{"paper":{"id":"matematyka-2008-marzec-probna-podstawowa-2","subject":"matematyka","category":"probna","year":2008,"month":"marzec","level":"podstawowa","variant":null,"exam_pdf":"matematyka-2008-marzec-probna-podstawowa-2/matematyka-2008-marzec-probna-podstawowa-2.pdf","key_pdf":"matematyka-2008-marzec-probna-podstawowa-odpowiedzi-2/matematyka-2008-marzec-probna-podstawowa-odpowiedzi-2.pdf","question_count":11,"source_label":"Matematyka · Matura próbna · marzec 2008 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},"questions":[{"id":"matematyka-2008-marzec-probna-podstawowa-2/zad/1","paper_id":"matematyka-2008-marzec-probna-podstawowa-2","number":"1","points":6,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2008,"month":"marzec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 1. (6 pkt)\nNa rysunku jest przedstawiony wykres funkcji f.\na) Podaj dziedzinę funkcji f.\nb) Podaj wszystkie miejsca zerowe funkcji f.\nc) Odczytaj wartość funkcji f dla argumentu\n5\nx\nd) Podaj zbiór wartości funkcji f.\ne) Podaj maksymalny przedział o długości 3, w którym funkcja f jest rosnąca.\nf) Zapisz w postaci sumy przedziałów zbiór wszystkich argumentów, dla których funkcja f\nprzyjmuje wartości ujemne.\nx\ny\n0\n1\n1\n2\n3\n6\n4\n5\n2\n3\n4\n5\n6\n7\n8\n9\n-1\n-1\n-2\n-2\n-3\n-3\n-4\n-5\n-6\n-7\n-8\nPrzykładowy zestaw zadań nr 2 z matematyki\nPoziom podstawowy\n3","answer":null,"answer_text":"1.1\nPodanie dziedziny funkcji f:\n8\n,6\n1\n1.2\nPodanie wszystkich miejsc zerowych funkcji f:\n6\n,3\n,2\nx\nx\nx\n1\n1.3\nPodanie wartości funkcji f dla argumentu\n5\nx\n: ( )\n1\n5\nf\n1\n1.4\nPodanie zbioru wartości funkcji f:\n6\n,2\n1\n1.5\nPodanie przedziału o długości 3, w którym funkcja f jest rosnąca: 5, 8 .\n1\n1\n1.6\nZapisanie zbioru wszystkich argumentów, dla których funkcja f przyjmuje\nwartości ujemne:\n(\n)\n(\n)\n2,3\n3,6\nx∈-\n∪\n1\n2.1\nZapisanie, że pierwsza współrzędna wierzchołka paraboli będącej wykresem\nfunkcji f jest równa 2 i należy do przedziału\n5\n,0\n1\nPrzyznajemy punkt, gdy\nzdający zapisze\n2\nw\nx =\n2.2\nObliczenie najmniejszej wartości funkcji f w przedziale\n5\n,0\n: ( )\n0\n2 =\nf\n1\n2.3\nObliczenie największej wartości funkcji f w przedziale\n5\n,0\n: ( )\n9\n5 =\nf\n1\n2.4\nPrzekształcenie lewej strony nierówności do postaci iloczynowej\n(\n) (\n)\n2\n1\n0\nx\nx\n⋅\n≥\ni podanie miejsc zerowych:\n1\nx = lub\n2\nx =\n,\n(albo wyznaczenie pierwiastków trójmianu\n2\n3\n2\ny\nx\nx\n).\n1\n2\n2.5\nZapisanie zbioru rozwiązań nierówności: (\n)\n,1\n2,\n-∞\n∪\n∞.\n1\n3.1\nZapisanie układu równań wynikających z treści zadania:\n7\n3\nx\ny\nx\ny\n⎧+\n⎪⎨\n⎪⎩\n1\n3.2\nRozwiązanie układu równań:\n7\n3\n2\nx\ni\n7\n3\n2\ny\n2\n3\n3.3\nObliczenie iloczynu szukanych liczb:\n1\nx y\n⋅\n1\nPrzykładowy zestaw zadań nr 2 z matematyki\nOdpowiedzi i schemat punktowania - poziom podstawowy\n2","solution":null,"image":"img/matematyka-2008-marzec-probna-podstawowa-2/zad-1.webp","solution_image":null,"topics":"funkcje","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · marzec 2008 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2008-marzec-probna-podstawowa-2/zad/2","paper_id":"matematyka-2008-marzec-probna-podstawowa-2","number":"2","points":5,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2008,"month":"marzec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 2. (5 pkt)\nFunkcja kwadratowa f jest określona wzorem\n( )\n(\n)\n2\n2\nf x\nx\na) Wyznacz najmniejszą i największą wartość funkcji f w przedziale 0, 5 .\nb) Rozwiąż nierówność\n( ) (\n)\n2\n0\nf x\nx\n≥\nPrzykładowy zestaw zadań nr 2 z matematyki\nPoziom podstawowy\n4","answer":null,"answer_text":null,"solution":null,"image":"img/matematyka-2008-marzec-probna-podstawowa-2/zad-2.webp","solution_image":null,"topics":"funkcje","page_from":3,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · marzec 2008 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2008-marzec-probna-podstawowa-2/zad/3","paper_id":"matematyka-2008-marzec-probna-podstawowa-2","number":"3","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2008,"month":"marzec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 3. (4 pkt)\nSuma dwóch liczb jest równa\n7 , a ich różnica 3 . Oblicz iloczyn tych liczb.\nPrzykładowy zestaw zadań nr 2 z matematyki\nPoziom podstawowy\n5","answer":null,"answer_text":"3.1\nII sposób rozwiązania:\nZapisanie układu równań wynikających z treści zadania:\n7\n3\nx\ny\nx\ny\n⎧+\n⎪⎨\n⎪⎩\n1\n3.2\nPodniesienie stron każdego z równań do kwadratu i zapisanie układu:\n2\n2\n2\n2\n2\n7\n2\n3\nx\nxy\ny\nx\nxy\ny\n⎧\n⎨\n⎩\n2\n3.3\nObliczenie iloczynu szukanych liczb:\n1\nx y\n⋅\n1\n4.1\nZapisanie równania prostej AB: 2\n3\n2\n0\nx\ny\n1\n4.2\nObliczenie odległości punktu C od prostej AB: 12 13\n13\n1\n4.3\nZapisanie warunku, przy którym punkt D leży na prostej AB:\n(\n)\n2\n1\n3\n2\n0\nm\nstąd\n0\nm =\n1\n4\n4.4\nStwierdzenie i zapisanie, że dla\n0\nm ≠\npunkty A, B i D są wierzchołkami\ntrójkąta.\n1\n5.1\nWykorzystanie definicji pierwiastka wielomianu i zapisanie warunku:\n3\n2\n2 1\n3 1\n3 1\n0\nd\n⋅\n-⋅\n-⋅+\n1\nWystarczy jeśli zdający\nzapisze\n( )1\n0\nQ\n5.2\nObliczenie wartości współczynnika d, gdy liczba 1 jest pierwiastkiem\nwielomianu:\n4\nd =\n1\n5.3\nZapisanie wielomianu Q dla\n2\nd =\nw postaci sumy iloczynów, z których\nbędzie wynikał wspólny czynnik:\n( )\n(\n)\n(\n)\n3\n2\n1\n3\n1\nQ x\nx\nx x\n1\n5.4\nZastosowanie wzoru skróconego mnożenia na sumę sześcianów i zapisanie\nwielomianu Q w postaci:\n( )\n(\n)(\n)\n(\n)\n2\n2\n1\n1\n3\n1\nQ x\nx\nx\nx\nx x\n1\n5.5\nZapisanie wielomianu Q w postaci iloczynu dwóch wielomianów:\n( )\n(\n)(\n)\n2\n1\n2\n5\n2\nQ x\nx\nx\nx\n1\n5\n5.6\nZapisanie wielomianu Q w postaci iloczynu trzech wielomianów stopnia\npierwszego:\n( )\n(\n)(\n)(\n)\n1\n2\n1\n2\nQ x\nx\nx\nx\nlub\n( )\n(\n)\n(\n)\n1\n2\n1\n2\n2\nQ x\nx\nx\nx\n⎛\n⎞\n⎜\n⎟\n⎝\n⎠\n1\nPrzykładowy zestaw zadań nr 2 z matematyki\nOdpowiedzi i schemat punktowania - poziom podstawowy\n3","solution":"$x \\cdot y = 1$","image":"img/matematyka-2008-marzec-probna-podstawowa-2/zad-3.webp","solution_image":null,"topics":"algebra","page_from":4,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · marzec 2008 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2008-marzec-probna-podstawowa-2/zad/4","paper_id":"matematyka-2008-marzec-probna-podstawowa-2","number":"4","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2008,"month":"marzec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 4. (4 pkt)\nW układzie współrzędnych są dane punkty\n(\n)\n4,\n2\nA =\n,\n(\n)\n5, 4\nB =\na) Oblicz odległość punktu\n(\n)\n1,4\nC =\nod prostej przechodzącej przez punkty A i B.\nb) Uzasadnij, że jeśli\n0\nm ≠\n, to punkty A, B oraz punkt\n(\n)\nm\nD\n,1\nsą wierzchołkami\ntrójkąta.\nPrzykładowy zestaw zadań nr 2 z matematyki\nPoziom podstawowy\n6","answer":null,"answer_text":null,"solution":null,"image":"img/matematyka-2008-marzec-probna-podstawowa-2/zad-4.webp","solution_image":null,"topics":"analityczna","page_from":5,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · marzec 2008 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2008-marzec-probna-podstawowa-2/zad/5","paper_id":"matematyka-2008-marzec-probna-podstawowa-2","number":"5","points":6,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2008,"month":"marzec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 5. (6 pkt)\nDany jest wielomian\n( )\n3\n2\n2\n3\n3\nQ x\nx\nx\nx\nd\na) Liczba 1 jest pierwiastkiem tego wielomianu. Oblicz d.\nb) Dla\n2\nd\nprzedstaw wielomian Q w postaci iloczynu wielomianów stopnia pierwszego.\nPrzykładowy zestaw zadań nr 2 z matematyki\nPoziom podstawowy\n7","answer":null,"answer_text":null,"solution":"$Q(x) = (x + 1)(2x - 1)(x - 2)$ lub $Q(x) = 2(x + 1)\\left(x - \\dfrac{1}{2}\\right)(x - 2)$","image":"img/matematyka-2008-marzec-probna-podstawowa-2/zad-5.webp","solution_image":null,"topics":"wielomiany","page_from":6,"source":"zadaniazmatur","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · marzec 2008 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2008-marzec-probna-podstawowa-2/zad/6","paper_id":"matematyka-2008-marzec-probna-podstawowa-2","number":"6","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2008,"month":"marzec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 6. (4 pkt)\nRozwiąż nierówność\n32\n2\n10\n21\n16\n2\n32\n2\n2\n2\n32\nx\n⋅\n>\n. Podaj najmniejszą liczbę całkowitą spełniającą\ntę nierówność.\nPrzykładowy zestaw zadań nr 2 z matematyki\nPoziom podstawowy\n8","answer":null,"answer_text":"6.1\nWykorzystanie wzoru na różnice kwadratów i zapisanie lewej strony\nnierówności w postaci: (\n)(\n)\n16\n16\n16\n2\n32\n2\n32\n2\n32\nx\n⋅\n1\n6.2\nWłączenie przed nawias wspólnego czynnika\n52 i zapisanie prawej strony\nnierówności w postaci:\n(\n)\n(\n)\n5\n5\n16\n5\n16\n5\n2\n2\n2\n2\n2\n2\n1\n6.3\nRozwiązanie nierówności:\n32\nx > -\n1\n6\n6.4\nZapisanie najmniejszej liczby całkowitej spełniającej daną nierówność: (\n)\n31\n1\n7.1\nI sposób rozwiązania:\nObliczenie przybliżonej wartości kąta α :\n41\nα ≈\n°.\n1\n7.2\nObliczenie przybliżonej wartości kąta:\n53\nβ ≈\n°.\n1\n7.3\nOszacowanie sumy kątów α i β :\n90\nα\nβ\n>\n°.\n1\nWystarczy obliczenie\nprzybliżonej wartości sumy\ntych kątów.\n7.4\nStwierdzenie sprzeczności oraz zapisanie wniosku: trójkąt nie jest prostokątny.\n1\n7.1\nII sposób rozwiązania:\nObliczenie sin β (na podstawie równości sin\ncos\nβ\nα\n):\n3\nsin\n4\nβ =\n1\n7.2\nObliczenie cos β :\n7\ncos\n4\nβ =\n1\n7.3\nObliczenie tgβ :\n3 7\ntg\n7\nβ =\n1\n7\n7.4\nPorównanie uzyskanego wyniku z wartością funkcji tgβ daną w zadaniu\ni stwierdzenie sprzeczności oraz zapisanie wniosku:\ntrójkąt nie jest prostokątny.\n1\nPrzykładowy zestaw zadań nr 2 z matematyki\nOdpowiedzi i schemat punktowania - poziom podstawowy\n4","solution":"$-31$","image":"img/matematyka-2008-marzec-probna-podstawowa-2/zad-6.webp","solution_image":null,"topics":"rownania_i_nierownosci","page_from":7,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · marzec 2008 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2008-marzec-probna-podstawowa-2/zad/7","paper_id":"matematyka-2008-marzec-probna-podstawowa-2","number":"7","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2008,"month":"marzec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 7. (4 pkt)\nUzasadnij, że nie istnieje trójkąt prostokątny, w którym przeciwprostokątna ma długość 24,\na kąty ostre α i β są takie, że\n4\n3\ncos\nα\ni\n3\n4\ntg\nβ\nPrzykładowy zestaw zadań nr 2 z matematyki\nPoziom podstawowy\n9","answer":null,"answer_text":"7.1\nIII sposób rozwiązania:\nA\nB\nC\n24\nα\nβ\nWykorzystanie definicji funkcji cosinus i obliczenie długości przyprostokątnej\nAC :\ncos\nAC\nAB\nα\nstąd\n18\nAC =\n1\n7.2\nWykorzystanie definicji funkcji tangens i obliczenie długości przyprostokątnej\nBC :\ntg\nAC\nBC\nβ\nstąd\n27\n2\nBC =\n1\n7.3\nObliczenie sumy kwadratów przyprostokątnych i kwadratu\nprzeciwprostokątnej:\n(\n)\n2\n2\n2\n2\n27\n1\n18\n506\n2\n4\nAC\nBC\n⎛\n⎞\n⎜\n⎟\n⎝\n⎠\n,\n2\n576\nAB\n1\n7.4\nUzyskanie sprzeczności\n2\n2\n2\nAC\nBC\nAB\n≠\ni zapisanie wniosku: trójkąt nie\njest prostokątny.\n1\n7.1\nIV sposób rozwiązania:\nWykorzystanie definicji funkcji cosinus i obliczenie długości przyprostokątnej\nAC :\ncos\nAC\nAB\nα\nstąd\n18\nAC =\n1\n7.2\nZastosowanie twierdzenia Pitagorasa i obliczenie długości przyprostokątnej\nBC:\n6 7\nBC =\n1\n7.3\nWykorzystanie funkcji tangens i obliczenie tangensa kąta β :\n3\ntg\n7\nβ =\n1\n7.4\nUzyskanie sprzeczności:\n3\ntg\n7\nβ =\ni z warunków zadania\n4\ntg\n3\nβ =\n1\nPrzykładowy zestaw zadań nr 2 z matematyki\nOdpowiedzi i schemat punktowania - poziom podstawowy\n5","solution":"Trójkąt nie jest prostokątny.","image":"img/matematyka-2008-marzec-probna-podstawowa-2/zad-7.webp","solution_image":null,"topics":"trygonometria","page_from":8,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · marzec 2008 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2008-marzec-probna-podstawowa-2/zad/8","paper_id":"matematyka-2008-marzec-probna-podstawowa-2","number":"8","points":null,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2008,"month":"marzec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 8. (6 pkt )\nCiąg arytmetyczny (\n)\nn\na\njest określony wzorem\n(\n)1\n3\n4\n1\nn\nan\ndla\n1\n≥\nn\na) Sprawdź, którym wyrazem ciągu (\n)\nn\na\njest liczba\n4\n3\n37\nb) Wśród pięćdziesięciu początkowych wyrazów ciągu (\n)\nn\na\nsą wyrazy będące liczbami\ncałkowitymi. Oblicz sumę wszystkich tych wyrazów.\nPrzykładowy zestaw zadań nr 2 z matematyki\nPoziom podstawowy\n10","answer":null,"answer_text":"8.1\nZapisanie równania: (\n)\n1\n3\n3\n1\n37\n4\n4\nn +\n1\n8.2\nRozwiązanie równania:\n50\nn =\n1\n8.3\nZauważenie, że wartości wyrazów\n1\n5\n9\n13\n17\n21\n25\n,\n,\n,\n,\n,\n,\n,\na\na\na\na\na\na\na\n… są liczbami\ncałkowitymi tworzącymi ciąg arytmetyczny lub obliczenie pierwszego wyrazu\nciągu\n1\n1\na = i zapisanie, że kolejny składnik szukanej sumy jest większy od\npoprzedniego o 3.\n1\nWystarczy, że zdający\nzapisze sumę\n1\n4\n7 10\nbez jej ostatniego składnika.\nObliczenie różnicy ciągu nie\njest konieczne.\n8.4\nObliczenie ostatniego składnika szukanej sumy:\n37\n49 =\na\n1\n8.5\nObliczenie liczby wyrazów ciągu, które są liczbami całkowitymi: 13.\n1\n8\n8.6\nObliczenie sumy :\n1\n49\n13\n1 37\n13\n13\n247\n2\n2\na\na\nS\n⋅\n⋅\n1\nJeżeli zdający od razu\nzapisze 1 37 13\n2\n⋅\n, to\notrzymuje punkty w\nczynnościach 8.3, 8.4 i 8.5.\n9.1\nWprowadzenie oznaczeń, np.:\nr - promień podstawy stożka,\nh - wysokość stożka,\nl - tworzącą stożka i zapisanie, że\n3\nl =\noraz przedstawienie metody obliczenia\ndługości promienia podstawy stożka, np.\n• porównanie długości łuku, równego trzeciej części łuku okręgu o\npromieniu l i obwodu koła w podstawie stożka o promieniu r :\n1 2\n2\n3\nl\nr\nπ\nπ\n⋅\nlub\n• porównanie pola trzeciej części pola koła o promieniu l i pola powierzchni\nbocznej stożka\n2\n1\n3 l\nrl\nπ\nπ\n1\n9.2\nWyznaczenie promienia podstawy stożka:\n1\nr = .\n1\n9\n9.3\nObliczenie wysokości stożka:\n2\n2\nh\n1\nPrzykładowy zestaw zadań nr 2 z matematyki\nOdpowiedzi i schemat punktowania - poziom podstawowy\n6","solution":"$247$","image":"img/matematyka-2008-marzec-probna-podstawowa-2/zad-8.webp","solution_image":null,"topics":"ciagi","page_from":9,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · marzec 2008 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2008-marzec-probna-podstawowa-2/zad/9","paper_id":"matematyka-2008-marzec-probna-podstawowa-2","number":"9","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2008,"month":"marzec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 9. (4 pkt)\nPowierzchnia boczna stożka po rozwinięciu na płaszczyznę jest wycinkiem koła o promieniu 3\ni kącie środkowym\n°\n120 (zobacz rysunek). Oblicz objętość tego stożka.\n°\n120\n3\nPrzykładowy zestaw zadań nr 2 z matematyki\nPoziom podstawowy\n11","answer":null,"answer_text":"9.4\nObliczenie objętości stożka:\nπ\nπ\nπ\n3\n2\n2\n2\n2\n1\n3\n1\n3\n1\n2\n2\n⋅\n⋅\n⋅\n⋅\n⋅\n⋅\nh\nr\nV\n1\n10.1\nWprowadzenie oznaczeń, np.: a, b - długości boków równoległoboku\ni wykorzystanie zależności\n5\n3\n2\n1 =\nh\nh\ndo zapisania proporcji zachodzącej między\nbokami a oraz b równoległoboku:\n3\n5\na\nb =\n1\n10.2\nWyznaczenie długości jednego z boków równoległoboku, np.:\n5\n3\nb\na\n1\n10.3\nZapisanie obwodu równoległoboku w zależności od długości jednego z boków,\nnp.:\n5\n2\n2\n144\n3\na\na\n+ ⋅\n1\n10.4\nWyznaczenie długości boków równoległoboku:\n27\na =\n,\n5 27\n45\n3\nb =\n⋅\n1\n10.1\nII sposób rozwiązania:\nWprowadzenie oznaczeń, np.: a, b - długości boków równoległoboku i\nzapisanie pola równoległoboku na dwa sposoby:\n1\n2\na h\nb h\n⋅\n⋅\n1\nNie oceniamy, czy zdający\nanalizuje zależność między\ndługościami boków\nrównoległoboku.\n10.2\nObliczenie stosunku długości boków równoległoboku:\n3\n5\nb\na =\n1\n10.3\nZapisanie układu równań z niewiadomymi a i b , np.:\n72\n3\n5\na\nb\nb\na\n⎧⎪⎨\n⎪⎩\n1\n10\n10.4\nRozwiązanie układu równań i zapisanie długości boków równoległoboku:\n45\na =\n,\n27\nb =\n1\nPrzykładowy zestaw zadań nr 2 z matematyki\nOdpowiedzi i schemat punktowania - poziom podstawowy\n7","solution":"$V = \\dfrac{2\\sqrt{2}}{3}\\pi$","image":"img/matematyka-2008-marzec-probna-podstawowa-2/zad-9.webp","solution_image":null,"topics":"stereometria","page_from":10,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · marzec 2008 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2008-marzec-probna-podstawowa-2/zad/10","paper_id":"matematyka-2008-marzec-probna-podstawowa-2","number":"10","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2008,"month":"marzec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 10. (4 pkt)\nW równoległoboku o obwodzie równym 144, wysokości\n1h i\n2h spełniają warunek\n5\n3\n2\n1 =\nh\nh\nOblicz długości boków tego równoległoboku.\nPrzykładowy zestaw zadań nr 2 z matematyki\nPoziom podstawowy\n12","answer":null,"answer_text":null,"solution":"$a = 27, b = 45$ lub $a = 45, b = 27$","image":"img/matematyka-2008-marzec-probna-podstawowa-2/zad-10.webp","solution_image":null,"topics":"planimetria","page_from":11,"source":"zadaniazmatur","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · marzec 2008 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2008-marzec-probna-podstawowa-2/zad/11","paper_id":"matematyka-2008-marzec-probna-podstawowa-2","number":"11","points":3,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2008,"month":"marzec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 11. (3 pkt)\nDane są zbiory liczb całkowitych: {\n}\n5\n,4\n,3\n,2\n,1\ni {\n}\n7\n,6\n,5\n,4\n,3\n,2\n,1\n. Z każdego z tych\nzbiorów wybieramy losowo po jednej liczbie. Oblicz prawdopodobieństwo, że suma\nwylosowanych liczb będzie podzielna przez 5.\nPrzykładowy zestaw zadań nr 2 z matematyki\nPoziom podstawowy\n13\nBRUDNOPIS","answer":null,"answer_text":"11.1\nZapisanie, że w danym doświadczeniu jest 35 zdarzeń elementarnych.\n1\n11.2\nZapisanie, że 7 zdarzeń elementarnych sprzyja zdarzeniu A - suma\nwylosowanych liczb jest podzielna przez 5.\n1\n11.3\nObliczenie prawdopodobieństwa zdarzenia A: ( )\n7\n1\n35\n5\nP A =\n1\n11.1\nII sposób rozwiązania: (metoda drzewa)\nNarysowanie drzewa: np.\n1\nZdający, analizując drugi\netap losowania, może\nuwzględnić tylko istotnie\npotrzebne gałęzie.\n11.2\nZapisanie prawdopodobieństwa szukanego zdarzenia, jako sumy odpowiednich\niloczynów:\n( )\n1 1\n1 1\n1 1\n1 1\n1 1\n1 1\n1 1\n5 7\n5 7\n5 7\n5 7\n5 7\n5 7\n5 7\nP A =\n⋅\n⋅\n⋅\n⋅\n⋅\n⋅\n⋅\n1\n11\n11.3\nObliczenie prawdopodobieństwa zdarzenia A: ( )\n5\n1\nA\nP\n1\nn\no\nq\nr\ns\nn\no\np\nq\nr\np\nt\n5\n1\n5\n1\n5\n1\n5\n1\n5\n1\n7\n1\n7\n1\n7\n1\n7\n1\n7\n1\n7\n1\n7\n1","solution":"$P(A) = \\dfrac{1}{5}$","image":"img/matematyka-2008-marzec-probna-podstawowa-2/zad-11.webp","solution_image":null,"topics":"prawdopodobienstwo","page_from":12,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · marzec 2008 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"}]}