{"paper":{"id":"matematyka-2003-styczen-probna-rozszerzona","subject":"matematyka","category":"probna","year":2003,"month":"styczen","level":"rozszerzona","variant":null,"exam_pdf":"matematyka-2003-styczen-probna-rozszerzona/matematyka-2003-styczen-probna-rozszerzona.pdf","key_pdf":"matematyka-2003-styczen-probna-rozszerzona-odpowiedzi/matematyka-2003-styczen-probna-rozszerzona-odpowiedzi.pdf","question_count":11,"source_label":"Matematyka · Matura próbna · styczeń 2003 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},"questions":[{"id":"matematyka-2003-styczen-probna-rozszerzona/zad/11","paper_id":"matematyka-2003-styczen-probna-rozszerzona","number":"11","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2003,"month":"styczen","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 11. (4 pkt)\nWyznacz najmniejszą i największą wartość funkcji\n, określonej wzorem:\n, w przedziale\nR\nR\nf\n→\n:\n(\n) (\nx\nx\nx\nf\n⋅\n5\n1\n)\n(\n7\n;0\nOdpowiedź:","answer":null,"answer_text":"11.\n(4 pkt)\n4. Zapisanie odpowiedzi: Funkcja\nw przedziale\nf\n7;0\nosiąga największą\nwartość równą\n, zaś najmniejszą równą (\n4\n)\n12\n1p.\n5. Przekształcenie danego równania do postaci np.\nrównania:\n1\n)1\n)(\n1\n(\na\na\na\nx\n1p.\n6. Zapisanie, że dla a\ndane równanie nie ma żadnego rozwiązania.\n1\n1p.\n7. Zapisanie, że dla a\ndane równanie ma nieskończenie wiele\nrozwiązań.\n1\n1p.","solution":null,"image":"img/matematyka-2003-styczen-probna-rozszerzona/zad-11.webp","solution_image":null,"topics":"funkcje","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · styczeń 2003 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2003-styczen-probna-rozszerzona/zad/12","paper_id":"matematyka-2003-styczen-probna-rozszerzona","number":"12","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2003,"month":"styczen","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 12. (4 pkt)\nDane jest równanie postaci\n, w którym niewiadomą jest\na\nx\nx\na\n⋅\n1\n2\nx\nZbadaj liczbę rozwiązań tego równania, w zależności od parametru\na\nOdpowiedź:\n\nArkusz II\n3","answer":null,"answer_text":"12.\n(4 pkt)\n8. Zapisanie, że dla a\ni\ndane równanie ma dokładnie jedno\nrozwiązanie.\n1\n≠\n1\n≠\na\n1p.\n9. Zapisanie, że warunkiem koniecznym ciągłości danej funkcji w punkcie\njest istnienie skończonej granicy w tym punkcie. Uzasadnienie, że\ndwumian\njest podzielnikiem dwumianu\n, zatem parametr\nprzyjmuje wartość:\n. (1punkt przyznajemy za podanie odpowiedzi\nbez uzasadnienia)\n2\nx\n4\na = -\n)\n2\n( -\nx\n)\n(\n2\na\nx +\na\n4\na\n2p.\n10. Obliczenie granicy danej funkcji w punkcie\n:\n2\nx\n4\n2\n4\n2\n2\n→\nx\nx\nxlim\n1p.","solution":null,"image":"img/matematyka-2003-styczen-probna-rozszerzona/zad-12.webp","solution_image":null,"topics":"parametr","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · styczeń 2003 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2003-styczen-probna-rozszerzona/zad/13","paper_id":"matematyka-2003-styczen-probna-rozszerzona","number":"13","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2003,"month":"styczen","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 13. (4 pkt)\nWyznacz te wartości parametrów\noraz b , przy których funkcja\n, określona\nwzorem\na\nR\nR\ng\n→\n:\n\n\n\n\n\n\n\n2\n2\n2\n)\n(\n2\nx\ndla\nb\nx\ndla\nx\na\nx\nx\ng\n≠\njest ciągła w punkcie\n2\nx\nOdpowiedź:","answer":null,"answer_text":"13.\n(4 pkt)\n11. Porównanie obliczonej granicy z wartością funkcji\nw punkcie\n:\noraz zapisanie odpowiedzi: Funkcja\njest ciągła w\npunkcie\ngdy a\noraz\ng\n2\nx\nb\ng\nx\ng\nx\n→\n)\n2\n(\n4\n)\n(\nlim\n2\n2\nx\ng\n4\n4\nb\n1p.\n12. Zapisanie, że\n1\n1\n2\n4\nn\nn\nn\na\nS\nS\nn\n2p.\n13. Obliczenie n - tego wyrazu ciągu:\n2\n2 +\n= n\nan\n1p.\n14. Zapisanie różnicy dwóch dowolnych, kolejnych wyrazów tego ciągu:\n1\nn\nn\nr\na\na\n1p.","solution":null,"image":"img/matematyka-2003-styczen-probna-rozszerzona/zad-13.webp","solution_image":null,"topics":"granice","page_from":3,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · styczeń 2003 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2003-styczen-probna-rozszerzona/zad/14","paper_id":"matematyka-2003-styczen-probna-rozszerzona","number":"14","points":5,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2003,"month":"styczen","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 14. (5 pkt)\nSuma\npoczątkowych, kolejnych wyrazów ciągu\n, jest obliczana według wzoru\n, (\n. Wyznacz\n. Wykaż, że ciąg (\njest ciągiem arytmetycznym.\nn\n2 +\n(\nn\na\n)\nn\na\n)\nn\nn\nSn\n3\n)\n∈N\nn\nn\na\nOdpowiedź:\n\n4\nArkusz II","answer":null,"answer_text":"14.\n(5 pkt)\n15. Obliczenie różnicy ciągu i stwierdzenie, że jest to ciąg arytmetyczny.\n1p.\n16. Oznaczenie pierwszego wyrazu tego ciągu, np. przez\noraz ilorazu, np.\nprzez q i zapisanie, że\n1a\n10\n9\n1\n⋅q\na\n1p.\n17. Doprowadzenie iloczynu dziewiętnastu początkowych, kolejnych\nwyrazów danego ciągu do postaci\n18\n2\n1\n19\n1\n⋅q\na\n1p.\n18. Przekształcenie iloczynu dziewiętnastu początkowych, kolejnych\nwyrazów danego ciągu do postaci\n9\n19\n19\n1\n⋅\n⋅q\na\n1p.\n19. Przekształcenie iloczynu dziewiętnastu początkowych, kolejnych\nwyrazów danego ciągu do postaci\n19\n9\n1\n)\n(\nq\na ⋅\n1p.","solution":null,"image":"img/matematyka-2003-styczen-probna-rozszerzona/zad-14.webp","solution_image":null,"topics":"ciagi","page_from":3,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · styczeń 2003 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2003-styczen-probna-rozszerzona/zad/15","paper_id":"matematyka-2003-styczen-probna-rozszerzona","number":"15","points":5,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2003,"month":"styczen","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 15. (5 pkt)\nDziesiąty wyraz pewnego ciągu geometrycznego równa się 10. Oblicz iloczyn dziewiętnastu\npoczątkowych, kolejnych wyrazów tego ciągu.","answer":null,"answer_text":"15.\n(5 pkt)\n20. Zapisanie odpowiedzi: Iloczyn dziewiętnastu początkowych, kolejnych\nwyrazów tego ciągu jest równy 10 .\n19\n1p.\n21. Zauważenie i zapisanie, że dane doświadczenie losowe można opisać\nschematem Bernoullego, w którym prawdopodobieństwo sukcesu\n6\n1\np\n,\nprawdopodobieństwo porażki\n6\n5\nq\n, liczba prób\n, liczba sukcesów\n5\nN\n4\n≥\nk\n1p.\n22. Zapisanie prawdopodobieństwa szukanego zdarzenia w postaci:\n)\n5\n(\n)\n4\n(\n)\n4\n(\n5\n5\n5\n≥\nk\nP\nk\nP\nk\nP\n1p.\n23. Wykorzystanie wzorów i zapisanie prawdopodobieństwa szukanego\nzdarzenia w postaci:\n0\n5\n4\n5\n6\n5\n6\n1\n5\n5\n6\n5\n6\n1\n4\n5\n)\n4\n(\n\n\n\n\n\n⋅\n\n\n\n\n\n⋅\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n⋅\n\n\n\n\n\n⋅\n\n\n\n\n\n≥\nk\nP\n1p.","solution":null,"image":"img/matematyka-2003-styczen-probna-rozszerzona/zad-15.webp","solution_image":null,"topics":"ciagi","page_from":4,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · styczeń 2003 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2003-styczen-probna-rozszerzona/zad/16","paper_id":"matematyka-2003-styczen-probna-rozszerzona","number":"16","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2003,"month":"styczen","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 16. (4 pkt)\nRzucamy pięć razy symetryczną kostką sześcienną. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia,\npolegającego na tym, że „jedynka” wypadnie co najmniej cztery razy.\nOdpowiedź:\n\nArkusz II\n5","answer":"C","answer_text":"16.\n(4 pkt)\n24. Poprawne obliczenie prawdopodobieństwa szukanego zdarzenia:\n00334\n,0\n3888\n13\n7776\n26\n7776\n1\n7776\n25\n)\n4\n(\n5\n≈\n≥\nk\nP\n1p.\n25. Zapisanie warunku (1)\n, gdzie\n0\n→\n→\nCB\nCAD\n)\n,0\n(\ny\nC\n1p.\n26. Obliczenie współrzędnych wektora CA\n[\n]\ny\n→\n2\n,9\n1p.\n27. Obliczenie współrzędnych wektora CB\n[\n]\ny\n→\n2\n,4\n1p.\n28. Obliczenie iloczynu skalarnego wektorów\ni\n:\nCA\nJJJG\nJJJG\nCB\n36\n(2\n) (2\n)\ny\ny\n⋅\n1p.","solution":null,"image":"img/matematyka-2003-styczen-probna-rozszerzona/zad-16.webp","solution_image":null,"topics":"prawdopodobienstwo","page_from":4,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · styczeń 2003 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2003-styczen-probna-rozszerzona/zad/17","paper_id":"matematyka-2003-styczen-probna-rozszerzona","number":"17","points":5,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2003,"month":"styczen","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 17. (5 pkt)\nW układzie współrzędnych są dane punkty:\noraz\n. Wyznacz współrzędne\npunktu C leżącego na osi\ntak że kąt\njest kątem prostym.\n)\n2\n,9\n(\nA\nACB\n)\n2\n,4\n(\nB\n,\n,\nOY\nOdpowiedź:","answer":"C","answer_text":"17.\n(5 pkt)\n29. Rozwiązanie równania (1) i zapisanie odpowiedzi: Istnieją dwa takie\npunkty:\n)\n10\n2\n,0\n(\nC\nlub\n)\n10\n2\n,0\n(\nC\n1p.\n30. Sporządzenie rysunku i zaznaczenie na nim szukanego kąta.\n1p.\n31. Wykorzystanie twierdzenia cosinusów i zapisanie równania np.\nα\ncos\n4\n3\n2\n4\n3\n4\n3\n2\n2\n2\n2\n⋅\n⋅\na\na\na\na\nα\n, gdzie a - długość krawędzi sześcianu,\nzaś\n- miara kąta ostrego między przekątnymi sześcianu\n2p.","solution":null,"image":"img/matematyka-2003-styczen-probna-rozszerzona/zad-17.webp","solution_image":null,"topics":"analityczna","page_from":5,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · styczeń 2003 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2003-styczen-probna-rozszerzona/zad/18","paper_id":"matematyka-2003-styczen-probna-rozszerzona","number":"18","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2003,"month":"styczen","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 18. (4 pkt)\nWybierz dwie dowolne przekątne sześcianu i oblicz cosinus kąta między nimi. Sporządź\nodpowiedni rysunek i zaznacz na nim kąt, którego cosinus obliczasz.\nOdpowiedź:\n\n6\nArkusz II","answer":null,"answer_text":"18.\n(4 pkt)\n32. Obliczenie wartości cosinusa kąta ostrego:\n3\n1\nα\ncos\n. (Albo:\n3\n1\ncos\nβ\ngdzie\njest katem rozwartym).\nβ\n1p.\n33. Wykorzystanie faktu istnienia okręgu wpisanego w dany trapez i\nzapisanie, że suma długości podstaw\ni\ntrapezu jest równa 10\na\nb\ncm\n2p.\n34. Zauważenie i zapisanie, że wysokość trapezu, opuszczona z wierzchołka\nkąta rozwartego, dzieli dłuższą podstawę na odcinki o długościach:\n2\na\nb\noraz\n2\nb\na -\n1p.\n)\n35. Obliczenie długości wysokości trapezu:\ncm\nh\n4\n1p.","solution":null,"image":"img/matematyka-2003-styczen-probna-rozszerzona/zad-18.webp","solution_image":null,"topics":"stereometria","page_from":5,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · styczeń 2003 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2003-styczen-probna-rozszerzona/zad/19","paper_id":"matematyka-2003-styczen-probna-rozszerzona","number":"19","points":5,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2003,"month":"styczen","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 19. (5 pkt)\nTrapez równoramienny, o obwodzie równym\n, jest opisany na okręgu. Wiedząc, że\nprzekątna trapezu ma długość\ncm\n20\ncm\n41\n, oblicz pole tego trapezu.\nOdpowiedź:\n\nArkusz II\n7","answer":null,"answer_text":"19.\n(5 pkt)\n36. Obliczenie pola danego trapezu:\n2\n20\nP\ncm\n1p.\n37. Wyznaczenie warunków określających dziedzinę równania\n:\ni\n0\nlog\n)\n(\n2\nk\nx\nh\n5\n>\nx\n0\n>\nk\n2p.\n38. Przekształcenie równania\ndo postaci:\n0\nlog\n)\n(\n2\nk\nx\nh\nk\nx\nx\n5\n4\n2\n1p.","solution":null,"image":"img/matematyka-2003-styczen-probna-rozszerzona/zad-19.webp","solution_image":null,"topics":"planimetria","page_from":6,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · styczeń 2003 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2003-styczen-probna-rozszerzona/zad/20","paper_id":"matematyka-2003-styczen-probna-rozszerzona","number":"20","points":10,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2003,"month":"styczen","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 20. (10 pkt)\nFunkcja h jest określona wzorem\n. Wyznacz wszystkie\nwartości parametru\ndla których równanie\nma dwa różne pierwiastki.\n)\n5\n(\nlog\n)\n4\n(\nlog\n)\n(\n2\n2\n2\nx\nx\nx\nh\n0\nlog\n)\n(\n2\nk\nx\nh\n,k\n\n8\nArkusz II\nOdpowiedź:","answer":null,"answer_text":"20.\n(10 pkt)\n39. Przekształcenie równania do postaci:\n0\n4\n5\n2\nk\nkx\nx\n1p.\n40. Zapisanie układu warunków \n, gdzie\noznacza odciętą\nwierzchołka paraboli, będącej wykresem funkcji\n, przy\npewnej wartości\n\n\n>\n>\n>\n∆\n0\n)\n5\n(\n5\n0\nf\nxw\nw\nx\nf\nx2\n5\nkx\nk\n-4\nk\n1p.\n41. Obliczenie wyróżnika trójmianu:\n16\n20\n2\n∆\nk\nk\n1p.\n42. Rozwiązanie nierówności\n:\n0\n>\n∆\n(\n) (\n)\n∞\n∞\n∈\n⇔\n>\n∆\n;\n21\n2\n21\n2\n10\n;\n0\nk\n∪10\n1p.\n43. Rozwiązanie nierówności\n: k\n5\n>\nw\nx\n(\n)\n∞\n∈\n;\n10\n1p.\n44. Sprawdzenie, że warunek\nzachodzi dla każdej rzeczywistej\nwartości parametru\n0\n)\n5\n(\n>\nf\nk\n1p.\n44. Zapisanie odpowiedzi, uwzględniającej zbiór rozwiązań układu\nnierówności z p.40 oraz warunku\n: Dla wszystkich\n0\nk >\n(\n)\n∞\n∈\n;\n21\n2\n10\nk\nrównanie\nma dwa różne pierwiastki.\n0\nlog\n)\n(\n2\nk\nx\nh\n1p.\n45. Zapisanie zależności między zmiennymi:\n2\n2\nr\nH\nr\nR\nH\nR\n1p.\n46. Wyznaczenie jednej zmiennej z powyższej zależności, np.\n8\n16\n2\n= H\nH\nr\n1p.\n47. Wyznaczenie objętości stożka, jako funkcji jednej zmiennej:\n8\n16\n3\n)\n(\n2\n⋅\nH\nH\nH\nV\nπ\n1p.\n48. Wyznaczenie dziedziny funkcji V\n:\n)\n(H\n(\n)\n∞\n;\n8\nV\nD\n1p.\n49. Obliczenie pochodnej funkcji objętości:\n(\n)\n2\n8\n)\n16\n(\n3\n16\n)\n('\n⋅\nH\nH\nH\nH\nπ\nV\n,\nV\nV\nD\nD\n1p.\n50. Wyznaczenie miejsca zerowego pochodnej funkcji objętości:\n16\nH\n1p.\n51. Zbadanie znaku pochodnej funkcji objętości: V\noraz V\n)\n;\n16\n(\n0\n)\n('\n∞\n∈\n⇔\n>\nH\nH\n)\n16\n;8\n(\n0\n)\n('\n∈\n⇔\n<\nH\nH\n1p.\n52. Stwierdzenie i zapisanie, że dla\nfunkcja V osiąga lokalne\nminimum równe\n16\nH\n3\n512\n)\n16\n(\nπ\nV\n1p.\n53. Uzasadnienie, że minimum lokalne funkcji objętości stożka jest\nwartością najmniejszą tej funkcji, np. poprzez powołanie się na dwa fakty:\noraz\n+∞\n→\n)\n(\nlim\n8\nH\nV\nH\n+∞\n∞\n→\n)\n(\nlim\nH\nV\nH\n1p.","solution":null,"image":"img/matematyka-2003-styczen-probna-rozszerzona/zad-20.webp","solution_image":null,"topics":"parametr","page_from":7,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · styczeń 2003 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2003-styczen-probna-rozszerzona/zad/21","paper_id":"matematyka-2003-styczen-probna-rozszerzona","number":"21","points":10,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2003,"month":"styczen","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 21. (10 pkt)\nNa kuli o promieniu\nopisujemy stożki o promieniu\ni wysokości\n. Spośród\nwszystkich takich stożków wyznacz ten, który ma najmniejszą objętość. Oblicz tę objętość.\ncm\n4\nR\nr\nH\nOblicz promień i wysokość znalezionego stożka.\n\nArkusz II\n9\nOdpowiedź:\n\n10\nArkusz II\nBRUDNOPIS\n\nArkusz II\n11","answer":null,"answer_text":"21.\n(10 pkt)\n54. Podanie wymiarów stożka o najmniejszej objętości opisanego na kuli o\npromieniu\n: wysokość stożka,\n, promień podstawy\nstożka\ncm\nR\n4\ncm\nH\n16\ncm\n2\n4\nr\n1p.\nUwaga:\nZa prawidłowe rozwiązanie każdego z zadań inną metodą (zgodną z poleceniem) od\nprzedstawionej w schemacie przyznajemy maksymalną liczbę punktów.","solution":null,"image":"img/matematyka-2003-styczen-probna-rozszerzona/zad-21.webp","solution_image":null,"topics":"optymalizacja","page_from":8,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · styczeń 2003 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"}]}