{"paper":{"id":"matematyka-2010-sierpien-poprawkowa-rozszerzona","subject":"matematyka","category":"inne","year":2010,"month":"sierpien","level":"rozszerzona","variant":null,"exam_pdf":"matematyka-2010-sierpien-poprawkowa-rozszerzona/matematyka-2010-sierpien-poprawkowa-rozszerzona.pdf","key_pdf":"matematyka-2010-sierpien-poprawkowa-rozszerzona-odpowiedzi/matematyka-2010-sierpien-poprawkowa-rozszerzona-odpowiedzi.pdf","question_count":11,"source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2010 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},"questions":[{"id":"matematyka-2010-sierpien-poprawkowa-rozszerzona/zad/1","paper_id":"matematyka-2010-sierpien-poprawkowa-rozszerzona","number":"1","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"inne","year":2010,"month":"sierpien","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 1. (4 pkt)\nWyznacz wszystkie rozwiązania równania\n2\n2sin\n7cos\n5\n0\nx\nx\nnależące do przedziału\n0, 2π .\n\nPoziom rozszerzony\n3\nZadanie 1. Matura poprawkowa z matematyki rozszerzonej 2010. Wyznacz wszystkie rozwiązania równania 2sin^2x - 7cosx - 5 = 0 należące do przedziału (0,2pi).","answer":null,"answer_text":"4\n3\nt\n2\n4\n2","solution":"$x = \\dfrac{2}{3}\\pi$ lub $x = \\dfrac{4}{3}\\pi$ albo $x = 120^\\circ$ lub $x = 240^\\circ$","image":"img/matematyka-2010-sierpien-poprawkowa-rozszerzona/zad-1.webp","solution_image":"img/matematyka-2010-sierpien-poprawkowa-rozszerzona/sol-1.svg","topics":"trygonometria","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2010 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2010-sierpien-poprawkowa-rozszerzona/zad/2","paper_id":"matematyka-2010-sierpien-poprawkowa-rozszerzona","number":"2","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"inne","year":2010,"month":"sierpien","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 2. (4 pkt)\nRozwiąż nierówność\n5\n2\n2\n2\n>\nx\nx\n\nPoziom rozszerzony\n4\nZadanie 2. Matura poprawkowa z matematyki rozszerzonej 2010. Rozwiąż nierówność z wartościami bezwzględnymi |2x+2|+|x-2|>5","answer":null,"answer_text":"2\nx\n7cos\nx\n5\n0","solution":"$x \\in \\left(-\\infty, -\\dfrac{5}{3}\\right) \\cup (1, \\infty)$","image":"img/matematyka-2010-sierpien-poprawkowa-rozszerzona/zad-2.webp","solution_image":"img/matematyka-2010-sierpien-poprawkowa-rozszerzona/sol-2.svg","topics":"bezwgledna","page_from":3,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2010 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2010-sierpien-poprawkowa-rozszerzona/zad/3","paper_id":"matematyka-2010-sierpien-poprawkowa-rozszerzona","number":"3","points":5,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"inne","year":2010,"month":"sierpien","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 3. (5 pkt)\nDane są punkty\n(\n)\n(\n)\n1, 5 ,\n9, 3\nA\nB\ni prosta k o równaniu\n1\n= x\ny\n. Oblicz współrzędne\npunktu C leżącego na prostej k, dla którego suma\n2\n2\nAC\nBC\njest najmniejsza.\n\nPoziom rozszerzony\n5\nZadanie 3. Matura poprawkowa z matematyki rozszerzonej 2010. Dane są punkty A=(1,5), B=(9,3) i prosta k o równaniu y=x+1. Oblicz współrzędne punktu C leżącego na prostej k, dla którego suma |AC|^2+|BC|^2 jest najmniejsza.","answer":null,"answer_text":"3","solution":"$C = (4, 5)$","image":"img/matematyka-2010-sierpien-poprawkowa-rozszerzona/zad-3.webp","solution_image":"img/matematyka-2010-sierpien-poprawkowa-rozszerzona/sol-3.svg","topics":"analityczna","page_from":4,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2010 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2010-sierpien-poprawkowa-rozszerzona/zad/4","paper_id":"matematyka-2010-sierpien-poprawkowa-rozszerzona","number":"4","points":5,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"inne","year":2010,"month":"sierpien","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 4. (5 pkt)\nWyznacz wszystkie wartości parametru m , dla których równanie\n(\n)\n2\n2\n4\n4\n0\nx\nm\nx\nm\nm\nma dwa różne pierwiastki rzeczywiste, których suma jest mniejsza od\n3\n2\n3\nm -.\n\nPoziom rozszerzony\n6\nZadanie 4. Matura poprawkowa z matematyki rozszerzonej 2010. Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których równanie x^2-(m-4)x+m^2-4m=0 ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste, których suma jest mniejsza od 2m^3-3.","answer":null,"answer_text":"m\n3\n3","solution":"$m \\in \\left(-1, \\dfrac{4}{3}\\right)$","image":"img/matematyka-2010-sierpien-poprawkowa-rozszerzona/zad-4.webp","solution_image":"img/matematyka-2010-sierpien-poprawkowa-rozszerzona/sol-4.svg","topics":"parametr","page_from":5,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2010 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2010-sierpien-poprawkowa-rozszerzona/zad/5","paper_id":"matematyka-2010-sierpien-poprawkowa-rozszerzona","number":"5","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"inne","year":2010,"month":"sierpien","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 5. (4 pkt)\nNarysuj wykres funkcji f określonej wzorem\n( )\n2\n4\nf x\nx\nx\ni na jego podstawie wyznacz\nliczbę rozwiązań równania\n( )\nf x\nm\nw zależności od wartości parametru m .\n\nPoziom rozszerzony\n7\nZadanie 5. Matura poprawkowa z matematyki rozszerzonej 2010. Narysuj wykres funkcji f określonej wzorem f(x)=x^2-4|x| i na jego podstawie wyznacz liczbę rozwiązań równania f(x)=m w zależności od wartości parametru m.","answer":null,"answer_text":"⎪\n5","solution":"0 dla $m \\in (-\\infty, -4)$; 2 dla $m \\in \\{-4\\} \\cup (0, \\infty)$; 3 dla $m = 0$; 4 dla $m \\in (-4, 0)$","image":"img/matematyka-2010-sierpien-poprawkowa-rozszerzona/zad-5.webp","solution_image":"img/matematyka-2010-sierpien-poprawkowa-rozszerzona/sol-5.svg","topics":"funkcje","page_from":6,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2010 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2010-sierpien-poprawkowa-rozszerzona/zad/6","paper_id":"matematyka-2010-sierpien-poprawkowa-rozszerzona","number":"6","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"inne","year":2010,"month":"sierpien","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 6. (4 pkt)\nWykaż, że nierówność\n2\n2\n2\n2\n4\n4\n4\nb\na\nb\na\n≥\njest spełniona przez wszystkie liczby\nrzeczywiste a i b .\n\nPoziom rozszerzony\n8\nZadanie 5. Matura poprawkowa z matematyki rozszerzonej 2010. Wykaż, że nierówność pierwiastek czwartego stopnia z (a^4+b^4) / 2 >= pierwiastek z (a^2+b^2) / 2 jest spełniona przez wszystkie liczby rzeczywiste a i b.","answer":null,"answer_text":null,"solution":"Dowód.","image":"img/matematyka-2010-sierpien-poprawkowa-rozszerzona/zad-6.webp","solution_image":"img/matematyka-2010-sierpien-poprawkowa-rozszerzona/sol-6.svg","topics":"algebra","page_from":7,"source":"zadaniazmatur","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2010 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2010-sierpien-poprawkowa-rozszerzona/zad/7","paper_id":"matematyka-2010-sierpien-poprawkowa-rozszerzona","number":"7","points":5,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"inne","year":2010,"month":"sierpien","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 7. (5 pkt)\nObjętość graniastosłupa prawidłowego trójkątnego jest równa 12 3 , a pole powierzchni\nbocznej tego graniastosłupa jest równe 36. Oblicz sinus kąta, jaki tworzy przekątna ściany\nbocznej z sąsiednią ścianą boczną.\n\nPoziom rozszerzony\n9\n\nPoziom rozszerzony\n10\nZadanie 7. Matura poprawkowa z matematyki rozszerzonej 2010. Objętość graniastosłupa prawidłowego trójkątnego jest równa 12 pierwiastków z 3, a pole powierzchni bocznej tego graniastosłupa jest równe 36. Oblicz sinus kąta, jaki tworzy przekątna ściany bocznej z sąsiednią ścianą boczną.","answer":null,"answer_text":"y\n)\n2\n(\ny\n4\n)\n2\n450\n49","solution":"$\\sin \\alpha = \\dfrac{2\\sqrt{3}}{5}$","image":"img/matematyka-2010-sierpien-poprawkowa-rozszerzona/zad-7.webp","solution_image":"img/matematyka-2010-sierpien-poprawkowa-rozszerzona/sol-7.svg","topics":"stereometria","page_from":8,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2010 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2010-sierpien-poprawkowa-rozszerzona/zad/8","paper_id":"matematyka-2010-sierpien-poprawkowa-rozszerzona","number":"8","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"inne","year":2010,"month":"sierpien","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 8. (4 pkt)\nOdcinek CD jest zawarty w dwusiecznej kąta ACB trójkąta ABC . Kąty trójkąta ABC mają\nmiary:\n42\nCAB =\n°\n)\n,\n78\nABC =\n°\n)\n. Styczna do okręgu opisanego na tym trójkącie\nw punkcie C przecina prostą AB w punkcie E (zobacz rysunek). Oblicz, ile stopni ma\nkażdy z kątów trójkąta CDE .\nA\nD\nB\nE\nC\n42°\n78°\n\nPoziom rozszerzony\n11\n\nPoziom rozszerzony\n12\nZadanie 8. Matura poprawkowa z matematyki rozszerzonej 2010. Odcinek CD jest zawarty w dwusiecznej kąta ACB trójkąta ABC. Kąty trójkąta ABC mają miary: kąt CAB = 42 stopni, kąt ABC = 78 stopni. Styczna do okręgu opisanego na tym trójkącie w punkcie C przecina prostą AB w punkcie E (zobacz rysunek). Oblicz, ile stopni ma każdy z kątów trójkąta CDE.","answer":null,"answer_text":null,"solution":"$|\\sphericalangle CDE| = 72^\\circ$, $|\\sphericalangle DCE| = 72^\\circ$, $|\\sphericalangle CED| = 36^\\circ$","image":"img/matematyka-2010-sierpien-poprawkowa-rozszerzona/zad-8.webp","solution_image":"img/matematyka-2010-sierpien-poprawkowa-rozszerzona/sol-8.svg","topics":"planimetria","page_from":10,"source":"zadaniazmatur","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2010 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2010-sierpien-poprawkowa-rozszerzona/zad/9","paper_id":"matematyka-2010-sierpien-poprawkowa-rozszerzona","number":"9","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"inne","year":2010,"month":"sierpien","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 9. (4 pkt)\nLiczby 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 ustawiamy losowo w szeregu. Oblicz prawdopodobieństwo,\nże w tym ustawieniu suma każdych dwóch sąsiednich liczb będzie nieparzystą. Wynik podaj\nw postaci ułamka nieskracalnego.\n\nPoziom rozszerzony\n13\nZadanie 9. Matura poprawkowa z matematyki rozszerzonej 2010. Liczby 1,2,3,4,5,6,7,8 ustawiamy losowo w szeregu. Oblicz prawdopodobieństwo, że w tym ustawieniu suma każdych dwóch sąsiednich liczb będzie nieparzystą. Wynik podaj w postaci ułamka nieskracalnego.","answer":null,"answer_text":null,"solution":"$P(A) = \\dfrac{1}{35}$","image":"img/matematyka-2010-sierpien-poprawkowa-rozszerzona/zad-9.webp","solution_image":"img/matematyka-2010-sierpien-poprawkowa-rozszerzona/sol-9.svg","topics":"prawdopodobienstwo","page_from":12,"source":"zadaniazmatur","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2010 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2010-sierpien-poprawkowa-rozszerzona/zad/10","paper_id":"matematyka-2010-sierpien-poprawkowa-rozszerzona","number":"10","points":6,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"inne","year":2010,"month":"sierpien","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 10. (6 pkt)\nPunkt\n(\n)\n2, 3\nA =\njest wierzchołkiem rombu ABCD o polu równym 300. Punkt\n(\n)\n3,4\nS =\njest środkiem symetrii tego rombu. Wyznacz współrzędne pozostałych wierzchołków tego\nrombu.\n\nPoziom rozszerzony\n14\nZadanie 10. Matura poprawkowa z matematyki rozszerzonej 2010. Punkt A=(2,-3) jest wierzchołkiem rombu ABCD o polu równym 300. Punkt S=(3,4) jest środkiem symetrii tego rombu. Wyznacz współrzędne pozostałych wierzchołków tego rombu.","answer":null,"answer_text":"2\n⋅\nBD\nBD\n30\n2","solution":"$B = (24, 1)$, $C = (4, 11)$, $D = (-18, 7)$","image":"img/matematyka-2010-sierpien-poprawkowa-rozszerzona/zad-10.webp","solution_image":"img/matematyka-2010-sierpien-poprawkowa-rozszerzona/sol-10.svg","topics":"analityczna","page_from":13,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2010 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2010-sierpien-poprawkowa-rozszerzona/zad/11","paper_id":"matematyka-2010-sierpien-poprawkowa-rozszerzona","number":"11","points":5,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"inne","year":2010,"month":"sierpien","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 11. (5 pkt)\nCiąg (\n)\n, ,\na b c jest geometryczny i\n26\na\nb\nc\n, zaś ciąg (\n)\n5,\n4,\n11\na\nb\nc\njest\narytmetyczny. Oblicz a , b , c .\n\nPoziom rozszerzony\n15\nBRUDNOPIS\n\nMMA-Rą_ąP-104\nPESEL\nWYPEŁNIA ZDAJĄCY\nWYPEŁNIA EGZAMINATOR\nSuma punktów\n0\n21\n31\n41\n22\n32\n42\n23\n33\n43\n24\n34\n44\n25\n35\n45\n26\n36\n46\n27\n37\n47\n28\n38\n48\n29\n39\n49\n1\n11\n2\n12\n13\n3\n4\n14\n5\n15\n6\n16\n7\n17\n8\n18\n9\n19\n10\n20\n30\n40\n50\nKOD EGZAMINATORA\nCzytelny podpis egzaminatora\nKOD ZDAJĄCEGO\nMiejsce na naklejkę\nz nr PESEL\nZadanie 11. Matura poprawkowa z matematyki rozszerzonej 2010. Ciąg (a,b,c) jest geometryczny i a+b+c=26, zaś ciąg (a-5,b-4,c-11) jest arytmetyczny. Oblicz a,b,c.","answer":null,"answer_text":null,"solution":"$a = 2, b = 6, c = 18$ lub $a = 18, b = 6, c = 2$","image":"img/matematyka-2010-sierpien-poprawkowa-rozszerzona/zad-11.webp","solution_image":"img/matematyka-2010-sierpien-poprawkowa-rozszerzona/sol-11.svg","topics":"ciagi","page_from":14,"source":"zadaniazmatur","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2010 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"}]}