{"paper":{"id":"matematyka-2008-marzec-probna-rozszerzona-2","subject":"matematyka","category":"probna","year":2008,"month":"marzec","level":"rozszerzona","variant":null,"exam_pdf":"matematyka-2008-marzec-probna-rozszerzona-2/matematyka-2008-marzec-probna-rozszerzona-2.pdf","key_pdf":"matematyka-2008-marzec-probna-rozszerzona-odpowiedzi-2/matematyka-2008-marzec-probna-rozszerzona-odpowiedzi-2.pdf","question_count":11,"source_label":"Matematyka · Matura próbna · marzec 2008 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},"questions":[{"id":"matematyka-2008-marzec-probna-rozszerzona-2/zad/1","paper_id":"matematyka-2008-marzec-probna-rozszerzona-2","number":"1","points":5,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2008,"month":"marzec","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 1. (5 pkt)\nSuma trzech liczb rzeczywistych dodatnich jest równa 13. Druga liczba jest trzy razy większa\nod pierwszej. Wyznacz trzy liczby spełniające podane warunki tak, aby suma ich kwadratów\nbyła najmniejsza.\nPrzykładowy zestaw zadań nr 2 z matematyki\nPoziom rozszerzony\n3","answer":null,"answer_text":"1.1\nWprowadzenie oznaczeń: x, 3x, y - poszukiwane liczby i zapisanie równania:\n4\n13\nx\ny\nlub: zapisanie poszukiwanych liczb z użyciem jednej zmiennej: x, 3x,\n13\n4x\n1\n1.2\nZapisanie sumy kwadratów poszukiwanych liczb:\n(\n)\n2\n2\n2\n3\nS\nx\nx\ny\nlub\n(\n)\n2\n2\n2\n3\n(13\n4 )\nS\nx\nx\nx\n1\n1.3\nZapisanie sumy kwadratów szukanych liczb jako funkcji jednej zmiennej:\n2\n( )\n2\n8\n13\nS x\nx\nx\ngdy\n13\n0, 4\nx\n⎛\n⎞\n∈⎜\n⎟\n⎝\n⎠\n1\nZdający nie musi wyznaczyć\ndziedziny funkcji, o ile\nprzeprowadzi rozwiązanie do\nkońca i otrzyma trzy dodatnie\nliczby.\n1.4\nObliczenie argumentu, dla którego funkcja S przyjmuje wartość najmniejszą:\n2\nw\nx =\ni\n13\n0, 4\nw\nx\n⎛\n⎞\n∈⎜\n⎟\n⎝\n⎠\nwięc funkcja S osiąga najmniejszą wartość dla\n2\nx\n1\n1\n1.5\nPodanie odpowiedzi: Poszukiwane liczby to : 2, 6, 5.\n1\nPrzykładowy zestaw zadań nr 2 z matematyki\nOdpowiedzi i schemat punktowania - poziom rozszerzony\n2","solution":null,"image":"img/matematyka-2008-marzec-probna-rozszerzona-2/zad-1.webp","solution_image":null,"topics":"optymalizacja","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · marzec 2008 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2008-marzec-probna-rozszerzona-2/zad/2","paper_id":"matematyka-2008-marzec-probna-rozszerzona-2","number":"2","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2008,"month":"marzec","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 2. (4pkt)\nNa rysunku przedstawiono wykres pewnej funkcji wykładniczej\n( )\nx\nf x\na\ndla x\nR\n∈\n:\na) Narysuj wykres funkcji g, który jest obrazem wykresu funkcji f w przesunięciu o wektor\n[\n]1\n,2 -\nuG\nb) Wyznacz a i zapisz wzór funkcji g otrzymanej w wyniku tego przesunięcia.\nc) Odczytaj z wykresu zbiór wszystkich argumentów, dla których ( )\n0\ng x >\nx\ny\n0\n1\n2\n1\n2\n3\n3\n4\n4\n5\n5\n6\n6\n7\n7\n8\n8\n9\n-1\n-1\n-2\n-2\n-3\n-3\n-4\n-5\n-6\n-7\n-8\n( )\nx\nf\ny =\nPrzykładowy zestaw zadań nr 2 z matematyki\nPoziom rozszerzony\n4","answer":null,"answer_text":"2.1\nSporządzenie wykresu funkcji g.\n-9\n-8\n-7\n-6\n-5\n-4\n-3\n-2\n-1\n1\n2\n3\n4\n5\n6\n7\n8\n9\n-7\n-6\n-5\n-4\n-3\n-2\n-1\n1\n2\n3\n4\n5\n6\n7\nx\ny\nf\ng\n1\n2.2\nZapisanie podstawy a lub wzoru funkcji f:\n1\n2\na =\nlub\n( )\n1\n2\nx\nf x\n⎛\n⎞\n= ⎜\n⎟\n⎝\n⎠\n1\n2.3\nZapisanie wzoru funkcji g: ( )\n2\n1\n1\n2\nx\ng x\n⎛\n⎞\n⎜\n⎟\n⎝\n⎠\n1\n2\n2.4\nPodanie wszystkich argumentów, dla których ( )\n0\ng x >\n:\n(\n)\n,2\nx∈-∞\n1\nPrzykładowy zestaw zadań nr 2 z matematyki\nOdpowiedzi i schemat punktowania - poziom rozszerzony\n3","solution":null,"image":"img/matematyka-2008-marzec-probna-rozszerzona-2/zad-2.webp","solution_image":null,"topics":"wykladnicza","page_from":3,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · marzec 2008 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2008-marzec-probna-rozszerzona-2/zad/3","paper_id":"matematyka-2008-marzec-probna-rozszerzona-2","number":"3","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2008,"month":"marzec","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 3. (4 pkt)\nWyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których jedynym rozwiązaniem rzeczywistym\nrównania\n3\n3\n2\n2\n1\n0\nx\nm x\nm x\njest liczba 1.\nPrzykładowy zestaw zadań nr 2 z matematyki\nPoziom rozszerzony\n5","answer":null,"answer_text":"3.1\nWykorzystanie definicji rozwiązania równania lub twierdzenia o pierwiastkach\nwielomianu i zapisanie równania z niewiadomą m:\n3\n3\n2\n2\n1\n1\n1 1\n0\nm\nm\n⋅\n⋅-=\n1\n3.2\nObliczenie wszystkich wartości m, dla których liczba 1 jest rozwiązaniem równania\n(pierwiastkiem wielomianu):\n0\nm =\nlub\n1\nm = .\n1\n3.3\nUzasadnienie, że dla\n0\nm =\nrównanie ma tylko jedno rozwiązanie\n1\nx = (wielomian\nma tylko jeden pierwiastek), np. dla\n0\nm =\nrównanie ma postać\n(\n)(\n)\n3\n2\n1\n1\n1\n0\nx\nx\nx\nx\n, a trójmian\n2\n1\nx\nx\n+ nie ma pierwiastków.\n1\n3.4\nUzasadnienie, że dla\n1\nm = równanie ma więcej niż jedno rozwiązanie (wielomian\nma więcej niż jeden pierwiastek), np. dla\n1\nm = równanie ma postać\n(\n) (\n)\n2\n1\n1\n0\nx\nx\n, co oznacza, że liczba (\n)1\nteż jest jego rozwiązaniem.\n1\n3.1\nII sposób rozwiązania: czynność 3.1, 3.2\nZapisanie równania w postaci iloczynu, np. (\n)(\n)\n2\n1\n0\nx\nx\nbx\nc\ni wykonanie\nmnożenia\n(\n)\n(\n)\n3\n2\n1\n0\nx\nb\nx\nc\nb x\nc\n1\n3.2\nZastosowanie twierdzenia o równości wielomianów do zapisania układu warunków:\n1\nc = ,\n2\n1\nb\nm\n+ i\n3\n1\nb\nm\n+ oraz rozwiązanie równania\n3\n2\n1\n1\nm\nm\n+ :\n0\nm =\nlub\n1\nm = .\n1\n3.1\nIII sposób rozwiązania: czynność 3.1, 3.2\nWykorzystanie twierdzenia o pierwiastkach wielomianu i wykonanie dzielenia\nwielomianu W przez dwumian (\n)1\nx\n:\n( )\n(\n)\n(\n)\n(\n) (\n)\n2\n3\n2\n3\n3\n2\n1\n1\n1\nm\nm\nm\nm\nx\nm\nx\nx\nx\nW\n,\n1\n3\n3.2\nSkorzystanie z twierdzenia o reszcie i obliczenie m:\n0\n2\n3\n-m\nm\nstąd\n0\nm =\nlub\n1\nm = .\n1\nPrzykładowy zestaw zadań nr 2 z matematyki\nOdpowiedzi i schemat punktowania - poziom rozszerzony\n4","solution":null,"image":"img/matematyka-2008-marzec-probna-rozszerzona-2/zad-3.webp","solution_image":null,"topics":"wielomiany","page_from":4,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · marzec 2008 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2008-marzec-probna-rozszerzona-2/zad/4","paper_id":"matematyka-2008-marzec-probna-rozszerzona-2","number":"4","points":5,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2008,"month":"marzec","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 4. (5 pkt)\nWiadomo, że okrąg jest styczny do prostej o równaniu\n2\n3\ny\nx\n- w punkcie\n(\n)\n2,1\nA =\ni styczny do prostej o równaniu\n1\n9\n2\ny\nx\nw punkcie\n(\n)\n4,7\nB = -\n. Oblicz promień tego\nokręgu.\nPrzykładowy zestaw zadań nr 2 z matematyki\nPoziom rozszerzony\n6","answer":null,"answer_text":"4.1\nWykorzystanie w analizie zadania własności: promień okręgu jest prostopadły do\nstycznej w punkcie styczności.\n1\n4.2\nWyznaczenie równania prostej przechodzącej przez punkt B i prostopadłej do prostej\no równaniu\n1\n9\n2\ny\nx\n:\n2\n1\ny\nx\n1\n4.3\nWyznaczenie równania prostej przechodzącej przez punkt A i prostopadłej do prostej\no równaniu\n2\n3\ny\nx\n-:\n1\n2\n2\ny\nx\n1\n4.4\nObliczenie współrzędnych punktu przecięcia prostych\n1\n2\n2\ny\nx\ni\n2\n1\ny\nx\n-,\nktóry jest środkiem okręgu stycznego do danych prostych:\n(\n)\n2,3\nS = -\n1\n4\n4.5\nObliczenie promienia szukanego okręgu:\n2 5\nr\nSA\nSB\n1\nJeśli zdający nie zapisał w\npunkcie 4.1 własności:\npromień okręgu jest\nprostopadły do stycznej w\npunkcie styczności, ale z niej\nskorzystał w rozwiązaniu, to\nprzyznajemy punkt w\nczynności 4.1.\nPrzykładowy zestaw zadań nr 2 z matematyki\nOdpowiedzi i schemat punktowania - poziom rozszerzony\n5\n4.1\nII sposób rozwiązania:\n-6\n-5\n-4\n-3\n-2\n-1\n1\n2\n3\n4\n5\n6\n7\n8\n9\n1\n2\n3\n4\n5\n6\n7\n8\n9\n10\n11\n12\n13\n14\nx\ny\nB\nA\nP\nS\nW\nWykorzystanie własności - środek okręgu leży na symetralnej odcinka AB.\nObliczenie współrzędnych punktów W - przecięcia się danych prostych\noraz P - środka odcinka AB:\n(\n)\n8,13\nW =\n,\n(\n)\n1,4\nP = -\n1\n4.2\nWyznaczenie równania prostej przechodzącej przez punkty W oraz P (symetralnej\nodcinka AB):\n5\ny\nx\n1\n4.3\nWyznaczenie równania prostej przechodzącej przez punkt B i prostopadłej do prostej,\nna której leży ten punkt (lub prostej przechodzącej przez punkt A i prostopadłej do\nprostej, na której leży ten punkt):\n2\n1\ny\nx\n- lub\n1\n2\n2\ny\nx\n1\n4.4\nObliczenie współrzędnych środka okręgu:\n(\n)\n2,3\nS = -\n1\n4.5\nObliczenie promienia okręgu:\n2 5\nr\nSA\nSB\n1\nPrzykładowy zestaw zadań nr 2 z matematyki\nOdpowiedzi i schemat punktowania - poziom rozszerzony\n6\n4.1\nIII sposób rozwiązania\n-6\n-5\n-4\n-3\n-2\n-1\n1\n2\n3\n4\n5\n6\n7\n8\n9\n1\n2\n3\n4\n5\n6\n7\n8\n9\n10\n11\n12\n13\n14\nx\ny\nB\nA\nP\nS\nW\nObliczenie współrzędnych punktu W i obliczenie długości odcinków AW i BW:\n(\n)\n8,13\nW =\n,\n6 5\nAW\nBW\n(trójkąt AWB jest równoramienny).\n1\n4.2\nObliczenie współrzędnych punktu P (środka odcinka AB) oraz długości odcinków BP\ni PW:\n(\n)\n1,4\nP = -\n,\n3 2\nBP =\n,\n9 2\nPW =\n1\n4.3\nStwierdzenie podobieństwa trójkątów BWP i BSP.\n1\n4.4\nZapisanie proporcji BS\nBW\nBP\nPW\n1\n4.5\nObliczenie promienia okręgu:\n2 5\nr\nAS\nBS\n1\nPrzykładowy zestaw zadań nr 2 z matematyki\nOdpowiedzi i schemat punktowania - poziom rozszerzony\n7","solution":null,"image":"img/matematyka-2008-marzec-probna-rozszerzona-2/zad-4.webp","solution_image":null,"topics":"analityczna","page_from":5,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · marzec 2008 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2008-marzec-probna-rozszerzona-2/zad/5","paper_id":"matematyka-2008-marzec-probna-rozszerzona-2","number":"5","points":3,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2008,"month":"marzec","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 5. (3 pkt)\nNarysuj wykres funkcji\n( )\n1\n3\nf x\nx\n+ określonej dla x\nR\n∈\n, a następnie na jego podstawie\npodaj liczbę rozwiązań równania\n( )\nf x\nm\nw zależności od parametru m\nR\n∈\nPrzykładowy zestaw zadań nr 2 z matematyki\nPoziom rozszerzony\n7","answer":null,"answer_text":"5.1\nZapisanie wzoru funkcji f w postaci :\n( )\n2\n4\nx\nf x\nx\n⎧\n= ⎨-+\n⎩\ndla\n1\ndla\n1\nx\nx\n≥\n< .\n1\n5.2\nSporządzenie wykresu funkcji f :\n-9\n-8\n-7\n-6\n-5\n-4\n-3\n-2\n-1\n1\n2\n3\n4\n5\n6\n7\n8\n9\n6\n-5\n-4\n-3\n-2\n-1\n1\n2\n3\n4\n5\n6\n7\n8\n9\nx\ny\n1\nJeśli zdający od razu\npoprawnie naszkicuje wykres\nfunkcji f, to przyznajemy\npunkty w czynności 5.1 oraz\n5.2.\n5\n5.3\nPodanie liczby rozwiązań równania\n( )\nf x\nm\n: zero rozwiązań dla\n3\nm <\n, jedno\nrozwiązanie dla\n3\nm =\n, dwa rozwiązania dla\n3\nm >\n1\n6.1\nWprowadzenie oznaczeń, np.: x- liczba kupionych koszulek, y - cena koszulki oraz\nzapisanie równania:\n720\nx y\n⋅\n1\n6.2\nZapisanie równania: (\n5)(\n2)\n720\nx\ny\n1\n6.3\nZapisanie równania kwadratowego w zależności od jednej niewiadomej, np.\n2\n5\n1800\n0\nx\nx\nlub\n2\n2\n288\n0\ny\ny\n1\n6.4\nRozwiązanie równania kwadratowego\n40\nx =\nlub\n45\nx = -\n(\n18\ny =\nlub\n16\ny = -\n)\ni wybór właściwego rozwiązania, spełniającego warunki zadania.\n1\n6\n6.5\nPodanie odpowiedzi:\n40\nx =\n,\n18\ny =\n1\nPrzykładowy zestaw zadań nr 2 z matematyki\nOdpowiedzi i schemat punktowania - poziom rozszerzony\n8","solution":null,"image":"img/matematyka-2008-marzec-probna-rozszerzona-2/zad-5.webp","solution_image":null,"topics":"parametr","page_from":6,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · marzec 2008 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2008-marzec-probna-rozszerzona-2/zad/6","paper_id":"matematyka-2008-marzec-probna-rozszerzona-2","number":"6","points":5,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2008,"month":"marzec","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 6. (5 pkt)\nWłaściciel sklepu z odzieżą kupił w hurtowni koszulki, płacąc za nie 720 zł. Gdyby każda\nkoszulka kosztowała o 2 złote mniej, to za tę samą kwotę mógłby kupić o 5 koszulek więcej.\nOblicz, ile koszulek kupił w tej hurtowni wspomniany właściciel sklepu. Podaj cenę jednej\nkoszulki.\nPrzykładowy zestaw zadań nr 2 z matematyki\nPoziom rozszerzony\n8","answer":null,"answer_text":null,"solution":null,"image":"img/matematyka-2008-marzec-probna-rozszerzona-2/zad-6.webp","solution_image":null,"topics":"rownania_i_nierownosci","page_from":7,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · marzec 2008 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2008-marzec-probna-rozszerzona-2/zad/7","paper_id":"matematyka-2008-marzec-probna-rozszerzona-2","number":"7","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2008,"month":"marzec","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 7. (4 pkt)\nW czworokącie wypukłym ABCD dane są:\n2\nAB =\n,\n3\nBC =\n,\n3\nCD =\n,\n4\nDA =\ni\n60\nDAB =\n°\n)\n. Oblicz pole tego czworokąta.\nPrzykładowy zestaw zadań nr 2 z matematyki\nPoziom rozszerzony\n9","answer":null,"answer_text":"7.1\nObliczenie długości przekątnej BD (leżącej naprzeciw kąta DAB):\n2 3\nBD =\n1\n7.2\nObliczenie miary kąta C leżącego naprzeciw kąta A (wykorzystanie twierdzenia\nodwrotnego do twierdzenia Pitagorasa lub twierdzenia kosinusów):\n90\nBCD =\nD\n)\n1\n7.3\nZapisanie pola P czworokąta ABCD jako sumy pól dwóch trójkątów, np.:\nABCD\nABD\nBCD\nP\nP\nP\n1\n7\n7.4\nObliczenie pola czworokąta ABCD:\n7 3\n2\nP =\n1\n8\n8.1\nZaznaczenie na rysunku kata\n60\nα =\n° - kąta nachylenia płaszczyzny przekroju do\npłaszczyzny podstawy graniastosłupa.\nPrzyjęcie oznaczeń, np.:\na - długość krawędzi podstawy graniastosłupa,\nw - wysokość trójkąta ABC, będącego rozważanym przekrojem graniastosłupa,\nh- wysokość graniastosłupa.\n1\n60D\na\nB\nD\nA\nC\nE\nh\nw\nPrzykładowy zestaw zadań nr 2 z matematyki\nOdpowiedzi i schemat punktowania - poziom rozszerzony\n9","solution":null,"image":"img/matematyka-2008-marzec-probna-rozszerzona-2/zad-7.webp","solution_image":null,"topics":"planimetria","page_from":8,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · marzec 2008 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2008-marzec-probna-rozszerzona-2/zad/8","paper_id":"matematyka-2008-marzec-probna-rozszerzona-2","number":"8","points":5,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2008,"month":"marzec","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 8. (5 pkt)\nW graniastosłupie prawidłowym sześciokątnym płaszczyzna ABC zawierająca przekątne\nsąsiednich ścian bocznych, wychodzących z tego samego wierzchołka, jest nachylona do\npodstawy graniastosłupa pod kątem\n60\nα =\n°. Pole przekroju graniastosłupa tą płaszczyzną\nrówna się 8 3 . Zaznacz na poniższym rysunku kąt α . Oblicz objętość tego graniastosłupa.\nA\nC\nB\nPrzykładowy zestaw zadań nr 2 z matematyki\nPoziom rozszerzony\n10","answer":null,"answer_text":"8.2\nWyznaczenie wysokości w z trójkąta prostokątnego CDE:\n2\na\nDE =\ni z własności\ntrójkąta CDE\n2\nw\nDE\n⋅\nstąd w\na\n1\n8.3\nObliczenie długości krawędzi podstawy graniastosłupa:\n3\nAB\na\n,\n4\na =\n1\n8.4\nObliczenie wysokości h graniastosłupa:\n2 3\nh =\n1\n8.5\nObliczenie objętości V graniastosłupa:\n144\nV =\n1\n9.1\nPrzyjęcie metody prowadzącej do wyznaczenia zależności między bokami AB i BC\ntrójkąta ABC (np. zapisanie pola trójkąta ABC na dwa sposoby lub zapisanie, że\nADB\nCEB\nΔ\nΔ\n∼\n).\n1\n9.2\nWyznaczenie zależności między bokami AB i BC trójkąt ABC: AB\na\n,\n2\nAC\nBC\na\nlub\n2\nBC\nAB\n1\n9.3\nObliczenie kosinusa kąta ABC , np. z trójkąta CEB:\n1\ncos\ncos\n4\nABC\nCAB\n)\n)\n1\nZdający nie musi zapisywać\n„podwójnej” równości.\nWystarczy, że oznaczy tą samą\nliterą kąty przy podstawie\ntrójkąta.\n9.4\nWyznaczenie BD z trójkąta ADB:\ncos\nBD\nABD\nAB =\n)\nstąd\n1\n4\nBD\nAB\n⋅\noraz,\n7\n4\nCD\nAB\n1\n9.5\nObliczenie kosinusa kąta BCA z trójkąta ADC:\n7\ncos\n8\nCD\nBCA\nAC\n)\n1\n9\n9.4\nII sposób rozwiązania: (czynności 10.4, 10.5)\nZapisanie długości boków trójkąta ABC w zależności od jednej zmiennej,\nnp.: AB\na\n,\n2\nAC\nBC\na\nObliczenie z tw. Pitagorasa w trójkącie ACE wysokości CE:\n15\n2\na\nCE =\n, oraz\n1\n15\n2\n4\na\nAD\nCE\n⋅\n1\nPrzykładowy zestaw zadań nr 2 z matematyki\nOdpowiedzi i schemat punktowania - poziom rozszerzony\n10","solution":null,"image":"img/matematyka-2008-marzec-probna-rozszerzona-2/zad-8.webp","solution_image":null,"topics":"stereometria","page_from":9,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · marzec 2008 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2008-marzec-probna-rozszerzona-2/zad/9","paper_id":"matematyka-2008-marzec-probna-rozszerzona-2","number":"9","points":5,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2008,"month":"marzec","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 9. (5 pkt)\nW trójkącie równoramiennym ABC , w którym\nBC\nAC =\nwysokość CE jest dwa razy\ndłuższa od wysokości AD (patrz rysunek). Oblicz kosinusy wszystkich kątów wewnętrznych\ntrójkąta ABC .\nA\nB\nC\nE\nD\nPrzykładowy zestaw zadań nr 2 z matematyki\nPoziom rozszerzony\n11\nPrzykładowy zestaw zadań nr 2 z matematyki\nPoziom rozszerzony\n12","answer":null,"answer_text":"9.5\nObliczenie sinusa kąta DCA z trójkąta ADC:\n15\nsin\n8\nAD\nDCA\nAC\n)\n1\n9.4\nIII sposób rozwiązania: (czynności 10.4, 10.5)\nPrzedstawienie metody pozwalającej obliczyć kosinus kąta przy wierzchołku C :\nnp. z trójkąta prostokątnego ADC :\ncos\n1\nDC\nDC\nDB\nDB\nDB\nDCA\nAC\nDB\nDC\nDB\nDC\n)\noraz wyznaczenie BD z\ntrójkąta ADB:\n1\n4\nBD\nAB\n⋅\n1\n9.5\nObliczenie kosinusa kąta DCA:\n7\ncos\n8\nDCA =\n)\n1\n9.4\nIV sposób rozwiązania: (czynności 10.4, 10.5)\nZastosowanie twierdzenia kosinusów i zapisanie, że\n2\n2\n2\n2\ncos\nAB\nAC\nBC\nAC\nBC\nBCA\n-⋅\n⋅\n⋅\n)\n(\n)\n(\n)\n(\n) (\n)\n2\n2\n2\n2\n2\n2\n2\n2\ncos\na\na\na\na\na\nBCA\n-⋅\n⋅\n⋅\n)\n1\n9.5\nObliczenie kosinusa kąta BCA:\n7\ncos\n8\nBCA =\n)\n1\n10.1\nWyznaczenie wyrazu\n1\nna + :\n1\n3 n\nna\n1\n10.2\nObliczenie ilorazu ciągu (\n)\nna\n:\n1\n3\nq\nlub\n1\n3\nq =\n1\nJeśli zdający od razu poda\nprawidłowo iloraz ciągu to\notrzymuje również punkt w\nczynności 10.1\n10.3\nZapisanie sumy logarytmów:\n( )\n1\n2\n99\n100\n3\n3\n3\n3\nlog 1 log\n3\nlog 3\nlog 3\nS\n1\n10.4\nZapisanie sumy logarytmów w postaci:\n(1 2 3 99)\n50 ( 99)\n100\n3\n3\nlog 3\nlog 3\nS\n⋅-\n1\n10\n10.5\nObliczenie sumy stu początkowych wyrazów ciągu:\n100\n4950\nS\n1\nPrzykładowy zestaw zadań nr 2 z matematyki\nOdpowiedzi i schemat punktowania - poziom rozszerzony\n11","solution":null,"image":"img/matematyka-2008-marzec-probna-rozszerzona-2/zad-9.webp","solution_image":null,"topics":"planimetria","page_from":10,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · marzec 2008 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2008-marzec-probna-rozszerzona-2/zad/10","paper_id":"matematyka-2008-marzec-probna-rozszerzona-2","number":"10","points":5,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2008,"month":"marzec","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 10. (5 pkt)\nCiąg geometryczny (\n)\nn\na\njest określony wzorem\n1\n3\nn\nna\ndla\n1\nn ≥.\na) Oblicz iloraz tego ciągu.\nb) Oblicz\n3\n1\n3\n2\n3\n3\n3\n100\nlog\nlog\nlog\nlog\na\na\na\na\nczyli sumę logarytmów, o podstawie 3, stu\npoczątkowych, kolejnych wyrazów tego ciągu.\nPrzykładowy zestaw zadań nr 2 z matematyki\nPoziom rozszerzony\n13","answer":null,"answer_text":null,"solution":null,"image":"img/matematyka-2008-marzec-probna-rozszerzona-2/zad-10.webp","solution_image":null,"topics":"ciagi","page_from":12,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · marzec 2008 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2008-marzec-probna-rozszerzona-2/zad/11","paper_id":"matematyka-2008-marzec-probna-rozszerzona-2","number":"11","points":5,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2008,"month":"marzec","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 11. (5 pkt)\nRzucamy trzykrotnie symetryczną kostką sześcienną do gry. Oblicz prawdopodobieństwa\nnastępujących zdarzeń:\nA - na każdej kostce wypadnie nieparzysta liczba oczek,\nB - suma kwadratów liczb wyrzuconych oczek będzie podzielna przez 3.\nPrzykładowy zestaw zadań nr 2 z matematyki\nPoziom rozszerzony\n14\nBRUDNOPIS","answer":null,"answer_text":"11.1\nObliczenie mocy zbioru zdarzeń elementarnych:\n36\nΩ =\n11.2\nObliczenie liczby zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu A:\n33\nA =\n1\n11.3\nObliczenie prawdopodobieństw zdarzenia A:\n( )\n3\n3\n3\n1\n6\n8\nP A =\n,\n1\n11.4\nStwierdzenie, że suma kwadratów liczb wyrzuconych oczek będzie podzielna przez\ntrzy wtedy, gdy każda z wyrzuconych liczb będzie podzielna przez trzy albo gdy\nżadna z nich nie jest podzielnych przez trzy.\n1\n11\n11.5\nObliczenie liczby zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu B :\n3\n3\n2\n4\nB =\ni prawdopodobieństwa tego zdarzenia B:\n( )\n3\n3\n3\n2\n4\n72\n1\n6\n216\n3\nP B\n1\nAkceptujemy wynik w postaci\nułamka skracalnego albo\nprzybliżony, o ile tylko\nrozwiązanie zdającego\nwskazuje na poprawne\nobliczenie liczby B\ni poprawne zastosowanie\ndefinicji prawdopodobieństwa.","solution":null,"image":"img/matematyka-2008-marzec-probna-rozszerzona-2/zad-11.webp","solution_image":null,"topics":"prawdopodobienstwo","page_from":13,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · marzec 2008 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"}]}