nie większe) od danej liczby […].\nZasady oceniania\n1 pkt - rozwiązanie poprawne.\n0 pkt - rozwiązanie niepoprawne lub niepełne albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\n[-5, -1) ∪(7, 8]\n𝑦\n𝑥\n2\n4\n6\n8\n2\n4\n6\n8\n-2\n-4\n-6\n-8\n-2\n-4\n-6\n-8\n𝑦= 𝑓(𝑥)\nPrzykładowe zadania z rozwiązaniami\n45","answer":null,"answer_text":null,"solution":"$[-5, -1) \\cup (7, 8]$","image":"img/informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-podstawowy/zad-27.1.webp","solution_image":null,"topics":"funkcje","page_from":44,"source":"zadaniazmatur","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2025","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny"},{"id":"informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-podstawowy/zad/27.2","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-podstawowy","number":"27.2","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2025,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 27.2. (0-1)\nDokończ zdanie. Zaznacz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nFunkcja 𝑓 jest malejąca w przedziale\nA. [-5, -3]\nB. [3, 8]\nC. [0, 6]\nD. [-3, 3]\nWymaganie ogólne\nII. Wykorzystanie i tworzenie informacji.\n1.\nInterpretowanie i operowanie informacjami przedstawionymi w tekście, zarówno\nmatematycznym, jak i popularnonaukowym, a także w formie wykresów, diagramów,\ntabel.\nWymaganie szczegółowe\nV. Funkcje. Zdający:\n4) odczytuje z wykresu funkcji […] przedziały monotoniczności […].\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nD","answer":"D","answer_text":null,"solution":null,"image":"img/informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-podstawowy/zad-27.2.webp","solution_image":null,"topics":"funkcje","page_from":45,"source":"zadaniazmatur","answer_source":"zadaniazmatur","answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2025","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny"},{"id":"informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-podstawowy/zad/27.3","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-podstawowy","number":"27.3","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2025,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 27.3. (0-2)\nUzupełnij zdania. Wpisz odpowiednie liczby w wykropkowanych miejscach tak, aby\nzdania były prawdziwe.\n1. Największa wartość funkcji 𝑓 jest równa\n2. Najmniejsza wartość funkcji 𝑓 w przedziale [6, 8] jest równa\nWymaganie ogólne\nII. Wykorzystanie i tworzenie informacji.\n1. Interpretowanie i operowanie informacjami przedstawionymi w tekście, zarówno\nmatematycznym, jak i popularnonaukowym, a także w formie wykresów, diagramów,\ntabel.\nWymaganie szczegółowe\nV. Funkcje. Zdający:\n4) odczytuje z wykresu funkcji […] największe i najmniejsze wartości funkcji (o ile\nistnieją) w danym przedziale domkniętym [ ].\n46\nInformator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie podstawowym od roku szkolnego 2024/2025\nZasady oceniania\n2 pkt - poprawnie uzupełnione dwie luki.\n1 pkt - poprawnie uzupełniona jedna luka.\n0 pkt - brak spełnienia powyższych kryteriów.\nPełne rozwiązanie\n1. Największa wartość funkcji 𝑓 jest równa\n2. Najmniejsza wartość funkcji 𝑓 w przedziale [6, 8] jest równa","answer":null,"answer_text":null,"solution":"1. $6$\n2. $0$","image":"img/informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-podstawowy/zad-27.3.webp","solution_image":null,"topics":"funkcje","page_from":45,"source":"zadaniazmatur","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2025","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny"},{"id":"informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-podstawowy/zad/28","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-podstawowy","number":"28","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2025,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 28. (0-4)\nFunkcja 𝑓 jest określona następująco:\n𝑓(𝑥) = {\n𝑥+ 4\ndla 𝑥∈[-8, 0]\n4\ndla 𝑥∈(0, 4]\n-2𝑥+ 12\ndla 𝑥∈(4, 6)\nWykres funkcji 𝑦= 𝑓(𝑥) przedstawiono w kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦)\nna rysunku poniżej.\nUzupełnij zdania. Wpisz odpowiednie przedziały w wykropkowanych miejscach tak,\naby zdania były prawdziwe.\n1. Dziedziną funkcji 𝑓 jest przedział\n2. Zbiorem wartości funkcji 𝑓 jest przedział\n3. Zbiorem wszystkich argumentów, dla których funkcja 𝑓 przyjmuje wartości\nnieujemne, jest przedział\n4. Zbiorem wszystkich rozwiązań równania 𝑓(𝑥) = 4 jest przedział\n6\n0\n𝑦\n𝑥\n2\n4\n6\n8\n2\n4\n6\n8\n-2\n-4\n-6\n-8\n-2\n-4\n-6\n-8\n𝑦= 𝑓(𝑥)\nPrzykładowe zadania z rozwiązaniami\n47\nWymaganie ogólne\nII. Wykorzystanie i tworzenie informacji.\n1. Interpretowanie i operowanie informacjami przedstawionymi w tekście, zarówno\nmatematycznym, jak i popularnonaukowym, a także w formie wykresów, diagramów,\ntabel.\nWymagania szczegółowe\nV. Funkcje. Zdający:\n3) odczytuje i interpretuje wartości funkcji określonych za pomocą tabel, wykresów,\nwzorów itp., również w sytuacjach wielokrotnego użycia tego samego źródła\ninformacji lub kilku źródeł jednocześnie;\n4) odczytuje z wykresu funkcji: dziedzinę, zbiór wartości, miejsca zerowe, przedziały\nmonotoniczności, przedziały, w których funkcja przyjmuje wartości większe (nie\nmniejsze) lub mniejsze (nie większe) od danej liczby, największe i najmniejsze\nwartości funkcji (o ile istnieją) w danym przedziale domkniętym oraz argumenty, dla\nktórych wartości największe i najmniejsze są przez funkcję przyjmowane.\nZasady oceniania\n4 pkt - poprawnie uzupełnione cztery luki.\n3 pkt - poprawnie uzupełnione trzy luki.\n2 pkt - poprawnie uzupełnione dwie luki.\n1 pkt - poprawnie uzupełniona jedna luka.\n0 pkt - brak spełnienia powyższych kryteriów.\nPełne rozwiązanie\n1. Dziedziną funkcji 𝑓 jest przedział\n2. Zbiorem wartości funkcji 𝑓 jest przedział\n3. Zbiorem wszystkich argumentów, dla których funkcja 𝑓 przyjmuje wartości\nnieujemne, jest przedział\n4. Zbiorem wszystkich rozwiązań równania 𝑓(𝑥) = 4 jest przedział\n[-8, 6)\n[-4, 4]\n[-4, 6)\n[0, 4]\n48\nInformator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie podstawowym od roku szkolnego 2024/2025","answer":null,"answer_text":null,"solution":"1. $[-8, 6)$\n2. $[-4, 4]$\n3. $[-4, 6)$\n4. $[0, 4]$","image":"img/informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-podstawowy/zad-28.webp","solution_image":null,"topics":"funkcje","page_from":46,"source":"zadaniazmatur","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2025","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny"},{"id":"informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-podstawowy/zad/29","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-podstawowy","number":"29","points":2,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2025,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 29. (0-2)\nDana jest funkcja 𝑦= 𝑓(𝑥), której wykres przedstawiono\nw kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) na rysunku\nobok.\nFunkcje 𝑔 oraz ℎ są określone za pomocą funkcji 𝑓\nnastępująco:\n𝑦= 𝑔(𝑥) = 𝑓(𝑥+ 2) 𝑦= ℎ(𝑥) = 𝑓(𝑥) + 2\nNa rysunkach A-F przedstawiono wykresy różnych funkcji -\nw tym wykresy funkcji 𝑔 oraz ℎ.\nKażdej z funkcji 𝒚= 𝒈(𝒙) oraz 𝒚= 𝒉(𝒙) przyporządkuj jej wykres. Wpisz obok\nsymboli funkcji w tabeli poniżej właściwe odpowiedzi wybrane spośród A-F.\nNr zadania\nFunkcja\nRysunek\n29.1.\n𝑦= 𝑔(𝑥)\n29.2.\n𝑦= ℎ(𝑥)\nA.\nB.\nC.\nD.\nE.\nF.\n-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8\n𝑦\n𝑥\n𝑦= 𝑓(𝑥)\n8\n6\n4\n2\n- 2\n- 4\n- 6\n- 8\n-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8\n𝑦\n𝑥\n8\n6\n4\n2\n- 2\n- 4\n- 6\n- 8\n-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8\n𝑦\n𝑥\n8\n6\n4\n2\n- 2\n- 4\n- 6\n- 8\n-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8\n𝑦\n𝑥\n8\n6\n4\n2\n- 2\n- 4\n- 6\n- 8\n-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8\n𝑦\n𝑥\n8\n6\n4\n2\n- 2\n- 4\n- 6\n- 8\n-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8\n𝑦\n𝑥\n8\n6\n4\n2\n- 2\n- 4\n- 6\n- 8\n-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8\n𝑦\n𝑥\n8\n6\n4\n2\n- 2\n- 4\n- 6\n- 8\nPrzykładowe zadania z rozwiązaniami\n49\nWymaganie ogólne\nII. Wykorzystanie i tworzenie informacji.\n1. Interpretowanie i operowanie informacjami przedstawionymi w tekście, zarówno\nmatematycznym, jak i popularnonaukowym, a także w formie wykresów, diagramów,\ntabel.\nWymaganie szczegółowe\nV. Funkcje. Zdający:\n12) na podstawie wykresu funkcji 𝑦= 𝑓(𝑥) szkicuje wykresy funkcji 𝑦= 𝑓(𝑥-𝑎),\n𝑦= 𝑓(𝑥) + 𝑏.\nZasady oceniania\n2 pkt - poprawne przyporządkowanie wykresów dla obu funkcji.\n1 pkt - poprawne przyporządkowanie wykresu dla jednej funkcji.\n0 pkt - rozwiązanie niepoprawne albo brak rozwiązania.\nPełne rozwiązanie\nNr zadania\nFunkcja\nRysunek\n29.1.\n𝑦= 𝑔(𝑥)\nD\n29.2.\n𝑦= ℎ(𝑥)\nF\n50\nInformator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie podstawowym od roku szkolnego 2024/2025","answer":"29.1. D\n29.2. F","answer_text":null,"solution":null,"image":"img/informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-podstawowy/zad-29.webp","solution_image":null,"topics":"funkcje","page_from":48,"source":"zadaniazmatur","answer_source":"zadaniazmatur","answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2025","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny"},{"id":"informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-podstawowy/zad/30","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-podstawowy","number":"30","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2025,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 30. (0-1)\nDana jest funkcja kwadratowa 𝑦= 𝑓(𝑥), której fragment wykresu przedstawiono\nw kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) na rysunku poniżej.\nDokończ zdanie. Zaznacz właściwą odpowiedź spośród podanych, jeżeli wiadomo, że\njeden ze wzorów podanych w odpowiedziach A-D to wzór funkcji 𝒇.\nFunkcja kwadratowa 𝑦= 𝑓(𝑥) jest określona wzorem\nA. 𝑦= -(𝑥+ 5)2 -6\nB. 𝑦= -(𝑥+ 5)2 + 6\nC. 𝑦= -(𝑥-5)2 -6\nD. 𝑦= -(𝑥-5)2 + 6\nWymaganie ogólne\nII. Wykorzystanie i tworzenie informacji.\n1. Interpretowanie i operowanie informacjami przedstawionymi w tekście, zarówno\nmatematycznym, jak i popularnonaukowym, a także w formie wykresów, diagramów,\ntabel.\nWymaganie szczegółowe\nV. Funkcje. Zdający:\n9) wyznacza wzór funkcji kwadratowej na podstawie informacji o tej funkcji lub o jej\nwykresie.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nB\n𝑦\n𝑥\n2\n4\n6\n8\n2\n4\n6\n8\n-2\n-4\n-6\n-8\n-2\n-4\n-6\n-8\n𝑦= 𝑓(𝑥)\nPrzykładowe zadania z rozwiązaniami\n51","answer":"B","answer_text":null,"solution":null,"image":"img/informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-podstawowy/zad-30.webp","solution_image":null,"topics":"funkcje","page_from":50,"source":"zadaniazmatur","answer_source":"zadaniazmatur","answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2025","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny"},{"id":"informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-podstawowy/zad/31","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-podstawowy","number":"31","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2025,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 31. (0-2)\nDo wykresu pewnej funkcji kwadratowej 𝑦= 𝑔(𝑥) należy punkt o współrzędnych (2, -6).\nOsią symetrii wykresu tej funkcji jest prosta o równaniu 𝑥= 3, a jednym z miejsc zerowych\nfunkcji 𝑔 jest 𝑥1 = 1.\nWyznacz wzór funkcji 𝒈 w postaci iloczynowej.\nWymaganie ogólne\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji.\n1.\nStosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nWymagania szczegółowe\nV. Funkcje. Zdający:\n8) interpretuje współczynniki występujące we wzorze funkcji kwadratowej w postaci\nogólnej, kanonicznej i iloczynowej (jeśli istnieje);\n9) wyznacza wzór funkcji kwadratowej na podstawie informacji o tej funkcji lub o jej\nwykresie.\nZasady oceniania\n2 pkt - poprawna metoda wyznaczenia postaci iloczynowej funkcji 𝑔 oraz zapisanie jej\nwzoru: 𝑔(𝑥) = 2(𝑥-1)(𝑥-5).\n1 pkt - zapisanie wzoru funkcji 𝑔 w postaci 𝑔(𝑥) = 𝑎(𝑥-1)(𝑥-5).\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób 1.\nZauważmy, że pierwsza współrzędna punktu przecięcia osi symetrii wykresu funkcji\nkwadratowej z osią 𝑂𝑥 jest środkiem odcinka, którego końcami są miejsca zerowe tej\nfunkcji. Zatem:\n3 = 1 + 𝑥2\n2\ni stąd 𝑥2 = 5\nZapiszemy wzór funkcji 𝑔 w postaci iloczynowej dla pewnego rzeczywistego\nwspółczynnika 𝑎:\n52\nInformator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie podstawowym od roku szkolnego 2024/2025\n𝑔(𝑥) = 𝑎(𝑥-1)(𝑥-5)\nObliczymy współczynnik 𝑎. Wykres funkcji przechodzi przez punkt (2, -6), zatem:\n-6 = 𝑎(2 -1)(2 -5), więc -6 = 𝑎⋅(-3) i stąd 𝑎= 2\nWzór funkcji 𝑔 w postaci iloczynowej ma postać:\n𝑔(𝑥) = 2(𝑥-1)(𝑥-5)\nSposób 2.\nNaszkicujemy fragment wykresu funkcji kwadratowej 𝑦= 𝑔(𝑥), który spełnia warunki:\n1) przechodzi przez punkt 𝑃= (2, -6),\n2) posiada oś symetrii 𝑥= 3,\n3) przecina oś 𝑂𝑥 w punkcie (1, 0) (miejsce zerowe funkcji 𝑔 to 𝑥1 = 1).\nDrugie miejsce zerowe funkcji 𝑔 jest położone symetrycznie do 𝑥1 = 1 względem prostej\n𝑥= 3. Zatem drugim miejscem zerowym jest 𝑥2 = 5.\nZapiszemy wzór funkcji 𝑔 w postaci iloczynowej dla pewnego rzeczywistego\nwspółczynnika 𝑎:\n𝑔(𝑥) = 𝑎(𝑥-1)(𝑥-5)\nObliczymy współczynnik 𝑎. Wykres funkcji przechodzi przez punkt (2, -6), zatem:\n-6 = 𝑎(2 -1)(2 -5)\nStąd 𝑎= 2.\nWzór funkcji 𝑔 w postaci iloczynowej ma postać:\n𝑔(𝑥) = 2(𝑥-1)(𝑥-5)\n-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8\n𝑦\n𝑥\n𝑦= 𝑔(𝑥)\n8\n6\n4\n2\n- 2\n- 4\n- 6\n- 8\n𝑥= 3\n𝑃\nPrzykładowe zadania z rozwiązaniami\n53","answer":null,"answer_text":null,"solution":"Oś symetrii x=3 jest równoodległa od obu miejsc zerowych, więc drugie miejsce\nzerowe x2 spełnia: 3=(1+x2)/2, stąd x2=5.\nWzór funkcji: g(x)=a(x-1)(x-5).\nPodstawiamy punkt (2,-6): -6=a(2-1)(2-5)=a·1·(-3)=-3a, stąd a=2.\nWzór funkcji g w postaci iloczynowej: g(x) = 2(x-1)(x-5).","image":"img/informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-podstawowy/zad-31.webp","solution_image":null,"topics":"funkcje","page_from":51,"source":"ai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"ai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2025","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny"},{"id":"informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-podstawowy/zad/32","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-podstawowy","number":"32","points":null,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2025,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 32.\nNa podstawie zasad dynamiki można udowodnić, że torem ruchu rzuconej piłki - przy\npominięciu oporów powietrza - jest fragment paraboli.\nKoszykarz wykonał rzut do kosza z odległości 𝑥𝑘= 7,01 m, licząc od środka piłki do środka\nobręczy kosza w linii poziomej.\nDo opisu toru ruchu przyjmiemy układ współrzędnych, w którym środek piłki w chwili\npoczątkowej znajdował się w punkcie 𝑥0 = 0, 𝑦0 = 2,50 m.\nŚrodek piłki podczas rzutu poruszał się po paraboli danej równaniem:\n𝑦= -0,174𝑥2 + 1,3𝑥+ 2,5\nRzut okazał się udany, a środek piłki przeszedł dokładnie przez środek kołowej obręczy\nkosza. Na rysunku poniżej przedstawiono tę sytuację oraz tor ruchu piłki w układzie\nwspółrzędnych.","answer":null,"answer_text":null,"solution":null,"image":"img/informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-podstawowy/zad-32.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":53,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2025","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny"},{"id":"informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-podstawowy/zad/32.1","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-podstawowy","number":"32.1","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2025,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 32.1. (0-1)\nDokończ zdanie. Zaznacz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nObręcz kosza znajduje się na wysokości (podanej w zaokrągleniu z dokładnością do 0,01 m)\nA. 3,04 m\nB. 3,06 m\nC. 3,80 m\nD. 4,93 m\n7,01\n𝑦, m\n2,5\n𝑥, m\n(0,0)\n54\nInformator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie podstawowym od roku szkolnego 2024/2025\nWymagania ogólne\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji.\n2.\nDobieranie i tworzenie modeli matematycznych przy rozwiązywaniu problemów\npraktycznych i teoretycznych.\nII. Wykorzystanie i tworzenie informacji.\n1.\nInterpretowanie i operowanie informacjami przedstawionymi w tekście, zarówno\nmatematycznym, jak i popularnonaukowym, a także w formie wykresów, diagramów,\ntabel.\nWymaganie szczegółowe\nV. Funkcje. Zdający:\n11) wykorzystuje własności funkcji […] kwadratowej do interpretacji zagadnień\ngeometrycznych, fizycznych itp., także osadzonych w kontekście praktycznym.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nB","answer":"B","answer_text":null,"solution":null,"image":"img/informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-podstawowy/zad-32.1.webp","solution_image":null,"topics":"funkcje","page_from":53,"source":"zadaniazmatur","answer_source":"zadaniazmatur","answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2025","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny"},{"id":"informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-podstawowy/zad/32.2","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-podstawowy","number":"32.2","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2025,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 32.2. (0-2)\nOblicz wysokość maksymalną, na jaką wzniesie się środek piłki podczas opisanego\nrzutu. Wynik zapisz w metrach w zaokrągleniu do drugiego miejsca po przecinku.\nWymagania ogólne\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji.\n2.\nDobieranie i tworzenie modeli matematycznych przy rozwiązywaniu problemów\npraktycznych i teoretycznych.\nII. Wykorzystanie i tworzenie informacji.\n1.\nInterpretowanie i operowanie informacjami przedstawionymi w tekście, zarówno\nmatematycznym, jak i popularnonaukowym, a także w formie wykresów, diagramów,\ntabel.\nPrzykładowe zadania z rozwiązaniami\n55\nWymagania szczegółowe\nV. Funkcje. Zdający:\n10) wyznacza największą i najmniejszą wartość funkcji kwadratowej w przedziale\ndomkniętym;\n11) wykorzystuje własności funkcji […] kwadratowej do interpretacji zagadnień\ngeometrycznych, fizycznych itp., także osadzonych w kontekście praktycznym.\nZasady oceniania\n2 pkt - poprawna metoda rozwiązania oraz zapisanie wyniku 4,93 m.\n1 pkt - zastosowanie wzoru na wierzchołek paraboli oraz poprawne podstawienie\nwszystkich danych liczbowych do tego wzoru\nALBO\n- zapisanie wzoru funkcji w postaci 𝑦= -0,174(𝑥-𝑝)2 + 𝑞 oraz zidentyfikowanie\n𝑞 jako współrzędnej wierzchołka paraboli lub wysokości maksymalnej rzutu.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób 1.\nWysokość maksymalna, na jaką wzniesie się środek piłki, jest równa współrzędnej 𝑦\nwierzchołka paraboli. Skorzystamy ze wzoru na wierzchołek paraboli (zobacz w Wybranych\nwzorach matematycznych):\nℎ𝑚𝑎𝑥= 𝑦𝑤= -𝑏2 -4𝑎𝑐\n4𝑎\n= -1,32 + 4 ⋅0,174 ⋅2,5\n4 ⋅(-0,174)\n≈4,93 m\nSposób 2.\nWysokość maksymalna, na jaką wzniesie się środek piłki, jest równa współrzędnej 𝑦\nwierzchołka paraboli. Wartość tę możemy wyznaczyć, przekształcając wzór funkcji\nkwadratowej 𝑦= -0,174𝑥2 + 1,3𝑥+ 2,5 do postaci kanonicznej:\n𝑦= -0,174(𝑥-𝑝)2 + 𝑞\ngdzie:\nℎ𝑚𝑎𝑥= 𝑦𝑤= 𝑞\n𝑦= -0,174𝑥2 + 1,3𝑥+ 2,5 = -0,174 (𝑥2 -1,3\n0,174 𝑥) + 2,5 =\n= -0,174 ⋅[(𝑥-\n1,3\n2 ⋅0,174)\n2\n-(\n1,3\n2 ⋅0,174)\n2\n] + 2,5 =\n= -0,174 ⋅(𝑥-\n1,3\n2 ⋅0,174)\n2\n+ 0,174 ⋅(\n1,3\n2 ⋅0,174)\n2\n+ 2,5\nZatem\nℎ𝑚𝑎𝑥= 𝑦𝑤= 𝑞= 0,174 ⋅(\n1,3\n2 ⋅0,174)\n2\n+ 2,5 ≈4,93 m\n56\nInformator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie podstawowym od roku szkolnego 2024/2025","answer":null,"answer_text":null,"solution":"Wysokość maksymalna to rzędna wierzchołka paraboli y=-0,174x²+1,3x+2,5:\nh_max = y_w = (-b²+4ac)/(4a) = -(1,3²-4·(-0,174)·2,5) / (4·(-0,174)) =\n= -(1,69+1,74) / (-0,696) ≈ 4,93 m.\nMaksymalna wysokość środka piłki wynosi około 4,93 m.","image":"img/informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-podstawowy/zad-32.2.webp","solution_image":null,"topics":"funkcje","page_from":54,"source":"ai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"ai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2025","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny"},{"id":"informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-podstawowy/zad/32.3","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-podstawowy","number":"32.3","points":3,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2025,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 32.3. (0-3)\nW opisanym rzucie piłka przeleciała swobodnie przez obręcz kosza i upadła na parkiet.\nPrzyjmij, że obręcz kosza nie miała siatki, a na drodze rzutu nie było żadnej przeszkody.\nPromień piłki jest równy 0,12 m.\nOblicz współrzędną 𝒙 środka piłki w momencie, w którym piłka dotknęła parkietu.\nWynik zapisz w metrach w zaokrągleniu do drugiego miejsca po przecinku.\nWymagania ogólne\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji.\n2.\nDobieranie i tworzenie modeli matematycznych przy rozwiązywaniu problemów\npraktycznych i teoretycznych.\nII. Wykorzystanie i tworzenie informacji.\n1.\nInterpretowanie i operowanie informacjami przedstawionymi w tekście, zarówno\nmatematycznym, jak i popularnonaukowym, a także w formie wykresów, diagramów,\ntabel.\nWymagania szczegółowe\nV. Funkcje. Zdający:\n11) wykorzystuje własności funkcji […] kwadratowej do interpretacji zagadnień\ngeometrycznych, fizycznych itp., także osadzonych w kontekście praktycznym.\nIII. Równania i nierówności. Zdający:\n4) rozwiązuje równania i nierówności kwadratowe.\nPrzykładowe zadania z rozwiązaniami\n57\nZasady oceniania\n3 pkt - poprawna metoda wyznaczenia współrzędnej 𝑥 oraz zapisanie wyniku: 8,99 m.\n2 pkt - poprawne rozwiązanie równania 0,174𝑥2 -1,3𝑥-2,38 = 0.\n1 pkt - zapisanie równania 0,12 = -0,174𝑥2 + 1,3𝑥+ 2,5.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nZauważmy, że w momencie gdy piłka upadła i dotknęła parkietu, to środek piłki należy do\nparaboli oraz znajduje się na wysokości 0,12 m ponad parkietem. Zatem współrzędne\n(𝑥, 𝑦) środka piłki spełniają równanie paraboli, a współrzędna 𝑦= 0,12 m.\n0,12 = -0,174𝑥2 + 1,3𝑥+ 2,5\n0,174𝑥2 -1,3𝑥-2,38 = 0\nRozwiązujemy otrzymane równanie kwadratowe.\nObliczamy wyróżnik Δ trójmianu kwadratowego 0,174𝑥2 -1,3𝑥-2,38 (zobacz\nw Wybranych wzorach matematycznych):\nΔ = (-1,3)2 -4 ⋅0,174 ⋅(-2,38) = 3,34648\nRozwiązaniami powyższego równania kwadratowego są liczby:\n𝑥1 = 1,3 -√3,34648\n0,348\n𝑥1 = 1,3 + √3,34648\n0,348\n𝑥1 ≈-1,52 𝑥2 ≈8,99\nWspółrzędna 𝑥 środka piłki w momencie, w którym piłka dotknęła parkietu, jest równa\nw przybliżeniu 8,99 m.\n58\nInformator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie podstawowym od roku szkolnego 2024/2025","answer":null,"answer_text":null,"solution":"Piłka dotyka parkietu, gdy środek piłki znajduje się na wysokości równej promieniowi\npiłki, czyli y=0,12 m (parkiet to y=0, powierzchnia piłki styka się z podłożem, gdy środek\njest na wysokości 0,12 m).\n0,12 = -0,174x² + 1,3x + 2,5\n0,174x² - 1,3x - 2,38 = 0\nΔ = (-1,3)² - 4·0,174·(-2,38) = 1,69 + 1,65648 = 3,34648\nx = (1,3 ± √3,34648) / 0,348\nx1 ≈ -1,52 (odrzucamy, ujemna współrzędna niefizyczna w tym kontekście)\nx2 ≈ 8,99\nWspółrzędna x środka piłki w momencie dotknięcia parkietu wynosi około 8,99 m.","image":"img/informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-podstawowy/zad-32.3.webp","solution_image":null,"topics":"funkcje","page_from":56,"source":"ai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"ai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2025","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny"},{"id":"informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-podstawowy/zad/33","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-podstawowy","number":"33","points":null,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2025,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 33.\nCzas 𝑇 połowicznego rozpadu izotopu promieniotwórczego to czas, po którym liczba jąder\ndanego izotopu (a zatem i masa tego izotopu) zmniejsza się o połowę - tzn. połowa jąder\ndanego izotopu przemienia się w inne jądra. Liczba jąder 𝑁(𝑡) izotopu promieniotwórczego\npozostających w próbce po czasie 𝑡, licząc od chwili 𝑡0 = 0, wyraża się zależnością\nwykładniczą:\n𝑁(𝑡) = 𝑁0 ⋅(1\n2)\n𝑡\n𝑇\ngdzie 𝑁0 jest liczbą jąder izotopu promieniotwórczego w chwili początkowej 𝑡0 = 0.","answer":null,"answer_text":null,"solution":null,"image":"img/informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-podstawowy/zad-33.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":58,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2025","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny"},{"id":"informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-podstawowy/zad/33.1","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-podstawowy","number":"33.1","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2025,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 33.1. (0-1)\nNa poniższych rysunkach 1.-4. przedstawiono wykresy zależności, z których dokładnie jeden\npoprawnie ilustruje 𝑁(𝑡).\nRysunek 1.\nRysunek 2.\nRysunek 3.\nRysunek 4.\nDokończ zdanie. Zaznacz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nWykres zależności wykładniczej 𝑁(𝑡) - opisanej we wstępie do zadania - przedstawiono na\nA. rysunku 1.\nB. rysunku 2.\nC. rysunku 3.\nD. rysunku 4.\n𝑁\n𝑡\n(0,0)\n𝑁0\n𝑇\n𝑁\n𝑡\n(0,0)\n𝑁0\n𝑇\n𝑁\n𝑡\n(0,0)\n𝑁0\n𝑇\n𝑁\n𝑡\n(0,0)\n𝑁0\n𝑇\nPrzykładowe zadania z rozwiązaniami\n59\nWymaganie ogólne\nII. Wykorzystanie i tworzenie informacji.\n1.\nInterpretowanie i operowanie informacjami przedstawionymi w tekście, zarówno\nmatematycznym, jak i popularnonaukowym, a także w formie wykresów […].\nWymaganie szczegółowe\nV. Funkcje. Zdający:\n14) posługuje się funkcjami wykładniczą i logarytmiczną, w tym ich wykresami, do opisu\ni interpretacji zagadnień związanych z zastosowaniami praktycznymi.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nA","answer":"A","answer_text":null,"solution":null,"image":"img/informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-podstawowy/zad-33.1.webp","solution_image":null,"topics":"wykladnicza","page_from":58,"source":"zadaniazmatur","answer_source":"zadaniazmatur","answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2025","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny"},{"id":"informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-podstawowy/zad/33.2","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-podstawowy","number":"33.2","points":3,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2025,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 33.2. (0-3)\nCzas połowicznego rozpadu węgla\nC\n14 to około\n5 700 lat. Naukowcy oszacowali za pomocą\ndatowania radiowęglowego, że masa izotopu\nwęgla\nC\n14 w pewnym organicznym znalezisku\narcheologicznym stanowi 1\n16 masy tego izotopu,\njaka utrzymywała się podczas życia organizmu.\nOblicz, ile lat ma opisane znalezisko archeologiczne. Wynik podaj z dokładnością do\nstu lat.\n60\nInformator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie podstawowym od roku szkolnego 2024/2025\nWymagania ogólne\nII. Wykorzystanie i tworzenie informacji.\n1. Interpretowanie i operowanie informacjami przedstawionymi w tekście, zarówno\nmatematycznym, jak i popularnonaukowym, a także w formie wykresów […].\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji.\n2. Dobieranie i tworzenie modeli matematycznych przy rozwiązywaniu problemów\npraktycznych i teoretycznych.\nWymagania szczegółowe\nI.\nLiczby rzeczywiste. Zdający:\n1) wykonuje działania ([…] mnożenie, dzielenie, potęgowanie, […]) w zbiorze liczb\nrzeczywistych.\nV. Funkcje. Zdający:\n14) posługuje się funkcjami wykładniczą i logarytmiczną, w tym ich wykresami, do opisu\ni interpretacji zagadnień związanych z zastosowaniami praktycznymi.\nZasady oceniania\ndla rozwiązania sposobem 1.\n3 pkt - poprawna metoda obliczenia 𝑡 oraz podanie poprawnego wyniku: 𝑡≈22 800 lat.\n2 pkt - zapisanie równania: 1\n16 = (1\n2)\n𝑡\n𝑇 oraz wyznaczenie z niego 𝑡\n𝑇= 4.\n1 pkt - poprawne zapisanie równania: 1\n16 ⋅𝑚0 = 𝑚0 ⋅(1\n2)\n𝑡\n𝑇.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nZasady oceniania\ndla rozwiązania sposobem 2.\n3 pkt - poprawna metoda obliczenia, ile lat ma znalezisko archeologiczne oraz podanie\npoprawnego wyniku: 𝑡≈22 800 lat.\n2 pkt - zapisanie związku między masą izotopu węgla\nC\n14 jaka utrzymywała się za życia\norganizmu a masą tego izotopu w znalezisku:\n𝑚4 = 1\n2 ⋅1\n2 ⋅1\n2 ⋅1\n2 ⋅𝑚0 = 1\n16 ⋅𝑚0.\n1 pkt - poprawne zapisanie masy izotopu węgla\nC\n14 po około 5 700 latach (po czasie\npołowicznego rozpadu): 𝑚1 = 1\n2 ⋅𝑚0.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe zadania z rozwiązaniami\n61\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób 1.\nPrzyjmijmy, że:\n𝑚0 - masa początkowa izotopu węgla\nC\n14 ,\n𝑚(𝑡) - masa izotopu węgla\nC\n14 po czasie 𝑡, licząc od chwili 𝑡0 = 0.\nWykorzystamy wzór podany we wstępie do zadania, opisujący rozpad promieniotwórczy,\nzastosowany do masy izotopu:\n𝑚(𝑡) = 𝑚0 ⋅(1\n2)\n𝑡\n𝑇\nPodstawimy dane z zadania i przekształcimy równanie:\n1\n16 ⋅𝑚0 = 𝑚0 ⋅(1\n2)\n𝑡\n𝑇\n, czyli 1\n16 = (1\n2)\n𝑡\n𝑇\nPowyższa równość oznacza, że liczba 1\n2 podniesiona do potęgi 𝑡\n𝑇 daje w wyniku 1\n16\nZatem:\n𝑡\n𝑇= 4\nObliczymy, ile lat liczy sobie znalezisko. Z powyższego równania wynika, że:\n𝑡= 4𝑇≈4 ⋅5700 = 22 800 lat\nSposób 2.\nPrzyjmijmy, że:\n𝑚0 - masa początkowa izotopu węgla\nC\n14 ,\n𝑚(𝑡) - masa izotopu węgla\nC\n14 po czasie 𝑡, licząc od chwili 𝑡0 = 0.\nZgodnie z definicją pojęcia czasu połowicznego rozpadu, po każdym upływie czasu równym\nczasowi połowicznego rozpadu, masa izotopu promieniotwórczego w próbce zmniejsza się\no połowę. Zatem po każdym kolejnym upływie 5 700 lat, masa izotopu węgla\nC\n14\nw próbce/znalezisku zmniejszała się o połowę.\nZatem:\n𝑚1 = 1\n2 ⋅𝑚0 - masa izotopu węgla\nC\n14 w próbce po około 5 700 latach.\n𝑚2 = 1\n2 ⋅1\n2 ⋅𝑚0 = 1\n4 ⋅𝑚0 - masa izotopu węgla\nC\n14 w próbce po około 11 400 latach.\n𝑚3 = 1\n2 ⋅1\n2 ⋅1\n2 ⋅𝑚0 = 1\n8 ⋅𝑚0 - masa izotopu węgla\nC\n14 w próbce po około 17 100 latach.\n𝑚4 = 1\n2 ⋅1\n2 ⋅1\n2 ⋅1\n2 ⋅𝑚0 = 1\n16 ⋅𝑚0 - masa izotopu węgla\nC\n14 w próbce po około 22 800 latach.\nZnalezisko archeologiczne ma około 22 800 lat.\n62\nInformator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie podstawowym od roku szkolnego 2024/2025","answer":null,"answer_text":null,"solution":"Masa izotopu maleje zgodnie ze wzorem m(t)=m0·(1/2)^(t/T), T≈5700 lat.\nDane: m(t) = (1/16)·m0.\n(1/16) = (1/2)^(t/T)\nPonieważ 1/16 = (1/2)^4, mamy t/T = 4, stąd t = 4T ≈ 4·5700 = 22800 lat.\nZnalezisko archeologiczne ma około 22 800 lat.","image":"img/informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-podstawowy/zad-33.2.webp","solution_image":null,"topics":"wykladnicza","page_from":59,"source":"ai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"ai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2025","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny"},{"id":"informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-podstawowy/zad/34","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-podstawowy","number":"34","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2025,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 34. (0-2)\nDany jest ciąg (𝑎𝑛) określony wzorem rekurencyjnym:\n{𝑎1 = -2\n𝑎𝑛+1 = 𝑛⋅𝑎𝑛+ 4 dla każdej liczby naturalnej 𝑛≥1\nOblicz sumę czterech początkowych wyrazów ciągu (𝒂𝒏).\nWymagania ogólne\nI.\nSprawność rachunkowa.\nWykonywanie obliczeń na liczbach rzeczywistych […] przy rozwiązywaniu problemów\nw kontekstach rzeczywistych i teoretycznych.\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji.\n1.\nStosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nWymaganie szczegółowe\nVI. Ciągi. Zdający:\n2) oblicza początkowe wyrazy ciągów określonych rekurencyjnie.\nZasady oceniania\n2 pkt - poprawne obliczenie drugiego, trzeciego i czwartego wyrazu ciągu (𝑎𝑛) oraz ich\nsumy: 𝑆4 = 36.\n1 pkt - poprawne obliczenie drugiego, trzeciego i czwartego wyrazu ciągu (𝑎𝑛):\n𝑎2 = 2, 𝑎3 = 8, 𝑎4 = 28.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nObliczymy cztery kolejne wyrazy ciągu, stosując wzór rekurencyjny:\n𝑎1 = -2\n𝑎2 = 1 ⋅𝑎1 + 4 = 1 ⋅(-2) + 4 = 2\n𝑎3 = 2 ⋅𝑎2 + 4 = 2 ⋅2 + 4 = 8\n𝑎4 = 3 ⋅𝑎3 + 4 = 3 ⋅8 + 4 = 28\nObliczymy sumę 𝑆4 czterech kolejnych początkowych wyrazów ciągu (𝑎𝑛):\n𝑆4 = -2 + 2 + 8 + 28 = 36\nPrzykładowe zadania z rozwiązaniami\n63","answer":null,"answer_text":null,"solution":"a1=-2\na2 = 1·a1+4 = 1·(-2)+4 = 2\na3 = 2·a2+4 = 2·2+4 = 8\na4 = 3·a3+4 = 3·8+4 = 28\nS4 = a1+a2+a3+a4 = -2+2+8+28 = 36.","image":"img/informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-podstawowy/zad-34.webp","solution_image":null,"topics":"ciagi","page_from":62,"source":"ai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"ai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2025","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny"},{"id":"informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-podstawowy/zad/35","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-podstawowy","number":"35","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2025,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 35. (0-2)\nDany jest ciąg (𝑎𝑛) określony wzorem ogólnym 𝑎𝑛= 4𝑛-9 dla każdej liczby\nnaturalnej 𝑛≥1.\nWykaż, że ciąg (𝒂𝒏) jest arytmetyczny.\nWymaganie ogólne\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n1.\nPrzeprowadzanie rozumowań, także kilkuetapowych, podawanie argumentów\nuzasadniających poprawność rozumowania, odróżnianie dowodu od przykładu.\nWymagania szczegółowe\nVI. Ciągi. Zdający:\n4) sprawdza, czy dany ciąg jest arytmetyczny lub geometryczny;\n7) wykorzystuje własności ciągów, w tym arytmetycznych […] do rozwiązywania zadań\n[…].\nZasady oceniania\n2 pkt - przeprowadzenie pełnego rozumowania uzasadniającego, że ciąg jest arytmetyczny,\nnp. poprawne obliczenie różnicy kolejnych wyrazów oraz wykazanie, że jest stała\ni nie zależy od 𝑛.\n1 pkt - zapisanie różnicy dwóch kolejnych wyrazów:\n𝑎𝑛+1 -𝑎𝑛= 4(𝑛+ 1) -9 -(4𝑛-9)\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nŻeby udowodnić, że ciąg jest arytmetyczny, należy wykazać, że różnica dwóch kolejnych\nwyrazów 𝑎𝑛+1 -𝑎𝑛 jest stała i nie zależy od 𝑛.\nWyznaczymy 𝑎𝑛+1:\n𝑎𝑛+1 = 4(𝑛+ 1) -9 = 4𝑛+ 4 -9 = 4𝑛-5 dla 𝑛≥1\nObliczymy różnicę kolejnych dwóch wyrazów ciągu (𝑎𝑛):\n𝑎𝑛+1 -𝑎𝑛= 4𝑛-5 -(4𝑛-9) = 4𝑛-5 -4𝑛+ 9 = 4 dla każdego 𝑛≥1\nTo oznacza, że ciąg (𝑎𝑛) jest ciągiem arytmetycznym o różnicy 𝑟= 4.\n64\nInformator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie podstawowym od roku szkolnego 2024/2025","answer":null,"answer_text":null,"solution":"Aby wykazać, że ciąg (an), an=4n-9, jest arytmetyczny, obliczamy różnicę\nan+1 - an i pokazujemy, że jest stała.\nan+1 = 4(n+1)-9 = 4n-5\nan+1 - an = (4n-5) - (4n-9) = 4\nRóżnica kolejnych wyrazów jest stała i równa 4 (nie zależy od n), więc ciąg (an) jest\narytmetyczny o różnicy r=4.","image":"img/informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-podstawowy/zad-35.webp","solution_image":null,"topics":"ciagi","page_from":63,"source":"ai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"ai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2025","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny"},{"id":"informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-podstawowy/zad/36","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-podstawowy","number":"36","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2025,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 36. (0-1)\nDokończ zdanie. Zaznacz odpowiedź A, B albo C oraz jej uzasadnienie 1., 2. albo 3.\nCiąg (𝑎𝑛) określony wzorem 𝑎𝑛= 𝑛2 -𝑛 dla każdej liczby naturalnej 𝑛≥1 jest\nA.\nrosnący,\nponieważ dla każdej\nliczby naturalnej 𝑛≥1\n1.\nróżnica 𝑎𝑛+1 -𝑎𝑛 jest liczbą ujemną.\nB.\nmalejący,\n2.\nróżnica 𝑎𝑛+1 -𝑎𝑛 jest równa zero.\nC.\nstały,\n3.\nróżnica 𝑎𝑛+1 -𝑎𝑛 jest liczbą dodatnią.\nWymagania ogólne\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji.\n1.\nStosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\n3.\nTworzenie pomocniczych obiektów matematycznych na podstawie istniejących,\nw celu przeprowadzenia argumentacji lub rozwiązania problemu.\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n1.\nPrzeprowadzanie rozumowań, także kilkuetapowych, podawanie argumentów\nuzasadniających poprawność rozumowania, odróżnianie dowodu od przykładu.\nWymagania szczegółowe\nVI. Ciągi. Zdający:\n1) oblicza wyrazy ciągu określonego wzorem ogólnym;\n3) w prostych przypadkach bada, czy ciąg jest rosnący, czy malejący.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepełna lub niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nA3\nPrzykładowe zadania z rozwiązaniami\n65\nKomentarz\nZbadamy, jaki znak ma różnica: 𝑎𝑛+1 -𝑎𝑛:\n𝑎𝑛+1 -𝑎𝑛= (𝑛+ 1)2 -(𝑛+ 1) -(𝑛2 -𝑛) = 𝑛2 + 2𝑛+ 1 -𝑛-1 -𝑛2 + 𝑛= 2𝑛\nPonieważ 𝑛≥1 to 2𝑛> 0, zatem:\n𝑎𝑛+1 -𝑎𝑛> 0 dla każdej liczby naturalnej 𝑛≥1\nTo oznacza, że ciąg (𝑎𝑛) jest rosnący.","answer":"A","answer_text":null,"solution":null,"image":"img/informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-podstawowy/zad-36.webp","solution_image":null,"topics":"ciagi","page_from":64,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2025","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny"},{"id":"informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-podstawowy/zad/37","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-podstawowy","number":"37","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2025,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 37. (0-2)\nFunkcja 𝑓 jest określona wzorem 𝑓(𝑥) = 1\n𝑥 dla każdej liczby rzeczywistej 𝑥≠0.\nOblicz wartość 𝒎, dla której liczby 𝒇(𝒎), 𝒇(𝟏), 𝒇(𝟐) są - odpowiednio -\npierwszym, drugim i trzecim wyrazem ciągu geometrycznego.\nWymaganie ogólne\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji.\n1.\nStosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nWymagania szczegółowe\nV. Funkcje. Zdający:\n2) oblicza wartość funkcji zadanej wzorem algebraicznym.\nVI. Ciągi. Zdający:\n4) sprawdza, czy dany ciąg jest arytmetyczny lub geometryczny;\n7) wykorzystuje własności ciągów, w tym […] geometrycznych do rozwiązywania\nzadań, również osadzonych w kontekście praktycznym.\nZasady oceniania\n2 pkt - poprawna metoda rozwiązania oraz podanie poprawnego wyniku: 𝑚= 1\n2.\n1 pkt - obliczenie/zapisanie wartości funkcji 𝑓: 𝑓(𝑚) = 1\n𝑚, 𝑓(1) = 1, 𝑓(2) = 1\n2 oraz\nwykorzystanie definicji albo własności ciągu geometrycznego.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\n66\nInformator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie podstawowym od roku szkolnego 2024/2025\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób 1.\nWyznaczymy kolejne wyrazy ciągu:\n𝑓(𝑚) = 1\n𝑚, 𝑓(1) = 1, 𝑓(2) = 1\n2\nZastosujemy własność/definicję ciągu geometrycznego:\n𝑓(2)\n𝑓(1) = 𝑓(1)\n𝑓(𝑚) = 𝑞, stąd\n1\n2\n1 = 1\n1\n𝑚\n, zatem 𝑚= 1\n2\nSposób 2.\nWyznaczymy kolejne wyrazy ciągu:\n𝑓(𝑚) = 1\n𝑚, 𝑓(1) = 1, 𝑓(2) = 1\n2\nZastosujemy własność ciągu geometrycznego:\n12 = 1\n𝑚⋅1\n2\n, zatem 1 = 1\n2𝑚\ni stąd 𝑚= 1\n2\nSposób 3.\nWyznaczymy kolejne wyrazy ciągu:\n𝑎1 = 𝑓(𝑚) = 1\n𝑚 , 𝑎2 = 𝑓(1) = 1, 𝑎3 = 𝑓(2) = 1\n2\nZastosujemy wzór na 𝑛-ty wyraz ciągu geometrycznego: 𝑎𝑛= 𝑎1 ⋅𝑞𝑛-1 dla 𝑛≥1,\nalbo wzór rekurencyjny określający ciąg geometryczny: 𝑎𝑛+1 = 𝑎𝑛⋅𝑞 dla 𝑛≥ 1 i liczby\nrzeczywistej 𝑞.\nWówczas:\n𝑎3 = 𝑎2 ⋅𝑞, stąd 1\n2 = 1 ⋅𝑞, zatem 𝑞= 1\n2\n𝑎3 = 𝑎1 ⋅𝑞2, stąd 1\n2 = 1\n𝑚⋅𝑞2, zatem 𝑞2 = 𝑚\n2\nZ powyższych zależności wynika, że:\n(1\n2)\n2\n= 𝑚\n2 , stąd 1\n4 = 𝑚\n2 , zatem 𝑚= 1\n2\nPrzykładowe zadania z rozwiązaniami\n67","answer":null,"answer_text":null,"solution":"f(x)=1/x, więc f(m)=1/m, f(1)=1, f(2)=1/2.\nLiczby te mają być kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego, więc f(1)²=f(m)·f(2):\n1² = (1/m)·(1/2)\n1 = 1/(2m)\n2m = 1\nm = 1/2.","image":"img/informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-podstawowy/zad-37.webp","solution_image":null,"topics":"ciagi","page_from":65,"source":"ai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"ai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2025","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny"},{"id":"informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-podstawowy/zad/38","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-podstawowy","number":"38","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2025,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 38. (0-4)\nPowierzchnia magazynowa będzie się składała z dwóch identycznych prostokątnych działek\npołączonych wspólnym bokiem. Całość ma być ogrodzona płotem, przy czym obie działki\nbędzie rozdzielał wspólny płot. W ogrodzeniu będą zamontowane dwie bramy wjazdowe,\nkażda o szerokości 10 m (zobacz rysunek poniżej). Łączna długość płotu ogradzającego\noraz rozdzielającego obie działki wyniesie 580 metrów, przy czym szerokości obu bram\nwjazdowych nie wliczają się w długość płotu.\nOblicz wymiary 𝒙 oraz 𝒚 każdej z dwóch prostokątnych działek, tak aby całkowite\npole powierzchni magazynowej było największe.\nWymagania ogólne\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji.\n2.\nDobieranie i tworzenie modeli matematycznych przy rozwiązywaniu problemów\npraktycznych i teoretycznych.\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n4.\nStosowanie i tworzenie strategii podczas rozwiązywania zadań, również\nw sytuacjach nietypowych.\n𝑥\n𝑦\n𝑦\n10 m\n10 m\n68\nInformator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie podstawowym od roku szkolnego 2024/2025\nWymaganie szczegółowe\nXIII. Optymalizacja i rachunek różniczkowy.\nZdający rozwiązuje zadania optymalizacyjne w sytuacjach dających się opisać funkcją\nkwadratową.\nZasady oceniania\n4 pkt - poprawna metoda obliczenia obu wymiarów działki oraz podanie poprawnych\nwyników: 𝑥= 100 m oraz 𝑦= 75 m.\n3 pkt - poprawne zapisanie wzoru na pole działki w zależności od jednej zmiennej oraz\npoprawne obliczenie współrzędnej 𝑥 wierzchołka paraboli: 𝑥= 100 m.\n2 pkt - poprawne zapisanie wzoru na pole całkowite powierzchni magazynowej w zależności\nod jednej zmiennej:\n𝑃(𝑥) = 2𝑥(150 -3\n4 𝑥) dla 𝑥∈(0, 560\n3 ).\n1 pkt - zapisanie wzoru na pole całkowite powierzchni magazynowej: 𝑃= 𝑥⋅2𝑦\nALBO\n- zapisanie związku między wymiarami działki: 3𝑥+ 4𝑦-20 = 580.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nPrzyjmiemy oznaczenia jak na rysunku w zadaniu. Całkowitą długość płotu - po\nuwzględnieniu warunków zadania - można zapisać równaniem:\n3𝑥+ 4𝑦-2 ⋅10 = 580\nPowyższe równanie określa związek między wymiarami 𝑥 i 𝑦. Wymiar 𝑦 jednej działki\nmusi być większy od 10 m, ze względu na ustaloną szerokość bramy wjazdowej. W związku\nz tym, w modelu matematycznym uwzględniającym warunki zadania, wymiary 𝑥 i 𝑦\nspełniają:\n𝑥> 0 i 𝑦> 10\nPole 𝑃 całkowitej powierzchni magazynowej jest równe polu prostokąta o bokach długości\n𝑥 oraz 2𝑦. Zatem:\n𝑃= 𝑥⋅2𝑦\nPole powierzchni magazynowej wyrazimy jako funkcję jednej zmiennej 𝑥. W tym celu\nnajpierw wyznaczymy 𝑦:\n3𝑥+ 4𝑦-2 ⋅10 = 580\n4𝑦= 600 -3𝑥\n𝑦= 150 -3\n4 𝑥\nPrzykładowe zadania z rozwiązaniami\n69\nNastępnie podstawimy wyznaczone 𝑦 do wzoru na pole 𝑃= 𝑥⋅2𝑦:\n𝑃(𝑥) = 2𝑥(150 -3\n4 𝑥)\nWyznaczymy dziedzinę funkcji 𝑃. Wykorzystamy związek między wymiarami 𝑥 i 𝑦 oraz\nwykorzystamy warunki, jakie te wymiary spełniają:\n𝑦= 150 -3\n4 𝑥 oraz 𝑦> 10 oraz 𝑥> 0\nZatem:\n150 -3\n4 𝑥> 10 oraz 𝑥> 0\n𝑥< 560\n3 oraz 𝑥> 0\nZmienna 𝑥 może przyjmować wartości z przedziału (0, 560\n3 )\nWykresem funkcji 𝑃 jest fragment paraboli 𝒫 skierowanej ramionami do dołu. Funkcja 𝑃\nprzyjmuje wartość największą dla argumentu, który jest pierwszą współrzędną wierzchołka\nparaboli 𝒫. Współrzędną 𝑥 wierzchołka paraboli 𝒫 obliczymy z miejsc zerowych funkcji\nkwadratowej, która jest równaniem tej paraboli. Rozwiążemy zatem równanie:\n2𝑥(150 -3\n4 𝑥) = 0\nZ powyższego równania wynika, że:\n2𝑥= 0 lub 150 -3\n4 𝑥= 0\n𝑥1 = 0 lub 𝑥2 = 200\nFunkcja 𝑃 przyjmuje wartość największą dla argumentu, który jest pierwszą współrzędną\nwierzchołka paraboli 𝒫, czyli dla:\n𝑥= 𝑥1 + 𝑥2\n2\n= 100 m\nObliczymy drugi wymiar działki, dla którego pole powierzchni magazynowej jest największe:\n𝑦= 150 m -3\n4 ⋅100 m = 75 m\nCałkowite pole powierzchni magazynowej jest największe dla działki o wymiarach:\n𝑥= 100 m oraz 𝑦= 75 m.\n70\nInformator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie podstawowym od roku szkolnego 2024/2025\nTRYGONOMETRIA, PLANIMETRIA, GEOMETRIA ANALITYCZNA, STEREOMETRIA","answer":null,"answer_text":null,"solution":"Oznaczenia: x - wspólny bok (szerokość każdej działki), y - długość każdej działki,\ncałość to prostokąt o bokach x i 2y podzielony na dwie działki wspólnym płotem długości x.\nDługość ogrodzenia (płot zewnętrzny + płot wewnętrzny, pomniejszona o szerokości bram):\n3x + 4y - 2·10 = 580, stąd 4y = 600-3x, czyli y = 150 - (3/4)x, dla x>0 oraz y>10.\nPole całkowite: P(x) = x·2y = 2x(150 - (3/4)x) = 300x - (3/2)x², dla x∈(0, 560/3).\nTo parabola skierowana ramionami w dół, z miejscami zerowymi x1=0 i x2=200 (z równania\n2x(150-3x/4)=0). Wierzchołek (maksimum) w x = (x1+x2)/2 = 100.\nWtedy y = 150 - (3/4)·100 = 150-75 = 75.\nPole magazynu jest największe dla wymiarów działki: x = 100 m, y = 75 m.","image":"img/informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-podstawowy/zad-38.webp","solution_image":null,"topics":"optymalizacja","page_from":67,"source":"ai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"ai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2025","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny"},{"id":"informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-podstawowy/zad/39","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-podstawowy","number":"39","points":1,"ptype":"true_false","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2025,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 39. (0-1)\nDany jest kąt o mierze 𝛼 taki, że sin 𝛼= 4\n5 oraz 90° < 𝛼< 180°.\nOceń prawdziwość poniższych zdań. Zaznacz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F -\njeśli jest fałszywe.\n1.\nDla kąta o mierze 𝛼 spełnione jest równanie: cos 𝛼= -3\n5\nP\nF\n2.\nDla kąta o mierze 𝛼 spełnione jest równanie: |tg 𝛼| = 3\n4\nP\nF\nWymaganie ogólne\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji.\n1.\nStosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nWymagania szczegółowe\nVII. Trygonometria. Zdający:\n1) Wykorzystuje definicje funkcji: sinus, cosinus i tangens dla kątów od 0° do 180° […];\n2) korzysta z wzorów sin2 𝛼+ cos2 𝛼= 1, tg 𝛼=\nsin 𝛼\ncos𝛼 .\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepełna lub niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nPF\nPrzykładowe zadania z rozwiązaniami\n71","answer":"PF","answer_text":null,"solution":null,"image":"img/informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-podstawowy/zad-39.webp","solution_image":null,"topics":"trygonometria","page_from":70,"source":"zadaniazmatur","answer_source":"zadaniazmatur","answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2025","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny"},{"id":"informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-podstawowy/zad/40","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-podstawowy","number":"40","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2025,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 40. (0-2)\nW trójkącie 𝐴𝐵𝐶 dane są długości dwóch boków |𝐴𝐵| = 12, |𝐵𝐶| = 8 oraz miara kąta\n|∡𝐴𝐵𝐶| = 60°.\nOblicz długość środkowej tego trójkąta poprowadzonej z wierzchołka 𝑨.\nWymaganie ogólne\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji.\n1.\nStosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nWymagania szczegółowe\nVII. Trygonometria. Zdający:\n3) stosuje twierdzenie cosinusów […].\nVIII. Planimetria. Zdający:\n12) stosuje funkcje trygonometryczne do wyznaczania długości odcinków w figurach\npłaskich oraz obliczania pól figur.\nZasady oceniania\ndla rozwiązania sposobem 1.\n2 pkt - zapisanie poprawnego równania wynikającego z twierdzenia cosinusów dla trójkąta\n𝐴𝐵𝐷 oraz poprawne obliczenie długości środkowej: |𝐴𝐷| = 4√7.\n1 pkt - zapisanie równania wynikającego z twierdzenia cosinusów dla trójkąta 𝐴𝐵𝐷, np.:\n|𝐴𝐷|2 = |𝐴𝐵|2 + |𝐵𝐷|2 -2 ⋅|𝐴𝐵| ⋅|𝐵𝐷| ⋅cos |∡𝐴𝐵𝐶|\n|𝐴𝐷|2 = 122 + 42 -2 ⋅12 ⋅4 ⋅cos 60°\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nZasady oceniania\ndla rozwiązania sposobem 2.\n2 pkt - poprawne zastosowanie twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta 𝐴𝐺𝐷 oraz poprawne\nobliczenie długości środkowej: |𝐴𝐷| = 4√7.\n1 pkt - wyodrębnienie trójkąta prostokątnego 𝐴𝐺𝐷 oraz trójkąta 𝐺𝐵𝐷 o kątach: 30°, 60°,\n90°, łącznie z poprawnym określeniem długości jego boków: |𝐺𝐵| = 2, |𝐷𝐺| = 2√3.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\n72\nInformator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie podstawowym od roku szkolnego 2024/2025\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób 1. (zastosowanie twierdzenia cosinusów)\nNiech 𝐷 oznacza środek odcinka 𝐵𝐶.\nWykonamy rysunek pomocniczy (zobacz obok).\nPonieważ 𝐴𝐷 jest środkową, to |𝐵𝐷| = 4.\nDo obliczenia długości środkowej 𝐴𝐷 zastosujemy\ntwierdzenie cosinusów dla trójkąta 𝐴𝐵𝐷:\n|𝐴𝐷|2 = |𝐴𝐵|2 + |𝐵𝐷|2 -2 ⋅|𝐴𝐵| ⋅|𝐵𝐷| ⋅cos |∡𝐴𝐵𝐶|\n|𝐴𝐷|2 = 122 + 42 -2 ⋅12 ⋅4 ⋅1\n2 = 112\n|𝐴𝐷| = √112 = 4√7\nSposób 2. (zastosowanie twierdzenia Pitagorasa i własności trójkąta o kątach 30°, 60°, 90°)\nNiech 𝐷 oznacza środek odcinka 𝐵𝐶.\nWykonamy rysunek pomocniczy (zobacz obok).\nW celu obliczenia długości środkowej 𝐴𝐷 zastosujemy\ntwierdzenie Pitagorasa dla trójkąta prostokątnego 𝐴𝐺𝐷\n(gdzie 𝐺 jest rzutem prostokątnym punktu 𝐷 na odcinek 𝐴𝐵).\nPonieważ 𝐴𝐷 jest środkową, to |𝐵𝐷| = 4.\nRozważmy dalej trójkąt 𝐺𝐵𝐷.\nTrójkąt 𝐺𝐵𝐷 ma kąty o miarach: 30°, 60°, 90°, skąd\nwynika, że przyprostokątne tego trójkąta mają długości:\n|𝐺𝐵| = 2\n|𝐷𝐺| = 2√3\nzatem długość przyprostokątnej 𝐴𝐺 trójkąta 𝐴𝐺𝐷 jest równa\n|𝐴𝐺| = 12 -2 = 10\nObliczymy długość środkowej 𝐴𝐷 z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta 𝐴𝐺𝐷:\n|𝐴𝐷|2 = |𝐴𝐺|2 + |𝐺𝐷|2\n|𝐴𝐷|2 = 102 + (2√3)2 = 112\n|𝐴𝐷| = √112 = 4√7\n𝐴\n𝐵\n𝐶\n60°\n𝐷\n4\n4\n12\n𝐶\n𝐷\n𝐴\n60°\n𝐵\n𝐺\n4\n2\n2ξ3\n10\nPrzykładowe zadania z rozwiązaniami\n73","answer":null,"answer_text":null,"solution":"Niech D będzie środkiem boku BC, wówczas AD jest środkową z wierzchołka A.\n|BD| = |BC|/2 = 4.\nZ twierdzenia cosinusów w trójkącie ABD:\n|AD|² = |AB|² + |BD|² - 2·|AB|·|BD|·cos(∡ABC) = 12² + 4² - 2·12·4·cos60° =\n= 144 + 16 - 96·(1/2) = 160 - 48 = 112\n|AD| = √112 = 4√7.\nDługość środkowej poprowadzonej z wierzchołka A wynosi 4√7.","image":"img/informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-podstawowy/zad-40.webp","solution_image":null,"topics":"planimetria","page_from":71,"source":"ai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"ai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2025","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny"},{"id":"informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-podstawowy/zad/41","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-podstawowy","number":"41","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2025,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 41. (0-4)\nWierzchołki 𝐴 i 𝐶 trójkąta 𝐴𝐵𝐶 leżą na okręgu o promieniu 𝑟.\nŚrodek 𝑆 tego okręgu leży na boku 𝐴𝐵 tego trójkąta (zobacz rysunek poniżej).\nDługości boków 𝐴𝐵 i 𝐴𝐶 są równe odpowiednio |𝐴𝐵| = 3𝑟 oraz |𝐴𝐶| = √3𝑟.\nOblicz miary wszystkich kątów wewnętrznych trójkąta 𝑨𝑩𝑪.\nWymagania ogólne\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji.\n1.\nStosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\n3.\nTworzenie pomocniczych obiektów matematycznych na podstawie istniejących,\nw celu przeprowadzenia argumentacji lub rozwiązania problemu.\nWymagania szczegółowe\nVII. Trygonometria. Zdający:\n4) oblicza kąty trójkąta prostokątnego i długości jego boków przy odpowiednich danych\n(rozwiązuje trójkąty prostokątne, w tym z wykorzystaniem funkcji\ntrygonometrycznych).\nVIII. Planimetria. Zdający:\n1) wyznacza promienie i średnice okręgów, długości cięciw okręgów oraz odcinków\nstycznych, w tym z wykorzystaniem twierdzenia Pitagorasa;\n5) stosuje własności kątów wpisanych i środkowych;\n12) stosuje funkcje trygonometryczne do wyznaczania długości odcinków w figurach\npłaskich oraz obliczania pól figur.\n𝐶\n𝐴\n𝐵\n𝑆\n74\nInformator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie podstawowym od roku szkolnego 2024/2025\nZasady oceniania\n4 pkt - poprawne obliczenie miar kątów trójkąta 𝐴𝐵𝐶:\n|∡𝐶𝐴𝐵| = 30°, |∡𝐴𝐵𝐶| = 30°, |∡𝐵𝐶𝐴| = 120°.\n3 pkt - poprawne obliczenie miar kątów w trójkącie 𝐷𝐵𝐶:\n|∡𝐶𝐷𝐵| = 120°, |∡𝐷𝐵𝐶| = 30°, |∡𝐵𝐶𝐷| = 30°\n2 pkt - poprawne obliczenie miar kątów ostrych trójkąta 𝐴𝐷𝐶:\n|∡𝐶𝐴𝐷| = 30°, |∡𝐴𝐷𝐶| = 60°.\n1 pkt - zapisanie |∡𝐴𝐶𝐷| = 90°.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób 1.\nPrzeanalizujemy zależności między odcinkami i kątami w przedstawionej sytuacji.\nNa poniższych rysunkach pomocniczych przedstawimy graficzną ilustrację kroków\npostępowania.\n1. Kąt 𝐴𝐶𝐷 jest kątem wpisanym opartym na średnicy, zatem |∡𝐴𝐶𝐷| = 90°, czyli trójkąt\n𝐴𝐷𝐶 jest prostokątny.\n2. Zastosujemy twierdzenie Pitagorasa do obliczenia długości boku |𝐶𝐷|:\n|𝐶𝐷|2 = |𝐴𝐷|2 -|𝐴𝐶|2\n|𝐶𝐷|2 = (2𝑟)2 -(√3𝑟)\n2 = 𝑟2\n|𝐶𝐷| = 𝑟\n𝐶\n𝐴\n𝐵\n𝑆\nξ3𝑟\n𝐷\n𝑟\n𝑟\n𝑟\n𝑟\nPrzykładowe zadania z rozwiązaniami\n75\n3. Trójkąt 𝐴𝐷𝐶 o bokach 2𝑟, 𝑟, √3𝑟 jest połową trójkąta równobocznego, zatem:\n|∡𝐶𝐴𝐷| = 30° , |∡𝐴𝐷𝐶| = 60°\n4. Zauważmy, że |𝐷𝐵| = |𝐷𝐶| = 𝑟, zatem trójkąt 𝐷𝐵𝐶 jest równoramienny. Z tego\ni poprzedniego faktu wynika, że\n|∡𝐶𝐷𝐵| = 180° -60° = 120°, |∡𝐷𝐵𝐶| = 30°, |∡𝐵𝐶𝐷| = 30°\nZ omówionych kroków 1.-4. wynika, że kąty w trójkącie 𝐴𝐵𝐶 mają miary:\n|∡𝐶𝐴𝐵| = 30°, |∡𝐴𝐵𝐶| = 30°, |∡𝐵𝐶𝐴| = 120°\n𝐶\n𝐴\n𝐵\n𝑆\nξ3𝑟\n30°\n60°\n𝐷\n𝑟\n𝑟\n𝑟\n𝑟\n𝐶\n𝐴\n𝐵\n𝑆\n𝐷\n30°\n30°\n120°\n𝐶\n𝐴\n𝐵\n𝑆\n120°\n30°\n30°\n76\nInformator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie podstawowym od roku szkolnego 2024/2025\nSposób 2.\nPrzeanalizujemy zależności między odcinkami i kątami w przedstawionej sytuacji.\nNa poniższych rysunkach pomocniczych przedstawimy graficzną ilustrację kroków\npostępowania.\n1. Kąt 𝐴𝐶𝐷 jest kątem wpisanym opartym na średnicy, zatem |∡𝐴𝐶𝐷| = 90°.\n2. Zauważmy, że: cos |∡𝐶𝐴𝐷| =\n|𝐴𝐶|\n|𝐴𝐷| =\n√3\n2\nStąd wynika, że |∡𝐶𝐴𝐷| = 30°, zatem |∡𝐴𝐷𝐶| = 60°.\n3. Zauważamy, że |𝑆𝐶| = |𝑆𝐷| = 𝑟, czyli trójkąt 𝑆𝐷𝐶 jest równoramienny, zatem:\n|∡𝐷𝐶𝑆| = |∡𝑆𝐷𝐶| = 60°, stąd wynika, że |∡𝐶𝑆𝐷| = 60°.\nZ powyższego wynika, że trójkąt 𝑆𝐷𝐶 jest równoboczny.\n4. Zauważamy, że |𝐷𝐵| = |𝐷𝐶| = 𝑟, zatem trójkąt 𝐷𝐵𝐶 jest równoramienny. Z tych\ni poprzednich faktów wynika, że\n|∡𝐶𝐷𝐵| = 180° -60° = 120°, |∡𝐷𝐵𝐶| = 30°, |∡𝐵𝐶𝐷| = 30°\n𝐶\n𝐴\n𝐵\n𝑆\nξ3𝑟\n30°\n60°\n𝐷\n𝑟\n𝑟\n𝑟\n𝐶\n𝐴\n𝐵\n𝑆\n𝐷\n𝑟\n𝑟\n60°\n60°\n60°\n𝑟\n𝑟\n𝐶\n𝐴\n𝐵\n𝑆\n𝐷\n30°\n30°\n120°\nPrzykładowe zadania z rozwiązaniami\n77\nZ omówionych kroków 1.-4. wynika, że kąty w trójkącie 𝐴𝐵𝐶 mają miary:\n|∡𝐶𝐴𝐵| = 30°,\n|∡𝐴𝐵𝐶| = 30°, |∡𝐵𝐶𝐴| = 120°","answer":null,"answer_text":null,"solution":"$|\\measuredangle CAB| = 30^{\\circ}, |\\measuredangle ABC| = 30^{\\circ}, |\\measuredangle BCA| = 120^{\\circ}$","image":"img/informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-podstawowy/zad-41.webp","solution_image":null,"topics":"planimetria","page_from":73,"source":"zadaniazmatur","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2025","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny"},{"id":"informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-podstawowy/zad/42","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-podstawowy","number":"42","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2025,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 42. (0-1)\nPunkt 𝑆 jest środkiem ciężkości trójkąta 𝐴𝐵𝐶. Długość odcinka 𝑆𝐴 jest równa 10.\nDokończ zdanie. Zaznacz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nDługość środkowej poprowadzonej z wierzchołka 𝐴 do boku 𝐵𝐶 jest równa\nA. 10\nB. 15\nC. 20\nD. 30\nWymaganie ogólne\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji.\n1.\nStosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nWymaganie szczegółowe\nVIII. Planimetria. Zdający:\n10) wskazuje podstawowe punkty szczególne w trójkącie: środek okręgu wpisanego\nw trójkąt, środek okręgu opisanego na trójkącie, ortocentrum, środek ciężkości oraz\nkorzysta z ich własności.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nB\n𝐶\n𝐴\n𝐵\n𝑆\n120°\n30°\n30°\n78\nInformator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie podstawowym od roku szkolnego 2024/2025","answer":"B","answer_text":null,"solution":null,"image":"img/informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-podstawowy/zad-42.webp","solution_image":null,"topics":"planimetria","page_from":77,"source":"zadaniazmatur","answer_source":"zadaniazmatur","answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2025","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny"},{"id":"informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-podstawowy/zad/43","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-podstawowy","number":"43","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2025,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 43. (0-1)\nDane są okrąg o środku 𝑆 oraz prosta 𝑘 styczna do okręgu w punkcie 𝐴.\nOdcinek 𝐴𝐵 jest cięciwą tego okręgu. Miara kąta ostrego pomiędzy prostą 𝑘 a cięciwą 𝐴𝐵\njest równa 50°. Punkt 𝐶 leży na okręgu. Kąt wpisany 𝐵𝐶𝐴 jest ostry.\nSytuację przedstawia rysunek poniżej.\nDokończ zdanie. Zaznacz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nMiara kąta wpisanego 𝐵𝐶𝐴 jest równa\nA. 100°\nB. 80°\nC. 50°\nD. 40°\nWymaganie ogólne\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji.\n1.\nStosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nWymaganie szczegółowe\nVIII. Planimetria. Zdający:\n5) stosuje własności kątów wpisanych i środkowych.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nC\n𝐵\n𝑆\n𝐶\n𝐴\n𝑘\n50°\nPrzykładowe zadania z rozwiązaniami\n79","answer":"C","answer_text":null,"solution":null,"image":"img/informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-podstawowy/zad-43.webp","solution_image":null,"topics":"planimetria","page_from":78,"source":"zadaniazmatur","answer_source":"zadaniazmatur","answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2025","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny"},{"id":"informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-podstawowy/zad/44","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-podstawowy","number":"44","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2025,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 44. (0-1)\nDany jest trójkąt prostokątny 𝐴𝐵𝐶 o bokach |𝐴𝐶| = 12, |𝐵𝐶| = 5, |𝐴𝐵| = 13.\nDwusieczne kątów tego trójkąta przecinają się w punkcie 𝑃 (zobacz rysunek).\nDokończ zdanie. Zaznacz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nOdległość 𝑥 punktu 𝑃 od przeciwprostokątnej 𝐴𝐵 jest równa\nA. 1\nB. 2\nC. 5\n2\nD. 20\n13\nWymaganie ogólne\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji.\n1.\nStosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nWymaganie szczegółowe\nVIII. Planimetria. Zdający:\n10) wskazuje podstawowe punkty szczególne w trójkącie: środek okręgu wpisanego\nw trójkąt, środek okręgu opisanego na trójkącie, ortocentrum, środek ciężkości oraz\nkorzysta z ich własności.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nB\n𝑥\n𝑃\n𝐶\n𝐴\n𝐵\n12\n13\n5\n80\nInformator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie podstawowym od roku szkolnego 2024/2025","answer":"B","answer_text":null,"solution":null,"image":"img/informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-podstawowy/zad-44.webp","solution_image":null,"topics":"planimetria","page_from":79,"source":"zadaniazmatur","answer_source":"zadaniazmatur","answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2025","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny"},{"id":"informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-podstawowy/zad/45","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-podstawowy","number":"45","points":3,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2025,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 45. (0-3)\nDany jest trójkąt 𝐴𝐵𝐶. Na boku 𝐴𝐵 tego trójkąta wybrano punkt 𝐷, taki, że |𝐴𝐷| = 1\n4 |𝐴𝐵|,\na na boku 𝐵𝐶 wybrano taki punkt 𝐸, że |𝐵𝐸| = 1\n5 |𝐵𝐶| (zobacz rysunek poniżej).\nPole trójkąta 𝐴𝐵𝐶 jest równe 20.\nOblicz pole trójkąta 𝑫𝑩𝑬.\nWymagania ogólne\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji.\n1.\nStosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\n2.\nDobieranie i tworzenie modeli matematycznych przy rozwiązywaniu problemów\npraktycznych i teoretycznych.\nWymagania szczegółowe\nVII. Trygonometria. Zdający:\n3) stosuje […] wzór na pole trójkąta 𝑃=\n1\n2 ⋅𝑎⋅𝑏⋅sin 𝛾.\nVIII. Planimetria. Zdający:\n8) korzysta z cech podobieństwa trójkątów.\n𝐶\n𝐷\n𝐵\n𝐴\n𝐸\nPrzykładowe zadania z rozwiązaniami\n81\nZasady oceniania\ndla rozwiązania sposobem 1.\n3 pkt - poprawna metoda obliczenia pola trójkąta 𝐷𝐵𝐸 oraz podanie wyniku: 𝑃𝐷𝐵𝐸= 3.\n2 pkt - wykazanie oraz zapisanie, że 𝑃𝐷𝐵𝐸\n𝑃𝐴𝐵𝐸= 3\n4 oraz 𝑃𝐴𝐵𝐸\n𝑃𝐴𝐵𝐶= 1\n5\n1 pkt - wykazanie i zapisanie, że stosunek pól trójkątów 𝐷𝐵𝐸 i 𝐴𝐵𝐸 jest równy\nstosunkowi długości ich podstaw 𝐷𝐵 i 𝐴𝐵: 𝑃𝐷𝐵𝐸\n𝑃𝐴𝐵𝐸= 3\n4\nALBO\n- wykazanie i zapisanie, że stosunek pól trójkątów 𝐴𝐵𝐸 i 𝐴𝐵𝐶 jest równy\nstosunkowi długości ich podstaw 𝐵𝐸 i 𝐵𝐶: 𝑃𝐴𝐵𝐸\n𝑃𝐴𝐵𝐶= 1\n5\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nZasady oceniania\ndla rozwiązania sposobem 2.\n3 pkt - poprawna metoda obliczenia pola trójkąta 𝐷𝐵𝐸 oraz podanie wyniku: 𝑃𝐷𝐵𝐸= 3.\n2 pkt - zapisanie zależności 1\n2 ⋅|𝐴𝐵| ⋅|𝐵𝐶| ⋅sin 𝛽= 20 oraz wzoru na pole trójkąta 𝐷𝐵𝐸:\n𝑃𝐷𝐵𝐸= 1\n2 ⋅(3\n4 |𝐴𝐵|) ⋅(1\n5 |𝐵𝐶|) ⋅sin 𝛽.\n1 pkt - zapisanie zależności 1\n2 ⋅|𝐴𝐵| ⋅|𝐵𝐶| ⋅sin 𝛽= 20\nALBO\n- zastosowanie wzoru na pole trójkąta 𝐷𝐵𝐸 z sinusem kąta 𝐷𝐵𝐸 oraz zapisanie /\nzastosowanie związków |𝐷𝐵| = 3\n4 |𝐴𝐵| oraz |𝐵𝐸| = 1\n5 |𝐵𝐶|.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nZasady oceniania\ndla rozwiązania sposobem 3.\n3 pkt - poprawna metoda obliczenia pola trójkąta 𝐷𝐵𝐸 oraz podanie wyniku: 𝑃𝐷𝐵𝐸= 3.\n2 pkt - zapisanie zależności 1\n2 ⋅|𝐴𝐵| ⋅ℎ𝐶= 20 oraz wzoru na pole trójkąta:\n𝑃𝐷𝐵𝐸= 3\n8 ⋅|𝐴𝐵| ⋅ℎ𝐸 (lub równoważnego) oraz zapisanie zależności: ℎ𝐸\nℎ𝐶= 1\n5\nwynikającej z podobieństwa trójkątów 𝐶1𝐵𝐶 oraz 𝐸1𝐵𝐸.\n1 pkt - zapisanie zależności 1\n2 ⋅|𝐴𝐵| ⋅ℎ𝐶= 20 oraz wzoru na pole trójkąta:\n𝑃𝐷𝐵𝐸= 3\n8 ⋅|𝐴𝐵| ⋅ℎ𝐸 (lub równoważnego)\nALBO\n- zapisanie zależności: ℎ𝐸\nℎ𝐶= 1\n5 wynikającej z podobieństwa trójkątów 𝐶1𝐵𝐶 oraz\n𝐸1𝐵𝐸.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\n82\nInformator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie podstawowym od roku szkolnego 2024/2025\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób 1.\nSkorzystamy ze związków:\n|𝐷𝐵|\n|𝐴𝐵| = 3\n4\n|𝐵𝐸|\n|𝐵𝐶| = 1\n5\n1. Zauważmy, że trójkąty 𝐴𝐵𝐸 i 𝐷𝐵𝐸 mają wspólny wierzchołek 𝐸, a ich podstawy 𝐷𝐵\ni 𝐴𝐵 leżą na jednej prostej. Zatem oba trójkąty mają tę samą wysokość opuszczoną\nz wierzchołka 𝐸. Stosunek pól tych trójkątów jest więc równy stosunkowi długości ich\npodstaw 𝐷𝐵 i 𝐴𝐵.\n𝑃𝐷𝐵𝐸\n𝑃𝐴𝐵𝐸\n= |𝐷𝐵|\n|𝐴𝐵| = 3\n4\n2. Trójkąty 𝐴𝐵𝐸 i 𝐴𝐵𝐶 mają wspólny wierzchołek 𝐴, a ich podstawy 𝐵𝐸 i 𝐵𝐶 leżą na\njednej prostej. Zatem oba trójkąty mają tę samą wysokość opuszczoną z wierzchołka 𝐴.\nStosunek pól tych trójkątów jest więc równy stosunkowi długości ich podstaw 𝐵𝐸 i 𝐵𝐶.\n𝑃𝐴𝐵𝐸\n𝑃𝐴𝐵𝐶\n|𝐵𝐸|\n|𝐵𝐶| = 1\n5\n3. Z punktów 1. i 2. otrzymujemy:\n𝑃𝐷𝐵𝐸= 3\n4 𝑃𝐴𝐵𝐸= 3\n4 ⋅1\n5 ⋅𝑃𝐴𝐵𝐶= 3\n4 ⋅1\n5 ⋅20 = 3\n𝐶\n𝐷\n𝐵\n𝐸\n𝐴\nPrzykładowe zadania z rozwiązaniami\n83\nSposób 2.\nOznaczmy |∡𝐷𝐵𝐸| = |∡𝐴𝐵𝐶| = 𝛽.\n1. Zapiszemy wzór na pole trójkąta 𝐴𝐵𝐶 i wykorzystamy dane zadania:\n𝑃𝐴𝐵𝐶= 1\n2 ⋅|𝐴𝐵| ⋅|𝐵𝐶| ⋅sin 𝛽\n20 = 1\n2 ⋅|𝐴𝐵| ⋅|𝐵𝐶| ⋅sin 𝛽\nstąd\n|𝐴𝐵| ⋅|𝐵𝐶| ⋅sin 𝛽= 40\n2. Zapiszemy wzór na pole trójkąta 𝐷𝐵𝐸 i wykorzystamy warunki zadania:\n𝑃𝐷𝐵𝐸= 1\n2 ⋅|𝐷𝐵| ⋅|𝐵𝐸| ⋅sin 𝛽\n𝑃𝐷𝐵𝐸= 1\n2 ⋅(3\n4 ⋅|𝐴𝐵|) ⋅(1\n5 |𝐵𝐶|) ⋅sin 𝛽\n𝑃𝐷𝐵𝐸= 3\n40 ⋅|𝐴𝐵| ⋅|𝐵𝐶| ⋅𝑠𝑖𝑛𝛽\n3. Do otrzymanego wzoru na pole trójkąta 𝐷𝐵𝐸 podstawimy wynik z punktu 1.:\n𝑃𝐷𝐵𝐸= 3\n40 ⋅|𝐴𝐵| ⋅|𝐵𝐶| ⋅sin 𝛽= 3\n40 ⋅40 = 3\n𝐶\n𝐷\n𝐵\n𝐴\n𝐸\n𝛽\n84\nInformator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie podstawowym od roku szkolnego 2024/2025\nSposób 3.\nWysokości trójkątów 𝐴𝐵𝐶 i 𝐷𝐵𝐸 opuszczone - odpowiednio - z wierzchołków 𝐶 i 𝐸\noznaczymy jako ℎ𝐶, ℎ𝐸.\n1. Zapiszemy wzór na pole trójkąta 𝐴𝐵𝐶 i wykorzystamy dane zadania:\n𝑃𝐴𝐵𝐶= 1\n2 ⋅|𝐴𝐵| ⋅ℎ𝐶\n20 = 1\n2 ⋅|𝐴𝐵| ⋅ℎ𝐶\nstąd\n|𝐴𝐵| ⋅ℎ𝐶= 40\n2. Zapiszemy wzór na pole trójkąta 𝐷𝐵𝐸 i wykorzystamy warunek zadania:\n𝑃𝐷𝐵𝐸= 1\n2 ⋅|𝐷𝐵| ⋅ℎ𝐸\n𝑃𝐷𝐵𝐸= 1\n2 ⋅(3\n4 ⋅|𝐴𝐵|) ⋅ℎ𝐸\n𝑃𝐷𝐵𝐸= 3\n8 ⋅|𝐴𝐵| ⋅ℎ𝐸\n3. Trójkąty 𝐶1𝐵𝐶 oraz 𝐸1𝐵𝐸 są podobne (na podstawie cechy: kąt - kąt - kąt), zatem:\n|𝐸𝐸1|\n|𝐶𝐶1| = |𝐵𝐸|\n|𝐵𝐶| stąd ℎ𝐸\nℎ𝐶\n= 1\n5\n4. Do otrzymanego wzoru na pole trójkąta 𝐷𝐵𝐸 (punkt 2.) podstawimy wynik z punktu 3.\ni wynik z punktu 1.:\n𝑃𝐷𝐵𝐸= 3\n8 ⋅|𝐴𝐵| ⋅ℎ𝐸= 3\n8 ⋅|𝐴𝐵| ⋅ℎ𝐶\n5 = 3\n40 ⋅|𝐴𝐵| ⋅ℎ𝐶= 3\n40 ⋅40 = 3\n𝐶\n𝐷\n𝐵\n𝐴\n𝐸\nℎ𝐶\nℎ𝐸\n𝐶1\n𝐸1\nPrzykładowe zadania z rozwiązaniami\n85","answer":null,"answer_text":null,"solution":"$P_{DBE} = 3$","image":"img/informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-podstawowy/zad-45.webp","solution_image":null,"topics":"planimetria","page_from":80,"source":"zadaniazmatur","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2025","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny"},{"id":"informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-podstawowy/zad/46","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-podstawowy","number":"46","points":3,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2025,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 46. (0-3)\nNa podstawie twierdzenia Pitagorasa można udowodnić bardziej ogólną własność niż ta,\no której mówi samo to twierdzenie.\nRozważmy trójkąt prostokątny 𝐴𝐵𝐶 o kącie prostym przy wierzchołku 𝐴. Niech każdy\nz boków tego trójkąta: 𝐶𝐴, 𝐴𝐵, 𝐵𝐶 będzie podstawą trójkątów podobnych, odpowiednio:\n𝐶𝐴𝑊1, 𝐴𝐵𝑊2, 𝐵𝐶𝑊3. Trójkąty te mają odpowiadające sobie kąty o równych miarach,\nodpowiednio przy wierzchołkach: 𝑊1, 𝑊2, 𝑊3.\nPola trójkątów: 𝐶𝐴𝑊1, 𝐴𝐵𝑊2, 𝐵𝐶𝑊3 oznaczymy odpowiednio jako 𝑃1, 𝑃2, 𝑃3.\nUdowodnij, że\n𝑷𝟑= 𝑷𝟏+ 𝑷𝟐\n𝐶\n𝑊3\n𝑊1\n𝐴\n𝐵\n𝑊2\n86\nInformator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie podstawowym od roku szkolnego 2024/2025\nWymagania ogólne\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n1.\nPrzeprowadzanie rozumowań, także kilkuetapowych, podawanie argumentów\nuzasadniających poprawność rozumowania, odróżnianie dowodu od przykładu.\n2.\nDostrzeganie regularności, podobieństw oraz analogii, formułowanie wniosków na\nich podstawie i uzasadnianie ich poprawności.\n4.\nStosowanie i tworzenie strategii przy rozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach\nnietypowych.\nWymagania szczegółowe\nVIII. Planimetria. Zdający:\n9) wykorzystuje zależności między obwodami oraz między polami figur podobnych;\n11) przeprowadza dowody geometryczne.\nZasady oceniania\n3 pkt - poprawne przeprowadzenie pełnego dowodu równania 𝑃3 = 𝑃1 + 𝑃2.\n2 pkt - zapisanie sumy pól trójkątów 𝐶𝐴𝑊1, 𝐴𝐵𝑊2 wyrażonej poprzez wysokość jednego\nz nich, np.: 𝑃1 + 𝑃2 = 1\n2 ⋅ℎ1 ⋅|𝐶𝐴| + 1\n2 ⋅ℎ1 ⋅\n|𝐴𝐵|2\n|𝐶𝐴| oraz zapisanie twierdzenia\nPitagorasa dla trójkąta 𝐴𝐵𝐶: |𝐶𝐴|2 + |𝐴𝐵|2 = |𝐵𝐶|2\nALBO\n- zapisanie zależności między polami figur płaskich a długościami odcinków trójkąta:\n𝑃2\n𝑃1 = (\n|𝐴𝐵|\n|𝐶𝐴|)\n2\n,\n𝑃3\n𝑃1 = (\n|𝐵𝐶|\n|𝐶𝐴|)\n2\noraz zapisanie sumy pól figur płaskich wyrażonej za\npomocą długości boków trójkąta i jednego z pól, np.: 𝑃1 + 𝑃2 = 𝑃1 +\n|𝐴𝐵|2\n|𝐶𝐴|2 ⋅𝑃1 oraz\nzapisanie twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta 𝐴𝐵𝐶: |𝐶𝐴|2 + |𝐴𝐵|2 = |𝐵𝐶|2 ,\nALBO\n- poprawne wyprowadzenie i zapisanie wyrażenia postaci: 𝑃1 + 𝑃2 = 𝑃1 ⋅\n|𝐵𝐶|2\n|𝐶𝐴|2 .\n1 pkt - zapisanie wzorów na pola trójkątów oraz wyrażenie wysokości dwóch trójkątów (na\nmocy ich podobieństwa) poprzez wysokość trzeciego z nich, np.:\n𝑃1 = 1\n2 ⋅ℎ1 ⋅|𝐶𝐴|, 𝑃2 = 1\n2 ⋅ℎ1 ⋅\n|𝐴𝐵|2\n|𝐶𝐴| , 𝑃3 = 1\n2 ⋅ℎ1 ⋅\n|𝐵𝐶|2\n|𝐶𝐴|\nALBO\n- zapisanie zależności między polami figur płaskich a długościami odcinków trójkąta, np.:\n𝑃2\n𝑃1 = (\n|𝐴𝐵|\n|𝐶𝐴|)\n2\n,\n𝑃3\n𝑃1 = (\n|𝐵𝐶|\n|𝐶𝐴|)\n2\n,\nALBO\n- zapisanie sumy pól figur płaskich wyrażonej za pomocą długości boków trójkąta oraz\njednego z pól, np.: 𝑃1 + 𝑃2 = 𝑃1 +\n|𝐴𝐵|2\n|𝐶𝐴|2 ⋅𝑃1 .\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe zadania z rozwiązaniami\n87\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób 1.\n1. Wysokości trzech trójkątów: 𝐶𝐴𝑊1, 𝐴𝐵𝑊2, 𝐵𝐶𝑊3, opuszczone z wierzchołków 𝑊1,\n𝑊2, 𝑊3 oznaczymy odpowiednio jako: ℎ1, ℎ2, ℎ3.\nZapiszemy wzory na pola powierzchni tych trójkątów:\n𝑃1 = 1\n2 ⋅ℎ1 ⋅|𝐶𝐴| 𝑃2 = 1\n2 ⋅ℎ2 ⋅|𝐴𝐵| 𝑃3 = 1\n2 ⋅ℎ3 ⋅|𝐵𝐶|\n2. Zapiszemy związki wynikające z podobieństwa trójkątów:\nΔ𝐶𝐴𝑊1 ∼Δ𝐴𝐵𝑊2 , zatem ℎ2\nℎ1\n= |𝐴𝐵|\n|𝐶𝐴| , więc ℎ2 = ℎ1 ⋅|𝐴𝐵|\n|𝐶𝐴|\nΔ𝐶𝐴𝑊1 ∼Δ𝐵𝐶𝑊3 , zatem ℎ3\nℎ1\n= |𝐵𝐶|\n|𝐶𝐴| , więc ℎ3 = ℎ1 ⋅|𝐵𝐶|\n|𝐶𝐴|\n3. Ponownie zapiszemy wzory na pola trójkątów, wykorzystując powyższe zależności:\n𝑃1 = 1\n2 ⋅ℎ1 ⋅|𝐶𝐴| 𝑃2 = 1\n2 ⋅ℎ1 ⋅\n|𝐴𝐵|2\n|𝐶𝐴| 𝑃3 = 1\n2 ⋅ℎ1 ⋅\n|𝐵𝐶|2\n|𝐶𝐴|\n4. Obliczymy sumę 𝑃1 + 𝑃2.\n𝑃1 + 𝑃2 = 1\n2 ⋅ℎ1 ⋅|𝐶𝐴| + 1\n2 ⋅ℎ1 ⋅\n|𝐴𝐵|2\n|𝐶𝐴| = 1\n2 ⋅ℎ1 ⋅(|𝐶𝐴| +\n|𝐴𝐵|2\n|𝐶𝐴| )\n𝑃1 + 𝑃2 = 1\n2 ⋅ℎ1 ⋅\n|𝐶𝐴|2 + |𝐴𝐵|2\n|𝐶𝐴|\n5. Wykorzystamy twierdzenie Pitagorasa dla trójkąta 𝐴𝐵𝐶:\nPonieważ\n|𝐶𝐴|2 + |𝐴𝐵|2 = |𝐵𝐶|2\nto\n𝑃1 + 𝑃2 = 1\n2 ⋅ℎ1 ⋅|𝐵𝐶|2\n|𝐶𝐴|\n6. Prawa strona powyższego równania, na mocy pkt 3., jest równa 𝑃3:\n𝑃1 + 𝑃2 = 𝑃3\nTo kończy dowód.\n88\nInformator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie podstawowym od roku szkolnego 2024/2025\nSposób 2.\nObwody trójkątów: 𝐶𝐴𝑊1, 𝐴𝐵𝑊2, 𝐵𝐶𝑊3 oznaczymy odpowiednio jako 𝑂1, 𝑂2, 𝑂3 .\n1. Wykorzystamy zależności między obwodami a polami figur płaskich podobnych:\n𝑃2\n𝑃1\n= (𝑂2\n𝑂1\n)\n2\n𝑃3\n𝑃1\n= (𝑂3\n𝑂1\n)\n2\n2. Wykorzystamy fakt, że stosunki obwodów trójkątów podobnych są równe stosunkom\ndługości podstaw tych trójkątów:\n𝑂2\n𝑂1\n= |𝐴𝐵|\n|𝐶𝐴| 𝑂3\n𝑂1\n= |𝐵𝐶|\n|𝐶𝐴|\n3. Z zależności 1. i 2. wynika:\n𝑃2\n𝑃1\n= (|𝐴𝐵|\n|𝐶𝐴|)\n2\n𝑃3\n𝑃1\n= (|𝐵𝐶|\n|𝐶𝐴|)\n2\n𝑃2 =\n|𝐴𝐵|2\n|𝐶𝐴|2 ⋅𝑃1 𝑃3 =\n|𝐵𝐶|2\n|𝐶𝐴|2 ⋅𝑃1\n4. Obliczymy sumę 𝑃1 + 𝑃2:\n𝑃1 + 𝑃2 = 𝑃1 + |𝐴𝐵|2\n|𝐶𝐴|2 ⋅𝑃1 = 𝑃1 ⋅(1 + |𝐴𝐵|2\n|𝐶𝐴|2)\n𝑃1 + 𝑃2 = 𝑃1 ⋅\n|𝐶𝐴|2 + |𝐴𝐵|2\n|𝐶𝐴|2\n5. Skorzystamy z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta 𝐴𝐵𝐶:\n|𝐶𝐴|2 + |𝐴𝐵|2 = |𝐵𝐶|2\nZatem równanie w drugim wierszu pkt 4. można zapisać w postaci:\n𝑃1 + 𝑃2 = 𝑃1 ⋅\n|𝐵𝐶|2\n|𝐶𝐴|2\nPrawa strona powyższego równania, na mocy pkt 3., jest równa 𝑃3:\n𝑃1 + 𝑃2 = 𝑃3\nTo kończy dowód.\nPrzykładowe zadania z rozwiązaniami\n89","answer":null,"answer_text":null,"solution":"Niech h1, h2, h3 będą wysokościami trójkątów CAW1, ABW2, BCW3 opuszczonymi\nodpowiednio z wierzchołków W1, W2, W3. Wówczas:\nP1 = (1/2)·h1·|CA|, P2 = (1/2)·h2·|AB|, P3 = (1/2)·h3·|BC|.\nTrójkąty CAW1, ABW2, BCW3 są podobne (mają równe odpowiadające kąty), więc stosunki\nwysokości są równe stosunkom odpowiadających podstaw:\nh2/h1 = |AB|/|CA|, więc h2 = h1·|AB|/|CA|\nh3/h1 = |BC|/|CA|, więc h3 = h1·|BC|/|CA|\nStąd:\nP2 = (1/2)·h1·|AB|²/|CA|, P3 = (1/2)·h1·|BC|²/|CA|\nP1 + P2 = (1/2)·h1·|CA| + (1/2)·h1·|AB|²/|CA| = (1/2)·h1·(|CA|²+|AB|²)/|CA|\nZ twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta ABC (prostokątnego przy A): |CA|²+|AB|² = |BC|².\nZatem:\nP1 + P2 = (1/2)·h1·|BC|²/|CA| = P3\nCo kończy dowód: P3 = P1 + P2.","image":"img/informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-podstawowy/zad-46.webp","solution_image":null,"topics":"dowody_geometryczne","page_from":85,"source":"ai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"ai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2025","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny"},{"id":"informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-podstawowy/zad/47","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-podstawowy","number":"47","points":3,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2025,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 47. (0-3)\nDany jest prostokąt 𝐴𝐵𝐶𝐷, w którym |𝐴𝐷| = 2. Kąt 𝐵𝐷𝐴 ma miarę 𝛼, taką, że tg 𝛼= 2.\nPrzekątna 𝐵𝐷 i prosta przechodząca przez wierzchołek 𝐶 prostopadła do 𝐵𝐷 przecinają\nsię w punkcie 𝐸 (zobacz rysunek).\nOblicz długość odcinka 𝑪𝑬.\nWymaganie ogólne\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji.\n1.\nStosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nWymagania szczegółowe\nVIII. Planimetria. Zdający:\n8) korzysta z cech podobieństwa trójkątów;\n12) stosuje funkcje trygonometryczne do wyznaczania długości odcinków w figurach\npłaskich oraz obliczania pól figur.\n𝐶\n𝐷\n𝐸\n𝐴\n𝐵\n𝛼\n2\n90\nInformator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie podstawowym od roku szkolnego 2024/2025\nZasady oceniania\n3 pkt - poprawna metoda i obliczenie długości odcinka 𝐶𝐸: |𝐶𝐸| = 4√5\n5\n2 pkt - obliczenie długości odcinka 𝐵𝐷: |𝐵𝐷| = 2√5\nALBO\n- zapisanie równania z jedną niewiadomą, wyrażającą długość odcinka 𝐶𝐸,\nwynikającego z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta 𝐷𝐸𝐶 lub 𝐵𝐶𝐸,\nALBO\n- obliczenie sinusa kąta 𝐶𝐵𝐷: sin|∡𝐶𝐵𝐷| = 2\n√5 oraz zapisanie, że\nsin|∡𝐶𝐵𝐷| = |𝐶𝐸|\n|𝐵𝐶|\n1 pkt - obliczenie długości boku 𝐴𝐵: |𝐴𝐵| = 4\nALBO\n- stwierdzenie, że |∡𝐶𝐵𝐷| = 𝛼 oraz zapisanie, że |𝐶𝐸|\n|𝐵𝐸| = 2,\nALBO\n- obliczenie sinusa kąta 𝐶𝐵𝐷: sin|∡𝐶𝐵𝐷| = 2\n√5\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób 1.\nPonieważ tg 𝛼= 2, to |𝐴𝐵| = 4. Zatem |𝐷𝐶| = 4.\nTrójkąt 𝐵𝐶𝐷 jest prostokątny. Odcinek 𝐶𝐸 jest wysokością trójkąta 𝐵𝐶𝐷 poprowadzoną\nna przeciwprostokątną 𝐵𝐷.\nZ twierdzenia Pitagorasa obliczamy długość odcinka 𝐵𝐷\n|𝐵𝐷|2 = 22 + 42\n|𝐵𝐷|2 = 20\n|𝐵𝐷| = √20 = 2√5\nPole trójkąta 𝐵𝐶𝐷 jest równe\n𝑃𝐵𝐶𝐷= 1\n2 ⋅2√5 ⋅|𝐶𝐸|\nPonadto pole trójkąta 𝐵𝐶𝐷 można obliczyć jako połowę iloczynu długości\nprzyprostokątnych\n𝑃𝐵𝐶𝐷= 1\n2 ⋅2 ⋅4 = 4\nZatem\n1\n2 ⋅2√5 ⋅|𝐶𝐸| = 4\nPrzykładowe zadania z rozwiązaniami\n91\n|𝐶𝐸| = 4\n√5\n= 4√5\n5\nDługość odcinka 𝐶𝐸 jest równa 4√5\n5\nSposób 2.\nWprowadźmy oznaczenie: |∡𝐴𝐵𝐷| = 𝛽.\nWyodrębnimy trójkąty prostokątne: 𝐴𝐵𝐷, 𝐸𝐷𝐶. W tych trójkątach wyznaczymy kąty ostre.\nSkorzystamy z zależności, że 𝛼+ 𝛽= 90° oraz z własności kątów naprzemianległych.\nNa podstawie cechy kąt - kąt - kąt, stwierdzamy, że trójkąty 𝐴𝐵𝐷 i 𝐸𝐷𝐶 są podobne\n(zobacz rysunek).\nPonieważ tg 𝛼= 2, to |𝐴𝐵| = 4. Zatem |𝐷𝐶| = 4.\nObliczymy |𝐵𝐷| z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta 𝐴𝐵𝐷:\n|𝐵𝐷|2 = |𝐷𝐴|2 + |𝐴𝐵|2 = 22 + 42 = 20\n|𝐵𝐷| = √20 = 2√5\nZ podobieństwa trójkątów 𝐴𝐵𝐷 i 𝐸𝐷𝐶 obliczymy długość odcinka 𝐶𝐸.\n|𝐷𝐴|\n|𝐵𝐷| =\n|𝐶𝐸|\n|𝐷𝐶|\n2\n2√5\n= |𝐶𝐸|\n4\n𝐶\n𝐷\n𝐸\n𝐴\n𝐵\n𝛼\n𝛽\n𝛽\n𝛼\n𝐶\n𝐷\n𝐸\n𝐴\n𝐵\n𝛼\n𝛽\n𝛽\n𝛼\n2\n4\n4\n2ξ5\n92\nInformator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie podstawowym od roku szkolnego 2024/2025\n|𝐶𝐸| = 4\n√5\n= 4√5\n5\nDługość odcinka 𝐶𝐸 jest równa 4√5\n5\nSposób 3.\nPonieważ |∡𝐵𝐷𝐴| = 𝛼, więc |∡𝐴𝐵𝐷| = 90° -𝛼.\nZatem |∡𝐶𝐵𝐷| = 90° -|∡𝐴𝐵𝐷| = 90° -(90° -𝛼) = 𝛼.\nOznaczmy: |𝐶𝐸| = 𝑥.\nPonieważ tg 𝛼= 2, więc |𝐶𝐸|\n|𝐵𝐸| =\n𝑥\n|𝐵𝐸| = 2.\nStąd |𝐵𝐸| = 𝑥\n2\nZastosujemy twierdzenie Pitagorasa dla trójkąta 𝐵𝐸𝐶:\n𝑥2 + (𝑥\n2)\n2\n= 22\n𝑥2 + 𝑥2\n4 = 4\n5𝑥2\n4 = 4\n𝑥2 = 16\n5\n𝐶\n𝐵\n𝐷\n𝐸\n𝐴\n𝑥\n𝑥\n2\n2\n𝐶\n𝐴\n𝐵\n𝐷\n𝐸\n𝛼\n𝛼\n90° -𝛼\nPrzykładowe zadania z rozwiązaniami\n93\n𝑥= √16\n5 = 4\n√5\n= 4√5\n5\nDługość odcinka 𝐶𝐸 jest równa 4√5\n5\nSposób 4.\nPonieważ |∡𝐵𝐷𝐴| = 𝛼, więc |∡𝐴𝐵𝐷| = 90° -𝛼.\nZatem |∡𝐶𝐵𝐷| = 90° -|∡𝐴𝐵𝐷| = 90° -(90° -𝛼) = 𝛼.\nPonieważ tg 𝛼= 2 , zatem sin𝛼\ncos𝛼= 2 . Stąd cos 𝛼= 1\n2\n⋅sin 𝛼.\nWykorzystując tę zależność oraz tożsamość sin2 𝛼+ cos2 𝛼= 1 otrzymujemy\nsin2 𝛼+ (1\n2 ⋅sin 𝛼)\n2\n= 1\n5\n4 ⋅sin2 𝛼= 1\nsin2 𝛼= 4\n5\nStąd sin 𝛼= 2\n√5\n, ponieważ 𝛼 jest kątem ostrym. Jednocześnie sin 𝛼= |𝐶𝐸|\n|𝐵𝐶|\nZatem\n|𝐶𝐸|\n|𝐵𝐶| = 2\n√5\n|𝐶𝐸|\n2\n= 2\n√5\n|𝐶𝐸| = 4\n√5\n= 4√5\n5\nDługość odcinka 𝐶𝐸 jest równa 4√5\n5\n𝐶\n𝐴\n𝐵\n𝐷\n𝐸\n𝛼\n𝛼\n90° -𝛼\n94\nInformator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie podstawowym od roku szkolnego 2024/2025","answer":null,"answer_text":null,"solution":"$|CE| = \\dfrac{4\\sqrt{5}}{5}$","image":"img/informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-podstawowy/zad-47.webp","solution_image":null,"topics":"planimetria","page_from":89,"source":"zadaniazmatur","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2025","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny"},{"id":"informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-podstawowy/zad/48","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-podstawowy","number":"48","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2025,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 48. (0-2)\nTrzy różne punkty 𝐴, 𝐵 i 𝐷 leżą na okręgu o środku w punkcie 𝑆. Odcinek 𝐵𝐷 jest\nśrednicą tego okręgu. Styczne 𝑘 i 𝑙 do tego okręgu, odpowiednio w punktach 𝐴 i 𝐵,\nprzecinają się w punkcie 𝐶 (zobacz rysunek poniżej).\nWykaż, że trójkąty 𝑨𝑪𝑩 i 𝑨𝑺𝑫 są podobne.\nWymagania ogólne\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n1.\nPrzeprowadzanie rozumowań, także kilkuetapowych, podawanie argumentów\nuzasadniających poprawność rozumowania, odróżnianie dowodu od przykładu.\n2.\nDostrzeganie regularności, podobieństw oraz analogii, formułowanie wniosków na\nich podstawie i uzasadnianie ich poprawności.\nWymagania szczegółowe\nVIII. Planimetria. Zdający:\n1) wyznacza promienie i średnice okręgów, długości cięciw okręgów oraz odcinków\nstycznych, w tym z wykorzystaniem twierdzenia Pitagorasa;\n5) stosuje własności kątów wpisanych i środkowych;\n8) korzysta z cech podobieństwa trójkątów;\n11) przeprowadza dowody geometryczne.\n𝐵\n𝑆\n𝑘\n𝐶\n𝐴\n𝑙\n𝐷\nPrzykładowe zadania z rozwiązaniami\n95\nZasady oceniania\n2 pkt - poprawne przeprowadzenie pełnego dowodu podobieństwa trójkątów 𝐴𝐶𝐵 i 𝐴𝑆𝐷.\n1 pkt - zapisanie, że trójkąty 𝐴𝐶𝐵 i 𝐴𝑆𝐷 są równoramienne oraz wskazanie / zapisanie\nrówności odpowiednich ramion.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób 1.\nZauważmy, że:\ntrójkąt 𝐴𝐶𝐵 jest równoramienny, gdzie: |𝐴𝐶| = |𝐶𝐵| (na mocy twierdzenia\no odcinkach stycznych).\ntrójkąt 𝐴𝑆𝐷 jest równoramienny, gdzie: |𝑆𝐷| = |𝑆𝐴| (odcinki 𝑆𝐷 i 𝑆𝐴 są\npromieniami okręgu).\n|∡𝑆𝐴𝐶| = 90° (promień poprowadzony do punktu styczności jest prostopadły do\nstycznej)\n|∡𝐵𝐴𝐷| = 90° (kąt 𝐵𝐴𝐷 jest kątem wpisanym w okrąg, opartym na średnicy 𝐵𝐷).\nOznaczmy: |∡𝐵𝐴𝐶| = 𝛽.\nWtedy |∡𝑆𝐴𝐵| = |∡𝑆𝐴𝐶| -|∡𝐵𝐴𝐶| = 90° -𝛽.\nStąd |∡𝑆𝐴𝐷| = |∡𝐵𝐴𝐷| -|∡𝑆𝐴𝐵| = 90° -(90° -𝛽) = 𝛽.\nPonieważ trójkąty 𝐴𝐶𝐵 oraz 𝐴𝑆𝐷 są równoramienne, stąd wynika, że:\n|∡𝐶𝐵𝐴| = |∡𝐵𝐴𝐶| = 𝛽 oraz |∡𝐴𝐶𝐵| = 180° -2𝛽\n|∡𝑆𝐷𝐴| = |∡𝐷𝐴𝑆| = 𝛽 oraz |∡𝐴𝑆𝐷| = 180° -2𝛽\nTrójkąty 𝐴𝐶𝐵 i 𝐴𝑆𝐷 są podobne na\npodstawie cechy kąt - kąt - kąt\npodobieństwa trójkątów.\n𝐵\n𝑆\n𝑘\n𝐶\n𝐴\n𝑙\n𝐷\n180° -2𝛽\n𝛽\n𝛽\n𝛽\n𝛽\n180° -2𝛽\n96\nInformator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie podstawowym od roku szkolnego 2024/2025\nSposób 2.\nZauważmy, że:\ntrójkąt 𝐴𝐶𝐵 jest równoramienny, gdzie: |𝐴𝐶| = |𝐶𝐵| (na mocy twierdzenia\no odcinkach stycznych).\ntrójkąt 𝐴𝑆𝐷 jest równoramienny, gdzie: |𝑆𝐷| = |𝑆𝐴| (odcinki 𝑆𝐷 i 𝑆𝐴 są\npromieniami okręgu).\ntrójkąt 𝐴𝑆𝐵 jest równoramienny, gdzie: |𝑆𝐴| = |𝑆𝐵| (odcinki 𝑆𝐴 i 𝑆𝐵 są\npromieniami okręgu).\n|∡𝑆𝐴𝐶| = 90° (promień poprowadzony do punktu styczności jest prostopadły do\nstycznej)\nOznaczmy: |∡𝐵𝐴𝐶| = 𝛽.\nPonieważ trójkąt 𝐴𝐶𝐵 jest równoramienny, więc\n|∡𝐶𝐵𝐴| = |∡𝐵𝐴𝐶| = 𝛽 oraz |∡𝐴𝐶𝐵| = 180° -2𝛽\nWtedy |∡𝑆𝐴𝐵| = |∡𝑆𝐴𝐶| -|∡𝐵𝐴𝐶| = 90° -𝛽.\nPonieważ trójkąt 𝐴𝑆𝐵 jest równoramienny, więc |∡𝑆𝐵𝐴| = 90° -𝛽.\nKąt 𝐷𝑆𝐴 jest kątem środkowym opartym na tym samym łuku co kąt wpisany 𝑆𝐵𝐴, zatem:\n|∡𝐷𝑆𝐴| = 2 ⋅|∡𝑆𝐵𝐴| = 2 ⋅(90° -𝛽) = 180° -2𝛽.\nDługości dwóch boków trójkąta 𝐴𝐶𝐵 są proporcjonalne do odpowiednich długości dwóch\nboków trójkąta 𝐴𝑆𝐷 i kąty między tymi parami boków są przystające:\n|𝐴𝐶|\n|𝐴𝑆| = |𝐵𝐶|\n|𝐷𝑆| i |∡𝐴𝐶𝐵| = |∡𝐷𝑆𝐴| = 180° -2𝛽\nTrójkąty 𝐴𝐶𝐵 i 𝐴𝑆𝐷 są podobne na podstawie cechy bok - kąt - bok podobieństwa\ntrójkątów.\n𝐵\n𝑆\n𝑘\n𝐶\n𝐴\n𝑙\n𝐷\n180° -2𝛽\n𝛽\n180° -2𝛽\nPrzykładowe zadania z rozwiązaniami\n97\nSposób 3.\nZauważmy, że:\ntrójkąt 𝐴𝐶𝐵 jest równoramienny, gdzie: |𝐴𝐶| = |𝐶𝐵| (na mocy twierdzenia\no odcinkach stycznych).\ntrójkąt 𝐴𝑆𝐷 jest równoramienny, gdzie: |𝑆𝐷| = |𝑆𝐴| (odcinki 𝑆𝐷 i 𝑆𝐴 są\npromieniami okręgu).\n|∡𝑆𝐴𝐶| = |∡𝑆𝐵𝐶| = 90° (promień poprowadzony do punktu styczności jest\nprostopadły do stycznej)\nOznaczmy |∡𝐴𝐶𝐵| = 𝛼.\nRozważmy czworokąt 𝐴𝐶𝐵𝑆. Ponieważ suma miar kątów w czworokącie jest równa 360°,\na kąty 𝑆𝐴𝐶 oraz 𝑆𝐵𝐶 są proste, to:\n|∡𝐴𝑆𝐵| = 360° -|∡𝑆𝐴𝐶| -|∡𝑆𝐵𝐶| -|∡𝐴𝐶𝐵|\nZatem:\n|∡𝐴𝑆𝐵| = 360° -90° -90° -𝛼= 180° -𝛼\nKąt 𝐷𝑆𝐴 jest przyległy do kąta 𝐴𝑆𝐵, zatem:\n|∡𝐷𝑆𝐴| = 180° -|∡𝐴𝑆𝐵| = 180° -(180° -𝛼) = 𝛼.\nDługości dwóch boków trójkąta 𝐴𝐶𝐵 są proporcjonalne do odpowiednich długości dwóch\nboków trójkąta 𝐴𝑆𝐷 i kąty między tymi parami boków są przystające:\n|𝐴𝐶|\n|𝐴𝑆| = |𝐵𝐶|\n|𝐷𝑆| i |∡𝐴𝐶𝐵| = |∡𝐷𝑆𝐴| = 𝛼\nTrójkąty 𝐴𝐶𝐵 i 𝐴𝑆𝐷 są podobne na podstawie cechy bok - kąt - bok podobieństwa\ntrójkątów.\n𝛼\n𝐵\n𝑆\n𝑘\n𝐶\n𝐴\n𝑙\n𝐷\n𝛼\n98\nInformator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie podstawowym od roku szkolnego 2024/2025","answer":null,"answer_text":null,"solution":"Trójkąt ACB jest równoramienny: |AC|=|CB| (odcinki stycznych z jednego punktu C\nsą równe). Trójkąt ASD jest równoramienny: |SA|=|SD| (promienie okręgu).\nPonadto |∡SAC|=90° (promień do punktu styczności jest prostopadły do stycznej),\na |∡BAD|=90° (kąt wpisany oparty na średnicy BD).\nOznaczmy |∡BAC|=β. Wtedy |∡SAB| = |∡SAC|-|∡BAC| = 90°-β,\noraz |∡SAD| = |∡BAD|-|∡SAB| = 90°-(90°-β) = β.\nZ równoramienności trójkątów: |∡CBA|=|∡BAC|=β, więc |∡ACB|=180°-2β,\noraz |∡SDA|=|∡DAS|=β, więc |∡ASD|=180°-2β.\nZatem trójkąty ACB i ASD mają odpowiednio równe kąty (β, β, 180°-2β), więc są\npodobne na podstawie cechy kąt-kąt-kąt. To kończy dowód.","image":"img/informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-podstawowy/zad-48.webp","solution_image":null,"topics":"dowody_geometryczne","page_from":94,"source":"ai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"ai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2025","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny"},{"id":"informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-podstawowy/zad/49","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-podstawowy","number":"49","points":3,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2025,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 49. (0-3)\nDany jest trójkąt 𝐴𝐵𝐶 o bokach długości: |𝐴𝐵| = 4, |𝐵𝐶| = 5, |𝐴𝐶| = 6.\nOblicz sinus najmniejszego kąta wewnętrznego trójkąta 𝑨𝑩𝑪.\nWymaganie ogólne\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji.\n1.\nStosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nWymagania szczegółowe\nVII. Trygonometria. Zdający:\n2) korzysta z wzorów sin2 𝛼+ cos2 𝛼= 1, tg 𝛼=\nsin 𝛼\ncos𝛼 ;\n3) stosuje twierdzenie cosinusów oraz wzór na pole trójkąta 𝑃=\n1\n2 ⋅𝑎⋅𝑏⋅sin 𝛾.\nVIII. Planimetria. Zdający:\n2) rozpoznaje trójkąty ostrokątne, prostokątne i rozwartokątne przy danych\ndługościach boków (m.in. stosuje twierdzenie odwrotne do twierdzenia Pitagorasa i\ntwierdzenie cosinusów); stosuje twierdzenie: w trójkącie naprzeciw większego kąta\nwewnętrznego leży dłuższy bok.\nZasady oceniania\n3 pkt - obliczenie sinusa kąta 𝐴𝐶𝐵: sin|∡𝐴𝐶𝐵| =\n√7\n4\n2 pkt - obliczenie cosinusa kąta 𝐴𝐶𝐵: cos|∡𝐴𝐶𝐵| = 3\n4\n1 pkt - zapisanie, że najmniejszym kątem trójkąta jest kąt 𝐴𝐶𝐵.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe zadania z rozwiązaniami\n99\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nW trójkącie naprzeciw najmniejszego kąta wewnętrznego leży najkrótszy bok, więc musimy\nobliczyć sinus kąta 𝐴𝐶𝐵.\nOznaczmy: |∡𝐴𝐶𝐵| = 𝛼.\nZ twierdzenia cosinusów obliczymy cos 𝛼:\n|𝐴𝐵|2 = |𝐴𝐶|2 + |𝐵𝐶|2 -2 ⋅|𝐴𝐶| ⋅|𝐵𝐶| ⋅cos 𝛼\n42 = 62 + 52 -2 ⋅6 ⋅5 ⋅cos 𝛼\n16 = 36 + 25 -60 ⋅cos 𝛼\n60 ⋅cos 𝛼= 61 -16\ncos 𝛼= 45\n60 = 3\n4\nZ „jedynki trygonometrycznej” obliczymy sin 𝛼:\nsin2 𝛼= 1 -(3\n4)\n2\n= 7\n16\nPonieważ 𝛼 jest kątem ostrym, więc\nsin 𝛼= √7\n16 = √7\n4\n𝐴\n5\n𝐶\n𝐵\n4\n6\n𝛼\n100\nInformator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie podstawowym od roku szkolnego 2024/2025","answer":null,"answer_text":null,"solution":"$\\sin|\\measuredangle ACB| = \\dfrac{\\sqrt{7}}{4}$","image":"img/informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-podstawowy/zad-49.webp","solution_image":null,"topics":"planimetria","page_from":98,"source":"zadaniazmatur","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2025","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny"},{"id":"informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-podstawowy/zad/50","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-podstawowy","number":"50","points":1,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2025,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 50. (0-1)\nProste 𝑘 i 𝑙 przecinają się w punkcie 𝐴. Proste 𝑚, 𝑛 i 𝑠 są wzajemnie równoległe\ni przecinają obie proste 𝑘 i 𝑙 w punktach 𝐵, 𝐶, 𝐷, 𝐸, 𝐹, 𝐺 (zobacz rysunek poniżej),\nw taki sposób, że: |𝐵𝐶| = 30, |𝐶𝐷| = 20, |𝐺𝐹| = 21.\nOblicz długość odcinka 𝑭𝑬.\nWymaganie ogólne\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n2) Dostrzeganie regularności, podobieństw oraz analogii, formułowanie wniosków na ich\npodstawie i uzasadnianie ich poprawności.\nWymaganie szczegółowe\nVIII. Planimetria. Zdający:\n7) stosuje twierdzenie Talesa.\nZasady oceniania\n1 pkt - poprawna metoda rozwiązania oraz zapisanie wyniku |𝐹𝐸| = 14.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nZastosujemy twierdzenie Talesa:\n|𝐺𝐹|\n|𝐵𝐶| = |𝐹𝐸|\n|𝐶𝐷| , stąd 21\n30 = |𝐹𝐸|\n20 , zatem |𝐹𝐸| = 14\n𝐴\n𝐸\n𝑠\n𝑙\n𝑛\n𝐹\n𝑚\n𝐺\n𝐵\n𝑘\n𝐷\n𝐶\nPrzykładowe zadania z rozwiązaniami\n101","answer":null,"answer_text":null,"solution":"$|FE| = 14$","image":"img/informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-podstawowy/zad-50.webp","solution_image":null,"topics":"planimetria","page_from":100,"source":"zadaniazmatur","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2025","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny"},{"id":"informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-podstawowy/zad/51","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-podstawowy","number":"51","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2025,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 51. (0-1)\nNa płaszczyźnie, w kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦), dany jest okrąg 𝒪\nokreślony równaniem:\n(𝑥-2)2 + (𝑦+ 3)2 = 16\nDokończ zdania. Zaznacz odpowiedź spośród A-D oraz odpowiedź spośród E-G.\n1. Środek 𝑆 okręgu 𝒪 ma współrzędne\nA. 𝑆= (2, -3)\nB. 𝑆= (-2, -3)\nC. 𝑆= (-2, 3)\nD. 𝑆= (-2, 3)\n2. Promień 𝑟 okręgu 𝒪 jest równy\nE. 𝑟= 16\nF. 𝑟= 4\nG. 𝑟= 5\nWymaganie ogólne\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji.\n1.\nStosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nWymaganie szczegółowe\nIX. Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej. Zdający:\n4) posługuje się równaniem okręgu (𝑥-𝑎)2 + (𝑦-𝑏)2 = 𝑟2.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepełna lub niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nAF\n102\nInformator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie podstawowym od roku szkolnego 2024/2025","answer":"AF","answer_text":null,"solution":null,"image":"img/informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-podstawowy/zad-51.webp","solution_image":null,"topics":"analityczna","page_from":101,"source":"zadaniazmatur","answer_source":"zadaniazmatur","answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2025","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny"},{"id":"informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-podstawowy/zad/52","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-podstawowy","number":"52","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2025,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 52. (0-1)\nNa płaszczyźnie, w kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦), dane są punkty\n𝐴= (1, 2) oraz 𝐵= (3, 7).\nPunkty 𝐴𝑂 oraz 𝐵𝑂 są odpowiednio obrazami punktów 𝐴 i 𝐵 w symetrii środkowej\no środku w punkcie 𝑂= (0, 0).\nDokończ zdanie. Zaznacz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nWspółczynnik kierunkowy prostej przechodzącej przez punkty 𝐴𝑂 i 𝐵𝑂 jest równy\nA. 5\n2\nB. (-5\n2)\nC. 2\n5\nD. (-2\n5)\nWymaganie ogólne\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji.\n1.\nStosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nWymagania szczegółowe\nIX. Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej. Zdający:\n2) posługuje się równaniami prostych na płaszczyźnie, w postaci kierunkowej i ogólnej,\nw tym wyznacza równanie prostej o zadanych własnościach (takich, jak np.\nprzechodzenie przez dwa dane punkty, znany współczynnik kierunkowy,\nrównoległość do innej prostej);\n5) wyznacza obrazy okręgów i wielokątów w symetriach osiowych względem osi\nukładu współrzędnych, symetrii środkowej (o środku w początku układu\nwspółrzędnych).\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nA\nPrzykładowe zadania z rozwiązaniami\n103","answer":"A","answer_text":null,"solution":null,"image":"img/informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-podstawowy/zad-52.webp","solution_image":null,"topics":"analityczna","page_from":102,"source":"zadaniazmatur","answer_source":"zadaniazmatur","answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2025","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny"},{"id":"informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-podstawowy/zad/53","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-podstawowy","number":"53","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2025,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 53. (0-1)\nNa płaszczyźnie, w kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦), dany jest trapez 𝐴𝐵𝐶𝐷,\nw którym boki 𝐴𝐵 i 𝐶𝐷 są równoległe oraz 𝐶= (3, 15). Wierzchołki 𝐴 i 𝐵 tego trapezu\nleżą na prostej o równaniu 3𝑥-𝑦+ 10 = 0.\nDokończ zdanie. Zaznacz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nBok 𝐶𝐷 tego trapezu zawiera się w prostej o równaniu\nA. 𝑦= 3𝑥+ 15\nB. 𝑦= 3𝑥+ 6\nC. 𝑦= 5\n3 𝑥+ 10\nD. 𝑦= -1\n3 𝑥+ 16\nWymaganie ogólne\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji.\n1.\nStosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nWymaganie szczegółowe\nIX. Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej. Zdający:\n2) posługuje się równaniami prostych na płaszczyźnie, w postaci kierunkowej i ogólnej,\nw tym wyznacza równanie prostej o zadanych własnościach (takich, jak np.\nprzechodzenie przez dwa dane punkty, znany współczynnik kierunkowy,\nrównoległość do innej prostej).\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nB\n104\nInformator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie podstawowym od roku szkolnego 2024/2025","answer":"B","answer_text":null,"solution":null,"image":"img/informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-podstawowy/zad-53.webp","solution_image":null,"topics":"analityczna","page_from":103,"source":"zadaniazmatur","answer_source":"zadaniazmatur","answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2025","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny"},{"id":"informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-podstawowy/zad/54","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-podstawowy","number":"54","points":3,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2025,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 54. (0-3)\nNa płaszczyźnie, w kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦), punkty 𝐴= (-1, -5),\n𝐵= (2, -7), 𝐶= (6, 9) i 𝐷= (-2, 9) są wierzchołkami czworokąta 𝐴𝐵𝐶𝐷.\nOblicz współrzędne punktu przecięcia przekątnych czworokąta 𝑨𝑩𝑪𝑫.\nWymaganie ogólne\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n4.\nStosowanie i tworzenie strategii przy rozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach\nnietypowych.\nWymagania szczegółowe\nIX. Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej. Zdający:\n1) rozpoznaje wzajemne położenie prostych na płaszczyźnie na podstawie ich równań,\nw tym znajduje wspólny punkt dwóch prostych, jeśli taki istnieje;\n2) posługuje się równaniami prostych na płaszczyźnie, w postaci kierunkowej i ogólnej,\nw tym wyznacza równanie prostej o zadanych własnościach (takich, jak np.\nprzechodzenie przez dwa dane punkty, znany współczynnik kierunkowy,\nrównoległość do innej prostej).\nZasady oceniania\n3 pkt - poprawna metoda obliczenia współrzędnych punktu 𝑃 oraz podanie poprawnego\nwyniku: 𝑃= (2\n3 , -5\n3).\n2 pkt - wyznaczenie równania prostej 𝐴𝐶: 𝑦= 2𝑥-3 oraz wyznaczenie równania\nprostej 𝐵𝐷: 𝑦= -4𝑥+ 1.\n1 pkt - wyznaczenie równania prostej 𝐴𝐶: 𝑦= 2𝑥-3\nALBO\n- wyznaczenie równania prostej 𝐵𝐷: 𝑦= -4𝑥+ 1.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe zadania z rozwiązaniami\n105\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nNiech 𝑃 oznacza punkt przecięcia przekątnych czworokąta 𝐴𝐵𝐶𝐷.\nPunkt 𝑃 jest punktem przecięcia prostych 𝐴𝐶 i 𝐵𝐷.\nSkorzystamy ze wzoru na równanie ogólne prostej, która przechodzi przez dwa dane punkty\n(zobacz w Wybranych wzorach matematycznych).\nWyznaczamy równanie prostej 𝐴𝐶:\n(𝑦+ 5)(6 + 1) -(9 + 5)(𝑥+ 1) = 0\n7𝑦+ 35 -14𝑥-14 = 0\n7𝑦= 14𝑥-21\n𝑦= 2𝑥-3\nWyznaczamy równanie prostej 𝐵𝐷:\n(𝑦+ 7)(-2 -2) -(9 + 7)(𝑥-2) = 0\n-4𝑦-28 -16𝑥+ 32 = 0\n-4𝑦= 16𝑥-4\n𝑦= -4𝑥+ 1\nPunkt 𝑃 jest punktem przecięcia prostych 𝐴𝐶 i 𝐵𝐷, więc jego współrzędne obliczymy,\nrozwiązując układ równań\n{ 𝑦= 2𝑥-3\n𝑦= -4𝑥+ 1\nStąd\n2𝑥-3 = -4𝑥+ 1\n6𝑥= 4\n𝑥= 2\n3\n𝑦= -5\n3\nZatem punkt przecięcia przekątnych czworokąta 𝐴𝐵𝐶𝐷 ma współrzędne (2\n3 , -5\n3).\n106\nInformator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie podstawowym od roku szkolnego 2024/2025","answer":null,"answer_text":null,"solution":"$P = \\left(\\dfrac{2}{3}, -\\dfrac{5}{3}\\right)$","image":"img/informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-podstawowy/zad-54.webp","solution_image":null,"topics":"analityczna","page_from":104,"source":"zadaniazmatur","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2025","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny"},{"id":"informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-podstawowy/zad/55","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-podstawowy","number":"55","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2025,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 55. (0-4)\nW kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) przekątne równoległoboku 𝐴𝐵𝐶𝐷\nprzecinają się w punkcie 𝑆= (11\n2 , 17\n2 ). Bok 𝐴𝐵 tego równoległoboku zawiera się w prostej\no równaniu 𝑦= 𝑥-2, a bok 𝐴𝐷 zawiera się w prostej o równaniu 𝑦= 3𝑥-6.\nOblicz współrzędne wierzchołka 𝑩.\nWymaganie ogólne\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n4.\nStosowanie i tworzenie strategii przy rozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach\nnietypowych.\nWymagania szczegółowe\nIX. Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej. Zdający:\n1) rozpoznaje wzajemne położenie prostych na płaszczyźnie na podstawie ich równań,\nw tym znajduje wspólny punkt dwóch prostych, jeśli taki istnieje;\n2) posługuje się równaniami prostych na płaszczyźnie, w postaci kierunkowej i ogólnej,\nw tym wyznacza równanie prostej o zadanych własnościach (takich, jak np.\nprzechodzenie przez dwa dane punkty, znany współczynnik kierunkowy,\nrównoległość do innej prostej).\nZasady oceniania\n4 pkt - poprawna metoda obliczenia współrzędnych punktu 𝐵 oraz podanie poprawnego\nwyniku: 𝐵= (4, 2).\n3 pkt - wyznaczenie równania prostej 𝐵𝐶: 𝑦= 3𝑥-10\nALBO\n- obliczenie współrzędnych punktu 𝐴: 𝐴= (2, 0) oraz obliczenie współrzędnych\nśrodka 𝑀𝐴𝐵 boku 𝐴𝐵: 𝑀𝐴𝐵= (3, 1).\n2 pkt - obliczenie współrzędnych punktu 𝐶: 𝐶= (9, 17)\nALBO\n- obliczenie współrzędnych środka 𝑀𝐴𝐵 boku 𝐴𝐵: 𝑀𝐴𝐵= (3, 1),\nALBO\n- obliczenie współrzędnych punktu 𝐴: 𝐴= (2, 0) oraz wyznaczenie równania prostej\n𝑆𝑀𝐴𝐵 (gdzie 𝑀𝐴𝐵 jest środkiem boku 𝐴𝐵): 𝑦= 3𝑥-8.\nPrzykładowe zadania z rozwiązaniami\n107\n1 pkt - obliczenie współrzędnych punktu 𝐴: 𝐴= (2, 0)\nALBO\n- wyznaczenie równania prostej 𝑆𝑀𝐴𝐵 (gdzie 𝑀𝐴𝐵 jest środkiem odcinka 𝐴𝐵):\n𝑦= 3𝑥-8.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób 1.\nPunkt 𝐴 jest punktem wspólnym prostych 𝐴𝐵 i 𝐴𝐷, zatem współrzędne tego punktu są\nrozwiązaniem układu równań\n{𝑦= 𝑥-2\n𝑦= 3𝑥-6\nStąd\n𝑥-2 = 3𝑥-6\n-2𝑥= -4\n𝑥= 2\n𝑦= 0\nZatem 𝐴= (2,0).\nPunkt 𝑆 jest środkiem odcinka 𝐴𝐶, więc\n2 + 𝑥𝑐\n2\n= 11\n2 oraz 0 + 𝑦𝑐\n2\n= 17\n2\n𝑥𝑐= 9 oraz 𝑦𝑐= 17\nZatem 𝐶= (9, 17).\nProsta 𝐵𝐶 jest równoległa do prostej 𝐴𝐷, zatem współczynnik kierunkowy prostej 𝐵𝐶 jest\nrówny 3.\nWyznaczamy równanie prostej 𝐵𝐶. Skorzystamy ze wzoru na równanie kierunkowe prostej\no danym współczynniku kierunkowym, która przechodzi przez dany punkt (zobacz\nw Wybranych wzorach matematycznych).\n𝑦= 3(𝑥-9) + 17\n𝑦= 3𝑥-10\nPunkt 𝐵 jest punktem wspólnym prostych 𝐴𝐵 i 𝐵𝐶, zatem współrzędne tego punktu są\nrozwiązaniem układu równań\n{ 𝑦= 𝑥-2\n𝑦= 3𝑥-10\nStąd\n𝑥-2 = 3𝑥-10\n-2𝑥= -8\n𝑥= 4\n𝑦= 2\nZatem 𝐵= (4, 2).\n108\nInformator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie podstawowym od roku szkolnego 2024/2025\nSposób 2.\nPunkt 𝐴 jest punktem wspólnym prostych 𝐴𝐵 i 𝐴𝐷, zatem współrzędne tego punktu są\nrozwiązaniem układu równań\n{𝑦= 𝑥-2\n𝑦= 3𝑥-6\nStąd\n𝑥-2 = 3𝑥-6\n-2𝑥= -4\n𝑥= 2\n𝑦= 0\nZatem 𝐴= (2,0).\nOznaczmy przez 𝑀𝐴𝐵 środek odcinka 𝐴𝐵. Prosta 𝑆𝑀𝐴𝐵 jest równoległa do prostej 𝐴𝐷,\nzatem współczynnik kierunkowy prostej 𝑆𝑀𝐴𝐵 jest równy 3.\nWyznaczamy równanie prostej 𝑆𝑀𝐴𝐵. Skorzystamy ze wzoru na równanie kierunkowe\nprostej o danym współczynniku kierunkowym, która przechodzi przez dany punkt (zobacz\nw Wybranych wzorach matematycznych).\n𝑦= 3 (𝑥-11\n2 ) + 17\n2\n𝑦= 3𝑥-8\nPunkt 𝑀𝐴𝐵 jest punktem wspólnym prostych 𝐴𝐵 i 𝑆𝑀𝐴𝐵, zatem współrzędne tego punktu\nsą rozwiązaniem układu równań\n{𝑦= 𝑥-2\n𝑦= 3𝑥-8\nStąd\n𝑥-2 = 3𝑥-8\n-2𝑥= -6\n𝑥= 3\n𝑦= 1\nZatem 𝑀𝐴𝐵= (3, 1).\nPunkt 𝑀𝐴𝐵 jest środkiem odcinka 𝐴𝐵, więc\n2 + 𝑥𝑏\n2\n= 3 oraz 0 + 𝑦𝑏\n2\n= 1\n𝑥𝑏= 4 oraz 𝑦𝑏= 2\nZatem 𝐵= (4, 2).\nPrzykładowe zadania z rozwiązaniami\n109","answer":null,"answer_text":null,"solution":"$B = (4, 2)$","image":"img/informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-podstawowy/zad-55.webp","solution_image":null,"topics":"analityczna","page_from":106,"source":"zadaniazmatur","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2025","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny"},{"id":"informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-podstawowy/zad/56","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-podstawowy","number":"56","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2025,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 56. (0-4)\nW kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) punkty 𝐴= (2, 8) oraz 𝐵= (10, 2) są\nwierzchołkami trójkąta równoramiennego 𝐴𝐵𝑃, w którym |𝐴𝑃| = |𝐵𝑃|.\nWierzchołek 𝑃 leży na osi 𝑂𝑥 układu współrzędnych.\nOblicz współrzędne punktu 𝑷 oraz długość odcinka 𝑨𝑷.\nWymaganie ogólne\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n3.\nDobieranie argumentów do uzasadnienia poprawności rozwiązywania problemów,\ntworzenie ciągu argumentów gwarantujących poprawność rozwiązania\ni skuteczność w poszukiwaniu rozwiązań zagadnienia.\nWymagania szczegółowe\nIX. Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej. Zdający:\n3) oblicza odległość dwóch punktów w układzie współrzędnych.\nI.\nLiczby rzeczywiste. Zdający:\n3) stosuje własności pierwiastków dowolnego stopnia, w tym pierwiastków stopnia\nnieparzystego z liczb ujemnych.\n110\nInformator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie podstawowym od roku szkolnego 2024/2025\nZasady oceniania\n4 pkt - poprawna metoda obliczenia współrzędnych punktu 𝑃 oraz długości odcinka 𝐴𝑃\noraz poprawne wyniki: 𝑃= (9\n4 , 0), |𝐴𝑃| = 5√41\n4\n3 pkt - obliczenie współrzędnych punktu 𝑃: 𝑃= (9\n4 , 0) .\n2 pkt - zapisanie układu równań z dwiema niewiadomymi, np.\n√(𝑥𝑝-2)\n2 + (𝑦𝑝-8)\n2 = √(𝑥𝑝-10)\n2 + (𝑦𝑝-2)\n2 i 𝑦𝑝= 0.\n1 pkt - zapisanie drugiej współrzędnej punktu 𝑃 np.: 𝑦𝑝= 0, 𝑃= (𝑥𝑝, 0)\nALBO\n- zapisanie równości |𝐴𝑃| = |𝐵𝑃| w zależności od współrzędnych punktu\n𝑃= (𝑥𝑝, 𝑦𝑝), np.\n√(𝑥𝑝-2)\n2 + (𝑦𝑝-8)\n2 = √(𝑥𝑝-10)\n2 + (𝑦𝑝-2)\n2 .\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nPonieważ punkt 𝑃 leży na osi 𝑂𝑥, więc jego współrzędne są równe 𝑃= (𝑥𝑝, 0).\nStąd, że |𝐴𝑃| = |𝐵𝑃| i ze wzoru na odległość między dwoma punktami otrzymujemy\nrównanie\n√(𝑥𝑝-2)\n2 + (0 -8)2 = √(𝑥𝑝-10)\n2 + (0 -2)2\n(𝑥𝑝-2)\n2 + (0 -8)2 = (𝑥𝑝-10)\n2 + (0 -2)2\n𝑥𝑝\n2 -4𝑥𝑝+ 4 + 64 = 𝑥𝑝\n2 -20𝑥𝑝+ 100 + 4\n16𝑥𝑝= 36\n𝑥𝑝= 9\n4\nZatem 𝑃= (9\n4 , 0).\nObliczamy długość odcinka 𝐴𝑃:\n|𝐴𝑃| = √(9\n4 -2)\n2\n+ (0 -8)2 = √(1\n4)\n2\n+ (-8)2 = √1\n16 + 64 = √1025\n16\n= 5√41\n4\nPrzykładowe zadania z rozwiązaniami\n111","answer":null,"answer_text":null,"solution":"$P = \\left(\\dfrac{9}{4}, 0\\right), |AP| = \\dfrac{5\\sqrt{41}}{4}$","image":"img/informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-podstawowy/zad-56.webp","solution_image":null,"topics":"analityczna","page_from":109,"source":"zadaniazmatur","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2025","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny"},{"id":"informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-podstawowy/zad/57","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-podstawowy","number":"57","points":null,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2025,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 57.\nDany jest prostopadłościan 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹𝐺𝐻, w którym prostokąty 𝐴𝐵𝐶𝐷\ni 𝐸𝐹𝐺𝐻 są jego podstawami. Odcinek 𝐵𝐻 jest przekątną tego\nprostopadłościanu.","answer":null,"answer_text":null,"solution":null,"image":"img/informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-podstawowy/zad-57.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":111,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2025","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny"},{"id":"informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-podstawowy/zad/57.1","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-podstawowy","number":"57.1","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2025,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 57.1. (0-1)\nNa którym rysunku prawidłowo oznaczono i podpisano kąt 𝜶\npomiędzy przekątną 𝑩𝑯 prostopadłościanu a jego ścianą boczną\n𝑨𝑫𝑯𝑬? Zaznacz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nA. 𝛼= ∡𝐵𝐻𝐷\nB. 𝛼= ∡𝐵𝐻𝐸\nC. 𝛼= ∡𝐵𝐻𝐴\nD. 𝛼= ∡𝐵𝐻𝐾, gdzie 𝐾 jest środkiem\nkrawędzi 𝐴𝐸.\n𝐴\n𝐵\n𝐶\n𝐷\n𝐸\n𝐹\n𝐺\n𝐻\n𝐴\n𝐶\n𝐸\n𝐺\n𝐻\n𝐹\n𝐷\n𝐵\n𝛼\n𝐴\n𝐶\n𝐸\n𝐺\n𝐻\n𝐹\n𝐷\n𝐵\n𝛼\n𝐻\n𝐺\n𝐸\n𝛼\n𝐹\n𝐶\n𝐷\n𝐴\n𝐵\n𝐻\n𝐺\n𝛼\n𝐸\n𝐹\n𝐶\n𝐷\n𝐴\n𝐵\n𝐾\n112\nInformator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie podstawowym od roku szkolnego 2024/2025\nWymaganie ogólne\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji.\n1.\nStosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nWymagania szczegółowe\nX. Stereometria. Zdający:\n2) posługuje się pojęciem kąta między prostą a płaszczyzną oraz pojęciem kąta\ndwuściennego między półpłaszczyznami;\n3) rozpoznaje w graniastosłupach i ostrosłupach kąty między odcinkami (np.\nkrawędziami, krawędziami i przekątnymi) oraz kąty między ścianami, oblicza miary\ntych kątów.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nC","answer":"C","answer_text":null,"solution":null,"image":"img/informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-podstawowy/zad-57.1.webp","solution_image":null,"topics":"stereometria","page_from":111,"source":"zadaniazmatur","answer_source":"zadaniazmatur","answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2025","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny"},{"id":"informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-podstawowy/zad/57.2","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-podstawowy","number":"57.2","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2025,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 57.2. (0-4)\nW prostopadłościanie 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹𝐺𝐻 dane są:\ntg 𝛽= 9\n7 |𝐵𝐺| = 2√130 |𝐵𝐻| = 2√194\ngdzie odcinek 𝐵𝐻 jest przekątną prostopadłościanu, odcinek 𝐵𝐺 jest przekątną ściany\nbocznej 𝐵𝐶𝐺𝐹, 𝛽 jest miarą kąta 𝐺𝐵𝐶. Sytuację ilustruje rysunek poniżej.\nOblicz pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu 𝑨𝑩𝑪𝑫𝑬𝑭𝑮𝑯.\n𝐴\n𝐵\n𝐶\n𝐷\n𝐸\n𝐹\n𝐺\n𝐻\n𝛽\nPrzykładowe zadania z rozwiązaniami\n113\nWymagania ogólne\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji.\n3.\nTworzenie pomocniczych obiektów matematycznych na podstawie istniejących,\nw celu przeprowadzenia argumentacji lub rozwiązania problemu.\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n4.\nStosowanie i tworzenie strategii przy rozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach\nnietypowych.\nWymagania szczegółowe\nX. Stereometria. Zdający:\n3) rozpoznaje w graniastosłupach i ostrosłupach kąty między odcinkami (np.\nkrawędziami, krawędziami i przekątnymi) […];\n5) oblicza objętości i pola powierzchni graniastosłupów […] również z wykorzystaniem\ntrygonometrii.\nZasady oceniania\n4 pkt - poprawna metoda obliczenia pola powierzchni całkowitej graniastosłupa oraz\npodanie poprawnego wyniku: 𝑃𝑐= 1528.\n3 pkt - poprawne obliczenie długości wszystkich krawędzi prostopadłościanu:\n|𝐵𝐶| = 14, |𝐶𝐺| = 18, |𝐺𝐻| = 16.\n2 pkt - obliczenie długości dwóch krawędzi 𝐵𝐶 oraz 𝐶𝐺: |𝐵𝐶| = 14 oraz |𝐶𝐺| = 18\nALBO\n- obliczenie długości krawędzi 𝐺𝐻: |𝐺𝐻| = 16 oraz zapisanie układu równań\nz niewiadomymi |𝐵𝐶| oraz |𝐶𝐺| np.: |𝐵𝐶|2 + |𝐶𝐺|2 = (2√130)\n2 oraz\n|𝐶𝐺|\n|𝐵𝐶| = 9\n7\n1 pkt - zapisanie układu równań z niewiadomymi |𝐵𝐶| oraz |𝐶𝐺| np.:\n|𝐵𝐶|2 + |𝐶𝐺|2 = (2√130)\n2 oraz\n|𝐶𝐺|\n|𝐵𝐶| = 9\n7\nALBO\n- obliczenie długości krawędzi 𝐺𝐻: |𝐺𝐻| = 16.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\n114\nInformator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie podstawowym od roku szkolnego 2024/2025\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nWprowadźmy oznaczenia dla odcinków (jak na rysunku obok) -\ndługości krawędzi prostopadłościanu oznaczmy przez 𝑎, 𝑏, 𝑐,\na przekątną prostopadłościanu i przekątną ściany 𝐵𝐶𝐺𝐹 oznaczmy\nprzez 𝑑 oraz 𝑒. Warunki zadania zapiszmy jako:\ntg 𝛽= 9\n7 𝑒= 2√130 𝑑= 2√194\n1. Wyznaczymy zależność między 𝑏 oraz 𝑐 w trójkącie 𝐵𝐶𝐺:\ntg 𝛽= 𝑐\n𝑏= 9\n7\n, stąd 𝑐= 9\n7 𝑏\n2. Zastosujemy twierdzenie Pitagorasa dla trójkąta prostokątnego\n𝐵𝐶𝐺, w celu obliczenia 𝑏 i 𝑐:\n𝑏2 + 𝑐2 = 𝑒2\nWykorzystamy związek z pkt. 1:\n𝑏2 + (9\n7 𝑏)\n2\n= (2√130)\n2\n130\n49 𝑏2 = 520\n𝑏2 = 196\nzatem\n𝑏= 14 oraz 𝑐= 9\n7 ⋅14 = 18\n3. Zauważmy, że trójkąt 𝐵𝐺𝐻 jest prostokątny (kąt prosty jest przy wierzchołku 𝐺).\nZastosujemy twierdzenie Pitagorasa dla trójkąta prostokątnego 𝐵𝐺𝐻, w celu obliczenia 𝑎.\n𝑒2 + 𝑎2 = 𝑑2\n(2√130)\n2 + 𝑎2 = (2√194)\n2\n𝑎2 = 256\n𝑎= 16\n4. Obliczymy pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu:\n𝑃𝑐= 2𝑎𝑏+ 2𝑏𝑐+ 2𝑎𝑐\n𝑃𝑐= 2 ⋅16 ⋅14 + 2 ⋅14 ⋅18 + 2 ⋅16 ⋅18\n𝑃𝑐= 1528\n𝐶\n𝐸\n𝐺\n𝐻\n𝐹\n𝐷\n𝛽\n𝐴\n𝐵\n𝑎\n𝑏\n𝑐\n𝑑\n𝑒\n𝑎\nPrzykładowe zadania z rozwiązaniami\n115","answer":null,"answer_text":null,"solution":"$P_{c} = 1528$","image":"img/informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-podstawowy/zad-57.2.webp","solution_image":null,"topics":"stereometria","page_from":112,"source":"zadaniazmatur","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2025","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny"},{"id":"informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-podstawowy/zad/58","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-podstawowy","number":"58","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2025,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 58. (0-1)\nDane są dwa prostopadłościany podobne: ℬ1 oraz ℬ2. Objętość prostopadłościanu ℬ1\njest równa 𝑉, a objętość prostopadłościanu ℬ2 jest równa 27𝑉. Pole powierzchni\ncałkowitej prostopadłościanu ℬ1 jest równe 𝑃.\nDokończ zdanie. Zaznacz odpowiedź A, B albo C oraz jej uzasadnienie 1., 2. albo 3.\nPole powierzchni całkowitej prostopadłościanu ℬ2 jest równe\nA. 27𝑃,\nponieważ stosunek pól\npowierzchni całkowitych\nprostopadłościanów\npodobnych jest równy\n1. stosunkowi objętości tych prostopadłościanów.\nB. 9𝑃,\n2. pierwiastkowi kwadratowemu ze stosunku\nobjętości tych prostopadłościanów.\nC. 3√3𝑃,\n3. kwadratowi stosunku długości odcinków\nodpowiadających w obu prostopadłościanach.\nWymagania ogólne\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji.\n1.\nStosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n2.\nDostrzeganie regularności, podobieństw oraz analogii, formułowanie wniosków na\nich podstawie i uzasadnianie ich poprawności.\nWymaganie szczegółowe\nX. Stereometria. Zdający:\n6) wykorzystuje zależność między objętościami brył podobnych.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepełna lub niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nB3\n116\nInformator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie podstawowym od roku szkolnego 2024/2025","answer":"A","answer_text":null,"solution":null,"image":"img/informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-podstawowy/zad-58.webp","solution_image":null,"topics":"stereometria","page_from":115,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2025","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny"},{"id":"informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-podstawowy/zad/59","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-podstawowy","number":"59","points":null,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2025,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 59.\nHania zaprojektowała i wykonała czapeczkę na bal urodzinowy\nmłodszego brata. Czapeczka miała kształt powierzchni bocznej stożka\no średnicy podstawy 𝑑= 20 cm, wysokości 𝐻= 25 cm i tworzącej 𝑙.\nŻeby wykonać czapeczkę, Hania najpierw narysowała na kartonie figurę\npłaską 𝐴𝐵𝑆 o kształcie wycinka koła o promieniu 𝑙 i środku 𝑆 (zobacz\nrysunek 1.). Następnie wycięła tę figurę z kartonu, odpowiednio ją\nwymodelowała i skleiła odcinek 𝑆𝐵 z odcinkiem 𝑆𝐴 (zobacz rysunek 2.).\nDo obliczeń przyjmij, że rzeczywiste figury są idealne.","answer":null,"answer_text":null,"solution":null,"image":"img/informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-podstawowy/zad-59.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":116,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2025","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny"},{"id":"informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-podstawowy/zad/59.1","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-podstawowy","number":"59.1","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2025,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 59.1. (0-1)\nDokończ zdanie. Zaznacz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nKąt rozwarcia stożka, którego powierzchnią boczną jest czapeczka, ma miarę (w zaokrągleniu\ndo 1°)\nA. 44°\nB. 136°\nC. 134°\nD. 68°\nWskazówka: skorzystaj z tablic wartości funkcji trygonometrycznych.\n𝐴\n𝐵\n𝑆\n𝑙\nRysunek 1.\nRysunek 2.\n𝑆\n𝑙\n𝐻\n𝑑\n𝑂\nPrzykładowe zadania z rozwiązaniami\n117\nWymagania ogólne\nII. Wykorzystanie i tworzenie informacji.\n1.\nInterpretowanie i operowanie informacjami przedstawionymi w tekście, zarówno\nmatematycznym, jak i popularnonaukowym, a także w formie wykresów, diagramów,\ntabel.\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji.\n2.\nDobieranie i tworzenie modeli matematycznych przy rozwiązywaniu problemów\npraktycznych i teoretycznych.\nWymagania szczegółowe\nX. Stereometria. Zdający:\n4) rozpoznaje w walcach i w stożkach kąt między odcinkami oraz kąt między\nodcinkami i płaszczyznami (np. kąt rozwarcia stożka, kąt między tworzącą\na podstawą), oblicza miary tych kątów.\nVII. Trygonometria. Zdający:\n4) oblicza kąty trójkąta prostokątnego i długości jego boków przy odpowiednich danych\n(rozwiązuje trójkąty prostokątne, w tym z wykorzystaniem funkcji\ntrygonometrycznych).\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nA","answer":"A","answer_text":null,"solution":null,"image":"img/informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-podstawowy/zad-59.1.webp","solution_image":null,"topics":"stereometria","page_from":116,"source":"zadaniazmatur","answer_source":"zadaniazmatur","answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2025","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny"},{"id":"informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-podstawowy/zad/59.2","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-podstawowy","number":"59.2","points":3,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2025,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 59.2. (0-3)\nOblicz miarę kąta 𝑩𝑺𝑨 wycinka koła, z którego powstała powierzchnia boczna stożka\nopisanego we wstępie do zadania. Miarę kąta 𝑩𝑺𝑨 podaj w zaokrągleniu do jednego\nstopnia.\n118\nInformator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie podstawowym od roku szkolnego 2024/2025\nWymagania ogólne\nII. Wykorzystanie i tworzenie informacji.\n1.\nInterpretowanie i operowanie informacjami przedstawionymi w tekście, zarówno\nmatematycznym, jak i popularnonaukowym, a także w formie wykresów, diagramów,\ntabel.\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji.\n2.\nDobieranie i tworzenie modeli matematycznych przy rozwiązywaniu problemów\npraktycznych i teoretycznych.\nWymagania szczegółowe\nVIII. Planimetria. Zdający:\n6) stosuje wzory na pole wycinka koła i długość łuku okręgu.\nX. Stereometria. Zdający:\n5) oblicza objętości i pola powierzchni graniastosłupów, ostrosłupów, walca, stożka\ni kuli, również z wykorzystaniem trygonometrii.\nZasady oceniania\n3 pkt - poprawna metoda obliczenia miary kąta 𝐵𝑆𝐴 oraz podanie poprawnego wyniku\n|∡𝐵𝑆𝐴| ≈134°.\n2 pkt - poprawne wyprowadzenie i zapisanie związku 𝛼= 𝑟\n𝑙⋅360° oraz zapisanie\nrównania wynikającego z twierdzenia Pitagorasa: 𝑙2 = 𝑟2 + 𝐻2.\n1 pkt - zapisanie równania 𝛼\n360° ⋅2𝜋𝑙= 2𝜋𝑟\nALBO\n- zapisanie równania 𝛼\n360° ⋅𝜋𝑙2 = 𝜋𝑟𝑙 .\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nWprowadzimy oznaczenia:\n𝑟= 𝑑\n2 - promień okręgu w podstawie stożka\n𝛼= |∡𝐵𝑆𝐴| - miara kąta 𝐵𝑆𝐴 wycinka koła\n𝛽 - połowa miary kąta rozwarcia stożka\n𝐴\n𝑆\n𝑙\n𝐵\n𝛼\n𝑆\n𝑙\n𝐻\n𝛽\n𝑟\n𝑂\nPrzykładowe zadania z rozwiązaniami\n119\nWyprowadzimy wzór końcowy na symbolach danych (pominiemy obliczenia pośrednie).\n1. Zauważmy, że pole 𝐴𝐵𝑆 wycinka koła jest równe polu powierzchni bocznej stożka (polu\npowierzchni czapeczki). Zastosujemy wzór na pole 𝐴𝐵𝑆 wycinka koła oraz wzór na pole\npowierzchni bocznej stożka:\n𝛼\n360° ⋅𝜋𝑙2 = 𝜋𝑟𝑙\n𝛼= 𝑟\n𝑙⋅360°\nUwaga\nZauważmy, że otrzymany wzór zadaje nadzwyczaj prostą relację między kątem wycinka koła\ni kątem rozwarcia stożka:\n𝛼= sin 𝛽⋅360°\n2. Skorzystamy z twierdzenia Pitagorasa i wyrazimy 𝑙 poprzez 𝐻 i 𝑑:\n𝑙2 = 𝐻2 + 𝑟2\n𝑙2 = 𝐻2 + (𝑑\n2)\n2\n𝑙= √𝐻2 + (𝑑\n2)\n2\n3. Zapiszemy wzór na miarę kąta 𝛼 i ją obliczymy:\n𝛼=\n𝑑\n2\n√𝐻2 + (𝑑\n2)\n2 ⋅360°\n𝛼=\n10\n√252 + 102 ⋅360°\n𝛼≈134°\n120\nInformator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie podstawowym od roku szkolnego 2024/2025","answer":null,"answer_text":null,"solution":"$ok 134^{\\circ}","image":"img/informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-podstawowy/zad-59.2.webp","solution_image":null,"topics":"stereometria","page_from":117,"source":"zadaniazmatur","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2025","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny"},{"id":"informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-podstawowy/zad/60","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-podstawowy","number":"60","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2025,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 60. (0-4)\nDany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny. Ściana boczna tego ostrosłupa jest nachylona\ndo płaszczyzny podstawy pod kątem 30°, a krawędź podstawy ma długość równą 6√3.\nOblicz objętość i pole powierzchni całkowitej tego ostrosłupa.\nWymaganie ogólne\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji.\n3.\nTworzenie pomocniczych obiektów matematycznych na podstawie istniejących,\nw celu przeprowadzenia argumentacji lub rozwiązania problemu.\nWymaganie szczegółowe\nX. Stereometria. Zdający:\n5) oblicza objętości i pola powierzchni graniastosłupów, ostrosłupów, walca, stożka\ni kuli, również z wykorzystaniem trygonometrii.\nZasady oceniania\n4 pkt - poprawna metoda obliczenia objętości i pola powierzchni całkowitej ostrosłupa oraz\npoprawne wyniki: 𝑉= 108 i 𝑃𝑐= 108 + 72√3 .\n3 pkt - obliczenie objętości ostrosłupa: 𝑉= 108 oraz obliczenie wysokości ściany bocznej\nostrosłupa: ℎś𝑏= 6\nALBO\n- obliczenie pola powierzchni całkowitej ostrosłupa: 𝑃𝑐= 108 + 72√3 oraz\nobliczenie wysokości ostrosłupa: 𝐻= 3.\n2 pkt - obliczenie wysokości ostrosłupa: 𝐻= 3 oraz obliczenie wysokości ściany bocznej\nostrosłupa: ℎś𝑏= 6\nALBO\n- obliczenie objętości ostrosłupa: 𝑉= 108,\nALBO\n- obliczenie pola powierzchni całkowitej ostrosłupa: 𝑃𝑐= 108 + 72√3 .\n1 pkt - obliczenie wysokości ostrosłupa: 𝐻= 3\nALBO\n- obliczenie wysokości ściany bocznej ostrosłupa: ℎś𝑏= 6.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe zadania z rozwiązaniami\n121\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nPrzyjmujemy oznaczenia jak na rysunku:\nPonieważ 𝑂 jest punktem przecięcia przekątnych kwadratu, to |𝑂𝐸| = 3√3.\nW trójkącie prostokątnym 𝑆𝑂𝐸 mamy\ntg 30° =\n|𝑆𝑂|\n|𝑂𝐸| =\n|𝑆𝑂|\n3√3\nZatem\n|𝑆𝑂| = 3√3 ⋅tg 30° = 3√3 ⋅√3\n3 = 3\nObliczamy objętość 𝑉 ostrosłupa:\n𝑉= 1\n3 ⋅(6√3)\n2 ⋅3 = 108\nPonadto\ncos 30° =\n|𝑂𝐸|\n|𝑆𝐸| = 3√3\n|𝑆𝐸|\nStąd\n|𝑆𝐸| ⋅cos 30° = 3√3\n|𝑆𝐸| ⋅√3\n2 = 3√3\n|𝑆𝐸| = 6\nObliczamy pole powierzchni całkowitej 𝑃𝑐 ostrosłupa:\n𝑃𝑐= (6√3)\n2 + 4 ⋅1\n2 ⋅6√3 ⋅6 = 108 + 72√3\n30°\n6ξ3\n𝑆\n𝐸\n𝑂\n𝐷\n𝐵\n𝐴\n𝐶\n122\nInformator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie podstawowym od roku szkolnego 2024/2025","answer":null,"answer_text":null,"solution":"$V = 108$, $P_C = 108 + 72\\sqrt{3}$","image":"img/informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-podstawowy/zad-60.webp","solution_image":null,"topics":"stereometria","page_from":120,"source":"zadaniazmatur","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2025","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny"},{"id":"informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-podstawowy/zad/61","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-podstawowy","number":"61","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2025,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 61. (0-1)\nPole powierzchni bocznej walca jest równe 16𝜋, a promień jego podstawy ma długość 2.\nDokończ zdanie. Zaznacz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nObjętość tego walca jest równa\nA. 16\nB. 32\nC. 16𝜋\nD. 32𝜋\nWymaganie ogólne\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji.\n3.\nTworzenie pomocniczych obiektów matematycznych na podstawie istniejących,\nw celu przeprowadzenia argumentacji lub rozwiązania problemu.\nWymaganie szczegółowe\nX. Stereometria. Zdający:\n5) oblicza objętości i pola powierzchni graniastosłupów, ostrosłupów, walca, stożka\ni kuli, również z wykorzystaniem trygonometrii.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nC\nPrzykładowe zadania z rozwiązaniami\n123\nKOMBINATORYKA, RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA I STATYSTYKA","answer":"C","answer_text":null,"solution":null,"image":"img/informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-podstawowy/zad-61.webp","solution_image":null,"topics":"stereometria","page_from":122,"source":"zadaniazmatur","answer_source":"zadaniazmatur","answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2025","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny"},{"id":"informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-podstawowy/zad/62","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-podstawowy","number":"62","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2025,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 62. (0-2)\nPojedynczy znak w piśmie Braille’a dla niewidomych jest kombinacją od 1 do 6 wypukłych\npunktów, które mogą zajmować miejsca ułożone w dwóch kolumnach po trzy miejsca\nw każdej kolumnie. Poniżej podano przykład napisu w piśmie Braille’a. Czarne kropki\nw znaku oznaczają wypukłości, a białe kropki oznaczają brak wypukłości. Pojedynczy znak\nw piśmie Braille’a musi zawierać co najmniej jeden punkt wypukły.\nOblicz, ile różnych pojedynczych znaków można zapisać w piśmie Braille’a.\nWymagania ogólne\nII. Wykorzystanie i tworzenie informacji.\n1.\nInterpretowanie i operowanie informacjami przedstawionymi w tekście, zarówno\nmatematycznym, jak i popularnonaukowym […].\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji.\n2.\nDobieranie i tworzenie modeli matematycznych przy rozwiązywaniu problemów\npraktycznych i teoretycznych.\nWymagania szczegółowe\nXI. Kombinatoryka. Zdający:\n1) zlicza obiekty w prostych sytuacjach kombinatorycznych;\n2) zlicza obiekty, stosując reguły mnożenia i dodawania (także łącznie) […].\nm\na\nt\nu\nr\ny\n124\nInformator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie podstawowym od roku szkolnego 2024/2025\nZasady oceniania\n2 pkt - zastosowanie poprawnej metody do obliczenia wszystkich znaków, uwzględnienie\nwarunku zadania i podanie wyniku: 63.\n1 pkt - zapisanie wzoru na liczbę wszystkich możliwych znaków bez uwzględnienia warunku\nzadania (tzn. łącznie ze znakiem bez punktu wypukłego): 2 ⋅2 ⋅2 ⋅2 ⋅2 ⋅2\nALBO\n- zastosowanie metody dodawania polegającej na bezpośrednim zliczeniu i dodaniu\nliczby znaków: z jednym punktem wypukłym, z dwoma punktami wypukłymi, z trzema\npunktami wypukłymi, z czterema punktami wypukłymi, z pięcioma punktami\nwypukłymi i z sześcioma punktami wypukłymi oraz poprawne zliczenie znaków\nw co najmniej trzech spośród sześciu wymienionych grup.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób 1. (zastosowanie zasady mnożenia)\nZastosujemy regułę mnożenia. Zauważmy, że utworzenie znaku polega na podjęciu kolejno\n6 decyzji o tym, jaki ma być rodzaj punktu - elementu znaku. Punkt może być wypukły albo\nmoże nie być wypukły. Zatem mamy dwie możliwości wyboru rodzaju punktu:\nalbo\nZgodnie z regułą mnożenia, w takich przypadkach liczbę możliwości wyboru\nskładnika/elementu obiektu mnożymy przez siebie tyle razy, z ilu elementów składa się\nobiekt:\n2 ⋅2 ⋅2 ⋅2 ⋅2 ⋅2 = 64\nWszystkich możliwości (łącznie z utworzeniem konfiguracji 6 braków wypukłości) jest 64.\nPonieważ znak Braille’a musi zawierać co najmniej jeden punkt wypukły, to wszystkich\nznaków jest:\n64 -1 = 63\n2 możliwości:\nalbo\n2 możliwości:\nalbo\n2 możliwości:\nalbo\n2 możliwości:\nalbo\n2 możliwości:\nalbo\n2 możliwości:\nalbo\nPrzykładowe zadania z rozwiązaniami\n125\nSposób 2. (bezpośrednie zliczenie liczby znaków z zastosowaniem zasady dodawania)\nBędziemy kolejno zliczać znaki: z jednym punktem wypukłym, z dwoma\npunktami wypukłymi, z trzema punktami wypukłymi, z czterema punktami\nwypukłymi, z pięcioma punktami wypukłymi i z sześcioma punktami\nwypukłymi. Zbiory znaków z daną liczbą punktów wypukłych oznaczymy\nodpowiednio jako: 𝐴1, 𝐴2, 𝐴3, 𝐴4, 𝐴5, 𝐴6.\nAby zliczanie przeprowadzić metodycznie, ułatwimy sobie zadanie\nnumerując punkty w polu znaku, jak na rysunku obok.\nW takiej konwencji, przykładowo:\n- znak oznaczymy jedną cyfrą: (2);\n- znak oznaczymy trójką cyfr: (1,3,4) - przy czym kolejność zapisu tych cyfr nie ma\nznaczenia.\n𝐴1 = {(1), (2), (3), (4), (5), (6)}, zatem |𝐴1| = 6\n𝐴2 =\n{\n(1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6),\n(2,3), (2,4), (2,5), (2,6),\n(3,4), (3,5), (3,6),\n(4,5), (4,6),\n(5,6) }\n, zatem |𝐴2| = 15\n𝐴3 =\n{\n(1,2,3), (1,2,4), (1,2,5), (1,2,6),\n(1,3,4), (1,3,5), (1,3,6),\n(1,4,5), (1,4,6), (1,5,6),\n(2,3,4), (2,3,5), (2,3,6),\n(2,4,5), (2,4,6), (2,5,6),\n(3,4,5), (3,4,6), (3,5,6),\n(4,5,6) }\n, zatem |𝐴3| = 20\nZauważmy, że każdemu znakowi z dwoma punktami wypukłymi możemy przyporządkować\nznak z czterema punktami wypukłymi, zamieniając punkty wypukłe na niewypukłe\ni odwrotnie:\nNp. znakowi\nprzyporządkujemy znak\nZatem znaków z czterema punktami wypukłymi jest tyle samo, co znaków z dwoma punktami\nwypukłymi. Podobnie argumentujemy, że znaków z pięcioma punktami wypukłymi jest tyle\nsamo co znaków z jednym punktem wypukłym. Stąd |𝐴4| = |𝐴2| = 15 oraz |𝐴5| = |𝐴1| = 6.\n𝐴6 = {(1,2,3,4,5,6)}, zatem |𝐴6| = 1\nWszystkich znaków w piśmie Braille’a jest: 6 + 15 + 20 + 15 + 6 + 1 = 63.\n1\n4\n2\n5\n3\n6\n126\nInformator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie podstawowym od roku szkolnego 2024/2025","answer":null,"answer_text":null,"solution":"63","image":"img/informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-podstawowy/zad-62.webp","solution_image":null,"topics":"kombinatoryka","page_from":123,"source":"zadaniazmatur","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2025","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny"},{"id":"informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-podstawowy/zad/63","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-podstawowy","number":"63","points":null,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2025,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 63.\nAndrzej ma w szafie 4 koszule: czerwoną, żółtą, zieloną i niebieską; 3 pary spodni:\nniebieskie, czarne i szare; oraz 5 par butów: czarne, szare, zielone, czerwone i niebieskie.\nAndrzej wybiera z szafy zestaw ubrania: jedną koszulę, jedną parę spodni i jedną parę\nbutów. Zestawy ubrania wybierane przez Andrzeja określimy jako różne, gdy będą różniły się\nkolorem chociaż jednego rodzaju elementu ubioru w zestawie.","answer":null,"answer_text":null,"solution":null,"image":"img/informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-podstawowy/zad-63.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":126,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2025","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny"},{"id":"informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-podstawowy/zad/63.1","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-podstawowy","number":"63.1","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2025,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 63.1. (0-1)\nDokończ zdanie. Zaznacz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nLiczba wszystkich możliwych, różnych zestawów ubrania, jakie może wybrać Andrzej, jest\nrówna\nA. 12\nB. 72\nC. 60\nD. 720\nWymaganie ogólne\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji.\n2.\nDobieranie i tworzenie modeli matematycznych przy rozwiązywaniu problemów\npraktycznych i teoretycznych.\nWymagania szczegółowe\nXI. Kombinatoryka. Zdający:\n1) zlicza obiekty w prostych sytuacjach kombinatorycznych;\n2) zlicza obiekty, stosując reguły mnożenia […].\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nC\nPrzykładowe zadania z rozwiązaniami\n127","answer":"C","answer_text":null,"solution":null,"image":"img/informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-podstawowy/zad-63.1.webp","solution_image":null,"topics":"kombinatoryka","page_from":126,"source":"zadaniazmatur","answer_source":"zadaniazmatur","answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2025","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny"},{"id":"informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-podstawowy/zad/63.2","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-podstawowy","number":"63.2","points":3,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2025,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 63.2. (0-3)\nOblicz, na ile sposobów można wybrać taki zestaw, w którym dokładnie jeden element\nubioru będzie niebieski.\nWymaganie ogólne\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji.\n2.\nDobieranie i tworzenie modeli matematycznych przy rozwiązywaniu problemów\npraktycznych i teoretycznych.\nWymagania szczegółowe\nXI. Kombinatoryka. Zdający:\n1) zlicza obiekty w prostych sytuacjach kombinatorycznych;\n2) zlicza obiekty, stosując reguły mnożenia i dodawania (także łącznie) […].\nZasady oceniania\n3 pkt - poprawne zastosowanie reguły mnożenia oraz reguły dodawania do obliczenia liczby\nzestawów z jednym elementem niebieskim i podanie poprawnego wyniku: 26.\n2 pkt - zastosowanie reguły mnożenia do obliczenia liczby zestawów, w których kolor\nniebieski ma albo koszula, albo spodnie, albo buty, i poprawne obliczenie liczby\nzestawów w każdym takim przypadku: 2 ⋅4 = 8, 3 ⋅4 = 12, 3 ⋅2 = 6.\n1 pkt - rozpisanie zestawów ubrań na trzy grupy: w których jeden element jest niebieski,\na pozostałe elementy są innych kolorów\nALBO\n- zastosowanie reguły mnożenia do obliczenia liczby zestawów, w których kolor\nniebieski ma albo koszula, albo spodnie, albo buty, i poprawne obliczenie liczby\nzestawów w jednym takim przypadku: 2 ⋅4 = 8 albo 3 ⋅4 = 12 albo 3 ⋅2 = 6.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\n128\nInformator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie podstawowym od roku szkolnego 2024/2025\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nRozpiszemy schematy zestawów ubrań, w których jeden element jest niebieski.\n1. Gdy w zestawie jest niebieska koszula, to spodnie mogą być wybrane na 2 sposoby (bez\nniebieskich), a buty na 4 sposoby (bez niebieskich).\nZestawów z niebieską koszulą jest 2 ⋅4 = 8.\n2. Gdy w zestawie są niebieskie spodnie, to koszule mogą być wybrane na 3 sposoby (bez\nniebieskiej), a buty na 4 sposoby (bez niebieskich).\nZestawów z niebieskimi spodniami jest 3 ⋅4 = 12.\n3. Gdy w zestawie są niebieskie buty, to koszule mogą być wybrane na 3 sposoby (bez\nniebieskiej), a spodnie na 2 sposoby (bez niebieskich).\nZestawów z niebieskimi butami jest 3 ⋅2 = 6.\n4. Zestaw z jednym elementem niebieskim może być: zestawem z niebieską koszulą lub\nzestawem z niebieskimi spodniami, lub zestawem z niebieskimi butami.\nZatem takich zestawów można wybrać 8 + 12 + 6 = 26.\nczarne albo szare\n(2 możliwości)\nczarne albo szare, albo zielone, albo czerwone\n(4 możliwości)\nczerwona albo żółta, albo zielona\n(3 możliwości)\nczarne albo szare, albo zielone, albo czerwone\n(4 możliwości)\nczerwona albo żółta, albo zielona\n(3 możliwości)\nczarne albo szare\n(2 możliwości)\nPrzykładowe zadania z rozwiązaniami\n129","answer":null,"answer_text":null,"solution":"$frac{1}{25}$","image":"img/informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-podstawowy/zad-63.2.webp","solution_image":null,"topics":"kombinatoryka","page_from":127,"source":"zadaniazmatur","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2025","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny"},{"id":"informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-podstawowy/zad/64","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-podstawowy","number":"64","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2025,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 64. (0-4)\nSpośród wszystkich czterocyfrowych całkowitych liczb dodatnich losujemy jedną liczbę.\nOblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że wylosowana liczba\nbędzie parzysta, a w jej zapisie dziesiętnym wystąpią dokładnie jedna cyfra 𝟐\ni dokładnie jedna cyfra 𝟑.\nWymagania ogólne\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji.\n2.\nDobieranie i tworzenie modeli matematycznych przy rozwiązywaniu problemów\npraktycznych i teoretycznych.\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n2.\nDostrzeganie regularności, podobieństw oraz analogii, formułowanie wniosków na\nich podstawie i uzasadnianie ich poprawności.\nWymagania szczegółowe\nXI. Kombinatoryka. Zdający:\n2) zlicza obiekty, stosując reguły mnożenia i dodawania (także łącznie) […].\nXII. Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka. Zdający:\n1) oblicza prawdopodobieństwo w modelu klasycznym.\nZasady oceniania\n4 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: 𝑃(𝐴) = 1\n25\n3 pkt - poprawna metoda obliczenia, ile jest wszystkich całkowitych liczb czterocyfrowych\ndodatnich oraz ile pośród nich jest liczb parzystych, w których zapisie dziesiętnym\nwystępują dokładnie jedna cyfra 2 i dokładnie jedna cyfra 3 oraz podanie\npoprawnych wyników: |Ω| = 9 000, |𝐴| = 360.\n2 pkt - poprawna metoda obliczenia, ile jest czterocyfrowych, dodatnich liczb parzystych,\nw których zapisie dziesiętnym występują dokładnie jedna cyfra 2 i dokładnie jedna\ncyfra 3, oraz podanie poprawnego wyniku: |𝐴| = 360\nALBO\n- zapisanie |Ω| = 9 000 oraz rozpisanie zbioru zdarzeń sprzyjających z poprawnie\nokreślonymi wszystkimi możliwymi pozycjami cyfr 2 i 3,\nALBO\n130\nInformator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie podstawowym od roku szkolnego 2024/2025\n- zapisanie |Ω| = 9 000 oraz poprawna metoda zliczenia czterocyfrowych liczb\nparzystych z ostatnią (i dokładnie jedną) cyfrą 2 oraz dokładnie jedną cyfrą 3\nw zapisie, łącznie z podaniem wyniku: 176,\nALBO\n- zapisanie |Ω| = 9 000 oraz poprawna metoda zliczenia czterocyfrowych liczb\nparzystych z ostatnią cyfrą parzystą różną od 2 oraz dokładnie jedną cyfrą 3\ni dokładnie jedną cyfrą 2 w zapisie, łącznie z podaniem wyniku: 184.\n1 pkt - poprawna metoda obliczenia, ile jest wszystkich całkowitych liczb czterocyfrowych\ndodatnich, i zapisanie wyniku: |Ω| = 9 ⋅10 ⋅10 ⋅10 = 9 000\nALBO\n- rozpisanie zbioru zdarzeń sprzyjających z poprawnie określonymi wszystkimi\nmożliwymi pozycjami cyfr 2 i 3,\nALBO\n- poprawna metoda zliczenia czterocyfrowych liczb parzystych z ostatnią (i dokładnie\njedną) cyfrą 2 oraz dokładnie jedną cyfrą 3 w zapisie, łącznie z podaniem wyniku:\n176,\nALBO\n- poprawna metoda zliczenia czterocyfrowych liczb parzystych z ostatnią cyfrą\nparzystą różną od 2 oraz dokładnie jedną cyfrą 3 i dokładnie jedną cyfrą 2\nw zapisie, łącznie z podaniem wyniku: 184.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nZbiór zdarzeń elementarnych Ω składa się ze wszystkich czterocyfrowych całkowitych liczb\ndodatnich.\nSposób 1. obliczenia mocy zbioru Ω.\nNa diagramie poniżej rozpiszemy schemat liczby czterocyfrowej, gdzie dla każdej pozycji\nw zapisie dziesiętnym określimy, ile jest możliwości jej uzupełnienia.\nZgodnie z zasadą mnożenia, wszystkich liczb czterocyfrowych dodatnich jest:\n|Ω| = 9 ⋅10 ⋅10 ⋅10 = 9 000\n10 możliwości\nwyboru spośród\n{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}\n9 możliwości\nwyboru spośród\nሼ1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9ሽ\n10 możliwości\nwyboru spośród\n{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}\n10 możliwości\nwyboru spośród\n{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}\nPrzykładowe zadania z rozwiązaniami\n131\nSposób 2. obliczenia mocy zbioru Ω.\nObliczymy liczbę wszystkich ciągów czterech cyfr (także z zerem na pierwszej pozycji).\nWszystkich ciągów czterech cyfr (także z zerem na pierwszej pozycji) jest\n10 ⋅10 ⋅10 ⋅10 = 10 000. Od tej liczby należy odjąć liczbę takich ciągów czterech cyfr,\nw których na pierwszej pozycji występuje zero - jest ich 10 ⋅10 ⋅10 = 1 000.\nZatem wszystkich liczb czterocyfrowych dodatnich jest:\n|Ω| = 10 000 -1 000 = 9 000\n(ciąg dalszy rozwiązania)\nOkreślimy zdarzenie 𝐴 jako zbiór takich czterocyfrowych dodatnich liczb parzystych,\nw których zapisie dziesiętnym występują dokładnie jedna cyfra 2 i dokładnie jedna cyfra 3.\nNa poniższych diagramach z pozycjami cyfr rozpiszemy schematy liczb czterocyfrowych,\nspełniających te warunki.\nLiczby parzyste, które mają cyfrę 2 na pozycji czwartej oraz cyfrę 3 na pozycjach\ntrzeciej, drugiej lub pierwszej:\n10 możliwości\nwyboru spośród\n{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}\n10 możliwości\nwyboru spośród\nሼ0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9ሽ\n10 możliwości\nwyboru spośród\n{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}\n10 możliwości\nwyboru spośród\n{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}\n7 możliwości\nሼ1, 4, 5, 6, 7, 8, 9ሽ\n8 możliwości\n{0, 1, 4, 5, 6, 7, 8, 9}\n2\n3\n7 możliwości\nሼ1, 4, 5, 6, 7, 8, 9ሽ\n8 możliwości\n{0, 1, 4, 5, 6, 7, 8, 9}\n2\n3\n8 możliwości\n{0, 1, 4, 5, 6, 7, 8, 9}\n8 możliwości\n{0, 1, 4, 5, 6, 7, 8, 9}\n2\n3\n132\nInformator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie podstawowym od roku szkolnego 2024/2025\nLiczby parzyste, które na ostatniej pozycji mają cyfrę parzystą różną od cyfry 2 oraz cyfry\n2 i 3 (dokładnie po jednej) na różnych pozycjach od pierwszej do trzeciej:\nLiczbę zdarzeń elementarnych sprzyjających 𝐴 obliczymy z wykorzystaniem reguły\nmnożenia i dodawania łącznie:\n|𝐴| = 7 ⋅8 + 7 ⋅8 + 8 ⋅8 + 8 ⋅4 + 7 ⋅4 + 8 ⋅4 + 7 ⋅4 + 8 ⋅4 + 8 ⋅4 = 360\nObliczymy prawdopodobieństwo zdarzenia 𝐴:\n𝑃(𝐴) =\n|𝐴|\n|Ω| = 360\n9000 = 1\n25\n8 możliwości\nሼ0, 1, 4, 5, 6, 7, 8, 9ሽ\n4 możliwości\n{0, 4, 6, 8}\n2\n3\n7 możliwości\nሼ1, 4, 5, 6, 7, 8, 9ሽ\n4 możliwości\n{0, 4, 6, 8}\n2\n3\n8 możliwości\nሼ0, 1, 4, 5, 6, 7, 8, 9ሽ\n4 możliwości\n{0, 4, 6, 8}\n2\n3\n7 możliwości\nሼ1, 4, 5, 6, 7, 8, 9ሽ\n4 możliwości\n{0, 4, 6, 8}\n2\n3\n8 możliwości\nሼ0, 1, 4, 5, 6, 7, 8, 9ሽ\n4 możliwości\n{0, 4, 6, 8}\n2\n3\n8 możliwości\nሼ0, 1, 4, 5, 6, 7, 8, 9ሽ\n4 możliwości\n{0, 4, 6, 8}\n2\n3\nPrzykładowe zadania z rozwiązaniami\n133","answer":null,"answer_text":null,"solution":"Zbiór zdarzeń elementarnych: wszystkie liczby czterocyfrowe dodatnie,\n|Ω| = 9·10·10·10 = 9000 (cyfra tysięcy: 1-9, pozostałe cyfry: 0-9).\n\nZdarzenie A: liczba parzysta z dokładnie jedną cyfrą 2 i dokładnie jedną cyfrą 3 w zapisie.\nRozważamy dwa rozłączne przypadki.\n\nPrzypadek 1: cyfrą jedności jest 2. Wówczas cyfra 3 stoi na jednej z pozycji: tysięcy, setek\nlub dziesiątek, a pozostałe dwie z tych pozycji wypełniają cyfry różne od 2 i 3:\n- 3 na pozycji tysięcy: setki i dziesiątki - po 8 możliwości (cyfry różne od 2 i 3): 8·8=64.\n- 3 na pozycji setek: tysiące - 7 możliwości (różne od 0, 2, 3), dziesiątki - 8 możliwości: 7·8=56.\n- 3 na pozycji dziesiątek: tysiące - 7 możliwości, setki - 8 możliwości: 7·8=56.\nRazem w tym przypadku: 64+56+56 = 176.\n\nPrzypadek 2: cyfra jedności jest parzysta i różna od 2, czyli należy do {0,4,6,8} (4 możliwości\nwyboru cyfry jedności). Cyfry 2 i 3 zajmują wtedy dwie spośród pozostałych trzech pozycji\n(tysięcy, setek, dziesiątek), w jednej z dwóch możliwych kolejności, a trzecia z tych pozycji\nwypełniona jest cyfrą różną od 2 i 3:\n- gdy wolną pozycją są tysiące (2 i 3 stoją na pozycjach setek i dziesiątek, w 2 kolejnościach):\ntysiące nie mogą być 0, więc 7 możliwości: 2·7·4 = 56.\n- gdy wolną pozycją są setki (2 i 3 stoją na pozycjach tysięcy i dziesiątek, w 2 kolejnościach):\nwolna pozycja (setki) - 8 możliwości: 2·8·4 = 64.\n- gdy wolną pozycją są dziesiątki (2 i 3 stoją na pozycjach tysięcy i setek, w 2 kolejnościach):\nwolna pozycja (dziesiątki) - 8 możliwości: 2·8·4 = 64.\nRazem w tym przypadku: 56+64+64 = 184.\n\nŁącznie: |A| = 176 + 184 = 360.\nPrawdopodobieństwo: P(A) = |A|/|Ω| = 360/9000 = 1/25.","image":"img/informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-podstawowy/zad-64.webp","solution_image":null,"topics":"prawdopodobienstwo","page_from":129,"source":"ai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"ai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2025","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny"},{"id":"informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-podstawowy/zad/65","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-podstawowy","number":"65","points":null,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2025,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 65.\nNa wykresie słupkowym poniżej podano rozkład miesięcznych zarobków wszystkich\npracowników w pewnej firmie ℱ. Na osi poziomej podano - wyrażone w tysiącach złotych -\nmiesięczne wynagrodzenie netto pracowników firmy ℱ, a na osi pionowej przedstawiono\nliczbę osób, która osiąga podane zarobki.","answer":null,"answer_text":null,"solution":null,"image":"img/informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-podstawowy/zad-65.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":133,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2025","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny"},{"id":"informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-podstawowy/zad/65.1","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-podstawowy","number":"65.1","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2025,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 65.1. (0-1)\nDokończ zdanie. Zaznacz odpowiedź A, B albo C oraz jej uzasadnienie 1., 2. albo 3.\nDominantą miesięcznych zarobków w firmie ℱ jest\nA.\n10 tys. zł,\nponieważ\n1.\ntę wartość zarobków osiąga najwięcej osób\nw firmie ℱ.\nB.\n4,5 tys. zł,\n2.\nta wartość zarobków jest największa w firmie ℱ.\nC.\n4 tys. zł,\n3.\niloczyn tej wartości zarobków i liczby osób z takimi\nzarobkami jest największy w firmie ℱ.\nWymaganie ogólne\nII. Wykorzystanie i tworzenie informacji.\n1.\nInterpretowanie i operowanie informacjami przedstawionymi w tekście, zarówno\nmatematycznym, jak i popularnonaukowym, a także w formie wykresów, diagramów,\ntabel.\nWymaganie szczegółowe\nXII. Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka. Zdający:\n2) […] znajduje […] dominantę.\n0\n1\n2\n3\n4\n5\n6\n7\n8\n9\n10\n11\n12\n13\n14\n15\n1,5\n2\n2,5\n3\n3,5\n4\n4,5\n5\n5,5\n6\n6,5\n7\n7,5\n8\n8,5\n9\n9,5\n10\nLiczba osób\nWysokość miesięcznych zarobków podana w tys. zł\n134\nInformator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie podstawowym od roku szkolnego 2024/2025\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepełna lub niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nC1","answer":"A","answer_text":null,"solution":null,"image":"img/informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-podstawowy/zad-65.1.webp","solution_image":null,"topics":"prawdopodobienstwo","page_from":133,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2025","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny"},{"id":"informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-podstawowy/zad/65.2","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-podstawowy","number":"65.2","points":1,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2025,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 65.2. (0-1)\nUzupełnij zdanie. Wpisz odpowiednią liczbę w wykropkowanym miejscu, aby zdanie\nbyło prawdziwe.\nMedianą miesięcznych zarobków w firmie ℱ jest tys. zł.\nWymaganie ogólne\nII. Wykorzystanie i tworzenie informacji.\n1.\nInterpretowanie i operowanie informacjami przedstawionymi w tekście, zarówno\nmatematycznym, jak i popularnonaukowym, a także w formie wykresów, diagramów,\ntabel.\nWymaganie szczegółowe\nXII. Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka. Zdający:\n2) […] znajduje medianę […].\nZasady oceniania\n1 pkt - rozwiązanie poprawne.\n0 pkt - rozwiązanie niepoprawne albo brak rozwiązania.\nRozwiązanie\nMedianą miesięcznych zarobków w firmie ℱ jest tys. zł.\nKomentarz\nMedianą zarobków jest wartość znajdująca się pośrodku w uporządkowanym rosnąco\nzestawie zarobków wszystkich 75 pracowników firmy ℱ. Zatem będzie to wartość 4,5 tys. zł,\nznajdująca się na 38 pozycji w tak uporządkowanym zestawie danych.\n4,5\nPrzykładowe zadania z rozwiązaniami\n135","answer":null,"answer_text":null,"solution":"4,5","image":"img/informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-podstawowy/zad-65.2.webp","solution_image":null,"topics":"prawdopodobienstwo","page_from":134,"source":"zadaniazmatur","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2025","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny"},{"id":"informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-podstawowy/zad/65.3","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-podstawowy","number":"65.3","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2025,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 65.3. (0-2)\nOblicz średnią miesięcznego wynagrodzenia netto wszystkich pracowników firmy 𝓕.\nWynik podaj bez zaokrąglania.\nWymagania ogólne\nII. Wykorzystanie i tworzenie informacji.\n1.\nInterpretowanie i operowanie informacjami przedstawionymi w tekście, zarówno\nmatematycznym, jak i popularnonaukowym, a także w formie wykresów, diagramów,\ntabel.\nI.\nSprawność rachunkowa.\nWykonywanie obliczeń na liczbach rzeczywistych, także przy użyciu kalkulatora,\nstosowanie praw działań matematycznych przy przekształcaniu wyrażeń algebraicznych\noraz wykorzystywanie tych umiejętności przy rozwiązywaniu problemów w kontekstach\nrzeczywistych i teoretycznych.\nWymaganie szczegółowe\nXII. Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka. Zdający:\n2) oblicza średnią arytmetyczną i średnią ważoną […].\nZasady oceniania\n2 pkt - poprawna metoda obliczenia średniej miesięcznych zarobków oraz podanie\npoprawnego wyniku: 𝑥= 4,48 tys. zł.\n1 pkt - obliczenie sumy zarobków wszystkich pracowników firmy ℱ: 336 tys. zł.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nNa podstawie danych z wykresu obliczymy średnią miesięcznych zarobków pracowników\nfirmy ℱ:\n𝑥= (1 ⋅1,5 + 1 ⋅2 + 4 ⋅2,5 + 7 ⋅3 + 10 ⋅3,5 + 14 ⋅4 + 13 ⋅4,5 + 9 ⋅5 + 6 ⋅5,5) tys. zł\n(1 + 1 + 4 + 7 + 10 + 14 + 13 + 9 + 6 + 3 + 2 + 1 + 1 + 1 + 2)\n(3 ⋅6 + 2 ⋅6,5 + 1 ⋅7 + 1 ⋅7,5 + 1 ⋅8,5 + 2 ⋅10) tys. zł\n(1 + 1 + 4 + 7 + 10 + 14 + 13 + 9 + 6 + 3 + 2 + 1 + 1 + 1 + 2) = 336 tys. zł\n75\n𝑥= 4,48 tys. zł\n136\nInformator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie podstawowym od roku szkolnego 2024/2025","answer":null,"answer_text":null,"solution":"4,48 tys. zł","image":"img/informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-podstawowy/zad-65.3.webp","solution_image":null,"topics":"prawdopodobienstwo","page_from":135,"source":"zadaniazmatur","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2025","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny"},{"id":"informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-podstawowy/zad/65.4","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-podstawowy","number":"65.4","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2025,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 65.4. (0-2)\nOblicz, jaki procent liczby wszystkich pracowników firmy 𝓕 stanowi liczba osób\nzarabiających 𝟓, 𝟓 tys. zł lub mniej. Wynik podaj w zaokrąglaniu do 𝟏%.\nWymagania ogólne\nII. Wykorzystanie i tworzenie informacji.\n1.\nInterpretowanie i operowanie informacjami przedstawionymi w tekście, zarówno\nmatematycznym, jak i popularnonaukowym, a także w formie wykresów, diagramów,\ntabel.\nI.\nSprawność rachunkowa.\nWykonywanie obliczeń na liczbach rzeczywistych, także przy użyciu kalkulatora,\nstosowanie praw działań matematycznych przy przekształcaniu wyrażeń algebraicznych\noraz wykorzystywanie tych umiejętności przy rozwiązywaniu problemów w kontekstach\nrzeczywistych i teoretycznych.\nWymaganie szczegółowe\nI.\nLiczby rzeczywiste. Zdający:\n1) wykonuje działania (dodawanie, odejmowanie, mnożenie, dzielenie, potęgowanie,\npierwiastkowanie, logarytmowanie) w zbiorze liczb rzeczywistych.\nZasady oceniania\n2 pkt - poprawna metoda obliczenia jaki % wszystkich pracowników firmy ℱ stanowią\nosoby zarabiające 5,5 tys. zł lub mniej oraz podanie wyniku 87%.\n1 pkt - obliczenie liczby wszystkich pracowników firmy ℱ zarabiających 5,5 tys. zł lub mniej.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nObliczymy, ile jest łącznie takich osób w firmie ℱ, które zarabiają miesięcznie 5,5 tys. zł lub\nmniej:\n1 + 1 + 4 + 7 + 10 + 14 + 13 + 9 + 6 = 65\nOkreślimy, jaki procent wszystkich osób w firmie stanowią łącznie osoby zarabiające\nmiesięcznie 5,5 tys. zł lub mniej:\n65\n75 = 0,8(6) ≈87%\nOsoby zarabiające 5,5 tys. zł lub mniej stanowią 87% wszystkich pracowników firmy ℱ.\nPrzykładowe zadania z rozwiązaniami\n137","answer":null,"answer_text":null,"solution":"87\\%","image":"img/informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-podstawowy/zad-65.4.webp","solution_image":null,"topics":"prawdopodobienstwo","page_from":136,"source":"zadaniazmatur","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2025","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny"},{"id":"informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-podstawowy/zad/66","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-podstawowy","number":"66","points":2,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2025,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 66. (0-2)\nZe zbioru sześciu liczb {1, 2, 3, 4, 5, 6} losujemy ze zwracaniem kolejno dwa razy po\njednej liczbie.\nOblicz prawdopodobieństwo zdarzenia 𝑨 polegającego na tym, że pierwsza\nwylosowana liczba będzie większa od drugiej wylosowanej liczby.\nWymaganie ogólne\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji.\n2.\nDobieranie i tworzenie modeli matematycznych przy rozwiązywaniu problemów\npraktycznych i teoretycznych.\nWymaganie szczegółowe\nXII. Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka. Zdający:\n1) oblicza prawdopodobieństwo w modelu klasycznym.\nZasady oceniania\n2 pkt - zastosowanie poprawnej metody obliczenia prawdopodobieństwa zdarzenia 𝐴\ni uzyskanie poprawnego wyniku: 𝑃(𝐴) = 15\n36\n1 pkt - wypisanie wszystkich zdarzeń elementarnych lub obliczenie/podanie liczby tych\nzdarzeń: |Ω| = 6 ⋅6 lub sporządzenie tabeli o 36 polach odpowiadających\nzdarzeniom elementarnym, z których co najmniej jedno pole jest wypełnione, lub\nsporządzenie pełnego drzewa stochastycznego\nALBO\n- wypisanie (zaznaczenie w tabeli) wszystkich zdarzeń elementarnych sprzyjających\nzdarzeniu 𝐴 i niewypisanie żadnego niewłaściwego,\nALBO\n- podanie liczby wszystkich zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu 𝐴:\n|𝐴| = 15, jeśli nie została otrzymana w wyniku zastosowania błędnej metody,\nALBO\n- sporządzenie fragmentu drzewa stochastycznego, który zawiera wszystkie gałęzie\nsprzyjające zdarzeniu 𝐴 oraz zapisanie prawdopodobieństwa na co najmniej\njednym odcinku każdego z etapów doświadczenia.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\n138\nInformator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie podstawowym od roku szkolnego 2024/2025\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób I\nZdarzeniami elementarnymi są wszystkie uporządkowane pary liczb (𝑥, 𝑦), gdzie\n𝑥, 𝑦∈{1, 2, 3, 4, 5, 6}.\nW tabeli literą 𝐴 zaznaczamy zdarzenia elementarne sprzyjające zdarzeniu 𝐴.\nII losowanie\nI losowanie\n𝟏\n𝟐\n𝟑\n𝟒\n𝟓\n𝟔\n𝟏\n𝟐\n𝐴\n𝟑\n𝐴\n𝐴\n𝟒\n𝐴\n𝐴\n𝐴\n𝟓\n𝐴\n𝐴\n𝐴\n𝐴\n𝟔\n𝐴\n𝐴\n𝐴\n𝐴\n𝐴\nMoc zbioru Ω jest równa 36. Zdarzeń sprzyjających zdarzeniu 𝐴 jest 15.\nZatem prawdopodobieństwo zdarzenia 𝐴 jest równe 15\n36 = 5\n12\nSposób II (drzewo stochastyczne)\nRysujemy fragment drzewa stochastycznego rozważanego doświadczenia z uwzględnieniem\nwszystkich istotnych gałęzi.\nPrawdopodobieństwo zdarzenia 𝐴 jest równe\n𝑃(𝐴) = 1\n6 ⋅1\n6 + 1\n6 ⋅2\n6 + 1\n6 ⋅3\n6 + 1\n6 ⋅4\n6 + 1\n6 ⋅5\n6 = 15\n36 = 5\n12\n2\n3\n4\n5\n6\n1\n1\n2\n1\n2\n3\n1\n2\n3\n4\n1\n2\n3\n4\n5\n1\n6\n2\n6\n3\n6\n4\n6\n5\n6\n1\n6\n1\n6\n1\n6\n1\n6\n1\n6\nInformacja o egzaminie maturalnym z matematyki dla absolwentów niesłyszących\n139\n3.\nInformacja o egzaminie maturalnym z matematyki dla\nabsolwentów niesłyszących\nInformacje o egzaminie maturalnym z matematyki przedstawione w rozdziale 1. Opis\negzaminu maturalnego z matematyki dotyczą również egzaminu dla absolwentów\nniesłyszących. Ponadto zdający niesłyszący przystępują do egzaminu maturalnego\nw warunkach i formie dostosowanych do potrzeb wynikających z ich niepełnosprawności.\nDostosowanie warunków przeprowadzenia egzaminu maturalnego dla absolwentów\nniesłyszących obejmuje m.in. czas trwania egzaminu. Dostosowanie formy egzaminu\nmaturalnego z matematyki dla absolwentów niesłyszących polega na przygotowaniu\nodpowiednich arkuszy, w których uwzględnia się zmianę sposobu formułowania treści\nniektórych zadań i poleceń. Zmiany te dotyczą zamiany pojedynczych słów, zwrotów lub\ncałych zdań - jeśli mogłyby one być niezrozumiałe lub błędnie zrozumiane przez osoby\nniesłyszące. Zadania mogą być dodatkowo uzupełnione szkicem, tabelą lub inną formą\ngraficzną ilustrującą ich treść. Jednak takie zmiany nie mogą wpływać na merytoryczną treść\nzadania oraz nie mogą dotyczyć terminów typowych dla danej dziedziny wiedzy.\nSzczegółowe informacje z tym związane określone są w Komunikacie dyrektora Centralnej\nKomisji Egzaminacyjnej w sprawie szczegółowych sposobów dostosowania warunków i form\nprzeprowadzania egzaminu maturalnego w danym roku szkolnym.\nW dalszej części tego rozdziału zostały przedstawione przykładowe zadania z matematyki na\npoziomie podstawowym, które ilustrują sposób dostosowania niektórych zadań wybranych\nz rozdziału 2. Przykładowe zadania z rozwiązaniami. Zachowano tę samą numerację zadań.\n140\nInformator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie podstawowym od roku szkolnego 2024/2025\nZadanie 9. (0-1)\nKlient banku wpłacił na długoterminową lokatę pewną kwotę. Oprocentowanie na tej lokacie\nwynosi 3% w skali roku (po uwzględnieniu podatków). Po każdym roku oszczędzania są\ndoliczane odsetki od aktualnej kwoty znajdującej się na lokacie - zgodnie z procentem\nskładanym.\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nPo 10 latach oczekiwania (bez wypłacania pieniędzy z tej lokaty) klient będzie miał na\nlokacie kwotę większą od kwoty wpłaconej na początku o (w zaokrągleniu do 1%)\nA. 30%\nB. 34%\nC. 36%\nD. 43%\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nB\nInformacja o egzaminie maturalnym z matematyki dla absolwentów niesłyszących\n141\nZadanie 27.\nDana jest funkcja 𝑦= 𝑓(𝑥). Wykres tej funkcji przedstawiono w kartezjańskim układzie\nwspółrzędnych (𝑥, 𝑦).\nZadanie 27.1. (0-1)\nZapisz w miejscu wykropkowanym zbiór wszystkich argumentów, dla których\nprawdziwa jest nierówność:\n𝒇(𝒙) > 𝟐\nZasady oceniania\n1 pkt - rozwiązanie poprawne.\n0 pkt - rozwiązanie niepoprawne lub niepełne albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\n[-5, -1) ∪(7,8]\n𝑦\n𝑥\n2\n4\n6\n8\n2\n4\n6\n8\n-2\n-4\n-6\n-8\n-2\n-4\n-6\n-8\n𝑦= 𝑓(𝑥)\n142\nInformator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie podstawowym od roku szkolnego 2024/2025\nZadanie 27.2. (0-1)\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nFunkcja 𝑓 jest malejąca w przedziale\nA. [-5, -3]\nB. [3, 8]\nC. [0, 6]\nD. [-3, 3]\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nD\nZadanie 27.3. (0-2)\nUzupełnij zdania. Wpisz odpowiednie liczby w wykropkowanych miejscach.\n1. Największa wartość funkcji 𝑓 jest równa\n2. Najmniejsza wartość funkcji 𝑓 w przedziale [6, 8] jest równa\nZasady oceniania\n2 pkt - poprawnie uzupełnione dwie luki.\n1 pkt - poprawnie uzupełniona jedna luka.\n0 pkt - brak spełnienia powyższych kryteriów.\nPełne rozwiązanie\n1. Największa wartość funkcji 𝑓 jest równa\n2. Najmniejsza wartość funkcji 𝑓 w przedziale [6, 8] jest równa\n6\n0\nInformacja o egzaminie maturalnym z matematyki dla absolwentów niesłyszących\n143\nZadanie 32.\nZ fizyki wiemy, że torem ruchu rzuconej piłki - przy pominięciu oporów powietrza - jest\nfragment paraboli. Koszykarz rzucił piłkę do kosza z odległości 𝑥𝑘= 7,01 m (to odległość od\nśrodka piłki do środka obręczy kosza w linii poziomej). Tor ruchu opiszemy w układzie\nwspółrzędnych. W chwili początkowej środek piłki był w punkcie 𝑥0 = 0, 𝑦0 = 2,50 m.\nŚrodek piłki podczas rzutu poruszał się po paraboli danej równaniem:\n𝑦= -0,174𝑥2 + 1,3𝑥+ 2,5\nRzut był celny, a środek piłki przeszedł dokładnie przez środek obręczy kosza.\nNa rysunku poniżej przedstawiono tę sytuację oraz tor ruchu piłki w układzie współrzędnych.\nZadanie 32.1. (0-1)\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nObręcz kosza jest na wysokości (podanej w zaokrągleniu z dokładnością do 0,01 m)\nA. 3,04 m\nB. 3,06 m\nC. 3,8 m\nD. 4,93 m\n7,01\n𝑦, m\n2,5\n𝑥, m\n(0,0)\n144\nInformator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie podstawowym od roku szkolnego 2024/2025\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nB\nZadanie 32.2. (0-2)\nOblicz wysokość maksymalną, na jakiej będzie środek piłki podczas opisanego rzutu.\nZapisz wynik w zaokrągleniu do drugiego miejsca po przecinku.\nZasady oceniania\n2 pkt - poprawna metoda rozwiązania oraz zapisanie wyniku 4,93 m.\n1 pkt - zastosowanie wzoru na wierzchołek paraboli oraz prawidłowe podstawienie\nwszystkich danych liczbowych do tego wzoru\nALBO\n- zapisanie wzoru funkcji w postaci 𝑦= -0,174(𝑥-𝑝)2 + 𝑞 oraz zidentyfikowanie 𝑞\njako współrzędnej wierzchołka paraboli lub wysokości maksymalnej rzutu.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób 1.\nWysokość maksymalna, na jakiej będzie środek piłki, jest równa współrzędnej 𝑦 wierzchołka\nparaboli. Skorzystamy ze wzoru na wierzchołek paraboli (zobacz w Wybranych wzorach\nmatematycznych):\nℎ𝑚𝑎𝑥= 𝑦𝑤= -𝑏2 -4𝑎𝑐\n4𝑎\n= -1,32 + 4 ⋅0,174 ⋅2,5\n4 ⋅(-0,174)\n≈4,93 m\nInformacja o egzaminie maturalnym z matematyki dla absolwentów niesłyszących\n145\nSposób 2.\nWysokość maksymalna, na jakiej będzie środek piłki, jest równa współrzędnej 𝑦 wierzchołka\nparaboli. Wartość tę możemy wyznaczyć przekształcając wzór funkcji kwadratowej\n𝑦= -0,174𝑥2 + 1,3𝑥+ 2,5 do postaci kanonicznej:\n𝑦= -0,174(𝑥-𝑝)2 + 𝑞\ngdzie:\nℎ𝑚𝑎𝑥= 𝑦𝑤= 𝑞\n𝑦= -0,174𝑥2 + 1,3𝑥+ 2,5 = -0,174 (𝑥2 -1,3\n0,174 𝑥) + 2,5 =\n= -0,174 ⋅[(𝑥-\n1,3\n2 ⋅0,174)\n2\n-(\n1,3\n2 ⋅0,174)\n2\n] + 2,5 =\n= -0,174 ⋅(𝑥-\n1,3\n2 ⋅0,174)\n2\n+ 0,174 ⋅(\n1,3\n2 ⋅0,174)\n2\n+ 2,5\nZatem:\nℎ𝑚𝑎𝑥= 𝑦𝑤= 𝑞= 0,174 ⋅(\n1,3\n2 ⋅0,174)\n2\n+ 2,5 ≈4,93 m\nZadanie 32.3. (0-3)\nW opisanym rzucie piłka przeleciała przez obręcz kosza i upadła na podłogę. Przyjmij, że\nobręcz kosza nie miała siatki, a na drodze rzutu nie było żadnej przeszkody. Promień piłki\nwynosi 0,12 m.\nOblicz współrzędną 𝒙 środka piłki w momencie, w którym piłka dotknęła podłogi.\nZapisz wynik w zaokrągleniu do drugiego miejsca po przecinku.\n146\nInformator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie podstawowym od roku szkolnego 2024/2025\nZasady oceniania\n3 pkt - poprawna metoda wyznaczenia współrzędnej 𝑥 oraz zapisanie wyniku 8,99 m.\n2 pkt - poprawne rozwiązanie równania 0,174𝑥2 -1,3𝑥-2,38 = 0.\n1 pkt - zapisanie równania 0,12 = -0,174𝑥2 + 1,3𝑥+ 2,5.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nZauważmy, że w momencie gdy piłka upadła i dotknęła podłogi, to środek piłki należy do\nparaboli oraz jest na wysokości 0,12 m ponad podłogą. Zatem współrzędne środka piłki\n(𝑥, 𝑦) spełniają równanie paraboli, a współrzędna 𝑦= 0,12 m.\n0,12 = -0,174𝑥2 + 1,3𝑥+ 2,5\n0,174𝑥2 -1,3𝑥-2,38 = 0\nRozwiązujemy otrzymane równanie kwadratowe.\nObliczamy wyróżnik Δ trójmianu kwadratowego 0,174𝑥2 -1,3𝑥-2,38 (zobacz\nw Wybranych wzorach matematycznych):\nΔ = (-1,3)2 -4 ⋅0,174 ⋅(-2,38) = 3,34648\nRozwiązaniami powyższego równania kwadratowego są liczby:\n𝑥1 = 1,3 -√3,34648\n0,348\n𝑥1 = 1,3 + √3,34648\n0,348\n𝑥1 ≈-1,52 𝑥2 ≈8,99\nWspółrzędna 𝑥 środka piłki w momencie, w którym piłka dotknęła podłogi, jest równa w\nprzybliżeniu 8,99 m.\nInformacja o egzaminie maturalnym z matematyki dla absolwentów niesłyszących\n147\nZadanie 38. (0-4)\nPowierzchnia magazynowa będzie na dwóch takich samych prostokątnych działkach.\nDziałki te będą miały jeden wspólny bok. Całość będzie ogrodzona płotem. Dodatkowo\ndziałki rozdzieli wspólny płot. W ogrodzeniu będą dwie bramy wjazdowe, każda o szerokości\n10 m (zobacz rysunek poniżej). Łączna długość płotu ogradzającego oraz rozdzielającego\ndwie działki to 580 metrów. Szerokości dwóch bram wjazdowych nie wlicza się w długość\npłotu.\nOblicz wymiary 𝒙 oraz 𝒚 każdej z dwóch prostokątnych działek, tak aby całkowite\npole powierzchni magazynowej było największe.\nZasady oceniania\n4 pkt - poprawna metoda obliczenia obu wymiarów działki oraz podanie poprawnych\nwyników: 𝑥= 100 m oraz 𝑦= 75 m.\n3 pkt - poprawne zapisanie wzoru na pole działki w zależności od jednej zmiennej oraz\npoprawne obliczenie współrzędnej 𝑥 wierzchołka paraboli: 𝑥= 100 m.\n2 pkt - poprawne zapisanie wzoru na pole całkowite powierzchni magazynowej w zależności\nod jednej zmiennej:\n𝑃(𝑥) = 2𝑥(150 -3\n4 𝑥) dla 𝑥∈(0, 560\n3 ).\n1 pkt - zapisanie wzoru na pole całkowite powierzchni magazynowej: 𝑃= 𝑥⋅2𝑦\nALBO\n- zapisanie związku między wymiarami działki: 3𝑥+ 4𝑦-20 = 580.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\n𝑥\n𝑦\n𝑦\n10 m\n10 m\n148\nInformator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie podstawowym od roku szkolnego 2024/2025\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nPrzyjmiemy oznaczenia jak na rysunku w zadaniu. Całkowitą długość płotu - po\nuwzględnieniu warunków zadania - można zapisać równaniem:\n3𝑥+ 4𝑦-2 ⋅10 = 580\nPowyższe równanie określa związek między wymiarami 𝑥 i 𝑦. Wymiar 𝑦 jednej działki\nmusi być większy od 10 m, ze względu na ustaloną szerokość bramy wjazdowej. W związku\nz tym, w modelu matematycznym uwzględniającym warunki zadania, wymiary 𝑥 i 𝑦\nspełniają:\n𝑥> 0 i 𝑦> 10\nPole 𝑃 całkowitej powierzchni magazynowej jest równe polu prostokąta o bokach długości\n𝑥 oraz 2𝑦. Zatem:\n𝑃= 𝑥⋅2𝑦\nPole powierzchni magazynowej wyrazimy jako funkcję jednej zmiennej 𝑥. W tym celu\nnajpierw wyznaczymy 𝑦:\n3𝑥+ 4𝑦-2 ⋅10 = 580\n4𝑦= 600 -3𝑥\n𝑦= 150 -3\n4 𝑥\nNastępnie podstawimy wyznaczone 𝑦 do wzoru na pole 𝑃= 𝑥⋅2𝑦:\n𝑃(𝑥) = 2𝑥(150 -3\n4 𝑥)\nWyznaczymy dziedzinę funkcji 𝑃. Wykorzystamy związek między wymiarami 𝑥 i 𝑦 oraz\nwykorzystamy warunki, jakie te wymiary spełniają:\n𝑦= 150 -3\n4 𝑥 oraz 𝑦> 10 oraz 𝑥> 0\nZatem:\n150 -3\n4 𝑥> 10 oraz 𝑥> 0\n𝑥< 560\n3 oraz 𝑥> 0\nZmienna 𝑥 może przyjmować wartości:\n𝑥∈(0, 560\n3 )\nInformacja o egzaminie maturalnym z matematyki dla absolwentów niesłyszących\n149\nWykresem funkcji 𝑃 jest fragment paraboli 𝒫 skierowanej ramionami do dołu. Funkcja 𝑃\nprzyjmuje wartość największą dla argumentu, który jest pierwszą współrzędną wierzchołka\nparaboli 𝒫. Współrzędną 𝑥 wierzchołka paraboli 𝒫 obliczymy z miejsc zerowych funkcji\nkwadratowej, która jest równaniem tej paraboli. Rozwiążemy zatem równanie:\n2𝑥(150 -3\n4 𝑥) = 0\nZ powyższego równania wynika, że:\n2𝑥= 0 lub 150 -3\n4 𝑥= 0\n𝑥1 = 0 lub 𝑥2 = 200\nFunkcja 𝑃 przyjmuje wartość największą dla argumentu, który jest pierwszą współrzędną\nwierzchołka paraboli 𝒫, czyli dla:\n𝑥= 𝑥1 + 𝑥2\n2\n= 100 m\nObliczymy drugi wymiar działki, dla którego pole powierzchni magazynowej jest największe:\n𝑦= 150 m -3\n4 ⋅100 m = 75 m\nCałkowite pole powierzchni magazynowej jest największe dla działki o wymiarach:\n𝑥= 100 m oraz 𝑦= 75 m.\n150\nInformator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie podstawowym od roku szkolnego 2024/2025\nZadanie 40. (0-2)\nW trójkącie 𝐴𝐵𝐶 dane są długości dwóch boków |𝐴𝐵| = 12, |𝐵𝐶| = 8 oraz miara kąta\n|∡𝐴𝐵𝐶| = 60°. Punkt 𝐷 jest środkiem boku 𝐵𝐶. Zobacz rysunek poniżej.\nOblicz długość środkowej tego trójkąta, poprowadzonej z wierzchołka 𝑨.\nZasady oceniania\ndla rozwiązania sposobem 1.\n2 pkt - zapisanie poprawnego równania wynikającego z twierdzenia cosinusów dla trójkąta\n𝐴𝐵𝐷 oraz poprawne obliczenie długości środkowej: |𝐴𝐷| = 4√7.\n1 pkt - zapisanie równania wynikającego z twierdzenia cosinusów dla trójkąta 𝐴𝐵𝐷, np.:\n|𝐴𝐷|2 = |𝐴𝐵|2 + |𝐵𝐷|2 -2 ⋅|𝐴𝐵| ⋅|𝐵𝐷| ⋅cos |∡𝐴𝐵𝐶|\n|𝐴𝐷|2 = 122 + 42 -2 ⋅12 ⋅4 ⋅cos 60°\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nZasady oceniania\ndla rozwiązania sposobem 2.\n2 pkt - poprawne zastosowanie twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta 𝐴𝐺𝐷 oraz poprawne\nobliczenie długości środkowej |𝐴𝐷| = 4√7.\n1 pkt - wyodrębnienie trójkąta prostokątnego 𝐴𝐺𝐷 oraz trójkąta 𝐺𝐵𝐷 o kątach: 30°, 60°,\n90°, łącznie z poprawnym określeniem długości jego boków: |𝐺𝐵| = 2, |𝐷𝐺| = 2√3.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\n𝐴\n𝐵\n𝐶\n60°\n𝐷\nInformacja o egzaminie maturalnym z matematyki dla absolwentów niesłyszących\n151\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób 1. (zastosowanie twierdzenia cosinusów)\nPonieważ 𝐴𝐷 jest środkową, to |𝐵𝐷| = 4.\nDo obliczenia długości środkowej 𝐴𝐷 zastosujemy\ntwierdzenie cosinusów dla trójkąta 𝐴𝐵𝐷:\n|𝐴𝐷|2 = |𝐴𝐵|2 + |𝐵𝐷|2 -2 ⋅|𝐴𝐵| ⋅|𝐵𝐷| ⋅cos |∡𝐴𝐵𝐶|\n|𝐴𝐷|2 = 122 + 42 -2 ⋅12 ⋅4 ⋅1\n2 = 112\n|𝐴𝐷| = √112 = 4√7\nSposób 2. (zastosowanie twierdzenia Pitagorasa i własności trójkąta o kątach 30°, 60°, 90°)\nUzupełnimy rysunek pomocniczy (zobacz obok).\nW celu obliczenia długości środkowej 𝐴𝐷 zastosujemy\ntwierdzenie Pitagorasa dla trójkąta prostokątnego 𝐴𝐺𝐷.\nPonieważ 𝐴𝐷 jest środkową, to |𝐵𝐷| = 4.\nRozważmy dalej trójkąt 𝐺𝐵𝐷 .\nTrójkąt 𝐺𝐵𝐷 ma kąty o miarach: 30°, 60°, 90°, skąd\nwynika, że przyprostokątne tego trójkąta mają długości:\n|𝐺𝐵| = 2\n|𝐷𝐺| = 2√3\nzatem długość przyprostokątnej 𝐴𝐺 trójkąta 𝐴𝐺𝐷 jest równa:\n|𝐴𝐺| = 12 -2 = 10\nObliczymy długość środkowej 𝐴𝐷 z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta 𝐴𝐺𝐷:\n|𝐴𝐷|2 = |𝐴𝐺|2 + |𝐺𝐷|2\n|𝐴𝐷|2 = 102 + (2√3)2 = 112\n|𝐴𝐷| = √112 = 4√7\n𝐴\n𝐵\n𝐶\n60°\n𝐷\n𝐶\n𝐷\n𝐴\n60°\n𝐵\n𝐺\n4\n2\n2ξ3\n10\n152\nInformator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie podstawowym od roku szkolnego 2024/2025\nZadanie 59.\nHania zrobiła czapeczkę na bal urodzinowy młodszego brata. Czapeczka\nma kształt powierzchni bocznej stożka o średnicy podstawy 𝑑= 20 cm,\nwysokości 𝐻= 25 cm i tworzącej 𝑙.\nŻeby wykonać czapeczkę, Hania najpierw narysowała na papierze figurę\npłaską 𝐴𝐵𝑆 o kształcie wycinka koła o promieniu 𝑙 i środku 𝑆 (zobacz\nrysunek 1.). Następnie wycięła tę figurę z papieru, wygięła ją i połączyła\nodcinek 𝑆𝐵 z odcinkiem 𝑆𝐴 (zobacz rysunek 2.). W ten sposób\notrzymała kształt stożka.\nZadanie 59.1. (0-1)\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nKąt rozwarcia stożka, którego powierzchnią boczną jest czapeczka (rysunek 2.), ma miarę\n(w zaokrągleniu do 1°)\nA. 44°\nB. 136°\nC. 134°\nD. 68°\nWskazówka: skorzystaj z tablic wartości funkcji trygonometrycznych.\n𝐴\n𝐵\n𝑆\n𝑙\nRysunek 1.\nRysunek 2.\n𝑆\n𝑙\n𝐻\n𝑑\n𝑂\nInformacja o egzaminie maturalnym z matematyki dla absolwentów niesłyszących\n153\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nA\nZadanie 59.2. (0-3)\nOblicz miarę kąta 𝑩𝑺𝑨 wycinka koła (rysunek 1.), z którego powstała czapeczka.\nMiarę kąta 𝑩𝑺𝑨 podaj w zaokrągleniu do jednego stopnia.\nZasady oceniania\n3 pkt - poprawna metoda obliczenia miary kąta 𝐵𝑆𝐴 oraz podanie poprawnego wyniku\n|∡𝐵𝑆𝐴| ≈134°.\n2 pkt - poprawne wyprowadzenie i zapisanie związku 𝛼= 𝑟\n𝑙⋅360° oraz zapisanie\nrównania wynikającego z twierdzenia Pitagorasa: 𝑙2 = 𝑟2 + 𝐻2.\n1 pkt - zapisanie równania 𝛼\n360° ⋅2𝜋𝑙= 2𝜋𝑟\nALBO\n- zapisanie równania 𝛼\n360° ⋅𝜋𝑙2 = 𝜋𝑟𝑙.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nWprowadzimy oznaczenia:\n𝑟= 𝑑\n2 - promień okręgu w podstawie stożka\n𝛼= |∡𝐵𝑆𝐴| - miara kąta 𝐵𝑆𝐴 wycinka koła\n𝛽 - połowa miary kąta rozwarcia stożka\n𝐴\n𝑆\n𝑙\n𝐵\n𝛼\n𝑆\n𝑙\n𝐻\n𝛽\n𝑟\n𝑂\n154\nInformator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie podstawowym od roku szkolnego 2024/2025\nWyprowadzimy wzór końcowy na symbolach danych (pominiemy obliczenia pośrednie).\n1. Zauważmy, że pole 𝐴𝐵𝑆 wycinka koła jest równe polu powierzchni bocznej stożka (polu\npowierzchni czapeczki). Zastosujemy wzór na pole 𝐴𝐵𝑆 wycinka koła oraz wzór na pole\npowierzchni bocznej stożka:\n𝛼\n360° ⋅𝜋𝑙2 = 𝜋𝑟𝑙\n𝛼= 𝑟\n𝑙⋅360°\nUwaga\nZauważmy, że otrzymany wzór zadaje nadzwyczaj prostą relację między kątem wycinka koła\ni kątem rozwarcia stożka:\n𝛼= sin 𝛽⋅360°\n2. Wyrazimy 𝑙 poprzez 𝐻 i 𝑑 na podstawie twierdzenia Pitagorasa:\n𝑙2 = 𝐻2 + 𝑟2\n𝑙2 = 𝐻2 + (𝑑\n2)\n2\n𝑙= √𝐻2 + (𝑑\n2)\n2\n3. Zapiszemy wzór na miarę kąta 𝛼 i ją obliczymy:\n𝛼=\n𝑑\n2\n√𝐻2 + (𝑑\n2)\n2 ⋅360°\n𝛼=\n10\n√252 + 102 ⋅360°\n𝛼≈134°\nInformacja o egzaminie maturalnym z matematyki dla absolwentów niesłyszących\n155\nZadanie 62. (0-2)\nPojedynczy znak (np. litera, przecinek, wykrzyknik, itp.) w piśmie Braille’a dla niewidomych\njest kombinacją od 1 do 6 wypukłych punktów. Punkty te mogą zajmować miejsca ułożone\nw dwóch kolumnach po trzy miejsca w każdej kolumnie. Poniżej podano przykład napisu\nw piśmie Braille’a. Czarne kropki w znaku oznaczają wypukłości, a białe kropki oznaczają\nbrak wypukłości. Pojedynczy znak w piśmie Braille’a musi zawierać co najmniej jeden punkt\nwypukły.\nOblicz, ile różnych pojedynczych znaków można zapisać w piśmie Braille’a.\nZasady oceniania\n2 pkt - zastosowanie poprawnej metody do obliczenia wszystkich znaków, uwzględnienie\nwarunku zadania i podanie wyniku: 63.\n1 pkt - zapisanie wzoru na liczbę wszystkich możliwych znaków bez uwzględnienia warunku\nzadania (tzn. łącznie ze znakiem bez punktu wypukłego): 2 ⋅2 ⋅2 ⋅2 ⋅2 ⋅2\nALBO\n- zastosowanie metody dodawania polegającej na bezpośrednim zliczeniu i dodaniu\nliczby znaków: z jednym punktem wypukłym, z dwoma punktami wypukłymi, z trzema\npunktami wypukłymi, z czterema punktami wypukłymi, z pięcioma punktami\nwypukłymi i z sześcioma punktami wypukłymi oraz poprawne zliczenie znaków\nw co najmniej trzech spośród sześciu wymienionych grup.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nm\na\nt\nu\nr\ny\n156\nInformator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie podstawowym od roku szkolnego 2024/2025\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób 1. (zastosowanie zasady mnożenia)\nZastosujemy regułę mnożenia. Zauważmy, że utworzenie znaku polega na podjęciu kolejno\n6 decyzji o tym, jaki ma być rodzaj punktu - elementu znaku. Punkt może być wypukły albo\nmoże nie być wypukły. Zatem mamy dwie możliwości wyboru rodzaju punktu:\nalbo\nZgodnie z regułą mnożenia, w takich przypadkach liczbę możliwości wyboru\nskładnika/elementu obiektu mnożymy przez siebie tyle razy, z ilu elementów składa się\nobiekt:\n2 ⋅2 ⋅2 ⋅2 ⋅2 ⋅2 = 64\nWszystkich możliwości jest 64. Ponieważ znak Braille’a musi zawierać co najmniej jeden punkt\nwypukły, to odrzucamy znak bez wypukłości (sześć białych kropek na schemacie powyżej).\nWszystkich znaków jest zatem:\n64 -1 = 63\n2 możliwości:\nalbo\n2 możliwości:\nalbo\n2 możliwości:\nalbo\n2 możliwości:\nalbo\n2 możliwości:\nalbo\n2 możliwości:\nalbo\nInformacja o egzaminie maturalnym z matematyki dla absolwentów niesłyszących\n157\nSposób 2. (bezpośrednie zliczenie liczby znaków z zastosowaniem zasady dodawania)\nBędziemy kolejno zliczać znaki: z jednym punktem wypukłym, z dwoma\npunktami wypukłymi, z trzema punktami wypukłymi, z czterema punktami\nwypukłymi, z pięcioma punktami wypukłymi i z sześcioma punktami\nwypukłymi. Zbiory znaków z daną liczbą punktów wypukłych oznaczymy\nodpowiednio jako: 𝐴1, 𝐴2, 𝐴3, 𝐴4, 𝐴5, 𝐴6.\nAby zliczanie przeprowadzić metodycznie, ułatwimy sobie zadanie\nnumerując punkty w polu znaku, jak na rysunku obok.\nW takiej konwencji, przykładowo:\n- znak oznaczymy jedną cyfrą: (2);\n- znak oznaczymy trójką cyfr: (1,3,4) - przy czym kolejność zapisu tych cyfr nie ma\nznaczenia.\n𝐴1 = {(1), (2), (3), (4), (5), (6)}, zatem |𝐴1| = 6\n𝐴2 =\n{\n(1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6),\n(2,3), (2,4), (2,5), (2,6),\n(3,4), (3,5), (3,6),\n(4,5), (4,6),\n(5,6) }\n, zatem |𝐴2| = 15\n𝐴3 =\n{\n(1,2,3), (1,2,4), (1,2,5), (1,2,6),\n(1,3,4), (1,3,5), (1,3,6),\n(1,4,5), (1,4,6), (1,5,6),\n(2,3,4), (2,3,5), (2,3,6),\n(2,4,5), (2,4,6), (2,5,6),\n(3,4,5), (3,4,6), (3,5,6),\n(4,5,6) }\n, zatem |𝐴3| = 20\nZauważmy, że każdemu znakowi z dwoma punktami wypukłymi możemy przyporządkować\nznak z czterema punktami wypukłymi, zamieniając punkty wypukłe na niewypukłe\ni odwrotnie:\nNp. znakowi\nprzyporządkujemy znak\nZatem znaków z czterema punktami wypukłymi jest tyle samo, co znaków z dwoma punktami\nwypukłymi. Podobnie argumentujemy, że znaków z pięcioma punktami wypukłymi jest tyle\nsamo co znaków z jednym punktem wypukłym. Stąd |𝐴4| = |𝐴2| = 15 oraz |𝐴5| = |𝐴1| = 6.\n𝐴6 = {(1,2,3,4,5,6)}, zatem |𝐴6| = 1\nWszystkich znaków w piśmie Braille’a jest: 6 + 15 + 20 + 15 + 6 + 1 = 63.\n1\n4\n2\n5\n3\n6\nMATEMATYKA\nPoziom podstawowy\nMATEMATYKA\nPoziom podstawowy\nMATEMATYKA\nPoziom podstawowy","answer":null,"answer_text":null,"solution":"$\\frac{15}{36}$","image":"img/informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-podstawowy/zad-66.webp","solution_image":null,"topics":"prawdopodobienstwo","page_from":137,"source":"zadaniazmatur","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2025","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny"}]}