{"paper":{"id":"matematyka-2009-styczen-probna-podstawowa","subject":"matematyka","category":"probna","year":2009,"month":"styczen","level":"podstawowa","variant":null,"exam_pdf":"matematyka-2009-styczen-probna-podstawowa/matematyka-2009-styczen-probna-podstawowa.pdf","key_pdf":"matematyka-2009-styczen-probna-podstawowa-odpowiedzi/matematyka-2009-styczen-probna-podstawowa-odpowiedzi.pdf","question_count":12,"source_label":"Matematyka · Matura próbna · styczeń 2009 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},"questions":[{"id":"matematyka-2009-styczen-probna-podstawowa/zad/1","paper_id":"matematyka-2009-styczen-probna-podstawowa","number":"1","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2009,"month":"styczen","level":"podstawowa","text":"Zadanie 1. (4 pkt)\nFunkcja f jest określona wzorem\n( )\n4\ndla\n7\n3\n1\ndla\n3\n0\n4\n1 dla\n0\n2\nx\nx\nf x\nx\nx\nx\n≤\n< -\n⎧\n⎪\n≤\n<\n⎨\n⎪\n≤\n≤\n⎩\na) Podaj dziedzinę funkcji f.\nb) Podaj jej miejsca zerowe.\nc) Naszkicuj wykres tej funkcji.\nd) Podaj zbiór wartości funkcji f.\n\nPróbny egzamin maturalny z matematyki\nPoziom podstawowy\n3","answer":null,"answer_text":"1.1\nZapisanie dziedziny funkcji f:\n7,2\n1\nKońce przedziału muszą być\npoprawnie ustalone.\nAkceptujemy zapisy typu:\n2\n,7\n∈\nx\n,\n2\n7\n≤\n≤\nx\n1.2\nPodanie miejsc zerowych funkcji:\n4\n1\n,4\nx\nx\n1\nMiejsca zerowe mogą być odczytane\nz wykresu, nie wymagamy zapisu\nstosownych obliczeń.\n1.3\nNaszkicowanie wykresu funkcji\n-8\n-7\n-6\n-5\n-4\n-3\n-2\n-1\n1\n2\n3\n4\n5\n-3\n-2\n-1\n1\n2\n3\n4\n5\n6\n7\n8\nx\ny\n1\nJeśli dziedzina została poprawnie\nwyznaczona, to akceptujemy wykres\nnawet bez wyraźnie oznaczonych\nkońców łamanej.\n1\n1.4\nZapisanie zbioru wartości funkcji:\n1,7\n1\nKońce przedziału muszą być\npoprawnie ustalone.\nAkceptujemy zapisy typu:\n7\n,1\n∈\ny\n,\n7\n1\n≤\n≤\ny\nPróbny egzamin maturalny z matematyki\nOdpowiedzi i schemat punktowania - poziom podstawowy\n2","solution":null,"image":"img/matematyka-2009-styczen-probna-podstawowa/zad-1.webp","solution_image":null,"topics":"funkcje","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · styczeń 2009 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2009-styczen-probna-podstawowa/zad/2","paper_id":"matematyka-2009-styczen-probna-podstawowa","number":"2","points":3,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2009,"month":"styczen","level":"podstawowa","text":"Zadanie 2. (3 pkt)\nSpośród cyfr 1, 2, 3, 4, 5, 6 losujemy kolejno dwa razy po jednej cyfrze ze zwracaniem.\nTworzymy liczbę dwucyfrową w ten sposób, że pierwsza z wylosowanych cyfr jest cyfrą\ndziesiątek, a druga cyfrą jedności tej liczby. Oblicz prawdopodobieństwo utworzenia liczby\nwiększej od 52.\n\nPróbny egzamin maturalny z matematyki\nPoziom podstawowy\n4","answer":null,"answer_text":"2.1\nObliczenie:","solution":"$P(A) = \\dfrac{5}{18}$","image":"img/matematyka-2009-styczen-probna-podstawowa/zad-2.webp","solution_image":null,"topics":"prawdopodobienstwo","page_from":3,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · styczeń 2009 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2009-styczen-probna-podstawowa/zad/3","paper_id":"matematyka-2009-styczen-probna-podstawowa","number":"3","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2009,"month":"styczen","level":"podstawowa","text":"Zadanie 3. (4 pkt)\nUzasadnij, że dla każdego\n(\n)\n0 ,90\nα ∈\n°\n° prawdą jest, że (\n)\nα\nα\nα\nα\ncos\ntg\ncos\n1\nsin\n1\n⎟\n⎠\n⎞\n⎜\n⎝\n⎛\n⋅\n\nPróbny egzamin maturalny z matematyki\nPoziom podstawowy\n5","answer":null,"answer_text":"3.1\nWykorzystanie związku\nα\nα\nα\ncos\nsin\ntg\nw przekształcaniu tożsamości.\n1\n3.2\nPrzekształcenie lewej strony tożsamości do postaci:\nα\nα\ncos\nsin\n1\n2\n1\nPunkt przyznajemy za poprawne\nwymnożenie nawiasów na dowolnym\netapie rozwiązania tego zadania.\n3.3\nWykorzystanie związku\n1\ncos\nsin\n2\n2\nα\nα\nw przekształcaniu\ntożsamości.\n1\n3\n3.4\nSformułowanie wniosku: „Podana równość jest tożsamością” lub\nsformułowanie równoważne.\n1\nWniosek musi być konsekwencją\nwykonanych przekształceń.\n4.1\nObliczenie sumy 7 początkowych wyrazów ciągu geometrycznego:\n(\n)\n4\n129\n2\n1\n4\n1\n7\n7\nS\n1\nWystarczy zapis\n(\n)\n7\n7\n3 1\n2\n4\n3\nS\n(nie\nmusi być to oddzielny zapis, może\nwystępować, np. jako jedna ze stron\nrównania w czynności 4.3).\nZdający nie musi obliczyć wartości\nsumy\n7\nS .\n4.2\nZapisanie sumy 7 początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego\nw zależności od r:\n7\n3\n2\n6\n4\n7\n2\nr\nS\n⋅\n⋅\n1\nNie musi to być oddzielny zapis, może\nwystępować, np. jako jedna ze stron\nrównania w czynności 4.3.\n4.3\nUłożenie równania z niewiadomą r:\n(\n)\n7\n3\n2\n6\n1\n4\n7\n1\n2\n2\n4\nr\n⋅\n⋅\n1\nMoże też być:\n3\n2\n6\n129\n4\n7\n2\n4\nr\n⋅\n⋅\n4\n4.4\nRozwiązanie równania:\n7\n9\nr\n1\nPróbny egzamin maturalny z matematyki\nOdpowiedzi i schemat punktowania - poziom podstawowy\n4","solution":null,"image":"img/matematyka-2009-styczen-probna-podstawowa/zad-3.webp","solution_image":null,"topics":"trygonometria","page_from":4,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · styczeń 2009 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2009-styczen-probna-podstawowa/zad/4","paper_id":"matematyka-2009-styczen-probna-podstawowa","number":"4","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2009,"month":"styczen","level":"podstawowa","text":"Zadanie 4. (4 pkt)\nLiczba 3\n4 jest pierwszym wyrazem ciągu geometrycznego (\n)\nnb\n, którego iloraz jest równy (\n)\n2\nPierwszy wyraz ciągu arytmetycznego (\n)\nna\njest taki sam jak pierwszy wyraz ciągu (\n)\nnb\nSuma siedmiu początkowych wyrazów ciągu (\n)\nna\njest równa sumie siedmiu początkowych\nwyrazów ciągu (\n)\nnb\n. Oblicz różnicę ciągu arytmetycznego (\n)\nna\n\nPróbny egzamin maturalny z matematyki\nPoziom podstawowy\n6","answer":null,"answer_text":"4 <\nx\nx\n1\nPrzyznajemy 1pkt za przedstawienie\nmetody rozwiązania nierówności\nkwadratowej: np. zapisania podanej\nnierówności w postaci:\n2\n2 <\nx\nlub\nnarysowanie wykresu funkcji\n(\n)\n4\n2\n2 -\n= x\ny\n, itp.\n5.2\nRozwiązanie nierówności:\n(\n)\n4\n,0\n∈\nx\n1\nDopuszczamy przedstawienie zbioru\nrozwiązań na osi liczbowej, o ile\nzdający wyraźnie zaznaczy przedział\notwarty.\n5.3\nPrzedstawienie równania w postaci, np.\n(\n)\n(\n)\n2\n6\n4\n6\n0\nx\nx\nx\n1\nLewa strona równania musi mieć\npostać sumy iloczynów, w których\nwystępuje ten sam czynnik.\n5.4\nPrzedstawienie równania w postaci iloczynu czynników liniowych,\nnp. (\n)(\n)(\n)\n6\n2\n2\n0\nx\nx\nx\n1\n5.5\nWyznaczenie wszystkich rozwiązań równania:\n6,\n2,\n2\nx\nx\nx\n1\nPrzyznajemy punkty w czynności 5.3,\n5.4 i 5.5, gdy zdający podaje\nwszystkie pierwiastki wielomianu\n( )\n3\n2\n6\n4\n24\nW x\nx\nx\nx\nbez\njakichkolwiek obliczeń (np. przez\nzastosowanie tw. o pierwiastkach\nwymiernych wielomianu).\n5\n5.6\nPodanie odpowiedzi:\n2\nx =\n1\nPróbny egzamin maturalny z matematyki\nOdpowiedzi i schemat punktowania - poziom podstawowy\n5\n6.1\nZapisanie, które boki trójkąta są równej długości:\nBC\nAC =\n1\nPrzyznajemy punkt, gdy z dalszego\ntoku rozumowania wynika, że zdający\npoprawnie wybrał równe boki trójkąta.\n6.2\nWyznaczenie równania prostej AB:\n5\nx\ny\n1\nWystarczy, że zdający poda\nwspółczynnik kierunkowy prostej AB.\n6.3\nZapisanie równania rodziny prostych prostopadłych do prostej AB:\nb\nx\ny\n1\nWystarczy, że zdający poda\nwspółczynnik kierunkowy prostej\nprostopadłej do prostej AB.\n6.4\nWyznaczenie równania osi symetrii trójkąta:\n1\n= x\ny\n1\n6.1\nII sposób rozwiązania: (z własności symetralnej)\nOznaczenie dowolnego punktu leżącego na poszukiwanej symetralnej,\nnp.\n(\n)\n,\nP\nx y\ni zapisanie własności AP\nBP\n1\n6.2\nWyznaczenie długości odcinków AP i BP i zapisanie równania:\n(\n)\n(\n)\n(\n)\n2\n2\n2\n2\n4\n1\n5\nx\ny\nx\ny\n1\n6.3\nDoprowadzenie równania do postaci równania pierwszego stopnia z\ndwiema niewiadomymi, np. 8\n2\n17\n10\n25\nx\ny\ny\n1\n6.4\nZapisanie odpowiedzi:\n1\ny\nx\n1\n6.1\nIII sposób rozwiązania:\nZapisanie, które boki trójkąta są równej długości:\nBC\nAC =\n1\n6.2\nWyznaczenie współrzędnych środka odcinka AB:\n(\n)\n2, 3\nD = -\n1\n6.3\nZauważenie, że prosta przechodząca przez punkty C i D jest osią\nsymetrii trójkąta ABC.\n1\nPrzyznajemy punkt, gdy z toku\nrozumowania wynika, że zdający\nstosując tę metodę poprawnie wybrał\nrówne boki trójkąta.\n6\n6.4\nWyznaczenie równania osi symetrii trójkąta:\n1\ny\nx\n1\nPróbny egzamin maturalny z matematyki\nOdpowiedzi i schemat punktowania - poziom podstawowy\n6\n7.1\nObliczenie wysokości ostrosłupa:\n2\nH\n1\nJeśli zdający rozpatruje ostrosłup\nprawidłowy inny niż czworokątny, to\noceniamy czynność 7.1, za czynności","solution":"$r = \\dfrac{9}{7}$","image":"img/matematyka-2009-styczen-probna-podstawowa/zad-4.webp","solution_image":null,"topics":"ciagi","page_from":5,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · styczeń 2009 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2009-styczen-probna-podstawowa/zad/5","paper_id":"matematyka-2009-styczen-probna-podstawowa","number":"5","points":6,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2009,"month":"styczen","level":"podstawowa","text":"Zadanie 5. (6 pkt)\nRozwiąż\nnierówność\n(\n)\n0\n4\n2\n2\n<\nx\nPodaj\nwszystkie\nrozwiązania\nrównania\n3\n2\n6\n4\n24\n0\nx\nx\nx\n, które należą do zbioru rozwiązań tej nierówności.\n\nPróbny egzamin maturalny z matematyki\nPoziom podstawowy\n7","answer":null,"answer_text":"5.1\nPrzekształcenie nierówności do postaci: (\n)\n0","solution":"$x = 2$","image":"img/matematyka-2009-styczen-probna-podstawowa/zad-5.webp","solution_image":null,"topics":"wielomiany","page_from":6,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · styczeń 2009 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2009-styczen-probna-podstawowa/zad/6","paper_id":"matematyka-2009-styczen-probna-podstawowa","number":"6","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2009,"month":"styczen","level":"podstawowa","text":"Zadanie 6. (4 pkt)\nPunkty\n(\n)1\n,4 -\nA\n,\n(\n)\n5\n,0 -\nB\n,\n(\n)\n2, 1\nC =\nsą wierzchołkami trójkąta równoramiennego.\nWyznacz równanie osi symetrii tego trójkąta.\n\nPróbny egzamin maturalny z matematyki\nPoziom podstawowy\n8","answer":null,"answer_text":"6 6\n36\nΩ =\n⋅\n1\n2.2\nObliczenie A , gdzie A jest zdarzeniem, że utworzona liczba jest\nwiększa od 52:\n1 4 1 6\n10\nA = ⋅+ ⋅\n1\n2.3\nObliczenie prawdopodobieństwa zdarzenia A:\n10\n5\n( )\n36\n18\nP A =\n1\nZdający może narysować tabelę\no wymiarach 6 na 6 i odczytać\nrozwiązanie. Za prawidłową\nodpowiedź przyznajemy komplet\npunktów.\n2.1\nII sposób rozwiązania (metoda drzewa):\nNarysowanie drzewa z zaznaczeniem istotnych gałęzi.\n1\n2.2\nZapisanie prawdopodobieństw na istotnych gałęziach drzewa.\n1\n2\n2.3\nObliczenie prawdopodobieństwa zdarzenia A:\n1 1\n1\n5\n( )\n4\n6 6\n6\n18\nP A =\n⋅\n⋅+\n1\n5\n6\n3\n4\n5\n6\n1\n6\n2\n3\n4\n5\nPróbny egzamin maturalny z matematyki\nOdpowiedzi i schemat punktowania - poziom podstawowy\n3","solution":"$y = x - 1$","image":"img/matematyka-2009-styczen-probna-podstawowa/zad-6.webp","solution_image":null,"topics":"analityczna","page_from":7,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · styczeń 2009 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2009-styczen-probna-podstawowa/zad/7","paper_id":"matematyka-2009-styczen-probna-podstawowa","number":"7","points":5,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2009,"month":"styczen","level":"podstawowa","text":"Zadanie 7. (5 pkt)\nKrawędź boczna ostrosłupa prawidłowego czworokątnego ma długość 4 cm i jest nachylona\ndo płaszczyzny podstawy pod kątem 30°. Oblicz długość krawędzi sześcianu, którego\nobjętość jest równa objętości tego ostrosłupa.\n\nPróbny egzamin maturalny z matematyki\nPoziom podstawowy\n9","answer":null,"answer_text":null,"solution":"$b = 2\\sqrt[3]{2}$","image":"img/matematyka-2009-styczen-probna-podstawowa/zad-7.webp","solution_image":null,"topics":"stereometria","page_from":8,"source":"zadaniazmatur","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · styczeń 2009 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2009-styczen-probna-podstawowa/zad/8","paper_id":"matematyka-2009-styczen-probna-podstawowa","number":"8","points":3,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2009,"month":"styczen","level":"podstawowa","text":"Zadanie 8. (3 pkt)\nDziadek założył w banku trzyletnią lokatę pieniężną o stałej rocznej stopie procentowej\nrównej 5% (już po uwzględnieniu podatków i prowizji). Odsetki są kapitalizowane\npo każdym roku trwania lokaty. Całość środków, otrzymanych z banku po zlikwidowaniu\nlokaty, dziadek podzielił równo pomiędzy dziewięcioro wnucząt tak, że każde z dzieci\notrzymało 1029 zł. Oblicz początkową kwotę lokaty.\n\nPróbny egzamin maturalny z matematyki\nPoziom podstawowy\n10","answer":null,"answer_text":null,"solution":"$8000$ zł","image":"img/matematyka-2009-styczen-probna-podstawowa/zad-8.webp","solution_image":null,"topics":"ciagi","page_from":9,"source":"zadaniazmatur","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · styczeń 2009 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2009-styczen-probna-podstawowa/zad/9","paper_id":"matematyka-2009-styczen-probna-podstawowa","number":"9","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2009,"month":"styczen","level":"podstawowa","text":"Zadanie 9. (4 pkt)\nW trójkącie ostrokątnym ABC bok AB ma długość 18 cm, a wysokość CD jest równa 15 cm.\nPunkt D dzieli bok AB tak, że\n2\n:\n1\n:\nDB\nAD\n. Przez punkt P leżący na odcinku DB\npoprowadzono prostą równoległą do prostej CD, odcinając od trójkąta ABC trójkąt, którego\npole jest cztery razy mniejsze niż pole trójkąta ABC. Oblicz długość odcinka PB.\n\nPróbny egzamin maturalny z matematyki\nPoziom podstawowy\n11","answer":null,"answer_text":"9.1\nWprowadzenie oznaczeń, np. takich jak na poniższym rysunku:\nPB\nx =\n, h -wysokość odciętego trójkąta.\nWykorzystanie podanej proporcji do wyznaczenia długości odcinków:\n6\nAD =\n,\n12\nDB =\n1\n9.2\nZapisanie równania: 1\n1 1 18 15\n2\n4 2\nx h\n⋅\n⋅\n⋅\n⋅\n1\n9.3\nZapisanie zależności między x i h z wykorzystaniem podobieństwa\ntrójkątów CDB i FPB:\n15\n5\n12\n4\nh\nx =\n1\n9\n9.4\nObliczenie długości odcinka PB:\n6\n3\nPB\ncm.\n1\nA\nB\nC\nD\nP\nx\nh\nF\nPróbny egzamin maturalny z matematyki\nOdpowiedzi i schemat punktowania - poziom podstawowy\n8\n9.1\nII sposób rozwiązania:\nWprowadzenie oznaczeń, np. takich jak na poniższym rysunku:\nPB\nx =\n, h -wysokość odciętego trójkąta.\nWykorzystanie podanej proporcji do wyznaczenia długości odcinków:\n6\nAD =\n,\n12\nDB =\n1\n9.2\nObliczenie proporcji:\n2\n3\nDBC\nABC\nP\nP\nΔ\nΔ\nstąd\n2\n3\nDBC\nABC\nP\nP\nΔ\nΔ\n1\n9.3\nStwierdzenie, że DBC\nPBF\nΔ\nΔ\n∼\ni wykorzystanie twierdzenia o\nstosunku pól figur podobnych do zapisania proporcji:\n2\n12\nDBC\nPBF\nP\nP\nPB\nΔ\nΔ\n⎛\n⎞\n= ⎜\n⎟\n⎜\n⎟\n⎝\n⎠\nstąd\n2\n2\n12\n3\n1\n4\nABC\nABC\nP\nPB\nP\nΔ\nΔ\n⎛\n⎞\n= ⎜\n⎟\n⎜\n⎟\n⎝\n⎠\n1\n9.4\nObliczenie długości odcinka PB :\n2\n2\n144\n3\n1\n4\nPB\n,\n3 6\nPB =\n1\nA\nB\nC\nD\nP\nx\nh\nF\nPróbny egzamin maturalny z matematyki\nOdpowiedzi i schemat punktowania - poziom podstawowy\n9\n9.3\nIII sposób rozwiązania: (czynności 9.3 oraz 9.4)\nStwierdzenie, że DBC\nPBF\nΔ\nΔ\n∼\ni wykorzystanie twierdzenia\no stosunku pól figur podobnych do zapisania proporcji:\n2\n2\n8\n3\n1\n3\n4\nABC\nDBC\nPBF\nABC\nP\nP\nk\nP\nP\nΔ\nΔ\nΔ\nΔ\nstąd\n2 6\n3\nk =\n1\n9.4\nObliczenie długości odcinka PB:\nDB\nk\nPB =\nstąd\n3\n12\n3 6\n2 6\nPB =\n⋅\n1\n10.1\nZapisanie układu:\n⎩\n⎨\n⎧\n90\n30\n900\n20\n10\n100\nb\na\nb\na\n1\nWystarczy zapis\n(\n)\n(\n)\n10\n20\n30\n90\nT\nT\n⎧⎪⎨\n⎪⎩\n10.2\nRozwiązanie układu:\n⎪⎪\n⎩\n⎪⎪\n⎨\n⎧\n2\n3\n20\n1\nb\na\n1\n10.3\nZapisanie wzoru funkcji: ( )\nN\nn\nn\nn\nn\nT\n∈\n,\n2\n3\n20\n1\n2\n1\nAkceptujemy sam wzór bez podania\nzałożenia\nN\nn∈\n10.4\nZapisanie równania:\n50\n2\n3\n20\n1\n2\nn\nn\n1\n10\n10.5\nRozwiązanie równania i wyznaczenie liczby kartek : 20.\n1\nZdający nie musi wyznaczyć\nujemnego rozwiązania równania.\nPróbny egzamin maturalny z matematyki\nOdpowiedzi i schemat punktowania - poziom podstawowy\n10","solution":"$|PB| = 3\\sqrt{6}$ cm","image":"img/matematyka-2009-styczen-probna-podstawowa/zad-9.webp","solution_image":null,"topics":"planimetria","page_from":10,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · styczeń 2009 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2009-styczen-probna-podstawowa/zad/10","paper_id":"matematyka-2009-styczen-probna-podstawowa","number":"10","points":5,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2009,"month":"styczen","level":"podstawowa","text":"Zadanie 10. (5 pkt)\nDoświadczalnie ustalono, że czas\n)\n(n\nT\n, liczony w sekundach, potrzebny na alfabetyczne\nułożenie n kartek z nazwiskami wyraża się, z dobrym przybliżeniem, wzorem\nn\nb\nn\na\nn\nT\n⋅\n⋅\n2\n)\n(\n. Ułożenie 10 kartek trwa średnio 20 sekund, a 30 kartek średnio\n90 sekund. Wyznacz wzór funkcji ( )\nn\nT\ni oblicz, ile kartek można ułożyć średnio w ciągu\n50 sekund.\n\nPróbny egzamin maturalny z matematyki\nPoziom podstawowy\n12","answer":null,"answer_text":null,"solution":"$20$","image":"img/matematyka-2009-styczen-probna-podstawowa/zad-10.webp","solution_image":null,"topics":"uklady_rownan","page_from":11,"source":"zadaniazmatur","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · styczeń 2009 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2009-styczen-probna-podstawowa/zad/11","paper_id":"matematyka-2009-styczen-probna-podstawowa","number":"11","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2009,"month":"styczen","level":"podstawowa","text":"Zadanie 11. (4 pkt)\nNa zewnątrz kwadratu ABCD na bokach AB i BC zbudowano trójkąty równoboczne AEB\ni BFC. Uzasadnij, że trójkąt DEF jest równoboczny.\nA\nB\nC\nD\nE\nF\n\nPróbny egzamin maturalny z matematyki\nPoziom podstawowy\n13\n\nPróbny egzamin maturalny z matematyki\nPoziom podstawowy\n14","answer":null,"answer_text":"11.1\nUzasadnienie, że trójkąty DCF, DAE i EBF są równoramienne\n(wykorzystanie założenia, że\nDA\nCD\nBC\nAB\ni trójkąty AEB oraz BFC są równoboczne).\n1\n11.2\nObliczenie miary kąta DAE lub FCD:\n90\n60\n150\nDAE\nFCD\n° +\n° =\n°\n)\n)\n1\n11.3\nObliczenie miary kąta EBF :\n360\n2 60\n90\n150\nEBF =\n°-⋅\n°-\n° =\n°\n)\n1\n11\n11.4\nZapisanie, że trójkąty DCF, DAE i EBF są przystające (z cechy\nprzystawania bkb) i wyciągnięcie wniosku o równości boków trójkąta\nDEF.\n1\nC\nD\nA\nB\nE\nF\nPróbny egzamin maturalny z matematyki\nOdpowiedzi i schemat punktowania - poziom podstawowy\n11","solution":null,"image":"img/matematyka-2009-styczen-probna-podstawowa/zad-11.webp","solution_image":null,"topics":"dowody_geometryczne","page_from":12,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · styczeń 2009 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2009-styczen-probna-podstawowa/zad/12","paper_id":"matematyka-2009-styczen-probna-podstawowa","number":"12","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2009,"month":"styczen","level":"podstawowa","text":"Zadanie 12. (4 pkt)\nW pewnej klasie liczba dziewcząt stanowi\n%\n60\nliczby osób w tej klasie. Gdy 6 dziewcząt\nwyjechało na mecz siatkówki, w klasie pozostało tyle samo chłopców, ile dziewcząt. Oblicz,\nile osób liczy ta klasa oraz ilu jest w niej chłopców.\n\nPróbny egzamin maturalny z matematyki\nPoziom podstawowy\n15\nBRUDNOPIS","answer":null,"answer_text":"12.1\nWprowadzenie oznaczeń i zapisanie zależności między liczbą\ndziewcząt i liczbą chłopców: np.\nx - liczba dziewcząt,\ny - liczba chłopców,\ny\nx\n-6\n1\n12.2\nZapisanie równania:\n(\n)\ny\nx\nx\n%\n60\n1\n12.3\nZapisanie układu równań:\n(\n)\n0,6\n6\nx\nx\ny\nx\ny\n⎧=\n⎨\n⎩\n1\n12.4\nRozwiązanie układu i sformułowanie odpowiedzi:\n18\nx\n,\n12\ny\n. W klasie jest 30 osób w tym 12 chłopców.\n1\nWystarczy, że zdający poda liczby\ndziewcząt i chłopców.\n12.1\nII sposób rozwiązania:\nWprowadzenie oznaczeń : x - liczba osób w klasie,\n0,6x - liczba dziewcząt, 0,4x - liczba chłopców.\n1\n12.2\nZapisanie równania: 0,6\n6\n0,4\nx\nx\n1\n12.3\nRozwiązanie równania:\n30\nx =\n1\n12.\n12.4\nPodanie odpowiedzi: W klasie jest 30 osób w tym 12 chłopców.\n1\nZa prawidłowe rozwiązanie każdego z zadań inną metodą niż przedstawiona w schemacie przyznajemy maksymalną liczbę punktów.","solution":"W klasie jest $30$ osób w tym $12$ chłopców.","image":"img/matematyka-2009-styczen-probna-podstawowa/zad-12.webp","solution_image":null,"topics":"algebra","page_from":14,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · styczeń 2009 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"}]}