{"paper":{"id":"matematyka-2011-maj-matura-rozszerzona","subject":"matematyka","category":"matura","year":2011,"month":"maj","level":"rozszerzona","variant":null,"exam_pdf":"matematyka-2011-maj-matura-rozszerzona/matematyka-2011-maj-matura-rozszerzona.pdf","key_pdf":"matematyka-2011-maj-matura-rozszerzona-odpowiedzi/matematyka-2011-maj-matura-rozszerzona-odpowiedzi.pdf","question_count":12,"source_label":"Matematyka · Matura · maj 2011 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},"questions":[{"id":"matematyka-2011-maj-matura-rozszerzona/zad/1","paper_id":"matematyka-2011-maj-matura-rozszerzona","number":"1","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2011,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 1. (4 pkt)\nUzasadnij, że dla każdej liczby całkowitej k liczba\n2\n4\n6\n2\nk\nk\nk\njest podzielna przez 36.\n\nPoziom rozszerzony\n3\nMatura rozszerzona z matematyki 2011. Uzasadnij, że dla każdej liczby całkowitej k liczba k^6-2k^4+k^2 jest podzielna przez 36.","answer":null,"answer_text":"2\n<\n8\nm\n1","solution":null,"image":"img/matematyka-2011-maj-matura-rozszerzona/zad-1.webp","solution_image":"img/matematyka-2011-maj-matura-rozszerzona/sol-1.svg","topics":"liczby_naturalne","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2011 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2011-maj-matura-rozszerzona/zad/2","paper_id":"matematyka-2011-maj-matura-rozszerzona","number":"2","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2011,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 2. (4 pkt)\nUzasadnij, że jeżeli\nb\na ≠\n,\n≠\na\nc ,\n≠\nb\nc i\nc\nb\na\n2\n, to\n2\nc\nb\nb\nc\na\na\nNr zadania\n1.\n2.\nMaks. liczba pkt\n4\n4\nWypełnia\negzaminator\nUzyskana liczba pkt\n\nPoziom rozszerzony\n4\nMatura rozszerzona z matematyki 2011. Uzasadnij, że jeżeli a jest różne od b, a jest różne od c, b jest różne od c i a+b=2c, to a / a-c + b / b-c = 2.","answer":null,"answer_text":"","solution":null,"image":"img/matematyka-2011-maj-matura-rozszerzona/zad-2.webp","solution_image":"img/matematyka-2011-maj-matura-rozszerzona/sol-2.svg","topics":"algebra","page_from":3,"source":"matugen","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2011 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2011-maj-matura-rozszerzona/zad/3","paper_id":"matematyka-2011-maj-matura-rozszerzona","number":"3","points":6,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2011,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 3. (6 pkt)\nWyznacz\nwszystkie\nwartości\nparametru\nm ,\ndla\nktórych\nrównanie\n0\n2\n6\n4\n2\n3\n2\nm\nm\nm\nmx\nx\nma dwa różne pierwiastki rzeczywiste\n1\n2\n,\nx\nx takie, że\n).\n1\n(\n8\n)\n(\n2\n2\n1\n<\nm\nx\nx\n\nPoziom rozszerzony\n5\nOdpowiedź:\nNr zadania\n3.\nMaks. liczba pkt\n6\nWypełnia\negzaminator\nUzyskana liczba pkt\n\nPoziom rozszerzony\n6\nMatura rozszerzona z matematyki 2011. Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których równanie x^2-4mx-m^3+6m^2+m-2=0 ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste x_1, x_2 takie, że (x_1-x_2)^2<8(m+1).","answer":null,"answer_text":"m\n2\nm\n2\n>\n0","solution":"$m \\in (0, 1) \\cup (2, 3)$","image":"img/matematyka-2011-maj-matura-rozszerzona/zad-3.webp","solution_image":"img/matematyka-2011-maj-matura-rozszerzona/sol-3.svg","topics":"parametr","page_from":4,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2011 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2011-maj-matura-rozszerzona/zad/4","paper_id":"matematyka-2011-maj-matura-rozszerzona","number":"4","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2011,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 4. (4 pkt)\nRozwiąż równanie\nx\nx\nx\nx\ncos\n1\ncos\nsin\n2\nsin\n2\n2\n2\nw przedziale 0,2π .\nOdpowiedź:\n\nPoziom rozszerzony\n7\nMatura rozszerzona z matematyki 2011. Rozwiąż równanie 2sin^2x-2sin^2xcos x=1-cos x w przedziale <0,2pi>.","answer":null,"answer_text":"","solution":"$x = 0 \\text{ lub } x = \\dfrac{1}{4}\\pi \\text{ lub } x = \\dfrac{3}{4}\\pi \\text{ lub } x = \\dfrac{5}{4}\\pi \\text{ lub } x = \\dfrac{7}{4}\\pi \\text{ lub } x = 2\\pi$","image":"img/matematyka-2011-maj-matura-rozszerzona/zad-4.webp","solution_image":"img/matematyka-2011-maj-matura-rozszerzona/sol-4.svg","topics":"trygonometria","page_from":6,"source":"zadaniazmatur","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2011 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2011-maj-matura-rozszerzona/zad/5","paper_id":"matematyka-2011-maj-matura-rozszerzona","number":"5","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2011,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 5. (4 pkt)\nO ciągu (\n)\nnx\ndla\n1\nn ≥ wiadomo, że:\na) ciąg (\n)\nna\nokreślony wzorem\n3 nx\nna =\ndla\n1\nn ≥ jest geometryczny o ilorazie\n27\nq =\nb)\n1\n2\n10\n145\nx\nx\nx\nOblicz\n1x .\nNr zadania\n4.\n5.\nMaks. liczba pkt\n4\n4\nWypełnia\negzaminator\nUzyskana liczba pkt\n\nPoziom rozszerzony\n8\nMatura rozszerzona z matematyki 2011. O ciągu (x_n) dla n>=1 wiadomo, że: a) ciąg (a_n) określony wzorem a_n=3^{x_n} dla n\\xge1 jest geometryczny o ilorazie q=27. b) x_1+x_2+...+x_{10}=145 Oblicz x_1.","answer":null,"answer_text":"5\n3\na\n1","solution":"$x_1 = 1$","image":"img/matematyka-2011-maj-matura-rozszerzona/zad-5.webp","solution_image":"img/matematyka-2011-maj-matura-rozszerzona/sol-5.svg","topics":"ciagi","page_from":7,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2011 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2011-maj-matura-rozszerzona/zad/6","paper_id":"matematyka-2011-maj-matura-rozszerzona","number":"6","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2011,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 6. (4 pkt)\nPodstawa AB trójkąta równoramiennego ABC ma długość 8 oraz\n30\nBAC =\n°\n)\n. Oblicz\ndługość środkowej AD tego trójkąta.\n\nPoziom rozszerzony\n9\nOdpowiedź:\nNr zadania\n6.\nMaks. liczba pkt\n4\nWypełnia\negzaminator\nUzyskana liczba pkt\n\nPoziom rozszerzony\n10\nMatura rozszerzona z matematyki 2011. Podstawa AB trójkąta równoramiennego ABC ma długość 8 oraz kąt BAC=30 stopni. Oblicz długość środkowej AD tego trójkąta.","answer":null,"answer_text":"","solution":"$|AD| = \\dfrac{4\\sqrt{21}}{3}$","image":"img/matematyka-2011-maj-matura-rozszerzona/zad-6.webp","solution_image":"img/matematyka-2011-maj-matura-rozszerzona/sol-6.svg","topics":"planimetria","page_from":8,"source":"zadaniazmatur","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2011 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2011-maj-matura-rozszerzona/zad/7","paper_id":"matematyka-2011-maj-matura-rozszerzona","number":"7","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2011,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 7. (4 pkt)\nOblicz miarę kąta między stycznymi do okręgu\n0\n3\n2\n2\n2\n2\ny\nx\ny\nx\npoprowadzonymi\nprzez punkt\n)\n0\n,\n2\n(\nA\n\nPoziom rozszerzony\n11\nOdpowiedź:\nNr zadania\n7.\nMaks. liczba pkt\n4\nWypełnia\negzaminator\nUzyskana liczba pkt\n\nPoziom rozszerzony\n12\nMatura rozszerzona z matematyki 2011. Oblicz miarę kąta między stycznymi do okręgu x^2+y^2+2x-2y-3=0 poprowadzonymi przez punkt A=(2,0).","answer":null,"answer_text":null,"solution":null,"image":"img/matematyka-2011-maj-matura-rozszerzona/zad-7.webp","solution_image":"img/matematyka-2011-maj-matura-rozszerzona/sol-7.svg","topics":"analityczna","page_from":10,"source":"matugen","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2011 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2011-maj-matura-rozszerzona/zad/8","paper_id":"matematyka-2011-maj-matura-rozszerzona","number":"8","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2011,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 8. (4 pkt)\nWśród wszystkich graniastosłupów prawidłowych sześciokątnych, w których suma długości\nwszystkich krawędzi jest równa 24, jest taki, który ma największe pole powierzchni bocznej.\nOblicz długość krawędzi podstawy tego graniastosłupa.\n\nPoziom rozszerzony\n13\nOdpowiedź:\nNr zadania\n8.\nMaks. liczba pkt\n4\nWypełnia\negzaminator\nUzyskana liczba pkt\n\nPoziom rozszerzony\n14\nMatura rozszerzona z matematyki 2011. Wśród wszystkich graniastosłupów prawidłowych sześciokątnych, w który suma długości wszystkich krawędzi jest równa $24$, jest taki, który ma największe pole powierzchni bocznej. Oblicz długość krawędzi podstawy tego graniastosłupa.","answer":null,"answer_text":"","solution":"$a = 1$","image":"img/matematyka-2011-maj-matura-rozszerzona/zad-8.webp","solution_image":"img/matematyka-2011-maj-matura-rozszerzona/sol-8.svg","topics":"optymalizacja","page_from":12,"source":"zadaniazmatur","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2011 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2011-maj-matura-rozszerzona/zad/9","paper_id":"matematyka-2011-maj-matura-rozszerzona","number":"9","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2011,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 9. (4 pkt)\nOblicz, ile jest liczb ośmiocyfrowych, w zapisie których nie występuje zero, natomiast\nwystępują dwie dwójki i występują trzy trójki.\nOdpowiedź:\n\nPoziom rozszerzony\n15\nMatura rozszerzona z matematyki 2011. Oblicz, ile jest liczb ośmiocyfrowych, w zapisie których nie występuje zero, natomiast występują dwie dwójki i występują trzy trójki.","answer":null,"answer_text":"27","solution":"$192080$","image":"img/matematyka-2011-maj-matura-rozszerzona/zad-9.webp","solution_image":"img/matematyka-2011-maj-matura-rozszerzona/sol-9.svg","topics":"kombinatoryka","page_from":14,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2011 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2011-maj-matura-rozszerzona/zad/10","paper_id":"matematyka-2011-maj-matura-rozszerzona","number":"10","points":3,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2011,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 10. (3 pkt)\nDany jest czworokąt wypukły ABCD niebędący równoległobokiem. Punkty M, N są\nodpowiednio środkami boków AB i CD. Punkty P, Q są odpowiednio środkami przekątnych\nAC i BD. Uzasadnij, że MQ PN\n&\nNr zadania\n9.\n10.\nMaks. liczba pkt\n4\n3\nWypełnia\negzaminator\nUzyskana liczba pkt\n\nPoziom rozszerzony\n16\nMatura rozszerzona z matematyki 2011. Dany jest czworokąt wypukły ABCD niebędący równoległobokiem. Punkty M, N są odpowiednio środkami boków AB i CD. Punkty P, Q są odpowiednio środkami przekątnych AC i BD. Uzasadnij, że MQ||PN.","answer":null,"answer_text":"","solution":null,"image":"img/matematyka-2011-maj-matura-rozszerzona/zad-10.webp","solution_image":"img/matematyka-2011-maj-matura-rozszerzona/sol-10.svg","topics":"dowody_geometryczne","page_from":15,"source":"matugen","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2011 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2011-maj-matura-rozszerzona/zad/11","paper_id":"matematyka-2011-maj-matura-rozszerzona","number":"11","points":6,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2011,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 11. (6 pkt)\nDany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny ABCDS o podstawie ABCD. W trójkącie\nrównoramiennym ASC stosunek długości podstawy do długości ramienia jest równy\n:\n6:5\nAC\nAS =\n. Oblicz sinus kąta nachylenia ściany bocznej do płaszczyzny podstawy.\n\nPoziom rozszerzony\n17\nOdpowiedź:\nNr zadania\n11.\nMaks. liczba pkt\n6\nWypełnia\negzaminator\nUzyskana liczba pkt\n\nPoziom rozszerzony\n18\nMatura rozszerzona z matematyki 2011. Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny ABCDS o podstawie ABCD. W trójkącie równoramiennym ASC stosunek długości podstawy do długości ramienia jest równy |AC|:|AS|=6:5. Oblicz sinus kąta nachylenia ściany bocznej do płaszczyzny podstawy.","answer":null,"answer_text":null,"solution":"$\\sin \\alpha = \\dfrac{4\\sqrt{82}}{41}$","image":"img/matematyka-2011-maj-matura-rozszerzona/zad-11.webp","solution_image":"img/matematyka-2011-maj-matura-rozszerzona/sol-11.svg","topics":"stereometria","page_from":16,"source":"zadaniazmatur","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2011 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2011-maj-matura-rozszerzona/zad/12","paper_id":"matematyka-2011-maj-matura-rozszerzona","number":"12","points":3,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2011,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 12. (3 pkt)\nA, B są zdarzeniami losowymi zawartymi w Ω . Wykaż, że jeżeli\n( )\n0,9\nP A =\ni\n( )\n0,7\nP B =\n,\nto\n(\n)'\n0,3\nP A\nB\n∩\n≤\n(\nB oznacza zdarzenie przeciwne do zdarzenia B).\nOdpowiedź:\nNr zadania\n12.\nMaks. liczba pkt\n3\nWypełnia\negzaminator Uzyskana liczba pkt\n\nPoziom rozszerzony\n19\nBRUDNOPIS\n\nMMA-Rą_ąP-112\n7\n9\n10\n11\n12\n8\n2\n3\n4\n5\n6\n1\nNr\nzad.\nPunkty\n0\n1\n2\n3\n4\n5\n6\nWYPEŁNIA EGZAMINATOR\nSUMA\nPUNKTÓW\nD\nJ\n0\n0\n1\n1\n2\n2\n3\n3\n4\n4\n5\n5\n6\n6\n7\n7\n8\n8\n9\n9\nWYPEŁNIA ZDAJĄCY\nPESEL\nMiejsce na naklejkę\nz nr PESEL\n\nKOD EGZAMINATORA\nCzytelny podpis egzaminatora\nKOD ZDAJĄCEGO\nMatura rozszerzona z matematyki 2011. A, B są zdarzeniami losowymi zawartymi w Omega. Wykaż, że jeżeli P(A)=0,9 i P(B)=0,7, to P(AnB')<=0,3 (B' oznacza zdarzenie przeciwne do zdarzenia B).","answer":null,"answer_text":"","solution":null,"image":"img/matematyka-2011-maj-matura-rozszerzona/zad-12.webp","solution_image":"img/matematyka-2011-maj-matura-rozszerzona/sol-12.svg","topics":"prawdopodobienstwo","page_from":18,"source":"matugen","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2011 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"}]}