{"paper":{"id":"informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-rozszerzony","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2025,"month":null,"level":null,"variant":null,"exam_pdf":"informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-rozszerzony/informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-rozszerzony.pdf","key_pdf":null,"question_count":33,"source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2025","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny"},"questions":[{"id":"informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-rozszerzony/zad/1","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-rozszerzony","number":"1","points":6,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2025,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 1. (0-6)\nDany jest układ równań\n{𝑚𝑥+ 𝑦= 𝑚2\n4𝑥+ 𝑚𝑦= 8\n(1)\nz niewiadomymi 𝑥 i 𝑦 oraz parametrem 𝑚∈ℝ.\nWyznacz wszystkie wartości parametru 𝒎, dla których układ jest oznaczony, a para\nliczb (𝒙, 𝒚) będąca rozwiązaniem układu spełnia warunek |𝒙+ 𝒚| < 𝟐.\nZapisz obliczenia.\nPrzykładowe zadania z rozwiązaniami\n13\nWymaganie ogólne\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji.\n3.\nTworzenie pomocniczych obiektów matematycznych na podstawie istniejących,\nw celu przeprowadzenia argumentacji lub rozwiązania problemu.\nWymagania szczegółowe\nIII. Równania i nierówności. Zdający:\n1)\nprzekształca równania i nierówności w sposób równoważny […].\n1R) rozwiązuje […] nierówności wielomianowe […];\n2R) rozwiązuje równania i nierówności wymierne […];\n4R) rozwiązuje równania i nierówności z wartością bezwzględną.\nIV. Układy równań. Zdający:\n1)\nrozwiązuje układy równań liniowych z dwiema niewiadomymi […].\n14\nInformator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie rozszerzonym od roku szkolnego 2024/2025\nZasady oceniania\ndla rozwiązań sposobami 1. oraz 2.\n6 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik.\n5 pkt - rozwiązanie nierówności 𝑚2-2𝑚+4\n𝑚+2\n> -2 oraz 𝑚2-2𝑚+4\n𝑚+2\n< 2\nALBO\n- rozwiązanie nierówności 2𝑚+ 4 > 𝑚2 -2𝑚+ 4 oraz 2𝑚+ 4 < -𝑚2 + 2𝑚-4.\n4 pkt - rozwiązanie jednej z nierówności\n𝑚2 -2𝑚+ 4\n𝑚+ 2\n> -2 lub 𝑚2 -2𝑚+ 4\n𝑚+ 2\n< 2\nALBO\n- zapisanie alternatywy 2𝑚+ 4 > 𝑚2 -2𝑚+ 4 lub 2𝑚+ 4 < -𝑚2 + 2𝑚-4.\n3 pkt - zapisanie dwóch nierówności\n𝑚2 -2𝑚+ 4\n𝑚+ 2\n> -2 i 𝑚2 -2𝑚+ 4\n𝑚+ 2\n< 2\nALBO\n- uzasadnienie, że 𝑚2 -2𝑚+ 4 > 0 dla każdego 𝑚∈ℝ oraz zapisanie\nnierówności 𝑚2-2𝑚+4\n|𝑚+2|\n< 2.\n2 pkt - wyznaczenie z układu (1) 𝑥 oraz 𝑦.\n1 pkt - określenie wartości parametru 𝑚, dla jakich układ jest oznaczony i wyznaczenie\nz układu (1) 𝑥 lub 𝑦.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nSposób 1.\nRozwiązujemy układ (1) metodą podstawiania. Z pierwszego równania układu\nwyznaczamy 𝑦:\n𝑦= 𝑚2 -𝑚𝑥\ni wstawiamy do drugiego równania układu:\n4𝑥+ 𝑚(𝑚2 -𝑚𝑥) = 8\n(4 -𝑚2)𝑥= 8 -𝑚3\nZatem układ jest oznaczony, gdy 𝑚∈ℝ\\{-2; 2}. Wtedy\n𝑥= 8 -𝑚3\n4 -𝑚2 = (2 -𝑚)(4 + 2𝑚+ 𝑚2)\n(2 -𝑚)(2 + 𝑚)\n= 4 + 2𝑚+ 𝑚2\n𝑚+ 2\nStąd\n𝑦= 𝑚2 -𝑚𝑥= 𝑚2 -𝑚⋅𝑚2 + 2𝑚+ 4\n𝑚+ 2\n= 𝑚3 + 2𝑚2 -𝑚(𝑚2 + 2𝑚+ 4)\n𝑚+ 2\n= -4𝑚\n𝑚+ 2\nPrzykładowe zadania z rozwiązaniami\n15\nWyznaczamy wartości parametru 𝑚, dla których prawdziwa jest nierówność |𝑥+ 𝑦| < 2:\n|4 + 2𝑚+ 𝑚2\n2 + 𝑚\n+ -4𝑚\n𝑚+ 2| < 2\n|𝑚2 -2𝑚+ 4\n𝑚+ 2\n| < 2\n𝑚2 -2𝑚+ 4\n𝑚+ 2\n> -2 i 𝑚2 -2𝑚+ 4\n𝑚+ 2\n< 2\n𝑚2 -2𝑚+ 4\n𝑚+ 2\n+ 2𝑚+ 4\n𝑚+ 2 > 0 i 𝑚2 -2𝑚+ 4\n𝑚+ 2\n-2𝑚+ 4\n𝑚+ 2 < 0\n𝑚2 + 8\n2 + 𝑚> 0 i 𝑚2 -4𝑚\n2 + 𝑚\n< 0\n(𝑚2 + 8)(𝑚+ 2) > 0 i 𝑚∈ℝ\\{-2; 2} i (𝑚2 -4𝑚)(𝑚+ 2) < 0 i 𝑚∈ℝ\\{-2; 2}\n𝑚∈(-2, 2) ∪(2, +∞) i 𝑚∈(-∞, -2) ∪(0, 2) ∪(2, 4)\nZatem warunki zadania są spełnione tylko wtedy, gdy 𝑚∈(0, 2) ∪(2, 4).\nSposób 2.\nRozwiązujemy układ (1) metodą podstawiania. Z pierwszego równania układu\nwyznaczamy 𝑦:\n𝑦= 𝑚2 -𝑚𝑥\ni wstawiamy do drugiego równania układu:\n4𝑥+ 𝑚(𝑚2 -𝑚𝑥) = 8\n(4 -𝑚2)𝑥= 8 -𝑚3\nZatem układ jest oznaczony, gdy 𝑚∈ℝ\\{-2; 2}. Wtedy\n𝑥= 8 -𝑚3\n4 -𝑚2 = (2 -𝑚)(4 + 2𝑚+ 𝑚2)\n(2 -𝑚)(2 + 𝑚)\n= 4 + 2𝑚+ 𝑚2\n𝑚+ 2\nStąd\n𝑦= 𝑚2 -𝑚𝑥= 𝑚2 -𝑚⋅𝑚2 + 2𝑚+ 4\n𝑚+ 2\n= 𝑚3 + 2𝑚2 -𝑚(𝑚2 + 2𝑚+ 4)\n𝑚+ 2\n= -4𝑚\n𝑚+ 2\nWyznaczamy wartości parametru 𝑚, dla których prawdziwa jest nierówność |𝑥+ 𝑦| < 2:\n16\nInformator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie rozszerzonym od roku szkolnego 2024/2025\n|4 + 2𝑚+ 𝑚2\n2 + 𝑚\n+ -4𝑚\n𝑚+ 2| < 2\n|𝑚2 -2𝑚+ 4\n𝑚+ 2\n| < 2\nPonieważ wyróżnik trójmianu kwadratowego 𝑚2 -2𝑚+ 4 jest dodatni i współczynnik przy\n𝑚2 jest dodatni, wiec 𝑚2 -2𝑚+ 4 > 0 dla każdego 𝑚∈ℝ. Uwzględniając to,\notrzymujemy dalej\n𝑚2 -2𝑚+ 4\n|𝑚+ 2|\n< 2\n|2𝑚+ 4| > 𝑚2 -2𝑚+ 4 i 𝑚∈ℝ\\{-2; 2}\n( 2𝑚+ 4 > 𝑚2 -2𝑚+ 4 lub 2𝑚+ 4 < -𝑚2 + 2𝑚-4 ) i 𝑚∈ℝ\\{-2; 2}\n( 𝑚(𝑚-4) < 0 lub 𝑚2 + 8 < 0 ) i 𝑚∈ℝ\\{-2; 2}\nNierówność 𝑚(𝑚-4) < 0 spełniona jest dla 𝑚∈(0, 4).\nNierówność 𝑚2 + 8 < 0 jest sprzeczna.\nZatem warunki zadania są spełnione tylko wtedy, gdy 𝑚∈(0, 4) i 𝑚∈ℝ\\{-2; 2}, czyli\ngdy 𝑚∈(0, 2) ∪(2, 4).","answer":null,"answer_text":null,"solution":"Układ jest oznaczony gdy m² - 4 ≠ 0, czyli m ≠ ±2. Rozwiązując układ: x = (m² + 2m + 4)/(m + 2), y = -4m/(m + 2). Wtedy x + y = (m² - 2m + 4)/(m + 2). Ponieważ m² - 2m + 4 = (m-1)² + 3 > 0, dla m > -2 warunek |x+y| < 2 prowadzi do m(m-4) < 0, czyli 0 < m < 4. Dla m < -2 brak rozwiązań. Wynik: m ∈ (0, 2) ∪ (2, 4).","image":"img/informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-rozszerzony/zad-1.webp","solution_image":null,"topics":"parametr","page_from":12,"source":"ai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"ai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2025","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny"},{"id":"informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-rozszerzony/zad/2","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-rozszerzony","number":"2","points":3,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2025,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 2. (0-3)\nDane są liczby 𝑎= (log√5 2) ⋅log2 25 i 𝑏= log5 6\nlog5 8 .\nOblicz 𝒂𝒃+𝟏.\nPrzykładowe zadania z rozwiązaniami\n17\nWymagania ogólne\nI.\nSprawność rachunkowa.\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji.\n1.\nStosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nWymagania szczegółowe\nI.\nLiczby rzeczywiste. Zdający:\n1)\nwykonuje działania ([ ] potęgowanie, pierwiastkowanie, logarytmowanie)\nw zbiorze liczb rzeczywistych;\nR)\nstosuje wzór na zamianę podstawy logarytmu.\nZasady oceniania\n3 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik.\n2 pkt - poprawne obliczenie 𝑎 oraz przekształcenie 𝑏 do postaci logarytmu o podstawie 2\nlub 4, np. 𝑏= log2 √6\n3\n1 pkt - poprawne obliczenie 𝑎 lub przekształcenie 𝑏 do postaci logarytmu o podstawie 2\nlub 4, np. 𝑏= log2 √6\n3\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nObliczamy 𝑎 oraz 𝑏 z wykorzystaniem wzoru na zamianę podstawy logarytmu:\n𝑎= log√5 2 ⋅log2 25 = log2 2\nlog2 √5\n⋅2 log2 5 = log2 2\n1\n2 log2 5\n⋅2 log2 5 = 4\n𝑏= log5 6\nlog5 8 = log8 6 = log2 6\nlog2 8 = 1\n3 log2 6 = log2 √6\n3\nObliczamy 𝑎𝑏+1:\n𝑎𝑏+1 = 4log2 √6\n3\n+1 = 4log2 √6\n3\n⋅41 = 22 log2 √6\n3\n⋅4 = 2log2 √36\n3\n⋅4 = 4√36\n3\n18\nInformator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie rozszerzonym od roku szkolnego 2024/2025","answer":null,"answer_text":null,"solution":"Obliczamy a = log_{√5}2 · log₂25 = (2/log₂5) · 2log₂5 = 4. Obliczamy b = log₅6/log₅8 = log₂6/3. Wtedy a^{b+1} = 4 · 4^b = 4 · 2^{2b} = 4 · 6^{2/3} = 4·∛36.","image":"img/informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-rozszerzony/zad-2.webp","solution_image":null,"topics":"logarytmy","page_from":16,"source":"ai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"ai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2025","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny"},{"id":"informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-rozszerzony/zad/3","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-rozszerzony","number":"3","points":3,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2025,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 3. (0-3)\nNa rysunku obok przedstawiono fragment wykresu\nwielomianu 𝑊 określonego wzorem\n𝑊(𝑥) = 1\n8 𝑥3 -2𝑥2 + 67\n8 𝑥-3\ndla każdego 𝑥∈ℝ.\nOblicz wszystkie pierwiastki wielomianu 𝑾.\nZapisz obliczenia.\nWymagania ogólne\nII. Wykorzystanie i tworzenie informacji.\n1.\nInterpretowanie i operowanie informacjami przedstawionymi […] w formie\nwykresów, diagramów, tabel.\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji.\n2.\nDobieranie i tworzenie modeli matematycznych przy rozwiązywaniu problemów\npraktycznych i teoretycznych.\nWymagania szczegółowe\nII. Wyrażenia algebraiczne. Zdający:\n1R) dzieli wielomian jednej zmiennej 𝑊(𝑥) przez dwumian postaci 𝑥-𝑎;\n3R) znajduje pierwiastki całkowite wielomianu o współczynnikach całkowitych.\n𝑦= 𝑊(𝑥)\n1\n𝑥\n𝑦\n1\nPrzykładowe zadania z rozwiązaniami\n19\nZasady oceniania\n3 pkt - obliczenie wszystkich pierwiastków wielomianu 𝑊.\n2 pkt - sprawdzenie, że liczba 8 jest pierwiastkiem wielomianu 𝑊 oraz podzielenie\nwielomianu 𝑊 przez dwumian (𝑥-8).\n1 pkt - zastosowanie twierdzenia o pierwiastkach całkowitych do wielomianu\n𝑥3 -16𝑥2 + 67𝑥-24 i określenie liczb całkowitych mogących być pierwiastkami\nwielomianu 𝑊.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nPrzekształcamy wielomian 𝑊 do postaci 𝑊(𝑥) = 1\n8 (𝑥3 -16𝑥2 + 67𝑥-24).\nStosujemy do wielomianu 𝑥3 -16𝑥2 + 67𝑥-24 twierdzenie o pierwiastkach całkowitych\nwielomianu o współczynnikach całkowitych.\nNa mocy tego twierdzenia wnosimy, że jeśli wielomian 𝑊 ma pierwiastek całkowity, to\nnależy on do zbioru {±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±8, ±12, ±24}.\nPonieważ dla 𝑥≤0 mamy 𝑥3 -16𝑥2 + 67𝑥-24 < 0, więc wielomian 𝑊 nie ma\npierwiastków ujemnych. Na podstawie fragmentu wykresu funkcji 𝑊 stwierdzamy, że jeden\nz pierwiastków całkowitych wielomianu może znajdować się w przedziale (7, +∞).\nZatem pierwiastki całkowite wielomianu 𝑊 mogą być jedynie wśród liczb 8, 12 oraz 24.\nSprawdzamy, czy liczba 8 jest pierwiastkiem wielomianu 𝑊:\n𝑊(8) = 1\n8 ⋅(83 -16 ⋅82 + 67 ⋅8 -24) = 0\nZatem wielomian 𝑊 jest podzielny przez dwumian (𝑥-8).\nDzielimy wielomian 𝑊 przez dwumian (𝑥-8) i zapisujemy wielomian 𝑊 w postaci\niloczynu:\n𝑊(𝑥) = 1\n8 ⋅(𝑥-8)(𝑥2 -8𝑥+ 3)\nPierwiastkami trójmianu 𝑥2 -8𝑥+ 3 są liczby: 4 -√13 oraz 4 + √13.\nPierwiastkami wielomianu 𝑊 są liczby: 4 -√13, 4 + √13 oraz 8.\n20\nInformator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie rozszerzonym od roku szkolnego 2024/2025","answer":null,"answer_text":null,"solution":"Z wykresu odczytujemy, że x=8 jest pierwiastkiem: W(8) = 0. Dzielimy wielomian przez (x-8): W(x) = (1/8)(x-8)(x²-8x+3). Pierwiastki trójmiata x²-8x+3 to x = 4±√13. Pierwiastki wielomianu: 4-√13, 8, 4+√13.","image":"img/informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-rozszerzony/zad-3.webp","solution_image":null,"topics":"wielomiany","page_from":18,"source":"ai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"ai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2025","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny"},{"id":"informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-rozszerzony/zad/4","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-rozszerzony","number":"4","points":3,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2025,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 4. (0-3)\nFunkcja 𝑓 jest określona wzorem 𝑓(𝑥) = -3𝑥+41\n𝑥-13 dla każdej liczby rzeczywistej 𝑥≠13.\nPunktem kratowym nazywamy punkt w kartezjańskim układzie współrzędnych, którego obie\nwspółrzędne są liczbami całkowitymi.\nWyznacz wszystkie punkty kratowe należące do wykresu funkcji 𝒇. Zapisz obliczenia.\nWymagania ogólne\nII. Wykorzystanie i tworzenie informacji.\n1.\nInterpretowanie i operowanie informacjami przedstawionymi w tekście […].\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n3.\nDobieranie argumentów do uzasadnienia poprawności rozwiązywania problemów,\ntworzenie ciągu argumentów, gwarantujących poprawność rozwiązania […].\nWymagania szczegółowe\nII. Wyrażenia algebraiczne. Zdający:\n4)\nmnoży i dzieli wyrażenia wymierne.\nV. Funkcje. Zdający:\n13)\nposługuje się funkcją 𝑓(𝑥) = 𝑎\n𝑥 […].\nZasady oceniania\n3 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik.\n2 pkt - poprawne określenie dwóch z czterech możliwych przypadków, dla których\n2\n𝑥-13 ∈ℤ\ni poprawne wyznaczenie dwóch punktów kratowych.\n1 pkt - przekształcenie wzoru funkcji 𝑓 do postaci 𝑓(𝑥) = -3 +\n2\n𝑥-13 .\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe zadania z rozwiązaniami\n21\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nFunkcję 𝑓 przedstawiamy w postaci:\n𝑓(𝑥) = -3𝑥+ 41\n𝑥-13\n= -3(𝑥-13) + 2\n𝑥-13\n= -3 +\n2\n𝑥-13\nWyznaczamy punkty kratowe.\nWartość funkcji 𝑓 będzie liczbą całkowitą tylko wtedy, gdy 2\n𝑥-13 ∈ℤ.\nSzukamy całkowitych wartości 𝑥 (różnych od 13) takich, dla których (𝑥-13) jest\ndzielnikiem 2. To prowadzi do następujących czterech przypadków:\n• 𝑥-13 = -2, co daje 𝑥= 11 i 𝑓(11) = -3 -1 = -4 ∈ℤ\n• 𝑥-13 = -1, co daje 𝑥= 12 i 𝑓(12) = -3 -2 = -5 ∈ℤ\n• 𝑥-13 = 1, co daje 𝑥= 14 i 𝑓(14) = -3 + 2 = -1 ∈ℤ\n• 𝑥-13 = 2, co daje 𝑥= 15 i 𝑓(15) = -3 + 1 = -2 ∈ℤ.\nDo wykresu funkcji 𝑓 należą cztery punkty kratowe o współrzędnych: (11, -4), (12, -5),\n(14, -1), (15, -2).","answer":null,"answer_text":null,"solution":"Zapisujemy f(x) = -3 + 2/(x-13). Dla punktów kratowych f(x) musi być liczbą całkowitą, więc (x-13) musi dzielić 2. Dzielniki 2: ±1, ±2. Stąd x ∈ {11, 12, 14, 15}. Punkty kratowe: (11,-4), (12,-5), (14,-1), (15,-2).","image":"img/informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-rozszerzony/zad-4.webp","solution_image":null,"topics":"funkcje","page_from":20,"source":"ai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"ai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2025","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny"},{"id":"informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-rozszerzony/zad/5","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-rozszerzony","number":"5","points":3,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2025,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 5. (0-3)\nWielomian 𝑊 jest określony wzorem 𝑊(𝑥) = (𝑥-1)(𝑥2 -𝑚𝑥+ 𝑚-1) dla\nkażdego 𝑥∈ℝ.\nWyznacz wszystkie wartości parametru 𝒎, dla których wielomian 𝑾 ma dokładnie\njeden pierwiastek rzeczywisty. Zapisz obliczenia.\n22\nInformator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie rozszerzonym od roku szkolnego 2024/2025\nWymaganie ogólne\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n1.\nPrzeprowadzanie rozumowań, także kilkuetapowych, podawanie argumentów\nuzasadniających poprawność rozumowania […].\nWymaganie szczegółowe\nIII. Równania i nierówności. Zdający:\n5R) analizuje równania i nierówności liniowe z parametrami oraz równania\ni nierówności kwadratowe z parametrami, w szczególności wyznacza liczbę\nrozwiązań w zależności od parametrów […].\nZasady oceniania\n3 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik.\n2 pkt - wyznaczenie tych wszystkich wartości parametru 𝑚, dla których funkcja kwadratowa\n𝑓(𝑥) = 𝑥2 -𝑚𝑥+ 𝑚-1 nie ma miejsc zerowych\nALBO\n- wyznaczenie tych wszystkich wartości parametru 𝑚, dla których funkcja kwadratowa\n𝑓(𝑥) = 𝑥2 -𝑚𝑥+ 𝑚-1 ma dokładnie jedno miejsce zerowe równe 1.\n1 pkt - zapisanie, że liczba 1 jest pierwiastkiem wielomianu 𝑊 i zapisanie warunków, jakie\nmuszą być spełnione, aby wielomian 𝑊 miał dokładnie jedno miejsce zerowe.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nZauważmy, że liczba 1 jest pierwiastkiem wielomianu 𝑊. Zatem wielomian 𝑊 ma\ndokładnie jeden pierwiastek rzeczywisty tylko wtedy, gdy funkcja kwadratowa\n𝑓(𝑥) = 𝑥2 -𝑚𝑥+ 𝑚-1 ma dokładnie jedno miejsce zerowe równe 1 lub gdy funkcja 𝑓\nnie ma miejsc zerowych.\nZatem\nΔ < 0 lub (Δ = 0 i 𝑥0 = 1)\n𝑚2 -4𝑚+ 4 < 0 lub (𝑚2 -4𝑚+ 4 = 0 i -𝑏\n2𝑎= 1)\n(𝑚-2)2 < 0 lub ((𝑚-2)2 = 0 i 𝑚\n2 = 1)\nPrzykładowe zadania z rozwiązaniami\n23\nNierówność (𝑚-2)2 < 0 jest sprzeczna, natomiast z warunków\n(𝑚-2)2 = 0 i 𝑚\n2 = 1\notrzymujemy 𝑚= 2.\nOdp. 𝑚= 2.","answer":null,"answer_text":null,"solution":"x=1 jest zawsze pierwiastkiem. Wielomian ma dokładnie jeden pierwiastek rzeczywisty, gdy trójmiat x²-mx+m-1 nie ma miejsc zerowych lub ma podwójne miejsce równe 1. Wyznacznik Δ = (m-2)². Warunek Δ < 0 jest niemożliwy. Dla Δ = 0 mamy m=2, wtedy x²-2x+1 = (x-1)² i W(x) = (x-1)³. Wynik: m = 2.","image":"img/informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-rozszerzony/zad-5.webp","solution_image":null,"topics":"parametr","page_from":21,"source":"ai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"ai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2025","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny"},{"id":"informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-rozszerzony/zad/6","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-rozszerzony","number":"6","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2025,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 6. (0-4)\nFunkcja kwadratowa 𝑓 jest określona wzorem 𝑓(𝑥) = 𝑝𝑥2 + (𝑝-1)𝑥+ 1 -2𝑝 dla\nkażdego 𝑥∈ℝ.\nWyznacz wszystkie wartości parametru 𝒑, dla których funkcja 𝒇 ma dokładnie dwa\nmiejsca zerowe różniące się o 𝟏. Zapisz obliczenia.\n24\nInformator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie rozszerzonym od roku szkolnego 2024/2025\nWymaganie ogólne\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n1.\nPrzeprowadzanie rozumowań, także kilkuetapowych, podawanie argumentów\nuzasadniających poprawność rozumowania […].\nWymagania szczegółowe\nIII. Równania i nierówności. Zdający:\n3R) stosuje wzory Viète’a dla równań kwadratowych;\n5R) analizuje […] równania i nierówności kwadratowe z parametrami, w szczególności\nwyznacza liczbę rozwiązań w zależności od parametrów […] i wyznacza\nrozwiązania w zależności od parametrów.\nZasady oceniania\n4 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik.\n3 pkt - rozwiązanie równania |1 -1-2𝑝\n𝑝\n| = 1.\n2 pkt - zapisanie równania |𝑥1 -𝑥2| = 1 w postaci równania z jedną niewiadomą 𝑝, np.\n|1 -1-2𝑝\n𝑝\n| = 1.\n1 pkt - zapisanie i sprawdzenie rachunkiem, że liczba 𝑥1 = 1 jest miejscem zerowym\nfunkcji 𝑓 oraz wyznaczenie miejsca zerowego 𝑥2 funkcji 𝑓: 𝑥2 = 1-2𝑝\n𝑝\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nPonieważ 𝑓 jest funkcją kwadratową, więc 𝑝≠0.\nZauważamy, że liczba 𝑥1 = 1 jest miejscem zerowym funkcji 𝑓:\n𝑓(1) = 𝑝⋅12 + (𝑝-1) ⋅1 + 1 -2𝑝= 0\nKorzystamy ze wzorów Viète’a i wyznaczamy miejsce zerowe 𝑥2 funkcji 𝑓:\n𝑥1 ⋅𝑥2 = 1 -2𝑝\n𝑝\n𝑥2 = 1 -2𝑝\n𝑝\nMiejsca zerowe 𝑥1 , 𝑥2 funkcji 𝑓 różnią się o 1, gdy |𝑥1 -𝑥2| = 1.\nRozwiązujemy równanie |𝑥1 -𝑥2| = 1:\n|𝑥1 -𝑥2| = 1\n|1 -1 -2𝑝\n𝑝\n| = 1\n|3𝑝-1\n𝑝\n| = 1\nPrzykładowe zadania z rozwiązaniami\n25\n3𝑝-1\n𝑝\n= 1 ∨ 3𝑝-1\n𝑝\n= -1\n3𝑝-1 = 𝑝 ∨ 3𝑝-1 = -𝑝\n𝑝= 1\n2 ∨ 𝑝= 1\n4\nDla 𝑝= 1\n4 funkcja 𝑓 przyjmuje postać 𝑓(𝑥) = 1\n4 𝑥2 -3\n4 𝑥+ 1\n2 i ma dwa rzeczywiste\nmiejsca zerowe: 1 oraz 2.\nDla 𝑝= 1\n2 funkcja 𝑓 przyjmuje postać 𝑓(𝑥) = 1\n2 𝑥2 -1\n2 𝑥 i ma dwa rzeczywiste miejsca\nzerowe: 0 oraz 1.\nZatem funkcja 𝑓 ma dokładnie dwa miejsca zerowe różniące się o 1 tylko wtedy, gdy\n𝑝= 1\n4 lub 𝑝= 1\n2 .\n26\nInformator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie rozszerzonym od roku szkolnego 2024/2025\nFUNKCJE, CIĄGI, TRYGONOMETRIA,\nOPTYMALIZACJA I RACHUNEK RÓŻNICZKOWY","answer":null,"answer_text":null,"solution":"x=1 jest zawsze miejscem zerowym: f(1)=0. Z twierdzeni Viète'a: x₂ = (1-2p)/p. Warunek |x₁-x₂|=1 daje |(3p-1)/p|=1. Rozwiązując: (3p-1)/p = 1 → p=1/2 lub (3p-1)/p = -1 → p=1/4. Oba p dają dwa różne miejsca zerowe. Wynik: p = 1/2 lub p = 1/4.","image":"img/informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-rozszerzony/zad-6.webp","solution_image":null,"topics":"parametr","page_from":23,"source":"ai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"ai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2025","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny"},{"id":"informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-rozszerzony/zad/7","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-rozszerzony","number":"7","points":3,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2025,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 7. (0-3)\nFunkcja 𝑓 jest określona wzorem 𝑓(𝑥) = 3𝑥\n𝑥+1 dla każdego 𝑥∈(-1, +∞).\nWykaż, że 𝒇 jest funkcją rosnącą.\nWymaganie ogólne\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n1.\nPrzeprowadzanie rozumowań, także kilkuetapowych, podawanie argumentów\nuzasadniających poprawność rozumowania, odróżnianie dowodu od przykładu.\nWymagania szczegółowe\nV. Funkcje. Zdający:\n3R) dowodzi monotoniczności funkcji zadanej wzorem […].\nXIII. Optymalizacja i rachunek różniczkowy. Zdający:\n5R) stosuje pochodną do badania monotoniczności funkcji.\nPrzykładowe zadania z rozwiązaniami\n27\nZasady oceniania\ndla rozwiązań sposobami 1., 2. oraz 3.\n3 pkt - przeprowadzenie pełnego dowodu.\n2 pkt - poprawne określenie znaku różnicy\n𝑓(𝑥2) -𝑓(𝑥1) =\n3(𝑥2 -𝑥1)\n(𝑥2 + 1)(𝑥1 + 1) > 0\nALBO\n- poprawne określenie znaku pochodnej funkcji 𝑓 w przedziale (-1, +∞):\n𝑓′(𝑥) =\n3\n(𝑥+ 1)2 > 0\nALBO\n- przekształcenie nierówności 𝑥2 > 𝑥1 do postaci 3 -\n1\n𝑥1+1 < 3 -\n1\n𝑥2+1 .\n1 pkt - zapisanie założeń 𝑥1, 𝑥2 ∈(-1, +∞) i 𝑥2 > 𝑥1 oraz obliczenie różnicy\n𝑓(𝑥2) -𝑓(𝑥1) =\n3(𝑥2 -𝑥1)\n(𝑥2 + 1)(𝑥1 + 1)\nALBO\n- zapisanie założenia 𝑥∈(-1, +∞) oraz wyznaczenie pochodnej funkcji 𝑓:\n𝑓′(𝑥) =\n3\n(𝑥+ 1)2\nALBO\n- zapisanie założeń 𝑥1, 𝑥2 ∈(-1, +∞) i 𝑥2 > 𝑥1 oraz przekształcenie nierówności\n𝑥2 > 𝑥1 do postaci\n1\n𝑥2+1 <\n1\n𝑥1+1 .\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\ndla rozwiązań sposobami 4. oraz 5.\n3 pkt - przeprowadzenie pełnego dowodu.\n2 pkt - zapisanie, że wykres funkcji 𝑓 można otrzymać z przesunięcia wykresu funkcji\n𝑔(𝑥) = -3\n𝑥 o wektor [-1, 3]\nALBO\n- uzasadnienie, że wraz ze wzrostem liczby 𝑥> -1 wartość ułamka 3\n𝑥+1\nzmniejsza się.\n1 pkt - zapisanie wzoru funkcji 𝑓 w postaci 𝑓(𝑥) = 3 -\n3\n𝑥+1 .\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób 1. (z wykorzystaniem definicji).\nNiech 𝑥1, 𝑥2 ∈(-1, +∞) oraz 𝑥2 > 𝑥1. Wtedy\n𝑓(𝑥2) -𝑓(𝑥1) =\n3𝑥2\n𝑥2 + 1 -\n3𝑥1\n𝑥1 + 1 = 3𝑥2(𝑥1 + 1) -3𝑥1(𝑥2 + 1)\n(𝑥2 + 1)(𝑥1 + 1)\n3(𝑥2 -𝑥1)\n(𝑥2 + 1)(𝑥1 + 1)\nPonieważ 𝑥2 > 𝑥1 , więc różnica 𝑥2 -𝑥1 jest dodatnia.\n28\nInformator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie rozszerzonym od roku szkolnego 2024/2025\nZ założenia 𝑥1, 𝑥2 ∈(-1, +∞), więc 𝑥2 + 1 > 0 oraz 𝑥1 + 1 > 0, oraz\n(𝑥2 + 1)(𝑥1 + 1) > 0.\nIloraz liczb dodatnich jest liczbą dodatnią, więc\n3(𝑥2-𝑥1)\n(𝑥2+1)(𝑥1+1) > 0.\nZatem 𝑓(𝑥2) > 𝑓(𝑥1) dla każdego 𝑥1 oraz 𝑥2 takich, że 𝑥1 > -1, 𝑥2 > -1 i 𝑥2 > 𝑥1 .\nTo oznacza, że funkcja 𝑓 jest rosnąca w przedziale (-1, +∞). To kończy dowód.\nSposób 2. (z wykorzystaniem rachunku różniczkowego).\nNiech 𝑥∈(-1, +∞).\nWyznaczamy pochodną 𝑓′ funkcji 𝑓:\n𝑓′(𝑥) =\n(3𝑥)′ ⋅(𝑥+ 1) -(3𝑥) ⋅(𝑥+ 1)′\n(𝑥+ 1)2\n= 3(𝑥+ 1) -3𝑥⋅1\n(𝑥+ 1)2\n3\n(𝑥+ 1)2\ndla każdego 𝑥∈(-1, +∞).\nFunkcja 𝑓 jest różniczkowalna w przedziale (-1, +∞), a jej pochodna jest w każdym\npunkcie tego przedziału dodatnia. Zatem funkcja 𝑓 jest w tym przedziale rosnąca.\nTo kończy dowód.\nSposób 3. (oparty na definicji funkcji rosnącej).\nNiech 𝑥1, 𝑥2 ∈(-1, +∞) będą dwoma dowolnymi argumentami funkcji 𝑓. Załóżmy, że\n𝑥1 < 𝑥2. Wtedy\n0 < 𝑥1 + 1 < 𝑥2 + 1\nDzieląc obie strony nierówności 𝑥1 + 1 < 𝑥2 + 1 przez liczbę dodatnią (𝑥1 + 1)(𝑥2 + 1),\notrzymujemy nierówność równoważną\n1\n𝑥2 + 1 <\n1\n𝑥1 + 1\ni dalej\n3\n𝑥2 + 1 <\n3\n𝑥1 + 1\n3\n𝑥1 + 1 < -\n3\n𝑥2 + 1\n3 -\n3\n𝑥1 + 1 < 3 -\n3\n𝑥2 + 1\n3𝑥1 + 3\n𝑥1 + 1 -\n3\n𝑥1 + 1 < 3𝑥2 + 3\n𝑥2 + 1 -\n3\n𝑥2 + 1\n3𝑥1\n𝑥1 + 1 <\n3𝑥2\n𝑥2 + 1\n𝑓(𝑥1) < 𝑓(𝑥2)\nPrzykładowe zadania z rozwiązaniami\n29\nTo oznacza, że funkcja 𝑓 jest rosnąca.\nSposób 4. (z wykorzystaniem własności funkcji postaci 𝑦= 𝑎\n𝑥 ).\nWzór funkcji 𝑓 przedstawiamy w postaci:\n𝑓(𝑥) =\n3𝑥\n𝑥+ 1 = (3𝑥+ 3) -3\n𝑥+ 1\n= 3 -\n3\n𝑥+ 1\nWykres funkcji 𝑓 można uzyskać przez przesunięcie wykresu funkcji 𝑔(𝑥) = -3\n𝑥\n(określonej dla 𝑥> 0) o wektor [-1, 3]. Z własności funkcji 𝑔 wynika, że funkcja 𝑔 jest\nrosnąca dla 𝑥> 0, więc funkcja 𝑓 jest rosnąca dla 𝑥> -1.\nTo kończy dowód.\nSposób 5. (oparty na umiejętności porównywania ułamków).\nWzór funkcji 𝑓 przedstawiamy w postaci:\n𝑓(𝑥) =\n3𝑥\n𝑥+ 1 =\n(3𝑥+ 3) -3\n𝑥+ 1\n= 3 -\n3\n𝑥+ 1\nDla każdej liczby rzeczywistej 𝑥> -1 ułamek 3\n𝑥+1 jest dodatni, a ponieważ licznik jest\nstały i dodatni, to ułamek jest tym mniejszy, im jego mianownik jest większy. Zatem ze\nwzrostem liczby 𝑥> -1 liczba 3 -\n3\n𝑥+1 jest coraz większa. Tym samym funkcja 𝑓 jest\nrosnąca.","answer":null,"answer_text":null,"solution":"Dla x₁, x₂ ∈ (-1,+∞) z x₂ > x₁: f(x₂)-f(x₁) = 3(x₂-x₁)/[(x₂+1)(x₁+1)]. Ponieważ x₁, x₂ > -1, mianownik jest dodatni, a x₂-x₁ > 0, zatem f(x₂) > f(x₁). Alternatywnie: f'(x) = 3/(x+1)² > 0 dla x > -1. Funkcja f jest rosnąca w przedziale (-1,+∞).","image":"img/informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-rozszerzony/zad-7.webp","solution_image":null,"topics":"funkcje","page_from":26,"source":"ai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"ai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2025","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny"},{"id":"informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-rozszerzony/zad/8","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-rozszerzony","number":"8","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2025,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 8. (0-2)\nOblicz granicę 𝐥𝐢𝐦\n𝒏→∞√𝟔𝒏+ 𝟕𝒏\n𝒏\n. Zapisz obliczenia.\n30\nInformator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie rozszerzonym od roku szkolnego 2024/2025\nWymaganie ogólne\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji.\n1.\nStosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nWymaganie szczegółowe\nVI. Ciągi. Zdający:\n1R) oblicza granice ciągów, korzystając z granic ciągów typu 1\n𝑛, √𝑎\n𝑛\noraz twierdzeń\no granicach sumy, różnicy, iloczynu i ilorazu ciągów zbieżnych, a także twierdzenia\no trzech ciągach.\nZasady oceniania\n2 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik.\n1 pkt - określenie ciągów (𝑎𝑛) i (𝑐𝑛) takich, że lim\n𝑛→∞𝑎𝑛= lim\n𝑛→∞𝑐𝑛 oraz\n𝑎𝑛≤√6𝑛+ 7𝑛\n𝑛\n≤𝑐𝑛 dla prawie wszystkich 𝑛, oraz obliczenie granicy jednego\nz tych ciągów, np.: 𝑎𝑛= √7𝑛\n𝑛\ni 𝑐𝑛= √2 ⋅7𝑛\n𝑛\noraz lim\n𝑛→∞𝑎𝑛= 7.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nSkorzystamy z twierdzenia o trzech ciągach.\nRozważmy ciągi 𝑎𝑛= √7𝑛\n𝑛\noraz 𝑐𝑛= √2 ⋅7𝑛\n𝑛\nokreślone dla każdego 𝑛∈ℕ.\nZauważmy, że 7𝑛≤6𝑛+ 7𝑛≤2 ⋅7𝑛 dla każdego 𝑛∈ℕ, więc\n√7𝑛\n𝑛\n≤√6𝑛+ 7𝑛\n𝑛\n≤ √2 ⋅7𝑛\n𝑛\nPonadto lim\n𝑛→∞√7𝑛\n𝑛\n= 7 oraz lim\n𝑛→∞√2 ⋅7𝑛\n𝑛\n= lim\n𝑛→∞( √2\n𝑛\n⋅7) = 7 ⋅lim\n𝑛→∞√2\n𝑛\n= 7 ⋅1 = 7 (gdyż\nlim\n𝑛→∞√2\n𝑛\n= 1) , więc na podstawie twierdzenia o trzech ciągach lim\n𝑛→∞√6𝑛+ 7𝑛\n𝑛\n= 7.\nPrzykładowe zadania z rozwiązaniami\n31","answer":null,"answer_text":null,"solution":"Z twierdzenia o trzech ciągach: 7ⁿ ≤ 6ⁿ+7ⁿ ≤ 2·7ⁿ, więc ⁿ√7ⁿ ≤ ⁿ√(6ⁿ+7ⁿ) ≤ ⁿ√2·7. Ponieważ lim ⁿ√7ⁿ = 7 i lim ⁿ√2·7 = 7·1 = 7, na mocy twierdzenia o trzech ciągach granica wynosi 7.","image":"img/informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-rozszerzony/zad-8.webp","solution_image":null,"topics":"granice","page_from":29,"source":"ai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"ai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2025","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny"},{"id":"informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-rozszerzony/zad/9","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-rozszerzony","number":"9","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2025,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 9. (0-4)\nSyzyf codziennie stoi przed zadaniem wtoczenia\nciężkiej kamiennej kuli na szczyt pewnej góry.\nW chwili 𝑡= 0 znajduje się on w punkcie 𝒪\noddalonym od szczytu o 4 km, a położenie 𝑥\nSyzyfa wtaczającego kulę jest opisane\nzależnością\n𝑥(𝑡) = -𝑡3 + 16,5𝑡2 + 180𝑡 dla 𝑡∈[0, 24]\ngdzie 𝑥 jest wyrażone w metrach, a 𝑡 - w godzinach.\nOś 𝒪𝑥 jest skierowana do wierzchołka góry i jest styczna w każdym punkcie do zbocza\ngóry.\nOblicz najmniejszą odległość, na jaką Syzyf zbliży się do wierzchołka góry, oraz\nnajwiększą prędkość, z jaką wtacza kamień pod górę. Zapisz obliczenia.\nWymaganie ogólne\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji.\n1.\nStosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\n32\nInformator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie rozszerzonym od roku szkolnego 2024/2025\nWymagania szczegółowe\nXIII. Optymalizacja i rachunek różniczkowy. Zdający:\n3R) […] podaje interpretację geometryczną i fizyczną pochodnej;\n4R) oblicza pochodną funkcji potęgowej o wykładniku rzeczywistym […];\n5R) stosuje pochodną do badania monotoniczności funkcji;\n6R) rozwiązuje zadania optymalizacyjne z zastosowaniem pochodnej.\nZasady oceniania\n4 pkt - poprawna metoda wyznaczenia najmniejszej odległości, na jaką Syzyf zbliży się do\nwierzchołka góry, i poprawna metoda wyznaczenia największej wartości prędkości,\nz jaką wtaczany jest kamień, wraz z poprawnymi wynikami liczbowymi.\n3 pkt - zapisanie, że prędkość jest pochodną funkcji położenia i wyznaczenie ekstremów\nfunkcji 𝑥′.\n2 pkt - zbadanie monotoniczności funkcji 𝑥 i wyznaczenie ekstremów funkcji 𝑥.\n1 pkt - wyznaczenie pochodnej funkcji 𝑥.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nNajpierw wyznaczymy najmniejszą odległość, na jaką Syzyf zbliży się do wierzchołka góry.\nWyznaczamy pochodną funkcji 𝑥:\n𝑥′(𝑡) = -3𝑡2 + 33𝑡+ 180 dla\n𝑡∈[0, 24]\ni obliczamy jej miejsca zerowe:\n𝑥′(𝑡) = 0\n-3𝑡2 + 33𝑡+ 180 = 0\n𝑡2 -11𝑡-60 = 0\nΔ = 361\n𝑡1 = 15 𝑡2 < 0\nPonieważ:\n𝑥′(𝑡) > 0 dla 𝑡∈[0,15)\n𝑥′(𝑡) < 0 dla 𝑡∈(15, 24]\nwięc\nfunkcja 𝑥 jest rosnąca w przedziale [0, 15]\nfunkcja 𝑥 jest malejąca w przedziale [15, 24].\nZatem funkcja 𝑥 przyjmuje wartość największą dla argumentu 15 i 𝑥(15) = 3037,5.\nNajmniejsza odległość, na jaką Syzyf zbliży się do wierzchołka góry, jest równa\n4000 -3037,5 = 962,5 metrów.\nObliczamy największą wartość prędkości, z jaką Syzyf wtacza kulę.\nPrzykładowe zadania z rozwiązaniami\n33\nNiech v oznacza prędkość Syzyfa wtaczającego kulę.\nPonieważ v = 𝑥′ , więc\nv(𝑡) = 𝑥′(𝑡) = -3𝑡2 + 33𝑡+ 180 dla\n𝑡∈[0, 24]\nKorzystamy z własności funkcji kwadratowej i obliczamy największą wartość prędkości,\nz jaką Syzyf wtacza kulę:\n𝑝= -𝑏\n2𝑎= -\n33\n2 ⋅(-3) = 11\n2 ∈[0, 24]\n𝑣(11\n2 ) > 0\nZatem największa wartość prędkości, z jaką Syzyf wtacza kulę pod górę, jest równa\nv(5,5) = 270,75 m/h.","answer":null,"answer_text":null,"solution":"Prędkość jest pochodną położenia: v(t) = x'(t) = -3t² + 33t + 180 dla t∈[0,24]. Miejsca zerowe pochodnej: -3t² + 33t + 180 = 0, czyli t² - 11t - 60 = 0, skąd t = 15 (drugi pierwiastek jest ujemny). Dla t∈[0,15) jest x'(t) > 0, a dla t∈(15,24] jest x'(t) < 0, więc x rośnie do t = 15 i maleje po t = 15. Największe zbliżenie do szczytu: x(15) = -15³ + 16,5·15² + 180·15 = -3375 + 3712,5 + 2700 = 3037,5 m. Start w chwili t = 0 odbywa się w odległości 4 km = 4000 m od szczytu, więc najmniejsza odległość wynosi 4000 - 3037,5 = 962,5 m. Największa prędkość pod górę to największa wartość v(t) = -3t² + 33t + 180; parabola ma wierzchołek dla t = 33/6 = 5,5 ∈ [0,24], a v(5,5) = -3·30,25 + 33·5,5 + 180 = -90,75 + 181,5 + 180 = 270,75 m/h. Odpowiedź: najmniejsza odległość 962,5 m, największa prędkość 270,75 m/h.","image":"img/informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-rozszerzony/zad-9.webp","solution_image":null,"topics":"optymalizacja","page_from":31,"source":"ai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"ai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2025","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny"},{"id":"informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-rozszerzony/zad/10","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-rozszerzony","number":"10","points":6,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2025,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 10. (0-6)\nCztery miasta 𝐴, 𝐵, 𝐶 i 𝐷 znajdują się w wierzchołkach kwadratu o boku 300 km. Pewna\nfirma dostała zlecenie na zaprojektowanie sieci dróg, która będzie łączyć każde dwa z tych\nmiast. Sieć ma posiadać dwa węzły, a łączna długość dróg w sieci ma być możliwie\nnajmniejsza. (Przykład sieci dróg z dwoma węzłami, łączącej każde dwa z miast,\nprzedstawiono na poniższym rysunku).\nOblicz, jaka musi być długość najkrótszej takiej sieci dróg i gdzie muszą być\nzlokalizowane węzły tej sieci. Zapisz obliczenia.\n𝐴\n𝐶\n𝐷\n𝐵\nwęzły\n300 km\n300 km\n34\nInformator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie rozszerzonym od roku szkolnego 2024/2025\nWymaganie ogólne\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n4.\nStosowanie i tworzenie strategii przy rozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach\nnietypowych.\nWymagania szczegółowe\nXIII. Optymalizacja i rachunek różniczkowy. Zdający:\n4R) oblicza pochodną funkcji potęgowej o wykładniku rzeczywistym oraz oblicza\npochodną, korzystając z twierdzeń o pochodnej sumy, różnicy, iloczynu, ilorazu\ni funkcji złożonej;\n5R) stosuje pochodną do badania monotoniczności funkcji;\n6R) rozwiązuje zadania optymalizacyjne z zastosowaniem pochodnej.\nPrzykładowe zadania z rozwiązaniami\n35\nZasady oceniania\n6 pkt - obliczenie długości najkrótszej sieci z dwoma węzłami i podanie lokalizacji węzłów\nwzględem miast.\n5 pkt - obliczenie długości najkrótszej sieci z dwoma węzłami.\n4 pkt - obliczenie wartości najmniejszej funkcji 𝑓.\n3 pkt - wyznaczenie pochodnej funkcji 𝑓.\n2 pkt - zapisanie długości sieci w zależności od odległości węzłów od prostych -\nodpowiednio - 𝐴𝐷 i 𝐵𝐶.\n1 pkt - uzasadnienie, że węzły muszą się znajdować na symetralnej odcinka 𝐴𝐷.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nRozpatrzmy sieć dróg złożoną z odcinków 𝐴𝐾, 𝐾𝐿, 𝐿𝐶, 𝐵𝐿 i 𝐷𝐾 (zobacz rysunek 1.).\nProwadzimy prostą 𝑝 równoległą do 𝐴𝐷 i przechodzącą przez 𝐾 i zaznaczamy na niej\npunkt 𝐾’ taki, że |𝐴𝐾′| = |𝐷𝐾′|.\nProwadzimy prostą równoległą do 𝐵𝐶 i przechodzącą przez 𝐿 i zaznaczamy na niej\npunkt 𝐿’ taki, że |𝐵𝐿′| = |𝐶𝐿′| (zobacz rysunek 2.).\n𝐴\n𝐶\n𝐷\n𝐵\n𝐾\n𝐿\nRysunek 2.\n𝐾′\n𝐿′\n𝑝\n𝐴\n𝐶\n𝐷\n𝐵\n𝐾\n𝐿\nRysunek 1.\n36\nInformator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie rozszerzonym od roku szkolnego 2024/2025\nPokażemy, że sieć dróg z węzłami 𝐾 i 𝐿 można zastąpić siecią krótszą - z węzłami 𝐾’\noraz 𝐿’.\nNiech 𝐷’ będzie punktem symetrycznym do punktu 𝐷 względem prostej 𝑝. Wówczas\npunkty 𝐷’, 𝐾’ oraz 𝐴 są współliniowe, więc\n|𝐷𝐾| + |𝐾𝐴| = |𝐷′𝐾| + |𝐾𝐴| ≥|𝐷′𝐴| = |𝐷𝐾′| + |𝐾′𝐴|\nPodobnie pokazujemy, że |𝐵𝐿| + |𝐿𝐶| ≥|𝐵𝐿′| + |𝐿′𝐶|. Ponadto odcinek 𝐾′𝐿′ jest\nrównoległy do prostej 𝐴𝐵, więc |𝐾′𝐿′| ≤|𝐾𝐿|. Zatem sieć dróg z węzłami 𝐾′ i 𝐿′ jest\nkrótsza niż z węzłami 𝐾 i 𝐿.\nOznaczmy odległość punktu 𝐾′ od prostej 𝐴𝐷 przez 𝑥, natomiast punktu 𝐿′ od\nprostej 𝐵𝐶 - przez 𝑦. Długość 𝑑 sieci z węzłami 𝐾′ i 𝐿′ jest równa\n𝑑= 2√1502 + 𝑥2 + 2√1502 + 𝑦2 + 300 -𝑥-𝑦\ngdzie 𝑥∈[0, 300), 𝑦∈[0, 300) i 𝑥+ 𝑦< 300.\nZbadamy funkcję 𝑓(𝑥) = 2√1502 + 𝑥2 -𝑥 określoną dla 𝑥∈[0, 300).\n𝑓′(𝑥) = 2 ⋅1\n2 ⋅\n1\n√1502 + 𝑥2 ⋅2𝑥-1 =\n2𝑥\n√1502 + 𝑥2 -1\n𝑓′(𝑥) = 0\n2𝑥\n√(1502 + 𝑥2)\n= 1\n4𝑥2 = 𝑥2 + 1502\n𝑥= 50√3\n𝑓′(𝑥) > 0 ⟺ 𝑥∈(50√3, 300)\n𝑓′(𝑥) < 0 ⟺ 𝑥∈[0, 50√3)\nFunkcja 𝑓 jest malejąca w przedziale [0, 50√3] i rosnąca w przedziale [50√3, 300).\nNajmniejszą wartość funkcja przyjmuje w punkcie 𝑥= 50√3 i wartość ta jest równa\n𝑓(50√3) = 150√3.\nZatem\n𝑑= 𝑓(𝑥) + 𝑓(𝑦) + 300 ≥300(1 + √3)\nprzy czym równość zachodzi tylko wtedy, gdy 𝑥= 𝑦= 50√3. Najkrótsza sieć dróg ma\nzatem długość 300(1 + √3) km i składa się z 5 odcinków: 𝐴𝐾′, 𝐾′𝐿′, 𝐿′𝐶, 𝐵𝐿′ i 𝐷𝐾′.\nWęzeł 𝐾′ jest równo oddalony (w odległości 100√3 km) od miast 𝐴 i 𝐷, natomiast\nwęzeł 𝐿′ jest równo oddalony (w odległości 100√3 km) od miast 𝐵 i 𝐶 (zobacz\nrysunek 2.).\nPrzykładowe zadania z rozwiązaniami\n37\nZauważmy jeszcze, że w przypadku sieci dróg z jednym węzłem, najkrótsza taka sieć będzie\nmiała długość równą 600√2 km (i węzeł w środku kwadratu 𝐴𝐵𝐶𝐷). Będzie więc dłuższa\nniż sieć z dwoma węzłami.","answer":null,"answer_text":null,"solution":"Kwadrat ABCD ma bok 300 km. Węzły K i L można tak przesunąć, aby leżały na symetralnych przeciwległych boków: K na symetralnej odcinka AD, a L na symetralnej odcinka BC (zastąpienie dowolnej sieci siecią krótszą wynika z nierówności trójkąta). Oznaczmy przez x odległość węzła K od prostej AD, a przez y odległość węzła L od prostej BC, gdzie x,y ∈ [0,300) oraz x + y < 300. Długość sieci wynosi d = 2√(150² + x²) + 2√(150² + y²) + 300 - x - y. Rozpatrujemy f(x) = 2√(150² + x²) - x. Wtedy f'(x) = 2x/√(150² + x²) - 1, a f'(x) = 0 daje 2x = √(150² + x²), czyli 4x² = x² + 150², skąd x = 50√3. Ponieważ f'(x) < 0 dla x∈[0,50√3) i f'(x) > 0 dla x∈(50√3,300), funkcja f osiąga minimum w x = 50√3 i f(50√3) = 2√(150² + 7500) - 50√3 = 2·100√3 - 50√3 = 150√3. Zatem d ≥ 2·150√3 + 300 = 300(1 + √3), przy czym równość zachodzi dla x = y = 50√3. Najkrótsza sieć ma długość 300(1 + √3) km ≈ 819,6 km; węzły leżą na symetralnych odcinków AD i BC, każdy w odległości 100√3 km od dwóch sąsiednich miast.","image":"img/informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-rozszerzony/zad-10.webp","solution_image":null,"topics":"optymalizacja","page_from":33,"source":"ai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"ai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2025","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny"},{"id":"informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-rozszerzony/zad/11","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-rozszerzony","number":"11","points":3,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2025,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 11. (0-3)\nFunkcja 𝑓 jest określona wzorem 𝑓(𝑥) = 2𝑥 - 3\n𝑥 + 2 + 4 log1\n2\n𝑥 dla każdego 𝑥> 0.\nWykaż, że funkcja 𝒇 ma co najmniej jedno miejsce zerowe, które należy do\nprzedziału [𝟏\n𝟐, 𝟒].\nWymaganie ogólne\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n1.\nprzeprowadzanie rozumowań, także kilkuetapowych, podawanie argumentów\nuzasadniających poprawność rozumowania, odróżnianie dowodu od przykładu.\nWymaganie szczegółowe\nXIII. Optymalizacja i rachunek różniczkowy. Zdający:\n2R) stosuje własność Darboux do uzasadniania istnienia miejsca zerowego funkcji.\nZasady oceniania\n3 pkt - przeprowadzenie pełnego dowodu.\n2 pkt - zapisanie, że 𝑓(1\n2) > 0 i 𝑓(4) < 0 oraz uzasadnienie, że funkcja 𝑓 jest ciągła.\n38\nInformator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie rozszerzonym od roku szkolnego 2024/2025\n1 pkt - obliczenie wartości funkcji 𝑓 na krańcach przedziału [1\n2 , 4].\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nObliczamy wartości funkcji na końcach przedziału [1\n2 , 4]:\n𝑓(1\n2) =\n2 ⋅1\n2 -3\n1\n2 + 2\n+ 4 log1\n2\n1\n2 = -4\n5 + 4 = 3 1\n5\n𝑓(4) = 2 ⋅4 -3\n4 + 2\n+ 4 log1\n2\n4 = 5\n6 -8 = -7 1\n6\nZauważmy, że 𝑓(1\n2) > 0 i 𝑓(4) < 0.\nFunkcja 𝑓 jest funkcją ciągłą, jako suma funkcji ciągłych. Ma zatem własność Darboux.\nDlatego w przedziale [1\n2 , 4] funkcja 𝑓 przyjmuje wszystkie wartości z zakresu [-7 1\n6 , 3 1\n5].\nW szczególności przyjmuje wartość 0 dla pewnego 𝑥0 ∈[1\n2 , 4].\nTo kończy dowód.","answer":null,"answer_text":null,"solution":"Obliczamy wartości funkcji f(x) = (2x-3)/(x+2) + 4·log_{1/2} x na końcach przedziału [1/2, 4]: f(1/2) = (1-3)/(1/2+2) + 4·log_{1/2}(1/2) = (-2)/(5/2) + 4·1 = -4/5 + 4 = 3⅕ > 0. f(4) = (8-3)/(4+2) + 4·log_{1/2}4 = 5/6 + 4·(-2) = 5/6 - 8 = -7⅙ < 0. Funkcja f jest ciągła jako suma funkcji ciągłych (funkcja wymierna dla x > 0 oraz funkcja logarytmiczna), a więc ma własność Darboux. Skoro f(1/2) > 0 i f(4) < 0, to w przedziale (1/2, 4) ⊂ [1/2, 4] funkcja przyjmuje wszystkie wartości pośrednie, w szczególności wartość 0. Istnieje więc x₀ ∈ (1/2, 4) ⊂ [1/2, 4] takie, że f(x₀) = 0, co kończy dowód.","image":"img/informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-rozszerzony/zad-11.webp","solution_image":null,"topics":"funkcje","page_from":37,"source":"ai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"ai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2025","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny"},{"id":"informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-rozszerzony/zad/12","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-rozszerzony","number":"12","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2025,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 12. (0-4)\nFunkcja 𝑓 jest określona wzorem 𝑓(𝑥) = 𝑥4 + 0,5 ⋅(2𝑥+ 1)4 dla każdego 𝑥∈ℝ.\nOblicz najmniejszą wartość tej funkcji. Zapisz obliczenia.\nPrzykładowe zadania z rozwiązaniami\n39\nWymaganie ogólne\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n4.\nStosowanie i tworzenie strategii przy rozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach\nnietypowych.\nWymagania szczegółowe\nXIII. Optymalizacja i rachunek różniczkowy. Zdający:\n4R) oblicza pochodną funkcji potęgowej o wykładniku rzeczywistym oraz oblicza\npochodną, korzystając z twierdzeń o pochodnej sumy, różnicy, iloczynu, ilorazu\ni funkcji złożonej;\n5R) stosuje pochodną do badania monotoniczności funkcji;\n6R) rozwiązuje zadania optymalizacyjne z zastosowaniem pochodnej.\nZasady oceniania\ndla rozwiązania sposobem 1.\n4 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik.\n3 pkt - uzasadnienie (np. poprzez badanie monotoniczności funkcji), że funkcja 𝑓 przyjmuje\nwartość najmniejszą dla 𝑥= -1\n3.\n2 pkt - obliczenie miejsc zerowych pochodnej funkcji 𝑓.\n1 pkt - wyznaczenie pochodnej funkcji 𝑓.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\ndla rozwiązania sposobem 2.\n4 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik.\n40\nInformator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie rozszerzonym od roku szkolnego 2024/2025\n3 pkt - zapisanie, że funkcja kwadratowa 𝑦= 6𝑥2 + 4𝑥+ 1 osiąga wartość najmniejszą\nrówną 1\n3 dla 𝑥= -1\n3.\n2 pkt - zapisanie nierówności\n√2\n3 ⋅𝑓(𝑥) ≥6𝑥2 + 4𝑥+ 1\n3\n1 pkt - zapisanie nierówności\n√𝑥4 + 𝑥4 + (2𝑥+ 1)4\n3\n≥𝑥2 + 𝑥2 + (2𝑥+ 1)2\n3\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\ndla rozwiązania sposobem 3.\n4 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik.\n3 pkt - przekształcenie wyrażenia 9𝑡4 + 4𝑡3 + 2𝑡2 + 1\n54 do postaci\n9𝑡2 ((𝑡+ 2\n9)\n2\n+ 14\n81) + 1\n54\n2 pkt - zastosowanie wzoru na czwartą potęgę sumy / różnicy dwóch wyrażeń i zapisanie\n𝑓(𝑡-1\n3) w postaci 9𝑡4 + 4𝑡3 + 2𝑡2 + 1\n54 .\n1 pkt - zastosowanie podstawienia 𝑡= 𝑥-1\n3 i zapisanie 𝑓(𝑡-1\n3) w postaci\n(𝑡-1\n3)\n4\n+ 1\n2 ⋅(2 (𝑡-1\n3) + 1)\n4\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób 1.\nWyznaczamy pochodną funkcji 𝑓, korzystając z twierdzenia o pochodnej funkcji złożonej:\n𝑓′(𝑥) = 4𝑥3 + 0,5 ⋅4(2𝑥+ 1)3 ⋅2 dla 𝑥∈ℝ .\nObliczamy miejsca zerowe pochodnej funkcji 𝑓:\n4𝑥3 + 0,5 ⋅4(2𝑥+ 1)3 ⋅2 = 0\n𝑥3 + (2𝑥+ 1)3 = 0\n𝑥3 + 8𝑥3 + 12𝑥2 + 6𝑥+ 1 = 0\n9𝑥3 + 12𝑥2 + 6𝑥+ 1 = 0\n9𝑥3 + 3𝑥2 + 9𝑥2 + 3𝑥+ 3𝑥+ 1 = 0\n3𝑥2(3𝑥+ 1) + 3𝑥(3𝑥+ 1) + (3𝑥+ 1) = 0\n(3𝑥+ 1)(3𝑥2 + 3𝑥+ 1) = 0\nPrzykładowe zadania z rozwiązaniami\n41\n3𝑥+ 1 = 0 lub 3𝑥2 + 3𝑥+ 1 = 0\nPierwsze z tych równań ma rozwiązanie 𝑥= -1\n3 , natomiast drugie jest sprzeczne.\nSprawdzamy, czy w punkcie 𝑥= -1\n3 funkcja 𝑓 osiąga ekstremum. Badamy\nmonotoniczność funkcji 𝑓, stosując rachunek pochodnych.\nPonieważ 𝑓′(𝑥) = 4𝑥3 + 0,5 ⋅4(2𝑥+ 1)3 ⋅2 = 4(3𝑥+ 1)(3𝑥2 + 3𝑥+ 1), więc\n𝑓′(𝑥) < 0 dla 𝑥∈(-∞, -1\n3)\n𝑓′(𝑥) > 0 dla 𝑥∈(-1\n3 , +∞)\nZatem\nfunkcja 𝑓 jest malejąca w zbiorze (-∞, -1\n3]\nfunkcja 𝑓 jest rosnąca w zbiorze [-1\n3 , +∞),\nco oznacza, że w punkcie 𝑥= -1\n3 funkcja 𝑓 ma minimum lokalne, będące jednocześnie\nminimum globalnym. Funkcja 𝑓 osiąga wartość najmniejszą równą\n𝑓(-1\n3) = (-1\n3)\n4\n+ 0,5 ⋅(1\n3)\n4\n= 1\n54\nSposób 2.\nKorzystamy z nierówności między średnimi liczbowymi.\nDla każdych liczb nieujemnych 𝑎, 𝑏, 𝑐 średnia kwadratowa z tych liczb jest nie mniejsza od\nśredniej arytmetycznej tych liczb:\n√𝑎2 + 𝑏2 + 𝑐2\n3\n≥𝑎+ 𝑏+ 𝑐\n3\nNiech 𝑥 będzie dowolną liczbą rzeczywistą. Korzystając z nierówności między średnią\nkwadratową a arytmetyczną liczb nieujemnych 𝑥2, 𝑥2, (2𝑥+ 1)2, otrzymujemy:\n√𝑥4 + 𝑥4 + (2𝑥+ 1)4\n3\n≥𝑥2 + 𝑥2 + (2𝑥+ 1)2\n3\n√2𝑥4 + (2𝑥+ 1)4\n3\n≥2𝑥2 + (2𝑥+ 1)2\n3\n42\nInformator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie rozszerzonym od roku szkolnego 2024/2025\n√2\n3 ⋅𝑥4 + 0,5(2𝑥+ 1)4\n1\n≥6𝑥2 + 4𝑥+ 1\n3\n√2\n3 ⋅𝑓(𝑥) ≥6𝑥2 + 4𝑥+ 1\n3\ndla każdego 𝑥∈ℝ.\nFunkcja kwadratowa 𝑦= 6𝑥2 + 4𝑥+ 1 osiąga wartość najmniejszą dla 𝑥= -4\n2⋅6 = -1\n3\nrówną 6 (-1\n3)\n2\n+ 4 ⋅(-1\n3) + 1 = 1\n3 , więc\n√2\n3 ⋅𝑓(𝑥) ≥6𝑥2 + 4𝑥+ 1\n3\n≥1\n9\n𝑓(𝑥) ≥1\n54\ndla każdego 𝑥∈ℝ.\nPonieważ\n𝑓(-1\n3) = (-1\n3)\n4\n+ 0,5 ⋅(1\n3)\n4\n= 1\n54\nwięc najmniejsza wartość funkcji 𝑓 jest równa 1\n54 .\nSposób 3.\nNiech 𝑡= 𝑥+ 1\n3 dla 𝑥∈ℝ. Wtedy\n𝑓(𝑡-1\n3) = (𝑡-1\n3)\n4\n+ 1\n2 ⋅(2 (𝑡-1\n3) + 1)\n4\n= (𝑡-1\n3)\n4\n+ 1\n2 ⋅(2𝑡+ 1\n3)\n4\ndla 𝑡∈ℝ\nWykorzystamy dwukrotnie wzór na czwartą potęgę sumy dwóch składników:\n(𝑎+ 𝑏)4 = 𝑎4 + 4𝑎3𝑏+ 6𝑎2𝑏2 + 4𝑎𝑏3 + 𝑏4\nWówczas\n𝑓(𝑡-1\n3) = 𝑡4 -4𝑡3 ⋅1\n3 + 6𝑡2 ⋅1\n9 -4𝑡⋅1\n27 + 1\n81 +\n+ 1\n2 (16𝑡4 + 4 ⋅8𝑡3 ⋅1\n3 + 6 ⋅4𝑡2 ⋅1\n9 + 4 ⋅2𝑡⋅1\n27 + 1\n81) =\n= 9𝑡4 + 4𝑡3 + 2𝑡2 + 1\n54 = 9𝑡2 (𝑡2 + 4\n9 𝑡+ 2\n9) + 1\n54 =\n= 9𝑡2 ((𝑡+ 2\n9)\n2\n+ 14\n81) + 1\n54\nPrzykładowe zadania z rozwiązaniami\n43\nPonieważ dla każdego 𝑡∈ℝ prawdziwe są nierówności:\n(𝑡+ 2\n9)\n2\n+ 14\n81 > 0 i 9𝑡2 ≥0\nwięc 𝑓(𝑡-1\n3) ≥1\n54 , przy czym 𝑓(𝑡-1\n3) = 1\n54 wtedy i tylko wtedy, gdy 𝑡= 0 (czyli dla\n𝑥= -1\n3 ).\nZatem najmniejsza wartość funkcji 𝑓 jest równa 1\n54 .","answer":null,"answer_text":null,"solution":"Wyznaczamy pochodną: f'(x) = 4x³ + 0,5·4(2x+1)³·2 = 4x³ + 4(2x+1)³ = 4[x³ + (2x+1)³]. Miejsca zerowe: x³ + (2x+1)³ = 0, czyli x³ + 8x³ + 12x² + 6x + 1 = 0, 9x³ + 12x² + 6x + 1 = 0. Grupując: 3x²(3x+1) + 3x(3x+1) + (3x+1) = 0, (3x+1)(3x²+3x+1) = 0. Trójmian 3x²+3x+1 ma Δ = 9-12 < 0, więc jego jedynym pierwiastkiem rzeczywistym jest x = -1/3. Ponieważ f'(x) = 4(3x+1)(3x²+3x+1) i trójmian jest zawsze dodatni, to f'(x) < 0 dla x < -1/3 i f'(x) > 0 dla x > -1/3; funkcja maleje na (-∞,-1/3] i rośnie na [-1/3,+∞), więc w x = -1/3 ma minimum globalne. f(-1/3) = (-1/3)⁴ + 0,5·(2·(-1/3)+1)⁴ = 1/81 + 0,5·(1/3)⁴ = 1/81 + 1/162 = 3/162 = 1/54. Najmniejsza wartość funkcji to 1/54.","image":"img/informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-rozszerzony/zad-12.webp","solution_image":null,"topics":"optymalizacja","page_from":38,"source":"ai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"ai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2025","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny"},{"id":"informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-rozszerzony/zad/13","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-rozszerzony","number":"13","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2025,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 13. (0-4)\nW nieskończonym malejącym ciągu geometrycznym (𝑎𝑛), określonym dla 𝑛≥1, jest\nspełniony warunek\n𝑎5 + 𝑎3\n𝑎3\n= 29\n25\nSuma wszystkich wyrazów tego ciągu o numerach parzystych jest równa 6.\nWyznacz wzór ogólny na 𝒏-ty wyraz ciągu (𝒂𝒏). Zapisz obliczenia.\n44\nInformator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie rozszerzonym od roku szkolnego 2024/2025\nWymaganie ogólne\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji.\n1.\nStosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nWymaganie szczegółowe\nVI. Ciągi. Zdający:\n2R) rozpoznaje zbieżne szeregi geometryczne i oblicza ich sumę.\nZasady oceniania\n4 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik.\n3 pkt - obliczenie ilorazu ciągu oraz zapisanie równania 𝑎1⋅𝑞\n1-𝑞2 = 6.\n2 pkt - zapisanie dwóch równań z niewiadomymi 𝑞 i 𝑎1, które pozwalają na obliczenie\nilorazu ciągu oraz pierwszego wyrazu ciągu\nALBO\n- obliczenie ilorazu ciągu.\n1 pkt - zapisanie równania 𝑞2 + 1 = 29\n25 albo 𝑎1⋅𝑞\n1-𝑞2 = 6.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nZ warunku\n𝑎5 + 𝑎3\n𝑎3\n= 29\n25\noraz z informacji o monotoniczności ciągu otrzymamy iloraz 𝑞 ciągu (𝑎𝑛):\n𝑎3 ⋅𝑞2 + 𝑎3\n𝑎3\n= 29\n25\n𝑞2 + 1 = 29\n25\n𝑞= 2\n5 lub 𝑞= -2\n5\nCiąg jest malejący, więc 𝑞= 2\n5 .\nPonieważ dla 𝑞= 2\n5 ciąg ten jest zbieżny, więc sumę\n𝑎2 + 𝑎4 + 𝑎6 + … = 6\nmożemy zapisać następująco:\n𝑎1 ⋅𝑞\n1 -𝑞2 = 6\ni otrzymujemy\nPrzykładowe zadania z rozwiązaniami\n45\n𝑎1 ⋅2\n5\n1 -(2\n5)\n2 = 6\n𝑎1 = 63\n5\nWzór ogólny ciągu ma postać: 𝑎𝑛= 63\n5 ⋅(2\n5)\n𝑛-1","answer":null,"answer_text":null,"solution":"Z warunku (a₅+a₃)/a₃ = 29/25 mamy (a₃q²+a₃)/a₃ = 29/25, czyli q² + 1 = 29/25, skąd q² = 4/25 i q = 2/5 lub q = -2/5. Ciąg jest malejący (malejący i zbieżny do 0), więc q = 2/5. Suma wyrazów o numerach parzystych to szereg geometryczny o pierwszym wyrazie a₂ = a₁q i ilorazie q²: a₁q/(1-q²) = 6. Stąd a₁·(2/5)/(1-4/25) = 6, czyli a₁·(2/5)/(21/25) = 6, a₁·(10/21) = 6, więc a₁ = 126/10 = 63/5. Wzór ogólny: aₙ = (63/5)·(2/5)^{n-1}.","image":"img/informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-rozszerzony/zad-13.webp","solution_image":null,"topics":"ciagi","page_from":43,"source":"ai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"ai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2025","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny"},{"id":"informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-rozszerzony/zad/14","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-rozszerzony","number":"14","points":3,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2025,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 14. (0-3)\nFunkcja 𝑓 jest określona wzorem 𝑓(𝑥) = 𝑥6 -2𝑥4 -𝑥3 + 1 dla każdego 𝑥∈ℝ.\nWykaż, że liczba 𝟓 należy do zbioru wartości tej funkcji.\nWymaganie ogólne\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n1.\nPrzeprowadzanie rozumowań, także kilkuetapowych, podawanie argumentów\nuzasadniających poprawność rozumowania, odróżnianie dowodu od przykładu.\n46\nInformator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie rozszerzonym od roku szkolnego 2024/2025\nWymaganie szczegółowe\nXIII. Optymalizacja i rachunek różniczkowy. Zdający:\n2R) stosuje własność Darboux do uzasadniania istnienia miejsca zerowego funkcji.\nZasady oceniania\n3 pkt - przeprowadzenie pełnego dowodu.\n2 pkt - uzasadnienie, że funkcja 𝑓 jest funkcją ciągłą, wskazanie argumentu, dla którego\nwartość funkcji jest mniejsza od 5 wraz z obliczeniem wartości funkcji dla tego\nargumentu i wskazanie argumentu, dla którego wartość funkcji jest większa od 5\nwraz z obliczeniem wartości funkcji dla tego argumentu.\n1 pkt - uzasadnienie, że funkcja 𝑓 jest funkcją ciągłą, wskazanie argumentu, dla którego\nwartość funkcji jest mniejsza od 5 i obliczenie wartości funkcji dla tego argumentu\nALBO\n- uzasadnienie, że funkcja 𝑓 jest funkcją ciągłą, wskazanie argumentu, dla którego\nwartość funkcji jest większa od 5 i obliczenie wartości funkcji dla tego argumentu,\nALBO\n- wskazanie argumentu, dla którego wartość funkcji jest mniejsza od 5 wraz\nz obliczeniem wartości funkcji dla tego argumentu i wskazanie argumentu, dla\nktórego wartość funkcji jest większa od 5 wraz z obliczeniem wartości funkcji dla\ntego argumentu.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nFunkcja 𝑓 jest funkcją ciągłą w zbiorze liczb rzeczywistych, ponieważ jest funkcją\nwielomianową.\nPonieważ 𝑓(0) = 1 oraz 𝑓(2) = 64 -32 -8 + 1 = 25 i funkcja jest ciągła na\nprzedziale (0, 2), więc, na mocy twierdzenia Darboux, przyjmuje w przedziale (0, 2)\nwszystkie wartości pośrednie pomiędzy 𝑓(0) a 𝑓(2). Wobec tego istnieje taki argument\n𝑥∈(0, 2), dla którego zachodzi 𝑓(𝑥) = 5. To oznacza, że liczba 5 należy do zbioru\nwartości funkcji.","answer":null,"answer_text":null,"solution":"Funkcja f(x) = x⁶ - 2x⁴ - x³ + 1 jest wielomianowa, a więc ciągła w ℝ. Obliczamy wartości: f(0) = 1 oraz f(2) = 2⁶ - 2·2⁴ - 2³ + 1 = 64 - 32 - 8 + 1 = 25. Skoro f(0) = 1 < 5 < 25 = f(2) i f jest ciągła na przedziale [0,2], to na mocy twierdzenia Darboux przyjmuje w przedziale (0,2) wszystkie wartości pośrednie między 1 i 25, w szczególności wartość 5. Istnieje więc argument x ∈ (0,2) taki, że f(x) = 5, czyli liczba 5 należy do zbioru wartości funkcji f.","image":"img/informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-rozszerzony/zad-14.webp","solution_image":null,"topics":"funkcje","page_from":45,"source":"ai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"ai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2025","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny"},{"id":"informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-rozszerzony/zad/15","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-rozszerzony","number":"15","points":3,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2025,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 15. (0-3)\nRozwiąż równanie\n(𝟑-𝟐𝐜𝐨𝐬𝒙)𝟐= 𝟖𝐬𝐢𝐧𝟐(𝒙\n𝟐) -𝟖𝐜𝐨𝐬𝟐(𝒙\n𝟐) + 𝟏𝟐\nw zbiorze (𝟎, 𝝅). Zapisz obliczenia.\nPrzykładowe zadania z rozwiązaniami\n47\nWymagania ogólne\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji.\n1.\nStosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n2.\nDostrzeganie regularności, podobieństw oraz analogii, formułowanie wniosków na\nich podstawie i uzasadnianie ich poprawności.\nWymaganie szczegółowe\nVII. Trygonometria. Zdający:\n6R) rozwiązuje równania trygonometryczne.\nZasady oceniania\n3 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik.\n2 pkt - rozwiązanie równania 4 cos2 𝑥-4 cos 𝑥-3 = 0.\n1 pkt - zastosowanie wzoru na cosinus podwojonego kąta.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\n48\nInformator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie rozszerzonym od roku szkolnego 2024/2025\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nKorzystamy ze wzoru na cosinus podwojonego kąta i przekształcamy równoważnie równanie\ndo prostszej postaci:\n(3 -2 cos 𝑥)2 = 8 sin2 (𝑥\n2) -8 cos2 (𝑥\n2) + 12\n9 -12 cos 𝑥+ 4 cos2 𝑥= -8 (cos2 𝑥\n2 -sin2 𝑥\n2) + 12\n4 cos2 𝑥-12 cos 𝑥+ 9 = -8 cos (2 ⋅𝑥\n2) + 12\n4 cos2 𝑥-4 cos 𝑥-3 = 0\ncos 𝑥= -1\n2 ∨ cos 𝑥= 3\n2\nPonieważ 3\n2 ∉[-1, 1], więc cos 𝑥= -1\n2 .\nKorzystamy z wykresu funkcji cosinus i zapisujemy rozwiązanie równania cos 𝑥= -1\n2\nw przedziale (0, 𝜋):\n𝑥= 2\n3 𝜋","answer":null,"answer_text":null,"solution":"Korzystamy ze wzoru na cosinus podwojonego kąta i przekształcamy równanie: (3 - 2cos x)² = 8sin²(x/2) - 8cos²(x/2) + 12. Lewa strona: 9 - 12cos x + 4cos²x. Prawa: -8(cos²(x/2) - sin²(x/2)) + 12 = -8cos x + 12. Zatem 9 - 12cos x + 4cos²x = -8cos x + 12, czyli 4cos²x - 4cos x - 3 = 0. Rozwiązujemy równanie kwadratowe zmiennej cos x: Δ = 16 + 48 = 64, cos x = (4-8)/8 = -1/2 lub cos x = (4+8)/8 = 3/2. Ponieważ 3/2 ∉ [-1,1], zostaje cos x = -1/2. W przedziale (0, π) rozwiązaniem jest x = 2π/3. Odpowiedź: x = 2π/3.","image":"img/informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-rozszerzony/zad-15.webp","solution_image":null,"topics":"trygonometria","page_from":46,"source":"ai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"ai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2025","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny"},{"id":"informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-rozszerzony/zad/16","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-rozszerzony","number":"16","points":3,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2025,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 16. (0-3)\nWykaż, że równanie 𝒙𝟒-𝟕𝒙𝟑+ 𝟗𝒙𝟐+ 𝟖𝒙-𝟐= 𝟎 ma w przedziale (-𝟐, 𝟐) co\nnajmniej dwa różne rozwiązania.\nPrzykładowe zadania z rozwiązaniami\n49\nWymagania ogólne\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n1.\nPrzeprowadzanie rozumowań […];\n4.\nStosowanie i tworzenie strategii przy rozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach\nnietypowych.\nWymaganie szczegółowe\nXIII. Optymalizacja i rachunek różniczkowy. Zdający:\n2R) stosuje własność Darboux do uzasadniania istnienia miejsca zerowego funkcji.\nZasady oceniania\n3 pkt - przeprowadzenie pełnego dowodu.\n2 pkt - podanie dla funkcji 𝑓(𝑥) = 𝑥4 -7𝑥3 + 9𝑥2 + 8𝑥-2 takich trzech argumentów\n𝑥1 < 𝑥2 < 𝑥3 leżących w przedziale (-2, 2), dla których 𝑓(𝑥1) > 0, 𝑓(𝑥2) < 0\ni 𝑓(𝑥3) > 0, oraz uzasadnienie, że funkcja 𝑓 jest ciągła.\n1 pkt - podanie dla funkcji 𝑓(𝑥) = 𝑥4 -7𝑥3 + 9𝑥2 + 8𝑥-2 takich dwóch argumentów\n𝑥1 < 𝑥2 leżących w przedziale (-2, 2), dla których 𝑓(𝑥1) ⋅𝑓(𝑥2) < 0.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nNiech 𝑓 będzie funkcją określoną wzorem 𝑓(𝑥) = 𝑥4 -7𝑥3 + 9𝑥2 + 8𝑥-2 dla 𝑥∈ℝ.\nObliczamy wartości funkcji 𝑓 w kilku punktach przedziału (-2, 2):\n𝑓(-1) = (-1)4 -7 ⋅(-1)3 + 9 ⋅(-1)2 + 8 ⋅(-1) -2 = 7\n𝑓(0) = -2\n𝑓(1) = 14 -7 ⋅13 + 9 ⋅12 + 8 ⋅1 -2 = 9\nFunkcja 𝑓 jest ciągła jako funkcja wielomianowa, więc na mocy twierdzenia Darboux\nfunkcja 𝑓 przyjmuje w przedziale (-1, 0) wszystkie wartości ze zbioru (-2, 7).\nZatem istnieje 𝑥1 ∈(-1,0) takie, że 𝑓(𝑥1) = 0.\nPodobnie, funkcja 𝑓 przyjmuje w przedziale (0, 1) wszystkie wartości ze zbioru (-2, 9),\nwięc istnieje 𝑥2 ∈(0, 1) takie, że 𝑓(𝑥2) = 0.\nTo oznacza, że w przedziale (-2, 2) równanie podane w treści zadania ma co najmniej\ndwa różne rozwiązania.\n50\nInformator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie rozszerzonym od roku szkolnego 2024/2025","answer":null,"answer_text":null,"solution":"Niech f(x) = x⁴ - 7x³ + 9x² + 8x - 2. Funkcja jest wielomianowa, a więc ciągła w ℝ. Obliczamy wartości w punktach przedziału (-2,2): f(-1) = 1 + 7 + 9 - 8 - 2 = 7, f(0) = -2, f(1) = 1 - 7 + 9 + 8 - 2 = 9. Ponieważ f(-1) = 7 > 0, f(0) = -2 < 0, a f jest ciągła na [-1,0], z twierdzenia Darboux istnieje x₁ ∈ (-1,0) takie, że f(x₁) = 0. Podobnie f(0) = -2 < 0, f(1) = 9 > 0 i ciągłość na [0,1] dają x₂ ∈ (0,1) z f(x₂) = 0. Oba pierwiastki leżą w przedziale (-2,2) i są różne (jeden ujemny, drugi dodatni), więc równanie ma w (-2,2) co najmniej dwa różne rozwiązania.","image":"img/informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-rozszerzony/zad-16.webp","solution_image":null,"topics":"wielomiany","page_from":48,"source":"ai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"ai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2025","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny"},{"id":"informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-rozszerzony/zad/17","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-rozszerzony","number":"17","points":3,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2025,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 17. (0-3)\nCiąg (𝑎𝑛) jest określony wzorem\n𝑎𝑛= (𝑛+ 5)2 ⋅(\n𝑝+ 1\n(𝑛+ 1)(𝑛+ 2) +\n2𝑝+ 2\n(𝑛+ 2)(𝑛+ 3))\ndla każdej liczby naturalnej 𝑛≥1.\nWyznacz wszystkie wartości parametru 𝒑, dla których granica ciągu (𝒂𝒏) jest\nrówna 𝟏𝟐. Zapisz obliczenia.\nWymaganie ogólne\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji.\n1.\nStosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nWymaganie szczegółowe\nVI. Ciągi. Zdający:\n1R) oblicza granice ciągów, korzystając z […] twierdzeń o granicach sumy, różnicy,\niloczynu i ilorazu ciągów zbieżnych […].\nPrzykładowe zadania z rozwiązaniami\n51\nZasady oceniania\n3 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik.\n2 pkt - wyznaczenie granicy ciągu (𝑎𝑛) w zależności od 𝑝.\n1 pkt - obliczenie jednej z granic:\nlim\n𝑛→+∞\n(𝑛+5)\n2\n(𝑛+1)(𝑛+2) lub lim\n𝑛→+∞\n(𝑛+5)\n2\n(𝑛+2)(𝑛+3).\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nPrzekształcamy wzór ciągu (𝑎𝑛) do postaci\n𝑎𝑛= (𝑝+ 1) ⋅\n(𝑛+ 5)2\n(𝑛+ 1)(𝑛+ 2) + (2𝑝+ 2) ⋅\n(𝑛+ 5)2\n(𝑛+ 2)(𝑛+ 3)\nObliczamy następujące granice:\nlim\n𝑛→+∞\n(𝑛+ 5)2\n(𝑛+ 1)(𝑛+ 2) = lim\n𝑛→+∞\n𝑛2 ⋅(1 + 5\n𝑛)\n2\n𝑛2 ⋅(1 + 1\n𝑛) (1 + 2\n𝑛)\n= lim\n𝑛→+∞\n(1 + 5\n𝑛)\n2\n(1 + 1\n𝑛) (1 + 2\n𝑛)\n= 1\nlim\n𝑛→+∞\n(𝑛+ 5)2\n(𝑛+ 2)(𝑛+ 3) = lim\n𝑛→+∞\n𝑛2 ⋅(1 + 5\n𝑛)\n2\n𝑛2 ⋅(1 + 2\n𝑛) (1 + 3\n𝑛)\n= lim\n𝑛→+∞\n(1 + 5\n𝑛)\n2\n(1 + 2\n𝑛) (1 + 3\n𝑛)\n= 1\nZatem\nlim\n𝑛→+∞𝑎𝑛= lim\n𝑛→+∞[(𝑝+ 1) ⋅\n(𝑛+ 5)2\n(𝑛+ 1)(𝑛+ 2) + (2𝑝+ 2) ⋅\n(𝑛+ 5)2\n(𝑛+ 2)(𝑛+ 3)] =\n= (𝑝+ 1) ⋅lim\n𝑛→+∞\n(𝑛+ 5)2\n(𝑛+ 1)(𝑛+ 2) + (2𝑝+ 2) ⋅lim\n𝑛→+∞\n(𝑛+ 5)2\n(𝑛+ 2)(𝑛+ 3) =\n= (𝑝+ 1) ⋅1 + (2𝑝+ 2) ⋅1 = 3𝑝+ 3\nZ warunków zadania otrzymujemy 12 = 3𝑝+ 3, więc 𝑝= 3.\n52\nInformator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie rozszerzonym od roku szkolnego 2024/2025","answer":null,"answer_text":null,"solution":"Przekształcamy wzór: aₙ = (p+1)·(n+5)²/[(n+1)(n+2)] + (2p+2)·(n+5)²/[(n+2)(n+3)]. Obliczamy granice: lim (n+5)²/[(n+1)(n+2)] = lim (1+5/n)²/[(1+1/n)(1+2/n)] = 1 oraz lim (n+5)²/[(n+2)(n+3)] = lim (1+5/n)²/[(1+2/n)(1+3/n)] = 1. Zatem lim aₙ = (p+1)·1 + (2p+2)·1 = 3p + 3. Z warunku 3p + 3 = 12 otrzymujemy p = 3. Odpowiedź: p = 3.","image":"img/informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-rozszerzony/zad-17.webp","solution_image":null,"topics":"granice","page_from":50,"source":"ai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"ai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2025","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny"},{"id":"informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-rozszerzony/zad/18","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-rozszerzony","number":"18","points":null,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2025,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 18.\nRozpatrujemy wszystkie takie prostopadłościany, w których suma długości wszystkich\nkrawędzi jest równa 80, pole powierzchni całkowitej jest równe 256 i długości wszystkich\nkrawędzi są nie mniejsze niż 4.","answer":null,"answer_text":null,"solution":"Wspólna treść zadania 18. Niech a, b, c będą długościami krawędzi prostopadłościanu (a,b,c ≥ 4). Suma długości krawędzi: 4a + 4b + 4c = 80, czyli a + b + c = 20. Pole powierzchni: 2ab + 2bc + 2ca = 256, czyli ab + bc + ca = 128. Dla ustalonego c liczby a i b są pierwiastkami równania t² - (20-c)t + (c²-20c+128) = 0. Warunek istnienia rozwiązań a,b ≥ 4 prowadzi (część 18.1) do c ∈ [4, 28/3]. Objętość prostopadłościanu (część 18.2): V = abc = c[ab] = c[(128 - c(a+b))] = c(c² - 20c + 128) = c³ - 20c² + 128c. Jej najmniejsza wartość na przedziale [4, 28/3] wynosi 256 (osiągana dla c = 4 lub c = 8).","image":"img/informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-rozszerzony/zad-18.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":52,"source":"ai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"ai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2025","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny"},{"id":"informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-rozszerzony/zad/18.1","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-rozszerzony","number":"18.1","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2025,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 18.1. (0-4)\nWykaż, że układ równań\n𝟒𝒂+ 𝟒𝒃+ 𝟒𝒄= 𝟖𝟎\n(1)\n𝟐𝒂𝒃+ 𝟐𝒃𝒄+ 𝟐𝒄𝒂= 𝟐𝟓𝟔\n(2)\nz niewiadomymi 𝒂 oraz 𝒃 ma rozwiązanie, które jest parą liczb rzeczywistych nie\nmniejszych od 𝟒 wtedy i tylko wtedy, gdy 𝒄∈[𝟒, 28\n3 ].\nPrzykładowe zadania z rozwiązaniami\n53\nWymagania ogólne\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji.\n1.\nStosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych;\n3.\nTworzenie pomocniczych obiektów matematycznych na podstawie istniejących,\nw celu przeprowadzenia argumentacji lub rozwiązania problemu.\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n3.\n[…] tworzenie ciągu argumentów, gwarantujących poprawność rozwiązania […].\nWymaganie szczegółowe\nIIII. Równania i nierówności. Zdający:\n5R) analizuje równania i nierówności kwadratowe z parametrami […], podaje warunki,\nprzy których rozwiązania […] należą do określonego przedziału […].\n54\nInformator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie rozszerzonym od roku szkolnego 2024/2025\nZasady oceniania\n4 pkt - powołanie się na odpowiednie własności funkcji 𝑓 prowadzące do wniosku, że układ\n(1)-(2) ma rozwiązanie w zbiorze liczb rzeczywistych nie mniejszych od 4.\n3 pkt - przyjęcie założenia 𝑐∈[4, 28\n3 ] i zbudowanie funkcji\n𝑓(𝑎) = 𝑎2 + (𝑐-20)𝑎+ (𝑐2 -20𝑐+ 128) dla podanego zakresu parametru 𝑐.\n2 pkt - obliczenie wyróżnika równania i podanie argumentacji prowadzącej do wniosku\n𝑐∈[4, 28\n3 ].\n1 pkt - przyjęcie założenia, że układ (1)-(2) ma rozwiązanie i zapisanie prawidłowego\nrównania kwadratowego z niewiadomą 𝑎 (lub 𝑏) i parametrem 𝑐.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nZałóżmy, że układ równań (1)-(2) ma rozwiązanie w zbiorze liczb rzeczywistych nie\nmniejszych od 4. Wtedy\n{ 𝑎+ 𝑏+ 𝑐= 20\n𝑎𝑏+ 𝑏𝑐+ 𝑐𝑎= 128\n(3)\nPrzekształcamy układ równań do postaci, w której otrzymamy równanie kwadratowe\nz niewiadomą 𝑎 i parametrem 𝑐:\n{𝑏= 20 -𝑎-𝑐\n𝑎(20 -𝑎-𝑐) + (20 -𝑎-𝑐)𝑐+ 𝑐𝑎= 128\n{𝑏= 20 -𝑎-𝑐\n-𝑎2 + (-𝑐+ 20)𝑎+ (-𝑐2 + 20𝑐-128) = 0\n{𝑏= 20 -𝑎-𝑐\n𝑎2 + (𝑐-20)𝑎+ (𝑐2 -20𝑐+ 128) = 0\nRównanie 𝑎2 + (𝑐-20)𝑎+ (𝑐2 -20𝑐+ 128) = 0 ma z założenia rozwiązanie, więc\nwyróżnik Δ𝑎 jest nieujemny, co prowadzi do:\nΔ𝑎≥0\n(𝑐-20)2 -4(𝑐2 -20𝑐+ 128) ≥0\n-3𝑐2 + 40𝑐-112 ≥0\n-3(𝑐-4) (𝑐-28\n3 ) ≥0\n𝑐∈[4, 28\n3 ]\nJeśli 𝑐∈[4, 28\n3 ], to funkcja 𝑓(𝑎) = 𝑎2 + (𝑐-20)𝑎+ (𝑐2 -20𝑐+ 128) ma co najmniej\njedno miejsce zerowe (gdyż Δ𝑎≥0).\nPrzykładowe zadania z rozwiązaniami\n55\nWykresem funkcji 𝑓 jest parabola, której wierzchołek 𝑊= (𝑝, 𝑞) ma rzędną niedodatnią\n𝑞= -Δ\n4 .\nOdcięta 𝑝= -𝑐-20\n2\n∈[16\n3 , 8], a ponadto 𝑓(4) = 𝑐2 -16𝑐+ 64 = (𝑐-8)2 ≥0.\nZatem 𝑓 ma miejsce zerowe w zbiorze [4, +∞).\nPodobnie argumentujemy, że funkcja 𝑔(𝑏) = 𝑏2 + (𝑐-20)𝑏+ (𝑐2 -20𝑐+ 128) ma\nmiejsce zerowe w przedziale [4, +∞).\nZatem układ (1)-(2) ma rozwiązanie w zbiorze liczb rzeczywistych nie mniejszych od 4.","answer":null,"answer_text":null,"solution":"Z równań (1) i (2) po podzieleniu przez 4 i 2 otrzymujemy a + b + c = 20 oraz ab + bc + ca = 128. Wyznaczamy b = 20 - a - c i podstawiamy do drugiego równania: a(20-a-c) + (20-a-c)c + ca = 128, skąd po uporządkowaniu a² + (c-20)a + (c²-20c+128) = 0. Równanie to (z niewiadomą a, przy parametrze c) ma rozwiązanie rzeczywiste wtedy i tylko wtedy, gdy jego wyróżnik jest nieujemny: Δ = (c-20)² - 4(c²-20c+128) = -3c² + 40c - 112 ≥ 0. Stąd 3c² - 40c + 112 ≤ 0, czyli -3(c-4)(c - 28/3) ≥ 0, a więc c ∈ [4, 28/3]. Na odwrót, dla c ∈ [4, 28/3] funkcja f(a) = a² + (c-20)a + (c²-20c+128) ma Δ ≥ 0, a jej wierzchołek ma odciętą p = (20-c)/2 ∈ [16/3, 8]; ponadto f(4) = 16 + 4(c-20) + c² - 20c + 128 = c² - 16c + 64 = (c-8)² ≥ 0. Zatem f ma pierwiastek a₀ ≥ 4, a wówczas b₀ = 20 - a₀ - c ≥ 4 (analogiczne rozumowanie dla b). Wobec tego układ ma rozwiązanie (a,b) o obu współrzędnych ≥ 4 dokładnie wtedy, gdy c ∈ [4, 28/3].","image":"img/informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-rozszerzony/zad-18.1.webp","solution_image":null,"topics":"uklady_rownan","page_from":52,"source":"ai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"ai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2025","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny"},{"id":"informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-rozszerzony/zad/18.2","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-rozszerzony","number":"18.2","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2025,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 18.2. (0-4)\nObjętość 𝑉 każdego z rozpatrywanych prostopadłościanów można wyrazić za pomocą\nfunkcji\n𝑉(𝑐) = 𝑐3 -20𝑐2 + 128𝑐\ngdzie 𝑐∈[4, 28\n3 ] jest długością jednej z krawędzi bryły.\nOblicz objętość tego spośród rozpatrywanych prostopadłościanów, którego objętość\njest najmniejsza. Zapisz obliczenia.\n56\nInformator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie rozszerzonym od roku szkolnego 2024/2025\nWymaganie ogólne\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji.\n1.\nStosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nWymaganie szczegółowe\nXIII. Optymalizacja i rachunek różniczkowy. Zdający:\n6R) rozwiązuje zadania optymalizacyjne z zastosowaniem pochodnej.\nZasady oceniania\n4 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik.\n3 pkt - zbadanie znaku pochodnej funkcji 𝑉 i określenie monotoniczności funkcji 𝑉.\n2 pkt - obliczenie miejsc zerowych pochodnej funkcji 𝑉.\n1 pkt - wyznaczenie pochodnej funkcji 𝑉.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nW celu znalezienia prostopadłościanu, którego objętość jest najmniejsza, należy zbadać\nfunkcję 𝑉(𝑐).\nWyznaczamy pochodną funkcji 𝑉 i obliczamy miejsca zerowe pochodnej funkcji 𝑉:\n𝑉′(𝑐) = 3𝑐2 -40𝑐+ 128\n𝑉′(𝑐) = 0\n3𝑐2 -40𝑐+ 128 = 0\nΔ = 64\nPrzykładowe zadania z rozwiązaniami\n57\n𝑐= 8 lub 𝑐= 16\n3\nBadamy monotoniczność funkcji 𝑉. Ponieważ\n𝑉′(𝑐) > 0 dla 𝑐∈[4, 16\n3 ) ∪(8, 28\n3 ]\n𝑉′(𝑐) < 0 dla 𝑐∈(16\n3 , 8)\nwięc\nfunkcja 𝑉 jest rosnąca w przedziałach [4, 16\n3 ] oraz [8, 28\n3 ]\nfunkcja 𝑉 jest malejąca w przedziale [16\n3 , 8].\nPonieważ 𝑉(4) = 256, 𝑉(8) = 256 oraz 𝑉(28\n3 ) ≈265, więc najmniejsza możliwa\nobjętość prostopadłościanu jest równa 256.","answer":null,"answer_text":null,"solution":"Badamy funkcję V(c) = c³ - 20c² + 128c na przedziale [4, 28/3]. Pochodna: V'(c) = 3c² - 40c + 128. Miejsca zerowe: 3c² - 40c + 128 = 0, Δ = 1600 - 1536 = 64, c = (40-8)/6 = 16/3 lub c = (40+8)/6 = 8. Ponieważ V'(c) > 0 dla c ∈ [4, 16/3) ∪ (8, 28/3] i V'(c) < 0 dla c ∈ (16/3, 8), funkcja V rośnie na [4, 16/3] i na [8, 28/3], a maleje na [16/3, 8]. Obliczamy wartości: V(4) = 64 - 320 + 512 = 256, V(8) = 512 - 1280 + 1024 = 256 oraz V(28/3) ≈ 265. Najmniejsza objętość wynosi więc 256. Odpowiedź: najmniejsza objętość to 256 (jednostek objętości).","image":"img/informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-rozszerzony/zad-18.2.webp","solution_image":null,"topics":"optymalizacja","page_from":55,"source":"ai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"ai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2025","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny"},{"id":"informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-rozszerzony/zad/19","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-rozszerzony","number":"19","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2025,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 19. (0-4)\nNa rysunku obok przedstawiono położenie miejscowości\n𝐴, 𝐵 i 𝐶 oraz zaznaczono odległości między nimi.\nO godzinie 9:00 z miejscowości 𝐴 do 𝐶 wyruszył zastęp\nharcerzy „Tropiciele” i przemieszczał się\nz prędkością 4 km/h. O tej samej godzinie\nz miejscowości 𝐵 do 𝐴 wyruszył zastęp harcerzy\n„Korsarze” i przemieszczał się z prędkością 2 km/h.\nWyznacz godzinę, o której odległość między tymi zastępami harcerzy będzie\nnajmniejsza. Zapisz obliczenia.\n𝐴\n𝐵\n𝐶\n15 km\n20 km\n58\nInformator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie rozszerzonym od roku szkolnego 2024/2025\nWymagania ogólne\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji.\n2.\nDobieranie i tworzenie modeli matematycznych przy rozwiązywaniu problemów\npraktycznych i teoretycznych.\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n4)\nStosowanie i tworzenie strategii przy rozwiązywaniu zadań […].\nWymagania szczegółowe\nXIII. Optymalizacja i rachunek różniczkowy. Zdający:\n4R) oblicza pochodną funkcji potęgowej o wykładniku rzeczywistym oraz oblicza\npochodną, korzystając z twierdzeń o pochodnej sumy, różnicy, iloczynu, ilorazu\ni funkcji złożonej;\n6R) rozwiązuje zadania optymalizacyjne z zastosowaniem pochodnej.\nZasady oceniania\ndla rozwiązania sposobem 1.\n4 pkt - poprawna metoda wyznaczenia chwili, w której odległość między zastępami będzie\nnajmniejsza i poprawna odpowiedź.\n3 pkt - uzasadnienie, że odległość 𝑑 jest najmniejsza wtedy, gdy wyrażenie\npodpierwiastkowe 20𝑡2 -60𝑡+ 225 jest możliwie najmniejsze oraz podanie\nzakresu zmienności 𝑡.\n2 pkt - wyznaczenie odległości 𝑑 między zastępami w zależności od czasu 𝑡, jaki upłynął\nod momentu wyruszenia zastępów.\nPrzykładowe zadania z rozwiązaniami\n59\n1 pkt - wyznaczenie odległości poszczególnych zastępów od miejscowości 𝐴 w zależności\nod czasu, jaki upłynął od momentu wyruszenia zastępów.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\ndla rozwiązania sposobem 2.\n4 pkt - uzasadnienie (np. poprzez zbadanie monotoniczności), że dla 𝑡= 1,5 funkcja 𝑑(𝑡)\nosiąga minimum globalne i podanie poprawnej odpowiedzi.\n3 pkt - podanie dziedziny funkcji 𝑑(𝑡), obliczenie pochodnej funkcji 𝑑(𝑡) i znalezienie\npunktów krytycznych.\n2 pkt - wyznaczenie odległości 𝑑 między zastępami w zależności od czasu 𝑡, jaki upłynął\nod momentu wyruszenia zastępów.\n1 pkt - wyznaczenie odległości poszczególnych zastępów od miejscowości 𝐴 w zależności\nod czasu, jaki upłynął od momentu wyruszenia zastępów.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób 1.\nNiech 𝑑1 będzie odległością (w km) zastępu „Tropiciele” od miejscowości 𝐴.\nWyznaczamy zależność 𝑑1 od czasu 𝑡 (w godzinach), jaki upłynął od chwili wyruszenia\nzastępu z miejscowości 𝐴:\n𝑑1(𝑡) = 4𝑡\ndla 𝑡∈[0, 5].\nNiech 𝑑2 będzie odległością (w km) zastępu „Korsarze” od miejscowości 𝐴.\nWyznaczamy zależność 𝑑2 od czasu 𝑡 (w godzinach), jaki upłynął od chwili wyruszenia\nzastępu z miejscowości 𝐵:\n𝑑2(𝑡) = 15 -2𝑡\ndla 𝑡∈[0, 15\n2 ].\nOdległość między zastępami badamy do momentu, gdy pierwszy z nich dotrze do celu.\nOdległość 𝑑 między zastępami w chwili 𝑡 jest równa\n𝑑(𝑡) = √𝑑1\n2(𝑡) + 𝑑2\n2(𝑡) = √16𝑡2 + (15 -2𝑡)2 dla 𝑡∈[0, 5].\nBadamy, dla jakiego argumentu 𝑡∈[0, 5] funkcja 𝑑 osiąga wartość najmniejszą.\nPonieważ funkcja 𝑔(𝑥) = √𝑥 jest funkcją rosnącą w przedziale [0, +∞), więc funkcja 𝑑\nosiąga wartość najmniejszą dla takiego argumentu, dla którego funkcja 𝑓 określona wzorem\n𝑓(𝑡) = 16𝑡2 + (15 -2𝑡)2 = 20𝑡2 -60𝑡+ 225 dla 𝑡∈[0, 5]\nosiąga wartość najmniejszą.\nKorzystamy z własności funkcji kwadratowej i obliczamy argument, dla którego funkcja 𝑓\nosiąga wartość najmniejszą:\n𝑡= 60\n2⋅20 = 1,5 ∈[0, 5]\n60\nInformator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie rozszerzonym od roku szkolnego 2024/2025\nwięc funkcja 𝑓 osiąga wartość najmniejszą dla 𝑡= 1,5. Zatem funkcja 𝑑 osiąga wartość\nnajmniejszą dla argumentu 𝑡= 1,5.\nOdległość między zastępami harcerzy będzie najmniejsza o godzinie 10:30.\nSposób 2.\nNiech 𝑑1 będzie odległością (w km) zastępu „Tropiciele” od miejscowości 𝐴.\nWyznaczamy zależność 𝑑1 od czasu 𝑡 (w godzinach), jaki upłynął od chwili wyruszenia\nzastępu z miejscowości 𝐴:\n𝑑1(𝑡) = 4𝑡\ndla 𝑡∈[0, 5].\nNiech 𝑑2 będzie odległością (w km) zastępu „Korsarze” od miejscowości 𝐴.\nWyznaczamy zależność 𝑑2 od czasu 𝑡 (w godzinach), jaki upłynął od chwili wyruszenia\nzastępu z miejscowości 𝐵:\n𝑑2(𝑡) = 15 -2𝑡\ndla 𝑡∈[0, 15\n2 ].\nOdległość 𝑑 między zastępami w chwili 𝑡 wynosi\n𝑑(𝑡) = √𝑑1\n2(𝑡) + 𝑑2\n2(𝑡) = √16𝑡2 + (15 -2𝑡)2 dla 𝑡∈[0, 5] oraz\n𝑑(𝑡) = √𝑑1\n2(5) + 𝑑2\n2(𝑡) = √400 + (15 -2𝑡)2 dla 𝑡∈(5, 15\n2 ],\nprzy czym przyjmujemy, że dla 𝑡∈[5, 15\n2 ] „Tropiciele” znajdują się w miejscowości 𝐶.\nBadamy, dla jakiego argumentu 𝑡∈[0, 15\n2 ] funkcja 𝑑 osiąga wartość najmniejszą.\nWyznaczamy pochodną funkcji 𝑑:\n𝑑′(𝑡) = (√16𝑡2 + (15 -2𝑡)2)\n′\n1\n2√16𝑡2 + (15 -2𝑡)2 ⋅[16𝑡2 + (15 -2𝑡)2]′ =\n1\n2√16𝑡2 + (15 -2𝑡)2 ⋅[32𝑡+ 2 ⋅(15 -2𝑡) ⋅(-2)] =\n20𝑡-30\n√16𝑡2 + (15 -2𝑡)2\ndla 𝑡∈[0, 5] oraz\n𝑑′(𝑡) = (√400 + (15 -2𝑡)2)\n′\n1\n2√400 + (15 -2𝑡)2 ⋅[400 + (15 -2𝑡)2]′ =\n1\n2√400 + (15 -2𝑡)2 ⋅[2 ⋅(15 -2𝑡) ⋅(-2)] =\n4𝑡-30\n√400 + (15 -2𝑡)2\ndla 𝑡∈(5, 15\n2 ].\nObliczamy miejsca zerowe pochodnej funkcji 𝑑:\nPrzykładowe zadania z rozwiązaniami\n61\n20𝑡-30\n√16𝑡2 + (15 -2𝑡)2 = 0\n𝑡= 3\n2 ∈[0, 5]\noraz\n4𝑡-30\n√400 + (15 -2𝑡)2 = 0\n𝑡= 15\n2 ∈(5, 15\n2 ]\nBadamy monotoniczność funkcji 𝑑.\nPonieważ\n𝑑′(𝑡) > 0 dla 𝑡∈(3\n2 , 5]\n𝑑′(𝑡) < 0 dla 𝑡∈[0, 3\n2) oraz dla 𝑡∈(5, 15\n2 )\nwięc\nfunkcja 𝑑 jest rosnąca w przedziale [3\n2 , 5]\nfunkcja 𝑑 jest malejąca w przedziałach [0, 3\n2] oraz [5, 15\n2 ].\nPonadto 𝑑(3\n2) = √180 oraz 𝑑(15\n2 ) = √400. Zatem funkcja 𝑑 osiąga wartość\nnajmniejszą dla 𝑡= 1,5.\nOdległość między zastępami harcerzy będzie najmniejsza o godzinie 10:30.\n62\nInformator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie rozszerzonym od roku szkolnego 2024/2025\nPoniżej przedstawiono ilustrację geometryczną do sposobów 1. (po lewej) oraz 2. (po\nprawej).\nPunkty 𝑋𝑖 odpowiadają położeniom zastępu „Korsarze” po kolejnych półgodzinnych\nodstępach czasu, licząc od momentu wyruszenia z miejscowości 𝐵.\nPunkty 𝑌𝑖 odpowiadają położeniom zastępu „Tropiciele” po kolejnych półgodzinnych\nodstępach czasu, licząc od momentu wyruszenia z miejscowości 𝐴.\n𝑑= |𝑋𝑖𝑌𝑖| (w km)\nGodzina\n|𝑋1𝑌1| ≈14,14\n9:30\n|𝑋2𝑌2| ≈13,60\n10:00\n|𝑋3𝑌3| ≈13,42\n10:30\n|𝑋4𝑌4| ≈13,60\n11:00\n|𝑋5𝑌5| ≈14,14\n11:30\n|𝑋6𝑌6| ≈15,00\n12:00\n|𝑋7𝑌7| ≈16,12\n12:30\n|𝑋8𝑌8| ≈17,46\n13:00\n|𝑋9𝑌9| ≈18,97\n13:30\n|𝑋10𝑌10| ≈20,62\n14:00\n|𝑋11𝑌10| ≈20,40\n14:30\n|𝑋12𝑌10| ≈20,22\n15:00\n|𝑋13𝑌10| ≈20,10\n15:30\n|𝑋14𝑌10| ≈20,02\n16:00\n|𝐴𝑌10| ≈20,00\n16:30\n𝑑= |𝑋𝑖𝑌𝑖| (w km)\nGodzina\n|𝑋1𝑌1| ≈14,14\n9:30\n|𝑋2𝑌2| ≈13,60\n10:00\n|𝑋3𝑌3| ≈13,42\n10:30\n|𝑋4𝑌4| ≈13,60\n11:00\n|𝑋5𝑌5| ≈14,14\n11:30\n|𝑋6𝑌6| ≈15,00\n12:00\n|𝑋7𝑌7| ≈16,12\n12:30\n|𝑋8𝑌8| ≈17,46\n13:00\n|𝑋9𝑌9| ≈18,97\n13:30\n|𝑋10𝑌10| ≈20,62\n14:00\n𝐴\n𝐵\n𝑋1\n𝑋2\n𝑋3\n𝑋4\n𝑋5\n𝑋6\n𝑌1\n𝑌2\n𝑌3\n𝑌4\n𝑌5\n𝑌10 = 𝐶\n𝑋7\n𝑋8\n𝑋9\n𝑋10\n𝑌6\n𝑌7\n𝑌8\n𝑌9\n𝐴\n𝐵\n𝑋1\n𝑋2\n𝑋3\n𝑋4\n𝑋5\n𝑋6\n𝑌1\n𝑌2\n𝑌3\n𝑌4\n𝑌5\n𝑌10 = ⋯𝑌15 = 𝐶\n𝑋11\n𝑋12\n𝑋7\n𝑋8\n𝑋9\n𝑋10\n𝑌6\n𝑌7\n𝑌8\n𝑌9\n𝑋13\n𝑋14\nPrzykładowe zadania z rozwiązaniami\n63","answer":null,"answer_text":null,"solution":"Z rysunku: AB = 15 km, AC = 20 km i kąty przy wierzchołku A są proste, więc odcinki AB i AC są prostopadłe. Niech t oznacza czas w godzinach liczony od 9:00. „Tropiciele” idą z A do C z prędkością 4 km/h, więc ich odległość od A to d₁(t) = 4t. „Korsarze” idą z B do A z prędkością 2 km/h, więc ich odległość od A to d₂(t) = 15 - 2t. Ponieważ kierunki są prostopadłe, kwadrat odległości między zastępami wynosi d²(t) = d₁² + d₂² = 16t² + (15-2t)² = 20t² - 60t + 225 dla t ∈ [0, 5] (do chwili, gdy Tropiciele dotrą do C). Pierwiastek jest funkcją rosnącą, więc d jest najmniejsze, gdy funkcja kwadratowa f(t) = 20t² - 60t + 225 przyjmuje minimum. Wierzchołek: t = 60/(2·20) = 1,5 ∈ [0,5]. Zatem d osiąga minimum dla t = 1,5 h, czyli o godzinie 9:00 + 1:30 = 10:30. Odpowiedź: odległość będzie najmniejsza o godzinie 10:30.","image":"img/informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-rozszerzony/zad-19.webp","solution_image":null,"topics":"optymalizacja","page_from":57,"source":"ai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"ai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2025","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny"},{"id":"informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-rozszerzony/zad/20","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-rozszerzony","number":"20","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2025,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 20. (0-4)\nFirma X wytwarza pewien produkt D. Badania\nrynku pokazały, że związek między ilością 𝑄\nproduktu D, jaką firma jest w stanie zbyć na\nrynku, a ceną 𝑃 produktu jest następujący:\n𝑃(𝑄) = 90 -0,1𝑄 dla 𝑄∈[0, 900]\ngdzie 𝑃 jest ceną za jednostkę produktu\nw złotych, a 𝑄 - ilością produktu w tys. sztuk.\nKoszty 𝐾 wytworzenia produktu D zależą od ilości 𝑄 wytwarzanego produktu\nnastępująco:\n𝐾(𝑄) = 0,002𝑄3 + 𝑄2 + 29,9985𝑄+ 50\ngdzie 𝐾 jest kosztem produkcji w tys. zł.\nOblicz, przy jakiej wielkości produkcji firma X osiąga największy dochód. Wynik\npodaj zaokrąglony z dokładnością do 100 sztuk. Zapisz obliczenia.\n64\nInformator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie rozszerzonym od roku szkolnego 2024/2025\nWymagania ogólne\nII. Wykorzystanie i tworzenie informacji.\n1.\nInterpretowanie i operowanie informacjami przedstawionymi w tekście […].\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji.\n2.\nDobieranie i tworzenie modeli matematycznych przy rozwiązywaniu problemów\npraktycznych i teoretycznych.\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n4.\nStosowanie i tworzenie strategii przy rozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach\nnietypowych.\nWymagania szczegółowe\nXIII. Optymalizacja i rachunek różniczkowy. Zdający:\n4R) oblicza pochodną funkcji potęgowej o wykładniku rzeczywistym oraz oblicza\npochodną, korzystając z twierdzeń o pochodnej sumy, różnicy, iloczynu, ilorazu\ni funkcji złożonej;\n5R) stosuje pochodną do badania monotoniczności funkcji;\n6R) rozwiązuje zadania optymalizacyjne z zastosowaniem pochodnej.\nZasady oceniania\n4 pkt - poprawna metoda wyznaczenia wielkości produkcji gwarantującej maksymalny\ndochód i poprawny wynik zaokrąglony z podaną dokładnością.\n3 pkt - znalezienie ekstremów lokalnych funkcji dochodu 𝑍(𝑄).\n2 pkt - zapisanie dochodu w zależności od 𝑄.\n1 pkt - zapisanie przychodu w zależności od 𝑄.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe zadania z rozwiązaniami\n65\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nDochód 𝑍 firmy to przychód 𝑅 pomniejszony o koszty 𝐾.\nPonieważ przychód wyraża się zależnością 𝑅= 𝑄⋅𝑃, więc\n𝑅(𝑄) = 90𝑄-0,1𝑄2\nWyznaczamy zależność dochodu od wielkości produkcji:\n𝑍(𝑄) = 𝑅(𝑄) -𝐾(𝑄)\n𝑍(𝑄) = -0,002𝑄3 -1,1𝑄2 + 60,0015𝑄-50\nW celu znalezienia optymalnej wielkości produkcji, przy której dochód jest możliwie\nnajwiększy, należy zbadać funkcję 𝑍.\nWyznaczamy pochodną funkcji 𝑍 i obliczamy miejsca zerowe pochodnej:\n𝑍′(𝑄) = -0,006𝑄2 -2,2𝑄+ 60,0015\ndla 𝑄∈[0, 900]\n𝑍′(𝑄) = 0\n-0,006𝑄2 -2,2𝑄+ 60,0015 = 0 i 𝑄∈[0, 900]\nΔ = (-2,2)2 -4 ⋅(-0,006) ⋅60,0015 = 6,280036\n𝑄1 = 2,2 -√6,280036\n2 ⋅ (-0,006)\n= 25,5 (𝑄2 < 0)\nPonieważ:\n𝑍′(𝑄) > 0 dla 𝑄∈[0, 𝑄1]\n𝑍′(𝑄) < 0 dla 𝑄∈[𝑄1, 900]\nwięc\nfunkcja 𝑍 jest rosnąca w przedziale [0, 𝑄1]\nfunkcja 𝑍 jest malejąca w przedziale [𝑄1, 900].\nZatem funkcja 𝑍 przyjmuje największą wartość dla argumentu 𝑄1 = 25,5.\nDochód firmy jest największy przy wielkości produkcji 25 500 sztuk.\n66\nInformator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie rozszerzonym od roku szkolnego 2024/2025\nPLANIMETRIA, GEOMETRIA ANALITYCZNA, STEREOMETRIA","answer":null,"answer_text":null,"solution":"Przychód: R(Q) = Q·P(Q) = Q(90 - 0,1Q) = 90Q - 0,1Q². Dochód to przychód minus koszt: Z(Q) = R(Q) - K(Q) = (90Q - 0,1Q²) - (0,002Q³ + Q² + 29,9985Q + 50) = -0,002Q³ - 1,1Q² + 60,0015Q - 50, dla Q ∈ [0,900]. Pochodna: Z'(Q) = -0,006Q² - 2,2Q + 60,0015. Rozwiązujemy Z'(Q) = 0: Δ = (-2,2)² - 4·(-0,006)·60,0015 = 4,84 + 1,440036 = 6,280036, √Δ ≈ 2,506, Q = (2,2 - 2,506)/(-0,012) ≈ 25,5 (drugi pierwiastek jest ujemny). Ponieważ Z'(Q) > 0 dla Q < 25,5 i Z'(Q) < 0 dla Q > 25,5, funkcja Z osiąga maksimum dla Q ≈ 25,5. Q jest wyrażone w tys. sztuk, więc optymalna produkcja to 25 500 sztuk. Odpowiedź: 25 500 sztuk (przy zaokrągleniu do 100 sztuk).","image":"img/informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-rozszerzony/zad-20.webp","solution_image":null,"topics":"optymalizacja","page_from":63,"source":"ai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"ai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2025","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny"},{"id":"informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-rozszerzony/zad/21","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-rozszerzony","number":"21","points":5,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2025,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 21. (0-5)\nW ostrosłupie prawidłowym czworokątnym 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸 punkt 𝑂 jest środkiem symetrii\npodstawy ostrosłupa. Stosunek obwodu podstawy 𝐴𝐵𝐶𝐷 do sumy długości wszystkich\nkrawędzi ostrosłupa jest równy 1: 5. Przez przekątną 𝐴𝐶 podstawy i środek 𝑆 krawędzi\nbocznej 𝐵𝐸 poprowadzono płaszczyznę.\nOblicz stosunek pola otrzymanego przekroju do pola podstawy ostrosłupa oraz miarę\nkąta 𝑩𝑺𝑶 (w zaokrągleniu do 𝟏°). Zapisz obliczenia.\nWskazówka.\nSkorzystaj z tablicy wartości funkcji trygonometrycznych (Wybrane wzory matematyczne,\nstrona 34).\nPrzykładowe zadania z rozwiązaniami\n67\nWymagania ogólne\nII. Wykorzystanie i tworzenie informacji.\n1.\nInterpretowanie i operowanie informacjami przedstawionymi w tekście, zarówno\nmatematycznym, jak i popularnonaukowym, a także w formie wykresów,\ndiagramów, tabel.\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n4.\nStosowanie i tworzenie strategii przy rozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach\nnietypowych.\nWymaganie szczegółowe\nX. Stereometria. Zdający:\n2R) wyznacza przekroje sześcianu i ostrosłupów prawidłowych oraz oblicza ich pola,\ntakże z wykorzystanie trygonometrii.\n68\nInformator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie rozszerzonym od roku szkolnego 2024/2025\nZasady oceniania\ndla rozwiązań sposobami 1. oraz 2.\n5 pkt - obliczenie miary kąta 𝐵𝑆𝑂 (w zaokrągleniu do 1°) oraz obliczenie stosunku pola\nprzekroju do pola podstawy ostrosłupa.\n4 pkt - obliczenie wartości cosinusa kąta 𝐵𝑆𝑂 oraz stosunku pola przekroju do pola\npodstawy ostrosłupa\nALBO\n- wyznaczenie miary kąta 𝐵𝑆𝑂.\n3 pkt - obliczenie stosunku pola przekroju do pola podstawy ostrosłupa\nALBO\n- obliczenie wartości cosinusa kąta 𝐵𝑆𝑂.\n2 pkt - wyznaczenie długości odcinka 𝑂𝑆 w zależności od długości krawędzi podstawy.\n1 pkt - wyznaczenie długości krawędzi bocznej w zależności od długości krawędzi podstawy.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\ndla rozwiązania sposobem 3.\n5 pkt - obliczenie miary kąta 𝐵𝑆𝑂 (w zaokrągleniu do 1°) oraz obliczenie stosunku pola\nprzekroju do pola podstawy ostrosłupa.\n4 pkt - obliczenie cosinusa kąta 𝑂𝐸𝐵 lub 𝐹𝐵𝑆.\n3 pkt - obliczenie stosunku pola przekroju do pola podstawy ostrosłupa.\n2 pkt - wyznaczenie długości odcinków 𝑆𝐹 i 𝑂𝐹.\n1 pkt - wyznaczenie długości krawędzi bocznej w zależności od długości krawędzi podstawy.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób 1.\nPrzyjmijmy oznaczenia jak na rysunku 1.\nRysunek 1.\n𝐴\n𝐵\n𝐶\n𝐷\n𝐸\n𝑆\n𝑂\nα\n𝑎\n𝑏\nPrzykładowe zadania z rozwiązaniami\n69\nWyznaczamy 𝑏 w zależności od 𝑎.\nZ treści zadania mamy\n4𝑎\n4𝑎+4𝑏= 1\n5 , co daje 𝑏= 4𝑎.\nWyznaczamy |𝑂𝑆| w zależności od 𝑎.\nTrójkąt 𝑂𝐵𝐸 jest prostokątny, punkt 𝑆 jest środkiem\nprzeciwprostokątnej, więc 𝑆 jest środkiem okręgu\nopisanego na trójkącie 𝑂𝐵𝐸 (zobacz rysunek 2.).\nZatem |𝑂𝑆| = 2𝑎.\nObliczamy stosunek pola przekroju 𝐴𝐶𝑆 do pola podstawy\nostrosłupa:\n𝑃𝐴𝐶𝑆\n𝑃𝐴𝐵𝐶𝐷\n1\n2 ⋅𝑎√2 ⋅|𝑂𝑆|\n𝑎2\n1\n2 ⋅𝑎√2 ⋅2𝑎\n𝑎2\n= √2\nDo trójkąta 𝐵𝑆𝑂 stosujemy twierdzenie cosinusów w celu obliczenia cosinusa kąta 𝐵𝑆𝑂:\n(𝑎√2\n2 )\n2\n= (2𝑎)2 + (2𝑎)2 -2 ⋅2𝑎⋅2𝑎⋅cos 𝛼\nZ ostatniego równania otrzymujemy cos 𝛼= 15\n16 , więc 𝛼≈20°.\nSposób 2.\nPrzyjmijmy oznaczenia jak na rysunku 1.\nWyznaczamy 𝑏 w zależności od 𝑎.\nZ treści zadania mamy\n4𝑎\n4𝑎+4𝑏= 1\n5 , co daje 𝑏= 4𝑎.\nStąd i z twierdzenia cosinusów zastosowanego do trójkąta 𝐵𝐸𝐶 obliczamy cosinus\nkąta 𝐵𝐸𝐶:\n𝑎2 = 𝑏2 + 𝑏2 -2 ⋅𝑏⋅𝑏⋅cos |∡𝐵𝐸𝐶|\n𝑎2 = 16𝑎2 + 16𝑎2 -2 ⋅4𝑎⋅4𝑎⋅cos |∡𝐵𝐸𝐶|\ncos |∡𝐵𝐸𝐶| = 31\n32\n𝑂\n𝐵\n𝐸\n𝑆\nα\n2𝑎\n2𝑎\nRysunek 2.\n70\nInformator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie rozszerzonym od roku szkolnego 2024/2025\nKorzystamy z twierdzenia cosinusów zastosowanego do trójkąta 𝐶𝑆𝐸 i wyznaczamy\ndługość odcinka 𝑆𝐶:\n|𝑆𝐶|2 = 𝑏2 + (1\n2 𝑏)\n2\n-2 ⋅1\n2 𝑏⋅𝑏⋅cos |∡𝐵𝐸𝐶|\n|𝑆𝐶|2 = 16𝑎2 + 4𝑎2 -16𝑎2 ⋅31\n32\n|𝑆𝐶|2 = 9\n2 𝑎2\n|𝑆𝐶| = 3𝑎\n√2\nStosujemy twierdzenie Pitagorasa do trójkąta 𝑂𝐶𝑆 w celu wyznaczenia długości odcinka\n𝑂𝑆:\n|𝑂𝑆|2 = |𝑆𝐶|2 -(√2𝑎\n2 )\n2\n|𝑂𝑆|2 = 9\n2 𝑎2 -1\n2 𝑎2\n|𝑂𝑆| = 2𝑎\nObliczamy stosunek pola przekroju 𝐴𝐶𝑆 do pola podstawy ostrosłupa:\n𝑃𝐴𝐶𝑆\n𝑃𝐴𝐵𝐶𝐷\n1\n2 ⋅𝑎√2 ⋅|𝑂𝑆|\n𝑎2\n1\n2 ⋅𝑎√2 ⋅2𝑎\n𝑎2\n= √2\nW celu obliczenia cosinusa kąta 𝐵𝑆𝑂 zastosujemy do trójkąta 𝐵𝑆𝑂 (zobacz rysunek 2.)\ntwierdzenie cosinusów:\n(𝑎√2\n2 )\n2\n= (2𝑎)2 + (2𝑎)2 -2 ⋅2𝑎⋅2𝑎⋅cos 𝛼\nZ ostatniego równania otrzymujemy cos 𝛼= 15\n16 , więc 𝛼≈20°.\nSposób 3.\nWyznaczamy zależność 𝑏 od 𝑎.\nZ treści zadania mamy\n4𝑎\n4𝑎+4𝑏= 1\n5 , co daje 𝑏= 4𝑎.\nStosujemy twierdzenie Pitagorasa dla trójkąta prostokątnego 𝐵𝑂𝐸 i obliczamy długość\nodcinka 𝑂𝐸:\n|𝑂𝐸|2 = |𝐵𝐸|2 -|𝑂𝐵|2\nPrzykładowe zadania z rozwiązaniami\n71\n|𝑂𝐸|2 = 62\n4 𝑎2\n|𝑂𝐸| = √62\n2 𝑎\nOznaczmy przez 𝐹 rzut prostokątny punktu 𝑆 na odcinek 𝑂𝐵.\nPonieważ |∡𝑂𝐸𝐵| = |∡𝐹𝑆𝐵|, |∡𝑂𝐵𝐸| = |∡𝐹𝐵𝑆| i trójkąty 𝐵𝑂𝐸 oraz 𝐵𝐹𝑆 są\nprostokątne, więc są podobne (na mocy cechy kkk podobieństwa trójkątów). Trójkąty 𝐵𝑂𝐸\ni 𝐵𝐹𝑆 są podobne w skali 𝑘=\n|𝐵𝐸|\n|𝐵𝑆| = 4𝑎\n2𝑎= 2. Zatem 𝐹 jest środkiem odcinka 𝑂𝐵, więc\n|𝑂𝐹| = 1\n2 ⋅|𝑂𝐵| = 𝑎√2\n4 oraz |𝑆𝐹| = 1\n2 ⋅|𝑂𝐸| = √62\n4 𝑎\nObliczamy długość odcinka 𝑂𝑆:\n|𝑂𝑆|2 = |𝑂𝐹|2 + |𝑆𝐹|2\n|𝑂𝑆|2 = (𝑎√2\n4 )\n2\n+ (√62\n4 𝑎)\n2\n|𝑂𝑆| = 2𝑎\nObliczamy stosunek pola przekroju 𝐴𝐶𝑆 do pola podstawy ostrosłupa:\n𝑃𝐴𝐶𝑆\n𝑃𝐴𝐵𝐶𝐷\n1\n2 ⋅𝑎√2 ⋅|𝑂𝑆|\n𝑎2\n1\n2 ⋅𝑎√2 ⋅2𝑎\n𝑎2\n= √2\nPonieważ\ncos|∡𝐹𝑆𝐵| =\n|𝐹𝑆|\n|𝐵𝑆| =\n√62\n4 𝑎\n2𝑎\n= √62\n8\ni trójkąt 𝑂𝑆𝐵 jest równoramienny, więc 𝛼= 2 ⋅|∡𝐹𝑆𝐵|. Zatem\ncos 𝛼= cos(2 ⋅|∡𝐹𝑆𝐵|) = 2 cos2|∡𝐹𝑆𝐵| -1 = 2 ⋅(√62\n8 )\n2\n-1 = 15\n16\nskąd 𝛼≈20°.\n72\nInformator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie rozszerzonym od roku szkolnego 2024/2025","answer":null,"answer_text":null,"solution":"Niech a będzie krawędzią podstawy, a b krawędzią boczną ostrosłupa prawidłowego czworokątnego. Obwód podstawy 4a, suma wszystkich krawędzi 4a + 4b, więc 4a/(4a+4b) = 1/5, skąd 20a = 4a + 4b, czyli b = 4a. O jest środkiem podstawy, S środkiem krawędzi BE. W trójkącie BDE odcinek OS łączy środki boków BD i BE, więc OS = DE/2 = b/2 = 2a. Płaszczyzna przez przekątną AC i punkt S daje przekrój — trójkąt ACS. Pole przekroju: P(ACS) = ½·|AC|·|OS| = ½·(a√2)·(2a) = a²√2. Pole podstawy P(ABCD) = a². Stosunek pól: a²√2 / a² = √2. Kąt BSO: w trójkącie BSO mamy |OB| = a√2/2, |OS| = 2a oraz |SB| = b/2 = 2a. Z twierdzenia cosinusów: (a√2/2)² = (2a)² + (2a)² - 2·(2a)(2a)cos α, czyli a²/2 = 8a² - 8a²cos α, skąd cos α = (8 - 1/2)/8 = 15/16. Zatem α ≈ 20°. Odpowiedź: stosunek pola przekroju do pola podstawy wynosi √2, a kąt BSO ≈ 20°.","image":"img/informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-rozszerzony/zad-21.webp","solution_image":null,"topics":"stereometria","page_from":66,"source":"ai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"ai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2025","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny"},{"id":"informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-rozszerzony/zad/22","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-rozszerzony","number":"22","points":5,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2025,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 22. (0-5)\nW kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) proste o równaniach\n2𝑥+ 𝑦-4𝑚-4 = 0 oraz 𝑥-3𝑦+ 5𝑚+ 5 = 0 przecinają się w punkcie 𝑃\no współrzędnych (𝑥𝑃, 𝑦𝑃).\nWyznacz wszystkie wartości parametru 𝒎, dla których współrzędne punktu 𝑷\nspełniają warunki:\n𝒙𝑷> 𝟎, 𝒚𝑷> 𝟎, 𝒚𝑷≥𝒙𝑷\n𝟐 oraz 𝟐< -\n𝟖\n(𝒚𝑷)𝟐+ 𝟖\n𝒙𝑷\nZapisz obliczenia.\nPrzykładowe zadania z rozwiązaniami\n73\nWymaganie ogólne\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n4.\nStosowanie i tworzenie strategii przy rozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach\nnietypowych.\nWymaganie szczegółowe\nIV. Układy równań. Zdający:\n1)\nrozwiązuje układy równań liniowych z dwiema niewiadomymi, podaje interpretację\ngeometryczną układów oznaczonych, nieoznaczonych i sprzecznych.\nZasady oceniania\n5 pkt - poprawne wyznaczenie wszystkich wartości parametru 𝑚, dla których współrzędne\npunktu 𝑃 spełniają podane warunki.\n4 pkt - wyznaczenie wartości 𝑚, dla których obie współrzędne punktu 𝑃 są dodatnie\ni rozwiązanie nierówności 2(𝑚+ 1) ≥(𝑚+ 1)2 oraz 2 < -\n8\n[2(𝑚 + 1)]2 +\n8\n𝑚 + 1 .\n3 pkt - wyznaczenie wartości 𝑚, dla których obie współrzędne punktu 𝑃 są dodatnie oraz\nrozwiązanie jednej z nierówności:\n2(𝑚+ 1) ≥(𝑚+ 1)2 lub 2 < -\n8\n[2(𝑚 + 1)]2 +\n8\n𝑚 + 1 .\n2 pkt - wyznaczenie wartości 𝑚, dla których obie współrzędne punktu 𝑃 są dodatnie\nALBO\n- rozwiązanie jednej z nierówności:\n2(𝑚+ 1) ≥(𝑚+ 1)2 lub 2 < -\n8\n[2(𝑚 + 1)]2 +\n8\n𝑚 + 1 .\n1 pkt - wyznaczenie współrzędnych punktu 𝑃 w zależności od 𝑚.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nPunkt 𝑃 leży na obu prostych, więc\n{2𝑥𝑃+ 𝑦𝑃-4𝑚-4 = 0\n𝑥𝑃-3𝑦𝑃+ 5𝑚+ 5 = 0\nZ powyższego układu równań wyznaczamy współrzędne punktu 𝑃:\n𝑥𝑃= 𝑚+ 1\n𝑦𝑃= 2(𝑚+ 1)\n74\nInformator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie rozszerzonym od roku szkolnego 2024/2025\nPonieważ 𝑥𝑃> 0 i 𝑦𝑃> 0, więc\n𝑚+ 1 > 0 i 2(𝑚+ 1) > 0\nco daje 𝑚∈(-1, +∞).\nUwzględniamy warunki zadania 𝑦𝑃≥𝑥𝑃\n2 i 2 < -\n8\n(𝑦𝑃)2 + 8\n𝑥𝑃\n:\n2(𝑚+ 1) ≥(𝑚+ 1)2 i 2 < -\n8\n[2(𝑚+ 1)]2 +\n8\n𝑚+ 1\n2(𝑚+ 1) ≥(𝑚+ 1)2 i 2 < -\n2\n(𝑚+ 1)2 +\n8\n𝑚+ 1\n-(𝑚+ 1)(𝑚-1) ≥0 i 2(𝑚+ 1)2\n(𝑚+ 1)2 +\n2\n(𝑚+ 1)2 -8(𝑚+ 1)\n(𝑚+ 1)2 < 0\n𝑚∈[-1, 1] i 2𝑚2 -4𝑚-4\n(𝑚+ 1)2\n< 0\n𝑚∈[-1, 1] i 2𝑚2 -4𝑚-4 < 0 i 𝑚≠-1\n𝑚∈[-1, 1] i 𝑚∈(1 -√3, 1 + √3) i 𝑚≠-1\n𝑚∈(1 -√3, 1]\nPonieważ 𝑚∈(-1, +∞) i 𝑚∈(1 -√3, 1], więc ostatecznie 𝑚∈(1 -√3, 1].","answer":null,"answer_text":null,"solution":"Punkt P leży na obu prostych, więc 2x_P + y_P - 4m - 4 = 0 oraz x_P - 3y_P + 5m + 5 = 0. Rozwiązując układ otrzymujemy x_P = m + 1, y_P = 2(m+1). Warunki x_P > 0 i y_P > 0 dają m + 1 > 0 i 2(m+1) > 0, czyli m ∈ (-1, +∞). Warunek y_P ≥ x_P²: 2(m+1) ≥ (m+1)², czyli (m+1)(2 - (m+1)) = (m+1)(1-m) ≥ 0, skąd m ∈ [-1, 1]. Warunek 2 < -8/(y_P)² + 8/x_P: podstawiając y_P = 2(m+1), x_P = m+1 mamy 2 < -8/[4(m+1)²] + 8/(m+1) = -2/(m+1)² + 8/(m+1). Po pomnożeniu przez (m+1)² > 0: 2(m+1)² < -2 + 8(m+1), czyli 2(m+1)² - 8(m+1) + 2 < 0, a po podzieleniu przez 2: (m+1)² - 4(m+1) + 1 < 0. Stąd m² - 2m - 2 < 0, czyli (m-1)² < 3, więc m ∈ (1-√3, 1+√3). Uwzględniając m ∈ (-1,1] otrzymujemy ostatecznie m ∈ (1-√3, 1]. Odpowiedź: m ∈ (1-√3, 1].","image":"img/informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-rozszerzony/zad-22.webp","solution_image":null,"topics":"parametr","page_from":72,"source":"ai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"ai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2025","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny"},{"id":"informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-rozszerzony/zad/23","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-rozszerzony","number":"23","points":3,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2025,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 23. (0-3)\nW kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) trapez 𝐴𝐵𝐶𝐷 jest wpisany w okrąg\no środku w punkcie 𝑆= (19, -11) i promieniu 17√2. Wierzchołek 𝐴 trapezu ma obie\nwspółrzędne ujemne, a odcinek 𝐴𝐵 jest dłuższą z podstaw tego trapezu. Przekątna 𝐴𝐶\ntrapezu 𝐴𝐵𝐶𝐷 jest zawarta w prostej o równaniu 𝑦= 𝑥.\nOblicz sinus kąta 𝑨𝑩𝑪. Zapisz obliczenia.\nPrzykładowe zadania z rozwiązaniami\n75\nWymaganie ogólne\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n4.\nStosowanie i tworzenie strategii przy rozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach\nnietypowych.\nWymagania szczegółowe\nIX. Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej. Zdający:\n1R) znajduje punkty wspólne prostej i okręgu.\nVII. Trygonometria. Zdający:\n7R) stosuje twierdzenie sinusów.\nZasady oceniania\ndla rozwiązań sposobami 1. oraz 2.\n3 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik.\n2 pkt - obliczenie długości odcinka 𝐴𝐶.\n1 pkt - obliczenie współrzędnych wierzchołków 𝐴 i 𝐶 trapezu\nALBO\n- obliczenie odległości środka okręgu od prostej zawierającej przekątną 𝐴𝐶 trapezu.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób 1.\nZapisujemy równanie okręgu o środku w punkcie 𝑆= (19, -11) i promieniu 17√2:\n(𝑥-19)2 + (𝑦+ 11)2 = 578\nObliczamy współrzędne wierzchołków 𝐴 i 𝐶 trapezu:\n76\nInformator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie rozszerzonym od roku szkolnego 2024/2025\n{ (𝑥-19)2 + (𝑦+ 11)2 = 578\n𝑦= 𝑥\n(𝑥-19)2 + (𝑥+ 11)2 = 578\n2𝑥2 -16𝑥-96 = 0\n𝑥= -4 lub 𝑥= 12\nPonieważ wierzchołek 𝐴 trapezu ma obie współrzędne ujemne, więc otrzymujemy\n𝐴= (-4, -4) oraz 𝐶= (12, 12).\nObliczamy długość odcinka 𝐴𝐶:\n|𝐴𝐶| = √(12 + 4)2 + (12 + 4)2 = 16√2\nPo zastosowaniu twierdzenia sinusów do trójkąta 𝐴𝐵𝐶 otrzymujemy\n|𝐴𝐶|\nsin |∡𝐴𝐵𝐶| = 2𝑅\nsin |∡𝐴𝐵𝐶| =\n|𝐴𝐶|\n2𝑅= 16√2\n34√2\n= 8\n17\nSposób 2.\nNiech 𝐸 będzie środkiem odcinka 𝐴𝐶. Obliczamy |𝑆𝐸| jako odległość punktu 𝑆 od\nprostej 𝐴𝐶 o równaniu 𝑥-𝑦= 0:\n𝑑(𝑆, 𝐴𝐶) = |𝑆𝐸| =\n|19 -(-11)|\n√12 + (-1)2 = 15√2\nStosujemy twierdzenie Pitagorasa do trójkąta 𝐶𝐸𝑆 w celu obliczenia długości odcinka 𝐸𝐶\n(połowa długości przekątnej 𝐴𝐶 trapezu 𝐴𝐵𝐶𝐷):\n|𝐸𝐶|2 = |𝐶𝑆|2 -|𝑆𝐸|2\n|𝐸𝐶|2 = (17√2)\n2 -(15√2)\n2 = 128\nZatem |𝐴𝐶| = 2 ⋅|𝐸𝐶| = 16√2.\nPo zastosowaniu twierdzenia sinusów do trójkąta 𝐴𝐵𝐶 otrzymujemy\n|𝐴𝐶|\nsin |∡𝐴𝐵𝐶| = 2𝑅\nsin |∡𝐴𝐵𝐶| =\n|𝐴𝐶|\n2𝑅= 16√2\n34√2\n= 8\n17\nPrzykładowe zadania z rozwiązaniami\n77","answer":null,"answer_text":null,"solution":"Okrąg ma środek S = (19, -11) i promień R = 17√2, więc jego równanie to (x-19)² + (y+11)² = 578. Przekątna AC leży na prostej y = x. Szukamy punktów wspólnych: (x-19)² + (x+11)² = 578, 2x² - 16x - 96 = 0, x² - 8x - 48 = 0, (x-12)(x+4) = 0, więc x = -4 lub x = 12. Wierzchołek A ma obie współrzędne ujemne, więc A = (-4,-4), a C = (12,12). Długość przekątnej: |AC| = √(16² + 16²) = 16√2. Trójkąt ABC jest wpisany w dany okrąg o promieniu R, więc z twierdzenia sinusów |AC|/sin|∡ABC| = 2R, skąd sin|∡ABC| = |AC|/(2R) = 16√2/(34√2) = 8/17. Odpowiedź: sin|∡ABC| = 8/17.","image":"img/informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-rozszerzony/zad-23.webp","solution_image":null,"topics":"analityczna","page_from":74,"source":"ai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"ai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2025","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny"},{"id":"informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-rozszerzony/zad/24","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-rozszerzony","number":"24","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2025,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 24. (0-4)\nW kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) czworokąt 𝐴𝐵𝐶𝐷 jest równoległobokiem\ntakim, że 𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = [-21, -7] i 𝐷𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ = [15, 8].\nOblicz pole tego równoległoboku. Zapisz obliczenia.\nWymaganie ogólne\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n4.\nStosowanie i tworzenie strategii przy rozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach\nnietypowych.\n78\nInformator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie rozszerzonym od roku szkolnego 2024/2025\nWymagania szczegółowe\nVII. Trygonometria. Zdający:\n2)\nkorzysta z wzorów sin2 𝛼+ cos2 𝛼= 1 […].\nVIII. Planimetria. Zdający:\n2)\n[…] stosuje twierdzenie odwrotne do twierdzenia Pitagorasa i twierdzenie\ncosinusów […].\nIX. Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej. Zdający:\n3R) zna pojęcie wektora i oblicza jego współrzędne oraz długość, dodaje wektory […].\nZasady oceniania\ndla rozwiązania sposobem 1.\n4 pkt - poprawna metoda obliczenia pola równoległoboku i poprawny wynik.\n3 pkt - obliczenie sinusa kąta 𝐵𝐷𝐶.\n2 pkt - zastosowanie twierdzenia cosinusów do obliczenia cosinusa kąta 𝐵𝐷𝐶.\n1 pkt - obliczenie długości boków trójkąta 𝐵𝐶𝐷.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\ndla rozwiązań sposobami 2. oraz 3.\n4 pkt - poprawna metoda obliczenia pola równoległoboku i poprawny wynik.\n3 pkt - obliczenie pola trójkąta 𝐵𝐶𝐷.\n2 pkt - zastosowanie wzoru do obliczenia pola trójkąta 𝐵𝐶𝐷.\n1 pkt - wyrażenie współrzędnych punktów 𝐵 i 𝐶 za pomocą współrzędnych punktu 𝐷\nALBO\n- obliczenie długości boków trójkąta 𝐵𝐶𝐷.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób 1.\nObliczamy długości boków trójkąta 𝐵𝐶𝐷:\nBC⃗⃗⃗⃗⃗ = BD⃗⃗⃗⃗⃗ + DC⃗⃗⃗⃗⃗ = [-21, -7] + [15, 8] = [-6, 1]\n|𝐵𝐶| = √(-6)2 + 12 = √37\n|𝐶𝐷| = √152 + 82 = √289 = 17\n|𝐵𝐷| = √(-21)2 + (-7)2 = √490 = 7√10\nOznaczmy kąt 𝐵𝐷𝐶 trójkąta 𝐵𝐶𝐷 przez 𝛼.\nZ twierdzenia cosinusów oraz ze wzoru sin2 𝛼+ cos2 𝛼= 1 obliczamy sinus kąta 𝛼:\n|𝐵𝐶|2 = |𝐵𝐷|2 + |𝐶𝐷|2 -2 ⋅|𝐵𝐷| ⋅|𝐶𝐷| ⋅cos 𝛼\n37 = 490 + 289 -2 ⋅7√10 ⋅17 ⋅cos 𝛼\ncos 𝛼=\n53\n17√10\nPrzykładowe zadania z rozwiązaniami\n79\nKąt 𝛼 jest kątem ostrym, więc\nsin 𝛼= √1 -cos2 𝛼= √1 -2809\n2890 = √81\n2890 =\n9\n17√10\nObliczamy pole równoległoboku:\n𝑃𝐴𝐵𝐶𝐷= |𝐶𝐷| ⋅|𝐵𝐷| ⋅sin 𝛼\n𝑃𝐴𝐵𝐶𝐷= 17 ⋅7√10 ⋅\n9\n17√10\n= 63\nPole czworokąta 𝐴𝐵𝐶𝐷 jest równe 63.\nSposób 2.\nNiech 𝑥𝐷 , 𝑦𝐷 będą współrzędnymi punktu 𝐷, tj. 𝐷= (𝑥𝐷, 𝑦𝐷).\nWyrazimy współrzędne punktów 𝐵 i 𝐶 za pomocą współrzędnych punktu 𝐷.\nPonieważ 𝐷𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = -𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = [21, 7], więc 𝐵= (21 + 𝑥𝐷, 7 + 𝑦𝐷) i podobnie:\n𝐷𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ = [15, 8], więc 𝐶= (15 + 𝑥𝐷, 8 + 𝑦𝐷).\nKorzystamy ze wzoru na pole trójkąta (przy danych wierzchołkach trójkąta) w celu obliczenia\npola trójkąta 𝐵𝐶𝐷:\n𝑃𝐵𝐶𝐷= 1\n2 ⋅|[(15 + 𝑥𝐷) -(21 + 𝑥𝐷)][𝑦𝐷-(7 + 𝑦𝐷)] -[(8 + 𝑦𝐷) -(7 + 𝑦𝐷)][𝑥𝐷-(21 + 𝑥𝐷)]|\n𝑃𝐵𝐶𝐷= 1\n2 ⋅|(-6) ⋅(-7) -1 ⋅(-21)| = 63\n2\nObliczamy pole równoległoboku 𝐴𝐵𝐶𝐷:\n𝑃𝐴𝐵𝐶𝐷= 2 ⋅𝑃𝐵𝐶𝐷= 63\nPole równoległoboku 𝐴𝐵𝐶𝐷 jest równe 63.\nSposób 3.\nOznaczmy: 𝑎= |𝐵𝐷|, 𝑏= |𝐵𝐶| , 𝑐= |𝐶𝐷|, 2𝑝= 𝑎+ 𝑏+ 𝑐.\nObliczamy długości boków trójkąta 𝐵𝐶𝐷:\n𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐷𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ = [-21, -7] + [15, 8] = [-6, 1]\n𝑏= |𝐵𝐶| = √(-6)2 + 12 = √37\n𝑐= |𝐶𝐷| = √152 + 82 = √289 = 17\n𝑎= |𝐵𝐷| = √(-21)2 + (-7)2 = √490 = 7√10\n80\nInformator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie rozszerzonym od roku szkolnego 2024/2025\nKorzystamy ze wzoru Herona w celu obliczenia pola trójkąta 𝐵𝐶𝐷.\n𝑝= 𝑎+ 𝑏+ 𝑐\n2\n= 7√10 + √37 + 17\n2\n𝑝-𝑎= √37 + 17 -7√10\n2\n𝑝-𝑏= 7√10 + 17 -√37\n2\n𝑝-𝑐= √37 + 7√10 -17\n2\n𝑝(𝑝-𝑎) ⋅(𝑝-𝑏)(𝑝-𝑐) = (√37 + 17)\n2 -(7√10)\n2\n4\n⋅(7√10)\n2 -(17 -√37)\n2\n4\n𝑝(𝑝-𝑎)(𝑝-𝑏)(𝑝-𝑐) = 34√37 -164\n4\n⋅34√37 + 164\n4\n𝑝(𝑝-𝑎)(𝑝-𝑏)(𝑝-𝑐) = 15876\n16\n𝑃𝐵𝐶𝐷= √15876\n16\n= 63\n2\nObliczamy pole równoległoboku 𝐴𝐵𝐶𝐷:\n𝑃𝐴𝐵𝐶𝐷= 2 ⋅𝑃𝐵𝐶𝐷= 63\nPole równoległoboku 𝐴𝐵𝐶𝐷 jest równe 63.\nPrzykładowe zadania z rozwiązaniami\n81","answer":null,"answer_text":null,"solution":"W równoległoboku ABCD wektor BC = BD + DC = [-21,-7] + [15,8] = [-6,1]. Obliczamy długości boków trójkąta BCD: |BC| = √((-6)² + 1²) = √37, |CD| = √(15² + 8²) = 17, |BD| = √((-21)² + (-7)²) = √490 = 7√10. Niech α = |∡BDC|. Z twierdzenia cosinusów: |BC|² = |BD|² + |CD|² - 2·|BD|·|CD|·cos α, 37 = 490 + 289 - 2·7√10·17·cos α, skąd cos α = 742/(238√10) = 53/(17√10). Kąt α jest ostry, więc sin α = √(1 - cos²α) = √(1 - 2809/2890) = √(81/2890) = 9/(17√10). Pole równoległoboku równa się polu dwóch trójkątów BCD, czyli P = 2·(½·|CD|·|BD|·sin α) = |CD|·|BD|·sin α = 17·7√10·9/(17√10) = 63. Odpowiedź: pole równoległoboku wynosi 63.","image":"img/informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-rozszerzony/zad-24.webp","solution_image":null,"topics":"analityczna","page_from":77,"source":"ai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"ai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2025","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny"},{"id":"informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-rozszerzony/zad/25","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-rozszerzony","number":"25","points":3,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2025,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 25. (0-3)\nDany jest sześcian 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹𝐺𝐻 o krawędzi długości 𝑎. Punkt 𝑃 jest środkiem\nkrawędzi 𝐶𝐺 tego sześcianu (zobacz rysunek poniżej).\nOblicz odległość wierzchołka 𝑪 od płaszczyzny zawierającej punkty 𝑩, 𝑫 oraz 𝑷.\nZapisz obliczenia.\n𝐴\n𝐵\n𝐶\n𝐷\n𝐸\n𝐹\n𝐺\n𝐻\n𝑃\n|𝑃𝐺|= ȁ𝑃𝐶ȁ\n𝑎\n82\nInformator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie rozszerzonym od roku szkolnego 2024/2025\nWymaganie ogólne\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n4.\nStosowanie i tworzenie strategii przy rozwiązywaniu zadań […].\nWymaganie szczegółowe\nX. Stereometria. Zdający:\n2R) wyznacza przekroje sześcianu […].\nZasady oceniania\ndla rozwiązań sposobami 1.-4.\n3 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik.\n2 pkt - obliczenie pola trójkąta 𝐶𝑃𝑆 i wyrażenie pola tegoż trójkąta za pomocą ℎ (gdzie ℎ\njest szukaną docelowo odległością w zadaniu)\nALBO\n- obliczenie sinusa kąta 𝑆𝑃𝐶 i wyrażenie sinusa kąta 𝐾𝑃𝐶 za pomocą ℎ (gdzie ℎ\njest szukaną docelowo odległością w zadaniu)\nALBO\n- wyznaczenie objętości ostrosłupa 𝐵𝐶𝐷𝑃 o podstawie 𝐵𝐶𝐷 i wyrażenie objętości\nostrosłupa 𝐵𝐷𝑃𝐶 o podstawie 𝐵𝐷𝑃 za pomocą ℎ (gdzie ℎ jest szukaną\ndocelowo odległością w zadaniu)\nALBO\n- zastosowanie twierdzenia Pitagorasa do trójkątów 𝑆𝐾𝐶 oraz 𝑃𝐾𝐶 i zapisanie\nrównania\n(√2\n2 𝑎)\n2\n-(|𝑃𝑆| -|𝐾𝑃|)2 = (𝑎\n2)\n2\n-|𝐾𝑃|2\n1 pkt - obliczenie odległości punktu 𝑃 od punktu 𝑆.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób 1. (z wykorzystaniem równości pól trójkąta)\nOznaczmy przez 𝑆 punkt przecięcia się przekątnych podstawy 𝐴𝐵𝐶𝐷 sześcianu,\nnatomiast przez ℎ - wysokość trójkąta 𝐶𝑃𝑆 opuszczoną z wierzchołka 𝐶 na bok 𝑃𝑆.\nStosujemy twierdzenie Pitagorasa do trójkąta 𝐶𝑃𝑆 i obliczamy długość boku 𝑃𝑆:\n|𝑃𝑆|2 = |𝐶𝑆|2 + |𝐶𝑃|2\n|𝑃𝑆|2 = (1\n2 𝑎√2)\n2\n+ (1\n2 𝑎)\n2\n|𝑃𝑆| = √3\n2 𝑎\nPonieważ pole trójkąta 𝐶𝑃𝑆 jest równe\n𝑃𝐶𝑃𝑆= 1\n2 ⋅|𝐶𝑆| ⋅|𝐶𝑃| = 1\n2 ⋅1\n2 𝑎√2 ⋅1\n2 𝑎= √2\n8 𝑎2\nPrzykładowe zadania z rozwiązaniami\n83\noraz\n𝑃𝐶𝑃𝑆= 1\n2 ⋅|𝑃𝑆| ⋅ℎ= 1\n2 ⋅1\n2 𝑎√3 ⋅ℎ= √3\n4 𝑎ℎ\nwięc\n√2\n8 𝑎2 = √3\n4 𝑎ℎ\nco daje ℎ=\n√6\n6 𝑎.\nSzukana odległość jest równa\n√6\n6 𝑎.\nSposób 2. (z wykorzystaniem równości sinusów kąta)\nOznaczmy przez:\n𝑆 - punkt przecięcia się przekątnych podstawy 𝐴𝐵𝐶𝐷 sześcianu,\nℎ - wysokość trójkąta 𝐶𝑃𝑆 opuszczoną z wierzchołka 𝐶 na bok 𝑃𝑆,\n𝐾 - spodek wysokości trójkąta 𝐶𝑃𝑆 opuszczonej z wierzchołka 𝐶 na bok 𝑃𝑆.\nStosujemy twierdzenie Pitagorasa do trójkąta 𝐶𝑃𝑆 i obliczamy długość boku 𝑃𝑆:\n|𝑃𝑆|2 = |𝐶𝑆|2 + |𝐶𝑃|2\n|𝑃𝑆|2 = (1\n2 𝑎√2)\n2\n+ (1\n2 𝑎)\n2\n|𝑃𝑆| = √3\n2 𝑎\nObliczamy wartość sinusa kąta 𝑆𝑃𝐶 w trójkącie prostokątnym 𝑆𝐶𝑃:\nsin|∡𝑆𝑃𝐶| = |𝐶𝑆|\n|𝑃𝑆| =\n1\n2 𝑎√2\n1\n2 𝑎√3\n= √2\n√3\n= √6\n3\nZapisujemy sinus kąta 𝐾𝑃𝐶 jako stosunek długości odpowiednich boków w trójkącie\nprostokątnym 𝐶𝐾𝑃:\nsin|∡𝐾𝑃𝐶| =\n|𝐶𝐾|\n|𝐶𝑃| = ℎ\n1\n2 𝑎\nPonieważ |∡𝑆𝑃𝐶| = |∡𝐾𝑃𝐶|, więc z ostatnich dwóch równości otrzymujemy\nℎ\n1\n2 𝑎\n= √6\n3\nℎ= √6\n6 𝑎\nSzukana odległość jest równa\n√6\n6 𝑎.\n84\nInformator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie rozszerzonym od roku szkolnego 2024/2025\nSposób 3. (z wykorzystaniem równości objętości ostrosłupa)\nOznaczmy przez:\n𝑆 - punkt przecięcia się przekątnych podstawy 𝐴𝐵𝐶𝐷 sześcianu,\nℎ - wysokość trójkąta 𝐶𝑃𝑆 opuszczoną z wierzchołka 𝐶 na bok 𝑃𝑆,\n𝐾 - spodek wysokości trójkąta 𝐶𝑃𝑆 opuszczonej z wierzchołka 𝐶 na bok 𝑃𝑆.\nStosujemy twierdzenie Pitagorasa do trójkąta 𝐶𝑃𝑆 i obliczamy długość boku 𝑃𝑆:\n|𝑃𝑆|2 = |𝐶𝑆|2 + |𝐶𝑃|2\n|𝑃𝑆|2 = (1\n2 𝑎√2)\n2\n+ (1\n2 𝑎)\n2\n|𝑃𝑆| = √3\n2 𝑎\nObliczamy objętość ostrosłupa 𝐵𝐶𝐷𝑃 o podstawie trójkątnej 𝐵𝐶𝐷 i wysokości\nopuszczonej na podstawę 𝐵𝐶𝐷 z wierzchołka 𝑃:\n𝑉𝐵𝐶𝐷𝑃= 1\n3 ⋅𝑃Δ𝐵𝐶𝐷⋅|𝐶𝑃| = 1\n3 ⋅1\n2 𝑎2 ⋅1\n2 𝑎= 1\n12 𝑎3\nObliczamy objętość ostrosłupa 𝐵𝐷𝑃𝐶 o podstawie trójkątnej 𝐵𝐷𝑃 i wysokości\nopuszczonej na podstawę 𝐵𝐷𝑃 z wierzchołka 𝐶:\n𝑉𝐵𝐷𝑃𝐶= 1\n3 ⋅𝑃Δ𝐵𝐷𝑃⋅|𝐶𝐾| = 1\n3 ⋅1\n2 ⋅𝑎√2 ⋅√3\n2 𝑎⋅ℎ= √6\n12 𝑎2ℎ\nPonieważ 𝑉𝐵𝐶𝐷𝑃= 𝑉𝐵𝐷𝑃𝐶 , więc\n1\n12 𝑎3 = √6\n12 𝑎2ℎ\nℎ= √6\n6 𝑎\nSzukana odległość jest równa\n√6\n6 𝑎.\nSposób 4. (z wykorzystaniem równości boku trójkątów prostokątnych)\nOznaczmy przez:\n𝑆 - punkt przecięcia się przekątnych podstawy 𝐴𝐵𝐶𝐷 sześcianu,\nℎ - wysokość trójkąta 𝐶𝑃𝑆 opuszczoną z wierzchołka 𝐶 na bok 𝑃𝑆,\n𝐾 - spodek wysokości trójkąta 𝐶𝑃𝑆 opuszczonej z wierzchołka 𝐶 na bok 𝑃𝑆,\n𝑥 - długość odcinka 𝐾𝑃.\nStosujemy twierdzenie Pitagorasa do trójkąta 𝐶𝑃𝑆 celem obliczenia długości boku 𝑃𝑆:\n|𝑃𝑆|2 = |𝐶𝑆|2 + |𝐶𝑃|2\nPrzykładowe zadania z rozwiązaniami\n85\n|𝑃𝑆|2 = (1\n2 𝑎√2)\n2\n+ (1\n2 𝑎)\n2\n|𝑃𝑆| = √3\n2 𝑎\nTrójkąty 𝑆𝐾𝐶 oraz 𝑃𝐾𝐶 są prostokątne i mają wspólny bok 𝐾𝐶, więc\nℎ2 = |𝑆𝐶|2 -|𝑆𝐾|2 i ℎ2 = |𝑃𝐶|2 -|𝐾𝑃|2\nℎ2 = (𝑎√2\n2 )\n2\n-(|𝑃𝑆| -𝑥)2 i ℎ2 = (𝑎\n2)\n2\n-𝑥2\nℎ2 = (𝑎√2\n2 )\n2\n-(√3\n2 𝑎-𝑥)\n2\ni ℎ2 = (𝑎\n2)\n2\n-𝑥2\n(𝑎√2\n2 )\n2\n-(√3\n2 𝑎-𝑥)\n2\n= (𝑎\n2)\n2\n-𝑥2\nskąd otrzymujemy 𝑥=\n√3\n6 𝑎.\nPodstawiamy 𝑥=\n√3\n6 𝑎 do równania ℎ2 = (𝑎\n2)\n2\n-𝑥2 i otrzymujemy\nℎ2 = (𝑎\n2)\n2\n-(√3\n6 𝑎)\n2\nℎ= √6\n6 𝑎\nSzukana odległość jest równa\n√6\n6 𝑎.\n86\nInformator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie rozszerzonym od roku szkolnego 2024/2025","answer":null,"answer_text":null,"solution":"Niech sześcian ma krawędź a, a S będzie środkiem podstawy ABCD (środkiem przekątnych AC i BD). P jest środkiem krawędzi CG, więc |CP| = a/2, a |CS| = ½·|AC| = ½·a√2 = a√2/2. Kąt SCP jest prosty, więc z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta CPS: |PS|² = |CS|² + |CP|² = (a√2/2)² + (a/2)² = a²/2 + a²/4 = 3a²/4, |PS| = a√3/2. Pole trójkąta CPS można zapisać dwojako: P(CPS) = ½·|CS|·|CP| = ½·(a√2/2)·(a/2) = a²√2/8 oraz P(CPS) = ½·|PS|·h, gdzie h jest odległością wierzchołka C od płaszczyzny BDP (od boku PS). Z równości: a²√2/8 = ½·(a√3/2)·h = a√3·h/4, skąd h = (a²√2/8)·(4/(a√3)) = a√2/(2√3) = a√6/6. Odpowiedź: odległość wierzchołka C od płaszczyzny BDP wynosi a√6/6.","image":"img/informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-rozszerzony/zad-25.webp","solution_image":null,"topics":"stereometria","page_from":81,"source":"ai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"ai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2025","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny"},{"id":"informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-rozszerzony/zad/26","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-rozszerzony","number":"26","points":5,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2025,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 26. (0-5)\nDany jest trapez prostokątny 𝐴𝐵𝐶𝐷 o kątach prostych przy wierzchołkach 𝐴 i 𝐷.\nRamię 𝐵𝐶 trapezu ma długość 5. W ten trapez wpisano okrąg o środku w punkcie 𝑆\ni promieniu 2. Punkt 𝑃 jest punktem styczności tego okręgu i dłuższej podstawy 𝐴𝐵 tego\ntrapezu (zobacz rysunek).\nWykaż, że trójkąty 𝑩𝑷𝑺 i 𝑩𝑺𝑪 są trójkątami podobnymi, oraz oblicz skalę tego\npodobieństwa. Zapisz obliczenia.\n𝐴\n𝐶\n𝐷\n𝑆\n𝐵\n𝑃\n2\n5\nPrzykładowe zadania z rozwiązaniami\n87\nWymaganie ogólne\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n1)\nPrzeprowadzanie rozumowań, także kilkuetapowych, podawanie argumentów\nuzasadniających poprawność rozumowania […].\nWymagania szczegółowe\nVIII. Planimetria. Zdający:\n11)\nprzeprowadza dowody geometryczne.\n1R) stosuje własności czworokątów […] opisanych na okręgu.\nZasady oceniania\ndla rozwiązań sposobami 1.-3.\n5 pkt - obliczenie skali podobieństwa trójkątów 𝐵𝑃𝑆 oraz 𝐵𝑆𝐶.\n4 pkt - obliczenie długości odcinka stycznej (zawierającej odcinek 𝐵𝐶) od punktu 𝐵 do\npunktu styczności z okręgiem\nALBO\n- stwierdzenie, że każdy z obliczonych stosunków odpowiednich boków trójkątów 𝐵𝑃𝑆\ni 𝐵𝑆𝐶 jest skalą podobieństwa.\n3 pkt - uzasadnienie, że trójkąty 𝐵𝑃𝑆 i 𝐵𝑆𝐶 są podobne.\n2 pkt - uzasadnienie, że kąt 𝐵𝑆𝐶 jest kątem prostym\nALBO\n- obliczenie długości boków trójkątów 𝐵𝑆𝐶 oraz 𝐵𝑃𝑆\nALBO\n- obliczenie długości boków trójkąta 𝐵𝑃𝑆 i uzasadnienie równości miar kątów 𝑃𝐵𝑆\noraz 𝑆𝐵𝐶 (lub: 𝐵𝐶𝑆 oraz 𝑆𝐶𝐷).\n1 pkt - uzasadnienie równości miar kątów 𝑃𝐵𝑆 oraz 𝑆𝐵𝐶 (lub: 𝐵𝐶𝑆 oraz 𝑆𝐶𝐷)\nALBO\n- obliczenie długości boków trójkąta 𝐵𝑃𝑆.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób 1.\nWykażemy, że trójkąty 𝐵𝑃𝑆 i 𝐵𝑆𝐶 są podobne.\nPunkt 𝑆 jest równooddalony od boków 𝐴𝐵 i 𝐵𝐶 trapezu jako środek okręgu wpisanego\nw trapez, więc leży na dwusiecznej kąta 𝐴𝐵𝐶. Zatem |∡𝑃𝐵𝑆| = |∡𝑆𝐵𝐶|.\nPodobna argumentacja prowadzi do stwierdzenia, że |∡𝐵𝐶𝑆| = |∡𝑆𝐶𝐷|.\nOznaczmy miary kątów 𝑃𝐵𝑆 oraz 𝐵𝐶𝑆 jako - odpowiednio - 𝛼 oraz 𝛽 (rysunek 1.).\n𝐶\n𝐷\n𝑆\n𝐴\n𝐵\n𝑃\n𝛽\n𝛽\n𝛼\n𝛼\nRysunek 1.\n88\nInformator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie rozszerzonym od roku szkolnego 2024/2025\nPonieważ suma miar kątów przy ramieniu trapezu wynosi 180°, więc 2𝛼+ 2𝛽= 180°,\nczyli 𝛼+ 𝛽= 90°. Dlatego:\n|∡𝐵𝑆𝐶| = 180° -(𝛼+ 𝛽) = 90°\noraz\n|∡𝑃𝑆𝐵| = 180° -(90° + 𝛼) = 𝛽\nTo oznacza, że Δ𝐵𝑃𝑆 ~ Δ𝐵𝑆𝐶 (na podstawie cechy kkk podobieństwa trójkątów).\nObliczymy skalę podobieństwa trójkątów 𝐵𝑃𝑆 oraz 𝐵𝑆𝐶.\nNiech 𝐸 i 𝐹 oznaczają punkty styczności okręgu i odcinków - odpowiednio - 𝐵𝐶\noraz 𝐶𝐷 (rysunek 2.).\nPonieważ |∡𝑆𝐵𝐸| = |∡𝐶𝑆𝐸| oraz |∡𝐸𝑆𝐵| = |∡𝐸𝐶𝑆|, więc trójkąty prostokątne 𝑆𝐵𝐸\ni 𝐶𝑆𝐸 są podobne (na podstawie cechy kkk podobieństwa trójkątów). Zatem\n|𝑆𝐸|\n|𝐵𝐸| =\n|𝐶𝐸|\n|𝑆𝐸|\ni dalej\n|𝑆𝐸|2 = |𝐵𝐸| ⋅|𝐶𝐸|\n4 = (5 -|𝐶𝐸|) ⋅|𝐶𝐸|\n|𝐶𝐸|2 -5 ⋅|𝐶𝐸| + 4 = 0\n|𝐶𝐸| = 1 lub |𝐶𝐸| = 4\nZ twierdzenia o odcinkach stycznych mamy |𝑃𝐵| = |𝐵𝐸| oraz |𝐶𝐸| = |𝐶𝐹|.\nPonieważ |𝐶𝐷| < |𝐴𝐵|, więc |𝐶𝐸| < |𝐸𝐵| i w konsekwencji |𝐶𝐸| = 1 oraz |𝐵𝐸| = 4.\nPo zastosowaniu twierdzenia Pitagorasa do trójkąta 𝐵𝑆𝐸 otrzymujemy |𝐵𝑆| = 2√5.\nObliczamy skalę podobieństwa trójkątów 𝐵𝑆𝐶 i 𝐵𝑃𝑆:\n𝑘= |𝐵𝐶|\n|𝐵𝑆| =\n5\n2√5\n= √5\n2\n𝐶\n𝐷\n2\n𝑆\n5\n𝐸\n𝐵\n𝑃\n𝐴\n𝐹\nRysunek 2.\nPrzykładowe zadania z rozwiązaniami\n89\nSposób 2.\nWykażemy, że trójkąty 𝐵𝑃𝑆 i 𝐵𝑆𝐶 są podobne.\nNiech 𝐸 i 𝐹 oznaczają punkty styczności okręgu i odcinków - odpowiednio - 𝐵𝐶\noraz 𝐶𝐷. Oznaczmy przez 𝐺 rzut prostokątny wierzchołka 𝐶 na podstawę 𝐴𝐵 trapezu\n(rysunek 3.).\nPunkt 𝑆 jest równooddalony od boków 𝐴𝐵 i 𝐵𝐶 trapezu jako środek okręgu wpisanego\nw trapez, więc wysokość trapezu jest równa 4.\nDo trójkąta 𝐵𝐺𝐶 stosujemy twierdzenie Pitagorasa i obliczamy długość odcinka 𝐵𝐺:\n|𝐵𝐺|2 + |𝐺𝐶|2 = |𝐵𝐶|2\n|𝐵𝐺|2 + 42 = 52\n|𝐵𝐺| = 3\nPonieważ 𝐺 jest rzutem prostokątnym wierzchołka 𝐶 na podstawę 𝐴𝐵, więc\n|𝐺𝑃| = |𝐹𝐶|\nKorzystamy z twierdzenia o okręgu wpisanym w czworokąt i otrzymujemy\n|𝐴𝐷| + |𝐵𝐶| = |𝐴𝐵| + |𝐶𝐷|\n4 + 5 = |𝐴𝑃| + |𝐹𝐶| + |𝐵𝐺| + |𝐹𝐶| + |𝐷𝐹|\n9 = 2 ⋅|𝐴𝑃| + 2 ⋅|𝐹𝐶| + 3\n6 = 2 ⋅|𝑆𝑃| + 2 ⋅|𝐹𝐶|\n|𝐹𝐶| = 1\nZatem |𝑃𝐵| = |𝑃𝐺| + |𝐺𝐵| = 4.\nStosujemy twierdzenie Pitagorasa do trójkąta 𝐵𝑃𝑆 celem obliczenia |𝐵𝑆|:\n|𝐵𝑃|2 + |𝑃𝑆|2 = |𝐵𝑆|2\n42 + 22 = |𝐵𝑆|2\n𝐶\n𝐷\n2\n5\n𝑆\n𝐵\n𝑃\n𝐹\n𝐴\n𝐺\n𝐸\nRysunek 3.\n90\nInformator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie rozszerzonym od roku szkolnego 2024/2025\n|𝐵𝑆| = 2√5\nZatem trójkąt 𝐵𝑃𝑆 ma boki o długościach: |𝐵𝑃| = 4, |𝑃𝑆| = 2 i |𝐵𝑆| = 2√5.\nZ twierdzenia o odcinkach stycznych |𝐶𝐸| = |𝐹𝐶|, więc |𝐶𝐸| = 1.\nStosujemy twierdzenie Pitagorasa do trójkąta 𝑆𝐸𝐶 celem obliczenia |𝐶𝑆|:\n22 + 12 = |𝐶𝑆|2\n|𝐶𝑆| = √5\nZatem trójkąt 𝐵𝑆𝐶 ma boki o długościach: |𝐵𝑆| = 2√5, |𝐶𝑆| = √5, |𝐵𝐶| = 5.\nPonieważ\n|𝐵𝐶|\n|𝐵𝑆| =\n5\n2√5\n= √5\n2 oraz\n|𝐶𝑆|\n|𝑃𝑆| = √5\n2 oraz\n|𝐵𝑆|\n|𝐵𝑃| = 2√5\n4\n= √5\n2 ,\nwięc trójkąty 𝐵𝑃𝑆 oraz 𝐵𝑆𝐶 są podobne (na podstawie cechy bbb podobieństwa\ntrójkątów).\nTo kończy dowód.\nKażdy z obliczonych powyżej stosunków długości odpowiednich boków trójkątów 𝐵𝑃𝑆 oraz\n𝐵𝑆𝐶 jest równy skali podobieństwa tychże trójkątów.\nSkala podobieństwa trójkątów 𝐵𝑃𝑆 oraz 𝐵𝑆𝐶 jest równa 𝑘=\n|𝐵𝐶|\n|𝐵𝑆| =\n√5\n2 .\nSposób 3.\nWykażemy, że trójkąty 𝐵𝑃𝑆 i 𝐵𝑆𝐶 są podobne.\nOznaczmy przez 𝛼 miarę kąta 𝑃𝐵𝑆, przez 𝐺 - rzut prostokątny punktu 𝐶 na\npodstawę 𝐴𝐵 trapezu, przez 𝐹 - punkt styczności okręgu z odcinkiem 𝐶𝐷 (rysunek 4.).\nPunkt 𝑆 jest równooddalony od boków 𝐴𝐵 i 𝐵𝐶 trapezu jako środek okręgu wpisanego\nw trapez, więc wysokość trapezu jest równa 4.\nDo trójkąta 𝐵𝐺𝐶 stosujemy twierdzenie Pitagorasa, aby obliczyć długość odcinka 𝐵𝐺:\n|𝐵𝐺|2 + |𝐺𝐶|2 = |𝐵𝐶|2\n𝐶\n𝐷\n2\n5\n𝑆\n𝛼\n𝐵\n𝑃\n𝐹\n𝐴\n𝐺\nRysunek 4.\nPrzykładowe zadania z rozwiązaniami\n91\n|𝐵𝐺|2 + 42 = 52\n|𝐵𝐺| = 3\nPonieważ 𝐺 jest rzutem prostokątnym wierzchołka 𝐶 na podstawę 𝐴𝐵, więc\n|𝐺𝑃| = |𝐹𝐶|\nKorzystamy z twierdzenia o okręgu wpisanym w czworokąt i otrzymujemy\n|𝐴𝐷| + |𝐵𝐶| = |𝐴𝐵| + |𝐶𝐷|\n4 + 5 = |𝐴𝑃| + |𝐹𝐶| + |𝐵𝐺| + |𝐹𝐶| + |𝐷𝐹|\n9 = 2 ⋅|𝐴𝑃| + 2 ⋅|𝐹𝐶| + 3\n6 = 2 ⋅|𝑆𝑃| + 2 ⋅|𝐹𝐶|\n|𝐹𝐶| = 1\nZatem |𝑃𝐵| = |𝑃𝐺| + |𝐺𝐵| = 4.\nStosujemy twierdzenie Pitagorasa do trójkąta 𝐵𝑃𝑆 celem obliczenia |𝐵𝑆|:\n|𝐵𝑃|2 + |𝑃𝑆|2 = |𝐵𝑆|2\n42 + 22 = |𝐵𝑆|2\n|𝐵𝑆| = 2√5\nZatem trójkąt 𝐵𝑃𝑆 ma boki o długościach: |𝐵𝑃| = 4, |𝑃𝑆| = 2 i |𝐵𝑆| = 2√5.\nPunkt 𝑆 jest równooddalony od boków 𝐴𝐵 i 𝐵𝐶 trapezu jako środek okręgu wpisanego\nw trapez, więc leży na dwusiecznej kąta 𝐴𝐵𝐶. Zatem |∡𝑆𝐵𝐶| = |∡𝑃𝐵𝑆| = 𝛼.\nObliczamy stosunki długości odpowiednich boków trójkątów 𝐵𝑃𝑆 oraz 𝐵𝑆𝐶 leżących przy\nkątach - odpowiednio - 𝑃𝐵𝑆 oraz 𝑆𝐵𝐶:\n|𝐵𝑆|\n|𝐵𝑃| = 2√5\n4\n= √5\n2 oraz |𝐵𝐶|\n|𝐵𝑆| =\n5\n2√5\n= √5\n2\nPonieważ długości dwóch boków trójkąta 𝐵𝑃𝑆 są proporcjonalne do odpowiednich długości\ndwóch boków trójkąta 𝐵𝑆𝐶 i kąty między tymi parami boków mają równe miary, więc\ntrójkąty 𝐵𝑃𝑆 i 𝐵𝑆𝐶 są podobne (na podstawie cechy bkb podobieństwa trójkątów).\nTo kończy dowód.\nKażdy z obliczonych powyżej stosunków długości odpowiednich boków trójkątów 𝐵𝑃𝑆 oraz\n𝐵𝑆𝐶 jest równy skali podobieństwa tychże trójkątów.\nSkala podobieństwa trójkątów 𝐵𝑃𝑆 oraz 𝐵𝑆𝐶 jest równa 𝑘=\n|𝐵𝐶|\n|𝐵𝑆| =\n√5\n2 .\n92\nInformator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie rozszerzonym od roku szkolnego 2024/2025","answer":null,"answer_text":null,"solution":"Ponieważ S jest środkiem okręgu wpisanego, leży na dwusiecznych kątów trapezu: |∡PBS| = |∡SBC| = α (kąt ABC) oraz |∡BCS| = |∡SCD| = β (kąt BCD). Suma kątów przy ramieniu BC trapezu wynosi 180°, czyli 2α + 2β = 180°, więc α + β = 90°. W trójkącie BSC mamy |∡BSC| = 180° - (α+β) = 90°, a w trójkącie PBS |∡PSB| = 180° - 90° - α = β. Trójkąty PBS i BSC mają więc kąty równe (α, β, 90°), są więc podobne (cecha kkk). Wyznaczamy skalę. Niech E będzie punktem styczności okręgu z bokiem BC, więc |SE| = 2 i |BE| + |CE| = |BC| = 5. Trójkąty prostokątne SBE i CSE są podobne (mają równe kąty ostre), zatem |SE|/|BE| = |CE|/|SE|, czyli |SE|² = |BE|·|CE|. Stąd 4 = |BE|·|CE|. Liczby |BE| i |CE| są pierwiastkami równania t² - 5t + 4 = 0, czyli t = 1 lub t = 4. Ponieważ CD jest krótszą podstawą, |CE| < |BE|, więc |CE| = 1 i |BE| = 4. Z twierdzenia o odcinkach stycznych |PB| = |BE| = 4. W trójkącie prostokątnym PBS: |PS| = 2, |PB| = 4, więc |BS|² = 4² + 2² = 20, |BS| = 2√5. Skala podobieństwa trójkątów BSC i PBS: k = |BC|/|BS| = 5/(2√5) = √5/2. Odpowiedź: trójkąty są podobne, a skala podobieństwa wynosi √5/2.","image":"img/informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-rozszerzony/zad-26.webp","solution_image":null,"topics":"dowody_geometryczne","page_from":86,"source":"ai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"ai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2025","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny"},{"id":"informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-rozszerzony/zad/27","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-rozszerzony","number":"27","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2025,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 27. (0-4)\nTomek i Marek chcą wejść docelowo na szczyt 𝑆\npewnej góry. W chwili początkowej znajdują się\nw punkcie 𝑃 położonym na stoku góry dokładnie\nna północ od szczytu na wysokości 𝐻0 metrów\nn.p.m. Tomek i Marek chcą dotrzeć do bazy 𝐵\nznajdującej się dokładnie na południe od szczytu na\nprzeciwległym południowym stoku góry na\nwysokości 𝐻1 metrów n.p.m., a następnie z bazy\nwejść na szczyt leżący na wysokości 𝐻2 metrów\nn.p.m. (zobacz rysunek 1.).\nOblicz długość najkrótszej drogi, jaką muszą\npokonać, aby dotrzeć do bazy. Zapisz\nobliczenia.\nPrzyjmij, że góra jest stożkiem o kącie rozwarcia 𝛼.\nWskazówka: Powierzchnia boczna stożka po rozcięciu\nwzdłuż tworzącej i rozłożeniu jest wycinkiem koła.\nNajkrótsza droga do bazy odpowiada najkrótszej drodze\nz punktu 𝑃 do 𝐵 na wycinku koła.\n𝑆\n𝛼\n𝐵\n𝑃\nRys. 1.\nPrzykładowe zadania z rozwiązaniami\n93\nWymagania ogólne\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji.\n2.\nDobieranie i tworzenie modeli matematycznych przy rozwiązywaniu problemów\npraktycznych i teoretycznych.\n3.\nTworzenie pomocniczych obiektów matematycznych na podstawie istniejących,\nw celu przeprowadzenia argumentacji lub rozwiązania problemu.\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n4.\nStosowanie i tworzenie strategii przy rozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach\nnietypowych.\nWymagania szczegółowe\nVII. Trygonometria. Zdający:\n1R) stosuje miarę łukową […].\nVIII. Planimetria. Zdający:\n2)\n[…] stosuje twierdzenie odwrotne do twierdzenia Pitagorasa i twierdzenie\ncosinusów […];\n6)\nstosuje wzory na pole wycinka koła i długość łuku okręgu.\nZasady oceniania\n4 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik.\n3 pkt - obliczenie miary łukowej kąta 𝐵𝑆𝑃 na siatce stożka i obliczenie długości odcinków\n𝐵𝑆 oraz 𝑃𝑆.\n2 pkt - obliczenie miary łukowej kąta 𝐵𝑆𝑃 na siatce stożka\nALBO\n- obliczenie długości odcinków 𝐵𝑆 oraz 𝑃𝑆.\n1 pkt - zapisanie, że najkrótsza droga jest równa długości odcinka 𝑃𝐵 na siatce stożka.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\n94\nInformator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie rozszerzonym od roku szkolnego 2024/2025\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nNiech 𝑙 będzie długością tworzącej stożka, a 𝑅 - długością promienia podstawy stożka.\nRozwiniemy powierzchnię boczną stożka, na której zaznaczymy kluczowe punkty 𝑃, 𝐵 i 𝑆.\nDługość odcinka 𝑃𝐵 oznaczymy jako 𝑑. Jest to długość najkrótszej trasy z punktu 𝑃 do\nbazy (zobacz rys. 1.).\nPowierzchnia boczna stożka po rozwinięciu jest wycinkiem koła o promieniu długości 𝑙.\nWyznaczymy miarę 𝛽 kąta środkowego tego wycinka.\nZe wzorów na pole powierzchni bocznej stożka oraz pole wycinka koła otrzymujemy\n𝜋⋅𝑅⋅𝑙= 𝛽\n2𝜋⋅𝜋⋅𝑙2\n𝛽= 2𝜋⋅𝑅\n𝑙\nZatem\n|∡𝐵𝑆𝑃| = 1\n2 𝛽= 𝜋⋅𝑅\n𝑙\nKąt rozwarcia stożka jest równy 𝛼, więc 𝑅\n𝑙= sin 𝛼\n2 , co prowadzi do\n|∡𝐵𝑆𝑃| = 𝜋⋅sin 𝛼\n2\nWyrazimy długości odcinków 𝐵𝑆 oraz 𝑃𝑆 w zależności od danych podanych w treści\nzadania.\nRozważmy przekrój osiowy stożka zawierający punkty 𝐵, 𝑃 oraz 𝑆 (zobacz rys. 2.). Punkt\n𝑆′ na rysunku 2. jest rzutem prostokątnym punktu 𝑆 na podstawę stożka, natomiast punkt\n𝑄 - punktem przecięcia tworzącej 𝑆𝐵 z podstawą stożka.\n𝑆\n𝐵\n𝑃\n𝑑\nRysunek 1.\nPrzykładowe zadania z rozwiązaniami\n95\nZ trójkątów 𝑆𝑆′𝑄 oraz 𝑆𝑇𝐵 otrzymujemy\n|𝐵𝑆| = |𝑆𝑇|\ncos 𝛼\n2\noraz |𝑆𝑄| = |𝑆𝑆′|\ncos 𝛼\n2\nZ treści zadania |𝑆𝑇| = 𝐻2 -𝐻1 oraz |𝑆𝑆′| = 𝐻2 -𝐻0, więc\n|𝐵𝑆| = 𝐻2 -𝐻1\ncos 𝛼\n2\noraz |𝑃𝑆| = |𝑆𝑄| = 𝐻2 -𝐻0\ncos 𝛼\n2\nStosujemy twierdzenie cosinusów do trójkąta 𝐵𝑆𝑃 i obliczamy |𝑃𝐵|:\n|𝑃𝐵|2 = |𝑃𝑆|2 + |𝐵𝑆|2 -2 ⋅|𝑃𝑆| ⋅|𝐵𝑆| ⋅cos |∡𝐵𝑆𝑃|\n𝑑= √(𝐻2 -𝐻0\ncos 𝛼\n2\n)\n2\n+ (𝐻2 -𝐻1\ncos 𝛼\n2\n)\n2\n-2(𝐻2 -𝐻0)(𝐻2 -𝐻1)\n(cos 𝛼\n2)\n2\n⋅cos (𝜋⋅sin 𝛼\n2)\n𝑑=\n√(𝐻2 -𝐻0)2 + (𝐻2 -𝐻1)2 -2(𝐻2 -𝐻0)(𝐻2 -𝐻1) cos (𝜋⋅sin 𝛼\n2)\ncos 𝛼\n2\n𝛼\n2\n𝑆\n𝑃\n𝐵\n𝑄\nRys. 2.\n𝑆'\n𝑇\n96\nInformator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie rozszerzonym od roku szkolnego 2024/2025\nKOMBINATORYKA, RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA I STATYSTYKA","answer":null,"answer_text":null,"solution":"Niech l będzie długością tworzącej stożka, a R promieniem jego podstawy. Rozwijamy powierzchnię boczną stożka w wycinek koła o promieniu l i kącie środkowym β. Porównując pole powierzchni bocznej πRl z polem wycinka (β/2π)·πl², otrzymujemy β = 2πR/l. Punkty P i B leżą na dwóch przeciwległych tworzących (północ-południe), więc kąt między odcinkami SP i SB na siatce wynosi |∡BSP| = ½β = πR/l. Ponieważ kąt rozwarcia stożka jest równy α, mamy R/l = sin(α/2), zatem |∡BSP| = π·sin(α/2). Najkrótsza droga z P do B na rozwiniętej powierzchni to odcinek PB. Z przekroju osiowego: |PS| = (H₂ - H₀)/cos(α/2) oraz |BS| = (H₂ - H₁)/cos(α/2). Z twierdzenia cosinusów w trójkącie BSP: d² = |PS|² + |BS|² - 2|PS||BS|cos|∡BSP|, czyli d = √[(H₂-H₀)² + (H₂-H₁)² - 2(H₂-H₀)(H₂-H₁)·cos(π·sin(α/2))] / cos(α/2). Odpowiedź: d = √[(H₂-H₀)² + (H₂-H₁)² - 2(H₂-H₀)(H₂-H₁)cos(π sin(α/2))] / cos(α/2).","image":"img/informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-rozszerzony/zad-27.webp","solution_image":null,"topics":"stereometria","page_from":92,"source":"ai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"ai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2025","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny"},{"id":"informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-rozszerzony/zad/28","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-rozszerzony","number":"28","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2025,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 28. (0-4)\nNiech 𝑛 będzie ustaloną liczbą naturalną dodatnią. Ze zbioru 𝕄= {1; 2; 3; … ; 3𝑛+ 1}\nlosujemy jednocześnie trzy liczby. Zdarzenie 𝐴 odpowiada jednoczesnemu wylosowaniu\nze zbioru 𝕄 trzech liczb, których suma przy dzieleniu przez 3 daje resztę 1.\nOblicz prawdopodobieństwo zdarzenia 𝑨. Zapisz obliczenia.\nWymaganie ogólne\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji.\n2.\nDobieranie i tworzenie modeli matematycznych przy rozwiązywaniu problemów\npraktycznych i teoretycznych.\nPrzykładowe zadania z rozwiązaniami\n97\nWymagania szczegółowe\nXI. Kombinatoryka. Zdający:\n1R) oblicza liczbę możliwych sytuacji, spełniających określone kryteria,\nz wykorzystaniem reguły mnożenia i dodawania (także łącznie) oraz wzorów na\nliczbę: permutacji, kombinacji i wariacji;\n2R) stosuje współczynnik dwumianowy (symbol Newtona) i jego własności przy\nrozwiązywaniu problemów kombinatorycznych.\nXII. Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka. Zdający:\n1)\noblicza prawdopodobieństwo w modelu klasycznym.\nZasady oceniania\n4 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik.\n3 pkt - rozpatrzenie wszystkich możliwych przypadków, kiedy suma trzech liczb naturalnych\ndaje przy dzieleniu przez 3 resztę 1, tj. zapisanie, że moc zbioru 𝐴 wynosi\n(𝑛\n2) ⋅(𝑛+ 1\n1\n) + (𝑛+ 1\n2\n) ⋅(𝑛\n1) + (𝑛\n2) ⋅(𝑛\n1)\n2 pkt - rozpatrzenie tylko dwóch z wszystkich możliwych przypadków, kiedy suma trzech\nliczb naturalnych daje przy dzieleniu przez 3 resztę 1 - tj. zapisanie, że moc zbioru\n𝐴 wynosi\n(𝑛\n2) ⋅(𝑛+ 1\n1\n) + (𝑛+ 1\n2\n) ⋅(𝑛\n1)\nLUB\n(𝑛\n2) ⋅(𝑛+ 1\n1\n) + (𝑛\n2) ⋅(𝑛\n1)\nLUB\n(𝑛+ 1\n2\n) ⋅(𝑛\n1) + (𝑛\n2) ⋅(𝑛\n1)\n1 pkt - wyznaczenie liczby wszystkich trójelementowych podzbiorów zbioru 𝕄.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nWyznaczamy liczbę wszystkich trójelementowych podzbiorów zbioru 𝕄:\n(3𝑛+ 1\n3\n) = (3𝑛+ 1) ⋅3𝑛⋅(3𝑛-1)\n6\n= (3𝑛+ 1)𝑛(3𝑛-1)\n2\nWyznaczamy moc zbioru 𝐴.\nZauważmy, że suma trzech liczb naturalnych daje przy dzieleniu przez 3 resztę 1, gdy:\n1) dwie z tych liczb są podzielne przez 3, a jedna z tych liczb daje przy dzieleniu przez 3\nresztę 1\nLUB\n2) dwie z tych liczb dają przy dzieleniu przez 3 resztę 1, a jedna z tych liczb daje przy\ndzieleniu przez 3 resztę 2,\nLUB\n98\nInformator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie rozszerzonym od roku szkolnego 2024/2025\n3) dwie z tych liczb dają przy dzieleniu przez 3 resztę 2, a jedna z tych liczb jest\npodzielna przez 3.\nPonieważ w zbiorze 𝕄 mamy:\ndokładnie 𝑛 liczb podzielnych przez 3\ndokładnie 𝑛+ 1 liczb, które przy dzieleniu przez 3 dają resztę 1\ndokładnie 𝑛 liczb, które przy dzieleniu przez 3 dają resztę 2,\nwięc\n|𝐴| = (𝑛\n2) ⋅(𝑛+ 1\n1\n) + (𝑛+ 1\n2\n) ⋅(𝑛\n1) + (𝑛\n2) ⋅(𝑛\n1) =\n= 𝑛(𝑛-1)(𝑛+ 1)\n2\n(𝑛+ 1) ⋅𝑛⋅𝑛\n2\n+ 𝑛(𝑛-1)𝑛\n2\n= 𝑛(𝑛2 -1 + 𝑛2 + 𝑛+ 𝑛2 -𝑛)\n2\n= 𝑛(3𝑛2 -1)\n2\nPrawdopodobieństwo zdarzenia 𝐴 jest równe\n𝑃(𝐴) =\n𝑛(3𝑛2 -1)\n2\n(3𝑛+ 1)𝑛(3𝑛-1)\n2\n3𝑛2 -1\n(3𝑛+ 1)(3𝑛-1)","answer":null,"answer_text":null,"solution":"Zbiór M = {1,2,...,3n+1} ma n liczb podzielnych przez 3, n+1 liczb dających resztę 1 i n liczb dających resztę 2. Wszystkich trójelementowych podzbiorów jest C(3n+1,3) = (3n+1)·3n·(3n-1)/6 = (3n+1)n(3n-1)/2. Suma trzech liczb daje resztę 1 przy dzieleniu przez 3 w trzech przypadkach: (a) dwie liczby dają resztę 0 i jedna resztę 1; (b) jedna daje resztę 0 i dwie resztę 2; (c) dwie dają resztę 1 i jedna resztę 2. Zatem |A| = C(n,2)·C(n+1,1) + C(n,2)·C(n,1) + C(n+1,2)·C(n,1) = n(n-1)(n+1)/2 + n(n-1)n/2 + (n+1)n·n/2 = n(3n²-1)/2. Prawdopodobieństwo: P(A) = |A|/C(3n+1,3) = [n(3n²-1)/2] / [(3n+1)n(3n-1)/2] = (3n²-1)/[(3n+1)(3n-1)]. Odpowiedź: P(A) = (3n²-1)/((3n+1)(3n-1)).","image":"img/informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-rozszerzony/zad-28.webp","solution_image":null,"topics":"prawdopodobienstwo","page_from":96,"source":"ai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"ai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2025","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny"},{"id":"informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-rozszerzony/zad/29","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-rozszerzony","number":"29","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2025,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 29. (0-4)\nPan Nowak często gra z synem w szachy. Obliczył,\nże 40% rozegranych z synem partii wygrywa.\nOblicz, ile partii szachów musi rozegrać z synem pan Nowak, aby prawdopodobieństwo\nwygrania przez ojca przynajmniej jednej partii w całej rozgrywce było większe od 𝟎, 𝟗𝟓.\nZapisz obliczenia.\nPrzykładowe zadania z rozwiązaniami\n99\nWymaganie ogólne\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji.\n2.\nDobieranie i tworzenie modeli matematycznych przy rozwiązywaniu problemów\npraktycznych i teoretycznych.\nWymaganie szczegółowe\nXII. Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka. Zdający:\n2R) stosuje schemat Bernoullego.\nZasady oceniania\n4 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik.\n3 pkt - zastosowanie wzoru na prawdopodobieństwo uzyskania 𝑘 sukcesów w 𝑛 próbach\ni zapisanie nierówności 1 -(0,6)𝑛> 0,95.\n2 pkt - zapisanie nierówności 1 -𝑃(𝑆𝑛\n0) > 0,95.\n1 pkt - zapisanie prawdopodobieństwa sukcesu i porażki.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nPróbą Bernoullego jest rozegranie pojedynczej partii szachów z synem. Sukcesem w tej\npróbie jest wygrana pana Nowaka z synem w pojedynczej partii.\nPrawdopodobieństwo sukcesu jest równe 𝑝= 0,4, natomiast prawdopodobieństwo porażki\njest równe 𝑞= 0,6.\nNiech 𝑛 oznacza szukaną liczbę partii oraz niech\n𝑆𝑛\n0 - oznacza niewygranie przez ojca żadnej partii szachów,\n100\nInformator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie rozszerzonym od roku szkolnego 2024/2025\n𝑆𝑛\n1 - oznacza wygranie przez ojca jednej partii szachów,\n𝑆𝑛\n2 - oznacza wygranie przez ojca dwóch partii szachów,\n⋮\n𝑆𝑛\n𝑛 - oznacza wygranie przez ojca 𝑛 partii szachów.\nKorzystamy ze schematu Bernoullego. Prawdopodobieństwo wygrania przez pana Nowaka\nco najmniej jednej partii szachów jest równe\n𝑃(𝑆𝑛\n1 ∪𝑆𝑛\n2 ∪𝑆𝑛\n3 ∪… ∪𝑆𝑛\n𝑛) = 1 -𝑃(𝑆𝑛\n0)\nZatem\n1 -𝑃(𝑆𝑛\n0) > 0,95\n1 -(𝑛\n0) ⋅(0,4)0 ⋅(0,6)𝑛> 0,95\n1 -(0,6)𝑛> 0,95\n(0,6)𝑛< 0,05\n𝑛≥6\nPan Nowak musi rozegrać z synem co najmniej sześć partii.","answer":null,"answer_text":null,"solution":"Pojedyncza partia to próba Bernoulliego: sukces (wygrana ojca) z prawdopodobieństwem p = 0,4, porażka z q = 0,6. Niech n będzie szukaną liczbą partii. Prawdopodobieństwo, że ojciec wygra co najmniej jedną partię, to 1 - P(0 sukcesów) = 1 - qⁿ = 1 - 0,6ⁿ. Wymagamy 1 - 0,6ⁿ > 0,95, czyli 0,6ⁿ < 0,05. Sprawdzamy: 0,6⁵ ≈ 0,0778 > 0,05, a 0,6⁶ ≈ 0,0467 < 0,05. Zatem najmniejsza liczba partii spełniająca warunek to n = 6. Odpowiedź: pan Nowak musi rozegrać co najmniej 6 partii.","image":"img/informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-rozszerzony/zad-29.webp","solution_image":null,"topics":"prawdopodobienstwo","page_from":98,"source":"ai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"ai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2025","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny"},{"id":"informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-rozszerzony/zad/30","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-rozszerzony","number":"30","points":3,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2025,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 30. (0-3)\nPewna choroba dotyka 0,2% całej populacji i w początkowym stadium nie daje widocznych\nobjawów chorobowych. W ramach profilaktyki stosuje się pewien test przesiewowy, który\ndaje wynik pozytywny lub negatywny. Prawdopodobieństwo tego, że test wykonany na\nosobie chorej da wynik pozytywny (oznaczający chorobę), jest równe 0,99. Ponadto\nwiadomo, że prawdopodobieństwo tego, że test wykonany na osobie zdrowej da wynik\nnegatywny, jest równe 0,98.\nPan X poddał się testowi, który dał wynik pozytywny. Pozytywny wynik oznacza podejrzenie\nchoroby.\nOblicz prawdopodobieństwo tego, że pan X jest rzeczywiście chory. Wynik zapisz\nw postaci ułamka dziesiętnego w zaokrągleniu do części setnych. Zapisz obliczenia.\nPrzykładowe zadania z rozwiązaniami\n101\nWymaganie ogólne\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji.\n1.\nStosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi […].\nWymaganie szczegółowe\nXII. Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka. Zdający:\n1R) […] stosuje wzór Bayesa […].\nZasady oceniania\n3 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik.\n2 pkt - zastosowanie wzoru Bayesa.\n1 pkt - obliczenie prawdopodobieństw warunkowych 𝑃(-|𝐶) oraz 𝑃(+|𝑍).\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nPrzyjmijmy następujące oznaczenia:\n„+” - zdarzenie polegające na tym, że wylosowana osoba z populacji poddana testowi\notrzyma wynik pozytywny,\n„-” - zdarzenie polegające na tym, że wylosowana osoba z populacji poddana testowi\notrzyma wynik negatywny,\n𝑍 - zdarzenie polegające na tym, że wylosowana osoba z populacji jest zdrowa,\n𝐶 - zdarzenie polegające na tym, że wylosowana osoba z populacji jest chora.\nNależy obliczyć 𝑃(𝐶|+).\nZgodnie z warunkami zadania:\n𝑃(𝐶) = 0,002,\nwięc\n𝑃(𝑍) = 0,998\n𝑃(+|𝐶) = 0,99,\nwięc\n𝑃(-|𝐶) = 0,01\n𝑃(-|𝑍) = 0,98,\nwięc\n𝑃(+|𝑍) = 0,02.\n102\nInformator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie rozszerzonym od roku szkolnego 2024/2025\nStosujemy twierdzenie Bayesa i obliczamy szukane prawdopodobieństwo:\n𝑃(𝐶|+) = 𝑃(+|𝐶) ⋅\n𝑃(𝐶)\n𝑃(+|𝑍) ⋅𝑃(𝑍) + 𝑃(+|𝐶) ⋅𝑃(𝐶)\n𝑃(𝐶|+) = 0,99 ⋅\n0,002\n0,02 ⋅0,998 + 0,99 ⋅0,002 =\n99\n1097 ≈0,09","answer":null,"answer_text":null,"solution":"Oznaczmy: C — osoba chora, Z — osoba zdrowa, + — wynik pozytywny. Z treści: P(C) = 0,002, P(Z) = 0,998, P(+|C) = 0,99, P(+|Z) = 1 - 0,98 = 0,02. Szukamy P(C|+). Ze wzoru Bayesa: P(C|+) = P(+|C)·P(C) / [P(+|C)·P(C) + P(+|Z)·P(Z)] = (0,99·0,002) / (0,99·0,002 + 0,02·0,998) = 0,00198 / (0,00198 + 0,01996) = 0,00198 / 0,02194 = 198/2194 = 99/1097 ≈ 0,09. Odpowiedź: prawdopodobieństwo, że pan X jest rzeczywiście chory, wynosi ≈ 0,09.","image":"img/informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-rozszerzony/zad-30.webp","solution_image":null,"topics":"prawdopodobienstwo","page_from":100,"source":"ai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"ai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2025","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny"},{"id":"informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-rozszerzony/zad/31","paper_id":"informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-rozszerzony","number":"31","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"informator-maturalny","year":2025,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 31. (0-4)\nW pewnym mieście jest prostopadły układ ulic,\na ruch na każdej z nich jest dwukierunkowy.\nW centrum miasta znajduje się park, gdzie\nobowiązuje całkowity zakaz ruchu pojazdów.\nSchemat ulic w tym mieście wraz\nz położeniem parku przedstawiono poniżej na\nrysunku. Tomek znajduje się w punkcie 𝐴\nmiasta i chce dojechać samochodem\nnajkrótszą drogą do punktu 𝐵.\nOblicz, ile jest najkrótszych dróg z 𝑨 do 𝑩. Zapisz obliczenia.\n𝐴\n𝐵\nstarówka\nPrzykładowe zadania z rozwiązaniami\n103\nWymagania ogólne\nII. Wykorzystanie i tworzenie informacji.\n2.\n[…] operowanie informacjami przedstawionymi w tekście […] w formie wykresów,\ndiagramów […].\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji.\n2.\nDobieranie i tworzenie modeli matematycznych przy rozwiązywaniu problemów\npraktycznych i teoretycznych.\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n4.\nStosowanie i tworzenie strategii przy rozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach\nnietypowych.\nWymagania szczegółowe\nXI. Kombinatoryka. Zdający:\n1R) oblicza liczbę możliwych sytuacji, spełniających określone kryteria,\nz wykorzystaniem reguły mnożenia i dodawania (także łącznie) oraz wzorów na\nliczbę: permutacji, kombinacji i wariacji;\n104\nInformator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie rozszerzonym od roku szkolnego 2024/2025\n2R) stosuje współczynnik dwumianowy (symbol Newtona) i jego własności przy\nrozwiązywaniu problemów kombinatorycznych.\nZasady oceniania\n4 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik.\n3 pkt - obliczenie liczby wszystkich najkrótszych dróg z 𝐴 do 𝐾 (gdzie\n𝐾∈{𝐶, 𝐷, 𝐸, 𝐹, 𝐺}).\n2 pkt - zapisanie, że liczba wszystkich najkrótszych dróg z 𝐴 do 𝐵 przechodzących przez\npunkt 𝐾 (gdzie 𝐾∈{𝐶, 𝐷, 𝐸, 𝐹, 𝐺}) jest iloczynem liczby wszystkich najkrótszych\ndróg z 𝐴 do 𝐾 i liczby wszystkich najkrótszych dróg z 𝐾 do 𝐵.\n1 pkt - zapisanie, że każda najkrótsza droga z 𝐴 do 𝐵 musi przechodzić przez jeden\nz punktów 𝐶- 𝐺.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nW poniższym rozwiązaniu przez 𝑛(𝐾, 𝐿) rozumieć będziemy liczbę wszystkich najkrótszych\ndróg z punktu 𝐾 do punktu 𝐿.\nZaznaczmy na schemacie ulic punkty 𝐶, 𝐷, 𝐸, 𝐹, 𝐺 (zobacz rysunek 1.).\nRysunek 1.\n𝐹\n𝐺\n𝐸\n𝐶\n𝐷\n𝐴\n𝐵\npark\nPrzykładowe zadania z rozwiązaniami\n105\nZauważmy, że każda najkrótsza droga z 𝐴 do 𝐵 musi przechodzić przez któryś z punktów\n𝐶, 𝐷, 𝐸, 𝐹 lub 𝐺. Ponadto, liczba wszystkich najkrótszych dróg z 𝐴 do 𝐵 przechodzących\nprzez 𝐶 jest równa 𝑛(𝐴, 𝐶) ⋅𝑛(𝐶, 𝐵). Analogicznie, liczba wszystkich najkrótszych dróg\nz 𝐴 do 𝐵 przechodzących przez 𝐷 jest równa 𝑛(𝐴, 𝐷) ⋅𝑛(𝐷, 𝐵) itd.\nObliczymy 𝑛(𝐴, 𝐶), czyli liczbę wszystkich najkrótszych dróg z 𝐴 do 𝐶.\nKierunek wyznaczony na rysunku 1. przez prostą 𝐴𝐺 nazwiemy poziomym, a kierunek\nprostopadły do poziomego - pionowym. Każda najkrótsza droga z 𝐴 do 𝐶 składa się\nz dokładnie 11 odcinków: 2 poziomych i 9 pionowych. Wskazanie 2 odcinków\n(spośród 11), które mają być poziome, określa nam jednoznacznie najkrótszą drogę z 𝐴\ndo 𝐶. Stąd najkrótszych dróg z 𝐴 do 𝐶 jest (11\n2 ).\nNa rysunku 2. przedstawiono najkrótszą drogę z 𝐴 do 𝐶, gdzie odcinki trzeci i ósmy są\npoziome, a pozostałe - pionowe.\nNa rysunku 3. przedstawiono najkrótszą drogę z 𝐴 do 𝐶, która odpowiada wyborowi\nodcinków szóstego i jedenastego jako odcinków poziomych.\nPodobnie rozumując, otrzymujemy\n𝑛(𝐴, 𝐶) ⋅𝑛(𝐶, 𝐵) = (11\n2 ) ⋅(13\n0 ) = 55 ⋅1 = 55\nRysunek 2.\n𝐶\n𝐴\n1\n2\n3\n4\n5\n6\n7\n8\n9\n10\n11\nRysunek 3.\n𝐶\n𝐴\n1\n2\n3\n4\n5\n6\n7\n8\n9\n10\n11\n106\nInformator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie rozszerzonym od roku szkolnego 2024/2025\n𝑛(𝐴, 𝐷) ⋅𝑛(𝐷, 𝐵) = (11\n3 ) ⋅(13\n1 ) = 165 ⋅13 = 2145\n𝑛(𝐴, 𝐸) ⋅𝑛(𝐸, 𝐵) = (11\n4 ) ⋅(13\n2 ) = 330 ⋅78 = 25740\n𝑛(𝐴, 𝐹) ⋅𝑛(𝐹, 𝐵) = (13\n1 ) ⋅(11\n3 ) = 13 ⋅165 = 2145\n𝑛(𝐴, 𝐺) ⋅𝑛(𝐺, 𝐵) = (13\n0 ) ⋅(11\n2 ) = 1 ⋅55 = 55\nwięc 𝑛(𝐴, 𝐵) = 55 + 2145 + 25740 + 2145 + 55 = 30140.\nInformacja o egzaminie maturalnym z matematyki dla absolwentów niesłyszących\n107\n3.\nInformacja o egzaminie maturalnym z matematyki dla\nabsolwentów niesłyszących\nInformacje o egzaminie maturalnym z matematyki przedstawione w rozdziale 1. Opis\negzaminu maturalnego z matematyki dotyczą również egzaminu dla absolwentów\nniesłyszących. Ponadto zdający niesłyszący przystępują do egzaminu maturalnego\nw warunkach i formie dostosowanych do potrzeb wynikających z ich niepełnosprawności.\nDostosowanie warunków przeprowadzenia egzaminu maturalnego dla absolwentów\nniesłyszących obejmuje m.in. czas trwania egzaminu. Dostosowanie formy egzaminu\nmaturalnego z matematyki dla absolwentów niesłyszących polega na przygotowaniu\nodpowiednich arkuszy, w których uwzględnia się zmianę sposobu formułowania treści\nniektórych zadań i poleceń. Zmiany te dotyczą zamiany pojedynczych słów, zwrotów lub\ncałych zdań - jeśli mogłyby one być niezrozumiałe lub błędnie zrozumiane przez osoby\nniesłyszące. Zadania mogą być dodatkowo uzupełnione szkicem, tabelą lub inną formą\ngraficzną ilustrującą ich treść. Jednak takie zmiany nie mogą wpływać na merytoryczną treść\nzadania oraz nie mogą dotyczyć terminów typowych dla danej dziedziny wiedzy.\nSzczegółowe informacje z tym związane określone są w Komunikacie dyrektora Centralnej\nKomisji Egzaminacyjnej w sprawie szczegółowych sposobów dostosowania warunków i form\nprzeprowadzania egzaminu maturalnego w danym roku szkolnym.\nW dalszej części tego rozdziału zostały przedstawione przykładowe zadania, które ilustrują\nsposób dostosowania niektórych zadań wybranych z rozdziału 2. Przykładowe zadania\nz rozwiązaniami. Zachowano tę samą numerację zadań.\n108\nInformator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie rozszerzonym od roku szkolnego 2024/2025\nZadanie 6. (0-4)\nFunkcja kwadratowa 𝑓 jest określona wzorem 𝑓(𝑥) = 𝑝𝑥2 + (𝑝-1)𝑥+ 1 -2𝑝 dla\nkażdego 𝑥∈ℝ.\nWyznacz wszystkie wartości parametru 𝒑, dla których funkcja 𝒇 ma dokładnie dwa\nmiejsca zerowe 𝒙𝟏 i 𝒙𝟐 , których różnica jest równa 𝟏. Zapisz obliczenia.\nZasady oceniania\n4 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik.\n3 pkt - rozwiązanie równania |1 -1-2𝑝\n𝑝\n| = 1.\nInformacja o egzaminie maturalnym z matematyki dla absolwentów niesłyszących\n109\n2 pkt - zapisanie równania |𝑥1 -𝑥2| = 1 w postaci równania z jedną niewiadomą 𝑝, np.\n|1 -1-2𝑝\n𝑝\n| = 1.\n1 pkt - zapisanie i sprawdzenie rachunkiem, że liczba 𝑥1 = 1 jest miejscem zerowym\nfunkcji 𝑓 oraz wyznaczenie miejsca zerowego 𝑥2 funkcji 𝑓: 𝑥2 = 1-2𝑝\n𝑝\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nPonieważ 𝑓 jest funkcją kwadratową, więc 𝑝≠0.\nZauważamy, że liczba 𝑥1 = 1 jest miejscem zerowym funkcji 𝑓:\n𝑓(1) = 𝑝⋅12 + (𝑝-1) ⋅1 + 1 -2𝑝= 0\nKorzystamy ze wzorów Viète’a i wyznaczamy miejsce zerowe 𝑥2 funkcji 𝑓:\n𝑥1 ⋅𝑥2 = 1 -2𝑝\n𝑝\n𝑥2 = 1 -2𝑝\n𝑝\nMiejsca zerowe 𝑥1 , 𝑥2 funkcji 𝑓 różnią się o 1, gdy |𝑥1 -𝑥2| = 1.\nRozwiązujemy równanie |𝑥1 -𝑥2| = 1:\n|𝑥1 -𝑥2| = 1\n|1 -1 -2𝑝\n𝑝\n| = 1\n|3𝑝-1\n𝑝\n| = 1\n3𝑝-1\n𝑝\n= 1 ∨ 3𝑝-1\n𝑝\n= -1\n3𝑝-1 = 𝑝 ∨ 3𝑝-1 = -𝑝\n𝑝= 1\n2 ∨ 𝑝= 1\n4\nDla 𝑝= 1\n4 funkcja 𝑓 przyjmuje postać 𝑓(𝑥) = 1\n4 𝑥2 -3\n4 𝑥+ 1\n2 i ma dwa rzeczywiste\nmiejsca zerowe: 1 oraz 2.\nDla 𝑝= 1\n2 funkcja 𝑓 przyjmuje postać 𝑓(𝑥) = 1\n2 𝑥2 -1\n2 𝑥 i ma dwa rzeczywiste miejsca\nzerowe: 0 oraz 1.\nZatem funkcja 𝑓 ma dokładnie dwa miejsca zerowe różniące się o 1 tylko wtedy, gdy\n𝑝= 1\n4 lub 𝑝= 1\n2 .\n110\nInformator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie rozszerzonym od roku szkolnego 2024/2025\nZadanie 9. (0-4)\nSyzyf codziennie próbuje wtoczyć ciężką\nkamienną kulę na szczyt pewnej góry. Niestety,\nnie udaje mu się osiągnąć celu.\nPróbę zaczyna w chwili 𝑡= 0 od punktu 𝒪\noddalonego od szczytu o 4 km. Położenie 𝑠\nSyzyfa wtaczającego kulę jest opisane równaniem\n𝑠(𝑡) = -𝑡3 + 16,5𝑡2 + 180𝑡 dla 𝑡∈[0, 24]\ngdzie 𝑠 jest wyrażone w metrach, a czas 𝑡 - w godzinach.\nOś 𝒪𝑠 jest skierowana do wierzchołka góry i jest styczna w każdym punkcie do zbocza\ngóry.\nOblicz najmniejszą odległość, na jaką Syzyf zbliży się do wierzchołka góry, oraz\nnajwiększą prędkość, z jaką wtacza kamień pod górę. Zapisz obliczenia.\nInformacja o egzaminie maturalnym z matematyki dla absolwentów niesłyszących\n111\nZasady oceniania\n4 pkt - poprawna metoda wyznaczenia najmniejszej odległości, na jaką Syzyf zbliży się do\nwierzchołka góry, i poprawna metoda wyznaczenia największej wartości prędkości,\nz jaką wtaczany jest kamień, wraz z poprawnymi wynikami liczbowymi.\n3 pkt - zapisanie, że prędkość jest pochodną funkcji położenia i wyznaczenie ekstremów\nfunkcji 𝑠′.\n2 pkt - zbadanie monotoniczności funkcji 𝑠 i wyznaczenie ekstremów funkcji 𝑠.\n1 pkt - wyznaczenie pochodnej funkcji 𝑠.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nNajpierw wyznaczymy najmniejszą odległość, na jaką Syzyf zbliży się do wierzchołka góry.\nWyznaczamy pochodną funkcji 𝑠:\n𝑠′(𝑡) = -3𝑡2 + 33𝑡+ 180 dla\n𝑡∈[0, 24]\ni obliczamy jej miejsca zerowe:\n𝑠′(𝑡) = 0\n-3𝑡2 + 33𝑡+ 180 = 0\n𝑡2 -11𝑡-60 = 0\nΔ = 361\n𝑡1 = 15 𝑡2 < 0\nPonieważ:\n𝑠′(𝑡) > 0 dla 𝑡∈[0,15)\n𝑠′(𝑡) < 0 dla 𝑡∈(15, 24]\nwięc\nfunkcja 𝑠 jest rosnąca w przedziale [0, 15]\nfunkcja 𝑠 jest malejąca w przedziale [15, 24].\nZatem dla 𝑡= 15 funkcja 𝑠 przyjmuje wartość największą równą 𝑠(15) = 3037,5. Syzyf\npo 15 godzinach pokonał 3037,5 m, a więc zbliżył się do wierzchołka góry na odległość\n4000 -3037,5 = 962,5 m.\nObliczamy największą wartość prędkości, z jaką Syzyf wtacza kulę.\nNiech v oznacza prędkość Syzyfa wtaczającego kulę.\nPonieważ v = 𝑠′ , więc\nv(𝑡) = 𝑠′(𝑡) = -3𝑡2 + 33𝑡+ 180 dla\n𝑡∈[0, 24]\nKorzystamy z własności funkcji kwadratowej i obliczamy największą wartość prędkości,\nz jaką Syzyf wtacza kulę:\n112\nInformator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie rozszerzonym od roku szkolnego 2024/2025\nPierwsza współrzędna wierzchołka paraboli 𝑦= -3𝑡2 + 33𝑡+ 180 ma wartość\n𝑝= -𝑏\n2𝑎= -\n33\n2 ⋅(-3) = 11\n2 ∈[0, 24]\nwięc 𝜐(11\n2 ) = -3 ⋅(11\n2 )\n2\n+ 33 ⋅11\n2 + 180 = 270,75 > 0.\nZatem największa wartość prędkości, z jaką Syzyf wtacza kulę pod górę, jest równa\n270,75 m/h.\nZadanie 10. (0-6)\nNa rysunku poniżej przedstawiono położenie czterech miast 𝐴, 𝐵, 𝐶 i 𝐷 oraz przykładową\nsieć dróg między nimi. Sieć trzeba zaprojektować tak, aby łączyła każde dwa z tych miast,\nmiała dwa węzły, a łączna długość jej dróg była możliwie najmniejsza. Punkty 𝐴, 𝐵, 𝐶 i 𝐷\nto wierzchołki kwadratu o boku 300 km.\nOblicz, jaka musi być długość najkrótszej takiej sieci dróg i gdzie muszą być\nzlokalizowane węzły tej sieci. Zapisz obliczenia.\n𝐴\n𝐶\n𝐷\n𝐵\nwęzły\n300 km\n300 km\nInformacja o egzaminie maturalnym z matematyki dla absolwentów niesłyszących\n113\nZasady oceniania\n6 pkt - obliczenie długości najkrótszej sieci z dwoma węzłami i podanie lokalizacji węzłów\nwzględem miast.\n5 pkt - obliczenie długości najkrótszej sieci z dwoma węzłami.\n4 pkt - obliczenie wartości najmniejszej funkcji 𝑓.\n3 pkt - wyznaczenie pochodnej funkcji 𝑓.\n2 pkt - zapisanie długości sieci w zależności od odległości węzłów od prostych -\nodpowiednio - 𝐴𝐷 i 𝐵𝐶.\n1 pkt - uzasadnienie, że węzły muszą się znajdować na symetralnej odcinka 𝐴𝐷.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\n114\nInformator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie rozszerzonym od roku szkolnego 2024/2025\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nRozpatrzmy sieć dróg złożoną z odcinków 𝐴𝐾, 𝐾𝐿, 𝐿𝐶, 𝐵𝐿 i 𝐷𝐾 (zobacz rysunek 1.).\nProwadzimy prostą 𝑝 równoległą do 𝐴𝐷 i przechodzącą przez 𝐾 i zaznaczamy na niej\npunkt 𝐾’ taki, że |𝐴𝐾′| = |𝐷𝐾′|.\nProwadzimy prostą równoległą do 𝐵𝐶 i przechodzącą przez 𝐿 i zaznaczamy na niej\npunkt 𝐿’ taki, że |𝐵𝐿′| = |𝐶𝐿′| (zobacz rysunek 2.).\nPokażemy, że sieć dróg z węzłami 𝐾 i 𝐿 można zastąpić siecią krótszą - z węzłami 𝐾’\noraz 𝐿’.\nNiech 𝐷’ będzie punktem symetrycznym do punktu 𝐷 względem prostej 𝑝. Wówczas\npunkty 𝐷’, 𝐾’ oraz 𝐴 są współliniowe, więc\n|𝐷𝐾| + |𝐾𝐴| = |𝐷′𝐾| + |𝐾𝐴| ≥|𝐷′𝐴| = |𝐷𝐾′| + |𝐾′𝐴|\n𝐴\n𝐶\n𝐷\n𝐵\n𝐾\n𝐿\nRysunek 2.\n𝐾′\n𝐿′\n𝑝\n𝐴\n𝐶\n𝐷\n𝐵\n𝐾\n𝐿\nRysunek 1.\nInformacja o egzaminie maturalnym z matematyki dla absolwentów niesłyszących\n115\nPodobnie pokazujemy, że |𝐵𝐿| + |𝐿𝐶| ≥|𝐵𝐿′| + |𝐿′𝐶|. Ponadto odcinek 𝐾′𝐿′ jest\nrównoległy do prostej 𝐴𝐵, więc |𝐾′𝐿′| ≤|𝐾𝐿|. Zatem sieć dróg z węzłami 𝐾′ i 𝐿′ jest\nkrótsza niż z węzłami 𝐾 i 𝐿.\nOznaczmy odległość punktu 𝐾′ od prostej 𝐴𝐷 przez 𝑥, natomiast punktu 𝐿′ od\nprostej 𝐵𝐶 - przez 𝑦. (zobacz rysunek 3).\nDługość 𝑑 sieci z węzłami 𝐾′ i 𝐿′ jest równa\n𝑑= 2√1502 + 𝑥2 + 2√1502 + 𝑦2 + 300 -𝑥-𝑦\ngdzie 𝑥∈[0, 300), 𝑦∈[0, 300) i 𝑥+ 𝑦< 300.\nZauważmy, że funkcje 𝑓(𝑥) = 2√1502 + 𝑥2 -𝑥 i 𝑔(𝑦) = 2√1502 + 𝑦2 -𝑦 maja taką\nsamą postać, w związku z tym zbadamy tylko funkcję 𝑓(𝑥) = 2√1502 + 𝑥2 -𝑥 określoną\ndla 𝑥∈[0, 300].\n𝑓′(𝑥) = 2 ⋅1\n2 ⋅\n1\n√1502 + 𝑥2 ⋅2𝑥-1 =\n2𝑥\n√1502 + 𝑥2 -1\n𝑓′(𝑥) = 0\n2𝑥\n√(1502 + 𝑥2)\n= 1\n4𝑥2 = 𝑥2 + 1502\n𝑥= 50√3\n𝑓′(𝑥) > 0 ⟺ 𝑥∈(50√3, 300]\n𝑓′(𝑥) < 0 ⟺ 𝑥∈[0, 50√3)\nFunkcja 𝑓 jest malejąca w przedziale [0, 50√3] i rosnąca w przedziale [50√3, 300].\nNajmniejszą wartość funkcja przyjmuje w punkcie 𝑥= 50√3 i wartość ta jest równa\n𝑓(50√3) = 150√3.\n𝐶\n𝐷\n𝑥\nRysunek 3.\n𝑦\n𝐿′\n𝐴\n𝐵\n𝐾′\n116\nInformator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie rozszerzonym od roku szkolnego 2024/2025\nZatem\n𝑑= 𝑓(𝑥) + 𝑓(𝑦) + 300 ≥300(1 + √3)\nprzy czym równość zachodzi tylko wtedy, gdy 𝑥= 𝑦= 50√3. Najkrótsza sieć dróg ma\nzatem długość 300(1 + √3) km i składa się z 5 odcinków: 𝐴𝐾′, 𝐾′𝐿′, 𝐿′𝐶, 𝐵𝐿′ i 𝐷𝐾′.\nWęzeł 𝐾′ jest równo oddalony (w odległości 100√3 km) od miast 𝐴 i 𝐷, natomiast\nwęzeł 𝐿′ jest równo oddalony (w odległości 100√3 km) od miast 𝐵 i 𝐶 (zobacz\nrysunek 3.).\nZauważmy jeszcze, że w przypadku sieci dróg z jednym węzłem, najkrótsza taka sieć będzie\nmiała długość równą 600√2 km (i węzeł w środku kwadratu 𝐴𝐵𝐶𝐷). Będzie więc dłuższa\nniż sieć z dwoma węzłami.\nZadanie 19. (0-4)\nNa rysunku obok przedstawiono położenie miejscowości\n𝐴, 𝐵 i 𝐶 oraz zaznaczono odległości między nimi.\nO godzinie 9:00 z miejscowości 𝐴 do 𝐶 wyruszyli\nharcerze z zastępu „Tropiciele” i maszerowali\nz prędkością 4 km/h. O tej samej godzinie\nz miejscowości 𝐵 do 𝐴 wyruszyli harcerze z zastępu\n„Korsarze” i maszerowali z prędkością 2 km/h.\nWyznacz godzinę, o której odległość między tymi zastępami harcerzy będzie\nnajmniejsza. Zapisz obliczenia.\n𝐴\n𝐵\n𝐶\n15 km\n20 km\nInformacja o egzaminie maturalnym z matematyki dla absolwentów niesłyszących\n117\nZasady oceniania\ndla rozwiązania sposobem 1.\n4 pkt - poprawna metoda wyznaczenia chwili, w której odległość między zastępami będzie\nnajmniejsza i poprawna odpowiedź.\n3 pkt - uzasadnienie, że odległość 𝑑 jest najmniejsza wtedy, gdy wyrażenie\npodpierwiastkowe 20𝑡2 -60𝑡+ 225 jest możliwie najmniejsze oraz podanie\nzakresu zmienności 𝑡.\n2 pkt - wyznaczenie odległości 𝑑 między zastępami w zależności od czasu 𝑡, jaki upłynął\nod momentu wyruszenia zastępów.\n1 pkt - wyznaczenie odległości poszczególnych zastępów od miejscowości 𝐴 w zależności\nod czasu, jaki upłynął od momentu wyruszenia zastępów.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\ndla rozwiązania sposobem 2.\n4 pkt - uzasadnienie (np. poprzez zbadanie monotoniczności), że dla 𝑡= 1,5 funkcja 𝑑(𝑡)\nosiąga minimum globalne i podanie poprawnej odpowiedzi.\n3 pkt - podanie dziedziny funkcji 𝑑(𝑡), obliczenie pochodnej funkcji 𝑑(𝑡) i znalezienie\npunktów krytycznych.\n2 pkt - wyznaczenie odległości 𝑑 między zastępami w zależności od czasu 𝑡, jaki upłynął\nod momentu wyruszenia zastępów.\n1 pkt - wyznaczenie odległości poszczególnych zastępów od miejscowości 𝐴 w zależności\nod czasu, jaki upłynął od momentu wyruszenia zastępów.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\n118\nInformator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie rozszerzonym od roku szkolnego 2024/2025\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób 1.\nNiech 𝑑1 będzie odległością (w km) zastępu „Tropiciele” od miejscowości 𝐴.\nWyznaczamy zależność 𝑑1 od czasu 𝑡 (w godzinach), jaki upłynął od chwili wyruszenia\nzastępu z miejscowości 𝐴:\n𝑑1(𝑡) = 4𝑡\ndla 𝑡∈[0, 5],\ngdzie 4 to prędkość (w km/h) marszu „Tropicieli”.\nNiech 𝑑2 będzie odległością (w km) zastępu „Korsarze” od miejscowości 𝐴.\nWyznaczamy zależność 𝑑2 od czasu 𝑡 (w godzinach), jaki upłynął od chwili wyruszenia\nzastępu z miejscowości 𝐵:\n𝑑2(𝑡) = 15 -2𝑡\ndla 𝑡∈[0, 15\n2 ],\ngdzie 2 to prędkość (w km/h) marszu „Korsarzy”.\nOdległość między zastępami badamy do momentu, gdy pierwszy z nich dotrze do celu.\nOdległość 𝑑 między zastępami w chwili 𝑡 jest równa\n𝑑(𝑡) = √𝑑1\n2(𝑡) + 𝑑2\n2(𝑡) = √16𝑡2 + (15 -2𝑡)2 dla 𝑡∈[0, 5].\nBadamy, dla jakiego argumentu 𝑡∈[0, 5] funkcja 𝑑 osiąga wartość najmniejszą.\nPonieważ funkcja 𝑔(𝑥) = √𝑥 jest funkcją rosnącą w przedziale [0, +∞), więc funkcja 𝑑\nosiąga wartość najmniejszą wtedy, gdy funkcja\n𝑓(𝑡) = 16𝑡2 + (15 -2𝑡)2 = 20𝑡2 -60𝑡+ 225 określona dla 𝑡∈[0, 5]\nosiąga wartość najmniejszą.\nKorzystamy z własności funkcji kwadratowej i obliczamy argument, dla którego funkcja 𝑓\nosiąga wartość najmniejszą:\n𝑡= --60\n2⋅20 = 1,5 ∈[0, 5]\nwięc funkcja 𝑓 osiąga wartość najmniejszą dla 𝑡= 1,5. Zatem funkcja 𝑑 osiąga wartość\nnajmniejszą dla argumentu 𝑡= 1,5.\nOdległość między zastępami harcerzy będzie najmniejsza po upływie półtorej godziny, czyli\no godzinie 10:30.\nSposób 2.\nNiech 𝑑1 będzie odległością (w km) zastępu „Tropiciele” od miejscowości 𝐴.\nWyznaczamy zależność 𝑑1 od czasu 𝑡 (w godzinach), jaki upłynął od chwili wyruszenia\nzastępu z miejscowości 𝐴:\n𝑑1(𝑡) = 4𝑡\ndla 𝑡∈[0, 5],\ngdzie 4 to prędkość (w km/h) marszu „Tropicieli”.\nNiech 𝑑2 będzie odległością (w km) zastępu „Korsarze” od miejscowości 𝐴.\nInformacja o egzaminie maturalnym z matematyki dla absolwentów niesłyszących\n119\nWyznaczamy zależność 𝑑2 od czasu 𝑡 (w godzinach), jaki upłynął od chwili wyruszenia\nzastępu z miejscowości 𝐵:\n𝑑2(𝑡) = 15 -2𝑡\ndla 𝑡∈[0, 15\n2 ].\ngdzie 2 to prędkość (w km/h) marszu „Korsarzy”.\nOdległość 𝑑 między zastępami w chwili 𝑡 wynosi\n𝑑(𝑡) = √𝑑1\n2(𝑡) + 𝑑2\n2(𝑡) = √16𝑡2 + (15 -2𝑡)2 dla 𝑡∈[0, 5] oraz\n𝑑(𝑡) = √𝑑1\n2(5) + 𝑑2\n2(𝑡) = √400 + (15 -2𝑡)2 dla 𝑡∈(5, 15\n2 ],\nprzy czym przyjmujemy, że dla 𝑡∈[5, 15\n2 ] „Tropiciele” znajdują się w miejscowości 𝐶.\nBadamy, dla jakiego argumentu 𝑡∈[0, 15\n2 ] funkcja 𝑑 osiąga wartość najmniejszą.\nWyznaczamy pochodną funkcji 𝑑:\n𝑑′(𝑡) = (√16𝑡2 + (15 -2𝑡)2)\n′\n1\n2√16𝑡2 + (15 -2𝑡)2 ⋅[16𝑡2 + (15 -2𝑡)2]′ =\n1\n2√16𝑡2 + (15 -2𝑡)2 ⋅[32𝑡+ 2 ⋅(15 -2𝑡) ⋅(-2)] =\n20𝑡-30\n√16𝑡2 + (15 -2𝑡)2\ndla 𝑡∈[0, 5] oraz\n𝑑′(𝑡) = (√400 + (15 -2𝑡)2)\n′\n1\n2√400 + (15 -2𝑡)2 ⋅[400 + (15 -2𝑡)2]′ =\n1\n2√400 + (15 -2𝑡)2 ⋅[2 ⋅(15 -2𝑡) ⋅(-2)] =\n4𝑡-30\n√400 + (15 -2𝑡)2\ndla 𝑡∈(5, 15\n2 ].\nObliczamy miejsca zerowe pochodnej funkcji 𝑑:\n20𝑡-30\n√16𝑡2 + (15 -2𝑡)2 = 0\n𝑡= 3\n2 ∈[0, 5]\noraz\n4𝑡-30\n√400 + (15 -2𝑡)2 = 0\n𝑡= 15\n2 ∈(5, 15\n2 ]\nBadamy monotoniczność funkcji 𝑑.\n120\nInformator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie rozszerzonym od roku szkolnego 2024/2025\nPonieważ\n𝑑′(𝑡) > 0 dla 𝑡∈(3\n2 , 5]\n𝑑′(𝑡) < 0 dla 𝑡∈[0, 3\n2) oraz dla 𝑡∈(5, 15\n2 )\nwięc\nfunkcja 𝑑 jest rosnąca w przedziale [3\n2 , 5]\nfunkcja 𝑑 jest malejąca w przedziałach [0, 3\n2] oraz [5, 15\n2 ].\nPonadto 𝑑(3\n2) = √180 oraz 𝑑(15\n2 ) = √400. Zatem funkcja 𝑑 osiąga wartość\nnajmniejszą dla 𝑡= 1,5.\nOdległość między zastępami harcerzy będzie najmniejsza o godzinie 10:30.\nInformacja o egzaminie maturalnym z matematyki dla absolwentów niesłyszących\n121\nPoniżej przedstawiono ilustrację geometryczną do sposobów 1. (po lewej) oraz 2. (po\nprawej).\nPunkty 𝑋𝑖 odpowiadają położeniom zastępu „Korsarze” po kolejnych półgodzinnych\nodstępach czasu, licząc od momentu wyruszenia z miejscowości 𝐵.\nPunkty 𝑌𝑖 odpowiadają położeniom zastępu „Tropiciele” po kolejnych półgodzinnych\nodstępach czasu, licząc od momentu wyruszenia z miejscowości 𝐴.\n𝑑= |𝑋𝑖𝑌𝑖| (w km)\nGodzina\n|𝑋1𝑌1| ≈14,14\n9:30\n|𝑋2𝑌2| ≈13,60\n10:00\n|𝑋3𝑌3| ≈13,42\n10:30\n|𝑋4𝑌4| ≈13,60\n11:00\n|𝑋5𝑌5| ≈14,14\n11:30\n|𝑋6𝑌6| ≈15,00\n12:00\n|𝑋7𝑌7| ≈16,12\n12:30\n|𝑋8𝑌8| ≈17,46\n13:00\n|𝑋9𝑌9| ≈18,97\n13:30\n|𝑋10𝑌10| ≈20,62\n14:00\n|𝑋11𝑌10| ≈20,40\n14:30\n|𝑋12𝑌10| ≈20,22\n15:00\n|𝑋13𝑌10| ≈20,10\n15:30\n|𝑋14𝑌10| ≈20,02\n16:00\n|𝐴𝑌10| ≈20,00\n16:30\n𝑑= |𝑋𝑖𝑌𝑖| (w km)\nGodzina\n|𝑋1𝑌1| ≈14,14\n9:30\n|𝑋2𝑌2| ≈13,60\n10:00\n|𝑋3𝑌3| ≈13,42\n10:30\n|𝑋4𝑌4| ≈13,60\n11:00\n|𝑋5𝑌5| ≈14,14\n11:30\n|𝑋6𝑌6| ≈15,00\n12:00\n|𝑋7𝑌7| ≈16,12\n12:30\n|𝑋8𝑌8| ≈17,46\n13:00\n|𝑋9𝑌9| ≈18,97\n13:30\n|𝑋10𝑌10| ≈20,62\n14:00\n𝐴\n𝐵\n𝑋1\n𝑋2\n𝑋3\n𝑋4\n𝑋5\n𝑋6\n𝑌1\n𝑌2\n𝑌3\n𝑌4\n𝑌5\n𝑌10 = 𝐶\n𝑋7\n𝑋8\n𝑋9\n𝑋10\n𝑌6\n𝑌7\n𝑌8\n𝑌9\n𝐴\n𝐵\n𝑋1\n𝑋2\n𝑋3\n𝑋4\n𝑋5\n𝑋6\n𝑌1\n𝑌2\n𝑌3\n𝑌4\n𝑌5\n𝑌10 = ⋯𝑌15 = 𝐶\n𝑋11\n𝑋12\n𝑋7\n𝑋8\n𝑋9\n𝑋10\n𝑌6\n𝑌7\n𝑌8\n𝑌9\n𝑋13\n𝑋14\n122\nInformator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie rozszerzonym od roku szkolnego 2024/2025\nZadanie 21. (0-5)\nW ostrosłupie prawidłowym czworokątnym 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸 punkt 𝑂 jest środkiem symetrii\npodstawy ostrosłupa. Stosunek obwodu podstawy 𝐴𝐵𝐶𝐷 do sumy długości wszystkich\nkrawędzi ostrosłupa jest równy 1: 5. Przez przekątną 𝐴𝐶 podstawy i środek 𝑆 krawędzi\nbocznej 𝐵𝐸 poprowadzono płaszczyznę (zobacz rysunek).\nOblicz stosunek pola otrzymanego przekroju do pola podstawy ostrosłupa oraz miarę\nkąta 𝑩𝑺𝑶 (w zaokrągleniu do 𝟏°). Zapisz obliczenia.\nWskazówka.\nSkorzystaj z tablicy wartości funkcji trygonometrycznych (Wybrane wzory matematyczne,\nstrona 34).\n𝐴\n𝐵\n𝐶\n𝐷\n𝐸\n𝑆\n𝑂\n𝛼\nInformacja o egzaminie maturalnym z matematyki dla absolwentów niesłyszących\n123\n124\nInformator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie rozszerzonym od roku szkolnego 2024/2025\nZasady oceniania\ndla rozwiązań sposobami 1. oraz 2.\n5 pkt - obliczenie miary kąta 𝐵𝑆𝑂 (w zaokrągleniu do 1°) oraz obliczenie stosunku pola\nprzekroju do pola podstawy ostrosłupa.\n4 pkt - obliczenie wartości cosinusa kąta 𝐵𝑆𝑂 oraz stosunku pola przekroju do pola\npodstawy ostrosłupa\nALBO\n- wyznaczenie miary kąta 𝐵𝑆𝑂.\n3 pkt - obliczenie stosunku pola przekroju do pola podstawy ostrosłupa\nALBO\n- obliczenie wartości cosinusa kąta 𝐵𝑆𝑂.\n2 pkt - wyznaczenie długości odcinka 𝑂𝑆 w zależności od długości krawędzi podstawy.\n1 pkt - wyznaczenie długości krawędzi bocznej w zależności od długości krawędzi podstawy.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\ndla rozwiązania sposobem 3.\n5 pkt - obliczenie miary kąta 𝐵𝑆𝑂 (w zaokrągleniu do 1°) oraz obliczenie stosunku pola\nprzekroju do pola podstawy ostrosłupa.\n4 pkt - obliczenie cosinusa kąta 𝑂𝐸𝐵 lub 𝐹𝐵𝑆.\n3 pkt - obliczenie stosunku pola przekroju do pola podstawy ostrosłupa.\n2 pkt - wyznaczenie długości odcinków 𝑆𝐹 i 𝑂𝐹.\n1 pkt - wyznaczenie długości krawędzi bocznej w zależności od długości krawędzi podstawy.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób 1.\nPrzyjmijmy oznaczenia jak na rysunku 1.\nRysunek 1.\n𝐴\n𝐵\n𝐶\n𝐷\n𝐸\n𝑆\n𝑂\nα\n𝑎\n𝑏\nInformacja o egzaminie maturalnym z matematyki dla absolwentów niesłyszących\n125\nWyznaczamy 𝑏 w zależności od 𝑎.\nZ treści zadania wiemy, że stosunek obwodu podstawy do sumy długości wszystkich\nkrawędzi ostrosłupa jest równy 1 ∶5, więc\n4𝑎\n4𝑎+4𝑏= 1\n5 , co daje 𝑏= 4𝑎.\nWyznaczamy |𝑂𝑆| w zależności od 𝑎.\nTrójkąt 𝑂𝐵𝐸 jest prostokątny, punkt 𝑆 jest środkiem\nprzeciwprostokątnej, więc 𝑆 jest środkiem okręgu\nopisanego na trójkącie 𝑂𝐵𝐸 (zobacz rysunek 2.).\nZatem |𝑂𝑆| = 2𝑎.\nObliczamy stosunek pola przekroju 𝐴𝐶𝑆 do pola podstawy\nostrosłupa:\n𝑃𝐴𝐶𝑆\n𝑃𝐴𝐵𝐶𝐷\n1\n2 ⋅𝑎√2 ⋅|𝑂𝑆|\n𝑎2\n1\n2 ⋅𝑎√2 ⋅2𝑎\n𝑎2\n= √2\nDo trójkąta 𝐵𝑆𝑂 stosujemy twierdzenie cosinusów w celu obliczenia cosinusa kąta 𝐵𝑆𝑂:\n(𝑎√2\n2 )\n2\n= (2𝑎)2 + (2𝑎)2 -2 ⋅2𝑎⋅2𝑎⋅cos 𝛼\nZ ostatniego równania otrzymujemy cos 𝛼= 15\n16 , więc 𝛼≈20°.\nSposób 2.\nPrzyjmijmy oznaczenia jak na rysunku 1.\nWyznaczamy 𝑏 w zależności od 𝑎.\nZ treści zadania wiemy, że stosunek obwodu podstawy do sumy długości wszystkich\nkrawędzi ostrosłupa jest równy 1 ∶5, więc\n4𝑎\n4𝑎+4𝑏= 1\n5 , co daje 𝑏= 4𝑎.\nStąd i z twierdzenia cosinusów zastosowanego do trójkąta 𝐵𝐸𝐶 obliczamy cosinus\nkąta 𝐵𝐸𝐶:\n𝑎2 = 𝑏2 + 𝑏2 -2 ⋅𝑏⋅𝑏⋅cos |∡𝐵𝐸𝐶|\n𝑎2 = 16𝑎2 + 16𝑎2 -2 ⋅4𝑎⋅4𝑎⋅cos |∡𝐵𝐸𝐶|\ncos |∡𝐵𝐸𝐶| = 31\n32\n𝑂\n𝐵\n𝐸\n𝑆\nα\n2𝑎\n2𝑎\nRysunek 2.\n126\nInformator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie rozszerzonym od roku szkolnego 2024/2025\nKorzystamy z twierdzenia cosinusów zastosowanego do trójkąta 𝐶𝑆𝐸 i wyznaczamy\ndługość odcinka 𝑆𝐶:\n|𝑆𝐶|2 = 𝑏2 + (1\n2 𝑏)\n2\n-2 ⋅1\n2 𝑏⋅𝑏⋅cos |∡𝐵𝐸𝐶|\n|𝑆𝐶|2 = 16𝑎2 + 4𝑎2 -16𝑎2 ⋅31\n32\n|𝑆𝐶|2 = 9\n2 𝑎2\n|𝑆𝐶| = 3𝑎\n√2\nStosujemy twierdzenie Pitagorasa do trójkąta 𝑂𝐶𝑆 w celu wyznaczenia długości odcinka\n𝑂𝑆:\n|𝑂𝑆|2 = |𝑆𝐶|2 -(√2𝑎\n2 )\n2\n|𝑂𝑆|2 = 9\n2 𝑎2 -1\n2 𝑎2\n|𝑂𝑆| = 2𝑎\nObliczamy stosunek pola przekroju 𝐴𝐶𝑆 do pola podstawy ostrosłupa:\n𝑃𝐴𝐶𝑆\n𝑃𝐴𝐵𝐶𝐷\n1\n2 ⋅𝑎√2 ⋅|𝑂𝑆|\n𝑎2\n1\n2 ⋅𝑎√2 ⋅2𝑎\n𝑎2\n= √2\nW celu obliczenia cosinusa kąta 𝐵𝑆𝑂 zastosujemy do trójkąta 𝐵𝑆𝑂 (zobacz rysunek 2.)\ntwierdzenie cosinusów:\n(𝑎√2\n2 )\n2\n= (2𝑎)2 + (2𝑎)2 -2 ⋅2𝑎⋅2𝑎⋅cos 𝛼\nZ ostatniego równania otrzymujemy cos 𝛼= 15\n16 , więc 𝛼≈20°.\nSposób 3.\nWyznaczamy zależność 𝑏 od 𝑎.\nZ treści zadania wiemy, że stosunek obwodu podstawy do sumy długości wszystkich\nkrawędzi ostrosłupa jest równy 1 ∶5, więc\n4𝑎\n4𝑎+4𝑏= 1\n5 , co daje 𝑏= 4𝑎.\nStosujemy twierdzenie Pitagorasa dla trójkąta prostokątnego 𝐵𝑂𝐸 i obliczamy długość\nodcinka 𝑂𝐸:\nInformacja o egzaminie maturalnym z matematyki dla absolwentów niesłyszących\n127\n|𝑂𝐸|2 = |𝐵𝐸|2 -|𝑂𝐵|2\n|𝑂𝐸|2 = 62\n4 𝑎2\n|𝑂𝐸| = √62\n2 𝑎\nOznaczmy przez 𝐹 rzut prostokątny punktu 𝑆 na odcinek 𝑂𝐵.\nPonieważ |∡𝑂𝐸𝐵| = |∡𝐹𝑆𝐵|, |∡𝑂𝐵𝐸| = |∡𝐹𝐵𝑆| i trójkąty 𝐵𝑂𝐸 oraz 𝐵𝐹𝑆 są\nprostokątne, więc są podobne (na mocy cechy kkk podobieństwa trójkątów). Trójkąty 𝐵𝑂𝐸\ni 𝐵𝐹𝑆 są podobne w skali 𝑘=\n|𝐵𝐸|\n|𝐵𝑆| = 4𝑎\n2𝑎= 2. Zatem 𝐹 jest środkiem odcinka 𝑂𝐵, więc\n|𝑂𝐹| = 1\n2 ⋅|𝑂𝐵| = 𝑎√2\n4 oraz |𝑆𝐹| = 1\n2 ⋅|𝑂𝐸| = √62\n4 𝑎\nObliczamy długość odcinka 𝑂𝑆:\n|𝑂𝑆|2 = |𝑂𝐹|2 + |𝑆𝐹|2\n|𝑂𝑆|2 = (𝑎√2\n4 )\n2\n+ (√62\n4 𝑎)\n2\n|𝑂𝑆| = 2𝑎\nObliczamy stosunek pola przekroju 𝐴𝐶𝑆 do pola podstawy ostrosłupa:\n𝑃𝐴𝐶𝑆\n𝑃𝐴𝐵𝐶𝐷\n1\n2 ⋅𝑎√2 ⋅|𝑂𝑆|\n𝑎2\n1\n2 ⋅𝑎√2 ⋅2𝑎\n𝑎2\n= √2\nPonieważ\ncos|∡𝐹𝑆𝐵| = |𝐹𝑆|\n|𝐵𝑆| =\n√62\n4 𝑎\n2𝑎\n= √62\n8\ni trójkąt 𝑂𝑆𝐵 jest równoramienny, więc 𝛼= 2 ⋅|∡𝐹𝑆𝐵|. Zatem\ncos 𝛼= cos(2 ⋅|∡𝐹𝑆𝐵|) = 2 cos2|∡𝐹𝑆𝐵| -1 = 2 ⋅(√62\n8 )\n2\n-1 = 15\n16\nskąd 𝛼≈20°.\n128\nInformator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie rozszerzonym od roku szkolnego 2024/2025\nZadanie 23. (0-3)\nW kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) trapez 𝐴𝐵𝐶𝐷 jest wpisany w okrąg\no środku w punkcie 𝑆= (19, -11) i promieniu 17√2. Odcinek 𝐴𝐵 jest dłuższą podstawą\ntego trapezu. Jego przekątna 𝐴𝐶 jest zawarta w prostej o równaniu 𝑦= 𝑥. Wierzchołek 𝐴\ntrapezu ma obie współrzędne ujemne.\nOblicz sinus kąta 𝑨𝑩𝑪. Zapisz obliczenia.\nZasady oceniania\ndla rozwiązań sposobami 1. oraz 2.\n3 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik.\n2 pkt - obliczenie długości odcinka 𝐴𝐶.\n1 pkt - obliczenie współrzędnych wierzchołków 𝐴 i 𝐶 trapezu\nALBO\n- obliczenie odległości środka okręgu od prostej zawierającej przekątną 𝐴𝐶 trapezu.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nInformacja o egzaminie maturalnym z matematyki dla absolwentów niesłyszących\n129\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób 1.\nZapisujemy równanie okręgu o środku w punkcie 𝑆= (19, -11) i promieniu 17√2:\n(𝑥-19)2 + (𝑦+ 11)2 = 578\nObliczamy współrzędne wierzchołków 𝐴 i 𝐶 trapezu, czyli punkty przecięcia okręgu i\nprostej:\n{ (𝑥-19)2 + (𝑦+ 11)2 = 578\n𝑦= 𝑥\n(𝑥-19)2 + (𝑥+ 11)2 = 578\n2𝑥2 -16𝑥-96 = 0\nPo rozwiązaniu równania otrzymujemy: 𝑥= -4 lub 𝑦= -4. Gdy 𝑥= -4, to 𝑦= -4.\nGdy 𝑥= 12, to 𝑦= 12.\nPonieważ wierzchołek 𝐴 trapezu ma obie współrzędne ujemne, więc otrzymujemy\n𝐴= (-4, -4) oraz 𝐶= (12, 12).\nObliczamy długość odcinka 𝐴𝐶:\n|𝐴𝐶| = √(12 + 4)2 + (12 + 4)2 = 16√2\nPo zastosowaniu twierdzenia sinusów do trójkąta 𝐴𝐵𝐶 otrzymujemy\n|𝐴𝐶|\nsin |∡𝐴𝐵𝐶| = 2𝑅\nsin |∡𝐴𝐵𝐶| =\n|𝐴𝐶|\n2𝑅= 16√2\n34√2\n= 8\n17\nSposób 2.\nNiech 𝐸 będzie środkiem odcinka 𝐴𝐶. Obliczamy |𝑆𝐸| jako odległość punktu 𝑆 od\nprostej 𝐴𝐶 o równaniu 𝑥-𝑦= 0:\n𝑑(𝑆, 𝐴𝐶) = |𝑆𝐸| =\n|19 -(-11)|\n√12 + (-1)2 = 15√2\nStosujemy twierdzenie Pitagorasa do trójkąta 𝐶𝐸𝑆 w celu obliczenia długości odcinka 𝐸𝐶\n(połowa długości przekątnej 𝐴𝐶 trapezu 𝐴𝐵𝐶𝐷):\n|𝐸𝐶|2 = |𝐶𝑆|2 -|𝑆𝐸|2\n|𝐸𝐶|2 = (17√2)\n2 -(15√2)\n2 = 128\nZatem |𝐴𝐶| = 2 ⋅|𝐸𝐶| = 16√2.\nPo zastosowaniu twierdzenia sinusów do trójkąta 𝐴𝐵𝐶 otrzymujemy\n130\nInformator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie rozszerzonym od roku szkolnego 2024/2025\n|𝐴𝐶|\nsin |∡𝐴𝐵𝐶| = 2𝑅\nsin |∡𝐴𝐵𝐶| =\n|𝐴𝐶|\n2𝑅= 16√2\n34√2\n= 8\n17\nZadanie 27. (0-4)\nCelem wyprawy Tomka i Marka jest zdobycie\nszczytu 𝑆 pewnej góry. Wyprawę panowie\nrozpoczynają w punkcie 𝑃 położonym na\npółnocnym stoku góry, dokładnie na północ od\nszczytu, na wysokości 𝐻0 metrów n.p.m. Tomek i\nMarek chcą najpierw dojść do bazy 𝐵, znajdującej\nsię dokładnie na południe od szczytu, na\nprzeciwległym południowym stoku góry na\nwysokości 𝐻1 metrów n.p.m. Następnie z bazy\nchcą wejść na szczyt leżący na wysokości 𝐻2\nmetrów n.p.m. (zobacz rysunek 1.).\nOblicz długość najkrótszej drogi, jaką muszą\npokonać, aby dojść do bazy. Zapisz obliczenia.\nPrzyjmij, że góra jest stożkiem o kącie rozwarcia 𝛼.\nWskazówka: Powierzchnia boczna stożka po rozcięciu\nwzdłuż tworzącej i rozłożeniu jest wycinkiem koła.\nNajkrótsza droga do bazy jest równa najkrótszej drodze\nz punktu 𝑃 do 𝐵 na wycinku koła.\n𝑆\n𝛼\n𝐵\n𝑃\nRys. 1.\nInformacja o egzaminie maturalnym z matematyki dla absolwentów niesłyszących\n131\nZasady oceniania\n4 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik.\n3 pkt - obliczenie miary łukowej kąta 𝐵𝑆𝑃 na siatce stożka i obliczenie długości odcinków\n𝐵𝑆 oraz 𝑃𝑆.\n2 pkt - obliczenie miary łukowej kąta 𝐵𝑆𝑃 na siatce stożka\nALBO\n- obliczenie długości odcinków 𝐵𝑆 oraz 𝑃𝑆.\n1 pkt - zapisanie, że najkrótsza droga jest równa długości odcinka 𝑃𝐵 na siatce stożka.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nNiech 𝑙 będzie długością tworzącej stożka, a 𝑟 - długością promienia podstawy stożka.\nRozwiniemy powierzchnię boczną stożka, na której zaznaczymy punkty 𝑃, 𝐵 i 𝑆,\noznaczające: 𝑃 - miejsce rozpoczęcia wyprawy, 𝐵 - miejsce położenia bazy i 𝑆 - szczyt\ngóry. Długość odcinka 𝑃𝐵 oznaczymy jako 𝑑. Jest to długość najkrótszej drogi z punktu 𝑃\ndo bazy (zobacz rys. 1.).\n132\nInformator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie rozszerzonym od roku szkolnego 2024/2025\nPowierzchnia boczna stożka po rozwinięciu jest wycinkiem koła o promieniu długości 𝑙.\nWyznaczymy miarę 𝛽 kąta środkowego tego wycinka.\nZe wzorów na pole powierzchni bocznej stożka oraz pole wycinka koła otrzymujemy\n𝜋⋅𝑟⋅𝑙= 𝛽\n2𝜋⋅𝜋⋅𝑙2\n𝛽= 2𝜋⋅𝑟\n𝑙\nZatem\n|∡𝐵𝑆𝑃| = 1\n2 𝛽= 𝜋⋅𝑟\n𝑙\nKąt rozwarcia stożka jest równy 𝛼, więc 𝑟\n𝑙= sin𝛼\n2 (zobacz rysunek 2.), co po podstawieniu\ndo poprzedniego równania daje\n|∡𝐵𝑆𝑃| = 𝜋⋅sin 𝛼\n2\nWyrazimy długości odcinków 𝐵𝑆 oraz 𝑃𝑆 w zależności od danych podanych w treści\nzadania.\nRozważmy przekrój osiowy stożka zawierający punkty 𝐵, 𝑃 oraz 𝑆 (zobacz rysunek 2.).\nPunkt 𝑆′ na rysunku 2. jest rzutem prostokątnym punktu 𝑆 na podstawę stożka, natomiast\npunkt 𝑄 - punktem przecięcia tworzącej 𝑆𝐵 z podstawą stożka.\n𝑆\n𝐵\n𝑃\n𝑑\nRysunek 1.\nInformacja o egzaminie maturalnym z matematyki dla absolwentów niesłyszących\n133\nZ trójkątów 𝑆𝑆′𝑄 oraz 𝑆𝑇𝐵 otrzymujemy\n|𝐵𝑆| = |𝑆𝑇|\ncos 𝛼\n2\noraz |𝑆𝑄| = |𝑆𝑆′|\ncos 𝛼\n2\nZ treści zadania |𝑆𝑇| = 𝐻2 -𝐻1 oraz |𝑆𝑆′| = 𝐻2 -𝐻0, więc\n|𝐵𝑆| = 𝐻2 -𝐻1\ncos 𝛼\n2\noraz |𝑃𝑆| = |𝑆𝑄| = 𝐻2 -𝐻0\ncos 𝛼\n2\nStosujemy twierdzenie cosinusów do trójkąta 𝐵𝑆𝑃 i obliczamy |𝑃𝐵|:\n|𝑃𝐵|2 = |𝑃𝑆|2 + |𝐵𝑆|2 -2 ⋅|𝑃𝑆| ⋅|𝐵𝑆| ⋅cos |∡𝐵𝑆𝑃|\n𝑑= √(𝐻2 -𝐻0\ncos 𝛼\n2\n)\n2\n+ (𝐻2 -𝐻1\ncos 𝛼\n2\n)\n2\n-2(𝐻2 -𝐻0)(𝐻2 -𝐻1)\n(cos 𝛼\n2)\n2\n⋅cos (𝜋⋅sin 𝛼\n2)\n𝑑=\n√(𝐻2 -𝐻0)2 + (𝐻2 -𝐻1)2 -2(𝐻2 -𝐻0)(𝐻2 -𝐻1) cos (𝜋⋅sin 𝛼\n2)\ncos 𝛼\n2\n𝛼\n2\n𝛼\n2\n𝑆\n𝑃\n𝐵\n𝑄\nRys. 2.\n𝑆'\n𝑇\n𝑟\n𝑙\n134\nInformator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie rozszerzonym od roku szkolnego 2024/2025\nZadanie 29. (0-4)\nPan Nowak często gra z synem w szachy. Syn\nczęściej wygrywa niż ojciec. Pan Nowak obliczył, że\nwygrywa 40% rozegranych z synem partii.\nOblicz, ile partii szachów z synem musi rozegrać pan Nowak, aby prawdopodobieństwo\nwygrania przez ojca przynajmniej jednej partii w całej rozgrywce było większe od 𝟎, 𝟗𝟓.\nZapisz obliczenia.\nInformacja o egzaminie maturalnym z matematyki dla absolwentów niesłyszących\n135\nZasady oceniania\n4 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik.\n3 pkt - zastosowanie wzoru na prawdopodobieństwo uzyskania 𝑘 sukcesów w 𝑛 próbach\ni zapisanie nierówności 1 -(0,6)𝑛> 0,95.\n2 pkt - zapisanie nierówności 1 -𝑃(𝑆𝑛\n0) > 0,95.\n1 pkt - zapisanie prawdopodobieństwa sukcesu i porażki.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nPróbą Bernoullego jest rozegranie jednej partii szachów ojca z synem. Sukcesem w tej\npróbie jest wygrana ojca.\nZ treści zadania wynika, że ojciec wygrywa 40% rozegranych partii. W związku z tym\nprawdopodobieństwo sukcesu ojca w tej próbie jest równe 𝑝= 0,4, natomiast\nprawdopodobieństwo porażki jest równe 𝑞= 0,6.\nNiech 𝑛 oznacza szukaną liczbę partii oraz niech\n𝑆𝑛\n0 - oznacza niewygranie przez ojca żadnej partii szachów,\n𝑆𝑛\n1 - oznacza wygranie przez ojca jednej partii szachów,\n𝑆𝑛\n2 - oznacza wygranie przez ojca dwóch partii szachów,\n⋮\n𝑆𝑛\n𝑛 - oznacza wygranie przez ojca 𝑛 partii szachów.\nKorzystamy ze schematu Bernoullego. Prawdopodobieństwo wygrania przez pana Nowaka\nco najmniej jednej partii szachów jest równe\n𝑃(𝑆𝑛\n1 ∪𝑆𝑛\n2 ∪𝑆𝑛\n3 ∪… ∪𝑆𝑛\n𝑛) = 1 -𝑃(𝑆𝑛\n0)\nZatem\n1 -𝑃(𝑆𝑛\n0) > 0,95\n1 -(𝑛\n0) ⋅(0,4)0 ⋅(0,6)𝑛> 0,95\n1 -(0,6)𝑛> 0,95\n(0,6)𝑛< 0,05\n𝑛≥6\nPan Nowak musi rozegrać z synem co najmniej sześć partii.\n136\nInformator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie rozszerzonym od roku szkolnego 2024/2025\nZadanie 30. (0-3)\nPewna choroba atakuje 0,2% całej populacji. W początkowym stadium nie daje widocznych\nobjawów chorobowych. W ramach profilaktyki, aby wcześniej wykryć chorobę, stosuje się\npewien test przesiewowy. Test ten może dać wynik pozytywny, oznaczający podejrzenie\nchoroby, lub negatywny, gdy brak podejrzenia choroby.\nTest ten daje czasami fałszywy wynik. Prawdopodobieństwo tego, że test wykonany na\nosobie chorej da wynik pozytywny, jest równe 0,99. Prawdopodobieństwo tego, że test\nwykonany na osobie zdrowej da wynik negatywny, jest równe 0,98.\nPan X poddał się testowi, który dał wynik pozytywny.\nOblicz prawdopodobieństwo tego, że pan X jest naprawdę chory. Wynik zapisz\nw postaci ułamka dziesiętnego w zaokrągleniu do części setnych. Zapisz obliczenia.\nZasady oceniania\n3 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik.\n2 pkt - zastosowanie wzoru Bayesa.\n1 pkt - obliczenie prawdopodobieństw warunkowych 𝑃(-|𝐶) oraz 𝑃(+|𝑍).\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nInformacja o egzaminie maturalnym z matematyki dla absolwentów niesłyszących\n137\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nPrzyjmijmy następujące oznaczenia:\n„+” - zdarzenie polegające na tym, że wylosowana osoba z populacji poddana testowi\notrzyma wynik pozytywny,\n„-” - zdarzenie polegające na tym, że wylosowana osoba z populacji poddana testowi\notrzyma wynik negatywny,\n𝑍 - zdarzenie polegające na tym, że wylosowana osoba z populacji jest zdrowa,\n𝐶 - zdarzenie polegające na tym, że wylosowana osoba z populacji jest chora.\nNależy obliczyć 𝑃(𝐶|+), czyli prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że\npan X jest chory pod warunkiem otrzymania pozytywnego wyniku testu.\nPonieważ 0,2% populacji choruje na tę chorobę, to 99,8% populacji to ludzie zdrowi, stąd:\n𝑃(𝐶) = 0,002\noraz\n𝑃(𝑍) = 0,998.\nPrawdopodobieństwo zdarzenia, że chora osoba ma pozytywny wynik testu wynosi 0,99,\nwięc prawdopodobieństwo, że ta osoba ma wynik negatywny, wynosi 1 -0,99 = 0,01. Stąd\n𝑃(+|𝐶) = 0,99\noraz\n𝑃(-|𝐶) = 0,01.\nPrawdopodobieństwo zdarzenia, że zdrowa osoba ma negatywny wynik testu wynosi 0,98,\nwięc prawdopodobieństwo, że ta osoba ma wynik pozytywny, wynosi 1 -0,98 = 0,02. Stąd\n𝑃(-|𝑍) = 0,98\noraz\n𝑃(+|𝑍) = 0,02.\nStosujemy twierdzenie Bayesa i obliczamy szukane prawdopodobieństwo:\n𝑃(𝐶|+) = 𝑃(+|𝐶) ⋅\n𝑃(𝐶)\n𝑃(+|𝑍) ⋅𝑃(𝑍) + 𝑃(+|𝐶) ⋅𝑃(𝐶)\n𝑃(𝐶|+) = 0,99 ⋅\n0,002\n0,02 ⋅0,998 + 0,99 ⋅0,002 =\n99\n1097 ≈0,09\nZatem szukane prawdopodobieństwo wynosi około 0,09.\n138\nInformator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie rozszerzonym od roku szkolnego 2024/2025\nZadanie 31. (0-4)\nW pewnym mieście jest prostopadły układ\nulic, to znaczy, że ulice przecinają się pod\nkątem prostym. Ruch na każdej z nich jest\ndwukierunkowy. W centrum miasta znajduje\nsię park, gdzie obowiązuje całkowity zakaz\nruchu pojazdów. Schemat ulic w tym mieście\nwraz z położeniem parku przedstawiono na\nrysunku poniżej. Tomek samochodem chce\ndojechać najkrótszą drogą z punktu 𝐴 miasta\ndo punktu 𝐵.\nOblicz, ile jest możliwości wyboru najkrótszej drogi z 𝑨 do 𝑩. Zapisz obliczenia.\n𝐴\n𝐵\nstarówka\nInformacja o egzaminie maturalnym z matematyki dla absolwentów niesłyszących\n139\nZasady oceniania\n4 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik.\n3 pkt - obliczenie liczby wszystkich najkrótszych dróg z 𝐴 do 𝐾 (gdzie\n𝐾∈{𝐶, 𝐷, 𝐸, 𝐹, 𝐺}).\n2 pkt - zapisanie, że liczba wszystkich najkrótszych dróg z 𝐴 do 𝐵 przechodzących przez\npunkt 𝐾 (gdzie 𝐾∈{𝐶, 𝐷, 𝐸, 𝐹, 𝐺}) jest iloczynem liczby wszystkich najkrótszych\ndróg z 𝐴 do 𝐾 i liczby wszystkich najkrótszych dróg z 𝐾 do 𝐵.\n1 pkt - zapisanie, że każda najkrótsza droga z 𝐴 do 𝐵 musi przechodzić przez jeden\nz punktów 𝐶- 𝐺.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nW poniższym rozwiązaniu przez 𝑛(𝐾, 𝐿) rozumieć będziemy liczbę wszystkich najkrótszych\ndróg z punktu 𝐾 do punktu 𝐿.\n140\nInformator o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie rozszerzonym od roku szkolnego 2024/2025\nZaznaczmy na schemacie ulic punkty 𝐶, 𝐷, 𝐸, 𝐹, 𝐺 (zobacz rysunek 1.).\nZauważmy, że każda najkrótsza droga z 𝐴 do 𝐵 musi przechodzić przez któryś z punktów\n𝐶, 𝐷, 𝐸, 𝐹 lub 𝐺. Ponadto, liczba wszystkich najkrótszych dróg z 𝐴 do 𝐵 przechodzących\nprzez 𝐶 jest równa 𝑛(𝐴, 𝐶) ⋅𝑛(𝐶, 𝐵). Analogicznie, liczba wszystkich najkrótszych dróg\nz 𝐴 do 𝐵 przechodzących przez 𝐷 jest równa 𝑛(𝐴, 𝐷) ⋅𝑛(𝐷, 𝐵) itd.\nObliczymy 𝑛(𝐴, 𝐶), czyli liczbę wszystkich najkrótszych dróg z 𝐴 do 𝐶.\nKierunek wyznaczony na rysunku 1. przez prostą 𝐴𝐺 nazwiemy poziomym, a kierunek\nprostopadły do poziomego - pionowym. Każda najkrótsza droga z 𝐴 do 𝐶 składa się\nz dokładnie 11 odcinków: 2 poziomych i 9 pionowych. Wskazanie 2 odcinków\n(spośród 11), które mają być poziome, określa nam jednoznacznie najkrótszą drogę z 𝐴\ndo 𝐶. Stąd najkrótszych dróg z 𝐴 do 𝐶 jest (11\n2 ).\nNa rysunku 2. przedstawiono najkrótszą drogę z 𝐴 do 𝐶, gdzie odcinki trzeci i ósmy są\npoziome, a pozostałe - pionowe.\nNa rysunku 3. przedstawiono najkrótszą drogę z 𝐴 do 𝐶, która odpowiada wyborowi\nodcinków szóstego i jedenastego jako odcinków poziomych.\nRysunek 1.\n𝐹\n𝐺\n𝐸\n𝐶\n𝐷\n𝐴\n𝐵\npark\nInformacja o egzaminie maturalnym z matematyki dla absolwentów niesłyszących\n141\nPodobnie rozumując, otrzymujemy\n𝑛(𝐴, 𝐶) ⋅𝑛(𝐶, 𝐵) = (11\n2 ) ⋅(13\n0 ) = 55 ⋅1 = 55\n𝑛(𝐴, 𝐷) ⋅𝑛(𝐷, 𝐵) = (11\n3 ) ⋅(13\n1 ) = 165 ⋅13 = 2145\n𝑛(𝐴, 𝐸) ⋅𝑛(𝐸, 𝐵) = (11\n4 ) ⋅(13\n2 ) = 330 ⋅78 = 25740\n𝑛(𝐴, 𝐹) ⋅𝑛(𝐹, 𝐵) = (13\n1 ) ⋅(11\n3 ) = 13 ⋅165 = 2145\n𝑛(𝐴, 𝐺) ⋅𝑛(𝐺, 𝐵) = (13\n0 ) ⋅(11\n2 ) = 1 ⋅55 = 55\nwięc 𝑛(𝐴, 𝐵) = 55 + 2145 + 25740 + 2145 + 55 = 30140.\nRysunek 2.\n𝐶\n𝐴\n1\n2\n3\n4\n5\n6\n7\n8\n9\n10\n11\nRysunek 3.\n𝐶\n𝐴\n1\n2\n3\n4\n5\n6\n7\n8\n9\n10\n11\nMATEMATYKA\nPoziom rozszerzony\nMATEMATYKA\nPoziom rozszerzony\nMATEMATYKA\nPoziom rozszerzony","answer":null,"answer_text":null,"solution":"Oznaczmy przez n(K,L) liczbę najkrótszych dróg z K do L. Na schemacie zaznaczamy punkty C, D, E, F, G. Każda najkrótsza droga z A do B musi przejść przez dokładnie jeden z tych punktów, więc n(A,B) = Σ n(A,K)·n(K,B) dla K ∈ {C,D,E,F,G}. Liczba najkrótszych dróg w siatce prostokątnej z punktu do punktu to symbol Newtona (liczba wyboru, które odcinki są poziome). Z rysunku odczytujemy liczby odcinków: n(A,C)·n(C,B) = C(11,2)·C(13,0) = 55·1 = 55; n(A,D)·n(D,B) = C(11,3)·C(13,1) = 165·13 = 2145; n(A,E)·n(E,B) = C(11,4)·C(13,2) = 330·78 = 25740; n(A,F)·n(F,B) = C(13,1)·C(11,3) = 13·165 = 2145; n(A,G)·n(G,B) = C(13,0)·C(11,2) = 1·55 = 55. Suma: 55 + 2145 + 25740 + 2145 + 55 = 30140. Odpowiedź: istnieje 30 140 najkrótszych dróg z A do B.","image":"img/informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-rozszerzony/zad-31.webp","solution_image":null,"topics":"kombinatoryka","page_from":102,"source":"ai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"ai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Informator maturalny · 2025","subject_label":"Matematyka","category_label":"Informator maturalny"}]}