{"paper":{"id":"matematyka-2006-maj-matura-rozszerzona","subject":"matematyka","category":"matura","year":2006,"month":"maj","level":"rozszerzona","variant":null,"exam_pdf":"matematyka-2006-maj-matura-rozszerzona/matematyka-2006-maj-matura-rozszerzona.pdf","key_pdf":"matematyka-2006-maj-matura-rozszerzona-odpowiedzi/matematyka-2006-maj-matura-rozszerzona-odpowiedzi.pdf","question_count":10,"source_label":"Matematyka · Matura · maj 2006 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},"questions":[{"id":"matematyka-2006-maj-matura-rozszerzona/zad/12","paper_id":"matematyka-2006-maj-matura-rozszerzona","number":"12","points":5,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2006,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 12. (5 pkt)\nKorzystając z zasady indukcji matematycznej wykaż, że dla każdej liczby naturalnej\n1\n≥\nn\nprawdziwy jest wzór:\n(\n)\n(\n)(\n)\n(\n)\n2\n2\n2\n2\n1 3 (1!)\n2 4\n2!\n2\n!\n1 !\n1\nn n\nn\nn\n⎡\n⎤\n⋅⋅\n+ ⋅⋅\n+⋅⋅⋅+\n⎣\n⎦\nNr czynności\n12.1.\n12.2.\n12.3.\n12.4.\n12.5.\nMaks. liczba pkt\n1\n1\n1\n1\n1\nWypełnia\negzaminator! Uzyskana liczba pkt\n\nArkusz II\n3\nKorzystając z zasady indukcji matematycznej wykaż, że dla każdej liczby naturalnej n>=1 prawdziwy jest wzór: 1*3*(1!)^2+2\\c 4\\c (2!)^2+...+n(n+2)(n!)^2=[(n+1)!]^2-1","answer":null,"answer_text":"","solution":"Z zasady indukcji matematycznej wynika, że wzór jest prawdziwy dla każdej liczby naturalnej $n \\ge 1$.","image":"img/matematyka-2006-maj-matura-rozszerzona/zad-12.webp","solution_image":"img/matematyka-2006-maj-matura-rozszerzona/sol-12.svg","topics":"algebra","page_from":2,"source":"zadaniazmatur","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2006 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2006-maj-matura-rozszerzona/zad/13","paper_id":"matematyka-2006-maj-matura-rozszerzona","number":"13","points":5,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2006,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 13. (5 pkt)\nDany jest ciąg (\n)\nn\na\n, gdzie\n5\n6\n10(\n1)\nn\nn\na\nn\ndla każdej liczby naturalnej\n1\n≥\nn\na) Zbadaj monotoniczność ciągu (\n)\nn\na\nb) Oblicz\nn\nn\na\n∞\n→\nlim\nc) Podaj największą liczbę a i najmniejszą liczbę b takie, że dla każdego n spełniony jest\nwarunek\nn\na\na\nb\n≤\n≤\nNr czynności\n13.1.\n13.2.\n13.3.\n13.4.\n13.5.\nMaks. liczba pkt\n1\n1\n1\n1\n1\nWypełnia\negzaminator! Uzyskana liczba pkt\n\nArkusz II\n4\nDany jest ciąg (a_n), gdzie a_n={5n+6\\o10(n+1)} dla każdej liczby naturalnej n>=1. a) Zbadaj monotoniczność ciągu (a_n). b) Oblicz grancię ciągu a_n dla n rozbieżnego do nieskończoności c) Podaj największą liczbę a i najmniejszą liczbę b takie, że dla każdego n spełniony jest warunek a <= a_n <= b","answer":null,"answer_text":null,"solution":"a) ciąg jest malejący\nb) $\\lim_{n \\to \\infty} a_n = \\dfrac{1}{2}$\nc) $a = \\dfrac{1}{2}$, $b = \\dfrac{11}{20}$","image":"img/matematyka-2006-maj-matura-rozszerzona/zad-13.webp","solution_image":"img/matematyka-2006-maj-matura-rozszerzona/sol-13.svg","topics":"ciagi","page_from":3,"source":"zadaniazmatur","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2006 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2006-maj-matura-rozszerzona/zad/14","paper_id":"matematyka-2006-maj-matura-rozszerzona","number":"14","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2006,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 14. (4 pkt)\na) Naszkicuj wykres funkcji\nx\ny\n2\nsin\nw przedziale\n>\n<\nπ\nπ 2,\n2\nb) Naszkicuj wykres funkcji\nx\nx\ny\n2\nsin\n2\nsin\nw przedziale\n>\n<\nπ\nπ 2,\n2\ni zapisz, dla których liczb z tego przedziału spełniona jest nierówność\n0\n2\nsin\n2\nsin\n<\nx\nx\n\nArkusz II\n5\nNr czynności\n14.1.\n14.2.\n14.3.\n14.4.\nMaks. liczba pkt\n1\n1\n1\n1\nWypełnia\negzaminator! Uzyskana liczba pkt\n\nArkusz II\n6\na) Naszkicuj wykres funkcji y=sin2x w przedziale <-2pi,2pi> b) Naszkicuj wykres funkcji y = |sin 2x| / sin2x w przedziale <-2π,2π> i zapisz, dla których liczb z tego przedziału spełniona jest nierówność |\\sin2x| / sin2x < 0.","answer":"R","answer_text":null,"solution":"$x \\in \\left(-\\dfrac{3\\pi}{2}, -\\pi\\right) \\cup \\left(-\\dfrac{\\pi}{2}, 0\\right) \\cup \\left(\\dfrac{\\pi}{2}, \\pi\\right) \\cup \\left(\\dfrac{3\\pi}{2}, 2\\pi\\right)$","image":"img/matematyka-2006-maj-matura-rozszerzona/zad-14.webp","solution_image":"img/matematyka-2006-maj-matura-rozszerzona/sol-14.svg","topics":"trygonometria","page_from":4,"source":"zadaniazmatur","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2006 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2006-maj-matura-rozszerzona/zad/15","paper_id":"matematyka-2006-maj-matura-rozszerzona","number":"15","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2006,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 15. (4 pkt)\nUczniowie dojeżdżający do szkoły zaobserwowali, że spóźnienie autobusu zależy od tego,\nktóry z trzech kierowców prowadzi autobus. Przeprowadzili badania statystyczne i obliczyli,\nże w przypadku, gdy autobus prowadzi kierowca A, spóźnienie zdarza się w 5% jego kursów,\ngdy prowadzi kierowca B w 20% jego kursów, a gdy prowadzi kierowca C w 50% jego\nkursów. W ciągu 5-dniowego tygodnia nauki dwa razy prowadzi autobus kierowca A, dwa\nrazy kierowca B i jeden raz kierowca C. Oblicz prawdopodobieństwo spóźnienia się\nszkolnego autobusu w losowo wybrany dzień nauki.\nNr czynności\n15.1.\n15.2.\n15.3.\n15.4.\nMaks. liczba pkt\n1\n1\n1\n1\nWypełnia\negzaminator! Uzyskana liczba pkt\n\nArkusz II\n7\nUczniowie dojeżdżający do szkoły zaobserwowali, że spóźnienie autobusu zależy od tego, który z trzech kierowców prowadzi autobus. Przeprowadzili badania statystyczne i obliczyli, że w przypadku, gdy autobus prowadzi kierowca A, spóźnienie zdarza się w 5% jego kursów, gdy prowadzi kierowca B w 20% jego kursów, a gdy prowadzi kierowca C w 50% jego kursów. W ciągu 5-dniowego tygodnia nauki dwa razy prowadzi autobus kierowca A, dwa razy kierowca B i jeden raz kierowca C. Oblicz prawdopodobieństwo spóźnienia się szkolnego autobusu w losowo wybrany dzień nauki.","answer":null,"answer_text":null,"solution":"$P(S) = \\dfrac{1}{5}$","image":"img/matematyka-2006-maj-matura-rozszerzona/zad-15.webp","solution_image":"img/matematyka-2006-maj-matura-rozszerzona/sol-15.svg","topics":"prawdopodobienstwo","page_from":6,"source":"zadaniazmatur","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2006 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2006-maj-matura-rozszerzona/zad/16","paper_id":"matematyka-2006-maj-matura-rozszerzona","number":"16","points":3,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2006,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 16. (3 pkt)\nObiekty A i B leżą po dwóch stronach jeziora. W terenie dokonano pomiarów odpowiednich\nkątów i ich wyniki przedstawiono na rysunku. Odległość między obiektami B i C jest równa\n400 m. Oblicz odległość w linii prostej między obiektami A i B i podaj wynik, zaokrąglając\ngo do jednego metra.\nNr czynności\n16.1.\n16.2.\n16.3.\nMaks. liczba pkt\n1\n1\n1\nWypełnia\negzaminator! Uzyskana liczba pkt\n\nArkusz II\n8\nObiekty A i B leżą po dwóch stronach jeziora. W terenie dokonano pomiarów odpowiednich kątów i ich wyniki przedstawiono na rysunku. Odległość między obiektami B i C jest równa 400 m. Oblicz odległość w linii prostej między obiektami A i B i podaj wynik, zaokrąglając go do jednego metra.","answer":"O","answer_text":null,"solution":"$585$ metrów","image":"img/matematyka-2006-maj-matura-rozszerzona/zad-16.webp","solution_image":"img/matematyka-2006-maj-matura-rozszerzona/sol-16.svg","topics":"planimetria","page_from":7,"source":"zadaniazmatur","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2006 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2006-maj-matura-rozszerzona/zad/17","paper_id":"matematyka-2006-maj-matura-rozszerzona","number":"17","points":6,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2006,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 17. (6 pkt)\nNa okręgu o promieniu r opisano trapez równoramienny ABCD o dłuższej podstawie AB\ni krótszej CD. Punkt styczności S dzieli ramię BC tak, że\n2\n5\nCS\nSB =\na) Wyznacz długość ramienia tego trapezu.\nb) Oblicz cosinus\nCBD\n)\nNr czynności\n17.1.\n17.2.\n17.3.\n17.4.\n17.5.\n17.6.\nMaks. liczba pkt\n1\n1\n1\n1\n1\n1\nWypełnia\negzaminator! Uzyskana liczba pkt\n\nArkusz II\n9\nNa okręgu o promieniu r opisano trapez równoramienny ABCD o dłuższej podstawie AB i krótszej CD. Punkt styczności S dzieli ramię BC tak, że {|CS| / |SB|} = {2 / 5}. a) Wyznacz długość ramienia tego trapezu. b) Oblicz cosinus kąta CBD.","answer":"61","answer_text":null,"solution":"a) $|BC| = \\dfrac{7\\sqrt{10}}{10}r$, $|DC| = \\dfrac{4\\sqrt{10}}{10}r$\nb) $\\cos |\\sphericalangle CBD| = \\dfrac{61\\sqrt{89}}{623}$","image":"img/matematyka-2006-maj-matura-rozszerzona/zad-17.webp","solution_image":"img/matematyka-2006-maj-matura-rozszerzona/sol-17.svg","topics":"planimetria","page_from":8,"source":"zadaniazmatur","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2006 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2006-maj-matura-rozszerzona/zad/18","paper_id":"matematyka-2006-maj-matura-rozszerzona","number":"18","points":7,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2006,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 18. (7 pkt)\nWśród wszystkich graniastosłupów prawidłowych trójkątnych o objętości równej 2 m3\nistnieje taki, którego pole powierzchni całkowitej jest najmniejsze. Wyznacz długości\nkrawędzi tego graniastosłupa.\nNr czynności\n18.1.\n18.2.\n18.3.\n18.4.\n18.5.\n18.6.\n18.7.\nMaks. liczba pkt\n1\n1\n1\n1\n1\n1\n1\nWypełnia\negzaminator! Uzyskana liczba pkt\n\nArkusz II\n10\nWśród wszystkich graniastosłupów prawidłowych trójkątnych o objętości równej 2m^3 istnieje taki, którego pole powierzchni całkowitej jest najmniejsze. Wyznacz długości krawędzi tego graniastosłupa.","answer":"W","answer_text":null,"solution":"$a = 2\\text{ m}$, $h = \\dfrac{2\\sqrt{3}}{3}\\text{ m}$","image":"img/matematyka-2006-maj-matura-rozszerzona/zad-18.webp","solution_image":"img/matematyka-2006-maj-matura-rozszerzona/sol-18.svg","topics":"optymalizacja","page_from":9,"source":"zadaniazmatur","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2006 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2006-maj-matura-rozszerzona/zad/19","paper_id":"matematyka-2006-maj-matura-rozszerzona","number":"19","points":7,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2006,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 19. (7 pkt)\nNieskończony\nciąg\ngeometryczny\n(\n)\nn\na\njest\nzdefiniowany\nwzorem\nrekurencyjnym:\n),\n2\n(\nlog\n,2\n2\n1\n1\n⋅\nk\na\na\na\nn\nn\ndla każdej liczby naturalnej\n1\n≥\nn\n. Wszystkie\nwyrazy tego ciągu są różne od zera. Wyznacz wszystkie wartości parametru k, dla których\nistnieje suma wszystkich wyrazów nieskończonego ciągu (\n)\nn\na\nNr czynności\n19.1.\n19.2.\n19.3.\n19.4.\n19.5.\n19.6.\nMaks. liczba pkt\n1\n1\n1\n1\n2\n1\nWypełnia\negzaminator! Uzyskana liczba pkt\n\nArkusz II\n11\nNieskończony ciąg geometryczny (a_n) jest zdefiniowany wzorem rekurencyjnym: a_1=2, a_{n+1}=a_n*\\log_2(k-2), dla każdej liczby naturalnej n>=1. Wszystkie wyrazy tego ciągu są różne od zera. Wyznacz wszystkie wartości parametru k, dla których istnieje suma wszystkich wyrazów nieskończonego ciągu (a_n).","answer":"S","answer_text":null,"solution":"$k \\in \\left(\\dfrac{5}{2}, 3\\right) \\cup (3, 4)$","image":"img/matematyka-2006-maj-matura-rozszerzona/zad-19.webp","solution_image":"img/matematyka-2006-maj-matura-rozszerzona/sol-19.svg","topics":"ciagi","page_from":10,"source":"zadaniazmatur","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2006 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2006-maj-matura-rozszerzona/zad/20","paper_id":"matematyka-2006-maj-matura-rozszerzona","number":"20","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2006,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 20. (4 pkt)\nDane są funkcje\n2 5\n( )\n3x\nx\nf x\ni\n2\n2\n3\n2\n1\n( )\n9\nx\nx\ng x\n⎛\n⎞\n= ⎜\n⎟\n⎝\n⎠\nOblicz, dla których argumentów x wartości funkcji f są większe od wartości funkcji .g\nNr czynności\n20.1.\n20.2.\n20.3.\n20.4.\nMaks. liczba pkt\n1\n1\n1\n1\nWypełnia\negzaminator! Uzyskana liczba pkt\n\nArkusz II\n12\nDane są funkcje f(x)=3^{x^2-5x} i g(x)={1\\o9}^{-2x^2-3x+2}. Oblicz, dla których argumentów x wartości funkcji f są większe od wartości funkcji g.","answer":"R","answer_text":"20 5\n5 5\n2 5\n5\nP S =\n⋅\n⋅\n⋅\nNr czynności\n15.1.\n15.2.\n15.3.\n15.4.\nMaks. liczba pkt\n1\n1\n1\n1\nWypełnia\negzaminator! Uzyskana liczba pkt\nS\nM\n1\n20\nS\nM\n1\n5\nS\nM\n19\n20\n4\n5\n1\n2\n1\n2\nB\nC\nA\n1\n5\n2\n5\n2\n5\nArkusz II\n7\nZadanie 16. (3 pkt)\nObiekty A i B leżą po dwóch stronach jeziora. W terenie dokonano pomiarów odpowiednich\nkątów i ich wyniki przedstawiono na rysunku. Odległość między obiektami B i C jest równa\n400 m. Oblicz odległość w linii prostej między obiektami A i B i podaj wynik, zaokrąglając\ngo do jednego metra.\n20\nCAB =\nD\n)\n, ponieważ suma kątów w trójkącie jest równa 180D .\nDo wyznaczenia szukanej odległości stosuję twierdzenie sinusów:\n400\nsin30\nsin20\nAB\nD\nD .\nObliczam odległość obiektu A od obiektu B:\n200\n200\n584,8\n0,342\nsin20\nAB =\n≈\n≈\nD\nOdp.: Odległość obiektów w linii prostej jest równa 585 metrów.\nNr czynności","solution":"$x \\in \\left(-4, \\dfrac{1}{3}\\right)$","image":"img/matematyka-2006-maj-matura-rozszerzona/zad-20.webp","solution_image":"img/matematyka-2006-maj-matura-rozszerzona/sol-20.svg","topics":"wykladnicza","page_from":11,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2006 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2006-maj-matura-rozszerzona/zad/21","paper_id":"matematyka-2006-maj-matura-rozszerzona","number":"21","points":5,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2006,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 21. (5 pkt)\nW trakcie badania przebiegu zmienności funkcji ustalono, że funkcja f ma następujące\nwłasności:\n- jej dziedziną jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych,\n- f jest funkcją nieparzystą,\n- f jest funkcją ciągłą\noraz:\n( )\n0\nf\nx\n′\n<\ndla\n(\n)\n8, 3\nx∈-\n,\n( )\n0\nf\nx\n′\n>\ndla\n(\n)\n3, 1\nx∈-\n,\n( )\n0\nf\nx\n′\n<\ndla\n(\n)\n1,0\nx∈-\n,\n( 3)\n( 1)\n0,\n( 8)\n0,\n( 3)\n2,\n( 2)\n0,\n( 1)\n1.\nf\nf\nf\nf\nf\nf\n′\n′\nW prostokątnym układzie współrzędnych na płaszczyźnie naszkicuj wykres funkcji f\nw przedziale\n8,8\n, wykorzystując podane powyżej informacje o jej własnościach.\n0\n1\n1\nx\ny\n\nArkusz II\n13\nNr czynności\n21.1.\n21.2.\n21.3.\nMaks. liczba pkt\n1\n2\n2\nWypełnia\negzaminator! Uzyskana liczba pkt\n\nArkusz II\n14\nBRUDNOPIS\nW trakcie badania przebiegu zmienności funkcji ustalono, że funkcja f ma następujące własności: -- jej dziedziną jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych, -- f jest funkcją nieparzystą, -- f jest funkcją ciągłą.","answer":null,"answer_text":null,"solution":"Wykres funkcji spełniający podane warunki.","image":"img/matematyka-2006-maj-matura-rozszerzona/zad-21.webp","solution_image":"img/matematyka-2006-maj-matura-rozszerzona/sol-21.svg","topics":"funkcje","page_from":12,"source":"zadaniazmatur","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2006 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"}]}