{"paper":{"id":"matematyka-2009-listopad-probna-podstawowa","subject":"matematyka","category":"probna","year":2009,"month":"listopad","level":"podstawowa","variant":null,"exam_pdf":"matematyka-2009-listopad-probna-podstawowa/matematyka-2009-listopad-probna-podstawowa.pdf","key_pdf":"matematyka-2009-listopad-probna-podstawowa-odpowiedzi/matematyka-2009-listopad-probna-podstawowa-odpowiedzi.pdf","question_count":34,"source_label":"Matematyka · Matura próbna · listopad 2009 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},"questions":[{"id":"matematyka-2009-listopad-probna-podstawowa/zad/1","paper_id":"matematyka-2009-listopad-probna-podstawowa","number":"1","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"probna","year":2009,"month":"listopad","level":"podstawowa","text":"Zadanie 1.\n(1 pkt)\nWskaż nierówność, która opisuje sumę przedziałów zaznaczonych na osi liczbowej.\nx\n6\n-2\nA.\n2\n4\nx -\n>\nB.\n2\n4\nx -\n<\nC.\n4\n2\nx -\n<\nD.\n4\n2\nx -\n>","answer":"A","answer_text":"3\n4\n5\n6\n7\n8\n9\n10\n11\n12\n13\n14\n15\n16\n17\n18\n19\n20\n21\n22\n23\n24\n25","solution":null,"image":"img/matematyka-2009-listopad-probna-podstawowa/zad-1.webp","solution_image":null,"topics":"bezwgledna","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · listopad 2009 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2009-listopad-probna-podstawowa/zad/2","paper_id":"matematyka-2009-listopad-probna-podstawowa","number":"2","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"probna","year":2009,"month":"listopad","level":"podstawowa","text":"Zadanie 2.\n(1 pkt)\nNa seans filmowy sprzedano 280 biletów, w tym 126 ulgowych. Jaki procent sprzedanych\nbiletów stanowiły bilety ulgowe?\nA. 22%\nB. 33%\nC. 45%\nD. 63%","answer":"C","answer_text":"4\n5\n6\n7\n8\n9\n10\n11\n12\n13\n14\n15\n16\n17\n18\n19\n20\n21\n22\n23\n24\n25","solution":null,"image":"img/matematyka-2009-listopad-probna-podstawowa/zad-2.webp","solution_image":null,"topics":"algebra","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · listopad 2009 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2009-listopad-probna-podstawowa/zad/3","paper_id":"matematyka-2009-listopad-probna-podstawowa","number":"3","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"probna","year":2009,"month":"listopad","level":"podstawowa","text":"Zadanie 3.\n(1 pkt)\n6% liczby x jest równe 9. Wtedy\nA.\n240\nx =\nB.\n150\nx =\nC.\n24\nx =\nD.\n15\nx =","answer":"B","answer_text":"x\n2\n2\nx\n14\nx\n2\n(\nx\n7\n)\n2\n(\nx\n7\n) (\nx\n2\n2\n)(\nx\n7\n)","solution":null,"image":"img/matematyka-2009-listopad-probna-podstawowa/zad-3.webp","solution_image":null,"topics":"algebra","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · listopad 2009 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2009-listopad-probna-podstawowa/zad/4","paper_id":"matematyka-2009-listopad-probna-podstawowa","number":"4","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"probna","year":2009,"month":"listopad","level":"podstawowa","text":"Zadanie 4.\n(1 pkt)\nIloraz\n4\n3\n1\n32\n: 8\n⎛\n⎞\n⎜\n⎟\n⎝\n⎠\njest równy\nA.\n27\n2-\nB.\n3\n2-\nC.\n3\n2\nD.\n27\n2","answer":"B","answer_text":"28\nx\n48\n0","solution":null,"image":"img/matematyka-2009-listopad-probna-podstawowa/zad-4.webp","solution_image":null,"topics":"wykladnicza","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · listopad 2009 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2009-listopad-probna-podstawowa/zad/5","paper_id":"matematyka-2009-listopad-probna-podstawowa","number":"5","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"probna","year":2009,"month":"listopad","level":"podstawowa","text":"Zadanie 5.\n(1 pkt)\nO liczbie x wiadomo, że\n3\nlog\n9\nx =\n. Zatem\nA.\n2\nx\nB.\n2\n1\nx\nC.\n93\nx\nD.\n3\n9\nx","answer":"C","answer_text":"5\n5\n5","solution":null,"image":"img/matematyka-2009-listopad-probna-podstawowa/zad-5.webp","solution_image":null,"topics":"logarytmy","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · listopad 2009 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2009-listopad-probna-podstawowa/zad/6","paper_id":"matematyka-2009-listopad-probna-podstawowa","number":"6","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"probna","year":2009,"month":"listopad","level":"podstawowa","text":"Zadanie 6.\n(1 pkt)\nWyrażenie\n3\n3\n27x\ny\njest równe iloczynowi\nA. (\n)(\n)\n2\n2\n3\n9\n3\nx\ny\nx\nxy\ny\nB. (\n)(\n)\n2\n2\n3\n9\n3\nx\ny\nx\nxy\ny\nC. (\n)(\n)\n2\n2\n3\n9\n3\nx\ny\nx\nxy\ny\nD. (\n)(\n)\n2\n2\n3\n9\n3\nx\ny\nx\nxy\ny","answer":"A","answer_text":null,"solution":null,"image":"img/matematyka-2009-listopad-probna-podstawowa/zad-6.webp","solution_image":null,"topics":"algebra","page_from":2,"source":"matugen","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · listopad 2009 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2009-listopad-probna-podstawowa/zad/7","paper_id":"matematyka-2009-listopad-probna-podstawowa","number":"7","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"probna","year":2009,"month":"listopad","level":"podstawowa","text":"Zadanie 7.\n(1 pkt)\nDane są wielomiany:\n( )\n3\n3\n1\nW x\nx\nx\n+ oraz\n( )\n3\n2\nV x\nx\n. Wielomian\n( )\n( )\nW x V x\n⋅\njest równy\nA.\n5\n4\n3\n2\n6\n2\nx\nx\nx\nB.\n6\n4\n3\n2\n6\n2\nx\nx\nx\nC.\n5\n2\n3\n1\nx\nx\nD.\n5\n4\n3\n2\n6\n2\nx\nx\nx\n\nPróbny egzamin maturalny z matematyki\nPoziom podstawowy\n3\nBRUDNOPIS\n\nPróbny egzamin maturalny z matematyki\nPoziom podstawowy\n4","answer":"B","answer_text":"2\nx\n14\nx\n2\n(\nx\n7\n)\n2\n(\nx\n7\n) (\nx\n2\n2\n)(\nx\n7\n)","solution":null,"image":"img/matematyka-2009-listopad-probna-podstawowa/zad-7.webp","solution_image":null,"topics":"wielomiany","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · listopad 2009 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2009-listopad-probna-podstawowa/zad/8","paper_id":"matematyka-2009-listopad-probna-podstawowa","number":"8","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"probna","year":2009,"month":"listopad","level":"podstawowa","text":"Zadanie 8.\n(1 pkt)\nWierzchołek paraboli o równaniu\n(\n)\n2\n3\n1\ny\nx\nma współrzędne\nA. (\n)\n1,0\nB. (\n)\n0, 1\nC. (\n)\n1,0\nD. (\n)\n0,1","answer":"A","answer_text":"y\n3\n)\n480","solution":null,"image":"img/matematyka-2009-listopad-probna-podstawowa/zad-8.webp","solution_image":null,"topics":"funkcje","page_from":4,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · listopad 2009 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2009-listopad-probna-podstawowa/zad/9","paper_id":"matematyka-2009-listopad-probna-podstawowa","number":"9","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"probna","year":2009,"month":"listopad","level":"podstawowa","text":"Zadanie 9.\n(1 pkt)\nDo wykresu funkcji\n( )\n2\n2\nf x\nx\nx\nnależy punkt\nA. (\n)\n1, 4\nB. (\n)\n1,1\nC. (\n)\n1, 1\nD. (\n)\n1, 2","answer":"D","answer_text":null,"solution":null,"image":"img/matematyka-2009-listopad-probna-podstawowa/zad-9.webp","solution_image":null,"topics":"funkcje","page_from":4,"source":"matugen","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · listopad 2009 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2009-listopad-probna-podstawowa/zad/10","paper_id":"matematyka-2009-listopad-probna-podstawowa","number":"10","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"probna","year":2009,"month":"listopad","level":"podstawowa","text":"Zadanie 10. (1 pkt)\nRozwiązaniem równania\n5\n2\n3\n3\nx\nx\njest liczba\nA. 21\nB. 7\nC. 17\n3\nD. 0","answer":"A","answer_text":null,"solution":null,"image":"img/matematyka-2009-listopad-probna-podstawowa/zad-10.webp","solution_image":null,"topics":"rownania_i_nierownosci","page_from":4,"source":"matugen","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · listopad 2009 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2009-listopad-probna-podstawowa/zad/11","paper_id":"matematyka-2009-listopad-probna-podstawowa","number":"11","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"probna","year":2009,"month":"listopad","level":"podstawowa","text":"Zadanie 11. (1 pkt)\nZbiór rozwiązań nierówności (\n)(\n)\n1\n3\n0\nx\nx\n>\nprzedstawiony jest na rysunku\nA.\n3\nx\n-1\nB.\n1\nx\n-3\nC.\n3\nx\n-1\nD.\n1\nx\n-3","answer":"C","answer_text":null,"solution":null,"image":"img/matematyka-2009-listopad-probna-podstawowa/zad-11.webp","solution_image":null,"topics":"rownania_i_nierownosci","page_from":4,"source":"matugen","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · listopad 2009 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2009-listopad-probna-podstawowa/zad/12","paper_id":"matematyka-2009-listopad-probna-podstawowa","number":"12","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"probna","year":2009,"month":"listopad","level":"podstawowa","text":"Zadanie 12. (1 pkt)\nDla\n1,2,3,\nn =\nciąg (\n)\nna\njest określony wzorem:\n(\n) (\n)\n1\n3\nn\nna\nn\n⋅\n. Wtedy\nA.\n3\n0\na <\nB.\n3\n0\na =\nC.\n3\n1\na =\nD.\n3\n1\na >","answer":"B","answer_text":null,"solution":null,"image":"img/matematyka-2009-listopad-probna-podstawowa/zad-12.webp","solution_image":null,"topics":"ciagi","page_from":4,"source":"matugen","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · listopad 2009 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2009-listopad-probna-podstawowa/zad/13","paper_id":"matematyka-2009-listopad-probna-podstawowa","number":"13","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"probna","year":2009,"month":"listopad","level":"podstawowa","text":"Zadanie 13. (1 pkt)\nW ciągu arytmetycznym trzeci wyraz jest równy 14, a jedenasty jest równy 34. Różnica tego\nciągu jest równa\nA. 9\nB.\n5\n2\nC. 2\nD. 2\n5","answer":"B","answer_text":null,"solution":null,"image":"img/matematyka-2009-listopad-probna-podstawowa/zad-13.webp","solution_image":null,"topics":"ciagi","page_from":4,"source":"matugen","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · listopad 2009 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2009-listopad-probna-podstawowa/zad/14","paper_id":"matematyka-2009-listopad-probna-podstawowa","number":"14","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"probna","year":2009,"month":"listopad","level":"podstawowa","text":"Zadanie 14. (1 pkt)\nW ciągu geometrycznym (\n)\nna\ndane są:\n1\n32\na =\ni\n4\n4\na = -. Iloraz tego ciągu jest równy\nA. 12\nB.\n1\n2\nC.\n1\n2\nD.\n12\n\nPróbny egzamin maturalny z matematyki\nPoziom podstawowy\n5\nBRUDNOPIS\n\nPróbny egzamin maturalny z matematyki\nPoziom podstawowy\n6","answer":"C","answer_text":null,"solution":null,"image":"img/matematyka-2009-listopad-probna-podstawowa/zad-14.webp","solution_image":null,"topics":"ciagi","page_from":4,"source":"matugen","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · listopad 2009 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2009-listopad-probna-podstawowa/zad/15","paper_id":"matematyka-2009-listopad-probna-podstawowa","number":"15","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"probna","year":2009,"month":"listopad","level":"podstawowa","text":"Zadanie 15. (1 pkt)\nKąt α jest ostry i\n8\nsin\n9\nα =\n. Wtedy cosα jest równy\nA. 1\n9\nB.\n8\n9\nC.\n17\n9\nD.\n65\n9","answer":"C","answer_text":null,"solution":null,"image":"img/matematyka-2009-listopad-probna-podstawowa/zad-15.webp","solution_image":null,"topics":"trygonometria","page_from":6,"source":"matugen","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · listopad 2009 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2009-listopad-probna-podstawowa/zad/16","paper_id":"matematyka-2009-listopad-probna-podstawowa","number":"16","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"probna","year":2009,"month":"listopad","level":"podstawowa","text":"Zadanie 16. (1 pkt)\nDany jest trójkąt prostokątny (patrz rysunek). Wtedy tgα jest równy\nα\n1\n2\n3\nA.\n2\nB.\n2\n3\nC.\n3\n2\nD.\n1\n2","answer":"D","answer_text":null,"solution":null,"image":"img/matematyka-2009-listopad-probna-podstawowa/zad-16.webp","solution_image":null,"topics":"trygonometria","page_from":6,"source":"matugen","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · listopad 2009 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2009-listopad-probna-podstawowa/zad/17","paper_id":"matematyka-2009-listopad-probna-podstawowa","number":"17","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"probna","year":2009,"month":"listopad","level":"podstawowa","text":"Zadanie 17. (1 pkt)\nW trójkącie równoramiennym ABC dane są\n7\nAC\nBC\noraz\n12\nAB =\n. Wysokość\nopuszczona z wierzchołka C jest równa\nA.\n13\nB.\n5\nC. 1\nD. 5","answer":"A","answer_text":null,"solution":null,"image":"img/matematyka-2009-listopad-probna-podstawowa/zad-17.webp","solution_image":null,"topics":"planimetria","page_from":6,"source":"matugen","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · listopad 2009 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2009-listopad-probna-podstawowa/zad/18","paper_id":"matematyka-2009-listopad-probna-podstawowa","number":"18","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"probna","year":2009,"month":"listopad","level":"podstawowa","text":"Zadanie 18. (1 pkt)\nOblicz długość odcinka AE wiedząc, że AB CD\n&\ni\n6\nAB =\n,\n4\nAC =\n,\n8\nCD =\nE\nC\nD\nA\nB\n6\n8\n4\nA.\n2\nAE =\nB.\n4\nAE =\nC.\n6\nAE =\nD.\n12\nAE =","answer":"D","answer_text":null,"solution":null,"image":"img/matematyka-2009-listopad-probna-podstawowa/zad-18.webp","solution_image":null,"topics":"planimetria","page_from":6,"source":"matugen","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · listopad 2009 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2009-listopad-probna-podstawowa/zad/19","paper_id":"matematyka-2009-listopad-probna-podstawowa","number":"19","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"probna","year":2009,"month":"listopad","level":"podstawowa","text":"Zadanie 19. (1 pkt)\nDane są punkty\n(\n)\n2,3\nA = -\noraz\n(\n)\n4,6\nB =\n. Długość odcinka AB jest równa\nA.\n208\nB.\n52\nC.\n45\nD.\n40","answer":"C","answer_text":null,"solution":null,"image":"img/matematyka-2009-listopad-probna-podstawowa/zad-19.webp","solution_image":null,"topics":"analityczna","page_from":6,"source":"matugen","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · listopad 2009 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2009-listopad-probna-podstawowa/zad/20","paper_id":"matematyka-2009-listopad-probna-podstawowa","number":"20","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"probna","year":2009,"month":"listopad","level":"podstawowa","text":"Zadanie 20. (1 pkt)\nPromień okręgu o równaniu (\n)\n2\n2\n1\n16\nx\ny\njest równy\nA. 1\nB. 2\nC. 3\nD. 4\n\nPróbny egzamin maturalny z matematyki\nPoziom podstawowy\n7\nBRUDNOPIS\n\nPróbny egzamin maturalny z matematyki\nPoziom podstawowy\n8","answer":"D","answer_text":null,"solution":null,"image":"img/matematyka-2009-listopad-probna-podstawowa/zad-20.webp","solution_image":null,"topics":"analityczna","page_from":6,"source":"matugen","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · listopad 2009 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2009-listopad-probna-podstawowa/zad/21","paper_id":"matematyka-2009-listopad-probna-podstawowa","number":"21","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"probna","year":2009,"month":"listopad","level":"podstawowa","text":"Zadanie 21. (1 pkt)\nWykres funkcji liniowej określonej wzorem\n( )\n3\n2\nf x\nx\njest prostą prostopadłą do prostej\no równaniu:\nA.\n1\n1\n3\ny\nx\nB.\n1\n1\n3\ny\nx\nC.\n3\n1\ny\nx\nD.\n3\n1\ny\nx","answer":"A","answer_text":null,"solution":null,"image":"img/matematyka-2009-listopad-probna-podstawowa/zad-21.webp","solution_image":null,"topics":"analityczna","page_from":8,"source":"matugen","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · listopad 2009 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2009-listopad-probna-podstawowa/zad/22","paper_id":"matematyka-2009-listopad-probna-podstawowa","number":"22","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"probna","year":2009,"month":"listopad","level":"podstawowa","text":"Zadanie 22. (1 pkt)\nProsta o równaniu\n(\n)\n4\n2\n7\ny\nx\nm\nprzechodzi przez punkt\n(\n)\n2, 1\nA =\n. Wtedy\nA.\n7\nm =\nB.\n1\n2 2\nm =\nC.\n1\n2\nm = -\nD.\n17\nm = -","answer":"A","answer_text":null,"solution":null,"image":"img/matematyka-2009-listopad-probna-podstawowa/zad-22.webp","solution_image":null,"topics":"analityczna","page_from":8,"source":"matugen","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · listopad 2009 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2009-listopad-probna-podstawowa/zad/23","paper_id":"matematyka-2009-listopad-probna-podstawowa","number":"23","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"probna","year":2009,"month":"listopad","level":"podstawowa","text":"Zadanie 23. (1 pkt)\nPole powierzchni całkowitej sześcianu jest równe 150 cm2. Długość krawędzi tego sześcianu\njest równa\nA. 3,5 cm\nB. 4 cm\nC. 4,5 cm\nD. 5 cm","answer":"D","answer_text":null,"solution":null,"image":"img/matematyka-2009-listopad-probna-podstawowa/zad-23.webp","solution_image":null,"topics":"stereometria","page_from":8,"source":"matugen","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · listopad 2009 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2009-listopad-probna-podstawowa/zad/24","paper_id":"matematyka-2009-listopad-probna-podstawowa","number":"24","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"probna","year":2009,"month":"listopad","level":"podstawowa","text":"Zadanie 24. (1 pkt)\nŚrednia arytmetyczna pięciu liczb: 5, x, 1, 3, 1 jest równa 3. Wtedy\nA.\n2\nx =\nB.\n3\nx =\nC.\n4\nx =\nD.\n5\nx =","answer":"D","answer_text":null,"solution":null,"image":"img/matematyka-2009-listopad-probna-podstawowa/zad-24.webp","solution_image":null,"topics":"prawdopodobienstwo","page_from":8,"source":"matugen","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · listopad 2009 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2009-listopad-probna-podstawowa/zad/25","paper_id":"matematyka-2009-listopad-probna-podstawowa","number":"25","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"probna","year":2009,"month":"listopad","level":"podstawowa","text":"Zadanie 25. (1 pkt)\nWybieramy liczbę a ze zbioru\n{\n}\n2,3,4,5\nA =\noraz liczbę b ze zbioru\n{\n}\n1,4\nB =\n. Ile jest takich par\n(\n)\n,a b , że iloczyn a b\n⋅ jest liczbą nieparzystą?\nA. 2\nB. 3\nC. 5\nD. 20\n\nPróbny egzamin maturalny z matematyki\nPoziom podstawowy\n9\nBRUDNOPIS\n\nPróbny egzamin maturalny z matematyki\nPoziom podstawowy\n10\nZADANIA OTWARTE\nRozwiązania zadań o numerach od 26. do 34. należy zapisać w wyznaczonych miejscach\npod treścią zadania.","answer":"A","answer_text":null,"solution":null,"image":"img/matematyka-2009-listopad-probna-podstawowa/zad-25.webp","solution_image":null,"topics":"kombinatoryka","page_from":8,"source":"matugen","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · listopad 2009 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2009-listopad-probna-podstawowa/zad/26","paper_id":"matematyka-2009-listopad-probna-podstawowa","number":"26","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2009,"month":"listopad","level":"podstawowa","text":"Zadanie 26. (2 pkt)\nRozwiąż nierówność\n2\n3\n2\n0\nx\nx\n≤\nOdpowiedź:","answer":null,"answer_text":"Zadanie 26. (2 punkty)\nRozwiąż nierówność\n2\n3\n2\n0\nx\nx\n≤\nRozwiązanie:\nObliczam miejsca zerowe funkcji kwadratowej\n( )\n2\n3\n2\nf x\nx\nx\n:\n(\n)\n2\n3\n4 1 2\n9\n8\n1\nΔ = -\n-⋅⋅\n1\nΔ =\n1\n3 1\n1\n2\nx\n2\n3 1\n2\n2\nx\nRysuję fragment wykresu funkcji kwadratowej f i na jego podstawie odczytuję\nrozwiązanie nierówności:\n-4\n-3\n-2\n-1\n1\n2\n3\n4\n5\n-2\n-1\n1\n2\n3\n4\n5\n6\nx\ny\nOdpowiedź:\n1, 2 .\nx∈\nUwaga: Można przedstawić funkcję f w postaci\n( )\n(\n)(\n)\n1\n2\nf x\nx\nx\ni odczytać\nrozwiązanie nierówności.\n3","solution":"$x \\in \\langle 1, 2 \\rangle$","image":"img/matematyka-2009-listopad-probna-podstawowa/zad-26.webp","solution_image":null,"topics":"rownania_i_nierownosci","page_from":10,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · listopad 2009 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2009-listopad-probna-podstawowa/zad/27","paper_id":"matematyka-2009-listopad-probna-podstawowa","number":"27","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2009,"month":"listopad","level":"podstawowa","text":"Zadanie 27. (2 pkt)\nRozwiąż równanie\n3\n2\n7\n2\n14\n0\nx\nx\nx\nOdpowiedź:\n\nPróbny egzamin maturalny z matematyki\nPoziom podstawowy\n11","answer":null,"answer_text":"Zadanie 27. (2 punkty)\nRozwiąż równanie\n3\n2\n7\n2\n14\n0\nx\nx\nx\nRozwiązanie:\nStosuję metodę grupowania, by przedstawić lewą stronę równania w postaci iloczynowej:\n(\n)\n(\n) (\n)(\n)\n3\n2\n2\n2\n7\n2\n14\n7\n2\n7\n2\n7\nx\nx\nx\nx\nx\nx\nx\nx\nZ równania (\n)(\n)\n2\n2\n7\n0\nx\nx\notrzymujemy, że\n2\n2\n0\nx +\nlub\n7\n0\nx -\nRównanie\n2\n2\n0\nx +\nnie ma rozwiązań. Rozwiązaniem równania\n7\n0\nx -\njest liczba 7.\nOdpowiedź: Jedynym rozwiązaniem jest\n7\nx","solution":"$x = 7$","image":"img/matematyka-2009-listopad-probna-podstawowa/zad-27.webp","solution_image":null,"topics":"rownania_i_nierownosci","page_from":10,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · listopad 2009 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2009-listopad-probna-podstawowa/zad/28","paper_id":"matematyka-2009-listopad-probna-podstawowa","number":"28","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2009,"month":"listopad","level":"podstawowa","text":"Zadanie 28. (2 pkt)\nW układzie współrzędnych na płaszczyźnie punkty\n(\n)\n2, 5\nA =\ni\n(\n)\nC\n6, 7\nsą przeciwległymi\nwierzchołkami kwadratu ABCD. Wyznacz równanie prostej BD.\nOdpowiedź:","answer":null,"answer_text":"Zadanie 28. (2 punkty)\nW układzie współrzędnych na płaszczyźnie punkty\n(\n)\n2, 5\nA =\ni\n(\n)\nC\n6, 7\nsą przeciwległymi\nwierzchołkami kwadratu ABCD. Wyznacz równanie prostej BD.\nRozwiązanie:\nObliczam współczynnik kierunkowy prostej AC:\n7\n5\n1\n6\n2\n2\nAC\na\n, a następnie wyznaczam\nwspółczynnik kierunkowy prostej BD prostopadłej do AC:\n2\nBD\na\nWyznaczam współrzędne środka S odcinka AC:\n(\n)\n2\n6 5\n7\n,\n4,6\n2\n2\nS\n⎛\n⎞\n⎜\n⎟\n⎝\n⎠\ni wyznaczam\nrównanie prostej o współczynniku kierunkowym 2\n-, przechodzącej przez punkt S.\nOdpowiedź:\n2\n14\ny\nx","solution":"$y = -2x + 14$","image":"img/matematyka-2009-listopad-probna-podstawowa/zad-28.webp","solution_image":null,"topics":"analityczna","page_from":11,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · listopad 2009 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2009-listopad-probna-podstawowa/zad/29","paper_id":"matematyka-2009-listopad-probna-podstawowa","number":"29","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2009,"month":"listopad","level":"podstawowa","text":"Zadanie 29. (2 pkt)\nKąt α jest ostry i\n4\ntg\n3\nα =\n. Oblicz\nα\nα\ncos\nsin\nOdpowiedź:\n\nPróbny egzamin maturalny z matematyki\nPoziom podstawowy\n12","answer":null,"answer_text":"Zadanie 29. (2 punkty)\nKąt α jest ostry i\n4\ntg\n3\nα =\n. Oblicz\nα\nα\ncos\nsin\nRozwiązanie:\nI sposób rozwiązania:\nZ definicji funkcji tangens mamy sin\n4\ncos\n3\nα\nα =\n, zatem\n4\nsin\ncos\n3\nα\nα\n. Podstawiam tę równość\ndo tożsamości\n2\n2\nsin\ncos\n1\nα\nα\n= i otrzymuję\n2\n2\n4 cos\ncos\n1\n3\nα\nα\n⎛\n⎞+\n⎜\n⎟\n⎝\n⎠\n, a stąd\n2\n9\ncos\n25\nα =\nZatem\n5\n3\ncos\nα\nlub\n5\n3\ncos\nα\n. Ujemny wynik odrzucam, ponieważ zgodnie z warunkami\nzadania kąt α jest kątem ostrym. Obliczam wartości funkcji\n4\nsin\n5\nα =\n, a następnie wartość\nwyrażenia\n4\n3\n7\nsin\ncos\n5\n5\n5\nα\nα\nOdpowiedź:\n5\n7\ncos\nsin\nα\nα\n4\nII sposób rozwiązania:\nRysuję trójkąt prostokątny, w którym oznaczam przyprostokątne 3x i 4x oraz\nzaznaczam kąt ostry α tak, aby\n4\ntg\n3\nα =\n4x\n3x\nZ twierdzenia Pitagorasa obliczam długość przeciwprostokątnej: (\n)\n(\n)\n2\n2\n2\n4\n3\n25\nx\nx\nx\nZatem przeciwprostokątna ma długość 5x . Obliczam wartości funkcji\n4\nsin\n5\nα =\ni\n3\ncos\n5\nα =\n. Stąd\n4\n3\n7\nsin\ncos\n5\n5\n5\nα\nα\nOdpowiedź:\n5\n7\ncos\nsin\nα\nα","solution":"$\\dfrac{7}{5}$","image":"img/matematyka-2009-listopad-probna-podstawowa/zad-29.webp","solution_image":null,"topics":"trygonometria","page_from":11,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · listopad 2009 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2009-listopad-probna-podstawowa/zad/30","paper_id":"matematyka-2009-listopad-probna-podstawowa","number":"30","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2009,"month":"listopad","level":"podstawowa","text":"Zadanie 30. (2 pkt)\nWykaż, że dla każdego m ciąg\n⎟\n⎠\n⎞\n⎜\n⎝\n⎛\n12\n9\n,\n6\n3\n,\n4\n1\nm\nm\nm\njest arytmetyczny.\n\nPróbny egzamin maturalny z matematyki\nPoziom podstawowy\n13","answer":null,"answer_text":"Zadanie 30. (2 punkty)\nWykaż, że dla każdego m ciąg\n⎟\n⎠\n⎞\n⎜\n⎝\n⎛\n12\n9\n,\n6\n3\n,\n4\n1\nm\nm\nm\njest arytmetyczny.\nRozwiązanie:\nI sposób rozwiązania:\nWystarczy sprawdzić, że zachodzi następujący związek między sąsiednimi wyrazami\nciągu:\n1\n1\n2\nn\nn\nn\na\na\na\nMamy\n1\n1\n4\nm\na\n,\n2\n3\n6\nm\na\n,\n3\n9\n12\nm\na\nZatem\n1\n3\n2\n1\n9\n3\n3\n9\n4\n12\n3\n4\n12\n2\n2\n24\n24\n6\nm\nm\na\na\nm\nm\nm\nm\na\nStąd wynika, że ciąg\n⎟\n⎠\n⎞\n⎜\n⎝\n⎛\n12\n9\n,\n6\n3\n,\n4\n1\nm\nm\nm\njest arytmetyczny dla każdego m.\nII sposób rozwiązania:\nMamy\n1\n1\n4\nm\na\n,\n2\n3\n6\nm\na\n,\n3\n9\n12\nm\na\nWystarczy sprawdzić, że\n2\n1\n3\n2\na\na\na\na\nObliczamy:\n6\n3\n12\n9\n4\n1\n6\n3\nm\nm\nm\nm\n12\n6\n2\n9\n12\n3\n3\n6\n2\nm\nm\nm\nm\n12\n3\n12\n3\nm\nm\n5","solution":null,"image":"img/matematyka-2009-listopad-probna-podstawowa/zad-30.webp","solution_image":null,"topics":"ciagi","page_from":12,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · listopad 2009 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2009-listopad-probna-podstawowa/zad/31","paper_id":"matematyka-2009-listopad-probna-podstawowa","number":"31","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2009,"month":"listopad","level":"podstawowa","text":"Zadanie 31. (2 pkt)\nTrójkąty ABC i CDE są równoboczne. Punkty A, C i E leżą na jednej prostej. Punkty K, L i M\nsą środkami odcinków AC, CE i BD (zobacz rysunek). Wykaż, że punkty K, L i M\nsą wierzchołkami trójkąta równobocznego.\nA\nB\nC\nD\nE\nK\nL\nM\n\nPróbny egzamin maturalny z matematyki\nPoziom podstawowy\n14","answer":null,"answer_text":"Zadanie 31. (2 punkty)\nTrójkąty ABC i CDE są równoboczne. Punkty A, C i E leżą na jednej prostej. Punkty K, L i M\nsą środkami odcinków AC, CE i BD (zobacz rysunek). Wykaż, że punkty K, L i M\nsą wierzchołkami trójkąta równobocznego.\nRozwiązanie:\nZ warunków zadania wynika, że\n60\nBAC\nDCE\n°\n)\n)\n, więc odcinki AB i CD są\nrównoległe. Czworokąt ACDB jest trapezem. Odcinek KM łączy środki boków\nnierównoległych w tym trapezie, więc jest równoległy do jego podstaw. Wobec tego\n60\nMKL =\n°\n)\nPodobnie\n60\nACB\nCED\n°\n)\n)\n, więc odcinki BC i DE są równoległe. Czworokąt BCED\njest trapezem. Odcinek ML łączy środki boków nierównoległych w tym trapezie, więc jest\nrównoległy do jego podstaw. Wobec tego\n60\nKLM =\n°\n)\nOdpowiedź: Dwa kąty trójkąta KLM mają miarę 60°, zatem jest to trójkąt równoboczny.","solution":null,"image":"img/matematyka-2009-listopad-probna-podstawowa/zad-31.webp","solution_image":null,"topics":"dowody_geometryczne","page_from":13,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · listopad 2009 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2009-listopad-probna-podstawowa/zad/32","paper_id":"matematyka-2009-listopad-probna-podstawowa","number":"32","points":5,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2009,"month":"listopad","level":"podstawowa","text":"Zadanie 32. (5 pkt)\nUczeń przeczytał książkę liczącą 480 stron, przy czym każdego dnia czytał jednakową liczbę\nstron. Gdyby czytał każdego dnia o 8 stron więcej, to przeczytałby tę książkę o 3 dni\nwcześniej. Oblicz, ile dni uczeń czytał tę książkę.\nOdpowiedź:\n\nPróbny egzamin maturalny z matematyki\nPoziom podstawowy\n15","answer":null,"answer_text":"Zadanie 32. (5 punktów)\nUczeń przeczytał książkę liczącą 480 stron, przy czym każdego dnia czytał jednakową liczbę\nstron. Gdyby czytał każdego dnia o 8 stron więcej, to przeczytałby tę książkę o 3 dni\nwcześniej. Oblicz, ile dni uczeń czytał tę książkę.\nRozwiązanie:\nOznaczam: x - liczba stron przeczytanych każdego dnia, y - liczba dni.\nZapisuję i rozwiązuję układ równań:\n(\n) (\n)\n480\n8\n3\n480\nx y\nx\ny\n⋅\n⎧⎪⎨\n⋅\n⎪⎩\nZ pierwszego równania mamy\n480\nx\ny\n, zatem\n(\n)\n480\n8\n3\n480\ny\ny\ny\n⎛\n⎞\n⋅\n⋅\n⎜\n⎟\n⎝\n⎠\n(\n)(\n)\n480\n8\n3\n480\ny\ny\ny\nPo uproszczeniu otrzymuję równanie\n2\n3\n180\n0\ny\ny\nRozwiązaniem równania są liczby: -12 oraz 15. Odrzucam ujemną liczbę dni.\nOdpowiedź: Uczeń przeczytał książkę w ciągu 15 dni.\nA\nB\nC\nD\nE\nK\nL\nM\n6","solution":"15 dni","image":"img/matematyka-2009-listopad-probna-podstawowa/zad-32.webp","solution_image":null,"topics":"rownania_i_nierownosci","page_from":14,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · listopad 2009 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2009-listopad-probna-podstawowa/zad/33","paper_id":"matematyka-2009-listopad-probna-podstawowa","number":"33","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2009,"month":"listopad","level":"podstawowa","text":"Zadanie 33. (4 pkt)\nPunkty\n(\n)\n2,0\nA =\ni\n(\n)\n12,0\nB =\nsą\nwierzchołkami\ntrójkąta\nprostokątnego\nABC\no przeciwprostokątnej AB. Wierzchołek C leży na prostej o równaniu y\nx\n. Oblicz\nwspółrzędne punktu C.\nOdpowiedź:\n\nPróbny egzamin maturalny z matematyki\nPoziom podstawowy\n16","answer":null,"answer_text":"Zadanie 33. (4 punkty)\nPunkty\n(\n)\n2,0\nA =\ni\n(\n)\n12,0\nB =\nsą\nwierzchołkami\ntrójkąta\nprostokątnego\nABC\no przeciwprostokątnej AB. Wierzchołek C leży na prostej o równaniu y\nx\n. Oblicz\nwspółrzędne punktu C.\nRozwiązanie:\nI sposób rozwiązania:\nPunkt C leży na prostej o równaniu\nx\ny =\ni na okręgu, którego środkiem jest środek\nprzeciwprostokątnej, a promień jest równy połowie długości tej przeciwprostokątnej.\nObliczam długość przeciwprostokątnej AB:\n(\n)\n(\n)\n10\n0\n0\n2\n12\n2\n2\nAB\nWyznaczam współrzędne środka przeciwprostokątnej:\n(\n)\n7,0\nS =\nZapisuję równanie okręgu: (\n)\n25\n7\n2\n2\ny\nx\nRozwiązuję układ równań (\n)\n⎩\n⎨\n⎧\n25\n7\n2\n2\ny\nx\nx\ny\nOtrzymuję równanie z jedną niewiadomą:\n0\n12\n7\n2\n-x\nx\nRozwiązaniem tego równania są liczby:\n1\n4\nx =\n,\n2\n3\nx =\nOdpowiedź: Warunki zadania spełniają dwa punkty:\n(\n)\n4,4\nC\noraz\n(\n)\n3,3\nC =\nII sposób rozwiązania:\nOznaczmy współrzędne punktu C przez (\n)\n,x y . Wtedy\n(\n)\n(\n)\n10\n0\n0\n2\n12\n2\n2\nAB\n,\n(\n)\n(\n)\n2\n2\n2\n0\nAC\nx\ny\n,\n(\n)\n(\n)\n2\n2\n12\n0\nBC\nx\ny\nTrójkąt ABC jest prostokątny, więc spełniona jest równość\n2\n2\n2\nAB\nBC\nAC\n, czyli\n(\n)\n(\n)\n2\n2\n2\n2\n2\n2\n12\n10\nx\ny\nx\ny\nPunkt C leży też na prostej o równaniu\nx\ny =\n, zatem aby obliczyć jego współrzędne, należy\nrozwiązać układ równań:\n(\n)\n(\n)\n⎩\n⎨\n⎧\nx\ny\ny\nx\ny\nx\n2\n2\n2\n2\n2\n10\n12\n2\n2\n2\n2\n2\n2\n4\n4\n24\n144\n100\n4\n28\n48\n0\nx\nx\nx\nx\nx\nx\nx\nx\n0\n12\n7\n2\n-x\nx\n1\n2\n4,\n3\nx\nx\nOdpowiedź: Warunki zadania spełniają dwa punkty:\n(\n)\n4,4\nC\noraz\n(\n)\n3,3\nC =\n7","solution":"$C = (4, 4)$ oraz $C = (3, 3)$","image":"img/matematyka-2009-listopad-probna-podstawowa/zad-33.webp","solution_image":null,"topics":"analityczna","page_from":15,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · listopad 2009 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2009-listopad-probna-podstawowa/zad/34","paper_id":"matematyka-2009-listopad-probna-podstawowa","number":"34","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2009,"month":"listopad","level":"podstawowa","text":"Zadanie 34. (4 pkt)\nPole trójkąta prostokątnego jest równe\n2\n60 cm . Jedna przyprostokątna jest o 7 cm dłuższa\nod drugiej. Oblicz długość przeciwprostokątnej tego trójkąta.\nOdpowiedź:\n\nPróbny egzamin maturalny z matematyki\nPoziom podstawowy\n17\nBRUDNOPIS","answer":null,"answer_text":"Zadanie 34. (4 punkty)\nPole trójkąta prostokątnego jest równe\n2\n60 cm . Jedna przyprostokątna jest o 7 cm dłuższa\nod drugiej. Oblicz długość przeciwprostokątnej tego trójkąta.\nOznaczam: a, b - długości przyprostokątnych danego trójkąta.\nZapisuję układ równań\n7\n1\n60\n2\na\nb\na b\n⎧⎪⎨\n⋅\n⎪⎩\nOtrzymuję równanie z jedną niewiadomą\n(\n)\n1\n7\n60\n2 b\nb\n, którego pierwiastkami są liczby\n8\nb =\noraz\n15\nb = -\nOdrzucam ujemny pierwiastek, gdyż b jest długością odcinka. Zatem\n8\nb =\n,\n8\n7\n15\na =\nTeraz obliczam długość przeciwprostokątnej\n2\n2\n2\n2\n8\n15\n289\n17\nc\na\nb\nOdpowiedź: Przeciwprostokątna ma długość 17 cm.","solution":"$17 \\text{ cm}$","image":"img/matematyka-2009-listopad-probna-podstawowa/zad-34.webp","solution_image":null,"topics":"planimetria","page_from":16,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · listopad 2009 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"}]}