{"paper":{"id":"matematyka-2007-maj-matura-podstawowa","subject":"matematyka","category":"matura","year":2007,"month":"maj","level":"podstawowa","variant":null,"exam_pdf":"matematyka-2007-maj-matura-podstawowa/matematyka-2007-maj-matura-podstawowa.pdf","key_pdf":"matematyka-2007-maj-matura-podstawowa-odpowiedzi/matematyka-2007-maj-matura-podstawowa-odpowiedzi.pdf","question_count":11,"source_label":"Matematyka · Matura · maj 2007 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},"questions":[{"id":"matematyka-2007-maj-matura-podstawowa/zad/1","paper_id":"matematyka-2007-maj-matura-podstawowa","number":"1","points":5,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2007,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 1. (5 pkt)\nZnajdź wzór funkcji kwadratowej\n( )\ny\nf x\n, której wykresem jest parabola o wierzchołku\n(1,-9) przechodząca przez punkt o współrzędnych (2,-8). Otrzymaną funkcję przedstaw\nw postaci kanonicznej. Oblicz jej miejsca zerowe i naszkicuj wykres.\nNr czynności\n1.1.\n1.2.\n1.3.\n1.4.\n1.5.\nMaks. liczba pkt\n1\n1\n1\n1\n1\nWypełnia\negzaminator! Uzyskana liczba pkt\n\n3\nPoziom podstawowy\nZnajdź wzór funkcji kwadratowej y=f(x), której wykresem jest parabola o wierzchołku (1,-9) przechodząca przez punkt o współrzędnych (2,-8). Otrzymaną funkcję przedstaw w postaci kanonicznej. Oblicz jej miejsce zerowe i naszkicuj wykres.","answer":null,"answer_text":"1. Sprawdź, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 15 stron (zadania\n1 - 11). Ewentualny brak zgłoś przewodniczącemu zespołu\nnadzorującego egzamin.","solution":"## Poprawna odpowiedź\n\n\\(f(x) = (x-1)^2 - 9\\), miejsca zerowe: \\(x_1 = -2\\), \\(x_2 = 4\\)\n\n## Sposób 1 - Postać kanoniczna z wierzchołka\n\n**Skąd startujemy?** Mamy wierzchołek paraboli \\(W = (1, -9)\\), więc od razu możemy zapisać postać kanoniczną.\n\nPostać kanoniczna to:\n\\[f(x) = a(x - p)^2 + q\\]\ngdzie \\(W = (p, q)\\) jest wierzchołkiem.\n\n**Krok 1.** Podstawiamy wierzchołek \\((p, q) = (1, -9)\\):\n\\[f(x) = a(x - 1)^2 - 9\\]\n\nNie znamy jeszcze \\(a\\). Wyznaczamy go z warunku, że parabola przechodzi przez punkt \\((2, -8)\\), czyli \\(f(2) = -8\\).\n\n**Krok 2.** Podstawiamy \\(x = 2\\), \\(f(x) = -8\\):\n\\[{-8} = a(2 - 1)^2 - 9\\]\n\\[-8 = a \\cdot 1 - 9\\]\n\\[-8 + 9 = a\\]\n\\[\\mathbf{a = 1}\\]\n\n**Krok 3.** Wzór funkcji w postaci kanonicznej:\n\\[\\boxed{f(x) = (x-1)^2 - 9}\\]\n\n**Krok 4.** Wyznaczamy miejsca zerowe - szukamy \\(x\\) takich, że \\(f(x) = 0\\):\n\\[(x-1)^2 - 9 = 0\\]\n\\[(x-1)^2 = 9\\]\n\\[x - 1 = \\pm 3\\]\n\n\\[x_1 = 1 - 3 = -2, \\qquad x_2 = 1 + 3 = 4\\]\n\n**Miejsca zerowe: \\(x_1 = -2\\), \\(x_2 = 4\\).**\n\n**Krok 5. Szkic wykresu.** Parabola otwarta ku górze (\\(a = 1 > 0\\)), wierzchołek \\(W = (1, -9)\\), przecina oś \\(OX\\) w punktach \\((-2, 0)\\) i \\((4, 0)\\), a oś \\(OY\\) w punkcie \\((0, f(0)) = (0-1)^2 - 9 = 1 - 9 = -8\\), czyli \\((0, -8)\\).\n\n## Sposób 2 - Postać ogólna + weryfikacja wzorami Viète'a\n\nRozwijamy postać kanoniczną do ogólnej i weryfikujemy wynik.\n\n**Krok 1.** Rozwijamy:\n\\[f(x) = (x-1)^2 - 9 = x^2 - 2x + 1 - 9 = x^2 - 2x - 8\\]\n\nMamy postać ogólną: \\(a = 1\\), \\(b = -2\\), \\(c = -8\\).\n\n**Krok 2.** Liczymy miejsca zerowe ze wzorów ogólnych:\n\\[\\Delta = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \\cdot 1 \\cdot (-8) = 4 + 32 = 36\\]\n\\[\\sqrt{\\Delta} = 6\\]\n\\[x_1 = \\frac{-b - \\sqrt{\\Delta}}{2a} = \\frac{2 - 6}{2} = \\frac{-4}{2} = -2\\]\n\\[x_2 = \\frac{-b + \\sqrt{\\Delta}}{2a} = \\frac{2 + 6}{2} = \\frac{8}{2} = 4\\]\n\n**Krok 3.** Weryfikacja wzorami Viète'a:\n\\[x_1 + x_2 = -2 + 4 = 2 = -\\frac{b}{a} = -\\frac{-2}{1} = 2 \\checkmark\\]\n\\[x_1 \\cdot x_2 = (-2) \\cdot 4 = -8 = \\frac{c}{a} = \\frac{-8}{1} = -8 \\checkmark\\]\n\nWyniki się zgadzają - rozwiązanie poprawne.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)**\n\nPostać kanoniczna:\n\\[f(x) = a(x-p)^2 + q\\]\nUżyliśmy jej w Sposobie 1 jako punktu startowego - znając wierzchołek \\((p, q)\\), od razu zapisujemy tę postać.\n\nWierzchołek paraboli: \\(W = (p, q)\\), gdzie \\(p = -\\frac{b}{2a}\\), \\(q = -\\frac{\\Delta}{4a}\\) - skorzystaliśmy z odwrotności: mając \\((p,q)\\), wyznaczyliśmy \\(a\\).\n\nWyróżnik i miejsca zerowe (Sposób 2):\n\\[\\Delta = b^2 - 4ac, \\qquad x_{1,2} = \\frac{-b \\pm \\sqrt{\\Delta}}{2a}\\]\n\nWzory Viète'a (weryfikacja):\n\\[x_1 + x_2 = -\\frac{b}{a}, \\qquad x_1 \\cdot x_2 = \\frac{c}{a}\\]\n\n## Typowe pułapki\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Parabola ma wierzchołek w \\((p, q)\\), więc postać kanoniczna to \\(a(x \\mathbf{-} p)^2 + q\\). Jeśli wierzchołek jest w \\((1, -9)\\), piszemy \\((x \\mathbf{-} 1)^2 - 9\\), a **nie** \\((x+1)^2 - 9\\) - to częsty błąd ze znakiem!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie zakładaj z góry, że \\(a = 1\\). Punkt leżący na paraboli to jedyna informacja pozwalająca wyznaczyć \\(a\\) - zawsze podstaw jego współrzędne i rozwiąż równanie.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy rozwiązywaniu \\((x-1)^2 = 9\\) pamiętaj o **dwóch** rozwiązaniach: \\(x - 1 = 3\\) oraz \\(x - 1 = -3\\). Wzięcie tylko jednego pierwiastka to klasyczny błąd, który kosztuje połowę punktów.\n\n**Poprawna odpowiedź:** \\(f(x) = (x-1)^{2} - 9\\); miejsca zerowe: \\(x_1 = -2\\), \\(x_2 = 4\\); wykres - parabola skierowana ramionami w górę z wierzchołkiem \\((1,-9)\\).\n\n### Sposób 1 - Postać kanoniczna z wierzchołkiem\nPostać kanoniczna funkcji kwadratowej o wierzchołku \\((p, q)\\):\n\\[y = a(x-p)^{2} + q.\\]\n\nDla wierzchołka \\((1, -9)\\):\n\\[y = a(x-1)^{2} - 9.\\]\n\n**Wyznaczamy \\(a\\)** - parabola przechodzi przez \\((2, -8)\\):\n\\[-8 = a(2-1)^{2} - 9\\]\n\\[-8 = a - 9\\]\n\\[a = 1.\\]\n\n**Postać kanoniczna:**\n\\[f(x) = (x-1)^{2} - 9.\\]\n\n**Miejsca zerowe** - rozwiązujemy \\((x-1)^{2} - 9 = 0\\) wzorem skróconego mnożenia \\(A^{2} - B^{2} = (A-B)(A+B)\\):\n\\[(x-1-3)(x-1+3) = 0\\]\n\\[(x-4)(x+2) = 0.\\]\n\\[x_1 = -2, \\quad x_2 = 4.\\]\n\n### Sposób 2 - Postać ogólna przez rozwinięcie\nRozwijamy \\((x-1)^{2} - 9 = x^{2} - 2x + 1 - 9 = x^{2} - 2x - 8\\).\n\nMiejsca zerowe wzorem z deltą:\n\\[\\Delta = (-2)^{2} - 4\\cdot 1\\cdot (-8) = 4 + 32 = 36, \\quad \\sqrt{\\Delta} = 6.\\]\n\\[x = \\dfrac{2 \\pm 6}{2} \\Rightarrow x_1 = -2, \\quad x_2 = 4.\\]\n\n### Sposób 3 - Wzory Viète'a (weryfikacja)\nDla \\(x^{2} - 2x - 8\\): \\(x_1 + x_2 = 2\\), \\(x_1 \\cdot x_2 = -8\\). Miejsca \\(-2\\) i \\(4\\): \\(-2 + 4 = 2\\) ✓, \\(-2 \\cdot 4 = -8\\) ✓.\n\n### Szkic wykresu\nParabola o ramionach skierowanych w górę (\\(a = 1 > 0\\)), wierzchołek \\((1, -9)\\), przecina oś \\(OX\\) w punktach \\((-2, 0)\\) i \\((4, 0)\\), oś symetrii \\(x = 1\\). Punkt przecięcia z osią \\(OY\\): \\(f(0) = -8\\).","image":"img/matematyka-2007-maj-matura-podstawowa/zad-1.webp","solution_image":"img/matematyka-2007-maj-matura-podstawowa/sol-1.svg","topics":"funkcje","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2007 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2007-maj-matura-podstawowa/zad/2","paper_id":"matematyka-2007-maj-matura-podstawowa","number":"2","points":3,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2007,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 2. (3 pkt)\nWysokość prowizji, którą klient płaci w pewnym biurze maklerskim przy każdej zawieranej\ntransakcji kupna lub sprzedaży akcji jest uzależniona od wartości transakcji. Zależność ta\nzostała przedstawiona w tabeli:\nWartość transakcji\nWysokość prowizji\ndo 500 zł\n15 zł\nod 500,01 zł do 3000 zł\n2% wartości transakcji + 5 zł\nod 3000,01 zł do 8000 zł\n1,5% wartości transakcji + 20 zł\nod 8000,01 zł do 15000 zł\n1% wartości transakcji + 60 zł\npowyżej 15000 zł\n0,7% wartości transakcji + 105 zł\nKlient zakupił za pośrednictwem tego biura maklerskiego 530 akcji w cenie 25 zł za jedną\nakcję. Po roku sprzedał wszystkie kupione akcje po 45 zł za jedną sztukę. Oblicz, ile zarobił\nna tych transakcjach po uwzględnieniu prowizji, które zapłacił.\nNr czynności\n2.1.\n2.2.\n2.3.\nMaks. liczba pkt\n1\n1\n1\nWypełnia\negzaminator! Uzyskana liczba pkt\n\n4\nPoziom podstawowy\nWysokość prowizji, którą klient płaci w pewnym biurze maklerskim przy każdej zawieranej transakcji kupna lub sprzedaży akcji jest uzależniona od wartości transakcji. Zależność ta została przedstawiona w tabeli. Klient zakupił za pośrednictwem tego biura maklerskiego 530 akcji w cenie 25zł za jedną akcję. Po roku sprzedał wszystkie kupione akcje po 45zł za jedną sztukę. Oblicz, ile zarobił na tych transakcjach po uwzględnieniu prowizji, które zapłacił.","answer":null,"answer_text":"2. Rozwiązania zadań i odpowiedzi zamieść w miejscu na to\nprzeznaczonym.","solution":"## Poprawna odpowiedź: Klient zarobił \\(10\\,135{,}55\\) zł.\n\n## Sposób 1 - Obliczenie krok po kroku (transakcja po transakcji)\n\n**Krok 1: Wartość transakcji kupna**\n\nKlient kupił \\(530\\) akcji po \\(25\\) zł:\n\\[W_{\\text{kupno}} = 530 \\cdot 25 = 13\\,250 \\text{ zł}\\]\n\n**Krok 2: Prowizja od kupna**\n\n\\(13\\,250\\) zł mieści się w przedziale od \\(8000{,}01\\) zł do \\(15\\,000\\) zł, więc prowizja wynosi \\(1\\%\\) wartości \\(+\\, 60\\) zł:\n\\[P_{\\text{kupno}} = 1\\% \\cdot 13\\,250 + 60 = 0{,}01 \\cdot 13\\,250 + 60 = 132{,}50 + 60 = 192{,}50 \\text{ zł}\\]\n\n**Krok 3: Wartość transakcji sprzedaży**\n\nKlient sprzedał \\(530\\) akcji po \\(45\\) zł:\n\\[W_{\\text{sprzedaż}} = 530 \\cdot 45 = 23\\,850 \\text{ zł}\\]\n\n**Krok 4: Prowizja od sprzedaży**\n\n\\(23\\,850\\) zł przekracza \\(15\\,000\\) zł, więc prowizja wynosi \\(0{,}7\\%\\) wartości \\(+\\, 105\\) zł:\n\\[P_{\\text{sprzedaż}} = 0{,}7\\% \\cdot 23\\,850 + 105 = 0{,}007 \\cdot 23\\,850 + 105 = 166{,}95 + 105 = 271{,}95 \\text{ zł}\\]\n\n**Krok 5: Łączny zysk po prowizjach**\n\nZysk brutto (bez prowizji) to różnica ceny sprzedaży i kupna:\n\\[Z_{\\text{brutto}} = W_{\\text{sprzedaż}} - W_{\\text{kupno}} = 23\\,850 - 13\\,250 = 10\\,600 \\text{ zł}\\]\n\nOdejmujemy obie prowizje:\n\\[Z_{\\text{netto}} = 10\\,600 - P_{\\text{kupno}} - P_{\\text{sprzedaż}} = 10\\,600 - 192{,}50 - 271{,}95\\]\n\\[\\boxed{Z_{\\text{netto}} = 10\\,135{,}55 \\text{ zł}}\\]\n\n## Sposób 2 - Wzór ogólny (wszystko w jednym działaniu)\n\nZysk to: przychód ze sprzedaży minus koszt zakupu minus obie prowizje. Możemy zapisać to jednym wyrażeniem:\n\n\\[Z = (530 \\cdot 45) - (530 \\cdot 25) - (0{,}01 \\cdot 13\\,250 + 60) - (0{,}007 \\cdot 23\\,850 + 105)\\]\n\nUpraszczamy po kolei:\n\\[Z = 23\\,850 - 13\\,250 - 132{,}50 - 60 - 166{,}95 - 105\\]\n\\[Z = 23\\,850 - 13\\,250 - 464{,}45\\]\n\\[Z = 10\\,600 - 464{,}45 = 10\\,135{,}55 \\text{ zł}\\]\n\n**Weryfikacja przedziałów prowizyjnych:**\n- Kupno: \\(13\\,250 \\in (8000{,}01;\\, 15\\,000\\rangle\\) ✓ → przedział \\(1\\% + 60\\) zł\n- Sprzedaż: \\(23\\,850 > 15\\,000\\) ✓ → przedział \\(0{,}7\\% + 105\\) zł\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczą podstawowe działania arytmetyczne (mnożenie, procenty, dodawanie i odejmowanie) oraz umiejętność odczytania tabeli prowizji.\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Zawsze sprawdź, do którego przedziału prowizyjnego należy wartość transakcji - błąd o jeden przedział daje zupełnie inny wynik prowizji.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Prowizję płacimy DWA razy - raz przy kupnie, raz przy sprzedaży. Pominięcie jednej z prowizji to najczęstszy błąd w tym zadaniu.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy obliczaniu \\(0{,}7\\%\\) łatwo pomylić się i wpisać \\(0{,}07\\) zamiast \\(0{,}007\\). Pamiętaj: \\(0{,}7\\% = \\frac{0{,}7}{100} = 0{,}007\\).\n\n**Poprawna odpowiedź:** zysk \\(= 10\\,135{,}55\\) zł.\n\n### Sposób 1 - Krok po kroku\n**Krok 1 - wartość transakcji:**\n- Zakup: \\(530 \\cdot 25 = 13\\,250\\) zł.\n- Sprzedaż: \\(530 \\cdot 45 = 23\\,850\\) zł.\n\n**Krok 2 - prowizje według tabeli:**\n\n*Transakcja kupna* (\\(13\\,250\\) zł) mieści się w przedziale \\(8\\,000{,}01 - 15\\,000\\) zł, więc prowizja:\n\\[13\\,250 \\cdot 0{,}01 + 60 = 132{,}50 + 60 = 192{,}50 \\text{ zł}.\\]\n\n*Transakcja sprzedaży* (\\(23\\,850\\) zł) to przedział powyżej \\(15\\,000\\) zł, więc:\n\\[23\\,850 \\cdot 0{,}007 + 105 = 166{,}95 + 105 = 271{,}95 \\text{ zł}.\\]\n\n**Krok 3 - zysk:**\n\\[Z = \\text{przychód} - \\text{koszt zakupu} - \\text{suma prowizji}\\]\n\\[Z = 23\\,850 - 13\\,250 - (192{,}50 + 271{,}95)\\]\n\\[Z = 10\\,600 - 464{,}45 = 10\\,135{,}55 \\text{ zł}.\\]\n\n### Sposób 2 - Zysk brutto i netto\nZysk brutto (bez prowizji):\n\\[Z_b = (45 - 25) \\cdot 530 = 20 \\cdot 530 = 10\\,600 \\text{ zł}.\\]\n\nŁączna prowizja: \\(192{,}50 + 271{,}95 = 464{,}45\\) zł.\n\nZysk netto:\n\\[Z = 10\\,600 - 464{,}45 = 10\\,135{,}55 \\text{ zł}.\\]\n\n### Komentarz dydaktyczny\nKluczowe jest poprawne przyporządkowanie wartości transakcji do odpowiedniego przedziału w tabeli. Granica \\(15\\,000\\) zł: \\(13\\,250\\) zł jest w przedziale \\(\\langle 8\\,000{,}01; 15\\,000\\rangle\\), a \\(23\\,850\\) zł - „powyżej \\(15\\,000\\) zł\".","image":"img/matematyka-2007-maj-matura-podstawowa/zad-2.webp","solution_image":"img/matematyka-2007-maj-matura-podstawowa/sol-2.svg","topics":"algebra","page_from":3,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2007 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2007-maj-matura-podstawowa/zad/3","paper_id":"matematyka-2007-maj-matura-podstawowa","number":"3","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2007,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 3. (4 pkt)\nKorzystając z danych przedstawionych na rysunku, oblicz wartość wyrażenia:\n2\n2\ntg\n5sin\nctg\n1 cos\nβ\nβ\nα\nα\n⋅\nNr czynności\n3.1.\n3.2.\n3.3.\n3.4.\nMaks. liczba pkt\n1\n1\n1\n1\nWypełnia\negzaminator! Uzyskana liczba pkt\ni\nA\nB\nC\nα\nβ\n6\n8\n\n5\nPoziom podstawowy\nKorzystając z danych przedstawionych na rysunku, oblicz wartość wyrażenia.","answer":null,"answer_text":"3. W\nrozwiązaniach\nzadań\nprzedstaw\ntok\nrozumowania\nprowadzący do ostatecznego wyniku.","solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(-\\dfrac{133}{45}\\)\n\n## Sposób 1 - Wyznaczenie wartości trygonometrycznych z trójkąta i podstawienie\n\n**Krok 1: Oblicz przeciwprostokątną**\n\n\\[|AB| = \\sqrt{|AC|^2 + |BC|^2} = \\sqrt{8^2 + 6^2} = \\sqrt{64 + 36} = \\sqrt{100} = 10\\]\n\n**Krok 2: Wypisz wartości trygonometryczne**\n\nKąt \\(\\alpha\\) przy wierzchołku \\(A\\) - naprzeciwko leży bok \\(BC = 6\\), przyległy \\(AC = 8\\):\n\\[\\sin\\alpha = \\frac{6}{10} = \\frac{3}{5}, \\quad \\cos\\alpha = \\frac{8}{10} = \\frac{4}{5}, \\quad \\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{6}{8} = \\frac{3}{4}, \\quad \\operatorname{ctg}\\alpha = \\frac{4}{3}\\]\n\nKąt \\(\\beta\\) przy wierzchołku \\(B\\) - naprzeciwko leży bok \\(AC = 8\\), przyległy \\(BC = 6\\):\n\\[\\sin\\beta = \\frac{8}{10} = \\frac{4}{5}, \\quad \\cos\\beta = \\frac{6}{10} = \\frac{3}{5}, \\quad \\operatorname{tg}\\beta = \\frac{8}{6} = \\frac{4}{3}\\]\n\n**Krok 3: Uprość \\(\\sqrt{1 - \\cos^2\\alpha}\\)**\n\nZ jedynki trygonometrycznej: \\(\\sin^2\\alpha + \\cos^2\\alpha = 1\\), więc \\(1 - \\cos^2\\alpha = \\sin^2\\alpha\\).\n\n\\[\\sqrt{1 - \\cos^2\\alpha} = \\sqrt{\\sin^2\\alpha} = |\\sin\\alpha| = \\sin\\alpha = \\frac{3}{5}\\]\n\n(kąt ostry, więc wartość dodatnia)\n\n**Krok 4: Oblicz każdy składnik wyrażenia**\n\n\\[\\operatorname{tg}^2\\beta = \\left(\\frac{4}{3}\\right)^2 = \\frac{16}{9}\\]\n\n\\[5\\sin\\beta \\cdot \\operatorname{ctg}\\alpha = 5 \\cdot \\frac{4}{5} \\cdot \\frac{4}{3} = 4 \\cdot \\frac{4}{3} = \\frac{16}{3}\\]\n\n\\[\\sqrt{1 - \\cos^2\\alpha} = \\frac{3}{5}\\]\n\n**Krok 5: Podstaw do wyrażenia - wspólny mianownik to 45**\n\n\\[\\frac{16}{9} - \\frac{16}{3} + \\frac{3}{5} = \\frac{80}{45} - \\frac{240}{45} + \\frac{27}{45} = \\frac{80 - 240 + 27}{45} = \\boxed{-\\frac{133}{45}}\\]\n\n## Sposób 2 - Kąty komplementarne (sprytne skrócenie)\n\nPonieważ \\(\\alpha + \\beta = 90°\\) (suma kątów ostrych w trójkącie prostokątnym), możemy skorzystać z zależności:\n\\[\\sin\\beta = \\cos\\alpha, \\quad \\operatorname{ctg}\\alpha = \\operatorname{tg}\\alpha^{-1} = \\frac{\\cos\\alpha}{\\sin\\alpha}\\]\n\nUprośćmy środkowy składnik:\n\\[5\\sin\\beta \\cdot \\operatorname{ctg}\\alpha = 5\\cos\\alpha \\cdot \\frac{\\cos\\alpha}{\\sin\\alpha} = \\frac{5\\cos^2\\alpha}{\\sin\\alpha} = \\frac{5 \\cdot \\frac{16}{25}}{\\frac{3}{5}} = \\frac{\\frac{16}{5}}{\\frac{3}{5}} = \\frac{16}{3}\\]\n\nWynik taki sam jak w Sposobie 1 - potwierdzamy \\(-\\dfrac{133}{45}\\).\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 9 (Trygonometria, s. 11-12)** - definicje funkcji trygonometrycznych w trójkącie prostokątnym:\n\\[\\sin\\alpha = \\frac{\\text{przeciwprostokątna}}{\\text{naprzeciwległy}}, \\quad \\cos\\alpha = \\frac{\\text{przyległy}}{\\text{przeciwprostokątna}}, \\quad \\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{\\text{przeciwległy}}{\\text{przyległy}}\\]\nUżyliśmy do wyznaczenia wszystkich wartości trygonometrycznych.\n\n**Dział 9 (Trygonometria, s. 11)** - jedynka trygonometryczna:\n\\[\\sin^2\\alpha + \\cos^2\\alpha = 1\\]\nUżyliśmy do uproszczenia \\(\\sqrt{1 - \\cos^2\\alpha} = \\sin\\alpha\\).\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 15)** - twierdzenie Pitagorasa:\n\\[a^2 + b^2 = c^2\\]\nUżyliśmy do obliczenia długości przeciwprostokątnej \\(|AB| = 10\\).\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\(\\sqrt{1 - \\cos^2\\alpha}\\) to NIE jest \\(1 - \\cos\\alpha\\)! To \\(\\sqrt{\\sin^2\\alpha} = \\sin\\alpha\\). Bardzo częsty błąd - pominięcie pierwiastka lub błędne uproszczenie.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy wyznaczaniu \\(\\sin\\alpha\\) i \\(\\sin\\beta\\) pamiętaj, który kąt jest przy którym wierzchołku. Kąt \\(\\alpha\\) leży przy \\(A\\), więc naprzeciwko niego jest bok \\(BC = 6\\), a NIE \\(AC = 8\\). Zamiana tych boków to najczęstszy błąd w tym zadaniu.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\(\\operatorname{ctg}\\alpha = \\frac{\\cos\\alpha}{\\sin\\alpha} = \\frac{1}{\\operatorname{tg}\\alpha}\\) - kotangensa nie ma wprost na karcie wzorów CKE, ale wynika z definicji. Nie myl z \\(\\operatorname{tg}\\alpha\\)!\n\n**Poprawna odpowiedź:** wartość wyrażenia \\(= -\\dfrac{133}{45}\\).\n\n### Sposób 1 - Obliczenie przeciwprostokątnej i funkcji trygonometrycznych\n**Krok 1 - długość \\(|AB|\\) (twierdzenie Pitagorasa):**\n\\[|AB| = \\sqrt{|AC|^{2} + |BC|^{2}} = \\sqrt{8^{2} + 6^{2}} = \\sqrt{64 + 36} = \\sqrt{100} = 10.\\]\n\n**Krok 2 - funkcje trygonometryczne kąta \\(\\alpha\\)** (przy \\(A\\)):\n- przyprostokątna leżąca przy kącie: \\(|AC| = 8\\),\n- przyprostokątna leżąca naprzeciw kąta: \\(|BC| = 6\\),\n- przeciwprostokątna: \\(|AB| = 10\\).\n\n\\[\\sin\\alpha = \\dfrac{6}{10} = \\dfrac{3}{5}, \\quad \\cos\\alpha = \\dfrac{8}{10} = \\dfrac{4}{5}, \\quad \\mathrm{tg}\\,\\alpha = \\dfrac{6}{8} = \\dfrac{3}{4}, \\quad \\mathrm{ctg}\\,\\alpha = \\dfrac{8}{6} = \\dfrac{4}{3}.\\]\n\n**Krok 3 - funkcje trygonometryczne kąta \\(\\beta\\)** (przy \\(B\\)):\n- przyprostokątna leżąca przy kącie: \\(|BC| = 6\\),\n- przyprostokątna naprzeciw kąta: \\(|AC| = 8\\).\n\n\\[\\sin\\beta = \\dfrac{8}{10} = \\dfrac{4}{5}, \\quad \\cos\\beta = \\dfrac{6}{10} = \\dfrac{3}{5}, \\quad \\mathrm{tg}\\,\\beta = \\dfrac{8}{6} = \\dfrac{4}{3}.\\]\n\n**Krok 4 - obliczenie wyrażenia:**\n\n\\(\\mathrm{tg}^{2}\\beta = \\left(\\dfrac{4}{3}\\right)^{2} = \\dfrac{16}{9}.\\)\n\n\\(5\\sin\\beta \\cdot \\mathrm{ctg}\\,\\alpha = 5 \\cdot \\dfrac{4}{5} \\cdot \\dfrac{4}{3} = \\dfrac{16}{3}.\\)\n\n\\(\\sqrt{1 - \\cos^{2}\\alpha} = \\sqrt{\\sin^{2}\\alpha} = |\\sin\\alpha| = \\dfrac{3}{5}\\) (bo \\(\\alpha\\) jest kątem ostrym).\n\nPodstawiamy:\n\\[W = \\dfrac{16}{9} - \\dfrac{16}{3} + \\dfrac{3}{5}.\\]\n\nWspólny mianownik \\(45\\):\n\\[W = \\dfrac{16 \\cdot 5}{45} - \\dfrac{16 \\cdot 15}{45} + \\dfrac{3 \\cdot 9}{45} = \\dfrac{80 - 240 + 27}{45} = \\dfrac{-133}{45} = -\\dfrac{133}{45}.\\]\n\n### Sposób 2 - Uproszczenie z jedynki trygonometrycznej\nZ jedynki trygonometrycznej: \\(1 - \\cos^{2}\\alpha = \\sin^{2}\\alpha\\). Dla kąta ostrego \\(\\alpha\\): \\(\\sqrt{\\sin^{2}\\alpha} = \\sin\\alpha\\).\n\nZauważamy też, że \\(\\alpha + \\beta = 90°\\) (kąty ostre w trójkącie prostokątnym), więc \\(\\sin\\beta = \\cos\\alpha = \\dfrac{4}{5}\\) i \\(\\mathrm{tg}\\,\\beta = \\mathrm{ctg}\\,\\alpha = \\dfrac{4}{3}\\).\n\nWyrażenie przyjmuje postać:\n\\[W = \\mathrm{ctg}^{2}\\alpha - 5\\cos\\alpha \\cdot \\mathrm{ctg}\\,\\alpha + \\sin\\alpha = \\dfrac{16}{9} - \\dfrac{16}{3} + \\dfrac{3}{5} = -\\dfrac{133}{45}.\\]\n\n### Komentarz\nTypowy trójkąt 6-8-10 (skala trójkąta 3-4-5). Warto zapamiętać wartości funkcji w trójkącie pitagorejskim: dla kąta leżącego przy przyprostokątnej \\(4\\) mamy \\(\\sin = \\dfrac{3}{5}\\), \\(\\cos = \\dfrac{4}{5}\\).","image":"img/matematyka-2007-maj-matura-podstawowa/zad-3.webp","solution_image":"img/matematyka-2007-maj-matura-podstawowa/sol-3.svg","topics":"trygonometria","page_from":4,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2007 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2007-maj-matura-podstawowa/zad/4","paper_id":"matematyka-2007-maj-matura-podstawowa","number":"4","points":5,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2007,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 4. (5 pkt)\nSamochód przebył w pewnym czasie 210 km. Gdyby jechał ze średnią prędkością o 10 km/h\nwiększą, to czas przejazdu skróciłby się o pół godziny. Oblicz, z jaką średnią prędkością\njechał ten samochód.\nNr czynności\n4.1.\n4.2.\n4.3.\n4.4.\n4.5.\nMaks. liczba pkt\n1\n1\n1\n1\n1\nWypełnia\negzaminator! Uzyskana liczba pkt\n\n6\nPoziom podstawowy\nSamochód przebył w pewnym czasie 210km. Gdyby jechał ze średnią prędkością o 10 km/h większą, to czas przejazdu skróciłby się o pół godziny. Oblicz, z jaką średnią prędkością jechał ten samochód.","answer":null,"answer_text":"4. Pisz czytelnie. Używaj długopisu/pióra tylko z czarnym\ntuszem/atramentem.","solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(v = 60\\) km/h\n\n## Sposób 1 - równanie z jedną niewiadomą (czas przejazdu)\n\n**Wprowadzamy oznaczenia.**\n\nNiech \\(v\\) [km/h] - szukana średnia prędkość samochodu.\n\nKorzystamy ze wzoru:\n\\[\\text{czas} = \\frac{\\text{droga}}{\\text{prędkość}}\\]\n\n- Czas przy prędkości \\(v\\): \\(\\quad t_1 = \\frac{210}{v}\\) [h]\n- Czas przy prędkości \\(v + 10\\): \\(\\quad t_2 = \\frac{210}{v+10}\\) [h]\n\n**Warunek zadania:** czas skrócił się o **pół godziny**, czyli:\n\\[t_1 - t_2 = \\frac{1}{2}\\]\n\nPodstawiamy:\n\\[\\frac{210}{v} - \\frac{210}{v+10} = \\frac{1}{2}\\]\n\nMnożymy obie strony przez \\(2v(v+10)\\), gdzie \\(v > 0\\):\n\\[2 \\cdot 210(v+10) - 2 \\cdot 210v = v(v+10)\\]\n\\[420v + 4200 - 420v = v^2 + 10v\\]\n\\[4200 = v^2 + 10v\\]\n\nPrzenosimy na jedną stronę:\n\\[v^2 + 10v - 4200 = 0\\]\n\nWyznaczamy wyróżnik:\n\\[\\Delta = 10^2 + 4 \\cdot 4200 = 100 + 16800 = 16900\\]\n\\[\\sqrt{\\Delta} = \\sqrt{16900} = 130\\]\n\nPierwiastki:\n\\[v_1 = \\frac{-10 - 130}{2} = \\frac{-140}{2} = -70\\]\n\\[v_2 = \\frac{-10 + 130}{2} = \\frac{120}{2} = 60\\]\n\nPrędkość musi być dodatnia, więc \\(v = -70\\) **odrzucamy**.\n\n**Samochód jechał ze średnią prędkością \\(v = 60\\) km/h.**\n\n## Sposób 2 - weryfikacja wyniku (sprawdzenie w treści zadania)\n\nSprawdzamy, czy \\(v = 60\\) km/h spełnia warunki zadania.\n\n- Czas przy \\(v = 60\\) km/h:\n\\[t_1 = \\frac{210}{60} = 3{,}5 \\text{ h}\\]\n\n- Czas przy \\(v + 10 = 70\\) km/h:\n\\[t_2 = \\frac{210}{70} = 3 \\text{ h}\\]\n\n- Różnica czasów:\n\\[t_1 - t_2 = 3{,}5 - 3 = 0{,}5 \\text{ h} = 30 \\text{ min} \\checkmark\\]\n\nWarunek spełniony. **Odpowiedź jest poprawna.**\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)** - wzór na pierwiastki trójmianu kwadratowego:\n\\[v_{1,2} = \\frac{-b \\pm \\sqrt{\\Delta}}{2a}, \\quad \\Delta = b^2 - 4ac\\]\nUżyliśmy do rozwiązania równania \\(v^2 + 10v - 4200 = 0\\) (tu: \\(a = 1\\), \\(b = 10\\), \\(c = -4200\\)).\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Pół godziny to \\(\\frac{1}{2}\\), **nie** \\(\\frac{1}{30}\\)! Jednostką czasu w zadaniu jest godzina (bo droga w km, prędkość w km/h). Zamiana minut na godziny to najczęstszy błąd.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Równanie \\(\\frac{210}{v} - \\frac{210}{v+10} = \\frac{1}{2}\\) ma dwa pierwiastki: \\(60\\) i \\(-70\\). Zawsze sprawdź dziedzinę - prędkość nie może być ujemna. Odrzuć wynik fizycznie bezsensowny.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy mnożeniu obu stron przez \\(2v(v+10)\\) upewnij się, że poprawnie rozwijasz nawiasy - tu \\(420v + 4200 - 420v\\), człony \\(420v\\) się redukują i dostajesz samo \\(4200\\). Łatwo tu o błąd rachunkowy.\n\n**Poprawna odpowiedź:** samochód jechał ze średnią prędkością \\(60\\) km/h.\n\n### Sposób 1 - Równanie z zależnością czas-droga\n**Oznaczenia:**\n- \\(v\\) - średnia prędkość samochodu (km/h), \\(v > 0\\),\n- \\(\\dfrac{210}{v}\\) - czas przejazdu ze średnią prędkością \\(v\\),\n- \\(\\dfrac{210}{v+10}\\) - czas przejazdu ze średnią prędkością \\(v + 10\\).\n\n**Warunek zadania** - różnica czasów \\(= \\dfrac{1}{2}\\) godziny:\n\\[\\dfrac{210}{v} - \\dfrac{210}{v+10} = \\dfrac{1}{2}.\\]\n\n**Rozwiązanie** - mnożymy obie strony przez \\(2v(v+10)\\) (dodatnie):\n\\[420(v+10) - 420v = v(v+10)\\]\n\\[4200 = v^{2} + 10v\\]\n\\[v^{2} + 10v - 4200 = 0.\\]\n\nDelta: \\(\\Delta = 100 + 4\\cdot 4200 = 100 + 16\\,800 = 16\\,900\\), \\(\\sqrt{\\Delta} = 130\\).\n\n\\[v = \\dfrac{-10 \\pm 130}{2} \\Rightarrow v_1 = 60, \\quad v_2 = -70.\\]\n\n**Odrzucamy** \\(v_2 = -70\\) (prędkość musi być dodatnia).\n\n**Odpowiedź:** \\(v = 60\\) km/h.\n\n**Sprawdzenie:**\n- Czas z prędkością \\(60\\): \\(\\dfrac{210}{60} = 3{,}5\\) h.\n- Czas z prędkością \\(70\\): \\(\\dfrac{210}{70} = 3\\) h.\n- Różnica: \\(0{,}5\\) h ✓.\n\n### Sposób 2 - Zmienna jako czas\nNiech \\(t\\) - czas jazdy z prędkością \\(v\\) (w godzinach). Wtedy:\n\\[v = \\dfrac{210}{t}, \\quad v + 10 = \\dfrac{210}{t - 0{,}5}.\\]\n\nZ pierwszego: \\(v = \\dfrac{210}{t}\\). Podstawiamy:\n\\[\\dfrac{210}{t} + 10 = \\dfrac{210}{t - 0{,}5}.\\]\n\nMnożymy przez \\(t(t-0{,}5)\\):\n\\[210(t-0{,}5) + 10t(t-0{,}5) = 210t\\]\n\\[210t - 105 + 10t^{2} - 5t = 210t\\]\n\\[10t^{2} - 5t - 105 = 0 \\quad | \\div 5\\]\n\\[2t^{2} - t - 21 = 0.\\]\n\n\\(\\Delta = 1 + 168 = 169\\), \\(\\sqrt{\\Delta} = 13\\):\n\\[t = \\dfrac{1+13}{4} = 3{,}5 \\text{ h}.\\]\n\nStąd \\(v = \\dfrac{210}{3{,}5} = 60\\) km/h.\n\n### Komentarz dydaktyczny\nTypowe zadanie z ruchu: zawsze wygodnie wprowadzić zmienną dla prędkości lub czasu i wykorzystać zależność \\(s = v \\cdot t\\). Sprawdzenie końcowe (czas \\(3{,}5\\) h vs \\(3\\) h) potwierdza, że warunek „różnica \\(0{,}5\\) h\" jest spełniony.","image":"img/matematyka-2007-maj-matura-podstawowa/zad-4.webp","solution_image":"img/matematyka-2007-maj-matura-podstawowa/sol-4.svg","topics":"rownania_i_nierownosci","page_from":5,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2007 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2007-maj-matura-podstawowa/zad/5","paper_id":"matematyka-2007-maj-matura-podstawowa","number":"5","points":5,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2007,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 5. (5 pkt)\nDany jest ciąg arytmetyczny (\n)\nna\n, gdzie\n1\nn ≥. Wiadomo, że dla każdego\n1\nn ≥ suma\nn początkowych wyrazów\n1\n2\nn\nn\nS\na\na\na\nwyraża się wzorem:\n2\n13\nn\nS\nn\nn\na) Wyznacz wzór na n-ty wyraz ciągu (\n)\nna\nb) Oblicz\n2007\na\nc) Wyznacz liczbę n, dla której\n0\nna =\nNr czynności\n5.1.\n5.2.\n5.3.\n5.4.\n5.5.\nMaks. liczba pkt\n1\n1\n1\n1\n1\nWypełnia\negzaminator! Uzyskana liczba pkt\n\n7\nPoziom podstawowy\nDany jest ciąg arytmetyczny a_n, gdzie n>=1. Wiadomo, że dla każdego n>=1 suma n początkowych wyrazów S_n=a_1+a_2+...+a_n wyraża się wzorem S_n = -n^2+13n. a) Wyznacz wzór na n-ty wyraz ciągu (a_n). b) Oblicz a_{2007}.c) Wyznacz liczbę n, dla której a_n=0.","answer":null,"answer_text":"5. Nie używaj korektora, a błędne zapisy przekreśl.","solution":"## Poprawna odpowiedź:\na) \\(a_n = -2n + 14\\)\nb) \\(a_{2007} = -4000\\)\nc) \\(n = 7\\)\n\n## Sposób 1 - wzór \\(a_n = S_n - S_{n-1}\\)\n\nKluczowa obserwacja: dla \\(n \\geq 2\\) zachodzi\n\\[a_n = S_n - S_{n-1}\\]\nbo \\(S_n\\) to suma \\(n\\) wyrazów, a \\(S_{n-1}\\) to suma \\(n-1\\) wyrazów - różnica to właśnie \\(n\\)-ty wyraz.\n\n**Krok 1.** Obliczamy \\(S_{n-1}\\), podstawiając \\(n-1\\) w miejsce \\(n\\):\n\\[S_{n-1} = -(n-1)^2 + 13(n-1) = -(n^2 - 2n + 1) + 13n - 13 = -n^2 + 2n - 1 + 13n - 13\\]\n\\[S_{n-1} = -n^2 + 15n - 14\\]\n\n**Krok 2.** Odejmujemy:\n\\[a_n = S_n - S_{n-1} = (-n^2 + 13n) - (-n^2 + 15n - 14)\\]\n\\[a_n = -n^2 + 13n + n^2 - 15n + 14\\]\n\\[\\boxed{a_n = -2n + 14}\\]\n\n**Krok 3.** Sprawdzamy dla \\(n = 1\\) (wzór \\(a_n = S_n - S_{n-1}\\) działa tylko dla \\(n \\geq 2\\), więc \\(a_1\\) liczymy osobno):\n\\[a_1 = S_1 = -1^2 + 13 \\cdot 1 = 12\\]\nWzór daje: \\(a_1 = -2 \\cdot 1 + 14 = 12\\) ✓ - wzór działa też dla \\(n = 1\\).\n\n**Część b)** Podstawiamy \\(n = 2007\\):\n\\[a_{2007} = -2 \\cdot 2007 + 14 = -4014 + 14 = \\mathbf{-4000}\\]\n\n**Część c)** Szukamy \\(n\\) takiego, że \\(a_n = 0\\):\n\\[-2n + 14 = 0\\]\n\\[2n = 14\\]\n\\[\\mathbf{n = 7}\\]\n\nSprawdzenie: \\(a_7 = -2 \\cdot 7 + 14 = -14 + 14 = 0\\) ✓\n\n## Sposób 2 - porównanie współczynników (czytanie \\(a_1\\) i \\(r\\) z \\(S_n\\))\n\nDla ciągu arytmetycznego z pierwszym wyrazem \\(a_1\\) i różnicą \\(r\\) znamy ogólny wzór:\n\\[S_n = a_1 n + \\frac{r}{2}n(n-1) = \\frac{r}{2}n^2 + \\left(a_1 - \\frac{r}{2}\\right)n\\]\n\nJest to wielomian stopnia 2 w zmiennej \\(n\\). Porównujemy go ze wzorem danym w zadaniu:\n\\[S_n = -n^2 + 13n\\]\n\nPorównanie współczynników:\n\n| Współczynnik | Z wzoru ogólnego | Z zadania | Wynik |\n| przy \\(n^2\\) | \\(\\dfrac{r}{2}\\) | \\(-1\\) | \\(r = -2\\) |\n| przy \\(n\\) | \\(a_1 - \\dfrac{r}{2}\\) | \\(13\\) | \\(a_1 - (-1) = 13\\), więc \\(a_1 = 12\\) |\n\n**Teraz korzystamy ze wzoru na \\(n\\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego:**\n\\[a_n = a_1 + (n-1) \\cdot r = 12 + (n-1) \\cdot (-2) = 12 - 2n + 2 = -2n + 14\\]\n\nWynik identyczny jak w Sposobie 1 ✓\n\n**Weryfikacja** - sprawdzamy kilka wyrazów:\n- \\(a_1 = 12\\), \\(a_2 = 10\\), \\(a_3 = 8\\) - różnica stała \\(r = -2\\) ✓\n- \\(S_2 = 12 + 10 = 22\\), wzór: \\(-4 + 26 = 22\\) ✓\n- \\(S_3 = 12 + 10 + 8 = 30\\), wzór: \\(-9 + 39 = 30\\) ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 8 (Ciągi, s. 9-10)** - wzory dla ciągu arytmetycznego:\n\n\\[a_n = a_1 + (n-1)r\\]\n\\[S_n = \\frac{a_1 + a_n}{2} \\cdot n = \\frac{2a_1 + (n-1)r}{2} \\cdot n\\]\n\nUżyliśmy ich w Sposobie 2 do wyznaczenia \\(a_1\\) i \\(r\\) z postaci \\(S_n\\), a następnie do zapisania wzoru na \\(a_n\\).\n\nW Sposobie 1 korzystaliśmy z własności ogólnej sumy \\(a_n = S_n - S_{n-1}\\), która wynika bezpośrednio z definicji - nie jest osobno wymieniona na karcie, ale jest fundamentem rozumowania.\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wzór \\(a_n = S_n - S_{n-1}\\) działa tylko dla \\(n \\geq 2\\). Dla \\(n = 1\\) zawsze trzeba sprawdzić osobno, czy \\(a_1 = S_1\\) zgadza się ze wzorem - w tym zadaniu tak, ale nie zawsze tak jest!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy rozwijaniu \\(S_{n-1} = -(n-1)^2 + 13(n-1)\\) łatwo o błąd znakowy: \\(-(n-1)^2 = -(n^2 - 2n + 1) = -n^2 + 2n - 1\\), **nie** \\(-n^2 - 2n + 1\\). Zawsze rozwijaj nawias przed zmianą znaku!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** W części c) pamiętaj, że \\(n\\) musi być **liczbą naturalną** (\\(n \\geq 1\\)). Gdyby wynik wyszedł np. \\(n = 6{,}5\\) - taki wyraz w ciągu nie istnieje i zadanie nie miałoby odpowiedzi.\n\n**Poprawne odpowiedzi:** \\(a_n = -2n + 14\\); \\(a_{2007} = -4000\\); \\(a_n = 0\\) dla \\(n = 7\\).\n\n### Sposób 1 - Własność sum częściowych \\(a_n = S_n - S_{n-1}\\)\n**a) Wzór na \\(n\\)-ty wyraz ciągu:**\n\nDla \\(n \\ge 2\\) zachodzi:\n\\[a_n = S_n - S_{n-1}.\\]\n\nObliczamy \\(S_{n-1}\\), podstawiając \\(n \\to n-1\\):\n\\[S_{n-1} = -(n-1)^{2} + 13(n-1) = -(n^{2} - 2n + 1) + 13n - 13 = -n^{2} + 15n - 14.\\]\n\nWtedy:\n\\[a_n = (-n^{2} + 13n) - (-n^{2} + 15n - 14) = -n^{2} + 13n + n^{2} - 15n + 14 = -2n + 14.\\]\n\nSprawdzenie dla \\(n = 1\\): \\(a_1 = S_1 = -1 + 13 = 12\\); ze wzoru \\(a_1 = -2 + 14 = 12\\) ✓. Wzór obowiązuje dla wszystkich \\(n \\ge 1\\).\n\n**b) Wartość \\(a_{2007}\\):**\n\\[a_{2007} = -2 \\cdot 2007 + 14 = -4014 + 14 = -4000.\\]\n\n**c) Rozwiązanie \\(a_n = 0\\):**\n\\[-2n + 14 = 0 \\Rightarrow n = 7.\\]\n\n### Sposób 2 - Własność ciągu arytmetycznego\nDla ciągu arytmetycznego z sumą \\(S_n = An^{2} + Bn\\) (tu \\(A = -1\\), \\(B = 13\\)) można skorzystać z tożsamości:\n\\[a_n = 2An - A + B.\\]\n\nPodstawiamy: \\(a_n = 2\\cdot(-1)\\cdot n - (-1) + 13 = -2n + 1 + 13 = -2n + 14.\\)\n\nPierwszy wyraz: \\(a_1 = 12\\), różnica: \\(r = -2\\). Weryfikacja ze wzorem na sumę:\n\\[S_n = \\dfrac{a_1 + a_n}{2}\\cdot n = \\dfrac{12 + (-2n+14)}{2}\\cdot n = \\dfrac{26 - 2n}{2}\\cdot n = (13-n)n = -n^{2} + 13n.\\] ✓\n\n### Sposób 3 - Układ równań \\(a_1\\) i \\(r\\)\n\\(S_1 = a_1 = 12\\); \\(S_2 = a_1 + a_2 = -4 + 26 = 22\\); stąd \\(a_2 = 10\\), więc \\(r = a_2 - a_1 = -2\\).\n\nWzór na \\(n\\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego:\n\\[a_n = a_1 + (n-1)r = 12 + (n-1)\\cdot(-2) = 12 - 2n + 2 = -2n + 14.\\]\n\nDalej jak w sposobie 1.\n\n### Komentarz\nCiąg jest arytmetyczny malejący (\\(r = -2\\)). Warto zapamiętać, że jeśli \\(S_n\\) jest wielomianem drugiego stopnia od \\(n\\) (bez wyrazu stałego), to ciąg jest arytmetyczny.","image":"img/matematyka-2007-maj-matura-podstawowa/zad-5.webp","solution_image":"img/matematyka-2007-maj-matura-podstawowa/sol-5.svg","topics":"ciagi","page_from":6,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2007 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2007-maj-matura-podstawowa/zad/6","paper_id":"matematyka-2007-maj-matura-podstawowa","number":"6","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2007,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 6. (4 pkt)\nDany jest wielomian\n( )\n3\n2\n2\n14\nW x\nx\nax\nx\nb\na)\nDla\n0\na =\ni\n0\nb =\notrzymamy wielomian\n( )\n3\n2\n14\nW x\nx\nx\n. Rozwiąż równanie\n3\n2\n14\n0\nx\nx\nb) Dobierz wartości a i b tak, aby wielomian W(x) był podzielny jednocześnie przez\n2\nx -\noraz przez\n3\nx + .\nNr czynności\n6.1.\n6.2.\n6.3.\n6.4.\nMaks. liczba pkt\n1\n1\n1\n1\nWypełnia\negzaminator! Uzyskana liczba pkt\n\n8\nPoziom podstawowy\nDany jest wielomian W(x)=2x^3+ax^2-14x+b. a) Dla a=0 i b=0 otrzymamy wielomian W(x)=2x^3-14x. Rozwiąż równanie 2x^3-14x=0. b) Dobierz wartości a i b tak, aby wielomian W(x) był podzielny jednocześnie przez x-2 oraz przez x+3.","answer":null,"answer_text":"6. Pamiętaj, że zapisy w brudnopisie nie podlegają ocenie.","solution":"## Poprawna odpowiedź:\n\n**a)** \\(x_1 = 0,\\quad x_2 = \\sqrt{7},\\quad x_3 = -\\sqrt{7}\\)\n\n**b)** \\(a = 0,\\quad b = 12\\), czyli \\(W(x) = 2x^3 - 14x + 12\\)\n\n## Sposób 1 - wyłączanie czynnika wspólnego (część a) + układ równań z twierdzenia Bézouta (część b)\n\n### Część a)\n\nMamy równanie:\n\\[2x^3 - 14x = 0\\]\n\n**Wyłączamy \\(2x\\) przed nawias:**\n\\[2x(x^2 - 7) = 0\\]\n\nIloczyn równa się zero, gdy jeden z czynników jest zerem:\n\n\\[2x = 0 \\quad \\Rightarrow \\quad x_1 = 0\\]\n\n\\[x^2 - 7 = 0 \\quad \\Rightarrow \\quad x^2 = 7 \\quad \\Rightarrow \\quad x_2 = \\sqrt{7},\\quad x_3 = -\\sqrt{7}\\]\n\n**Odpowiedź: \\(x_1 = 0,\\quad x_2 = \\sqrt{7},\\quad x_3 = -\\sqrt{7}\\)**\n\n### Część b)\n\nUżywamy **twierdzenia Bézouta**: wielomian \\(W(x)\\) jest podzielny przez \\((x - r)\\) wtedy i tylko wtedy, gdy \\(W(r) = 0\\).\n\n**Warunek 1** - podzielność przez \\((x - 2)\\), czyli \\(W(2) = 0\\):\n\\[W(2) = 2 \\cdot 2^3 + a \\cdot 2^2 - 14 \\cdot 2 + b = 16 + 4a - 28 + b = 4a + b - 12 = 0\\]\n\\[\\boxed{4a + b = 12} \\tag{I}\\]\n\n**Warunek 2** - podzielność przez \\((x + 3)\\), czyli \\(W(-3) = 0\\):\n\\[W(-3) = 2 \\cdot (-3)^3 + a \\cdot (-3)^2 - 14 \\cdot (-3) + b = -54 + 9a + 42 + b = 9a + b - 12 = 0\\]\n\\[\\boxed{9a + b = 12} \\tag{II}\\]\n\n**Rozwiązujemy układ równań.** Odejmujemy (I) od (II):\n\\[(9a + b) - (4a + b) = 12 - 12\\]\n\\[5a = 0 \\quad \\Rightarrow \\quad a = 0\\]\n\nPodstawiamy \\(a = 0\\) do (I):\n\\[4 \\cdot 0 + b = 12 \\quad \\Rightarrow \\quad b = 12\\]\n\n**Odpowiedź: \\(a = 0,\\quad b = 12\\)**\n\n## Sposób 2 - rozkład na czynniki przez iloraz liniowy (część a) + metoda iloczynu (część b)\n\n### Część a) - dzielenie przez 2 najpierw\n\n\\[2x^3 - 14x = 0\\]\n\nDzielimy obie strony przez 2 (wolno, bo \\(2 \\neq 0\\)):\n\\[x^3 - 7x = 0\\]\n\nWyłączamy \\(x\\):\n\\[x(x^2 - 7) = 0\\]\n\nStąd \\(x = 0\\) lub \\(x^2 = 7\\), co daje te same wyniki: \\(x_1 = 0,\\; x_2 = \\sqrt{7},\\; x_3 = -\\sqrt{7}\\).\n\n### Część b) - metoda iloczynu wielomianów\n\nSkoro \\(W(x)\\) jest stopnia 3 i dzieli się przez oba czynniki \\((x-2)\\) oraz \\((x+3)\\) naraz, musi dzielić się przez ich iloczyn:\n\\[(x-2)(x+3) = x^2 + x - 6\\]\n\nPonieważ \\(W(x)\\) ma stopień 3, a współczynnik wiodący to 2, możemy napisać:\n\\[W(x) = (x-2)(x+3)(2x + c)\\]\n\ndla pewnej stałej \\(c\\). Rozkładamy:\n\\[(x^2 + x - 6)(2x + c) = 2x^3 + cx^2 + 2x^2 + cx - 12x - 6c\\]\n\\[= 2x^3 + (c+2)x^2 + (c - 12)x - 6c\\]\n\nPorównujemy z \\(W(x) = 2x^3 + ax^2 - 14x + b\\):\n\n| Wyraz | Równanie | Wynik |\n| \\(x^2\\) | \\(c + 2 = a\\) | - |\n| \\(x^1\\) | \\(c - 12 = -14\\) | \\(c = -2\\) |\n| \\(x^0\\) | \\(-6c = b\\) | \\(b = 12\\) |\n\nZ \\(c = -2\\) wynika \\(a = c + 2 = 0\\).\n\n**Wynik taki sam:** \\(a = 0,\\; b = 12\\), a \\(W(x) = (x-2)(x+3)(2x-2) = 2(x-2)(x+3)(x-1)\\).\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie korzystamy z gotowych wzorów z karty CKE - wystarczą:\n\n- **Twierdzenie Bézouta** (omawiane na lekcjach, nie ma go bezpośrednio na karcie): \\(W(r) = 0 \\iff (x - r) \\mid W(x)\\)\n- Podstawowe działania algebraiczne: wyłączanie wspólnego czynnika, rozwiązywanie układu równań liniowych\n\nW części a) przydaje się wzór \\(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\\) ze **wzorów skróconego mnożenia (Dział 6, s. 7)**, jeśli ktoś chce zapisać \\(x^2 - 7 = (x - \\sqrt{7})(x + \\sqrt{7})\\).\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** W części a) nie dziel od razu obu stron przez \\(x\\)! Piszesz \\(\\frac{2x^3 - 14x}{x} = 0\\) i gubisz rozwiązanie \\(x = 0\\). Zawsze wyłączaj wspólny czynnik, a nie dziel przez niego.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** W części b) łatwo pomylić znak przy obliczaniu \\(W(-3)\\) - pamiętaj, że \\((-3)^3 = -27\\) oraz \\(-14 \\cdot (-3) = +42\\). Rachuj uważnie ze znakami.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Samo spełnienie \\(W(2) = 0\\) i \\(W(-3) = 0\\) wystarczy do podzielności - nie musisz wykonywać długiego dzielenia wielomianów, żeby odpowiedzieć na pytanie. Twierdzenie Bézouta to skrót, z którego warto korzystać!\n\n**Poprawne odpowiedzi:** a) \\(x \\in \\{0, \\sqrt{7}, -\\sqrt{7}\\}\\); b) \\(a = 0\\), \\(b = 12\\).\n\n### Sposób 1 - Rozkład na czynniki i twierdzenie Bézouta\n**a) Rozwiązanie równania \\(2x^{3} - 14x = 0\\):**\n\nWyłączamy wspólny czynnik:\n\\[2x(x^{2} - 7) = 0.\\]\n\nKorzystamy ze wzoru \\(a^{2} - b^{2} = (a-b)(a+b)\\):\n\\[2x(x - \\sqrt{7})(x + \\sqrt{7}) = 0.\\]\n\nStąd:\n\\[x_1 = 0, \\quad x_2 = \\sqrt{7}, \\quad x_3 = -\\sqrt{7}.\\]\n\n**b) Wyznaczenie \\(a\\) i \\(b\\):**\n\nZ twierdzenia Bézouta: jeśli \\(W(x)\\) jest podzielny przez \\(x - c\\), to \\(W(c) = 0\\). Zatem:\n\\[W(2) = 0 \\quad \\text{oraz} \\quad W(-3) = 0.\\]\n\n**Obliczenia:**\n\\[W(2) = 2 \\cdot 8 + a \\cdot 4 - 14 \\cdot 2 + b = 16 + 4a - 28 + b = 4a + b - 12.\\]\n\\[W(-3) = 2 \\cdot (-27) + a \\cdot 9 - 14 \\cdot (-3) + b = -54 + 9a + 42 + b = 9a + b - 12.\\]\n\n**Układ równań:**\n\\[\\begin{cases} 4a + b - 12 = 0 \\\\ 9a + b - 12 = 0 \\end{cases} \\Rightarrow \\begin{cases} 4a + b = 12 \\\\ 9a + b = 12 \\end{cases}\\]\n\nOdejmujemy pierwsze równanie od drugiego: \\(5a = 0 \\Rightarrow a = 0\\). Z pierwszego: \\(b = 12\\).\n\n**Odpowiedź:** \\(a = 0\\), \\(b = 12\\), czyli \\(W(x) = 2x^{3} - 14x + 12\\).\n\n### Sposób 2 - Dzielenie wielomianów (weryfikacja)\nSprawdzamy, że \\(W(x) = 2x^{3} - 14x + 12\\) jest podzielny przez \\((x-2)(x+3) = x^{2} + x - 6\\).\n\nDzielenie: \\(\\dfrac{2x^{3} - 14x + 12}{x^{2} + x - 6}\\):\n- \\(2x^{3} : x^{2} = 2x\\); \\(2x(x^{2}+x-6) = 2x^{3} + 2x^{2} - 12x\\); reszta: \\(-2x^{2} - 2x + 12\\).\n- \\(-2x^{2} : x^{2} = -2\\); \\(-2(x^{2}+x-6) = -2x^{2} - 2x + 12\\); reszta \\(0\\) ✓.\n\nIloraz: \\(2x - 2\\). Zatem \\(W(x) = (x-2)(x+3)(2x-2) = 2(x-1)(x-2)(x+3)\\). Pierwiastki: \\(1, 2, -3\\).\n\n### Sposób 3 - Wzory Viète'a dla części b)\nJeśli \\(W(x) = 2x^{3} + ax^{2} - 14x + b\\) ma pierwiastki \\(2, -3, c\\), to z rozkładu \\(W(x) = 2(x-2)(x+3)(x-c)\\):\n\\[W(x) = 2[(x^{2} + x - 6)(x - c)] = 2[x^{3} - cx^{2} + x^{2} - cx - 6x + 6c]\\]\n\\[= 2x^{3} + 2(1-c)x^{2} - 2(c+6)x + 12c.\\]\n\nPorównując współczynniki:\n- przy \\(x^{2}\\): \\(a = 2(1-c)\\),\n- przy \\(x\\): \\(-14 = -2(c+6) \\Rightarrow c+6 = 7 \\Rightarrow c = 1\\),\n- wyraz wolny: \\(b = 12c = 12\\).\n\nZ \\(c = 1\\): \\(a = 2(1-1) = 0\\). Zatem \\(a = 0\\), \\(b = 12\\).\n\n### Komentarz\nKluczowe twierdzenie: \\(W(c) = 0 \\iff (x-c) | W(x)\\). W części a) wykorzystujemy wzór skróconego mnożenia \\(a^{2} - b^{2} = (a-b)(a+b)\\) po wyłączeniu \\(2x\\).","image":"img/matematyka-2007-maj-matura-podstawowa/zad-6.webp","solution_image":"img/matematyka-2007-maj-matura-podstawowa/sol-6.svg","topics":"wielomiany","page_from":7,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2007 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2007-maj-matura-podstawowa/zad/7","paper_id":"matematyka-2007-maj-matura-podstawowa","number":"7","points":5,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2007,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 7. (5 pkt)\nDany jest punkt\n(\n)\n2,3\nC =\ni prosta o równaniu\n2\n8\ny\nx\n- będąca symetralną odcinka BC.\nWyznacz współrzędne punktu B. Wykonaj obliczenia uzasadniające odpowiedź.\nNr czynności\n7.1.\n7.2.\n7.3.\n7.4.\n7.5.\nMaks. liczba pkt\n1\n1\n1\n1\n1\nWypełnia\negzaminator! Uzyskana liczba pkt\n\n9\nPoziom podstawowy\nDany jest punkt $C=(2,3)$ i prosta o równaniu y=2x-8 będąca symetralną odcinka BC. Wyznacz współrzędne punktu B. Wykonaj obliczenia uzasadniające odpowiedź.","answer":null,"answer_text":"7. Obok każdego zadania podana jest maksymalna liczba punktów,\nktórą możesz uzyskać za jego poprawne rozwiązanie.","solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(B = \\left(\\dfrac{38}{5},\\ \\dfrac{1}{5}\\right)\\)\n\n## Sposób 1 - Środek odcinka + prosta prostopadła\n\n**Kluczowa obserwacja:** symetralna odcinka \\(BC\\) to prosta, która:\n- przechodzi przez **środek** \\(M\\) odcinka \\(BC\\),\n- jest **prostopadła** do \\(BC\\).\n\nMamy symetralną \\(y = 2x - 8\\), więc jej współczynnik kierunkowy wynosi \\(2\\).\n\n**Krok 1 - wyznacz równanie prostej \\(BC\\).**\n\nSkoro \\(BC \\perp\\) symetralna, to współczynnik kierunkowy \\(BC\\) spełnia:\n\n\\[a_{BC} \\cdot 2 = -1 \\implies a_{BC} = -\\frac{1}{2}\\]\n\nProsta \\(BC\\) przechodzi przez \\(C = (2, 3)\\):\n\n\\[y - 3 = -\\frac{1}{2}(x - 2)\\]\n\\[y = -\\frac{1}{2}x + 1 + 3 = -\\frac{1}{2}x + 4\\]\n\n**Krok 2 - znajdź środek \\(M\\) (punkt przecięcia \\(BC\\) z symetralną).**\n\n\\[\\begin{cases} y = 2x - 8 \\\\ y = -\\dfrac{1}{2}x + 4 \\end{cases}\\]\n\n\\[2x - 8 = -\\frac{1}{2}x + 4\\]\n\\[2x + \\frac{1}{2}x = 12\\]\n\\[\\frac{5}{2}x = 12 \\implies x = \\frac{24}{5}\\]\n\\[y = 2 \\cdot \\frac{24}{5} - 8 = \\frac{48}{5} - \\frac{40}{5} = \\frac{8}{5}\\]\n\nZatem środek odcinka \\(BC\\): \\(M = \\left(\\dfrac{24}{5},\\ \\dfrac{8}{5}\\right)\\).\n\n**Krok 3 - wyznacz \\(B\\) jako odbicie \\(C\\) względem \\(M\\).**\n\nZe wzoru na środek odcinka \\(M = \\left(\\dfrac{x_B + x_C}{2},\\ \\dfrac{y_B + y_C}{2}\\right)\\):\n\n\\[x_B = 2x_M - x_C = 2 \\cdot \\frac{24}{5} - 2 = \\frac{48}{5} - \\frac{10}{5} = \\mathbf{\\frac{38}{5}}\\]\n\\[y_B = 2y_M - y_C = 2 \\cdot \\frac{8}{5} - 3 = \\frac{16}{5} - \\frac{15}{5} = \\mathbf{\\frac{1}{5}}\\]\n\n\\[\\boxed{B = \\left(\\frac{38}{5},\\ \\frac{1}{5}\\right)}\\]\n\n## Sposób 2 - Układ równań z warunkami symetralnej\n\nNiech \\(B = (a, b)\\). Symetralna odcinka \\(BC\\) spełnia **dwa warunki jednocześnie**.\n\n**Warunek 1: środek \\(M\\) leży na prostej \\(y = 2x - 8\\).**\n\n\\[M = \\left(\\frac{a+2}{2},\\ \\frac{b+3}{2}\\right)\\]\n\n\\[\\frac{b+3}{2} = 2 \\cdot \\frac{a+2}{2} - 8\\]\n\\[\\frac{b+3}{2} = (a+2) - 8 = a - 6\\]\n\\[b + 3 = 2a - 12 \\implies b = 2a - 15\\]\n\n**Warunek 2: \\(BC \\perp\\) symetralna (iloczyn współczynników kierunkowych \\(= -1\\)).**\n\n\\[\\frac{b - 3}{a - 2} \\cdot 2 = -1 \\implies \\frac{b-3}{a-2} = -\\frac{1}{2}\\]\n\\[2(b - 3) = -(a - 2)\\]\n\\[2b - 6 = -a + 2 \\implies a + 2b = 8\\]\n\n**Rozwiązuję układ:**\n\nPodstawiam \\(b = 2a - 15\\) do \\(a + 2b = 8\\):\n\n\\[a + 2(2a - 15) = 8\\]\n\\[a + 4a - 30 = 8\\]\n\\[5a = 38 \\implies a = \\frac{38}{5}\\]\n\\[b = 2 \\cdot \\frac{38}{5} - 15 = \\frac{76}{5} - \\frac{75}{5} = \\frac{1}{5}\\]\n\n\\[\\boxed{B = \\left(\\frac{38}{5},\\ \\frac{1}{5}\\right)}\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25)**\n\nŚrodek odcinka \\(AB\\):\n\\[x_S = \\frac{x_A + x_B}{2}, \\quad y_S = \\frac{y_A + y_B}{2}\\]\nUżyliśmy w obu sposobach - środek \\(M\\) odcinka \\(BC\\) musi leżeć na symetralnej.\n\nWarunek prostopadłości prostych (równania kierunkowe):\n\\[a_1 \\cdot a_2 = -1\\]\nUżyliśmy, żeby wyznaczyć kierunek prostej \\(BC\\) (lub warunek 2 w Sposobie 2).\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Symetralna odcinka to NIE byle prosta przez środek - musi być też prostopadła do odcinka. Oba warunki muszą być spełnione jednocześnie. Zapomnienie o prostopadłości to najczęstszy błąd.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy wyznaczaniu \\(B\\) ze wzoru na środek łatwo pomylić kierunek: \\(x_B = 2x_M - x_C\\), a nie \\(x_B = x_M - x_C\\). Środek to \"połowa drogi\", więc \\(B\\) jest po drugiej stronie \\(M\\) od \\(C\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Współczynnik kierunkowy prostej prostopadłej to \\(-\\dfrac{1}{a}\\), nie \\(-a\\). Dla symetralnej o nachyleniu \\(2\\) prosta \\(BC\\) ma nachylenie \\(-\\dfrac{1}{2}\\) - pamiętaj o odwrotności i zmianie znaku!\n\n**Poprawna odpowiedź:** \\(B = \\left(\\dfrac{38}{5}, \\dfrac{1}{5}\\right)\\).\n\n### Sposób 1 - Prostopadła z \\(C\\) do symetralnej + środek\n**Krok 1 - równanie prostej \\(l\\) przechodzącej przez \\(C\\) prostopadłej do symetralnej \\(y = 2x - 8\\):**\n\nSymetralna ma współczynnik kierunkowy \\(2\\), więc \\(l\\) ma współczynnik \\(-\\dfrac{1}{2}\\).\n\nProsta \\(l\\) przechodzi przez \\(C = (2, 3)\\):\n\\[3 = -\\dfrac{1}{2}\\cdot 2 + b \\Rightarrow b = 4.\\]\n\\[l: \\ y = -\\dfrac{1}{2}x + 4.\\]\n\n**Krok 2 - punkt \\(S\\) przecięcia \\(l\\) i symetralnej:**\n\\[\\begin{cases} y = 2x - 8 \\\\ y = -\\dfrac{1}{2}x + 4 \\end{cases}\\]\n\\[2x - 8 = -\\dfrac{1}{2}x + 4 \\Rightarrow \\dfrac{5}{2}x = 12 \\Rightarrow x = \\dfrac{24}{5}.\\]\n\\[y = 2 \\cdot \\dfrac{24}{5} - 8 = \\dfrac{48 - 40}{5} = \\dfrac{8}{5}.\\]\n\\[S = \\left(\\dfrac{24}{5}, \\dfrac{8}{5}\\right).\\]\n\n**Krok 3 - \\(B\\) jako obraz \\(C\\) w symetrii względem \\(S\\)** (bo \\(S\\) jest środkiem odcinka \\(BC\\)):\n\nZ warunku środka odcinka:\n\\[S = \\left(\\dfrac{x_B + x_C}{2}, \\dfrac{y_B + y_C}{2}\\right) \\Rightarrow \\left(\\dfrac{x_B + 2}{2}, \\dfrac{y_B + 3}{2}\\right) = \\left(\\dfrac{24}{5}, \\dfrac{8}{5}\\right).\\]\n\n\\[\\dfrac{x_B + 2}{2} = \\dfrac{24}{5} \\Rightarrow x_B + 2 = \\dfrac{48}{5} \\Rightarrow x_B = \\dfrac{48 - 10}{5} = \\dfrac{38}{5}.\\]\n\\[\\dfrac{y_B + 3}{2} = \\dfrac{8}{5} \\Rightarrow y_B + 3 = \\dfrac{16}{5} \\Rightarrow y_B = \\dfrac{16 - 15}{5} = \\dfrac{1}{5}.\\]\n\n\\[B = \\left(\\dfrac{38}{5}, \\dfrac{1}{5}\\right).\\]\n\n### Sposób 2 - Wzory na symetrię osiową względem prostej\nDla symetrii względem prostej \\(ax + by + c = 0\\) (tu: \\(2x - y - 8 = 0\\), czyli \\(a = 2, b = -1, c = -8\\)):\n\\[B = C - 2 \\cdot \\dfrac{aC_x + bC_y + c}{a^{2} + b^{2}}\\cdot(a, b).\\]\n\n\\(aC_x + bC_y + c = 2\\cdot 2 + (-1)\\cdot 3 + (-8) = 4 - 3 - 8 = -7.\\)\n\n\\(a^{2} + b^{2} = 4 + 1 = 5.\\)\n\n\\(B = (2, 3) - 2 \\cdot \\dfrac{-7}{5}\\cdot(2, -1) = (2, 3) + \\dfrac{14}{5}\\cdot(2, -1) = \\left(2 + \\dfrac{28}{5}, 3 - \\dfrac{14}{5}\\right).\\)\n\n\\(B = \\left(\\dfrac{10 + 28}{5}, \\dfrac{15 - 14}{5}\\right) = \\left(\\dfrac{38}{5}, \\dfrac{1}{5}\\right).\\) ✓\n\n### Sprawdzenie\nŚrodek \\(BC\\): \\(\\left(\\dfrac{38/5 + 2}{2}, \\dfrac{1/5 + 3}{2}\\right) = \\left(\\dfrac{48/5}{2}, \\dfrac{16/5}{2}\\right) = \\left(\\dfrac{24}{5}, \\dfrac{8}{5}\\right)\\). Sprawdzamy przynależność do symetralnej: \\(y = 2x - 8 \\Rightarrow 2\\cdot\\dfrac{24}{5} - 8 = \\dfrac{48 - 40}{5} = \\dfrac{8}{5}\\) ✓.\n\nProstopadłość wektora \\(\\vec{BC} = (2 - 38/5, 3 - 1/5) = (-28/5, 14/5)\\) do kierunku symetralnej \\((1, 2)\\):\n\\(-28/5 \\cdot 1 + 14/5 \\cdot 2 = -28/5 + 28/5 = 0\\) ✓.\n\n### Komentarz dydaktyczny\n**Definicja symetralnej odcinka:** prosta prostopadła do odcinka i przechodząca przez jego środek. Zatem punkt \\(B\\) jest obrazem \\(C\\) w symetrii osiowej względem symetralnej.","image":"img/matematyka-2007-maj-matura-podstawowa/zad-7.webp","solution_image":"img/matematyka-2007-maj-matura-podstawowa/sol-7.svg","topics":"analityczna","page_from":8,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2007 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2007-maj-matura-podstawowa/zad/8","paper_id":"matematyka-2007-maj-matura-podstawowa","number":"8","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2007,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 8. (4 pkt)\nNa stole leżało 14 banknotów: 2 banknoty o nominale 100 zł, 2 banknoty o nominale 50 zł\ni 10 banknotów o nominale 20 zł. Wiatr zdmuchnął na podłogę 5 banknotów. Oblicz\nprawdopodobieństwo tego, że na podłodze leży dokładnie 130 zł. Odpowiedź podaj w postaci\nułamka nieskracalnego.\nNr czynności\n8.1.\n8.2.\n8.3.\n8.4.\nMaks. liczba pkt\n1\n1\n1\n1\nWypełnia\negzaminator! Uzyskana liczba pkt\n\n10\nPoziom podstawowy\nNa stole leżało 14 banknotów: 2 banknoty o nominale 100zł, 2 banknoty o nominale 50zł i 10 banknotów o nominale 20zł. Wiatr zdmuchnął na podłogę 5 banknotów. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że na podłodze leży dokładnie 130zł. Odpowiedź podaj w postaci ułamka nieskracalnego.","answer":null,"answer_text":"8. Możesz korzystać z zestawu wzorów matematycznych, cyrkla\ni linijki oraz kalkulatora.","solution":"## Odpowiedź: \\(P(A)=\\dfrac{30}{143}\\)\n\n**Przestrzeń zdarzeń.** Z \\(14\\) banknotów losujemy \\(5\\), więc \\(|\\Omega|=\\binom{14}{5}=2002\\).\n\n**Zdarzenia sprzyjające \\(A\\)** (na podłodze dokładnie \\(130\\) zł). Nominały to \\(100,50,20\\) zł. Jedyna piątka banknotów dająca \\(130\\) zł to \\(1\\) banknot \\(50\\) zł i \\(4\\) banknoty \\(20\\) zł (\\(50+4\\cdot 20=130\\)); użycie banknotu \\(100\\) zł nie pozwala uzupełnić sumy do \\(130\\) zł czterema pozostałymi banknotami.\n\nLiczba takich piątek: \\(\\binom{2}{0}\\cdot\\binom{2}{1}\\cdot\\binom{10}{4}=1\\cdot 2\\cdot 210=420\\).\n\n**Prawdopodobieństwo:** \\(P(A)=\\dfrac{420}{2002}=\\dfrac{30}{143}\\).","image":"img/matematyka-2007-maj-matura-podstawowa/zad-8.webp","solution_image":"img/matematyka-2007-maj-matura-podstawowa/sol-8.svg","topics":"prawdopodobienstwo","page_from":9,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2007 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2007-maj-matura-podstawowa/zad/9","paper_id":"matematyka-2007-maj-matura-podstawowa","number":"9","points":6,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2007,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 9. (6 pkt)\nOblicz pole czworokąta wypukłego ABCD, w którym kąty wewnętrzne mają odpowiednio\nmiary:\n90\nA =\nD\n)\n,\n75\nB =\nD\n)\n,\n60\nC =\nD\n)\n,\n135\nD =\nD\n)\n, a boki AB i AD mają długość 3 cm.\nSporządź rysunek pomocniczy.\n\n11\nPoziom podstawowy\nNr czynności\n9.1.\n9.2.\n9.3.\n9.4.\n9.5.\n9.6.\nMaks. liczba pkt\n1\n1\n1\n1\n1\n1\nWypełnia\negzaminator! Uzyskana liczba pkt\n\n12\nPoziom podstawowy\nOblicz pole czworokąta wypukłego ABCD, w którym kąty wewnętrzne mają odpowiednio miary: A=90,B=75 ,C=60, D=135 ,a boki AB i AD mają długość 3cm. Sporządź rysunek pomocniczy.","answer":null,"answer_text":"9. Wypełnij tę część karty odpowiedzi, którą koduje zdający.\nNie wpisuj żadnych znaków w części przeznaczonej dla\negzaminatora.","solution":"## Poprawna odpowiedź:\n\n\\[P_{ABCD} = \\frac{9}{2} + 3\\sqrt{3} = \\frac{3}{2}(3 + 2\\sqrt{3}) \\approx 7{,}10 \\text{ cm}^2\\]\n\n## Sposób 1 - przekątna BD, dwa trójkąty\n\n**Idea:** Przekątna \\(BD\\) dzieli czworokąt na dwa trójkąty. Liczymy pole każdego osobno.\n\n**Krok 1: Trójkąt ABD**\n\n\\(\\angle DAB = 90°\\), \\(AB = AD = 3\\) cm - trójkąt prostokątny równoramienny.\n\n\\[P_{ABD} = \\frac{1}{2} \\cdot AB \\cdot AD = \\frac{1}{2} \\cdot 3 \\cdot 3 = \\frac{9}{2} \\text{ cm}^2\\]\n\nDługość przekątnej (z tw. Pitagorasa):\n\\[BD = \\sqrt{AB^2 + AD^2} = \\sqrt{9 + 9} = 3\\sqrt{2} \\text{ cm}\\]\n\nKąty przy podstawie (trójkąt równoramienny prostokątny):\n\\[\\angle ABD = \\angle ADB = 45°\\]\n\n**Krok 2: Kąty trójkąta BCD**\n\nPrzekątna \\(BD\\) „wycina\" część kątów \\(\\angle B\\) i \\(\\angle D\\):\n\n\\[\\angle DBC = \\angle ABC - \\angle ABD = 75° - 45° = 30°\\]\n\\[\\angle BDC = \\angle ADC - \\angle ADB = 135° - 45° = 90°\\]\n\nSprawdzenie sumy kątów trójkąta: \\(30° + 90° + 60° = 180°\\) ✓\n\n**Krok 3: Pole trójkąta BCD**\n\nTrójkąt \\(BCD\\) jest **prostokątny przy \\(D\\)**, z przeciwprostokątną \\(BD = 3\\sqrt{2}\\) i kątem \\(\\angle DBC = 30°\\).\n\nObliczam brakującą przyprostokątną \\(DC\\):\n\\[DC = BD \\cdot \\operatorname{tg}(30°) = 3\\sqrt{2} \\cdot \\frac{\\sqrt{3}}{3} = \\sqrt{6} \\text{ cm}\\]\n\nPole trójkąta BCD (dwie przyprostokątne, kąt prosty między nimi):\n\\[P_{BCD} = \\frac{1}{2} \\cdot BD \\cdot DC = \\frac{1}{2} \\cdot 3\\sqrt{2} \\cdot \\sqrt{6} = \\frac{1}{2} \\cdot 3\\sqrt{12} = \\frac{1}{2} \\cdot 6\\sqrt{3} = 3\\sqrt{3} \\text{ cm}^2\\]\n\n**Krok 4: Pole czworokąta**\n\n\\[P_{ABCD} = P_{ABD} + P_{BCD} = \\frac{9}{2} + 3\\sqrt{3} = \\frac{3}{2}(3 + 2\\sqrt{3}) \\text{ cm}^2\\]\n\n## Sposób 2 - układ współrzędnych i wzór Gaussa\n\n**Idea:** Umieszczamy \\(A\\) w początku układu, wyznaczamy współrzędne wszystkich wierzchołków, stosujemy wzór sznurówki (Gaussa).\n\n**Krok 1: Współrzędne**\n\nPonieważ \\(\\angle A = 90°\\) i \\(AB = AD = 3\\), ustawiamy:\n\\[A = (0, 0), \\quad B = (3, 0), \\quad D = (0, 3)\\]\n\n**Wyznaczanie C:** Z Rozwiązania 1 wiemy, że \\(\\angle BDC = 90°\\) i \\(DC = \\sqrt{6}\\). Wektor \\(\\overrightarrow{DB} = (3, -3)\\) ma kierunek \\(-45°\\). Ponieważ \\(DC \\perp DB\\), kierunek \\(\\overrightarrow{DC}\\) wynosi \\(-45° + 90° = 45°\\). Zatem:\n\\[C = D + \\sqrt{6} \\cdot (\\cos 45°,\\, \\sin 45°) = \\left(0 + \\sqrt{6} \\cdot \\frac{\\sqrt{2}}{2},\\; 3 + \\sqrt{6} \\cdot \\frac{\\sqrt{2}}{2}\\right) = (\\sqrt{3},\\; 3 + \\sqrt{3})\\]\n\n**Krok 2: Wzór Gaussa (sznurówki)**\n\nDla wierzchołków \\(A=(0,0)\\), \\(B=(3,0)\\), \\(C=(\\sqrt{3}, 3+\\sqrt{3})\\), \\(D=(0,3)\\) obchodzonych przeciwnie do ruchu wskazówek zegara:\n\n\\[P = \\frac{1}{2}\\left|(x_A y_B - x_B y_A) + (x_B y_C - x_C y_B) + (x_C y_D - x_D y_C) + (x_D y_A - x_A y_D)\\right|\\]\n\nPodstawiam kolejno:\n\\[\\underbrace{(0 \\cdot 0 - 3 \\cdot 0)}_{=0} + \\underbrace{(3 \\cdot (3+\\sqrt{3}) - \\sqrt{3} \\cdot 0)}_{= 9 + 3\\sqrt{3}} + \\underbrace{(\\sqrt{3} \\cdot 3 - 0 \\cdot (3+\\sqrt{3}))}_{= 3\\sqrt{3}} + \\underbrace{(0 \\cdot 0 - 0 \\cdot 3)}_{= 0}\\]\n\n\\[P = \\frac{1}{2}\\left|0 + (9 + 3\\sqrt{3}) + 3\\sqrt{3} + 0\\right| = \\frac{1}{2}(9 + 6\\sqrt{3}) = \\frac{9}{2} + 3\\sqrt{3}\\]\n\nWynik taki sam jak w Sposobie 1. ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 9 - Trygonometria (s. 11-14)** - definicja tangensa w trójkącie prostokątnym oraz wartość \\(\\operatorname{tg} 30°\\):\n\\[\\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{\\text{przyprostokątna naprzeciwległa}}{\\text{przyprostokątna przyległa}}, \\qquad \\operatorname{tg} 30° = \\frac{\\sqrt{3}}{3}\\]\nUżyte w Kroku 3 do wyznaczenia \\(DC\\).\n\n**Dział 10 - Planimetria (s. 15)** - pole trójkąta prostokątnego:\n\\[P = \\frac{1}{2} \\cdot a \\cdot b\\]\ngdzie \\(a, b\\) to przyprostokątne. Użyte do obliczenia \\(P_{ABD}\\) i \\(P_{BCD}\\).\n\n**Dział 2 - Potęgi i pierwiastki (s. 4-5)** - tw. Pitagorasa + upraszczanie wyrażeń:\n\\[BD = \\sqrt{9+9} = \\sqrt{18} = 3\\sqrt{2}, \\qquad \\frac{1}{2} \\cdot 3\\sqrt{2} \\cdot \\sqrt{6} = \\frac{1}{2} \\cdot 3\\sqrt{12} = 3\\sqrt{3}\\]\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy wyznaczaniu kątów \\(\\angle DBC\\) i \\(\\angle BDC\\) trzeba ODJĄĆ \\(45°\\) (kąt z trójkąta \\(ABD\\)) od kątów czworokąta. Pomylenie \\(\\angle DBC = 75°\\) (zamiast \\(30°\\)) da zupełnie inny wynik.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\(\\sqrt{2} \\cdot \\sqrt{6} = \\sqrt{12} = 2\\sqrt{3}\\) - to częste miejsce błędu rachunkowego. Upewnij się, że upraszczasz \\(\\sqrt{12}\\) do \\(2\\sqrt{3}\\), a nie zostawiasz jako \\(\\sqrt{12}\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Suma kątów czworokąta wypukłego wynosi \\(360°\\). Sprawdzaj: \\(90°+75°+60°+135° = 360°\\) ✓. Jeśli suma nie wychodzi \\(360°\\) - dane są sprzeczne i coś jest nie tak z treścią zadania.\n\n**Poprawna odpowiedź:** \\(P_{ABCD} = \\dfrac{9}{2} + 3\\sqrt{3} = \\dfrac{3}{2}(3 + 2\\sqrt{3})\\) cm\\(^{2}\\).\n\n### Sposób 1 - Podział na trójkąty przekątną \\(BD\\)\n**Rysunek pomocniczy:** czworokąt \\(ABCD\\) z \\(\\angle A = 90°\\) (róg prosty przy \\(A\\)), \\(|AB| = |AD| = 3\\) cm, przekątna \\(BD\\) dzieli go na dwa trójkąty: \\(\\triangle DAB\\) (prostokątny równoramienny) i \\(\\triangle CDB\\).\n\n**Krok 1 - trójkąt \\(DAB\\) (równoramienny, prostokątny w \\(A\\)):**\n- \\(|AB| = |AD| = 3\\) cm, \\(\\angle A = 90°\\),\n- kąty przy \\(B\\) i \\(D\\) mają po \\(45°\\) (kąty ostre w równoramiennym prostokątnym),\n- przekątna \\(|BD| = \\sqrt{3^{2} + 3^{2}} = 3\\sqrt{2}\\) cm,\n- pole: \\(P_{\\triangle DAB} = \\dfrac{1}{2} \\cdot 3 \\cdot 3 = \\dfrac{9}{2}\\) cm\\(^{2}\\).\n\n**Krok 2 - kąty trójkąta \\(CDB\\):**\n- Kąt \\(\\angle ADB = 45°\\) (z trójkąta \\(DAB\\)), a \\(\\angle ADC = 135°\\), więc \\(\\angle BDC = 135° - 45° = 90°\\).\n- Trójkąt \\(CDB\\) jest prostokątny w \\(D\\).\n- \\(\\angle DCB = \\angle C = 60°\\).\n- \\(\\angle DBC = 180° - 90° - 60° = 30°\\). Sprawdzenie: \\(\\angle ABD + \\angle DBC = 45° + 30° = 75° = \\angle B\\) ✓.\n\n**Krok 3 - bok \\(CD\\) w trójkącie \\(CDB\\):**\n\\[\\mathrm{ctg}\\,60° = \\dfrac{|CD|}{|BD|} \\Rightarrow |CD| = |BD|\\cdot \\mathrm{ctg}\\,60° = 3\\sqrt{2}\\cdot \\dfrac{\\sqrt{3}}{3} = \\dfrac{3\\sqrt{2}\\sqrt{3}}{3} = \\sqrt{6} \\text{ cm}.\\]\n\n**Krok 4 - pole trójkąta \\(CDB\\):**\n\\[P_{\\triangle CDB} = \\dfrac{1}{2}\\cdot |CD|\\cdot |BD| = \\dfrac{1}{2}\\cdot \\sqrt{6}\\cdot 3\\sqrt{2} = \\dfrac{3\\sqrt{12}}{2} = \\dfrac{3\\cdot 2\\sqrt{3}}{2} = 3\\sqrt{3} \\text{ cm}^{2}.\\]\n\n**Krok 5 - pole czworokąta:**\n\\[P_{ABCD} = P_{\\triangle DAB} + P_{\\triangle CDB} = \\dfrac{9}{2} + 3\\sqrt{3} = \\dfrac{9 + 6\\sqrt{3}}{2} = \\dfrac{3(3 + 2\\sqrt{3})}{2} \\text{ cm}^{2}.\\]\n\n### Sposób 2 - Twierdzenie sinusów w \\(\\triangle CDB\\)\nZ Kroku 2 (sposób 1): \\(\\angle BDC = 90°\\), \\(\\angle DCB = 60°\\), \\(\\angle DBC = 30°\\), \\(|BD| = 3\\sqrt{2}\\).\n\nW trójkącie prostokątnym \\(CDB\\) o kącie \\(60°\\) przy \\(C\\) i \\(30°\\) przy \\(B\\):\n- bok naprzeciw \\(60°\\): \\(|BD| = 3\\sqrt{2}\\) (naprzeciw \\(\\angle C\\)) - to przyprostokątna dłuższa,\n- bok naprzeciw \\(30°\\): \\(|CD|\\) (naprzeciw \\(\\angle B\\)) - przyprostokątna krótsza.\n\nStosunek boków w trójkącie \\(30°-60°-90°\\): \\(|CD| : |BD| = 1 : \\sqrt{3}\\), czyli \\(|CD| = \\dfrac{|BD|}{\\sqrt{3}} = \\dfrac{3\\sqrt{2}}{\\sqrt{3}} = \\dfrac{3\\sqrt{6}}{3} = \\sqrt{6}\\).\n\nPole: \\(P_{\\triangle CDB} = \\dfrac{1}{2}\\cdot \\sqrt{6}\\cdot 3\\sqrt{2} = \\dfrac{3\\sqrt{12}}{2} = 3\\sqrt{3}\\).\n\n### Weryfikacja sumy kątów czworokąta\n\\[\\angle A + \\angle B + \\angle C + \\angle D = 90° + 75° + 60° + 135° = 360°\\] ✓ (czworokąt wypukły).\n\n### Komentarz\nKluczowy krok: użycie przekątnej \\(BD\\) do podziału na trójkąt prostokątny równoramienny (\\(DAB\\)) i trójkąt prostokątny (\\(CDB\\)). Rozkład \\(\\angle B = 45° + 30°\\) i \\(\\angle D = 45° + 90°\\) potwierdza spójność konstrukcji.","image":"img/matematyka-2007-maj-matura-podstawowa/zad-9.webp","solution_image":"img/matematyka-2007-maj-matura-podstawowa/sol-9.svg","topics":"planimetria","page_from":10,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2007 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2007-maj-matura-podstawowa/zad/10","paper_id":"matematyka-2007-maj-matura-podstawowa","number":"10","points":5,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2007,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 10. (5 pkt)\nDany jest graniastosłup czworokątny prosty ABCDEFGH o podstawach ABCD i EFGH oraz\nkrawędziach bocznych AE, BF, CG, DH. Podstawa ABCD graniastosłupa jest rombem o boku\ndługości 8 cm i kątach ostrych A i C o mierze 60D . Przekątna graniastosłupa CE jest\nnachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem 60D . Sporządź rysunek pomocniczy i zaznacz\nna nim wymienione w zadaniu kąty. Oblicz objętość tego graniastosłupa.\n\n13\nPoziom podstawowy\nNr czynności\n10.1.\n10.2.\n10.3.\n10.4.\n10.5.\nMaks. liczba pkt\n1\n1\n1\n1\n1\nWypełnia\negzaminator! Uzyskana liczba pkt\n\n14\nPoziom podstawowy\nDany jest granistosłup czworokątny prosty ABCDEFGH o podstawach ABCD i EFGH oraz krawędziach bocznych AE, BF, CG, DH. Podstawa ABCD graniastosłupa jest rombem o boku długości 8 cm i kątach ostrych A i C o mierze 60 stopni. Przekątna graniastosłupa CE jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem 60 stopni. Sporządź rysunek pomocniczy i zaznacz na nim wymienione w zadaniu kąty. Oblicz objętość tego graniastosłupa.","answer":null,"answer_text":"10. Na karcie odpowiedzi wpisz swoją datę urodzenia i PESEL.\nZamaluj\npola odpowiadające cyfrom numeru PESEL. Błędne\nzaznaczenie otocz kółkiem\ni zaznacz właściwe.\nŻyczymy powodzenia!\nMAJ\nROK 2007\nZa rozwiązanie\nwszystkich zadań\nmożna otrzymać\nłącznie\n50 punktów\nWypełnia zdający przed\nrozpoczęciem pracy\nPESEL ZDAJĄCEGO\nKOD\nZDAJĄCEGO\nMiejsce\nna naklejkę\nz kodem szkoły\n2\nPoziom podstawowy\nZadanie 1. (5 pkt)\nZnajdź wzór funkcji kwadratowej\n( )\ny\nf x\n, której wykresem jest parabola o wierzchołku\n(1,-9) przechodząca przez punkt o współrzędnych (2,-8). Otrzymaną funkcję przedstaw\nw postaci kanonicznej. Oblicz jej miejsca zerowe i naszkicuj wykres.\nZapisuję funkcję opisującą parabolę, korzystając ze współrzędnych jej\nwierzchołka:\n(\n)\n2\n1\n9\ny\na x\nWyznaczam współczynnik a, korzystając z tego, że parabola przechodzi przez\npunkt o współrzędnych (2,-8):\n(\n)\n2\n8\n2\n1\n9\na\nstąd\n1\na = .\nWzór funkcji w postaci kanonicznej: ( )\n(\n)\n2\n1\n9\nf x\nx\nWyznaczam miejsca zerowe funkcji f:\n(\n)\n2\n1\n9\n0\nx -\n, stąd po zastosowaniu odpowiedniego wzoru skróconego\nmnożenia otrzymuję (\n) (\n)\n1\n3\n1\n3\n0\nx\nx\n⋅\ni po redukcji (\n) (\n)\n4\n2\n0\nx\nx\n⋅\nMiejscami zerowymi funkcji są liczby:\n1\n2\nx = -,\n2\n4\nx =\nSzkicuję wykres funkcji, biorąc pod uwagę miejsca zerowe oraz współrzędne\nwierzchołka.\n-9\n-8\n-7\n-6\n-5\n-4\n-3\n-2\n-1\n1\n2\n3\n4\n5\n6\n7\n8\n9\n-9\n-8\n-7\n-6\n-5\n-4\n-3\n-2\n-1\n1\n2\n3\n4\n5\n6\n7\n8\n9\nx\ny\n3\nPoziom podstawowy\nZadanie 2. (3 pkt)\nWysokość prowizji, którą klient płaci w pewnym biurze maklerskim przy każdej zawieranej\ntransakcji kupna lub sprzedaży akcji jest uzależniona od wartości transakcji. Zależność ta\nzostała przedstawiona w tabeli:\nWartość transakcji\nWysokość prowizji\ndo 500 zł","solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(V = 768\\sqrt{3}\\) cm³\n\n## Sposób 1 - rozkład na: przekątna rombu → wysokość bryły → objętość\n\n### Krok 1: Przekątna AC rombu\n\nPodstawa to romb \\(ABCD\\) o boku \\(a = 8\\) cm z kątem \\(\\angle A = 60°\\). W rombsie kąty sąsiednie są suplementarne, więc \\(\\angle B = 120°\\).\n\nW trójkącie \\(ABC\\): \\(AB = BC = 8\\) cm, \\(\\angle B = 120°\\). Ze **wzoru cosinusów**:\n\\[AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \\cdot AB \\cdot BC \\cdot \\cos 120°\\]\n\\[AC^2 = 64 + 64 - 2 \\cdot 64 \\cdot \\left(-\\frac{1}{2}\\right) = 128 + 64 = 192\\]\n\\[\\boxed{AC = 8\\sqrt{3} \\text{ cm}}\\]\n\n### Krok 2: Wyznaczenie wysokości \\(h\\) graniastosłupa\n\nW graniastosłupie prostym \\(E\\) leży dokładnie nad \\(A\\). **Rzut przekątnej \\(CE\\) na płaszczyznę podstawy** to odcinek \\(CA\\) o długości \\(8\\sqrt{3}\\) cm.\n\nTworzymy trójkąt prostokątny \\(CAE'\\) (gdzie \\(E'\\) to rzut \\(E\\) na podstawę, czyli punkt \\(A\\)):\n\nE\n| \\ CE (kąt 60° z podstawą)\n| h \\\nA------C\n8√3\n\nKąt nachylenia \\(CE\\) do podstawy: \\(\\angle ECА = 60°\\) (przy wierzchołku \\(C\\)).\n\n\\[\\operatorname{tg} 60° = \\frac{h}{AC} = \\frac{h}{8\\sqrt{3}}\\]\n\\[h = 8\\sqrt{3} \\cdot \\sqrt{3} = 8 \\cdot 3 = 24 \\text{ cm}\\]\n\n### Krok 3: Pole podstawy (rombu)\n\n\\[P_{ABCD} = a^2 \\cdot \\sin\\angle A = 8^2 \\cdot \\sin 60° = 64 \\cdot \\frac{\\sqrt{3}}{2} = 32\\sqrt{3} \\text{ cm}^2\\]\n\n### Krok 4: Objętość\n\n\\[V = P_{ABCD} \\cdot h = 32\\sqrt{3} \\cdot 24 = \\boxed{768\\sqrt{3} \\text{ cm}^3}\\]\n\n## Sposób 2 - przez przekątne rombu (weryfikacja)\n\nZamiast wzoru \\(a^2 \\sin\\alpha\\), obliczamy pole rombu z przekątnych.\n\nPrzekątne rombu wyznaczamy ze wzorów:\n- Dłuższa: \\(AC = 8\\sqrt{3}\\) cm (wyliczona w Sposobie 1)\n- Krótsza: W trójkącie \\(ABD\\), \\(\\angle A = 60°\\), \\(AB = AD = 8\\):\n\n\\[BD^2 = 64 + 64 - 2 \\cdot 64 \\cdot \\cos 60° = 128 - 64 = 64 \\implies BD = 8 \\text{ cm}\\]\n\nPole rombu przez przekątne:\n\\[P = \\frac{d_1 \\cdot d_2}{2} = \\frac{8\\sqrt{3} \\cdot 8}{2} = \\frac{64\\sqrt{3}}{2} = 32\\sqrt{3} \\text{ cm}^2 \\checkmark\\]\n\nWysokość (tak samo jak w Sposobie 1): \\(h = 24\\) cm.\n\n\\[V = 32\\sqrt{3} \\cdot 24 = 768\\sqrt{3} \\text{ cm}^3 \\checkmark\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 15-17)** - twierdzenie cosinusów:\n\\[a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\\cos\\alpha\\]\nUżyte w Kroku 1 do obliczenia przekątnej \\(AC\\) oraz \\(BD\\) rombu.\n\n**Dział 9 (Trygonometria, s. 11)** - wartość \\(\\cos 60° = \\frac{1}{2}\\), \\(\\sin 60° = \\frac{\\sqrt{3}}{2}\\), \\(\\operatorname{tg} 60° = \\sqrt{3}\\).\nUżyte w Kroku 2 (tangens kąta nachylenia) i Kroku 3 (pole rombu).\n\n**Dział 12 (Stereometria, s. 27)** - objętość graniastosłupa prostego:\n\\[V = P_{\\text{podstawy}} \\cdot h\\]\nUżyte w Kroku 4.\n\n## Typowe pułapki\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przekątna \\(CE\\) nie jest przekątną ściany bocznej! \\(C\\) i \\(E\\) są na **różnych podstawach** i leżą nad **różnymi wierzchołkami** rombu (\\(C\\) nad \\(C\\), \\(E\\) nad \\(A\\)). Rzutem \\(CE\\) na podstawę jest **przekątna \\(AC\\)**, nie bok rombu.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Kąt przy \\(C\\) w trójkącie prostokątnym to kąt między \\(CE\\) a podstawą - stąd `tg(60°) = h / AC`, a **nie** `tg(60°) = AC / h`. Zamiana miejscami daje \\(h = \\frac{8\\sqrt{3}}{\\sqrt{3}} = 8\\) cm i wynik \\(256\\sqrt{3}\\) - błąd!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Pole rombu przez wzór \\(P = a^2 \\sin\\alpha\\) wymaga **kąta wewnętrznego rombu** (60°), nie kąta między przekątnymi. Łatwo wziąć zły kąt, gdy zadanie mówi o kilku kątach naraz.\n\n**Poprawna odpowiedź:** \\(V = 768\\sqrt{3}\\) cm\\(^{3}\\).\n\n### Sposób 1 - Pole rombu + wysokość z trójkąta \\(CAE\\)\n**Krok 1 - pole podstawy (rombu):**\nPole rombu o boku \\(a\\) i kącie \\(\\varphi\\) między bokami:\n\\[P = a^{2}\\sin\\varphi.\\]\n\\[P = 8^{2}\\cdot \\sin 60° = 64 \\cdot \\dfrac{\\sqrt{3}}{2} = 32\\sqrt{3} \\text{ cm}^{2}.\\]\n\n**Krok 2 - długość przekątnej \\(AC\\) rombu:**\n\nKąt \\(A = 60°\\), więc trójkąt \\(ABC\\) (rozważany z bokami \\(AB = BC = 8\\) i kątem \\(\\angle ABC = 180° - 60° = 120°\\)) jest równoramienny. Z twierdzenia cosinusów:\n\\[|AC|^{2} = 8^{2} + 8^{2} - 2\\cdot 8\\cdot 8\\cdot \\cos 120° = 64 + 64 - 128\\cdot\\left(-\\dfrac{1}{2}\\right) = 128 + 64 = 192.\\]\n\\[|AC| = \\sqrt{192} = 8\\sqrt{3} \\text{ cm}.\\]\n\n*Alternatywnie:* pole rombu można wyrazić jako \\(P = \\dfrac{1}{2}|AC|\\cdot|BD|\\sin 90°\\) (przekątne rombu są prostopadłe) albo przez kąt \\(30°\\) w trójkącie \\(\\triangle ABC'\\) z kątem \\(\\angle BAC = 30°\\) (połowa \\(60°\\)). W każdym razie \\(|AC|\\) to **dłuższa przekątna** rombu (naprzeciw kąta rozwartego \\(120°\\)).\n\n**Krok 3 - wysokość graniastosłupa \\(h = |AE|\\):**\nPrzekątna \\(CE\\) łączy wierzchołki \\(C\\) (dolna podstawa) i \\(E\\) (górna). Trójkąt \\(\\triangle CAE\\) jest prostokątny w \\(A\\) (wysokość \\(AE\\) prostopadła do podstawy), z kątem \\(60°\\) między \\(CE\\) a podstawą (kąt przy \\(C\\)).\n\\[\\mathrm{tg}\\,60° = \\dfrac{|AE|}{|AC|} = \\dfrac{h}{8\\sqrt{3}}.\\]\n\\[h = 8\\sqrt{3}\\cdot \\sqrt{3} = 8 \\cdot 3 = 24 \\text{ cm}.\\]\n\n**Krok 4 - objętość:**\n\\[V = P \\cdot h = 32\\sqrt{3} \\cdot 24 = 768\\sqrt{3} \\text{ cm}^{3}.\\]\n\n### Sposób 2 - Przekątne rombu osobno\nW rombie o boku \\(a = 8\\) i kącie ostrym \\(\\varphi = 60°\\):\n- przekątna krótsza \\(d_1 = 2a\\sin\\left(\\dfrac{\\varphi}{2}\\right) = 2\\cdot 8\\cdot \\sin 30° = 2\\cdot 8\\cdot\\dfrac{1}{2} = 8\\),\n- przekątna dłuższa \\(d_2 = 2a\\cos\\left(\\dfrac{\\varphi}{2}\\right) = 2\\cdot 8\\cdot \\cos 30° = 16\\cdot\\dfrac{\\sqrt{3}}{2} = 8\\sqrt{3}\\).\n\nKąty \\(A = C = 60°\\) - ostre przy wierzchołkach naprzeciwległych, więc \\(|AC|\\) to **dłuższa** przekątna (bo leży naprzeciw kątów rozwartych \\(120°\\) przy \\(B, D\\)).\n\\[|AC| = 8\\sqrt{3}, \\quad |BD| = 8.\\]\n\nPole rombu:\n\\[P = \\dfrac{1}{2}|AC||BD| = \\dfrac{1}{2}\\cdot 8\\sqrt{3}\\cdot 8 = 32\\sqrt{3} \\text{ cm}^{2}.\\] ✓\n\nDalej jak w sposobie 1: \\(h = 24\\) cm, \\(V = 32\\sqrt{3}\\cdot 24 = 768\\sqrt{3}\\) cm\\(^{3}\\).\n\n### Komentarz\nKluczowe obserwacje:\n- **Przekątna graniastosłupa \\(CE\\)** to nie przekątna ściany ani przekątna rombu, tylko odcinek łączący przeciwległe wierzchołki bryły. Rzut \\(CE\\) na podstawę to przekątna rombu \\(AC\\).\n- **Wybór właściwej przekątnej:** punkty \\(A\\) i \\(C\\) leżą naprzeciw siebie w rombie \\(ABCD\\), kąt przy nich to \\(60°\\) - to kąty *ostre*, więc \\(|AC|\\) jest dłuższą przekątną.\n- \\(\\mathrm{tg}\\,60° = \\sqrt{3}\\) to klasyczna wartość do zapamiętania.","image":"img/matematyka-2007-maj-matura-podstawowa/zad-10.webp","solution_image":"img/matematyka-2007-maj-matura-podstawowa/sol-10.svg","topics":"stereometria","page_from":12,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2007 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2007-maj-matura-podstawowa/zad/11","paper_id":"matematyka-2007-maj-matura-podstawowa","number":"11","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2007,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 11. (4 pkt)\nDany jest rosnący ciąg geometryczny (\n)\nna\ndla\n1\nn ≥, w którym\n1a\nx\n,\n2\n14\na =\n,\n3a\ny\nOblicz x oraz y, jeżeli wiadomo, że\n35\nx\ny\nNr czynności\n11.1.\n11.2.\n11.3.\n11.4.\nMaks. liczba pkt\n1\n1\n1\n1\nWypełnia\negzaminator! Uzyskana liczba pkt\n\n15\nPoziom podstawowy\nBRUDNOPIS\nDany jest rosnący ciąg geometryczny a_n dla n>=1, w którym a_1=x, a_2=14, a_3=y. Oblicz x oraz y, jeżeli wiadomo, że x+y=35.","answer":null,"answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(x = 7\\), \\(y = 28\\)\n\n## Sposób 1 - własność środkowego wyrazu ciągu geometrycznego\n\n**Kluczowe spostrzeżenie:** W ciągu geometrycznym kwadrat środkowego wyrazu trzech kolejnych wyrazów jest równy iloczynowi wyrazów skrajnych. Mamy:\n\n\\[a_2^2 = a_1 \\cdot a_3\\]\n\nPodstawiamy dane:\n\n\\[14^2 = x \\cdot y\\]\n\\[xy = 196\\]\n\nTeraz mamy układ dwóch równań z dwiema niewiadomymi:\n\n\\[\\begin{cases} x + y = 35 \\\\ x \\cdot y = 196 \\end{cases}\\]\n\nTo są **wzory Viète'a** - \\(x\\) i \\(y\\) są pierwiastkami trójmianu kwadratowego:\n\n\\[t^2 - 35t + 196 = 0\\]\n\nObliczamy wyróżnik:\n\n\\[\\Delta = 35^2 - 4 \\cdot 196 = 1225 - 784 = 441\\]\n\\[\\sqrt{\\Delta} = 21\\]\n\nPierwiastki:\n\n\\[t_1 = \\frac{35 - 21}{2} = \\frac{14}{2} = 7\\]\n\\[t_2 = \\frac{35 + 21}{2} = \\frac{56}{2} = 28\\]\n\nMamy więc \\(\\{x, y\\} = \\{7, 28\\}\\). Ponieważ ciąg jest **rosnący**, musi być \\(x < a_2 < y\\), czyli \\(x < 14 < y\\).\n\n**Zatem \\(x = 7\\) i \\(y = 28\\).**\n\nSprawdzamy iloraz: \\(q = \\frac{14}{7} = 2\\), \\(\\frac{28}{14} = 2\\) ✓ - ciąg jest geometryczny z ilorazem \\(q = 2 > 1\\), czyli rzeczywiście rosnący ✓\n\n## Sposób 2 - przez iloraz ciągu geometrycznego\n\nNiech \\(q\\) będzie ilorazem ciągu. Z definicji ciągu geometrycznego:\n\n\\[a_2 = a_1 \\cdot q \\implies 14 = x \\cdot q \\implies q = \\frac{14}{x}\\]\n\nWyraz trzeci:\n\n\\[y = a_3 = a_2 \\cdot q = 14 \\cdot \\frac{14}{x} = \\frac{196}{x}\\]\n\nPodstawiamy do warunku \\(x + y = 35\\):\n\n\\[x + \\frac{196}{x} = 35\\]\n\nMnożymy obie strony przez \\(x > 0\\):\n\n\\[x^2 + 196 = 35x\\]\n\\[x^2 - 35x + 196 = 0\\]\n\nRozwiązujemy (tak samo jak w Sposobie 1):\n\n\\[\\Delta = 1225 - 784 = 441, \\quad \\sqrt{\\Delta} = 21\\]\n\\[x = \\frac{35 - 21}{2} = 7 \\quad \\text{lub} \\quad x = \\frac{35 + 21}{2} = 28\\]\n\nPonieważ ciąg jest rosnący (\\(x = a_1 < a_2 = 14\\)), odrzucamy \\(x = 28\\).\n\n**Zatem \\(x = 7\\), a \\(y = 35 - 7 = 28\\).**\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 8 (Ciągi, s. 9-10)** - własność ciągu geometrycznego:\n\\[(a_n)^2 = a_{n-1} \\cdot a_{n+1} \\quad \\text{dla } n \\geq 2\\]\nUżyliśmy tego w Sposobie 1 dla \\(n = 2\\): \\(14^2 = x \\cdot y\\).\n\n**Dział 8 (Ciągi, s. 9-10)** - wzór na wyraz ciągu geometrycznego:\n\\[a_n = a_1 \\cdot q^{n-1}\\]\nUżyliśmy tego w Sposobie 2 do wyrażenia \\(y\\) przez \\(x\\) i \\(q\\).\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-8)** - wzory Viète'a i miejsca zerowe:\n\\[x_1 + x_2 = -\\frac{b}{a}, \\quad x_1 \\cdot x_2 = \\frac{c}{a}\\]\n\\[x_{1,2} = \\frac{-b \\pm \\sqrt{\\Delta}}{2a}, \\quad \\Delta = b^2 - 4ac\\]\nUżyliśmy przy rozwiązaniu trójmianu \\(t^2 - 35t + 196 = 0\\).\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Własność \\(a_2^2 = a_1 \\cdot a_3\\) działa **tylko** w ciągu geometrycznym (nie arytmetycznym! Tam \\(a_2 = \\frac{a_1 + a_3}{2}\\)). Nie myl tych dwóch własności.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Równanie \\(x + \\frac{196}{x} = 35\\) można mnożyć przez \\(x\\) **tylko pod warunkiem** \\(x \\neq 0\\). W ciągu geometrycznym wyrazy są niezerowe z definicji, więc to jest OK - ale warto o tym pamiętać.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Po wyznaczeniu dwóch kandydatów \\(\\{7, 28\\}\\) koniecznie skorzystaj z warunku **\"ciąg rosnący\"** - bez niego oba rozwiązania byłyby poprawne matematycznie (iloraz \\(q = 2\\) lub \\(q = \\frac{1}{2}\\)), i zadanie byłoby niejednoznaczne.\n\n**Poprawna odpowiedź:** \\(x = 7\\), \\(y = 28\\) (iloraz \\(q = 2\\)).\n\n### Sposób 1 - Własność środkowa ciągu geometrycznego\n**Warunek środkowy ciągu geometrycznego:**\n\\[a_2^{2} = a_1 \\cdot a_3 \\Rightarrow 14^{2} = x \\cdot y \\Rightarrow x \\cdot y = 196.\\]\n\n**Warunek sumy:** \\(x + y = 35\\).\n\n**Układ równań:**\n\\[\\begin{cases} x + y = 35 \\\\ x \\cdot y = 196 \\end{cases}\\]\n\nLiczby \\(x\\) i \\(y\\) są pierwiastkami równania kwadratowego (wzory Viète'a):\n\\[t^{2} - 35t + 196 = 0.\\]\n\nDelta: \\(\\Delta = 1225 - 784 = 441\\), \\(\\sqrt{\\Delta} = 21\\).\n\\[t = \\dfrac{35 \\pm 21}{2} \\Rightarrow t_1 = 7, \\quad t_2 = 28.\\]\n\n**Pary rozwiązań:** \\((x, y) = (7, 28)\\) lub \\((28, 7)\\).\n\n**Warunek rosnącego ciągu:** \\(a_1 < a_2 < a_3\\), czyli \\(x < 14 < y\\). Pierwsza para: \\(7 < 14 < 28\\) ✓. Druga para: \\(28 < 14\\) ✗.\n\n**Wybieramy:** \\(x = 7\\), \\(y = 28\\).\n\n### Sposób 2 - Zmienna iloraz \\(q\\)\nZ definicji ciągu geometrycznego: \\(a_2 = a_1 \\cdot q\\) i \\(a_3 = a_1 \\cdot q^{2}\\).\n\nZ \\(a_2 = 14\\): \\(x \\cdot q = 14 \\Rightarrow x = \\dfrac{14}{q}\\).\n\nZ \\(a_3 = y\\): \\(y = x q^{2} = \\dfrac{14}{q}\\cdot q^{2} = 14q\\).\n\nPodstawiamy do warunku \\(x + y = 35\\):\n\\[\\dfrac{14}{q} + 14q = 35 \\quad | \\cdot q\\]\n\\[14 + 14q^{2} = 35q\\]\n\\[14q^{2} - 35q + 14 = 0 \\quad | \\div 7\\]\n\\[2q^{2} - 5q + 2 = 0.\\]\n\nDelta: \\(\\Delta = 25 - 16 = 9\\), \\(\\sqrt{\\Delta} = 3\\).\n\\[q = \\dfrac{5 \\pm 3}{4} \\Rightarrow q_1 = 2, \\quad q_2 = \\dfrac{1}{2}.\\]\n\nCiąg rosnący ⇒ \\(q > 1\\) (przy dodatnich wyrazach) ⇒ \\(q = 2\\).\n\n\\[x = \\dfrac{14}{2} = 7, \\quad y = 14 \\cdot 2 = 28.\\]\n\n**Sprawdzenie:** \\(7, 14, 28\\) - ciąg geometryczny o ilorazie \\(2\\); \\(x + y = 7 + 28 = 35\\) ✓.\n\n### Komentarz\n**Kluczowa własność ciągu geometrycznego:** \\(a_2^{2} = a_1 a_3\\). Dzięki niej od razu mamy drugie równanie \\(xy = 196\\). Warunek „rosnący\" eliminuje parę \\((28, 7)\\) - bez tego warunku istnieją dwa rozwiązania.","image":"img/matematyka-2007-maj-matura-podstawowa/zad-11.webp","solution_image":"img/matematyka-2007-maj-matura-podstawowa/sol-11.svg","topics":"ciagi","page_from":14,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2007 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"}]}