{"paper":{"id":"matematyka-2003-styczen-probna-podstawowa","subject":"matematyka","category":"probna","year":2003,"month":"styczen","level":"podstawowa","variant":null,"exam_pdf":"matematyka-2003-styczen-probna-podstawowa/matematyka-2003-styczen-probna-podstawowa.pdf","key_pdf":"matematyka-2003-styczen-probna-podstawowa-odpowiedzi/matematyka-2003-styczen-probna-podstawowa-odpowiedzi.pdf","question_count":10,"source_label":"Matematyka · Matura próbna · styczeń 2003 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},"questions":[{"id":"matematyka-2003-styczen-probna-podstawowa/zad/1","paper_id":"matematyka-2003-styczen-probna-podstawowa","number":"1","points":3,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2003,"month":"styczen","level":"podstawowa","text":"Zadanie 1. (3 pkt)\nPowierzchnia prostokątnej działki budowlanej równa się\n. Oblicz wymiary tej\ndziałki wiedząc, że różnią się one o 9\n2\nm\n1540\nm\nOdpowiedź:","answer":null,"answer_text":"1.\n(3 pkt)\n3. Wybranie rozwiązania spełniającego warunki zadania i podanie\nwymiarów działki: 35\noraz 44\nm\nm\n1p.\n4. Obliczenie, ile procent kwoty\n3200 złotych stanowi kwota\nprzeznaczona na czynsz -\nzłotych: 12\n400\n%\n5,\n1p.\n5. Obliczenie, ile procent kwoty\n3200 złotych stanowi kwota\nprzeznaczona na wyżywienie: 56\n%\n5,\n1p.\n6. Obliczenie kwoty pieniędzy, jaką państwo Kowalscy wydają\nmiesięcznie na gaz i energię:\nzłotych.\n448\n1p.","solution":"$35 \\text{ m}$ oraz $44 \\text{ m}$","image":"img/matematyka-2003-styczen-probna-podstawowa/zad-1.webp","solution_image":null,"topics":"planimetria","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · styczeń 2003 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2003-styczen-probna-podstawowa/zad/2","paper_id":"matematyka-2003-styczen-probna-podstawowa","number":"2","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2003,"month":"styczen","level":"podstawowa","text":"Zadanie 2. (4 pkt)\nNa wspólne konto państwa Kowalskich wpływają pieniądze z ich dwóch pensji miesięcznych,\nrazem jest to kwota 3200 złotych. Na początku każdego miesiąca małżonkowie dzielą całość\ntej kwoty. Na diagramie kołowym przedstawiono strukturę planowanych, przez państwa\nKowalskich, miesięcznych wydatków.\nwyżywienie\ninne\n(5%)\nubrania\n(12%)\ngaz i energia\n(14%)\nczynsz\n(400 zł)\nKorzystając z tych danych:\na) Oblicz, ile procent danej kwoty\nstanowią\nmiesięczne\nwydatki\npaństwa\nKowalskich\nna\nwyżywienie.\nb) Oblicz, ile pieniędzy wydają\npaństwo\nKowalscy\nw\nciągu\nmiesiąca łącznie, na gaz i energię\noraz czynsz.\nOdpowiedź: a)\nb)\n\nArkusz I\n3","answer":null,"answer_text":null,"solution":null,"image":"img/matematyka-2003-styczen-probna-podstawowa/zad-2.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":null,"source":"matugen","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · styczeń 2003 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2003-styczen-probna-podstawowa/zad/3","paper_id":"matematyka-2003-styczen-probna-podstawowa","number":"3","points":3,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2003,"month":"styczen","level":"podstawowa","text":"Zadanie 3. (3 pkt)\nUpraszczając pierwiastek kwadratowy z liczby\n2\n10\n27 +\n, zapiszemy ją w postaci kwadratu\nsumy dwóch liczb. Postępujemy następująco:\n( )\n(\n)\n(\n)\n2\n5\n2\n5\n2\n2\n5\n2\n5\n2\n2\n10\n25\n2\n10\n27\n2\n2\n2\n⋅\n⋅\nPrzeanalizuj ten przykład, a następnie, stosując analogiczne postępowanie, uprość\n2\n6\n11+\nOdpowiedź:","answer":"C","answer_text":"3.\n(3 pkt)\n10. Zapisanie liczby\n2\n2\n)\n2\n(\n2\n3\n2\n)\n3\n(\n⋅\n⋅\nw postaci\n2)\n2\n3\n( +\n, a w\nkonsekwencji w postaci uproszczonej:\n2\n3 +\n1p.\n11. Wstawienie wartości C\ndo danego równania.\n100\n1p.\n12. Rozwiązanie równania z niewiadomą\n:\nF\n212\nF\n1p.\n13. Zapisanie równania z jedną niewiadomą, np.\n9\n160\n9\n5\n⋅\nF\nF\n1p.","solution":"$3 + \\sqrt{2}$","image":"img/matematyka-2003-styczen-probna-podstawowa/zad-3.webp","solution_image":null,"topics":"algebra","page_from":3,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · styczeń 2003 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2003-styczen-probna-podstawowa/zad/4","paper_id":"matematyka-2003-styczen-probna-podstawowa","number":"4","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2003,"month":"styczen","level":"podstawowa","text":"Zadanie 4. (4 pkt)\nRównanie postaci\n9\n160\n9\n5\n⋅\nF\nC\n( )\nC\n, ustala zależność między temperaturą, wyrażoną\nw stopniach Celsjusza\noraz Fahrenheita (\n)\nF\na) Oblicz, ile stopni w skali Fahrenheita, ma wrząca w temperaturze 100\nwoda.\nC\nD\nb) Wyznacz taką temperaturę, przy której liczba stopni w skali Celsjusza jest równa\nliczbie stopni w skali Fahrenheita.\nOdpowiedź: a)\nb)\n\n4\nArkusz I","answer":"C, D","answer_text":"4.\n(4 pkt)\n14. Rozwiązanie równania:\n(lub C\n).\n40\nF\n40\n1p.\n15. Wykorzystanie twierdzenia cosinusów do obliczenia długości trzeciego\nboku danego trójkąta np.\n\n\n\n\n\n-\n⋅\n⋅\n⋅\n2\n1\n8\n12\n2\n8\n12\n2\n2\n2\na\n1p.\n16. Obliczenie długości trzeciego boku:\n19\n4\na\ncm .\n1p.\n17. Wykorzystanie np. twierdzenia sinusów do obliczenia długości\npromienia okręgu opisanego na tym trójkącie i zapisanie, że:\n2 .\nsin120\na\nR\nD\n1p.","solution":"$F = 212$ oraz $F = -40$ (lub $C = -40$)","image":"img/matematyka-2003-styczen-probna-podstawowa/zad-4.webp","solution_image":null,"topics":"rownania_i_nierownosci","page_from":3,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · styczeń 2003 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2003-styczen-probna-podstawowa/zad/5","paper_id":"matematyka-2003-styczen-probna-podstawowa","number":"5","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2003,"month":"styczen","level":"podstawowa","text":"Zadanie 5. (4 pkt)\nDany jest trójkąt, którego dwa boki mają długości 8 cm i 12 cm, kąt zawarty między tymi\nbokami ma miarę 120 . Oblicz długość promienia okręgu opisanego na tym trójkącie.\nD\nOdpowiedź:","answer":null,"answer_text":"5.\n(4 pkt)\n18. Obliczenie długości promienia:\n3\n57\n4\nR\ncm .\n1p.\n19. Obliczenie objętości pierwszej szklanki: V\n3\n2\n1\n6,\n282\n10\n3\ncm\n≈\n⋅\n⋅\n= π\n1p.\n20. Obliczenie objętości drugiej szklanki: V\nc\n(\n)\n2\n3\n2\n2,9\n9,5\n250,9\nπ\n⋅\n⋅\n≈\nm\n1p.\n21. Obliczenie objętości trzeciej szklanki: V\n3\n2\n3\n3,\n254\n9\n3\ncm\n≈\n⋅\n⋅\n= π\n1p.\n22. Zamiana jednostek objętości: np.\n3\n250\n25\n,0\ncm\nl =\n1p.","solution":"$a = 4\\sqrt{19} \\text{ cm}$, $R = \\dfrac{4\\sqrt{57}}{3} \\text{ cm}$","image":"img/matematyka-2003-styczen-probna-podstawowa/zad-5.webp","solution_image":null,"topics":"planimetria","page_from":4,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · styczeń 2003 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2003-styczen-probna-podstawowa/zad/6","paper_id":"matematyka-2003-styczen-probna-podstawowa","number":"6","points":5,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2003,"month":"styczen","level":"podstawowa","text":"Zadanie 6. (5 pkt)\nDo pewnego przepisu z książki kucharskiej należy przygotować\nlitra płynu. Mamy do\nwyboru\ntrzy\nszklanki\nw\nkształcie\nwalca,\no\nwewnętrznych\nwymiarach:\npierwsza - o średnicy\ni wysokości\n, druga - o średnicy\ni wysokości\noraz trzecia - o średnicy 6\ni wysokości 9\n25\n,0\ncm\n6\ncm\n10\ncm\n8,5\ncm\n5,9\ncm\ncm\nKtórej szklanki objętość jest najbliższa\nlitra? Odpowiedź uzasadnij.\n25\n,0\nOdpowiedź:\n\nArkusz I\n5\n0","answer":null,"answer_text":"6.\n(5 pkt)\n23. Wskazanie szklanki, której objętość jest najbliższa\n0,25l\n1p.\n24. Zapisanie podanej nierówności w postaci:\ni obliczenie\nwyróżnika trójmianu:\n0\n7\n6\n2\n>\n-x\nx\n64\n∆\n1p.\n25. Obliczenie pierwiastków trójmianu:\nlub\n1\nx\n7\nx\n1p.\n26. Zapisanie zbioru rozwiązań danej nierówności:\n(\n)\n(\n∞\n∪\n∞\n∈\n;7\n1\n;\nx\n)\n1p.\n27. Obliczenie współrzędnych wierzchołka paraboli, będącej wykresem\nfunkcji\n: W\nf\n)\n3,3\n(\n1p.\n28. Wykorzystanie postaci kanonicznej trójmianu\ndo\nodczytania współrzędnych wierzchołka wykresu trójmianu: W\n(\n)\n6\n9\n2 +\n= x\ny\n6,9\n(\n1\n)\n1p.","solution":"Druga szklanka","image":"img/matematyka-2003-styczen-probna-podstawowa/zad-6.webp","solution_image":null,"topics":"stereometria","page_from":4,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · styczeń 2003 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2003-styczen-probna-podstawowa/zad/7","paper_id":"matematyka-2003-styczen-probna-podstawowa","number":"7","points":6,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2003,"month":"styczen","level":"podstawowa","text":"Zadanie 7. (6 pkt)\nFunkcja\njest określona wzorem:\nR\nR\nf\n→\n:\n12\n6\n)\n(\n2\nx\nx\nx\nf\na) Rozwiąż nierówność\n19\n)\n(\n>\nx\nf\nb) Uzasadnij, że obrazem wykresu funkcji\n, w symetrii względem prostej o równaniu\n,\nf\n6\nx\nnie jest parabola, określona równaniem\n(\n)\n6\n9\n2 +\n= x\ny\nOdpowiedź: a)\n\n6\nArkusz I","answer":"A","answer_text":"7.\n(6 pkt)\n29. Zapisanie, że obrazem paraboli o równaniu\nnie jest\nwykres funkcji\nponieważ: np. obrazem punktu W w danej\nsymetrii jest punkt W\n12\n6\n2\nx\nx\ny\n(\n)\n6\n9\n2 +\n= x\ny\n)\n3,9\n('\n1p.\n30. Obliczenie liczby wszystkich zdarzeń elementarnych danego\ndoświadczenia:\n56\n3\n8 =\n\n\n\n\n\n\nΩ\n1p.\n31. Podanie liczby zdarzeń sprzyjających:\n8\nA\n1p.","solution":"$x \\in (-\\infty; -1) \\cup (7; \\infty)$","image":"img/matematyka-2003-styczen-probna-podstawowa/zad-7.webp","solution_image":null,"topics":"funkcje","page_from":5,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · styczeń 2003 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2003-styczen-probna-podstawowa/zad/8","paper_id":"matematyka-2003-styczen-probna-podstawowa","number":"8","points":3,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2003,"month":"styczen","level":"podstawowa","text":"Zadanie 8. (3 pkt)\nSpośród wszystkich wierzchołków sześcianu wybieramy jednocześnie trzy wierzchołki.\nOblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że otrzymamy wierzchołki\ntrójkąta równobocznego.\nOdpowiedź:","answer":"A, D","answer_text":"8.\n(3 pkt)\n32. Obliczenie prawdopodobieństwa szukanego zdarzenia:\n7\n1\n)\n(\nA\nP\n1p.\n33. Zapisanie sumy kwadratów sinusów miar wszystkich kątów\nwewnętrznych danego trójkąta np. sin\n(1).\nD\n90\nsin\nsin\n2\n2\n2\nβ\nα\n1p.\n34. Przekształcenie wyrażenia (1) do postaci:\n1\ncos\nsin\n2\n2\nα\nα\n1p.","solution":"$P(A) = \\dfrac{1}{7}$","image":"img/matematyka-2003-styczen-probna-podstawowa/zad-8.webp","solution_image":null,"topics":"prawdopodobienstwo","page_from":6,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · styczeń 2003 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2003-styczen-probna-podstawowa/zad/9","paper_id":"matematyka-2003-styczen-probna-podstawowa","number":"9","points":3,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2003,"month":"styczen","level":"podstawowa","text":"Zadanie 9. (3 pkt)\nWykaż, że w trójkącie prostokątnym suma kwadratów sinusów miar wszystkich jego kątów\nwewnętrznych równa się 2.\n\nArkusz I\n7","answer":null,"answer_text":"9.\n(3 pkt)\n35. Wykorzystanie równości: sin\ndo uzyskania tezy\ntwierdzenia.\n1\ncos2\n2\nα\nα\n1p.\n36. Zauważenie, że pierwszy wyraz ciągu jest równy1 , zaś różnica równa\nsię 6 .\n2\n1p.\n37. Zapisanie wzoru na n\nwyrazu tego ciągu:\nty\n6\n6\n6\n)1\n(\n12\n⋅\nn\nn\nan\n1p.\n38. Wyznaczenie największej liczby dwucyfrowej podzielnej przez 6: 96.\n1p.\n39. Rozwiązanie równania liniowego:6\n96\n6 =\nn\n⇒\n15\nn\n1p.","solution":null,"image":"img/matematyka-2003-styczen-probna-podstawowa/zad-9.webp","solution_image":null,"topics":"trygonometria","page_from":6,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · styczeń 2003 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2003-styczen-probna-podstawowa/zad/10","paper_id":"matematyka-2003-styczen-probna-podstawowa","number":"10","points":5,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2003,"month":"styczen","level":"podstawowa","text":"Zadanie 10. (5 pkt)\nWszystkie liczby naturalne dwucyfrowe, podzielne przez 6 są kolejnymi wyrazami pewnego\nciągu rosnącego.\na) Zapisz wzór ogólny na n-ty wyraz tego ciągu arytmetycznego.\nb) Oblicz, ile wyrazów ma ten ciąg.\nc) Oblicz sumę piętnastu początkowych kolejnych wyrazów tego ciągu.\nOdpowiedź: a)\nb)\nc)\n\n8\nArkusz I\nBRUDNOPIS","answer":null,"answer_text":"10.\n(5 pkt)\n40. Obliczenie sumy:\n810\n15\n2\n96\n12\n15\n⋅\nS\n1p.\nUwaga:\nZa prawidłowe rozwiązanie każdego z zadań inną metodą (zgodną z poleceniem) od przedstawionej\nw schemacie przyznajemy maksymalną liczbę punktów.","solution":"$810$","image":"img/matematyka-2003-styczen-probna-podstawowa/zad-10.webp","solution_image":null,"topics":"ciagi","page_from":7,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · styczeń 2003 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"}]}