{"paper":{"id":"matematyka-2005-styczen-probna-rozszerzona","subject":"matematyka","category":"probna","year":2005,"month":"styczen","level":"rozszerzona","variant":null,"exam_pdf":"matematyka-2005-styczen-probna-rozszerzona/matematyka-2005-styczen-probna-rozszerzona.pdf","key_pdf":"matematyka-2005-styczen-probna-rozszerzona-odpowiedzi/matematyka-2005-styczen-probna-rozszerzona-odpowiedzi.pdf","question_count":9,"source_label":"Matematyka · Matura próbna · styczeń 2005 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},"questions":[{"id":"matematyka-2005-styczen-probna-rozszerzona/zad/11","paper_id":"matematyka-2005-styczen-probna-rozszerzona","number":"11","points":0,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2005,"month":"styczen","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 11. (5 pkt.)\nPierwiastkiem równania\n0\n7\n)1\n3\n(\n2\n2\n3\nm\nx\nx\nm\nx\njest liczba -1. Wyznacz wartość\nparametru m oraz pozostałe pierwiastki tego równania.\nOdpowiedź:\n\nPróbny egzamin maturalny z matematyki\nArkusz II\n3","answer":null,"answer_text":"Wykorzystanie twierdzenia Bezout’a i wykonanie dzielenia przez","solution":"$m = -2$, $x_1 = -\\dfrac{1}{2}$, $x_2 = -2$","image":"img/matematyka-2005-styczen-probna-rozszerzona/zad-11.webp","solution_image":null,"topics":"wielomiany","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · styczeń 2005 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2005-styczen-probna-rozszerzona/zad/12","paper_id":"matematyka-2005-styczen-probna-rozszerzona","number":"12","points":0,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2005,"month":"styczen","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 12. (4 pkt.)\nW trójkącie ABC, o kącie rozwartym przy wierzchołku C dane są długości boków\ncm\nAC\n5\ni\ncm\nBC\n12\n. Oblicz długość boku AB wiedząc, że pole trójkąta jest równe\n2\n24cm .\nOdpowiedź:","answer":null,"answer_text":"5","solution":"$|AB| = \\sqrt{241} \\text{ cm}$","image":"img/matematyka-2005-styczen-probna-rozszerzona/zad-12.webp","solution_image":null,"topics":"planimetria","page_from":3,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · styczeń 2005 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2005-styczen-probna-rozszerzona/zad/13","paper_id":"matematyka-2005-styczen-probna-rozszerzona","number":"13","points":0,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2005,"month":"styczen","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 13. (6 pkt.)\nOblicz sumę wszystkich pierwiastków równania\nπ\n2\n25\nctg\nsin3x =\n, które spełniają nierówność\nπ\nπ\n5\n5\nx\n≤\nOdpowiedź:\n\nPróbny egzamin maturalny z matematyki\nArkusz II\n4","answer":null,"answer_text":"Zauważenie, że kolejne rozwiązania równania trygonometrycznego, są","solution":"$S_{31} = 155\\pi$","image":"img/matematyka-2005-styczen-probna-rozszerzona/zad-13.webp","solution_image":null,"topics":"trygonometria","page_from":3,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · styczeń 2005 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2005-styczen-probna-rozszerzona/zad/14","paper_id":"matematyka-2005-styczen-probna-rozszerzona","number":"14","points":0,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2005,"month":"styczen","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 14. (7 pkt.)\nDany jest ciąg liczbowy\n2\n3\n3 2\nn\nn\nan\nokreślony dla dowolnej liczby\n∈N\nn\na) Wykaż, korzystając z definicji monotoniczności ciągu, że ciąg (\n)\nn\na\njest rosnący.\nb) Oblicz granicę\nn\nn\na\nn\nn\nlim\n∞\n→\n1\n8\n3\n6\nOdpowiedź:\nb)\n\nPróbny egzamin maturalny z matematyki\nArkusz II\n5","answer":null,"answer_text":"n\n→\n∞\n1\na\nn\nn\n→\n∞\n3\nn\n3\nn\n1","solution":"$-\\dfrac{2}{3}$","image":"img/matematyka-2005-styczen-probna-rozszerzona/zad-14.webp","solution_image":null,"topics":"granice","page_from":4,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · styczeń 2005 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2005-styczen-probna-rozszerzona/zad/15","paper_id":"matematyka-2005-styczen-probna-rozszerzona","number":"15","points":0,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2005,"month":"styczen","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 15. (7 pkt.)\nFunkcja f dana jest wzorem ( )\nc\nx\nx\nx\nf\n2\n3\n6\ndla\nR\nx∈\ni\nR\nc∈\na) Wyznacz największą i najmniejszą wartość funkcji f w przedziale\n3,1\n, wiedząc, że\nf(0) = 8.\nb) Wyznacz przedziały monotoniczności funkcji f.\nOdpowiedź:\na)\nb)\n\nPróbny egzamin maturalny z matematyki\nArkusz II\n6","answer":null,"answer_text":"f\n′\n( )\nx\n>\n0\n⇔\nx\n∈\n(\n∞\n0,\n)\n∪\n(\n,4\n∞\n)","solution":"Wartość największa: $8$, wartość najmniejsza: $-19$. Funkcja rośnie w przedziałach $(-\\infty, 0)$ oraz $(4, \\infty)$, maleje w przedziale $(0, 4)$.","image":"img/matematyka-2005-styczen-probna-rozszerzona/zad-15.webp","solution_image":null,"topics":"funkcje","page_from":5,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · styczeń 2005 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2005-styczen-probna-rozszerzona/zad/16","paper_id":"matematyka-2005-styczen-probna-rozszerzona","number":"16","points":0,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2005,"month":"styczen","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 16. (3 pkt.)\nJednokierunkowa droga o szerokości 8m prowadzi przez tunel. Przekrój poprzeczny tunelu,\nprzedstawiony na poniższym rysunku, ma kształt zbliżony do łuku paraboli o równaniu:\n.6\n8\n3\n2 +\nx\ny\nSprawdź, wykonując odpowiednie obliczenia, czy ciężarówka wioząca\nprostopadłościenny kontener o szerokości 4,8 metra może przejechać tym tunelem, jeżeli\nnajwyższy punkt kontenera znajduje się 4 metry nad drogą.\nOdpowiedź:\n\nPróbny egzamin maturalny z matematyki\nArkusz II\n7","answer":null,"answer_text":"\n\n-\n","solution":"Ciężarówka nie zmieści się w tunelu.","image":"img/matematyka-2005-styczen-probna-rozszerzona/zad-16.webp","solution_image":null,"topics":"funkcje","page_from":6,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · styczeń 2005 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2005-styczen-probna-rozszerzona/zad/17","paper_id":"matematyka-2005-styczen-probna-rozszerzona","number":"17","points":0,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2005,"month":"styczen","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 17. (5 pkt.)\nOkrąg o1 określony jest równaniem:\n0\n9\n6\n4\n2\n2\ny\nx\ny\nx\na) Napisz równanie okręgu o2 współśrodkowego z okręgiem o1, przechodzącego przez punkt\nA = (6;0).\nb) Oblicz pole pierścienia kołowego ograniczonego okręgami o1 i o2 .\nOdpowiedź:\na)\nb)\n\nPróbny egzamin maturalny z matematyki\nArkusz II\n8","answer":null,"answer_text":"Zapisanie równania okręgu o2: (\n)\n2\n(\n)\n2","solution":"$P = 21\\pi$","image":"img/matematyka-2005-styczen-probna-rozszerzona/zad-17.webp","solution_image":null,"topics":"analityczna","page_from":7,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · styczeń 2005 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2005-styczen-probna-rozszerzona/zad/18","paper_id":"matematyka-2005-styczen-probna-rozszerzona","number":"18","points":0,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2005,"month":"styczen","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 18. (7 pkt.)\nDo salaterki wlano rozpuszczoną galaretkę, która po zastygnięciu przybrała kształt stożka\nściętego. Przekrój osiowy tej bryły był trapezem równoramiennym o wysokości 6 cm\ni podstawach długości 14 cm i 26 cm.\nOblicz objętość wlanego płynu. W obliczeniach przyjmij, że\n14\n3,\n≈\nπ\n, a wynik podaj\nz dokładnością do\n3\n1cm .\nOdpowiedź:\n\nPróbny egzamin maturalny z matematyki\nArkusz II\n9","answer":null,"answer_text":"x\n6\nx","solution":"$V \\approx 1941 \\text{ cm}^3$","image":"img/matematyka-2005-styczen-probna-rozszerzona/zad-18.webp","solution_image":null,"topics":"stereometria","page_from":8,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · styczeń 2005 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2005-styczen-probna-rozszerzona/zad/19","paper_id":"matematyka-2005-styczen-probna-rozszerzona","number":"19","points":0,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2005,"month":"styczen","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 19. (6 pkt.)\nKrótki łańcuch choinkowy składa się z dwudziestu żarówek. Dla każdej z żarówek\nprawdopodobieństwo, że będzie działać przez co najmniej 300 godzin jest równe 0,9.\na) Oblicz prawdopodobieństwo tego, że w krótkim łańcuchu w ciągu 300 godzin przepali\nsię co najwyżej jedna żarówka. W obliczeniach możesz przyjąć, że (\n)\n14\n,0\n9,0\n19 ≈\nb) W skrzyni jest 6 łańcuchów krótkich i 4 łańcuchy długie. Do dekoracji choinki użyto\ncztery losowo wybrane łańcuchy. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że do dekoracji\nużyto dwóch łańcuchów krótkich i dwóch łańcuchów długich.\nOdpowiedź:\na)\nb)\n\nPróbny egzamin maturalny z matematyki\nArkusz II\n10","answer":null,"answer_text":"\n10\n","solution":"$P(A) = \\dfrac{3}{7}$, $P(B) \\approx 0,406$","image":"img/matematyka-2005-styczen-probna-rozszerzona/zad-19.webp","solution_image":null,"topics":"prawdopodobienstwo","page_from":9,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · styczeń 2005 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"}]}