{"paper":{"id":"matematyka-2009-styczen-probna-rozszerzona","subject":"matematyka","category":"probna","year":2009,"month":"styczen","level":"rozszerzona","variant":null,"exam_pdf":"matematyka-2009-styczen-probna-rozszerzona/matematyka-2009-styczen-probna-rozszerzona.pdf","key_pdf":"matematyka-2009-styczen-probna-rozszerzona-odpowiedzi/matematyka-2009-styczen-probna-rozszerzona-odpowiedzi.pdf","question_count":11,"source_label":"Matematyka · Matura próbna · styczeń 2009 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},"questions":[{"id":"matematyka-2009-styczen-probna-rozszerzona/zad/1","paper_id":"matematyka-2009-styczen-probna-rozszerzona","number":"1","points":3,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2009,"month":"styczen","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 1. (3 pkt)\nNa rysunku narysowano fragment wykresu funkcji\n( )\n3\n2x\nf x\nb\nokreślonej dla x\nR\n∈\na) Podaj wartość b.\nb) Naszkicuj wykres funkcji ( )\n( )\ng x\nf x\nc) Podaj wszystkie wartości parametru p, dla których równanie\n( )\ng x\np\nma dokładnie\njedno rozwiązanie.\nx\ny\n-1\n1\n2\n2\n1\n3\n3\n4\n4\n5\n6\n-2\n-3\n-4\n0\n-1\n-2\n-3\n\nPróbny egzamin maturalny z matematyki\nPoziom rozszerzony\n3\n\nPróbny egzamin maturalny z matematyki\nPoziom rozszerzony\n4","answer":null,"answer_text":"1.1\nPodanie wartości b:\n2\nb =\n1\n1.2\nSporządzenie wykresu funkcji g.\n-3\n-2\n-1\n1\n2\n3\n4\n5\n6\n-3\n-2\n-1\n1\n2\n3\n4\n5\nx\ny\n0\n1\nKrzywa będąca wykresem funkcji g dla\n4\nx <\nnie może przecinać prostej\no równaniu\n2\ny =\n1\n1.3\nZapisanie szukanych wartości parametru p:\n0\np =\nlub\n2\np ≥\n1\n2.1\nZastosowanie definicji wartości bezwzględnej i zapisanie:\n4\n12\n5\nx\nx\n< --\ndla\n(\n)\n,\n5\nx∈-∞-\n,\n4\n12\n5\nx\nx\n<\ndla\n)\n5, 3\nx∈-\n,\n4\n12\n5\nx\nx\n<\ndla\n)\n3,\nx∈-\n∞.\n1\n2.2\nRozwiązanie nierówności liniowych bez uwzględniania ograniczeń:\n7\n3\nx > -\n,\n17\n5\nx > -\n,\n7\n3\nx < -\n1\n2.3\nUwzględnienie ograniczeń, tzn. zapisanie zbiorów rozwiązań\nposzczególnych nierówności: zbiór pusty,\n17 ,\n3\n5\n⎛\n⎞\n⎜\n⎟\n⎝\n⎠\n,\n7\n3,\n3\n⎞\n⎟⎠\n1\n2.4\nWyznaczenie zbioru rozwiązań nierówności z wartością bezwzględną:\n17\n7\n,\n5\n3\n⎛\n⎞\n⎜\n⎟\n⎝\n⎠\n1\n2\n2.1\nII sposób rozwiązania:\nZapisanie danej nierówności w postaci : 4\n3\n5\n<\nx\nx\n1\nPróbny egzamin maturalny z matematyki\nOdpowiedzi i schemat punktowania - poziom rozszerzony\n2","solution":"$b = 2$, $p = 0$ lub $p \\ge 2$","image":"img/matematyka-2009-styczen-probna-rozszerzona/zad-1.webp","solution_image":null,"topics":"wykladnicza","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · styczeń 2009 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2009-styczen-probna-rozszerzona/zad/2","paper_id":"matematyka-2009-styczen-probna-rozszerzona","number":"2","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2009,"month":"styczen","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 2. (4 pkt)\nRozwiąż nierówność\n5\n9\n3\n3\n<\nx\nx\nx\n\nPróbny egzamin maturalny z matematyki\nPoziom rozszerzony\n5","answer":null,"answer_text":"2.2\nPodniesienie obu stron nierówności do drugiej potęgi:\n(\n)\n(\n)\n2\n2\n2\n4\n3\n5\n⋅\n<\nx\nx\n1\n2.3\nDoprowadzenie nierówności do postaci iloczynowej: (\n) (\n)\n3\n7\n5\n17\n0\n⋅\n<\nx\nx\nlub\n17\n7\n15\n0\n5\n3\nx\nx\n⎛\n⎞⎛\n⎞\n<\n⎜\n⎟⎜\n⎟\n⎝\n⎠⎝\n⎠\n1\nPunkt przyznajemy, gdy zdający zapisze\nnierówność w postaci ogólnej i obliczy\npierwiastki trójmianu kwadratowego.\n2.4\nZapisanie zbioru rozwiązań nierówności:\n17\n7\n,\n5\n3\nx\n⎛\n⎞\n∈-\n⎜\n⎟\n⎝\n⎠\n1\n2.1\nMetoda graficzna.\nZapisanie danej nierówności w postaci : 4\n3\n5\n<\nx\nx\n1\n2.2\nSporządzenie wykresów funkcji\n( )\n4\n3\nf x\nx\ni ( )\n5\ng x\nx\n1\n2.3\nWyznaczenie odciętych punktów wspólnych wykresów funkcji f i g.\n1\n2.4\nZapisanie zbioru rozwiązań nierówności: (\n)\n17\n7\n5\n3\n,\n1\n3.1\nSporządzenie rysunku.\n-9\n-8\n-7\n-6\n-5\n-4\n-3\n-2\n-1\n1\n2\n3\n4\n5\n6\n7\n8\n9\n10\n-7\n-6\n-5\n-4\n-3\n-2\n-1\n1\n2\n3\n4\n5\n6\n7\n8\n9\n10\n11\n12\nx\ny\n2\ny\nx\n= 2\n- 6\ny\nx\n1\nNa rysunku muszą być szkice wykresów\nobu funkcji podanych w zadaniu.\n3.2\nZapisanie współrzędnych dowolnego punktu paraboli w zależności od\njednej zmiennej: np.\n(\n)\n2\n,\nP\nx x\n1\n3.3\nWyznaczenie odległości punktu P od danej prostej:\n5\n6\n2\n2 -\nx\nx\nd\n1\n3\n3.4\nZapisanie odległości bez wartości bezwzględnej:\n(\n)\n5\n5\n1\n2 +\n= x\nd\nlub\n2\n2\n6\n5\nx\nx\nd\n1\nPróbny egzamin maturalny z matematyki\nOdpowiedzi i schemat punktowania - poziom rozszerzony\n3","solution":"$x \\in \\left(-\\dfrac{17}{5}, -\\dfrac{7}{3}\\right)$","image":"img/matematyka-2009-styczen-probna-rozszerzona/zad-2.webp","solution_image":null,"topics":"bezwgledna","page_from":4,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · styczeń 2009 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2009-styczen-probna-rozszerzona/zad/3","paper_id":"matematyka-2009-styczen-probna-rozszerzona","number":"3","points":5,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2009,"month":"styczen","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 3. (5 pkt)\nJeden z końców odcinka leży na paraboli o równaniu\n2x\ny =\n, a drugi na prostej o równaniu\n6\n2 -\nx\ny\n. Wykaż, że długość tego odcinka jest nie mniejsza od\n5 . Sporządź odpowiedni\nrysunek.\n\nPróbny egzamin maturalny z matematyki\nPoziom rozszerzony\n6","answer":null,"answer_text":"3.5\nOszacowanie najmniejszej wartości:\n5\nd ≥\n1\n3.4\nII sposób rozwiązania: (czynności 3.4 i 3.5)\nWyznaczenie najmniejszej wartości funkcji ( )\n2\n2\n6\n5\nx\nx\nd x\n:\nmin\n5\nd\n1\nZdający może wyznaczyć równanie prostej\nrównoległej do danej prostej, stycznej do\nparaboli i obliczyć odległość między tymi\nprostymi równoległymi.\n3.5\nZapisanie wniosku:\n5\nd ≥\n1\n4.1\nObliczenie prawdopodobieństw: ( )\n2\n3\nP A =\n,\n( )\n3\n4\nP B =\n1\n4.2\nZastosowanie prawa De Morgana:\n(\n)\nA\nB\nA\nB ′\n′\n′\n∩\n∪\n1\nZdający nie musi wprost zapisywać prawa\nDe Morgana.\n4.3\nWykorzystanie wzoru na prawdopodobieństwo sumy zdarzeń.\n1\n4\n4.4\nObliczenie wartości\n(\n)\nP A\nB\n′\n′\n∩\n:\n(\n)\n1\n12\nP A\nB\n′\n′\n∩\n1\n5.1\nZapisanie wzoru funkcji w postaci: ( )\n1\n2\na\nh x\nx\n1\n5.2\nObliczenie współczynnika a i zapisanie wzoru funkcji:\n2\na =\n,\n( )\n2\n1\n2\nh x\nx\n1\nWystarczy obliczenie współczynnika a.\nAkceptujemy podanie wzoru\n( )\n2\nx\nh x\nx\n, bez uzasadnienia.\nPrzyznajemy wtedy punkty za czynności\n5.1, 5.2.\n5\n5.3\nObliczenie wartości funkcji h dla\n3\nx =\n: (\n)\n3\n2 3\n3\nh\ni zapisanie wniosku.\n1\n6.1\nZastosowanie wzoru skróconego mnożenia i zapisanie wyrażenia w postaci:\n(\n) (\n)\n1\n1\n2\n2\n2\n3\n2\n2\n3\n2\n3\n2\n3\n+ ⋅\n⋅\nlub\n(\n) (\n)\n2\n3\n2\n2\n3\n2\n3\n2\n3\n+ ⋅\n⋅\n1\n6.2\nObliczenie liczby a:\n6\na =\n1\n6.3\nObliczenie liczby b :\n9\nb\n1\n6\n6.4\nZapisanie wniosku wraz z uzasadnieniem:\na\nb\nb\na >\n1\nPróbny egzamin maturalny z matematyki\nOdpowiedzi i schemat punktowania - poziom rozszerzony\n4","solution":"$d_{min} = \\sqrt{5}$","image":"img/matematyka-2009-styczen-probna-rozszerzona/zad-3.webp","solution_image":null,"topics":"analityczna","page_from":5,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · styczeń 2009 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2009-styczen-probna-rozszerzona/zad/4","paper_id":"matematyka-2009-styczen-probna-rozszerzona","number":"4","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2009,"month":"styczen","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 4. (4 pkt)\nOblicz prawdopodobieństwo\n(\n)\nP A\nB\n′\n′\n∩\n, jeśli\n(\n)\n1\n3\nP A′ =\n,\n(\n)\n1\n4\nP B′ =\ni\n(\n)\n1\n2\nP A\nB\n∩\n\nPróbny egzamin maturalny z matematyki\nPoziom rozszerzony\n7\n\nPróbny egzamin maturalny z matematyki\nPoziom rozszerzony\n8","answer":null,"answer_text":null,"solution":"$P(A' \\cap B') = \\dfrac{1}{12}$","image":"img/matematyka-2009-styczen-probna-rozszerzona/zad-4.webp","solution_image":null,"topics":"prawdopodobienstwo","page_from":6,"source":"zadaniazmatur","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · styczeń 2009 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2009-styczen-probna-rozszerzona/zad/5","paper_id":"matematyka-2009-styczen-probna-rozszerzona","number":"5","points":3,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2009,"month":"styczen","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 5. (3 pkt)\nNa rysunku przedstawiono fragment wykresu funkcji h otrzymanego przez przesunięcie\no wektor [\n]\n2, 1 wykresu funkcji f określonej wzorem\n( )\na\nf x\nx\ndla x\nR\n∈\ni\n0\nx ≠\nWyznacz wzór funkcji h, a następnie sprawdź, czy punkt\n(\n)\n3\n3\n2\n,3\nM\nnależy do jej\nwykresu.\nx\n1\n1\n0\ny\n\nPróbny egzamin maturalny z matematyki\nPoziom rozszerzony\n9\n\nPróbny egzamin maturalny z matematyki\nPoziom rozszerzony\n10","answer":null,"answer_text":null,"solution":"$h(\\sqrt{3}) = -2\\sqrt{3} - 3$","image":"img/matematyka-2009-styczen-probna-rozszerzona/zad-5.webp","solution_image":null,"topics":"funkcje","page_from":8,"source":"zadaniazmatur","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · styczeń 2009 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2009-styczen-probna-rozszerzona/zad/6","paper_id":"matematyka-2009-styczen-probna-rozszerzona","number":"6","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2009,"month":"styczen","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 6. (4 pkt)\nPorównaj liczby\nb\na oraz a\nb , gdzie\n(\n)\n(\n)\n2\n1\n1\n2\n2\n2\n3\n2\n3\na\n⎡\n⎤\n⎢\n⎥\n⎢\n⎥\n⎣\n⎦\n,\n1\n2\n4\n81\n3\n27\n9\nb\n⋅\n⋅\n\nPróbny egzamin maturalny z matematyki\nPoziom rozszerzony\n11","answer":null,"answer_text":null,"solution":"$a^b > b^a$","image":"img/matematyka-2009-styczen-probna-rozszerzona/zad-6.webp","solution_image":null,"topics":"algebra","page_from":10,"source":"zadaniazmatur","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · styczeń 2009 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2009-styczen-probna-rozszerzona/zad/7","paper_id":"matematyka-2009-styczen-probna-rozszerzona","number":"7","points":6,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2009,"month":"styczen","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 7. (6 pkt)\nDane jest równanie (\n)\n(\n)\n(\n)\n2\n2\n3\n4\n1\n0\nx\nx\np\nx\np\n⎡\n⎤\n⋅\n⎣\n⎦\nz niewiadomą x.\na) Rozwiąż to równanie dla\n1\np\nb) Wyznacz wszystkie wartości parametru p , dla których równanie to ma tylko jedno\nrozwiązanie.\n\nPróbny egzamin maturalny z matematyki\nPoziom rozszerzony\n12","answer":null,"answer_text":"7.1\nZapisanie, że liczba ( 3\n-) jest jednym z rozwiązań danego równania\n(\n)(\n)\n0\n4\n5\n3\n2\nx\nx\nx\n1\n7.2\nRozwiązanie równania kwadratowego\n2\n5\n4\n0\nx\nx\n:\n1,\nx = -\n4\nx = -.\n1\n7.3\nRozwiązanie warunku, dla którego drugi czynnik równania nie ma\nrozwiązań:\n0\nΔ <\ndla\n(\n)\n(\n)\n, 2\n2,\np∈-∞-\n∪\n∞.\n1\n7.4\nZapisanie układu warunków, dla których liczba (\n)\n3\njest jedynym\nrozwiązaniem równania kwadratowego\n(\n)\n(\n)\n2\n2\n4\n1\n0\nx\np\nx\np\n:\n0 i\n3\n2\nb\na\nΔ =\n1\nWyznaczenie wszystkich wartości p, dla\nktórych liczba (\n3\n) jest rozwiązaniem\nrównania kwadratowego\n(\n)\n(\n)\n2\n2\n4\n1\n0\nx\np\nx\np\n:\n2\np\nlub\n1\np\n7.5\nRozwiązanie układu warunków z punktu 7.4:\n2\np =\n1\nSprawdzenie, że tylko dla\n2\np\nliczba\n(\n3\n) jest jedynym rozwiązaniem równania\nkwadratowego.\n7.6\nZapisanie odpowiedzi:\n(\n)\n)\n∞\n∪\n∞\n∈\n,2\n2\n,\np\n1\n7.4\nII sposób rozwiązania: (czynności 7.4, 7.5)\nZapisanie warunku, przy którym liczba (\n)\n3\njest jedynym rozwiązaniem\nrównania\n(\n)\n(\n)\n2\n2\n4\n1\n0\nx\np\nx\np\n: (\n)\n(\n)\n(\n)\n2\n2\n2\n3\n4\n1\nx\nx\np\nx\np\n1\n7\n7.5\nObliczenie p:\n2\np =\n1\n8.1\nZapisanie zależności między bokami czworokąta opisanego\nna okręgu:\nc\nb\na\n2\n, gdzie a - długość dłuższej podstawy, b - długość\nkrótszej podstawy, c - długość ramienia trapezu.\n1\n8.2\nWyznaczenie różnicy długości podstaw trapezu za pomocą długości\nramienia:\n60\n4 -\nc\nb\na\n1\n8.3\nWyrażenie wysokości trapezu w zależności od długości ramienia:\n2\n3\n120\n900\nh\nc\nc\n1\n8.4\nWyznaczenie pola trapezu jako funkcji długości jego ramienia:\n2\n3\n120\n900\nP\nc\nc\nc\n= ⋅\n1\n8\n8.5\nWyznaczenie dziedziny funkcji P:\n(\n)\n15,30\nc∈\n2\n1 pkt za oszacowanie\n30\nc <\n1 pkt za oszacowanie\n15\nc >\nPróbny egzamin maturalny z matematyki\nOdpowiedzi i schemat punktowania - poziom rozszerzony\n5","solution":"$p \\in (-\\infty, -2) \\cup \\langle 2, \\infty)$","image":"img/matematyka-2009-styczen-probna-rozszerzona/zad-7.webp","solution_image":null,"topics":"parametr","page_from":11,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · styczeń 2009 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2009-styczen-probna-rozszerzona/zad/8","paper_id":"matematyka-2009-styczen-probna-rozszerzona","number":"8","points":6,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2009,"month":"styczen","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 8. (6 pkt)\nTrapez równoramienny jest opisany na okręgu. Suma długości krótszej podstawy i ramienia\ntrapezu jest równa 30. Wyraź pole tego trapezu jako funkcję długości jego ramienia. Wyznacz\ndziedzinę tej funkcji.\n\nPróbny egzamin maturalny z matematyki\nPoziom rozszerzony\n13\n\nPróbny egzamin maturalny z matematyki\nPoziom rozszerzony\n14","answer":null,"answer_text":null,"solution":"$P = c \\cdot \\sqrt{-3c^2 + 120c - 900}$, $c \\in (15, 30)$","image":"img/matematyka-2009-styczen-probna-rozszerzona/zad-8.webp","solution_image":null,"topics":"planimetria","page_from":12,"source":"zadaniazmatur","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · styczeń 2009 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2009-styczen-probna-rozszerzona/zad/9","paper_id":"matematyka-2009-styczen-probna-rozszerzona","number":"9","points":7,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2009,"month":"styczen","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 9. (7 pkt)\nŚrodek okręgu przechodzącego przez punkty\n(\n)\n1, 4\nA =\ni\n(\n)\n6, 3\nB = -\nleży na osi Ox.\na) Wyznacz równanie tego okręgu.\nb) Wyznacz równanie prostej prostopadłej do prostej AB i oddalonej od początku układu\nwspółrzędnych o\n2 .\n\nPróbny egzamin maturalny z matematyki\nPoziom rozszerzony\n15","answer":null,"answer_text":"9.1\nOznaczenie współrzędnych środka okręgu\n(\n)\n,0\nS\nx\ni zapisanie równania\npozwalającego wyznaczyć współrzędne środka okręgu, np.:\n(\n)\n(\n)\n2\n2\n2\n2\n1\n4\n6\n3\nx\nx\n1\n9.2\nObliczenie współrzędnych punktu S :\n)\n0\n,2\n(-\nS\n1\nJeśli zdający wyznaczy równanie\nsymetralnej odcinka AB oraz jej punkt\nprzecięcia z osią Ox, to przyznajemy\npunkty w czynnościach 9.1 oraz 9.2.\n9.3\nObliczenie długości promienia okręgu:\n5\nr\ni zapisanie równania okręgu:\n(\n)\n25\n2\n2\n2\ny\nx\n1\n9.4\nWyznaczenie równania prostej AB :\n7\n27\n7\n1\nx\ny\n1\nWystarczy, że zdający obliczy\nwspółczynnik kierunkowy prostej AB.\n9.5\nZapisanie równania rodziny prostych prostopadłych do prostej AB:\nb\nx\ny\n7\n1\n9.6\nWykorzystanie wzoru na odległość punktu (\n)\n0\n,0\nod prostej o równaniu\nb\nx\ny\n7\ni zapisanie równania:\n2\n5 2\nb\n1\n9\n9.7\nWyznaczenie równań prostych spełniających warunek zadania:\n7\n10\ny\nx\n,\n10\n7 +\nx\ny\n1\nWystarczy, że zdający obliczy wartości b,\no ile zapisał równanie rodziny prostych\nb\nx\ny\n7\nPróbny egzamin maturalny z matematyki\nOdpowiedzi i schemat punktowania - poziom rozszerzony\n6","solution":"$y = -7x - 10$, $y = -7x + 10$","image":"img/matematyka-2009-styczen-probna-rozszerzona/zad-9.webp","solution_image":null,"topics":"analityczna","page_from":14,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · styczeń 2009 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2009-styczen-probna-rozszerzona/zad/10","paper_id":"matematyka-2009-styczen-probna-rozszerzona","number":"10","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2009,"month":"styczen","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 10. (4 pkt)\nSinusy kątów ostrych trójkąta prostokątnego oraz liczba 1 tworzą ciąg geometryczny. Oblicz\nsinus najmniejszego kąta tego trójkąta.\n\nPróbny egzamin maturalny z matematyki\nPoziom rozszerzony\n16","answer":null,"answer_text":"10.1\nZapisanie, że ciąg (\n)\nsin\n,sin\n, 1\nα\nβ\nlub (\n)\n1, sin\n, sin\nβ\nα jest geometryczny.\n1\nNie wymagamy rozpatrzenia obu\nprzypadków, ale istotne jest założenie, że\n„1” jest pierwszym lub ostatnim wyrazem\nciągu.\n10.2\nWykorzystanie definicji lub własności ciągu geometrycznego i zapisanie\nwarunku:\n2\nsin\nsin\n1\n⋅\nβ\nα\n1\n10.3\nWykorzystanie zależności między funkcjami trygonometrycznymi\nw trójkącie prostokątnym: sin\ncos\nβ\nα\noraz jedynki trygonometrycznej\ni zapisanie równania z niewiadomą sinα :\n2\n1 sin\nsin\nα\nα\n1\n10\n10.4\nRozwiązanie równania:\n5\n1\nsin\n2\nα\n,\n5\n1\nsin\n2\nα\nPodanie odpowiedzi:\n5\n1\nsin\n2\nα\n1\nPróbny egzamin maturalny z matematyki\nOdpowiedzi i schemat punktowania - poziom rozszerzony\n7","solution":"$\\sin \\alpha = \\dfrac{\\sqrt{5}-1}{2}$","image":"img/matematyka-2009-styczen-probna-rozszerzona/zad-10.webp","solution_image":null,"topics":"ciagi","page_from":15,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · styczeń 2009 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2009-styczen-probna-rozszerzona/zad/11","paper_id":"matematyka-2009-styczen-probna-rozszerzona","number":"11","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2009,"month":"styczen","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 11. (4 pkt)\nDany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny, w którym wszystkie krawędzie mają równą\ndługość. Zaznacz na rysunku kąt utworzony przez dwie sąsiednie ściany boczne tego\nostrosłupa i oblicz kosinus tego kąta.\n\nPróbny egzamin maturalny z matematyki\nPoziom rozszerzony\n17\n\nPróbny egzamin maturalny z matematyki\nPoziom rozszerzony\n18\nBRUDNOPIS","answer":null,"answer_text":"11.1\nZaznaczenie na rysunku szukanego kąta.\n1\n11.2\nObliczenie długości przekątnej podstawy i wysokości ściany bocznej:\n2\na\ni\n2\n3\na\n, gdzie a oznacza długość krawędzi ostrosłupa.\n1\n11.3\nZastosowanie twierdzenia kosinusów w trójkącie, w którym występuje kąt\ndwuścienny α : (\n)\n2\n2\n2\n3\n3\n3\n3\n2\n2\ncos\n2\n2\n2\n2\na\na\na\na\na\nα\n⎛\n⎞\n⎛\n⎞\n-⋅\n⋅\n⋅\n⎜\n⎟\n⎜\n⎟\n⎜\n⎟\n⎜\n⎟\n⎝\n⎠\n⎝\n⎠\n1\n11.4\nObliczenie kosinusa kąta α : cos\n3\n1\nα\n1\n11.3\nII metoda rozwiązania: (czynności 11.3 i 11.4)\nZastosowanie definicji funkcji sinus dla połowy kąta α :\n2\n6\n2\nsin 2\n3\n3\n2\na\na\nα =\n1\nJeśli zdający obliczy przybliżoną wartość\nkąta 1\n2α , a następnie wartość kąta α\ni poprawnie ustali na tej podstawie\nprzybliżoną wartość\nα\ncos\n, to otrzymuje\npunkty w czynnościach 11.3 i 11.4. Za\nsamo obliczenie przybliżonej wartości kąta\nα nie przyznajemy punktów w czynności\n11.4.\n11\n11.4\nWyznaczenie kosinusa kąta α :\n2\n1\ncos\n1 2 sin\n2\n3\nα\nα\n⎛\n⎞\n= -⋅\n⎜\n⎟\n⎝\n⎠\n1\nZa prawidłowe rozwiązanie każdego z zadań inną metodą niż przedstawiona w schemacie przyznajemy maksymalną liczbę punktów.\na\na\nα .","solution":"$\\cos \\alpha = -\\dfrac{1}{3}$","image":"img/matematyka-2009-styczen-probna-rozszerzona/zad-11.webp","solution_image":null,"topics":"stereometria","page_from":16,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · styczeń 2009 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"}]}