{"paper":{"id":"matematyka-2008-maj-matura-podstawowa","subject":"matematyka","category":"matura","year":2008,"month":"maj","level":"podstawowa","variant":null,"exam_pdf":"matematyka-2008-maj-matura-podstawowa/matematyka-2008-maj-matura-podstawowa.pdf","key_pdf":"matematyka-2008-maj-matura-podstawowa-odpowiedzi/matematyka-2008-maj-matura-podstawowa-odpowiedzi.pdf","question_count":12,"source_label":"Matematyka · Matura · maj 2008 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},"questions":[{"id":"matematyka-2008-maj-matura-podstawowa/zad/1","paper_id":"matematyka-2008-maj-matura-podstawowa","number":"1","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2008,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 1. (4 pkt)\nNa poniższym rysunku przedstawiono łamaną ABCD, która jest wykresem funkcji\n( )\ny\nf x\nKorzystając z tego wykresu:\na) zapisz w postaci przedziału zbiór wartości funkcji f ,\nb) podaj wartość funkcji f dla argumentu\n1\n10\nx = -\n,\nc) wyznacz równanie prostej BC ,\nd) oblicz długość odcinka BC .\n1\n1\n2\n2\n-2\n-2\n-3\n-3\n-4\n-1\n-1\n0\n3\n3\n4\ny\nx\nA\nB\nC\nD\n\nPoziom podstawowy\n3\nNr zadania\n1.1\n1.2\n1.3\n1.4\nMaks. liczba pkt\n1\n1\n1\n1\nWypełnia\negzaminator! Uzyskana liczba pkt\n\nPoziom podstawowy\n4\nNa poniższym rysunku przedstawiono łamaną ABCD, która jest wykresem funkcji y=f(x).Koszystając z tego wykresu: a) zapisz w postaci przedziału zbiór wartości funkcji f, b) podaj wartości funkcji f dla argumentu x=1-\\sqrt{10}, c) wyznacz równanie prostej BC, d)oblicz długość odcinka BC.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 1. (4 pkt)\nNa poniższym rysunku przedstawiono łamaną ABCD, która jest wykresem funkcji\n( )\ny\nf x\nKorzystając z tego wykresu:\na) zapisz w postaci przedziału zbiór wartości funkcji f ,\nb) podaj wartość funkcji f dla argumentu\n1\n10\nx = -\n,\nc) wyznacz równanie prostej BC ,\nd) oblicz długość odcinka BC .\na) Zbiór wartości funkcji f odczytuję z wykresu. Jest nim przedział\n4, 3\nb) Zauważam, że\n3\n1\n10\n2\n-<\n< -. Z wykresu odczytuję, że w przedziale\n3,\n2\nfunkcja f jest stała i dla każdego argumentu z tego przedziału\nprzyjmuje wartość (\n)\n4\n, zatem wartością funkcji f dla argumentu\n1\n10\nx = -\njest (\n)\n4\n, co można zapisać (\n)\n1\n10\n4\nf\nc) Wyznaczam równanie prostej przechodzącej przez punkty\n(\n)\n2, 4\nB = -\ni\n(\n)\n2,3\nC =\n:\n(\n)\n4\n3\n3\n2\n2\n2\ny\nx\nstąd\n7\n1\n4\n2\ny\nx\nObliczam długość odcinka BC:\n(\n)\n(\n)\n(\n)\n(\n)\n2\n2\n2\n2\n3\n4\n65\nBC =\n1\n1\n2\n2\n-2\n-2\n-3\n-3\n-4\n-1\n-1\n0\n3\n3\n4\ny\nx\nA\nB\nC\nD\nPoziom podstawowy\n3","solution":"## Poprawna odpowiedź:\n\na) \\(\\langle -4, 3 \\rangle\\) - b) \\(f(1 - \\sqrt{10}) = -4\\) - c) \\(y = \\frac{7}{4}x - \\frac{1}{2}\\) - d) \\(|BC| = \\sqrt{65}\\)\n\n## Sposób 1 - odczyt z wykresu + obliczenia\n\nKorzystamy z danych: \\(A = (-3, -4)\\), \\(B = (-2, -4)\\), \\(C = (2, 3)\\), \\(D = (4, 3)\\).\n\n### a) Zbiór wartości funkcji \\(f\\)\n\nWykres to łamana - funkcja ciągła. Patrzymy na **minimalne i maksymalne wartości \\(y\\)**:\n\n- Odcinek \\(AB\\): poziomy na wysokości \\(y = -4\\) - to minimum.\n- Odcinek \\(CD\\): poziomy na wysokości \\(y = 3\\) - to maksimum.\n- Odcinek \\(BC\\): rosnący, łączy oba poziomy.\n\nFunkcja przyjmuje **każdą wartość** od \\(-4\\) do \\(3\\) włącznie (łamana jest ciągła, nie ma skoków).\n\n\\[\\boxed{ZW(f) = \\langle -4,\\, 3 \\rangle}\\]\n\n### b) Wartość \\(f(1 - \\sqrt{10})\\)\n\nMusimy ustalić, **gdzie leży argument** \\(x_0 = 1 - \\sqrt{10}\\) na osi \\(x\\).\n\nSzacujemy: \\(\\sqrt{10} \\approx 3{,}162\\), więc \\(x_0 \\approx 1 - 3{,}162 = -2{,}162\\).\n\nSprawdzamy dokładnie, czy \\(-3 \\leq 1 - \\sqrt{10} \\leq -2\\):\n\n- Nierówność lewa: \\(1 - \\sqrt{10} \\geq -3 \\iff 4 \\geq \\sqrt{10} \\iff 16 \\geq 10\\) ✓\n- Nierówność prawa: \\(1 - \\sqrt{10} \\leq -2 \\iff 3 \\leq \\sqrt{10} \\iff 9 \\leq 10\\) ✓\n\n**Zatem \\(x_0 \\in [-3, -2]\\)**, czyli argument leży na odcinku \\(AB\\) - poziomym na wysokości \\(y = -4\\).\n\n\\[\\boxed{f(1 - \\sqrt{10}) = -4}\\]\n\n### c) Równanie prostej \\(BC\\)\n\nDane punkty: \\(B = (-2, -4)\\), \\(C = (2, 3)\\).\n\n**Krok 1 - współczynnik kierunkowy:**\n\\[a = \\frac{y_C - y_B}{x_C - x_B} = \\frac{3 - (-4)}{2 - (-2)} = \\frac{7}{4}\\]\n\n**Krok 2 - równanie prostej** (wzór z punktem \\(C\\)):\n\\[y - 3 = \\frac{7}{4}(x - 2)\\]\n\\[y = \\frac{7}{4}x - \\frac{14}{4} + 3 = \\frac{7}{4}x - \\frac{7}{2} + \\frac{6}{2}\\]\n\n\\[\\boxed{y = \\frac{7}{4}x - \\frac{1}{2}}\\]\n\n**Sprawdzenie punktem \\(B\\):** \\(y = \\frac{7}{4} \\cdot (-2) - \\frac{1}{2} = -\\frac{7}{2} - \\frac{1}{2} = -4\\) ✓\n\n### d) Długość odcinka \\(BC\\)\n\nKorzystamy ze wzoru na odległość dwóch punktów:\n\\[|BC| = \\sqrt{(x_C - x_B)^2 + (y_C - y_B)^2} = \\sqrt{(2-(-2))^2 + (3-(-4))^2}\\]\n\\[|BC| = \\sqrt{4^2 + 7^2} = \\sqrt{16 + 49}\\]\n\n\\[\\boxed{|BC| = \\sqrt{65}}\\]\n\n## Sposób 2 - weryfikacja przez parametryzację odcinka \\(BC\\)\n\nJako kontrolę równania prostej \\(BC\\) możemy wypisać parametryczną postać odcinka.\n\nWektor kierunkowy \\(\\vec{BC} = [2-(-2),\\; 3-(-4)] = [4, 7]\\).\n\nProsta \\(BC\\) przechodzi przez \\(B = (-2, -4)\\):\n\\[\\begin{cases} x = -2 + 4t \\\\ y = -4 + 7t \\end{cases}, \\quad t \\in [0, 1]\\]\n\nEliminujemy \\(t\\): z pierwszego równania \\(t = \\frac{x+2}{4}\\), podstawiamy:\n\\[y = -4 + 7 \\cdot \\frac{x+2}{4} = -4 + \\frac{7x + 14}{4} = \\frac{-16 + 7x + 14}{4} = \\frac{7x - 2}{4} = \\frac{7}{4}x - \\frac{1}{2}\\]\n\nWynik zgodny z Częścią c). ✓\n\nDługość odcinka \\(BC\\) można też policzyć jako:\n\\[|BC| = |\\vec{BC}| = \\sqrt{4^2 + 7^2} = \\sqrt{65}\\] ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25)**\n\nDługość odcinka między punktami \\(A = (x_A, y_A)\\) i \\(B = (x_B, y_B)\\):\n\\[|AB| = \\sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}\\]\nUżyte w podpunkcie **d)** do obliczenia \\(|BC|\\).\n\nRównanie kierunkowe prostej:\n\\[y = ax + b, \\quad \\text{gdzie } a = \\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}\\]\nUżyte w podpunkcie **c)** do wyznaczenia prostej \\(BC\\).\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** W podpunkcie b) nie wystarczy powiedzieć „\\(x_0\\) jest ujemny, więc \\(f = -4\\)\". Trzeba **ścisłe nierówności algebraiczne** - sprawdzić, że \\(x_0\\) leży właśnie na odcinku \\(AB\\), a nie na \\(BC\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Obliczając współczynnik kierunkowy \\(a\\), łatwo pomylić kolejność odejmowania - zawsze \\(\\frac{\\Delta y}{\\Delta x}\\), czyli zmiany \\(y\\) przez zmiany \\(x\\), **nie odwrotnie**.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Zbiór wartości funkcji to wartości \\(y\\), nie \\(x\\). Częsty błąd to podanie dziedziny \\(\\langle -3, 4 \\rangle\\) zamiast zbioru wartości \\(\\langle -4, 3 \\rangle\\).\n\n**Poprawne odpowiedzi:** a) \\(\\langle-4, 3\\rangle\\); b) \\(-4\\); c) \\(y = \\dfrac{7}{4}x - \\dfrac{1}{2}\\); d) \\(|BC| = \\sqrt{65}\\).\n\n### Sposób 1 - Odczyt z wykresu i rachunki analityczne\n**a) Zbiór wartości funkcji.**\nZ wykresu odczytujemy: najmniejsza wartość funkcji to \\(-4\\) (odcinek \\(AB\\)), największa to \\(3\\) (odcinek \\(CD\\)). Funkcja jako łamana przyjmuje wszystkie wartości pośrednie (odcinek \\(BC\\) jest ciągły i liniowy). Stąd:\n\\[\\text{Z}_f = \\langle-4, 3\\rangle.\\]\n\n**b) Wartość \\(f(1-\\sqrt{10})\\).**\nSzacujemy: \\(\\sqrt{10} \\approx 3{,}162\\), więc \\(1-\\sqrt{10} \\approx -2{,}162\\). Dokładniej:\n\\[\\sqrt{9} < \\sqrt{10} < \\sqrt{16} \\Rightarrow 3 < \\sqrt{10} < 4 \\Rightarrow -4 < 1-\\sqrt{10} < -2 \\Rightarrow -3 < 1-\\sqrt{10} < -2.\\]\n\nArgument leży w przedziale \\(\\langle-3, -2\\rangle\\), czyli na odcinku \\(AB\\), gdzie funkcja przyjmuje stałą wartość \\(-4\\):\n\\[f(1-\\sqrt{10}) = -4.\\]\n\n**c) Równanie prostej \\(BC\\).**\n\\(B = (-2, -4)\\), \\(C = (2, 3)\\). Współczynnik kierunkowy:\n\\[a = \\dfrac{3-(-4)}{2-(-2)} = \\dfrac{7}{4}.\\]\nRównanie: \\(y - 3 = \\dfrac{7}{4}(x-2)\\), czyli:\n\\[y = \\dfrac{7}{4}x - \\dfrac{7}{2} + 3 = \\dfrac{7}{4}x - \\dfrac{1}{2}.\\]\n\n**d) Długość odcinka \\(BC\\).**\n\\[|BC| = \\sqrt{(2-(-2))^{2} + (3-(-4))^{2}} = \\sqrt{16 + 49} = \\sqrt{65}.\\]\n\n### Sposób 2 - Wyznaczenie równania prostej przez układ równań\nPodstawiamy punkty \\(B\\) i \\(C\\) do równania \\(y = ax + b\\):\n\\[\\begin{cases} -4 = -2a + b \\\\ 3 = 2a + b \\end{cases}\\]\nOdejmując: \\(7 = 4a \\Rightarrow a = \\dfrac{7}{4}\\). Z drugiego: \\(b = 3 - 2\\cdot\\dfrac{7}{4} = 3 - \\dfrac{7}{2} = -\\dfrac{1}{2}\\).\n\n### Komentarz dydaktyczny\nKluczowa obserwacja w b): zamiast liczyć \\(1-\\sqrt{10}\\) dokładnie, wystarczy oszacować do jakiego przedziału należy, bo funkcja na \\(\\langle-3, -2\\rangle\\) jest stała.","image":"img/matematyka-2008-maj-matura-podstawowa/zad-1.webp","solution_image":"img/matematyka-2008-maj-matura-podstawowa/sol-1.svg","topics":"funkcje","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2008 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2008-maj-matura-podstawowa/zad/2","paper_id":"matematyka-2008-maj-matura-podstawowa","number":"2","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2008,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 2. (4 pkt)\nLiczba przekątnych wielokąta wypukłego, w którym jest n boków i\n3\nn ≥\nwyraża się wzorem\n( )\n(\n)\n3\n2\nn n\nP n\nWykorzystując ten wzór:\na) oblicz liczbę przekątnych w dwudziestokącie wypukłym.\nb) oblicz, ile boków ma wielokąt wypukły, w którym liczba przekątnych jest pięć razy\nwiększa od liczby boków.\nc) sprawdź, czy jest prawdziwe następujące stwierdzenie:\nKażdy wielokąt wypukły o parzystej liczbie boków ma parzystą liczbę przekątnych.\nOdpowiedź uzasadnij.\nNr zadania\n2.1\n2.2\n2.3\n2.4\nMaks. liczba pkt\n1\n1\n1\n1\nWypełnia\negzaminator! Uzyskana liczba pkt\n\nPoziom podstawowy\n5\nLiczba przekątnych wielokąta wypukłego, w którym jest $n$ boków i x>=3 wyraża się wzorem P(n) = n(n-3)/2 Wykorzystując ten wzór a) oblicz liczbę przekątnych w dwudziestokącie wypukłym, b) oblicz ile boków ma wielokąt wypukły, w którym liczba przekątnych jest pięć razy większa od liczby boków, c) sprawdź, czy jest prawdziwe następujące stwierdzenie: Każdy wielokąt wypukły o parzystej liczbie boków ma parzystą liczbę przekątnych. Odpowiedź uzasadnij.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 2. (4 pkt)\nLiczba przekątnych wielokąta wypukłego, w którym jest n boków i\n3\nn ≥\nwyraża się wzorem\n( )\n(\n)\n3\n2\nn n\nP n\nWykorzystując ten wzór:\na) oblicz liczbę przekątnych w dwudziestokącie wypukłym.\nb) oblicz, ile boków ma wielokąt wypukły, w którym liczba przekątnych jest pięć razy\nwiększa od liczby boków.\nc) sprawdź, czy jest prawdziwe następujące stwierdzenie:\nKażdy wielokąt wypukły o parzystej liczbie boków ma parzystą liczbę przekątnych.\nOdpowiedź uzasadnij.\na) Do podanego wzoru podstawiam\n20\nn =\ni otrzymuję (\n)\n20 17\n20\n170\n2\nP\n⋅\nW dwudziestokącie wypukłym jest 170 przekątnych.\nb) Zapisuję równanie uwzględniające treść tego podpunktu: (\n)\n3\n5\n2\nn n\nn\nJest ono równoważne równaniu kwadratowemu\n2\n13\n0\nn\nn\n, którego\nrozwiązaniem są liczby\n0\nn =\nlub\n13\nn =\nBiorąc pod uwagę założenie, że\n3\n≥\nn\nformułuję odpowiedź: Wielokątem\nwypukłym, który ma 5 razy więcej przekątnych niż boków jest trzynastokąt.\nc) Powyższe stwierdzenie nie jest prawdziwe, ponieważ sześciokąt wypukły ma\n9 przekątnych, czyli ( )\n6\n9\nP\nPoziom podstawowy\n4","solution":"## Poprawna odpowiedź:\n\n**a)** \\(170\\) przekątnych\n**b)** \\(13\\) boków\n**c)** Stwierdzenie **FAŁSZYWE** - kontrprzykład: sześciokąt ma \\(9\\) przekątnych (liczba nieparzysta)\n\n## Sposób 1 - podstawianie do wzoru i rozwiązywanie równania\n\n### Część a) - dwudziestokąt (\\(n = 20\\))\n\nPodstawiamy \\(n = 20\\) do wzoru:\n\\[P(20) = \\frac{20 \\cdot (20 - 3)}{2} = \\frac{20 \\cdot 17}{2} = \\frac{340}{2} = \\mathbf{170}\\]\n\n**Dwudziestokąt wypukły ma 170 przekątnych.**\n\n### Część b) - liczba przekątnych = 5 · liczba boków\n\nWarunek zadania: liczba przekątnych jest pięć razy większa od liczby boków, czyli:\n\\[P(n) = 5n\\]\n\nPodstawiamy wzór:\n\\[\\frac{n(n-3)}{2} = 5n\\]\n\nMnożymy obie strony przez 2:\n\\[n(n-3) = 10n\\]\n\nPonieważ szukamy wielokąta, więc \\(n \\geq 3\\), a w szczególności \\(n \\neq 0\\) - dzielimy obie strony przez \\(n\\):\n\\[n - 3 = 10\\]\n\\[n = 13\\]\n\n**Wielokąt ma 13 boków** (trzynastokąt).\n\n### Część c) - czy każdy wielokąt o parzystej liczbie boków ma parzystą liczbę przekątnych?\n\nSprawdzamy kilka przypadków parzyste \\(n\\):\n\n| \\(n\\) | \\(P(n) = \\frac{n(n-3)}{2}\\) | Parzysta? |\n| 4 | \\(\\frac{4 \\cdot 1}{2} = 2\\) | TAK |\n| 6 | \\(\\frac{6 \\cdot 3}{2} = 9\\) | **NIE** |\n| 8 | \\(\\frac{8 \\cdot 5}{2} = 20\\) | TAK |\n| 10 | \\(\\frac{10 \\cdot 7}{2} = 35\\) | **NIE** |\n\nJuż sześciokąt (\\(n = 6\\)) ma \\(\\mathbf{9}\\) przekątnych - liczba **nieparzysta**.\n\n**Stwierdzenie jest FAŁSZYWE.** Wystarczy jeden kontrprzykład, żeby obalić twierdzenie - a mamy ich od razu kilka.\n\n## Sposób 2 - algebraiczne zbadanie parzystości (dla c)\n\nNiech \\(n\\) będzie parzyste, zapiszmy \\(n = 2k\\) dla pewnej liczby naturalnej \\(k \\geq 2\\). Wtedy:\n\\[P(2k) = \\frac{2k \\cdot (2k-3)}{2} = k(2k-3)\\]\n\nKluczowa obserwacja: \\(2k - 3\\) jest zawsze **nieparzyste** (parzyste minus nieparzyste).\n\nZatem parzystość \\(P(2k) = k(2k-3)\\) zależy **wyłącznie od \\(k\\)**:\n- Jeśli \\(k\\) **parzyste** (np. \\(k = 2, 4, 6, \\ldots\\), czyli \\(n = 4, 8, 12, \\ldots\\)): iloczyn parzysty × nieparzysty = **parzyste** ✓\n- Jeśli \\(k\\) **nieparzyste** (np. \\(k = 3, 5, 7, \\ldots\\), czyli \\(n = 6, 10, 14, \\ldots\\)): iloczyn nieparzysty × nieparzysty = **nieparzyste** ✗\n\n**Wniosek algebraiczny:** Wielokąty o liczbie boków \\(n \\equiv 2 \\pmod{4}\\) (tzn. \\(n = 6, 10, 14, \\ldots\\)) mają zawsze **nieparzystą** liczbę przekątnych.\n\nStwierdzenie jest **FAŁSZYWE**.\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu **nie używamy wzorów z karty CKE**. Wzór \\(P(n) = \\frac{n(n-3)}{2}\\) jest podany w treści zadania. Rozwiązanie opiera się na:\n- podstawianiu do wzoru,\n- rozwiązywaniu prostego równania liniowego (po uproszczeniu),\n- analizie parzystości liczb całkowitych.\n\nEwentualnie można skojarzyć z **działem 4 (Silnia. Współczynnik dwumianowy, s. 6)** - wzór na liczbę przekątnych to w istocie \\(\\binom{n}{2} - n = \\frac{n(n-1)}{2} - n = \\frac{n(n-3)}{2}\\), czyli wybieramy 2 wierzchołki i odejmujemy boki, ale na maturze korzystamy ze wzoru danego wprost.\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga (część b):** Po uproszczeniu \\(n(n-3) = 10n\\) można ulec pokusie, żeby przenieść wszystko na jedną stronę i rozwiązać równanie kwadratowe \\(n^2 - 13n = 0\\). Daje to \\(n(n-13) = 0\\), czyli \\(n = 0\\) lub \\(n = 13\\). Rozwiązanie \\(n = 0\\) odrzucamy, bo wielokąt ma co najmniej 3 boki. Wynik ten sam, ale ścieżka przez dzielenie przez \\(n\\) jest szybsza.\n\n> ⚠️ **Uwaga (część c):** Na maturze NIE wystarczy sprawdzić jeden przypadek i powiedzieć \"wygląda na prawdziwe\". Do obalenia stwierdzenia wystarczy **jeden kontrprzykład** (tutaj: sześciokąt). Do udowodnienia twierdzenia trzeba by pokazać, że działa dla **wszystkich** \\(n\\) parzystych - jak w Sposobie 2.\n\n> ⚠️ **Uwaga (część a):** Pamiętaj, że \\(n = 20\\), nie \\(n = 20 - 1\\). Wzór już uwzględnia, że mamy \\(n\\) wierzchołków - nie odejmuj nic \"na zapas\".\n\n**Poprawne odpowiedzi:** a) \\(170\\); b) \\(n = 13\\); c) stwierdzenie jest FAŁSZYWE (kontrprzykład: \\(n=6\\), \\(P(6)=9\\) - nieparzyste).\n\n### Sposób 1 - Bezpośrednie podstawienia do wzoru\n**a) \\(n = 20\\):**\n\\[P(20) = \\dfrac{20\\cdot(20-3)}{2} = \\dfrac{20\\cdot 17}{2} = 10\\cdot 17 = 170.\\]\nW dwudziestokącie wypukłym jest \\(170\\) przekątnych.\n\n**b) Warunek:** liczba przekątnych = \\(5\\cdot\\) liczba boków, czyli \\(P(n) = 5n\\):\n\\[\\dfrac{n(n-3)}{2} = 5n \\quad |\\cdot 2\\]\n\\[n(n-3) = 10n\\]\n\\[n^{2} - 3n - 10n = 0\\]\n\\[n^{2} - 13n = 0\\]\n\\[n(n-13) = 0 \\Rightarrow n = 0 \\text{ lub } n = 13.\\]\nZ założenia \\(n \\ge 3\\), więc \\(n = 13\\). Wielokąt ma \\(13\\) boków (trzynastokąt).\n\n**c) Sprawdzenie stwierdzenia:**\nRozważmy \\(n = 6\\) (sześciokąt, parzysta liczba boków):\n\\[P(6) = \\dfrac{6\\cdot 3}{2} = 9.\\]\nLiczba \\(9\\) jest NIEPARZYSTA. Zatem stwierdzenie jest **fałszywe**.\n\n### Sposób 2 - Analiza parzystości wzoru\n\\(P(n) = \\dfrac{n(n-3)}{2}\\). Dla \\(n\\) parzystego, \\(n-3\\) jest nieparzyste, więc \\(n(n-3)\\) jest parzyste (dzielenie przez 2 da liczbę całkowitą), ale nie ma gwarancji parzystości wyniku.\n\nFormalnie: dla \\(n = 2k\\): \\(P(2k) = \\dfrac{2k(2k-3)}{2} = k(2k-3)\\). Parzystość zależy od \\(k\\):\n- \\(k = 3\\) (\\(n=6\\)): \\(P(6) = 3\\cdot 3 = 9\\) - nieparzyste.\n- \\(k = 5\\) (\\(n=10\\)): \\(P(10) = 5\\cdot 7 = 35\\) - nieparzyste.\n\nWięc stwierdzenie nie zachodzi dla wszystkich parzystych \\(n\\).\n\n### Komentarz\nInne kontrprzykłady: \\(P(10) = 35\\), \\(P(14) = 77\\) - wszystkie nieparzyste. Dla \\(n = 4k\\) (np. \\(n=4,8,12\\)): \\(P(4) = 2\\), \\(P(8) = 20\\), \\(P(12) = 54\\) - wtedy parzyste. Parzystość zależy od reszty \\(n\\) z dzielenia przez 4.","image":"img/matematyka-2008-maj-matura-podstawowa/zad-2.webp","solution_image":"img/matematyka-2008-maj-matura-podstawowa/sol-2.svg","topics":"planimetria","page_from":4,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2008 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2008-maj-matura-podstawowa/zad/3","paper_id":"matematyka-2008-maj-matura-podstawowa","number":"3","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2008,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 3. (4 pkt)\nRozwiąż równanie\n(\n)\n4\n23\n9\n4\n4\n4\n32\n16\n4\n⋅\nx\nx\nZapisz rozwiązanie tego równania w postaci 2k , gdzie k jest liczbą całkowitą.\nNr zadania\n3.1\n3.2\n3.3\n3.4\nMaks. liczba pkt\n1\n1\n1\n1\nWypełnia\negzaminator! Uzyskana liczba pkt\n\nPoziom podstawowy\n6\nRozwiąż równanie 4^{23}x-32^9x = 16^4\\c(4^4)^4. Zapisz rozwiązanie tego równania w postaci 2^k, gdzie k jest liczbą całkowitą. Równanie z potęgami. Sprowadzanie potęg do jednakowej podstawy.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 3. (4 pkt)\nRozwiąż równanie\n(\n)\n4\n23\n9\n4\n4\n4\n32\n16\n4\n⋅\nx\nx\nZapisz rozwiązanie tego równania w postaci 2k , gdzie k jest liczbą całkowitą.\nWszystkie liczby występujące w równaniu zapisuję w postaci potęgi o podstawie 2:\n46\n45\n16\n32\n2\n2\n2\n2\nx\nx\n⋅\nPo lewej stronie równania wyłączam wspólny czynnik przed nawias, a po prawej\nstronie wykonuję mnożenie:\n(\n)\n45\n48\n2\n2\n1\n2\nx\n45\n48\n2\n2\nx =\ndzielę obie strony równania przez\n45\n2 i otrzymuję:\n48\n45\n3\n2\n:2\n2\nx =\nRozwiązaniem równania jest liczba\n32 .\nPoziom podstawowy\n5","solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(x = 2^3 = 8\\)\n\n## Sposób 1 - Sprowadzenie wszystkich potęg do podstawy 2\n\n**Zauważamy**, że \\(4\\), \\(32\\), \\(16\\) są potęgami dwójki - więc zamieniamy je wszystkie na \\(2^{\\ldots}\\), żeby móc porównywać wykładniki.\n\n**Lewa strona równania:**\n\n\\[4^{23} = (2^2)^{23} = 2^{46}\\]\n\\[32^{9} = (2^5)^{9} = 2^{45}\\]\n\nWyciągamy \\(x\\) przed nawias:\n\n\\[4^{23} \\cdot x - 32^{9} \\cdot x = x\\bigl(2^{46} - 2^{45}\\bigr)\\]\n\nWyłączamy \\(2^{45}\\) z nawiasu:\n\n\\[= x \\cdot 2^{45}(2^1 - 1) = x \\cdot 2^{45} \\cdot 1 = x \\cdot 2^{45}\\]\n\n**Prawa strona równania:**\n\n\\[16^4 = (2^4)^4 = 2^{16}\\]\n\\[(4^4)^4 = \\bigl((2^2)^4\\bigr)^4 = (2^8)^4 = 2^{32}\\]\n\\[16^4 \\cdot (4^4)^4 = 2^{16} \\cdot 2^{32} = 2^{48}\\]\n\n**Równanie po uproszczeniu:**\n\n\\[x \\cdot 2^{45} = 2^{48}\\]\n\nDzielimy obie strony przez \\(2^{45}\\):\n\n\\[x = \\frac{2^{48}}{2^{45}} = 2^{48-45} = \\mathbf{2^3 = 8}\\]\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja przez podstawienie\n\nSprawdzamy, czy \\(x = 8\\) spełnia oryginalne równanie.\n\n**Lewa strona:**\n\\[4^{23} \\cdot 8 - 32^{9} \\cdot 8 = 2^{46} \\cdot 2^3 - 2^{45} \\cdot 2^3 = 2^{49} - 2^{48}\\]\n\nWyłączamy \\(2^{48}\\):\n\\[= 2^{48}(2^1 - 1) = 2^{48} \\cdot 1 = 2^{48}\\]\n\n**Prawa strona:**\n\\[16^4 \\cdot (4^4)^4 = 2^{16} \\cdot 2^{32} = 2^{48}\\]\n\n\\[2^{48} = 2^{48} \\quad \\checkmark\\]\n\n**Wynik się zgadza** - rozwiązanie jest poprawne.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 2 (Potęgi i pierwiastki, s. 4-5)** - działania na potęgach:\n\\[(a^r)^s = a^{r \\cdot s}\\]\n\\[a^r \\cdot a^s = a^{r+s}\\]\n\\[\\frac{a^r}{a^s} = a^{r-s}\\]\n\nUżyliśmy tych wzorów w każdym kroku - przy zamianie \\(4^{23} = (2^2)^{23} = 2^{46}\\), przy mnożeniu \\(2^{16} \\cdot 2^{32} = 2^{48}\\) i przy dzieleniu \\(\\frac{2^{48}}{2^{45}} = 2^3\\).\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy obliczaniu \\((4^4)^4\\) łatwo pomylić kolejność potęgowania. Pamiętaj: \\((4^4)^4 = 4^{4 \\cdot 4} = 4^{16} = 2^{32}\\), a nie \\(4^{4+4}\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\(2^{46} - 2^{45} \\neq 2^{46-45} = 2^1\\). Odejmowanie potęg to **NIE** odejmowanie wykładników! Należy wyłączyć wspólny czynnik: \\(2^{46} - 2^{45} = 2^{45}(2-1) = 2^{45}\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Upewnij się, że traktujesz \\(4^{23} \\cdot x\\) jako **iloczyn** \\(4^{23}\\) i \\(x\\) (równanie jest liniowe względem \\(x\\)), nie jako \\(4^{23x}\\) (to byłoby równanie wykładnicze z zupełnie innym rozwiązaniem).\n\n**Poprawna odpowiedź:** \\(x = 2^{3}\\) (czyli \\(k = 3\\), \\(x = 8\\)).\n\n### Sposób 1 - Sprowadzenie do wspólnej podstawy 2\nWszystkie liczby wyrażamy jako potęgi dwójki:\n- \\(4 = 2^{2}\\), więc \\(4^{23} = 2^{46}\\),\n- \\(32 = 2^{5}\\), więc \\(32^{9} = 2^{45}\\),\n- \\(16 = 2^{4}\\), więc \\(16^{4} = 2^{16}\\),\n- \\((4^{4})^{4} = 4^{16} = 2^{32}\\).\n\nRównanie przyjmuje postać:\n\\[2^{46}x - 2^{45}x = 2^{16}\\cdot 2^{32}.\\]\n\n**Lewa strona - wyłączamy \\(2^{45}\\) przed nawias:**\n\\[2^{45}(2 - 1)x = 2^{45}x.\\]\n\n**Prawa strona:**\n\\[2^{16}\\cdot 2^{32} = 2^{48}.\\]\n\nRównanie:\n\\[2^{45}x = 2^{48}.\\]\n\nDzielimy obustronnie przez \\(2^{45}\\):\n\\[x = \\dfrac{2^{48}}{2^{45}} = 2^{48-45} = 2^{3} = 8.\\]\n\n### Sposób 2 - Podzielenie przez \\(2^{45}\\) od razu\nPo sprowadzeniu do postaci \\(2^{46}x - 2^{45}x = 2^{48}\\), dzielimy obustronnie przez \\(2^{45}\\):\n\\[2x - x = \\dfrac{2^{48}}{2^{45}} = 2^{3} \\Rightarrow x = 8 = 2^{3}.\\]\n\n### Sprawdzenie\n\\(4^{23}\\cdot 8 - 32^{9}\\cdot 8 = 2^{46}\\cdot 2^{3} - 2^{45}\\cdot 2^{3} = 2^{49} - 2^{48} = 2^{48}(2-1) = 2^{48}\\). ✓\n\\(16^{4}\\cdot(4^{4})^{4} = 2^{16}\\cdot 2^{32} = 2^{48}.\\) ✓\n\n### Komentarz dydaktyczny\nTypowa pułapka: niepoprawne stosowanie wzorów potęg. Warto pamiętać: \\((a^{m})^{n} = a^{mn}\\), a nie \\(a^{m+n}\\). Tu: \\((4^{4})^{4} = 4^{16}\\), nie \\(4^{8}\\).","image":"img/matematyka-2008-maj-matura-podstawowa/zad-3.webp","solution_image":"img/matematyka-2008-maj-matura-podstawowa/sol-3.svg","topics":"rownania_i_nierownosci","page_from":5,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2008 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2008-maj-matura-podstawowa/zad/4","paper_id":"matematyka-2008-maj-matura-podstawowa","number":"4","points":3,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2008,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 4. (3 pkt)\nKoncern paliwowy podnosił dwukrotnie w jednym tygodniu cenę benzyny, pierwszy raz\no 10%, a drugi raz o 5%. Po obu tych podwyżkach jeden litr benzyny, wyprodukowanej przez\nten koncern, kosztuje 4,62 zł. Oblicz cenę jednego litra benzyny przed omawianymi\npodwyżkami.\nNr zadania\n4.1\n4.2\n4.3\nMaks. liczba pkt\n1\n1\n1\nWypełnia\negzaminator! Uzyskana liczba pkt\n\nPoziom podstawowy\n7\nKoncern paliwowy podnosił dwukrotnie w jednym tygodniu cenę benzyny, pierwszy raz o 10%, a drugi raz o 5%. Po obu tych podwyżkach jeden litr benzyny, wyprodukowanej przez ten koncern, kosztuje 4,62zł. Oblicz cenę jednego litra benzyny przed omawianymipodwyżkami. Podnoszenie ceny o dany procent. Rozwiązywanie równania z procentami.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 4. (3 pkt)\nKoncern paliwowy podnosił dwukrotnie w jednym tygodniu cenę benzyny, pierwszy raz\no 10%, a drugi raz o 5%. Po obu tych podwyżkach jeden litr benzyny, wyprodukowanej przez\nten koncern, kosztuje 4,62 zł. Oblicz cenę jednego litra benzyny przed omawianymi\npodwyżkami.\nOznaczam literą x cenę jednego litra benzyny przed podwyżkami;\n1,1x -cena jednego litra benzyny po pierwszej podwyżce;\n1,05 1,1x\n⋅\n- cena jednego litra benzyny po obu podwyżkach.\nZapisuję równanie: 1,05 1,1\n4,62\nx\n⋅\n1,155\n4,62\nx =\nRozwiązaniem równania jest\n4\nx =\n;\nCena jednego litra benzyny przed podwyżkami była równa 4 zł.\nPoziom podstawowy\n6","solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(x = 4\\) zł\n\n## Sposób 1 - Równanie z jedną niewiadomą\n\n**Oznaczamy** cenę przed podwyżkami jako \\(x\\) zł.\n\n**Pierwsza podwyżka o \\(10\\%\\):** cena rośnie do\n\\[x \\cdot 1{,}10\\]\n\n**Druga podwyżka o \\(5\\%\\):** cena rośnie do\n\\[x \\cdot 1{,}10 \\cdot 1{,}05\\]\n\n**Po obu podwyżkach cena wynosi \\(4{,}62\\) zł**, więc:\n\\[x \\cdot 1{,}10 \\cdot 1{,}05 = 4{,}62\\]\n\\[x \\cdot 1{,}155 = 4{,}62\\]\n\\[x = \\frac{4{,}62}{1{,}155} = 4\\]\n\n**Cena jednego litra benzyny przed podwyżkami wynosiła \\(4\\) zł.**\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja (sprawdzenie wyniku)\n\nSprawdzamy, czy od ceny \\(4\\) zł po obu podwyżkach rzeczywiście otrzymamy \\(4{,}62\\) zł.\n\n**Po podwyżce o \\(10\\%\\):**\n\\[4 \\cdot 1{,}10 = 4{,}40 \\text{ zł}\\]\n\n**Po podwyżce o \\(5\\%\\):**\n\\[4{,}40 \\cdot 1{,}05 = 4{,}62 \\text{ zł}\\]\n\nWynik się zgadza - odpowiedź jest poprawna. ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy zrozumienie pojęcia procentu: podwyżka o \\(p\\%\\) oznacza pomnożenie ceny przez czynnik \\(\\left(1 + \\frac{p}{100}\\right)\\).\n\nPomocniczo można tu dostrzec związek z **Działem 8 (Ciągi, s. 9-10)** - wzór na procent składany:\n\\[K_n = K_0 \\cdot \\left(1 + \\frac{p}{100}\\right)^n\\]\nTu jednak obie podwyżki mają różne stopy procentowe (\\(10\\%\\) i \\(5\\%\\)), więc stosujemy dwa osobne mnożniki:\n\\[K_2 = K_0 \\cdot 1{,}10 \\cdot 1{,}05\\]\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Podwyżka o \\(10\\%\\), a potem o \\(5\\%\\) to **NIE TO SAMO** co podwyżka o \\(15\\%\\)! Łączna podwyżka wynosi \\(15{,}5\\%\\), bo \\(1{,}10 \\cdot 1{,}05 = 1{,}155\\). Wielu uczniów liczy \\(x \\cdot 1{,}15 = 4{,}62\\) i dostaje błędny wynik \\(\\approx 4{,}02\\) zł.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie dodajemy procentów do ceny wyjściowej osobno (np. \\(x + 0{,}10x + 0{,}05x\\)) - to błąd, bo druga podwyżka dotyczy już **nowej**, wyższej ceny po pierwszej podwyżce, a nie ceny pierwotnej.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Pamiętaj o kolejności działań przy weryfikacji - najpierw podwyżka o \\(10\\%\\), dopiero potem o \\(5\\%\\) od nowej ceny. Zamiana kolejności tutaj nie zmienia wyniku (mnożenie jest przemienne), ale w zadaniach z obniżkami i podwyżkami kolejność może mieć znaczenie kontekstowe.\n\n**Poprawna odpowiedź:** \\(x = 4\\) zł.\n\n### Sposób 1 - Równanie z wieloma podwyżkami procentowymi\nOznaczenia:\n- \\(x\\) - cena jednego litra benzyny przed podwyżkami (w zł),\n- po pierwszej podwyżce o \\(10\\%\\): cena = \\(1{,}10\\cdot x = 1{,}1x\\),\n- po drugiej podwyżce o \\(5\\%\\) (od nowej ceny): cena = \\(1{,}05\\cdot 1{,}1x = 1{,}155x\\).\n\nRównanie:\n\\[1{,}155x = 4{,}62\\]\n\\[x = \\dfrac{4{,}62}{1{,}155} = 4.\\]\n\n**Odpowiedź:** cena przed podwyżkami wynosiła \\(4\\) zł.\n\n### Sposób 2 - Rozwiązanie krokowe (odwrotne)\nBenzyna po dwóch podwyżkach: \\(4{,}62\\) zł = \\(105\\%\\) ceny po pierwszej podwyżce.\n\nCena po pierwszej podwyżce:\n\\[\\dfrac{4{,}62}{1{,}05} = 4{,}40 \\text{ zł}.\\]\n\nCena przed podwyżkami: \\(4{,}40\\) zł = \\(110\\%\\) ceny pierwotnej:\n\\[\\dfrac{4{,}40}{1{,}10} = 4 \\text{ zł}.\\]\n\n### Sprawdzenie\nCena początkowa \\(4\\) zł → po \\(+10\\%\\): \\(4\\cdot 1{,}1 = 4{,}4\\) zł → po \\(+5\\%\\): \\(4{,}4\\cdot 1{,}05 = 4{,}62\\) zł ✓.\n\n### Komentarz dydaktyczny\nTypowy błąd: sumowanie procentów - \\(10\\% + 5\\% = 15\\%\\) - daje błędną cenę \\(4{,}62/1{,}15 \\approx 4{,}017\\) zł. Podwyżki procentowe **mnożą się**, nie dodają: \\(1{,}1\\cdot 1{,}05 = 1{,}155\\) (czyli łączna podwyżka to \\(15{,}5\\%\\), nie \\(15\\%\\)).","image":"img/matematyka-2008-maj-matura-podstawowa/zad-4.webp","solution_image":"img/matematyka-2008-maj-matura-podstawowa/sol-4.svg","topics":"algebra","page_from":6,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2008 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2008-maj-matura-podstawowa/zad/5","paper_id":"matematyka-2008-maj-matura-podstawowa","number":"5","points":5,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2008,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 5. (5 pkt)\nNieskończony ciąg liczbowy (\n)\nn\na\njest określony wzorem\n1\n2\nn\na\nn\n,\n1, 2, 3,\nn\na) Oblicz, ile wyrazów ciągu (\n)\nn\na\njest mniejszych od 1,975.\nb) Dla pewnej liczby x trzywyrazowy ciąg (\n)\n2\n7\n,\n,\na\na x jest arytmetyczny. Oblicz x.\nNr zadania\n5.1\n5.2\n5.3\n5.4\n5.5\nMaks. liczba pkt\n1\n1\n1\n1\n1\nWypełnia\negzaminator! Uzyskana liczba pkt\n\nPoziom podstawowy\n8\nNieskończony ciąg liczbowy (a_n) jest określony wzorem a_n = 2-{1\\o n}, n=1,2,3,\\dots a) Oblicz ile wyrazów ciągu (a_n) jest mniejszych od 1\\.975. b) Dla pewnej liczby x trzywyrazowy ciąg (a_2, a_7, x) jest arytmetyczny. Oblicz x. Własność ciągu arytmetycznego. Liczenie drugiego i siódmego wyrazu ciągu liczbowego.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 5. (5 pkt)\nNieskończony ciąg liczbowy (\n)\nn\na\njest określony wzorem\n1\n2\nn\na\nn\n,\n1, 2, 3,\nn\na) Oblicz, ile wyrazów ciągu (\n)\nn\na\njest mniejszych od 1,975.\nb) Dla pewnej liczby x trzywyrazowy ciąg (\n)\n2\n7\n,\n,\na\na x jest arytmetyczny. Oblicz x.\na) Rozwiązuję nierówność\n1\n2\n1,975\nn\n<\nPrzekształcam ją do postaci równoważnej 1\n0,025\nn >\n. Nierówność tę\nzapisuję w postaci 1\n1\n40\nn >\n. Jest ona spełniona gdy:\n40\nn <\nPonieważ n jest liczbą naturalną, więc odpowiedź jest następująca:\n39 wyrazów danego ciągu to liczby mniejsze od 1,975.\nb) Korzystam ze związku między sąsiednimi wyrazami w ciągu arytmetycznym\ni zapisuję równanie:\n2\n7\n2\na\nx\na\n, czyli\n7\n2\n2\nx\na\na\nObliczam potrzebne wyrazy:\n2\n3\n2\na =\n,\n7\n13\n7\na =\nWstawiam obliczone wartości do równania i otrzymuję\n13\n3\n31\n2 7\n2\n14\nx =\n⋅\nOdpowiedź: Trzywyrazowy ciąg (\n)\n2\n7\n,\n,\na\na x jest arytmetyczny dla\n31\n14\nx =\nPoziom podstawowy\n7","solution":"## Poprawna odpowiedź:\n\n**a)** 39 wyrazów jest mniejszych od \\(1{,}975\\)\n\n**b)** \\(x = \\dfrac{31}{14}\\)\n\n## Sposób 1 - rozwiązanie przez nierówność (część a)\n\nChcemy znaleźć, dla ilu wartości \\(n\\) zachodzi \\(a_n < 1{,}975\\).\n\nPodstawiamy wzór ogólny:\n\\[2 - \\frac{1}{n} < 1{,}975\\]\n\nOdejmujemy \\(2\\) od obu stron:\n\\[-\\frac{1}{n} < -0{,}025\\]\n\nMnożymy obie strony przez \\(-1\\) - **uwaga: odwracamy nierówność!**\n\\[\\frac{1}{n} > 0{,}025\\]\n\nZamieniamy \\(0{,}025 = \\frac{1}{40}\\):\n\\[\\frac{1}{n} > \\frac{1}{40}\\]\n\nPonieważ \\(n > 0\\), możemy odwrócić ułamki - **uwaga: nierówność znów się odwraca!**\n\\[n < 40\\]\n\nSzukamy naturalnych wartości \\(n \\geq 1\\), czyli \\(n \\in \\{1, 2, 3, \\ldots, 39\\}\\).\n\n**Odpowiedź: 39 wyrazów ciągu jest mniejszych od \\(1{,}975\\).**\n\n## Sposób 2 - sprawdzenie graniczne (weryfikacja, część a)\n\nSprawdzamy, co dzieje się dla \\(n = 39\\), \\(n = 40\\) i \\(n = 41\\):\n\n\\[a_{39} = 2 - \\frac{1}{39} = \\frac{77}{39} \\approx 1{,}9744\\ldots < 1{,}975 \\quad \\checkmark\\]\n\\[a_{40} = 2 - \\frac{1}{40} = 2 - 0{,}025 = 1{,}975 \\quad \\not< 1{,}975 \\quad \\times\\]\n\\[a_{41} = 2 - \\frac{1}{41} \\approx 1{,}9756\\ldots > 1{,}975 \\quad \\times\\]\n\nPotwierdzenie: warunek \\(a_n < 1{,}975\\) spełniają dokładnie wyrazy \\(a_1, a_2, \\ldots, a_{39}\\).\n\n**Odpowiedź: 39 wyrazów.** ✓\n\n## Sposób 1 - własność ciągu arytmetycznego (część b)\n\nObliczamy potrzebne wyrazy:\n\\[a_2 = 2 - \\frac{1}{2} = \\frac{3}{2}\\]\n\\[a_7 = 2 - \\frac{1}{7} = \\frac{14 - 1}{7} = \\frac{13}{7}\\]\n\nCiąg \\((a_2,\\, a_7,\\, x)\\) jest arytmetyczny, więc środkowy wyraz jest średnią arytmetyczną skrajnych:\n\\[a_7 = \\frac{a_2 + x}{2}\\]\n\nStąd:\n\\[2 \\cdot a_7 = a_2 + x\\]\n\\[x = 2a_7 - a_2 = 2 \\cdot \\frac{13}{7} - \\frac{3}{2} = \\frac{26}{7} - \\frac{3}{2}\\]\n\nSprowadzamy do wspólnego mianownika (\\(\\text{NWW}(7,2) = 14\\)):\n\\[x = \\frac{52}{14} - \\frac{21}{14} = \\frac{31}{14}\\]\n\n**Odpowiedź: \\(x = \\dfrac{31}{14}\\).**\n\n## Sposób 2 - różnica ciągu (część b)\n\nWyznaczamy wspólną różnicę \\(r\\) ciągu arytmetycznego \\((a_2, a_7, x)\\):\n\\[r = a_7 - a_2 = \\frac{13}{7} - \\frac{3}{2} = \\frac{26}{14} - \\frac{21}{14} = \\frac{5}{14}\\]\n\nTrzeci wyraz to:\n\\[x = a_7 + r = \\frac{13}{7} + \\frac{5}{14} = \\frac{26}{14} + \\frac{5}{14} = \\frac{31}{14}\\]\n\n**Weryfikacja:** różnice \\(\\frac{13}{7} - \\frac{3}{2} = \\frac{5}{14}\\) i \\(\\frac{31}{14} - \\frac{13}{7} = \\frac{31}{14} - \\frac{26}{14} = \\frac{5}{14}\\) - równe. ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 8 (Ciągi, s. 9-10)** - własność ciągu arytmetycznego:\n\\[a_n = \\frac{a_{n-1} + a_{n+1}}{2}\\]\n\nUogólniona wersja (dla ciągu trzywyrazowego \\((b_1, b_2, b_3)\\)):\n\\[b_2 = \\frac{b_1 + b_3}{2}\\]\n\nUżyliśmy tego w obu sposobach rozwiązania części b), wyznaczając \\(x\\) jako \"trzeci wyraz\" na podstawie środkowego.\n\nW części a) nie korzystamy z żadnego wzoru z karty - wystarczy rozwiązać nierówność algebraicznie.\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy mnożeniu nierówności przez liczbę ujemną (tu: przez \\(-1\\)) **zawsze** odwracamy znak nierówności. Pominięcie tej zasady da wynik \\(n > 40\\), co jest błędne.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy odwracaniu ułamków w nierówności \\(\\frac{1}{n} > \\frac{1}{40}\\) można też sprawdzić intuicyjnie: im mniejszy mianownik, tym większy ułamek (dla \\(n > 0\\)). Zatem \\(\\frac{1}{n} > \\frac{1}{40}\\) oznacza \\(n < 40\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** W części b) łatwo pomylić kolejność działań - pamiętaj, że to \\((a_2, a_7, x)\\) jest ciągiem arytmetycznym, więc \\(a_7\\) jest **środkowym** wyrazem. Mylne podstawienie \\(a_2\\) jako środkowego da błędny wynik.\n\n**Poprawne odpowiedzi:** a) \\(39\\) wyrazów; b) \\(x = \\dfrac{31}{14}\\).\n\n### Sposób 1 - Rozwiązanie przez nierówność i własność ciągu arytmetycznego\n**a) Szukamy \\(n\\) spełniających \\(a_n < 1{,}975\\):**\n\\[2 - \\dfrac{1}{n} < 1{,}975\\]\n\\[-\\dfrac{1}{n} < -0{,}025\\]\n\\[\\dfrac{1}{n} > 0{,}025 = \\dfrac{1}{40}.\\]\n\nNierówność \\(\\dfrac{1}{n} > \\dfrac{1}{40}\\) dla \\(n > 0\\) jest spełniona gdy \\(n < 40\\). Liczba wyrazów: \\(n \\in \\{1, 2, 3, \\ldots, 39\\}\\), czyli \\(39\\) wyrazów.\n\n**Weryfikacja:** \\(a_{39} = 2 - \\dfrac{1}{39} \\approx 1{,}9744 < 1{,}975\\) ✓; \\(a_{40} = 2 - \\dfrac{1}{40} = 1{,}975\\) (nie mniejsze) ✓.\n\n**b) Warunek ciągu arytmetycznego** dla \\((a_2, a_7, x)\\):\n\\[\\dfrac{a_2 + x}{2} = a_7 \\Rightarrow x = 2a_7 - a_2.\\]\n\nObliczamy wyrazy:\n\\[a_2 = 2 - \\dfrac{1}{2} = \\dfrac{3}{2}, \\quad a_7 = 2 - \\dfrac{1}{7} = \\dfrac{13}{7}.\\]\n\nPodstawiamy:\n\\[x = 2\\cdot\\dfrac{13}{7} - \\dfrac{3}{2} = \\dfrac{26}{7} - \\dfrac{3}{2} = \\dfrac{52 - 21}{14} = \\dfrac{31}{14}.\\]\n\n### Sposób 2 - Obliczenia bezpośrednie w b) przez różnicę ciągu\nRóżnica ciągu arytmetycznego: \\(r = a_7 - a_2 = \\dfrac{13}{7} - \\dfrac{3}{2} = \\dfrac{26-21}{14} = \\dfrac{5}{14}\\).\n\nWtedy \\(x = a_7 + r = \\dfrac{13}{7} + \\dfrac{5}{14} = \\dfrac{26+5}{14} = \\dfrac{31}{14}\\).\n\n### Komentarz dydaktyczny\nCiąg \\(a_n = 2 - \\tfrac{1}{n}\\) jest rosnący i zbieżny do 2. Nie ma on wyrazu równego 2 - wszystkie są mniejsze. Granica ograniczona od góry przez 2.","image":"img/matematyka-2008-maj-matura-podstawowa/zad-5.webp","solution_image":"img/matematyka-2008-maj-matura-podstawowa/sol-5.svg","topics":"ciagi","page_from":7,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2008 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2008-maj-matura-podstawowa/zad/6","paper_id":"matematyka-2008-maj-matura-podstawowa","number":"6","points":5,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2008,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 6. (5 pkt)\nProsta o równaniu 5\n4\n10\n0\nx\ny\nprzecina oś Ox układu współrzędnych w punkcie A oraz\noś Oy w punkcie B . Oblicz współrzędne wszystkich punktów C leżących na osi Ox i takich,\nże trójkąt ABC ma pole równe 35.\n\nPoziom podstawowy\n9\nNr zadania\n6.1\n6.2\n6.3\n6.4\n6.5\nMaks. liczba pkt\n1\n1\n1\n1\n1\nWypełnia\negzaminator! Uzyskana liczba pkt\n\nPoziom podstawowy\n10\nProsta o równaniu 5x+4y-10=0 Przecina oś Ox układu współrzędnych w punkcie A oraz oś Oy w punkcie B. Oblicz współrzędne wszystkich punktów C leżących na osi Ox i takich, że trójkąt ABC ma pole równe 35. Przekształcanie wzoru funkcji liniowej do postaci kierunkowej. Znajdowanie punktów przecięcia prostej z osiami układu współrzędnych. Pole trójkąta. Matura 2008.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 6. (5 pkt)\nProsta o równaniu 5\n4\n10\n0\nx\ny\nprzecina oś Ox układu współrzędnych w punkcie A oraz\noś Oy w punkcie B . Oblicz współrzędne wszystkich punktów C leżących na osi Ox i takich,\nże trójkąt ABC ma pole równe 35.\nWyznaczam współrzędne punktów A i B:\n(\n)\n2,0\nA =\noraz\n5\n0, 2\nB\n⎛\n⎞\n= ⎜\n⎟\n⎝\n⎠\nPunkt C może leżeć z lewej lub z prawej strony punktu A. Przyjmując, że w obu\nprzypadkach wysokością trójkąta ABC jest odcinek BO, którego długość jest\nrówna 5\n2 i korzystając z faktu, że pole trójkąta ABC równa się 35 zapisuję\nrównanie:\n1\n35\n2\nAC\nBO\n⋅\n⋅\n1\n5\n35\n2\n2\nAC\n⋅\n⋅\n28\nAC =\nPonieważ punkt\n(\n)\n2, 0\nA =\n, więc\n(\n)\n30,0\nC =\nlub\n(\n)\n26,0\nC = -\nZadanie ma zatem dwa rozwiązania.\nx\ny\nO\nB\nA\nC\nC\nPoziom podstawowy\n8","solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(C_1 = (30, 0)\\) lub \\(C_2 = (-26, 0)\\)\n\n## Sposób 1 - podstawa na osi, wysokość = rzędna punktu B\n\n**Krok 1: Wyznacz punkt A (przecięcie z osią Ox)**\n\nNa osi \\(Ox\\) mamy \\(y = 0\\), więc podstawiamy do równania prostej:\n\\[5x + 4 \\cdot 0 - 10 = 0 \\implies 5x = 10 \\implies x = 2\\]\n\\[\\boxed{A = (2, 0)}\\]\n\n**Krok 2: Wyznacz punkt B (przecięcie z osią Oy)**\n\nNa osi \\(Oy\\) mamy \\(x = 0\\):\n\\[5 \\cdot 0 + 4y - 10 = 0 \\implies 4y = 10 \\implies y = \\frac{5}{2}\\]\n\\[\\boxed{B = \\left(0,\\, \\frac{5}{2}\\right)}\\]\n\n**Krok 3: Ustal wzór na pole trójkąta ABC**\n\nNiech \\(C = (c, 0)\\) - punkt na osi \\(Ox\\).\n\nZauważamy, że:\n- **Podstawa** \\(|AC|\\) leży na osi \\(Ox\\): długość \\(= |c - 2|\\)\n- **Wysokość** z \\(B\\) prostopadle do osi \\(Ox\\) = rzędna punktu \\(B\\): \\(h = \\frac{5}{2}\\)\n\nZatem pole:\n\\[P = \\frac{1}{2} \\cdot |AC| \\cdot h = \\frac{1}{2} \\cdot |c - 2| \\cdot \\frac{5}{2} = \\frac{5}{4}|c - 2|\\]\n\n**Krok 4: Przyrównaj do 35 i rozwiąż**\n\n\\[\\frac{5}{4}|c - 2| = 35\\]\n\\[|c - 2| = 35 \\cdot \\frac{4}{5} = 28\\]\n\nWartość bezwzględna daje dwa przypadki:\n\n\\[c - 2 = 28 \\implies c = 30\\]\n\\[c - 2 = -28 \\implies c = -26\\]\n\n**Stąd: \\(C_1 = (30, 0)\\) lub \\(C_2 = (-26, 0)\\).**\n\n## Sposób 2 - pole trójkąta ze współrzędnych (wyznacznik)\n\nKorzystamy ze wzoru na pole trójkąta o wierzchołkach \\(A(x_A, y_A)\\), \\(B(x_B, y_B)\\), \\(C(x_C, y_C)\\):\n\n\\[P = \\frac{1}{2}\\left|(x_B - x_A)(y_C - y_A) - (y_B - y_A)(x_C - x_A)\\right|\\]\n\nPodstawiamy \\(A = (2, 0)\\), \\(B = (0, \\frac{5}{2})\\), \\(C = (c, 0)\\):\n\n\\[P = \\frac{1}{2}\\left|(0 - 2)(0 - 0) - \\left(\\frac{5}{2} - 0\\right)(c - 2)\\right|\\]\n\\[P = \\frac{1}{2}\\left|0 - \\frac{5}{2}(c-2)\\right| = \\frac{1}{2} \\cdot \\frac{5}{2}|c-2| = \\frac{5}{4}|c-2|\\]\n\nPrzyrównujemy do 35 - wynik identyczny jak w Sposobie 1:\n\\[\\frac{5}{4}|c-2| = 35 \\implies |c-2| = 28 \\implies c = 30 \\text{ lub } c = -26\\]\n\n**Weryfikacja \\(C_1 = (30, 0)\\):**\n\\[P = \\frac{5}{4} \\cdot |30 - 2| = \\frac{5}{4} \\cdot 28 = \\frac{140}{4} = 35 \\checkmark\\]\n\n**Weryfikacja \\(C_2 = (-26, 0)\\):**\n\\[P = \\frac{5}{4} \\cdot |-26 - 2| = \\frac{5}{4} \\cdot 28 = 35 \\checkmark\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 15)** - pole trójkąta:\n\\[P = \\frac{1}{2} \\cdot a \\cdot h_a\\]\nUżyliśmy tego w Sposobie 1: podstawa \\(|AC|\\) i odpowiednia wysokość \\(h = \\frac{5}{2}\\).\n\n**Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25)** - pole trójkąta ze współrzędnych:\n\\[P = \\frac{1}{2}\\left|(x_B - x_A)(y_C - y_A) - (y_B - y_A)(x_C - x_A)\\right|\\]\nUżyliśmy w Sposobie 2.\n\n**Dział 1 (Wartość bezwzględna, s. 4)** - rozwiązanie równania \\(|c - 2| = 28\\):\n\\[|x - a| = r \\implies x = a + r \\text{ lub } x = a - r\\]\nTo właśnie dało nam dwa rozwiązania.\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wysokość trójkąta **nie jest** odległością od \\(B\\) do punktu \\(A\\) ani do \\(C\\) - to odległość od \\(B\\) do **prostej**, na której leży \\(AC\\). Ponieważ \\(AC\\) leży na osi \\(Ox\\), wysokość jest po prostu rzędną \\(y_B = \\frac{5}{2}\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wynik \\(|c - 2| = 28\\) daje **dwa** punkty \\(C\\) - jeden po prawej, jeden po lewej od \\(A\\). Błędem jest podanie tylko jednego rozwiązania.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie pomyl punktu \\(A\\) (na osi \\(Ox\\)) z punktem \\(B\\) (na osi \\(Oy\\)) - zamienienie ich nie zmieni pola trójkąta, ale może prowadzić do błędu przy interpretacji „podstawy\".\n\n**Poprawne odpowiedzi:** \\(C_1 = (30, 0)\\) oraz \\(C_2 = (-26, 0)\\).\n\n### Sposób 1 - Wykorzystanie wzoru na pole trójkąta z wysokością\n**Krok 1 - współrzędne \\(A\\) i \\(B\\).**\n- Punkt \\(A\\) na osi \\(Ox\\): \\(y = 0\\), więc \\(5x - 10 = 0 \\Rightarrow x = 2\\). Zatem \\(A = (2, 0)\\).\n- Punkt \\(B\\) na osi \\(Oy\\): \\(x = 0\\), więc \\(4y - 10 = 0 \\Rightarrow y = \\dfrac{5}{2}\\). Zatem \\(B = (0, \\tfrac{5}{2})\\).\n\n**Krok 2 - pole trójkąta \\(ABC\\) z \\(C\\) na osi \\(Ox\\).**\nPunkty \\(A\\) i \\(C\\) leżą na osi \\(Ox\\), więc bok \\(AC\\) jest odcinkiem na osi \\(Ox\\). Wysokość trójkąta z punktu \\(B\\) do prostej \\(AC\\) (czyli osi \\(Ox\\)) to odległość punktu \\(B\\) od osi \\(Ox\\):\n\\[h = |y_B| = \\dfrac{5}{2}.\\]\n\n**Krok 3 - równanie pola.**\n\\[P = \\dfrac{1}{2}\\cdot|AC|\\cdot h = 35\\]\n\\[\\dfrac{1}{2}\\cdot|AC|\\cdot \\dfrac{5}{2} = 35\\]\n\\[|AC| = \\dfrac{35\\cdot 2\\cdot 2}{5} = 28.\\]\n\n**Krok 4 - wyznaczenie współrzędnej \\(C\\).**\nPunkt \\(C\\) leży na osi \\(Ox\\), czyli \\(C = (x_C, 0)\\). Odległość \\(|AC| = |x_C - 2| = 28\\):\n\\[x_C - 2 = 28 \\Rightarrow x_C = 30,\\]\n\\[x_C - 2 = -28 \\Rightarrow x_C = -26.\\]\n\n**Odpowiedź:** \\(C_1 = (30, 0)\\), \\(C_2 = (-26, 0)\\).\n\n### Sposób 2 - Wzór na pole z wyznacznika\nDla \\(A = (2, 0)\\), \\(B = (0, \\tfrac{5}{2})\\), \\(C = (x_C, 0)\\):\n\\[P = \\dfrac{1}{2}\\left|(x_B - x_A)(y_C - y_A) - (x_C - x_A)(y_B - y_A)\\right|\\]\n\\[= \\dfrac{1}{2}\\left|(0-2)(0-0) - (x_C - 2)\\cdot\\dfrac{5}{2}\\right| = \\dfrac{1}{2}\\cdot\\dfrac{5}{2}|x_C - 2|.\\]\n\nWarunek \\(P = 35\\):\n\\[\\dfrac{5}{4}|x_C - 2| = 35 \\Rightarrow |x_C - 2| = 28 \\Rightarrow x_C \\in \\{30, -26\\}.\\]\n\n### Sprawdzenie\nDla \\(C = (30, 0)\\): \\(|AC| = 28\\), \\(P = \\tfrac{1}{2}\\cdot 28\\cdot\\tfrac{5}{2} = 35\\) ✓.\nDla \\(C = (-26, 0)\\): \\(|AC| = 28\\), \\(P = 35\\) ✓.\n\n### Komentarz\nPunkt \\(C\\) może leżeć po obu stronach punktu \\(A\\), stąd dwa rozwiązania. Typowy błąd: pominięcie wartości bezwzględnej (tylko jedno rozwiązanie).","image":"img/matematyka-2008-maj-matura-podstawowa/zad-6.webp","solution_image":"img/matematyka-2008-maj-matura-podstawowa/sol-6.svg","topics":"analityczna","page_from":8,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2008 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2008-maj-matura-podstawowa/zad/7","paper_id":"matematyka-2008-maj-matura-podstawowa","number":"7","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2008,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 7. (4 pkt)\nDany jest trapez, w którym podstawy mają długość 4 cm i 10 cm oraz ramiona tworzą\nz dłuższą podstawą kąty o miarach 30° i 45°. Oblicz wysokość tego trapezu.\n\nPoziom podstawowy\n11\nNr zadania\n7.1\n7.2\n7.3\n7.4\nMaks. liczba pkt\n1\n1\n1\n1\nWypełnia\negzaminator! Uzyskana liczba pkt\n\nPoziom podstawowy\n12\nDany jest trapez, w którym podstawy mają długość 4cm i 10cm oraz ramiona tworzą z dłuższą podstawą kąty o miarach 30 i 45 stopni. Oblicz wysokość tego trapezu. Funkcja tg. Usuwanie niewymierności z mianownika.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 7. (4 pkt)\nDany jest trapez, w którym podstawy mają długość 4 cm i 10 cm oraz ramiona tworzą\nz dłuższą podstawą kąty o miarach 30° i 45°. Oblicz wysokość tego trapezu.\nTrójkąt\nAED\njest\ntrójkątem\nprostokątnym\ni\nrównoramiennym\n(\n45\nDAE\nEDA\n°\n)\n)\n), więc AE\nED\nh\nKorzystam z własności trójkąta prostokątnego BFC i zapisuję zależność między\nprzyprostokątnymi\ntg30\nCF\nFB =\n° , stąd\n3\nFB\nCF\n⋅\n,\n3\nFB\nh\n4\nEF\nDC\n, więc otrzymuję równanie:\n4\n10\nAE\nFB\n, z którego po podstawieniu wyznaczonych wielkości\notrzymuję:\n4\n3\n10\nh\nh\nObliczam wysokość trapezu:\n3\n6\nh\nh\n(\n)\n1\n3\n6\nh\n(\n)\n6\n3\n3\n1\n3\n1\nh =\nOdpowiedź: Wysokość trapezu jest równa (\n)\n3\n3\n1\ncm.\nh\nh\n45°\n30°\nA\nB\nC\nD\nE\nF\nPoziom podstawowy\n9","solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(h = 3(\\sqrt{3}-1)\\) cm\n\n## Sposób 1 - Rzuty ramion na dłuższą podstawę\n\n**Rysujemy pomocnicze wysokości.** Opuszczamy z obu wierzchołków krótszej podstawy prostopadłe do dłuższej podstawy. Powstają dwa trójkąty prostokątne po bokach i prostokąt pośrodku.\n\nNazwijmy trapez \\(ABCD\\), gdzie \\(|AB| = 10\\) cm (dłuższa podstawa), \\(|CD| = 4\\) cm, kąt przy \\(A\\) to \\(30°\\), kąt przy \\(B\\) to \\(45°\\).\n\nOpuszczamy \\(CF \\perp AB\\) i \\(DH \\perp AB\\), gdzie \\(F, H\\) leżą na \\(AB\\).\n\nW trójkącie prostokątnym przy \\(A\\) (kąt \\(30°\\), wysokość \\(h\\)):\n\\[\\operatorname{tg}30° = \\frac{h}{|AH|} \\implies |AH| = \\frac{h}{\\operatorname{tg}30°} = \\frac{h}{\\frac{\\sqrt{3}}{3}} = h\\sqrt{3}\\]\n\nW trójkącie prostokątnym przy \\(B\\) (kąt \\(45°\\), wysokość \\(h\\)):\n\\[\\operatorname{tg}45° = \\frac{h}{|BF|} \\implies |BF| = \\frac{h}{1} = h\\]\n\nProstokąt \\(HDCF\\) ma szerokość \\(|HF| = |DC| = 4\\) cm. Zatem:\n\\[|AH| + |HF| + |BF| = |AB|\\]\n\\[h\\sqrt{3} + 4 + h = 10\\]\n\\[h(\\sqrt{3} + 1) = 6\\]\n\\[h = \\frac{6}{\\sqrt{3}+1} = \\frac{6(\\sqrt{3}-1)}{(\\sqrt{3}+1)(\\sqrt{3}-1)} = \\frac{6(\\sqrt{3}-1)}{3-1} = \\frac{6(\\sqrt{3}-1)}{2}\\]\n\n\\[\\boxed{h = 3(\\sqrt{3}-1) \\approx 3 \\cdot 0{,}732 \\approx 2{,}20 \\text{ cm}}\\]\n\n## Sposób 2 - Przedłużenie ramion (podobieństwo trójkątów)\n\n**Przedłużamy** oba ramiona trapezu do punktu przecięcia \\(E\\). Powstaje **trójkąt \\(ABE\\)**, w którym:\n- kąt przy \\(A\\) = \\(30°\\)\n- kąt przy \\(B\\) = \\(45°\\)\n- kąt przy \\(E\\) = \\(180° - 30° - 45° = 105°\\)\n\n**Wyznaczamy wysokość trójkąta \\(ABE\\) z \\(E\\) na \\(AB\\).**\n\nZe wzoru sinusów w \\(\\triangle ABE\\):\n\\[\\frac{|AE|}{\\sin 45°} = \\frac{|AB|}{\\sin 105°}\\]\n\nObliczamy \\(\\sin 105° = \\sin(60°+45°) = \\frac{\\sqrt{6}+\\sqrt{2}}{4}\\).\n\n\\[|AE| = \\frac{10 \\cdot \\frac{\\sqrt{2}}{2}}{\\frac{\\sqrt{6}+\\sqrt{2}}{4}} = \\frac{10 \\cdot \\frac{\\sqrt{2}}{2} \\cdot 4}{\\sqrt{2}(\\sqrt{3}+1)} = \\frac{20}{\\sqrt{3}+1} = 10(\\sqrt{3}-1)\\]\n\nWysokość z \\(E\\) na \\(AB\\):\n\\[H_E = |AE| \\cdot \\sin 30° = 10(\\sqrt{3}-1) \\cdot \\frac{1}{2} = 5(\\sqrt{3}-1)\\]\n\n**Korzystamy z podobieństwa.** Ponieważ \\(CD \\parallel AB\\), trójkąt \\(\\triangle CDE \\sim \\triangle ABE\\) ze skalą:\n\\[k = \\frac{|CD|}{|AB|} = \\frac{4}{10} = \\frac{2}{5}\\]\n\nWysokość z \\(E\\) na \\(CD\\):\n\\[H_{CD} = k \\cdot H_E = \\frac{2}{5} \\cdot 5(\\sqrt{3}-1) = 2(\\sqrt{3}-1)\\]\n\nWysokość trapezu:\n\\[h = H_E - H_{CD} = 5(\\sqrt{3}-1) - 2(\\sqrt{3}-1) = \\boxed{3(\\sqrt{3}-1) \\text{ cm}}\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 9 (Trygonometria, s. 11-12)** - definicja tangensa w trójkącie prostokątnym:\n\\[\\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{\\text{przeciwprostokątna kąta}}{\\text{przyprostokątna kąta}}\\]\nUżyliśmy w Sposobie 1 do wyznaczenia poziomych rzutów ramion przez \\(h\\).\n\n**Dział 9 (Trygonometria, s. 13)** - wzór na sinus sumy kątów:\n\\[\\sin(\\alpha + \\beta) = \\sin\\alpha\\cos\\beta + \\cos\\alpha\\sin\\beta\\]\nUżyliśmy w Sposobie 2 do obliczenia \\(\\sin 105° = \\sin(60°+45°)\\).\n\n**Dział 9 (Trygonometria, s. 13)** - twierdzenie sinusów (wymienione w dziale planimetria, s. 15):\n\\[\\frac{a}{\\sin\\alpha} = \\frac{b}{\\sin\\beta} = \\frac{c}{\\sin\\gamma}\\]\nUżyliśmy w Sposobie 2 do wyznaczenia boku \\(|AE|\\).\n\n**Dział 10 (Planimetria - figury podobne, s. 21)** - skala podobieństwa przekłada się liniowo na długości:\n\\[\\frac{H_{CD}}{H_E} = k = \\frac{|CD|}{|AB|}\\]\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wielu uczniów błędnie zakłada, że dwa rzuty poziome razem wynoszą \\(10 - 4 = 6\\) cm bez pisania równania - i tak jest! Ale uwaga na kierunek: oba rzuty **dodajemy** do \\(4\\), żeby uzyskać \\(10\\). Pomieszanie stron daje błąd.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy racjonalizowaniu mianownika \\(\\frac{6}{\\sqrt{3}+1}\\) - mnożymy przez \\(\\frac{\\sqrt{3}-1}{\\sqrt{3}-1}\\), co daje mianownik \\(3-1=2\\), nie \\(3+1=4\\). Pomylenie znaku to klasyczna pułapka!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wartości \\(\\operatorname{tg}30° = \\frac{\\sqrt{3}}{3} = \\frac{1}{\\sqrt{3}}\\) i \\(\\operatorname{tg}45° = 1\\) - warto je znać na pamięć lub odczytać z tabeli na karcie wzorów (s. 34). Pomylenie \\(\\operatorname{tg}30°\\) z \\(\\operatorname{tg}60°=\\sqrt{3}\\) daje zupełnie inny wynik.\n\n**Poprawna odpowiedź:** \\(h = 3(\\sqrt{3}-1)\\) cm \\(\\approx 2{,}196\\) cm.\n\n### Sposób 1 - Rozbicie dłuższej podstawy i funkcje trygonometryczne\nOznaczenia: trapez \\(ABCD\\), \\(|AB| = 10\\) cm (dłuższa podstawa), \\(|DC| = 4\\) cm (krótsza podstawa), kąt \\(\\angle DAB = 45^{\\circ}\\), kąt \\(\\angle ABC = 30^{\\circ}\\). Wysokości spuszczone z \\(D\\) i \\(C\\) do \\(AB\\) mają spodki \\(E\\) i \\(F\\).\n\nPodstawa rozbita: \\(|AB| = |AE| + |EF| + |FB|\\), przy czym \\(|EF| = |DC| = 4\\) cm.\n\n**Trójkąt \\(AED\\):** prostokątny, kąt \\(\\angle DAE = 45^{\\circ}\\), więc jest to trójkąt równoramienny i:\n\\[|AE| = |DE| = h.\\]\n\n**Trójkąt \\(BFC\\):** prostokątny, kąt \\(\\angle FBC = 30^{\\circ}\\), \\(|CF| = h\\). Z definicji tangensa:\n\\[\\tan 30^{\\circ} = \\dfrac{|CF|}{|FB|} \\Rightarrow |FB| = \\dfrac{h}{\\tan 30^{\\circ}} = \\dfrac{h}{\\tfrac{\\sqrt{3}}{3}} = h\\sqrt{3}.\\]\n\n**Równanie długości \\(AB\\):**\n\\[|AE| + |EF| + |FB| = 10\\]\n\\[h + 4 + h\\sqrt{3} = 10\\]\n\\[h(1 + \\sqrt{3}) = 6\\]\n\\[h = \\dfrac{6}{1+\\sqrt{3}} = \\dfrac{6(1-\\sqrt{3})}{(1+\\sqrt{3})(1-\\sqrt{3})} = \\dfrac{6(1-\\sqrt{3})}{1-3} = \\dfrac{6(1-\\sqrt{3})}{-2} = 3(\\sqrt{3}-1).\\]\n\n**Odpowiedź:** \\(h = 3(\\sqrt{3}-1)\\) cm.\n\n### Sposób 2 - Racjonalizacja mianownika przez \\(\\sqrt{3}+1\\)\nRówna droga do wyniku - mnożenie \\(\\dfrac{6}{1+\\sqrt{3}}\\) przez \\(\\dfrac{\\sqrt{3}-1}{\\sqrt{3}-1}\\) daje \\(\\dfrac{6(\\sqrt{3}-1)}{3-1} = 3(\\sqrt{3}-1)\\).\n\n### Weryfikacja\n\\(h \\approx 3\\cdot(1{,}732 - 1) = 3\\cdot 0{,}732 \\approx 2{,}196\\) cm.\n- \\(|AE| = h \\approx 2{,}196\\),\n- \\(|EF| = 4\\),\n- \\(|FB| = h\\sqrt{3} \\approx 2{,}196\\cdot 1{,}732 \\approx 3{,}804\\),\n- suma: \\(2{,}196 + 4 + 3{,}804 = 10\\) ✓.\n\n### Komentarz dydaktyczny\nWartości funkcji trygonometrycznych szczególnych kątów: \\(\\tan 30^{\\circ} = \\dfrac{\\sqrt{3}}{3} = \\dfrac{1}{\\sqrt{3}}\\), \\(\\tan 45^{\\circ} = 1\\). Trójkąt z kątem \\(45^{\\circ}\\) to połowa kwadratu, trójkąt z kątem \\(30^{\\circ}\\) to połowa trójkąta równobocznego.","image":"img/matematyka-2008-maj-matura-podstawowa/zad-7.webp","solution_image":"img/matematyka-2008-maj-matura-podstawowa/sol-7.svg","topics":"planimetria","page_from":10,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2008 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2008-maj-matura-podstawowa/zad/8","paper_id":"matematyka-2008-maj-matura-podstawowa","number":"8","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2008,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 8. (4 pkt)\nDany jest wielomian\n( )\n3\n2\n5\n9\n45\nW x\nx\nx\nx\na) Sprawdź, czy punkt\n(\n)\n1, 30\nA =\nnależy do wykresu tego wielomianu.\nb) Zapisz wielomian W w postaci iloczynu trzech wielomianów stopnia pierwszego.\nNr zadania\n8.1\n8.2\n8.3\n8.4\nMaks. liczba pkt\n1\n1\n1\n1\nWypełnia\negzaminator! Uzyskana liczba pkt\n\nPoziom podstawowy\n13\nDany jest wielomian W(x)=x^3-5x^2-9x+45. a) Sprawdź, czy punkt A=(1,30) należy do wykresu tego wielomianu. b) Zapisz wielomian W w postaci iloczynu trzech wielomianów stopnia pierwszego. Matura 2008. Rozkład na czynniki wielomianu.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 8. (4 pkt)\nDany jest wielomian\n( )\n3\n2\n5\n9\n45\nW x\nx\nx\nx\na) Sprawdź, czy punkt\n(\n)\n1, 30\nA =\nnależy do wykresu tego wielomianu.\nb) Zapisz wielomian W w postaci iloczynu trzech wielomianów stopnia pierwszego.\na) Obliczam\n( )\n1\nW\n:\n( )\n3\n2\n1\n1\n5 1\n9 1\n45\n32\nW\n-⋅\n-⋅+\n( )\n1\n30\n≠\nW\nOtrzymany wynik oznacza, że punkt A nie należy do wykresu wielomianu W.\nb) Rozkładam wielomian na czynniki:\n( )\n3\n2\n5\n9\n45\nW x\nx\nx\nx\n3\n2\n9\n5\n45\nx\nx\nx\n(\n)\n(\n)\n2\n2\n9\n5\n9\nx x\nx\n(\n)(\n)\n2\n9\n5\nx\nx\n(\n)(\n)(\n)\n3\n3\n5\nx\nx\nx\nOdpowiedź:\n( )\n(\n)(\n)(\n)\n3\n3\n5\nW x\nx\nx\nx\nPoziom podstawowy\n10","solution":"## Poprawna odpowiedź:\n\n**a)** Punkt \\(A = (1, 30)\\) **NIE należy** do wykresu \\(W\\), bo \\(W(1) = 32 \\neq 30\\).\n\n**b)** \\(W(x) = (x+3)(x-3)(x-5)\\)\n\n## Sposób 1 - podstawienie i grupowanie\n\n### Część a) - sprawdzenie przynależności punktu\n\nPunkt \\((x_0, y_0)\\) należy do wykresu wielomianu \\(\\iff\\) \\(W(x_0) = y_0\\).\n\nSprawdzamy, czy \\(W(1) = 30\\):\n\n\\[W(1) = 1^3 - 5 \\cdot 1^2 - 9 \\cdot 1 + 45\\]\n\\[= 1 - 5 - 9 + 45\\]\n\\[= 32\\]\n\n**\\(W(1) = 32 \\neq 30\\), więc punkt \\(A = (1, 30)\\) NIE należy do wykresu.**\n\n### Część b) - rozkład na czynniki przez grupowanie wyrazów\n\nMetoda grupowania polega na \"sparowaniu\" wyrazów tak, żeby wyciągnąć wspólny czynnik.\n\n\\[W(x) = x^3 - 5x^2 - 9x + 45\\]\n\nGrupujemy wyrazy parami:\n\\[= (x^3 - 5x^2) + (-9x + 45)\\]\n\nWyciągamy wspólny czynnik z każdej pary:\n\\[= x^2(x - 5) - 9(x - 5)\\]\n\nTeraz \\((x-5)\\) jest wspólnym czynnikiem obu składników:\n\\[= (x - 5)(x^2 - 9)\\]\n\nRozpoznajemy różnicę kwadratów \\(x^2 - 9 = x^2 - 3^2\\):\n\\[= (x - 5)(x - 3)(x + 3)\\]\n\n**\\(W(x) = (x+3)(x-3)(x-5)\\)**\n\n## Sposób 2 - odgadnięcie pierwiastka wymiernego i dzielenie wielomianów\n\n### Część b) - szukanie pierwiastków całkowitych\n\n**Obserwacja:** Jeśli wielomian o współczynnikach całkowitych z wiodącym \\(1\\) ma pierwiastek wymierny, to musi być on dzielnikiem wyrazu wolnego.\n\nWyraz wolny: \\(45\\). Dzielniki całkowite: \\(\\pm 1, \\pm 3, \\pm 5, \\pm 9, \\pm 15, \\pm 45\\).\n\nSprawdzamy \\(x = 5\\):\n\\[W(5) = 125 - 125 - 45 + 45 = 0\\]\n\n\\(x = 5\\) jest pierwiastkiem, więc \\((x-5)\\) jest czynnikiem.\n\nDzielimy \\(W(x)\\) przez \\((x-5)\\) - schemat Hornera:\n\n| | \\(1\\) | \\(-5\\) | \\(-9\\) | \\(45\\) |\n| \\(\\times 5\\) | | \\(5\\) | \\(0\\) | \\(-45\\) |\n| | \\(1\\) | \\(0\\) | \\(-9\\) | \\(0\\) ✓ |\n\nZatem:\n\\[W(x) = (x-5)(x^2 + 0x - 9) = (x-5)(x^2 - 9)\\]\n\nRozkładamy \\(x^2 - 9 = (x-3)(x+3)\\):\n\\[W(x) = (x-5)(x-3)(x+3)\\]\n\n**\\(W(x) = (x+3)(x-3)(x-5)\\)** ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 6 (Wzory skróconego mnożenia, s. 7)** - różnica kwadratów:\n\\[a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\\]\nUżyliśmy tego do rozkładu \\(x^2 - 9 = (x-3)(x+3)\\) w obu sposobach.\n\nW tym zadaniu nie korzystamy z innych konkretnych wzorów z karty CKE - kluczowe są techniki algebry: grupowanie i dzielenie wielomianów.\n\n## Typowe pułapki\n\n> ⚠️ **Uwaga:** W zadaniu a) sprawdzamy, czy \\(W(1) = 30\\) (wartość \\(y\\)), a nie czy \\(W(30) = 1\\). Często uczniowie mylą, który współrzędny wstawiają do wielomianu.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy grupowaniu wyrazów w b) - uważaj na znaki! \\(-9x + 45 = -9(x - 5)\\), bo \\(-9 \\cdot (-5) = +45\\). Błąd znaku to najczęstsza pomyłka przy tej metodzie.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\(x^2 - 9\\) to **NIE jest** \\((x-9)(x+9)\\). To różnica kwadratów: \\((x-3)(x+3)\\), bo \\(9 = 3^2\\). Warto od razu rozpoznawać ten wzorzec.\n\n**Poprawne odpowiedzi:** a) \\(W(1) = 32\\), punkt \\(A\\) NIE należy do wykresu; b) \\(W(x) = (x+3)(x-3)(x-5)\\).\n\n### Sposób 1 - Metoda grupowania\n**a) Obliczamy \\(W(1)\\):**\n\\[W(1) = 1^{3} - 5\\cdot 1^{2} - 9\\cdot 1 + 45 = 1 - 5 - 9 + 45 = 32.\\]\n\nPoniewaz \\(W(1) = 32 \\ne 30\\), punkt \\(A = (1, 30)\\) **nie należy** do wykresu wielomianu.\n\n**b) Rozkład na czynniki metodą grupowania.**\nPrzegrupujmy wyrazy:\n\\[W(x) = x^{3} - 5x^{2} - 9x + 45 = x^{3} - 9x - 5x^{2} + 45 = x(x^{2} - 9) - 5(x^{2} - 9) = (x^{2}-9)(x-5).\\]\n\nDalej: \\(x^{2} - 9 = (x-3)(x+3)\\):\n\\[\\boxed{W(x) = (x+3)(x-3)(x-5).}\\]\n\n### Sposób 2 - Szukanie pierwiastków wymiernych\nPierwiastki wymierne \\(W(x)\\) muszą być dzielnikami wyrazu wolnego \\(45\\): \\(\\pm 1, \\pm 3, \\pm 5, \\pm 9, \\pm 15, \\pm 45\\).\n\nSprawdzamy:\n\\[W(3) = 27 - 45 - 27 + 45 = 0 \\Rightarrow x = 3 \\text{ jest pierwiastkiem.}\\]\n\\[W(-3) = -27 - 45 + 27 + 45 = 0 \\Rightarrow x = -3 \\text{ jest pierwiastkiem.}\\]\n\\[W(5) = 125 - 125 - 45 + 45 = 0 \\Rightarrow x = 5 \\text{ jest pierwiastkiem.}\\]\n\nTrzy pierwiastki: \\(-3, 3, 5\\), więc:\n\\[W(x) = (x+3)(x-3)(x-5).\\]\n\n### Weryfikacja rozkładu\n\\((x+3)(x-3) = x^{2} - 9\\). Dalej:\n\\[(x^{2}-9)(x-5) = x^{3} - 5x^{2} - 9x + 45.\\] ✓\n\n### Komentarz dydaktyczny\nMetoda grupowania - skuteczna, gdy współczynniki mają wyraźny wzorzec (tu: \\(-5\\) wyłącza się z dwóch wyrazów). Zawsze warto sprawdzić strukturę zanim sięgnie się po schemat Hornera.","image":"img/matematyka-2008-maj-matura-podstawowa/zad-8.webp","solution_image":"img/matematyka-2008-maj-matura-podstawowa/sol-8.svg","topics":"wielomiany","page_from":12,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2008 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2008-maj-matura-podstawowa/zad/9","paper_id":"matematyka-2008-maj-matura-podstawowa","number":"9","points":5,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2008,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 9. (5 pkt)\nOblicz najmniejszą i największą wartość funkcji kwadratowej\n( )\n(\n)(\n)\n2\n1\n2\nf x\nx\nx\nw przedziale\n2, 2\nNr zadania\n9.1\n9.2\n9.3\n9.4\n9.5\nMaks. liczba pkt\n1\n1\n1\n1\n1\nWypełnia\negzaminator! Uzyskana liczba pkt\n\nPoziom podstawowy\n14\nOblicz najmniejszą i największą wartość funkcji kwadratowej f(x)=(2x+1)(x-2) w przedziale <-2,2>. Przekształcanie z postaci iloczynowej do postaci ogólnej. Wykres funkcji kwadratowej. Wierzchołek paraboli. Punkty należące do wykresu funkcji kwadratowej. Matura 2008.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 9. (5 pkt)\nOblicz najmniejszą i największą wartość funkcji kwadratowej\n( )\n(\n)(\n)\n2\n1\n2\nf x\nx\nx\nw przedziale\n2, 2\nZapisuję wzór funkcji w postaci ogólnej ( )\n2\n2\n3\n2\nf x\nx\nx\nWyznaczam odciętą wierzchołka paraboli:\n3\n2\n4\nw\nb\nx\na\nPierwsza współrzędna wierzchołka paraboli należy do przedziału\n2, 2\n, więc\nnajmniejszą wartością funkcji f w tym przedziale jest druga współrzędna\nwierzchołka:\n25\n4\n8\nw\ny\na\n-Δ\nObliczam wartości funkcji na końcach przedziału: (\n)\n2\n12\nf -\n, ( )\n2\n0\nf\nNajwiększą wartością funkcji f w podanym przedziale jest (\n)\n2\n12\nf -\nOdpowiedź: Najmniejszą wartością funkcji w podanym przedziale jest\n25\n8\nw\ny = -\n, a największą (\n)\n2\n12\nf -\nPoziom podstawowy\n11","solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(V = \\dfrac{2\\sqrt{2}}{3}\\pi\\)\n\n## Sposób 1 - rozwinięcie boczne → wymiary stożka → objętość\n\n**Krok 1: Odczytaj wymiary ze rozwinięcia**\n\nRozwinięcie boczne stożka to wycinek koła. Jego elementy odpowiadają:\n- promień wycinka = tworzącą stożka: \\(l = 3\\)\n- długość łuku wycinka = obwodowi podstawy stożka\n\n**Krok 2: Oblicz długość łuku wycinka**\n\nKąt środkowy \\(\\alpha = 120°\\), promień \\(l = 3\\):\n\\[d = \\frac{\\alpha}{360°} \\cdot 2\\pi l = \\frac{120°}{360°} \\cdot 2\\pi \\cdot 3 = \\frac{1}{3} \\cdot 6\\pi = 2\\pi\\]\n\n**Krok 3: Wyznacz promień podstawy stożka**\n\nDługość łuku = obwód podstawy:\n\\[2\\pi r = 2\\pi \\implies \\boxed{r = 1}\\]\n\n**Krok 4: Wyznacz wysokość stożka**\n\nZ twierdzenia Pitagorasa (tworzącą, promień, wysokość tworzą trójkąt prostokątny):\n\\[h = \\sqrt{l^2 - r^2} = \\sqrt{3^2 - 1^2} = \\sqrt{9 - 1} = \\sqrt{8} = 2\\sqrt{2}\\]\n\n**Krok 5: Oblicz objętość**\n\n\\[V = \\frac{1}{3}\\pi r^2 h = \\frac{1}{3}\\pi \\cdot 1^2 \\cdot 2\\sqrt{2} = \\boxed{\\dfrac{2\\sqrt{2}}{3}\\pi}\\]\n\n## Sposób 2 - proporcja łuków (podejście przez stosunek kątów)\n\nInny punkt wyjścia: promień podstawy \\(r\\) możemy wyznaczyć przez **stosunek kąta** do pełnego obrotu.\n\nGdy rozwijamy stożek, łuk wycinka (kąt \\(\\alpha\\)) przechodzi w pełen okrąg o promieniu \\(r\\). Zatem:\n\\[\\frac{\\text{długość łuku}}{\\text{obwód pełnego koła o promieniu }l} = \\frac{r}{l}\\]\n\n\\[\\frac{\\alpha}{360°} = \\frac{r}{l} \\implies \\frac{120°}{360°} = \\frac{r}{3} \\implies \\frac{1}{3} = \\frac{r}{3} \\implies r = 1\\]\n\nDalej identycznie jak w Sposobie 1:\n\\[h = \\sqrt{9 - 1} = 2\\sqrt{2}, \\qquad V = \\frac{1}{3}\\pi \\cdot 1 \\cdot 2\\sqrt{2} = \\frac{2\\sqrt{2}}{3}\\pi\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 12 (Stereometria, s. 26-28)** - objętość stożka:\n\\[V = \\frac{1}{3}\\pi r^2 h\\]\nUżyte w kroku 5 do obliczenia końcowego wyniku.\n\n**Dział 10 (Planimetria - wycinek koła, s. 19)** - długość łuku:\n\\[L = \\frac{\\alpha}{360°} \\cdot 2\\pi r\\]\nUżyte w kroku 2 do wyznaczenia długości łuku rozwinięcia (= obwodu podstawy stożka).\n\n**Dział 10 (Planimetria - twierdzenie Pitagorasa, s. 15)**:\n\\[a^2 + b^2 = c^2\\]\nUżyte w kroku 4 do wyznaczenia wysokości \\(h\\) ze związku \\(r^2 + h^2 = l^2\\).\n\n## Typowe pułapki\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Promień wycinka to **tworzącą stożka** \\(l\\), nie jego promień podstawy! Wiele osób podstawia \\(r = 3\\) bezpośrednio do wzoru na objętość - to błąd.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Zapominanie o kroku z twierdzeniem Pitagorasa - \\(h \\neq l\\). Tworzącą, wysokość i promień podstawy tworzą trójkąt prostokątny; \\(h = \\sqrt{l^2 - r^2}\\), nie \\(h = l\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy obliczaniu długości łuku trzeba użyć **kąta 120°, nie 240°** (czyli kąta wycinka, nie reszty koła). Jeśli rysunek jest nieczytelny, pamiętaj: kąt środkowy wycinka to ten \"wewnętrzny\", podany w zadaniu.\n\n**Poprawna odpowiedź:** \\(V = \\dfrac{2\\sqrt{2}}{3}\\pi\\).\n\n### Sposób 1 - Z porównania długości łuku wycinka i obwodu podstawy\nOznaczenia:\n- \\(l\\) - tworząca stożka (równa promieniowi wycinka): \\(l = 3\\),\n- \\(r\\) - promień podstawy stożka,\n- \\(h\\) - wysokość stożka.\n\n**Krok 1 - wyznaczenie \\(r\\) z warunku, że łuk wycinka = obwód podstawy:**\n\nDługość łuku wycinka o kącie środkowym \\(120° = \\dfrac{2\\pi}{3}\\) rad i promieniu \\(l\\):\n\\[L_{luk} = l\\cdot\\dfrac{2\\pi}{3} = 3\\cdot\\dfrac{2\\pi}{3} = 2\\pi.\\]\n\nAlternatywnie: kąt \\(120° = \\tfrac{1}{3}\\cdot 360°\\), więc łuk to \\(\\tfrac{1}{3}\\) obwodu koła o promieniu \\(l\\):\n\\[L_{luk} = \\dfrac{1}{3}\\cdot 2\\pi l = \\dfrac{1}{3}\\cdot 2\\pi\\cdot 3 = 2\\pi.\\]\n\nObwód podstawy stożka: \\(2\\pi r\\). Porównanie:\n\\[2\\pi r = 2\\pi \\Rightarrow r = 1.\\]\n\n**Krok 2 - wysokość stożka z twierdzenia Pitagorasa:**\n\\[h^{2} + r^{2} = l^{2}\\]\n\\[h^{2} = 9 - 1 = 8\\]\n\\[h = 2\\sqrt{2}.\\]\n\n**Krok 3 - objętość stożka:**\n\\[V = \\dfrac{1}{3}\\pi r^{2} h = \\dfrac{1}{3}\\pi\\cdot 1^{2}\\cdot 2\\sqrt{2} = \\dfrac{2\\sqrt{2}\\pi}{3}.\\]\n\n### Sposób 2 - Z porównania pola wycinka i pola powierzchni bocznej stożka\nPole wycinka koła o kącie środkowym \\(120°\\) i promieniu \\(l = 3\\):\n\\[P_{wyc} = \\dfrac{1}{3}\\pi l^{2} = \\dfrac{1}{3}\\pi\\cdot 9 = 3\\pi.\\]\n\nPole powierzchni bocznej stożka:\n\\[P_b = \\pi r l = \\pi r \\cdot 3 = 3\\pi r.\\]\n\nPorównanie: \\(3\\pi r = 3\\pi \\Rightarrow r = 1\\). Dalej jak w sposobie 1.\n\n### Komentarz dydaktyczny\n**Klucz:** łuk wycinka po rozwinięciu jest dokładnie obwodem podstawy stożka (bo powierzchnia boczna się \"zwija\" bez naciągnięcia). Stąd prosta zależność:\n\\[\\alpha\\cdot l = 2\\pi r \\quad \\text{(gdzie } \\alpha \\text{ w radianach)}\\]\nlub równoważnie \\(\\dfrac{\\alpha}{360°} = \\dfrac{r}{l}\\) (stosunek kąta do \\(360°\\) = stosunek promienia podstawy do tworzącej).\n\n### Weryfikacja\n\\(r = 1\\), \\(l = 3\\), \\(\\dfrac{r}{l} = \\dfrac{1}{3}\\) = \\(\\dfrac{120°}{360°}\\) ✓.\n\\(V = \\dfrac{2\\sqrt{2}\\pi}{3} \\approx \\dfrac{2\\cdot 1{,}414\\cdot 3{,}14159}{3} \\approx 2{,}961\\) (jednostek objętości).","image":"img/matematyka-2008-maj-matura-podstawowa/zad-9.webp","solution_image":"img/matematyka-2008-maj-matura-podstawowa/sol-9.svg","topics":"funkcje","page_from":13,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2008 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2008-maj-matura-podstawowa/zad/10","paper_id":"matematyka-2008-maj-matura-podstawowa","number":"10","points":3,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2008,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 10. (3 pkt)\nRysunek przedstawia fragment wykresu funkcji h , określonej wzorem ( )\na\nh x\nx\ndla\n0\nx ≠\nWiadomo, że do wykresu funkcji h należy punkt\n(\n)\n2,5\nP =\na) Oblicz wartość współczynnika a .\nb) Ustal, czy liczba ( )\n(\n)\nh\nh\nπ -\n-π jest dodatnia czy ujemna.\nc) Rozwiąż nierówność ( )\n5\nh x >\n1\n1\nx\ny\n\nPoziom podstawowy\n15\nNr zadania\n10.1\n10.2\n10.3\nMaks. liczba pkt\n1\n1\n1\nWypełnia\negzaminator! Uzyskana liczba pkt\n\nPoziom podstawowy\n16\nRysunek przedstawia fragment wykresu funkcji h, określonej wzorem h(x)=a/x dla x różnego od 0. Wiadomo, że do wykresu funkcji h należy punkt P=(2,5). a) Oblicz wartość współczynnika a. b) Ustal, czy liczba h(\\pi)-h(-\\pi) jest dodatnia czy ujemna. c) Rozwiąż nierówność h(x)>5. Matura 2008. Zadanie. Hiperbola.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 10. (3 pkt)\nRysunek przedstawia fragment wykresu funkcji h , określonej wzorem ( )\na\nh x\nx\ndla\n0\nx ≠\nWiadomo, że do wykresu funkcji h należy punkt\n(\n)\n2,5\nP =\na) Oblicz wartość współczynnika a .\nb) Ustal, czy liczba ( )\n(\n)\nh\nh\nπ -\n-π jest dodatnia czy ujemna.\nc) Rozwiąż nierówność ( )\n5\nh x >\n(\n)\n2,5\nP =\n1\n1\nx\ny\na) Korzystam z faktu, że punkt\n(\n)\n2,5\nP =\nnależy do wykresu funkcji h\ni wyznaczam współczynnik a: 5\n2\na\nstąd a=10.\nFunkcja h jest dana wzorem: ( )\n10\nh x\nx\nb) Z wykresu odczytuję, że\n(\n)\n0\nh\nπ\n<\n, natomiast\n( )\n0\nh π >\n. Stąd wynika, że\n( )\n(\n)\nh\nh\nπ -\n-π jest liczbą dodatnią.\nZ informacji podanej w zadaniu wiem, że wykres funkcji h przechodzi przez\npunkt\n(\n)\n2,5\nP =\n. Odczytuję rozwiązanie nierówności ( )\n5\nh x > z wykresu: jest to\nprzedział (\n)\n0,2 .\nPoziom podstawowy\n12","solution":"## Poprawna odpowiedź:\na) \\(a = 10\\) - b) \\(h(\\pi) - h(-\\pi)\\) jest **dodatnia** - c) \\(x \\in (0, 2)\\)\n\n## Sposób 1 - podstawienie punktu i analiza bezpośrednia\n\n### Część a) Wyznaczenie współczynnika \\(a\\)\n\nPunkt \\(P = (2, 5)\\) należy do wykresu funkcji \\(h\\), więc jego współrzędne spełniają wzór funkcji:\n\\[h(2) = 5\\]\n\\[\\frac{a}{2} = 5\\]\n\\[\\boxed{a = 10}\\]\n\nZatem wzór funkcji to:\n\\[h(x) = \\frac{10}{x}\\]\n\n### Część b) Znak wyrażenia \\(h(\\pi) - h(-\\pi)\\)\n\nObliczamy każdą wartość osobno:\n\\[h(\\pi) = \\frac{10}{\\pi}\\]\n\\[h(-\\pi) = \\frac{10}{-\\pi} = -\\frac{10}{\\pi}\\]\n\nZatem:\n\\[h(\\pi) - h(-\\pi) = \\frac{10}{\\pi} - \\left(-\\frac{10}{\\pi}\\right) = \\frac{10}{\\pi} + \\frac{10}{\\pi} = \\frac{20}{\\pi}\\]\n\nPonieważ \\(\\pi > 0\\), mamy \\(\\frac{20}{\\pi} > 0\\).\n\n**Wyrażenie \\(h(\\pi) - h(-\\pi)\\) jest dodatnie.**\n\n### Część c) Rozwiązanie nierówności \\(h(x) > 5\\)\n\nPodstawiamy \\(h(x) = \\frac{10}{x}\\):\n\\[\\frac{10}{x} > 5\\]\n\n**Uwaga:** nie możemy od razu mnożyć obu stron przez \\(x\\), bo nie wiemy, czy \\(x > 0\\) czy \\(x < 0\\). Rozpatrujemy dwa przypadki.\n\n**Przypadek 1: \\(x > 0\\)**\n\nMnożymy obie strony przez \\(x > 0\\) - kierunek nierówności się nie zmienia:\n\\[10 > 5x\\]\n\\[x < 2\\]\n\nŁącząc z założeniem \\(x > 0\\): \\(\\quad x \\in (0, 2)\\)\n\n**Przypadek 2: \\(x < 0\\)**\n\nMnożymy obie strony przez \\(x < 0\\) - **kierunek nierówności się odwraca**:\n\\[10 < 5x\\]\n\\[x > 2\\]\n\nOtrzymalibyśmy \\(x < 0\\) i \\(x > 2\\) jednocześnie - to sprzeczność, brak rozwiązań.\n\n**Odpowiedź:** \\[x \\in (0, 2)\\]\n\n## Sposób 2 - przekształcenie nierówności do postaci z jednym ułamkiem\n\n### Część c) alternatywnie\n\nPrzenosimy \\(5\\) na lewą stronę:\n\\[\\frac{10}{x} - 5 > 0\\]\n\nSprowadzamy do wspólnego mianownika:\n\\[\\frac{10 - 5x}{x} > 0\\]\n\n\\[\\frac{5(2 - x)}{x} > 0\\]\n\nIloraz jest dodatni, gdy licznik i mianownik mają **ten sam znak**. Badamy znaki czynników:\n\n| Przedział | \\(2 - x\\) | \\(x\\) | \\(\\frac{5(2-x)}{x}\\) |\n| \\(x < 0\\) | \\(+\\) | \\(-\\) | \\(-\\) |\n| \\(0 < x < 2\\) | \\(+\\) | \\(+\\) | \\(+\\) ✓ |\n| \\(x > 2\\) | \\(-\\) | \\(+\\) | \\(-\\) |\n\nNierówność jest spełniona dla \\(x \\in (0, 2)\\). Wynik ten samo co w Sposobie 1. ✓\n\n### Weryfikacja części b) - obserwacja ogólna\n\nDla każdej funkcji postaci \\(h(x) = \\frac{a}{x}\\) zachodzi własność:\n\\[h(-x) = \\frac{a}{-x} = -\\frac{a}{x} = -h(x)\\]\n\nJest to funkcja **nieparzysta** (symetryczna względem początku układu współrzędnych). Zatem:\n\\[h(\\pi) - h(-\\pi) = h(\\pi) - (-h(\\pi)) = 2h(\\pi) = \\frac{20}{\\pi} > 0\\]\n\nTę obserwację widać też na rysunku - wykres hiperboli leży w I i III ćwiartce (bo \\(a = 10 > 0\\)), więc wartości dla \\(x > 0\\) są dodatnie, a dla \\(x < 0\\) - ujemne.\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - rozwiązanie opiera się na definicji funkcji, podstawieniu punktu do wzoru oraz analizie znaku iloczynu/ilorazu. Wystarczy znajomość elementarnych działań na ułamkach i rozwiązywania nierówności z nieznaną w mianowniku.\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy nierówności \\(\\frac{10}{x} > 5\\) **nie wolno** od razu mnożyć obu stron przez \\(x\\), bo nie znamy znaku \\(x\\). To najczęstszy błąd w tym typie zadania - prowadzi do pominięcia jednego przypadku lub błędnego odwrócenia nierówności.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** W części b) uczniowie często liczą \\(h(\\pi)\\) i \\(h(-\\pi)\\) oddzielnie i mylą się przy odejmowaniu liczb ujemnych: \\(\\frac{10}{\\pi} - \\left(-\\frac{10}{\\pi}\\right)\\) to **dodawanie**, nie odejmowanie!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Rozwiązaniem nierówności jest **przedział otwarty** \\((0, 2)\\) - bez punktu \\(x = 0\\) (bo funkcja tam nie istnieje) i bez \\(x = 2\\) (bo \\(h(2) = 5\\), a szukamy \\(h(x) > 5\\), czyli ostrej nierówności).\n\n**Poprawne odpowiedzi:** a) \\(a = 10\\); b) \\(h(\\pi) - h(-\\pi) > 0\\); c) \\(x \\in (0, 2)\\).\n\n### Sposób 1 - Wyznaczenie \\(a\\) i analiza funkcji \\(\\dfrac{10}{x}\\)\n**a) Wyznaczenie \\(a\\):**\nPunkt \\(P = (2, 5)\\) należy do wykresu \\(h(x) = \\dfrac{a}{x}\\):\n\\[5 = \\dfrac{a}{2} \\Rightarrow a = 10.\\]\nZatem \\(h(x) = \\dfrac{10}{x}\\).\n\n**b) Znak \\(h(\\pi) - h(-\\pi)\\):**\n\\[h(\\pi) = \\dfrac{10}{\\pi} > 0\\]\n\\[h(-\\pi) = \\dfrac{10}{-\\pi} = -\\dfrac{10}{\\pi} < 0.\\]\n\\[h(\\pi) - h(-\\pi) = \\dfrac{10}{\\pi} - \\left(-\\dfrac{10}{\\pi}\\right) = \\dfrac{20}{\\pi} > 0.\\]\n\nLiczba \\(h(\\pi) - h(-\\pi)\\) jest **dodatnia**.\n\n**c) Nierówność \\(h(x) > 5\\):**\n\\[\\dfrac{10}{x} > 5.\\]\n\n**Przypadek 1:** \\(x > 0\\). Mnożymy obustronnie przez \\(x > 0\\) (bez zmiany znaku):\n\\[10 > 5x \\Rightarrow x < 2.\\]\nZ warunku \\(x > 0\\): \\(x \\in (0, 2)\\).\n\n**Przypadek 2:** \\(x < 0\\). Mnożymy przez \\(x < 0\\) (zmiana znaku):\n\\[10 < 5x \\Rightarrow x > 2.\\]\nSprzeczność z \\(x < 0\\) - brak rozwiązań.\n\n**Rozwiązanie:** \\(x \\in (0, 2)\\).\n\n### Sposób 2 - Graficznie (c)\nFunkcja \\(h(x) = \\dfrac{10}{x}\\) jest malejąca na \\((-\\infty, 0)\\) i na \\((0, +\\infty)\\) osobno. Wartość \\(5\\) osiąga w \\(x = 2\\). Na prawej gałęzi hiperboli (\\(x > 0\\)) dla \\(x < 2\\) wartości są **większe** od \\(5\\) (funkcja malejąca). Dla \\(x > 2\\) wartości \\(< 5\\). Dla \\(x < 0\\) wartości są ujemne → nigdy nie są \\(> 5\\).\n\nStąd \\(h(x) > 5 \\iff x \\in (0, 2)\\).\n\n### Komentarz dydaktyczny\nPrzy rozwiązywaniu nierówności z niewiadomą w mianowniku **nigdy** nie mnóż od razu przez mianownik - wprowadzi to błędy znaku dla ujemnego mianownika. Zawsze rozważ osobno przypadki \\(x > 0\\) i \\(x < 0\\), albo przekształć do postaci \\(\\dfrac{P(x)}{Q(x)} > 0\\) i analizuj znaki.","image":"img/matematyka-2008-maj-matura-podstawowa/zad-10.webp","solution_image":"img/matematyka-2008-maj-matura-podstawowa/sol-10.svg","topics":"funkcje","page_from":14,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2008 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2008-maj-matura-podstawowa/zad/11","paper_id":"matematyka-2008-maj-matura-podstawowa","number":"11","points":5,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2008,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 11. (5 pkt)\nPole powierzchni bocznej ostrosłupa prawidłowego trójkątnego równa się\n2 15\n4\na\n, gdzie\na oznacza długość krawędzi podstawy tego ostrosłupa. Zaznacz na poniższym rysunku kąt\nnachylenia ściany bocznej ostrosłupa do płaszczyzny jego podstawy. Miarę tego kąta oznacz\nsymbolem β . Oblicz cos β i korzystając z tablic funkcji trygonometrycznych odczytaj\nprzybliżoną wartość β z dokładnością do 1°.\n\nPoziom podstawowy\n17\nNr zadania\n11.1\n11.2\n11.3\n11.4\n11.5\nMaks. liczba pkt\n1\n1\n1\n1\n1\nWypełnia\negzaminator! Uzyskana liczba pkt\n\nPoziom podstawowy\n18\nPole powierzchni bocznej ostrosłupa prawidłowego trójkątnego równa się a^2sqrt{15}/4, gdzie a oznacza długość krawędzi podstawy tego ostrosłupa. Zaznacz na poniższym rysunku kąt nachylenia ściany bocznej ostrosłupa do płaszczyzny jego podstawy. Miarę tego kąta oznacz symbolem beta. Oblicz cos beta i korzystając z tablic funkcji trygonometrycznych odczytaj przybliżoną wartość beta z dokładnością do 1 stopnia. Matura 2008.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 11. (5 pkt)\nPole powierzchni bocznej ostrosłupa prawidłowego trójkątnego równa się\n2 15\n4\na\n, gdzie\na oznacza długość krawędzi podstawy tego ostrosłupa. Zaznacz na poniższym rysunku kąt\nnachylenia ściany bocznej ostrosłupa do płaszczyzny jego podstawy. Miarę tego kąta oznacz\nsymbolem β . Oblicz cos β i korzystając z tablic funkcji trygonometrycznych odczytaj\nprzybliżoną wartość β z dokładnością do 1°.\nNa rysunku zaznaczam kąt nachylenia ściany bocznej ostrosłupa do płaszczyzny\npodstawy - β (punkt D jest środkiem odcinka BC).\nβ\nh\nx\nh\nx\nA\nB\nC\nS\nO\nD\na\nPoziom podstawowy\n13\nWprowadzam oznaczenie: h - wysokość ściany bocznej.\nZapisuję równanie opisujące pole powierzchni bocznej ostrosłupa:\n2\n1\n15\n3 2\n4\na\na h\n⋅\n⋅\n, z którego wyznaczam wysokość ściany bocznej ostrosłupa\n15\n6\na\nh =\nZ trójkąta prostokątnego SOD, w którym\n3\n6\na\nx\nOD\n- długość promienia\nokręgu wpisanego w podstawę ostrosłupa otrzymuję: cos\nx\nh\nβ =\n3\n5\n6\ncos\n0,4472\n5\n15\n6\n≈\na\nx\nh\na\nβ\nZ tablicy wartości funkcji trygonometrycznych odczytuję miarę kąta:\n63\nβ =\nD .\nPoziom podstawowy\n14","solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(\\cos\\beta = \\dfrac{\\sqrt{5}}{5} \\approx 0{,}4472\\), \\(\\beta \\approx 63°\\)\n\n## Sposób 1 - wyznaczenie \\(\\cos\\beta\\) wprost przez apotemy\n\n**Krok 1: Wyznacz apotema ściany bocznej \\(l\\) z pola powierzchni bocznej**\n\nOstrosłup prawidłowy trójkątny ma **3 ściany boczne** - każda to trójkąt równoramienny o podstawie \\(a\\) i wysokości \\(l\\) (apotema ściany bocznej = odległość od wierzchołka ostrosłupa do środka krawędzi podstawy).\n\nPole powierzchni bocznej:\n\\[P_b = 3 \\cdot \\frac{1}{2} \\cdot a \\cdot l = \\frac{3al}{2}\\]\n\nPrzyrównujemy do danego wyrażenia:\n\\[\\frac{3al}{2} = \\frac{a^2\\sqrt{15}}{4}\\]\n\\[l = \\frac{a^2\\sqrt{15}}{4} \\cdot \\frac{2}{3a} = \\frac{a\\sqrt{15}}{6}\\]\n\n**Krok 2: Wyznacz apotema podstawy \\(r\\)**\n\nPodstawa to trójkąt równoboczny o boku \\(a\\). Z karty wzorów (Dział 10):\n\\[h_{\\text{trójkąta}} = \\frac{a\\sqrt{3}}{2}\\]\n\nApotema (promień okręgu wpisanego) podstawy:\n\\[r = \\frac{h_{\\text{trójkąta}}}{3} = \\frac{a\\sqrt{3}}{6}\\]\n\n**Krok 3: Zidentyfikuj kąt \\(\\beta\\)**\n\nKąt nachylenia ściany bocznej do podstawy to **kąt dwuścienny** wzdłuż krawędzi podstawy. Mierzymy go w przekroju prostopadłym do tej krawędzi, przechodzącej przez środek \\(M\\) krawędzi podstawy.\n\nW trójkącie prostokątnym \\(OMS\\) (kąt prosty przy \\(O\\)):\n- \\(OM = r\\) - apotema podstawy (od środka \\(O\\) do środka krawędzi \\(M\\))\n- \\(SM = l\\) - apotema ściany bocznej (od wierzchołka \\(S\\) do środka krawędzi \\(M\\))\n- \\(\\beta = \\angle OMS\\)\n\n\\[\\cos\\beta = \\frac{OM}{SM} = \\frac{r}{l} = \\frac{\\dfrac{a\\sqrt{3}}{6}}{\\dfrac{a\\sqrt{15}}{6}} = \\frac{\\sqrt{3}}{\\sqrt{15}} = \\sqrt{\\frac{3}{15}} = \\sqrt{\\frac{1}{5}} = \\frac{1}{\\sqrt{5}}\\]\n\n\\[\\boxed{\\cos\\beta = \\frac{\\sqrt{5}}{5} \\approx 0{,}4472}\\]\n\nZ tablic trygonometrycznych (s. 34 karty): \\(\\cos 63° \\approx 0{,}4540\\), \\(\\cos 64° \\approx 0{,}4384\\) - bliżej \\(63°\\).\n\n\\[\\boxed{\\beta \\approx 63°}\\]\n\n## Sposób 2 - przez wysokość ostrosłupa i \\(\\operatorname{tg}\\beta\\)\n\nZ trójkąta prostokątnego \\(OMS\\) (twierdzenie Pitagorasa):\n\\[H^2 = l^2 - r^2 = \\frac{15a^2}{36} - \\frac{3a^2}{36} = \\frac{12a^2}{36} = \\frac{a^2}{3}\\]\n\\[H = \\frac{a}{\\sqrt{3}} = \\frac{a\\sqrt{3}}{3}\\]\n\nKąt \\(\\beta\\) to kąt przy \\(M\\) w trójkącie prostokątnym, więc:\n\\[\\operatorname{tg}\\beta = \\frac{H}{r} = \\frac{\\dfrac{a\\sqrt{3}}{3}}{\\dfrac{a\\sqrt{3}}{6}} = \\frac{a\\sqrt{3}}{3} \\cdot \\frac{6}{a\\sqrt{3}} = 2\\]\n\nNastępnie:\n\\[\\cos\\beta = \\frac{1}{\\sqrt{1 + \\operatorname{tg}^2\\beta}} = \\frac{1}{\\sqrt{1 + 4}} = \\frac{1}{\\sqrt{5}} = \\frac{\\sqrt{5}}{5}\\]\n\nWynik identyczny - **potwierdzone**.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 10 (Planimetria - Trójkąt równoboczny, s. 15-16)**:\n\\[h = \\frac{a\\sqrt{3}}{2}, \\quad r = \\frac{h}{3} = \\frac{a\\sqrt{3}}{6}\\]\nUżyliśmy do wyznaczenia apotemy podstawy ostrosłupa.\n\n**Dział 12 (Stereometria - Ostrosłup, s. 26-28)**:\n\\[P_b = \\frac{1}{2} \\cdot \\text{obwód podstawy} \\cdot l\\]\n- gdzie \\(l\\) to apotema boczna. Użyliśmy do wyznaczenia \\(l\\) z danego pola \\(P_b\\).\n\n**Dział 10 (Planimetria - Twierdzenie Pitagorasa, s. 15)**:\n\\[a^2 + b^2 = c^2\\]\nUżyliśmy w trójkącie \\(OMS\\) do wyznaczenia \\(H\\) (Sposób 2).\n\n**Dział 17 (Tablice funkcji trygonometrycznych, s. 34)**:\nOdczyt \\(\\beta\\) z wartości \\(\\cos\\beta \\approx 0{,}4472\\).\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Apotema ściany bocznej \\(l\\) (slant height = odległość od wierzchołka do środka krawędzi podstawy) to **nie** to samo co krawędź boczna \\(e\\) (odległość od wierzchołka do narożnika). Kąt \\(\\beta\\) mierzymy właśnie przez \\(l\\), nie przez \\(e\\)!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Kąt \\(\\beta\\) to kąt przy \\(M\\) (środku krawędzi podstawy), czyli \\(\\angle OMS\\), nie kąt przy \\(O\\). Łatwo pomylić, co jest przyprostokątną, a co jest przeciwprostokątną - tu \\(l = SM\\) to przeciwprostokątna, \\(r = OM\\) to przyprostokątna.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Apotema podstawy \\(r = \\frac{a\\sqrt{3}}{6}\\) (inradius), a nie \\(R = \\frac{a\\sqrt{3}}{3}\\) (circumradius). Mylenie \\(r\\) z \\(R\\) da błędną wartość \\(\\cos\\beta\\).\n\n**Poprawne odpowiedzi:** \\(\\cos\\beta = \\dfrac{\\sqrt{5}}{5} \\approx 0{,}4472\\); \\(\\beta \\approx 63^{\\circ}\\).\n\n### Sposób 1 - Wykorzystanie pola powierzchni bocznej i promienia okręgu wpisanego\n**Oznaczenia:**\n- \\(a\\) - długość krawędzi podstawy (trójkąt równoboczny),\n- \\(h\\) - wysokość ściany bocznej (apotema ostrosłupa),\n- \\(O\\) - spodek wysokości ostrosłupa, \\(D\\) - środek krawędzi \\(BC\\),\n- \\(x = |OD|\\) - promień okręgu wpisanego w podstawę,\n- \\(\\beta = \\angle SDO\\) - kąt nachylenia ściany bocznej do podstawy.\n\n**Krok 1 - wysokość ściany bocznej (\\(h\\)).**\nPole powierzchni bocznej = suma 3 ścian bocznych:\n\\[P_b = 3\\cdot\\dfrac{1}{2}\\cdot a\\cdot h = \\dfrac{3ah}{2}.\\]\n\nZ warunku \\(P_b = \\dfrac{a^{2}\\sqrt{15}}{4}\\):\n\\[\\dfrac{3ah}{2} = \\dfrac{a^{2}\\sqrt{15}}{4}\\]\n\\[h = \\dfrac{a^{2}\\sqrt{15}}{4}\\cdot\\dfrac{2}{3a} = \\dfrac{a\\sqrt{15}}{6}.\\]\n\n**Krok 2 - promień okręgu wpisanego w trójkąt równoboczny:**\n\\[x = |OD| = \\dfrac{a\\sqrt{3}}{6}.\\]\n\n**Krok 3 - cosinus kąta \\(\\beta\\).**\nW trójkącie prostokątnym \\(SOD\\) z przeciwprostokątną \\(SD = h\\) i przyprostokątną \\(OD = x\\):\n\\[\\cos\\beta = \\dfrac{x}{h} = \\dfrac{\\tfrac{a\\sqrt{3}}{6}}{\\tfrac{a\\sqrt{15}}{6}} = \\dfrac{\\sqrt{3}}{\\sqrt{15}} = \\sqrt{\\dfrac{3}{15}} = \\sqrt{\\dfrac{1}{5}} = \\dfrac{1}{\\sqrt{5}} = \\dfrac{\\sqrt{5}}{5}.\\]\n\n**Krok 4 - wartość liczbowa.**\n\\[\\cos\\beta = \\dfrac{\\sqrt{5}}{5} \\approx \\dfrac{2{,}2361}{5} \\approx 0{,}4472.\\]\n\nZ tablic: \\(\\cos 63^{\\circ} \\approx 0{,}4540\\), \\(\\cos 64^{\\circ} \\approx 0{,}4384\\). Wartość \\(0{,}4472\\) leży między nimi, bliżej \\(63^{\\circ}\\), więc:\n\\[\\beta \\approx 63^{\\circ}.\\]\n\n### Sposób 2 - Wyznaczenie \\(\\beta\\) przez pole ściany\nPole jednej ściany bocznej: \\(P_{\\text{ściana}} = \\dfrac{1}{3}\\cdot\\dfrac{a^{2}\\sqrt{15}}{4} = \\dfrac{a^{2}\\sqrt{15}}{12}\\).\n\nZ drugiej strony \\(P_{\\text{ściana}} = \\dfrac{1}{2}\\cdot a\\cdot h\\), stąd \\(h = \\dfrac{a\\sqrt{15}}{6}\\) (jak w Sposób 1).\n\n### Weryfikacja trójkąta \\(SOD\\)\nSprawdzamy, czy \\(h^{2} = x^{2} + H^{2}\\), gdzie \\(H\\) - wysokość ostrosłupa:\n\\[H^{2} = h^{2} - x^{2} = \\dfrac{15a^{2}}{36} - \\dfrac{3a^{2}}{36} = \\dfrac{12a^{2}}{36} = \\dfrac{a^{2}}{3}.\\]\n\\[H = \\dfrac{a}{\\sqrt{3}} = \\dfrac{a\\sqrt{3}}{3}.\\]\n\nDodatkowo \\(\\sin\\beta = \\dfrac{H}{h} = \\dfrac{a\\sqrt{3}/3}{a\\sqrt{15}/6} = \\dfrac{2\\sqrt{3}}{\\sqrt{15}} = \\dfrac{2}{\\sqrt{5}} = \\dfrac{2\\sqrt{5}}{5} \\approx 0{,}8944\\).\n\nSprawdzenie: \\(\\sin^{2}\\beta + \\cos^{2}\\beta = \\dfrac{4}{5} + \\dfrac{1}{5} = 1\\) ✓.\n\n### Komentarz dydaktyczny\nKąt nachylenia ściany bocznej do podstawy to kąt między **wysokością ściany** (apotemą) a **jej rzutem na podstawę** (promień okręgu wpisanego). Niezbędne fakty dla trójkąta równobocznego o boku \\(a\\): wysokość \\(\\tfrac{a\\sqrt{3}}{2}\\), promień okręgu wpisanego \\(\\tfrac{a\\sqrt{3}}{6}\\), okręgu opisanego \\(\\tfrac{a\\sqrt{3}}{3}\\).","image":"img/matematyka-2008-maj-matura-podstawowa/zad-11.webp","solution_image":"img/matematyka-2008-maj-matura-podstawowa/sol-11.svg","topics":"stereometria","page_from":16,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2008 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2008-maj-matura-podstawowa/zad/12","paper_id":"matematyka-2008-maj-matura-podstawowa","number":"12","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2008,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 12. (4 pkt)\nRzucamy dwa razy symetryczną sześcienną kostką do gry. Oblicz prawdopodobieństwo\nkażdego z następujących zdarzeń:\na) A - w każdym rzucie wypadnie nieparzysta liczba oczek.\nb) B - suma oczek otrzymanych w obu rzutach jest liczbą większą od 9.\nc) C - suma oczek otrzymanych w obu rzutach jest liczbą nieparzystą i większą od 9.\nNr zadania\n12.1\n12.2\n12.3\n12.4\nMaks. liczba pkt\n1\n1\n1\n1\nWypełnia\negzaminator! Uzyskana liczba pkt\n\nPoziom podstawowy\n19\nBRUDNOPIS\nRzucamy dwa razy symetryczną sześcienną kostką do gry. Oblicz prawdopodobieństwo każdego z następujących zdarzeń: a) A - w każdym rzucie wypadnie nieparzysta liczba oczek. b) B - suma oczek otrzymanych w obu rzutach jest liczbą większą od 9. c) C - suma oczek otrzymanych w obu rzutach jest liczbą nieparzystą i większą od 9.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 12. (4 pkt)\nRzucamy dwa razy symetryczną sześcienną kostką do gry. Oblicz prawdopodobieństwo\nkażdego z następujących zdarzeń:\na) A - w każdym rzucie wypadnie nieparzysta liczba oczek.\nb) B - suma oczek otrzymanych w obu rzutach jest liczbą większą od 9.\nc) C - suma oczek otrzymanych w obu rzutach jest liczbą nieparzystą i większą od 9.\nΩ dla tego doświadczenia jest zbiorem wszystkich uporządkowanych par,\nktórych wyrazy mogą się powtarzać i każdy z tych wyrazów może być jedną\nz liczb: 1, 2, 3, 4, 5, 6.\nMożna ten zbiór opisać w tabelce:\n1\n2\n3\n4\n5\n6\n1\n(1,1) (1,2)\n(1,3)\n(1,4)\n(1,5)\n(1,6)\n2\n(2,1) (2,2)\n(2,3)\n(2,4)\n(2,5)\n(2,6)\n3\n(3,1) (3,2)\n(3,3)\n(3,4)\n(3,5)\n(3,6)\n4\n(4,1) (4,2)\n(4,3)\n(4,4)\n(4,5)\n(4,6)\n5\n(5,1) (5,2)\n(5,3)\n(5,4)\n(5,5)\n(5,6)\n6\n(6,1) (6,2)\n(6,3)\n(6,4)\n(6,5)\n(6,6)\n26\n36\nΩ =\nZdarzeniu A sprzyja 9 zdarzeń elementarnych:\n(\n) (\n)(\n) (\n) (\n) (\n) (\n) (\n) (\n)\n{\n}\n1,1 , 1,3 1,5 , 3,1 , 3,3 , 3,5 , 5,1 , 5,3 , 5,5\nObliczam prawdopodobieństwo zdarzenia A: ( )\n9\n1\n36\n4\nP A =\nZdarzeniu B sprzyja 6 zdarzeń elementarnych. Łatwo je wypisać:\n(\n) (\n) (\n) (\n) (\n) (\n)\n{\n}\n6,6 , 6,5 , 6,4 , 5,6 , 5,5 , 4,6\nObliczam prawdopodobieństwo zdarzenia B: ( )\n6\n1\n36\n6\nP B =\nZdarzeniu C sprzyjają dwa zdarzenia elementarne: (\n) (\n)\n{\n}\n6,5 , 5,6\nObliczam prawdopodobieństwo zdarzenia C: ( )\n2\n1\n36\n18\nP C =\nPoziom podstawowy\n15\nBRUDNOPIS","solution":"a) $P(A) = \\dfrac{1}{4}$, b) $P(B) = \\dfrac{1}{6}$, c) $P(C) = \\dfrac{1}{18}$","image":"img/matematyka-2008-maj-matura-podstawowa/zad-12.webp","solution_image":"img/matematyka-2008-maj-matura-podstawowa/sol-12.svg","topics":"prawdopodobienstwo","page_from":18,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2008 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"}]}