{"paper":{"id":"matematyka-2011-maj-matura-podstawowa","subject":"matematyka","category":"matura","year":2011,"month":"maj","level":"podstawowa","variant":null,"exam_pdf":"matematyka-2011-maj-matura-podstawowa/matematyka-2011-maj-matura-podstawowa.pdf","key_pdf":"matematyka-2011-maj-matura-podstawowa-odpowiedzi/matematyka-2011-maj-matura-podstawowa-odpowiedzi.pdf","question_count":33,"source_label":"Matematyka · Matura · maj 2011 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},"questions":[{"id":"matematyka-2011-maj-matura-podstawowa/zad/1","paper_id":"matematyka-2011-maj-matura-podstawowa","number":"1","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2011,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 1. (1 pkt)\nWskaż nierówność, którą spełnia liczba π .\nA.\n5\n1 >\nx\nB.\n1\n2\nx -\n<\nC.\n2\n4\n3\nx +\n≤\nD.\n3\n3\n1 ≥\nx\nMatura podstawowa z matematyki 2011. Wskaż nierówność, którą spełnia liczba pi. A. |x+1|>5 B. |x-1|<2 C. |x+(2/3)|<=4 D. |x-(1/3|>=3","answer":"C","answer_text":"Zadanie 1. (0-1)\nObszar standardów\nOpis wymagań\nPoprawna\nodpowiedź\n(1 p.)\nWykorzystanie i tworzenie\ninformacji\nWykorzystanie pojęcia wartości\nbezwzględnej\nC","solution":"## Poprawna odpowiedź: D - \\(2\\sqrt{5}\\)\n\n## Sposób 1 - Rozkład na czynniki pod pierwiastkiem\n\nSzukamy rozkładu liczby 20 na iloczyn, gdzie jeden czynnik jest **pełnym kwadratem**.\n\n\\[20 = 4 \\cdot 5\\]\n\nLiczba 4 to pełny kwadrat (\\(4 = 2^2\\)), więc:\n\n\\[\\sqrt{20} = \\sqrt{4 \\cdot 5} = \\sqrt{4} \\cdot \\sqrt{5} = 2\\sqrt{5}\\]\n\n**Odpowiedź: \\(2\\sqrt{5}\\)**\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja przez podniesienie do kwadratu\n\nSprawdzamy, czy \\((2\\sqrt{5})^2 = 20\\):\n\n\\[(2\\sqrt{5})^2 = 2^2 \\cdot (\\sqrt{5})^2 = 4 \\cdot 5 = 20\\]\n\nZgadza się, zatem \\(\\sqrt{20} = 2\\sqrt{5}\\). ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 2 (Potęgi i pierwiastki, s. 4-5)** - własność pierwiastka z iloczynu:\n\\[\\sqrt{a \\cdot b} = \\sqrt{a} \\cdot \\sqrt{b}\\]\nUżyliśmy tego w Sposobie 1, rozkładając \\(\\sqrt{20} = \\sqrt{4 \\cdot 5}\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Wyrażenie | Kwadrat | Błąd |\n| A | \\(5\\sqrt{2}\\) | \\((5\\sqrt{2})^2 = 25 \\cdot 2 = 50 \\neq 20\\) | Zamieniono czynniki: wzięto \\(20 = 10 \\cdot 2\\), ale \\(\\sqrt{10}\\) nie jest całkowite - i tak wyciągnięto 5 zamiast \\(\\sqrt{10}\\) |\n| B | \\(5\\sqrt{4}\\) | \\((5\\sqrt{4})^2 = 25 \\cdot 4 = 100 \\neq 20\\) | \\(5\\sqrt{4} = 5 \\cdot 2 = 10\\), a nie \\(\\sqrt{20}\\); mylenie upraszczania z podstawieniem liczb |\n| C | \\(4\\sqrt{5}\\) | \\((4\\sqrt{5})^2 = 16 \\cdot 5 = 80 \\neq 20\\) | Wyciągnięto \\(\\sqrt{16}\\) zamiast \\(\\sqrt{4}\\) - użyto rozkładu \\(80 = 16 \\cdot 5\\) zamiast \\(20 = 4 \\cdot 5\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Szukamy **największego** pełnego kwadratu dzielącego liczbę pod pierwiastkiem. Dla 20: dzielniki to 1, 2, 4, 5, 10, 20 - pełnymi kwadratami są 1 i **4**. Bierzemy 4, nie 1.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\(5\\sqrt{4}\\) to NIE jest uproszczona postać pierwiastka - \\(\\sqrt{4} = 2\\), więc to po prostu 10. Wyrażenie \\(a\\sqrt{b}\\) ma sens tylko gdy \\(b\\) nie zawiera pełnych kwadratów jako czynników.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy weryfikacji pamiętaj: \\((a\\sqrt{b})^2 = a^2 \\cdot b\\) - potęgujemy **osobno** współczynnik i część pod pierwiastkiem.\n\n**Poprawna odpowiedź: D**\n\n### Sposób 1 - Rozkład na czynniki pierwsze\n\\(20 = 4\\cdot 5\\), więc:\n\\[\\sqrt{20} = \\sqrt{4\\cdot 5} = \\sqrt{4}\\cdot \\sqrt{5} = 2\\sqrt{5}.\\]\n\n### Sposób 2 - Przybliżenie\n\\(\\sqrt{20}\\approx 4{,}47\\). Sprawdzamy opcje:\n- A. \\(5\\sqrt{2}\\approx 5\\cdot 1{,}41 = 7{,}07\\) - NIE.\n- B. \\(5\\sqrt{4} = 10\\) - NIE.\n- C. \\(4\\sqrt{5}\\approx 4\\cdot 2{,}24 = 8{,}94\\) - NIE.\n- D. \\(2\\sqrt{5}\\approx 2\\cdot 2{,}24 = 4{,}47\\) ✓.\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(5\\sqrt{2}\\)** - kwadrat \\(=50\\ne 20\\).\n- **B. \\(5\\sqrt{4} = 10\\)** - kwadrat \\(=100\\ne 20\\).\n- **C. \\(4\\sqrt{5}\\)** - kwadrat \\(=80\\ne 20\\).\n\n**Trik:** Przy upraszczaniu \\(\\sqrt{n}\\) szukaj największego kwadratu dzielącego \\(n\\).","image":"img/matematyka-2011-maj-matura-podstawowa/zad-1.webp","solution_image":"img/matematyka-2011-maj-matura-podstawowa/sol-1.svg","topics":"bezwgledna","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2011 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2011-maj-matura-podstawowa/zad/2","paper_id":"matematyka-2011-maj-matura-podstawowa","number":"2","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2011,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 2. (1 pkt)\nPierwsza rata, która stanowi %\n9\nceny roweru, jest równa 189zł. Rower kosztuje\nA. 1701 zł.\nB. 2100 zł.\nC. 1890 zł.\nD. 2091 zł.\nMatura podstawowa z matematyki 2011. Pierwsza rata, która stanowi 9% ceny roweru, jest równa 189 zł. Rower kosztuje 1701 zł, B. 2100 zł, C. 1890 zł, D. 2091 zł.","answer":"B","answer_text":"Zadanie 2. (0-1)\nWykorzystanie\ni interpretowanie reprezentacji\nWykonanie obliczeń procentowych\nB","solution":"## Poprawna odpowiedź: B - \\(\\left(\\dfrac{b}{a}\\right)^{5}\\)\n\n## Sposób 1 - Definicja ujemnego wykładnika\n\n**Kluczowa zasada:** ujemny wykładnik oznacza odwrotność potęgi z wykładnikiem dodatnim.\n\n\\[x^{-n} = \\frac{1}{x^n}\\]\n\nStosujemy bezpośrednio do naszego wyrażenia:\n\n\\[\\left(\\frac{a}{b}\\right)^{-5} = \\frac{1}{\\left(\\dfrac{a}{b}\\right)^{5}}\\]\n\nTeraz upraszczamy - dzielenie przez ułamek to mnożenie przez jego odwrotność:\n\n\\[\\frac{1}{\\left(\\dfrac{a}{b}\\right)^{5}} = \\frac{1}{\\dfrac{a^5}{b^5}} = 1 \\cdot \\frac{b^5}{a^5} = \\frac{b^5}{a^5} = \\left(\\frac{b}{a}\\right)^{5}\\]\n\n**Odpowiedź: \\(\\left(\\dfrac{b}{a}\\right)^{5}\\)**\n\n## Sposób 2 - Własność potęgi ułamka z ujemnym wykładnikiem\n\nMożemy od razu skorzystać z gotowej reguły: ujemny wykładnik przy ułamku **odwraca ułamek** i zmienia znak wykładnika na dodatni.\n\n\\[\\left(\\frac{a}{b}\\right)^{-5} = \\left(\\frac{b}{a}\\right)^{5}\\]\n\nSkąd to wynika? Krok po kroku:\n\n\\[\\left(\\frac{a}{b}\\right)^{-5} = \\left(\\frac{b}{a}\\right)^{-(-5)} \\]\n\nalbo prościej - ze wzoru \\(\\left(\\dfrac{a}{b}\\right)^{-n} = \\dfrac{b^n}{a^n} = \\left(\\dfrac{b}{a}\\right)^n\\), co możemy zweryfikować dla prostej liczby, np. \\(n=1\\):\n\n\\[\\left(\\frac{a}{b}\\right)^{-1} = \\frac{1}{\\dfrac{a}{b}} = \\frac{b}{a} = \\left(\\frac{b}{a}\\right)^{1}\\checkmark\\]\n\n**Wynik: \\(\\left(\\dfrac{b}{a}\\right)^{5}\\) - zgodnie z odpowiedzią B.**\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 2 (Potęgi i pierwiastki, s. 4-5)** - definicja ujemnego wykładnika:\n\\[a^{-n} = \\frac{1}{a^n}\\]\nUżyte w Sposobie 1 jako pierwszy krok przekształcenia.\n\n**Dział 2 (Potęgi i pierwiastki, s. 4-5)** - potęga iloczynu/ilorazu:\n\\[\\left(\\frac{a}{b}\\right)^r = \\frac{a^r}{b^r}\\]\nUżyte przy rozpisaniu \\(\\left(\\dfrac{a}{b}\\right)^5 = \\dfrac{a^5}{b^5}\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| A | Pomylenie ujemnego wykładnika z mnożeniem przez \\(-5\\). Wyrażenie \\(-5 \\cdot \\dfrac{a}{b}\\) to iloczyn, a nie potęga. Wykładnik \\(-5\\) nie „schodzi na dół\" jako czynnik. |\n| C | Poprawna postać to \\(\\dfrac{b^5}{a^5}\\), a nie \\(\\dfrac{b^5}{a}\\). Pominięto wykładnik przy \\(a\\) w mianowniku - błąd przy potęgowaniu mianownika. |\n| D | Ujemny wykładnik nie daje minus przed wyrażeniem. \\(\\left(\\dfrac{a}{b}\\right)^{-5} \\neq -\\left(\\dfrac{a}{b}\\right)^5\\). To częste mylenie „minus przed potęgą\" z „ujemny wykładnik\". |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Ujemny wykładnik to **odwrotność**, nie zmiana znaku! \\(2^{-3} = \\dfrac{1}{8}\\), a **nie** \\(-8\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy potęgowaniu ułamka wykładnik dotyczy **i licznika, i mianownika**. Błąd w C polega właśnie na tym, że wzięto \\(b^5\\), ale zapomniano o \\(a^5\\) - zostawiając samo \\(a\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Prosty trik do zapamiętania - **ujemny wykładnik odwraca ułamek**: \\(\\left(\\dfrac{a}{b}\\right)^{-n} = \\left(\\dfrac{b}{a}\\right)^{n}\\). Warto go zapamiętać, bo znacznie przyspiesza obliczenia.\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1 - Własność potęgi ujemnej\nDla \\(x\\ne 0\\): \\(x^{-n} = \\dfrac{1}{x^{n}}\\). Dla ułamka: \\(\\left(\\dfrac{a}{b}\\right)^{-n} = \\left(\\dfrac{b}{a}\\right)^{n}\\).\n\\[\\left(\\dfrac{a}{b}\\right)^{-5} = \\left(\\dfrac{b}{a}\\right)^{5}.\\]\n\n### Sposób 2 - Krok po kroku\n\\[\\left(\\dfrac{a}{b}\\right)^{-5} = \\dfrac{1}{\\left(\\dfrac{a}{b}\\right)^{5}} = \\dfrac{1}{\\dfrac{a^{5}}{b^{5}}} = \\dfrac{b^{5}}{a^{5}} = \\left(\\dfrac{b}{a}\\right)^{5}.\\]\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(-5\\cdot \\tfrac{a}{b}\\)** - myli potęgę z mnożeniem przez \\(-5\\).\n- **C. \\(\\tfrac{b^{5}}{a}\\)** - zapomniano potęgi \\(a\\).\n- **D. \\(-\\left(\\tfrac{a}{b}\\right)^{5}\\)** - myli ujemny wykładnik ze znakiem minus.\n\n**Trik:** \\(x^{-n}\\) to odwrotność \\(x^{n}\\), NIE to samo co \\(-x^{n}\\).","image":"img/matematyka-2011-maj-matura-podstawowa/zad-2.webp","solution_image":"img/matematyka-2011-maj-matura-podstawowa/sol-2.svg","topics":"algebra","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2011 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2011-maj-matura-podstawowa/zad/3","paper_id":"matematyka-2011-maj-matura-podstawowa","number":"3","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2011,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 3. (1 pkt)\nWyrażenie\na\nab\na\n15\n10\n5\n2\njest równe iloczynowi\nA.\n(\n)\n3\n10\n1\n5\n2\nb\na\nB.\n(\n)\n3\n2\n5\n-b\na\na\nC.\n(\n)\n15\n10\n5\nb\na\na\nD.\n(\n)\n3\n2\n5\n-b\na\nMatura podstawowa z matematyki 2011. Wyrażenie 5a^2-10ab+15a jest równe iloczynowi 5a^2(1-10b+3), B. 5a(a-2b+3), C. 5a(a-10b+15), D. 5(a-2b+3)","answer":"B","answer_text":"Zadanie 3. (0-1)\nWykorzystanie i tworzenie\ninformacji\nRozłożenie wielomianu na czynniki\nz zastosowaniem wyłączenia wspólnego\nczynnika poza nawias\nB","solution":"## Poprawna odpowiedź: B - \\(5a(a - 2b + 3)\\)\n\n## Sposób 1 - wyciąganie wspólnego czynnika przed nawias\n\nPatrzymy na wyrażenie \\(5a^2 - 10ab + 15a\\) i szukamy **największego wspólnego czynnika (NWC)** wszystkich trzech składników.\n\n**Krok 1: Znajdź NWC liczb.**\n\nWspółczynniki: \\(5, 10, 15\\). NWC = \\(5\\).\n\n**Krok 2: Znajdź NWC zmiennych.**\n\n- Pierwszy składnik: \\(a^2\\)\n- Drugi składnik: \\(ab\\) → zawiera \\(a^1\\)\n- Trzeci składnik: \\(a\\) → zawiera \\(a^1\\)\n\nNWC = \\(a^1 = a\\).\n\n**Krok 3: NWC całego wyrażenia = \\(5a\\).**\n\n**Krok 4: Wyciągnij \\(5a\\) przed nawias - podziel każdy składnik przez \\(5a\\).**\n\n\\[\n5a^2 \\div 5a = a\n\\]\n\\[\n-10ab \\div 5a = -2b\n\\]\n\\[\n15a \\div 5a = 3\n\\]\n\n**Krok 5: Zapisz wynik.**\n\n\\[\n5a^2 - 10ab + 15a = \\boxed{5a(a - 2b + 3)}\n\\]\n\n## Sposób 2 - weryfikacja przez rozwinięcie nawiasu\n\nAby sprawdzić, czy odpowiedź B jest poprawna, **rozwijamy nawias** i porównujemy z oryginałem.\n\n\\[\n5a(a - 2b + 3) = 5a \\cdot a - 5a \\cdot 2b + 5a \\cdot 3\n\\]\n\\[\n= 5a^2 - 10ab + 15a \\checkmark\n\\]\n\nWynik zgadza się z wyjściowym wyrażeniem - odpowiedź B jest poprawna.\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy znajomość podstawowego działania algebraicznego: wyciągania wspólnego czynnika przed nawias (własność rozdzielności mnożenia względem dodawania).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| A | Wyciągnięto \\(5a^2\\) zamiast \\(5a\\) - ale \\(a^2\\) nie jest czynnikiem składnika \\(15a\\) (bo \\(15a \\div a^2 = \\frac{15}{a}\\) - nie jest liczbą). Dodatkowo \\(1 - 10b + 3\\) jest błędnie obliczone: \\(-10ab \\div 5a^2 = -\\frac{2b}{a}\\), nie \\(-10b\\). |\n| C | Wyciągnięto poprawnie \\(5a\\), ale **nie podzielono** składników - zostawiono oryginalne liczby (\\(-10b\\) zamiast \\(-2b\\), \\(15\\) zamiast \\(3\\)). Błąd polegający na przepisaniu współczynników bez dzielenia. |\n| D | Wyciągnięto tylko \\(5\\), zapomniano o \\(a\\). Wtedy: \\(5(a^2 - 2ab + 3a)\\) - w nawiasie wciąż zostaje \\(a\\), a nie \\((a - 2b + 3)\\). |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wyciągając wspólny czynnik, pamiętaj podzielić **każdy** składnik - nie tylko pierwszy. Najczęstszy błąd to wyciągnięcie zbyt dużego czynnika (np. \\(5a^2\\) zamiast \\(5a\\)) i błędne obliczenie pozostałości.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Sprawdź zawsze, czy wyciągnięty czynnik naprawdę dzieli wszystkie składniki. Tu \\(a^2\\) dzieli \\(5a^2\\) i \\(10ab\\), ale **nie dzieli** \\(15a\\) (bo \\(a^2 \\nmid a\\) dla ogólnego \\(a\\)).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Szybka weryfikacja - po wyciągnięciu czynnika **rozwiń nawias z powrotem**. Jeśli wróciłeś do punktu wyjścia, odpowiedź jest poprawna.\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1 - Wyłączenie wspólnego czynnika\nW wyrażeniu \\(5a^{2} - 10ab + 15a\\) każdy wyraz zawiera czynnik \\(5a\\):\n\\[5a^{2} = 5a\\cdot a, \\quad -10ab = 5a\\cdot(-2b), \\quad 15a = 5a\\cdot 3.\\]\nZatem:\n\\[5a^{2} - 10ab + 15a = 5a(a - 2b + 3).\\]\n\n### Sposób 2 - Weryfikacja przez rozdzielność\nMnożymy \\(5a \\cdot (a - 2b + 3)\\):\n\\[5a \\cdot a - 5a \\cdot 2b + 5a \\cdot 3 = 5a^{2} - 10ab + 15a. \\checkmark\\]\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(5a^{2}(1 - 10b + 3)\\)** - wyłączono \\(5a^{2}\\), ale wtedy ostatni wyraz \\(15a\\) nie dzieli się przez \\(5a^{2}\\) (brak jednej potęgi \\(a\\)).\n- **C. \\(5a(a - 10b + 15)\\)** - zapomniano podzielić \\(10b\\) i \\(15\\) przez \\(2\\)/\\(3\\) odpowiednio (ktoś wyciągnął tylko \\(a\\) bez \\(5\\) dalej).\n- **D. \\(5(a - 2b + 3)\\)** - wyłączono tylko \\(5\\); wtedy pierwszy wyraz \\(5\\cdot a = 5a\\), a powinno być \\(5a^{2}\\).\n\n**Trik:** Przy rozkładzie sprawdź NWD współczynników i najmniejszą potęgę każdej zmiennej występującej we wszystkich składnikach.","image":"img/matematyka-2011-maj-matura-podstawowa/zad-3.webp","solution_image":"img/matematyka-2011-maj-matura-podstawowa/sol-3.svg","topics":"algebra","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2011 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2011-maj-matura-podstawowa/zad/4","paper_id":"matematyka-2011-maj-matura-podstawowa","number":"4","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2011,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 4. (1 pkt)\nUkład równań 4\n2\n10\n6\n15\nx\ny\nx\nay\n⎧\n⎨\n⎩\nma nieskończenie wiele rozwiązań, jeśli\nA.\n1\na = -\nB.\n0\na =\nC.\n2\na =\nD.\n3\na =\nMatura podstawowa z matematyki 2011. Układ równań {4x+2y=10, 6x+ay=15 ma nieskończenie wiele rozwiązań, jeśli A. a=-1, B. a=0, C. a=2, D. a=3","answer":"D","answer_text":"Zadanie 4. (0-1)\nModelowanie matematyczne\nRozwiązanie układu równań\nD","solution":"## Poprawna odpowiedź: B - \\(x = 1\\)\n\n## Sposób 1 - Rozwiązanie przez definicję wartości bezwzględnej\n\nRównanie \\(|4x - 5| = x\\) rozwiązujemy, rozważając dwa przypadki.\n\n**Ważna uwaga na start:** Prawa strona to \\(x\\), a wartość bezwzględna jest zawsze nieujemna, więc musi być \\(x \\geq 0\\). Odpowiedzi A i D (\\(x < 0\\)) od razu odpadają.\n\n**Przypadek 1:** \\(4x - 5 \\geq 0\\), czyli \\(x \\geq \\frac{5}{4}\\)\n\nWtedy \\(|4x - 5| = 4x - 5\\), więc równanie staje się:\n\\[4x - 5 = x\\]\n\\[3x = 5\\]\n\\[x = \\frac{5}{3}\\]\n\nSprawdzamy warunek: \\(\\frac{5}{3} \\geq \\frac{5}{4}\\) ✓\n\nAle \\(\\frac{5}{3} \\notin \\{-1, 1, 2, -2\\}\\) - ta wartość nie pojawia się wśród odpowiedzi (wrócimy do tego w podsumowaniu).\n\n**Przypadek 2:** \\(4x - 5 < 0\\), czyli \\(x < \\frac{5}{4}\\)\n\nWtedy \\(|4x - 5| = -(4x - 5) = -4x + 5\\), więc:\n\\[-4x + 5 = x\\]\n\\[5 = 5x\\]\n\\[x = 1\\]\n\nSprawdzamy warunek: \\(1 < \\frac{5}{4}\\) ✓\n\n**Sprawdzenie w oryginalnym równaniu:**\n\\[|4 \\cdot 1 - 5| = |{-1}| = 1 = x \\checkmark\\]\n\n**Spośród podanych odpowiedzi jedyną spełniającą równanie jest \\(x = 1\\).**\n\n## Sposób 2 - Podstawianie odpowiedzi (sprawdzanie)\n\nPonieważ zadanie jest wielokrotnego wyboru, możemy sprawdzić każdą odpowiedź bezpośrednio:\n\n| Odp. | \\(x\\) | \\(|4x-5|\\) | \\(= x\\)? |\n| A | \\(-1\\) | \\(|{-4-5}| = 9\\) | \\(9 \\neq -1\\) ✗ |\n| **B** | **\\(1\\)** | **\\(|4-5| = 1\\)** | **\\(1 = 1\\) ✓** |\n| C | \\(2\\) | \\(|8-5| = 3\\) | \\(3 \\neq 2\\) ✗ |\n| D | \\(-2\\) | \\(|{-8-5}| = 13\\) | \\(13 \\neq -2\\) ✗ |\n\n**Tylko \\(x = 1\\) spełnia równanie.**\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 1 (Wartość bezwzględna, s. 4)** - definicja:\n\\[|x| = \\begin{cases} x & \\text{dla } x \\geq 0 \\\\ -x & \\text{dla } x < 0 \\end{cases}\\]\nUżyliśmy jej w Sposobie 1, rozbijając na dwa przypadki w zależności od znaku wyrażenia \\(4x - 5\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| A: \\(x = -1\\) | Uczeń \"rozwiązuje\" \\(4x - 5 = x\\) i popełnia błąd arytmetyczny, albo zapomina, że \\(| | \\geq 0\\), więc \\(x\\) nie może być ujemne |\n| C: \\(x = 2\\) | Uczeń przypadkowo sprawdza tylko \\(|4x-5| = 3\\) i myli wynik \\(3\\) z \\(x=2\\), albo rozwiązuje błędnie \\(4x-5=x\\) jako \\(x=2\\) |\n| D: \\(x = -2\\) | Podobnie jak A - ignoruje warunek \\(x \\geq 0\\) wynikający z definicji wartości bezwzględnej |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wartość bezwzględna jest zawsze \\(\\geq 0\\), więc jeśli równanie ma postać \\(| | = x\\), to od razu wiemy, że \\(x \\geq 0\\). Eliminuje to od razu odpowiedzi ujemne!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Po rozbiciu na przypadki zawsze sprawdź, czy znalezione \\(x\\) spełnia **warunek przypadku** (np. \\(x < \\frac{5}{4}\\)). Rozwiązanie niespełniające warunku jest odrzucane.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Zawsze podstaw wynik do oryginalnego równania - to najszybszy sposób weryfikacji i uniknięcia błędów rachunkowych.\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1 - Sprawdzenie każdej opcji\n- A. \\(x=-1\\): \\(|4(-1)-5|=|-9|=9\\); \\(x=-1\\). \\(9\\ne -1\\). Poza tym, \\(|4x-5|\\ge 0\\), więc \\(x\\ge 0\\).\n- B. \\(x=1\\): \\(|4-5| = 1\\); \\(x=1\\). ✓\n- C. \\(x=2\\): \\(|8-5| = 3\\); \\(x=2\\). \\(3\\ne 2\\).\n- D. \\(x=-2\\): podobnie - \\(x<0\\), niemożliwe.\n\n### Sposób 2 - Rozwiązanie systematyczne\nRównanie \\(|4x-5|=x\\) ma sens tylko dla \\(x\\ge 0\\). Rozważamy dwa przypadki:\n- \\(4x-5 \\ge 0\\) (tj. \\(x\\ge \\tfrac{5}{4}\\)): \\(4x-5 = x \\Rightarrow 3x=5 \\Rightarrow x=\\tfrac{5}{3}\\).\n- \\(4x-5 < 0\\) (tj. \\(x<\\tfrac{5}{4}\\)): \\(-(4x-5) = x \\Rightarrow -4x+5=x \\Rightarrow 5x=5 \\Rightarrow x=1\\).\n\nOba rozwiązania są dodatnie, ale wśród opcji tylko \\(x=1\\) (odp. B).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(-1\\)**, **D. \\(-2\\)** - ujemne, a \\(|4x-5|\\ge 0\\).\n- **C. \\(2\\)** - \\(|4\\cdot 2-5|=3\\ne 2\\).\n\n**Trik:** W \\(|f(x)|=g(x)\\) zawsze \\(g(x)\\ge 0\\) - zawęża dziedzinę.","image":"img/matematyka-2011-maj-matura-podstawowa/zad-4.webp","solution_image":"img/matematyka-2011-maj-matura-podstawowa/sol-4.svg","topics":"uklady_rownan","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2011 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2011-maj-matura-podstawowa/zad/5","paper_id":"matematyka-2011-maj-matura-podstawowa","number":"5","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2011,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 5. (1 pkt)\nRozwiązanie równania (\n)\n(\n)\n4\n49\n3\nx\nx\nx\nx\nnależy do przedziału\nA. (\n)\n,3\n-∞\nB. (\n)\n10,+∞\nC. (\n)1\n,5 -\nD.\n)\n,2\n( +∞\nMatura podstawowa z matematyki 2011. Rozwiązanie równania x(x+3)-49=x(x-4) należy do przedziału A.(-oo,3), B. (10,+oo), C. (-5,-1), D. (2,+oo)","answer":"D","answer_text":"Zadanie 5. (0-1)\nWykorzystanie\ni interpretowanie reprezentacji\nRozwiązanie równania liniowego\ni sprawdzenie czy rozwiązanie należy\ndo danego przedziału\nD","solution":"## Poprawna odpowiedź: C - cena zmniejszyła się o \\(12\\%\\)\n\n## Sposób 1 - mnożniki procentowe\n\nWeźmy cenę pierwotną jako \\(C\\).\n\n**Krok 1: obniżka o \\(20\\%\\)**\n\nObniżka o \\(20\\%\\) oznacza, że nowa cena to \\(80\\%\\) poprzedniej:\n\\[C_1 = C \\cdot 0{,}8\\]\n\n**Krok 2: podwyżka o \\(10\\%\\)**\n\nPodwyżka o \\(10\\%\\) oznacza, że kolejna cena to \\(110\\%\\) poprzedniej:\n\\[C_2 = C_1 \\cdot 1{,}1 = C \\cdot 0{,}8 \\cdot 1{,}1\\]\n\n**Krok 3: obliczamy wynik**\n\n\\[C_2 = C \\cdot 0{,}88\\]\n\nCena ostateczna stanowi \\(88\\%\\) ceny pierwotnej, zatem **zmniejszyła się o \\(12\\%\\)**.\n\n## Sposób 2 - konkretna liczba (przykład liczbowy)\n\nPrzyjmijmy cenę pierwotną \\(C = 100\\) zł.\n\n**Obniżka o \\(20\\%\\):**\n\\[100 - 20\\% \\cdot 100 = 100 - 20 = 80 \\text{ zł}\\]\n\n**Podwyżka o \\(10\\%\\):**\n\\[80 + 10\\% \\cdot 80 = 80 + 8 = 88 \\text{ zł}\\]\n\nCena zmieniła się ze \\(100\\) zł na \\(88\\) zł, czyli **zmniejszyła się o \\(12\\) zł**, co stanowi \\(12\\%\\) ceny pierwotnej.\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy rozumienie pojęcia procentu i mnożniki procentowe (podstawowe działania arytmetyczne).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| A \\((88\\%)\\) | Uczeń poprawnie obliczył, że cena wynosi \\(88\\%\\) pierwotnej, ale zapomniał odjąć od \\(100\\%\\) - to jest nowa **wartość** ceny, nie **zmiana** |\n| B \\((15\\%)\\) | Typowy błąd: odjęcie \\(20\\% - 10\\% = 10\\%\\) daje \\(10\\%\\), a może uczeń próbował uśredniać lub inne błędne dodawanie; prowadzi do \\(15\\%\\) gdy np. liczy \\(\\frac{20\\%+10\\%}{2}\\) albo miesza działania |\n| D \\((10\\%)\\) | Uczeń po prostu odejmuje \\(20\\% - 10\\% = 10\\%\\), traktując zmiany procentowe jako addytywne - ignoruje, że podwyżka \\(10\\%\\) naliczana jest od **już obniżonej** ceny, nie od pierwotnej |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Zmiany procentowe NIE są addytywne! Obniżka o \\(20\\%\\) i podwyżka o \\(10\\%\\) to **nie** zmiana o \\(-20\\% + 10\\% = -10\\%\\). Każda zmiana działa na aktualną cenę, nie na pierwotną.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Odpowiedź A (\\(88\\%\\)) to pułapka - to wartość końcowej ceny w stosunku do pierwotnej, a pytanie dotyczy **o ile procent zmniejszyła się** cena. Należy obliczyć \\(100\\% - 88\\% = 12\\%\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Mnożnik obniżki o \\(p\\%\\) to \\(\\left(1 - \\frac{p}{100}\\right)\\), a podwyżki o \\(p\\%\\) to \\(\\left(1 + \\frac{p}{100}\\right)\\). Przy złożonych zmianach **mnożymy** te współczynniki, nie dodajemy procentów.\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1 - Iloczyn współczynników zmian\nObniżka o \\(20\\%\\): cena \\(\\times 0{,}8\\). Podwyżka o \\(10\\%\\): \\(\\times 1{,}1\\).\nŁączny współczynnik: \\(0{,}8\\cdot 1{,}1 = 0{,}88\\).\nCena wynosi \\(88\\%\\) pierwotnej, czyli **spadła o \\(12\\%\\)**.\n\n### Sposób 2 - Na konkretnej cenie \\(100\\) zł\nPo obniżce: \\(100 - 20 = 80\\) zł.\nPo podwyżce: \\(80 + 10\\%\\cdot 80 = 80 + 8 = 88\\) zł.\nSpadek: \\(100 - 88 = 12\\) zł, czyli \\(12\\%\\) ceny pierwotnej.\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(88\\%\\)** - to cena KOŃCOWA, nie spadek.\n- **B. \\(15\\%\\)** - ktoś pomylił (\\(20\\%-\\tfrac{10\\%}{2}\\)).\n- **D. \\(10\\%\\)** - błędnie odjęto procenty liniowo: \\(20\\%-10\\%\\).\n\n**Trik:** Zmiany procentowe MNOŻY się (jako współczynniki), nie dodaje.","image":"img/matematyka-2011-maj-matura-podstawowa/zad-5.webp","solution_image":"img/matematyka-2011-maj-matura-podstawowa/sol-5.svg","topics":"rownania_i_nierownosci","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2011 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2011-maj-matura-podstawowa/zad/6","paper_id":"matematyka-2011-maj-matura-podstawowa","number":"6","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2011,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 6. (1 pkt)\nNajmniejszą liczbą całkowitą należącą do zbioru rozwiązań nierówności 3\n5\n8\n6\n12\nx\nx\n<\njest\nA. 1\nB. 2\nC.\n1\nD.\n2\nMatura podstawowa z matematyki 2011. Najmniejszą liczbą całkowitą należącą do zbioru rozwiązań nierówności 3/8 + x/6 < 5x/12 jest A. 1, B. 2, C. -1, D. -2","answer":"B","answer_text":"Zadanie 6. (0-1)\nWykorzystanie\ni interpretowanie reprezentacji\nSprawdzenie, które z podanych liczb\nspełniają nierówność i wybranie z nich\nnajmniejszej\nB","solution":"## Poprawna odpowiedź: B - \\((x-10)(x+10)\\)\n\n## Sposób 1 - Wzór na różnicę kwadratów\n\nRozpoznajemy schemat: \\(x^2 - 100\\) to **różnica dwóch kwadratów**.\n\nSprawdzamy:\n\\[x^2 = (x)^2, \\qquad 100 = 10^2\\]\n\nStosujemy wzór \\(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\\), gdzie \\(a = x\\), \\(b = 10\\):\n\n\\[x^2 - 100 = x^2 - 10^2 = (x - 10)(x + 10)\\]\n\n**Odpowiedź: B.**\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja przez mnożenie\n\nSprawdzamy, czy \\((x-10)(x+10) = x^2 - 100\\), mnożąc nawiasy metodą FOIL:\n\n\\[(x-10)(x+10) = x \\cdot x + x \\cdot 10 - 10 \\cdot x - 10 \\cdot 10\\]\n\\[= x^2 + 10x - 10x - 100\\]\n\\[= x^2 - 100 \\checkmark\\]\n\nWynik się zgadza - **odpowiedź B jest poprawna**.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 6 (Wzory skróconego mnożenia, s. 7)**:\n\\[a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\\]\nUżyliśmy tego wzoru bezpośrednio w Sposobie 1, przyjmując \\(a = x\\), \\(b = 10\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| A | \\((x-10)^2 = x^2 - 20x + 100\\) - to kwadrat różnicy, nie różnica kwadratów. Wynik ma \\(-20x\\) i \\(+100\\), więc jest zupełnie innym wyrażeniem. |\n| C | \\((x-50)^2 = x^2 - 100x + 2500\\) - błędne założenie, że \\(100 = 50^2\\) (a przecież \\(50^2 = 2500\\)). Mylenie \\(\\sqrt{100} = 10\\) z \\(\\frac{100}{2} = 50\\). |\n| D | \\((x-50)(x+50) = x^2 - 2500\\) - efekt tego samego błędu co w C: wzięto \\(b = 50\\) zamiast \\(b = 10\\). |\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wzór na różnicę kwadratów to \\(a^2 - b^2\\), a **nie** \\((a-b)^2\\)! To dwa różne wzory - nie mylić ich!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\(\\sqrt{100} = 10\\), **nie** \\(50\\). Przy faktoryzacji \\(x^2 - 100\\) szukamy pierwiastka z \\(100\\), czyli \\(10\\), a nie połowy \\(100\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wzór różnicy kwadratów wymaga znaku minus między składnikami (\\(a^2 - b^2\\)). Suma kwadratów \\(a^2 + b^2\\) **nie rozkłada się** na czynniki rzeczywiste!\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1 - Wzór skróconego mnożenia\nRóżnica kwadratów: \\(a^{2}-b^{2} = (a-b)(a+b)\\). Tu \\(a=x, b=10\\) (bo \\(100 = 10^{2}\\)):\n\\[x^{2} - 100 = x^{2} - 10^{2} = (x-10)(x+10).\\]\n\n### Sposób 2 - Weryfikacja przez rozwinięcie\nMnożymy \\((x-10)(x+10) = x^{2} + 10x - 10x - 100 = x^{2} - 100\\) ✓.\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\((x-10)^{2} = x^{2} - 20x + 100\\)** - zły środkowy wyraz i znak stałego.\n- **C. \\((x-50)^{2}\\)** - \\(50 \\ne 10\\).\n- **D. \\((x-50)(x+50) = x^{2} - 2500\\)** - \\(2500\\ne 100\\).\n\n**Trik:** Różnica kwadratów: \\(a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b)\\). Suma kwadratów \\(a^{2}+b^{2}\\) NIE rozkłada się na czynniki rzeczywiste.","image":"img/matematyka-2011-maj-matura-podstawowa/zad-6.webp","solution_image":"img/matematyka-2011-maj-matura-podstawowa/sol-6.svg","topics":"rownania_i_nierownosci","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2011 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2011-maj-matura-podstawowa/zad/7","paper_id":"matematyka-2011-maj-matura-podstawowa","number":"7","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2011,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 7. (1 pkt)\nWskaż, który zbiór przedstawiony na osi liczbowej jest zbiorem liczb spełniających\njednocześnie następujące nierówności: (\n)(\n)\n3\n1\n5\n0\nx\nx\n≤\ni\n1\nx > .\nA.\nB.\nC.\nD.\n1\n3\nx\n1\n5\nx\n1\n6\nx\n1\n5\nx\n\nPoziom podstawowy\n3\nBRUDNOPIS\n\nPoziom podstawowy\n4\nMatura podstawowa z matematyki 2011. Wskaż, który zbiór przedstawiony na osi liczbowej jest zbiorem liczb spełniających jednocześnie następujące nierówności: 3(x-1)(x-5) ≤ 0 i x>1.","answer":"C","answer_text":"Zadanie 7. (0-1)\nWykorzystanie\ni interpretowanie reprezentacji\nZinterpretowanie rozwiązania\nnierówności kwadratowej i liniowej na osi\nliczbowej\nC","solution":"## Poprawna odpowiedź: A\n\nRównanie \\(\\dfrac{x^2 + 25}{x - 5} = 0\\) **nie ma rozwiązań.**\n\n## Sposób 1 - Analiza licznika i mianownika\n\nUłamek jest równy zero **wtedy i tylko wtedy**, gdy **licznik = 0** i jednocześnie **mianownik ≠ 0**.\n\n**Krok 1: Dziedzina równania**\n\nMianownik nie może być zerem:\n\\[x - 5 \\neq 0 \\implies x \\neq 5\\]\n\nDziedzina: \\(x \\in \\mathbb{R} \\setminus \\{5\\}\\)\n\n**Krok 2: Przyrównaj licznik do zera**\n\n\\[x^2 + 25 = 0\\]\n\\[x^2 = -25\\]\n\nKwadrat liczby rzeczywistej **nie może być ujemny** - dla każdego \\(x \\in \\mathbb{R}\\) zachodzi \\(x^2 \\geq 0\\).\n\nZatem \\(x^2 + 25 \\geq 25 > 0\\) - licznik jest zawsze dodatni i **nigdy nie przyjmuje wartości 0**.\n\n**Wniosek:** Nie istnieje żadne \\(x\\), dla którego ułamek mógłby być równy zero.\n\n**Odpowiedź: A - równanie nie ma rozwiązań.**\n\n## Sposób 2 - Nierówność jako dowód\n\nPokażmy wprost, że lewa strona nigdy nie wynosi 0.\n\nDla każdego \\(x \\in \\mathbb{R} \\setminus \\{5\\}\\) (dziedziny):\n\n- **Licznik:** \\(x^2 \\geq 0\\), więc \\(x^2 + 25 \\geq 25 > 0\\)\n- **Mianownik:** \\(x - 5 \\neq 0\\) (z definicji dziedziny)\n\nSkoro mianownik \\(\\neq 0\\) i licznik \\(> 0\\), to:\n\\[\\frac{x^2 + 25}{x - 5} \\neq 0 \\quad \\text{dla żadnego } x \\in \\mathbb{R} \\setminus \\{5\\}\\]\n\nWyrażenie jest albo **dodatnie** (gdy \\(x > 5\\)), albo **ujemne** (gdy \\(x < 5\\)) - nigdy zero.\n\nPrzykład sprawdzający: dla \\(x = 0\\):\n\\[\\frac{0^2 + 25}{0 - 5} = \\frac{25}{-5} = -5 \\neq 0\\]\n\nDla \\(x = 10\\):\n\\[\\frac{100 + 25}{10 - 5} = \\frac{125}{5} = 25 \\neq 0\\]\n\n**Wniosek:** Równanie rzeczywiście nie ma rozwiązań. ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczą podstawowe własności liczb rzeczywistych:\n- \\(x^2 \\geq 0\\) dla każdego \\(x \\in \\mathbb{R}\\) (własność kwadratu)\n- Ułamek \\(= 0 \\iff\\) licznik \\(= 0\\) i mianownik \\(\\neq 0\\)\n\nMożna jednak nawiązać do **Działu 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)**: wyróżnik trójmianu \\(x^2 + 25\\) (czyli \\(a=1, b=0, c=25\\)):\n\\[\\Delta = b^2 - 4ac = 0 - 4 \\cdot 1 \\cdot 25 = -100 < 0\\]\nUjemna delta potwierdza, że \\(x^2 + 25 = 0\\) **nie ma rozwiązań rzeczywistych**.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| B | Uczeń \"rozwiązuje\" \\(x^2 = -25\\) i zapisuje np. \\(x = 5\\) (bo \\(25 = 5^2\\)) - zapominając o znaku minus oraz że \\(x = 5\\) jest wyłączone z dziedziny |\n| C | Uczeń myśli, że \\(x^2 + 25 = 0\\) daje dwa rozwiązania \\(x = \\pm 5\\), ignorując fakt, że \\(x^2 = -25\\) nie ma rozwiązań rzeczywistych; dodatkowo \\(x = 5\\) nie należy do dziedziny |\n| D | Błędne kombinowanie: uczeń \"liczy\" rozwiązania z licznika i mianownika łącznie, nie rozumiejąc struktury równania ułamkowego |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Pamiętaj, że \\(x^2 \\geq 0\\) zawsze - równanie \\(x^2 = -\\text{coś dodatniego}\\) **nigdy** nie ma rozwiązań rzeczywistych. To podstawowy fakt, który łatwo przeoczyć pod presją egzaminu.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie zapomnij o dziedzinie! Nawet gdyby licznik miał rozwiązanie (np. gdyby było \\(x^2 - 25 = 0\\)), to \\(x = 5\\) musiałoby być odrzucone, bo zeruje mianownik. Zawsze wyznaczaj dziedzinę **przed** rozwiązywaniem.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Ułamek równa się zero **tylko gdy licznik = 0**, a nie gdy mianownik → ∞. Nie wolno \"przenosić\" mianownika na drugą stronę w równaniu ułamkowym bez zachowania dziedziny.\n\n**Poprawna odpowiedź: A**\n\n### Sposób 1 - Analiza licznika i mianownika\nUłamek \\(\\dfrac{x^{2}+25}{x-5} = 0\\) wtedy i tylko wtedy, gdy licznik \\(= 0\\) i mianownik \\(\\ne 0\\).\n\nLicznik \\(x^{2}+25 = 0 \\Rightarrow x^{2} = -25\\) - **brak rozwiązań w \\(\\mathbb{R}\\)**, bo \\(x^{2}\\ge 0\\).\n\nZatem równanie nie ma rozwiązań.\n\n### Sposób 2 - Nieujemność \\(x^{2}\\)\nDla każdego \\(x\\in\\mathbb{R}\\): \\(x^{2}\\ge 0\\), więc \\(x^{2}+25 \\ge 25 > 0\\). Licznik zawsze dodatni, więc ułamek NIGDY nie zeruje.\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **B, C, D** - sugerują co najmniej jedno rozwiązanie, ale licznik \\(x^{2}+25\\) nie ma pierwiastków rzeczywistych.\n\n**Trik:** \\(x^{2}+a = 0\\) ma rozwiązania rzeczywiste \\(\\Leftrightarrow a\\le 0\\). Suma kwadratów z liczbą dodatnią jest zawsze dodatnia.","image":"img/matematyka-2011-maj-matura-podstawowa/zad-7.webp","solution_image":"img/matematyka-2011-maj-matura-podstawowa/sol-7.svg","topics":"rownania_i_nierownosci","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2011 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2011-maj-matura-podstawowa/zad/8","paper_id":"matematyka-2011-maj-matura-podstawowa","number":"8","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2011,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 8. (1 pkt)\nWyrażenie\n)1\n2\n(\nlog4\nx\njest określone dla wszystkich liczb x spełniających warunek\nA.\n1\n2\nx ≤\nB.\n1\n2\nx >\nC.\n0\nx ≤\nD.\n0\nx >\nMatura podstawowa z matematyki 2011. Wyrażenie log_4(2x-1) jest określone dla wszystkich liczb x spełniających warunek A. x<=1/2 B. x>1/2 C. x<=0 D. x>0","answer":"B","answer_text":"Zadanie 8. (0-1)\nWykorzystanie\ni interpretowanie reprezentacji\nWykorzystanie definicji logarytmu\nB\nKryteria oceniania odpowiedzi\n3","solution":"## Poprawna odpowiedź: B - \\(x = 1\\)\n\n## Sposób 1 - Rozwinięcie i uproszczenie\n\nRozwijamy obie strony nierówności.\n\n**Lewa strona** (wzór na różnicę kwadratów):\n\\[(3-x)(3+x) = 9 - x^2\\]\n\n**Prawa strona** (wzór skróconego mnożenia):\n\\[(3-x)^2 = 9 - 6x + x^2\\]\n\nNierówność przyjmuje postać:\n\\[9 - x^2 > 9 - 6x + x^2\\]\n\nPrzenosimy wszystko na lewą stronę:\n\\[9 - x^2 - 9 + 6x - x^2 > 0\\]\n\\[-2x^2 + 6x > 0\\]\n\nDzielimy obie strony przez \\(-2\\) - **zmieniamy znak nierówności!**\n\\[x^2 - 3x < 0\\]\n\\[x(x - 3) < 0\\]\n\nIloczyn jest ujemny, gdy czynniki mają **przeciwne znaki**:\n\\[x > 0 \\quad \\text{i} \\quad x - 3 < 0 \\quad \\Rightarrow \\quad x > 0 \\quad \\text{i} \\quad x < 3\\]\n\nRozwiązanie: \\(x \\in (0, 3)\\) - przedział **otwarty**.\n\nLiczby całkowite w tym przedziale: \\(1, 2\\).\n\n**Najmniejsza z nich to \\(1\\).**\n\n## Sposób 2 - Wyłączenie wspólnego czynnika (bez pełnego rozwinięcia)\n\nPrzenosimy prawą stronę na lewą:\n\\[(3-x)(3+x) - (3-x)^2 > 0\\]\n\nWyłączamy \\((3-x)\\) przed nawias:\n\\[(3-x)\\big[(3+x) - (3-x)\\big] > 0\\]\n\\[(3-x)\\big[3 + x - 3 + x\\big] > 0\\]\n\\[(3-x) \\cdot 2x > 0\\]\n\\[2x(3-x) > 0\\]\n\nDzielimy przez \\(2 > 0\\) (znak nierówności bez zmiany):\n\\[x(3-x) > 0\\]\n\nIloczyn dodatni, gdy obydwa czynniki mają ten sam znak:\n\n| Przypadek | Warunek | Wynik |\n| Oba dodatnie | \\(x > 0\\) i \\(3 - x > 0\\) | \\(0 < x < 3\\) ✓ |\n| Oba ujemne | \\(x < 0\\) i \\(3 - x < 0\\) | \\(x < 0\\) i \\(x > 3\\) - sprzeczność ✗ |\n\nRozwiązanie: \\(x \\in (0, 3)\\), **najmniejsza liczba całkowita to \\(1\\)**.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 6 (Wzory skróconego mnożenia, s. 7)**:\n\\[a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\\]\nUżyliśmy tego w Sposobie 1 do uproszczenia lewej strony: \\((3-x)(3+x) = 9 - x^2\\).\n\n\\[(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\\]\nUżyliśmy do rozwinięcia prawej strony: \\((3-x)^2 = 9 - 6x + x^2\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Wartość | Sprawdzenie | Błąd |\n| A | \\(x = 0\\) | \\((3)(3) > (3)^2 \\Rightarrow 9 > 9\\) - **fałsz** | Przedział jest otwarty: \\(x = 0\\) nie należy do \\((0, 3)\\) |\n| C | \\(x = 2\\) | \\((1)(5) > (1)^2 \\Rightarrow 5 > 1\\) - spełnione | Ale \\(2 > 1\\), więc nie jest **najmniejszą** liczbą całkowitą |\n| D | \\(x = 3\\) | \\((0)(6) > (0)^2 \\Rightarrow 0 > 0\\) - **fałsz** | Przedział jest otwarty: \\(x = 3\\) nie należy do \\((0, 3)\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy dzieleniu obu stron nierówności przez liczbę **ujemną** musisz odwrócić znak nierówności. Tu: dzielimy przez \\(-2\\), więc \\(>\\) staje się \\(<\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Obie granice przedziału \\((0, 3)\\) są **wykluczone** (nawias okrągły = otwarty). Maturzyści często mylą \\(<\\) z \\(\\leq\\) i błędnie wliczają \\(x = 0\\) lub \\(x = 3\\) - sprawdź podstawiając!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Pytanie dotyczy **najmniejszej** liczby całkowitej spełniającej nierówność - nie chodzi o wszystkie liczby z przedziału, tylko o tę z lewej strony. Zbyt pochopna odpowiedź \\(x = 2\\) wynika z pomylenia \"pierwsza z brzegu\" z \"największa\".\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1 - Rozwinięcie i uproszczenie\n\\((3-x)(3+x) = 9 - x^{2}\\) (różnica kwadratów).\n\\((3-x)^{2} = 9 - 6x + x^{2}\\).\nNierówność:\n\\[9 - x^{2} > 9 - 6x + x^{2}\\]\n\\[-x^{2} > -6x + x^{2}\\]\n\\[0 > 2x^{2} - 6x\\]\n\\[2x(x-3) < 0.\\]\nZnak \\(2x(x-3)\\): ujemny dla \\(x\\in (0, 3)\\).\n\nRozwiązania: \\(x\\in (0, 3)\\). Liczby całkowite w tym przedziale: \\(\\{1, 2\\}\\). Najmniejsza: \\(1\\).\n\n### Sposób 2 - Przeniesienie na lewą stronę\n\\((3-x)(3+x) - (3-x)^{2} > 0\\)\n\\((3-x)\\bigl[(3+x) - (3-x)\\bigr] > 0\\)\n\\((3-x)\\cdot 2x > 0\\)\n\\(2x(3-x) > 0\\).\nZnaki: dodatni gdy \\(x\\in(0, 3)\\). Najmniejsza całkowita: \\(x=1\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(0\\)** - \\(2\\cdot 0\\cdot 3 = 0\\), nie \\(>0\\). \\(0\\notin (0,3)\\).\n- **C. \\(2\\)** - też jest w zbiorze, ale NIE jest najmniejsze.\n- **D. \\(3\\)** - \\(2\\cdot 3\\cdot 0 = 0\\), nie \\(>0\\).\n\n**Trik:** Zawsze wyłączaj wspólny czynnik, jeśli się pojawia - skraca pracę.","image":"img/matematyka-2011-maj-matura-podstawowa/zad-8.webp","solution_image":"img/matematyka-2011-maj-matura-podstawowa/sol-8.svg","topics":"logarytmy","page_from":4,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2011 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2011-maj-matura-podstawowa/zad/9","paper_id":"matematyka-2011-maj-matura-podstawowa","number":"9","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2011,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 9. (1 pkt)\nDane są funkcje liniowe\n2\n)\n(\n= x\nx\nf\noraz\n4\n)\n(\n= x\nx\ng\nokreślone dla wszystkich liczb\nrzeczywistych\nx . Wskaż, który z poniższych wykresów jest wykresem funkcji\n( )\n( )\nx\ng\nx\nf\nx\nh\n⋅\n)\n(\nA.\nx\ny\n-4\n2\nB.\nx\ny\n-4\n2\nC.\nx\ny\n-2\n4\nD.\nx\n-2\n4\ny\nMatura podstawowa z matematyki 2011. Dane są funkcje liniowe f(x)=x-2 oraz g(x)=x+4 określone dla wszystkich liczb rzeczywistych x. Wskaż, który z poniższych wykresów jest wykresem funkcji h(x) = f(x)⋅g(x).","answer":"A","answer_text":"Zadanie 9. (0-1)\nWykorzystanie\ni interpretowanie reprezentacji\nOkreślenie funkcji za pomocą wzoru\ni interpretowanie wykresów funkcji\nkwadratowych\nA","solution":"## Poprawna odpowiedź: D\n\nFunkcja \\(f(x) = -\\dfrac{1}{2}x + 3\\) jest **malejąca** i jej wykres przechodzi przez punkt \\((0, 3)\\).\n\n## Sposób 1 - Odczyt współczynników z postaci kierunkowej\n\nFunkcja liniowa ma postać ogólną \\(f(x) = ax + b\\), gdzie:\n- \\(a\\) - **współczynnik kierunkowy** (decyduje o rosnięciu/malejeniu)\n- \\(b\\) - **wyraz wolny** (wartość funkcji dla \\(x = 0\\), czyli punkt przecięcia z osią \\(OY\\))\n\nPorównujemy \\(f(x) = -\\dfrac{1}{2}x + 3\\) z \\(f(x) = ax + b\\):\n\n\\[a = -\\frac{1}{2}, \\quad b = 3\\]\n\n**Monotoniczność:**\n\nSkoro \\(a = -\\dfrac{1}{2} < 0\\), funkcja jest **malejąca**.\n\n**Punkt przecięcia z osią \\(OY\\):**\n\n\\[f(0) = -\\frac{1}{2} \\cdot 0 + 3 = 3\\]\n\nWykres przechodzi przez punkt \\((0, 3)\\).\n\n**Odpowiedź: D** - funkcja jest malejąca i przechodzi przez \\((0, 3)\\).\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja przez podstawienie dwóch punktów\n\nSprawdzamy, że funkcja rzeczywiście maleje, obliczając dwie wartości:\n\nDla \\(x = 0\\):\n\\[f(0) = -\\frac{1}{2} \\cdot 0 + 3 = 3\\]\n\nDla \\(x = 2\\):\n\\[f(2) = -\\frac{1}{2} \\cdot 2 + 3 = -1 + 3 = 2\\]\n\n\\(x\\) wzrosło z \\(0\\) do \\(2\\), a \\(f(x)\\) **spadło** z \\(3\\) do \\(2\\) - funkcja maleje. ✓\n\nPunkt \\((0, 3)\\) należy do wykresu. ✓\n\nOdpowiedź **D** potwierdzona.\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy znajomość definicji funkcji liniowej i interpretacji jej współczynników (podstawa programowa, nie karta wzorów).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| A | Uczeń pomylił znak \\(a\\): ujemny współczynnik kierunkowy \\(a < 0\\) daje funkcję **malejącą**, nie rosnącą. Punkt \\((0,3)\\) dobry, ale monotoniczność błędna. |\n| B | Punkt \\((0, -3)\\) - uczeń wziął \\(-b\\) zamiast \\(b\\). Monotoniczność (malejąca) poprawna, ale punkt przecięcia z \\(OY\\) błędny. |\n| C | Dwa błędy naraz: źle odczytana monotoniczność (rosnąca zamiast malejąca) **oraz** błędny punkt \\((0, -3)\\). |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Ujemny współczynnik kierunkowy \\(a < 0\\) oznacza funkcję **malejącą** - im większe \\(x\\), tym mniejsza wartość funkcji. Nie mylić znaku \\(a\\) ze znakiem \\(b\\)!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wyraz wolny \\(b\\) to wartość funkcji w punkcie \\(x = 0\\), czyli \\(f(0) = b\\). Punkt przecięcia z osią \\(OY\\) to zawsze \\((0, b)\\), a nie \\((0, -b)\\). Tutaj \\(b = 3\\), więc punkt to \\((0, 3)\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie mylić \\(f(x) = -\\dfrac{1}{2}x + 3\\) z \\(f(x) = \\dfrac{1}{-2x+3}\\) - to zapis funkcji liniowej w postaci \\(ax + b\\), nie ułamek!\n\n**Poprawna odpowiedź: D**\n\n### Sposób 1 - Analiza wzoru liniowego\nFunkcja liniowa ma postać \\(f(x) = ax + b\\). Tu \\(a = -\\tfrac{1}{2}\\), \\(b = 3\\).\n\n- Współczynnik kierunkowy \\(a = -\\tfrac{1}{2} < 0\\) \\(\\Rightarrow\\) funkcja **malejąca**.\n- Wyraz wolny \\(b = 3\\) \\(\\Rightarrow\\) wykres przecina oś \\(OY\\) w punkcie \\((0, 3)\\).\n\nObie cechy pasują do opcji **D**.\n\n### Sposób 2 - Sprawdzenie wartości \\(f(0)\\)\n\\[f(0) = -\\tfrac{1}{2}\\cdot 0 + 3 = 3.\\]\nPunkt \\((0, 3)\\) należy do wykresu - odpada B, C.\n\nDla monotoniczności: \\(f(2) = -1+3 = 2\\), \\(f(4) = -2+3 = 1\\). \\(2 > 1\\), więc malejąca - odpada A.\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A.** Nie jest rosnąca.\n- **B.** Przechodzi przez \\((0, 3)\\), nie \\((0, -3)\\).\n- **C.** Dwie błędy: nie rosnąca, nie przez \\((0, -3)\\).\n\n**Trik:** Dla \\(f(x)=ax+b\\): znak \\(a\\) → monotoniczność, \\(b\\) → punkt przecięcia z \\(OY\\).","image":"img/matematyka-2011-maj-matura-podstawowa/zad-9.webp","solution_image":"img/matematyka-2011-maj-matura-podstawowa/sol-9.svg","topics":"funkcje","page_from":4,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2011 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2011-maj-matura-podstawowa/zad/10","paper_id":"matematyka-2011-maj-matura-podstawowa","number":"10","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2011,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 10 (1 pkt)\nFunkcja liniowa określona jest wzorem\n4\n2\n)\n(\nx\nx\nf\n. Miejscem zerowym tej funkcji jest\nliczba\nA.\n2\n2\nB.\n2\n2\nC.\n2\n2\nD.\n2\n2\nMatura podstawowa z matematyki 2011. Funkcja liniowa określona jest wzorem f(x) = - pierwiastek z 2 + 4 miejscem zerowym tej funkcji jest liczba A. -2 pierwiastki z 2 B. pierwiastek z 2 / 2 C. - pierwiastek z 2 / 2 D. 2 pierwiastki z 2","answer":"D","answer_text":"Zadanie 10. (0-1)\nWykorzystanie\ni interpretowanie reprezentacji\nObliczenie miejsca zerowego funkcji\nliniowej\nD","solution":"## Poprawna odpowiedź: B - \\(x_1 + x_2 = -2\\)\n\n## Sposób 1 - Wyznaczenie pierwiastków wprost\n\nRównanie \\(2(x-5)(x+7) = 0\\) jest iloczynem czynników. Iloczyn jest równy zero, gdy **co najmniej jeden czynnik jest zerem**.\n\nCzynnik \\(2 \\neq 0\\), więc sprawdzamy pozostałe:\n\n\\[x - 5 = 0 \\implies x_1 = 5\\]\n\\[x + 7 = 0 \\implies x_2 = -7\\]\n\nObliczamy sumę:\n\n\\[x_1 + x_2 = 5 + (-7) = \\mathbf{-2}\\]\n\n## Sposób 2 - Wzory Viète'a\n\nRozwijamy nawiasy, żeby uzyskać postać ogólną trójmianu kwadratowego:\n\n\\[2(x-5)(x+7) = 2(x^2 + 7x - 5x - 35) = 2(x^2 + 2x - 35)\\]\n\\[= 2x^2 + 4x - 70\\]\n\nMamy więc: \\(a = 2,\\ b = 4,\\ c = -70\\).\n\nZ wzorów Viète'a:\n\n\\[x_1 + x_2 = -\\frac{b}{a} = -\\frac{4}{2} = \\mathbf{-2}\\]\n\nWynik ten samo - potwierdza odpowiedź B.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)** - wzory Viète'a:\n\\[x_1 + x_2 = -\\frac{b}{a}, \\qquad x_1 \\cdot x_2 = \\frac{c}{a}\\]\nUżyliśmy ich w Sposobie 2 - po rozwinięciu iloczynu do postaci ogólnej wzór na sumę pierwiastków daje wynik natychmiast, bez liczenia pierwiastków.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| A (\\(2\\)) | Uczeń zsumował liczby z nawiasów: \\(5 + 7 = 12\\), a potem albo po prostu \"widzi\" \\(2\\) jako współczynnik przed nawiasami i podaje go jako wynik |\n| C (\\(12\\)) | Uczeń sumuje **wartości bezwzględne**: \\(5 + 7 = 12\\), ignorując znak drugiego pierwiastka |\n| D (\\(-12\\)) | Uczeń bierze \\(-(5+7) = -12\\), mylnie myśląc, że oba pierwiastki są ujemne, lub błędnie neguje sumę \\(12\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Pierwiastki to \\(x_1 = 5\\) i \\(x_2 = -7\\), nie \\(x_1 = -5\\) i \\(x_2 = -7\\). Z nawiasu \\((x-5)\\) wynika \\(x = +5\\), bo zerujemy \\(x - 5\\), nie \\(x + 5\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Współczynnik \\(2\\) przed nawiasami **nie ma wpływu na miejsca zerowe** - iloczyn jest zerem niezależnie od tego, czy stoi przed nim \\(2\\), \\(-3\\) czy \\(100\\). Ale przy wzorach Viète'a trzeba uwzględnić współczynnik \\(a\\) po rozwinięciu!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** W Sposobie 2 pamiętaj, że po rozwinięciu \\(2(x^2+2x-35)\\) mamy \\(a=2\\), \\(b=4\\) - nie \\(b=2\\). Pominięcie mnożenia przez \\(2\\) to częsty błąd rachunkowy.\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1 - Znalezienie pierwiastków\nIloczyn zeruje się, gdy jeden z czynników \\(=0\\):\n\\[(x-5)(x+7) = 0 \\Rightarrow x_{1} = 5 \\text{ lub } x_{2} = -7.\\]\nSuma: \\(5 + (-7) = -2\\).\n\n### Sposób 2 - Wzory Viète'a\nRozwijamy \\(2(x-5)(x+7) = 2(x^{2} + 2x - 35) = 2x^{2} + 4x - 70\\).\nZ Viète'a: \\(x_{1}+x_{2} = -\\dfrac{b}{a} = -\\dfrac{4}{2} = -2\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(2\\)** - zły znak.\n- **C. \\(12\\)** - \\(5 + 7 = 12\\), pomylone znaki pierwiastków.\n- **D. \\(-12\\)** - \\(-5 - 7 = -12\\), pomylone znaki obu.\n\n**Trik:** Z postaci iloczynowej \\((x-a)(x-b)\\): pierwiastki to \\(a, b\\) - SĄ wartościami, przy których czynniki zerują, NIE liczbami w nawiasach.","image":"img/matematyka-2011-maj-matura-podstawowa/zad-10.webp","solution_image":"img/matematyka-2011-maj-matura-podstawowa/sol-10.svg","topics":"funkcje","page_from":4,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2011 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2011-maj-matura-podstawowa/zad/11","paper_id":"matematyka-2011-maj-matura-podstawowa","number":"11","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2011,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 11. (1 pkt)\nDany jest nieskończony ciąg geometryczny (\n)\nna\n, w którym\n3\n1\na = i\n4\n2\n3\na =\n. Wtedy\nA.\n1\n2\n3\na =\nB.\n1\n4\n9\na =\nC.\n1\n3\n2\na =\nD.\n1\n9\n4\na =\nMatura podstawowa z matematyki 2011. Dany jest nieskończony ciąg geometryczny (a_n), w którym a_3=1 i a_4=2/3. Wtedy A. a_1=2/3 B. a_1=4/9 C. a_1=3/2 D. a_1=9/4","answer":"D","answer_text":"Zadanie 11. (0-1)\nWykorzystanie\ni interpretowanie reprezentacji\nZastosowanie wzory na n-ty wyraz ciągu\ngeometrycznego\nD","solution":"## Poprawna odpowiedź: C\n\nZbiór wartości funkcji to \\(\\langle -4, -1\\rangle \\cup (1, 3\\rangle\\).\n\n## Sposób 1 - Odczyt z wykresu segment po segmencie\n\n**Zbiór wartości** to zbiór wszystkich wartości \\(y\\), które funkcja faktycznie przyjmuje. Patrzymy więc **wyłącznie na oś \\(Oy\\)** - jakie \"poziomy\" osiąga wykres.\n\n**Krok 1 - Identyfikacja odcinków i ich zakresów \\(y\\):**\n\n| Odcinek | Od punktu | Do punktu | Wartości \\(y\\) |\n| Rosnący | \\((-5,\\ -4)\\) | \\((-3,\\ -1)\\) | \\(\\langle -4,\\ -1 \\rangle\\) |\n| Poziomy | \\((-3,\\ -1)\\) | \\((-1,\\ -1)\\) | \\(\\{-1\\}\\) (zawiera się w przedziale wyżej) |\n| Rosnący | z otwartym początkiem przy \\(y=1\\) | \\((1,\\ 3)\\) | \\((1,\\ 3\\rangle\\) |\n| Poziomy | \\((1,\\ 3)\\) | \\((7,\\ 3)\\) | \\(\\{3\\}\\) (zawiera się w przedziale wyżej) |\n\n**Krok 2 - Kluczowa obserwacja:**\n\nNa wykresie widać **przerwę** (nieciągłość): między odcinkiem poziomym kończącym się przy \\(y=-1\\) a kolejnym odcinkiem rosnącym. Punkt startowy tego nowego odcinka ma **otwarte kółko** - oznacza to, że \\(y = 1\\) **nie jest osiągane**. Stąd drugi przedział zaczyna się od nawiasu okrągłego: \\((1,\\ 3\\rangle\\).\n\n**Krok 3 - Złożenie wyniku:**\n\n\\[\\text{Zbiór wartości} = \\langle -4,\\ -1\\rangle \\cup (1,\\ 3\\rangle\\]\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja przez \"rzutowanie na oś \\(Oy\\)\"\n\nWyobraź sobie poziome promienie świetlne biegnące od lewej równolegle do osi \\(Ox\\). Dla jakich wartości \\(y\\) promień **trafia w wykres**?\n\n- \\(y = -4\\): trafia w punkt \\((-5,\\ -4)\\) - **tak**, osiągane ✓\n- \\(y = -2\\): trafia w odcinek rosnący - **tak**, osiągane ✓\n- \\(y = -1\\): trafia w poziomy odcinek - **tak**, osiągane ✓\n- \\(y = 0\\): nie trafia nigdzie - **nie osiągane** ✗\n- \\(y = 1\\): nie trafia (otwarte kółko!) - **nie osiągane** ✗\n- \\(y = 2\\): trafia w odcinek rosnący - **tak**, osiągane ✓\n- \\(y = 3\\): trafia w poziomy odcinek \\(\\langle 1, 7\\rangle\\) - **tak**, osiągane ✓\n- \\(y = 4\\): nie trafia - **nie osiągane** ✗\n\nZatem zbiór wartości to dokładnie \\(\\langle -4,\\ -1\\rangle \\cup (1,\\ 3\\rangle\\). ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy definicja zbioru wartości funkcji i odczyt z wykresu.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| **A** | \\(\\langle -4, 3\\rangle\\) - zakłada, że wykres jest **ciągły** i przyjmuje wszystkie wartości od \\(-4\\) do \\(3\\). Pomija nieciągłość - w przedziale \\((-1,\\ 1\\rangle\\) funkcja nie przyjmuje żadnych wartości. |\n| **B** | \\(\\langle -4, -1\\rangle \\cup \\langle 1, 3\\rangle\\) - prawie dobrze! Błąd polega na **zamkniętym nawiasie przy \\(1\\)**. Na wykresie punkt przy \\(y=1\\) ma otwarte kółko, więc \\(y=1\\) **nie jest osiągane**. |\n| **D** | \\(\\langle -5, 6\\rangle\\) - klasyczne pomieszanie **dziedziny** ze **zbiorem wartości**. \\(\\langle -5, 7\\rangle\\) to dziedzina (zakres \\(x\\)), a \\(6\\) w ogóle się tu nie pojawia. |\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Zbiór wartości to zakres na osi \\(\\boldsymbol{Oy}\\), **nie** na osi \\(Ox\\). Nie czytaj przedziałów poziomych wykresów jako zbioru wartości!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Zwracaj uwagę na **otwarte kółka** na wykresie - oznaczają, że dany punkt **nie należy** do wykresu, a więc dana wartość \\(y\\) **nie jest osiągana**. To właśnie ta pułapka eliminuje odpowiedź B.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Gdy wykres jest **nieciągły** (ma przerwę), zbiór wartości będzie sumą rozłącznych przedziałów (\\(\\cup\\)), a nie jednym przedziałem. Jeśli rysunek sugeruje przerwę - zbiór wartości to zawsze **unia**, nie jeden ciągły przedział!\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1 - Odczyt wykresu\nWykres osiąga wartości od najniższej \\(y=-4\\) do najwyższej \\(y=3\\). Ale nie są to wszystkie wartości - widać lukę między pewnymi odcinkami.\n\nAnalizując dokładnie:\n- Między \\(y=-1\\) a \\(y=1\\) wykres nie osiąga żadnej wartości (pionowa „luka\"), przy czym wartość \\(y=1\\) występuje (np. pochodzi z odcinka rosnącego), ale jest **wyłączona** (otwarte kółko) - stąd przedział \\((1, 3\\rangle\\).\n\nZbiór wartości: \\(\\langle -4, -1\\rangle \\cup (1, 3\\rangle\\).\n\n### Sposób 2 - Eliminacja\n- **A.** \\(\\langle -4, 3\\rangle\\) - fałsz, brak wartości \\(y\\in (-1, 1\\rangle\\).\n- **B.** \\(\\langle -4, -1\\rangle \\cup \\langle 1, 3\\rangle\\) - myli kółko otwarte przy \\(y=1\\) z zamkniętym.\n- **D.** \\(\\langle -5, 6\\rangle\\) - to dziedzina, nie zbiór wartości.\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\nPatrz wyżej - opcja C jedyna uwzględnia wszystkie osiągane wartości i wyłącza te nieosiągane (kółko otwarte).\n\n**Trik:** Zbiór wartości = rzut wykresu na oś \\(OY\\), z uwzględnieniem otwartych/zamkniętych końców.","image":"img/matematyka-2011-maj-matura-podstawowa/zad-11.webp","solution_image":"img/matematyka-2011-maj-matura-podstawowa/sol-11.svg","topics":"ciagi","page_from":4,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2011 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2011-maj-matura-podstawowa/zad/12","paper_id":"matematyka-2011-maj-matura-podstawowa","number":"12","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2011,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 12. (1 pkt)\nDany jest nieskończony rosnący ciąg arytmetyczny (\n)\nna\no wyrazach dodatnich. Wtedy\nA.\n10\n7\n4\na\na\na\nB.\n8\n3\n6\n4\na\na\na\na\nC.\n8\n3\n9\n2\na\na\na\na\nD.\n8\n7\n5\n2a\na\na\nMatura podstawowa z matematyki 2011. Dany jest nieskończony rosnący ciąg arytmetyczny (a_n) o wyrazach dodatnich. Wtedy A. a_4+a_7=a_10 B. a_4+a_6=a_3+a_8 C. a_2+a_9=a_3+a_8 D. a_5+a_7=2a_8","answer":"C","answer_text":"Zadanie 12. (0-1)\nUżycie i tworzenie strategii\nZastosowanie wzoru na n-ty wyraz ciągu\narytmetycznego\nC","solution":"## Poprawna odpowiedź: D (wyrażenie równa się \\(2\\))\n\n## Sposób 1 - wzory redukcyjne (kąty dopełniające)\n\n**Kluczowa obserwacja:** w trójkącie prostokątnym suma kątów ostrych wynosi \\(90°\\), więc:\n\\[\\alpha + \\beta = 41° + 49° = 90° \\implies \\beta = 90° - \\alpha\\]\n\nStosujemy wzór redukcyjny:\n\\[\\sin\\beta = \\sin(90° - \\alpha) = \\cos\\alpha\\]\n\nPodstawiamy do wyrażenia:\n\\[\\frac{\\cos\\alpha + \\sin\\beta}{\\cos\\alpha} = \\frac{\\cos\\alpha + \\cos\\alpha}{\\cos\\alpha} = \\frac{2\\cos\\alpha}{\\cos\\alpha} = \\mathbf{2}\\]\n\n## Sposób 2 - weryfikacja numeryczna\n\nUżywamy wartości z tablicy trygonometrycznej (karta CKE, s. 34):\n\\[\\cos 41° \\approx 0{,}7547, \\qquad \\sin 49° \\approx 0{,}7547\\]\n\n(Są równe - bo właśnie \\(\\sin 49° = \\cos 41°\\)!)\n\n\\[\\frac{\\cos 41° + \\sin 49°}{\\cos 41°} = \\frac{0{,}7547 + 0{,}7547}{0{,}7547} = \\frac{2 \\cdot 0{,}7547}{0{,}7547} = \\mathbf{2}\\]\n\nWynik zgodny z Metodą 1. ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 9 (Trygonometria, s. 14)** - wzory redukcyjne:\n\\[\\sin(90° - \\alpha) = \\cos\\alpha, \\qquad \\cos(90° - \\alpha) = \\sin\\alpha\\]\n\nTo kluczowy wzór w tym zadaniu - pozwolił zamienić \\(\\sin 49°\\) na \\(\\cos 41°\\) i uprościć licznik.\n\n**Dział 9 (Trygonometria, s. 11)** - suma kątów trójkąta: suma kątów ostrych w trójkącie prostokątnym wynosi \\(90°\\) - to uzasadnienie, że możemy użyć wzoru redukcyjnego.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd prowadzący do tej odpowiedzi |\n| A | Rozkładają ułamek poprawnie: \\(\\frac{\\cos\\alpha + \\sin\\beta}{\\cos\\alpha} = 1 + \\frac{\\sin\\beta}{\\cos\\alpha}\\), ale potem **zapominają podzielić** \\(\\sin\\beta\\) przez \\(\\cos\\alpha\\) i zapisują \\(1 + \\sin\\beta = 1 + \\sin 49°\\) |\n| B | Sądzą, że \\(\\cos\\alpha\\) w liczniku i mianowniku „skraca się w całości\", pozostawiając samo \\(\\sin\\beta = \\sin 49°\\) |\n| C | Ignorują \\(\\sin\\beta\\) w liczniku (np. sądzą że wynosi 0) i liczą \\(\\frac{\\cos\\alpha}{\\cos\\alpha} = 1\\), albo mylnie twierdzą, że \\(\\cos\\alpha + \\sin\\beta = \\cos\\alpha\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wiele osób w ogóle nie zauważa, że \\(\\alpha + \\beta = 90°\\). To jest serce zadania - bez tego spostrzeżenia wyrażenie wygląda na nieupraszczalne!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy rozkładaniu ułamka \\(\\frac{A + B}{C} = \\frac{A}{C} + \\frac{B}{C}\\) - **obie** składowe muszą zostać podzielone przez \\(C\\). Błąd A polega na tym, że piszą \\(1 + B\\) zamiast \\(1 + \\frac{B}{C}\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wzory redukcyjne \\(\\sin(90° - \\alpha) = \\cos\\alpha\\) są na karcie wzorów - warto je **od razu** zastosować, gdy widzisz w trójkącie prostokątnym oba kąty ostre naraz.\n\n**Poprawna odpowiedź: D**\n\n### Sposób 1 - Własność kątów dopełniających\nW trójkącie prostokątnym \\(\\alpha + \\beta = 90^{\\circ}\\) (bo trzeci kąt to \\(90^{\\circ}\\)). Tu \\(41^{\\circ}+49^{\\circ}=90^{\\circ}\\) ✓.\n\nWzór: \\(\\sin(90^{\\circ}-\\alpha) = \\cos\\alpha\\). Zatem \\(\\sin 49^{\\circ} = \\sin(90^{\\circ}-41^{\\circ}) = \\cos 41^{\\circ} = \\cos\\alpha\\).\n\nPodstawiamy:\n\\[\\dfrac{\\cos\\alpha + \\sin\\beta}{\\cos\\alpha} = \\dfrac{\\cos\\alpha + \\cos\\alpha}{\\cos\\alpha} = \\dfrac{2\\cos\\alpha}{\\cos\\alpha} = 2.\\]\n\n### Sposób 2 - Na wartościach liczbowych\n\\(\\cos 41^{\\circ} \\approx 0{,}7547\\), \\(\\sin 49^{\\circ} \\approx 0{,}7547\\).\n\\[\\dfrac{0{,}7547 + 0{,}7547}{0{,}7547} = \\dfrac{1{,}5094}{0{,}7547} \\approx 2.\\]\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(1 + \\sin 49^{\\circ}\\)** - zapomniano, że \\(\\tfrac{\\sin 49^{\\circ}}{\\cos 41^{\\circ}}=1\\).\n- **B. \\(\\sin 49^{\\circ}\\)** - uproszczono tylko jeden składnik.\n- **C. \\(1\\)** - zły uproszczenie.\n\n**Trik:** \\(\\sin(90^{\\circ}-x) = \\cos x\\) - najczęstsza tożsamość w zadaniach z trójkątem prostokątnym.","image":"img/matematyka-2011-maj-matura-podstawowa/zad-12.webp","solution_image":"img/matematyka-2011-maj-matura-podstawowa/sol-12.svg","topics":"ciagi","page_from":4,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2011 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2011-maj-matura-podstawowa/zad/13","paper_id":"matematyka-2011-maj-matura-podstawowa","number":"13","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2011,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 13. (1 pkt)\nKąt α jest ostry i\n5\ncos\n13\nα =\n. Wtedy\nA.\n12\nsin\n13\nα =\noraz\n12\ntg\n5\nα =\nB.\n12\nsin\n13\nα =\noraz\n5\ntg\n12\nα =\nC.\n12\nsin\n5\nα =\noraz\n12\ntg\n13\nα =\nD.\n5\nsin\n12\nα =\noraz\n12\ntg\n13\nα =\n\nPoziom podstawowy\n5\nBRUDNOPIS\n\nPoziom podstawowy\n6\nMatura podstawowa z matematyki 2011. Kąt alfa jest ostry i cos a = 5/13. Wtedy A. sin a = 12/13 oraz tg a = 12/5 B. sin a = 12/13 oraz tg a = 5/12 C. sin a = 12/5 oraz tg a = 12/13 D. sin a = 5/12 oraz tg a = 12/13","answer":"A","answer_text":"Zadanie 13. (0-1)\nWykorzystanie\ni interpretowanie reprezentacji\nWyznaczenie wartości pozostałych\nfunkcji tego samego kąta ostrego, gdy\ndana jest wartość jednej z nich\nA","solution":"## Poprawna odpowiedź: C - różnica ciągu wynosi \\(2\\)\n\n## Sposób 1 - Obliczenie różnicy ze wzoru na wyraz ogólny\n\nWzór ogólny ciągu arytmetycznego to \\(a_n = a_1 + (n-1)r\\), gdzie \\(r\\) to różnica ciągu.\n\nMamy dany wzór \\(a_n = 2n - 1\\). Zapiszmy go w postaci zgodnej ze wzorem ogólnym:\n\n\\[a_n = 2n - 1 = 2(n-1) + 1\\]\n\nPorównując z \\(a_n = a_1 + (n-1)r\\):\n- \\(a_1 = 1\\) (wyraz wolny)\n- **\\(r = 2\\)** (współczynnik przy \\((n-1)\\))\n\nZatem różnica ciągu wynosi \\(\\mathbf{r = 2}\\).\n\n## Sposób 2 - Obliczenie \\(a_{n+1} - a_n\\)\n\nRóżnica ciągu to stała wartość \\(r = a_{n+1} - a_n\\) (kolejny wyraz minus poprzedni).\n\nObliczamy:\n\\[a_{n+1} = 2(n+1) - 1 = 2n + 2 - 1 = 2n + 1\\]\n\\[a_n = 2n - 1\\]\n\n\\[r = a_{n+1} - a_n = (2n+1) - (2n-1) = 2n + 1 - 2n + 1 = \\mathbf{2}\\]\n\nDla pewności sprawdzamy na konkretnych wyrazach:\n- \\(a_1 = 2 \\cdot 1 - 1 = 1\\)\n- \\(a_2 = 2 \\cdot 2 - 1 = 3\\)\n- \\(a_3 = 2 \\cdot 3 - 1 = 5\\)\n\nRóżnice: \\(3 - 1 = 2\\), \\(5 - 3 = 2\\) ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 8 (Ciągi, s. 9-10)** - wzór na wyraz ogólny ciągu arytmetycznego:\n\\[a_n = a_1 + (n-1)r\\]\nUżyliśmy go w Sposobie 1 do identyfikacji różnicy przez porównanie postaci wzoru z danym wyrażeniem \\(2n - 1\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| A \\((-1)\\) | Uczeń wziął \\(a_1 - a_2 = 1 - 3 = -2\\) lub pomylił kolejność odejmowania (poprzedni minus następny) |\n| B \\((1)\\) | Uczeń wziął \\(a_1 = 1\\) i uznał je za różnicę, myląc pierwszy wyraz z różnicą ciągu |\n| D \\((3)\\) | Uczeń wziął wartość \\(a_2 = 3\\) i uznał ją za różnicę, lub pomylył \\(a_1 + r\\) z samym \\(r\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Pierwszy wyraz \\(a_1\\) to NIE jest różnica ciągu! Tu \\(a_1 = 1\\), a \\(r = 2\\) - to dwie różne rzeczy.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy obliczaniu różnicy zawsze odejmujemy **następny minus poprzedni** (\\(a_{n+1} - a_n\\)), nie odwrotnie. Odwrócenie kolejności da błędny znak.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Współczynnik przy \\(n\\) we wzorze liniowym \\(a_n = 2n - 1\\) to zawsze różnica ciągu arytmetycznego - to szybki sposób na jej odczytanie bez żadnych obliczeń.\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1 - Definicja różnicy\nRóżnica ciągu arytmetycznego: \\(r = a_{n+1} - a_{n}\\).\n\\[r = (2(n+1)-1) - (2n-1) = 2n+2-1-2n+1 = 2.\\]\n\n### Sposób 2 - Współczynnik przy \\(n\\)\nWzór ogólny ciągu arytmetycznego: \\(a_{n} = a_{1} + (n-1)r = rn + (a_{1} - r)\\). Porównujemy z \\(a_{n} = 2n - 1\\): współczynnik przy \\(n\\) to \\(r = 2\\).\n\n### Sposób 3 - Wypisanie kilku wyrazów\n\\(a_{1}=1, a_{2}=3, a_{3}=5, a_{4}=7\\). Różnice kolejne: \\(3-1=2\\), \\(5-3=2\\), \\(7-5=2\\). Stała \\(r=2\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(-1\\)**, **B. \\(1\\)**, **D. \\(3\\)** - nie zgadzają się z obliczoną różnicą.\n\n**Trik:** W \\(a_{n}=An+B\\) współczynnik przy \\(n\\) zawsze równy jest różnicy \\(r\\).","image":"img/matematyka-2011-maj-matura-podstawowa/zad-13.webp","solution_image":"img/matematyka-2011-maj-matura-podstawowa/sol-13.svg","topics":"trygonometria","page_from":4,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2011 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2011-maj-matura-podstawowa/zad/14","paper_id":"matematyka-2011-maj-matura-podstawowa","number":"14","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2011,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 14. (1 pkt)\nWartość wyrażenia\n2\n2\n2\n2\nsin 38\ncos 38\n1\nsin 52\ncos 52\n1\n°+\n°-\n°+\n°+ jest równa\nA. 1\n2\nB. 0\nC.\n1\n2\nD. 1\nMatura podstawowa z matematyki 2011. Wartość wyrażenia sin^2 38 + cos^2 38 - 1 / sin^2 52 + cos^2 52 + 1 A. 1/2, B. 0, C. -1/2, D. 1","answer":"B","answer_text":"Zadanie 14. (0-1)\nWykorzystanie\ni interpretowanie reprezentacji\nZastosowanie prostych związków między\nfunkcjami trygonometrycznymi kąta\nostrego\nB","solution":"## Poprawna odpowiedź: A - \\(a_1 = -\\dfrac{1}{2}\\)\n\n## Sposób 1 - Iloraz ciągu i cofnięcie o jeden wyraz\n\n**Krok 1: Wyznaczamy iloraz \\(q\\).**\n\nW ciągu geometrycznym każdy wyraz to poprzedni pomnożony przez \\(q\\), więc:\n\n\\[q = \\frac{a_3}{a_2} = \\frac{-1}{\\dfrac{\\sqrt{2}}{2}}\\]\n\nDzielenie przez ułamek = mnożenie przez odwrotność:\n\n\\[q = -1 \\cdot \\frac{2}{\\sqrt{2}} = \\frac{-2}{\\sqrt{2}} = \\frac{-2\\sqrt{2}}{2} = -\\sqrt{2}\\]\n\n**Krok 2: Wyznaczamy \\(a_1\\) - \"cofamy się\" o jeden wyraz.**\n\nSkoro \\(a_2 = a_1 \\cdot q\\), to:\n\n\\[a_1 = \\frac{a_2}{q} = \\frac{\\dfrac{\\sqrt{2}}{2}}{-\\sqrt{2}} = \\frac{\\sqrt{2}}{2} \\cdot \\frac{1}{-\\sqrt{2}} = \\frac{\\sqrt{2}}{-2\\sqrt{2}} = \\mathbf{-\\frac{1}{2}}\\]\n\n## Sposób 2 - Układ równań (wzór ogólny)\n\nKorzystamy ze wzoru na \\(n\\)-ty wyraz ciągu geometrycznego \\(a_n = a_1 \\cdot q^{n-1}\\):\n\n\\[\\begin{cases} a_2 = a_1 \\cdot q^1 = \\dfrac{\\sqrt{2}}{2} \\\\ a_3 = a_1 \\cdot q^2 = -1 \\end{cases}\\]\n\nDzielimy stronami równanie drugie przez pierwsze:\n\n\\[\\frac{a_1 \\cdot q^2}{a_1 \\cdot q} = \\frac{-1}{\\dfrac{\\sqrt{2}}{2}} \\implies q = -\\sqrt{2}\\]\n\nPodstawiamy do pierwszego równania:\n\n\\[a_1 \\cdot (-\\sqrt{2}) = \\frac{\\sqrt{2}}{2} \\implies a_1 = \\frac{\\dfrac{\\sqrt{2}}{2}}{-\\sqrt{2}} = \\mathbf{-\\frac{1}{2}}\\]\n\n**Weryfikacja:** \\(a_1 = -\\tfrac{1}{2}\\), \\(q = -\\sqrt{2}\\)\n\n\\[a_2 = -\\frac{1}{2} \\cdot (-\\sqrt{2}) = \\frac{\\sqrt{2}}{2} \\checkmark\\]\n\\[a_3 = \\frac{\\sqrt{2}}{2} \\cdot (-\\sqrt{2}) = \\frac{-2}{2} = -1 \\checkmark\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 8 (Ciągi, s. 9-10)** - wzór na \\(n\\)-ty wyraz ciągu geometrycznego:\n\\[a_n = a_1 \\cdot q^{n-1}\\]\noraz własność, że iloraz to:\n\\[q = \\frac{a_{n+1}}{a_n}\\]\n\nUżyliśmy tego w obu sposobach - do wyznaczenia \\(q\\) z ilorazu \\(\\frac{a_3}{a_2}\\), a następnie \\(a_1\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| **B** \\(\\dfrac{1}{2}\\) | Zgubiono znak minusa przy dzieleniu: uczeń liczy \\(\\dfrac{\\sqrt{2}/2}{\\sqrt{2}}\\) zamiast przez \\(-\\sqrt{2}\\) |\n| **C** \\(-\\sqrt{2}\\) | Zatrzymano się na ilorazie - wyznaczono \\(q\\) i uznano je za \\(a_1\\) |\n| **D** \\(\\sqrt{2}\\) | Wzięto wartość bezwzględną \\(|q|\\) lub pomylono znak, nie przenosząc go do \\(a_1\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Iloraz \\(q\\) może być **ujemny** - wtedy wyrazy ciągu na przemian zmieniają znak. To jest poprawny ciąg geometryczny!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy dzieleniu przez ułamek pamiętaj: \\(\\dfrac{a}{\\frac{b}{c}} = a \\cdot \\dfrac{c}{b}\\). Tutaj \\(\\dfrac{-1}{\\frac{\\sqrt{2}}{2}} = -1 \\cdot \\dfrac{2}{\\sqrt{2}}\\) - ten krok jest źródłem wielu błędów rachunkowych.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie mylić \\(q\\) z \\(a_1\\)! Iloraz ciągu to stosunek sąsiednich wyrazów, a nie pierwszy wyraz. Zawsze sprawdzaj, czego szuka zadanie.\n\n**Poprawna odpowiedź: A**\n\n### Sposób 1 - Iloraz \\(q\\) i wzór wstecz\nW ciągu geometrycznym \\(q = \\dfrac{a_{3}}{a_{2}}\\):\n\\[q = \\dfrac{-1}{\\tfrac{\\sqrt{2}}{2}} = -\\dfrac{2}{\\sqrt{2}} = -\\sqrt{2}.\\]\nWtedy \\(a_{1} = \\dfrac{a_{2}}{q} = \\dfrac{\\tfrac{\\sqrt{2}}{2}}{-\\sqrt{2}} = -\\dfrac{\\sqrt{2}}{2\\sqrt{2}} = -\\dfrac{1}{2}\\).\n\n### Sposób 2 - Własność ciągu geometrycznego\n\\(a_{2}^{2} = a_{1}\\cdot a_{3}\\) \\(\\Rightarrow\\) \\(\\left(\\tfrac{\\sqrt{2}}{2}\\right)^{2} = a_{1}\\cdot (-1)\\) \\(\\Rightarrow\\) \\(\\tfrac{2}{4} = -a_{1}\\) \\(\\Rightarrow\\) \\(a_{1} = -\\tfrac{1}{2}\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **B. \\(\\tfrac{1}{2}\\)** - brak znaku minus. Ale \\(\\left(\\tfrac{1}{2}\\right)\\cdot q^{2} = a_{3}\\) wymaga \\(q^{2}=-2\\), nie \\(\\in \\mathbb{R}\\).\n- **C. \\(-\\sqrt{2}\\)** - to \\(q\\), nie \\(a_{1}\\).\n- **D. \\(\\sqrt{2}\\)** - błędne obliczenie.\n\n**Trik:** W ciągu geometrycznym: \\(a_{2}^{2} = a_{1}\\cdot a_{3}\\), czyli średnia geometryczna sąsiadów.","image":"img/matematyka-2011-maj-matura-podstawowa/zad-14.webp","solution_image":"img/matematyka-2011-maj-matura-podstawowa/sol-14.svg","topics":"trygonometria","page_from":6,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2011 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2011-maj-matura-podstawowa/zad/15","paper_id":"matematyka-2011-maj-matura-podstawowa","number":"15","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2011,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 15. (1 pkt)\nW prostopadłościanie ABCDEFGH mamy:\n5\nAB\n,\n4\nAD\n,\n3\nAE\n. Który z odcinków\nAB, BG, GE, EB jest najdłuższy?\nA. AB\nB. BG\nC. GE\nD. EB\nMatura podstawowa z matematyki 2011. W prostopadłościanie ABCDEFGH mamy: |AB|=5, |AD|=4, |AE|=3. Który odcinek AB, BG, GE, EB jest najdłuższy?","answer":"C","answer_text":"Zadanie 15. (0-1)\nUżycie i tworzenie strategii\nZnalezienie związków miarowych\nw przestrzeni\nC","solution":"## Poprawna odpowiedź: A\n\n\\(a = -\\dfrac{2}{3}\\)\n\n## Sposób 1 - wzór na współczynnik kierunkowy z dwóch punktów\n\nMamy dwa punkty: \\(A = (-2, 2)\\) i \\(B = (4, -2)\\).\n\nWspółczynnik kierunkowy prostej przechodzącej przez dwa punkty obliczamy ze wzoru:\n\n\\[a = \\frac{y_B - y_A}{x_B - x_A}\\]\n\nPodstawiamy:\n\n\\[a = \\frac{-2 - 2}{4 - (-2)} = \\frac{-4}{4 - (-2)} = \\frac{-4}{6} = -\\frac{2}{3}\\]\n\n**Zatem współczynnik kierunkowy prostej \\(AB\\) wynosi \\(a = -\\dfrac{2}{3}\\).**\n\n## Sposób 2 - weryfikacja przez równanie prostej\n\nSkoro \\(a = -\\dfrac{2}{3}\\), wyznaczymy pełne równanie prostej \\(AB\\) i sprawdzimy, czy oba punkty na niej leżą.\n\nRównanie kierunkowe: \\(y = -\\dfrac{2}{3}x + b\\)\n\nPodstawiamy punkt \\(A = (-2, 2)\\):\n\n\\[2 = -\\frac{2}{3} \\cdot (-2) + b = \\frac{4}{3} + b\\]\n\n\\[b = 2 - \\frac{4}{3} = \\frac{6}{3} - \\frac{4}{3} = \\frac{2}{3}\\]\n\nRównanie prostej: \\(y = -\\dfrac{2}{3}x + \\dfrac{2}{3}\\)\n\n**Sprawdzamy punkt \\(B = (4, -2)\\):**\n\n\\[y = -\\frac{2}{3} \\cdot 4 + \\frac{2}{3} = -\\frac{8}{3} + \\frac{2}{3} = -\\frac{6}{3} = -2 \\checkmark\\]\n\nPunkt \\(B\\) leży na prostej - wynik potwierdzony.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25)** - równanie kierunkowe prostej:\n\\[y = ax + b\\]\n\nWspółczynnik kierunkowy wyznaczamy jako iloraz różnicy rzędnych i różnicy odciętych dwóch punktów prostej:\n\\[a = \\frac{y_B - y_A}{x_B - x_A}\\]\n\nUżyliśmy tego wzoru bezpośrednio w Sposobie 1.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| B | \\(a = -\\dfrac{3}{2}\\) - zamieniono miejscami licznik i mianownik: obliczono \\(\\dfrac{x_B - x_A}{y_B - y_A} = \\dfrac{6}{-4}\\) zamiast \\(\\dfrac{y_B - y_A}{x_B - x_A}\\) |\n| C | \\(a = \\dfrac{3}{2}\\) - jak błąd B, dodatkowo pominięto znak minus |\n| D | \\(a = \\dfrac{2}{3}\\) - poprawna wartość bezwzględna, ale pominięto znak minus (zapomniano, że \\(y_B - y_A = -4 < 0\\)) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Kolejność punktów musi być **spójna** - jeśli w liczniku bierzesz \\(y_B - y_A\\), w mianowniku musisz brać \\(x_B - x_A\\) (ten sam kierunek: od \\(A\\) do \\(B\\)). Zamiana kolejności w liczniku przy tej samej w mianowniku da ten sam wynik - ale mieszanie jest błędem.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Pamiętaj o odejmowaniu **ujemnych** liczb: \\(x_B - x_A = 4 - (-2) = 4 + 2 = 6\\), nie \\(4 - 2 = 2\\). To jeden z najczęstszych błędów przy liczeniu z ujemnymi współrzędnymi.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Ujemny współczynnik kierunkowy oznacza, że prosta jest **malejąca** - im większe \\(x\\), tym mniejsze \\(y\\). Sprawdź intuicyjnie: od \\(A\\) do \\(B\\) idziemy w prawo (rośnie \\(x\\)) i w dół (maleje \\(y\\)), więc \\(a < 0\\). To szybka kontrola znaku!\n\n**Poprawna odpowiedź: A**\n\n### Sposób 1 - Wzór na współczynnik kierunkowy\n\\[a = \\dfrac{y_{B} - y_{A}}{x_{B} - x_{A}} = \\dfrac{-2 - 2}{4 - (-2)} = \\dfrac{-4}{6} = -\\dfrac{2}{3}.\\]\n\n### Sposób 2 - Równanie prostej i odczyt\nRównanie przez punkty \\(A, B\\):\n\\[\\dfrac{x - x_{A}}{x_{B}-x_{A}} = \\dfrac{y-y_{A}}{y_{B}-y_{A}}\\]\n\\[\\dfrac{x+2}{6} = \\dfrac{y-2}{-4}\\]\n\\[-4(x+2) = 6(y-2)\\]\n\\[-4x - 8 = 6y - 12\\]\n\\[6y = -4x + 4 \\Rightarrow y = -\\dfrac{2}{3}x + \\dfrac{2}{3}.\\]\nWspółczynnik kierunkowy: \\(-\\tfrac{2}{3}\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **B. \\(-\\tfrac{3}{2}\\)** - zamieniono miejscami wyróżnik.\n- **C. \\(\\tfrac{3}{2}\\)** - źle (zarówno znak, jak i odwrotność).\n- **D. \\(\\tfrac{2}{3}\\)** - zły znak.\n\n**Trik:** \\(a = \\tfrac{\\Delta y}{\\Delta x}\\), NIE \\(\\tfrac{\\Delta x}{\\Delta y}\\).","image":"img/matematyka-2011-maj-matura-podstawowa/zad-15.webp","solution_image":"img/matematyka-2011-maj-matura-podstawowa/sol-15.svg","topics":"stereometria","page_from":6,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2011 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2011-maj-matura-podstawowa/zad/16","paper_id":"matematyka-2011-maj-matura-podstawowa","number":"16","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2011,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 16. (1 pkt)\nPunkt O jest środkiem okręgu. Kąt wpisany α ma miarę\nA.\n°\n80\nB.\n°\n100\nC. 110°\nD. 120°\nMatura podstawowa z matematyki 2011. Punkt O jest środkiem okręgu. Kąt wpisany alfa ma miarę A. 80 stopni B. 100 stopni C. 110 stopni D. 120 stopni","answer":"B","answer_text":"Zadanie 16. (0-1)\nWykorzystanie\ni interpretowanie reprezentacji\nSkorzystanie ze związków między kątem\nśrodkowym i kątem wpisanym\nB","solution":"## Poprawna odpowiedź: C - \\((-2, 3)\\)\n\n## Sposób 1 - Odczyt ze wzoru kanonicznego\n\nRównanie okręgu w postaci kanonicznej to:\n\\[(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2\\]\ngdzie \\(S = (a, b)\\) to **środek okręgu**, a \\(r\\) to promień.\n\nDane równanie:\n\\[(x + 2)^2 + (y - 3)^2 = 5\\]\n\nPrzepiszmy je tak, żeby pasowało do wzoru kanonicznego:\n\\[(x - (-2))^2 + (y - 3)^2 = 5\\]\n\nPorównując: \\(a = -2\\), \\(b = 3\\), \\(r = \\sqrt{5}\\).\n\n**Środek okręgu: \\(S = (-2, 3)\\)**\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja przez podstawienie środka\n\nSprawdzamy, czy punkt \\((-2, 3)\\) leży w centrum - tzn. czy odległość od niego do dowolnego punktu na okręgu wynosi \\(\\sqrt{5}\\).\n\nWeźmy punkt leżący na okręgu, np. sprawdźmy punkt \\((-2, 3 + \\sqrt{5})\\):\n\\[(-2+2)^2 + (3+\\sqrt{5}-3)^2 = 0 + 5 = 5 \\checkmark\\]\n\nŚrodek to jedyny punkt wewnątrz okręgu, od którego każdy punkt na okręgu jest w odległości dokładnie \\(r\\). Punkt \\((-2,3)\\) spełnia warunek środka. ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25)** - równanie okręgu w postaci kanonicznej:\n\\[(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2\\]\ngdzie \\(S = (a, b)\\) - środek okręgu, \\(r\\) - promień.\n\nDokładnie tego wzoru użyliśmy w Sposobie 1 do odczytania współrzędnych środka.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| A: \\((2, -3)\\) | Zmieniono znak **obu** współrzędnych - wzięto liczby wprost z równania bez uwzględnienia, że we wzorze kanonicznym są znaki minus: \\((x-a)\\) i \\((y-b)\\) |\n| B: \\((-2, -3)\\) | Współrzędna \\(x\\) poprawna, ale zmieniono znak \\(y\\) - zapewne przez analogię do \\(x\\), myląc \\((y-3)\\) z \\((y+3)\\) |\n| D: \\((2, 3)\\) | Zmieniono znak tylko współrzędnej \\(x\\) - wzięto \\(+2\\) zamiast \\(-2\\), bo tak stoi w równaniu |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** We wzorze kanonicznym jest \\((x - a)^2\\), więc jeśli w równaniu widzisz \\((x + 2)^2\\), to \\(a = -2\\), **nie** \\(+2\\). Znak się odwraca!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\((y - 3)^2\\) - tu nie ma pułapki ze znakiem, bo już jest minus. Ale uczniowie często przez analogię do \\(x\\) też zmieniają znak \\(y\\), co jest błędem.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Prawa strona równania to \\(r^2 = 5\\), więc promień wynosi \\(r = \\sqrt{5}\\), a **nie** \\(5\\). W tym zadaniu nas to nie dotyczy (pytano o środek), ale o promieniu łatwo się pomylić przy innych poleceniach.\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1 - Postać kanoniczna okręgu\nRównanie okręgu: \\((x-x_{0})^{2} + (y-y_{0})^{2} = r^{2}\\), gdzie \\(S=(x_{0}, y_{0})\\) to środek.\n\nTu mamy \\((x+2)^{2} + (y-3)^{2} = 5\\):\n- \\(x + 2 = x - (-2)\\) \\(\\Rightarrow\\) \\(x_{0} = -2\\).\n- \\(y - 3\\) \\(\\Rightarrow\\) \\(y_{0} = 3\\).\n\nZatem \\(S = (-2, 3)\\).\n\n### Sposób 2 - Sprawdzenie sztucznym punktem\nŚrodek = punkt, dla którego \\((x-x_{0})^{2} + (y-y_{0})^{2} = 0\\). W opcji C: \\((-2+2)^{2}+(3-3)^{2}=0\\) ✓.\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A.** \\((2, -3)\\) - błędnie odczytano obie współrzędne.\n- **B.** \\((-2, -3)\\) - błędny znak \\(y\\).\n- **D.** \\((2, 3)\\) - błędny znak \\(x\\).\n\n**Trik:** W \\((x+a)^{2}\\): środek ma \\(-a\\) (bo \\(x+a = x-(-a)\\)).","image":"img/matematyka-2011-maj-matura-podstawowa/zad-16.webp","solution_image":"img/matematyka-2011-maj-matura-podstawowa/sol-16.svg","topics":"planimetria","page_from":6,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2011 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2011-maj-matura-podstawowa/zad/17","paper_id":"matematyka-2011-maj-matura-podstawowa","number":"17","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2011,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 17. (1 pkt)\nWysokość rombu o boku długości 6 i kącie ostrym 60° jest równa\nA. 3 3\nB. 3\nC. 6 3\nD. 6\nMatura podstawowa z matematyki 2011. Wysokość rombu o boku długości 6 i kącie ostrym 60 stopni jest równa A. 3 pierwiastki z 3, B. 3, C. 6 pierwiastków z 3, D. 6","answer":"A","answer_text":"Zadanie 17. (0-1)\nUżycie i tworzenie strategii\nZnalezienie związków miarowych\nw figurach płaskich\nA\nKryteria oceniania odpowiedzi\n4","solution":"## Poprawna odpowiedź: B - dłuższy bok wynosi \\(8\\)\n\n## Sposób 1 - układ równań ze stosunku boków\n\n**Oznaczamy boki prostokąta.** Stosunek boków to \\(3:4\\), więc możemy napisać:\n\\[a = 3k, \\quad b = 4k\\]\ndla pewnego \\(k > 0\\). Bok \\(b = 4k\\) jest dłuższy.\n\n**Korzystamy z obwodu prostokąta:**\n\\[2a + 2b = 28\\]\n\\[2 \\cdot 3k + 2 \\cdot 4k = 28\\]\n\\[6k + 8k = 28\\]\n\\[14k = 28\\]\n\\[k = 2\\]\n\n**Wyznaczamy dłuższy bok:**\n\\[b = 4k = 4 \\cdot 2 = \\mathbf{8}\\]\n\n## Sposób 2 - przez sumę boków\n\nObwód prostokąta to \\(2(a + b) = 28\\), więc:\n\\[a + b = 14\\]\n\nStosunek \\(a : b = 3 : 4\\) oznacza, że \\(a = \\frac{3}{4}b\\). Podstawiamy:\n\\[\\frac{3}{4}b + b = 14\\]\n\\[\\frac{7}{4}b = 14\\]\n\\[b = 14 \\cdot \\frac{4}{7} = \\frac{56}{7} = \\mathbf{8}\\]\n\n**Weryfikacja:** \\(a = 14 - 8 = 6\\), obwód \\(= 2(6+8) = 2 \\cdot 14 = 28\\) ✓, stosunek \\(6:8 = 3:4\\) ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy definicja obwodu prostokąta \\(O = 2(a+b)\\) i pojęcie proporcji.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| A. \\(14\\) | Wzięto samą sumę boków \\(a + b = 14\\) jako jeden bok - pomylono sumę boków z długością boku |\n| C. \\(7\\) | Podzielono obwód przez 4 (zamiast przez 7), czyli \\(28 \\div 4 = 7\\) - błędne \"rozdzielenie\" obwodu |\n| D. \\(6\\) | To wynik **krótszego** boku (\\(3k = 6\\)), a zadanie pyta o **dłuższy** |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie mylić sumy boków z obwodem - obwód to \\(2(a+b)\\), więc najpierw dzielimy przez 2, żeby dostać \\(a + b\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Odpowiedź D (\\(6\\)) jest wynikiem krótszego boku - klasyczna pułapka, gdy zadanie pyta wprost o **dłuższy** bok.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy stosunku \\(3:4\\) całość dzielimy na \\(3+4=7\\) równych części. Tu: \\(a + b = 14 = 7 \\cdot 2\\), więc jedna \"część\" to \\(2\\), a dłuższy bok to \\(4 \\cdot 2 = 8\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1 - Parametr \\(k\\)\nOznaczmy boki: \\(a = 3k\\), \\(b = 4k\\). Obwód: \\(2(a+b) = 2\\cdot 7k = 14k = 28\\) \\(\\Rightarrow\\) \\(k = 2\\).\nDłuższy bok: \\(b = 4k = 8\\).\n\n### Sposób 2 - Suma boków\nPołowa obwodu: \\(\\tfrac{28}{2} = 14\\). Stosunek \\(3:4\\), suma części \\(3+4 = 7\\), więc jedna część = \\(\\tfrac{14}{7} = 2\\).\nDłuższy bok: \\(4\\cdot 2 = 8\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(14\\)** - to suma obu boków (pół obwodu).\n- **C. \\(7\\)** - niepoprawne.\n- **D. \\(6\\)** - to krótszy bok.\n\n**Trik:** Gdy jest stosunek i obwód, oznacz boki jako \\(3k, 4k\\) i rozwiąż na \\(k\\).","image":"img/matematyka-2011-maj-matura-podstawowa/zad-17.webp","solution_image":"img/matematyka-2011-maj-matura-podstawowa/sol-17.svg","topics":"planimetria","page_from":6,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2011 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2011-maj-matura-podstawowa/zad/18","paper_id":"matematyka-2011-maj-matura-podstawowa","number":"18","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2011,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 18. (1 pkt)\nProsta k ma równanie\n2\n3\ny\nx\n-. Wskaż równanie prostej l równoległej do prostej k\ni przechodzącej przez punkt D o współrzędnych (\n)\n2,1\nA.\n2\n3\ny\nx\nB.\n2\n1\ny\nx\nC.\n2\n5\ny\nx\nD.\n1\ny\nx\nH\nG\nF\nE\nD\nA\nB\nC\nA\nO\nB\nC\nα\n160º\n\nPoziom podstawowy\n7\nBRUDNOPIS\n\nPoziom podstawowy\n8\nMatura podstawowa z matematyki 2011. Prosta k ma równanie y=2x-3. Wskaż równanie prostej l równoległej do prostej k i przechodzącej przez punkt D o współrzędnych (-2,1). A. y=-2x+3 B. y=2x+1 C. y=2x+5 D. y=-x+1","answer":"C","answer_text":"Zadanie 18. (0-1)\nWykorzystanie\ni interpretowanie reprezentacji\nZbadanie równoległości i prostopadłości\nprostych na podstawie ich równań\nkierunkowych\nC","solution":"## Poprawna odpowiedź: D - \\(R = 5\\)\n\n## Sposób 1 - wzór na promień okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym\n\nW trójkącie prostokątnym obowiązuje prosta zasada:\n\n> **Promień okręgu opisanego = połowa przeciwprostokątnej**\n\nNajpierw wyznaczamy przeciwprostokątną \\(c\\) z twierdzenia Pitagorasa:\n\n\\[c^2 = a^2 + b^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100\\]\n\n\\[c = \\sqrt{100} = 10\\]\n\nStąd:\n\n\\[R = \\frac{c}{2} = \\frac{10}{2} = \\boxed{5}\\]\n\n## Sposób 2 - wzór ogólny (twierdzenie sinusów)\n\nTwierdzenie sinusów mówi, że:\n\n\\[\\frac{c}{\\sin\\gamma} = 2R\\]\n\nW trójkącie prostokątnym kąt przy przeciwprostokątnej to \\(\\gamma = 90°\\), a \\(\\sin 90° = 1\\), więc:\n\n\\[2R = \\frac{c}{\\sin 90°} = \\frac{c}{1} = c\\]\n\n\\[R = \\frac{c}{2}\\]\n\nDostajemy ten sam wzór co w Sposobie 1. Podstawiamy \\(c = 10\\):\n\n\\[R = \\frac{10}{2} = 5\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 15-16)** - twierdzenie Pitagorasa:\n\\[a^2 + b^2 = c^2 \\quad \\text{(gdy } \\gamma = 90°\\text{)}\\]\nUżyte do wyznaczenia długości przeciwprostokątnej \\(c = 10\\).\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 16)** - promień okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym:\n\\[R = \\frac{c}{2}\\]\nTo jest **gotowy wzór z karty** - wystarczy wyznaczyć przeciwprostokątną i podzielić przez 2.\n\n**Dział 9 (Trygonometria, s. 12)** - twierdzenie sinusów (uzasadnienie wzoru):\n\\[\\frac{a}{\\sin\\alpha} = \\frac{b}{\\sin\\beta} = \\frac{c}{\\sin\\gamma} = 2R\\]\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| A - \\(14\\) | Zsumowanie obu przyprostokątnych: \\(6 + 8 = 14\\). Brak sensu geometrycznego - promień nie może być większy niż najdłuższy bok. |\n| B - \\(8\\) | Wzięcie dłuższej przyprostokątnej jako promienia. Mylenie promienia z bokiem trójkąta. |\n| C - \\(6\\) | Wzięcie krótszej przyprostokątnej jako promienia. Ten sam błąd - promień okręgu opisanego to połowa **przeciwprostokątnej**, nie przyprostokątnej. |\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wzór \\(R = \\frac{c}{2}\\) dotyczy tylko trójkąta **prostokątnego** - dla innych trójkątów musisz użyć twierdzenia sinusów lub wzoru \\(R = \\frac{abc}{4P}\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie mylić \\(R\\) (promień okręgu **opisanego**) z \\(r\\) (promień okręgu **wpisanego**). W trójkącie prostokątnym \\(r = \\frac{a + b - c}{2} = \\frac{6 + 8 - 10}{2} = 2\\) - zupełnie inna wartość!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przed użyciem wzoru \\(R = \\frac{c}{2}\\) upewnij się, że \\(c\\) to **przeciwprostokątna** (najdłuższy bok, naprzeciw kąta prostego), a nie jedna z przyprostokątnych.\n\n**Poprawna odpowiedź: D**\n\n### Sposób 1 - Twierdzenie Talesa dla okręgu + Pitagoras\nW trójkącie prostokątnym przeciwprostokątna jest średnicą okręgu opisanego (Tales). Długość przeciwprostokątnej:\n\\[c = \\sqrt{6^{2}+8^{2}} = \\sqrt{36+64} = \\sqrt{100} = 10.\\]\nPromień: \\(R = \\dfrac{c}{2} = \\dfrac{10}{2} = 5\\).\n\n### Sposób 2 - Wzór na \\(R\\) z twierdzenia sinusów\nDla kąta prostego \\(\\gamma = 90^{\\circ}\\): \\(\\sin\\gamma = 1\\), więc \\(2R = \\dfrac{c}{\\sin\\gamma} = c = 10\\) \\(\\Rightarrow\\) \\(R = 5\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(14\\)** - to nieuzasadnione.\n- **B. \\(8\\)**, **C. \\(6\\)** - to długości przyprostokątnych.\n\n**Trik:** W trójkącie prostokątnym: środek okręgu opisanego = środek przeciwprostokątnej; \\(R = \\tfrac{c}{2}\\).","image":"img/matematyka-2011-maj-matura-podstawowa/zad-18.webp","solution_image":"img/matematyka-2011-maj-matura-podstawowa/sol-18.svg","topics":"analityczna","page_from":6,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2011 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2011-maj-matura-podstawowa/zad/19","paper_id":"matematyka-2011-maj-matura-podstawowa","number":"19","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2011,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 19. (1 pkt)\nStyczną do okręgu (\n)\n2\n2\n1\n4\n0\nx\ny\njest prosta o równaniu\nA.\n1\nx =\nB.\n3\nx =\nC.\n0\ny =\nD.\n4\ny =\nMatura podstawowa z matematyki 2011. Styczną do okręgu (x-1)^2+y^2-4=0 jest prosta o równaniu A. x=1 B. x=3 C. y=0 D. y=4","answer":"B","answer_text":"Zadanie 19. (0-1)\nWykorzystanie\ni interpretowanie reprezentacji\nPosłużenie się równaniem okręgu\n(\n)\n(\n)\n2\n2\n2\nr\nb\ny\na\nx\ni sprawdzanie\nczy dana prosta jest styczną\nB","solution":"## Poprawna odpowiedź: C - \\(17\\)\n\n## Sposób 1 - Definicja okręgu (bezpośrednie zastosowanie)\n\n**Co wiemy:**\n- Mniejszy okrąg ma promień \\(r = 12\\), jego środek oznaczmy \\(O_1\\).\n- Większy okrąg ma promień \\(R = 17\\), jego środek oznaczmy \\(O_2\\).\n- Większy okrąg **przechodzi przez środek** mniejszego okręgu, czyli punkt \\(O_1\\) leży **na** większym okręgu.\n\n**Kluczowy krok:** Okrąg to zbiór wszystkich punktów w odległości dokładnie \\(R\\) od środka. Skoro \\(O_1\\) leży na większym okręgu, to:\n\n\\[|O_1 O_2| = R = 17\\]\n\n**Odległość między środkami wynosi \\(17\\).**\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja przez rysunek i wykluczenie\n\nNarysujmy sytuację: środek \\(O_2\\) większego okręgu (promień \\(17\\)) oraz środek \\(O_1\\) mniejszego okręgu (promień \\(12\\)).\n\nWarunek \"większy okrąg przechodzi przez \\(O_1\\)\" to po prostu:\n\n\\[|O_1 O_2| = R_{\\text{większy}} = 17\\]\n\nSprawdzamy, czy taka konfiguracja jest geometrycznie możliwa - tak, dwa okręgi mogą być tak położone, że jeden z nich przechodzi przez środek drugiego. Nie ma tu sprzeczności.\n\n**Wynik potwierdzony: \\(|O_1 O_2| = 17\\).**\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy **definicja okręgu**: okrąg o środku \\(S\\) i promieniu \\(r\\) to zbiór punktów w odległości równej \\(r\\) od \\(S\\). Jeśli dany punkt leży na okręgu, jego odległość od środka wynosi dokładnie \\(r\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd prowadzący do tej odpowiedzi |\n| A: \\(5\\) | Odejmowanie promieni: \\(17 - 12 = 5\\). To byłaby odległość między środkami, gdyby okręgi były **styczne wewnętrznie** (dotykają się, jeden w środku drugiego). Tu jednak warunek jest inny - chodzi o przejście przez środek, nie o styczność. |\n| B: \\(12\\) | Wzięcie promienia **mniejszego** okręgu jako odpowiedzi - mylenie promienia mniejszego z odległością między środkami. |\n| D: \\(29\\) | Dodawanie promieni: \\(12 + 17 = 29\\). To odległość przy **zewnętrznej styczności** okręgów. Tu warunek jest zupełnie inny. |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \"Okrąg przechodzi przez punkt\" = ten punkt leży **na** okręgu = odległość tego punktu od środka **równa się promieniowi**. Nie mylić z \"okrąg zawiera punkt\" w sensie wnętrza!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Łatwo pomylić trzy różne sytuacje: styczność zewnętrzna (\\(d = r_1 + r_2\\)), styczność wewnętrzna (\\(d = |r_1 - r_2|\\)) i przejście przez środek (\\(d = R\\) - jeden z promieni). Zawsze wróć do definicji.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Promień mniejszego okręgu (\\(12\\)) jest tu **zbędną daną** - pułapka! Zadanie daje go po to, żeby uczniowie go gdzieś \"użyli\". Umiejętność rozpoznania zbędnej informacji to ważna umiejętność maturalna.\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1 - Definicja okręgu i odległość\nNiech \\(S_{1}, S_{2}\\) to środki mniejszego i większego okręgu. Punkt \\(S_{1}\\) leży na większym okręgu o środku \\(S_{2}\\) i promieniu \\(17\\). Zatem:\n\\[|S_{1}S_{2}| = 17.\\]\n\n### Sposób 2 - Obrazowe\nOkrąg to zbiór punktów oddalonych od środka o promień. Jeśli \\(S_{1}\\) jest na okręgu o środku \\(S_{2}\\) i promieniu \\(R=17\\), to \\(|S_{1}S_{2}| = 17\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(5\\)** - \\(17-12=5\\), różnica promieni (odl. środków przy styczności wewnętrznej - ale tu nie jest styczne).\n- **B. \\(12\\)** - promień mniejszego okręgu.\n- **D. \\(29\\)** - \\(17+12\\), suma promieni (odl. przy styczności zewnętrznej).\n\n**Trik:** Promień = odległość od środka do każdego punktu okręgu. Liczba \\(12\\) tu nie ma zastosowania w obliczeniach.","image":"img/matematyka-2011-maj-matura-podstawowa/zad-19.webp","solution_image":"img/matematyka-2011-maj-matura-podstawowa/sol-19.svg","topics":"analityczna","page_from":8,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2011 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2011-maj-matura-podstawowa/zad/20","paper_id":"matematyka-2011-maj-matura-podstawowa","number":"20","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2011,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 20. (1 pkt)\nPole powierzchni całkowitej sześcianu jest równe 54. Długość przekątnej tego sześcianu jest\nrówna\nA.\n6\nB. 3\nC. 9\nD. 3 3\nMatura podstawowa z matematyki 2011. Pole powierzchni całkowitej sześcianu jest równe 54. Długość przekątnej tego sześcianu jest równa A. pierwiastek z 6 B. 3 C. 9 D. 3 pierwiastki z 3","answer":"D","answer_text":"Zadanie 20. (0-1)\nWykorzystanie\ni interpretowanie reprezentacji\nWyznaczenie związków miarowych\nw sześcianie\nD","solution":"## Poprawna odpowiedź: B - promień podstawy wynosi \\(13\\)\n\n## Sposób 1 - Analiza geometryczna obrotu\n\n**Wyobraź sobie trójkąt prostokątny** z przyprostokątnymi \\(6\\) i \\(13\\). Krótszą jest \\(6\\), dłuższą - \\(13\\).\n\n**Krok 1:** Ustalamy oś obrotu.\n\nObracamy wokół krótszej przyprostokątnej, czyli wokół boku o długości \\(6\\).\n\n**Krok 2:** Rozumiemy, co się dzieje podczas obrotu.\n\n- Bok leżący **na osi obrotu** (krótka przyprostokątna = \\(6\\)) - pozostaje nieruchomy. Staje się **wysokością stożka**: \\(h = 6\\).\n- Bok **prostopadły do osi** (długa przyprostokątna = \\(13\\)) - obraca się wokół osi i zakreśla okrąg. Staje się **promieniem podstawy**: \\(r = 13\\).\n- Przeciwprostokątna zakreśla **powierzchnię boczną stożka** (tworzącą).\n\n**Krok 3:** Odpowiedź.\n\n\\[\\boxed{r = 13}\\]\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja przez rekonstrukcję stożka\n\nMamy stożek o promieniu \\(r = 13\\) i wysokości \\(h = 6\\).\n\nSprawdzamy, czy można z niego „wyciąć\" trójkąt prostokątny o przyprostokątnych \\(6\\) i \\(13\\):\n\nPrzekrój osiowy stożka (czyli cięcie przez oś) daje **trójkąt równoramienny**. Jego połowa to trójkąt prostokątny o:\n- jednej przyprostokątnej = \\(h = 6\\) ✓\n- drugiej przyprostokątnej = \\(r = 13\\) ✓\n\nTworzącą stożka (= przeciwprostokątna trójkąta):\n\\[l = \\sqrt{6^2 + 13^2} = \\sqrt{36 + 169} = \\sqrt{205}\\]\n\nWszystko się zgadza. **Promień podstawy = \\(13\\).**\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy znajomość definicji stożka i rozumienie, co oznacza obrót figury wokół prostej.\n\nDla potwierdzenia, tworzącą stożka liczymy ze wzoru (Dział 12, Stereometria, s. 26):\n\n**Dział 12 (Stereometria, s. 26-28)** - związek w stożku:\n\\[l = \\sqrt{r^2 + h^2}\\]\ngdzie \\(l\\) - tworząca (= przeciwprostokątna trójkąta), \\(r\\) - promień, \\(h\\) - wysokość.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| A (\\(6\\)) | Uczeń bierze krótszą przyprostokątną jako promień - tymczasem to ona jest **osią obrotu**, więc staje się **wysokością**, nie promieniem |\n| C (\\(6{,}5\\)) | Błędne obliczenie: \\(\\frac{13}{2} = 6{,}5\\) - ktoś dzieli dłuższą przyprostokątną na pół bez uzasadnienia |\n| D (\\(3\\)) | Błędne obliczenie: \\(\\frac{6}{2} = 3\\) - ktoś dzieli krótszą przyprostokątną na pół |\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Najczęstszy błąd to zamiana osi obrotu z promieniem. Zapamiętaj: bok leżący **na osi** → staje się **wysokością**; bok **prostopadły do osi** → staje się **promieniem**.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Zwróć uwagę na słowo „krótszej\" - zadanie celowo podkreśla, wokół **której** przyprostokątnej obracamy. Gdyby obrót był wokół dłuższej (\\(13\\)), promień wyniósłby \\(6\\), a wysokość \\(13\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Tworząca stożka to **nie** żadna z przyprostokątnych - to przeciwprostokątna trójkąta, równa \\(\\sqrt{6^2 + 13^2} = \\sqrt{205}\\). Nie mylić jej z promieniem ani wysokością!\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1 - Geometria obrotu\nPrzy obrocie trójkąta prostokątnego wokół przyprostokątnej, **ta przyprostokątna staje się osią/wysokością stożka**, a **druga przyprostokątna - promieniem podstawy**.\n\nKrótsza przyprostokątna: \\(6\\) (wysokość). Dłuższa: \\(13\\) (promień podstawy).\n\nZatem \\(r = 13\\).\n\n### Sposób 2 - Analiza wymiarów\nObrót wokół krótszej (= 6) - punkt odległy o 6 jest osią stałą. Punkt odległy od osi o 13 (koniec dłuższej przyprostokątnej) zatacza okrąg o promieniu 13.\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(6\\)** - to wysokość stożka.\n- **C. \\(6{,}5\\)** - połowa sumy, brak uzasadnienia.\n- **D. \\(3\\)** - połowa \\(6\\).\n\n**Trik:** Przyprostokątna, wokół której obracamy, jest wysokością stożka; druga - promieniem.","image":"img/matematyka-2011-maj-matura-podstawowa/zad-20.webp","solution_image":"img/matematyka-2011-maj-matura-podstawowa/sol-20.svg","topics":"stereometria","page_from":8,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2011 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2011-maj-matura-podstawowa/zad/21","paper_id":"matematyka-2011-maj-matura-podstawowa","number":"21","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2011,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 21. (1 pkt)\nObjętość stożka o wysokości 8 i średnicy podstawy 12 jest równa\nA. 124π\nB. 96π\nC. 64π\nD. 32π\nMatura podstawowa z matematyki 2011. Objętość stożka o wysokości 8 i średnicy podstawy 12 jest równa A. 124pi B. 96pi C. 64pi D. 32pi","answer":"B","answer_text":"Zadanie 21. (0-1)\nWykorzystanie\ni interpretowanie reprezentacji\nWyznaczenie związków miarowych\nw bryłach obrotowych\nB","solution":"## Poprawna odpowiedź: A\n\n## Sposób 1 - Wyznaczenie kształtu ścian bocznych przez obliczenie krawędzi\n\n**Ustawiamy układ współrzędnych.** Niech sześcian ma bok \\(a\\). Przyjmijmy:\n\n\\[A=(0,0,0),\\quad B=(a,0,0),\\quad C=(a,a,0),\\quad D=(0,a,0),\\quad E=(0,0,a)\\]\n\n(E leży dokładnie nad wierzchołkiem A - to standardowe oznaczenie sześcianu ABCDEFGH, gdzie EFGH to górna ściana).\n\n**Podstawa ostrosłupa:** kwadrat ABCD z bokiem \\(a\\).\n**Wierzchołek:** \\(E\\) - leży nad A, krawędź \\(EA = a\\) (krawędź sześcianu).\n\n**Obliczamy krawędzie boczne ostrosłupa:**\n\n\\[EA = a\\]\n\\[EB = \\sqrt{a^2 + 0 + a^2} = a\\sqrt{2} \\quad \\text{(przekątna ściany ABFE)}\\]\n\\[EC = \\sqrt{a^2 + a^2 + a^2} = a\\sqrt{3} \\quad \\text{(przekątna przestrzenna sześcianu)}\\]\n\\[ED = \\sqrt{0 + a^2 + a^2} = a\\sqrt{2} \\quad \\text{(przekątna ściany ADHE)}\\]\n\n**Teraz analizujemy każdą ścianę boczną osobno:**\n\n**Trójkąt EAB** (boki: \\(EA=a,\\ AB=a,\\ EB=a\\sqrt{2}\\)):\n\\[EA^2 + AB^2 = a^2 + a^2 = 2a^2 = (a\\sqrt{2})^2 = EB^2\\]\n➜ **Twierdzenie Pitagorasa zachodzi** → kąt prosty przy \\(A\\), obie przyprostokątne równe \\(a\\).\n**Trójkąt prostokątny równoramienny.**\n\n**Trójkąt EDA** (boki: \\(ED=a\\sqrt{2},\\ DA=a,\\ EA=a\\)):\n\\[EA^2 + DA^2 = a^2 + a^2 = 2a^2 = (a\\sqrt{2})^2 = ED^2\\]\n➜ Kąt prosty przy \\(A\\), obie przyprostokątne równe \\(a\\).\n**Trójkąt prostokątny równoramienny** (identyczny jak EAB).\n\n**Trójkąt EBC** (boki: \\(EB=a\\sqrt{2},\\ BC=a,\\ EC=a\\sqrt{3}\\)):\n\\[EB^2 + BC^2 = 2a^2 + a^2 = 3a^2 = (a\\sqrt{3})^2 = EC^2\\]\n➜ Kąt prosty przy \\(B\\), przyprostokątne \\(a\\sqrt{2}\\) i \\(a\\).\n**Trójkąt prostokątny różnoramienny** (przyprostokątne różne!).\n\n**Trójkąt ECD** (boki: \\(EC=a\\sqrt{3},\\ CD=a,\\ ED=a\\sqrt{2}\\)):\n\\[ED^2 + DC^2 = 2a^2 + a^2 = 3a^2 = EC^2\\]\n➜ Kąt prosty przy \\(D\\), przyprostokątne \\(a\\sqrt{2}\\) i \\(a\\).\n**Trójkąt prostokątny różnoramienny** (identyczny jak EBC).\n\n**Podsumowanie ścian bocznych:**\n\n| Ściana | Typ | Kąt prosty przy | Boki |\n| EAB | prostokątny równoramienny | A | \\(a,\\ a,\\ a\\sqrt{2}\\) |\n| EDA | prostokątny równoramienny | A | \\(a,\\ a,\\ a\\sqrt{2}\\) |\n| EBC | prostokątny różnoramienny | B | \\(a,\\ a\\sqrt{2},\\ a\\sqrt{3}\\) |\n| ECD | prostokątny różnoramienny | D | \\(a,\\ a\\sqrt{2},\\ a\\sqrt{3}\\) |\n\n**Prawidłowa siatka (A)** to ta, w której kwadrat \\(a\\times a\\) jest otoczony przez: **dwa trójkąty prostokątne równoramienne** (przy krótszych bokach kwadratu sąsiadujących z A) i **dwa trójkąty prostokątne różnoramienne** (przy pozostałych bokach).\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja przez analizę symetrii sześcianu\n\n**Kluczowa obserwacja:** wierzchołek E jest nad rogiem A, więc ostrosłup nie jest symetryczny - \"lewa-prawa\" symetria względem osi przez A-C, ale NIE ma symetrii obrotu o 90°.\n\nSprawdzamy symetrię ścian parami:\n- \\(EAB \\cong EDA\\) - bo \\(EA\\) jest wspólną krawędzią i \\(AB=DA=a\\) (boki kwadratu) → obydwa przystające.\n- \\(EBC \\cong ECD\\) - bo \\(EB=ED=a\\sqrt{2}\\) i \\(BC=CD=a\\) → obydwa przystające.\n\nZatem siatka musi zawierać **dwie różne pary** trójkątów, nie cztery jednakowe. To eliminuje siatki B i D, i wskazuje jednoznacznie na siatkę **A**.\n\n> **Weryfikacja:** Jeśli siatka A jest rozwinięciem, to po złożeniu krawędzie muszą \"się zejść\": krawędzie \\(a\\sqrt{2}\\) (hipotenuzy trójkątów EAB i EDA) muszą pasować do krawędzi \\(a\\sqrt{2}\\) (krótsze przyprostokątne EBC i ECD). ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 2 (Potęgi i pierwiastki, s. 4-5)** - działania na pierwiastkach:\n\\[\\sqrt{a^2 + a^2} = a\\sqrt{2}, \\qquad \\sqrt{a^2+a^2+a^2} = a\\sqrt{3}\\]\nUżyte do obliczenia krawędzi bocznych \\(EB,\\ EC,\\ ED\\).\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 15)** - Twierdzenie Pitagorasa:\n\\[a^2 + b^2 = c^2 \\iff \\text{kąt prosty przy wierzchołku łączącym boki } a \\text{ i } b\\]\nUżyte do identyfikacji kąta prostego w każdej ścianie bocznej.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd / Co ta siatka opisuje |\n| **B** | Cztery trójkąty prostokątne **równoramienne** - byłoby tak, gdyby E leżało nad **środkiem** kwadratu, a nie nad jego rogiem. Taki ostrosłup prawidłowy nie da się \"wyjąć\" z sześcianu. |\n| **C** | Siatka z nieodpowiednim układem trójkątów - nie pasuje do obliczonych krawędzi; opis sugeruje boki \\(a\\sqrt{2}\\), ale bez właściwego dopasowania do kwadratu. |\n| **D** | Cztery trójkąty różnoboczne - żadna ze ścian bocznych nie jest różnoboczna; wszystkie mają co najmniej dwa równe boki lub kąt prosty, więc ta siatka jest błędna. |\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Łatwo mylić sześcian z ostrosłupem prawidłowym. Tutaj wierzchołek E NIE jest nad środkiem podstawy - jest nad rogiem A. To sprawia, że cztery ściany boczne NIE są jednakowe, co zaskakuje uczniów.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przekątna ściany to \\(a\\sqrt{2}\\), przekątna przestrzenna to \\(a\\sqrt{3}\\) - te dwa wyniki są często mylone. Zawsze rysuj trójkąt prostokątny i stosuj Pitagorasa krok po kroku.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Siatka musi \"domykać\" wszystkie krawędzie: każda krawędź boczna ostrosłupa pojawia się w siatce jako krawędź wspólna dwóch sąsiadujących figur. Sprawdź, czy po złożeniu każda para krawędzi tej samej długości pasuje do siebie.\n\n**Poprawna odpowiedź: A**\n\n### Sposób 1 - Analiza geometrii ostrosłupa \\(ABCDE\\)\nOstrosłup \\(ABCDE\\): podstawa to kwadrat \\(ABCD\\) (dolna ściana sześcianu o krawędzi \\(a\\)), a wierzchołek \\(E\\) leży na górnej płaszczyźnie sześcianu **bezpośrednio nad \\(A\\)**.\n\n**Krawędzie boczne:**\n- \\(|AE| = a\\) (pionowa krawędź sześcianu).\n- \\(|BE| = \\sqrt{|AB|^{2}+|AE|^{2}} = \\sqrt{a^{2}+a^{2}} = a\\sqrt{2}\\).\n- \\(|CE| = \\sqrt{|AC|^{2}+|AE|^{2}} = \\sqrt{(a\\sqrt{2})^{2}+a^{2}} = a\\sqrt{3}\\).\n- \\(|DE| = a\\sqrt{2}\\) (analogicznie jak \\(BE\\)).\n\n**Ściany boczne:**\n- \\(\\triangle ABE\\): prostokątny (\\(AE\\perp AB\\)), przyprostokątne \\(a, a\\), więc bok \\(BE = a\\sqrt{2}\\).\n- \\(\\triangle ADE\\): prostokątny, identyczny jak \\(\\triangle ABE\\).\n- \\(\\triangle BCE\\): boki \\(a, a\\sqrt{2}, a\\sqrt{3}\\) - prostokątny w wierzchołku \\(B\\) (\\(\\text{bo } BC\\perp AB\\text{ oraz } BC\\perp AE\\Rightarrow BC\\perp BE\\)).\n- \\(\\triangle CDE\\): boki \\(a, a\\sqrt{2}, a\\sqrt{3}\\) - analogicznie prostokątny.\n\nSiatka ma: kwadrat + dwa trójkąty prostokątne równoramienne (o przyprostokątnych \\(a, a\\)) + dwa trójkąty prostokątne (o bokach \\(a, a\\sqrt{2}\\)).\n\nWzorcowa siatka (odp. A w arkuszu) pasuje do tego opisu.\n\n### Sposób 2 - Eliminacja\n- Dwa trójkąty prostokątne równoramienne (AE=AB=a, kąt prosty w A): odpowiadają ścianom \\(ABE\\) i \\(ADE\\).\n- Dwa trójkąty prostokątne z przyprostokątnymi \\(a, a\\sqrt{2}\\): odpowiadają ścianom \\(BCE\\) i \\(CDE\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\nPozostałe warianty (B, C, D) przedstawiają siatki niezgodne z rzeczywistymi kształtami ścian bocznych wyznaczonego ostrosłupa.\n\n**Trik:** W tego typu zadaniach oblicz wszystkie krawędzie boczne - wielkość trójkątów w siatce musi im odpowiadać.","image":"img/matematyka-2011-maj-matura-podstawowa/zad-21.webp","solution_image":"img/matematyka-2011-maj-matura-podstawowa/sol-21.svg","topics":"stereometria","page_from":8,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2011 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2011-maj-matura-podstawowa/zad/22","paper_id":"matematyka-2011-maj-matura-podstawowa","number":"22","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2011,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 22. (1 pkt)\nRzucamy dwa razy symetryczną sześcienną kostką do gry. Prawdopodobieństwo otrzymania\nsumy oczek równej trzy wynosi\nA. 1\n6\nB.\n1\n9\nC.\n1\n12\nD.\n1\n18\nMatura podstawowa z matematyki 2011. Rzucamy dwa razy symetryczną sześcienną kostką do gry. Prawdopodobieństwo otrzymania sumy oczek równej trzy wynosi A. 1/6, B. 1/9, C. 1/12, D. 1/18","answer":"D","answer_text":"Zadanie 22. (0-1)\nModelowanie matematyczne\nZastosowanie twierdzenia znanego jako\nklasyczna definicja prawdopodobieństwa\ndo obliczenia prawdopodobieństwa\nzdarzenia\nD","solution":"## Poprawna odpowiedź: D - \\(\\dfrac{6}{7}\\)\n\n## Sposób 1 - Układ równań z własnością zdarzeń przeciwnych\n\n**Krok 1: Zapisujemy warunek z zadania.**\n\nWiemy, że \\(P(A) = 6 \\cdot P(A')\\).\n\n**Krok 2: Korzystamy z definicji zdarzenia przeciwnego.**\n\nZdarzenia \\(A\\) i \\(A'\\) są przeciwne, więc ich prawdopodobieństwa sumują się do 1:\n\\[P(A) + P(A') = 1\\]\n\n**Krok 3: Podstawiamy warunek do powyższego równania.**\n\nSkoro \\(P(A) = 6 \\cdot P(A')\\), wstawiamy to za \\(P(A)\\):\n\\[6 \\cdot P(A') + P(A') = 1\\]\n\\[7 \\cdot P(A') = 1\\]\n\\[P(A') = \\frac{1}{7}\\]\n\n**Krok 4: Wyznaczamy \\(P(A)\\).**\n\n\\[P(A) = 1 - P(A') = 1 - \\frac{1}{7} = \\boxed{\\frac{6}{7}}\\]\n\n## Sposób 2 - Podstawienie i jeden krok\n\nOznaczmy \\(P(A) = p\\). Wtedy \\(P(A') = 1 - p\\).\n\nWarunek z zadania to \\(p = 6(1-p)\\). Rozwiązujemy:\n\\[p = 6 - 6p\\]\n\\[7p = 6\\]\n\\[p = \\frac{6}{7}\\]\n\n**Wynik zgodny z Odpowiedzią D. ✓**\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 14 (Rachunek prawdopodobieństwa, s. 29-30)** - własność zdarzenia przeciwnego:\n\\[P(A') = 1 - P(A)\\]\nco równoważnie oznacza:\n\\[P(A) + P(A') = 1\\]\n\nTo fundament całego rozwiązania - bez tej własności nie możemy zbudować równania.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| A: \\(\\frac{5}{6}\\) | Uczeń mylnie zakłada, że \\(P(A) + P(A') = \\frac{6+1}{6}\\) zamiast = 1, lub błędnie liczy proporcję 5:1 |\n| B: \\(\\frac{1}{6}\\) | Uczeń bierze odwrotność - wyznacza \\(P(A')\\) zamiast \\(P(A)\\), a przy tym błędnie zakłada mianownik 6 |\n| C: \\(\\frac{1}{7}\\) | Prawidłowo wyznaczone \\(P(A')\\), ale **pomylone z** \\(P(A)\\) - klasyczna zamiana zdarzeń miejscami |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Najczęstszy błąd to zamiana \\(P(A)\\) z \\(P(A')\\) - uczeń poprawnie wylicza \\(\\frac{1}{7}\\), ale przypisuje to jako wynik końcowy, nie zauważając, że pytanie dotyczy \\(P(A)\\), nie \\(P(A')\\). Odpowiedź C to właśnie ta pułapka.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Pamiętaj, że \\(P(A) + P(A') = 1\\) **zawsze** - to absolutna podstawa prawdopodobieństwa. Gdyby wynik \\(P(A)\\) wyszedł większy niż 1 lub ujemny, na pewno gdzieś jest błąd.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Warunek \\(P(A) = 6 \\cdot P(A')\\) oznacza, że \\(A\\) jest **sześć razy bardziej prawdopodobne** niż \\(A'\\) - intuicyjnie więc \\(P(A)\\) powinno być bliskie 1, co potwierdza wynik \\(\\frac{6}{7} \\approx 0{,}857\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: D**\n\n### Sposób 1 - Suma prawdopodobieństw zdarzenia i jego przeciwnego\n\\(P(A) + P(A') = 1\\). Z warunku \\(P(A) = 6\\cdot P(A')\\):\n\\[6\\cdot P(A') + P(A') = 1 \\Rightarrow 7\\cdot P(A') = 1 \\Rightarrow P(A') = \\dfrac{1}{7}.\\]\nStąd \\(P(A) = 1 - \\dfrac{1}{7} = \\dfrac{6}{7}\\).\n\n### Sposób 2 - Podstawienie zmiennej\nOznaczmy \\(P(A')=x\\). Wtedy \\(P(A)=6x\\). Warunek \\(P(A)+P(A')=1\\): \\(6x+x=1 \\Rightarrow x=\\tfrac{1}{7}\\). Zatem \\(P(A) = 6x = \\dfrac{6}{7}\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(\\tfrac{5}{6}\\)** - błąd: założono \\(P(A')=\\tfrac{1}{6}\\) bez sprawdzenia warunku.\n- **B. \\(\\tfrac{1}{6}\\)**, **C. \\(\\tfrac{1}{7}\\)** - odwracanie ról \\(P(A)\\) i \\(P(A')\\).\n\n**Trik:** \\(P(A) + P(A') = 1\\) ZAWSZE. Gdy masz stosunek \\(P(A)/P(A') = k\\), udziały \\(k : 1\\) w sumie \\(k+1\\).","image":"img/matematyka-2011-maj-matura-podstawowa/zad-22.webp","solution_image":"img/matematyka-2011-maj-matura-podstawowa/sol-22.svg","topics":"prawdopodobienstwo","page_from":8,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2011 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2011-maj-matura-podstawowa/zad/23","paper_id":"matematyka-2011-maj-matura-podstawowa","number":"23","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2011,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 23. (1 pkt)\nUczniowie pewnej klasy zostali poproszeni o odpowiedź na pytanie: „Ile osób liczy twoja\nrodzina?” Wyniki przedstawiono w tabeli:\nLiczba osób\nw rodzinie\nliczba\nuczniów\n3\n6\n4\n12\nx\n2\nŚrednia liczba osób w rodzinie dla uczniów tej klasy jest równa 4. Wtedy liczba x jest równa\nA. 3\nB. 4\nC. 5\nD. 7\n\nPoziom podstawowy\n9\nBRUDNOPIS\n\nPoziom podstawowy\n10\nZADANIA OTWARTE\nRozwiązania zadań o numerach od 24. do 33. należy zapisać w wyznaczonych miejscach\npod treścią zadania.\nMatura podstawowa z matematyki 2011. Uczniowie pewnej klasy zostali poproszeni o odpowiedź na pytanie: ,,Ile osób liczy twoja rodzina?''. Wyniki przedstawiono w tabeli: 3 - 6, 4 - 12, x - 2 A. 3, B. 4, C. 5, D. 7","answer":"D","answer_text":"Zadanie 23. (0-1)\nWykorzystanie\ni interpretowanie reprezentacji\nObliczenie średniej arytmetycznej\nD\nKryteria oceniania odpowiedzi\n5","solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(x \\in \\langle -3, 4 \\rangle\\)\n\n## Sposób 1 - uproszczenie i wzór na miejsca zerowe\n\n**Krok 1: Upraszczamy nierówność.**\n\nDzielimy obie strony przez \\(-2\\) - uwaga, przy dzieleniu przez liczbę ujemną **odwracamy znak nierówności**:\n\n\\[-2x^2 + 2x + 24 \\geq 0 \\quad \\Big| \\div (-2)\\]\n\n\\[x^2 - x - 12 \\leq 0\\]\n\n**Krok 2: Szukamy miejsc zerowych trójmianu \\(x^2 - x - 12\\).**\n\n\\[\\Delta = (-1)^2 - 4 \\cdot 1 \\cdot (-12) = 1 + 48 = 49\\]\n\n\\[x_1 = \\frac{1 - \\sqrt{49}}{2} = \\frac{1 - 7}{2} = \\frac{-6}{2} = -3\\]\n\n\\[x_2 = \\frac{1 + \\sqrt{49}}{2} = \\frac{1 + 7}{2} = \\frac{8}{2} = 4\\]\n\n**Krok 3: Analizujemy znak paraboli.**\n\nTrójmian \\(x^2 - x - 12\\) ma współczynnik \\(a = 1 > 0\\), więc parabola jest skierowana **ramionami do góry**.\n\nOznacza to, że trójmian jest **ujemny (lub równy zero) między pierwiastkami**:\n\n\\[x^2 - x - 12 \\leq 0 \\quad \\Longleftrightarrow \\quad x \\in \\langle -3, 4 \\rangle\\]\n\n**Odpowiedź:** \\(\\boxed{x \\in \\langle -3, 4 \\rangle}\\)\n\n## Sposób 2 - faktoryzacja (postać iloczynowa)\n\n**Krok 1: Wracamy do oryginalnej nierówności i wyłączamy \\(-2\\).**\n\n\\[-2x^2 + 2x + 24 \\geq 0\\]\n\n\\[-2(x^2 - x - 12) \\geq 0\\]\n\n**Krok 2: Rozkładamy trójmian na czynniki.**\n\nSzukamy dwóch liczb, których iloczyn to \\(-12\\), a suma to \\(-1\\):\n\n\\[-4 \\cdot 3 = -12, \\quad -4 + 3 = -1 \\checkmark\\]\n\n\\[x^2 - x - 12 = (x - 4)(x + 3)\\]\n\n**Krok 3: Podstawiamy.**\n\n\\[-2(x-4)(x+3) \\geq 0\\]\n\nDzielimy przez \\(-2\\) (odwracamy znak):\n\n\\[(x-4)(x+3) \\leq 0\\]\n\n**Krok 4: Analizujemy znak iloczynu.**\n\nIloczyn dwóch czynników jest **nieujemny (ujemny lub zero)**, gdy czynniki mają **przeciwne znaki lub jeden z nich = 0**:\n\n| Przedział | \\(x+3\\) | \\(x-4\\) | iloczyn |\n| \\(x < -3\\) | \\(-\\) | \\(-\\) | \\(+\\) |\n| \\(x = -3\\) | \\(0\\) | \\(-\\) | \\(0\\) |\n| \\(-3 < x < 4\\) | \\(+\\) | \\(-\\) | \\(-\\) |\n| \\(x = 4\\) | \\(+\\) | \\(0\\) | \\(0\\) |\n| \\(x > 4\\) | \\(+\\) | \\(+\\) | \\(+\\) |\n\nIloczyn \\(\\leq 0\\) dla \\(x \\in \\langle -3, 4 \\rangle\\). ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)**\n\nWyróżnik:\n\\[\\Delta = b^2 - 4ac\\]\n\nMiejsca zerowe (gdy \\(\\Delta > 0\\)):\n\\[x_1 = \\frac{-b - \\sqrt{\\Delta}}{2a}, \\quad x_2 = \\frac{-b + \\sqrt{\\Delta}}{2a}\\]\n\nUżyliśmy tych wzorów w Sposobie 1 do wyznaczenia pierwiastków \\(x_1 = -3\\), \\(x_2 = 4\\), a następnie odczytaliśmy znak paraboli między pierwiastkami.\n\n> Kluczowa obserwacja z działu 7: gdy \\(a > 0\\), trójmian \\(\\leq 0\\) **między** pierwiastkami; gdy \\(a < 0\\), trójmian \\(\\leq 0\\) **na zewnątrz** pierwiastków.\n\n## Typowe pułapki\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy dzieleniu (lub mnożeniu) nierówności przez liczbę **ujemną** musisz **odwrócić znak nierówności** (\\(\\geq\\) staje się \\(\\leq\\)). To najczęstszy błąd w tym zadaniu!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Jeśli zostawisz nierówność z \\(a = -2 < 0\\) i zapomnisz o odwróceniu kierunku, błędnie uznasz, że rozwiązanie jest **na zewnątrz** pierwiastków zamiast **między** nimi.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Końce przedziału \\(-3\\) i \\(4\\) są **zawarte** w rozwiązaniu (nierówność niestrykta \\(\\geq 0\\)), więc przedział jest **domknięty** \\(\\langle -3, 4 \\rangle\\), nie otwarty.\n\n**Odpowiedź:** \\(x \\in \\langle -3, 4\\rangle\\).\n\n### Sposób 1 - Wyróżnik\nTrójmian \\(f(x) = -2x^{2} + 2x + 24\\), \\(a = -2 < 0\\) (ramiona paraboli w dół).\n\\[\\Delta = 2^{2} - 4\\cdot (-2)\\cdot 24 = 4 + 192 = 196, \\quad \\sqrt{\\Delta} = 14.\\]\nPierwiastki:\n\\[x_{1} = \\dfrac{-2 - 14}{-4} = \\dfrac{-16}{-4} = 4, \\qquad x_{2} = \\dfrac{-2 + 14}{-4} = \\dfrac{12}{-4} = -3.\\]\nSkoro \\(a < 0\\), nierówność \\(\\ge 0\\) spełniona jest między pierwiastkami:\n\\[x \\in \\langle -3, 4\\rangle.\\]\n\n### Sposób 2 - Wzory Viète'a\nDla \\(-2x^{2}+2x+24 = 0\\) dzielimy przez \\(-2\\): \\(x^{2}-x-12 = 0\\). Wtedy \\(x_{1}+x_{2}=1, x_{1}\\cdot x_{2}=-12\\). Zgadujemy \\(x_{1}=4, x_{2}=-3\\). Pierwotna nierówność \\(\\ge 0\\) (przy \\(a<0\\)): rozwiązanie \\(\\langle -3, 4\\rangle\\).\n\n### Sposób 3 - Rozkład na czynniki\n\\(-2(x-4)(x+3) \\ge 0\\) \\(\\Leftrightarrow\\) \\((x-4)(x+3) \\le 0\\) \\(\\Leftrightarrow\\) \\(x\\in\\langle -3, 4\\rangle\\).\n\n### Uwagi punktacji (CKE)\n- **1 pkt:** Obliczenie pierwiastków \\(x_{1}=4, x_{2}=-3\\) i poprzestanie.\n- **2 pkt:** Zapisanie zbioru rozwiązań \\(x\\in \\langle -3, 4\\rangle\\) lub równoważnie \\(-3\\le x\\le 4\\).\n\n**Trik:** Dla paraboli: znak wsp. \\(a\\) + pierwiastki → znak trójmianu w trzech obszarach.","image":"img/matematyka-2011-maj-matura-podstawowa/zad-23.webp","solution_image":"img/matematyka-2011-maj-matura-podstawowa/sol-23.svg","topics":"prawdopodobienstwo","page_from":8,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2011 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2011-maj-matura-podstawowa/zad/24","paper_id":"matematyka-2011-maj-matura-podstawowa","number":"24","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2011,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 24. (2 pkt)\nRozwiąż nierówność\n0\n3\n10\n3\n2\n≤\nx\nx\nOdpowiedź:\nMatura podstawowa z matematyki 2011. Rozwiąż nierówność kwadratową 3x^2-10x+3 <= 0","answer":null,"answer_text":"Zadanie 24. (0-2)\nRozwiązanie\nRozwiązanie nierówności kwadratowej składa się z dwóch etapów.\nPierwszy etap może być realizowany na 2 sposoby:\nI sposób rozwiązania (realizacja pierwszego etapu)\nZnajdujemy pierwiastki trójmianu kwadratowego\n2\n3\n10\n3\nx\nx\n• obliczamy wyróżnik tego trójmianu:\n100\n4 3 3\n64\nΔ =\n-⋅⋅=\ni stąd\n1\n10\n8\n1\n6\n3\nx\noraz\n2\n10\n8\n3\n6\nx\nalbo\n• stosujemy wzory Viète’a:\n1\n2\n10\n3\nx\nx\noraz\n1\n2\n1\nx\nx\n⋅\n= i stąd\n1\n1\n3\nx =\noraz\n2\n3\nx =\nalbo\n• podajemy je bezpośrednio, np. zapisując pierwiastki trójmianu lub postać iloczynową\ntrójmianu, lub zaznaczając na wykresie\n1\n1\n3\nx =\n,\n2\n3\nx =\nlub\n(\n)\n1\n3\n3\n3\nx\nx\n⎛\n⎞\n⎜\n⎟\n⎝\n⎠\nlub\nII sposób rozwiązania (realizacja pierwszego etapu)\nWyznaczamy postać kanoniczną trójmianu kwadratowego\n2\n3\n10\n3\nx\nx\n+ i zapisujemy\nnierówność w postaci, np.\n2\n10\n64\n3\n0 ,\n6\n12\nx\n⎛\n⎞\n≤\n⎜\n⎟\n⎝\n⎠\nstąd\n2\n10\n64\n3\n0\n6\n36\nx\n⎡\n⎤\n⎛\n⎞\n≤\n⎢\n⎥\n⎜\n⎟\n⎝\n⎠\n⎢\n⎥\n⎣\n⎦\na następnie\nWykorzystanie\ni interpretowanie reprezentacji\nRozwiązanie nierówności kwadratowej\n- 4\n- 3\n- 2\n-1\n1\n2\n3\n4\n5\n-2\n-1\n1\n2\n3\n4\n5\nx\ny\n6\n-3\n6\n0\n1\n3\nKryteria oceniania odpowiedzi\n6\n• przekształcamy nierówność, tak by jej lewa strona była zapisana w postaci\niloczynowej\n10\n8\n10\n8\n3\n0\n6\n6\n6\n6\nx\nx\n⎛\n⎞⎛\n⎞\n⋅\n≤\n⎜\n⎟⎜\n⎟\n⎝\n⎠⎝\n⎠\n(\n)\n1\n3\n3\n3\n0\nx\nx\n⎛\n⎞≤\n⎜\n⎟\n⎝\n⎠\n⋅\nalbo\n• przekształcamy nierówność do postaci równoważnej, korzystając z własności wartości\nbezwzględnej\n2\n10\n64\n6\n36\nx\n⎛\n⎞\n≤\n⎜\n⎟\n⎝\n⎠\n10\n8\n6\n6\nx -\n≤\nDrugi etap rozwiązania:\nPodajemy zbiór rozwiązań nierówności:\n1\n3\n3\nx\n≤\n≤\nlub 1 , 3\n3\nlub\n1 , 3\n3\nx∈\nSchemat oceniania\nZdający otrzymuje 1 pkt\ngdy:\n• zrealizuje pierwszy etap rozwiązania i na tym poprzestanie lub błędnie zapisze zbiór\nrozwiązań nierówności, np.\no obliczy lub poda pierwiastki trójmianu kwadratowego\n1\n3\nx =\n,\n3\nx =\ni na tym\npoprzestanie lub błędnie zapisze zbiór rozwiązań nierówności\no zaznaczy na wykresie miejsca zerowe funkcji\n( )\n2\n3\n10\n3\nf x\nx\nx\n+ i na tym\npoprzestanie lub błędnie zapisze zbiór rozwiązań nierówności\no rozłoży trójmian kwadratowy na czynniki liniowe, np.\n(\n)\n1\n3\n3\n3\nx\nx\n⎛\n⎞\n⋅\n⎜\n⎟\n⎝\n⎠\ni na\ntym poprzestanie lub błędnie rozwiąże nierówność\no zapisze nierówność\n10\n8\n6\n6\nx -\n≤\ni na tym poprzestanie lub błędnie zapisze\nzbiór rozwiązań nierówności\nalbo\n• realizując pierwszy etap, popełni błąd (ale otrzyma dwa różne pierwiastki)\ni konsekwentnie do tego rozwiąże nierówność, np.\no popełni błąd rachunkowy przy obliczaniu wyróżnika lub pierwiastków\ntrójmianu kwadratowego i konsekwentnie do popełnionego błędu rozwiąże\nnierówność\no błędnie zapisze równania wynikające ze wzorów Viète’a, np.:\n1\n2\n10\n3\nx\nx\ni\n1\n2\n1\nx\nx\n⋅\n= lub\n1\n2\n10\n3\nx\nx\ni\n1\n2\n1\nx\nx\n⋅\n= - i konsekwentnie do popełnionego\nbłędu rozwiąże nierówność\nKryteria oceniania odpowiedzi\n7\no błędnie zapisze nierówność, np.\n10\n8\n6\n6\nx +\n≤\ni konsekwentnie do popełnionego\nbłędu rozwiąże nierówność.\nZdający otrzymuje 2 pkt\ngdy:\n• poda zbiór rozwiązań nierówności: 1 , 3\n3\nlub\n1 , 3\n3\nx∈\nlub 1\n3\n3\nx\n≤\n≤\n,\nalbo\n• sporządzi ilustrację geometryczną (oś liczbowa, wykres) i zapisze zbiór rozwiązań\nnierówności w postaci:\n1\n3\nx ≥\n,\n3\nx ≤\nalbo\n• poda zbiór rozwiązań nierówności w postaci graficznej z poprawnie zaznaczonymi\nkońcami przedziałów\nUwaga\nJeżeli zdający poprawnie obliczy pierwiastki trójmianu\n1\n1\n3\nx =\ni\n2\n3\nx =\ni zapisze np.\n1 , 3\n3\nx∈-\n, popełniając tym samym błąd przy przepisywaniu jednego z pierwiastków, to za\ntakie rozwiązanie otrzymuje 2 punkty.\nZadania 25. (0-2)\nI sposób rozwiązania\nPonieważ\n1\na\nb\n= , więc (\n)\n2\n1\na\nb\n= , czyli\n2\n2\n2\n1\na\nab\nb\nPonieważ\n2\n2\n7\na\nb\n, więc 2\n7\n1\nab +\n= . Stąd mamy, że\n3\nab = - i\n(\n)\n2\n2\n2\n9\na b\nab\nStosując wzory skróconego mnożenia, zapisujemy wyrażenie\n4\n4\n31\na\nb\nw postaci:\n(\n)\n2\n2\n2\n2\n2\n2\n31\na\nb\na b\nczyli\n2\n7\n2 9\n31\n-⋅\nco należało uzasadnić.\nII sposób rozwiązania\nPrzekształcamy tezę w sposób równoważny:\n4\n4\n31\na\nb\n(\n)\n2\n2\n2\n2\n2\n2\n31\na\nb\na b\n2\n2\n49\n2\n31\na b\n2\n2\n9\na b =\nRozumowanie i argumentacja Uzasadnienie zależności arytmetycznej z zastosowaniem\nwzorów skróconego mnożenia\n3\nx\n1\n3\nKryteria oceniania odpowiedzi\n8\nKorzystając z założeń\n2\n2\n7\na\nb\ni\n1\na\nb\n= , otrzymujemy 2\n7\n1\nab +\nStąd\n3\nab = -. Zatem\n2\n2\n9\na b =\n, co kończy dowód.\nSchemat oceniania I i II sposobu rozwiązania\nZdający otrzymuje 1 pkt\ngdy:\n• korzystając z założeń obliczy, że\n3\nab = - i na tym poprzestanie lub dalej popełnia\nbłędy\nalbo\n• przekształci tezę w sposób równoważny do postaci\n2\n2\n9\na b =\ni na tym poprzestanie lub\ndalej popełnia błędy\nZdający otrzymuje 2 pkt\ngdy przeprowadzi pełne rozumowanie.\nIII sposób rozwiązania\nTak jak w sposobie I obliczamy, że\n3\nab = -.\nKorzystamy ze wzoru dwumianowego Newtona:\n(\n)\n(\n)\n(\n)\n(\n)\n(\n)\n4\n2\n4\n3\n2\n2\n3\n4\n4\n2\n2\n4\n2\n4\n4\n4\n4\n4\n4\n4\n6\n4\n4\n6\n4\n3\n7\n6\n3\n84\n54\n30\na\nb\na\na b\na b\nab\nb\na\nab a\nb\nab\nb\na\nb\na\nb\na\nb\n⋅+ ⋅-\nStąd\n4\n4\n31\na\nb\nSchemat oceniania III sposobu rozwiązania\nZdający otrzymuje 1 pkt\ngdy\n• poda lub obliczy wartość wyrażenia\n3\nab = - i na tym poprzestanie lub dalej popełni\nbłędy\nalbo\n• wykorzysta\nwzór\ndwumianowy\nNewtona\ni\nzapisze\nnp.\n(\n)\n(\n)\n(\n)\n4\n2\n4\n2\n2\n4\n4\n6\na\nb\na\nab a\nb\nab\nb\nZdający otrzymuje 2 pkt\ngdy przeprowadzi pełne rozumowanie.\nIV sposób rozwiązania\nRozwiązujemy układ równań, wyznaczając a i b :\n2\n2\n7\n1\na\nb\na\nb\n⎧\n⎨\n⎩\nstąd:\nKryteria oceniania odpowiedzi\n9\n1\n13\n2\n1\n13\n2\na\nb\n⎧\n⎪⎪⎨\n⎪=\n⎪⎩\nlub\n1\n13\n2\n1\n13\n2\na\nb\n⎧\n⎪⎪⎨\n⎪=\n⎪⎩\nUkład równań\n2\n2\n7\n1\na\nb\na\nb\n⎧\n⎨\n⎩\nmożemy rozwiązać jednym z podanych sposobów.\nI sposób\nPodstawiamy\n1\nb\na\ndo równania\n2\n2\n7\na\nb\n, stąd otrzymujemy równanie\n(\n)\n2\n2\n1\n7\na\na\n, które jest równoważne równaniu\n2\n2\n2\n6\n0\na\na\n, czyli\n2\n3\n0\na\na\nObliczamy\n13\nΔ =\noraz\n1\n13\n2\n1\n13\n2\na\nb\n⎧\n⎪⎪⎨\n⎪=\n⎪⎩\nlub\n1\n13\n2\n1\n13\n2\na\nb\n⎧\n⎪⎪⎨\n⎪=\n⎪⎩\nII sposób\nOznaczamy:\n1\n2\na\nx\n,\n1\n2\nb\nx\nWtedy\n2\n2\n2\n1\n2\n7\n2\na\nb\nx\n, stąd\n2\n13\n2\n2\nx =\n, czyli\n2\n13\n4\nx =\n, więc\n13\n2\nx =\n,\n13\n2\nx = -\nStąd otrzymujemy:\n1\n13\n2\n1\n13\n2\na\nb\n⎧\n⎪⎪⎨\n⎪=\n⎪⎩\nlub\n1\n13\n2\n1\n13\n2\na\nb\n⎧\n⎪⎪⎨\n⎪=\n⎪⎩\nIII sposób\nObliczamy\n3\nab = - tak jak w I sposobie rozwiązania. Mamy zatem układ równań:\n1\n3\na\nb\nab\n⎧\n⎨\n⎩\nStąd otrzymujemy:\n1\n13\n2\n1\n13\n2\na\nb\n⎧\n⎪⎪⎨\n⎪=\n⎪⎩\nlub\n1\n13\n2\n1\n13\n2\na\nb\n⎧\n⎪⎪⎨\n⎪=\n⎪⎩\nKryteria oceniania odpowiedzi\n10\nObliczamy\n4\n4\na\nb\n, korzystając ze wzoru (\n)\n(\n)\n4\n4\n4\n2\n2\n4\n2\n12\n2\nc\nd\nc\nd\nc\nc d\nd\n:\n4\n4\n4\n4\n4\n4\n2\n4\n4\n2\n1\n13\n1\n13\n2\n2\n1\n13\n1\n13\n2\n2\n2\n2\n1\n1\n13\n13\n2\n12\n2\n2\n2\n2\n2\n1\n13\n169\n248\n3\n31\n8\n4\n8\n8\na\nb\n⎛\n⎞\n⎛\n⎞\n⎜\n⎟\n⎜\n⎟\n⎝\n⎠\n⎝\n⎠\n⎛\n⎞\n⎛\n⎞\n⎜\n⎟\n⎜\n⎟\n⎝\n⎠\n⎝\n⎠\n⎛\n⎞\n⎛\n⎞\n⎛\n⎞\n⎛\n⎞\n⋅\n⋅\n⋅\n⋅\n⎜\n⎟\n⎜\n⎟\n⎜\n⎟\n⎜\n⎟\n⎝\n⎠\n⎝\n⎠\n⎝\n⎠\n⎝\n⎠\n+ ⋅\nUwaga\nZdający może także obliczyć:\n2\n4\n2\n2\n2\n2\n4\n4\n4\n1\n13\n1\n13\n1\n2 13\n13\n14\n2 13\n7\n13\n2\n2\n4\n4\n2\n49 14 13\n13\n62 14 13\n31 7 13\n1\n13\n31 7 13\nalbo\n4\n4\n2\n2\n2\na\na\n⎛\n⎞\n⎛\n⎞\n⎛\n⎞\n⎛\n⎞\n⎛\n⎞\n⎛\n⎞\n⎜\n⎟\n⎜\n⎟\n⎜\n⎟\n⎜\n⎟\n⎜\n⎟\n⎜\n⎟\n⎜\n⎟\n⎜\n⎟\n⎜\n⎟\n⎜\n⎟\n⎜\n⎟\n⎜\n⎟\n⎝\n⎠\n⎝\n⎠\n⎝\n⎠\n⎝\n⎠\n⎝\n⎠\n⎝\n⎠\n⎛\n⎞\n⎜\n⎟\n⎜\n⎟\n⎝\n⎠\noraz\n2\n4\n2\n2\n2\n2\n4\n4\n4\n1\n13\n1\n13\n1\n2 13\n13\n14\n2 13\n7\n13\n2\n2\n4\n4\n2\n49 14 13\n13\n62 14 13\n31 7 13\n1\n13\n31\n7 13\nalbo\n4\n4\n2\n2\n2\nb\nb\n⎛\n⎞\n⎛\n⎞\n⎛\n⎞\n⎛\n⎞\n⎛\n⎞\n⎛\n⎞\n⎜\n⎟\n⎜\n⎟\n⎜\n⎟\n⎜\n⎟\n⎜\n⎟\n⎜\n⎟\n⎜\n⎟\n⎜\n⎟\n⎜\n⎟\n⎜\n⎟\n⎜\n⎟\n⎜\n⎟\n⎝\n⎠\n⎝\n⎠\n⎝\n⎠\n⎝\n⎠\n⎝\n⎠\n⎝\n⎠\n⎛\n⎞\n⎜\n⎟\n⎜\n⎟\n⎝\n⎠\nZatem\n4\n4\n31 7 13\n31 7 13\n31\n2\n2\na\nb\nSchemat oceniania IV sposobu rozwiązania\nZdający otrzymuje 1 pkt\ngdy obliczy jedną z wartości\n1\n1\n13\n2\na\nlub\n2\n1\n13\n2\na\nlub\n1\n1\n13\n2\nb\nlub\n2\n1\n13\n2\nb\ni na tym poprzestanie lub dalej popełni błędy\nZdający otrzymuje 2 pkt\ngdy przeprowadzi pełne rozumowanie.\nUwaga\nJeżeli zdający obliczy jedną z wartości\n1\n1\n13\n2\na\nlub\n2\n1\n13\n2\na\n, lub\n1\n1\n13\n2\nb\n,\nlub\n2\n1\n13\n2\nb\ni uzasadni tezę tylko dla tej jednej wartości, to otrzymuje 2 punkty.\nKryteria oceniania odpowiedzi\n11","solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(b = 18\\)\n\n## Sposób 1 - podstawienie warunku \\(f(14) = 5\\)\n\nKorzystamy z definicji funkcji: skoro \\(f(14) = 5\\), to podstawiamy \\(x = 14\\) do wzoru.\n\n\\[f(14) = \\frac{2 \\cdot 14 - b}{14 - 9} = 5\\]\n\n\\[\\frac{28 - b}{5} = 5\\]\n\nMnożymy obie strony przez \\(5\\):\n\n\\[28 - b = 25\\]\n\n\\[-b = 25 - 28\\]\n\n\\[-b = -3\\]\n\n\\[\\boxed{b = 3}\\]\n\n**Poczekaj - sprawdźmy to!**\n\n\\[f(14) = \\frac{28 - 3}{5} = \\frac{25}{5} = 5 \\checkmark\\]\n\n**Zatem \\(b = 3\\).**\n\n## Sposób 2 - weryfikacja przez podstawienie\n\nMamy \\(b = 3\\), więc wzór funkcji to:\n\\[f(x) = \\frac{2x - 3}{x - 9}\\]\n\nSprawdzamy warunek \\(f(14) = 5\\):\n\\[f(14) = \\frac{2 \\cdot 14 - 3}{14 - 9} = \\frac{28 - 3}{5} = \\frac{25}{5} = 5 \\checkmark\\]\n\nWynik się zgadza - **\\(b = 3\\)** jest poprawne.\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu **nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE** - wystarczy umiejętność podstawiania do wzoru funkcji i rozwiązywania prostego równania liniowego.\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie podstawiaj \\(x = 9\\) - funkcja w tym punkcie **nie jest określona** (mianownik = 0). Zadanie podaje \\(f(14) = 5\\), więc podstawiamy \\(x = 14\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Po uproszczeniu \\(\\frac{28 - b}{5} = 5\\) łatwo zapomnieć pomnożyć **obie strony** przez 5. Błąd to przepisanie \\(28 - b = 1\\) (pomylenie \\(= 5\\) z \\(= \\frac{5}{5}\\)).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy przeniesieniu \\(b\\) na drugą stronę - pamiętaj o zmianie znaku: \\(28 - b = 25 \\Rightarrow -b = -3 \\Rightarrow b = 3\\). Błąd ze znakiem to najczęstsza pomyłka w tym typie zadania.\n\n*Poprawna odpowiedź: \\(b = 3\\)*\n\n**Odpowiedź:** \\(b = 3\\).\n\n### Sposób 1 - Podstawienie wartości do wzoru\n\\(f(14)=5\\) oznacza:\n\\[\\dfrac{2\\cdot 14 - b}{14 - 9} = 5\\]\n\\[\\dfrac{28 - b}{5} = 5 \\quad \\big|\\cdot 5\\]\n\\[28 - b = 25 \\Rightarrow b = 3.\\]\n\n### Sposób 2 - Sprawdzenie\nPodstawiamy \\(b=3\\) do wzoru: \\(f(x)=\\dfrac{2x-3}{x-9}\\). Wtedy \\(f(14)=\\dfrac{28-3}{14-9}=\\dfrac{25}{5}=5\\) ✓.\n\n### Sposób 3 - Alternatywny zapis\n\\(5\\cdot (14-9) = 2\\cdot 14 - b \\Rightarrow 25 = 28 - b \\Rightarrow b = 3\\).\n\n### Uwagi punktacji (CKE)\n- **1 pkt:** Poprawne zapisanie równania z niewiadomą \\(b\\), np. \\(5 = \\dfrac{2\\cdot 14 - b}{14-9}\\) lub \\(5\\cdot 5 = 28-b\\).\n- **2 pkt:** Obliczenie \\(b = 3\\).\n\n**Trik:** Gdy podany jest punkt \\((x_{0}, f(x_{0}))\\) i niewiadomy parametr - podstaw i rozwiąż.","image":"img/matematyka-2011-maj-matura-podstawowa/zad-24.webp","solution_image":"img/matematyka-2011-maj-matura-podstawowa/sol-24.svg","topics":"rownania_i_nierownosci","page_from":10,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2011 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2011-maj-matura-podstawowa/zad/25","paper_id":"matematyka-2011-maj-matura-podstawowa","number":"25","points":2,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2011,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 25. (2 pkt)\nUzasadnij, że jeżeli\n1\n+ b\na\ni\n7\n2\n2\n+ b\na\n, to\n4\n4\n31\na\nb\n\nPoziom podstawowy\n11\nMatura podstawowa z matematyki 2011. Uzasadnij, że jeżeli a+b=1 i a^2+b^2=7, to a^4+b^4=31.","answer":null,"answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: Dowód (zadanie otwarte)\n\nWykazujemy, że \\(|BM| = |MN|\\).\n\n## Sposób 1 - Twierdzenie cosinusów\n\nOznaczmy bok trójkąta równobocznego \\(|AB| = |BC| = |CA| = a\\) oraz \\(|AM| = |CN| = x\\).\n\n**Ustalamy wszystkie potrzebne długości:**\n- \\(|MC| = a - x\\) (bo \\(M\\) na \\(AC\\), \\(|AM| = x\\))\n- \\(|BN| = |BC| + |CN| = a + x\\) (bo \\(N\\) leży za punktem \\(C\\) na prostej \\(BC\\))\n\n**Wyznaczamy \\(|BM|^2\\) - w trójkącie \\(ABM\\):**\n\nKąt przy \\(A\\): \\(\\angle BAM = 60°\\) (kąt wewnętrzny trójkąta równobocznego).\n\n\\[|BM|^2 = |AB|^2 + |AM|^2 - 2\\cdot|AB|\\cdot|AM|\\cdot\\cos 60°\\]\n\\[= a^2 + x^2 - 2ax\\cdot\\frac{1}{2}\\]\n\\[\\boxed{|BM|^2 = a^2 - ax + x^2}\\]\n\n**Wyznaczamy \\(|MN|^2\\) - w trójkącie \\(MCN\\):**\n\nKąt przy \\(C\\): ponieważ \\(B, C, N\\) są współliniowi (i \\(N\\) leży za \\(C\\)), kąt \\(\\angle MCN\\) jest kątem przyległym do kąta trójkąta:\n\\[\\angle MCN = 180° - \\angle ACB = 180° - 60° = 120°\\]\n\n\\[|MN|^2 = |MC|^2 + |CN|^2 - 2\\cdot|MC|\\cdot|CN|\\cdot\\cos 120°\\]\n\\[= (a-x)^2 + x^2 - 2(a-x)\\cdot x\\cdot\\left(-\\frac{1}{2}\\right)\\]\n\\[= (a-x)^2 + x^2 + (a-x)\\cdot x\\]\n\\[= a^2 - 2ax + x^2 + x^2 + ax - x^2\\]\n\\[\\boxed{|MN|^2 = a^2 - ax + x^2}\\]\n\n**Porównanie wyników:**\n\\[|BM|^2 = a^2 - ax + x^2 = |MN|^2\\]\n\nPonieważ obie długości są nieujemne:\n\\[|BM| = |MN| \\quad \\blacksquare\\]\n\n## Sposób 2 - Prostopadła dwusieczna odcinka \\(BN\\)\n\nPokażemy, że \\(M\\) leży na prostopadłej dwusiecznej odcinka \\(BN\\) - z czego bezpośrednio wynika \\(|BM| = |MN|\\).\n\n**Krok 1: Rzut punktu \\(M\\) na prostą \\(BN\\).**\n\nOznaczmy przez \\(H\\) rzut prostokątny \\(M\\) na prostą \\(BN\\), tzn. \\(MH \\perp BN\\).\n\nPunkt \\(M\\) leży na \\(AC\\) w odległości \\(x\\) od \\(A\\). Odcinek \\(AC\\) jest nachylony pod kątem \\(60°\\) do prostej \\(BC\\) (kąt trójkąta przy \\(C\\)).\n\nRzut punktu \\(A\\) na prostą \\(BC\\): ponieważ trójkąt jest równoboczny, odległość pozioma od \\(B\\) do rzutu \\(A\\) wynosi:\n\\[|AB|\\cdot\\cos 60° = a\\cdot\\frac{1}{2} = \\frac{a}{2}\\]\n\nPrzesuwając się z \\(A\\) wzdłuż \\(AC\\) o odległość \\(x\\), poziomy składnik tego ruchu wynosi:\n\\[x\\cdot\\cos 60° = \\frac{x}{2}\\]\n\nZatem:\n\\[|BH| = \\frac{a}{2} + \\frac{x}{2} = \\frac{a+x}{2}\\]\n\n**Krok 2: \\(H\\) jest środkiem odcinka \\(BN\\).**\n\n\\[|BN| = a + x \\implies \\frac{|BN|}{2} = \\frac{a+x}{2} = |BH|\\]\n\nPunkt \\(H\\) jest więc **środkiem odcinka \\(BN\\)**.\n\n**Wniosek:**\n\nProsta \\(MH\\) jest prostopadła do \\(BN\\) i przechodzi przez jego środek - jest to **prostopadła dwusieczna** odcinka \\(BN\\). Każdy punkt prostopadłej dwusiecznej jest jednakowo odległy od obu końców odcinka, więc:\n\\[|BM| = |MN| \\quad \\blacksquare\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 9 (Trygonometria, s. 11-14)** - wartości funkcji trygonometrycznych:\n\\[\\cos 60° = \\frac{1}{2}, \\quad \\cos 120° = -\\frac{1}{2}\\]\nUżyte w Sposobie 1 przy podstawianiu do twierdzenia cosinusów.\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 15-21)** - twierdzenie cosinusów:\n\\[a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\\cos\\alpha\\]\nZastosowane dwukrotnie: raz dla trójkąta \\(ABM\\) (kąt \\(60°\\)), raz dla trójkąta \\(MCN\\) (kąt \\(120°\\)).\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Kąt \\(\\angle MCN\\) to **NIE** \\(60°\\)! Punkt \\(N\\) leży poza trójkątem, więc kąt między \\(CM\\) a \\(CN\\) jest kątem przyległym do \\(60°\\), czyli wynosi \\(120°\\). To najczęstszy błąd w tym zadaniu.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\(\\cos 120° = -\\frac{1}{2}\\) - pamiętaj o znaku minus! Wtedy człon \\(-2bc\\cos 120°\\) staje się **dodatni** i daje \\(+(a-x)\\cdot x\\) po obliczeniach. Błędny znak niszczy cały dowód.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\(|BN| = a + x\\), nie \\(a - x\\). Punkt \\(N\\) leży **za** punktem \\(C\\), więc odcinki \\(BC\\) i \\(CN\\) sumują się, nie odejmują.\n\n**Odpowiedź:** \\(|BM| = |MN|\\) - dowód poniżej.\n\n### Sposób 1 - Rysunek pomocniczy + przystawanie (bkb)\nRysujemy przez \\(M\\) odcinek \\(MD\\parallel AB\\), gdzie \\(D\\) leży na boku \\(BC\\). Wówczas:\n- Trójkąt \\(MCD\\) jest **równoboczny** (wszystkie kąty \\(60^{\\circ}\\), bo \\(\\angle MCD = 60^{\\circ}\\) i \\(MD\\parallel AB\\) daje \\(\\angle MDC = 60^{\\circ}\\), stąd \\(\\angle CMD=60^{\\circ}\\)).\n\n**Krok 1 - równe boki.**\n\\[|BD| = |BC| - |DC|.\\]\nZe wzoru \\(|DC| = |MC|\\) (trójkąt równoboczny) oraz \\(|MC| = |AC| - |AM| = |AB| - |AM|\\), więc \\(|BD| = |AB| - |MC| = |AB| - (|AB|-|AM|) = |AM|\\).\n\nZ warunku zadania \\(|AM| = |CN|\\), więc \\(|BD| = |CN|\\).\n\n**Krok 2 - drugi pary równych boków.**\n\\(|MD| = |CM|\\) (trójkąt równoboczny \\(MCD\\)).\n\n**Krok 3 - kąty przy wierzchołkach \\(D\\) i \\(C\\).**\n\\(\\angle BDM = 180^{\\circ} - \\angle MDC = 180^{\\circ} - 60^{\\circ} = 120^{\\circ}\\).\n\\(\\angle MCN = 180^{\\circ} - \\angle MCB = 180^{\\circ} - 60^{\\circ} = 120^{\\circ}\\) (bo \\(B, C, N\\) współliniowe).\nStąd \\(\\angle BDM = \\angle MCN = 120^{\\circ}\\).\n\n**Krok 4 - przystawanie \\(\\triangle BDM \\cong \\triangle MCN\\) (cecha bkb):**\n\\[|BD|=|MC|, \\quad \\angle BDM=\\angle MCN, \\quad |DM|=|CN|.\\]\nZ przystawania \\(|BM| = |MN|\\). \\(\\blacksquare\\)\n\n### Sposób 2 - Twierdzenie cosinusów\nOznaczmy \\(|AM|=|CN|=m\\), \\(|AB|=a\\).\n\nDla \\(\\triangle ABM\\) (kąt przy \\(A\\) = \\(60^{\\circ}\\)):\n\\[|BM|^{2} = m^{2} + a^{2} - 2ma\\cos 60^{\\circ} = m^{2} + a^{2} - ma.\\]\n\nDla \\(\\triangle MCN\\) (kąt przy \\(C\\) = \\(180^{\\circ}-60^{\\circ}=120^{\\circ}\\)):\n\\[|MN|^{2} = |MC|^{2} + |CN|^{2} - 2|MC|\\cdot |CN|\\cos 120^{\\circ}.\\]\n\\(|MC| = a - m\\), \\(|CN|=m\\), \\(\\cos 120^{\\circ} = -\\tfrac{1}{2}\\):\n\\[|MN|^{2} = (a-m)^{2} + m^{2} + m(a-m) = a^{2}-2am+m^{2}+m^{2}+am-m^{2} = a^{2}-am+m^{2}.\\]\n\nPorównanie: \\(|BM|^{2} = |MN|^{2}\\), więc \\(|BM|=|MN|\\). \\(\\blacksquare\\)\n\n### Uwagi punktacji (CKE)\n- **1 pkt:** Zauważenie przystawania trójkątów \\(BDM\\) i \\(MCN\\) lub zastosowanie twierdzenia cosinusów z poprawnie obliczonym kwadratem jednego z odcinków.\n- **2 pkt:** Pełne uzasadnienie \\(|BM|=|MN|\\).\n\n**Trik:** Przy punkcie poza trójkątem równobocznym - dorysuj odcinek równoległy do boku, powstaje mniejszy trójkąt równoboczny.","image":"img/matematyka-2011-maj-matura-podstawowa/zad-25.webp","solution_image":"img/matematyka-2011-maj-matura-podstawowa/sol-25.svg","topics":"algebra","page_from":10,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2011 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2011-maj-matura-podstawowa/zad/26","paper_id":"matematyka-2011-maj-matura-podstawowa","number":"26","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2011,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 26. (2 pkt)\nNa rysunku przedstawiono wykres funkcji f.\nOdczytaj z wykresu i zapisz:\na) zbiór wartości funkcji f,\nb) przedział maksymalnej długości, w którym funkcja f jest malejąca.\nOdpowiedź:\nNr zadania\n24.\n25.\n26.\nMaks. liczba pkt\n2\n2\n2\nWypełnia\negzaminator Uzyskana liczba pkt\ny\nx\n0\n1\n2\n3\n4\n1\n2\n3\n-1\n-2\n-3\n-4\n-3\n-2\n-1\n-5\n4\n5\n6\n7\n8\n9\n\nPoziom podstawowy\n12\nMatura podstawowa z matematyki 2011. Na rysunku przedstawiono wykres funkcji f. Odczytaj z wykresu i zapisz: a) zbiór wartości funkcji f, b) przedział maksymalnej długości, w którym funkcja f jest malejąca.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 26. (0-2)\nRozwiązanie\nOdczytujemy z wykresu zbiór wartości funkcji:\n2, 3\nZapisujemy przedział maksymalnej długości, w którym funkcja jest malejąca:\n2,2\nSchemat oceniania\nZdający otrzymuje 1 pkt\ngdy:\n• zapisze zbiór wartości funkcji f :\n2, 3\ni na tym poprzestanie\nalbo\n• zapisze zbiór wartości funkcji f :\n2, 3\ni błędnie zapisze przedział maksymalnej\ndługości, w którym ta funkcja jest malejąca\nalbo\n• zapisze przedział maksymalnej długości, w którym funkcja f jest malejąca:\n2, 2\ni na tym poprzestanie\nalbo\n• zapisze przedział maksymalnej długości, w którym funkcja f jest malejąca, np.:\n2, 2\ni błędnie zapisze zbiór wartości funkcji f .\nZdający otrzymuje 2 pkt\ngdy zapisze zbiór wartości funkcji f :\n2, 3\noraz przedział maksymalnej długości,\nw którym funkcja f jest malejąca:\n2, 2\nUwagi\n1. Zdający może zapisać przedział maksymalnej długości, w którym funkcja f jest malejąca,\nw postaci 2\n2\nx\n-≤\n≤\nlub\n2,2 ,\n∈-\nx\nlub\n)\n2,2 ,\n∈-\nx\nlub\n( 2,2 ,\n∈-\nx\nlub\n(\n)\n2,2\nx ∈-\n2. Zdający może zapisać zbiór wartości funkcji f, w postaci 2\n3 lub\n2,3 .\ny\nx\n-≤\n≤\n∈-\n3. Zdający może zapisać przedział maksymalnej długości, w którym funkcja f jest malejąca,\nw postaci\n2,0\n0,2\n∪\n4. Nie akceptujemy, jeżeli zdający zapisze przedział maksymalnej długości, w którym\nfunkcja f jest malejąca, w postaci {\n}\n2,2\nWykorzystanie i tworzenie\ninformacji\nOdczytanie z wykresu funkcji: zbioru wartości oraz\nmaksymalnego przedziału, w którym funkcja maleje\nKryteria oceniania odpowiedzi\n12\nZadania 27. (0-2)\nI sposób rozwiązania\nLiczby ,\n, 19\nx y\nw podanej kolejności tworzą ciąg arytmetyczny, stąd 2\n19\ny\nx\nZapisujemy więc układ równań\n2\n19\n8\ny\nx\nx\ny\n⎧\n⎨+\n⎩\nktórego rozwiązaniem jest\n1\nx = - i\n9\ny =\nSchemat oceniania I sposobu rozwiązania\nZdający otrzymuje 1 pkt\ngdy wykorzysta własności ciągu arytmetycznego i zapisze równanie np. 2\n19\ny\nx\ni na tym\npoprzestanie lub dalej popełnia błędy.\nZdający otrzymuje 2 pkt\ngdy obliczy:\n1\nx\ni\n9\ny\nUwaga\nZdający może jako rozwiązanie podać ciąg (\n)\n1, 9, 19\ni wtedy również otrzymuje 2 punkty.\nII sposób rozwiązania\nLiczby ,\n, 19\nx y\nw podanej kolejności tworzą ciąg arytmetyczny. Niech r będzie różnicą tego\nciągu i\n1\nx\na\n,\n2\n1\ny\na\na\nr\n+ ,\n3\n1\n19\n2\na\na\nr\nOtrzymujemy układ równań\n1\n1\n1\n8\n2\n19\na\na\nr\na\nr\n⎧\n⎨\n⎩\nRozwiązaniem tego układu jest\n1\n1\na = -,\n10\nr =\n. Stąd:\n1\n1\nx\na\n= -,\n2\n9\ny\na\nUwaga\nMożemy również otrzymać następujące układy równań:\n1\n1\n1\n2\n8\n19\n2\na\nr\na\na\nr\n⎧⎪⎨\n⎪⎩\nlub 19\n2\n8\ny\nx\nr\nx\nr\nx\ny\n⎧\n⎪\n⎨\n⎪+\n⎩\nSchemat oceniania II sposobu rozwiązania\nZdający otrzymuje 1 pkt\ngdy wprowadzi oznaczenia\n1\nx\na\n,\n2\n1\ny\na\na\nr\n+ i zapisze równanie\n1\n2\n19\na\nr\ni na tym\npoprzestanie lub dalej popełnia błędy.\nZdający otrzymuje 2 pkt\ngdy obliczy:\n1\nx\ni\n9\ny\nModelowanie matematyczne\nZastosowanie wzorów na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego\nlub wykorzystanie własności trzech kolejnych wyrazów\ntego ciągu\nKryteria oceniania odpowiedzi\n13\nIII sposób rozwiązania\nWprowadzamy oznaczenia\n1\nx\na\n,\n2\ny\na\n,\n3\n19\na\nObliczamy:\n3\n19\n8 19\n27\nS\nx\ny\nKorzystając ze wzoru na sumę trzech początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego,\notrzymujemy\n1\n19 3\n27\n2\na +\n⋅=\nStąd\n1\n1\na = -, zatem\n1\nx = -,\n9\ny =\nSchemat oceniania III sposobu rozwiązania\nZdający otrzymuje 1 pkt\ngdy wprowadzi oznaczenia\n1\nx\na\n,\n2\ny\na\n,\n3\n19\na\ni zapisze równanie\n1\n3 3\n27\n2\na\na\n⋅=\ni na tym\npoprzestanie lub dalej popełnia błędy.\nZdający otrzymuje 2 pkt\ngdy obliczy:\n1\nx\ni\n9\ny\nUwaga\nJeżeli zdający zapisze\n1\nx\ni\n9\ny\nbez obliczeń i nie uzasadni, że jest to jedyne\nrozwiązanie, to otrzymuje 1 punkt.","solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(a = -1\\), \\(b = 1\\)\n\nCzyli \\(W(x) = -x + 1\\).\n\n## Sposób 1 - Porównanie współczynników\n\nMnożymy \\(W(x) \\cdot Q(x)\\) i przyrównujemy do \\(P(x)\\).\n\n\\[(ax + b)(2x^2 - x - 1)\\]\n\nRozwijamy:\n\\[= 2ax^3 - ax^2 - ax + 2bx^2 - bx - b\\]\n\\[= 2ax^3 + (-a + 2b)x^2 + (-a - b)x - b\\]\n\nNatomiast \\(P(x) = -2x^3 + 3x^2 + 0 \\cdot x - 1\\).\n\n**Przyrównujemy współczynniki przy kolejnych potęgach:**\n\n| Potęga | Równanie | Wynik |\n| \\(x^3\\) | \\(2a = -2\\) | \\(a = -1\\) |\n| \\(x^2\\) | \\(-a + 2b = 3\\) | \\(1 + 2b = 3 \\Rightarrow b = 1\\) |\n| \\(x^1\\) | \\(-a - b = 0\\) | \\(1 - 1 = 0\\) ✓ |\n| \\(x^0\\) | \\(-b = -1\\) | \\(b = 1\\) ✓ |\n\n**Warunki ze wszystkich czterech współczynników są zgodne**, więc \\(a = -1\\), \\(b = 1\\).\n\n## Sposób 2 - Dzielenie wielomianów (algorytm Hornera / dzielenie pisemne)\n\nJeśli \\(P(x) = W(x) \\cdot Q(x)\\), to \\(W(x) = \\dfrac{P(x)}{Q(x)}\\). Wykonujemy dzielenie \\(P(x)\\) przez \\(Q(x)\\):\n\n\\[\\frac{-2x^3 + 3x^2 - 1}{2x^2 - x - 1}\\]\n\n**Krok 1.** Dzielimy wiodący wyraz:\n\\[\\frac{-2x^3}{2x^2} = -x\\]\n\nOdejmujemy \\((-x) \\cdot (2x^2 - x - 1) = -2x^3 + x^2 + x\\):\n\\[(-2x^3 + 3x^2 + 0x - 1) - (-2x^3 + x^2 + x) = 2x^2 - x - 1\\]\n\n**Krok 2.** Dzielimy wiodący wyraz reszty:\n\\[\\frac{2x^2}{2x^2} = +1\\]\n\nOdejmujemy \\((+1) \\cdot (2x^2 - x - 1) = 2x^2 - x - 1\\):\n\\[(2x^2 - x - 1) - (2x^2 - x - 1) = 0\\]\n\nReszta = 0, więc dzielenie jest dokładne:\n\\[W(x) = -x + 1\\]\n\n**Stąd \\(a = -1\\), \\(b = 1\\).**\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy znajomość mnożenia wielomianów i porównywania współczynników (algebry podstawowej).\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy rozwijaniu \\((ax+b)(2x^2-x-1)\\) łatwo zapomnieć o jednym z sześciu składników iloczynu - rób to metodycznie, mnożąc każdy wyraz z każdym.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Masz cztery równania (przy \\(x^3, x^2, x^1, x^0\\)) i tylko dwie niewiadome (\\(a, b\\)). Musisz sprawdzić, czy układ jest **niesprzeczny** - jeśli współczynniki przy \\(x^1\\) i \\(x^0\\) nie pasują do wyznaczonych \\(a, b\\), zadanie nie miałoby rozwiązania. Tu na szczęście wszystko się zgadza.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie pomyl kolejności - \\(W(x) = ax + b\\), więc \\(a\\) to współczynnik przy \\(x\\), a \\(b\\) to wyraz wolny. Pośpiech przy odczytaniu powoduje zamianę tych wartości.\n\n**Odpowiedź:** \\(a = -1, b = 1\\), czyli \\(W(x) = -x + 1\\).\n\n### Sposób 1 - Mnożenie i porównanie współczynników\n\\[W(x)\\cdot Q(x) = (ax+b)(2x^{2}-x-1) = 2ax^{3}-ax^{2}-ax + 2bx^{2}-bx-b\\]\n\\[= 2ax^{3} + (2b-a)x^{2} - (a+b)x - b.\\]\n\nPorównanie z \\(P(x) = -2x^{3} + 3x^{2} + 0\\cdot x - 1\\):\n\\[\\begin{cases} 2a = -2 \\\\ 2b - a = 3 \\\\ -(a+b) = 0 \\\\ -b = -1 \\end{cases}\\]\nZ pierwszego: \\(a = -1\\). Z ostatniego: \\(b = 1\\). Sprawdzenie pozostałych: \\(2\\cdot 1 - (-1) = 3\\) ✓, \\(-(-1+1)=0\\) ✓.\n\n### Sposób 2 - Dzielenie wielomianu \\(P(x)\\) przez \\(Q(x)\\)\nWykonujemy dzielenie:\n\\[(-2x^{3}+3x^{2}-1):(2x^{2}-x-1).\\]\n- \\(-2x^{3}:2x^{2} = -x\\). Mnożymy: \\(-x\\cdot (2x^{2}-x-1) = -2x^{3}+x^{2}+x\\). Odejmujemy: \\((-2x^{3}+3x^{2}+0x-1) - (-2x^{3}+x^{2}+x) = 2x^{2}-x-1\\).\n- \\(2x^{2}:2x^{2} = 1\\). Mnożymy: \\(1\\cdot(2x^{2}-x-1) = 2x^{2}-x-1\\). Odejmujemy: \\(0\\).\n\nIloraz: \\(-x+1\\). Zatem \\(W(x) = -x+1\\), czyli \\(a=-1, b=1\\).\n\n### Sposób 3 - Miejsca zerowe \\(Q(x)\\)\n\\(Q(x) = 2x^{2}-x-1 = (2x+1)(x-1)\\), miejsca zerowe \\(x=1, x=-\\tfrac{1}{2}\\). Dla \\(P(x) = W(x)\\cdot Q(x)\\) muszą też zerować \\(P(x)\\):\n\\[P(1) = -2+3-1 = 0 ✓, \\quad P(-\\tfrac{1}{2}) = -2\\cdot (-\\tfrac{1}{8}) + 3\\cdot \\tfrac{1}{4} - 1 = \\tfrac{1}{4}+\\tfrac{3}{4}-1 = 0 ✓.\\]\nDzielimy \\(P(x)\\) przez \\((x-1)\\): \\((-2x^{3}+3x^{2}-1):(x-1) = -2x^{2}+x+1\\). Stąd \\(P(x) = (x-1)(-2x^{2}+x+1) = (x-1)\\cdot (-1)\\cdot (2x^{2}-x-1) = (-x+1)(2x^{2}-x-1)\\). Zatem \\(W(x) = -x+1\\).\n\n### Uwagi punktacji (CKE)\n- **1 pkt:** Zapisanie \\(W(x)\\cdot Q(x)\\) w postaci rozwiniętej \\(2ax^{3}+(2b-a)x^{2}-(a+b)x-b\\) LUB podzielenie \\(P(x)\\) przez \\((x-1)\\) albo przez \\(Q(x)\\) bez końcowego wyniku.\n- **2 pkt:** Obliczenie \\(a=-1, b=1\\) lub zapisanie \\(W(x) = -x+1\\).\n\n**Trik:** Dwie metody: porównywanie współczynników (algebra liniowa) albo dzielenie (praktyczne gdy stopień dzielnika wysoki).","image":"img/matematyka-2011-maj-matura-podstawowa/zad-26.webp","solution_image":"img/matematyka-2011-maj-matura-podstawowa/sol-26.svg","topics":"funkcje","page_from":11,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2011 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2011-maj-matura-podstawowa/zad/27","paper_id":"matematyka-2011-maj-matura-podstawowa","number":"27","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2011,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 27. (2 pkt)\nLiczby\n,\n, 19\nx y\nw podanej kolejności tworzą ciąg arytmetyczny, przy czym\n8\nx\ny\nOblicz x i y.\nOdpowiedź:\nMatura podstawowa z matematyki 2011. Liczby x, y, 19 w podanej kolejności tworzą ciąg arytmetyczny, przy czym x+y=8. Oblicz x i y.","answer":null,"answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: uzasadnienie poniżej\n\nZadanie otwarte - należy udowodnić podzielność wyrażenia przez \\(10\\) dla każdej dodatniej liczby całkowitej \\(n\\).\n\n## Sposób 1 - Przekształcenie algebraiczne (wyłączenie przed nawias)\n\n**Cel:** Upraszczamy wyrażenie tak, żeby dosłownie zobaczyć czynnik \\(10\\).\n\nKorzystamy z prawa potęg: \\(3^{n+2} = 3^n \\cdot 3^2 = 9 \\cdot 3^n\\) i \\(2^{n+2} = 4 \\cdot 2^n\\):\n\n\\[\n3^{n+2} - 2^{n+2} + 3^n - 2^n = 9 \\cdot 3^n - 4 \\cdot 2^n + 3^n - 2^n\n\\]\n\nGrupujemy wyrazy z \\(3^n\\) i \\(2^n\\):\n\n\\[\n= (9+1) \\cdot 3^n - (4+1) \\cdot 2^n = 10 \\cdot 3^n - 5 \\cdot 2^n\n\\]\n\nWyłączamy \\(5\\) przed nawias:\n\n\\[\n= 5\\bigl(2 \\cdot 3^n - 2^n\\bigr)\n\\]\n\nTeraz pokazujemy, że czynnik \\(\\bigl(2 \\cdot 3^n - 2^n\\bigr)\\) jest **parzysty** (dla \\(n \\geq 1\\)):\n\n\\[\n2 \\cdot 3^n - 2^n = 2 \\cdot 3^n - 2 \\cdot 2^{n-1} = 2\\bigl(3^n - 2^{n-1}\\bigr)\n\\]\n\n(możemy tak napisać, bo dla \\(n \\geq 1\\) mamy \\(n-1 \\geq 0\\), więc \\(2^{n-1}\\) jest liczbą całkowitą)\n\nZatem całe wyrażenie wynosi:\n\n\\[\n5 \\cdot 2\\bigl(3^n - 2^{n-1}\\bigr) = \\mathbf{10\\bigl(3^n - 2^{n-1}\\bigr)}\n\\]\n\nPonieważ \\(3^n\\) i \\(2^{n-1}\\) są całkowite dla każdego \\(n \\geq 1\\), wyrażenie \\(3^n - 2^{n-1}\\) jest liczbą całkowitą - nazwijmy ją \\(k\\). Stąd:\n\n\\[\n3^{n+2} - 2^{n+2} + 3^n - 2^n = 10k \\qquad \\square\n\\]\n\n**Wyrażenie jest wielokrotnością \\(10\\).**\n\n## Sposób 2 - Indukcja matematyczna\n\n**Krok 1 (Baza indukcji, \\(n=1\\)):**\n\n\\[\n3^{3} - 2^{3} + 3^1 - 2^1 = 27 - 8 + 3 - 2 = 20 = 10 \\cdot 2 \\checkmark\n\\]\n\n**Krok 2 (Założenie indukcyjne):**\n\nZakładamy, że dla pewnego \\(n \\geq 1\\) zachodzi:\n\\[\nW(n) = 3^{n+2} - 2^{n+2} + 3^n - 2^n = 10k\n\\]\ndla pewnej liczby całkowitej \\(k\\).\n\n**Krok 3 (Teza indukcyjna - pokazujemy dla \\(n+1\\)):**\n\nChcemy udowodnić, że \\(W(n+1) = 3^{n+3} - 2^{n+3} + 3^{n+1} - 2^{n+1}\\) jest podzielne przez \\(10\\).\n\nWyznaczamy \\(3 \\cdot W(n)\\):\n\n\\[\n3 \\cdot W(n) = 3^{n+3} - 3 \\cdot 2^{n+2} + 3^{n+1} - 3 \\cdot 2^n\n\\]\n\nObliczamy różnicę \\(W(n+1) - 3 \\cdot W(n)\\):\n\n\\[\nW(n+1) - 3 \\cdot W(n) = \\bigl(-2^{n+3} + 3\\cdot 2^{n+2} - 2^{n+1} + 3\\cdot 2^n\\bigr)\n\\]\n\n\\[\n= 2^n\\bigl(-8 + 12 - 2 + 3\\bigr) = 2^n \\cdot 5 = 5 \\cdot 2^n\n\\]\n\nZatem:\n\n\\[\nW(n+1) = 3 \\cdot W(n) + 5 \\cdot 2^n = 3 \\cdot 10k + 5 \\cdot 2^n\n\\]\n\nDla \\(n \\geq 1\\) mamy \\(5 \\cdot 2^n = 10 \\cdot 2^{n-1}\\), więc:\n\n\\[\nW(n+1) = 30k + 10 \\cdot 2^{n-1} = 10\\bigl(3k + 2^{n-1}\\bigr)\n\\]\n\nJest to wielokrotność \\(10\\). Na mocy zasady indukcji matematycznej twierdzenie zachodzi dla każdego \\(n \\geq 1\\). \\(\\square\\)\n\n**Weryfikacja dla \\(n = 2\\) i \\(n = 3\\):**\n\n\\[\nn=2:\\quad 3^4 - 2^4 + 3^2 - 2^2 = 81 - 16 + 9 - 4 = 70 = 10 \\cdot 7 \\checkmark\n\\]\n\\[\nn=3:\\quad 3^5 - 2^5 + 3^3 - 2^3 = 243 - 32 + 27 - 8 = 230 = 10 \\cdot 23 \\checkmark\n\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 2 (Potęgi i pierwiastki, s. 4-5)** - własność:\n\\[a^{m+n} = a^m \\cdot a^n\\]\nUżyliśmy w Sposobie 1: \\(3^{n+2} = 3^n \\cdot 3^2\\), \\(2^{n+2} = 2^n \\cdot 2^2\\) - bez tego nie dałoby się wyłączyć \\(3^n\\) i \\(2^n\\) przed nawias.\n\nW tym zadaniu nie używamy innych konkretnych wzorów z karty - cała trudność leży w sprytnym pogrupowaniu, a nie we wzorach.\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Najczęstszy błąd to próba grupowania \\((3^{n+2} - 2^{n+2}) + (3^n - 2^n)\\) i szukanie wzoru skróconego mnożenia. Takie podejście nie prowadzi wprost do czynnika \\(10\\) - dużo sprytniej jest od razu rozpisać potęgi jako \\(9 \\cdot 3^n\\) i \\(4 \\cdot 2^n\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** W indukcji błędem jest zakładanie, że \\(W(n+1) = 2 \\cdot W(n)\\) lub podobna prosta zależność - związek między \\(W(n+1)\\) a \\(W(n)\\) trzeba **wyliczyć**, nie zgadywać. Pokaż jawnie, że \\(W(n+1) = 3 \\cdot W(n) + 5 \\cdot 2^n\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy wyłączaniu \\(5 \\cdot 2^n = 10 \\cdot 2^{n-1}\\) pamiętaj, że to działa tylko dla \\(n \\geq 1\\) (bo wtedy \\(n-1 \\geq 0\\)). Zadanie mówi o dodatnich liczbach całkowitych - warunek jest spełniony!\n\n**Odpowiedź:** Dowód poniżej; liczba jest wielokrotnością \\(10\\).\n\n### Sposób 1 - Grupowanie i wyłączenie wspólnego czynnika\n\\[3^{n+2} - 2^{n+2} + 3^{n} - 2^{n} = 9\\cdot 3^{n} - 4\\cdot 2^{n} + 3^{n} - 2^{n}\\]\n\\[= 3^{n}(9+1) - 2^{n}(4+1) = 10\\cdot 3^{n} - 5\\cdot 2^{n}.\\]\nPonieważ \\(2^{n} = 2\\cdot 2^{n-1}\\), to \\(5\\cdot 2^{n} = 10\\cdot 2^{n-1}\\). Zatem:\n\\[10\\cdot 3^{n} - 10\\cdot 2^{n-1} = 10(3^{n} - 2^{n-1}).\\]\nDla każdego \\(n\\ge 1\\), \\(3^{n} - 2^{n-1}\\) jest liczbą całkowitą, więc wyrażenie dzieli się przez \\(10\\). \\(\\blacksquare\\)\n\n### Sposób 2 - Sprawdzenie kilku wartości (uzasadnienie nieformalne)\n- \\(n=1\\): \\(3^{3}-2^{3}+3^{1}-2^{1} = 27-8+3-2 = 20 = 10\\cdot 2\\) ✓.\n- \\(n=2\\): \\(3^{4}-2^{4}+3^{2}-2^{2} = 81-16+9-4 = 70 = 10\\cdot 7\\) ✓.\n- \\(n=3\\): \\(3^{5}-2^{5}+3^{3}-2^{3} = 243-32+27-8 = 230 = 10\\cdot 23\\) ✓.\n\nFormalne uzasadnienie: patrz Sposób 1.\n\n### Sposób 3 - Indukcja\nDla \\(n=1\\): \\(20 = 10\\cdot 2\\) ✓. Przy założeniu, że teza zachodzi dla \\(n=k\\) (\\(3^{k+2}-2^{k+2}+3^{k}-2^{k}=10m\\)), pokazujemy dla \\(n=k+1\\). Sprowadzając do \\(10\\cdot 3^{n}-5\\cdot 2^{n}\\) mamy dowód bezpośredni - indukcja nie jest konieczna.\n\n### Uwagi punktacji (CKE)\n- **1 pkt:** Sprowadzenie do \\(10\\cdot 3^{n} - 5\\cdot 2^{n}\\) bez dalszego uzasadnienia.\n- **2 pkt:** Pełne rozumowanie - np. przekształcenie do \\(10(3^{n}-2^{n-1})\\) i stwierdzenie, że \\(3^{n}-2^{n-1}\\) jest całkowite.\n\n**Trik:** Potęgi tej samej podstawy o różnych wykładnikach: wyłącz najmniejszą potęgę, zostaje sumka z mnożnikami.","image":"img/matematyka-2011-maj-matura-podstawowa/zad-27.webp","solution_image":"img/matematyka-2011-maj-matura-podstawowa/sol-27.svg","topics":"ciagi","page_from":12,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2011 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2011-maj-matura-podstawowa/zad/28","paper_id":"matematyka-2011-maj-matura-podstawowa","number":"28","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2011,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 28. (2 pkt)\nKąt α jest ostry i sin\ncos\n2\ncos\nsin\nα\nα\nα\nα\n. Oblicz wartość wyrażenia\nα\nα cos\nsin\n⋅\nOdpowiedź:\n\nPoziom podstawowy\n13\nMatura podstawowa z matematyki 2011. Kąt alfa jest ostry {sin alfa / cos alfa} + {cos alfa / sin alfa} = 2. Oblicz wartość wyrażenia sin alfa * cos alfa.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 28. (0-2)\nI sposób rozwiązania\nSprowadzamy wyrażenie sin\ncos\n2\ncos\nsin\nα\nα\nα\nα\ndo wspólnego mianownika i otrzymujemy\n2\n2\nsin\ncos\n2\nsin\ncos\nα\nα\nα\nα\nKorzystając\nz\ntożsamości\n2\n2\nsin\ncos\n1\nα\nα\n= ,\notrzymujemy\n1\n2\nsin\ncos\nα\nα =\n, a stąd\n1\nsin\ncos\n2\nα\nα =\nSchemat oceniania I sposobu rozwiązania\nZdający otrzymuje 1 pkt\ngdy:\n• sprowadzi wyrażenie\nsin\ncos\n2\ncos\nsin\nα\nα\nα\nα\ndo wspólnego mianownika i na tym\npoprzestanie lub dalej popełnia błędy.\nalbo\n• doprowadzi wyrażenie sin\ncos\n2\ncos\nsin\nα\nα\nα\nα\ndo postaci\n2\n2\nsin\ncos\n2sin\ncos\nα\nα\nα\nα\ni na tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy.\nZdający otrzymuje 2 pkt\ngdy obliczy, że\n1\nsin\ncos\n2\nα\nα =\nUżycie i tworzenie strategii\nZastosowanie prostych związków między funkcjami\ntrygonometrycznymi kąta ostrego\nKryteria oceniania odpowiedzi\n14\nII sposób rozwiązania\nRysujemy trójkąt prostokątny, w którym oznaczamy długości przyprostokątnych a i b oraz\nzaznaczamy kąt ostry α taki, że sinα = a\nc lub cos\nα = b\nc\na\nb\nc\nKorzystając z twierdzenia Pitagorasa, wyznaczamy długość przeciwprostokątnej:\n2\n2\n2\nc\na\nb\nPonieważ sin\ncos\n2\ncos\nsin\nα\nα\nα\nα\n, więc\n2\na\nb\nb\na\n, czyli\n2\n2\n2\na\nb\na b\n⋅\n. Stąd\n2\n2\nc\na b =\n⋅\nPonieważ\n2\nsin\ncos\nα\nα\n⋅\n= a b\nc\n, to\n1\nsin\ncos\n2\nα\nα =\nIII sposób rozwiązania\nRysujemy trójkąt prostokątny, w którym oznaczamy długości przyprostokątnych a i b oraz\nzaznaczamy kąt ostry α taki, że sinα = a\nc lub cos\nα = b\nc\na\nb\nc\nPonieważ sin\ncos\n2\ncos\nsin\nα\nα\nα\nα\n, więc otrzymujemy kolejno:\n2\na\nb\nb\na\n,\n2\n2\n2\na\nb\nab\n,\n2\n2\n2\na\nb\nab\n,\nstąd (\n)\n2\n0\na\nb\n, więc a\nb\n. Zatem α\n45\n4\nπ\n° =\nWtedy\n2\nsin\nsin 45\n2\nα =\n° =\ni\n2\ncos\ncos45\n2\nα =\n° =\nObliczamy\n2\n2\n1\nsin\ncos\n2\n2\n2\nα\nα =\n⋅\nKryteria oceniania odpowiedzi\n15\nSchemat oceniania II i III sposobu rozwiązania\nZdający otrzymuje 1 pkt\ngdy narysuje trójkąt prostokątny o przyprostokątnych długości a i b, zaznaczy w tym trójkącie\nkąt α i zapisze:\nsinα = a\nc , cosα = b\nc i\n2\n2\n2\na\nb\na b\n⋅\ni na tym zakończy lub dalej popełnia błędy\nalbo\nsinα = a\nc , cosα = b\nc i\n2\n2\n2\na\nb\na b\n⋅ i na tym zakończy lub dalej popełnia błędy.\nZdający otrzymuje 2 pkt\ngdy obliczy, że\n1\nsin\ncos\n2\nα\nα =\nUwaga\nZdający może także odczytać z tablic przybliżone wartości funkcji trygonometrycznych\ni obliczyć: sin45\ncos45\n0,7071 0,7071\n0,4999\n0,5\n°⋅\n° ≈\n⋅\n≈\n≈\nNie akceptujemy innych przybliżeń.\nIV sposób rozwiązania\nWyrażenie sin\ncos\n2\ncos\nsin\nα\nα\nα\nα\nzapisujemy w postaci\n1\ntg\n2\ntg\nα\nα\nStąd\n2\ntg\n2tg\n1\n0\nα\nα\nZatem tg\n1\nα = i stąd\n45\nα =\n°. Obliczamy wartość wyrażenia,\n2\n2\n1\nsin 45\ncos45\n2\n2\n2\n°⋅\n° =\n⋅\nSchemat oceniania IV sposobu rozwiązania\nZdający otrzymuje 1 pkt\ngdy zapisze równanie\n1\ntg\n2\ntg\nα\nα\ni na tym zakończy lub dalej popełnia błędy.\nZdający otrzymuje 2 pkt\ngdy obliczy\n1\nsin\ncos\n2\nα\nα =\nV sposób rozwiązania\nZauważamy, że suma liczby i jej odwrotności jest równa 2 wtedy i tylko wtedy, gdy ta liczba\njest równa 1. Zatem\nsin\ntg\n1\ncos\nα\nα\nα\n= i stąd\n45\nα =\n°, a więc\n2\n2\n1\nsin 45\ncos45\n2\n2\n2\n°⋅\n° =\n⋅\nKryteria oceniania odpowiedzi\n16\nSchemat oceniania V sposobu rozwiązania\nZdający otrzymuje 1 pkt\ngdy zapisze, że suma liczby i jej odwrotności jest równa 2 wtedy i tylko wtedy, gdy ta liczba\njest równa 1, zapisze tg\n1\nα = lub sin\n1\ncos\nα\nα = i na tym zakończy lub dalej popełnia błędy.\nZdający otrzymuje 2 pkt\ngdy obliczy\n1\nsin\ncos\n2\nα\nα =\nUwaga\nJeżeli zdający w V sposobie rozwiązania zapisze bez uzasadnienia:\n• tg\n1\nα = lub sin\n1\ncos\nα\nα = lub\n45\nα =\n° i na tym zakończy lub dalej popełnia błędy,\nto otrzymuje 0 punktów.\n• tg\n1\nα = lub sin\n1\ncos\nα\nα = lub\n45\nα =\n° i poprawnie obliczy\n1\nsin\ncos\n2\nα\nα =\n, to otrzymuje\n1 punkt.\nZadania 29. (0-2)\nI sposób rozwiązania\nNiech\nCED\nα\n)\nPonieważ\ntrójkąt\nDCE\njest\nrównoramienny\ni\nEC\nCD\n,\nto\nEDC\nCED\nα\n)\n)\n. Zatem\n180\n2α\n°-\n)DCE\nPodobnie,\nponieważ\ntrójkąt\nABE\njest\nrównoramienny\ni\nAEB\nEAB\nβ\n)\n)\n,\nto\n180\n2β\n°-\n)ABE\nKąty ABE i DCE są kątami wewnętrznymi trapezu ABCD i\n180\nDCE\nABE\n°\n)\n)\nStąd 180\n2\n180\n2\n180\nα\nβ\n°-\n°-\n°, czyli\n2\n2\n180\nα\nβ\n°\n90\nα\nβ\n°.\nZatem\n(\n)\n180\n180\n180\n90\nα\nβ\nα\nβ\n°-\n° -\n°-\n°\n)\n)\n)\nAED\nCED\nAEB\nSchemat oceniania I sposobu rozwiązania\nZdający otrzymuje 1 pkt\ngdy napisze zależności między miarami kątów w trójkątach równoramiennych ABE i DCE,\nnp.\n180\n2α\n° -\n)DCE\ni\n180\n2β\n°-\n)ABE\ni na tym zakończy lub dalej popełnia błędy.\nZdający otrzymuje 2 pkt\ngdy poprawnie uzasadni, że\n90\n°\n)AED\nRozumowanie i argumentacja Uzasadnienie, że wskazany kąt jest prosty\nKryteria oceniania odpowiedzi\n17\nII sposób rozwiązania\nNiech\nCED\nα\n)\ni\nAEB\nβ\n)\nTrójkąty\nDCE\ni\nABE\nsą\nrównoramienne.\nZatem\nEDC\nCED\nα\n)\n)\noraz\nAEB\nEAB\nβ\n)\n)\nDorysowujemy w danym trapezie odcinek EF równoległy do podstaw trapezu ABCD.\nKąty naprzemianległe CDE i DEF mają równe miary, zatem\nEDC\nDEF\nα\n)\n)\nAnalogicznie\nEAB\nAEF\nβ\n)\n)\nZatem\n180\n2\n2\nα\nβ\n° =\n)BEC\n, więc\n90\nα\nβ\n°.\nStąd\n90\n°\n)AED\n, co kończy dowód.\nSchemat oceniania II sposobu rozwiązania\nZdający otrzymuje 1 pkt\ngdy napisze, że trójkąty DCE i ABE są równoramienne, dorysuje odcinek EF równoległy\ndo podstaw trapezu ABCD i zapisze, że\nEDC\nDEF\nα\n)\n)\ni\nEAB\nAEF\nβ\n)\n)\nZdający otrzymuje 2 pkt\ngdy poprawnie uzasadni, że\n90\n°\n)AED\n(uzasadnienie równości kątów może być\nprzedstawione na rysunku).\nB\nE\nC\nD\nF\nβ\nA\nα\nα\nβ\nα\nβ\nKryteria oceniania odpowiedzi\n18\nIII sposób rozwiązania\nNiech\nABC\nα\n)\n, stąd\n180\nα\n°-\n)BCD\nPonieważ CE\nCD\ni EB\nBA\n, więc trójkąty DCE i ABE są równoramienne.\nZatem\n180\n90\n2\n2\nα\nα\n°-\n°-\n)\n)\nAEB\nEAB\noraz\n2\nEDC\nCED\nα\n)\n)\nDorysowujemy w danym trapezie odcinek EF równoległy do podstaw trapezu ABCD, więc\nzachodzi równość:\n2\nEDC\nCED\nDEF\nα\n)\n)\n)\ni\n90\n2\nα\n°-\n)\n)\n)\nAEB\nEAB\nAEF\nStąd otrzymujemy\n90\n90\n2\n2\nAED\nAEF\nDEF\nα\nα\n°-\n°\n)\n)\n)\nSchemat oceniania III sposobu rozwiązania\nZdający otrzymuje 1 pkt\ngdy napisze, że trójkąty DCE i ABE są równoramienne i przyjmie, że\nABC\nα\n)\n,\ndorysuje odcinek\nEF\nrównoległy\ndo\npodstaw\ntrapezu\nABCD\ni\nzapisze,\nże\n180\n2\nα\n°-\n)\n)\n)\nAEB\nEAB\nAEF\ni\n2\nEDC\nCED\nDEF\nα\n)\n)\n)\nZdający otrzymuje 2 pkt\ngdy poprawnie uzasadni, że\n90\n°\n)AED\n(uzasadnienie równości kątów może być\nprzedstawione na rysunku).\nB\nE\nC\nD\nF\nA\nα\n180 α\n°-\n2\nα\n2\nα\n90\n2\nα\n°-\n90\n2\nα\n°-\n2\nα\n90\n2\nα\n°-\nKryteria oceniania odpowiedzi\n19\nIV sposób rozwiązania\nNiech\nCED\nα\n)\nPonieważ\ntrójkąt\nDCE\njest\nrównoramienny\ni\nEC\nCD\n,\nto\nEDC\nCED\nα\n)\n)\nPodobnie,\nponieważ\ntrójkąt\nABE\njest\nrównoramienny,\nto\nAEB\nEAB\nβ\n)\n)\nKąty ADC i BAD są kątami wewnętrznymi trapezu ABCD i\n180\nADC\nBAD\n°\n)\n)\nStąd\n(\n)\n180\nADE\nEAD\nα\nβ\n° -\n)\n)\nZatem w trójkącie DAE mamy:\n(\n)\n180\n180\nAED\nα\nβ\nα\nβ\n° -\n° -\n⎡\n⎤\n⎣\n⎦\n)\nStąd\n180\n2\n2\nBEC\nDEC\nAED\nAEB\nα\nβ\n° =\n)\n)\n)\n)\n, czyli\n90\nα\nβ\n°.\nZatem\n90\n°\n)AED\nSchemat oceniania IV sposobu rozwiązania\nZdający otrzymuje 1 pkt\ngdy zapisze zależności między miarami kątów w trójkątach równoramiennych ABE i DCE,\nnp.\nEDC\nCED\nα\n)\n)\noraz\nAEB\nEAB\nβ\n)\n)\ni zapisze, że\n180\nADC\nBAD\n°\n)\n)\nZdający otrzymuje 2 pkt\ngdy poprawnie uzasadni, że\n90\n°\n)AED\nUwaga\nJeżeli zdający przyjmie dodatkowe założenia o trapezie ABCD, przez co rozważa tylko\nszczególny przypadek, np.\n90\n°\n)ABC\nlub\n45\n°\n)DEC\n, to za całe rozwiązanie otrzymuje\n0 punktów.\nB\nE\nC\nD\nβ\nA\nα\nα\nβ\nKryteria oceniania odpowiedzi\n20","solution":"## Poprawna odpowiedź: mediana = 3, średnia arytmetyczna = 3,25\n\n## Sposób 1 - wypisanie wszystkich danych i bezpośrednie liczenie\n\n**Krok 1 - ustalamy dane z tabeli:**\n\n| Ocena | Liczba uczniów |\n| 6 | 1 |\n| 5 | 2 |\n| 4 | 6 |\n| 3 | 5 |\n| 2 | 4 |\n| 1 | 2 |\n\nŁączna liczba uczniów:\n\\[n = 1 + 2 + 6 + 5 + 4 + 2 = 20\\]\n\n**Krok 2 - mediana**\n\nPonieważ \\(n = 20\\) (liczba parzysta), mediana to **średnia arytmetyczna 10. i 11. wyrazu** po uszeregowaniu od najmniejszego do największego.\n\nUstawmy wyniki rosnąco i policzmy pozycje:\n\n| Ocena | Uczniowie | Pozycje (od-do) |\n| 1 | 2 | 1-2 |\n| 2 | 4 | 3-6 |\n| 3 | 5 | 7-11 |\n| 4 | 6 | 12-17 |\n| 5 | 2 | 18-19 |\n| 6 | 1 | 20 |\n\nZarówno **10. jak i 11. wyraz to ocena 3** (mieszczą się w pozycjach 7-11).\n\n\\[\\text{mediana} = \\frac{3 + 3}{2} = 3\\]\n\n**Krok 3 - średnia arytmetyczna**\n\nSumujemy iloczyny (ocena × liczba uczniów z daną oceną):\n\n\\[\\bar{a} = \\frac{6 \\cdot 1 + 5 \\cdot 2 + 4 \\cdot 6 + 3 \\cdot 5 + 2 \\cdot 4 + 1 \\cdot 2}{20}\\]\n\n\\[\\bar{a} = \\frac{6 + 10 + 24 + 15 + 8 + 2}{20} = \\frac{65}{20} = 3{,}25\\]\n\n**Mediana wynosi \\(3\\), średnia arytmetyczna wynosi \\(3{,}25\\).**\n\n## Sposób 2 - weryfikacja przez skumulowane częstości (i kontrola sumy)\n\n**Weryfikacja mediany - skumulowane liczebności:**\n\nZliczamy uczniów od lewej (od najniższej oceny):\n\n\\[2 \\to 6 \\to 11 \\to 17 \\to 19 \\to 20\\]\n\nPo doliczeniu uczniów z oceną 3 skumulowana liczebność osiąga **11** (czyli przekracza \\(\\frac{n}{2} = 10\\)). Oznacza to, że i 10., i 11. wyraz należą do grupy z oceną 3.\n\n\\[\\text{mediana} = 3 \\checkmark\\]\n\n**Weryfikacja średniej - kontrola sumy:**\n\nMożemy sprawdzić sumę inaczej: gdyby wszyscy 20 uczniów dostało ocenę 3, suma byłaby \\(20 \\cdot 3 = 60\\). Teraz patrzymy na odchylenia od oceny 3:\n\n\\[\\Delta = (+3)\\cdot1 + (+2)\\cdot2 + (+1)\\cdot6 + (0)\\cdot5 + (-1)\\cdot4 + (-2)\\cdot2\\]\n\\[\\Delta = 3 + 4 + 6 + 0 - 4 - 4 = 5\\]\n\n\\[\\bar{a} = 3 + \\frac{5}{20} = 3 + 0{,}25 = 3{,}25 \\checkmark\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 15 (Parametry danych statystycznych, s. 31-32)**\n\n> Średnia arytmetyczna (ważona):\n> \\[\\bar{s} = \\frac{w_1 a_1 + w_2 a_2 + \\ldots + w_n a_n}{w_1 + w_2 + \\ldots + w_n}\\]\n> Użyliśmy tego wzoru, gdzie \\(a_i\\) = ocena, \\(w_i\\) = liczba uczniów z tą oceną.\n\n> Mediana: środkowy wyraz (nieparzyste \\(n\\)) lub średnia dwóch środkowych wyrazów (parzyste \\(n\\)).\n> Tu \\(n = 20\\) (parzyste), więc mediana = średnia 10. i 11. wyrazu.\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy parzystej liczbie uczniów mediana to **średnia dwóch środkowych** - nie wystarczy znaleźć tylko 10. elementu! Uczniowie często biorą tylko jeden środkowy wyraz.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy obliczaniu średniej ze zgrupowanych danych musisz mnożyć każdą ocenę przez **liczbę uczniów**, którzy ją dostali - nie wystarczy uśrednić samych ocen \\(\\frac{6+5+4+3+2+1}{6} = 3{,}5\\), co byłoby błędem.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Pamiętaj, że mediana i średnia mogą być różne (tu: 3 i 3,25) - to normalne! Mediana jest odporna na skrajne wyniki, średnia - nie.\n\n**Odpowiedź:** Średnia \\(\\bar{x} = 3{,}25\\); mediana \\(\\text{Me} = 3\\).\n\n### Sposób 1 - Średnia ważona\nLiczba uczniów: \\(N = 1+2+6+5+4+2 = 20\\). Suma ocen:\n\\[\\sum = 6\\cdot 1 + 5\\cdot 2 + 4\\cdot 6 + 3\\cdot 5 + 2\\cdot 4 + 1\\cdot 2 = 6+10+24+15+8+2 = 65.\\]\nŚrednia:\n\\[\\bar{x} = \\dfrac{65}{20} = 3{,}25.\\]\n\n**Mediana.** Dla \\(N=20\\) (parzyste) mediana to średnia \\(10\\)-tej i \\(11\\)-tej obserwacji po uporządkowaniu rosnąco.\n\nPorządkujemy (np. niemalejąco) i liczymy pozycje:\n- \\(1\\) (x2): pozycje 1-2.\n- \\(2\\) (x4): pozycje 3-6.\n- \\(3\\) (x5): pozycje 7-11.\n- \\(4\\) (x6): pozycje 12-17.\n- \\(5\\) (x2): pozycje 18-19.\n- \\(6\\) (x1): pozycja 20.\n\nPozycje 10 i 11: obie \\(=3\\). Zatem \\(\\text{Me} = \\tfrac{3+3}{2} = 3\\).\n\n### Sposób 2 - Tabela skumulowanych częstości\nBudujemy dystrybuantę i znajdujemy medianę: pierwsza pozycja spełniająca \\(F(x)\\ge N/2=10\\) to ocena \\(3\\) (\\(F(3)=11\\)). Dla parzystego \\(N\\) sprawdzamy obie wartości i bierzemy średnią - \\(Me = 3\\).\n\n### Uwagi punktacji (CKE)\n- **1 pkt:** Poprawne obliczenie średniej \\(\\bar{x}=3{,}25\\) LUB mediany \\(\\text{Me}=3\\).\n- **2 pkt:** Poprawne obliczenie obu: \\(\\bar{x}=3{,}25\\) i \\(\\text{Me}=3\\).\n\n**Trik:** Średnia: suma ważona / łączna liczba. Mediana: środkowa pozycja po uporządkowaniu (dla parzystego \\(N\\) - średnia dwóch środkowych).","image":"img/matematyka-2011-maj-matura-podstawowa/zad-28.webp","solution_image":"img/matematyka-2011-maj-matura-podstawowa/sol-28.svg","topics":"trygonometria","page_from":12,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2011 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2011-maj-matura-podstawowa/zad/29","paper_id":"matematyka-2011-maj-matura-podstawowa","number":"29","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2011,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 29. (2 pkt)\nDany jest czworokąt ABCD, w którym\nCD\nAB ||\n. Na boku BC wybrano taki punkt E,\nże EC\nCD\ni EB\nBA\n. Wykaż, że kąt AED jest prosty.\nOdpowiedź:\nNr zadania\n27.\n28.\n29.\nMaks. liczba pkt\n2\n2\n2\nWypełnia\negzaminator Uzyskana liczba pkt\n\nPoziom podstawowy\n14\nMatura podstawowa z matematyki 2011. Dany jest czworokąt ABCD, w którym AB||CD. Na boku BC wybrano taki punkt E, że |EC|=|CD| i |EB|=|BA|. Wykaż, że kąt AED jest prosty.","answer":null,"answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(\\frac{5}{36}\\)\n\n## Sposób 1 - Zliczanie sprzyjających wyników\n\n**Przestrzeń próbkowa** przy dwukrotnym rzucie kostką sześcienną to wszystkie pary \\((i, j)\\), gdzie \\(i\\) - wynik pierwszego rzutu, \\(j\\) - wynik drugiego rzutu.\n\nLiczba wszystkich wyników:\n\\[|\\Omega| = 6 \\cdot 6 = 36\\]\n\n**Zdarzenie \\(A\\)**: wynik pierwszego rzutu jest o \\(1\\) mniejszy od wyniku drugiego, czyli:\n\\[i = j - 1 \\quad \\Leftrightarrow \\quad j = i + 1\\]\n\nWypisujemy wszystkie pary sprzyjające \\((i, j)\\):\n\n| Pierwszy rzut \\(i\\) | Drugi rzut \\(j = i+1\\) |\n| 1 | 2 |\n| 2 | 3 |\n| 3 | 4 |\n| 4 | 5 |\n| 5 | 6 |\n\n**Uwaga:** para \\((6, 7)\\) odpada, bo na kostce nie ma „7\".\n\nLiczba wyników sprzyjających: \\(|A| = 5\\)\n\nPrawdopodobieństwo:\n\\[P(A) = \\frac{|A|}{|\\Omega|} = \\frac{5}{36}\\]\n\n## Sposób 2 - Myślenie przez warunki na \\(j\\)\n\nDla każdej wartości drugiego rzutu \\(j\\) pytamy: czy pierwszy rzut może wynosić \\(j - 1\\)?\n\n- \\(j = 1\\): potrzebujemy \\(i = 0\\) - **niemożliwe**\n- \\(j = 2\\): \\(i = 1\\) - **możliwe** ✓\n- \\(j = 3\\): \\(i = 2\\) - **możliwe** ✓\n- \\(j = 4\\): \\(i = 3\\) - **możliwe** ✓\n- \\(j = 5\\): \\(i = 4\\) - **możliwe** ✓\n- \\(j = 6\\): \\(i = 5\\) - **możliwe** ✓\n\nDla każdej sprzyjającej wartości \\(j\\) istnieje dokładnie **1** sprzyjający wynik pierwszego rzutu, a każda wartość \\(j\\) ma prawdopodobieństwo \\(\\frac{1}{6}\\). Zatem:\n\n\\[P(A) = 5 \\cdot \\frac{1}{6} \\cdot \\frac{1}{6} = \\frac{5}{36}\\]\n\nWynik zgodny z Metodą 1. ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 14 (Rachunek prawdopodobieństwa, s. 29-30)** - prawdopodobieństwo klasyczne:\n\\[P(A) = \\frac{|A|}{|\\Omega|}\\]\nZastosowaliśmy ten wzór bezpośrednio: \\(|A| = 5\\), \\(|\\Omega| = 36\\).\n\nW tym zadaniu nie korzystamy ze wzoru Bernoullego ani prawdopodobieństwa warunkowego - wystarczy klasyczna definicja.\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Łatwo pomylić „pierwszy o 1 mniejszy od drugiego\" z „różnica wynosi 1 (w dowolną stronę)\". Warunek \\(|i - j| = 1\\) daje **10** par (np. również \\((2,1), (3,2), \\ldots\\)), co dawałoby \\(P = \\frac{10}{36} = \\frac{5}{18}\\). Zawsze czytaj uważnie, który rzut jest większy!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Niektórzy błędnie liczą \\(|\\Omega| = 6 + 6 = 12\\) zamiast \\(6 \\times 6 = 36\\). Przy **niezależnych** rzutach przestrzeń próbkowa to **iloczyn kartezjański**, więc mnożymy.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Para \\((6, 7)\\) nie istnieje - nie wliczamy jej do sprzyjających. Wynikach na kostce to zawsze \\(\\{1, 2, 3, 4, 5, 6\\}\\).\n\n**Odpowiedź:** \\(P(A) = \\dfrac{5}{36}\\).\n\n### Sposób 1 - Klasyczna definicja prawdopodobieństwa\nZdarzenia elementarne to pary \\((a,b)\\), gdzie \\(a,b\\in\\{1,2,3,4,5,6\\}\\). \\(|\\Omega| = 6\\cdot 6 = 36\\).\n\nZdarzenia sprzyjające (gdzie \\(b=a+1\\)):\n\\[A = \\{(1,2), (2,3), (3,4), (4,5), (5,6)\\}, \\quad |A| = 5.\\]\n\\[P(A) = \\dfrac{|A|}{|\\Omega|} = \\dfrac{5}{36}.\\]\n\n### Sposób 2 - Drzewo\nW pierwszym rzucie: \\(6\\) możliwości (każda z p = \\(\\tfrac{1}{6}\\)). W drugim rzucie: gdy pierwszy wyrzucił \\(a\\in\\{1,2,3,4,5\\}\\), musi wypaść \\(a+1\\) (p = \\(\\tfrac{1}{6}\\)); gdy \\(a = 6\\), brak sprzyjającej.\n\\[P(A) = 5\\cdot \\dfrac{1}{6}\\cdot \\dfrac{1}{6} = \\dfrac{5}{36}.\\]\n\n### Sposób 3 - Tabela\nRysujemy tabelę \\(6\\times 6\\) (pierwsza kostka w wierszach, druga w kolumnach). Zaznaczamy pola, gdzie numer kolumny \\(=\\) numer wiersza \\(+1\\) - jest \\(5\\) takich pól.\n\\[P(A)=\\dfrac{5}{36}.\\]\n\n### Uwagi punktacji (CKE)\n- **1 pkt:** Zapisanie \\(|\\Omega|=36\\) ORAZ \\(A=\\{(1,2),(2,3),(3,4),(4,5),(5,6)\\}\\) (lub \\(|A|=5\\)).\n- **2 pkt:** Obliczenie \\(P(A)=\\dfrac{5}{36}\\).\n\n**Trik:** „Jedna mniejsza od drugiej\" → pary typu \\((k, k+1)\\). Prosty warunek liniowy na \\(k\\).","image":"img/matematyka-2011-maj-matura-podstawowa/zad-29.webp","solution_image":"img/matematyka-2011-maj-matura-podstawowa/sol-29.svg","topics":"dowody_geometryczne","page_from":13,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2011 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2011-maj-matura-podstawowa/zad/30","paper_id":"matematyka-2011-maj-matura-podstawowa","number":"30","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2011,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 30. (2 pkt)\nZe zbioru liczb\n}\n7\n, ,\n3\n,2\n,1\n{\nlosujemy kolejno dwa razy po jednej liczbie ze zwracaniem.\nOblicz prawdopodobieństwo wylosowania liczb, których suma jest podzielna przez 3.\nOdpowiedź:\n\nPoziom podstawowy\n15\nMatura podstawowa z matematyki 2011. Ze zbioru liczb {1,2,3,...,7} losujemy kolejno dwa razy po jednej liczbie ze zwracaniem. Oblicz prawdopodobieństwo wylosowania liczb, których suma jest podzielna przez 3.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 30. (0-2)\nI sposób rozwiązania (metoda klasyczna)\nZdarzeniami elementarnymi są wszystkie pary(\n)\n,\na b\nliczb z podanego zbioru. Jest to model\nklasyczny. Obliczamy liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych:\n2\n7\nΩ =\nObliczamy liczbę zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu A polegającym na\notrzymaniu liczb, których suma jest podzielna przez 3, np. wypisując je i zliczając:\n(\n) (\n) (\n) (\n) (\n) (\n) (\n) (\n) (\n)(\n) (\n) (\n) (\n) (\n) (\n) (\n)\n{\n}\n1,2 , 1,5 , 2,1 , 2,4 , 2,7 , 3,3 , 3,6 , 4,2 , 4,5\n5,1 , 5,4 , 5,7 , 6,3 , 6,6 , 7,2 , 7,5\n,\nA =\nczyli\n16\nA =\nObliczamy prawdopodobieństwo zdarzenia A:\n16\n( )\n49\nP A =\nII sposób rozwiązania (metoda tabeli)\nZdarzeniami elementarnymi są wszystkie pary(\n)\n,\na b\nliczb z podanego zbioru. Jest to model\nklasyczny. Tworzymy tabelę ilustrującą sytuację opisaną w zadaniu\n1\n2\n3\n4\n5\n6\n7\n1\nX\nX\n2\nX\nX\nX\n3\nX\nX\n4\nX\nX\n5\nX\nX\nX\n6\nX\nX\n7\nX\nX\nObliczamy liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych:\n2\n7\nΩ =\nZliczamy oznaczone krzyżykami zdarzenia elementarne sprzyjające zdarzeniu A:\n16\nA =\nObliczamy prawdopodobieństwo zdarzenia A:\n16\n( )\n49\nP A =\nSchemat oceniania I i II sposobu rozwiązania\nZdający otrzymuje 1 pkt\ngdy\n• obliczy liczbę wszystkich możliwych zdarzeń elementarnych:\n2\n7\n49\nΩ =\nalbo\n• obliczy liczbę zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu A :\n16\nA =\nZdający otrzymuje 2 pkt\ngdy obliczy prawdopodobieństwo zdarzenia A:\n16\n( )\n49\nP A =\nUżycie i tworzenie strategii\nObliczenie prawdopodobieństwa zdarzenia\nKryteria oceniania odpowiedzi\n21\nIII sposób rozwiązania (metoda drzewa)\nRysujemy drzewo, uwzględniając tylko istotne gałęzie. Prawdopodobieństwo na każdym\nodcinku tego drzewa jest równe 1\n7 .\nObliczamy prawdopodobieństwo zdarzenia A:\n1 1\n16\n( )\n16 7 7\n49\nP A =\n⋅\n⋅\nIV sposób rozwiązania (metoda drzewa)\nRysujemy\ndrzewo,\nuwzględniając\ntylko\nistotne\ngałęzie\ni\nzapisujemy\nna\nnich\nprawdopodobieństwo.\nObliczamy prawdopodobieństwo zdarzenia A:\n( )\n2 2\n3 2\n2 3\n16\n7 7\n7 7\n7 7\n47\nP A =\n⋅\n⋅\n⋅\n1\n7\n1\n2 5\n2\n3\n4\n5\n6\n7\n1\n7\n1\n7\n1\n7\n1\n7\n1\n7\n1\n7\n1\n7\n3 6\n1 4 7\n2 5\n1 4 7\n2 5\n3 6\n1\n7\n{\n}\n3,6\n{\n}\n1,4,7\n{\n}\n2,5\n{\n}\n3,6\n{\n}\n2,5\n{\n}\n1,4,7\n2\n7\n3\n7\n2\n7\n2\n7\n2\n7\n3\n7\nKryteria oceniania odpowiedzi\n22\nSchemat oceniania III i IV sposobu rozwiązania\nZdający otrzymuje 1 pkt\ngdy:\n• narysuje pełne drzewo i przynajmniej na jednej gałęzi opisze prawdopodobieństwo\nalbo\n• narysuje drzewo tylko z istotnymi gałęziami.\nZdający otrzymuje 2 pkt\ngdy obliczy prawdopodobieństwo zdarzenia A:\n16\n( )\n49\nP A =\nUwagi\n1. Jeśli zdający rozwiąże zadanie do końca i otrzyma\n( )\n1\nP A > , to otrzymuje za całe\nrozwiązanie 0 punktów.\n2. Jeżeli zdający opuści przez nieuwagę w rozwiązaniu niektóre gałęzie i konsekwentnie\nobliczy prawdopodobieństwo, to za całe rozwiązanie otrzymuje 1 punkt.\n3. Jeżeli zdający poprawnie obliczy prawdopodobieństwo i błędnie skróci ułamek, np.\n16\n4\n( )\n49\n7\nP A =\n, to otrzymuje 2 punkty.","solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(a_8 = \\frac{1}{81}\\)\n\n## Sposób 1 - Wyznaczenie ilorazu z własności ciągu geometrycznego\n\nW ciągu geometrycznym każdy wyraz jest iloczynem poprzedniego i stałego ilorazu \\(q\\). Oznacza to, że **kwadrat środkowego wyrazu trzech kolejnych wyrazów równa się iloczynowi skrajnych**.\n\n**Krok 1: Wyznaczamy \\(x\\) ze środkowego wyrazu.**\n\n\\[x^2 = 27 \\cdot 3 = 81\\]\n\n\\[x = \\pm 9\\]\n\n**Krok 2: Wybieramy właściwą wartość \\(x\\).**\n\nCiąg jest **malejący**, więc sprawdzamy oba przypadki:\n\n- \\(x = 9\\): ciąg \\(27, 9, 3\\) - każdy wyraz mniejszy od poprzedniego ✓\n- \\(x = -9\\): ciąg \\(27, -9, 3\\) - nie jest malejący (przeskakuje przez ujemne) ✗\n\nZatem \\(x = 9\\).\n\n**Krok 3: Wyznaczamy iloraz \\(q\\).**\n\n\\[q = \\frac{x}{27} = \\frac{9}{27} = \\frac{1}{3}\\]\n\n**Krok 4: Obliczamy ósmy wyraz.**\n\n\\[a_8 = a_1 \\cdot q^{7} = 27 \\cdot \\left(\\frac{1}{3}\\right)^7 = 27 \\cdot \\frac{1}{2187} = \\frac{27}{2187} = \\frac{1}{81}\\]\n\n**Wynik: \\(a_8 = \\frac{1}{81}\\)**\n\n## Sposób 2 - Wypisanie wyrazów ciągu krok po kroku\n\nZnamy \\(a_1 = 27\\) i \\(q = \\frac{1}{3}\\). Wypisujemy kolejne wyrazy:\n\n\\[a_1 = 27\\]\n\\[a_2 = 27 \\cdot \\frac{1}{3} = 9\\]\n\\[a_3 = 9 \\cdot \\frac{1}{3} = 3\\]\n\\[a_4 = 3 \\cdot \\frac{1}{3} = 1\\]\n\\[a_5 = 1 \\cdot \\frac{1}{3} = \\frac{1}{3}\\]\n\\[a_6 = \\frac{1}{3} \\cdot \\frac{1}{3} = \\frac{1}{9}\\]\n\\[a_7 = \\frac{1}{9} \\cdot \\frac{1}{3} = \\frac{1}{27}\\]\n\\[a_8 = \\frac{1}{27} \\cdot \\frac{1}{3} = \\frac{1}{81}\\]\n\n**Wynik: \\(a_8 = \\frac{1}{81}\\)** - zgodny z Metodą 1. ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 8 (Ciągi, s. 9-10)** - wzory dla ciągu geometrycznego:\n\nWłasność środkowego wyrazu:\n\\[(a_n)^2 = a_{n-1} \\cdot a_{n+1}\\]\nUżyliśmy tego w **Sposobie 1** do wyznaczenia \\(x^2 = 27 \\cdot 3\\).\n\nWzór na \\(n\\)-ty wyraz ciągu geometrycznego:\n\\[a_n = a_1 \\cdot q^{n-1}\\]\nUżyliśmy tego w **Sposobie 1** do obliczenia \\(a_8\\).\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy \\(x^2 = 81\\) mamy dwa rozwiązania: \\(x = 9\\) i \\(x = -9\\). Koniecznie sprawdź, które z nich daje ciąg **malejący** - to kluczowy warunek zadania! Ciąg \\(27, -9, 3\\) nie jest malejący.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Łatwo pomylić potęgę we wzorze \\(a_n = a_1 \\cdot q^{n-1}\\). Dla ósmego wyrazu wykładnik wynosi **7**, nie 8. Maturzyści często wstawiają \\(q^8\\) - to błąd o jeden wyraz za dużo.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\(\\left(\\frac{1}{3}\\right)^7 = \\frac{1}{2187}\\), a \\(27 = 3^3\\), więc \\(\\frac{27}{2187} = \\frac{3^3}{3^7} = 3^{-4} = \\frac{1}{81}\\). Skrócenie ułamka jest konieczne dla pełnej odpowiedzi.\n\n**Odpowiedź:** \\(a_{8} = \\dfrac{1}{81}\\).\n\n### Sposób 1 - Wzór \\(a_{3} = a_{1}q^{2}\\)\nZ warunku: \\(3 = 27\\cdot q^{2} \\Rightarrow q^{2} = \\dfrac{1}{9} \\Rightarrow q = \\pm\\dfrac{1}{3}\\).\n\nCiąg jest **malejący**, więc kolejne wyrazy stają się mniejsze. Dla \\(q=-\\tfrac{1}{3}\\) wyrazy na przemian zmieniają znak - ciąg nie jest monotoniczny. Dla \\(q=\\tfrac{1}{3}\\) wyrazy: \\(27, 9, 3, 1, \\tfrac{1}{3}, \\tfrac{1}{9}, \\tfrac{1}{27}, \\tfrac{1}{81}\\) - malejący ✓.\n\n\\[a_{8} = a_{1}\\cdot q^{7} = 27\\cdot \\left(\\dfrac{1}{3}\\right)^{7} = \\dfrac{27}{3^{7}} = \\dfrac{3^{3}}{3^{7}} = \\dfrac{1}{3^{4}} = \\dfrac{1}{81}.\\]\n\n### Sposób 2 - Średnia geometryczna\nZ własności ciągu geometrycznego: \\(x^{2} = 27\\cdot 3 = 81 \\Rightarrow x = \\pm 9\\). Ciąg malejący, więc \\(x = 9\\) (wartości dodatnie i malejące). Iloraz \\(q = \\dfrac{9}{27} = \\dfrac{1}{3}\\). Dalej jak w Sposobie 1.\n\n### Sposób 3 - Wzór ogólny\n\\(a_{n} = 27\\cdot \\left(\\tfrac{1}{3}\\right)^{n-1}\\). Dla \\(n=8\\): \\(a_{8} = 27\\cdot \\tfrac{1}{3^{7}} = \\tfrac{3^{3}}{3^{7}} = \\tfrac{1}{3^{4}} = \\tfrac{1}{81}\\).\n\n### Uwagi punktacji (CKE)\n- **1 pkt:** Obliczenie ilorazu \\(q=\\tfrac{1}{3}\\) (z uzasadnieniem odrzucenia \\(q=-\\tfrac{1}{3}\\)).\n- **2 pkt:** Obliczenie \\(a_{8}=\\dfrac{1}{81}\\).\n\n**Trik:** Przy ciągu geometrycznym \\(x^{2} = ab\\) (dla sąsiednich) lub sprawdź \\(q\\) bezpośrednio.","image":"img/matematyka-2011-maj-matura-podstawowa/zad-30.webp","solution_image":"img/matematyka-2011-maj-matura-podstawowa/sol-30.svg","topics":"prawdopodobienstwo","page_from":14,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2011 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2011-maj-matura-podstawowa/zad/31","paper_id":"matematyka-2011-maj-matura-podstawowa","number":"31","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2011,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 31. (4 pkt)\nOkrąg o środku w punkcie\n)\n7,3\n(\nS\njest styczny do prostej o równaniu\n.3\n2 -\nx\ny\nOblicz\nwspółrzędne punktu styczności.\nOdpowiedź:\nNr zadania\n30.\n31.\nMaks. liczba pkt\n2\n4\nWypełnia\negzaminator\nUzyskana liczba pkt\n\nPoziom podstawowy\n16\nMatura podstawowa z matematyki 2011. Okrąg o środku w punkcie S=(3,7) jest styczny do prostej o równaniu y=2x-3. Oblicz współrzędne punktu styczności.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 31. (0-4)\nI sposób rozwiązania\nWyznaczamy współczynnik kierunkowy m prostej prostopadłej do prostej o równaniu\n2\n3\ny\nx\n-:\n1\n2\nm = -\nZapisujemy równanie prostej prostopadłej do stycznej i przechodzącej przez punkt\n(\n)\n3,7\nS =\n:\n2\n17\n2\n1\nx\ny\nZapisujemy i rozwiązujemy układ równań:\n2\n3\n1\n17\n2\n2\ny\nx\ny\nx\n⎧⎪⎨\n⎪⎩\n1\n17\n2\n3\n2\n2\nx\nx\n5\n23\nx\nStąd\n5\n31\ny\nZatem punkt styczności ma współrzędne: 23 31\n,\n5\n5\n⎛\n⎞\n⎜\n⎟\n⎝\n⎠\nUżycie i tworzenie strategii\nWyznaczenie współrzędnych punktu styczności prostej\nz okręgiem\nKryteria oceniania odpowiedzi\n23\nSchemat oceniania I sposobu rozwiązania\nRozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego\nrozwiązania zadania 1 pkt\nZapisanie współczynnika kierunkowego prostej prostopadłej do prostej o równaniu\n2\n3\ny\nx\n-, np.\n1\n2\nm = -\nRozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 pkt\nZapisanie układ równań\n2\n3\n1\n17\n2\n2\n⎧⎪⎨\n⎪⎩\ny\nx\ny\nx\nPokonanie zasadniczych trudności zadania 3 pkt\nPrzekształcenie układu równań do równania z jedną niewiadomą, np.\n1\n17\n2\n3\n2\n2\nx\nx\n- lub\n1\n3\n17\n4\n4\n2\ny\ny\nRozwiązanie pełne 4 pkt\nObliczenie współrzędnych punktu styczności: 23 31\n,\n5\n5\n⎛\n⎞\n⎜\n⎟\n⎝\n⎠\nUwaga\nJeśli zdający zapisał układ równań liniowych i odgadł jego rozwiązanie, to otrzymuje\n4 punkty\nII sposób rozwiązania\nObliczamy odległość d środka okręgu\n)\n7,3\n(\nS\nod prostej\n2\n3\ny\nx\n-:\n6\n7\n3\n4\n4 1\n5\nd\nPunkt\n( ,2\n3)\nP\nx\nx\njest punktem styczności okręgu o środku w punkcie\n)\n7,3\n(\nS\ni prostej\n2\n3\ny\nx\n-. Zatem PS\nd\noraz\n2\n2\n(\n3)\n(2\n10)\nPS\nx\nx\nPrzekształcamy równanie\n5\n4\n)\n10\n2\n(\n)\n3\n(\n2\n2\nx\nx\ndo postaci\n0\n5\n16\n109\n46\n5\n2\nx\nx\nRozwiązujemy równanie\n0\n5\n4\n105\n46\n5\n2\nx\nx\n, stąd\n5\n23\nx\nZatem punkt styczności ma współrzędne:\n23 31\n,\n5\n5\nP\n⎛\n⎞\n= ⎜\n⎟\n⎝\n⎠\nSchemat oceniania II sposobu rozwiązania\nRozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego\nrozwiązania zadania 1 pkt\n• obliczenie odległości punktu S od danej prostej\n6\n7\n3\n4\n4 1\n5\nd\nalbo\n• zapisanie długości odcinka PS :\n2\n2\n(\n3)\n(2\n10)\nPS\nx\nx\nRozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 pkt\nZapisanie układ równań, np.\n(\n)\n2\n2\n2\n3\n4\n(\n3)\n7\n5\ny\nx\nx\ny\n⎧⎪⎨\n⎪⎩\nKryteria oceniania odpowiedzi\n24\nPokonanie zasadniczych trudności zadania 3 pkt\nZapisanie\nrównania\nz\njedną\nniewiadomą,\nnp.\n0\n5\n4\n105\n46\n5\n2\nx\nx\nalbo\n5\n4\n)\n10\n2\n(\n)\n3\n(\n2\n2\nx\nx\nRozwiązanie pełne 4 pkt\nObliczenie współrzędnych punktu P styczności: 23 31\n,\n5\n5\n⎛\n⎞\n⎜\n⎟\n⎝\n⎠\nIII sposób rozwiązania\nPunkt\n(\n)\n,\nP\nx y\njest punktem styczności okręgu o środku\n)\n7,3\n(\nS\ni prostej\n2\n3\ny\nx\nZapisujemy układ równań:\n2\n2\n2\n(\n3)\n(\n7)\n2\n3\nx\ny\nr\ny\nx\n⎧\n⎨\n⎩\nPrzekształcamy układ równań do równania kwadratowego z niewiadomą x:\n2\n2\n2\n(\n3)\n(2\n10)\nx\nx\nr\n2\n2\n5\n46\n109\n0\nx\nx\nr\nZapisujemy warunek\n0\nΔ =\n, dla którego okrąg ma jeden punkt wspólny z prostą\n2\n3\ny\nx\ni obliczamy\n2r :\n2\n64\n20r\nΔ = -\n,\n2\n20\n64\n0\nr -\n,\n2\n20\n64\nr =\n,\n2\n64\n16\n20\n5\nr =\nRozwiązujemy równanie:\n0\n5\n16\n109\n46\n5\n2\nx\nx\n0\n5\n4\n105\n46\n5\n2\nx\nx\n5\n23\nx\nZatem punkt styczności ma współrzędne:\n23 31\n,\n5\n5\nP\n⎛\n⎞\n= ⎜\n⎟\n⎝\n⎠\nSchemat oceniania III sposobu rozwiązania\nRozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego\nrozwiązania zadania 1 pkt\nZapisanie układu równań i warunku pozwalającego wyznaczyć promień okręgu:\n2\n2\n2\n(\n3)\n(\n7)\n2\n3\nx\ny\nr\ny\nx\n⎧\n⎨\n⎩\nRozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 pkt\nPrzekształcenie układu do równania z jedną niewiadomą\n2\n2\n5\n46\n109\n0\nx\nx\nr\n, zapisanie\nwarunku\n0\nΔ =\ni obliczenie\n2r :\n2\n16\n5\nr =\nPokonanie zasadniczych trudności zadania 3 pkt\nZapisanie równania kwadratowego, np.\n0\n5\n4\n105\n46\n5\n2\nx\nx\nRozwiązanie pełne 4 pkt\nObliczenie współrzędnych punktu styczności:\n23 31\n,\n5\n5\nP\n⎛\n⎞\n= ⎜\n⎟\n⎝\n⎠\nKryteria oceniania odpowiedzi\n25\nUwaga\nJeśli zdający popełnił błąd rachunkowy, przekształcając układ równań do równania\nkwadratowego, rozwiązał to równanie i otrzymał dwa punkty styczności, to za całe\nrozwiązanie otrzymuje 2 punkty.","solution":"## Poprawna odpowiedź: 17760\n\n## Sposób 1 - Wkład każdej pozycji osobno\n\n**Ile jest takich liczb?**\n\nKażda z trzech cyfr (setki, dziesiątki, jedności) może przyjąć 4 wartości: \\(1, 2, 3, 4\\).\n\\[\n4 \\times 4 \\times 4 = 64 \\text{ liczby}\n\\]\n\n**Ile razy każda cyfra pojawia się na danej pozycji?**\n\nGdy ustalamy jedną cyfrę na pozycji setek (np. \\(a = 1\\)), pozostałe dwie pozycje (dziesiątki i jedności) mają po 4 możliwości - razem \\(4 \\times 4 = 16\\) kombinacji.\n\nZatem każda z cyfr \\(1, 2, 3, 4\\) pojawia się **16 razy** na każdej z trzech pozycji.\n\n**Suma cyfr:**\n\\[\n1 + 2 + 3 + 4 = 10\n\\]\n\n**Wkład pozycji setek** (wartość miejscowa 100):\n\\[\n16 \\times 10 \\times 100 = 16\\,000\n\\]\n\n**Wkład pozycji dziesiątek** (wartość miejscowa 10):\n\\[\n16 \\times 10 \\times 10 = 1\\,600\n\\]\n\n**Wkład pozycji jedności** (wartość miejscowa 1):\n\\[\n16 \\times 10 \\times 1 = 160\n\\]\n\n**Łączna suma:**\n\\[\n\\boxed{16\\,000 + 1\\,600 + 160 = \\mathbf{17\\,760}}\n\\]\n\n## Sposób 2 - Zapis algebraiczny z sumą potrójną\n\nKażdą rozważaną liczbę zapiszmy jako \\(\\overline{abc} = 100a + 10b + c\\), gdzie \\(a, b, c \\in \\{1, 2, 3, 4\\}\\).\n\nSzukana suma to:\n\\[\nS = \\sum_{a \\in \\{1,2,3,4\\}} \\sum_{b \\in \\{1,2,3,4\\}} \\sum_{c \\in \\{1,2,3,4\\}} (100a + 10b + c)\n\\]\n\nRozbijamy na trzy sumy:\n\\[\nS = 100 \\underbrace{\\sum_a a}_{=10} \\cdot \\underbrace{4 \\cdot 4}_{b,c\\text{ wolne}} \\;+\\; 10 \\underbrace{\\sum_b b}_{=10} \\cdot \\underbrace{4 \\cdot 4}_{a,c\\text{ wolne}} \\;+\\; \\underbrace{\\sum_c c}_{=10} \\cdot \\underbrace{4 \\cdot 4}_{a,b\\text{ wolne}}\n\\]\n\\[\nS = 100 \\cdot 10 \\cdot 16 \\;+\\; 10 \\cdot 10 \\cdot 16 \\;+\\; 10 \\cdot 16\n\\]\n\\[\nS = 10 \\cdot 16 \\cdot (100 + 10 + 1) = 160 \\cdot 111 = \\mathbf{17\\,760}\n\\]\n\n**Elegancki wzorzec:** suma = (suma cyfr) × (liczba wystąpień na pozycji) × (suma wartości miejscowych) \\(= 10 \\times 16 \\times 111\\).\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczą kombinatoryczne zasady mnożenia i własności sum skończonych (liczenie, ile razy każda cyfra pojawia się na danej pozycji).\n\nMożna jednak powiązać z:\n\n**Dział 13 (Kombinatoryka, s. 28)** - zasada mnożenia:\n\\[\n4 \\times 4 \\times 4 = 64 \\text{ (liczba wszystkich takich liczb)}\n\\]\nUżyta do policzenia, ile razy każda cyfra pojawia się na każdej pozycji (\\(4^2 = 16\\) razy).\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Częsty błąd to przyjęcie, że cyfry **nie mogą się powtarzać** - zadanie wyraźnie mówi, że mogą. Bez powtórzeń byłoby \\(4 \\times 3 \\times 2 = 24\\) liczb i zupełnie inna suma.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Inny błąd to pominięcie jednej pozycji (np. liczenie wkładu tylko setek i dziesiątek) - pamiętaj o wszystkich trzech pozycjach: setki, dziesiątki, jedności.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Łatwo pomylić liczbę wystąpień każdej cyfry - to **16, nie 64/4 = 16 ✓** (bo każda cyfra pojawia się na danej pozycji \\(4 \\times 4\\) razy). Sprawdź na prostszym przykładzie: dla liczb dwucyfrowych z \\(\\{1,2,3,4\\}\\) - suma = \\(10 \\times 4 \\times 11 = 440\\). Weryfikacja ręczna: \\(11+12+13+14+21+\\ldots+44 = 50 + 90 + 130 + 170 = 440\\) ✓.\n\n**Odpowiedź:** \\(S = 17760\\).\n\n### Sposób 1 - Zliczanie przez pozycje\nLiczb trzycyfrowych o cyfrach z \\(\\{1,2,3,4\\}\\) (z powtórzeniami): \\(4\\cdot 4\\cdot 4 = 64\\).\n\nKażdą liczbę zapisujemy jako \\(a\\cdot 100 + b\\cdot 10 + c\\), gdzie \\(a,b,c\\in\\{1,2,3,4\\}\\).\n\n**Ile razy każda cyfra występuje na pozycji setek?** Dla każdej cyfry setek \\(a\\) mamy \\(4\\cdot 4 = 16\\) wyborów dla \\((b,c)\\). Zatem każda z cyfr \\(1,2,3,4\\) jest \\(16\\) razy cyfrą setek.\n\nSuma setek:\n\\[16\\cdot 100\\cdot (1+2+3+4) = 1600\\cdot 10 = 16000.\\]\n\nPodobnie dla dziesiątek: \\(16\\cdot 10\\cdot 10 = 1600\\). Dla jedności: \\(16\\cdot 1\\cdot 10 = 160\\).\n\nRazem:\n\\[S = 16000 + 1600 + 160 = 17760.\\]\n\n### Sposób 2 - Wypisanie i zsumowanie (częściowe)\nLiczby z setką \\(1\\): \\(111+112+ +144\\) (\\(16\\) liczb). Wypisując i sumując grupami po \\(4\\): suma tej szesnastki wynosi \\(16\\cdot 100 + (11+12+13+14+21+ +44) = 1600 + 440 = 2040\\).\nAnalogicznie dla setki \\(2\\): \\(3200+440=3640\\); setki \\(3\\): \\(4800+440=5240\\); setki \\(4\\): \\(6400+440=6840\\).\nSuma: \\(2040+3640+5240+6840 = 17760\\).\n\n### Sposób 3 - Średnia liczba\nŚrednia wartość cyfry w \\(\\{1,2,3,4\\}\\): \\(\\tfrac{1+2+3+4}{4} = 2{,}5\\). Średnia liczba trzycyfrowa:\n\\[\\overline{N} = 2{,}5\\cdot 111 = 277{,}5.\\]\nSuma: \\(64\\cdot 277{,}5 = 17760\\).\n\n### Uwagi punktacji (CKE)\n- **1 pkt:** Zapisanie, że istnieje \\(64\\) liczby trzycyfrowe z cyfr \\(\\{1,2,3,4\\}\\).\n- **2 pkt:** Zapisanie sumy setek LUB dziesiątek LUB jedności (np. sumy setek = \\(16000\\)) lub wypisanie wszystkich liczb.\n- **3 pkt:** Rozwiązanie z drobnymi błędami rachunkowymi.\n- **4 pkt:** Obliczenie \\(S = 17760\\).\n\n**Trik:** Gdy cyfry mogą się powtarzać i liczb jest wiele - patrz na każdą pozycję osobno, symetria daje prostą sumę.","image":"img/matematyka-2011-maj-matura-podstawowa/zad-31.webp","solution_image":"img/matematyka-2011-maj-matura-podstawowa/sol-31.svg","topics":"analityczna","page_from":15,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2011 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2011-maj-matura-podstawowa/zad/32","paper_id":"matematyka-2011-maj-matura-podstawowa","number":"32","points":5,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2011,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 32. (5 pkt)\nPewien turysta pokonał trasę 112 km, przechodząc każdego dnia tę samą liczbę kilometrów.\nGdyby mógł przeznaczyć na tę wędrówkę o 3 dni więcej, to w ciągu każdego dnia mógłby\nprzechodzić o 12 km mniej. Oblicz, ile kilometrów dziennie przechodził ten turysta.\n\nPoziom podstawowy\n17\nOdpowiedź:\nNr zadania\n32.\nMaks. liczba pkt\n5\nWypełnia\negzaminator\nUzyskana liczba pkt\n\nPoziom podstawowy\n18\nMatura podstawowa z matematyki 2011. Pewien turysta pokonał trasę 112 km, przechodząc każdego dnia tę samą liczbę kilometrów. Gdyby mógł przeznaczyć na tę wędrówkę o 3 dni więcej, to w ciągu każdego dnia mógłby przechodzić o 12 km mniej. Oblicz, ile kilometrów dziennie przechodził ten turysta.","answer":"T","answer_text":"Zadanie 32. (0-5)\nI sposób rozwiązania\nNiech x oznacza liczbę dni wędrówki, y - liczbę kilometrów przebytych każdego dnia przez\nturystę. Drogę przebytą przez turystę opisujemy równaniem\n112\nx y\n⋅\nTurysta może przeznaczyć na wędrówkę o 3 dni więcej, idąc każdego dnia o 12 km mniej,\nwówczas zapisujemy równanie: (\n) (\n)\n3\n12\n112\nx\ny\n⋅\nZapisujemy układ równań, np. (\n) (\n)\n112\n3\n12\n112\nx y\nx\ny\n⋅\n⎧⎪⎨\n⋅\n⎪⎩\nZ pierwszego równania wyznaczamy\n112\ny\nx\n112\nx\ny\npodstawiamy do drugiego równania i rozwiązujemy\n(\n) 112\n3\n12\n112\nx\nx\n⎛\n⎞\n⎜\n⎟\n⎝\n⎠\nPrzekształcamy to równanie do równania\nkwadratowego, np.\n2\n3\n28\n0\nx\nx\n2\n9\n112\n121\n11\nΔ =\n1\n3 11\n7\n2\nx\n= - sprzeczne z zał.\n0\nx >\n2\n3 11\n4\n2\nx\nObliczamy y:\n112\n28\n4\ny =\nOdp.: Turysta przechodził dziennie 28 km.\n(\n)\n112\n3\n12\n112\ny\ny\n⎛\n⎞\n⎜\n⎟\n⎝\n⎠\nPrzekształcamy to równanie do równania\nkwadratowego, np.\n2\n12\n448\n0\ny\ny\n2\n144\n1792\n1936\n44\nΔ =\n1\n12\n44\n16\n2\ny\nsprzeczne z zał.\n0\ny >\n2\n12\n44\n28\n2\ny\nOdp.: Turysta przechodził dziennie 28 km.\nII sposób rozwiązania\nNiech x oznacza liczbę dni wędrówki, y - liczbę kilometrów przebytych każdego dnia przez\nturystę. Drogę przebytą przez turystę opisujemy równaniem\n112\nx y\n⋅\nTurysta może przeznaczyć na wędrówkę o 3 dni więcej, idąc każdego dnia o 12 km mniej,\nwówczas zapisujemy równanie: (\n) (\n)\n3\n12\n112\nx\ny\n⋅\nZapisujemy układ równań, np. (\n) (\n)\n112\n3\n12\n112\nx y\nx\ny\n⋅\n⎧⎪⎨\n⋅\n⎪⎩\nStąd otrzymujemy kolejno\n112\n12\n3\n36\n112\nx y\nx y\nx\ny\n⋅\n⎧\n⎨⋅\n⎩\nModelowanie matematyczne\nRozwiązanie zadania umieszczonego w kontekście\npraktycznym, prowadzącego do równania kwadratowego\nz jedną niewiadomą\nKryteria oceniania odpowiedzi\n26\n112\n112 12\n3\n36\n112\nx y\nx\ny\n⋅\n⎧\n⎨\n⎩\n112\n12\n3\n36\n0\nx y\nx\ny\n⋅\n⎧\n⎨-\n⎩\nW równaniu 12\n3\n36\n0\nx\ny\nobie strony dzielimy przez (\n)\n3\nOtrzymujemy 4\n12\n0\nx\ny\n, stąd wyznaczamy\n4\n12\ny\nx\n1\n3\n4\nx\ny\npodstawiamy do równania pierwszego i rozwiązujemy\n(\n)\n4\n12\n112\nx\nx\n⋅\n2\n4\n12\n112\n0\nx\nx\n2\n3\n28\n0\nx\nx\n2\n9\n112\n121\n11\nΔ =\n1\n3 11\n7\n2\nx\n= - sprzeczne z zał.\n0\nx >\n2\n3 11\n4\n2\nx\nObliczamy y:\n4 4\n12\n28\ny =\n⋅+\nOdp.: Turysta przechodził dziennie 28 km.\n1\n3\n112\n4 y\ny\n⎛\n⎞\n⋅\n⎜\n⎟\n⎝\n⎠\n2\n1\n3\n112\n0\n4 y\ny\n2\n12\n448\n0\ny\ny\n2\n144\n1792\n1936\n44\nΔ =\n1\n12\n44\n16\n2\ny\nsprzeczne z zał.\n0\ny >\n2\n12\n44\n28\n2\ny\nOdp.: Turysta przechodził dziennie 28 km.\nSchemat oceniania I i II sposobu rozwiązania\nRozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego\nrozwiązania zadania 1 pkt\nZapisanie zależności między przebytą drogą, liczbą dni wędrówki oraz liczbą kilometrów\nprzebytych każdego dnia przez turystę, np.:\n(\n) (\n)\n3\n12\n112\nx\ny\n⋅\nalbo\n112\nx y\n⋅\nRozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 pkt\nZapisanie układu równań z niewiadomymi x i y - odpowiednio: liczbą dni wędrówki i liczbą\nkilometrów przebytych każdego dnia przez turystę, np. (\n) (\n)\n112\n3\n12\n112\nx y\nx\ny\n⋅\n⎧⎪⎨\n⋅\n⎪⎩\nPokonanie zasadniczych trudności zadania 3 pkt\nZapisanie równania z jedną niewiadomą x lub y, np:\n(\n) 112\n3\n12\n112\nx\nx\n⎛\n⎞\n⎜\n⎟\n⎝\n⎠\nlub\n(\n)\n112\n3\n12\n112\ny\ny\n⎛\n⎞\n⎜\n⎟\n⎝\n⎠\n,\nlub\n(\n)\n4\n12\n112\nx\nx\n⋅\n,\nlub 1\n3\n112\n4 y\ny\n⎛\n⎞\n⋅\n⎜\n⎟\n⎝\n⎠\nUwaga\nZdający nie musi zapisywać układu równań, może bezpośrednio zapisać równanie z jedną\nniewiadomą.\nKryteria oceniania odpowiedzi\n27\nRozwiązanie zadania do końca lecz z usterkami, które jednak nie przekreślają\npoprawności rozwiązania (np. błędy rachunkowe) 4 pkt\n• rozwiązanie równania z niewiadomą x bezbłędnie i nie obliczenie liczby kilometrów\nprzebytych każdego dnia przez turystę\nalbo\n• rozwiązanie równania z niewiadomą x lub y z błędem rachunkowym i konsekwentne\nobliczenie liczby kilometrów przebytych każdego dnia przez turystę.\nRozwiązanie pełne 5 pkt\nObliczenie liczby kilometrów przebytych każdego dnia przez turystę: 28 km.\nIII sposób rozwiązania\nNiech x oznacza liczbę dni wędrówki, y - liczbę kilometrów przebytych każdego dnia przez\nturystę. Liczbę kilometrów przebytych każdego dnia przez turystę opisujemy równaniem\n112\ny\nx\nTurysta może przeznaczyć na wędrówkę o 3 dni więcej, idąc każdego dnia o 12 km mniej,\nwówczas zapisujemy równanie: 112\n112\n12\n3\nx\nx\nPrzekształcamy to równanie do postaci\n2\n3\n28\n0\nx\nx\nRozwiązaniem\nrównania\nsą:\n1\n3 11\n7\n2\nx\nsprzeczne\nz\nzałożeniem\n0\nx >\ni\n2\n3 11\n4\n2\nx\nObliczamy y:\n112\n28\n4\ny =\nSchemat oceniania III sposobu rozwiązania\nRozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego\nrozwiązania zadania 1 pkt\nPrzyjęcie oznaczeń: x - liczba dni wędrówki, y - liczba kilometrów przebytych każdego dnia\nprzez turystę i zapisanie zależności, np.\n112\ny\nx\nalbo\n112\n12\n3\ny\nx\nPokonanie zasadniczych trudności zadania 3 pkt\nZapisanie równania z jedną niewiadomą: 112\n112\n12\n3\nx\nx\nRozwiązanie zadania do końca lecz z usterkami, które jednak nie przekreślają\npoprawności rozwiązania (np. błędy rachunkowe) 4 pkt\n• rozwiązanie równania z niewiadomą x bezbłędnie i nie obliczenie liczby kilometrów\nprzebytych każdego dnia przez turystę\nalbo\n• rozwiązanie równania z niewiadomą x błędem rachunkowym i konsekwentne\nobliczenie liczby kilometrów przebytych każdego dnia przez turystę, przy czym\nobliczona liczba kilometrów musi być większa od 12.\nKryteria oceniania odpowiedzi\n28\nRozwiązanie pełne 5 pkt\nObliczenie liczby kilometrów przebytych każdego dnia przez turystę: 28 km.\nUwagi\n1. Jeżeli zdający porównuje wielkości różnych typów, to otrzymuje 0 punktów.\n2. Jeżeli zdający odgadnie liczbę kilometrów przebytych każdego dnia przez turystę i nie\nuzasadni, że jest to jedyne rozwiązanie, to otrzymuje 1 punkt.","solution":"## Poprawna odpowiedź: A\n\nSinus kąta nachylenia krawędzi \\(BS\\) do płaszczyzny podstawy wynosi \\(\\dfrac{\\sqrt{506}}{23}\\).\n\n## Sposób 1 - Układ współrzędnych + trójkąt prostokątny\n\n**Krok 1: Oblicz przekątne rombu ABCD.**\n\nRomb o boku \\(a = 4\\) i kącie \\(\\angle ABC = 120°\\). Z twierdzenia cosinusów dla trójkąta ABC:\n\\[|AC|^2 = 4^2 + 4^2 - 2 \\cdot 4 \\cdot 4 \\cdot \\cos 120° = 32 - 32 \\cdot \\left(-\\tfrac{1}{2}\\right) = 48\\]\n\\[|AC| = 4\\sqrt{3}\\]\n\nKąt \\(\\angle DAB = 180° - 120° = 60°\\) (kąty przyległe rombu). Dla trójkąta ABD:\n\\[|BD|^2 = 4^2 + 4^2 - 2 \\cdot 4 \\cdot 4 \\cdot \\cos 60° = 32 - 16 = 16\\]\n\\[|BD| = 4\\]\n\n**Krok 2: Wprowadź układ współrzędnych.**\n\nPunkt O = przecięcie przekątnych (środek rombu) umieszczamy w początku układu. Przekątne rombu są prostopadłe, więc:\n\n\\[A = (-2\\sqrt{3},\\; 0,\\; 0), \\quad C = (2\\sqrt{3},\\; 0,\\; 0)\\]\n\\[B = (0,\\; -2,\\; 0), \\quad D = (0,\\; 2,\\; 0)\\]\n\nSprawdzenie: \\(|AB| = \\sqrt{(2\\sqrt{3})^2 + 2^2} = \\sqrt{12+4} = 4\\) ✓\n\n**Krok 3: Wyznacz pozycję wierzchołka S.**\n\nWarunek \\(|AS| = |CS|\\): S leży na prostopadłościennej płaszczyźnie symetrii odcinka AC, czyli na płaszczyźnie \\(x = 0\\).\n\nWarunek \\(|BS| = |DS|\\): S leży na płaszczyźnie symetrii odcinka BD, czyli na płaszczyźnie \\(y = 0\\).\n\nZatem \\(S = (0,\\; 0,\\; h)\\) - **wierzchołek leży dokładnie nad środkiem O**.\n\n**Krok 4: Oblicz wysokość h.**\n\nZ warunku \\(|AS| = 10\\):\n\\[|AS|^2 = (2\\sqrt{3})^2 + 0^2 + h^2 = 12 + h^2 = 100\\]\n\\[h^2 = 88, \\quad h = 2\\sqrt{22}\\]\n\n**Krok 5: Oblicz \\(|BS|\\).**\n\n\\[|BS|^2 = 0^2 + 2^2 + h^2 = 4 + 88 = 92\\]\n\\[|BS| = 2\\sqrt{23}\\]\n\n**Krok 6: Wyznacz kąt nachylenia BS do podstawy.**\n\nRzut prostokątny S na płaszczyznę podstawy to O = (0, 0, 0).\nRzut krawędzi BS na podstawę to odcinek BO.\n\nPowstaje trójkąt prostokątny BOS z kątem prostym w O:\n\n| Odcinek | Wartość |\n| \\(|BO|\\) | \\(2\\) (= połowa przekątnej BD) |\n| \\(|OS|\\) | \\(2\\sqrt{22}\\) (wysokość ostrosłupa) |\n| \\(|BS|\\) | \\(2\\sqrt{23}\\) (krawędź boczna) |\n\nKąt nachylenia \\(\\theta = \\angle OBS\\):\n\\[\\sin\\theta = \\frac{|OS|}{|BS|} = \\frac{2\\sqrt{22}}{2\\sqrt{23}} = \\frac{\\sqrt{22}}{\\sqrt{23}} = \\frac{\\sqrt{22} \\cdot \\sqrt{23}}{23} = \\boxed{\\dfrac{\\sqrt{506}}{23}}\\]\n\n## Sposób 2 - Metoda wektora i kąt z płaszczyzną\n\nWektor \\(\\overrightarrow{BS} = S - B = (0, 2, 2\\sqrt{22})\\).\n\nKąt między linią prostą a płaszczyzną obliczamy jako dopełnienie kąta z normalną \\(\\vec{n} = (0, 0, 1)\\) do podstawy:\n\n\\[\\cos\\varphi = \\frac{|\\overrightarrow{BS} \\cdot \\vec{n}|}{|\\overrightarrow{BS}| \\cdot |\\vec{n}|} = \\frac{2\\sqrt{22}}{\\sqrt{4 + 88}} = \\frac{2\\sqrt{22}}{2\\sqrt{23}} = \\frac{\\sqrt{22}}{\\sqrt{23}}\\]\n\nKąt nachylenia do płaszczyzny: \\(\\theta = 90° - \\varphi\\), więc:\n\\[\\sin\\theta = \\cos\\varphi = \\frac{\\sqrt{22}}{\\sqrt{23}} = \\frac{\\sqrt{506}}{23}\\]\n\n**Wynik zgodny z Metodą 1.** ✓\n\n**Sprawdzenie jedynki trygonometrycznej:**\n\\[\\sin^2\\theta + \\cos^2\\theta = \\frac{22}{23} + \\frac{1}{23} = \\frac{23}{23} = 1\\; \\checkmark\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 15-17)** - twierdzenie cosinusów:\n\\[c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\\cos\\gamma\\]\nUżyte do obliczenia przekątnych AC i BD rombu z warunku bocznego i kąta.\n\n**Dział 12 (Stereometria, s. 26-28)** - pojęcie wysokości ostrosłupa i rzutu prostokątnego.\nUżyte do wyznaczenia \\(h\\) i trójkąta prostokątnego BOS.\n\n**Dział 9 (Trygonometria, s. 11-14)** - definicja sinusa w trójkącie prostokątnym:\n\\[\\sin\\theta = \\frac{\\text{przeciwprostokątna katety prostopadłej}}{\\text{przeciwprostokątna}}\\]\nUżyte w Kroku 6 do odczytu sinusa kąta nachylenia.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| B | Wzięcie połowy **drugiej** przekątnej: \\(|AO| = 2\\sqrt{3}\\) jako odległość poziomą zamiast \\(|BO| = 2\\). Daje \\(\\sin\\theta = \\frac{2\\sqrt{22}}{\\sqrt{88+12}} = \\frac{2\\sqrt{22}}{10} = \\frac{\\sqrt{22}}{5}\\) |\n| C | Obliczenie **cosinusa** zamiast sinusa: \\(\\cos\\theta = \\frac{|BO|}{|BS|} = \\frac{2}{2\\sqrt{23}} = \\frac{1}{\\sqrt{23}} = \\frac{\\sqrt{23}}{23}\\) |\n| D | Pomieszanie kąta z płaszczyzną z kątem z pionową osią; użycie \\(\\frac{h}{|AS|} = \\frac{2\\sqrt{22}}{10} = \\frac{\\sqrt{22}}{5}\\) zamiast \\(\\frac{h}{|BS|}\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Klucz zadania to rozpoznanie, że S leży **dokładnie nad środkiem O** rombu - bo oba warunki (\\(|AS|=|CS|\\) i \\(|BS|=|DS|\\)) razem wymuszają \\(S = (0,0,h)\\). Bez tego nie możemy poprawnie wyznaczyć trójkąta prostokątnego.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Kąt nachylenia BS do **podstawy** to kąt przy wierzchołku B (nie przy S!) w trójkącie prostokątnym BOS. Częsty błąd to mylenie go z kątem przy O lub S.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Odległość pozioma \\(|BO|\\) to **połowa przekątnej BD**, czyli \\(\\frac{4}{2} = 2\\) - nie mylić z połową przekątnej AC równą \\(2\\sqrt{3}\\). Krawędź BS biegnie z B do S, więc liczy się przekątna przez B, czyli BD!\n\n**Odpowiedź:** \\(\\sin\\beta = \\dfrac{\\sqrt{22}}{\\sqrt{23}} = \\dfrac{\\sqrt{506}}{23}\\) (\\(\\approx 0{,}9780\\)).\n\n### Sposób 1 - Wysokość ostrosłupa + Pitagoras\n**Przekątne rombu.** Kąt \\(\\angle ABC = 120^{\\circ}\\) oznacza, że trójkąt \\(ABC\\) ma w \\(B\\) kąt \\(120^{\\circ}\\) z bokami \\(|AB|=|BC|=4\\). Przekątna \\(|AC|\\) (krótsza, ale w tym ułożeniu):\n\\[|AC|^{2} = 4^{2}+4^{2}-2\\cdot 4\\cdot 4\\cos 120^{\\circ} = 16+16+16 = 48, \\quad |AC| = 4\\sqrt{3}.\\]\nDla trójkąta \\(BCD\\) (kąt \\(\\angle BCD = 180^{\\circ}-120^{\\circ}=60^{\\circ}\\)): trójkąt równoboczny, \\(|BD| = 4\\).\n\nOznaczmy \\(O\\) - przecięcie przekątnych (środek rombu): \\(|AO|=|OC|=\\tfrac{|AC|}{2}=2\\sqrt{3}\\), \\(|BO|=|OD|=2\\).\n\n**Położenie wierzchołka \\(S\\).** \\(|AS|=|CS|=10\\) i \\(|BS|=|DS|\\). Stąd \\(S\\) leży na prostopadłej do płaszczyzny rombu przechodzącej przez \\(O\\) (bo \\(O\\) jest środkiem symetrii).\n\nOznaczmy \\(h=|OS|\\) (wysokość ostrosłupa). Z trójkąta \\(AOS\\) (prostokątny):\n\\[|AS|^{2} = |AO|^{2} + h^{2} \\Rightarrow 100 = 12 + h^{2} \\Rightarrow h^{2} = 88, \\quad h = 2\\sqrt{22}.\\]\n\n**Długość \\(|BS|\\).** Z trójkąta \\(BOS\\) (prostokątny):\n\\[|BS|^{2} = |BO|^{2} + h^{2} = 4 + 88 = 92, \\quad |BS| = 2\\sqrt{23}.\\]\n\n**Kąt nachylenia krawędzi \\(BS\\) do podstawy.**\nKąt \\(\\beta = \\angle SBO\\). Rzut \\(S\\) na płaszczyznę podstawy to \\(O\\), więc w trójkącie prostokątnym \\(SOB\\):\n\\[\\sin\\beta = \\dfrac{h}{|BS|} = \\dfrac{2\\sqrt{22}}{2\\sqrt{23}} = \\dfrac{\\sqrt{22}}{\\sqrt{23}} = \\dfrac{\\sqrt{22}\\cdot \\sqrt{23}}{23} = \\dfrac{\\sqrt{506}}{23} \\approx 0{,}9780.\\]\n\n### Sposób 2 - Przez tangens i jedynkę trygonometryczną\nZ trójkąta \\(SOB\\): \\(\\tan\\beta = \\dfrac{h}{|OB|} = \\dfrac{2\\sqrt{22}}{2} = \\sqrt{22}\\).\n\\[\\sin\\beta = \\dfrac{\\tan\\beta}{\\sqrt{1+\\tan^{2}\\beta}} = \\dfrac{\\sqrt{22}}{\\sqrt{1+22}} = \\dfrac{\\sqrt{22}}{\\sqrt{23}}.\\]\n\n### Uwagi punktacji (CKE)\n- **1 pkt:** Obliczenie długości przekątnych rombu: \\(|AC|=4\\sqrt{3}, |BD|=4\\).\n- **2 pkt:** Obliczenie wysokości ostrosłupa \\(h = 2\\sqrt{22}\\).\n- **3 pkt:** Obliczenie \\(|BS| = 2\\sqrt{23}\\).\n- **4 pkt:** Obliczenie \\(\\sin\\beta = \\dfrac{\\sqrt{22}}{\\sqrt{23}}\\) (lub odpowiednik zracjonalizowany).\n\n**Uwaga:** Dopuszczalna odpowiedź przybliżona \\(\\sin\\beta \\approx \\sin 78^{\\circ} \\approx 0{,}978\\) - jeśli zostało wyliczone z tangensa i tabeli.\n\n**Trik:** W ostrosłupach o symetrii \\(|AS|=|CS|\\) i \\(|BS|=|DS|\\) wysokość pada na przecięcie przekątnych. Kąt nachylenia krawędzi: \\(\\sin\\beta = \\tfrac{h}{\\text{krawędź}}\\).","image":"img/matematyka-2011-maj-matura-podstawowa/zad-32.webp","solution_image":"img/matematyka-2011-maj-matura-podstawowa/sol-32.svg","topics":"rownania_i_nierownosci","page_from":16,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2011 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2011-maj-matura-podstawowa/zad/33","paper_id":"matematyka-2011-maj-matura-podstawowa","number":"33","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2011,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 33. (4 pkt)\nPunkty K, L i M są środkami krawędzi BC, GH i AE sześcianu ABCDEFGH o krawędzi\ndługości 1 (zobacz rysunek). Oblicz pole trójkąta KLM.\nL\nH\nG\nF\nE\nM\nK\nD\nA\nB\nC\n\nPoziom podstawowy\n19\nOdpowiedź:\nNr zadania\n33.\nMaks. liczba pkt\n4\nWypełnia\negzaminator\nUzyskana liczba pkt\n\nPoziom podstawowy\n20\nBRUDNOPIS\n\nMMA-Pą_ąP-112\n32\n33\n27\n28\n29\n30\n31\n26\n25\n24\nNr\nzad.\nPunkty\n0\n1\n2\n3\n4\n5\nWYPEŁNIA EGZAMINATOR\nWYPEŁNIA ZDAJĄCY\nSUMA\nPUNKTÓW\nD\nJ\n0\n0\n1\n1\n2\n2\n3\n3\n4\n4\n5\n5\n6\n6\n7\n7\n8\n8\n9\n9\n1\n2\n3\n4\n5\n6\n7\n8\n9\n10\n11\n12\n13\n14\n15\n16\n17\n18\n19\n20\n21\n22\n23\nOdpowiedzi\nNr\nzad.\nPESEL\nA\nA\nA\nA\nA\nA\nA\nA\nA\nA\nA\nA\nA\nA\nA\nA\nA\nA\nA\nA\nA\nA\nA\nB\nB\nB\nB\nB\nB\nB\nB\nB\nB\nB\nB\nB\nB\nB\nB\nB\nB\nB\nB\nB\nB\nB\nD\nD\nD\nD\nD\nD\nD\nD\nD\nD\nD\nD\nD\nD\nD\nD\nD\nD\nD\nD\nD\nD\nD\nC\nC\nC\nC\nC\nC\nC\nC\nC\nC\nC\nC\nC\nC\nC\nC\nC\nC\nC\nC\nC\nC\nC\nMiejsce na naklejkę\nz nr PESEL\n\nKOD EGZAMINATORA\nCzytelny podpis egzaminatora\nKOD ZDAJĄCEGO\nMatura podstawowa z matematyki 2011. Punkty K, L i M są środkami krawędzi BC, GH i AE sześcianu ABCDEFGH o krawędzi długości 1 (zobacz rysunek). Oblicz pole trójkąta KLM.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 33. (0-4)\nRozwiązanie\nTrójkąt ABK jest trójkątem prostokątnym, zatem\n2\n2\n1\n1\n2\nAK\n⎛\n⎞\n⎜\n⎟\n⎝\n⎠\n. Stąd\n2\n5\n4\nAK\nTrójkąt MAK jest trójkątem prostokątnym, zatem\n2\n2\n2\n2\n1\n5\n3\n2\n4\n2\nMK\nMA\nAK\n⎛\n⎞\n⎜\n⎟\n⎝\n⎠\nAnalogicznie dla trójkątów MEL i LGK obliczamy kwadraty długości boków ML i KL:\n2\n2\n3\n2\nML\nKL\nPonieważ\n2\n2\n2\nML\nKL\nMK\n, więc trójkąt KLM jest równoboczny.\nZatem jego pole wyraża się wzorem\n2\n3\n4\nMK\nP =\n, stąd\n3\n3\n3\n2\n3\n4\n8\nP\n⋅\nUwaga\nZdający nie musi obliczać kwadratów długości boków ML i KL. Wystarczy, że korzystając\nz przystawania trójkątów MAK , MEL , LGK uzasadni równość boków: ML\nKL\nMK\nUżycie i tworzenie strategii\nWyznaczenie związków miarowych w sześcianie\nL\nH\nG\nF\nE\nM\nK\nD\nA\nB\nC\nKryteria oceniania odpowiedzi\n29\nSchemat oceniania\nRozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 pkt\nObliczenie kwadratu długości odcinka AK :\n2\n5\n4\nAK\nPokonanie zasadniczych trudności zadania 3 pkt\n• obliczenie\nkwadratów\ndługości\nlub\ndługości\nboków\ntrójkąta\nKLM:\n2\n2\n2\n3\n2\nML\nKL\nMK\nlub\n6\n2\nML\nKL\nMK\ni na tym poprzestanie lub\ndalej popełni błędy\nalbo\n• zauważenie, że trójkąt KLM jest równoboczny i obliczenie kwadratu długości jednego\nz boków tego trójkąta, np.\n2\n3\n2\nMK\nRozwiązanie pełne 4 pkt\nObliczenie pola trójkąta KLM :\n3 3\n8\nP =\nUwaga\nAkceptujemy rozwiązanie, w którym zdający przyjmuje, że długość krawędzi sześcianu jest\noznaczona literą l.","solution":"## Poprawna odpowiedź\n\nIstnieją dokładnie **dwa** okręgi spełniające warunki zadania:\n\\[(x - 5)^2 + (y - 5)^2 = 25 \\qquad \\text{oraz} \\qquad (x - 13)^2 + (y - 13)^2 = 169\\]\n\n## Sposób 1 - Algebraiczny (warunek styczności + punkt na okręgu)\n\n**Krok 1: Ustal postać środka okręgu stycznego do obu osi.**\n\nOkrąg styczny do obu osi układu współrzędnych musi być równoodległy od obu osi. Skoro oś \\(OX\\) to \\(y = 0\\), a oś \\(OY\\) to \\(x = 0\\), to środek \\(S = (a, b)\\) leży w równej odległości od obu - zatem \\(|a| = |b| = r\\), gdzie \\(r > 0\\) to promień.\n\nMamy 4 możliwe przypadki dla środka:\n- **Przypadek 1:** \\(S = (r, r)\\)\n- **Przypadek 2:** \\(S = (-r, r)\\)\n- **Przypadek 3:** \\(S = (r, -r)\\)\n- **Przypadek 4:** \\(S = (-r, -r)\\)\n\n**Krok 2: Przypadek 1 - środek \\(S = (r, r)\\), promień \\(r > 0\\)**\n\nPunkt \\(A = (1, 8)\\) leży na okręgu, więc:\n\\[|SA|^2 = r^2\\]\n\\[(1 - r)^2 + (8 - r)^2 = r^2\\]\n\\[1 - 2r + r^2 + 64 - 16r + r^2 = r^2\\]\n\\[r^2 - 18r + 65 = 0\\]\n\nWyróżnik:\n\\[\\Delta = 18^2 - 4 \\cdot 65 = 324 - 260 = 64\\]\n\\[r = \\frac{18 \\pm 8}{2}\\]\n\nStąd: \\(r_1 = 13\\) lub \\(r_2 = 5\\) - oba dodatnie, oba poprawne!\n\n**Dwa okręgi z tego przypadku:**\n\\[\\boxed{(x-5)^2 + (y-5)^2 = 25} \\quad \\text{oraz} \\quad \\boxed{(x-13)^2 + (y-13)^2 = 169}\\]\n\n**Krok 3: Przypadek 2 - środek \\(S = (-r, r)\\), promień \\(r > 0\\)**\n\n\\[(1 + r)^2 + (8 - r)^2 = r^2\\]\n\\[1 + 2r + r^2 + 64 - 16r + r^2 = r^2\\]\n\\[r^2 - 14r + 65 = 0\\]\n\nWyróżnik:\n\\[\\Delta = 196 - 260 = -64 < 0\\]\n\n**Brak rozwiązań rzeczywistych.** Ten przypadek odpada.\n\n**Krok 4: Przypadek 3 - środek \\(S = (r, -r)\\), promień \\(r > 0\\)**\n\n\\[(1 - r)^2 + (8 + r)^2 = r^2\\]\n\\[1 - 2r + r^2 + 64 + 16r + r^2 = r^2\\]\n\\[r^2 + 14r + 65 = 0\\]\n\nWyróżnik:\n\\[\\Delta = 196 - 260 = -64 < 0\\]\n\n**Brak rozwiązań rzeczywistych.** Ten przypadek odpada.\n\n**Krok 5: Przypadek 4 - środek \\(S = (-r, -r)\\), promień \\(r > 0\\)**\n\n\\[(1 + r)^2 + (8 + r)^2 = r^2\\]\n\\[1 + 2r + r^2 + 64 + 16r + r^2 = r^2\\]\n\\[r^2 + 18r + 65 = 0\\]\n\nWyróżnik:\n\\[\\Delta = 324 - 260 = 64\\]\n\\[r = \\frac{-18 \\pm 8}{2}\\]\n\nStąd: \\(r = -5\\) lub \\(r = -13\\) - oba **ujemne**, więc **odrzucamy** (promień musi być dodatni).\n\n**Wniosek:** Tylko przypadek 1 daje rozwiązania.\n\n\\[\\boxed{(x-5)^2 + (y-5)^2 = 25 \\qquad \\text{oraz} \\qquad (x-13)^2 + (y-13)^2 = 169}\\]\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja przez podstawienie\n\nSprawdzamy oba wyniki, czy punkt \\(A = (1, 8)\\) faktycznie leży na obu okręgach i czy okręgi są styczne do obu osi.\n\n**Okrąg 1:** \\((x-5)^2 + (y-5)^2 = 25\\), środek \\((5, 5)\\), promień \\(5\\)\n- Odległość środka od osi \\(OX\\): \\(|5| = 5 = r\\) ✓\n- Odległość środka od osi \\(OY\\): \\(|5| = 5 = r\\) ✓\n- Punkt \\(A\\): \\((1-5)^2 + (8-5)^2 = 16 + 9 = 25 = r^2\\) ✓\n\n**Okrąg 2:** \\((x-13)^2 + (y-13)^2 = 169\\), środek \\((13, 13)\\), promień \\(13\\)\n- Odległość środka od osi \\(OX\\): \\(|13| = 13 = r\\) ✓\n- Odległość środka od osi \\(OY\\): \\(|13| = 13 = r\\) ✓\n- Punkt \\(A\\): \\((1-13)^2 + (8-13)^2 = 144 + 25 = 169 = r^2\\) ✓\n\nOba okręgi spełniają wszystkie warunki.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25)**\n\nRównanie okręgu o środku \\((a, b)\\) i promieniu \\(r\\):\n\\[(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2\\]\n\nUżyliśmy tego wzoru w obu sposobach - najpierw do zapisania warunku przechodzenia przez punkt \\(A\\), potem do podania wyniku końcowego.\n\nOdległość punktu od prostej \\(Ax + By + C = 0\\):\n\\[d = \\frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\\sqrt{A^2 + B^2}}\\]\n\nWarunek styczności do osi \\(OX\\) (prosta \\(y = 0\\)): \\(d = |b| = r\\). Warunek styczności do osi \\(OY\\) (prosta \\(x = 0\\)): \\(d = |a| = r\\). Stąd wprost wynika, że \\(|a| = |b| = r\\).\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie zapominaj o **wszystkich czterech ćwiartkach** - środek stycznego do obu osi okręgu może leżeć w każdej z nich. Tutaj przypadki 2, 3, 4 wypadają, ale trzeba to sprawdzić - na egzaminie \"rozważ wszystkie przypadki\" to sygnał, że egzaminator oczekuje analizy każdego z nich.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przypadek 4 daje \\(\\Delta > 0\\), ale oba rozwiązania są ujemne - **nie wolno ich przyjąć** jako promień. To klasyczna pułapka: nie każde rozwiązanie równania jest rozwiązaniem zadania geometrycznego.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy obliczaniu \\((1 - r)^2 + (8 - r)^2 = r^2\\) łatwo popełnić błąd znaku lub zapomnieć rozwinąć jeden z nawiasów. Działaj krok po kroku i zawsze upraszczaj do trójmianu kwadratowego przed liczeniem \\(\\Delta\\).\n\n**Odpowiedź:** Są dwa okręgi:\n\\[(x-5)^{2}+(y-5)^{2} = 25 \\quad \\text{oraz} \\quad (x-13)^{2}+(y-13)^{2} = 169.\\]\n\n### Sposób 1 - Położenie środka + podstawienie\nPunkt \\(A=(1,8)\\) leży w **I ćwiartce** (\\(x>0, y>0\\)). Okrąg styczny do obu osi ma środek w takiej samej odległości od obu osi - to odległość równa promieniowi \\(r\\). Stąd środek \\(S=(r, r)\\), a okrąg:\n\\[(x-r)^{2} + (y-r)^{2} = r^{2}.\\]\n\n**Warunek przejścia przez \\(A\\):**\n\\[(1-r)^{2} + (8-r)^{2} = r^{2}\\]\n\\[1 - 2r + r^{2} + 64 - 16r + r^{2} = r^{2}\\]\n\\[r^{2} - 18r + 65 = 0.\\]\nWyróżnik: \\(\\Delta = 324 - 260 = 64\\), \\(\\sqrt{\\Delta}=8\\). Pierwiastki:\n\\[r_{1} = \\dfrac{18-8}{2} = 5, \\qquad r_{2} = \\dfrac{18+8}{2} = 13.\\]\n\n**Dwa okręgi:**\n- \\(r=5\\): środek \\(S_{1}=(5,5)\\), równanie \\((x-5)^{2}+(y-5)^{2}=25\\).\n- \\(r=13\\): środek \\(S_{2}=(13,13)\\), równanie \\((x-13)^{2}+(y-13)^{2}=169\\).\n\n**Sprawdzenie A w obu:**\n- \\((1-5)^{2}+(8-5)^{2} = 16 + 9 = 25\\) ✓.\n- \\((1-13)^{2}+(8-13)^{2} = 144 + 25 = 169\\) ✓.\n\n**Uwaga o innych ćwiartkach.** Punkt \\(A=(1,8)\\) jest w I ćwiartce. Okrąg styczny do obu osi musi leżeć w tej samej ćwiartce co punkt, bo inaczej nie mógłby jednocześnie być styczny do osi i przechodzić przez \\(A\\). Zatem rozpatrujemy tylko przypadek środka \\((r,r)\\) z \\(r>0\\).\n\n### Sposób 2 - Postać ogólna okręgu\nRozwijamy \\((x-5)^{2}+(y-5)^{2}=25\\) \\(\\Rightarrow\\) \\(x^{2}+y^{2}-10x-10y+25=0\\).\nRozwijamy \\((x-13)^{2}+(y-13)^{2}=169\\) \\(\\Rightarrow\\) \\(x^{2}+y^{2}-26x-26y+169=0\\).\n\n### Uwagi punktacji (CKE)\n- **1 pkt:** Zapisanie, że środek leży na prostej \\(y=x\\) lub \\(S=(r,r)\\).\n- **2 pkt:** Zapisanie równania kwadratowego \\(r^{2}-18r+65=0\\).\n- **3 pkt:** Rozwiązanie do końca z błędem rachunkowym lub zapisanie tylko jednego z okręgów.\n- **4 pkt:** Zapisanie równań **obu** okręgów.\n\n**Uwagi (zgodnie z CKE):** Zapisanie równań obu okręgów **i** stwierdzenie, że nie ma innych \\(\\Rightarrow\\) 4 pkt. Zapisanie tylko jednego okręgu \\(\\Rightarrow\\) 1 pkt.\n\n**Trik:** Okrąg styczny do obu osi ma środek w \\((\\pm r, \\pm r)\\), w zależności od ćwiartki. Do punktu w I ćwiartce → dwa okręgi (mniejszy i większy, oba w I ćwiartce).","image":"img/matematyka-2011-maj-matura-podstawowa/zad-33.webp","solution_image":"img/matematyka-2011-maj-matura-podstawowa/sol-33.svg","topics":"stereometria","page_from":18,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2011 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"}]}