{"paper":{"id":"matematyka-2010-maj-matura-rozszerzona","subject":"matematyka","category":"matura","year":2010,"month":"maj","level":"rozszerzona","variant":null,"exam_pdf":"matematyka-2010-maj-matura-rozszerzona/matematyka-2010-maj-matura-rozszerzona.pdf","key_pdf":"matematyka-2010-maj-matura-rozszerzona-odpowiedzi/matematyka-2010-maj-matura-rozszerzona-odpowiedzi.pdf","question_count":11,"source_label":"Matematyka · Matura · maj 2010 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},"questions":[{"id":"matematyka-2010-maj-matura-rozszerzona/zad/1","paper_id":"matematyka-2010-maj-matura-rozszerzona","number":"1","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2010,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 1. (4 pkt)\nRozwiąż nierówność | 2\n4 |\n1\n6\nx\nx\n≤\n\nPoziom rozszerzony\n3\nNr zadania\n1.\nMaks. liczba pkt\n4\nWypełnia\negzaminator\nUzyskana liczba pkt\n\nPoziom rozszerzony\n4\nRozwiąż nierówność z wartościami bezwzględnymi |2x+4|+|x-1| <= 6","answer":null,"answer_text":"x∈-\n3,\n2\n)","solution":"$x \\in \\langle -3, 1 \\rangle$","image":"img/matematyka-2010-maj-matura-rozszerzona/zad-1.webp","solution_image":"img/matematyka-2010-maj-matura-rozszerzona/sol-1.svg","topics":"bezwgledna","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2010 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2010-maj-matura-rozszerzona/zad/2","paper_id":"matematyka-2010-maj-matura-rozszerzona","number":"2","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2010,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 2. (4 pkt)\nWyznacz wszystkie rozwiązania równania\n2\n2cos\n5sin\n4\n0\nx\nx\nnależące do przedziału\n0, 2π .\n\nPoziom rozszerzony\n5\nNr zadania\n2.\nMaks. liczba pkt\n4\nWypełnia\negzaminator\nUzyskana liczba pkt\n\nPoziom rozszerzony\n6\nWyznacz wszystkie rozwiązania równania 2cos^2x - 5sin x - 4 = 0 należące do przedziału (0,2pi).","answer":null,"answer_text":"","solution":"$x = \\dfrac{7\\pi}{6}$ lub $x = \\dfrac{11\\pi}{6}$","image":"img/matematyka-2010-maj-matura-rozszerzona/zad-2.webp","solution_image":"img/matematyka-2010-maj-matura-rozszerzona/sol-2.svg","topics":"trygonometria","page_from":4,"source":"zadaniazmatur","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2010 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2010-maj-matura-rozszerzona/zad/3","paper_id":"matematyka-2010-maj-matura-rozszerzona","number":"3","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2010,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 3. (4 pkt)\nBok kwadratu ABCD ma długość 1. Na bokach BC i CD wybrano odpowiednio punkty E i F\numieszczone tak, by |\n2\nCE\nDF\n. Oblicz wartość\nx\nDF , dla której pole trójkąta AEF\njest najmniejsze.\n\nPoziom rozszerzony\n7\nNr zadania\n3.\nMaks. liczba pkt\n4\nWypełnia\negzaminator\nUzyskana liczba pkt\n\nPoziom rozszerzony\n8\nBok kwadratu ABCD ma długość 1. Na bokach BC i CD wybrano odpowiednio punkty E i F umieszczone tak, by |CE|=2|DF|. Oblicz wartość x=|DF|, dla której pole trójkąta AEF jest najmniejsza.","answer":null,"answer_text":"3\n≤\n\nx\n1\n-\n\n3\nx\n≤\n9","solution":"$x = \\dfrac{1}{4}$","image":"img/matematyka-2010-maj-matura-rozszerzona/zad-3.webp","solution_image":"img/matematyka-2010-maj-matura-rozszerzona/sol-3.svg","topics":"optymalizacja","page_from":6,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2010 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2010-maj-matura-rozszerzona/zad/4","paper_id":"matematyka-2010-maj-matura-rozszerzona","number":"4","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2010,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 4. (4 pkt)\nWyznacz wartości a i b współczynników wielomianu\n( )\n3\n2\n1\nW x\nx\nax\nbx\n+ wiedząc, że\n( )\n2\n7\nW\noraz, że reszta z dzielenia\n( )\nW x przez (\n)\n3\nx -\njest równa 10.\n\nPoziom rozszerzony\n9\nNr zadania\n4.\nMaks. liczba pkt\n4\nWypełnia\negzaminator\nUzyskana liczba pkt\n\nPoziom rozszerzony\n10\nWyznacz wartości a i b współczynników wielomianu W(x)=x^3+ax^2+bx+1 wiedząc, że W(2)=7 oraz, że reszta z dzielenia W(x) przez (x-3) jest równa 10.","answer":null,"answer_text":"","solution":"$a = -5, b = 9$","image":"img/matematyka-2010-maj-matura-rozszerzona/zad-4.webp","solution_image":"img/matematyka-2010-maj-matura-rozszerzona/sol-4.svg","topics":"wielomiany","page_from":8,"source":"zadaniazmatur","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2010 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2010-maj-matura-rozszerzona/zad/5","paper_id":"matematyka-2010-maj-matura-rozszerzona","number":"5","points":5,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2010,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 5. (5 pkt)\nO liczbach a, b, c wiemy, że ciąg (\n)\n, ,\na b c jest arytmetyczny i\n10\na\nc\n, zaś ciąg\n(\n1,\n4,\n19)\na\nb\nc\njest geometryczny. Wyznacz te liczby.\n\nPoziom rozszerzony\n11\nNr zadania\n5.\nMaks. liczba pkt\n5\nWypełnia\negzaminator\nUzyskana liczba pkt\n\nPoziom rozszerzony\n12\nO liczbach a, b, c wiemy, że ciąg (a,b,c) jest arytmetyczny i a+c=10, zaś ciąg (a+1,b+4,c+19) jest geometryczny. Wyznacz te liczby.","answer":null,"answer_text":"dla\nx\n∈-\n2,1)","solution":"$a = 2, b = 5, c = 8$ lub $a = 26, b = 5, c = -16$","image":"img/matematyka-2010-maj-matura-rozszerzona/zad-5.webp","solution_image":"img/matematyka-2010-maj-matura-rozszerzona/sol-5.svg","topics":"ciagi","page_from":10,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2010 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2010-maj-matura-rozszerzona/zad/6","paper_id":"matematyka-2010-maj-matura-rozszerzona","number":"6","points":5,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2010,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 6. (5 pkt)\nWyznacz wszystkie wartości parametru\n,\nm dla których równanie\n2\n2\n0\nx\nmx\nma dwa\nróżne pierwiastki rzeczywiste takie, że suma ich kwadratów jest większa od\n2\n2\n13\nm -\n\nPoziom rozszerzony\n13\nNr zadania\n6.\nMaks. liczba pkt\n5\nWypełnia\negzaminator\nUzyskana liczba pkt\n\nPoziom rozszerzony\n14\nWyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których równanie x^2+mx+2=0 ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste takie, że suma ich kwadratów jest większa od 2m^2-13.","answer":null,"answer_text":"6","solution":"$m \\in \\left(-3, -2\\sqrt{2}\\right) \\cup \\left(2\\sqrt{2}, 3\\right)$","image":"img/matematyka-2010-maj-matura-rozszerzona/zad-6.webp","solution_image":"img/matematyka-2010-maj-matura-rozszerzona/sol-6.svg","topics":"parametr","page_from":12,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2010 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2010-maj-matura-rozszerzona/zad/7","paper_id":"matematyka-2010-maj-matura-rozszerzona","number":"7","points":6,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2010,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 7. (6 pkt)\nPunkt\n( 2,5)\nA = -\njest jednym z wierzchołków trójkąta równoramiennego\n,\nABC w którym\nAC\nBC\nPole tego trójkąta jest równe 15. Bok BC jest zawarty w prostej o równaniu\n1.\ny\nx\nOblicz współrzędne wierzchołka C.\n\nPoziom rozszerzony\n15\nNr zadania\n7.\nMaks. liczba pkt\n6\nWypełnia\negzaminator\nUzyskana liczba pkt\n\nPoziom rozszerzony\n16\nPunkt A=(-2,5) jest jednym z wierzchołków trójkąta równoramiennego ABC, w którym |AC|=|BC|. Pole tego trójkąta jest równe 15. Bok BC jest zawarty w prostej o równaniu y=x+1. Oblicz współrzędne wierzchołka C.","answer":null,"answer_text":"11","solution":"$C_1 = (5, 6), C_2 = (-3, -2)$","image":"img/matematyka-2010-maj-matura-rozszerzona/zad-7.webp","solution_image":"img/matematyka-2010-maj-matura-rozszerzona/sol-7.svg","topics":"analityczna","page_from":14,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2010 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2010-maj-matura-rozszerzona/zad/8","paper_id":"matematyka-2010-maj-matura-rozszerzona","number":"8","points":5,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2010,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 8. (5 pkt)\nRysunek przedstawia fragment wykresu funkcji\n2\n1\n( )\nf x\nx\n. Przeprowadzono prostą\nrównoległą do osi Ox , która przecięła wykres tej funkcji w punktach A i B. Niech\n(3, 1)\nC =\n. Wykaż, że pole trójkąta ABC jest większe lub równe 2.\n-3\n-2\n-1\n1\n2\n3\n4\n-1\n1\n2\n3\nx\ny\n0\n\nPoziom rozszerzony\n17\nNr zadania\n8.\nMaks. liczba pkt\n5\nWypełnia\negzaminator\nUzyskana liczba pkt\n\nPoziom rozszerzony\n18\nRysunek przedstawia fragment wykresu funkcji f(x)={1/x^2}. Przeprowadzono prostą równoległa do osi Ox, która przecieła wykres tej funkcji w punktach A i B. Niech C=(3,-1). Wykaż, że pole trójkąta ABC jest większe lub równe 2.","answer":null,"answer_text":"","solution":"Dowód","image":"img/matematyka-2010-maj-matura-rozszerzona/zad-8.webp","solution_image":"img/matematyka-2010-maj-matura-rozszerzona/sol-8.svg","topics":"funkcje","page_from":16,"source":"zadaniazmatur","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2010 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2010-maj-matura-rozszerzona/zad/9","paper_id":"matematyka-2010-maj-matura-rozszerzona","number":"9","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2010,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 9. (4 pkt)\nNa bokach BC i CD równoległoboku ABCD zbudowano kwadraty CDEF i BCGH (zobacz\nrysunek). Udowodnij, że AC\nFG\nA\nB\nC\nD\nG\nH\nE\nF\n\nPoziom rozszerzony\n19\nNr zadania\n9.\nMaks. liczba pkt\n4\nWypełnia\negzaminator\nUzyskana liczba pkt\n\nPoziom rozszerzony\n20\nNa bokach BC i CD równoległoboku ABCD zbudowano kwadraty CDEF i BCGH (zobacz rysunek). Udowodnij, że |AC|=|FG|.","answer":null,"answer_text":"3\nb\n18","solution":"Dowód","image":"img/matematyka-2010-maj-matura-rozszerzona/zad-9.webp","solution_image":"img/matematyka-2010-maj-matura-rozszerzona/sol-9.svg","topics":"dowody_geometryczne","page_from":18,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2010 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2010-maj-matura-rozszerzona/zad/10","paper_id":"matematyka-2010-maj-matura-rozszerzona","number":"10","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2010,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 10. (4 pkt)\nOblicz prawdopodobieństwo tego, że w trzech rzutach symetryczną sześcienną kostką do gry suma\nkwadratów liczb uzyskanych oczek będzie podzielna przez 3.\n\nPoziom rozszerzony\n21\nNr zadania\n10.\nMaks. liczba pkt\n4\nWypełnia\negzaminator\nUzyskana liczba pkt\n\nPoziom rozszerzony\n22\nOblicz prawdopodobieństwo tego, że w trzech rzutach symetryczną kostką do gry suma kwadratów liczb uzyskanych oczek będzie podzielna przez 3.","answer":null,"answer_text":"","solution":"$P(A) = \\dfrac{1}{3}$","image":"img/matematyka-2010-maj-matura-rozszerzona/zad-10.webp","solution_image":"img/matematyka-2010-maj-matura-rozszerzona/sol-10.svg","topics":"prawdopodobienstwo","page_from":20,"source":"zadaniazmatur","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2010 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2010-maj-matura-rozszerzona/zad/11","paper_id":"matematyka-2010-maj-matura-rozszerzona","number":"11","points":5,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2010,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 11. (5 pkt)\nW ostrosłupie prawidłowym trójkątnym krawędź podstawy ma długość a. Ściany boczne są\ntrójkątami ostrokątnymi. Miara kąta między sąsiednimi ścianami bocznymi jest równa 2α .\nWyznacz objętość tego ostrosłupa.\n\nPoziom rozszerzony\n23\nNr zadania\n11.\nMaks. liczba pkt\n5\nWypełnia\negzaminator\nUzyskana liczba pkt\n\nPoziom rozszerzony\n24\nBRUDNOPIS\nW ostrosłupie prawidłowym trójkątnym krawędź podstawy ma długość a. Ściany boczne są trójkątami ostrokątnymi. Miara kąta między sąsiednimi ścianami bocznymi jest równa 2alfa. Wyznacz objętość tego ostrosłupa.","answer":null,"answer_text":null,"solution":"$V = \\dfrac{a^3 \\cos \\alpha}{12 \\sqrt{4 \\sin^2 \\alpha - 1}}$","image":"img/matematyka-2010-maj-matura-rozszerzona/zad-11.webp","solution_image":"img/matematyka-2010-maj-matura-rozszerzona/sol-11.svg","topics":"stereometria","page_from":22,"source":"zadaniazmatur","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2010 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"}]}