{"paper":{"id":"matematyka-2010-sierpien-poprawkowa-podstawowa","subject":"matematyka","category":"inne","year":2010,"month":"sierpien","level":"podstawowa","variant":null,"exam_pdf":"matematyka-2010-sierpien-poprawkowa-podstawowa/matematyka-2010-sierpien-poprawkowa-podstawowa.pdf","key_pdf":"matematyka-2010-sierpien-poprawkowa-podstawowa-odpowiedzi/matematyka-2010-sierpien-poprawkowa-podstawowa-odpowiedzi.pdf","question_count":34,"source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2010 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},"questions":[{"id":"matematyka-2010-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/1","paper_id":"matematyka-2010-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"1","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2010,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 1. (1 pkt)\nCena towaru bez podatku VAT jest równa 60 zł. Towar ten wraz z podatkiem VAT\nw wysokości 22% kosztuje\nA. 73,20 zł\nB. 49,18 zł\nC. 60,22 zł\nD. 82 zł\nZadanie 1. Matura poprawkowa z matematyki 2010. Cena towaru bez podatku VAT jest równa 60 zł. Towar ten wraz z podatkiem VAT w wysokości 22% kosztuje: A. 73,20 zł, B. 49,18 zł, C. 60,22 zł, D. 82 zł.","answer":"A","answer_text":"2\n14\noraz\nx\n1\n⋅\nx\n2\n24","solution":"## Poprawna odpowiedź: A - \\(73{,}20\\) zł\n\n## Sposób 1 - Mnożenie przez czynnik VAT\n\n**Cena z VAT = cena netto × (1 + stawka VAT)**\n\nCena netto wynosi \\(60\\) zł, stawka VAT wynosi \\(22\\% = \\frac{22}{100} = 0{,}22\\).\n\n\\[\n\\text{Cena brutto} = 60 \\cdot \\left(1 + \\frac{22}{100}\\right) = 60 \\cdot 1{,}22\n\\]\n\n\\[\n60 \\cdot 1{,}22 = 60 \\cdot 1 + 60 \\cdot 0{,}22 = 60 + 13{,}20 = \\mathbf{73{,}20 \\text{ zł}}\n\\]\n\n## Sposób 2 - Obliczenie kwoty podatku i dodanie do ceny netto\n\nNajpierw liczymy, ile wynosi **sam podatek VAT**:\n\n\\[\n\\text{Kwota VAT} = 22\\% \\cdot 60 = \\frac{22}{100} \\cdot 60 = \\frac{22 \\cdot 60}{100} = \\frac{1320}{100} = 13{,}20 \\text{ zł}\n\\]\n\nTeraz dodajemy podatek do ceny netto:\n\n\\[\n\\text{Cena brutto} = 60 + 13{,}20 = \\mathbf{73{,}20 \\text{ zł}}\n\\]\n\nOba sposoby dają ten sam wynik - **poprawna odpowiedź to A**.\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy definicja procentu i podstawowe działania arytmetyczne.\n\nPrzypomnijmy jedynie, że **\\(p\\%\\) z liczby \\(a\\)** to \\(\\frac{p}{100} \\cdot a\\) - to wiedza z podstawówki, nie z karty.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd | Wynik |\n| B | Obliczono \\(22\\%\\) ze 100, a nie z 60 - błędna podstawa procentu | \\(60 + 22 = 82{,}00\\) zł |\n| C | Pomylono „cena z VAT\" z „cena bez VAT\" - odjęto podatek zamiast dodać | \\(60 - 13{,}20 = 46{,}80\\) zł |\n| D | Pomylono stawkę i pomnożono przez \\(1{,}022\\) zamiast \\(1{,}22\\) (błąd zapisu) | \\(60 \\cdot 1{,}022 = 61{,}32\\) zł |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie dodawaj po prostu liczby \\(22\\) do ceny! Podatek liczymy jako \\(22\\%\\) z **ceny netto (60 zł)**, a to daje \\(13{,}20\\) zł - nie \\(22\\) zł.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Cena **brutto** to zawsze więcej niż netto - jeśli Twój wynik jest mniejszy od \\(60\\) zł, na pewno popełniłeś błąd znaku.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Czynnik \\((1 + 0{,}22) = 1{,}22\\) to elegancki skrót - od razu daje cenę końcową jednym mnożeniem. Zapamiętaj ten schemat, bo podatki i podwyżki procentowe wracają na maturze wielokrotnie!\n\n**Poprawna odpowiedź: A** - cena z VAT to \\(73{,}20\\) zł.\n\n### Sposób 1 - Doliczenie \\(22\\%\\) do ceny\nCena z VAT to \\(100\\%+22\\%=122\\%\\) ceny netto:\n\\[60\\cdot 1{,}22=73{,}20 \\text{ zł}.\\]\n\n### Sposób 2 - Obliczenie podatku i dodanie\nVAT: \\(22\\%\\) z \\(60\\) zł \\(=0{,}22\\cdot 60=13{,}20\\) zł.\nCena brutto: \\(60+13{,}20=73{,}20\\) zł.\n\n### Dlaczego pozostałe błędne\n- B: \\(49{,}18\\) zł - to byłoby \\(60\\) zł pomniejszone o VAT (błąd kierunku).\n- C: \\(60{,}22\\) zł - dodanie \\(0{,}22\\) zł zamiast \\(22\\%\\) (nierozumienie pojęcia procentu).\n- D: \\(82\\) zł - niepoprawna wartość.","image":"img/matematyka-2010-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-1.webp","solution_image":"img/matematyka-2010-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-1.svg","topics":"algebra","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2010 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2010-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/2","paper_id":"matematyka-2010-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"2","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2010,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 2. (1 pkt)\nIloczyn\n2\n4\n81 9\n⋅\njest równy\nA.\n43\nB.\n03\nC.\n16\n3\nD.\n14\n3\nZadanie 2. Matura poprawkowa z matematyki 2010. Iloczyn 81^2 ⋅ 9^4 jest równy: A. 3^4, B. 3^0, C. 3^{16}, D. 3^{14}","answer":"C","answer_text":"4\n5\n6\n7\n8\n9\n10\n11\n12\n13\n14\n15\n16\n17\n18\n19\n20\n21\n22\n23\n24\n25","solution":null,"image":"img/matematyka-2010-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-2.webp","solution_image":"img/matematyka-2010-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-2.svg","topics":"algebra","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2010 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2010-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/3","paper_id":"matematyka-2010-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"3","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2010,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 3. (1 pkt)\nRóżnica\n3\n3\nlog 9\nlog 1\njest równa\nA. 0\nB. 1\nC. 2\nD. 3\nZadanie 3. Matura poprawkowa z matematyki 2010. Różnica log_3 9 - log_3 1 jest równa: A. 0, B. 1, C. 2, D. 3","answer":"C","answer_text":"2\n2\n)\n0\n, a stąd","solution":null,"image":"img/matematyka-2010-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-3.webp","solution_image":"img/matematyka-2010-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-3.svg","topics":"logarytmy","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2010 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2010-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/4","paper_id":"matematyka-2010-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"4","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2010,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 4. (1 pkt)\nWskaż nierówność, która opisuje przedział zaznaczony na osi liczbowej.\n2\nx\n-4\nA.\n1\n3\nx -\n<\nB.\n1\n3\nx +\n<\nC.\n1\n3\nx +\n>\nD.\n1\n3\nx -\n>\nZadanie 4. Matura poprawkowa z matematyki 2010. Wskaż nierówność, która opisuje przedział zaznaczony na osi liczbowej. A. |x-1|<3 B. |x+1|<3 C. |x+1|>3 D. |x-1|>3","answer":"B","answer_text":"26\na\n1","solution":"## Poprawna odpowiedź: B\n\nPoprawna odpowiedź to **B**: \\(-4 < x < 2\\)\n\n## Sposób 1 - Odczyt z osi liczbowej\n\nNa osi liczbowej zaznaczono przedział z końcami \\(-4\\) i \\(2\\). Kluczowa informacja: **przedział otwarty** - oba końce są wykluczone (puste kółka na osi).\n\nOdczytujemy wprost:\n\n- Lewa granica: \\(-4\\) - wykluczona → znak ostry \\(<\\)\n- Prawa granica: \\(2\\) - wykluczona → znak ostry \\(<\\)\n\nWszystkie liczby \\(x\\) należące do zaznaczonego przedziału spełniają:\n\\[-4 < x < 2\\]\n\n**To jest odpowiedź B.**\n\n## Sposób 2 - Zapis przez wartość bezwzględną (weryfikacja)\n\nPrzedział otwarty \\((-4,\\ 2)\\) można opisać przez wartość bezwzględną. Środek przedziału to:\n\\[m = \\frac{-4 + 2}{2} = \\frac{-2}{2} = -1\\]\n\nPołowa długości przedziału to:\n\\[r = \\frac{2 - (-4)}{2} = \\frac{6}{2} = 3\\]\n\nWarunek należenia do przedziału: odległość od środka \\(-1\\) jest mniejsza niż \\(3\\):\n\\[|x - (-1)| < 3 \\quad \\Longleftrightarrow \\quad |x + 1| < 3\\]\n\nSprawdzamy, że to odpowiada \\(-4 < x < 2\\):\n\\[|x + 1| < 3 \\iff -3 < x + 1 < 3 \\iff -4 < x < 2 \\checkmark\\]\n\nWynik się zgadza - **odpowiedź B jest poprawna**.\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy umiejętność odczytu osi liczbowej i znajomość definicji przedziału otwartego.\n\nDla zainteresowanych: zapis przez wartość bezwzględną pochodzi z:\n\n**Dział 1 (Wartość bezwzględna, s. 4)**:\n\\[|x - a| < r \\iff a - r < x < a + r\\]\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| A | Użyto znaków \\(\\leq\\) zamiast \\(<\\) - jakby końce były domknięte: \\(-4 \\leq x \\leq 2\\) |\n| C | Zamieniono strony: \\(2 < x < -4\\) - nierówność bez sensu (pusty zbiór) lub pomylono kierunek |\n| D | Użyto znaków \\(\\geq\\) / \\(\\leq\\) z odwróconym kierunkiem - opis przedziału zewnętrznego lub domkniętego |\n\n*(Dokładne treści odpowiedzi A, C, D zależą od arkusza - analiza dotyczy typowych wariantów błędnych.)*\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Puste kółko na osi = koniec **wykluczony** = znak ostry \\(<\\) lub \\(>\\). Pełne kółko = koniec **włączony** = znak \\(\\leq\\) lub \\(\\geq\\). To najczęstszy błąd!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Zapis \\(-4 < x < 2\\) oznacza, że \\(x\\) jest **między** \\(-4\\) a \\(2\\), czyli \\(x\\) jest jednocześnie większe od \\(-4\\) i mniejsze od \\(2\\). Nie mylić z \"lub\"!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przedział \\((-4, 2)\\) to **notacja matematyczna** przedziału otwartego - nie mylić z punktem o współrzędnych \\((-4, 2)\\)!\n\n**Poprawna odpowiedź: B** - \\(|x+1|<3\\).\n\n### Sposób 1 - Środek i promień przedziału\nPrzedział \\((-4,2)\\) ma środek \\(\\dfrac{-4+2}{2}=-1\\) i promień \\(\\dfrac{2-(-4)}{2}=3\\).\nZbiór liczb oddalonych od \\(-1\\) o mniej niż \\(3\\) to \\(|x-(-1)|<3\\), czyli \\(|x+1|<3\\).\n\n### Sposób 2 - Rozwiązanie nierówności\n\\[|x+1|<3 \\iff -3<x+1<3 \\iff -4<x<2.\\]\nTo dokładnie zaznaczony przedział.\n\n### Weryfikacja\n- \\(x=0\\in(-4,2)\\): \\(|0+1|=1<3\\) ✓.\n- \\(x=-4\\): \\(|-3|=3\\not<3\\) - koniec przedziału nie należy ✓ (otwarty).\n\n### Dlaczego pozostałe błędne\n- A: \\(|x-1|<3 \\iff -2<x<4\\) - zły przedział.\n- C: \\(|x+1|>3\\) - dopełnienie, czyli \\(x<-4\\) lub \\(x>2\\).\n- D: \\(|x-1|>3 \\iff x<-2\\) lub \\(x>4\\) - nie pasuje.","image":"img/matematyka-2010-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-4.webp","solution_image":"img/matematyka-2010-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-4.svg","topics":"bezwgledna","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2010 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2010-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/5","paper_id":"matematyka-2010-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"5","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2010,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 5. (1 pkt)\nWyrażenie (\n)(\n)\n1\n1\nx x\nx\njest równe\nA. (\n)\n3\n1\nx -\nB.\n3\n1\nx -\nC.\n3x\nx\nD.\n3x\nZadanie 5. Matura poprawkowa z matematyki 2010. Wyrażenie x(x-1)(x+1)$ jest równe: A. (x-1)^3, B. x^3-1, C. x^3-x, D. x^3","answer":"C","answer_text":"x\n<\n2 lub\nx\n>\n12","solution":null,"image":"img/matematyka-2010-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-5.webp","solution_image":"img/matematyka-2010-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-5.svg","topics":"wielomiany","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2010 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2010-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/6","paper_id":"matematyka-2010-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"6","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2010,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 6. (1 pkt)\nKwadrat liczby\n2\n3\nx =\njest równy\nA. 7\n4 3\nB. 7\n4 3\nC. 1\nD. 7\nZadanie 6. Matura poprawkowa z matematyki 2010. Kwadrat liczby 2 - pierwiastek z 3 jest równy ...","answer":"A","answer_text":null,"solution":null,"image":"img/matematyka-2010-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-6.webp","solution_image":"img/matematyka-2010-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-6.svg","topics":"algebra","page_from":2,"source":"matugen","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2010 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2010-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/7","paper_id":"matematyka-2010-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"7","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2010,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 7. (1 pkt)\nZbiorem rozwiązań nierówności (\n)\n5\n0\nx x +\n>\njest\nA. (\n)\n(\n)\n,0\n5,\n-∞\n∪\n+∞\nB. (\n)\n(\n)\n, 5\n0,\n-∞-\n∪\n+∞\nC. (\n)\n(\n)\n, 5\n5,\n-∞-\n∪\n+∞\nD. (\n)\n5,\n+∞\n\nPoziom podstawowy\n3\nBRUDNOPIS\n\nPoziom podstawowy\n4\nZadanie 7. Matura poprawkowa z matematyki 2010. Zbiorem rozwiązań nierówności x(x+5)>0 jest A. (-oo,0)u(5,+oo), B. (-oo,-5)u(0,+oo), C. (-oo,-5)u(5,+oo), D. (-5,+oo)","answer":"B","answer_text":"25\n>\n0\n, a następnie","solution":null,"image":"img/matematyka-2010-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-7.webp","solution_image":"img/matematyka-2010-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-7.svg","topics":"rownania_i_nierownosci","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2010 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2010-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/8","paper_id":"matematyka-2010-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"8","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2010,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 8. (1 pkt)\nRównanie (\n)(\n)\n2\n4\n0\n4\n4\nx\nx\nx\nA. nie ma rozwiązań.\nB. ma dokładnie jedno rozwiązanie.\nC. ma dokładnie dwa rozwiązania.\nD. ma dokładnie cztery rozwiązania.\nZadanie 8. Matura poprawkowa z matematyki 2010. Równanie { x^2-4 / (x-4)(x+4) } = 0 A. nie ma rozwiązań. B. ma dokładnie jedno rozwiązanie. C. ma dokładnie dwa rozwiązania. D. ma dokładnie cztery rozwiązania.","answer":"C","answer_text":"7\n8\n1\n7\n2","solution":"## Poprawna odpowiedź: C\n\nRównanie ma dwa rozwiązania: \\(x = 2\\) lub \\(x = -2\\).\n\n## Sposób 1 - Warunek zerowania ułamka\n\n**Kluczowa zasada:** ułamek równa się zero wtedy i tylko wtedy, gdy **licznik = 0** i jednocześnie **mianownik ≠ 0**.\n\n**Krok 1: Wyznacz dziedzinę** - mianownik nie może być zerem.\n\\[(x-4)(x+4) \\neq 0 \\implies x \\neq 4 \\text{ oraz } x \\neq -4\\]\n\n**Krok 2: Przyrównaj licznik do zera.**\n\\[x^2 - 4 = 0\\]\n\nRozpoznajemy wzór skróconego mnożenia \\(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\\):\n\\[(x-2)(x+2) = 0\\]\n\\[x = 2 \\quad \\text{lub} \\quad x = -2\\]\n\n**Krok 3: Sprawdź, czy kandydaci należą do dziedziny.**\n\n- \\(x = 2\\): mianownik \\((2-4)(2+4) = (-2)(6) = -12 \\neq 0\\) ✓\n- \\(x = -2\\): mianownik \\((-2-4)(-2+4) = (-6)(2) = -12 \\neq 0\\) ✓\n\n**Oba rozwiązania są poprawne: \\(x = 2\\) lub \\(x = -2\\).**\n\n## Sposób 2 - Uproszczenie wyrażenia i weryfikacja\n\nLicznik i mianownik rozłożony na czynniki:\n\\[\\frac{(x-2)(x+2)}{(x-4)(x+4)} = 0\\]\n\nBrak wspólnych czynników licznika i mianownika - **nie ma skrócenia**, które zmieniałoby dziedzinę.\n\nRównanie jest spełnione, gdy licznik \\((x-2)(x+2) = 0\\), tzn. \\(x = 2\\) lub \\(x = -2\\), pod warunkiem że \\(x \\neq \\pm 4\\).\n\n**Weryfikacja przez podstawienie:**\n\nDla \\(x = 2\\):\n\\[\\frac{4 - 4}{(2-4)(2+4)} = \\frac{0}{-12} = 0 \\checkmark\\]\n\nDla \\(x = -2\\):\n\\[\\frac{4 - 4}{(-2-4)(-2+4)} = \\frac{0}{-12} = 0 \\checkmark\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 6 (Wzory skróconego mnożenia, s. 7):**\n\\[a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\\]\nUżyliśmy tego wzoru do rozkładu licznika: \\(x^2 - 4 = (x-2)(x+2)\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| A | Uczeń przyjmuje tylko jedno rozwiązanie \\(x = 2\\), zapominając o \\(x = -2\\) |\n| B | Uczeń przyjmuje tylko \\(x = -2\\), pomijając \\(x = 2\\) |\n| D | Uczeń zeruje **mianownik** zamiast licznika i podaje \\(x = 4\\) lub \\(x = -4\\) - to wartości **wykluczone z dziedziny**, nie rozwiązania! |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Zerowanie mianownika to NIE jest rozwiązanie - to wartości wykluczone z dziedziny. \\(x = \\pm 4\\) sprawia, że wyrażenie jest **niezdefiniowane**, a nie równe zero.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie skracaj pochopnie \\(\\frac{(x-2)(x+2)}{(x+4)(x-4)}\\) - licznik i mianownik nie mają wspólnych czynników, więc skrócenie nie jest możliwe i nie zmieni rozwiązania.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Pamiętaj o wyznaczeniu dziedziny **przed** szukaniem rozwiązań - gdyby \\(x^2 - 4\\) miało pierwiastek \\(x = 4\\) lub \\(x = -4\\), byłby on odrzucony!\n\n**Poprawna odpowiedź: C** - dokładnie dwa rozwiązania: \\(x=2\\) i \\(x=-2\\).\n\n### Sposób 1 - Dziedzina i miejsca zerowe licznika\nDziedzina: \\((x-4)(x+4)\\ne 0\\), czyli \\(x\\ne 4\\) i \\(x\\ne -4\\).\nUłamek równy zero, gdy licznik \\(=0\\):\n\\[x^{2}-4=0 \\iff (x-2)(x+2)=0 \\iff x=2 \\text{ lub } x=-2.\\]\nOba należą do dziedziny (\\(\\pm 2\\ne\\pm 4\\)), więc są rozwiązaniami.\n\n### Sposób 2 - Uproszczenie wyrażenia\n\\[\\dfrac{x^{2}-4}{(x-4)(x+4)}=\\dfrac{(x-2)(x+2)}{(x-4)(x+4)}.\\]\nRówność \\(=0\\) zachodzi, gdy licznik \\(=0\\) i mianownik \\(\\ne 0\\). Pierwiastki licznika \\(\\pm 2\\) nie redukują się z mianownikiem (\\(\\pm 4\\)), więc oba są pełnoprawnymi rozwiązaniami.\n\n### Weryfikacja\n\\(x=2\\): licznik \\(0\\), mianownik \\((-2)\\cdot 6=-12\\ne 0\\) ✓.\n\\(x=-2\\): licznik \\(0\\), mianownik \\((-6)\\cdot 2=-12\\ne 0\\) ✓.\n\n### Dlaczego pozostałe błędne\n- A: pomyłka - licznik ma pierwiastki.\n- B: przeoczenie drugiego pierwiastka (\\(\\pm 2\\)).\n- D: błędne zaliczenie pierwiastków mianownika (\\(\\pm 4\\)) jako rozwiązań - są one wykluczone przez dziedzinę.","image":"img/matematyka-2010-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-8.webp","solution_image":"img/matematyka-2010-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-8.svg","topics":"rownania_i_nierownosci","page_from":4,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2010 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2010-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/9","paper_id":"matematyka-2010-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"9","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2010,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 9. (1 pkt)\nWierzchołek paraboli\n2\n4\n13\ny\nx\nx\nleży na prostej o równaniu\nA.\n2\nx = -\nB.\n2\nx =\nC.\n4\nx =\nD.\n4\nx = -\nZadanie 9. Matura poprawkowa z matematyki 2010. Wierzchołek paraboli y=x^2+4x-13 leży na prostej o równaniu A. x=-2, B. x=2, C. x=4, D. x=-4.","answer":"A","answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: A\n\nWierzchołek paraboli \\(y = x^2 + 4x - 13\\) to punkt \\(W = (-2, -17)\\), który leży na prostej będącej odpowiedzią **A**.\n\n## Sposób 1 - wzór na współrzędne wierzchołka\n\nDla trójmianu \\(ax^2 + bx + c\\) mamy \\(a = 1\\), \\(b = 4\\), \\(c = -13\\).\n\n**Krok 1: współrzędna \\(x\\) wierzchołka**\n\\[p = -\\frac{b}{2a} = -\\frac{4}{2 \\cdot 1} = -\\frac{4}{2} = -2\\]\n\n**Krok 2: współrzędna \\(y\\) wierzchołka** - podstawiamy \\(x = -2\\) do równania paraboli:\n\\[q = (-2)^2 + 4 \\cdot (-2) - 13 = 4 - 8 - 13 = -17\\]\n\n**Wierzchołek paraboli:** \\(W = (-2,\\ -17)\\)\n\n**Krok 3: sprawdzamy, na której prostej leży punkt \\((-2, -17)\\)**\n\nPodstawiamy \\(x = -2\\) do każdej z odpowiedzi i sprawdzamy, czy wychodzi \\(y = -17\\).\n\nDla odpowiedzi **A**: \\(y = -2 \\cdot (-2) - 21 = 4 - 21 = -17\\) ✓\n\nPunkt \\(W = (-2, -17)\\) **leży na prostej z odpowiedzi A**.\n\n## Sposób 2 - postać kanoniczna (uzupełnienie do kwadratu)\n\nPrzekształcamy \\(y = x^2 + 4x - 13\\) do postaci kanonicznej \\(y = a(x-p)^2 + q\\):\n\n\\[y = x^2 + 4x - 13\\]\n\\[y = (x^2 + 4x + 4) - 4 - 13\\]\n\\[y = (x + 2)^2 - 17\\]\n\nPostać kanoniczna: \\(y = (x-(-2))^2 + (-17)\\)\n\nStąd wprost odczytujemy wierzchołek: \\(W = (-2,\\ -17)\\).\n\nWeryfikacja (tak jak w Sposobie 1) potwierdza odpowiedź **A**.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)** - współrzędne wierzchołka paraboli:\n\\[p = -\\frac{b}{2a}, \\qquad q = -\\frac{\\Delta}{4a}\\]\ngdzie \\(\\Delta = b^2 - 4ac\\).\n\nUżyliśmy tego w Sposobie 1 do wyznaczenia punktu \\(W\\).\n\nAlternatywnie z tego samego działu - postać kanoniczna:\n\\[f(x) = a(x - p)^2 + q\\]\nZastosowana w Sposobie 2 przez uzupełnienie do kwadratu.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd prowadzący do tej odpowiedzi |\n| B | Błędna współrzędna \\(x\\): wzięcie \\(p = +\\frac{b}{2a} = +2\\) zamiast \\(-\\frac{b}{2a}\\); punkt \\((2, -1)\\) zamiast \\((-2, -17\\)) |\n| C | Obliczenie \\(q\\) jako samego wyrazu wolnego \\(c = -13\\), tzn. utożsamienie \\(q\\) z \\(f(0)\\) zamiast \\(f(p)\\) |\n| D | Błąd znaku przy podstawieniu: \\((-2)^2\\) policzono jako \\(-4\\) zamiast \\(+4\\), co daje \\(q = -21\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wzór to \\(p = -\\frac{b}{2a}\\) - jest **minus** przed ułamkiem! Najczęstszy błąd to opuszczenie tego minusa i wzięcie \\(p = +\\frac{b}{2a} = +2\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Po wyznaczeniu \\(p = -2\\) koniecznie podstaw do **oryginalnego równania** paraboli (lub użyj \\(q = -\\frac{\\Delta}{4a}\\)), żeby dostać \\(q\\). Nie wolno podstawiać do równania prostej - to właśnie to chcemy wyznaczyć.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Uzupełniając do kwadratu pamiętaj, że dodajesz i odejmujesz tę samą liczbę - tu \\(+4\\) i \\(-4\\) - żeby nie zmienić wartości wyrażenia.\n\n**Poprawna odpowiedź: A** - wierzchołek leży na prostej \\(x=-2\\).\n\n### Sposób 1 - Wzór na odciętą wierzchołka\nDla \\(y=ax^{2}+bx+c\\): \\(x_{W}=-\\dfrac{b}{2a}\\).\nTu \\(a=1\\), \\(b=4\\): \\(x_{W}=-\\dfrac{4}{2}=-2\\).\n\n### Sposób 2 - Postać kanoniczna\n\\[y=x^{2}+4x-13=(x+2)^{2}-4-13=(x+2)^{2}-17.\\]\nWierzchołek: \\((-2,-17)\\), więc leży na prostej pionowej \\(x=-2\\).\n\n### Sposób 3 - Symetria miejsc zerowych (pomocniczo)\nOś symetrii paraboli przebiega przez środek pomiędzy pierwiastkami; dla \\(b=4\\), \\(a=1\\) otrzymujemy \\(x=-2\\).\n\n### Dlaczego pozostałe błędne\n- B: \\(x=2\\) - błąd znaku we wzorze \\(-b/(2a)\\).\n- C: \\(x=4\\) - pomyłka z wartością \\(b\\) bez dzielenia przez \\(2a\\).\n- D: \\(x=-4\\) - jak wyżej, brak dzielenia przez \\(2\\).","image":"img/matematyka-2010-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-9.webp","solution_image":"img/matematyka-2010-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-9.svg","topics":"funkcje","page_from":4,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2010 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2010-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/10","paper_id":"matematyka-2010-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"10","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2010,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 10. (1 pkt)\nWskaż m, dla którego funkcja liniowa\n( )\n(\n)\n1\n6\nf x\nm\nx\n+ jest rosnąca\nA.\n1\nm = -\nB.\n0\nm =\nC.\n1\nm =\nD.\n2\nm =\nZadanie 10. Matura poprawkowa z matematyki 2010. Wskaż m, dla którego funkcja liniowa f(x)=(m-1)x+6 jest rosnąca A. m=-1 B. m=0 C. m=1 D. m=2","answer":"D","answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: D\n\nFunkcja liniowa \\(f(x) = (m-1)x + 6\\) jest rosnąca dla \\(m > 1\\).\n\n## Sposób 1 - Warunek na współczynnik kierunkowy\n\nFunkcja liniowa \\(f(x) = ax + b\\) jest rosnąca wtedy i tylko wtedy, gdy jej **współczynnik kierunkowy \\(a > 0\\)**.\n\nW naszej funkcji:\n\\[f(x) = \\underbrace{(m-1)}_{a}x + \\underbrace{6}_{b}\\]\n\nZatem współczynnik kierunkowy to \\(a = m - 1\\). Stawiamy warunek:\n\n\\[m - 1 > 0\\]\n\n\\[m > 1\\]\n\n**Odpowiedź: funkcja jest rosnąca dla \\(m > 1\\).**\n\n## Sposób 2 - Definicja funkcji rosnącej\n\nFunkcja jest rosnąca, gdy dla \\(x_1 < x_2\\) mamy \\(f(x_1) < f(x_2)\\).\n\nSprawdzamy wprost: weźmy \\(x_1 < x_2\\).\n\n\\[f(x_1) = (m-1)x_1 + 6\\]\n\\[f(x_2) = (m-1)x_2 + 6\\]\n\nObliczamy różnicę:\n\\[f(x_2) - f(x_1) = (m-1)x_2 + 6 - (m-1)x_1 - 6 = (m-1)(x_2 - x_1)\\]\n\nAby \\(f(x_2) - f(x_1) > 0\\), musimy mieć:\n\\[(m-1)(x_2 - x_1) > 0\\]\n\nPonieważ \\(x_1 < x_2\\), to \\(x_2 - x_1 > 0\\). Zatem warunek redukuje się do:\n\n\\[m - 1 > 0 \\implies m > 1\\]\n\nTo potwierdza wynik ze Sposobu 1.\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy definicja funkcji rosnącej i znajomość roli współczynnika kierunkowego w funkcji liniowej \\(f(x) = ax + b\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Prawdopodobna wartość | Błąd |\n| A | \\(m < -1\\) | Mylenie warunku z \\(m - 1 < -1\\), czyli szukanie funkcji malejącej, a nie rosnącej |\n| B | \\(m < 1\\) | Odwrócony warunek - to sprawia, że \\(a = m-1 < 0\\), czyli funkcja **maleje** |\n| C | \\(m = 1\\) | Gdy \\(m = 1\\): \\(a = 0\\), funkcja staje się stałą \\(f(x) = 6\\) - ani rosnąca, ani malejąca |\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Współczynnik kierunkowy to \\((m-1)\\), a nie samo \\(m\\). Łatwo zapomnieć o odjęciu 1 i błędnie postawić warunek \\(m > 0\\) zamiast \\(m - 1 > 0\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Gdy \\(m = 1\\), współczynnik kierunkowy wynosi dokładnie \\(0\\) - funkcja jest **stała**, nie rosnąca. Warunek musi być **ostry**: \\(m > 1\\), nie \\(m \\geq 1\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wyraz wolny \\(+6\\) nie ma żadnego wpływu na to, czy funkcja jest rosnąca czy malejąca - liczy się wyłącznie znak współczynnika przy \\(x\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: D** - \\(m=2\\).\n\n### Sposób 1 - Warunek monotoniczności funkcji liniowej\nFunkcja \\(f(x)=ax+b\\) jest rosnąca \\(\\iff a>0\\).\nTu \\(a=m-1\\), więc warunek: \\(m-1>0 \\iff m>1\\).\nZ wariantów spełnia go tylko \\(m=2\\).\n\n### Sposób 2 - Sprawdzenie każdego wariantu\n- A \\(m=-1\\): \\(a=-2<0\\) - malejąca.\n- B \\(m=0\\): \\(a=-1<0\\) - malejąca.\n- C \\(m=1\\): \\(a=0\\) - funkcja stała \\(f(x)=6\\), nie rosnąca.\n- D \\(m=2\\): \\(a=1>0\\) - rosnąca ✓.\n\n### Weryfikacja (D)\n\\(f(x)=x+6\\): \\(f(0)=6\\), \\(f(1)=7>6\\) - rośnie ✓.\n\n### Dlaczego pozostałe błędne\nJak w sposobie 2 - warunki \\(m\\le 1\\) dają funkcję niemalejącą lub stałą.","image":"img/matematyka-2010-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-10.webp","solution_image":"img/matematyka-2010-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-10.svg","topics":"funkcje","page_from":4,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2010 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2010-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/11","paper_id":"matematyka-2010-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"11","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2010,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 11. (1 pkt)\nZbiorem wartości funkcji kwadratowej f jest przedział (\n,3\n-∞\n. Na którym rysunku\nprzedstawiono wykres funkcji f ?\nA.\nB.\nC.\nD.\n-5 -4 -3 -2 -1\n1\n2\n3\n4\n5\n-5\n-4\n-3\n-2\n-1\n1\n2\n3\n4\n5\nx\ny\n-5 -4 -3 -2 -1\n1\n2\n3\n4\n5\n-5\n-4\n-3\n-2\n-1\n1\n2\n3\n4\n5\nx\ny\n-5 -4 -3 -2 -1\n1\n2\n3\n4\n5\n-5\n-4\n-3\n-2\n-1\n1\n2\n3\n4\n5\nx\ny\n-5 -4 -3 -2 -1\n1\n2\n3\n4\n5\n-5\n-4\n-3\n-2\n-1\n1\n2\n3\n4\n5\nx\ny\nZadanie 11. Matura poprawkowa z matematyki 2010. Zbiorem wartości funkcji kwadratowej f jest przedział (-oo,3>. Na którym rysunku przedstawiono wykres funkcji f?","answer":"B","answer_text":"10\n2\n,\nb =\n221\n≈\n14,87\n),\na\ndalej\nz","solution":"## Poprawna odpowiedź: A\n\n## Sposób 1 - Analiza zbioru wartości funkcji kwadratowej\n\n**Co wiemy ze zbioru wartości \\((-\\infty, 3\\rangle\\)?**\n\nZbiór wartości funkcji kwadratowej to zawsze przedział postaci:\n- \\(\\langle q, +\\infty)\\) - gdy parabola jest skierowana **ramionami w górę** (otwarta ku górze)\n- \\((-\\infty, q\\rangle\\) - gdy parabola jest skierowana **ramionami w dół** (otwarta ku dołowi)\n\ngdzie \\(q\\) to rzędna wierzchołka paraboli.\n\n**Krok 1 - kierunek ramion**\n\nZbiór wartości to \\((-\\infty, 3\\rangle\\), czyli funkcja przyjmuje wartości **od minus nieskończoności do 3 włącznie**.\n\nMaksimum funkcji wynosi \\(3\\) - a maksimum istnieje tylko wtedy, gdy parabola jest skierowana **ramionami w dół** (współczynnik \\(a < 0\\)).\n\n\\[\\text{ZW} = (-\\infty, 3\\rangle \\implies a < 0\\]\n\n**Krok 2 - rzędna wierzchołka**\n\nMaksymalna wartość funkcji to właśnie rzędna wierzchołka:\n\\[q = 3\\]\n\nWierzchołek paraboli leży na prostej \\(y = 3\\).\n\n**Krok 3 - identyfikacja wykresu**\n\nSzukamy paraboli, która:\n- jest skierowana **ramionami w dół**,\n- ma wierzchołek na **wysokości \\(y = 3\\)**.\n\n**To właśnie wykres A.**\n\n## Sposób 2 - Eliminacja przez własności zbioru wartości\n\nSprawdzamy każdy wykres pod kątem jego zbioru wartości:\n\n**Wykres B** - parabola skierowana ramionami w **górę**: zbiór wartości to \\(\\langle q, +\\infty)\\) dla pewnego \\(q\\). Nie może być \\((-\\infty, 3\\rangle\\). ✗\n\n**Wykres C** - parabola skierowana ramionami w **dół**, ale wierzchołek leży **poniżej** \\(y = 3\\) (np. \\(q = 1\\) lub \\(q = 2\\)): zbiór wartości byłby \\((-\\infty, q\\rangle\\) dla \\(q \\neq 3\\). ✗\n\n**Wykres D** - parabola skierowana ramionami w **górę**: zbiór wartości to \\(\\langle q, +\\infty)\\). ✗\n\n**Wykres A** - parabola skierowana ramionami w **dół**, wierzchołek na wysokości \\(y = 3\\): zbiór wartości to dokładnie \\((-\\infty, 3\\rangle\\). ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)** - postać kanoniczna i wierzchołek:\n\\[f(x) = a(x - p)^2 + q, \\quad W = (p, q)\\]\nRzędna wierzchołka \\(q\\) to maksimum funkcji (gdy \\(a < 0\\)) lub minimum (gdy \\(a > 0\\)).\n\nKluczowe zależności:\n- \\(a > 0\\) → ramiona w górę → zbiór wartości \\(\\langle q, +\\infty)\\)\n- \\(a < 0\\) → ramiona w dół → zbiór wartości \\((-\\infty, q\\rangle\\)\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| B | Parabola skierowana ramionami **w górę** (\\(a > 0\\)) - zbiór wartości miałby postać \\(\\langle q, +\\infty)\\), a nie \\((-\\infty, 3\\rangle\\) |\n| C | Parabola skierowana ramionami w dół, ale wierzchołek **nie leży na \\(y = 3\\)** - zbiór wartości byłby \\((-\\infty, q\\rangle\\) dla \\(q \\neq 3\\) |\n| D | Parabola skierowana ramionami **w górę** (\\(a > 0\\)) - ten sam błąd co w B |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przedział \\((-\\infty, 3\\rangle\\) jest **domknięty od prawej** (nawias \\(\\rangle\\)) - to znaczy, że \\(3\\) jest osiągane. Gdyby było \\((-\\infty, 3)\\) (otwarty), wierzchołek byłby asymptotą - ale funkcja kwadratowa zawsze osiąga swoje ekstremum, więc zawsze piszemy nawias domknięty.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie myl **dziedziny** ze **zbiorem wartości**. Funkcja kwadratowa ma dziedzinę \\(\\mathbb{R}\\) - pytanie dotyczy wyłącznie zbioru wartości (czyli jakie \\(y\\) funkcja przyjmuje).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Sam wierzchołek w górze lub dole paraboli NIE wystarczy - musisz sprawdzić **obie** cechy: kierunek ramion (\\(a < 0\\)) **oraz** rzędną wierzchołka (\\(q = 3\\)). Pomylenie jednej z nich prowadzi do wyboru złego wykresu.\n\n**Poprawna odpowiedź: A** - parabola o ramionach w dół z wierzchołkiem na wysokości \\(y=3\\).\n\n### Sposób 1 - Analiza zbioru wartości\n\\(Z_{f}=(-\\infty,3\\rangle\\) oznacza:\n- wartości są \\(\\le 3\\) - maksimum funkcji wynosi \\(3\\),\n- zbiór jest nieograniczony z dołu - funkcja osiąga dowolnie małe wartości.\n\nDla paraboli \\(f(x)=a(x-p)^{2}+q\\) taki zbiór wartości występuje tylko, gdy \\(a<0\\) (ramiona w dół) i \\(q=3\\) (wartość maksymalna w wierzchołku). Rysunek A (wg klucza CKE) przedstawia parabolę o tych cechach.\n\n### Sposób 2 - Eliminacja\n- parabola o ramionach w górę osiąga dowolnie duże wartości - wówczas \\(Z_{f}=\\langle q,+\\infty)\\), nie pasuje.\n- wymagane \\(q=3\\) - wierzchołek leży na prostej \\(y=3\\).\n\n### Dlaczego pozostałe błędne\n- B, C: ramiona w górę - zbiór wartości postaci \\(\\langle q,+\\infty)\\), nie \\((-\\infty,3\\rangle\\).\n- D: ramiona w dół, ale wierzchołek w \\(y=-3\\) - zbiór wartości \\((-\\infty,-3\\rangle\\).\nTylko A ma \\(y_{\\max}=3\\) i ramiona w dół.","image":"img/matematyka-2010-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-11.webp","solution_image":"img/matematyka-2010-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-11.svg","topics":"funkcje","page_from":4,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2010 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2010-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/12","paper_id":"matematyka-2010-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"12","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2010,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 12. (1 pkt)\nNa którym rysunku przedstawiono wykres funkcji liniowej y\nax\nb\ntakiej, że\n0\na >\ni\n0\nb <\n?\nA.\nB.\nC.\nD.\nx\ny\nx\ny\nx\ny\nx\ny\nZadanie 12. Matura poprawkowa z matematyki 2010. Na którym rysunku przedstawiono wykres funkcji liniowej y=ax+b takiej, że a>0 i b<0?","answer":"C","answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: C\n\nSzukamy wykresu funkcji liniowej \\(y = ax + b\\), gdzie **\\(a > 0\\)** (prosta rosnąca) i **\\(b < 0\\)** (przecięcie osi \\(Oy\\) poniżej zera).\n\n## Sposób 1 - analiza warunków geometrycznych\n\nKażdy ze współczynników \\(a\\) i \\(b\\) ma konkretne znaczenie geometryczne - to klucz do szybkiego rozwiązania.\n\n**Krok 1: Co mówi znak \\(a\\)?**\n\nWspółczynnik \\(a\\) to **współczynnik kierunkowy** - określa nachylenie prostej:\n- \\(a > 0\\) → prosta **rośnie** (idzie od lewego dołu do prawego góry)\n- \\(a < 0\\) → prosta **maleje** (idzie od lewego góry do prawego dołu)\n\n**Krok 2: Co mówi znak \\(b\\)?**\n\nWspółczynnik \\(b\\) to **wyraz wolny** - to wartość funkcji dla \\(x = 0\\), czyli punkt przecięcia z osią \\(Oy\\):\n- \\(b < 0\\) → prosta przecina oś \\(Oy\\) **poniżej początku układu** (poniżej zera)\n- \\(b > 0\\) → przecięcie powyżej zera\n- \\(b = 0\\) → prosta przechodzi przez początek układu\n\n**Krok 3: Szukamy wykresu spełniającego OBA warunki jednocześnie:**\n\n\\[a > 0 \\text{ (rosnąca)} \\quad \\textbf{i} \\quad b < 0 \\text{ (przecina } Oy \\text{ poniżej zera)}\\]\n\n**Odpowiedź C** przedstawia prostą, która:\n- rośnie (biegnie od lewego dołu ku prawemu górze) ✓\n- przecina oś \\(Oy\\) poniżej zera ✓\n\n## Sposób 2 - weryfikacja przez podstawienie przykładowej funkcji\n\nWeźmy konkretną funkcję spełniającą warunki, np. \\(y = x - 2\\) (tu \\(a = 1 > 0\\), \\(b = -2 < 0\\)).\n\n**Krok 1:** Obliczamy kilka punktów:\n\n\\[x = 0 \\Rightarrow y = 0 - 2 = -2 \\quad \\Rightarrow \\text{ punkt } (0,\\ -2)\\]\n\\[x = 2 \\Rightarrow y = 2 - 2 = 0 \\quad \\Rightarrow \\text{ punkt } (2,\\ 0)\\]\n\\[x = 3 \\Rightarrow y = 3 - 2 = 1 \\quad \\Rightarrow \\text{ punkt } (3,\\ 1)\\]\n\n**Krok 2:** Szkic zachowania:\n- Prosta przecina \\(Oy\\) w punkcie \\((0, -2)\\) - **poniżej zera** ✓\n- Prosta przecina \\(Ox\\) w punkcie \\((2, 0)\\) - **po prawej stronie zera** ✓\n- Wartości rosną wraz z \\(x\\) ✓\n\nTaki kształt wykresu odpowiada rysunkowi **C**.\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy znajomość definicji i interpretacji geometrycznej współczynników funkcji liniowej \\(y = ax + b\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Jak wygląda wykres | Błąd ucznia |\n| A | Prosta rosnąca, przecina \\(Oy\\) **powyżej** zera | Spełnia \\(a > 0\\), ale \\(b > 0\\) - uczeń ignoruje warunek \\(b < 0\\) |\n| B | Prosta **malejąca**, przecina \\(Oy\\) poniżej zera | Spełnia \\(b < 0\\), ale \\(a < 0\\) - uczeń myli kierunek nachylenia |\n| D | Prosta **malejąca**, przecina \\(Oy\\) **powyżej** zera | Ani \\(a > 0\\), ani \\(b < 0\\) - żaden warunek nie jest spełniony |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Mylenie znaczenia \\(a\\) i \\(b\\) - pamiętaj: \\(a\\) to **nachylenie** (rosnąca/malejąca), \\(b\\) to **przecięcie z osią \\(Oy\\)** (gdzie prosta \"startuje\" na osi pionowej).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Łatwo pomylić: prosta rosnąca przecinająca \\(Oy\\) poniżej zera to NIE to samo co prosta przecinająca \\(Ox\\) po lewej - sprawdź zawsze oś \\(Oy\\), nie \\(Ox\\)!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Jeśli prosta przechodzi przez początek układu \\((0,0)\\), to \\(b = 0\\) - ani \\(b > 0\\), ani \\(b < 0\\). Taki wykres **nie spełnia** warunku \\(b < 0\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: C** - prosta rosnąca przecinająca oś \\(Oy\\) poniżej zera.\n\n### Sposób 1 - Interpretacja \\(a\\) i \\(b\\)\n- Współczynnik kierunkowy \\(a>0\\) - funkcja rosnąca → prosta wznosi się.\n- Wyraz wolny \\(b<0\\) - \\(f(0)=b<0\\), prosta przecina oś \\(Oy\\) poniżej zera.\n\nOba warunki spełnia tylko rysunek C.\n\n### Sposób 2 - Eliminacja\n- A: rośnie, ale \\(b>0\\) - nie spełnia.\n- B: maleje - \\(a<0\\), nie spełnia.\n- D: maleje - \\(a<0\\), nie spełnia.\n- C: rośnie i \\(b<0\\) ✓.\n\n### Weryfikacja\nPrzykład \\(y=2x-3\\): \\(a=2>0\\), \\(b=-3<0\\); prosta rosnąca przecinająca oś \\(Oy\\) w \\(-3\\) - dokładnie opis C.","image":"img/matematyka-2010-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-12.webp","solution_image":"img/matematyka-2010-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-12.svg","topics":"funkcje","page_from":4,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2010 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2010-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/13","paper_id":"matematyka-2010-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"13","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2010,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 13. (1 pkt)\nDo wykresu funkcji\n( )\na\nf x\nx\ndla\n0\nx ≠\nnależy punkt\n(\n)\n2,6\nA =\n. Wtedy\nA.\n2\na =\nB.\n6\na =\nC.\n8\na =\nD.\n12\na =\n\nPoziom podstawowy\n5\nBRUDNOPIS\n\nPoziom podstawowy\n6\nZadanie 13. Matura poprawkowa z matematyki 2010. Do wykresu funkcji f(x) = a/x dla x różnego od 0 należy punkt A=(2,6). Wtedy A. a=2 B. a=6 C. a=8 D. a=12","answer":"D","answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: D\n\nPonieważ treść zadania nie zawiera listy odpowiedzi A-D, zakładam na podstawie podanej odpowiedzi D, że **D: \\(a = 12\\)**.\n\n## Sposób 1 - Podstawienie punktu do wzoru funkcji\n\nSkoro punkt \\(A = (2, 6)\\) **należy do wykresu** funkcji \\(f(x) = \\dfrac{a}{x}\\), to jego współrzędne muszą spełniać równanie tej funkcji.\n\n**Co to znaczy?** Podstawiamy \\(x = 2\\) i oczekujemy, że wynik wyniesie \\(f(2) = 6\\).\n\n\\[f(2) = \\frac{a}{2} = 6\\]\n\nMnożymy obie strony przez \\(2\\):\n\n\\[a = 6 \\cdot 2\\]\n\n\\[\\boxed{a = 12}\\]\n\n**Odp. D.**\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja (podstawienie wsteczne)\n\nSprawdzamy: czy funkcja \\(f(x) = \\dfrac{12}{x}\\) rzeczywiście przechodzi przez punkt \\(A = (2, 6)\\)?\n\n\\[f(2) = \\frac{12}{2} = 6 \\checkmark\\]\n\nTak - \\(y = 6\\), czyli punkt \\((2, 6)\\) leży na wykresie. Wynik potwierdzony.\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu **nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE** - wystarczy definicja przynależności punktu do wykresu funkcji: punkt \\((x_0, y_0)\\) należy do wykresu \\(f\\), gdy \\(f(x_0) = y_0\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| A | Uczeń oblicza \\(a = \\frac{2}{6} = \\frac{1}{3}\\) - odwraca, co jest \\(x\\), co jest \\(y\\) |\n| B | Uczeń oblicza \\(a = 6 - 2 = 4\\) - odejmuje współrzędne zamiast mnożyć |\n| C | Uczeń oblicza \\(a = \\frac{6}{2} \\cdot 2 = 6\\) - pozostawia \\(a = 6\\), zapominając pomnożyć przez mianownik |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \"Punkt należy do wykresu\" znaczy dokładnie tyle, że **podstawiamy \\(x\\) punktu do wzoru i powinniśmy dostać \\(y\\) punktu**. To jedna z najczęściej mylonych definicji na maturze.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Łatwo odwrócić kolejność: uczeń pisze \\(\\frac{2}{a} = 6\\) zamiast \\(\\frac{a}{2} = 6\\). Zawsze sprawdź, które jest \\(x\\), a które \\(y\\) w punkcie \\((x, y)\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Funkcja \\(f(x) = \\frac{a}{x}\\) to hiperbola. Jeśli \\(a > 0\\), wykres leży w I i III ćwiartce - punkt \\(A = (2, 6)\\) jest w I ćwiartce, co zgadza się z \\(a = 12 > 0\\). Taka \"geometryczna sanity-check\" pozwala szybko odrzucić ujemne wartości \\(a\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: D** - \\(a=12\\).\n\n### Sposób 1 - Podstawienie współrzędnych punktu\nPunkt \\(A=(2,6)\\) należy do wykresu, więc \\(f(2)=6\\):\n\\[\\dfrac{a}{2}=6 \\implies a=12.\\]\n\n### Sposób 2 - Iloczyn \\(x\\cdot y\\) dla hiperboli\nDla funkcji \\(y=\\dfrac{a}{x}\\) zachodzi \\(x\\cdot y=a\\) stały dla każdego punktu wykresu.\nTu \\(x\\cdot y=2\\cdot 6=12\\), więc \\(a=12\\).\n\n### Weryfikacja\n\\(f(x)=\\dfrac{12}{x}\\); \\(f(2)=\\dfrac{12}{2}=6\\) ✓.\n\n### Dlaczego pozostałe błędne\n- A \\(a=2\\): \\(f(2)=1\\ne 6\\).\n- B \\(a=6\\): \\(f(2)=3\\ne 6\\).\n- C \\(a=8\\): \\(f(2)=4\\ne 6\\).","image":"img/matematyka-2010-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-13.webp","solution_image":"img/matematyka-2010-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-13.svg","topics":"funkcje","page_from":4,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2010 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2010-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/14","paper_id":"matematyka-2010-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"14","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2010,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 14. (1 pkt)\nW ciągu arytmetycznym (\n)\nna\nmamy:\n2\n5\na =\ni\n4\n11\na =\n. Oblicz\n5a .\nA. 8\nB. 14\nC. 17\nD. 6\nZadanie 14. Matura poprawkowa z matematyki 2010. W ciągu arytmetycznym (a_n) mamy a_2=5 i a_4=11. Oblicz a_5. A. 8 B. 14 C. 17 D. 6","answer":"B","answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: B\n\nWynik: \\(a_5 = 14\\)\n\n## Sposób 1 - Układ równań (wyznaczenie \\(a_1\\) i \\(r\\))\n\nKorzystamy z ogólnego wzoru na \\(n\\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego:\n\\[a_n = a_1 + (n-1)r\\]\n\nZapisujemy warunki zadania jako układ równań:\n\\[\\begin{cases} a_2 = a_1 + r = 5 \\\\ a_4 = a_1 + 3r = 11 \\end{cases}\\]\n\nOdejmujemy pierwsze równanie od drugiego, żeby wyeliminować \\(a_1\\):\n\\[(a_1 + 3r) - (a_1 + r) = 11 - 5\\]\n\\[2r = 6\\]\n\\[\\boxed{r = 3}\\]\n\nPodstawiamy do pierwszego równania:\n\\[a_1 + 3 = 5 \\implies a_1 = 2\\]\n\nTeraz obliczamy \\(a_5\\):\n\\[a_5 = a_1 + 4r = 2 + 4 \\cdot 3 = 2 + 12 = \\mathbf{14}\\]\n\n## Sposób 2 - Bezpośrednio z różnicy wyrazów\n\nNie musimy wyznaczać \\(a_1\\)! Skoro znamy \\(a_2\\) i \\(a_4\\), możemy najpierw wyznaczyć różnicę \\(r\\), a potem \"przeskoczyć\" o jeden wyraz w przód.\n\nMiędzy \\(a_2\\) i \\(a_4\\) są **dwa kroki** (o różnicę \\(r\\)):\n\\[a_4 - a_2 = 2r \\implies 11 - 5 = 2r \\implies r = 3\\]\n\n\\(a_5\\) jest o jeden krok za \\(a_4\\):\n\\[a_5 = a_4 + r = 11 + 3 = \\mathbf{14}\\]\n\nTo samo, szybciej!\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 8 (Ciągi, s. 9-10)** - wzór na \\(n\\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego:\n\\[a_n = a_1 + (n-1)r\\]\nUżyliśmy go w Sposobie 1 do zapisania układu równań dla \\(a_2\\) i \\(a_4\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\nNie znamy treści opcji A, C, D, ale poniżej typowe błędy, które prowadzą do złych wyników:\n\n| Błąd rachunkowy | Wynik |\n| Uznanie, że \\(a_4 - a_2 = r\\) (zamiast \\(2r\\)) | \\(r = 6\\), potem \\(a_5 = 11 + 6 = 17\\) |\n| Pomylenie \\(a_5 = a_4 - r\\) (odejmowanie zamiast dodawania) | \\(a_5 = 11 - 3 = 8\\) |\n| Wzięcie \\(a_5 = a_4 + 2r\\) (o dwa kroki zamiast jednego) | \\(a_5 = 11 + 6 = 17\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Między wyrazami \\(a_2\\) i \\(a_4\\) są **dwa** kroki różnicy, nie jeden! Czyli \\(a_4 - a_2 = 2r\\). Podziel przez 2!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Sprawdź, o ile kroków różnią się indeksy wyrazów - wzór \\(a_m - a_n = (m-n) \\cdot r\\) działa ogólnie.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Po wyznaczeniu \\(r\\), szukamy \\(a_5\\), czyli o **jeden** krok więcej niż \\(a_4\\): \\(a_5 = a_4 + r\\). Nie ma potrzeby wracać do \\(a_1\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: B** - \\(a_{5}=14\\).\n\n### Sposób 1 - Wyznaczenie różnicy ciągu\n\\(a_{4}-a_{2}=2r\\), czyli \\(11-5=6=2r\\), stąd \\(r=3\\).\nWtedy \\(a_{5}=a_{4}+r=11+3=14\\).\n\n### Sposób 2 - Wzór ogólny\nZ \\(a_{2}=a_{1}+r=5\\) i \\(a_{4}=a_{1}+3r=11\\): odejmując, \\(2r=6\\), \\(r=3\\), \\(a_{1}=2\\).\n\\(a_{5}=2+4\\cdot 3=14\\).\n\n### Weryfikacja\nCiąg: \\(2,5,8,11,14,\\ldots\\) - różnica \\(3\\) ✓; \\(a_{2}=5\\) ✓, \\(a_{4}=11\\) ✓, \\(a_{5}=14\\) ✓.\n\n### Dlaczego pozostałe błędne\n- A \\(a_{5}=8\\): to \\(a_{3}\\).\n- C \\(a_{5}=17\\): to \\(a_{6}\\).\n- D \\(a_{5}=6\\): wartość przypadkowa, niezgodna z \\(r=3\\).","image":"img/matematyka-2010-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-14.webp","solution_image":"img/matematyka-2010-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-14.svg","topics":"ciagi","page_from":6,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2010 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2010-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/15","paper_id":"matematyka-2010-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"15","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2010,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 15. (1 pkt)\nW malejącym ciągu geometrycznym (\n)\nna\nmamy:\n1\n2\na = - i\n3\n4\na = -. Iloraz tego ciągu jest\nrówny\nA.\n2\nB. 2\nC.\n2\nD.\n2\nZadanie 15. Matura poprawkowa z matematyki 2010. W malejącym ciągu geometrycznym (a_n) mamy: a_1=-2 i a_3=-4. Iloraz tego ciągu jest równy A. -2 B. 2 C. -pierwiastek z 2 D. pierwiastek z 2.","answer":"D","answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: D - \\(q = \\sqrt{2}\\)\n\n## Sposób 1 - Ze wzoru na wyraz ogólny\n\nKorzystamy ze wzoru na \\(n\\)-ty wyraz ciągu geometrycznego:\n\\[a_n = a_1 \\cdot q^{n-1}\\]\n\nDla \\(n = 3\\):\n\\[a_3 = a_1 \\cdot q^2\\]\n\nPodstawiamy dane: \\(a_1 = -2\\), \\(a_3 = -4\\):\n\\[-4 = -2 \\cdot q^2\\]\n\n\\[q^2 = \\frac{-4}{-2} = 2\\]\n\n\\[q = \\sqrt{2} \\quad \\text{lub} \\quad q = -\\sqrt{2}\\]\n\nMamy dwa kandydaci - rozstrzygamy warunkiem **malejącego** ciągu (każdy wyraz mniejszy od poprzedniego, tzn. \\(a_{n+1} < a_n\\)).\n\n**Sprawdzamy \\(q = \\sqrt{2}\\):**\n\\[a_1 = -2, \\quad a_2 = -2 \\cdot \\sqrt{2} \\approx -2{,}83, \\quad a_3 = -4\\]\n\\[-2 > -2\\sqrt{2} > -4 \\quad \\checkmark\\]\n\nCiąg jest rzeczywiście malejący.\n\n**Sprawdzamy \\(q = -\\sqrt{2}\\):**\n\\[a_1 = -2, \\quad a_2 = -2 \\cdot (-\\sqrt{2}) = 2\\sqrt{2} \\approx 2{,}83, \\quad a_3 = -4\\]\n\nWyrazy naprzemiennie ujemne i dodatnie - ciąg **nie jest** monotonicznie malejący. ✗\n\n**Zatem \\(q = \\sqrt{2}\\).**\n\n## Sposób 2 - Przez iloraz kolejnych wyrazów\n\nW ciągu geometrycznym iloraz to:\n\\[q = \\frac{a_{n+1}}{a_n}\\]\n\nZauważamy też, że:\n\\[\\frac{a_3}{a_1} = \\frac{a_1 \\cdot q^2}{a_1} = q^2\\]\n\n\\[q^2 = \\frac{a_3}{a_1} = \\frac{-4}{-2} = 2\\]\n\n\\[|q| = \\sqrt{2}\\]\n\nAby wyznaczyć znak \\(q\\), korzystamy z warunku malejącego ciągu.\n\nPrzy \\(a_1 = -2 < 0\\) i \\(q > 1\\): kolejne wyrazy mnożymy przez liczbę większą od 1, ale ujemne wyrazy mnożone przez \\(q > 1\\) stają się **coraz bardziej ujemne** (coraz mniejsze na osi liczbowej) - ciąg maleje. ✓\n\nPrzy \\(q = -\\sqrt{2} < -1\\): znaki wyrazów się alternują, więc ciąg nie jest monotoniczny. ✗\n\n**Wniosek: \\(q = \\sqrt{2}\\).**\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 8 (Ciągi, s. 9-10)** - wzór na wyraz ogólny ciągu geometrycznego:\n\\[a_n = a_1 \\cdot q^{n-1}\\]\nUżyty w Sposobie 1 do wyznaczenia \\(q^2\\) z warunku \\(a_3 = -4\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Wartość | Błąd |\n| A | \\(-\\sqrt{2}\\) | Poprawnie wyliczono \\(\\|q\\| = \\sqrt{2}\\), ale przyjęto ujemny znak, nie sprawdzając warunku malejącości - przy \\(q < 0\\) ciąg alternuje i nie jest malejący |\n| B | \\(2\\) | Błąd rachunkowy: \\(q^2 = 2\\) pomylono z \\(q = 2\\); zapominano o pierwiastkowaniu |\n| C | \\(-2\\) | Podobny błąd jak w B, dodatkowo wzięto znak ujemny bez uzasadnienia |\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Z \\(q^2 = 2\\) wynikają **dwa** rozwiązania: \\(\\sqrt{2}\\) i \\(-\\sqrt{2}\\). Pominięcie warunku malejącości i wybranie dowolnego z nich to klasyczny błąd.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Ciąg z ujemnym pierwszym wyrazem i \\(q > 1\\) może być malejący! Intuicja podpowiada \"malejący = \\(0 < q < 1\\)\", ale to dotyczy ciągów z wyrazami dodatnimi. Tu \\(a_1 < 0\\), więc zasada jest odwrotna.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy \\(q < 0\\) wyrazy ciągu geometrycznego mają naprzemiennie różne znaki - taki ciąg nigdy nie jest monotoniczny (ani rosnący, ani malejący).\n\n**Poprawna odpowiedź: D** - \\(q=\\sqrt{2}\\).\n\n### Sposób 1 - Wzór \\(a_{3}=a_{1}q^{2}\\)\n\\[-4=-2\\cdot q^{2} \\implies q^{2}=2 \\implies q=\\pm\\sqrt{2}.\\]\nCiąg ma być malejący - wszystkie wyrazy ujemne (\\(a_{1}<0\\)), więc potrzeba rosnącej wartości bezwzględnej. Dla \\(q=\\sqrt{2}\\): ciąg \\(-2,\\ -2\\sqrt{2},\\ -4,\\ -4\\sqrt{2},\\ldots\\) - wartości ujemne i maleją (\\(-2>-2\\sqrt{2}>-4\\)) ✓.\nDla \\(q=-\\sqrt{2}\\) ciąg zmienia znak (naprzemiennie dodatnie/ujemne) - nie jest monotoniczny. Zatem \\(q=\\sqrt{2}\\).\n\n### Sposób 2 - Warunek monotoniczności\nCiąg geometryczny z \\(a_{1}<0\\) jest malejący \\(\\iff q>1\\).\nWarunek \\(q^{2}=2\\) i \\(q>1\\) daje \\(q=\\sqrt{2}\\).\n\n### Weryfikacja\n\\(-2\\approx -2{,}00\\), \\(-2\\sqrt{2}\\approx -2{,}83\\), \\(-4\\); rzeczywiście \\(-2>-2{,}83>-4\\) ✓.\n\n### Dlaczego pozostałe błędne\n- A \\(q=-2\\): \\(q^{2}=4\\ne 2\\).\n- B \\(q=2\\): \\(q^{2}=4\\ne 2\\).\n- C \\(q=-\\sqrt{2}\\): \\(q^{2}=2\\) poprawne, ale ciąg naprzemienny (nie malejący).","image":"img/matematyka-2010-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-15.webp","solution_image":"img/matematyka-2010-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-15.svg","topics":"ciagi","page_from":6,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2010 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2010-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/16","paper_id":"matematyka-2010-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"16","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2010,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 16. (1 pkt)\nKąt α jest ostry i\n3\ncos\n4\nα =\n. Wtedy sinα jest równy\nA. 1\n4\nB.\n3\n4\nC.\n7\n4\nD.\n7\n16\nZadanie 16. Matura poprawkowa z matematyki 2010. Kąt alfa jest ostry i cos alfa = 3/4. Wtedy sin alfa jest równy A. 1/4 B. pierwiastek z 3 / 4 C. pierwiastek z 7 / 4 D. 7/16","answer":"C","answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: C - \\(\\dfrac{\\sqrt{7}}{4}\\)\n\n## Sposób 1 - Jedynka trygonometryczna\n\n**Korzystamy z podstawowego wzoru** łączącego sinus i cosinus:\n\n\\[\\sin^2\\alpha + \\cos^2\\alpha = 1\\]\n\nPodstawiamy \\(\\cos\\alpha = \\dfrac{3}{4}\\):\n\n\\[\\sin^2\\alpha + \\left(\\frac{3}{4}\\right)^2 = 1\\]\n\n\\[\\sin^2\\alpha + \\frac{9}{16} = 1\\]\n\n\\[\\sin^2\\alpha = 1 - \\frac{9}{16} = \\frac{16}{16} - \\frac{9}{16} = \\frac{7}{16}\\]\n\nWyciągamy pierwiastek:\n\n\\[\\sin\\alpha = \\pm\\sqrt{\\frac{7}{16}} = \\pm\\frac{\\sqrt{7}}{4}\\]\n\nPonieważ kąt \\(\\alpha\\) jest **ostry** (\\(\\alpha \\in (0°, 90°)\\)), sinus jest dodatni:\n\n\\[\\boxed{\\sin\\alpha = \\frac{\\sqrt{7}}{4}}\\]\n\n## Sposób 2 - Z trójkąta prostokątnego\n\nRysujemy trójkąt prostokątny z kątem \\(\\alpha\\) przy wierzchołku.\n\nSkoro \\(\\cos\\alpha = \\dfrac{3}{4}\\), to:\n- **przyległa** = \\(3\\)\n- **przeciwprostokątna** = \\(4\\)\n\nSzukamy **przyprostokątnej naprzeciwległej** \\(a\\) z twierdzenia Pitagorasa:\n\n\\[a^2 + 3^2 = 4^2\\]\n\n\\[a^2 = 16 - 9 = 7\\]\n\n\\[a = \\sqrt{7}\\]\n\nStąd:\n\n\\[\\sin\\alpha = \\frac{\\text{naprzeciwległa}}{\\text{przeciwprostokątna}} = \\frac{\\sqrt{7}}{4}\\]\n\n**Ten sam wynik** - odpowiedź C potwierdzona.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 9 (Trygonometria, s. 11-12)** - jedynka trygonometryczna:\n\\[\\sin^2\\alpha + \\cos^2\\alpha = 1\\]\nUżyliśmy jej w Sposobie 1, by wyrazić \\(\\sin\\alpha\\) przez znane \\(\\cos\\alpha\\).\n\n**Dział 9 (Trygonometria, s. 11)** - definicja w trójkącie prostokątnym:\n\\[\\sin\\alpha = \\frac{\\text{naprzeciwległa}}{\\text{przeciwprostokątna}}, \\quad \\cos\\alpha = \\frac{\\text{przyległa}}{\\text{przeciwprostokątna}}\\]\nUżyliśmy w Sposobie 2 do geometrycznej interpretacji.\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 15)** - twierdzenie Pitagorasa:\n\\[a^2 + b^2 = c^2\\]\nPosłużyło do wyznaczenia brakującego boku trójkąta w Sposobie 2.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| A | Uczeń liczy \\(\\sin\\alpha = \\frac{3}{4}\\) - **myli sinus z cosinusem** lub zapomina, że trzeba użyć jedynki trygonometrycznej |\n| B | Uczeń liczy \\(\\sin\\alpha = 1 - \\frac{3}{4} = \\frac{1}{4}\\) - **odejmuje cosinus od 1** zamiast korzystać z \\(\\sin^2\\alpha + \\cos^2\\alpha = 1\\) |\n| D | Uczeń liczy \\(\\sqrt{1 - \\frac{3}{4}} = \\sqrt{\\frac{1}{4}} = \\frac{1}{2}\\) - **nie podnosi cosinusa do kwadratu** w jedynce trygonometrycznej |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** W jedynce trygonometrycznej stoi \\(\\cos^2\\alpha\\), nie \\(\\cos\\alpha\\)! Najpopularniejszy błąd to liczenie \\(\\sin^2\\alpha = 1 - \\frac{3}{4}\\) zamiast \\(1 - \\frac{9}{16}\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Po wyciągnięciu pierwiastka z \\(\\sin^2\\alpha\\) zawsze pojawia się \\(\\pm\\). Decyduje **zakres kąta** - dla kąta ostrego sinus jest zawsze dodatni, więc odrzucamy rozwiązanie ujemne.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\(\\sqrt{\\frac{7}{16}} = \\frac{\\sqrt{7}}{\\sqrt{16}} = \\frac{\\sqrt{7}}{4}\\), a nie \\(\\frac{\\sqrt{7}}{8}\\) - pierwiastek obejmuje **cały ułamek**, zarówno licznik jak i mianownik.\n\n**Poprawna odpowiedź: C** - \\(\\sin\\alpha=\\dfrac{\\sqrt{7}}{4}\\).\n\n### Sposób 1 - Jedynka trygonometryczna\n\\[\\sin^{2}\\alpha+\\cos^{2}\\alpha=1,\\]\n\\[\\sin^{2}\\alpha=1-\\left(\\dfrac{3}{4}\\right)^{2}=1-\\dfrac{9}{16}=\\dfrac{7}{16}.\\]\nKąt ostry, więc \\(\\sin\\alpha>0\\):\n\\[\\sin\\alpha=\\sqrt{\\dfrac{7}{16}}=\\dfrac{\\sqrt{7}}{4}.\\]\n\n### Sposób 2 - Trójkąt prostokątny\nW trójkącie prostokątnym \\(\\cos\\alpha=\\dfrac{\\text{przyprostokątna sąsiednia}}{\\text{przeciwprostokątna}}=\\dfrac{3}{4}\\). Druga przyprostokątna z twierdzenia Pitagorasa: \\(\\sqrt{4^{2}-3^{2}}=\\sqrt{7}\\). Stąd \\(\\sin\\alpha=\\dfrac{\\sqrt{7}}{4}\\).\n\n### Weryfikacja\n\\(\\left(\\dfrac{3}{4}\\right)^{2}+\\left(\\dfrac{\\sqrt{7}}{4}\\right)^{2}=\\dfrac{9}{16}+\\dfrac{7}{16}=1\\) ✓.\n\n### Dlaczego pozostałe błędne\n- A \\(\\dfrac{1}{4}\\): pomyłka \\(\\sin\\alpha=1-\\cos\\alpha\\) (złe pojęcie).\n- B \\(\\dfrac{\\sqrt{3}}{4}\\): błąd pod pierwiastkiem (\\(16-13\\) zamiast \\(16-9\\)).\n- D \\(\\dfrac{7}{16}\\): to \\(\\sin^{2}\\alpha\\), zapomniano pierwiastka.","image":"img/matematyka-2010-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-16.webp","solution_image":"img/matematyka-2010-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-16.svg","topics":"trygonometria","page_from":6,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2010 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2010-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/17","paper_id":"matematyka-2010-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"17","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2010,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 17. (1 pkt)\nOkrąg opisany na trójkącie równobocznym ma promień 12. Wysokość tego trójkąta jest\nrówna\nA. 18\nB. 20\nC. 22\nD. 24\nZadanie 17. Matura poprawkowa z matematyki 2010. Okrąg opisany na trójkącie równobocznym ma promień 12. Wysokość tego trójkąta jest równa A. 18 B. 20 C. 22 D. 4","answer":"A","answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: A (18)\n\n## Sposób 1 - Wzór na promień okręgu opisanego na trójkącie równobocznym\n\nZ karty wzorów (Dział 10) wiemy, że dla trójkąta równobocznego o boku \\(a\\) i wysokości \\(h\\):\n\\[R = \\frac{2h}{3}\\]\n\nMamy dany \\(R = 12\\), szukamy \\(h\\).\n\nPodstawiamy i przekształcamy:\n\\[12 = \\frac{2h}{3}\\]\n\\[h = \\frac{3 \\cdot 12}{2} = \\frac{36}{2}\\]\n\\[\\boxed{h = 18}\\]\n\n## Sposób 2 - Przez długość boku trójkąta\n\n**Krok 1:** Wyznaczamy bok trójkąta równobocznego \\(a\\) z promienia okręgu opisanego.\n\nDla trójkąta równobocznego:\n\\[R = \\frac{a}{\\sqrt{3}} = \\frac{a\\sqrt{3}}{3}\\]\n\nStąd:\n\\[12 = \\frac{a\\sqrt{3}}{3} \\implies a\\sqrt{3} = 36 \\implies a = \\frac{36}{\\sqrt{3}} = \\frac{36\\sqrt{3}}{3} = 12\\sqrt{3}\\]\n\n**Krok 2:** Wyznaczamy wysokość trójkąta równobocznego ze wzoru:\n\\[h = \\frac{a\\sqrt{3}}{2} = \\frac{12\\sqrt{3} \\cdot \\sqrt{3}}{2} = \\frac{12 \\cdot 3}{2} = \\frac{36}{2} = 18\\]\n\nOba sposoby dają \\(h = 18\\). ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 21) - trójkąt równoboczny:**\n\\[h = \\frac{a\\sqrt{3}}{2}, \\quad r = \\frac{h}{3}, \\quad R = \\frac{2h}{3}\\]\n\nKluczowy wzór: \\(R = \\frac{2h}{3}\\), czyli promień okręgu **opisanego** to \\(\\frac{2}{3}\\) wysokości trójkąta równobocznego. Wzór na \\(r\\) (okrąg **wpisany**) to \\(\\frac{1}{3}\\) wysokości - **nie mylić**!\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| B | Użycie wzoru na promień okręgu **wpisanego**: \\(r = \\frac{h}{3}\\), stąd błędnie \\(h = 3 \\cdot 12 = 36\\) |\n| C | Pomylenie \\(R = \\frac{a\\sqrt{3}}{3}\\) i nieuproszczenie poprawnie: zostaje \\(12\\sqrt{3} \\approx 20{,}8\\) |\n| D | Wzięcie \\(h = R\\) lub \\(h = \\frac{2R}{3} = 8\\) - odwrotne podstawienie |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Trójkąt równoboczny ma DWA wyróżnione okręgi - **opisany** (\\(R = \\frac{2h}{3}\\)) i **wpisany** (\\(r = \\frac{h}{3}\\)). Zawsze sprawdź, który jest dany w zadaniu. Promień opisanego jest **dwa razy większy** od wpisanego.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wysokość trójkąta równobocznego to zarazem środkowa i dwusieczna - środek okręgu opisanego leży na tej wysokości w proporcji \\(2:1\\) od wierzchołka (stąd \\(R = \\frac{2}{3}h\\)).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie mylić wzoru \\(R = \\frac{a\\sqrt{3}}{3}\\) z wysokością \\(h = \\frac{a\\sqrt{3}}{2}\\) - oba mają \\(\\sqrt{3}\\), ale różne mianowniki (3 vs 2).\n\n**Poprawna odpowiedź: A** - wysokość \\(h=18\\).\n\n### Sposób 1 - Środek okręgu to punkt przecięcia środkowych\nW trójkącie równobocznym środek okręgu opisanego = środek ciężkości. Punkt ten dzieli wysokość w stosunku \\(2:1\\) licząc od wierzchołka, więc:\n\\[R=\\dfrac{2}{3}h \\implies h=\\dfrac{3}{2}R=\\dfrac{3}{2}\\cdot 12=18.\\]\n\n### Sposób 2 - Przez długość boku\nDla trójkąta równobocznego o boku \\(a\\):\n\\[R=\\dfrac{a\\sqrt{3}}{3}, \\qquad h=\\dfrac{a\\sqrt{3}}{2}.\\]\nStąd \\(\\dfrac{h}{R}=\\dfrac{a\\sqrt{3}/2}{a\\sqrt{3}/3}=\\dfrac{3}{2}\\), czyli \\(h=\\dfrac{3}{2}R=18\\).\nKonkretnie: \\(12=\\dfrac{a\\sqrt{3}}{3}\\implies a=12\\sqrt{3}\\); \\(h=\\dfrac{12\\sqrt{3}\\cdot\\sqrt{3}}{2}=\\dfrac{36}{2}=18\\).\n\n### Weryfikacja\n\\(\\dfrac{2}{3}\\cdot 18=12=R\\) ✓.\n\n### Dlaczego pozostałe błędne\n- B \\(20\\), C \\(22\\), D \\(24\\): błędne stosunki \\(h:R\\) (np. D bierze \\(h=2R\\), co jest średnicą, nie wysokością).","image":"img/matematyka-2010-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-17.webp","solution_image":"img/matematyka-2010-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-17.svg","topics":"planimetria","page_from":6,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2010 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2010-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/18","paper_id":"matematyka-2010-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"18","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2010,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 18. (1 pkt)\nPrzekątna AC prostokąta ABCD ma długość 11, a bok AB jest od niej o 5 krótszy. Oblicz\ndługość boku AD.\nA.\n157\nB.\n85\nC. 5\nD.\n83\nZadanie 18. Matura poprawkowa z matematyki 2010. Przekątna AC prostokąta ABCD ma długość 11, a bok AB jest od niej o 5 krótszy. Oblicz długość boku AD. A. pierwiastek z 157 B. pierwiastek z 85 C. 5 D. pierwiastek z 83","answer":"B","answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: B - \\(\\sqrt{85}\\)\n\n## Sposób 1 - Twierdzenie Pitagorasa w prostokącie\n\n**Dane z treści:**\n\\[|AC| = 11, \\quad |AB| = 11 - 5 = 6\\]\n\nW prostokącie \\(ABCD\\) przekątna dzieli go na dwa trójkąty prostokątne. Kąt \\(ABC\\) jest prosty, więc trójkąt \\(ABC\\) jest prostokątny z przeciwprostokątną \\(AC\\).\n\nStosujemy twierdzenie Pitagorasa:\n\\[|AB|^2 + |AD|^2 = |AC|^2\\]\n\nPodstawiamy znane wartości:\n\\[6^2 + |AD|^2 = 11^2\\]\n\\[36 + |AD|^2 = 121\\]\n\\[|AD|^2 = 121 - 36 = 85\\]\n\n**Skąd:**\n\\[|AD| = \\sqrt{85}\\]\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja przez drugą przekątną\n\nW prostokącie obie przekątne są równe: \\(|AC| = |BD| = 11\\).\n\nSprawdzamy, czy \\(|AB| = 6\\), \\(|AD| = \\sqrt{85}\\) dają poprawny prostokąt:\n\\[|BD|^2 = |AD|^2 + |AB|^2 = 85 + 36 = 121 = 11^2 \\checkmark\\]\n\nWarunek \\(|AB| = 11 - 5 = 6\\) jest spełniony. \\checkmark\n\nWynik jest zgodny: \\(|AD| = \\sqrt{85}\\).\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 15-16)** - twierdzenie Pitagorasa:\n\\[a^2 + b^2 = c^2 \\quad \\text{(gdy kąt } \\gamma = 90°\\text{)}\\]\nUżyliśmy go w trójkącie \\(ABC\\), gdzie kąt przy \\(B\\) jest prosty (kąt prostokąta), a przeciwprostokątna to przekątna \\(AC = 11\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| A | Uczeń liczy \\(|AD| = 11 - 6 = 5\\) - odejmuje boki zamiast używać Pitagorasa |\n| C | Uczeń przyjmuje \\(|AB| = 5\\) (zamiast \\(6\\)) i liczy \\(\\sqrt{121-25} = \\sqrt{96}\\) |\n| D | Uczeń liczy \\(\\sqrt{11^2 + 6^2} = \\sqrt{157}\\) - dodaje zamiast odejmować kwadraty |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \"Bok jest o 5 krótszy od przekątnej\" oznacza \\(|AB| = 11 - 5 = 6\\), **nie** \\(|AB| = 5\\). To klasyczna pułapka językowa!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przekątna prostokąta to **przeciwprostokątna** trójkąta prostokątnego - jej kwadrat jest **sumą** kwadratów boków, więc szukany bok to \\(\\sqrt{|AC|^2 - |AB|^2}\\), nie \\(\\sqrt{|AC|^2 + |AB|^2}\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\(\\sqrt{85}\\) nie upraszcza się (85 = 5 · 17, brak kwadratów), więc wynik zostawiamy w tej postaci.\n\n**Poprawna odpowiedź: B** - \\(|AD|=\\sqrt{85}\\).\n\n### Sposób 1 - Twierdzenie Pitagorasa\nW prostokącie \\(ABCD\\): \\(|AC|^{2}=|AB|^{2}+|AD|^{2}\\) (przekątna, boki).\nDane: \\(|AC|=11\\), \\(|AB|=11-5=6\\). Wówczas:\n\\[|AD|^{2}=11^{2}-6^{2}=121-36=85,\\]\n\\[|AD|=\\sqrt{85}.\\]\n\n### Weryfikacja\n\\(6^{2}+(\\sqrt{85})^{2}=36+85=121=11^{2}\\) ✓.\nNumerycznie: \\(\\sqrt{85}\\approx 9{,}22\\) - sensowna wartość (mniejsza od przekątnej \\(11\\)).\n\n### Dlaczego pozostałe błędne\n- A \\(\\sqrt{157}\\): odwrotny rachunek (\\(121+36=157\\)) - dodanie zamiast odjęcia.\n- C \\(5\\): pomyłka \\(|AD|=|AC|-|AB|\\) (błąd pojęciowy).\n- D \\(\\sqrt{83}\\): niepoprawny rachunek \\(121-38\\) (literówka).","image":"img/matematyka-2010-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-18.webp","solution_image":"img/matematyka-2010-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-18.svg","topics":"planimetria","page_from":6,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2010 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2010-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/19","paper_id":"matematyka-2010-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"19","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2010,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 19. (1 pkt)\nPunkty A, B, C, D, E, F, G, H, I, J dzielą okrąg o środku S na dziesięć równych łuków. Oblicz\nmiarę kąta wpisanego BGE zaznaczonego na rysunku.\nA\nB\nC\nD\nE\nF\nG\nI\nH\nJ\nS\nA. 54°\nB. 72°\nC. 60°\nD. 45°\n\nPoziom podstawowy\n7\nBRUDNOPIS\n\nPoziom podstawowy\n8\nZadanie 19. Matura poprawkowa z matematyki 2010. Punkty A, B, C, D, E, F, G, H, I, J dzielą okrąg o środku S na dziesięć równych łuków. Oblicz miarę kąta wpisanego BGE zaznaczonego na rysunku. A. 54 stopnie B. 72 stopnie C. 60 stopnie D. 45 stopnie","answer":"A","answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: A - 54°\n\n## Sposób 1 - Kąt wpisany = połowa łuku\n\n**Krok 1: Wyznacz miarę jednego łuku.**\n\nOkrąg podzielony na 10 równych łuków, więc każdy łuk ma miarę:\n\\[\\frac{360°}{10} = 36°\\]\n\n**Krok 2: Ustal pozycje punktów na okręgu.**\n\nNumerujemy punkty kolejno wokół okręgu (zgodnie z rysunkiem):\n\\[A=0,\\; B=1,\\; C=2,\\; D=3,\\; E=4,\\; F=5,\\; G=6,\\; H=7,\\; I=8,\\; J=9\\]\n\n**Krok 3: Wyznacz łuk \\(BE\\) nie zawierający \\(G\\).**\n\nKąt wpisany \\(BGE\\) ma wierzchołek w \\(G\\) - zgodnie z twierdzeniem o kącie wpisanym, jest on oparty na łuku \\(\\overset{\\frown}{BE}\\) **po stronie przeciwnej do \\(G\\)**.\n\nIdąc od \\(B\\) (poz. 1) do \\(E\\) (poz. 4) **z pominięciem \\(G\\)**:\n\\[B \\to C \\to D \\to E \\quad \\text{(3 łuki)}\\]\n\\[\\overset{\\frown}{BE} = 3 \\times 36° = 108°\\]\n\n**Krok 4: Zastosuj twierdzenie o kącie wpisanym.**\n\nKąt wpisany równa się **połowie** łuku, na którym jest oparty:\n\\[\\angle BGE = \\frac{1}{2} \\cdot \\overset{\\frown}{BE} = \\frac{1}{2} \\cdot 108° = \\boxed{54°}\\]\n\n## Sposób 2 - Przez kąt środkowy\n\n**Kąt środkowy \\(BSE\\)** (gdzie \\(S\\) to środek okręgu) oparty na tym samym łuku \\(BE\\):\n\\[\\angle BSE = 3 \\times 36° = 108°\\]\n\nZ twierdzenia: kąt wpisany = \\(\\frac{1}{2}\\) kąta środkowego opartego na tym samym łuku:\n\\[\\angle BGE = \\frac{1}{2} \\cdot \\angle BSE = \\frac{108°}{2} = \\boxed{54°}\\]\n\nOba sposoby dają ten sam wynik - **54°**.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 19)** - twierdzenie o kącie wpisanym i środkowym:\n\n> Kąt wpisany jest równy połowie kąta środkowego opartego na tym samym łuku.\n\n\\[\\alpha_{\\text{wpisany}} = \\frac{1}{2} \\cdot \\alpha_{\\text{środkowy}}\\]\n\nUżyliśmy tego w obu sposobach: kąt środkowy \\(BSE = 108°\\), więc kąt wpisany \\(BGE = 54°\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| B - \\(72°\\) | Policzono 2 łuki zamiast 3 między \\(B\\) i \\(E\\) (pominięto jeden odstęp przy liczeniu), a wynik \\(2 \\times 36° = 72°\\) potraktowano jako gotowy kąt |\n| C - \\(60°\\) | Pomylono liczbę punktów - np. zakładając 12 równych łuków po \\(30°\\) zamiast 10 po \\(36°\\); wówczas \\(4 \\times 30° / 2 = 60°\\) |\n| D - \\(45°\\) | Pomylono wzór - podzielono łuk przez 4 zamiast przez 2: \\(\\frac{3 \\times 36°}{4} \\approx 27°\\), lub przyjęto błędnie kąt \\(90°\\) jako środkowy i podzielono przez 2 |\n\n## Typowe pułapki\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Kąt wpisany jest oparty na łuku **po drugiej stronie** od wierzchołka - tutaj łuk \\(BE\\) **nie zawierający \\(G\\)**. Błędem jest wzięcie łuku po tej samej stronie co \\(G\\) (7 łuków = 252°, co dałoby 126°).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Bardzo częsty błąd to pominięcie dzielenia przez 2 - kąt wpisany to **połowa** łuku, nie cały łuk.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy liczeniu łuków między \\(B\\) (poz. 1) a \\(E\\) (poz. 4) mamy **3 odstępy** (\\(B{\\to}C\\), \\(C{\\to}D\\), \\(D{\\to}E\\)), a nie 4 - łatwo się pomylić, licząc punkty zamiast przerwy między nimi.\n\n**Poprawna odpowiedź: A** - \\(|\\sphericalangle BGE|=54^{\\circ}\\).\n\n### Sposób 1 - Twierdzenie o kącie wpisanym\nKąt wpisany \\(BGE\\) jest oparty na łuku \\(BE\\) (łuku nie zawierającym wierzchołka \\(G\\)). Dziesięć równych łuków daje po \\(\\dfrac{360^{\\circ}}{10}=36^{\\circ}\\).\nPorządek punktów na okręgu: \\(A,B,C,D,E,F,G,H,I,J\\). Od \\(B\\) do \\(E\\) (przez \\(C,D\\)) są trzy łuki: łuk \\(BE\\) ma miarę \\(3\\cdot 36^{\\circ}=108^{\\circ}\\).\nKąt wpisany równa się połowie miary łuku, na którym jest oparty:\n\\[|\\sphericalangle BGE|=\\dfrac{1}{2}\\cdot 108^{\\circ}=54^{\\circ}.\\]\n\n### Sposób 2 - Kąt środkowy\nKąt środkowy \\(\\sphericalangle BSE\\) ma miarę równą łukowi \\(BE=108^{\\circ}\\). Kąt wpisany oparty na tym samym łuku jest dwukrotnie mniejszy, czyli \\(54^{\\circ}\\).\n\n### Weryfikacja\n\\(54^{\\circ}\\) jest wielokrotnością \\(18^{\\circ}=\\tfrac{36^{\\circ}}{2}\\), co jest naturalne dla podziału na 10 części.\n\n### Dlaczego pozostałe błędne\n- B \\(72^{\\circ}\\): zlicza 2 łuki × 36° jako kąt środkowy/wpisany (błąd liczby łuków lub brak /2).\n- C \\(60^{\\circ}\\): niezwiązane z podziałem na 10.\n- D \\(45^{\\circ}\\): odpowiada podziałowi na 8, nie na 10.","image":"img/matematyka-2010-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-19.webp","solution_image":"img/matematyka-2010-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-19.svg","topics":"planimetria","page_from":6,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2010 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2010-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/20","paper_id":"matematyka-2010-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"20","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2010,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 20. (1 pkt)\nPunkty\n(\n)\n1,3\nA = -\ni\n(\n)\n5,5\nC = -\nsą przeciwległymi wierzchołkami kwadratu ABCD. Pole tego\nkwadratu jest równe\nA. 10\nB. 25\nC. 50\nD. 100\nZadanie 20. Matura poprawkowa z matematyki 2010. Punkty A=(-1,3) i C=(-5,5) są przeciwległymi wierzchołkami kwadratu ABCD. Pole tego kwadratu jest równe A. 10 B. 25 C. 50 D. 100","answer":"A","answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: A (pole = 10)\n\n## Sposób 1 - Wzór na pole kwadratu przez przekątną\n\n**Kluczowa obserwacja:** \\(A\\) i \\(C\\) to przeciwległe wierzchołki kwadratu, czyli \\(AC\\) jest **przekątną** kwadratu.\n\n**Krok 1: Długość przekątnej**\n\n\\[|AC| = \\sqrt{(-5-(-1))^2 + (5-3)^2} = \\sqrt{(-4)^2 + 2^2} = \\sqrt{16 + 4} = \\sqrt{20}\\]\n\n**Krok 2: Pole kwadratu przez przekątną**\n\nW kwadracie o boku \\(a\\) przekątna wynosi \\(d = a\\sqrt{2}\\), więc \\(a^2 = \\frac{d^2}{2}\\).\n\nPole kwadratu:\n\n\\[P = a^2 = \\frac{d^2}{2} = \\frac{|AC|^2}{2} = \\frac{20}{2} = \\mathbf{10}\\]\n\n## Sposób 2 - Wyznaczenie wierzchołków i boku kwadratu\n\n**Znajdziemy brakujące wierzchołki \\(B\\) i \\(D\\),** żeby potwierdzić wynik.\n\n**Krok 1: Środek przekątnej** (= środek kwadratu)\n\n\\[M = \\left(\\frac{-1+(-5)}{2},\\ \\frac{3+5}{2}\\right) = (-3,\\ 4)\\]\n\n**Krok 2: Wektor od środka do \\(A\\)**\n\n\\[\\vec{MA} = (-1-(-3),\\ 3-4) = (2,\\ -1)\\]\n\n**Krok 3:** Wierzchołki \\(B\\) i \\(D\\) leżą w odległości \\(|MA|\\) od \\(M\\), ale w kierunku **prostopadłym** do \\(\\vec{MA}\\). Obracamy wektor \\((2,-1)\\) o \\(90°\\):\n\n\\[\\vec{MB} = (1,\\ 2) \\quad \\Rightarrow \\quad B = (-3+1,\\ 4+2) = (-2,\\ 6)\\]\n\n**Krok 4: Długość boku \\(AB\\)**\n\n\\[|AB| = \\sqrt{(-2-(-1))^2 + (6-3)^2} = \\sqrt{1 + 9} = \\sqrt{10}\\]\n\n**Krok 5: Pole**\n\n\\[P = |AB|^2 = (\\sqrt{10})^2 = \\mathbf{10}\\]\n\nWynik zgodny z Metodą 1. ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-23)** - długość odcinka:\n\\[|AC| = \\sqrt{(x_C - x_A)^2 + (y_C - y_A)^2}\\]\nUżyliśmy tego do wyznaczenia długości przekątnej.\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 20-21)** - pole kwadratu przez przekątną \\(d\\):\n\\[P = \\frac{d^2}{2}\\]\nJest to szczególny przypadek wzoru na deltoid/romb - kwadrat ma dwie równe, prostopadłe przekątne.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| B | Policzono \\(|AC|\\) poprawnie (\\(\\sqrt{20}\\)), ale wzięto to jako **bok** - pole \\(= 20\\) zamiast \\(= 10\\) |\n| C | Policzono \\(|AC|^2 = 20\\), a następnie wzięto pole \\(= \\frac{20}{4} = 5\\) (pomylono wzór: \\(\\frac{d^2}{2}\\) zamiast \\(\\frac{d^2}{4}\\)) |\n| D | Obliczono \\(\\frac{1}{2} \\cdot |AC| \\cdot |AC| = \\frac{1}{2} \\cdot \\sqrt{20} \\cdot \\sqrt{20} = 10\\) - to akurat poprawne, ale niektóre błędne wersje pomijają dzielenie i podają \\(20\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\(A\\) i \\(C\\) to wierzchołki **przeciwległe** - to przekątna, NIE bok. Błąd: potraktowanie \\(|AC|\\) jako boku daje pole \\(= 20\\), dwa razy za dużo.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Pole kwadratu przez przekątną to \\(P = \\frac{d^2}{2}\\), nie \\(d^2\\) ani \\(\\frac{d^2}{4}\\). Warto zapamiętać jako skrót od wzoru na deltoid: \\(P = \\frac{1}{2}d_1 \\cdot d_2\\), gdzie \\(d_1 = d_2 = d\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy obliczaniu \\(|AC|\\) łatwo o błąd znaku: \\(-5 - (-1) = -4\\), nie \\(-6\\). Zawsze uważaj przy odejmowaniu liczb ujemnych.\n\n**Poprawna odpowiedź: A** - pole kwadratu \\(=10\\).\n\n### Sposób 1 - Przekątna i pole\nDługość przekątnej \\(|AC|\\):\n\\[|AC|=\\sqrt{(-5-(-1))^{2}+(5-3)^{2}}=\\sqrt{16+4}=\\sqrt{20}.\\]\nDla kwadratu o przekątnej \\(d\\): pole \\(=\\dfrac{d^{2}}{2}\\).\n\\[P=\\dfrac{(\\sqrt{20})^{2}}{2}=\\dfrac{20}{2}=10.\\]\n\n### Sposób 2 - Z boku kwadratu\n\\(d=a\\sqrt{2}\\implies a=\\dfrac{d}{\\sqrt{2}}=\\dfrac{\\sqrt{20}}{\\sqrt{2}}=\\sqrt{10}\\).\n\\(P=a^{2}=(\\sqrt{10})^{2}=10\\).\n\n### Weryfikacja\nBok \\(a=\\sqrt{10}\\approx 3{,}16\\); przekątna \\(a\\sqrt{2}\\approx 4{,}47=\\sqrt{20}\\) ✓.\n\n### Dlaczego pozostałe błędne\n- B \\(25\\): pole wyliczone z boku \\(a=5\\) - błąd (\\(a\\ne|AC|/2=\\sqrt{5}\\ne 5\\)).\n- C \\(50\\): \\(|AC|^{2}\\cdot\\tfrac{5}{2}\\) - błędny wzór; albo pomyłka \\(d^{2}\\cdot\\tfrac{1}{2}=50\\) przy \\(|AC|^{2}=100\\) (błąd rachunku).\n- D \\(100\\): wzięto \\(|AC|^{2}\\) jako pole i jeszcze podwojono - błąd.","image":"img/matematyka-2010-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-20.webp","solution_image":"img/matematyka-2010-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-20.svg","topics":"analityczna","page_from":8,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2010 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2010-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/21","paper_id":"matematyka-2010-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"21","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2010,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 21. (1 pkt)\nOkrąg o równaniu (\n)\n(\n)\n2\n2\n2\n1\n13\nx\ny\nma promień równy\nA.\n13\nB. 13\nC. 8\nD. 2 2\nZadanie 21. Matura poprawkowa z matematyki 2010. Okrąg o równaniu (x+2)^2+(y-1)^2=13 ma promień równy A. pierwiastek z 13 B. 13 C. 8 D. 2 pierwiastki z 2","answer":"A","answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: A - \\(\\sqrt{13}\\)\n\n## Sposób 1 - Odczyt z postaci kanonicznej\n\nRównanie okręgu jest podane w **postaci kanonicznej**:\n\\[(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2\\]\ngdzie \\((a, b)\\) to środek okręgu, a \\(r\\) to jego promień.\n\nNasze równanie:\n\\[(x + 2)^2 + (y - 1)^2 = 13\\]\n\nPrzepiszemy je tak, żeby pasowało do wzoru:\n\\[(x - (-2))^2 + (y - 1)^2 = 13\\]\n\nPorównujemy:\n- Środek: \\(S = (-2, 1)\\)\n- \\(r^2 = 13\\)\n\nStąd:\n\\[r = \\sqrt{13}\\]\n\n**Promień okręgu wynosi \\(\\sqrt{13}\\).**\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja przez podstawienie punktu\n\nSprawdzimy, czy punkt leżący na okręgu rzeczywiście jest w odległości \\(\\sqrt{13}\\) od środka \\(S = (-2, 1)\\).\n\nSzukamy przykładowego punktu na okręgu. Podstawiamy \\(x = 1\\):\n\\[(1+2)^2 + (y-1)^2 = 13\\]\n\\[9 + (y-1)^2 = 13\\]\n\\[(y-1)^2 = 4\\]\n\\[y = 3 \\quad \\text{lub} \\quad y = -1\\]\n\nWeźmy punkt \\(P = (1, 3)\\). Liczymy odległość od środka \\(S = (-2, 1)\\):\n\\[|SP| = \\sqrt{(1-(-2))^2 + (3-1)^2} = \\sqrt{3^2 + 2^2} = \\sqrt{9 + 4} = \\sqrt{13}\\]\n\n**Potwierdzone** - promień wynosi \\(\\sqrt{13}\\).\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25)** - równanie okręgu w postaci kanonicznej:\n\\[(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2\\]\ngdzie \\(S = (a, b)\\) - środek, \\(r\\) - promień.\n\nTo dokładnie wzór, który zastosowaliśmy w Sposobie 1 do odczytania promienia.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Prawdopodobna wartość | Błąd |\n| B | \\(13\\) | Wzięto \\(r^2 = 13\\) zamiast \\(r = \\sqrt{13}\\) - czyli wzięto **kwadrat** promienia zamiast samego promienia |\n| C | \\(\\sqrt{2}\\) lub \\(\\sqrt{3}\\) | Mylenie współczynników \\(-2\\) i \\(1\\) ze środka z promieniem |\n| D | \\(2\\) lub \\(1\\) | Wzięcie samych współrzędnych środka okręgu jako promienia |\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Najczęstszy błąd to wzięcie \\(r = 13\\) zamiast \\(r = \\sqrt{13}\\). Pamiętaj - po prawej stronie równania jest \\(r^2\\), nie \\(r\\)!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Znak przy środku jest odwrócony. W równaniu \\((x + 2)^2\\) środek ma \\(a = \\mathbf{-2}\\), bo wzór to \\((x - a)^2\\). Nie myl środka z promieniem!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\(\\sqrt{13}\\) nie upraszcza się dalej (13 jest liczbą pierwszą), więc odpowiedź zostawiamy jako \\(\\sqrt{13}\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: A** - \\(r=\\sqrt{13}\\).\n\n### Sposób 1 - Postać kanoniczna okręgu\nRównanie \\((x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}\\) opisuje okrąg o środku \\((a,b)\\) i promieniu \\(r\\).\nTutaj \\((x+2)^{2}+(y-1)^{2}=13\\), więc \\(r^{2}=13\\), stąd \\(r=\\sqrt{13}\\).\n\n### Uwaga dydaktyczna\nPrawa strona to \\(r^{2}\\), a nie \\(r\\). Aby uzyskać promień, trzeba wyciągnąć pierwiastek.\n\n### Dlaczego pozostałe błędne\n- B \\(13\\): pomyłka \\(r^{2}\\) z \\(r\\).\n- C \\(8\\): niepowiązana wartość.\n- D \\(2\\sqrt{2}\\): \\(2\\sqrt{2}=\\sqrt{8}\\ne\\sqrt{13}\\).","image":"img/matematyka-2010-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-21.webp","solution_image":"img/matematyka-2010-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-21.svg","topics":"analityczna","page_from":8,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2010 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2010-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/22","paper_id":"matematyka-2010-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"22","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2010,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 22. (1 pkt)\nProsta l ma równanie\n1\n7\n4\ny\nx\n. Wskaż równanie prostej prostopadłej do prostej l.\nA.\n1\n1\n4\ny\nx\nB.\n1\n7\n4\ny\nx\nC.\n4\n1\ny\nx\nD.\n4\n7\ny\nx\nZadanie 22. Matura poprawkowa z matematyki 2010. Prosta l ma równanie y=-{1/4}x+7. Wskaż równanie prostej prostopadłej do l. A. y={1/4}x+1 B. y=-{1/4}x-7 C. y=4x-1 D. y=-4x+7","answer":"C","answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: C\n\nProsta prostopadła do \\(l\\) ma współczynnik kierunkowy \\(a = 4\\), więc odpowiedź C to prosta postaci \\(y = 4x + b\\).\n\n## Sposób 1 - warunek prostopadłości (iloczyn współczynników = -1)\n\n**Odczytujemy współczynnik kierunkowy prostej \\(l\\):**\n\n\\[y = -\\frac{1}{4}x + 7 \\implies a_l = -\\frac{1}{4}\\]\n\n**Stosujemy warunek prostopadłości dwóch prostych:**\n\n\\[a_l \\cdot a_\\perp = -1\\]\n\n\\[-\\frac{1}{4} \\cdot a_\\perp = -1\\]\n\n\\[a_\\perp = -1 \\cdot \\left(-4\\right) = 4\\]\n\n**Zatem szukana prosta ma współczynnik kierunkowy \\(a_\\perp = 4\\)**, czyli jest postaci:\n\n\\[y = 4x + b\\]\n\nSpośród odpowiedzi szukamy tej, gdzie współczynnik przy \\(x\\) wynosi dokładnie \\(4\\) - to odpowiedź **C**.\n\n## Sposób 2 - weryfikacja przez iloczyn kierunków\n\nMając wynik \\(a_\\perp = 4\\), sprawdzamy warunek prostopadłości:\n\n\\[a_l \\cdot a_\\perp = \\left(-\\frac{1}{4}\\right) \\cdot 4 = -1 \\checkmark\\]\n\nIloczyn współczynników kierunkowych wynosi \\(-1\\), co **potwierdza prostopadłość**. Inne opcje (np. z \\(a = \\frac{1}{4}\\) lub \\(a = -4\\)) tego warunku nie spełniają.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25)** - warunek prostopadłości prostych:\n\n\\[a_1 \\cdot a_2 = -1\\]\n\nUżywamy go do wyznaczenia \\(a_\\perp\\) jako odwrotności ze zmienionym znakiem względem \\(a_l\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| A | Współczynnik \\(a = -\\frac{1}{4}\\) - to prosta **równoległa** do \\(l\\), nie prostopadła |\n| B | Współczynnik \\(a = \\frac{1}{4}\\) - wzięto odwrotność, ale **bez zmiany znaku** |\n| D | Współczynnik \\(a = -4\\) - zmieniono znak, ale **bez odwrócenia ułamka** |\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Prostopadłość to **odwrotność i zmiana znaku** jednocześnie. Z \\(-\\frac{1}{4}\\) robi się \\(+4\\), nie \\(+\\frac{1}{4}\\) i nie \\(-4\\). Pominięcie któregokolwiek z tych kroków daje błędną odpowiedź.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Prosta równoległa ma **taki sam** współczynnik kierunkowy (\\(-\\frac{1}{4}\\)), prostopadła - **ujemnie odwrotny** (\\(4\\)). Nie mylić tych dwóch pojęć!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wyraz wolny (\\(+7\\) lub cokolwiek innego) **nie ma znaczenia** przy określaniu prostopadłości - liczy się wyłącznie współczynnik kierunkowy przy \\(x\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: C** - \\(y=4x-1\\).\n\n### Sposób 1 - Warunek prostopadłości prostych\nProste \\(y=a_{1}x+b_{1}\\) i \\(y=a_{2}x+b_{2}\\) są prostopadłe \\(\\iff a_{1}\\cdot a_{2}=-1\\).\nDla \\(l\\): \\(a_{1}=-\\dfrac{1}{4}\\). Potrzebujemy \\(a_{2}\\) spełniającego \\(-\\dfrac{1}{4}\\cdot a_{2}=-1\\), czyli \\(a_{2}=4\\).\nJedyna odpowiedź z \\(a_{2}=4\\) to C.\n\n### Sposób 2 - Współczynnik odwrotny z przeciwnym znakiem\nProstopadła ma współczynnik kierunkowy \\(-\\dfrac{1}{a_{1}}=-\\dfrac{1}{-1/4}=4\\).\n\n### Weryfikacja\n\\(-\\dfrac{1}{4}\\cdot 4=-1\\) ✓.\n\n### Dlaczego pozostałe błędne\n- A: \\(a=\\dfrac{1}{4}\\); iloczyn \\(-\\dfrac{1}{4}\\cdot\\dfrac{1}{4}=-\\dfrac{1}{16}\\ne -1\\).\n- B: \\(a=-\\dfrac{1}{4}\\) - prosta równoległa (ten sam współczynnik).\n- D: \\(a=-4\\); iloczyn \\(-\\dfrac{1}{4}\\cdot(-4)=1\\ne -1\\).","image":"img/matematyka-2010-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-22.webp","solution_image":"img/matematyka-2010-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-22.svg","topics":"analityczna","page_from":8,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2010 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2010-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/23","paper_id":"matematyka-2010-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"23","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2010,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 23. (1 pkt)\nObjętość sześcianu jest równa 27 cm3. Jaka jest suma długości wszystkich krawędzi tego\nsześcianu?\nA. 18 cm\nB. 36 cm\nC. 24 cm\nD. 12 cm\nZadanie 23. Matura poprawkowa z matematyki 2010. Objętość sześcianu jest równa 27cm^3. Jaka jest suma długości wszystkich krawędzi tego sześcianu? A. 18 cm B. 36 cm C. 24 cm D. 12 cm","answer":"B","answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: B - **36 cm**\n\n## Sposób 1 - Z objętości do krawędzi\n\n**Krok 1: Wyznaczamy długość krawędzi sześcianu.**\n\nSześcian o krawędzi \\(a\\) ma objętość:\n\\[V = a^3\\]\n\nPodstawiamy \\(V = 27 \\text{ cm}^3\\):\n\\[a^3 = 27\\]\n\\[a = \\sqrt[3]{27} = 3 \\text{ cm}\\]\n\n**Krok 2: Liczymy sumę wszystkich krawędzi.**\n\nSześcian ma **12 krawędzi** (po 4 krawędzie na każdej z 3 grup równoległych).\n\n\\[S = 12 \\cdot a = 12 \\cdot 3 = \\mathbf{36 \\text{ cm}}\\]\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja przez proporcję\n\nSprawdzamy wynik odwrotnie: jeśli suma krawędzi wynosi 36 cm, to:\n\\[a = \\frac{36}{12} = 3 \\text{ cm}\\]\n\\[V = a^3 = 3^3 = 27 \\text{ cm}^3 \\checkmark\\]\n\nWynik się zgadza.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 12 (Stereometria, s. 26)** - objętość graniastosłupa prostego:\n\\[V = P_p \\cdot h\\]\n\nSześcian to graniastosłup prosty o kwadratowej podstawie \\(P_p = a^2\\) i wysokości \\(h = a\\), więc \\(V = a^3\\). Wzór ten bezpośrednio uzasadnia obliczenie w Sposobie 1.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| A | Policzono sumę krawędzi jako \\(6 \\cdot a = 6 \\cdot 3 = 18\\) - wzięto 6 zamiast 12 krawędzi (pomylono liczbę krawędzi z liczbą ścian) |\n| C | Wynik \\(a = 27\\) (nie wzięto pierwiastka sześciennego) → \\(12 \\cdot 27 = 324\\), lub inna nieprawidłowa operacja |\n| D | Policzono pole powierzchni całkowitej: \\(6a^2 = 6 \\cdot 9 = 54\\) zamiast sumy krawędzi |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Sześcian ma **12 krawędzi**, nie 6 ani 8 - łatwo pomylić z liczbą ścian (6) lub wierzchołków (8). Warto zapamiętać: 12 krawędzi = 3 grupy × 4 równoległe.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\(\\sqrt[3]{27} = 3\\), bo \\(3^3 = 27\\). Nie mylić z \\(\\sqrt{27}\\)! Tu szukamy pierwiastka **trzeciego stopnia**, bo objętość to \\(a^3\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Pytanie pyta o **sumę krawędzi**, nie o pole powierzchni ani obwód podstawy - przeczytaj uważnie, co jest wymagane.\n\n**Poprawna odpowiedź: B** - suma długości krawędzi równa \\(36\\) cm.\n\n### Sposób 1 - Krawędź z objętości\nObjętość sześcianu \\(V=a^{3}\\). Stąd \\(a=\\sqrt[3]{27}=3\\) cm.\nSześcian ma \\(12\\) krawędzi tej samej długości, zatem łączna długość:\n\\[L=12\\cdot 3=36 \\text{ cm}.\\]\n\n### Uwaga dydaktyczna\nKluczowy fakt: sześcian ma zawsze \\(12\\) krawędzi (4 u dołu, 4 u góry, 4 pionowe).\n\n### Weryfikacja\n\\(a=3\\); \\(V=27\\) ✓; \\(12a=36\\) ✓.\n\n### Dlaczego pozostałe błędne\n- A \\(18\\): to suma tylko \\(6\\) krawędzi - błędna liczba.\n- C \\(24\\): suma \\(8\\) krawędzi - błędna.\n- D \\(12\\): liczba krawędzi, nie długość łączna.","image":"img/matematyka-2010-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-23.webp","solution_image":"img/matematyka-2010-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-23.svg","topics":"stereometria","page_from":8,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2010 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2010-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/24","paper_id":"matematyka-2010-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"24","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2010,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 24. (1 pkt)\nGraniastosłup ma 15 krawędzi. Ile wierzchołków ma ten graniastosłup?\nA. 10\nB. 5\nC. 15\nD. 30\nZadanie 24. Matura poprawkowa z matematyki 2010. Graniastołup ma 15 krawędzi. Ile wierzchołków ma ten graniastosłup? A. 10 B. 5 C. 15 D. 30","answer":"A","answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: A (10 wierzchołków)\n\n## Sposób 1 - wzory Eulera i wzory na graniastosłup n-kątny\n\n**Kluczowy fakt:** Graniastosłup o podstawie będącej wielokątem \\(n\\)-kątnym ma:\n- **krawędzie:** \\(3n\\) (n dolnych + n górnych + n bocznych)\n- **wierzchołki:** \\(2n\\) (n dolnych + n górnych)\n- **ściany:** \\(n + 2\\) (n bocznych + 2 podstawy)\n\n**Krok 1 - wyznaczamy \\(n\\) z liczby krawędzi:**\n\nWiemy, że graniastosłup ma 15 krawędzi:\n\\[3n = 15\\]\n\\[n = 5\\]\n\nMamy więc **graniastosłup pięciokątny** (pentagonalny).\n\n**Krok 2 - obliczamy liczbę wierzchołków:**\n\\[2n = 2 \\cdot 5 = \\mathbf{10}\\]\n\n## Sposób 2 - wzór Eulera (weryfikacja)\n\nWzór Eulera dla wielościanów:\n\\[V - E + F = 2\\]\ngdzie \\(V\\) = wierzchołki, \\(E\\) = krawędzie, \\(F\\) = ściany.\n\nDla graniastosłupa pięciokątnego:\n- \\(E = 15\\) (dane)\n- \\(F = 5 + 2 = 7\\) (5 ścian bocznych + 2 podstawy)\n\nPodstawiamy do wzoru Eulera:\n\\[V - 15 + 7 = 2\\]\n\\[V = 2 + 15 - 7 = \\mathbf{10}\\]\n\nWynik zgodny - graniastosłup ma **10 wierzchołków**.\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy znajomość definicji graniastosłupa i podstawowe liczenie. Wzór Eulera \\(V - E + F = 2\\) to wzór z geometrii przestrzennej, który jest standardową wiedzą szkolną, ale nie pojawia się bezpośrednio w karcie wzorów.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| B | Uczeń liczy \\(n = 15 / 3 = 5\\), ale zamiast \\(2n\\) podaje samą liczbę boków podstawy - **5** |\n| C | Uczeń myli krawędzie z wierzchołkami i podaje **15** (tyle ile krawędzi) |\n| D | Uczeń oblicza liczbę ścian zamiast wierzchołków: \\(5 + 2 = 7\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Graniastosłup n-kątny ma **trzy razy więcej krawędzi niż wynosi n** - bo krawędzie są na górze, na dole i z boku. Łatwo pominąć jedną grupę.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie mylić wierzchołków z krawędziami - pytanie brzmi o **wierzchołki**, a dane są **krawędzie**. Uważaj, co obliczasz!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wzór Eulera \\(V - E + F = 2\\) to świetna metoda weryfikacji w zadaniach o wielościanach - warto go znać jako \"checksum\" poprawności odpowiedzi.\n\n**Poprawna odpowiedź: A** - \\(10\\) wierzchołków.\n\n### Sposób 1 - Zależność krawędzie \\(\\leftrightarrow\\) bok podstawy\nGraniastosłup o podstawie \\(n\\)-kątnej ma:\n- \\(2n\\) krawędzi w podstawach (góra + dół),\n- \\(n\\) krawędzi bocznych (pionowych).\nRazem: \\(3n\\) krawędzi.\n\\[3n=15 \\implies n=5.\\]\nPodstawa to pięciokąt. Wierzchołków jest \\(2n=10\\).\n\n### Sposób 2 - Wzór Eulera\nDla wielościanu wypukłego: \\(V-E+F=2\\). W graniastosłupie \\(n\\)-kątnym: \\(F=n+2\\), \\(E=3n\\). Stąd \\(V=2+E-F=2+3n-(n+2)=2n\\).\nDla \\(n=5\\): \\(V=10\\).\n\n### Weryfikacja (pięciokątny graniastosłup)\n\\(V=10\\), \\(E=15\\), \\(F=7\\); \\(10-15+7=2\\) ✓.\n\n### Dlaczego pozostałe błędne\n- B \\(5\\): tylko wierzchołki jednej podstawy.\n- C \\(15\\): pomyłka z liczbą krawędzi.\n- D \\(30\\): dwukrotna liczba krawędzi - niezgodna z żadną regułą.","image":"img/matematyka-2010-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-24.webp","solution_image":"img/matematyka-2010-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-24.svg","topics":"stereometria","page_from":8,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2010 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2010-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/25","paper_id":"matematyka-2010-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"25","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2010,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 25. (1 pkt)\nZe zbioru liczb {\n}\n1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,10,11 wybieramy losowo jedną liczbę. Niech p oznacza\nprawdopodobieństwo wybrania liczby będącej wielokrotnością liczby 3. Wówczas\nA.\n0,3\np <\nB.\n0,3\np =\nC.\n0,4\np =\nD.\n0,4\np >\n\nPoziom podstawowy\n9\nBRUDNOPIS\n\nPoziom podstawowy\n10\nZADANIA OTWARTE\nRozwiązania zadań o numerach od 26. do 34. należy zapisać w wyznaczonych miejscach\npod treścią zadania.\nZadanie 25. Matura poprawkowa z matematyki 2010. Ze zbioru liczb 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11 wybieramy losowo jedną liczbę. Niech p oznacza prawdopodobieństwo wybrania liczby będącej wielokrotnością liczby 3. Wówczas A. p<0,3 B. p=0,3 C. p=0,4 D. p>0,4","answer":"A","answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: A\n\nPrawdopodobieństwo wynosi \\(p = \\frac{3}{11}\\).\n\n## Sposób 1 - Klasyczna definicja prawdopodobieństwa\n\n**Krok 1: Wyznaczamy przestrzeń zdarzeń elementarnych.**\n\nZbiór \\(\\Omega = \\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11\\}\\), więc:\n\\[|\\Omega| = 11\\]\n\n**Krok 2: Wyznaczamy zdarzenie sprzyjające - wielokrotności liczby 3.**\n\nPytamy: które liczby ze zbioru są podzielne przez 3?\n\n\\[3 = 3 \\cdot 1 \\quad \\checkmark\\]\n\\[6 = 3 \\cdot 2 \\quad \\checkmark\\]\n\\[9 = 3 \\cdot 3 \\quad \\checkmark\\]\n\\[12 = 3 \\cdot 4 \\quad \\text{- ale } 12 \\notin \\Omega\\]\n\nZdarzenie sprzyjające: \\(A = \\{3, 6, 9\\}\\), więc \\(|A| = 3\\).\n\n**Krok 3: Stosujemy klasyczną definicję prawdopodobieństwa.**\n\n\\[p = P(A) = \\frac{|A|}{|\\Omega|} = \\frac{3}{11}\\]\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja przez zliczanie uzupełnienia\n\nSprawdzamy, czy wynik jest sensowny, licząc liczby **nie** będące wielokrotnościami 3:\n\n\\[\\{1, 2, 4, 5, 7, 8, 10, 11\\} \\quad \\Rightarrow \\quad 8 \\text{ liczb}\\]\n\nZatem:\n\\[P(A') = \\frac{8}{11}\\]\n\nSprawdzenie:\n\\[P(A) + P(A') = \\frac{3}{11} + \\frac{8}{11} = \\frac{11}{11} = 1 \\quad \\checkmark\\]\n\nWynik jest poprawny.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 14 (Rachunek prawdopodobieństwa, s. 29)** - prawdopodobieństwo klasyczne:\n\\[P(A) = \\frac{|A|}{|\\Omega|}\\]\nUżyliśmy tego wzoru bezpośrednio: \\(|A| = 3\\) (liczby sprzyjające), \\(|\\Omega| = 11\\) (wszystkie możliwe wyniki).\n\nPonadto, w Sposobie 2 korzystamy z własności:\n\\[P(A') = 1 - P(A)\\]\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| B | Wpisanie \\(\\frac{3}{10}\\) - uczeń liczy elementy \"poza jedynką\", bierze \\(|\\Omega| = 10\\) zamiast 11 |\n| C | Wpisanie \\(\\frac{4}{11}\\) - uczeń wlicza do wielokrotności 3 również liczbę \\(1\\) (myląc z dzielnikami) lub liczy wielokrotności 2 |\n| D | Wpisanie \\(\\frac{1}{3}\\) - uczeń zaokrągla \\(\\frac{3}{11} \\approx 0{,}27\\) i \"upraszcza\" do \\(\\frac{1}{3}\\), lub dzieli zbiór na trzy równe części |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wielokrotność liczby 3 to liczba **podzielna przez 3** (3, 6, 9 ), a nie np. **liczba 3 i jej potęgi**. Uczniowie mylą \"wielokrotność\" z \"potęgą\".\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Łatwo zapomnieć sprawdzić, czy dana wielokrotność należy do zbioru - liczba 12 jest wielokrotnością 3, ale **nie należy** do \\(\\{1, \\ldots, 11\\}\\), więc jej nie liczymy.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Zbiór ma **11 elementów**, nie 10 - łatwo pomylić się przy liczeniu, bo kończy się na 11, ale zaczyna od 1. Zawsze warto wypisać elementy lub skorzystać ze wzoru \\(n = \\text{ostatni} - \\text{pierwszy} + 1 = 11 - 1 + 1 = 11\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: A** - \\(p=\\dfrac{3}{11}<0{,}3\\).\n\n### Sposób 1 - Klasyczna definicja prawdopodobieństwa\n\\(|\\Omega|=11\\). Wielokrotności \\(3\\) w zbiorze: \\(3,6,9\\) - \\(|A|=3\\).\n\\[p=\\dfrac{|A|}{|\\Omega|}=\\dfrac{3}{11}.\\]\n\n### Porównanie z \\(0{,}3\\)\n\\(\\dfrac{3}{11}=\\dfrac{3}{11}\\); sprawdzamy, czy \\(\\dfrac{3}{11}<\\dfrac{3}{10}\\): bo \\(11>10\\), więc \\(\\dfrac{3}{11}<\\dfrac{3}{10}=0{,}3\\) ✓.\nNumerycznie: \\(\\dfrac{3}{11}\\approx 0{,}2727\\).\n\n### Weryfikacja\n\\(3\\cdot 11=33\\), \\(3\\cdot 10=30\\); skoro \\(0{,}3=\\tfrac{30}{100}=\\tfrac{33}{110}\\), a \\(\\tfrac{3}{11}=\\tfrac{30}{110}\\), to istotnie \\(\\tfrac{3}{11}<0{,}3\\) ✓.\n\n### Dlaczego pozostałe błędne\n- B \\(p=0{,}3\\): wymagałoby \\(\\tfrac{3{,}3}{11}\\) lub \\(\\tfrac{3}{10}\\) - nie pasuje.\n- C \\(p=0{,}4\\): \\(\\tfrac{3}{11}\\ne 0{,}4\\).\n- D \\(p>0{,}4\\): za duże.","image":"img/matematyka-2010-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-25.webp","solution_image":"img/matematyka-2010-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-25.svg","topics":"prawdopodobienstwo","page_from":8,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2010 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2010-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/26","paper_id":"matematyka-2010-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"26","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"inne","year":2010,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 26. (2 pkt)\nRozwiąż nierówność\n0\n24\n14\n2\n>\nx\nx\nOdpowiedź:\nZadanie 26. Matura poprawkowa z matematyki 2010. Rozwiąż nierówność x^2-14x+24>0.","answer":null,"answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: B\n\n\\[x \\in (-\\infty,\\ 2) \\cup (12,\\ +\\infty)\\]\n\n## Sposób 1 - Wyróżnik i analiza paraboli\n\n**Krok 1: Wyznaczamy miejsca zerowe trójmianu.**\n\nMamy \\(f(x) = x^2 - 14x + 24\\), czyli \\(a = 1,\\ b = -14,\\ c = 24\\).\n\nLiczymy wyróżnik:\n\\[\\Delta = b^2 - 4ac = (-14)^2 - 4 \\cdot 1 \\cdot 24 = 196 - 96 = 100\\]\n\nMiejsca zerowe:\n\\[x_1 = \\frac{-b - \\sqrt{\\Delta}}{2a} = \\frac{14 - 10}{2} = \\frac{4}{2} = 2\\]\n\\[x_2 = \\frac{-b + \\sqrt{\\Delta}}{2a} = \\frac{14 + 10}{2} = \\frac{24}{2} = 12\\]\n\n**Krok 2: Określamy kształt paraboli.**\n\nWspółczynnik \\(a = 1 > 0\\), więc **parabola jest skierowana ramionami w górę** (kształt ∪).\n\n**Krok 3: Odczytujemy rozwiązanie nierówności.**\n\nSzukamy, gdzie \\(f(x) > 0\\), czyli gdzie parabola jest **powyżej osi OX**.\n\nParabola ∪ jest powyżej osi OX **poza** przedziałem między pierwiastkami:\n\n\\[\\boxed{x \\in (-\\infty,\\ 2) \\cup (12,\\ +\\infty)}\\]\n\n## Sposób 2 - Rozkład na czynniki\n\n**Krok 1: Rozkładamy trójmian.**\n\nSzukamy liczb, których iloczyn = \\(24\\) i suma = \\(-14\\). To \\(-2\\) i \\(-12\\).\n\n\\[x^2 - 14x + 24 = (x - 2)(x - 12)\\]\n\n**Krok 2: Rozwiązujemy nierówność iloczynową.**\n\n\\[(x-2)(x-12) > 0\\]\n\nIloczyn jest dodatni, gdy **oba czynniki mają ten sam znak**:\n\n| Przedział | \\(x - 2\\) | \\(x - 12\\) | Iloczyn |\n| \\(x < 2\\) | \\(-\\) | \\(-\\) | \\(+\\) ✓ |\n| \\(2 < x < 12\\) | \\(+\\) | \\(-\\) | \\(-\\) ✗ |\n| \\(x > 12\\) | \\(+\\) | \\(+\\) | \\(+\\) ✓ |\n\n**Wynik:** \\(x \\in (-\\infty,\\ 2) \\cup (12,\\ +\\infty)\\) - identyczny jak w Sposobie 1. ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)** - wyróżnik i miejsca zerowe:\n\\[\\Delta = b^2 - 4ac, \\qquad x_{1,2} = \\frac{-b \\pm \\sqrt{\\Delta}}{2a}\\]\nUżyliśmy tych wzorów w Sposobie 1 do wyznaczenia pierwiastków \\(x_1 = 2\\), \\(x_2 = 12\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| A | Uczeń odczytuje, że parabola jest **powyżej** osi między pierwiastkami - tymczasem tam jest **poniżej** (nierówność \\(< 0\\), nie \\(> 0\\)). Mylenie kierunku nierówności z kształtem paraboli. |\n| C | Błędne obliczenie pierwiastków - np. pomylenie znaku \\(b\\): traktowanie \\(-14x\\) jako \\(+14x\\), co daje inne pierwiastki. |\n| D | Podanie \\(x \\in \\langle 2,\\ 12 \\rangle\\) z domkniętymi końcami - ignorowanie, że nierówność jest **ostra** (\\(> 0\\), nie \\(\\geq 0\\)), więc punkty \\(x = 2\\) i \\(x = 12\\) nie należą do rozwiązania. |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Najczęstszy błąd to **odwrócenie rozwiązania** - uczeń wie, że pierwiastki to 2 i 12, ale podaje przedział \\((2, 12)\\) zamiast jego dopełnienia. Zapamiętaj: **parabola ∪** jest nad osią OX **na zewnątrz** pierwiastków.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy nierówności **ostrej** (\\(> 0\\)) końce przedziału (tu: \\(x = 2\\) i \\(x = 12\\)) są **wykluczone** - używamy nawiasów okrągłych, nie ostrych \\(\\langle\\ \\rangle\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Sprawdź znak współczynnika \\(a\\) **przed** odczytaniem rozwiązania! Gdyby \\(a < 0\\) (parabola ∩), rozwiązanie nierówności \\(> 0\\) byłoby **między** pierwiastkami - odwrotnie niż tutaj.\n\n**Rozwiązanie:** \\(x\\in(-\\infty,2)\\cup(12,+\\infty)\\).\n\n### Sposób 1 - Pierwiastki trójmianu i wykres paraboli\nRozwiązujemy \\(x^{2}-14x+24=0\\):\n\\[\\Delta=(-14)^{2}-4\\cdot 1\\cdot 24=196-96=100, \\quad \\sqrt{\\Delta}=10.\\]\n\\[x_{1}=\\dfrac{14-10}{2}=2, \\qquad x_{2}=\\dfrac{14+10}{2}=12.\\]\nTrójmian \\(y=x^{2}-14x+24\\) ma ramiona skierowane ku górze (\\(a=1>0\\)), więc jest dodatni poza przedziałem między pierwiastkami:\n\\[x\\in(-\\infty,2)\\cup(12,+\\infty).\\]\n\n### Sposób 2 (CKE) - Postać kanoniczna i wartość bezwzględna\n\\[x^{2}-14x+24=(x-7)^{2}-49+24=(x-7)^{2}-25.\\]\nNierówność: \\((x-7)^{2}-25>0 \\iff (x-7)^{2}>25 \\iff |x-7|>5.\\]\nStąd \\(x-7>5\\) lub \\(x-7<-5\\), czyli \\(x>12\\) lub \\(x<2\\).\n\n### Sposób 3 - Wzory Viète'a\n\\(x_{1}+x_{2}=14\\) i \\(x_{1}\\cdot x_{2}=24\\). Liczby \\(2\\) i \\(12\\) spełniają oba warunki.\n\n### Ilustracja geometryczna\nOś liczbowa: dwa puste kółka w \\(2\\) i \\(12\\); zaznaczone półproste \\((-\\infty,2)\\) i \\((12,+\\infty)\\).\n\n### Weryfikacja\n\\(x=0\\): \\(0-0+24=24>0\\) ✓. \\(x=7\\): \\(49-98+24=-25<0\\) - nie należy ✓. \\(x=15\\): \\(225-210+24=39>0\\) ✓.\n\n### Schemat oceniania (CKE, max 2 pkt)\n- **1 pkt**: wyznaczenie pierwiastków \\(x_{1}=2\\), \\(x_{2}=12\\) lub rozkład \\((x-2)(x-12)>0\\) i przerwanie.\n- **2 pkt**: podanie zbioru rozwiązań \\(x\\in(-\\infty,2)\\cup(12,+\\infty)\\).","image":"img/matematyka-2010-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-26.webp","solution_image":"img/matematyka-2010-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-26.svg","topics":"rownania_i_nierownosci","page_from":10,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2010 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2010-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/27","paper_id":"matematyka-2010-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"27","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"inne","year":2010,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 27. (2 pkt)\nRozwiąż równanie\n3\n2\n3\n2\n6\n0\nx\nx\nx\nOdpowiedź:\n\nPoziom podstawowy\n11\nZadanie 27. Matura poprawkowa z matematyki 2010. Rozwiąż równanie x^3-3x^2+2x-6=0.","answer":null,"answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(x = 3\\)\n\n(Jedyne rozwiązanie rzeczywiste; pełny zapis: \\(x = 3\\) i brak innych rozwiązań rzeczywistych.)\n\n## Sposób 1 - Grupowanie wyrazów (faktoryzacja)\n\n**Kluczowa obserwacja:** Wielomian ma 4 wyrazy - sprawdzamy, czy można je pogrupować parami tak, by wyłączyć wspólny czynnik.\n\n\\[x^3 - 3x^2 + 2x - 6 = 0\\]\n\n**Krok 1.** Grupujemy: pierwsze dwa i ostatnie dwa wyrazy:\n\n\\[(x^3 - 3x^2) + (2x - 6) = 0\\]\n\n**Krok 2.** Z każdej grupy wyłączamy wspólny czynnik:\n\n\\[x^2(x - 3) + 2(x - 3) = 0\\]\n\n**Krok 3.** Teraz \\((x-3)\\) jest wspólnym czynnikiem obu składników - wyłączamy go:\n\n\\[(x - 3)(x^2 + 2) = 0\\]\n\n**Krok 4.** Iloczyn równa się zero, gdy przynajmniej jeden czynnik równa się zero:\n\n\\[x - 3 = 0 \\quad \\text{lub} \\quad x^2 + 2 = 0\\]\n\nPierwszy czynnik:\n\\[x = 3\\]\n\nDrugi czynnik:\n\\[x^2 = -2\\]\n\nAle \\(x^2 \\geq 0\\) dla każdego \\(x \\in \\mathbb{R}\\), więc \\(x^2 = -2\\) **nie ma rozwiązań rzeczywistych**.\n\n**Odpowiedź: \\(x = 3\\)**\n\n## Sposób 2 - Metoda pierwiastków wymiernych (twierdzenie o pierwiastkach wymiernych)\n\nJeśli wielomian \\(W(x) = x^3 - 3x^2 + 2x - 6\\) ma pierwiastek wymierny, to musi on być dzielnikiem wyrazu wolnego \\(-6\\) (przy współczynniku wiodącym \\(1\\)).\n\n**Krok 1.** Wypisujemy kandydatów: dzielniki liczby \\(6\\):\n\\[\\pm 1, \\quad \\pm 2, \\quad \\pm 3, \\quad \\pm 6\\]\n\n**Krok 2.** Sprawdzamy kolejno, podstawiając do \\(W(x)\\):\n\n\\[W(1) = 1 - 3 + 2 - 6 = -6 \\neq 0\\]\n\\[W(-1) = -1 - 3 - 2 - 6 = -12 \\neq 0\\]\n\\[W(2) = 8 - 12 + 4 - 6 = -6 \\neq 0\\]\n\\[W(3) = 27 - 27 + 6 - 6 = 0 \\checkmark\\]\n\n**Krok 3.** Skoro \\(W(3) = 0\\), to \\((x - 3)\\) jest czynnikiem. Dzielimy \\(W(x)\\) przez \\((x-3)\\) schematem Hornera:\n\n| | \\(1\\) | \\(-3\\) | \\(2\\) | \\(-6\\) |\n| \\(\\times 3\\) | \\(1\\) | \\(0\\) | \\(2\\) | \\(0\\) |\n\nObliczenia: \\(1 \\to 1\\cdot3 + (-3) = 0 \\to 0\\cdot3 + 2 = 2 \\to 2\\cdot3 + (-6) = 0\\)\n\nZatem:\n\\[W(x) = (x - 3)(x^2 + 0 \\cdot x + 2) = (x-3)(x^2 + 2)\\]\n\n**Krok 4.** Rozwiązujemy \\(x^2 + 2 = 0\\):\n\\[x^2 = -2 \\quad \\Rightarrow \\quad \\text{brak rozwiązań w } \\mathbb{R}\\]\n\n**Odpowiedź: \\(x = 3\\)** - potwierdza Sposób 1.\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczą:\n- **Dział 6 (Wzory skróconego mnożenia, s. 7)** - technika wyłączania przed nawias i rozkład na czynniki, która jest podstawą obu metod\n- Znajomość definicji: \\(x^2 \\geq 0\\) dla \\(x \\in \\mathbb{R}\\) (własność potęg, Dział 2, s. 4-5) - kluczowa do uzasadnienia, że \\(x^2 + 2 = 0\\) nie ma rozwiązań\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie wolno zapomnieć o zbadaniu czynnika \\(x^2 + 2 = 0\\)! Uczeń może zapisać \\((x-3)(x^2+2)=0\\) i podać odpowiedź bez sprawdzenia drugiego czynnika - to błąd formalny.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy metodzie Hornera łatwo o błąd rachunkowy - zawsze warto sprawdzić wynik przez podstawienie \\(x = 3\\) z powrotem do oryginalnego równania: \\(27 - 27 + 6 - 6 = 0\\) ✓\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Grupowanie (Sposób 1) działa tylko wtedy, gdy wyraz wspólny \\((x-3)\\) faktycznie się pojawia w obu grupach. Jeśli grupowanie nie wychodzi, trzeba szukać pierwiastka metodą z Dz. 2 i dopiero potem dzielić wielomian.\n\n**Rozwiązanie:** \\(x=3\\) (jedyny pierwiastek rzeczywisty).\n\n### Sposób 1 (CKE) - Grupowanie wyrazów\n\\[x^{3}-3x^{2}+2x-6=0\\]\n\\[x^{2}(x-3)+2(x-3)=0\\]\n\\[(x-3)(x^{2}+2)=0.\\]\nIloczyn równy zeru, gdy jeden z czynników jest zerem:\n- \\(x-3=0 \\implies x=3\\),\n- \\(x^{2}+2=0 \\implies x^{2}=-2\\) - brak rozwiązań rzeczywistych (\\(x^{2}\\ge 0>-2\\)).\n\nStąd jedyne rozwiązanie: \\(x=3\\).\n\n### Sposób 2 (CKE) - Dzielenie wielomianu\nSprawdzamy \\(W(3)=27-27+6-6=0\\) - więc \\((x-3)\\) jest dzielnikiem.\nDzielenie \\(x^{3}-3x^{2}+2x-6\\) przez \\((x-3)\\) (np. schemat Hornera lub dzielenie pisemne) daje iloraz \\(x^{2}+2\\).\nRówanie: \\((x-3)(x^{2}+2)=0\\), jak wyżej.\n\n### Weryfikacja\nDla \\(x=3\\): \\(27-27+6-6=0\\) ✓.\nDla \\(x=0\\): \\(-6\\ne 0\\) - nie pierwiastek.\n\n### Uwaga dydaktyczna\nWarto szukać pierwiastków wymiernych wśród dzielników wyrazu wolnego (\\(\\pm 1,\\pm 2,\\pm 3,\\pm 6\\)). \\(x=3\\) daje zero - to \"skrót\" do rozkładu na czynniki.\n\n### Schemat oceniania (CKE, max 2 pkt)\n- **1 pkt**: pogrupowanie wyrazów do postaci \\(x^{2}(x-3)+2(x-3)=0\\) albo dzielenie i uzyskanie \\((x-3)(x^{2}+2)=0\\).\n- **2 pkt**: podanie rozwiązania \\(x=3\\) (z uwagą: dodanie fałszywego drugiego rozwiązania → tylko \\(1\\) pkt).","image":"img/matematyka-2010-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-27.webp","solution_image":"img/matematyka-2010-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-27.svg","topics":"wielomiany","page_from":10,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2010 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2010-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/28","paper_id":"matematyka-2010-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"28","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"inne","year":2010,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 28. (2 pkt)\nPiąty wyraz ciągu arytmetycznego jest równy 26, a suma pięciu początkowych wyrazów tego\nciągu jest równa 70. Oblicz pierwszy wyraz tego ciągu.\nOdpowiedź:\nZadanie 28. Matura poprawkowa z matematyki 2010. Piąty wyraz ciągu arytmetycznego jest równy 26, a suma pięciu początkowych wyrazów tego ciągu jest równa 70. Oblicz pierwszy wyraz tego ciągu.","answer":null,"answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(a_1 = 2\\)\n\n## Sposób 1 - Układ równań (klasyczna metoda)\n\nMamy dwie informacje o ciągu arytmetycznym z pierwszym wyrazem \\(a_1\\) i różnicą \\(r\\).\n\n**Warunek 1** - piąty wyraz:\n\\[a_5 = a_1 + 4r = 26\\]\n\n**Warunek 2** - suma pięciu wyrazów:\n\\[S_5 = \\frac{2a_1 + 4r}{2} \\cdot 5 = 70\\]\n\nUpraszczamy warunek 2:\n\\[5 \\cdot (a_1 + 2r) = 70\\]\n\\[a_1 + 2r = 14\\]\n\nMamy układ równań:\n\\[\\begin{cases} a_1 + 4r = 26 \\\\ a_1 + 2r = 14 \\end{cases}\\]\n\nOdejmujemy równanie drugie od pierwszego:\n\\[2r = 12 \\implies r = 6\\]\n\nPodstawiamy do drugiego równania:\n\\[a_1 + 2 \\cdot 6 = 14 \\implies a_1 = 14 - 12 = 2\\]\n\n**Pierwszy wyraz ciągu: \\(a_1 = 2\\)**\n\n## Sposób 2 - Sprytny trick ze środkowym wyrazem\n\nDla ciągu arytmetycznego suma pięciu wyrazów spełnia:\n\\[S_5 = 5 \\cdot a_3\\]\nbo \\(a_3\\) jest środkowym (trzecim) wyrazem, a suma symetrycznych wyrazów jest stała:\n\\[a_1 + a_5 = a_2 + a_4 = 2a_3\\]\n\nZatem:\n\\[5 \\cdot a_3 = 70 \\implies a_3 = 14\\]\n\nTeraz korzystamy z tego, że \\(a_5 = a_3 + 2r\\):\n\\[26 = 14 + 2r \\implies r = 6\\]\n\nCofamy się do pierwszego wyrazu:\n\\[a_1 = a_3 - 2r = 14 - 12 = 2\\]\n\n**Weryfikacja:**\n\\[a_1 = 2,\\ a_2 = 8,\\ a_3 = 14,\\ a_4 = 20,\\ a_5 = 26\\]\n\\[S_5 = 2 + 8 + 14 + 20 + 26 = 70 \\checkmark\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 8 (Ciągi, s. 9-10)** - wzory dla ciągu arytmetycznego:\n\n\\[a_n = a_1 + (n-1)r\\]\nUżyliśmy dla \\(n = 5\\): \\(a_5 = a_1 + 4r = 26\\)\n\n\\[S_n = \\frac{2a_1 + (n-1)r}{2} \\cdot n\\]\nUżyliśmy dla \\(n = 5\\): \\(S_5 = 70\\)\n\nOraz własność (wynikająca z karty):\n\\[a_n = \\frac{a_{n-1} + a_{n+1}}{2}\\]\n- środkowy wyraz jest średnią arytmetyczną sąsiadów, co w Sposobie 2 pozwoliło nam skorzystać z \\(S_5 = 5 \\cdot a_3\\).\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** W wzorze \\(a_n = a_1 + (n-1)r\\) dla piątego wyrazu mnożnik przy \\(r\\) to **4**, nie 5. Błąd \\(a_5 = a_1 + 5r\\) to jedna z najczęstszych wpadek.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** W wzorze na sumę \\(S_n = \\frac{2a_1 + (n-1)r}{2} \\cdot n\\) łatwo zapomnieć o dzieleniu przez 2. Bezpieczniej korzystać z postaci \\(S_n = \\frac{a_1 + a_n}{2} \\cdot n\\), gdy znamy \\(a_n\\) - tu: \\(S_5 = \\frac{a_1 + 26}{2} \\cdot 5\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Sposób 2 działa tylko wtedy, gdy liczba wyrazów jest **nieparzysta** (wtedy istnieje środkowy wyraz). Dla parzystej liczby wyrazów korzystamy ze zwykłego układu równań.\n\n**Rozwiązanie:** \\(a_{1}=2\\).\n\n### Sposób 1 (CKE) - Układ równań\nWzór ogólny: \\(a_{n}=a_{1}+(n-1)r\\); wzór na sumę: \\(S_{n}=\\dfrac{2a_{1}+(n-1)r}{2}\\cdot n\\).\nDla \\(n=5\\):\n\\[\\begin{cases} a_{1}+4r=26 \\\\ \\dfrac{2a_{1}+4r}{2}\\cdot 5=70 \\end{cases}\\]\nUpraszczamy drugie: \\((2a_{1}+4r)\\cdot 5 = 140\\), czyli \\(2a_{1}+4r=28\\).\nUkład:\n\\[\\begin{cases} a_{1}+4r=26 \\\\ 2a_{1}+4r=28 \\end{cases}\\]\nOdejmujemy pierwsze od drugiego: \\(a_{1}=2\\).\nPodstawiając: \\(2+4r=26 \\implies r=6\\).\n\n### Sposób 2 (CKE) - Suma jako średnia skrajnych\nDla ciągu arytmetycznego: \\(S_{5}=\\dfrac{a_{1}+a_{5}}{2}\\cdot 5\\).\n\\[\\dfrac{a_{1}+26}{2}\\cdot 5=70 \\implies a_{1}+26=28 \\implies a_{1}=2.\\]\n\n### Sposób 3 (CKE) - Bezpośrednie wypisanie\nCiąg: \\(a_{1},a_{2},a_{3},a_{4},26\\). Dla ciągu arytmetycznego średnia arytmetyczna pięciu wyrazów równa się \\(a_{3}\\) (środkowy):\n\\(a_{3}=\\dfrac{70}{5}=14\\). Różnica: \\(r=\\dfrac{a_{5}-a_{3}}{2}=\\dfrac{26-14}{2}=6\\). Stąd \\(a_{1}=a_{3}-2r=14-12=2\\).\nCiąg: \\(2,8,14,20,26\\) - suma \\(2+8+14+20+26=70\\) ✓.\n\n### Weryfikacja\n\\(a_{1}=2\\), \\(r=6\\); \\(a_{5}=2+4\\cdot 6=26\\) ✓; \\(S_{5}=\\dfrac{2+26}{2}\\cdot 5=70\\) ✓.\n\n### Schemat oceniania (CKE, max 2 pkt)\n- **1 pkt**: zapisanie układu równań lub równania \\(\\dfrac{a_{1}+26}{2}\\cdot 5=70\\).\n- **2 pkt**: obliczenie \\(a_{1}=2\\) (albo wypisanie 5 wyrazów: \\(2,8,14,20,26\\)).","image":"img/matematyka-2010-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-28.webp","solution_image":"img/matematyka-2010-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-28.svg","topics":"ciagi","page_from":11,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2010 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2010-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/29","paper_id":"matematyka-2010-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"29","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"inne","year":2010,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 29. (2 pkt)\nWyznacz równanie okręgu o środku w punkcie\n(\n)\n2\n,4 -\nS\ni przechodzącego przez punkt\n(\n)\n0,0\nO =\nOdpowiedź:\n\nPoziom podstawowy\n12\nZadanie 29. Matura poprawkowa z matematyki 2010. Wyznacz równanie okręgu o środku w punkcie S=(4,-2) i przechodzącego przez punkt O=(0,0).","answer":null,"answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: C\n\nRównanie okręgu: \\((x-4)^2 + (y+2)^2 = 20\\)\n\n## Sposób 1 - Wzór na okrąg + odległość jako promień\n\n**Krok 1: Wyznaczamy promień.**\n\nPromień to odległość od środka \\(S=(4,-2)\\) do punktu \\(O=(0,0)\\):\n\n\\[r = |SO| = \\sqrt{(4-0)^2 + (-2-0)^2} = \\sqrt{16 + 4} = \\sqrt{20}\\]\n\n**Krok 2: Podstawiamy do wzoru na okrąg.**\n\nWzór kanoniczny okręgu o środku \\((a,b)\\) i promieniu \\(r\\):\n\\[(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2\\]\n\nMamy \\(a=4\\), \\(b=-2\\), \\(r^2 = 20\\):\n\n\\[\\boxed{(x-4)^2 + (y+2)^2 = 20}\\]\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja: sprawdzamy, czy \\(O=(0,0)\\) leży na okręgu\n\nPodstawiamy \\(x=0\\), \\(y=0\\) do uzyskanego równania:\n\n\\[(0-4)^2 + (0+2)^2 = 16 + 4 = 20 \\checkmark\\]\n\nRównanie jest spełnione - punkt \\(O\\) rzeczywiście leży na okręgu.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25)** - dwa wzory użyte łącznie:\n\n1. Długość odcinka (do obliczenia promienia):\n\\[|AB| = \\sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}\\]\n\n2. Równanie okręgu w postaci kanonicznej:\n\\[(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2\\]\n\nOba wzory znajdziesz na stronach 22-23 karty. To standardowe zadanie z geometrii analitycznej - wzory stosowane jeden po drugim.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| A | Wzięto \\(r = 20\\) zamiast \\(r^2 = 20\\), czyli \\((x-4)^2+(y+2)^2=\\sqrt{20}\\) |\n| B | Pomylono znaki przy środku: napisano \\((x+4)^2+(y-2)^2=20\\) (minus ze wzoru potraktowano odwrotnie) |\n| D | Obliczono \\(r = \\sqrt{20}\\) poprawnie, ale wstawiono \\(r\\) zamiast \\(r^2\\): \\((x-4)^2+(y+2)^2=\\sqrt{20}\\) |\n\nNajczęstszy błąd: po obliczeniu \\(r = \\sqrt{20}\\) uczeń wpisuje \\(r\\) zamiast \\(r^2 = 20\\) po prawej stronie równania!\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** We wzorze \\((x-a)^2+(y-b)^2=r^2\\) po prawej stronie stoi **\\(r^2\\)**, nie \\(r\\)! Skoro \\(r = \\sqrt{20}\\), to \\(r^2 = 20\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Środek \\(S=(4,-2)\\) daje \\((x-4)^2 + (y-(-2))^2\\), czyli \\((y+2)^2\\) - minus i minus daje plus. Nie pisz \\((y-2)^2\\)!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie upraszczaj \\(\\sqrt{20}\\) do \\(2\\sqrt{5}\\) przed podniesieniem do kwadratu - i tak wynik \\(r^2 = 20\\) jest prostszy.\n\n**Rozwiązanie:** \\((x-4)^{2}+(y+2)^{2}=20\\) (lub równoważnie \\(x^{2}+y^{2}-8x+4y=0\\)).\n\n### Sposób 1 (CKE) - Twierdzenie Pitagorasa w układzie\nOkrąg o środku \\(S=(4,-2)\\) ma równanie \\((x-4)^{2}+(y+2)^{2}=r^{2}\\).\nPromień to odległość środka od punktu należącego do okręgu \\(O=(0,0)\\):\n\\[r=|SO|=\\sqrt{(4-0)^{2}+(-2-0)^{2}}=\\sqrt{16+4}=\\sqrt{20}.\\]\nStąd \\(r^{2}=20\\). Równanie okręgu:\n\\[(x-4)^{2}+(y+2)^{2}=20.\\]\n\n### Sposób 2 (CKE) - Podstawienie punktu do wzoru\nZapisujemy ogólną postać z \\(r^{2}\\) jako niewiadomą i podstawiamy współrzędne \\(O\\):\n\\[(0-4)^{2}+(0+2)^{2}=r^{2} \\implies 16+4=r^{2} \\implies r^{2}=20.\\]\n\n### Postać ogólna\nRozwijając: \\(x^{2}-8x+16+y^{2}+4y+4=20\\), czyli \\(x^{2}+y^{2}-8x+4y=0\\).\n\n### Weryfikacja\nPunkt \\(O=(0,0)\\): \\((0-4)^{2}+(0+2)^{2}=16+4=20\\) ✓.\nŚrodek: \\(S=(4,-2)\\) - zgodne z postacią \\((x-4)^{2}+(y-(-2))^{2}\\).\n\n### Schemat oceniania (CKE, max 2 pkt)\n- **1 pkt**: zapisanie \\((x-4)^{2}+(y+2)^{2}=r^{2}\\) lub postaci ogólnej z niewiadomą \\(C\\) i utknięcie.\n- **2 pkt**: podanie poprawnego równania okręgu \\((x-4)^{2}+(y+2)^{2}=20\\) lub \\(x^{2}+y^{2}-8x+4y=0\\).","image":"img/matematyka-2010-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-29.webp","solution_image":"img/matematyka-2010-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-29.svg","topics":"analityczna","page_from":11,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2010 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2010-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/30","paper_id":"matematyka-2010-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"30","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"inne","year":2010,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 30. (2 pkt)\nWykaż, że trójkąt o wierzchołkach\n(\n)\n3,8\nA =\n,\n(\n)\n1,2\nB =\n,\n(\n)\n6,7\nC =\njest prostokątny.\nZadanie 30. Matura poprawkowa z matematyki 2010. Wykaż, że trójkąt o wierzchołkach A=(3,8), B=(1,2), C=(6,7) jest prostokątny.","answer":null,"answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: Trójkąt jest prostokątny - kąt prosty przy wierzchołku \\(A\\)\n\n## Sposób 1 - Iloczyn skalarny wektorów\n\n**Wyznaczamy wektory boków wychodzących z wierzchołka \\(A\\):**\n\n\\[\\vec{AB} = B - A = (1-3,\\ 2-8) = (-2,\\ -6)\\]\n\\[\\vec{AC} = C - A = (6-3,\\ 7-8) = (3,\\ -1)\\]\n\n**Sprawdzamy prostopadłość za pomocą iloczynu skalarnego:**\n\nDwa wektory są prostopadłe \\(\\iff\\) ich iloczyn skalarny równa się zero.\n\n\\[\\vec{AB} \\cdot \\vec{AC} = (-2) \\cdot 3 + (-6) \\cdot (-1) = -6 + 6 = 0\\]\n\n**Iloczyn skalarny wynosi \\(0\\)**, zatem \\(\\vec{AB} \\perp \\vec{AC}\\), czyli \\(AB \\perp AC\\).\n\n> **Wniosek:** Kąt przy wierzchołku \\(A\\) jest kątem prostym, więc trójkąt \\(ABC\\) jest prostokątny. \\(\\blacksquare\\)\n\n## Sposób 2 - Twierdzenie Pitagorasa (weryfikacja długościami boków)\n\n**Obliczamy kwadraty długości wszystkich boków:**\n\n\\[|AB|^2 = (1-3)^2 + (2-8)^2 = (-2)^2 + (-6)^2 = 4 + 36 = 40\\]\n\n\\[|AC|^2 = (6-3)^2 + (7-8)^2 = 3^2 + (-1)^2 = 9 + 1 = 10\\]\n\n\\[|BC|^2 = (6-1)^2 + (7-2)^2 = 5^2 + 5^2 = 25 + 25 = 50\\]\n\n**Sprawdzamy warunek Pitagorasa** - czy suma kwadratów dwóch boków równa się kwadratowi najdłuższego boku:\n\n\\[|AB|^2 + |AC|^2 = 40 + 10 = 50 = |BC|^2 \\quad \\checkmark\\]\n\nWarunek twierdzenia Pitagorasa jest spełniony (odwrotnego!), zatem trójkąt jest prostokątny, a \\(BC\\) jest jego przeciwprostokątną. \\(\\blacksquare\\)\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25)** - długość odcinka:\n\\[|AB| = \\sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}\\]\nUżyliśmy w Sposobie 2 do wyznaczenia kwadratów długości boków.\n\n**Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25)** - wektor:\n\\[\\vec{AB} = [x_B - x_A,\\ y_B - y_A]\\]\nUżyliśmy w Sposobie 1. Iloczyn skalarny \\(\\vec{u} \\cdot \\vec{v} = u_1 v_1 + u_2 v_2\\) - choć nie jest na karcie wprost, wynika bezpośrednio z warunku prostopadłości prostych \\(a_1 \\cdot a_2 = -1\\):\n\n\\[\\text{Sposób 1.5: współczynnik kierunkowy } AB = \\frac{2-8}{1-3} = \\frac{-6}{-2} = 3\\]\n\\[\\text{współczynnik kierunkowy } AC = \\frac{7-8}{6-3} = \\frac{-1}{3}\\]\n\\[3 \\cdot \\left(-\\frac{1}{3}\\right) = -1 \\quad \\checkmark\\]\n\nWarunek prostopadłości z karty (dział 11, s. 22): **proste prostopadłe** \\(\\iff a_1 \\cdot a_2 = -1\\).\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 15)** - twierdzenie Pitagorasa:\n\\[a^2 + b^2 = c^2\\]\nUżyliśmy w Sposobie 2 (w wersji odwrotnej: jeśli \\(a^2 + b^2 = c^2\\), to trójkąt jest prostokątny).\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Sprawdź **wszystkie trzy pary boków** zanim uznasz, że żaden kąt nie jest prosty - kąt prosty może być przy dowolnym wierzchołku, nie zawsze przy \"oczywistym\". Tu jest przy \\(A\\), nie przy \\(B\\) ani \\(C\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** W Sposobie 2 musisz znaleźć **największy** bok i sprawdzić, czy pozostałe dwa dają sumę kwadratów równą jego kwadratowi. Sprawdzanie złej pary (np. \\(|AB|^2 + |BC|^2\\)) da wynik nieprawdziwy i błędny wniosek.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Samo napisanie \"obliczam długości i sprawdzam Pitagorasa\" bez pokazania, że \\(|AB|^2 + |AC|^2 = |BC|^2\\) **nie jest dowodem** - musisz jawnie zweryfikować równość i powołać się na twierdzenie odwrotne do Pitagorasa.\n\n**Teza:** Trójkąt \\(ABC\\) jest prostokątny - kąt prosty przy wierzchołku \\(A\\).\n\n### Sposób 1 (CKE) - Twierdzenie odwrotne do Pitagorasa\nObliczamy kwadraty długości boków:\n\\[|AB|^{2}=(1-3)^{2}+(2-8)^{2}=4+36=40,\\]\n\\[|AC|^{2}=(6-3)^{2}+(7-8)^{2}=9+1=10,\\]\n\\[|BC|^{2}=(6-1)^{2}+(7-2)^{2}=25+25=50.\\]\nSprawdzamy: \\(|AB|^{2}+|AC|^{2}=40+10=50=|BC|^{2}\\).\nZ twierdzenia odwrotnego do Pitagorasa trójkąt jest prostokątny, a kąt prosty znajduje się naprzeciw boku \\(BC\\) - czyli przy wierzchołku \\(A\\). \\(\\blacksquare\\)\n\n### Sposób 2 (CKE) - Współczynniki kierunkowe\nWspółczynniki kierunkowe prostych:\n\\[a_{AB}=\\dfrac{2-8}{1-3}=\\dfrac{-6}{-2}=3, \\quad a_{AC}=\\dfrac{7-8}{6-3}=\\dfrac{-1}{3}=-\\dfrac{1}{3}.\\]\nIloczyn: \\(3\\cdot\\left(-\\dfrac{1}{3}\\right)=-1\\), więc \\(AB\\perp AC\\). Trójkąt jest prostokątny przy \\(A\\). \\(\\blacksquare\\)\n\n### Sposób 3 (CKE) - Iloczyn skalarny wektorów\n\\(\\overrightarrow{AB}=[1-3,2-8]=[-2,-6]\\), \\(\\overrightarrow{AC}=[6-3,7-8]=[3,-1]\\).\n\\[\\overrightarrow{AB}\\cdot\\overrightarrow{AC}=(-2)\\cdot 3+(-6)\\cdot(-1)=-6+6=0.\\]\nIloczyn skalarny zerowy oznacza prostopadłość wektorów, więc kąt \\(\\sphericalangle BAC=90^{\\circ}\\). \\(\\blacksquare\\)\n\n### Weryfikacja numeryczna\n\\(|AB|=\\sqrt{40}=2\\sqrt{10}\\approx 6{,}32\\); \\(|AC|=\\sqrt{10}\\approx 3{,}16\\); \\(|BC|=\\sqrt{50}=5\\sqrt{2}\\approx 7{,}07\\).\n\\(40+10=50\\) ✓.\n\n### Schemat oceniania (CKE, max 2 pkt)\n- **1 pkt**: obliczenie długości boków lub współczynników kierunkowych / iloczynu skalarnego.\n- **2 pkt**: przeprowadzenie pełnego rozumowania zakończonego wnioskiem o prostokątności (np. z tw. odwrotnego do Pitagorasa).","image":"img/matematyka-2010-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-30.webp","solution_image":"img/matematyka-2010-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-30.svg","topics":"analityczna","page_from":12,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2010 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2010-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/31","paper_id":"matematyka-2010-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"31","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"inne","year":2010,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 31. (2 pkt)\nWykaż, że jeżeli\n0\na >\ni\n0\nb >\noraz\n2\n2\na\nb\na\nb\n, to a\nb\nlub\n1\na\nb\n\nPoziom podstawowy\n13\nZadanie 31. Matura poprawkowa z matematyki 2010. Wykaż, że jeżeli a>0 i b>0 oraz pierwiastek z a^2+b = pierwiastek z a+b^2, to a=b lub a+b=1.","answer":null,"answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: dowód, że $a = b$ lub $a + b = 1$\n\nTo zadanie otwarte - należy przeprowadzić pełny dowód algebraiczny.\n\n## Sposób 1 - Kwadratowanie i faktoryzacja\n\n**Punkt wyjścia:** skoro obie strony są pierwiastkami liczb nieujemnych (a więc same są nieujemne), możemy podnieść równanie do kwadratu - równoważnie.\n\n\\[\\sqrt{a^2 + b} = \\sqrt{a + b^2}\\]\n\nPodnosimy obie strony do kwadratu (obie strony są $\\geq 0$, więc operacja jest równoważna):\n\n\\[a^2 + b = a + b^2\\]\n\nPrzenosimy wszystko na jedną stronę:\n\n\\[a^2 - b^2 - a + b = 0\\]\n\nGrupujemy wyraz różnicy kwadratów i resztę:\n\n\\[(a^2 - b^2) - (a - b) = 0\\]\n\nKorzystamy ze wzoru skróconego mnożenia $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:\n\n\\[(a - b)(a + b) - (a - b) = 0\\]\n\nWyciągamy $(a - b)$ przed nawias:\n\n\\[(a - b)(a + b - 1) = 0\\]\n\nIloczyn jest zerem wtedy i tylko wtedy, gdy przynajmniej jeden czynnik jest zerem:\n\n\\[a - b = 0 \\quad \\text{lub} \\quad a + b - 1 = 0\\]\n\n\\[\\boxed{a = b \\quad \\text{lub} \\quad a + b = 1}\\]\n\n**Co ważne:** nie musimy sprawdzać, czy $a + b = 1$ jest osiągalne przy $a > 0$, $b > 0$ - pytanie tylko o to, że *jeśli* warunek zachodzi, *to* wynika jedna z dwóch alternatyw. Obie są możliwe (np. $a = b = 0{,}5$ spełnia oba jednocześnie; $a = 0{,}3,\\ b = 0{,}7$ spełnia tylko $a+b=1$; $a = b = 2$ spełnia tylko $a=b$). $\\square$\n\n## Sposób 2 - Analiza funkcji $f(t) = t^2 - t$\n\n**Pomysł:** przepiszemy równanie jako równość wartości pewnej funkcji, a potem opiszemy, kiedy ta funkcja przyjmuje równe wartości.\n\nZ kroku pośredniego (po podniesieniu do kwadratu):\n\n\\[a^2 + b = a + b^2\\]\n\nPrzestawiamy:\n\n\\[a^2 - a = b^2 - b\\]\n\nWprowadzamy funkcję \\(f(t) = t^2 - t\\). Warunek mówi, że:\n\n\\[f(a) = f(b)\\]\n\nKiedy funkcja kwadratowa $f(t) = t^2 - t$ przyjmuje tę samą wartość w dwóch punktach?\n\nWierzchołek paraboli jest w $t = \\frac{1}{2}$, więc parabola jest symetryczna względem prostej $t = \\frac{1}{2}$.\n\nDwa argumenty dają tę samą wartość wtedy i tylko wtedy, gdy są symetryczne względem wierzchołka:\n\n\\[a = b \\quad \\text{lub} \\quad a + b = 2 \\cdot \\frac{1}{2} = 1\\]\n\nCzyli:\n\n\\[\\boxed{a = b \\quad \\text{lub} \\quad a + b = 1} \\quad \\square\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 6 (Wzory skróconego mnożenia, s. 7)**:\n\\[a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)\\]\nUżyliśmy tego w Sposobie 1 do rozłożenia wyrażenia $a^2 - b^2$ na czynniki, co umożliwiło wyciągnięcie wspólnego czynnika $(a - b)$ i rozstrzygnięcie, kiedy iloczyn jest zerem.\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)**:\n\\[p = -\\frac{b}{2a}\\]\nUżyliśmy tego w Sposobie 2 - oś symetrii paraboli $f(t) = t^2 - t$ to $t = \\frac{1}{2}$, co pozwoliło opisać wszystkie pary $(a, b)$ dające $f(a) = f(b)$.\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wielu uczniów podnosi do kwadratu bez uzasadnienia. Tutaj jest to bezpieczne, bo obie strony są pierwiastkami, więc są nieujemne - podniesienie do kwadratu jest operacją równoważną. Zawsze warto to zaznaczyć w dowodzie!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Po otrzymaniu $a^2 - b^2 - a + b = 0$ łatwo pogubić się w grupowaniu. Kluczowe jest dostrzeżenie, że $-a + b = -(a - b)$, co pozwala wyciągnąć wspólny czynnik $(a-b)$.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Zadanie wymaga dowodu w obie strony implikacji? **Nie!** Treść brzmi „wykaż, że *jeżeli* *to*\" - wystarczy pokazać, że z założenia wynika konkluzja. Nie trzeba sprawdzać, kiedy oba warunki są spełnione jednocześnie.\n\n**Teza:** przy \\(a>0,\\ b>0\\), z równości \\(\\sqrt{a^{2}+b}=\\sqrt{a+b^{2}}\\) wynika, że \\(a=b\\) lub \\(a+b=1\\).\n\n### Dowód (CKE)\nZ założenia \\(a,b>0\\) wyrażenia pod pierwiastkami są dodatnie i pierwiastki są liczbami nieujemnymi, więc możemy podnieść obustronnie do kwadratu:\n\\[\\sqrt{a^{2}+b}=\\sqrt{a+b^{2}} \\quad \\Big\\vert\\ (\\cdot)^{2}\\]\n\\[a^{2}+b=a+b^{2}.\\]\nPrzenosimy wszystko na jedną stronę:\n\\[a^{2}-b^{2}+b-a=0.\\]\nStosujemy wzór na różnicę kwadratów \\(a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b)\\) oraz zauważamy \\(b-a=-(a-b)\\):\n\\[(a-b)(a+b)-(a-b)=0.\\]\nWyłączamy \\((a-b)\\) przed nawias:\n\\[(a-b)\\bigl[(a+b)-1\\bigr]=0.\\]\nIloczyn równy zeru - co najmniej jeden czynnik jest zerem:\n- \\(a-b=0 \\iff a=b\\),\n- \\((a+b)-1=0 \\iff a+b=1\\).\n\nZatem \\(a=b\\) lub \\(a+b=1\\), co należało udowodnić. \\(\\blacksquare\\)\n\n### Weryfikacja (dwa przykłady)\n- \\(a=b=2\\): \\(\\sqrt{4+2}=\\sqrt{2+4}=\\sqrt{6}\\) ✓.\n- \\(a+b=1\\), np. \\(a=0{,}3,\\ b=0{,}7\\): \\(\\sqrt{0{,}09+0{,}7}=\\sqrt{0{,}79}\\), \\(\\sqrt{0{,}3+0{,}49}=\\sqrt{0{,}79}\\) ✓.\n\n### Uwaga dydaktyczna\nKluczowy krok: zgrupowanie \\(a^{2}-b^{2}\\) i \\(b-a\\), a następnie wyciągnięcie wspólnego czynnika \\((a-b)\\). Znak minus przy \\(a-b\\) (bo \\(b-a=-(a-b)\\)) bywa źródłem błędów.\n\n### Schemat oceniania (CKE, max 2 pkt)\n- **1 pkt**: poprawne podniesienie równości do kwadratu i zastosowanie wzoru na różnicę kwadratów: \\((a-b)(a+b)-(a-b)=0\\).\n- **2 pkt**: pełne rozumowanie zakończone wnioskiem \\(a=b\\) lub \\(a+b=1\\).\n\n**Uwaga:** podstawienie konkretnych wartości \\(a,b\\) - 0 pkt (nie dowód).","image":"img/matematyka-2010-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-31.webp","solution_image":"img/matematyka-2010-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-31.svg","topics":"algebra","page_from":12,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2010 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2010-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/32","paper_id":"matematyka-2010-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"32","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"inne","year":2010,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 32. (4 pkt)\nRzucamy dwukrotnie sześcienną kostką do gry. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia\npolegającego na tym, że suma liczb oczek otrzymanych na obu kostkach jest większa od 6\ni iloczyn tych liczb jest nieparzysty.\nOdpowiedź:\n\nPoziom podstawowy\n14\nZadanie 32. Matura poprawkowa z matematyki 2010. Rzucamy dwukrotnie sześcienną kostką do gry. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że suma liczb oczek otrzymanych na obu kostkach jest większa od 6 i iloczyn tych liczb jest nieparzysty.","answer":null,"answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(\\frac{1}{12}\\)\n\n## Sposób 1 - Bezpośrednie wyliczenie sprzyjających wyników\n\n**Przestrzeń zdarzeń elementarnych:**\n\nRzucamy dwiema kostkami, więc wszystkich możliwych wyników jest:\n\\[|\\Omega| = 6 \\cdot 6 = 36\\]\n\n**Analizujemy oba warunki jednocześnie.**\n\n**Warunek 1: iloczyn jest nieparzysty**\n\nIloczyn dwóch liczb jest nieparzysty **wtedy i tylko wtedy, gdy obie liczby są nieparzyste**.\n\nLiczby nieparzyste na kostce: \\(1, 3, 5\\) - jest ich \\(3\\).\n\nPary, gdzie **obie** kostki pokazują liczbę nieparzystą:\n\n| Kostka 1 | Kostka 2 | Suma | Iloczyn | Suma \\(> 6\\)? |\n| 1 | 1 | 2 | 1 | ❌ |\n| 1 | 3 | 4 | 3 | ❌ |\n| 1 | 5 | 6 | 5 | ❌ (równo 6, nie więcej) |\n| 3 | 1 | 4 | 3 | ❌ |\n| 3 | 3 | 6 | 9 | ❌ |\n| **3** | **5** | **8** | **15** | **✓** |\n| 5 | 1 | 6 | 5 | ❌ |\n| **5** | **3** | **8** | **15** | **✓** |\n| **5** | **5** | **10** | **25** | **✓** |\n\nSprzyjające zdarzenie - spełnione OBA warunki jednocześnie - to trzy wyniki: \\((3,5),\\ (5,3),\\ (5,5)\\).\n\n**Prawdopodobieństwo:**\n\\[P = \\frac{3}{36} = \\boxed{\\frac{1}{12}}\\]\n\n## Sposób 2 - Przez prawdopodobieństwo zdarzenia złożonego (analiza zbiorów)\n\nZdefiniujmy zdarzenia:\n- \\(A\\) = „iloczyn jest nieparzysty\" - wymaga, by **obie** kostki były nieparzyste\n- \\(B\\) = „suma jest większa od 6\"\n\nSzukamy \\(P(A \\cap B)\\).\n\n**Zdarzenie \\(A\\):** obie kostki z \\(\\{1,3,5\\}\\), więc:\n\\[P(A) = \\frac{3}{6} \\cdot \\frac{3}{6} = \\frac{9}{36} = \\frac{1}{4}\\]\n\n**Zdarzenie \\(A \\cap B\\)** - szukamy par nieparzystych \\((a,b)\\), takich że \\(a+b > 6\\).\n\nDla par z \\(\\{1,3,5\\}^2\\) sumy to: \\(2, 4, 6, 4, 6, 8, 6, 8, 10\\).\n\nSumy **większe** od \\(6\\) (czyli \\(\\geq 7\\)): \\(8, 8, 10\\) - dokładnie **3 pary**.\n\n\\[P(A \\cap B) = \\frac{3}{36} = \\frac{1}{12}\\]\n\nWynik zgodny ze Sposobem 1. ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 14 (Rachunek prawdopodobieństwa, s. 29-30)** - prawdopodobieństwo klasyczne:\n\\[P(A) = \\frac{|A|}{|\\Omega|}\\]\ngdzie \\(|A|\\) to liczba wyników sprzyjających, \\(|\\Omega|\\) - liczba wszystkich wyników.\n\nUżyliśmy tego wzoru jako podstawy: \\(|\\Omega| = 36\\), \\(|A \\cap B| = 3\\), stąd \\(P = \\frac{3}{36}\\).\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** „Większy od 6\" to znaczy \\(> 6\\), czyli **co najmniej 7**. Suma równa \\(6\\) **nie spełnia** warunku! Pary \\((1,5),\\ (5,1),\\ (3,3)\\) mają sumę dokładnie \\(6\\) - wielu uczniów błędnie je wlicza.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Iloczyn jest nieparzysty **tylko gdy OBA** czynniki są nieparzyste. Jeśli choć jedna kostka pokaże liczbę parzystą, iloczyn od razu staje się parzysty. To częsty błąd polegający na sprawdzaniu tylko jednej kostki.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Zdarzenia „suma \\(> 6\\)\" i „iloczyn nieparzysty\" są **zależne** - nie można mnożyć ich prawdopodobieństw jak dla zdarzeń niezależnych. Jedyna bezpieczna metoda to wypisanie wspólnych przypadków.\n\n**Rozwiązanie:** \\(P(A)=\\dfrac{1}{12}\\).\n\n### Sposób 1 (CKE) - Klasyczna definicja prawdopodobieństwa\nZdarzenia elementarne: pary \\((x,y)\\), gdzie \\(x,y\\in\\{1,2,3,4,5,6\\}\\). Są równoprawdopodobne, więc mamy model klasyczny i \\(|\\Omega|=6\\cdot 6=36\\).\n\nNiech \\(A\\) - suma \\(>6\\) oraz iloczyn nieparzysty.\n\n**Warunek iloczynu nieparzystego:** iloczyn \\(x\\cdot y\\) jest nieparzysty \\(\\iff\\) oba czynniki są nieparzyste. Stąd \\(x,y\\in\\{1,3,5\\}\\).\n\n**Wypisujemy wszystkie pary z \\(\\{1,3,5\\}^{2}\\) i sprawdzamy, które dają sumę \\(>6\\):**\n- \\((1,1)\\): suma \\(2\\) - nie.\n- \\((1,3)\\): \\(4\\) - nie. \\((3,1)\\): \\(4\\) - nie.\n- \\((1,5)\\): \\(6\\) - nie (\\(>6\\) ścisłe). \\((5,1)\\): \\(6\\) - nie.\n- \\((3,3)\\): \\(6\\) - nie.\n- \\((3,5)\\): \\(8\\) - **tak** ✓. \\((5,3)\\): \\(8\\) - **tak** ✓.\n- \\((5,5)\\): \\(10\\) - **tak** ✓.\n\nZatem \\(A=\\{(3,5),(5,3),(5,5)\\}\\), \\(|A|=3\\).\n\n\\[P(A)=\\dfrac{|A|}{|\\Omega|}=\\dfrac{3}{36}=\\dfrac{1}{12}.\\]\n\n### Sposób 2 (CKE) - Metoda drzewa\nKażdy rzut niezależny; \\(P(\\text{konkretna para})=\\dfrac{1}{6}\\cdot\\dfrac{1}{6}=\\dfrac{1}{36}\\). Trzy sprzyjające pary dają\n\\[\\dfrac{1}{36}+\\dfrac{1}{36}+\\dfrac{1}{36}=\\dfrac{3}{36}=\\dfrac{1}{12}.\\]\n\n### Weryfikacja\nZliczenie pasujących par jest bezpośrednie i daje dokładnie 3 z 36; \\(P(A)=\\dfrac{1}{12}\\approx 0{,}083\\).\n\n### Schemat oceniania (CKE, max 4 pkt)\n- **1 pkt**: zapisanie \\(|\\Omega|=36\\) lub wypisanie \\(A=\\{(3,5),(3,5),(5,5)\\}\\) i przerwanie.\n- **2 pkt**: zapisanie \\(|\\Omega|=36\\) i \\(A=\\{(3,5),(5,3),(5,5)\\}\\) oraz przerwanie.\n- **3 pkt**: zapisanie \\(|\\Omega|=36\\) i \\(|A|=3\\) i przerwanie.\n- **4 pkt**: obliczenie \\(P(A)=\\dfrac{1}{12}\\).\n\n**Uwaga:** jeśli wynik \\(P(A)>1\\) - 0 pkt.","image":"img/matematyka-2010-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-32.webp","solution_image":"img/matematyka-2010-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-32.svg","topics":"prawdopodobienstwo","page_from":13,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2010 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2010-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/33","paper_id":"matematyka-2010-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"33","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"inne","year":2010,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 33. (4 pkt)\nDany jest graniastosłup prawidłowy trójkątny ABCDEF o podstawach ABC i DEF\ni krawędziach bocznych AD, BE i CF. Oblicz pole trójkąta ABF wiedząc, że\n10\nAB =\ni\n11\nCF =\n. Narysuj ten graniastosłup i zaznacz na nim trójkąt ABF.\nOdpowiedź:\n\nPoziom podstawowy\n15","answer":null,"answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: A - pole trójkąta \\(ABF\\) wynosi \\(\\mathbf{70}\\)\n\n## Sposób 1 - wyznaczenie wysokości trójkąta z geometrii graniastosłupa\n\n**Co wiemy o graniastosłupie prawidłowym trójkątnym?**\n\nPodstawy \\(ABC\\) i \\(DEF\\) są trójkątami **równobocznymi** (prawidłowy = podstawa regularna), a krawędzie boczne są prostopadłe do podstaw. Mamy:\n\\[|AB| = 10, \\qquad |CF| = 11\\]\n\nPonieważ wszystkie krawędzie boczne graniastosłupa prawidłowego są równe:\n\\[|AD| = |BE| = |CF| = 11\\]\n\n**Szukamy wysokości trójkąta \\(ABF\\).**\n\nTrójkąt \\(ABF\\): wierzchołki \\(A\\) i \\(B\\) leżą w podstawie, wierzchołek \\(F\\) - w górnej podstawie, nad wierzchołkiem \\(C\\).\n\nZ symetrii graniastosłupa prawidłowego trójkąt \\(ABF\\) jest **równoramienny**: \\(|AF| = |BF|\\). Zatem jego wysokość opuszczona z \\(F\\) na \\(AB\\) pada na **środek** \\(M\\) odcinka \\(AB\\).\n\n**Wyznaczam \\(|FM|\\) krok po kroku.**\n\nPunkt \\(M\\) to środek \\(AB\\), więc \\(|CM|\\) to wysokość trójkąta równobocznego \\(ABC\\) o boku \\(10\\):\n\\[|CM| = \\frac{|AB| \\cdot \\sqrt{3}}{2} = \\frac{10\\sqrt{3}}{2} = 5\\sqrt{3}\\]\n\nPunkt \\(F\\) leży bezpośrednio nad \\(C\\) na wysokości \\(|CF| = 11\\). Odcinek \\(FM\\) łączy wierzchołek górnej podstawy z punktem dolnej podstawy, więc składa się z dwóch prostopadłych składowych:\n\n\\[|FM|^2 = |CM|^2 + |CF|^2 = (5\\sqrt{3})^2 + 11^2 = 75 + 121 = 196\\]\n\n\\[|FM| = \\sqrt{196} = 14\\]\n\n**Sprawdzam, że \\(FM \\perp AB\\).**\n\n\\(CM \\perp AB\\) (wysokość trójkąta równobocznego), a \\(CF \\perp\\) podstawa, więc \\(CF \\perp AB\\). Zatem cała płaszczyzna wyznaczona przez \\(C, M, F\\) jest prostopadła do \\(AB\\), a w szczególności \\(FM \\perp AB\\). Wysokość trójkąta \\(ABF\\) wynosi \\(14\\). ✓\n\n**Pole trójkąta \\(ABF\\):**\n\\[P = \\frac{1}{2} \\cdot |AB| \\cdot |FM| = \\frac{1}{2} \\cdot 10 \\cdot 14 = \\boxed{70}\\]\n\n## Sposób 2 - układ współrzędnych i iloczyn wektorowy\n\nUstawiam graniastosłup w układzie współrzędnych. Podstawa \\(ABC\\) leży w płaszczyźnie \\(z = 0\\):\n\n\\[A = (0,\\, 0,\\, 0), \\qquad B = (10,\\, 0,\\, 0), \\qquad C = (5,\\, 5\\sqrt{3},\\, 0)\\]\n\nGórna podstawa jest przesunięta o \\(11\\) w górę:\n\\[F = (5,\\, 5\\sqrt{3},\\, 11)\\]\n\nWyznaczam wektory:\n\\[\\vec{AB} = [10,\\, 0,\\, 0], \\qquad \\vec{AF} = [5,\\, 5\\sqrt{3},\\, 11]\\]\n\nIloczyn wektorowy \\(\\vec{AB} \\times \\vec{AF}\\):\n\\[\n\\vec{AB} \\times \\vec{AF} =\n\\begin{vmatrix}\n\\vec{i} & \\vec{j} & \\vec{k} \\\\\n10 & 0 & 0 \\\\\n5 & 5\\sqrt{3} & 11\n\\end{vmatrix}\n= \\vec{i}(0 \\cdot 11 - 0 \\cdot 5\\sqrt{3}) - \\vec{j}(10 \\cdot 11 - 0 \\cdot 5) + \\vec{k}(10 \\cdot 5\\sqrt{3} - 0 \\cdot 5)\n\\]\n\\[= [0,\\; -110,\\; 50\\sqrt{3}]\\]\n\nDługość tego wektora:\n\\[|\\vec{AB} \\times \\vec{AF}| = \\sqrt{0^2 + 110^2 + (50\\sqrt{3})^2} = \\sqrt{12100 + 7500} = \\sqrt{19600} = 140\\]\n\nPole trójkąta:\n\\[P = \\frac{1}{2} \\cdot 140 = \\mathbf{70}\\]\n\nWynik zgodny z metodą geometryczną. ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 15-16)** - pole trójkąta:\n\\[P = \\frac{1}{2} \\cdot a \\cdot h_a\\]\nUżyliśmy tego wzoru, przyjmując \\(a = |AB| = 10\\) i \\(h_a = |FM| = 14\\).\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 15)** - wysokość trójkąta równobocznego:\n\\[h = \\frac{a\\sqrt{3}}{2}\\]\nUżyliśmy do wyznaczenia \\(|CM| = 5\\sqrt{3}\\) w podstawie graniastosłupa.\n\n**Dział 2 (Potęgi i pierwiastki, s. 4)** - twierdzenie Pitagorasa (zapis przez pierwiastek):\n\\[|FM| = \\sqrt{|CM|^2 + |CF|^2} = \\sqrt{75 + 121} = \\sqrt{196} = 14\\]\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\nPonieważ nie znam treści opcji B, C, D, pokazuję **typowe błędne toki rozumowania**, które prowadzą do złych wyników:\n\n| Błędny wynik | Skąd pochodzi |\n| \\(55\\) | Wzięcie \\(|CF| = 11\\) jako wysokości trójkąta \\(ABF\\) i policzenie \\(\\frac{1}{2} \\cdot 10 \\cdot 11\\) - ignorowanie, że \\(CF\\) to krawędź, nie wysokość trójkąta |\n| \\(25\\sqrt{3}\\) | Policzenie pola podstawy \\(ABC\\) zamiast \\(ABF\\): \\(\\frac{10^2\\sqrt{3}}{4}\\) |\n| \\(60\\) lub \\(65\\) | Pomylenie \\(|FM|\\) - np. obliczenie \\(|FM| = \\sqrt{75} + 11\\) zamiast \\(\\sqrt{75 + 121}\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Najczęstszy błąd to wzięcie \\(|CF| = 11\\) jako wysokości trójkąta \\(ABF\\). Krawędź \\(CF\\) jest **prostopadła do podstawy**, ale NIE jest wysokością trójkąta \\(ABF\\) - ona nie prowadzi do AB!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\(|FM|\\) wyznaczamy ze wzoru Pitagorasa w trójkącie \\(CMF\\), gdzie \\(CM \\perp CF\\). Kluczowe jest dostrzeżenie, że \\(CM\\) i \\(CF\\) są prostopadłe (jedna leży w podstawie, druga jest do podstawy prostopadła).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Graniastosłup **prawidłowy** trójkątny oznacza, że podstawa to trójkąt **równoboczny** - bez tego warunku nie moglibyśmy wyliczyć \\(|CM|\\) ze wzoru na wysokość trójkąta równobocznego.\n\n**Rozwiązanie:** \\(P_{ABF}=70\\).\n\n### Sposób 1 (CKE) - Trójkąt równoramienny \\(ABF\\) i twierdzenie Pitagorasa\nGraniastosłup prawidłowy trójkątny ma w podstawach trójkąty równoboczne i krawędzie boczne prostopadłe do podstaw. Trójkąt \\(ABF\\) jest równoramienny: \\(|AF|=|BF|\\) (symetria względem płaszczyzny przechodzącej przez środek \\(AB\\) i \\(F\\)).\n\nNiech \\(S\\) - środek odcinka \\(AB\\). Wtedy \\(FS\\perp AB\\) (wysokość trójkąta równoramiennego), i długość \\(FS\\) to wysokość \\(h\\) trójkąta \\(ABF\\).\n\n**Krok 1.** W trójkącie równobocznym \\(ABC\\) o boku \\(10\\) środkowa z \\(C\\) do środka \\(S\\) boku \\(AB\\):\n\\[|CS|=\\dfrac{|AB|\\sqrt{3}}{2}=\\dfrac{10\\sqrt{3}}{2}=5\\sqrt{3}.\\]\n\n**Krok 2.** Odcinek \\(CF\\) jest krawędzią boczną, prostopadły do podstawy, więc w trójkącie prostokątnym \\(SCF\\) (kąt prosty przy \\(C\\)):\n\\[h=|SF|=\\sqrt{|CF|^{2}+|CS|^{2}}=\\sqrt{11^{2}+(5\\sqrt{3})^{2}}=\\sqrt{121+75}=\\sqrt{196}=14.\\]\n\n**Krok 3.** Pole trójkąta \\(ABF\\):\n\\[P_{ABF}=\\dfrac{1}{2}\\cdot|AB|\\cdot h=\\dfrac{1}{2}\\cdot 10\\cdot 14=70.\\]\n\n### Sposób 2 (CKE) - Wzór Herona\nDługości boków: \\(|AB|=10\\); \\(|AF|=|BF|=\\sqrt{|AC|^{2}+|CF|^{2}}=\\sqrt{100+121}=\\sqrt{221}\\) (twierdzenie Pitagorasa dla trójkąta prostokątnego \\(ACF\\)).\nPołowa obwodu: \\(p=\\dfrac{10+2\\sqrt{221}}{2}=5+\\sqrt{221}\\).\nWzór Herona: \\(P=\\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}\\).\nPo wstawieniu i uproszczeniu (różnica kwadratów) otrzymuje się \\(P=70\\).\n\n### Sposób 3 (CKE) - Twierdzenie cosinusów\n\\(|AF|=|BF|=\\sqrt{221}\\). W trójkącie \\(AFB\\):\n\\[|AB|^{2}=2|AF|^{2}(1-\\cos\\sphericalangle AFB),\\]\n\\[100=2\\cdot 221\\cdot(1-\\cos\\sphericalangle AFB) \\implies \\cos\\sphericalangle AFB=\\dfrac{171}{221}.\\]\n\\(\\sin\\sphericalangle AFB=\\sqrt{1-\\left(\\dfrac{171}{221}\\right)^{2}}=\\dfrac{140}{221}\\).\nPole: \\(P=\\dfrac{1}{2}|AF||BF|\\sin\\sphericalangle AFB=\\dfrac{1}{2}\\cdot 221\\cdot\\dfrac{140}{221}=70\\).\n\n### Rysunek (opis)\nGraniastosłup prawidłowy trójkątny: dolna podstawa - trójkąt równoboczny \\(ABC\\); górna - \\(DEF\\) (przeniesione o krawędź boczną \\(11\\)). Krawędzie boczne: \\(A{-}D\\), \\(B{-}E\\), \\(C{-}F\\). Trójkąt \\(ABF\\) - dwa wierzchołki na dolnej podstawie (\\(A,B\\)) i jeden na górnej (\\(F\\)).\n\n### Weryfikacja\n\\(11^{2}+(5\\sqrt{3})^{2}=121+75=196=14^{2}\\) ✓. Pole \\(=\\tfrac{1}{2}\\cdot 10\\cdot 14=70\\) ✓.\n\n### Schemat oceniania (CKE, max 4 pkt)\n- **1 pkt**: narysowanie graniastosłupa z zaznaczonym trójkątem \\(ABF\\).\n- **2 pkt**: obliczenie \\(|CS|=5\\sqrt{3}\\) albo \\(|AF|=\\sqrt{221}\\).\n- **3 pkt**: obliczenie wysokości \\(h=|FS|=14\\).\n- **4 pkt**: obliczenie pola \\(P_{ABF}=70\\).","image":"img/matematyka-2010-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-33.webp","solution_image":null,"topics":"stereometria","page_from":14,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2010 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2010-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/34","paper_id":"matematyka-2010-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"34","points":5,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"inne","year":2010,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 34. (5 pkt)\nKolarz przejechał trasę długości 60 km. Gdyby jechał ze średnią prędkością większą\no 1 km/h, to przejechałby tę trasę w czasie o 6 minut krótszym. Oblicz, z jaką średnią\nprędkością jechał ten kolarz.\nOdpowiedź:\n\nPoziom podstawowy\n16\nBRUDNOPIS\n\nMMA-Pą_ąP-104\nPESEL\nWYPEŁNIA ZDAJĄCY\nWYPEŁNIA EGZAMINATOR\nSuma za zad. 26-34\n0\n17\n25\n18\n19\n20\n21\n22\n23\n1\n9\n2\n10\n11\n3\n4\n12\n5\n13\n6\n14\n7\n15\n8\n16\n24\nKOD EGZAMINATORA\nCzytelny podpis egzaminatora\nKOD ZDAJĄCEGO\n1\n2\n3\n4\n5\n6\n7\n8\n9\n10\n11\n12\n13\n14\n15\n16\n17\n18\n19\n20\n21\n22\n23\n24\n25\nOdpowiedzi\nNr\nzad.\nMiejsce na naklejkę\nz nr PESEL\nA\nA\nA\nA\nA\nA\nA\nA\nA\nA\nA\nA\nA\nA\nA\nA\nA\nA\nA\nA\nA\nA\nA\nA\nA\nB\nB\nB\nB\nB\nB\nB\nB\nB\nB\nB\nB\nB\nB\nB\nB\nB\nB\nB\nB\nB\nB\nB\nB\nB\nD\nD\nD\nD\nD\nD\nD\nD\nD\nD\nD\nD\nD\nD\nD\nD\nD\nD\nD\nD\nD\nD\nD\nD\nD\nC\nC\nC\nC\nC\nC\nC\nC\nC\nC\nC\nC\nC\nC\nC\nC\nC\nC\nC\nC\nC\nC\nC\nC\nC\nZadanie 34. Matura poprawkowa z matematyki 2010. Kolarz przejechał trasę długości 60 km. Gdyby jechał ze średnią prędkością większą o 1 km/h, to przejechałby tę trasę w czasie o 6 minut krótszym. Oblicz, z jaką średnią prędkością jechał ten kolarz.","answer":null,"answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: 24 km/h\n\n## Sposób 1 - Równanie z definicji czasu\n\n**Oznaczenie zmiennej:**\nNiech \\(v\\) oznacza średnią prędkość kolarza (w km/h).\n\n**Wyrażamy czasy przejazdu:**\n\nCzas przy prędkości \\(v\\):\n\\[t_1 = \\frac{60}{v} \\text{ [godz.]}\\]\n\nCzas przy prędkości \\(v + 1\\):\n\\[t_2 = \\frac{60}{v+1} \\text{ [godz.]}\\]\n\n**Przeliczamy 6 minut na godziny:**\n\\[6 \\text{ min} = \\frac{6}{60} \\text{ godz.} = \\frac{1}{10} \\text{ godz.}\\]\n\n**Zapisujemy równanie** (szybsza jazda = czas krótszy o \\(\\frac{1}{10}\\) h):\n\\[\\frac{60}{v} - \\frac{60}{v+1} = \\frac{1}{10}\\]\n\n**Mnożymy obie strony przez \\(10v(v+1)\\):**\n\\[600(v+1) - 600v = v(v+1)\\]\n\\[600v + 600 - 600v = v^2 + v\\]\n\\[600 = v^2 + v\\]\n\\[v^2 + v - 600 = 0\\]\n\n**Wyznaczamy deltę:**\n\\[\\Delta = 1^2 + 4 \\cdot 600 = 1 + 2400 = 2401 = 49^2\\]\n\n**Pierwiastki:**\n\\[v = \\frac{-1 \\pm 49}{2}\\]\n\\[v_1 = \\frac{-1 + 49}{2} = \\frac{48}{2} = 24, \\qquad v_2 = \\frac{-1 - 49}{2} = -25\\]\n\nPrędkość musi być dodatnia, więc \\(v_2 = -25\\) odrzucamy.\n\n**Kolarz jechał z prędkością \\(v = 24\\) km/h.**\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja przez sprawdzenie warunków zadania\n\nSprawdzamy, czy \\(v = 24\\) km/h spełnia oba warunki zadania:\n\nCzas przy prędkości \\(24\\) km/h:\n\\[t_1 = \\frac{60}{24} = \\frac{5}{2} \\text{ godz.} = 150 \\text{ min}\\]\n\nCzas przy prędkości \\(24 + 1 = 25\\) km/h:\n\\[t_2 = \\frac{60}{25} = \\frac{12}{5} \\text{ godz.} = 144 \\text{ min}\\]\n\nRóżnica czasów:\n\\[t_1 - t_2 = 150 - 144 = 6 \\text{ min} \\checkmark\\]\n\nWynik zgadza się z treścią zadania - **rozwiązanie poprawne**.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)** - wyróżnik i wzór na pierwiastki:\n\\[\\Delta = b^2 - 4ac\\]\n\\[v_{1,2} = \\frac{-b \\pm \\sqrt{\\Delta}}{2a}\\]\nUżyliśmy tego do rozwiązania równania \\(v^2 + v - 600 = 0\\), gdzie \\(a=1\\), \\(b=1\\), \\(c=-600\\).\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Czas \\(= \\frac{\\text{droga}}{\\text{prędkość}}\\) - nie prędkość razy droga! Odwrotna zależność jest tutaj kluczowa.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** 6 minut to **nie** \\(6\\) godzin! Obowiązkowo przelicz na godziny: \\(6 \\text{ min} = \\frac{1}{10}\\) h. To najczęstszy błąd w tym typie zadania.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Równanie da dwa pierwiastki - jeden ujemny, jeden dodatni. Prędkość jest zawsze dodatnia, więc ujemny pierwiastek **odrzucamy** i koniecznie to zaznaczamy w rozwiązaniu (egzaminator sprawdza, czy o tym pamiętasz).\n\n**Rozwiązanie:** \\(v=24\\) km/h.\n\n### Sposób 1 (CKE) - Układ równań \\(\\to\\) równanie kwadratowe w \\(v\\)\nNiech \\(v\\) - średnia prędkość (km/h), \\(t\\) - czas (h). \\(6\\) minut \\(=0{,}1\\) h. Warunki:\n\\[\\begin{cases} v\\cdot t = 60 \\\\ (v+1)(t-0{,}1)=60 \\end{cases}\\]\nZ pierwszego równania \\(t=\\dfrac{60}{v}\\). Podstawiamy do drugiego:\n\\[(v+1)\\left(\\dfrac{60}{v}-0{,}1\\right)=60.\\]\nMnożymy:\n\\[60-0{,}1v+\\dfrac{60}{v}-0{,}1=60,\\]\n\\[\\dfrac{60}{v}-0{,}1v-0{,}1=0 \\quad \\Big\\vert \\cdot 10v\\]\n\\[600-v^{2}-v=0 \\iff v^{2}+v-600=0.\\]\nWyróżnik: \\(\\Delta=1+2400=2401\\); \\(\\sqrt{\\Delta}=49\\).\n\\[v_{1}=\\dfrac{-1+49}{2}=24, \\qquad v_{2}=\\dfrac{-1-49}{2}=-25.\\]\nWarunek \\(v>0\\) eliminuje \\(v_{2}\\). Stąd \\(v=24\\) km/h.\n\n### Sposób 2 (CKE) - Równanie w \\(t\\)\nZ warunków: \\(v=\\dfrac{60}{t}\\) i \\(v+1=\\dfrac{60}{t-0{,}1}\\). Stąd\n\\[\\dfrac{60}{t}+1=\\dfrac{60}{t-0{,}1} \\quad\\big\\vert \\cdot t(t-0{,}1)\\]\n\\[60(t-0{,}1)+t(t-0{,}1)=60t\\]\n\\[60t-6+t^{2}-0{,}1t-60t=0 \\iff t^{2}-0{,}1t-6=0.\\]\n\\(\\Delta=0{,}01+24=24{,}01\\); \\(\\sqrt{\\Delta}=4{,}9\\).\n\\(t_{1}=\\dfrac{0{,}1+4{,}9}{2}=2{,}5\\) h; \\(t_{2}=-2{,}4\\) h odpada (\\(t>0\\)).\nStąd \\(v=\\dfrac{60}{2{,}5}=24\\) km/h.\n\n### Weryfikacja\n\\(v=24,\\ t=2{,}5\\) h: \\(24\\cdot 2{,}5=60\\) ✓.\n\\(v+1=25,\\ t-0{,}1=2{,}4\\) h: \\(25\\cdot 2{,}4=60\\) ✓.\nSkrócenie czasu: \\(2{,}5-2{,}4=0{,}1\\) h \\(=6\\) min ✓.\n\n### Uwaga dydaktyczna\nTrzeba zamienić \\(6\\) min na godziny (\\(=0{,}1\\) h), aby zachować jednostki. Częsty błąd: pisanie \\(t+0{,}1\\) zamiast \\(t-0{,}1\\) (kolarz jadący szybciej jedzie krócej).\n\n### Schemat oceniania (CKE, max 5 pkt)\n- **1 pkt**: zapisanie jednego z równań, np. \\(60=(v+1)(t-0{,}1)\\) albo \\(v\\cdot t=60\\).\n- **2 pkt**: zapisanie układu dwóch równań z niewiadomymi \\(v,\\ t\\).\n- **3 pkt**: sprowadzenie do jednej niewiadomej i równania wymiernego.\n- **4 pkt**: rozwiązanie do końca z drobnymi usterkami rachunkowymi albo doprowadzenie do równania kwadratowego \\(v^{2}+v-600=0\\).\n- **5 pkt**: obliczenie \\(v=24\\) km/h.","image":"img/matematyka-2010-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-34.webp","solution_image":"img/matematyka-2010-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-34.svg","topics":"algebra","page_from":15,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2010 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"}]}