{"paper":{"id":"matematyka-2003-maj-matura-rozszerzona","subject":"matematyka","category":"matura","year":2003,"month":"maj","level":"rozszerzona","variant":null,"exam_pdf":"matematyka-2003-maj-matura-rozszerzona/matematyka-2003-maj-matura-rozszerzona.pdf","key_pdf":"matematyka-2003-maj-matura-rozszerzona-odpowiedzi/matematyka-2003-maj-matura-rozszerzona-odpowiedzi.pdf","question_count":11,"source_label":"Matematyka · Matura · maj 2003 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},"questions":[{"id":"matematyka-2003-maj-matura-rozszerzona/zad/12","paper_id":"matematyka-2003-maj-matura-rozszerzona","number":"12","points":0,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2003,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 12. (5 pkt )\nSprawdź, czy funkcja f określona wzorem\n\n\n\n\n\n\n≠\n≠\n2\n3\n1\n1\n2\n1\n2\n3\n)\n2\n)(\n1\n(\n)\n(\n2\nx\ndla\nx\ndla\nx\ni\nx\ndla\nx\nx\nx\nx\nx\nx\nf\njest ciągła w punktach\ni\n. Sformułuj odpowiedź.\n1\nx\n2\nx\nOdpowiedź\nSprawdź, czy funkcja f określona wzorem ... jest ciągła w punktach x=1 i x=2. Sformułuj odpowiedź.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 12.\nL. p.\nWykonana czynność\nL. punktów\n1.\nZapisanie wyrażenia\n2\n3\n)\n2\n)(\n1\n(\n2\nx\nx\nx\nx\nx\nw prostszej\npostaci.\nOdp.\nx\n1\n2.\nObliczenie granicy funkcji f w punkcie\n1\nx\nOdp. 1.\n1\n3.\nObliczenie granicy funkcji f w punkcie\n2\nx\nOdp. 2\n1\n4.\nSformułowanie odpowiedzi.\nOdp. Funkcja f jest ciągła w punkcie\n; funkcja f\nnie jest ciągła w punkcie\n1\nx\n2\nx\nZa każdą część odpowiedzi - 1 punkt.\n2","solution":"Funkcja $f$ jest ciągła w punkcie $x=1$; funkcja $f$ nie jest ciągła w punkcie $x=2$.","image":"img/matematyka-2003-maj-matura-rozszerzona/zad-12.webp","solution_image":"img/matematyka-2003-maj-matura-rozszerzona/sol-12.svg","topics":"granice","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2003 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2003-maj-matura-rozszerzona/zad/13","paper_id":"matematyka-2003-maj-matura-rozszerzona","number":"13","points":0,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2003,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 13. (3 pkt )\nNiech\nbędzie zbiorem wszystkich zdarzeń elementarnych i\n,\n. Oblicz\nwiedząc, że\nΩ\n)\nB\nΩ\n⊂\nA\nΩ\n⊂\nB\n(A\nP\n∩\n8\n5\n)\n(\n∪B\nA\nP\n,\n2\n1\n)\n(\nA\nP\n,\n4\n3\n)\n(\n′\nB\nP\n. Sprawdź, czy zdarzenia A i B są\nzdarzeniami niezależnymi ?\nOdpowiedź.\n)= Zdarzenia A i B\n(\nB\nA\nP\n∩\n\nArkusz II\n3\nNiech Omega będzie zbiorem wszystkich zdarzeń elementarnych i A w Omega, B wOmega. Oblicz P(AnB) wiedząc, że P(AuB)={5/8}, P(A)={1/2}, P(B')={3/4}. Sprawdź, czy zdarzenia A i B są zdarzeniami niezależnymi?","answer":null,"answer_text":"Zadanie 13.\nL. p.\nWykonana czynność\nL. punktów\n1.\nObliczenie\n)\n(B\nP\nOdp.\n4\n1\n)\n(\nB\nP\n1\n2.\nObliczenie\n)\n(\nB\nA\nP\n∩\n)\n(\n)\n(\n)\n(\n)\n(\nB\nA\nP\nB\nP\nA\nP\nB\nA\nP\n∩\n∪\nOdp.\n8\n1\n)\n(\n∩B\nA\nP\n1\n3.\nPorównanie liczb\noraz\ni\nzapisanie odpowiedzi, że zdarzenia A i B są\nniezależne.\n(\n)\nP A\nB\n∩\n( )\n( )\nP A\nP B\n⋅\n1","solution":"Zdarzenia $A$ i $B$ są niezależne.","image":"img/matematyka-2003-maj-matura-rozszerzona/zad-13.webp","solution_image":"img/matematyka-2003-maj-matura-rozszerzona/sol-13.svg","topics":"prawdopodobienstwo","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2003 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2003-maj-matura-rozszerzona/zad/14","paper_id":"matematyka-2003-maj-matura-rozszerzona","number":"14","points":0,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2003,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 14. (4 pkt )\nOdcinek CD jest obrazem odcinka AB w jednokładności o skali\n. Wiedząc, że\n,\n,\n,\nwyznacz:\n0\n<\nk\n)\n0\n,2\n(-\nA\n)\n2\n,0\n(\nB\n)\n4\n,3\n(\nC\n)\n0\n,7\n(\nD\na) równanie prostej przechodzącej przez punkt\ni jego obraz w tej jednokładności,\nA\nb) równanie prostej przechodzącej przez punkt B i jego obraz w tej jednokładności,\nc) współrzędne środka tej jednokładności.\nOdpowiedź. a) Równania prostych mają postać\nb) Środek jednokładności ma współrzędne\nOdcinek CD jest obrazem odcinka AB w jednokładności o skali k<0. Wiedząc, że A(-2,0), B(0,-2), C(3,4), D(7,0) wyznacz: a) równanie prostej przechodzącej przez punkt A i jego obraz w tej jednokładności, b) ównanie prostej przechodzącej przez punkt B i jego obraz w tej jednokładności, c) współrzędne środka tej jednokładności.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 14.\nL. p.\nWykonana czynność\nL. punktów\n1.\nUstalenie, że punkt D jest obrazem punktu A oraz\npunkt C jest obrazem punktu B.\nFakt ten może być opisany słownie, przedstawiony\nrysunkiem lub wykorzystany podczas rozwiązania.\n1\n2.\nWyznaczenie równania prostej AD.\nOdp.\n0\ny\n1\n3.\nWyznaczenie równania prostej BC.\nOdp.\n2\n2 -\nx\ny\n1\n4.\nWyznaczenie współrzędnych środka jednokładności.\nOdp. (\n)\n0\n,1\n1\nArkusz egzaminacyjny II\n2","solution":"$(1, 0)$","image":"img/matematyka-2003-maj-matura-rozszerzona/zad-14.webp","solution_image":"img/matematyka-2003-maj-matura-rozszerzona/sol-14.svg","topics":"analityczna","page_from":3,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2003 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2003-maj-matura-rozszerzona/zad/15","paper_id":"matematyka-2003-maj-matura-rozszerzona","number":"15","points":0,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2003,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 15. (5 pkt )\nDane są funkcje f, g i h określone wzorami :\n,\n2\nh\n, x∈R.\nx\nx\nf\n2\n)\n(\nx\nx\ng\n)\n(\n,\n)\n(\n= x\nx\na) Naszkicuj wykres funkcji f.\nb) Wyznacz wzór i naszkicuj wykres funkcji\ng\nf D\nc) Wyznacz wzór i naszkicuj wykres funkcji h\ng\nf D\nD\n-6\n-6\n2\n1\n-3\n-2\n-1\n0\n4\ny\n-4\n-5\n-3\n-2\n-1\n-4\n-5\n5\n1\n2\n3\nx\n6\n5\n4\n3\n-6\n-6\n2\n1\n-3\n-2\n-1\n0\n4\ny\n-4\n-5\n-3\n-2\n-1\n-4\n-5\n5\n1\n2\n3\nx\n6\n5\n4\n3\n-6\n-6\n2\n1\n-3\n-2\n-1\n0\n4\ny\n-4\n-5\n-3\n-2\n-1\n-4\n-5\n5\n1\n2\n3\nx\n6\n5\n4\n3\nWykres funkcji f.\nWykres funkcji\ng\nf D\nWykres funkcji\ng\nf\nh\nD\nD\n\nArkusz II\n4\nDane są funkcje f, g i h określone wzorami: f(x)=2^x, g(x)=-x, h(x)=x-2, x rzeczywsite. a) Naszkicuj wykres funkcji f. b) Wyznacz wzór i naszkicuj wykres funkcji f o g c) Wyznacz wzór i naszkicuj wykres funkcji h o f o g","answer":null,"answer_text":"Zadanie 15.\nL. p.\nWykonana czynność\nL. punktów\n1.\nNaszkicowanie wykresu funkcji f.\nOdp.\n1\n2.\nWyznaczenie wzoru funkcji\ng\nf D\nOdp. (\n)\n( )\nx\nx\ng\nf\n= 2\nD\n1\n3.\nNaszkicowanie wykresu funkcji\ng\nf D\nOdp.\n1\n4.\nWyznaczenie wzoru funkcji h\ng\nf D\nD\nOdp. (\n)\n( )\n2\n2\n-x\nx\ng\nf\nh\nD\nD\n1\n5.\nNaszkicowanie wykresu funkcji\ng\nf\nh\nD\nD\nOdp.\n1","solution":"$(f \\circ g)(x) = 2^{-x}$, $(h \\circ f \\circ g)(x) = 2^{-x} - 2$","image":"img/matematyka-2003-maj-matura-rozszerzona/zad-15.webp","solution_image":"img/matematyka-2003-maj-matura-rozszerzona/sol-15.svg","topics":"wykladnicza","page_from":3,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2003 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2003-maj-matura-rozszerzona/zad/16","paper_id":"matematyka-2003-maj-matura-rozszerzona","number":"16","points":0,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2003,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 16. (5 pkt )\nZawierając w kolekturze Toto-Lotka jeden zakład w grze „Expres-Lotek” zakreślamy\n5 spośród 42 liczb. Oblicz prawdopodobieństwo trafienia co najmniej 4 spośród\n5 wylosowanych liczb. Wynik podaj w zaokrągleniu do 0,00001.\nOdpowiedź. Prawdopodobieństwo jest równe\nZawierając w kolekturze Toto-Lotka jeden zakład w grze ,,Expres-Lotek'' zakreślamy 5 spośród 42 liczb. Oblicz prawdopodobieństwo trafienia co najmniej 4 spośród 5 wylosowanych liczb. Wynik podaj w zaokrągleniu do 0,00001.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 16.\nL. p.\nWykonana czynność\nL. punktów\n1.\nZapisanie liczby wszystkich zdarzeń elementarnych\nza pomocą symbolu Newtona.\nOdp. \n\n\n\n5\n42\n1\n2.\nObliczenie liczby wszystkich zdarzeń elementarnych.\nOdp. 850668.\n1\n3.\nZapisanie liczby zdarzeń sprzyjających trafieniu co\nnajmniej 4 spośród 5 liczb z wykorzystaniem symbolu\nNewtona.\nOdp. \n1\n1\n37\n4\n5\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n1\nArkusz egzaminacyjny II\n3\n4.\nObliczenie liczby zdarzeń sprzyjających.\nOdp. 186.\n1\n5.\nObliczenie prawdopodobieństwa trafienia co najmniej\n4 spośród 5 liczb.\n0002186\n,0\n850668\n186\n≈\nOdp. 0,00022.\n1","solution":"$0{,}00022$","image":"img/matematyka-2003-maj-matura-rozszerzona/zad-16.webp","solution_image":"img/matematyka-2003-maj-matura-rozszerzona/sol-16.svg","topics":"prawdopodobienstwo","page_from":4,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2003 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2003-maj-matura-rozszerzona/zad/17","paper_id":"matematyka-2003-maj-matura-rozszerzona","number":"17","points":0,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2003,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 17. (5 pkt )\nRozwiąż równanie\n0\n4\nsin\n5\ncos\n2\n2\nx\nx\nOdpowiedź\n\nArkusz II\n5\nRozwiąż równanie trygonometryczne 2cos^2 x + 5sin x - 4 =0.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 17.\nL. p.\nWykonana czynność\nL. punktów\n1.\nZapisanie równania w postaci\n0\n2\nsin\n5\nsin\n2\n2\nx\nx\n1\n2.\nZapisanie równania z niewiadomą\nx\nt\nsin\nOdp. 2\n0\n2\n5\n2\n-t\nt\n1\n3.\nWyznaczenie rozwiązań równania 2\n0\n2\n5\n2\n-t\nt\nOdp. t\n,\n2\n2\n1\nt\n1\n4.\nZapisanie, że równanie\nnie ma rozwiązań.\n2\nsin\nx\n1\n5.\nZapisanie rozwiązań równania\n0\n4\nsin\n5\ncos\n2\n2\nx\nx\nOdp.\n2\n,\n6\nx\nk\nk\nπ\nπ\n∈C lub\n5\n2\n,\n6\nx\nk\nk\nπ\nπ\n∈C .\n(Uznajemy też wynik zapisany w postaci.\n, gdzie\nlub\n,\ngdzie\n).\n0\n0\n360\n30\n⋅\nk\nx\nC\nk ∈\nC\nk ∈\n0\n0\n360\n150\n⋅\nk\nx\n1","solution":"$x = \\dfrac{\\pi}{6} + 2k\\pi$ lub $x = \\dfrac{5\\pi}{6} + 2k\\pi$, gdzie $k \\in C$","image":"img/matematyka-2003-maj-matura-rozszerzona/zad-17.webp","solution_image":"img/matematyka-2003-maj-matura-rozszerzona/sol-17.svg","topics":"trygonometria","page_from":4,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2003 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2003-maj-matura-rozszerzona/zad/18","paper_id":"matematyka-2003-maj-matura-rozszerzona","number":"18","points":0,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2003,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 18. (5 pkt )\nW tabeli podane są wartości funkcji\ndla trzech argumentów.\n(\n)\nℜ\n→\n4\n,3\n:\nf\nx\n-2\n0\n3\n)\n(x\nf\n8\n5\n3\n8\n5\n-1\nRysunek przedstawia wykres pochodnej funkcji f.\na) Wyznacz równanie stycznej do wykresu\nfunkcji f w punkcie o odciętej\n0\nx\nb) Wyznacz\nekstremum\nfunkcji\nf.\nPodaj\nargument, dla którego funkcja f osiąga\nekstremum.\nc) Podaj najmniejszą wartość funkcji f.\nOdpowiedź. a) Równanie stycznej ma postać\nb) Funkcja f osiąga równe dla\nc) Najmniejsza wartość funkcji f jest równa\n\nArkusz II\n6\nW tabeli podane są wartości funkcji f:(-3,4) -> R dla trzech argumentów. Rysunek przedstawia wykres pochodnej funkcji f. a) Wyznacz równanie stycznej do wykresu funkcji f w punkcie o odciętej x=0. b) Wyznacz ekstremum funkcji f. Podaj argument, dla którego funkcja f osiąga ekstremum. c) Podaj najmniejszą wartość funkcji f.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 18.\nL. p.\nWykonana czynność\nL. punktów\n1.\nWykonanie polecenia a).\nOdp.\n8\n5\ny\nZa podanie współczynnika kierunkowego stycznej lub\nwartości pochodnej funkcji f dla x=0 przyznajemy 1\npunkt.\n2\n2.\nPodanie argumentu, dla którego funkcja f osiąga\nminimum.\nOdp.\n3\nx\n1\n3.\nPodanie minimum funkcji f.\nOdp.\n1\n)3\n(\nmin\nf\n1\n4.\nWykonanie polecenia c).\nOdp. Najmniejsza wartość funkcji f jest równa - 1.\n1","solution":"a) $y = \\dfrac{5}{8}$, b) $x = 3$, $f_{\\min}(3) = -1$, c) $-1$","image":"img/matematyka-2003-maj-matura-rozszerzona/zad-18.webp","solution_image":"img/matematyka-2003-maj-matura-rozszerzona/sol-18.svg","topics":"funkcje","page_from":5,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2003 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2003-maj-matura-rozszerzona/zad/19","paper_id":"matematyka-2003-maj-matura-rozszerzona","number":"19","points":0,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2003,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 19. (4 pkt )\nFunkcja f jest funkcją wykładniczą. Określ liczbę rozwiązań równania\nw zależności od wartości parametru m. Odpowiedź uzasadnij.\nm\nx\nf\n-)1\n(\nFunkcja f jest funkcją wykładniczą. Określ liczbę rozwiązań rówania f(x-1)=m w zależności od wartości parametru m. Odpowiedź uzasadnij.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 19.\nL. p.\nWykonana czynność\nL. punktów\n1.\nWykonanie polecenia zadania.\nOdp. Równanie nie ma rozwiązań dla\n(\n0\n,\n∞\n∈\n(\n)\n∞\n,\nm\n;\nrównanie ma 1 rozwiązanie dla\n∈0\nm\nPo 1 punkcie za każdy z rozważonych przypadków.\n2\n2.\nUzasadnienie odpowiedzi.\nOdp. Funkcja g określona wzorem\n)1\n(\n)\n(\nx\nf\nx\ng\njest funkcją różnowartościową. Zbiorem wartości\n2\nArkusz egzaminacyjny II\n4\nfunkcji g jest przedział (\n)\n,0\n∞\nPo 1 punkcie za każdy element uzasadnienia.\n1\n2\nk\n2\n3\n)1 =\n)\n2\n3\n(\nk\n(\n2\n3\n)\n2\n3\n(\nk\nk","solution":"Brak rozwiązań dla $m \\in (-\\infty, 0)$; 1 rozwiązanie dla $m \\in \\langle 0, +\\infty)$.","image":"img/matematyka-2003-maj-matura-rozszerzona/zad-19.webp","solution_image":"img/matematyka-2003-maj-matura-rozszerzona/sol-19.svg","topics":"parametr","page_from":6,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2003 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2003-maj-matura-rozszerzona/zad/20","paper_id":"matematyka-2003-maj-matura-rozszerzona","number":"20","points":0,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2003,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 20. (6 pkt )\nUdowodnij stosując zasadę indukcji matematycznej, że dla każdego całkowitego,\ndodatniego n zachodzi równość:\nn\nn\nn\n2\n1\n2\n3\n)1\n3\n(\n8\n5\n2 +\n2\n\nArkusz II\n7\nUdowodnij stosując zasadę indukcji matematycznej, że dla każdego całkowitego, dodatniego n zachodzi równość: 2+5+8+..+(3n-1)={3/2}n^2+{1/2}n","answer":null,"answer_text":"Zadanie 20.\nL. p.\nWykonana czynność\nL. punktów\n1.\nSprawdzenie, czy dla\nzachodzi dana równość.\nn\nOdp. Lewa strona równości jest równa 2. Prawa\nstrona jest równa\n2\n1\n2\n3 +\n1\n2.\nZapisanie założenia indukcyjnego.\nOdp.\nk\nk\n2\n1\n3\n(\n8\n5\n2 +\n2\n, gdzie k\njest dowolną ustaloną liczbą naturalną większą lub\nrówną 1.\n1\n3.\nZapisanie tezy indukcyjnej.\nOdp.\n)1\n(\n2\n1\n)1\n(\n2\n3\n)1\n3\n(\n8\n5\n2\n2\nk\nk\nk\n1\n4.\nPrzeprowadzenie dowodu tezy indukcyjnej.\nOdp.\n)1\n(\n2\n1\n)1\n2\n1\n2\n1\n2\n3\n3\n2\n3\n)\n2\n3\n(\n2\n1\n2\n3\n)1\n3\n(\n8\n5\n2\n2\n2\n2\nk\nk\nk\nk\nk\nk\nk\nk\n2\n5.\nSformułowanie odpowiedzi.\nOdp. Na mocy zasady indukcji matematycznej dana\nrówność jest prawdziwa dla każdej liczby całkowitej,\ndodatniej n.\n1","solution":"Dowód indukcyjny.","image":"img/matematyka-2003-maj-matura-rozszerzona/zad-20.webp","solution_image":"img/matematyka-2003-maj-matura-rozszerzona/sol-20.svg","topics":"algebra","page_from":6,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2003 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2003-maj-matura-rozszerzona/zad/21","paper_id":"matematyka-2003-maj-matura-rozszerzona","number":"21","points":0,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2003,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 21. (8 pkt )\nW trójkącie ABC dane są :\n8\nAC\n,\n3\nBC\n,\n0\n60\n∠ACB\n. Oblicz objętość i pole\npowierzchni całkowitej bryły powstałej po obrocie trójkąta ABC dookoła boku BC .\n\nArkusz II\n8\nW trójkącie ABC dane są: |AC|=8, |BC|=3, |kąt ACB|=60 stopni. Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej bryły powstałej po obrocie trójkąta ABC dookoła boku BC.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 21.\nL. p.\nWykonana czynność\nL. punktów\n1.\nWykonanie rysunku i wprowadzenie oznaczeń.\nOdp.\n1\n2.\nZapisanie jaką bryłą jest bryła po obrocie danego\ntrójkąta.\nOdp. Powstała bryła jest stożkiem z wyciętym\nstożkiem o tej samej podstawie.\nPunkt przyznajemy także jeśli zaznaczony jest stożek\nna rysunku.\n1\n3.\nWyznaczenie długości odcinka AB .\nZ twierdzenia kosinusów\n1\nArkusz egzaminacyjny II\n5\nACB\nBC\nAC\nBC\nAC\nAB\n∠\n⋅\ncos\n2\n2\nOdp.\n7\nAB\n4.\nWyznaczenie długości odcinka AD .\nACB\nAC\nAD\n∠\n⋅\nsin\nOdp.\n3\n4\nAD\n1\n5.\nWyznaczenie długości odcinka CD .\nACB\nAC\nCD\n∠\n⋅\ncos\nOdp.\n4\nCD\n1\n6.\nObliczenie objętości powstałej bryły.\nBD\nAD\nCD\nAD\nV\n⋅\n⋅\n2\n2\n3\n1\n3\n1\nπ\nπ\nOdp. 48 .\nπ\n1\n7.\nObliczenie pola powierzchni całkowitej.\nAB\nAD\nAC\nAD\nP\n⋅\n⋅\nπ\nπ\nOdp.\nπ\n3\n60\nJeśli wyznaczone zostało pole powierzchni bocznej\ntylko jednego stożka przyznajemy 1 punkt.\n2","solution":"$V = 48\\pi$, $P = 60\\sqrt{3}\\pi$","image":"img/matematyka-2003-maj-matura-rozszerzona/zad-21.webp","solution_image":"img/matematyka-2003-maj-matura-rozszerzona/sol-21.svg","topics":"stereometria","page_from":7,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2003 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2003-maj-matura-rozszerzona/zad/22","paper_id":"matematyka-2003-maj-matura-rozszerzona","number":"22","points":0,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2003,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 22. (10 pkt )\nRozwiąż równanie\n(\n)\n(\nx\nx\n3\n9\n9\n3\nlog\nlog\nlog\nlog\n)\n\nArkusz II\n9\n\nArkusz II\n10\nRozwiąż równanie log_3(log_9 x) = log_9 (log_3 x).","answer":null,"answer_text":"Zadanie 22.\nL. p.\nWykonana czynność\nL. punktów\n1.\nZapisanie warunku jaki musi spełniać niewiadoma x.\nOdp.\n\n\n\n>\n>\n>\n0\nlog\n0\nlog\n0\n9\n3\nx\nx\nx\n1\n2.\nWyznaczenie dziedziny równania.\nOdp.\n)\n,1(\n∞\n∈\nx\n1\n3.\nZapisanie równania w postaci\n(\n)\n(\nx\nx\n3\n9\n2\n9\n9\nlog\nlog\nlog\nlog\n)\nZa zastosowanie twierdzenia o zamianie podstaw -\n1 punkt.\n2\n4.\nZapisanie równania w postaci\n(\n)\n0\nlog\nlog\n3\n2\n9\nx\nx\n1\n5.\nZapisanie równania w postaci\n(\n)\n0\nlog\n2\nlog\n9\n2\n9\nx\nx\n1\n6.\nWyznaczenie rozwiązań równania\n(\n)\n0\nlog\n2\nlog\n9\n2\n9\nx\nx\nOdp.\nlub\n1\nx\n81\nx\nZapisanie w postaci\n- 1 punkt.\n(\n)\n0\nlog\n2\nlog\n9\n9\nx\nx\nZapisanie alternatywy:\nlub log\n1 punkt.\n0\nlog9\nx\n2\n9\nx\nWyznaczenie rozwiązań równania - 1 punkt.\n3\n7.\nWyznaczenie rozwiązań równania\n(\n)\n(\nx\nx\n3\n9\n9\n3\nlog\nlog\nlog\nlog\n)\nOdp.\n81\nx\n1\nArkusz egzaminacyjny II\n6\nZa prawidłowe rozwiązanie każdego z zadań inną od przedstawionej w schemacie\npunktowania metodą zgodną z poleceniem przyznajemy maksymalną liczbę punktów.","solution":"$x = 81$","image":"img/matematyka-2003-maj-matura-rozszerzona/zad-22.webp","solution_image":"img/matematyka-2003-maj-matura-rozszerzona/sol-22.svg","topics":"logarytmy","page_from":8,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2003 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"}]}