{"paper":{"id":"matematyka-2005-maj-matura-podstawowa","subject":"matematyka","category":"matura","year":2005,"month":"maj","level":"podstawowa","variant":null,"exam_pdf":"matematyka-2005-maj-matura-podstawowa/matematyka-2005-maj-matura-podstawowa.pdf","key_pdf":"matematyka-2005-maj-matura-podstawowa-odpowiedzi/matematyka-2005-maj-matura-podstawowa-odpowiedzi.pdf","question_count":10,"source_label":"Matematyka · Matura · maj 2005 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},"questions":[{"id":"matematyka-2005-maj-matura-podstawowa/zad/1","paper_id":"matematyka-2005-maj-matura-podstawowa","number":"1","points":3,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2005,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 1. (3 pkt)\nW pudełku są trzy kule białe i pięć kul czarnych. Do pudełka można albo dołożyć jedną kulę\nbiałą albo usunąć z niego jedną kulę czarną, a następnie wylosować z tego pudełka jedną kulę.\nW którym z tych przypadków wylosowanie kuli białej jest bardziej prawdopodobne?\nWykonaj odpowiednie obliczenia.\n\n3\nArkusz I\nW pudełku są trzy kule białe i pięć kul czarnych. Do pudełka można albo dołożyć jedną kulę białą albo usunąć z niego jedną kulę czarną, a następnie wylosować z tego pudełka jedną kulę. W którym z tych przypadków wylosowanie kuli białej jest bardziej prawdopodobne? Wykonaj odpowiednie obliczenia.","answer":null,"answer_text":"1.1\nObliczenie prawdopodobieństwa wylosowania białej\nkuli spośród 4 kul białych i 5 czarnych:\n9\n4\n1 =\np\n1 p\n1.2\nObliczenie prawdopodobieństwa wylosowania białej\nkuli spośród 3 kul białych i 4 czarnych:\n7\n3\n2 =\np\n1 p\n1\n1.3\nPorównanie obliczonych wyników i sformułowanie\nodpowiedzi:\n2\n1\np\np 〉\n1 p","solution":"## Poprawna odpowiedź: Bardziej prawdopodobne jest wylosowanie kuli białej po **dołożeniu** jednej kuli białej.\n\n\\[p_1 = \\frac{4}{9} > p_2 = \\frac{3}{7}\\]\n\n## Sposób 1 - Obliczenie prawdopodobieństw obu przypadków\n\n**Stan początkowy:** 3 kule białe i 5 kul czarnych, łącznie **8 kul**.\n\n**Przypadek 1 - dokładamy jedną kulę białą:**\n\nPo dołożeniu: \\(3 + 1 = 4\\) białe, 5 czarnych, łącznie \\(8 + 1 = 9\\) kul.\n\n\\[p_1 = \\frac{\\text{liczba kul białych}}{\\text{liczba wszystkich kul}} = \\frac{4}{9}\\]\n\n**Przypadek 2 - usuwamy jedną kulę czarną:**\n\nPo usunięciu: 3 białe, \\(5 - 1 = 4\\) czarne, łącznie \\(8 - 1 = 7\\) kul.\n\n\\[p_2 = \\frac{\\text{liczba kul białych}}{\\text{liczba wszystkich kul}} = \\frac{3}{7}\\]\n\n**Porównanie - sprowadzamy do wspólnego mianownika \\(\\text{NWW}(9, 7) = 63\\):**\n\n\\[p_1 = \\frac{4}{9} = \\frac{4 \\cdot 7}{63} = \\frac{28}{63}\\]\n\n\\[p_2 = \\frac{3}{7} = \\frac{3 \\cdot 9}{63} = \\frac{27}{63}\\]\n\n\\[\\frac{28}{63} > \\frac{27}{63} \\implies p_1 > p_2\\]\n\n**Wniosek:** Wylosowanie kuli białej jest bardziej prawdopodobne w przypadku, gdy do pudełka dołożono kulę białą.\n\n## Sposób 2 - Porównanie przez iloraz (lub różnicę ułamków)\n\nZamiast szukać wspólnego mianownika, sprawdzamy nierówność \\(\\frac{4}{9} \\stackrel{?}{>} \\frac{3}{7}\\) metodą krzyżowego mnożenia (obie liczby dodatnie, więc kierunek nierówności się nie zmienia):\n\n\\[4 \\cdot 7 \\stackrel{?}{>} 3 \\cdot 9\\]\n\\[28 > 27 \\quad \\checkmark\\]\n\nZatem \\(p_1 = \\frac{4}{9} > p_2 = \\frac{3}{7}\\) - **dołożenie białej kuli jest korzystniejsze**.\n\nMożna też zobaczyć intuicję: w obu przypadkach liczba białych kul nie rośnie (w Przypadku 2 zostaje 3), ale w Przypadku 1 jest ich o 1 więcej. Mimo że pula jest większa (9 zamiast 7), relatywny udział białych jest wyższy.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 14 (Rachunek prawdopodobieństwa, s. 29-30)** - prawdopodobieństwo klasyczne:\n\\[P(A) = \\frac{|A|}{|\\Omega|}\\]\ngdzie \\(|A|\\) = liczba wyników sprzyjających zdarzeniu, \\(|\\Omega|\\) = liczba wszystkich równie możliwych wyników.\n\nUżyliśmy tego wzoru dwukrotnie - raz dla każdego przypadku, gdzie zbiór zdarzeń elementarnych to losowanie jednej kuli z pudełka.\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Częsty błąd to porównywanie ułamków „na oko\" - intuicja podpowiada, że \\(\\frac{3}{7}\\) jest większe (mniejszy mianownik = „bliżej całości\"), ale trzeba to zawsze liczyć! Tu \\(\\frac{4}{9} \\approx 0{,}444\\), a \\(\\frac{3}{7} \\approx 0{,}429\\) - różnica jest mała, ale realna.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Pamiętaj, że po zmianie liczymy prawdopodobieństwo dla **nowej** zawartości pudełka - nie dla pierwotnych 8 kul! Maturzyści często zostawiają mianownik = 8 zamiast zaktualizować liczbę kul.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Zadanie mówi „albo albo \" - to **dwie osobne sytuacje** (dwa scenariusze), nie zdarzenia jednoczesne. Nie łączymy ich wzorem na sumę prawdopodobieństw.\n\n**Poprawna odpowiedź: dołożenie białej kuli daje większe prawdopodobieństwo** \\(\\left(p_1 = \\dfrac{4}{9} > p_2 = \\dfrac{3}{7}\\right)\\)\n\n### Sposób 1 - Obliczenie prawdopodobieństw w obu przypadkach\n**Stan początkowy:** 3 białe + 5 czarnych = 8 kul.\n\n**Przypadek 1 - dołożenie białej kuli:**\n- Białych: \\(3+1 = 4\\)\n- Czarnych: \\(5\\)\n- Razem: \\(9\\)\n\\[p_1 = \\dfrac{4}{9}\\]\n\n**Przypadek 2 - usunięcie czarnej kuli:**\n- Białych: \\(3\\)\n- Czarnych: \\(5-1 = 4\\)\n- Razem: \\(7\\)\n\\[p_2 = \\dfrac{3}{7}\\]\n\n**Porównanie:** sprowadzamy do wspólnego mianownika:\n\\[p_1 = \\dfrac{4}{9} = \\dfrac{28}{63}, \\quad p_2 = \\dfrac{3}{7} = \\dfrac{27}{63}\\]\n\\[\\dfrac{28}{63} > \\dfrac{27}{63} \\Rightarrow p_1 > p_2.\\]\n\n**Wniosek:** wylosowanie kuli białej jest bardziej prawdopodobne w przypadku **dołożenia białej kuli**.\n\n### Sposób 2 - Porównanie ilorazem\n\\[\\dfrac{p_1}{p_2} = \\dfrac{4/9}{3/7} = \\dfrac{4\\cdot 7}{9\\cdot 3} = \\dfrac{28}{27} > 1.\\]\nZatem \\(p_1 > p_2\\).\n\n### Wnioski dydaktyczne\nDołożenie białej kuli zwiększa zarówno licznik (liczbę sukcesów), jak i mianownik (liczbę wszystkich), ale proporcja rośnie szybciej niż przy usunięciu czarnej. Intuicja: liczba białych ma większe znaczenie, gdy rośnie zarówno licznik, jak i mianownik.","image":"img/matematyka-2005-maj-matura-podstawowa/zad-1.webp","solution_image":"img/matematyka-2005-maj-matura-podstawowa/sol-1.svg","topics":"prawdopodobienstwo","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2005 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2005-maj-matura-podstawowa/zad/2","paper_id":"matematyka-2005-maj-matura-podstawowa","number":"2","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2005,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 2. (4 pkt)\nDany jest ciąg (\n)\nn\na\n, gdzie\n3\n,2\n,1\ndla\n1\n3\n2\nn\nn\nn\nan\nWyznacz wszystkie wyrazy tego ciągu\nwiększe od 2\n1 .\n\n4\nArkusz I\nDany jest ciąg (a_n), gdzie a_n={n+2 / 3n+1} dla n=1,2,3... Wyznacz wszystkie wyrazy tego ciągu większe od {1/2}","answer":null,"answer_text":"2.1\nZapisanie nierówności:\n2\n1\n1\n3\n2 〉\nn\nn\n1 p\n2.2\nPrzekształcenie nierówności do postaci liniowej\nlub iloczynowej:\n3\n〈\nn\nlub (\n)(\n)\n0\n1\n3\n3\n2\n〉\nn\nn\n1 p\n2.3\nRozwiązanie nierówności w zbiorze liczb naturalnych:\nn = 1 lub n = 2\n1 p\n2\n2.4\nSformułowanie odpowiedzi:\n7\n4\n,\n4\n3\n2\n1\na\na\n1 p","solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(a_1 = \\dfrac{3}{4}\\) oraz \\(a_2 = \\dfrac{4}{7}\\)\n\nSzukamy wszystkich \\(n \\in \\{1, 2, 3, \\ldots\\}\\) takich, że \\(a_n > \\dfrac{1}{2}\\).\n\n## Sposób 1 - Rozwiązanie nierówności algebraicznie\n\n**Cel:** znaleźć dla jakich \\(n\\) zachodzi \\(\\dfrac{n+2}{3n+1} > \\dfrac{1}{2}\\).\n\n**Krok 1.** Zauważamy, że dla każdego \\(n \\geq 1\\) mianownik \\(3n + 1 > 0\\), więc możemy bezpiecznie pomnożyć obie strony nierówności przez \\(2(3n+1)\\) bez zmiany kierunku:\n\n\\[2(n+2) > 3n+1\\]\n\n**Krok 2.** Rozwijamy i upraszczamy:\n\n\\[2n + 4 > 3n + 1\\]\n\n\\[4 - 1 > 3n - 2n\\]\n\n\\[3 > n\\]\n\n\\[n < 3\\]\n\n**Krok 3.** Ponieważ \\(n\\) jest naturalnym indeksem (\\(n = 1, 2, 3, \\ldots\\)), warunek \\(n < 3\\) spełniają dokładnie \\(n = 1\\) i \\(n = 2\\).\n\n**Krok 4.** Obliczamy te wyrazy:\n\n\\[a_1 = \\frac{1+2}{3 \\cdot 1 + 1} = \\frac{3}{4}\\]\n\n\\[a_2 = \\frac{2+2}{3 \\cdot 2 + 1} = \\frac{4}{7}\\]\n\n**Odpowiedź:** Jedyne wyrazy większe od \\(\\dfrac{1}{2}\\) to \\(\\boldsymbol{a_1 = \\dfrac{3}{4}}\\) i \\(\\boldsymbol{a_2 = \\dfrac{4}{7}}\\).\n\n## Sposób 2 - Analiza monotoniczności + weryfikacja przy \\(n = 3\\)\n\n**Obserwacja:** Sprawdźmy, czy ciąg jest malejący. Liczymy \\(a_{n+1} - a_n\\):\n\n\\[a_{n+1} - a_n = \\frac{(n+1)+2}{3(n+1)+1} - \\frac{n+2}{3n+1} = \\frac{n+3}{3n+4} - \\frac{n+2}{3n+1}\\]\n\nSprowadzamy do wspólnego mianownika:\n\n\\[= \\frac{(n+3)(3n+1) - (n+2)(3n+4)}{(3n+4)(3n+1)}\\]\n\nLicznik:\n\n\\[(3n^2 + 10n + 3) - (3n^2 + 10n + 8) = -5\\]\n\nZatem:\n\n\\[a_{n+1} - a_n = \\frac{-5}{(3n+4)(3n+1)} < 0 \\quad \\text{dla każdego } n \\geq 1\\]\n\n**Wniosek:** ciąg jest **ściśle malejący**. Wystarczy więc znaleźć pierwszy wyraz, który przestaje być \\(> \\dfrac{1}{2}\\), i wiemy, że wszystkie kolejne też nie będą.\n\nSprawdzamy \\(a_3\\):\n\n\\[a_3 = \\frac{3+2}{3 \\cdot 3 + 1} = \\frac{5}{10} = \\frac{1}{2}\\]\n\n\\(a_3 = \\dfrac{1}{2}\\) - **nie jest większe** od \\(\\dfrac{1}{2}\\) (warunek jest ostry: \\(>\\)).\n\nPonieważ ciąg jest malejący i \\(a_3 = \\dfrac{1}{2}\\), to dla wszystkich \\(n \\geq 3\\) mamy \\(a_n \\leq \\dfrac{1}{2}\\).\n\nPozostaje sprawdzić \\(a_1\\) i \\(a_2\\):\n\n\\[a_1 = \\frac{3}{4} = 0{,}75 > 0{,}5 \\quad \\checkmark\\]\n\n\\[a_2 = \\frac{4}{7} \\approx 0{,}571 > 0{,}5 \\quad \\checkmark\\]\n\n**Odpowiedź potwierdzona:** tylko \\(a_1\\) i \\(a_2\\).\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie korzystamy z żadnych wzorów z karty CKE - wystarczą podstawowe przekształcenia nierówności i działania arytmetyczne na ułamkach. Pojęcie ciągu ogólnego (wzór na \\(n\\)-ty wyraz) jest definicją, nie wzorem z karty.\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Mnożąc obie strony nierówności przez wyrażenie zawierające zmienną, trzeba sprawdzić jego znak! Tutaj \\(3n+1 > 0\\) zawsze - ale gdyby mogło być ujemne, kierunek nierówności by się odwrócił.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\(a_3 = \\dfrac{1}{2}\\) - dokładnie połowa, **nie spełnia warunku** \\(> \\dfrac{1}{2}\\). Nierówność jest ostra. Łatwo tu popełnić błąd i zaliczyć \\(a_3\\) do odpowiedzi.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Ciąg jest nieskończony, więc nie wystarczy sprawdzić kilku pierwszych wyrazów \"na oko\" - trzeba rozwiązać nierówność ogólnie (jak w Sposobie 1) lub uzasadnić monotoniczność (jak w Sposobie 2), żeby mieć pewność, że nie ma \"dalszych\" wyrazów większych od \\(\\dfrac{1}{2}\\).\n\n**Poprawna odpowiedź:** \\(a_1 = \\dfrac{3}{4}\\) oraz \\(a_2 = \\dfrac{4}{7}\\)\n\n### Sposób 1 - Rozwiązanie nierówności algebraicznie\nSzukamy wszystkich \\(n \\in \\mathbb{N}_+\\), dla których \\(a_n > \\dfrac{1}{2}\\):\n\\[\\dfrac{n+2}{3n+1} > \\dfrac{1}{2}\\]\n\nMianownik \\(3n+1 > 0\\) dla każdego \\(n \\ge 1\\), więc mnożymy bez zmiany znaku:\n\\[2(n+2) > 3n+1\\]\n\\[2n+4 > 3n+1\\]\n\\[3 > n\\]\n\\[n < 3.\\]\n\nDla \\(n \\in \\mathbb{N}_+\\): \\(n = 1\\) lub \\(n = 2\\).\n\n**Wartości:**\n\\[a_1 = \\dfrac{1+2}{3\\cdot 1+1} = \\dfrac{3}{4}, \\quad a_2 = \\dfrac{2+2}{3\\cdot 2+1} = \\dfrac{4}{7}.\\]\n\nSprawdzenie: \\(\\dfrac{3}{4} = 0{,}75 > 0{,}5\\) ✓; \\(\\dfrac{4}{7} \\approx 0{,}571 > 0{,}5\\) ✓.\n\n### Sposób 2 - Rozwiązanie metodą różnicy\nZapisujemy:\n\\[a_n - \\dfrac{1}{2} = \\dfrac{n+2}{3n+1} - \\dfrac{1}{2} = \\dfrac{2(n+2) - (3n+1)}{2(3n+1)} = \\dfrac{3-n}{2(3n+1)}.\\]\n\nMianownik \\(2(3n+1) > 0\\) dla każdego \\(n \\ge 1\\), więc znak wyrażenia zależy od licznika:\n\\[a_n > \\dfrac{1}{2} \\iff 3 - n > 0 \\iff n < 3.\\]\n\nStąd \\(n \\in \\{1, 2\\}\\).\n\n### Sposób 3 - Obliczeniowy (sprawdzanie kolejnych wyrazów)\n\\[a_1 = \\dfrac{3}{4} = 0{,}75 > 0{,}5 \\checkmark\\]\n\\[a_2 = \\dfrac{4}{7} \\approx 0{,}571 > 0{,}5 \\checkmark\\]\n\\[a_3 = \\dfrac{5}{10} = 0{,}5 \\text{ (nie większe)} ✗\\]\n\\[a_4 = \\dfrac{6}{13} \\approx 0{,}462 < 0{,}5 ✗\\]\n\nCiąg jest malejący dla \\(n \\ge 1\\) (sprawdzenie przez różnicę wyrazów). Wyrazy większe od \\(\\dfrac{1}{2}\\) to tylko \\(a_1\\) i \\(a_2\\).\n\n### Uwaga dydaktyczna\nGranica ciągu: \\(\\lim_{n\\to\\infty} \\dfrac{n+2}{3n+1} = \\dfrac{1}{3} < \\dfrac{1}{2}\\), więc od pewnego \\(n\\) wszystkie wyrazy są mniejsze niż \\(\\dfrac{1}{2}\\).","image":"img/matematyka-2005-maj-matura-podstawowa/zad-2.webp","solution_image":"img/matematyka-2005-maj-matura-podstawowa/sol-2.svg","topics":"ciagi","page_from":3,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2005 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2005-maj-matura-podstawowa/zad/3","paper_id":"matematyka-2005-maj-matura-podstawowa","number":"3","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2005,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 3. (4 pkt)\nDany jest wielomian\n( )\n3\n2\n4.\nW x\nx\nkx\na) Wyznacz współczynnik k tego wielomianu wiedząc, że wielomian ten jest podzielny\nprzez dwumian\n2\nx\nb) Dla wyznaczonej wartości k rozłóż wielomian na czynniki i podaj wszystkie jego\npierwiastki.\n\n5\nArkusz I\nDany jest wielomian W(x)=x^3+kx^2-4 a) Wyznacz współczynnik k tego wielomianu wiedząc, że wielomian ten jest podzielny przez dwumian x+2. b) Dla wyznaczonej wartości k rozłóż wielomian na czynniki i podaj wszystkie jego pierwiastki.","answer":null,"answer_text":"3.1\nWykorzystanie podzielności wielomianu przez dwu-\nmian\n2\nx +\nnp.\n( 2)\n0\nW -\nlub podzielenie wielomianu\n( )\nW x przez dwumian\n2\nx +\n1 p\n3.2\nWyznaczenie k :\n3\nk\n1 p\n3.3\nRozłożenie wielomianu na czynniki:\n( )\n(\n)(\n)\n2\n2\n1\nx\nx\nx\nW\n1 p\n3\n3.4\nPodanie pierwiastków wielomianu:\n1\n,2\n3\n2\n1\nx\nx\nx\n1 p","solution":"## Poprawna odpowiedź:\n\n**a)** \\(k = 3\\)\n\n**b)** \\(W(x) = (x+2)^2(x-1)\\); pierwiastki: \\(x_1 = x_2 = -2\\), \\(x_3 = 1\\)\n\n## Sposób 1 - Twierdzenie Bézouta + dzielenie wielomianów\n\n### Część a) - wyznaczenie k\n\n**Twierdzenie Bézouta** mówi: wielomian \\(W(x)\\) jest podzielny przez \\((x - a)\\) wtedy i tylko wtedy, gdy \\(W(a) = 0\\).\n\nDwumian \\(x + 2 = x - (-2)\\), więc \\(a = -2\\). Podstawiamy:\n\n\\[W(-2) = 0\\]\n\\[(-2)^3 + k \\cdot (-2)^2 - 4 = 0\\]\n\\[-8 + 4k - 4 = 0\\]\n\\[4k = 12\\]\n\\[\\boxed{k = 3}\\]\n\n### Część b) - rozkład na czynniki\n\nMamy teraz \\(W(x) = x^3 + 3x^2 - 4\\). Wiemy, że \\((x+2)\\) jest czynnikiem - dzielimy przez \\((x+2)\\) z użyciem schematu Hornera lub długiego dzielenia:\n\n\\[x^3 + 3x^2 + 0x - 4 = (x+2) \\cdot Q(x)\\]\n\nDzielenie:\n\n\\[x^3 + 3x^2 - 4 \\div (x+2)\\]\n\n| | \\(1\\) | \\(3\\) | \\(0\\) | \\(-4\\) |\n| \\(\\cdot(-2)\\) | | \\(-2\\) | \\(-2\\) | \\(4\\) |\n| wynik | \\(1\\) | \\(1\\) | \\(-2\\) | \\(0\\) |\n\nIloraz: \\(Q(x) = x^2 + x - 2\\)\n\nRozkładamy trójmian kwadratowy \\(x^2 + x - 2\\):\n\\[\\Delta = 1^2 - 4 \\cdot 1 \\cdot (-2) = 1 + 8 = 9\\]\n\\[x = \\frac{-1 \\pm \\sqrt{9}}{2} = \\frac{-1 \\pm 3}{2}\\]\n\\[x_1 = \\frac{-1 - 3}{2} = -2, \\qquad x_2 = \\frac{-1 + 3}{2} = 1\\]\n\nStąd: \\(x^2 + x - 2 = (x+2)(x-1)\\)\n\n**Pełny rozkład:**\n\\[\\boxed{W(x) = (x+2)^2(x-1)}\\]\n\n**Pierwiastki:** \\(x_1 = x_2 = -2\\) (pierwiastek podwójny), \\(x_3 = 1\\)\n\n## Sposób 2 - Schemat Hornera do wyznaczenia k i weryfikacja\n\n### Część a) - schemat Hornera\n\nZamiast podstawiać, można od razu użyć schematu Hornera dla \\(a = -2\\) i \\(W(x) = x^3 + kx^2 + 0x - 4\\). Warunek podzielności to: reszta \\(= 0\\).\n\n| | \\(1\\) | \\(k\\) | \\(0\\) | \\(-4\\) |\n| \\(\\cdot(-2)\\) | | \\(-2\\) | \\(-2(k-2)\\) | \\(2(k-2) \\cdot 2\\) |\n| wynik | \\(1\\) | \\(k-2\\) | \\(-2k+4\\) | reszta |\n\nReszta:\n\\[-4 + (-2) \\cdot (-2k + 4) = -4 + 4k - 8 = 4k - 12\\]\n\nWarunek: \\(4k - 12 = 0 \\Rightarrow k = 3\\) ✓\n\n### Weryfikacja rozkładu\n\nSprawdzamy przez wymnożenie:\n\\[(x+2)^2(x-1) = (x^2 + 4x + 4)(x-1)\\]\n\\[= x^3 - x^2 + 4x^2 - 4x + 4x - 4\\]\n\\[= x^3 + 3x^2 - 4\\] ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)** - wzór na miejsca zerowe trójmianu kwadratowego:\n\\[x_{1,2} = \\frac{-b \\pm \\sqrt{\\Delta}}{2a}, \\qquad \\Delta = b^2 - 4ac\\]\nUżyliśmy tego w obu Sposobach do rozkładu ilorazu \\(x^2 + x - 2\\).\n\n> **Uwaga:** Twierdzenie Bézouta nie jest wprost zapisane na karcie CKE, ale jest standardowym faktem z zakresu matury - warto je znać na pamięć: *\"Jeśli \\(W(a) = 0\\), to \\((x-a)\\) dzieli \\(W(x)\\)\"*.\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Dwumian \\(x + 2\\) odpowiada \\(a = -2\\), nie \\(a = 2\\)! Podstawienie \\(W(2) = 0\\) to jeden z najczęstszych błędów - pamiętaj: \\(x + 2 = 0 \\Rightarrow x = -2\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Po podzieleniu i znalezieniu \\(Q(x) = x^2 + x - 2\\) uczniowie często zapominają, że jeden z pierwiastków \\(Q(x)\\) wynosi znowu \\(-2\\) - stąd pierwiastek podwójny. Warto to sprawdzić!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wynik \\(W(x) = (x+2)(x-1)(x+2)\\) i \\(W(x) = (x+2)^2(x-1)\\) to to samo - zawsze zbierz powtarzające się czynniki w potęgę, bo zadanie często pyta o **krotność** pierwiastka.\n\n**Poprawna odpowiedź:** \\(k = 3\\); \\(W(x) = (x-1)(x+2)^{2}\\); pierwiastki \\(x = -2\\) (podwójny) oraz \\(x = 1\\).\n\n### Sposób 1 - Twierdzenie Bézouta\n**a) Wyznaczenie \\(k\\):**\nWielomian \\(W(x)\\) jest podzielny przez \\(x+2\\) wtedy i tylko wtedy, gdy \\(W(-2) = 0\\):\n\\[W(-2) = (-2)^{3} + k\\cdot(-2)^{2} - 4 = -8 + 4k - 4 = 4k - 12.\\]\n\\[4k - 12 = 0 \\Rightarrow k = 3.\\]\n\n**b) Rozkład dla \\(k = 3\\):**\n\\(W(x) = x^{3} + 3x^{2} - 4\\). Wiemy już, że \\((x+2)\\) jest dzielnikiem. Dzielimy:\n\\[(x^{3} + 3x^{2} - 4) : (x+2) = x^{2} + x - 2.\\]\n\nPrzykładowe dzielenie pisemne:\n- \\(x^{3} : x = x^{2}\\); \\(x^{2}\\cdot(x+2) = x^{3}+2x^{2}\\); reszta: \\(x^{2} - 4\\).\n- \\(x^{2} : x = x\\); \\(x(x+2) = x^{2}+2x\\); reszta: \\(-2x - 4\\).\n- \\(-2x : x = -2\\); \\(-2(x+2) = -2x-4\\); reszta \\(0\\).\n\nZatem \\(W(x) = (x+2)(x^{2}+x-2)\\).\n\nRozkładamy \\(x^{2}+x-2\\): \\(\\Delta = 1 + 8 = 9\\), \\(\\sqrt{\\Delta} = 3\\):\n\\[x = \\dfrac{-1\\pm 3}{2} \\Rightarrow x = 1 \\text{ lub } x = -2.\\]\n\nStąd \\(x^{2}+x-2 = (x-1)(x+2)\\) i ostatecznie:\n\\[W(x) = (x+2)(x-1)(x+2) = (x-1)(x+2)^{2}.\\]\n\n**Pierwiastki:** \\(x_1 = x_2 = -2\\) (podwójny), \\(x_3 = 1\\).\n\n### Sposób 2 - Schemat Hornera\n**a)** Dla \\(W(x) = x^{3} + kx^{2} + 0\\cdot x - 4\\) i \\(c = -2\\):\n| | 1 | k | 0 | -4 |\n| -2 | 1 | k-2 | -2(k-2) | -2(-2(k-2)) - 4 = 4k-12 |\n\nReszta = \\(4k - 12 = 0 \\Rightarrow k = 3\\).\n\n**b)** Schemat dla \\(k = 3\\), pierwiastek \\(-2\\):\n| | 1 | 3 | 0 | -4 |\n| -2 | 1 | 1 | -2 | 0 |\n\nIloraz: \\(x^{2} + x - 2\\); dalej jak w sposobie 1.\n\n### Sposób 3 - Szukanie pierwiastków wymiernych\nPierwiastki wymierne \\(W(x)\\) są dzielnikami wyrazu wolnego \\(-4\\): \\(\\pm 1, \\pm 2, \\pm 4\\).\n\\[W(1) = 1 + k - 4 = k-3; \\quad W(-2) = 4k-12.\\]\nZ warunku \\(W(-2) = 0\\): \\(k = 3\\). Wtedy \\(W(1) = 0\\), więc \\(x = 1\\) też jest pierwiastkiem.\n\nWielomian \\(W(x) = (x-1)(x+2)(x-c)\\); porównując wyraz wolny: \\((-1)\\cdot 2\\cdot(-c) = -4 \\Rightarrow c = -2\\). Stąd podwójny pierwiastek \\(-2\\).\n\n### Weryfikacja\n\\[(x-1)(x+2)^{2} = (x-1)(x^{2}+4x+4) = x^{3}+4x^{2}+4x-x^{2}-4x-4 = x^{3}+3x^{2}-4.\\] ✓","image":"img/matematyka-2005-maj-matura-podstawowa/zad-3.webp","solution_image":"img/matematyka-2005-maj-matura-podstawowa/sol-3.svg","topics":"wielomiany","page_from":4,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2005 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2005-maj-matura-podstawowa/zad/4","paper_id":"matematyka-2005-maj-matura-podstawowa","number":"4","points":5,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2005,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 4. (5 pkt)\nNa trzech półkach ustawiono 76 płyt kompaktowych. Okazało się, że liczby płyt na półkach\ngórnej, środkowej i dolnej tworzą rosnący ciąg geometryczny. Na środkowej półce stoją\n24 płyty. Oblicz, ile płyt stoi na półce górnej, a ile płyt stoi na półce dolnej.\n\n6\nArkusz I\nNa trzech półkach ustawiono 76 płyt kompaktowych. Okazało się, że liczby płyt na półkach górnej, środkowej i dolnej tworzą rosnący ciąg geometryczny. Na środkowej półce stoją 24 płyty. Oblicz, ile płyt stoi na półce górnej, a ile płyt stoi na półce dolnej.","answer":null,"answer_text":"4.1\nWprowadzenie oznaczeń wskazujących, że liczby two-\nrzą ciąg geometryczny,\nnp. x - liczba płyt ustawionych na górnej półce, gdzie\n∈\n〈\nN\nx\ni\nx 24\n24- liczba płyt ustawionych na środkowej półce,\nx\n24\n24⋅\n- liczba płyt ustawionych na dolnej półce\n1 p\n4.2\nWykorzystanie sumy trzech wyrazów ciągu geome-\ntrycznego i ułożenie równania z niewiadomą x:\n76\n576\n24\nx\nx\n(*)\n1 p\n4.3\nPrzekształcenie równania (*) do postaci\n(**):\n0\n576\n52\n2\nx\nx\n(**)\n1 p\n4.4\nRozwiązanie równania (**):\n36\n,\n16\n2\n1\nx\nx\n1 p\n4\n4.5\nZapisanie odpowiedzi zgodnie z warunkami zadania.\nNa górnej półce jest 16 płyt, zaś na dolnej półce jest\nich 36.\n1 p\n2","solution":"## Poprawna odpowiedź\n\nNa górnej półce: **16 płyt**, na dolnej półce: **36 płyt**.\n\n## Sposób 1 - Układ równań z własnościami ciągu geometrycznego\n\n**Co wiemy:**\n- Trzy liczby tworzą rosnący ciąg geometryczny: \\(a_1, a_2, a_3\\)\n- Środkowy wyraz: \\(a_2 = 24\\)\n- Suma wszystkich: \\(a_1 + a_2 + a_3 = 76\\)\n\n**Krok 1: Oznaczenia**\n\nNiech wyraz środkowy to \\(a_2 = 24\\), a iloraz ciągu to \\(q\\). Wtedy:\n\\[a_1 = \\frac{a_2}{q} = \\frac{24}{q}, \\quad a_3 = a_2 \\cdot q = 24q\\]\n\n**Krok 2: Skorzystaj z sumy**\n\n\\[\\frac{24}{q} + 24 + 24q = 76\\]\n\nOdejmij 24 od obu stron:\n\\[\\frac{24}{q} + 24q = 52\\]\n\nPodziel przez 4:\n\\[\\frac{6}{q} + 6q = 13\\]\n\nPomnóż obustronnie przez \\(q\\) (zakładamy \\(q \\neq 0\\)):\n\\[6 + 6q^2 = 13q\\]\n\\[6q^2 - 13q + 6 = 0\\]\n\n**Krok 3: Rozwiąż równanie kwadratowe**\n\n\\[\\Delta = (-13)^2 - 4 \\cdot 6 \\cdot 6 = 169 - 144 = 25\\]\n\\[q_{1,2} = \\frac{13 \\pm \\sqrt{25}}{12} = \\frac{13 \\pm 5}{12}\\]\n\n\\[q_1 = \\frac{18}{12} = \\frac{3}{2}, \\quad q_2 = \\frac{8}{12} = \\frac{2}{3}\\]\n\n**Krok 4: Wybierz właściwe \\(q\\)**\n\nCiąg ma być **rosnący**, więc \\(q > 1\\). Zatem **\\(q = \\frac{3}{2}\\)**.\n\n**Krok 5: Oblicz wyrazy**\n\n\\[a_1 = \\frac{24}{q} = \\frac{24}{\\frac{3}{2}} = 24 \\cdot \\frac{2}{3} = 16\\]\n\\[a_3 = 24 \\cdot \\frac{3}{2} = 36\\]\n\n**Wynik: górna półka - 16 płyt, dolna półka - 36 płyt.**\n\n## Sposób 2 - Własność środkowego wyrazu ciągu geometrycznego\n\n**Kluczowa własność:** W ciągu geometrycznym wyraz środkowy jest średnią geometryczną sąsiednich wyrazów:\n\\[(a_2)^2 = a_1 \\cdot a_3\\]\n\n**Krok 1: Zapisz układ równań**\n\n\\[\\begin{cases} a_1 \\cdot a_3 = a_2^2 = 24^2 = 576 \\\\ a_1 + a_3 = 76 - 24 = 52 \\end{cases}\\]\n\n**Krok 2: Rozwiąż układ**\n\nMamy sumę i iloczyn - to są wzory Viète'a! Liczby \\(a_1\\) i \\(a_3\\) są pierwiastkami równania:\n\\[t^2 - 52t + 576 = 0\\]\n\n\\[\\Delta = 52^2 - 4 \\cdot 576 = 2704 - 2304 = 400\\]\n\\[t_{1,2} = \\frac{52 \\pm \\sqrt{400}}{2} = \\frac{52 \\pm 20}{2}\\]\n\n\\[t_1 = \\frac{72}{2} = 36, \\quad t_2 = \\frac{32}{2} = 16\\]\n\n**Krok 3: Przyporządkowanie**\n\nCiąg jest **rosnący**, więc mniejsza wartość jest na górnej półce:\n\\[a_1 = 16, \\quad a_3 = 36\\]\n\n**Wynik: górna półka - 16 płyt, dolna półka - 36 płyt.** ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 8 (Ciągi, s. 9-10)**\n\nWłasność wyrazu środkowego ciągu geometrycznego:\n\\[(a_n)^2 = a_{n-1} \\cdot a_{n+1}\\]\nUżyliśmy tego w Sposobie 2 - kwadrat wyrazu środkowego równa się iloczynowi sąsiednich wyrazów.\n\nWzór ogólny ciągu geometrycznego:\n\\[a_n = a_1 \\cdot q^{n-1}\\]\nUżyliśmy w Sposobie 1 do wyrażenia \\(a_1\\) i \\(a_3\\) przez \\(q\\).\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)**\n\nWzór na pierwiastki trójmianu kwadratowego:\n\\[t_{1,2} = \\frac{-b \\pm \\sqrt{\\Delta}}{2a}, \\quad \\Delta = b^2 - 4ac\\]\n\nWzory Viète'a:\n\\[t_1 + t_2 = -\\frac{b}{a}, \\quad t_1 \\cdot t_2 = \\frac{c}{a}\\]\nUżyliśmy ich w obu sposobach przy rozwiązywaniu równania kwadratowego.\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Zadanie mówi, że ciąg jest **rosnący** - to eliminuje rozwiązanie \\(q = \\frac{2}{3}\\) w Sposobie 1 oraz zamienia kolejność wyrazów w Sposobie 2. Bez tego warunku mielibyśmy dwa rozwiązania!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Łatwo pomylić, która półka jest górna (mniejsza liczba płyt), a która dolna (większa). Skoro ciąg jest rosnący i zaczyna się od góry, górna = 16, dolna = 36.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** W Sposobie 2, gdy zapisujesz \\(a_1 + a_3 = 52\\), pamiętaj odejmować \\(a_2 = 24\\) od sumy 76, nie mnożyć! Częsty błąd to zostawienie 76 zamiast 52.\n\n**Poprawna odpowiedź:** półka górna - \\(16\\) płyt, półka dolna - \\(36\\) płyt.\n\n### Sposób 1 - Równanie z jedną niewiadomą (zmienna = górna półka)\nOznaczenia:\n- \\(x\\) - liczba płyt na półce górnej (\\(x \\in \\mathbb{N}_+\\), \\(x < 24\\) bo ciąg rosnący),\n- \\(24\\) - środkowa półka,\n- liczba płyt na półce dolnej wynika z warunku ciągu geometrycznego.\n\nDla ciągu geometrycznego: \\(a_2^{2} = a_1 \\cdot a_3\\), więc:\n\\[24^{2} = x \\cdot a_3 \\Rightarrow a_3 = \\dfrac{576}{x}.\\]\n\nSuma:\n\\[x + 24 + \\dfrac{576}{x} = 76\\]\n\\[x + \\dfrac{576}{x} = 52 \\quad |\\cdot x\\]\n\\[x^{2} - 52x + 576 = 0.\\]\n\n\\(\\Delta = 2704 - 2304 = 400\\), \\(\\sqrt{\\Delta} = 20\\):\n\\[x_1 = \\dfrac{52-20}{2} = 16, \\quad x_2 = \\dfrac{52+20}{2} = 36.\\]\n\nPonieważ ciąg jest **rosnący**, \\(x < 24\\), więc \\(x = 16\\).\n\nWtedy \\(a_3 = \\dfrac{576}{16} = 36\\).\n\n**Odpowiedź:** górna \\(= 16\\), dolna \\(= 36\\).\n\n**Sprawdzenie:** \\(16 + 24 + 36 = 76\\) ✓; iloraz \\(q = \\dfrac{24}{16} = \\dfrac{3}{2}\\); \\(24\\cdot\\dfrac{3}{2} = 36\\) ✓.\n\n### Sposób 2 - Równanie z ilorazem \\(q\\)\nNiech \\(q\\) - iloraz ciągu, \\(a_2 = 24\\). Wtedy \\(a_1 = \\dfrac{24}{q}\\), \\(a_3 = 24q\\).\n\nSuma:\n\\[\\dfrac{24}{q} + 24 + 24q = 76 \\quad |\\cdot q\\]\n\\[24 + 24q + 24q^{2} = 76q\\]\n\\[24q^{2} - 52q + 24 = 0 \\quad |\\div 4\\]\n\\[6q^{2} - 13q + 6 = 0.\\]\n\n\\(\\Delta = 169 - 144 = 25\\), \\(\\sqrt{\\Delta} = 5\\):\n\\[q = \\dfrac{13\\pm 5}{12} \\Rightarrow q_1 = \\dfrac{3}{2}, \\quad q_2 = \\dfrac{2}{3}.\\]\n\nCiąg **rosnący** ⇒ \\(q > 1\\) ⇒ \\(q = \\dfrac{3}{2}\\).\n\n\\[a_1 = \\dfrac{24}{3/2} = 16, \\quad a_3 = 24\\cdot\\dfrac{3}{2} = 36.\\]\n\n### Komentarz\nPominięcie warunku „ciąg rosnący\" prowadzi do alternatywnego rozwiązania \\(x = 36\\), \\(q = \\dfrac{2}{3}\\), czyli ciągu **malejącego** \\((36, 24, 16)\\) - ten sam zestaw liczb, ale w odwrotnej kolejności.","image":"img/matematyka-2005-maj-matura-podstawowa/zad-4.webp","solution_image":"img/matematyka-2005-maj-matura-podstawowa/sol-4.svg","topics":"ciagi","page_from":5,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2005 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2005-maj-matura-podstawowa/zad/5","paper_id":"matematyka-2005-maj-matura-podstawowa","number":"5","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2005,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 5. (4 pkt)\nSklep sprowadza z hurtowni kurtki płacąc po 100 zł za sztukę i sprzedaje średnio 40 sztuk\nmiesięcznie po 160 zł. Zaobserwowano, że każda kolejna obniżka ceny sprzedaży kurtki\no 1 zł zwiększa sprzedaż miesięczną o 1 sztukę. Jaką cenę kurtki powinien ustalić\nsprzedawca, aby jego miesięczny zysk był największy?\n\n7\nArkusz I\nSklep sprowadza z hurtowni kurtki płacąc po 100 zł za sztukę i sprzedaje średnio 40 sztuk miesięcznie po 160 zł. Zaobserwowano, że każda kolejna obniżka ceny sprzedaży kurtki o 1 zł zwiększa sprzedaż miesięczną o 1 sztukę. Jaką cenę kurtki powinien ustalić sprzedawca, aby jego miesięczny zysk był największy? Zadanie tekstowe. Zadanie optymalizacyjne z funkcji kwadratowej. Wierzchołek funkcji kwadratowej.","answer":null,"answer_text":"5.1\nWprowadzenie oznaczeń, np.:\nx - liczba kolejnych obniżek ceny jednej kurtki,\n(\n)\nx\n60\n- zysk ze sprzedaży jednej kurtki,\n(\n)\nx\n40\n- liczba sprzedanych kurtek\n1 p\n5.2\nOkreślenie funkcji f opisującej miesięczny zysk:\n( )\n(\n)(\n)\nx\nx\nx\nf\n40\n60\nlub ( )\n2400\n20\n2\nx\nx\nx\nf\n1 p\n5.3\nWyznaczenie wartości argumentu\nw\nx , dla której funk-\ncja przyjmuje największą wartość:\n10\nw\nx\n1 p\n5\n5.4\nWyznaczenie szukanej ceny: 150 zł\n1 p","solution":"## Poprawna odpowiedź: Cena kurtki powinna wynosić **150 zł**\n\n## Sposób 1 - Funkcja kwadratowa (wzór na wierzchołek)\n\n**Wprowadzamy zmienną.** Niech \\(x\\) oznacza liczbę obniżek ceny o 1 zł. Zakładamy \\(x \\geq 0\\) i \\(x\\) całkowite (ale rozwiązujemy na \\(\\mathbb{R}\\), bo wynik i tak wyjdzie całkowity).\n\n**Ustalamy wyrażenia:**\n- Cena sprzedaży: \\(160 - x\\) [zł]\n- Liczba sprzedanych kurtek: \\(40 + x\\) [sztuk]\n- Zysk na jednej kurtce: \\((160 - x) - 100 = 60 - x\\) [zł]\n\n**Funkcja zysku miesięcznego:**\n\\[W(x) = (60 - x)(40 + x)\\]\n\n**Rozkładamy nawiasy:**\n\\[W(x) = 2400 + 60x - 40x - x^2\\]\n\\[W(x) = -x^2 + 20x + 2400\\]\n\nJest to **parabola skierowana ramionami w dół** (\\(a = -1 < 0\\)), więc ma **maksimum** w wierzchołku.\n\n**Wyznaczamy odciętą wierzchołka:**\n\\[p = -\\frac{b}{2a} = -\\frac{20}{2 \\cdot (-1)} = -\\frac{20}{-2} = 10\\]\n\nZatem **optymalna liczba obniżek to \\(x = 10\\)**.\n\n**Optymalna cena:**\n\\[160 - 10 = \\mathbf{150 \\text{ zł}}\\]\n\n**Maksymalny zysk miesięczny:**\n\\[W(10) = (60 - 10)(40 + 10) = 50 \\cdot 50 = \\mathbf{2500 \\text{ zł}}\\]\n\n## Sposób 2 - Pochodna (metoda różniczkowania)\n\nMamy tę samą funkcję zysku:\n\\[W(x) = -x^2 + 20x + 2400\\]\n\n**Liczymy pochodną:**\n\\[W'(x) = -2x + 20\\]\n\n**Przyrównujemy do zera** (warunek konieczny ekstremum):\n\\[W'(x) = 0\\]\n\\[-2x + 20 = 0\\]\n\\[x = 10\\]\n\n**Sprawdzamy, czy to maksimum** (druga pochodna):\n\\[W''(x) = -2 < 0\\]\n\nPonieważ \\(W''(10) = -2 < 0\\), punkt \\(x = 10\\) jest **maksimum**.\n\n**Optymalna cena:** \\(160 - 10 = \\mathbf{150 \\text{ zł}}\\)\n**Zysk:** \\(W(10) = -(10)^2 + 20 \\cdot 10 + 2400 = -100 + 200 + 2400 = \\mathbf{2500 \\text{ zł}}\\)\n\nWyniki obu sposobów są zgodne. ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)** - wzór na wierzchołek paraboli:\n\\[p = -\\frac{b}{2a}, \\quad q = -\\frac{\\Delta}{4a}\\]\nUżyliśmy tego w **Sposobie 1** - parabola skierowana w dół osiąga maksimum w wierzchołku, którego odciętą wyliczyliśmy z wzoru na \\(p\\).\n\n**Dział 16 (Pochodna funkcji, s. 32-33)** - pochodna wielomianu:\n\\[(x^r)' = r \\cdot x^{r-1}, \\quad (ax+b)' = a, \\quad (c)' = 0\\]\nUżyliśmy tego w **Sposobie 2** do wyznaczenia ekstremum funkcji zysku.\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Funkcja zysku to NIE jest sama cena ani sam przychód - to **zysk = (cena - koszt zakupu) × liczba sztuk**. Bardzo częsty błąd to maksymalizowanie przychodu \\((160-x)(40+x)\\) zamiast zysku \\((60-x)(40+x)\\). Prowadzi to do innego \\(x\\) i błędnej ceny.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Łatwo pomylić kierunek paraboli - skoro \\(a = -1 < 0\\), parabola ma ramiona skierowane **w dół**, więc wierzchołek to **maksimum**, a nie minimum. Gdybyśmy szukali minimum, ta metoda by nie działała dla tego zadania.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Pamiętaj, że \\(x\\) to **liczba obniżek**, a szukana **cena** to \\(160 - x = 150\\) zł. Podanie \\(x = 10\\) jako odpowiedzi (bez przeliczenia na cenę) to błąd formalny na egzaminie.\n\n**Poprawna odpowiedź:** cena \\(150\\) zł; maksymalny zysk \\(2500\\) zł.\n\n### Sposób 1 - Funkcja zysku kwadratowa, wierzchołek\nOznaczenia:\n- \\(x\\) - liczba obniżek po \\(1\\) zł (\\(x \\ge 0\\)),\n- cena sprzedaży: \\(160 - x\\) zł,\n- liczba sprzedanych sztuk: \\(40 + x\\),\n- zysk na jednej kurtce: \\((160 - x) - 100 = 60 - x\\) zł.\n\nMiesięczny zysk:\n\\[f(x) = (60 - x)(40 + x) = 2400 + 60x - 40x - x^{2} = -x^{2} + 20x + 2400.\\]\n\nFunkcja kwadratowa z \\(a = -1 < 0\\) - ramiona w dół, maksimum w wierzchołku:\n\\[x_w = -\\dfrac{b}{2a} = -\\dfrac{20}{-2} = 10.\\]\n\n**Interpretacja:** \\(x = 10\\) oznacza \\(10\\) obniżek po \\(1\\) zł, cena:\n\\[160 - 10 = 150 \\text{ zł}.\\]\n\nMaksymalny zysk:\n\\[f(10) = -100 + 200 + 2400 = 2500 \\text{ zł}.\\]\n\n### Sposób 2 - Postać kanoniczna\n\\[f(x) = -(x^{2} - 20x) + 2400 = -(x^{2} - 20x + 100) + 100 + 2400 = -(x-10)^{2} + 2500.\\]\n\nMaksimum: \\(f(10) = 2500\\); dla \\(x = 10\\) → cena \\(150\\) zł.\n\n### Sposób 3 - Pochodna (jeśli dostępna)\n\\[f'(x) = -2x + 20 = 0 \\Rightarrow x = 10.\\]\n\\[f''(x) = -2 < 0 \\Rightarrow \\text{maksimum.}\\]\n\nCena: \\(160 - 10 = 150\\) zł.\n\n### Weryfikacja i kontrola założeń\n- Dla \\(x = 10\\): sprzedanych kurtek \\(40 + 10 = 50\\); zysk na jednej \\((150-100) = 50\\) zł; całkowity \\(50\\cdot 50 = 2500\\) zł ✓.\n- Dla \\(x = 9\\): \\(49\\cdot 51 = 2499\\) zł < \\(2500\\) ✓.\n- Dla \\(x = 11\\): \\(49\\cdot 51 = 2499\\) zł < \\(2500\\) ✓.\n\n### Komentarz dydaktyczny\nDla obniżki większej niż \\(60\\) zł (\\(x > 60\\)) marża staje się ujemna (cena sprzedaży < cena zakupu). Dziedzina naturalna: \\(x \\in [0, 60]\\); wierzchołek \\(x = 10\\) mieści się w tym przedziale.","image":"img/matematyka-2005-maj-matura-podstawowa/zad-5.webp","solution_image":"img/matematyka-2005-maj-matura-podstawowa/sol-5.svg","topics":"optymalizacja","page_from":6,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2005 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2005-maj-matura-podstawowa/zad/6","paper_id":"matematyka-2005-maj-matura-podstawowa","number":"6","points":6,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2005,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 6. (6 pkt)\nDane są zbiory liczb rzeczywistych:\n{\n}\n:\n2\n3\nA\nx\nx\n〈\n(\n)\n{\n}\n3\n3\n2\n:\n2\n1\n8\n13\n6\n3\nB\nx\nx\nx\nx\nx\n≤\nZapisz w postaci przedziałów liczbowych zbiory\n,\n, B\nA\nB\nA ∩\noraz\nA\nB -\n\n8\nArkusz I\nDane są zbiory liczb rzeczywistych. A={x:|x+2|<3}, B={x:(2x-1)^3 8x^3-13x^2+6x+3 } Zapisz w postaci przedziałów liczbowych zbiory A, B, AuB, oraz B-A.","answer":null,"answer_text":"6.1\nRozwiązanie nierówności:\n3\n2 〈\nx\ni wyznaczenie\nzbioru A\n(w tym 1 p. za metodę oraz 1 p. za obliczenia):\n(\n)1;5\nA\n2 p\n6.2\nRozwiązanie nierówności:\n(\n)\n3\n6\n13\n8\n1\n2\n2\n3\n3\n≤\nx\nx\nx\nx\ni wyznaczenie zbioru B:\n2;2\nB\n(w tym 1 p. za doprowadzenie nierówności do postaci\n2\n4\nx ≤\noraz 1 p. za rozwiązanie otrzymanej nierówno-\nści kwadratowej\n2 p\n6.3\nWyznaczenie zbioru\nB\nA ∩\n:\n)1;2\n∩B\nA\n1 p\n6\n6.4\nWyznaczenie zbioru\nA\nB -\n:\n2;1\n-A\nB\n1 p","solution":"## Poprawna odpowiedź:\n\n\\(A = (-5,\\, 1)\\), \\(B = \\langle -2,\\, 2 \\rangle\\), \\(A \\cap B = \\langle -2,\\, 1 \\rangle\\), \\(B - A = \\langle 1,\\, 2 \\rangle\\)\n\n## Sposób 1 - rozpisanie i uproszczenie krok po kroku\n\n### Zbiór A: \\(|x + 2| < 3\\)\n\nZ karty wzorów (dział 1): \\(|x - a| < r \\iff a - r < x < a + r\\)\n\nTutaj \\(a = -2\\), \\(r = 3\\):\n\\[-2 - 3 < x < -2 + 3\\]\n\\[\\boxed{A = (-5,\\, 1)}\\]\n\n### Zbiór B: \\((2x-1)^3 \\leq 8x^3 - 13x^2 + 6x + 3\\)\n\n**Krok 1.** Rozwiń lewą stronę wzorem \\((a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3\\) (dział 6, s. 7):\n\\[(2x-1)^3 = 8x^3 - 3 \\cdot 4x^2 \\cdot 1 + 3 \\cdot 2x \\cdot 1 - 1 = 8x^3 - 12x^2 + 6x - 1\\]\n\n**Krok 2.** Przenieś lewą stronę na prawą (odejmij \\((2x-1)^3\\) od obu stron):\n\\[0 \\leq (8x^3 - 13x^2 + 6x + 3) - (8x^3 - 12x^2 + 6x - 1)\\]\n\\[0 \\leq -x^2 + 4\\]\n\n**Krok 3.** Rozwiąż nierówność kwadratową:\n\\[x^2 - 4 \\leq 0\\]\n\\[(x-2)(x+2) \\leq 0\\]\n\nIloczyn \\(\\leq 0\\) gdy czynniki mają **różne znaki** (lub jeden = 0):\n\n| Przedział | \\(x-2\\) | \\(x+2\\) | iloczyn |\n| \\(x < -2\\) | \\(-\\) | \\(-\\) | \\(+\\) |\n| \\(-2 \\leq x \\leq 2\\) | \\(-\\) lub \\(0\\) | \\(+\\) lub \\(0\\) | \\(\\leq 0\\) ✓ |\n| \\(x > 2\\) | \\(+\\) | \\(+\\) | \\(+\\) |\n\n\\[\\boxed{B = \\langle -2,\\, 2 \\rangle}\\]\n\n### Zbiór \\(A \\cap B\\)\n\n\\[A = (-5,\\, 1), \\quad B = \\langle -2,\\, 2 \\rangle\\]\n\nCzęść wspólna to liczby należące do obu zbiorów jednocześnie. Patrzymy na oś liczbową:\n\n\\[A \\cap B = \\langle -2,\\, 1)\\]\n\nLewa granica: \\(-2\\) **należy** do \\(B\\) (nawias ostrokątny domknięty) i należy do \\(A\\) (bo \\(-2 \\in (-5,1)\\)), więc \\(-2\\) **jest w zbiorze** → nawias domknięty.\n\nPrawa granica: \\(1\\) **nie należy** do \\(A\\) (bo \\(A\\) jest otwarty z prawej) → nawias otwarty.\n\n\\[\\boxed{A \\cap B = \\langle -2,\\, 1 \\rangle}\\]\n\n### Zbiór \\(B - A\\) (różnica zbiorów)\n\n\\(B - A\\) to elementy należące do \\(B\\), ale **nie** należące do \\(A\\):\n\\[B - A = \\{x : x \\in B \\text{ i } x \\notin A\\}\\]\n\n\\(x \\notin A\\) oznacza \\(x \\leq -5\\) lub \\(x \\geq 1\\).\n\nŁączymy z warunkiem \\(x \\in \\langle -2, 2 \\rangle\\):\n- \\(x \\leq -5\\) **i** \\(-2 \\leq x \\leq 2\\) → brak rozwiązań\n- \\(x \\geq 1\\) **i** \\(-2 \\leq x \\leq 2\\) → \\(1 \\leq x \\leq 2\\)\n\n\\[\\boxed{B - A = \\langle 1,\\, 2 \\rangle}\\]\n\n## Sposób 2 - sprytne przepisanie prawej strony (bez rozwijania)\n\nZamiast rozwijać \\((2x-1)^3\\), zauważamy, że prawą stronę można zapisać jako:\n\\[8x^3 - 13x^2 + 6x + 3 = (8x^3 - 12x^2 + 6x - 1) + (-x^2 + 4) = (2x-1)^3 + (4 - x^2)\\]\n\nWtedy nierówność przyjmuje postać:\n\\[(2x-1)^3 \\leq (2x-1)^3 + (4 - x^2)\\]\n\n**Odejmujemy \\((2x-1)^3\\) od obu stron:**\n\\[0 \\leq 4 - x^2\\]\n\\[x^2 \\leq 4\\]\n\\[|x| \\leq 2\\]\n\nStąd bezpośrednio (dział 1, własność \\(|x| \\leq r \\iff -r \\leq x \\leq r\\)):\n\\[B = \\langle -2,\\, 2 \\rangle\\]\n\nTen sposób jest szybszy - nie trzeba mozolnie mnożyć sześcianu.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 1 (Wartość bezwzględna, s. 4)**\n\\[|x - a| \\leq r \\iff a - r \\leq x \\leq a + r\\]\n\\[|x - a| < r \\iff a - r < x < a + r\\]\nUżyliśmy do rozwiązania nierówności definiującej zbiór \\(A\\). Tutaj \\(a = -2\\), \\(r = 3\\).\n\n**Dział 6 (Wzory skróconego mnożenia, s. 7)**\n\\[(a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3\\]\nUżyliśmy do rozwinięcia \\((2x-1)^3\\) w Sposobie 1.\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy \\(|x+2| < 3\\) łatwo pomylić kierunek nierówności - pamiętaj, że wynik to **przedział otwarty** \\((-5, 1)\\), bo mamy ostry znak \\(<\\), nie \\(\\leq\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy różnicy zbiorów \\(B - A\\) uczniowie często mylą ją z \\(A - B\\) albo piszą dopełnienie. \\(B - A\\) to \"co jest w \\(B\\), a nie ma w \\(A\\)\" - pamiętaj o kolejności!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy nierówności kwadratowej \\(x^2 \\leq 4\\) nie wolno dzielić przez \\(x^2\\) - trzeba przenieść na jedną stronę i sfaktoryzować jako \\((x-2)(x+2) \\leq 0\\), a następnie przeanalizować znaki. Pomyłka w znaku nierówności po przeniesieniu to klasyczny błąd!\n\n**Poprawne odpowiedzi:** \\(A = (-5, 1)\\), \\(B = \\langle-2, 2\\rangle\\), \\(A\\cap B = \\langle-2, 1)\\), \\(B-A = \\langle 1, 2\\rangle\\).\n\n### Sposób 1 - Rozwiązanie krok po kroku\n**Zbiór A:** \\(|x+2| < 3\\) oznacza \\(-3 < x+2 < 3\\), czyli:\n\\[-3 - 2 < x < 3 - 2 \\Rightarrow -5 < x < 1.\\]\n\\[A = (-5, 1).\\]\n\n**Zbiór B:** Rozwijamy \\((2x-1)^{3}\\) wzorem \\((a-b)^{3} = a^{3} - 3a^{2}b + 3ab^{2} - b^{3}\\):\n\\[(2x-1)^{3} = 8x^{3} - 12x^{2} + 6x - 1.\\]\n\nPodstawiamy do nierówności:\n\\[8x^{3} - 12x^{2} + 6x - 1 \\le 8x^{3} - 13x^{2} + 6x + 3\\]\n\\[-12x^{2} - 1 \\le -13x^{2} + 3\\]\n\\[x^{2} \\le 4\\]\n\\[|x| \\le 2\\]\n\\[-2 \\le x \\le 2.\\]\n\\[B = \\langle-2, 2\\rangle.\\]\n\n**Przecięcie \\(A \\cap B\\):** szukamy \\(x\\) spełniających obie nierówności:\n\\[-5 < x < 1 \\text{ oraz } -2 \\le x \\le 2.\\]\nIloczyn logiczny: \\(-2 \\le x < 1\\), czyli:\n\\[A\\cap B = \\langle-2, 1).\\]\n\n**Różnica \\(B - A\\):** elementy \\(B\\) nienależące do \\(A\\):\n\\[B = \\langle-2, 2\\rangle, \\quad A = (-5, 1).\\]\nUsuwamy z \\(B\\) elementy należące do \\(A\\), czyli przedział \\(\\langle-2, 1)\\) (część wspólna):\n\\[B - A = \\langle 1, 2\\rangle.\\]\n\n### Sposób 2 - Ilustracja na osi liczbowej\nNa osi zaznaczamy:\n- \\(A\\) jako otwarty przedział od \\(-5\\) do \\(1\\) (końce puste),\n- \\(B\\) jako zamknięty przedział od \\(-2\\) do \\(2\\) (końce pełne).\n\nCzęść wspólna: od \\(-2\\) (z \\(B\\) - zamknięty) do \\(1\\) (z \\(A\\) - otwarty) → \\(\\langle-2, 1)\\).\n\nRóżnica \\(B\\setminus A\\): elementy \\(B\\), które NIE są w \\(A\\). Punkt \\(1\\) nie należy do \\(A\\) (otwarty z prawej), ale należy do \\(B\\); punkty z przedziału \\((1, 2\\rangle\\) też tylko do \\(B\\). Razem: \\(\\langle 1, 2\\rangle\\).\n\n### Komentarz\n**Uwaga do końca \\(1\\) w \\(B-A\\):** \\(1 \\in B\\) (bo \\(1^{2} = 1 \\le 4\\)) i \\(1 \\notin A\\) (bo nierówność ostra \\(x < 1\\)). Zatem \\(1 \\in B-A\\). Końcu \\(2\\) podobnie: \\(2 \\in B\\), \\(2 \\notin A\\) (bo \\(2 > 1\\)), więc \\(2 \\in B-A\\).","image":"img/matematyka-2005-maj-matura-podstawowa/zad-6.webp","solution_image":"img/matematyka-2005-maj-matura-podstawowa/sol-6.svg","topics":"rownania_i_nierownosci","page_from":7,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2005 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2005-maj-matura-podstawowa/zad/7","paper_id":"matematyka-2005-maj-matura-podstawowa","number":"7","points":5,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2005,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 7. (5 pkt)\nW poniższej tabeli przedstawiono wyniki sondażu przeprowadzonego w grupie uczniów,\ndotyczącego czasu przeznaczanego dziennie na przygotowanie zadań domowych.\nCzas\n(w godzinach)\n1\n2\n3\n4\nLiczba\nuczniów\n5\n10\n15\n10\na) Naszkicuj diagram słupkowy ilustrujący\nwyniki tego sondażu.\nb) Oblicz średnią liczbę godzin, jaką\nuczniowie\nprzeznaczają\ndziennie\nna\nprzygotowanie zadań domowych.\nc) Oblicz\nwariancję\ni\nodchylenie\nstandardowe\nczasu\nprzeznaczonego\ndziennie\nna\nprzygotowanie\nzadań\ndomowych. Wynik podaj z dokładnością\ndo 0,01.\n\n9\nArkusz I\nW poniższej tabeli przedstawiono wyniki sondażu przeprowadzonego w grupie uczniów, dotyczącego czasu przeznaczonego dziennie na przygotowywanie zadań domowych.","answer":null,"answer_text":"7.1\nNaszkicowanie diagramu:\nCzas w godzinach\n1 p\n7.2\nObliczenie średniej liczby godzin: 2,75\n1 p\n7.3\nObliczenie wariancji (w tym 1 p. za metodę oraz 1 p.\nza obliczenia): 0,94\n2 p\n7\n7.4\nObliczenie odchylenia standardowego: 0,97\n1 p","solution":"## Poprawna odpowiedź:\n\n**a)** Diagram słupkowy (szkic poniżej)\n**b)** Średnia \\(\\bar{x} = 2{,}75\\) h\n**c)** Wariancja \\(\\sigma^2 \\approx 0{,}94\\), odchylenie standardowe \\(\\sigma \\approx 0{,}97\\) h\n\n## Sposób 1 - wzory definicyjne (krok po kroku)\n\n### Dane wyjściowe\n\n| Czas \\(x_i\\) (h) | Liczba uczniów \\(n_i\\) |\n|:-:|:-:|\n| \\(1\\) | \\(5\\) |\n| \\(2\\) | \\(10\\) |\n| \\(3\\) | \\(15\\) |\n| \\(4\\) | \\(10\\) |\n\nŁączna liczba uczniów:\n\\[n = 5 + 10 + 15 + 10 = 40\\]\n\n### a) Diagram słupkowy\n\nOś pozioma: czas (1, 2, 3, 4 h). Oś pionowa: liczba uczniów. Słupki o wysokościach 5, 10, 15, 10.\n\n15 | ██\n10 | ██ ██ ██\n5 | ██ ██ ██ ██\n+--+--+--+--→\n1 2 3 4 (h)\n\nSłupki muszą być równej szerokości, oddzielone, z podpisaną osią i tytułem.\n\n### b) Średnia arytmetyczna (ważona)\n\nKażdy czas \\(x_i\\) pojawia się \\(n_i\\) razy, więc liczymy **średnią ważoną**:\n\\[\\bar{x} = \\frac{x_1 n_1 + x_2 n_2 + x_3 n_3 + x_4 n_4}{n}\\]\n\n\\[\\bar{x} = \\frac{1 \\cdot 5 + 2 \\cdot 10 + 3 \\cdot 15 + 4 \\cdot 10}{40} = \\frac{5 + 20 + 45 + 40}{40} = \\frac{110}{40}\\]\n\n\\[\\boxed{\\bar{x} = 2{,}75 \\text{ h}}\\]\n\n### c) Wariancja i odchylenie standardowe\n\nWariancja to **średnia kwadratów odchyleń** od średniej. Liczymy odchylenia \\((x_i - \\bar{x})^2\\):\n\n| \\(x_i\\) | \\(x_i - \\bar{x}\\) | \\((x_i - \\bar{x})^2\\) | \\(n_i\\) | \\((x_i - \\bar{x})^2 \\cdot n_i\\) |\n|:-:|:-:|:-:|:-:|:-:|\n| \\(1\\) | \\(1 - 2{,}75 = -1{,}75\\) | \\(3{,}0625\\) | \\(5\\) | \\(15{,}3125\\) |\n| \\(2\\) | \\(2 - 2{,}75 = -0{,}75\\) | \\(0{,}5625\\) | \\(10\\) | \\(5{,}6250\\) |\n| \\(3\\) | \\(3 - 2{,}75 = 0{,}25\\) | \\(0{,}0625\\) | \\(15\\) | \\(0{,}9375\\) |\n| \\(4\\) | \\(4 - 2{,}75 = 1{,}25\\) | \\(1{,}5625\\) | \\(10\\) | \\(15{,}6250\\) |\n| | | | **Suma:** | **\\(37{,}5\\)** |\n\n\\[\\sigma^2 = \\frac{\\sum (x_i - \\bar{x})^2 \\cdot n_i}{n} = \\frac{37{,}5}{40} = 0{,}9375\\]\n\n\\[\\boxed{\\sigma^2 \\approx 0{,}94}\\]\n\nOdchylenie standardowe:\n\\[\\sigma = \\sqrt{\\sigma^2} = \\sqrt{0{,}9375} \\approx 0{,}9683\\]\n\n\\[\\boxed{\\sigma \\approx 0{,}97 \\text{ h}}\\]\n\n## Sposób 2 - wzór skrócony na wariancję \\(\\sigma^2 = \\overline{x^2} - \\bar{x}^2\\)\n\nZamiast liczyć odchylenia od średniej, można użyć równoważnego wzoru:\n\\[\\sigma^2 = \\frac{\\sum x_i^2 \\cdot n_i}{n} - \\bar{x}^2\\]\n\n**Krok 1** - oblicz \\(\\overline{x^2}\\) (średnią kwadratów):\n\\[\\overline{x^2} = \\frac{1^2 \\cdot 5 + 2^2 \\cdot 10 + 3^2 \\cdot 15 + 4^2 \\cdot 10}{40} = \\frac{5 + 40 + 135 + 160}{40} = \\frac{340}{40} = 8{,}5\\]\n\n**Krok 2** - odejmij kwadrat średniej:\n\\[\\sigma^2 = \\overline{x^2} - \\bar{x}^2 = 8{,}5 - (2{,}75)^2 = 8{,}5 - 7{,}5625 = 0{,}9375\\]\n\n**Ten sam wynik** - wzór skrócony jest szybszy, gdy wartości \\(x_i\\) są duże lub gdy \\(\\bar{x}\\) jest ułamkiem trudnym do odejmowania.\n\n\\[\\sigma = \\sqrt{0{,}9375} \\approx \\boxed{0{,}97}\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 15 (Parametry danych statystycznych, s. 31-32)**\n\nŚrednia arytmetyczna (ważona):\n\\[\\bar{s} = \\frac{w_1 a_1 + w_2 a_2 + \\ldots + w_n a_n}{w_1 + w_2 + \\ldots + w_n}\\]\nUżyliśmy tego w punkcie b) - wagami \\(w_i\\) są liczby uczniów \\(n_i\\).\n\nWariancja:\n\\[\\sigma^2 = \\frac{(a_1 - \\bar{a})^2 + \\ldots + (a_n - \\bar{a})^2}{n}\\]\nUżyliśmy (w wersji ważonej) w punkcie c) - Sposób 1.\n\nOdchylenie standardowe:\n\\[\\sigma = \\sqrt{\\sigma^2}\\]\n\n> Karta nie podaje wprost wzoru skróconego \\(\\sigma^2 = \\overline{x^2} - \\bar{x}^2\\), ale wynika on bezpośrednio z definicji wariancji - można go wyprowadzić na egzaminie.\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** To zadanie ma dane w formie tabelki (częstości), więc **nie wolno** liczyć średniej jako \\(\\frac{1+2+3+4}{4} = 2{,}5\\) - to byłoby poprawne tylko, gdyby każdy czas wystąpił jednakowo często. Tutaj musimy uwzględnić **wagi** (liczby uczniów).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy wariancji pamiętaj dzielić przez \\(n = 40\\) (całkowita liczba uczniów), **nie** przez liczbę grup (tu: 4). Błąd podziału przez 4 zamiast 40 to jedna z najczęstszych pomyłek.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wynik \\(\\sigma^2 = 0{,}9375\\) zaokrąglamy do \\(0{,}94\\) dopiero **na końcu**. Jeśli zaokrąglisz wcześniej i policzysz \\(\\sigma = \\sqrt{0{,}94}\\), dostaniesz \\(\\approx 0{,}9695\\), co zaokrąglone daje \\(0{,}97\\) - tu wychodzi dobrze, ale w ogólności zaokrąglaj tylko wynik końcowy!\n\n**Poprawne odpowiedzi:** \\(\\bar{x} = 2{,}75\\) h; \\(\\sigma^{2} \\approx 0{,}94\\); \\(\\sigma \\approx 0{,}97\\) h.\n\n### Sposób 1 - Wzory klasyczne ze średnią ważoną\n**a) Diagram słupkowy:** oś pozioma - czas (h): \\(1, 2, 3, 4\\); oś pionowa - liczba uczniów: \\(5, 10, 15, 10\\).\n\n**b) Średnia liczba godzin:**\nSuma wszystkich uczniów: \\(N = 5 + 10 + 15 + 10 = 40\\).\n\n\\[\\bar{x} = \\dfrac{1\\cdot 5 + 2\\cdot 10 + 3\\cdot 15 + 4\\cdot 10}{40} = \\dfrac{5 + 20 + 45 + 40}{40} = \\dfrac{110}{40} = 2{,}75.\\]\n\n**c) Wariancja (wzór: \\(\\sigma^{2} = \\dfrac{\\sum n_i (x_i - \\bar{x})^{2}}{N}\\)):**\n\n| \\(x_i\\) | \\(n_i\\) | \\(x_i - \\bar{x}\\) | \\((x_i - \\bar{x})^{2}\\) | \\(n_i(x_i-\\bar{x})^{2}\\) |\n| 1 | 5 | \\(-1{,}75\\) | \\(3{,}0625\\) | \\(15{,}3125\\) |\n| 2 | 10 | \\(-0{,}75\\) | \\(0{,}5625\\) | \\(5{,}625\\) |\n| 3 | 15 | \\(0{,}25\\) | \\(0{,}0625\\) | \\(0{,}9375\\) |\n| 4 | 10 | \\(1{,}25\\) | \\(1{,}5625\\) | \\(15{,}625\\) |\n| **Suma** | \\(40\\) | | | \\(37{,}5\\) |\n\n\\[\\sigma^{2} = \\dfrac{37{,}5}{40} = 0{,}9375 \\approx 0{,}94.\\]\n\n**Odchylenie standardowe:**\n\\[\\sigma = \\sqrt{0{,}9375} \\approx 0{,}9683 \\approx 0{,}97.\\]\n\n### Sposób 2 - Wzór skrócony dla wariancji\n\\[\\sigma^{2} = \\overline{x^{2}} - \\bar{x}^{2}.\\]\n\n\\[\\overline{x^{2}} = \\dfrac{1^{2}\\cdot 5 + 2^{2}\\cdot 10 + 3^{2}\\cdot 15 + 4^{2}\\cdot 10}{40} = \\dfrac{5 + 40 + 135 + 160}{40} = \\dfrac{340}{40} = 8{,}5.\\]\n\n\\[\\bar{x}^{2} = 2{,}75^{2} = 7{,}5625.\\]\n\n\\[\\sigma^{2} = 8{,}5 - 7{,}5625 = 0{,}9375 \\approx 0{,}94.\\]\n\n\\[\\sigma = \\sqrt{0{,}9375} \\approx 0{,}97.\\]\n\n### Komentarz\nW odpowiedzi CKE występują wartości \\(0{,}94\\) dla wariancji (po zaokrągleniu z \\(0{,}9375\\)) oraz \\(0{,}97\\) dla odchylenia standardowego. Warto zachować dokładność przed zaokrągleniem - zaokrąglenie wariancji i potem liczenie pierwiastka wprowadziłoby błąd.","image":"img/matematyka-2005-maj-matura-podstawowa/zad-7.webp","solution_image":"img/matematyka-2005-maj-matura-podstawowa/sol-7.svg","topics":"prawdopodobienstwo","page_from":8,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2005 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2005-maj-matura-podstawowa/zad/8","paper_id":"matematyka-2005-maj-matura-podstawowa","number":"8","points":6,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2005,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 8. (6 pkt)\nZ kawałka materiału o kształcie i wymiarach\nczworokąta ABCD (patrz na rysunek obok)\nwycięto okrągłą serwetkę o promieniu 3 dm.\nOblicz, ile procent całego materiału stanowi\njego niewykorzystana część. Wynik podaj\nz dokładnością do 0,01 procenta.\n\n10\nArkusz I\nZ kawałka materiału o kształcie i wymiarach czworokąta ABCD (patrz na rysunek obok) wycięto okrągłą serwetkę o promieniu 3 dm.Oblicz, ile procent całego materiału stanowi jego niewykorzystana część. Wynik podaj z dokładnością 0,01 procenta.","answer":null,"answer_text":"8.1\nWykorzystanie warunku dla czworokąta opisanego\nna okręgu (w tym 1 p. za metodę oraz 1 p. za oblicze-\nnia):\n16,3\nAB\nDC\ndm\n,\n2p\n8.2\nObliczenie pola\nABCD\nS\nczworokąta:\n2\n48,9\nABCD\nS\ndm\n1 p\n8.3\nObliczenie pola\nk\nS koła:\n2\n27\n28\n9\ndm\n,\nSk\n≈\n= π\nlub\n2\n26\n,\n28\ndm\nSk ≈\n1 p\n8\n8.4\nObliczenie pola\nrS niewykorzystanej części materiału:\n2\n63\n,\n20\ndm\nSr ≈\nlub\n2\n64\n,\n20\ndm\nSr ≈\n1 p\n3\n8.5\nObliczenie, ile procent\nABCD\nS\nstanowi\nrS z dokładno-\nścią do 0,01:\n%\n19\n,\n42\n%\n100\n≈\n⋅\nABCD\nr\nS\nS\nlub\n%\n21\n,\n42\n%\n100\n≈\n⋅\nABCD\nr\nS\nS\n1 p","solution":"## Poprawna odpowiedź: ≈ 42,19%\n\nCzworokąt \\(ABCD\\) to trapez z \\(BC \\parallel AD\\), w który wpisano okrąg o promieniu \\(r = 3\\) dm. Dane: \\(|BC| = 10\\) dm, \\(|AD| = 6{,}3\\) dm.\n\n## Sposób 1 - Pole trapezu przez wysokość \\(h = 2r\\)\n\n**Kluczowe spostrzeżenie:** Okrąg wpisany w trapez dotyka obu równoległych podstaw od wewnątrz - odległość między nimi (wysokość trapezu) musi być równa dokładnie średnicy okręgu.\n\n\\[h = 2r = 2 \\cdot 3 = 6 \\text{ dm}\\]\n\n**Pole trapezu** (wzór ze strony 20 karty CKE):\n\\[P_{ABCD} = \\frac{|BC| + |AD|}{2} \\cdot h = \\frac{10 + 6{,}3}{2} \\cdot 6 = \\frac{16{,}3}{2} \\cdot 6 = 8{,}15 \\cdot 6 = 48{,}9 \\text{ dm}^2\\]\n\n**Pole serwetki** (koła):\n\\[P_{\\odot} = \\pi r^2 = \\pi \\cdot 3^2 = 9\\pi \\approx 3{,}1416 \\cdot 9 \\approx 28{,}27 \\text{ dm}^2\\]\n\n**Pole niewykorzystanego materiału:**\n\\[P_{\\text{niew}} = P_{ABCD} - P_{\\odot} = 48{,}9 - 28{,}27 = 20{,}63 \\text{ dm}^2\\]\n\n**Procent całego materiału:**\n\\[\\% = \\frac{P_{\\text{niew}}}{P_{ABCD}} \\cdot 100\\% = \\frac{20{,}63}{48{,}9} \\cdot 100\\% \\approx \\mathbf{42{,}19\\%}\\]\n\n## Sposób 2 - Pole czworokąta wpisanego na okrąg (wzór \\(P = r \\cdot s\\))\n\nKażdy czworokąt, w który można wpisać okrąg (czworokąt styczny), spełnia:\n\\[\\text{pole} = r \\cdot s\\]\ngdzie \\(s\\) - półobwód.\n\n**Własność styczna:** Suma naprzeciwległych boków jest równa:\n\\[|AB| + |CD| = |BC| + |AD| = 10 + 6{,}3 = 16{,}3 \\text{ dm}\\]\n\n**Półobwód:**\n\\[s = \\frac{|AB| + |BC| + |CD| + |AD|}{2} = \\frac{(|AB| + |CD|) + (|BC| + |AD|)}{2} = \\frac{16{,}3 + 16{,}3}{2} = 16{,}3 \\text{ dm}\\]\n\n**Pole trapezu:**\n\\[P_{ABCD} = r \\cdot s = 3 \\cdot 16{,}3 = 48{,}9 \\text{ dm}^2\\]\n\nPole serwetki i wynik - identycznie jak w Sposobie 1:\n\n\\[\\% = \\frac{48{,}9 - 9\\pi}{48{,}9} \\cdot 100\\% \\approx \\mathbf{42{,}19\\%}\\]\n\nOba sposoby dają ten sam wynik - wzajemne potwierdzenie. ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 10 (Planimetria - Czworokąty, s. 20-21)** - pole trapezu:\n\\[P = \\frac{a + b}{2} \\cdot h\\]\ngdzie \\(a, b\\) - długości podstaw, \\(h\\) - wysokość. Użyliśmy tego wzoru w Sposobie 1 do wyznaczenia pola trapezu \\(ABCD\\) po ustaleniu, że \\(h = 2r = 6\\) dm.\n\n**Dział 10 (Planimetria - Koło, s. 18)** - pole koła:\n\\[P = \\pi r^2\\]\nUżyliśmy tego do obliczenia pola wyciętej serwetki: \\(P_{\\odot} = \\pi \\cdot 3^2 = 9\\pi \\approx 28{,}27 \\text{ dm}^2\\).\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Najpopularniejszy błąd - nie korzystanie z faktu, że \\(h = 2r\\). Uczniowie próbują wyliczyć wysokość z danych o kątach, zamiast zauważyć, że okrąg wpisany narzuca od razu \\(h = 6\\) dm.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Kolejny błąd - obliczenie pola koła z \\(r = 6\\) (zamiast \\(r = 3\\)), myląc promień z wysokością. Zawsze sprawdź: pole koła to \\(\\pi r^2 = 9\\pi\\), nie \\(36\\pi\\)!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Rounding \\(\\pi\\). Dokładne obliczenie daje \\((48{,}9 - 9\\pi)/48{,}9 \\approx 42{,}18\\%\\), natomiast po zaokrągleniu \\(9\\pi \\approx 28{,}27\\) (do 2 miejsc po przecinku) wychodzi \\(42{,}19\\%\\). Na egzaminie CKE obie wartości będą uznane - ważne, by zaznaczyć, jak zaokrąglono \\(\\pi\\).\n\n**Poprawna odpowiedź:** niewykorzystana część \\(\\approx 42{,}19\\%\\) materiału.\n\n### Sposób 1 - Wykorzystanie własności czworokąta opisanego na okręgu\n**Krok 1 - obwód i pole czworokąta opisanego na okręgu.**\n\nDla czworokąta opisanego na okręgu zachodzi:\n\\[|AB| + |CD| = |BC| + |AD|.\\]\n\nZ danych: \\(|AD| = 6{,}3\\) dm, \\(|BC| = 10\\) dm. Stąd:\n\\[|AB| + |CD| = 10 + 6{,}3 = 16{,}3 \\text{ dm}.\\]\n\n**Krok 2 - pole czworokąta przez pole opisanego wielokąta.**\n\nDla wielokąta opisanego na okręgu o promieniu \\(r\\) i obwodzie \\(L\\):\n\\[S = \\dfrac{1}{2}\\cdot L \\cdot r.\\]\n\nObwód: \\(L = |AB|+|BC|+|CD|+|DA| = 16{,}3 + 10 + 6{,}3 = 32{,}6\\) dm.\n\n\\[S_{ABCD} = \\dfrac{1}{2}\\cdot 32{,}6 \\cdot 3 = 48{,}9 \\text{ dm}^{2}.\\]\n\n**Krok 3 - pole koła.**\n\\[S_k = \\pi r^{2} = 9\\pi \\approx 28{,}2743 \\text{ dm}^{2} \\approx 28{,}27 \\text{ dm}^{2}.\\]\n\n**Krok 4 - pole niewykorzystane.**\n\\[S_r = S_{ABCD} - S_k = 48{,}9 - 28{,}2743 \\approx 20{,}6257 \\text{ dm}^{2}.\\]\n\n**Krok 5 - procent.**\n\\[\\dfrac{S_r}{S_{ABCD}}\\cdot 100\\% = \\dfrac{20{,}6257}{48{,}9}\\cdot 100\\% \\approx 42{,}19\\%.\\]\n\n### Sposób 2 - Bezpośredni wzór procentowy\n\\[\\dfrac{S_r}{S_{ABCD}}\\cdot 100\\% = \\left(1 - \\dfrac{S_k}{S_{ABCD}}\\right)\\cdot 100\\%.\\]\n\n\\[= \\left(1 - \\dfrac{9\\pi}{48{,}9}\\right)\\cdot 100\\% \\approx (1 - 0{,}57820)\\cdot 100\\% \\approx 42{,}18\\% - 42{,}21\\%\\]\n\n(wartość zależy od stopnia zaokrąglenia \\(\\pi\\)).\n\n### Alternatywne wyniki (wg CKE)\nW zależności od zaokrągleń pośrednich odpowiedź \\(42{,}19\\%\\) lub \\(42{,}21\\%\\) - obie są uznawane przez CKE.\n\n### Komentarz\nKluczową własnością jest twierdzenie: **w czworokącie opisanym na okręgu sumy przeciwległych boków są równe** (\\(a + c = b + d\\)). Bez znajomości tej własności nie da się obliczyć obwodu, bo znamy tylko dwa boki.","image":"img/matematyka-2005-maj-matura-podstawowa/zad-8.webp","solution_image":"img/matematyka-2005-maj-matura-podstawowa/sol-8.svg","topics":"planimetria","page_from":9,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2005 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2005-maj-matura-podstawowa/zad/9","paper_id":"matematyka-2005-maj-matura-podstawowa","number":"9","points":6,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2005,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 9. (6 pkt)\nRodzeństwo w wieku 8 i 10 lat otrzymało razem w spadku 84100 zł. Kwotę tę złożono\nw banku, który stosuje kapitalizację roczną przy rocznej stopie procentowej 5%. Każde\nz dzieci otrzyma swoją część spadku z chwilą osiągnięcia wieku 21 lat. Życzeniem\nspadkodawcy było takie podzielenie kwoty spadku, aby w przyszłości obie wypłacone części\nspadku zaokrąglone do 1 zł były równe. Jak należy podzielić kwotę 84100 zł między\nrodzeństwo? Zapisz wszystkie wykonywane obliczenia.\n\n11\nArkusz I\nRodzeństwo w wieku 8 i 10 lat otrzymało razem w spadku 84100 zł. Kwotę tę złożono w banku, który stosuje kapitalizację roczną przy rocznej stopie procentowej 5%. Każde z dzieci otrzyma swoją część spadku z chwilą osiągnięcia 21 lat. Życzeniem spadkodawcy było takie podzielenie kwoty spadku, aby w przyszłości obie wypłacone części spadku zaokrąglone do 1 zł były równe. Jak należy podzielić kwotę 84100 zł między rodzeństwo? Zapisz wszystkie wykonane obliczenia.","answer":null,"answer_text":"9.1\nWprowadzenie oznaczeń dla obu części spadku i zapi-\nsanie zależność między nimi: np.: x - kwota wpłacona\ndla ośmioletniego dziecka, y - kwota wpłacona\ndla dziesięcioletniego dziecka,\n84100\n+ y\nx\n1 p\n9.2\nZa stosowanie w obliczeniach procentu składanego\n1 p\n9.3\nUłożenie układu równań:\n\n\n\n\n\n\n\n\n+\n\n\n\n\n\n+\n11\n13\n20\n1\n1\n20\n1\n1\n84100\ny\nx\ny\nx\n1 p\n9.4\nPrzekształcenie układu równań do postaci:\n\n\n\n\n\n\n\n\n+\ny\nx\ny\nx\n2\n20\n1\n1\n84100\n1 p\n9\n9.5\nRozwiązanie układu równań i sformułowanie odpo-\nwiedzi (w tym 1 p. za metodę oraz 1 p. za poprawne\nobliczenia): x = 40000 zł, y = 44100 zł\n2 p","solution":"## Poprawna odpowiedź\n\n8-letniemu dziecku: \\(x = 40\\,000\\) zł; 10-letniemu dziecku: \\(y = 44\\,100\\) zł.\n\n## Sposób 1 - Równanie z procentem składanym\n\n**Kluczowa obserwacja:** Każde dziecko czeka na wypłatę do ukończenia 21 lat.\n- 8-latek czeka: \\(21 - 8 = 13\\) lat\n- 10-latek czeka: \\(21 - 10 = 11\\) lat\n\n**Oznaczenia:**\n- \\(x\\) - część spadku dla 8-latka (zł)\n- \\(y\\) - część spadku dla 10-latka (zł)\n\n**Układ równań:**\n\nWarunek I - suma podziału:\n\\[x + y = 84\\,100\\]\n\nWarunek II - obie wypłacone kwoty są równe. Stosujemy wzór procentu składanego \\(K_n = K_0 \\cdot \\left(1 + \\frac{p}{100}\\right)^n\\) z \\(p = 5\\):\n\\[x \\cdot (1{,}05)^{13} = y \\cdot (1{,}05)^{11}\\]\n\n**Upraszczamy warunek II** - dzielimy obie strony przez \\((1{,}05)^{11}\\):\n\\[x \\cdot (1{,}05)^{2} = y\\]\n\\[x \\cdot 1{,}1025 = y\\]\n\n**Podstawiamy** do warunku I:\n\\[x + 1{,}1025x = 84\\,100\\]\n\\[2{,}1025x = 84\\,100\\]\n\\[x = \\frac{84\\,100}{2{,}1025} = 40\\,000\\]\n\n**Wyznaczamy** \\(y\\):\n\\[y = 84\\,100 - 40\\,000 = 44\\,100\\]\n\n**Wynik: 8-letniemu dziecku należy przekazać \\(40\\,000\\) zł, a 10-letniemu \\(44\\,100\\) zł.**\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja: obliczenie rzeczywistych wypłat\n\nSprawdzamy, czy obie wypłaty są rzeczywiście równe.\n\n**Dla 8-latka** (kwota \\(40\\,000\\) zł rośnie przez 13 lat):\n\\[K_{13} = 40\\,000 \\cdot (1{,}05)^{13}\\]\n\n**Dla 10-latka** (kwota \\(44\\,100\\) zł rośnie przez 11 lat):\n\\[K_{11} = 44\\,100 \\cdot (1{,}05)^{11}\\]\n\nPodstawiamy \\(44\\,100 = 40\\,000 \\cdot 1{,}1025 = 40\\,000 \\cdot (1{,}05)^2\\):\n\\[K_{11} = 40\\,000 \\cdot (1{,}05)^2 \\cdot (1{,}05)^{11} = 40\\,000 \\cdot (1{,}05)^{13} = K_{13}\\]\n\nObliczamy wartość numeryczną:\n\\[(1{,}05)^{13} \\approx 1{,}8856\\]\n\\[K_{13} = 40\\,000 \\cdot 1{,}8856 \\approx 75\\,423 \\text{ zł}\\]\n\nObie wypłaty wynoszą po około \\(75\\,423\\) zł - **wynik zweryfikowany.**\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 8 (Ciągi, s. 9-10)** - procent składany:\n\\[K_n = K_0 \\cdot \\left(1 + \\frac{p}{100}\\right)^n\\]\nUżyliśmy tego wzoru do zapisania kwot, jakie każde dziecko otrzyma po \\(n\\) latach. Dla \\(p = 5\\%\\) czynnik wzrostu to \\(1{,}05^n\\).\n\n**Dział 2 (Potęgi i pierwiastki, s. 4-5)** - działania na potęgach:\n\\[\\frac{a^r}{a^s} = a^{r-s}\\]\nUżyliśmy tego przy upraszczaniu równania \\(x \\cdot (1{,}05)^{13} = y \\cdot (1{,}05)^{11}\\) - dzielenie obu stron przez \\((1{,}05)^{11}\\) daje \\((1{,}05)^{13-11} = (1{,}05)^2\\).\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Czas oczekiwania to **nie** wiek dziecka, lecz różnica \\(21 - \\text{wiek}\\). Łatwo wstawić do wzoru 8 i 10 zamiast 13 i 11 - to jeden z najczęstszych błędów w tym typie zadania.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Podzielenie sumy 84 100 zł po równo (po 42 050 zł) to błąd - 10-latek czeka krócej, więc musi dostać **więcej** na start, żeby obie wypłaty były równe. Intuicja finansowa pomaga tu sprawdzić, czy wynik „ma sens\".\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy obliczaniu \\((1{,}05)^{13}\\) nie używamy kalkulatora na egzaminie w sposób bezpośredni do rozwiązania - kluczowe jest **algebraiczne** skrócenie potęg. Obliczenia numeryczne służą jedynie do weryfikacji.\n\n**Poprawna odpowiedź:** 8-latek otrzymuje \\(40{\\,}000\\) zł, 10-latek otrzymuje \\(44{\\,}100\\) zł.\n\n### Sposób 1 - Układ równań z procentem składanym\nOznaczenia:\n- \\(x\\) - kwota wpłacona dla 8-latka,\n- \\(y\\) - kwota wpłacona dla 10-latka,\n- \\(p = 5\\% = 0{,}05\\), czynnik kapitalizacji \\(= 1{,}05 = 1 + \\tfrac{1}{20}\\).\n\n**Czas do wypłaty:**\n- 8-latek: \\(21 - 8 = 13\\) lat,\n- 10-latek: \\(21 - 10 = 11\\) lat.\n\n**Warunki zadania:**\n\\[\\begin{cases} x + y = 84{\\,}100 \\\\ x\\left(1 + \\tfrac{1}{20}\\right)^{13} = y\\left(1 + \\tfrac{1}{20}\\right)^{11} \\end{cases}\\]\n\n**Upraszczamy drugie równanie** dzieląc obie strony przez \\(\\left(1+\\tfrac{1}{20}\\right)^{11}\\):\n\\[x\\cdot\\left(\\tfrac{21}{20}\\right)^{2} = y \\Rightarrow y = x\\cdot\\dfrac{441}{400}.\\]\n\n**Podstawiamy do równania pierwszego:**\n\\[x + \\dfrac{441}{400}x = 84{\\,}100\\]\n\\[\\dfrac{400 + 441}{400}x = 84{\\,}100\\]\n\\[\\dfrac{841}{400}x = 84{\\,}100\\]\n\\[x = \\dfrac{84{\\,}100\\cdot 400}{841} = 100\\cdot 400 = 40{\\,}000.\\]\n\n**Stąd:** \\(y = 84{\\,}100 - 40{\\,}000 = 44{\\,}100\\) zł.\n\n### Sposób 2 - Intuicyjnie: starsze dziecko dostaje więcej (bo ma krótszy czas oszczędzania)\nObaj dostają tyle samo pieniędzy po osiągnięciu 21 lat. Ponieważ **dłuższy czas oszczędzania** pozwala zgromadzić więcej z mniejszej kwoty początkowej, 8-latek (mający więcej czasu) wpłaca mniej.\n\nStosunek \\(\\dfrac{y}{x} = 1{,}05^{2} = \\dfrac{441}{400} = 1{,}1025\\).\n\nJeśli \\(x = 40{\\,}000\\), to \\(y = 44{\\,}100\\). Sprawdzenie sumy: \\(40{\\,}000 + 44{\\,}100 = 84{\\,}100\\) ✓.\n\n### Sprawdzenie końcowe\nPo osiągnięciu 21. roku życia:\n- 8-latek: \\(40{\\,}000\\cdot 1{,}05^{13} \\approx 40{\\,}000\\cdot 1{,}8856 \\approx 75{\\,}424{,}20\\) zł.\n- 10-latek: \\(44{\\,}100\\cdot 1{,}05^{11} \\approx 44{\\,}100\\cdot 1{,}7103 \\approx 75{\\,}424{,}27\\) zł.\n\nRóżnica < \\(1\\) zł (po zaokrągleniu do 1 zł - obie kwoty równe) ✓.\n\n### Komentarz dydaktyczny\nKluczowa obserwacja: \\(1{,}05 = 1 + \\dfrac{1}{20} = \\dfrac{21}{20}\\), więc \\(1{,}05^{2} = \\dfrac{441}{400}\\). Stąd \\(\\dfrac{841}{400}x = 84{\\,}100\\) prowadzi do ładnej liczby \\(40{\\,}000\\).","image":"img/matematyka-2005-maj-matura-podstawowa/zad-9.webp","solution_image":"img/matematyka-2005-maj-matura-podstawowa/sol-9.svg","topics":"ciagi","page_from":10,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2005 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2005-maj-matura-podstawowa/zad/10","paper_id":"matematyka-2005-maj-matura-podstawowa","number":"10","points":7,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2005,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 10. (7 pkt)\nW ostrosłupie czworokątnym prawidłowym wysokości przeciwległych ścian bocznych\npoprowadzone z wierzchołka ostrosłupa mają długości h i tworzą kąt o mierze 2α. Oblicz\nobjętość tego ostrosłupa.\n\n12\nArkusz I\nBRUDNOPIS\n\n13\nArkusz I\nW ostrosłupie czworokątnym prawidłowym wysokości przeciwległych ścian bocznych poprowadzone z wierzchołka ostrosłupa mają długości $h$ i tworzą kąt o mierze $2\\alpha$. Oblicz objętość tego ostrosłupa.","answer":null,"answer_text":"10.1\nSporządzenie rysunku\nwraz z oznaczeniami lub\nwprowadzenie dokładnie\nopisanych oznaczeń,\nnp.\nh\nWL\nWK\n,\nV - objętość ostrosłupa\nABCDW,\nPp - pole podstawy\nostrosłupa ABCDW\n1 p\n10.2\nZaznaczenie na rysunku właściwego przekroju i wła-\nściwego kąta\n1 p\n10.3\nWykorzystanie własności, że trójkąt WKL jest równo-\nramienny i wysokość WO jest wysokością ostrosłupa\n1 p\n10.4\nObliczenie WO z WOL\n∆\n:\nα\ncos\nh\nWO =\n1 p\n10.5\nObliczenie AB :\nα\nsin\n2h\nAB =\n1 p\n10\n10.6\nObliczenie pola podstawy ostrosłupa:\nα\n2\n2 sin\n4h\nPp =\nObliczenie objętości ostrosłupa:\nα\nα cos\nsin\n3\n4\n2\n3\nh\nV =\nlub\nα\nα sin\n2\nsin\n3\n2\n3\nh\nV =\n2 p\nZa prawidłowe rozwiązanie każdego z zadań inną metodą (zgodną z poleceniem) od przedstawio-\nnej w schemacie przyznajemy maksymalną liczbę punktów.","solution":"## Poprawna odpowiedź:\n\n\\[V = \\frac{4}{3}h^3\\sin^2\\alpha\\cos\\alpha = \\frac{2}{3}h^3\\sin 2\\alpha \\sin\\alpha\\]\n\n## Sposób 1 - Układ współrzędnych i iloczyn skalarny\n\n**Ustawiamy układ współrzędnych.** Niech środek kwadratu podstawy leży w początku układu. Bok podstawy oznaczamy \\(a\\), wysokość ostrosłupa \\(H\\).\n\nWierzchołki podstawy:\n\\[A = \\left(-\\tfrac{a}{2}, -\\tfrac{a}{2}, 0\\right), \\quad B = \\left(\\tfrac{a}{2}, -\\tfrac{a}{2}, 0\\right), \\quad C = \\left(\\tfrac{a}{2}, \\tfrac{a}{2}, 0\\right), \\quad D = \\left(-\\tfrac{a}{2}, \\tfrac{a}{2}, 0\\right)\\]\n\nWierzchołek ostrosłupa: \\(S = (0, 0, H)\\).\n\n**Identyfikujemy \"wysokości ścian bocznych z wierzchołka\".** Wysokość ściany bocznej (trójkątnej) opuszczona z \\(S\\) biegnie do **środka krawędzi podstawy**. Dla ścian przeciwległych są to:\n\\[M_{AB} = \\left(0, -\\tfrac{a}{2}, 0\\right), \\qquad M_{CD} = \\left(0, \\tfrac{a}{2}, 0\\right)\\]\n\n**Zapisujemy wektory:**\n\\[\\vec{SM_{AB}} = \\left(0, -\\tfrac{a}{2}, -H\\right), \\qquad \\vec{SM_{CD}} = \\left(0, \\tfrac{a}{2}, -H\\right)\\]\n\nIch długość (oba równe \\(h\\)):\n\\[h = \\left|\\vec{SM_{AB}}\\right| = \\sqrt{\\left(\\tfrac{a}{2}\\right)^2 + H^2} \\quad \\Rightarrow \\quad h^2 = \\tfrac{a^2}{4} + H^2 \\tag{1}\\]\n\n**Obliczamy kąt \\(2\\alpha\\) między tymi wektorami** (iloczyn skalarny):\n\\[\\cos 2\\alpha = \\frac{\\vec{SM_{AB}} \\cdot \\vec{SM_{CD}}}{\\left|\\vec{SM_{AB}}\\right| \\cdot \\left|\\vec{SM_{CD}}\\right|} = \\frac{0 \\cdot 0 + \\left(-\\tfrac{a}{2}\\right)\\cdot\\tfrac{a}{2} + (-H)(-H)}{h \\cdot h} = \\frac{H^2 - \\tfrac{a^2}{4}}{h^2} \\tag{2}\\]\n\n**Łączymy równania (1) i (2).** Z (1): \\(\\tfrac{a^2}{4} = h^2 - H^2\\). Podstawiamy do (2):\n\\[\\cos 2\\alpha = \\frac{H^2 - (h^2 - H^2)}{h^2} = \\frac{2H^2 - h^2}{h^2}\\]\n\nStosujemy wzór na kosinus podwojonego kąta \\(\\cos 2\\alpha = 2\\cos^2\\alpha - 1\\):\n\\[2\\cos^2\\alpha - 1 = \\frac{2H^2}{h^2} - 1\\]\n\\[\\boxed{H = h\\cos\\alpha}\\]\n\nZ równania (1):\n\\[\\tfrac{a^2}{4} = h^2 - h^2\\cos^2\\alpha = h^2\\sin^2\\alpha \\quad \\Rightarrow \\quad \\tfrac{a}{2} = h\\sin\\alpha \\quad \\Rightarrow \\quad \\boxed{a = 2h\\sin\\alpha}\\]\n\n**Obliczamy objętość:**\n\\[V = \\frac{1}{3} \\cdot a^2 \\cdot H = \\frac{1}{3} \\cdot (2h\\sin\\alpha)^2 \\cdot h\\cos\\alpha = \\frac{1}{3} \\cdot 4h^2\\sin^2\\alpha \\cdot h\\cos\\alpha\\]\n\n\\[\\boxed{V = \\frac{4}{3}h^3\\sin^2\\alpha\\cos\\alpha}\\]\n\nDrugi zapis (korzystając z \\(\\sin 2\\alpha = 2\\sin\\alpha\\cos\\alpha\\)):\n\\[V = \\frac{4}{3}h^3\\sin^2\\alpha\\cos\\alpha = \\frac{2}{3}h^3 \\cdot \\underbrace{2\\sin\\alpha\\cos\\alpha}_{= \\sin 2\\alpha} \\cdot \\sin\\alpha = \\frac{2}{3}h^3\\sin 2\\alpha\\sin\\alpha\\]\n\n## Sposób 2 - Symetria i trójkąty prostokątne (szybsza metoda)\n\n**Kluczowa obserwacja:** Oba wektory \\(\\vec{SM_{AB}}\\) i \\(\\vec{SM_{CD}}\\) leżą w tej samej płaszczyźnie (płaszczyźnie zawierającej oś ostrosłupa). Z symetrii ostrosłupa prawidłowego oś \\(SO\\) **symetrycznie bisekuje** kąt \\(\\angle M_{AB}S\\,M_{CD} = 2\\alpha\\).\n\nZatem **każda z tych wysokości tworzy z osią ostrosłupa kąt \\(\\alpha\\)**.\n\nRozpatruję trójkąt prostokątny \\(S\\!-\\!O\\!-\\!M_{AB}\\) (kąt prosty przy \\(O\\)):\n\nS\nH | \\ h\nO----M_AB\na/2\n\nZ definicji funkcji trygonometrycznych (kąt \\(\\alpha\\) przy S):\n\n\\[\\cos\\alpha = \\frac{SO}{SM_{AB}} = \\frac{H}{h} \\quad \\Rightarrow \\quad H = h\\cos\\alpha\\]\n\n\\[\\sin\\alpha = \\frac{OM_{AB}}{SM_{AB}} = \\frac{a/2}{h} \\quad \\Rightarrow \\quad \\frac{a}{2} = h\\sin\\alpha \\quad \\Rightarrow \\quad a = 2h\\sin\\alpha\\]\n\n**Objętość:**\n\\[V = \\frac{1}{3} \\cdot a^2 \\cdot H = \\frac{1}{3} \\cdot 4h^2\\sin^2\\alpha \\cdot h\\cos\\alpha = \\frac{4}{3}h^3\\sin^2\\alpha\\cos\\alpha\\]\n\nTen sposób jest szybszy - wystarczyło rozpoznać symetrię i narysować trójkąt prostokątny!\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 12 (Stereometria, s. 26-28)** - wzór na objętość ostrosłupa:\n\\[V = \\frac{1}{3} \\cdot P_p \\cdot h\\]\ngdzie \\(P_p\\) to pole podstawy, \\(h\\) to wysokość. Dla podstawy kwadratowej \\(P_p = a^2\\), więc \\(V = \\frac{1}{3}a^2H\\). Użyliśmy tego na końcu obu sposobów.\n\n**Dział 9 (Trygonometria, s. 11-13)** - jedynka trygonometryczna i wzory na kosinus podwojonego kąta:\n\\[\\sin^2\\alpha + \\cos^2\\alpha = 1, \\qquad \\cos 2\\alpha = 2\\cos^2\\alpha - 1\\]\nUżyte w Sposobie 1 do wyznaczenia \\(H\\) z równania na \\(\\cos 2\\alpha\\).\n\n**Dział 9 - wzór na sinus podwojonego kąta:**\n\\[\\sin 2\\alpha = 2\\sin\\alpha\\cos\\alpha\\]\nUżyte przy przekształceniu do drugiej postaci wyniku \\(\\frac{2}{3}h^3\\sin 2\\alpha\\sin\\alpha\\).\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \"Wysokość ściany bocznej z wierzchołka\" to **NIE** krawędź boczna \\(SA\\), ani NIE wysokość ostrosłupa! To odcinek z \\(S\\) do **środka krawędzi podstawy** - prostopadły do tej krawędzi. Mylenie tych pojęć to najczęstszy błąd.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Kąt \\(2\\alpha\\) tworzą ze sobą dwie **przeciwległe** wysokości ścian bocznych - **nie** dwie sąsiednie! Dla sąsiednich kąt byłby inny.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** W Sposobie 1 łatwo się pomylić przy znaku w iloczynie skalarnym: \\(\\left(-\\tfrac{a}{2}\\right)\\cdot\\tfrac{a}{2} = -\\tfrac{a^2}{4}\\). Przed użyciem wzoru na \\(\\cos 2\\alpha\\) warto sprawdzić znak tej składowej.\n\n**Poprawna odpowiedź:** \\(V = \\dfrac{4}{3}h^{3}\\sin^{2}\\alpha\\cos\\alpha\\) (równoważnie \\(V = \\dfrac{2}{3}h^{3}\\sin 2\\alpha \\sin\\alpha\\)).\n\n### Sposób 1 - Analiza przez trójkąt \\(WKL\\) utworzony z przeciwległych wysokości ścian bocznych\nNiech:\n- \\(ABCD\\) - kwadratowa podstawa ostrosłupa, \\(W\\) - wierzchołek,\n- \\(K\\) - środek krawędzi \\(BC\\), \\(L\\) - środek krawędzi \\(AD\\),\n- \\(|WK| = |WL| = h\\) - wysokości przeciwległych ścian (apotemy),\n- \\(\\angle KWL = 2\\alpha\\),\n- \\(O\\) - środek podstawy (spodek wysokości ostrosłupa).\n\n**Krok 1 - trójkąt \\(WKL\\) jest równoramienny** (\\(|WK| = |WL| = h\\)).\nWysokość z \\(W\\) w tym trójkącie dzieli kąt \\(2\\alpha\\) na dwa kąty po \\(\\alpha\\). Spodek tej wysokości to \\(O\\) - środek \\(KL\\).\n\n**Krok 2 - wysokość ostrosłupa:**\nW trójkącie prostokątnym \\(WOL\\):\n\\[|WO| = |WL|\\cos\\alpha = h\\cos\\alpha.\\]\n\n**Krok 3 - długość odcinka \\(KL\\) (= krawędź podstawy):**\n\\[|OL| = h\\sin\\alpha \\Rightarrow |KL| = 2h\\sin\\alpha.\\]\n\nJednocześnie \\(|KL|\\) jest równe długości krawędzi podstawy \\(a\\) (łączy środki przeciwległych boków kwadratu, więc \\(|KL| = a\\)):\n\\[a = 2h\\sin\\alpha.\\]\n\n**Krok 4 - pole podstawy:**\n\\[P_p = a^{2} = (2h\\sin\\alpha)^{2} = 4h^{2}\\sin^{2}\\alpha.\\]\n\n**Krok 5 - objętość:**\n\\[V = \\dfrac{1}{3}\\cdot P_p \\cdot |WO| = \\dfrac{1}{3}\\cdot 4h^{2}\\sin^{2}\\alpha \\cdot h\\cos\\alpha\\]\n\\[\\boxed{V = \\dfrac{4}{3}h^{3}\\sin^{2}\\alpha\\cos\\alpha.}\\]\n\n### Sposób 2 - Postać z \\(\\sin 2\\alpha\\)\nWykorzystujemy tożsamość \\(\\sin 2\\alpha = 2\\sin\\alpha\\cos\\alpha\\):\n\\[V = \\dfrac{4}{3}h^{3}\\sin^{2}\\alpha\\cos\\alpha = \\dfrac{4}{3}h^{3}\\sin\\alpha\\cdot(\\sin\\alpha\\cos\\alpha)\\]\n\\[= \\dfrac{4}{3}h^{3}\\sin\\alpha\\cdot\\dfrac{\\sin 2\\alpha}{2} = \\dfrac{2}{3}h^{3}\\sin\\alpha\\sin 2\\alpha.\\]\n\n### Kontrola dziedzin\nDla \\(2\\alpha \\in (0, \\pi)\\) (kąt trójkąta), czyli \\(\\alpha \\in (0, \\tfrac{\\pi}{2})\\): \\(\\sin\\alpha > 0, \\cos\\alpha > 0\\), więc \\(V > 0\\) ✓.\n\n### Weryfikacja graniczna\n- \\(\\alpha \\to 0\\): \\(V \\to 0\\) (apotemy zlewają się z wysokością, podstawa \\(\\to 0\\)) ✓.\n- \\(\\alpha \\to \\tfrac{\\pi}{2}\\): wysokość \\(|WO| = h\\cos\\alpha \\to 0\\), \\(V \\to 0\\) (ostrosłup degeneruje się do płaskiej figury) ✓.\n- Maksimum objętości: liczymy \\(\\dfrac{dV}{d\\alpha} = 0\\) dla \\(\\alpha = \\arctan\\sqrt{2}\\) (klasyczny wynik - ostrosłup o największej objętości przy danej apotemie).\n\n### Komentarz dydaktyczny\nNajczęstszy błąd: mylenie kąta \\(2\\alpha\\) między apotemami z kątem nachylenia ściany bocznej do podstawy. Tutaj \\(2\\alpha\\) to kąt między dwoma odcinkami \\(WK\\) i \\(WL\\) leżącymi w płaszczyźnie przechodzącej przez \\(W\\), \\(K\\), \\(L\\) (przekrój ostrosłupa zawierający wysokość).","image":"img/matematyka-2005-maj-matura-podstawowa/zad-10.webp","solution_image":"img/matematyka-2005-maj-matura-podstawowa/sol-10.svg","topics":"stereometria","page_from":11,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2005 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"}]}