{"paper":{"id":"matematyka-2009-maj-matura-rozszerzona","subject":"matematyka","category":"matura","year":2009,"month":"maj","level":"rozszerzona","variant":null,"exam_pdf":"matematyka-2009-maj-matura-rozszerzona/matematyka-2009-maj-matura-rozszerzona.pdf","key_pdf":"matematyka-2009-maj-matura-rozszerzona-odpowiedzi/matematyka-2009-maj-matura-rozszerzona-odpowiedzi.pdf","question_count":11,"source_label":"Matematyka · Matura · maj 2009 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},"questions":[{"id":"matematyka-2009-maj-matura-rozszerzona/zad/1","paper_id":"matematyka-2009-maj-matura-rozszerzona","number":"1","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2009,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 1. (4 pkt)\nFunkcja liniowa f określona jest wzorem\n( )\nf x\nax\nb\ndla\nR\nx ∈\na) Dla\n2008\na\ni\n2009\nb\nzbadaj, czy do wykresu tej funkcji należy punkt\n(\n)\n2\n2009\n,\n2009\nP\nb) Narysuj w układzie współrzędnych zbiór\n(\n)\n1\n,\n:\n1,3\ni\ni\n2,1\n2\n⎧\n⎫\n∈-\n∈-\n⎨\n⎬\n⎩\n⎭\nA\nx y\nx\ny\nx\nb\nb\nNr czynności\n1.1.\n1.2.\n1.3.\n1.4.\nMaks. liczba pkt\n1\n1\n1\n1\nWypełnia\negzaminator! Uzyskana liczba pkt\n\nPoziom rozszerzony\n3\nFunkcja liniowa f określona jest wzorem f(x)=ax+b dla x w R. a) Dla a=2008 i b=2009 zbadaj, czy do wykresu funkcji należy punkt P=(2009,2009^2) b) Narysuj w układzie współrzędnych zbiór A = { (x,y): x w <-1,3> i y=-1/2x+b i b w <-2,1> }","answer":null,"answer_text":"2\n4\nx\n14\n)\n5","solution":"a) $f(2009) = 2009^{2}$, Punkt $P$ należy do wykresu funkcji $f$.","image":"img/matematyka-2009-maj-matura-rozszerzona/zad-1.webp","solution_image":"img/matematyka-2009-maj-matura-rozszerzona/sol-1.svg","topics":"funkcje","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2009 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2009-maj-matura-rozszerzona/zad/2","paper_id":"matematyka-2009-maj-matura-rozszerzona","number":"2","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2009,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 2. (4 pkt)\nPrzy\ndzieleniu\nwielomianu\n( )\nx\nW\nprzez\ndwumian\n(\n)1\nx\notrzymujemy\niloraz\n( )\n14\n4\n8\n2\nx\nx\nx\nQ\noraz resztę ( )\n5\nx\nR\n. Oblicz pierwiastki wielomianu\n( )\nx\nW\nNr czynności\n2.1.\n2.2.\n2.3.\n2.4.\nMaks. liczba pkt\n1\n1\n1\n1\nWypełnia\negzaminator! Uzyskana liczba pkt\n\nPoziom rozszerzony\n4\nPrzy dzieleniu wielomianu W(x) przez dwumian (x-1) otrzymujemy iloraz Q(x)=8x^2+4x-14 oraz resztę R(x)=-5. Oblicz pierwiastki wielomianu W(x).","answer":null,"answer_text":"1\n11","solution":"$x_{1} = -1{,}5$, $x_{2} = 0{,}5$, $x_{3} = 1{,}5$","image":"img/matematyka-2009-maj-matura-rozszerzona/zad-2.webp","solution_image":"img/matematyka-2009-maj-matura-rozszerzona/sol-2.svg","topics":"wielomiany","page_from":3,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2009 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2009-maj-matura-rozszerzona/zad/3","paper_id":"matematyka-2009-maj-matura-rozszerzona","number":"3","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2009,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 3. (4 pkt)\nNa rysunku przedstawiony jest wykres funkcji wykładniczej ( )\nx\na\nx\nf\ndla\nR\nx ∈\na) Oblicz a.\nb) Narysuj wykres funkcji\n( )\n( )\n2\nx\nf\nx\ng\ni podaj wszystkie wartości parametru\nR\nm ∈\n,\ndla których równanie ( )\nm\nx\ng\nma dokładnie jedno rozwiązanie.\ny\nx\n0\n1\n2\n3\n4\n1\n2\n3\n4\n5\n-1\n-2\n-3\n-4\n-3\n-2\n-1\n\nPoziom rozszerzony\n5\nNr czynności\n3.1.\n3.2.\n3.3.\n3.4.\nMaks. liczba pkt\n1\n1\n1\n1\nWypełnia\negzaminator! Uzyskana liczba pkt\n\nPoziom rozszerzony\n6\nNa rysunku przedstawiony jest wykres funkcji wykładniczej f(x)=a^x dla x w R. a) Oblicz a. b) Narysuj wykres funkcji g(x)=|f(x)-2| i podaj wszystkie wartości parametru m w R dla których równanie g(x)=m ma dokładnie jedno rozwiązanie.","answer":null,"answer_text":"π\nr\n6","solution":"a) $a = \\sqrt{3}$, b) $m \\in \\{0\\} \\cup (2, +\\infty)$","image":"img/matematyka-2009-maj-matura-rozszerzona/zad-3.webp","solution_image":"img/matematyka-2009-maj-matura-rozszerzona/sol-3.svg","topics":"wykladnicza","page_from":4,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2009 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2009-maj-matura-rozszerzona/zad/4","paper_id":"matematyka-2009-maj-matura-rozszerzona","number":"4","points":5,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2009,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 4. (5 pkt)\nW skarbcu królewskim było k monet. Pierwszego dnia rano skarbnik dorzucił 25 monet,\na każdego następnego ranka dorzucał o 2 monety więcej niż dnia poprzedniego. Jednocześnie\nze skarbca król zabierał w południe każdego dnia 50 monet. Oblicz najmniejszą liczbę k, dla\nktórej w każdym dniu w skarbcu była co najmniej jedna moneta, a następnie dla tej wartości k\noblicz, w którym dniu w skarbcu była najmniejsza liczba monet.\nNr czynności\n4.1.\n4.2.\n4.3.\n4.4.\n4.5.\nMaks. liczba pkt\n1\n1\n1\n1\n1\nWypełnia\negzaminator! Uzyskana liczba pkt\n\nPoziom rozszerzony\n7\nW skarbcu królewskim było k monet. Pierwszego dnia rano skarbnik dorzucił 25 monet, a każdego następnego ranka dorzucał o 2 monety więcej niż dnia poprzedniego. Jednocześnie ze skarbca król zabierał w południe każdego dnia 50 monet. Oblicz najmniejszą liczbę k, dla której w każdym dniu w skarbcu była co najmniej jedna moneta, a następnie dla tej wartości k oblicz, w którym dniu w skarbcu była najmniejsza liczba monet.","answer":null,"answer_text":"0","solution":"$n = 13$","image":"img/matematyka-2009-maj-matura-rozszerzona/zad-4.webp","solution_image":"img/matematyka-2009-maj-matura-rozszerzona/sol-4.svg","topics":"ciagi","page_from":6,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2009 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2009-maj-matura-rozszerzona/zad/5","paper_id":"matematyka-2009-maj-matura-rozszerzona","number":"5","points":3,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2009,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 5. (3 pkt)\nWykaż, że jeżeli\n2\n2\n4\n3\nA\ni\n3\n2\n2\n3\nB\n, to\n9\nB\nA\nNr czynności\n5.1.\n5.2.\n5.3.\nMaks. liczba pkt\n1\n1\n1\nWypełnia\negzaminator! Uzyskana liczba pkt\n\nPoziom rozszerzony\n8\nWykaż, że jeżeli A = 3^{4 * pierwiastek z 2 + 2} i B = 3^{2 * pierwiastek z 2 + 3)}, to B = 9 * pierwiastek z A. Zadanie z matury rozszerzonej 2009.","answer":null,"answer_text":null,"solution":"Dowód","image":"img/matematyka-2009-maj-matura-rozszerzona/zad-5.webp","solution_image":"img/matematyka-2009-maj-matura-rozszerzona/sol-5.svg","topics":"algebra","page_from":7,"source":"zadaniazmatur","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2009 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2009-maj-matura-rozszerzona/zad/6","paper_id":"matematyka-2009-maj-matura-rozszerzona","number":"6","points":5,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2009,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 6. (5 pkt)\nWyznacz dziedzinę funkcji\n( )\n(\n)\n2\ncos\n2\n9\nlog\nx\nx\nf\nx\ni zapisz ją w postaci sumy przedziałów\nliczbowych.\nNr czynności\n6.1.\n6.2.\n6.3.\n6.4.\n6.5.\nMaks. liczba pkt\n1\n1\n1\n1\n1\nWypełnia\negzaminator! Uzyskana liczba pkt\n\nPoziom rozszerzony\n9\nZadanie z matury 2009 poziom rozszerzony. Wyznacz dziedzinę funkcji f(x)=\\log_{2cos x}(9-x^2) i zapisz ją w postaci sumy przedziałów liczbowych.","answer":null,"answer_text":"lub 2\nπ\nr\n6","solution":"$D_{f} = \\left(-\\dfrac{\\pi}{2}, -\\dfrac{\\pi}{3}\\right) \\cup \\left(-\\dfrac{\\pi}{3}, \\dfrac{\\pi}{3}\\right) \\cup \\left(\\dfrac{\\pi}{3}, \\dfrac{\\pi}{2}\\right)$","image":"img/matematyka-2009-maj-matura-rozszerzona/zad-6.webp","solution_image":"img/matematyka-2009-maj-matura-rozszerzona/sol-6.svg","topics":"trygonometria","page_from":8,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2009 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2009-maj-matura-rozszerzona/zad/7","paper_id":"matematyka-2009-maj-matura-rozszerzona","number":"7","points":6,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2009,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 7. (6 pkt)\nCiąg (\n)\n3,\n3, 6\n2,\nx\nx\nx\njest nieskończonym ciągiem geometrycznym o wyrazach\ndodatnich. Oblicz iloraz tego ciągu i uzasadnij, że\n4\n1\n20\n19 <\nS\nS\n, gdzie\nn\nS oznacza sumę\nn początkowych wyrazów tego ciągu.\nNr czynności\n7.1.\n7.2.\n7.3.\n7.4.\n7.5.\n7.6.\nMaks. liczba pkt\n1\n1\n1\n1\n1\n1\nWypełnia\negzaminator! Uzyskana liczba pkt\n\nPoziom rozszerzony\n10\nCiąg (x-3, x+3, 6x+2,...) jest nieskończonym ciągiem geometrycznym o wyrazach dodatnich. Oblicz iloraz tego ciągu i uzasadnij, że S_{19}/S_{20} < {1/4}, gdzie S_n oznacza sumę n początkowych wyrazów tego ciągu.","answer":null,"answer_text":"n\n)\n980\nalbo\nm\n15\nn\n980\nalbo 6\nm\n8\nn","solution":"Dowód","image":"img/matematyka-2009-maj-matura-rozszerzona/zad-7.webp","solution_image":"img/matematyka-2009-maj-matura-rozszerzona/sol-7.svg","topics":"ciagi","page_from":9,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2009 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2009-maj-matura-rozszerzona/zad/8","paper_id":"matematyka-2009-maj-matura-rozszerzona","number":"8","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2009,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 8. (4 pkt)\nDwa okręgi o środkach A i B są styczne zewnętrznie i każdy z nich jest jednocześnie styczny\ndo ramion tego samego kąta prostego (patrz rysunek). Udowodnij, że stosunek promienia\nwiększego z tych okręgów do promienia mniejszego jest równy\n2\n2\n3+\nA\nB\n\nPoziom rozszerzony\n11\nNr czynności\n8.1.\n8.2.\n8.3.\n8.4.\nMaks. liczba pkt\n1\n1\n1\n1\nWypełnia\negzaminator! Uzyskana liczba pkt\n\nPoziom rozszerzony\n12\nDwa okręgi o środkach A i B są styczne zewnętrznie i każdy z nich jest jednocześnie styczny do ramion tego samego kąta prostego (patrz rysunek). Udowodnij, że stosunek promienia większego z tych okręgów do promienia mniejszego jest równy 3+2pierwiatek2. Zadanie z matury maj 2009 (poziom rozszerzony).","answer":null,"answer_text":"4\nx\n14\n)\n5","solution":"$\\dfrac{R}{r} = 3 + 2\\sqrt{2}$","image":"img/matematyka-2009-maj-matura-rozszerzona/zad-8.webp","solution_image":"img/matematyka-2009-maj-matura-rozszerzona/sol-8.svg","topics":"dowody_geometryczne","page_from":10,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2009 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2009-maj-matura-rozszerzona/zad/9","paper_id":"matematyka-2009-maj-matura-rozszerzona","number":"9","points":5,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2009,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 9. (5 pkt)\nW układzie współrzędnych narysuj okrąg o równaniu (\n)\n(\n)\n4\n3\n2\n2\n2\ny\nx\noraz zaznacz\npunkt\n(\n)1\n,0 -\nA\n. Prosta o równaniu\n0\nx\njest jedną ze stycznych do tego okręgu\nprzechodzących przez punkt A. Wyznacz równanie drugiej stycznej do tego okręgu,\nprzechodzącej przez punkt A.\nNr czynności\n9.1.\n9.2.\n9.3.\n9.4.\n9.5.\nMaks. liczba pkt\n1\n1\n1\n1\n1\nWypełnia\negzaminator! Uzyskana liczba pkt\n\nPoziom rozszerzony\n13\nW układzie współrzędnych narysuj okrąg o równaniu (x+2)^2+(y-3)^2=4 oraz zaznacz punkt A=(0,-1). Prosta o równaniu x=0 jest jedną ze stycznych do tego okręgu przechodzących przez punkt A. Wyznacz równanie drugiej stycznej do tego okręgu, przechodzącej przez punkt A. Zadanie z matury rozszerzonej maj 2009.","answer":null,"answer_text":"3\n2\n⋅\n(\n3\n4\n2\n2\n)\n2\n3\n, o ile dowód równości jest prowadzony od jej prawej strony","solution":"$y = -\\dfrac{3}{4}x - 1$","image":"img/matematyka-2009-maj-matura-rozszerzona/zad-9.webp","solution_image":"img/matematyka-2009-maj-matura-rozszerzona/sol-9.svg","topics":"analityczna","page_from":12,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2009 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2009-maj-matura-rozszerzona/zad/10","paper_id":"matematyka-2009-maj-matura-rozszerzona","number":"10","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2009,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 10. (4 pkt)\nW urnie znajdują się jedynie kule białe i czarne. Kul białych jest trzy razy więcej\nniż czarnych. Oblicz, ile jest kul w urnie, jeśli przy jednoczesnym losowaniu dwóch kul\nprawdopodobieństwo otrzymania kul o różnych kolorach jest większe od 22\n9 .\nNr czynności\n10.1.\n10.2.\n10.3.\n10.4.\nMaks. liczba pkt\n1\n1\n1\n1\nWypełnia\negzaminator! Uzyskana liczba pkt\n\nPoziom rozszerzony\n14\nW urnie znajdują się jedynie kule białe i czarne. Kul białych jest trzy razy więcej niż czarnych. Oblicz, ile jest kul w urnie, jeśli przy jednoczesnym losowaniu dwóch kul prawdopodobieństwo otrzymania kul o różnych kolorach jest większe od 9/22. Zadanie z matury rozszerzonej maj 2009.","answer":null,"answer_text":null,"solution":"W urnie są 4 kule albo jest 8 kul.","image":"img/matematyka-2009-maj-matura-rozszerzona/zad-10.webp","solution_image":"img/matematyka-2009-maj-matura-rozszerzona/sol-10.svg","topics":"prawdopodobienstwo","page_from":13,"source":"zadaniazmatur","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2009 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2009-maj-matura-rozszerzona/zad/11","paper_id":"matematyka-2009-maj-matura-rozszerzona","number":"11","points":6,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2009,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 11. (6 pkt)\nDany jest ostrosłup prawidłowy trójkątny, w którym krawędź podstawy ma długość a\ni krawędź boczna jest od niej dwa razy dłuższa. Oblicz cosinus kąta między krawędzią boczną\ni krawędzią podstawy ostrosłupa. Narysuj przekrój ostrosłupa płaszczyzną przechodzącą\nprzez krawędź podstawy i środek przeciwległej krawędzi bocznej i oblicz pole tego przekroju.\n\nPoziom rozszerzony\n15\nNr czynności\n11.1.\n11.2.\n11.3.\n11.4.\n11.5.\n11.6.\nMaks. liczba pkt\n1\n1\n1\n1\n1\n1\nWypełnia\negzaminator! Uzyskana liczba pkt\n\nPoziom rozszerzony\n16\nBRUDNOPIS\nDany jest ostrosłup prawidłowy trójkątny, w którym krawędź podstawy ma długość a i krawędź boczna jest od niej dwa razy dłuższa. Oblicz cosinus kąta między krawędzią boczną i krawędzią podstawy ostrosłupa. Narysuj przekrój ostrosłupa płaszczyzną przechodzącą przez krawędź podstawy i środek przeciwległej krawędzi bocznej i oblicz pole tego przekroju. Zadanie z matury rozszerzonej maj 2009.","answer":null,"answer_text":null,"solution":"$P_{p} = \\dfrac{a^{2}\\sqrt{5}}{4}$","image":"img/matematyka-2009-maj-matura-rozszerzona/zad-11.webp","solution_image":"img/matematyka-2009-maj-matura-rozszerzona/sol-11.svg","topics":"stereometria","page_from":14,"source":"zadaniazmatur","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2009 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"}]}