{"paper":{"id":"matematyka-2008-marzec-probna-rozszerzona","subject":"matematyka","category":"probna","year":2008,"month":"marzec","level":"rozszerzona","variant":null,"exam_pdf":"matematyka-2008-marzec-probna-rozszerzona/matematyka-2008-marzec-probna-rozszerzona.pdf","key_pdf":"matematyka-2008-marzec-probna-rozszerzona-odpowiedzi/matematyka-2008-marzec-probna-rozszerzona-odpowiedzi.pdf","question_count":11,"source_label":"Matematyka · Matura próbna · marzec 2008 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},"questions":[{"id":"matematyka-2008-marzec-probna-rozszerzona/zad/1","paper_id":"matematyka-2008-marzec-probna-rozszerzona","number":"1","points":5,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2008,"month":"marzec","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 1. (5 pkt)\nPunkty\n(\n)\n2,12\nA = -\ni\n(\n)\n6,\n2\nB =\nsą wierzchołkami trójkąta prostokątnego ABC o kącie\nprostym przy wierzchołku C. Oblicz współrzędne wierzchołka C tego trójkąta, wiedząc,\nże leży on na prostej o równaniu\n3\n22\nx\ny\n. Sporządź rysunek w prostokątnym układzie\nwspółrzędnych. Rozważ wszystkie przypadki.\n\nPrzykładowy zestaw zadań nr 1 z matematyki\nPoziom rozszerzony\n3\nNr czynności\n1.1.\n1.2.\n1.3.\n1.4.\n1.5.\nMaks. liczba pkt\n1\n1\n1\n1\n1\nWypełnia\negzaminator! Uzyskana liczba pkt\n\nPrzykładowy zestaw zadań nr 1 z matematyki\nPoziom rozszerzony\n4","answer":null,"answer_text":"1.1\nI metoda rozwiązania („PITAGORAS”):\nSporządzenie rysunku w układzie współrzędnych: np.\n1\n• Rysunek musi zawierać daną prostą oraz\npunkty A i B. Inne elementy mogą, ale nie\nmuszą być uwzględnione.\n• Współrzędne punktu C można odczytać\nz rysunku, ale zdający musi sprawdzić, np.\nprzez wstawienie do równania prostej\nprawidłowość odczytu. Przyznajemy pełna\npulę punktów.\n• W przypadku, gdy zdający poda odczytane\nwspółrzędne punktu C i nie dokona\nsprawdzenia z warunkami zadania otrzymuje\npunkty tylko w czynnościach 1.1 i 1.5.\n1.2\nWprowadzenie oznaczenia współrzędnych punktu C, np.\n(22\n3 , )\nC\ny y\nlub\n1\n22\n( ,\n)\n3\n3\nC\nx\nx\n1\n1.3\nWykorzystanie twierdzenia Pitagorasa i zapisanie warunku\nprostopadłości odcinków AC i BC:\n2\n2\n2\nAC\nBC\nAB\n, w którym\n2\n2\n10\n168\n720\nAC\ny\ny\n,\n2\n2\n10\n92\n260\nBC\ny\ny\n,\n2\n260\nAB\nlub\n(\n)\n2\n2\n1 10\n64\n232\n9\nAC\nx\ny\n,\n(\n)\n2\n2\n1 10\n164 1108\n9\nBC\nx\n1\n1.4 Doprowadzenie do równania kwadratowego z jedną niewiadomą:\nnp.\n2\n13\n36\n0\ny\ny\nlub\n2\n5\n50\n0\nx\nx\n1\n1.5\nRozwiązanie równania i zapisanie odpowiedzi:\n(\n)\n10,4\nC =\nlub\n(\n)\n5,9\nC = -\n1\nx\ny\n0\n1\n2\n1\n2\n3\n3\n4\n4\n5\n5\n6\n6\n7\n7\n8\n9\n-1\n-1\n-2\n-2\n-3\n-3\n-4\n-5\n-6\n-7\n-8\n10\n11\n12\n13\n9\n8\n10\n11\n12\nA\nB\nC\nC\nPrzykładowy zestaw zadań nr 1 z matematyki\nOdpowiedzi i schemat punktowania - poziom rozszerzony\n2\n1.1\nII metoda rozwiązania („WEKTORY”):\nSporządzenie rysunku w układzie współrzędnych.\n1\nRysunek musi zawierać daną prostą oraz punkty\nA i B. Inne elementy mogą, ale nie muszą być\nuwzględnione.\n1.2\nWprowadzenie oznaczeń pomocniczych i wyznaczenie wektorów:\nnp.\n(22\n3 , )\nC\ny y\n,\n[ 24\n3 ,12\n]\nCA\ny\ny\n→\n,\n[ 16\n3 , 2\n]\nCB\ny\ny\n→\nlub\n1\n22\n( ,\n)\n3\n3\nC\nx\nx\n,\n1\n14\n[ 2\n,\n]\n3\n3\nCA\nx\nx\n→\n,\n1\n28\n[6\n,\n]\n3\n3\n→\nCB\nx\nx\n1\n1.3\nWykorzystanie warunku prostopadłości wektorów\n→\nCA ,\n→\nCB i zapisanie\nrównania: np.\n(\n)(\n) (\n)(\n)\n24\n3\n16\n3\n12\n2\n0\ny\ny\ny\ny\n, gdzie y to rzędna punktu C\nlub (\n)(\n)\n(\n)(\n)\n1\n2\n6\n14\n28\n0\n9\nx\nx\nx\nx\n, gdzie x to odcięta punktu C.\n1\n1.4 Doprowadzenie do równania kwadratowego z jedną niewiadomą :\nnp.\n2\n13\n36\n0\ny\ny\nlub\n2\n5\n50\n0\nx\nx\n1\n1.5\nRozwiązanie równania i zapisanie odpowiedzi:\n(\n)\n10,4\nC =\nlub\n(\n)\n5,9\nC = -\n1\n1.1\nIII metoda rozwiązania („KONSTRUKCJA”):\nSporządzenie rysunku w układzie współrzędnych.\n1\nRysunek musi zawierać daną prostą oraz punkty\nA i B. Inne elementy mogą, ale nie muszą być\nuwzględnione.\n1.2\nZapisanie równania okręgu o środku w punkcie\n(\n)\n2,5\nS =\n, który jest\nśrodkiem odcinka AB i promieniu\n1\n1\n260\n2\n2\nr\nAB\n:\n(\n)\n(\n)\n2\n2\n2\n1\n2\n5\n260\n2\nx\ny\n⎛\n⎞\n= ⎜\n⎟\n⎝\n⎠\n1\n1.3\nZapisanie układu równań:\n(\n)\n(\n)\n2\n2\n2\n3\n22\n1\n2\n5\n260\n2\nx\ny\nx\ny\n⎧\n⎪⎨\n⎛\n⎞\n= ⎜\n⎟\n⎪\n⎝\n⎠\n⎩\n1\n1.4 Doprowadzenie obliczeń do postaci równania kwadratowego,\nnp.:\n2\n13\n36\n0\ny\ny\nlub\n2\n5\n50\n0\nx\nx\n1\nPrzykładowy zestaw zadań nr 1 z matematyki\nOdpowiedzi i schemat punktowania - poziom rozszerzony\n3\n1.5\nRozwiązanie równania i zapisanie odpowiedzi:\n(\n)\n10,4\nC =\nlub\n(\n)\n5,9\nC = -\n1\nOgólnie, rozwiązanie powinno mieć postać:\n1.1 Sporządzenie rysunku w układzie współrzędnych.\n1\n1.2 Przedstawienie metody pozwalającej wyznaczyć punkt C.\n1\n1.3 Zapisanie warunków algebraicznych wynikających z obranej\nmetody rozwiązania.\n1\nW metodzie II i III przestawione zostały\nczynności 1.2 i 1.3 i zapisane w kolejności takiej,\njaka będzie miała miejsce w trakcie rozwiązania\ntą metodą.\n1.4 Doprowadzenie do równania kwadratowego z jedną niewiadomą.\n1\n1.5 Wyznaczenie współrzędnych punktów C.\n1\n2.1 Zapisanie wzoru funkcji g w postaci ( )\n2\n3 +\n= x\na\nx\ng\ndla\n3\nx ≠-.\n1\nPrzyznajemy punkt również wtedy, gdy zdający\nnie zapisze dziedziny funkcji g.\n2.2 Wyznaczenie współczynnika a z równania (\n)\n6\n4 =\ng\n:\n4\na\n1\n2.3 Doprowadzenie nierówności\n4\n2\n4\n3\nx\n<\ndo postaci 2\n10\n0\n3\nx\nx\n<\n1\n2\n2.4\nWyznaczenie zbioru rozwiązań nierówności ( ) 4\n<\nx\ng\n:\n(\n)\n(\n)\n, 5\n3,\nx∈-∞-\n∪-\n∞.\n1\n3.1 Zapisanie podstawy logarytmu:\n2\np\n1\n3.2 Obliczenie wartości funkcji f dla argumentu\n125\n,0\nx\n: (\n)\n3\n125\n,0\nf\n1\n3.3 Narysowanie wykresu funkcji\n(\n)\n4\nx\nf\ny\n1\n3\n3.4\nNarysowanie wykresu funkcji g\n1\nW tej czynności oceniamy poprawność\nwykonania przekształcenia\n( )\nx\nf\ny =\n. Punkt\nprzyznajemy trównież wtedy, gdy zdający\nniepoprawnie wykona przesunięcie, ale\npoprawnie wykona przekształcenie\n( )\nx\nf\ny =\nJeśli zdający od razu narysuje wykres funkcji g,\nto przyznajemy punkt w czynnościach 3.3 i 3.4.\nx\ny\n0\n1\n2\n1\n2\n3\n3\n4\n4\n5\n5\n6\n6\n7\n7\n8\n9\n-1\n-1\n-2\n-2\n-3\n-3\n-4\n-5\n-6\n-7\n-8\n-4\n-5\n-6\n10\n11\n12\n13\n(\n)\n4\nlog2\nx\ny\n(\n)\n4\nlog2\nx\ny\nx\ny\n2\nlog\nPrzykładowy zestaw zadań nr 1 z matematyki\nOdpowiedzi i schemat punktowania - poziom rozszerzony\n4","solution":"$C = (10, 4)$ lub $C = (-5, 9)$","image":"img/matematyka-2008-marzec-probna-rozszerzona/zad-1.webp","solution_image":null,"topics":"analityczna","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · marzec 2008 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2008-marzec-probna-rozszerzona/zad/2","paper_id":"matematyka-2008-marzec-probna-rozszerzona","number":"2","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2008,"month":"marzec","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 2. (4 pkt)\nWykres funkcji\n( )\nx\na\nx\nf\ndla\n{ }\n\\ 0\nx\nR\n∈\n, gdzie\n0\na ≠\n, przesunięto o wektor\n[\n]\n3, 2\nu\n→\ni otrzymano wykres funkcji g . Do wykresu funkcji g należy punkt\n(\n)\n6\n,4\nA\nOblicz a, następnie rozwiąż nierówność ( )\n4\ng x <\n\nPrzykładowy zestaw zadań nr 1 z matematyki\nPoziom rozszerzony\n5\nNr czynności\n2.1.\n2.2.\n2.3.\n2.4.\nMaks. liczba pkt\n1\n1\n1\n1\nWypełnia\negzaminator! Uzyskana liczba pkt\n\nPrzykładowy zestaw zadań nr 1 z matematyki\nPoziom rozszerzony\n6","answer":null,"answer_text":null,"solution":"$x \\in (-\\infty, -5) \\cup (-3, \\infty)$","image":"img/matematyka-2008-marzec-probna-rozszerzona/zad-2.webp","solution_image":null,"topics":"funkcje","page_from":4,"source":"zadaniazmatur","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · marzec 2008 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2008-marzec-probna-rozszerzona/zad/3","paper_id":"matematyka-2008-marzec-probna-rozszerzona","number":"3","points":5,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2008,"month":"marzec","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 3. (5 pkt)\nNa rysunku przedstawiony jest wykres funkcji logarytmicznej opisanej wzorem\nx\nx\nf\np\nlog\n)\n(\na) Na podstawie tego wykresu wyznacz p.\nb) Oblicz\n(\n)\n0,125\nf\nc) Sporządź wykres funkcji ( )\n(\n)\n4\ng x\nf x\nd) Podaj miejsce zerowe funkcji g.\nx\ny\n0\n1\n2\n1\n2\n3\n3\n4\n4\n5\n5\n6\n6\n7\n7\n8\n9\n-1\n-1\n-2\n-2\n-3\n-3\n-4\n-5\n-6\n-7\n-8\n-4\n-5\n-6\n10 11 12 13\n\nPrzykładowy zestaw zadań nr 1 z matematyki\nPoziom rozszerzony\n7\nNr czynności\n3.1.\n3.2.\n3.3.\n3.4.\n3.5.\nMaks. liczba pkt\n1\n1\n1\n1\n1\nWypełnia\negzaminator! Uzyskana liczba pkt\n\nPrzykładowy zestaw zadań nr 1 z matematyki\nPoziom rozszerzony\n8","answer":null,"answer_text":"","solution":"$x = 5$","image":"img/matematyka-2008-marzec-probna-rozszerzona/zad-3.webp","solution_image":null,"topics":"logarytmy","page_from":6,"source":"zadaniazmatur","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · marzec 2008 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2008-marzec-probna-rozszerzona/zad/4","paper_id":"matematyka-2008-marzec-probna-rozszerzona","number":"4","points":6,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2008,"month":"marzec","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 4. (6 pkt)\nW trójkącie równoramiennym (patrz rysunek) długość podstawy wynosi a , zaś wysokości\nopuszczone odpowiednio na podstawę i ramię są równe H i h . Kąt między ramieniem\ntrójkąta i wysokością opuszczoną na podstawę ma miarę α.\na) Wyraź\nα\ntg\nw zależności od wielkości a i H.\nb) Wyraź\nα\ncos\nw zależności od wielkości a i h.\nc) Wykaż, że jeśli\nh\nH\na\n⋅\n2\n, to\n1\n2\nsin\nα\nH\nh\na\nα\n\nPrzykładowy zestaw zadań nr 1 z matematyki\nPoziom rozszerzony\n9\nNr czynności\n4.1.\n4.2.\n4.3.\n4.4.\n4.5.\n4.6.\nMaks. liczba pkt\n1\n1\n1\n1\n1\n1\nWypełnia\negzaminator! Uzyskana liczba pkt\n\nPrzykładowy zestaw zadań nr 1 z matematyki\nPoziom rozszerzony\n10","answer":null,"answer_text":null,"solution":"$\\sin \\alpha = \\sqrt{2} - 1$","image":"img/matematyka-2008-marzec-probna-rozszerzona/zad-4.webp","solution_image":null,"topics":"planimetria","page_from":8,"source":"zadaniazmatur","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · marzec 2008 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2008-marzec-probna-rozszerzona/zad/5","paper_id":"matematyka-2008-marzec-probna-rozszerzona","number":"5","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2008,"month":"marzec","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 5. (4 pkt)\nPole obszaru ograniczonego wykresem funkcji\n2\nx\ny =\ndla\n1\n,0\n∈\nx\ni osią Ox możemy\nobliczyć z dowolną dokładnością, zwiększając liczbę n prostokątów o szerokości n\n1 każdy\n(patrz rysunek) i sumując ich pola.\na) Przedstaw ilustrację graficzną takiej sytuacji dla\n4\nn\ni oblicz sumę pól otrzymanych\nprostokątów.\nb) Oblicz sumę\nn\nS pól n prostokątów, wykorzystując wzór:\n6\n)1\n2\n)(\n1\n(\n3\n2\n1\n2\n2\n2\n2\nn\nn\nn\nn\nx\ny\n0\n1\n1\ny y y\nx\ny\n0\n1\n1\n\nPrzykładowy zestaw zadań nr 1 z matematyki\nPoziom rozszerzony\n11\nNr czynności\n5.1.\n5.2.\n5.3.\n5.4.\nMaks. liczba pkt\n1\n1\n1\n1\nWypełnia\negzaminator! Uzyskana liczba pkt\n\nPrzykładowy zestaw zadań nr 1 z matematyki\nPoziom rozszerzony\n12","answer":null,"answer_text":"5.1\nSporządzenie rysunku dla n = 4.\n1\n5.2\nObliczenie sumy pól czterech prostokątów:\n2\n2\n2\n2\n1\n1\n1\n2\n1\n3\n1\n4\n15\n4\n4\n4\n4\n4\n4\n4\n4\n32\n⎛\n⎞\n⎛\n⎞\n⎛\n⎞\n⎛\n⎞\n⋅\n⋅\n⋅\n⋅\n⎜\n⎟\n⎜\n⎟\n⎜\n⎟\n⎜\n⎟\n⎝\n⎠\n⎝\n⎠\n⎝\n⎠\n⎝\n⎠\n1\n5.3\nObliczenie sumy pól wszystkich n prostokątów w postaci:\n2\n2\n2\n2\n2\n2\n3\n1\n1\n1\n2\n1\n1\n2\nn\nn\nn\nn\nn\nn\nn\nn\nn\n⎛\n⎞\n⎛\n⎞\n⎛\n⎞\n⋅\n⋅\n⋅\n⎜\n⎟\n⎜\n⎟\n⎜\n⎟\n⎝\n⎠\n⎝\n⎠\n⎝\n⎠\n1\nWystarczy, że zdający poprawnie zapisze lewą\nstronę podanej postaci.\n5\n5.4\nWykorzystanie podanej tożsamości i przekształcenie sumy do postaci:\n3\n(\n1)(2\n1)\n6\nn\nn n\nn\nS\nn\nlub\n2\n(\n1)(2\n1)\n6\nn\nn\nn\nS\nn\n1\n6.1 Zapisanie wielomianu w postaci:\n( )\n9\n6\n2\n2\n2\n3\n4\nx\nx\nx\nx\nx\nx\nW\n1\n6.2\nZapisanie wielomianu w postaci sumy dwóch składników nieujemnych:\nnp.\n( )\n(\n)\n(\n)\n2\n2\n2\n3\n1\nx\nx\nx\nx\nW\nlub\n( ) (\n)\n(\n)\n2\n2\n2\n3\nx\nx\nx\nx\nW\n1\n6.3\nUzasadnienie, że oba składniki są nieujemne i nie mogą być\njednocześnie równe 0, więc wielomian\n( )\nx\nW\nnie ma pierwiastków\nrzeczywistych.\n1\n6\n6.1\nII metoda rozwiązania:\nObliczenie pochodnej wielomianu\n( )\nW x i jej miejsca zerowego:\n( )\n(\n)(\n)\n2\n2 2\n3\n1\nW\nx\nx\nx\n,\n3\n2\nx =\n1\nx\ny\n0\n1\n4\n1\n4\n3\n4\n2\n16\n1\n16\n4\n16\n9\nPrzykładowy zestaw zadań nr 1 z matematyki\nOdpowiedzi i schemat punktowania - poziom rozszerzony\n6","solution":"$S_n = \\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6n^3}$ lub $S_n = \\dfrac{(n+1)(2n+1)}{6n^2}$","image":"img/matematyka-2008-marzec-probna-rozszerzona/zad-5.webp","solution_image":null,"topics":"ciagi","page_from":10,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · marzec 2008 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2008-marzec-probna-rozszerzona/zad/6","paper_id":"matematyka-2008-marzec-probna-rozszerzona","number":"6","points":3,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2008,"month":"marzec","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 6. (3 pkt)\nWykaż, że wielomian\n( )\n4\n3\n2\n2\n2\n6\n9\nW x\nx\nx\nx\nx\n+ nie ma pierwiastków rzeczywistych.\nNr czynności\n6.1.\n6.2.\n6.3.\nMaks. liczba pkt\n1\n1\n1\nWypełnia\negzaminator! Uzyskana liczba pkt\n\nPrzykładowy zestaw zadań nr 1 z matematyki\nPoziom rozszerzony\n13","answer":null,"answer_text":null,"solution":"Wielomian nie ma pierwiastków rzeczywistych.","image":"img/matematyka-2008-marzec-probna-rozszerzona/zad-6.webp","solution_image":null,"topics":"wielomiany","page_from":12,"source":"zadaniazmatur","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · marzec 2008 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2008-marzec-probna-rozszerzona/zad/7","paper_id":"matematyka-2008-marzec-probna-rozszerzona","number":"7","points":6,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2008,"month":"marzec","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 7. (6 pkt)\nDana jest funkcja ( )\nx\nx\nx\nf\ncos\nsin 2\ndla\nR\nx ∈\na) Rozwiąż równanie ( )\n1\nx\nf\nw przedziale\nπ\n2\n,0\nb) Wyznacz największą wartość funkcji f.\nNr czynności\n7.1.\n7.2.\n7.3.\n7.4.\n7.5.\n7.6.\nMaks. liczba pkt\n1\n1\n1\n1\n1\n1\nWypełnia\negzaminator! Uzyskana liczba pkt\n\nPrzykładowy zestaw zadań nr 1 z matematyki\nPoziom rozszerzony\n14","answer":null,"answer_text":null,"solution":"$f_{\\max}\\left(\\dfrac{1}{2}\\right) = \\dfrac{5}{4}$","image":"img/matematyka-2008-marzec-probna-rozszerzona/zad-7.webp","solution_image":null,"topics":"trygonometria","page_from":13,"source":"zadaniazmatur","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · marzec 2008 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2008-marzec-probna-rozszerzona/zad/8","paper_id":"matematyka-2008-marzec-probna-rozszerzona","number":"8","points":5,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2008,"month":"marzec","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 8. (5 pkt)\nPodstawą ostrosłupa ABCD jest trójkąt równoboczny ABC o boku długości\n2 . Wszystkie\nściany boczne są równoramiennymi trójkątami prostokątnymi. Punkt P został wybrany\nwewnątrz ostrosłupa w ten sposób, że wysokości ostrosłupów ABDP, BCDP, ACDP, ABCP\nopuszczone z wierzchołka P mają tę samą długość H. Sporządź rysunek ostrosłupa i oblicz H.\n\nPrzykładowy zestaw zadań nr 1 z matematyki\nPoziom rozszerzony\n15\nNr czynności\n8.1.\n8.2.\n8.3.\n8.4.\n8.5.\nMaks. liczba pkt\n1\n1\n1\n1\n1\nWypełnia\negzaminator! Uzyskana liczba pkt\n\nPrzykładowy zestaw zadań nr 1 z matematyki\nPoziom rozszerzony\n16","answer":null,"answer_text":"8.1\nI metoda rozwiązania:\nSporządzenie rysunku\n1\nZdający może pominąć uzasadnienie, że punkt\nP leży na wysokości DO.\n8.2 Obliczenie długości krawędzi bocznej ostrosłupa:\n1\na = .\n1\n8.3\nObliczenie objętości ostrosłupa ABCD, np. poprzez stwierdzenie, że\ndany ostrosłup to „naroże” sześcianu o krawędzi długości 1:\n1\n6\nABCD\nV\n1\n8.4\nZapisanie równania z niewiadomą H - szukaną odległością:\n(\n)\n2\n2\n3\n1 1\n1\n1\n3 3 2\n3\n4\n6\nH\nH\n⋅\n⋅\n⋅\n⋅\n⋅\n⋅\n1\nWystarczy że zdający zapisze, że objętość\nostrosłupa jest sumą objętości czterech\nostrosłupów, których podstawami są ściany\ndanego ostrosłupa, a wysokością szukana\nodległość .\n8\n8.5 Obliczenie szukanej odległości:\n3\n3\n6\nH\n1\ny\ny\nA\nB\nC\nD\nP\nO\nPrzykładowy zestaw zadań nr 1 z matematyki\nOdpowiedzi i schemat punktowania - poziom rozszerzony\n8\n8.1\nII metoda rozwiązania:\nSporządzenie rysunku:\n1P jest rzutem punktu P na wysokość ściany bocznej\n1\nDC .\n1\n8.2 Obliczenie długości\n1\nDC :\n1\n1\n2\n2\n2\nDC\nAB\n1\n8.3\nWyznaczenie DO z trójkąta\n1\nDOC : np.\n2\n2\n2\n1\n1\nDO\nDC\nOC\n, gdzie\n1\n1\n2\n3\n6\n3\n2\n6\nOC\n⋅\n⋅\n, stąd\n3\n3\nDO =\n1\n8.4\nZapisanie równania z niewiadomą H, np. z podobieństwa trójkątów\n1\n1\nPPD\nDOC\nΔ\nΔ\n∼\nwynika proporcja\n1\n1\n1\nPP\nOC\nDP\nDC\ni\n1\nPP\nH\n,\n6\n6\n3\n2\n3\n2\nH\nH\n1\n8\n8.5 Obliczenie szukanej odległości:\n3\n3\n6\nH\n1\n9.1 Obliczenie liczby wszystkich zdarzeń elementarnych:\n!\n8\nΩ\n1\n9\n9.2\nObliczenie liczby zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu A,\nże jako pierwsze pójdą kobiety i żona będzie szła bezpośrednio przed\nmężem:\n36\n!\n3\n!\n3\n⋅\nA\n1\nWystarczy zapis\n!\n3\n!\n3 ⋅\nA\nlub\n36\nA\ny\ny\nA\nB\nC\nD\nP\nO\nC1\nP1 y\nPrzykładowy zestaw zadań nr 1 z matematyki\nOdpowiedzi i schemat punktowania - poziom rozszerzony\n9","solution":"$H = \\dfrac{3 - \\sqrt{3}}{6}$","image":"img/matematyka-2008-marzec-probna-rozszerzona/zad-8.webp","solution_image":null,"topics":"stereometria","page_from":14,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · marzec 2008 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2008-marzec-probna-rozszerzona/zad/9","paper_id":"matematyka-2008-marzec-probna-rozszerzona","number":"9","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2008,"month":"marzec","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 9. (4 pkt)\nGrupa 4 kobiet i 4 mężczyzn, w tym jedno małżeństwo, wybrała się na pieszą wycieczkę. Na\nwąskiej ścieżce musieli iść gęsiego tzn. jedno za drugim. Zakładamy, że wszystkie możliwe\nustawienia tych osób są jednakowo prawdopodobne. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia,\nże jako pierwsze pójdą kobiety i żona będzie szła bezpośrednio przed mężem. Sprawdź, czy\nto prawdopodobieństwo jest mniejsze od 0,001.\nNr czynności\n9.1.\n9.2.\n9.3.\n9.4.\nMaks. liczba pkt\n1\n1\n1\n1\nWypełnia\negzaminator! Uzyskana liczba pkt\n\nPrzykładowy zestaw zadań nr 1 z matematyki\nPoziom rozszerzony\n17","answer":null,"answer_text":null,"solution":"$P(A) = \\dfrac{1}{1120} < 0{,}001$","image":"img/matematyka-2008-marzec-probna-rozszerzona/zad-9.webp","solution_image":null,"topics":"prawdopodobienstwo","page_from":16,"source":"zadaniazmatur","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · marzec 2008 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2008-marzec-probna-rozszerzona/zad/10","paper_id":"matematyka-2008-marzec-probna-rozszerzona","number":"10","points":3,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2008,"month":"marzec","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 10. (3 pkt)\nDany jest ciąg\nn\nxn\n= 1\ndla\n1\nn ≥. Ciąg\n)\n(\nny\nma tę własność, że dla każdego\n1\nn ≥ punkty\no współrzędnych (\n,0)\nnx\n, (\n)\n1,1\n, (0,\n)\nny\nleżą na jednej prostej. Wyznacz wzór ogólny\nciągu\n)\n(\nny\nNr czynności\n10.1.\n10.2.\n10.3.\nMaks. liczba pkt\n1\n1\n1\nWypełnia\negzaminator! Uzyskana liczba pkt\n\nPrzykładowy zestaw zadań nr 1 z matematyki\nPoziom rozszerzony\n18","answer":null,"answer_text":"10.1\nIV metoda rozwiązania:\nWprowadzenie oznaczeń:\n(\n)\n,0\nn\nA\nx\n,\n(\n)\n1,1\nP = -\n,\n(\n)\n0,\nn\nC\ny\nWykorzystanie zależności: AP\nPC\nAC\n,\n(\n)\n(\n)\n(\n)\n(\n)\n(\n)\n(\n)\n2\n2\n2\n2\n2\n2\n1\n1 0\n0 1\n1\n0\n0\nn\nn\nn\nn\nx\ny\nx\ny\n1\n10.2\nPodstawienie\n1\nnx\nn\ni doprowadzenie wyrażenia do postaci:\n(\n)\n2\n1\n0\nn\nn y\nn\n⋅\n1\n10.3 Zapisanie wzoru szukanego ciągu:\n1\n1\nny\nn\nalbo\n1\nn\nn\ny\nn\n1\n11.1\nPrzyjęcie oznaczeń, wykorzystanie definicji lub własności ciągu\ngeometrycznego i zapisanie zależności między długościami boków\ntrójkąta prostokątnego, np.: a, b, c - długości boków trójkąta\nprostokątnego i\nc\nb\na\n<\n<\n,\nq\na\nb\n⋅\n,\n2\nq\na\nc\n⋅\nlub\nac\nb =\n2\n1\n11.2\nWykorzystanie twierdzenie Pitagorasa i zapisanie równania, w którym\nwystępują najwyżej dwie niewiadome, np.:\n(\n)\n(\n)\n2\n2\n2\n2\naq\naq\na\nlub\n2\n2\nc\nac\na\n1\n11.3 Zapisanie równania, np.:\n0\n1\n2\n4\n-q\nq\nlub\n0\n1\n2\n⎟⎠\n⎞\n⎜⎝\n⎛\na\nc\na\nc\n1\n11.4\nWykonanie podstawienia\n2\nq\nt =\nlub\na\nc\nt =\ni rozwiązanie równania\n0\n1\n2\n-t\nt\n:\n2\n5\n1\n2\n5\n1\n∨\nt\nt\n1\n11\n11.5 Obliczenie ilorazu ciągu:\n2\n5\n1+\nq\n1","solution":"$y_n = 1 + \\dfrac{1}{n}$ albo $y_n = \\dfrac{n+1}{n}$","image":"img/matematyka-2008-marzec-probna-rozszerzona/zad-10.webp","solution_image":null,"topics":"ciagi","page_from":17,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · marzec 2008 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2008-marzec-probna-rozszerzona/zad/11","paper_id":"matematyka-2008-marzec-probna-rozszerzona","number":"11","points":5,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2008,"month":"marzec","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 11. (5 pkt)\nDługości boków trójkąta prostokątnego są trzema kolejnymi wyrazami rosnącego ciągu\ngeometrycznego. Oblicz iloraz tego ciągu.\nNr czynności\n11.1.\n11.2.\n11.3.\n11.4.\n11.5.\nMaks. liczba pkt\n1\n1\n1\n1\n1\nWypełnia\negzaminator! Uzyskana liczba pkt\n\nPrzykładowy zestaw zadań nr 1 z matematyki\nPoziom rozszerzony\n19\nBRUDNOPIS","answer":null,"answer_text":null,"solution":"$q = \\sqrt{\\dfrac{1 + \\sqrt{5}}{2}}$","image":"img/matematyka-2008-marzec-probna-rozszerzona/zad-11.webp","solution_image":null,"topics":"ciagi","page_from":18,"source":"zadaniazmatur","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · marzec 2008 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"}]}