{"paper":{"id":"matematyka-2005-maj-matura-rozszerzona","subject":"matematyka","category":"matura","year":2005,"month":"maj","level":"rozszerzona","variant":null,"exam_pdf":"matematyka-2005-maj-matura-rozszerzona/matematyka-2005-maj-matura-rozszerzona.pdf","key_pdf":"matematyka-2005-maj-matura-rozszerzona-odpowiedzi/matematyka-2005-maj-matura-rozszerzona-odpowiedzi.pdf","question_count":9,"source_label":"Matematyka · Matura · maj 2005 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},"questions":[{"id":"matematyka-2005-maj-matura-rozszerzona/zad/11","paper_id":"matematyka-2005-maj-matura-rozszerzona","number":"11","points":3,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2005,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 11. (3 pkt)\nWyznacz dziedzinę funkcji\n( )\n(\n)\n4\n4\nlog\n2\n3\n3\n2\nx\nx\nx\nx\nf\nx\ni zapisz ją w postaci sumy\nprzedziałów liczbowych.\n\n3\nArkusz II\nWyznacz dziedzinę funkcji f(x)=\\log_{x^2-3}{(x^3+4x^2-x-4)}$ i zapisz ją w postaci sumy przedziałów liczbowych.","answer":null,"answer_text":"11.1\nWyznaczenie zbioru argumentów, dla których liczba logaryt-\nmowana jest dodatnia:\n(\n)\n(\n)\n∞\n∪\n∈\n;1\n1\n;4\nx\n1 p\n11.2\nWyznaczenie zbioru argumentów, dla których podstawa loga-\nrytmu jest dodatnia i różna od 1:\n(\n) (\n) (\n)\n(\n)\n; 2\n2;\n3\n3;2\n2;\nx∈-∞-\n∪-\n∪\n∪\n+∞\n1 p\n11\n11.3\nWyznaczenie dziedziny funkcji:\n(\n) (\n) (\n)\n(\n)\n4; 2\n2;\n3\n3;2\n2;\nx∈-\n∪-\n∪\n∪\n+∞\n1 p","solution":null,"image":"img/matematyka-2005-maj-matura-rozszerzona/zad-11.webp","solution_image":"img/matematyka-2005-maj-matura-rozszerzona/sol-11.svg","topics":"logarytmy","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2005 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2005-maj-matura-rozszerzona/zad/12","paper_id":"matematyka-2005-maj-matura-rozszerzona","number":"12","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2005,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 12. (4 pkt)\nDana jest funkcja:\n( )\ncos\n3sin ,\nf x\nx\nx\nx\nR\n∈\na) Naszkicuj wykres funkcji f.\nb) Rozwiąż równanie: ( )\n1\nx\nf\n\n4\nArkusz II\nDana jest funkcja: f(x)=cos x - pierwiastek z 3 sin x dla x rzeczywistego a) Naszkicuj wykres funkcji f. b) Rozwiąż równanie: f(x)=1.","answer":"C","answer_text":"12.1\nZa przedstawienie metody szkicowania wykresu, np. poprzez\nobliczanie współrzędnych punktów należących do wykresu\nlub przekształcenie wzoru funkcji, np. do postaci:\n( )\n\n\n\n\n\n\n3\ncos\n2\nπ\nx\nx\nf\n1 p\n12.2\nNaszkicowanie wykresu funkcji\n1 p\n12\n12.3\nRozwiązanie równania (po 1 pkt za metodę i rozwiązanie):\n2\n2\n2\n3\nx\nk\nx\nk\nπ\nπ\nπ\n∨\n, gdzie\nC\nk ∈\n2 p","solution":null,"image":"img/matematyka-2005-maj-matura-rozszerzona/zad-12.webp","solution_image":"img/matematyka-2005-maj-matura-rozszerzona/sol-12.svg","topics":"trygonometria","page_from":3,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2005 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2005-maj-matura-rozszerzona/zad/13","paper_id":"matematyka-2005-maj-matura-rozszerzona","number":"13","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2005,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 13. (4 pkt)\nRzucamy n razy dwiema symetrycznymi sześciennymi kostkami do gry. Oblicz, dla jakich n\nprawdopodobieństwo otrzymania co najmniej raz tej samej liczby oczek na obu kostkach jest\nmniejsze od 1296\n671 .\n\n5\nArkusz II\nRzucamy n razy dwiema symetrycznymi sześciennymi kostkami do gry. Oblicz, dla jakich n prawdopodobieństwo otrzymania co najmniej raz tej samej liczby oczek na obu kostkach jest mniejsze od 671 / 1296.","answer":null,"answer_text":"13.1\nObliczenie prawdopodobieństwa otrzymania w jednym rzucie\ntej samej liczby oczek na obu kostkach:\n6\n1\np\n1 p\n13.2\nWykorzystanie schematu Bernoulliego i określenie: p, q, N, k:\n1\n5\n,\n,\n,\n1\n6\n6\np\nq\nN\nn\nk\n≥\n1 p\n13.3\nObliczenie prawdopodobieństwa otrzymania w n rzutach\nco najmniej raz tej samej liczby oczek na obu kostkach:\n(\n)\n( )\nn\nn\nn\nn\nn\nP\nk\nP\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n≥\n6\n5\n1\n6\n5\n6\n1\n0\n1\n0\n1\n1\n0\n1 p\n13\n13.4\nRozwiązanie nierówności wykładniczej i sformułowanie od-\npowiedzi:\n{\n}\n1, 2, 3\nn∈\n1 p","solution":null,"image":"img/matematyka-2005-maj-matura-rozszerzona/zad-13.webp","solution_image":"img/matematyka-2005-maj-matura-rozszerzona/sol-13.svg","topics":"prawdopodobienstwo","page_from":4,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2005 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2005-maj-matura-rozszerzona/zad/14","paper_id":"matematyka-2005-maj-matura-rozszerzona","number":"14","points":5,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2005,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 14. (5 pkt)\nOblicz:\n(\n)\n(\n)\n3\n2\n9\n7\n5\n2\n3\n7\n4\n1\nlim\n∞\n→\nn\nn\nn\n\n6\nArkusz II\nOblicz: lim_{n->oo} 1+4+7+...+(3n-2) / 5+7+9+\\dots+(2n+3)","answer":null,"answer_text":"14.1\nWyznaczenie:\nn\nS\nr\na\n,\n,\n1\njeśli\n2\n3 -\n= n\nan\n(w tym 1 p. za metodę\noraz 1 p. za obliczenia):\n2\n3\n,3\n,1\n2\n1\nn\nn\nS\nr\na\nn\n2 p\n14.2\nWyznaczenie:\nn\nS\nr\nb\n,'\n,\n1\njeśli\n3\n2 +\nn\nbn\n(w tym 1 p. za metodę\noraz 1 p. za obliczenia):\nn\nn\nS\nr\nb\nn\n4\n,2\n,5\n2\n1\n2 p\n14\n14.3\nObliczenie granicy: 2\n3\n1 p\n2","solution":null,"image":"img/matematyka-2005-maj-matura-rozszerzona/zad-14.webp","solution_image":"img/matematyka-2005-maj-matura-rozszerzona/sol-14.svg","topics":"granice","page_from":5,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2005 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2005-maj-matura-rozszerzona/zad/15","paper_id":"matematyka-2005-maj-matura-rozszerzona","number":"15","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2005,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 15. (4 pkt)\nW dowolnym trójkącie ABC punkty M i N są odpowiednio środkami boków AC i BC (Rys. 1).\nZapoznaj się uważnie z następującym rozumowaniem:\nKorzystając z własności wektorów i działań na wektorach, zapisujemy równości:\nMN\nMA\nAB\nBN\nuuuur\nuuur\nuuur\nuuur\n(1)\noraz\nMN\nMC\nCN\nuuuur\nuuuur\nuuur\n(2)\nPo dodaniu równości (1) i (2) stronami otrzymujemy:\n2 MN\nMA\nMC\nAB\nBN\nCN\n⋅\nuuuur\nuuur\nuuuur\nuuur\nuuur\nuuur\nPonieważ MC\nMA\nuuuur\nuuur\noraz CN\nBN\nuuur\nuuur\n, więc:\n2 MN\nMA\nMA\nAB\nBN\nBN\n⋅\nuuuur\nuuur\nuuur\nuuur\nuuur\nuuur\n2\n0\n0\nMN\nAB\n⋅\nuuuur\nr\nuuur\nr\n1\n2\nMN\nAB\n⋅\nuuuur\nuuur\nWykorzystując własności iloczynu wektora przez liczbę, ostatnią równość można\nzinterpretować następująco:\nodcinek łączący środki dwóch boków dowolnego trójkąta jest równoległy do trzeciego\nboku tego trójkąta, zaś jego długość jest równa połowie długości tego boku.\nPrzeprowadzając analogiczne rozumowanie, ustal związek pomiędzy wektorem MN\nuuuur\noraz\nwektorami AB\nuuur\ni DC\nuuur\n, wiedząc, że czworokąt ABCD jest dowolnym trapezem, zaś punkty\nM i N są odpowiednio środkami ramion AD i BC tego trapezu (Rys. 2).\nPodaj interpretację otrzymanego wyniku.\nRys. 1\nRys. 2\n\n7\nArkusz II\n\n8\nArkusz II\nPrzeprowadzając anologiczne rozumowanie, ustal związek między wektorem MN oraz wektorami AB i DC, wiedząc, że czworokąt ABCD jest dowolnym trapezem, zaś punkty M i N są odpowiednio środkami ramion AD i BC tego trapezu (Rys. 2).","answer":null,"answer_text":"15.1\nZapisanie wektora\n→\nMN jako sumy odpowiednich wektorów:\n( )1\n→\n→\n→\n→\nBN\nAB\nMA\nMN\n( )\n2\n→\n→\n→\n→\nCN\nDC\nMD\nMN\n1 p\n15.2\nDodanie równości (1) i (2) stronami\n1 p\n15.3\nPrzekształcenie wyniku do prostej postaci:\n\n\n\n\n\n\n→\n→\n⋅\n→\nDC\nAB\nMN\n2\n1\n1 p\n15\n15.4\nZinterpretowanie otrzymanego wyniku\n1 p","solution":null,"image":"img/matematyka-2005-maj-matura-rozszerzona/zad-15.webp","solution_image":"img/matematyka-2005-maj-matura-rozszerzona/sol-15.svg","topics":"dowody_geometryczne","page_from":6,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2005 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2005-maj-matura-rozszerzona/zad/16","paper_id":"matematyka-2005-maj-matura-rozszerzona","number":"16","points":5,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2005,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 16. (5 pkt)\nSześcian o krawędzi długości a przecięto płaszczyzną przechodzącą przez przekątną\npodstawy i nachyloną do płaszczyzny podstawy pod kątem 3\nπ . Sporządź odpowiedni rysunek.\nOblicz pole otrzymanego przekroju.\n\n9\nArkusz II\nSześcian o krawędzi długości a przecięto płaszczyzną przechodzącą przez przekątną podstawy i nachyloną do płaszczyzny podstawy pod kątem pi/3.Sporządź odpowiedni rysunek. Oblicz pole otrzymanego przekroju.","answer":null,"answer_text":"16.1\nSporządzenie rysunku wraz\nz oznaczeniami i zaznaczenie\nkąta nachylenia:\n2 p\n16.2\nObliczenie długości wysokości h trapezu:\n3\n3\n2\na\nh =\n1 p\n16.3\nObliczenie długości krótszej podstawy b trapezu:\n(\n)\n3\n3\n2\n2\n3\na\nb\n1 p\n16\n16.4\nObliczenie pola S trapezu:\n(\n)\n3\n1\n6\n2\n2\na\nS\n1 p","solution":null,"image":"img/matematyka-2005-maj-matura-rozszerzona/zad-16.webp","solution_image":"img/matematyka-2005-maj-matura-rozszerzona/sol-16.svg","topics":"stereometria","page_from":8,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2005 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2005-maj-matura-rozszerzona/zad/17","paper_id":"matematyka-2005-maj-matura-rozszerzona","number":"17","points":7,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2005,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 17. (7 pkt)\nWykaż, bez użycia kalkulatora i tablic, że\n3\n3\n7\n2\n5\n7\n2\n5\njest liczbą całkowitą.\n\n10\nArkusz II\nWykaż, bez użycia kalkulatora i tablic, że następująca różnica pierwiastków jest liczbą całkowitą.","answer":null,"answer_text":"17.1\nWprowadzenie oznaczeń, np.:\n3\n3\n5 2\n7,\n5 2\n7,\nx\ny\na\nx\ny\nlub\n3\n3\n5 2\n7\n5 2\n7\na =\ni\n(\n)\n3\n3\n3\n3\n5 2\n7\n5 2\n7\na =\n1 p\n17.2\nSkorzystanie z tożsamości:\n(\n)\n(\n)\ny\nx\nxy\ny\nx\ny\nx\n3\n3\n3\n3\n1 p\n17.3\nWykorzystanie tożsamości i oznaczeń do uzyskania równania\nz niewiadomą a (w tym 1 p. za metodę oraz 1 p. za oblicze-\nnia):\na\na\n3\n14\n3\n(*)\n2 p\n17.4\nWyznaczenie całkowitego pierwiastka równania (*):\n2\na\n1 p\n17.5\nZapisanie równania (*) w postaci iloczynowej:\n(\n)(\n)\n2\n2\n2\n7\n0\na\na\na\nlub stwierdzenie, że równanie (*) ma jeden pierwiastek\n1 p\n17\n17.6\nWykazanie, że\n3\n3\n7\n2\n5\n7\n2\n5\njest liczbą całkowitą -\nsprawdzenie warunku\n0\n〈\n∆\ni uzasadnienie, że\n2\na\njest jedy-\nnym rzeczywistym pierwiastkiem równania (*)\n1 p\n3","solution":null,"image":"img/matematyka-2005-maj-matura-rozszerzona/zad-17.webp","solution_image":"img/matematyka-2005-maj-matura-rozszerzona/sol-17.svg","topics":"algebra","page_from":9,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2005 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2005-maj-matura-rozszerzona/zad/18","paper_id":"matematyka-2005-maj-matura-rozszerzona","number":"18","points":8,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2005,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 18. (8 pkt)\nPary liczb(\n)\n,x y spełniające układ równań:\n\n\n\n0\n4\n0\n1\n2\n4\n2\n2\n2\ny\nx\ny\ny\nx\nsą współrzędnymi wierzchołków czworokąta wypukłego ABCD.\na) Wyznacz współrzędne punktów: A, B, C, D.\nb) Wykaż, że czworokąt ABCD jest trapezem równoramiennym.\nc) Wyznacz równanie okręgu opisanego na czworokącie ABCD.\n\n11\nArkusz II\n\n12\nArkusz II\nPary liczb (x,y) spełniające układ równań { -4x^2+y^2+2y+1&=0, -x^2+y+4&=0 } są współrzędnymi wierzchołków czworokąta wypukłego ABCD. a) Wyznacz współrzędne punktów: A, B, C, D. b) Wykaż, że czworokąt ABCD jest trapezem równoramiennym. c) Wyznacz równanie okręgu opisanego na czworokącie ABCD.","answer":null,"answer_text":"18.1\nDoprowadzenie układu do równania jednej zmiennej i rozwią-\nzanie\n2 p\n18.2\nWyznaczenie współrzędnych wierzchołków czworokąta:\nA = (-1; -3), B = (1; -3), C = (3; 5), D = (-3; 5)\n1 p\n18.3\nUzasadnienie że czworokąt ABCD jest trapezem równora-\nmiennym, np. AB || CD oraz | AD | = | BC |\n1 p\n18.4\nWyznaczenie równania symetralnej odcinka BC:\n0\n6\n4\ny\nx\n1 p\n18.5\nWyznaczenie współrzędnych środka okręgu:\n\n\n\n\n\n\n2\n3\n;0\nO\n1 p\n18.6\nObliczenie długości promienia okręgu:\n2\n85\nr\n1 p\n18\n18.7\nZapisanie równania okręgu:\n4\n85\n2\n3\n2\n2\n\n\n\n\n\n\n+ y\nx\n1 p","solution":null,"image":"img/matematyka-2005-maj-matura-rozszerzona/zad-18.webp","solution_image":"img/matematyka-2005-maj-matura-rozszerzona/sol-18.svg","topics":"analityczna","page_from":10,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2005 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2005-maj-matura-rozszerzona/zad/19","paper_id":"matematyka-2005-maj-matura-rozszerzona","number":"19","points":10,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2005,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 19. (10 pkt)\nDane jest równanie:\n(\n)\n0\n4\n1\n5\n2\n2\nm\nm\nx\nm\nx\nZbadaj, dla jakich wartości parametru m stosunek sumy pierwiastków rzeczywistych\nrównania do ich iloczynu przyjmuje wartość najmniejszą. Wyznacz tę wartość.\n\n13\nArkusz II\n\n14\nArkusz II\nBRUDNOPIS\n\n15\nArkusz II\nDane jest równanie: x^2+(m-5)x+m^2+m+{1\\o4}=0. Zbadaj, dla jakich wartości parametru m stosunek sumy pierwiastków rzeczywistych równania do ich iloczynu przyjmuje wartość najmniejszą. Wyznacz tę wartość.","answer":null,"answer_text":"19.1\nOkreślenie warunków istnienia rzeczywistych pierwiastków\nrównania:\n3\n4\n;6\ndla\n0\n∈\n≥\n∆\nm\n1 p\n19.2\nOkreślenie wzoru funkcji\n( )\n2\n1\n2\n1\nx\nx\nx\nx\nm\nf\nm\n→\n:\n( )\n2\n2\n1\n5\n\n\n\n\n\n\nm\nm\nm\nf\n1 p\n19.3\nOkreślenie dziedziny funkcji f:\n\n\n-\n∪\n\n\n\n∈\n3\n4\n;\n2\n1\n2\n1\n;6\nm\n1 p\n19.4\nZastosowanie wzoru na pochodną ilorazu\n1 p\n19.5\nObliczenie pochodnej funkcji f\n1 p\n19.6\nOkreślenie miejsca zerowego pochodnej funkcji f:\n1\n10 2\nm =\n1 p\n19.7\nObliczenie wartości (\n)\n\n\n\n\n\n\n3\n4\ni\n6\nf\nf\n:\n(\n)\n4\n6\n11\nf -\n,\n4\n12\n3\n11\nf \n=\n\n\n\n\n2 p\n19.8\nZbadanie znaku pochodnej funkcji:\n( )\n\n\n\n\n\n\n∈\n〉\n2\n1\n:\n6\ndla\n0\nm\nm\nf\n,\n( )\n\n\n\n\n\n-\n∈\n〈\n3\n4\n;\n2\n1\ndla\n0\nm\nm\nf\n1 p\n19\n19.9\nUzasadnienie, że (\n)\n11\n4\n6 =\nf\njest najmniejszą wartością funk-\ncji (\n21\n2\nm =\nleży poza przedziałem określoności).\n1 p\nZa prawidłowe rozwiązanie każdego z zadań inną metodą (zgodną z poleceniem) od przedstawio-\nnej w schemacie przyznajemy maksymalną liczbę punktów.","solution":null,"image":"img/matematyka-2005-maj-matura-rozszerzona/zad-19.webp","solution_image":"img/matematyka-2005-maj-matura-rozszerzona/sol-19.svg","topics":"parametr","page_from":12,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2005 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"}]}