{"paper":{"id":"matematyka-2005-grudzien-probna-rozszerzona","subject":"matematyka","category":"probna","year":2005,"month":"grudzien","level":"rozszerzona","variant":null,"exam_pdf":"matematyka-2005-grudzien-probna-rozszerzona/matematyka-2005-grudzien-probna-rozszerzona.pdf","key_pdf":"matematyka-2005-grudzien-probna-rozszerzona-odpowiedzi/matematyka-2005-grudzien-probna-rozszerzona-odpowiedzi.pdf","question_count":9,"source_label":"Matematyka · Matura próbna · grudzień 2005 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},"questions":[{"id":"matematyka-2005-grudzien-probna-rozszerzona/zad/11","paper_id":"matematyka-2005-grudzien-probna-rozszerzona","number":"11","points":6,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2005,"month":"grudzien","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 11. (6 pkt)\nWyznacz wszystkie liczby całkowite\n,k dla których funkcja\n4\n5\n2\n2\n)\n(\n2\n⋅\nk\nk x\nx\nx\nf\nprzyjmuje wartości dodatnie dla każdego\nR\nx∈\n\nMateriał pomocniczy do doskonalenia nauczycieli w zakresie diagnozowania, oceniania i egzaminowania 3\nMatematyka - grudzień 2005 r.","answer":null,"answer_text":"2\n-t\n<\n∈\n(\n)","solution":"$\\{k \\in C : k \\le 2\\}$","image":"img/matematyka-2005-grudzien-probna-rozszerzona/zad-11.webp","solution_image":null,"topics":"parametr","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · grudzień 2005 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2005-grudzien-probna-rozszerzona/zad/12","paper_id":"matematyka-2005-grudzien-probna-rozszerzona","number":"12","points":5,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2005,"month":"grudzien","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 12. (5 pkt)\nPowyższy rysunek przedstawia fragment wykresu pewnej funkcji wielomianowej\n( )\nx\nW\nstopnia trzeciego. Jedynymi miejscami zerowymi tego wielomianu są liczby (\n)\n2\noraz 1,\na pochodna\n18\n)\n2\n('\nW\na) Wyznacz wzór wielomianu\n( )\nx\nW\nb) Wyznacz równanie prostej stycznej do wykresu tego wielomianu w punkcie o odciętej\n3\nx\nx\ny\n1\n-2\n\n4 Materiał pomocniczy do doskonalenia nauczycieli w zakresie diagnozowania, oceniania i egzaminowania\nMatematyka - grudzień 2005 r.\n\nMateriał pomocniczy do doskonalenia nauczycieli w zakresie diagnozowania, oceniania i egzaminowania 5\nMatematyka - grudzień 2005 r.","answer":null,"answer_text":null,"solution":"$y = 48x - 104$","image":"img/matematyka-2005-grudzien-probna-rozszerzona/zad-12.webp","solution_image":null,"topics":"wielomiany","page_from":3,"source":"zadaniazmatur","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · grudzień 2005 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2005-grudzien-probna-rozszerzona/zad/13","paper_id":"matematyka-2005-grudzien-probna-rozszerzona","number":"13","points":5,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2005,"month":"grudzien","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 13. (5 pkt)\nSporządź wykres funkcji\n2\n4\n)\n(\n= x\nx\nx\nf\n, a następnie korzystając z tego wykresu, wyznacz\nwszystkie wartości parametru k , dla których równanie\nk\nx\nx\n2\n4\n, ma dwa rozwiązania,\nktórych iloczyn jest liczbą ujemną.\n\n6 Materiał pomocniczy do doskonalenia nauczycieli w zakresie diagnozowania, oceniania i egzaminowania\nMatematyka - grudzień 2005 r.","answer":null,"answer_text":null,"solution":"$k \\in (1; 2)$","image":"img/matematyka-2005-grudzien-probna-rozszerzona/zad-13.webp","solution_image":null,"topics":"parametr","page_from":5,"source":"zadaniazmatur","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · grudzień 2005 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2005-grudzien-probna-rozszerzona/zad/14","paper_id":"matematyka-2005-grudzien-probna-rozszerzona","number":"14","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2005,"month":"grudzien","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 14. (4 pkt)\nNiech\nΩ\n⊂\nB\n,\nA\nbędą zdarzeniami losowymi, takimi że ( )\n12\n5\nA\nP\noraz ( )\n11\n7\nB\nP\nZbadaj, czy zdarzenia A i B są rozłączne.\n\nMateriał pomocniczy do doskonalenia nauczycieli w zakresie diagnozowania, oceniania i egzaminowania 7\nMatematyka - grudzień 2005 r.","answer":null,"answer_text":"14.1.\n139\n1","solution":"Zdarzenia $A$ i $B$ nie są rozłączne ($A \\cap B \\neq \\emptyset$).","image":"img/matematyka-2005-grudzien-probna-rozszerzona/zad-14.webp","solution_image":null,"topics":"prawdopodobienstwo","page_from":6,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · grudzień 2005 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2005-grudzien-probna-rozszerzona/zad/15","paper_id":"matematyka-2005-grudzien-probna-rozszerzona","number":"15","points":5,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2005,"month":"grudzien","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 15. (5 pkt)\nDany jest nieskończony ciąg geometryczny postaci:\n(\n)\n(\n)\n,\np\n,\np\n,\np\n,\n3\n2\n1\n2\n1\n2\n1\n2\n2\nWyznacz wszystkie wartości p , dla których granicą tego ciągu jest liczba:\na) 0.\nb) 2.\n\n8 Materiał pomocniczy do doskonalenia nauczycieli w zakresie diagnozowania, oceniania i egzaminowania\nMatematyka - grudzień 2005 r.","answer":null,"answer_text":"15.4\nRozwiązanie równania\n1\n1\n1\np\ni podanie wartości parametru p: p=2\n1","solution":"$p \\in (-\\infty; 0) \\cup \\{2\\} \\cup (2; \\infty)$","image":"img/matematyka-2005-grudzien-probna-rozszerzona/zad-15.webp","solution_image":null,"topics":"granice","page_from":7,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · grudzień 2005 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2005-grudzien-probna-rozszerzona/zad/16","paper_id":"matematyka-2005-grudzien-probna-rozszerzona","number":"16","points":7,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2005,"month":"grudzien","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 16. (7 pkt)\nDane jest równanie postaci (\n) (\n)\ncos\n1\ncos\n1\n0\n⋅\nx\nx\np\n, gdzie\nR\np ∈\njest parametrem.\na) Dla\n1\np\nwypisz wszystkie rozwiązania tego równania należące do przedziału\n5\n;\n0\nb) Wyznacz\nwszystkie\nwartości\nparametru\np ,\ndla\nktórych\ndane\nrównanie\nma w przedziale\nπ\nπ ;\ntrzy różne rozwiązania.\n\nMateriał pomocniczy do doskonalenia nauczycieli w zakresie diagnozowania, oceniania i egzaminowania 9\nMatematyka - grudzień 2005 r.","answer":null,"answer_text":"16.5\nZapisanie układu równań nierówności\n1\n1\n1\n<\n≤\np\n1\n16","solution":"Dla $p=-1$: $x \\in \\left\\{ \\dfrac{\\pi}{2}, \\dfrac{3}{2}\\pi \\right\\}$. Szukane wartości parametru: $p \\in (-2; 0\\rangle$.","image":"img/matematyka-2005-grudzien-probna-rozszerzona/zad-16.webp","solution_image":null,"topics":"trygonometria","page_from":8,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · grudzień 2005 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2005-grudzien-probna-rozszerzona/zad/17","paper_id":"matematyka-2005-grudzien-probna-rozszerzona","number":"17","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2005,"month":"grudzien","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 17. (4 pkt)\nW trójkącie prostokątnym ABC (\n90\nBCA =\nD\n)\n) dane są długości przyprostokątnych:\na\nBC =\ni\nb\nCA =\n. Dwusieczna kąta prostego tego trójkąta przecina przeciwprostokątną\nAB w punkcie D . Wykaż, że długość odcinka CD jest równa\n2\n⋅\n⋅\nb\na\nb\na\n. Sporządź\npomocniczy rysunek uwzględniając podane oznaczenia.\n\n10 Materiał pomocniczy do doskonalenia nauczycieli w zakresie diagnozowania, oceniania i egzaminowania\nMatematyka - grudzień 2005 r.","answer":null,"answer_text":"w tezie twierdzenia.","solution":"Dowód (zobacz pełne rozwiązanie).","image":"img/matematyka-2005-grudzien-probna-rozszerzona/zad-17.webp","solution_image":null,"topics":"dowody_geometryczne","page_from":9,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · grudzień 2005 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2005-grudzien-probna-rozszerzona/zad/18","paper_id":"matematyka-2005-grudzien-probna-rozszerzona","number":"18","points":8,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2005,"month":"grudzien","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 18. (8 pkt)\nOblicz miary kątów dowolnego czworokąta wpisanego w okrąg o promieniu\n2\n5\nR\n,\nwiedząc ponadto, że jedna z przekątnych tego czworokąta ma długość 10, zaś iloczyn sinusów\nwszystkich jego kątów wewnętrznych równa się 8\n3 .\n\nMateriał pomocniczy do doskonalenia nauczycieli w zakresie diagnozowania, oceniania i egzaminowania 11\nMatematyka - grudzień 2005 r.","answer":null,"answer_text":"18.1.\nopisanych oznaczeń, np.:\n)\nDAB\nα\n,\n)\nABC\nβ\n,\n)\nBCD\nγ\n,\n1","solution":"$45^\\circ, 60^\\circ, 120^\\circ, 135^\\circ$","image":"img/matematyka-2005-grudzien-probna-rozszerzona/zad-18.webp","solution_image":null,"topics":"planimetria","page_from":10,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · grudzień 2005 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2005-grudzien-probna-rozszerzona/zad/19","paper_id":"matematyka-2005-grudzien-probna-rozszerzona","number":"19","points":6,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2005,"month":"grudzien","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 19. (6 pkt)\nKorzystając z zasady indukcji matematycznej, udowodnij, że każda liczba naturalna\n5\n≥\nn\nspełnia nierówność\n1\n2\n2\n>\nn\nn\nn\n\n12 Materiał pomocniczy do doskonalenia nauczycieli w zakresie diagnozowania, oceniania i egzaminowania\nMatematyka - grudzień 2005 r.\nBRUDNOPIS","answer":null,"answer_text":null,"solution":"Dowód (zobacz pełne rozwiązanie).","image":"img/matematyka-2005-grudzien-probna-rozszerzona/zad-19.webp","solution_image":null,"topics":"liczby_naturalne","page_from":11,"source":"zadaniazmatur","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · grudzień 2005 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"}]}