{"paper":{"id":"matematyka-2002-maj-matura-rozszerzona","subject":"matematyka","category":"matura","year":2002,"month":"maj","level":"rozszerzona","variant":null,"exam_pdf":"matematyka-2002-maj-matura-rozszerzona/matematyka-2002-maj-matura-rozszerzona.pdf","key_pdf":"matematyka-2002-maj-matura-rozszerzona-odpowiedzi/matematyka-2002-maj-matura-rozszerzona-odpowiedzi.pdf","question_count":9,"source_label":"Matematyka · Matura · maj 2002 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},"questions":[{"id":"matematyka-2002-maj-matura-rozszerzona/zad/11","paper_id":"matematyka-2002-maj-matura-rozszerzona","number":"11","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2002,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 11. (4 pkt)\nWyznacz wszystkie wartości parametru\n,\nm dla których równanie\n(\n)\n0\n1\n3\n2\nm\nx\nm\nmx\nnie ma rozwiązania w zbiorze liczb rzeczywistych.\n2\nArkusz II\nWyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których równanie mx^2-3(m+1)x+m=0 nie ma rozwiązania w zbiorze liczb rzeczywistych. Równanie kwadratowe z parametrem. Nierówność kwadratowa.","answer":null,"answer_text":"11.1\nSprawdzenie, że dla\n0\nm\ndane równanie\nma rozwiązanie\n1 p\n11.2\nPodanie układu warunków (1) na to, by\nrównanie kwadratowe nie miało rozwiązania\n1 p\n(1)\n\n\n\n<\n≠\n0\n0\n∆\nm\n11.3\nWyznaczenie wartości spełniających\nwarunek\n0\n<\n∆\n1 p\n\n\n\n\n\n\n∈\n5\n3\n,3\nm\n11.4\nPodanie odpowiedzi.\n1 p\n\n\n\n\n\n\n∈\n5\n3\n,3\nm","solution":"$m \\in \\left(-3, -\\dfrac{3}{5}\\right)$","image":"img/matematyka-2002-maj-matura-rozszerzona/zad-11.webp","solution_image":"img/matematyka-2002-maj-matura-rozszerzona/sol-11.svg","topics":"parametr","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2002 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2002-maj-matura-rozszerzona/zad/12","paper_id":"matematyka-2002-maj-matura-rozszerzona","number":"12","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2002,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 12. (4 pkt)\nA i B są zdarzeniami losowymi i ( )\n0\n>\nB\nP\nWykaż, że (\n)\n( )\n( )\nB\nP\nA\nP\nB\nA\nP\n1\n≤\n3\nArkusz II\nA i B są zdarzeniami losowymi i P(B)>0. Wykaż, że P(A|B)<={1-P(A')/ P(B)}","answer":null,"answer_text":"12.1\nWykorzystanie zależności\nA\nB\nA\n⊂\n∩\n)\n(\n1 p\n)\n(\n)\n(\nA\nP\nB\nA\nP\n≤\n∩\n12.2\nZastosowanie definicji prawdopodobieństwa\nzdarzenia przeciwnego\n1 p\n(\n)\n( )'\n1\nA\nP\nB\nA\nP\n≤\n∩\n12.3\nWykorzystanie definicji prawdopodobieństwa\nwarunkowego\n1 p\n)\n(\n1\n)\n(\n)\n(\nA'\nP\nB\nP\nB\nA\nP\n≤\n⋅\n12.4\nWykorzystanie zależności\n0\n)\n(\n>\nB\nP\ndo\nwykazania tezy\n1 p","solution":null,"image":"img/matematyka-2002-maj-matura-rozszerzona/zad-12.webp","solution_image":"img/matematyka-2002-maj-matura-rozszerzona/sol-12.svg","topics":"prawdopodobienstwo","page_from":3,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2002 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2002-maj-matura-rozszerzona/zad/13","paper_id":"matematyka-2002-maj-matura-rozszerzona","number":"13","points":5,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2002,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 13. (5 pkt)\nSprawdź, że przekształcenie P płaszczyzny dane wzorem\n(\n)\n(\n)\n)\n,1\n(\n,\ny\nx\ny\nx\nP\njest\nizometrią.\nWyznacz\nrównanie\nobrazu\nokręgu\no\nrównaniu\n0\n2\n2\n2\nx\ny\nx\nw przekształceniu P.\n4\nArkusz II\nSprawdź, że przekształcenie P płaszczyzny dane wzorem P(x,y)=(x+1,-y) jest izometrią. Wyznacz równanie obrazu okręgu o równaniu x^2+y^2-2x=0 w przekształceniu P.","answer":null,"answer_text":"13.1\nPowołanie się na definicję izometrii\n1 p\n13.2\nWybór dwóch różnych punktów A i B i\nwyznaczenie współrzędnych ich obrazów A’ i\nB’\n1 p\n13.3\nSprawdzenie, że odległości AB i\n'B\nA\nsą\nrówne\n1 p\n13.4\nWyznaczenie równania obrazu danego okręgu\nw przekształceniu P\n2 p\nnp.\n0\n3\n4\n2\n2\nx\ny\nx","solution":"np. $x^2 + y^2 - 4x + 3 = 0$","image":"img/matematyka-2002-maj-matura-rozszerzona/zad-13.webp","solution_image":"img/matematyka-2002-maj-matura-rozszerzona/sol-13.svg","topics":"analityczna","page_from":4,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2002 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2002-maj-matura-rozszerzona/zad/14","paper_id":"matematyka-2002-maj-matura-rozszerzona","number":"14","points":6,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2002,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 14. (6 pkt)\nZaznacz na płaszczyźnie zbiór\n(\n)\n(\n)\n\n\n\n\n\n\n>\n∧\n≥\n∧\n∈\n∧\n∈\n0\n2\n1\nlog\n:\n,\n2\n1\ny\nx\nR\ny\nR\nx\ny\nx\nF\nNapisz równania osi symetrii figury F.\n5\nArkusz II\nZaznacz na płaszczyźnie zbiór F. Napisz równanie osi symetrii figury F.","answer":null,"answer_text":"14.1\nWyznaczenie dziedziny nierówności\nlogarytmicznej\n(\n)\n2\n1\nlog\n2\n1\n≥\nx\n1 p\n(\n)\n(\n)\n+∞\n∪\n∞\n∈\n,1\n1\n,\nx\n14.2\nWykorzystanie monotoniczności funkcji\nlogarytmicznej do rozwiązania nierówności\n1 p\n1\n4\nx -≤\n14.3\nRozwiązanie nierówności\n1\n4\nx -≤\nz uwzględnieniem jej dziedziny\n1 p\n5\n,1(\n)1\n,5\n∪\n∈\nx\n14.4\nRozwiązanie nierówności\n0\n>\ny\n1 p\n{ }\n0\nR\ny ∈\n14.5\nNaszkicowanie figury F\n1 p\n14.6\nNapisanie równań osi symetrii figury F\n1 p\n0\n,0\ny\nx","solution":"$x = 0, y = 0$","image":"img/matematyka-2002-maj-matura-rozszerzona/zad-14.webp","solution_image":"img/matematyka-2002-maj-matura-rozszerzona/sol-14.svg","topics":"logarytmy","page_from":5,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2002 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2002-maj-matura-rozszerzona/zad/15","paper_id":"matematyka-2002-maj-matura-rozszerzona","number":"15","points":6,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2002,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 15. (6 pkt)\nObjętość walca jest równa\nπ\n250 cmł. Przedstaw pole powierzchni całkowitej tego walca jako\nfunkcję długości promienia jego podstawy i określ dziedzinę tej funkcji. Wyznacz długość\npromienia takiego walca, którego pole powierzchni całkowitej jest najmniejsze.\n6\nArkusz II\nZadanie optymalizacyjne: Objętość walca jest równa $250\\pi$ cm${}^3$. Przedstaw pole powierzchni całkowitej tego walca jako funkcję długości promienia jego podstawy i określ dziedzinę tej funkcji. Wyznacz długość promienia takiego walca, którego pole powierzchni całkowitej jest najmniejsze.","answer":null,"answer_text":"15.1\nWyznaczenie długości h wysokości walca\nw zależności od długości r promienia\npodstawy\n1 p\n2\n250\nr\nh =\n15.2\nWyznaczenie pola powierzchni całkowitej\nwalca jako funkcji zmiennej r\n1 p\n( )\nr\nr\nr\nP\nπ\nπ\n500\n2\n3 +\n15.3\nOkreślenie dziedziny funkcji ( )\nr\nP\n1 p\n(\n)\n+∞\n∈\n,0\nr\n15.4\nWyznaczenie\n( )\nr\nP'\n1 p\n( )\n2\n3\n500\n4\nr\nr\nr\nP\nπ\nπ\n1\n15.5\nRozwiązanie równania\n( )\n0\nr\nP\n1 p\n5\nr\n15.6\nUzasadnienie, że dla\n5\nr\nfunkcja\nprzyjmuje wartość najmniejszą\n1 p","solution":"$r = 5$","image":"img/matematyka-2002-maj-matura-rozszerzona/zad-15.webp","solution_image":"img/matematyka-2002-maj-matura-rozszerzona/sol-15.svg","topics":"optymalizacja","page_from":6,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2002 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2002-maj-matura-rozszerzona/zad/16","paper_id":"matematyka-2002-maj-matura-rozszerzona","number":"16","points":7,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2002,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 16. (7 pkt)\nNaszkicuj w jednym układzie współrzędnych wykresy funkcji ( )\n1\n2 +\nx\nx\nf\noraz ( )\nx\nx\nx\ng\n1\nNa podstawie wykonanego rysunku określ liczbę ujemnych rozwiązań równania ( )\n( )\nx\ng\nx\nf\n7\nArkusz II\nNaszkicuj w jednym układzie współrzędnych wykresy funkcji f(x)=2^{x+1} oraz g(x)=|x+1 / x|. Na podstawie wykonanego rysunku określ liczbę ujemnych rozwiązań równania f(x)=g(x).","answer":null,"answer_text":"16.1\nNaszkicowanie wykresu funkcji\nx\ny\n2\n1 p\n16.2\nNaszkicowanie wykresu funkcji\n1\n2 +\nx\ny\n1 p\n16.3\nPrzekształcenie wyrażenia\nx\nx\n1\ndo\npostaci\nx\n1\n1+\n1 p\n16.4\nNaszkicowanie wykresu funkcji\nx\ny\n1\n1 p\n16.5\nNaszkicowanie wykresu funkcji\n1\n1 +\n= x\ny\n1 p\n16.6\nNaszkicowanie wykresu funkcji\n1\n1 +\n= x\ny\n1 p\n16.7\nPodanie liczby ujemnych rozwiązań\nrównania ( )\n( )\nx\ng\nx\nf\n1 p 2 rozwiązania","solution":"2 rozwiązania","image":"img/matematyka-2002-maj-matura-rozszerzona/zad-16.webp","solution_image":"img/matematyka-2002-maj-matura-rozszerzona/sol-16.svg","topics":"funkcje","page_from":7,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2002 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2002-maj-matura-rozszerzona/zad/17","paper_id":"matematyka-2002-maj-matura-rozszerzona","number":"17","points":8,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2002,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 17. (8 pkt)\nRozwiąż równanie:\nx\nx\nx\ncos\n4\nctg\n2\nsin\n2\ndla\nπ\n2\n,0\n∈\nx\n. Ze zbioru rozwiązań tego\nrównania losujemy bez zwracania dwie liczby. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia,\nże co najmniej jedno z wylosowanych rozwiązań jest wielokrotnością liczby 2\nπ .\n8\nArkusz II\nRozwiąż równanie 2sin 2x + ctg x = 4cos x dla x w <0,2pi>. Ze zbioru rozwiązań tego losujemy bez zwracania dwie liczby. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia, że co najmniej jedno z wylosowanych rozwiązań jest wielkrotnością liczby pi/2.","answer":null,"answer_text":"17.1\nWyznaczenie dziedziny danego równania\n1 p\n(\n) { }\nπ\nπ \\\n2\n,0\n∈\nx\n17.2\nPrzekształcenie danego równania\ndo postaci (1)\nąp (1)\ncos\n4sin\ncos\n4cos\nsin\nx\nx\nx\nx\nx\n17.3\nPrzekształcenie równania z postaci (1)\ndo postaci (2)\n1 p (2)\n(\n)\n0\nsin\n4\n1\nsin\n4\ncos\n2\nx\nx\nx\n17.4\nRozwiązanie równania\n0\ncos\nx\nw wyznaczonej dziedzinie\n1 p\nπ\nπ\n2\n3\n2\n∨\nx\nx\n17.5\nRozwiązanie równania\n2\n4sin\n4sin\n1\n0\nx\nx\nw wyznaczonej dziedzinie\n1 p\nπ\nπ\n6\n5\n6\n∨\nx\nx\n17.6\nObliczenie mocy zbioru zdarzeń\nelementarnych\nąp\n6\nΩ\n17.7\nObliczenie mocy zdarzenia A\npolegającego na tym, że co najmniej\njedno z wylosowanych rozwiązań jest\nwielokrotnością liczby 2\nπ\n1 p\n5\nA\n17.8\nObliczenie prawdopodobieństwa\nzdarzenia A\n1 p\n( )\n6\n5\nA\nP","solution":"$P(A) = \\dfrac{5}{6}$","image":"img/matematyka-2002-maj-matura-rozszerzona/zad-17.webp","solution_image":"img/matematyka-2002-maj-matura-rozszerzona/sol-17.svg","topics":"trygonometria","page_from":8,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2002 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2002-maj-matura-rozszerzona/zad/18","paper_id":"matematyka-2002-maj-matura-rozszerzona","number":"18","points":10,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2002,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 18. (10 pkt)\nRozwiąż nierówność\n( )\n9\n,0\n2\n8\n1\n4\n1\n2\n1\n>\nx\nx\nx\nx\n, gdzie lewa strona tej nierówności jest\nsumą nieskończonego ciągu geometrycznego.\n9\nArkusz II\nRozwiąż nierówność {1\\o2^x}+{1\\o4^x}+{1\\o8^x}+\\dots > 2^x - 0\\.(9) gdzie lewa strona tej nierówności jest sumą nieskończonego ciągu geometrycznego.","answer":null,"answer_text":"18.1\nZauważenie, że w ciągu, który jest lewą\nstroną danej nierówności\nx\nq\na\n2\n1\n1\n1 p\n18.2\nPodanie warunku zbieżności i\nwyznaczenie tych wartości x , dla\nktórych ciąg, który jest lewą stroną danej\nnierówności jest zbieżny\n1 p\n0\n>\nx\n2\n3\n18.3\nWyznaczenie sumy S ciągu, który jest\nlewą stroną danej nierówności\n1 p\nx\nx\nS\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n2\n1\n1\n2\n1\n18.4\nZamiana ułamka okresowego\n( )\n9\n,0\nna\nzwykły\n1 p\n( )\n1\n9\n,0\n18.5\nWykonanie podstawienia pomocniczej\nniewiadomej\nx\nt\n\n\n\n\n\n\n2\n1\ni zapisanie danej\nnierówności za pomocą zmiennej t (1)\n1 p (1)\n1\n1\n1\n>\nt\nt\nt\n18.6\nPrzekształcenie nierówności (1) do\npostaci (2)\n1 p (2)\n(\n)\n0\n1\n2\n1\n2\n>\n\n\n\n\n\n-\nt\nt\nt\n18.7\nRozwiązanie nierówności (2)\n1 p\n(\n)\n\n\n\n\n\n\n∪\n∞\n∈\n1,\n2\n1\n0,\nt\n18.8\nZapisanie warunku (3)\n1 p (3)\n\n\n\n\n\n\n\n\n<\n\n\n\n\n\n\n∧\n>\n\n\n\n\n\n\n∨\n<\n\n\n\n\n\n\n1\n2\n1\n2\n1\n2\n1\n0\n2\n1\nx\nx\nx\n18.9\nWyznaczenie x z warunku (3)\n1 p\n(\n)\n1,0\n∈\nx\n18.10\nSprawdzenie czy otrzymane wartości x\nnależą do dziedziny nierówności\ni odpowiedź.\n1 p","solution":"$x \\in (0, 1)$","image":"img/matematyka-2002-maj-matura-rozszerzona/zad-18.webp","solution_image":"img/matematyka-2002-maj-matura-rozszerzona/sol-18.svg","topics":"ciagi","page_from":9,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2002 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2002-maj-matura-rozszerzona/zad/19","paper_id":"matematyka-2002-maj-matura-rozszerzona","number":"19","points":10,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2002,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 19. (10 pkt)\nW trójkącie jeden z kątów ma miarę\n°\n120 . Długości boków tego trójkąta są kolejnymi\nwyrazami ciągu arytmetycznego, którego suma wynosi 30. Wyznacz stosunek długości\npromienia okręgu opisanego na tym trójkącie do długości promienia okręgu wpisanego w ten\ntrójkąt.\n10\nArkusz II\n\n11\nArkusz II\n\n12\nArkusz II\nW trójkącie jeden z kątów ma miarę 120 stopni. Długości boków tego trójkąta są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego, którego suma wynosi 30. Wyznacz stosunek długości promienia okręgu opisanego na tym trójkącie do długości promienia okręgu wpisanego w ten trójkąt.","answer":null,"answer_text":"19.1\nWyrażenie długości boków\nc\nb,\ntrójkąta\nza pomocą a i r , gdzie a to długość\nnajkrótszego boku i\n0\n>\nr\n1 p\nr\na\nc\nr\na\nb\n2\n,\n19.2\nWykorzystanie informacji, że suma\ndługości boków trójkąta wynosi 30 do\nwyznaczenia związku pomiędzy ai r\n1 p\n10\n+ r\na\n19.3\nZastosowanie twierdzenia cosinusów do\nwyznaczenia drugiego związku\npomiędzy a i r\n1 p (\n)\n(\n)\n(\n)\n\n\n\n\n\n-\n⋅\n2\n1\n2\n2\n2\n2\n2\nr\na\na\nr\na\na\nr\na\n19.4\nZapisanie układu równań (1) z\nniewiadomymi a i r\n1 p (1)\n2\n2\n10\n2\n3\n0\na\nr\na\nar\nr\n\n\n\n19.5\nRozwiązanie układu równań(1)\n1 p\n6\n,4\na\nr\n19.6\nPodanie długości boków trójkąta\n1 p\n14\n,\n10\n,6\nc\nb\na\n19.7\nObliczenie pola trójkąta\n1 p\n19.8\nObliczenie długości R promienia okręgu\nopisanego na trójkącie\n1 p\n3\n3\n14\nR\n19.9\nObliczenie długości s promienia okręgu\nwpisanego w trójkąt\n1 p\n3\ns","solution":"$\\dfrac{14}{3}$","image":"img/matematyka-2002-maj-matura-rozszerzona/zad-19.webp","solution_image":"img/matematyka-2002-maj-matura-rozszerzona/sol-19.svg","topics":"planimetria","page_from":10,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2002 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"}]}