{"paper":{"id":"matematyka-2011-czerwiec-probna-podstawowa","subject":"matematyka","category":"probna","year":2011,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","variant":null,"exam_pdf":"matematyka-2011-czerwiec-probna-podstawowa/matematyka-2011-czerwiec-probna-podstawowa.pdf","key_pdf":"matematyka-2011-czerwiec-probna-podstawowa-odpowiedzi/matematyka-2011-czerwiec-probna-podstawowa-odpowiedzi.pdf","question_count":19,"source_label":"Matematyka · Matura próbna · czerwiec 2011 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},"questions":[{"id":"matematyka-2011-czerwiec-probna-podstawowa/zad/1","paper_id":"matematyka-2011-czerwiec-probna-podstawowa","number":"1","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"probna","year":2011,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 1. (1 pkt)\nLiczba\n3\n3\n1\n4\n32\na \n\n\n. Liczba odwrotna do liczby a jest równa\nA. 2\n\nB.\n1\n2\n\nC. 1\n2\nD. 2","answer":"A","answer_text":"2\n3\n4\n5\n6\n7\n8\n9\n10\n11\n12\n13","solution":null,"image":"img/matematyka-2011-czerwiec-probna-podstawowa/zad-1.webp","solution_image":null,"topics":"algebra","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · czerwiec 2011 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2011-czerwiec-probna-podstawowa/zad/2","paper_id":"matematyka-2011-czerwiec-probna-podstawowa","number":"2","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"probna","year":2011,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 2. (1 pkt)\nRównanie\n3\n2\n4\n4\n0\nx\nx\nx\n\n\n\n\nma dokładnie\nA. trzy rozwiązania:\n4,\n1,\n1\nx\nx\nx\n\n\n\nB. trzy rozwiązania:\n1,\n1,\n4\nx\nx\nx\n\n\n\nC. dwa rozwiązania:\n4,\n1\nx\nx\n\n\nD. dwa rozwiązania:\n4,\n0\nx\nx\n\n","answer":"A","answer_text":"\nACS\n2\n\n","solution":null,"image":"img/matematyka-2011-czerwiec-probna-podstawowa/zad-2.webp","solution_image":null,"topics":"wielomiany","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · czerwiec 2011 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2011-czerwiec-probna-podstawowa/zad/3","paper_id":"matematyka-2011-czerwiec-probna-podstawowa","number":"3","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"probna","year":2011,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 3. (1 pkt)\nJeżeli\n5\nlog 3\np\n\n, to liczba\n5\nlog 75 jest równa\nA. 25p\nB.\n25\np \nC. 2p\nD.\n2\np ","answer":"D","answer_text":"(\n2\n6\n)\n2\n3","solution":null,"image":"img/matematyka-2011-czerwiec-probna-podstawowa/zad-3.webp","solution_image":null,"topics":"logarytmy","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · czerwiec 2011 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2011-czerwiec-probna-podstawowa/zad/4","paper_id":"matematyka-2011-czerwiec-probna-podstawowa","number":"4","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"probna","year":2011,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 4. (1 pkt)\nWartość wyrażenia \n\n\n\n2\n2\n1\n3\n1\n3\n\n\n\njest równa\nA. 0\nB. 2 3\nC. 4 3\nD. 8","answer":"C","answer_text":"18\n\n3 1\n\n\n18 40\n\n\n720","solution":null,"image":"img/matematyka-2011-czerwiec-probna-podstawowa/zad-4.webp","solution_image":null,"topics":"algebra","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · czerwiec 2011 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2011-czerwiec-probna-podstawowa/zad/5","paper_id":"matematyka-2011-czerwiec-probna-podstawowa","number":"5","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"probna","year":2011,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 5. (1 pkt)\nDziedziną wyrażenia wymiernego\n2\n3\n2\nx\nx\n\n\njest\nA. \n\n\n\n,2\n2,\n\n\n\nB.\n3\n3\n,\n,\n2\n2\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\nC. \n\n\n\n\n\n,1\n1,5\n5,\n\n\n\n\nD. \n\n\n\n,\n2\n2,\n\n\n\n\nOkręgowa Komisja Egzaminacyjna w Łomży\nMateriały diagnostyczne z matematyki\nczerwiec 2011\n3\n\nOkręgowa Komisja Egzaminacyjna w Łomży\nMateriały diagnostyczne z matematyki\nczerwiec 2011\n4","answer":"B","answer_text":"5","solution":null,"image":"img/matematyka-2011-czerwiec-probna-podstawowa/zad-5.webp","solution_image":null,"topics":"algebra","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · czerwiec 2011 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2011-czerwiec-probna-podstawowa/zad/6","paper_id":"matematyka-2011-czerwiec-probna-podstawowa","number":"6","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"probna","year":2011,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 6. (1 pkt)\nPunkty\n\n\n1,2\nA \ni\n\n\n1,\n6\nB \n\nnależą do wykresu funkcji f. Funkcja f określona jest\nwzorem\nA.\n( )\n4\n2\nf x\nx\n\n\nB.\n( )\n4\n2\nf x\nx\n\n\nC.\n1\n( )\n2\n4\nf x\nx\n\n\nD.\n1\n( )\n2\n4\nf x\nx\n\n","answer":"B","answer_text":null,"solution":null,"image":"img/matematyka-2011-czerwiec-probna-podstawowa/zad-6.webp","solution_image":null,"topics":"funkcje","page_from":4,"source":"matugen","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · czerwiec 2011 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2011-czerwiec-probna-podstawowa/zad/7","paper_id":"matematyka-2011-czerwiec-probna-podstawowa","number":"7","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"probna","year":2011,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 7. (1 pkt)\nW ciągu arytmetycznym \n\nna\ndane są:\n1\n2\na \noraz\n2\n1\n2 5\na \n. Wtedy\nA.\n7\n3\na \nB.\n7\n1\n35\na \nC.\n7\n2\n3 5\na \nD.\n7\n4\na ","answer":"B","answer_text":null,"solution":null,"image":"img/matematyka-2011-czerwiec-probna-podstawowa/zad-7.webp","solution_image":null,"topics":"ciagi","page_from":4,"source":"matugen","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · czerwiec 2011 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2011-czerwiec-probna-podstawowa/zad/8","paper_id":"matematyka-2011-czerwiec-probna-podstawowa","number":"8","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"probna","year":2011,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 8. (1 pkt)\nW trójkącie równoramiennym ABC podstawa\n6\nAB \n, a ramiona\n5\nAC\nBC\n\n\n. Wówczas\ncosinus kąta przy podstawie tego trójkąta jest równy\nA. 4\n3\nB. 3\n4\nC. 3\n5\nD. 4\n5","answer":"C","answer_text":null,"solution":null,"image":"img/matematyka-2011-czerwiec-probna-podstawowa/zad-8.webp","solution_image":null,"topics":"trygonometria","page_from":4,"source":"matugen","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · czerwiec 2011 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2011-czerwiec-probna-podstawowa/zad/9","paper_id":"matematyka-2011-czerwiec-probna-podstawowa","number":"9","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"probna","year":2011,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 9. (1 pkt)\nDany jest trójkąt ABC, w którym\n6cm,\n8cm,\n10cm.\nAC\nAB\nBC\n\n\n\nTrójkąt ABC jest\npodobny do trójkąta\nA B C , którego najkrótszy bok ma długość 15cm. Obwód trójkąta\nA B C jest równy\nA. 9,6cm\nB. 24cm\nC. 60cm\nD. 150cm","answer":"C","answer_text":null,"solution":null,"image":"img/matematyka-2011-czerwiec-probna-podstawowa/zad-9.webp","solution_image":null,"topics":"planimetria","page_from":4,"source":"matugen","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · czerwiec 2011 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2011-czerwiec-probna-podstawowa/zad/10","paper_id":"matematyka-2011-czerwiec-probna-podstawowa","number":"10","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"probna","year":2011,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 10. (1 pkt)\nW równoległoboku ABCD bok AB zawiera się w prostej o równaniu\n2\n3\ny\nx\n\n. Wierzchołek\nD tego równoległoboku ma współrzędne \n\n2,1\n\n. Bok DC zawiera się w prostej o równaniu\nA.\n2\n3\ny\nx\n\n\nB.\n2\n1\ny\nx\n\n\nC.\n2\n5\ny\nx\n\n\nD.\n1\ny\nx\n\n\nOkręgowa Komisja Egzaminacyjna w Łomży\nMateriały diagnostyczne z matematyki\nczerwiec 2011\n5\n\nOkręgowa Komisja Egzaminacyjna w Łomży\nMateriały diagnostyczne z matematyki\nczerwiec 2011\n6","answer":"C","answer_text":null,"solution":null,"image":"img/matematyka-2011-czerwiec-probna-podstawowa/zad-10.webp","solution_image":null,"topics":"analityczna","page_from":4,"source":"matugen","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · czerwiec 2011 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2011-czerwiec-probna-podstawowa/zad/11","paper_id":"matematyka-2011-czerwiec-probna-podstawowa","number":"11","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"probna","year":2011,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 11. (1 pkt)\nW czasie remontu torowiska czas przejazdu pociągu wydłużył się o 25%. Prędkość przejazdu\nna tej trasie zmniejszyła się o\nA. 20%\nB. 25%\nC. 50%\nD. 80%","answer":"A","answer_text":null,"solution":null,"image":"img/matematyka-2011-czerwiec-probna-podstawowa/zad-11.webp","solution_image":null,"topics":"algebra","page_from":6,"source":"matugen","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · czerwiec 2011 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2011-czerwiec-probna-podstawowa/zad/12","paper_id":"matematyka-2011-czerwiec-probna-podstawowa","number":"12","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"probna","year":2011,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 12. (1 pkt)\nMaksymalny przedział, w którym funkcja\n\n\n2\n4\n3\n2\ny\nx\n\n\n\njest malejąca to\nA. \n\n,2\n\nB. \n,3\n\nC. \n\n,3\n\nD. \n,2\n","answer":"B","answer_text":null,"solution":null,"image":"img/matematyka-2011-czerwiec-probna-podstawowa/zad-12.webp","solution_image":null,"topics":"funkcje","page_from":6,"source":"matugen","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · czerwiec 2011 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2011-czerwiec-probna-podstawowa/zad/13","paper_id":"matematyka-2011-czerwiec-probna-podstawowa","number":"13","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"probna","year":2011,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 13. (1 pkt)\nRównanie okręgu o środku w punkcie\n\n\n4,\n5\nS \n\n, stycznego do osi Ox, ma postać\nA. \n\n\n\n2\n2\n4\n5\n16\nx\ny\n\n\n\n\nB. \n\n\n\n2\n2\n4\n5\n25\nx\ny\n\n\n\n\nC. \n\n\n\n2\n2\n4\n5\n25\nx\ny\n\n\n\n\nD. \n\n\n\n2\n2\n4\n5\n16\nx\ny\n\n\n\n\n\nOkręgowa Komisja Egzaminacyjna w Łomży\nMateriały diagnostyczne z matematyki\nczerwiec 2011\n7\n\nOkręgowa Komisja Egzaminacyjna w Łomży\nMateriały diagnostyczne z matematyki\nczerwiec 2011\n8\n1S\n2\nS\nA\nB\nC","answer":"B","answer_text":null,"solution":null,"image":"img/matematyka-2011-czerwiec-probna-podstawowa/zad-13.webp","solution_image":null,"topics":"analityczna","page_from":6,"source":"matugen","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · czerwiec 2011 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2011-czerwiec-probna-podstawowa/zad/14","paper_id":"matematyka-2011-czerwiec-probna-podstawowa","number":"14","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2011,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 14. (2 pkt)\nDwa okręgi o środkach\n1S i\n2\nS są styczne zewnętrznie w punkcie A. Poprowadzono prostą\nstyczną do obu okręgów odpowiednio w punktach B i C (patrz rysunek). Wykaż, że kąt BAC\njest prosty.\n\nOkręgowa Komisja Egzaminacyjna w Łomży\nMateriały diagnostyczne z matematyki\nczerwiec 2011\n9","answer":null,"answer_text":"Zadanie 14. (2 pkt)\nDwa okręgi o środkach\n1S i\n2\nS są styczne zewnętrznie w punkcie A. Poprowadzono prostą\nstyczną do obu okręgów odpowiednio w punktach B i C (patrz rysunek). Wykaż, że kąt BAC\njest prosty.\nI sposób rozwiązania\nOdcinki\n1S B i\n2\nS C są równoległe, bo styczna do obu okręgów jest prostopadła do promieni\npoprowadzonych do punktów styczności, stąd\n1\n2\n180\nBS A\nAS C\n\n\n\n\n\nMiara kąta środkowego w okręgu jest dwukrotnie większa od miary kąta dopisanego opartego\nna tym samym łuku, więc\n1\n1\n2\nCBA\nBS A\n\n\n\noraz\n2\n1\n2\nBCA\nCS A\n\n\n\nstąd wynika, że\n90\nCBA\nBCA\n\n\n\n\n\nSuma miar kątów wewnętrznych trójkąta jest równa 180, zatem\n90\nBAC \n\n\n3\n1S\n2\nS\nA\nB\nC\n\n\n\n\nSchemat oceniania I sposób rozwiązania\nZdający otrzymuje 1 punkt\ngdy:\n zauważy, że odcinki\n1S B i\n2\nS C są równoległe oraz wykorzysta twierdzenie, że miara\nkąta środkowego w okręgu jest dwukrotnie większa od miary kąta dopisanego\nopartego na tym samym łuku. Wystarczy, że zapisze np.:\n1\n2\n180\nBS A\nAS C\n\n\n\n\n\ni\n1\n1\n2\nCBA\nBS A\n\n\n\noraz\n2\n1\n2\nBCA\nCS A\n\n\n\nZdający otrzymuje 2 punkty\ngdy:\n przeprowadzi pełne rozumowanie np.: zapisze że,\n90\nCBA\nBCA\n\n\n\n\n\n, więc\n90\nBAC \n\n\nII sposób rozwiązania\nTrójkąty\n1\nBS A\ni\n2\nCS A są równoramienne. Zatem\n1\n1\nS BA\nS AB\n\n\n\n\n\noraz\n2\n2\nCAS\nACS\n\n\n\n\n\nOdcinki\n1S B i\n2\nS C są prostopadłe do stycznej, stąd\n90\nABC\n\n\n\n\n,\n90\nBCA\n\n\n\n\nNiech\nBAC\n\n\n\nKąty ABC, BCA i BAC są kątami wewnętrznymi trójkąta BAC,\nwięc 90\n90\n180\n\n\n\n\n\n\n\n\n, stąd\n\n\n\n\n\nKąt\n1\n2\nS AS jest półpełny, więc\n1\n2\n180\nS AS\n\n\n\n\n\n\n\n\n, stąd\n2\n180\n\n czyli\n90\nBAC\n\n\n\n\n4\n1S\n2\nS\nA\nB\nC\n\n\n\n\nSchemat oceniania II sposób rozwiązania\nZdający otrzymuje 1 punkt\ngdy:\n zauważy, że odcinki\n1S B i\n2\nS C są prostopadłe do stycznej, trójkąty\n1\nBS A i\n2\nCS A są\nrównoramienne i zapisze zależność 90\n90\n180\n\n\n\n\n\n\n\n\n.\nZdający otrzymuje 2 punkty\ngdy:\n\nzapisze, że\n1\n2\n180\nS AS\n\n\n\n\n\n\n\n\ni obliczy miarę kąta BAC:\n90\nBAC \n\n\nIII sposób rozwiązania\nTrójkąty\n1S AB i\n2\nAS C są równoramienne. Zatem\n1\n1\nS AB\nS BA\n\n\n\n\n\noraz\n2\n2\nS AC\nACS\n\n\n\n\n\nKąty\n1\n1\n1\n,\n,\nS AB S BA BS A są kątami wewnętrznymi trójkąta\n1S AB , więc\n1\n180\n2\nBS A\n\n\n\n\nCzworokąt\n1\n2\nS S CB jest trapezem więc\n2\n2\nAS C\n\n\n\nSuma miar kątów trójkąta\n2\nAS C jest równa:\n2\n2\n2\n2\n180\nAS C\nS AC\nACS\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n, stąd 2\n2\n180\n\n\n\n\n, więc\n90\n\n\n\n\n.\nKąt\n1\n2\nS AS jest półpełny więc\n180\nBAC\n\n\n\n\n\n\n\n, zatem\n90\nBAC \n\n\n5\nSchemat oceniania III sposób rozwiązania\nZdający otrzymuje 1 punkt\ngdy:\n zauważy, że trójkąty\n1S AB i\n2\nAS C są równoramienne, zapisze\n1\n1\nS AB\nS BA\n\n\n\ni\n2\n2\nS AC\nACS\n\n\n\ni\n1\n180\n2\nBS A\n\n\n\n\noraz zauważy, że czworokąt\n1\n2\nS S CB jest\ntrapezem więc\n2\n2\nAS C\n\n\n\nZdający otrzymuje 2 punkty\ngdy:\n zapisze, że suma kątów trójkąta\n2\nAS C jest równa: 2\n2\n180\n\n\n\n\n, więc\n90\n\n\n\n\n\ni kąt\n1\n2\nS AS jest półpełny więc , zatem\n90\nBAC \n\n\n6","solution":null,"image":"img/matematyka-2011-czerwiec-probna-podstawowa/zad-14.webp","solution_image":null,"topics":"dowody_geometryczne","page_from":8,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · czerwiec 2011 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2011-czerwiec-probna-podstawowa/zad/15","paper_id":"matematyka-2011-czerwiec-probna-podstawowa","number":"15","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2011,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 15. (2 pkt)\nTrójkąt ABC jest prostokątny. W trójkącie tym miara kąta BAC jest równa 90,\n3,\n4,\n2\n5\nAB\na\nAC\na\nBC\na\n\n\n\n\n\n\n. Oblicz długości boków tego trójkąta.\nOdpowiedź:\n\nOkręgowa Komisja Egzaminacyjna w Łomży\nMateriały diagnostyczne z matematyki\nczerwiec 2011\n10","answer":null,"answer_text":"Zadanie 15. (2 pkt)\nTrójkąt ABC jest prostokątny. W trójkącie tym miara kąta BAC jest równa 90,\n3,\n4,\n2\n5\nAB\na\nAC\na\nBC\na\n\n\n\n\n\n\n. Oblicz długości boków tego trójkąta.\nRozwiązanie\nZ twierdzenia Pitagorasa otrzymujemy równanie\n\n\n\n\n\n\n2\n2\n2\n3\n4\n2\n5\na\na\na\n\n\n\n\n\ni\n2,5\na \nPo przekształceniach otrzymujemy równanie\n2\n2\n34\n0\na\na\n\n\nWtedy\n1\n0\na \n(sprzeczne z założeniem) oraz\n2\n17\na \nObliczamy długości boków tego trójkąta:\n20\n\nAB\n,\n21\n\nAC\n,\n29\n\nBC\nSchemat oceniania\nZdający otrzymuje 1 punkt\ngdy:\n rozwiąże równanie \n\n\n\n\n\n2\n2\n2\n5\n2\n4\n3\n\n\n\n\n\na\na\na\n:\n17\n\na\ni na tym poprzestanie lub\ndalej popełnia błędy.\nZdający otrzymuje 2 punkty\ngdy:\n obliczy długości boków\n20\n\nAB\n,\n21\n\nAC\n,\n29\n\nBC\nUwagi\n1. Jeżeli zdający popełni błąd rachunkowy przy rozwiązywaniu równania kwadratowego\ni konsekwentnie do popełnionego błędu obliczy długości boków tego trójkąta, to za całe\nrozwiązanie otrzymuje 1 punkt.\n2. Jeżeli zdający błędnie zapisze równanie kwadratowe, to za całe zadanie otrzymuje\n0 punktów.\n4\na \n3\na \n2\n5\na \nC\nB\n\nA\n7\nc\n7x\n2 6x\n\n\nx\nc\n2x\n\n","solution":"$|AB| = 20$, $|AC| = 21$, $|BC| = 29$","image":"img/matematyka-2011-czerwiec-probna-podstawowa/zad-15.webp","solution_image":null,"topics":"planimetria","page_from":9,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · czerwiec 2011 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2011-czerwiec-probna-podstawowa/zad/16","paper_id":"matematyka-2011-czerwiec-probna-podstawowa","number":"16","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2011,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 16. (2 pkt)\nZbadaj, czy istnieje taki kąt ostry , dla którego\n2 6\ncos\n7\n\ni\n1\ntg\n2\n\n. Odpowiedź\nuzasadnij.\nOdpowiedź:\n\nOkręgowa Komisja Egzaminacyjna w Łomży\nMateriały diagnostyczne z matematyki\nczerwiec 2011\n11","answer":null,"answer_text":"Zadanie 16. (2 pkt)\nZbadaj, czy istnieje taki kąt ostry , dla którego\n2 6\ncos\n7\n\ni\n1\ntg\n2\n\n. Odpowiedź\nuzasadnij.\nI sposób rozwiązania\nRysujemy trójkąt prostokątny i wprowadzamy oznaczenia np.:\n2 6x - długość przyprostokątnej leżącej przy kącie \n7x - długość przeciwprostokątnej\nc - długość przyprostokątnej leżącej naprzeciw kąta \nZ twierdzenia Pitagorasa otrzymujemy równanie: \n\n\n\n2\n2\n2\n2 6\n7\nx\nc\nx\n\n\nWtedy\n5\nc\nx\n\nZ definicji funkcji trygonometrycznych kąta ostrego w trójkącie prostokątnym otrzymujemy:\n5\n5\ntg\n2 6\n2 6\nx\nx\n\n\nZ treści zadania wynika, że\n1\ntg\n2\n\nOtrzymujemy sprzeczność, zatem nie istnieje taki kąt .\nII sposób rozwiązania\nRysujemy trójkąt prostokątny i wprowadzamy oznaczenia np.:\nx - długość przyprostokątnej leżącej naprzeciw kąta \n2x - długość przyprostokątnej leżącej przy kącie \nc - długość przeciwprostokątnej\n8\nZ twierdzenia Pitagorasa otrzymujemy równanie: \n\n2\n2\n2\n2x\nx\nc\n\n\n. Wtedy\n5\nc\nx\n\nZ definicji funkcji trygonometrycznych kąta ostrego w trójkącie prostokątnym otrzymujemy:\n2\n2 5\ncos\n5\n5\nx\nx\nx\n\n\nZ treści zadania wynika, że\n2 6\ncos\n7\nx \nOtrzymaliśmy sprzeczność, zatem nie istnieje taki kąt .\nSchemat oceniania I i II sposobu rozwiązania\nZdający otrzymuje 1 punkt\ngdy:\n zaznaczy kąt  w trójkącie prostokątnym i wyznaczy długości jego boków\nw zależności od współczynnika proporcjonalności np.:\n5 , 2 6 , 7\nx\nx\nx lub\n, 2 ,\n5\nx\nx\nx i na tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy.\nUwaga\nZdający może przyjąć współczynnik proporcjonalności równy 1.\nZdający otrzymuje 2 punkty\ngdy:\n obliczy\n5\ntg\n2 6\n\n, porówna z wartością podaną w treści zadania i stwierdzi, że\ntaki kąt nie istnieje.\nalbo\n obliczy\n2 5\ncos\n5\n\n, porówna z wartością podaną w treści zadania i stwierdzi, że\ntaki kąt nie istnieje.\n9\nIII sposób rozwiązania\nKorzystamy z tożsamości\n2\n2\nsin\ncos\n1\n\n\n\n, otrzymujemy:\n2\n2\n2 6\nsin\n1\n7\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n, a stąd\n5\nsin\n7\n\n. ( kąt ostry (sin\n0\n\n)).\nKorzystamy ze związku między funkcjami trygonometrycznymi tego samego kąta\nsin\ntg\ncos\n\n\n\n\n, otrzymujemy\n5\n5\n5 6\n7\ntg\n12\n2 6\n2 6\n7\n\n\n\nZ treści zadania wynika, że\n1\ntg\n2\n\nOtrzymujemy sprzeczność, zatem nie istnieje taki kąt .\nIV sposób rozwiązania\nKorzystamy ze związku między funkcjami trygonometrycznymi tego samego kąta\nsin\ntg\ncos\n\n\n\n\n, otrzymujemy\n6\nsin\n7\n\nKorzystamy z tożsamości\n2\n2\nsin\ncos\n1\n\n\n\n, otrzymujemy:\n2\n2\n6\n2 6\n30\n1\n7\n7\n49\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\nOtrzymujemy sprzeczność, zatem nie istnieje taki kąt .\nSchemat oceniania III i IV sposobu rozwiązania\nZdający otrzymuje 1 punkt\ngdy:\n obliczy wartość\n5\nsin\n7\n\nkorzystając ze związku\n2\n2\nsin\ncos\n1\n\n\n\n i na tym\npoprzestanie lub dalej popełnia błędy.\nalbo\n obliczy wartość\n6\nsin\n7\n\nkorzystając ze związku\nsin\ntg\ncos\n\n\n\n\ni na tym\npoprzestanie lub dalej popełnia błędy.\n10\nZdający otrzymuje 2 punkty\ngdy:\n obliczy\n5\ntg\n2 6\n\n(gdy\n5\nsin\n7\n\n), porówna z wartością podaną w treści zadania\ni stwierdzi, że taki kąt nie istnieje.\nalbo\n podstawi wartość\n6\nsin\n7\n\ndo związku\n2\n2\nsin\ncos\n1\n\n\n\n i stwierdzi, że taki\nkąt nie istnieje.\nV sposób rozwiązania\nDla\n2 6\ncos\n7\n\nodczytujemy z tablic trygonometrycznych przybliżoną miarę kąta:\n46\n\n\n(akceptujemy\n45\n\n).\nDla\n1\ntg\n2\n\nodczytujemy z tablic trygonometrycznych przybliżoną miarę kąta:\n27\n\n\n(akceptujemy\n26\n\n).\nOtrzymane wyniki (różne miary kąta  w tym samym trójkącie) pozwalają stwierdzić, że\ntaki kąt nie istnieje.\nSchemat oceniania V sposobu rozwiązania\nZdający otrzymuje 1 punkt\ngdy:\n odczyta z tablic przybliżoną wartość kąta dla\n2 6\ncos\n7\n\n:\n46\n\n (akceptujemy\n45\n\n) i na tym zakończy lub dalej popełnia błędy\nalbo\n odczyta z tablic przybliżoną wartość kąta dla\n1\ntg\n2\n\n:\n27\n\n (akceptujemy\n26\n\n) i na tym zakończy lub dalej popełnia błędy.\nZdający otrzymuje 2 punkty\ngdy:\n dla wyznaczonej wartości kąta  (gdy\n2 6\ncos\n7\n\n) odczyta z tablic wartość\ntg, porówna ją z wartością podaną w treści zadania i stwierdzi, że taki kąt nie\nistnieje.\nalbo\n11\n dla wyznaczonej wartości kąta  (gdy\n1\ntg\n2\n\n) odczyta z tablic wartość cos,\nporówna ją z wartością podaną w treści zadania i stwierdzi, że taki kąt nie istnieje.\nUwagi\n1. Wszystkie rozwiązania, w których zdający błędnie zaznaczy kąt  w przedstawionym\nprzez siebie rysunku i z tego korzysta oceniamy na 0 punktów.\n2. Jeśli zdający narysuje dwa trójkąty prostokątne, oznaczy długości boków odpowiednio:\n5, 2 6, 7 i 1, 2,\n5 (lub na jednym z nich zaznaczy długości boków obu trójkątów) bez\nwspółczynnika proporcjonalności i stwierdzi, że boki mają różną długość, zatem nie\nistnieje taki kąt, to otrzymuje 0 punktów. W takim przypadku wymagamy udowodnienia,\nże boki takich trójkątów nie są proporcjonalne.\n3. Jeśli zdający nie odrzuci odpowiedzi ujemnej, to otrzymuje 1 punkt.\n12","solution":"nie istnieje taki kąt $\\alpha$","image":"img/matematyka-2011-czerwiec-probna-podstawowa/zad-16.webp","solution_image":null,"topics":"trygonometria","page_from":10,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · czerwiec 2011 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2011-czerwiec-probna-podstawowa/zad/17","paper_id":"matematyka-2011-czerwiec-probna-podstawowa","number":"17","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2011,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 17. (2 pkt)\nCiąg geometryczny \n\nna\nokreślony jest wzorem\n1\n2 3n\nna\n\n\n. Oblicz iloraz tego ciągu oraz\nsumę czterech początkowych wyrazów tego ciągu.\nOdpowiedź:\n\nOkręgowa Komisja Egzaminacyjna w Łomży\nMateriały diagnostyczne z matematyki\nczerwiec 2011\n12","answer":null,"answer_text":"Zadanie 17. (2 pkt)\nCiąg geometryczny \n\nna\nokreślony jest wzorem\n1\n2 3n\nna\n\n\n. Oblicz iloraz tego ciągu oraz\nsumę czterech początkowych wyrazów tego ciągu.\nRozwiązanie\nObliczamy iloraz ciągu \n\nna\n:\n2\n1\n1\n2 3\n3\n2 3\nn\nn\nn\nn\na\nq\na\n\n\n\n\n\n\n\n\nObliczamy pierwszy wyraz ciągu \n\nna\n:\n2\n1\n2 3\n18\na \n\nObliczamy sumę czterech początkowych wyrazów tego ciągu wykorzystując wzór na sumę\nn początkowych wyrazów ciągu geometrycznego\n1\n1\n1\nn\nn\nq\nS\na\nq\n\n\n\n\n:\n4\n4\n3\n1\n18\n18 40\n720\n3 1\nS\n\n\n\n\n\n\n\nUwaga\nZdający\nmoże\nobliczyć\nsumę\nciągu\ngeometrycznego\nwykorzystując\nwzór:\n\n\n2\n3\n2\n3\n4\n1\n1\n1\n1\n18 1 3\n3\n3\n720\nS\na\na q\na q\na q\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\nlub\n4\n1\n2\n3\n4\nS\na\na\na\na\n\n\n\n\n,\ngdzie\n2\n1\n2 3\n18\na \n\n,\n3\n2\n2 3\n54\na \n\n,\n4\n3\n2 3\n162\na \n\n,\n5\n4\n2 3\n486\na \n\nSchemat oceniania\nZdający otrzymuje 1 punkt\ngdy:\n obliczy\n1\n18\na \ni obliczy iloraz ciągu \n\nna\n:\n3\nq \ni na tym zakończy lub dalej\npopełnia błędy.\nalbo\n obliczy\n1\n18\na \n,\n2\n54\na \n,\n3\n162\na \n,\n4\n486\na \ni na tym zakończy lub dalej\npopełnia błędy.\nZdający otrzymuje 2 punkty\ngdy:\n iloraz tego ciągu oraz sumę czterech początkowych wyrazów tego ciągu.\nUwagi\n1. Jeżeli zdający popełni błąd rachunkowy przy obliczaniu pierwszego wyrazu lub\nilorazu tego ciągu i konsekwentnie rozwiąże zadanie do końca, to za całe rozwiązanie\notrzymuje 1 punkt.\n2. Jeżeli zdający popełni jeden błąd rachunkowy przy obliczaniu czterech pierwszych\nwyrazów tego ciągu i konsekwentnie rozwiąże zadanie do końca, to za całe\nrozwiązanie otrzymuje 1 punkt.\n13\n\n\n\n\n1, 5\nA \nB\nC\n\n\n1, 3\nS \nD\n\na\na\na\nh","solution":"$q=3, S_{4}=-720$","image":"img/matematyka-2011-czerwiec-probna-podstawowa/zad-17.webp","solution_image":null,"topics":"ciagi","page_from":11,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · czerwiec 2011 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2011-czerwiec-probna-podstawowa/zad/18","paper_id":"matematyka-2011-czerwiec-probna-podstawowa","number":"18","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2011,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 18. (4 pkt)\nDany jest trójkąt równoboczny ABC, w którym wysokości przecinają się w punkcie\no współrzędnych\n\n\n1,3\nS \n. Jeden z wierzchołków tego trójkąta ma współrzędne\n\n\n1,5\nA \nOblicz pole i obwód tego trójkąta.\n\nOkręgowa Komisja Egzaminacyjna w Łomży\nMateriały diagnostyczne z matematyki\nczerwiec 2011\n13\nOdpowiedź:\n\nOkręgowa Komisja Egzaminacyjna w Łomży\nMateriały diagnostyczne z matematyki\nczerwiec 2011\n14","answer":null,"answer_text":"Zadanie 18. (4 pkt)\nDany jest trójkąt równoboczny ABC, w którym wysokości przecinają się w punkcie\no współrzędnych\n\n\n1,3\nS \n. Jeden z wierzchołków tego trójkąta ma współrzędne\n\n\n1,5\nA \nOblicz pole i obwód tego trójkąta.\nI sposób rozwiązania\nRysujemy trójkąt równoboczny ABC i wprowadzamy oznaczenia np.:\nKorzystamy z własności trójkąta równobocznego i zapisujemy :\n2\n3\nAS\nAD\n\n,\n3\n2\na\nAD\nh\n\n\nObliczamy\n2\n2\n8\n)\n5\n3\n(\n)1\n1(\n2\n2\n\n\n\n\n\n\nAS\n, zatem\n2\n2\n2\n3\n3\n2\n\na\nstąd\n6\n2\n\na\nObliczamy pole trójkąta:\n3\n6\n4\n3\n)\n6\n2\n(\n4\n3\n2\n2\n\n\na\nP\nObliczamy obwód trójkąta:\n3\n3 2 6\n6 6\nO\na\n\n\n\nSchemat oceniania I sposobu rozwiązania\nRozwiązanie, w którym postęp jest wprawdzie niewielki, ale konieczny na drodze do\ncałkowitego rozwiązania zadania 1 punkt\n obliczenie długości odcinka\n2 2.\nAS \nRozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 punkty\n zauważenie, że\n2\n3\nAS\nh\n\ni zapisanie równości\n3\n2 2.\n3\na\n\nalbo\n obliczenie wysokości\n2\n3\n2\n3 \na\nh\n14\n\n\n\n\n1, 5\nA \nB\nC\n\n\n1, 3\nS \nD\n\na\na\na\nh\nF\n30\nPokonanie zasadniczych trudności zadania 3 punkty\n obliczenie długości boku trójkąta równobocznego:\n6\n2\n\na\nRozwiązanie pełne 4 punkty\nObliczenie pola i obwodu trójkąta równobocznego:\n3\n6\n4\n3\n2\n\na\nP\n,\n6 6\nO \nII sposób rozwiązania\nObliczamy długość odcinka\n4\n4\n2 2\nAS \n\n\nZ trójkąta AFS obliczamy długość boku AF: cos30\nAF\nAS\n\n, stąd\n3\n2 2\n6\n2\nAF \n\n\nObliczamy długość boku trójkąta:\n2\n2 6\na\nAF\n\n\n\nObliczamy pole trójkąta:\n3\n6\n4\n3\n)\n6\n2\n(\n4\n3\n2\n2\n\n\na\nP\nObliczamy obwód trójkąta:\n3\n3 2 6\n6 6\nO\na\n\n\n\nSchemat oceniania II sposobu rozwiązania\nRozwiązanie, w którym postęp jest wprawdzie niewielki, ale konieczny na drodze do\ncałkowitego rozwiązania zadania 1punkt\n obliczenie długości odcinka\n2 2\nAS \nRozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2punkty\n zauważenie, że trójkąt\n30\nSAF \n\n\ni zapisanie cos30\nAF\nAS\n\nPokonanie zasadniczych trudności zadania 3punkty\n obliczenie długości boku trójkąta równobocznego:\n2\n2 6\na\nAF\n\n\n15\nRozwiązanie pełne 4 punkty\nObliczenie pola i obwodu trójkąta równobocznego:\n3\n6\n4\n3\n2\n\na\nP\n,\n6 6\nO \nIII sposób rozwiązania\nPunkt S jest środkiem okręgu opisanego na trójkącie równobocznym. Punkt A należy do tego\nokręgu.\nKorzystamy z równania okręgu i otrzymujemy: \n\n\n\n2\n2\n2\n1 1\n5\n3\nr\n\n\n\n\n, stąd\n2\n8\nr \n, zatem\n2 2\nr \nObliczamy długość boku trójkąta:\n2\n2\n3\n3\n3\n2\na\nr\nAS\nh\n\n\n\n\n, zatem\n2 6\na \nObliczamy pole trójkąta:\n3\n6\n4\n3\n)\n6\n2\n(\n4\n3\n2\n2\n\n\na\nP\nObliczamy obwód trójkąta:\n3\n3 2 6\n6 6\nO\na\n\n\n\nUwaga\nZdający może obliczyć wysokość trójkąta równobocznego\n3 2\nh \n, następnie obliczyć\ndługość boku trójkąta z twierdzenia Pitagorasa lub z własności trójkąta prostokątnego\no kątach ostrych 30 i 60.\nSchemat oceniania III sposobu rozwiązania\nRozwiązanie, w którym postęp jest wprawdzie niewielki, ale konieczny na drodze do\ncałkowitego rozwiązania zadania 1punkt\n obliczenie długości promienia okręgu opisanego na trójkącie równobocznym:\n2 2\nr \nUwaga\nZdający może przedstawić wynik w postaci\n8\nr \n\n\n\n1, 5\nA \nB\nC\n\n\n1, 3\nS \n\na\na\na\nh\n30\n60\n16\nRozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2punkty\n Zauważenie, że\n2\n3\nr\nh\n\ni zapisanie równości\n3\n2 2.\n3\na\n\nPokonanie zasadniczych trudności zadania 3punkty\n Obliczenie długości boku trójkąta równobocznego:\n2 6.\na \nRozwiązanie pełne 4 punkty\nObliczenie pola i obwodu trójkąta równobocznego:\n3\n6\n4\n3\n2\n\na\nP\n,\n6 6\nO \nUwagi\n1. Jeśli zdający popełni błąd rachunkowy i konsekwentnie do popełnionego błędu rozwiąże\nzadanie, to przyznajemy 3 punkty.\n2. Jeśli zdający przyjmie, że S jest środkiem wysokości trójkąta równobocznego\n1\n2\nAS\nh\n\n\n\n\n\n\n\n, to za całe rozwiązanie przyznajemy 1 punkt (za obliczenie AS ).\n17","solution":"$P=6\\sqrt{3}, O=6\\sqrt{6}$","image":"img/matematyka-2011-czerwiec-probna-podstawowa/zad-18.webp","solution_image":null,"topics":"analityczna","page_from":12,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · czerwiec 2011 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2011-czerwiec-probna-podstawowa/zad/19","paper_id":"matematyka-2011-czerwiec-probna-podstawowa","number":"19","points":5,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2011,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 19. (5 pkt)\nDwie prostokątne działki rekreacyjne mają taką samą powierzchnię równą\n2\n310m . Długość\ndrugiej działki jest o 4,8 m krótsza od długości pierwszej, a szerokość o 3 m dłuższa od\nszerokości pierwszej. Podaj wymiary działki o mniejszym obwodzie.\n\nOkręgowa Komisja Egzaminacyjna w Łomży\nMateriały diagnostyczne z matematyki\nczerwiec 2011\n15\nOdpowiedź:\n\nOkręgowa Komisja Egzaminacyjna w Łomży\nMateriały diagnostyczne z matematyki\nczerwiec 2011\n16","answer":null,"answer_text":"Zadanie 19. (5 pkt)\nDwie prostokątne działki rekreacyjne mają taką samą powierzchnię równą\n2\n310m . Długość\ndrugiej działki jest o 4,8 m krótsza od długości pierwszej, a szerokość o 3 m dłuższa od\nszerokości pierwszej. Podaj wymiary działki o mniejszym obwodzie.\nRozwiązanie\nPrzyjmujemy oznaczenia np.: x, y - wymiary I działki: x - długość, y - szerokość\nZapisujemy układ równań:\n\n\n\n310\n4,8\n3\n310\nx y\nx\ny\n\n\n\n\n\n\n\n\nPrzekształcamy drugie równanie w sposób równoważny:\n3\n4,8\n14,4\n310\nx y\nx\ny\n\n\n\n\n\n,\npodstawiamy do tego równania\n310\nx y\n\n\ni wyznaczamy z tego równania niewiadomą x:\n1,6\n4,8\nx\ny\n\n\nWyznaczoną wartość x podstawiamy do pierwszego równania \n\n1,6\n4,8\n310\ny\ny\n\n\n\ni doprowadzamy to równanie do postaci:\n2\n1,6\n4,8\n310\n0\ny\ny\n\n\n\n, które ma dwa rozwiązania\n1\n15,5\ny \n(nie spełnia warunków zadania) i\n2\n12,5\ny \nZatem, jeżeli\n12,5\ny \n, to\n24,8\nx \ni wtedy działka I ma wymiary: 24,8 mx 12,5 m, zaś\ndziałka II: 20 m x 15,5 m .\nObliczamy obwód I działki: 2 24,8\n2 12,5\n74,6 m\n\n\n\n\nObliczamy obwód II działki: 2 20\n2 15,5\n71m\n\n\n\nZapisujemy odpowiedź: Działka o mniejszym obwodzie ma wymiary: 20 m x 15,5 m .\nalbo\nPrzyjmujemy oznaczenia np.: x, y - wymiary II działki: x - długość, y - szerokość\nZapisujemy układ równań:\n\n\n\n310\n4,8\n3\n310\nx y\nx\ny\n\n\n\n\n\n\n\n\nPrzekształcamy drugie równanie w sposób równoważny:\n3\n4,8\n14,4\n310\nx y\nx\ny\n\n\n\n\n\n,\npodstawiamy do tego równania\n310\nx y\n\n\ni wyznaczamy z tego równania niewiadomą x:\n1,6\n4,8\nx\ny\n\n\nWyznaczoną wartość x podstawiamy do pierwszego równania \n\n1,6\n4,8\n310\ny\ny\n\n\n\ni doprowadzamy to równanie do postaci:\n2\n1,6\n4,8\n310\n0\ny\ny\n\n\n\n, które ma dwa rozwiązania\n1\n15,5\ny \ni\n2\n12,5\ny \n(nie spełnia warunków zadania).\nZatem, jeżeli\n15,5\ny \n, to\n20\nx \ni wtedy działka II ma wymiary: 20 m x 15,5 m , zaś działka\nII: 24,8 mx 12,5 m.\nObliczamy obwód II działki: 2 20\n2 15,5\n71m\n\n\n\nObliczamy obwód I działki: 2 24,8\n2 12,5\n74,6 m\n\n\n\n\nZapisujemy odpowiedź: Działka o mniejszym obwodzie ma wymiary: 20 m x 15,5 m .\n18\nSchemat oceniania\nRozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego\nrozwiązania zadania 1 pkt\n wprowadzenie oznaczeń, np.: x, y - wymiary I działki i zapisanie równania\n\n\n\n4,8\n3\n310\nx\ny\n\n\n\n\nalbo\n wprowadzenie oznaczeń, np.: x, y - wymiary II działki i zapisanie równania\n\n\n\n4,8\n3\n310\nx\ny\n\n\n\n\nUwaga\nNie wymagamy opisania oznaczeń literowych, jeżeli z rozwiązania można wywnioskować,\nże zdający poprawnie je stosuje.\nRozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 pkt\nZapisanie układu równań z niewiadomymi x i y , np.:\n\n\n\n310\n4,8\n3\n310\nx y\nx\ny\n\n\n\n\n\n\n\n\n, gdzie x, y - wymiary I działki\nalbo\n\n\n\n310\n4,8\n3\n310\nx y\nx\ny\n\n\n\n\n\n\n\n\n, gdzie x, y - wymiary II działki\nUwaga\nZdający nie musi zapisywać układu równań, może od razu zapisać równanie z jedną\nniewiadomą.\nPokonanie zasadniczych trudności zadania 3 pkt\nZapisanie równania z jedną niewiadomą x lub y , np:\n2\n1,6\n4,8\n310\n0\ny\ny\n\n\n\n, gdzie y - szerokość I działki\nalbo\n2\n4,8\n496\n0\nx\nx\n\n\n\n, gdzie x, - długość I działki\nalbo\n2\n1,6\n4,8\n310\n0\ny\ny\n\n\n\n, gdzie y - szerokość II działki\nalbo\n19\n2\n4,8\n496\n0\nx\nx\n\n\n\n, gdzie x, - długość II działki\nRozwiązanie prawie całkowite 4 pkt\n rozwiązanie równania kwadratowego z niewiadomą y:\n12,5\ny \ni obliczenie długości\nI działki:\n24,8\nx \nalbo\n rozwiązanie równania kwadratowego z niewiadomą x:\n24,8\nx \ni obliczenie szerokości\nI działki:\n12,5\ny \nalbo\n rozwiązanie równania kwadratowego z niewiadomą y:\n15,5\ny \ni obliczenie długości\nII działki:\n20\nx \nalbo\n rozwiązanie równania kwadratowego z niewiadomą x:\n20\nx \ni obliczenie szerokości\nII działki:\n15,5\ny \nRozwiązanie zadania do końca lecz z usterkami, które jednak nie przekreślają\npoprawności rozwiązania (np. błędy rachunkowe) 4 pkt\nRozwiązanie równania z niewiadomą x lub y z błędem rachunkowym i konsekwentne\nrozwiązanie zadania do końca.\nRozwiązanie pełne 5 pkt\nPodanie wymiarów działki o mniejszym obwodzie: 20 m x 15,5 m .\nUwagi\n1. Jeżeli zdający podaje (bez obliczeń) odpowiedź: wymiary działki o mniejszym\nobwodzie, to: 20 m x 15,5 m , otrzymuje 0 punktów.\n2. Jeżeli zdający od razu zapisze i uzasadni, że obwód drugiej działki jest mniejszy i na\ntym poprzestanie, otrzymuje 1 punkt. np.:\n\n\n1\n2\nO\nx\ny\n\n\n\ni\n\n\n\n\n2\n2\n3\n4,8\n2\n1,8\nO\nx\ny\nx\ny\n\n\n\n\n\n\n\n\n, zatem\n1\n2\nO\nO\n","solution":"$20\\text{ m} \\times 15{,}5\\text{ m}$","image":"img/matematyka-2011-czerwiec-probna-podstawowa/zad-19.webp","solution_image":null,"topics":"uklady_rownan","page_from":14,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · czerwiec 2011 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"}]}