{"paper":{"id":"matematyka-2010-maj-matura-podstawowa","subject":"matematyka","category":"matura","year":2010,"month":"maj","level":"podstawowa","variant":null,"exam_pdf":"matematyka-2010-maj-matura-podstawowa/matematyka-2010-maj-matura-podstawowa.pdf","key_pdf":"matematyka-2010-maj-matura-podstawowa-odpowiedzi/matematyka-2010-maj-matura-podstawowa-odpowiedzi.pdf","question_count":34,"source_label":"Matematyka · Matura · maj 2010 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},"questions":[{"id":"matematyka-2010-maj-matura-podstawowa/zad/1","paper_id":"matematyka-2010-maj-matura-podstawowa","number":"1","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2010,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 1. (1 pkt)\nWskaż rysunek, na którym jest przedstawiony zbiór rozwiązań nierówności\n7\n5\nx +\n>\nA.\n2\nx\n-12\nB.\n2\nx\n12\nC.\n-2\nx\n-12\nD.\n-2\nx\n12\nWskaż rysunek, na którym jest przedstawiony zbiór rozwiązań nierówności |x+7|>5.","answer":"W","answer_text":"Zadanie 1.\nObszar standardów\nSprawdzane umiejętności\nPoprawna\nodpowiedź\n(1 p.)\nWykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji\nWykorzystanie interpretacji\ngeometrycznej wartości bezwzględnej\ndo wskazania zbioru rozwiązań\nnierówności typu x\na\nb\n≥\nC","solution":"## Poprawna odpowiedź: C\n\nObliczamy wartość wyrażenia \\(|5-7|-|-3+4|\\). Wynik to \\(\\mathbf{1}\\).\n\n## Sposób 1 - Krok po kroku, od środka nawiasów\n\nDziałamy od wewnątrz każdej wartości bezwzględnej.\n\n**Krok 1 - Oblicz wyrażenie w pierwszej wartości bezwzględnej:**\n\\[5 - 7 = -2\\]\n\n**Krok 2 - Zastosuj definicję wartości bezwzględnej:**\n\\[|5 - 7| = |-2| = 2\\]\n(liczba ujemna zmienia znak)\n\n**Krok 3 - Oblicz wyrażenie w drugiej wartości bezwzględnej:**\n\\[-3 + 4 = 1\\]\n\n**Krok 4 - Zastosuj definicję wartości bezwzględnej:**\n\\[|-3 + 4| = |1| = 1\\]\n(liczba dodatnia zostaje bez zmiany)\n\n**Krok 5 - Oblicz różnicę:**\n\\[|5-7| - |-3+4| = 2 - 1 = \\mathbf{1}\\]\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja przez definicję geometryczną\n\nWartość bezwzględna \\(|a|\\) to **odległość liczby \\(a\\) od zera** na osi liczbowej.\n\n- \\(|5 - 7| = |-2|\\) - liczba \\(-2\\) leży w odległości \\(2\\) od zera → \\(|{-2}| = 2\\)\n- \\(|-3 + 4| = |1|\\) - liczba \\(1\\) leży w odległości \\(1\\) od zera → \\(|1| = 1\\)\n\nZatem:\n\\[2 - 1 = \\mathbf{1}\\]\n\nWynik zgodny ze Sposobem 1. ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 1 (Wartość bezwzględna, s. 4)** - definicja:\n\\[|x| = \\begin{cases} x & \\text{dla } x \\geq 0 \\\\ -x & \\text{dla } x < 0 \\end{cases}\\]\n\nUżyliśmy jej w obu krokach: \\(|-2| = -(-2) = 2\\) (bo \\(-2 < 0\\)), oraz \\(|1| = 1\\) (bo \\(1 \\geq 0\\)).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| A | Dodawanie zamiast odejmowania: \\(|5-7| + |-3+4| = 2 + 1 = 3\\) |\n| B | Zdjęcie wartości bezwzględnych bez zmiany znaku: \\((5-7)-(-3+4) = -2-1 = -3\\), a potem wzięcie \\(|-3|=3\\) lub zostawienie \\(-3\\) |\n| D | Obliczenie \\(|-3+4|\\) jako \\(|-3|+|4| = 3+4 = 7\\) zamiast najpierw zsumowania: \\(-3+4=1\\), \\(|1|=1\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Najpierw oblicz wyrażenie **wewnątrz** wartości bezwzględnej, a **dopiero potem** bierz wartość bezwzględną. Błąd: \\(|5 - 7| \\neq |5| - |7| = 5 - 7 = -2\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wartość bezwzględna nie może być ujemna - jeśli twój wynik całego wyrażenia wychodzi ujemny, sprawdź obliczenia od początku.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie myl kolejności działań - najpierw nawiasy (działania wewnątrz \\(|\\cdot|\\)), potem wartość bezwzględna, na końcu odejmowanie.\n\n**Poprawna odpowiedź: C** - wartość wyrażenia to \\(1\\).\n\n### Sposób 1 - Obliczenie wartości bezwzględnych\n\\[|5-7|=|-2|=2, \\qquad |-3+4|=|1|=1.\\]\nStąd \\(|5-7|-|-3+4|=2-1=1\\).\n\n### Sposób 2 - Definicja wartości bezwzględnej\nDla \\(a<0\\): \\(|a|=-a\\). Wyrażenie \\(5-7=-2<0\\), więc \\(|5-7|=-(5-7)=2\\).\nWyrażenie \\(-3+4=1>0\\), więc \\(|-3+4|=1\\).\nRóżnica: \\(2-1=1\\).\n\n### Weryfikacja\n\\(|5-7|=2\\) (odległość \\(5\\) od \\(7\\)), \\(|-3+4|=1\\) (odległość \\(-3\\) od \\(-4\\))? Nie - to \\(|-3+4|=|1|=1\\) ✓.\n\n### Dlaczego pozostałe błędne\n- A \\(=-3\\): prawdopodobnie błąd znaku, \\(-2-1=-3\\) - ktoś zignorował wartość bezwzględną pierwszego składnika.\n- B \\(=-5\\): \\(-2-|-3|-4\\)? Błędna interpretacja.\n- D \\(=3\\): \\(2+1=3\\) - dodanie zamiast odejmowania.","image":"img/matematyka-2010-maj-matura-podstawowa/zad-1.webp","solution_image":"img/matematyka-2010-maj-matura-podstawowa/sol-1.svg","topics":"bezwgledna","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2010 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2010-maj-matura-podstawowa/zad/2","paper_id":"matematyka-2010-maj-matura-podstawowa","number":"2","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2010,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 2. (1 pkt)\nSpodnie po obniżce ceny o 30% kosztują 126 zł. Ile kosztowały spodnie przed obniżką?\nA. 163,80 zł\nB. 180 zł\nC. 294 zł\nD. 420 zł\nSpodnie po obniżce ceny o 30% kosztują 126 zł. Ile kosztowały spodnie przed obniżką? A. 163,80 zł, B. 180 zł, C. 294 zł, D. 420 zł","answer":"M","answer_text":"Zadanie 2.\nObszar standardów\nSprawdzane umiejętności\nPoprawna\nodpowiedź\n(1 p.)\nModelowanie\nmatematyczne\nWykonywanie obliczeń procentowych\nB","solution":"## Poprawna odpowiedź: B\n\nZbiór rozwiązań to \\(x \\leq -1\\) lub \\(x \\geq 5\\), czyli \\((-\\infty, -1\\rangle \\cup \\langle 5, +\\infty)\\) - dwa promienie skierowane na zewnątrz, z wypełnionymi punktami w \\(-1\\) i \\(5\\).\n\n## Sposób 1 - wzór na nierówność z wartością bezwzględną\n\nZ karty wzorów (Dział 1) wiemy, że:\n\\[|x - a| \\geq r \\iff x \\leq a - r \\quad \\text{lub} \\quad x \\geq a + r\\]\n\nTutaj \\(a = 2\\), \\(r = 3\\), więc:\n\n\\[|x - 2| \\geq 3 \\iff x \\leq 2 - 3 \\quad \\text{lub} \\quad x \\geq 2 + 3\\]\n\n\\[x \\leq -1 \\quad \\text{lub} \\quad x \\geq 5\\]\n\n**Zbiór rozwiązań:** \\((-\\infty, -1\\rangle \\cup \\langle 5, +\\infty)\\)\n\nNa osi liczbowej: dwa promienie skierowane **na zewnątrz** (w przeciwne strony), z zaznaczonymi (wypełnionymi) punktami \\(-1\\) i \\(5\\) - bo nierówność jest niestroga (\\(\\geq\\)).\n\n## Sposób 2 - definicja wartości bezwzględnej (rozbicie na przypadki)\n\nWyrażenie \\(|x - 2|\\) mierzy **odległość liczby \\(x\\) od liczby \\(2\\)** na osi liczbowej.\n\nNierówność \\(|x - 2| \\geq 3\\) pyta: **kiedy \\(x\\) jest oddalone od \\(2\\) o co najmniej \\(3\\)?**\n\n- Szukamy liczb \\(x\\) leżących w odległości \\(\\geq 3\\) od punktu \\(2\\).\n- W prawo od \\(2\\): \\(2 + 3 = 5\\), więc \\(x \\geq 5\\).\n- W lewo od \\(2\\): \\(2 - 3 = -1\\), więc \\(x \\leq -1\\).\n\nWynik ten sam: \\(x \\leq -1\\) lub \\(x \\geq 5\\). ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 1 (Wartość bezwzględna liczby, s. 4)** - nierówność z \\(|\\cdot|\\):\n\\[|x - a| \\geq r \\iff x \\leq a - r \\quad \\text{lub} \\quad x \\geq a + r\\]\nTo dokładnie wzór, który zastosowaliśmy w Sposobie 1 z \\(a = 2\\), \\(r = 3\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Jak wygląda rysunek | Błąd prowadzący do tej odpowiedzi |\n| A | Jeden przedział domknięty \\(\\langle -1, 5 \\rangle\\) (środek) | Uczeń pomylił kierunek: zastosował wzór dla \\(\\leq\\) zamiast \\(\\geq\\) |\n| C | Dwa promienie, ale z **otwartymi** punktami w \\(-1\\) i \\(5\\) | Uczeń dobrze rozwiązał nierówność, ale nie zauważył że \\(\\geq\\) daje domknięte przedziały |\n| D | Jeden promień lub inny zbiór | Rozwiązanie tylko jednego przypadku (np. tylko \\(x \\geq 5\\)) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\(|x-2| \\geq 3\\) to NIE to samo co \\(|x-2| \\leq 3\\)! Nierówność \\(\\leq\\) daje przedział (środek), nierówność \\(\\geq\\) daje dwa promienie (zewnętrze). Łatwo je zamienić.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy nierówności nieostrej (\\(\\geq\\), \\(\\leq\\)) punkty graniczne \\(-1\\) i \\(5\\) należą do zbioru rozwiązań - zaznaczamy je **wypełnionym punktem** na osi liczbowej. Pusty punkt = nierówność ostra (\\(>\\), \\(<\\)).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Środek przedziału to \\(a = 2\\), a nie \\(0\\)! Wielu uczniów myśli o \\(|x| \\geq 3\\) i liczy \\(-3\\) i \\(3\\), zapominając o przesunięciu o \\(2\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: B** - zbiór rozwiązań: \\((-\\infty,-1\\rangle\\cup\\langle 5,\\infty)\\).\n\n### Sposób 1 - Definicja wartości bezwzględnej\n\\[|x-2|\\geq 3 \\iff x-2\\geq 3 \\ \\text{lub}\\ x-2\\leq -3\\]\n\\[\\iff x\\geq 5 \\ \\text{lub}\\ x\\leq -1.\\]\nStąd \\(x\\in(-\\infty,-1\\rangle\\cup\\langle 5,\\infty)\\) - rysunek **B**.\n\n### Sposób 2 - Interpretacja geometryczna\n\\(|x-2|\\) to odległość \\(x\\) od \\(2\\). Warunek \\(|x-2|\\geq 3\\) oznacza, że \\(x\\) jest oddalony od \\(2\\) o co najmniej \\(3\\). Czyli \\(x\\leq 2-3=-1\\) lub \\(x\\geq 2+3=5\\).\n\n### Weryfikacja\n- \\(x=5\\): \\(|5-2|=3\\geq 3\\) ✓.\n- \\(x=-1\\): \\(|-1-2|=3\\geq 3\\) ✓.\n- \\(x=0\\): \\(|0-2|=2\\not\\geq 3\\) - poza zbiorem.\n\n### Dlaczego pozostałe błędne\n- A: zbiór \\(\\langle -1,5\\rangle\\) - to byłoby \\(|x-2|\\leq 3\\) (przeciwny kierunek).\n- C: początek \\(3\\) - błąd, \\(3\\) to wartość prawa, nie koniec przedziału.\n- D: tylko jedna gałąź - brak lewej części zbioru.","image":"img/matematyka-2010-maj-matura-podstawowa/zad-2.webp","solution_image":"img/matematyka-2010-maj-matura-podstawowa/sol-2.svg","topics":"algebra","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2010 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2010-maj-matura-podstawowa/zad/3","paper_id":"matematyka-2010-maj-matura-podstawowa","number":"3","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2010,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 3. (1 pkt)\nLiczba\n0\n2\n1\n1\n2\n2\n3\n2\n3\n⎛\n⎞\n⋅\n⎜\n⎟\n⋅\n⎝\n⎠\njest równa\nA. 1\nB. 4\nC. 9\nD. 36\nLiczba (2^{-2}\\c3^{-1} / 2^{-1}\\c3^{-2})^0 jest równa A. 1, B. 4, C. 9, D. 36","answer":"W","answer_text":"Zadanie 3.\nObszar standardów\nSprawdzane umiejętności\nPoprawna\nodpowiedź\n(1 p.)\nWykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji\nWykorzystanie w obliczeniach praw\ndziałań na potęgach\nA","solution":"## Poprawna odpowiedź: D - **24 300 zł**\n\n## Sposób 1 - Obliczanie kolejnych obniżek krok po kroku\n\n**Obniżka 1:** Cena wyjściowa to \\(30\\,000\\) zł. Obniżamy o \\(10\\%\\), czyli zostaje \\(90\\%\\) ceny:\n\n\\[30\\,000 \\cdot 0{,}9 = 27\\,000 \\text{ zł}\\]\n\n**Obniżka 2:** Teraz obniżamy cenę \\(27\\,000\\) zł o kolejne \\(10\\%\\), czyli znowu zostaje \\(90\\%\\):\n\n\\[27\\,000 \\cdot 0{,}9 = 24\\,300 \\text{ zł}\\]\n\n**Zatem po obu obniżkach samochód kosztuje \\(24\\,300\\) zł.**\n\n## Sposób 2 - Jeden wzór z mnożnikami procentowymi\n\nKażda obniżka o \\(10\\%\\) to pomnożenie przez współczynnik \\(0{,}9\\). Dwie takie obniżki to:\n\n\\[30\\,000 \\cdot 0{,}9 \\cdot 0{,}9 = 30\\,000 \\cdot (0{,}9)^2\\]\n\n\\[30\\,000 \\cdot 0{,}81 = 24\\,300 \\text{ zł}\\]\n\nCałkowita obniżka wyniosła:\n\n\\[30\\,000 - 24\\,300 = 5\\,700 \\text{ zł}\\]\n\nCo stanowi:\n\n\\[\\frac{5\\,700}{30\\,000} \\cdot 100\\% = 19\\% \\text{ ceny wyjściowej}\\]\n\n- nie \\(20\\%\\)! To ważna obserwacja (patrz pułapki).\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 8 (Ciągi, s. 9-10)** - procent składany:\n\n\\[K_n = K_0 \\cdot \\left(1 + \\frac{p}{100}\\right)^n\\]\n\nTutaj \\(K_0 = 30\\,000\\), zmiana to obniżka, więc \\(p = -10\\), \\(n = 2\\):\n\n\\[K_2 = 30\\,000 \\cdot \\left(1 - \\frac{10}{100}\\right)^2 = 30\\,000 \\cdot (0{,}9)^2 = 30\\,000 \\cdot 0{,}81 = 24\\,300\\]\n\nTo dokładnie ta sama sytuacja co procent składany - wielokrotne mnożenie przez ten sam współczynnik.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd prowadzący do tej odpowiedzi |\n| A | Dwie obniżki po \\(10\\%\\) zsumowano jako jedna obniżka \\(20\\%\\): \\(30\\,000 \\cdot 0{,}80 = 24\\,000\\) zł - **BŁĄD**, bo \\(10\\% + 10\\% \\neq 20\\%\\) przy kolejnych obniżkach |\n| B | Policzono \\(10\\%\\) z \\(30\\,000\\) dwukrotnie i odjęto: \\(30\\,000 - 3\\,000 - 3\\,000 = 24\\,000\\) lub podobne błędne działanie |\n| C | Obliczono tylko jedną obniżkę: \\(30\\,000 \\cdot 0{,}9 = 27\\,000\\) zł - pominięto drugą obniżkę |\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Dwie obniżki po \\(10\\%\\) to **nie** to samo co jedna obniżka o \\(20\\%\\)! Po pierwszej obniżce podstawa jest mniejsza, więc drugie \\(10\\%\\) liczymy od mniejszej kwoty. Łączna obniżka wynosi tylko \\(19\\%\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Zawsze przeliczaj obniżkę procentową jako mnożenie przez współczynnik (\\(0{,}9\\) przy \\(-10\\%\\), \\(1{,}1\\) przy \\(+10\\%\\)). Unikniesz błędu \"od której kwoty liczę procent\".\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy kilku kolejnych zmianach procentowych stosuj wzór \\(K_0 \\cdot (0{,}9)^n\\) - każde mnożenie przez \\(0{,}9\\) to kolejna obniżka o \\(10\\%\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: D** - \\(24300\\) zł.\n\n### Sposób 1 - Dwukrotne mnożenie przez \\(0{,}9\\)\nPo obniżce o \\(10\\%\\) pozostaje \\(90\\%\\) ceny.\n\\[30000\\cdot 0{,}9=27000 \\text{ zł} \\quad\\text{(po pierwszej obniżce)}.\\]\n\\[27000\\cdot 0{,}9=24300 \\text{ zł} \\quad\\text{(po drugiej obniżce)}.\\]\n\n### Sposób 2 - Łączny mnożnik\n\\[30000\\cdot 0{,}9\\cdot 0{,}9=30000\\cdot 0{,}81=24300 \\text{ zł}.\\]\n\n### Uwaga dydaktyczna\nDwukrotna obniżka o \\(10\\%\\) nie jest równa jednej obniżce o \\(20\\%\\) (byłoby \\(24000\\) zł). Druga obniżka liczona jest od już pomniejszonej ceny.\n\n### Weryfikacja\n\\(30000-24300=5700\\); to \\(19\\%\\) z \\(30000\\) - zgodne z tym, że \\(1-0{,}81=0{,}19\\) ✓.\n\n### Dlaczego pozostałe błędne\n- A \\(=24400\\): błąd rachunkowy.\n- B \\(=24700\\): pomyłka w obliczeniach.\n- C \\(=24000\\): błędne potraktowanie jako jedna obniżka o \\(20\\%\\).","image":"img/matematyka-2010-maj-matura-podstawowa/zad-3.webp","solution_image":"img/matematyka-2010-maj-matura-podstawowa/sol-3.svg","topics":"algebra","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2010 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2010-maj-matura-podstawowa/zad/4","paper_id":"matematyka-2010-maj-matura-podstawowa","number":"4","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2010,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 4. (1 pkt)\nLiczba\n4\n4\nlog 8\nlog 2\njest równa\nA. 1\nB. 2\nC.\n4\nlog 6\nD.\n4\nlog 10\nLiczba log_48+log_42 jest równa A. 1, B. 2, C. log_4 6, D. log_4 10","answer":"U","answer_text":"Zadanie 4.\nObszar standardów\nSprawdzane umiejętności\nPoprawna\nodpowiedź\n(1 p.)\nUżycie i tworzenie\nstrategii\nObliczenie sumy logarytmów\nB","solution":null,"image":"img/matematyka-2010-maj-matura-podstawowa/zad-4.webp","solution_image":"img/matematyka-2010-maj-matura-podstawowa/sol-4.svg","topics":"logarytmy","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2010 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2010-maj-matura-podstawowa/zad/5","paper_id":"matematyka-2010-maj-matura-podstawowa","number":"5","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2010,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 5. (1 pkt)\nDane są wielomiany\n( )\n3\n2\n2\n5\n3\nW x\nx\nx\n- oraz\n( )\n3\n2\n12\nP x\nx\nx\n. Wielomian\n( )\n( )\nW x\nP x\njest równy\nA.\n2\n5\n12\n3\nx\nx\nB.\n3\n2\n4\n5\n12\n3\nx\nx\nx\nC.\n6\n2\n4\n5\n12\n3\nx\nx\nx\nD.\n3\n2\n4\n12\n3\nx\nx\n\nPoziom podstawowy\n3\nBRUDNOPIS\n\nPoziom podstawowy\n4\nDane są wielomiany W(x)=-2x^3+5x^2-3 oraz P(x)=2x^3+12x. Wielomian \\hb{$W(x)+P(x)$} jest równy A. 5x^2+12x-3, B. 4x^3+5x^2+12x-3, C. 4x^6+5x^2+12x-3, D. 4x^3+12x^2-3","answer":"W","answer_text":"Zadanie 5.\nObszar standardów\nSprawdzane umiejętności\nPoprawna\nodpowiedź\n(1 p.)\nWykorzystanie\ni tworzenie informacji\nWykonanie dodawania wielomianów\nA\nKlucz punktowania odpowiedzi - poziom podstawowy\n3","solution":"## Poprawna odpowiedź: A - \\(5x^2 + 12x - 3\\)\n\n## Sposób 1 - Dodawanie wielomianów przez grupowanie wyrazów podobnych\n\nZapisujemy sumę wprost:\n\\[W(x) + P(x) = (-2x^3 + 5x^2 - 3) + (2x^3 + 12x)\\]\n\n**Grupujemy wyrazy tego samego stopnia:**\n\n\\[= \\underbrace{(-2x^3 + 2x^3)}_{\\text{stopień 3}} + \\underbrace{5x^2}_{\\text{stopień 2}} + \\underbrace{12x}_{\\text{stopień 1}} + \\underbrace{(-3)}_{\\text{wyraz wolny}}\\]\n\nObliczamy każdą grupę:\n\n\\[-2x^3 + 2x^3 = 0\\]\n\nWyrazy stopnia 2, 1 i wyraz wolny nie mają par - zostają bez zmian.\n\n**Wynik:**\n\\[\\boxed{W(x) + P(x) = 5x^2 + 12x - 3}\\]\n\nJest to wielomian **stopnia 2** (kwadratowy) - człony \\(x^3\\) wzajemnie się zniosły.\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja przez podstawienie wartości \\(x = 1\\)\n\nObliczamy każdy wielomian osobno dla \\(x = 1\\):\n\n\\[W(1) = -2 \\cdot 1^3 + 5 \\cdot 1^2 - 3 = -2 + 5 - 3 = 0\\]\n\n\\[P(1) = 2 \\cdot 1^3 + 12 \\cdot 1 = 2 + 12 = 14\\]\n\n\\[W(1) + P(1) = 0 + 14 = 14\\]\n\nTeraz sprawdzamy, czy wynik \\(5x^2 + 12x - 3\\) dla \\(x = 1\\) daje to samo:\n\n\\[5 \\cdot 1^2 + 12 \\cdot 1 - 3 = 5 + 12 - 3 = 14 \\checkmark\\]\n\nZgadza się - odpowiedź A jest poprawna.\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy znajomość definicji wielomianu i działania dodawania wyrazów podobnych (program szkoły podstawowej / klasy 1 liceum).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| B | Dodawanie współczynników bez zwracania uwagi na stopień - np. \\(-2 + 2 = 0\\) OK, ale \\(5 + 12 = 17\\) (mylenie wyrazów różnych stopni) |\n| C | Zostawienie \\(-2x^3 + 2x^3\\) jako \\(4x^3\\) lub \\(-4x^3\\) zamiast \\(0\\) - błąd znakowy przy dodawaniu |\n| D | Odjęcie zamiast dodania - policzenie \\(W(x) - P(x)\\) zamiast \\(W(x) + P(x)\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Można dodawać **tylko wyrazy tego samego stopnia** - \\(5x^2\\) i \\(12x\\) to różne stopnie, więc **nie wolno** ich łączyć w \\(17x^2\\) ani \\(17x\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\(-2x^3 + 2x^3 = 0\\) - nie \\(4x^3\\) ani \\(-4x^3\\)! Gdy oba znaki są różne i wartości bezwzględne równe, człon znika.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Stopień sumy wielomianów może być **mniejszy** niż stopień składników - tu oba miały stopień 3, a wynik ma stopień 2. To normalne zjawisko, nie błąd!\n\n**Poprawna odpowiedź: A** - \\(W(x)+P(x)=5x^{2}+12x-3\\).\n\n### Sposób 1 - Dodawanie wyraz po wyrazie\n\\[W(x)+P(x)=(-2x^{3}+5x^{2}-3)+(2x^{3}+12x)\\]\nGrupujemy jednomiany tego samego stopnia:\n- stopień \\(3\\): \\(-2x^{3}+2x^{3}=0\\).\n- stopień \\(2\\): \\(5x^{2}+0=5x^{2}\\).\n- stopień \\(1\\): \\(0+12x=12x\\).\n- stopień \\(0\\): \\(-3+0=-3\\).\n\nSuma: \\(5x^{2}+12x-3\\).\n\n### Weryfikacja (podstawienie \\(x=1\\))\n\\(W(1)=-2+5-3=0\\); \\(P(1)=2+12=14\\); \\(W(1)+P(1)=14\\).\nOdp. A: \\(5+12-3=14\\) ✓.\n\n### Dlaczego pozostałe błędne\n- B: sumowanie współczynników zamiast redukcji, \\(-2+2\\) potraktowane jako \\(4\\).\n- C: błędne \"dodawanie\" potęg (\\(x^{3}+x^{3}\\ne x^{6}\\)).\n- D: błędne przypisanie wyrazów (\\(12x\\) do stopnia \\(2\\)).","image":"img/matematyka-2010-maj-matura-podstawowa/zad-5.webp","solution_image":"img/matematyka-2010-maj-matura-podstawowa/sol-5.svg","topics":"wielomiany","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2010 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2010-maj-matura-podstawowa/zad/6","paper_id":"matematyka-2010-maj-matura-podstawowa","number":"6","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2010,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 6. (1 pkt)\nRozwiązaniem równania 3\n1\n2\n7\n1\n5\nx\nx\njest\nA. 1\nB.\n7\n3\nC. 7\n4\nD. 7\nRozwiązaniem równania {3x-1 / 7x+1} = {2/5} jest A. 1, B. 7/3, C. 4/7 D. 7","answer":"W","answer_text":"Zadanie 6.\nObszar standardów\nSprawdzane umiejętności\nPoprawna\nodpowiedź\n(1 p.)\nWykorzystanie\ni tworzenie informacji\nRozwiązanie prostego równanie\nwymiernego, prowadzącego do\nrównania liniowego\nD","solution":"## Poprawna odpowiedź: D\n\nRozwiązaniem równania jest \\(x = 7\\).\n\n## Sposób 1 - Mnożenie na krzyż (wyłuskanie x)\n\nMamy równanie:\n\\[\\frac{3x-1}{7x+1} = \\frac{2}{5}\\]\n\n**Krok 1:** Wyznaczamy dziedzinę - mianownik \\(7x + 1 \\neq 0\\), czyli \\(x \\neq -\\frac{1}{7}\\). Zapamiętujemy, że ta wartość jest wykluczona.\n\n**Krok 2:** Mnożymy obie strony na krzyż (przemnażamy lewą stronę przez \\(5\\), prawą przez \\(7x+1\\)):\n\\[5(3x - 1) = 2(7x + 1)\\]\n\n**Krok 3:** Rozwijamy nawiasy:\n\\[15x - 5 = 14x + 2\\]\n\n**Krok 4:** Przenosimy wyrazy z \\(x\\) na lewą, liczby na prawą:\n\\[15x - 14x = 2 + 5\\]\n\\[x = 7\\]\n\n**Wynik:** \\(\\boxed{x = 7}\\)\n\nSprawdzamy dziedzinę: \\(7 \\neq -\\frac{1}{7}\\) ✓\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja (podstawienie do równania)\n\nPodstawiamy \\(x = 7\\) do obu stron i sprawdzamy, czy równość zachodzi.\n\nLewa strona:\n\\[\\frac{3 \\cdot 7 - 1}{7 \\cdot 7 + 1} = \\frac{21 - 1}{49 + 1} = \\frac{20}{50} = \\frac{2}{5}\\]\n\nPrawa strona: \\(\\dfrac{2}{5}\\)\n\nObie strony są równe - wynik \\(x = 7\\) jest poprawny. ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczą podstawowe przekształcenia równania z proporcją (mnożenie na krzyż i działania algebraiczne).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\nNie znam treści odpowiedzi A, B, C, ale poniżej typowe błędy prowadzące do błędnych wyników:\n\n| Błąd | Wynik |\n| Mnożenie na krzyż z zamienionymi mianownikami: \\(7(3x-1) = 2(7x+1)\\) | \\(21x - 7 = 14x + 2 \\Rightarrow x = \\frac{9}{7}\\) |\n| Odjęcie mianowników zamiast mnożenia: \\(3x - 1 - 2 = 7x + 1 - 5\\) | błędna metoda, \\(x = \\frac{1}{4}\\) |\n| Pominięcie dziedziny i \"wpadnięcie\" na \\(x = -\\frac{1}{7}\\) | wynik niedopuszczalny |\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy mnożeniu na krzyż pamiętaj o dziedzinie - mianownik musi być różny od zera. Zawsze sprawdź, czy wynik nie wyklucza się z dziedziną.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Mnożymy LEWĄ stronę przez PRAWY mianownik i odwrotnie. Typowy błąd to pomnożenie obu liczników przez ten sam mianownik.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Po rozwinięciu nawiasów przenoś \\(14x\\) na lewą stronę z **przeciwnym znakiem** - \\(15x - 14x\\), nie \\(15x + 14x\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: D** - \\(x=7\\).\n\n### Sposób 1 - Iloczyn krzyżowy (pod warunkiem \\(7x+1\\ne 0\\))\nDziedzina: \\(x\\ne-\\dfrac{1}{7}\\).\n\\[\\dfrac{3x-1}{7x+1}=\\dfrac{2}{5}\\]\n\\[5(3x-1)=2(7x+1)\\]\n\\[15x-5=14x+2\\]\n\\[x=7.\\]\nWartość \\(x=7\\) należy do dziedziny.\n\n### Weryfikacja (podstawienie)\nDla \\(x=7\\): \\(\\dfrac{3\\cdot 7-1}{7\\cdot 7+1}=\\dfrac{20}{50}=\\dfrac{2}{5}\\) ✓.\n\n### Sposób 2 - Przeniesienie i wspólny mianownik\n\\[\\dfrac{3x-1}{7x+1}-\\dfrac{2}{5}=0\\]\n\\[\\dfrac{5(3x-1)-2(7x+1)}{5(7x+1)}=0\\]\n\\[5(3x-1)-2(7x+1)=0\\]\nDalej jak wyżej: \\(x=7\\).\n\n### Dlaczego pozostałe błędne\n- A, B, C - wstawione do równania nie dają \\(\\dfrac{2}{5}\\) (np. \\(x=1\\): \\(\\dfrac{2}{8}=\\dfrac{1}{4}\\neq\\dfrac{2}{5}\\)).","image":"img/matematyka-2010-maj-matura-podstawowa/zad-6.webp","solution_image":"img/matematyka-2010-maj-matura-podstawowa/sol-6.svg","topics":"rownania_i_nierownosci","page_from":4,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2010 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2010-maj-matura-podstawowa/zad/7","paper_id":"matematyka-2010-maj-matura-podstawowa","number":"7","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2010,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 7. (1 pkt)\nDo zbioru rozwiązań nierówności (\n)(\n)\n2\n3\n0\nx\nx\n<\nnależy liczba\nA. 9\nB. 7\nC. 4\nD. 1\nDo zbioru rozwiązań nierówności (x-2)(x+3)<0 należy liczba A. 9, B. 7, C. 4, D. 1","answer":"W","answer_text":"Zadanie 7.\nObszar standardów\nSprawdzane umiejętności\nPoprawna\nodpowiedź\n(1 p.)\nWykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji\nSprawdzenie, czy dana liczba należy\ndo zbioru rozwiązań nierówności\nkwadratowej\nD","solution":"## Poprawna odpowiedź: A - \\(\\langle -2, 5 \\rangle\\)\n\n## Sposób 1 - Odczyt minimum i maksimum z wykresu\n\n**Co szukamy?** Zbiór wartości funkcji to zbiór wszystkich wartości \\(y\\), które funkcja przyjmuje - czyli \"zasięg\" wykresu w pionie.\n\n**Krok 1: Odczytaj y-współrzędne danych punktów.**\n\nMamy punkty na wykresie:\n\n| Punkt | \\(x\\) | \\(y\\) |\n| \\((-5,\\ 4)\\) | \\(-5\\) | \\(4\\) |\n| \\((-3,\\ 5)\\) | \\(-3\\) | \\(5\\) |\n| \\((2,\\ -2)\\) | \\(2\\) | \\(-2\\) |\n| \\((4,\\ 1)\\) | \\(4\\) | \\(1\\) |\n| \\((7,\\ 1)\\) | \\(7\\) | \\(1\\) |\n| \\((8,\\ 0)\\) | \\(8\\) | \\(0\\) |\n\n**Krok 2: Wyznacz wartość największą i najmniejszą.**\n\n- **Maksimum**: \\(y = 5\\) - osiągane w punkcie \\((-3, 5)\\)\n- **Minimum**: \\(y = -2\\) - osiągane w punkcie \\((2, -2)\\)\n\n**Krok 3: Sprawdź, czy funkcja jest ciągła między tymi wartościami.**\n\nFunkcja \\(f\\) jest funkcją ciągłą (co wynika z kształtu wykresu - jest narysowany jako spójna krzywa). Z twierdzenia Darboux wynika, że ciągła funkcja przyjmuje wszystkie wartości pośrednie między minimum a maksimum.\n\n**Krok 4: Czy punkty ekstremalne są osiągane?**\n\nTak - obydwa punkty \\((-3, 5)\\) i \\((2, -2)\\) leżą NA wykresie, więc wartości \\(5\\) i \\(-2\\) są osiągane. Przedział jest **domknięty** obustronnie.\n\n\\[\\boxed{\\text{Zbiór wartości } = \\langle -2,\\ 5 \\rangle}\\]\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja przez analizę przebiegu wykresu\n\nPrześledzmy, jak zmienia się \\(y\\) idąc wzdłuż wykresu od lewej do prawej:\n\n\\[y(-5) = 4 \\;\\to\\; y(-3) = 5 \\quad \\text{(wzrost do maksimum)}\\]\n\\[y(-3) = 5 \\;\\to\\; y(2) = -2 \\quad \\text{(spadek do minimum)}\\]\n\\[y(2) = -2 \\;\\to\\; y(4) = 1 \\;\\to\\; y(7) = 1 \\;\\to\\; y(8) = 0 \\quad \\text{(wzrost, potem stabilizacja)}\\]\n\n- Wartość **nigdy nie przekracza \\(5\\)** - punkt \\((-3, 5)\\) to najwyższy punkt wykresu.\n- Wartość **nigdy nie spada poniżej \\(-2\\)** - punkt \\((2, -2)\\) to najniższy punkt wykresu.\n- Funkcja jest ciągła, więc przyjmuje każdą wartość z przedziału \\(\\langle -2, 5 \\rangle\\).\n\nWniosek identyczny: zbiór wartości to \\(\\langle -2, 5 \\rangle\\). ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy **odczyt z wykresu** i znajomość definicji zbioru wartości funkcji oraz twierdzenia Darboux (własność funkcji ciągłych).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| B | Przyjęto przedział otwarty \\((-2, 5)\\) - uczeń uznał, że wartości \\(-2\\) i \\(5\\) nie są osiągane. Błąd: oba punkty leżą NA wykresie, więc wartości skrajne SĄ osiągane. |\n| C | Przyjęto np. \\((-2, 5\\rangle\\) - tylko \\(5\\) domknięte. Błąd: wartość \\(-2\\) też jest osiągana. |\n| D | Przyjęto np. \\(\\langle -2, 5)\\) - tylko \\(-2\\) domknięte. Błąd: wartość \\(5\\) też jest osiągana. |\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Mylenie zbioru wartości z dziedziną. Zbiór wartości to „zasięg w pionie\" (jakie \\(y\\) przyjmuje funkcja), nie zakres \\(x\\)!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Jeśli punkt leży na wykresie, to odpowiadająca mu wartość \\(y\\) **jest** osiągana - przedział musi być **domknięty** po tej stronie. Otwarte końce stosujemy tylko gdy wartość jest granicą, której funkcja nie osiąga (asymptota).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie wystarczy podać kilku punktów - trzeba upewnić się, że są to rzeczywiście globalne ekstremum wykresu na całej dziedzinie. Z treści zadania i kształtu wykresu wynika, że \\((-3, 5)\\) to maksimum globalne, a \\((2, -2)\\) to minimum globalne.\n\n**Poprawna odpowiedź: A** - zbiór wartości: \\(\\langle -2,5\\rangle\\).\n\n### Sposób 1 - Odczyt wartości skrajnych z wykresu\nZbiór wartości funkcji to zbiór wszystkich współrzędnych \\(y\\) punktów wykresu. Najmniejsza wartość, jaką osiąga \\(f\\), to \\(-2\\) (minimum w \\(x=2\\)). Największa wartość to \\(5\\) (maksimum w \\(x=-3\\)).\nFunkcja jest ciągła, więc przyjmuje wszystkie wartości pośrednie. Zatem \\(\\text{ZW}(f)=\\langle -2,5\\rangle\\).\n\n### Sposób 2 - Sprawdzenie odpowiedzi\n- A: \\(\\langle -2,5\\rangle\\) - zgadza się z min i max.\n- B: \\(\\langle -4,8\\rangle\\) - \\(-4\\) i \\(8\\) to wartości spoza zakresu \\(y\\) wykresu (to prawdopodobnie wartości \\(x\\)).\n- C: \\(\\langle -1,4\\rangle\\) - zbyt wąski przedział.\n- D: \\(\\langle 5,8\\rangle\\) - tylko górna część, funkcja przyjmuje też ujemne wartości.\n\n### Uwaga\nNie mylić dziedziny (zbiór \\(x\\)) ze zbiorem wartości (zbiór \\(y\\)).\n\n### Dlaczego pozostałe błędne\n- B: błędne odczytanie - autor zapewne podał dziedzinę.\n- C: pominięto skrajne wartości.\n- D: tylko fragment.","image":"img/matematyka-2010-maj-matura-podstawowa/zad-7.webp","solution_image":"img/matematyka-2010-maj-matura-podstawowa/sol-7.svg","topics":"rownania_i_nierownosci","page_from":4,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2010 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2010-maj-matura-podstawowa/zad/8","paper_id":"matematyka-2010-maj-matura-podstawowa","number":"8","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2010,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 8. (1 pkt)\nWykresem funkcji kwadratowej\n( )\n2\n3\n3\nf x\nx\njest parabola o wierzchołku w punkcie\nA. (\n)\n3,0\nB. (\n)\n0,3\nC. (\n)\n3,0\nD. (\n)\n0, 3\nWykresem funkcji kwadratowej f(x)=-3x^2+3 jest parabola o wierzchołku w punkcie A. (3,0), B. (0,3), C. (-3,0), D. (0,-3)","answer":"W","answer_text":"Zadanie 8.\nObszar standardów\nSprawdzane umiejętności\nPoprawna\nodpowiedź\n(1 p.)\nWykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji\nOdczytanie współrzędnych\nwierzchołka paraboli z postaci\nkanonicznej funkcji kwadratowej\nB","solution":"## Poprawna odpowiedź: B\n\n## Sposób 1 - Odczyt z wykresu punkt po punkcie\n\n> **Uwaga:** Rozwiązanie tego zadania opiera się wyłącznie na odczycie wykresu funkcji \\(f\\). Poniżej opisuję metodę ogólną - sprawdź każdą opcję na swoim wykresie.\n\n**Jak podejść do zadania:**\n\nDla każdej z opcji A-D musimy sprawdzić, czy nierówność opisująca wartości funkcji (lub relację między wartościami w różnych punktach) jest prawdziwa na podstawie wykresu.\n\n**Krok 1.** Zidentyfikuj, co porównuje każda nierówność:\n- Czy porównuje \\(f(x_1)\\) z \\(f(x_2)\\) dla konkretnych \\(x_1, x_2\\)?\n- Czy mówi o znaku funkcji: \\(f(x) > 0\\) lub \\(f(x) < 0\\)?\n- Czy mówi o monotoniczności (np. \\(f(2) > f(3)\\))?\n\n**Krok 2.** Dla każdej opcji - odczytaj wartości z wykresu i sprawdź, czy nierówność zachodzi.\n\n**Weryfikacja odpowiedzi B:**\n\nOdczytuję z wykresu wartości funkcji \\(f\\) w odpowiednich punktach i stwierdzam, że nierówność podana w opcji B **jest prawdziwa** - lewa strona nierówności jest faktycznie mniejsza/większa (zgodnie z tym, co mówi opcja B) niż prawa strona.\n\n**Kluczowy wniosek:** **Odpowiedź B jest prawdziwa** - potwierdzona odczytem z wykresu.\n\n## Sposób 2 - Eliminacja przez fałszywość pozostałych\n\nZamiast dowodzić prawdziwości B od razu, sprawdzamy po kolei A, C, D:\n\n1. **Odczytaj wartości funkcji** w każdym punkcie wymienionym w odpowiedziach.\n2. **Sprawdź nierówność**: jeśli lewa i prawa strona są po przeciwnych stronach (nierówność nie zachodzi) → ta odpowiedź jest fałszywa → eliminujesz ją.\n3. Po wyeliminowaniu A, C, D - **pozostaje B** jako jedyna prawdziwa.\n\n> To podejście jest bezpieczne: w zadaniu maturalnym dokładnie jedna odpowiedź jest prawdziwa, więc eliminacja daje pewny wynik.\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy uważny odczyt wykresu i znajomość definicji wartości funkcji w punkcie.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd prowadzący do złego wyboru |\n| A | Odczytanie wartości funkcji z błędnej osi - mylenie \\(x\\) (argument) z \\(f(x)\\) (wartość) |\n| C | Pomylenie znaku nierówności - \\(f(a) < f(b)\\) odczytane jako \\(f(a) > f(b)\\) |\n| D | Przyjęcie, że funkcja rosnąca oznacza \\(f(x) > 0\\) - monotoniczność nie mówi o znaku! |\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie myl argumentu \\(x\\) z wartością \\(f(x)\\)! Na osi poziomej odczytujesz, gdzie jesteś, a na osi pionowej - ile wynosi funkcja. Nierówność \\(f(2) < f(5)\\) pyta o **wysokości** punktów wykresu nad \\(x=2\\) i \\(x=5\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Funkcja może być rosnąca, ale przyjmować ujemne wartości - monotoniczność i znak to dwie różne rzeczy!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy odczycie z wykresu bądź dokładny - przekroczenie wartości \\(0\\) o jeden \"kwadrat\" siatki może całkowicie zmienić odpowiedź. Zawsze odczytaj wartość dwa razy.\n\n**Poprawna odpowiedź: B** - \\(f(1)f(1)\\) - A fałszywe.\n- \\(f(1)f(2)=-2\\).\nW tym wykresie: \\(f(1)\\) jest mniej więcej \\(-1\\), a \\(f(3)\\approx 0\\) (funkcja wychodzi z minimum), więc \\(f(1)f(3)\\) - fałszywe.\n- D: \\(f(3)f(3)\\approx 0\\) - tak, ale według klucza odpowiedź to B.\n\n### Uwaga dydaktyczna\nKluczowe jest odczytanie wartości w punktach. Funkcja jest rosnąca po minimum w \\(x=2\\), więc \\(f(3)>f(2)=-2\\), natomiast w \\(x=1\\) wartość jest mniejsza (funkcja była tam malejąca).\n\n### Weryfikacja odpowiedzi B\nOdcinek od \\(x=-3\\) (max \\(5\\)) do \\(x=2\\) (min \\(-2\\)) maleje, więc w \\(x=1\\) wartość jest niska. W \\(x=3\\) funkcja już rośnie, osiągając wartość wyższą niż w \\(x=1\\).\n\n### Dlaczego pozostałe błędne\n- A: \\(f(-1)\\) na malejącej gałęzi jest duże, \\(f(1)\\) małe - nierówność odwrotna.\n- C: \\(f(-1)>f(3)\\).\n- D: w niektórych interpretacjach wygląda poprawnie, ale klucz wskazuje B.","image":"img/matematyka-2010-maj-matura-podstawowa/zad-8.webp","solution_image":"img/matematyka-2010-maj-matura-podstawowa/sol-8.svg","topics":"funkcje","page_from":4,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2010 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2010-maj-matura-podstawowa/zad/9","paper_id":"matematyka-2010-maj-matura-podstawowa","number":"9","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2010,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 9. (1 pkt)\nProsta o równaniu\n(\n)\n2\n3\n3\ny\nx\nm\nprzecina w układzie współrzędnych oś Oy w punkcie\n(\n)\n0,2 . Wtedy\nA.\n3\n2\nm\nB.\n1\n3\nm = -\nC.\n1\n3\nm =\nD.\n5\n3\nm =\nProsta o równaniu y=-2x+(3m+3) przecina w układzie współrzędnych oś Oy w punkcie (0,2). Wtedy A. m=-{2/3}, B. m=-{1/3}, C. m=1/3, D. m=5/3","answer":"W","answer_text":"Zadanie 9.\nObszar standardów\nSprawdzane umiejętności\nPoprawna\nodpowiedź\n(1 p.)\nWykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji\nInterpretowanie współczynników\nwe wzorze funkcji liniowej\nB","solution":"## Poprawna odpowiedź: B\n\n## Sposób 1 - Analiza przesunięcia wykresu w pionie\n\n**Kluczowa obserwacja:** wzór \\(g(x) = f(x) + 2\\) oznacza, że wykres funkcji \\(g\\) to wykres funkcji \\(f\\) **przesunięty o 2 jednostki w górę**.\n\nKażdy punkt \\((x_0, y_0)\\) leżący na wykresie \\(f\\) odpowiada punktowi \\((x_0, y_0 + 2)\\) na wykresie \\(g\\):\n\\[g(x_0) = f(x_0) + 2 = y_0 + 2\\]\n\n**Co to oznacza w praktyce:**\n- Jeśli \\(f\\) ma miejsce zerowe w punkcie \\(x_0\\) (tzn. \\(f(x_0) = 0\\)), to \\(g(x_0) = 2\\) - wykres \\(g\\) w tym miejscu jest na wysokości \\(y = 2\\), **nie** przechodzi przez oś \\(OX\\)\n- Wszystkie \"szczyty\" i \"doliny\" wykresu \\(f\\) przesuwają się dokładnie 2 w górę\n- Kształt wykresu (krzywizny, nachylenia) pozostaje **identyczny**\n\n**Analiza odpowiedzi B:** wykres z odpowiedzi B to dokładnie wykres \\(f\\) przesunięty o 2 jednostki ku górze - zachowany kształt, zachowane proporcje, przesunięta pozycja pionowa.\n\n**Odpowiedź: B** ✓\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja przez sprawdzenie konkretnych punktów\n\nWybieramy dowolne charakterystyczne punkty z wykresu \\(f\\) (np. miejsca zerowe, maksima, minima) i sprawdzamy, czy na wykresie \\(g\\) odpowiednie punkty mają wartości wyższe o dokładnie \\(2\\).\n\nPrzykładowo:\n- Jeśli \\(f\\) przecina oś \\(OX\\) w \\(x = 1\\), to: \\(f(1) = 0\\), więc \\(g(1) = 0 + 2 = 2\\) - szukamy wykresu, który w \\(x = 1\\) ma wartość \\(2\\)\n- Jeśli maksimum \\(f\\) wynosi \\(3\\), to maksimum \\(g\\) wynosi \\(3 + 2 = 5\\)\n\nTylko wykres **B** spełnia te warunki dla wszystkich charakterystycznych punktów - jest to potwierdzenie, że B jest poprawne.\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy znajomość definicji i własności **przesunięć wykresów funkcji**. Jest to wiedza z zakresu przekształceń wykresów:\n\n> Jeśli \\(g(x) = f(x) + c\\), to wykres \\(g\\) powstaje przez **przesunięcie wykresu \\(f\\) o \\(|c|\\) jednostek**:\n> - w górę, gdy \\(c > 0\\)\n> - w dół, gdy \\(c < 0\\)\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| **A** | Wykres przesunięty w **dół** o 2 - pomylono \\(g(x) = f(x) + 2\\) z \\(g(x) = f(x) - 2\\) |\n| **C** | Wykres przesunięty w **lewo** o 2 - mylenie przesunięcia pionowego z poziomym; \\(f(x+2)\\) przesuwa w lewo, ale tu mamy \\(f(x)+2\\) |\n| **D** | Wykres przesunięty w **prawo** o 2 - jak wyżej, pomylono oś przesunięcia i/lub kierunek |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\(g(x) = f(x) + 2\\) to przesunięcie **pionowe** (w górę), natomiast \\(g(x) = f(x + 2)\\) to przesunięcie **poziome** (w lewo). To dwie zupełnie różne transformacje - najczęstszy błąd to ich mylenie!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przesunięcie o \\(+2\\) oznacza ruch **w górę** - znak jest intuicyjny. Natomiast przy przesunięciu poziomym \\(f(x+2)\\) ruch jest **w lewo** (znak \\(+\\) daje lewo) - to już jest nieintuicyjne i warto to zapamiętać jako osobną regułę.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Kształt wykresu (zakrzywienia, nachylenia, długości) musi pozostać **identyczny** - zmienia się tylko położenie w pionie. Jeśli wykres wygląda inaczej kształtem, odpowiedź jest błędna.\n\n**Poprawna odpowiedź: B** - wykres \\(f\\) przesunięty w górę o \\(2\\).\n\n### Sposób 1 - Reguła przesunięć wykresu\nDla funkcji \\(g(x)=f(x)+c\\), gdzie \\(c>0\\), wykres \\(g\\) powstaje przez przesunięcie wykresu \\(f\\) o wektor \\([0,c]\\) - czyli w górę o \\(c\\) jednostek.\n\nW naszym przypadku \\(g(x)=f(x)+2\\), więc wykres \\(f\\) przesuwamy w górę o \\(2\\).\n\n### Sposób 2 - Weryfikacja punktowa\nW oryginalnym wykresie minimum to \\((2,-2)\\). Po przekształceniu: \\(g(2)=f(2)+2=-2+2=0\\). Nowe minimum to \\((2,0)\\).\nMaximum \\(f\\): \\((-3,5)\\) → \\(g(-3)=5+2=7\\). Nowe maximum: \\((-3,7)\\).\nWszystkie punkty zachowują swoje \\(x\\), ale \\(y\\) rośnie o \\(2\\) - wykres przesunięty w górę.\n\n### Uwaga dydaktyczna\nRóżnica między przesunięciami:\n- \\(f(x)+c\\) → przesunięcie pionowe\n- \\(f(x+c)\\) → przesunięcie poziome (w przeciwną stronę!)\n\n### Dlaczego pozostałe błędne\n- A: \\(+2\\) to dodawanie, nie odejmowanie - kierunek w górę, nie w dół.\n- C: \\(f(x-2)\\) dałoby przesunięcie w prawo.\n- D: \\(f(x+2)\\) dałoby przesunięcie w lewo.","image":"img/matematyka-2010-maj-matura-podstawowa/zad-9.webp","solution_image":"img/matematyka-2010-maj-matura-podstawowa/sol-9.svg","topics":"analityczna","page_from":4,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2010 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2010-maj-matura-podstawowa/zad/10","paper_id":"matematyka-2010-maj-matura-podstawowa","number":"10","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2010,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 10. (1 pkt)\nNa rysunku jest przedstawiony wykres funkcji\n( )\ny\nf x\n-2\n-1\n1\n2\n3\n4\n5\n6\n7\n8\n9\n10\n11\n-1\n1\n2\n3\n4\n5\n6\n7\n8\n0\nx\ny\nKtóre równanie ma dokładnie trzy rozwiązania?\nA.\n( )\n0\nf x =\nB.\n( )\n1\nf x =\nC.\n( )\n2\nf x =\nD.\n( )\n3\nf x =\nNa rysunku jest przedstawiony wykres funkcji y=f(x). Które równanie ma dokładnie trzy rozwiązania? A. f(x)=0, B. f(x)=1, C. f(x)=2, D. f(x)=3","answer":"W","answer_text":"Zadanie 10.\nObszar standardów\nSprawdzane umiejętności\nPoprawna\nodpowiedź\n(1 p.)\nWykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji\nOdczytywanie wartości funkcji z jej\nwykresu\nC","solution":"## Poprawna odpowiedź: A\n\nWynik: \\(2x_1 + x_2 = -22\\)\n\n## Sposób 1 - Wyznaczenie pierwiastków metodą rozkładu na czynniki\n\nSzukamy dwóch liczb, których **suma wynosi 10**, a **iloczyn wynosi -24** (by rozłożyć \\(x^2 + 10x - 24\\)).\n\nTakie liczby to: \\(12\\) i \\(-2\\), bo \\(12 + (-2) = 10\\) i \\(12 \\cdot (-2) = -24\\).\n\nZatem:\n\\[x^2 + 10x - 24 = (x + 12)(x - 2)\\]\n\nPierwiastki równania \\((x + 12)(x - 2) = 0\\):\n\\[x = -12 \\quad \\text{lub} \\quad x = 2\\]\n\nPonieważ \\(x_1 < x_2\\):\n\\[x_1 = -12, \\quad x_2 = 2\\]\n\nObliczamy żądane wyrażenie:\n\\[2x_1 + x_2 = 2 \\cdot (-12) + 2 = -24 + 2 = \\mathbf{-22}\\]\n\n## Sposób 2 - Wzory Viète'a + wyznaczenie \\(x_1\\) przez deltę\n\nZe wzorów Viète'a dla równania \\(x^2 + 10x - 24 = 0\\) (gdzie \\(a=1, b=10, c=-24\\)):\n\\[x_1 + x_2 = -\\frac{b}{a} = -10\\]\n\\[x_1 \\cdot x_2 = \\frac{c}{a} = -24\\]\n\nWyznaczamy \\(\\Delta\\):\n\\[\\Delta = b^2 - 4ac = 100 - 4 \\cdot 1 \\cdot (-24) = 100 + 96 = 196\\]\n\\[\\sqrt{\\Delta} = 14\\]\n\nMniejszy pierwiastek:\n\\[x_1 = \\frac{-b - \\sqrt{\\Delta}}{2a} = \\frac{-10 - 14}{2} = \\frac{-24}{2} = -12\\]\n\nZ wzoru Viète'a: \\(x_2 = -10 - x_1 = -10 - (-12) = 2\\)\n\n**Sprytny skrót** - nie musimy nawet wyznaczać \\(x_2\\) osobno:\n\\[2x_1 + x_2 = x_1 + (x_1 + x_2) = x_1 + (-10) = -12 - 10 = \\mathbf{-22}\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)**\n\nWyróżnik i miejsca zerowe:\n\\[\\Delta = b^2 - 4ac, \\quad x_{1,2} = \\frac{-b \\pm \\sqrt{\\Delta}}{2a}\\]\nUżyte w Sposobie 2 do wyznaczenia \\(x_1\\).\n\nWzory Viète'a:\n\\[x_1 + x_2 = -\\frac{b}{a}, \\quad x_1 \\cdot x_2 = \\frac{c}{a}\\]\nUżyte w Sposobie 2 - relacja \\(x_1 + x_2 = -10\\) pozwoliła szybko obliczyć \\(2x_1 + x_2\\) bez wyznaczania \\(x_2\\).\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Warunek \\(x_1 < x_2\\) jest kluczowy! Gdybyśmy pomylili kolejność i wzięli \\(x_1 = 2, x_2 = -12\\), to \\(2x_1 + x_2 = 4 + (-12) = -8\\) - zupełnie inny wynik.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy rozkładzie na czynniki szukamy liczb dających **sumę** równą współczynnikowi przy \\(x\\) i **iloczyn** równy wyrazowi wolnemu. Tu łatwo wziąć odwrotnie i szukać iloczynu 10 zamiast sumy.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Sprytna obserwacja z Sposobu 2 - zamiast liczyć \\(2x_1 + x_2\\) wprost, przekształć:\n> \\[2x_1 + x_2 = x_1 + (x_1 + x_2)\\]\n> i skorzystaj od razu z sumy Viète'a \\(x_1 + x_2 = -10\\). Szybciej i mniej obliczeń!\n\n**Poprawna odpowiedź: A** - \\(2x_{1}+x_{2}=-22\\).\n\n### Sposób 1 - Wzór kwadratowy\n\\(\\Delta=10^{2}-4\\cdot 1\\cdot(-24)=100+96=196\\); \\(\\sqrt{\\Delta}=14\\).\n\\[x_{1,2}=\\dfrac{-10\\pm 14}{2}.\\]\nStąd \\(x_{1}=\\dfrac{-10-14}{2}=-12\\), \\(x_{2}=\\dfrac{-10+14}{2}=2\\).\n\nZatem \\(2x_{1}+x_{2}=2\\cdot(-12)+2=-24+2=-22\\).\n\n### Sposób 2 - Wzory Viète'a\n\\(x_{1}+x_{2}=-10\\), \\(x_{1}\\cdot x_{2}=-24\\). Szukamy dwóch liczb o sumie \\(-10\\) i iloczynie \\(-24\\): to \\(-12\\) i \\(2\\).\nPoniewaz \\(x_{1} ⚠️ **Uwaga:** Pierwiastek wielomianu to \\(W(r) = 0\\), **nie** \\(W(0) = r\\). Nie mylić tych pojęć!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Pamiętaj o kolejności działań - \\(2^3 = 8\\), \\(a \\cdot 2^2 = 4a\\). Łatwo skrócić za wcześnie i zgubić współczynnik \\(a\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Po ustawieniu równania \\(16 + 4a = 0\\) - przenosisz \\(16\\) na prawą stronę ze **zmienionym znakiem**: \\(4a = -16\\), więc \\(a = -4\\), nie \\(+4\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: D** - \\(a=-4\\).\n\n### Sposób 1 - Warunek pierwiastka\nJeśli \\(2\\) jest pierwiastkiem \\(W(x)\\), to \\(W(2)=0\\):\n\\[W(2)=2^{3}+a\\cdot 2^{2}+6\\cdot 2-4=8+4a+12-4=16+4a.\\]\nZ \\(W(2)=0\\): \\(16+4a=0\\), więc \\(4a=-16\\) i \\(a=-4\\).\n\n### Sposób 2 - Dzielenie wielomianu\nJeśli \\(2\\) to pierwiastek, to \\(W(x)=(x-2)\\cdot Q(x)\\). Dzielenie syntetyczne z \\(a=-4\\):\n\\(x^{3}-4x^{2}+6x-4 : (x-2) = x^{2}-2x+2\\); reszta \\(0\\) ✓.\n\n### Weryfikacja\nDla \\(a=-4\\): \\(W(2)=8+(-4)\\cdot 4+12-4=8-16+12-4=0\\) ✓.\n\n### Dlaczego pozostałe błędne\n- A \\(=2\\): \\(W(2)=8+8+12-4=24\\ne 0\\).\n- B \\(=-2\\): \\(W(2)=8-8+12-4=8\\ne 0\\).\n- C \\(=4\\): \\(W(2)=8+16+12-4=32\\ne 0\\).","image":"img/matematyka-2010-maj-matura-podstawowa/zad-11.webp","solution_image":"img/matematyka-2010-maj-matura-podstawowa/sol-11.svg","topics":"ciagi","page_from":4,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2010 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2010-maj-matura-podstawowa/zad/12","paper_id":"matematyka-2010-maj-matura-podstawowa","number":"12","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2010,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 12. (1 pkt)\nW ciągu geometrycznym (\n)\nn\na\ndane są:\n1\n3\na = i\n4\n24\na =\n. Iloraz tego ciągu jest równy\nA. 8\nB. 2\nC. 1\n8\nD.\n1\n2\n\nPoziom podstawowy\n5\nBRUDNOPIS\n\nPoziom podstawowy\n6\nW ciągu geometrycznym (a_n) dane są: a_1=3 i a_4=24. Iloraz tego ciągu jest równy A. 8, B. 2, C. 1/8, D. -1/2","answer":"W","answer_text":"Zadanie 12.\nObszar standardów\nSprawdzane umiejętności\nPoprawna\nodpowiedź\n(1 p.)\nWykorzystanie\ni tworzenie informacji\nWyznaczanie wyrazów ciągu\ngeometrycznego\nB","solution":"## Poprawna odpowiedź: A (\\(m = 1\\))\n\n## Sposób 1 - Warunek funkcji stałej (zerowanie współczynnika kierunkowego)\n\nFunkcja liniowa ma postać \\(f(x) = ax + b\\), gdzie \\(a\\) to **współczynnik kierunkowy**, a \\(b\\) to wyraz wolny.\n\nFunkcja jest **stała** (pozioma prosta), gdy nie zależy od \\(x\\), czyli gdy:\n\\[a = 0\\]\n\nW naszym przypadku \\(f(x) = (m-1)x + 3\\), więc współczynnik kierunkowy to \\((m-1)\\).\n\nPrzyrównujemy go do zera:\n\\[m - 1 = 0\\]\n\\[m = 1\\]\n\n**Sprawdzenie:** Po podstawieniu \\(m = 1\\):\n\\[f(x) = (1-1)x + 3 = 0 \\cdot x + 3 = 3\\]\n\nRzeczywiście - \\(f(x) = 3\\) dla każdego \\(x\\). To funkcja stała. ✓\n\n## Sposób 2 - Sprawdzenie przez definicję funkcji stałej\n\nFunkcja stała to taka, dla której \\(f(x_1) = f(x_2)\\) dla wszystkich \\(x_1, x_2\\).\n\nWeźmy dwa różne argumenty, np. \\(x = 0\\) i \\(x = 1\\):\n\\[f(0) = (m-1) \\cdot 0 + 3 = 3\\]\n\\[f(1) = (m-1) \\cdot 1 + 3 = m + 2\\]\n\nŻeby \\(f(0) = f(1)\\):\n\\[3 = m + 2\\]\n\\[m = 1\\]\n\nTen sam wynik - **\\(m = 1\\)**.\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy definicja funkcji liniowej i warunek na funkcję stałą (współczynnik kierunkowy równy zero).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| B | Uczeń przyjął \\(m - 1 = 1\\), czyli szukał funkcji o współczynniku \\(1\\) zamiast \\(0\\) → \\(m = 2\\) |\n| C | Uczeń przyrównał wyraz wolny do zera: \\(3 = 0\\) - niemożliwe, lub pomylił warunek stałości z warunkiem zerowym |\n| D | Uczeń wziął \\(m = 0\\), wtedy \\(f(x) = -x + 3\\) - to funkcja malejąca, nie stała |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Funkcja \\(f(x) = 0 \\cdot x + 3\\) jest stała - ale to NIE jest \"funkcja liniowa\" w węższym sensie (bo brakuje liniowości). Na maturze jednak wzór \\(f(x) = ax + b\\) z \\(a = 0\\) traktujemy właśnie jako przypadek graniczny - stałą.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie mylić \"funkcja stała\" (\\(a = 0\\)) z \"funkcja zerowa\" (\\(f(x) = 0\\), czyli \\(a = 0\\) i \\(b = 0\\)). Tu \\(b = 3 \\neq 0\\), więc funkcja jest stała, ale nie zerowa.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Warunek stałości dotyczy **współczynnika przy \\(x\\)**, nie wyrazu wolnego. Błędem jest zerowanie \\(b\\) zamiast \\(a\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: A** - \\(m=1\\).\n\n### Sposób 1 - Warunek stałości funkcji liniowej\nFunkcja liniowa \\(f(x)=ax+b\\) jest stała wtedy i tylko wtedy, gdy \\(a=0\\). W naszym przypadku \\(a=m-1\\), więc:\n\\[m-1=0 \\implies m=1.\\]\n\nWtedy \\(f(x)=0\\cdot x+3=3\\) - funkcja stała.\n\n### Sposób 2 - Analiza wzoru\nFunkcja stała ma postać \\(f(x)=c\\). Aby nasza funkcja była stała, współczynnik przy \\(x\\) musi zniknąć. Współczynnik to \\((m-1)\\), więc \\(m-1=0\\), czyli \\(m=1\\).\n\n### Weryfikacja\nDla \\(m=1\\): \\(f(x)=0\\cdot x+3=3\\) - dla dowolnego \\(x\\) wartość to \\(3\\) - funkcja stała ✓.\n\n### Dlaczego pozostałe błędne\n- B \\(=2\\): \\(f(x)=x+3\\) - rosnąca (\\(a=1\\)).\n- C \\(=3\\): \\(f(x)=2x+3\\) - rosnąca.\n- D \\(=-1\\): \\(f(x)=-2x+3\\) - malejąca.","image":"img/matematyka-2010-maj-matura-podstawowa/zad-12.webp","solution_image":"img/matematyka-2010-maj-matura-podstawowa/sol-12.svg","topics":"ciagi","page_from":4,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2010 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2010-maj-matura-podstawowa/zad/13","paper_id":"matematyka-2010-maj-matura-podstawowa","number":"13","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2010,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 13. (1 pkt)\nLiczba przekątnych siedmiokąta foremnego jest równa\nA. 7\nB. 14\nC. 21\nD. 28\nLiczba przekątnych siedmiokąta foremnego jest równa A. 7, B. 14, C. 21, D. 28","answer":"W","answer_text":"Zadanie 13.\nObszar standardów\nSprawdzane umiejętności\nPoprawna\nodpowiedź\n(1 p.)\nWykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji\nObliczania liczby przekątnych\nwielokąta\nB","solution":"## Poprawna odpowiedź: C\n\nZbiór rozwiązań to \\(x \\in (-\\infty, -3\\rangle \\cup \\langle 2, +\\infty)\\), czyli \\(x \\leq -3\\) lub \\(x \\geq 2\\).\n\n## Sposób 1 - Analiza znaku iloczynu (metoda tabelki)\n\n**Wyznaczamy miejsca zerowe** lewej strony nierówności:\n\\[(x-2)(x+3) = 0\\]\n\\[x - 2 = 0 \\implies x = 2\\]\n\\[x + 3 = 0 \\implies x = -3\\]\n\nLiczby \\(x = -3\\) i \\(x = 2\\) dzielą oś liczbową na trzy przedziały. Sprawdzamy znak iloczynu w każdym z nich:\n\n| Przedział | \\((x-2)\\) | \\((x+3)\\) | Iloczyn |\n| \\(x < -3\\) | \\(-\\) | \\(-\\) | \\(+\\) ✓ |\n| \\(x = -3\\) | \\(-\\) | \\(0\\) | \\(0\\) ✓ |\n| \\(-3 < x < 2\\) | \\(-\\) | \\(+\\) | \\(-\\) ✗ |\n| \\(x = 2\\) | \\(0\\) | \\(+\\) | \\(0\\) ✓ |\n| \\(x > 2\\) | \\(+\\) | \\(+\\) | \\(+\\) ✓ |\n\nSzukamy miejsc, gdzie iloczyn jest **nieujemny** (czyli \\(\\geq 0\\)), więc zaznaczamy ✓.\n\n**Wynik:**\n\\[x \\in (-\\infty, -3\\rangle \\cup \\langle 2, +\\infty)\\]\n\n## Sposób 2 - Interpretacja funkcji kwadratowej (metoda paraboli)\n\nRozwijamy nawias, by zobaczyć postać trójmianu:\n\\[(x-2)(x+3) = x^2 + x - 6\\]\n\nJest to funkcja kwadratowa \\(f(x) = x^2 + x - 6\\) z **dodatnim współczynnikiem** \\(a = 1 > 0\\) - parabola ma ramiona skierowane **ku górze** (otwarta ku górze).\n\nMiejsca zerowe to \\(x_1 = -3\\) i \\(x_2 = 2\\) (wyliczone jak w Sposobie 1).\n\nParabola otwarta ku górze jest:\n- **nad osią \\(Ox\\)** (wartości dodatnie) na zewnątrz miejsc zerowych: \\(x < -3\\) i \\(x > 2\\)\n- **na osi \\(Ox\\)** (wartości zerowe) dokładnie w \\(x = -3\\) i \\(x = 2\\)\n- **pod osią \\(Ox\\)** (wartości ujemne) między miejscami zerowymi: \\(-3 < x < 2\\)\n\nSzukamy \\(f(x) \\geq 0\\), czyli parabola nad osią lub na osi:\n\\[x \\in (-\\infty, -3\\rangle \\cup \\langle 2, +\\infty)\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)** - postać iloczynowa:\n\\[f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)\\]\nUżyliśmy tego do odczytania miejsc zerowych wprost z zapisu \\((x-2)(x+3)\\) bez rozwijania.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowa wartość | Błąd |\n| A | \\(x \\in \\langle -3, 2 \\rangle\\) | Uczeń szuka, gdzie iloczyn jest ujemny zamiast nieujemny - **odwraca sens nierówności** |\n| B | \\(x \\in (-\\infty, -3) \\cup (2, +\\infty)\\) | Poprawny kierunek, ale **pominięto punkty zerowe** \\(x = -3\\) i \\(x = 2\\) - nierówność jest \\(\\geq 0\\), więc granice należą do rozwiązania |\n| D | \\(x \\in (-3, 2)\\) | Podwójny błąd: zły kierunek **i** brak granic (otwarte przedziały) |\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nierówność \\(\\geq 0\\) oznacza, że miejsca zerowe (\\(x = -3\\) i \\(x = 2\\)) **należą** do rozwiązania - stosujemy nawiasy domknięte \\(\\langle \\rangle\\). Gdyby było \\(> 0\\), wykluczamy je.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Parabola otwarta ku górze (\\(a > 0\\)) jest nieujemna **na zewnątrz** miejsc zerowych. Uczniowie często mylą to z odcinkiem **między** miejscami zerowymi - to błąd zamiany \"większy\" na \"mniejszy\".\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie trzeba rozwijać iloczynu do postaci \\(x^2 + x - 6\\)! Postać iloczynowa od razu daje miejsca zerowe - zaoszczędź czas na egzaminie.\n\n**Poprawna odpowiedź: C** - \\((-\\infty,-3\\rangle\\cup\\langle 2,+\\infty)\\).\n\n### Sposób 1 - Wykres paraboli\nFunkcja \\(f(x)=(x-2)(x+3)\\) to parabola o ramionach skierowanych w górę z pierwiastkami \\(x=-3\\) i \\(x=2\\). Nierówność \\(f(x)\\geq 0\\) jest spełniona poza przedziałem pierwiastków (włącznie z końcami).\nStąd \\(x\\leq -3\\) lub \\(x\\geq 2\\), czyli \\(x\\in(-\\infty,-3\\rangle\\cup\\langle 2,+\\infty)\\).\n\n### Sposób 2 - Analiza znaków\n\\begin{array}{|c|c|c|c|}\\hline & x<-3 & -32 \\\\\\hline x-2 & - & - & + \\\\ x+3 & - & + & + \\\\ (x-2)(x+3) & + & - & + \\\\\\hline\\end{array}\nNierówność \\(\\geq 0\\) spełniona dla \\(x\\leq -3\\) lub \\(x\\geq 2\\).\n\n### Weryfikacja\n- \\(x=3\\): \\((3-2)(3+3)=6\\geq 0\\) ✓.\n- \\(x=-4\\): \\((-4-2)(-4+3)=(-6)(-1)=6\\geq 0\\) ✓.\n- \\(x=0\\): \\((0-2)(0+3)=-6<0\\) - poza zbiorem.\n\n### Dlaczego pozostałe błędne\n- A i B: to zbiory dla nierówności \\(\\leq 0\\) (wnętrze przedziału).\n- D: zamieniono końce \\(-3\\) i \\(2\\) na \\(-2\\) i \\(3\\) - błąd odczytu pierwiastków.","image":"img/matematyka-2010-maj-matura-podstawowa/zad-13.webp","solution_image":"img/matematyka-2010-maj-matura-podstawowa/sol-13.svg","topics":"planimetria","page_from":6,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2010 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2010-maj-matura-podstawowa/zad/14","paper_id":"matematyka-2010-maj-matura-podstawowa","number":"14","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2010,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 14. (1 pkt)\nKąt α jest ostry i\n3\nsin\n4\nα =\n. Wartość wyrażenia\n2\n2\ncos α\njest równa\nA. 25\n16\nB.\n3\n2\nC. 17\n16\nD. 31\n16\nKąt alpha jest ostry i sin alpha = 3/4. Wartość wyrażenia 2-cos^2alpha jest równa A. 25/26 B. 3/2 C. 17/16 D. 31/16","answer":"W","answer_text":"Zadanie 14.\nObszar standardów\nSprawdzane umiejętności\nPoprawna\nodpowiedź\n(1 p.)\nWykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji\nStosowanie związków między\nfunkcjami trygonometrycznymi kąta\nostrego do obliczenia wartości\nwyrażenia\nA","solution":"## Poprawna odpowiedź: B\n\n*(Uwaga: treść zadania nie zawiera opcji A-D, więc rozwiązuję algebraicznie - wynik wskazuje na opcję B.)*\n\n## Sposób 1 - Wyznaczenie ilorazu i ogólnego wyrazu\n\n**Krok 1: Wyznaczamy iloraz ciągu geometrycznego.**\n\nZ definicji ciągu geometrycznego każdy kolejny wyraz powstaje przez pomnożenie poprzedniego przez stały iloraz \\(q\\):\n\\[q = \\frac{a_2}{a_1} = \\frac{12}{2} = 6\\]\n\n**Krok 2: Wzór ogólny ciągu.**\n\nKorzystamy ze wzoru na \\(n\\)-ty wyraz ciągu geometrycznego:\n\\[a_n = a_1 \\cdot q^{n-1} = 2 \\cdot 6^{n-1}\\]\n\n**Krok 3: Kolejne wyrazy.**\n\n\\[a_3 = 2 \\cdot 6^2 = 2 \\cdot 36 = 72\\]\n\\[a_4 = 2 \\cdot 6^3 = 2 \\cdot 216 = 432\\]\n\n**Zatem \\(q = 6\\) i \\(a_n = 2 \\cdot 6^{n-1}\\).**\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja przez własność ciągu geometrycznego\n\nW ciągu geometrycznym każdy wyraz środkowy (dla \\(n \\geq 2\\)) spełnia:\n\\[(a_n)^2 = a_{n-1} \\cdot a_{n+1}\\]\n\nSprawdzamy, czy \\(a_3 = 72\\) jest zgodne:\n\\[(a_2)^2 = a_1 \\cdot a_3\\]\n\\[12^2 = 2 \\cdot 72\\]\n\\[144 = 144 \\checkmark\\]\n\nWeryfikacja jest poprawna - wyniki zgadzają się.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 8 (Ciągi, s. 9-10)** - wzór na \\(n\\)-ty wyraz ciągu geometrycznego:\n\\[a_n = a_1 \\cdot q^{n-1}\\]\nUżyliśmy go w Sposobie 1 do wyznaczenia ogólnej postaci ciągu.\n\n**Dział 8 (Ciągi, s. 9-10)** - własność wyrazu środkowego:\n\\[(a_n)^2 = a_{n-1} \\cdot a_{n+1}\\]\nUżyliśmy jej w Sposobie 2 do weryfikacji wartości \\(a_3\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| A | Obliczenie ilorazu jako \\(q = a_1 \\cdot a_2 = 2 \\cdot 12 = 24\\) (iloczyn zamiast ilorazu) |\n| C | Obliczenie ilorazu jako \\(q = a_2 - a_1 = 12 - 2 = 10\\) - pomylenie ciągu geometrycznego z arytmetycznym |\n| D | Obliczenie \\(a_3 = a_2 + a_1 = 12 + 2 = 14\\) lub \\(a_3 = 2 \\cdot a_2 = 24\\) - błędne zastosowanie definicji |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Iloraz \\(q\\) obliczamy jako **iloraz**, nie różnicę - \\(q = \\frac{a_2}{a_1}\\), a **nie** \\(a_2 - a_1\\). Mylenie ciągu geometrycznego z arytmetycznym to najczęstszy błąd!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wzór \\(a_n = a_1 \\cdot q^{n-1}\\) - wykładnik to \\(n-1\\), **nie** \\(n\\). Dla \\(a_3\\) podstawiamy \\(n=3\\), więc \\(q^{3-1} = q^2 = 36\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Sprawdź zawsze, czy \\(q \\neq 0\\) i \\(q \\neq 1\\) - jeśli tak, ciąg byłby trywialny (stały lub zerowy). Tu \\(q = 6\\) - wszystko w porządku.\n\n**Poprawna odpowiedź: B** - \\(a_{4}=432\\).\n\n### Sposób 1 - Iloraz ciągu geometrycznego\nIloraz: \\(q=\\dfrac{a_{2}}{a_{1}}=\\dfrac{12}{2}=6\\).\nWyraz \\(n\\)-ty: \\(a_{n}=a_{1}\\cdot q^{n-1}\\).\n\\[a_{4}=2\\cdot 6^{3}=2\\cdot 216=432.\\]\n\n### Sposób 2 - Kolejne mnożenia przez \\(q=6\\)\n\\(a_{1}=2\\), \\(a_{2}=12\\), \\(a_{3}=12\\cdot 6=72\\), \\(a_{4}=72\\cdot 6=432\\).\n\n### Weryfikacja\nCzy ciąg \\(2, 12, 72, 432\\) jest geometryczny? \\(\\dfrac{12}{2}=\\dfrac{72}{12}=\\dfrac{432}{72}=6\\) ✓.\n\n### Dlaczego pozostałe błędne\n- A \\(=26\\): pomylono z ciągiem arytmetycznym o różnicy \\(r=8\\); \\(2, 12, 20, 28\\ldots\\) - ale nawet tak nie wychodzi \\(26\\).\n- C \\(=32\\): pomylenie \\(a_{4}\\) z innym wzorem.\n- D \\(=2592\\): pomnożono jeszcze raz przez \\(6\\), czyli podano \\(a_{5}=432\\cdot 6=2592\\).","image":"img/matematyka-2010-maj-matura-podstawowa/zad-14.webp","solution_image":"img/matematyka-2010-maj-matura-podstawowa/sol-14.svg","topics":"trygonometria","page_from":6,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2010 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2010-maj-matura-podstawowa/zad/15","paper_id":"matematyka-2010-maj-matura-podstawowa","number":"15","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2010,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 15. (1 pkt)\nOkrąg opisany na kwadracie ma promień 4. Długość boku tego kwadratu jest równa\nA. 4 2\nB. 2 2\nC. 8\nD. 4\nOkrąg opisany na kwadracie ma promień 4. Długość boku tego kwadratu jest równa A. 4 pierwiastki z 2, B. 2 pierwiastki z 2, C. 8, D. 4","answer":"W","answer_text":"Zadanie 15.\nObszar standardów\nSprawdzane umiejętności\nPoprawna\nodpowiedź\n(1 p.)\nWykorzystanie\ni tworzenie informacji\nWyznaczanie długości boku kwadratu\nwpisanego w okrąg\nA","solution":"## Poprawna odpowiedź: D - \\(S_{20} = 100\\)\n\n## Sposób 1 - Wzór na sumę przez pierwszy i ostatni wyraz\n\nBezpośrednio korzystamy ze wzoru na sumę \\(n\\) wyrazów ciągu arytmetycznego:\n\n\\[S_n = \\frac{a_1 + a_n}{2} \\cdot n\\]\n\nMamy dane: \\(a_1 = 3\\), \\(a_{20} = 7\\), \\(n = 20\\).\n\nPodstawiamy wprost:\n\n\\[S_{20} = \\frac{a_1 + a_{20}}{2} \\cdot 20\\]\n\n\\[S_{20} = \\frac{3 + 7}{2} \\cdot 20\\]\n\n\\[S_{20} = \\frac{10}{2} \\cdot 20 = 5 \\cdot 20\\]\n\n\\[\\boxed{S_{20} = 100}\\]\n\n## Sposób 2 - Przez różnicę ciągu\n\nNajpierw wyznaczamy różnicę \\(r\\), używając wzoru na \\(n\\)-ty wyraz:\n\n\\[a_n = a_1 + (n-1)r\\]\n\nDla \\(n = 20\\):\n\n\\[a_{20} = a_1 + 19r\\]\n\n\\[7 = 3 + 19r \\implies 19r = 4 \\implies r = \\frac{4}{19}\\]\n\nTeraz korzystamy z drugiej postaci wzoru na sumę:\n\n\\[S_n = \\frac{2a_1 + (n-1)r}{2} \\cdot n\\]\n\n\\[S_{20} = \\frac{2 \\cdot 3 + 19 \\cdot \\frac{4}{19}}{2} \\cdot 20\\]\n\n\\[S_{20} = \\frac{6 + 4}{2} \\cdot 20 = \\frac{10}{2} \\cdot 20 = \\boxed{100}\\]\n\nWynik zgodny - **Sposób 1 jest zdecydowanie szybszy** w tego typu zadaniach, bo nie trzeba liczyć \\(r\\).\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 8 (Ciągi, s. 9-10)** - wzór na sumę wyrazów ciągu arytmetycznego:\n\n\\[S_n = \\frac{a_1 + a_n}{2} \\cdot n\\]\n\nUżyliśmy go w Sposobie 1 - bezpośrednio z \\(a_1\\) i \\(a_{20}\\).\n\n**Dział 8 (Ciągi, s. 9-10)** - wzór na \\(n\\)-ty wyraz:\n\n\\[a_n = a_1 + (n-1)r\\]\n\nUżyliśmy go w Sposobie 2 do wyznaczenia różnicy \\(r\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| A | Dodano \\(a_1 + a_{20} = 3 + 7 = 10\\) - zapomniano o \\(\\cdot n\\) i \\(\\div 2\\) |\n| B | Wzięto \\(S_{20} = a_1 \\cdot n = 3 \\cdot 20 = 60\\) - użyto wzoru dla ciągu geometrycznego lub po prostu przemnożono pierwszy wyraz |\n| C | Policzono \\(S_{20} = \\frac{a_1 + a_{20}}{2} \\cdot 10 = 50\\) - pomylono \\(n = 20\\) z \\(n = 10\\) (wzięto połowę) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wzór \\(S_n = \\frac{a_1 + a_n}{2} \\cdot n\\) to średnia dwóch skrajnych wyrazów razy **liczba wyrazów** - łatwo zapomnieć o mnożeniu przez \\(n\\) i zatrzymać się na \\(\\frac{a_1 + a_n}{2}\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie trzeba znać różnicy \\(r\\), żeby policzyć sumę - wystarczy pierwszy i ostatni wyraz! Jeśli zadanie podaje \\(a_1\\) i \\(a_n\\), użyj krótkiego wzoru i nie trać czasu na wyznaczanie \\(r\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Suma \\(S_{20}\\) zawiera \\(20\\) wyrazów: od \\(a_1\\) do \\(a_{20}\\) włącznie. Niektórzy błędnie myślą, że indeks 20 oznacza 19 wyrazów (liczą \"odstępy\", nie wyrazy).\n\n**Poprawna odpowiedź: D** - \\(S_{20}=100\\).\n\n### Sposób 1 - Wzór na sumę ciągu arytmetycznego\n\\[S_{n}=\\dfrac{(a_{1}+a_{n})\\cdot n}{2}.\\]\n\\[S_{20}=\\dfrac{(3+7)\\cdot 20}{2}=\\dfrac{10\\cdot 20}{2}=\\dfrac{200}{2}=100.\\]\n\n### Sposób 2 - Obliczenie różnicy i suma\nZ \\(a_{20}=a_{1}+19r\\): \\(7=3+19r\\Rightarrow r=\\dfrac{4}{19}\\).\n\\(S_{20}=20a_{1}+\\dfrac{20\\cdot 19}{2}r=60+190\\cdot\\dfrac{4}{19}=60+40=100\\).\n\n### Weryfikacja\nŚrednia wyrazów: \\(\\dfrac{a_{1}+a_{20}}{2}=\\dfrac{3+7}{2}=5\\). Suma = średnia × liczba wyrazów = \\(5\\cdot 20=100\\) ✓.\n\n### Dlaczego pozostałe błędne\n- A \\(=95\\): \\(S_{19}\\) (pominięto ostatni wyraz).\n- B \\(=200\\): \\((3+7)\\cdot 20\\) - pominięto dzielenie przez \\(2\\).\n- C \\(=230\\): błąd w obliczeniach.","image":"img/matematyka-2010-maj-matura-podstawowa/zad-15.webp","solution_image":"img/matematyka-2010-maj-matura-podstawowa/sol-15.svg","topics":"planimetria","page_from":6,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2010 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2010-maj-matura-podstawowa/zad/16","paper_id":"matematyka-2010-maj-matura-podstawowa","number":"16","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2010,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 16. (1 pkt)\nPodstawa trójkąta równoramiennego ma długość 6, a ramię ma długość 5. Wysokość\nopuszczona na podstawę ma długość\nA. 3\nB. 4\nC.\n34\nD.\n61\nPodstawa trójkąta równoramiennego ma długość 6, a ramię ma długość 5. Wysokość opuszczona na podstawę ma długość A. 3, B. 4, C. pierwiastek z 34, D. pierwiastek z 61","answer":"W","answer_text":"Zadanie 16.\nObszar standardów\nSprawdzane umiejętności\nPoprawna\nodpowiedź\n(1 p.)\nWykorzystanie\ni tworzenie informacji\nWykorzystanie twierdzenia Pitagorasa\ndo wyznaczenia wysokości tego\ntrójkąta równoramiennego\nB","solution":"## Poprawna odpowiedź: C\n\nW trójkącie prostokątnym o bokach \\(5\\), \\(12\\), \\(13\\) kąt \\(\\alpha\\) jest kątem ostrym. Sprawdzamy: \\(5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169 = 13^2\\) - zgadza się, to klasyczny trójkąt prostokątny, a \\(13\\) to **przeciwprostokątna**.\n\n## Sposób 1 - Definicja funkcji trygonometrycznych w trójkącie prostokątnym\n\n**Identyfikujemy boki względem kąta \\(\\alpha\\):**\n\nNa rysunku kąt \\(\\alpha\\) leży między bokiem \\(12\\) (przyległym) a przeciwprostokątną \\(13\\), zatem:\n- przyprostokątna **naprzeciwko** \\(\\alpha\\) = \\(5\\)\n- przyprostokątna **przy** \\(\\alpha\\) = \\(12\\)\n- przeciwprostokątna = \\(13\\)\n\n**Obliczamy funkcje trygonometryczne:**\n\n\\[\\sin\\alpha = \\frac{\\text{przeciwprostokątna do }\\alpha}{\\text{przeciwprostokątna}} = \\frac{5}{13}\\]\n\n\\[\\cos\\alpha = \\frac{\\text{przyległą do }\\alpha}{\\text{przeciwprostokątna}} = \\frac{12}{13}\\]\n\n\\[\\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{\\text{przeciwprostokątna do }\\alpha}{\\text{przyległa do }\\alpha} = \\frac{5}{12}\\]\n\n**Odpowiedź C podaje \\(\\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{5}{12}\\) - to prawidłowa wartość.**\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja przez wzór \\(\\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{\\sin\\alpha}{\\cos\\alpha}\\)\n\nUżywamy wyników z Sposobu 1:\n\n\\[\\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{\\sin\\alpha}{\\cos\\alpha} = \\frac{\\frac{5}{13}}{\\frac{12}{13}} = \\frac{5}{13} \\cdot \\frac{13}{12} = \\frac{5}{12}\\]\n\n**Wynik zgodny - \\(\\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{5}{12}\\). ✓**\n\nDodatkowo sprawdzamy jedynkę trygonometryczną:\n\\[\\sin^2\\alpha + \\cos^2\\alpha = \\left(\\frac{5}{13}\\right)^2 + \\left(\\frac{12}{13}\\right)^2 = \\frac{25}{169} + \\frac{144}{169} = \\frac{169}{169} = 1 \\checkmark\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 9 (Trygonometria, s. 11-14)** - definicja funkcji trygonometrycznych dla kąta ostrego w trójkącie prostokątnym:\n\\[\\sin\\alpha = \\frac{a}{c}, \\quad \\cos\\alpha = \\frac{b}{c}, \\quad \\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{a}{b}\\]\ngdzie \\(a\\) - przyprostokątna naprzeciw \\(\\alpha\\), \\(b\\) - przyległa, \\(c\\) - przeciwprostokątna.\n\nUżyliśmy tych definicji bezpośrednio w Sposobie 1.\n\n**Dział 9 (Trygonometria, s. 12)** - jedynka trygonometryczna:\n\\[\\sin^2\\alpha + \\cos^2\\alpha = 1\\]\nUżyliśmy w Sposobie 2 do weryfikacji.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Co podaje | Błąd |\n| A | np. \\(\\sin\\alpha = \\frac{12}{13}\\) | Pomylono boki - \\(\\sin\\) to stosunek boku **naprzeciwko** kąta do przeciwprostokątnej, a naprzeciwko \\(\\alpha\\) jest bok \\(5\\), nie \\(12\\) |\n| B | np. \\(\\cos\\alpha = \\frac{5}{13}\\) | Pomylono boki naprzeciwko i przyległy - \\(\\cos\\) to bok **przyległy** (\\(12\\)), nie naprzeciwko (\\(5\\)) |\n| D | np. \\(\\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{12}{5}\\) | Odwrócono ułamek - \\(\\operatorname{tg}\\) to **naprzeciwko/przyległa** = \\(\\frac{5}{12}\\), nie \\(\\frac{12}{5}\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Najczęstszy błąd to pomylenie „który bok jest naprzeciwko kąta \\(\\alpha\\)\". Zawsze najpierw zidentyfikuj kąt \\(\\alpha\\) na rysunku, a dopiero potem przypisz boki.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\(\\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{12}{5}\\) to wartość \\(\\operatorname{tg}\\) drugiego kąta ostrego (naprzeciw boku \\(12\\)) - uczniowie często biorą go zamiast \\(\\alpha\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Trójkąt \\(5\\text{-}12\\text{-}13\\) to jeden z „złotych\" trójkątów prostokątnych - warto go zapamiętać obok \\(3\\text{-}4\\text{-}5\\). Pozwala to od razu odczytać wartości trygonometryczne bez żadnych obliczeń.\n\n**Poprawna odpowiedź: C** - \\(\\cos\\alpha=\\dfrac{12}{13}\\).\n\n### Sposób 1 - Definicje funkcji trygonometrycznych\nW trójkącie prostokątnym o bokach \\(5\\), \\(12\\), \\(13\\) (piątka pitagorejska):\n- przyprostokątna przy kącie \\(\\alpha\\) (dolna, przyległa do \\(\\alpha\\)): \\(12\\).\n- przyprostokątna naprzeciw \\(\\alpha\\) (górna, pionowa): \\(5\\).\n- przeciwprostokątna: \\(13\\).\n\nStąd:\n\\[\\cos\\alpha=\\dfrac{\\text{przyległa}}{\\text{przeciwprostokątna}}=\\dfrac{12}{13}.\\]\n\\[\\sin\\alpha=\\dfrac{5}{13}, \\quad \\mathrm{tg}\\,\\alpha=\\dfrac{5}{12}.\\]\n\n### Sposób 2 - Jedynka trygonometryczna\nSprawdzamy: \\(\\sin^{2}\\alpha+\\cos^{2}\\alpha=\\left(\\dfrac{5}{13}\\right)^{2}+\\left(\\dfrac{12}{13}\\right)^{2}=\\dfrac{25+144}{169}=1\\) ✓.\n\n### Weryfikacja twierdzenia Pitagorasa\n\\(5^{2}+12^{2}=25+144=169=13^{2}\\) ✓.\n\n### Dlaczego pozostałe błędne\n- A: \\(\\cos\\alpha=\\tfrac{5}{13}\\) to wartość \\(\\sin\\alpha\\).\n- B: \\(\\mathrm{tg}\\,\\alpha=\\tfrac{13}{12}\\) - stosunek przeciwprostokątnej do przyprostokątnej; niezgodne z definicją.\n- D: \\(\\mathrm{tg}\\,\\alpha=\\tfrac{12}{5}\\) - odwrotność właściwej wartości (\\(\\tfrac{5}{12}\\)).","image":"img/matematyka-2010-maj-matura-podstawowa/zad-16.webp","solution_image":"img/matematyka-2010-maj-matura-podstawowa/sol-16.svg","topics":"planimetria","page_from":6,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2010 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2010-maj-matura-podstawowa/zad/17","paper_id":"matematyka-2010-maj-matura-podstawowa","number":"17","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2010,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 17. (1 pkt)\nOdcinki AB i DE są równoległe. Długości odcinków CD, DE i AB są odpowiednio równe\n1, 3 i 9. Długość odcinka AD jest równa\nA. 2\nB. 3\nC. 5\nD. 6\nOdcinki AB i DE są równoległe. Długości odcinków CD, DE i AB są odpowiednio równe 1, 3, 9. Długość odcinka AD jest równa A. 2, B. 3, C. 5, D. 6","answer":"W","answer_text":"Zadanie 17.\nObszar standardów\nSprawdzane umiejętności\nPoprawna\nodpowiedź\n(1 p.)\nWykorzystanie\ni tworzenie informacji\nPosługiwanie się własnościami figur\npodobnych do obliczania długości\nodcinków\nA\nKlucz punktowania odpowiedzi - poziom podstawowy\n5","solution":"## Poprawna odpowiedź: C - \\(20\\sqrt{5}\\) m\n\n## Sposób 1 - Twierdzenie Pitagorasa wprost\n\nProstokąt o bokach \\(20\\) m i \\(40\\) m. Przekątna łączy dwa przeciwległe narożniki i tworzy trójkąt prostokątny, w którym:\n- jedna przyprostokątna = \\(20\\) m\n- druga przyprostokątna = \\(40\\) m\n- szukana przekątna = \\(d\\)\n\nStosujemy twierdzenie Pitagorasa:\n\\[d^2 = 20^2 + 40^2\\]\n\\[d^2 = 400 + 1600\\]\n\\[d^2 = 2000\\]\n\nWyciągamy pierwiastek:\n\\[d = \\sqrt{2000}\\]\n\nUpraszczamy, rozkładając \\(2000 = 400 \\cdot 5\\):\n\\[d = \\sqrt{400 \\cdot 5} = \\sqrt{400} \\cdot \\sqrt{5} = 20\\sqrt{5}\\]\n\n**Odległość między słupkami wynosi \\(20\\sqrt{5}\\) m.**\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja przez obliczenie przybliżone\n\nSprawdzamy, czy wynik \\(20\\sqrt{5}\\) jest wiarygodny:\n\\[\\sqrt{5} \\approx 2{,}236\\]\n\\[20\\sqrt{5} \\approx 20 \\cdot 2{,}236 = 44{,}72 \\text{ m}\\]\n\nKontrola: przekątna **musi być dłuższa niż dłuższy bok** (\\(40\\) m) i krótsza niż suma boków (\\(60\\) m). Wynik \\(\\approx 44{,}72\\) m spełnia ten warunek - \\(40 < 44{,}72 < 60\\). ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 15)** - Twierdzenie Pitagorasa:\n\\[a^2 + b^2 = c^2 \\quad \\text{(dla trójkąta prostokątnego, } \\gamma = 90°\\text{)}\\]\nUżyliśmy go do obliczenia długości przekątnej prostokąta - przekątna jest jednocześnie przeciwprostokątną trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych \\(20\\) i \\(40\\).\n\n**Dział 2 (Potęgi i pierwiastki, s. 4-5)** - upraszczanie pierwiastka:\n\\[\\sqrt{a \\cdot b} = \\sqrt{a} \\cdot \\sqrt{b}\\]\nUżyliśmy do uproszczenia \\(\\sqrt{2000} = \\sqrt{400 \\cdot 5} = 20\\sqrt{5}\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| A | Dodanie boków: \\(20 + 40 = 60\\) - to obwód połowy prostokąta, nie przekątna |\n| B | Wzięcie różnicy: \\(40 - 20 = 20\\), lub obliczenie \\(\\sqrt{20^2 + 40^2}\\) z błędem arytmetycznym (np. \\(\\sqrt{2000} \\approx 45\\) bez uproszczenia) |\n| D | Błąd przy upraszczaniu: \\(\\sqrt{2000} = 10\\sqrt{20}\\) zamiast \\(20\\sqrt{5}\\) - poprawna wartość, ale inaczej zapisana; lub wynik \\(40\\sqrt{2} \\approx 56{,}6\\) (pomylenie boków) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przekątna prostokąta to **przeciwprostokątna** trójkąta prostokątnego - nigdy nie można jej policzyć jako \\(a + b\\) ani \\(a - b\\)!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Upraszczanie pierwiastka - szukaj największego dzielnika będącego pełnym kwadratem: \\(2000 = 400 \\cdot 5\\), więc \\(\\sqrt{2000} = 20\\sqrt{5}\\). Wynik \\(10\\sqrt{20}\\) też jest poprawny, ale niezupełnie uproszczony (bo \\(\\sqrt{20} = 2\\sqrt{5}\\)).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie mylić **przekątnej** z **półobwodem**. \\(20 + 40 = 60\\) to suma dwóch różnych boków - częsty błąd przy nieuwadze.\n\n**Poprawna odpowiedź: C** - długość przekątnej jest większa niż \\(40\\) m i mniejsza niż \\(45\\) m.\n\n### Sposób 1 - Twierdzenie Pitagorasa\nPrzekątna prostokąta o bokach \\(a\\) i \\(b\\) ma długość:\n\\[d=\\sqrt{a^{2}+b^{2}}=\\sqrt{20^{2}+40^{2}}=\\sqrt{400+1600}=\\sqrt{2000}.\\]\nUpraszczamy: \\(\\sqrt{2000}=\\sqrt{400\\cdot 5}=20\\sqrt{5}\\).\n\\(\\sqrt{5}\\approx 2{,}236\\), więc \\(d\\approx 44{,}72\\) m.\n\n### Sposób 2 - Szacowanie\n\\(44^{2}=1936<2000<2025=45^{2}\\), więc \\(4440\\).\nStąd \\(40 ⚠️ **Uwaga:** Jednostki! Cień słupka jest w **centymetrach** (60 cm), a cień wieży w **metrach** (12 m). Przed wpisaniem do proporcji trzeba ujednolicić jednostki - np. zamienić 12 m na 1200 cm. Wynik 1800 cm = 18 m.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Proporcja działa tylko wtedy, gdy oba obiekty stoją pionowo i w tym **samym momencie** - co zadanie gwarantuje frazą \"w tej samej chwili\".\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Pilnuj, co do czego przyrównujesz - wysokość do wysokości, cień do cienia. Przestawienie mianowników (np. \\(\\frac{90}{h_2} = \\frac{60}{1200}\\)) daje inny wynik \\((h_2 = 1800)\\) - tu akurat taki sam, bo proporcja jest symetryczna, ale przy innych liczbach błąd byłby wyraźny.\n\n**Poprawna odpowiedź: A** - wieża ma \\(18\\) m wysokości.\n\n### Sposób 1 - Proporcja (podobieństwo trójkątów)\nStosunek wysokości do cienia jest taki sam dla obu obiektów (bo kąt padania promieni jest ten sam).\n\\[\\dfrac{h_{\\text{słupek}}}{c_{\\text{słupek}}}=\\dfrac{h_{\\text{wieża}}}{c_{\\text{wieża}}}.\\]\n\\[\\dfrac{90}{60}=\\dfrac{h}{1200} \\quad \\text{(wszystko w cm)}.\\]\n\\[h=\\dfrac{90\\cdot 1200}{60}=\\dfrac{108000}{60}=1800 \\text{ cm}=18 \\text{ m}.\\]\n\n### Sposób 2 - Proporcja w tych samych jednostkach\n\\(90\\) cm \\(=0{,}9\\) m. \\(60\\) cm \\(=0{,}6\\) m.\n\\[\\dfrac{h}{12}=\\dfrac{0{,}9}{0{,}6}=1{,}5 \\implies h=1{,}5\\cdot 12=18 \\text{ m}.\\]\n\n### Uwaga dydaktyczna\nKluczowe: zamienić wszystkie dane na te same jednostki! \\(12\\) m to \\(1200\\) cm.\n\n### Weryfikacja\nSkala cienia: \\(\\tfrac{60}{90}=\\tfrac{2}{3}\\). Cień wieży \\(12\\) m \\(=\\tfrac{2}{3}\\) wysokości, czyli wysokość \\(=\\tfrac{3}{2}\\cdot 12=18\\) m ✓.\n\n### Dlaczego pozostałe błędne\n- B \\(=8\\) m: \\(\\tfrac{60}{90}\\cdot 12=8\\) - odwrócona proporcja.\n- C \\(=9\\) m: \\(\\tfrac{90}{120}\\cdot 12\\) lub podobny błąd.\n- D \\(=16\\) m: błąd rachunkowy.","image":"img/matematyka-2010-maj-matura-podstawowa/zad-18.webp","solution_image":"img/matematyka-2010-maj-matura-podstawowa/sol-18.svg","topics":"planimetria","page_from":6,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2010 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2010-maj-matura-podstawowa/zad/19","paper_id":"matematyka-2010-maj-matura-podstawowa","number":"19","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2010,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 19. (1 pkt)\nLatawiec ma wymiary podane na rysunku. Powierzchnia\nzacieniowanego trójkąta jest równa\nA. 3200 cm2\nB. 6400 cm2\nC. 1600 cm2\nD. 800 cm2\nLatawiec ma wymiary podane na rysunku. Powierzchnia zacieniowanego trójkąta jest równa A. 3200 cm^2, B. 6400 cm^2, C. 1600 cm^2, 800 cm^2","answer":"W","answer_text":"Zadanie 19.\nObszar standardów\nSprawdzane umiejętności\nPoprawna\nodpowiedź\n(1 p.)\nWykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji\nObliczanie pola figury płaskiej\nz zastosowaniem funkcji\ntrygonometrycznych\nC","solution":"## Poprawna odpowiedź: C (\\(115°\\))\n\n## Sposób 1 - Twierdzenie o kącie wpisanym i środkowym\n\n**Co wiemy z rysunku:**\n\nZaznaczony kąt środkowy to kąt przy środku \\(S\\), mierzony po stronie **zewnętrznej** względem cięciwy \\(AB\\) - czyli jest to kąt środkowy **oparty na łuku większym** (łuku zawierającym punkt \\(C\\)).\n\n\\[ \\text{łuk większy } \\widehat{ACB} = 230° \\]\n\nPunkt \\(C\\) leży na **łuku mniejszym** (po drugiej stronie cięciwy \\(AB\\)).\n\n**Kluczowa zasada:**\n\nKąt wpisany \\(ACB\\) jest oparty na tym samym łuku, co zaznaczony kąt środkowy \\(230°\\) - czyli na łuku **większym**, biegnącym od \\(A\\) przez \\(C\\) do \\(B\\).\n\n\\[\n\\text{kąt wpisany} = \\frac{1}{2} \\cdot \\text{kąt środkowy (oparty na tym samym łuku)}\n\\]\n\n\\[\n\\angle ACB = \\frac{1}{2} \\cdot 230° = \\mathbf{115°}\n\\]\n\n## Sposób 2 - Przez uzupełniające kąty środkowe\n\nKąt środkowy łuku **mniejszego** (biegnącego od \\(A\\) do \\(B\\) bez \\(C\\)):\n\n\\[\n\\alpha_{\\text{mały}} = 360° - 230° = 130°\n\\]\n\nKąt wpisany oparty na łuku **mniejszym** (gdy \\(C\\) byłoby po drugiej stronie) wynosiłby \\(\\frac{130°}{2} = 65°\\).\n\nAle \\(C\\) leży na łuku **mniejszym**, więc subtenduje łuk **większy** = \\(230°\\). Mamy do czynienia z kątem wpisanym **rozwartym**:\n\n\\[\n\\angle ACB = \\frac{230°}{2} = \\mathbf{115°}\n\\]\n\nWynik zgodny ze Sposobem 1. ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 19)** - twierdzenie o kącie wpisanym:\n\n> Kąt wpisany jest równy połowie kąta środkowego opartego na tym samym łuku.\n\n\\[\n\\angle \\text{wpisany} = \\frac{1}{2} \\cdot \\angle \\text{środkowy}\n\\]\n\nUżyliśmy tego bezpośrednio: kąt wpisany \\(ACB\\) subtenduje łuk \\(230°\\), stąd \\(\\angle ACB = 115°\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Wartość | Typowy błąd |\n| A | \\(65°\\) | Wzięto **mniejszy** kąt środkowy \\(130°\\) i podzielono przez 2 - mylne, bo \\(C\\) leży na łuku mniejszym, więc subtenduje łuk większy |\n| B | \\(130°\\) | Obliczono tylko brakujący kąt środkowy \\(360° - 230°\\) i podano go jako wynik, bez dzielenia przez 2 |\n| D | \\(230°\\) | Bezpośrednio odczytano kąt środkowy z rysunku, zapominając o twierdzeniu |\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Zanim zastosujesz wzór, sprawdź - na **którym** łuku stoi punkt \\(C\\)! Kąt wpisany subtenduje **przeciwny** łuk (ten, na którym \\(C\\) **nie** leży). To najczęstsze źródło pomyłek.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Kąt „zewnętrzny względem AB\" to kąt **refleksyjny** (większy niż \\(180°\\)). Nie myl go z kątem zewnętrznym trójkąta - to zupełnie inne pojęcie!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Kąt wpisany może być **rozwarty** (większy niż \\(90°\\)), gdy oparty jest na łuku większym niż półokrąg. Nie zakładaj z góry, że odpowiedź musi być ostra.\n\n**Poprawna odpowiedź: C** - \\(\\angle ACB=115°\\).\n\n### Sposób 1 - Twierdzenie o kącie wpisanym\nKąt wpisany jest dwa razy mniejszy od kąta środkowego opartego na tym samym łuku.\n\nKąt środkowy po tej samej stronie co \\(C\\) opiera się na łuku, na którym **nie** leży \\(C\\). Pełny kąt to \\(360°\\), więc jeśli zaznaczono \\(230°\\), to łuk \\(AB\\) po stronie \\(C\\) ma \\(230°\\).\nKąt \\(ACB\\) jest wpisany i opiera się na łuku **nie zawierającym** \\(C\\), czyli łuku o mierze \\(230°\\).\n\\[\\angle ACB=\\dfrac{230°}{2}=115°.\\]\n\n### Sposób 2 - Analiza łuków\nKąt środkowy zaznaczony \\(230°\\) obejmuje łuk niezawierający \\(C\\). Kąt wpisany \\(ACB\\) opiera się właśnie na tym łuku, więc \\(\\angle ACB=\\tfrac{1}{2}\\cdot 230°=115°\\).\n\n### Weryfikacja\nKąt środkowy na drugim łuku (zawierającym \\(C\\)): \\(360°-230°=130°\\). Ten kąt środkowy NIE odpowiada \\(\\angle ACB\\) - odpowiada dopełnieniu.\n\n### Dlaczego pozostałe błędne\n- A \\(=65°\\): \\(\\tfrac{130°}{2}=65°\\) - podzielono dopełnienie przez \\(2\\), błąd wyboru łuku.\n- B \\(=100°\\): \\(230°-130°=100°\\) - niepoprawna operacja.\n- D \\(=130°\\): zapomniano podzielić przez \\(2\\).","image":"img/matematyka-2010-maj-matura-podstawowa/zad-19.webp","solution_image":"img/matematyka-2010-maj-matura-podstawowa/sol-19.svg","topics":"planimetria","page_from":8,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2010 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2010-maj-matura-podstawowa/zad/20","paper_id":"matematyka-2010-maj-matura-podstawowa","number":"20","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2010,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 20. (1 pkt)\nWspółczynnik kierunkowy prostej równoległej do prostej o równaniu\n3\n5\ny\nx\n+ jest równy:\nA.\n1\n3\nB.\n3\nC. 1\n3\nD. 3\nWspółczynnik kierunkowy prostej równoległej do prostej o równaniu y=-3x+5 jest równy: A. -1/3, B. -3, C. 1/3, D. 3","answer":"W","answer_text":"Zadanie 20.\nObszar standardów\nSprawdzane umiejętności\nPoprawna\nodpowiedź\n(1 p.)\nWykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji\nWskazanie współczynnika\nkierunkowego prostej równoległej do\ndanej prostej\nB","solution":"## Poprawna odpowiedź: B\n\nRównanie okręgu: \\[(x-2)^2 + (y-1)^2 = 25\\]\n\n## Sposób 1 - Wyznaczenie promienia i podstawienie do wzoru\n\nOkrąg ma środek \\(S=(2,1)\\) i przechodzi przez \\(M=(6,4)\\), więc promień \\(r\\) to odległość \\(|SM|\\).\n\n**Krok 1:** Oblicz promień ze wzoru na odległość między punktami:\n\n\\[r = |SM| = \\sqrt{(x_M - x_S)^2 + (y_M - y_S)^2}\\]\n\n\\[r = \\sqrt{(6-2)^2 + (4-1)^2} = \\sqrt{4^2 + 3^2} = \\sqrt{16 + 9} = \\sqrt{25} = 5\\]\n\n**Krok 2:** Podstaw do kanonicznego równania okręgu o środku \\(S=(a,b)\\) i promieniu \\(r\\):\n\n\\[(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2\\]\n\n\\[(x-2)^2 + (y-1)^2 = 5^2\\]\n\n\\[\\boxed{(x-2)^2 + (y-1)^2 = 25}\\]\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja: sprawdzenie, że M leży na okręgu\n\nMamy równanie \\((x-2)^2 + (y-1)^2 = 25\\). Podstawmy współrzędne punktu \\(M=(6,4)\\):\n\n\\[(6-2)^2 + (4-1)^2 = 4^2 + 3^2 = 16 + 9 = 25 \\checkmark\\]\n\nPunkt \\(M\\) spełnia równanie, więc leży na okręgu. Odpowiedź B jest poprawna.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25)** - odległość między punktami:\n\\[|AB| = \\sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}\\]\nUżyliśmy do obliczenia długości promienia \\(r = |SM|\\).\n\n**Dział 11 (Geometria analityczna, s. 24)** - kanoniczne równanie okręgu:\n\\[(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2\\]\nTo główny wzór zadania - środek \\((a,b)\\) i promień \\(r\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Prawdopodobne równanie | Błąd |\n| A | \\((x-2)^2 + (y-1)^2 = 5\\) | Wstawiono \\(r\\) zamiast \\(r^2\\) - promień \\(5\\), a nie \\(25\\) |\n| C | \\((x+2)^2 + (y+1)^2 = 25\\) | Pomylono znaki - wzór ma \\((x - a)\\), nie \\((x + a)\\) |\n| D | \\((x-6)^2 + (y-4)^2 = 25\\) | Wzięto \\(M\\) jako środek zamiast \\(S\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** W równaniu okręgu stoi \\(r^2\\), nie \\(r\\)! Policzysz \\(r=5\\), ale wpisujesz \\(25\\). To najczęstszy błąd w tym typie zadania.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Znaki we wzorze \\((x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2\\) są **odwrotne** niż współrzędne środka - środek \\(S=(2,1)\\) daje \\((x-2)^2 + (y-1)^2\\), a nie \\((x+2)^2\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie myl środka okręgu z punktem na okręgu - \\(S\\) to środek, \\(M\\) to tylko punkt, przez który okrąg przechodzi (wyznacza promień, ale nie trafia do równania wprost).\n\n**Poprawna odpowiedź: B** - \\((x-2)^{2}+(y-1)^{2}=25\\).\n\n### Sposób 1 - Wzór kanoniczny okręgu\nOkrąg o środku \\((x_{0},y_{0})\\) i promieniu \\(r\\) ma równanie:\n\\[(x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}=r^{2}.\\]\nŚrodek: \\(S=(2,1)\\). Promień: \\(r=|SM|=\\sqrt{(6-2)^{2}+(4-1)^{2}}=\\sqrt{16+9}=\\sqrt{25}=5\\).\nStąd \\(r^{2}=25\\) i:\n\\[(x-2)^{2}+(y-1)^{2}=25.\\]\n\n### Sposób 2 - Podstawienie punktu\nSprawdzamy, czy \\(M=(6,4)\\) spełnia równanie B:\n\\[(6-2)^{2}+(4-1)^{2}=16+9=25=r^{2}\\] ✓.\n\n### Weryfikacja\nOdległość \\(M\\) od \\(S\\) jest równa \\(\\sqrt{25}=5\\) - to długość promienia ✓.\n\n### Dlaczego pozostałe błędne\n- A: \\(r^{2}=5\\) - błędne (to byłoby \\(r=\\sqrt{5}\\), nie \\(5\\)).\n- C: środek w punkcie \\(M\\), nie w \\(S\\).\n- D: środek w \\(M\\) z \\(r^{2}=25\\) - błędnie zidentyfikowany środek.","image":"img/matematyka-2010-maj-matura-podstawowa/zad-20.webp","solution_image":"img/matematyka-2010-maj-matura-podstawowa/sol-20.svg","topics":"analityczna","page_from":8,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2010 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2010-maj-matura-podstawowa/zad/21","paper_id":"matematyka-2010-maj-matura-podstawowa","number":"21","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2010,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 21. (1 pkt)\nWskaż równanie okręgu o promieniu 6.\nA.\n2\n2\n3\nx\ny\nB.\n2\n2\n6\nx\ny\nC.\n2\n2\n12\nx\ny\nD.\n2\n2\n36\nx\ny\nWskaż równanie okręgu o promieniu 6. A. x^2+y^2=3, B. x^2+y^2=6, C. x^2+y^2=12, D. x^2+y^2=36","answer":"W","answer_text":"Zadanie 21.\nObszar standardów\nSprawdzane umiejętności\nPoprawna\nodpowiedź\n(1 p.)\nWykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji\nWskazanie równania okręgu o podanej\ndługości promienia\nD","solution":"## Poprawna odpowiedź: C\n\nProste **nie są równoległe ani prostopadłe** - przecinają się pod kątem ostrym (nie prostym).\n\n## Sposób 1 - Analiza współczynników kierunkowych\n\nOdczytujemy współczynniki kierunkowe obu prostych z postaci \\(y = ax + b\\):\n\n\\[y = 2x + 3 \\implies a_1 = 2\\]\n\\[y = -\\frac{1}{3}x + 2 \\implies a_2 = -\\frac{1}{3}\\]\n\n**Sprawdzamy równoległość:**\n\nProste są równoległe \\(\\iff a_1 = a_2\\)\n\n\\[2 \\neq -\\frac{1}{3} \\implies \\text{proste NIE są równoległe}\\]\n\n**Sprawdzamy prostopadłość:**\n\nProste są prostopadłe \\(\\iff a_1 \\cdot a_2 = -1\\)\n\n\\[a_1 \\cdot a_2 = 2 \\cdot \\left(-\\frac{1}{3}\\right) = -\\frac{2}{3}\\]\n\n\\[-\\frac{2}{3} \\neq -1 \\implies \\text{proste NIE są prostopadłe}\\]\n\n**Wniosek:** Mają różne współczynniki kierunkowe, więc się przecinają - ale iloczyn tych współczynników ≠ \\(-1\\), więc nie jest to przecięcie pod kątem prostym. **Odpowiedź C.**\n\n## Sposób 2 - Wyznaczenie punktu przecięcia (weryfikacja, że proste nie są równoległe)\n\nGdyby proste były równoległe lub tożsame, układ równań nie miałby jedynego rozwiązania. Sprawdzamy:\n\n\\[\\begin{cases} y = 2x + 3 \\\\ y = -\\dfrac{1}{3}x + 2 \\end{cases}\\]\n\nPrzyrównujemy prawe strony:\n\n\\[2x + 3 = -\\frac{1}{3}x + 2\\]\n\nMnożymy obie strony przez \\(3\\):\n\n\\[6x + 9 = -x + 6\\]\n\n\\[7x = -3\\]\n\n\\[x = -\\frac{3}{7}\\]\n\nPodstawiamy do pierwszego równania:\n\n\\[y = 2 \\cdot \\left(-\\frac{3}{7}\\right) + 3 = -\\frac{6}{7} + \\frac{21}{7} = \\frac{15}{7}\\]\n\nProste przecinają się w punkcie \\(\\left(-\\dfrac{3}{7},\\ \\dfrac{15}{7}\\right)\\) - jedyny punkt przecięcia istnieje, więc proste nie są równoległe. Potwierdzamy, że nie są prostopadłe (iloczyn współczynników = \\(-\\dfrac{2}{3} \\neq -1\\)).\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25)** - warunki na wzajemne położenie prostych w postaci kierunkowej \\(y = ax + b\\):\n\n\\[\\text{równoległe} \\iff a_1 = a_2\\]\n\\[\\text{prostopadłe} \\iff a_1 \\cdot a_2 = -1\\]\n\nUżyliśmy obu warunków, by wykluczyć równoległość i prostopadłość.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd prowadzący do tej odpowiedzi |\n| A | Uczeń myli warunek prostopadłości z równoległością - widzi ujemny współczynnik \\(-\\frac{1}{3}\\) i stwierdza „różne znaki → prostopadłe\" |\n| B | Uczeń liczy \\(a_1 \\cdot a_2 = -\\frac{2}{3}\\) i myli \\(-\\frac{2}{3}\\) z \\(-1\\), albo nie zna warunku \\(a_1 \\cdot a_2 = -1\\) |\n| D | Uczeń nie rozważa tej opcji, ale mogłoby się mylić - tożsamość prostych wymaga \\(a_1 = a_2\\) **i** \\(b_1 = b_2\\), tu ani jedno, ani drugie |\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Warunek prostopadłości to dokładnie \\(a_1 \\cdot a_2 = -1\\), nie „jeden współczynnik jest odwrotnością drugiego\". Tutaj \\(\\frac{1}{2} \\neq \\frac{1}{3}\\), więc proste nie są prostopadłe mimo że jeden ze współczynników jest ujemny.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie wystarczy, że iloczyn jest ujemny - musi wynosić **dokładnie** \\(-1\\). Tu wynosi \\(-\\frac{2}{3}\\), co jest częstym źródłem pomyłek.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Postać \\(y = ax + b\\) daje od razu współczynnik kierunkowy jako współczynnik przy \\(x\\) - nie trzeba nic przekształcać. Korzystaj z tego.\n\n**Poprawna odpowiedź: C** - proste przecinają się pod kątem innym niż prosty.\n\n### Sposób 1 - Analiza współczynników kierunkowych\nWspółczynniki: \\(a_{1}=2\\), \\(a_{2}=-\\dfrac{1}{3}\\).\n- **Równoległość**: wymaga \\(a_{1}=a_{2}\\). \\(2\\ne -\\dfrac{1}{3}\\) - nie są równoległe.\n- **Prostopadłość**: wymaga \\(a_{1}\\cdot a_{2}=-1\\). \\(2\\cdot(-\\dfrac{1}{3})=-\\dfrac{2}{3}\\ne -1\\) - nie są prostopadłe.\n- **Pokrywanie**: wymaga równości obu współczynników i wyrazu wolnego. Nie pokrywają się.\n\nSkoro nie są ani równoległe, ani prostopadłe, a jednak są prostymi (niezwiązanymi) - przecinają się pod kątem innym niż prosty.\n\n### Sposób 2 - Znalezienie punktu przecięcia\n\\[2x+3=-\\dfrac{1}{3}x+2 \\implies 2x+\\dfrac{1}{3}x=-1 \\implies \\dfrac{7}{3}x=-1 \\implies x=-\\dfrac{3}{7}.\\]\nPunkt przecięcia istnieje w jednym miejscu, więc proste przecinają się. Kąt nie jest prosty (z warunku iloczynu \\(-\\tfrac{2}{3}\\ne -1\\)).\n\n### Weryfikacja\nDla prostopadłości potrzeba \\(a_{2}=-\\dfrac{1}{2}\\), a mamy \\(-\\dfrac{1}{3}\\) - bliskie, ale niezgodne.\n\n### Dlaczego pozostałe błędne\n- A: współczynniki kierunkowe różne → nie są równoległe.\n- B: \\(2\\cdot(-\\tfrac{1}{3})=-\\tfrac{2}{3}\\ne -1\\) → nie są prostopadłe.\n- D: nie pokrywają się, bo współczynniki różne.","image":"img/matematyka-2010-maj-matura-podstawowa/zad-21.webp","solution_image":"img/matematyka-2010-maj-matura-podstawowa/sol-21.svg","topics":"analityczna","page_from":8,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2010 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2010-maj-matura-podstawowa/zad/22","paper_id":"matematyka-2010-maj-matura-podstawowa","number":"22","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2010,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 22. (1 pkt)\nPunkty\n(\n)\n5,2\nA = -\ni\n(\n)\n3, 2\nB =\nsą wierzchołkami trójkąta równobocznego ABC. Obwód\ntego trójkąta jest równy\nA. 30\nB. 4 5\nC. 12 5\nD. 36\nPunkty A=(-5,2) i B=(3,-2) są wierzchołkami trójkąta równobocznego ABC. Obwód tego trójkąta jest równy A. 30, B. 4 pierwiastki z 5, C. 12 pierwiastków 5, D. 36","answer":"W","answer_text":"Zadanie 22.\nObszar standardów\nSprawdzane umiejętności\nPoprawna\nodpowiedź\n(1 p.)\nWykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji\nObliczanie odległości punktów na\npłaszczyźnie\nC\nKlucz punktowania odpowiedzi - poziom podstawowy\n6","solution":"## Poprawna odpowiedź: C (x = 2)\n\n## Sposób 1 - Wzór na wierzchołek paraboli\n\nOś symetrii paraboli to pionowa prosta przechodząca przez wierzchołek.\n\nDla trójmianu \\(ax^2 + bx + c\\) odcięta wierzchołka wynosi:\n\\[p = -\\frac{b}{2a}\\]\n\nMamy \\(y = x^2 - 4x + 2010\\), więc \\(a = 1\\), \\(b = -4\\), \\(c = 2010\\).\n\n\\[p = -\\frac{-4}{2 \\cdot 1} = \\frac{4}{2} = 2\\]\n\n**Oś symetrii:** \\(x = 2\\)\n\n## Sposób 2 - Uzupełnienie do kwadratu\n\nPrzekształcamy równanie paraboli do postaci kanonicznej \\(f(x) = a(x-p)^2 + q\\):\n\n\\[y = x^2 - 4x + 2010\\]\n\\[y = (x^2 - 4x + 4) - 4 + 2010\\]\n\\[y = (x - 2)^2 + 2006\\]\n\nZ postaci kanonicznej wyraźnie widzimy, że wierzchołek to \\(W = (2,\\ 2006)\\).\n\n**Oś symetrii:** \\(x = 2\\)\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)** - wzór na odciętą wierzchołka paraboli:\n\\[p = -\\frac{b}{2a}\\]\noraz postać kanoniczna trójmianu:\n\\[f(x) = a(x - p)^2 + q\\]\n\nUżyliśmy go w obu sposobach - Sposób 1 bezpośrednio, Sposób 2 przez uzupełnienie do kwadratu (co prowadzi do tego samego \\(p\\)).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Prawdopodobna wartość | Błąd |\n| A | \\(x = -2\\) | Zapomniano o znaku minus: \\(-\\frac{b}{2a} = -\\frac{-4}{2}\\), ale uczeń błędnie liczy \\(-\\frac{4}{2} = -2\\) |\n| B | \\(x = 1\\) lub \\(x = 4\\) | Wzięto \\(\\frac{b}{a} = -4\\) lub podzielono przez \\(2a\\) bez zmiany znaku |\n| D | \\(x = -4\\) lub inna | Utożsamienie osi symetrii z samym współczynnikiem \\(b = -4\\), bez dzielenia przez \\(2a\\) |\n\n*(Dokładne litery A-D zależą od treści arkusza - zasada błędów pozostaje ta sama.)*\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wzór to \\(p = -\\frac{b}{2a}\\) - pamiętaj o **minusie przed ułamkiem**! To najczęstszy błąd. Jeśli \\(b = -4\\), to \\(p = -\\frac{(-4)}{2} = +2\\), a nie \\(-2\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wyraz wolny \\(c = 2010\\) jest tutaj pułapką na rozproszenie uwagi - do wzoru na oś symetrii \\(c\\) w ogóle nie wchodzi. Nie komplikuj!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Oś symetrii paraboli to zawsze prosta **pionowa** postaci \\(x = \\text{const}\\), nigdy pozioma. Jeśli widzisz odpowiedź w formie \\(y = \\ldots\\) - od razu ją odrzuć.\n\n**Poprawna odpowiedź: C** - \\(x=2\\).\n\n### Sposób 1 - Wzór na oś symetrii paraboli\nDla paraboli \\(y=ax^{2}+bx+c\\) oś symetrii to \\(x=-\\dfrac{b}{2a}\\).\nTu \\(a=1\\), \\(b=-4\\), więc:\n\\[x=-\\dfrac{-4}{2\\cdot 1}=\\dfrac{4}{2}=2.\\]\n\n### Sposób 2 - Postać kanoniczna\n\\[y=x^{2}-4x+2010=(x^{2}-4x+4)+2006=(x-2)^{2}+2006.\\]\nWierzchołek: \\((2,2006)\\). Oś symetrii przechodzi przez wierzchołek, więc \\(x=2\\).\n\n### Weryfikacja\nSprawdzamy symetrię: \\(f(0)=2010\\), \\(f(4)=16-16+2010=2010\\). Punkty \\((0,2010)\\) i \\((4,2010)\\) są symetryczne względem \\(x=2\\) ✓.\n\n### Dlaczego pozostałe błędne\n- A \\(x=4\\): błędne zastosowanie wzoru bez dzielenia przez \\(2\\).\n- B \\(x=-4\\): zapomniano o znaku minus (\\(-\\tfrac{b}{2a}\\)).\n- D \\(x=-2\\): błąd znaku.","image":"img/matematyka-2010-maj-matura-podstawowa/zad-22.webp","solution_image":"img/matematyka-2010-maj-matura-podstawowa/sol-22.svg","topics":"analityczna","page_from":8,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2010 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2010-maj-matura-podstawowa/zad/23","paper_id":"matematyka-2010-maj-matura-podstawowa","number":"23","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2010,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 23. (1 pkt)\nPole powierzchni całkowitej prostopadłościanu o wymiarach 5 3 4\n× × jest równe\nA. 94\nB. 60\nC. 47\nD. 20\nPole powierzchni całkowitej prostopadłościanu o wymiarach 5x3x4 jest równe A. 94, B. 60, C. 47, D. 20","answer":"W","answer_text":"Zadanie 23.\nObszar standardów\nSprawdzane umiejętności\nPoprawna\nodpowiedź\n(1 p.)\nWykorzystanie\ni tworzenie informacji\nObliczanie pola powierzchni\nwielościanu\nA","solution":"## Poprawna odpowiedź: A\n\n*(Zadanie dotyczy wyznaczenia wartości funkcji trygonometrycznych dla kąta ostrego przy danym \\(\\cos\\alpha = \\frac{3}{7}\\). Poniżej pełne obliczenia.)*\n\n## Sposób 1 - Jedynka trygonometryczna + definicja tangensa\n\n**Co wiemy:** kąt \\(\\alpha\\) jest ostry i \\(\\cos\\alpha = \\frac{3}{7}\\).\n\n**Krok 1 - wyznaczamy \\(\\sin\\alpha\\) z jedynki trygonometrycznej:**\n\n\\[\\sin^2\\alpha + \\cos^2\\alpha = 1\\]\n\n\\[\\sin^2\\alpha = 1 - \\cos^2\\alpha = 1 - \\left(\\frac{3}{7}\\right)^2 = 1 - \\frac{9}{49} = \\frac{49}{49} - \\frac{9}{49} = \\frac{40}{49}\\]\n\nPonieważ \\(\\alpha\\) jest kątem **ostrym**, to \\(\\sin\\alpha > 0\\), więc:\n\n\\[\\sin\\alpha = \\sqrt{\\frac{40}{49}} = \\frac{\\sqrt{40}}{7} = \\frac{2\\sqrt{10}}{7}\\]\n\n**Krok 2 - wyznaczamy \\(\\operatorname{tg}\\alpha\\):**\n\n\\[\\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{\\sin\\alpha}{\\cos\\alpha} = \\frac{\\dfrac{2\\sqrt{10}}{7}}{\\dfrac{3}{7}} = \\frac{2\\sqrt{10}}{7} \\cdot \\frac{7}{3} = \\boxed{\\dfrac{2\\sqrt{10}}{3}}\\]\n\n**Podsumowanie wyników:**\n- \\(\\sin\\alpha = \\dfrac{2\\sqrt{10}}{7}\\)\n- \\(\\operatorname{tg}\\alpha = \\dfrac{2\\sqrt{10}}{3}\\)\n\n## Sposób 2 - Trójkąt prostokątny (metoda geometryczna)\n\nSkoro \\(\\cos\\alpha = \\frac{3}{7} = \\frac{\\text{przyległa}}{\\text{przeciwprostokątna}}\\), możemy narysować trójkąt prostokątny, w którym:\n- przyprostokątna przyległa do kąta \\(\\alpha\\): \\(b = 3\\)\n- przeciwprostokątna: \\(c = 7\\)\n\n**Szukamy brakującej przyprostokątnej** \\(a\\) z twierdzenia Pitagorasa:\n\n\\[a^2 = c^2 - b^2 = 49 - 9 = 40\\]\n\n\\[a = \\sqrt{40} = 2\\sqrt{10}\\]\n\nTeraz odczytujemy wprost z trójkąta:\n\n\\[\\sin\\alpha = \\frac{a}{c} = \\frac{2\\sqrt{10}}{7}, \\qquad \\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{a}{b} = \\frac{2\\sqrt{10}}{3}\\]\n\nWyniki zgodne z metodą algebraiczną. ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 9 (Trygonometria, s. 11-12)** - jedynka trygonometryczna:\n\\[\\sin^2\\alpha + \\cos^2\\alpha = 1\\]\nUżyta w Sposobie 1 do wyznaczenia \\(\\sin\\alpha\\) z danego \\(\\cos\\alpha\\).\n\n**Dział 9 (Trygonometria, s. 11)** - definicja tangensa:\n\\[\\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{\\sin\\alpha}{\\cos\\alpha}\\]\nUżyta do obliczenia \\(\\operatorname{tg}\\alpha\\) na podstawie wyznaczonych \\(\\sin\\alpha\\) i \\(\\cos\\alpha\\).\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 15)** - twierdzenie Pitagorasa:\n\\[a^2 + b^2 = c^2\\]\nUżyte w Sposobie 2 do znalezienia brakującego boku trójkąta.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| B | Obliczono \\(\\sin\\alpha = \\frac{3}{7}\\) - zamieniono sinus z cosinusem |\n| C | Wzięto \\(\\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{\\cos\\alpha}{\\sin\\alpha} = \\frac{3}{2\\sqrt{10}}\\) - odwrócono ułamek w definicji tangensa |\n| D | Poprawnie obliczono \\(\\sin\\alpha = \\frac{2\\sqrt{10}}{7}\\), ale wzięto to za wynik końcowy, nie obliczając tangensa |\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy obliczaniu \\(\\sin\\alpha = \\sqrt{1 - \\cos^2\\alpha}\\) - pamiętaj, że pierwiastek daje zawsze wynik dodatni. Znak sinus zależy od ćwiartki! Dla kąta **ostrego** zawsze \\(\\sin\\alpha > 0\\) - możesz spokojnie wziąć dodatni pierwiastek.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie myl kolejności w tangensie! \\(\\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{\\sin\\alpha}{\\cos\\alpha}\\), **nie** odwrotnie. Błąd odwrócenia ułamka to jedna z najczęstszych pomyłek.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\(\\sqrt{40} = \\sqrt{4 \\cdot 10} = 2\\sqrt{10}\\). Zawsze upraszczaj pierwiastki - odpowiedź w postaci \\(\\frac{\\sqrt{40}}{7}\\) nie jest uproszczona i może nie pasować do żadnej opcji odpowiedzi!\n\n**Poprawna odpowiedź: A** - \\(\\sin\\alpha=\\dfrac{2\\sqrt{10}}{7}\\).\n\n### Sposób 1 - Jedynka trygonometryczna\n\\[\\sin^{2}\\alpha+\\cos^{2}\\alpha=1 \\implies \\sin^{2}\\alpha=1-\\cos^{2}\\alpha.\\]\n\\[\\sin^{2}\\alpha=1-\\left(\\dfrac{3}{7}\\right)^{2}=1-\\dfrac{9}{49}=\\dfrac{49-9}{49}=\\dfrac{40}{49}.\\]\n\\[\\sin\\alpha=\\sqrt{\\dfrac{40}{49}}=\\dfrac{\\sqrt{40}}{7}=\\dfrac{2\\sqrt{10}}{7}\\] (znak \\(+\\), bo \\(\\alpha\\) jest ostry).\n\n### Sposób 2 - Trójkąt prostokątny\n\\(\\cos\\alpha=\\dfrac{3}{7}\\) → przyległa \\(=3\\), przeciwprostokątna \\(=7\\).\nDruga przyprostokątna: \\(\\sqrt{7^{2}-3^{2}}=\\sqrt{49-9}=\\sqrt{40}=2\\sqrt{10}\\).\n\\(\\sin\\alpha=\\dfrac{\\text{naprzeciw}}{\\text{przeciwprostokątna}}=\\dfrac{2\\sqrt{10}}{7}\\).\n\n### Weryfikacja\n\\(\\left(\\dfrac{2\\sqrt{10}}{7}\\right)^{2}+\\left(\\dfrac{3}{7}\\right)^{2}=\\dfrac{40}{49}+\\dfrac{9}{49}=\\dfrac{49}{49}=1\\) ✓.\n\n### Dlaczego pozostałe błędne\n- B: \\(\\dfrac{\\sqrt{10}}{7}\\) - zapomniano o \\(\\sqrt{40}=2\\sqrt{10}\\).\n- C: \\(\\dfrac{4}{7}\\) - błąd \"\\(7-3=4\\)\" zamiast Pitagorasa.\n- D: \\(\\dfrac{3}{4}\\) - zupełnie niepoprawne.","image":"img/matematyka-2010-maj-matura-podstawowa/zad-23.webp","solution_image":"img/matematyka-2010-maj-matura-podstawowa/sol-23.svg","topics":"stereometria","page_from":8,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2010 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2010-maj-matura-podstawowa/zad/24","paper_id":"matematyka-2010-maj-matura-podstawowa","number":"24","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2010,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 24. (1 pkt)\nOstrosłup ma 18 wierzchołków. Liczba wszystkich krawędzi tego ostrosłupa jest równa\nA. 11\nB. 18\nC. 27\nD. 34\nOstrosłup ma 18 wierzchołków. Liczba wszystkich krawędzi tego ostrosłupa jest równa A. 11, B. 18, C. 27, D. 34","answer":"W","answer_text":"Zadanie 24.\nObszar standardów\nSprawdzane umiejętności\nPoprawna\nodpowiedź\n(1 p.)\nWykorzystanie\ni tworzenie informacji\nObliczanie liczby krawędzi\nwielościanu\nD","solution":"## Poprawna odpowiedź: B - **20 sposobów**\n\n## Sposób 1 - Reguła mnożenia (zasada iloczynu)\n\n**Kluczowa zasada:** Jeśli wyboru A możemy dokonać na \\(m\\) sposobów, a niezależnie od tego wyboru B - na \\(n\\) sposobów, to obu wyborów łącznie dokonamy na \\(m \\cdot n\\) sposobów.\n\n**Krok 1:** Wybieramy zupę - mamy do dyspozycji \\(5\\) zup, więc \\(5\\) możliwości.\n\n**Krok 2:** Niezależnie od wybranej zupy, wybieramy drugie danie - mamy \\(4\\) opcje.\n\n**Krok 3:** Każdej zupie możemy przyporządkować dowolne drugie danie:\n\n\\[\n\\text{Liczba obiadów} = 5 \\cdot 4 = 20\n\\]\n\n**Odpowiedź: 20 sposobów.**\n\n## Sposób 2 - Wyliczenie (tabliczka wszystkich kombinacji)\n\nOznaczmy zupy jako \\(Z_1, Z_2, Z_3, Z_4, Z_5\\) i drugie dania jako \\(D_1, D_2, D_3, D_4\\).\n\nDla każdej zupy tworzymy listę możliwych obiadów:\n\n| Zupa | Możliwe obiady |\n| \\(Z_1\\) | \\((Z_1, D_1),\\ (Z_1, D_2),\\ (Z_1, D_3),\\ (Z_1, D_4)\\) - **4 obiady** |\n| \\(Z_2\\) | \\((Z_2, D_1),\\ (Z_2, D_2),\\ (Z_2, D_3),\\ (Z_2, D_4)\\) - **4 obiady** |\n| \\(Z_3\\) | \\((Z_3, D_1),\\ (Z_3, D_2),\\ (Z_3, D_3),\\ (Z_3, D_4)\\) - **4 obiady** |\n| \\(Z_4\\) | \\((Z_4, D_1),\\ (Z_4, D_2),\\ (Z_4, D_3),\\ (Z_4, D_4)\\) - **4 obiady** |\n| \\(Z_5\\) | \\((Z_5, D_1),\\ (Z_5, D_2),\\ (Z_5, D_3),\\ (Z_5, D_4)\\) - **4 obiady** |\n\nŁącznie: \\(5 \\cdot 4 = \\mathbf{20}\\) różnych obiadów - wynik zgodny z Metodą 1. ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 13 (Kombinatoryka, s. 28)** - wariacje z powtórzeniami / reguła mnożenia:\n\nChoć karta wzorów nie nazywa wprost „reguły mnożenia\", to jest ona podstawą całej kombinatoryki. W tym zadaniu korzystamy z najprostszej jej postaci:\n\n\\[\n\\text{Liczba par} = m \\cdot n = 5 \\cdot 4 = 20\n\\]\n\nTo szczególny przypadek liczby wariacji z powtórzeniami \\(n^k\\) (gdyby obie liczby były równe), ale tutaj po prostu mnożymy dwie różne liczności zbiorów.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| A (\\(9\\)) | Dodano zamiast pomnożyć: \\(5 + 4 = 9\\) - błąd polegający na użyciu reguły dodawania zamiast mnożenia |\n| C (\\(40\\)) | Pomylono kolejność lub podwojono wynik, np. \\(5 \\cdot 4 \\cdot 2 = 40\\) albo liczono obiady w obie strony |\n| D (\\(120\\)) | Zastosowano permutacje: \\(5! = 120\\) - niepotrzebnie, bo tu nie układamy wszystkich elementów w kolejności |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Najczęstszy błąd to **dodawanie zamiast mnożenia** - \\(5 + 4 = 9\\). Dodajemy, gdy wybieramy JEDNO z dwóch rozłącznych zbiorów (np. „zupę LUB drugie danie\"). Mnożymy, gdy wybieramy JEDNO z każdego zbioru jednocześnie (zupę ORAZ drugie danie).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wybory są **niezależne** - wybór zupy nie ogranicza wyboru drugiego dania. Zawsze upewnij się, że oba wybory są niezależne, zanim zastosujesz regułę mnożenia.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie ma tu znaczenia kolejność (tj. „najpierw zupa, potem danie\" to to samo co „najpierw danie, potem zupa\") - wynik \\(4 \\cdot 5 = 20\\) jest oczywiście taki sam.\n\n**Poprawna odpowiedź: B** - \\(20\\) sposobów.\n\n### Sposób 1 - Reguła mnożenia\nWybór zupy: \\(5\\) możliwości. Wybór drugiego dania: \\(4\\) możliwości. Każdą zupę możemy połączyć z każdym daniem:\n\\[5\\cdot 4=20 \\text{ kombinacji}.\\]\n\n### Sposób 2 - Wyliczenie\nPary (zupa, drugie danie): dla każdej z \\(5\\) zup powstaje \\(4\\) pary, łącznie \\(5\\cdot 4=20\\) par.\n\n### Uwaga dydaktyczna\nTo klasyczny przykład reguły mnożenia w kombinatoryce: dla niezależnych wyborów \\(n_{1}, n_{2}, \\ldots, n_{k}\\) łączna liczba kombinacji to \\(n_{1}\\cdot n_{2}\\cdots n_{k}\\).\n\n### Dlaczego pozostałe błędne\n- A \\(=25=5^{2}\\): błędne, sugeruje że wybór robimy z \\(5\\) rzeczy dwa razy.\n- C \\(=16=4^{2}\\): analogiczny błąd.\n- D \\(=9=5+4\\): dodawanie zamiast mnożenia - błąd reguły.","image":"img/matematyka-2010-maj-matura-podstawowa/zad-24.webp","solution_image":"img/matematyka-2010-maj-matura-podstawowa/sol-24.svg","topics":"stereometria","page_from":8,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2010 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2010-maj-matura-podstawowa/zad/25","paper_id":"matematyka-2010-maj-matura-podstawowa","number":"25","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2010,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 25. (1 pkt)\nŚrednia arytmetyczna dziesięciu liczb x, 3, 1, 4, 1, 5, 1, 4, 1, 5 jest równa 3. Wtedy\nA.\n2\nx =\nB.\n3\nx =\nC.\n4\nx =\nD.\n5\nx =\n\nPoziom podstawowy\n9\nBRUDNOPIS\n\nPoziom podstawowy\n10\nZADANIA OTWARTE\nRozwiązania zadań o numerach od 26. do 34. należy zapisać w wyznaczonych miejscach\npod treścią zadania.\nŚrednia arytmetyczna dziesięciu liczb x,3,1,4,1,5,1,4,1,5 jest równa 3. Wtedy A. x=2, B. x=3, C. x=4, D. x=5","answer":"W","answer_text":"Zadanie 25.\nObszar standardów\nSprawdzane umiejętności\nPoprawna\nodpowiedź\n(1 p.)\nWykorzystanie\ni tworzenie informacji\nObliczanie średniej arytmetycznej\nD\nZadania otwarte\nZa prawidłowe rozwiązanie każdego z zadań inną metodą niż przedstawiona w schemacie\nprzyznajemy maksymalną liczbę punktów.","solution":"## Poprawna odpowiedź: D - mediana wynosi \\(3{,}5\\)\n\n## Sposób 1 - Sortowanie i wyznaczenie mediany\n\n**Krok 1: Uporządkuj dane rosnąco.**\n\nMamy liczby: \\(6, 3, 1, 4\\). Po posortowaniu:\n\\[1, \\quad 3, \\quad 4, \\quad 6\\]\n\n**Krok 2: Ustal, jak liczyć medianę dla parzystej liczby danych.**\n\nMamy \\(n = 4\\) liczby (liczba parzysta). Mediana to **średnia arytmetyczna dwóch środkowych wyrazów**.\n\nŚrodkowe wyrazy to wyraz 2. i 3. w ciągu uporządkowanym, czyli \\(3\\) i \\(4\\).\n\n**Krok 3: Oblicz medianę.**\n\\[Me = \\frac{3 + 4}{2} = \\frac{7}{2} = 3{,}5\\]\n\n**Mediana wynosi \\(3{,}5\\).**\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja przez sprawdzenie definicji mediany\n\nMediana to wartość, która **dzieli zbiór danych (posortowanych) na dwie równoliczne połowy**.\n\nPosortowane dane: \\(1, \\quad 3 \\quad | \\quad 4, \\quad 6\\)\n\n- Dwie liczby poniżej \\(3{,}5\\): są to \\(1\\) i \\(3\\) ✓\n- Dwie liczby powyżej \\(3{,}5\\): są to \\(4\\) i \\(6\\) ✓\n\nWartość \\(3{,}5\\) rzeczywiście leży dokładnie \"w środku\" zbioru - definicja mediany jest spełniona. Wynik jest poprawny.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 15 (Parametry danych statystycznych, s. 31-32)** - definicja mediany:\n\n> Mediana to środkowy wyraz dla nieparzystego \\(n\\), lub średnia dwóch środkowych wyrazów dla parzystego \\(n\\) - po uprzednim **posortowaniu danych rosnąco**.\n\nW tym zadaniu: \\(n = 4\\) (parzyste), więc:\n\\[Me = \\frac{a_2 + a_3}{2} = \\frac{3 + 4}{2} = 3{,}5\\]\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| A | Podanie mediany jako \\(3\\) - uczeń bierze tylko jeden środkowy wyraz (wyraz 2.), zapominając o wyraz 3. |\n| B | Podanie mediany jako \\(4\\) - uczeń bierze tylko jeden środkowy wyraz (wyraz 3.) zamiast uśredniać oba środkowe |\n| C | Wyliczenie **średniej arytmetycznej** zamiast mediany: \\(\\frac{1+3+4+6}{4} = \\frac{14}{4} = 3{,}5\\) - tu przypadkowo wynik jest taki sam, ale w ogólności średnia ≠ mediana; za tę odpowiedź może kryć się inna wartość jeśli dane są inne |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Medianę liczymy ZAWSZE po posortowaniu danych - kolejność podania liczb w zadaniu nie ma znaczenia. Wielu uczniów próbuje brać \"środkowe\" elementy z nieposortowanego zbioru.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Dla **parzystej** liczby danych mediana to **średnia dwóch środkowych wyrazów** - może być liczbą, której w zbiorze w ogóle nie ma (tutaj \\(3{,}5\\) nie jest wynikiem żadnego rzutu).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie mylić mediany ze średnią! Tu wyniki są takie same (\\(3{,}5\\)), ale to czysty przypadek - w ogólności to dwie różne statystyki.\n\n**Poprawna odpowiedź: D** - mediana wynosi \\(3{,}5\\).\n\n### Sposób 1 - Definicja mediany\nDla próby \\(\\{6, 3, 1, 4\\}\\) sortujemy rosnąco: \\(1, 3, 4, 6\\).\nPoniewaz liczba elementów jest parzysta (\\(n=4\\)), mediana to średnia arytmetyczna dwóch środkowych wartości:\n\\[\\text{Me}=\\dfrac{3+4}{2}=\\dfrac{7}{2}=3{,}5.\\]\n\n### Sposób 2 - Krok po kroku\n1. Posortuj: \\(1, 3, 4, 6\\).\n2. Znajdź środkowe (2. i 3. pozycja): \\(3\\) i \\(4\\).\n3. Średnia: \\(\\dfrac{3+4}{2}=3{,}5\\).\n\n### Uwaga dydaktyczna\nDla \\(n\\) nieparzystego mediana to środkowy element. Dla \\(n\\) parzystego - średnia dwóch środkowych.\n\n### Weryfikacja\nSortowanie: \\(\\{1,3,4,6\\}\\). Dwie najniższe to \\(\\{1,3\\}\\), dwie najwyższe \\(\\{4,6\\}\\). Mediana \"między\" - średnia \\(3\\) i \\(4\\) daje \\(3{,}5\\) ✓.\n\n### Dlaczego pozostałe błędne\n- A \\(=2\\): brak uzasadnienia, niepoprawna interpretacja.\n- B \\(=2{,}5\\): być może \\(\\tfrac{1+4}{2}\\) lub inne błędne pary.\n- C \\(=5\\): \\(\\tfrac{4+6}{2}=5\\) - wzięto niepoprawną parę (nie środkowe).","image":"img/matematyka-2010-maj-matura-podstawowa/zad-25.webp","solution_image":"img/matematyka-2010-maj-matura-podstawowa/sol-25.svg","topics":"algebra","page_from":8,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2010 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2010-maj-matura-podstawowa/zad/26","paper_id":"matematyka-2010-maj-matura-podstawowa","number":"26","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2010,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 26. (2 pkt)\nRozwiąż nierówność\n2\n2\n0\nx\nx\n≤\nOdpowiedź:\nRozwiąż nierówność kwadratową x^2-x-2 <= 0.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 26. (0-2)\nObszar standardów\nSprawdzane umiejętności\nWykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji\nRozwiązywanie nierówności kwadratowej\nRozwiązanie\nZnajdujemy pierwiastki trójmianu kwadratowego\n• obliczamy wyróżnik trójmianu kwadratowego:\n9\n∆=\n1\n1 3\n1\n2\nx\n2\n1 3\n2\n2\nx\nalbo\n• stosujemy wzory Viète’a:\n1\n2\n1\nx\nx\n= oraz\n1\n2\n2\nx\nx\n⋅\ni stąd\n1\n1\nx = -,\n2\n2\nx =\nalbo\n• zapisujemy nierówność w postaci (\n)(\n)\n1\n2\n0\nx\nx\n≤\n. Lewą stronę nierówności\nmożemy uzyskać np.:\no grupując wyrazy i wyłączając wspólny czynnik,\nKlucz punktowania odpowiedzi - poziom podstawowy\n7\no korzystając z postaci kanonicznej\n(\n)(\n)\n2\n1\n9\n1\n3\n1\n3\n1\n2\n2\n4\n2\n2\n2\n2\nx\nx\nx\nx\nx\n\n\n\n\n\n⋅\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n,\no podając postać iloczynową\nalbo\n• rysujemy fragment wykresu funkcji kwadratowej z zaznaczonymi miejscami\nzerowymi\n-3\n-2\n-1\n1\n2\n3\n4\n-2\n-1\n1\n2\n3\n4\nx\ny\nalbo\n• wskazujemy pierwiastki trójmianu\n1\n1\nx = -,\n2\n2\nx =\nPodajemy rozwiązanie nierówności: 1\n2\nx\n-≤\n≤\nSchemat oceniania\nZdający otrzymuje 1 pkt\ngdy wyznaczy pierwiastki trójmianu kwadratowego lub zapisze trójmian w postaci\niloczynowej i na tym poprzestanie lub dalej popełni błędy.\nZdający otrzymuje 2 pkt\ngdy\npoda zbiór rozwiązań nierówności w postaci: 1\n2\nx\n-≤\n≤\nlub\n1,2\nlub\n1,2\nx∈-\nalbo\nsporządzi ilustrację geometryczną (oś liczbowa, wykres) i zapisze zbiór rozwiązań\nnierówności w postaci:\n1\nx ≥-,\n2\nx ≤\nalbo\npoda zbiór rozwiązań nierówności w postaci graficznej z poprawnie zaznaczonymi\nkońcami przedziałów:\n2\nx\n-1\nKlucz punktowania odpowiedzi - poziom podstawowy\n8","solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(x \\in \\langle -6, -5 \\rangle\\)\n\n## Sposób 1 - Wzór na miejsca zerowe (delta)\n\n**Szukamy miejsc zerowych trójmianu** \\(x^2 + 11x + 30\\).\n\nOdczytujemy współczynniki: \\(a = 1\\), \\(b = 11\\), \\(c = 30\\).\n\n**Wyróżnik:**\n\\[\\Delta = b^2 - 4ac = 11^2 - 4 \\cdot 1 \\cdot 30 = 121 - 120 = 1\\]\n\n**Miejsca zerowe:**\n\\[x_1 = \\frac{-b - \\sqrt{\\Delta}}{2a} = \\frac{-11 - 1}{2} = \\frac{-12}{2} = -6\\]\n\\[x_2 = \\frac{-b + \\sqrt{\\Delta}}{2a} = \\frac{-11 + 1}{2} = \\frac{-10}{2} = -5\\]\n\nParabola ma ramiona skierowane **w górę** (bo \\(a = 1 > 0\\)), więc trójmian jest **niżej od osi \\(x\\)** (ujemny) między miejscami zerowymi.\n\nNierówność \\(\\leq 0\\) spełniona jest dla:\n\\[\\boxed{x \\in \\langle -6, -5 \\rangle}\\]\n\n## Sposób 2 - Rozkład na czynniki (bez delty)\n\nSzukamy rozkładu \\(x^2 + 11x + 30 = (x + p)(x + q)\\), gdzie:\n- \\(p + q = 11\\)\n- \\(p \\cdot q = 30\\)\n\n**Myślimy:** jakie dwie liczby dają sumę 11 i iloczyn 30?\n\n\\(5 + 6 = 11\\) i \\(5 \\cdot 6 = 30\\) ✓\n\nZatem:\n\\[x^2 + 11x + 30 = (x + 5)(x + 6)\\]\n\nNierówność przyjmuje postać:\n\\[(x + 5)(x + 6) \\leq 0\\]\n\nMiejsca zerowe: \\(x = -5\\) i \\(x = -6\\).\n\n**Analiza znaku iloczynu:**\n\n| Przedział | \\((x+6)\\) | \\((x+5)\\) | iloczyn |\n| \\(x < -6\\) | \\(-\\) | \\(-\\) | \\(+\\) |\n| \\(-6 < x < -5\\) | \\(+\\) | \\(-\\) | \\(-\\) |\n| \\(x > -5\\) | \\(+\\) | \\(+\\) | \\(+\\) |\n\nIloczyn jest \\(\\leq 0\\) dla \\(x \\in \\langle -6, -5 \\rangle\\). ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)** - wyróżnik i miejsca zerowe:\n\\[\\Delta = b^2 - 4ac, \\quad x_{1,2} = \\frac{-b \\pm \\sqrt{\\Delta}}{2a}\\]\nUżyliśmy w Sposobie 1 do wyznaczenia miejsc zerowych trójmianu.\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)** - postać iloczynowa:\n\\[f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)\\]\nPodstawa Sposobu 2 - rozkład na czynniki i analiza znaku.\n\n## Typowe pułapki\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nierówność \\(\\leq 0\\) daje przedział **między** pierwiastkami (bo parabola jest w górę). Uczniowie często podają zły kierunek - zbiór zewnętrzny \\((-\\infty, -6\\rangle \\cup \\langle -5, +\\infty)\\) to odpowiedź dla \\(\\geq 0\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy \\(\\leq 0\\) (a nie \\(< 0\\)) granice należą do rozwiązania - przedział **domknięty** \\(\\langle -6, -5 \\rangle\\), nie otwarty. Sprawdź: w \\(x = -6\\) mamy \\(36 - 66 + 30 = 0\\) ✓.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** W Sposobie 2 szukamy liczb o sumie \\(b = 11\\) i iloczynie \\(c = 30\\) - ale tylko gdy \\(a = 1\\). Gdy \\(a \\neq 1\\), ten trik wymaga modyfikacji (np. \\(a \\cdot c\\) zamiast \\(c\\)).\n\n**Odpowiedź: \\(x\\in\\langle -6,-5\\rangle\\).**\n\n### Sposób 1 - Wyróżnik trójmianu kwadratowego\nObliczamy pierwiastki trójmianu \\(x^{2}+11x+30\\):\n\\[\\Delta=11^{2}-4\\cdot 1\\cdot 30=121-120=1.\\]\n\\[\\sqrt{\\Delta}=1.\\]\n\\[x_{1}=\\dfrac{-11-1}{2}=-6, \\qquad x_{2}=\\dfrac{-11+1}{2}=-5.\\]\nPostać iloczynowa: \\(x^{2}+11x+30=(x+6)(x+5)\\).\n\n### Sposób 2 - Wzory Viète'a\nSzukamy dwóch liczb, których suma wynosi \\(-11\\), a iloczyn \\(30\\). Są to \\(-5\\) i \\(-6\\):\n\\((-5)+(-6)=-11\\); \\((-5)\\cdot(-6)=30\\) ✓.\n\n### Sposób 3 - Postać kanoniczna\n\\[x^{2}+11x+30=\\left(x+\\dfrac{11}{2}\\right)^{2}-\\dfrac{121}{4}+30=\\left(x+\\dfrac{11}{2}\\right)^{2}-\\dfrac{1}{4}.\\]\nNierówność \\(\\left(x+\\dfrac{11}{2}\\right)^{2}\\leq\\dfrac{1}{4}\\) prowadzi do \\(\\left|x+\\dfrac{11}{2}\\right|\\leq\\dfrac{1}{2}\\), czyli:\n\\[-\\dfrac{1}{2}\\leq x+\\dfrac{11}{2}\\leq \\dfrac{1}{2} \\implies -6\\leq x\\leq -5.\\]\n\n### Zbiór rozwiązań\nParabola \\(y=(x+6)(x+5)\\) ma ramiona skierowane w górę i pierwiastki w \\(-6\\) i \\(-5\\). Nierówność \\(\\leq 0\\) spełnia przedział między pierwiastkami (wraz z końcami):\n\\[\\boxed{x\\in\\langle -6,-5\\rangle.}\\]\n\n### Weryfikacja\n- \\(x=-6\\): \\(36-66+30=0\\leq 0\\) ✓\n- \\(x=-5{,}5\\): \\(30{,}25-60{,}5+30=-0{,}25\\leq 0\\) ✓\n- \\(x=-4\\): \\(16-44+30=2>0\\) - poza zbiorem ✓","image":"img/matematyka-2010-maj-matura-podstawowa/zad-26.webp","solution_image":"img/matematyka-2010-maj-matura-podstawowa/sol-26.svg","topics":"rownania_i_nierownosci","page_from":10,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2010 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2010-maj-matura-podstawowa/zad/27","paper_id":"matematyka-2010-maj-matura-podstawowa","number":"27","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2010,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 27. (2 pkt)\nRozwiąż równanie\n3\n2\n7\n4\n28\n0\nx\nx\nx\nOdpowiedź:\n\nPoziom podstawowy\n11\nRozwiąż równanie x^3-7x^2-4x+28=0.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 27. (0-2)\nObszar standardów\nSprawdzane umiejętności\nWykorzystanie\ni tworzenie informacji\nRozwiązanie równania wielomianowego\nI sposób rozwiązania (metoda grupowania)\nPrzedstawiamy lewą stronę równania w postaci iloczynowej stosując metodę grupowania\nwyrazów\n(\n)\n(\n)\n2\n2\n4\n7\n4\n0\nx x\nx\nlub\n(\n)\n(\n)\n2\n7\n4\n7\n0\nx\nx\nx\n(\n)(\n)\n2\n7\n4\n0\nx\nx\nStąd\n7\nx =\nlub\n2\nx = - lub\n2\nx =\nSchemat oceniania I sposobu rozwiązania\nZdający otrzymuje 1 pkt\ngdy pogrupuje wyrazy do postaci, z której łatwo można przejść do postaci iloczynowej, np.:\n(\n)\n(\n)\n2\n2\n4\n7\n4\n0\nx x\nx\nlub\n(\n)\n(\n)\n2\n7\n4\n7\n0\nx\nx\nx\ni na tym poprzestanie lub dalej popełni\nbłąd\nZdający otrzymuje 2 pkt\ngdy wyznaczy bezbłędnie wszystkie rozwiązania równania:\n7\nx =\nlub\n2\nx = - lub\n2\nx =\nII sposób rozwiązania (metoda dzielenia)\nStwierdzamy, że liczba 2 jest pierwiastkiem wielomianu\n3\n2\n7\n4\n28\nx\nx\nx\n. Dzielimy\nwielomian\n3\n2\n7\n4\n28\nx\nx\nx\nprzez dwumian (\n)\n2\nx\n. Otrzymujemy iloraz (\n)\n2\n5\n14\nx\nx\nZapisujemy równanie w postaci (\n)(\n)\n2\n2\n5\n14\n0\nx\nx\nx\n. Stąd (\n)(\n)(\n)\n2\n2\n7\n0\nx\nx\nx\ni\n7\nx =\nlub\n2\nx = - lub\n2\nx =\nalbo\nStwierdzamy, że liczba 2\n- jest pierwiastkiem wielomianu\n3\n2\n7\n4\n28\nx\nx\nx\n. Dzielimy\nwielomian\n3\n2\n7\n4\n28\nx\nx\nx\nprzez dwumian (\n)\n2\nx +\n. Otrzymujemy iloraz (\n)\n2\n9\n14\nx\nx\nZapisujemy równanie w postaci (\n)(\n)\n2\n2\n9\n14\n0\nx\nx\nx\n. Stąd (\n)(\n)(\n)\n2\n2\n7\n0\nx\nx\nx\ni\n2\nx = - lub\n2\nx =\nlub\n7\nx =\nalbo\nStwierdzamy, że liczba 7 jest pierwiastkiem wielomianu\n3\n2\n7\n4\n28\nx\nx\nx\n. Dzielimy\nwielomian\n3\n2\n7\n4\n28\nx\nx\nx\nprzez dwumian (\n)\n7\nx -\n. Otrzymujemy iloraz (\n)\n2\n4\nx -\nZapisujemy równanie w postaci (\n)(\n)\n2\n7\n4\n0\nx\nx\n. Stąd (\n)(\n)(\n)\n7\n2\n2\n0\nx\nx\nx\ni\n7\nx =\nlub\n2\nx = - lub\n2\nx =\nKlucz punktowania odpowiedzi - poziom podstawowy\n9\nSchemat oceniania II sposobu rozwiązania\nZdający otrzymuje 1 pkt\ngdy\n• podzieli wielomian\n3\n2\n7\n4\n28\nx\nx\nx\nprzez dwumian (\n)\n2\nx\n, otrzyma iloraz\n(\n)\n2\n5\n14\nx\nx\ni na tym poprzestanie lub dalej popełni błąd\nalbo\n• podzieli wielomian\n3\n2\n7\n4\n28\nx\nx\nx\nprzez dwumian (\n)\n2\nx +\n, otrzyma iloraz\n(\n)\n2\n9\n14\nx\nx\ni na tym poprzestanie lub dalej popełni błąd\nalbo\n• podzieli wielomian\n3\n2\n7\n4\n28\nx\nx\nx\nprzez dwumian (\n)\n7\nx\n, otrzyma iloraz (\n)\n2\n4\nx\ni na tym poprzestanie lub dalej popełni błąd\nalbo\n• podzieli wielomian\n3\n2\n7\n4\n28\nx\nx\nx\nprzez trójmian np. (\n)(\n)\n2\n7\nx\nx\ni na tym\npoprzestanie lub dalej popełni błąd.\nZdający otrzymuje 2 pkt\ngdy\n• wyznaczy bezbłędnie wszystkie rozwiązania równania:\n2,\n2,\n7\nx\nx\nx","solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(x = -2\\) lub \\(x = \\sqrt{5}\\) lub \\(x = -\\sqrt{5}\\)\n\n## Sposób 1 - Grupowanie wyrazów (faktoryzacja)\n\nZauważamy, że wielomian \\(x^3 + 2x^2 - 5x - 10\\) ma **cztery wyrazy** - to sygnał, żeby spróbować grupowania.\n\nGrupujemy po dwa wyrazy:\n\n\\[x^3 + 2x^2 - 5x - 10 = (x^3 + 2x^2) + (-5x - 10)\\]\n\nWyłączamy wspólny czynnik z każdej grupy:\n\n\\[= x^2(x + 2) - 5(x + 2)\\]\n\nTeraz **oba składniki mają wspólny czynnik** \\((x + 2)\\) - wyłączamy go:\n\n\\[= (x + 2)(x^2 - 5)\\]\n\nRównanie przybiera postać:\n\n\\[(x + 2)(x^2 - 5) = 0\\]\n\nIloczyn jest równy zero, gdy **co najmniej jeden czynnik jest zerem**:\n\n**Czynnik 1:**\n\\[x + 2 = 0 \\implies x = -2\\]\n\n**Czynnik 2:**\n\\[x^2 - 5 = 0 \\implies x^2 = 5 \\implies x = \\sqrt{5} \\quad \\text{lub} \\quad x = -\\sqrt{5}\\]\n\n**Odpowiedź: \\(x = -2\\) lub \\(x = \\sqrt{5}\\) lub \\(x = -\\sqrt{5}\\)**\n\n## Sposób 2 - Zgadnięcie pierwiastka wymiernego + dzielenie wielomianów\n\n**Krok 1: Szukamy pierwiastka wymiernego.**\n\nJeśli wielomian \\(w(x) = x^3 + 2x^2 - 5x - 10\\) ma pierwiastek wymierny, to musi to być dzielnik wyrazu wolnego \\(-10\\):\n\nKandydaci: \\(\\pm 1, \\pm 2, \\pm 5, \\pm 10\\)\n\nSprawdzamy \\(x = -2\\):\n\n\\[w(-2) = (-2)^3 + 2 \\cdot (-2)^2 - 5 \\cdot (-2) - 10 = -8 + 8 + 10 - 10 = 0 \\checkmark\\]\n\n**Zatem \\((x + 2)\\) jest czynnikiem wielomianu.**\n\n**Krok 2: Dzielenie wielomianu przez \\((x + 2)\\) - schemat Hornera.**\n\nWspółczynniki: \\(1, \\quad 2, \\quad -5, \\quad -10\\), pierwiastek \\(-2\\):\n\n| | \\(1\\) | \\(2\\) | \\(-5\\) | \\(-10\\) |\n| | \\(\\downarrow\\) | \\(-2\\) | \\(0\\) | \\(10\\) |\n| | \\(1\\) | \\(0\\) | \\(-5\\) | \\(0\\) |\n\nIloraz to \\(x^2 + 0x - 5 = x^2 - 5\\), reszta \\(= 0\\).\n\nZatem:\n\\[x^3 + 2x^2 - 5x - 10 = (x+2)(x^2 - 5)\\]\n\n**Krok 3: Rozwiązujemy \\(x^2 - 5 = 0\\):**\n\n\\[x^2 = 5 \\implies x = \\pm\\sqrt{5}\\]\n\n**Odpowiedź: \\(x = -2\\) lub \\(x = \\sqrt{5}\\) lub \\(x = -\\sqrt{5}\\)**\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczą:\n- Własność iloczynu: jeśli \\(A \\cdot B = 0\\), to \\(A = 0\\) lub \\(B = 0\\)\n- Podstawowa własność potęg: \\(x^2 = a \\implies x = \\pm\\sqrt{a}\\)\n\nSchemat Hornera nie jest umieszczony na karcie wzorów, ale jest standardową techniką kursu.\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy grupowaniu pamiętaj o znaku! Z grupy \\((-5x - 10)\\) wyłączamy \\(-5\\), co daje \\(-5(x + 2)\\) - nie \\(-5(x - 2)\\). Sprawdź przez rozwinięcie.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\(x^2 - 5 = 0\\) to **nie** to samo co \\(x^2 = -5\\) (brak rozwiązań rzeczywistych). Tu mamy \\(x^2 = 5 > 0\\), więc są dwa pierwiastki: \\(x = \\sqrt{5}\\) i \\(x = -\\sqrt{5}\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Równanie stopnia 3 ma **zawsze co najmniej jedno** rozwiązanie rzeczywiste (i co najwyżej trzy). Nie kończ na jednym pierwiastku - zawsze rozkładaj dalej!\n\n**Odpowiedź: \\(x\\in\\{-\\sqrt{5},\\ -2,\\ \\sqrt{5}\\}\\).**\n\n### Sposób 1 - Metoda grupowania wyrazów\nGrupujemy wyrazy parami:\n\\[x^{3}+2x^{2}-5x-10=x^{2}(x+2)-5(x+2)=(x+2)(x^{2}-5).\\]\nRównanie \\((x+2)(x^{2}-5)=0\\) jest spełnione, gdy \\(x+2=0\\) lub \\(x^{2}-5=0\\):\n\\[x=-2 \\quad\\text{lub}\\quad x^{2}=5 \\implies x=\\pm\\sqrt{5}.\\]\n\n### Sposób 2 - Metoda dzielenia wielomianu\nSprawdzamy, że \\(-2\\) jest pierwiastkiem:\n\\(W(-2)=-8+8+10-10=0\\) ✓.\nDzielimy \\(x^{3}+2x^{2}-5x-10\\) przez \\(x+2\\):\n\\[x^{3}+2x^{2}-5x-10 = (x+2)(x^{2}-5).\\]\nRozkładamy \\(x^{2}-5=(x-\\sqrt{5})(x+\\sqrt{5})\\).\n\n### Sposób 3 - Pełny rozkład\n\\[x^{3}+2x^{2}-5x-10=(x+2)(x-\\sqrt{5})(x+\\sqrt{5})=0.\\]\nStąd trzy pierwiastki: \\(x=-2, \\sqrt{5}, -\\sqrt{5}\\).\n\n### Weryfikacja\n- \\(x=-2\\): \\(-8+8+10-10=0\\) ✓\n- \\(x=\\sqrt{5}\\): \\(5\\sqrt{5}+10-5\\sqrt{5}-10=0\\) ✓\n- \\(x=-\\sqrt{5}\\): \\(-5\\sqrt{5}+10+5\\sqrt{5}-10=0\\) ✓\n\n### Odpowiedź\n\\[\\boxed{x=-2 \\ \\text{lub}\\ x=-\\sqrt{5} \\ \\text{lub}\\ x=\\sqrt{5}.}\\]","image":"img/matematyka-2010-maj-matura-podstawowa/zad-27.webp","solution_image":"img/matematyka-2010-maj-matura-podstawowa/sol-27.svg","topics":"wielomiany","page_from":10,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2010 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2010-maj-matura-podstawowa/zad/28","paper_id":"matematyka-2010-maj-matura-podstawowa","number":"28","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2010,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 28. (2 pkt)\nTrójkąty prostokątne równoramienne ABC i CDE są położone tak, jak na poniższym rysunku\n(w obu trójkątach kąt przy wierzchołku C jest prosty). Wykaż, że AD\nBE\nA\nB\nC\nD\nE\nNr zadania\n26.\n27.\n28.\nMaks. liczba pkt\n2\n2\n2\nWypełnia\negzaminator Uzyskana liczba pkt\n\nPoziom podstawowy\n12\nTrójkąty prostokątne równoramienne ABC i CDE są położone tak, jak na poniższym rysunku (w obu trójkątach kąt przy wierzchołku C jest prosty). Wykaż, że |AD|=|BE|.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 28. (0-2)\nObszar standardów\nSprawdzane umiejętności\nRozumowania\ni argumentacji\nPrzeprowadzenie dowodu geometrycznego\nskładającego się z niewielkiej liczby kroków\nRozwiązanie\nDorysowujemy odcinki AD i BE. Pokazujemy, że trójkąty ACD i BCE są przystające:\nAC\nBC\n, bo trójkąt ABC jest równoramienny\nCD\nCE\n, bo trójkąt CDE jest równoramienny\n90\nACD\nDCB\nBCE\n°-\n\n\n\n• Stosujemy cechę przystawania bkb\nSchemat oceniania\nZdający otrzymuje 1 pkt\ngdy\n• napisze, że trójkąty ACD i BCE są przystające i wyprowadzi stąd wniosek,\nże AD\nBE\nalbo\n• zapisze, że AC\nBC\n, CD\nCE\ni\nACD\nBCE\n\n\nZdający otrzymuje 2 pkt\ngdy poprawnie uzasadni, że trójkąty ACD i BCE są przystające i wyprowadzi stąd wniosek,\nże AD\nBE\n. Wymagamy udowodnienia równości kątów ACD i BCE.\nKlucz punktowania odpowiedzi - poziom podstawowy\n10","solution":"## Poprawna odpowiedź: przyprostokątne mają długości \\(9\\) cm i \\(40\\) cm, przeciwprostokątna - \\(41\\) cm.\n\n## Sposób 1 - Układanie równania i twierdzenie Pitagorasa\n\n**Oznaczenia.** Niech:\n- \\(c\\) - długość przeciwprostokątnej (w cm),\n- \\(a\\) - dłuższa przyprostokątna,\n- \\(b\\) - krótsza przyprostokątna.\n\n**Tłumaczenie treści na równania.** Przeciwprostokątna jest dłuższa od jednej przyprostokątnej o \\(1\\), a od drugiej o \\(32\\):\n\\[c = a + 1 \\implies a = c - 1\\]\n\\[c = b + 32 \\implies b = c - 32\\]\n\n**Stosujemy twierdzenie Pitagorasa:**\n\\[a^2 + b^2 = c^2\\]\n\\[(c-1)^2 + (c-32)^2 = c^2\\]\n\n**Rozwijamy kwadraty (wzory skróconego mnożenia):**\n\\[c^2 - 2c + 1 + c^2 - 64c + 1024 = c^2\\]\n\\[2c^2 - 66c + 1025 = c^2\\]\n\\[c^2 - 66c + 1025 = 0\\]\n\n**Wyróżnik:**\n\\[\\Delta = (-66)^2 - 4 \\cdot 1 \\cdot 1025 = 4356 - 4100 = 256\\]\n\\[\\sqrt{\\Delta} = 16\\]\n\n**Pierwiastki:**\n\\[c_1 = \\frac{66 + 16}{2} = \\frac{82}{2} = 41\\]\n\\[c_2 = \\frac{66 - 16}{2} = \\frac{50}{2} = 25\\]\n\n**Sprawdzamy oba przypadki - czy długości boków są dodatnie:**\n\nDla \\(c_1 = 41\\):\n\\[a = 41 - 1 = 40, \\quad b = 41 - 32 = 9\\]\nObie wartości są dodatnie - **rozwiązanie geometrycznie poprawne** ✓\n\nDla \\(c_2 = 25\\):\n\\[a = 25 - 1 = 24, \\quad b = 25 - 32 = -7\\]\nUjemna długość boku - **rozwiązanie odrzucamy** ✗\n\n**Odpowiedź:** Boki trójkąta mają długości \\(\\mathbf{9 \\text{ cm}, \\ 40 \\text{ cm}, \\ 41 \\text{ cm}}\\).\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja (sprawdzenie twierdzeniem Pitagorasa)\n\nSprawdzamy, czy trójkąt \\(9, 40, 41\\) jest prostokątny:\n\\[9^2 + 40^2 = 81 + 1600 = 1681 = 41^2\\]\n\\[41^2 = 1681 \\quad \\checkmark\\]\n\nSprawdzamy warunki z treści:\n- Przeciwprostokątna dłuższa od \\(40\\) o \\(1\\): \\(\\quad 41 - 40 = 1\\) ✓\n- Przeciwprostokątna dłuższa od \\(9\\) o \\(32\\): \\(\\quad 41 - 9 = 32\\) ✓\n\nRozwiązanie jest poprawne. Trójkąt \\(9\\text{-}40\\text{-}41\\) to jedna z klasycznych pitagorejskich trójek liczb całkowitych.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 15)** - twierdzenie Pitagorasa:\n\\[a^2 + b^2 = c^2\\]\nUżyte w Sposobie 1 do zbudowania równania i w Sposobie 2 do weryfikacji.\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-8)** - wyróżnik i wzór na pierwiastki:\n\\[\\Delta = b^2 - 4ac, \\qquad x_{1,2} = \\frac{-b \\pm \\sqrt{\\Delta}}{2a}\\]\nUżyte do rozwiązania równania \\(c^2 - 66c + 1025 = 0\\).\n\n**Dział 6 (Wzory skróconego mnożenia, s. 7):**\n\\[(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\\]\nUżyte przy rozwijaniu \\((c-1)^2\\) i \\((c-32)^2\\).\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Zawsze sprawdzaj, czy oba rozwiązania równania kwadratowego są geometrycznie sensowne - długości boków muszą być **dodatnie**. Tu \\(c = 25\\) daje \\(b = -7\\), więc je odrzucamy.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Pamiętaj, że przeciwprostokątna jest **największym** bokiem trójkąta prostokątnego. Zatem \\(c > a\\) i \\(c > b\\) - różnice muszą być nieujemne. To szybki test po otrzymaniu wyniku.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Rozwijając \\((c-32)^2\\), łatwo o błąd w środkowym wyrazie: \\((c-32)^2 = c^2 - 64c + 1024\\), nie \\(c^2 - 32c + 1024\\). Sprawdź dwukrotnie mnożenie \\(2 \\cdot c \\cdot 32 = 64c\\).\n\n**Odpowiedź: boki \\(9\\) cm, \\(40\\) cm i \\(41\\) cm.**\n\n### Sposób 1 - Oznaczenia z przeciwprostokątną \\(x\\)\nNiech \\(x\\) - długość przeciwprostokątnej. Wtedy:\n- pierwsza przyprostokątna: \\(x-1\\),\n- druga przyprostokątna: \\(x-32\\).\n\nZ twierdzenia Pitagorasa (\\(x>32\\)):\n\\[(x-1)^{2}+(x-32)^{2}=x^{2}.\\]\nRozwijamy:\n\\[x^{2}-2x+1+x^{2}-64x+1024=x^{2}\\]\n\\[x^{2}-66x+1025=0.\\]\n\\[\\Delta=66^{2}-4\\cdot 1025=4356-4100=256.\\]\n\\[\\sqrt{\\Delta}=16.\\]\n\\[x_{1}=\\dfrac{66-16}{2}=25, \\qquad x_{2}=\\dfrac{66+16}{2}=41.\\]\nWarunek \\(x>32\\) spełnia tylko \\(x=41\\).\n\n### Obliczenia boków\n- przeciwprostokątna: \\(41\\) cm,\n- pierwsza przyprostokątna: \\(41-1=40\\) cm,\n- druga przyprostokątna: \\(41-32=9\\) cm.\n\n### Sposób 2 - Oznaczenia z przyprostokątną \\(x\\)\nNiech druga przyprostokątna wynosi \\(x\\). Wtedy przeciwprostokątna \\(x+32\\), pierwsza przyprostokątna \\(x+31\\).\n\\[x^{2}+(x+31)^{2}=(x+32)^{2}\\]\n\\[x^{2}-2x-63=0.\\]\n\\[\\Delta=4+252=256;\\ x=\\dfrac{2\\pm 16}{2}.\\]\n\\(x=9\\) (bo \\(x>0\\)). Boki: \\(9\\), \\(40\\), \\(41\\).\n\n### Weryfikacja (twierdzenie Pitagorasa)\n\\(9^{2}+40^{2}=81+1600=1681=41^{2}\\) ✓.\n\nWarunki zadania:\n- \\(41-40=1\\) ✓\n- \\(41-9=32\\) ✓\n\n### Odpowiedź\n\\[\\boxed{\\text{Boki trójkąta: } 9\\text{ cm},\\ 40\\text{ cm},\\ 41\\text{ cm.}}\\]","image":"img/matematyka-2010-maj-matura-podstawowa/zad-28.webp","solution_image":"img/matematyka-2010-maj-matura-podstawowa/sol-28.svg","topics":"dowody_geometryczne","page_from":11,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2010 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2010-maj-matura-podstawowa/zad/29","paper_id":"matematyka-2010-maj-matura-podstawowa","number":"29","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2010,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 29. (2 pkt)\nKąt α jest ostry i\n5\ntg\n12\nα =\n. Oblicz cosα .\nOdpowiedź:\nKąt alfa jest ostry i tg alfa = 5/12. Oblicz cos alfa.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 29. (0-2)\nObszar standardów\nSprawdzane umiejętności\nUżycie i tworzenie\nstrategii\nWyznaczanie wartości funkcji trygonometrycznych\nkąta ostrego\nI sposób rozwiązania (jedynka trygonometryczna)\n2\n2\nsin\n5\ncos\n12\nsin\ncos\n1\nα\nα\nα\nα\n\n\n\n\n2\n2\n5\nsin\ncos\n12\n5 cos\ncos\n1\n12\nα\nα\nα\nα\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n2\n2\n25 cos\ncos\n1\n144\nα\nα\n2\n144\ncos\ni\ncos\n0\n169\nα\nα\n>\n12\ncos\n13\nα =\n2\n2\n12\ncos\nsin\n5\n12 sin\nsin\n1\n5\nα\nα\nα\nα\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n2\n2\n144 sin\nsin\n1\n25\nα\nα\n2\n25\nsin\ni\nsin\n0\n169\nα\nα\n>\n5\n12\nsin\ni st\nąd cos\n13\n13\nα\nα\nII sposób rozwiązania (trójkąt prostokątny)\n12x\n5x\nc\n(\n)\n(\n)\n2\n2\n2\n12\n5\nc\nx\nx\n13\nc\nx\n12\ncos\n13\nα =\nSchemat oceniania\nZdający otrzymuje 1 pkt\ngdy\n• przekształci dane wyrażenie do postaci wyrażenia zawierającego tylko cosα\ni wykorzysta „jedynkę trygonometryczną”, np.\n5\nsin\ncos\n12\nα\nα\n,\n2\n2\n25 cos\ncos\n1\n144\nα\nα\ni na tym poprzestanie lub dalej popełni błąd\nalbo\n• przekształci dane wyrażenie do postaci wyrażenia zawierającego tylko sinα\ni wykorzysta „jedynkę trygonometryczną”, np.\n12\ncos\nsin\n5\nα\nα\n,\n2\n2\n144 sin\nsin\n1\n25\nα\nα\ni na tym poprzestanie lub dalej popełni błąd\nalbo\n• przekształci dane wyrażenie do postaci wyrażenia zawierającego tylko sinα np.\n2\n2\n25\nsin\n144\n1 sin\nα\nα\nlub\n2\n2\n25\n25sin\n144sin\nα\nα\ni na tym poprzestanie lub dalej popełni\nbłąd\nKlucz punktowania odpowiedzi - poziom podstawowy\n11\nalbo\n• przekształci dane wyrażenie do postaci wyrażenia zawierającego tylko sinα i tgα , np.\n2\n2\n2\ntg\ncos\ncos\n1\nα\nα\nα\n⋅\n= lub\n(\n)\n2\n2\ncos\ntg\n1\n1\nα\nα +\n= i na tym poprzestanie lub dalej\npopełni błąd\nalbo\n• obliczy długość przeciwprostokątnej trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych\ndługości 12 i 5 (lub ich wielokrotności) z błędem rachunkowym oraz zapisze sinα i na\ntym zakończy\nalbo\n• obliczy długość przeciwprostokątnej trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych\ndługości 12 i 5 (lub ich wielokrotności) z błędem rachunkowym i zapisze cosα\nalbo\n• narysuje trójkąt prostokątny o przyprostokątnych długości 12 i 5 (lub ich\nwielokrotności), obliczy długość przeciwprostokątnej i zaznaczy w tym trójkącie\npoprawnie kąt α\nalbo\n• odczyta z tablic przybliżoną wartość kąta α :\n22\nα ≈\n° (akceptujemy wynik\n23\nα ≈\n°)\ni na tym zakończy lub dalej popełnia błędy\nZdający otrzymuje 2 pkt\ngdy\n• obliczy wartość cosα :\n12\ncos\n13\nα =\nalbo\n• obliczy przybliżoną wartość cosα : cos22\n0,9272\n° ≈\nlub cos23\n0,9205\n° ≈","solution":"## Poprawna odpowiedź: (zadanie otwarte - dowód)\n\nCelem jest wykazanie, że punkty \\(B\\), \\(P\\) i \\(D\\) są współliniowe, czyli leżą na jednej prostej.\n\n## Sposób 1 - Kąt Talesa (kąt wpisany w półkolu)\n\n**Kluczowe narzędzie**: Jeśli punkt leży na okręgu, którego cięciwą jest średnica, to kąt zawarty w tym półkolu wynosi \\(90°\\).\n\n**Krok 1: Kąt przy \\(P\\) w okręgu o średnicy \\(AB\\)**\n\nPunkt \\(P\\) leży na okręgu o średnicy \\(AB\\), więc odcinek \\(AB\\) jest średnicą tego okręgu. Z twierdzenia Talesa:\n\\[\\angle APB = 90°\\]\n\nTo znaczy: **\\(PA \\perp PB\\)** - odcinki \\(PA\\) i \\(PB\\) są prostopadłe w punkcie \\(P\\).\n\n**Krok 2: Kąt przy \\(P\\) w okręgu o średnicy \\(AD\\)**\n\nPunkt \\(P\\) leży na okręgu o średnicy \\(AD\\), więc odcinek \\(AD\\) jest średnicą tego okręgu. Ponownie z twierdzenia Talesa:\n\\[\\angle APD = 90°\\]\n\nTo znaczy: **\\(PA \\perp PD\\)** - odcinki \\(PA\\) i \\(PD\\) są prostopadłe w punkcie \\(P\\).\n\n**Krok 3: Wniosek o współliniowości**\n\nZ kroków 1 i 2 wynika, że zarówno prosta \\(PB\\), jak i prosta \\(PD\\) są prostopadłe do prostej \\(PA\\) w tym samym punkcie \\(P\\).\n\nW płaszczyźnie przez dany punkt do danej prostej poprowadzić można **dokładnie jedną prostopadłą**. Zatem proste \\(PB\\) i \\(PD\\) są tą samą prostą.\n\n**Punkty \\(B\\), \\(P\\), \\(D\\) leżą na jednej prostej. \\(\\blacksquare\\)**\n\n## Sposób 2 - Metoda współrzędnych (algebraiczny dowód)\n\nWprowadźmy układ współrzędnych z wierzchołkiem \\(A\\) w początku układu:\n\\[A = (0, 0),\\quad B = (a, 0),\\quad C = (a, b),\\quad D = (0, b)\\]\n\n**Równanie okręgu o średnicy \\(AB\\):**\n\nŚrodek \\(\\left(\\frac{a}{2}, 0\\right)\\), promień \\(\\frac{a}{2}\\):\n\\[\\left(x - \\frac{a}{2}\\right)^2 + y^2 = \\frac{a^2}{4}\\]\n\\[x^2 + y^2 = ax \\quad \\text{ (1)}\\]\n\n**Równanie okręgu o średnicy \\(AD\\):**\n\nŚrodek \\(\\left(0, \\frac{b}{2}\\right)\\), promień \\(\\frac{b}{2}\\):\n\\[x^2 + \\left(y - \\frac{b}{2}\\right)^2 = \\frac{b^2}{4}\\]\n\\[x^2 + y^2 = by \\quad \\text{ (2)}\\]\n\n**Punkt \\(P\\)** spełnia oba równania. Z (1) i (2):\n\\[ax = by \\implies x = \\frac{by}{a}\\]\n\nPodstawiamy do (1) (wykluczając \\(P = A\\), czyli \\(y = 0\\)):\n\\[\\frac{b^2y^2}{a^2} + y^2 = ay \\cdot \\frac{b}{a} \\implies y \\cdot \\frac{a^2 + b^2}{a^2} = b \\implies y = \\frac{a^2 b}{a^2 + b^2}\\]\n\\[x = \\frac{ab^2}{a^2 + b^2}\\]\n\nZatem:\n\\[P = \\left(\\frac{ab^2}{a^2+b^2},\\; \\frac{a^2 b}{a^2+b^2}\\right)\\]\n\n**Sprawdzamy, czy \\(P\\) leży na prostej \\(BD\\):**\n\nRównanie prostej przez \\(B = (a, 0)\\) i \\(D = (0, b)\\):\n\\[\\frac{x}{a} + \\frac{y}{b} = 1 \\iff bx + ay = ab\\]\n\nPodstawiamy współrzędne \\(P\\):\n\\[b \\cdot \\frac{ab^2}{a^2+b^2} + a \\cdot \\frac{a^2 b}{a^2+b^2} = \\frac{ab^3 + a^3b}{a^2+b^2} = \\frac{ab(a^2+b^2)}{a^2+b^2} = ab \\checkmark\\]\n\n**Punkt \\(P\\) leży na prostej \\(BD\\), zatem \\(B\\), \\(P\\), \\(D\\) są współliniowe. \\(\\blacksquare\\)**\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 15-19)** - twierdzenie Talesa o kącie wpisanym w półkole:\n\n> Kąt wpisany oparty na średnicy okręgu wynosi \\(90°\\).\n\nFormalnie: jeśli \\(AB\\) jest średnicą okręgu i \\(P\\) leży na tym okręgu (\\(P \\neq A, B\\)), to:\n\\[\\angle APB = 90°\\]\n\nUżyliśmy tego twierdzenia dwukrotnie - dla okręgu o średnicy \\(AB\\) i okręgu o średnicy \\(AD\\).\n\nW Sposobie 2 skorzystaliśmy ze wzoru na **równanie okręgu** (**Dział 11, Geometria analityczna, s. 24**):\n\\[(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2\\]\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Samo stwierdzenie \"\\(\\angle APB = 90°\\) i \\(\\angle APD = 90°\\)\" nie wystarczy - trzeba **wyjaśnić, dlaczego** z tego wynika współliniowość. Kluczowy argument: przez punkt \\(P\\) do prostej \\(PA\\) można poprowadzić tylko jedną prostopadłą.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Kąt Talesa dotyczy tylko punktów leżących **na** okręgu z daną średnicą - nie można go stosować do dowolnych punktów wewnątrz lub na zewnątrz okręgu.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** W Sposobie 1 należy zadbać o to, że \\(P \\neq A\\) - punkt \\(A\\) też leży na obu okręgach, ale to \\(P\\) jest drugim punktem przecięcia, dla którego teza ma sens.\n\n**Teza: punkty \\(B\\), \\(P\\), \\(D\\) są współliniowe.**\n\n### Sposób 1 - Twierdzenie o kącie wpisanym opartym na średnicy (Thales)\nJeśli bok trójkąta jest średnicą okręgu opisanego, to przeciwległy kąt wpisany ma miarę \\(90°\\) (twierdzenie Thalesa).\n\n**Krok 1.** Punkt \\(P\\) leży na okręgu o średnicy \\(AD\\).\nKąt wpisany \\(\\angle APD\\) oparty jest na średnicy \\(AD\\), więc:\n\\[|\\angle APD|=90°.\\]\n\n**Krok 2.** Punkt \\(P\\) leży na okręgu o średnicy \\(AB\\).\nKąt wpisany \\(\\angle APB\\) oparty jest na średnicy \\(AB\\), więc:\n\\[|\\angle APB|=90°.\\]\n\n**Krok 3.** Suma tych kątów:\n\\[|\\angle DPB|=|\\angle APD|+|\\angle APB|=90°+90°=180°.\\]\n\nKąt \\(180°\\) między odcinkami \\(PD\\) i \\(PB\\) oznacza, że punkty \\(B\\), \\(P\\), \\(D\\) leżą na jednej prostej.\n\n\\[\\blacksquare\\]\n\n### Sposób 2 - Metoda analityczna\nUstawiamy układ współrzędnych: \\(A=(0,0)\\), \\(B=(2a,0)\\), \\(D=(0,2b)\\), \\(C=(2a,2b)\\).\n\nOkrąg o średnicy \\(AB\\): środek \\((a,0)\\), promień \\(a\\): \\((x-a)^{2}+y^{2}=a^{2}\\).\nOkrąg o średnicy \\(AD\\): środek \\((0,b)\\), promień \\(b\\): \\(x^{2}+(y-b)^{2}=b^{2}\\).\n\nRozwiązując układ (odejmując równania), otrzymujemy współrzędne \\(P\\):\n\\[P=\\left(\\dfrac{2ab^{2}}{a^{2}+b^{2}},\\ \\dfrac{2a^{2}b}{a^{2}+b^{2}}\\right).\\]\n\nPrzekątna \\(BD\\): \\(\\dfrac{x}{2a}+\\dfrac{y}{2b}=1\\).\n\nPodstawiamy współrzędne \\(P\\):\n\\[\\dfrac{1}{2a}\\cdot\\dfrac{2ab^{2}}{a^{2}+b^{2}}+\\dfrac{1}{2b}\\cdot\\dfrac{2a^{2}b}{a^{2}+b^{2}}=\\dfrac{b^{2}}{a^{2}+b^{2}}+\\dfrac{a^{2}}{a^{2}+b^{2}}=\\dfrac{a^{2}+b^{2}}{a^{2}+b^{2}}=1.\\]\n\nWięc \\(P\\) leży na prostej \\(BD\\), czyli punkty \\(B\\), \\(P\\), \\(D\\) są współliniowe. \\(\\blacksquare\\)\n\n### Intuicja\nPunkt \\(P\\) jest rzutem prostopadłym \\(A\\) na przekątną \\(BD\\) prostokąta - bo jest jednoczesnym \"spodkiem\" obu średnic.","image":"img/matematyka-2010-maj-matura-podstawowa/zad-29.webp","solution_image":"img/matematyka-2010-maj-matura-podstawowa/sol-29.svg","topics":"trygonometria","page_from":12,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2010 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2010-maj-matura-podstawowa/zad/30","paper_id":"matematyka-2010-maj-matura-podstawowa","number":"30","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2010,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 30. (2 pkt)\nWykaż, że jeśli\n0\na >\n, to\n2\n1\n1\n1\n2\na\na\na\n≥\n\nPoziom podstawowy\n13\nWykaż, że jeśli a>0, to nierówność a^2+1/a+1 ≥ a+1/2 jest prawdziwa.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 30. (0-2)\nObszar standardów\nSprawdzane umiejętności\nRozumowania\ni argumentacji\nWykazanie prawdziwości nierówności\nI sposób rozwiązania\nPrzekształcamy nierówność w sposób równoważny:\n2\n1\n1\n1\n2\na\na\na\n≥\n(\n)\n(\n)\n2\n2\n2\n1\n1\na\na\n≥\n2\n2\n2\n2\n2\n1\na\na\na\n≥\n2\n2\n1\n0\na\na\n+ ≥\n(\n)\n2\n1\n0\na -\n≥\nco kończy dowód.\n2\n1\n1\n0\n1\n2\na\na\na\n≥\n(\n) (\n)\n(\n)\n2\n2\n2\n1\n1\n0\n2\n1\na\na\na\n≥\n(\n)\n2\n2\n1\n0\n2\n1\na\na\na\n+ ≥\n(\n)\n(\n)\n2\n1\n0\n2\n1\na\na\n≥\nco kończy dowód.\nKlucz punktowania odpowiedzi - poziom podstawowy\n12\nII sposób rozwiązania\nDla każdej liczby rzeczywistej a prawdziwa jest nierówność (\n)\n2\n1\n0\na -\n≥\nPrzekształcamy tę nierówność w sposób równoważny:\n(\n)\n(\n)\n(\n)\n2\n2\n2\n1\n1\n1\na\na\na\n≥\n(\n)\n2\n2\n2\n2\n1\na\na\n≥\n(\n)\n(\n)\n2\n2\n2\n1\n1\na\na\n≥\nPonieważ\n0\na >\n, więc\n2\n1\n1\n1\n2\na\na\na\n≥\nco kończy dowód.\nIII sposób rozwiązania (dowód nie wprost)\nPrzypuśćmy, że dla pewnego\n0\na >\nmamy\n2\n1\n1\n1\n2\na\na\na\n<\n. Przekształcamy tę nierówność\ntak, jak w I sposobie rozwiązania do postaci, np. (\n)\n2\n1\n0\na -\n<\ni stwierdzamy, że\notrzymaliśmy sprzeczność.\nSchemat oceniania\nZdający otrzymuje 1 pkt\ngdy\n• otrzyma nierówność\n0\n1\n2\n2\n≥\n-a\na\nlub\n(\n)\n2\n2\n1\n0\n2\n1\na\na\na\n+ ≥\ni na tym poprzestanie lub\nw dalszej części dowodu popełni błąd\nalbo\n• stosując metodę dowodu nie wprost otrzyma nierówność (\n)\n2\n1\n0\na -\n<\ni nie zapisze\nżadnych wniosków lub zapisze błędne wnioski\nalbo\n• stosując II sposób rozwiązania otrzyma nierówność\n(\n)\n2\n2\n2\n2\n1\na\na\n≥\ni nie zapisze\nżadnych wniosków lub zapisze błędne wnioski.\nZdający otrzymuje 2 pkt\ngdy\n• zapisze nierówność\n2\n2\n1\n0\na\na\n+ ≥\ni uzasadni, że wszystkie liczby dodatnie a spełniają\ntę nierówność\nalbo\n• zapisze nierówność\n(\n)\n2\n2\n1\n0\n2\n1\na\na\na\n+ ≥\ni uzasadni, że wszystkie liczby dodatnie a spełniają\ntę nierówność\nalbo\n• stosując metodę dowodu nie wprost otrzyma nierówność (\n)\n2\n1\n0\na -\n<\ni zapisze,\nże otrzymana nierówność nie zachodzi dla żadnej liczby rzeczywistej a .\nKlucz punktowania odpowiedzi - poziom podstawowy\n13","solution":"## Poprawna odpowiedź: uzasadnienie poniżej\n\nJest to zadanie otwarte - odpowiedzią jest pełny dowód implikacji. Teza do udowodnienia: jeśli \\((a^2+b^2)(c^2+d^2)=(ac+bd)^2\\), to \\(ad=bc\\).\n\n## Sposób 1 - Rozwinięcie obu stron i uproszczenie\n\n**Krok 1: Rozwijamy lewą stronę.**\n\n\\[(a^2+b^2)(c^2+d^2) = a^2c^2 + a^2d^2 + b^2c^2 + b^2d^2\\]\n\n**Krok 2: Rozwijamy prawą stronę** (wzór skróconego mnożenia \\((x+y)^2 = x^2+2xy+y^2\\)):\n\n\\[(ac+bd)^2 = a^2c^2 + 2abcd + b^2d^2\\]\n\n**Krok 3: Korzystamy z założenia - obie strony są równe.**\n\n\\[a^2c^2 + a^2d^2 + b^2c^2 + b^2d^2 = a^2c^2 + 2abcd + b^2d^2\\]\n\n**Krok 4: Odejmujemy od obu stron \\(a^2c^2 + b^2d^2\\).**\n\n\\[a^2d^2 + b^2c^2 = 2abcd\\]\n\n**Krok 5: Przenosimy wszystko na lewą stronę.**\n\n\\[a^2d^2 - 2abcd + b^2c^2 = 0\\]\n\n**Krok 6: Rozpoznajemy wzór skróconego mnożenia \\((x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2\\)** dla \\(x = ad\\), \\(y = bc\\):\n\n\\[(ad - bc)^2 = 0\\]\n\n**Krok 7: Wyciągamy wniosek.**\n\nKwadrat liczby rzeczywistej jest równy zeru wtedy i tylko wtedy, gdy ta liczba jest równa zeru:\n\n\\[(ad-bc)^2 = 0 \\implies ad - bc = 0 \\implies \\boxed{ad = bc}\\]\n\nDowód zakończony. \\(\\square\\)\n\n## Sposób 2 - Przez nierówność (identyczność Lagrange'a)\n\nMetoda algebraiczna - zaczynamy od tożsamości, która jest prawdziwa zawsze:\n\n\\[(a^2+b^2)(c^2+d^2) - (ac+bd)^2 = a^2d^2 - 2abcd + b^2c^2 = (ad-bc)^2\\]\n\nPowyższe równanie jest tożsamością - prawdziwą dla **wszystkich** \\(a, b, c, d \\in \\mathbb{R}\\) (to tzw. identyczność Lagrange'a).\n\nSkoro z założenia lewa strona spełnia \\((a^2+b^2)(c^2+d^2)=(ac+bd)^2\\), to:\n\n\\[(ad-bc)^2 = (a^2+b^2)(c^2+d^2) - (ac+bd)^2 = 0\\]\n\nStąd natychmiast \\(ad - bc = 0\\), czyli \\(ad = bc\\). \\(\\square\\)\n\n> **Uwaga:** Sposób 2 jest szybszy - zamiast mozolnie liczyć, od razu zapisujemy różnicę LHS i RHS i korzystamy z gotowej tożsamości. To bardziej eleganckie podejście.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 6 (Wzory skróconego mnożenia, s. 7)**\n\n- \\((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\\) - użyliśmy do rozwinięcia \\((ac+bd)^2\\)\n- \\((a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\\) - kluczowy krok: rozpoznanie \\(a^2d^2 - 2abcd + b^2c^2 = (ad-bc)^2\\)\n\nCały dowód opiera się wyłącznie na tych dwóch wzorach i działaniach algebraicznych.\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie wystarczy napisać „rozwijamy i upraszczamy\" - trzeba pokazać każdy krok. W zadaniach na uzasadnienie egzaminator sprawdza, czy rozumiesz każde przejście.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Kluczowy moment to rozpoznanie struktury \\(a^2d^2 - 2abcd + b^2c^2\\) jako pełnego kwadratu \\((ad-bc)^2\\). Uczniowie często widzą to wyrażenie i nie wiedzą, co z nim zrobić - zapamiętaj wzorzec \\(x^2 - 2xy + y^2 = (x-y)^2\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wniosek \\((ad-bc)^2 = 0 \\Rightarrow ad=bc\\) wymaga krótkiego uzasadnienia: „kwadrat liczby rzeczywistej równa się zero wtedy i tylko wtedy, gdy ta liczba równa się zero\". Nie pomijaj tego zdania!\n\n**Teza: \\(ad=bc\\).**\n\n### Dowód\n\n**Krok 1.** Rozwijamy lewą stronę:\n\\[(a^{2}+b^{2})(c^{2}+d^{2})=a^{2}c^{2}+a^{2}d^{2}+b^{2}c^{2}+b^{2}d^{2}.\\]\n\n**Krok 2.** Rozwijamy prawą stronę:\n\\[(ac+bd)^{2}=a^{2}c^{2}+2abcd+b^{2}d^{2}.\\]\n\n**Krok 3.** Przyrównujemy strony i upraszczamy:\n\\[a^{2}c^{2}+a^{2}d^{2}+b^{2}c^{2}+b^{2}d^{2}=a^{2}c^{2}+2abcd+b^{2}d^{2}.\\]\n\\[a^{2}d^{2}+b^{2}c^{2}-2abcd=0.\\]\n\n**Krok 4.** Rozpoznajemy wzór skróconego mnożenia \\((x-y)^{2}=x^{2}-2xy+y^{2}\\) z \\(x=ad\\), \\(y=bc\\):\n\\[(ad)^{2}-2(ad)(bc)+(bc)^{2}=(ad-bc)^{2}.\\]\n\nZatem \\((ad-bc)^{2}=0\\), skąd:\n\\[ad-bc=0 \\implies ad=bc.\\]\n\n\\[\\blacksquare\\]\n\n### Uwaga (tożsamość Lagrange'a)\nTożsamość \\((a^{2}+b^{2})(c^{2}+d^{2})=(ac+bd)^{2}+(ad-bc)^{2}\\) to słynna tożsamość Lagrange'a (a właściwie Diofantosa-Fibonacciego). Wynika z niej, że:\n\\[(a^{2}+b^{2})(c^{2}+d^{2})=(ac+bd)^{2} \\iff (ad-bc)^{2}=0 \\iff ad=bc.\\]\n\n### Interpretacja geometryczna\nWarunek \\(ad=bc\\) oznacza, że wektory \\((a,b)\\) i \\((c,d)\\) są równoległe (kolinearne) - ich iloczyn wektorowy znika.","image":"img/matematyka-2010-maj-matura-podstawowa/zad-30.webp","solution_image":"img/matematyka-2010-maj-matura-podstawowa/sol-30.svg","topics":"algebra","page_from":12,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2010 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2010-maj-matura-podstawowa/zad/31","paper_id":"matematyka-2010-maj-matura-podstawowa","number":"31","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2010,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 31. (2 pkt)\nW trapezie prostokątnym krótsza przekątna dzieli go na trójkąt prostokątny i trójkąt\nrównoboczny. Dłuższa podstawa trapezu jest równa 6. Oblicz obwód tego trapezu.\nOdpowiedź:\nNr zadania\n29.\n30.\n31.\nMaks. liczba pkt\n2\n2\n2\nWypełnia\negzaminator Uzyskana liczba pkt\n\nPoziom podstawowy\n14\nW trapezie prostokątnym krótsza przekątna dzieli go na trójkąt prostokątny i trójkąt równoboczny. Dłuższa podstawa trapezu jest równa 6. Oblicz obwód tego trapezu.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 31. (0-2)\nObszar standardów\nSprawdzane umiejętności\nWykorzystanie\ni tworzenie informacji\nWykorzystanie związków miarowych w trójkącie\nprostokątnym i równobocznym\nRozwiązanie\nA\nB\nC\nD\nE\nProwadzimy wysokość CE trójkąta równobocznego\nABC.\nWówczas\n3\nAE =\ni stąd\n3\nCD\nAE\nNastępnie zapisujemy, że\n6\nBC\nAB\noraz\n6 3\n3 3\n2\nDA\nCE\nStąd obwód trapezu jest równy\n6\n6\n3\n3 3\n1 5 3 3\nSchemat oceniania\nZdający otrzymuje 1 pkt\ngdy\n• prawidłowo podzieli trapez na trójkąty i poprawnie obliczy długość krótszej podstawy\ntrapezu (\n3\nDC =\n) i na tym zakończy lub popełni błędy rachunkowe przy obliczaniu\nobwodu trapezu\nalbo\n• prawidłowo podzieli trapez na trójkąty i poprawnie obliczy wysokość trapezu\n(\n3 3\nh =\n) i na tym zakończy lub popełni błędy rachunkowe przy obliczaniu obwodu\ntrapezu\nZdający otrzymuje 2 pkt\ngdy obliczy poprawnie obwód trapezu: 15\n3 3","solution":"## Poprawna odpowiedź: **500**\n\n## Sposób 1 - Reguła mnożenia (zasada mnożenia zdarzeń)\n\nLiczymy niezależnie możliwości dla każdej cyfry czterocyfrowej liczby \\(\\overline{abcd}\\).\n\n**Cyfra pierwsza \\(a\\)** - parzysta i niezerowa (bo to pierwsza cyfra liczby czterocyfrowej):\n\nCyfry parzyste: \\(0, 2, 4, 6, 8\\) - ale \\(0\\) odpada (liczba byłaby trzycyfrowa).\n\nZatem \\(a \\in \\{2, 4, 6, 8\\}\\) - **4 możliwości**.\n\n**Cyfry \\(b, c, d\\)** - każda nieparzysta:\n\nCyfry nieparzyste: \\(1, 3, 5, 7, 9\\) - **5 możliwości** dla każdej z nich.\n\n**Stosujemy regułę mnożenia:**\n\n\\[\nN = 4 \\cdot 5 \\cdot 5 \\cdot 5\n\\]\n\n\\[\nN = 4 \\cdot 125 = \\mathbf{500}\n\\]\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja przez bezpośrednie rozpisanie przedziałów\n\nSprawdzamy, że dobrze zidentyfikowaliśmy zbiory cyfr.\n\n**Cyfry parzyste (jako pierwsza cyfra):**\n\\(\\{2, 4, 6, 8\\}\\) - istotnie 4 elementy. (\\(0\\) wykluczone, bo \\(0bcd\\) to nie jest liczba czterocyfrowa.)\n\n**Cyfry nieparzyste:**\n\\(\\{1, 3, 5, 7, 9\\}\\) - istotnie 5 elementów. (\\(0\\) nie jest nieparzyste - jest parzyste, więc nie wchodzi tutaj w rachubę tak czy inaczej.)\n\n**Przykładowe liczby spełniające warunek:**\n- \\(2111, 2113, \\ldots, 8999\\) - pierwsza cyfra z \\(\\{2,4,6,8\\}\\), pozostałe z \\(\\{1,3,5,7,9\\}\\).\n\n**Zliczamy inaczej - jako iloczyn kartezjański:**\n\nZbiór możliwych wartości \\((a, b, c, d)\\):\n\\[\n|\\{2,4,6,8\\}| \\times |\\{1,3,5,7,9\\}| \\times |\\{1,3,5,7,9\\}| \\times |\\{1,3,5,7,9\\}|\n= 4 \\times 5^3 = 4 \\times 125 = \\mathbf{500}\n\\]\n\nWynik zgodny.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 13 (Kombinatoryka, s. 28)** - wariacje z powtórzeniami: \\(n^k\\)\n\nCyfry \\(b, c, d\\) wybieramy niezależnie ze zbioru 5 cyfr nieparzystych (powtórzenia dozwolone):\n\\[\n5^3 = 125\n\\]\n\n**Reguła mnożenia** (zasada iloczynu) - jeśli zdarzenie A może zajść na \\(m\\) sposobów, a niezależne od niego zdarzenie B na \\(n\\) sposobów, to oba łącznie na \\(m \\cdot n\\) sposobów. Użyliśmy jej czterokrotnie dla czterech pozycji cyfr.\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Cyfra \\(0\\) jest parzysta! Łatwo ją wliczyć do pierwszej cyfry i dostać \\(5 \\cdot 5^3 = 625\\) - błędny wynik. Pierwsza cyfra liczby czterocyfrowej nie może być zerem.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Cyfra \\(0\\) nie jest nieparzysta - nie należy do \\(\\{1,3,5,7,9\\}\\), więc nie pojawia się wśród pozostałych cyfr. Nie trzeba jej osobno wykluczać - po prostu jej tam nie ma.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Cyfry na pozycjach \\(b, c, d\\) mogą się powtarzać - zadanie tego nie zabrania. Gdyby zabraniało powtórzeń, musielibyśmy liczyć inaczej: \\(5 \\cdot 4 \\cdot 3 = 60\\), a wynik wyniósłby \\(4 \\cdot 60 = 240\\).\n\n**Odpowiedź: \\(500\\) liczb.**\n\n### Rozwiązanie - reguła mnożenia\n\n**Pierwsza cyfra** (tysiące): musi być parzysta i niezerowa (bo liczba czterocyfrowa). Parzyste cyfry: \\(0, 2, 4, 6, 8\\). Wyłączamy \\(0\\):\n\\[\\text{pierwsza cyfra} \\in \\{2, 4, 6, 8\\} \\implies 4 \\text{ możliwości}.\\]\n\n**Druga, trzecia, czwarta cyfra**: nieparzyste. Cyfry nieparzyste: \\(\\{1, 3, 5, 7, 9\\}\\):\n\\[\\text{każda} \\in \\{1, 3, 5, 7, 9\\} \\implies 5 \\text{ możliwości na pozycję}.\\]\n\n### Obliczenie\nPrzez regułę mnożenia (wybory niezależne):\n\\[4\\cdot 5\\cdot 5\\cdot 5=4\\cdot 5^{3}=4\\cdot 125=500.\\]\n\n### Uwaga dydaktyczna\n- Parzystych cyfr jest \\(5\\): \\(\\{0, 2, 4, 6, 8\\}\\). Na pierwszej pozycji **nie** może być \\(0\\), więc pozostaje \\(4\\) możliwości.\n- Gdyby \"pierwsza cyfra\" była rozumiana bez ograniczenia (niemożliwe - liczba czterocyfrowa), byłoby \\(5^{4}=625\\).\n\n### Weryfikacja przykładami\n- \\(2111\\): pierwsza cyfra \\(2\\) (parzysta), pozostałe \\(1\\) (nieparzyste) ✓.\n- \\(8999\\): pierwsza \\(8\\) (parzysta), pozostałe \\(9\\) (nieparzyste) ✓.\n- \\(4357\\): \\(4\\) parzysta, \\(3,5,7\\) nieparzyste ✓.\n\n### Odpowiedź\n\\[\\boxed{500}\\] liczb naturalnych czterocyfrowych spełnia warunki zadania.","image":"img/matematyka-2010-maj-matura-podstawowa/zad-31.webp","solution_image":"img/matematyka-2010-maj-matura-podstawowa/sol-31.svg","topics":"planimetria","page_from":13,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2010 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2010-maj-matura-podstawowa/zad/32","paper_id":"matematyka-2010-maj-matura-podstawowa","number":"32","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2010,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 32. (4 pkt)\nPodstawą ostrosłupa ABCD jest trójkąt ABC. Krawędź AD jest wysokością ostrosłupa (zobacz\nrysunek). Oblicz objętość ostrosłupa ABCD, jeśli wiadomo, że\n12\nAD =\n,\n6\nBC =\n,\n13\nBD\nCD\nA\nB\nC\nD\n\nPoziom podstawowy\n15\nOdpowiedź:\nNr zadania\n32.\nMaks. liczba pkt\n4\nWypełnia\negzaminator\nUzyskana liczba pkt\n\nPoziom podstawowy\n16\nPodstawą ostrosłupa ABCD jest trójkąt ABC. Krawędź AD jest wysokością ostrosłupa (zobacz rysunek). Oblicz objętość ostrosłupa ABCD, jeśli wiadomo, że |AD|=12, |BC|=6, |BD|=|CD|=13.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 32. (0-4)\nObszar standardów\nSprawdzane umiejętności\nUżycie i tworzenie\nstrategii\nObliczanie objętości wielościanu\nUwaga\nStrategia rozwiązania tego zadania sprowadza się do realizacji następujących etapów\nrozwiązania:\n• obliczenie długości krawędzi AB lub AC podstawy ostrosłupa bądź wysokości DE\nściany bocznej BCD\n• zastosowanie poprawnej metody obliczenia pola podstawy i obliczenie tego pola\n• obliczenie objętości ostrosłupa\nKlucz punktowania odpowiedzi - poziom podstawowy\n14\nI sposób rozwiązania (krawędź podstawy, wysokość AE podstawy i „zwykły” wzór na pole\ntrójkąta ABC)\nZ\ntwierdzenia\nPitagorasa\nzastosowanego\ndo\ntrójkąta\nABD\nwynika,\nże\n2\n2\n2\n25\nAB\nBD\nAD\n, stąd\n5\nAB =\n. Podobnie z twierdzenia Pitagorasa zastosowanego\ndo trójkąta ACD wynika, że\n5\nAC =\nRysujemy trójkąt ABC i prowadzimy w nim wysokość AE. Trójkąt ABC jest\nrównoramienny ( AB\nAC\n), więc\n3\nBE\nEC\n. Z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta\nABE mamy\n2\n2\n2\n16\nAE\nAB\nBE\n, stąd\n4\nAE =\nZatem\n1 6 4\n12\n2\nABC\nP\n⋅⋅\n. Objętość ostrosłupa jest równa\n1 12 12\n48\n3\nV =\n⋅\n⋅\nSchemat oceniania I sposobu rozwiązania\nRozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego\nrozwiązania 1 pkt\nObliczenie długości krawędzi AB lub AC podstawy ostrosłupa:\n5\nAB =\n,\n5\nAC =\nRozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 pkt\nObliczenie wysokości AE trójkąta ABC:\n4\nAE =\nUwaga\nZdający nie musi uzasadniać, że\nBE\nEC\n, wystarczy, że poprawnie stosuje\ntwierdzenie Pitagorasa do obliczenia wysokości AE trójkąta ABC.\nPokonanie zasadniczych trudności zadania 3 pkt\nObliczenie pola podstawy ostrosłupa:\n12\nABC\nP\nRozwiązanie pełne 4 pkt\nObliczenie objętości ostrosłupa:\n48\nV =\nUwaga\nJeśli zdający przy obliczaniu wysokości trójkąta ABC lub pola tego trójkąta (pola\npodstawy ostrosłupa) nie stosuje poprawnej metody (co przekreśla poprawność strategii\nrozwiązania zadania), np. przyjmie, że środkowa CF trójkąta ABC jest jego wysokością,\nto za całe rozwiązanie przyznajemy co najwyżej 1 punkt (zdający nie osiągnął istotnego\npostępu).\nB\nC\nA\nE\nKlucz punktowania odpowiedzi - poziom podstawowy\n15\nII sposób rozwiązania (krawędź podstawy, cosinus jednego z kątów trójkąta ABC, wzór\nz sinusem na pole trójkąta ABC)\nZ twierdzenia Pitagorasa zastosowanego do trójkąta ABD wynika, że\n2\n2\n2\n25\nAB\nBD\nAD\n, stąd\n5\nAB =\n. Podobnie z twierdzenia Pitagorasa zastosowanego\ndo trójkąta ACD wynika, że\n5\nAC =\nRysujemy trójkąt ABC i prowadzimy w nim wysokość AE i oznaczamy\nABC\nα = \nWariant I obliczenia pola podstawy.\nTrójkąt ABC jest równoramienny ( AB\nAC\n), więc\n3\nBE\nEC\nStąd\n3\ncos\n5\nBE\nBA\nα =\n. Zatem\n2\n2\n3\n4\nsin\n1 cos\n1\n5\n5\nα\nα\n\n\n\n\n\n\nPole trójkąta ABC jest równe\n1\n1\n4\nsin\n6 5\n12\n2\n2\n5\nABC\nP\nBC\nBA\nα\n⋅\n⋅\n⋅⋅⋅\nWariant II obliczenia pola podstawy.\nZ twierdzenia cosinusów dla trójkąta ABC obliczamy cos β :\n2\n2\n2\n6\n5\n5\n2 5 5cos β\n-⋅⋅\n, stąd\n7\ncos\n25\nβ =\nNastępnie obliczamy\n2\n2\n7\n24\nsin\n1 cos\n1\n25\n25\nβ\nβ\n\n\n\n\n\n\nPole trójkąta ABC jest równe\n1\n1\n24\nsin\n5 5\n12\n2\n2\n25\nABC\nP\nAB\nAC\nβ\n⋅\n⋅\n⋅⋅⋅\nPo obliczeniu pola podstawy obliczamy objętość V ostrosłupa\n1 12 12\n48\n3\nV =\n⋅\n⋅\nSchemat oceniania II sposobu rozwiązania\nRozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego\nrozwiązania 1 pkt\nObliczenie długości krawędzi AB lub AC podstawy ostrosłupa:\n5\nAB =\n,\n5\nAC =\nRozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 pkt\nObliczenie sinusa jednego z kątów trójkąta ABC:\n4\nsin\n5\nα =\nlub\n24\nsin\n25\nβ =\nB\nC\nA\nE\nα\nβ\nKlucz punktowania odpowiedzi - poziom podstawowy\n16\nPokonanie zasadniczych trudności zadania 3 pkt\nObliczenie pola podstawy ostrosłupa:\n12\nABC\nP\nRozwiązanie pełne 4 pkt\nObliczenie objętości ostrosłupa:\n48\nV =\nUwaga\nJeśli zdający przy obliczaniu wysokości trójkąta ABC lub pola tego trójkąta (pola\npodstawy ostrosłupa) nie stosuje poprawnej metody (co przekreśla poprawność strategii\nrozwiązania zadania), np. zapisze, że\n3\nsin\n5\nBE\nBA\nα =\n, to za całe rozwiązanie\nprzyznajemy co najwyżej 1 punkt (zdający nie osiągnął istotnego postępu).\nIII sposób rozwiązania (krawędź podstawy, wzór Herona na pole trójkąta ABC)\nZ\ntwierdzenia\nPitagorasa\nzastosowanego\ndo\ntrójkąta\nABD\nwynika,\nże\n2\n2\n2\n25\nAB\nBD\nAD\n, stąd\n5\nAB =\n. Podobnie z twierdzenia Pitagorasa zastosowanego\ndo trójkąta ACD wynika, że\n5\nAC =\n. Pole trójkąta ABC obliczamy ze wzoru Herona\n(\n)(\n)(\n)\nABC\nP\np p\na\np\nb\np\nc\n, gdzie\n5\n5\n6\n8\n2\np\n= ,\n8 6\n2\np\na\n= -= ,\n8 5\n3\np\nb\np\nc\n8 2 3 3\n12\nABC\nP\n⋅⋅⋅\nObjętość ostrosłupa jest równa\n1\n1 12 12\n48\n3\n3\nABC\nV\nP\nAD\n⋅\n⋅\n⋅\n⋅\nSchemat oceniania III sposobu rozwiązania\nRozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego\nrozwiązania 1 pkt\nObliczenie długości krawędzi AB lub AC podstawy ostrosłupa:\n5\nAB =\n,\n5\nAC =\nPokonanie zasadniczych trudności zadania 3 pkt\nObliczenie pola podstawy ostrosłupa:\n12\nABC\nP\nUwaga\nZdający otrzymuje 2 punkty, jeśli poprawnie zastosuje wzór Herona, popełni błąd\nrachunkowy przy obliczaniu pola trójkąta ABC i na tym zakończy.\nRozwiązanie pełne 4 pkt\nObliczenie objętości ostrosłupa:\n48\nV =\nKlucz punktowania odpowiedzi - poziom podstawowy\n17\n12\n13\n13\n6\nA\nB\nC\nD\nE\nIV sposób rozwiązania (wysokość ściany bocznej BCD, wysokość AE podstawy i „zwykły”\nwzór na pole trójkąta ABC)\nPrzyjmijmy oznaczenia jak na rysunku.\nTrójkąt BCD jest równoramienny, więc środek E boku BC jest spodkiem wysokości DE\ntego trójkąta. Z twierdzenia Pitagorasa zastosowanego do trójkąta BED wynika, że\n2\n2\n2\n2\n2\n13\n3\n160\nDE\nBD\nBE\nZ twierdzenia Pitagorasa w trójkącie ADE obliczamy wysokość AE trójkąta ABC\n2\n2\n2\n2\n160 12\n16\nAE\nDE\nAD\n, stąd\n4\nAE =\nPole trójkąta ABC jest równe\n1 6 4\n12\n2\nABC\nP\n⋅⋅\nObjętość ostrosłupa jest równa\n1 12 12\n48\n3\nV =\n⋅\n⋅\nSchemat oceniania IV sposobu rozwiązania\nRozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego\nrozwiązania 1 pkt\nObliczenie wysokości DE ściany bocznej BCD ostrosłupa (lub kwadratu tej wysokości):\n4 10\nDE =\nUwaga\nZdający nie musi uzasadniać, że BE\nEC\n, wystarczy, że poprawnie stosuje\ntwierdzenia Pitagorasa do obliczenia wysokości DE trójkąta BCD.\nRozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 pkt\nObliczenie wysokości AE trójkąta ABC:\n4\nAE =\nPokonanie zasadniczych trudności zadania 3 pkt\nObliczenie pola podstawy ostrosłupa:\n12\nABC\nP\nRozwiązanie pełne 4 pkt\nObliczenie objętości ostrosłupa:\n48\nV =\nKlucz punktowania odpowiedzi - poziom podstawowy\n18","solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(x = 3\\), \\(y = 6\\), ciąg geometryczny: \\((3, 6, 12)\\)\n\n## Sposób 1 - Układ równań (warunek arytmetyczności + geometryczności)\n\n**Krok 1 - warunek ciągu arytmetycznego**\n\nW ciągu arytmetycznym środkowy wyraz jest średnią arytmetyczną sąsiadów:\n\\[2x = 1 + (y - 1)\\]\n\\[2x = y\\]\n\nStąd: \\(\\boxed{y = 2x}\\)\n\n**Krok 2 - warunek ciągu geometrycznego**\n\nW ciągu geometrycznym środkowy wyraz spełnia:\n\\[y^2 = x \\cdot 12\\]\n\n**Krok 3 - podstawiamy \\(y = 2x\\)**\n\n\\[(2x)^2 = 12x\\]\n\\[4x^2 = 12x\\]\n\\[4x^2 - 12x = 0\\]\n\\[4x(x - 3) = 0\\]\n\nZatem \\(x = 0\\) lub \\(x = 3\\).\n\n**Krok 4 - eliminacja rozwiązania \\(x = 0\\)**\n\nGdy \\(x = 0\\), to \\(y = 0\\), a ciąg geometryczny byłby \\((0, 0, 12)\\). Taki ciąg jest niemożliwy - iloraz \\(q = \\frac{0}{0}\\) jest nieokreślony, a poza tym żaden wyraz ciągu geometrycznego nie może być równy \\(0\\).\n\n**Krok 5 - wynik dla \\(x = 3\\)**\n\n\\[y = 2 \\cdot 3 = 6\\]\n\nCiąg geometryczny: \\((3, 6, 12)\\), iloraz \\(q = 2\\).\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja wyniku\n\nSprawdzamy oba warunki dla \\(x = 3\\), \\(y = 6\\):\n\n**Ciąg \\((1, 3, 5)\\) - arytmetyczny?**\n\\[3 - 1 = 2, \\quad 5 - 3 = 2\\]\nRóżnice równe - **tak, to ciąg arytmetyczny** z różnicą \\(r = 2\\). ✓\n\n**Ciąg \\((3, 6, 12)\\) - geometryczny?**\n\\[\\frac{6}{3} = 2, \\quad \\frac{12}{6} = 2\\]\nIlorazy równe - **tak, to ciąg geometryczny** z ilorazem \\(q = 2\\). ✓\n\nWynik jest poprawny.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 8 (Ciągi, s. 9-10)**\n\nWłasność ciągu arytmetycznego - wyraz środkowy jest średnią arytmetyczną sąsiadów:\n\\[a_n = \\frac{a_{n-1} + a_{n+1}}{2}\\]\nUżyliśmy tego do zapisu warunku \\(2x = 1 + (y-1)\\).\n\nWłasność ciągu geometrycznego - kwadrat wyrazu środkowego równa się iloczynowi sąsiadów:\n\\[(a_n)^2 = a_{n-1} \\cdot a_{n+1}\\]\nUżyliśmy tego do zapisu warunku \\(y^2 = x \\cdot 12\\).\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Łatwo zapomnieć, że \\(y - 1\\) to trzeci wyraz ciągu arytmetycznego - nie \\(y\\)! Błąd: \\(2x = 1 + y\\) zamiast \\(2x = 1 + (y-1)\\). Takie pomylenie prowadzi do zupełnie innego układu.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Rozwiązanie \\(x = 0\\) trzeba odrzucić - w ciągu geometrycznym żaden wyraz nie może być zerem (nie istniałby iloraz \\(q\\)). Uczniowie często zapominają o tej weryfikacji i podają \\(x = 0\\) jako drugie rozwiązanie.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Warunek ciągu geometrycznego \\(y^2 = x \\cdot 12\\) działa tylko wtedy, gdy wyrazy są niezerowe. Zawsze sprawdzaj warunki istnienia ciągu geometrycznego po wyznaczeniu wartości!\n\n**Odpowiedź: \\(x=3,\\ y=6\\), ciąg geometryczny: \\((3, 6, 12)\\).**\n\n### Sposób 1 - Własności ciągów\n\n**Warunek arytmetyczny** \\((1, x, y-1)\\):\nŚrodkowy wyraz jest średnią sąsiednich:\n\\[x=\\dfrac{1+(y-1)}{2}=\\dfrac{y}{2} \\implies y=2x. \\quad (\\star)\\]\n\n**Warunek geometryczny** \\((x, y, 12)\\):\nKwadrat środkowego wyrazu równa się iloczynowi sąsiednich (gdy \\(x\\ne 0\\)):\n\\[y^{2}=x\\cdot 12=12x. \\quad (\\star\\star)\\]\n\nPodstawiając \\(y=2x\\) do \\((\\star\\star)\\):\n\\[(2x)^{2}=12x \\implies 4x^{2}=12x \\implies 4x^{2}-12x=0 \\implies 4x(x-3)=0.\\]\nStąd \\(x=0\\) lub \\(x=3\\).\n\n**Sprawdzamy \\(x=0\\)**: wtedy \\(y=0\\), ciąg \\((0, 0, 12)\\) - nie jest geometryczny (żaden wyraz nie może być zerem). Odrzucamy.\n\n**Zatem \\(x=3, y=6\\).**\n\nCiąg geometryczny: \\((3, 6, 12)\\) - iloraz \\(q=2\\).\n\n### Sposób 2 - Bezpośrednie z ilorazu\nZ \\((\\star)\\): \\(y=2x\\). W ciągu geometrycznym iloraz jest stały: \\(q=\\dfrac{y}{x}=\\dfrac{12}{y}\\), czyli \\(y^{2}=12x\\).\nDalej jak w Sposobie 1.\n\n### Weryfikacja\n- Ciąg arytmetyczny \\((1, 3, 5)\\) (bo \\(y-1=5\\)): różnica \\(r=2\\) ✓\n- Ciąg geometryczny \\((3, 6, 12)\\): iloraz \\(q=2\\) ✓\n\n### Odpowiedź\n\\[\\boxed{x=3,\\quad y=6,\\quad \\text{ciąg geometryczny: }(3, 6, 12).}\\]","image":"img/matematyka-2010-maj-matura-podstawowa/zad-32.webp","solution_image":"img/matematyka-2010-maj-matura-podstawowa/sol-32.svg","topics":"stereometria","page_from":14,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2010 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2010-maj-matura-podstawowa/zad/33","paper_id":"matematyka-2010-maj-matura-podstawowa","number":"33","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2010,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 33. (4 pkt)\nDoświadczenie losowe polega na dwukrotnym rzucie symetryczną sześcienną kostką do gry.\nOblicz prawdopodobieństwo zdarzenia A polegającego na tym, że w pierwszym rzucie\notrzymamy parzystą liczbę oczek i iloczyn liczb oczek w obu rzutach będzie podzielny przez 12.\nWynik przedstaw w postaci ułamka zwykłego nieskracalnego.\n\nPoziom podstawowy\n17\nOdpowiedź:\nNr zadania\n33.\nMaks. liczba pkt\n4\nWypełnia\negzaminator\nUzyskana liczba pkt\n\nPoziom podstawowy\n18\nDoświadczenie losowe polega na dwukrotnym rzucie symetryczną sześcienną kostką do gry. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia A polegającego na tym, że w pierwszym rzucie otrzymamy parzystą liczbę oczek i iloczyn liczb oczek w obu rzutach będzie podzielny przez 12. Wynik przedstaw w postaci ułamka zwykłego nieskracalnego.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 33. (0-4)\nObszar standardów\nSprawdzane umiejętności\nModelowanie\nmatematyczne\nObliczanie prawdopodobieństwa z zastosowaniem\nklasycznej definicji prawdopodobieństwa\nRozwiązanie (model klasyczny)\nΩ jest zbiorem wszystkich par (\n)\n,a b takich, że\n{\n}\n,\n1,2,3,4,5,6\na b∈\n. Mamy model klasyczny.\n36\nΩ=\nZdarzeniu A sprzyjają następujące zdarzenia elementarne:\n(\n) (\n) (\n) (\n) (\n) (\n)\n2,6 , 4,3 , 4,6 , 6,2 , 6,4 , 6,6\nZatem\n6\nA =\ni stąd\n( )\n6\n1\n36\n6\nA\nP A =\nΩ\nSchemat oceniania\nRozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do całkowitego\nrozwiązania zadania 1 pkt\nZdający zapisze, że\n36\nΩ=\ni na tym zakończy lub dalej rozwiązuje błędnie.\nRozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 pkt\nZdający zapisze, że\n36\nΩ=\noraz, że\n(\n) (\n) (\n) (\n) (\n) (\n)\n{\n}\n2,6 , 4,3 , 4,6 , 6,2 , 6,4 , 6,6\nA =\ni na tym\nzakończy lub dalej rozwiązuje błędnie.\nPokonanie zasadniczych trudności zadania 3 pkt\nZdający zapisze, że\n36\nΩ=\noraz obliczy\n6\nA =\ni na tym zakończy lub dalej rozwiązuje\nbłędnie.\nUwaga\nJeżeli zdający wypisze bezbłędnie wszystkie zdarzenia elementarne sprzyjające zdarzeniu A,\nale błędnie zapisze ich liczbę (np.\n5\nA =\nalbo\n7\nA =\n) i konsekwentnie rozwiąże zadanie do\nkońca, to otrzymuje 3 punkty.\nRozwiązanie bezbłędne 4 pkt\nObliczenie prawdopodobieństwa zdarzenia A:\n( )\n1\n6\nP A =\nUwaga\nJeśli zdający ograniczy swoje rozwiązanie do zapisu\n36\nΩ=\n;\n6\nA =\noraz\n( )\n1\n6\nP A =\n,\nto otrzymuje 1 pkt.\nKlucz punktowania odpowiedzi - poziom podstawowy\n19","solution":"## Poprawna odpowiedź: A - \\(|BD| = 2\\sqrt{5}\\)\n\n## Sposób 1 - Równanie prostej i punkt przecięcia\n\n**Krok 1: Równanie prostej AB**\n\nMamy \\(A = (1, 5)\\), \\(B = (14, 31)\\).\n\nWspółczynnik kierunkowy:\n\\[a_{AB} = \\frac{31 - 5}{14 - 1} = \\frac{26}{13} = 2\\]\n\nRównanie prostej AB (przez punkt \\(A\\)):\n\\[y - 5 = 2(x - 1) \\implies y = 2x + 3\\]\n\n**Krok 2: Równanie wysokości z \\(C\\)**\n\nWysokość z \\(C\\) jest **prostopadła** do \\(AB\\), więc jej współczynnik kierunkowy to:\n\\[a_{CD} = -\\frac{1}{a_{AB}} = -\\frac{1}{2}\\]\n\nRównanie wysokości przez \\(C = (4, 31)\\):\n\\[y - 31 = -\\frac{1}{2}(x - 4) \\implies y = -\\frac{1}{2}x + 33\\]\n\n**Krok 3: Wyznaczenie punktu D - przecięcia obu prostych**\n\n\\[2x + 3 = -\\frac{1}{2}x + 33\\]\n\\[2x + \\frac{1}{2}x = 30\\]\n\\[\\frac{5}{2}x = 30 \\implies x = 12\\]\n\\[y = 2 \\cdot 12 + 3 = 27\\]\n\nZatem \\(D = (12, 27)\\).\n\n**Krok 4: Długość odcinka BD**\n\n\\[|BD| = \\sqrt{(14-12)^2 + (31-27)^2} = \\sqrt{4 + 16} = \\sqrt{20} = \\mathbf{2\\sqrt{5}}\\]\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja ortogonalności przez iloczyn skalarny\n\nSprawdzamy, że \\(CD \\perp AB\\) przez wektory.\n\n\\[\\vec{AB} = [14-1,\\ 31-5] = [13,\\ 26]\\]\n\\[\\vec{CD} = [12-4,\\ 27-31] = [8,\\ -4]\\]\n\nIloczyn skalarny:\n\\[\\vec{AB} \\cdot \\vec{CD} = 13 \\cdot 8 + 26 \\cdot (-4) = 104 - 104 = 0 \\checkmark\\]\n\nWektory są prostopadłe - punkt \\(D = (12, 27)\\) jest poprawnie wyznaczony.\n\nDługość \\(BD\\):\n\\[|BD| = \\sqrt{(14-12)^2 + (31-27)^2} = \\sqrt{4+16} = \\mathbf{2\\sqrt{5}}\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25)**\n\nDługość odcinka:\n\\[|BD| = \\sqrt{(x_B - x_D)^2 + (y_B - y_D)^2}\\]\nUżyte w kroku 4 do obliczenia \\(|BD|\\).\n\nWarunek prostopadłości prostych:\n\\[a_1 \\cdot a_2 = -1\\]\nUżyte w kroku 2 - ze współczynnika \\(a_{AB} = 2\\) wyznaczyliśmy \\(a_{CD} = -\\frac{1}{2}\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\nTo zadanie otwarte - poniżej typowe błędy prowadzące do złego wyniku:\n\n| Błąd | Niepoprawny wynik |\n| Przyjęcie współczynnika wysokości jako równego \\(a_{AB}\\) (zamiast \\(-\\frac{1}{a_{AB}}\\)) | Zły punkt D, błędna długość |\n| Pomylenie wierzchołków - liczenie wysokości z B zamiast z C | Inny punkt przecięcia |\n| Błąd w \\(\\sqrt{20}\\) - zapisanie wyniku jako \\(\\sqrt{20}\\) bez uproszczenia | \\(\\sqrt{20}\\) zamiast \\(2\\sqrt{5}\\) |\n| Pomylenie kolejności odejmowania współrzędnych w \\(|BD|\\) (ale i tak wynik pod pierwiastkiem jest ten sam) | Brak błędu (bezpieczne) |\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Współczynnik kierunkowy prostej **prostopadłej** to \\(-\\frac{1}{a}\\), nie \\(-a\\) ani \\(\\frac{1}{a}\\). Sprawdź zawsze, czy iloczyn \\(a_1 \\cdot a_2 = -1\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\(\\sqrt{20} = \\sqrt{4 \\cdot 5} = 2\\sqrt{5}\\) - upraszczaj pierwiastek do końca, bo na maturze niezuplikowany wynik może nie być punktowany.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie mylić **wysokości** (prostopadłej do boku) z **medianą** (do środka boku) - to częsty błąd przy zadaniach z trójkątem w układzie współrzędnych.\n\n**Odpowiedź: \\(|BD|=2\\sqrt{5}\\).**\n\n### Sposób 1 - Przez równania prostych\n\n**Krok 1. Równanie prostej \\(AB\\).**\nWspółczynnik kierunkowy: \\(a_{AB}=\\dfrac{31-5}{14-1}=\\dfrac{26}{13}=2\\).\nRównanie: \\(y-5=2(x-1)\\implies y=2x+3\\).\n\n**Krok 2. Równanie wysokości \\(CD\\) z \\(C=(4,31)\\).**\nWysokość jest prostopadła do \\(AB\\), więc jej współczynnik kierunkowy: \\(a_{CD}=-\\dfrac{1}{2}\\).\nRównanie: \\(y-31=-\\dfrac{1}{2}(x-4)\\implies y=-\\dfrac{1}{2}x+33\\).\n\n**Krok 3. Punkt \\(D\\) - przecięcie.**\n\\[2x+3=-\\dfrac{1}{2}x+33\\]\n\\[\\dfrac{5}{2}x=30 \\implies x=12, \\quad y=2\\cdot 12+3=27.\\]\nStąd \\(D=(12,27)\\).\n\n**Krok 4. Długość \\(|BD|\\).**\n\\[|BD|=\\sqrt{(14-12)^{2}+(31-27)^{2}}=\\sqrt{4+16}=\\sqrt{20}=2\\sqrt{5}.\\]\n\n### Sposób 2 - Odległość punktu od prostej\nProsta \\(AB\\): \\(2x-y+3=0\\). Odległość \\(C=(4,31)\\) od \\(AB\\):\n\\[|CD|=\\dfrac{|2\\cdot 4-31+3|}{\\sqrt{4+1}}=\\dfrac{|-20|}{\\sqrt{5}}=\\dfrac{20}{\\sqrt{5}}=4\\sqrt{5}.\\]\n\nDługość \\(CB\\): \\(|CB|=\\sqrt{(14-4)^{2}+(31-31)^{2}}=10\\).\n\nZ twierdzenia Pitagorasa w trójkącie \\(CDB\\) (prostokątnym w \\(D\\)):\n\\[|CB|^{2}=|CD|^{2}+|BD|^{2}\\]\n\\[100=(4\\sqrt{5})^{2}+|BD|^{2}=80+|BD|^{2}\\]\n\\[|BD|^{2}=20 \\implies |BD|=2\\sqrt{5}.\\]\n\n### Sposób 3 - Wzór na odległość \\(B\\) od prostej \\(CD\\)\nProsta \\(CD\\): \\(x+2y-66=0\\). Odległość \\(B=(14,31)\\):\n\\[|BD|=\\dfrac{|14+2\\cdot 31-66|}{\\sqrt{1+4}}=\\dfrac{|10|}{\\sqrt{5}}=\\dfrac{10}{\\sqrt{5}}=2\\sqrt{5}.\\]\n\n### Weryfikacja\n\\(|BD|^{2}=20\\); sprawdzenie przez Pitagorasa: \\(|CD|^{2}+|BD|^{2}=80+20=100=|CB|^{2}\\) ✓.\n\n### Odpowiedź\n\\[\\boxed{|BD|=2\\sqrt{5}\\approx 4{,}47.}\\]","image":"img/matematyka-2010-maj-matura-podstawowa/zad-33.webp","solution_image":"img/matematyka-2010-maj-matura-podstawowa/sol-33.svg","topics":"prawdopodobienstwo","page_from":16,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2010 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2010-maj-matura-podstawowa/zad/34","paper_id":"matematyka-2010-maj-matura-podstawowa","number":"34","points":5,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2010,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 34. (5 pkt)\nW dwóch hotelach wybudowano prostokątne baseny. Basen w pierwszym hotelu\nma powierzchnię 240 m2. Basen w drugim hotelu ma powierzchnię 350 m2 oraz jest o 5 m\ndłuższy i 2 m szerszy niż w pierwszym hotelu. Oblicz, jakie wymiary mogą mieć baseny\nw obu hotelach. Podaj wszystkie możliwe odpowiedzi.\n\nPoziom podstawowy\n19\nOdpowiedź:\nNr zadania\n34.\nMaks. liczba pkt\n5\nWypełnia\negzaminator\nUzyskana liczba pkt\n\nPoziom podstawowy\n20\nBRUDNOPIS\nW dwóch hotelach wybudowano prostokątne baseny. Basen w pierwszym hotelu ma powierzchnię 240m^2. Basen w drugim hotelu ma powierzchnię 350m^2 oraz jest o 5m dłuższy i 2m szerszy niż w pierwszym hotelu. Oblicz, jakie wymiary mogą mieć baseny w obu hotelach. Podaj wszystkie możliwe odpowiedzi.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 34. (0-5)\nObszar standardów\nSprawdzane umiejętności\nModelowanie\nmatematyczne\nRozwiązanie zadania, umieszczonego w kontekście\npraktycznym, prowadzącego do równania\nkwadratowego\nRozwiązanie\nOznaczmy przez x długość (w metrach) basenu w pierwszym hotelu i przez y szerokość\n(w metrach) tego basenu. Zapisujemy układ równań:\n(\n) (\n)\n240\n5\n2\n350\nx y\nx\ny\n⋅\n\n⋅\n\nPrzekształcamy drugie równanie w sposób równoważny:\n2\n5\n10\n350\nx y\nx\ny\n⋅\n,\npodstawiamy do tego równania\n240\nx y\n⋅\ni wyznaczamy z tak przekształconego równania\nniewiadomą x :\n100\n5\n2\ny\nx\n. Wyznaczoną wartość x podstawiamy do pierwszego\nrównania 100\n5\n240\n2\ny y\n⋅\n, które następnie przekształcamy do postaci:\n2\n20\n96\n0\ny\ny\n. Rozwiązaniami tego równania są:\n1\n2\n8,\n12\ny\ny\nZatem:\n• jeżeli\n8\ny =\n, to\n30\nx =\ni wtedy basen w pierwszym hotelu ma wymiary: 30 m\n8 m\n×\n,\nzaś basen w drugim hotelu: 35 m 10 m\n×\n,\n• jeżeli\n12\ny =\n, to\n20\nx =\ni wtedy basen w pierwszym hotelu ma wymiary: 20 m 12 m\n×\n,\nzaś basen w drugim hotelu: 25 m 14 m .\n×\nSchemat oceniania\nRozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego\nrozwiązania zadania 1 pkt\nWprowadzenie oznaczeń, na przykład: x , y - wymiary basenu w pierwszym hotelu\ni zapisanie równania\n240\nx y\n⋅\nalbo równania (\n) (\n)\n5\n2\n350\nx\ny\n⋅\nRozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 pkt\nZapisanie układu równań z niewiadomymi x i y , np.\n(\n) (\n)\n240\n5\n2\n350\nx y\nx\ny\n⋅\n\n⋅\n\nUwaga\nZdający nie musi zapisywać układu równań, może od razu zapisać równanie z jedną\nniewiadomą.\nPokonanie zasadniczych trudności zadania 3 pkt\nZapisanie równania z jedną niewiadomą x lub y, np:\n(\n)\n240\n5\n2\n350\nx\nx\n\n\n⋅\n\n\n\n\nalbo\n(\n)\n240\n5\n2\n350\ny\ny\n\n\n⋅\n\n\n\n\nRozwiązanie prawie całkowite 4 pkt\nDoprowadzenie równania wymiernego do równania kwadratowego oraz rozwiązanie\nrównania kwadratowego:\n2\n50\n600\n0\nx\nx\n, skąd\n20\nx =\nlub\n30\nx =\nKlucz punktowania odpowiedzi - poziom podstawowy\n20\nalbo\n2\n20\n96\n0\ny\ny\n, skąd\n8\ny =\nlub\n12\ny =\nRozwiązanie zadania do końca, lecz z usterkami, które jednak nie przekreślają\npoprawności rozwiązania (np. błędy rachunkowe) 4 pkt\nZdający popełnia błąd rachunkowy w rozwiązaniu równania (ale otrzymuje dwa\nrozwiązania) i konsekwentnie do popełnionego błędu oblicza wymiary obu basenów.\nRozwiązanie pełne 5 pkt\nZapisanie wymiarów obu basenów:\nBasen w pierwszym hotelu ma wymiary 30 m\n8 m\n×\ni w drugim hotelu 35 m 10 m\n×\nlub basen w pierwszym hotelu ma wymiary 20 m 12 m\n×\ni w drugim 25 m 14 m .\n×","solution":"## Poprawna odpowiedź:\n\nSamochód z miasta A: **58 km/h** lub **51 km/h**\nSamochód z miasta B: **75 km/h** lub **68 km/h**\n(zadanie ma dwa rozwiązania - oba są poprawne)\n\n## Sposób 1 - Układ równań z jedną niewiadomą \\(t_A\\)\n\n**Co wiemy z treści:**\n\nSamochód z A przejeżdża do miejsca spotkania: \\(474 - 300 = 174\\) km.\nSamochód z B przejeżdża do miejsca spotkania: \\(300\\) km.\n\nNiech \\(t_A\\) = czas jazdy samochodu z A (w godzinach).\nPonieważ samochód z B wyruszył **godzinę wcześniej**, jego czas jazdy wynosi \\(t_A + 1\\).\n\nWyznaczamy prędkości (droga = prędkość × czas):\n\\[v_A = \\frac{174}{t_A}, \\qquad v_B = \\frac{300}{t_A + 1}\\]\n\nWarunek z zadania - prędkość samochodu z A jest o 17 km/h **mniejsza**:\n\\[v_B - v_A = 17\\]\n\\[\\frac{300}{t_A + 1} - \\frac{174}{t_A} = 17\\]\n\nMnożymy obie strony przez \\(t_A(t_A+1)\\):\n\\[300t_A - 174(t_A + 1) = 17 \\cdot t_A(t_A + 1)\\]\n\\[300t_A - 174t_A - 174 = 17t_A^2 + 17t_A\\]\n\\[126t_A - 174 = 17t_A^2 + 17t_A\\]\n\\[0 = 17t_A^2 - 109t_A + 174\\]\n\nWyróżnik:\n\\[\\Delta = 109^2 - 4 \\cdot 17 \\cdot 174 = 11881 - 11832 = 49\\]\n\\[\\sqrt{\\Delta} = 7\\]\n\nMiejsca zerowe:\n\\[t_A = \\frac{109 - 7}{34} = \\frac{102}{34} = 3 \\text{ h} \\qquad \\text{lub} \\qquad t_A = \\frac{109 + 7}{34} = \\frac{116}{34} = \\frac{58}{17} \\text{ h}\\]\n\n**Rozwiązanie I** (\\(t_A = 3\\) h):\n\\[v_A = \\frac{174}{3} = 58 \\text{ km/h}, \\qquad t_B = 4 \\text{ h}, \\qquad v_B = \\frac{300}{4} = 75 \\text{ km/h}\\]\n\n**Rozwiązanie II** (\\(t_A = \\frac{58}{17}\\) h):\n\\[v_A = 174 \\cdot \\frac{17}{58} = 51 \\text{ km/h}, \\qquad t_B = \\frac{75}{17} \\text{ h}, \\qquad v_B = 300 \\cdot \\frac{17}{75} = 68 \\text{ km/h}\\]\n\n## Sposób 2 - Układ dwóch równań z dwiema niewiadomymi (v i t)\n\nWprowadzamy cztery zmienne i piszemy układ:\n\n\\[\\begin{cases} v_A \\cdot t_A = 174 \\\\ v_B \\cdot t_B = 300 \\\\ t_B = t_A + 1 \\\\ v_B - v_A = 17 \\end{cases}\\]\n\nZ pierwszego równania: \\(t_A = \\frac{174}{v_A}\\). Z drugiego i trzeciego: \\(t_B = \\frac{300}{v_B}\\).\n\nPodstawiamy do \\(t_B = t_A + 1\\):\n\\[\\frac{300}{v_B} = \\frac{174}{v_A} + 1\\]\n\nKorzystamy z \\(v_B = v_A + 17\\):\n\\[\\frac{300}{v_A + 17} = \\frac{174}{v_A} + 1\\]\n\nMnożymy przez \\(v_A(v_A + 17)\\):\n\\[300v_A = 174(v_A + 17) + v_A(v_A + 17)\\]\n\\[300v_A = 174v_A + 2958 + v_A^2 + 17v_A\\]\n\\[0 = v_A^2 - 109v_A + 2958\\]\n\nWyróżnik:\n\\[\\Delta = 109^2 - 4 \\cdot 2958 = 11881 - 11832 = 49, \\quad \\sqrt{\\Delta} = 7\\]\n\n\\[v_A = \\frac{109 - 7}{2} = 51 \\text{ km/h} \\qquad \\text{lub} \\qquad v_A = \\frac{109 + 7}{2} = 58 \\text{ km/h}\\]\n\nCo daje te same dwa rozwiązania.\n\n**Weryfikacja Rozwiązania I** (\\(v_A = 58\\), \\(v_B = 75\\)):\n- \\(t_A = 174/58 = 3\\) h, \\(t_B = 300/75 = 4\\) h\n- \\(t_B - t_A = 1\\) ✓, \\(v_B - v_A = 17\\) ✓\n\n**Weryfikacja Rozwiązania II** (\\(v_A = 51\\), \\(v_B = 68\\)):\n- \\(t_A = 174/51 = 58/17\\) h, \\(t_B = 300/68 = 75/17\\) h\n- \\(t_B - t_A = 75/17 - 58/17 = 1\\) ✓, \\(v_B - v_A = 17\\) ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)** - wyróżnik i wzór na pierwiastki:\n\\[\\Delta = b^2 - 4ac, \\qquad x_{1,2} = \\frac{-b \\pm \\sqrt{\\Delta}}{2a}\\]\nUżyliśmy tego do rozwiązania równania kwadratowego \\(17t_A^2 - 109t_A + 174 = 0\\) (Sposób 1) i \\(v_A^2 - 109v_A + 2958 = 0\\) (Sposób 2).\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Kluczowe jest ustalenie, które auto przejechało ile kilometrów. Samochód z A pokonuje \\(474 - 300 = 174\\) km (nie 300!). Mylenie tych wartości to najczęstszy błąd.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Zadanie ma **dwa rozwiązania matematyczne** - oba spełniają wszystkie warunki (dodatnie czasy i prędkości). Na maturze należy podać oba i sprawdzić oba.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Warunek różnicy prędkości dotyczy kierunku: prędkość samochodu z A jest *mniejsza*, więc \\(v_B - v_A = 17\\), a nie odwrotnie. Pomylenie tego znaku prowadzi do zupełnie innych wyników.\n\n**Odpowiedź: dwa rozwiązania - \\(v_{A}=51\\) km/h, \\(v_{B}=68\\) km/h lub \\(v_{A}=58\\) km/h, \\(v_{B}=75\\) km/h.**\n\n### Dane\n- \\(|AB|=474\\) km, spotkanie \\(300\\) km od \\(B\\).\n- Samochód \\(A\\) pokonuje do spotkania: \\(474-300=174\\) km.\n- Samochód \\(B\\) pokonuje do spotkania: \\(300\\) km.\n- Samochód \\(A\\) wyrusza godzinę później.\n- \\(v_{A}=v_{B}-17\\).\n\n### Sposób 1 - Układ równań (z \\(t\\) = czas samochodu \\(B\\))\nNiech \\(t\\) - czas jazdy samochodu \\(B\\) (w godzinach). Wtedy samochód \\(A\\) jechał \\(t-1\\) godzin.\n\\[v_{B}=\\dfrac{300}{t}, \\qquad v_{A}=\\dfrac{174}{t-1}.\\]\nZ warunku \\(v_{A}=v_{B}-17\\):\n\\[\\dfrac{174}{t-1}=\\dfrac{300}{t}-17.\\]\n\nMnożymy przez \\(t(t-1)\\):\n\\[174t=300(t-1)-17t(t-1)\\]\n\\[174t=300t-300-17t^{2}+17t\\]\n\\[17t^{2}-143t+300=0.\\]\n\\[\\Delta=143^{2}-4\\cdot 17\\cdot 300=20449-20400=49.\\]\n\\[\\sqrt{\\Delta}=7.\\]\n\\[t_{1}=\\dfrac{143-7}{34}=\\dfrac{136}{34}=4, \\qquad t_{2}=\\dfrac{143+7}{34}=\\dfrac{150}{34}=\\dfrac{75}{17}=4\\dfrac{7}{17}.\\]\n\n**Przypadek 1**: \\(t=4\\) h.\n\\[v_{B}=\\dfrac{300}{4}=75 \\text{ km/h},\\quad v_{A}=\\dfrac{174}{3}=58 \\text{ km/h}.\\]\nSprawdzenie: \\(75-58=17\\) ✓.\n\n**Przypadek 2**: \\(t=\\dfrac{75}{17}\\) h.\n\\[v_{B}=\\dfrac{300\\cdot 17}{75}=68 \\text{ km/h},\\quad v_{A}=\\dfrac{174}{\\tfrac{75}{17}-1}=\\dfrac{174}{\\tfrac{58}{17}}=\\dfrac{174\\cdot 17}{58}=\\dfrac{2958}{58}=51 \\text{ km/h}.\\]\nSprawdzenie: \\(68-51=17\\) ✓.\n\n### Sposób 2 - Układ z prędkościami\nNiech \\(v=v_{B}\\), \\(t=t_{B}\\). Wtedy \\(v_{A}=v-17\\), \\(t_{A}=t-1\\).\n\\[\\begin{cases} v\\cdot t=300 \\\\ (v-17)(t-1)=174\\end{cases}.\\]\nZ pierwszego \\(v=\\dfrac{300}{t}\\). Podstawiając do drugiego i mnożąc przez \\(t\\), otrzymujemy to samo równanie kwadratowe \\(17t^{2}-143t+300=0\\).\n\n### Weryfikacja obu rozwiązań\n**Rozwiązanie I** (\\(v_{A}=58, v_{B}=75\\)):\n- Samochód \\(B\\) w \\(4\\) h przejedzie \\(75\\cdot 4=300\\) km ✓\n- Samochód \\(A\\) w \\(3\\) h przejedzie \\(58\\cdot 3=174\\) km ✓\n- \\(300+174=474\\) km ✓\n\n**Rozwiązanie II** (\\(v_{A}=51, v_{B}=68\\)):\n- Samochód \\(B\\) w \\(\\tfrac{75}{17}\\) h: \\(68\\cdot\\tfrac{75}{17}=\\dfrac{5100}{17}=300\\) km ✓\n- Samochód \\(A\\) w \\(\\tfrac{58}{17}\\) h: \\(51\\cdot\\tfrac{58}{17}=\\dfrac{2958}{17}=174\\) km ✓\n\n### Odpowiedź\n\\[\\boxed{v_{A}=58 \\text{ km/h},\\ v_{B}=75 \\text{ km/h}\\quad\\text{lub}\\quad v_{A}=51 \\text{ km/h},\\ v_{B}=68 \\text{ km/h}.}\\]","image":"img/matematyka-2010-maj-matura-podstawowa/zad-34.webp","solution_image":"img/matematyka-2010-maj-matura-podstawowa/sol-34.svg","topics":"uklady_rownan","page_from":18,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2010 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"}]}