{"paper":{"id":"matematyka-2007-maj-matura-rozszerzona","subject":"matematyka","category":"matura","year":2007,"month":"maj","level":"rozszerzona","variant":null,"exam_pdf":"matematyka-2007-maj-matura-rozszerzona/matematyka-2007-maj-matura-rozszerzona.pdf","key_pdf":"matematyka-2007-maj-matura-rozszerzona-odpowiedzi/matematyka-2007-maj-matura-rozszerzona-odpowiedzi.pdf","question_count":11,"source_label":"Matematyka · Matura · maj 2007 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},"questions":[{"id":"matematyka-2007-maj-matura-rozszerzona/zad/1","paper_id":"matematyka-2007-maj-matura-rozszerzona","number":"1","points":5,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2007,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 1. (5 pkt)\nDana jest funkcja\n( )\n1\n2\nf x\nx\nx\ndla x\nR\n∈\na) Wyznacz zbiór wartości funkcji f dla\n(\n)\n, 2\nx∈-∞-\nb) Naszkicuj wykres tej funkcji.\nc) Podaj jej miejsca zerowe.\nd) Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których równanie\n( )\nf x\nm\nnie ma\nrozwiązania.\nNr czynności\n1.1.\n1.2.\n1.3.\n1.4.\n1.5.\nMaks. liczba pkt\n1\n1\n1\n1\n1\nWypełnia\negzaminator! Uzyskana liczba pkt\n\nPoziom rozszerzony\n3\nDana jest funkcja f(x)=|x-1|-|x+2| dla x rzeczywistych. a) Wyznacz zbiór wartości funkcji f dla x należacych do (oo,-2). b) Naszkicuj wykres tej funkcji. c) Podaj jej miejsce zerowe. d) Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których równanie f(x)=m nie ma rozwiązania.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 1. (5 pkt)\nDana jest funkcja\n( )\n1\n2\nf x\nx\nx\ndla x\nR\n∈\na) Wyznacz zbiór wartości funkcji f dla\n(\n)\n, 2\nx∈-∞-\nb) Naszkicuj wykres tej funkcji.\nc) Podaj jej miejsca zerowe.\nd) Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których równanie\n( )\nf x\nm\nnie ma\nrozwiązania.\na) Niech\n(\n)\n, 2\nx∈-∞-\n, wtedy:\n1\n0\nx -<\n, czyli\n(\n)\n1\n1\nx\nx\noraz\n2\n0\nx +\n<\n, czyli\n(\n)\n2\n2\nx\nx\nZatem dla\n(\n)\n, 2\nx∈-∞-\notrzymuję:\n( )\n(\n)\n(\n)\n(\n)\n1\n2\n1\n2\n3\nf x\nx\nx\nx\nx\nFunkcja f dla\n(\n)\n, 2\nx∈-∞-\njest funkcją stałą, a jej zbiorem wartości jest\nzbiór { }\n3 .\nb) Po zastosowaniu definicji wartości bezwzględnej funkcję f zapisuję\nw następującej postaci:\n( )\n(\n)\n)\n)\n3\ndla\n, 2\n2\n1 dla\n2,1\n3\ndla\n1,\nx\nf x\nx\nx\nx\n⎧\n∈-∞-\n⎪⎪\n∈-\n⎨\n⎪\n∈\n∞\n⎪⎩\nPoziom rozszerzony\n3\nSzkicuję wykres funkcji f.\nFunkcja ma jedno miejsce zerowe w przedziale (\n)\n2,1\n(co widać na\nsporządzonym wykresie).\nMiejsce zerowe funkcji f wyznaczam, korzystając z jej wzoru w tym przedziale:\n2\n1\n0\nx\n, stąd\n0\n1\n2\nx = -\nc) Równanie\n( )\nf x\nm\nnie ma rozwiązań, gdy prosta o równaniu y\nm\nnie przecina wykresu funkcji f, czyli dla\n3\nm < - lub\n3\nm >\ny\nx\n-2\n1\n-3\n3\n-1\nPoziom rozszerzony\n4","solution":"a) $\\{3\\}$\\nc) $x = -\\dfrac{1}{2}$\\nd) $m \\in (-\\infty, -3) \\cup (3, \\infty)$","image":"img/matematyka-2007-maj-matura-rozszerzona/zad-1.webp","solution_image":"img/matematyka-2007-maj-matura-rozszerzona/sol-1.svg","topics":"funkcje","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2007 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2007-maj-matura-rozszerzona/zad/2","paper_id":"matematyka-2007-maj-matura-rozszerzona","number":"2","points":5,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2007,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 2. (5 pkt)\nRozwiąż nierówność:\n(\n)\n(\n)\n(\n)\n(\n)\n2\n1\n1\n1\n3\n3\n3\n3\nlog\n1\nlog\n5\nlog\n1\nx\nx\nx\n>\nNr czynności\n2.1.\n2.2.\n2.3.\n2.4.\n2.5.\nMaks. liczba pkt\n1\n1\n1\n1\n1\nWypełnia\negzaminator! Uzyskana liczba pkt\n\nPoziom rozszerzony\n4\nrozwiąż nierówność logarytmiczną","answer":null,"answer_text":"Zadanie 2. (5 pkt)\nRozwiąż nierówność:\n(\n)\n(\n)\n(\n)\n(\n)\n2\n1\n1\n1\n3\n3\n3\n3\nlog\n1\nlog\n5\nlog\n1\nx\nx\nx\n>\nWyznaczam dziedzinę nierówności logarytmicznej:\n2\n1\n0\n5\n0\n1\n0\nx\nx\nx\n->\n∧\n>\n∧\n+ >\nRozwiązania tych nierówności zaznaczam na osi liczbowej:\nDziedziną danej nierówności jest przedział (\n)\n1,5 .\nKorzystam ze wzoru na sumę logarytmów i otrzymuję nierówność równoważną:\n(\n)(\n)\n(\n)\n(\n)\n2\n1\n1\n3\n3\nlog\n1 5\nlog\n3\n1\nx\nx\nx\n⎡\n⎤\n>\n⎣\n⎦\nFunkcja logarytmiczna przy podstawie 1\n3 jest malejąca, więc po opuszczeniu\nlogarytmów i zmianie zwrotu nierówności otrzymuję nierówność równoważną:\n(\n)(\n)\n(\n)\n2\n1 5\n3\n1\nx\nx\nx\n<\nPrzedstawiam ją w postaci iloczynowej:\n(\n)(\n)(\n)\n(\n)\n1\n1 5\n3\n1\nx\nx\nx\nx\n<\n(\n)(\n)(\n)\n(\n)\n1\n1 5\n3\n1\n0\nx\nx\nx\nx\n<\n(\n) (\n)(\n)\n1\n1 5\n3\n0\nx\nx\nx\n<\n⎡\n⎤\n⎣\n⎦\n(\n)(\n)\n2\n1\n6\n8\n0\nx\nx\nx\n<\n(\n)(\n)(\n)\n1\n2\n4\n0\nx\nx\nx\n<\nRozwiązaniem nierówności jest suma przedziałów (\n)\n(\n)\n1, 2\n4,\n∪\n∞.\nRozwiązaniem nierówności logarytmicznej jest część wspólna otrzymanego\nzbioru i dziedziny: (\n)\n(\n)\n1 2\n4 5\n,\n,\n∪\n0 1\n5\n-1\nx\nPoziom rozszerzony\n5","solution":"$x \\in (1, 2) \\cup (4, 5)$","image":"img/matematyka-2007-maj-matura-rozszerzona/zad-2.webp","solution_image":"img/matematyka-2007-maj-matura-rozszerzona/sol-2.svg","topics":"logarytmy","page_from":3,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2007 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2007-maj-matura-rozszerzona/zad/3","paper_id":"matematyka-2007-maj-matura-rozszerzona","number":"3","points":5,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2007,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 3. (5 pkt)\nKapsuła lądownika ma kształt stożka zakończonego w podstawie półkulą o tym samym\npromieniu co promień podstawy stożka. Wysokość stożka jest o 1 m większa niż promień\npółkuli. Objętość stożka stanowi 2\n3 objętości całej kapsuły. Oblicz objętość kapsuły\nlądownika.\nNr czynności\n3.1.\n3.2.\n3.3.\n3.4.\n3.5.\nMaks. liczba pkt\n1\n1\n1\n1\n1\nWypełnia\negzaminator! Uzyskana liczba pkt\n\nPoziom rozszerzony\n5\nKapsuła lądownika ma kształt stożka zakończonego w podstawie półkulą o tym samym promieniu co promień podstawy stożka. Wysokość stożka jest o 1m większa niż promień półkuli. Objętość stożka stanowi 2/3 objętości całej kapsuły. Oblicz objętość kapsuły lądownika.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 3. (5 pkt)\nKapsuła lądownika ma kształt stożka zakończonego w podstawie półkulą o tym samym\npromieniu co promień podstawy stożka. Wysokość stożka jest o 1 m większa niż promień\npółkuli. Objętość stożka stanowi 2\n3 objętości całej kapsuły. Oblicz objętość kapsuły\nlądownika.\nSporządzam pomocniczy rysunek:\nZapisuję zależność miedzy długością promienia stożka i jego wysokością:\n1\nh\nr\nObjętość V kapsuły zapisuję jako sumę objętości stożka i półkuli:\n2\n3\n1\n2\n3\n3\nV\nr\nh\nr\nπ\nπ\n⋅\n(\n)\n2\n3\n1\n2\n1\n3\n3\nr\nr\nr\nπ\nπ\n⋅\nstąd\n3\n2\n1\n3\nV\nr\nr\nπ\nπ\nZależność między objętością\nS\nV stożka i objętością V kapsuły wynikającą\nz treści zadania ma postać:\n2\n3\nS\nV\nV\n, stąd\n(\n)\n2\n3\n2\n1\n2\n1\n1\n3\n3\n3\nr\nr\nr\nr\nπ\nπ\nπ\n⎛\n⎞\n⋅\n⎜\n⎟\n⎝\n⎠\n(\n)\n2\n2\n1\n2\n1\n1\n3\n3\n3\nr\nr\nr\nr\nπ\nπ\n⎛\n⎞\n⎜\n⎟\n⎝\n⎠\n1\n1\n2\n3\nr\nr\n⎛\n⎞\n⎜\n⎟\n⎝\n⎠\n1\n3\nr =\nObliczam objętości V kapsuły lądownika:\n3\n2\nm\n27\nV = π\nh\nr\nPoziom rozszerzony\n6","solution":"$V = \\dfrac{2\\pi}{27} \\text{ m}^3$","image":"img/matematyka-2007-maj-matura-rozszerzona/zad-3.webp","solution_image":"img/matematyka-2007-maj-matura-rozszerzona/sol-3.svg","topics":"stereometria","page_from":4,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2007 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2007-maj-matura-rozszerzona/zad/4","paper_id":"matematyka-2007-maj-matura-rozszerzona","number":"4","points":3,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2007,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 4. (3 pkt)\nDany jest trójkąt o bokach długości 1, 3\n2 , 2. Oblicz cosinus i sinus kąta leżącego naprzeciw\nnajkrótszego boku tego trójkąta.\nNr czynności\n4.1.\n4.2.\n4.3.\nMaks. liczba pkt\n1\n1\n1\nWypełnia\negzaminator! Uzyskana liczba pkt\n\nPoziom rozszerzony\n6\nDany jest trójkąt o bokach długości 1, 3/2, 2. Oblicz cosinus i sinus kąta leżącego naprzeciw najkrótszego boku tego trójkąta.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 4. (3 pkt)\nDany jest trójkąt o bokach długości 1, 3\n2 , 2. Oblicz cosinus i sinus kąta leżącego naprzeciw\nnajkrótszego boku tego trójkąta.\nWykonuję rysunek pomocniczy, na którym zaznaczam poszukiwany kąt:\nWykorzystuję\ntwierdzenie\ncosinusów\ndo\nzapisania\nrównania:\n( )\n2\n2\n2\n3\n3\n1\n2\n2\n2 cos\n2\n2\n⎛\n⎞\n⋅\n⋅⋅\n⎜\n⎟\n⎝\n⎠\nα i obliczam wartość cosinusa kąta\nα :\n7\ncos\n8\nα\nWartość funkcji sinus kąta α wyznaczam z tożsamości trygonometrycznej\n2\n2\nsin\ncos\n1\nα\nα\n2\n2\n7\nsin\n1\n8\nα\n⎛\n⎞\n⎜\n⎟\n⎝\n⎠\n,\n2\n15\nsin\n64\nα =\nKąt α jest kątem ostrym, więc sinα\n15\n8\n2\n1\n3\n2\nα\nPoziom rozszerzony\n7","solution":"$\\cos\\alpha = \\dfrac{7}{8}$, $\\sin\\alpha = \\dfrac{\\sqrt{15}}{8}$","image":"img/matematyka-2007-maj-matura-rozszerzona/zad-4.webp","solution_image":"img/matematyka-2007-maj-matura-rozszerzona/sol-4.svg","topics":"planimetria","page_from":5,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2007 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2007-maj-matura-rozszerzona/zad/5","paper_id":"matematyka-2007-maj-matura-rozszerzona","number":"5","points":7,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2007,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 5. (7 pkt)\nWierzchołki trójkąta równobocznego ABC są punktami paraboli\n2\n6\ny\nx\nx . Punkt C jest\njej wierzchołkiem, a bok AB jest równoległy do osi Ox. Sporządź rysunek w układzie\nwspółrzędnych i wyznacz współrzędne wierzchołków tego trójkąta.\nNr czynności\n5.1.\n5.2.\n5.3.\n5.4.\n5.5.\n5.6.\n5.7.\nMaks. liczba pkt\n1\n1\n1\n1\n1\n1\n1\nWypełnia\negzaminator! Uzyskana liczba pkt\n\nPoziom rozszerzony\n7\nWierzchołki trójkąta równobocznego ABC są punktami paraboli y=-x^2+6x. Punkt C jest jej wierzchołkiem, a bok AB jest równoległy od osi Ox. Sporządź rysunek w układzie współrzędnych i wyznacz współrzędne wierzchołków tego trójkąta.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 5. (7 pkt)\nWierzchołki trójkąta równobocznego ABC są punktami paraboli\n2\n6\ny\nx\nx . Punkt C jest\njej wierzchołkiem, a bok AB jest równoległy do osi Ox. Sporządź rysunek w układzie\nwspółrzędnych i wyznacz współrzędne wierzchołków tego trójkąta.\nAby sporządzić rysunek wyznaczam współrzędne wierzchołka danej paraboli:\n(\n)\n2\n2\n6\n3\n9\ny\nx\nx\nx\n, więc wierzchołek paraboli ma współrzędne (\n)\n3,9 .\nWykonuję rysunek ilustrujący treść zadania:\nA\nB\nx\ny\n600\n0\n3\n6\n9\n600\nC\nTrójkąt ABC jest równoboczny, więc kąt BAC ma miarę 60D . Współczynnik\nkierunkowy prostej przechodzącej przez punkty A i C jest więc równy\ntg60\n3\nD\nWyznaczam równanie prostej AC:\nprosta\n3\ny\nx\nb\nprzechodzi przez punkt\n(\n)\n3,9\nC =\n, więc współczynnik b jest\nrówny\n3 3\n9\nb = -\nProsta AC ma równanie:\n3\n3 3\n9\ny\nx\nPoziom rozszerzony\n8\nAby\nwyznaczyć\nwspółrzędne\npunktu\nA\nrozwiązuję\nukład\nrównań:\n2\n3\n3 3\n9\n6\ny\nx\ny\nx\nx\n⎧\n⎪⎨\n⎪⎩\nPo\ndokonaniu\npodstawienia\n2\n6\ny\nx\nx\notrzymuję\nrównanie\n2\n3\n3 3\n9\n6\nx\nx\nx\n, które po uporządkowaniu przyjmuje postać:\n(\n)\n2\n3\n6\n9\n3 3\n0.\nx\nx\nRozwiązaniem równania są liczby:\n1\n3\nx = ,\n2\n3\n3\nx =\nWspółrzędne punktów przecięcia prostej AC z parabolą\n2\n6\ny\nx\nx\nsą więc\nnastępujące: (\n)\n3\n3,6\noraz (\n)\n3,9 .\nPunkt (\n)\n3,9 jest wierzchołkiem paraboli, więc punkt A ma współrzędne\n(\n)\n3\n3,6\nWspółrzędne punktu B wyznaczam wykorzystując fakt, iż osią symetrii paraboli\n2\n6\ny\nx\nx\njest prosta\n3\nx =\n. Punkt B jest więc obrazem punktu A w symetrii\nwzględem tej prostej, czyli\n(\n)\n3\n3,6\nB =\nPoziom rozszerzony\n9","solution":"$A = (3 - \\sqrt{3}, 6)$, $B = (3 + \\sqrt{3}, 6)$, $C = (3, 9)$","image":"img/matematyka-2007-maj-matura-rozszerzona/zad-5.webp","solution_image":"img/matematyka-2007-maj-matura-rozszerzona/sol-5.svg","topics":"analityczna","page_from":6,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2007 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2007-maj-matura-rozszerzona/zad/6","paper_id":"matematyka-2007-maj-matura-rozszerzona","number":"6","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2007,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 6. (4 pkt)\nNiech A, B będą zdarzeniami o prawdopodobieństwach\n( )\nP A i\n( )\nP B . Wykaż, że jeżeli\n( )\n0,85\nP A =\ni\n( )\n0,75\nP B =\n, to prawdopodobieństwo warunkowe spełnia nierówność\n(\n)\n0,8\nP A B ≥\nNr czynności\n6.1.\n6.2.\n6.3.\n6.4.\nMaks. liczba pkt\n1\n1\n1\n1\nWypełnia\negzaminator! Uzyskana liczba pkt\n\nPoziom rozszerzony\n8\nNiech A, B będą zdarzeniami o prawdopodobieństwie P(A) i P(B). Wykaż, że jeżeli P(A)=0,85 i P(B)=0,75, to prawdopodobieństwo warunkowe spełnia nierówność P(A|B)>=0,8.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 6. (4 pkt)\nNiech A, B będą zdarzeniami o prawdopodobieństwach\n( )\nP A i\n( )\nP B . Wykaż, że jeżeli\n( )\n0,85\nP A =\ni\n( )\n0,75\nP B =\n, to prawdopodobieństwo warunkowe spełnia nierówność\n(\n)\n0,8\nP A B ≥\nPonieważ (\n) 1\nP A\nB\n∪\n≤ z własności prawdopodobieństwa, więc\n(\n)\n( )\n( )\n(\n)\n1\nP A\nB\nP A\nP B\nP A\nB\n≥\n∪\n∩\nStąd po przekształceniu otrzymuję:\n(\n)\n( )\n( )\n1\nP A\nB\nP A\nP B\n∩\n≥\n(\n)\n0,85\n0,75 1\nP A\nB\n∩\n≥\n(\n)\n0,6\nP A\nB\n∩\n≥\nKorzystam z definicji prawdopodobieństwa warunkowego:\n(\n)\n(\n)\n( )\n0,6\n0,75\nP A\nB\nP A B\nP B\n∩\n≥\ni otrzymuję (\n)\n0,8\nP A B ≥\nPoziom rozszerzony\n10","solution":"Dowód w pełnym rozwiązaniu.","image":"img/matematyka-2007-maj-matura-rozszerzona/zad-6.webp","solution_image":"img/matematyka-2007-maj-matura-rozszerzona/sol-6.svg","topics":"prawdopodobienstwo","page_from":7,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2007 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2007-maj-matura-rozszerzona/zad/7","paper_id":"matematyka-2007-maj-matura-rozszerzona","number":"7","points":7,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2007,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 7. (7 pkt)\nDany jest układ równań:\n2\n⎧\n⎨+\n⎩\nmx\ny\nx\nmy\nm\nDla każdej wartości parametru m wyznacz parę liczb (\n)\nx,y , która jest rozwiązaniem tego\nukładu równań. Wyznacz najmniejszą wartość sumy x\ny\ndla\n2,4\nm∈\n\nPoziom rozszerzony\n9\nNr czynności\n7.1.\n7.2.\n7.3.\n7.4.\n7.5.\n7.6.\n7.7.\nMaks. liczba pkt\n1\n1\n1\n1\n1\n1\n1\nWypełnia\negzaminator! Uzyskana liczba pkt\n\nPoziom rozszerzony\n10\nDany jest układ równań: {mx-y=2 x+my=m}. Dla każdej wartości parametru m wyznacz parę liczb (x,y), która jest rozwiązaniem tego układu równań. Wyznacz najmniejszą wartość sumy x+y dla m w <2,4>.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 7. (7 pkt)\nDany jest układ równań:\n2\n⎧\n⎨+\n⎩\nmx\ny\nx\nmy\nm\nDla każdej wartości parametru m wyznacz parę liczb (\n)\nx,y , która jest rozwiązaniem tego\nukładu równań. Wyznacz najmniejszą wartość sumy x\ny\ndla\n2,4\nm∈\nRozwiązaniem układu równań\n2\nmx\ny\nx\nmy\nm\n⎧\n⎨+\n⎩\ndla każdego m\nR\n∈\njest para liczb\n2\n2\n2\n3\n1\n2 .\n1\nm\nx\nm\nm\ny\nm\n⎧=\n⎪⎪\n⎨\n⎪\n⎪\n⎩\nSumę x\ny\nzapisuję w postaci funkcji ( )\n2\n2\n3\n2\n1\nm\nm\nf m\nm\n, m\nR\n∈\nAby znaleźć najmniejszą wartość sumy w danym przedziale obliczam pochodną\nfunkcji f:\n( )\n(\n)\n2\n2\n2\n3\n6\n3\n1\nm\nm\nf\nm\nm\n′\n, m\nR\n∈\nObliczam miejsca zerowe pochodnej funkcji f:\n( ) 0\nf\nm\n′\ngdy\n2\n3\n6\n3\n0\nm\nm\nRozwiązaniami równania są liczby:\n1\n1\n2\nm = -\n,\n2\n1\n2\nm = +\n, przy czym\n1\n2,4\nm ∉\nBadam znak pochodnej w przedziale 2,4 :\nPonieważ\n( )\n(\n)\n0 dla\n2, 1\n2\nf\nm\nm\n′\n>\n∈\n, więc funkcja f jest rosnąca w przedziale\n)\n2, 1\n2\n. Ponieważ\n( )\n(\n)\n0 dla\n1\n2, 4\nf\nm\nm\n′\n<\n∈\n, więc funkcja f jest\nmalejąca w przedziale (1\n2, 4\nStąd wnioskuję, że funkcja f przyjmuje najmniejszą wartość w jednym z końców\nprzedziału 2,4 .\nPoziom rozszerzony\n11\nObliczam wartość funkcji f na końcach przedziału:\n( )\n8\n2\n5\nf\noraz\n( )\n26\n4\n17\nf\ni porównuję otrzymane liczby.\nNajmniejszą wartością sumy x\ny\njest ( )\n26\n4\n17\nf\nPoziom rozszerzony\n12","solution":"$x = \\dfrac{3m}{m^2 + 1}$, $y = \\dfrac{m^2 - 2}{m^2 + 1}$. Najmniejsza wartość sumy to $\\dfrac{26}{17}$.","image":"img/matematyka-2007-maj-matura-rozszerzona/zad-7.webp","solution_image":"img/matematyka-2007-maj-matura-rozszerzona/sol-7.svg","topics":"uklady_rownan","page_from":8,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2007 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2007-maj-matura-rozszerzona/zad/8","paper_id":"matematyka-2007-maj-matura-rozszerzona","number":"8","points":3,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2007,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 8. (3 pkt)\nDana jest funkcja f określona wzorem\n( )\n2\nsin\nsin\nsin\nx\nx\nf x\nx\ndla\n(\n)\n(\n)\n0,\n, 2\nx∈\nπ ∪π\nπ .\na) Naszkicuj wykres funkcji f .\nb) Wyznacz miejsca zerowe funkcji f.\nx\ny\n2\nπ\n2π\n0\n1\n-1\n-2\n\nPoziom rozszerzony\n11\nNr czynności\n8.1.\n8.2.\n8.3.\nMaks. liczba pkt\n1\n1\n1\nWypełnia\negzaminator! Uzyskana liczba pkt\n\nPoziom rozszerzony\n12\nDana jest funkcja f określona wzorem f(x)={sin^2x-|sin x| / sin x} dla x w (0,pi)u(pi,2pi). a) Naszkicuj wykres funkcji f. b Wyznacz miejsce zerowe funkcji f.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 8. (3 pkt)\nDana jest funkcja f określona wzorem\n( )\n2\nsin\nsin\nsin\nx\nx\nf x\nx\ndla\n(\n)\n(\n)\n0,\n, 2\nx∈\n∪\nπ\nπ\nπ .\na) Naszkicuj wykres funkcji f .\nb) Wyznacz miejsca zerowe funkcji f.\nKorzystam z definicji wartości bezwzględnej i zapisuję wzór funkcji f\nw postaci: ( )\n2\n2\nsin\nsin\ndla sin\n0\nsin\nsin\nsin\ndla sin\n0\nsin\nx\nx\nx\nx\nf x\nx\nx\nx\nx\n⎧\n>\n⎪⎪\n= ⎨\n⎪\n<\n⎪⎩\n( )\nsin\n1 dla sin\n0\nsin\n1 dla sin\n0 .\nx\nx\nf x\nx\nx\n>\n⎧\n= ⎨\n<\n⎩\nSzkic wykresu funkcji w podanym zbiorze jest następujący:\nπ\n2π\n-1\n1\nx\ny\nNa podstawie wzoru wyznaczam miejsca zerowe funkcji:\n( )\n0\nf x =\ndla x takich, że sin\n1\n0\nx -=\nlub sin\n1\n0\nx + =\n,\nczyli dla\n2\nx = π , oraz\n3\n2\nx = π .\nPoziom rozszerzony\n13","solution":"b) $x = \\dfrac{\\pi}{2}$, $x = \\dfrac{3\\pi}{2}$","image":"img/matematyka-2007-maj-matura-rozszerzona/zad-8.webp","solution_image":"img/matematyka-2007-maj-matura-rozszerzona/sol-8.svg","topics":"trygonometria","page_from":10,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2007 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2007-maj-matura-rozszerzona/zad/9","paper_id":"matematyka-2007-maj-matura-rozszerzona","number":"9","points":3,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2007,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 9. (3 pkt)\nPrzedstaw wielomian\n( )\n4\n3\n2\n2\n3\n4\n1\nW x\nx\nx\nx\nx\n- w postaci iloczynu dwóch wielomianów\nstopnia drugiego o współczynnikach całkowitych i takich, że współczynniki przy drugich\npotęgach są równe jeden.\nNr czynności\n9.1.\n9.2.\n9.3.\nMaks. liczba pkt\n1\n1\n1\nWypełnia\negzaminator! Uzyskana liczba pkt\n\nPoziom rozszerzony\n13\nPrzedstaw wielomian W(x)=x^4-2x^3-3x^2+4x-1 w postaci iloczynu dwóch wielomianów stopnia drugiego o współczynnikach całkowitych i takich, że współczynniki przy drugich potęgach są równe jeden.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 9. (3 pkt)\nPrzedstaw wielomian\n( )\n4\n3\n2\n2\n3\n4\n1\nW x\nx\nx\nx\nx\n- w postaci iloczynu dwóch wielomianów\nstopnia drugiego o współczynnikach całkowitych i takich, że współczynniki przy drugich\npotęgach są równe jeden.\nDany wielomian\n( )\n4\n3\n2\n2\n3\n4\n1\nW x\nx\nx\nx\nx\n- przedstawiam w takiej postaci,\naby\nmożna\nbyło\nzastosować\nwzory\nskróconego\nmnożenia:\n( )\n4\n3\n2\n2\n2\n4\n4\n1\nW x\nx\nx\nx\nx\nx\nGrupuję wyrazy i przedstawiam wyrażenie w postaci różnicy kwadratów dwóch\nwyrażeń:\n( ) (\n)\n(\n)\n2\n2\n2\n2\n1\nW x\nx\nx\nx\nWykorzystuję wzory skróconego mnożenia do rozkładu wielomianu na iloczyn\ndwóch wielomianów stopnia drugiego:\n( ) (\n)\n(\n)\n(\n) (\n)\n2\n2\n2\n2\n2\n2\n1\n2\n1\n2\n1\nW x\nx\nx\nx\nx\nx\nx\nx\nx\nx\n⋅\n(\n) (\n)\n2\n2\n1\n3\n1\nx\nx\nx\nx\n⋅\nPoziom rozszerzony\n14","solution":"$W(x) = (x^2 - 3x + 1)(x^2 + x - 1)$","image":"img/matematyka-2007-maj-matura-rozszerzona/zad-9.webp","solution_image":"img/matematyka-2007-maj-matura-rozszerzona/sol-9.svg","topics":"wielomiany","page_from":12,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2007 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2007-maj-matura-rozszerzona/zad/10","paper_id":"matematyka-2007-maj-matura-rozszerzona","number":"10","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2007,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 10. (4 pkt)\nNa kole opisany jest romb. Stosunek pola koła do pola rombu wynosi\n3\n8\nπ\n. Wyznacz miarę\nkąta ostrego rombu.\nNr czynności\n10.1.\n10.2.\n10.3.\n10.4.\nMaks. liczba pkt\n1\n1\n1\n1\nWypełnia\negzaminator! Uzyskana liczba pkt\n\nPoziom rozszerzony\n14\nNa kole opisany jest romb. Stosunek pola koła do pola rombu wynosi $\\pi\\sqrt3\\o8$. Wyznacz miarę kąta ostrego rombu.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 10. (4 pkt)\nNa kole opisany jest romb. Stosunek pola koła do pola powierzchni rombu wynosi\n3\n8\nπ\nWyznacz miarę kąta ostrego rombu.\nSporządzam rysunek pomocniczy i wprowadzam następujące oznaczenia:\na - długość boku rombu, r - promień koła wpisanego w romb,\nK\nP - pole koła\nwpisanego w romb,\nR\nP - pole rombu, α - kąt ostry rombu.\nZgodnie z wprowadzonymi oznaczeniami\n2\nK\nP\nr\nπ\n,\n2\nR\nP\na\nr\n⋅\nZ warunków zadania wynika proporcja:\n2\n3\n2\n8\nK\nR\nP\nr\nP\na\nr\n⋅\nπ\nπ\n, stąd\n3\n2\n8\nr\na =\nZ otrzymanej równości wyznaczam promień okręgu:\n3\n4\nr\na\n⋅\nZ trójkąta prostokątnego AED wyznaczam sinus kąta α :\n2\nsin\nDE\nr\nAD\na\nα =\n3\n2\n3\n4\nsin\n2\na\na\nα\n⋅\nZatem\n60\nD\nα\na\nr\nα\nA\nB\nC\nD\nE\nPoziom rozszerzony\n15","solution":"$\\alpha = 60^\\circ$","image":"img/matematyka-2007-maj-matura-rozszerzona/zad-10.webp","solution_image":"img/matematyka-2007-maj-matura-rozszerzona/sol-10.svg","topics":"planimetria","page_from":13,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2007 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2007-maj-matura-rozszerzona/zad/11","paper_id":"matematyka-2007-maj-matura-rozszerzona","number":"11","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2007,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 11. (4 pkt)\nSuma n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego (\n)\nna\nwyraża się wzorem\nn\nn\nSn\n2\n2\ndla\n1\nn ≥.\na) Oblicz sumę 50 początkowych wyrazów tego ciągu o numerach parzystych:\n2\n4\n6\n100\na\na\na\na\nb) Oblicz\n2\nlim\n3\n2\nn\nn\nS\nn\n→∞\nNr czynności\n11.1.\n11.2.\n11.3.\n11.4.\nMaks. liczba pkt\n1\n1\n1\n1\nWypełnia\negzaminator! Uzyskana liczba pkt\n\nPoziom rozszerzony\n15\nBRUDNOPIS\nSuma n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego (a_n) wyraża się wzorem S_n = 2n^2 + n dla n>=1. a) Oblicz sumę 50 początkowych wyrazów tego ciągu o numerach parzystych: a_2 + a_4 + a_6 + ... + a_{100}. b) Oblicz lim_{n->oo}{S_n / 3n^2-2}.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 11. (4 pkt)\nSuma n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego (\n)\nna\nwyraża się wzorem\nn\nn\nSn\n2\n2\ndla\n1\nn ≥.\na) Oblicz sumę 50 początkowych wyrazów tego ciągu o numerach parzystych:\n2\n4\n6\n100\na\na\na\na\nb) Oblicz\n2\nlim\n3\n2\nn\nn\nS\nn\n→∞\na) Wyznaczam wzór ogólny ciągu (\n)\nna\n, korzystając z własności sum\nczęściowych ciągów:\n1\nn\nn\nn\na\nS\nS -\n(\n)\n2\n2\n2\n2\n1\n1\n4\n1\nna\nn\nn\nn\nn\nn\nWyznaczam wartość wyrazu\n2\n7\na =\ni różnicy ciągu (\n2\n4\n100\n,\n, ,\na\na\na\n),\n8\nr =\nObliczam sumę\n50\nn =\npoczątkowych wyrazów ciągu o numerach\nparzystych:\n(\n)\n50\n2 7\n50\n1 8 50\n10150\n2\nS\n⋅\n⋅\n⋅\nb) Obliczam granicę ciągu\n2\n3\n2\nn\nS\nn -\n:\n2\n2\n2\n2\n2\nlim\nlim\n3\n2\n3\n2\n3\nn\nn\nn\nS\nn\nn\nn\nn\n→∞\n→∞\nPoziom rozszerzony\n16\nBRUDNOPIS","solution":"a) $10150$\\nb) $\\dfrac{2}{3}$","image":"img/matematyka-2007-maj-matura-rozszerzona/zad-11.webp","solution_image":"img/matematyka-2007-maj-matura-rozszerzona/sol-11.svg","topics":"ciagi","page_from":14,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2007 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"}]}