{"paper":{"id":"matematyka-2009-maj-matura-podstawowa","subject":"matematyka","category":"matura","year":2009,"month":"maj","level":"podstawowa","variant":null,"exam_pdf":"matematyka-2009-maj-matura-podstawowa/matematyka-2009-maj-matura-podstawowa.pdf","key_pdf":"matematyka-2009-maj-matura-podstawowa-odpowiedzi/matematyka-2009-maj-matura-podstawowa-odpowiedzi.pdf","question_count":31,"source_label":"Matematyka · Matura · maj 2009 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},"questions":[{"id":"matematyka-2009-maj-matura-podstawowa/zad/1","paper_id":"matematyka-2009-maj-matura-podstawowa","number":"1","points":5,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2009,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 1. (5 pkt)\nFunkcja f określona jest wzorem\n2\n3\ndla\n2\n( )\n1\ndla 2\n4\nx\nx\nf x\nx\n<\n⎧\n= ⎨\n≤\n≤\n⎩\na) Uzupełnij tabelę:\nx\n3\n3\n( )\nf x\n0\nb) Narysuj wykres funkcji f .\nc) Podaj wszystkie liczby całkowite x , spełniające nierówność\n( )\n6\nf x ≥-.\nNr zadania\n1.1\n1.2\n1.3\n1.4\n1.5\nMaks. liczba pkt\n1\n1\n1\n1\n1\nWypełnia\negzaminator! Uzyskana liczba pkt\n\nPoziom podstawowy\n3\nFunkcja f określona jest wzorem: f(x) = { 2x-3 dla x<2; 1 dla 2<=x<=4 }. Narysuj wykres funkcji f. Podaj wszystkie liczby całkowite x, spełniające nierówność f(x)>=-6.","answer":"A","answer_text":"2\n4\nx\n14\n)\n5","solution":"## Poprawna odpowiedź: A\n\nNa osi zaznaczono sumę przedziałów \\((-\\infty, -2) \\cup (6, +\\infty)\\). Szukamy nierówności, która opisuje dokładnie zbiór wszystkich \\(x\\) **spoza** odcinka \\(\\langle -2, 6 \\rangle\\).\n\n## Sposób 1 - środek i promień przedziału (metoda wartości bezwzględnej)\n\n**Krok 1: Znajdź środek symetrii obu przedziałów.**\n\nPunkty \\(-2\\) i \\(6\\) są końcami „wykluczonego\" środkowego odcinka. Środek między nimi:\n\\[s = \\frac{-2 + 6}{2} = \\frac{4}{2} = 2\\]\n\n**Krok 2: Znajdź \"promień\" - odległość od środka do każdego końca.**\n\n\\[r = \\frac{6 - (-2)}{2} = \\frac{8}{2} = 4\\]\n\n**Krok 3: Interpretuj sumę przedziałów jako nierówność z wartością bezwzględną.**\n\nZbiór \\((-\\infty, -2) \\cup (6, +\\infty)\\) to wszystkie \\(x\\), których odległość od \\(s = 2\\) jest **większa niż** \\(r = 4\\):\n\\[|x - 2| > 4\\]\n\n**Sprawdzenie:** Rozwijamy:\n\\[|x - 2| > 4 \\iff x - 2 < -4 \\quad \\text{lub} \\quad x - 2 > 4\\]\n\\[\\iff x < -2 \\quad \\text{lub} \\quad x > 6\\]\n\nTo dokładnie przedziały \\((-\\infty, -2) \\cup (6, +\\infty)\\). ✓ Końce otwarte - bo nierówność **ostra** (\\(>\\), nie \\(\\geq\\)).\n\n**Odpowiedź A: \\(|x - 2| > 4\\)**\n\n## Sposób 2 - bezpośrednie wypisanie warunków i uproszczenie\n\nSuma \\((-\\infty, -2) \\cup (6, +\\infty)\\) oznacza:\n\\[x < -2 \\quad \\text{lub} \\quad x > 6\\]\n\nPiszemy równoważnie jako odległość od punktu 2:\n- Warunek \\(x < -2\\) to \\(2 - x > 4\\), czyli \\(|x - 2| > 4\\) (dla \\(x < 2\\))\n- Warunek \\(x > 6\\) to \\(x - 2 > 4\\), czyli \\(|x - 2| > 4\\) (dla \\(x > 2\\))\n\nOba warunki łączą się w jedną nierówność:\n\\[\\boxed{|x - 2| > 4}\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 1 (Wartość bezwzględna, s. 4)** - nierówność z wartością bezwzględną:\n\\[|x - a| \\geq r \\iff x \\leq a - r \\quad \\text{lub} \\quad x \\geq a + r\\]\n\nW wersji ostrej (\\(>\\) zamiast \\(\\geq\\)):\n\\[|x - a| > r \\iff x < a - r \\quad \\text{lub} \\quad x > a + r\\]\n\nUżyliśmy tego wzoru z \\(a = 2\\), \\(r = 4\\) - dostajemy dokładnie zaznaczone na osi przedziały.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Prawdopodobna nierówność | Błąd |\n| B | \\(|x - 2| < 4\\) | Opisuje **wnętrze** odcinka \\((-2, 6)\\) - czyli dokładnie **odwrotny** zbiór. Pomylenie kierunku nierówności. |\n| C | \\(|x + 2| > 4\\) | Środek symetrii to \\(-2\\), nie \\(2\\). Opisuje \\((-\\infty, -6) \\cup (2, +\\infty)\\) - zły punkt środkowy. |\n| D | \\(|x - 2| > 6\\) | Zły promień: \\(r = 6\\) zamiast \\(4\\). Opisuje \\((-\\infty, -4) \\cup (8, +\\infty)\\) - szersze wykluczenie. |\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Środek symetrii dwóch końców **to nie jest ich suma**, tylko **średnia arytmetyczna**: \\(\\frac{-2+6}{2} = 2\\), nie \\(4\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Otwarte kółka na osi (końce otwarte) oznaczają nierówność **ostrą** (\\(>\\)), a wypełnione kółka - nieostrowną (\\(\\geq\\)). Pomylenie ich to klasyczny błąd!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Suma przedziałów \"skrajnych\" (\\((-\\infty, a) \\cup (b, +\\infty)\\)) zawsze daje nierówność \\(|x - s| > r\\), a **przekrój** (czyli środkowy przedział \\((a,b)\\)) daje \\(|x - s| < r\\). Nie mylić sumy z przekrojem!\n\n**Poprawna odpowiedź: A.** \\(|x-2| > 4\\)\n\n### Sposób 1 - Interpretacja geometryczna modułu\nSuma przedziałów \\((-\\infty, -2) \\cup (6, +\\infty)\\) to zbiór liczb, których **odległość od pewnego punktu** \\(s\\) jest **większa** od pewnego promienia \\(r\\).\n\nŚrodek przedziału wykluczonego \\([-2, 6]\\):\n\\[s = \\dfrac{-2 + 6}{2} = 2.\\]\nPromień:\n\\[r = \\dfrac{6 - (-2)}{2} = 4.\\]\n\nZatem szukany warunek to \\(|x - 2| > 4\\) - odpowiedź **A**.\n\n### Sposób 2 - Algebraiczne rozwiązanie nierówności z odpowiedzi A\n\\[|x-2| > 4 \\iff x-2 > 4 \\text{ lub } x-2 < -4\\]\n\\[\\iff x > 6 \\text{ lub } x < -2.\\]\nZgodnie z rysunkiem ✓.\n\n### Dlaczego pozostałe są błędne\n- **B.** \\(|x-2| < 4\\) → \\(x \\in (-2, 6)\\) - **przedział wewnętrzny**, odwrotny do szukanego.\n- **C.** \\(|x-4| < 2\\) → \\(x \\in (2, 6)\\) - za wąsko i niezgodnie.\n- **D.** \\(|x-4| > 2\\) → \\(x < 2\\) lub \\(x > 6\\) - lewy przedział nie zgadza się (powinien być \\(x < -2\\)).\n\n### Komentarz\nOgólna zasada: \\(|x - s| > r \\iff x \\in (-\\infty, s-r) \\cup (s+r, +\\infty)\\). Tu \\(s-r = -2\\), \\(s+r = 6\\).","image":"img/matematyka-2009-maj-matura-podstawowa/zad-1.webp","solution_image":"img/matematyka-2009-maj-matura-podstawowa/sol-1.svg","topics":"funkcje","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":"maturazai","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2009 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2009-maj-matura-podstawowa/zad/2","paper_id":"matematyka-2009-maj-matura-podstawowa","number":"2","points":3,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2009,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 2. (3 pkt)\nDwaj rzemieślnicy przyjęli zlecenie wykonania wspólnie 980 detali. Zaplanowali, że\nkażdego dnia pierwszy z nich wykona m , a drugi n detali. Obliczyli, że razem wykonają\nzlecenie w ciągu 7 dni. Po pierwszym dniu pracy pierwszy z rzemieślników rozchorował się\ni wtedy drugi, aby wykonać całe zlecenie, musiał pracować o 8 dni dłużej niż planował, (nie\nzmieniając liczby wykonywanych codziennie detali). Oblicz m i n.\nNr zadania\n2.1\n2.2\n2.3\nMaks. liczba pkt\n1\n1\n1\nWypełnia\negzaminator! Uzyskana liczba pkt\n\nPoziom podstawowy\n4\nDwaj rzemieślnicy przyjęli zlecenie wykonania wspólnie 980 detali. Zaplanowali, że każdego dnia pierwszy z nich wykona m, a drugi n detali. Obliczyli, że razem wykonają zlecenie w ciągu 7 dniu. Po pierwszym dniu pracy pierwszy z rzemieślników rozchorował się i wtedy drugi, aby wykonać całe zlecenie, musiał pracować o 8 dni dłużej niż planował, (nie zmieniając liczby wykonywanych codziennie detali). Oblicz m i n.","answer":"C","answer_text":"1\n11","solution":"## Poprawna odpowiedź: C - 45%\n\n## Sposób 1 - Bezpośrednie obliczenie procentu\n\n**Szukamy:** jaki procent liczby 280 stanowi liczba 126.\n\nWzór na procent:\n\\[p\\% = \\frac{\\text{część}}{\\text{całość}} \\cdot 100\\%\\]\n\nPodstawiamy:\n\\[p\\% = \\frac{126}{280} \\cdot 100\\%\\]\n\nUpraszczamy ułamek - zarówno 126, jak i 280 dzielą się przez 14:\n\\[\\frac{126}{280} = \\frac{9}{20}\\]\n\nObliczamy:\n\\[\\frac{9}{20} \\cdot 100\\% = \\frac{900\\%}{20} = \\mathbf{45\\%}\\]\n\n**Bilety ulgowe stanowiły 45% wszystkich sprzedanych biletów.**\n\n## Sposób 2 - Przez proporcję\n\nUstawiamy proporcję: 280 biletów to 100%, ile procent to 126 biletów?\n\n\\[\\frac{126}{280} = \\frac{x}{100}\\]\n\nMnożymy na krzyż:\n\\[280x = 126 \\cdot 100 = 12600\\]\n\nDzielimy obie strony przez 280:\n\\[x = \\frac{12600}{280} = \\frac{1260}{28} = 45\\]\n\n**Wynik: \\(x = 45\\%\\)** - zgodnie z Odpowiedzią C.\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy definicja procentu i podstawowe działania arytmetyczne.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| A | Policzono \\(\\frac{280}{126} \\cdot 100\\% \\approx 222\\%\\) - odwrócono ułamek (zamieniono część z całością) |\n| B | Odjęto bilety ulgowe od wszystkich: \\(\\frac{280 - 126}{280} \\cdot 100\\% = 55\\%\\) - policzono procent biletów **normalnych**, nie ulgowych |\n| D | Wzięto samą liczbę 126 jako wynik, bez przeliczenia na procenty |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Najczęstszy błąd to odwrócenie ułamka - dzielenie całości przez część zamiast części przez całość. Zawsze sprawdź: wynik powinien być mniejszy niż 100%, bo 126 < 280.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Łatwo pomylić \"procent biletów ulgowych\" z \"procent biletów normalnych\". Przeczytaj dokładnie, o którą grupę pyta zadanie.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy upraszczaniu ułamka \\(\\frac{126}{280}\\) warto szukać NWD - tu NWD(126, 280) = 14, co od razu daje ładny ułamek \\(\\frac{9}{20}\\) łatwy do przeliczenia na procenty.\n\n**Poprawna odpowiedź: C.** \\(45\\%\\)\n\n### Sposób 1 - Definicja procentu\n\\[\\dfrac{126}{280} \\cdot 100\\% = ?\\]\n\nSkracamy ułamek \\(\\dfrac{126}{280}\\) - dzielimy licznik i mianownik przez \\(\\text{NWD}(126,280) = 14\\):\n\\[\\dfrac{126}{280} = \\dfrac{9}{20}.\\]\n\n\\[\\dfrac{9}{20} = \\dfrac{9 \\cdot 5}{20 \\cdot 5} = \\dfrac{45}{100} = 45\\%.\\]\n\n### Sposób 2 - Bezpośrednie dzielenie\n\\[126 : 280 = 0{,}45 = 45\\%.\\]\n\n### Weryfikacja\n\\(45\\%\\) z \\(280 = \\dfrac{45}{100} \\cdot 280 = \\dfrac{12600}{100} = 126\\) ✓.\n\n### Komentarz\nŁatwo odrzucić odpowiedzi B (\\(33\\%\\) - to byłoby \\(\\approx 92\\)) i D (\\(63\\%\\) - to \\(\\approx 176\\)). Odpowiedź A (\\(22\\%\\)) wynika z pomylenia procentu biletów ulgowych z procentem biletów normalnych odjętym od \\(100\\%\\) - uwaga: \\(100\\% - 45\\% = 55\\%\\) biletów normalnych, nie \\(22\\%\\).","image":"img/matematyka-2009-maj-matura-podstawowa/zad-2.webp","solution_image":"img/matematyka-2009-maj-matura-podstawowa/sol-2.svg","topics":"uklady_rownan","page_from":3,"source":"ocr","answer_source":"maturazai","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2009 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2009-maj-matura-podstawowa/zad/3","paper_id":"matematyka-2009-maj-matura-podstawowa","number":"3","points":5,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2009,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 3. (5 pkt)\nWykres funkcji f danej wzorem\n( )\n2\n2\nf x\nx\nprzesunięto wzdłuż osi Ox o 3 jednostki\nw prawo oraz wzdłuż osi Oy o 8 jednostek w górę, otrzymując wykres funkcji g .\na) Rozwiąż nierówność\n( )\n5\n3\nf x\nx\n<\nb) Podaj zbiór wartości funkcji g .\nc) Funkcja g określona jest wzorem ( )\n2\n2\ng x\nx\nbx\nc\n+ . Oblicz b i c.\n\nPoziom podstawowy\n5\nNr zadania\n3.1\n3.2\n3.3\n3.4\n3.5\nMaks. liczba pkt\n1\n1\n1\n1\n1\nWypełnia\negzaminator! Uzyskana liczba pkt\n\nPoziom podstawowy\n6\nZadanie z matury 2009 z matematyki. Wykres funkcji f danej wzorem f(x)=-2x^2 przesunięto wzdłuż osi Ox o 3 jednostki w prawo oraz wzdłuż osi Oy o 8 jednostek w górę, otrzymując wykres funkcji g. a) Rozwiąż nierówność f(x)+5<3x. b) Podaj zbiór wartości funkcji g. c) Funkcja g określona jest wzorem g(x)=-2x^2+bx+c. Oblicz b i c.","answer":null,"answer_text":"π\nr\n6","solution":"## Poprawna odpowiedź:\n\n**a)** \\(x \\in \\left(-\\infty, -\\dfrac{5}{2}\\right) \\cup (1, +\\infty)\\)\n\n**b)** \\(Z_g = \\left(-\\infty, 8\\right\\rangle\\)\n\n**c)** \\(b = 12\\), \\(c = -10\\)\n\n## Sposób 1 - algebraicznie, krok po kroku\n\n### Część a) - nierówność \\(f(x) + 5 < 3x\\)\n\nPodstawiamy \\(f(x) = -2x^2\\):\n\\[-2x^2 + 5 < 3x\\]\n\nPrzenosimy wszystko na lewą stronę:\n\\[-2x^2 - 3x + 5 < 0\\]\n\nMnożymy przez \\(-1\\) - **uwaga: odwracamy znak nierówności!**\n\\[2x^2 + 3x - 5 > 0\\]\n\nWyznaczamy deltę i pierwiastki trójmianu:\n\\[\\Delta = 3^2 - 4 \\cdot 2 \\cdot (-5) = 9 + 40 = 49, \\qquad \\sqrt{\\Delta} = 7\\]\n\\[x_1 = \\frac{-3 - 7}{4} = \\frac{-10}{4} = -\\frac{5}{2}, \\qquad x_2 = \\frac{-3 + 7}{4} = \\frac{4}{4} = 1\\]\n\nTrójmian \\(2x^2 + 3x - 5\\) ma ramiona skierowane **w górę** (\\(a = 2 > 0\\)), więc jest dodatni **poza** pierwiastkami:\n\n\\[\\boxed{x \\in \\left(-\\infty,\\ -\\frac{5}{2}\\right) \\cup (1,\\ +\\infty)}\\]\n\n### Część b) - zbiór wartości funkcji \\(g\\)\n\nPrzesunięcie wykresu \\(f(x) = -2x^2\\):\n- o 3 jednostki **w prawo** → zamieniamy \\(x\\) na \\(x - 3\\)\n- o 8 jednostek **w górę** → dodajemy 8\n\nZatem:\n\\[g(x) = f(x-3) + 8 = -2(x-3)^2 + 8\\]\n\nJest to parabola w postaci kanonicznej \\(g(x) = a(x-p)^2 + q\\) z wierzchołkiem \\(W = (3,\\ 8)\\) i \\(a = -2 < 0\\) (ramiona skierowane **w dół**).\n\nStąd: wartość maksymalna to \\(g(3) = 8\\), a funkcja maleje do \\(-\\infty\\).\n\n\\[\\boxed{Z_g = \\left(-\\infty,\\ 8\\right\\rangle}\\]\n\n(8 jest osiągane w punkcie \\(x = 3\\), więc przedział domknięty od góry.)\n\n### Część c) - wyznaczenie \\(b\\) i \\(c\\)\n\nRozwijamy postać kanoniczną \\(g(x) = -2(x-3)^2 + 8\\):\n\\[g(x) = -2(x^2 - 6x + 9) + 8 = -2x^2 + 12x - 18 + 8 = -2x^2 + 12x - 10\\]\n\nPorównując z \\(g(x) = -2x^2 + bx + c\\):\n\n\\[\\boxed{b = 12, \\qquad c = -10}\\]\n\n## Sposób 2 - rozkład na czynniki (część a) i weryfikacja przez punkty (część c)\n\n### Część a) - rozkład bez delty\n\nNierówność po przeniesieniu:\n\\[-(2x^2 + 3x - 5) < 0 \\quad \\Longleftrightarrow \\quad (2x^2 + 3x - 5) > 0\\]\n\nPróbujemy rozłożyć \\(2x^2 + 3x - 5\\) na czynniki (szukamy liczb tak, by iloczyn = \\(2 \\cdot (-5) = -10\\), suma = \\(3\\)):\n\\[2x^2 + 3x - 5 = (2x + 5)(x - 1)\\]\n\nSprawdzenie: \\((2x+5)(x-1) = 2x^2 - 2x + 5x - 5 = 2x^2 + 3x - 5\\) ✓\n\nTabela znaków iloczynu \\((2x+5)(x-1) > 0\\):\n\n| \\(x\\) | \\(\\left(-\\infty,\\ -\\tfrac{5}{2}\\right)\\) | \\(-\\tfrac{5}{2}\\) | \\(\\left(-\\tfrac{5}{2},\\ 1\\right)\\) | \\(1\\) | \\((1,\\ +\\infty)\\) |\n| \\(2x+5\\) | \\(-\\) | \\(0\\) | \\(+\\) | \\(+\\) | \\(+\\) |\n| \\(x-1\\) | \\(-\\) | \\(-\\) | \\(-\\) | \\(0\\) | \\(+\\) |\n| iloczyn | \\(+\\) | \\(0\\) | \\(-\\) | \\(0\\) | \\(+\\) |\n\nIloczyn \\(> 0\\) dla \\(x < -\\tfrac{5}{2}\\) lub \\(x > 1\\) ✓\n\n### Część c) - weryfikacja przez podstawienie punktów\n\nMamy \\(g(x) = -2(x-3)^2 + 8\\). Podstawiamy dwa łatwe punkty:\n\n**Punkt \\(x = 0\\):**\n\\[g(0) = -2(0-3)^2 + 8 = -2 \\cdot 9 + 8 = -10\\]\nZ wzoru ogólnego: \\(g(0) = c\\), więc \\(c = -10\\) ✓\n\n**Punkt \\(x = 1\\):**\n\\[g(1) = -2(1-3)^2 + 8 = -2 \\cdot 4 + 8 = 0\\]\nZ wzoru ogólnego: \\(g(1) = -2 + b + c = -2 + b - 10 = b - 12\\)\n\nStąd: \\(b - 12 = 0\\), czyli \\(b = 12\\) ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)** - postać kanoniczna:\n\\[f(x) = a(x - p)^2 + q, \\quad W = (p,\\ q)\\]\nKluczowe w części b) - po przesunięciu \\(g\\) jest już w postaci kanonicznej, z której wprost odczytujemy wierzchołek \\(W = (3, 8)\\) i kierunek ramion.\n\n**Dział 7 - wyróżnik i miejsca zerowe:**\n\\[\\Delta = b^2 - 4ac, \\qquad x_{1,2} = \\frac{-b \\pm \\sqrt{\\Delta}}{2a}\\]\nUżyte w części a) do znalezienia pierwiastków trójmianu \\(2x^2 + 3x - 5\\).\n\n**Dział 7 - wierzchołek a zbiór wartości:**\nDla \\(a < 0\\) parabola ma **maksimum** w wierzchołku: \\(q = -\\tfrac{\\Delta}{4a}\\). Stąd bezpośrednio \\(Z_g = (-\\infty, q\\rangle\\).\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Mnożenie nierówności przez \\(-1\\) **odwraca znak**! \\(-2x^2 - 3x + 5 < 0\\) staje się \\(2x^2 + 3x - 5 > 0\\). To najczęstszy błąd w części a) - uczniowie zapominają o zmianie kierunku nierówności.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przesunięcie o 3 **w prawo** to \\(f(x - 3)\\), a NIE \\(f(x + 3)\\)! Intuicja mówi \"+3\", ale w nawiasie piszemy \"\\(-3\\)\". Reguła: przesunięcie w prawo o \\(k\\) → \\(f(x - k)\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Zbiór wartości \\(\\left(-\\infty, 8\\right\\rangle\\) to przedział **domknięty od góry** - wartość 8 jest osiągana (w wierzchołku). Nie pisz \\((-\\infty, 8)\\) z nawiasem okrągłym, bo to sugerowałoby, że 8 nie należy do zbioru wartości.\n\n**Poprawne odpowiedzi:** a) \\(x \\in \\left(-\\infty, -\\dfrac{5}{2}\\right) \\cup (1, \\infty)\\); b) \\((-\\infty, 8\\rangle\\); c) \\(b = 12\\), \\(c = -10\\).\n\n### Sposób 1 - Rozwiązanie krok po kroku\n**a) Nierówność \\(f(x) + 5 < 3x\\):**\n\\[-2x^{2} + 5 < 3x\\]\n\\[-2x^{2} - 3x + 5 < 0 \\quad |\\cdot(-1)\\]\n\\[2x^{2} + 3x - 5 > 0.\\]\n\nDelta: \\(\\Delta = 9 + 40 = 49\\), \\(\\sqrt{\\Delta} = 7\\):\n\\[x_1 = \\dfrac{-3 - 7}{4} = -\\dfrac{10}{4} = -\\dfrac{5}{2}, \\quad x_2 = \\dfrac{-3 + 7}{4} = 1.\\]\n\nWspółczynnik \\(a = 2 > 0\\) (ramiona w górę), więc nierówność \\(> 0\\) jest spełniona na zewnątrz pierwiastków:\n\\[x \\in \\left(-\\infty, -\\dfrac{5}{2}\\right) \\cup (1, \\infty).\\]\n\n**b) Zbiór wartości \\(g\\):**\nWykres \\(f(x) = -2x^{2}\\) ma wierzchołek w \\((0, 0)\\) i ramiona skierowane w dół. Zbiór wartości \\(f\\): \\((-\\infty, 0\\rangle\\).\n\nPo przesunięciu o \\(3\\) w prawo (\\(Ox\\)) i o \\(8\\) w górę (\\(Oy\\)): wierzchołek przesuwa się do \\((3, 8)\\), ramiona nadal w dół. Zbiór wartości \\(g\\):\n\\[Z_g = (-\\infty, 8\\rangle.\\]\n\n**c) Obliczenie \\(b\\) i \\(c\\):**\n\\[g(x) = -2(x - 3)^{2} + 8 = -2(x^{2} - 6x + 9) + 8 = -2x^{2} + 12x - 18 + 8 = -2x^{2} + 12x - 10.\\]\n\nPorównując z \\(g(x) = -2x^{2} + bx + c\\):\n\\[b = 12, \\quad c = -10.\\]\n\n### Weryfikacja\nWierzchołek: \\(x_w = -\\dfrac{b}{2a} = -\\dfrac{12}{-4} = 3\\) ✓; \\(g(3) = -18 + 36 - 10 = 8\\) ✓.\n\n### Komentarz\nPrzesunięcie wykresu funkcji \\(y = f(x)\\) o \\(p\\) jednostek w prawo i \\(q\\) jednostek w górę daje \\(y = f(x - p) + q\\). Stąd \\(g(x) = f(x - 3) + 8\\).","image":"img/matematyka-2009-maj-matura-podstawowa/zad-3.webp","solution_image":"img/matematyka-2009-maj-matura-podstawowa/sol-3.svg","topics":"funkcje","page_from":4,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2009 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2009-maj-matura-podstawowa/zad/4","paper_id":"matematyka-2009-maj-matura-podstawowa","number":"4","points":3,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2009,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 4. (3 pkt)\nWykaż, że liczba\n54\n3 jest rozwiązaniem równania\n11\n14\n27\n243\n81\n7\n9\nx\nNr zadania\n4.1\n4.2\n4.3\nMaks. liczba pkt\n1\n1\n1\nWypełnia\negzaminator! Uzyskana liczba pkt\n\nPoziom podstawowy\n7\nWykaż, że liczba 3^54 jest rozwiązaniem równania 243^11 - 81^14 + 7x = 9^27. Zadanie z potęgami. Sprowadzanie potęg do jednakowej podstawy.","answer":null,"answer_text":"0","solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(x = 3^{54}\\)\n\nJest to zadanie otwarte - wykazujemy (dowodzimy), że podstawienie \\(x = 3^{54}\\) spełnia równanie.\n\n## Sposób 1 - Zamiana wszystkich podstaw na potęgi liczby 3\n\n**Krok 1. Rozpoznajemy podstawy jako potęgi liczby 3.**\n\n\\[243 = 3^5, \\quad 81 = 3^4, \\quad 9 = 3^2\\]\n\n**Krok 2. Zamieniamy każdy wyraz równania.**\n\n\\[243^{11} = \\left(3^5\\right)^{11} = 3^{55}\\]\n\n\\[81^{14} = \\left(3^4\\right)^{14} = 3^{56}\\]\n\n\\[9^{27} = \\left(3^2\\right)^{27} = 3^{54}\\]\n\n**Krok 3. Podstawiamy do równania.**\n\nRównanie \\(243^{11} - 81^{14} + 7x = 9^{27}\\) przyjmuje postać:\n\n\\[3^{55} - 3^{56} + 7x = 3^{54}\\]\n\n**Krok 4. Wyznaczamy \\(x\\).**\n\n\\[7x = 3^{54} - 3^{55} + 3^{56}\\]\n\n**Krok 5. Wyłączamy \\(3^{54}\\) przed nawias.**\n\n\\[7x = 3^{54}\\left(1 - 3^1 + 3^2\\right) = 3^{54}(1 - 3 + 9) = 3^{54} \\cdot 7\\]\n\n**Krok 6. Dzielimy obie strony przez 7.**\n\n\\[x = \\frac{7 \\cdot 3^{54}}{7} = 3^{54}\\]\n\n**Zatem \\(x = 3^{54}\\) jest rozwiązaniem równania.** \\(\\square\\)\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja przez bezpośrednie podstawienie\n\nZamiast wyznaczać \\(x\\), **od razu podstawiamy \\(x = 3^{54}\\)** do lewej strony równania i sprawdzamy, czy otrzymamy prawą stronę.\n\nLewa strona:\n\\[243^{11} - 81^{14} + 7 \\cdot 3^{54} = 3^{55} - 3^{56} + 7 \\cdot 3^{54}\\]\n\nWyłączamy \\(3^{54}\\):\n\\[= 3^{54}\\left(3^1 - 3^2 + 7\\right) = 3^{54}(3 - 9 + 7) = 3^{54} \\cdot 1 = 3^{54}\\]\n\nPrawa strona:\n\\[9^{27} = \\left(3^2\\right)^{27} = 3^{54}\\]\n\nLewa strona \\(=\\) Prawa strona, więc \\(x = 3^{54}\\) spełnia równanie. \\(\\square\\)\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 2 (Potęgi i pierwiastki, s. 4-5)** - działania na potęgach:\n\n\\[\\left(a^r\\right)^s = a^{r \\cdot s}\\]\n\nUżyliśmy tego wzoru w obu sposobach do obliczenia \\(243^{11} = (3^5)^{11} = 3^{55}\\), \\(81^{14} = 3^{56}\\), \\(9^{27} = 3^{54}\\).\n\n\\[a^r \\cdot a^s = a^{r+s}\\]\n\nUżyliśmy pośrednio przy wyłączaniu \\(3^{54}\\) przed nawias: \\(3^{54} \\cdot 3^1 = 3^{55}\\).\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Obliczając \\((3^5)^{11}\\), **mnożymy** wykładniki: \\(5 \\cdot 11 = 55\\), a nie dodajemy. Częsty błąd to napisanie \\(3^{5+11} = 3^{16}\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy wyłączaniu przed nawias pamiętaj, że \\(3^{55} = 3^{54} \\cdot 3^1\\) i \\(3^{56} = 3^{54} \\cdot 3^2\\). Łatwo tu zgubić potęgę przy \\(-3^{56}\\) - to daje \\(-3^{54} \\cdot 9 = -9 \\cdot 3^{54}\\), nie \\(-3 \\cdot 3^{54}\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** W zadaniu na **wykazanie** nie wystarczy policzyć \\(x\\) i napisać wynik - trzeba pokazać **każdy krok** zamiany i wyłączenia, żeby uzasadnienie było pełne (za to są punkty!).\n\n**Dowód:** liczba \\(3^{54}\\) spełnia równanie \\(243^{11} - 81^{14} + 7x = 9^{27}\\).\n\n### Sposób 1 - Zamiana podstaw na \\(3\\)\n**Krok 1 - przekształcenie każdego składnika na potęgę \\(3\\):**\n\\[243 = 3^{5} \\Rightarrow 243^{11} = (3^{5})^{11} = 3^{55}.\\]\n\\[81 = 3^{4} \\Rightarrow 81^{14} = (3^{4})^{14} = 3^{56}.\\]\n\\[9 = 3^{2} \\Rightarrow 9^{27} = (3^{2})^{27} = 3^{54}.\\]\n\n**Krok 2 - równanie po podstawieniu:**\n\\[3^{55} - 3^{56} + 7x = 3^{54}.\\]\n\n**Krok 3 - wyłączenie \\(3^{54}\\) ze składników z lewej strony:**\n\\[3^{54}\\cdot 3 - 3^{54}\\cdot 3^{2} + 7x = 3^{54}\\]\n\\[3^{54}(3 - 9) + 7x = 3^{54}\\]\n\\[-6\\cdot 3^{54} + 7x = 3^{54}\\]\n\\[7x = 3^{54} + 6\\cdot 3^{54} = 7\\cdot 3^{54}\\]\n\\[x = 3^{54}.\\]\n\nZatem \\(x = 3^{54}\\) jest rozwiązaniem równania. \\(\\blacksquare\\)\n\n### Sposób 2 - Podstawienie \\(x = 3^{54}\\) i sprawdzenie tożsamości\nPodstawiamy \\(x = 3^{54}\\) do lewej strony:\n\\[L = 3^{55} - 3^{56} + 7\\cdot 3^{54} = 3^{54}(3 - 9 + 7) = 3^{54}\\cdot 1 = 3^{54}.\\]\n\\[P = 9^{27} = 3^{54}.\\]\n\n\\(L = P\\) ✓.\n\n### Komentarz\nKluczem jest rozpoznanie, że wszystkie podstawy (\\(243, 81, 9\\)) są potęgami liczby \\(3\\). Dzięki temu równanie redukuje się do prostego równania liniowego.","image":"img/matematyka-2009-maj-matura-podstawowa/zad-4.webp","solution_image":"img/matematyka-2009-maj-matura-podstawowa/sol-4.svg","topics":"rownania_i_nierownosci","page_from":6,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2009 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2009-maj-matura-podstawowa/zad/5","paper_id":"matematyka-2009-maj-matura-podstawowa","number":"5","points":5,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2009,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 5. (5 pkt)\nWielomian W dany jest wzorem\n3\n2\n( )\n4\nW x\nx\nax\nx\nb\na) Wyznacz a, b oraz c tak, aby wielomian W był równy wielomianowi P, gdy\n( )\n(\n)\n(\n)\n3\n2\n2\n3\n1\nP x\nx\na\nx\na\nb\nc x\nb) Dla\n3\na =\ni\n0\nb =\nzapisz wielomian W w postaci iloczynu trzech wielomianów stopnia\npierwszego.\nNr zadania\n5.1\n5.2\n5.3\n5.4\n5.5\nMaks. liczba pkt\n1\n1\n1\n1\n1\nWypełnia\negzaminator! Uzyskana liczba pkt\n\nPoziom podstawowy\n8\nWielomian W dany jest wzorem W(x)=x^3+ax^2-4x+b. a) Wyznacz a, b oraz c tak, aby wielomian W był równy wielomianowi P, gdy P(x) = x^3+(2a+3)x^2+(a+b+c)x-1 b) Dla a=3 i b=0 zapisz wielomian W w postaci iloczynu trzech wielomianów stopnia pierwszego","answer":null,"answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź:\n\n**a)** \\(a = -3\\), \\(b = -1\\), \\(c = 0\\)\n\n**b)** \\(W(x) = x(x+4)(x-1)\\)\n\n## Sposób 1 - porównanie współczynników (część a)\n\nDwa wielominy są równe **wtedy i tylko wtedy**, gdy mają **identyczne współczynniki** przy tych samych potęgach \\(x\\).\n\nMamy:\n\\[W(x) = x^3 + ax^2 - 4x + b\\]\n\\[P(x) = x^3 + (2a+3)x^2 + (a+b+c)x - 1\\]\n\nPorównujemy współczynniki przy kolejnych potęgach:\n\n**Przy \\(x^3\\):** \\(1 = 1\\) ✓ (automatycznie spełnione)\n\n**Przy \\(x^2\\):**\n\\[a = 2a + 3\\]\n\\[a - 2a = 3\\]\n\\[-a = 3\\]\n\\[\\boxed{a = -3}\\]\n\n**Wyraz wolny:**\n\\[b = -1\\]\n\\[\\boxed{b = -1}\\]\n\n**Przy \\(x^1\\):**\n\\[-4 = a + b + c\\]\n\\[-4 = (-3) + (-1) + c\\]\n\\[-4 = -4 + c\\]\n\\[\\boxed{c = 0}\\]\n\n## Sposób 1 cd. - faktoryzacja (część b)\n\nDla \\(a = 3\\), \\(b = 0\\):\n\\[W(x) = x^3 + 3x^2 - 4x\\]\n\n**Krok 1 - wyłącz wspólny czynnik \\(x\\):**\n\\[W(x) = x(x^2 + 3x - 4)\\]\n\n**Krok 2 - rozłóż trójmian kwadratowy.**\n\nLiczymy wyróżnik:\n\\[\\Delta = 3^2 - 4 \\cdot 1 \\cdot (-4) = 9 + 16 = 25\\]\n\nMiejsca zerowe:\n\\[x_1 = \\frac{-3 - \\sqrt{25}}{2} = \\frac{-3 - 5}{2} = \\frac{-8}{2} = -4\\]\n\\[x_2 = \\frac{-3 + \\sqrt{25}}{2} = \\frac{-3 + 5}{2} = \\frac{2}{2} = 1\\]\n\n**Krok 3 - postać iloczynowa trójmianu:**\n\\[x^2 + 3x - 4 = (x - (-4))(x - 1) = (x+4)(x-1)\\]\n\n**Wynik końcowy:**\n\\[\\boxed{W(x) = x(x+4)(x-1)}\\]\n\n## Sposób 2 - weryfikacja przez podstawienie (część a) i rozkład metodą zgadywania pierwiastka (część b)\n\n**Weryfikacja (a):**\n\nPodstawiamy \\(a=-3\\), \\(b=-1\\), \\(c=0\\) do \\(P(x)\\):\n\\[P(x) = x^3 + (2\\cdot(-3)+3)x^2 + ((-3)+(-1)+0)x - 1\\]\n\\[P(x) = x^3 + (-6+3)x^2 + (-4)x - 1\\]\n\\[P(x) = x^3 - 3x^2 - 4x - 1\\]\n\nI teraz \\(W(x)\\) z tymi samymi wartościami:\n\\[W(x) = x^3 + (-3)x^2 - 4x + (-1) = x^3 - 3x^2 - 4x - 1\\]\n\nOba wielomiany są identyczne ✓\n\n**Faktoryzacja - metoda alternatywna (b):**\n\nDla \\(W(x) = x^3 + 3x^2 - 4x\\) od razu widać, że **\\(x = 0\\) jest pierwiastkiem** (wyraz wolny = 0). Wyłączamy \\(x\\):\n\\[W(x) = x \\cdot (x^2 + 3x - 4)\\]\n\nPierwiastki \\(x^2 + 3x - 4\\) zgadujemy metodą Viète'a: szukamy dwóch liczb, których **suma = 3** i **iloczyn = -4**.\n\\[4 \\cdot (-1) = -4, \\quad 4 + (-1) = 3 \\quad \\checkmark\\]\n\nZatem: \\(x^2 + 3x - 4 = (x+4)(x-1)\\)\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)**\n\nWyróżnik i wzór na pierwiastki (użyty w Sposobie 1, część b):\n\\[\\Delta = b^2 - 4ac\\]\n\\[x_{1,2} = \\frac{-b \\pm \\sqrt{\\Delta}}{2a}\\]\n\nPostać iloczynowa trójmianu (gdy \\(\\Delta \\geq 0\\)):\n\\[ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)\\]\n\nWzory Viète'a (użyte w Sposobie 2):\n\\[x_1 + x_2 = -\\frac{b}{a}, \\quad x_1 \\cdot x_2 = \\frac{c}{a}\\]\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** W części (a) łatwo przestawić kolejność - równanie przy \\(x^2\\) to \\(a = 2a+3\\), nie \\(2a+3 = a + \\text{coś}\\). Zacznij zawsze od **lewej strony = prawej stronie** (współczynnik z W = współczynnik z P).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy wyłączaniu \\(x\\) w części (b) - uczennik często zapomina, że \\(x = 0\\) **jest pierwiastkiem wielomianu**, i szuka go tylko wzorem. Zawsze najpierw sprawdź czy wyraz wolny = 0!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** W zadaniu (a) mamy **trzy niewiadome** \\((a, b, c)\\) i **trzy równania** - jedno z nich daje od razu \\(a\\), następne od razu \\(b\\), a dopiero z obu wyznaczamy \\(c\\). Nie zakładaj z góry kolejności wyznaczania - zacznij od tej równości, która ma tylko jedną niewiadomą.\n\n**Poprawne odpowiedzi:** a) \\(a = -3\\), \\(b = -1\\), \\(c = 0\\); b) \\(W(x) = x(x + 4)(x - 1)\\).\n\n### Sposób 1 - Porównywanie współczynników\n**a)** Wielomiany \\(W\\) i \\(P\\) są równe ⇔ mają te same współczynniki przy odpowiednich potęgach \\(x\\):\n\\[W(x) = x^{3} + ax^{2} - 4x + b\\]\n\\[P(x) = x^{3} + (2a+3)x^{2} + (a+b+c)x - 1.\\]\n\nPorównując:\n- przy \\(x^{3}\\): \\(1 = 1\\) ✓,\n- przy \\(x^{2}\\): \\(a = 2a + 3 \\Rightarrow -a = 3 \\Rightarrow a = -3\\),\n- przy \\(x^{0}\\) (wyraz wolny): \\(b = -1\\),\n- przy \\(x^{1}\\): \\(-4 = a + b + c = -3 + (-1) + c = -4 + c \\Rightarrow c = 0\\).\n\n**Odpowiedź:** \\(a = -3\\), \\(b = -1\\), \\(c = 0\\).\n\n**b) Dla \\(a = 3\\), \\(b = 0\\):**\n\\[W(x) = x^{3} + 3x^{2} - 4x + 0 = x^{3} + 3x^{2} - 4x.\\]\n\nWyłączamy \\(x\\) przed nawias:\n\\[W(x) = x(x^{2} + 3x - 4).\\]\n\nRozkładamy \\(x^{2} + 3x - 4\\): \\(\\Delta = 9 + 16 = 25\\), \\(\\sqrt{\\Delta} = 5\\):\n\\[x_{1,2} = \\dfrac{-3 \\pm 5}{2} \\Rightarrow x_1 = 1, x_2 = -4.\\]\n\\[x^{2} + 3x - 4 = (x - 1)(x + 4).\\]\n\nOstatecznie:\n\\[W(x) = x(x + 4)(x - 1).\\]\n\n### Weryfikacja\n\\[x(x+4)(x-1) = x(x^{2} + 3x - 4) = x^{3} + 3x^{2} - 4x\\] ✓.\n\n### Komentarz\nMetoda rozkładania na czynniki: najpierw wyłączyć wspólny czynnik \\(x\\) (gdy wyraz wolny \\(b = 0\\)), potem rozłożyć trójmian kwadratowy przy pomocy delty.","image":"img/matematyka-2009-maj-matura-podstawowa/zad-5.webp","solution_image":"img/matematyka-2009-maj-matura-podstawowa/sol-5.svg","topics":"wielomiany","page_from":7,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2009 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2009-maj-matura-podstawowa/zad/6","paper_id":"matematyka-2009-maj-matura-podstawowa","number":"6","points":5,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2009,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 6. (5 pkt)\nMiara jednego z kątów ostrych w trójkącie prostokątnym jest równa α .\na) Uzasadnij, że spełniona jest nierówność sin\ntg\n0\nα\nα\n<\nb) Dla\n2 2\nsin\n3\nα =\noblicz wartość wyrażenia\n3\n2\ncos\ncos\nsin\n⋅\nα\nα\nα .\nNr zadania\n6.1\n6.2\n6.3\n6.4\n6.5\nMaks. liczba pkt\n1\n1\n1\n1\n1\nWypełnia\negzaminator! Uzyskana liczba pkt\n\nPoziom podstawowy\n9\nMiara jednego z kątów ostrych w trójkącie prostokątnym jest równa alfa. a) Uzasadnij, że spełniona jest nierówność sin a - tg a <0 b) Dla sin a = {2 pierwiastki z 2 przez 3 oblicz wartość wyrażenia cos^3 a + cos a * sin^2 alpha","answer":null,"answer_text":"lub 2\nπ\nr\n6","solution":"## Poprawna odpowiedź:\n\n**a)** \\(\\sin\\alpha - \\operatorname{tg}\\alpha < 0\\) - uzasadnienie poniżej.\n\n**b)** \\(\\cos^3\\alpha + \\cos\\alpha \\cdot \\sin^2\\alpha = \\dfrac{1}{3}\\)\n\n## Sposób 1 - geometrycznie (boki trójkąta)\n\n### Część a)\n\nNiech trójkąt prostokątny ma boki: **naprzeciwległy** \\(a\\), **przyległy** \\(b\\), **przeciwprostokątna** \\(c\\).\n\nZ definicji funkcji trygonometrycznych w trójkącie prostokątnym:\n\\[\\sin\\alpha = \\frac{a}{c}, \\qquad \\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{a}{b}\\]\n\nObliczamy różnicę:\n\\[\\sin\\alpha - \\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{a}{c} - \\frac{a}{b} = \\frac{ab - ac}{bc} = \\frac{a(b-c)}{bc}\\]\n\nTeraz oceniamy znak każdego czynnika:\n- \\(a > 0\\) - długość boku jest dodatnia\n- \\(b > 0\\), \\(c > 0\\) - j.w., więc \\(bc > 0\\)\n- **\\(b < c\\)** - w trójkącie prostokątnym **każda noga jest krótsza od przeciwprostokątnej**, zatem \\(b - c < 0\\)\n\nStąd:\n\\[\\sin\\alpha - \\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{a(b-c)}{bc} = \\frac{(+)(-)}{(+)} < 0 \\qquad \\blacksquare\\]\n\n### Część b)\n\nDane: \\(\\sin\\alpha = \\dfrac{2\\sqrt{2}}{3}\\)\n\n**Krok 1:** Wyznaczamy \\(\\cos\\alpha\\) z jedynki trygonometrycznej:\n\\[\\cos^2\\alpha = 1 - \\sin^2\\alpha = 1 - \\left(\\frac{2\\sqrt{2}}{3}\\right)^2 = 1 - \\frac{8}{9} = \\frac{1}{9}\\]\n\nPonieważ \\(\\alpha\\) jest kątem ostrym, \\(\\cos\\alpha > 0\\), więc:\n\\[\\cos\\alpha = \\frac{1}{3}\\]\n\n**Krok 2:** Upraszczamy wyrażenie - wyciągamy \\(\\cos\\alpha\\) przed nawias:\n\\[\\cos^3\\alpha + \\cos\\alpha \\cdot \\sin^2\\alpha = \\cos\\alpha\\underbrace{(\\cos^2\\alpha + \\sin^2\\alpha)}_{= 1} = \\cos\\alpha\\]\n\n**Krok 3:** Podstawiamy:\n\\[\\cos^3\\alpha + \\cos\\alpha \\cdot \\sin^2\\alpha = \\cos\\alpha = \\boxed{\\dfrac{1}{3}}\\]\n\n## Sposób 2 - algebraicznie (Część a bez geometrii)\n\nKorzystamy ze wzoru \\(\\operatorname{tg}\\alpha = \\dfrac{\\sin\\alpha}{\\cos\\alpha}\\):\n\n\\[\\sin\\alpha - \\operatorname{tg}\\alpha = \\sin\\alpha - \\frac{\\sin\\alpha}{\\cos\\alpha} = \\sin\\alpha\\left(1 - \\frac{1}{\\cos\\alpha}\\right) = \\sin\\alpha \\cdot \\frac{\\cos\\alpha - 1}{\\cos\\alpha}\\]\n\nOceniamy znak dla kąta ostrego, czyli \\(\\alpha \\in (0°, 90°)\\):\n- \\(\\sin\\alpha > 0\\)\n- \\(\\cos\\alpha \\in (0, 1)\\), więc \\(\\cos\\alpha - 1 < 0\\)\n- \\(\\cos\\alpha > 0\\)\n\nZatem:\n\\[\\sin\\alpha \\cdot \\frac{\\cos\\alpha - 1}{\\cos\\alpha} = \\frac{(+)(-)}{(+)} < 0 \\qquad \\blacksquare\\]\n\n> Sposób 2 jest bardziej elegancki i nie wymaga rysowania trójkąta - działa przez samą algebrę.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 9 (Trygonometria, s. 11-14)**\n\nJedynka trygonometryczna:\n\\[\\sin^2\\alpha + \\cos^2\\alpha = 1\\]\nUżyliśmy jej w części b) do wyznaczenia \\(\\cos\\alpha\\) oraz do uproszczenia wyrażenia \\(\\cos^2\\alpha + \\sin^2\\alpha = 1\\).\n\nDefinicja tangensa:\n\\[\\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{\\sin\\alpha}{\\cos\\alpha}\\]\nUżyliśmy w Sposobie 2 do algebraicznego przekształcenia różnicy.\n\nDefinicje w trójkącie prostokątnym:\n\\[\\sin\\alpha = \\frac{a}{c}, \\quad \\cos\\alpha = \\frac{b}{c}, \\quad \\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{a}{b}\\]\nUżyliśmy w Sposobie 1 do geometrycznego uzasadnienia nierówności.\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** W części b) wielu uczniów liczy \\(\\cos^3\\alpha + \\cos\\alpha \\cdot \\sin^2\\alpha\\) „na piechotę\" - podstawia wartości i mozolnie podnosi do potęg. Szybszy klucz: zawsze najpierw sprawdź, czy da się wyciągnąć wspólny czynnik. Tutaj \\(\\cos\\alpha(\\cos^2\\alpha + \\sin^2\\alpha) = \\cos\\alpha \\cdot 1\\) - całe wyrażenie skraca się do jednej liczby!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** W uzasadnieniu nierówności (część a) nie wystarczy napisać „sin < tg, bo tg jest większe\". Trzeba **pokazać**, dlaczego - albo geometrycznie przez boki (\\(b < c\\)), albo algebraicznie przez \\(\\cos\\alpha < 1\\). Brak uzasadnienia = brak punktów.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy wyznaczaniu \\(\\cos\\alpha = \\sqrt{\\frac{1}{9}}\\) pamiętaj, że pierwiastek kwadratowy daje dwa wyniki: \\(\\pm\\frac{1}{3}\\). Wybieramy \\(+\\frac{1}{3}\\), bo \\(\\alpha\\) jest kątem **ostrym** - cosinus kąta ostrego jest zawsze dodatni!\n\n**Poprawne odpowiedzi:** a) dowód poniżej; b) wartość wyrażenia \\(= \\dfrac{1}{3}\\).\n\n### Sposób 1 - Dowód i obliczenie\n**a) Uzasadnienie nierówności \\(\\sin\\alpha - \\operatorname{tg}\\alpha < 0\\):**\n\nW trójkącie prostokątnym oznaczmy: \\(a\\) - przyprostokątna przeciwległa do \\(\\alpha\\), \\(b\\) - przyprostokątna leżąca przy \\(\\alpha\\), \\(c\\) - przeciwprostokątna. Wtedy:\n\\[\\sin\\alpha = \\dfrac{a}{c}, \\quad \\cos\\alpha = \\dfrac{b}{c}, \\quad \\operatorname{tg}\\alpha = \\dfrac{a}{b}.\\]\n\nObliczamy:\n\\[\\sin\\alpha - \\operatorname{tg}\\alpha = \\dfrac{a}{c} - \\dfrac{a}{b} = \\dfrac{ab - ac}{bc} = \\dfrac{a(b - c)}{bc}.\\]\n\nPonieważ \\(a, b, c > 0\\) oraz przeciwprostokątna \\(c\\) jest **najdłuższym** bokiem trójkąta prostokątnego (\\(c > b\\)), mamy \\(b - c < 0\\). Zatem:\n\\[\\dfrac{a(b-c)}{bc} < 0 \\Rightarrow \\sin\\alpha - \\operatorname{tg}\\alpha < 0. \\quad \\blacksquare\\]\n\n**b) Obliczenie wartości wyrażenia \\(\\cos^{3}\\alpha + \\cos\\alpha\\sin^{2}\\alpha\\):**\n\nWyłączamy \\(\\cos\\alpha\\) przed nawias:\n\\[\\cos^{3}\\alpha + \\cos\\alpha\\sin^{2}\\alpha = \\cos\\alpha(\\cos^{2}\\alpha + \\sin^{2}\\alpha) = \\cos\\alpha\\cdot 1 = \\cos\\alpha.\\]\n\nObliczamy \\(\\cos\\alpha\\) z jedynki trygonometrycznej:\n\\[\\cos^{2}\\alpha = 1 - \\sin^{2}\\alpha = 1 - \\left(\\dfrac{2\\sqrt{2}}{3}\\right)^{2} = 1 - \\dfrac{8}{9} = \\dfrac{1}{9}.\\]\n\nPonieważ \\(\\alpha\\) jest kątem ostrym, \\(\\cos\\alpha > 0\\):\n\\[\\cos\\alpha = \\sqrt{\\dfrac{1}{9}} = \\dfrac{1}{3}.\\]\n\n**Wartość wyrażenia:** \\(\\cos^{3}\\alpha + \\cos\\alpha\\sin^{2}\\alpha = \\dfrac{1}{3}\\).\n\n### Komentarz\n**Część a:** można też uzasadnić intuicyjnie: \\(\\operatorname{tg}\\alpha = \\dfrac{\\sin\\alpha}{\\cos\\alpha}\\); dla \\(0 < \\alpha < \\dfrac{\\pi}{2}\\) mamy \\(0 < \\cos\\alpha < 1\\), więc \\(\\operatorname{tg}\\alpha > \\sin\\alpha\\).\n\n**Część b:** kluczowa jest jedynka trygonometryczna \\(\\sin^{2}\\alpha + \\cos^{2}\\alpha = 1\\), która redukuje wyrażenie do \\(\\cos\\alpha\\).","image":"img/matematyka-2009-maj-matura-podstawowa/zad-6.webp","solution_image":"img/matematyka-2009-maj-matura-podstawowa/sol-6.svg","topics":"trygonometria","page_from":8,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2009 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2009-maj-matura-podstawowa/zad/7","paper_id":"matematyka-2009-maj-matura-podstawowa","number":"7","points":6,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2009,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 7. (6 pkt)\nDany jest ciąg arytmetyczny\n)\n(\nn\na\ndla\n1\nn ≥, w którym\n1\n7 =\na\n,\n9\n11 =\na\na) Oblicz pierwszy wyraz\n1a i różnicę r ciągu\n)\n(\nn\na\nb) Sprawdź, czy ciąg (\n)\n11\n8\n7\n,\n,\na\na\na\njest geometryczny.\nc) Wyznacz takie n, aby suma n początkowych wyrazów ciągu\n)\n(\nn\na\nmiała wartość\nnajmniejszą.\nNr zadania\n7.1\n7.2\n7.3\n7.4\n7.5\n7.6\nMaks. liczba pkt\n1\n1\n1\n1\n1\n1\nWypełnia\negzaminator! Uzyskana liczba pkt\n\nPoziom podstawowy\n10\nDany jest ciąg arytmetyczny (a_n) dla n>=1, w którym a_7=1, a_{11}=9. a) Oblicz pierwszy a_1 i różnicę r ciągu (a_n). b) Sprawdź, czy ciąg (a_7, a_8, a_{11}) jest geometryczny. c) Wyznacz takie n, aby suma n początkowych wyrazów ciągu (a_n) miała wartość najmniejszą.","answer":"B","answer_text":"n\n)\n980\nalbo\nm\n15\nn\n980\nalbo 6\nm\n8\nn","solution":"## Poprawna odpowiedź: B\n\nWynik: \\(W(x) \\cdot V(x) = 2x^6 - 6x^4 + 2x^3\\)\n\n## Sposób 1 - Mnożenie wielomianu przez jednomian\n\nMamy:\n\\[W(x) = x^3 - 3x + 1, \\qquad V(x) = 2x^3\\]\n\nMnożymy każdy wyraz \\(W(x)\\) przez \\(2x^3\\):\n\n\\[W(x) \\cdot V(x) = (x^3 - 3x + 1) \\cdot 2x^3\\]\n\nKażdy składnik osobno:\n\\[x^3 \\cdot 2x^3 = 2x^{3+3} = 2x^6\\]\n\\[(-3x) \\cdot 2x^3 = -6x^{1+3} = -6x^4\\]\n\\[1 \\cdot 2x^3 = 2x^3\\]\n\nZbieramy wyniki:\n\\[\\boxed{W(x) \\cdot V(x) = 2x^6 - 6x^4 + 2x^3}\\]\n\n**Zatem odpowiedź to B.**\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja przez podstawienie wartości\n\nSprawdzamy wynik dla \\(x = 1\\):\n\n- Lewa strona: \\(W(1) \\cdot V(1) = (1 - 3 + 1) \\cdot 2 = (-1) \\cdot 2 = -2\\)\n- Prawa strona (nasz wynik): \\(2(1)^6 - 6(1)^4 + 2(1)^3 = 2 - 6 + 2 = -2\\) ✓\n\nSprawdzamy dla \\(x = 2\\):\n\n- Lewa strona: \\(W(2) \\cdot V(2) = (8 - 6 + 1) \\cdot 16 = 3 \\cdot 16 = 48\\)\n- Prawa strona: \\(2(64) - 6(16) + 2(8) = 128 - 96 + 16 = 48\\) ✓\n\nWynik się zgadza - odpowiedź B jest poprawna.\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy znajomość działania na potęgach przy mnożeniu:\n\n\\[a^r \\cdot a^s = a^{r+s}\\]\n\nJest to własność potęg z **Działu 2 (Potęgi i pierwiastki, s. 4-5)**. Używamy jej przy mnożeniu:\n\\[x^3 \\cdot x^3 = x^{3+3} = x^6, \\qquad x^1 \\cdot x^3 = x^{1+3} = x^4\\]\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| A | Pominięcie składnika \\((-3x)\\) - mnożenie tylko pierwszego i ostatniego wyrazu \\(W(x)\\) |\n| C | Błędne dodawanie wykładników przy mnożeniu, np. \\(x^3 \\cdot x^3 = x^9\\) zamiast \\(x^6\\) |\n| D | Pomylenie mnożenia z dodawaniem - napisanie \\(W(x) + V(x)\\) zamiast \\(W(x) \\cdot V(x)\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Mnożąc wielomian przez jednomian, pamiętaj o **każdym** wyrazie - łatwo pominąć środkowy składnik \\(-3x\\), zwłaszcza gdy nie ma członu \\(x^2\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy mnożeniu potęg **dodajemy** wykładniki: \\(x^3 \\cdot x^3 = x^6\\), a **nie** \\(x^9\\) (to byłoby potęgowanie potęgi: \\((x^3)^3\\)).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wynik ma trzy wyrazy o **różnych** stopniach: \\(x^6\\), \\(x^4\\), \\(x^3\\) - nie ma \\(x^5\\) ani \\(x^2\\), bo \\(W(x)\\) nie ma tych składników. Nie dopisuj brakujących wyrazów!\n\n**Poprawna odpowiedź: B.** \\(2x^{6} - 6x^{4} + 2x^{3}\\)\n\n### Sposób 1 - Bezpośrednie mnożenie\n\\[W(x)\\cdot V(x) = (x^{3} - 3x + 1)\\cdot 2x^{3}\\]\n\\[= 2x^{3}\\cdot x^{3} + 2x^{3}\\cdot(-3x) + 2x^{3}\\cdot 1\\]\n\\[= 2x^{6} - 6x^{4} + 2x^{3}.\\]\n\n### Sposób 2 - Kontrola stopnia\nStopień \\(W(x)\\) wynosi \\(3\\), stopień \\(V(x) = 2x^{3}\\) też \\(3\\). Zatem stopień iloczynu to \\(3 + 3 = 6\\).\n\nOdpowiedzi A (\\(2x^{5}\\)), C (\\(2x^{5}\\)), D (\\(2x^{5}\\)) mają najwyższy stopień \\(5\\) - odpadają już z kontroli stopnia. Pozostaje **B** ze stopniem \\(6\\).\n\n### Weryfikacja przez wstawienie \\(x = 1\\)\n\\(W(1) = 1 - 3 + 1 = -1\\), \\(V(1) = 2\\). \\(W(1)\\cdot V(1) = -2\\).\n\nDla odpowiedzi B: \\(2 - 6 + 2 = -2\\) ✓.\n\n### Komentarz\nPrawo potęg \\(x^{a}\\cdot x^{b} = x^{a+b}\\) - wysokie potęgi sumują się. Typowy błąd: potraktowanie \\(2x^{3}\\cdot x^{3}\\) jako \\(2x^{5}\\) zamiast \\(2x^{6}\\).","image":"img/matematyka-2009-maj-matura-podstawowa/zad-7.webp","solution_image":"img/matematyka-2009-maj-matura-podstawowa/sol-7.svg","topics":"ciagi","page_from":9,"source":"ocr","answer_source":"maturazai","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2009 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2009-maj-matura-podstawowa/zad/8","paper_id":"matematyka-2009-maj-matura-podstawowa","number":"8","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2009,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 8. (4 pkt)\nW trapezie ABCD długość podstawy CD jest równa 18, a długości ramion trapezu AD i BC\nsą odpowiednio równe 25 i 15. Kąty ADB i DCB, zaznaczone na rysunku, mają równe miary.\nOblicz obwód tego trapezu.\nA\nB\nC\nD\n\nPoziom podstawowy\n11\nNr zadania\n8.1\n8.2\n8.3\n8.4\nMaks. liczba pkt\n1\n1\n1\n1\nWypełnia\negzaminator! Uzyskana liczba pkt\n\nPoziom podstawowy\n12\nW trapezie ABCD długość podstawy CD jest rowna 18, a długości ramion trapezu AD i BC są odpowiednio równe 25 i 15. Kąty ADB i $DCB$, zaznaczone na rysunku, mają równe miary. Oblicz obwód tego trapezu. Zadanie z matury 2009 poziom podstawowy.","answer":null,"answer_text":"4\nx\n14\n)\n5","solution":"## Poprawna odpowiedź: A - wierzchołek \\((-1, 0)\\)\n\n## Sposób 1 - Odczyt z postaci kanonicznej\n\nRównanie paraboli jest już zapisane w **postaci kanonicznej**:\n\\[y = a(x - p)^2 + q\\]\ngdzie \\(W = (p, q)\\) to wierzchołek.\n\nPorównujemy nasze równanie z wzorcem:\n\\[y = -3(x + 1)^2\\]\n\\[y = -3(x - (-1))^2 + 0\\]\n\n**Odczytujemy bezpośrednio:**\n- \\(a = -3\\)\n- \\(p = -1\\) (bo \\(x - (-1) = x + 1\\))\n- \\(q = 0\\) (brak wyrazu wolnego poza nawiasem)\n\n**Wierzchołek paraboli:** \\(W = (-1,\\ 0)\\)\n\n## Sposób 2 - Wyznaczenie przez wzory z postaci ogólnej\n\nRozwijamy równanie do postaci ogólnej \\(f(x) = ax^2 + bx + c\\):\n\\[y = -3(x+1)^2 = -3(x^2 + 2x + 1) = -3x^2 - 6x - 3\\]\n\nMamy: \\(a = -3\\), \\(b = -6\\), \\(c = -3\\).\n\nWspółrzędna \\(p\\) wierzchołka:\n\\[p = -\\frac{b}{2a} = -\\frac{-6}{2 \\cdot (-3)} = -\\frac{-6}{-6} = -1\\]\n\nWspółrzędna \\(q\\) wierzchołka:\n\\[q = f(p) = f(-1) = -3(-1+1)^2 = -3 \\cdot 0 = 0\\]\n\n**Wierzchołek:** \\(W = (-1,\\ 0)\\) ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)** - postać kanoniczna i wierzchołek paraboli:\n\\[f(x) = a(x - p)^2 + q, \\qquad W = (p,\\ q)\\]\n\\[p = -\\frac{b}{2a}, \\qquad q = -\\frac{\\Delta}{4a}\\]\n\nWzór na \\(p\\) stosujemy w Sposobie 2. W Sposobie 1 korzystamy z bezpośredniego odczytu postaci kanonicznej - to szybciej i bez ryzyka błędu rachunkowego.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Prawdopodobny błąd |\n| B | Zamiana znaku - uczeń czyta \\(x+1\\) jako \\(p = +1\\) zamiast \\(p = -1\\), daje wierzchołek \\((1, 0)\\) |\n| C | Uczeń podstawia \\(x = 0\\) i liczy \\(f(0) = -3\\), biorąc punkt \\((0, -3)\\) za wierzchołek |\n| D | Pomieszanie \\(a\\) z \\(p\\) - uczeń podaje \\((-3, 0)\\) lub inną kombinację ze współczynnika \\(-3\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** W równaniu \\(y = a(x - p)^2 + q\\) znak przy \\(p\\) jest **odwrotny**! Jeśli widzisz \\((x + 1)\\), to \\(p = -1\\), nie \\(+1\\). To najczęstszy błąd w tym typie zadania.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Współrzędna \\(q\\) to wartość funkcji w wierzchołku - jeśli poza nawiasem nie ma żadnego wyrazu wolnego, to \\(q = 0\\), a wierzchołek leży **na osi \\(OX\\)**.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Współczynnik \\(a = -3\\) opisuje tylko \"szerokość\" i kierunek otwarcia paraboli (ramiona skierowane w dół). Nie ma nic wspólnego ze współrzędnymi wierzchołka - nie wpisuj go do odpowiedzi!\n\n**Poprawna odpowiedź: A.** \\((-1, 0)\\)\n\n### Sposób 1 - Postać kanoniczna\nOgólna postać kanoniczna paraboli: \\(y = a(x - p)^{2} + q\\), gdzie \\(W = (p, q)\\) jest wierzchołkiem.\n\nW zadaniu:\n\\[y = -3(x+1)^{2} = -3(x - (-1))^{2} + 0.\\]\nStąd \\(p = -1\\), \\(q = 0\\), czyli \\(W = (-1, 0)\\).\n\n### Sposób 2 - Przez postać ogólną\nRozwijamy:\n\\[y = -3(x+1)^{2} = -3(x^{2} + 2x + 1) = -3x^{2} - 6x - 3.\\]\nWspółczynniki: \\(a = -3\\), \\(b = -6\\), \\(c = -3\\).\n\\[p = -\\dfrac{b}{2a} = -\\dfrac{-6}{-6} = -1, \\quad q = -\\dfrac{\\Delta}{4a} = -\\dfrac{36 - 36}{-12} = 0.\\]\n\\(\\Delta = b^{2} - 4ac = 36 - 4\\cdot(-3)\\cdot(-3) = 36 - 36 = 0\\).\n\nWierzchołek \\((-1, 0)\\) ✓.\n\n### Sposób 3 - Minimum/maksimum funkcji\nPonieważ \\(a = -3 < 0\\), parabola otwiera się w dół. Wartość \\(-3(x+1)^{2}\\) jest największa, gdy \\((x+1)^{2} = 0\\), czyli \\(x = -1\\); wtedy \\(y = 0\\). Maksimum w \\((-1, 0)\\).\n\n### Komentarz\nUwaga na znak: \\((x + 1)^{2} = (x - (-1))^{2}\\). Częsty błąd: odczyt \\(p = 1\\) zamiast \\(p = -1\\).","image":"img/matematyka-2009-maj-matura-podstawowa/zad-8.webp","solution_image":"img/matematyka-2009-maj-matura-podstawowa/sol-8.svg","topics":"planimetria","page_from":10,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2009 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2009-maj-matura-podstawowa/zad/9","paper_id":"matematyka-2009-maj-matura-podstawowa","number":"9","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2009,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 9. (4 pkt)\nPunkty\n(\n)\n0,10\nB =\ni\n(\n)\n0,0\nO =\nsą wierzchołkami trójkąta prostokątnego OAB, w którym\n90\nOAB =\n°\n)\n. Przyprostokątna OA zawiera się w prostej o równaniu\nx\ny\n2\n1\n. Oblicz\nwspółrzędne punktu A i długość przyprostokątnej OA.\nNr zadania\n9.1\n9.2\n9.3\n9.4\nMaks. liczba pkt\n1\n1\n1\n1\nWypełnia\negzaminator! Uzyskana liczba pkt\n\nPoziom podstawowy\n13\nPunkty B=(0,10) i O=(0,0) są wierzchołkami trójkąta prostokątnego OAB, w którym kat OAB=90 stopni. Przyprostokątna OA zawiera się w prostej o równaniu y=1/2x. Oblicz współrzędne punktu A i długość przyprostokątnej OA.","answer":null,"answer_text":"3\n2\n⋅\n(\n3\n4\n2\n2\n)\n2\n3\n, o ile dowód równości jest prowadzony od jej prawej strony","solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(A = (4, 2)\\), \\(|OA| = 2\\sqrt{5}\\)\n\n## Sposób 1 - iloczyn skalarny (prostopadłość wektorów)\n\n**Skoro \\(A\\) leży na prostej \\(y = \\frac{1}{2}x\\),** możemy zapisać:\n\\[A = \\left(t,\\ \\frac{t}{2}\\right) \\quad \\text{dla pewnego } t \\neq 0\\]\n\nKąt prosty jest przy \\(A\\), czyli wektory \\(\\overrightarrow{AO}\\) i \\(\\overrightarrow{AB}\\) są **prostopadłe**.\n\nWyznaczamy te wektory:\n\\[\\overrightarrow{AO} = O - A = \\left(-t,\\ -\\frac{t}{2}\\right)\\]\n\\[\\overrightarrow{AB} = B - A = \\left(0 - t,\\ 10 - \\frac{t}{2}\\right) = \\left(-t,\\ 10 - \\frac{t}{2}\\right)\\]\n\nWarunek prostopadłości - iloczyn skalarny równy zero:\n\\[\\overrightarrow{AO} \\cdot \\overrightarrow{AB} = 0\\]\n\\[(-t)(-t) + \\left(-\\frac{t}{2}\\right)\\left(10 - \\frac{t}{2}\\right) = 0\\]\n\\[t^2 - \\frac{t}{2} \\cdot 10 + \\frac{t^2}{4} = 0\\]\n\\[t^2 + \\frac{t^2}{4} - 5t = 0\\]\n\\[\\frac{5t^2}{4} - 5t = 0\\]\n\\[5t\\left(\\frac{t}{4} - 1\\right) = 0\\]\n\nStąd \\(t = 0\\) (to punkt \\(O\\), odrzucamy) lub \\(\\dfrac{t}{4} = 1\\), czyli **\\(t = 4\\)**.\n\nZatem:\n\\[A = \\left(4,\\ \\frac{4}{2}\\right) = (4, 2)\\]\n\nDługość przyprostokątnej \\(OA\\):\n\\[|OA| = \\sqrt{4^2 + 2^2} = \\sqrt{16 + 4} = \\sqrt{20} = \\mathbf{2\\sqrt{5}}\\]\n\n## Sposób 2 - okrąg Talesa\n\n**Kluczowe spostrzeżenie:** skoro \\(|\\angle OAB| = 90°\\), to punkt \\(A\\) leży na okręgu o średnicy \\(OB\\) (twierdzenie Talesa - kąt wpisany oparty na średnicy jest prosty).\n\nŚrodek tego okręgu to środek odcinka \\(OB\\):\n\\[S = \\left(\\frac{0+0}{2},\\ \\frac{0+10}{2}\\right) = (0, 5)\\]\n\nPromień:\n\\[r = \\frac{|OB|}{2} = \\frac{10}{2} = 5\\]\n\nRównanie okręgu:\n\\[x^2 + (y - 5)^2 = 25\\]\n\nPunkt \\(A\\) leży również na prostej \\(y = \\frac{1}{2}x\\), więc podstawiamy \\(y = \\frac{x}{2}\\):\n\\[x^2 + \\left(\\frac{x}{2} - 5\\right)^2 = 25\\]\n\\[x^2 + \\frac{x^2}{4} - 5x + 25 = 25\\]\n\\[\\frac{5x^2}{4} - 5x = 0\\]\n\\[5x\\left(\\frac{x}{4} - 1\\right) = 0\\]\n\nZnów \\(x = 0\\) (punkt \\(O\\), odrzucamy) lub \\(x = 4\\), skąd \\(y = 2\\).\n\n**\\(A = (4, 2)\\)**, \\(|OA| = 2\\sqrt{5}\\) ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25)**\n\n- Długość odcinka:\n\\[|OA| = \\sqrt{(x_A - x_O)^2 + (y_A - y_O)^2} = \\sqrt{4^2 + 2^2} = 2\\sqrt{5}\\]\nUżyto do obliczenia długości przyprostokątnej.\n\n- Warunek prostopadłości prostych (Sposób 1):\n\\[a_1 \\cdot a_2 = -1\\]\nProsta \\(OA\\) ma współczynnik kierunkowy \\(\\frac{1}{2}\\), prosta \\(AB\\) - musi mieć \\(-2\\), co odpowiada prostopadłości wektorów.\n\n**Dział 10 (Planimetria - twierdzenie Talesa/kąt wpisany, s. 19)**\n\\[\\text{Kąt wpisany} = \\frac{1}{2} \\cdot \\text{kąt środkowy na tym samym łuku}\\]\nKąt wpisany oparty na średnicy = 90° - to podstawa Sposobu 2.\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Łatwo zapomnieć odrzucić rozwiązanie \\(t = 0\\) - daje ono punkt \\(O\\), który już jest wierzchołkiem trójkąta, nie może więc być punktem \\(A\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Kąt prosty jest przy \\(A\\), nie przy \\(O\\)! Mylenie wierzchołka kąta prostego to najczęstszy błąd - tu \\(\\angle OAB = 90°\\), więc prostopadłość dotyczy \\(\\overrightarrow{AO}\\) i \\(\\overrightarrow{AB}\\), nie \\(\\overrightarrow{OA}\\) i \\(\\overrightarrow{OB}\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy obliczaniu \\(|OA|\\) pamiętaj, że \\(\\sqrt{20} = \\sqrt{4 \\cdot 5} = 2\\sqrt{5}\\) - nie zostawiaj wyniku w postaci \\(\\sqrt{20}\\), bo to forma nieskrócona.\n\n**Poprawna odpowiedź:** \\(A = (4, 2)\\), \\(|OA| = 2\\sqrt{5}\\).\n\n### Sposób 1 - Prosta prostopadła i punkt przecięcia\n**Dane:** \\(B = (0, 10)\\), \\(O = (0, 0)\\), \\(\\angle OAB = 90^{\\circ}\\), prosta \\(OA\\): \\(y = \\dfrac{1}{2}x\\).\n\n**Krok 1 - równanie prostej \\(AB\\):**\nPonieważ \\(\\angle OAB = 90^{\\circ}\\), prosta \\(AB\\) jest prostopadła do prostej \\(OA\\).\n\nProsta \\(OA\\) ma współczynnik kierunkowy \\(a_1 = \\dfrac{1}{2}\\). Warunek prostopadłości: \\(a_1\\cdot a_2 = -1\\):\n\\[\\dfrac{1}{2}\\cdot a_2 = -1 \\Rightarrow a_2 = -2.\\]\n\nProsta \\(AB\\) przechodzi przez \\(B = (0, 10)\\):\n\\[y = -2x + 10.\\]\n\n**Krok 2 - punkt \\(A\\) jako przecięcie prostych \\(OA\\) i \\(AB\\):**\n\\[\\begin{cases} y = \\dfrac{1}{2}x \\\\ y = -2x + 10 \\end{cases}\\]\n\nPorównujemy:\n\\[\\dfrac{1}{2}x = -2x + 10 \\Rightarrow \\dfrac{1}{2}x + 2x = 10 \\Rightarrow \\dfrac{5}{2}x = 10 \\Rightarrow x = 4.\\]\n\nStąd \\(y = \\dfrac{1}{2}\\cdot 4 = 2\\). Zatem \\(A = (4, 2)\\).\n\n**Krok 3 - długość \\(|OA|\\):**\n\\[|OA| = \\sqrt{(4-0)^{2} + (2-0)^{2}} = \\sqrt{16 + 4} = \\sqrt{20} = 2\\sqrt{5}.\\]\n\n### Sprawdzenie\n- \\(A\\) leży na \\(y = \\dfrac{1}{2}x\\): \\(2 = \\dfrac{1}{2}\\cdot 4 = 2\\) ✓.\n- \\(AB \\perp OA\\): \\(\\vec{OA} = (4, 2)\\), \\(\\vec{AB} = (-4, 8)\\); iloczyn skalarny \\((4)(-4) + (2)(8) = -16 + 16 = 0\\) ✓.\n\n### Komentarz\nKlasyczna konstrukcja: wysokość/przyprostokątna opuszczona z wierzchołka kąta prostego. Punkt \\(A\\) jest rzutem prostokątnym \\(B\\) na prostą \\(y = \\dfrac{1}{2}x\\). Wzór \\(|OA| = 2\\sqrt{5}\\) - norma wektora \\(\\vec{OA}\\).","image":"img/matematyka-2009-maj-matura-podstawowa/zad-9.webp","solution_image":"img/matematyka-2009-maj-matura-podstawowa/sol-9.svg","topics":"analityczna","page_from":12,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2009 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2009-maj-matura-podstawowa/zad/10","paper_id":"matematyka-2009-maj-matura-podstawowa","number":"10","points":5,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2009,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 10. (5 pkt)\nTabela przedstawia wyniki części teoretycznej egzaminu na prawo jazdy. Zdający uzyskał\nwynik pozytywny, jeżeli popełnił co najwyżej dwa błędy.\nliczba błędów\n0\n1\n2\n3\n4\n5\n6\n7\n8\nliczba zdających\n8\n5\n8\n5\n2\n1\n0\n0\n1\na) Oblicz średnią arytmetyczną liczby błędów popełnionych przez zdających ten egzamin.\nWynik podaj w zaokrągleniu do całości.\nb) Oblicz prawdopodobieństwo, że wśród dwóch losowo wybranych zdających tylko jeden\nuzyskał wynik pozytywny. Wynik zapisz w postaci ułamka zwykłego nieskracalnego.\nNr zadania\n10.1\n10.2\n10.3\n10.4\n10.5\nMaks. liczba pkt\n1\n1\n1\n1\n1\nWypełnia\negzaminator! Uzyskana liczba pkt\n\nPoziom podstawowy\n14\nTabela przedstawia wyniki części teoretycznej egzaminu na prawo jazdy. Zdający uzyskał wynik pozytywny, jeżeli popełnił co najwyżej dwa błędy. a) Oblicz średnią arytmetyczną liczby błędów popełnionych przez zdających ten egzamin. Wynik podaj w zaokrągleniu do całości. b) Oblicz prawdopodobieństwo, że wśród dwóch losowo wybranych zdających tylko jeden uzyskał wynik pozytywny. Wynik zapisz w postaci ułamka zwykłego nieskracalnego.","answer":null,"answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź:\n\n**a)** \\(\\bar{x} \\approx 2\\) (dokładnie \\(\\frac{57}{30} = 1{,}9\\))\n\n**b)** \\(P(A) = \\dfrac{63}{145}\\)\n\n## Sposób 1 - Wzór na średnią ważoną + kombinacje\n\n### Część a) - Średnia arytmetyczna\n\nMamy 30 zdających. Każda liczba błędów występuje z określoną częstotliwością - liczymy **sumę wszystkich błędów**, mnożąc liczbę błędów przez liczbę osób:\n\n\\[\n\\text{Suma błędów} = 0\\cdot8 + 1\\cdot5 + 2\\cdot8 + 3\\cdot5 + 4\\cdot2 + 5\\cdot1 + 6\\cdot0 + 7\\cdot0 + 8\\cdot1\n\\]\n\n\\[\n= 0 + 5 + 16 + 15 + 8 + 5 + 0 + 0 + 8 = 57\n\\]\n\nLiczba wszystkich zdających:\n\n\\[\nn = 8+5+8+5+2+1+0+0+1 = 30\n\\]\n\nŚrednia arytmetyczna:\n\n\\[\n\\bar{x} = \\frac{57}{30} = 1{,}9 \\approx \\mathbf{2}\n\\]\n\n### Część b) - Prawdopodobieństwo\n\n**Krok 1: Kto zdał egzamin?**\n\nWynik pozytywny = co najwyżej 2 błędy (0, 1 lub 2):\n\n\\[\n\\text{Zdali: } 8 + 5 + 8 = 21 \\text{ osób}\n\\]\n\\[\n\\text{Nie zdali: } 30 - 21 = 9 \\text{ osób}\n\\]\n\n**Krok 2: Przestrzeń zdarzeń**\n\nWybieramy 2 osoby spośród 30 - liczba wszystkich możliwych par:\n\n\\[\n\\binom{30}{2} = \\frac{30 \\cdot 29}{2} = 435\n\\]\n\n**Krok 3: Zdarzenie sprzyjające**\n\nChcemy dokładnie 1 osobę, która zdała i 1, która nie zdała. Wybieramy 1 z 21 zdających i 1 z 9 niezdających:\n\n\\[\n\\binom{21}{1} \\cdot \\binom{9}{1} = 21 \\cdot 9 = 189\n\\]\n\n**Krok 4: Prawdopodobieństwo**\n\n\\[\nP(A) = \\frac{189}{435}\n\\]\n\nSkracamy - \\(\\text{NWD}(189, 435) = 3\\):\n\n\\[\nP(A) = \\frac{189 : 3}{435 : 3} = \\boxed{\\frac{63}{145}}\n\\]\n\nSprawdzamy nieskracalność: \\(63 = 3^2 \\cdot 7\\), \\(145 = 5 \\cdot 29\\) - brak wspólnych czynników. ✓\n\n## Sposób 2 - Prawdopodobieństwo warunkowe krok po kroku\n\n### Część a) - Weryfikacja przez listę\n\nZamiast mnożyć, można sprawdzić sumę grupując błędy:\n\n\\[\n\\underbrace{1\\cdot5}_{=5} + \\underbrace{2\\cdot8}_{=16} + \\underbrace{3\\cdot5}_{=15} + \\underbrace{4\\cdot2}_{=8} + \\underbrace{5\\cdot1}_{=5} + \\underbrace{8\\cdot1}_{=8} = 5+16+15+8+5+8 = 57\n\\]\n\nWynik ten sam. ✓\n\n### Część b) - Prawdopodobieństwo przez kolejne losowania\n\nLiczymy prawdopodobieństwo zdarzenia „dokładnie jedna osoba zdała\" jako sumę dwóch scenariuszy:\n\n**Scenariusz I:** pierwsza losowana zdała, druga nie:\n\n\\[\nP_I = \\frac{21}{30} \\cdot \\frac{9}{29} = \\frac{189}{870}\n\\]\n\n**Scenariusz II:** pierwsza nie zdała, druga zdała:\n\n\\[\nP_{II} = \\frac{9}{30} \\cdot \\frac{21}{29} = \\frac{189}{870}\n\\]\n\nŁącznie:\n\n\\[\nP(A) = P_I + P_{II} = \\frac{189}{870} + \\frac{189}{870} = \\frac{378}{870}\n\\]\n\nSkracamy przez \\(6\\):\n\n\\[\nP(A) = \\frac{378}{870} = \\frac{63}{145}\n\\]\n\nWynik zgodny z Metodą 1. ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 15 (Parametry danych statystycznych, s. 31-32)** - wzór na średnią arytmetyczną:\n\\[\\bar{a} = \\frac{a_1 + a_2 + \\ldots + a_n}{n}\\]\nW naszym zadaniu zastosowany jako **średnia ważona** - każda wartość przemnożona przez liczebność:\n\\[\\bar{x} = \\frac{\\sum (\\text{liczba błędów} \\cdot \\text{liczba zdających})}{\\text{liczba wszystkich zdających}} = \\frac{57}{30}\\]\n\n**Dział 14 (Rachunek prawdopodobieństwa, s. 29-30)** - prawdopodobieństwo klasyczne:\n\\[P(A) = \\frac{|A|}{|\\Omega|}\\]\nUżyte do obliczenia \\(P(A) = \\frac{189}{435}\\).\n\n**Dział 4 (Silnia. Współczynnik dwumianowy, s. 6)** - kombinacje:\n\\[\\binom{n}{k} = \\frac{n!}{k!(n-k)!}\\]\nUżyte do policzenia \\(\\binom{30}{2} = 435\\) (wszystkie pary) i \\(\\binom{21}{1}\\cdot\\binom{9}{1} = 189\\) (pary sprzyjające).\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy obliczaniu średniej nie dzielimy sumy błędów przez 9 (liczbę różnych wartości), lecz przez 30 (łączną liczbę zdających). To klasyczny błąd - mylenie liczby kategorii z liczebnością próby.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** W części b) losowanie odbywa się **bez zwracania** - po wylosowaniu pierwszej osoby zostaje już tylko 29. Dlatego w Sposobie 2 mianownik drugiego ułamka to 29, nie 30. Użycie kombinacji w Sposobie 1 automatycznie to uwzględnia.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Pamiętaj o sprawdzeniu nieskracalności ułamka - zadanie wprost żąda ułamka nieskracalnego. Rozkłady: \\(63 = 3^2 \\cdot 7\\), \\(145 = 5 \\cdot 29\\) - nie mają wspólnych dzielników, więc \\(\\frac{63}{145}\\) jest już w najprostszej postaci.\n\n**Poprawne odpowiedzi:** a) \\(\\bar{x} = \\dfrac{57}{30} = 1{,}9 \\approx 2\\); b) \\(P(A) = \\dfrac{63}{145}\\).\n\n### Sposób 1 - Obliczenia bezpośrednie\n**a) Średnia arytmetyczna liczby błędów:**\n\nLiczba wszystkich zdających: \\(N = 8 + 5 + 8 + 5 + 2 + 1 + 0 + 0 + 1 = 30\\).\n\nSuma błędów (\\(\\sum n_i\\cdot x_i\\)):\n\\[0\\cdot 8 + 1\\cdot 5 + 2\\cdot 8 + 3\\cdot 5 + 4\\cdot 2 + 5\\cdot 1 + 6\\cdot 0 + 7\\cdot 0 + 8\\cdot 1\\]\n\\[= 0 + 5 + 16 + 15 + 8 + 5 + 0 + 0 + 8 = 57.\\]\n\n\\[\\bar{x} = \\dfrac{57}{30} = 1{,}9 \\approx 2.\\]\n\n**b) Prawdopodobieństwo:**\nZdarzenie \\(A\\): wśród dwóch losowo wybranych zdających dokładnie jeden uzyskał wynik pozytywny.\n\nZdający pozytywni (co najwyżej \\(2\\) błędy): \\(8 + 5 + 8 = 21\\) osób.\nZdający negatywni: \\(30 - 21 = 9\\) osób.\n\n**Liczność przestrzeni \\(\\Omega\\)** - losujemy \\(2\\) osoby z \\(30\\) (bez kolejności):\n\\[|\\Omega| = \\binom{30}{2} = \\dfrac{30\\cdot 29}{2} = 435.\\]\n\n**Liczność zdarzenia \\(A\\)** - dokładnie jeden pozytywny i jeden negatywny:\n\\[|A| = 21\\cdot 9 = 189.\\]\n\n**Prawdopodobieństwo:**\n\\[P(A) = \\dfrac{189}{435}.\\]\n\nSkracamy: \\(\\gcd(189, 435) = 3\\) (bo \\(189 = 3\\cdot 63\\), \\(435 = 3\\cdot 145\\)):\n\\[P(A) = \\dfrac{63}{145}.\\]\n\nSprawdzamy, czy nieskracalne: \\(63 = 7\\cdot 9 = 7\\cdot 3^{2}\\), \\(145 = 5\\cdot 29\\); brak wspólnych dzielników ⇒ ułamek nieskracalny ✓.\n\n### Sposób 2 - Losowanie z kolejnością (ciągi)\n\\(|\\Omega| = 30\\cdot 29 = 870\\). Zdarzenie \\(A\\): (pozytywny, negatywny) lub (negatywny, pozytywny): \\(|A| = 21\\cdot 9 + 9\\cdot 21 = 2\\cdot 189 = 378\\).\n\\[P(A) = \\dfrac{378}{870} = \\dfrac{63}{145}.\\]\n\n### Komentarz\nKluczowe: rozpoznać, że „pozytywny wynik\" = \\(0, 1\\) lub \\(2\\) błędy, zatem \\(21\\) osób; negatywnych \\(9\\). Wynik \\(\\dfrac{63}{145}\\) można uzyskać zarówno w modelu z kolejnością (ciągi), jak i bez kolejności (kombinacje) - byle licznik i mianownik były w tym samym modelu.","image":"img/matematyka-2009-maj-matura-podstawowa/zad-10.webp","solution_image":"img/matematyka-2009-maj-matura-podstawowa/sol-10.svg","topics":"prawdopodobienstwo","page_from":13,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2009 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2009-maj-matura-podstawowa/zad/11","paper_id":"matematyka-2009-maj-matura-podstawowa","number":"11","points":5,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2009,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 11. (5 pkt)\nPowierzchnia boczna walca po rozwinięciu na płaszczyznę jest prostokątem. Przekątna tego\nprostokąta ma długość 12 i tworzy z bokiem, którego długość jest równa wysokości walca,\nkąt o mierze\nD\n30 .\na) Oblicz pole powierzchni bocznej tego walca.\nb) Sprawdź, czy objętość tego walca jest większa od 18 3 . Odpowiedź uzasadnij.\n\nPoziom podstawowy\n15\nNr zadania\n11.1\n11.2\n11.3\n11.4\n11.5\nMaks. liczba pkt\n1\n1\n1\n1\n1\nWypełnia\negzaminator! Uzyskana liczba pkt\n\nPoziom podstawowy\n16\nBRUDNOPIS\nPowierzchnia boczna walca po rozwinięciu na płaszczyznę jest prostokątem. Przekątna tego prostokąta ma długość 12 i tworzy z bokiem, którego długość jest równa wysokości walca, kąt o mierze 30 stopni.","answer":null,"answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: A\n\nZbiór rozwiązań to \\((-\\infty, -1) \\cup (3, +\\infty)\\) - wartości na zewnątrz pierwiastków.\n\n## Sposób 1 - analiza znaku iloczynu (metoda tabelki)\n\nWyrażenie \\((x+1)(x-3)\\) to iloczyn dwóch czynników. Iloczyn jest **większy od zera**, gdy oba czynniki mają **ten sam znak** (oba dodatnie lub oba ujemne).\n\n**Krok 1.** Znajdź miejsca zerowe każdego czynnika:\n\\[x + 1 = 0 \\implies x = -1\\]\n\\[x - 3 = 0 \\implies x = 3\\]\n\n**Krok 2.** Rozpisz tabelkę znaków na przedziałach wyznaczonych przez \\(-1\\) i \\(3\\):\n\n| Przedział | \\(x+1\\) | \\(x-3\\) | \\((x+1)(x-3)\\) |\n| \\(x < -1\\) | \\(-\\) | \\(-\\) | \\(+\\) ✓ |\n| \\(-1 < x < 3\\) | \\(+\\) | \\(-\\) | \\(-\\) ✗ |\n| \\(x > 3\\) | \\(+\\) | \\(+\\) | \\(+\\) ✓ |\n\n**Krok 3.** Nierówność jest spełniona (znak \\(+\\)) dla:\n\\[x \\in (-\\infty, -1) \\cup (3, +\\infty)\\]\n\nKółka otwarte w \\(-1\\) i \\(3\\), bo nierówność jest **ostra** (\\(> 0\\), nie \\(\\geq 0\\)). **Odpowiedź: A.**\n\n## Sposób 2 - wykres paraboli (podejście graficzne)\n\nRozwinięcie iloczynu daje trójmian kwadratowy:\n\\[(x+1)(x-3) = x^2 - 3x + x - 3 = x^2 - 2x - 3\\]\n\nMamy funkcję \\(f(x) = x^2 - 2x - 3\\), czyli parabolę z ramionami skierowanymi **w górę** (współczynnik przy \\(x^2\\) jest \\(+1 > 0\\)).\n\n**Miejsca zerowe** (już znane):\n\\[x_1 = -1, \\quad x_2 = 3\\]\n\nParabola z ramionami ku górze jest **powyżej osi \\(OX\\)** na zewnątrz pierwiastków, czyli dla \\(x < -1\\) lub \\(x > 3\\).\n\nSzukamy \\(f(x) > 0\\), co odpowiada dokładnie:\n\\[\\boxed{x \\in (-\\infty, -1) \\cup (3, +\\infty)}\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)** - miejsca zerowe trójmianu kwadratowego oraz postać iloczynowa:\n\\[f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)\\]\n\nKarta potwierdza, że dla \\(a > 0\\) parabola jest powyżej osi \\(OX\\) na zewnątrz pierwiastków \\(x_1, x_2\\). Użyliśmy tej własności w Sposobie 2.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| **B** | Ktoś zmienił znaki pierwiastków: zamiast \\(-1\\) i \\(3\\) wziął \\(-3\\) i \\(1\\), i do tego wziął przedział wewnętrzny |\n| **C** | Znaleziono poprawne pierwiastki \\(-1\\) i \\(3\\), ale wzięto przedział **między** nimi - to rozwiązanie nierówności odwrotnej \\((x+1)(x-3) < 0\\) |\n| **D** | Dwa błędy naraz: zamienione znaki pierwiastków (\\(-3\\) i \\(1\\)) oraz poprawnie wzięty zewnętrzny przedział - połowa myślenia była dobra, ale co do złych pierwiastków |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Najczęstszy błąd to pomylenie kierunku nierówności. Jeśli szukasz \\((x+1)(x-3) > 0\\), rozwiązaniem jest **zewnętrze** pierwiastków, nie wnętrze. Dla \\(< 0\\) byłoby odwrotnie: \\((-1, 3)\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy nierówności **ostrej** (\\(> 0\\)) punkty \\(x = -1\\) i \\(x = 3\\) **nie należą** do rozwiązania - kółka na osi muszą być otwarte. Przy \\(\\geq 0\\) byłyby zamknięte.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Rozwijanie iloczynu do postaci ogólnej nie jest konieczne - tabelka znaków jest szybsza i mniej podatna na błędy rachunkowe.\n\n**Poprawna odpowiedź: A.** \\((-\\infty, -1) \\cup (3, +\\infty)\\)\n\n### Sposób 1 - Analiza znaków czynników\nRozwiązujemy \\((x+1)(x-3) > 0\\).\nMiejsca zerowe: \\(x = -1\\) i \\(x = 3\\).\n\nFunkcja \\(f(x) = (x+1)(x-3)\\) to parabola z ramionami w górę (\\(a = 1 > 0\\)).\nWartości dodatnie (\\(f(x) > 0\\)) są **na zewnątrz** pierwiastków:\n\\[x \\in (-\\infty, -1) \\cup (3, +\\infty).\\]\n\nPonieważ nierówność jest **ostra**, końce \\(-1\\) i \\(3\\) są wykluczone.\n\n### Sposób 2 - Tabela znaków\n| | \\(x < -1\\) | \\(-1 < x < 3\\) | \\(x > 3\\) |\n| \\(x+1\\) | \\(-\\) | \\(+\\) | \\(+\\) |\n| \\(x-3\\) | \\(-\\) | \\(-\\) | \\(+\\) |\n| iloczyn | \\(+\\) | \\(-\\) | \\(+\\) |\n\nWynik \\((x+1)(x-3) > 0\\) dla \\(x \\in (-\\infty,-1) \\cup (3,+\\infty)\\).\n\n### Sposób 3 - Sprawdzenie testowych wartości\n- \\(x = -2\\): \\((-1)(-5) = 5 > 0\\) ✓ (przedział lewy).\n- \\(x = 0\\): \\(1 \\cdot (-3) = -3 < 0\\) ✗ (przedział środkowy odpada).\n- \\(x = 4\\): \\(5 \\cdot 1 = 5 > 0\\) ✓ (przedział prawy).\n\n### Dlaczego pozostałe są błędne\n- **B, C** - przedziały wewnętrzne, gdzie funkcja jest ujemna.\n- **D** - błędne miejsca zerowe (\\(-3\\) i \\(1\\) zamiast \\(-1\\) i \\(3\\)).\n\n### Komentarz\nDla nierówności iloczynu z pierwiastkami \\(x_1 < x_2\\) i dodatnim współczynnikiem wiodącym:\n- \\((x-x_1)(x-x_2) > 0\\): na zewnątrz pierwiastków,\n- \\((x-x_1)(x-x_2) < 0\\): między pierwiastkami.","image":"img/matematyka-2009-maj-matura-podstawowa/zad-11.webp","solution_image":"img/matematyka-2009-maj-matura-podstawowa/sol-11.svg","topics":"stereometria","page_from":14,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2009 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2009-maj-matura-podstawowa/zad/12","paper_id":"matematyka-2009-maj-matura-podstawowa","number":"12","points":null,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2009,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"W pewnej klasie liczba dziewcząt stanowi 60% liczby osób w tej klasie. Gdy 6 dziewcząt wyjechało na mecz siatkówki, w klasie pozostało tyle samo chłopców, ile dziewcząt. Oblicz, ile osób liczy ta klasa oraz ilu jest w niej chłopców.","answer":null,"answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź\n\nKlasa liczy **30 osób**, w tym **12 chłopców** (i 18 dziewcząt).\n\n## Sposób 1 - Układ równań\n\n**Oznaczenia:** niech \\(n\\) = liczba wszystkich uczniów w klasie.\n\n**Krok 1: Ile jest dziewcząt?**\n\nDziewczęta stanowią \\(60\\%\\) klasy, więc:\n\\[\\text{liczba dziewcząt} = 0{,}6n\\]\n\nChłopcy to reszta:\n\\[\\text{liczba chłopców} = n - 0{,}6n = 0{,}4n\\]\n\n**Krok 2: Co się dzieje po wyjeździe 6 dziewcząt?**\n\nPo wyjeździe 6 dziewcząt pozostaje ich \\(0{,}6n - 6\\). Warunek zadania mówi, że wtedy liczba pozostałych dziewcząt **równa się** liczbie chłopców:\n\\[0{,}6n - 6 = 0{,}4n\\]\n\n**Krok 3: Rozwiązujemy równanie**\n\n\\[0{,}6n - 0{,}4n = 6\\]\n\\[0{,}2n = 6\\]\n\\[n = \\frac{6}{0{,}2} = 30\\]\n\n**Krok 4: Wyznaczamy chłopców**\n\n\\[\\text{liczba chłopców} = 0{,}4 \\cdot 30 = 12\\]\n\n**Odpowiedź:** Klasa liczy **30 osób**, w tym **12 chłopców**.\n\n## Sposób 2 - Rozumowanie przez części całości\n\nZamiast procentów, myślimy o **proporcjach**.\n\nDziewczęta to \\(60\\% = \\frac{3}{5}\\) klasy, chłopcy to \\(\\frac{2}{5}\\) klasy.\n\nWyobraźmy sobie klasę podzieloną na **5 równych części**: dziewczęta zajmują 3 części, chłopcy 2 części.\n\nPo wyjeździe 6 dziewcząt dziewcząt i chłopców jest tyle samo - dziewczęta mają teraz **2 części** (tyle ile chłopcy). Tak więc:\n\nDziewczęta straciły \\(3 - 2 = 1\\) część, a ta 1 część odpowiada **6 osobom**.\n\nZatem jedna część to 6 osób, a cała klasa to:\n\\[5 \\cdot 6 = 30 \\text{ osób}\\]\n\nChłopcy to 2 części:\n\\[2 \\cdot 6 = 12 \\text{ chłopców}\\]\n\n**Weryfikacja:**\n- Dziewczęta: \\(30 \\cdot 60\\% = 18\\) ✓\n- Po wyjeździe: \\(18 - 6 = 12\\) dziewcząt, chłopców \\(12\\) - rzeczywiście tyle samo ✓\n- Razem: \\(18 + 12 = 30\\) ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu **nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE** - wystarczy znajomość definicji procentu i umiejętność ułożenia równania liniowego z jedną niewiadomą. To zadanie z zakresu arytmetyki i algebry elementarnej.\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie mylić „\\(60\\%\\) liczby osób\" z „o \\(60\\%\\) więcej niż chłopców\". To są zupełnie różne zdania! Tu dziewczęta to \\(0{,}6n\\), a nie \\(n + 0{,}6n\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Po wyjeździe dziewcząt liczba chłopców się **nie zmienia** - zostaje ich nadal \\(0{,}4n\\). Częsty błąd to odjęcie 6 od obu grup.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Zadanie pyta o dwie rzeczy: liczbę **wszystkich osób** i liczbę **chłopców** - nie zapomnij podać obu odpowiedzi!\n\n**Poprawna odpowiedź:** klasa liczy \\(30\\) osób, chłopców jest \\(12\\) (dziewcząt - \\(18\\)).\n\n### Sposób 1 - Zmienna: liczba osób w klasie\nOznaczenia:\n- \\(x\\) - liczba wszystkich osób w klasie,\n- \\(0{,}6x\\) - liczba dziewcząt (\\(60\\%\\)),\n- \\(0{,}4x\\) - liczba chłopców (\\(40\\%\\)).\n\n**Warunek:** po wyjeździe \\(6\\) dziewcząt pozostaje tyle samo dziewcząt, ile jest chłopców:\n\\[0{,}6x - 6 = 0{,}4x.\\]\n\\[0{,}2x = 6 \\Rightarrow x = 30.\\]\n\n**Wyniki:**\n- Liczba osób: \\(30\\).\n- Dziewcząt: \\(0{,}6 \\cdot 30 = 18\\).\n- Chłopców: \\(0{,}4 \\cdot 30 = 12\\).\n\n### Sposób 2 - Układ równań (dziewczęta i chłopcy osobno)\nOznaczenia:\n- \\(x\\) - liczba dziewcząt,\n- \\(y\\) - liczba chłopców.\n\n**Warunki:**\n\\[\\begin{cases} x = 0{,}6(x + y) \\\\ x - 6 = y \\end{cases}\\]\n\nPrzekształcamy pierwsze: \\(x = 0{,}6x + 0{,}6y \\Rightarrow 0{,}4x = 0{,}6y \\Rightarrow x = \\dfrac{3}{2}y\\).\n\nWstawiamy do drugiego: \\(\\dfrac{3}{2}y - 6 = y \\Rightarrow \\dfrac{1}{2}y = 6 \\Rightarrow y = 12\\).\n\nStąd \\(x = 18\\), a liczba osób \\(x + y = 30\\).\n\n### Sposób 3 - Rozumowanie o proporcjach (bez algebry)\nStosunek dziewcząt do wszystkich przed wyjazdem: \\(60 : 100 = 3 : 5\\).\nStosunek chłopców do wszystkich: \\(40 : 100 = 2 : 5\\).\n\nNa każde \\(5\\) osób: \\(3\\) dziewczynki i \\(2\\) chłopców. Różnica: \\(3 - 2 = 1\\) osoba na każde \\(5\\).\n\nAby ta różnica zmalała do zera, trzeba odjąć od dziewcząt dokładnie liczbę równą różnicy - czyli \\(\\dfrac{1}{5}\\) liczby osób w klasie. Mamy \\(6\\) wyjeżdżających, więc:\n\\[\\dfrac{1}{5}x = 6 \\Rightarrow x = 30.\\]\n\nChłopców: \\(\\dfrac{2}{5} \\cdot 30 = 12\\).\n\n### Weryfikacja\n- Klasa \\(30\\) osób, dziewcząt \\(18\\), chłopców \\(12\\).\n- \\(\\dfrac{18}{30} = 0{,}6 = 60\\%\\) ✓\n- Po wyjeździe \\(6\\) dziewcząt: dziewcząt \\(12\\), chłopców \\(12\\) - tyle samo ✓","image":null,"solution_image":null,"topics":null,"page_from":null,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"maturazai","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2009 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2009-maj-matura-podstawowa/zad/13","paper_id":"matematyka-2009-maj-matura-podstawowa","number":"13","points":null,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2009,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"W ciągu arytmetycznym trzeci wyraz jest równy 14, a jedenasty jest równy 34. Różnica tego ciągu jest równa\n\nA. \\(9\\)\nB. \\(\\dfrac{5}{2}\\)\nC. \\(2\\)\nD. \\(\\dfrac{2}{5}\\)","answer":null,"answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: B - \\(r = \\frac{5}{2}\\)\n\n## Sposób 1 - Układ równań z wzoru na wyraz ogólny\n\nKorzystamy ze wzoru na \\(n\\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego:\n\\[a_n = a_1 + (n-1) \\cdot r\\]\n\nZapisujemy warunki zadania jako układ równań:\n\n\\[a_3 = a_1 + 2r = 14\\]\n\\[a_{11} = a_1 + 10r = 34\\]\n\n**Odejmujemy stronami** pierwsze równanie od drugiego (eliminujemy \\(a_1\\)):\n\n\\[(a_1 + 10r) - (a_1 + 2r) = 34 - 14\\]\n\\[8r = 20\\]\n\\[r = \\frac{20}{8} = \\frac{5}{2}\\]\n\n**Różnica ciągu wynosi \\(r = \\frac{5}{2}\\).**\n\n## Sposób 2 - Bezpośrednio z różnicy wyrazów\n\nMiędzy wyrazem trzecim a jedenastym jest \\(11 - 3 = 8\\) \"kroków\" (różnic).\n\nZatem:\n\\[a_{11} - a_3 = 8r\\]\n\\[34 - 14 = 8r\\]\n\\[20 = 8r\\]\n\\[r = \\frac{20}{8} = \\frac{5}{2}\\]\n\n**Weryfikacja:** Skoro \\(r = \\frac{5}{2}\\), to z \\(a_3 = 14\\):\n\\[a_1 = a_3 - 2r = 14 - 2 \\cdot \\frac{5}{2} = 14 - 5 = 9\\]\nSprawdzamy: \\(a_{11} = 9 + 10 \\cdot \\frac{5}{2} = 9 + 25 = 34\\) ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 8 (Ciągi, s. 9-10)** - wzór na \\(n\\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego:\n\\[a_n = a_1 + (n-1) \\cdot r\\]\nUżyliśmy go w Sposobie 1 do zapisania \\(a_3\\) i \\(a_{11}\\) jako równań z dwiema niewiadomymi (\\(a_1\\) i \\(r\\)).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| A | Liczenie \\(\\frac{34 - 14}{11 - 3} \\cdot 2 = 5\\) - mnożenie przez 2 bez powodu, lub mylenie indeksów: \\(r = \\frac{34-14}{11} = \\frac{20}{11}\\) |\n| C | Błędne liczenie liczby kroków: \\(11 - 3 = 8\\), ale uczeń liczy \\(11 - 3 + 1 = 9\\) kroków, dostając \\(r = \\frac{20}{9}\\) |\n| D | Wzięcie \\(r = a_3 - a_{11} = 14 - 34 = -20\\), czyli odejmowanie w złej kolejności lub pominięcie podziału przez liczbę kroków |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Między wyrazem \\(a_3\\) a \\(a_{11}\\) jest **8 kroków**, nie 9! Liczba kroków = różnica indeksów, czyli \\(11 - 3 = 8\\). Łatwo tu popełnić błąd o 1.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Zadanie pyta o **różnicę ciągu \\(r\\)**, nie o \\(a_1\\). Sprawdź, że piszesz wynik dla właściwej wielkości - po obliczeniu \\(r\\) nie trzeba wyznaczać \\(a_1\\) (chyba że do weryfikacji).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Jeśli wychodzi \\(\\frac{5}{2}\\) - to **poprawny wynik**. Różnica ciągu arytmetycznego nie musi być liczbą całkowitą!\n\n**Poprawna odpowiedź: B.** \\(r = \\dfrac{5}{2}\\)\n\n### Sposób 1 - Różnica wyrazów w ciągu arytmetycznym\nW ciągu arytmetycznym \\(a_n = a_1 + (n-1)r\\). Różnica wyrazów:\n\\[a_{11} - a_{3} = [a_1 + 10r] - [a_1 + 2r] = 8r.\\]\n\nZ danych: \\(a_3 = 14\\), \\(a_{11} = 34\\):\n\\[8r = 34 - 14 = 20 \\Rightarrow r = \\dfrac{20}{8} = \\dfrac{5}{2}.\\]\n\n### Sposób 2 - Układ równań\n\\[\\begin{cases} a_1 + 2r = 14 \\\\ a_1 + 10r = 34 \\end{cases}\\]\nOdejmując pierwsze od drugiego: \\(8r = 20\\), \\(r = \\dfrac{5}{2}\\).\n\nZ pierwszego: \\(a_1 = 14 - 2\\cdot\\tfrac{5}{2} = 14 - 5 = 9\\).\n\n### Weryfikacja\n\\(a_1 = 9\\), \\(r = 2{,}5\\):\n\\[a_3 = 9 + 2\\cdot 2{,}5 = 14 ✓.\\]\n\\[a_{11} = 9 + 10\\cdot 2{,}5 = 34 ✓.\\]\n\n### Komentarz\nOgólna zasada: \\(a_m - a_n = (m - n)\\cdot r\\). Tu \\(m - n = 11 - 3 = 8\\), \\(a_m - a_n = 20\\), więc \\(r = \\tfrac{20}{8} = 2{,}5\\).\n\nOdpowiedź **A** (\\(r = 9\\)) to typowy błąd pomylenia z \\(a_1\\).","image":null,"solution_image":null,"topics":null,"page_from":null,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"maturazai","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2009 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2009-maj-matura-podstawowa/zad/14","paper_id":"matematyka-2009-maj-matura-podstawowa","number":"14","points":null,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2009,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"W ciągu geometrycznym \\((a_{n})\\) dane są: \\(a_{1}=32\\) i \\(a_{4}=-4\\). Iloraz tego ciągu jest równy\n\nA. \\(12\\)\nB. \\(\\dfrac{1}{2}\\)\nC. \\(-\\dfrac{1}{2}\\)\nD. \\(-12\\)","answer":null,"answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: C - \\(q = -\\dfrac{1}{2}\\)\n\n## Sposób 1 - wzór na \\(n\\)-ty wyraz ciągu geometrycznego\n\n**Zapisujemy wzór ogólny:**\n\\[a_n = a_1 \\cdot q^{n-1}\\]\n\nDla \\(n = 4\\):\n\\[a_4 = a_1 \\cdot q^3\\]\n\n**Podstawiamy dane** (\\(a_1 = 32\\), \\(a_4 = -4\\)):\n\\[32 \\cdot q^3 = -4\\]\n\n**Wyznaczamy \\(q^3\\):**\n\\[q^3 = \\frac{-4}{32} = -\\frac{1}{8}\\]\n\n**Wyciągamy pierwiastek sześcienny** z obu stron:\n\\[q = \\sqrt[3]{-\\frac{1}{8}} = -\\sqrt[3]{\\frac{1}{8}} = -\\frac{1}{2}\\]\n\n**Wynik: \\(q = -\\dfrac{1}{2}\\)**\n\nSprawdzenie: \\(a_4 = 32 \\cdot \\left(-\\frac{1}{2}\\right)^3 = 32 \\cdot \\left(-\\frac{1}{8}\\right) = -4\\) ✓\n\n## Sposób 2 - krok po kroku przez kolejne wyrazy\n\nZamiast od razu liczyć \\(q^3\\), możemy rozpisać wyrazy ciągu:\n\n\\[a_1 = 32\\]\n\\[a_2 = 32q\\]\n\\[a_3 = 32q^2\\]\n\\[a_4 = 32q^3\\]\n\nWidzimy, że od \\(a_1\\) do \\(a_4\\) mnożyliśmy przez \\(q\\) dokładnie **3 razy**. Zatem:\n\n\\[a_4 = a_1 \\cdot q^3 \\implies -4 = 32 \\cdot q^3\\]\n\nCo daje dokładnie to samo równanie co w Sposobie 1. Alternatywnie - możemy skorzystać z proporcji:\n\n\\[\\frac{a_4}{a_1} = q^{n-1} = q^3\\]\n\\[q^3 = \\frac{-4}{32} = -\\frac{1}{8}\\]\n\\[q = -\\frac{1}{2}\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 8 (Ciągi, s. 9-10)** - wzór na \\(n\\)-ty wyraz ciągu geometrycznego:\n\\[a_n = a_1 \\cdot q^{n-1}\\]\nUżyliśmy go, żeby wyrazić \\(a_4\\) przez \\(a_1\\) i \\(q\\), a następnie wyznaczyć iloraz.\n\n**Dział 2 (Potęgi i pierwiastki, s. 4-5)** - pierwiastek stopnia \\(n\\):\n\\[\\sqrt[n]{a}\\]\nUżyliśmy go do wyciągnięcia pierwiastka sześciennego z \\(-\\frac{1}{8}\\). Pamiętamy, że \\(\\sqrt[3]{-a} = -\\sqrt[3]{a}\\) - pierwiastki nieparzystego stopnia z liczb ujemnych są ujemne.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| A: \\(\\frac{1}{2}\\) | Uczeń liczy \\(\\sqrt[3]{\\frac{1}{8}} = \\frac{1}{2}\\), ale **zapomina o znaku minusa** - skoro \\(a_4 < 0\\) przy \\(a_1 > 0\\), iloraz musi być ujemny |\n| B: \\(-2\\) | Uczeń odwraca ułamek: liczy \\(\\frac{32}{4} = 8\\), bierze \\(\\sqrt[3]{8} = 2\\) i daje znak minus, ale **odwrócił zależność** (\\(\\frac{a_1}{a_4}\\) zamiast \\(\\frac{a_4}{a_1}\\)) |\n| D: \\(2\\) | Podwójny błąd: odwrócony ułamek **i** pominięty znak minus |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wykładnik potęgi to \\(n - 1\\), nie \\(n\\). Ciąg ma **4 wyrazy**, ale od \\(a_1\\) do \\(a_4\\) są tylko **3 przeskoki** - więc \\(a_4 = a_1 \\cdot q^3\\), nie \\(q^4\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Pierwiastek sześcienny (nieparzysty stopień) z liczby ujemnej jest ujemny: \\(\\sqrt[3]{-\\frac{1}{8}} = -\\frac{1}{2}\\). To inaczej niż przy pierwiastku kwadratowym, gdzie liczba pod pierwiastkiem nie może być ujemna!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Ujemny iloraz w ciągu geometrycznym jest jak najbardziej możliwy - oznacza, że wyrazy naprzemiennie zmieniają znak (\\(32, -16, 8, -4, \\ldots\\)).\n\n**Poprawna odpowiedź: C.** \\(q = -\\dfrac{1}{2}\\)\n\n### Sposób 1 - Wzór na \\(n\\)-ty wyraz\nW ciągu geometrycznym \\(a_n = a_1 \\cdot q^{n-1}\\).\n\nDla \\(n = 4\\): \\(a_4 = a_1 \\cdot q^{3}\\), czyli:\n\\[-4 = 32 \\cdot q^{3}\\]\n\\[q^{3} = -\\dfrac{4}{32} = -\\dfrac{1}{8}\\]\n\\[q = \\sqrt[3]{-\\dfrac{1}{8}} = -\\dfrac{1}{2}.\\]\n\n### Sposób 2 - Sprawdzenie przez iterację\nJeśli \\(q = -\\dfrac{1}{2}\\), to:\n\\[a_1 = 32, \\quad a_2 = -16, \\quad a_3 = 8, \\quad a_4 = -4 ✓.\\]\n\n### Sposób 3 - Kontrola znaków\nJeśli \\(a_1 > 0\\) i \\(a_4 < 0\\), to iloraz \\(q\\) musi być **ujemny** (bo \\(q^{3}\\) ma znak \\(q\\)). Odpowiedzi A (\\(12\\)) i B (\\(\\tfrac{1}{2}\\)) odpadają. Z odpowiedzi C i D, \\(q = -12\\) daje \\(q^{3} = -1728\\), czyli \\(a_4 = 32\\cdot(-1728) = -55296\\) - odpada. Pozostaje \\(q = -\\tfrac{1}{2}\\).\n\n### Komentarz\nPierwiastek sześcienny z liczby ujemnej jest liczbą rzeczywistą i jest ujemny: \\(\\sqrt[3]{-1/8} = -1/2\\) bo \\((-1/2)^{3} = -1/8\\).","image":null,"solution_image":null,"topics":null,"page_from":null,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"maturazai","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2009 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2009-maj-matura-podstawowa/zad/15","paper_id":"matematyka-2009-maj-matura-podstawowa","number":"15","points":null,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2009,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Kąt \\(\\alpha\\) jest ostry i \\(\\sin\\alpha=\\frac{8}{9}\\). Wtedy \\(\\cos\\alpha\\) jest równy\n\nA. \\(\\dfrac{1}{9}\\)\nB. \\(\\dfrac{8}{9}\\)\nC. \\(\\dfrac{\\sqrt{17}}{9}\\)\nD. \\(\\dfrac{\\sqrt{65}}{9}\\)","answer":null,"answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: C - \\(\\dfrac{\\sqrt{17}}{9}\\)\n\n## Sposób 1 - Jedynka trygonometryczna\n\n**Korzystamy z podstawowego wzoru** łączącego sinus i cosinus:\n\n\\[\\sin^2\\alpha + \\cos^2\\alpha = 1\\]\n\nPodstawiamy \\(\\sin\\alpha = \\dfrac{8}{9}\\):\n\n\\[\\left(\\frac{8}{9}\\right)^2 + \\cos^2\\alpha = 1\\]\n\n\\[\\frac{64}{81} + \\cos^2\\alpha = 1\\]\n\n\\[\\cos^2\\alpha = 1 - \\frac{64}{81} = \\frac{81}{81} - \\frac{64}{81} = \\frac{17}{81}\\]\n\n\\[\\cos\\alpha = \\pm\\sqrt{\\frac{17}{81}} = \\pm\\frac{\\sqrt{17}}{9}\\]\n\n**Kąt \\(\\alpha\\) jest ostry**, czyli \\(\\alpha \\in (0°, 90°)\\) - w tej ćwiartce cosinus jest **dodatni**.\n\n\\[\\boxed{\\cos\\alpha = \\frac{\\sqrt{17}}{9}}\\]\n\n## Sposób 2 - Trójkąt prostokątny\n\nRysujemy trójkąt prostokątny z kątem ostrym \\(\\alpha\\).\n\nZ definicji: \\(\\sin\\alpha = \\dfrac{\\text{przeciwprostokątna}}{\\text{przyprostokątna}}\\) - **nie**, poprawnie:\n\n\\[\\sin\\alpha = \\frac{\\text{przyprostokątna naprzeciwległa}}{\\text{przeciwprostokątna}} = \\frac{a}{c} = \\frac{8}{9}\\]\n\nPrzyjmujemy: przyprostokątna \\(a = 8\\), przeciwprostokątna \\(c = 9\\).\n\nDruga przyprostokątna \\(b\\) z twierdzenia Pitagorasa:\n\n\\[b^2 = c^2 - a^2 = 81 - 64 = 17 \\implies b = \\sqrt{17}\\]\n\nCosinus kąta \\(\\alpha\\):\n\n\\[\\cos\\alpha = \\frac{b}{c} = \\frac{\\sqrt{17}}{9}\\]\n\nTen sam wynik - **weryfikacja potwierdzona**.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 9 (Trygonometria, s. 11-12)** - jedynka trygonometryczna:\n\\[\\sin^2\\alpha + \\cos^2\\alpha = 1\\]\nTo jest absolutna podstawa - użyliśmy jej w Sposobie 1 do wyznaczenia \\(\\cos\\alpha\\) z wartości \\(\\sin\\alpha\\).\n\n**Dział 9 (Trygonometria, s. 11)** - definicje w trójkącie prostokątnym:\n\\[\\sin\\alpha = \\frac{a}{c}, \\quad \\cos\\alpha = \\frac{b}{c}\\]\nUżyliśmy w Sposobie 2 do interpretacji geometrycznej.\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 15)** - twierdzenie Pitagorasa:\n\\[a^2 + b^2 = c^2\\]\nUżyliśmy w Sposobie 2 do wyznaczenia brakującej przyprostokątnej.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| A | Wzięcie \\(\\cos\\alpha = \\frac{8}{9}\\) - mylenie sinusa z cosinusem |\n| B | Obliczenie \\(\\cos\\alpha = 1 - \\frac{8}{9} = \\frac{1}{9}\\) - odjęcie sinusa zamiast użycia jedynki trygonometrycznej |\n| D | Wzięcie \\(\\cos\\alpha = -\\frac{\\sqrt{17}}{9}\\) - zapomnienie, że kąt ostry ma **dodatni** cosinus |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Jedynka trygonometryczna mówi \\(\\sin^2\\alpha + \\cos^2\\alpha = 1\\), **nie** \\(\\sin\\alpha + \\cos\\alpha = 1\\). To częsty błąd - nie wolno po prostu odjąć \\(\\frac{8}{9}\\) od \\(1\\)!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Po wyliczeniu \\(\\cos^2\\alpha = \\frac{17}{81}\\) pamiętaj o znaku! Dla kąta ostrego zawsze wybieramy \\(+\\sqrt{\\ldots}\\). Dla kąta rozwartego cosinus jest ujemny - trzeba pilnować ćwiartki.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\(\\sqrt{\\frac{17}{81}} = \\frac{\\sqrt{17}}{\\sqrt{81}} = \\frac{\\sqrt{17}}{9}\\), bo \\(\\sqrt{81} = 9\\). Nie zostawiaj pierwiastka w mianowniku bez uproszczenia.\n\n**Poprawna odpowiedź: C.** \\(\\cos\\alpha = \\dfrac{\\sqrt{17}}{9}\\)\n\n### Sposób 1 - Jedynka trygonometryczna\nZ tożsamości \\(\\sin^{2}\\alpha + \\cos^{2}\\alpha = 1\\):\n\\[\\cos^{2}\\alpha = 1 - \\sin^{2}\\alpha = 1 - \\dfrac{64}{81} = \\dfrac{81 - 64}{81} = \\dfrac{17}{81}.\\]\n\nPonieważ \\(\\alpha\\) jest ostry, \\(\\cos\\alpha > 0\\):\n\\[\\cos\\alpha = \\sqrt{\\dfrac{17}{81}} = \\dfrac{\\sqrt{17}}{9}.\\]\n\n### Sposób 2 - Trójkąt prostokątny\nRysujemy trójkąt prostokątny, w którym \\(\\sin\\alpha = \\dfrac{\\text{przeciwprostokątna}^{*}}{\\text{przeciwprostokątna}}\\); przyjmijmy:\n- przyprostokątna naprzeciw \\(\\alpha\\): \\(8\\),\n- przeciwprostokątna: \\(9\\).\n\nZ Pitagorasa druga przyprostokątna:\n\\[a = \\sqrt{9^{2} - 8^{2}} = \\sqrt{81 - 64} = \\sqrt{17}.\\]\n\nWtedy \\(\\cos\\alpha = \\dfrac{\\sqrt{17}}{9}\\).\n\n### Kontrola pozostałych odpowiedzi\n- **A.** \\(\\dfrac{1}{9}\\): \\(\\sin^{2}\\alpha + \\cos^{2}\\alpha = \\dfrac{64}{81} + \\dfrac{1}{81} = \\dfrac{65}{81} \\ne 1\\) ✗.\n- **B.** \\(\\dfrac{8}{9} = \\sin\\alpha\\) ✗ (pomylenie funkcji).\n- **D.** \\(\\dfrac{\\sqrt{65}}{9}\\): \\(\\dfrac{64}{81} + \\dfrac{65}{81} = \\dfrac{129}{81} \\ne 1\\) ✗.\n\n### Komentarz\nKlucz: z jedynki trygonometrycznej wynika \\(\\cos^{2}\\alpha = 1 - \\sin^{2}\\alpha\\). Dla kąta ostrego wybieramy pierwiastek dodatni.","image":null,"solution_image":null,"topics":null,"page_from":null,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"maturazai","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2009 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2009-maj-matura-podstawowa/zad/16","paper_id":"matematyka-2009-maj-matura-podstawowa","number":"16","points":null,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2009,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Dany jest trójkąt prostokątny (patrz rysunek). Wtedy \\(\\operatorname{tg}\\alpha\\) jest równy\n\n/matma-quiz/images/cke/MMA-P1_1P-095/z16.png\n\n. Wtedy tg \\(\\alpha\\) jest równy\n\nA. \\(\\sqrt{2}\\)\nB. \\(\\dfrac{\\sqrt{2}}{\\sqrt{3}}\\)\nC. \\(\\dfrac{\\sqrt{3}}{\\sqrt{2}}\\)\nD. \\(\\dfrac{1}{\\sqrt{2}}\\)","answer":null,"answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: D - \\(\\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{\\sqrt{2}}{2}\\)\n\n## Sposób 1 - Definicja tangensa z boków trójkąta\n\n**Identyfikujemy boki względem kąta \\(\\alpha\\)**\n\nKąt \\(\\alpha\\) leży przy wierzchołku, gdzie spotykają się:\n- **przyprostokątna przyległa** do \\(\\alpha\\): \\(|AB| = \\sqrt{2}\\)\n- **przeciwprostokątna**: \\(\\sqrt{3}\\)\n\nKąt prosty jest przy wierzchołku naprzeciwko - tam spotykają się obie przyprostokątne (\\(\\sqrt{2}\\) i \\(1\\)).\n\nZatem **przyprostokątna przeciwległa** do \\(\\alpha\\) to bok \\(= 1\\).\n\n**Stosujemy definicję tangensa:**\n\n\\[\n\\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{\\text{przyprostokątna przeciwległa}}{\\text{przyprostokątna przyległa}} = \\frac{1}{\\sqrt{2}}\n\\]\n\n**Racjonalizujemy mianownik:**\n\n\\[\n\\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{1}{\\sqrt{2}} = \\frac{1 \\cdot \\sqrt{2}}{\\sqrt{2} \\cdot \\sqrt{2}} = \\frac{\\sqrt{2}}{2}\n\\]\n\n**Wynik: \\(\\operatorname{tg}\\alpha = \\dfrac{\\sqrt{2}}{2}\\)**\n\n## Sposób 2 - Przez sinus i cosinus (ze wzoru \\(\\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{\\sin\\alpha}{\\cos\\alpha}\\))\n\nKąt \\(\\alpha\\) ma naprzeciwko bok \\(= 1\\), a przeciwprostokątna wynosi \\(\\sqrt{3}\\):\n\n\\[\n\\sin\\alpha = \\frac{1}{\\sqrt{3}}, \\quad \\cos\\alpha = \\frac{\\sqrt{2}}{\\sqrt{3}}\n\\]\n\nZatem:\n\n\\[\n\\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{\\sin\\alpha}{\\cos\\alpha} = \\frac{\\dfrac{1}{\\sqrt{3}}}{\\dfrac{\\sqrt{2}}{\\sqrt{3}}} = \\frac{1}{\\sqrt{3}} \\cdot \\frac{\\sqrt{3}}{\\sqrt{2}} = \\frac{1}{\\sqrt{2}} = \\frac{\\sqrt{2}}{2}\n\\]\n\nWynik zgodny z Metodą 1. ✓\n\n**Przy okazji warto sprawdzić Pitagorasa:**\n\\[(\\sqrt{2})^2 + 1^2 = 2 + 1 = 3 = (\\sqrt{3})^2 \\checkmark\\]\nTrójkąt jest poprawny.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 9 (Trygonometria, s. 11-12)** - definicja tangensa w trójkącie prostokątnym:\n\n\\[\n\\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{\\text{przeciwległa}}{\\text{przyległa}}\n\\]\n\nUżyliśmy tego wprost w Sposobie 1 - tangens to stosunek przyprostokątnej naprzeciwko kąta do przyprostokątnej przy tym kącie.\n\nOraz wzór: \\(\\operatorname{tg}\\alpha = \\dfrac{\\sin\\alpha}{\\cos\\alpha}\\) - wykorzystany w Sposobie 2.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Prawdopodobny błąd |\n| A | Zamiana boków: wzięto \\(\\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{\\sqrt{2}}{1} = \\sqrt{2}\\) - czyli odwrócono ułamek (przyległa/przeciwległa zamiast odwrotnie) |\n| B | Pomylono tangens z sinusem: \\(\\sin\\alpha = \\frac{1}{\\sqrt{3}} = \\frac{\\sqrt{3}}{3}\\) albo wzięto inny kąt |\n| C | Wzięto tangens kąta przy drugim wierzchołku: \\(\\operatorname{tg}\\beta = \\frac{\\sqrt{2}}{1} \\cdot \\ldots\\) lub pomylono z \\(\\frac{\\sqrt{3}}{3}\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Zawsze najpierw ustal, **przy którym wierzchołku** jest kąt \\(\\alpha\\). Mylenie kąta z właściwym wierzchołkiem to najczęstszy błąd - prowadzi do odwróconego ułamka.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przyprostokątna **przyległa** (przy kącie) idzie do **mianownika** tangensa, a **przeciwległa** (naprzeciwko kąta) do **licznika**. Zapamiętaj: *\"tg = naprzeciwko / przy\"*.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wynik \\(\\dfrac{1}{\\sqrt{2}}\\) i \\(\\dfrac{\\sqrt{2}}{2}\\) to **to samo** - zawsze racjonalizuj mianownik, bo CKE podaje odpowiedzi bez pierwiastka w mianowniku.\n\n**Poprawna odpowiedź: D.** \\(\\operatorname{tg}\\alpha = \\dfrac{1}{\\sqrt{2}}\\)\n\n### Sposób 1 - Definicja tangensa w trójkącie prostokątnym\n\\[\\operatorname{tg}\\alpha = \\dfrac{\\text{przyprostokątna naprzeciw } \\alpha}{\\text{przyprostokątna przyległa do } \\alpha}.\\]\n\nZgodnie z rysunkiem:\n- **przyprostokątna naprzeciw** \\(\\alpha\\): \\(1\\) (pionowa),\n- **przyprostokątna przyległa** do \\(\\alpha\\): \\(\\sqrt{2}\\) (pozioma).\n\nStąd:\n\\[\\operatorname{tg}\\alpha = \\dfrac{1}{\\sqrt{2}}.\\]\n\n### Sposób 2 - Kontrola poprzez sprawdzenie Pitagorasa\nTrójkąt prostokątny z przyprostokątnymi \\(1\\) i \\(\\sqrt{2}\\), przeciwprostokątną \\(c\\):\n\\[c^{2} = 1^{2} + (\\sqrt{2})^{2} = 1 + 2 = 3 \\Rightarrow c = \\sqrt{3} ✓.\\]\n\nZgadza się z rysunkiem. Zatem pokazane boki są zgodne.\n\n### Racjonalizacja (jako komentarz)\n\\[\\dfrac{1}{\\sqrt{2}} = \\dfrac{\\sqrt{2}}{2}.\\]\nW tej formie także można zapisać wynik, ale odpowiedź **D** jest już w zadanej postaci.\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi błędne\n- **A.** \\(\\sqrt{2}\\) - odwrotność tangensa (\\(\\operatorname{ctg}\\alpha = \\sqrt{2}\\)).\n- **B.** \\(\\dfrac{\\sqrt{2}}{\\sqrt{3}} = \\sin\\alpha\\) lub \\(\\cos\\alpha\\) - pomylenie z sinem/kosinem.\n- **C.** \\(\\dfrac{\\sqrt{3}}{\\sqrt{2}}\\) - odwrotność \\(\\cos\\alpha\\).\n\n### Komentarz\nKluczowe: tangens kąta ostrego w trójkącie prostokątnym to **stosunek przyprostokątnej naprzeciw do przyprostokątnej przyległej** - nigdy nie uwzględnia się przeciwprostokątnej.","image":null,"solution_image":null,"topics":null,"page_from":null,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"maturazai","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2009 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2009-maj-matura-podstawowa/zad/17","paper_id":"matematyka-2009-maj-matura-podstawowa","number":"17","points":null,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2009,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"W trójkącie równoramiennym \\(ABC\\) dane są \\(|AC|=|BC|=7\\) oraz \\(|AB|=12\\). Wysokość opuszczona z wierzchołka \\(C\\) jest równa\n\nA. \\(\\sqrt{13}\\)\nB. \\(\\sqrt{5}\\)\nC. \\(1\\)\nD. \\(5\\)","answer":"A","answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: A - \\(\\sqrt{13}\\)\n\n## Sposób 1 - Twierdzenie Pitagorasa (własność trójkąta równoramiennego)\n\n**Kluczowa własność:** W trójkącie równoramiennym wysokość opuszczona z wierzchołka kąta między ramionami pada na **środek podstawy** i dzieli ją na dwie równe części.\n\nOznaczmy stopę wysokości jako \\(H\\). Skoro \\(|AC| = |BC|\\), punkt \\(H\\) leży na środku \\(AB\\), więc:\n\\[|AH| = |BH| = \\frac{|AB|}{2} = \\frac{12}{2} = 6\\]\n\nTrójkąt \\(BCH\\) jest prostokątny (kąt prosty przy \\(H\\)), więc stosujemy twierdzenie Pitagorasa:\n\\[|BC|^2 = |BH|^2 + |CH|^2\\]\n\\[7^2 = 6^2 + h^2\\]\n\\[49 = 36 + h^2\\]\n\\[h^2 = 49 - 36 = 13\\]\n\\[\\boxed{h = \\sqrt{13}}\\]\n\n## Sposób 2 - Wzór na pole trójkąta (weryfikacja)\n\nObliczamy pole trójkąta ze wzoru Herona, a potem porównujemy z \\(P = \\frac{1}{2} \\cdot |AB| \\cdot h\\).\n\nPółobwód: \\(p = \\frac{7 + 7 + 12}{2} = 13\\)\n\nWzór Herona:\n\\[P = \\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} = \\sqrt{13 \\cdot (13-7)(13-7)(13-12)}\\]\n\\[P = \\sqrt{13 \\cdot 6 \\cdot 6 \\cdot 1} = \\sqrt{13 \\cdot 36} = 6\\sqrt{13}\\]\n\nTeraz ze wzoru \\(P = \\frac{1}{2} \\cdot \\text{podstawa} \\cdot \\text{wysokość}\\):\n\\[6\\sqrt{13} = \\frac{1}{2} \\cdot 12 \\cdot h\\]\n\\[6\\sqrt{13} = 6h\\]\n\\[h = \\sqrt{13}\\]\n\nWyniki zgodne - **\\(h = \\sqrt{13}\\)**.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 15-16)** - Twierdzenie Pitagorasa:\n\\[a^2 + b^2 = c^2\\]\nUżyte w Sposobie 1 do wyznaczenia wysokości z prawokątnego trójkąta \\(BCH\\).\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 16)** - Wzór Herona:\n\\[P = \\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}, \\quad p = \\frac{a+b+c}{2}\\]\nUżyte w Sposobie 2 do obliczenia pola.\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 15)** - Pole trójkąta:\n\\[P = \\frac{1}{2} \\cdot a \\cdot h_a\\]\nUżyte w Sposobie 2 do wyznaczenia \\(h\\) z pola.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| B | Uczeń liczy \\(h = \\sqrt{7^2 - 12^2}\\) - zamienia ramię z podstawą w Pitagorasie. Ale \\(7 < 12\\), więc wynik byłby ujemny - ewidentna sprzeczność. |\n| C | Uczeń podstawia całą podstawę \\(12\\) zamiast jej połowy \\(6\\): \\(h = \\sqrt{7^2 - 12^2}\\) - błąd podziału |\n| D | Uczeń liczy \\(h = 7 - 6 = 1\\) lub myli wysokość z różnicą boków - brak zastosowania Pitagorasa |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wysokość z wierzchołka między ramionami **dzieli podstawę na pół** - to działa TYLKO dlatego, że \\(|AC| = |BC|\\). Nie zakładaj tego dla dowolnego trójkąta!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** W Pitagorasie do \\(h^2\\) wstawiasz **połowę** podstawy: \\(|BH| = 6\\), nie \\(|AB| = 12\\). To najczęstszy błąd w tym typie zadań.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\(\\sqrt{13}\\) to wynik **dokładny** - nie zaokrąglaj do \\(3{,}6\\) ani nie szukaj ładnej liczby. Matura akceptuje surdy (\\(\\sqrt{13}\\)) jako odpowiedź końcową.\n\n**Poprawna odpowiedź: A.** \\(h = \\sqrt{13}\\)\n\n### Sposób 1 - Twierdzenie Pitagorasa\nTrójkąt równoramienny \\(ABC\\) z \\(|AC| = |BC| = 7\\) i \\(|AB| = 12\\). Wysokość \\(CD\\) opuszczona z \\(C\\) na \\(AB\\) dzieli podstawę na dwie równe części:\n\\[|AD| = |DB| = \\dfrac{|AB|}{2} = 6.\\]\n\nW trójkącie prostokątnym \\(ADC\\): \\(|AC|^{2} = |AD|^{2} + |CD|^{2}\\):\n\\[7^{2} = 6^{2} + h^{2}\\]\n\\[49 = 36 + h^{2}\\]\n\\[h^{2} = 13 \\Rightarrow h = \\sqrt{13}.\\]\n\n### Sposób 2 - Pole przez wzór Herona\nPólobwód: \\(p = \\dfrac{7+7+12}{2} = 13\\).\n\\[P = \\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} = \\sqrt{13\\cdot 6\\cdot 6\\cdot 1} = \\sqrt{468} = 6\\sqrt{13}.\\]\n\nJednocześnie \\(P = \\dfrac{1}{2}\\cdot |AB|\\cdot h = 6h\\), stąd:\n\\[6h = 6\\sqrt{13} \\Rightarrow h = \\sqrt{13}.\\]\n\n### Weryfikacja\n\\(\\sqrt{13} \\approx 3{,}606\\). Kontrola: wysokość trójkąta równoramiennego musi być mniejsza od ramion (\\(7 > \\sqrt{13}\\)) ✓.\n\n### Komentarz\nWysokość z wierzchołka głównego trójkąta równoramiennego **pokrywa się** z symetralną podstawy i dzieli podstawę na dwie równe części. Standardowe zastosowanie Pitagorasa.","image":null,"solution_image":null,"topics":null,"page_from":null,"source":"maturazai","answer_source":"maturazai","answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"maturazai","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2009 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2009-maj-matura-podstawowa/zad/21","paper_id":"matematyka-2009-maj-matura-podstawowa","number":"21","points":null,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2009,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Wykres funkcji liniowej określonej wzorem \\(f(x)=3x+2\\) jest prostą prostopadłą do prostej o równaniu:","answer":null,"answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: prosta o współczynniku kierunkowym \\(-\\frac{1}{3}\\)\n\nWykres \\(f(x) = 3x + 2\\) jest prostopadły do każdej prostej postaci \\(y = -\\frac{1}{3}x + b\\) (np. \\(y = -\\frac{1}{3}x + 1\\) lub w postaci ogólnej: \\(x + 3y + c = 0\\)).\n\n## Sposób 1 - Warunek prostopadłości prostych (ze współczynników kierunkowych)\n\n**Odczytujemy współczynnik kierunkowy danej prostej.**\n\n\\[f(x) = 3x + 2 \\implies a_1 = 3\\]\n\n**Warunek prostopadłości** dwóch prostych (o współczynnikach kierunkowych \\(a_1\\) i \\(a_2\\)):\n\n\\[a_1 \\cdot a_2 = -1\\]\n\n**Wyznaczamy \\(a_2\\):**\n\n\\[3 \\cdot a_2 = -1\\]\n\n\\[a_2 = -\\frac{1}{3}\\]\n\n**Wniosek:** prosta prostopadła do \\(f(x) = 3x + 2\\) ma postać:\n\n\\[y = -\\frac{1}{3}x + b\\]\n\ndla dowolnego \\(b \\in \\mathbb{R}\\).\n\n## Sposób 2 - Przez wektory kierunkowe\n\nProsta \\(y = 3x + 2\\) ma wektor kierunkowy \\(\\vec{v_1} = [1, 3]\\) (przesunięcie o 1 w prawo daje wzrost o 3).\n\nDwie proste są prostopadłe, gdy ich wektory kierunkowe są prostopadłe, tzn.:\n\n\\[\\vec{v_1} \\cdot \\vec{v_2} = 0\\]\n\nNiech \\(\\vec{v_2} = [1, a_2]\\). Wtedy:\n\n\\[[1, 3] \\cdot [1, a_2] = 1 \\cdot 1 + 3 \\cdot a_2 = 1 + 3a_2 = 0\\]\n\n\\[3a_2 = -1 \\implies a_2 = -\\frac{1}{3}\\]\n\nWynik zgodny ze Sposobem 1. ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25)** - warunek prostopadłości prostych:\n\n\\[a_1 \\cdot a_2 = -1\\]\n\nDokładnie ten wzór zastosowaliśmy w Sposobie 1. Karta wzorów podaje go wprost przy równaniu kierunkowym prostej.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\nW zadaniach tego typu najczęściej pojawiają się pułapkowe opcje:\n\n| Odp. | Błąd |\n| \\(y = 3x + c\\) | Prosta **równoległa**, nie prostopadła - ten sam współczynnik kierunkowy |\n| \\(y = \\frac{1}{3}x + c\\) | Odwrotność współczynnika bez zmiany znaku - błąd! Trzeba i odwrócić, i zmienić znak |\n| \\(y = -3x + c\\) | Zmieniono znak, ale nie odwrócono - wynik to \\(3 \\cdot (-3) = -9 \\neq -1\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Prosta prostopadła wymaga **odwrotności z przeciwnym znakiem** - nie samej odwrotności i nie samej negacji. Wzór to \\(a_2 = -\\frac{1}{a_1}\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wyraz wolny \\(b\\) (czyli gdzie prosta przecina oś \\(OY\\)) nie ma znaczenia dla prostopadłości - liczy się **wyłącznie** współczynnik kierunkowy.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wzór \\(a_1 \\cdot a_2 = -1\\) działa tylko gdy obie proste są **ukośne** (żadna nie jest pionowa). Prosta pionowa \\(x = c\\) jest prostopadła do poziomej \\(y = c\\) - to wyjątek od reguły.\n\n**Rozwiązanie:**\n\nFunkcja \\(f(x) = 3x + 2\\) ma współczynnik kierunkowy \\(a_1 = 3\\).\n\nProsta prostopadła do prostej o współczynniku kierunkowym \\(a_1\\) ma współczynnik:\n\\(a_2 = -\\frac{1}{a_1} = -\\frac{1}{3}\\)\n\nZatem prosta prostopadła ma równanie postaci \\(y = -\\frac{1}{3}x + b\\) dla pewnego \\(b\\).\n\n**Użyte wzory:** warunek prostopadłości prostych \\(a_1 \\cdot a_2 = -1\\).","image":null,"solution_image":null,"topics":null,"page_from":null,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"maturazai","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2009 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2009-maj-matura-podstawowa/zad/22","paper_id":"matematyka-2009-maj-matura-podstawowa","number":"22","points":null,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2009,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Prosta o równaniu \\(y=-4x+(2m-7)\\) przechodzi przez punkt \\(A=(2,-1)\\). Wtedy\n\nA. \\(m = 7\\)\nB. \\(m = 2\\)\nC. \\(m = -\\)\nD. \\(m = - 17 2 2\\)","answer":"A","answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: A - \\(m = 7\\)\n\n## Sposób 1 - Podstawienie punktu do równania prostej\n\nSkoro prosta **przechodzi przez punkt** \\(A = (2, -1)\\), to współrzędne tego punktu muszą spełniać równanie prostej. Podstawiamy \\(x = 2\\), \\(y = -1\\):\n\n\\[-1 = -4 \\cdot 2 + (2m - 7)\\]\n\n\\[-1 = -8 + 2m - 7\\]\n\n\\[-1 = 2m - 15\\]\n\n\\[2m = -1 + 15\\]\n\n\\[2m = 14\\]\n\n\\[\\boxed{m = 7}\\]\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja podstawieniem\n\nSprawdzamy, czy dla \\(m = 7\\) punkt \\(A = (2, -1)\\) rzeczywiście leży na prostej.\n\nRównanie prostej staje się:\n\\[y = -4x + (2 \\cdot 7 - 7) = -4x + 7\\]\n\nPodstawiamy \\(x = 2\\):\n\\[y = -4 \\cdot 2 + 7 = -8 + 7 = -1\\]\n\nOtrzymujemy dokładnie \\(y = -1\\) - **zgadza się z punktem \\(A\\)**. Wynik jest poprawny.\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy definicja przynależności punktu do prostej (podstawienie współrzędnych do równania).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| A | **Poprawna odpowiedź** - \\(m = 7\\) |\n| B | Pomylenie kolejności działań: obliczenie \\(-4 \\cdot 2 = -8\\), a następnie błędne przeniesienie \\(-8\\) na drugą stronę ze złym znakiem, co daje \\(2m = 1 + 7 - (-8)\\) zamiast \\(2m = 14\\) |\n| C/D | Błędy wynikające z pominięcia nawiasu przy \\((2m - 7)\\) i potraktowania wyrazu wolnego jako samego \\(2m\\), co prowadzi do \\(2m = -1 + 7 \\cdot (-1)\\) lub podobnych niepoprawnych przekształceń |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Pamiętaj, że wyrazy wolne to **\\((2m-7)\\)** jako całość - nie wolno podstawiać \\(x = 2\\) do \\(2m\\). Parametr \\(m\\) jest stałą, nie zmienną funkcji.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Znak minus przed \\(-4x\\) łatwo zgubić. Po podstawieniu \\(x = 2\\) mamy \\(-4 \\cdot 2 = -8\\), a nie \\(+8\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przenoszenie wyrazów - gdy przenosisz \\(-15\\) na lewą stronę, zmienia znak na \\(+15\\): \\(-1 + 15 = 14\\), nie \\(-1 - 15\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: A** (\\(m = 7\\))\n\n**Rozwiązanie:**\n\nProsta \\(y = -4x + (2m - 7)\\) przechodzi przez punkt \\(A = (2, -1)\\).\n\nPodstawiamy współrzędne punktu \\(A\\):\n\\(-1 = -4 \\cdot 2 + (2m - 7)\\)\n\\(-1 = -8 + 2m - 7\\)\n\\(-1 = 2m - 15\\)\n\\(2m = 14\\)\n\\(m = 7\\)\n\n**Dlaczego inne odpowiedzi są błędne:**\n- B. \\(m = 2\\): daje \\(y = -4 \\cdot 2 + (4-7) = -11 \\neq -1\\)\n- C. \\(m = -\\frac{1}{2}\\): daje \\(y = -8 + (-1-7) = -16 \\neq -1\\)\n- D. \\(m = -\\frac{17}{2}\\): daje \\(y = -8 + (-17-7) = -32 \\neq -1\\)\n\n**Użyte wzory:** podstawienie współrzędnych punktu do równania prostej.","image":null,"solution_image":null,"topics":null,"page_from":null,"source":"maturazai","answer_source":"maturazai","answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"maturazai","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2009 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2009-maj-matura-podstawowa/zad/23","paper_id":"matematyka-2009-maj-matura-podstawowa","number":"23","points":null,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2009,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Pole powierzchni całkowitej sześcianu jest równe \\(150\\ \\text{cm}^{2}\\). Długość krawędzi tego sześcianu jest równa\n\nA. 3,5 cm\nB. 4 cm\nC. 4,5 cm\nD. 5 cm","answer":"D","answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: D (5 cm)\n\n## Sposób 1 - Ze wzoru na pole powierzchni sześcianu\n\nSześcian ma **6 ścian**, każda z nich jest kwadratem o boku \\(a\\).\n\nPole jednej ściany: \\(a^2\\)\n\nPole powierzchni całkowitej:\n\\[P_c = 6a^2\\]\n\nPodstawiamy dany warunek:\n\\[6a^2 = 150\\]\n\\[a^2 = \\frac{150}{6} = 25\\]\n\\[a = \\sqrt{25} = 5 \\text{ cm}\\]\n\n**Długość krawędzi sześcianu wynosi 5 cm.**\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja przez podstawienie\n\nSprawdzamy, czy \\(a = 5\\) cm faktycznie daje pole 150 cm²:\n\\[P_c = 6 \\cdot 5^2 = 6 \\cdot 25 = 150 \\text{ cm}^2 \\checkmark\\]\n\nDla porządku sprawdzamy też odpowiedź C (\\(a = 4{,}5\\)):\n\\[P_c = 6 \\cdot (4{,}5)^2 = 6 \\cdot 20{,}25 = 121{,}5 \\text{ cm}^2 \\neq 150\\]\n\nPotwierdzamy: tylko \\(a = 5\\) spełnia warunek.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 12 (Stereometria, s. 26-28)** - pole powierzchni całkowitej graniastosłupa prostego (sześcian to szczególny przypadek):\n\\[P_c = 2(ab + bc + ca)\\]\nDla sześcianu \\(a = b = c\\), więc:\n\\[P_c = 2(a^2 + a^2 + a^2) = 6a^2\\]\n\nTo właśnie ten wzór zastosowaliśmy w Sposobie 1.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| A (3,5 cm) | \\(6 \\cdot 3{,}5^2 = 6 \\cdot 12{,}25 = 73{,}5\\) - wynik za mały; prawdopodobnie uczeń dzieli 150 przez 6 i zamiast pierwiastka bierze połowę |\n| B (4 cm) | \\(6 \\cdot 4^2 = 96 \\neq 150\\) - pominięto pierwiastkowanie: uczeń liczy \\(150 : 6 = 25\\), a potem bierze \\(\\frac{25}{6} \\approx 4\\) zamiast \\(\\sqrt{25}\\) |\n| C (4,5 cm) | \\(6 \\cdot 4{,}5^2 = 121{,}5 \\neq 150\\) - typowy błąd \"na oko\", gdy uczeń interpoluje między 4 a 5 bez rachunku |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Sześcian ma **6** ścian, nie 4. Mylenie z czworościanem foremnym (4 ściany) to częsty błąd - tu dzielimy przez 6, nie przez 4.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Po wyznaczeniu \\(a^2 = 25\\) trzeba wziąć **pierwiastek kwadratowy**: \\(a = \\sqrt{25} = 5\\). Pominięcie tego kroku prowadzi do błędnej odpowiedzi.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Jednostki - wynik \\(a\\) jest w cm (nie cm²), bo \\(\\sqrt{\\text{cm}^2} = \\text{cm}\\). Warto pilnować jednostek przez cały rachunek.\n\n**Poprawna odpowiedź: D** (5 cm)\n\n**Rozwiązanie:**\n\nPole powierzchni całkowitej sześcianu o krawędzi \\(a\\):\n\\(P_c = 6a^2 = 150\\)\n\\(a^2 = 25\\)\n\\(a = 5\\) cm\n\n**Dlaczego inne odpowiedzi są błędne:**\n- A. \\(a = 3{,}5\\): \\(6 \\cdot 12{,}25 = 73{,}5 \\neq 150\\)\n- B. \\(a = 4\\): \\(6 \\cdot 16 = 96 \\neq 150\\)\n- C. \\(a = 4{,}5\\): \\(6 \\cdot 20{,}25 = 121{,}5 \\neq 150\\)\n\n**Użyte wzory:** pole powierzchni całkowitej sześcianu (prostopadłościanu) \\(P_c = 6a^2\\).","image":null,"solution_image":null,"topics":null,"page_from":null,"source":"maturazai","answer_source":"maturazai","answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"maturazai","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2009 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2009-maj-matura-podstawowa/zad/24","paper_id":"matematyka-2009-maj-matura-podstawowa","number":"24","points":null,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2009,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Średnia arytmetyczna pięciu liczb: \\(5, x, 1, 3, 1\\) jest równa \\(3\\). Wtedy","answer":null,"answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(x = 5\\)\n\n## Sposób 1 - Definicja średniej arytmetycznej\n\nŚrednia arytmetyczna pięciu liczb to ich suma podzielona przez liczbę składników.\n\n**Zapisujemy równanie:**\n\\[\\frac{5 + x + 1 + 3 + 1}{5} = 3\\]\n\n**Mnożymy obie strony przez 5:**\n\\[5 + x + 1 + 3 + 1 = 15\\]\n\n**Sumujemy znane wyrazy:**\n\\[10 + x = 15\\]\n\n**Wyznaczamy \\(x\\):**\n\\[x = 15 - 10 = \\mathbf{5}\\]\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja przez podstawienie\n\nSprawdzamy, czy dla \\(x = 5\\) średnia rzeczywiście wynosi \\(3\\).\n\nPięć liczb: \\(5, 5, 1, 3, 1\\).\n\n\\[\\bar{a} = \\frac{5 + 5 + 1 + 3 + 1}{5} = \\frac{15}{5} = 3 \\checkmark\\]\n\nWynik się zgadza - **\\(x = 5\\)** jest poprawne.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 15 (Parametry danych statystycznych, s. 31-32)** - wzór na średnią arytmetyczną:\n\\[\\bar{a} = \\frac{a_1 + a_2 + \\ldots + a_n}{n}\\]\nUżyliśmy tego wzoru bezpośrednio w Sposobie 1, podstawiając znane liczby i niewiadomą \\(x\\).\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Najczęstszy błąd to zapomnienie o **podzieleniu przez 5** - uczniowie zapisują \\(5 + x + 1 + 3 + 1 = 3\\) zamiast \\(= 15\\). Zawsze mnóż obie strony przez liczbę składników przed uproszczeniem.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Łatwo błędnie zsumować znane wyrazy. Sprawdź: \\(5 + 1 + 3 + 1 = 10\\), nie \\(9\\) ani \\(11\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Dla zadań z „nieznanym wyrazem\" zawsze **zweryfikuj wynik** przez podstawienie do oryginalnego wyrażenia - to zajmuje 10 sekund i eliminuje błędy rachunkowe.\n\n**Odpowiedź: \\(x = 5\\)**\n\n**Rozwiązanie:**\n\nŚrednia arytmetyczna pięciu liczb \\(5, x, 1, 3, 1\\) wynosi 3.\n\n\\(\\frac{5 + x + 1 + 3 + 1}{5} = 3\\)\n\\(10 + x = 15\\)\n\\(x = 5\\)\n\n**Sprawdzenie:** \\(\\frac{5 + 5 + 1 + 3 + 1}{5} = \\frac{15}{5} = 3\\) ✓\n\n**Użyte wzory:** średnia arytmetyczna \\(\\bar{a} = \\frac{a_1 + a_2 + \\ldots + a_n}{n}\\).","image":null,"solution_image":null,"topics":null,"page_from":null,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"maturazai","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2009 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2009-maj-matura-podstawowa/zad/25","paper_id":"matematyka-2009-maj-matura-podstawowa","number":"25","points":null,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2009,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Wybieramy liczbę \\(a\\) ze zbioru \\(A=\\{2,3,4,5\\}\\) oraz liczbę \\(b\\) ze zbioru \\(B=\\{1,4\\}\\). Ile jest takich par \\((a,b)\\), że iloczyn \\(a\\cdot b\\) jest liczbą nieparzystą?\n\nA. 2\nB. 3\nC. 5\nD. 20","answer":"A","answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: A (2 pary)\n\n## Sposób 1 - Warunek nieparzystości iloczynu\n\n**Kluczowa obserwacja:** iloczyn \\(a \\cdot b\\) jest nieparzysty **wtedy i tylko wtedy, gdy oba czynniki są nieparzyste**.\n\nWystarczy jeden parzysty czynnik, żeby cały iloczyn był parzysty.\n\n**Krok 1:** Wypisz liczby nieparzyste w każdym zbiorze.\n\nZe zbioru \\(A = \\{2, 3, 4, 5\\}\\):\n\\[\\text{nieparzyste: } 3, 5 \\quad \\Rightarrow \\quad 2 \\text{ liczby}\\]\n\nZe zbioru \\(B = \\{1, 4\\}\\):\n\\[\\text{nieparzyste: } 1 \\quad \\Rightarrow \\quad 1 \\text{ liczba}\\]\n\n**Krok 2:** Policz pary \\((a, b)\\) z oboma czynnikami nieparzystymi.\n\n\\[\\text{liczba par} = 2 \\times 1 = \\mathbf{2}\\]\n\nKonkretnie:\n- \\((3, 1)\\): \\(3 \\cdot 1 = 3\\) ✓ nieparzyste\n- \\((5, 1)\\): \\(5 \\cdot 1 = 5\\) ✓ nieparzyste\n\n**Odpowiedź: 2 pary.**\n\n## Sposób 2 - Przegląd wszystkich par\n\nWszystkich par \\((a, b)\\) jest \\(4 \\times 2 = 8\\). Sprawdzamy każdą:\n\n| \\(a\\) | \\(b\\) | \\(a \\cdot b\\) | Nieparzyste? |\n| 2 | 1 | 2 | ✗ |\n| 2 | 4 | 8 | ✗ |\n| 3 | 1 | 3 | **✓** |\n| 3 | 4 | 12 | ✗ |\n| 4 | 1 | 4 | ✗ |\n| 4 | 4 | 16 | ✗ |\n| 5 | 1 | 5 | **✓** |\n| 5 | 4 | 20 | ✗ |\n\n**Spełniają warunek: 2 pary.** Wynik zgodny ze Sposobem 1.\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy elementarna zasada: **iloczyn jest nieparzysty \\(\\iff\\) oba czynniki są nieparzyste**, oraz podstawowe liczenie (zasada mnożenia z kombinatoryki - Dział 13, s. 28, choć tu wystarczy intuicja).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| B (3) | Uczeń liczy nieparzyste elementy w \\(A\\) (są 2) i dodaje 1 z \\(B\\), zamiast mnożyć |\n| C (5) | Uczeń liczy wszystkie nieparzyste elementy obu zbiorów łącznie: \\(3, 5\\) z \\(A\\) i \\(1\\) z \\(B\\), daje 3, albo myli się gdzie indziej |\n| D (20) | Uczeń liczy wszystkie możliwe pary (4 × 5 = 20) - ale \\(B\\) ma tylko 2 elementy, nie 5! |\n\n## Typowe pułapki\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wystarczy JEDEN parzysty czynnik, żeby iloczyn był parzysty. Nie sprawdzaj sumy, ani żadnej innej własności - tylko parzystość obu czynników jednocześnie.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Liczba 4 w zbiorze \\(B\\) jest parzysta - każda para z \\(b = 4\\) automatycznie odpada, niezależnie od \\(a\\). To eliminuje połowę przypadków od razu.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie mylić \"ile par spełnia warunek\" z \"ile liczb nieparzystych jest w zbiorach\". Odpowiedź to liczba par \\((a, b)\\), a nie liczba elementów.\n\n**Poprawna odpowiedź: A** (2 pary)\n\n**Rozwiązanie:**\n\nWybieramy \\(a \\in \\{2, 3, 4, 5\\}\\) i \\(b \\in \\{1, 4\\}\\).\n\nIloczyn \\(a \\cdot b\\) jest nieparzysty wtedy i tylko wtedy, gdy **oba** czynniki są nieparzyste.\n\nNieparzyste \\(a\\): \\(3, 5\\) - 2 możliwości\nNieparzyste \\(b\\): \\(1\\) - 1 możliwość\n\nLiczba par: \\(2 \\cdot 1 = 2\\)\n\nPary: \\((3, 1)\\) i \\((5, 1)\\).\n\n**Dlaczego inne odpowiedzi są błędne:**\n- B. 3 - brak trzeciej pary dającej iloczyn nieparzysty\n- C. 5 - to zbyt dużo; pary z \\(b=4\\) zawsze dają iloczyn parzysty\n- D. 20 - to nie liczba par z iloczynem nieparzystym, lecz zapewne błędna interpretacja\n\n**Użyte wzory:** iloczyn jest nieparzysty ⟺ oba czynniki nieparzyste, reguła mnożenia.","image":null,"solution_image":null,"topics":null,"page_from":null,"source":"maturazai","answer_source":"maturazai","answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"maturazai","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2009 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2009-maj-matura-podstawowa/zad/26","paper_id":"matematyka-2009-maj-matura-podstawowa","number":"26","points":null,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2009,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Rozwiąż nierówność \\(x^{2}-3x+2\\leq 0\\).","answer":null,"answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(x \\in \\langle 1, 2 \\rangle\\)\n\n## Sposób 1 - Miejsca zerowe i analiza znaku paraboli\n\n**Krok 1: Znajdź miejsca zerowe trójmianu.**\n\nRozwiązujemy równanie \\(x^2 - 3x + 2 = 0\\).\n\nObliczamy wyróżnik:\n\\[\\Delta = (-3)^2 - 4 \\cdot 1 \\cdot 2 = 9 - 8 = 1\\]\n\nMiejsca zerowe:\n\\[x_1 = \\frac{3 - \\sqrt{1}}{2} = \\frac{3 - 1}{2} = 1, \\qquad x_2 = \\frac{3 + \\sqrt{1}}{2} = \\frac{3 + 1}{2} = 2\\]\n\n**Krok 2: Określ kierunek ramion paraboli.**\n\nWspółczynnik \\(a = 1 > 0\\), więc parabola jest **skierowana ramionami w górę** (∪).\n\n**Krok 3: Odczytaj rozwiązanie nierówności.**\n\nSzukamy, dla jakich \\(x\\) parabola jest **poniżej lub na poziomie osi \\(OX\\)** (czyli \\(f(x) \\leq 0\\)).\n\nParabola z ramionami w górę jest niżej od osi \\(OX\\) **między** miejscami zerowymi:\n\n\\[\\boxed{x \\in \\langle 1, 2 \\rangle}\\]\n\n## Sposób 2 - Rozkład na czynniki (faktoryzacja)\n\n**Krok 1: Rozłóż trójmian na czynniki.**\n\nSzukamy dwóch liczb, które dają **sumę \\(-3\\)** (współczynnik przy \\(x\\)) i **iloczyn \\(2\\)** (wyraz wolny).\n\nTakie liczby to \\(-1\\) i \\(-2\\), bo:\n\\[(-1) + (-2) = -3, \\qquad (-1) \\cdot (-2) = 2\\]\n\nZatem:\n\\[x^2 - 3x + 2 = (x - 1)(x - 2)\\]\n\n**Krok 2: Rozwiąż nierówność.**\n\nNierówność \\((x-1)(x-2) \\leq 0\\) jest spełniona, gdy czynniki mają **przeciwne znaki** (lub jeden z nich jest zerem).\n\nAnaliza znaku iloczynu:\n\n| Przedział | \\((x-1)\\) | \\((x-2)\\) | Iloczyn |\n| \\(x < 1\\) | \\(-\\) | \\(-\\) | \\(+\\) |\n| \\(x = 1\\) | \\(0\\) | \\(-\\) | \\(0\\) |\n| \\(1 < x < 2\\) | \\(+\\) | \\(-\\) | \\(-\\) |\n| \\(x = 2\\) | \\(+\\) | \\(0\\) | \\(0\\) |\n| \\(x > 2\\) | \\(+\\) | \\(+\\) | \\(+\\) |\n\nIloczyn \\(\\leq 0\\) dla \\(x \\in \\langle 1, 2 \\rangle\\). ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9):**\n\nWyróżnik i wzory na miejsca zerowe:\n\\[\\Delta = b^2 - 4ac, \\qquad x_{1,2} = \\frac{-b \\pm \\sqrt{\\Delta}}{2a}\\]\n\nUżyte w Sposobie 1 do wyznaczenia punktów \\(x_1 = 1\\), \\(x_2 = 2\\).\n\nPostać iloczynowa (użyta w Sposobie 2):\n\\[f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)\\]\n\n> **Uwaga praktyczna z karty:** Karta wzorów podaje wprost, że dla \\(a > 0\\) parabola jest skierowana ramionami w górę - wystarczy to zapamiętać i od razu wiedzieć, gdzie \\(f(x) \\leq 0\\).\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Dla paraboli z ramionami w górę (\\(a > 0\\)) wyrażenie jest ujemne **między** miejscami zerowymi. Najczęstszy błąd to odwrócenie odpowiedzi - podanie \\(x \\leq 1\\) lub \\(x \\geq 2\\) (co byłoby odpowiedzią dla \\(\\geq 0\\)).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nierówność jest **niestruktura** (\\(\\leq\\), nie \\(<\\)), więc końce przedziału **wchodzą** do rozwiązania - używamy nawiasów domkniętych \\(\\langle 1, 2 \\rangle\\). Pominięcie równości to klasyczny błąd!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy faktoryzacji sprawdź rachunek: \\((x-1)(x-2) = x^2 - 2x - x + 2 = x^2 - 3x + 2\\) ✓. Zawsze warto zweryfikować rozkład przed podstawieniem do tabeli znaków.\n\n**Odpowiedź: \\(x \\in [1, 2]\\)**\n\n**Rozwiązanie:**\n\n\\(x^2 - 3x + 2 \\leq 0\\)\n\n**Krok 1:** Rozkładamy trójmian na iloczyn:\n\\(x^2 - 3x + 2 = (x - 1)(x - 2)\\)\n\n**Krok 2:** Rozwiązujemy nierówność \\((x-1)(x-2) \\leq 0\\).\n\nMiejsca zerowe: \\(x_1 = 1\\), \\(x_2 = 2\\).\n\nWspółczynnik przy \\(x^2\\) jest dodatni (\\(a = 1 > 0\\)), więc parabola jest skierowana ramionami do góry.\n\nTrójmian jest niedodatni między pierwiastkami:\n\\(x \\in [1, 2]\\)\n\n**Użyte wzory:** postać iloczynowa trójmianu kwadratowego, wyróżnik \\(\\Delta = b^2 - 4ac\\).","image":null,"solution_image":null,"topics":null,"page_from":null,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"maturazai","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2009 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2009-maj-matura-podstawowa/zad/27","paper_id":"matematyka-2009-maj-matura-podstawowa","number":"27","points":null,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2009,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Rozwiąż równanie \\(x^{3}-7x^{2}+2x-14=0\\).","answer":null,"answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(x = 7\\) lub \\(x = i\\sqrt{2}\\) lub \\(x = -i\\sqrt{2}\\)\n\n*(W zbiorze liczb rzeczywistych: jedyne rozwiązanie to \\(x = 7\\).)*\n\n## Sposób 1 - Grupowanie wyrazów (faktoryzacja)\n\nZauważamy, że wielomian \\(x^3 - 7x^2 + 2x - 14\\) można **zgrupować** tak, żeby wyłączyć wspólny czynnik:\n\n\\[x^3 - 7x^2 + 2x - 14 = 0\\]\n\nGrupujemy pierwsze dwa i ostatnie dwa wyrazy:\n\n\\[(x^3 - 7x^2) + (2x - 14) = 0\\]\n\nZ każdej grupy wyłączamy wspólny czynnik:\n\n\\[x^2(x - 7) + 2(x - 7) = 0\\]\n\nTeraz \\((x - 7)\\) jest wspólnym czynnikiem obu składników - wyłączamy go:\n\n\\[(x - 7)(x^2 + 2) = 0\\]\n\nIloczyn jest równy zero, gdy jeden z czynników jest zerem:\n\n**Czynnik 1:**\n\\[x - 7 = 0 \\implies \\boxed{x = 7}\\]\n\n**Czynnik 2:**\n\\[x^2 + 2 = 0 \\implies x^2 = -2\\]\n\nTo równanie **nie ma rozwiązań rzeczywistych**, bo \\(x^2 \\geq 0\\) dla każdego \\(x \\in \\mathbb{R}\\), więc \\(x^2 = -2\\) jest niemożliwe.\n\n**Odpowiedź:** Jedynym rozwiązaniem rzeczywistym jest \\(x = 7\\).\n\n## Sposób 2 - Sprawdzenie pierwiastka wymiernego (twierdzenie o pierwiastkach wymiernych) + weryfikacja\n\n**Szukamy pierwiastka wymiernego.** Jeśli wielomian \\(x^3 - 7x^2 + 2x - 14\\) ma pierwiastek całkowity, to musi on być **dzielnikiem wyrazu wolnego** \\((-14)\\).\n\nDzielniki liczby \\(14\\): \\(\\pm 1, \\pm 2, \\pm 7, \\pm 14\\).\n\nSprawdzamy \\(x = 7\\):\n\n\\[7^3 - 7 \\cdot 7^2 + 2 \\cdot 7 - 14 = 343 - 343 + 14 - 14 = 0 \\checkmark\\]\n\nZatem \\(x = 7\\) jest pierwiastkiem. Dzielimy wielomian przez \\((x-7)\\) - schemat Hornera:\n\n| | \\(1\\) | \\(-7\\) | \\(2\\) | \\(-14\\) |\n| \\(x=7\\) | \\(1\\) | \\(1\\cdot7-7=0\\) | \\(0\\cdot7+2=2\\) | \\(2\\cdot7-14=0\\) |\n\nWynik dzielenia: \\(x^2 + 0x + 2 = x^2 + 2\\).\n\nZatem:\n\\[x^3 - 7x^2 + 2x - 14 = (x-7)(x^2+2)\\]\n\nDalej - jak w Sposobie 1. Drugi czynnik \\(x^2 + 2 > 0\\) dla wszystkich \\(x \\in \\mathbb{R}\\), więc nie daje nowych pierwiastków.\n\n**Weryfikacja** - podstawiamy \\(x = 7\\) do oryginalnego równania:\n\\[7^3 - 7 \\cdot 7^2 + 2 \\cdot 7 - 14 = 343 - 343 + 14 - 14 = \\mathbf{0} \\checkmark\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczą:\n- umiejętność **wyłączania wspólnego czynnika** przed nawias (podstawowa algebra),\n- znajomość faktu, że \\(x^2 \\geq 0\\) dla \\(x \\in \\mathbb{R}\\) (definicja potęgi, s. 4-5, Dział 2).\n\nEwentualnie przydaje się wzór skróconego mnożenia z **Działu 6 (s. 7)**, choć tu nie jest niezbędny.\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie próbuj od razu \"na ślepo\" stosować wzoru Cardano ani innych metod dla równań 3. stopnia - najpierw **zawsze szukaj grupowania lub oczywistego pierwiastka**.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\(x^2 + 2 = 0\\) **nie ma rozwiązań rzeczywistych!** Częsty błąd to napisanie \\(x = \\sqrt{-2}\\) lub \\(x = \\pm\\sqrt{2}\\) (pomylenie znaku). Pamiętaj: \\(x^2 = -2\\) jest sprzeczne w \\(\\mathbb{R}\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy grupowaniu kluczowe jest właściwe dobranie par wyrazów. Jeśli pierwsze grupowanie nie wychodzi, spróbuj inaczej - tu \\((x^3 + 2x) + (-7x^2 - 14)\\) też działa: \\(x(x^2+2) - 7(x^2+2) = (x-7)(x^2+2)\\).\n\n**Odpowiedź: \\(x = 7\\)**\n\n**Rozwiązanie:**\n\n\\(x^3 - 7x^2 + 2x - 14 = 0\\)\n\n**Krok 1:** Grupujemy wyrazy:\n\\(x^2(x - 7) + 2(x - 7) = 0\\)\n\n**Krok 2:** Wyciągamy wspólny czynnik:\n\\((x^2 + 2)(x - 7) = 0\\)\n\n**Krok 3:** Rozwiązujemy:\n- \\(x - 7 = 0 \\Rightarrow x = 7\\)\n- \\(x^2 + 2 = 0 \\Rightarrow x^2 = -2\\) - brak rozwiązań rzeczywistych (bo \\(x^2 \\geq 0 > -2\\))\n\nJedyne rozwiązanie: \\(x = 7\\).\n\n**Użyte wzory:** grupowanie wyrazów, rozkład na czynniki.","image":null,"solution_image":null,"topics":null,"page_from":null,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"maturazai","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2009 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2009-maj-matura-podstawowa/zad/28","paper_id":"matematyka-2009-maj-matura-podstawowa","number":"28","points":null,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2009,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"W układzie współrzędnych na płaszczyźnie punkty \\(A=(2,5)\\) i \\(C=(6,7)\\) są przeciwległymi wierzchołkami kwadratu \\(ABCD\\). Wyznacz równanie prostej \\(BD\\).","answer":null,"answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(y = -2x + 14\\)\n\n(równoważnie: \\(2x + y - 14 = 0\\))\n\n## Sposób 1 - środek przekątnych + prostopadłość\n\n**Kluczowe własności kwadratu:**\n- Przekątne kwadratu **przecinają się w połowie** → mają wspólny środek\n- Przekątne kwadratu **są prostopadłe** do siebie\n\n### Krok 1: Środek przekątnej AC = punkt leżący na BD\n\n\\[M = \\left(\\frac{x_A + x_C}{2},\\ \\frac{y_A + y_C}{2}\\right) = \\left(\\frac{2+6}{2},\\ \\frac{5+7}{2}\\right) = (4,\\ 6)\\]\n\nProsta \\(BD\\) **przechodzi przez punkt \\(M = (4, 6)\\)**.\n\n### Krok 2: Współczynnik kierunkowy prostej AC\n\n\\[a_{AC} = \\frac{y_C - y_A}{x_C - x_A} = \\frac{7 - 5}{6 - 2} = \\frac{2}{4} = \\frac{1}{2}\\]\n\n### Krok 3: Współczynnik kierunkowy prostej BD (prostopadłej do AC)\n\nProste prostopadłe spełniają: \\(a_1 \\cdot a_2 = -1\\), więc:\n\\[a_{BD} = -\\frac{1}{a_{AC}} = -\\frac{1}{\\frac{1}{2}} = -2\\]\n\n### Krok 4: Równanie prostej BD\n\nProsta przez punkt \\((4, 6)\\) o nachyleniu \\(-2\\):\n\\[y - 6 = -2(x - 4)\\]\n\\[y - 6 = -2x + 8\\]\n\\[\\boxed{y = -2x + 14}\\]\n\n## Sposób 2 - weryfikacja przez wyznaczenie wierzchołków B i D\n\nSprawdźmy, czy wyznaczona prosta ma sens - znajdziemy B i D explicite.\n\n**Punkt B i D leżą na prostej** \\(y = -2x + 14\\) **oraz** w równej odległości od środka \\(M=(4,6)\\).\n\nNiech \\(B = (t,\\ -2t + 14)\\). Przekątna AC ma długość:\n\\[|AC| = \\sqrt{(6-2)^2 + (7-5)^2} = \\sqrt{16 + 4} = \\sqrt{20} = 2\\sqrt{5}\\]\n\nW kwadracie obie przekątne mają tę samą długość, więc \\(|BM| = \\frac{|AC|}{2} = \\sqrt{5}\\).\n\n\\[|BM|^2 = (t-4)^2 + (-2t+14-6)^2 = (t-4)^2 + (-2t+8)^2 = (t-4)^2 + 4(t-4)^2 = 5(t-4)^2\\]\n\n\\[5(t-4)^2 = 5 \\implies (t-4)^2 = 1 \\implies t = 3 \\text{ lub } t = 5\\]\n\nZatem \\(B = (3,\\ 8)\\) i \\(D = (5,\\ 4)\\).\n\n**Sprawdzenie:** Środek \\(BD\\) = \\(\\left(\\frac{3+5}{2}, \\frac{8+4}{2}\\right) = (4, 6) = M\\) ✓\n\nOba punkty leżą na prostej \\(y = -2x + 14\\) ✓ Wynik potwierdzony.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25)**\n\nŚrodek odcinka:\n\\[x_S = \\frac{x_A + x_B}{2}, \\quad y_S = \\frac{y_A + y_B}{2}\\]\nUżyliśmy do wyznaczenia środka przekątnej AC.\n\nWspółczynnik kierunkowy (pochylenie prostej):\n\\[a = \\frac{y_B - y_A}{x_B - x_A}\\]\nUżyliśmy do obliczenia nachylenia AC.\n\nWarunek prostopadłości prostych:\n\\[a_1 \\cdot a_2 = -1\\]\nUżyliśmy do wyznaczenia współczynnika prostej BD.\n\nRównanie kierunkowe prostej przez punkt \\((x_0, y_0)\\):\n\\[y - y_0 = a(x - x_0)\\]\nUżyliśmy w kroku 4.\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie mylić - prosta BD **nie** przechodzi przez \\(A\\) ani \\(C\\), tylko przez **środek** odcinka \\(AC\\). Środek wyznaczamy ze wzoru na środek odcinka, nie z innego miejsca.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Warunek prostopadłości to \\(a_1 \\cdot a_2 = -1\\), czyli nachylenie prostej prostopadłej to **odwrotność ze zmienionym znakiem**. Częsty błąd: uczniowie biorą samo \\(-a\\) zamiast \\(-\\frac{1}{a}\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** To zadanie otwarte - na maturze trzeba zapisać **pełny tok rozumowania** z uzasadnieniem własności kwadratu (prostopadłość i równa długość przekątnych). Sam wynik bez uzasadnienia może nie przynieść pełnej liczby punktów.\n\n**Odpowiedź: \\(y = -2x + 14\\)**\n\n**Rozwiązanie:**\n\nPunkty \\(A = (2, 5)\\) i \\(C = (6, 7)\\) są przeciwległymi wierzchołkami kwadratu \\(ABCD\\).\n\n**Krok 1:** Przekątne kwadratu przecinają się w swoim środku i są do siebie prostopadłe.\n\nŚrodek \\(AC\\):\n\\(S = \\left(\\frac{2+6}{2},\\, \\frac{5+7}{2}\\right) = (4, 6)\\)\n\n**Krok 2:** Współczynnik kierunkowy \\(AC\\):\n\\(a_{AC} = \\frac{7-5}{6-2} = \\frac{2}{4} = \\frac{1}{2}\\)\n\n**Krok 3:** Prosta \\(BD\\) jest prostopadła do \\(AC\\) i przechodzi przez \\(S\\):\n\\(a_{BD} = -\\frac{1}{a_{AC}} = -2\\)\n\n\\(y - 6 = -2(x - 4)\\)\n\\(y = -2x + 8 + 6\\)\n\\(y = -2x + 14\\)\n\n**Użyte wzory:** środek odcinka, warunek prostopadłości prostych \\(a_1 \\cdot a_2 = -1\\), równanie prostej przez punkt o danym współczynniku kierunkowym.","image":null,"solution_image":null,"topics":null,"page_from":null,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"maturazai","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2009 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2009-maj-matura-podstawowa/zad/29","paper_id":"matematyka-2009-maj-matura-podstawowa","number":"29","points":null,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2009,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Kąt \\(\\alpha\\) jest ostry i \\(\\operatorname{tg}\\alpha=\\frac{4}{3}\\). Oblicz \\(\\sin\\alpha+\\cos\\alpha\\).","answer":null,"answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(\\sin\\alpha + \\cos\\alpha = \\dfrac{7}{5}\\)\n\n## Sposób 1 - Podstawienie przez zmienną pomocniczą\n\n**Pomysł:** Skoro \\(\\operatorname{tg}\\alpha = \\dfrac{4}{3} = \\dfrac{\\sin\\alpha}{\\cos\\alpha}\\), możemy zapisać \\(\\sin\\alpha\\) i \\(\\cos\\alpha\\) jako proporcjonalne do \\(4\\) i \\(3\\), a potem skorzystać z jedynki trygonometrycznej, żeby wyznaczyć współczynnik.\n\n**Krok 1.** Niech \\(\\sin\\alpha = 4k\\) oraz \\(\\cos\\alpha = 3k\\) dla pewnego \\(k > 0\\) (kąt ostry, obie funkcje dodatnie).\n\nSprawdzamy, że stosunek się zgadza:\n\\[\\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{\\sin\\alpha}{\\cos\\alpha} = \\frac{4k}{3k} = \\frac{4}{3} \\checkmark\\]\n\n**Krok 2.** Stosujemy jedynkę trygonometryczną \\(\\sin^2\\alpha + \\cos^2\\alpha = 1\\):\n\\[(4k)^2 + (3k)^2 = 1\\]\n\\[16k^2 + 9k^2 = 1\\]\n\\[25k^2 = 1\\]\n\\[k^2 = \\frac{1}{25} \\implies k = \\frac{1}{5}\\]\n\n**Krok 3.** Wyznaczamy wartości:\n\\[\\sin\\alpha = 4k = \\frac{4}{5}, \\qquad \\cos\\alpha = 3k = \\frac{3}{5}\\]\n\n**Krok 4.** Obliczamy szukane wyrażenie:\n\\[\\sin\\alpha + \\cos\\alpha = \\frac{4}{5} + \\frac{3}{5} = \\boxed{\\frac{7}{5}}\\]\n\n## Sposób 2 - Wzór \\(1 + \\operatorname{tg}^2\\alpha = \\dfrac{1}{\\cos^2\\alpha}\\)\n\n**Krok 1.** Ze wzoru na jedynkę trygonometryczną dzielimy obie strony przez \\(\\cos^2\\alpha\\):\n\\[\\frac{\\sin^2\\alpha}{\\cos^2\\alpha} + 1 = \\frac{1}{\\cos^2\\alpha}\\]\n\\[\\operatorname{tg}^2\\alpha + 1 = \\frac{1}{\\cos^2\\alpha}\\]\n\nPodstawiamy \\(\\operatorname{tg}\\alpha = \\dfrac{4}{3}\\):\n\\[\\left(\\frac{4}{3}\\right)^2 + 1 = \\frac{1}{\\cos^2\\alpha}\\]\n\\[\\frac{16}{9} + \\frac{9}{9} = \\frac{1}{\\cos^2\\alpha}\\]\n\\[\\frac{25}{9} = \\frac{1}{\\cos^2\\alpha}\\]\n\n**Krok 2.** Stąd:\n\\[\\cos^2\\alpha = \\frac{9}{25} \\implies \\cos\\alpha = \\frac{3}{5}\\]\n(bo kąt ostry → \\(\\cos\\alpha > 0\\))\n\n**Krok 3.** Wyznaczamy \\(\\sin\\alpha\\):\n\\[\\sin\\alpha = \\operatorname{tg}\\alpha \\cdot \\cos\\alpha = \\frac{4}{3} \\cdot \\frac{3}{5} = \\frac{4}{5}\\]\n\n**Krok 4.** Wynik:\n\\[\\sin\\alpha + \\cos\\alpha = \\frac{4}{5} + \\frac{3}{5} = \\frac{7}{5}\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 9 (Trygonometria, s. 11-14)** - jedynka trygonometryczna:\n\\[\\sin^2\\alpha + \\cos^2\\alpha = 1\\]\nUżyta w Sposobie 1 (wyznaczenie \\(k\\)) i jako punkt wyjścia Sposobu 2.\n\n**Dział 9 (Trygonometria, s. 11)** - definicja tangensa:\n\\[\\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{\\sin\\alpha}{\\cos\\alpha}\\]\nUżyta w obu sposobach - to fundament całego zadania.\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie zakładaj od razu \\(\\sin\\alpha = 4\\) i \\(\\cos\\alpha = 3\\) - to nie są prawdziwe wartości (sinus i cosinus zawsze należą do \\(\\langle{-1, 1}\\rangle\\)). Trzeba napisać \\(4k\\) i \\(3k\\), a potem wyznaczyć \\(k\\) z jedynki trygonometrycznej.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Gdy kąt jest ostry, **wszystkie** funkcje trygonometryczne są dodatnie. Gdybyś zapomniał tego warunku i wziął \\(k = -\\dfrac{1}{5}\\), dostałbyś \\(\\sin\\alpha + \\cos\\alpha = -\\dfrac{7}{5}\\) - błędny wynik.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Pamiętaj, że \\(\\dfrac{4}{5} + \\dfrac{3}{5} = \\dfrac{7}{5}\\), a nie \\(\\dfrac{7}{10}\\). Ułamki o tym samym mianowniku dodajemy, **nie** mnożąc mianowników.\n\n**Odpowiedź: \\(\\sin\\alpha + \\cos\\alpha = \\frac{7}{5}\\)**\n\n**Rozwiązanie:**\n\nDane: \\(\\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{4}{3}\\), kąt \\(\\alpha\\) ostry.\n\n**Krok 1:** Z definicji tangensa w trójkącie prostokątnym:\n\\(\\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{a}{b} = \\frac{4}{3}\\)\n\nPrzyjmujemy przyprostokątne \\(a = 4\\), \\(b = 3\\).\n\nPrzeciwprostokątna: \\(c = \\sqrt{4^2 + 3^2} = \\sqrt{25} = 5\\)\n\n**Krok 2:** Obliczamy funkcje trygonometryczne:\n\\(\\sin\\alpha = \\frac{4}{5}\\), \\(\\cos\\alpha = \\frac{3}{5}\\)\n\n**Krok 3:**\n\\(\\sin\\alpha + \\cos\\alpha = \\frac{4}{5} + \\frac{3}{5} = \\frac{7}{5}\\)\n\n**Użyte wzory:** definicje \\(\\sin\\alpha = \\frac{a}{c}\\), \\(\\cos\\alpha = \\frac{b}{c}\\), twierdzenie Pitagorasa.","image":null,"solution_image":null,"topics":null,"page_from":null,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"maturazai","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2009 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2009-maj-matura-podstawowa/zad/30","paper_id":"matematyka-2009-maj-matura-podstawowa","number":"30","points":null,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2009,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Wykaż, że dla każdego \\(m\\) ciąg \\(\\left(\\frac{m+1}{4},\\frac{m+3}{6},\\frac{m+9}{12}\\right)\\) jest arytmetyczny.","answer":null,"answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: Dowód\n\nCiąg trójwyrazowy \\(\\left(\\frac{m+1}{4},\\ \\frac{m+3}{6},\\ \\frac{m+9}{12}\\right)\\) jest arytmetyczny dla każdego \\(m \\in \\mathbb{R}\\).\n\n## Sposób 1 - Sprawdzenie warunku różnic (definicja ciągu arytmetycznego)\n\n**Co musimy pokazać?**\n\nCiąg \\((a_1, a_2, a_3)\\) jest arytmetyczny wtedy i tylko wtedy, gdy:\n\\[a_2 - a_1 = a_3 - a_2\\]\n\nczyli gdy różnica między sąsiednimi wyrazami jest stała.\n\n**Oznaczamy wyrazy:**\n\n\\[a_1 = \\frac{m+1}{4}, \\qquad a_2 = \\frac{m+3}{6}, \\qquad a_3 = \\frac{m+9}{12}\\]\n\n**Obliczamy różnicę \\(a_2 - a_1\\):**\n\nSprowadzamy do wspólnego mianownika 12:\n\n\\[a_2 - a_1 = \\frac{m+3}{6} - \\frac{m+1}{4} = \\frac{2(m+3)}{12} - \\frac{3(m+1)}{12}\\]\n\n\\[= \\frac{2(m+3) - 3(m+1)}{12} = \\frac{2m + 6 - 3m - 3}{12} = \\frac{-m+3}{12} = \\frac{3-m}{12}\\]\n\n**Obliczamy różnicę \\(a_3 - a_2\\):**\n\n\\[a_3 - a_2 = \\frac{m+9}{12} - \\frac{m+3}{6} = \\frac{m+9}{12} - \\frac{2(m+3)}{12}\\]\n\n\\[= \\frac{m+9 - 2(m+3)}{12} = \\frac{m + 9 - 2m - 6}{12} = \\frac{-m+3}{12} = \\frac{3-m}{12}\\]\n\n**Wniosek:**\n\n\\[a_2 - a_1 = a_3 - a_2 = \\frac{3-m}{12}\\]\n\nPonieważ obie różnice są równe **dla każdego** \\(m \\in \\mathbb{R}\\), ciąg jest arytmetyczny z różnicą \\(r = \\frac{3-m}{12}\\). \\(\\blacksquare\\)\n\n## Sposób 2 - Warunek środkowego wyrazu (własność z karty CKE)\n\n**Alternatywny warunek:** ciąg \\((a_1, a_2, a_3)\\) jest arytmetyczny wtedy i tylko wtedy, gdy środkowy wyraz jest średnią arytmetyczną skrajnych:\n\n\\[a_2 = \\frac{a_1 + a_3}{2}\\]\n\n**Obliczamy prawą stronę:**\n\n\\[\\frac{a_1 + a_3}{2} = \\frac{\\dfrac{m+1}{4} + \\dfrac{m+9}{12}}{2}\\]\n\nSprowadzamy licznik do wspólnego mianownika 12:\n\n\\[\\frac{a_1+a_3}{2} = \\frac{\\dfrac{3(m+1)}{12} + \\dfrac{m+9}{12}}{2} = \\frac{\\dfrac{3m+3+m+9}{12}}{2} = \\frac{\\dfrac{4m+12}{12}}{2} = \\frac{4m+12}{24} = \\frac{m+3}{6}\\]\n\n**Sprawdzamy, czy to równa się \\(a_2\\):**\n\n\\[a_2 = \\frac{m+3}{6} \\checkmark\\]\n\nWarunek \\(a_2 = \\frac{a_1+a_3}{2}\\) jest spełniony dla każdego \\(m\\), więc ciąg jest arytmetyczny. \\(\\blacksquare\\)\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 8 (Ciągi, s. 9-10)** - własność wyrazu środkowego ciągu arytmetycznego:\n\n\\[a_n = \\frac{a_{n-1} + a_{n+1}}{2} \\quad \\text{dla } n \\geq 2\\]\n\nUżyliśmy jej w Sposobie 2 - środkowy wyraz musi być średnią arytmetyczną sąsiednich wyrazów. To równoważna definicja, wygodna gdy nie szukamy różnicy wprost.\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie wystarczy policzyć tylko jednej różnicy \\(a_2 - a_1\\). Trzeba sprawdzić **obie** różnice lub skorzystać z warunku środkowego wyrazu - dopiero wtedy mamy pełny dowód.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy odejmowaniu ułamków o różnych mianownikach (4, 6, 12) - zawsze szukamy **NWW mianowników**. Tu NWW(4, 6, 12) = 12. Pośpieszne mnożenie krzyżowe bez sprowadzenia do wspólnego mianownika to najczęstsze źródło błędów rachunkowych.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Różnica ciągu arytmetycznego **może zależeć od \\(m\\)** - i tak jest tutaj: \\(r = \\frac{3-m}{12}\\). To nie jest błąd! Warunek \"arytmetyczny\" wymaga tylko, żeby różnica była **stała wzdłuż ciągu** (czyli \\(a_2 - a_1 = a_3 - a_2\\)), a nie żeby była stałą liczbą niezależną od parametru.\n\n**Dowód, że ciąg \\(\\left(\\frac{m+1}{4},\\, \\frac{m+3}{6},\\, \\frac{m+9}{12}\\right)\\) jest arytmetyczny:**\n\nCiąg jest arytmetyczny, gdy różnica między kolejnymi wyrazami jest stała, tzn.:\n\\(a_2 - a_1 = a_3 - a_2\\)\n\n**Obliczamy \\(a_2 - a_1\\):**\n\\(\\frac{m+3}{6} - \\frac{m+1}{4} = \\frac{2(m+3) - 3(m+1)}{12} = \\frac{2m + 6 - 3m - 3}{12} = \\frac{-m + 3}{12} = \\frac{3 - m}{12}\\)\n\n**Obliczamy \\(a_3 - a_2\\):**\n\\(\\frac{m+9}{12} - \\frac{m+3}{6} = \\frac{(m+9) - 2(m+3)}{12} = \\frac{m + 9 - 2m - 6}{12} = \\frac{-m + 3}{12} = \\frac{3 - m}{12}\\)\n\nPonieważ \\(a_2 - a_1 = a_3 - a_2 = \\frac{3-m}{12}\\) dla każdego \\(m\\), ciąg jest arytmetyczny o różnicy \\(r = \\frac{3-m}{12}\\). ∎\n\n**Użyte wzory:** definicja ciągu arytmetycznego (stała różnica między kolejnymi wyrazami).","image":null,"solution_image":null,"topics":null,"page_from":null,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"maturazai","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2009 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2009-maj-matura-podstawowa/zad/31","paper_id":"matematyka-2009-maj-matura-podstawowa","number":"31","points":null,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2009,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Trójkąty \\(ABC\\) i \\(CDE\\) są równoboczne. Punkty \\(A\\), \\(C\\) i \\(E\\) leżą na jednej prostej. Punkty \\(K\\), \\(L\\) i \\(M\\) są środkami odcinków \\(AC\\), \\(CE\\) i \\(BD\\) (zobacz rysunek). Wykaż, że punkty \\(K\\), \\(L\\) i \\(M\\) są wierzchołkami trójkąta równobocznego.\n\n/matma-quiz/images/cke/MMA-P1_1P-095/z31.png\n\n. Wykaż, że punkty K , L i M są wierzchołkami trójkąta równobocznego. D M B A E K C L _Próbny egzamin maturalny z matematyki Poziom podstawowy _14**_","answer":null,"answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: (zadanie otwarte - wykazanie)\n\nNależy udowodnić, że \\(|KL| = |KM| = |LM|\\), czyli że trójkąt \\(KLM\\) jest równoboczny.\n\n## Sposób 1 - Współrzędne kartezjańskie\n\n**Krok 1. Wprowadzamy układ współrzędnych.**\n\nNiech bok trójkąta \\(ABC\\) ma długość \\(a\\), a bok trójkąta \\(CDE\\) - długość \\(b\\) (\\(a, b > 0\\)). Przyjmujemy \\(C = (0, 0)\\) oraz prostą \\(ACE\\) jako oś \\(OX\\):\n\n\\[A = (-a,\\ 0), \\qquad C = (0,\\ 0), \\qquad E = (b,\\ 0)\\]\n\n**Krok 2. Wyznaczamy \\(B\\) i \\(D\\)** (oba wierzchołki leżą powyżej prostej, tak jak na rysunku).\n\nTrójkąt \\(ABC\\) jest równoboczny o boku \\(a\\), więc jego wysokość wynosi \\(\\tfrac{a\\sqrt{3}}{2}\\). Wierzchołek \\(B\\) leży nad środkiem odcinka \\(AC\\):\n\\[B = \\left(-\\frac{a}{2},\\ \\frac{a\\sqrt{3}}{2}\\right)\\]\n\nTrójkąt \\(CDE\\) jest równoboczny o boku \\(b\\), wierzchołek \\(D\\) leży nad środkiem odcinka \\(CE\\):\n\\[D = \\left(\\frac{b}{2},\\ \\frac{b\\sqrt{3}}{2}\\right)\\]\n\n**Krok 3. Wyznaczamy środki odcinków.**\n\n\\[K = \\text{śr}(AC) = \\left(-\\frac{a}{2},\\ 0\\right), \\qquad L = \\text{śr}(CE) = \\left(\\frac{b}{2},\\ 0\\right)\\]\n\n\\[M = \\text{śr}(BD) = \\left(\\frac{-\\tfrac{a}{2}+\\tfrac{b}{2}}{2},\\ \\frac{\\tfrac{a\\sqrt{3}}{2}+\\tfrac{b\\sqrt{3}}{2}}{2}\\right) = \\left(\\frac{b-a}{4},\\ \\frac{(a+b)\\sqrt{3}}{4}\\right)\\]\n\n**Krok 4. Obliczamy długości wszystkich trzech boków trójkąta \\(KLM\\).**\n\n\\[|KL|^2 = \\left(\\frac{b}{2} + \\frac{a}{2}\\right)^2 = \\frac{(a+b)^2}{4}\\]\n\n\\[|KM|^2 = \\left(\\frac{b-a}{4}+\\frac{a}{2}\\right)^2 + \\left(\\frac{(a+b)\\sqrt{3}}{4}\\right)^2 = \\left(\\frac{a+b}{4}\\right)^2 + \\left(\\frac{(a+b)\\sqrt{3}}{4}\\right)^2\\]\n\\[= \\frac{(a+b)^2}{16} + \\frac{3(a+b)^2}{16} = \\frac{4(a+b)^2}{16} = \\frac{(a+b)^2}{4}\\]\n\n\\[|LM|^2 = \\left(\\frac{b-a}{4}-\\frac{b}{2}\\right)^2 + \\left(\\frac{(a+b)\\sqrt{3}}{4}\\right)^2 = \\left(-\\frac{a+b}{4}\\right)^2 + \\left(\\frac{(a+b)\\sqrt{3}}{4}\\right)^2 = \\frac{(a+b)^2}{4}\\]\n\n**Wniosek:**\n\\[\\boxed{|KL| = |KM| = |LM| = \\frac{a+b}{2}}\\]\n\nWszystkie trzy boki są równe, więc **trójkąt \\(KLM\\) jest równoboczny**. \\(\\blacksquare\\)\n\n## Sposób 2 - Obrót o 60° wokół punktu \\(K\\)\n\nKorzystamy z tych samych współrzędnych co w Sposobie 1. Pokażemy, że **obrót o \\(60°\\)** (przeciwnie do ruchu wskazówek zegara) wokół punktu \\(K\\) przeprowadza punkt \\(L\\) dokładnie w punkt \\(M\\).\n\n**Krok 1.** Wyznaczamy wektor \\(\\overrightarrow{KL}\\):\n\\[\\overrightarrow{KL} = L - K = \\left(\\frac{b}{2}+\\frac{a}{2},\\ 0\\right) = \\left(\\frac{a+b}{2},\\ 0\\right)\\]\n\n**Krok 2.** Obracamy wektor \\(\\overrightarrow{KL}\\) o \\(60°\\) w lewo (wzór obrotu: \\((x, y) \\to (x\\cos60°-y\\sin60°,\\ x\\sin60°+y\\cos60°)\\)):\n\n\\[\\overrightarrow{KL}\\text{ po obrocie} = \\left(\\frac{a+b}{2}\\cdot\\frac{1}{2}\\ -\\ 0,\\quad \\frac{a+b}{2}\\cdot\\frac{\\sqrt{3}}{2}\\ +\\ 0\\right) = \\left(\\frac{a+b}{4},\\ \\frac{(a+b)\\sqrt{3}}{4}\\right)\\]\n\n**Krok 3.** Wyznaczamy punkt \\(L' = K +\\) (obrócony wektor):\n\\[L' = \\left(-\\frac{a}{2}+\\frac{a+b}{4},\\ \\frac{(a+b)\\sqrt{3}}{4}\\right) = \\left(\\frac{-2a+a+b}{4},\\ \\frac{(a+b)\\sqrt{3}}{4}\\right) = \\left(\\frac{b-a}{4},\\ \\frac{(a+b)\\sqrt{3}}{4}\\right)\\]\n\nTo są dokładnie współrzędne punktu \\(M\\)! Zatem **obrót o \\(60°\\) wokół \\(K\\) przeprowadza \\(L\\) w \\(M\\)**.\n\nZ tego wynika:\n- \\(|KL| = |KM|\\) - obrót zachowuje odległości,\n- \\(\\angle LKM = 60°\\).\n\nTrójkąt \\(KLM\\) jest zatem równoramienny (\\(|KL|=|KM|\\)) z kątem przy wierzchołku \\(60°\\), więc wszystkie jego kąty wynoszą \\(60°\\), czyli **trójkąt \\(KLM\\) jest równoboczny**. \\(\\blacksquare\\)\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 15-16)** - wysokość trójkąta równobocznego o boku \\(a\\):\n\\[h = \\frac{a\\sqrt{3}}{2}\\]\nUżyliśmy tego wzoru przy wyznaczaniu współrzędnych \\(y\\) punktów \\(B\\) i \\(D\\).\n\n**Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22)** - współrzędne środka odcinka:\n\\[x_S = \\frac{x_A + x_B}{2}, \\quad y_S = \\frac{y_A + y_B}{2}\\]\nUżyliśmy do wyznaczenia punktów \\(K\\), \\(L\\) i \\(M\\).\n\n**Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22)** - długość odcinka:\n\\[|AB| = \\sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}\\]\nUżyliśmy do obliczenia \\(|KL|\\), \\(|KM|\\), \\(|LM|\\) w Sposobie 1.\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie zakładaj, że oba trójkąty są tego samego rozmiaru! Dowód musi działać dla dowolnych \\(a, b > 0\\) - dlatego wprowadzamy dwie osobne zmienne. Trójkąt \\(KLM\\) jest równoboczny **niezależnie** od proporcji \\(a : b\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy wyznaczaniu \\(B\\) i \\(D\\) obie te powinny znajdować się **po tej samej stronie** prostej \\(ACE\\) (tak jak na rysunku - obydwa powyżej). Gdyby \\(B\\) i \\(D\\) leżały po przeciwnych stronach, punkt \\(M\\) znalazłby się w innym miejscu i wynik mógłby być inny.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** W Sposobie 2 wystarczy pokazać, że jeden wierzchołek powstaje z obrotu o \\(60°\\) drugiego wokół trzeciego - nie trzeba osobno liczyć wszystkich trzech boków. To szybszy i elegantszy argument niż żmudne liczenie kwadratów odległości.\n\n**Dowód, że \\(K\\), \\(L\\), \\(M\\) są wierzchołkami trójkąta równobocznego:**\n\nPrzyjmijmy układ współrzędnych. Niech bok trójkątów równobocznych wynosi \\(2a\\).\n\n**Krok 1:** Współrzędne wierzchołków:\n- \\(A = (0, 0)\\), \\(C = (2a, 0)\\), \\(E = (4a, 0)\\) (punkty współliniowe)\n- Trójkąt \\(ABC\\) równoboczny: \\(B = (a,\\, a\\sqrt{3})\\) (nad prostą \\(AE\\))\n- Trójkąt \\(CDE\\) równoboczny: \\(D = (3a,\\, a\\sqrt{3})\\) (nad prostą \\(AE\\))\n\n**Krok 2:** Środki odcinków:\n- \\(K\\) = środek \\(AC\\) = \\((a,\\, 0)\\)\n- \\(L\\) = środek \\(CE\\) = \\((3a,\\, 0)\\)\n- \\(M\\) = środek \\(BD\\) = \\(\\left(\\frac{a + 3a}{2},\\, \\frac{a\\sqrt{3} + a\\sqrt{3}}{2}\\right) = (2a,\\, a\\sqrt{3})\\)\n\n**Krok 3:** Obliczamy długości boków trójkąta \\(KLM\\):\n\n\\(|KL| = 3a - a = 2a\\)\n\n\\(|KM| = \\sqrt{(2a - a)^2 + (a\\sqrt{3})^2} = \\sqrt{a^2 + 3a^2} = \\sqrt{4a^2} = 2a\\)\n\n\\(|LM| = \\sqrt{(2a - 3a)^2 + (a\\sqrt{3})^2} = \\sqrt{a^2 + 3a^2} = \\sqrt{4a^2} = 2a\\)\n\n**Krok 4:** Ponieważ \\(|KL| = |KM| = |LM| = 2a\\), trójkąt \\(KLM\\) jest równoboczny. ∎\n\n**Użyte wzory:** środek odcinka, odległość dwóch punktów, współrzędne wierzchołka trójkąta równobocznego.","image":null,"solution_image":null,"topics":null,"page_from":null,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"maturazai","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2009 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2009-maj-matura-podstawowa/zad/32","paper_id":"matematyka-2009-maj-matura-podstawowa","number":"32","points":null,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2009,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Uczeń przeczytał książkę liczącą \\(480\\) stron, przy czym każdego dnia czytał jednakową liczbę stron. Gdyby czytał każdego dnia o \\(8\\) stron więcej, to przeczytałby tę książkę o \\(3\\) dni wcześniej. Oblicz, ile dni uczeń czytał tę książkę.","answer":null,"answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: uczeń czytał książkę przez **15 dni**\n\n## Sposób 1 - Równanie kwadratowe (przez podstawienie)\n\n**Wprowadzamy zmienne:**\n\nNiech \\(n\\) = liczba dni, przez które uczeń czytał książkę.\nNiech \\(s\\) = liczba stron czytanych dziennie.\n\n**Układamy układ równań** na podstawie treści zadania:\n\n\\[s \\cdot n = 480 \\quad \\text{(warunek podstawowy)}\\]\n\n\\[(s + 8)(n - 3) = 480 \\quad \\text{(warunek \"8 stron więcej, 3 dni krócej\")}\\]\n\n**Wyznaczamy \\(s\\) z pierwszego równania:**\n\n\\[s = \\frac{480}{n}\\]\n\n**Podstawiamy do drugiego równania:**\n\n\\[\\left(\\frac{480}{n} + 8\\right)(n - 3) = 480\\]\n\n**Rozwijamy nawias:**\n\n\\[\\frac{480}{n} \\cdot n - \\frac{480}{n} \\cdot 3 + 8n - 24 = 480\\]\n\n\\[480 - \\frac{1440}{n} + 8n - 24 = 480\\]\n\n**Upraszczamy (odejmujemy 480 z obu stron):**\n\n\\[8n - 24 - \\frac{1440}{n} = 0\\]\n\n**Mnożymy obie strony przez \\(n\\) (wiemy, że \\(n > 0\\)):**\n\n\\[8n^2 - 24n - 1440 = 0\\]\n\n**Dzielimy przez 8:**\n\n\\[n^2 - 3n - 180 = 0\\]\n\n**Liczymy wyróżnik:**\n\n\\[\\Delta = (-3)^2 - 4 \\cdot 1 \\cdot (-180) = 9 + 720 = 729\\]\n\n\\[\\sqrt{\\Delta} = \\sqrt{729} = 27\\]\n\n**Wyznaczamy pierwiastki:**\n\n\\[n_1 = \\frac{3 + 27}{2} = \\frac{30}{2} = 15\\]\n\n\\[n_2 = \\frac{3 - 27}{2} = \\frac{-24}{2} = -12\\]\n\nPonieważ \\(n\\) musi być liczbą naturalną, **odrzucamy \\(n_2 = -12\\)**.\n\n**Wniosek:** Uczeń czytał książkę przez \\(\\mathbf{15}\\) **dni**, czytając \\(\\frac{480}{15} = 32\\) strony dziennie.\n\n## Sposób 2 - Działanie na ilorazach (myślenie przez czas czytania)\n\n**Zapisujemy warunek zadania inaczej.** Czas czytania (w dniach) to \\(\\frac{480}{s}\\). Po zwiększeniu tempa o 8 stron czas skraca się o 3 dni:\n\n\\[\\frac{480}{s} - \\frac{480}{s+8} = 3\\]\n\n**Sprowadzamy do wspólnego mianownika:**\n\n\\[\\frac{480(s+8) - 480s}{s(s+8)} = 3\\]\n\n\\[\\frac{480s + 3840 - 480s}{s(s+8)} = 3\\]\n\n\\[\\frac{3840}{s(s+8)} = 3\\]\n\n**Mnożymy obie strony przez \\(s(s+8)\\):**\n\n\\[3840 = 3s(s+8)\\]\n\n\\[1280 = s^2 + 8s\\]\n\n\\[s^2 + 8s - 1280 = 0\\]\n\n**Wyróżnik:**\n\n\\[\\Delta = 64 + 5120 = 5184 = 72^2\\]\n\n\\[s = \\frac{-8 + 72}{2} = \\frac{64}{2} = 32 \\quad \\text{(odrzucamy ujemne)}\\]\n\nUczeń czytał \\(s = 32\\) strony dziennie, a czas czytania to:\n\n\\[n = \\frac{480}{32} = \\mathbf{15} \\text{ dni}\\]\n\n**Weryfikacja:**\n- Tempo podstawowe: \\(32\\) strony/dzień → \\(480 : 32 = 15\\) dni ✓\n- Tempo zwiększone: \\(40\\) strony/dzień → \\(480 : 40 = 12\\) dni = \\(15 - 3\\) ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)** - wyróżnik i wzór na pierwiastki trójmianu kwadratowego:\n\n\\[\\Delta = b^2 - 4ac\\]\n\n\\[x_{1,2} = \\frac{-b \\pm \\sqrt{\\Delta}}{2a}\\]\n\nUżyliśmy tych wzorów w obu sposobach, gdy po algebraicznym uproszczeniu równania dostaliśmy trójmian kwadratowy (\\(n^2 - 3n - 180 = 0\\) w Sposobie 1 i \\(s^2 + 8s - 1280 = 0\\) w Sposobie 2).\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wielu uczniów zapomina odrzucić ujemny pierwiastek równania kwadratowego. Liczba dni \\(n = -12\\) jest matematycznie poprawnym rozwiązaniem równania, ale **nie ma sensu w kontekście zadania** - liczba dni musi być dodatnia.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Częsty błąd to przestawienie warunków - napisanie \\((s+8)(n+3) = 480\\) zamiast \\((s+8)(n-3) = 480\\). Skoro uczeń czyta *szybciej*, to skończy *wcześniej*, czyli w *mniej* dni - znak minus!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Po znalezieniu \\(n = 15\\) dni (lub \\(s = 32\\) stron) zawsze sprawdź wynik podstawiając do **obydwu** warunków zadania, nie tylko jednego. To zajmuje 20 sekund i chroni przed błędem w obliczeniach.\n\n**Odpowiedź: Uczeń czytał książkę 15 dni.**\n\n**Rozwiązanie:**\n\nNiech \\(d\\) - liczba dni czytania, \\(s\\) - liczba stron dziennie.\n\n**Równanie 1:** \\(s \\cdot d = 480\\), więc \\(s = \\frac{480}{d}\\)\n\n**Równanie 2:** Gdyby czytał \\(s + 8\\) stron dziennie, skończyłby o 3 dni wcześniej:\n\\((s + 8)(d - 3) = 480\\)\n\n**Krok 1:** Rozwijamy:\n\\(sd - 3s + 8d - 24 = 480\\)\n\nPonieważ \\(sd = 480\\):\n\\(480 - 3s + 8d - 24 = 480\\)\n\\(8d - 3s = 24\\)\n\n**Krok 2:** Podstawiamy \\(s = \\frac{480}{d}\\):\n\\(8d - 3 \\cdot \\frac{480}{d} = 24\\)\n\\(8d - \\frac{1440}{d} = 24\\)\n\nMnożymy przez \\(d\\):\n\\(8d^2 - 24d - 1440 = 0\\)\n\\(d^2 - 3d - 180 = 0\\)\n\n**Krok 3:** Rozwiązujemy:\n\\(\\Delta = 9 + 720 = 729 = 27^2\\)\n\\(d = \\frac{3 + 27}{2} = 15\\) (odrzucamy \\(d = \\frac{3 - 27}{2} = -12 < 0\\))\n\n**Sprawdzenie:** \\(s = 480/15 = 32\\) strony dziennie. Z \\(s + 8 = 40\\): \\(480/40 = 12 = 15 - 3\\) ✓\n\n**Użyte wzory:** równanie kwadratowe, wyróżnik \\(\\Delta = b^2 - 4ac\\).","image":null,"solution_image":null,"topics":null,"page_from":null,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"maturazai","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2009 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2009-maj-matura-podstawowa/zad/33","paper_id":"matematyka-2009-maj-matura-podstawowa","number":"33","points":null,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2009,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Punkty \\(A=(2,0)\\) i \\(B=(12,0)\\) są wierzchołkami trójkąta prostokątnego \\(ABC\\) o przeciwprostokątnej \\(AB\\). Wierzchołek \\(C\\) leży na prostej o równaniu \\(y=x\\). Oblicz współrzędne punktu \\(C\\).","answer":null,"answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(C = (3, 3)\\) lub \\(C = (4, 4)\\)\n\n(Zadanie ma dwa rozwiązania - oba są poprawne.)\n\n## Sposób 1 - okrąg Talesa (kąt wpisany)\n\n**Kluczowe spostrzeżenie:** skoro \\(AB\\) jest przeciwprostokątną, to kąt przy \\(C\\) wynosi \\(90°\\). Z twierdzenia Talesa wynika, że \\(C\\) leży na okręgu o średnicy \\(AB\\).\n\n**Krok 1 - wyznaczamy równanie okręgu.**\n\nŚrodek okręgu = środek odcinka \\(AB\\):\n\\[S = \\left(\\frac{2+12}{2},\\ \\frac{0+0}{2}\\right) = (7,\\ 0)\\]\n\nPromień = połowa długości \\(AB\\):\n\\[r = \\frac{|AB|}{2} = \\frac{12-2}{2} = 5\\]\n\nRównanie okręgu:\n\\[(x-7)^2 + y^2 = 25\\]\n\n**Krok 2 - uwzględniamy warunek \\(C \\in\\) prostej \\(y = x\\).**\n\nPodstawiamy \\(y = x\\):\n\\[(x-7)^2 + x^2 = 25\\]\n\\[x^2 - 14x + 49 + x^2 = 25\\]\n\\[2x^2 - 14x + 24 = 0\\]\n\\[x^2 - 7x + 12 = 0\\]\n\n**Krok 3 - rozwiązujemy równanie kwadratowe.**\n\n\\[\\Delta = 49 - 48 = 1, \\quad \\sqrt{\\Delta} = 1\\]\n\\[x_1 = \\frac{7-1}{2} = 3, \\qquad x_2 = \\frac{7+1}{2} = 4\\]\n\nSkoro \\(y = x\\):\n\n\\[\\boxed{C_1 = (3,\\ 3) \\quad \\text{lub} \\quad C_2 = (4,\\ 4)}\\]\n\n## Sposób 2 - warunek prostopadłości wektorów (algebraiczny)\n\nKąt przy \\(C\\) jest prosty, czyli \\(\\overrightarrow{CA} \\perp \\overrightarrow{CB}\\).\n\n**Krok 1 - zapisujemy wektory.**\n\nNiech \\(C = (t, t)\\) (bo \\(C\\) leży na \\(y=x\\)):\n\\[\\overrightarrow{CA} = (2-t,\\ 0-t) = (2-t,\\ -t)\\]\n\\[\\overrightarrow{CB} = (12-t,\\ 0-t) = (12-t,\\ -t)\\]\n\n**Krok 2 - warunek prostopadłości: iloczyn skalarny = 0.**\n\n\\[\\overrightarrow{CA} \\cdot \\overrightarrow{CB} = 0\\]\n\\[(2-t)(12-t) + (-t)(-t) = 0\\]\n\\[24 - 2t - 12t + t^2 + t^2 = 0\\]\n\\[2t^2 - 14t + 24 = 0\\]\n\\[t^2 - 7t + 12 = 0\\]\n\\[(t-3)(t-4) = 0\\]\n\nStąd \\(t = 3\\) lub \\(t = 4\\), czyli tak samo: \\(C = (3, 3)\\) lub \\(C = (4, 4)\\). ✓\n\n**Weryfikacja dla \\(C = (3,3)\\):**\n\\[|CA|^2 = 1^2 + 3^2 = 10, \\quad |CB|^2 = 9^2 + 3^2 = 90\\]\n\\[|CA|^2 + |CB|^2 = 100 = 10^2 = |AB|^2 \\quad \\checkmark\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25)**\n\n- Środek odcinka:\n\\[x_S = \\frac{x_A + x_B}{2}, \\quad y_S = \\frac{y_A + y_B}{2}\\]\nUżyte do wyznaczenia środka okręgu Talesa.\n\n- Równanie okręgu:\n\\[(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2\\]\nKluczowe w Sposobie 1 - opisuje zbiór punktów widzących \\(AB\\) pod kątem prostym.\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)**\n\\[\\Delta = b^2 - 4ac, \\quad x_{1,2} = \\frac{-b \\pm \\sqrt{\\Delta}}{2a}\\]\nUżyte do rozwiązania równania \\(x^2 - 7x + 12 = 0\\).\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 15) - twierdzenie Talesa / kąt wpisany**\nKąt wpisany w okrąg oparty na średnicy = \\(90°\\). To jest geometryczna podstawa Sposobu 1.\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Zadanie ma **dwa rozwiązania** - \\((3,3)\\) i \\((4,4)\\). Pominięcie jednego to błąd!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Warunek \"przeciwprostokątna \\(AB\\)\" oznacza kąt prosty **przy \\(C\\)**, nie przy \\(A\\) ani \\(B\\). Pomylenie kąta prostego to najczęstszy błąd.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy podstawianiu \\(y = x\\) do równania okręgu łatwo zapomnieć, że \\(y^2 = x^2\\), i wpisać samo \\(x\\) pod kwadratem - zawsze uważnie rozwijaj nawiasy.\n\n**Odpowiedź: \\(C = (3, 3)\\) lub \\(C = (4, 4)\\)**\n\n**Rozwiązanie:**\n\n\\(A = (2, 0)\\), \\(B = (12, 0)\\), trójkąt prostokątny z kątem prostym przy \\(C\\), \\(C\\) leży na prostej \\(y = x\\).\n\n**Krok 1:** Niech \\(C = (t, t)\\).\n\n**Krok 2:** Kąt prosty przy \\(C\\) oznacza \\(\\vec{CA} \\cdot \\vec{CB} = 0\\).\n\n\\(\\vec{CA} = (2 - t,\\, -t)\\), \\(\\vec{CB} = (12 - t,\\, -t)\\)\n\n\\((2 - t)(12 - t) + (-t)(-t) = 0\\)\n\\(24 - 14t + t^2 + t^2 = 0\\)\n\\(2t^2 - 14t + 24 = 0\\)\n\\(t^2 - 7t + 12 = 0\\)\n\n**Krok 3:** Rozwiązujemy:\n\\(\\Delta = 49 - 48 = 1\\)\n\\(t = \\frac{7 \\pm 1}{2}\\)\n\\(t = 4\\) lub \\(t = 3\\)\n\n**Odpowiedź:** \\(C = (3, 3)\\) lub \\(C = (4, 4)\\).\n\n**Sprawdzenie dla \\(C = (3,3)\\):** \\(\\vec{CA} = (-1, -3)\\), \\(\\vec{CB} = (9, -3)\\), iloczyn skalarny: \\(-9 + 9 = 0\\) ✓\n**Sprawdzenie dla \\(C = (4,4)\\):** \\(\\vec{CA} = (-2, -4)\\), \\(\\vec{CB} = (8, -4)\\), iloczyn skalarny: \\(-16 + 16 = 0\\) ✓\n\n**Użyte wzory:** iloczyn skalarny wektorów, warunek prostopadłości \\(\\vec{u} \\cdot \\vec{v} = 0\\), równanie kwadratowe.","image":null,"solution_image":null,"topics":null,"page_from":null,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"maturazai","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2009 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2009-maj-matura-podstawowa/zad/34","paper_id":"matematyka-2009-maj-matura-podstawowa","number":"34","points":null,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2009,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Pole trójkąta prostokątnego jest równe \\(60\\ \\text{cm}^{2}\\). Jedna przyprostokątna jest o \\(7\\ \\text{cm}\\) dłuższa od drugiej. Oblicz długość przeciwprostokątnej tego trójkąta.","answer":null,"answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: przeciwprostokątna ma długość \\(17 \\text{ cm}\\)\n\n## Sposób 1 - Układ równań + równanie kwadratowe\n\nOznaczmy krótszą przyprostokątną jako \\(a\\), dłuższą jako \\(b\\).\n\n**Dane:**\n\\[b = a + 7\\]\n\\[P = \\frac{1}{2}ab = 60 \\implies ab = 120\\]\n\n**Podstawiamy \\(b = a + 7\\) do \\(ab = 120\\):**\n\\[a(a + 7) = 120\\]\n\\[a^2 + 7a - 120 = 0\\]\n\n**Wyróżnik:**\n\\[\\Delta = 7^2 - 4 \\cdot 1 \\cdot (-120) = 49 + 480 = 529 = 23^2\\]\n\n**Miejsca zerowe:**\n\\[a = \\frac{-7 \\pm 23}{2}\\]\n\\[a_1 = \\frac{-7 + 23}{2} = \\frac{16}{2} = 8 \\qquad a_2 = \\frac{-7 - 23}{2} = -15 \\quad \\text{(odrzucamy, bo długość > 0)}\\]\n\n**Zatem:**\n\\[a = 8 \\text{ cm}, \\qquad b = 8 + 7 = 15 \\text{ cm}\\]\n\n**Przeciwprostokątna z twierdzenia Pitagorasa:**\n\\[c = \\sqrt{a^2 + b^2} = \\sqrt{8^2 + 15^2} = \\sqrt{64 + 225} = \\sqrt{289} = \\mathbf{17 \\text{ cm}}\\]\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja i trójka pitagorejska\n\nWarto zapamiętać, że \\((8, 15, 17)\\) to pitagorejska trójka liczb całkowitych. Możemy to od razu sprawdzić:\n\n**Pole:**\n\\[\\frac{1}{2} \\cdot 8 \\cdot 15 = \\frac{120}{2} = 60 \\text{ cm}^2 \\checkmark\\]\n\n**Różnica przyprostokątnych:**\n\\[15 - 8 = 7 \\text{ cm} \\checkmark\\]\n\n**Twierdzenie Pitagorasa:**\n\\[8^2 + 15^2 = 64 + 225 = 289 = 17^2 \\checkmark\\]\n\nWszystkie warunki spełnione. Przeciwprostokątna wynosi \\(\\mathbf{17 \\text{ cm}}\\).\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)** - wyróżnik i wzór na miejsca zerowe:\n\\[\\Delta = b^2 - 4ac, \\qquad x_{1,2} = \\frac{-b \\pm \\sqrt{\\Delta}}{2a}\\]\nUżyliśmy w Sposobie 1 do rozwiązania równania \\(a^2 + 7a - 120 = 0\\).\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 15)** - twierdzenie Pitagorasa:\n\\[c^2 = a^2 + b^2 \\quad \\text{(dla trójkąta prostokątnego)}\\]\nUżyliśmy do wyznaczenia długości przeciwprostokątnej.\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 15)** - pole trójkąta:\n\\[P = \\frac{1}{2} \\cdot a \\cdot h_a\\]\nDla trójkąta prostokątnego jedna przyprostokątna jest podstawą, druga jest wysokością, więc \\(P = \\frac{1}{2} \\cdot a \\cdot b\\).\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie zapominaj sprawdzić znaku pierwiastków równania kwadratowego - długość musi być dodatnia, więc \\(a_2 = -15\\) odrzucamy.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Pytanie pyta o **przeciwprostokątną**, nie o przyprostokątne! Wielu uczniów podaje \\(a = 8\\) lub \\(b = 15\\) jako odpowiedź końcową - to błąd. Trzeba jeszcze zastosować twierdzenie Pitagorasa.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Pole trójkąta prostokątnego to \\(\\frac{1}{2}ab\\), a nie \\(ab\\). Pomylenie tego daje równanie \\(a(a+7) = 60\\) zamiast \\(a(a+7) = 120\\) - wynik będzie błędny.\n\n**Odpowiedź: Długość przeciwprostokątnej wynosi 17 cm.**\n\n**Rozwiązanie:**\n\nPole trójkąta prostokątnego: \\(P = 60\\) cm². Jedna przyprostokątna o 7 cm dłuższa od drugiej.\n\n**Krok 1:** Niech przyprostokątne to \\(a\\) i \\(a + 7\\).\n\n\\(\\frac{a(a + 7)}{2} = 60\\)\n\\(a^2 + 7a = 120\\)\n\\(a^2 + 7a - 120 = 0\\)\n\n**Krok 2:** Rozwiązujemy:\n\\(\\Delta = 49 + 480 = 529 = 23^2\\)\n\\(a = \\frac{-7 + 23}{2} = 8\\) (odrzucamy \\(a = \\frac{-7 - 23}{2} = -15 < 0\\))\n\nPrzyprostokątne: \\(a = 8\\) cm, \\(b = 15\\) cm.\n\n**Krok 3:** Przeciwprostokątna z twierdzenia Pitagorasa:\n\\(c = \\sqrt{8^2 + 15^2} = \\sqrt{64 + 225} = \\sqrt{289} = 17\\) cm\n\n**Sprawdzenie:** \\(P = \\frac{8 \\cdot 15}{2} = 60\\) cm² ✓, \\(15 - 8 = 7\\) ✓\n\n**Użyte wzory:** pole trójkąta prostokątnego \\(P = \\frac{ab}{2}\\), twierdzenie Pitagorasa \\(a^2 + b^2 = c^2\\), równanie kwadratowe.","image":null,"solution_image":null,"topics":null,"page_from":null,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"maturazai","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2009 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"}]}