{"paper":{"id":"matematyka-2011-czerwiec-matura-rozszerzona","subject":"matematyka","category":"matura","year":2011,"month":"czerwiec","level":"rozszerzona","variant":null,"exam_pdf":"matematyka-2011-czerwiec-matura-rozszerzona/matematyka-2011-czerwiec-matura-rozszerzona.pdf","key_pdf":"matematyka-2011-czerwiec-matura-rozszerzona-odpowiedzi/matematyka-2011-czerwiec-matura-rozszerzona-odpowiedzi.pdf","question_count":12,"source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2011 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},"questions":[{"id":"matematyka-2011-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/1","paper_id":"matematyka-2011-czerwiec-matura-rozszerzona","number":"1","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2011,"month":"czerwiec","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 1. (4 pkt)\nRozwiąż nierówność 2\n4\n5\n12\n≥\nx\nx\n\nPoziom rozszerzony\n3\nRozwiąż nierówność |2x-4|+|x-5| >= 12.","answer":null,"answer_text":"sprzeczność\nx ≥\n7","solution":"$x \\in (-\\infty, -1\\rangle \\cup \\langle 7, \\infty)$","image":"img/matematyka-2011-czerwiec-matura-rozszerzona/zad-1.webp","solution_image":"img/matematyka-2011-czerwiec-matura-rozszerzona/sol-1.svg","topics":"bezwgledna","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2011 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2011-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/2","paper_id":"matematyka-2011-czerwiec-matura-rozszerzona","number":"2","points":5,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2011,"month":"czerwiec","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 2. (5 pkt)\nWyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których równanie\n(\n)\n0\n3\n2\n2\n2\nm\nx\nm\nx\nma dwa różne pierwiastki rzeczywiste\n1x ,\n2x , spełniające warunek\n2\n2\n1\n2\n1\n2\n2\n25\n≤\nx\nx\nx x\n\nPoziom rozszerzony\n4\nWyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których równanie 2x^2-(m-2)x-3m=0 ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste x_1, x_2, spełniające warunek x_1^2+x_2^2-2x_1x_2 <= 25.","answer":null,"answer_text":"4\nx\n5\n≥\n12\n2\nx\n4\nx\n5\n≥\n12\n2\nx\n4\nx\n5\n≥\n12","solution":"$m \\in \\langle -24, -10-4\\sqrt{6}) \\cup (-10+4\\sqrt{6}, 4\\rangle$","image":"img/matematyka-2011-czerwiec-matura-rozszerzona/zad-2.webp","solution_image":"img/matematyka-2011-czerwiec-matura-rozszerzona/sol-2.svg","topics":"parametr","page_from":3,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2011 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2011-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/3","paper_id":"matematyka-2011-czerwiec-matura-rozszerzona","number":"3","points":5,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2011,"month":"czerwiec","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 3. (5 pkt)\nCiąg (\n)\n, ,\na b c jest geometryczny. Ciąg (3\n3, 2 ,\n12)\na\nb c\njest arytmetyczny i suma jego\ndwóch pierwszych wyrazów jest równa trzeciemu. Oblicz a , b , c .\n\nPoziom rozszerzony\n5\nCiąg (a, b, c) jest geometryczny. Ciąg (3a+3, 2b, c-12) jest arytmetyczny i suma jego dwóch pierwszych wyrazów jest równa trzeciemu. Oblicz a, b, c.","answer":null,"answer_text":"3\nx ≥\n11\n3\nx ≥\n21","solution":"$a = 3, b = 12, c = 48$","image":"img/matematyka-2011-czerwiec-matura-rozszerzona/zad-3.webp","solution_image":"img/matematyka-2011-czerwiec-matura-rozszerzona/sol-3.svg","topics":"ciagi","page_from":4,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2011 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2011-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/4","paper_id":"matematyka-2011-czerwiec-matura-rozszerzona","number":"4","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2011,"month":"czerwiec","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 4. (4 pkt)\nRozwiąż równanie\n2\n6sin\n7cos\n1\n0\nx\nx\ndla\n0, 2\n∈\nx\nπ .\n\nPoziom rozszerzony\n6\nRozwiąż równanie 6sin^2x + 7cos x - 1 = 0 dla x w <0,2pi>.","answer":null,"answer_text":"3\na\n3\nc\n12\nlub\n⎪⎨\nlub\n⎪⎨","solution":"$x = \\dfrac{2\\pi}{3}$ lub $x = \\dfrac{4\\pi}{3}$","image":"img/matematyka-2011-czerwiec-matura-rozszerzona/zad-4.webp","solution_image":"img/matematyka-2011-czerwiec-matura-rozszerzona/sol-4.svg","topics":"trygonometria","page_from":5,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2011 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2011-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/5","paper_id":"matematyka-2011-czerwiec-matura-rozszerzona","number":"5","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2011,"month":"czerwiec","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 5. (4 pkt)\nDany jest trójkąt ostrokątny ABC o bokach długości a, b, c i kątach α , β , γ (zobacz\nrysunek). Wykaż, że\n2\n2\n2\n2\n2\n2\ntg\ntg\nb\nc\na\na\nc\nb\nβ\nα .\nA\nB\nC\na\nb\nc\n\nPoziom rozszerzony\n7\n\nPoziom rozszerzony\n8\nDany jest trójkąt ostrokątny ABC o bokach długości a, b, c i kątach alpha, beta, gamma (zobacz rysunek). Wykaż, że {b^2+c^2-a^2\\o a^2+c^2-b^2}= {tg\\beta\\o\\tg\\alpha}.","answer":null,"answer_text":"⎪-\n⎨\nx\n5\n<\n0\n⎪-\n⎨\nx\n5\n<\n0","solution":null,"image":"img/matematyka-2011-czerwiec-matura-rozszerzona/zad-5.webp","solution_image":"img/matematyka-2011-czerwiec-matura-rozszerzona/sol-5.svg","topics":"dowody_geometryczne","page_from":6,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2011 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2011-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/6","paper_id":"matematyka-2011-czerwiec-matura-rozszerzona","number":"6","points":3,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2011,"month":"czerwiec","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 6. (3 pkt)\nWykaż, że nie istnieje wielomian\n( )\nx\nW\nstopnia trzeciego o współczynnikach całkowitych,\nktóry spełnia warunki:\n( )\n3\n2 =\nW\ni\n(\n)\n2\n2 =\nW\n\nPoziom rozszerzony\n9\nWykaż, że nie istnieje wielomian W(x) stopnia trzeciego o współczynnikach całkowitych, który spełnia warunki: W(2) = 3 i W(-2) = 2.","answer":null,"answer_text":"2\nx\n7cos\nx\n1\n0","solution":null,"image":"img/matematyka-2011-czerwiec-matura-rozszerzona/zad-6.webp","solution_image":"img/matematyka-2011-czerwiec-matura-rozszerzona/sol-6.svg","topics":"wielomiany","page_from":8,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2011 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2011-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/7","paper_id":"matematyka-2011-czerwiec-matura-rozszerzona","number":"7","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2011,"month":"czerwiec","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 7. (4 pkt)\nDany jest trójkąt ostrokątny ABC, w którym\n5\nAC =\ni\n8\nAB =\n. Pole tego trójkąta jest\nrówne 10 3 . Oblicz promień okręgu opisanego na tym trójkącie.\n\nPoziom rozszerzony\n10\nDany jest trójkąt ostrokątny ABC, w którym |AC| = 5 i |AB| = 8. Pole tego trójkąta jest równy 10 * pierwiastków z 3. Oblicz promień okręgu opisanego na tym trójkącie.","answer":null,"answer_text":"⎨\nx\n5","solution":"$R = \\dfrac{7\\sqrt{3}}{3}$","image":"img/matematyka-2011-czerwiec-matura-rozszerzona/zad-7.webp","solution_image":"img/matematyka-2011-czerwiec-matura-rozszerzona/sol-7.svg","topics":"planimetria","page_from":9,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2011 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2011-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/8","paper_id":"matematyka-2011-czerwiec-matura-rozszerzona","number":"8","points":5,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2011,"month":"czerwiec","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 8. (5 pkt)\nPunkty\n(\n)\n5, 5\nA\n,\n(\n)\n8, 6\nC\nsą przeciwległymi wierzchołkami trapezu równoramiennego\nABCD, w którym\n&\nAB CD . Prosta o równaniu\n2\ny\nx\njest osią symetrii tego trapezu. Oblicz\nwspółrzędne wierzchołków B i D oraz pole tego trapezu.\n\nPoziom rozszerzony\n11\n\nPoziom rozszerzony\n12\nPunkty A=(-5,5), C=(8,6) są przeciwległymi wierzchołkami trapezu równoramiennego ABCD, w którym AB równoległe do CD. Prosta o równaniu y=2x jest osią symetrii tego trapezu. Oblicz współrzędne wierzchołków B i D oraz pole tego trapezu.","answer":null,"answer_text":"4\nb\n2\nc\nd\n2","solution":"$B = (7, -1)$, $D = (0, 10)$, $P = 75$","image":"img/matematyka-2011-czerwiec-matura-rozszerzona/zad-8.webp","solution_image":"img/matematyka-2011-czerwiec-matura-rozszerzona/sol-8.svg","topics":"analityczna","page_from":10,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2011 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2011-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/9","paper_id":"matematyka-2011-czerwiec-matura-rozszerzona","number":"9","points":3,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2011,"month":"czerwiec","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 9. (3 pkt)\nPrzekątne trapezu ABCD przecinają się w punkcie P. Prosta równoległa do podstaw trapezu,\nprzechodząca przez punkt P, przecina ramiona AD i BC odpowiednio w punktach M i N.\nWykaż, że MP\nNP\n\nPoziom rozszerzony\n13\nPrzekątne trapezu ABCD przecinają się w punkcie P. Prosta równoległa do podstaw trapezu, przechodząca przez punkt P, przecina ramiona AD i BC odpowiednio w punktach M i N. Wykaż, że |MP|=|NP|.","answer":"A","answer_text":"⎜\n⎟\n81 32\n7\nb","solution":null,"image":"img/matematyka-2011-czerwiec-matura-rozszerzona/zad-9.webp","solution_image":"img/matematyka-2011-czerwiec-matura-rozszerzona/sol-9.svg","topics":"dowody_geometryczne","page_from":12,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2011 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2011-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/10","paper_id":"matematyka-2011-czerwiec-matura-rozszerzona","number":"10","points":5,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2011,"month":"czerwiec","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 10. (5 pkt)\nDany jest kwadrat ABCD o boku równym 2. Na bokach BC i CD wybrano odpowiednio\npunkty E i F, różne od wierzchołków kwadratu, takie że CE\nDF\nx\n. Oblicz wartość x,\ndla której pole trójkąta AEF jest najmniejsze i oblicz to pole.\n\nPoziom rozszerzony\n14\nDany jest kwadrat ABCD o boku równym 2. Na bokach BC i CD wybrano odpowiednio punkty E i F, różne od wierzchołków kwadratu, takie że |CE| = |DF| = x. Oblicz wartość x, dla której pole trójkąta AEF jest najmniejsze i oblicz to pole.","answer":"A","answer_text":null,"solution":"$x = 1$, $P = 1\\dfrac{1}{2}$","image":"img/matematyka-2011-czerwiec-matura-rozszerzona/zad-10.webp","solution_image":"img/matematyka-2011-czerwiec-matura-rozszerzona/sol-10.svg","topics":"optymalizacja","page_from":13,"source":"zadaniazmatur","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2011 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2011-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/11","paper_id":"matematyka-2011-czerwiec-matura-rozszerzona","number":"11","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2011,"month":"czerwiec","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 11. (4 pkt)\nSpośród wszystkich liczb czterocyfrowych o cyfrach ze zbioru {\n}\n1, 2, 3 losujemy jedną.\nOblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że suma wszystkich cyfr\nwylosowanej liczby jest równa 7.\n\nPoziom rozszerzony\n15\nSpośród wszystkich liczb czterocyfrowych o cyfrach ze zbioru {1,2,3} losujemy jedną. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że suma wszystkich cyfr wylosowanej liczby jest równa 7.","answer":null,"answer_text":null,"solution":"$P(A) = \\dfrac{16}{81}$","image":"img/matematyka-2011-czerwiec-matura-rozszerzona/zad-11.webp","solution_image":"img/matematyka-2011-czerwiec-matura-rozszerzona/sol-11.svg","topics":"prawdopodobienstwo","page_from":14,"source":"zadaniazmatur","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2011 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2011-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/12","paper_id":"matematyka-2011-czerwiec-matura-rozszerzona","number":"12","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2011,"month":"czerwiec","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 12. (4 pkt)\nW ostrosłupie trójkątnym ABCS o podstawie ABC i wierzchołku S dane są:\n9\nAB\nAC\nSB\nSC\ni\n8\n= BC\nAS\n. Oblicz objętość tego ostrosłupa.\n\nPoziom rozszerzony\n16\nBRUDNOPIS\n\nMMA-Rą_ąP-113\nPESEL\nWYPEŁNIA ZDAJĄCY\nWYPEŁNIA EGZAMINATOR\nSuma punktów\n0\n21\n31\n41\n22\n32\n42\n23\n33\n43\n24\n34\n44\n25\n35\n45\n26\n36\n46\n27\n37\n47\n28\n38\n48\n29\n39\n49\n1\n11\n2\n12\n13\n3\n4\n14\n5\n15\n6\n16\n7\n17\n8\n18\n9\n19\n10\n20\n30\n40\n50\nKOD EGZAMINATORA\nCzytelny podpis egzaminatora\nKOD ZDAJĄCEGO\nMiejsce na naklejkę\nz nr PESEL\nW ostrosłupie trójkątnym ABCS o podstawie ABC i wierzchołku S dane są: |AB|=|AC|=|SB|=|SC|=9 i |AS|=|BC|=8. Oblicz objętość tego ostrosłupa.","answer":null,"answer_text":null,"solution":"$V = 74\\dfrac{2}{3}$","image":"img/matematyka-2011-czerwiec-matura-rozszerzona/zad-12.webp","solution_image":"img/matematyka-2011-czerwiec-matura-rozszerzona/sol-12.svg","topics":"stereometria","page_from":15,"source":"zadaniazmatur","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2011 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"}]}