{"paper":{"id":"matematyka-2006-styczen-probna-rozszerzona","subject":"matematyka","category":"probna","year":2006,"month":"styczen","level":"rozszerzona","variant":null,"exam_pdf":"matematyka-2006-styczen-probna-rozszerzona/matematyka-2006-styczen-probna-rozszerzona.pdf","key_pdf":"matematyka-2006-styczen-probna-rozszerzona-odpowiedzi/matematyka-2006-styczen-probna-rozszerzona-odpowiedzi.pdf","question_count":10,"source_label":"Matematyka · Matura próbna · styczeń 2006 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},"questions":[{"id":"matematyka-2006-styczen-probna-rozszerzona/zad/11","paper_id":"matematyka-2006-styczen-probna-rozszerzona","number":"11","points":6,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2006,"month":"styczen","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 11. (6 pkt)\nWyznacz dziedzinę i naszkicuj wykres funkcji f danej wzorem\n1\n2\n( )\nf m\nx\nx\n⋅\n, gdzie\n1\n2\n,\nx\nx\nsą\nróżnymi\npierwiastkami\nrównania\n2\n2\n(\n2)\n(\n2)\n3\n2\n0\nm\nx\nm\nx\nm\n,\nw\nktórym\n{\n}\n2\n∈R\nm\n\n3\nArkusz II","answer":null,"answer_text":"11.\n11.4.\nNaszkicowanie wykresu funkcji f.\n2\n12.1.\nWykorzystanie własności\n2\n2\nx\nx\ni doprowadzenie\ndrugiego równania do postaci: (\n)\n(\n)\n2\n2\n1\n1\n8\ny\ny\n1\n12.2.\nWyznaczenie wartości zmiennej y:\n3\ny = - lub\n1\ny = .\n1\n12.3.\nRozwiązanie układu równań\n3\n2\ny\nx\n\n\nlub\n1\n2\ny\nx\n\n\n:\n2\n1\nx\ny\n\n\n\nlub\n2\n1\nx\ny\n\n\n\n2\nInna metoda.\n12.1. Zastosowanie definicji wartości bezwzględnej i zapisanie\nalternatywy układów równań lub dwóch równań.\n12.2. Przekształcenie otrzymanych układów równań do równań z jedną\nniewiadomą.\n12.3. Rozwiązanie równań, układów równań.","solution":"$f(m) = \\dfrac{3m+2}{m+2}$ dla $m \\in (-\\infty, -6) \\cup (-2, 0) \\cup (0, \\infty)$","image":"img/matematyka-2006-styczen-probna-rozszerzona/zad-11.webp","solution_image":null,"topics":"parametr","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · styczeń 2006 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2006-styczen-probna-rozszerzona/zad/12","paper_id":"matematyka-2006-styczen-probna-rozszerzona","number":"12","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2006,"month":"styczen","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 12. (4 pkt)\nRozwiąż układ równań\n2\n2\n1\n(\n1)\n8\nx\ny\nx\ny\n\n\n\n\n4\nArkusz II","answer":null,"answer_text":"12.\nMetoda graficzna.\n12.1. Geometryczna interpretacja pierwszego równania.\n12.2. Geometryczna interpretacja drugiego równania.\n12.3. Podanie rozwiązania układu\n13.1.\nZapisanie założeń:\n0\n>\nx\ni\n1\n≠\nx\ni 4\n12 2\n32\n0\nx\nx\n⋅\n>\n1\n13.2.\nDoprowadzenie nierówności 4\n12 2\n32\n0\nx\nx\n⋅\n>\ndo postaci,\nna przykład\n2\n12\n32\n0\nt\nt\n>\n, gdzie\n2x\nt =\ni\n0\nt >\n1\n13.3.\nRozwiązanie nierówności ze zmienną t:\n4\nt <\nlub\n8\nt >\n1\n13.4.\nRozwiązanie nierówności: 2\n4\nx <\nlub 2\n8\nx >\n:\n2\nx <\nlub\n3\nx >\n1","solution":"$\\begin{cases} x = 2 \\\\ y = 1 \\end{cases}$ lub $\\begin{cases} x = -2 \\\\ y = 1 \\end{cases}$","image":"img/matematyka-2006-styczen-probna-rozszerzona/zad-12.webp","solution_image":null,"topics":"uklady_rownan","page_from":3,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · styczeń 2006 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2006-styczen-probna-rozszerzona/zad/13","paper_id":"matematyka-2006-styczen-probna-rozszerzona","number":"13","points":5,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2006,"month":"styczen","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 13. (5 pkt)\nWyznacz dziedzinę funkcji\n(\n)\n( )\nlog\n4\n12 2\n32\nx\nx\nx\nf x =\n⋅\n\n5\nArkusz II","answer":"D","answer_text":"13.\n13.5.\nWyznaczenie dziedziny funkcji f :\n(\n)\n(\n)\n(\n)\n0, 1\n1, 2\n3,\nD =\n∪\n∪\n∞.\n1\n14.1.\nZapisanie, że długość boku każdego kolejnego trójkąta jest\niloczynem długości boku trójkąta poprzedniego\ni liczby\n3\n2 .\n1\n14.2.\nZapisanie, że ciąg pól utworzonych trójkątów jest\nnieskończonym ciągiem geometrycznym o pierwszym\nwyrazie równym\n2\n1\n3\n4\na\nP =\ni ilorazie\n3\n4\nq =\n2","solution":"$D = (0, 1) \\cup (1, 2) \\cup (3, \\infty)$","image":"img/matematyka-2006-styczen-probna-rozszerzona/zad-13.webp","solution_image":null,"topics":"logarytmy","page_from":4,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · styczeń 2006 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2006-styczen-probna-rozszerzona/zad/14","paper_id":"matematyka-2006-styczen-probna-rozszerzona","number":"14","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2006,"month":"styczen","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 14. (4 pkt)\nDany jest ciąg trójkątów równobocznych takich, że bok następnego trójkąta jest wysokością\npoprzedniego. Oblicz sumę pól wszystkich tak utworzonych trójkątów, przyjmując, że bok\npierwszego trójkąta ma długość a (\n)\n0\na >\n\n6\nArkusz II","answer":null,"answer_text":"14.\n14.3.\nObliczenie sumy pól wszystkich trójkątów:\n2 3\nS\na\n1\n15.1.\nZapisanie założenia: sin\n0\nx ≠\n1\n15.2.\nZastosowanie wzoru redukcyjnego i zapisanie równania\nw postaci:\n0\nsin\nsin\ncos\nsin\n1\nx\nx\nx\nx\n1\n15.3.\nPrzekształcenie równania do postaci:\n(\n)\n0\n1\ncos\ncos\nx\nx\n1","solution":"$S = a^2\\sqrt{3}$","image":"img/matematyka-2006-styczen-probna-rozszerzona/zad-14.webp","solution_image":null,"topics":"ciagi","page_from":5,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · styczeń 2006 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2006-styczen-probna-rozszerzona/zad/15","paper_id":"matematyka-2006-styczen-probna-rozszerzona","number":"15","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2006,"month":"styczen","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 15. (4 pkt)\nRozwiąż równanie:\n1\nctg\ncos\n0.\nsin\n2\nx\nx\nx\nπ\n\n\n\n\n\n\n\n7\nArkusz II","answer":"C, A, B","answer_text":"15.\n15.4.\nZapisanie rozwiązań równania:\nC\nk\nk\nx\n∈\n,\n2\nπ\nπ\n1\n16.1.\nZastosowanie wzoru na prawdopodobieństwo sumy\nzdarzeń.\n1\n16.2.\nWykorzystanie niezależności zdarzeń i otrzymanie\nrównania (\n)(\n)\n1\n( ) 1\n( )\n0\nP A\nP B\n2","solution":"$x = \\dfrac{\\pi}{2} + k\\pi$, $k \\in C$","image":"img/matematyka-2006-styczen-probna-rozszerzona/zad-15.webp","solution_image":null,"topics":"trygonometria","page_from":6,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · styczeń 2006 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2006-styczen-probna-rozszerzona/zad/16","paper_id":"matematyka-2006-styczen-probna-rozszerzona","number":"16","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2006,"month":"styczen","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 16. (4 pkt)\nPara (\n)\nP\n,\nΩ\njest przestrzenią probabilistyczną, a\nΩ\n⊂\nA\ni\nΩ\n⊂\nB\nsą zdarzeniami\nniezależnymi. Wykaż, że jeżeli\n1\n)\n(\n∪B\nA\nP\n, to jedno z tych zdarzeń jest zdarzeniem\npewnym tj. ( )\n1\nA\nP\nlub ( )\n.1\nB\nP\n\n8\nArkusz II","answer":"A, B","answer_text":"16.\n16.3.\nWywnioskowanie, że przynajmniej jedno ze zdarzeń A lub\nB jest zdarzeniem pewnym.\n1\n17.1.\nPodanie przedziałów, w których funkcja jest\nmalejąca:(\n4\n;-\n∞\n,\n4;0\n1\n17.2.\nStwierdzenie, że funkcja osiąga maksimum dla\n0\nx =\n,\npodanie warunku koniecznego i warunku wystarczającego\nistnienia maksimum.\n2","solution":"Przynajmniej jedno ze zdarzeń $A$ lub $B$ jest zdarzeniem pewnym.","image":"img/matematyka-2006-styczen-probna-rozszerzona/zad-16.webp","solution_image":null,"topics":"prawdopodobienstwo","page_from":7,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · styczeń 2006 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2006-styczen-probna-rozszerzona/zad/17","paper_id":"matematyka-2006-styczen-probna-rozszerzona","number":"17","points":5,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2006,"month":"styczen","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 17. (5 pkt)\nRysunek przedstawia wykres pochodnej funkcji f.\na) Podaj maksymalne przedziały, w których funkcja f jest malejąca.\nb) Wyznacz wartość x, dla której funkcja f osiąga maksimum lokalne. Odpowiedź\nuzasadnij.\nc) Wiedząc, że punkt\n(1,2)\nA =\nnależy do wykresu funkcji f , napisz równanie stycznej\ndo krzywej f w punkcie A.\n\n9\nArkusz II","answer":null,"answer_text":"17.\n17.3.\nNapisanie równania kierunkowego stycznej w punkcie A:\n2\n4\ny\nx\n2\n18.1.\nPrzedstawienie metody wyznaczenia współrzędnych punktu\nC (w tym 1 punkt za zapisanie warunku prostopadłości\nprostych)\n2\n18.2.\nWyznaczenie współrzędnych punktu C:\n(3, 0)\nC =\n1\n18.3.\nZapisanie współrzędnych środka okręgu opisanego na\ntrójkącie ABC:\n(3, 5)\nS =\ni długości promienia tego\nokręgu :\n5\nr =\n1\n18.4.\nWyznaczenie współrzędnych środka obrazu okręgu:\n( 3,\n10)\nS = -\n( w tym 1 punkt za metodę).\n2\n18.5.\nZapisanie długości promienia obrazu okręgu: r’=10.\n1","solution":"Funkcja malejąca w przedziałach: $(-\\infty, -4\\rangle$, $\\langle 0, 4\\rangle$. Równanie stycznej: $y = -2x + 4$.","image":"img/matematyka-2006-styczen-probna-rozszerzona/zad-17.webp","solution_image":null,"topics":"funkcje","page_from":8,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · styczeń 2006 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2006-styczen-probna-rozszerzona/zad/18","paper_id":"matematyka-2006-styczen-probna-rozszerzona","number":"18","points":8,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2006,"month":"styczen","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 18. (8 pkt)\nPunkty\n(7,8)\nA =\ni\n( 1,2)\nB = -\nsą wierzchołkami trójkąta ABC, w którym\n0\n90\nBCA =\n)\na) Wyznacz współrzędne wierzchołka C, wiedząc, że leży on na osi OX.\nb) Napisz równanie obrazu okręgu opisanego na trójkącie ABC w jednokładności o środku\nw punkcie\n(1,0)\nP =\ni skali\n2.\nk = -\n\n10\nArkusz II","answer":null,"answer_text":"18.\n18.6.\nZapisanie równania obrazu okręgu:\n2\n2\n(\n3)\n(\n10)\n100\nx\ny\n1","solution":"$(x + 3)^2 + (y + 10)^2 = 100$","image":"img/matematyka-2006-styczen-probna-rozszerzona/zad-18.webp","solution_image":null,"topics":"analityczna","page_from":9,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · styczeń 2006 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2006-styczen-probna-rozszerzona/zad/19","paper_id":"matematyka-2006-styczen-probna-rozszerzona","number":"19","points":6,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2006,"month":"styczen","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 19. (6 pkt)\nDany jest ostrosłup prawidłowy trójkątny, w którym długość krawędzi podstawy jest równa a.\nKąt między krawędzią boczną i krawędzią podstawy ma miarę 45°. Ostrosłup przecięto\npłaszczyzną przechodzącą przez krawędź podstawy i środek przeciwległej jej krawędzi\nbocznej. Sporządź rysunek ostrosłupa i zaznacz otrzymany przekrój. Oblicz pole tego\nprzekroju.\n\n11\nArkusz II","answer":null,"answer_text":"19.\n19.1.\nSporządzenie rysunku ostrosłupa z zaznaczonym\nprzekrojem.\n1\n19.2.\nObliczenie długości krawędzi bocznej ostrosłupa:\n2\n2\na\n1\nMetoda I\n19.3.\nWyznaczenie cosinusa kąta nachylenia krawędzi bocznej\nostrosłupa do płaszczyzny jego podstawy:\n6\ncos\n3\nα =\n1\n19.4.\nObliczenie długości wysokości przekroju:\n6\n4\na\nDE =\n2\nMetoda II\n19.3.\nObliczenie długości boków SD i ES w trójkącie EDS:\n2\na\nSD =\ni\n2\n4\na\nSE =\n1\n19.4.\nObliczenie długości wysokości przekroju:\n6\n4\na\nDE =\n2\nMetoda III\n19.3.\nObliczenie długości odcinka EB:\n10\n4\na\nEB =\n1\n19.4.\nObliczenie długości wysokości przekroju:\n6\n4\na\nDE =\n2\n19.\n19.5.\nObliczenie pola przekroju:\n2\n6\n8\nS\na\n1\n20.1.\nSprawdzenie warunku dla\n1\nn = .\n1\n20.2.\nNapisanie założenia indukcyjnego i tezy indukcyjnej.\n1","solution":"$S = \\dfrac{\\sqrt{6}}{8}a^2$","image":"img/matematyka-2006-styczen-probna-rozszerzona/zad-19.webp","solution_image":null,"topics":"stereometria","page_from":10,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · styczeń 2006 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2006-styczen-probna-rozszerzona/zad/20","paper_id":"matematyka-2006-styczen-probna-rozszerzona","number":"20","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2006,"month":"styczen","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 20. (4 pkt)\nCiąg (\n)\nna\nokreślony jest rekurencyjnie w następujący sposób:\n1\n1\n2\ndla\ndowolnego\n1.\n1\nn\nn\nn\na\na\na\nn\na\n\n\n≥\n\n\nWykaż, korzystając z zasady indukcji matematycznej, że ciąg (\n)\nna\nmożna określić za pomocą\nwzoru ogólnego\n2\n2\n1\nna\nn\n-, gdzie\n1.\nn ≥\n\n12\nArkusz II\nBRUDNOPIS","answer":null,"answer_text":"20.\n20.3.\nPrzeprowadzenie dalszej części dowodu.\n2\nZa prawidłowe rozwiązanie każdego z zadań inną metodą od przedstawionej w schemacie\nprzyznajemy maksymalną liczbę punktów.\nC\nA\nB\nS\nE\nD\na\n∝","solution":"Dowód indukcyjny.","image":"img/matematyka-2006-styczen-probna-rozszerzona/zad-20.webp","solution_image":null,"topics":"ciagi","page_from":11,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · styczeń 2006 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"}]}