{"paper":{"id":"matematyka-2010-styczen-probna-rozszerzona","subject":"matematyka","category":"probna","year":2010,"month":"styczen","level":"rozszerzona","variant":null,"exam_pdf":"matematyka-2010-styczen-probna-rozszerzona/matematyka-2010-styczen-probna-rozszerzona.pdf","key_pdf":null,"question_count":11,"source_label":"Matematyka · Matura próbna · styczeń 2010 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},"questions":[{"id":"matematyka-2010-styczen-probna-rozszerzona/zad/1","paper_id":"matematyka-2010-styczen-probna-rozszerzona","number":"1","points":5,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2010,"month":"styczen","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 1. (5 pkt)\nUdowodnij, Ŝe suma sześcianów trzech kolejnych licz naturalnych jest podzielna przez 9.\nOkręgowa Komisja Egzaminacyjna w Poznaniu\nMateriał ćwiczeniowy z matematyki\nPoziom rozszerzony\n3","answer":null,"answer_text":null,"solution":null,"image":"img/matematyka-2010-styczen-probna-rozszerzona/zad-1.webp","solution_image":null,"topics":"liczby_naturalne","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · styczeń 2010 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2010-styczen-probna-rozszerzona/zad/2","paper_id":"matematyka-2010-styczen-probna-rozszerzona","number":"2","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2010,"month":"styczen","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 2. (4 pkt)\nDla kaŜdego\n∈N\nn\nwyrazy ciągu (\n)\nn\na\nspełniają dwa warunki\n1\n17\n3\n2\n2\n1\nn\nn\nn\na\na\nn\nn\ni\n1\n19\n6\n2\n1\nn\nn\na\na\nn\nn\n. Oblicz, które wyrazy tego ciągu są dodatnie.\nOdpowiedź:\nOkręgowa Komisja Egzaminacyjna w Poznaniu\nMateriał ćwiczeniowy z matematyki\nPoziom rozszerzony\n4","answer":null,"answer_text":null,"solution":null,"image":"img/matematyka-2010-styczen-probna-rozszerzona/zad-2.webp","solution_image":null,"topics":"ciagi","page_from":3,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · styczeń 2010 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2010-styczen-probna-rozszerzona/zad/3","paper_id":"matematyka-2010-styczen-probna-rozszerzona","number":"3","points":6,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2010,"month":"styczen","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 3. (6 pkt)\nLiczbę 255 przedstaw w postaci czterech całkowitych składników tworzących rosnący ciąg\ngeometryczny wiedząc, Ŝe trzeci wyraz tego ciągu jest o 45 większy od wyrazu pierwszego.\nOkręgowa Komisja Egzaminacyjna w Poznaniu\nMateriał ćwiczeniowy z matematyki\nPoziom rozszerzony\n5\nOdpowiedź:\nOkręgowa Komisja Egzaminacyjna w Poznaniu\nMateriał ćwiczeniowy z matematyki\nPoziom rozszerzony\n6","answer":null,"answer_text":null,"solution":null,"image":"img/matematyka-2010-styczen-probna-rozszerzona/zad-3.webp","solution_image":null,"topics":"ciagi","page_from":4,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · styczeń 2010 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2010-styczen-probna-rozszerzona/zad/4","paper_id":"matematyka-2010-styczen-probna-rozszerzona","number":"4","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2010,"month":"styczen","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 4. (4 pkt)\nRóŜnymi pierwiastkami równania kwadratowego (\n)\n0\n1\n2\n2\n2\nx\nx\nm\nsą liczby\n1x oraz\n2x .\nNarysuj wykres funkcji ( )\n2\n1\n2\n1\nx\nx\nx\nx\nm\nf\n⋅\nOkręgowa Komisja Egzaminacyjna w Poznaniu\nMateriał ćwiczeniowy z matematyki\nPoziom rozszerzony\n7\nOkręgowa Komisja Egzaminacyjna w Poznaniu\nMateriał ćwiczeniowy z matematyki\nPoziom rozszerzony\n8","answer":null,"answer_text":null,"solution":null,"image":"img/matematyka-2010-styczen-probna-rozszerzona/zad-4.webp","solution_image":null,"topics":"parametr","page_from":6,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · styczeń 2010 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2010-styczen-probna-rozszerzona/zad/5","paper_id":"matematyka-2010-styczen-probna-rozszerzona","number":"5","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2010,"month":"styczen","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 5. (4 pkt)\nWykaŜ, Ŝe w trójkącie prostokątnym suma długości obu przyprostokątnych jest równa sumie\ndługości średnic okręgu wpisanego i opisanego na tym trójkącie.\nOkręgowa Komisja Egzaminacyjna w Poznaniu\nMateriał ćwiczeniowy z matematyki\nPoziom rozszerzony\n9","answer":null,"answer_text":null,"solution":null,"image":"img/matematyka-2010-styczen-probna-rozszerzona/zad-5.webp","solution_image":null,"topics":"dowody_geometryczne","page_from":8,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · styczeń 2010 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2010-styczen-probna-rozszerzona/zad/6","paper_id":"matematyka-2010-styczen-probna-rozszerzona","number":"6","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2010,"month":"styczen","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 6. (4 pkt)\nPodstawą graniastosłupa prostego jest romb, którego krótsza przekątna ma długość c , a kąt\nostry miarę 2α . Pole przekroju wyznaczonego przez krawędź boczną graniastosłupa i dłuŜszą\nprzekątną podstawy wynosi P . Oblicz długość dłuŜszej przekątnej graniastosłupa, wykonaj\nrysunek bryły i zaznacz w nim właściwy przekrój.\nOkręgowa Komisja Egzaminacyjna w Poznaniu\nMateriał ćwiczeniowy z matematyki\nPoziom rozszerzony\n10","answer":null,"answer_text":null,"solution":null,"image":"img/matematyka-2010-styczen-probna-rozszerzona/zad-6.webp","solution_image":null,"topics":"stereometria","page_from":9,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · styczeń 2010 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2010-styczen-probna-rozszerzona/zad/7","paper_id":"matematyka-2010-styczen-probna-rozszerzona","number":"7","points":5,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2010,"month":"styczen","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 7. (5 pkt)\nW czworokącie ABCD przekątne przecinają się w punkcie o współrzędnych\n)\n7,3\n(-\nP\nw taki sposób, Ŝe\n3\n:\n1\n:\n:\nBP\nPD\nAP\nPC\n. Wiedząc, Ŝe\n[\n]\n6,4\n→\nAC\ni\n[\n]\n2\n,\n10 -\n→\nBD\n,\noblicz współrzędne wierzchołków tego czworokąta. Uzasadnij, Ŝe czworokąt ABCD jest\ntrapezem.\nOkręgowa Komisja Egzaminacyjna w Poznaniu\nMateriał ćwiczeniowy z matematyki\nPoziom rozszerzony\n11\nOdpowiedź:\nOkręgowa Komisja Egzaminacyjna w Poznaniu\nMateriał ćwiczeniowy z matematyki\nPoziom rozszerzony\n12","answer":null,"answer_text":null,"solution":null,"image":"img/matematyka-2010-styczen-probna-rozszerzona/zad-7.webp","solution_image":null,"topics":"analityczna","page_from":10,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · styczeń 2010 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2010-styczen-probna-rozszerzona/zad/8","paper_id":"matematyka-2010-styczen-probna-rozszerzona","number":"8","points":5,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2010,"month":"styczen","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 8. (5 pkt)\nWykaŜ, Ŝe cosinus kąta przecięcia się wykresów funkcji\n( )\n1\n3\n4\nx\nx\nf\ni\n9\n2\n)\n(\nx\nx\ng\njest równy\n15\n3\n3\n6\n4\nOkręgowa Komisja Egzaminacyjna w Poznaniu\nMateriał ćwiczeniowy z matematyki\nPoziom rozszerzony\n13\nOkręgowa Komisja Egzaminacyjna w Poznaniu\nMateriał ćwiczeniowy z matematyki\nPoziom rozszerzony\n14","answer":null,"answer_text":null,"solution":null,"image":"img/matematyka-2010-styczen-probna-rozszerzona/zad-8.webp","solution_image":null,"topics":"analityczna","page_from":12,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · styczeń 2010 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2010-styczen-probna-rozszerzona/zad/9","paper_id":"matematyka-2010-styczen-probna-rozszerzona","number":"9","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2010,"month":"styczen","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 9. (4 pkt)\nOblicz wartość funkcji ( )\n3\n2\n1\nx\nx\nf\ndla argumentu\n\n\n\n\n\n\n\n\n⋅\n7\nlog\n1\n2\n12\n12\n12\n2\n12\n13\n3\n49\n18\nlog\n18\nlog\n64\nlog\n8\nlog\nlog\nx\nOdpowiedź:\nOkręgowa Komisja Egzaminacyjna w Poznaniu\nMateriał ćwiczeniowy z matematyki\nPoziom rozszerzony\n15","answer":null,"answer_text":null,"solution":null,"image":"img/matematyka-2010-styczen-probna-rozszerzona/zad-9.webp","solution_image":null,"topics":"logarytmy","page_from":14,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · styczeń 2010 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2010-styczen-probna-rozszerzona/zad/10","paper_id":"matematyka-2010-styczen-probna-rozszerzona","number":"10","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2010,"month":"styczen","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 10. (4 pkt)\nPosługując się wykresem funkcji\n( )\nx\nx\nf\n2\ncos\ndla\n\n\n-\n∈\n2\n3\n, π\nπ\nx\n, rozwiąŜ nierówność\nα\nsin\n2\ncos\n<\nx\nwiedząc, Ŝe miara kąta α jest równa mierze łukowej kąta środkowego okręgu\nopartego na 12\n5 okręgu.\nOdpowiedź:\nOkręgowa Komisja Egzaminacyjna w Poznaniu\nMateriał ćwiczeniowy z matematyki\nPoziom rozszerzony\n16","answer":null,"answer_text":null,"solution":null,"image":"img/matematyka-2010-styczen-probna-rozszerzona/zad-10.webp","solution_image":null,"topics":"trygonometria","page_from":15,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · styczeń 2010 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2010-styczen-probna-rozszerzona/zad/11","paper_id":"matematyka-2010-styczen-probna-rozszerzona","number":"11","points":5,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2010,"month":"styczen","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 11. (5 pkt)\nLiczba uczniów w klasie jest 812 razy mniejsza od liczby utworzonych z nich\nuporządkowanych trójek. Oblicz prawdopodobieństwo wylosowania trzech osób, które są\nzapisane w dzienniku pod numerami pierwszym, drugim, i trzecim.\nOdpowiedź:\nOkręgowa Komisja Egzaminacyjna w Poznaniu\nMateriał ćwiczeniowy z matematyki\nPoziom rozszerzony\n17\nBRUDNOPIS\nOkręgowa Komisja Egzaminacyjna w Poznaniu\nMateriał ćwiczeniowy z matematyki\nPoziom rozszerzony\n18\nBRUDNOPIS","answer":null,"answer_text":null,"solution":null,"image":"img/matematyka-2010-styczen-probna-rozszerzona/zad-11.webp","solution_image":null,"topics":"prawdopodobienstwo","page_from":16,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · styczeń 2010 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"}]}