{"paper":{"id":"matematyka-2004-czerwiec-matura-podstawowa","subject":"matematyka","category":"matura","year":2004,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","variant":null,"exam_pdf":"matematyka-2004-czerwiec-matura-podstawowa/matematyka-2004-czerwiec-matura-podstawowa.pdf","key_pdf":"matematyka-2004-czerwiec-matura-podstawowa-odpowiedzi/matematyka-2004-czerwiec-matura-podstawowa-odpowiedzi.pdf","question_count":11,"source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2004 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},"questions":[{"id":"matematyka-2004-czerwiec-matura-podstawowa/zad/1","paper_id":"matematyka-2004-czerwiec-matura-podstawowa","number":"1","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2004,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 1. (2 pkt)\nMiejscem zerowym funkcji f(x)=-3x +b jest „2. Oblicz b.\ni\no\n3\n5\nE\nco)\nE Zadanie 2. (3 pkt)\nĘ\na Dana jest funkcja f określona wzorem f(x)=(1- x)(x +1)+2x . Wyznacz zbiór wartości\n> funkcji f.\nR\nG\nE\nN\n$\nŹ\n3\noC\noO\n2\nPRÓBNY EGZAMIN MATURALNY - CZERWIEC 2004\nMatematyka - Arkusz I","answer":null,"answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź:\n\n\\(\\bar{x} \\approx 3{,}86\\), wariancja \\(\\sigma^2 \\approx 0{,}69\\), odchylenie standardowe \\(\\sigma \\approx 0{,}83\\)\n\n## Sposób 1 - wzory z definicji (krok po kroku)\n\n**Dane:** oceny \\(5, 5, 3, 4, 3, 3, 4\\), liczba ocen \\(n = 7\\).\n\n### a) Średnia arytmetyczna\n\n\\[\\bar{x} = \\frac{a_1 + a_2 + \\ldots + a_n}{n}\\]\n\nSumujemy oceny:\n\\[5 + 5 + 3 + 4 + 3 + 3 + 4 = 27\\]\n\n\\[\\bar{x} = \\frac{27}{7} \\approx 3{,}857\\ldots \\approx \\mathbf{3{,}86}\\]\n\n### b) Wariancja\n\nWzór:\n\\[\\sigma^2 = \\frac{(a_1 - \\bar{x})^2 + (a_2 - \\bar{x})^2 + \\ldots + (a_n - \\bar{x})^2}{n}\\]\n\nObliczamy odchylenia od średniej \\(\\bar{x} = \\frac{27}{7}\\) dla każdej oceny:\n\n| ocena \\(a_i\\) | \\(a_i - \\bar{x}\\) | \\((a_i - \\bar{x})^2\\) |\n| 5 | \\(5 - \\frac{27}{7} = \\frac{8}{7}\\) | \\(\\frac{64}{49}\\) |\n| 5 | \\(\\frac{8}{7}\\) | \\(\\frac{64}{49}\\) |\n| 3 | \\(3 - \\frac{27}{7} = -\\frac{6}{7}\\) | \\(\\frac{36}{49}\\) |\n| 4 | \\(4 - \\frac{27}{7} = \\frac{1}{7}\\) | \\(\\frac{1}{49}\\) |\n| 3 | \\(-\\frac{6}{7}\\) | \\(\\frac{36}{49}\\) |\n| 3 | \\(-\\frac{6}{7}\\) | \\(\\frac{36}{49}\\) |\n| 4 | \\(\\frac{1}{7}\\) | \\(\\frac{1}{49}\\) |\n\nSuma kwadratów odchyleń:\n\\[\\frac{64 + 64 + 36 + 1 + 36 + 36 + 1}{49} = \\frac{238}{49}\\]\n\nWariancja:\n\\[\\sigma^2 = \\frac{1}{7} \\cdot \\frac{238}{49} = \\frac{238}{343} \\approx 0{,}6937\\ldots \\approx \\mathbf{0{,}69}\\]\n\n### Odchylenie standardowe\n\n\\[\\sigma = \\sqrt{\\sigma^2} = \\sqrt{\\frac{238}{343}} \\approx \\sqrt{0{,}6937} \\approx \\mathbf{0{,}83}\\]\n\n## Sposób 2 - wariancja wzorem skróconym\n\nIstnieje praktyczny wzór obliczeniowy, który pozwala uniknąć liczenia odchyleń dla każdej wartości:\n\n\\[\\sigma^2 = \\frac{a_1^2 + a_2^2 + \\ldots + a_n^2}{n} - \\bar{x}^2\\]\n\n(jest to przekształcenie algebraiczne definicji wariancji - wynik jest identyczny)\n\nSumujemy **kwadraty** ocen:\n\\[5^2 + 5^2 + 3^2 + 4^2 + 3^2 + 3^2 + 4^2 = 25 + 25 + 9 + 16 + 9 + 9 + 16 = 109\\]\n\nŚrednia kwadratów:\n\\[\\frac{109}{7} \\approx 15{,}5714\\]\n\nWariancja:\n\\[\\sigma^2 = \\frac{109}{7} - \\left(\\frac{27}{7}\\right)^2 = \\frac{109}{7} - \\frac{729}{49} = \\frac{763}{49} - \\frac{729}{49} = \\frac{34}{49}\\]\n\nChwila - sprawdźmy zgodność z wynikiem z Metody 1:\n\\[\\frac{34}{49} = \\frac{34 \\cdot 7}{49 \\cdot 7} = \\frac{238}{343} \\checkmark\\]\n\n\\[\\sigma^2 = \\frac{34}{49} \\approx 0{,}6939 \\approx \\mathbf{0{,}69}\\]\n\n\\[\\sigma = \\sqrt{\\frac{34}{49}} = \\frac{\\sqrt{34}}{7} \\approx \\frac{5{,}831}{7} \\approx \\mathbf{0{,}83}\\]\n\nWyniki zgodne - obliczenia poprawne.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 15 (Parametry danych statystycznych, s. 31-32)**\n\nŚrednia arytmetyczna:\n\\[\\bar{a} = \\frac{a_1 + a_2 + \\ldots + a_n}{n}\\]\n\nWariancja:\n\\[\\sigma^2 = \\frac{(a_1 - \\bar{a})^2 + \\ldots + (a_n - \\bar{a})^2}{n}\\]\n\nOdchylenie standardowe:\n\\[\\sigma = \\sqrt{\\sigma^2}\\]\n\nWszystkie trzy wzory są wprost na karcie - to zadanie wymaga po prostu ich zastosowania.\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy obliczaniu wariancji używamy **dokładnej** wartości średniej \\(\\bar{x} = \\frac{27}{7}\\), a nie przybliżonej \\(3{,}86\\). Jeśli podstawimy \\(3{,}86\\) zamiast \\(\\frac{27}{7}\\), błąd zaokrąglenia \"mnoży się\" przez 7 i wynik wariancji będzie niepoprawny.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Odchylenie standardowe to **pierwiastek** z wariancji, nie wariancja sama w sobie. To częsty błąd - odpowiedzią na pytanie o wariancję jest \\(\\approx 0{,}69\\), a na odchylenie standardowe \\(\\approx 0{,}83\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wariancja statystyczna to dzielenie przez \\(n\\) (liczba danych), nie przez \\(n-1\\). Na maturze zawsze używamy dzielenia przez \\(n\\) (wariancja populacyjna zgodna z kartą wzorów CKE).\n\n**Poprawne odpowiedzi:** \\(\\bar{x} \\approx 3{,}86\\); \\(\\sigma^{2} \\approx 0{,}69\\); \\(\\sigma \\approx 0{,}83\\).\n\n### Sposób 1 - Wzory klasyczne ze średnią arytmetyczną\n**a) Średnia ocen:**\nDane: \\(5, 5, 3, 4, 3, 3, 4\\); liczba ocen \\(n = 7\\).\n\n\\[\\bar{x} = \\dfrac{5 + 5 + 3 + 4 + 3 + 3 + 4}{7} = \\dfrac{27}{7} \\approx 3{,}857 \\approx 3{,}86.\\]\n\n**b) Wariancja** (wzór klasyczny \\(\\sigma^{2} = \\dfrac{1}{n}\\sum(x_i - \\bar{x})^{2}\\)):\n\nObliczamy odchylenia od średniej \\(\\bar{x} = \\dfrac{27}{7}\\):\n\n| \\(x_i\\) | \\(x_i - \\bar{x}\\) | \\((x_i - \\bar{x})^{2}\\) |\n| 5 | \\(5 - \\tfrac{27}{7} = \\tfrac{8}{7}\\) | \\(\\tfrac{64}{49}\\) |\n| 5 | \\(\\tfrac{8}{7}\\) | \\(\\tfrac{64}{49}\\) |\n| 3 | \\(-\\tfrac{6}{7}\\) | \\(\\tfrac{36}{49}\\) |\n| 4 | \\(\\tfrac{1}{7}\\) | \\(\\tfrac{1}{49}\\) |\n| 3 | \\(-\\tfrac{6}{7}\\) | \\(\\tfrac{36}{49}\\) |\n| 3 | \\(-\\tfrac{6}{7}\\) | \\(\\tfrac{36}{49}\\) |\n| 4 | \\(\\tfrac{1}{7}\\) | \\(\\tfrac{1}{49}\\) |\n\nSuma: \\(\\tfrac{64+64+36+1+36+36+1}{49} = \\tfrac{238}{49} = \\tfrac{34}{7}\\).\n\n\\[\\sigma^{2} = \\dfrac{1}{7}\\cdot\\dfrac{34}{7} = \\dfrac{34}{49} \\approx 0{,}6939 \\approx 0{,}69.\\]\n\n**Odchylenie standardowe:**\n\\[\\sigma = \\sqrt{\\dfrac{34}{49}} = \\dfrac{\\sqrt{34}}{7} \\approx \\dfrac{5{,}831}{7} \\approx 0{,}833 \\approx 0{,}83.\\]\n\n### Sposób 2 - Wzór skrócony dla wariancji\n\\[\\sigma^{2} = \\overline{x^{2}} - \\bar{x}^{2}.\\]\n\nLiczymy średnią kwadratów:\n\\[\\overline{x^{2}} = \\dfrac{5^{2} + 5^{2} + 3^{2} + 4^{2} + 3^{2} + 3^{2} + 4^{2}}{7} = \\dfrac{25+25+9+16+9+9+16}{7} = \\dfrac{109}{7}.\\]\n\n\\[\\bar{x}^{2} = \\left(\\dfrac{27}{7}\\right)^{2} = \\dfrac{729}{49}.\\]\n\n\\[\\sigma^{2} = \\dfrac{109}{7} - \\dfrac{729}{49} = \\dfrac{763 - 729}{49} = \\dfrac{34}{49} \\approx 0{,}69.\\]\n\n\\[\\sigma \\approx 0{,}83.\\]\n\n### Komentarz dydaktyczny\nWariancja mierzy przeciętne kwadratowe odchylenie od średniej. Odchylenie standardowe \\(\\sigma \\approx 0{,}83\\) oznacza, że oceny Janka „typowo\" odchylają się o około \\(0{,}83\\) od średniej \\(3{,}86\\).","image":"img/matematyka-2004-czerwiec-matura-podstawowa/zad-1.webp","solution_image":null,"topics":"funkcje","page_from":2,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2004 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2004-czerwiec-matura-podstawowa/zad/2","paper_id":"matematyka-2004-czerwiec-matura-podstawowa","number":"2","points":null,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2004,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Pożyczkę w wysokości \\(8700\\) zł zaciągniętą w banku należy spłacić w \\(12\\) ratach, z których każda następna jest mniejsza od poprzedniej o \\(50\\) zł. Oblicz wysokość pierwszej i ostatniej raty.","answer":null,"answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź\n\nPierwsza rata \\(a_1 = 1000\\) zł, ostatnia rata \\(a_{12} = 450\\) zł.\n\n## Sposób 1 - Układ równań (suma ciągu + wzór na wyraz ogólny)\n\n**Co zauważamy:** Raty tworzą ciąg arytmetyczny - każda następna jest mniejsza o \\(50\\) zł, czyli różnica \\(r = -50\\).\n\n**Dane:**\n- liczba rat: \\(n = 12\\)\n- suma wszystkich rat = kwota pożyczki: \\(S_{12} = 8700\\) zł\n- różnica ciągu: \\(r = -50\\)\n\n**Krok 1 - wzór na sumę ciągu arytmetycznego:**\n\n\\[S_n = \\frac{a_1 + a_n}{2} \\cdot n\\]\n\nPodstawiamy \\(S_{12} = 8700\\), \\(n = 12\\):\n\n\\[8700 = \\frac{a_1 + a_{12}}{2} \\cdot 12\\]\n\n\\[8700 = 6(a_1 + a_{12})\\]\n\n\\[a_1 + a_{12} = 1450\\]\n\n**Krok 2 - wzór na wyraz ogólny:**\n\n\\[a_{12} = a_1 + (12 - 1) \\cdot r = a_1 + 11 \\cdot (-50) = a_1 - 550\\]\n\n**Krok 3 - układ dwóch równań:**\n\n\\[\\begin{cases} a_1 + a_{12} = 1450 \\\\ a_{12} = a_1 - 550 \\end{cases}\\]\n\nPodstawiamy drugie do pierwszego:\n\n\\[a_1 + (a_1 - 550) = 1450\\]\n\n\\[2a_1 = 2000\\]\n\n\\[\\mathbf{a_1 = 1000 \\text{ zł}}\\]\n\nStąd:\n\n\\[\\mathbf{a_{12} = 1000 - 550 = 450 \\text{ zł}}\\]\n\n## Sposób 2 - Wzór na sumę przez \\(a_1\\) i \\(r\\) od razu\n\nZamiast rozkładać na układ, używamy drugiej postaci wzoru na sumę, która od razu zawiera \\(a_1\\) i \\(r\\):\n\n\\[S_n = \\frac{2a_1 + (n-1)r}{2} \\cdot n\\]\n\nPodstawiamy \\(S_{12} = 8700\\), \\(n = 12\\), \\(r = -50\\):\n\n\\[8700 = \\frac{2a_1 + 11 \\cdot (-50)}{2} \\cdot 12\\]\n\n\\[8700 = 6 \\cdot (2a_1 - 550)\\]\n\n\\[1450 = 2a_1 - 550\\]\n\n\\[2a_1 = 2000\\]\n\n\\[\\mathbf{a_1 = 1000 \\text{ zł}}\\]\n\nOstatnia rata:\n\n\\[a_{12} = 1000 + 11 \\cdot (-50) = 1000 - 550 = \\mathbf{450 \\text{ zł}}\\]\n\n**Weryfikacja:** Sprawdzamy czy suma się zgadza:\n\n\\[S_{12} = \\frac{1000 + 450}{2} \\cdot 12 = \\frac{1450}{2} \\cdot 12 = 725 \\cdot 12 = 8700 \\checkmark\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 8 (Ciągi, s. 9-10)** - wzór na \\(n\\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego:\n\\[a_n = a_1 + (n-1)r\\]\nUżyliśmy do wyrażenia \\(a_{12}\\) przez \\(a_1\\).\n\n**Dział 8 (Ciągi, s. 9-10)** - wzór na sumę \\(n\\) wyrazów ciągu arytmetycznego:\n\\[S_n = \\frac{a_1 + a_n}{2} \\cdot n = \\frac{2a_1 + (n-1)r}{2} \\cdot n\\]\nSuma rat = kwota pożyczki - to jest serce całego zadania.\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Różnica \\(r\\) jest **ujemna** (\\(r = -50\\)), bo każda następna rata jest **mniejsza**. Pomylenie znaku prowadzi do \\(a_{12} = 1000 + 550 = 1550\\) zł - wynik absurdalny (ostatnia rata większa od pierwszej!).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Ostatnia rata to \\(a_{12}\\), czyli wzór \\(a_n = a_1 + (n-1)r\\) z \\(n = 12\\) daje \\(a_1 + 11r\\), **nie** \\(a_1 + 12r\\). Błąd o jeden wyraz (\\(12\\) zamiast \\(11\\)) to częsta pułapka.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Suma rat równa się kwocie pożyczki - to fizyczny sens zadania. Jeśli o tym zapomnisz i nie wykorzystasz warunku \\(S_{12} = 8700\\), masz za mało równań i nie da się wyznaczyć \\(a_1\\).\n\n**Poprawna odpowiedź:** pierwsza rata \\(1000\\) zł, ostatnia rata \\(450\\) zł.\n\n### Sposób 1 - Ciąg arytmetyczny, wzór na sumę\nRaty tworzą ciąg arytmetyczny \\(a_1, a_2, \\ldots, a_{12}\\) o różnicy \\(r = -50\\) (każda następna mniejsza o \\(50\\) zł).\n\nOznaczmy \\(a_1 = x\\). Wtedy:\n\\[a_{12} = a_1 + 11r = x + 11\\cdot(-50) = x - 550.\\]\n\nSuma wszystkich rat:\n\\[S_{12} = \\dfrac{a_1 + a_{12}}{2}\\cdot 12 = 8700.\\]\n\nPodstawiamy:\n\\[\\dfrac{x + (x-550)}{2}\\cdot 12 = 8700\\]\n\\[(2x - 550)\\cdot 6 = 8700\\]\n\\[2x - 550 = 1450\\]\n\\[2x = 2000\\]\n\\[x = 1000.\\]\n\n**Pierwsza rata:** \\(a_1 = 1000\\) zł.\n**Ostatnia rata:** \\(a_{12} = 1000 - 550 = 450\\) zł.\n\n**Sprawdzenie:** \\(S = \\dfrac{1000 + 450}{2}\\cdot 12 = 725\\cdot 12 = 8700\\) ✓.\n\n### Sposób 2 - Wzór \\(S_n = \\dfrac{2a_1 + (n-1)r}{2}\\cdot n\\)\n\\[8700 = \\dfrac{2a_1 + 11\\cdot(-50)}{2}\\cdot 12 = (2a_1 - 550)\\cdot 6.\\]\n\\[2a_1 - 550 = 1450 \\Rightarrow a_1 = 1000.\\]\n\nDalej \\(a_{12} = 1000 - 11\\cdot 50 = 450\\).\n\n### Sposób 3 - Rachunek średniej raty\nŚrednia rata: \\(\\dfrac{8700}{12} = 725\\) zł. W ciągu arytmetycznym średnia arytmetyczna wszystkich wyrazów jest równa średniej pierwszego i ostatniego:\n\\[\\dfrac{a_1 + a_{12}}{2} = 725 \\Rightarrow a_1 + a_{12} = 1450.\\]\n\nJednocześnie \\(a_1 - a_{12} = 11\\cdot 50 = 550\\) (różnica między pierwszą a ostatnią ratą).\n\nZ układu:\n\\[\\begin{cases} a_1 + a_{12} = 1450 \\\\ a_1 - a_{12} = 550 \\end{cases} \\Rightarrow a_1 = 1000, \\quad a_{12} = 450.\\]\n\n### Komentarz\nWszystkie raty są dodatnie (\\(450 > 0\\) ✓), więc harmonogram spłat jest realizowalny.","image":null,"solution_image":null,"topics":null,"page_from":null,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"maturazai","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2004 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2004-czerwiec-matura-podstawowa/zad/3","paper_id":"matematyka-2004-czerwiec-matura-podstawowa","number":"3","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2004,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 3. (4 pkt)\nWidownia wokół boiska do koszykówki podzielona jest na cztery sektory. W pierwszym\nrzędzie każdego sektora jest 8 miejsc, a w każdym następnym rzędzie o 2 miejsca więcej niż\nw rzędzie poprzednim. W każdym sektorze są 22 rzędy. Oblicz liczbę wszystkich miejsc na\nwidowni.\ni\no\n3\n5\nE\nE\n5\nn\n3\na\n>\no\nR\nKZ.\nKcy\nE\nN\nJ\n3\nA\n3\noC\noO\n2\nPRÓBNY EGZAMIN MATURALNY - CZERWIEC 2004\nMatematyka - Arkusz I","answer":null,"answer_text":"Zadanie 3\nOpis wykonywanej czynności Liczba punktów Modelowy wynik etapu (czynności)\nZapisanie, że liczba miejsc w kolejnych np. (a ) - ciąg arytmetyczny,\nrzędach sektora to wyrazy ciągu 1p \"\narytmetycznego. a, =8, r=2\na ; i =\na Obliczenie S,,. Sy, = 638\nĘ Obliczenie liczby wszystkich miejsc na 2552\n3 widowni.\nE Zadanie 4\n= Opis wykonywanej czynności Liczba punktów Modelowy wynik etapu (czynności)\nz Obliczenie miary kąta DBC . |ZDBC| = 45°\n8 Obliczenie miary kąta ABC . |ZABC| = 135°\nZ Obliczenie miary kąta BCA . |ZBCA| =22,5°\n> Obliczenie miary kąta ACD . |£ACD| = 67,59\n4 1 np. powołując się na monotoniczność\n“ Uzasadnienie , ze cos(ZACD) < 3 funkcji cosinus\na lp 1 1\no (cos 60° =- > cos67,5° < -).\n2 2 2\n1\nSchemat punktowania arkusza I z matematyki","solution":"## Poprawna odpowiedź:\n\n**a)** \\(a = -2\\), \\(b = 3\\), czyli \\(f(x) = -2x^2 + 3x + 1\\)\n\n**b)** Rozwiązanie nierówności: \\(x \\in \\left(0,\\, \\dfrac{3}{2}\\right)\\)\n\n## Sposób 1 - układ równań (podstawienie warunków do wzoru)\n\n### Część a) - wyznaczanie a i b\n\nPodstawiamy warunki do wzoru \\(f(x) = ax^2 + bx + 1\\):\n\n**Warunek \\(f(1) = 2\\):**\n\\[a \\cdot 1^2 + b \\cdot 1 + 1 = 2\\]\n\\[a + b + 1 = 2\\]\n\\[a + b = 1 \\quad (I)\\]\n\n**Warunek \\(f(2) = -1\\):**\n\\[a \\cdot 2^2 + b \\cdot 2 + 1 = -1\\]\n\\[4a + 2b + 1 = -1\\]\n\\[4a + 2b = -2\\]\n\\[2a + b = -1 \\quad (II)\\]\n\nOdejmujemy równanie \\((I)\\) od \\((II)\\):\n\\[(2a + b) - (a + b) = -1 - 1\\]\n\\[a = -2\\]\n\nPodstawiamy do \\((I)\\):\n\\[-2 + b = 1\\]\n\\[b = 3\\]\n\n**Wzór funkcji:**\n\\[\\boxed{f(x) = -2x^2 + 3x + 1}\\]\n\n### Część b) - rozwiązanie nierówności \\(f(x) > 1\\)\n\nPodstawiamy wyznaczony wzór:\n\\[-2x^2 + 3x + 1 > 1\\]\n\nPrzenosimy \\(1\\) na lewą stronę:\n\\[-2x^2 + 3x > 0\\]\n\nWyłączamy \\(x\\) przed nawias:\n\\[x(-2x + 3) > 0\\]\n\nIloczyn jest **dodatni**, gdy oba czynniki mają ten sam znak.\n\nWyznaczamy miejsca zerowe: \\(x = 0\\) oraz \\(-2x + 3 = 0 \\Rightarrow x = \\dfrac{3}{2}\\)\n\nAnalizujemy znaki na przedziałach:\n\n| Przedział | \\(x\\) | \\(-2x+3\\) | Iloczyn |\n| \\(x < 0\\) | \\(-\\) | \\(+\\) | \\(-\\) |\n| \\(x \\in \\left(0, \\frac{3}{2}\\right)\\) | \\(+\\) | \\(+\\) | \\(+\\) ✓ |\n| \\(x > \\frac{3}{2}\\) | \\(+\\) | \\(-\\) | \\(-\\) |\n\nNierówność spełniona dla:\n\\[\\boxed{x \\in \\left(0,\\, \\frac{3}{2}\\right)}\\]\n\n## Sposób 2 - nierówność kwadratowa przez deltę (część b)\n\nZaczynamy od tej samej nierówności:\n\\[-2x^2 + 3x > 0\\]\n\nTraktujemy to jako nierówność kwadratową \\(-2x^2 + 3x + 0 > 0\\) (tu \\(c = 0\\)).\n\nObliczamy deltę:\n\\[\\Delta = 3^2 - 4 \\cdot (-2) \\cdot 0 = 9\\]\n\nMiejsca zerowe trójmianu:\n\\[x_1 = \\frac{-3 - \\sqrt{9}}{2 \\cdot (-2)} = \\frac{-3 - 3}{-4} = \\frac{-6}{-4} = \\frac{3}{2}\\]\n\\[x_2 = \\frac{-3 + \\sqrt{9}}{2 \\cdot (-2)} = \\frac{-3 + 3}{-4} = 0\\]\n\nParabola skierowana **ramionami w dół** (\\(a = -2 < 0\\)), więc trójmian jest **dodatni między pierwiastkami**:\n\\[x \\in \\left(0,\\, \\frac{3}{2}\\right)\\]\n\n## Weryfikacja (dla pewności)\n\nSprawdzamy punkt \\(x = 1\\) (leży w przedziale \\(\\left(0, \\frac{3}{2}\\right)\\)):\n\\[f(1) = -2 \\cdot 1 + 3 \\cdot 1 + 1 = 2 > 1 \\quad \\checkmark\\]\n\nSprawdzamy punkt \\(x = 2\\) (poza przedziałem):\n\\[f(2) = -2 \\cdot 4 + 3 \\cdot 2 + 1 = -1 \\not> 1 \\quad \\checkmark\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)**\n\nW części b) użyliśmy wzoru na pierwiastki trójmianu kwadratowego:\n\\[x_{1,2} = \\frac{-b \\pm \\sqrt{\\Delta}}{2a}, \\quad \\Delta = b^2 - 4ac\\]\n\noraz wniosku o znaku funkcji kwadratowej:\n- gdy \\(a < 0\\) i \\(\\Delta > 0\\): trójmian jest **dodatni między pierwiastkami**, ujemny poza nimi.\n\nW części a) nie używamy wzorów z karty - wystarczy podstawianie i rozwiązywanie układu dwóch równań liniowych.\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy podstawianiu \\(f(1)\\) bardzo łatwo zapomnieć o wyrazie wolnym \\(+1\\) - wzór to \\(ax^2 + bx + \\mathbf{1}\\), nie \\(ax^2 + bx\\). Wtedy dostaniesz błędny układ i złe \\(a, b\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** W nierówności \\(x(-2x+3) > 0\\) nie dziel przez \\(x\\)! Nie wiesz, czy \\(x > 0\\) czy \\(x < 0\\), więc znak nierówności mógłby się zmienić. Zawsze analizuj znaki czynników w tabeli.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Końcowa odpowiedź to przedział **otwarty** \\(\\left(0, \\frac{3}{2}\\right)\\) - nie domknięty! W punktach \\(x = 0\\) i \\(x = \\frac{3}{2}\\) mamy \\(f(x) = 1\\), a nierówność jest **ostra** (\\(f(x) > 1\\), nie \\(\\geq 1\\)).\n\n**Poprawne odpowiedzi:** \\(f(x) = -2x^{2} + 3x + 1\\); \\(x \\in \\left(0, \\dfrac{3}{2}\\right)\\).\n\n### Sposób 1 - Układ równań, potem klasyczna nierówność kwadratowa\n**a) Wyznaczenie \\(a\\) i \\(b\\):**\nZ warunków:\n\\[f(1) = a + b + 1 = 2 \\Rightarrow a + b = 1.\\]\n\\[f(2) = 4a + 2b + 1 = -1 \\Rightarrow 4a + 2b = -2 \\Rightarrow 2a + b = -1.\\]\n\n**Układ:**\n\\[\\begin{cases} a + b = 1 \\\\ 2a + b = -1 \\end{cases}\\]\n\nOdejmujemy pierwsze od drugiego: \\(a = -2\\). Wtedy \\(b = 1 - a = 3\\).\n\n\\[\\boxed{f(x) = -2x^{2} + 3x + 1.}\\]\n\n**Sprawdzenie:** \\(f(1) = -2+3+1 = 2\\) ✓; \\(f(2) = -8+6+1 = -1\\) ✓.\n\n**b) Nierówność \\(f(x) > 1\\):**\n\\[-2x^{2} + 3x + 1 > 1\\]\n\\[-2x^{2} + 3x > 0\\]\n\\[x(-2x + 3) > 0 \\quad|\\cdot(-1)\\]\n\\[x(2x - 3) < 0.\\]\n\nMiejsca zerowe: \\(x = 0\\) oraz \\(x = \\dfrac{3}{2}\\).\n\nRamiona paraboli \\(y = x(2x-3) = 2x^{2}-3x\\) w górę, więc nierówność \\(< 0\\) spełniona między miejscami zerowymi:\n\\[x \\in \\left(0, \\dfrac{3}{2}\\right).\\]\n\n### Sposób 2 - Nierówność przez wzór Viète'a\n\\(-2x^{2} + 3x > 0\\). Wyciągamy czynnik: \\(x(3 - 2x) > 0\\). Znak iloczynu:\n- \\(x > 0\\) i \\(3 - 2x > 0 \\Rightarrow x < \\tfrac{3}{2}\\): przedział \\(\\left(0, \\tfrac{3}{2}\\right)\\) ✓\n- \\(x < 0\\) i \\(3 - 2x < 0 \\Rightarrow x > \\tfrac{3}{2}\\): sprzeczność.\n\nOstatecznie: \\(x \\in \\left(0, \\tfrac{3}{2}\\right)\\).\n\n### Sposób 3 - Graficznie\nFunkcja \\(f\\) ma ramiona w dół (\\(a = -2 < 0\\)). Poziom \\(y = 1\\) przecina wykres \\(f\\) dla \\(x\\) spełniających \\(-2x^{2} + 3x + 1 = 1\\), czyli \\(x = 0\\) lub \\(x = \\tfrac{3}{2}\\). Między tymi punktami funkcja leży powyżej \\(y = 1\\).\n\n### Komentarz dydaktyczny\nWarunek \\(f(x) > 1\\) - nierówność ostra, więc końce \\(0\\) i \\(\\tfrac{3}{2}\\) wyłączamy z przedziału.","image":"img/matematyka-2004-czerwiec-matura-podstawowa/zad-3.webp","solution_image":null,"topics":"ciagi","page_from":3,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2004 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2004-czerwiec-matura-podstawowa/zad/4","paper_id":"matematyka-2004-czerwiec-matura-podstawowa","number":"4","points":5,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2004,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 4. (5 pkt)\nNa poniższym rysunku przedstawiono równoramienny trójkąt ABC (o podstawie AC ) oraz\nprostokątny równoramienny trójkąt BDC (o podstawie BC ). Uzasadnij, że cos(ZACD) < 2\nA)\nA B D\nE\nvo\n3\n5\nE\nE\n5\nn\n3\na\n>\no\nR\nKZ.\nKcy\nE\nN\nJ\n3\nA\n3\noC\noO\n2\nPRÓBNY EGZAMIN MATURALNY - CZERWIEC 2004\nMatematyka - Arkusz I","answer":null,"answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(x - 4y + 3 = 0\\)\n\n## Sposób 1 - Warunek równoodległości (definicja symetralnej)\n\n**Cel:** symetralna odcinka \\(CD\\) to zbiór punktów równoodległych od \\(C\\) i \\(D\\).\n\n**Krok 1.** Bierzemy dowolny punkt \\(P(x; y)\\) leżący na symetralnej i zapisujemy warunek:\n\\[|CP| = |DP| \\iff |CP|^2 = |DP|^2\\]\n\n**Krok 2.** Liczymy kwadrat odległości od \\(C(4; 6)\\):\n\\[|CP|^2 = (x - 4)^2 + (y - 6)^2\\]\n\ni od \\(D(6; -2)\\):\n\\[|DP|^2 = (x - 6)^2 + (y + 2)^2\\]\n\n**Krok 3.** Przyrównujemy i rozwijamy:\n\\[(x-4)^2 + (y-6)^2 = (x-6)^2 + (y+2)^2\\]\n\\[x^2 - 8x + 16 + y^2 - 12y + 36 = x^2 - 12x + 36 + y^2 + 4y + 4\\]\n\n**Krok 4.** Odejmujemy \\(x^2\\) i \\(y^2\\) z obu stron (znikają!):\n\\[-8x + 16 - 12y + 36 = -12x + 36 + 4y + 4\\]\n\\[-8x - 12y + 52 = -12x + 4y + 40\\]\n\n**Krok 5.** Przenosimy wszystko na lewą stronę:\n\\[-8x - 12y + 52 + 12x - 4y - 40 = 0\\]\n\\[4x - 16y + 12 = 0\\]\n\n**Krok 6.** Dzielimy przez 4:\n\\[\\boxed{x - 4y + 3 = 0}\\]\n\n## Sposób 2 - Środek i kierunek prostopadły (metoda geometryczna)\n\nSymetralna odcinka \\(CD\\) to prosta, która:\n1. Przechodzi przez **środek** odcinka \\(CD\\)\n2. Jest **prostopadła** do odcinka \\(CD\\)\n\n**Krok 1.** Wyznaczamy środek \\(S\\) odcinka \\(CD\\):\n\\[S = \\left(\\frac{4+6}{2},\\; \\frac{6+(-2)}{2}\\right) = \\left(5,\\; 2\\right)\\]\n\n**Krok 2.** Wyznaczamy współczynnik kierunkowy prostej \\(CD\\):\n\\[a_{CD} = \\frac{y_D - y_C}{x_D - x_C} = \\frac{-2 - 6}{6 - 4} = \\frac{-8}{2} = -4\\]\n\n**Krok 3.** Prosta prostopadła ma współczynnik kierunkowy odwrotny i ze zmienionym znakiem:\n\\[a_{\\perp} = -\\frac{1}{a_{CD}} = -\\frac{1}{-4} = \\frac{1}{4}\\]\n\n**Krok 4.** Szukamy równania prostej przechodzącej przez \\(S(5; 2)\\) z kierunkiem \\(a_{\\perp} = \\frac{1}{4}\\):\n\\[y - 2 = \\frac{1}{4}(x - 5)\\]\n\\[4y - 8 = x - 5\\]\n\\[x - 4y + 3 = 0\\]\n\nWynik zgodny - symetralna to \\(\\boxed{x - 4y + 3 = 0}\\).\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25)**\n\nWzór na odległość między dwoma punktami:\n\\[|AB| = \\sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}\\]\nUżyliśmy tego (w wersji na \\(|AP|^2\\) i \\(|DP|^2\\)) w Sposobie 1.\n\nŚrodek odcinka:\n\\[x_S = \\frac{x_A + x_B}{2}, \\quad y_S = \\frac{y_A + y_B}{2}\\]\nUżyliśmy w Sposobie 2 do znalezienia środka \\(S\\).\n\nWarunek prostopadłości prostych (równania kierunkowe):\n\\[a_1 \\cdot a_2 = -1\\]\nUżyliśmy w Sposobie 2 do wyznaczenia współczynnika kierunkowego symetralnej.\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy rozwijaniu \\((x-4)^2\\) uważaj na znaki - częsty błąd to \\((x-4)^2 = x^2 - 4x + 16\\) zamiast \\(x^2 - 8x + 16\\). Zawsze sprawdź, czy środkowy wyraz to \\(2 \\cdot x \\cdot 4\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Warunek prostopadłości to \\(a_1 \\cdot a_2 = -1\\), więc \\(a_\\perp = -\\frac{1}{a}\\). Jeśli \\(a_{CD} = -4\\), to \\(a_\\perp = +\\frac{1}{4}\\) - nie odwrotność bez zmiany znaku!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie zapomnij uprościć wyniku - podziel przez NWD współczynników. Tu \\(4x - 16y + 12 = 0\\) trzeba skrócić przez 4, żeby dostać postać \\(x - 4y + 3 = 0\\). Obie postacie są poprawne matematycznie, ale ta skrócona jest standardowa.\n\n**Poprawna odpowiedź:** \\(x - 4y + 3 = 0\\).\n\n### Sposób 1 - Metoda z definicji symetralnej (analogicznie do wzoru)\nNiech \\(P(x, y)\\) - dowolny punkt symetralnej odcinka \\(CD\\). Z definicji:\n\\[|CP| = |DP| \\Leftrightarrow |CP|^{2} = |DP|^{2}.\\]\n\nObliczamy:\n\\[|CP|^{2} = (x-4)^{2} + (y-6)^{2},\\]\n\\[|DP|^{2} = (x-6)^{2} + (y+2)^{2}.\\]\n\nPrzyrównujemy:\n\\[(x-4)^{2} + (y-6)^{2} = (x-6)^{2} + (y+2)^{2}.\\]\n\nRozwijamy kwadraty:\n\\[(x^{2} - 8x + 16) + (y^{2} - 12y + 36) = (x^{2} - 12x + 36) + (y^{2} + 4y + 4).\\]\n\nSkracamy \\(x^{2}, y^{2}\\):\n\\[-8x + 16 - 12y + 36 = -12x + 36 + 4y + 4\\]\n\\[-8x - 12y + 52 = -12x + 4y + 40\\]\n\\[4x - 16y + 12 = 0 \\quad|\\div 4\\]\n\\[x - 4y + 3 = 0.\\]\n\n**Sprawdzenie:** środek \\(CD\\): \\(M = \\left(\\dfrac{4+6}{2}, \\dfrac{6+(-2)}{2}\\right) = (5, 2)\\). Podstawiamy: \\(5 - 8 + 3 = 0\\) ✓.\n\n### Sposób 2 - Przez środek i wektor kierunkowy\nSymetralna odcinka \\(CD\\) przechodzi przez środek \\(M\\) i jest prostopadła do \\(CD\\).\n\n**Środek:** \\(M = \\left(\\dfrac{4+6}{2}, \\dfrac{6-2}{2}\\right) = (5, 2)\\).\n\n**Wektor \\(\\vec{CD}\\):** \\((6-4,\\ -2-6) = (2, -8)\\). Współczynnik kierunkowy prostej \\(CD\\): \\(m_{CD} = \\dfrac{-8}{2} = -4\\).\n\n**Prostopadła ma współczynnik:** \\(m_{sym} = \\dfrac{-1}{-4} = \\dfrac{1}{4}\\).\n\nRównanie symetralnej przez punkt \\(M(5, 2)\\):\n\\[y - 2 = \\dfrac{1}{4}(x - 5)\\]\n\\[4y - 8 = x - 5\\]\n\\[x - 4y + 3 = 0.\\]\n\n### Kontrola końcowa\nKażdy punkt symetralnej ma tę samą odległość od \\(C\\) i \\(D\\). Sprawdzenie dla punktu \\(M(5, 2)\\):\n\\[|CM| = \\sqrt{(5-4)^{2}+(2-6)^{2}} = \\sqrt{1+16} = \\sqrt{17},\\]\n\\[|DM| = \\sqrt{(5-6)^{2}+(2+2)^{2}} = \\sqrt{1+16} = \\sqrt{17}.\\]\n\nObie odległości równe ✓.","image":"img/matematyka-2004-czerwiec-matura-podstawowa/zad-4.webp","solution_image":null,"topics":"planimetria","page_from":4,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2004 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2004-czerwiec-matura-podstawowa/zad/5","paper_id":"matematyka-2004-czerwiec-matura-podstawowa","number":"5","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2004,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 5. (4 pkt)\nW architekturze islamu często stosowanym elementem był „łuk podkowiasty”. Schemat okna\nw kształcie takiego łuku (łuku okręgu) przedstawiono na rysunku poniżej. Korzystając\nz danych na rysunku oblicz wysokość okna h i największy prześwit d.\nd\nh I\nSe ee\nŚ 30° l T\na ej -\n> -\nE P Oj R\n~ 3m\n2\nE\n5\nn\n3\na\n>\n2\nZ\nG\nE\nN\nJ\n3\n&\nĘ\ne\noO\no\nPRÓBNY EGZAMIN MATURALNY - CZERWIEC 2004\nMatematyka - Arkusz I","answer":null,"answer_text":"Zadanie 5\nOpis wykonywanej czynności Liczba punktów Modelowy wynik etapu (czynności)\nObliczenie długości r promienia okręgu. 15\n1p r=--= NEJ\nsin 60°\ni i ści x = 1,5\nObliczenie długości x |SO| . lp yee 0,543\ntg 60°\nObliczenie długości d . d=23\nObliczenie długości h . h=15V3","solution":"## Poprawna odpowiedź: powierzchnia ekranu wzrośnie o ok. \\(132{,}2\\%\\)\n\n## Sposób 1 - podobieństwo figur (współczynnik skali)\n\n**Kluczowa obserwacja:** Zachowanie stosunku boków oznacza, że oba ekrany są **podobnymi prostokątami**. Przekątna jest odpowiednim odcinkiem w obu figurach, więc współczynnik skali liniowej to:\n\n\\[k = \\frac{d_2}{d_1} = \\frac{32}{21}\\]\n\n**Dla figur podobnych pola rosną jak kwadrat współczynnika skali.** Jeśli boki skalujemy razy \\(k\\), to pole rośnie razy \\(k^2\\):\n\n\\[k^2 = \\left(\\frac{32}{21}\\right)^2 = \\frac{1024}{441}\\]\n\n**Wzrost powierzchni** (ile razy większe jest nowe pole od starego):\n\n\\[\\frac{S_2}{S_1} = k^2 = \\frac{1024}{441} \\approx 2{,}3220\\]\n\n**Procentowy wzrost:**\n\n\\[\\frac{S_2 - S_1}{S_1} \\cdot 100\\% = (k^2 - 1) \\cdot 100\\% = \\left(\\frac{1024}{441} - 1\\right) \\cdot 100\\%\\]\n\n\\[= \\frac{1024 - 441}{441} \\cdot 100\\% = \\frac{583}{441} \\cdot 100\\% \\approx 132{,}199\\ldots\\%\\]\n\n\\[\\boxed{\\approx 132{,}2\\%}\\]\n\n## Sposób 2 - rachunkowo z twierdzeniem Pitagorasa\n\nOznaczmy boki mniejszego ekranu jako \\(a\\) i \\(b\\) (stosunek \\(a : b\\) jest stały).\n\n**Mniejszy ekran** (przekątna 21 cali):\n\n\\[a^2 + b^2 = 21^2 = 441\\]\n\\[S_1 = a \\cdot b\\]\n\n**Większy ekran** (przekątna 32 cale, ten sam stosunek boków):\n\nSkoro stosunek boków zachowany, boki są \\(ka\\) i \\(kb\\) dla pewnego \\(k > 0\\). Z twierdzenia Pitagorasa:\n\n\\[(ka)^2 + (kb)^2 = 32^2 = 1024\\]\n\n\\[k^2(a^2 + b^2) = 1024\\]\n\n\\[k^2 \\cdot 441 = 1024 \\implies k^2 = \\frac{1024}{441}\\]\n\nPole większego ekranu:\n\n\\[S_2 = (ka)(kb) = k^2 \\cdot ab = \\frac{1024}{441} \\cdot S_1\\]\n\nProcentowy wzrost:\n\n\\[\\frac{S_2 - S_1}{S_1} \\cdot 100\\% = \\left(\\frac{1024}{441} - 1\\right) \\cdot 100\\% = \\frac{583}{441} \\cdot 100\\% \\approx \\mathbf{132{,}2\\%}\\]\n\n**Uwaga:** w tym rozwiązaniu nie musieliśmy znać ani stosunku boków, ani wartości \\(a\\), \\(b\\) - wynik zależy wyłącznie od stosunku przekątnych!\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 15)** - twierdzenie Pitagorasa:\n\\[a^2 + b^2 = c^2\\]\nUżyte w Sposobie 2 do zapisania zależności między bokami a przekątną.\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 21)** - pola figur podobnych:\n\\[\\frac{P_B}{P_A} = k^2\\]\nTo jest serce Sposobu 1 - gdy wszystkie długości skalujemy przez \\(k\\), pole rośnie \\(k^2\\) razy. Ekrany o tym samym stosunku boków są podobnymi prostokątami.\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Najczęstszy błąd to pomylenie wzrostu liniowego ze wzrostem pola. Przekątna wzrosła o \\(\\frac{32}{21} - 1 \\approx 52{,}4\\%\\), ale pole rośnie o znacznie więcej - bo zależy od **kwadratu** skali. Odpowiedź \\(52\\%\\) to typowy błąd tego rodzaju.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie można obliczyć osobno wartości \\(a\\) i \\(b\\) bez znajomości stosunku boków - ale **nie trzeba tego robić**. Wzrost pola zależy tylko od stosunku przekątnych, niezależnie od proporcji ekranu (16:9, 4:3 czy jakakolwiek inna).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wynik \\(\\frac{1024}{441} \\cdot 100\\% \\approx 232{,}2\\%\\) oznaczałby, że nowe pole to \\(232{,}2\\%\\) starego - czyli ekran jest ponad dwa razy większy. Wzrost to tylko \\(132{,}2\\%\\). Nie mylić \"nowe pole stanowi X% starego\" z \"pole wzrosło o X%\"!\n\n**Poprawna odpowiedź:** powierzchnia wzrośnie o ok. \\(132{,}2\\%\\).\n\n### Sposób 1 - Podobieństwo prostokątów ze skalą przekątnych\nDwa prostokąty mają ten sam stosunek boków, więc są **podobne**. Skala podobieństwa \\(k\\) równa jest stosunkowi odpowiadających sobie odcinków (w tym przekątnych):\n\\[k = \\dfrac{32}{21}.\\]\n\nStosunek pól figur podobnych jest równy kwadratowi skali:\n\\[\\dfrac{P_{2}}{P_{1}} = k^{2} = \\left(\\dfrac{32}{21}\\right)^{2} = \\dfrac{1024}{441} \\approx 2{,}3220.\\]\n\n**Przyrost:**\n\\[\\dfrac{P_{2} - P_{1}}{P_{1}}\\cdot 100\\% = (k^{2} - 1)\\cdot 100\\% = (2{,}3220 - 1)\\cdot 100\\% \\approx 132{,}2\\%.\\]\n\n### Sposób 2 - Obliczenie pól z konkretnym stosunkiem boków\nNiech boki prostokąta mają stosunek \\(a : b\\) (niech \\(a = rb\\) z ustalonym \\(r\\)). Dla przekątnej \\(d\\):\n\\[d^{2} = a^{2} + b^{2} = b^{2}(r^{2} + 1).\\]\n\\[b = \\dfrac{d}{\\sqrt{r^{2}+1}}, \\quad a = \\dfrac{rd}{\\sqrt{r^{2}+1}}.\\]\n\nPole:\n\\[P = ab = \\dfrac{r}{r^{2}+1}\\cdot d^{2}.\\]\n\nZauważamy, że dla ustalonego stosunku boków czynnik \\(\\dfrac{r}{r^{2}+1}\\) jest stały, więc:\n\\[\\dfrac{P_{2}}{P_{1}} = \\dfrac{d_{2}^{2}}{d_{1}^{2}} = \\dfrac{32^{2}}{21^{2}} = \\dfrac{1024}{441}.\\]\n\nPrzyrost: \\((\\tfrac{1024}{441} - 1)\\cdot 100\\% = \\dfrac{583}{441}\\cdot 100\\% \\approx 132{,}2\\%\\).\n\n### Sposób 3 - Konkretny przykład dla kontroli\nPrzyjmijmy stosunek 4:3 (telewizor tradycyjny). Dla \\(d_{1} = 21\\): \\(a = \\dfrac{4\\cdot 21}{5} = 16{,}8\\), \\(b = \\dfrac{3\\cdot 21}{5} = 12{,}6\\); pole \\(P_{1} = 16{,}8\\cdot 12{,}6 = 211{,}68\\).\n\nDla \\(d_{2} = 32\\): \\(a = \\dfrac{4\\cdot 32}{5} = 25{,}6\\), \\(b = \\dfrac{3\\cdot 32}{5} = 19{,}2\\); pole \\(P_{2} = 25{,}6\\cdot 19{,}2 = 491{,}52\\).\n\nPrzyrost: \\(\\dfrac{491{,}52}{211{,}68}\\approx 2{,}3220\\), czyli wzrost o \\(\\approx 132{,}2\\%\\) ✓.\n\n### Komentarz dydaktyczny\nKluczowa obserwacja: w figurach podobnych pole skaluje się z kwadratem skali liniowej. Sam stosunek boków nie ma znaczenia dla **stosunku** pól - znaczenie ma tylko stosunek przekątnych (czy jakiejkolwiek innej pary odpowiadających sobie odcinków).","image":"img/matematyka-2004-czerwiec-matura-podstawowa/zad-5.webp","solution_image":null,"topics":"planimetria","page_from":5,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2004 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2004-czerwiec-matura-podstawowa/zad/6","paper_id":"matematyka-2004-czerwiec-matura-podstawowa","number":"6","points":3,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2004,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 6. (3 pkt)\nFunkcja f przyporządkowuje każdej liczbie rzeczywistej iloczyn tej liczby przez liczbę\no 3 od niej mniejszą.\na. Podaj wzór funkcji f\nb. Zbadaj, ile rozwiązań ma równanie /(x)+3=0.\ni\no\n3\n5\nE\nE\n5\nn\n3\na\n>\no\nR\nKZ.\nKcy\nE\nN\nJ\n3\nA\n3\noC\noO\n2\nPRÓBNY EGZAMIN MATURALNY - CZERWIEC 2004\nMatematyka - Arkusz I","answer":"A","answer_text":"Zadanie 6\nOpis wykonywanej czynności Liczba punktów Modelowy wynik etapu (czynności)\nPodanie wzoru funkcji f . /(x)=x-(x-3)\nZapisanie odpowiedniego równania x? -3x+3=0\nObliczenie wyróżnika i sformułowanie 1 A =-3 brak rozwiązań\nodpowiedzi. p","solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(a_3 = 0\\) i \\(a_5 = 0\\)\n\nPoza podanym \\(a_2 = 0\\), pozostałe wyrazy ciągu równe zero to wyrazy trzeci i piąty.\n\n## Sposób 1 - Rozkład wielomianu przez dzielenie przez \\((n-2)\\)\n\n**Skoro wiemy, że \\(a_2 = 0\\), to \\(n = 2\\) jest pierwiastkiem wielomianu** \\(W(n) = n^3 - 10n^2 + 31n - 30\\). Możemy więc wyłączyć czynnik \\((n-2)\\).\n\n**Krok 1 - Dzielenie wielomianu przez \\((n-2)\\).**\n\nDzielimy \\(n^3 - 10n^2 + 31n - 30\\) przez \\((n-2)\\) metodą (np. Hornera lub pisemnie):\n\n\\[\nn^3 - 10n^2 + 31n - 30 = (n-2) \\cdot (n^2 - 8n + 15)\n\\]\n\nSprawdzenie:\n\\[\n(n-2)(n^2 - 8n + 15) = n^3 - 8n^2 + 15n - 2n^2 + 16n - 30 = n^3 - 10n^2 + 31n - 30 \\checkmark\n\\]\n\n**Krok 2 - Rozkład trójmianu kwadratowego \\(n^2 - 8n + 15\\).**\n\nWyróżnik:\n\\[\n\\Delta = (-8)^2 - 4 \\cdot 1 \\cdot 15 = 64 - 60 = 4\n\\]\n\nPierwiastki:\n\\[\nn_1 = \\frac{8 - \\sqrt{4}}{2} = \\frac{8-2}{2} = 3, \\qquad n_2 = \\frac{8 + \\sqrt{4}}{2} = \\frac{8+2}{2} = 5\n\\]\n\nZatem:\n\\[\nn^2 - 8n + 15 = (n-3)(n-5)\n\\]\n\n**Krok 3 - Pełny rozkład.**\n\n\\[\na_n = n^3 - 10n^2 + 31n - 30 = (n-2)(n-3)(n-5)\n\\]\n\n**Krok 4 - Wyznaczenie zer.**\n\nWyraz ciągu \\(a_n = 0\\) wtedy i tylko wtedy, gdy:\n\\[\n(n-2)(n-3)(n-5) = 0 \\implies n = 2 \\text{ lub } n = 3 \\text{ lub } n = 5\n\\]\n\nPonieważ \\(a_2 = 0\\) było dane, **pozostałe wyrazy równe zero to \\(a_3\\) i \\(a_5\\)**.\n\n## Sposób 2 - Schemat Hornera + weryfikacja podstawieniem\n\n**Schemat Hornera** to szybki algorytm dzielenia wielomianu przez \\((n-c)\\):\n\nDla \\(W(n) = n^3 - 10n^2 + 31n - 30\\) i \\(c = 2\\):\n\n| | \\(1\\) | \\(-10\\) | \\(31\\) | \\(-30\\) |\n| \\(\\cdot 2\\) | | \\(2\\) | \\(-16\\) | \\(30\\) |\n| | \\(1\\) | \\(-8\\) | \\(15\\) | \\(\\mathbf{0}\\) |\n\nWynik: \\(n^2 - 8n + 15\\) - reszta \\(= 0\\), co potwierdza, że \\(n=2\\) jest pierwiastkiem.\n\n**Weryfikacja końcowych wyników:**\n\n\\[\na_3 = 3^3 - 10 \\cdot 3^2 + 31 \\cdot 3 - 30 = 27 - 90 + 93 - 30 = \\mathbf{0} \\checkmark\n\\]\n\\[\na_5 = 5^3 - 10 \\cdot 5^2 + 31 \\cdot 5 - 30 = 125 - 250 + 155 - 30 = \\mathbf{0} \\checkmark\n\\]\n\\[\na_4 = 4^3 - 10 \\cdot 4^2 + 31 \\cdot 4 - 30 = 64 - 160 + 124 - 30 = \\mathbf{-2} \\neq 0\n\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)** - wzory na pierwiastki trójmianu kwadratowego:\n\\[\nx_{1,2} = \\frac{-b \\pm \\sqrt{\\Delta}}{2a}, \\qquad \\Delta = b^2 - 4ac\n\\]\nUżyliśmy w Kroku 2 do rozłożenia \\(n^2 - 8n + 15\\) na czynniki liniowe.\n\nW tym zadaniu nie używamy wzorów z działu ciągów (Dział 8) - mimo że zadanie dotyczy ciągu, wzór \\(a_n\\) jest dany wprost jako wielomian, więc pracujemy narzędziami algebry.\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Uczniowie często zapominają, że \\(n\\) musi być liczbą naturalną (\\(n \\geq 1\\)). Gdyby równanie dawało ujemny lub ułamkowy pierwiastek, nie odpowiadałby on żadnemu wyrazowi ciągu.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy dzieleniu wielomianu przez \\((n-2)\\) łatwo o błąd znaku. Pamiętaj: jeśli pierwiastek to \\(n = 2\\), to czynnik to \\((n - 2)\\), a nie \\((n + 2)\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie wolno sprawdzać tylko kilku wartości \"na oko\" i zakładać, że to wszystkie zera. Jedyną pewną metodą jest pełny rozkład na czynniki - wielomian stopnia 3 ma **co najwyżej 3 pierwiastki**, więc po znalezieniu trzech mamy pewność, że to już wszystkie.\n\n**Poprawna odpowiedź:** pozostałe wyrazy równe zero to \\(a_3 = 0\\) oraz \\(a_5 = 0\\).\n\n### Sposób 1 - Twierdzenie Bézouta i rozkład wielomianu\n**Krok 1 - równanie zerowych wyrazów.**\nSzukamy \\(n \\in \\mathbb{N}_{+}\\) spełniających:\n\\[n^{3} - 10n^{2} + 31n - 30 = 0.\\]\n\n**Krok 2 - wykorzystanie znanej zerowości \\(a_{2} = 0\\).**\nSprawdzamy: \\(2^{3} - 10\\cdot 4 + 31\\cdot 2 - 30 = 8 - 40 + 62 - 30 = 0\\) ✓.\n\nZgodnie z **twierdzeniem Bézouta**, \\(W(n) = n^{3} - 10n^{2} + 31n - 30\\) jest podzielny przez \\((n-2)\\).\n\n**Krok 3 - dzielenie wielomianu.**\nDzielimy \\(W(n)\\) przez \\((n-2)\\), np. schematem Hornera:\n\n| | 1 | -10 | 31 | -30 |\n| 2 | 1 | -8 | 15 | 0 |\n\nCzyli \\(W(n) = (n-2)(n^{2} - 8n + 15)\\).\n\n**Krok 4 - pierwiastki trójmianu \\(n^{2} - 8n + 15\\).**\n\\[\\Delta = 64 - 60 = 4, \\quad \\sqrt{\\Delta} = 2.\\]\n\\[n = \\dfrac{8 \\pm 2}{2} \\Rightarrow n_{1} = 3, \\quad n_{2} = 5.\\]\n\n**Krok 5 - wniosek.**\nWszystkie zera ciągu: \\(n = 2, 3, 5\\) (wszystkie są liczbami naturalnymi dodatnimi, więc należą do dziedziny ciągu).\n\nZatem **pozostałe** wyrazy równe zero (oprócz \\(a_2\\)):\n\\[\\boxed{a_3 = 0 \\quad \\text{oraz} \\quad a_5 = 0.}\\]\n\n**Sprawdzenie:**\n\\[a_3 = 27 - 90 + 93 - 30 = 0 \\checkmark\\]\n\\[a_5 = 125 - 250 + 155 - 30 = 0 \\checkmark\\]\n\n### Sposób 2 - Wzory Viète'a dla wielomianu trzeciego stopnia\nDla \\(W(n) = n^{3} - 10n^{2} + 31n - 30\\) z pierwiastkami \\(n_{1}, n_{2}, n_{3}\\):\n\\[n_{1}+n_{2}+n_{3} = 10, \\quad n_{1}n_{2}n_{3} = 30.\\]\n\nZnamy \\(n_{1} = 2\\), więc:\n\\[n_{2}+n_{3} = 8, \\quad n_{2}n_{3} = 15.\\]\n\n\\(n_{2}, n_{3}\\) są pierwiastkami \\(t^{2} - 8t + 15 = 0\\), czyli \\(t = 3\\) lub \\(t = 5\\) (jak wyżej).\n\n### Sposób 3 - Sprawdzanie liczb naturalnych\nPierwiastki wymierne \\(W(n)\\) są dzielnikami \\(-30\\): \\(\\pm 1, \\pm 2, \\pm 3, \\pm 5, \\pm 6, \\ldots\\).\n\nDla \\(n \\in \\mathbb{N}_{+}\\) testujemy kandydatów:\n- \\(W(1) = 1 - 10 + 31 - 30 = -8\\) ✗\n- \\(W(2) = 0\\) ✓ (dane)\n- \\(W(3) = 27 - 90 + 93 - 30 = 0\\) ✓\n- \\(W(4) = 64 - 160 + 124 - 30 = -2\\) ✗\n- \\(W(5) = 125 - 250 + 155 - 30 = 0\\) ✓\n- Dla \\(n \\ge 6\\): \\(W(6) = 216 - 360 + 186 - 30 = 12\\) ✗, \\(W\\) rośnie → brak zer.\n\n### Komentarz dydaktyczny\nWielomian stopnia 3 ma **co najwyżej 3 pierwiastki rzeczywiste** - skoro znaleźliśmy trzy (\\(2, 3, 5\\)), to wyczerpaliśmy wszystkie możliwości. Dla \\(n > 5\\) (oraz \\(n < 2\\) w dziedzinie \\(\\mathbb{N}_{+}\\)) wyrazy ciągu są różne od zera.","image":"img/matematyka-2004-czerwiec-matura-podstawowa/zad-6.webp","solution_image":null,"topics":"funkcje","page_from":6,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2004 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2004-czerwiec-matura-podstawowa/zad/7","paper_id":"matematyka-2004-czerwiec-matura-podstawowa","number":"7","points":5,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2004,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 7. (5 pkt)\nPole trójkąta o wierzchołkach A = (1, 2), B = (3, 0), C=(2, 4) można obliczyć stosując\nnastępującą metodę:\ne zaznaczamy w układzie współrzędnych punkty ABC;\ne - rysujemy prostokąt KLMN w sposób przedstawiony na rysunku (odpowiednie\nboki prostokąta mają być równoległe do osi układu współrzędnych);\ne _ odczytujemy długości odpowiednich odcinków: y\n|KL| = 2,|LM| =4,|AK| =2,|MC|=1, |CN|=1|NA|=2;\ne obliczamy pole prostokąta: Py = |KL| . |LM| =2-4=8; N c M\n4\ne obliczamy pola odpowiednich trójkątów prostokątnych: |\n1 1\nPk, = 7|AK|-|KL|=-:2:2=2\nMKL 3 | | | | 2 |\n1 l\nPuc = > EM|-|MC|=--4-1=2 K B=L\na 1 1 a 1 2 3 x\n8 Pica = |CN|-|NA]=>*1:2=1\n5\nĘ e od pola prostokąta odejmujemy sumę pól trójkątów: Pp, =8-(2+2+1)=3.\n5 Stosując opisaną wyżej metodę, oblicz pole trójkąta o wierzchołkach 4 = (,0), B=(5, 1), C=(3, 4).\ng\na\nN\n©\nR\nG\nE\nN\n$\nŹ\n3\noC\n&\nPRÓBNY EGZAMIN MATURALNY - CZERWIEC 2004\nMatematyka - Arkusz I","answer":null,"answer_text":"Zadanie 7\na Opis wykonywanej czynności Liczba punktów Modelowy wynik etapu (czynności)\noO Zaznaczenie w układzie współrzędnych\n3 punktów ABC oraz narysowanie prostokąta 1p\n& KLMN.\nG Wyznaczenie długości odpowiednich |KL| =4 |LB| =| |BM| =3 |MC| =2\n„e odcinków. 1p > > >\n8 |CN|=2, |NK|=4\nN Obliczenie pól odpowiednich trójkątów Ip Pre = 2, Pac = 3, Prove = 4\nod prostokątnych.\n5 Zadanie 8\ne Modelowy wynik etapu (czynności\n4 Zapisanie nierówności za pomocą której nż-5<0\nE można wyznaczyć liczbę ujemnych Ip\n\"e wyrazów ciągu (a, ) .\n3)\n= Rozwiązanie nierówności n* - 5 < 0 Ip ne fi, 2}\nw zbiorze liczb naturalnych.\nPodanie liczby ujemnych wyrazów 2\nciągu (a, ) . Ip\nZapisanie warunku na to by ciąg (a, ) był a\nap: y ag (a,) y Ip np. EL = const\nciagiem geometrycznym. a,\na a 2 _0n-\nObliczenie -+\". Ip antl = \"m4\na, a, n -5\nEj . Gist .\nStwierdzenie, ze --- zależy od m więc\na, 1p\nciąg (a,) nie jest geometryczny.\n2\nSchemat punktowania arkusza I z matematyki","solution":"## Poprawna odpowiedź:\n\n**a)** Zbiór wartości: \\(Y = \\{2, 5, 10, 17, 26, 37, 50\\}\\)\n\n**b)** Funkcja przyjmuje wartość \\(37\\) dla argumentu \\(x = 6\\).\n\n## Sposób 1 - Wypisanie par i odczyt\n\n**Krok 1: Ustal dziedzinę.**\n\nDziedzina to \\(\\mathbb{N}_+ \\cap \\langle 1, 7 \\rangle\\), czyli:\n\\[D = \\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\\}\\]\n\n**Krok 2: Oblicz wartości funkcji \\(f(x) = x^2 + 1\\) dla każdego argumentu.**\n\n| \\(x\\) | \\(x^2\\) | \\(f(x) = x^2 + 1\\) |\n| 1 | 1 | **2** |\n| 2 | 4 | **5** |\n| 3 | 9 | **10** |\n| 4 | 16 | **17** |\n| 5 | 25 | **26** |\n| 6 | 36 | **37** |\n| 7 | 49 | **50** |\n\nZapis jako zbiór par uporządkowanych:\n\\[\\{(1,2),\\ (2,5),\\ (3,10),\\ (4,17),\\ (5,26),\\ (6,37),\\ (7,50)\\}\\]\n\n**Krok 3: Sporządź wykres.**\n\nWykres to 7 izolowanych punktów na płaszczyźnie - **nie łączymy ich** (funkcja jest dyskretna!):\n\ny\n50 •\n37 •\n26 •\n17 •\n10 •\n5 •\n2 •\n1 2 3 4 5 6 7 x\n\n**Krok 4: Zbiór wartości.**\n\nZbiór wartości to zbiór wszystkich wyników z drugiej kolumny tabeli:\n\\[\\boxed{Y = \\{2, 5, 10, 17, 26, 37, 50\\}}\\]\n\n**Krok 5: Argument dla wartości 37.**\n\nZ tabeli widać bezpośrednio, że \\(f(6) = 37\\), zatem **\\(x = 6\\)**.\n\n## Sposób 2 - Równanie algebraiczne (dla części b)\n\nZamiast odczytywać z tabeli, rozwiązujemy równanie:\n\n\\[f(x) = 37\\]\n\\[x^2 + 1 = 37\\]\n\\[x^2 = 36\\]\n\\[x = \\pm 6\\]\n\nJednak pamiętamy, że \\(x \\in \\mathbb{N}_+\\) (naturalne dodatnie), więc \\(x = -6\\) odpada.\n\nSprawdzamy, czy \\(x = 6\\) należy do dziedziny:\n\\[6 \\in \\mathbb{N}_+ \\text{ i } 6 \\leq 7 \\quad \\checkmark\\]\n\n**Jedyny argument, dla którego \\(f(x) = 37\\), to \\(\\boldsymbol{x = 6}\\).**\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy podstawowa definicja funkcji i obliczenia arytmetyczne (potęgowanie).\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Dziedzina to \\(\\mathbb{N}_+\\), czyli liczby naturalne **dodatnie** - zaczynamy od \\(x = 1\\), a nie od \\(x = 0\\)! Gdyby zacząć od 0, pojawia się wartość \\(f(0) = 1\\), której **nie ma** w zbiorze wartości.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wykres tej funkcji to **7 izolowanych punktów** - nie rysujemy paraboli ani nie łączymy punktów linią. Funkcja jest określona tylko na skończonym, dyskretnym zbiorze.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** W części b) równanie \\(x^2 = 36\\) daje dwa rozwiązania: \\(x = 6\\) i \\(x = -6\\). Pamiętaj o odrzuceniu \\(x = -6\\), bo \\(-6 \\notin \\mathbb{N}_+\\) - ujemne nie należą do liczb naturalnych.\n\n**Poprawne odpowiedzi:** \\(Y = \\{2, 5, 10, 17, 26, 37, 50\\}\\); argument \\(x = 6\\).\n\n### Sposób 1 - Tabelkowy (bezpośrednio z definicji)\n**a) Zbiór wartości - dziedzina \\(D = \\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\\}\\):**\n\n| \\(x\\) | \\(x^{2}+1\\) |\n| 1 | \\(1 + 1 = 2\\) |\n| 2 | \\(4 + 1 = 5\\) |\n| 3 | \\(9 + 1 = 10\\) |\n| 4 | \\(16 + 1 = 17\\) |\n| 5 | \\(25 + 1 = 26\\) |\n| 6 | \\(36 + 1 = 37\\) |\n| 7 | \\(49 + 1 = 50\\) |\n\nZatem zbiór wartości:\n\\[Y = \\{2, 5, 10, 17, 26, 37, 50\\}.\\]\n\n**Wykres:** na osi odciętych zaznaczamy punkty \\(x = 1, 2, \\ldots, 7\\); na osi rzędnych wartości \\(y\\) z tabeli. Wykres to **zbiór 7 izolowanych punktów** (nie łączymy ich krzywą!), bo dziedzina jest dyskretna:\n\\[(1,2), (2,5), (3,10), (4,17), (5,26), (6,37), (7,50).\\]\n\n**b) Argument dla \\(f(x) = 37\\):**\nZ tabeli widzimy, że \\(37\\) odpowiada \\(x = 6\\) (bo \\(6^{2}+1 = 37\\)).\n\n### Sposób 2 - Algebraiczne rozwiązanie równania\nRozwiązujemy:\n\\[x^{2} + 1 = 37\\]\n\\[x^{2} = 36\\]\n\\[x = \\pm 6.\\]\n\nDziedzina ogranicza \\(x \\in \\{1, 2, \\ldots, 7\\}\\), więc \\(x = -6\\) odrzucamy. Zostaje \\(x = 6\\).\n\n### Uwaga\n**Dziedzina jest dyskretna** - funkcja przyjmuje tylko siedem wartości (nie jest ciągła). Nie można rysować paraboli - wykres to **7 punktów** na układzie współrzędnych.\n\nWszystkie wartości są różne (ciąg rosnący \\(x^{2}+1\\) dla \\(x \\ge 1\\)), więc każdej wartości \\(y\\) odpowiada dokładnie jeden argument z dziedziny.","image":"img/matematyka-2004-czerwiec-matura-podstawowa/zad-7.webp","solution_image":null,"topics":"analityczna","page_from":7,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2004 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2004-czerwiec-matura-podstawowa/zad/8","paper_id":"matematyka-2004-czerwiec-matura-podstawowa","number":"8","points":6,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2004,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 8. (6 pkt)\nCiąg (a,) określony jest wzorem a, =n* -5.\na. Wyznacz liczbę ujemnych wyrazów tego ciągu.\nb. Sprawdź, na podstawie definicji, czy ciąg (a,) jest ciągiem geometrycznym.\ni\no\n3\n5\nGd\nE\ne)\nn\n3\na\nN\nn\no\nR\nKZ.\nKcy\nE\nN\nJ\n3\nA\n3\noC\noO\n2\nPRÓBNY EGZAMIN MATURALNY - CZERWIEC 2004\nMatematyka - Arkusz I","answer":null,"answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(h_w = 298\\) cm\n\n## Sposób 1 - Równanie objętości (bezpośrednie)\n\n**Zasada:** metal się przetapia, więc suma objętości kuli i stożka = objętość walca.\n\n\\[V_{\\text{kula}} + V_{\\text{stożek}} = V_{\\text{walec}}\\]\n\n**Krok 1: Objętość kuli**\n\nPromień kuli: \\(r_k = 10\\) cm.\n\n\\[V_{\\text{kula}} = \\frac{4}{3}\\pi r_k^3 = \\frac{4}{3}\\pi \\cdot 10^3 = \\frac{4000\\pi}{3} \\text{ cm}^3\\]\n\n**Krok 2: Objętość stożka**\n\nŚrednica stożka \\(= 16\\) cm, więc promień \\(r_s = 8\\) cm; wysokość \\(h_s = 12\\) cm.\n\n\\[V_{\\text{stożek}} = \\frac{1}{3}\\pi r_s^2 h_s = \\frac{1}{3}\\pi \\cdot 8^2 \\cdot 12 = \\frac{1}{3}\\pi \\cdot 768 = 256\\pi = \\frac{768\\pi}{3} \\text{ cm}^3\\]\n\n**Krok 3: Łączna objętość metalu**\n\n\\[V_{\\text{metal}} = \\frac{4000\\pi}{3} + \\frac{768\\pi}{3} = \\frac{4768\\pi}{3} \\text{ cm}^3\\]\n\n**Krok 4: Promień walca**\n\nŚrednica walca \\(= \\dfrac{8\\sqrt{3}}{3}\\) cm, więc promień \\(r_w = \\dfrac{4\\sqrt{3}}{3}\\) cm.\n\nObliczam \\(r_w^2\\):\n\n\\[r_w^2 = \\left(\\frac{4\\sqrt{3}}{3}\\right)^2 = \\frac{16 \\cdot 3}{9} = \\frac{48}{9} = \\frac{16}{3} \\text{ cm}^2\\]\n\n**Krok 5: Wyznaczam wysokość walca**\n\n\\[V_{\\text{walec}} = \\pi r_w^2 \\cdot h_w \\implies \\frac{4768\\pi}{3} = \\pi \\cdot \\frac{16}{3} \\cdot h_w\\]\n\nDzielę obie strony przez \\(\\pi\\) i mnożę przez \\(3\\):\n\n\\[4768 = 16 \\cdot h_w\\]\n\n\\[\\boxed{h_w = \\frac{4768}{16} = 298 \\text{ cm}}\\]\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja (podstawienie wyniku)\n\nSprawdzam, czy walec o \\(r_w = \\dfrac{4\\sqrt{3}}{3}\\) cm i \\(h_w = 298\\) cm ma rzeczywiście objętość \\(\\dfrac{4768\\pi}{3}\\) cm³:\n\n\\[V_{\\text{walec}} = \\pi \\cdot \\frac{16}{3} \\cdot 298 = \\frac{4768\\pi}{3} \\text{ cm}^3\\]\n\nSprawdzam sumę składowych:\n\n\\[\\frac{4000\\pi}{3} + \\frac{768\\pi}{3} = \\frac{4768\\pi}{3} \\checkmark\\]\n\nWyniki się zgadzają - **obliczenie jest poprawne**.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 12 (Stereometria, s. 26-28)** - wzory na objętości brył:\n\nKula (promień \\(r\\)):\n\\[V = \\frac{4}{3}\\pi r^3\\]\nUżyte w Kroku 1 do obliczenia objętości kuli o \\(r = 10\\) cm.\n\nStożek (promień podstawy \\(r\\), wysokość \\(h\\)):\n\\[V = \\frac{1}{3}\\pi r^2 h\\]\nUżyte w Kroku 2 do obliczenia objętości stożka o \\(r = 8\\) cm, \\(h = 12\\) cm.\n\nWalec (promień \\(r\\), wysokość \\(h\\)):\n\\[V = \\pi r^2 h\\]\nUżyte w Kroku 5 do wyznaczenia \\(h_w\\) z równania na objętość walca.\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Zadanie podaje **średnicę** stożka i walca, nie promień! Bardzo łatwo zapomnieć podzielić przez 2 - błąd ten daje \\(r_w = \\dfrac{8\\sqrt{3}}{3}\\) zamiast \\(\\dfrac{4\\sqrt{3}}{3}\\), przez co objętość walca jest 4-krotnie większa, a wysokość 4-krotnie mniejsza (\\(\\approx 74{,}5\\) cm).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy obliczaniu \\(r_w^2 = \\left(\\dfrac{4\\sqrt{3}}{3}\\right)^2\\) pamiętaj, że \\((4\\sqrt{3})^2 = 16 \\cdot 3 = 48\\) i \\(3^2 = 9\\), więc \\(r_w^2 = \\dfrac{48}{9} = \\dfrac{16}{3}\\). Częsty błąd to zapomnienie o podniesieniu mianownika do kwadratu.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przetapianie oznacza **zachowanie objętości** - nie pola powierzchni! Nie wolno sumować pól powierzchni brył.\n\n**Poprawna odpowiedź:** \\(h_{w} = 298\\) cm.\n\n### Sposób 1 - Równość objętości (przetopiono ⇒ zachowana objętość)\n**Dane:**\n- Kula: \\(R = 10\\) cm.\n- Stożek: średnica \\(2r = 16\\) cm, więc \\(r = 8\\) cm; wysokość \\(h = 12\\) cm.\n- Walec: średnica \\(2r_{w} = \\dfrac{8\\sqrt{3}}{3}\\) cm, więc \\(r_{w} = \\dfrac{4\\sqrt{3}}{3}\\) cm.\n\n**Krok 1 - objętość kuli:**\n\\[V_{k} = \\dfrac{4}{3}\\pi R^{3} = \\dfrac{4}{3}\\pi\\cdot 1000 = \\dfrac{4000\\pi}{3} \\text{ cm}^{3}.\\]\n\n**Krok 2 - objętość stożka:**\n\\[V_{s} = \\dfrac{1}{3}\\pi r^{2}h = \\dfrac{1}{3}\\pi\\cdot 64\\cdot 12 = \\dfrac{768\\pi}{3} = 256\\pi \\text{ cm}^{3}.\\]\n\n**Krok 3 - suma objętości (objętość walca):**\n\\[V_{W} = V_{k} + V_{s} = \\dfrac{4000\\pi}{3} + \\dfrac{768\\pi}{3} = \\dfrac{4768\\pi}{3} \\text{ cm}^{3}.\\]\n\n**Krok 4 - pole podstawy walca:**\n\\[P_{w} = \\pi r_{w}^{2} = \\pi\\left(\\dfrac{4\\sqrt{3}}{3}\\right)^{2} = \\pi\\cdot\\dfrac{48}{9} = \\dfrac{16\\pi}{3} \\text{ cm}^{2}.\\]\n\n**Krok 5 - równanie na wysokość walca:**\nZ \\(V_{W} = P_{w}\\cdot h_{w}\\):\n\\[\\dfrac{4768\\pi}{3} = \\dfrac{16\\pi}{3}\\cdot h_{w}\\]\n\\[h_{w} = \\dfrac{4768\\pi}{3} : \\dfrac{16\\pi}{3} = \\dfrac{4768}{16} = 298 \\text{ cm.}\\]\n\n### Sposób 2 - Z uproszczonymi skrótami\nObjętość „przetopiona\" to:\n\\[V_{W} = V_{k} + V_{s}.\\]\n\nWalec: \\(V_{W} = \\pi r_{w}^{2}\\cdot h_{w}\\). Dzielimy obustronnie przez \\(\\pi\\):\n\\[r_{w}^{2}\\cdot h_{w} = R^{3}\\cdot\\dfrac{4}{3} + \\dfrac{1}{3}r^{2}h.\\]\n\nPodstawiamy:\n\\[\\dfrac{48}{9}\\cdot h_{w} = \\dfrac{4\\cdot 1000}{3} + \\dfrac{64\\cdot 12}{3} = \\dfrac{4000 + 768}{3} = \\dfrac{4768}{3}.\\]\n\n\\[\\dfrac{16}{3}\\cdot h_{w} = \\dfrac{4768}{3} \\Rightarrow h_{w} = \\dfrac{4768}{16} = 298.\\]\n\n### Weryfikacja\nObjętość walca: \\(V_{W} = \\dfrac{16\\pi}{3}\\cdot 298 = \\dfrac{4768\\pi}{3}\\) cm\\(^{3}\\).\n\nPodziel na składniki: \\(\\dfrac{4000\\pi}{3} = \\tfrac{4}{3}\\pi\\cdot 10^{3}\\) ✓ (kula), \\(\\dfrac{768\\pi}{3} = 256\\pi = \\tfrac{1}{3}\\pi\\cdot 64\\cdot 12\\) ✓ (stożek).\n\n### Komentarz dydaktyczny\nKluczowe założenie zadania: **przetopienie zachowuje objętość** (nie masę, nie gęstość - te mogą się zmienić, ale w zadaniu geometrycznym zakładamy zachowanie objętości). Wysokość \\(298\\) cm oznacza bardzo smukły walec (średnica tylko \\(\\approx 4{,}62\\) cm) - konsekwencja małej średnicy przy tej samej objętości.","image":"img/matematyka-2004-czerwiec-matura-podstawowa/zad-8.webp","solution_image":null,"topics":"ciagi","page_from":8,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2004 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2004-czerwiec-matura-podstawowa/zad/9","paper_id":"matematyka-2004-czerwiec-matura-podstawowa","number":"9","points":7,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2004,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 9. (7 pkt)\nPunkty A =(-1, -2), B=(2,-1),C=(i, 2) są wierzchołkami trójkąta ABC.\na. Oblicz długość odcinka AB.\nb. Napisz równanie prostej m , do której należą punkty B iC.\nc. Napisz równanie prostej k prostopadłej do prostej m takiej, że Aek.\nd. Uzasadnij, że środek okręgu opisanego na trójkącie ABC nie należy do prostej k.\ni\no\n3\n3\nE\nE\n5\ng\nS\nN\n©\n‘N\nG\nE\nN\n$\nŹ\na\noC\noO\no\nPRÓBNY EGZAMIN MATURALNY - CZERWIEC 2004\nMatematyka - Arkusz I","answer":null,"answer_text":"Zadanie 9\nOpis wykonywanej czynności Liczba punktów Modelowy wynik etapu (czynności)\nObliczenie długości odcinka AB . [48] =410\nWyznaczenie równania prostej m . 2 p (jeden punkt | y=-3x+5\nprzyznajemy za\npoprawną\nmetodę)\nWyznaczenie współczynnika kierunkowego 1\nprostej k. Ip 3\nWyznaczenie równania prostej k . 1 2\nlp y=-x-1-\n3 3\nZapisanie warunku na to, by środek okręgu np. trójkąt ABC musiałby być\nopisanego na trójkącie ABC należał do równoramienny, wtedy symetralna odcinka\nprostej k . Ip BC pokrywataby sie z prosta k\n(w przeciwnym przypadku są rozłączne,\na środek okręgu opisanego na trójkącie\nmusi do symetralnej należeć).\nĘ Sprawdzenie, czy środek okręgu opisanego | A c] = [20 # A 0\ns na trójkącie ABC należy do prostej k 1p : . a.\nE i udzielenie odpowiedzi. środek okręgu opisanego na trójkącie\nE ABC nie należy do prostej k .\n8 Zadanie 10\n5 Opis wykonywanej czynności Liczba punktów Modelowy wynik etapu (czynności)\n= Obliczenie a -b. 4\nz 1p a-b=--\n| 5\nPA Obliczenie a-b. 1\n= lp a-b=--\n3, 25\n3\na-b tak\nŃ Sprawdzenie, czy --- = 20 1p\n> a:b\n3 a a\nws Obliczenie -. Ip -= 4/3 -7\na b b\noC\na -\nE Zbadanie znaku wyrażenia 5 . 493 7<0\nZastosowanie definicji wartości a\nbezwzględnej. 1p b =7-4\\3","solution":"## Poprawna odpowiedź:\n\nUkład nierówności: \\(\\begin{cases} x \\leq 5 \\\\ y \\geq -\\dfrac{3}{5}x \\\\ y \\leq \\dfrac{3}{5}x \\end{cases}\\)\n\nPole trójkąta: \\(P = 15\\)\n\n## Sposób 1 - równania boków, logika nierówności\n\n**Krok 1: Wyznacz równania prostych zawierających boki trójkąta.**\n\nMamy wierzchołki \\(A(0,0)\\), \\(B(5,-3)\\), \\(C(5,3)\\).\n\n**Bok \\(BC\\):** Oba punkty mają \\(x = 5\\), więc jest to prosta pionowa:\n\\[x = 5\\]\nTrójkąt leży na lewo od niej, więc warunek to \\(x \\leq 5\\).\n\n**Bok \\(AB\\):** od \\(A(0,0)\\) do \\(B(5,-3)\\):\n\\[a_{AB} = \\frac{-3 - 0}{5 - 0} = -\\frac{3}{5}\\]\n\\[y = -\\frac{3}{5}x\\]\nTrójkąt leży **powyżej** tej prostej (np. punkt \\(C(5,3)\\): sprawdzamy \\(3 \\geq -\\frac{3}{5} \\cdot 5 = -3\\) ✓), więc warunek to:\n\\[y \\geq -\\frac{3}{5}x\\]\n\n**Bok \\(AC\\):** od \\(A(0,0)\\) do \\(C(5,3)\\):\n\\[a_{AC} = \\frac{3 - 0}{5 - 0} = \\frac{3}{5}\\]\n\\[y = \\frac{3}{5}x\\]\nTrójkąt leży **poniżej** tej prostej (np. punkt \\(B(5,-3)\\): sprawdzamy \\(-3 \\leq \\frac{3}{5} \\cdot 5 = 3\\) ✓), więc warunek to:\n\\[y \\leq \\frac{3}{5}x\\]\n\n**Krok 2: Złóż układ nierówności.**\n\n\\[\\begin{cases} x \\leq 5 \\\\ y \\geq -\\dfrac{3}{5}x \\\\ y \\leq \\dfrac{3}{5}x \\end{cases}\\]\n\n**Krok 3: Oblicz pole trójkąta.**\n\nTrójkąt \\(ABC\\) ma podstawę \\(BC\\) (pionowy odcinek) i wysokość \\(h\\) - odległość wierzchołka \\(A\\) od prostej \\(x = 5\\).\n\n\\[|BC| = |y_C - y_B| = |3 - (-3)| = 6\\]\n\\[h = |x_A - 5| = |0 - 5| = 5\\]\n\n\\[\\boxed{P = \\frac{1}{2} \\cdot |BC| \\cdot h = \\frac{1}{2} \\cdot 6 \\cdot 5 = 15}\\]\n\n## Sposób 2 - wzór ze współrzędnych\n\nPole trójkąta o wierzchołkach \\(A(x_A, y_A)\\), \\(B(x_B, y_B)\\), \\(C(x_C, y_C)\\) ze wzoru analitycznego:\n\n\\[P = \\frac{1}{2}\\left|(x_B - x_A)(y_C - y_A) - (y_B - y_A)(x_C - x_A)\\right|\\]\n\nPodstawiamy \\(A(0,0)\\), \\(B(5,-3)\\), \\(C(5,3)\\):\n\n\\[P = \\frac{1}{2}\\left|(5-0)(3-0) - (-3-0)(5-0)\\right|\\]\n\\[P = \\frac{1}{2}\\left|5 \\cdot 3 - (-3) \\cdot 5\\right|\\]\n\\[P = \\frac{1}{2}\\left|15 + 15\\right| = \\frac{1}{2} \\cdot 30 = \\boxed{15}\\]\n\nWynik zgodny z Metodą 1. ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25)**\n\nRównanie kierunkowe prostej:\n\\[y = ax + b, \\quad a = \\operatorname{tg}\\alpha\\]\nUżyliśmy do wyznaczenia równań boków \\(AB\\) i \\(AC\\) przez dwa punkty.\n\nPole trójkąta ze współrzędnych (Sposób 2):\n\\[P = \\frac{1}{2}\\left|(x_B - x_A)(y_C - y_A) - (y_B - y_A)(x_C - x_A)\\right|\\]\nWzór bezpośrednio z karty - gotowy do użycia gdy mamy współrzędne.\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 15)**\n\nPole trójkąta (Sposób 1):\n\\[P = \\frac{1}{2} \\cdot a \\cdot h_a\\]\nUżyliśmy: podstawa \\(|BC| = 6\\), wysokość \\(h = 5\\).\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy wyborze kierunku nierówności (np. \\(\\geq\\) czy \\(\\leq\\)) koniecznie **podstaw punkt kontrolny** leżący wewnątrz trójkąta. Dobry kandydat to np. \\((2, 0)\\) - leży wewnątrz, więc sprawdzasz, czy spełnia każdą nierówność z odpowiednim znakiem.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Bok \\(BC\\) to prosta pionowa (\\(x = 5\\)), nie ma postaci \\(y = ax + b\\). Jego nierówność to \\(x \\leq 5\\), a nie coś z \\(y\\). Uczniowie często próbują wyznaczać współczynnik kierunkowy prostej pionowej (który nie istnieje!).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Trójkąt jest symetryczny względem osi \\(Ox\\) (bo \\(B\\) i \\(C\\) są symetryczne). To dobra wskazówka, że równania boków \\(AB\\) i \\(AC\\) różnią się tylko znakiem: \\(-\\frac{3}{5}x\\) vs \\(+\\frac{3}{5}x\\). Brak tej symetrii w odpowiedzi to sygnał błędu.\n\n**Poprawna odpowiedź:**\n\\[\\begin{cases} x \\le 5 \\\\ y \\ge -\\dfrac{3}{5}x \\\\ y \\le \\dfrac{3}{5}x \\end{cases}, \\quad P = 15.\\]\n\n### Sposób 1 - Wyznaczenie prostych zawierających boki trójkąta\n**Wierzchołki:** \\(A(0,0)\\), \\(B(5,-3)\\), \\(C(5,3)\\).\n\n**Krok 1 - prosta \\(BC\\):**\nPunkty \\(B(5,-3)\\), \\(C(5,3)\\) mają tę samą pierwszą współrzędną \\(x = 5\\). Prosta pionowa:\n\\[x = 5.\\]\n\nTrójkąt leży na lewo od niej: \\(x \\le 5\\).\n\n**Krok 2 - prosta \\(AC\\):**\nPrzechodzi przez \\(A(0,0)\\) i \\(C(5,3)\\). Współczynnik kierunkowy:\n\\[m_{AC} = \\dfrac{3-0}{5-0} = \\dfrac{3}{5}.\\]\nRównanie: \\(y = \\dfrac{3}{5}x\\).\n\nTrójkąt leży **poniżej** tej prostej (bo punkt \\(B(5,-3)\\) spełnia \\(-3 < \\tfrac{3}{5}\\cdot 5 = 3\\)): \\(y \\le \\dfrac{3}{5}x\\).\n\n**Krok 3 - prosta \\(AB\\):**\nPrzechodzi przez \\(A(0,0)\\) i \\(B(5,-3)\\). Współczynnik kierunkowy:\n\\[m_{AB} = \\dfrac{-3-0}{5-0} = -\\dfrac{3}{5}.\\]\nRównanie: \\(y = -\\dfrac{3}{5}x\\).\n\nTrójkąt leży **powyżej** tej prostej (bo \\(C(5,3)\\) spełnia \\(3 > -\\tfrac{3}{5}\\cdot 5 = -3\\)): \\(y \\ge -\\dfrac{3}{5}x\\).\n\n**Układ nierówności:**\n\\[\\begin{cases} x \\le 5 \\\\ y \\le \\dfrac{3}{5}x \\\\ y \\ge -\\dfrac{3}{5}x \\end{cases}\\]\n\n### Pole trójkąta - sposób A (podstawa \\(CB\\) i wysokość \\(AD\\))\n**Długości:**\n\\[|CB| = |3 - (-3)| = 6 \\text{ (pionowy odcinek)},\\]\n\\[|AD| = 5 \\text{ (odległość od } A(0,0) \\text{ do prostej } x=5).\\]\n\nKąt między \\(AD\\) a \\(CB\\) jest prosty (\\(AD\\) poziomy, \\(CB\\) pionowy):\n\\[P = \\dfrac{1}{2}\\cdot|CB|\\cdot|AD| = \\dfrac{1}{2}\\cdot 6\\cdot 5 = 15.\\]\n\n### Pole trójkąta - sposób B (wzór z wyznacznika)\n\\[P = \\dfrac{1}{2}|x_{A}(y_{B}-y_{C}) + x_{B}(y_{C}-y_{A}) + x_{C}(y_{A}-y_{B})|\\]\n\\[= \\dfrac{1}{2}|0\\cdot(-3-3) + 5\\cdot(3-0) + 5\\cdot(0-(-3))|\\]\n\\[= \\dfrac{1}{2}|0 + 15 + 15| = \\dfrac{30}{2} = 15.\\]\n\n### Komentarz\nTrójkąt jest **równoramienny** (\\(|AB| = |AC| = \\sqrt{25+9} = \\sqrt{34}\\)) i symetryczny względem osi \\(Ox\\). Punkt \\(D(5,0)\\) jest spodkiem wysokości z \\(A\\) do boku \\(BC\\) - jednocześnie środkiem odcinka \\(BC\\).","image":"img/matematyka-2004-czerwiec-matura-podstawowa/zad-9.webp","solution_image":null,"topics":"analityczna","page_from":9,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2004 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2004-czerwiec-matura-podstawowa/zad/10","paper_id":"matematyka-2004-czerwiec-matura-podstawowa","number":"10","points":6,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2004,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 10. (6 pkt)\n. 3-2. 3+2\nDane są liczby a -N3-2 i pa iB?\n5 5\na-b\na. Sprawdź, czy -- =20\na-b\n. a\nb. Oblicz | -\nb\ni\no\n3\n5\nE\nE\nE\na\n3\na\n>\n2\nZ\nGd\nE\nN\nR\n3\ncz)\nĘ\noc\noO\nZJ\nz\nPRÓBNY EGZAMIN MATURALNY - CZERWIEC 2004\nMatematyka - Arkusz I","answer":null,"answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(n = 15\\)\n\n## Sposób 1 - Równanie z prawdopodobieństwa klasycznego\n\n**Liczymy, ile jest wszystkich żetonów i ile jest sposobów losowania.**\n\nW pudełku mamy:\n- \\(6\\) żetonów o nominale \\(5\\) zł\n- \\(n\\) żetonów o nominale \\(10\\) zł\n- łącznie: \\(6 + n\\) żetonów\n\nLosujemy **2 żetony bez kolejności** (losowanie bez zwracania).\n\nLiczba wszystkich sposobów wyboru 2 żetonów z \\(6 + n\\):\n\\[\\binom{6+n}{2} = \\frac{(6+n)(5+n)}{2}\\]\n\nLiczba sposobów wylosowania **obu żetonów o nominale 10 zł** (wybieramy 2 spośród \\(n\\)):\n\\[\\binom{n}{2} = \\frac{n(n-1)}{2}\\]\n\nPrawdopodobieństwo klasyczne:\n\\[P = \\frac{\\binom{n}{2}}{\\binom{6+n}{2}} = \\frac{1}{2}\\]\n\nPodstawiamy:\n\\[\\frac{\\dfrac{n(n-1)}{2}}{\\dfrac{(6+n)(5+n)}{2}} = \\frac{1}{2}\\]\n\nUpraszczamy (dwójki w mianowniku i liczniku się skracają):\n\\[\\frac{n(n-1)}{(6+n)(5+n)} = \\frac{1}{2}\\]\n\nMnożymy krzyżowo:\n\\[2n(n-1) = (6+n)(5+n)\\]\n\nRozwijamy obie strony:\n\\[2n^2 - 2n = 30 + 6n + 5n + n^2\\]\n\\[2n^2 - 2n = n^2 + 11n + 30\\]\n\nPrzenosimy wszystko na lewą stronę:\n\\[n^2 - 13n - 30 = 0\\]\n\nLiczymy wyróżnik:\n\\[\\Delta = 13^2 + 4 \\cdot 30 = 169 + 120 = 289 = 17^2\\]\n\nPierwiastki:\n\\[n = \\frac{13 \\pm 17}{2}\\]\n\\[n_1 = \\frac{13 + 17}{2} = \\frac{30}{2} = 15\\]\n\\[n_2 = \\frac{13 - 17}{2} = \\frac{-4}{2} = -2\\]\n\nPonieważ \\(n\\) oznacza liczbę żetonów, musi być liczbą całkowitą dodatnią, więc \\(n_2 = -2\\) odrzucamy.\n\n**Odpowiedź: \\(n = 15\\)**\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja przez podstawienie\n\nSprawdzamy, czy dla \\(n = 15\\) prawdopodobieństwo rzeczywiście wynosi \\(\\frac{1}{2}\\).\n\nŁącznie żetonów: \\(6 + 15 = 21\\)\n\nWszystkie sposoby wylosowania 2 żetonów:\n\\[\\binom{21}{2} = \\frac{21 \\cdot 20}{2} = 210\\]\n\nSposoby wylosowania 2 żetonów \\(10\\)-złotowych (z 15):\n\\[\\binom{15}{2} = \\frac{15 \\cdot 14}{2} = 105\\]\n\nPrawdopodobieństwo:\n\\[P = \\frac{105}{210} = \\frac{1}{2} \\checkmark\\]\n\n**Wynik się zgadza - \\(n = 15\\) jest poprawne.**\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 14 (Rachunek prawdopodobieństwa, s. 29-30)** - prawdopodobieństwo klasyczne:\n\\[P(A) = \\frac{|A|}{|\\Omega|}\\]\nUżyliśmy tego wzoru, gdzie \\(|\\Omega| = \\binom{6+n}{2}\\) to liczba wszystkich równie możliwych wyników, a \\(|A| = \\binom{n}{2}\\) to liczba wyników sprzyjających (oba żetony po 10 zł).\n\n**Dział 4 (Silnia i współczynnik dwumianowy, s. 6)** - symbol Newtona:\n\\[\\binom{n}{k} = \\frac{n!}{k!(n-k)!}\\]\nUżyliśmy w postaci \\(\\binom{n}{2} = \\frac{n(n-1)}{2}\\) do zliczenia liczby par żetonów.\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)** - wzór na pierwiastki trójmianu:\n\\[x_{1,2} = \\frac{-b \\pm \\sqrt{\\Delta}}{2a}, \\quad \\Delta = b^2 - 4ac\\]\nUżyliśmy do rozwiązania równania kwadratowego \\(n^2 - 13n - 30 = 0\\).\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie mylić losowania **bez kolejności** z losowaniem z kolejnością. Tu losujemy 2 żetony naraz (lub po kolei bez zwracania i nie patrzymy na kolejność) - stosujemy kombinacje \\(\\binom{n}{2}\\), nie wariacje \\(n(n-1)\\). Gdybyś użył wariacji w liczniku i mianowniku, wynik byłby taki sam - ale na maturze warto wiedzieć, co i dlaczego stosujesz.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Równanie kwadratowe daje **dwa rozwiązania** - \\(n = 15\\) i \\(n = -2\\). Zawsze sprawdź, które rozwiązanie ma sens w kontekście zadania. Liczba żetonów nie może być ujemna!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Łatwo pomylić się przy mnożeniu krzyżowym i rozwijaniu \\((6+n)(5+n)\\). Dokładnie: \\(6 \\cdot 5 + 6n + 5n + n^2 = 30 + 11n + n^2\\) - nie zapomnij o wyrazie wolnym \\(30\\).\n\n**Poprawna odpowiedź:** \\(n = 15\\).\n\n### Sposób 1 - Kombinacje (losowanie bez zwracania, bez kolejności)\nPudełko zawiera \\(6 + n\\) żetonów. Losujemy 2, stąd:\n\n**Przestrzeń zdarzeń elementarnych:**\n\\[|\\Omega| = \\binom{n+6}{2} = \\dfrac{(n+6)(n+5)}{2}.\\]\n\n**Zdarzenie \\(A\\):** „oba żetony o nominale \\(10\\) zł\":\n\\[|A| = \\binom{n}{2} = \\dfrac{n(n-1)}{2}.\\]\n\n**Założenie dziedziny:** \\(n \\in \\mathbb{N}_{+}\\) oraz \\(n \\ge 2\\) (aby można było wylosować 2 żetony \\(10\\) zł); inaczej mówiąc \\(n \\in \\mathbb{N}_{+} \\setminus \\{1\\}\\).\n\n**Równanie z prawdopodobieństwa:**\n\\[P(A) = \\dfrac{|A|}{|\\Omega|} = \\dfrac{n(n-1)}{(n+6)(n+5)} = \\dfrac{1}{2}.\\]\n\n**Rozwiązanie:**\n\\[2n(n-1) = (n+6)(n+5)\\]\n\\[2n^{2} - 2n = n^{2} + 11n + 30\\]\n\\[n^{2} - 13n - 30 = 0.\\]\n\n\\(\\Delta = 169 + 120 = 289\\), \\(\\sqrt{\\Delta} = 17\\):\n\\[n = \\dfrac{13 \\pm 17}{2} \\Rightarrow n_{1} = 15, \\quad n_{2} = -2.\\]\n\n**Odrzucenie \\(n = -2\\):** niemożliwe fizycznie (ujemna liczba żetonów). Zatem:\n\\[n = 15.\\]\n\n**Sprawdzenie:**\n- \\(|\\Omega| = \\binom{21}{2} = \\dfrac{21\\cdot 20}{2} = 210\\).\n- \\(|A| = \\binom{15}{2} = \\dfrac{15\\cdot 14}{2} = 105\\).\n- \\(P(A) = \\dfrac{105}{210} = \\dfrac{1}{2}\\) ✓.\n\n### Sposób 2 - Kolejne losowania (z pamięcią)\nAlternatywnie traktujemy losowanie jako dwa kolejne (bez zwracania):\n\\[P(A) = \\dfrac{n}{n+6}\\cdot\\dfrac{n-1}{n+5} = \\dfrac{1}{2}.\\]\n\nOtrzymujemy to samo równanie i ten sam wynik.\n\n### Sposób 3 - Podstawienie i analiza\nOznaczmy \\(m = n+6\\) (liczba wszystkich żetonów). Wtedy \\(n = m-6\\), \\(n-1 = m-7\\), \\(n+5 = m-1\\):\n\\[\\dfrac{(m-6)(m-7)}{m(m-1)} = \\dfrac{1}{2}.\\]\n\n\\[2(m-6)(m-7) = m(m-1)\\]\n\\[2(m^{2} - 13m + 42) = m^{2} - m\\]\n\\[m^{2} - 25m + 84 = 0.\\]\n\n\\(\\Delta = 625 - 336 = 289\\), \\(\\sqrt{\\Delta} = 17\\):\n\\[m = \\dfrac{25\\pm 17}{2} \\Rightarrow m = 21 \\text{ lub } m = 4.\\]\n\nDla \\(m = 21\\): \\(n = 15\\) ✓.\nDla \\(m = 4\\): \\(n = -2\\) - odrzucone.\n\n### Komentarz dydaktyczny\nZakładając \\(n \\ge 2\\), zadanie ma dokładnie jedno rozwiązanie \\(n = 15\\). W pudełku jest wtedy \\(15\\) żetonów po \\(10\\) zł i \\(6\\) żetonów po \\(5\\) zł (razem \\(21\\)), a prawdopodobieństwo wylosowania dwóch „dziesiątek\" wynosi dokładnie \\(\\tfrac{1}{2}\\).","image":"img/matematyka-2004-czerwiec-matura-podstawowa/zad-10.webp","solution_image":null,"topics":"algebra","page_from":10,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2004 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2004-czerwiec-matura-podstawowa/zad/11","paper_id":"matematyka-2004-czerwiec-matura-podstawowa","number":"11","points":5,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2004,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 11. (5 pkt)\nDane są wielomiany OQ(x)=x* - x? +2 i S(x)=-2x7 -2x+4.\na. Sprawdź, czy liczba 2 jest pierwiastkiem wielomianu Q(x).\nb. Wielomian P(x) jest sumą wielomianów O(x) i S(x). Rozłóż wielomian P(x) na\nczynniki liniowe.\ni\no\n3\n5\nGd\nE\ne)\nn\n3\na\nN\nn\no\nR\nKZ.\nKcy\nE\nN\nJ\n3\nA\n3\noC\noO\n2\nPRÓBNY EGZAMIN MATURALNY - CZERWIEC 2004\nMatematyka - Arkusz I\nA Brudnopis\na\nG\nN\n3\n3\no\nĘ\na\n[oj\n=)\nN\nn\n„2\nN\ng\nKcy\nN\nJ\n3\nA\nGd\ne\n3)\n&","answer":null,"answer_text":"Zadanie 11\nOpis wykonywanej czynności Liczba punktów Modelowy wynik etapu (czynności)\nObliczenie wartości wielomianu Q dla o() =6\nx=2\nSformutowanie odpowiedzi 1 Liczba 2 nie jest pierwiastkiem\np wielomianu O\nWykonanie dodawania wielomianów P(x) = x 3x2 -2x+6\nZapisanie wielomianu P w postaci iloczynu P(x) - (x _ 3) 22\ndwumianu liniowego i dwumianu lp\nkwadratowego\nZapisanie wielomianu P w postaci P(x) - (x _ 3) a 42 + Na)\niloczynowej\n3","solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(\\beta = 30°\\)\n\n## Sposób 1 - Apotema podstawy i apotema boczna\n\n**Krok 1 - Wyznaczamy bok podstawy \\(a\\)**\n\nPole prawidłowego sześciokąta o boku \\(a\\):\n\\[P_\\text{podstawy} = \\frac{3\\sqrt{3}}{2} \\cdot a^2\\]\n\nZ warunków zadania:\n\\[\\frac{3\\sqrt{3}}{2} \\cdot a^2 = 6\\sqrt{3}\\]\n\\[a^2 = 6\\sqrt{3} \\cdot \\frac{2}{3\\sqrt{3}} = 4\\]\n\\[\\boxed{a = 2}\\]\n\n**Krok 2 - Wyznaczamy apotemę boczną \\(l\\) (wysokość ściany bocznej)**\n\nPole powierzchni bocznej ostrosłupa prawidłowego sześciokątnego to \\(6\\) przystających trójkątów, każdy o podstawie \\(a\\) i wysokości \\(l\\):\n\\[P_\\text{boczna} = 6 \\cdot \\frac{1}{2} \\cdot a \\cdot l = 3al\\]\n\nZ warunków zadania:\n\\[3 \\cdot 2 \\cdot l = 12 \\implies \\boxed{l = 2}\\]\n\n**Krok 3 - Wyznaczamy apotemę \\(m\\) sześciokąta (odl. środka do środka boku)**\n\nApotema prawidłowego sześciokąta o boku \\(a\\):\n\\[m = \\frac{a\\sqrt{3}}{2} = \\frac{2\\sqrt{3}}{2} = \\sqrt{3}\\]\n\n**Krok 4 - Wyznaczamy wysokość ostrosłupa \\(h\\)**\n\nW prawokątnym trójkącie \\(OMA\\) (gdzie \\(O\\) - środek podstawy, \\(M\\) - środek boku sześciokąta, \\(A\\) - wierzchołek):\n- \\(OA = h\\) (wysokość ostrosłupa)\n- \\(OM = m = \\sqrt{3}\\) (apotema podstawy)\n- \\(MA = l = 2\\) (apotema boczna - przyprostokątna prostopadła do krawędzi)\n\nZ twierdzenia Pitagorasa:\n\\[h^2 = l^2 - m^2 = 4 - 3 = 1 \\implies \\boxed{h = 1}\\]\n\n**Krok 5 - Szukany kąt \\(\\beta\\)**\n\nKąt dwuścienny między ścianą boczną a podstawą mierzymy wzdłuż krawędzi bocznej. Do jego wyznaczenia służy odcinek prostopadły do tej krawędzi - **apotema**. Szukany kąt \\(\\beta\\) to \\(\\angle OMA\\):\n\n\\[\\operatorname{tg}\\beta = \\frac{OA}{OM} = \\frac{h}{m} = \\frac{1}{\\sqrt{3}}\\]\n\n\\[\\boxed{\\beta = 30°}\\]\n\n**Rysunek:**\n\nA (wierzchołek)\n/ |h \\\n/ O------M\n/ / m=√3 \\\npodstawa (sześciokąt)\n\nKąt β = ∠(OMA) = 30°\nO - środek podstawy\nM - środek boku podstawy\nA - wierzchołek ostrosłupa\nβ zaznaczone w punkcie M\n\n## Sposób 2 - Bezpośrednio z cosinusa kąta\n\nMając \\(m = \\sqrt{3}\\) i \\(l = 2\\) (bez wyznaczania \\(h\\)), możemy użyć cosinusa wprost:\n\nW trójkącie \\(OMA\\) kąt \\(\\beta\\) jest przy \\(M\\), przyległa przyprostokątna to \\(OM = m = \\sqrt{3}\\), przeciwprostokątna to \\(MA = l = 2\\):\n\n\\[\\cos\\beta = \\frac{OM}{MA} = \\frac{m}{l} = \\frac{\\sqrt{3}}{2}\\]\n\nWartość \\(\\cos\\beta = \\frac{\\sqrt{3}}{2}\\) to wartość tablicowa dla:\n\\[\\boxed{\\beta = 30°}\\]\n\n**Weryfikacja przez sinus:**\n\\[\\sin\\beta = \\frac{h}{l} = \\frac{1}{2} \\implies \\beta = 30° \\checkmark\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 15-16)** - Twierdzenie Pitagorasa:\n\\[a^2 + b^2 = c^2\\]\nUżyte w Kroku 4: \\(h^2 + m^2 = l^2\\), stąd \\(h = 1\\).\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 15)** - Pole trójkąta:\n\\[P = \\frac{1}{2} \\cdot a \\cdot h_a\\]\nUżyte w wyznaczeniu \\(P_\\text{boczna} = 6 \\cdot \\frac{1}{2} \\cdot a \\cdot l\\).\n\n**Dział 12 (Stereometria, s. 27)** - Objętość ostrosłupa:\n\\[V = \\frac{1}{3} P_p \\cdot h\\]\n(tu nie użyta bezpośrednio, ale wzór na \\(P_b = \\frac{1}{2} \\cdot \\text{obwód} \\cdot l\\) jest konsekwencją tej sekcji).\n\n**Dział 9 (Trygonometria, s. 11)** - Definicja cosinus/tangens w trójkącie prostokątnym oraz tabela wartości kątów:\n\\[\\cos 30° = \\frac{\\sqrt{3}}{2}, \\quad \\operatorname{tg} 30° = \\frac{\\sqrt{3}}{3} = \\frac{1}{\\sqrt{3}}\\]\nUżyte do odczytania miary kąta z wartości \\(\\cos\\beta = \\frac{\\sqrt{3}}{2}\\).\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Apotema sześciokąta to **NIE** jest promień okręgu opisanego! Promień opisany = \\(a\\), ale apotema (do środka boku) = \\(\\frac{a\\sqrt{3}}{2}\\). Mylenie tych dwóch długości to najczęstszy błąd.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Kąt między ścianą boczną a podstawą **mierzymy przez apotemę** (odcinek prostopadły do krawędzi podstawy). Nie mierzymy go przez krawędź boczną ostrosłupa (ta łączy środek podstawy z wierzchołkiem sześciokąta - to by dał inny kąt).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Pamiętaj, że ściana boczna ostrosłupa prawidłowego to trójkąt **równoramienny**, a jego wysokość (apotema boczna \\(l\\)) opada na **środek** krawędzi podstawy - stąd właśnie leży w płaszczyźnie symetrii i wyznacza szukany kąt dwuścienny.\n\n**Poprawna odpowiedź:** \\(\\beta = 30^{\\circ}\\).\n\n### Sposób 1 - Krok po kroku\nOstrosłup prawidłowy sześciokątny ma w podstawie sześciokąt foremny. Niech \\(a\\) - długość boku podstawy, \\(h_{p}\\) - apotema podstawy (odległość środka \\(O\\) od boku), \\(h_{b}\\) - apotema ściany bocznej (wysokość ściany bocznej z wierzchołka \\(W\\) do środka krawędzi podstawy).\n\n**Krok 1 - pole podstawy i wyznaczenie \\(a\\):**\nPole sześciokąta foremnego: \\(P_{\\text{pod}} = 6\\cdot\\dfrac{a^{2}\\sqrt{3}}{4} = \\dfrac{3a^{2}\\sqrt{3}}{2}\\).\n\nZ warunku:\n\\[\\dfrac{3a^{2}\\sqrt{3}}{2} = 6\\sqrt{3}\\]\n\\[3a^{2} = 12 \\Rightarrow a^{2} = 4 \\Rightarrow a = 2.\\]\n\n**Krok 2 - apotema podstawy \\(h_{p}\\):**\nW sześciokącie foremnym \\(O C\\) (od środka do środka boku) wynosi:\n\\[h_{p} = \\dfrac{a\\sqrt{3}}{2} = \\dfrac{2\\sqrt{3}}{2} = \\sqrt{3}.\\]\n\n**Krok 3 - pole powierzchni bocznej i wyznaczenie \\(h_{b}\\):**\nPowierzchnia boczna to \\(6\\) trójkątów równoramiennych, każdy o podstawie \\(a\\) i wysokości \\(h_{b}\\):\n\\[P_{\\text{bocz}} = 6\\cdot\\dfrac{a\\cdot h_{b}}{2} = 3a\\cdot h_{b} = 12.\\]\n\\[3\\cdot 2\\cdot h_{b} = 12 \\Rightarrow h_{b} = 2.\\]\n\n**Krok 4 - obliczenie kąta nachylenia \\(\\beta\\):**\nTrójkąt \\(WOC\\), gdzie \\(C\\) - środek krawędzi podstawy, \\(O\\) - środek podstawy, \\(W\\) - wierzchołek ostrosłupa. Kąt \\(\\beta = \\angle WCO\\) to kąt nachylenia ściany bocznej do podstawy.\n\nW trójkącie prostokątnym \\(WOC\\) (prostokąt w \\(O\\)):\n- przeciwprostokątna \\(|WC| = h_{b} = 2\\),\n- przyprostokątna \\(|OC| = h_{p} = \\sqrt{3}\\) przylega do kąta \\(\\beta\\).\n\nStąd:\n\\[\\cos\\beta = \\dfrac{h_{p}}{h_{b}} = \\dfrac{\\sqrt{3}}{2} \\Rightarrow \\beta = 30^{\\circ}.\\]\n\n### Sposób 2 - Wykorzystanie funkcji sinus\nW tym samym trójkącie prostokątnym: wysokość ostrosłupa \\(H = |WO|\\) jest przyprostokątną naprzeciw kąta \\(\\beta\\):\n\\[H = \\sqrt{h_{b}^{2} - h_{p}^{2}} = \\sqrt{4 - 3} = 1.\\]\n\\[\\sin\\beta = \\dfrac{H}{h_{b}} = \\dfrac{1}{2} \\Rightarrow \\beta = 30^{\\circ}.\\]\n\n### Rysunek (szkic)\nOstrosłup prawidłowy sześciokątny \\(ABCDEF\\) z wierzchołkiem \\(W\\). Niech \\(C\\) - środek krawędzi boku podstawy (np. środek \\(AB\\)) - punkt gdzie apotema spotyka bok. Wówczas kąt \\(\\beta\\) zaznaczamy w płaszczyźnie ściany bocznej \\(W\\)-\\(AB\\), między odcinkiem \\(WC\\) (w ścianie bocznej) a odcinkiem \\(OC\\) (w podstawie). Kąt \\(\\beta = 30^{\\circ}\\).\n\n### Weryfikacja\n- \\(\\cos 30^{\\circ} = \\dfrac{\\sqrt{3}}{2}\\) ✓\n- \\(\\sin 30^{\\circ} = \\dfrac{1}{2}\\) ✓\n- \\(\\tan 30^{\\circ} = \\dfrac{H}{h_{p}} = \\dfrac{1}{\\sqrt{3}} = \\dfrac{\\sqrt{3}}{3}\\) ✓\n\nWszystkie trzy warunki zgodne ✓.\n\n### Komentarz dydaktyczny\nKluczowa różnica: **apotema podstawy** \\(h_{p}\\) (w podstawie, od środka do boku) kontra **apotema ściany bocznej** \\(h_{b}\\) (w ścianie, od wierzchołka do środka krawędzi podstawy). Różnią się one o wysokość ostrosłupa \\(H\\): \\(h_{b}^{2} = h_{p}^{2} + H^{2}\\).","image":"img/matematyka-2004-czerwiec-matura-podstawowa/zad-11.webp","solution_image":null,"topics":"wielomiany","page_from":11,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2004 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"}]}