{"paper":{"id":"matematyka-2006-maj-matura-podstawowa","subject":"matematyka","category":"matura","year":2006,"month":"maj","level":"podstawowa","variant":null,"exam_pdf":"matematyka-2006-maj-matura-podstawowa/matematyka-2006-maj-matura-podstawowa.pdf","key_pdf":"matematyka-2006-maj-matura-podstawowa-odpowiedzi/matematyka-2006-maj-matura-podstawowa-odpowiedzi.pdf","question_count":11,"source_label":"Matematyka · Matura · maj 2006 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},"questions":[{"id":"matematyka-2006-maj-matura-podstawowa/zad/1","paper_id":"matematyka-2006-maj-matura-podstawowa","number":"1","points":3,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2006,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 1. (3 pkt)\nDane są zbiory:\n{\n}\n:\n4\n7\nA\nx\nR\nx\n∈\n≥\n,\n{\n}\n2\n:\n0\nB\nx\nR\nx\n∈\n>\n. Zaznacz na osi liczbowej:\na) zbiór A,\nb) zbiór B,\nc) zbiór\nC\nB A.\na)\nx\n1\n0\nb)\nx\n1\n0\nc)\nx\n1\n0\nNr czynności\n1.1.\n1.2.\n1.3.\nMaks. liczba pkt\n1\n1\n1\nWypełnia\negzaminator! Uzyskana liczba pkt\n\nArkusz I\n3\nDane są zbiory: A={x: |x-4|>=7}, B={x: x^2>0}. Zaznacz na osi liczbowej: a) zbiór A, b) zbiór B, c) zbiór C=B \\ A","answer":null,"answer_text":"1. Sprawdź, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 14 stron (zadania\n1 - 11). Ewentualny brak zgłoś przewodniczącemu zespołu\nnadzorującego egzamin.","solution":"## Poprawna odpowiedź:\n\na) \\(A = (-\\infty, -3\\rangle \\cup \\langle 11, +\\infty)\\)\n\nb) \\(B = (-\\infty, 0) \\cup (0, +\\infty)\\) (czyli \\(\\mathbb{R} \\setminus \\{0\\}\\))\n\nc) \\(C = B \\setminus A = (-3, 0) \\cup (0, 11)\\)\n\n## Sposób 1 - analityczne wyznaczenie każdego zbioru\n\n### a) Zbiór A\n\nRozwiązujemy nierówność z wartością bezwzględną:\n\\[|x - 4| \\geq 7\\]\n\nZ własności wartości bezwzględnej (dla \\(r \\geq 0\\)): \\(|x - a| \\geq r \\iff x \\leq a - r\\) lub \\(x \\geq a + r\\)\n\nTutaj \\(a = 4\\), \\(r = 7\\), więc:\n\\[x \\leq 4 - 7 \\quad \\text{lub} \\quad x \\geq 4 + 7\\]\n\\[x \\leq -3 \\quad \\text{lub} \\quad x \\geq 11\\]\n\n**Wynik:** \\(A = (-\\infty, -3\\rangle \\cup \\langle 11, +\\infty)\\)\n\nNa osi: zamalowane strzałki w lewo od \\(-3\\) (z kropką pełną) i w prawo od \\(11\\) (z kropką pełną).\n\n### b) Zbiór B\n\nRozwiązujemy nierówność:\n\\[x^2 > 0\\]\n\nKwadrat liczby jest zawsze nieujemny: \\(x^2 \\geq 0\\). Równa się zero tylko gdy \\(x = 0\\).\n\nZatem \\(x^2 > 0\\) dla **wszystkich \\(x \\neq 0\\)**.\n\n**Wynik:** \\(B = (-\\infty, 0) \\cup (0, +\\infty)\\), czyli cała oś rzeczywista z wyłączeniem punktu \\(0\\)\n\nNa osi: cała prosta zaznaczona, z pustą kropką (wyjęty punkt) w \\(0\\).\n\n### c) Zbiór C = B \\ A\n\nRóżnica zbiorów \\(B \\setminus A\\) to elementy, które **należą do B**, ale **nie należą do A**.\n\nWyznaczamy dopełnienie A (względem \\(\\mathbb{R}\\)):\n\\[A^C = (-3, 11)\\]\n\nZatem:\n\\[C = B \\setminus A = B \\cap A^C\\]\n\\[C = \\big[(-\\infty, 0) \\cup (0, +\\infty)\\big] \\cap (-3, 11)\\]\n\nPrzecinamy:\n- \\((-\\infty, 0) \\cap (-3, 11) = (-3, 0)\\)\n- \\((0, +\\infty) \\cap (-3, 11) = (0, 11)\\)\n\n**Wynik:** \\(C = (-3, 0) \\cup (0, 11)\\)\n\nNa osi: odcinek od \\(-3\\) do \\(11\\), z pustymi kropkami (otwarte końce) przy \\(-3\\), \\(0\\) i \\(11\\).\n\n## Sposób 2 - geometryczny (przez szkic na osi)\n\nZamiast liczyć algebraicznie, rysujemy kolejne zbiory i odczytujemy wynik graficznie.\n\n**Krok 1.** Narysuj A: \\(|x - 4| \\geq 7\\) to odległość od punktu \\(4\\) na osi co najmniej \\(7\\). Odliczamy \\(7\\) w lewo: \\(4 - 7 = -3\\), i \\(7\\) w prawo: \\(4 + 7 = 11\\). Zaznaczamy dwie strzałki na zewnątrz - A to \"ogon\" osi po obu stronach.\n\n**Krok 2.** Narysuj B: \\(x^2 > 0\\) - jedynym problemem jest \\(x = 0\\), bo \\(0^2 = 0 \\not> 0\\). Cała prosta poza zerem.\n\n**Krok 3.** Wyznacz \\(C = B \\setminus A\\): zamaluj co jest w B, a wykreśl część A.\n\n\\[\n\\underbrace{(-\\infty,-3\\rangle}_{\\in A} \\quad \\underbrace{(-3,0)}_{\\in B, \\notin A} \\quad \\underbrace{\\{0\\}}_{\\notin B} \\quad \\underbrace{(0,11)}_{\\in B, \\notin A} \\quad \\underbrace{\\langle 11, +\\infty)}_{\\in A}\n\\]\n\nZostaje: \\(C = (-3, 0) \\cup (0, 11)\\) ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 1 (Wartość bezwzględna, s. 4)** - nierówność z wartością bezwzględną:\n\\[|x - a| \\geq r \\iff x \\leq a - r \\text{ lub } x \\geq a + r\\]\nUżyliśmy tego w punkcie a) do wyznaczenia zbioru A.\n\nW tym zadaniu nie używamy innych wzorów z karty - punkt b) wymaga tylko znajomości własności \\(x^2\\), a punkt c) to operacja teoriomnogościowa.\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy \\(|x - 4| \\geq 7\\) pamiętaj, że środek przedziału to \\(4\\), nie \\(0\\)! Częsty błąd to liczenie \\(-7 \\leq x \\leq 7\\) - to byłoby dla \\(|x| \\leq 7\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Zbiór B to **nie jest** \\(\\mathbb{R}\\)! Warunek \\(x^2 > 0\\) wyklucza dokładnie jeden punkt - \\(x = 0\\). Łatwo ten punkt przeoczyć i nieprawidłowo narysować B jako całą prostą.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** W zbiorze C końce przedziału są **otwarte**: \\(-3\\) i \\(11\\) nie należą do C (bo \\(-3, 11 \\in A\\)), a \\(0\\) nie należy do C (bo \\(0 \\notin B\\)). Na osi zawsze zaznaczaj puste kółka przy punktach wyjętych!\n\n**Rozwiązanie (3 pkt)**\n\n### a) Zbiór \\(A = \\{x \\in R : |x-4| \\ge 7\\}\\)\nZapisuję nierówność \\(|x-4| \\ge 7\\) w postaci alternatywy:\n\\[x-4 \\le -7 \\quad \\text{lub} \\quad x-4 \\ge 7.\\]\nRozwiązuję każdą z nich:\n\\[x \\le -3 \\quad \\text{lub} \\quad x \\ge 11.\\]\nZatem \\(A = (-\\infty, -3\\rangle \\cup \\langle 11, +\\infty)\\) - końce \\(-3\\) i \\(11\\) **zamalowane** (zamknięte).\n\n### b) Zbiór \\(B = \\{x \\in R : x^{2} > 0\\}\\)\nNierówność \\(x^2 > 0\\) spełniona jest dla każdej liczby rzeczywistej różnej od zera:\n\\[B = R \\setminus \\{0\\} = (-\\infty, 0) \\cup (0, +\\infty).\\]\nNa osi liczbowej - cała oś z wykluczonym punktem \\(x = 0\\) (kółko puste).\n\n### c) Zbiór \\(C = B \\setminus A\\)\nTo zbiór tych \\(x \\in B\\), które **nie należą** do \\(A\\), czyli \\(-3 < x < 11\\) oraz \\(x \\ne 0\\):\n\\[C = (-3, 0) \\cup (0, 11).\\]\nWszystkie końce **otwarte** (puste kółka w \\(-3\\), \\(0\\), \\(11\\)).","image":"img/matematyka-2006-maj-matura-podstawowa/zad-1.webp","solution_image":"img/matematyka-2006-maj-matura-podstawowa/sol-1.svg","topics":"rownania_i_nierownosci","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2006 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2006-maj-matura-podstawowa/zad/2","paper_id":"matematyka-2006-maj-matura-podstawowa","number":"2","points":3,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2006,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 2. (3 pkt)\nW wycieczce szkolnej bierze udział 16 uczniów, wśród których tylko czworo zna okolicę.\nWychowawca chce wybrać w sposób losowy 3 osoby, które mają pójść do sklepu. Oblicz\nprawdopodobieństwo tego, że wśród wybranych trzech osób będą dokładnie dwie znające\nokolicę.\nNr czynności\n2.1.\n2.2.\n2.3.\nMaks. liczba pkt\n1\n1\n1\nWypełnia\negzaminator! Uzyskana liczba pkt\n\nArkusz I\n4\nW wycieczce szkolnej bierze udział 16 uczniów, wśród których tylko czworo zna okolicę. Wychowawca chce wybrać w sposób losowy 3 osoby, które mają pójść do sklepu. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że wśród wybranych trzech osób będą dokładnie dwie znające okolicę.","answer":null,"answer_text":"2. Rozwiązania zadań i odpowiedzi zamieść w miejscu na to\nprzeznaczonym.","solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(\\dfrac{1}{10}\\)\n\n## Sposób 1 - Bezpośrednie zliczanie układów typów\n\n**Oznaczenia:** P = reklama proszku do prania (3 reklamy), Z = reklama pasty do zębów (2 reklamy).\n\n**Przestrzeń zdarzeń** - wszystkie kolejności 5 reklam (są od siebie różne):\n\\[\\left|\\Omega\\right| = 5! = 120\\]\n\n**Zdarzenie sprzyjające** - żadne dwie reklamy tego samego rodzaju nie sąsiadują ze sobą, tzn. żadne dwie P nie są obok siebie ORAZ żadne dwie Z nie są obok siebie.\n\nSzukamy wszystkich ustawień typów (P lub Z) spełniających oba warunki. Mamy do rozlokowania 3 P i 2 Z w 5 miejscach. Sprawdzamy wszystkie \\(\\binom{5}{2} = 10\\) sposobów rozmieszczenia Z's:\n\n| Pozycje Z | Ciąg typów | Ocena |\n| (1,2) | Z Z P P P | ✗ Z sąsiadują |\n| (1,3) | Z P Z P P | ✗ P na poz. 4,5 sąsiadują |\n| (1,4) | Z P P Z P | ✗ P na poz. 2,3 sąsiadują |\n| (1,5) | Z P P P Z | ✗ P sąsiadują |\n| (2,3) | P Z Z P P | ✗ Z sąsiadują |\n| **(2,4)** | **P Z P Z P** | **✓ brak sąsiedztw!** |\n| (2,5) | P Z P P Z | ✗ P na poz. 3,4 sąsiadują |\n| (3,4) | P P Z Z P | ✗ P i Z sąsiadują |\n| (3,5) | P P Z P Z | ✗ P na poz. 1,2 sąsiadują |\n| (4,5) | P P P Z Z | ✗ wielokrotne sąsiedztwa |\n\n**Jedyny poprawny układ typów to P Z P Z P** - ściśle naprzemienny.\n\nTeraz liczymy konkretne reklamy w tym układzie:\n- 3 reklamy proszków na pozycjach 1, 3, 5: \\(3! = 6\\) sposobów\n- 2 reklamy past na pozycjach 2, 4: \\(2! = 2\\) sposoby\n\n\\[|A| = 1 \\times 3! \\times 2! = 1 \\times 6 \\times 2 = 12\\]\n\n\\[\\boxed{P(A) = \\frac{12}{120} = \\frac{1}{10}}\\]\n\n## Sposób 2 - Wstawianie past między proszkami\n\n**Krok 1.** Ustawiamy 3 reklamy proszków w pewnej kolejności - to tworzy szkielet:\n\n\\[3! = 6 \\text{ sposobów}\\]\n\nMiędzy nimi (i na krańcach) powstają 4 luki:\n\n\\[\\underbrace{\\_}_{(1)} \\; P \\; \\underbrace{\\_}_{(2)} \\; P \\; \\underbrace{\\_}_{(3)} \\; P \\; \\underbrace{\\_}_{(4)}\\]\n\n**Krok 2.** Chcemy umieścić 2 reklamy past tak, by żadne dwa P nie sąsiadowały i żadne dwa Z nie sąsiadowały.\n\n- Aby P nie sąsiadowały - **każda ze środkowych luk (2) i (3) musi dostać co najmniej jedno Z**.\n- Mamy tylko 2 Z-ki, więc każda ze środkowych luk dostaje dokładnie jedno Z - luki (1) i (4) muszą pozostać puste.\n- Wtedy automatycznie Z-ki nie sąsiadują ze sobą (oddziela je P).\n\nObie pasty trafiają do luk (2) i (3) - można je przypisać na \\(2! = 2\\) sposoby.\n\n\\[|A| = 3! \\times 2! = 6 \\times 2 = 12\\]\n\n\\[P(A) = \\frac{12}{5!} = \\frac{12}{120} = \\boxed{\\frac{1}{10}}\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 13 (Kombinatoryka, s. 28)** - permutacje i kombinacje:\n\n\\[n! = 1 \\cdot 2 \\cdot \\ldots \\cdot n, \\qquad \\binom{n}{k} = \\frac{n!}{k!(n-k)!}\\]\n\nUżyliśmy \\(5! = 120\\) jako liczby wszystkich ustawień (przestrzeń zdarzeń) oraz \\(\\binom{5}{2} = 10\\) w Sposobie 1 do wyliczenia możliwych rozmieszczień past.\n\n**Dział 14 (Rachunek prawdopodobieństwa, s. 29)** - prawdopodobieństwo klasyczne:\n\n\\[P(A) = \\frac{|A|}{|\\Omega|}\\]\n\nUżyliśmy wprost: \\(P(A) = \\frac{12}{120}\\).\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Częsty błąd to policzenie tylko warunku „żadne dwa proszki nie sąsiadują\" i zapomnienie o warunku dla past. Gdybyśmy wymagali tylko, żeby proszki nie sąsiadowały - wyników byłoby więcej i odpowiedź byłaby błędna.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Zadanie mówi, że reklamy są **różne** (różnych proszków, różnych past) - dlatego poprawna przestrzeń to \\(5! = 120\\), a nie \\(\\binom{5}{3}\\) (które liczyłoby nieuporządkowane rozmieszczenia typów).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Jedynym możliwym wzorcem typów jest P-Z-P-Z-P. Uczniowie często próbują liczyć dopełnienie (ile układów jest „złych\") - tu jednak łatwiej policzyć wprost, bo dobrych jest bardzo mało.\n\n**Poprawna odpowiedź:** \\(P(A) = \\dfrac{1}{10}\\).\n\n### Sposób 1 - Model klasyczny (wszystkie permutacje 5 reklam)\n\n**Moc przestrzeni zdarzeń elementarnych \\(\\Omega\\):**\nLosujemy dowolną kolejność 5 różnych reklam:\n\\[|\\Omega| = 5! = 120.\\]\n\n**Moc zdarzenia \\(A\\) - reklamy tego samego rodzaju nie sąsiadują:**\nAby żadne dwie reklamy tego samego rodzaju nie były obok siebie, proszki (P) i pasty (Z) muszą się przeplatać. Mamy 3 proszki i 2 pasty (3 + 2 = 5). Jedyny możliwy schemat (naprzemienny), który unika sąsiednich proszków i sąsiednich past:\n\\[P\\,Z\\,P\\,Z\\,P.\\]\n\n(Schemat \\(ZPZPP\\) ma dwa P obok siebie na końcu, więc odrzucamy; podobnie każda inna sekwencja z 3 P i 2 Z w 5 miejscach zawierałaby co najmniej dwa P sąsiadujące, ponieważ aby rozdzielić 3 P potrzeba co najmniej 2 „przerw\", a wypełniamy je wszystkimi 2 Z - stąd dokładnie jeden układ typu P-Z-P-Z-P).\n\nW tym układzie:\n- 3 proszki można ustawić na 3 pozycjach P na \\(3! = 6\\) sposobów,\n- 2 pasty na 2 pozycjach Z na \\(2! = 2\\) sposoby.\n\n\\[|A| = 3!\\cdot 2! = 6\\cdot 2 = 12.\\]\n\n**Prawdopodobieństwo:**\n\\[P(A) = \\dfrac{|A|}{|\\Omega|} = \\dfrac{12}{120} = \\dfrac{1}{10}.\\]\n\n### Sposób 2 - Drzewo prawdopodobieństwa (wybieramy kolejno reklamy typu)\nTraktujemy losowanie jako wybór pozycji dla proszków/past. Liczymy prawdopodobieństwo, że uzyskamy schemat \\(PZPZP\\):\n\\[P(PZPZP) = \\dfrac{3}{5}\\cdot\\dfrac{2}{4}\\cdot\\dfrac{2}{3}\\cdot\\dfrac{1}{2}\\cdot\\dfrac{1}{1} = \\dfrac{3\\cdot 2\\cdot 2\\cdot 1\\cdot 1}{5\\cdot 4\\cdot 3\\cdot 2\\cdot 1} = \\dfrac{12}{120} = \\dfrac{1}{10}.\\]\n\nJest to jedyny możliwy schemat prowadzący do sukcesu, zatem \\(P(A) = \\dfrac{1}{10}\\).\n\n### Sposób 3 - Wzór Newtona (pozycje dla pasty)\nWybieramy 2 pozycje dla past spośród 5: \\(\\binom{5}{2} = 10\\) możliwości. Wszystkie rozkłady proszków/past są równoprawdopodobne (bo reklamy w obrębie rodzaju są różne - ale model pozycji rodzaju jest symetryczny). Aby 3 proszki nie sąsiadowały, pozycje past muszą rozdzielić proszki - jest dokładnie 1 taki układ pozycji past: {2, 4}. Stąd prawdopodobieństwo schematu \\(PZPZP\\):\n\\[P = \\dfrac{1}{10}.\\]\n\n### Weryfikacja\nWymieniamy wszystkie 10 wyborów pozycji past \\(\\{i, j\\}\\): \\(\\{1,2\\}, \\{1,3\\}, \\{1,4\\}, \\{1,5\\}, \\{2,3\\}, \\{2,4\\}, \\{2,5\\}, \\{3,4\\}, \\{3,5\\}, \\{4,5\\}\\). Tylko \\(\\{2,4\\}\\) rozdziela 3 proszki - potwierdza \\(P(A) = \\dfrac{1}{10}\\).","image":"img/matematyka-2006-maj-matura-podstawowa/zad-2.webp","solution_image":"img/matematyka-2006-maj-matura-podstawowa/sol-2.svg","topics":"prawdopodobienstwo","page_from":3,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2006 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2006-maj-matura-podstawowa/zad/3","paper_id":"matematyka-2006-maj-matura-podstawowa","number":"3","points":5,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2006,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 3. (5 pkt)\nKostka masła produkowanego przez pewien zakład mleczarski ma nominalną masę\n20 dag. W czasie kontroli zakładu zważono 150 losowo wybranych kostek masła. Wyniki\nbadań przedstawiono w tabeli.\nMasa kostki masła ( w dag )\n16\n18\n19\n20\n21\n22\nLiczba kostek masła\n1\n15\n24\n68\n26\n16\na) Na podstawie danych przedstawionych w tabeli oblicz średnią arytmetyczną oraz\nodchylenie standardowe masy kostki masła.\nb) Kontrola wypada pozytywnie, jeśli średnia masa kostki masła jest równa masie\nnominalnej i odchylenie standardowe nie przekracza 1 dag. Czy kontrola zakładu\nwypadła pozytywnie? Odpowiedź uzasadnij.\nNr czynności\n3.1.\n3.2.\n3.3.\nMaks. liczba pkt\n2\n2\n1\nWypełnia\negzaminator! Uzyskana liczba pkt\n\nArkusz I\n5\nKostka masła produkowanego przez pewien zakład mleczarski ma nominalną masę 20 dag. W czasie kontroli zakładu zważono 150 losowo wybranych kostek masła. Wyniki badań przedstawiono w tabeli. a) Na podstawie danych przedstawionych w tabeli oblicz średnią arytmetyczną oraz odchylenie standardowe masy kostki masła. b) Kontrola wypada pozytywnie, jeśli średnia masa kostki masła jest równa masie nominalnej i odchylenie standardowe nie przekracza 1 dag. Czy kontrola zakładu wypadła pozytywnie? Odpowiedź uzasadnij.","answer":"K","answer_text":"3. W\nrozwiązaniach\nzadań\nprzedstaw\ntok\nrozumowania\nprowadzący do ostatecznego wyniku.","solution":"## Poprawna odpowiedź:\n\n**a)** Średnia arytmetyczna: \\(\\bar{x} = 20\\) dag. Odchylenie standardowe: \\(\\sigma = \\sqrt{\\frac{19}{15}} \\approx 1{,}12\\) dag.\n\n**b)** Kontrola **nie wypadła pozytywnie** - odchylenie standardowe przekracza 1 dag.\n\n## Sposób 1 - Bezpośrednie obliczenia ze wzorów ważonych\n\nMamy dane w postaci rozkładu:\n\n| masa \\(a_i\\) (dag) | liczba kostek \\(w_i\\) |\n| 16 | 1 |\n| 18 | 15 |\n| 19 | 24 |\n| 20 | 68 |\n| 21 | 26 |\n| 22 | 16 |\n\nSuma wag: \\(1 + 15 + 24 + 68 + 26 + 16 = 150\\). ✓\n\n**Krok 1 - Średnia ważona:**\n\nZamiast sumować wszystkie 150 wartości osobno, korzystamy ze wzoru na średnią ważoną:\n\n\\[\\bar{x} = \\frac{w_1 a_1 + w_2 a_2 + \\ldots + w_n a_n}{w_1 + w_2 + \\ldots + w_n}\\]\n\nLicznik:\n\\[16 \\cdot 1 + 18 \\cdot 15 + 19 \\cdot 24 + 20 \\cdot 68 + 21 \\cdot 26 + 22 \\cdot 16\\]\n\\[= 16 + 270 + 456 + 1360 + 546 + 352 = 3000\\]\n\nZatem:\n\\[\\bar{x} = \\frac{3000}{150} = \\mathbf{20 \\text{ dag}}\\]\n\nŚrednia równa się masie nominalnej. ✓\n\n**Krok 2 - Wariancja ważona:**\n\nWariancja to średnia ważona kwadratów odchyleń od średniej:\n\n\\[\\sigma^2 = \\frac{\\sum w_i (a_i - \\bar{x})^2}{\\sum w_i}\\]\n\nObliczam \\((a_i - 20)^2\\) i mnożę przez wagę:\n\n| \\(a_i\\) | \\(a_i - 20\\) | \\((a_i-20)^2\\) | \\(w_i\\) | \\(w_i \\cdot (a_i-20)^2\\) |\n| 16 | \\(-4\\) | 16 | 1 | 16 |\n| 18 | \\(-2\\) | 4 | 15 | 60 |\n| 19 | \\(-1\\) | 1 | 24 | 24 |\n| 20 | \\(0\\) | 0 | 68 | 0 |\n| 21 | \\(1\\) | 1 | 26 | 26 |\n| 22 | \\(2\\) | 4 | 16 | 64 |\n\nSuma: \\(16 + 60 + 24 + 0 + 26 + 64 = 190\\)\n\n\\[\\sigma^2 = \\frac{190}{150} = \\frac{19}{15}\\]\n\n**Krok 3 - Odchylenie standardowe:**\n\n\\[\\sigma = \\sqrt{\\frac{19}{15}} = \\frac{\\sqrt{19}}{\\sqrt{15}} \\approx \\frac{4{,}359}{3{,}873} \\approx \\mathbf{1{,}12 \\text{ dag}}\\]\n\n**Krok 4 - Ocena kontroli:**\n\n- Średnia: \\(\\bar{x} = 20\\) dag = masa nominalna ✓\n- Odchylenie: \\(\\sigma \\approx 1{,}12\\) dag \\(> 1\\) dag ✗\n\n**Kontrola nie wypadła pozytywnie**, bo odchylenie standardowe przekracza dopuszczalną wartość 1 dag.\n\n## Sposób 2 - Wariancja przez \\(\\overline{x^2} - \\bar{x}^2\\)\n\nIstnieje wygodniejszy wzór obliczeniowy na wariancję, który unika ręcznego liczenia odchyleń:\n\n\\[\\sigma^2 = \\overline{x^2} - \\bar{x}^2\\]\n\nczyli: *średnia kwadratów minus kwadrat średniej*.\n\n**Obliczam \\(\\overline{x^2}\\)** - średnią ważoną z \\(a_i^2\\):\n\n| \\(a_i\\) | \\(a_i^2\\) | \\(w_i\\) | \\(w_i \\cdot a_i^2\\) |\n| 16 | 256 | 1 | 256 |\n| 18 | 324 | 15 | 4 860 |\n| 19 | 361 | 24 | 8 664 |\n| 20 | 400 | 68 | 27 200 |\n| 21 | 441 | 26 | 11 466 |\n| 22 | 484 | 16 | 7 744 |\n\nSuma: \\(256 + 4860 + 8664 + 27200 + 11466 + 7744 = 60\\,190\\)\n\n\\[\\overline{x^2} = \\frac{60\\,190}{150} = \\frac{6019}{15}\\]\n\n**Wariancja:**\n\n\\[\\sigma^2 = \\frac{6019}{15} - 20^2 = \\frac{6019}{15} - \\frac{6000}{15} = \\frac{19}{15}\\]\n\n**Odchylenie standardowe:**\n\n\\[\\sigma = \\sqrt{\\frac{19}{15}} \\approx 1{,}12 \\text{ dag}\\]\n\nWynik identyczny - **weryfikacja potwierdza obliczenia**.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 15 (Parametry danych statystycznych, s. 31-32)**\n\nŚrednia ważona:\n\\[\\bar{s} = \\frac{w_1 a_1 + w_2 a_2 + \\ldots + w_n a_n}{w_1 + w_2 + \\ldots + w_n}\\]\nUżyta w Kroku 1 do obliczenia średniej masy (wagi = liczby kostek).\n\nWariancja i odchylenie standardowe:\n\\[\\sigma^2 = \\frac{(a_1 - \\bar{a})^2 + \\ldots + (a_n - \\bar{a})^2}{n}, \\qquad \\sigma = \\sqrt{\\sigma^2}\\]\nKarta podaje wzór dla danych jednostkowych - w zadaniu stosujemy wersję **ważoną** (z \\(w_i\\)), co jest naturalnym uogólnieniem tego samego wzoru.\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Najczęstszy błąd to pominięcie wag i obliczanie średniej z samych wartości \\(\\frac{16+18+19+20+21+22}{6} = 19{,}33\\). To błąd - musimy uwzględnić, ile razy każda masa wystąpiła!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy obliczaniu wariancji łatwo zapomnieć, że odchylenia też trzeba ważyć - mnożymy \\((a_i - \\bar{x})^2\\) przez liczbę kostek \\(w_i\\), a nie liczymy ich jako pojedyncze obserwacje.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wynik \\(\\sigma \\approx 1{,}12\\) dag jest *nieznacznie* większy od 1 dag - to subtelne, ale wystarczy do negatywnej oceny. Nie zaokrąglaj zbyt wcześnie! Warto pozostawić \\(\\sigma = \\sqrt{\\frac{19}{15}}\\) i porównać: \\(\\left(\\sqrt{\\frac{19}{15}}\\right)^2 = \\frac{19}{15} > 1 = 1^2\\), więc \\(\\sigma > 1\\) - bez kalkulatora.\n\n**Rozwiązanie (5 pkt)**\n\n### a) Średnia arytmetyczna\n\\[\\bar{x} = \\dfrac{16\\cdot 1 + 18\\cdot 15 + 19\\cdot 24 + 20\\cdot 68 + 21\\cdot 26 + 22\\cdot 16}{150}\\]\n\\[= \\dfrac{16 + 270 + 456 + 1360 + 546 + 352}{150} = \\dfrac{3000}{150} = 20 \\text{ dag}.\\]\n\n### Wariancja\nOdchylenia od średniej: \\(16-20=-4\\), \\(18-20=-2\\), \\(19-20=-1\\), \\(20-20=0\\), \\(21-20=1\\), \\(22-20=2\\).\n\\[\\sigma^2 = \\dfrac{1\\cdot(-4)^2 + 15\\cdot(-2)^2 + 24\\cdot(-1)^2 + 68\\cdot 0^2 + 26\\cdot 1^2 + 16\\cdot 2^2}{150}\\]\n\\[= \\dfrac{16 + 60 + 24 + 0 + 26 + 64}{150} = \\dfrac{190}{150} = \\dfrac{19}{15}.\\]\n\n### Odchylenie standardowe\n\\[\\sigma = \\sqrt{\\dfrac{19}{15}} \\approx 1{,}125 \\text{ dag}.\\]\n\n### b) Wniosek\nŚrednia \\(\\bar{x} = 20\\) dag - **zgodna** z nominalną. Jednak \\(\\sigma \\approx 1{,}125 > 1\\) dag.\n\n**Odp.:** Kontrola zakładu **nie wypadła pozytywnie**, ponieważ odchylenie standardowe przekroczyło \\(1\\) dag.","image":"img/matematyka-2006-maj-matura-podstawowa/zad-3.webp","solution_image":"img/matematyka-2006-maj-matura-podstawowa/sol-3.svg","topics":"prawdopodobienstwo","page_from":4,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2006 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2006-maj-matura-podstawowa/zad/4","paper_id":"matematyka-2006-maj-matura-podstawowa","number":"4","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2006,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 4. (4 pkt)\nDany jest rosnący ciąg geometryczny, w którym\n1\n12\na =\n,\n3\n27\na =\na) Wyznacz iloraz tego ciągu.\nb) Zapisz wzór, na podstawie którego można obliczyć wyraz an, dla każdej liczby naturalnej\n1\nn ≥.\nc) Oblicz wyraz\n6a .\nNr czynności\n4.1.\n4.2.\n4.3.\nMaks. liczba pkt\n2\n1\n1\nWypełnia\negzaminator! Uzyskana liczba pkt\n\nArkusz I\n6\nDany jest rosnący ciąg geometryczny, w którym a_1=12, a_3=27. a) Wyznacz iloraz tego ciągu. b) Zapisz wzór, na podstawie którego można obliczyć wyraz a_n, dla każdej liczby naturalnej n >= 1. c) Oblicz wyraz a_6.","answer":null,"answer_text":"4. Pisz czytelnie. Używaj długopisu/pióra tylko z czarnym\ntuszem/atramentem.","solution":"## Poprawna odpowiedź:\n\n**a)** Średnia płaca: \\(\\bar{x} = 438\\) euro\n\n**b)** Wariancja: \\(\\sigma^2 = 2436\\), odchylenie standardowe: \\(\\sigma \\approx 49{,}4\\) euro\n\n## Sposób 1 - wzory na średnią ważoną i wariancję ważoną\n\n**Dane z diagramu słupkowego:**\n\n| Płaca \\(a_i\\) | Liczba pracowników \\(w_i\\) |\n| \\(400\\) euro | \\(12\\) |\n| \\(480\\) euro | \\(6\\) |\n| \\(540\\) euro | \\(2\\) |\n\nŁączna liczba pracowników: \\(n = 12 + 6 + 2 = 20\\)\n\n### a) Średnia płaca\n\nKorzystamy ze wzoru na **średnią ważoną** (każda płaca \"waży\" tyle, ile pracowników ją pobiera):\n\n\\[\\bar{x} = \\frac{w_1 a_1 + w_2 a_2 + w_3 a_3}{w_1 + w_2 + w_3}\\]\n\n\\[\\bar{x} = \\frac{12 \\cdot 400 + 6 \\cdot 480 + 2 \\cdot 540}{20} = \\frac{4800 + 2880 + 1080}{20} = \\frac{8760}{20}\\]\n\n\\[\\boxed{\\bar{x} = 438 \\text{ euro}}\\]\n\n### b) Wariancja i odchylenie standardowe\n\n**Krok 1:** Obliczamy odchylenia każdej płacy od średniej:\n\n\\[a_1 - \\bar{x} = 400 - 438 = -38\\]\n\\[a_2 - \\bar{x} = 480 - 438 = 42\\]\n\\[a_3 - \\bar{x} = 540 - 438 = 102\\]\n\n**Krok 2:** Podnosimy do kwadratu (odchylenie zawsze nieujemne):\n\n\\[(400 - 438)^2 = (-38)^2 = 1444\\]\n\\[(480 - 438)^2 = 42^2 = 1764\\]\n\\[(540 - 438)^2 = 102^2 = 10404\\]\n\n**Krok 3:** Ważymy każdy kwadrat przez liczbę pracowników i sumujemy:\n\n\\[12 \\cdot 1444 + 6 \\cdot 1764 + 2 \\cdot 10404 = 17328 + 10584 + 20808 = 48720\\]\n\n**Krok 4:** Dzielimy przez łączną liczbę pracowników:\n\n\\[\\sigma^2 = \\frac{48720}{20} = \\boxed{2436}\\]\n\n**Krok 5:** Odchylenie standardowe to pierwiastek z wariancji:\n\n\\[\\sigma = \\sqrt{2436} \\approx \\boxed{49{,}4 \\text{ euro}}\\]\n\n*(sprawdzenie: \\(49{,}4^2 = 2440{,}36\\), \\(49{,}35^2 \\approx 2435{,}4\\) - wartość \\(49{,}4\\) jest poprawna z dokładnością do \\(0{,}1\\))*\n\n## Sposób 2 - lista pełna (rozwinięcie do 20 obserwacji) + weryfikacja\n\nZamiast wzoru ważonego, wypisujemy dosłownie wszystkich 20 pracowników i stosujemy podstawowy wzór na wariancję.\n\n**Średnia:** lista \\(20\\) wartości to dwanaście \\(400\\), sześć \\(480\\), dwa \\(540\\):\n\n\\[\\bar{x} = \\frac{12 \\cdot 400 + 6 \\cdot 480 + 2 \\cdot 540}{20} = 438 \\text{ euro} \\quad \\checkmark\\]\n\n**Wariancja** (wzór podstawowy):\n\n\\[\\sigma^2 = \\frac{\\sum_{i=1}^{20}(a_i - \\bar{x})^2}{20}\\]\n\nW liczniku mamy:\n- \\(12\\) składników \\((400 - 438)^2 = 1444\\): razem \\(17328\\)\n- \\(6\\) składników \\((480 - 438)^2 = 1764\\): razem \\(10584\\)\n- \\(2\\) składniki \\((540 - 438)^2 = 10404\\): razem \\(20808\\)\n\nSuma: \\(17328 + 10584 + 20808 = 48720\\)\n\n\\[\\sigma^2 = \\frac{48720}{20} = 2436, \\quad \\sigma = \\sqrt{2436} \\approx 49{,}4 \\text{ euro} \\quad \\checkmark\\]\n\nOba podejścia dają identyczny wynik - wzór ważony jest po prostu skróconym zapisem tego samego obliczenia.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 15 (Parametry danych statystycznych, s. 31-32)**\n\nŚrednia ważona:\n\\[\\bar{s} = \\frac{w_1 a_1 + w_2 a_2 + \\ldots + w_n a_n}{w_1 + w_2 + \\ldots + w_n}\\]\nUżyliśmy w części a) - każda płaca miała wagę równą liczbie pracowników w grupie.\n\nWariancja:\n\\[\\sigma^2 = \\frac{(a_1 - \\bar{a})^2 + (a_2 - \\bar{a})^2 + \\ldots + (a_n - \\bar{a})^2}{n}\\]\nUżyliśmy w części b) - w wersji ważonej (Sposób 1) lub po rozwinięciu do 20 obserwacji (Sposób 2).\n\nOdchylenie standardowe:\n\\[\\sigma = \\sqrt{\\sigma^2}\\]\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** W wariancji dzielimy przez **całkowitą liczbę pracowników** (\\(n = 20\\)), a nie przez liczbę grup (\\(3\\)). To częsty błąd - pojawia się, gdy ktoś traktuje każdą grupę jako jedną obserwację.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Odchylenia od średniej mogą być ujemne (np. \\(400 - 438 = -38\\)), ale po podniesieniu do kwadratu zawsze wychodzą nieujemne. Nigdy nie bierz wartości bezwzględnej przed podniesieniem do kwadratu - kwadrat to robi automatycznie.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Do obliczenia \\(\\sigma^2 = 2436\\) nie używamy zaokrągleń. Dopiero na końcu, przy \\(\\sigma = \\sqrt{2436}\\), zaokrąglamy do \\(0{,}1\\). Zaokrąglenie średniej przed obliczeniem wariancji dałoby błędny wynik.\n\n**Poprawna odpowiedź:** a) średnia \\(\\bar{x} = 438\\) euro; b) wariancja \\(\\sigma^{2} = 2436\\), odchylenie standardowe \\(\\sigma \\approx 49{,}4\\) euro.\n\n### Sposób 1 - Definicje średniej ważonej i wariancji\n\n**Dane:** \\(n_1 = 12\\) przy \\(x_1 = 400\\); \\(n_2 = 6\\) przy \\(x_2 = 480\\); \\(n_3 = 2\\) przy \\(x_3 = 540\\).\n\n**Liczba pracowników:** \\(N = 12 + 6 + 2 = 20\\).\n\n**a) Średnia ważona:**\n\\[\\bar{x} = \\dfrac{n_1 x_1 + n_2 x_2 + n_3 x_3}{N} = \\dfrac{12\\cdot 400 + 6\\cdot 480 + 2\\cdot 540}{20}.\\]\n\\[\\bar{x} = \\dfrac{4800 + 2880 + 1080}{20} = \\dfrac{8760}{20} = 438 \\text{ euro}.\\]\n\n**b) Wariancja (średnia kwadratów odchyleń):**\nOdchylenia od średniej:\n\\[x_1 - \\bar{x} = 400 - 438 = -38,\\]\n\\[x_2 - \\bar{x} = 480 - 438 = 42,\\]\n\\[x_3 - \\bar{x} = 540 - 438 = 102.\\]\n\nKwadraty odchyleń:\n\\[(-38)^{2} = 1444, \\quad 42^{2} = 1764, \\quad 102^{2} = 10404.\\]\n\nWariancja ważona:\n\\[\\sigma^{2} = \\dfrac{n_1(x_1-\\bar{x})^{2} + n_2(x_2-\\bar{x})^{2} + n_3(x_3-\\bar{x})^{2}}{N}.\\]\n\\[\\sigma^{2} = \\dfrac{12\\cdot 1444 + 6\\cdot 1764 + 2\\cdot 10404}{20}.\\]\n\\[\\sigma^{2} = \\dfrac{17328 + 10584 + 20808}{20} = \\dfrac{48720}{20} = 2436.\\]\n\n**Odchylenie standardowe:**\n\\[\\sigma = \\sqrt{2436} \\approx 49{,}3559\\ldots \\approx 49{,}4 \\text{ (euro)}.\\]\n\n### Sposób 2 - Wzór skrócony na wariancję\n\\[\\sigma^{2} = \\overline{x^{2}} - \\bar{x}^{2},\\]\ngdzie \\(\\overline{x^{2}} = \\dfrac{\\sum n_i x_i^{2}}{N}\\).\n\nObliczamy:\n\\[\\sum n_i x_i^{2} = 12\\cdot 400^{2} + 6\\cdot 480^{2} + 2\\cdot 540^{2}\\]\n\\[= 12\\cdot 160000 + 6\\cdot 230400 + 2\\cdot 291600\\]\n\\[= 1920000 + 1382400 + 583200 = 3885600.\\]\n\n\\[\\overline{x^{2}} = \\dfrac{3885600}{20} = 194280.\\]\n\\[\\bar{x}^{2} = 438^{2} = 191844.\\]\n\\[\\sigma^{2} = 194280 - 191844 = 2436.\\]\n\\[\\sigma = \\sqrt{2436} \\approx 49{,}4.\\]\n\n### Weryfikacja pierwiastka\n\\(49^{2} = 2401\\); \\(50^{2} = 2500\\); \\(49{,}4^{2} = 2440{,}36\\); \\(49{,}3^{2} = 2430{,}49\\). Z zaokrągleniem do 0,1 otrzymujemy \\(\\sigma \\approx 49{,}4\\) ✓.\n\n### Interpretacja\nŚrednia 438 euro, odchylenie 49,4 euro - większość pracowników zarabia w przedziale \\([388{,}6;\\ 487{,}4]\\) euro, czyli w ramach jednego odchylenia standardowego od średniej.","image":"img/matematyka-2006-maj-matura-podstawowa/zad-4.webp","solution_image":"img/matematyka-2006-maj-matura-podstawowa/sol-4.svg","topics":"ciagi","page_from":5,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2006 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2006-maj-matura-podstawowa/zad/5","paper_id":"matematyka-2006-maj-matura-podstawowa","number":"5","points":3,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2006,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 5. (3 pkt)\nWiedząc, że\no\no\n360\n0\n≤\nα\n≤\n,\n0\nsin\n<\nα\noraz\nα\nα\nα\n2\n2\ncos\n3\nsin\n3\ntg\n4\na) oblicz tgα ,\nb) zaznacz w układzie współrzędnych kąt α i podaj współrzędne dowolnego punktu,\nróżnego od początku układu współrzędnych, który leży na końcowym ramieniu tego\nkąta.\n1\nx\ny\n0\n1\nNr czynności\n5.1.\n5.2.\n5.3.\nMaks. liczba pkt\n1\n1\n1\nWypełnia\negzaminator! Uzyskana liczba pkt\n\nArkusz I\n7\nWiedząc, że 0<= alfa <=360, sin a<0 oraz 4 tga =3 sin^2 a+3cos^2 a a) oblicz tg a b) zaznacz w układzie współrzędnych kąt a i podaj współrzędne dowolnego punktu, różnego od początku układu współrzędnych, który leży na końcowym ramieniu tego kąta.","answer":null,"answer_text":"5. Nie używaj korektora, a błędne zapisy przekreśl.","solution":"## Poprawna odpowiedź:\n\n**a)** \\(\\operatorname{tg}\\alpha = \\dfrac{3}{4}\\)\n\n**b)** Kąt \\(\\alpha\\) leży w **III ćwiartce** (między \\(180°\\) a \\(270°\\)). Przykładowy punkt na końcowym ramieniu: \\((-4, -3)\\).\n\n## Sposób 1 - jedynka trygonometryczna + analiza ćwiartek\n\n**Krok 1 - Uprość równanie**\n\nZauważamy, że w prawej stronie równania mamy \\(\\sin^2\\alpha + \\cos^2\\alpha\\) - to jedynka trygonometryczna!\n\n\\[4\\operatorname{tg}\\alpha = 3\\underbrace{(\\sin^2\\alpha + \\cos^2\\alpha)}_{= 1} = 3 \\cdot 1 = 3\\]\n\nZatem:\n\\[\\boxed{\\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{3}{4}}\\]\n\n**Krok 2 - Określ ćwiartkę**\n\nMamy dwa warunki:\n- \\(\\sin\\alpha < 0\\) - sinus ujemny → kąt w III lub IV ćwiartce\n- \\(\\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{3}{4} > 0\\) - tangens dodatni → kąt w I lub **III** ćwiartce\n\nJedyna ćwiartka spełniająca oba warunki: **III ćwiartka** (\\(180° < \\alpha < 270°\\))\n\nW III ćwiartce: \\(\\sin\\alpha < 0\\) i \\(\\cos\\alpha < 0\\), więc \\(\\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{\\sin\\alpha}{\\cos\\alpha} = \\frac{(-)(-)}{(-)} > 0\\) ✓\n\n**Krok 3 - Wyznacz współrzędne punktu**\n\nSkoro \\(\\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{\\sin\\alpha}{\\cos\\alpha} = \\frac{3}{4}\\), możemy przyjąć:\n\n\\[\\sin\\alpha = -3k, \\quad \\cos\\alpha = -4k \\quad \\text{(oba ujemne w III ćwiartce)}\\]\n\nZ jedynki trygonometrycznej:\n\\[(-3k)^2 + (-4k)^2 = 1 \\implies 9k^2 + 16k^2 = 1 \\implies 25k^2 = 1 \\implies k = \\frac{1}{5}\\]\n\nZatem:\n\\[\\sin\\alpha = -\\frac{3}{5}, \\quad \\cos\\alpha = -\\frac{4}{5}\\]\n\nPunkt na końcowym ramieniu musi leżeć w kierunku \\((\\cos\\alpha, \\sin\\alpha)\\), czyli w kierunku \\((-4, -3)\\).\n\n**Punkt:** \\(\\boldsymbol{(-4,\\, -3)}\\)\n\n(Możemy też podać \\(\\left(-\\tfrac{4}{5},\\,-\\tfrac{3}{5}\\right)\\) lub dowolny punkt postaci \\((-4t,\\,-3t)\\) dla \\(t > 0\\).)\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja przez podstawienie\n\nSprawdzamy, czy \\(\\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{3}{4}\\) z punktem \\((-4,-3)\\) spełnia oryginalny warunek.\n\nDla punktu \\((-4,-3)\\) na okręgu o promieniu \\(r = \\sqrt{(-4)^2 + (-3)^2} = \\sqrt{16+9} = 5\\):\n\n\\[\\sin\\alpha = \\frac{-3}{5}, \\quad \\cos\\alpha = \\frac{-4}{5}, \\quad \\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{-3/5}{-4/5} = \\frac{3}{4}\\]\n\nSprawdzamy warunek zadania:\n\n\\[\\text{Lewa strona: } 4 \\cdot \\frac{3}{4} = 3\\]\n\n\\[\\text{Prawa strona: } 3\\sin^2\\alpha + 3\\cos^2\\alpha = 3\\left(\\frac{9}{25} + \\frac{16}{25}\\right) = 3 \\cdot \\frac{25}{25} = 3\\]\n\n\\[3 = 3 \\checkmark\\]\n\nWarunek \\(\\sin\\alpha = -\\frac{3}{5} < 0\\) ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 9 (Trygonometria, s. 11-12)** - jedynka trygonometryczna:\n\\[\\sin^2\\alpha + \\cos^2\\alpha = 1\\]\nKluczowy wzór: bez niego nie da się uprościć równania. To najważniejszy krok w zadaniu.\n\n**Dział 9 (Trygonometria, s. 11)** - definicja tangensa:\n\\[\\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{\\sin\\alpha}{\\cos\\alpha}\\]\nUżyte przy analizie znaku \\(\\operatorname{tg}\\alpha\\) w poszczególnych ćwiartkach.\n\n**Dział 9 (Trygonometria, s. 11)** - definicja przez punkt \\(M(x,y)\\):\n\\[\\sin\\alpha = \\frac{y}{r}, \\quad \\cos\\alpha = \\frac{x}{r}, \\quad r = \\sqrt{x^2 + y^2}\\]\nUżyte do wyznaczenia współrzędnych punktu na końcowym ramieniu.\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Najczęstszy błąd to **niezauważenie jedynki trygonometrycznej** po prawej stronie. Uczniowie zaczynają od podstawień przez definicję i wpadają w żmudne obliczenia - a wystarczy jedna obserwacja!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Mając \\(\\operatorname{tg}\\alpha > 0\\) i \\(\\sin\\alpha < 0\\), niektórzy błędnie wybierają IV ćwiartkę. Pamiętaj: w IV ćwiartce \\(\\operatorname{tg}\\alpha < 0\\) (sinus ujemny, cosinus dodatni). Jedyną opcją jest **III ćwiartka**.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Pytanie b) prosi o dowolny punkt - nie musisz normalizować do promienia \\(r=1\\). Punkt \\((-4,-3)\\) jest prostszy do podania niż \\(\\left(-\\frac{4}{5}, -\\frac{3}{5}\\right)\\) i jest w pełni poprawny.\n\n**Rozwiązanie (3 pkt)**\n\n### a) Obliczam \\(\\operatorname{tg}\\alpha\\)\nZ podanego równania:\n\\[4\\operatorname{tg}\\alpha = 3\\sin^{2}\\alpha + 3\\cos^{2}\\alpha = 3(\\sin^{2}\\alpha + \\cos^{2}\\alpha).\\]\nKorzystam z jedynki trygonometrycznej \\(\\sin^{2}\\alpha + \\cos^{2}\\alpha = 1\\):\n\\[4\\operatorname{tg}\\alpha = 3 \\cdot 1 = 3 \\Rightarrow \\operatorname{tg}\\alpha = \\dfrac{3}{4}.\\]\n\n### b) Położenie kąta \\(\\alpha\\)\nZ warunku \\(\\sin\\alpha < 0\\) i \\(\\operatorname{tg}\\alpha = \\dfrac{3}{4} > 0\\) wynika, że także \\(\\cos\\alpha < 0\\) (bo \\(\\operatorname{tg}\\alpha = \\tfrac{\\sin}{\\cos}\\) i iloraz dwóch liczb ujemnych jest dodatni).\n\nZatem kąt \\(\\alpha\\) leży w **III ćwiartce** układu współrzędnych.\n\n### Punkt na końcowym ramieniu\nSkoro \\(\\operatorname{tg}\\alpha = \\dfrac{y}{x} = \\dfrac{3}{4}\\) oraz \\(x < 0\\), \\(y < 0\\), możemy wziąć np.\n\\[P = (-4, -3).\\]\nSprawdzenie: \\(\\dfrac{-3}{-4} = \\dfrac{3}{4}\\) ✓ oraz \\(y = -3 < 0\\) ✓.\n\n**Odp.:** \\(\\operatorname{tg}\\alpha = \\dfrac{3}{4}\\); przykładowy punkt na końcowym ramieniu to \\((-4, -3)\\).","image":"img/matematyka-2006-maj-matura-podstawowa/zad-5.webp","solution_image":"img/matematyka-2006-maj-matura-podstawowa/sol-5.svg","topics":"trygonometria","page_from":6,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2006 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2006-maj-matura-podstawowa/zad/6","paper_id":"matematyka-2006-maj-matura-podstawowa","number":"6","points":7,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2006,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 6. (7 pkt)\nPaństwo Nowakowie przeznaczyli 26000 zł na zakup działki. Do jednej z ofert dołączono\nrysunek dwóch przylegających do siebie działek w skali 1:1000. Jeden metr kwadratowy\ngruntu w tej ofercie kosztuje 35 zł. Oblicz, czy przeznaczona przez państwa Nowaków kwota\nwystarczy na zakup działki P2.\nA\nB\nC\nD\nE\nP1\n2\nP\nAE\n5 cm,\nEC\n13 cm,\nBC\n6,5 cm.\nNr czynności\n6.1.\n6.2.\n6.3.\n6.4.\n6.5.\n6.6.\n6.7.\nMaks. liczba pkt\n1\n1\n1\n1\n1\n1\n1\nWypełnia\negzaminator! Uzyskana liczba pkt\n\nArkusz I\n8\nPaństwo Nowakowie przeznaczyli 26000 zł na zakup działki. Do jednej z ofert dołączono rysunek dwóch przylegających do siebie działek w skali 1:1000. Jeden metr kwadratowy gruntu w tej ofercie kosztuje 35 zł. Oblicz, czy przeznaczona przez państwa Nowaków kwota wystarczy na zakup działki P_2.","answer":"P","answer_text":"6. Pamiętaj, że zapisy w brudnopisie nie podlegają ocenie.","solution":"## Poprawna odpowiedź: Kwota 26 000 zł **nie wystarczy** - działka P₂ kosztuje **26 250 zł**.\n\n## Sposób 1 - podobieństwo trójkątów\n\n**Krok 1: Wyznaczamy |AC| z twierdzenia Pitagorasa.**\n\nTrójkąt ACE ma kąt prosty przy A, więc EC jest przeciwprostokątną:\n\\[|AE|^2 + |AC|^2 = |EC|^2\\]\n\\[5^2 + |AC|^2 = 13^2\\]\n\\[|AC|^2 = 169 - 25 = 144\\]\n\\[|AC| = 12 \\text{ cm}\\]\n\n**Krok 2: Uzasadniamy podobieństwo trójkątów BDC i ACE.**\n\nPrzyjrzyjmy się trójkątowi BDC:\n- Kąt BDC = 90° (bo BD ⊥ EC)\n- Kąt DCB = kąt ACE (ten sam kąt przy wierzchołku C)\n\nPrzyjrzyjmy się trójkątowi ACE:\n- Kąt EAC = 90° (dany)\n- Kąt ACE - wspólny z trójkątem BDC\n\nDwa kąty równe → **trójkąty BDC i ACE są podobne (AA)**, przy czym odpowiadające sobie wierzchołki to: D ↔ A, B ↔ E, C ↔ C.\n\n**Krok 3: Wyznaczamy skali podobieństwa.**\n\nZ podobieństwa:\n\\[\\frac{|BC|}{|EC|} = \\frac{|DC|}{|AC|} = \\frac{|BD|}{|AE|}\\]\n\\[\\frac{6{,}5}{13} = \\frac{1}{2}\\]\n\nSkala podobieństwa wynosi \\(k = \\frac{1}{2}\\), zatem:\n\\[|BD| = \\frac{1}{2} \\cdot |AE| = \\frac{1}{2} \\cdot 5 = 2{,}5 \\text{ cm}\\]\n\\[|DC| = \\frac{1}{2} \\cdot |AC| = \\frac{1}{2} \\cdot 12 = 6 \\text{ cm}\\]\n\n**Krok 4: Obliczamy pole trójkąta BDC (działka P₂ na rysunku).**\n\nTrójkąt BDC ma kąt prosty przy D, więc:\n\\[P_{\\text{rys}} = \\frac{1}{2} \\cdot |BD| \\cdot |DC| = \\frac{1}{2} \\cdot 2{,}5 \\cdot 6 = 7{,}5 \\text{ cm}^2\\]\n\n**Krok 5: Przeliczamy na metry kwadratowe (skala 1:1000).**\n\nSkala \\(1:1000\\) oznacza: \\(1 \\text{ cm na rysunku} = 1000 \\text{ cm} = 10 \\text{ m w terenie}\\)\n\n\\[1 \\text{ cm}^2 \\text{ na rysunku} = (10 \\text{ m})^2 = 100 \\text{ m}^2\\]\n\\[P_{P_2} = 7{,}5 \\cdot 100 = 750 \\text{ m}^2\\]\n\n**Krok 6: Obliczamy koszt.**\n\n\\[\\text{Koszt} = 750 \\text{ m}^2 \\cdot 35 \\frac{\\text{zł}}{\\text{m}^2} = 26\\,250 \\text{ zł}\\]\n\n**Wniosek:** \\(26\\,250 \\text{ zł} > 26\\,000 \\text{ zł}\\) - kwota przeznaczona przez państwa Nowaków **nie wystarczy**. Brakuje 250 zł.\n\n## Sposób 2 - odległość punktu od prostej (metoda współrzędnych)\n\nUstawiamy układ współrzędnych: \\(A = (0, 0)\\), \\(C = (12, 0)\\), \\(E = (0, 5)\\).\n\n**Wyznaczamy B:** B leży na AC z \\(|BC| = 6{,}5\\), więc \\(|AB| = 12 - 6{,}5 = 5{,}5\\), zatem \\(B = (5{,}5;\\; 0)\\).\n\n**Równanie prostej EC:** Przez punkty \\(E(0, 5)\\) i \\(C(12, 0)\\):\n\\[5x + 12y - 60 = 0\\]\n\n**Długość |BD|** (odległość punktu B od prostej EC):\n\\[|BD| = \\frac{|5 \\cdot 5{,}5 + 12 \\cdot 0 - 60|}{\\sqrt{5^2 + 12^2}} = \\frac{|27{,}5 - 60|}{\\sqrt{25 + 144}} = \\frac{32{,}5}{13} = 2{,}5 \\text{ cm}\\]\n\n**Długość |DC|** z trójkąta prostokątnego BDC (kąt prosty przy D):\n\\[|DC| = \\sqrt{|BC|^2 - |BD|^2} = \\sqrt{6{,}5^2 - 2{,}5^2} = \\sqrt{42{,}25 - 6{,}25} = \\sqrt{36} = 6 \\text{ cm}\\]\n\n**Pole działki P₂:**\n\\[P_{\\text{rys}} = \\frac{1}{2} \\cdot 2{,}5 \\cdot 6 = 7{,}5 \\text{ cm}^2\\]\n\nDalej identycznie jak w Sposobie 1: pole rzeczywiste \\(= 750 \\text{ m}^2\\), koszt \\(= 26\\,250 \\text{ zł}\\) > 26 000 zł.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 15-16)** - twierdzenie Pitagorasa:\n\\[a^2 + b^2 = c^2\\]\nUżyte w Kroku 1 do wyznaczenia \\(|AC| = 12\\) cm.\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 15)** - pole trójkąta:\n\\[P = \\frac{1}{2} a \\cdot h_a\\]\nUżyte w Kroku 4 - podstawa DC i odpowiadająca jej wysokość BD (prostopadła do DC).\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 21)** - pola figur podobnych:\n\\[\\frac{P_B}{P_A} = k^2\\]\nMożna też zastosować: skoro trójkąty BDC i ACE są podobne w skali \\(k = \\frac{1}{2}\\), to:\n\\[P_{BDC} = \\left(\\frac{1}{2}\\right)^2 \\cdot P_{ACE} = \\frac{1}{4} \\cdot \\frac{1}{2} \\cdot 12 \\cdot 5 = \\frac{1}{4} \\cdot 30 = 7{,}5 \\text{ cm}^2\\]\n\n**Dział 11 (Geometria analityczna, s. 24)** - odległość punktu od prostej:\n\\[d = \\frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\\sqrt{A^2 + B^2}}\\]\nUżyte w Sposobie 2 do wyznaczenia \\(|BD|\\).\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Skala 1:1000 dotyczy długości - 1 cm = 10 m. Przy przeliczaniu **pola** skala działa do kwadratu: 1 cm² = **100 m²**, nie 1000 m². To najczęstszy błąd w tym typie zadania!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie wolno zapomnieć o wyznaczeniu |AC| twierdzeniem Pitagorasa - bez tego nie wyliczymy |DC| i |BD| ze skali podobieństwa.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Trójkąt BDC ma kąt prosty przy D (bo BD ⊥ EC), nie przy B ani C. Mylenie tego prowadzi do błędnego wyznaczenia boku z Pitagorasa.\n\n**Rozwiązanie (7 pkt)**\n\n### Podobieństwo trójkątów\nTrójkąty \\(ACE\\) i \\(DCB\\) są podobne (wspólny kąt przy \\(C\\) oraz kąt prosty: w \\(ACE\\) przy \\(A\\), w \\(DCB\\) przy \\(D\\)).\n\n### Skala podobieństwa\n\\[k = \\dfrac{|BC|}{|EC|} = \\dfrac{6{,}5}{13} = \\dfrac{1}{2}.\\]\n\n### Stosunek pól\nZ twierdzenia o polach figur podobnych:\n\\[\\dfrac{P_{\\triangle DCB}}{P_{\\triangle ACE}} = k^{2} = \\dfrac{1}{4}.\\]\n\n### Długość \\(|AC|\\) z twierdzenia Pitagorasa (w \\(\\triangle ACE\\))\n\\[|AC| = \\sqrt{|EC|^2 - |AE|^2} = \\sqrt{13^2 - 5^2} = \\sqrt{169 - 25} = \\sqrt{144} = 12 \\text{ cm}.\\]\n\n### Pole \\(\\triangle ACE\\) (na rysunku)\n\\[P_{\\triangle ACE} = \\dfrac{1}{2}\\cdot |AE|\\cdot |AC| = \\dfrac{1}{2}\\cdot 5\\cdot 12 = 30 \\text{ cm}^{2}.\\]\n\n### Pole działki \\(P_{2}\\) (na rysunku)\n\\[P_{2}^{\\text{rys}} = \\dfrac{1}{4}\\cdot 30 = 7{,}5 \\text{ cm}^{2}.\\]\n\n### Pole działki \\(P_{2}\\) w rzeczywistości\nSkala liniowa \\(1{:}1000\\) \\(\\Rightarrow\\) skala pól \\(1{:}1000^{2}\\), czyli \\(1\\) cm\\(^2\\) na rysunku to \\(10000\\) cm\\(^2 = 1\\) m\\(^2\\). Wniosek: \\(1\\) cm\\(^2\\) rysunku \\(\\equiv\\) \\(100\\) m\\(^2\\) w terenie, więc\n\\[P_{2} = 7{,}5 \\cdot 100 = 750 \\text{ m}^{2}.\\]\n\n### Koszt zakupu\n\\[\\text{Koszt} = 750 \\cdot 35 = 26250 \\text{ zł}.\\]\n\n**Odp.:** Kwota \\(26000\\) zł **nie wystarczy** na zakup działki \\(P_{2}\\) - zabraknie \\(250\\) zł.","image":"img/matematyka-2006-maj-matura-podstawowa/zad-6.webp","solution_image":"img/matematyka-2006-maj-matura-podstawowa/sol-6.svg","topics":"planimetria","page_from":7,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2006 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2006-maj-matura-podstawowa/zad/7","paper_id":"matematyka-2006-maj-matura-podstawowa","number":"7","points":5,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2006,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 7. (5 pkt)\nSzkic przedstawia kanał ciepłowniczy, którego przekrój poprzeczny jest prostokątem.\nWewnątrz kanału znajduje się rurociąg składający się z trzech rur, każda o średnicy\nzewnętrznej 1 m. Oblicz wysokość i szerokość kanału ciepłowniczego. Wysokość zaokrąglij\ndo 0,01 m.\nNr czynności\n7.1.\n7.2.\n7.3.\n7.4.\nMaks. liczba pkt\n1\n1\n2\n1\nWypełnia\negzaminator! Uzyskana liczba pkt\n\nArkusz I\n9\nSzkic przedstawia kanał ciepłowniczy, którego przekrój poprzeczny jest prostokątem. Wewnątrz kanału znajduje się rurociąg składający się z trzech rur, kążda o średnicy zewnętrznej $1\\m$. Oblicz wysokość i szerokość kanału ciepłowniczego. Wysokość zaokrąglij do 0,01\\m.","answer":"W","answer_text":"7. Obok każdego zadania podana jest maksymalna liczba punktów,\nktórą możesz uzyskać za jego poprawne rozwiązanie.","solution":"## Poprawna odpowiedź:\n\n- **Szerokość kanału: \\(2\\) m**\n- **Wysokość kanału: \\(1 + \\frac{\\sqrt{3}}{2} \\approx 1{,}87\\) m**\n\n## Sposób 1 - geometria układu środków rur\n\n**Dane i oznaczenia:**\n\nKażda rura ma średnicę \\(1\\) m, czyli promień \\(r = \\frac{1}{2} = 0{,}5\\) m.\n\nWprowadźmy układ współrzędnych: początek w lewym dolnym rogu kanału.\n\n**Krok 1 - wyznaczenie szerokości.**\n\nDwie dolne rury leżą na dnie, każda dotyka jednej ściany bocznej i sąsiedniej rury:\n\n\\[\n\\text{Szerokość} = 2 \\cdot d = 2 \\cdot 1 = 2 \\text{ m}\n\\]\n\n**Szerokość kanału wynosi \\(2\\) m.**\n\n**Krok 2 - wyznaczenie środków rur.**\n\nŚrodki dolnych rur (dotykają dna i ścian bocznych):\n\\[\nO_1 = (0{,}5;\\; 0{,}5), \\quad O_2 = (1{,}5;\\; 0{,}5)\n\\]\n\nŚrodek górnej rury leży na osi symetrii, czyli \\(x = 1\\). Oznaczmy go \\(O_3 = (1;\\; h)\\).\n\n**Krok 3 - warunek stykania się górnej rury z dolnymi.**\n\nRury stykają się zewnętrznie → odległość środków wynosi \\(r + r = 1\\) m:\n\n\\[\n|O_1 O_3| = 1\n\\]\n\\[\n\\sqrt{(1 - 0{,}5)^2 + (h - 0{,}5)^2} = 1\n\\]\n\\[\n(0{,}5)^2 + (h - 0{,}5)^2 = 1\n\\]\n\\[\n(h - 0{,}5)^2 = 1 - 0{,}25 = 0{,}75 = \\frac{3}{4}\n\\]\n\\[\nh - 0{,}5 = \\frac{\\sqrt{3}}{2} \\quad \\Rightarrow \\quad h = \\frac{1}{2} + \\frac{\\sqrt{3}}{2}\n\\]\n\n**Krok 4 - wyznaczenie wysokości kanału.**\n\nGórna rura dotyka górnej ściany kanału, więc:\n\n\\[\nH = h + r = \\frac{1}{2} + \\frac{\\sqrt{3}}{2} + \\frac{1}{2} = 1 + \\frac{\\sqrt{3}}{2}\n\\]\n\nLiczbowo:\n\\[\nH = 1 + \\frac{\\sqrt{3}}{2} \\approx 1 + \\frac{1{,}7321}{2} \\approx 1 + 0{,}8660 \\approx 1{,}866\n\\]\n\n\\[\n\\boxed{H \\approx 1{,}87 \\text{ m}}\n\\]\n\n## Sposób 2 - przez trójkąt równoboczny środków\n\n**Obserwacja:** Środki wszystkich trzech rur tworzą trójkąt, w którym każde dwie rury się stykają zewnętrznie → każdy bok trójkąta ma długość \\(r + r = 1\\) m. Jest to **trójkąt równoboczny** o boku \\(1\\) m.\n\n**Wysokość trójkąta równobocznego** (wzór z karty CKE):\n\\[\nh_{\\triangle} = \\frac{a\\sqrt{3}}{2} = \\frac{1 \\cdot \\sqrt{3}}{2} = \\frac{\\sqrt{3}}{2} \\text{ m}\n\\]\n\nSkładamy pełną wysokość kanału:\n\n| Element | Wartość |\n| Odległość od dna do środka dolnej rury | \\(r = 0{,}5\\) m |\n| Odległość między środkami (pionowo) | \\(\\frac{\\sqrt{3}}{2}\\) m |\n| Odległość od środka górnej rury do sufitu | \\(r = 0{,}5\\) m |\n| **Suma = wysokość kanału** | \\(1 + \\frac{\\sqrt{3}}{2} \\approx 1{,}87\\) m |\n\nWynik zgodny ze Sposobem 1. ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 15-16)** - Twierdzenie Pitagorasa:\n\\[\na^2 + b^2 = c^2\n\\]\nUżyliśmy go w Sposobie 1 przy obliczaniu odległości środków: \\((0{,}5)^2 + (h - 0{,}5)^2 = 1^2\\).\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 15)** - Wysokość trójkąta równobocznego:\n\\[\nh = \\frac{a\\sqrt{3}}{2}\n\\]\nUżyliśmy go w Sposobie 2 do obliczenia pionowej odległości między poziomami środków rur.\n\n**Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22)** - Odległość dwóch punktów:\n\\[\n|O_1 O_3| = \\sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}\n\\]\nUżyliśmy tego wzoru do zapisania warunku stykania się rur.\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Szerokość to \\(2\\) m, nie \\(3 \\cdot 1 = 3\\) m - kanał mieści dwie rury **obok siebie**, nie trzy.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Górna rura dotyka dwóch dolnych, ale jej środek nie leży dokładnie nad punktem styku dolnych rur - to środek **trójkąta równobocznego**, wyznaczony przez Pitagorasa. Błąd: przyjęcie wysokości \\(1 + 1 = 2\\) m (jakby rury stały jedna na drugiej).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wysokość to odległość od **zewnętrznej powierzchni** dolnej rury do **zewnętrznej powierzchni** górnej rury - nie od środka do środka. Trzeba dodać dwa promienie (\\(r\\) na dole i \\(r\\) na górze).\n\n**Rozwiązanie (5 pkt)**\n\n### Geometria rozmieszczenia\nŚrodki trzech okręgów (promień \\(r = 0{,}5\\) m, średnica \\(2r = 1\\) m) tworzą trójkąt równoboczny o boku \\(a = 2r = 1\\) m (bo okręgi są styczne).\n\n### Szerokość kanału\nDwie rury leżą na dnie obok siebie - ich łączna średnica to szerokość kanału:\n\\[s = 2 \\cdot 1 = 2 \\text{ m}.\\]\n\n### Wysokość trójkąta równobocznego o boku \\(a = 1\\)\n\\[h = \\dfrac{a\\sqrt{3}}{2} = \\dfrac{\\sqrt{3}}{2}.\\]\n\n### Wysokość kanału\nWysokość = (odległość dna od środków dolnych rur) + (odległość między środkami pionowa = \\(h\\)) + (odległość środka górnej rury od sufitu) = \\(r + h + r = 2r + h\\):\n\\[d = 1 + \\dfrac{\\sqrt{3}}{2}.\\]\n\nPodstawiamy \\(\\sqrt{3} \\approx 1{,}732\\):\n\\[d \\approx 1 + \\dfrac{1{,}732}{2} = 1 + 0{,}866 = 1{,}866 \\approx 1{,}87 \\text{ m}.\\]\n\n**Odp.:** Wysokość kanału \\(d \\approx 1{,}87\\) m, szerokość \\(s = 2\\) m.","image":"img/matematyka-2006-maj-matura-podstawowa/zad-7.webp","solution_image":"img/matematyka-2006-maj-matura-podstawowa/sol-7.svg","topics":"planimetria","page_from":8,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2006 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2006-maj-matura-podstawowa/zad/8","paper_id":"matematyka-2006-maj-matura-podstawowa","number":"8","points":5,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2006,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 8. (5 pkt)\nDana jest funkcja\n5\n6\n)\n(\n2\nx\nx\nx\nf\na) Naszkicuj wykres funkcji f i podaj jej zbiór wartości.\nb) Podaj rozwiązanie nierówności\n0\n)\n(\n≥\nx\nf\n0\n1\n1\nx\ny\nNr czynności\n8.1.\n8.2.\n8.3.\n8.4.\n8.5.\nMaks. liczba pkt\n1\n1\n1\n1\n1\nWypełnia\negzaminator! Uzyskana liczba pkt\n\nArkusz I\n10\nRysowanie wykresu funkcji kwadratowej f(x) = -x^2+6x-5. Odczytanie z wykresu zbioru wartości. Rozwiązanie nierówności f(x) ≥ 0. Liczenie współczędnych wierzchołka, delty. Odczytywanie z wykresu zbioru wartości. Odczytywanie z wykresu rozwiązania nierówności.","answer":null,"answer_text":"8. Możesz korzystać z zestawu wzorów matematycznych, cyrkla\ni linijki oraz kalkulatora.","solution":"## Poprawna odpowiedź:\n\na) Zbiór wartości: \\(W_f = (-\\infty, 4\\rangle\\)\n\nb) Rozwiązanie nierówności \\(f(x) \\geq 0\\): \\(x \\in \\langle 1, 5 \\rangle\\)\n\n## Sposób 1 - przez postać kanoniczną i iloczynową\n\n**Identyfikujemy współczynniki:**\n\n\\[f(x) = -x^2 + 6x - 5, \\quad a = -1,\\ b = 6,\\ c = -5\\]\n\nPonieważ \\(a = -1 < 0\\), parabola jest skierowana **ramionami w dół** - będzie miała maksimum.\n\n**Wyznaczamy wierzchołek:**\n\n\\[p = -\\frac{b}{2a} = -\\frac{6}{2 \\cdot (-1)} = 3\\]\n\n\\[\\Delta = b^2 - 4ac = 36 - 4 \\cdot (-1) \\cdot (-5) = 36 - 20 = 16\\]\n\n\\[q = -\\frac{\\Delta}{4a} = -\\frac{16}{4 \\cdot (-1)} = 4\\]\n\n**Postać kanoniczna:**\n\n\\[f(x) = -(x - 3)^2 + 4\\]\n\nWierzchołek: \\(W = (3,\\ 4)\\) - to punkt **najwyższy** wykresu.\n\n**Wyznaczamy miejsca zerowe** (by naszkicować wykres):\n\n\\[\\Delta = 16 > 0 \\implies \\text{dwa miejsca zerowe}\\]\n\n\\[x_1 = \\frac{-b - \\sqrt{\\Delta}}{2a} = \\frac{-6 - 4}{-2} = \\frac{-10}{-2} = 5\\]\n\n\\[x_2 = \\frac{-b + \\sqrt{\\Delta}}{2a} = \\frac{-6 + 4}{-2} = \\frac{-2}{-2} = 1\\]\n\n**Postać iloczynowa:**\n\n\\[f(x) = -(x-1)(x-5)\\]\n\n**Szkic wykresu:**\n\nParabola przecina oś \\(x\\) w punktach \\((1, 0)\\) i \\((5, 0)\\), osiąga wierzchołek \\((3, 4)\\), oś \\(y\\) przecina w punkcie \\((0, -5)\\) (bo \\(f(0) = -5\\)), ramiona skierowane **w dół**.\n\n*(3,4)\n(1,0) (5,0)\n\n**a) Zbiór wartości:**\n\nPonieważ parabola ma ramiona w dół, funkcja przyjmuje wartości **co najwyżej** \\(q = 4\\):\n\n\\[\\boxed{W_f = (-\\infty,\\ 4\\rangle}\\]\n\n**b) Rozwiązanie nierówności \\(f(x) \\geq 0\\):**\n\nZ wykresu / postaci iloczynowej: parabolа jest **powyżej lub na osi \\(x\\)** między miejscami zerowymi:\n\n\\[\\boxed{x \\in \\langle 1,\\ 5 \\rangle}\\]\n\n## Sposób 2 - nierówność algebraicznie (bez wykresu)\n\nRozwiązujemy \\(f(x) \\geq 0\\) bezpośrednio:\n\n\\[-x^2 + 6x - 5 \\geq 0\\]\n\nMnożymy obie strony przez \\(-1\\) - **uwaga, odwracamy znak nierówności!**\n\n\\[x^2 - 6x + 5 \\leq 0\\]\n\nFaktoryzujemy lewą stronę:\n\n\\[(x-1)(x-5) \\leq 0\\]\n\nIloczyn dwóch czynników jest \\(\\leq 0\\) wtedy, gdy mają **przeciwne znaki** (lub jeden równa się zero). Analizujemy znak:\n\n| Przedział | \\((x-1)\\) | \\((x-5)\\) | iloczyn |\n| \\(x < 1\\) | \\(-\\) | \\(-\\) | \\(+\\) |\n| \\(x = 1\\) | \\(0\\) | \\(-\\) | \\(0\\) ✓ |\n| \\(1 < x < 5\\) | \\(+\\) | \\(-\\) | \\(-\\) ✓ |\n| \\(x = 5\\) | \\(+\\) | \\(0\\) | \\(0\\) ✓ |\n| \\(x > 5\\) | \\(+\\) | \\(+\\) | \\(+\\) |\n\nIloczyn \\(\\leq 0\\) dla \\(x \\in \\langle 1,\\ 5 \\rangle\\). ✓ - **wynik zgodny ze Sposobem 1.**\n\n**Weryfikacja wierzchołka** (zbiór wartości): Postać \\(f(x) = -(x-3)^2 + 4\\) - człon \\(-(x-3)^2 \\leq 0\\) dla każdego \\(x\\), więc \\(f(x) \\leq 4\\). Wartość 4 jest osiągana dla \\(x = 3\\). Funkcja jest ciągła i nieograniczona od dołu (ramiona idą do \\(-\\infty\\)), zatem \\(W_f = (-\\infty, 4\\rangle\\). ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9):**\n\nWyróżnik:\n\\[\\Delta = b^2 - 4ac\\]\n\nWierzchołek paraboli:\n\\[p = -\\frac{b}{2a}, \\qquad q = -\\frac{\\Delta}{4a}\\]\n\nMiejsca zerowe (gdy \\(\\Delta > 0\\)):\n\\[x_{1,2} = \\frac{-b \\pm \\sqrt{\\Delta}}{2a}\\]\n\nPostać kanoniczna:\n\\[f(x) = a(x-p)^2 + q\\]\n\nPostać iloczynowa:\n\\[f(x) = a(x-x_1)(x-x_2)\\]\n\nWszystkich pięciu wzorów użyliśmy w tym zadaniu. Karta wzorów jest tu wyjątkowo przydatna - maturzysta może z niej odczytać gotowe wzory bez wyprowadzania.\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Mnożenie nierówności przez \\(-1\\) **odwraca znak** nierówności. Bardzo częsty błąd to napisanie \\(x^2 - 6x + 5 \\geq 0\\) (zły kierunek) - wtedy wynik jest dopełnieniem poprawnego przedziału.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Zbiór wartości to NIE jest \\(\\mathbb{R}\\) ani \\(\\langle -5, 4 \\rangle\\). Parabola skierowana w dół ma zbiór wartości \\((-\\infty, q\\rangle\\) - nie ma ograniczenia od dołu, bo ramiona biegną do \\(-\\infty\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nierówność \\(f(x) \\geq 0\\) ma rozwiązanie będące **przedziałem domkniętym** \\(\\langle 1, 5 \\rangle\\) (punkty zerowe **należą** do rozwiązania, bo \\(f(1) = f(5) = 0 \\geq 0\\)). Nie wolno stosować nawiasów ostrych \\((1, 5)\\).\n\n**Rozwiązanie (5 pkt)**\n\n### Współczynniki paraboli \\(f(x) = -x^{2} + 6x - 5\\)\n\\(a = -1\\), \\(b = 6\\), \\(c = -5\\). Ponieważ \\(a < 0\\), parabola jest **skierowana ramionami w dół**.\n\n### Wierzchołek paraboli\n\\[p = \\dfrac{-b}{2a} = \\dfrac{-6}{-2} = 3.\\]\nWyróżnik: \\(\\Delta = b^{2} - 4ac = 36 - 4\\cdot(-1)\\cdot(-5) = 36 - 20 = 16\\).\n\\[q = \\dfrac{-\\Delta}{4a} = \\dfrac{-16}{-4} = 4.\\]\nWierzchołek \\(W = (3, 4)\\).\n\n### Miejsca zerowe\n\\[\\sqrt{\\Delta} = 4\\]\n\\[x_{1} = \\dfrac{-b - \\sqrt{\\Delta}}{2a} = \\dfrac{-6 - 4}{-2} = 5, \\quad x_{2} = \\dfrac{-6 + 4}{-2} = 1.\\]\n\n### a) Zbiór wartości\nMaksymalna wartość to \\(q = 4\\), parabola otwiera się w dół, więc\n\\[\\text{Zw} = (-\\infty, 4\\rangle.\\]\n\n### b) Rozwiązanie nierówności \\(f(x) \\ge 0\\)\nParabola jest nad (lub na) osią \\(OX\\) między miejscami zerowymi:\n\\[x \\in \\langle 1, 5\\rangle.\\]\n\n**Odp.:** Zw \\(= (-\\infty, 4\\rangle\\); \\(f(x) \\ge 0 \\Leftrightarrow x \\in \\langle 1, 5\\rangle\\).","image":"img/matematyka-2006-maj-matura-podstawowa/zad-8.webp","solution_image":"img/matematyka-2006-maj-matura-podstawowa/sol-8.svg","topics":"funkcje","page_from":9,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2006 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2006-maj-matura-podstawowa/zad/9","paper_id":"matematyka-2006-maj-matura-podstawowa","number":"9","points":6,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2006,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 9. (6 pkt)\nDach wieży ma kształt powierzchni bocznej ostrosłupa prawidłowego czworokątnego,\nktórego krawędź podstawy ma długość 4 m. Ściana boczna tego ostrosłupa jest nachylona do\npłaszczyzny podstawy pod kątem\no\n60 .\na) Sporządź pomocniczy rysunek i zaznacz na nim podane w zadaniu wielkości.\nb) Oblicz, ile sztuk dachówek należy kupić, aby pokryć ten dach, wiedząc, że do pokrycia\n1\n2\nm potrzebne są 24 dachówki. Przy zakupie należy doliczyć 8% dachówek na zapas.\nNr czynności\n9.1.\n9.2.\n9.3.\n9.4.\n9.5.\nMaks. liczba pkt\n1\n1\n1\n2\n1\nWypełnia\negzaminator! Uzyskana liczba pkt\n\nArkusz I\n11\nDach wieży ma kształt powierzchni bocznej ostrosłupa prawidłowego czworokątnego, którego krawędź podstawy ma długość 4m. Ściana boczna tego ostrosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem 60 stopni. a) Sporządź pomocniczy rysunek i zaznacz na nim podane w zadaniu wielkości. b) Oblicz, ile sztuk dachówek należy kupić, aby pokryć ten dach, wiedząc, że do pokrycia 1m^2 potrzebne są 24 dachówki. Przy zakupie należy doliczyć 8% dachówek na zapas.","answer":"N","answer_text":"9. Wypełnij tę część karty odpowiedzi, którą koduje zdający.\nNie wpisuj żadnych znaków w części przeznaczonej dla\negzaminatora.","solution":"## Poprawna odpowiedź: **830 dachówek**\n\n## Sposób 1 - przez apotemę ostrosłupa i kąt nachylenia ściany\n\n### Dane i szkic\n\nOstrosłup prawidłowy czworokątny: krawędź podstawy \\(a = 4\\) m, kąt nachylenia ściany bocznej do podstawy \\(\\alpha = 60°\\).\n\nKluczowe elementy pomocniczego rysunku:\n- Środek podstawy \\(O\\)\n- Środek krawędzi podstawy \\(S\\)\n- Wierzchołek ostrosłupa \\(V\\)\n\nW przekroju prostopadłym do krawędzi podstawy przez środek mamy **trójkąt prostokątny** \\(OVS\\), gdzie:\n- \\(|OS| = \\frac{a}{2} = 2\\) m - apotema podstawy (połowa boku),\n- \\(\\angle VSO = 60°\\) - kąt nachylenia ściany do podstawy (to właśnie kąt między ścianą a płaszczyzną podstawy mierzony wzdłuż tej prostopadłej),\n- \\(|VS| = m\\) - **apotema ostrosłupa** (wysokość trójkąta bocznego).\n\n### Krok 1: Apotema ostrosłupa\n\nZ trójkąta prostokątnego \\(OVS\\):\n\n\\[\\cos 60° = \\frac{|OS|}{|VS|} = \\frac{2}{m}\\]\n\n\\[m = \\frac{2}{\\cos 60°} = \\frac{2}{\\frac{1}{2}} = 4 \\text{ m}\\]\n\n### Krok 2: Pole jednej ściany bocznej\n\nKażda ściana boczna to trójkąt równoramienny o podstawie \\(a = 4\\) m i wysokości równej apotemie \\(m = 4\\) m:\n\n\\[P_{\\triangle} = \\frac{1}{2} \\cdot a \\cdot m = \\frac{1}{2} \\cdot 4 \\cdot 4 = 8 \\text{ m}^2\\]\n\n### Krok 3: Całkowite pole boczne dachu\n\nOstrosłup ma **4 ściany boczne**:\n\n\\[P_b = 4 \\cdot P_{\\triangle} = 4 \\cdot 8 = 32 \\text{ m}^2\\]\n\n### Krok 4: Liczba dachówek\n\nLiczba dachówek bez zapasu:\n\\[n = 32 \\cdot 24 = 768 \\text{ szt.}\\]\n\nZ doliczonym \\(8\\%\\) zapasem:\n\\[n_{\\text{zakup}} = 768 \\cdot 1{,}08 = 829{,}44\\]\n\nPonieważ dachówki kupujemy w całości, **zaokrąglamy w górę**:\n\n\\[\\boxed{n_{\\text{zakup}} = 830 \\text{ dachówek}}\\]\n\n## Sposób 2 - przez wysokość ostrosłupa (z weryfikacją pola bocznego)\n\n**Wyznaczamy wysokość ostrosłupa** z tego samego trójkąta \\(OVS\\):\n\n\\[\\operatorname{tg} 60° = \\frac{h}{|OS|} = \\frac{h}{2}\\]\n\n\\[h = 2 \\cdot \\operatorname{tg} 60° = 2\\sqrt{3} \\text{ m}\\]\n\n**Weryfikacja apotemy** przez twierdzenie Pitagorasa:\n\n\\[m = \\sqrt{h^2 + |OS|^2} = \\sqrt{(2\\sqrt{3})^2 + 2^2} = \\sqrt{12 + 4} = \\sqrt{16} = 4 \\text{ m}\\]\n\nWynik zgodny z Metodą 1. Dalsze obliczenia identyczne → **830 dachówek**.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 12 (Stereometria, s. 26-28)** - pole boczne ostrosłupa:\n\nKarta wzorów nie podaje wprost wzoru na pole boczne ostrosłupa prawidłowego, ale korzystamy z:\n\\[P_b = 4 \\cdot \\frac{1}{2} \\cdot a \\cdot m\\]\ngdzie \\(a\\) - krawędź podstawy, \\(m\\) - apotema (wysokość trójkąta bocznego).\n\n**Dział 9 (Trygonometria, s. 11-14)** - wartości funkcji trygonometrycznych:\n\\[\\cos 60° = \\frac{1}{2}, \\quad \\operatorname{tg} 60° = \\sqrt{3}\\]\nUżyliśmy przy wyznaczaniu apotemy ostrosłupa z kąta nachylenia ściany.\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 15-21)** - pole trójkąta:\n\\[P = \\frac{1}{2} \\cdot a \\cdot h_a\\]\nUżyliśmy do obliczenia pola każdej ściany bocznej.\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Kąt nachylenia ściany bocznej do podstawy to kąt między płaszczyzną ściany a płaszczyzną podstawy - mierzymy go w punkcie środka krawędzi podstawy (wzdłuż apotemy). To NIE jest kąt przy wierzchołku ostrosłupa ani kąt krawędzi bocznej!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Apotemą ostrosłupa jest **wysokość trójkąta bocznego** (od wierzchołka ostrosłupa do środka krawędzi podstawy), a nie długość krawędzi bocznej. Mylenie tych dwóch długości to najczęstszy błąd.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\(829{,}44\\) dachówek zaokrąglamy **w górę** do \\(830\\) - nie można kupić ułamka dachówki, a zaokrąglenie w dół oznaczałoby brak materiału.\n\n**Rozwiązanie (6 pkt)**\n\n### Oznaczenia\n\\(a = |AB| = 4\\) m - krawędź podstawy. \\(O\\) - środek podstawy, \\(F\\) - środek boku \\(BC\\), \\(S\\) - wierzchołek. Kąt \\(\\angle SFO = 60^{\\circ}\\) - kąt między ścianą boczną a podstawą. Apotema ściany bocznej to \\(|SF| = h_{b}\\).\n\n### Obliczam apotemę \\(|SF|\\)\nOdcinek \\(|OF| = \\dfrac{a}{2} = 2\\) m (odległość środka podstawy od środka krawędzi podstawy).\n\nW trójkącie prostokątnym \\(OFS\\): \\(\\cos 60^{\\circ} = \\dfrac{|OF|}{|SF|}\\), więc\n\\[|SF| = \\dfrac{|OF|}{\\cos 60^{\\circ}} = \\dfrac{2}{\\tfrac{1}{2}} = 4 \\text{ m}.\\]\n(Trójkąt \\(EFS\\) z równobocznym rozmieszczeniem, bo kąt \\(60^{\\circ}\\) daje równoboczność.)\n\n### Pole powierzchni dachu (4 trójkąty przystające)\nKażdy trójkąt boczny: podstawa \\(a = 4\\), wysokość \\(h_{b} = 4\\):\n\\[P_{\\triangle} = \\dfrac{1}{2} \\cdot 4 \\cdot 4 = 8 \\text{ m}^2.\\]\nDach = \\(4\\) trójkąty:\n\\[P = 4 \\cdot 8 = 32 \\text{ m}^{2}.\\]\n\n### Liczba dachówek bez zapasu\n\\[32 \\cdot 24 = 768 \\text{ sztuk}.\\]\n\n### Uwzględniam \\(8\\%\\) zapasu\n\\[108\\% \\cdot 768 = 1{,}08 \\cdot 768 = 829{,}44.\\]\nZaokrąglamy **w górę** (nie można kupić ułamka dachówki) do \\(830\\).\n\n**Odp.:** Należy kupić **\\(830\\) sztuk** dachówek.","image":"img/matematyka-2006-maj-matura-podstawowa/zad-9.webp","solution_image":"img/matematyka-2006-maj-matura-podstawowa/sol-9.svg","topics":"stereometria","page_from":10,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2006 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2006-maj-matura-podstawowa/zad/10","paper_id":"matematyka-2006-maj-matura-podstawowa","number":"10","points":6,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2006,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 10. (6 pkt)\nLiczby 3 i -1 są pierwiastkami wielomianu\n30\n2\n)\n(\n2\n3\nbx\nax\nx\nx\nW\na) Wyznacz wartości współczynników a i b.\nb) Oblicz trzeci pierwiastek tego wielomianu.\nNr czynności\n10.1.\n10.2.\n10.3.\n10.4.\n10.5.\n10.6.\nMaks. liczba pkt\n1\n1\n1\n1\n1\n1\nWypełnia\negzaminator! Uzyskana liczba pkt\n\nArkusz I\n12\nLiczby 3 i -1 są pierwiastkami wielomianu W(x)=2x^3+ax^2+bx+30. a) Wyznacz wartości współczynników a i b. b) Oblicz trzeci pierwiastek tego wielomianu.","answer":null,"answer_text":"10. Na karcie odpowiedzi wpisz swoją datę urodzenia i PESEL.\nZamaluj\npola odpowiadające cyfrom numeru PESEL. Błędne\nzaznaczenie otocz kółkiem\ni zaznacz właściwe.\nŻyczymy powodzenia!\nARKUSZ I\nMAJ\nROK 2006\nZa rozwiązanie\nwszystkich zadań\nmożna otrzymać\nłącznie\n50 punktów\nWypełnia zdający przed\nrozpoczęciem pracy\nPESEL ZDAJĄCEGO\nKOD\nZDAJĄCEGO\nMiejsce\nna naklejkę\nz kodem szkoły\nArkusz I\n2\nZadanie 1. (3 pkt)\nDane są zbiory:\n{\n}\n:\n4\n7\nA\nx\nR\nx\n∈\n≥\n,\n{\n}\n2\n:\n0\nB\nx\nR\nx\n∈\n>\n. Zaznacz na osi liczbowej:\na) zbiór A,\nb) zbiór B,\nc) zbiór\nC\nB A.\na)\nZapisuję nierówność\n4\n7\nx -\n≥\nw postaci alternatywy nierówności:\n4\n7\nx -\n≤- lub\n4\n7\nx -\n≥\ni rozwiązuję każdą z nich.\n3\nx ≤- lub\n11\nx ≥\nZaznaczam na osi liczbowej zbiór A.\nb)\nRozwiązuję nierówność\n2\n0\nx >\n0\nx ≠\nZaznaczam na osi liczbowej zbiór B.\nc)\nZaznaczam na osi liczbowej zbiór C.\nNr czynności\n1.1.\n1.2.\n1.3.\nMaks. liczba pkt\n1\n1\n1\nWypełnia\negzaminator! Uzyskana liczba pkt","solution":"## Poprawna odpowiedź:\n\n**a)** \\(a = -14\\), \\(b = 14\\)\n\n**b)** Trzeci pierwiastek: \\(x_3 = 5\\)\n\n## Sposób 1 - podstawienie pierwiastków do równania (układ równań)\n\n**Kluczowy fakt:** jeśli \\(x_0\\) jest pierwiastkiem wielomianu, to \\(W(x_0) = 0\\).\n\nKorzystamy z tego dla obu znanych pierwiastków.\n\n**Pierwiastek \\(x = 3\\):**\n\n\\[W(3) = 2 \\cdot 27 + a \\cdot 9 + b \\cdot 3 + 30 = 0\\]\n\\[54 + 9a + 3b + 30 = 0\\]\n\\[9a + 3b = -84\\]\n\\[3a + b = -28 \\quad \\text{(równanie I)}\\]\n\n**Pierwiastek \\(x = -1\\):**\n\n\\[W(-1) = 2 \\cdot (-1) + a \\cdot 1 + b \\cdot (-1) + 30 = 0\\]\n\\[-2 + a - b + 30 = 0\\]\n\\[a - b = -28 \\quad \\text{(równanie II)}\\]\n\n**Rozwiązujemy układ:**\n\n\\[\\begin{cases} 3a + b = -28 \\\\ a - b = -28 \\end{cases}\\]\n\nDodajemy stronami:\n\\[4a = -56 \\implies \\boxed{a = -14}\\]\n\nPodstawiamy do równania II:\n\\[-14 - b = -28 \\implies \\boxed{b = 14}\\]\n\nWielomian ma postać: \\(W(x) = 2x^3 - 14x^2 + 14x + 30\\)\n\n**Szybka weryfikacja:**\n\\[W(3) = 54 - 126 + 42 + 30 = 0 \\checkmark\\]\n\\[W(-1) = -2 - 14 - 14 + 30 = 0 \\checkmark\\]\n\n**Część b) - trzeci pierwiastek ze wzorów Viète'a:**\n\nDla wielomianu \\(2x^3 + ax^2 + bx + c\\) o pierwiastkach \\(x_1, x_2, x_3\\) zachodzi:\n\\[x_1 + x_2 + x_3 = -\\frac{a}{2} = \\frac{14}{2} = 7\\]\n\\[x_1 \\cdot x_2 \\cdot x_3 = -\\frac{c}{2} = -\\frac{30}{2} = -15\\]\n\nMamy \\(x_1 = 3\\), \\(x_2 = -1\\), zatem:\n\\[3 + (-1) + x_3 = 7 \\implies \\boxed{x_3 = 5}\\]\n\nSprawdzenie iloczynem: \\(3 \\cdot (-1) \\cdot 5 = -15\\) ✓\n\n## Sposób 2 - dzielenie wielomianu przez iloczyn \\((x-3)(x+1)\\)\n\nSkoro \\(3\\) i \\(-1\\) są pierwiastkami, to wielomian dzieli się przez:\n\\[(x-3)(x+1) = x^2 - 2x - 3\\]\n\nDzielimy \\(W(x) = 2x^3 - 14x^2 + 14x + 30\\) przez \\(x^2 - 2x - 3\\).\n\nSzukamy \\(q(x) = 2x + r\\) takiego, że:\n\\[(x^2 - 2x - 3)(2x + r) = 2x^3 + (r-4)x^2 + (-2r-6)x - 3r\\]\n\nPorównujemy współczynniki:\n\\[r - 4 = -14 \\implies r = -10\\]\n\\[-2(-10) - 6 = 14 \\checkmark\\]\n\\[-3(-10) = 30 \\checkmark\\]\n\nZatem:\n\\[W(x) = (x^2 - 2x - 3)(2x - 10) = 2(x-3)(x+1)(x-5)\\]\n\nTrzeci pierwiastek to \\(\\boxed{x_3 = 5}\\), bo \\(W(5) = 2(5-3)(5+1)(5-5) = 0\\).\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)** - wzory Viète'a dla trójmianu kwadratowego:\n\\[x_1 + x_2 = -\\frac{b}{a}, \\quad x_1 \\cdot x_2 = \\frac{c}{a}\\]\nNa maturze karta podaje je dla trójmianu kwadratowego, ale zasada uogólnia się na wielomiany wyższych stopni - dla \\(2x^3 + ax^2 + bx + c\\):\n\\[x_1 + x_2 + x_3 = -\\frac{a}{2}, \\quad x_1 x_2 x_3 = -\\frac{c}{2}\\]\nUżyliśmy tego w Sposobie 1 do wyznaczenia \\(x_3\\).\n\n> Wzorów Viète'a dla wielomianów stopnia 3 karta nie zawiera wprost - warto je znać jako rozszerzenie wzorów dla kwadratyków!\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy obliczaniu \\(W(-1)\\) bardzo łatwo zgubić znak - pamiętaj, że \\((-1)^2 = 1\\), ale \\((-1)^3 = -1\\). Sprawdź każdy wyraz osobno.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wzory Viète'a dla wielomianu \\(2x^3 + ax^2 + \\ldots\\) mają **mianownik 2** (współczynnik wiodący), nie 1. Zapomnienie o tym daje błędny wynik \\(x_1 + x_2 + x_3 = -a\\) zamiast \\(-\\frac{a}{2}\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** W Sposobie 1 uważaj na znak przy \\(b\\) - równanie z \\(W(-1) = 0\\) daje \\(-b\\), nie \\(+b\\). To klasyczne źródło błędu w znaku.\n\n**Rozwiązanie (6 pkt)**\n\n### a) Wyznaczanie \\(a, b\\) - twierdzenie Bézouta\nSkoro \\(3\\) i \\(-1\\) są pierwiastkami, to \\(W(3) = 0\\) i \\(W(-1) = 0\\).\n\n\\[W(3) = 2\\cdot 27 + 9a + 3b + 30 = 54 + 9a + 3b + 30 = 9a + 3b + 84 = 0.\\]\n\\[W(-1) = -2 + a - b + 30 = a - b + 28 = 0.\\]\n\n### Rozwiązuję układ równań\n\\[\\begin{cases} 9a + 3b + 84 = 0 \\\\ a - b + 28 = 0 \\end{cases}\\]\nZ drugiego równania: \\(b = a + 28\\). Podstawiam do pierwszego:\n\\[9a + 3(a + 28) + 84 = 0\\]\n\\[9a + 3a + 84 + 84 = 0 \\Rightarrow 12a = -168 \\Rightarrow a = -14.\\]\n\\[b = -14 + 28 = 14.\\]\n\n**Wniosek:** \\(a = -14\\), \\(b = 14\\), stąd \\(W(x) = 2x^{3} - 14x^{2} + 14x + 30\\).\n\n### b) Trzeci pierwiastek\nWielomian \\(W(x)\\) dzielimy przez \\((x-3)(x+1) = x^{2} - 2x - 3\\):\n\\[(2x^{3} - 14x^{2} + 14x + 30) : (x^{2} - 2x - 3) = 2x - 10.\\]\n\nTrzeci pierwiastek z równania \\(2x - 10 = 0\\):\n\\[x = 5.\\]\n\n**Odp.:** \\(a = -14\\), \\(b = 14\\); trzeci pierwiastek to \\(x = 5\\).","image":"img/matematyka-2006-maj-matura-podstawowa/zad-10.webp","solution_image":"img/matematyka-2006-maj-matura-podstawowa/sol-10.svg","topics":"wielomiany","page_from":11,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2006 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2006-maj-matura-podstawowa/zad/11","paper_id":"matematyka-2006-maj-matura-podstawowa","number":"11","points":3,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2006,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 11. (3 pkt)\nSumę\n307\n304\n3\n304\n301\n3\n10\n7\n3\n7\n4\n3\n4\n1\n3\n⋅\n⋅\n⋅\n⋅\n⋅\nS\nmożna obliczyć w następujący sposób:\na) sumę S zapisujemy w postaci\n4\n1\n7\n4\n10\n7\n304\n301\n307\n304\n4 1\n7 4\n10 7\n304 301\n307 304\n⋅\n⋅\n⋅\n⋅\n⋅\nS\nb) każdy składnik tej sumy przedstawiamy jako różnicę ułamków\n⎟\n⎠\n⎞\n⎜\n⎝\n⎛\n⋅\n⋅\n⎟\n⎠\n⎞\n⎜\n⎝\n⎛\n⋅\n⋅\n⎟\n⎠\n⎞\n⎜\n⎝\n⎛\n⋅\n⋅\n⎟\n⎠\n⎞\n⎜\n⎝\n⎛\n⋅\n⋅\n⎟\n⎠\n⎞\n⎜\n⎝\n⎛\n⋅\n⋅\n304\n307\n304\n304\n307\n307\n301\n304\n301\n301\n304\n304\n7\n10\n7\n7\n10\n10\n4\n7\n4\n4\n7\n7\n1\n4\n1\n1\n4\n4\nS\nstąd\n⎟\n⎠\n⎞\n⎜\n⎝\n⎛\n⎟\n⎠\n⎞\n⎜\n⎝\n⎛\n⎟\n⎠\n⎞\n⎜\n⎝\n⎛\n⎟\n⎠\n⎞\n⎜\n⎝\n⎛\n⎟\n⎠\n⎞\n⎜\n⎝\n⎛-\n307\n1\n304\n1\n304\n1\n301\n1\n10\n1\n7\n1\n7\n1\n4\n1\n4\n1\n1\nS\nwięc\n307\n1\n304\n1\n304\n1\n301\n1\n10\n1\n7\n1\n7\n1\n4\n1\n4\n1\n1\nS\nc) obliczamy sumę, redukując parami wyrazy sąsiednie, poza pierwszym i ostatnim\n1\n306\n1\n307\n307\nS\nPostępując w analogiczny sposób, oblicz sumę\n1\n4\n4\n4\n4\n1 5\n5 9\n9 13\n281 285\n⋅\n⋅\n⋅\n⋅\nS\n\nArkusz I\n13\nNr czynności\n11.1.\n11.2.\n11.3.\nMaks. liczba pkt\n1\n1\n1\nWypełnia\negzaminator! Uzyskana liczba pkt\n\nArkusz I\n14\nBRUDNOPIS\nSumę można obliczyć w następujący sposób: a) sumę S zapisujemy w postaci b) każdy składnik tej sumy przedstawiamy jako różnicę ułamków c) obliczamy sumę redukując parami wyrazy sąsiednie, poza pierwszym i ostatnim","answer":null,"answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(S_1 = \\dfrac{284}{285}\\)\n\n## Sposób 1 - Rozkład na różnicę ułamków (teleskop)\n\n**Obserwacja:** Mianowniki kolejnych składników tworzą ciąg arytmetyczny: \\(1, 5, 9, 13, \\ldots, 281, 285\\) o różnicy \\(4\\). Ogólny wyraz sumy to:\n\\[\\frac{4}{(4k-3)(4k+1)}, \\quad k = 1, 2, 3, \\ldots\\]\n\n**Kluczowy rozkład** (analogiczny do wskazówki w zadaniu):\n\\[\\frac{4}{(4k-3)(4k+1)} = \\frac{1}{4k-3} - \\frac{1}{4k+1}\\]\n\nSprawdzamy: \\(\\frac{1}{4k-3} - \\frac{1}{4k+1} = \\frac{(4k+1)-(4k-3)}{(4k-3)(4k+1)} = \\frac{4}{(4k-3)(4k+1)}\\) ✓\n\n**Ile jest wyrazów?** Ostatni wyraz ma \\(4k - 3 = 281\\), czyli \\(k = 71\\). Suma ma **71 wyrazów**.\n\n**Zapisujemy sumę teleskopową:**\n\\[S_1 = \\sum_{k=1}^{71}\\left(\\frac{1}{4k-3} - \\frac{1}{4k+1}\\right)\\]\n\nRozwijamy kolejne składniki:\n\n\\[\n\\left(\\frac{1}{1} - \\frac{1}{5}\\right)\n+ \\left(\\frac{1}{5} - \\frac{1}{9}\\right)\n+ \\left(\\frac{1}{9} - \\frac{1}{13}\\right)\n+ \\ldots\n+ \\left(\\frac{1}{281} - \\frac{1}{285}\\right)\n\\]\n\nKażdy wyraz oprócz pierwszego i ostatniego **canceluje się** z sąsiednim:\n\n\\[S_1 = \\frac{1}{1} - \\frac{1}{285} = 1 - \\frac{1}{285}\\]\n\n\\[\\boxed{S_1 = \\frac{285 - 1}{285} = \\frac{284}{285}}\\]\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja przez pierwsze wyrazy (rozkład częściowy)\n\nSprawdzamy poprawność rozkładu na ułamki proste. Szukamy \\(A, B\\) takich, że:\n\\[\\frac{4}{(4k-3)(4k+1)} = \\frac{A}{4k-3} + \\frac{B}{4k+1}\\]\n\nPrzemnażamy obie strony przez \\((4k-3)(4k+1)\\):\n\\[4 = A(4k+1) + B(4k-3)\\]\n\n- Podstawiamy \\(4k-3 = 0\\), tj. \\(k = \\frac{3}{4}\\): \\(4 = A \\cdot 4 \\Rightarrow A = 1\\)\n- Podstawiamy \\(4k+1 = 0\\), tj. \\(k = -\\frac{1}{4}\\): \\(4 = B \\cdot (-4) \\Rightarrow B = -1\\)\n\nZatem: \\(\\dfrac{4}{(4k-3)(4k+1)} = \\dfrac{1}{4k-3} - \\dfrac{1}{4k+1}\\) ✓\n\n**Weryfikacja liczbowa na 3 wyrazach:**\n\\[\n\\frac{4}{1\\cdot 5} + \\frac{4}{5\\cdot 9} + \\frac{4}{9\\cdot 13}\n= \\left(1 - \\frac{1}{5}\\right) + \\left(\\frac{1}{5} - \\frac{1}{9}\\right) + \\left(\\frac{1}{9} - \\frac{1}{13}\\right)\n= 1 - \\frac{1}{13} = \\frac{12}{13}\n\\]\n\nSprawdzamy bezpośrednio: \\(\\frac{4}{5} + \\frac{4}{45} + \\frac{4}{117} = \\frac{4 \\cdot 9 \\cdot 13 + 4 \\cdot 13 + 4 \\cdot 5}{585} = \\frac{468 + 52 + 20}{585} = \\frac{540}{585} = \\frac{12}{13}\\) ✓\n\nMechanizm teleskopowy działa poprawnie - wynik dla całej sumy to \\(\\dfrac{284}{285}\\).\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie korzystamy z konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy elementarne rozkładanie na ułamki proste i obserwacja struktury sumy teleskopowej. Jedyne narzędzie to podstawowe działania na ułamkach oraz rozpoznanie różnicy jako sumy \"składanej\" (teleskop).\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Łatwo się pomylić co do **ostatniego wyrazu** sumy. Trzeba sprawdzić, że \\(281 = 4k-3\\) daje \\(k = 71\\), więc ostatni wyraz teleskopowy to \\(\\frac{1}{281} - \\frac{1}{285}\\), a nie \\(\\frac{1}{281} - \\frac{1}{284}\\) czy inne.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Suma **nie** wynosi \\(\\frac{280}{281}\\) - to błąd wynikający z wzięcia za ostatni element mianownik \\(281\\) zamiast \\(285\\). Zawsze sprawdź, jaką wartość przyjmuje *drugi czynnik* w ostatnim mianowniku.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Krok \\(\\frac{4}{(4k-3)(4k+1)} = \\frac{1}{4k-3} - \\frac{1}{4k+1}\\) działa **tylko dlatego**, że różnica między czynnikami w mianowniku wynosi dokładnie \\(4\\) (tyle samo, co licznik). W przykładzie wzorcowym było analogicznie: różnica \\(4-1=3\\) i licznik \\(3\\).\n\n**Rozwiązanie (3 pkt)**\n\n### Zapisuję licznik \\(4\\) jako różnicę\nZauważam, że \\(4 = 5-1 = 9-5 = 13-9 = \\ldots = 285-281\\). Zatem\n\\[S_{1} = \\dfrac{5-1}{1\\cdot 5} + \\dfrac{9-5}{5\\cdot 9} + \\dfrac{13-9}{9\\cdot 13} + \\ldots + \\dfrac{285-281}{281\\cdot 285}.\\]\n\n### Każdy składnik jako różnica ułamków\n\\[\\dfrac{5-1}{1\\cdot 5} = \\dfrac{5}{5\\cdot 1} - \\dfrac{1}{5\\cdot 1} = 1 - \\dfrac{1}{5},\\]\n\\[\\dfrac{9-5}{5\\cdot 9} = \\dfrac{1}{5} - \\dfrac{1}{9},\\]\n\\[\\dfrac{13-9}{9\\cdot 13} = \\dfrac{1}{9} - \\dfrac{1}{13}, \\ldots\\]\n\\[\\dfrac{285-281}{281\\cdot 285} = \\dfrac{1}{281} - \\dfrac{1}{285}.\\]\n\n### Sumuję (suma teleskopowa)\n\\[S_{1} = \\left(1 - \\dfrac{1}{5}\\right) + \\left(\\dfrac{1}{5} - \\dfrac{1}{9}\\right) + \\left(\\dfrac{1}{9} - \\dfrac{1}{13}\\right) + \\ldots + \\left(\\dfrac{1}{281} - \\dfrac{1}{285}\\right).\\]\nRedukując parami wyrazy sąsiednie (oprócz pierwszego i ostatniego):\n\\[S_{1} = 1 - \\dfrac{1}{285} = \\dfrac{284}{285}.\\]\n\n**Odp.:** \\(S_{1} = \\dfrac{284}{285}\\).","image":"img/matematyka-2006-maj-matura-podstawowa/zad-11.webp","solution_image":"img/matematyka-2006-maj-matura-podstawowa/sol-11.svg","topics":"ciagi","page_from":12,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2006 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"}]}