{"paper":{"id":"matematyka-2004-styczen-probna-rozszerzona","subject":"matematyka","category":"probna","year":2004,"month":"styczen","level":"rozszerzona","variant":null,"exam_pdf":"matematyka-2004-styczen-probna-rozszerzona/matematyka-2004-styczen-probna-rozszerzona.pdf","key_pdf":"matematyka-2004-styczen-probna-rozszerzona-odpowiedzi/matematyka-2004-styczen-probna-rozszerzona-odpowiedzi.pdf","question_count":10,"source_label":"Matematyka · Matura próbna · styczeń 2004 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},"questions":[{"id":"matematyka-2004-styczen-probna-rozszerzona/zad/12","paper_id":"matematyka-2004-styczen-probna-rozszerzona","number":"12","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2004,"month":"styczen","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 12. (4 pkt)\nWykaż, że dla dowolnych liczb rzeczywistych a, b, c funkcja:\n(\n)(\n) (\n)(\n) (\n)(\n)\na\nx\nc\nx\nc\nx\nb\nx\nb\nx\na\nx\nx\nf\n)\n(\nma co najmniej jedno miejsce zerowe.","answer":null,"answer_text":"12.1\nPrzekształcenie wzoru funkcji do\npostaci ogólnej funkcji kwadratowej.\n(\n)\n(\n)\nac\nbc\nab\nx\nc\nb\na\nx\nx\nf\n2\n3\n)\n(\n2\n1\n12.2\nWyznaczenie wyróżnika funkcji\nkwadratowej ( w tym 1 p. za metodę\noraz 1 p. za przekształcenia).\n(\n)\n(\n)\n(\n)\n[\n]\n2\n2\n2\n2\na\nc\nc\nb\nb\na\n∆\n2\n12\n12.3\nUzasadnienie, że wyróżnik jest nie-\nujemny.\n0\n≥\n∆\ndla dowolnych rzeczywistych a,b,c\nstąd funkcja f ma co najmniej jedno miejsce\nzerowe\n1","solution":"$\\Delta \\geq 0$ dla dowolnych rzeczywistych $a,b,c$ stąd funkcja $f$ ma co najmniej jedno miejsce zerowe","image":"img/matematyka-2004-styczen-probna-rozszerzona/zad-12.webp","solution_image":null,"topics":"funkcje","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · styczeń 2004 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2004-styczen-probna-rozszerzona/zad/13","paper_id":"matematyka-2004-styczen-probna-rozszerzona","number":"13","points":6,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2004,"month":"styczen","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 13. (6 pkt)\nWyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których każda liczba spełniająca równanie:\n0\n2\n)1\n(\nlog\n)1\n(\nlog 2\nx\nx\nm\nm\njest mniejsza od 3.","answer":null,"answer_text":"13.1\nZapisanie warunków jakie muszą być\nspełnione, aby wyrażenie\n(\n)1\nlog\nx\nm\nmiało sens.\n(\n)\n+∞\n∈;1\nx\ni\n(\n)\n(\n)\n+∞\n∪\n∈\n;1\n1;0\nm\n1\n13.2\nZapisanie alternatywy równań loga-\nrytmicznych równoważnej danemu\nrównaniu.\n(\n)\n1\n1\nlog\nx\nm\nlub\n(\n)\n2\n2\nlog\nx\nm\n1\n13.3\nRozwiązanie alternatywy równań\nlogarytmicznych w zależności od\nparametru m.\n1\n= m\nx\nlub\n2\n1\n1\nm\nx\n1\n13.4\nZapisanie warunków, dla których\nkażda liczba spełniająca równanie\njest mniejsza od 3.\n3\n1\n1\n〈\n〈m\ni\n3\n1\n1\n1\n2 〈\n〈\nm\n1\n13\n13.5\nWyznaczenie wszystkich wartości\nparametru m spełniających warunki\nzadania ( w tym 1 p. za metodę oraz\n1 p. za obliczenia).\nm\n)\n2;1(\n)1;\n2\n2\n(\n∪\n∈\n2","solution":"$m \\in \\left(\\dfrac{\\sqrt{2}}{2}; 1\\right) \\cup (1; 2)$","image":"img/matematyka-2004-styczen-probna-rozszerzona/zad-13.webp","solution_image":null,"topics":"logarytmy","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · styczeń 2004 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2004-styczen-probna-rozszerzona/zad/14","paper_id":"matematyka-2004-styczen-probna-rozszerzona","number":"14","points":3,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2004,"month":"styczen","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 14. (3 pkt)\nWykaż, że jeśli\nb\na ≠\n, to równanie:\n0\n2\n2\n2\n⋅\nb\na\nby\nax\ny\nx\njest równaniem okręgu.\nWyznacz współrzędne środka i długość promienia tego okręgu.","answer":null,"answer_text":"14.1\nPrzekształcenie podanego równania.\n2\n2\n2\n)\n2\n(\n)\n2\n(\n)\n2\n(\nb\na\nb\ny\na\nx\n1\n14.2\nUzasadnienie, że otrzymane równanie\njest równaniem okręgu.\nPonieważ\nb\na ≠\n, to\n0\n)\n2\n(\n2〉\n-b\na\nOtrzymane równanie przedstawia okrąg.\n1\n14\n14.3\nWyznaczenie współrzędnych środka\ni długości promienia okręgu.\n)\n2\n;\n2\n(\nb\na\nS\n,\n2\nb\na\nr\n1","solution":"$S = \\left(-\\dfrac{a}{2}; -\\dfrac{b}{2}\\right), r = \\dfrac{|a-b|}{2}$","image":"img/matematyka-2004-styczen-probna-rozszerzona/zad-14.webp","solution_image":null,"topics":"analityczna","page_from":4,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · styczeń 2004 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2004-styczen-probna-rozszerzona/zad/15","paper_id":"matematyka-2004-styczen-probna-rozszerzona","number":"15","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2004,"month":"styczen","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 15. (4 pkt)\nWyznacz najmniejszą i największą wartość funkcji f określonej wzorem:\nf(x)=\n)\n2\n6\ncos(\n2\nsin\nx\nx\nπ\nOdpowiedź uzasadnij.","answer":null,"answer_text":"15.1\nPrzekształcenie wzoru funkcji po\nzastosowaniu wzorów redukcyjnych.\n( )\n\n\n\n\n)\n2\n6\n(\n2\nsin\n2\nsin\nx\nx\nx\nf\nπ\nπ\nlub\n( )\n)\n2\n6\ncos(\n)\n2\n2\ncos(\nx\nx\nx\nf\nπ\nπ\n1\n15.2\nPrzekształcenie wzoru funkcji po\nzastosowaniu wzoru na sumę sinusów\nlub kosinusów.\n( )\n)\n2\n6\nsin(\n3\nx\nx\nf\nπ\nlub\n( )\n)\n2\n3\ncos(\n3\nx\nx\nf\nπ\n1\n15\n15.3\nWyznaczenie największej\ni najmniejszej wartości funkcji\n( w tym 1 p. za podanie wartości oraz\n1 p. za uzasadnienie).\nNajmniejsza wartość:\n3\nm\nNajwiększa wartość:\n3\nM\n2\n2","solution":"Najmniejsza wartość: $m = -\\sqrt{3}$, Największa wartość: $M = \\sqrt{3}$","image":"img/matematyka-2004-styczen-probna-rozszerzona/zad-15.webp","solution_image":null,"topics":"trygonometria","page_from":5,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · styczeń 2004 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2004-styczen-probna-rozszerzona/zad/16","paper_id":"matematyka-2004-styczen-probna-rozszerzona","number":"16","points":5,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2004,"month":"styczen","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 16. (5 pkt)\nW prostokątnym układzie współrzędnych naszkicuj figurę F, gdzie:\n(\n)\n{\n}\n2\n3\n:\n;\n≤\n∧\n∈\n∧\n∈\ny\nx\nR\ny\nR\nx\ny\nx\nF\nOblicz pole figury F.","answer":null,"answer_text":"16.1\nUłożenie alternatywy układów nie-\nrówności opisującej figurę F\n( w tym 1 p. za metodę oraz 1 p. za\nobliczenia).\n\n\n\n≤\n≥\n≥\n2\n3\n0\n0\ny\nx\ny\nx\nÿ\n\n\n\n≤\n<\n≥\n2\n3\n0\n0\ny\nx\ny\nx\nÿ\n\n\n\n≤\n≥\n<\n2\n3\n0\n0\ny\nx\ny\nx\nÿ\n\n\n\n≤\n<\n<\n2\n3\n0\n0\ny\nx\ny\nx\n2\n16.2\nWyznaczenie współrzędnych wierz-\nchołków figury F.\n)\n2\n;0\n(\n);\n2;0\n(\n);\n0;\n3\n2\n(\n);\n0;\n3\n2\n(\n1\n16.3\nSporządzenie rysunku i zaznaczenie\nfigury F.\n1\n16\n16.4\nObliczenie pola figury F.\nOC\nAB\nP\nP\nABC\nF\n⋅\n∆\n2\n,\n3\n8\nF\nP\n1","solution":"$P_F = \\dfrac{8}{3}$","image":"img/matematyka-2004-styczen-probna-rozszerzona/zad-16.webp","solution_image":null,"topics":"analityczna","page_from":6,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · styczeń 2004 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2004-styczen-probna-rozszerzona/zad/17","paper_id":"matematyka-2004-styczen-probna-rozszerzona","number":"17","points":5,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2004,"month":"styczen","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 17. (5 pkt)\nOdcinki o długościach: 2 3 ,\n3\n3 -\n,\n2\n3\nsą bokami trójkąta.\na) Wyznacz miarę największego kąta tego trójkąta i oblicz długość wysokości\npoprowadzonej z wierzchołka tego kąta.\nb) Oblicz długość promienia okręgu opisanego na tym trójkącie.","answer":null,"answer_text":"17.1\nSporządzenie rysunku z oznaczenia-\nmi lub opis oznaczeń.\n2\n3\nAB\n3\n3 -\nAC\n3\n2\nBC\n1\n17.2\nWyznaczenie miary największego\nkąta.\n2\n1\n2\ncos\n2\n2\n2\n⋅\n∠\nBC\nAC\nAB\nBC\nAC\nC\n0\n120\n∠C\n1\n17.3\nObliczenie pola trójkąta.\n(\n)\n3\n3\n2\n3\nsin\n2\n1\n∠\n⋅\nC\nBC\nAC\nPABC\n1\n17.4\nObliczanie długości wysokości po-\nprowadzonej z wierzchołka kąta roz-\nwartego.\n2\n6\n2\n3\n2\n∆\nAB\nP\nCD\nABC\n1\n17\n17.5\nObliczanie długości promienia okrę-\ngu opisanego na trójkącie.\n6\nsin\n2\n∠\nC\nAB\nR\n1","solution":"$|CD| = \\dfrac{3\\sqrt{2} - \\sqrt{6}}{2}$, $R = \\sqrt{6}$","image":"img/matematyka-2004-styczen-probna-rozszerzona/zad-17.webp","solution_image":null,"topics":"planimetria","page_from":7,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · styczeń 2004 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2004-styczen-probna-rozszerzona/zad/18","paper_id":"matematyka-2004-styczen-probna-rozszerzona","number":"18","points":6,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2004,"month":"styczen","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 18. (6 pkt)\nPodstawą ostrosłupa jest prostokąt o polu 9 dm2 . Dwie ściany boczne ostrosłupa są\nprostopadłe do płaszczyzny podstawy, a dwie pozostałe ściany boczne są nachylone do\npłaszczyzny podstawy pod kątami 3\nπ i 6\nπ .\na) Sporządź rysunek ostrosłupa i zaznacz na nim dane kąty.\nb) Oblicz objętość ostrosłupa.","answer":null,"answer_text":"18.1\nSporządzenie rysunku wraz\nz zaznaczeniem danych kątów.\n1\n18\n18.2\nWyznaczenie długości boków prosto-\nkąta w zależności od h.\n6\n,\n3\nπ\nπ\nhctg\nb\nhctg\na\n1\n3\n18.3\nWykazanie, że\n2\nh\nb\na\n⋅\n( w tym 1 p.\nza metodę oraz 1 p. za obliczenia).\n2\n2\n2\n6\n6\n6\n3\nh\nctg\ntg\nh\nctg\nctg\nh\nb\na\n⋅\nπ\nπ\nπ\nπ\n2\n18.4\nObliczenie wysokości ostrosłupa.\nh = 3 dm\n1\n18.5\nObliczenie objętości ostrosłupa.\nV = 9 dm3\n1","solution":"$V = 9 \\text{ dm}^3$","image":"img/matematyka-2004-styczen-probna-rozszerzona/zad-18.webp","solution_image":null,"topics":"stereometria","page_from":8,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · styczeń 2004 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2004-styczen-probna-rozszerzona/zad/19","paper_id":"matematyka-2004-styczen-probna-rozszerzona","number":"19","points":5,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2004,"month":"styczen","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 19. (5 pkt)\nW pierwszej loterii jest n (n > 2) losów, w tym jeden los wygrywający. W drugiej loterii 2n\nlosów, w tym dwa wygrywające. W której z loterii należy kupić dwa losy, aby mieć większą\nszansę wygranej ? Odpowiedź uzasadnij.","answer":null,"answer_text":"19.1\nOpis zdarzeń losowych.\nNp.: A - zdarzenie polegające na otrzyma-\nniu wygranej na pierwszej loterii,\nB - zdarzenie polegające na otrzymaniu\nwygranej na drugiej loterii.\n1\n19.2\nObliczenie prawdopodobieństwa wy-\ngranej w pierwszej loterii.\n( )\nn\nA\nP\n2\n1\n19.3\nObliczenie prawdopodobieństwa\nprzegranej w drugiej loterii.\n(\n)\n(\n)(\n)\n(\n)n\nn\nn\nn\nB\nP\n1\n2\n1\n3\n2\n1\n19.4\nObliczenie prawdopodobieństwa wy-\ngranej w drugiej loterii.\n( )\n(\n)n\nn\nn\nB\nP\n1\n2\n3\n4\n1\n19\n19.5\nPorównanie otrzymanych prawdopo-\ndobieństw.\nRozwiązanie jednej z nierówności:\n( )\n( )\nB\nP\nA\nP\n〉\nalbo ( )\n( )\nB\nP\nA\nP\n〈\ni wywnioskowanie, że ( )\n( )\nB\nP\nA\nP\n〉\n1","solution":"$P(A) > P(B)$","image":"img/matematyka-2004-styczen-probna-rozszerzona/zad-19.webp","solution_image":null,"topics":"prawdopodobienstwo","page_from":8,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · styczeń 2004 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2004-styczen-probna-rozszerzona/zad/20","paper_id":"matematyka-2004-styczen-probna-rozszerzona","number":"20","points":7,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2004,"month":"styczen","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 20. (7 pkt)\nRóżnica ciągu arytmetycznego (an) jest liczbą mniejszą od 1. Wyznacz najmniejszą wartość\nwyrażenia\n50\n49\n1\na\na\na ⋅\nwiedząc, że\n1\n51 =\na","answer":null,"answer_text":"20.1\nAnaliza zadania i wprowadzenie\noznaczeń.\nNp. x - różnica ciągu arytmetycznego\nx\na\n50\n1\n1\n1\n20.2\nWyznaczenie\n50\n49,a\na\nw zależności od x.\nx\na\nx\na\n1\n,\n2\n1\n50\n49\n1\n20.3\nZapisanie wyrażenia\n50\n49\n1\na\na\na ⋅\njako funkcji jednej zmiennej\ni podanie jej dziedziny.\nf(x)=\nx\nx\nx\n1\n)\n2\n1\n)(\n50\n1(\n, x∈(-∞;1)\n1\n20.4\nObliczenie pochodnej funkcji f.\n( )\n(\n)\n(\n)1;\n,\n1\n51\n200\n100\n2\n2\n∞\n∈\nx\nx\nx\nx\nx\nf\n1\n20.5\nRozwiązanie równania\n( )\n0\nx\nf\n10\n3\nx\n1\n20.6\nUzasadnienie istnienia najmniejszej\nwartości funkcji f (zbadanie monoto-\nniczności funkcji f w przedziale\n(\n)1;\n∞\n).\nFunkcja f:\nmaleje dla\n\n\n\n\n\n\n∞\n∈\n10\n3\n;\nx\n, rośnie dla\n\n\n\n\n\n\n∈\n1;\n10\n3\nx\n, dla\n10\n3\nx\nprzyjmuje najmniej-\nszą wartość\n1\n20\n20.7\nWyznaczenie najmniejszej wartości\nfunkcji f.\n8\n10\n3\n\n\n\n\n\n\nf\n1","solution":"Najmniejsza wartość funkcji wynosi $-8$.","image":"img/matematyka-2004-styczen-probna-rozszerzona/zad-20.webp","solution_image":null,"topics":"ciagi","page_from":10,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · styczeń 2004 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2004-styczen-probna-rozszerzona/zad/21","paper_id":"matematyka-2004-styczen-probna-rozszerzona","number":"21","points":5,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2004,"month":"styczen","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 21. (5 pkt)\nWyznacz wszystkie liczby rzeczywiste spełniające równanie:(\n)\n1\n5\n6\n4\n2\n3\nx\nx\nx\nx\n\n!\" Brudnopis","answer":null,"answer_text":"21.1\nWykorzystanie definicji potęgi o wy-\nkładniku równym zero.\n5\ndla\n0\n6\n4\n2\n3\n≠\nx\nx\nx\nx\n(*)\n1\n21.2\nRozwiązanie równania (*)\n( w tym 1 p. za metodę oraz 1 p.\nza obliczenia).\n3\n,\n2\n,1\n3\n2\n1\nx\nx\nx\n2\n21.3\nAnaliza równania dla\n4\nx\nLiczba spełniająca równanie:\n4\n4 =\nx\n1\n21\n21.4\nAnaliza równania dla\n6\nx\nLiczba spełniająca równanie:\n6\n5 =\nx\n1\nZa prawidłowe rozwiązanie każdego z zadań inną metodą od przedstawionej w schemacie przyznaje-\nmy maksymalną liczbę punktów.","solution":"$x \\in \\{-1, 2, 3, 4, 6\\}$","image":"img/matematyka-2004-styczen-probna-rozszerzona/zad-21.webp","solution_image":null,"topics":"rownania_i_nierownosci","page_from":12,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · styczeń 2004 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"}]}