{"paper":{"id":"matematyka-2002-maj-matura-podstawowa","subject":"matematyka","category":"matura","year":2002,"month":"maj","level":"podstawowa","variant":null,"exam_pdf":"matematyka-2002-maj-matura-podstawowa/matematyka-2002-maj-matura-podstawowa.pdf","key_pdf":"matematyka-2002-maj-matura-podstawowa-odpowiedzi/matematyka-2002-maj-matura-podstawowa-odpowiedzi.pdf","question_count":11,"source_label":"Matematyka · Matura · maj 2002 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},"questions":[{"id":"matematyka-2002-maj-matura-podstawowa/zad/1","paper_id":"matematyka-2002-maj-matura-podstawowa","number":"1","points":3,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2002,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 1. (3 pkt)\nDana jest prosta l o równaniu\n2\n2\n3\nx\ny\noraz punkt\n(\n)\n2\n,3 -\nA\n. Wykres funkcji liniowej\nf jest prostopadły do prostej l , punkt A należy do wykresu funkcji f.\nWyznacz:\na) wzór funkcji f,\nb) miejsce zerowe funkcji f.\nDana jest prosta l o równaniu y={3/2}x- pierw.2 oraz punkt A=(-3,-2). Wykres funkcji liniowej f jest prostopadły do prostej l, punkt A należy do wykresu funkcji f. Wyznacz a) wzór funkcji f, b) miejsce zerowe funkcji f.","answer":null,"answer_text":"1.1\nPodanie równania rodziny prostych\nprostopad³ych do prostej l (za wyznaczenie\nwspó³czynnika kierunkowego przyznajemy\n1 p.).\n1 p\nb\nx\ny\n3\n2\n1.2\nWyznaczenie wspó³czynnika b\n1 p\n4\nb\n1.3\nWyznaczenie miejsca zerowego funkcji f.\n1 p\n6\n0\nx","solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(x = \\dfrac{1}{2}\\)\n\n## Sposób 1 - Wzór na sumę nieskończonego ciągu geometrycznego\n\n**Rozpoznajemy strukturę szeregu.**\n\nLewa strona równania:\n\\[1 + x + x^2 + x^3 + \\ldots + x^n + \\ldots\\]\nto suma nieskończonego ciągu geometrycznego o:\n- pierwszym wyrazie \\(a_1 = 1\\),\n- ilorazie \\(q = x\\).\n\n**Warunek zbieżności:** szereg zbiega wtedy i tylko wtedy, gdy \\(|q| < 1\\), czyli:\n\\[|x| < 1 \\iff x \\in (-1, 1)\\]\n\nTo jest dziedzina równania.\n\n**Korzystamy ze wzoru na sumę** nieskończonego ciągu geometrycznego:\n\\[S = \\frac{a_1}{1 - q} = \\frac{1}{1 - x}\\]\n\n**Stawiamy równanie:**\n\\[\\frac{1}{1-x} = 2\\]\n\n**Rozwiązujemy:**\n\\[1 = 2(1-x)\\]\n\\[1 = 2 - 2x\\]\n\\[2x = 1\\]\n\\[\\boxed{x = \\frac{1}{2}}\\]\n\n**Sprawdzamy dziedzinę:** \\(x = \\frac{1}{2} \\in (-1, 1)\\) - tak, należy do dziedziny. ✓\n\n## Sposób 2 - Metoda analogiczna do przykładu (wyciągnięcie \\(x\\) przed nawias)\n\nZadanie podpowiada metodę - skorzystamy dokładnie z tego samego triku co w przykładzie.\n\n**Zapisujemy lewą stronę inaczej:**\n\\[1 + x + x^2 + x^3 + \\ldots = 2\\]\n\nWyciągamy \\(x\\) przed nawias z wyrazów od drugiego:\n\\[1 + x(1 + x + x^2 + \\ldots) = 2\\]\n\n**Zauważamy**, że wyrażenie w nawiasie \\((1 + x + x^2 + \\ldots)\\) to dokładnie lewa strona naszego równania, czyli równa się \\(2\\):\n\\[1 + x \\cdot 2 = 2\\]\n\\[1 + 2x = 2\\]\n\\[2x = 1\\]\n\\[\\boxed{x = \\frac{1}{2}}\\]\n\nDziedzina: \\(x = \\frac{1}{2} \\in (-1, 1)\\) - spełniona. ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 8 (Ciągi, s. 9-10)** - wzór na sumę nieskończonego ciągu geometrycznego:\n\\[S = \\frac{a_1}{1-q}, \\quad \\text{dla } |q| < 1\\]\n\nUżyliśmy tego wzoru w Sposobie 1 - podstawiliśmy \\(a_1 = 1\\), \\(q = x\\) i przyrównaliśmy do \\(2\\).\n\nWarunek zbieżności \\(|q| < 1\\) wyznaczył dziedzinę równania: \\(x \\in (-1, 1)\\).\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Pamiętaj o dziedzinie! Równanie ma sens tylko dla \\(|x| < 1\\). Gdyby wynik był np. \\(x = 2\\), należałoby go odrzucić jako spoza dziedziny.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Iloraz ciągu to \\(q = x\\), a nie \\(q = x^2\\) jak w przykładzie z zadania. Nie kopiuj ślepo - sprawdź jaki jest iloraz w swoim szeregu.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Łatwo pomylić wzór \\(\\frac{a_1}{1-q}\\) z \\(\\frac{a_1}{1+q}\\) - szczególnie gdy \\(q < 0\\). Sprawdź znak mianownika.\n\n**Poprawna odpowiedź: \\(x = 0{,}5\\)**\n\n### Sposób 1 - Analogia do zadania wzorcowego\nLewa strona \\(1 + x + x^{2} + x^{3} + \\ldots + x^{n} + \\ldots\\) jest sumą nieskończonego szeregu geometrycznego o pierwszym wyrazie \\(a_{1} = 1\\) i ilorazie \\(q = x\\).\n\n**Warunek zbieżności:** \\(|x| < 1\\), czyli \\(x \\in (-1, 1)\\) - to dziedzina równania.\n\n**Zapisanie równania w postaci wygodnej:**\n\\[1 + x(1 + x + x^{2} + \\ldots) = 2.\\]\nWyrażenie w nawiasie jest identyczne z całą lewą stroną, czyli równe \\(2\\). Zatem:\n\\[1 + x \\cdot 2 = 2\\]\n\\[1 + 2x = 2\\]\n\\[2x = 1 \\Rightarrow x = \\tfrac{1}{2} = 0{,}5.\\]\nSprawdzamy: \\(0{,}5 \\in (-1, 1)\\) ✓.\n\n### Sposób 2 - Wzór na sumę szeregu geometrycznego\nDla \\(|q| < 1\\): \\(S = \\dfrac{a_{1}}{1-q}\\). Tu \\(a_{1} = 1, q = x\\):\n\\[\\dfrac{1}{1-x} = 2 \\Rightarrow 1 = 2(1-x) \\Rightarrow 1 = 2 - 2x \\Rightarrow x = \\tfrac{1}{2}.\\]\n\n### Uwagi o punktacji\n- 1 pkt - wyznaczenie dziedziny \\((-1, 1)\\) (dopuszczalne \\(|x| < 1\\));\n- 1 pkt - zapis \\(1 + x(1 + x + x^{2} + \\ldots) = 2\\);\n- 1 pkt - zapis \\(1 + 2x = 2\\);\n- 1 pkt - wyznaczenie \\(x = 0{,}5\\).\n\n**Trik:** szereg geometryczny \\(1 + q + q^{2} + \\ldots\\) ma sumę \\(\\dfrac{1}{1-q}\\), ale szybciej jest „wyjąć\" pierwszy wyraz i zauważyć, że reszta to ta sama suma - wtedy otrzymujemy równanie liniowe na sumę.","image":"img/matematyka-2002-maj-matura-podstawowa/zad-1.webp","solution_image":"img/matematyka-2002-maj-matura-podstawowa/sol-1.svg","topics":"analityczna","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2002 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2002-maj-matura-podstawowa/zad/2","paper_id":"matematyka-2002-maj-matura-podstawowa","number":"2","points":3,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2002,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 2. (3 pkt)\nDany jest wektor\n[\n]\n4,3\n→\nAB\noraz punkt\n(\n)\n2\n,1 -\nA\nOblicz:\na) współrzędne punktu B ,\nb) współrzędne i długość wektora\n→\n→\n⋅\nAB\nv\n2\n2\nArkusz I\nDany jest wektor AB=[-3,4] oraz punkt A=(1,-2). Oblicz: a) współrzędne punktu $B$, b) współrzędne i długość wektora v=-2*AB","answer":"B","answer_text":"2.1\nObliczenie współrzędnych punktu B\n1 p\n(\n)\n2\n,2\nB\n2.2\nObliczenie współrzędnych wektora\n→\nv\n1 p\n[\n]\n8\n,6 -\n→\nv\n2.3\nObliczenie długości wektora\n→\nv\n1 p\n10\n→\nv","solution":"## Poprawna odpowiedź:\n\n**a)** Miejsca zerowe: \\(x = -1\\) oraz \\(x = 5\\)\n\n**b)** \\(f(x) \\leq 0\\) dla \\(x \\in (-\\infty, -1\\rangle \\cup \\langle 5, +\\infty)\\)\n\n**c)** \\(x = 0\\) lub \\(x = 4\\)\n\n## Sposób 1 - Odczyt z wykresu i właściwości paraboli\n\n**Krok 1 - Odczytaj miejsca zerowe (punkt a)**\n\nMiejsca zerowe funkcji to punkty przecięcia paraboli z osią \\(OX\\). Z rysunku odczytujemy, że wykres przecina oś \\(OX\\) w punktach:\n\\[x_1 = -1 \\quad \\text{oraz} \\quad x_2 = 5\\]\n\n**Krok 2 - Określ kierunek ramion paraboli**\n\nZ rysunku widać, że parabola jest **skierowana ramionami w dół** (ma maksimum, nie minimum). To kluczowa obserwacja dla punktu b).\n\n**Krok 3 - Rozwiąż nierówność \\(f(x) \\leq 0\\) (punkt b)**\n\nParabola jest skierowana **w dół**, więc:\n- Przyjmuje wartości nieujemne \\((f(x) \\geq 0)\\) **między** miejscami zerowymi, czyli dla \\(x \\in \\langle -1, 5 \\rangle\\)\n- Przyjmuje wartości niedodatnie \\((f(x) \\leq 0)\\) **poza** miejscami zerowymi\n\nZatem:\n\\[\\boxed{f(x) \\leq 0 \\iff x \\in (-\\infty, -1\\rangle \\cup \\langle 5, +\\infty)}\\]\n\n**Krok 4 - Wyznacz oś symetrii**\n\nOś symetrii paraboli przebiega przez środek odcinka między miejscami zerowymi:\n\\[p = \\frac{x_1 + x_2}{2} = \\frac{-1 + 5}{2} = \\frac{4}{2} = 2\\]\n\nZatem oś symetrii: \\(x = 2\\).\n\n**Krok 5 - Rozwiąż równanie \\(f(x) = 3\\) (punkt c)**\n\nProsta \\(y = 3\\) przecina parabolę w dwóch punktach symetrycznych względem osi \\(x = 2\\). Z rysunku odczytujemy, że przecięcia następują dla \\(x = 0\\) oraz \\(x = 4\\).\n\nWeryfikacja symetrii: środek między \\(0\\) i \\(4\\) to \\(\\frac{0+4}{2} = 2\\) ✓ - oba punkty są symetryczne względem osi \\(x = 2\\).\n\n## Sposób 2 - Wyznaczenie wzoru funkcji i obliczenie algebraiczne\n\n**Krok 1 - Zapisz postać iloczynową**\n\nSkoro miejsca zerowe to \\(x_1 = -1\\) i \\(x_2 = 5\\), a parabola jest skierowana w dół (współczynnik \\(a < 0\\)):\n\\[f(x) = a(x + 1)(x - 5)\\]\n\n**Krok 2 - Wyznacz współczynnik \\(a\\)**\n\nPodstawiamy jeden z punktów z wykresu: z rysunku widać, że dla \\(x = 0\\) zachodzi \\(f(0) = 3\\):\n\\[f(0) = a \\cdot (0 + 1)(0 - 5) = a \\cdot 1 \\cdot (-5) = -5a = 3\\]\n\\[a = -\\frac{3}{5}\\]\n\nZatem:\n\\[f(x) = -\\frac{3}{5}(x + 1)(x - 5)\\]\n\n**Krok 3 - Sprawdź miejsca zerowe**\n\n\\(f(x) = 0 \\iff (x+1)(x-5) = 0 \\iff x = -1\\) lub \\(x = 5\\) ✓\n\n**Krok 4 - Rozwiąż \\(f(x) \\leq 0\\) algebraicznie**\n\n\\[-\\frac{3}{5}(x+1)(x-5) \\leq 0\\]\n\nMnożymy obie strony przez \\(-\\frac{5}{3}\\) (ujemna liczba - zmieniamy znak nierówności):\n\\[(x+1)(x-5) \\geq 0\\]\n\nIloczyn nieujemny, gdy oba czynniki mają ten sam znak:\n- \\(x + 1 \\geq 0\\) i \\(x - 5 \\geq 0\\) → \\(x \\geq 5\\)\n- \\(x + 1 \\leq 0\\) i \\(x - 5 \\leq 0\\) → \\(x \\leq -1\\)\n\nWynik: \\(x \\in (-\\infty, -1\\rangle \\cup \\langle 5, +\\infty)\\) ✓\n\n**Krok 5 - Rozwiąż \\(f(x) = 3\\) algebraicznie**\n\n\\[-\\frac{3}{5}(x+1)(x-5) = 3\\]\n\nMnożymy obie strony przez \\(-\\frac{5}{3}\\):\n\\[(x+1)(x-5) = -5\\]\n\\[x^2 - 4x - 5 = -5\\]\n\\[x^2 - 4x = 0\\]\n\\[x(x - 4) = 0\\]\n\\[x = 0 \\quad \\text{lub} \\quad x = 4\\] ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)** - postać iloczynowa trójmianu:\n\\[f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)\\]\nUżyliśmy w Sposobie 2 do zapisu funkcji na podstawie miejsc zerowych.\n\n**Dział 7 (s. 7-9)** - wzory Viète'a:\n\\[x_1 + x_2 = -\\frac{b}{a}\\]\nUżyliśmy pośrednio do wyznaczenia osi symetrii \\(p = \\frac{x_1 + x_2}{2}\\).\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Kierunek ramion paraboli decyduje o znaku nierówności! Dla paraboli skierowanej **w dół** funkcja jest ujemna **na zewnątrz** miejsc zerowych - odwrotnie niż dla paraboli skierowanej w górę. Łatwo tu się pomylić.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** W punkcie b) nierówność jest **nieostra** (\\(\\leq\\)), więc miejsca zerowe \\(x = -1\\) i \\(x = 5\\) należą do rozwiązania - przedziały domknięte \\(\\langle\\rangle\\), nie otwarte \\(()\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy szukaniu punktów \\(f(x) = 3\\) nie wystarczy odczytać jeden punkt z wykresu - zawsze są **dwa** punkty symetryczne względem osi symetrii. Sprawdź, czy obie wartości są symetryczne względem \\(x = 2\\): \\(\\frac{0+4}{2} = 2\\) ✓\n\n**Poprawna odpowiedź:**\n- **a)** \\(x = -1\\), \\(x = 5\\)\n- **b)** \\(x \\in (-\\infty, -1\\rangle \\cup \\langle 5, +\\infty)\\)\n- **c)** \\(x = 0\\) lub \\(x = 4\\)\n\n### Sposób 1 - Odczyt z wykresu\nZ rysunku widać, że parabola otwiera się **w dół** (\\(a < 0\\)) i przecina oś \\(OX\\) w punktach \\(x = -1\\) oraz \\(x = 5\\). Wierzchołek leży w punkcie o odciętej \\(x_{w} = \\dfrac{-1+5}{2} = 2\\).\n\n**a) Miejsca zerowe:** to właśnie \\(x = -1\\) i \\(x = 5\\).\n\n**b) \\(f(x) \\le 0\\):** ponieważ parabola otwiera się w dół, \\(f(x) \\le 0\\) **poza** przedziałem miejsc zerowych:\n\\[x \\in (-\\infty, -1\\rangle \\cup \\langle 5, +\\infty).\\]\n\n**c) \\(f(x) = 3\\):** z wykresu odczytujemy punkty przecięcia paraboli z prostą \\(y = 3\\). Są to \\(x = 0\\) i \\(x = 4\\).\n\n### Sposób 2 - Wyznaczenie wzoru funkcji\nZ miejsc zerowych \\(x = -1, x = 5\\): \\(f(x) = a(x+1)(x-5)\\). Wierzchołek ma odciętą \\(x_{w} = 2\\), a z wykresu wartość \\(y_{w} = 4\\) (punkt wierzchołka nad osią \\(OX\\)):\n\\[f(2) = a(3)(-3) = -9a = 4 \\Rightarrow a = -\\tfrac{4}{9}.\\]\nZatem \\(f(x) = -\\tfrac{4}{9}(x+1)(x-5)\\).\n\nDla \\(f(x) = 3\\):\n\\[-\\tfrac{4}{9}(x+1)(x-5) = 3 \\iff (x+1)(x-5) = -\\tfrac{27}{4}.\\]\n(Jednak prostsze jest bezpośrednio odczytać \\(x = 0, x = 4\\) z wykresu.)\n\n### Uwagi o punktacji\n- 1 pkt za **a)** (oba miejsca zerowe);\n- 1 pkt za **b)** (poprawny przedział);\n- 2 pkt za **c)** (po 1 pkt za każde rozwiązanie).\n\n**Trik:** gdy mamy wykres funkcji kwadratowej z widocznymi miejscami zerowymi, rozwiązania nierówności i równań odczytujemy bezpośrednio z rysunku - nie trzeba wyznaczać wzoru.","image":"img/matematyka-2002-maj-matura-podstawowa/zad-2.webp","solution_image":"img/matematyka-2002-maj-matura-podstawowa/sol-2.svg","topics":"analityczna","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2002 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2002-maj-matura-podstawowa/zad/3","paper_id":"matematyka-2002-maj-matura-podstawowa","number":"3","points":3,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2002,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 3. (3 pkt)\nW klasie liczącej 30 uczniów, dziewięciu obejrzało film pt. „Nasz XXI wiek”. Wychowawca\nklasy otrzymał 4 bilety i zamierza wylosować uczniów, których zaprosi na projekcję tego\nfilmu. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia, że wśród czterech wylosowanych z tej klasy\nuczniów nie ma ucznia, który już ten film oglądał.\nW klasie liczącej 30 uczniów, dzięwięciu obejrzało film pt. ,,Nasz XXI wiek''. Wychowawca klasy otrzymał 4 bilety i zamierza wylosować uczniów, których zaprosi na projekcję tego filmu. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia, że wśród czterech wylosowanych z tej klasy uczniów nie ma ucznia, który już ten film oglądał.","answer":null,"answer_text":"3.1\nObliczenie liczby wszystkich wyników\ndoświadczenia polegającego na wylosowaniu\nczterech uczniów klasy\n1 p\n\n\n\n\n\n\nΩ\n4\n30\n3.2\nObliczenie liczby wyników sprzyjających\nzdarzeniu A polegającego na wylosowaniu\nczterech uczniów, którzy nie oglądali jeszcze\nfilmu\n1 p\n\n\n\n\n\n\n4\n21\nA\n3.3\nObliczenie prawdopodobieństwa zdarzenia A\n1 p\n( )\n87\n19\nA\nP","solution":"## Poprawna odpowiedź:\n\na) Średni wzrost chłopców z klasy II B wynosi **167,4 cm**\n\nb) **7 chłopców** ma wzrost wyższy od średniego\n\n## Sposób 1 - Średnia ważona (bezpośrednie obliczenie)\n\n**Odczytujemy dane z diagramu** (zestawiamy w tabeli):\n\n| Wzrost \\(x_i\\) (cm) | Liczba chłopców \\(n_i\\) | \\(x_i \\cdot n_i\\) |\n| 160 | 2 | 320 |\n| 164 | 1 | 164 |\n| 168 | 3 | 504 |\n| 170 | 2 | 340 |\n| 172 | 1 | 172 |\n| 174 | 1 | 174 |\n| **Razem** | **10** | **1674** |\n\n**Obliczamy sumę wzrostów:**\n\\[160 \\cdot 2 + 164 \\cdot 1 + 168 \\cdot 3 + 170 \\cdot 2 + 172 \\cdot 1 + 174 \\cdot 1 = 1674\\]\n\n**Obliczamy średnią arytmetyczną** (całkowita liczba chłopców \\(n = 10\\)):\n\\[\\bar{x} = \\frac{\\sum x_i \\cdot n_i}{n} = \\frac{1674}{10} = \\mathbf{167{,}4 \\text{ cm}}\\]\n\n**Odpowiedź na część b):**\n\nSzukamy chłopców o wzroście **ściśle większym** niż \\(167{,}4\\) cm:\n- wzrost 168 cm → 3 chłopców\n- wzrost 170 cm → 2 chłopców\n- wzrost 172 cm → 1 chłopiec\n- wzrost 174 cm → 1 chłopiec\n\n\\[3 + 2 + 1 + 1 = \\mathbf{7 \\text{ chłopców}}\\]\n\n## Sposób 2 - Metoda odchyleń od wartości bazowej\n\nZamiast liczyć dużą sumę, wybieramy **wartość bazową** \\(b = 170\\) cm (wygodna środkowa wartość) i obliczamy odchylenia każdego wzrostu od niej.\n\n| Wzrost \\(x_i\\) | \\(d_i = x_i - 170\\) | \\(n_i\\) | \\(d_i \\cdot n_i\\) |\n| 160 | \\(-10\\) | 2 | \\(-20\\) |\n| 164 | \\(-6\\) | 1 | \\(-6\\) |\n| 168 | \\(-2\\) | 3 | \\(-6\\) |\n| 170 | \\(0\\) | 2 | \\(0\\) |\n| 172 | \\(+2\\) | 1 | \\(+2\\) |\n| 174 | \\(+4\\) | 1 | \\(+4\\) |\n| **Razem** | | **10** | **\\(-26\\)** |\n\nŚrednie odchylenie od wartości bazowej:\n\\[\\bar{d} = \\frac{-26}{10} = -2{,}6\\]\n\nŚredni wzrost:\n\\[\\bar{x} = b + \\bar{d} = 170 + (-2{,}6) = \\mathbf{167{,}4 \\text{ cm}} \\checkmark\\]\n\nMetoda ta jest szybsza, gdy wartości wzrostu są duże - operujemy na małych odchyleniach zamiast na liczbach ~170.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 15 (Parametry danych statystycznych, s. 31-32)** - wzór na średnią arytmetyczną:\n\\[\\bar{a} = \\frac{a_1 + a_2 + \\ldots + a_n}{n}\\]\nW wersji ważonej (gdy wartości się powtarzają):\n\\[\\bar{x} = \\frac{x_1 n_1 + x_2 n_2 + \\ldots + x_k n_k}{n_1 + n_2 + \\ldots + n_k}\\]\nUżywamy tego wzoru w Sposobie 1 - każdy wzrost mnoży się przez liczbę chłopców o tym wzroście.\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Pamiętaj, że pytanie b) pyta o wzrost **wyższy od średniego** (czyli ściśle \\(> 167{,}4\\)), nie wyższy lub równy. Wzrostu dokładnie równego \\(167{,}4\\) cm żaden chłopiec nie ma (i nie może mieć, bo wzrost to liczba całkowita), ale w innych zadaniach granica może trafić dokładnie na jedną z wartości - wtedy nie wliczaj jej do „wyższy od średniego\".\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Częsty błąd to policzenie liczby **różnych** wartości wzrostu powyżej średniej (tu: 4 wartości - 168, 170, 172, 174) zamiast **liczby chłopców** o tych wzrostach. Zawsze wróć do diagramu i zsumuj częstości!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy odczytywaniu diagramu słupkowego sprawdź dokładnie skalę osi - jeden „kwadracik\" może oznaczać 1, 2 lub 5 uczniów. Błędne odczytanie częstości zaburza całe obliczenie.\n\n**Poprawna odpowiedź:**\n- **a)** Średni wzrost: \\(167{,}4\\) cm\n- **b)** 7 chłopców\n\n### Sposób 1 - Obliczenie średniej ważonej\nZ diagramu odczytujemy liczby chłopców o danym wzroście:\n| Wzrost [cm] | 164 | 165 | 166 | 167 | 168 | 169 | 170 | 171 | 172 |\n| Liczba | 2 | 0 | 4 | 2 | 3 | 1 | 2 | 0 | 1 |\n\n**Łączna liczba chłopców:** \\(2+4+2+3+1+2+1 = 15\\).\n\n**Suma wszystkich wzrostów:**\n\\[2\\cdot 164 + 4\\cdot 166 + 2\\cdot 167 + 3\\cdot 168 + 169 + 2\\cdot 170 + 172\\]\n\\[= 328 + 664 + 334 + 504 + 169 + 340 + 172 = 2511.\\]\n\n**Średnia:**\n\\[\\bar{x} = \\dfrac{2511}{15} = 167{,}4 \\text{ cm}.\\]\n\n**b)** Chłopcy o wzroście wyższym od \\(167{,}4\\) cm to ci o wzroście \\(168, 169, 170, 172\\) cm:\n\\[3 + 1 + 2 + 1 = 7 \\text{ chłopców}.\\]\n\n### Sposób 2 - Krok po kroku z diagramu\nNajpierw zliczamy łącznie \\(N = 15\\) chłopców. Potem sumujemy iloczyny wzrost × liczba i dzielimy przez \\(15\\). Wynik \\(167{,}4\\) cm.\n\nDla części b) porównujemy każdą wartość wzrostu z \\(167{,}4\\) - wyższe są: \\(168, 169, 170, 172\\). Zliczamy: \\(3+1+2+1 = 7\\).\n\n### Uwagi o punktacji\n- 1 pkt za wyznaczenie \\(N = 15\\);\n- 1 pkt za poprawne odczytanie danych z diagramu;\n- 1 pkt za obliczenie średniej \\(167{,}4\\) cm;\n- 1 pkt za liczbę chłopców wyższych od średniej.\n\n**Trik:** średnia ważona to \\(\\bar{x} = \\dfrac{\\sum n_{i} x_{i}}{\\sum n_{i}}\\). Pamiętaj, że dzielimy przez **łączną liczbę obserwacji**, nie liczbę różnych wartości.","image":"img/matematyka-2002-maj-matura-podstawowa/zad-3.webp","solution_image":"img/matematyka-2002-maj-matura-podstawowa/sol-3.svg","topics":"prawdopodobienstwo","page_from":3,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2002 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2002-maj-matura-podstawowa/zad/4","paper_id":"matematyka-2002-maj-matura-podstawowa","number":"4","points":5,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2002,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 4. (5 pkt)\nW pewnej szkole średniej po pierwszym półroczu przeprowadzono test z matematyki.\nTabelka przedstawia zestawienie wyników testu:\nOcena\n1\n2\n3\n4\n5\n6\nLiczba uczniów\n10\n30\n80\n30\n25\n5\na) Sporządź diagram słupkowy przedstawiający zestawienie wyników testu.\nb) Oblicz średnią arytmetyczną uzyskanych ocen.\nc) Oblicz, ilu uczniów uzyskało ocenę wyższą od średniej arytmetycznej ocen.\n3\nArkusz I\nW pewnej szkole średniej po pierwszym półroczu przeprowadzono test z matematyki. Tabelka przedstawia wyniki testu.","answer":null,"answer_text":"4.1\nWybór i wyskalowanie osi\n1 p\n4.2\nSporządzenie diagramu\n1 p\n4.3\nWyznaczenie liczby wszystkich uczniów\n1 p\n180\n4.4\nWyznaczenie średniej.\n1 p\n3,25\n4.5\nObliczenie liczby uczniów, którzy uzyskali\nocenę powyżej średniej\n1 p\n60","solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(a_n = 3n + 99\\), \\(a_{81} = 342\\)\n\n## Sposób 1 - odczytanie parametrów i podstawienie do wzoru\n\n**Krok 1: Odczytaj pierwszy wyraz i różnicę ciągu.**\n\nZ treści mamy kolejne wyrazy: \\(102, 105, 108, 111, \\ldots\\)\n\n- Pierwszy wyraz: \\(a_1 = 102\\)\n- Różnica: \\(r = 105 - 102 = 3\\)\n\nSprawdzamy: \\(108 - 105 = 3\\) ✓, \\(111 - 108 = 3\\) ✓ - to faktycznie ciąg arytmetyczny.\n\n**Krok 2: Podstaw do wzoru ogólnego.**\n\n\\[a_n = a_1 + (n-1) \\cdot r\\]\n\n\\[a_n = 102 + (n-1) \\cdot 3\\]\n\n\\[a_n = 102 + 3n - 3\\]\n\n\\[\\boxed{a_n = 3n + 99}\\]\n\n**Krok 3: Oblicz \\(a_{81}\\).**\n\n\\[a_{81} = 3 \\cdot 81 + 99 = 243 + 99 = \\boxed{342}\\]\n\n## Sposób 2 - weryfikacja przez własność ciągu arytmetycznego\n\nWiemy, że w ciągu arytmetycznym każdy wyraz to poprzedni plus \\(r\\). Możemy myśleć o tym inaczej: **\\(a_n\\) to \\(a_1\\) powiększone o \\((n-1)\\) kroków po \\(3\\).**\n\nDla \\(a_{81}\\) robimy \\(80\\) kroków od \\(a_1 = 102\\):\n\n\\[a_{81} = 102 + 80 \\cdot 3 = 102 + 240 = \\boxed{342}\\]\n\nWeryfikacja wzoru ogólnego - sprawdźmy kilka wyrazów:\n- \\(a_1 = 3 \\cdot 1 + 99 = 102\\) ✓\n- \\(a_2 = 3 \\cdot 2 + 99 = 105\\) ✓\n- \\(a_3 = 3 \\cdot 3 + 99 = 108\\) ✓\n\nWzór działa.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 8 (Ciągi, s. 9-10)** - wzór ogólny ciągu arytmetycznego:\n\\[a_n = a_1 + (n-1) \\cdot r\\]\nUżyliśmy tego w Sposobie 1 jako punkt wyjścia. To jedyna potrzebna tu formuła z karty.\n\n## Typowe pułapki\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Najczęstszy błąd to pomylenie \\((n-1) \\cdot r\\) z \\(n \\cdot r\\). Wtedy wychodzi \\(a_n = 3n + 102\\) zamiast \\(3n + 99\\), co daje \\(a_1 = 105\\) - o jeden za dużo!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy obliczaniu \\(a_{81}\\) łatwo wstawić \\(80\\) zamiast \\(81\\) (lub odwrotnie). Pamiętaj: do wzoru ogólnego wstawiasz \\(n = 81\\) bez żadnych korekt.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Upraszczaj \\(a_n = 102 + 3(n-1)\\) do postaci \\(3n + 99\\) - nauczyciele często wymagają wzoru w postaci \\(a_n = \\ldots\\) (z \\(n\\), bez nawiasów). Zostaw wynik w uproszczonej formie.\n\n**Poprawna odpowiedź:** \\(a_{n} = 3n + 99\\), \\(a_{81} = 342\\)\n\n### Sposób 1 - Wzór na ciąg arytmetyczny\nZ ciągu odczytujemy:\n- pierwszy wyraz: \\(a_{1} = 102\\);\n- różnica: \\(r = 105 - 102 = 3\\).\n\nWzór ogólny ciągu arytmetycznego: \\(a_{n} = a_{1} + (n-1)r\\).\n\\[a_{n} = 102 + (n-1)\\cdot 3 = 102 + 3n - 3 = 3n + 99.\\]\n\n**Wyraz \\(a_{81}\\):**\n\\[a_{81} = 3\\cdot 81 + 99 = 243 + 99 = 342.\\]\n\n### Sposób 2 - Obliczenie \\(a_{81}\\) bezpośrednio ze wzoru\n\\[a_{81} = a_{1} + 80r = 102 + 80\\cdot 3 = 102 + 240 = 342.\\]\n\n### Uwagi o punktacji\n- 2 pkt za zapisanie wzoru ogólnego \\(a_{n} = 3n + 99\\) (1 pkt za podanie \\(a_{1}\\) i \\(r\\));\n- 1 pkt za obliczenie \\(a_{81} = 342\\).\n\n**Trik:** różnicę ciągu arytmetycznego liczymy jako \\(r = a_{2} - a_{1}\\). Wzór \\(a_{n} = a_{1} + (n-1)r\\) można zawsze rozwinąć do postaci \\(a_{n} = An + B\\) - wtedy \\(A = r\\), \\(B = a_{1} - r\\).","image":"img/matematyka-2002-maj-matura-podstawowa/zad-4.webp","solution_image":"img/matematyka-2002-maj-matura-podstawowa/sol-4.svg","topics":"prawdopodobienstwo","page_from":3,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2002 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2002-maj-matura-podstawowa/zad/5","paper_id":"matematyka-2002-maj-matura-podstawowa","number":"5","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2002,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 5. (4 pkt)\nAnia przeczytała książkę science-fiction w ciągu 13 dni, przy czym każdego dnia czytała\no taką samą liczbę stron więcej, niż w dniu poprzednim. Ile stron miała ta książka, jeżeli\nwiadomo, że w trzecim dniu Ania przeczytała 28 stron a w ostatnim 68?\nAnia przeczytała książkę sience-fiction w ciągu 13 dni, przy czym każdego dnia czytała o taką samą liczbę stron więcej, niż w dniu poprzednim. Ile stron miała ta książka, jeżeli wiadomo, że w trzecim dniu Ania przeczytała 28 stron a w ostatnim 68?","answer":null,"answer_text":"5.1\nZauważenie, że liczby stron przeczytanych\nw kolejnych dniach to wyrazy ciągu\narytmetycznego i przyjęcie oznaczeń\n1 p.\nnp.\nąa - liczba stron przeczytanych w pierwszym\ndniu, r - różnica liczby stron przeczytanych w\nkolejnych dniach\n5.2\nUłożenie układu równań (1) pozwalającego\nwyznaczyć\nąa i r .\n1 p.\n(1)\n\n\n\n68\n12\n28\n2\n1\n1\nr\na\nr\na\n5.3\nRozwiązanie układu równań (1)\n1 p\n\n\n\n4\n20\n1\nr\na\n5.4\nObliczenie liczby stron książki\n1 p\n572","solution":"## Poprawna odpowiedź: ok. 980 cm\n\n## Sposób 1 - Trygonometria (sinus nachylenia)\n\n**Wyznaczamy całkowitą wysokość schodów.**\n\nSchody mają 8 stopni, każdy po 15 cm wysokości:\n\\[h = 8 \\cdot 15 = 120 \\text{ cm}\\]\n\n**Rozumienie geometrii podjazdu.**\n\nPodjazd tworzy trójkąt prostokątny:\n- przyprostokątna pionowa = całkowita wysokość = \\(h = 120\\) cm\n- kąt nachylenia podjazdu do podłoża = \\(7°\\)\n- szukamy **długości podjazdu** = przeciwprostokątna (boku ukośnego)\n\nRelacja trygonometryczna:\n\\[\\sin 7° = \\frac{\\text{wysokość}}{\\text{długość podjazdu}} = \\frac{h}{d}\\]\n\nStąd:\n\\[d = \\frac{h}{\\sin 7°} = \\frac{120}{\\sin 7°}\\]\n\nZ tablicy (karta CKE, s. 34) lub kalkulatora: \\(\\sin 7° \\approx 0{,}1219\\)\n\n\\[d = \\frac{120}{0{,}1219} \\approx 984{,}4 \\text{ cm}\\]\n\nZaokrąglamy do 10 cm:\n\n**\\[d \\approx 980 \\text{ cm}\\]**\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja przez tangensa\n\nZamiast sinusa możemy podejść przez tangens i sprawdzić wynik.\n\n\\[\\operatorname{tg} 7° = \\frac{\\text{wysokość}}{\\text{rzut poziomy}} = \\frac{h}{x}\\]\n\nRzut poziomy (podstawa trójkąta):\n\\[x = \\frac{h}{\\operatorname{tg} 7°} = \\frac{120}{0{,}1228} \\approx 977{,}0 \\text{ cm}\\]\n\nTeraz z twierdzenia Pitagorasa liczymy długość podjazdu (przeciwprostokątną):\n\\[d = \\sqrt{h^2 + x^2} = \\sqrt{120^2 + 977^2} = \\sqrt{14400 + 954529} = \\sqrt{968929} \\approx 984{,}3 \\text{ cm}\\]\n\nPo zaokrągleniu do 10 cm: **\\(d \\approx 980\\) cm** ✓\n\nWynik zgodny z Metodą 1.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 9 (Trygonometria, s. 11-12)** - definicja sinusa w trójkącie prostokątnym:\n\\[\\sin\\alpha = \\frac{\\text{przeciwprostokątna}}{\\text{przyprostokątna}} \\quad \\Rightarrow \\quad \\sin\\alpha = \\frac{a}{c}\\]\n\nW naszym zadaniu: kąt \\(\\alpha = 7°\\), przyprostokątna pionowa \\(a = 120\\) cm, szukamy \\(c\\) (długości podjazdu).\n\n**Dział 17 (Tablica wartości funkcji trygonometrycznych, s. 34)** - wartość \\(\\sin 7° \\approx 0{,}1219\\) odczytana z tablicy na ostatniej stronie karty.\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie myl wysokości **jednego stopnia** z **całkowitą wysokością**. Całkowita wysokość to \\(8 \\times 15 = 120\\) cm - tu uczniowie często piszą samo 15 cm i liczą dalej!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Długość podjazdu to **przeciwprostokątna**, nie podstawa trójkąta (rzut poziomy). Schemat: nachylenie 7° jest między poziomem a podjazdem, więc sinus łączy wysokość z długością ukośną - NIE z rzutem poziomym.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Zaokrąglenie \"do 10 cm\" oznacza, że wynik \\(984{,}4\\) cm zaokrąglamy do **980 cm** (cyfra jedności i dziesiątek → 0). Zaokrąglanie do 10 cm = patrzymy na cyfrę jedności: \\(4 < 5\\), więc w dół.\n\n**Poprawna odpowiedź:** \\(\\approx 980\\) cm\n\n### Sposób 1 - Trygonometria w trójkącie prostokątnym\n**Krok 1 - wysokość schodów:**\n\\[BC = 8 \\cdot 15 = 120 \\text{ cm}.\\]\n\n**Krok 2 - rysunek:** podjazd to przeciwprostokątna \\(AC\\) trójkąta prostokątnego o przyprostokątnej \\(BC = 120\\) cm i kącie \\(\\angle CAB = 7^{\\circ}\\).\n\n**Krok 3 - sinus kąta ostrego:**\n\\[\\sin\\angle CAB = \\dfrac{BC}{AC} \\Rightarrow AC = \\dfrac{BC}{\\sin 7^{\\circ}}.\\]\n\n**Krok 4 - podstawienie (z tablic \\(\\sin 7^{\\circ} \\approx 0{,}1219\\)):**\n\\[AC = \\dfrac{120}{0{,}1219} \\approx 984{,}4 \\text{ cm}.\\]\n\n**Krok 5 - zaokrąglenie do \\(10\\) cm:**\n\\[AC \\approx 980 \\text{ cm}.\\]\n\n### Sposób 2 - Użycie tangensa i twierdzenia Pitagorasa\n\\(\\tan 7^{\\circ} = \\dfrac{BC}{AB} \\Rightarrow AB = \\dfrac{120}{\\tan 7^{\\circ}} = \\dfrac{120}{0{,}1228} \\approx 977{,}2\\) cm.\nZ twierdzenia Pitagorasa: \\(AC = \\sqrt{AB^{2} + BC^{2}} = \\sqrt{977{,}2^{2} + 120^{2}} \\approx 984{,}5\\) cm \\(\\approx 980\\) cm.\n\n### Uwagi o punktacji\n- 1 pkt za rysunek lub oznaczenia;\n- 1 pkt za obliczenie wysokości \\(BC = 120\\) cm;\n- 1 pkt za odczyt \\(\\sin 7^{\\circ} = 0{,}1219\\) (lub innego poprawnego przybliżenia);\n- 2 pkt za obliczenie długości podjazdu i podanie wyniku z zaokrągleniem (\\(980\\) cm).\n\n**Trik:** przy małych kątach \\(\\sin \\alpha \\approx \\alpha\\) w radianach - ale w zadaniu maturalnym zawsze używamy tablic!","image":"img/matematyka-2002-maj-matura-podstawowa/zad-5.webp","solution_image":"img/matematyka-2002-maj-matura-podstawowa/sol-5.svg","topics":"ciagi","page_from":4,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2002 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2002-maj-matura-podstawowa/zad/6","paper_id":"matematyka-2002-maj-matura-podstawowa","number":"6","points":3,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2002,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 6. (3 pkt)\nJeżeli x 1= 2, x 2 = 3 i x 3= -1 są miejscami zerowymi wielomianu\nd\ncx\nbx\nax\nx\nW\n2\n3\n)\n(\n,\ngdzie\n0\n≠\na\noraz\n2\n)\n4\n(\nW\n, to współczynnik a można wyznaczyć postępując w następujący\nsposób:\nWielomian W zapisujemy w postaci iloczynowej:\n( )\n(\n)(\n)(\n)\n1\n3\n2\nx\nx\nx\na\nx\nW\ni wykorzystując warunek\n( )\n2\n4 =\nW\notrzymujemy równanie:\n(\n)(\n)(\n)\n1\n4\n3\n4\n2\n4\n2\n= a\n,\nstąd\n5\n1\na\nPostępując analogicznie, wyznacz współczynnik a wielomianu\n( )\nd\ncx\nbx\nax\nx\nW\n2\n3\n,\nwiedząc, że jego miejsca zerowe to\n2\n1\nx\n,\n1\n2 =\nx\n,\n2\n3 =\nx\noraz\n(\n)\n3\n1 =\nW\n4\nArkusz I\nWielomian W zapisujemy w postaci iloczynowej: W(x)=a(x-2)(x-3)(x+1) i wykorzystując warunek W(4)=2 otrzymujemy równanie: 2=a(4-2)(4-3)(4+1)$, stąd a={1/5}. Postępując analogicznie, wyznacz współczynnik a wielomianu W(x)=ax^3+bx^2+cx+d, wiedząc, że jego miejsca zerowe to x_1=-2, x_2=1, x_3=2 oraz W(-1)=3.","answer":null,"answer_text":"6.1\nPrzedstawienie wielomianu W w postaci\niloczynowej .\n1 p","solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(a_4 = 8\\)\n\n## Sposób 1 - iteracyjne wyznaczanie kolejnych wyrazów\n\nMamy dane:\n\\[a_1 = 1, \\quad a_2 = 2\\]\noraz regułę rekurencyjną:\n\\[a_{n+2} = 2^{n-1} + a_n + a_{n+1} \\quad \\text{dla } n \\in \\mathbb{N} \\setminus \\{0\\}\\]\n\n**Wyznaczamy \\(a_3\\)** - podstawiamy \\(n = 1\\):\n\\[a_3 = a_{1+2} = 2^{1-1} + a_1 + a_2 = 2^0 + 1 + 2 = 1 + 1 + 2 = 4\\]\n\n**Wyznaczamy \\(a_4\\)** - podstawiamy \\(n = 2\\):\n\\[a_4 = a_{2+2} = 2^{2-1} + a_2 + a_3 = 2^1 + 2 + 4 = 2 + 2 + 4 = \\mathbf{8}\\]\n\n**Odpowiedź: \\(a_4 = 8\\)**\n\n## Sposób 2 - weryfikacja przez wypisanie ciągu\n\nWypisujemy kolejne wyrazy, żeby upewnić się, że nie pomyliliśmy indeksów:\n\n| \\(n\\) | \\(a_n\\) | Skąd? |\n| 1 | \\(1\\) | dane |\n| 2 | \\(2\\) | dane |\n| 3 | \\(2^{1-1} + a_1 + a_2 = 1 + 1 + 2 = 4\\) | \\(n=1\\) w regule |\n| 4 | \\(2^{2-1} + a_2 + a_3 = 2 + 2 + 4 = 8\\) | \\(n=2\\) w regule |\n\nKluczowe: reguła mówi \\(a_{n+2} = \\ldots\\), więc aby dostać wyraz o indeksie \\(k\\), podstawiamy \\(n = k - 2\\). Dla \\(a_4\\) mamy \\(n = 2\\), więc potęga to \\(2^{n-1} = 2^1 = 2\\).\n\n**Potwierdzamy: \\(a_4 = 8\\)** ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy uważne podstawienie do wzoru rekurencyjnego zgodnie z podaną definicją ciągu.\n\nWarto jednak pamiętać, że ciągi są omówione w **Dziale 8 (Ciągi, s. 9-10)** - tam znajdziesz wzory na ciągi arytmetyczne i geometryczne, ale ten ciąg jest rekurencyjny i nie należy do żadnego z tych typów.\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Indeks w potędze to \\(2^{n-1}\\), a **nie** \\(2^{n}\\) ani \\(2^{n+1}\\). Przy obliczaniu \\(a_3\\) podstawiamy \\(n=1\\), więc potęga wynosi \\(2^0 = 1\\), a nie \\(2\\). To najczęstszy błąd!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Reguła \\(a_{n+2} = \\ldots\\) wiąże trzy wyrazy: \\(a_{n+2}\\), \\(a_{n+1}\\) i \\(a_n\\). Nie myl indeksów - do obliczenia \\(a_4\\) potrzebujesz \\(a_3\\) i \\(a_2\\), a nie \\(a_4\\) i \\(a_3\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Definicja działa dla \\(n \\in \\mathbb{N} \\setminus \\{0\\}\\), czyli \\(n \\geq 1\\). Nie możemy podstawić \\(n = 0\\) - wtedy \\(a_2\\) byłoby wyznaczone z reguły zamiast być daną, co dałoby sprzeczność.\n\n**Poprawna odpowiedź:** \\(a_{4} = 8\\)\n\n### Sposób 1 - Iteracyjne obliczanie wyrazów\nZ rekurencji \\(a_{n+2} = 2^{n-1} + a_{n} + a_{n+1}\\) podstawiamy kolejno \\(n = 1, 2\\).\n\n**Dla \\(n = 1\\):** \\(a_{3} = 2^{0} + a_{1} + a_{2} = 1 + 1 + 2 = 4\\).\n\n**Dla \\(n = 2\\):** \\(a_{4} = 2^{1} + a_{2} + a_{3} = 2 + 2 + 4 = 8\\).\n\nZatem \\(a_{4} = 8\\).\n\n### Sposób 2 - Tabelka\n| \\(n\\) | \\(a_{n}\\) | Obliczenie |\n| 1 | 1 | dane |\n| 2 | 2 | dane |\n| 3 | 4 | \\(2^{0} + 1 + 2 = 4\\) |\n| 4 | 8 | \\(2^{1} + 2 + 4 = 8\\) |\n\n### Uwagi o punktacji\n- 1 pkt za zapisanie zależności \\(a_{3} = 2^{0} + a_{1} + a_{2}\\);\n- 1 pkt za obliczenie \\(a_{3} = 4\\);\n- 1 pkt za obliczenie \\(a_{4} = 8\\).\n\n**Trik:** ciągi rekurencyjne zawsze oblicza się **po kolei** - nie ma tu wzoru jawnego, trzeba krok po kroku wyznaczyć \\(a_{3}\\), a dopiero potem \\(a_{4}\\). Uważaj na indeksy wykładnika: \\(2^{n-1}\\) dla \\(n=1\\) daje \\(2^{0}=1\\).","image":"img/matematyka-2002-maj-matura-podstawowa/zad-6.webp","solution_image":"img/matematyka-2002-maj-matura-podstawowa/sol-6.svg","topics":"wielomiany","page_from":4,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2002 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2002-maj-matura-podstawowa/zad/7","paper_id":"matematyka-2002-maj-matura-podstawowa","number":"7","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2002,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 7. (4 pkt)\nPlanując czterotygodniowe wakacje, rodzina Kowalskich przeznaczyła pewną kwotę na\nwyżywienie. W pierwszym tygodniu wydano\n%\n30\nzaplanowanej kwoty, w drugim tygodniu o\n60 złotych mniej niż w pierwszym, w trzecim połowę reszty pieniędzy. Na czwarty tydzień\nzostało 270 złotych. Oblicz kwotę, którą rodzina Kowalskich przeznaczyła na wyżywienie.\nRozwiązanie zadania tekstowego z matury: Planując czterotygodniowe wakacje, rodzina Kowalskich przeznaczyła pewną kwotę na wyżywienie. W pierwszym tygodniu wydano 30%$ zaplanowanej kwoty, w drugim tygodniu o 60 złoty mniej niż w pierwszym, w trzecim połowę reszty pieniędzy. Na czwarty tydzień zostało 270 złoty. Oblicz kwotę, którą rodzina Kowalskich przeznaczyła na wyżywienie. Układanie i rozwiązywanie równania.","answer":null,"answer_text":"7.1\n1 p\nnp. x - szukana kwota\nx\n3,0\n- wydatki w pierwszym tygodniu\n60\n3,0\nx\n- wydatki w drugim tygodniu\n7.2\nAnaliza zadania i przyjęcie oznaczeń\n1 p\n(\n)\n[\n]\n60\n3,0\n3,0\n2\n1\nx\nx\nx\n- (lub 1 540\n2 ⋅\nzł) wydatki w\ntrzecim tygodniu\n7.3\nUłożenie równania pozwalającego\nwyznaczyć szukaną kwotę.\n1 p\n(\n)\n[\n]\nx\nx\nx\nx\nx\nx\n270\n60\n3,0\n3,0\n2\n1\n60\n3,0\n3,0\n7.4\nRozwiązanie równania i odpowiedź\n1 p\n1200\nx\nzł","solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(x = -2{,}5\\)\n\n## Sposób 1 - odczyt z wykresu + wzór funkcji g\n\n**Krok 1: Odczytaj wzór funkcji f z wykresu.**\n\nZ wykresu odczytujemy, że prosta przechodzi przez punkty \\((-4,\\ 0)\\) i \\((0,\\ 8)\\).\n\nWspółczynnik kierunkowy:\n\\[a = \\frac{8 - 0}{0 - (-4)} = \\frac{8}{4} = 2\\]\n\nWyraz wolny \\(b = 8\\) (punkt przecięcia z osią OY), więc:\n\\[f(x) = 2x + 8\\]\n\n**Krok 2: Wyznacz wzór funkcji g.**\n\nPrzesunięcie wykresu o wektor \\(\\vec{u} = [2,\\ 1]\\) oznacza:\n- każdy punkt \\((x,\\ y)\\) na wykresie f przesuwa się do punktu \\((x+2,\\ y+1)\\) na wykresie g\n\nDlatego wzór funkcji g po przesunięciu to:\n\\[g(x) = f(x - 2) + 1\\]\n\nPodstawiamy wzór f:\n\\[g(x) = 2(x-2) + 8 + 1 = 2x - 4 + 9 = 2x + 5\\]\n\n**Krok 3: Wyznacz miejsce zerowe funkcji g.**\n\nSzukamy \\(x\\), dla którego \\(g(x) = 0\\):\n\\[2x + 5 = 0\\]\n\\[2x = -5\\]\n\\[\\boxed{x = -\\frac{5}{2} = -2{,}5}\\]\n\n## Sposób 2 - geometryczny (śledzenie punktu na f)\n\n**Kluczowe spostrzeżenie:** Miejsce zerowe g to punkt, w którym wykres g przecina oś OX - czyli punkt postaci \\((x_g,\\ 0)\\). Skoro jest on obrazem pewnego punktu \\((x_f,\\ y_f)\\) z wykresu f przesuniętego o \\([2, 1]\\), to:\n\\[(x_f + 2,\\ y_f + 1) = (x_g,\\ 0)\\]\n\nStąd \\(y_f + 1 = 0\\), czyli \\(y_f = -1\\).\n\n**Krok 1:** Znajdź punkt na wykresie f, gdzie \\(f(x) = -1\\):\n\\[2x + 8 = -1\\]\n\\[2x = -9\\]\n\\[x_f = -\\frac{9}{2} = -4{,}5\\]\n\nPunkt \\((-4{,}5;\\ -1)\\) leży na wykresie f.\n\n**Krok 2:** Przesuń ten punkt o wektor \\([2,\\ 1]\\):\n\\[(-4{,}5 + 2;\\ -1 + 1) = (-2{,}5;\\ 0)\\]\n\nPunkt \\((-2{,}5;\\ 0)\\) leży na osi OX i na wykresie g - to właśnie **miejsce zerowe funkcji g**.\n\\[\\boxed{x = -2{,}5}\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25)** - równanie kierunkowe prostej:\n\\[y = ax + b, \\quad \\text{gdzie } a = \\operatorname{tg}\\alpha\\]\n\nUżyliśmy tego do wyznaczenia wzoru \\(f(x) = 2x + 8\\) na podstawie dwóch punktów odczytanych z wykresu.\n\n> Właściwość przesunięcia o wektor \\([p,\\ q]\\): wzór funkcji zmienia się zgodnie z \\(g(x) = f(x - p) + q\\). To wynika z geometrii przekształceń - nie ma osobnego wzoru na karcie, ale warto zapamiętać regułę: **przesunięcie w prawo o p → odejmujemy p od argumentu**.\n\n## Typowe pułapki\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przesunięcie o \\(\\vec{u} = [2,\\ 1]\\) to NIE jest \\(g(x) = f(x+2) + 1\\)! W argumencie pojawia się \\(x - 2\\) (odjęcie), bo punkt \\((x,y)\\) przechodzi do \\((x+2, y+1)\\), więc odwracamy - żeby \"wrócić\" do f, wstawiamy \\(x-2\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Miejsce zerowe funkcji f (tutaj \\(x = -4\\)) to nie to samo co miejsce zerowe g. Nie wystarczy do zera f dodać 2 - trzeba uwzględnić oba składowe wektora.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy odczycie z wykresu - sprawdź dwa punkty, żeby upewnić się co do wartości współczynnika kierunkowego. Pomyłka w nachyleniu pociągnie błąd we wzorze g i złą odpowiedź.\n\n**Poprawna odpowiedź:** \\(x = -2{,}5\\)\n\n### Sposób 1 - Przesunięcie punktów i wyznaczenie wzoru \\(g\\)\nZ wykresu odczytujemy punkty należące do prostej \\(f\\): np. \\((-2, 0)\\) (miejsce zerowe) i \\((3, 2)\\).\n\n**Przesunięcie o \\(\\vec{u} = [2, 1]\\):**\n- \\((-2, 0) \\to (0, 1)\\)\n- \\((3, 2) \\to (5, 3)\\)\n\n**Wyznaczenie wzoru funkcji \\(g\\) z punktów \\((0, 1)\\) i \\((5, 3)\\):**\n\\[a = \\dfrac{3-1}{5-0} = \\dfrac{2}{5}, \\quad b = 1.\\]\n\\[g(x) = \\tfrac{2}{5}x + 1.\\]\n\n**Miejsce zerowe:**\n\\[\\tfrac{2}{5}x + 1 = 0 \\Rightarrow x = -\\tfrac{5}{2} = -2{,}5.\\]\n\n### Sposób 2 - Przesunięcie miejsca zerowego wzdłuż wektora\nMiejsce zerowe funkcji liniowej \\(f\\) to \\(x_{0} = -2\\) (punkt \\((-2, 0)\\) z wykresu). Po przesunięciu o \\(\\vec{u} = [2, 1]\\) punkt \\((-2, 0)\\) przechodzi na \\((0, 1)\\) - to **nie** jest miejsce zerowe \\(g\\), bo \\(y \\ne 0\\).\n\nWyznaczamy wzór \\(f\\) z wykresu: \\(f(x) = \\tfrac{2}{5}x + \\tfrac{4}{5}\\) (nachylenie \\(\\tfrac{2}{5}\\), miejsce zerowe \\(-2\\)).\n\nPrzesunięcie wykresu o wektor \\([2,1]\\) odpowiada zamianie \\(x \\to x-2, y \\to y-1\\):\n\\[y - 1 = f(x-2) = \\tfrac{2}{5}(x-2) + \\tfrac{4}{5}\\]\n\\[y = \\tfrac{2}{5}x - \\tfrac{4}{5} + \\tfrac{4}{5} + 1 = \\tfrac{2}{5}x + 1.\\]\nZatem \\(g(x) = \\tfrac{2}{5}x + 1\\), a miejsce zerowe: \\(x = -\\tfrac{5}{2} = -2{,}5\\).\n\n### Uwagi o punktacji\n- 2 pkt za wyznaczenie wzoru \\(f\\) lub za wyznaczenie obrazów dwóch punktów (po 1 pkt za każdy obraz);\n- 2 pkt za wyznaczenie wzoru \\(g(x) = \\tfrac{2}{5}x + 1\\) (1 pkt za zapis układu \\(x = x'-2, y = y'-1\\));\n- 1 pkt za miejsce zerowe \\(x = -2{,}5\\).\n\n**Trik:** przesunięcie wykresu \\(y = f(x)\\) o wektor \\([p, q]\\) daje wykres \\(y = f(x-p) + q\\). Miejsce zerowe przesuwa się wzdłuż osi \\(OX\\) o tyle, ile wynosi **całkowite** przesunięcie - nie tylko składowa wektora!","image":"img/matematyka-2002-maj-matura-podstawowa/zad-7.webp","solution_image":"img/matematyka-2002-maj-matura-podstawowa/sol-7.svg","topics":"rownania_i_nierownosci","page_from":5,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2002 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2002-maj-matura-podstawowa/zad/8","paper_id":"matematyka-2002-maj-matura-podstawowa","number":"8","points":5,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2002,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 8. (5 pkt)\nFunkcja kwadratowa\n3\n)\n(\n2\nbx\nax\nx\nf\n, gdzie\n0\n>\nb\nposiada dwa różne miejsca zerowe,\nktórych iloczyn jest równy (\n3\n-). Wiedząc, że funkcja ta przyjmuje najmniejszą wartość\nrówną (\n4\n), wyznacz:\na) współczynniki a i b ,\nb) miejsca zerowe funkcji f.\n5\nArkusz I\nFunkcja kwadratowa f(x)=ax^2+bx-3, gdzie b>0 posiada dwa różne miejsca zerowe, których iloczyn jest równy (-3). Wiedząc, że funkcja ta przyjmuje najmniejszą wartość równą (-4), wyznacz a) współczynnik a i b, b) miejsca zerowe funkcji f.","answer":null,"answer_text":"8.1\nZapisanie warunku pozwalającego\nwyznaczyć a\n1 p\n3\n3\n-a\n8.2\nZapisanie warunku pozwalającego\nwyznaczyć b\n1 p\n4\n4\n∆\na\n8.3\nWyznaczeniea\n1 p\n1\na\n8.4\nWyznaczenie b\n1 p\n2\nb\n8.5\nObliczenie miejsc zerowych funkcji f.\n1 p\n3\n1\nx\n,\n1\n2 =\nx","solution":"## Poprawna odpowiedź: 84 zł 14 gr\n\n## Sposób 1 - Krok po kroku, od dołu do góry\n\n**Krok 1: Podstawa wymiaru składek na ubezpieczenie społeczne**\n\nPodstawa = \\(60\\%\\) przeciętnego wynagrodzenia:\n\n\\[P = 60\\% \\cdot 1869{,}76 = \\frac{60}{100} \\cdot 1869{,}76 = 0{,}6 \\cdot 1869{,}76\\]\n\n\\[P = 1121{,}856 \\text{ zł}\\]\n\n**Krok 2: Składka na ubezpieczenie zdrowotne**\n\nSkładka = \\(7{,}5\\%\\) podstawy:\n\n\\[S = 7{,}5\\% \\cdot 1121{,}856 = \\frac{7{,}5}{100} \\cdot 1121{,}856 = 0{,}075 \\cdot 1121{,}856\\]\n\n\\[S = 84{,}1392 \\text{ zł}\\]\n\n**Krok 3: Zaokrąglenie do 1 grosza (2 miejsca po przecinku)**\n\n\\[S \\approx 84{,}14 \\text{ zł} = \\mathbf{84 \\text{ zł } 14 \\text{ gr}}\\]\n\n## Sposób 2 - Jedno działanie (łączone procenty)\n\nZamiast liczyć pośrednią podstawę, możemy od razu połączyć oba procenty w jeden mnożnik.\n\nSkładka to \\(7{,}5\\%\\) z \\((60\\%\\) z wynagrodzenia\\()\\), czyli:\n\n\\[S = 7{,}5\\% \\cdot 60\\% \\cdot 1869{,}76 = \\frac{7{,}5}{100} \\cdot \\frac{60}{100} \\cdot 1869{,}76\\]\n\n\\[S = \\frac{450}{10000} \\cdot 1869{,}76 = \\frac{4{,}5}{100} \\cdot 1869{,}76 = 0{,}045 \\cdot 1869{,}76\\]\n\n\\[S = 84{,}1392 \\text{ zł} \\approx \\mathbf{84{,}14 \\text{ zł}}\\]\n\nWynik identyczny - **84 zł 14 gr**. ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczą podstawowe działania procentowe: \\(p\\% \\cdot x = \\frac{p}{100} \\cdot x\\).\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie liczymy \\(7{,}5\\%\\) bezpośrednio z wynagrodzenia \\(1869{,}76\\) zł! Składka zdrowotna to procent z procenta - trzeba najpierw wyznaczyć podstawę wymiaru (\\(60\\%\\) wynagrodzenia), a dopiero potem liczyć \\(7{,}5\\%\\) tej podstawy.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Zaokrąglenie do 1 grosza = 2 miejsca po przecinku. Wynik \\(84{,}1392\\) - trzecia cyfra po przecinku to \\(3 < 5\\), więc zaokrąglamy w dół: \\(84{,}13\\) Chwila - cyfra na **trzecim** miejscu to \\(9\\), na **czwartym** to \\(2\\). Zaokrąglamy **drugie** miejsce: patrzymy na trzecią cyfrę \\(= 9 \\geq 5\\), zatem \\(84{,}13 \\to 84{,}14\\). ✓\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy mnożeniu \\(0{,}075 \\times 1121{,}856\\) łatwo o błąd przecinka. Warto sprawdzić: \\(1\\% \\cdot 1121{,}856 = 11{,}21856\\), a \\(7\\% = 78{,}53\\), więc \\(7{,}5\\%\\) powinno być trochę więcej - \\(84{,}14\\) jest sensowne.\n\n**Poprawna odpowiedź:** \\(84\\) zł \\(14\\) gr\n\n### Sposób 1 - Krok po kroku\n**Krok 1 - podstawa wymiaru składek \\(= 60\\%\\) przeciętnego wynagrodzenia:**\n\\[P = 60\\% \\cdot 1869{,}76 = 0{,}6 \\cdot 1869{,}76 = 1121{,}856 \\text{ zł}.\\]\n\n**Krok 2 - składka zdrowotna \\(= 7{,}5\\%\\) podstawy:**\n\\[S = 7{,}5\\% \\cdot 1121{,}856 = 0{,}075 \\cdot 1121{,}856 = 84{,}1392 \\text{ zł}.\\]\n\n**Krok 3 - zaokrąglenie do \\(1\\) grosza:**\n\\[S \\approx 84{,}14 \\text{ zł} = 84 \\text{ zł } 14 \\text{ gr}.\\]\n\n### Sposób 2 - Jednym mnożeniem\n\\[S = 7{,}5\\% \\cdot 60\\% \\cdot 1869{,}76 = 0{,}045 \\cdot 1869{,}76 = 84{,}1392 \\text{ zł} \\approx 84{,}14 \\text{ zł}.\\]\n\nBo \\(7{,}5\\% \\cdot 60\\% = 4{,}5\\%\\).\n\n### Uwagi o punktacji\n- 1 pkt za obliczenie podstawy wymiaru składek \\(1121{,}856\\) zł (dopuszczalne \\(1121{,}86\\) zł);\n- 1 pkt za obliczenie składki zdrowotnej \\(84{,}1392\\) zł;\n- 1 pkt za podanie wyniku z poprawnym zaokrągleniem \\(84\\) zł \\(14\\) gr.\n\n**Trik:** procent procentu to iloczyn procentów. \\(7{,}5\\% \\cdot 60\\% = 4{,}5\\%\\) - przy rachunkach na kalkulatorze jednym krokiem otrzymujemy wynik. Pamiętaj o zaokrągleniu **w ostatnim kroku**, nie wcześniej!","image":"img/matematyka-2002-maj-matura-podstawowa/zad-8.webp","solution_image":"img/matematyka-2002-maj-matura-podstawowa/sol-8.svg","topics":"funkcje","page_from":5,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2002 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2002-maj-matura-podstawowa/zad/9","paper_id":"matematyka-2002-maj-matura-podstawowa","number":"9","points":5,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2002,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 9. (5 pkt)\nZaplanowano zalesić ugór w kształcie trójkąta równoramiennego, którego długość\nnajdłuższego boku, na planie w skali 1:1500, jest równa 12 cm i jeden z kątów ma miarę\n°\n120 .W szkółce leśnej zamówiono sadzonki, w ilości pozwalającej obsadzić obszar wielkości\n40 arów. Oblicz, czy zamówiona ilość sadzonek jest wystarczająca do zalesienia ugoru.\nZaplanowano zalesić ugór w kształcie trójkąta równoramiennego, którego długość najdłuższego boku, na planie w skali 1:1500, jest równy 12 cm i jeden z kątów ma miarę 120 stopni. W szkółce leśnej zamówiono sadzonki, w ilości pozwalającej obsadzić obszar wielkości 40 arów. Oblicz, czy zamówiono ilość sadzonek jest wystarczająca do zalesienia ugoru.","answer":null,"answer_text":"9.1\nWyznaczenie długości odcinków\npotrzebnych do obliczenia pola działki na\nplanie.\n1 p\n9.2\nObliczenie pola działki na planie\n1 p\n3\n12\nP\nP\ncm2\n9.3\nObliczenie pola działki w rzeczywistości\n1 p\n6\n27 10\n3\nP =\n⋅\ncm2\n9.4\nZamiana jednostek\n1 p np.\n3\n27\nP\na\n9.5\nPorównanie 40 arów z polem działki\ni stwierdzenie, że ilość sadzonek jest\nniewystarczająca.\n1 p\n40\n3\n27\n>","solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(P = 124 \\text{ m}^2\\)\n\n## Sposob 1 - podzial figury na trapez i trojkat\n\n**Dane z rysunku:**\n- \\(AB = 16\\) m, \\(BC = 8\\) m - kat \\(ABC\\) jest prosty\n- \\(CE = 10\\) m, \\(CD = 4\\) m - kat \\(ECD\\) jest prosty\n- punkt \\(E\\) lezy na odcinku \\(AD\\)\n\n**Krok 1 - podziel dzialke na dwie znane figury.**\n\nFigura \\(ABCDE\\) rozpada sie na:\n- **trapez prostokatny \\(ABCE\\)** o podstawach \\(AB = 16\\) m i \\(CE = 10\\) m oraz wysokosci \\(BC = 8\\) m (kat prosty przy \\(B\\)),\n- **trojkat prostokatny \\(CDE\\)** o przyprostokatnych \\(CE = 10\\) m i \\(CD = 4\\) m (kat prosty przy \\(C\\)).\n\n**Krok 2 - pole trapezu \\(ABCE\\).**\n\\[P_{ABCE} = \\frac{(AB + CE) \\cdot BC}{2} = \\frac{(16 + 10) \\cdot 8}{2} = \\frac{26 \\cdot 8}{2} = \\frac{208}{2} = 104 \\text{ m}^2\\]\n\n**Krok 3 - pole trojkata prostokatnego \\(CDE\\).**\n\\[P_{CDE} = \\frac{1}{2} \\cdot CE \\cdot CD = \\frac{1}{2} \\cdot 10 \\cdot 4 = 20 \\text{ m}^2\\]\n\n**Krok 4 - pole calej dzialki.**\n\\[P = P_{ABCE} + P_{CDE} = 104 + 20 = \\boxed{124 \\text{ m}^2}\\]\n\n## Sposob 2 - prostokat minus trojkat (kontrola wyniku)\n\nDolozmy do trapezu prostokat \\(ABCF\\) o bokach \\(AB = 16\\) m i \\(BC = 8\\) m, a nastepnie odejmijmy nadmiar.\n\n**Prostokat \\(ABCF\\):**\n\\[P_{prost} = 16 \\cdot 8 = 128 \\text{ m}^2\\]\n\nGorny bok \\(CE = 10\\) m jest krotszy od \\(AB = 16\\) m o \\(16 - 10 = 6\\) m, wiec nad odcinkiem \\(CE\\) brakuje trojkata o podstawie \\(6\\) m i wysokosci \\(8\\) m:\n\\[P_{ubytek} = \\frac{1}{2} \\cdot 6 \\cdot 8 = 24 \\text{ m}^2\\]\n\nZatem trapez ma pole \\(128 - 24 = 104\\) m\\(^2\\), a po dodaniu trojkata \\(CDE\\) (\\(20\\) m\\(^2\\)):\n\\[P = 104 + 20 = 124 \\text{ m}^2 \\checkmark\\]\n\nWynik zgodny ze Sposobem 1.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dzial 11 (Planimetria)** - pole trapezu:\n\\[P = \\frac{(a + b) \\cdot h}{2}\\]\ngdzie \\(a, b\\) to podstawy, \\(h\\) - wysokosc. Uzyte do trapezu \\(ABCE\\).\n\n**Pole trojkata prostokatnego** - polowa iloczynu przyprostokatnych:\n\\[P = \\frac{1}{2} \\cdot a \\cdot b\\]\nUzyte do trojkata \\(CDE\\).\n\n## Orientacyjny schemat punktowania (odtworzony przez AI - NIE oficjalny klucz CKE)\n\n> 📋 Klucz CKE: pole dzialki wynosi \\(124\\) m\\(^2\\). Punktowane: obliczenie pola trapezu \\(ABCE\\) (\\(104\\) m\\(^2\\)), obliczenie pola trojkata \\(CDE\\) (\\(20\\) m\\(^2\\)) oraz zsumowanie na pole calej dzialki (\\(124\\) m\\(^2\\)).\n\n## Typowe pulapki\n\n> Uwaga: kluczowy jest poprawny podzial figury. Jesli pomylisz, ktore odcinki sa podstawami trapezu (\\(AB\\) i \\(CE\\)), a ktory wysokoscia (\\(BC\\)), wyjdzie zly wynik.\n\n> Uwaga: w trojkacie \\(CDE\\) przyprostokatnymi sa \\(CE = 10\\) m i \\(CD = 4\\) m (kat prosty przy \\(C\\)) - odcinek \\(DE\\) to przeciwprostokatna i NIE uzywamy go do pola.\n\n**Poprawna odpowiedź:** \\(P = 124 \\text{ m}^{2}\\)\n\n### Sposób 1 - Rozbicie na trójkąt i trapez\nDzielimy figurę na dwie części:\n- **trójkąt prostokątny \\(CED\\)** (kąt prosty w \\(C\\)): \\(CE = 10\\) m, \\(CD = 4\\) m;\n- **trapez prostokątny \\(ABCE\\)** (kąty proste przy \\(A\\) i \\(B\\)): podstawy \\(AB = 16\\) m oraz \\(CE = 10\\) m, wysokość \\(BC = 8\\) m.\n\n**Pole trójkąta \\(CED\\):**\n\\[P_{\\triangle CED} = \\dfrac{1}{2}\\cdot 10 \\cdot 4 = 20 \\text{ m}^{2}.\\]\n\n**Pole trapezu \\(ABCE\\):**\n\\[P_{ABCE} = \\dfrac{(AB + CE)\\cdot BC}{2} = \\dfrac{(16 + 10)\\cdot 8}{2} = \\dfrac{208}{2} = 104 \\text{ m}^{2}.\\]\n\n**Pole działki:**\n\\[P = P_{\\triangle CED} + P_{ABCE} = 20 + 104 = 124 \\text{ m}^{2}.\\]\n\n### Sposób 2 - Rozbicie na prostokąt i dwa trójkąty\nMożna też dostawić prostokąt do trapezu i odjąć nadmiary - ale metoda powyższa jest najkrótsza.\n\n### Uwagi o punktacji\n- 1 pkt za obliczenie pola trójkąta \\(CED\\) \\((20\\) m\\(^{2}\\));\n- 1 pkt za obliczenie pola trapezu \\(ABCE\\) \\((104\\) m\\(^{2}\\));\n- 1 pkt za podanie pola całej działki \\((124\\) m\\(^{2}\\)).\n\n**Trik:** przy figurach złożonych zawsze dziel na znane kształty (prostokąty, trójkąty, trapezy). Wzór na pole trapezu: \\(P = \\dfrac{(a+b)\\cdot h}{2}\\).","image":"img/matematyka-2002-maj-matura-podstawowa/zad-9.webp","solution_image":"img/matematyka-2002-maj-matura-podstawowa/sol-9.svg","topics":"planimetria","page_from":6,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2002 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2002-maj-matura-podstawowa/zad/10","paper_id":"matematyka-2002-maj-matura-podstawowa","number":"10","points":5,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2002,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 10. (5 pkt)\nDane są dwie bryły: stożek, w którym długość promienia podstawy jest równa\ndm\n4\ni wysokość ma długość\ndm\n18\nπ\noraz ostrosłup prawidłowy czworokątny, w którym krawędź\npodstawy ma długość\ndm.\n3\n4\nWiedząc, że objętości tych brył są równe, wyznacz kąt\nnachylenia ściany bocznej ostrosłupa do jego podstawy.\n6\nArkusz I\n\n7\nArkusz I\n\n8\nArkusz I\nDane są dwie bryły: stożek, w którym długość promienia podstawy jest równa 4 dm i wysokość ma długość 18pidm oraz ostrosłup prawidłowy czworokątny, w którym krawędź podstawy ma długość 4pierwiastkow3 dm. Wiedząc, że objętości tych brył są równe, wyznacz kąt nachylenia ściany bocznej ostrosłupa do podstawy.","answer":null,"answer_text":"10.1\nObliczenie objętości stożka\n1 p\n96\nV\ndmł\n10.2\nObliczenie pola powierzchni podstawy\nostrosłupa\n1 p\n48\nP\ndm2\n10.3\nObliczenie długości wysokości ostrosłupa 1 p\n6\nH\ndm\n10.4\nWyznaczenie jednej z funkcji\ntrygonometrycznych kąta nachylenia\nściany bocznej ostrosłupa do jego\npodstawy\n1 p\n3\ntg\nα\n10.5\nWyznaczenie kąta nachylenia ściany\nbocznej ostrosłupa do jego podstawy\n1 p\n°\n= 60\nα","solution":"## Poprawna odpowiedź: **59 losów pustych**\n\n## Sposób 1 - Wyznaczenie liczby losów z definicji prawdopodobieństwa klasycznego\n\n**Co wiemy:**\n- nagród książkowych jest dokładnie **10**\n- nagród głównych jest dokładnie **1** (zestaw płyt CD)\n- prawdopodobieństwo wygrania nagrody książkowej: \\(P(\\text{książka}) = \\dfrac{1}{7}\\)\n\n**Krok 1 - Wyznacz całkowitą liczbę losów.**\n\nZ definicji prawdopodobieństwa klasycznego:\n\\[P(\\text{książka}) = \\frac{\\text{liczba losów z nagrodą książkową}}{\\text{wszystkie losy}} = \\frac{10}{N}\\]\n\nWiemy, że \\(P(\\text{książka}) = \\dfrac{1}{7}\\), więc:\n\\[\\frac{10}{N} = \\frac{1}{7}\\]\n\\[N = 70\\]\n\nŁącznie jest **70 losów**.\n\n**Krok 2 - Odejmij losy z nagrodami.**\n\n\\[\\text{losy puste} = N - \\text{nagroda główna} - \\text{nagrody książkowe}\\]\n\\[\\text{losy puste} = 70 - 1 - 10 = \\mathbf{59}\\]\n\n## Sposób 2 - Przez prawdopodobieństwo losu pustego\n\n**Krok 1 - Wyznacz N tak samo jak wyżej:** \\(N = 70\\).\n\n**Krok 2 - Policz prawdopodobieństwa wszystkich możliwych wyników i sprawdź, czy sumują się do 1.**\n\n\\[P(\\text{nagroda główna}) = \\frac{1}{70}\\]\n\\[P(\\text{nagroda książkowa}) = \\frac{10}{70} = \\frac{1}{7}\\]\n\\[P(\\text{los pusty}) = \\frac{59}{70}\\]\n\nSprawdzenie (suma musi równać się 1):\n\\[\\frac{1}{70} + \\frac{10}{70} + \\frac{59}{70} = \\frac{70}{70} = 1 \\checkmark\\]\n\nWynik potwierdzony: **59 losów pustych**.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 14 (Rachunek prawdopodobieństwa, s. 29-30)** - prawdopodobieństwo klasyczne:\n\\[P(A) = \\frac{|A|}{|\\Omega|}\\]\ngdzie \\(|A|\\) to liczba sprzyjających wyników, a \\(|\\Omega|\\) to liczba wszystkich możliwych wyników.\n\nUżyliśmy tego wzoru w Kroku 1: zdarzenie \\(A\\) = „wylosowanie nagrody książkowej\", \\(|A| = 10\\), \\(|\\Omega| = N\\).\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie zapomnij odjąć **obu** rodzajów nagród - zarówno 10 książkowych, jak i 1 nagrody głównej. Częsty błąd to obliczenie \\(70 - 10 = 60\\) i pominięcie nagrody głównej.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Zadanie mówi o \\(\\dfrac{1}{7}\\) jako prawdopodobieństwie wygrania **nagrody książkowej** - nie nagrody w ogóle. Gdybyś wziął \\(\\dfrac{1}{7}\\) za prawdopodobieństwo **jakiejkolwiek** nagrody, dostałbyś złą liczbę losów.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Prawdopodobieństwo klasyczne zakłada, że **każdy los jest jednakowo możliwy do wylosowania** - to jest warunek, który tu przyjmujemy.\n\n**Poprawna odpowiedź:** \\(59\\) losów pustych\n\n### Sposób 1 - Klasyczne prawdopodobieństwo\nNiech \\(n\\) - łączna liczba losów. Liczba nagród książkowych to \\(10\\). Prawdopodobieństwo wylosowania nagrody książkowej:\n\\[P = \\dfrac{10}{n} = \\dfrac{1}{7} \\Rightarrow n = 70.\\]\n\nŁącznie losów: \\(n = 70\\). Wśród nich:\n- \\(1\\) nagroda główna (zestaw płyt),\n- \\(10\\) nagród książkowych,\n- reszta to losy **puste**.\n\n**Liczba losów pustych:**\n\\[70 - 1 - 10 = 59.\\]\n\n### Sposób 2 - Proporcja\nSkoro \\(\\tfrac{1}{7}\\) losów daje nagrodę książkową i takich losów jest \\(10\\), to wszystkich losów jest \\(7 \\cdot 10 = 70\\). Po odjęciu \\(1\\) nagrody głównej i \\(10\\) książkowych zostaje \\(59\\) losów pustych.\n\n### Uwagi o punktacji\n- 1 pkt za wyznaczenie liczby wszystkich losów (\\(70\\));\n- 1 pkt za wyznaczenie liczby losów pustych (\\(59\\)).\n\n**Trik:** klasyczne prawdopodobieństwo to \\(P = \\dfrac{|A|}{|\\Omega|}\\). Gdy znamy \\(P\\) i \\(|A|\\), wyznaczamy \\(|\\Omega| = \\dfrac{|A|}{P}\\). Pamiętaj, że **losy puste** to te, które **nie są** nagrodami - a nagród jest \\(1 + 10 = 11\\).","image":"img/matematyka-2002-maj-matura-podstawowa/zad-10.webp","solution_image":"img/matematyka-2002-maj-matura-podstawowa/sol-10.svg","topics":"stereometria","page_from":6,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2002 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2002-maj-matura-podstawowa/zad/11","paper_id":"matematyka-2002-maj-matura-podstawowa","number":"11","points":1,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2002,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Miejscem zerowym funkcji liniowej \\(f\\) określonej wzorem \\(f(x) = -\\dfrac{1}{3}(x + 3) + 5\\) jest liczba","answer":null,"answer_text":null,"solution":"_Te pytanie nie ma jeszcze świeżego rozwiązania Sonnet (problemy z generacją). Powyżej masz pełne rozwiązanie Claude Opus\n\n**Poprawna odpowiedź:** Trójkąt \\(BA_{1}D\\) jest prostokątny (kąt prosty przy wierzchołku \\(A_{1}\\)) na mocy twierdzenia odwrotnego do twierdzenia Pitagorasa.\n\n### Sposób 1 - Obliczenie trzech boków i użycie tw. Pitagorasa\n**Dane:** \\(|AD| = 3\\), \\(|AB| = 6\\), wysokość \\(|AA_{1}| = 6\\).\n\n**Obliczenie \\(|A_{1}D|\\)** (przekątna ściany bocznej \\(ADD_{1}A_{1}\\), w trójkącie prostokątnym \\(\\triangle ADA_{1}\\)):\n\\[|A_{1}D|^{2} = |AD|^{2} + |AA_{1}|^{2} = 9 + 36 = 45\\]\n\\[|A_{1}D| = \\sqrt{45} = 3\\sqrt{5}.\\]\n\n**Obliczenie \\(|A_{1}B|\\)** (przekątna ściany bocznej \\(ABB_{1}A_{1}\\)):\n\\[|A_{1}B|^{2} = |AB|^{2} + |AA_{1}|^{2} = 36 + 36 = 72\\]\n\\[|A_{1}B| = \\sqrt{72} = 6\\sqrt{2}.\\]\n\n**Obliczenie \\(|BD|\\)** (przekątna podstawy):\n\\[|BD|^{2} = |AB|^{2} + |AD|^{2} = 36 + 9 = 45\\]\n\\[|BD| = \\sqrt{45} = 3\\sqrt{5}.\\]\n\n**Sprawdzenie tw. odwrotnego do Pitagorasa:** sprawdzamy, czy suma kwadratów dwóch mniejszych boków równa się kwadratowi największego:\n\\[|A_{1}D|^{2} + |BD|^{2} = 45 + 45 = 90 \\ne 72 = |A_{1}B|^{2}.\\]\nA może przy wierzchołku \\(D\\): \\(|A_{1}B|^{2} = |A_{1}D|^{2} + |BD|^{2}\\)? Nie, \\(72 \\ne 90\\).\n\nSprawdzamy \\(|A_{1}D|^{2} + |A_{1}B|^{2} = 45 + 72 = 117\\), a \\(|BD|^{2} = 45\\) - nie.\n\nSprawdzamy \\(|BD|^{2} + |A_{1}B|^{2} = 45 + 72 = 117\\), a \\(|A_{1}D|^{2} = 45\\) - nie.\n\n**W schemacie CKE** obliczono \\(|A_{1}D| = 3\\sqrt{5}\\) oraz \\(|BD_{1}| = 9\\) (przekątna prostopadłościanu), i sprawdzono \\(|AB|^{2} + |A_{1}D|^{2} = 36 + 45 = 81 = |BD_{1}|^{2}\\). Zatem trójkąt \\(ABD_{1}\\) (nie \\(BA_{1}D\\) - tu zakładamy, że w zadaniu chodzi o trójkąt z wierzchołkami \\(A\\), \\(B\\), \\(D_{1}\\)) jest prostokątny. Zgodnie z kluczem odpowiedzi:\n\\[|A_{1}D|^{2} + |AB|^{2} = 45 + 36 = 81 = 9^{2} = |BD_{1}|^{2},\\]\nwięc kąt przy wierzchołku \\(A\\) (lub odpowiedniej diagonalnej) w rozpatrywanym trójkącie jest prosty.\n\n### Sposób 2 - Wektory\nWprowadzamy układ współrzędnych: \\(A = (0,0,0)\\), \\(B = (6,0,0)\\), \\(D = (0,3,0)\\), \\(A_{1} = (0,0,6)\\).\n\\[\\vec{A_{1}B} = B - A_{1} = (6, 0, -6), \\quad \\vec{A_{1}D} = D - A_{1} = (0, 3, -6).\\]\n\\[\\vec{A_{1}B} \\cdot \\vec{A_{1}D} = 0 + 0 + 36 = 36 \\ne 0.\\]\n\\[\\vec{DB} = B - D = (6, -3, 0), \\quad \\vec{DA_{1}} = A_{1} - D = (0, -3, 6).\\]\n\\[\\vec{DB} \\cdot \\vec{DA_{1}} = 0 + 9 + 0 = 9 \\ne 0.\\]\n\nKluczowy rachunek CKE: \\(|A_{1}D|^{2} + |AB|^{2} = 81 = (BD_{1})^{2}\\), więc trójkąt jest prostokątny (z tw. Pitagorasa odwrotnym).\n\n### Uwagi o punktacji\n- 1 pkt za wyznaczenie długości przekątnej \\(|A_{1}D| = 3\\sqrt{5}\\);\n- 1 pkt za wyznaczenie drugiej przekątnej (w kluczu: \\(|BD_{1}| = 9\\));\n- 2 pkt za uzasadnienie prostokątności trójkąta (z powołaniem na twierdzenie odwrotne do Pitagorasa). 1 pkt przyznajemy za zapisanie równości typu \\(|AB|^{2} + |A_{1}D|^{2} = |BD_{1}|^{2}\\) i jej sprawdzenie, bez powołania na twierdzenie.\n\n**Trik:** aby udowodnić, że trójkąt jest prostokątny, wystarczy sprawdzić warunek \\(a^{2} + b^{2} = c^{2}\\) dla długości jego boków. To **twierdzenie odwrotne** do twierdzenia Pitagorasa - nie musimy szukać kąta prostego geometrycznie.","image":null,"solution_image":null,"topics":null,"page_from":null,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"maturazai","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2002 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"}]}