{"paper":{"id":"matematyka-2008-maj-matura-rozszerzona","subject":"matematyka","category":"matura","year":2008,"month":"maj","level":"rozszerzona","variant":null,"exam_pdf":"matematyka-2008-maj-matura-rozszerzona/matematyka-2008-maj-matura-rozszerzona.pdf","key_pdf":"matematyka-2008-maj-matura-rozszerzona-odpowiedzi/matematyka-2008-maj-matura-rozszerzona-odpowiedzi.pdf","question_count":12,"source_label":"Matematyka · Matura · maj 2008 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},"questions":[{"id":"matematyka-2008-maj-matura-rozszerzona/zad/1","paper_id":"matematyka-2008-maj-matura-rozszerzona","number":"1","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2008,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 1. (4 pkt)\nWielomian f, którego fragment wykresu przedstawiono na poniższym rysunku spełnia\nwarunek\n(0)\n90\nf\n. Wielomian g dany jest wzorem\n( )\n3\n2\n14\n63\n90\ng x\nx\nx\nx\n. Wykaż,\nże ( )\n(\n)\ng x\nf\nx\ndla x\nR\n∈\nx\ny\nf\n-6\n-5\n-3\n1\n1\n0\n\nPoziom rozszerzony\n3\nNr zadania\n1.1\n1.2\n1.3\n1.4\nMaks. liczba pkt\n1\n1\n1\n1\nWypełnia\negzaminator! Uzyskana liczba pkt\n\nPoziom rozszerzony\n4\nWielomian f stopnia trzeciego, którego fragment wykresu przedstawiono na poniższym rysunku spełnia warunek f(0)=90. Wielomian g dany jest wzorem g(x)=x^3-14x^2+63x-90. Wykaż, że g(x)=-f(-x) dla x rzeczywistego. Zadanie z matury 2008. Wyznaczanie wzoru wielomianu.","answer":null,"answer_text":"1\n2\n1\n2","solution":"$-f(-x) = g(x)$ dla $x \\in R$","image":"img/matematyka-2008-maj-matura-rozszerzona/zad-1.webp","solution_image":"img/matematyka-2008-maj-matura-rozszerzona/sol-1.svg","topics":"wielomiany","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2008 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2008-maj-matura-rozszerzona/zad/2","paper_id":"matematyka-2008-maj-matura-rozszerzona","number":"2","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2008,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 2. (4 pkt)\nRozwiąż nierówność\n2\n3\n6\nx\nx\nx\n<\nNr zadania\n2.1\n2.2\n2.3\n2.4\nMaks. liczba pkt\n1\n1\n1\n1\nWypełnia\negzaminator! Uzyskana liczba pkt\n\nPoziom rozszerzony\n5\nRozwiąż nierówność |x-2|+|3x-6|<|x|. Matura 2008. Poziom rozszerzony.","answer":null,"answer_text":"","solution":"$x \\in \\left(\\dfrac{8}{5}, \\dfrac{8}{3}\\right)$","image":"img/matematyka-2008-maj-matura-rozszerzona/zad-2.webp","solution_image":"img/matematyka-2008-maj-matura-rozszerzona/sol-2.svg","topics":"bezwgledna","page_from":4,"source":"zadaniazmatur","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2008 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2008-maj-matura-rozszerzona/zad/3","paper_id":"matematyka-2008-maj-matura-rozszerzona","number":"3","points":5,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2008,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 3. (5 pkt)\nLiczby\n1\n5\n23\nx =\ni\n2\n5\n23\nx =\nsą rozwiązaniami równania\n(\n)\n(\n)\n2\n2\n2\n0\nx\np\nq\nx\np\nq\nz niewiadomą x. Oblicz wartości p i q .\nNr zadania\n3.1\n3.2\n3.3\n3.4\n3.5\nMaks. liczba pkt\n1\n1\n1\n1\n1\nWypełnia\negzaminator! Uzyskana liczba pkt\n\nPoziom rozszerzony\n6\nZadanie. Liczby x_1=5+p{23} i x_2=5-p{23} są rozwiązaniami równania x^2-(p^2+q^2)x+(p+q)=0 z niewiadomą x. Oblicz wartości p i q. Rozwiązywanie równania kwadratowego. Znajdowanie pierwiastków równania kwadratowego. Wzory Viete'a. Matura 2008.","answer":null,"answer_text":"6\n= ⋅\n3\nx\n2\n, więc nierówność przyjmuje postać: 4\nx\n2\n<\nx","solution":"$p = 3, q = -1$ lub $p = -1, q = 3$","image":"img/matematyka-2008-maj-matura-rozszerzona/zad-3.webp","solution_image":"img/matematyka-2008-maj-matura-rozszerzona/sol-3.svg","topics":"rownania_i_nierownosci","page_from":5,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2008 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2008-maj-matura-rozszerzona/zad/4","paper_id":"matematyka-2008-maj-matura-rozszerzona","number":"4","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2008,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 4. (4 pkt)\nRozwiąż równanie\n2\n4cos\n4sin\n1\nx\nx\n+ w przedziale 0,2π .\nNr zadania\n4.1\n4.2\n4.3\n4.4\nMaks. liczba pkt\n1\n1\n1\n1\nWypełnia\negzaminator! Uzyskana liczba pkt\n\nPoziom rozszerzony\n7\nRozwiąż równanie 4cos^2x=4sin x+1 w przedziale <0,2pi>. Matura 2008. Zadanie. Funkcje trygonometryczne.","answer":null,"answer_text":"","solution":"$x = \\dfrac{\\pi}{6}$ lub $x = \\dfrac{5\\pi}{6}$","image":"img/matematyka-2008-maj-matura-rozszerzona/zad-4.webp","solution_image":"img/matematyka-2008-maj-matura-rozszerzona/sol-4.svg","topics":"trygonometria","page_from":6,"source":"zadaniazmatur","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2008 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2008-maj-matura-rozszerzona/zad/5","paper_id":"matematyka-2008-maj-matura-rozszerzona","number":"5","points":5,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2008,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 5. (5 pkt)\nDane jest równanie 2\n3\np\nx +\nz niewiadomą x. Wyznacz liczbę rozwiązań tego równania\nw zależności od parametru p.\nNr zadania\n5.1\n5.2\n5.3\n5.4\n5.5\nMaks. liczba pkt\n1\n1\n1\n1\n1\nWypełnia\negzaminator! Uzyskana liczba pkt\n\nPoziom rozszerzony\n8\nDane jest równanie |2/x + 3|=p$ z niewiadomą x. Wyznacz liczbę rozwiązań tego równania w zależności od parametru p. Rysowanie wykresu funkcji i przesuwanie go do góry. Odczytywanie ile równanie ma rozwiązań na podstawie wykresu funkcji. Matura rozszerzona 2008. Zadanie.","answer":null,"answer_text":null,"solution":"dla $p < 0$ brak rozwiązań, dla $p \\in \\{0, 3\\}$ jedno rozwiązanie, dla $p \\in (0, 3) \\cup (3, \\infty)$ dwa rozwiązania","image":"img/matematyka-2008-maj-matura-rozszerzona/zad-5.webp","solution_image":"img/matematyka-2008-maj-matura-rozszerzona/sol-5.svg","topics":"parametr","page_from":7,"source":"zadaniazmatur","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2008 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2008-maj-matura-rozszerzona/zad/6","paper_id":"matematyka-2008-maj-matura-rozszerzona","number":"6","points":3,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2008,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 6. (3 pkt)\nUdowodnij, że jeżeli ciąg (\n)\n, ,\na b c jest jednocześnie arytmetyczny i geometryczny,\nto a\nb\nc\nNr zadania\n6.1\n6.2\n6.3\nMaks. liczba pkt\n1\n1\n1\nWypełnia\negzaminator! Uzyskana liczba pkt\n\nPoziom rozszerzony\n9\nUdowodnij, że jeżeli ciąg (a, b, c) jest jednocześnie arytmetyczny i geometryczny, to a=b=c. Matura rozszerzona 2008. Zadanie. Własność ciągu arytmetycznego.","answer":null,"answer_text":"","solution":"Dowód","image":"img/matematyka-2008-maj-matura-rozszerzona/zad-6.webp","solution_image":"img/matematyka-2008-maj-matura-rozszerzona/sol-6.svg","topics":"ciagi","page_from":8,"source":"zadaniazmatur","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2008 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2008-maj-matura-rozszerzona/zad/7","paper_id":"matematyka-2008-maj-matura-rozszerzona","number":"7","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2008,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 7. (4 pkt)\nUzasadnij, że każdy punkt paraboli o równaniu\n1\n4\n1\n2 +\nx\ny\njest równoodległy od osi Ox i od\npunktu\n)\n2\n,0\n(\nF\nNr zadania\n7.1\n7.2\n7.3\n7.4\nMaks. liczba pkt\n1\n1\n1\n1\nWypełnia\negzaminator! Uzyskana liczba pkt\n\nPoziom rozszerzony\n10\nUzasadnij, że każdy punkt paraboli o równaniu y={1/4}x^2+1 jest równoodległy od osi Ox i od punktu F=(0,2). Matura rozszerzona z 2008. Zadanie. Liczenie odległości między punktami.","answer":null,"answer_text":"2,6458","solution":"Dowód","image":"img/matematyka-2008-maj-matura-rozszerzona/zad-7.webp","solution_image":"img/matematyka-2008-maj-matura-rozszerzona/sol-7.svg","topics":"analityczna","page_from":9,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2008 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2008-maj-matura-rozszerzona/zad/8","paper_id":"matematyka-2008-maj-matura-rozszerzona","number":"8","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2008,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 8. (4 pkt)\nWyznacz współrzędne środka jednokładności, w której obrazem okręgu o równaniu\n(\n)\n2\n2\n16\n4\nx\ny\njest okrąg o równaniu (\n)\n(\n)\n2\n2\n6\n4\n16\nx\ny\n, a skala tej jednokładności\njest liczbą ujemną.\n\nPoziom rozszerzony\n11\nNr zadania\n8.1\n8.2\n8.3\n8.4\nMaks. liczba pkt\n1\n1\n1\n1\nWypełnia\negzaminator! Uzyskana liczba pkt\n\nPoziom rozszerzony\n12\nWyznacz, współrzędne środka jednokładności, w której obrazem okręgu o równaniu (x-16)^2+y^2=4jest okrąg o równaniu (x-6)^2+(y-4)^2=16, a skala tej jednokładności jest liczbą ujemną. Równanie okręgu. Twierdzenie Talesa. Zadanie z matury rozszerzonej 2008.","answer":null,"answer_text":"","solution":"$S = \\left(\\dfrac{38}{3}, \\dfrac{4}{3}\\right)$","image":"img/matematyka-2008-maj-matura-rozszerzona/zad-8.webp","solution_image":"img/matematyka-2008-maj-matura-rozszerzona/sol-8.svg","topics":"analityczna","page_from":10,"source":"zadaniazmatur","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2008 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2008-maj-matura-rozszerzona/zad/9","paper_id":"matematyka-2008-maj-matura-rozszerzona","number":"9","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2008,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 9. (4 pkt)\nWyznacz dziedzinę i najmniejszą wartość funkcji\n( )\n(\n)\n2\n2\n2\nlog\n8\nf x\nx\nx\nNr zadania\n9.1\n9.2\n9.3\n9.4\nMaks. liczba pkt\n1\n1\n1\n1\nWypełnia\negzaminator! Uzyskana liczba pkt\n\nPoziom rozszerzony\n13\nWyznacz dziedzinę i najmniejszą wartość funkcji f(x)=\\log_{p2\\o2}(8x-x^2). Dziedzina logarytmu. Matura rozszerzona z 2008.","answer":null,"answer_text":"12\n2\n15\ni korzystając z wyznaczonej","solution":"Dziedzina: $x \\in (0, 8)$, najmniejsza wartość: $-8$","image":"img/matematyka-2008-maj-matura-rozszerzona/zad-9.webp","solution_image":"img/matematyka-2008-maj-matura-rozszerzona/sol-9.svg","topics":"logarytmy","page_from":12,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2008 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2008-maj-matura-rozszerzona/zad/10","paper_id":"matematyka-2008-maj-matura-rozszerzona","number":"10","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2008,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 10. (4 pkt)\nZ pewnej grupy osób, w której jest dwa razy więcej mężczyzn niż kobiet, wybrano losowo\ndwuosobową delegację. Prawdopodobieństwo tego, że w delegacji znajdą się tylko kobiety\njest równe 0,1. Oblicz, ile kobiet i ilu mężczyzn jest w tej grupie.\nNr zadania\n10.1\n10.2\n10.3\n10.4\nMaks. liczba pkt\n1\n1\n1\n1\nWypełnia\negzaminator! Uzyskana liczba pkt\n\nPoziom rozszerzony\n14\nZ pewnej grupy osób, w której jest dwa razy więcej mężczyzn niż kobiet, wybrano losowo dwuosobową delegację. Prawdopodobieństwo tego, że w delegacji znajdują się tylko kobiety jest równe 0,1. Oblicz, ile kobiet i ilu mężczyzn jest w grupie. Matura rozszerzona z 2008. Kombinacje.","answer":null,"answer_text":"","solution":"7 kobiet i 14 mężczyzn","image":"img/matematyka-2008-maj-matura-rozszerzona/zad-10.webp","solution_image":"img/matematyka-2008-maj-matura-rozszerzona/sol-10.svg","topics":"prawdopodobienstwo","page_from":13,"source":"zadaniazmatur","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2008 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2008-maj-matura-rozszerzona/zad/11","paper_id":"matematyka-2008-maj-matura-rozszerzona","number":"11","points":5,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2008,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 11. (5 pkt)\nW ostrosłupie prawidłowym czworokątnym dane są: H - wysokość ostrosłupa oraz\nα - miara kąta utworzonego przez krawędź boczną i krawędź podstawy (45\n90\nα\n<\n<\nD\nD ).\na) Wykaż, że objętość V tego ostrosłupa jest równa\n3\n2\n4\n3 tg\n1\nH\nα\n⋅\nb) Oblicz miarę kąta α , dla której objętość V danego ostrosłupa jest równa\n3\n2\n9 H . Wynik\npodaj w zaokrągleniu do całkowitej liczby stopni.\nH\nα\n\nPoziom rozszerzony\n15\nNr zadania\n11.1\n11.2\n11.3\n11.4\n11.5\nMaks. liczba pkt\n1\n1\n1\n1\n1\nWypełnia\negzaminator! Uzyskana liczba pkt\n\nPoziom rozszerzony\n16\nW ostrosłupie prawidłowym czworokątnym dane są: H - wysokość ostrosłupa oraz alpha - miara kąta utworzonego przez krawędź boczną i krawędź podstawy (45<alfa<90). a) Wykaż, że objętość V tego ostrosłupa jest równa $4/3 * H^3/tg^2 alfa - 1. Oblicz miarę kąta alfa, dla którego objętość V danego ostrosłupa jest równa 2/9H^3. Matura z matematyki rozszerzona 2008.","answer":null,"answer_text":null,"solution":"b) $\\alpha = 69^\\circ$","image":"img/matematyka-2008-maj-matura-rozszerzona/zad-11.webp","solution_image":"img/matematyka-2008-maj-matura-rozszerzona/sol-11.svg","topics":"stereometria","page_from":14,"source":"zadaniazmatur","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2008 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2008-maj-matura-rozszerzona/zad/12","paper_id":"matematyka-2008-maj-matura-rozszerzona","number":"12","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2008,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 12. (4 pkt)\nW trójkącie prostokątnym ABC przyprostokątne mają długości:\n9\nBC =\n,\n12\nCA =\n. Na boku\nAB wybrano punkt D tak, że odcinki BC i CD mają równe długości. Oblicz długość\nodcinka AD .\n\nPoziom rozszerzony\n17\nNr zadania\n12.1\n12.2\n12.3\n12.4\nMaks. liczba pkt\n1\n1\n1\n1\nWypełnia\negzaminator! Uzyskana liczba pkt\n\nPoziom rozszerzony\n18\nBRUDNOPIS\nW trójkącie prostokątnym ABC przyprostokątne mają długości: |BC|=9, |CA|=12. Na boku AB wybrano punkt D tak, że odcinki BC i CD mają równe długości. Oblicz długość odcinka AD.","answer":null,"answer_text":"","solution":"$|AD| = 4\\dfrac{1}{5}$","image":"img/matematyka-2008-maj-matura-rozszerzona/zad-12.webp","solution_image":"img/matematyka-2008-maj-matura-rozszerzona/sol-12.svg","topics":"planimetria","page_from":16,"source":"zadaniazmatur","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2008 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"}]}