{"paper":{"id":"matematyka-2006-listopad-probna-rozszerzona","subject":"matematyka","category":"probna","year":2006,"month":"listopad","level":"rozszerzona","variant":null,"exam_pdf":"matematyka-2006-listopad-probna-rozszerzona/matematyka-2006-listopad-probna-rozszerzona.pdf","key_pdf":"matematyka-2006-listopad-probna-rozszerzona-odpowiedzi/matematyka-2006-listopad-probna-rozszerzona-odpowiedzi.pdf","question_count":12,"source_label":"Matematyka · Matura próbna · listopad 2006 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},"questions":[{"id":"matematyka-2006-listopad-probna-rozszerzona/zad/1","paper_id":"matematyka-2006-listopad-probna-rozszerzona","number":"1","points":5,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2006,"month":"listopad","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 1. (5 pkt)\nFunkcja homograficzna\nf jest określona wzorem\np\nx\npx\nx\nf\n3\n)\n(\n, gdzie\nR\np∈ jest\nparametrem i\n3\np ≠\na) Dla\n1\np\nzapisz wzór funkcji w postaci\n1\n)\n(\nx\nm\nk\nx\nf\n, gdzie k oraz m\nsą liczbami rzeczywistymi.\nb) Wyznacz wszystkie wartości parametru p , dla których w przedziale (\n)\np,+∞ funkcja f\njest malejąca.\n\nPróbny egzamin maturalny z matematyki\nPoziom rozszerzony\n3","answer":null,"answer_text":"1.1\nPrzekształcenie wzoru funkcji do żądanej postaci\n2\n( )\n1\n1\nf x\nx\n- lub\n2\n( )\n1\n1\nf x\nx\n1\n1.2\nI sposób rozwiązania podpunktu b).\nZapisanie wzoru funkcji w postaci sumy\n2\n3\n( )\np\nf x\np\nx\np\n2\n1 pkt za wykonanie dzielenia\n2\n(\n3) :(\n)\n(\n)\n3\npx\nx\np\np x\np\np\nlub wykorzystanie innej metody , która doprowadzi do\nzapisania wyrażenia w postaci sumy, np.\n2\n(\n)\n3\n( )\np x\np\np\nf x\nx\np\n1 pkt za zapisanie funkcji w postaci homograficznej:\n2\n3\n( )\np\nf x\np\nx\np\n1.3 Zapisanie nierówności\n0\n3\n2\n>\np\n1\n1.\n1.4\nRozwiązanie powyższej nierówności:\n(\n)\n(\n)\n3\n3\np\n,\n,\n∈-∞-\n∪\n∞.\n1\n1.2\nII sposób rozwiązania podpunktu b)\nObliczenie pochodnej funkcji\n)\n(x\nf\n:\n(\n)\n2\n2\n3\n( )\np\nf\nx\nx\np\n′\n,\np\nx ≠\ni zapisanie nierówności\n(\n)\n2\n2\n3\n0\np\nx\np\n<\npozwalającej\nwyznaczyć szukany zbiór wartości parametru p.\n2\n1 pkt przyznajemy za obliczenie pochodnej,\n1 pkt za zapisanie nierówności.\nPróbny egzamin maturalny z matematyki\nPoziom rozszerzony\n2","solution":"$p \\in (-\\infty, -\\sqrt{3}) \\cup (\\sqrt{3}, \\infty)$","image":"img/matematyka-2006-listopad-probna-rozszerzona/zad-1.webp","solution_image":null,"topics":"funkcje","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · listopad 2006 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2006-listopad-probna-rozszerzona/zad/2","paper_id":"matematyka-2006-listopad-probna-rozszerzona","number":"2","points":5,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2006,"month":"listopad","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 2. (5 pkt)\nWyznacz\nwszystkie\nwartości\nR\nk ∈\n,\ndla\nktórych\npierwiastki\nwielomianu\n( ) (\n) (\n)\nk\nx\nx\nx\nx\nW\n⋅\n12\n8\n2\nsą\ntrzema\nkolejnymi\nwyrazami\nrosnącego\nciągu\ngeometrycznego.\n\n4\nPróbny egzamin maturalny z matematyki\nPoziom rozszerzony","answer":null,"answer_text":"2 3\n3\n3\n3\n1\nBC\na\n1\n4.4 Obliczenie\n3 3\n3\nAC =\n+ , np. z wykorzystaniem funkcji\ntrygonometrycznych w trójkącie ABC.\n1\n4.5 Obliczenie\n3\n2 3\nAE\nAD\n1\n4.6\nZastosowanie wzoru cosinusów w trójkącie CDA i obliczenie\ndługości CD :\n2\n2\n2\n2\ncos30\nCD\nAC\nAD\nAC\nAD\n⋅\n⋅\nD ,\n(\n)\n(\n)\n(\n)(\n)\n2\n2\n2\n3\n3\n3 3\n3\n2 3\n2 3\n3 3\n3\n2 3\n12\n3 3\n2\nCD\n12\n3 3\nCD =\n2\n4.\n4.1\nIII sposób rozwiązania ( z wykorzystaniem\nCOD\n)\n).\nSporządzenie rysunku.\n1\nA\nB\nD\nO\nE\nC\nF\nPróbny egzamin maturalny z matematyki\nPoziom rozszerzony\n7\n4.2\nObliczenie miary\nFOD\n)\n:\n(wykorzystanie miary kątów czworokąta FODB)\n2 90\n60\n360\nFOD + ⋅\nD\nD\nD\n)\n,\n120\nFOD =\nD\n)\n1\n4.3\nZauważenie, że\n45\nFOC =\nD\n)\ni obliczenie\n45\n120\n165\nCOD =\nD\nD\nD\n)\n1\n4.4\nObliczenie długości odcinka OC.\n(OC przekątna kwadratu o boku długości 3 ).\n3\n2\n6\nOC =\n⋅\n1\n4.5 Wykorzystanie wzoru redukcyjnego: cos165\ncos15\nD\nD .\n1\n4.6\nZastosowanie wzoru cosinusów w COD\nΔ\n:\n2\n2\n2\n2\ncos165\nCD\nOC\nOD\nOC\nOD\n-⋅\n⋅\nD .\nObliczenie długości odcinka CD:\n(\n)\n(\n)\n2\n2\n2\nCD\n6\n3\n2\n6\n3 cos15\n+ ⋅\n⋅\n⋅\nD ,\n2\nCD\n9\n6 2 cos15\nD .\n2\nZdający może pozostawić wynik w takiej\npostaci: 9\n6 2 cos15\nD , lub odczytać wartość\ncosinusa z tablic i podać wynik liczbowy.\nPróbny egzamin maturalny z matematyki\nPoziom rozszerzony\n8\n4.1\nIV sposób rozwiązania.\nSporządzenie rysunku.\n1\n4.2\nOznaczmy AB\na\n. Z własności trójkąta ABC wynika, że\n2\na\nBC =\n,\n3\n2\na\nAC =\n1\n4.3\nWyznaczenie pola trójkąta ABC (z zastosowaniem wzoru: S\npr\n,\ngdzie\n(\n)\n1\n2\np\na\nb\nc\ni r jest promieniem okręgu wpisanego w\nten trójkąt):\n2\n3\n3\n3\n2\n2\n2\n2\n8\nAC\nBC\na\na\na\na\n⎛\n⎞\n⋅\n⎜\n⎟\n⎜\n⎟\n⎝\n⎠\n1\n4.4\nWyznaczenie AB\na\nz powyższej równości:\n2\n3\n3\n4\n2\n2\na\na\n⎛\n⎞\n⎜\n⎟\n⎜\n⎟\n⎝\n⎠\n,\n6\n2 3\nAB\na\n1\n4.\n4.5\nWyznaczenie długości odcinka BD:\n3\n3\n3\n3\n2\na\nBD\nBF\nCF\n1\nA\nB\nD\nO\nC\nF\nPróbny egzamin maturalny z matematyki\nPoziom rozszerzony\n9\n4.6\nZastosowanie wzoru cosinusów w trójkącie CBD do wyznaczenia\ndługości odcinka CD:\n2\n2\n2\n2\ncos60\nCD\nCB\nBD\nCB\nBD\n⋅\nD.\n2\n4.1\nV sposób rozwiązania.\nSporządzenie rysunku.\n1\n4.2\nWykorzystanie własności : środek okręgu wpisanego w trójkąt\nleży w punkcie przecięcia dwusiecznych jego kątów. Wyznaczenie\nAD z trójkąta AOD:\n3\ntg15\nOD\nAD\nAD\nDstąd\n3\ntg15\nAD =\nD .\n1\n4.3\nWyznaczenie BD z trójkąta BOD:\n3\ntg30\nDO\nBD\nBD\nD stąd\n3\nBD =\n1\n4.\n4.4\n1\n3\n2\n2tg15\nPD\nAD\nD\n(z trójkąta prostokątnego PDA, w którym\n60\nPDA =\nD\n)\n).\n1\nA\nB\nD\nO\nP\nC\nR\nPróbny egzamin maturalny z matematyki\nPoziom rozszerzony\n10\n4.5\n3\n3 3\n2\n2\nBD\nDR\n⋅\n(z trójkąta prostokątnego BDR, w którym\n60\nDBR =\nD\n)\n).\n1\n4.6\nWyznaczenie długości odcinka CD z trójkąta prostokątnego CDR:\n2\n2\n2\n3\n27\n4tg 15\n4\nCD\nRD\nRC\nD\n2\n4.1\nVI sposób rozwiązania.\nSporządzenie rysunku.\n1\n4.2 Obliczenie miary kąta DON:\n30\nDON =\nD\n)\n1\n4.3\nWyznaczenia DN z trójkąta prostokątnego OND:\nsin30\nDN\nOD =\nD ,\n3\n2\nDN =\ni\n1\n3\n3\n2\n2\nON\nOD\n⋅\n1\n4.\n4.4\n3\n3\n3\n2\nCM\nCF\nFM\nON\n1\nA\nB\nD\nO\nE\nC\nF\nM\nN\nPróbny egzamin maturalny z matematyki\nPoziom rozszerzony\n11\n4.5\n3\n3 3\n2\n2\nDM\nDN\nMN\nOF\n1\n4.6\nWyznaczenie CD z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie CMD:\n2\n2\n2\n2\n2\n3\n3 3\n3\n12\n3 3\n2\n2\nCD\nCM\nDM\n⎛\n⎞\n⎛\n⎞\n⎜\n⎟\n⎜\n⎟\n⎜\n⎟\n⎝\n⎠\n⎝\n⎠\n,\n12\n3 3\nCD =\n2\n4.1\nVII sposób rozwiązania.\nSporządzenie rysunku.\n1\nZdający otrzymuje punkt jeśli narysuje trójkąt z\nzaznaczonymi dobrymi kątami i wpisanym\nokręgiem.\n4.2\nWykorzystanie własności : środek okręgu wpisanego w trójkąt\nleży w punkcie przecięcia dwusiecznych jego kątów.\nFBO\nΔ\n(lub BDO\nΔ\n) jest prostokątny i\n30\nFBO =\nD\n)\n3\nOF =\nstąd\n2 3\nOB =\n1\n4.3\nObliczenie długości odcinków FB z FBO\nΔ\ni BD z BDO\nΔ\n:\n3\nFB =\ni\n3\nBD\n1\n4.\n4.4 Obliczenie długość odcinka CB:\n3\n3\nCB\nCF\nFB\n1\nA\nB\nD\nO\nE\nC\nF\nG\nPróbny egzamin maturalny z matematyki\nPoziom rozszerzony\n12\n4.5\nObliczenie długości odcinków BG i CG i DG:\n2\n3\n3\n2\n1\nBC\nBG\n,\n2\n3\n3\n3\n2\n3\nBC\nCG\n,\n2\n3\n3-\nBG\nBD\nGD\n1\n4.6\nZastosowanie twierdzenia Pitagorasa BGC\nΔ\ndo obliczenie\ndługości odcinka CD:\n2\n2\n2\nGD\nCG\nCD\n3\n3\n12\n2\n2\n3\n3\n2\n2\n3\n3\n3\n2\n⎟⎠\n⎞\n⎜⎝\n⎛\n⎟⎠\n⎞\n⎜⎝\n⎛\nCD\n,\n12\n3 3\nCD =\n2\n5.1\nSporządzenie wykresu funkcji\n(skorzystanie z definicji wartości bezwzględnej i sporządzenie\nwykresu albo naszkicowanie wykresu funkcji\n2\n( )\n2\ng x\nx\nx\n,\na następnie naszkicowanie wykresu funkcji\n( )\n(\n)\nf x\ng x\n).\n2\nZdający\nmoże\nrozpatrzyć\ndwa\nprzypadki\ni za każdy poprawnie rozwiązany otrzymuje 1 pkt.\nJeśli\njest\nprawidłowy\nrysunek\nto\nzdający\notrzymuje 2 pkt.\nPrzyznajemy 1 punkt jeśli, np.\n- rysunek jest prawidłowy tylko po jednej stronie\nosi Oy,\n- gdy zdający nie wybrał tej części wykresu, która\njest prawidłowa (pozostawił niepotrzebne części\nwykresu).\n5.\n5.2\nWskazanie każdego punktu, w którym istnieje ekstremum lokalne\nfunkcji f i określenie rodzaju ekstremum:\nminimum lokalne dla\n0\nx =\n,\nmaksimum lokalne dla\n1\nx = - oraz\n1\nx = .\n1\n6.1 Wyznaczenie współrzędnych punktu D:\n(\n)\n0 6\nD\n,\n1\n6.2\nWyznaczenie współrzędnych punktów A i B:\n(\n)\n(\n)\n3 0\n6 0\nA\n,\n,\nB\n,\n1\n6.3 Wyznaczenie długości odcinka CD:\n3\nCD =\n1\n6.\n6.4 Obliczenie pola trapezu:\n9\n3 6\n36\n2\nABCD\nP\n⋅\n1\nPróbny egzamin maturalny z matematyki\nPoziom rozszerzony\n13","solution":"$k = \\dfrac{2}{3}$ lub $k = 2\\sqrt{3}$ lub $k = 18$","image":"img/matematyka-2006-listopad-probna-rozszerzona/zad-2.webp","solution_image":null,"topics":"wielomiany","page_from":3,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · listopad 2006 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2006-listopad-probna-rozszerzona/zad/3","paper_id":"matematyka-2006-listopad-probna-rozszerzona","number":"3","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2006,"month":"listopad","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 3. (4 pkt)\nNa rysunku poniżej przedstawiono wykres funkcji logarytmicznej f .\nRozwiąż równanie\n( )\n(\n)\n0\n16\n2\nx\nf\n\nPróbny egzamin maturalny z matematyki\nPoziom rozszerzony\n5\n\n6\nPróbny egzamin maturalny z matematyki\nPoziom rozszerzony","answer":null,"answer_text":"3 3\n2\nCD\n-⋅\n⋅⋅\n,\n12\n3 3\nCD =\n2\nJeżeli błąd jest spowodowany tym, że punkty C,\nO, D są współliniowe i zdający korzysta z\ntwierdzenia Pitagorasa w trójkącie CBD , wtedy\nnie przyznajemy punktów.\n4.1\nII sposób rozwiązania.\nSporządzenie rysunku.\n1\n4.\n4.2\nSkorzystanie z tego, że CE\nCF\nr\n(czworokąt CFOE jest\nkwadratem) oraz ze wzoru na długość promienia okręgu wpisanego\nw trójkąt\n2\nAC\nBC\nAB\nCE\nCF\nPrzyjęcie oznaczeń, np. a\nBC\ni zapisanie tej równości w postaci:\n(\n)\n3\n1\n3\n2\n3\n2\n2\na\na\na\na\n1\nA\nB\nD\nO\nE\nC\nF\nPróbny egzamin maturalny z matematyki\nPoziom rozszerzony\n6","solution":"$x = \\dfrac{1}{16}$ lub $x = 16$","image":"img/matematyka-2006-listopad-probna-rozszerzona/zad-3.webp","solution_image":null,"topics":"logarytmy","page_from":4,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · listopad 2006 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2006-listopad-probna-rozszerzona/zad/4","paper_id":"matematyka-2006-listopad-probna-rozszerzona","number":"4","points":7,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2006,"month":"listopad","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 4. (7 pkt)\nTrójkąt prostokątny ABC , w którym\n90\nBCA =\nD\n)\ni\n30\nCAB =\nD\n)\n, jest opisany na okręgu\no promieniu\n3 . Oblicz odległość wierzchołka C trójkąta od punktu styczności tego okręgu\nz przeciwprostokątną. Wykonaj odpowiedni rysunek.\n\nPróbny egzamin maturalny z matematyki\nPoziom rozszerzony\n7","answer":null,"answer_text":"4.1\nSporządzenie poprawnego rysunku, na którym, np.:\nD oznacza punkt styczności okręgu z przeciwprostokątną,\nE ,F są punktami styczności przyprostokątnych AC i BC trójkąta\nz okręgiem.\n(odcinek CD nie zawiera średnicy okręgu wpisanego w dany\ntrójkąt).\n1\nZdający otrzymuje punkt jeśli narysuje trójkąt z\nzaznaczonymi dobrymi kątami i wpisanym\nokręgiem.\n4.2\nWykorzystanie własności : środek okręgu wpisanego w trójkąt leży\nw punkcie przecięcia dwusiecznych jego kątów. FBO\nΔ\njest\nprostokątny i\n30\nFBO =\nD\n)\n3\nOF =\nstąd\n2 3\nOB =\n1\n4.3 Obliczenie długość odcinka FB z FBO\nΔ\n:\n3\nFB =\n1\n4.4 Obliczenie długość odcinka CB:\n3\n3\nCB\nCF\nFB\n1\n4.\n4.5 Obliczenie długość odcinka DB:\n3\nDB\nBF\nZ własności trójkąta opisanego na okręgu.\n1\nA\nB\nD\nO\nE\nC\nF\nPróbny egzamin maturalny z matematyki\nPoziom rozszerzony\n5\n4.6\nZastosowanie wzoru cosinusów w CBD\nΔ\ndo obliczenie długości\nodcinka CD:\n2\n2\n2\n2\ncos60\nCD\nCB\nDB\nCB\nDB\n⋅\nD,\n(\n)\n(\n)\n2\n2\n2\n1\n3\n3\n3\n2\n3\n3\n3\n12","solution":"$|CD| = \\sqrt{12 + 3\\sqrt{3}}$","image":"img/matematyka-2006-listopad-probna-rozszerzona/zad-4.webp","solution_image":null,"topics":"planimetria","page_from":6,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · listopad 2006 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2006-listopad-probna-rozszerzona/zad/5","paper_id":"matematyka-2006-listopad-probna-rozszerzona","number":"5","points":3,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2006,"month":"listopad","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 5. (3 pkt)\nSporządź wykres funkcji f danej wzorem\n2\n( )\n2\nf x\nx\nx\n, a następnie, korzystając z niego,\npodaj wszystkie wartości x, dla których funkcja f przyjmuje maksima lokalne i wszystkie\nwartości x, dla których przyjmuje minima lokalne.\n\n8\nPróbny egzamin maturalny z matematyki\nPoziom rozszerzony","answer":null,"answer_text":null,"solution":"minimum lokalne dla $x = 0$, maksimum lokalne dla $x = -1$ oraz $x = 1$","image":"img/matematyka-2006-listopad-probna-rozszerzona/zad-5.webp","solution_image":null,"topics":"funkcje","page_from":7,"source":"zadaniazmatur","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · listopad 2006 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2006-listopad-probna-rozszerzona/zad/6","paper_id":"matematyka-2006-listopad-probna-rozszerzona","number":"6","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2006,"month":"listopad","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 6. (4 pkt)\nPodstawa AB trapezu ABCD jest zawarta w osi Ox, wierzchołek D jest punktem przecięcia\nparaboli o równaniu\n6\n3\n1\n2\nx\nx\ny\nz osią Oy. Pozostałe wierzchołki trapezu również leżą\nna tej paraboli (patrz rysunek). Oblicz pole tego trapezu.\n0\nx\ny\nA\nB\nC\nD\n\nPróbny egzamin maturalny z matematyki\nPoziom rozszerzony\n9","answer":null,"answer_text":null,"solution":"$P_{ABCD} = 36$","image":"img/matematyka-2006-listopad-probna-rozszerzona/zad-6.webp","solution_image":null,"topics":"analityczna","page_from":8,"source":"zadaniazmatur","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · listopad 2006 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2006-listopad-probna-rozszerzona/zad/7","paper_id":"matematyka-2006-listopad-probna-rozszerzona","number":"7","points":3,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2006,"month":"listopad","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 7. (3 pkt)\nWyznacz wszystkie rozwiązania równania\nx\nx\ncos\ncos\n2\n2\nnależące do przedziału 0,2π .\n\n10\nPróbny egzamin maturalny z matematyki\nPoziom rozszerzony","answer":null,"answer_text":null,"solution":"$x \\in \\left\\{ \\dfrac{\\pi}{3}, \\dfrac{\\pi}{2}, \\dfrac{3\\pi}{2}, \\dfrac{5\\pi}{3} \\right\\}$","image":"img/matematyka-2006-listopad-probna-rozszerzona/zad-7.webp","solution_image":null,"topics":"trygonometria","page_from":9,"source":"zadaniazmatur","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · listopad 2006 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2006-listopad-probna-rozszerzona/zad/8","paper_id":"matematyka-2006-listopad-probna-rozszerzona","number":"8","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2006,"month":"listopad","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 8. (4 pkt)\nUczeń analizował własności funkcji f, której dziedziną jest zbiór wszystkich liczb\nrzeczywistych i która ma pochodną\n( )\nf\nx\n′\ndla każdego x\nR\n∈\n. Wyniki tej analizy zapisał\nw tabeli.\nNiestety, wpisując znaki pochodnej, popełnił jeden błąd.\na) Przekreśl błędnie wpisany znak pochodnej i wstaw obok prawidłowy.\nb) Napisz, czy po poprawieniu błędu w tabeli, zawarte w niej dane pozwolą określić\ndokładną liczbę miejsc zerowych funkcji f . Uzasadniając swoją odpowiedź możesz\nnaszkicować przykładowe wykresy funkcji.\nx\n(\n)\n,\n1\n-∞-\n1\n(\n)\n1, 2\n2\n(2, 3)\n3\n(\n)\n3, + ∞\n( )\nf\nx\n′\n( )\n0\n( )\n0\n( )\n0\n( )\n)\n(x\nf\n2\n1\n1\n\nPróbny egzamin maturalny z matematyki\nPoziom rozszerzony\n11","answer":null,"answer_text":null,"solution":"Mogą być 2, 3 albo 4 miejsca zerowe.","image":"img/matematyka-2006-listopad-probna-rozszerzona/zad-8.webp","solution_image":null,"topics":"funkcje","page_from":10,"source":"zadaniazmatur","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · listopad 2006 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2006-listopad-probna-rozszerzona/zad/9","paper_id":"matematyka-2006-listopad-probna-rozszerzona","number":"9","points":3,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2006,"month":"listopad","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 9. (3 pkt)\nNiech\nΩ\n⊂\nA\ni\nΩ\n⊂\nB\nbędą zdarzeniami losowymi. Mając dane prawdopodobieństwa\nzdarzeń:\n( )\n5,0\nA\nP\n,\n( )\n0,4\nP B =\ni\n(\n)\n0,3\nP A B =\n, zbadaj, czy A i B są zdarzeniami\nniezależnymi.\n\n12\nPróbny egzamin maturalny z matematyki\nPoziom rozszerzony","answer":null,"answer_text":"9.1\nObliczenie prawdopodobieństwa\n)\n(\nB\nA\nP\n∩\n:\n(\n)\n( )\n(\n)\n0,2\nP A\nB\nP A\nP A B\n∩\n(1 pkt za pokazanie metody, 1 pkt za obliczenia)\n2\n9.\n9.2\nObliczenie iloczynu prawdopodobieństw\n)\n(\n)\n(\nB\nP\nA\nP\n⋅\ni zapisanie, że dane zdarzenia są niezależne:\n2,0\n4,0\n5,0\n)\n(\n)\n(\n⋅\n⋅\nB\nP\nA\nP\n1\n10.1\nObliczenie różnicy dwóch kolejnych wyrazów w postaci ogólnej:\n2\n1\n2\np\na\na\nn\nn\ni stwierdzenie, że ciąg (\n)\nna\njest arytmetyczny.\n1\n10.2\nObliczenie żądanej sumy dwudziestu jeden wyrazów danego ciągu:\n1134\n266\n1400\n19\n40\n-S\nS\nlub\n20\n40 21\n1134\n2\na\na\n⋅\n2\n1 pkt za przedstawienie metody,\n1 pkt za wykonanie obliczeń.\n10.3 Zapisanie warunku na to aby ciąg (\n)\nnb\nbył stały:\n2\n2\n0\np\np\n1\n10.\n10.4 Wyznaczenie wszystkich wartości p, dla których ciąg (\n)\nnb\njest stały:\n1\np = lub\n2\np = -.\n1\n11.1 Wyznaczenie pierwiastków trójmianu kwadratowego:\nn\nn 2\n,\n1\n11.2 Wyznaczenie zbioru rozwiązań nierówności\n0\n2\n3\n2\n2\n<\nn\nnx\nx\n:\n(\n)\n2\nn, n .\n1\n11.\n11.3 Wyznaczenie największej liczby całkowitej spełniającej nierówność\ni zapisanie wzoru funkcji f :\n1\n2 -\nn\n,\n2\n1 dla\n1\nf ( n )\nn\n,\nn\n> .\n1\nPróbny egzamin maturalny z matematyki\nPoziom rozszerzony\n15","solution":"Zdarzenia są niezależne.","image":"img/matematyka-2006-listopad-probna-rozszerzona/zad-9.webp","solution_image":null,"topics":"prawdopodobienstwo","page_from":11,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · listopad 2006 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2006-listopad-probna-rozszerzona/zad/10","paper_id":"matematyka-2006-listopad-probna-rozszerzona","number":"10","points":5,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2006,"month":"listopad","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 10. (5 pkt)\nCiąg liczbowy (\n)\nna\njest określony dla każdej liczby naturalnej\n1\nn ≥ wzorem\n(\n)(\n)\n2\n3\n2\nna\nn\np\n, gdzie\nR\np∈\na) Wykaż, że dla każdej wartości p ciąg (\n)\nna\njest arytmetyczny.\nb) Dla\n2\np\noblicz sumę\n20\n21\n22\n40\na\na\na\na\nc) Wyznacz wszystkie wartości p , dla których ciąg (\n)\nnb\nokreślony wzorem\nn\nn\nb\na\npn\njest stały.\n\nPróbny egzamin maturalny z matematyki\nPoziom rozszerzony\n13","answer":null,"answer_text":null,"solution":"Suma wynosi $-1134$. Ciąg $(b_n)$ jest stały dla $p = 1$ lub $p = -2$.","image":"img/matematyka-2006-listopad-probna-rozszerzona/zad-10.webp","solution_image":null,"topics":"ciagi","page_from":12,"source":"zadaniazmatur","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · listopad 2006 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2006-listopad-probna-rozszerzona/zad/11","paper_id":"matematyka-2006-listopad-probna-rozszerzona","number":"11","points":3,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2006,"month":"listopad","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 11. (3 pkt)\nFunkcja f przyporządkowuje każdej liczbie naturalnej\n1\n>\nn\nnajwiększą liczbę całkowitą\nspełniającą nierówność\n0\n2\n3\n2\n2\n<\nn\nnx\nx\no niewiadomej x. Wyznacz wzór funkcji f.\n\n14\nPróbny egzamin maturalny z matematyki\nPoziom rozszerzony","answer":null,"answer_text":null,"solution":"$f(n) = 2n - 1$ dla $n > 1$","image":"img/matematyka-2006-listopad-probna-rozszerzona/zad-11.webp","solution_image":null,"topics":"funkcje","page_from":13,"source":"zadaniazmatur","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · listopad 2006 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2006-listopad-probna-rozszerzona/zad/12","paper_id":"matematyka-2006-listopad-probna-rozszerzona","number":"12","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2006,"month":"listopad","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 12. (4 pkt)\nDwa okręgi, każdy o promieniu 8, są styczne zewnętrznie. Ze środka jednego z nich\npoprowadzono styczne do drugiego okręgu. Oblicz pole zacieniowanej figury (patrz rysunek).\nB\nA\n\nPróbny egzamin maturalny z matematyki\nPoziom rozszerzony\n15\n\n16\nPróbny egzamin maturalny z matematyki\nPoziom rozszerzony\nBRUDNOPIS","answer":null,"answer_text":"12.1\nZauważenie, że trójkąt ABC jest prostokątny i kąt ABC ma miarę 60D .\n1\n12.2 Zapisanie pola zacieniowanej figury jako odpowiedniej różnicy pól:\nnp. deltoidu ADBC i wypukłego wycinka kołowego DBC.\n1\n12.3 Obliczenie pola deltoidu ADBC:\n64 3\nADBC\nP\n1\n12.\n12.4 Obliczenie pola zacieniowanej figury:\n64\n3\n3\nfP\nπ\n⎛\n⎞\n⎜\n⎟\n⎝\n⎠\n1\nZa prawidłowe rozwiązanie każdego z zadań inną metodą od przedstawionej w schemacie przyznajemy maksymalną liczbę punktów.\nB\nA\nC\nD","solution":"$P_f = 64\\left(\\sqrt{3} - \\dfrac{\\pi}{3}\\right)$","image":"img/matematyka-2006-listopad-probna-rozszerzona/zad-12.webp","solution_image":null,"topics":"planimetria","page_from":14,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · listopad 2006 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"}]}