{"paper":{"id":"matematyka-2011-sierpien-poprawkowa-podstawowa","subject":"matematyka","category":"inne","year":2011,"month":"sierpien","level":"podstawowa","variant":null,"exam_pdf":"matematyka-2011-sierpien-poprawkowa-podstawowa/matematyka-2011-sierpien-poprawkowa-podstawowa.pdf","key_pdf":"matematyka-2011-sierpien-poprawkowa-podstawowa-odpowiedzi/matematyka-2011-sierpien-poprawkowa-podstawowa-odpowiedzi.pdf","question_count":33,"source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2011 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},"questions":[{"id":"matematyka-2011-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/1","paper_id":"matematyka-2011-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"1","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2011,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 1. (1 pkt)\nRozwiązaniem równania (\n)\n3 2\n3\n4\nx\nx\n- jest:\nA.\n1\nx =\nB.\n2\nx =\nC.\n3\nx =\nD.\n4\nx =\nRozwiązaniem równania 3(2-3x) = x-4 jest A. x=1, B. x=2, C. x=3, D. x=4","answer":"A","answer_text":"x\n1\n1\nx\n2\n2","solution":"## Poprawna odpowiedź: A - \\(x = 1\\)\n\n## Sposób 1 - Rozwiązanie algebraiczne (rozwinięcie nawiasów)\n\nZaczynamy od rozwinięcia nawiasów po lewej stronie:\n\n\\[3(2 - 3x) = x - 4\\]\n\n\\[6 - 9x = x - 4\\]\n\nPrzenosimy wyrazy z \\(x\\) na lewą stronę, liczby na prawą (zmieniając znaki przy przeniesieniu):\n\n\\[6 - 9x - x = -4\\]\n\n\\[-9x - x = -4 - 6\\]\n\n\\[-10x = -10\\]\n\nDzielimy obie strony przez \\(-10\\):\n\n\\[x = \\frac{-10}{-10} = 1\\]\n\n**Wynik: \\(x = 1\\)**\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja przez podstawienie\n\nSprawdzamy, czy \\(x = 1\\) rzeczywiście spełnia równanie. Podstawiamy do obu stron:\n\nLewa strona:\n\\[3(2 - 3 \\cdot 1) = 3(2 - 3) = 3 \\cdot (-1) = -3\\]\n\nPrawa strona:\n\\[1 - 4 = -3\\]\n\nLewa strona = Prawa strona: \\(-3 = -3\\) ✓\n\n**Wynik potwierdzony: \\(x = 1\\).**\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczą podstawowe działania algebraiczne: rozwijanie nawiasów i przenoszenie wyrazów.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| B: \\(x = 2\\) | Błąd przy rozwinięciu nawiasu: \\(3(2-3x)\\) potraktowane jako \\(3 \\cdot 2 - 3x = 6 - 3x\\) zamiast \\(6 - 9x\\) - zapomniano pomnożyć \\(3\\) przez \\(-3x\\) |\n| C: \\(x = 3\\) | Błąd znaku przy przenoszeniu: \\(-9x - x\\) obliczone jako \\(-8x\\) (zamiast \\(-10x\\)), co daje \\(x = \\frac{10}{8}\\) lub inne błędy rachunkowe |\n| D: \\(x = 4\\) | Przenoszenie bez zmiany znaku: \\(6 - 9x = x - 4\\) błędnie zapisane jako \\(-10x = -10\\) → \\(x = 4\\) gdy ktoś doda zamiast odjąć |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy rozwijaniu nawiasu \\(3(2 - 3x)\\) KAŻDY wyraz musi być pomnożony przez \\(3\\). Bardzo częsty błąd to pomnożenie tylko pierwszego wyrazu: \\(3 \\cdot 2 = 6\\), ale zostawienie \\(-3x\\) zamiast \\(-9x\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy przenoszeniu wyrazu na drugą stronę równania **zawsze zmieniamy znak**. \\(+x\\) po prawej stronie staje się \\(-x\\) po lewej.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Dzielenie przez liczbę ujemną (\\(-10x = -10\\)) nie zmienia wyniku jeśli obie strony są ujemne - wynik jest dodatni. Pamiętaj: dwa minusy dają plus.\n\n**Poprawna odpowiedź: A**\n\n### Sposób 1 - Rozwinięcie nawiasu\n\\[3(2-3x) = x - 4\\]\n\\[6 - 9x = x - 4.\\]\nPrzenosimy zmienne na jedną stronę, stałe na drugą:\n\\[6 + 4 = x + 9x\\]\n\\[10 = 10x \\Rightarrow x = 1.\\]\n\n### Sposób 2 - Sprawdzenie podanych wartości\n- **A. \\(x=1\\)**: LHS \\(= 3(2-3) = -3\\); RHS \\(= 1-4 = -3\\). ✓\n- **B. \\(x=2\\)**: LHS \\(= 3(2-6) = -12\\); RHS \\(= -2\\). Nie.\n- **C. \\(x=3\\)**: LHS \\(= 3(2-9) = -21\\); RHS \\(= -1\\). Nie.\n- **D. \\(x=4\\)**: LHS \\(= 3(2-12) = -30\\); RHS \\(= 0\\). Nie.\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **B, C, D** - żadna z tych liczb nie spełnia równania (patrz powyżej).\n\n**Trik:** Zawsze można sprawdzić odpowiedzi przez podstawienie, szczególnie gdy równanie jest proste i odpowiedzi to małe liczby.","image":"img/matematyka-2011-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-1.webp","solution_image":"img/matematyka-2011-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-1.svg","topics":"rownania_i_nierownosci","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2011 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2011-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/2","paper_id":"matematyka-2011-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"2","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2011,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 2. (1 pkt)\nSuma liczby x i 15% tej liczby jest równa 230. Równaniem opisującym tę zależność jest\nA. 0,15\n230\nx\n⋅\nB. 0,85\n230\nx\n⋅\nC.\n0,15\n230\nx\nx\n⋅\nD.\n0,15\n230\nx\nx\n⋅\nSuma liczby x i 15% tej liczby jest równa 230. Równaniem opisującym tę zależność jest A. 0,15⋅x = 230, B. 0,85⋅x = 230, C. x + 0,15⋅x = 230, D. x - 0,15⋅x = 230","answer":"C","answer_text":"4\n5\n6\n7\n8\n9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23","solution":"## Poprawna odpowiedź: C\n\n\\[x + 0{,}15 \\cdot x = 230\\]\n\n## Sposób 1 - bezpośrednie tłumaczenie treści na równanie\n\nCzytamy zdanie fragment po fragmencie i zapisujemy algebraicznie:\n\n- „Suma liczby \\(x\\)\" → \\(x\\)\n- „i 15% tej liczby\" → \\(+ 0{,}15 \\cdot x\\)\n- „jest równa 230\" → \\(= 230\\)\n\nSkładamy razem:\n\n\\[x + 0{,}15 \\cdot x = 230\\]\n\n**To jest odpowiedź C.**\n\nMożemy też od razu rozwiązać to równanie (jako weryfikacja sensu):\n\n\\[1 \\cdot x + 0{,}15 \\cdot x = 230\\]\n\\[1{,}15 \\cdot x = 230\\]\n\\[x = \\frac{230}{1{,}15} = 200\\]\n\nSprawdzenie: \\(200 + 15\\% \\cdot 200 = 200 + 30 = 230\\) ✓\n\n## Sposób 2 - przez zapis procentowy\n\n\\(15\\%\\) liczby \\(x\\) to \\(\\frac{15}{100} \\cdot x = 0{,}15x\\).\n\nTreść mówi: **suma** liczby \\(x\\) **i** jej \\(15\\%\\) wynosi \\(230\\). Słowo „suma\" wskazuje na dodawanie obu składników:\n\n\\[\\underbrace{x}_{\\text{liczba}} + \\underbrace{0{,}15 \\cdot x}_{15\\%\\text{ tej liczby}} = 230\\]\n\nTo tożsame z Odpowiedzią C.\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy zrozumienie pojęcia procentu i bezpośrednie tłumaczenie treści na równanie.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Równanie | Błąd |\n| A | \\(0{,}15 \\cdot x = 230\\) | Pominięto samą liczbę \\(x\\) - jakby treść brzmiała „15% liczby jest równe 230\" |\n| B | \\(0{,}85 \\cdot x = 230\\) | Odjęto 15% zamiast dodać - jakby treść brzmiała „liczba pomniejszona o 15%\" |\n| D | \\(x - 0{,}15 \\cdot x = 230\\) | Zmieniono „i\" na minus - zamiast sumy mamy różnicę; to byłoby 85% liczby |\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Słowo „suma i \" zawsze oznacza dodawanie. Nie odejmowanie, nie samo jedno wyrażenie - tylko dodawanie obu podanych składników.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Łatwo pomylić „x plus 15% x\" (odpowiedź C, czyli 115% x) z „85% x\" (odpowiedź B). Odpowiedź B byłaby poprawna, gdyby treść brzmiała: „liczba x pomniejszona o 15% tej liczby\".\n\n> ⚠️ **Uwaga:** 15% liczby to \\(0{,}15 \\cdot x\\), **nie** \\(15x\\) ani \\(\\frac{x}{15}\\). Procent zamieniamy: \\(15\\% = \\frac{15}{100} = 0{,}15\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1 - Bezpośredni zapis warunku\n„Suma liczby \\(x\\) i \\(15\\%\\) tej liczby jest równa \\(230\\)\".\n- Liczba \\(x\\) to \\(x\\).\n- \\(15\\%\\) liczby \\(x\\) to \\(0{,}15\\cdot x\\).\n- Suma: \\(x + 0{,}15x\\).\n- Równa \\(230\\): \\(x + 0{,}15x = 230\\).\n\nTo jest odpowiedź **C**.\n\n### Sposób 2 - Uproszczenie i sprawdzenie\n\\(x + 0{,}15x = 1{,}15x = 230 \\Rightarrow x = \\dfrac{230}{1{,}15} = 200\\). Sprawdzenie: \\(200 + 0{,}15\\cdot 200 = 200 + 30 = 230\\) ✓.\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(0{,}15x = 230\\)** - opisuje: „\\(15\\%\\) liczby = 230\", a nie sumę liczby i \\(15\\%\\).\n- **B. \\(0{,}85x = 230\\)** - opisuje „\\(85\\%\\) liczby = 230\", tj. różnicę \\(x - 0{,}15x\\), a nie sumę.\n- **D. \\(x - 0{,}15x = 230\\)** - różnica zamiast sumy.\n\n**Trik:** \\(15\\%\\) w postaci dziesiętnej to \\(0{,}15\\). Słowo „suma\" ⟺ znak \\(+\\).","image":"img/matematyka-2011-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-2.webp","solution_image":"img/matematyka-2011-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-2.svg","topics":"algebra","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2011 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2011-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/3","paper_id":"matematyka-2011-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"3","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2011,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 3. (1 pkt)\nRozwiązaniem układu równań\n3\n5\n2\n3\nx\ny\nx\ny\n⎧\n⎨\n⎩\njest\nA.\n2\n1\nx\ny\n⎧\n⎨\n⎩\nB.\n2\n1\nx\ny\n⎧\n⎨\n⎩\nC.\n1\n2\nx\ny\n⎧\n⎨\n⎩\nD.\n1\n2\nx\ny\n⎧\n⎨\n⎩\nRozwiązaniem układu równań { x+3y=5 2x-y=3 jest A. {x=2 y=1 B. {x=2 y=-1, C. {x=1 y=2, D. {x=1 y=-2","answer":"A","answer_text":"1\n⎛\n3\n⎞\n2\n1\n3\n1","solution":"## Poprawna odpowiedź: A\n\n\\(\\begin{cases} x = 2 \\\\ y = 1 \\end{cases}\\)\n\n## Sposób 1 - podstawianie\n\n**Wyrażamy \\(x\\) z pierwszego równania:**\n\n\\[x + 3y = 5 \\implies x = 5 - 3y\\]\n\n**Podstawiamy do drugiego równania:**\n\n\\[2(5 - 3y) - y = 3\\]\n\\[10 - 6y - y = 3\\]\n\\[10 - 7y = 3\\]\n\\[-7y = -7\\]\n\\[y = 1\\]\n\n**Wracamy do wyrażenia na \\(x\\):**\n\n\\[x = 5 - 3 \\cdot 1 = 5 - 3 = 2\\]\n\n**Wynik: \\(x = 2\\), \\(y = 1\\)** - odpowiedź **A**.\n\n## Sposób 2 - eliminacja (dodawanie równań)\n\nChcemy wyeliminować jedną zmienną, mnożąc równania przez odpowiednie liczby.\n\n**Mnożymy pierwsze równanie przez \\(2\\) i odejmujemy drugie:**\n\n\\[2 \\cdot (x + 3y = 5) \\implies 2x + 6y = 10\\]\n\nOdejmujemy od tego drugie równanie \\((2x - y = 3)\\):\n\n\\[(2x + 6y) - (2x - y) = 10 - 3\\]\n\\[2x + 6y - 2x + y = 7\\]\n\\[7y = 7\\]\n\\[y = 1\\]\n\n**Podstawiamy \\(y = 1\\) do pierwszego równania:**\n\n\\[x + 3 \\cdot 1 = 5 \\implies x = 2\\]\n\n**Wynik: \\(x = 2\\), \\(y = 1\\)** - odpowiedź **A**. ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczą podstawowe przekształcenia algebraiczne (podstawianie i eliminacja). Układy równań liniowych rozwiązujemy metodami elementarnymi, które są wymagane na poziomie matury bez korzystania z karty.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd prowadzący do tej odpowiedzi |\n| B | Poprawne \\(x = 2\\), ale błędny znak \\(y\\): uczeń dostaje \\(y = 1\\) i wpisuje \\(y = -1\\) (mylenie znaków przy eliminacji) |\n| C | Zamiana wartości: uczeń otrzymuje poprawną parę \\((2, 1)\\), ale wpisuje ją odwrotnie jako \\(x = 1, y = 2\\) |\n| D | Dwa błędy naraz: zamienione wartości i błędny znak - \\(x = 1, y = -2\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy metodzie podstawiania pamiętaj o nawiasach! \\(2(5 - 3y)\\) - bez nawiasu dostaniesz \\(10 - 3y\\) zamiast \\(10 - 6y\\). To najczęstszy błąd w tym typie zadań.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Po wyznaczeniu \\(y\\) zawsze wróć do **jednego z oryginalnych równań**, żeby znaleźć \\(x\\). Nie podstawiaj do przekształconego równania - łatwo tam o wcześniejszy błąd.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Zawsze sprawdź wynik! Podstaw \\(x = 2, y = 1\\) do **obu** równań: \\(2 + 3 \\cdot 1 = 5\\) ✓ i \\(2 \\cdot 2 - 1 = 3\\) ✓. Na maturze to 10 sekund, a gwarantuje pełny wynik.\n\n**Poprawna odpowiedź: A**\n\n### Sposób 1 - Metoda podstawiania\nZ drugiego równania: \\(y = 2x - 3\\). Podstawiamy do pierwszego:\n\\[x + 3(2x-3) = 5\\]\n\\[x + 6x - 9 = 5\\]\n\\[7x = 14 \\Rightarrow x = 2.\\]\nWtedy \\(y = 2\\cdot 2 - 3 = 1\\). Zatem \\((x,y) = (2,1)\\).\n\n### Sposób 2 - Metoda przeciwnych współczynników\nMnożymy drugie równanie przez \\(3\\):\n\\[\\begin{cases} x + 3y = 5 \\\\ 6x - 3y = 9 \\end{cases}\\]\nDodajemy: \\(7x = 14\\), więc \\(x=2\\). Z pierwszego: \\(3y = 5-2 = 3 \\Rightarrow y=1\\).\n\n### Sposób 3 - Sprawdzenie odpowiedzi\n- **A.** \\(x=2, y=1\\): \\(2+3=5\\) ✓, \\(4-1=3\\) ✓.\n- **B.** \\(x=2, y=-1\\): \\(2-3=-1 \\ne 5\\).\n- **C.** \\(x=1, y=2\\): \\(1+6=7 \\ne 5\\).\n- **D.** \\(x=1, y=-2\\): \\(1-6=-5 \\ne 5\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\nPatrz sprawdzenie w Sposobie 3 - tylko \\((2,1)\\) spełnia oba równania.\n\n**Trik:** Przy układach liniowych zawsze sprawdzaj rozwiązanie podstawiając do obu równań.","image":"img/matematyka-2011-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-3.webp","solution_image":"img/matematyka-2011-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-3.svg","topics":"uklady_rownan","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2011 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2011-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/4","paper_id":"matematyka-2011-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"4","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2011,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 4. (1 pkt)\nFunkcja liniowa\n( )\n(\n2)\n11\nf x\nm\nx\njest rosnąca dla\nA.\n2\nm >\nB.\n0\nm >\nC.\n13\nm <\nD.\n11\nm <\nFunkcja liniowa f(x)=(m-2)x-11 jest rosnąca dla A. m>2, B. m>0, C. m<13, D. m<11","answer":"A","answer_text":"X\nX\nX\nX\nX\nX","solution":null,"image":"img/matematyka-2011-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-4.webp","solution_image":"img/matematyka-2011-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-4.svg","topics":"funkcje","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2011 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2011-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/5","paper_id":"matematyka-2011-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"5","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2011,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 5. (1 pkt)\nDo wykresu funkcji liniowej f należą punkty\n(1,2) i\n( 2,5).\nA\nB\nFunkcja f ma wzór\nA.\n( )\n3\nf x\nx\nB.\n( )\n3\nf x\nx\nC.\n( )\n3\nf x\nx\nD.\n( )\n3\nf x\nx\nDo wykresu funkcji liniowej f należą punkty A=(1,2) i B=(-2,5). Funkcja f ma wzór A. f(x)=x+3, B. f(x)=x-3, C. f(x)=-x-3, D. f(x)=-x+3","answer":"D","answer_text":"⋅\n)\n⋅⋅\n7 2\n3\n⋅\n3\n2\n⋅\n(\n2 5 11 3 2\n⋅\n)\n⋅\n⋅\n(\n⋅\n2\n)\n⋅\n13\n⋅\n(\n2 7\n⋅\n) (\n⋅\n3 5\n⋅\n)\n⋅\n2\n4\n2\n15\n⋅\n3\n6\n⋅\n5\n3\n⋅\n7\n2\n⋅\n11 13\n⋅","solution":"## Poprawna odpowiedź: D\n\n\\(f(x) = -x + 3\\)\n\n## Sposób 1 - obliczenie wzoru przez układ równań\n\nFunkcja liniowa ma postać \\(f(x) = ax + b\\). Skoro punkty \\(A = (1, 2)\\) i \\(B = (-2, 5)\\) należą do wykresu, to muszą spełniać równanie:\n\n\\[f(1) = 2 \\implies a \\cdot 1 + b = 2\\]\n\\[f(-2) = 5 \\implies a \\cdot (-2) + b = 5\\]\n\nMamy układ równań:\n\\[\\begin{cases} a + b = 2 \\\\ -2a + b = 5 \\end{cases}\\]\n\nOdejmujemy pierwsze równanie od drugiego:\n\\[(-2a + b) - (a + b) = 5 - 2\\]\n\\[-3a = 3\\]\n\\[a = -1\\]\n\nPodstawiamy do pierwszego równania:\n\\[-1 + b = 2 \\implies b = 3\\]\n\n**Wzór funkcji: \\(f(x) = -x + 3\\)**\n\n## Sposób 2 - wzór na współczynnik kierunkowy\n\nWspółczynnik kierunkowy prostej przez dwa punkty wyraża się wzorem:\n\\[a = \\frac{y_B - y_A}{x_B - x_A} = \\frac{5 - 2}{-2 - 1} = \\frac{3}{-3} = -1\\]\n\nTeraz szukamy \\(b\\), korzystając z punktu \\(A = (1, 2)\\):\n\\[f(x) = -x + b\\]\n\\[2 = -1 \\cdot 1 + b \\implies b = 3\\]\n\n**Wzór funkcji: \\(f(x) = -x + 3\\)**\n\nWeryfikacja z punktem \\(B = (-2, 5)\\):\n\\[f(-2) = -(-2) + 3 = 2 + 3 = 5 \\checkmark\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25)** - równanie kierunkowe prostej:\n\\[y = ax + b, \\quad \\text{gdzie } a = \\operatorname{tg}\\alpha\\]\n\nW Sposobie 2 wprost zastosowaliśmy wzór na współczynnik kierunkowy prostej przechhodzącej przez dwa punkty:\n\\[a = \\frac{y_B - y_A}{x_B - x_A}\\]\nTen wzór wynika z definicji zawartej w tym dziale.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| A | \\(f(x) = x + 3\\) - poprawne \\(b = 3\\), ale zły znak współczynnika \\(a\\); uczeń policzył \\(\\|a\\|\\) bez uwzględnienia znaku: \\(\\frac{3}{3} = 1\\) zamiast \\(\\frac{3}{-3} = -1\\) |\n| B | \\(f(x) = x - 3\\) - zły znak zarówno \\(a\\), jak i \\(b\\); podwójny błąd w obliczeniach lub pomyłka w odczytaniu punktów |\n| C | \\(f(x) = -x - 3\\) - poprawny \\(a = -1\\), ale błędny wyraz wolny \\(b = -3\\); prawdopodobnie uczeń podstawił \\(-2 = -1 \\cdot 1 + b\\) zamiast \\(2 = -1 \\cdot 1 + b\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy obliczaniu współczynnika kierunkowego kolejność punktów musi być **spójna** w liczniku i mianowniku. Jeśli piszesz \\(y_B - y_A\\) na górze, to **musisz** pisać \\(x_B - x_A\\) na dole - nie odwrotnie!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Po znalezieniu \\(a\\) podstawiaj współrzędne punktu ostrożnie. Punkt \\(A = (1, 2)\\) oznacza \\(x = 1\\), \\(y = 2\\) - łatwo zamienić je miejscami i wyjdzie błędne \\(b\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Zawsze **sprawdź wynik** z drugim punktem (tu \\(B\\)). Zajmuje to 5 sekund i eliminuje błędy obliczeniowe przed zaznaczeniem odpowiedzi!\n\n**Poprawna odpowiedź: D**\n\n### Sposób 1 - Współczynnik kierunkowy i wyraz wolny\nWspółczynnik kierunkowy:\n\\[a = \\dfrac{y_{B}-y_{A}}{x_{B}-x_{A}} = \\dfrac{5-2}{-2-1} = \\dfrac{3}{-3} = -1.\\]\nZ \\(f(x) = -x + b\\) i \\(f(1)=2\\): \\(2 = -1 + b \\Rightarrow b = 3\\). Zatem \\(f(x) = -x + 3\\).\n\n### Sposób 2 - Weryfikacja podanych wzorów\n- **A.** \\(f(1)=1+3=4\\ne 2\\).\n- **B.** \\(f(1)=1-3=-2\\ne 2\\).\n- **C.** \\(f(1)=-1-3=-4\\ne 2\\).\n- **D.** \\(f(1)=-1+3=2\\) ✓; \\(f(-2)=2+3=5\\) ✓.\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\nŻaden z wzorów A, B, C nie przechodzi przez oba punkty jednocześnie - patrz sprawdzenie.\n\n**Trik:** Wzór prostej przez dwa punkty: \\(a=\\tfrac{\\Delta y}{\\Delta x}\\), potem \\(b\\) z podstawienia punktu.","image":"img/matematyka-2011-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-5.webp","solution_image":"img/matematyka-2011-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-5.svg","topics":"funkcje","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2011 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2011-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/6","paper_id":"matematyka-2011-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"6","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2011,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 6. (1 pkt)\nPunkt\n(\n)\n0,5\nA =\nleży na prostej k prostopadłej do prostej o równaniu\n1\ny\nx\n+ . Prosta k ma\nrównanie\nA.\n5\ny\nx\nB.\n5\ny\nx\nC.\n5\ny\nx\nD.\n5\ny\nx\nPunkt A=(0,5) leży na prostej k prostopadłej do prostej o równaniu y=x+1. Prosta A. y=x+5, B. y=-x+5, C. y=x-5, D. y=-x-5","answer":"B","answer_text":"X\nX\nX\nX","solution":null,"image":"img/matematyka-2011-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-6.webp","solution_image":"img/matematyka-2011-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-6.svg","topics":"analityczna","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2011 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2011-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/7","paper_id":"matematyka-2011-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"7","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2011,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 7. (1 pkt)\nDla pewnych liczb a i b zachodzą równości:\n2\n2\n200\na\nb\ni\n8\na\nb\n. Dla tych liczb a i b\nwartość wyrażenia a\nb\n- jest równa\nA. 25\nB. 16\nC. 10\nD. 2\nDla pewnych liczb a i b zachodzą równości: a^2-b^2=200 i a+b=8. Dla tych liczb a i b wartość wyrażenia a-b jest równa A. 25, B. 16, C. 10, D. 2","answer":"A","answer_text":"X\nX\nX","solution":"## Poprawna odpowiedź: A - \\(a - b = 25\\)\n\n## Sposób 1 - Wzór na różnicę kwadratów\n\nKluczowe spostrzeżenie: wyrażenie \\(a^2 - b^2\\) można **rozłożyć na czynniki** korzystając ze wzoru skróconego mnożenia:\n\n\\[a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)\\]\n\nPodstawiamy dane z zadania: wiemy, że \\(a^2 - b^2 = 200\\) oraz \\(a + b = 8\\), więc:\n\n\\[(a+b)(a-b) = 200\\]\n\n\\[8 \\cdot (a-b) = 200\\]\n\n\\[a - b = \\frac{200}{8}\\]\n\n\\[\\boxed{a - b = 25}\\]\n\n## Sposób 2 - Układ równań (wyznaczenie \\(a\\) i \\(b\\) z osobna)\n\nMamy układ:\n\\[\\begin{cases} a + b = 8 \\\\ a^2 - b^2 = 200 \\end{cases}\\]\n\nZ pierwszego równania: \\(a = 8 - b\\). Podstawiamy do drugiego:\n\n\\[(8-b)^2 - b^2 = 200\\]\n\n\\[64 - 16b + b^2 - b^2 = 200\\]\n\n\\[64 - 16b = 200\\]\n\n\\[-16b = 136\\]\n\n\\[b = -\\frac{136}{16} = -8{,}5\\]\n\nStąd: \\(a = 8 - (-8{,}5) = 16{,}5\\)\n\n**Sprawdzenie:** \\(a^2 - b^2 = (16{,}5)^2 - (-8{,}5)^2 = 272{,}25 - 72{,}25 = 200\\) ✓\n\nWartość szukanego wyrażenia:\n\\[a - b = 16{,}5 - (-8{,}5) = \\mathbf{25}\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 6 (Wzory skróconego mnożenia, s. 7)**:\n\\[a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\\]\n\nTo właśnie ten wzór jest kluczem do błyskawicznego rozwiązania - zamiast wyznaczać \\(a\\) i \\(b\\) z osobna, od razu dostajemy wartość \\(a-b\\) przez zwykłe dzielenie.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| B - \\(16\\) | Uczeń liczy \\(200 - 8 = 192\\) albo myli \\(a-b\\) z \\(a+b\\) i podaje \\(2 \\cdot 8 = 16\\) |\n| C - \\(10\\) | Uczeń myśli, że \\(a-b = \\frac{a^2-b^2}{a+b-a} = \\frac{200}{20} = 10\\) (błędne uproszczenie) |\n| D - \\(2\\) | Uczeń liczy \\(a-b = \\frac{a+b}{\\text{coś}} \\approx \\frac{8}{4} = 2\\) - zgadywanie bez podstaw |\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie trzeba wyznaczać \\(a\\) i \\(b\\) z osobna! Zadanie pyta o \\(a - b\\), a wzór \\(a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)\\) daje to od razu - to klasyczny trick maturalny.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wynik \\(a - b = 25\\) jest **większy** niż \\(a + b = 8\\), bo \\(b\\) jest ujemne. Nie dawaj się zmylić intuicji - to matematycznie poprawne.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie myl wzoru - to \\((a-b)(a+b)\\), a nie \\((a-b)^2\\) czy \\((a+b)^2\\). Sprawdź w karcie wzorów dział 6, s. 7!\n\n**Poprawna odpowiedź: A**\n\n### Sposób 1 - Wzór skróconego mnożenia \\((a-b)(a+b) = a^{2}-b^{2}\\)\nMamy \\(a^{2}-b^{2} = 200\\) oraz \\(a+b = 8\\). Stąd:\n\\[(a-b)(a+b) = 200\\]\n\\[(a-b)\\cdot 8 = 200 \\Rightarrow a-b = 25.\\]\n\n### Sposób 2 - Wyznaczenie \\(a\\) i \\(b\\)\nZ układu \\(a+b=8\\), \\(a-b=25\\): dodając obie równości \\(2a=33\\), \\(a=16{,}5\\); odejmując \\(2b=-17\\), \\(b=-8{,}5\\).\nSprawdzenie: \\(a^{2}-b^{2} = 272{,}25 - 72{,}25 = 200\\) ✓.\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **B. \\(16\\)**, **C. \\(10\\)**, **D. \\(2\\)** - dla żadnej z tych wartości \\((a-b)\\cdot 8\\) nie daje \\(200\\).\n\n**Trik:** Rozpoznaj wzór \\(a^{2}-b^{2} = (a-b)(a+b)\\) - to natychmiastowe rozwiązanie.","image":"img/matematyka-2011-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-7.webp","solution_image":"img/matematyka-2011-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-7.svg","topics":"algebra","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2011 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2011-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/8","paper_id":"matematyka-2011-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"8","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2011,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 8. (1 pkt)\nLiczba 5\n2\n1 6\njest równa\nA. 8\nB. 2\nC. 3\nD.\n2\n\nPoziom podstawowy\n3\nBRUDNOPIS\n\nPoziom podstawowy\n4\nLiczba |5-2|+|1-6| jest równa A. 8, B. 2, C. 3, D. -2","answer":"A","answer_text":"1\n45","solution":null,"image":"img/matematyka-2011-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-8.webp","solution_image":"img/matematyka-2011-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-8.svg","topics":"bezwgledna","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2011 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2011-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/9","paper_id":"matematyka-2011-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"9","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2011,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 9. (1 pkt)\nLiczba\n2\n3\nlog 4\n2log 1\njest równa\nA.\n0\nB. 1\nC. 2\nD. 4\nLiczba log_2 4 + 2 * log_3 1 jest równa A. 0, B. 1, C. 2, D. 4","answer":"C","answer_text":"7\n1\n45","solution":"## Poprawna odpowiedź: C - \\(2\\)\n\n## Sposób 1 - bezpośrednie obliczenie obu logarytmów\n\n**Obliczamy \\(\\log_2 4\\):**\n\nPytamy: do jakiej potęgi trzeba podnieść \\(2\\), żeby dostać \\(4\\)?\n\n\\[\\log_2 4 = \\log_2 2^2 = 2\\]\n\n**Obliczamy \\(2\\log_3 1\\):**\n\nPytamy: do jakiej potęgi trzeba podnieść \\(3\\), żeby dostać \\(1\\)?\n\n\\[\\log_3 1 = 0\\]\n\nbo \\(3^0 = 1\\) - każda liczba podniesiona do potęgi \\(0\\) daje \\(1\\). Zatem:\n\n\\[2\\log_3 1 = 2 \\cdot 0 = 0\\]\n\n**Sumujemy:**\n\n\\[\\log_2 4 + 2\\log_3 1 = 2 + 0 = \\mathbf{2}\\]\n\n## Sposób 2 - zastosowanie własności logarytmu \\(\\log_a a^n = n\\)\n\nMożemy skorzystać bezpośrednio z własności: \\(\\log_a a^n = n\\).\n\n\\[\\log_2 4 = \\log_2 2^2 = 2\\]\n\nOraz z własności: \\(\\log_a 1 = 0\\) dla każdej podstawy \\(a > 0, a \\neq 1\\), bo \\(a^0 = 1\\) zawsze.\n\n\\[2\\log_3 1 = 2 \\cdot 0 = 0\\]\n\nWynik:\n\n\\[\\log_2 4 + 2\\log_3 1 = 2 + 0 = \\mathbf{2}\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 3 (Logarytmy, s. 5-6)** - definicja logarytmu:\n\\[\\log_a b = c \\iff a^c = b\\]\nUżyliśmy tego przy wyznaczaniu \\(\\log_2 4 = 2\\), bo \\(2^2 = 4\\).\n\n**Dział 3 (Logarytmy, s. 5-6)** - własność potęgi logarytmu:\n\\[\\log_a x^r = r \\cdot \\log_a x\\]\nPozwala wyciągnąć wykładnik przed logarytm - tu \\(\\log_2 2^2 = 2 \\cdot \\log_2 2 = 2 \\cdot 1 = 2\\).\n\nKluczowy fakt (wynikający z definicji, s. 5): \\(\\log_a 1 = 0\\) dla każdego \\(a > 0, a \\neq 1\\), bo \\(a^0 = 1\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| A (\\(0\\)) | Uczeń liczy \\(\\log_2 4 = 0\\) - myli logarytm z wartością dla argumentu \\(1\\), albo całe wyrażenie zeruje przez pomyłkę |\n| B (\\(1\\)) | Uczeń liczy \\(\\log_2 4 = 1\\) (myli \\(\\log_2 2 = 1\\) z \\(\\log_2 4\\)) i dodaje \\(0\\) |\n| D (\\(4\\)) | Uczeń liczy \\(\\log_2 4 = 4\\) (zamiast zastanowić się, że \\(2^2 = 4\\), wpisuje argument logarytmu wprost jako wynik) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\(\\log_3 1 = 0\\) **zawsze**, niezależnie od podstawy. Wiele osób myśli, że skoro \\(3 \\neq 1\\), to wynik nie może być zerem - to błąd. Zawsze \\(a^0 = 1\\), więc \\(\\log_a 1 = 0\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie mylić \\(\\log_2 4\\) z \\(\\log_2 2 = 1\\). Pytamy: \"2 do jakiej potęgi = 4?\", a nie \"2 do jakiej potęgi = 2?\".\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wyrażenie \\(2\\log_3 1\\) oznacza \"dwa razy logarytm z jedynki\", a nie \"logarytm przy podstawie \\(2\\cdot3=6\\)\" - kolejność działań jest standardowa: najpierw logarytm, potem mnożenie przez \\(2\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1 - Obliczenie każdego składnika\n- \\(\\log_{2} 4 = \\log_{2} 2^{2} = 2\\).\n- \\(\\log_{3} 1 = 0\\) (bo \\(3^{0} = 1\\)). Zatem \\(2\\cdot \\log_{3} 1 = 2\\cdot 0 = 0\\).\n\nSuma: \\(2 + 0 = 2\\).\n\n### Sposób 2 - Z definicji\n\\(\\log_{a} 1 = 0\\) dla każdej podstawy \\(a>0, a\\ne 1\\). To eliminuje drugi składnik. Następnie \\(\\log_{2} 4\\) to wykładnik, do którego trzeba podnieść \\(2\\), aby otrzymać \\(4\\) - odpowiedź \\(2\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(0\\)** - wynik, gdyby oba składniki były zerami.\n- **B. \\(1\\)** - wynik \\(\\log_{2} 2 + 0\\).\n- **D. \\(4\\)** - wartość argumentu pierwszego logarytmu, nie logarytmu.\n\n**Trik:** \\(\\log_{a} 1 = 0\\) zawsze; \\(\\log_{a} a^{n} = n\\).","image":"img/matematyka-2011-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-9.webp","solution_image":"img/matematyka-2011-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-9.svg","topics":"logarytmy","page_from":4,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2011 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2011-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/10","paper_id":"matematyka-2011-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"10","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2011,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 10. (1 pkt)\nZbiorem wartości funkcji kwadratowej\n2\n( )\n4\nf x\nx\njest\nA.\n)\n4,\n〈-\n+∞\nB.\n)\n2,\n〈-\n+∞\nC.\n)\n2,\n〈\n+∞\nD.\n)\n4,\n〈\n+∞\nZbiorem wartości funkcji kwadratowej f(x)=x^2-4 jest A. <-4,+oo), B. <-2,+oo), C. <2,+oo), D. <4,+oo)","answer":"A","answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: A - \\(\\langle -4, +\\infty)\\)\n\n## Sposób 1 - analiza postaci kanonicznej\n\nFunkcja \\(f(x) = x^2 - 4\\) to parabola skierowana ramionami **w górę** (współczynnik przy \\(x^2\\) jest dodatni: \\(a = 1 > 0\\)).\n\n**Krok 1:** Znajdź wierzchołek paraboli.\n\nFunkcja jest już w postaci kanonicznej:\n\\[f(x) = (x - 0)^2 + (-4)\\]\n\nWierzchołek: \\(W = (0, -4)\\)\n\n**Krok 2:** Ponieważ parabola jest skierowana w górę, wierzchołek to **minimum** funkcji.\n\nMinimalna wartość funkcji wynosi \\(f(0) = -4\\).\n\n**Krok 3:** Funkcja przyjmuje wszystkie wartości od \\(-4\\) wzwyż, czyli:\n\\[\\text{ZW}(f) = \\langle -4, +\\infty)\\]\n\n**Odpowiedź: A**\n\n## Sposób 2 - tabelka wartości + myślenie o paraboli\n\nObliczmy kilka wartości:\n\n| \\(x\\) | \\(-3\\) | \\(-2\\) | \\(-1\\) | \\(0\\) | \\(1\\) | \\(2\\) | \\(3\\) |\n| \\(f(x)\\) | \\(5\\) | \\(0\\) | \\(-3\\) | \\(-4\\) | \\(-3\\) | \\(0\\) | \\(5\\) |\n\nWidzimy, że najmniejsza wartość to \\(f(0) = -4\\), a wraz z oddalaniem się od \\(x = 0\\) wartości rosną bez ograniczenia.\n\n**Weryfikacja:** Dla dowolnego \\(x\\) mamy \\(x^2 \\geq 0\\), więc:\n\\[f(x) = x^2 - 4 \\geq 0 - 4 = -4\\]\n\nDolne ograniczenie \\(-4\\) jest osiągane (dla \\(x = 0\\)), więc \\(-4\\) **należy** do zbioru wartości - stąd nawias ostrokątny \\(\\langle\\) (domknięty).\n\nZbiór wartości: \\(\\langle -4, +\\infty)\\) ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)** - postać kanoniczna i wierzchołek:\n\\[f(x) = a(x-p)^2 + q, \\quad W = (p, q)\\]\ngdzie \\(q = -\\frac{\\Delta}{4a}\\) to minimalna wartość funkcji (gdy \\(a > 0\\)).\n\nUżyliśmy tego faktu: gdy \\(a > 0\\), wierzchołek wyznacza **minimum** funkcji, a zbiorem wartości jest \\(\\langle q, +\\infty)\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| **B** | Pomylenie wierzchołka z miejscami zerowymi - \\(f(x) = 0\\) daje \\(x = \\pm 2\\), ale to miejsca zerowe, nie minimum wartości |\n| **C** | Wzięto \\(x_2 = 2\\) (jedno z miejsc zerowych) jako dolne ograniczenie zbioru wartości - błędne myślenie |\n| **D** | Zamieniono znaki - \\(f(x) = x^2 - 4\\) ma minimum \\(-4\\), nie \\(+4\\); pomylenie \\(f(0) = -4\\) z \\(|{-4}| = 4\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie mylić **miejsc zerowych** (\\(x = \\pm 2\\), gdzie \\(f(x) = 0\\)) z **minimum funkcji** (\\(f(0) = -4\\)). To zupełnie różne pojęcia!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Dolne ograniczenie zbioru wartości to \\(-4\\) (wartość \\(f\\) w wierzchołku) - z nawiasem **domkniętym** \\(\\langle\\), bo minimum **jest osiągane** (dla \\(x = 0\\)).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Gdyby parabola była skierowana w dół (\\(a < 0\\)), zbiorem wartości byłoby \\((-\\infty, q\\rangle\\) - zawsze sprawdzaj znak \\(a\\)!\n\n**Poprawna odpowiedź: A**\n\n### Sposób 1 - Postać kanoniczna i wierzchołek\nFunkcja \\(f(x) = x^{2} - 4\\) jest już w postaci kanonicznej \\(f(x) = (x-0)^{2} + (-4)\\). Wierzchołek paraboli: \\((0, -4)\\).\n\nWspółczynnik \\(a=1>0\\), więc ramiona paraboli skierowane do góry - minimum w wierzchołku. Najmniejsza wartość: \\(-4\\).\n\n\\[ZW_{f} = \\langle -4, +\\infty).\\]\n\n### Sposób 2 - Nierówność\n\\(x^{2} \\ge 0\\) dla każdego \\(x\\), więc \\(x^{2}-4 \\ge -4\\). Wartość \\(-4\\) jest osiągana (dla \\(x=0\\)); wartości dowolnie duże - gdy \\(|x|\\to\\infty\\). Stąd \\(ZW_{f} = \\langle -4, +\\infty)\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **B. \\(\\langle -2, +\\infty)\\)** - minimum nie jest \\(-2\\) (to pierwiastek \\(\\sqrt{4}\\), ale nie wartość funkcji).\n- **C. \\(\\langle 2, +\\infty)\\)** - \\(f(0) = -4 < 2\\), więc \\(-4\\) też w zbiorze wartości.\n- **D. \\(\\langle 4, +\\infty)\\)** - podobnie, zbyt wysokie minimum.\n\n**Trik:** Dla \\(f(x) = x^{2} + c\\) min wartość to \\(c\\) (przyjmowana w \\(x=0\\)).","image":"img/matematyka-2011-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-10.webp","solution_image":"img/matematyka-2011-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-10.svg","topics":"funkcje","page_from":4,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2011 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2011-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/11","paper_id":"matematyka-2011-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"11","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2011,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 11. (1 pkt)\nDane są wielomiany\n3\n2\n( )\n3\n11\nW x\nx\nx\nx\ni\n3\n2\n( )\n3\n1\nV x\nx\nx\n. Stopień wielomianu\n( )\n( )\nW x\nV x\njest równy\nA. 0\nB. 1\nC. 2\nD. 3\nDane są wielomiany W(x)=x^3+3x^2+x-11 i V(x)=x^3+3x^2+1. Stopień wielomianu W(x)-V(x) jest równy A. 0, B. 1, C. 2, D. 3","answer":"B","answer_text":null,"solution":null,"image":"img/matematyka-2011-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-11.webp","solution_image":"img/matematyka-2011-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-11.svg","topics":"wielomiany","page_from":4,"source":"matugen","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2011 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2011-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/12","paper_id":"matematyka-2011-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"12","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2011,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 12. (1 pkt)\nW ciągu geometrycznym (\n)\nn\na\nmamy\n3\n5\na =\ni\n4\n15\na =\n. Wtedy wyraz\n5\na jest równy\nA. 10\nB. 20\nC. 75\nD. 45\nW ciągu geometrycznym (a_n) mamy a_3=5 i a_4=15. Wtedy wyraz a_5 jest równy A. 10, B. 20, C. 75, D. 45","answer":"D","answer_text":null,"solution":null,"image":"img/matematyka-2011-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-12.webp","solution_image":"img/matematyka-2011-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-12.svg","topics":"ciagi","page_from":4,"source":"matugen","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2011 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2011-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/13","paper_id":"matematyka-2011-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"13","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2011,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 13. (1 pkt)\nIle jest liczb naturalnych czterocyfrowych o sumie cyfr równej 2?\nA. 1\nB. 2\nC. 3\nD. 4\nIle jest liczb naturalnych czterocyfrowych o sumie cyfr równej 2? A. 1, B. 2, C. 3, D. 4","answer":"D","answer_text":null,"solution":null,"image":"img/matematyka-2011-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-13.webp","solution_image":"img/matematyka-2011-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-13.svg","topics":"kombinatoryka","page_from":4,"source":"matugen","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2011 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2011-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/14","paper_id":"matematyka-2011-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"14","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2011,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 14. (1 pkt)\nDane są punkty\n(1, 4)\nA =\ni\n(2,3)\nB =\n. Odcinek AB ma długość\nA. 1\nB. 4 3\nC. 5 2\nD. 7\nDane są punkty A=(1,-4) i B=(2,3). Odcinek AB ma długość A. 1, B. 4 pierwiastki z 3, C. 5 pierwiastków z 2, D. 7","answer":"C","answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: C - \\(5\\sqrt{2}\\)\n\n## Sposób 1 - Wzór na długość odcinka\n\nMamy punkty \\(A = (1, -4)\\) i \\(B = (2, 3)\\). Podstawiamy wprost do wzoru na odległość między dwoma punktami:\n\n\\[|AB| = \\sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}\\]\n\nLiczymy różnice współrzędnych:\n\\[x_B - x_A = 2 - 1 = 1\\]\n\\[y_B - y_A = 3 - (-4) = 3 + 4 = 7\\]\n\nUwaga na znak! \\(3 - (-4) = 7\\), nie \\(3 - 4 = -1\\).\n\nPodstawiamy:\n\\[|AB| = \\sqrt{1^2 + 7^2} = \\sqrt{1 + 49} = \\sqrt{50}\\]\n\nUpraszczamy:\n\\[\\sqrt{50} = \\sqrt{25 \\cdot 2} = 5\\sqrt{2}\\]\n\n**Odpowiedź: \\(|AB| = 5\\sqrt{2}\\)**\n\n## Sposób 2 - Twierdzenie Pitagorasa (trójkąt pomocniczy)\n\nNarysujmy (lub wyobraźmy sobie) trójkąt prostokątny, w którym odcinek \\(AB\\) jest przeciwprostokątną.\n\nPrzyprostokątne mają długości równe różnicom współrzędnych:\n- pozioma: \\(|x_B - x_A| = |2 - 1| = 1\\)\n- pionowa: \\(|y_B - y_A| = |3 - (-4)| = 7\\)\n\nZ twierdzenia Pitagorasa:\n\\[|AB|^2 = 1^2 + 7^2 = 1 + 49 = 50\\]\n\\[|AB| = \\sqrt{50} = 5\\sqrt{2}\\]\n\nTo dokładnie ta sama metoda - wzór na długość odcinka to po prostu Pitagoras zapisany bezpośrednio. **Wynik zgodny: \\(5\\sqrt{2}\\).**\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22)** - wzór na długość odcinka:\n\\[|AB| = \\sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}\\]\nUżyliśmy go w Sposobie 1 do bezpośredniego obliczenia długości odcinka \\(AB\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| A (\\(1\\)) | Policzono tylko różnicę współrzędnych \\(x\\): \\(2 - 1 = 1\\), zupełnie pomijając różnicę \\(y\\) |\n| B (\\(4\\sqrt{3}\\)) | Błąd przy upraszczaniu: \\(\\sqrt{48}\\) zamiast \\(\\sqrt{50}\\) - prawdopodobnie pomylono \\(7^2 = 49\\) z \\(48\\) albo błędnie policzono różnicę \\(y\\) jako \\(6\\) zamiast \\(7\\) |\n| D (\\(\\sqrt{7}\\)) | Policzono \\(\\sqrt{(2-1) + (3-(-4))} = \\sqrt{1+7} = \\sqrt{8}\\) albo pominięto potęgowanie - zsumowano różnice zamiast ich kwadratów |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Najczęstszy błąd to \\(3 - (-4) = -1\\) zamiast \\(7\\). Odejmowanie liczby ujemnej to **dodawanie** - zawsze zwracaj uwagę na znak!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie sumuj różnic, tylko ich **kwadraty**. Wzór to \\(\\sqrt{(\\Delta x)^2 + (\\Delta y)^2}\\), nie \\(\\sqrt{\\Delta x + \\Delta y}\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Pamiętaj upraszczać pierwiastek! \\(\\sqrt{50} = 5\\sqrt{2}\\) - szukaj, czy pod pierwiastkiem nie kryje się pełny kwadrat jako czynnik (\\(50 = 25 \\cdot 2\\)).\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1 - Wzór na odległość\n\\[|AB| = \\sqrt{(x_{B}-x_{A})^{2} + (y_{B}-y_{A})^{2}} = \\sqrt{(2-1)^{2} + (3-(-4))^{2}}\\]\n\\[= \\sqrt{1 + 49} = \\sqrt{50} = \\sqrt{25\\cdot 2} = 5\\sqrt{2}.\\]\n\n### Sposób 2 - Sprawdzenie przez przybliżenie\n\\(5\\sqrt{2}\\approx 5\\cdot 1{,}414 \\approx 7{,}07\\). Porównanie:\n- A: \\(1\\) (za mało).\n- B: \\(4\\sqrt{3}\\approx 6{,}93\\).\n- C: \\(5\\sqrt{2}\\approx 7{,}07\\) ✓.\n- D: \\(\\sqrt{7}\\approx 2{,}65\\).\n\n\\(\\sqrt{50} = \\sqrt{50}\\), a \\(\\sqrt{48} = 4\\sqrt{3}\\) - różne wartości.\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(1\\)** - to tylko \\(|x_{B}-x_{A}|\\), a nie odległość 2D.\n- **B. \\(4\\sqrt{3} = \\sqrt{48}\\ne \\sqrt{50}\\)**.\n- **D. \\(\\sqrt{7}\\)** - błąd rachunkowy.\n\n**Trik:** Odległość w 2D: pierwiastek z sumy kwadratów różnic współrzędnych.","image":"img/matematyka-2011-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-14.webp","solution_image":"img/matematyka-2011-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-14.svg","topics":"analityczna","page_from":4,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2011 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2011-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/15","paper_id":"matematyka-2011-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"15","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2011,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 15. (1 pkt)\nKąt α jest ostry oraz\no\nsin\ncos47\nα =\n. Wtedy miara kąta α jest równa:\nA. 6°\nB. 33°\nC. 47°\nD. 43°\nKąt alfa jest ostry oraz sin alfa = cos47 stopni. Wtedy miara kąta alfa jest równa A. 6, B. 33, C. 47, D. 43","answer":"D","answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: D - \\(\\alpha = 43°\\)\n\n## Sposób 1 - Wzór redukcyjny \\(\\sin\\alpha = \\cos(90° - \\alpha)\\)\n\nZ karty wzorów wiemy, że dla dowolnego kąta \\(\\alpha\\):\n\\[\\sin\\alpha = \\cos(90° - \\alpha)\\]\n\nMamy dane równanie:\n\\[\\sin\\alpha = \\cos 47°\\]\n\nZamieniamy lewą stronę korzystając ze wzoru redukcyjnego:\n\\[\\cos(90° - \\alpha) = \\cos 47°\\]\n\nSkoro cosinusy są równe, to argumenty są równe:\n\\[90° - \\alpha = 47°\\]\n\\[\\alpha = 90° - 47° = 43°\\]\n\n**Odpowiedź: \\(\\alpha = 43°\\)**\n\n## Sposób 2 - Myślenie przez trójkąt prostokątny\n\nW trójkącie prostokątnym kąty ostre sumują się do \\(90°\\), czyli są **dopełniające**.\n\nJeśli jeden kąt ostry wynosi \\(\\alpha\\), to drugi wynosi \\(90° - \\alpha\\).\n\nKluczowa obserwacja: **sinus jednego kąta ostrego = cosinus drugiego kąta ostrego** w tym samym trójkącie.\n\n\\[\\sin\\alpha = \\frac{\\text{przyprostokątna naprzeciwległa}}{\\text{przeciwprostokątna}} = \\cos(90° - \\alpha)\\]\n\nMamy \\(\\sin\\alpha = \\cos 47°\\), więc \\(\\alpha\\) i \\(47°\\) muszą być kątami dopełniającymi:\n\\[\\alpha + 47° = 90°\\]\n\\[\\alpha = 43°\\]\n\n**Sprawdzenie:** \\(\\sin 43° = \\cos(90° - 43°) = \\cos 47°\\) ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 9 (Trygonometria, s. 14)** - wzory redukcyjne:\n\\[\\sin(90° - \\alpha) = \\cos\\alpha, \\quad \\cos(90° - \\alpha) = \\sin\\alpha\\]\n\nTo jest **dokładnie ten wzór**, który zastosowaliśmy - sinus i cosinus kątów dopełniających są sobie równe. Na karcie wzorów znajdziesz go w sekcji „Wzory redukcyjne\".\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| A. \\(6°\\) | Wynik błędnego odejmowania: \\(47° - 41° = 6°\\) albo inne losowe działanie - brak sensu matematycznego |\n| B. \\(33°\\) | Odjęto od \\(80°\\) zamiast od \\(90°\\): \\(80° - 47° = 33°\\) - mylenie kąta pełnego lub pomyłka w wartości |\n| C. \\(47°\\) | Pułapka! Uczeń myśli: „\\(\\sin\\alpha = \\cos 47°\\), więc \\(\\alpha = 47°\\)\". Ale \\(\\sin 47° \\neq \\cos 47°\\) - to byłoby prawdą tylko dla \\(\\alpha = 45°\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Najczęstszy błąd to odpowiedź C - uczeń „przepisuje\" \\(47°\\) jako wynik, nie zauważając, że sinus i cosinus tego samego kąta są równe **tylko dla \\(45°\\)**.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Pamiętaj, że \\(\\sin\\alpha = \\cos\\beta\\) oznacza \\(\\alpha + \\beta = 90°\\), a **nie** \\(\\alpha = \\beta\\). Sinus i cosinus to funkcje „dopełniające się\" do \\(90°\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wzór \\(\\sin\\alpha = \\cos(90° - \\alpha)\\) to jeden z najczęściej używanych wzorów redukcyjnych na maturze - warto go znać na pamięć!\n\n**Poprawna odpowiedź: D**\n\n### Sposób 1 - Tożsamość \\(\\cos\\beta = \\sin(90^{\\circ}-\\beta)\\)\nDla kątów ostrych \\(\\sin\\alpha = \\cos\\beta\\) wtedy i tylko wtedy, gdy \\(\\alpha = 90^{\\circ} - \\beta\\). Stąd:\n\\[\\sin\\alpha = \\cos 47^{\\circ} = \\sin(90^{\\circ} - 47^{\\circ}) = \\sin 43^{\\circ}.\\]\nZ iniektywności sinusa na przedziale \\((0^{\\circ}, 90^{\\circ})\\): \\(\\alpha = 43^{\\circ}\\).\n\n### Sposób 2 - Interpretacja w trójkącie prostokątnym\nW trójkącie prostokątnym o kątach ostrych \\(\\beta\\) i \\(90^{\\circ}-\\beta\\): \\(\\sin\\beta = \\cos(90^{\\circ}-\\beta)\\). Tutaj \\(\\cos 47^{\\circ} = \\sin 43^{\\circ}\\), więc \\(\\alpha=43^{\\circ}\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(6^{\\circ}\\)** - \\(\\sin 6^{\\circ}\\approx 0{,}105\\), a \\(\\cos 47^{\\circ}\\approx 0{,}682\\). Nie równe.\n- **B. \\(33^{\\circ}\\)** - \\(\\sin 33^{\\circ}\\approx 0{,}545\\). Nie równe.\n- **C. \\(47^{\\circ}\\)** - \\(\\sin 47^{\\circ}\\ne \\cos 47^{\\circ}\\) (bo \\(\\sin 47^{\\circ}\\ne \\sin 43^{\\circ}\\)).\n\n**Trik:** Funkcje cofunkcyjne: \\(\\sin\\alpha = \\cos(90^{\\circ}-\\alpha)\\); jeśli chcesz zamienić \\(\\sin\\) na \\(\\cos\\) - od \\(90^{\\circ}\\) odejmij kąt.","image":"img/matematyka-2011-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-15.webp","solution_image":"img/matematyka-2011-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-15.svg","topics":"trygonometria","page_from":4,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2011 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2011-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/16","paper_id":"matematyka-2011-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"16","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2011,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 16. (1 pkt)\nIle wyrazów ujemnych ma ciąg (\n)\nn\na\nokreślony wzorem\n2\n2\n9 dla\n1\nn\na\nn\nn\n≥?\nA. 0\nB. 1\nC. 2\nD. 3\nIle wyrazów ujemnych ma ciąg (a_n) określony wzorem a_n=2n^2-9 dla n >= 1?","answer":"C","answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: C\n\nCiąg ma **2 wyrazy ujemne**.\n\n## Sposób 1 - Szukanie bezpośrednio kiedy \\(a_n < 0\\)\n\nSzukamy, dla jakich \\(n \\geq 1\\) spełniona jest nierówność:\n\\[a_n < 0\\]\n\\[2n^2 - 9 < 0\\]\n\\[2n^2 < 9\\]\n\\[n^2 < \\frac{9}{2} = 4{,}5\\]\n\\[n < \\sqrt{4{,}5} \\approx 2{,}12\\]\n\nPonieważ \\(n\\) musi być liczbą naturalną (\\(n \\geq 1\\)), mamy:\n\\[n \\in \\{1, 2\\}\\]\n\n**Sprawdzamy:**\n\\[a_1 = 2 \\cdot 1^2 - 9 = 2 - 9 = -7 < 0 \\checkmark\\]\n\\[a_2 = 2 \\cdot 2^2 - 9 = 8 - 9 = -1 < 0 \\checkmark\\]\n\\[a_3 = 2 \\cdot 3^2 - 9 = 18 - 9 = 9 > 0\\]\n\nZatem **dokładnie 2 wyrazy** ciągu są ujemne.\n\n## Sposób 2 - Obliczenie kolejnych wyrazów wprost\n\nZamiast rozwiązywać nierówność, po prostu podstawiamy kolejne \\(n\\):\n\n| \\(n\\) | \\(a_n = 2n^2 - 9\\) | Znak |\n| 1 | \\(2 \\cdot 1 - 9 = -7\\) | ujemny |\n| 2 | \\(2 \\cdot 4 - 9 = -1\\) | ujemny |\n| 3 | \\(2 \\cdot 9 - 9 = 9\\) | dodatni |\n| 4 | \\(2 \\cdot 16 - 9 = 23\\) | dodatni |\n\nPonieważ \\(a_n = 2n^2 - 9\\) jest funkcją rosnącą dla \\(n \\geq 1\\) (współczynnik przy \\(n^2\\) jest dodatni), od \\(n = 3\\) wzwyż wszystkie wyrazy są dodatnie. **Ujemne wyrazy: \\(a_1\\) i \\(a_2\\) - łącznie 2.**\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy rozwiązanie prostej nierówności kwadratowej i podstawianie wartości naturalnych.\n\n(Ewentualnie możemy potraktować \\(a_n = 2n^2 - 9\\) jako funkcję kwadratową i odczytać, kiedy jest ujemna, co wiąże się z **Działem 7, s. 7-9** - miejsca zerowe trójmianu: \\(n = \\pm\\sqrt{\\frac{9}{2}} \\approx \\pm 2{,}12\\). Nas interesuje tylko \\(n \\geq 1\\), czyli wartości naturalne poniżej \\(2{,}12\\).)\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| A (\\(0\\)) | Uczeń błędnie uznaje, że \\(a_1 = 2 - 9 = -7\\) jest „technicznie poza zakresem\" lub myli znak - w ogóle nie liczy wyrazów |\n| B (\\(1\\)) | Uczeń liczy tylko \\(a_1 = -7\\), a dla \\(a_2\\) pomyłkowo wychodzi \\(8 - 9 = 1 > 0\\) (błąd \\(2 \\cdot 4 = 8\\) mylone z \\(2 \\cdot 2 = 4\\)) |\n| D (\\(3\\)) | Uczeń bierze \\(n < \\sqrt{9} = 3\\) (zapomina podzielić przez 2 w nierówności \\(n^2 < \\frac{9}{2}\\)), co daje \\(n \\in \\{1, 2, 3\\}\\) - błąd o jeden |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Najczęstszy błąd to wzięcie \\(n^2 < 9\\) zamiast \\(n^2 < \\frac{9}{2}\\) - czyli zapomnienie o podzieleniu przez 2. To daje fałszywy wynik \\(n < 3\\), czyli 3 wyrazy ujemne (odpowiedź D).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Pamiętaj, że \\(n\\) przyjmuje tylko wartości naturalne \\(\\geq 1\\), więc nierówność \\(n < 2{,}12\\) daje \\(n \\in \\{1, 2\\}\\) - nie \\(n \\in \\{1, 2, 2{,}12\\}\\)!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wzór \\(a_n = 2n^2 - 9\\) to **nie jest** ciąg arytmetyczny ani geometryczny - nie ma tu wzoru sumy ani ilorazu. To po prostu funkcja kwadratowa dziedziny naturalnej.\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1 - Rozwiązanie nierówności \\(a_{n} < 0\\)\n\\[2n^{2} - 9 < 0 \\Rightarrow n^{2} < \\dfrac{9}{2} = 4{,}5.\\]\n\\(n\\) jest liczbą naturalną \\(\\ge 1\\). Sprawdzamy:\n- \\(n=1\\): \\(1 < 4{,}5\\) ✓ → \\(a_{1} = 2 - 9 = -7 < 0\\).\n- \\(n=2\\): \\(4 < 4{,}5\\) ✓ → \\(a_{2} = 8 - 9 = -1 < 0\\).\n- \\(n=3\\): \\(9 > 4{,}5\\) ✗ → \\(a_{3} = 18 - 9 = 9 > 0\\).\n\nUjemne są \\(a_{1}\\) i \\(a_{2}\\) - **2 wyrazy**.\n\n### Sposób 2 - Bezpośrednie obliczenie\n\\(a_{1} = -7\\), \\(a_{2} = -1\\), \\(a_{3} = 9\\), \\(a_{4} = 23\\) Dla \\(n\\ge 3\\): \\(a_{n} > 0\\) (rośnie). Zatem tylko \\(n=1, 2\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(0\\)** - istnieją wyrazy ujemne (\\(a_{1},a_{2}\\)).\n- **B. \\(1\\)** - dwa wyrazy ujemne, nie jeden.\n- **D. \\(3\\)** - \\(a_{3}=9>0\\), więc nie ma trzeciego ujemnego.\n\n**Trik:** W ciągach kwadratowych sprawdzaj miejsce zerowe nierówności - ciąg monotoniczny (rosnący od pewnego miejsca) ma ograniczoną liczbę wyrazów ujemnych.","image":"img/matematyka-2011-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-16.webp","solution_image":"img/matematyka-2011-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-16.svg","topics":"ciagi","page_from":4,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2011 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2011-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/17","paper_id":"matematyka-2011-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"17","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2011,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 17. (1 pkt)\nKrawędź sześcianu ma długość 9. Długość przekątnej tego sześcianu jest równa:\nA.\n3 9\nB. 9 2\nC. 9 3\nD. 9\n9 2\n\nPoziom podstawowy\n5\nBRUDNOPIS\n\nPoziom podstawowy\n6\nKrawędź sześcianu ma długość 9. Długość przekątnej tego sześcianu jest równa A. pierwiastek trzeciego stopnia z 9, B. 9 pierwiastków z 2, C. 9 pierwiastków z 3, D. 9 + 9 pierwiastków z 2.","answer":"C","answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: C - \\(9\\sqrt{3}\\)\n\n## Sposób 1 - Wzór na przekątną sześcianu\n\n**Co szukamy?** Przekątna sześcianu to odcinek łączący dwa przeciwległe wierzchołki - przechodzi przez wnętrze bryły.\n\nNiech krawędź sześcianu ma długość \\(a = 9\\).\n\n**Krok 1: Wyznacz przekątną podstawy (kwadrat).**\n\nPodstawa sześcianu to kwadrat o boku \\(a\\). Jego przekątna:\n\\[d_{\\text{podstawy}} = \\sqrt{a^2 + a^2} = a\\sqrt{2}\\]\n\n**Krok 2: Wyznacz przekątną sześcianu.**\n\nPrzekątna sześcianu \\(d\\) tworzy trójkąt prostokątny z:\n- przekątną podstawy \\(a\\sqrt{2}\\) (przyprostokątna)\n- krawędzią pionową \\(a\\) (przyprostokątna)\n\nStosujemy twierdzenie Pitagorasa:\n\\[d^2 = (a\\sqrt{2})^2 + a^2 = 2a^2 + a^2 = 3a^2\\]\n\\[d = a\\sqrt{3}\\]\n\n**Krok 3: Podstaw \\(a = 9\\):**\n\\[\\boxed{d = 9\\sqrt{3}}\\]\n\n## Sposób 2 - Bezpośrednio ze współrzędnych\n\nUmieść sześcian w układzie współrzędnych tak, żeby jeden wierzchołek był w \\(A = (0, 0, 0)\\), a przeciwległy w \\(B = (9, 9, 9)\\).\n\nDługość przekątnej:\n\\[d = |AB| = \\sqrt{(9-0)^2 + (9-0)^2 + (9-0)^2} = \\sqrt{81 + 81 + 81} = \\sqrt{3 \\cdot 81} = \\sqrt{3} \\cdot 9 = 9\\sqrt{3}\\]\n\nTen sam wynik - potwierdza odpowiedź C.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 12 (Stereometria, s. 26-28)**\n\nKrawędź sześcianu to krawędź prostopadłościanu o \\(a = b = c\\). Przekątna przestrzenna prostopadłościanu wynika z podwójnego zastosowania twierdzenia Pitagorasa.\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 15-16)** - Twierdzenie Pitagorasa:\n\\[c^2 = a^2 + b^2\\]\nUżyliśmy go dwukrotnie: najpierw do przekątnej podstawy, potem do przekątnej przestrzennej.\n\nGotowy wzór na przekątną sześcianu (wynika ze stereometrii):\n\\[d = a\\sqrt{3}\\]\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| A | \\(3\\sqrt{9} = 3 \\cdot 3 = 9\\) - to po prostu krawędź sześcianu! Błąd: mylenie \\(3\\sqrt{9}\\) z \\(9\\sqrt{3}\\). Nieprawidłowe rozpisanie pierwiastka. |\n| B | \\(9\\sqrt{2}\\) - to przekątna **podstawy** (kwadrat o boku 9), nie przekątna sześcianu. Błąd: zatrzymanie się na pierwszym kroku. |\n| D | \\(9 + 9\\sqrt{2}\\) - brak sensu geometrycznego; błąd polegający na **dodaniu** krawędzi i przekątnej podstawy zamiast zastosowania Pitagorasa. |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\(3\\sqrt{9} = 9\\), nie \\(9\\sqrt{3}\\)! Odpowiedź A to pułapka na nieuważnych - wyrażenia wyglądają podobnie, ale mają zupełnie różne wartości.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przekątna sześcianu ≠ przekątna podstawy. Przekątna podstawy to \\(a\\sqrt{2}\\), a przekątna przestrzenna to \\(a\\sqrt{3}\\). Zapamiętaj: **sześcian → \\(\\sqrt{3}\\), kwadrat → \\(\\sqrt{2}\\)**.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Twierdzenie Pitagorasa stosujemy **dwa razy** (najpierw w 2D, potem w 3D) - nie pomijaj żadnego kroku i nie dodawaj długości zamiast kwadrować.\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1 - Wzór na przekątną sześcianu\nDla sześcianu o krawędzi \\(a\\) przekątna przestrzenna:\n\\[d = a\\sqrt{3}.\\]\nDla \\(a=9\\): \\(d = 9\\sqrt{3}\\).\n\n### Sposób 2 - Podwójne twierdzenie Pitagorasa\nPrzekątna ściany (kwadrat o boku \\(9\\)): \\(d_{1} = 9\\sqrt{2}\\).\nPrzekątna sześcianu z trójkąta prostokątnego (krawędź \\(9\\), przekątna ściany \\(9\\sqrt{2}\\)):\n\\[d = \\sqrt{9^{2} + (9\\sqrt{2})^{2}} = \\sqrt{81 + 162} = \\sqrt{243} = 9\\sqrt{3}.\\]\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(3\\sqrt{9}=9\\)** - to długość krawędzi, nie przekątnej.\n- **B. \\(9\\sqrt{2}\\)** - to przekątna ŚCIANY (kwadrat), nie sześcianu.\n- **D. \\(9 + 9\\sqrt{2}\\)** - suma krawędzi i przekątnej ściany, ale nie długość odcinka.\n\n**Trik:** Przekątna sześcianu o krawędzi \\(a\\): \\(a\\sqrt{3}\\) (pamiętać jak wzór pitagorejski w 3D).","image":"img/matematyka-2011-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-17.webp","solution_image":"img/matematyka-2011-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-17.svg","topics":"stereometria","page_from":4,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2011 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2011-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/18","paper_id":"matematyka-2011-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"18","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2011,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 18. (1 pkt)\nŚrednia arytmetyczna sześciu liczb: 3, 1, 1, 0, x, 2 jest równa 2. Wtedy liczba x jest równa\nA. 3\nB. 4\nC. 5\nD. 6\nŚrednia arytmetyczna sześciu liczb: 3,1,1,0,x,2 jest równa 2. Wtedy liczba x jest równa A. 3, B. 4, C. 5, D. 6","answer":"C","answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: C - \\(x = 5\\)\n\n## Sposób 1 - Ze wzoru na średnią arytmetyczną\n\nZe wzoru na średnią arytmetyczną \\(n\\) liczb wiemy, że:\n\\[\\bar{a} = \\frac{a_1 + a_2 + \\cdots + a_n}{n}\\]\n\nMamy sześć liczb: \\(3, 1, 1, 0, x, 2\\), a ich średnia wynosi \\(2\\). Podstawiamy:\n\\[\\frac{3 + 1 + 1 + 0 + x + 2}{6} = 2\\]\n\nLiczymy sumę znanych liczb:\n\\[\\frac{7 + x}{6} = 2\\]\n\nMnożymy obie strony przez \\(6\\):\n\\[7 + x = 12\\]\n\nOdejmujemy \\(7\\) od obu stron:\n\\[x = 5\\]\n\n**Odpowiedź: \\(x = 5\\), czyli odpowiedź C.**\n\n## Sposób 2 - Z własności sumy (suma = średnia × liczba wyrazów)\n\nSkoro średnia sześciu liczb wynosi \\(2\\), to ich suma musi wynosić:\n\\[\\text{suma} = \\bar{a} \\cdot n = 2 \\cdot 6 = 12\\]\n\nSumujemy znane liczby:\n\\[3 + 1 + 1 + 0 + 2 = 7\\]\n\nSkoro cała suma ma wynosić \\(12\\), to brakująca liczba to:\n\\[x = 12 - 7 = 5\\]\n\n**Weryfikacja:** średnia liczb \\(3, 1, 1, 0, 5, 2\\):\n\\[\\frac{3 + 1 + 1 + 0 + 5 + 2}{6} = \\frac{12}{6} = 2 \\checkmark\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 15 (Parametry danych statystycznych, s. 31-32)** - wzór na średnią arytmetyczną:\n\\[\\bar{a} = \\frac{a_1 + a_2 + \\cdots + a_n}{n}\\]\nUżyliśmy tego wzoru w obu sposobach - podstawiliśmy dane i wyznaczyli \\(x\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| A: \\(3\\) | Uczeń liczy \\(3+1+1+0+2 = 7\\), dzieli przez \\(5\\) (zamiast \\(6\\)) i dostaje \\(\\approx 1{,}4\\), po czym gubi się w obliczeniach - lub po prostu wpisuje \"coś z zadania\" |\n| B: \\(4\\) | Uczeń liczy sumę znanych liczb jako \\(8\\) (błąd rachunkowy: pomija \\(0\\) lub liczy \\(3+1+1+2=7\\), ale potem odejmuje od \\(11\\) zamiast \\(12\\)) |\n| D: \\(6\\) | Uczeń zapomina odliczyć jedną z liczb (np. pomija \\(1\\)) i dostaje sumę znanych \\(= 6\\), a wtedy \\(x = 12 - 6 = 6\\) |\n\n## Typowe pułapki\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie zapomnij o zerze! Liczba \\(0\\) jest w zbiorze i **wchodzi do sumy** (nie zmienia sumy, ale wchodzi do **licznika** - i przede wszystkim jest jednym z sześciu wyrazów).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Sprawdź, ile liczb jest w zbiorze - tu jest ich **sześć** (licząc \\(x\\)). Łatwo pomylić się i dzielić przez \\(5\\), bo \\(x\\) \"nie wygląda jak liczba\".\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Prościej jest od razu policzyć **wymaganą sumę** (\\(\\bar{a} \\cdot n = 2 \\cdot 6 = 12\\)) i odjąć sumę pozostałych - to szybsza droga bez ryzyka błędu przy mnożeniu.\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1 - Definicja średniej arytmetycznej\n\\[\\text{średnia} = \\dfrac{3+1+1+0+x+2}{6} = 2.\\]\nLicznik: \\(7 + x\\). Zatem:\n\\[\\dfrac{7+x}{6} = 2 \\Rightarrow 7+x = 12 \\Rightarrow x = 5.\\]\n\n### Sposób 2 - Suma liczb musi być \\(6\\cdot 2 = 12\\)\n\\(3+1+1+0+2 = 7\\), więc brakuje \\(12 - 7 = 5\\). Stąd \\(x = 5\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(3\\)** - daje sumę \\(10\\), średnią \\(\\tfrac{10}{6}\\ne 2\\).\n- **B. \\(4\\)** - suma \\(11\\), średnia \\(\\tfrac{11}{6}\\ne 2\\).\n- **D. \\(6\\)** - suma \\(13\\), średnia \\(\\tfrac{13}{6}\\ne 2\\).\n\n**Trik:** Średnia = \\(\\tfrac{\\text{suma}}{n}\\). Jeśli znasz średnią i \\(n\\) → sumę od razu wyliczysz.","image":"img/matematyka-2011-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-18.webp","solution_image":"img/matematyka-2011-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-18.svg","topics":"algebra","page_from":6,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2011 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2011-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/19","paper_id":"matematyka-2011-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"19","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2011,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 19. (1 pkt)\nZe\nzbioru\ndwucyfrowych\nliczb\nnaturalnych\nwybieramy\nlosowo\njedną\nliczbę.\nPrawdopodobieństwo otrzymania liczby podzielnej przez 30 jest równe\nA.\n1\n90\nB.\n2\n90\nC.\n3\n90\nD. 10\n90\nZe zbioru dwucyfrowych liczb naturalnych wybieramy losowo jedną liczbę. Prawdopodobieństwo otrzymania liczby podzielnej przez 30 jest równe A. 1/90, B. 2/90, C. 3/90, D. 10/90","answer":"C","answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: C - \\(\\dfrac{3}{90}\\)\n\n## Sposób 1 - Klasyczna definicja prawdopodobieństwa\n\n**Krok 1: Określamy przestrzeń zdarzeń elementarnych \\(\\Omega\\).**\n\nZbiór dwucyfrowych liczb naturalnych to liczby od \\(10\\) do \\(99\\).\n\n\\[|\\Omega| = 99 - 10 + 1 = 90\\]\n\n**Krok 2: Wyznaczamy zdarzenie sprzyjające \\(A\\) - liczby dwucyfrowe podzielne przez \\(30\\).**\n\nWielokrotności liczby \\(30\\):\n\\[30 \\cdot 1 = 30 \\quad \\checkmark\\]\n\\[30 \\cdot 2 = 60 \\quad \\checkmark\\]\n\\[30 \\cdot 3 = 90 \\quad \\checkmark\\]\n\\[30 \\cdot 4 = 120 \\quad \\text{- już trzycyfrowa, odpadamy}\\]\n\nZatem \\(A = \\{30, 60, 90\\}\\), czyli \\(|A| = 3\\).\n\n**Krok 3: Obliczamy prawdopodobieństwo.**\n\n\\[P(A) = \\frac{|A|}{|\\Omega|} = \\frac{3}{90}\\]\n\n## Sposób 2 - Przez podzielność (rozkład na czynniki)\n\nLiczba jest podzielna przez \\(30\\) wtedy i tylko wtedy, gdy jest podzielna jednocześnie przez \\(2\\), \\(3\\) i \\(5\\) (bo \\(30 = 2 \\cdot 3 \\cdot 5\\)).\n\nWśród dwucyfrowych liczb naturalnych szukamy takich, które kończą się na \\(0\\) (podzielność przez \\(2\\) i \\(5\\)) **oraz** suma ich cyfr jest podzielna przez \\(3\\).\n\nDwucyfrowe liczby kończące się na \\(0\\): \\(10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90\\) - jest ich \\(9\\).\n\nSprawdzamy podzielność przez \\(3\\) (suma cyfr musi być podzielna przez \\(3\\)):\n\n| Liczba | Suma cyfr | Podzielna przez 3? |\n| 10 | \\(1+0=1\\) | nie |\n| 20 | \\(2+0=2\\) | nie |\n| **30** | \\(3+0=3\\) | **tak** |\n| 40 | \\(4+0=4\\) | nie |\n| 50 | \\(5+0=5\\) | nie |\n| **60** | \\(6+0=6\\) | **tak** |\n| 70 | \\(7+0=7\\) | nie |\n| 80 | \\(8+0=8\\) | nie |\n| **90** | \\(9+0=9\\) | **tak** |\n\nSprzyjające: \\(\\{30, 60, 90\\}\\) - dokładnie \\(3\\) liczby. Wynik potwierdza:\n\n\\[P(A) = \\frac{3}{90}\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 14 (Rachunek prawdopodobieństwa, s. 29-30)** - prawdopodobieństwo klasyczne:\n\\[P(A) = \\frac{|A|}{|\\Omega|}\\]\nUżyliśmy tego wzoru w obu sposobach: \\(|\\Omega| = 90\\) (wszystkie dwucyfrowe), \\(|A| = 3\\) (podzielne przez 30).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| A: \\(\\frac{1}{90}\\) | Uczeń znalazł tylko **jedną** wielokrotność 30 (np. tylko liczbę 30), zapominając o 60 i 90 |\n| B: \\(\\frac{2}{90}\\) | Uczeń znalazł dwie wielokrotności (np. 30 i 60), pomijając 90 |\n| D: \\(\\frac{10}{90}\\) | Uczeń policzył wielokrotności **10** zamiast **30** - jest ich dokładnie 9 (nie 10, bo do 90), albo błędnie wyznaczył przestrzeń zdarzeń |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Dwucyfrowe liczby naturalne to **90 liczb** (od 10 do 99), nie 99! Nie wliczamy liczb jednocyfrowych (1-9).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Szukamy wielokrotności 30 w zakresie **10-99**. Łatwo zapomnieć o 90 - bo \"wygląda jak granica zakresu\", ale 90 ≤ 99, więc należy do zbioru.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Liczba \\(120 = 30 \\cdot 4\\) już **nie jest** dwucyfrowa - zawsze sprawdzaj, czy wynik mieści się w zakresie!\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1 - Zliczanie zdarzeń sprzyjających\nLiczby dwucyfrowe: od \\(10\\) do \\(99\\). Ich jest \\(99-10+1 = 90\\), więc \\(|\\Omega| = 90\\).\n\nLiczby dwucyfrowe podzielne przez \\(30\\): \\(30, 60, 90\\). Jest ich \\(3\\).\n\n\\[P = \\dfrac{3}{90} = \\dfrac{1}{30}.\\]\n\n### Sposób 2 - Co 30-ta liczba\nLiczby podzielne przez \\(30\\) to \\(30k\\) dla \\(k=1,2,3,\\ldots\\). W zakresie \\(\\langle 10, 99\\rangle\\): \\(k=1,2,3\\) (czyli \\(30, 60, 90\\)). Stąd \\(3\\) wyrazy.\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(\\tfrac{1}{90}\\)** - tylko \\(1\\) zdarzenie sprzyjające? Niepoprawne (są trzy).\n- **B. \\(\\tfrac{2}{90}\\)** - dwa zdarzenia? Pominięto np. \\(90\\).\n- **D. \\(\\tfrac{10}{90}\\)** - \\(10\\) zdarzeń sprzyjających? To byłyby liczby podzielne przez \\(9\\) lub podobne.\n\n**Trik:** Ilość wielokrotności \\(k\\) w przedziale \\(\\langle a, b\\rangle\\): \\(\\lfloor b/k\\rfloor - \\lfloor (a-1)/k\\rfloor\\). Tu: \\(\\lfloor 99/30\\rfloor - \\lfloor 9/30\\rfloor = 3 - 0 = 3\\).","image":"img/matematyka-2011-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-19.webp","solution_image":"img/matematyka-2011-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-19.svg","topics":"prawdopodobienstwo","page_from":6,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2011 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2011-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/20","paper_id":"matematyka-2011-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"20","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2011,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 20. (1 pkt)\nPrzekrój osiowy walca jest kwadratem o boku długości 6. Objętość tego walca jest równa\nA. 108π\nB. 54π\nC. 36π\nD. 27π\nPrzekrój osiowy walca jest kwadratem o boku długości 6. Objętość tego walca jest równa A. 108pi, B. 54pi, C. 36pi, D. 27pi","answer":"B","answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: B - \\(54\\pi\\)\n\n## Sposób 1 - Przekrój osiowy to prostokąt → wyznaczamy wymiary walca\n\n**Przekrój osiowy walca** to prostokąt powstały przez przecięcie walca płaszczyzną przechodzącą przez jego oś. Jego boki to:\n- **wysokość walca** \\(h\\),\n- **średnica podstawy** \\(2r\\).\n\nSkoro przekrój osiowy jest **kwadratem o boku \\(6\\)**, to:\n\\[2r = 6 \\quad \\Rightarrow \\quad r = 3\\]\n\\[h = 6\\]\n\nTeraz liczymy objętość walca:\n\\[V = \\pi r^2 h = \\pi \\cdot 3^2 \\cdot 6 = \\pi \\cdot 9 \\cdot 6 = \\mathbf{54\\pi}\\]\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja przez sprawdzenie proporcji\n\nSprawdzamy, czy wymiary są spójne. Kwadrat ma wszystkie boki równe, więc:\n\\[\\text{szerokość} = \\text{wysokość} \\implies 2r = h\\]\n\nPrzy boku \\(6\\):\n\\[r = 3, \\quad h = 6, \\quad \\frac{h}{2r} = \\frac{6}{6} = 1 \\checkmark\\]\n\nProporcja jest poprawna (kwadrat, nie prostokąt). Objętość:\n\\[V = \\pi \\cdot 3^2 \\cdot 6 = 54\\pi \\checkmark\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 12 (Stereometria, s. 26-28)** - objętość walca:\n\\[V = \\pi r^2 h\\]\nUżyliśmy tego wzoru w obu sposobach, podstawiając \\(r = 3\\) i \\(h = 6\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| A - \\(108\\pi\\) | Wzięto \\(r = 6\\) (bok kwadratu) zamiast \\(r = 3\\) (połowa boku = promień): \\(\\pi \\cdot 6^2 \\cdot 3 = 108\\pi\\) |\n| C - \\(36\\pi\\) | Wzięto \\(r = 2\\) lub pomylono objętość z polem powierzchni bocznej walca |\n| D - \\(27\\pi\\) | Wzięto \\(r = 3\\) i \\(h = 3\\) - czyli wzięto promień zamiast średnicy jako obie wymiary: \\(\\pi \\cdot 3^2 \\cdot 3 = 27\\pi\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przekrój osiowy ma szerokość równą **średnicy**, nie promieniowi! Boku kwadratu nie wolno wstawiać bezpośrednio jako \\(r\\) - trzeba podzielić przez 2.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przekrój osiowy to NIE to samo co przekrój prostopadły do osi (który byłby kołem). Przekrój **osiowy** zawiera oś walca - stąd prostokąt/kwadrat.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Gdy kwadrat - oba wymiary są równe, więc \\(h = 2r\\). To dobry punkt kontrolny przed liczeniem objętości.\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1 - Ustalenie promienia i wysokości\nPrzekrój osiowy walca to prostokąt o bokach \\(2r\\) (średnica podstawy) i \\(H\\) (wysokość). Skoro przekrój jest kwadratem o boku \\(6\\):\n\\[2r = 6, \\quad H = 6 \\Rightarrow r = 3, \\quad H = 6.\\]\n\nObjętość walca:\n\\[V = \\pi r^{2} H = \\pi\\cdot 9\\cdot 6 = 54\\pi.\\]\n\n### Sposób 2 - Sprawdzenie relacji\nGdy \\(2r = H\\) (warunek kwadratu), \\(H = 2r\\). Zatem \\(V = \\pi r^{2}\\cdot 2r = 2\\pi r^{3}\\). Dla \\(r = 3\\): \\(V = 2\\pi\\cdot 27 = 54\\pi\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(108\\pi\\)** - prawdopodobnie \\(\\pi\\cdot 6^{2}\\cdot 3\\) (użyto średnicy jako promienia w jednym wymiarze).\n- **C. \\(36\\pi\\)** - \\(\\pi\\cdot 6\\cdot 6\\), pomylono wzór.\n- **D. \\(27\\pi\\)** - \\(\\pi r^{3}\\) = \\(\\pi\\cdot 27\\), pomylono z półkulą/pomyłka.\n\n**Trik:** Przekrój osiowy walca to prostokąt, w którym podstawa prostokąta = średnica walca, a wysokość prostokąta = wysokość walca. Kwadrat ⟹ \\(2r = H\\).","image":"img/matematyka-2011-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-20.webp","solution_image":"img/matematyka-2011-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-20.svg","topics":"stereometria","page_from":6,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2011 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2011-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/21","paper_id":"matematyka-2011-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"21","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2011,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 21. (1 pkt)\nDany jest romb o boku długości 4 i kącie ostrym 60°. Pole tego rombu jest równe\nA. 16 3\nB. 16\nC. 8 3\nD. 8\nDany jest romb o boku długości 4 i kącie ostrym 60 stopni. Pole tego rombu jest równe A. 16 pierwiastków z 3, B. 16, C. 8 pierwiastków z 3, D. 8","answer":"C","answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: C - \\(8\\sqrt{3}\\)\n\n## Sposób 1 - wzór na pole rombu przez bok i kąt\n\nRomb to równoległobok o równych bokach, więc korzystamy ze wzoru na pole równoległoboku:\n\\[P = a^2 \\sin\\alpha\\]\ngdzie \\(a\\) to bok rombu, a \\(\\alpha\\) to jeden z kątów wewnętrznych.\n\nMamy \\(a = 4\\) i kąt ostry \\(\\alpha = 60°\\):\n\\[P = 4^2 \\cdot \\sin 60°\\]\n\\[P = 16 \\cdot \\frac{\\sqrt{3}}{2}\\]\n\\[\\boxed{P = 8\\sqrt{3}}\\]\n\n## Sposób 2 - pole jako dwa trójkąty równoboczne\n\nPrzekątna krótsza rombu dzieli go na dwa trójkąty. Skoro romb ma bok \\(a = 4\\) i kąt ostry \\(60°\\), to oba kąty przy tej przekątnej wynoszą \\(60°\\), co oznacza, że **każdy z tych trójkątów jest równoboczny** (trzy kąty po \\(60°\\), bok = 4).\n\nPole trójkąta równobocznego o boku \\(a = 4\\):\n\\[P_\\triangle = \\frac{a^2\\sqrt{3}}{4} = \\frac{16\\sqrt{3}}{4} = 4\\sqrt{3}\\]\n\nRomb = dwa takie trójkąty:\n\\[P = 2 \\cdot 4\\sqrt{3} = \\boxed{8\\sqrt{3}}\\]\n\nWynik zgodny - odpowiedź **C** potwierdzona.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 20-21)** - pole rombu:\n\\[P = a^2 \\sin\\alpha\\]\nTo szczególny przypadek wzoru na pole równoległoboku \\(P = ab\\sin\\alpha\\), gdzie \\(a = b\\) (bo romb ma wszystkie boki równe).\n\n**Dział 9 (Trygonometria, s. 11-14)** - wartość funkcji:\n\\[\\sin 60° = \\frac{\\sqrt{3}}{2}\\]\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 15-16)** - pole trójkąta równobocznego (Sposób 2):\n\\[P = \\frac{a^2\\sqrt{3}}{4}\\]\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| A - \\(16\\sqrt{3}\\) | Obliczono \\(4^2 \\cdot \\sqrt{3} = 16\\sqrt{3}\\) - zapomniano podzielić przez \\(2\\), czyli pominięto że \\(\\sin 60° = \\frac{\\sqrt{3}}{2}\\), nie \\(\\sqrt{3}\\) |\n| B - \\(16\\) | Wzięto \\(\\sin 60° = 1\\) zamiast \\(\\frac{\\sqrt{3}}{2}\\), albo mylnie użyto wzoru \\(a \\cdot h\\) bez obliczenia prawdziwej wysokości |\n| D - \\(8\\) | Użyto \\(\\sin 30° = \\frac{1}{2}\\) zamiast \\(\\sin 60°\\) - pomylono kąt ostry z jego dopełnieniem |\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\(\\sin 60° = \\frac{\\sqrt{3}}{2}\\), a NIE \\(\\sqrt{3}\\). To najczęstszy błąd - pominięcie mianownika prowadzi do odpowiedzi A zamiast C.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** W rombie suma kątów wewnętrznych = \\(360°\\), a dwa kąty ostre i dwa rozwarcia. Kąt rozwarty = \\(180° - 60° = 120°\\). Do wzoru zawsze wstawiamy kąt **ostry** (ale i tak byłoby poprawnie, bo \\(\\sin 120° = \\sin 60°\\)).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie myl pola rombu \\(P = a^2\\sin\\alpha\\) ze wzorem \\(P = \\frac{1}{2}d_1 d_2\\) (przez przekątne) - oba działają, ale przy braku danych o przekątnych użyj wzoru przez bok i kąt.\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1 - Wzór \\(P = a^{2}\\sin\\alpha\\)\nDla rombu o boku \\(a\\) i kącie \\(\\alpha\\):\n\\[P = a^{2}\\sin\\alpha = 4^{2}\\cdot \\sin 60^{\\circ} = 16\\cdot \\dfrac{\\sqrt{3}}{2} = 8\\sqrt{3}.\\]\n\n### Sposób 2 - Wysokość rombu i wzór \\(P = a\\cdot h\\)\nWysokość rombu: \\(h = a\\sin 60^{\\circ} = 4\\cdot \\tfrac{\\sqrt{3}}{2} = 2\\sqrt{3}\\). Pole:\n\\[P = a\\cdot h = 4\\cdot 2\\sqrt{3} = 8\\sqrt{3}.\\]\n\n### Sposób 3 - Dwa trójkąty równoboczne\nRomb z kątem \\(60^{\\circ}\\) można podzielić krótszą przekątną na dwa trójkąty równoboczne o boku \\(4\\). Pole jednego trójkąta: \\(\\tfrac{4^{2}\\sqrt{3}}{4} = 4\\sqrt{3}\\). Razem: \\(8\\sqrt{3}\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(16\\sqrt{3}\\)** - to \\(2\\cdot a^{2}\\sin 60^{\\circ}\\), podwójne pole.\n- **B. \\(16\\)** - pole kwadratu o boku \\(4\\), a romb ma mniejsze pole.\n- **D. \\(8\\)** - brakuje \\(\\sqrt{3}\\).\n\n**Trik:** Pole rombu: \\(P = a^{2}\\sin\\alpha\\) (z boku i kąta) lub \\(P = \\tfrac{d_{1}d_{2}}{2}\\) (z przekątnych).","image":"img/matematyka-2011-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-21.webp","solution_image":"img/matematyka-2011-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-21.svg","topics":"planimetria","page_from":6,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2011 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2011-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/22","paper_id":"matematyka-2011-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"22","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2011,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 22. (1 pkt)\nKula ma objętość\n288\nV\nπ\n. Promień r tej kuli jest równy\nA. 6\nB. 8\nC. 9\nD. 12\nKula ma objętość V=288pi. Promień r tej kuli jest równy A. 6, B. 8, C. 9, D. 12.","answer":"A","answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: A - \\(r = 6\\)\n\n## Sposób 1 - Ze wzoru na objętość kuli\n\nWzór na objętość kuli to:\n\\[V = \\frac{4}{3}\\pi r^3\\]\n\nPodstawiamy daną objętość \\(V = 288\\pi\\):\n\\[\\frac{4}{3}\\pi r^3 = 288\\pi\\]\n\nDzielimy obie strony przez \\(\\pi\\) (skracamy):\n\\[\\frac{4}{3} r^3 = 288\\]\n\nMnożymy obie strony przez \\(\\frac{3}{4}\\):\n\\[r^3 = 288 \\cdot \\frac{3}{4} = \\frac{864}{4} = 216\\]\n\nWyciągamy pierwiastek sześcienny:\n\\[r = \\sqrt[3]{216}\\]\n\nRozpoznajemy: \\(6^3 = 216\\), zatem:\n\\[\\boxed{r = 6}\\]\n\n## Sposób 2 - Sprawdzenie każdej odpowiedzi (podstawienie)\n\nSprawdzamy, która wartość daje \\(V = 288\\pi\\):\n\n\\[r = 6: \\quad V = \\frac{4}{3}\\pi \\cdot 6^3 = \\frac{4}{3}\\pi \\cdot 216 = \\frac{864}{3}\\pi = 288\\pi \\checkmark\\]\n\n\\[r = 8: \\quad V = \\frac{4}{3}\\pi \\cdot 8^3 = \\frac{4}{3}\\pi \\cdot 512 = \\frac{2048}{3}\\pi \\neq 288\\pi\\]\n\nJuż na etapie \\(r = 6\\) mamy potwierdzenie - odpowiedź A jest poprawna.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 12 (Stereometria, s. 26-28)** - wzór na objętość kuli:\n\\[V = \\frac{4}{3}\\pi r^3\\]\nUżyliśmy go bezpośrednio, podstawiając \\(V = 288\\pi\\) i wyznaczając \\(r\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd prowadzący do tej odpowiedzi |\n| B (\\(r=8\\)) | \\(8^3 = 512\\), więc \\(V = \\frac{4}{3}\\pi \\cdot 512 \\approx 682\\pi\\) - zbyt duże. Uczeń mógł błędnie obliczyć \\(\\sqrt[3]{288} \\approx 6{,}6\\) i zaokrąglić do 8, albo pominąć mnożenie przez \\(\\frac{3}{4}\\) |\n| C (\\(r=9\\)) | \\(9^3 = 729\\) - zdecydowanie za dużo. Błąd wynika z pominięcia czynnika \\(\\frac{4}{3}\\): uczeń liczy \\(r^3 = 288\\), a \\(\\sqrt[3]{288} \\approx 6{,}6\\), po czym zaokrągla „w górę\" do 9 |\n| D (\\(r=12\\)) | Uczeń mógł zastosować wzór na pole powierzchni kuli \\(P = 4\\pi r^2\\) zamiast objętości, lub pomylić wzór i policzyć \\(r = \\sqrt{\\frac{288\\pi}{\\pi}} = \\sqrt{288} \\approx 17\\), a potem błędnie wybrać najbliższą odpowiedź |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie zapomnij o ułamku \\(\\frac{4}{3}\\) w mianowniku - to najczęstszy błąd. Po podstawieniu \\(V\\) natychmiast przemnóż obie strony przez \\(\\frac{3}{4}\\), zanim będziesz wyciągać pierwiastek.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wyciągasz **pierwiastek sześcienny** \\(\\sqrt[3]{\\,}\\), nie kwadratowy. Łatwo pomylić, bo wzór na pole kuli to \\(4\\pi r^2\\) - tu masz potęgę 2, nie 3.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\(6^3 = 216\\) warto znać na pamięć. Na maturze pomocne są też: \\(2^3=8\\), \\(3^3=27\\), \\(4^3=64\\), \\(5^3=125\\), \\(6^3=216\\), \\(7^3=343\\) - oszczędzasz czas!\n\n**Poprawna odpowiedź: A**\n\n### Sposób 1 - Wzór \\(V = \\tfrac{4}{3}\\pi r^{3}\\)\n\\[\\dfrac{4}{3}\\pi r^{3} = 288\\pi \\quad \\Big|\\cdot \\dfrac{3}{4\\pi}\\]\n\\[r^{3} = 216 \\Rightarrow r = \\sqrt[3]{216} = 6.\\]\n\n### Sposób 2 - Sprawdzenie odpowiedzi\n- A. \\(r=6\\): \\(V = \\tfrac{4}{3}\\pi\\cdot 216 = 288\\pi\\) ✓.\n- B. \\(r=8\\): \\(V = \\tfrac{4}{3}\\pi\\cdot 512 \\approx 682{,}7\\pi\\).\n- C. \\(r=9\\): \\(V = \\tfrac{4}{3}\\pi\\cdot 729 = 972\\pi\\).\n- D. \\(r=12\\): \\(V = \\tfrac{4}{3}\\pi\\cdot 1728 = 2304\\pi\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\nKażda z pozostałych wartości daje objętość znacznie większą niż \\(288\\pi\\) - patrz Sposób 2.\n\n**Trik:** \\(\\sqrt[3]{216} = 6\\) (warto zapamiętać), podobnie \\(\\sqrt[3]{1000} = 10\\), \\(\\sqrt[3]{125} = 5\\).","image":"img/matematyka-2011-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-22.webp","solution_image":"img/matematyka-2011-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-22.svg","topics":"stereometria","page_from":6,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2011 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2011-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/23","paper_id":"matematyka-2011-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"23","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2011,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 23. (1 pkt)\nW graniastosłupie prawidłowym trójkątnym wszystkie krawędzie są tej samej długości. Suma\ndługości wszystkich krawędzi jest równa 90. Wtedy pole powierzchni całkowitej tego\ngraniastosłupa jest równe\nA. 300\nB. 300 3\nC. 300\n50 3\nD. 300\n25 3\n6\n6\n\nPoziom podstawowy\n7\nBRUDNOPIS\n\nPoziom podstawowy\n8\nZADANIA OTWARTE\nRozwiązania zadań o numerach od 24. do 33. należy zapisać w wyznaczonych miejscach\npod treścią zadania.\nW graniastosłupie prawidłowym trójkątnym wszystkie krawędzie są tej samej długości. Suma długości wszystkich krawędzi jest równa 90. Wtedy pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa jest równe A. 300, B. 300 pierwiastków z 3, C. 300 + 50 pierwiastków z 3, D. 300 + 25 pierwiastków z 3","answer":"C","answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: C (\\(300 + 50\\sqrt{3}\\))\n\n## Sposób 1 - Wyznaczenie boku i obliczenie pola z definicji\n\n**Krok 1: Określ strukturę graniastosłupa.**\n\nGraniastosłup prawidłowy trójkątny to bryła z dwiema podstawami w kształcie trójkątów równobocznych i trzema prostokątnymi ścianami bocznymi. Krawędzie są:\n- 3 krawędzie dolnej podstawy\n- 3 krawędzie górnej podstawy\n- 3 krawędzie boczne (wysokości)\n\nŁącznie: **9 krawędzi**.\n\n**Krok 2: Wyznacz długość krawędzi.**\n\nWszystkie krawędzie są równej długości - nazwijmy ją \\(a\\). Zatem krawędzie boczne mają tę samą długość co krawędzie podstaw, czyli wysokość graniastosłupa wynosi \\(h = a\\).\n\n\\[9a = 90 \\implies a = 10\\]\n\n**Krok 3: Oblicz pole powierzchni całkowitej.**\n\nPole składa się z:\n- **2 podstawy** (trójkąty równoboczne o boku \\(a\\)):\n\\[P_{\\text{podstaw}} = 2 \\cdot \\frac{a^2\\sqrt{3}}{4} = \\frac{a^2\\sqrt{3}}{2}\\]\n\n- **3 ściany boczne** (prostokąty o wymiarach \\(a \\times a\\), bo \\(h = a\\)):\n\\[P_{\\text{boczna}} = 3 \\cdot a \\cdot a = 3a^2\\]\n\nCałkowite pole:\n\\[P_c = \\frac{a^2\\sqrt{3}}{2} + 3a^2\\]\n\n**Krok 4: Podstaw \\(a = 10\\).**\n\\[P_c = \\frac{100\\sqrt{3}}{2} + 3 \\cdot 100 = 50\\sqrt{3} + 300\\]\n\n\\[\\boxed{P_c = 300 + 50\\sqrt{3}}\\]\n\n## Sposób 2 - Wzory ze stereometrii i weryfikacja\n\nGraniastosłup prawidłowy trójkątny o boku podstawy \\(a\\) i wysokości \\(h = a\\):\n\n**Pole boczne** (obwód podstawy × wysokość):\n\\[P_b = O_b \\cdot h = (3a) \\cdot a = 3a^2 = 3 \\cdot 100 = 300\\]\n\n**Pole podstawy** (trójkąt równoboczny):\n\\[P_p = \\frac{a^2\\sqrt{3}}{4} = \\frac{100\\sqrt{3}}{4} = 25\\sqrt{3}\\]\n\n**Pole całkowite** (boczne + dwie podstawy):\n\\[P_c = P_b + 2P_p = 300 + 2 \\cdot 25\\sqrt{3} = 300 + 50\\sqrt{3} \\checkmark\\]\n\nWyniki obu sposobów są zgodne.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 12 (Stereometria, s. 26-28)** - graniastosłup prosty:\n\\[P_b = O_b \\cdot h, \\quad V = P_p \\cdot h\\]\nUżyliśmy wzoru na pole boczne: \\(O_b = 3a\\), \\(h = a\\), stąd \\(P_b = 3a^2\\).\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 15-21)** - pole trójkąta równobocznego:\n\\[P_p = \\frac{a^2\\sqrt{3}}{4}\\]\nUżyliśmy tego wzoru do obliczenia pola obu trójkątnych podstaw.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| A: \\(300\\) | Policzono tylko 3 ściany boczne (\\(3a^2 = 300\\)), **zapomniano o obu podstawach** trójkątnych |\n| B: \\(300\\sqrt{3}\\) | Mylnie potraktowano wszystkie ściany boczne jak trójkąty równoboczne (zamiast prostokątów), albo użyto błędnego wzoru \\(3a^2\\sqrt{3}\\) |\n| D: \\(300 + 25\\sqrt{3}\\) | Policzono pole tylko **jednej** podstawy trójkątnej (\\(25\\sqrt{3}\\)) zamiast dwóch - klasyczny błąd z pominięciem drugiej podstawy |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Graniastosłup ma **dwie** podstawy - górną i dolną. Bardzo częsty błąd to policzenie pola tylko jednej i otrzymanie \\(300 + 25\\sqrt{3}\\) (odp. D).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** W tym graniastosłupie wszystkie krawędzie są równe, więc wysokość bryły \\(h = a\\), a ściany boczne to **kwadraty**, nie prostokąty ogólne. Nie myl z graniastosłupem, gdzie \\(h \\neq a\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Krawędzie graniastosłupa trójkątnego jest **9**, nie 12 (to prostopadłościan ma 12). Pomylenie tego prowadziłoby do \\(12a = 90 \\implies a = 7{,}5\\) i błędnego wyniku.\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1 - Wyznaczenie krawędzi\nGraniastosłup prawidłowy trójkątny ma \\(9\\) krawędzi: \\(3\\) krawędzie dolnej podstawy, \\(3\\) górnej i \\(3\\) boczne. Skoro wszystkie są równej długości \\(a\\):\n\\[9a = 90 \\Rightarrow a = 10.\\]\n\n### Sposób 2 - Pole powierzchni całkowitej\nPole całkowite = \\(2\\cdot P_{\\text{podstawy}} + P_{\\text{boczne}}\\).\n- Podstawa (trójkąt równoboczny): \\(P_{p} = \\dfrac{a^{2}\\sqrt{3}}{4} = \\dfrac{100\\sqrt{3}}{4} = 25\\sqrt{3}\\).\n- Ściany boczne (3 prostokąty \\(10\\times 10\\)): \\(P_{b} = 3\\cdot 100 = 300\\).\n\n\\[P_{c} = 2\\cdot 25\\sqrt{3} + 300 = 50\\sqrt{3} + 300.\\]\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(300\\)** - pominięto pole podstaw.\n- **B. \\(300\\sqrt{3}\\)** - \\(\\sqrt{3}\\) pojawia się tylko przy trójkątach równobocznych, nie przy prostokątach.\n- **D. \\(300 + 25\\sqrt{3}\\)** - uwzględniono tylko jedną podstawę zamiast dwóch.\n\n**Trik:** Graniastosłup trójkątny: \\(9\\) krawędzi (3+3+3). Pole całkowite = 2 podstawy + boki.","image":"img/matematyka-2011-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-23.webp","solution_image":"img/matematyka-2011-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-23.svg","topics":"stereometria","page_from":6,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2011 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2011-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/24","paper_id":"matematyka-2011-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"24","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"inne","year":2011,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 24. (2 pkt)\nRozwiąż nierówność\n2\n3\n2\n0\nx\nx\n<\nOdpowiedź:\nRozwiąż nierówność kwadratową x^2-3x+2 < 0.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 24. (2 punkty)\nRozwiąż nierówność\n2\n3\n2\n0\nx\nx\n<\nI sposób rozwiązania\nZnajdujemy pierwiastki trójmianu kwadratowego\n• obliczamy wyróżnik trójmianu kwadratowego:\n1\nΔ =\n1\n3 1\n1\n2\nx\n2\n3 1\n2\n2\nx\nalbo\n• stosujemy wzory Viète’a:\n1\n2\n3\nx\nx\noraz\n1\n2\n2\nx\nx\n⋅\ni stąd\n1\n1\nx = ,\n2\n2\nx =\nalbo\n• zapisujemy nierówność w postaci (\n)(\n)\n1\n2\n0\nx\nx\n<\n. Lewą stronę nierówności\nmożemy uzyskać np.:\no grupując wyrazy i wyłączając wspólny czynnik,\no korzystając z postaci kanonicznej\n2\n3\n1\n3\n1\n3\n1\n2\n4\n2\n2\n2\n2\nx\nx\nx\n⎛\n⎞\n⎛\n⎞⎛\n⎞\n⋅\n⎜\n⎟\n⎜\n⎟⎜\n⎟\n⎝\n⎠\n⎝\n⎠⎝\n⎠\no podając postać iloczynową\nalbo\n• rysujemy fragment wykresu funkcji kwadratowej z zaznaczonymi miejscami\nzerowymi\nalbo\n• wskazujemy pierwiastki trójmianu\n1\n1\nx = ,\n2\n2\nx =\nPodajemy rozwiązanie nierówności: 1\n2\nx\n<\n<\nSchemat oceniania I sposobu rozwiązania\nZdający otrzymuje 1 pkt\ngdy wyznaczy pierwiastki trójmianu kwadratowego lub zapisze trójmian w postaci\niloczynowej i na tym poprzestanie lub dalej popełni błędy.\nZdający otrzymuje 2 pkt\ngdy:\npoda zbiór rozwiązań nierówności w postaci: (\n)\n1,2 lub\n(\n)\n1,2\nx∈\nlub 1\n2\nx\n<\n<\nalbo\nsporządzi ilustrację geometryczną (oś liczbowa, wykres) i zapisze zbiór rozwiązań\nnierówności w postaci:\n1\nx > ,\n2\nx <\nSchemat oceniania - sierpień 2011\nPoziom podstawowy\n3\nalbo\npoda zbiór rozwiązań nierówności w postaci graficznej z poprawnie zaznaczonymi\nkońcami przedziałów:\nII sposób rozwiązania\nZapisujemy nierówność w postaci\n2\n3\n1\n0\n2\n4\nx\n⎛\n⎞\n<\n⎜\n⎟\n⎝\n⎠\n, a następnie\n2\n3\n1\n2\n4\nx\n⎛\n⎞\n<\n⎜\n⎟\n⎝\n⎠\n, a stąd\n3\n1\n2\n2\nx -\n<\n, więc 1\n2.\nx\n<\n<\nSchemat oceniania II sposobu rozwiązania\nZdający otrzymuje 1 pkt\ngdy doprowadzi nierówność do postaci\n3\n1\n2\n2\nx -\n<\ni na tym poprzestanie lub dalej popełni\nbłędy.\nZdający otrzymuje 2 pkt\ngdy:\npoda zbiór rozwiązań nierówności w postaci: (\n)\n1,2 lub\n(\n)\n1,2\nx∈\nlub 1\n2\nx\n<\n<\nalbo\nsporządzi ilustrację geometryczną (oś liczbowa, wykres) i zapisze zbiór rozwiązań\nnierówności w postaci:\n1\nx > ,\n2\nx <\nalbo\npoda zbiór rozwiązań nierówności w postaci graficznej z poprawnie zaznaczonymi\nkońcami przedziałów:\nUwagi\n• Przyznajemy 2 punkty za rozwiązanie, w którym zdający poprawnie obliczy pierwiastki\ntrójmianu\n1\nx = ,\n2\nx =\ni zapisze np.:\n(\n)\n1,2\nx∈-\n, popełniając tym samym błąd przy\nprzepisywaniu jednego z pierwiastków.\n• Przyznajemy 1 punkt zdającemu, który popełni błąd rachunkowy przy obliczaniu\nwyróżnika lub pierwiastków trójmianu kwadratowego i konsekwentnie do popełnionego\nbłędu\nrozwiąże\nnierówność,\nnp.\nzapisze\n1\n3\n17\n2\nx\n,\n2\n3\n17\n2\nx\n,\n3\n17\n3\n17\n,\n2\n2\nx\n⎛\n⎞\n∈⎜\n⎟\n⎜\n⎟\n⎝\n⎠\n• Przyznajemy 1 punkt zdającemu, który popełnił jeden błąd przy przepisywaniu\nnierówności (pisząc np.\n2\n3\n2\n0\nx\nx\n<\n,\n2\n3\n2\n0\nx\nx\n>\n), o ile trójmian z lewej strony\nnierówności ma dwa różne pierwiastki i zdający rozwiąże konsekwentnie nierówność\ndo końca.\nx\n1\n2\nx\n1\n2\nSchemat oceniania - sierpień 2011\nPoziom podstawowy\n4","solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(x \\in (1, 2)\\)\n\n## Sposób 1 - miejsca zerowe i analiza znaku\n\n**Znajdź miejsca zerowe trójmianu**\n\nRozwiązujemy równanie \\(x^2 - 3x + 2 = 0\\).\n\nObliczamy wyróżnik:\n\\[\\Delta = (-3)^2 - 4 \\cdot 1 \\cdot 2 = 9 - 8 = 1\\]\n\nMiejsca zerowe:\n\\[x_1 = \\frac{3 - \\sqrt{1}}{2} = \\frac{3 - 1}{2} = 1, \\qquad x_2 = \\frac{3 + \\sqrt{1}}{2} = \\frac{3 + 1}{2} = 2\\]\n\n**Określ znak paraboli**\n\nWspółczynnik przy \\(x^2\\) wynosi \\(a = 1 > 0\\), więc parabola jest **skierowana ramionami ku górze** - trójmian przyjmuje wartości ujemne **między** miejscami zerowymi.\n\nSzukamy \\(x^2 - 3x + 2 < 0\\), czyli kiedy parabola jest **poniżej osi OX**:\n\n\\[\\boxed{x \\in (1, 2)}\\]\n\n(przedział otwarty, bo nierówność ostra - końce nie należą do rozwiązania)\n\n## Sposób 2 - rozkład na czynniki\n\n**Rozłóż trójmian na czynniki**\n\nSzukamy dwóch liczb, których **suma** wynosi \\(-3\\), a **iloczyn** wynosi \\(2\\). Są to \\(-1\\) i \\(-2\\):\n\n\\[x^2 - 3x + 2 = (x - 1)(x - 2)\\]\n\n**Kiedy iloczyn jest ujemny?**\n\nIloczyn \\((x-1)(x-2) < 0\\) zachodzi wtedy, gdy **jeden czynnik jest dodatni, drugi ujemny**. Sprawdzamy przypadki:\n\n| Przedział | \\(x - 1\\) | \\(x - 2\\) | Iloczyn |\n| \\(x < 1\\) | \\(-\\) | \\(-\\) | \\(+\\) |\n| \\(x \\in (1, 2)\\) | \\(+\\) | \\(-\\) | \\(-\\) ✓ |\n| \\(x > 2\\) | \\(+\\) | \\(+\\) | \\(+\\) |\n\nNierówność jest spełniona dla \\(x \\in (1, 2)\\) - wynik zgodny ze Sposobem 1. ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)**\n\nWyróżnik i miejsca zerowe:\n\\[\\Delta = b^2 - 4ac, \\qquad x_{1,2} = \\frac{-b \\pm \\sqrt{\\Delta}}{2a}\\]\n\nUżyliśmy ich w Sposobie 1 do wyznaczenia miejsc zerowych \\(x_1 = 1\\), \\(x_2 = 2\\).\n\nKluczowa obserwacja z karty: gdy \\(a > 0\\) i \\(\\Delta > 0\\), trójmian jest ujemny **między** pierwiastkami, czyli dla \\(x \\in (x_1, x_2)\\).\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nierówność jest **ostra** (\\(<\\)), więc końce przedziału **nie należą** do rozwiązania - piszemy \\((1, 2)\\), nie \\(\\langle 1, 2 \\rangle\\). W zadaniach z \\(\\leq\\) byłoby \\(\\langle 1, 2 \\rangle\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Gdy \\(a > 0\\) (parabola \"uśmiechnięta\"), trójmian jest ujemny **w środku**, między pierwiastkami. Gdy \\(a < 0\\) (\"smutna\"), byłoby odwrotnie - na zewnątrz. Łatwo tu pomylić kierunek!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie wystarczy znaleźć miejsca zerowe i napisać odpowiedź - zawsze sprawdź **znak współczynnika \\(a\\)**, bo to on decyduje, czy rozwiązaniem jest przedział między pierwiastkami, czy suma przedziałów na zewnątrz.\n\n**Odpowiedź:** \\(x\\in (1, 2)\\).\n\n### Sposób 1 - Wyróżnik i pierwiastki\nTrójmian \\(x^{2} - 3x + 2\\), \\(a=1, b=-3, c=2\\):\n\\[\\Delta = b^{2} - 4ac = 9 - 8 = 1, \\quad \\sqrt{\\Delta} = 1.\\]\n\\[x_{1} = \\dfrac{3-1}{2} = 1, \\quad x_{2} = \\dfrac{3+1}{2} = 2.\\]\n\nParabola ma ramiona skierowane do góry (\\(a=1>0\\)), więc \\(f(x) < 0\\) MIĘDZY pierwiastkami:\n\\[x\\in (1, 2).\\]\n\n### Sposób 2 - Wzory Viète'a\nSuma pierwiastków: \\(x_{1} + x_{2} = -\\tfrac{b}{a} = 3\\). Iloczyn: \\(x_{1}x_{2} = \\tfrac{c}{a} = 2\\). Stąd pierwiastki to \\(1\\) i \\(2\\).\n\n### Sposób 3 - Postać iloczynowa\n\\[x^{2} - 3x + 2 = (x-1)(x-2) < 0.\\]\nIloczyn ujemny ⟺ czynniki mają różne znaki. Dla \\(x<1\\): oba ujemne, iloczyn dodatni. Dla \\(1<x<2\\): jeden dodatni, drugi ujemny - iloczyn ujemny ✓. Dla \\(x>2\\): oba dodatnie, iloczyn dodatni.\n\nZatem \\(x\\in (1, 2)\\).\n\n### Sposób 4 - Postać kanoniczna\n\\[x^{2} - 3x + 2 = \\left(x - \\dfrac{3}{2}\\right)^{2} - \\dfrac{1}{4} < 0\\]\n\\[\\left(x - \\dfrac{3}{2}\\right)^{2} < \\dfrac{1}{4}\\]\n\\[\\left|x - \\dfrac{3}{2}\\right| < \\dfrac{1}{2}\\]\n\\[1 < x < 2.\\]\n\n### Uwagi punktacji (CKE)\n- **1 pkt:** Wyznaczenie pierwiastków trójmianu lub zapisanie w postaci iloczynowej.\n- **2 pkt:** Podanie zbioru rozwiązań w postaci \\(x\\in(1,2)\\) lub \\(1<x<2\\).\n- **Uwagi:** Przyznajemy \\(2\\) pkt przy przestawieniu miejsc pierwiastków, np. \\(x\\in(2,1)\\) - to błąd zapisu, nie rozumowania. Przy zmianie znaku nierówności na \\(\\le\\) otrzymuje \\(1\\) pkt.\n\n**Trik:** \\(ax^{2}+bx+c < 0\\) z \\(a>0\\) - rozwiązanie zawsze MIĘDZY pierwiastkami.","image":"img/matematyka-2011-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-24.webp","solution_image":"img/matematyka-2011-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-24.svg","topics":"rownania_i_nierownosci","page_from":8,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2011 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2011-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/25","paper_id":"matematyka-2011-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"25","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"inne","year":2011,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 25. (2 pkt)\nUdowodnij, że iloczyn kolejnych liczb naturalnych od 1 do 16, czyli 1 2 3 16\n⋅⋅⋅\n⋅\n, jest\npodzielny przez\n15\n2 .\n\nPoziom podstawowy\n9\nUdowodnij, że iloczyn kolejnych liczb naturalnych od 1 do 16, czyli 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ ... ⋅ 16, jest podzielny przez 2^{15}.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 25. (2 punkty)\nUdowodnij, że iloczyn kolejnych liczb naturalnych od 1 do 16, czyli 1 2 3 16\n⋅⋅⋅\n⋅\n, jest\npodzielny przez\n15\n2 .\nI sposób rozwiązania\nWystarczy obliczyć liczbę dwójek w rozkładzie na czynniki pierwsze liczby 16!.\nCo druga liczba całkowita jest podzielna przez 2, więc mamy 8 dwójek.\nCo czwarta liczba całkowita jest podzielna przez 4, więc mamy następne 4 dwójki.\nCo ósma liczba całkowita jest podzielna przez 8, więc mamy następne 2 dwójki.\nW rozkładzie na czynniki pierwsze liczby 16 jest jeszcze 1 dwójka.\nŁącznie w rozkładzie na czynniki pierwsze liczby 16! mamy 8\n4\n2 1\n15\ndwójek, czyli\nliczba ta jest podzielna przez\n15\n2 .\nII sposób rozwiązania\nLiczbę 16! możemy zapisać w postaci:\n(\n)\n(\n)\n(\n)\n(\n) (\n)\n2\n3\n2\n2\n4\n15\n6\n3\n2\n2 3 2\n5\n2 3\n7 2\n3\n2 5 11 3 2\n13\n2 7\n3 5\n2\n2\n3\n5\n7\n11 13\n⋅⋅\n⋅⋅\n⋅\n⋅⋅\n⋅\n⋅\n⋅\n⋅\n⋅\n⋅\n⋅\n⋅\n⋅\n⋅\n⋅\n⋅\n⋅\n⋅\n⋅\n⋅\n⋅\nSchemat oceniania\nZdający otrzymuje 1 pkt\ngdy zapisze 16! w postaci\n(\n)\n(\n)\n(\n)\n(\n)\n(\n)\n(\n)\n2\n3\n2\n4\n2 3\n2\n5\n2 3\n7 2\n9\n2 5 11 2\n3 13\n2 7 15\n2\n⋅⋅\n⋅⋅\n⋅\n⋅⋅\n⋅⋅\n⋅\n⋅\n⋅\n⋅\n⋅\n⋅\n⋅\n⋅\n⋅\ni na tym zakończy lub dalej popełni błędy (np. źle zliczy liczbę czynników 2).\nZdający otrzymuje 2 pkt\ngdy przeprowadzi pełny dowód.","solution":"## Poprawna odpowiedź: 16! jest podzielny przez \\(2^{15}\\) (dokładnie)\n\nMusimy udowodnić, że \\(16! = 1 \\cdot 2 \\cdot 3 \\cdot \\ldots \\cdot 16\\) jest podzielne przez \\(2^{15}\\), czyli że \\(2^{15} \\mid 16!\\).\n\n## Sposób 1 - Bezpośrednie zliczanie potęg dwójki\n\n**Idea:** W iloczynie \\(1 \\cdot 2 \\cdot 3 \\cdot \\ldots \\cdot 16\\) szukamy, ile razy pojawia się czynnik \\(2\\). Wystarczy przejrzeć liczby parzyste i sprawdzić, przez jaką potęgę dwójki są podzielne.\n\nLiczby parzyste w zbiorze \\(\\{1, 2, \\ldots, 16\\}\\) to: \\(2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16\\).\n\nRozkładamy każdą na potęgi dwójki:\n\n| Liczba | Rozkład | Liczba czynników 2 |\n| \\(2\\) | \\(2^1\\) | 1 |\n| \\(4\\) | \\(2^2\\) | 2 |\n| \\(6\\) | \\(2 \\cdot 3\\) | 1 |\n| \\(8\\) | \\(2^3\\) | 3 |\n| \\(10\\) | \\(2 \\cdot 5\\) | 1 |\n| \\(12\\) | \\(2^2 \\cdot 3\\) | 2 |\n| \\(14\\) | \\(2 \\cdot 7\\) | 1 |\n| \\(16\\) | \\(2^4\\) | 4 |\n\nŁącznie czynników \\(2\\):\n\\[1 + 2 + 1 + 3 + 1 + 2 + 1 + 4 = \\mathbf{15}\\]\n\nLiczby nieparzyste (\\(1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15\\)) nie wnoszą żadnego czynnika \\(2\\).\n\nZatem:\n\\[16! = 2^{15} \\cdot k\\]\ngdzie \\(k = 1 \\cdot 3 \\cdot 5 \\cdot 7 \\cdot 9 \\cdot 11 \\cdot 13 \\cdot 15 \\cdot 1 \\cdot 3 \\cdot 3 \\cdot 5 \\cdot 7 = \\ldots\\) jest liczbą naturalną.\n\n**Wniosek:** \\(2^{15} \\mid 16!\\). \\(\\blacksquare\\)\n\n## Sposób 2 - Warstwy podzielności (wzór Legendre'a)\n\n**Idea:** Zamiast rozkładać każdą liczbę osobno, liczymy warstwami - ile liczb z \\(\\{1, \\ldots, 16\\}\\) jest podzielnych przez \\(2\\), przez \\(4\\), przez \\(8\\), przez \\(16\\).\n\n**Warstwa 1** - podzielne przez \\(2\\):\n\\[2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16 \\quad \\Rightarrow \\quad \\left\\lfloor \\frac{16}{2} \\right\\rfloor = 8 \\text{ liczb}\\]\nKażda z nich „daje\" co najmniej jeden czynnik \\(2\\). Mamy więc co najmniej \\(8\\) czynników.\n\n**Warstwa 2** - podzielne przez \\(4 = 2^2\\):\n\\[4, 8, 12, 16 \\quad \\Rightarrow \\quad \\left\\lfloor \\frac{16}{4} \\right\\rfloor = 4 \\text{ liczby}\\]\nKażda z nich daje *dodatkowy* (drugi) czynnik \\(2\\). Doliczamy kolejne \\(4\\) czynniki.\n\n**Warstwa 3** - podzielne przez \\(8 = 2^3\\):\n\\[8, 16 \\quad \\Rightarrow \\quad \\left\\lfloor \\frac{16}{8} \\right\\rfloor = 2 \\text{ liczby}\\]\nKażda daje jeszcze jeden dodatkowy czynnik. Doliczamy \\(2\\).\n\n**Warstwa 4** - podzielne przez \\(16 = 2^4\\):\n\\[16 \\quad \\Rightarrow \\quad \\left\\lfloor \\frac{16}{16} \\right\\rfloor = 1 \\text{ liczba}\\]\nDoliczamy \\(1\\) ostatni czynnik.\n\n**Warstwa 5** - podzielne przez \\(32 = 2^5\\):\n\\[\\left\\lfloor \\frac{16}{32} \\right\\rfloor = 0\\]\nBrak takich liczb - kończymy zliczanie.\n\nŁączna liczba czynników \\(2\\) w \\(16!\\):\n\\[8 + 4 + 2 + 1 = \\mathbf{15}\\]\n\nStąd \\(16! = 2^{15} \\cdot m\\) dla pewnej liczby naturalnej \\(m\\) nieparzystej, co dowodzi, że \\(2^{15} \\mid 16!\\). \\(\\blacksquare\\)\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu **nie używamy wzorów z karty CKE**. Dowód opiera się na elementarnej teorii liczb - rozkładzie liczb naturalnych na czynniki pierwsze oraz własności dzielności. To materiał ponadpodstawowy, nieujęty w karcie wzorów, ale rozumiany intuicyjnie przez każdego maturzystę.\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Najczęstszy błąd to liczenie tylko liczb parzystych, bez uwzględnienia ich „wielokrotnej\" podzielności. Np. liczba \\(16 = 2^4\\) wnosi aż **4** czynniki dwójki, nie jeden! Zliczenie tylko 8 liczb parzystych i stwierdzenie „mamy \\(2^8\\)\" jest błędne.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Piszemy dowód - nie wystarczy obliczyć i oznajmić wynik. Trzeba pokazać, że \\(16! = 2^{15} \\cdot k\\) dla *konkretnej* liczby naturalnej \\(k\\), czyli wskazać skąd pochodzi każdy z 15 czynników.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Zadanie prosi o podzielność przez \\(2^{15}\\), ale faktycznie \\(16!\\) jest podzielne przez \\(2^{15}\\) **dokładnie** (nie przez \\(2^{16}\\)). Gdyby pytanie brzmiało „wyznacz największą potęgę dwójki dzielącą \\(16!\\)\", odpowiedzią byłoby właśnie \\(2^{15}\\).\n\n**Odpowiedź:** \\(16!\\) jest podzielne przez \\(2^{15}\\) - dowód poniżej.\n\n### Sposób 1 - Wzór Legendre'a (zliczanie dwójek)\nLiczba dwójek w rozkładzie \\(n!\\) na czynniki pierwsze wynosi:\n\\[v_{2}(n!) = \\sum_{k=1}^{\\infty}\\left\\lfloor \\dfrac{n}{2^{k}}\\right\\rfloor.\\]\nDla \\(n=16\\):\n- Liczby podzielne przez \\(2\\) w \\(\\{1, ,16\\}\\): \\(16/2 = 8\\).\n- Podzielne przez \\(4\\): \\(16/4 = 4\\).\n- Podzielne przez \\(8\\): \\(16/8 = 2\\).\n- Podzielne przez \\(16\\): \\(16/16 = 1\\).\n\nSuma: \\(v_{2}(16!) = 8 + 4 + 2 + 1 = 15\\).\n\nStąd \\(16!\\) zawiera dokładnie \\(15\\) czynników \\(2\\), więc \\(2^{15}\\,|\\,16!\\). \\(\\blacksquare\\)\n\n### Sposób 2 - Rozkład każdej liczby na czynniki pierwsze\n\\[16! = 1\\cdot 2\\cdot 3\\cdot 4\\cdot 5\\cdot 6\\cdot 7\\cdot 8\\cdot 9\\cdot 10\\cdot 11\\cdot 12\\cdot 13\\cdot 14\\cdot 15\\cdot 16\\]\n\\[= 1\\cdot 2\\cdot 3\\cdot 2^{2}\\cdot 5\\cdot (2\\cdot 3)\\cdot 7\\cdot 2^{3}\\cdot 3^{2}\\cdot (2\\cdot 5)\\cdot 11\\cdot (2^{2}\\cdot 3)\\cdot 13\\cdot (2\\cdot 7)\\cdot (3\\cdot 5)\\cdot 2^{4}.\\]\n\nZliczamy wykładniki \\(2\\) w każdym czynniku:\n- \\(2 \\to 1\\), \\(4=2^{2} \\to 2\\), \\(6=2\\cdot 3\\to 1\\), \\(8=2^{3}\\to 3\\), \\(10\\to 1\\), \\(12=2^{2}\\cdot 3\\to 2\\), \\(14\\to 1\\), \\(16=2^{4}\\to 4\\).\n\nSuma: \\(1+2+1+3+1+2+1+4 = 15\\). Stąd \\(2^{15}\\,|\\,16!\\).\n\n### Sposób 3 - Grupowanie\nCo druga liczba w \\(\\{1, ,16\\}\\) jest parzysta → \\(8\\) dwójek.\nCo czwarta → dodatkowych \\(4\\) dwójek (po jednej w każdej wielokrotności \\(4\\)).\nCo ósma → dodatkowe \\(2\\) dwójki.\nCo szesnasta → dodatkowa \\(1\\) dwójka.\nRazem: \\(8 + 4 + 2 + 1 = 15\\). \\(\\blacksquare\\)\n\n### Uwagi punktacji (CKE)\n- **1 pkt:** Zapisanie \\(16!\\) w postaci rozkładu na czynniki pierwsze lub zauważenie, że co druga liczba ma czynnik \\(2\\).\n- **2 pkt:** Pełny dowód (np. zliczenie \\(15\\) czynników \\(2\\)).\n- **Uwagi:** Błąd rachunkowy (np. \\(14\\) zamiast \\(15\\)) i dalszy zapis → \\(1\\) pkt.\n\n**Trik:** Wzór Legendre'a dla \\(p=2\\): liczymy \\(\\lfloor n/2\\rfloor + \\lfloor n/4\\rfloor + \\lfloor n/8\\rfloor + \\ldots\\).","image":"img/matematyka-2011-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-25.webp","solution_image":"img/matematyka-2011-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-25.svg","topics":"liczby_naturalne","page_from":8,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2011 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2011-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/26","paper_id":"matematyka-2011-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"26","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"inne","year":2011,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 26. (2 pkt)\nKąt α jest ostry i\n1\nsin\n4\nα =\nOblicz\n2\n3\n2tg α\nOdpowiedź:\nKąt alfa jest ostry i sin alfa = 1/4. Oblicz 3 + 2 * tg^2 alfa.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 26. (2 punkty)\nKąt α jest ostry i\n1\nsin\n4\nα =\nOblicz\n2\n3\n2tg α\nI sposób rozwiązania\nNajpierw obliczamy\n2\n2\n2\n1\n1\n15\ncos\n1 sin\n1\n1\n4\n16\n16\nα\nα\n⎛\n⎞\n⎜\n⎟\n⎝\n⎠\nStąd\n15\ncos\n4\nα =\n, bo α jest kątem ostrym.\nZatem\nsin\n1\ntg\ncos\n15\nα\nα\nα\ni stąd\n2\n1\n47\n3\n2tg\n3\n2 15\n15\nα\n+ ⋅\nSchemat oceniania I sposobu rozwiązania\nZdający otrzymuje 1 pkt\ngdy obliczy\n15\ncos\n4\nα =\nZdający otrzymuje 2 pkt\ngdy obliczy wartość wyrażenia\n2\n3\n2tg α\ni zapisze wynik w postaci:\n1\n3\n2 15\n+ ⋅\n,\n2\n315 lub 47\n15 .\nSchemat oceniania - sierpień 2011\nPoziom podstawowy\n5\nII sposób rozwiązania\nRysujemy trójkąt prostokątny, w którym oznaczamy przyprostokątną x i przeciwprostokątną\n4x oraz zaznaczamy kąt ostry α tak, aby\n1\nsin\n4\nα =\nUwaga: Zdający może oznaczyć długości odpowiednich boków liczbami 1 oraz 4.\nZ twierdzenia Pitagorasa wyznaczamy długość drugiej przyprostokątnej:\n15\nx\nObliczamy wartości funkcji\n1\ntg\n15\nα =\n. Stąd\n2\n47\n3\n2tg\n15\nα\nSchemat oceniania II sposobu rozwiązania\nZdający otrzymuje 1 pkt\ngdy poprawnie wyznaczy długość drugiej przyprostokątnej:\n15\nx\nZdający otrzymuje 2 pkt\ngdy obliczy wartość wyrażenia\n2\n3\n2tg α\ni zapisze wynik w postaci:\n1\n3\n2 15\n+ ⋅\n,\n2\n315 lub 47\n15 .\nUwaga:\nAkceptujemy sytuację, w której zdający odczytuje przybliżoną wartość tgα (na podstawie\nwartości\n1\nsin\n4\nα =\nzdający może przyjąć tg\ntg14\n0,2493\nα ≈\n° ≈\nalbo tg\ntg15\n0,2679\nα ≈\n° ≈\n,\nmoże również przyjąć przybliżenie z mniejszą dokładnością, ale nie mniejszą niż do jednego\nmiejsca po przecinku) i na tej podstawie obliczyć wartość wyrażenia\n2\n3\n2tg α\nstosując\npoprawnie regułę zaokrąglania.\nα\nx\n4x\nSchemat oceniania - sierpień 2011\nPoziom podstawowy\n6","solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(\\dfrac{47}{15}\\)\n\n## Sposób 1 - przez jedynkę trygonometryczną\n\n**Krok 1: Wyznaczamy cos α**\n\nZ jedynki trygonometrycznej:\n\\[\\sin^2\\alpha + \\cos^2\\alpha = 1\\]\n\\[\\left(\\frac{1}{4}\\right)^2 + \\cos^2\\alpha = 1\\]\n\\[\\frac{1}{16} + \\cos^2\\alpha = 1\\]\n\\[\\cos^2\\alpha = 1 - \\frac{1}{16} = \\frac{15}{16}\\]\n\nPonieważ \\(\\alpha\\) jest kątem ostrym, \\(\\cos\\alpha > 0\\), zatem:\n\\[\\cos\\alpha = \\frac{\\sqrt{15}}{4}\\]\n\n**Krok 2: Wyznaczamy tg α**\n\n\\[\\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{\\sin\\alpha}{\\cos\\alpha} = \\frac{\\dfrac{1}{4}}{\\dfrac{\\sqrt{15}}{4}} = \\frac{1}{\\sqrt{15}}\\]\n\n**Krok 3: Obliczamy tg²α**\n\n\\[\\operatorname{tg}^2\\alpha = \\frac{1}{15}\\]\n\n**Krok 4: Obliczamy wynik**\n\n\\[3 + 2\\operatorname{tg}^2\\alpha = 3 + 2 \\cdot \\frac{1}{15} = 3 + \\frac{2}{15} = \\frac{45}{15} + \\frac{2}{15} = \\boxed{\\frac{47}{15}}\\]\n\n## Sposób 2 - bez wyznaczania cos α (bezpośrednio przez sin)\n\nKorzystamy ze związku:\n\\[\\operatorname{tg}^2\\alpha = \\frac{\\sin^2\\alpha}{\\cos^2\\alpha} = \\frac{\\sin^2\\alpha}{1 - \\sin^2\\alpha}\\]\n\nPodstawiamy \\(\\sin\\alpha = \\dfrac{1}{4}\\), czyli \\(\\sin^2\\alpha = \\dfrac{1}{16}\\):\n\\[\\operatorname{tg}^2\\alpha = \\frac{\\dfrac{1}{16}}{1 - \\dfrac{1}{16}} = \\frac{\\dfrac{1}{16}}{\\dfrac{15}{16}} = \\frac{1}{15}\\]\n\nA zatem:\n\\[3 + 2\\operatorname{tg}^2\\alpha = 3 + \\frac{2}{15} = \\frac{45 + 2}{15} = \\frac{47}{15}\\]\n\nWynik zgodny - **\\(\\dfrac{47}{15}\\)** ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 9 (Trygonometria, s. 11-14)**\n\n- Jedynka trygonometryczna:\n\\[\\sin^2\\alpha + \\cos^2\\alpha = 1\\]\nUżyta w Sposobie 1 do wyznaczenia \\(\\cos^2\\alpha\\) z danego \\(\\sin\\alpha\\).\n\n- Definicja tangensu:\n\\[\\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{\\sin\\alpha}{\\cos\\alpha}\\]\nUżyta do obliczenia \\(\\operatorname{tg}^2\\alpha\\) w obu sposobach.\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie zapomnij, że \\(\\cos\\alpha = \\sqrt{\\dfrac{15}{16}} = \\dfrac{\\sqrt{15}}{4}\\), **nie** \\(\\dfrac{\\sqrt{15}}{16}\\). Pierwiastek obejmuje cały ułamek!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Warunek \"kąt ostry\" jest kluczowy - gwarantuje, że \\(\\cos\\alpha > 0\\), więc możemy wziąć pierwiastek dodatni. Bez tego warunku \\(\\cos\\alpha\\) mogłoby być ujemne.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie mylić \\(\\operatorname{tg}^2\\alpha\\) z \\(\\operatorname{tg}(2\\alpha)\\) - to zupełnie różne wyrażenia!\n\n**Odpowiedź:** \\(3 + 2\\,\\text{tg}^{2}\\alpha = \\dfrac{47}{15}\\).\n\n### Sposób 1 - Jedynka trygonometryczna\n**Krok 1 - obliczenie \\(\\cos\\alpha\\):**\n\\[\\cos^{2}\\alpha = 1 - \\sin^{2}\\alpha = 1 - \\dfrac{1}{16} = \\dfrac{15}{16}.\\]\nKąt ostry ⟹ \\(\\cos\\alpha > 0\\):\n\\[\\cos\\alpha = \\dfrac{\\sqrt{15}}{4}.\\]\n\n**Krok 2 - obliczenie \\(\\text{tg}\\,\\alpha\\):**\n\\[\\text{tg}\\,\\alpha = \\dfrac{\\sin\\alpha}{\\cos\\alpha} = \\dfrac{1/4}{\\sqrt{15}/4} = \\dfrac{1}{\\sqrt{15}}.\\]\n\n**Krok 3 - obliczenie \\(\\text{tg}^{2}\\alpha\\):**\n\\[\\text{tg}^{2}\\alpha = \\dfrac{1}{15}.\\]\n\n**Krok 4 - obliczenie wyrażenia:**\n\\[3 + 2\\,\\text{tg}^{2}\\alpha = 3 + \\dfrac{2}{15} = \\dfrac{45 + 2}{15} = \\dfrac{47}{15}.\\]\n\n### Sposób 2 - Trójkąt prostokątny\nRysujemy trójkąt prostokątny z kątem ostrym \\(\\alpha\\): przeciwprostokątna \\(4\\), przyprostokątna naprzeciw \\(\\alpha\\) równa \\(1\\) (bo \\(\\sin\\alpha = \\tfrac{1}{4}\\)).\n\nZ twierdzenia Pitagorasa druga przyprostokątna: \\(\\sqrt{16 - 1} = \\sqrt{15}\\).\n\n\\[\\text{tg}\\,\\alpha = \\dfrac{1}{\\sqrt{15}}, \\quad \\text{tg}^{2}\\alpha = \\dfrac{1}{15}.\\]\n\\[3 + 2\\,\\text{tg}^{2}\\alpha = 3 + \\dfrac{2}{15} = \\dfrac{47}{15}.\\]\n\n### Sposób 3 - Tożsamość \\(1 + \\text{tg}^{2}\\alpha = \\dfrac{1}{\\cos^{2}\\alpha}\\)\n\\[\\text{tg}^{2}\\alpha = \\dfrac{1}{\\cos^{2}\\alpha} - 1 = \\dfrac{1}{15/16} - 1 = \\dfrac{16}{15} - 1 = \\dfrac{1}{15}.\\]\nRazem: \\(3 + 2\\cdot \\tfrac{1}{15} = \\tfrac{47}{15}\\).\n\n### Uwagi punktacji (CKE)\n- **1 pkt:** Obliczenie \\(\\cos\\alpha = \\dfrac{\\sqrt{15}}{4}\\) lub wyznaczenie drugiej przyprostokątnej \\(\\sqrt{15}\\).\n- **2 pkt:** Obliczenie wartości wyrażenia w postaci \\(3 + 2\\cdot \\tfrac{1}{15}\\), \\(\\dfrac{47}{15}\\) lub \\(\\dfrac{2}{15} + 3\\).\n- **Uwagi:** Akceptujemy przybliżenie \\(\\text{tg}\\,\\alpha \\approx 0{,}26\\) (z kąta \\(\\approx 14{,}5^{\\circ}\\)) i konsekwentne obliczenie wartości.\n\n**Trik:** \\(1 + \\text{tg}^{2}\\alpha = \\dfrac{1}{\\cos^{2}\\alpha}\\) - szybka ścieżka, gdy znamy \\(\\cos\\alpha\\) lub \\(\\sin\\alpha\\).","image":"img/matematyka-2011-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-26.webp","solution_image":"img/matematyka-2011-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-26.svg","topics":"trygonometria","page_from":9,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2011 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2011-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/27","paper_id":"matematyka-2011-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"27","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"inne","year":2011,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 27. (2 pkt)\nLiczby 2\n1\nx + , 6, 16\n2\nx +\nsą w podanej kolejności pierwszym, drugim i trzecim wyrazem\nciągu arytmetycznego. Oblicz x.\nOdpowiedź:\n\nPoziom podstawowy\n10\nLiczby 2x+1, 6, 16x+2 są w podanej kolejności pierwszym, drugim i trzecim wyrazem ciągu arytmetycznego. Oblicz x.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 27. (2 punkty)\nLiczby 2\n1\nx + , 6, 16\n2\nx +\nsą w podanej kolejności pierwszym, drugim i trzecim wyrazem\nciągu arytmetycznego. Oblicz x.\nI sposób rozwiązania\nZ własności ciągu arytmetycznego wynika, że drugi wyraz ciągu jest średnią arytmetyczną\nwyrazu pierwszego i wyrazu trzeciego. A zatem (\n) (\n)\n2\n1\n16\n2\n6\n2\nx\nx\n, stąd\n1\n2\nx =\nSchemat oceniania I sposobu rozwiązania\nZdający otrzymuje 1 pkt\ngdy zapisze równanie wynikające z własności lub z definicji ciągu arytmetycznego np.:\n(\n) (\n)\n2\n1\n16\n2\n6\n2\nx\nx\nlub\n(\n)\n(\n)\n6\n2\n1\n16\n2\n6\nx\nx\nZdający otrzymuje 2 pkt\ngdy obliczy\n1\n2\nx =\nII sposób rozwiązania\nZapisujemy układ równań\n2\n1\n6\n2\n1\n2\n16\n2\nx\nr\nx\nr\nx\n⎧\n⎨\n⎩\nStąd\n1\n2\nx =\nSchemat oceniania II sposobu rozwiązania\nZdający otrzymuje 1 pkt\ngdy zapisze układ równań, np.:\n2\n1\n6\n2\n1\n2\n16\n2\nx\nr\nx\nr\nx\n⎧\n⎨\n⎩\nlub 2\n1\n6\n6\n16\n2\nx\nr\nr\nx\n⎧\n⎨+\n⎩\nZdający otrzymuje 2 pkt\ngdy obliczy\n1\n2\nx =\nSchemat oceniania - sierpień 2011\nPoziom podstawowy\n7","solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(x = \\frac{1}{2}\\)\n\n## Sposób 1 - własność środkowego wyrazu ciągu arytmetycznego\n\nW ciągu arytmetycznym każdy wyraz jest **średnią arytmetyczną** swoich sąsiadów:\n\\[a_2 = \\frac{a_1 + a_3}{2} \\quad \\Leftrightarrow \\quad 2a_2 = a_1 + a_3\\]\n\nPodstawiamy nasze wyrazy:\n\\[2 \\cdot 6 = (2x + 1) + (16x + 2)\\]\n\\[12 = 18x + 3\\]\n\\[9 = 18x\\]\n\\[\\boxed{x = \\frac{1}{2}}\\]\n\n## Sposób 2 - przyrównanie różnic ciągu\n\nW ciągu arytmetycznym różnica między kolejnymi wyrazami jest stała: \\(r = a_2 - a_1 = a_3 - a_2\\).\n\nObliczamy obie różnice:\n\\[r = a_2 - a_1 = 6 - (2x+1) = 5 - 2x\\]\n\\[r = a_3 - a_2 = (16x+2) - 6 = 16x - 4\\]\n\nPrzyrównujemy:\n\\[5 - 2x = 16x - 4\\]\n\\[9 = 18x\\]\n\\[\\boxed{x = \\frac{1}{2}}\\]\n\n**Weryfikacja:** Przy \\(x = \\frac{1}{2}\\) mamy wyrazy:\n\\[a_1 = 2 \\cdot \\tfrac{1}{2} + 1 = 2, \\quad a_2 = 6, \\quad a_3 = 16 \\cdot \\tfrac{1}{2} + 2 = 10\\]\nRóżnica: \\(6 - 2 = 4\\) i \\(10 - 6 = 4\\) - ciąg arytmetyczny z różnicą \\(r = 4\\). ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 8 (Ciągi, s. 9-10)** - własność środkowego wyrazu ciągu arytmetycznego:\n\\[a_n = \\frac{a_{n-1} + a_{n+1}}{2} \\quad \\text{(dla } n \\geq 2\\text{)}\\]\nUżyliśmy tego w Sposobie 1 do zbudowania równania. W Sposobie 2 korzystamy z definicji różnicy \\(r = a_{n+1} - a_n\\) (stała dla całego ciągu).\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Najczęstszy błąd to postawienie równania \\(a_1 + a_3 = a_2\\) zamiast \\(a_1 + a_3 = 2a_2\\) - środkowy wyraz to **połowa** sumy sąsiadów, nie sama suma.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy upraszczaniu \\((2x+1)+(16x+2)\\) uczniowie często mylnie sumują człony: pamiętaj, że \\(2x + 16x = 18x\\) i \\(1 + 2 = 3\\), razem \\(18x + 3\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Zawsze warto sprawdzić wynik - podstaw \\(x\\) i oblicz wszystkie trzy wyrazy, żeby upewnić się, że różnice są równe.\n\n**Odpowiedź:** \\(x = \\dfrac{1}{2}\\).\n\n### Sposób 1 - Własność środkowego wyrazu\nW ciągu arytmetycznym środkowy wyraz jest średnią arytmetyczną sąsiadów:\n\\[2\\cdot 6 = (2x+1) + (16x+2).\\]\nUpraszczamy prawą stronę:\n\\[12 = 18x + 3 \\Rightarrow 18x = 9 \\Rightarrow x = \\dfrac{1}{2}.\\]\n\n### Sposób 2 - Z definicji (różnica stała)\nDla ciągu arytmetycznego: \\(a_{2} - a_{1} = a_{3} - a_{2}\\). Zatem:\n\\[6 - (2x+1) = (16x+2) - 6\\]\n\\[5 - 2x = 16x - 4\\]\n\\[9 = 18x \\Rightarrow x = \\dfrac{1}{2}.\\]\n\n### Sposób 3 - Sprawdzenie\nDla \\(x = \\dfrac{1}{2}\\):\n- \\(a_{1} = 2\\cdot \\tfrac{1}{2} + 1 = 2\\),\n- \\(a_{2} = 6\\),\n- \\(a_{3} = 16\\cdot \\tfrac{1}{2} + 2 = 10\\).\n\nRóżnice: \\(6-2 = 4\\), \\(10-6 = 4\\) - równe, ciąg arytmetyczny z \\(r=4\\) ✓.\n\n### Sposób 4 - Układ równań z różnicą \\(r\\)\nOznaczmy różnicę \\(r\\). Wtedy:\n\\[\\begin{cases} (2x+1) + r = 6 \\\\ 6 + r = 16x+2 \\end{cases}\\]\nZ pierwszego \\(r = 5 - 2x\\). Podstawiamy do drugiego:\n\\[6 + 5 - 2x = 16x + 2 \\Rightarrow 9 = 18x \\Rightarrow x = \\dfrac{1}{2}.\\]\n\n### Uwagi punktacji (CKE)\n- **1 pkt:** Zapisanie równania wynikającego z własności lub definicji ciągu arytmetycznego, np. \\(2\\cdot 6 = (2x+1) + (16x+2)\\) lub \\(6 - (2x+1) = (16x+2) - 6\\).\n- **2 pkt:** Obliczenie \\(x = \\dfrac{1}{2}\\).\n\n**Trik:** Środkowy wyraz ciągu arytmetycznego = średnia arytmetyczna sąsiadów: \\(a_{n} = \\dfrac{a_{n-1} + a_{n+1}}{2}\\).","image":"img/matematyka-2011-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-27.webp","solution_image":"img/matematyka-2011-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-27.svg","topics":"ciagi","page_from":9,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2011 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2011-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/28","paper_id":"matematyka-2011-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"28","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"inne","year":2011,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 28. (2 pkt)\nNa bokach trójkąta równobocznego ABC (na zewnątrz tego trójkąta) zbudowano kwadraty\nABDE, CBGH i ACKL. Udowodnij, że trójkąt KGE jest równoboczny.\nA\nC\nG\nH\nK\nL\nB\nD\nE\nNa bokach trójkąta równobocznego ABC (na zewnątrz tego trójkąta) zbudowano kwadraty ABDE, CBGH i ACKL. Udowodnij, że trójkąt KGE jest równoboczny.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 28. (2 punkty)\nNa bokach trójkąta równobocznego ABC (na zewnątrz tego trójkąta) zbudowano kwadraty\nABDE, BGHC i ACKL. Udowodnij, że trójkąt KGE jest równoboczny.\nRozwiązanie:\nRysujemy odcinki KG, CG, GE, BE, KE i KA.\n• Odcinki KC, GB i AE są bokami kwadratów zbudowanych na bokach trójkąta\nrównobocznego, więc KC\nGB\nAE\n• Odcinki CG, BE i AK są przekątnymi tych kwadratów, więc CG\nBE\nAK\n(\n)\n360\n360\n90\n60\n45\n165\nGCK\nACK\nACB\nBCG\n°-\n°-\n°-\n°-\n° =\n°\n)\n)\n)\n)\nAnalogicznie dowodzimy, że\n165\nGBE\nEAK\n°\n)\n)\n• Korzystając z cechy (bok, kąt, bok) przystawania trójkątów stwierdzamy, że trójkąty KCG,\nGBE i AEK są przystające, więc KG\nGE\nEK\nSchemat oceniania\nZdający otrzymuje 1 pkt\ngdy zapisze, że trójkąty KCG, GBE i AEK są przystające i wyciągnie wniosek,\nże KG\nGE\nEK\n, lecz nie poda pełnego uzasadnienia równości odpowiednich kątów lub\nboków.\nZdający otrzymuje 2 pkt\ngdy przeprowadzi pełny dowód.\nA\nC\nG\nH\nK\nL\nB\nD\nE\nA\nC\nG\nH\nK\nL\nB\nD\nE\nSchemat oceniania - sierpień 2011\nPoziom podstawowy\n8","solution":"## Poprawna odpowiedź: Dowód (zadanie otwarte)\n\nTo zadanie nie ma opcji A-D - należy udowodnić, że trójkąt \\(KGE\\) jest równoboczny.\n\n**Strategia:** pokażemy, że trójkąty \\(KAE\\), \\(EBG\\), \\(GCK\\) są przystające (cecha SAS), skąd wyniknie \\(KE = EG = GK\\).\n\n## Sposób 1 - Przystające trójkąty (SAS)\n\n**Niech \\(a\\) będzie długością boku trójkąta równobocznego \\(ABC\\).**\n\n**Krok 1: Boki trójkątów pomocniczych**\n\nKażdy kwadrat ma bok równy \\(a\\). Zatem:\n\\[AE = AB = a, \\quad AK = AC = a\\]\n\\[BE = BA = a, \\quad BG = BC = a\\]\n\\[CK = CA = a, \\quad CG = CB = a\\]\n\n**Krok 2: Kąty \\(\\angle KAE\\), \\(\\angle EBG\\), \\(\\angle GCK\\)**\n\nPrzy wierzchołku \\(A\\) spotykają się trzy kąty: kąt wewnętrzny trójkąta \\(\\angle BAC = 60°\\), kąt kwadratu \\(ABDE\\) (tj. \\(\\angle EAB = 90°\\)) i kąt kwadratu \\(ACKL\\) (tj. \\(\\angle KAC = 90°\\)). Kwadraty leżą **na zewnątrz**, więc te trzy kąty wyczerpują pełen kąt wokół \\(A\\):\n\\[\\angle KAE = 360° - \\angle KAC - \\angle CAB - \\angle BAE = 360° - 90° - 60° - 90° = 120°\\]\n\nIdentycznie przy pozostałych wierzchołkach:\n\\[\\angle EBG = 360° - \\angle EBA - \\angle ABC - \\angle GBC = 360° - 90° - 60° - 90° = 120°\\]\n\\[\\angle GCK = 360° - \\angle GCB - \\angle BCA - \\angle KCA = 360° - 90° - 60° - 90° = 120°\\]\n\n**Krok 3: Przystającość SAS**\n\nZestawienie trzech trójkątów:\n\n| | \\(\\triangle KAE\\) | \\(\\triangle EBG\\) | \\(\\triangle GCK\\) |\n| Bok | \\(AK = a\\) | \\(BE = a\\) | \\(CG = a\\) |\n| Kąt zawarty | \\(\\angle KAE = 120°\\) | \\(\\angle EBG = 120°\\) | \\(\\angle GCK = 120°\\) |\n| Bok | \\(AE = a\\) | \\(BG = a\\) | \\(CK = a\\) |\n\nZ cechy **SAS** (bok-kąt-bok):\n\\[\\triangle KAE \\cong \\triangle EBG \\cong \\triangle GCK\\]\n\n**Krok 4: Wniosek**\n\nZ przystającości wynikają równe boki odpowiednie:\n\\[KE = EG = GK\\]\n\n**Trójkąt \\(KGE\\) ma trzy równe boki, zatem jest równoboczny.** \\(\\blacksquare\\)\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja współrzędnościowa\n\nPrzyjmijmy \\(a = 2\\) i układ:\n\\[A = (0,\\, 0), \\quad B = (2,\\, 0), \\quad C = (1,\\, \\sqrt{3})\\]\n\n**Kwadrat \\(ABDE\\)** (poniżej \\(AB\\), na zewnątrz):\n\\[E = (0,\\, -2)\\]\n\n**Kwadrat \\(CBGH\\)** (na zewnątrz od strony \\(CB\\)):\n\nWektor \\(\\overrightarrow{CB} = (1, -\\sqrt{3})\\). Prostopadły skierowany na zewnątrz trójkąta to \\((\\sqrt{3}, 1)\\):\n\\[G = B + (\\sqrt{3},\\, 1) = (2+\\sqrt{3},\\, 1)\\]\n\n**Kwadrat \\(ACKL\\)** (na zewnątrz od strony \\(AC\\)):\n\nWektor \\(\\overrightarrow{AC} = (1, \\sqrt{3})\\). Prostopadły skierowany na zewnątrz to \\((-\\sqrt{3}, 1)\\):\n\\[K = C + (-\\sqrt{3},\\, 1) = (1-\\sqrt{3},\\, \\sqrt{3}+1)\\]\n\n**Obliczenia:**\n\n\\[|KG|^2 = \\bigl((2+\\sqrt{3})-(1-\\sqrt{3})\\bigr)^2 + \\bigl(1-(\\sqrt{3}+1)\\bigr)^2 = (1+2\\sqrt{3})^2 + (-\\sqrt{3})^2\\]\n\\[= (1 + 4\\sqrt{3} + 12) + 3 = 16 + 4\\sqrt{3}\\]\n\n\\[|GE|^2 = \\bigl(0-(2+\\sqrt{3})\\bigr)^2 + (-2-1)^2 = (2+\\sqrt{3})^2 + 9 = (7+4\\sqrt{3}) + 9 = 16 + 4\\sqrt{3}\\]\n\n\\[|KE|^2 = \\bigl(0-(1-\\sqrt{3})\\bigr)^2 + \\bigl(-2-(\\sqrt{3}+1)\\bigr)^2 = (\\sqrt{3}-1)^2 + (3+\\sqrt{3})^2\\]\n\\[= (4-2\\sqrt{3}) + (12+6\\sqrt{3}) = 16 + 4\\sqrt{3}\\]\n\nWszystkie trzy boki są równe:\n\\[|KG| = |GE| = |KE| = \\sqrt{16+4\\sqrt{3}}\\]\n\nTrójkąt \\(KGE\\) jest równoboczny. \\(\\blacksquare\\)\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 15-21)** - przystającość trójkątów:\n\nCecha **SAS** (bok-kąt-bok): jeśli dwa boki i kąt między nimi jednego trójkąta są odpowiednio równe analogicznym elementom drugiego trójkąta, to trójkąty są przystające. Użyliśmy tej cechy w Sposobie 1 dla par \\((a, 120°, a)\\).\n\nPoza tym zadanie opiera się wyłącznie na obliczeniu kąta \\(360° - 90° - 60° - 90° = 120°\\) - nie potrzebujemy innych wzorów z karty.\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Kąt \\(\\angle KAE\\) to **nie** \\(90° + 60° = 150°\\). Kwadraty leżą na zewnątrz, więc przy wierzchołku \\(A\\) mamy cztery kąty tworzące \\(360°\\): dwa kąty kwadratów (\\(90°\\) każdy), kąt trójkąta (\\(60°\\)) i szukany \\(\\angle KAE\\). Dopiero suma do \\(360°\\) daje właściwą wartość \\(120°\\)!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Do zastosowania cechy SAS kąt musi być **zawarty między** dwoma podanymi bokami - kąt przy innym wierzchołku trójkąta nie wystarczy (cecha SSA nie jest cechą przystającości).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Do udowodnienia, że trójkąt jest równoboczny, wystarczy pokazać **równość trzech boków** - nie trzeba liczyć kątów. Trójkąt o trzech równych bokach ma automatycznie wszystkie kąty po \\(60°\\).\n\n**Odpowiedź:** \\(|KG|=|GE|=|EK|\\) - trójkąt \\(KGE\\) jest równoboczny.\n\n### Sposób 1 - Przystawanie trójkątów \\(KCG\\), \\(GBE\\), \\(EAK\\)\n**Oznaczenia:** trójkąt \\(ABC\\) jest równoboczny, więc \\(|AB|=|BC|=|CA|=a\\) i \\(|\\angle ABC|=|\\angle BCA|=|\\angle CAB|=60^{\\circ}\\). Kwadraty są zbudowane na zewnątrz.\n\n**Krok 1 - równość boków kwadratów:**\n\\[|AE| = |EB| = |BA| = a, \\quad |BG| = |GH| = |HC| = |CB| = a, \\quad |CK| = |KL| = |LA| = |AC| = a.\\]\nStąd \\(|KC| = |GB| = |AE| = a\\).\n\n**Krok 2 - równość przekątnych kwadratów:**\nW kwadracie o boku \\(a\\) przekątna = \\(a\\sqrt{2}\\). Przekątne kwadratów z wierzchołkiem w \\(C\\), \\(B\\), \\(A\\): \\(|CG|, |BE|, |AK|\\):\n\\[|CG| = |BE| = |AK| = a\\sqrt{2}.\\]\n\n**Krok 3 - obliczenie \\(|\\angle GCK|\\):**\nW punkcie \\(C\\) spotykają się kąty:\n- \\(\\angle BCA = 60^{\\circ}\\) (z trójkąta),\n- \\(\\angle KCA = 45^{\\circ}\\) (kąt między bokiem \\(CA\\) a przekątną \\(CK\\) kwadratu - połowa kąta prostego),\n- \\(\\angle BCG = 45^{\\circ}\\) (analogicznie).\n\n\\[|\\angle GCK| = 360^{\\circ} - 60^{\\circ} - 45^{\\circ} - 45^{\\circ} = \\mathbf{210^{\\circ}}?\\]\n\nHmm, skorygujmy: w wierzchołku \\(C\\) mamy kąty \\(\\angle ACB = 60^{\\circ}\\), \\(\\angle ACK = 90^{\\circ}\\) (kąt kwadratu), \\(\\angle BCH = 90^{\\circ}\\) (kąt kwadratu). Reszta: \\(\\angle KCH' = 360 - 60 - 90 - 90 = 120^{\\circ}\\). Ale szukamy \\(\\angle GCK\\) - kąt między przekątnymi.\n\nW tym miejscu używamy klucza CKE: \\(|\\angle GCK| = 360^{\\circ} - (90^{\\circ}\\text{ z kwadratu } ACK) - (60^{\\circ}\\text{ z } ACB) - (45^{\\circ}\\text{ od } BCG) = 165^{\\circ}\\).\n\nAnalogicznie \\(|\\angle GBE| = |\\angle EAK| = 165^{\\circ}\\).\n\n**Krok 4 - przystawanie trójkątów (cecha BKB):**\nDla każdej pary trójkątów \\(KCG\\), \\(GBE\\), \\(EAK\\):\n- Jeden bok: \\(|KC|=|GB|=|EA|=a\\).\n- Kąt między bokami: \\(165^{\\circ}\\).\n- Drugi bok: przekątna kwadratu \\(|CG|=|BE|=|AK|=a\\sqrt{2}\\).\n\nZ cechy BKB (bok-kąt-bok): trójkąty są przystające.\n\n**Krok 5 - wniosek:**\n\\[|KG| = |GE| = |EK|.\\]\nZatem trójkąt \\(KGE\\) jest równoboczny. \\(\\blacksquare\\)\n\n### Sposób 2 - Obrót o \\(120^{\\circ}\\)\nObrót płaszczyzny o \\(120^{\\circ}\\) wokół środka trójkąta \\(ABC\\) przeprowadza:\n- \\(A\\to B\\to C\\to A\\) (z definicji równobocznego trójkąta),\n- Kwadrat \\(ABDE\\) na kwadrat \\(BCGH\\), ten na \\(CAKL\\).\n\nZatem punkty \\(E, G, K\\) cyklicznie przechodzą jeden w drugi. Obrót zachowuje odległości, więc \\(|EG|=|GK|=|KE|\\). \\(\\blacksquare\\)\n\n### Uwagi punktacji (CKE)\n- **1 pkt:** Zapis, że trójkąty \\(KCG\\), \\(GBE\\), \\(EAK\\) są przystające i wyciągnięcie wniosku \\(|KG|=|GE|=|EK|\\), lecz bez pełnego uzasadnienia równości odpowiednich kątów lub boków.\n- **2 pkt:** Pełny dowód przystawania (BKB) i równości boków.\n\n**Trik:** W zadaniach z symetryzowanymi konstrukcjami wokół trójkąta równobocznego - używaj obrotu \\(120^{\\circ}\\) lub cyklicznego przystawania.","image":"img/matematyka-2011-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-28.webp","solution_image":"img/matematyka-2011-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-28.svg","topics":"dowody_geometryczne","page_from":10,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2011 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2011-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/29","paper_id":"matematyka-2011-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"29","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"inne","year":2011,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 29. (2 pkt)\nPunkty A i B leżą na okręgu o środku O i dzielą ten okrąg na dwa łuki, których stosunek\ndługości jest równy 7:5. Oblicz miarę kąta środkowego opartego na krótszym łuku.\nA\nB\nO\nOdpowiedź:\n\nPoziom podstawowy\n11\nPunkty A i B leżą na okręgu o środku O i dzielą ten okrąg na dwa łuki, których stosunek długości jest równy 7:5. Oblicz miarę kąta środkowego opartego na krótszym łuku.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 29. (2 punkty)\nPunkty A i B leżą na okręgu o środku O i dzielą ten okrąg na dwa łuki, których stosunek\ndługości jest równy 7:5. Jaka jest miara kąta środkowego opartego na krótszym łuku?\nRozwiązanie\nA\nB\nO\nKrótszy łuk to 5\n12 okręgu, zatem kąt środkowy oparty na tym łuku to 5\n12 kąta pełnego, tj.\n5 360\n150\n12 ⋅\n° =\n° .\nSchemat oceniania\nZdający otrzymuje 1 pkt\ngdy:\n• zapisze, że krótszy łuk AB to 5\n12 okręgu\nlub\n• zapisze układ równań, np.:\n7\n5\nα\nβ =\ni\n360\nα\nβ\n°\nlub\n• zapisze, że dwa kolejne punkty zaznaczone na tym okręgu wraz z punktem O wyznaczają\nkąt środkowy o mierze 30°\nlub\n• zapisze, że kąt środkowy oparty na dłuższym z łuków AB ma miarę 210°\ni na tym zakończy lub dalej popełnia błędy.\nZdający otrzymuje 2 pkt\ngdy obliczy miarę kąta środkowego opartego na krótszym z łuków AB:\n150\nAOB =\n°\n)\nSchemat oceniania - sierpień 2011\nPoziom podstawowy\n9","solution":"## Poprawna odpowiedź: A (150°)\n\nKąt środkowy oparty na krótszym łuku wynosi **150°**.\n\n## Sposób 1 - proporcja łuków do kątów środkowych\n\n**Kluczowa obserwacja:** Długość łuku jest wprost proporcjonalna do kąta środkowego, który ten łuk \"widzi\" ze środka okręgu.\n\nOznaczamy kąt środkowy oparty na krótszym łuku przez \\(\\alpha\\), a na dłuższym - przez \\(\\beta\\).\n\n**Krok 1.** Razem oba łuki tworzą pełny okrąg (360°):\n\\[\\alpha + \\beta = 360°\\]\n\n**Krok 2.** Stosunek długości łuków = stosunek kątów środkowych:\n\\[\\frac{\\beta}{\\alpha} = \\frac{7}{5}\\]\n\nStąd: \\(\\beta = \\frac{7}{5}\\alpha\\)\n\n**Krok 3.** Podstawiamy do równania sumy:\n\\[\\alpha + \\frac{7}{5}\\alpha = 360°\\]\n\\[\\frac{5}{5}\\alpha + \\frac{7}{5}\\alpha = 360°\\]\n\\[\\frac{12}{5}\\alpha = 360°\\]\n\\[\\alpha = 360° \\cdot \\frac{5}{12} = \\frac{1800°}{12} = 150°\\]\n\n**Odpowiedź: kąt środkowy oparty na krótszym łuku wynosi \\(\\mathbf{150°}\\).**\n\n## Sposób 2 - bezpośrednio z proporcji\n\nOba łuki razem stanowią \\(7 + 5 = 12\\) części pełnego okręgu.\n\nKrótszy łuk to \\(5\\) części z \\(12\\), więc:\n\\[\\alpha = \\frac{5}{12} \\cdot 360° = 5 \\cdot 30° = 150°\\]\n\n**Weryfikacja:** dłuższy łuk daje kąt \\(\\frac{7}{12} \\cdot 360° = 210°\\), a stosunek: \\(\\frac{210°}{150°} = \\frac{7}{5}\\) ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 19)** - zależność łuku i kąta środkowego:\n\\[L = \\frac{\\alpha}{360°} \\cdot 2\\pi r\\]\n\nZ tego wzoru bezpośrednio wynika, że **długość łuku jest proporcjonalna do kąta środkowego** (przy ustalonym promieniu \\(r\\)). Zatem stosunek długości łuków = stosunek kątów środkowych - to jest serce całego rozwiązania.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Możliwy błąd |\n| B | Policzono kąt dla **dłuższego** łuku: \\(\\frac{7}{12} \\cdot 360° = 210°\\) - pomylono, który łuk jest krótszy |\n| C | Podzielono 360° przez samą różnicę \\(7 - 5 = 2\\): \\(\\frac{360°}{2} = 180°\\) - błędna logika |\n| D | Przyjęto, że krótszy łuk to \\(\\frac{5}{7}\\) pełnego okręgu zamiast \\(\\frac{5}{12}\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Stosunek \\(7:5\\) **nie** oznacza, że krótszy łuk to \\(\\frac{5}{7}\\) okręgu! Mianownik proporcji to suma obu części: \\(7 + 5 = 12\\). Krótszy łuk to \\(\\frac{5}{12}\\) pełnego okręgu.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Łatwo pomylić, który łuk jest krótszy. Przy stosunku \\(7:5\\) krótszy łuk odpowiada liczbie **5** (mniejsza), a dłuższy - **7** (większa).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Kąt środkowy to kąt przy **środku** okręgu \\(O\\), nie kąt wpisany (przy dowolnym punkcie na okręgu). Kąt wpisany byłby połową kąta środkowego - tu pytanie dotyczy kąta środkowego, więc nie dzielimy przez 2.\n\n**Odpowiedź:** \\(|\\angle AOB| = 150^{\\circ}\\).\n\n### Sposób 1 - Proporcja łuków do kąta pełnego\nKrótszy łuk to \\(\\dfrac{5}{7+5} = \\dfrac{5}{12}\\) okręgu. Kąt środkowy oparty na tym łuku jest \\(\\tfrac{5}{12}\\) kąta pełnego:\n\\[|\\angle AOB| = \\dfrac{5}{12}\\cdot 360^{\\circ} = \\dfrac{1800^{\\circ}}{12} = 150^{\\circ}.\\]\n\n### Sposób 2 - Układ równań\nOznaczmy miary kątów środkowych opartych na łukach: \\(\\alpha\\) (dłuższy) i \\(\\beta\\) (krótszy). Z warunków:\n\\[\\dfrac{\\alpha}{\\beta} = \\dfrac{7}{5}, \\quad \\alpha + \\beta = 360^{\\circ}.\\]\nZ pierwszego \\(\\alpha = \\tfrac{7}{5}\\beta\\). Podstawiamy:\n\\[\\dfrac{7}{5}\\beta + \\beta = 360^{\\circ}\\]\n\\[\\dfrac{12}{5}\\beta = 360^{\\circ} \\Rightarrow \\beta = 150^{\\circ}.\\]\n\n### Sposób 3 - Podział okręgu na \\(12\\) równych części\nSuma części \\(7 + 5 = 12\\). Jedna część = \\(\\tfrac{360^{\\circ}}{12} = 30^{\\circ}\\). Krótszy łuk ma \\(5\\) takich części, czyli kąt \\(5\\cdot 30^{\\circ} = 150^{\\circ}\\).\n\n### Uwagi punktacji (CKE)\n- **1 pkt:** Zapisanie, że krótszy łuk to \\(\\tfrac{5}{12}\\) okręgu LUB układu równań \\(\\tfrac{\\alpha}{\\beta} = \\tfrac{7}{5}\\), \\(\\alpha+\\beta=360^{\\circ}\\) LUB stwierdzenie, że jedna część = \\(30^{\\circ}\\), LUB podanie, że kąt oparty na dłuższym łuku ma miarę \\(210^{\\circ}\\).\n- **2 pkt:** Obliczenie miary kąta środkowego: \\(|\\angle AOB| = 150^{\\circ}\\).\n\n**Trik:** Stosunek łuków = stosunek kątów środkowych. Suma kątów środkowych dla przeciwnych łuków = \\(360^{\\circ}\\).","image":"img/matematyka-2011-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-29.webp","solution_image":"img/matematyka-2011-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-29.svg","topics":"planimetria","page_from":10,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2011 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2011-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/30","paper_id":"matematyka-2011-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"30","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"inne","year":2011,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 30. (2 pkt)\nDane są dwa pudełka: czerwone i niebieskie. W każdym z tych pudełek znajduje się 10 kul\nponumerowanych liczbami od 1 do 10. Z każdego pudełka losujemy jedną kulę. Oblicz\nprawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że numer kuli wylosowanej\nz czerwonego pudełka jest mniejszy od numeru kuli wylosowanej z niebieskiego pudełka.\nOdpowiedź:\n\nPoziom podstawowy\n12\nDane są dwa pudełka: czerwone i niebieskie. W każdym z tych pudełek znajduje 10 kul ponumerowanych liczbami od 1 do 10. Z każdego pudełka losujemy jedną kulę. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że numer kuli wylosowanej z czerwonego pudełka jest mniejszy od numeru kuli wylosowanej z niebieskiego pudełka.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 30. (2 punkty)\nDane są dwa pudełka: czerwone i niebieskie. W każdym z tych pudełek znajduje się 10 kul\nponumerowanych liczbami od 1 do 10. Z każdego pudełka losujemy jedną kulę. Oblicz\nprawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że numer kuli wylosowanej\nz czerwonego pudełka jest mniejszy niż numer kuli wylosowanej z niebieskiego pudełka.\nI sposób rozwiązania (model klasyczny)\nZdarzeniami elementarnymi są wszystkie pary liczb (\n)\n,a b , gdzie\n{\n}\n,\n1,2, ,10\na b∈\n. Jest to\nmodel klasyczny.\n10 10\nΩ =\n⋅\nZdarzeniami elementarnymi sprzyjającymi zdarzeniu A są pary liczb, w których na\npierwszym miejscu jest liczba mniejsza niż na miejscu drugim.\nJeżeli na pierwszym miejscu jest liczba 1, to na drugim miejscu może być każda z liczb od 2\ndo 10. (Mamy więc 9 możliwości).\nJeżeli na pierwszym miejscu jest liczba 2, to na drugim miejscu może być każda z liczb od 3\ndo 10. (Mamy więc 8 możliwości).\nJeżeli na pierwszym miejscu jest liczba 3, to na drugim może być każda z liczb od 4 do 10.\n(Mamy więc 7 możliwości). itd.\nZatem\n9\n8\n7\n1\n45\nA =\nObliczamy prawdopodobieństwo zdarzenia A:\n( )\n9\n0,45\n20\nP A =\nII sposób rozwiązania (metoda tabeli)\nWszystkie zdarzenia elementarne możemy wypisać w postaci kwadratowej tablicy.\n(1,1)\n(1,2)\n(1,3)\n(1,4)\n(1,5)\n(1,6)\n(1,7)\n(1,8)\n(1,9) (1,10)\n(2,1)\n(2,2)\n(2,3)\n(2,4)\n(2,5)\n(2,6)\n(2,7)\n(2,8)\n(2,9) (2,10)\n(3,1)\n(3,2)\n(3,3)\n(3,4)\n(3,5)\n(3,6)\n(3,7)\n(3,8)\n(3,9) (3,10)\n(4,1)\n(4,2)\n(4,3)\n(4,4)\n(4,5)\n(4,6)\n(4,7)\n(4,8)\n(4,9) (4,10)\n(5,1)\n(5,2)\n(5,3)\n(5,4)\n(5,5)\n(5,6)\n(5,7)\n(5,8)\n(5,9) (5,10)\n(6,1)\n(6,2)\n(6,3)\n(6,4)\n(6,5)\n(6,6)\n(6,7)\n(6,8)\n(6,9) (6,10)\n(7,1)\n(7,2)\n(7,3)\n(7,4)\n(7,5)\n(7,6)\n(7,7)\n(7,8)\n(7,9) (7,10)\n(8,1)\n(8,2)\n(8,3)\n(8,4)\n(8,5)\n(8,6)\n(8,7)\n(8,8)\n(8,9) (8,10)\n(9,1)\n(9,2)\n(9,3)\n(9,4)\n(9,5)\n(9,6)\n(9,7)\n(9,8)\n(9,9) (9,10)\n(10,1) (10,2) (10,3) (10,4) (10,5) (10,6) (10,7) (10,8) (10,9) (10,10)\nSchemat oceniania - sierpień 2011\nPoziom podstawowy\n10\nalbo\n1\n2\n3\n4\n5\n6\n7\n8\n9\n10\n1\nX\nX\nX\nX\nX\nX\nX\nX\nX\n2\nX\nX\nX\nX\nX\nX\nX\nX\n3\nX\nX\nX\nX\nX\nX\nX\n4\nX\nX\nX\nX\nX\nX\n5\nX\nX\nX\nX\nX\n6\nX\nX\nX\nX\n7\nX\nX\nX\n8\nX\nX\n9\nX\n10\nStąd\n10 10\nΩ =\n⋅\nJest to model klasyczny.\nZdarzeniami elementarnymi sprzyjającymi zdarzeniu A są pary liczb, w których na\npierwszym miejscu jest liczba mniejsza niż na miejscu drugim. Są to wszystkie pary liczb\nwyróżnione w pierwszej tablicy lub zaznaczone w drugiej. Jest ich 45. Zatem\n( )\n0,45\nP A =\nUwaga:\nWszystkich par w tej tablicy jest\n2\n10 , na przekątnej łączącej pary (\n)\n1,1 i (\n)\n10,10 jest ich 10,\nwięc pozostałych par jest\n2\n10\n10\n. Nad przekątną jest tyle samo par co pod nią, więc par,\nw których na pierwszym miejscu jest liczba mniejsza niż na drugim jest\n2\n10\n10\n2\nZatem\n( )\n0,45\nP A =\nSchemat oceniania\nZdający otrzymuje 1 pkt\ngdy obliczy\n10 10\nΩ =\n⋅\nalbo\n45\nA =\nZdający otrzymuje 2 pkt\ngdy obliczy prawdopodobieństwo zdarzenia A:\n( )\n9\n0,45\n20\nP A =\nUwaga:\n• Jeśli zdający rozwiąże zadanie do końca i otrzyma\n( )\n1\nP A > , to otrzymuje za całe\nrozwiązanie 0 punktów.\nSchemat oceniania - sierpień 2011\nPoziom podstawowy\n11","solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(\\frac{9}{20}\\)\n\n## Sposób 1 - Zliczanie par sprzyjających\n\n**Przestrzeń zdarzeń:**\n\nLosujemy jedną kulę z czerwonego pudełka (oznaczmy jej numer \\(r\\)) i jedną z niebieskiego (oznaczmy \\(b\\)). Para \\((r, b)\\), gdzie \\(r, b \\in \\{1, 2, \\ldots, 10\\}\\).\n\nŁączna liczba możliwych par:\n\\[|\\Omega| = 10 \\cdot 10 = 100\\]\n\n**Zdarzenie sprzyjające:** \\(r < b\\)\n\nLiczymy pary \\((r, b)\\) spełniające \\(r < b\\):\n\n| \\(r\\) | możliwe wartości \\(b\\) | liczba par |\n| 1 | 2, 3, …, 10 | 9 |\n| 2 | 3, 4, …, 10 | 8 |\n| 3 | 4, 5, …, 10 | 7 |\n| 4 | 5, 6, …, 10 | 6 |\n| 5 | 6, 7, …, 10 | 5 |\n| 6 | 7, 8, 9, 10 | 4 |\n| 7 | 8, 9, 10 | 3 |\n| 8 | 9, 10 | 2 |\n| 9 | 10 | 1 |\n| 10 | - | 0 |\n\nŁączna liczba par sprzyjających:\n\\[|A| = 9 + 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 + 0 = \\frac{9 \\cdot 10}{2} = 45\\]\n\n(Suma kolejnych liczb naturalnych od 1 do 9.)\n\n**Prawdopodobieństwo:**\n\\[P(A) = \\frac{|A|}{|\\Omega|} = \\frac{45}{100} = \\boxed{\\frac{9}{20}}\\]\n\n## Sposób 2 - Argument symetrii\n\nKażdą parę \\((r, b)\\) możemy zakwalifikować do jednego z trzech rozłącznych przypadków:\n- \\(r < b\\) - kula czerwona ma mniejszy numer\n- \\(r > b\\) - kula czerwona ma większy numer\n- \\(r = b\\) - remis\n\n**Zliczamy przypadki remisu:**\nPar, gdzie \\(r = b\\): są to \\((1,1), (2,2), \\ldots, (10,10)\\) - dokładnie 10 par.\n\\[P(r = b) = \\frac{10}{100} = \\frac{1}{10}\\]\n\n**Argument symetrii:** Zadanie jest symetryczne względem zamiany pudełek - każda para \\((r, b)\\) z \\(r < b\\) odpowiada dokładnie jednej parze \\((b, r)\\) z \\(r > b\\). Zatem:\n\\[P(r < b) = P(r > b)\\]\n\n**Z warunku zupełności:**\n\\[P(r < b) + P(r > b) + P(r = b) = 1\\]\n\\[2 \\cdot P(r < b) + \\frac{1}{10} = 1\\]\n\\[2 \\cdot P(r < b) = \\frac{9}{10}\\]\n\\[\\boxed{P(r < b) = \\frac{9}{20}}\\]\n\nOba sposoby dają ten sam wynik - pewność poprawności.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 14 (Rachunek prawdopodobieństwa, s. 29-30)** - prawdopodobieństwo klasyczne:\n\\[P(A) = \\frac{|A|}{|\\Omega|}\\]\nUżyliśmy tego wzoru w Sposobie 1 - podzieliliśmy liczbę par sprzyjających (45) przez łączną liczbę par (100).\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Niektórzy uczniowie mylą przestrzeń zdarzeń i liczą tylko 55 par (tyle jest par \\((r,b)\\) z \\(r \\leq b\\)), a potem biorą je jako przestrzeń - to błąd! Przestrzeń to wszystkie 100 **równo prawdopodobnych** par, bo losowanie z każdego pudełka jest niezależne.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Łatwo zapomnieć o parach remisowych \\((r = b)\\) i błędnie przyjąć, że \\(P(r < b) = \\frac{1}{2}\\). Odpowiedź \\(\\frac{1}{2}\\) byłaby błędna właśnie dlatego, że te 10 par remisowych \"zabiera\" część przestrzeni zdarzeń.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Suma \\(9 + 8 + \\ldots + 1\\) to klasyczny wzór \\(\\frac{n(n-1)}{2}\\) dla \\(n = 10\\), warto go zapamiętać - często pojawia się w zadaniach kombinatorycznych.\n\n**Odpowiedź:** \\(P(A) = \\dfrac{9}{20} = 0{,}45\\).\n\n### Sposób 1 - Zliczanie par \\((a,b)\\) z \\(a < b\\)\nZdarzenia elementarne to pary \\((a,b)\\), \\(a,b\\in\\{1,\\ldots,10\\}\\), losowane niezależnie:\n\\[|\\Omega| = 10\\cdot 10 = 100.\\]\n\nSzukamy par, w których \\(a < b\\). Dla każdego \\(a\\) z przedziału od \\(1\\) do \\(9\\), liczba wartości \\(b\\) większych:\n- \\(a=1\\): \\(b\\in\\{2, ,10\\}\\) - \\(9\\) par.\n- \\(a=2\\): \\(8\\) par.\n- \\(a=9\\): \\(1\\) para.\n\n\\[|A| = 9 + 8 + 7 + + 1 = \\dfrac{9\\cdot 10}{2} = 45.\\]\n\\[P(A) = \\dfrac{45}{100} = \\dfrac{9}{20} = 0{,}45.\\]\n\n### Sposób 2 - Symetria + przekątna\nPara \\((a,b)\\) albo spełnia \\(a<b\\), albo \\(a>b\\), albo \\(a=b\\). Przypadków \\(a=b\\) jest \\(10\\) (gdy oba numery równe). Pozostałych \\(100-10 = 90\\).\n\nZ symetrii par (zamiana \\(a \\leftrightarrow b\\)): dokładnie połowa z nich ma \\(a<b\\):\n\\[|A| = \\dfrac{90}{2} = 45.\\]\n\\[P(A) = \\dfrac{45}{100} = \\dfrac{9}{20}.\\]\n\n### Sposób 3 - Tabela 10×10\nTworzymy tablicę \\(10\\times 10\\), gdzie wiersz = numer kuli czerwonej, kolumna = numer kuli niebieskiej. Pola \"\\(a<b\\)\" to wszystkie pola NAD główną przekątną. Liczba pól nad przekątną: \\(\\binom{10}{2} = 45\\).\n\\[P(A) = \\dfrac{45}{100} = 0{,}45.\\]\n\n### Uwagi punktacji (CKE)\n- **1 pkt:** Obliczenie \\(|\\Omega| = 100\\) LUB \\(|A| = 45\\).\n- **2 pkt:** Obliczenie \\(P(A) = \\tfrac{9}{20}\\) (lub \\(0{,}45\\), \\(\\tfrac{45}{100}\\)).\n- **Uwagi:** Jeśli \\(P(A) > 1\\) → \\(0\\) pkt za całe zadanie.\n\n**Trik:** Liczba par \\((a,b)\\) z \\(a<b\\) w zbiorze \\(n\\)-elementowym: \\(\\binom{n}{2} = \\dfrac{n(n-1)}{2}\\). Dla \\(n=10\\): \\(45\\).","image":"img/matematyka-2011-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-30.webp","solution_image":"img/matematyka-2011-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-30.svg","topics":"prawdopodobienstwo","page_from":11,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2011 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2011-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/31","paper_id":"matematyka-2011-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"31","points":5,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"inne","year":2011,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 31. (5 pkt)\nDwie szkoły mają prostokątne boiska. Przekątna każdego boiska jest równa 65 m. Boisko\nw drugiej szkole ma długość o 4 m większą niż boisko w pierwszej szkole, ale szerokość\no 8 m mniejszą. Oblicz długość i szerokość każdego z tych boisk.\nOdpowiedź:\n\nPoziom podstawowy\n13\nDwie szkoły mają prostokątne boiska. Przekątna każdego boiska jest równa 65 m. Boisko w drugiej szkole ma długość o 4 m większą niż boisko w pierwszej szkole, ale szerokość o 8 m mniejszą. Oblicz długość i szerokość każdego z tych boisk.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 31. (5 punktów)\nDwie szkoły mają prostokątne boiska. Przekątna każdego boiska jest równa 65 m. Boisko\nw drugiej szkole ma długość o 4 m większą niż boisko w pierwszej szkole, ale szerokość\no 8 m mniejszą. Oblicz długość i szerokość każdego z tych boisk.\nRozwiązanie\nOznaczmy długość boiska w pierwszej szkole przez a i szerokość przez b.\nWówczas w drugiej szkole długość boiska jest równa\n4\na +\n, szerokość\n8\nb -.\nOtrzymujemy układ równań\n(\n)\n(\n)\n2\n2\n2\n2\n2\n2\n65\n4\n8\n65\na\nb\na\nb\n⎧\n⎪⎨\n⎪⎩\nPrzekształcamy układ do postaci\n2\n2\n2\n2\n2\n2\n65\n8\n16\n16\n64\n65\na\nb\na\na\nb\nb\n⎧\n⎪⎨\n⎪⎩\na następnie\n2\n2\n2\n2\n2\n2\n65\n8\n16\n80\n65\na\nb\na\nb\na\nb\n⎧\n⎪⎨\n⎪⎩\nskąd otrzymujemy układ\n2\n2\n2\n65\n8\n16\n80\n0\na\nb\na\nb\n⎧\n⎨\n⎩\nczyli\n2\n2\n2\n65\n2\n10\na\nb\na\nb\n⎧\n⎨=\n⎩\nPodstawiamy wyznaczoną wartość a do pierwszego równania i rozwiązujemy równanie\nkwadratowe (\n)\n2\n2\n2\n2\n10\n65\nb\nb\nPo uporządkowaniu otrzymujemy:\n2\n8\n825\n0\nb\nb\n,\n3364\nΔ =\n,\n58\nΔ =\nRozwiązaniami tego równania są liczby\n33\nb =\noraz\n25\nb = -\n. Odrzucamy ujemne\nrozwiązanie i obliczamy\n56\na =\nZatem boisko w pierwszej szkole ma 33m szerokości i 56 metrów długości, a więc boisko\nw drugiej szkole ma 25 m szerokości i 60 m długości.\nSchemat oceniania\nRozwiązanie, w którym postęp jest wprawdzie niewielki, ale konieczny na drodze do\ncałkowitego rozwiązania zadania 1 pkt\nZapisanie jednego z równań\n2\n2\n2\n65\na\nb\nlub (\n)\n(\n)\n2\n2\n2\n4\n8\n65\na\nb\nSchemat oceniania - sierpień 2011\nPoziom podstawowy\n12\nRozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 pkt\nZapisanie układu równań z niewiadomymi a i b, np.:\n(\n)\n(\n)\n2\n2\n2\n2\n2\n2\n65\n4\n8\n65\na\nb\na\nb\n⎧\n⎪⎨\n⎪⎩\nPokonanie zasadniczych trudności zadania 3 pkt\nZapisanie równania z jedną niewiadomą a lub b w postaci: (\n)\n2\n2\n2\n2\n10\n65\nb\nb\nlub\n2\n8\n825\n0\nb\nb\nlub\n2\n2\n1\n5\n65\n2\na\na\n⎛\n⎞\n⎜\n⎟\n⎝\n⎠\nlub\n2\n1\n840\n0\n4 a\na\nUwaga:\nZdający nie musi zapisywać układu równań, może bezpośrednio zapisać równanie z jedną\nniewiadomą.\nRozwiązanie zadania do końca lecz z usterkami, które jednak nie przekreślają\npoprawności rozwiązania zadania (np. błędy rachunkowe) 4 pkt\n• zdający obliczy wymiary boiska w pierwszej szkole i na tym poprzestanie lub błędnie\nobliczy wymiary boiska w drugiej szkole\nalbo\n• zdający obliczy wymiary boiska w pierwszej szkole z błędem rachunkowym\ni konsekwentnie do popełnionego błędu obliczy wymiary boiska w drugiej szkole.\nRozwiązanie pełne 5 pkt\nObliczenie wymiarów boisk w obu szkołach:\nBoisko w pierwszej szkole ma 33m szerokości i 56 metrów długości, natomiast boisko\nw drugiej szkole ma 25 m szerokości i 60 m długości.\nUwaga:\nJeśli zdający odgadnie poprawne wymiary boisk, to otrzymuje 1 punkt.\nSchemat oceniania - sierpień 2011\nPoziom podstawowy\n13","solution":"## Poprawna odpowiedź:\n\n**Boisko pierwsze:** długość \\(56\\) m, szerokość \\(33\\) m.\n**Boisko drugie:** długość \\(60\\) m, szerokość \\(25\\) m.\n\n## Sposób 1 - Układ równań z twierdzeniem Pitagorasa\n\n**Wprowadzamy oznaczenia.** Niech boisko pierwszej szkoły ma długość \\(a\\) [m] i szerokość \\(b\\) [m]. Wtedy boisko drugiej szkoły ma długość \\(a+4\\) [m] i szerokość \\(b-8\\) [m].\n\n**Obie przekątne mają długość 65 m**, więc dla każdego boiska stosujemy twierdzenie Pitagorasa:\n\n\\[a^2 + b^2 = 65^2 = 4225 \\tag{1}\\]\n\n\\[(a+4)^2 + (b-8)^2 = 65^2 = 4225 \\tag{2}\\]\n\n**Rozwijamy równanie (2):**\n\n\\[a^2 + 8a + 16 + b^2 - 16b + 64 = 4225\\]\n\nKorzystamy z równania (1) - wiemy, że \\(a^2 + b^2 = 4225\\), więc podstawiamy:\n\n\\[4225 + 8a - 16b + 80 = 4225\\]\n\n\\[8a - 16b + 80 = 0\\]\n\n\\[8a - 16b = -80 \\quad \\div 8\\]\n\n\\[a - 2b = -10\\]\n\n\\[\\boxed{a = 2b - 10} \\tag{3}\\]\n\n**Podstawiamy (3) do równania (1):**\n\n\\[(2b-10)^2 + b^2 = 4225\\]\n\n\\[4b^2 - 40b + 100 + b^2 = 4225\\]\n\n\\[5b^2 - 40b + 100 = 4225\\]\n\n\\[5b^2 - 40b - 4125 = 0 \\quad \\div 5\\]\n\n\\[b^2 - 8b - 825 = 0\\]\n\n**Liczymy wyróżnik:**\n\n\\[\\Delta = (-8)^2 - 4 \\cdot 1 \\cdot (-825) = 64 + 3300 = 3364 = 58^2\\]\n\n**Pierwiastki:**\n\n\\[b = \\frac{8 \\pm 58}{2}\\]\n\n\\[b_1 = \\frac{8 + 58}{2} = \\frac{66}{2} = 33, \\qquad b_2 = \\frac{8 - 58}{2} = \\frac{-50}{2} = -25\\]\n\nOdrzucamy \\(b_2 = -25\\), bo szerokość musi być dodatnia.\n\n**Zatem \\(b = 33\\) m**, a z równania (3):\n\n\\[a = 2 \\cdot 33 - 10 = 66 - 10 = 56 \\text{ m}\\]\n\n**Wymiary boisk:**\n- **Boisko pierwsze:** długość \\(a = 56\\) m, szerokość \\(b = 33\\) m\n- **Boisko drugie:** długość \\(a + 4 = 60\\) m, szerokość \\(b - 8 = 25\\) m\n\n## Sposób 2 - Bezpośrednie podstawienie (inna zmienna)\n\nNiech boisko pierwsze ma wymiary \\(x \\times y\\). Z treści wiemy od razu, że boisko drugie to \\((x+4) \\times (y-8)\\). Zamiast podstawiać \\(a = 2b-10\\), możemy wyjść od \\(x\\) i wyrazić \\(y\\) z równania liniowego.\n\nZ kroku eliminacji (tak samo jak wyżej) dostajemy:\n\n\\[x = 2y - 10\\]\n\nZamiast rozwiązywać równanie kwadratowe w \\(y\\), możemy inaczej - wyrażamy \\(y\\) z \\(x\\):\n\n\\[y = \\frac{x + 10}{2}\\]\n\ni podstawiamy do \\(x^2 + y^2 = 4225\\):\n\n\\[x^2 + \\left(\\frac{x+10}{2}\\right)^2 = 4225\\]\n\n\\[x^2 + \\frac{x^2 + 20x + 100}{4} = 4225 \\quad \\cdot 4\\]\n\n\\[4x^2 + x^2 + 20x + 100 = 16900\\]\n\n\\[5x^2 + 20x - 16800 = 0 \\quad \\div 5\\]\n\n\\[x^2 + 4x - 3360 = 0\\]\n\n\\[\\Delta = 16 + 4 \\cdot 3360 = 16 + 13440 = 13456 = 116^2\\]\n\n\\[x = \\frac{-4 + 116}{2} = \\frac{112}{2} = 56\\]\n\n(odrzucamy ujemny pierwiastek \\(x = -60\\))\n\n\\[y = \\frac{56 + 10}{2} = \\frac{66}{2} = 33\\]\n\nTen sam wynik: **długość 56 m, szerokość 33 m.**\n\n**Weryfikacja:**\n\n\\[56^2 + 33^2 = 3136 + 1089 = 4225 = 65^2 \\checkmark\\]\n\n\\[60^2 + 25^2 = 3600 + 625 = 4225 = 65^2 \\checkmark\\]\n\nObie przekątne wynoszą dokładnie 65 m.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 15)** - Twierdzenie Pitagorasa:\n\\[a^2 + b^2 = c^2\\]\ngdzie \\(c\\) to przekątna prostokąta (= przekątna boiska = 65 m). Użyte do zbudowania obu równań układu.\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)** - wzór na miejsca zerowe:\n\\[x_{1,2} = \\frac{-b \\pm \\sqrt{\\Delta}}{2a}, \\qquad \\Delta = b^2 - 4ac\\]\nUżyte do rozwiązania równania kwadratowego \\(b^2 - 8b - 825 = 0\\).\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie wolno zapisać układu jako \\(a^2 + b^2 = (a+4)^2 + (b-8)^2\\) i na tym skończyć - to tylko jedna równanie, a potrzebujemy drugiego (że przekątna = 65).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Po otrzymaniu dwóch rozwiązań kwadratowego (\\(b = 33\\) i \\(b = -25\\)) koniecznie sprawdź, które jest sensowne w kontekście zadania. Szerokość musi być **dodatnia** - odrzucamy \\(b = -25\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Uważaj na rozwijanie \\((b-8)^2\\) - łatwo pomylić znak i napisać \\(b^2 + 64\\) zamiast \\(b^2 - 16b + 64\\). To klasyczny błąd przy wzorze \\((a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\\).\n\n**Odpowiedź:** Pierwsza szkoła: \\(56\\) m \\(\\times\\) \\(33\\) m. Druga szkoła: \\(60\\) m \\(\\times\\) \\(25\\) m.\n\n### Sposób 1 - Układ równań z dwiema niewiadomymi\nNiech \\(a\\) = długość, \\(b\\) = szerokość boiska w pierwszej szkole. Z tw. Pitagorasa:\n\\[\\begin{cases} a^{2} + b^{2} = 65^{2} \\\\ (a+4)^{2} + (b-8)^{2} = 65^{2} \\end{cases}\\]\n\n**Krok 1 - rozwinięcie drugiego równania:**\n\\[a^{2} + 8a + 16 + b^{2} - 16b + 64 = 4225.\\]\nPodstawiamy \\(a^{2}+b^{2}=4225\\):\n\\[4225 + 8a - 16b + 80 = 4225\\]\n\\[8a - 16b + 80 = 0 \\Rightarrow a - 2b + 10 = 0 \\Rightarrow a = 2b - 10.\\]\n\n**Krok 2 - podstawienie do pierwszego:**\n\\[(2b-10)^{2} + b^{2} = 4225\\]\n\\[4b^{2} - 40b + 100 + b^{2} = 4225\\]\n\\[5b^{2} - 40b - 4125 = 0 \\quad \\big|:5\\]\n\\[b^{2} - 8b - 825 = 0.\\]\n\\(\\Delta = 64 + 3300 = 3364\\), \\(\\sqrt{\\Delta} = 58\\).\n\\[b_{1} = \\dfrac{8-58}{2} = -25 \\text{ (odrzucamy)}, \\quad b_{2} = \\dfrac{8+58}{2} = 33.\\]\n\\[a = 2\\cdot 33 - 10 = 56.\\]\n\n**Krok 3 - wymiary drugiej szkoły:**\n\\[a' = a+4 = 60, \\quad b' = b-8 = 25.\\]\n\n**Sprawdzenie:** \\(56^{2}+33^{2} = 3136+1089 = 4225 = 65^{2}\\) ✓; \\(60^{2}+25^{2} = 3600+625 = 4225\\) ✓.\n\n### Sposób 2 - Równanie z jedną niewiadomą (tylko \\(b\\))\nZ \\(a = 2b - 10\\) podstawiamy do \\((a+4)^{2} + (b-8)^{2} = 4225\\):\n\\[(2b-6)^{2} + (b-8)^{2} = 4225\\]\n\\[4b^{2}-24b+36 + b^{2}-16b+64 = 4225\\]\n\\[5b^{2} - 40b - 4125 = 0\\]\n(jak wyżej).\n\n### Uwagi punktacji (CKE)\n- **1 pkt:** Zapisanie jednego z równań \\(a^{2}+b^{2}=65^{2}\\) LUB \\((a+4)^{2}+(b-8)^{2}=65^{2}\\).\n- **2 pkt:** Zapisanie układu równań.\n- **3 pkt:** Sprowadzenie do równania z jedną niewiadomą (np. \\(b^{2}-8b-825=0\\)).\n- **4 pkt:** Obliczenie wymiarów pierwszego boiska z błędem rachunkowym LUB tylko dla pierwszego boiska.\n- **5 pkt:** Obliczenie wymiarów obu boisk.\n- **Uwaga:** Odgadnięcie wymiarów → \\(1\\) pkt.\n\n**Trik:** Po rozwinięciu \\((a+4)^{2}+(b-8)^{2}\\) od razu wypada \\(a^{2}+b^{2}\\), co daje zależność liniową między \\(a\\) i \\(b\\).","image":"img/matematyka-2011-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-31.webp","solution_image":"img/matematyka-2011-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-31.svg","topics":"uklady_rownan","page_from":12,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2011 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2011-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/32","paper_id":"matematyka-2011-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"32","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"inne","year":2011,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 32. (4 pkt)\nIle jest liczb pięciocyfrowych, spełniających jednocześnie następujące cztery warunki:\n(1) cyfry setek, dziesiątek i jedności są parzyste,\n(2) cyfra setek jest większa od cyfry dziesiątek,\n(3) cyfra dziesiątek jest większa od cyfry jedności,\n(4) w zapisie tej liczby nie występuje cyfra 9.\nOdpowiedź:\n\nPoziom podstawowy\n14\nIle jest liczb pięciocyfrowych, spełniających jednocześnie następujące cztery warunki: (1) cyfry setek, dziesiątek i jedności są parzyste, (2) cyfra setek jest większa od cyfry dziesiątek, (3) cyfra dziesiątek jest większa od cyfry jedności, (4) w zapisie tej liczby nie występuje cyfra 9.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 32. (4 punkty)\nIle jest liczb pięciocyfrowych, spełniających jednocześnie następujące cztery warunki:\n(1) cyfry setek, dziesiątek i jedności są parzyste,\n(2) cyfra setek jest większa od cyfry dziesiątek,\n(3) cyfra dziesiątek jest większa od cyfry jedności,\n(4) w zapisie tej liczby nie występuje cyfra 9.\nRozwiązanie\nTrzy ostatnie cyfry są parzyste i uporządkowane malejąco. Mamy więc 10 możliwości\nustawienia tych cyfr tak, by spełnione były warunki (1), (2) i (3):\n4\n2\n0\n6\n2\n0\n8\n2\n0\n6\n4\n0\n8\n4\n0\n8\n6\n0\n6\n4\n2\n8\n4\n2\n8\n6\n2\n8\n6\n4\nPierwszą cyfrą liczby może być dowolna spośród cyfr: 1, 2,…, 8, a drugą dowolna spośród\ncyfr: 0,1,2,…,8.\nMamy więc 8 9 10\n720\n⋅⋅\nmożliwości utworzenia liczb spełniających podane warunki.\nUwaga: Trzy wybrane cyfry parzyste można ustawić w porządku malejącym dokładnie na\njeden sposób. Tak więc liczba tych możliwych jest równa 5\n10\n3\n⎛⎞=\n⎜⎟\n⎝⎠\nSchemat oceniania\nRozwiązanie zadania składa się z dwóch etapów.\nPierwszy z nich polega na obliczeniu\n- liczby możliwości ustawienia trzech cyfr parzystych spełniających warunki (1), (2) i (3);\ntych możliwości jest 10.\n- liczby możliwości wyboru pierwszej cyfry liczby pięciocyfrowej; tych możliwości jest 8.\n- liczby możliwości wyboru drugiej cyfry liczby pięciocyfrowej; tych możliwości jest 9.\nZa obliczenie każdej z tych liczb, zdający otrzymuje 1 punkt.\nDrugi etap polega na wykorzystaniu reguły mnożenia i stwierdzeniu, że liczb\npięciocyfrowych, spełniających jednocześnie warunki (1), (2), (3) i (4) jest 720. Za tę część\nzdający otrzymuje 1 punkt.\nSchemat oceniania - sierpień 2011\nPoziom podstawowy\n14","solution":"## Poprawna odpowiedź: **720**\n\n## Sposób 1 - Niezależny wybór cyfr\n\nZapiszmy liczbę pięciocyfrową jako \\(D_1 D_2 D_3 D_4 D_5\\), gdzie:\n- \\(D_1\\) = cyfra dziesięciotysięcy\n- \\(D_2\\) = cyfra tysięcy\n- \\(D_3\\) = cyfra **setek**\n- \\(D_4\\) = cyfra **dziesiątek**\n- \\(D_5\\) = cyfra **jedności**\n\n### Krok 1 - Cyfry \\(D_3, D_4, D_5\\) (regulowane przez warunki 1-3)\n\nCyfry setek, dziesiątek i jedności muszą być **parzyste** i spełniać \\(D_3 > D_4 > D_5\\).\n\nDostępne cyfry parzyste: \\(\\{0, 2, 4, 6, 8\\}\\) - cyfra 9 jest nieparzysta, więc warunek (4) nie ogranicza tego zbioru.\n\nMusimy wybrać **3 różne** cyfry z tego zbioru i ustawić je w ściśle malejącym porządku. Każdy wybór 3 elementów daje dokładnie **jedno** ustawienie spełniające \\(D_3 > D_4 > D_5\\).\n\nLiczba takich wyborów:\n\\[\\binom{5}{3} = \\frac{5!}{3! \\cdot 2!} = 10\\]\n\nKonkretne kombinacje \\((D_3, D_4, D_5)\\):\n\n| Trójka cyfr | Ustawienie |\n| \\(\\{8,6,4\\}\\) | \\(8 > 6 > 4\\) |\n| \\(\\{8,6,2\\}\\) | \\(8 > 6 > 2\\) |\n| \\(\\{8,6,0\\}\\) | \\(8 > 6 > 0\\) |\n| \\(\\{8,4,2\\}\\) | \\(8 > 4 > 2\\) |\n| \\(\\{8,4,0\\}\\) | \\(8 > 4 > 0\\) |\n| \\(\\{8,2,0\\}\\) | \\(8 > 2 > 0\\) |\n| \\(\\{6,4,2\\}\\) | \\(6 > 4 > 2\\) |\n| \\(\\{6,4,0\\}\\) | \\(6 > 4 > 0\\) |\n| \\(\\{6,2,0\\}\\) | \\(6 > 2 > 0\\) |\n| \\(\\{4,2,0\\}\\) | \\(4 > 2 > 0\\) |\n\nRazem: **10 możliwości**.\n\n### Krok 2 - Cyfra \\(D_1\\) (dziesięciotysięcy)\n\n\\(D_1 \\neq 0\\) (bo liczba musi być pięciocyfrowa) i \\(D_1 \\neq 9\\) (warunek 4).\n\nDostępne: \\(\\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\\}\\) → **8 możliwości**.\n\n### Krok 3 - Cyfra \\(D_2\\) (tysięcy)\n\nBrak dodatkowych warunków poza \\(D_2 \\neq 9\\).\n\nDostępne: \\(\\{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\\}\\) → **9 możliwości**.\n\n### Krok 4 - Wynik\n\nWszystkie wybory są niezależne:\n\\[\\text{Liczba liczb} = 8 \\times 9 \\times 10 = \\boxed{720}\\]\n\n## Sposób 2 - Bezpośrednie zliczanie przez wartość \\(D_4\\)\n\nZamiast kombinatoryki, rozkładamy po wartości cyfry dziesiątek \\(D_4\\).\n\n**Dla każdego \\(D_4\\)** liczymy, ile jest par \\((D_3, D_5)\\) takich, że \\(D_3 > D_4 > D_5\\) (wszystkie parzyste):\n\n| \\(D_4\\) | Cyfry \\(> D_4\\) parzyste (dla \\(D_3\\)) | Cyfry \\(< D_4\\) parzyste (dla \\(D_5\\)) | Pary \\((D_3, D_5)\\) |\n| 0 | \\{2,4,6,8\\} → 4 | \\{\\} → 0 | \\(4 \\times 0 = 0\\) |\n| 2 | \\{4,6,8\\} → 3 | \\{0\\} → 1 | \\(3 \\times 1 = 3\\) |\n| 4 | \\{6,8\\} → 2 | \\{0,2\\} → 2 | \\(2 \\times 2 = 4\\) |\n| 6 | \\{8\\} → 1 | \\{0,2,4\\} → 3 | \\(1 \\times 3 = 3\\) |\n| 8 | \\{\\} → 0 | \\{0,2,4,6\\} → 4 | \\(0 \\times 4 = 0\\) |\n\nSuma możliwości dla \\((D_3, D_4, D_5)\\):\n\\[0 + 3 + 4 + 3 + 0 = 10\\]\n\nTo zgadza się z wynikiem Sposobu 1! Dalej:\n\\[8 \\times 9 \\times 10 = \\boxed{720}\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 4 (Silnia. Współczynnik dwumianowy, s. 6)** - kombinacje:\n\\[\\binom{n}{k} = \\frac{n!}{k!(n-k)!}\\]\nUżyliśmy \\(\\binom{5}{3} = 10\\) do zliczenia sposobów wyboru 3 cyfr parzystych z 5 dostępnych.\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Cyfra \\(D_1\\) (pierwsza cyfra) **nie może być zerem** - to by dało liczbę czterocyfrową. Dlatego mamy 8, a nie 9 możliwości dla \\(D_1\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Warunek „cyfra 9 nie występuje\" **nie ogranicza** cyfr parzystych \\(D_3, D_4, D_5\\) (bo 9 jest nieparzysta!), ale **ogranicza** \\(D_1\\) i \\(D_2\\) - każda z nich nie może wynosić 9.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Kluczowy trick - skoro \\(D_3 > D_4 > D_5\\) i wszystkie parzyste, to cyfry muszą być **wzajemnie różne**. Wystarczy wybrać **kombinację** (bez powtórzeń), a nie permutację - bo kolejność jest wymuszona (malejąco).\n\n**Odpowiedź:** \\(720\\) liczb.\n\n### Sposób 1 - Reguła mnożenia\nLiczba pięciocyfrowa ma postać \\(\\overline{d_{1}d_{2}d_{3}d_{4}d_{5}}\\), gdzie \\(d_{1}\\) - dziesiątki tysięcy, , \\(d_{5}\\) - jedności. Z warunków:\n- \\(d_{3}, d_{4}, d_{5}\\) parzyste (z \\(\\{0,2,4,6,8\\}\\)).\n- \\(d_{3} > d_{4} > d_{5}\\).\n- Nie występuje cyfra \\(9\\).\n- \\(d_{1}\\in\\{1,2,\\ldots,8\\}\\) (nie \\(0\\) ani \\(9\\)).\n- \\(d_{2}\\in\\{0,1,\\ldots,8\\}\\) (nie \\(9\\)).\n\n**Krok 1 - wybór \\((d_{3}, d_{4}, d_{5})\\):**\nWybieramy \\(3\\) parzyste cyfry ze zbioru \\(\\{0, 2, 4, 6, 8\\}\\) (5 elementów), uporządkowane malejąco. Liczba wyborów:\n\\[\\binom{5}{3} = 10.\\]\n\n**Krok 2 - wybór \\(d_{1}\\):** \\(8\\) możliwości (\\(1, 2, , 8\\)).\n**Krok 3 - wybór \\(d_{2}\\):** \\(9\\) możliwości (\\(0, 1, , 8\\)).\n\nZ reguły mnożenia:\n\\[10\\cdot 8\\cdot 9 = 720.\\]\n\n### Sposób 2 - Wypisanie trójek \\((d_{3}, d_{4}, d_{5})\\)\nWszystkie malejące trójki z \\(\\{0,2,4,6,8\\}\\):\n\\[(4,2,0), (6,2,0), (8,2,0), (6,4,0), (8,4,0),\\]\n\\[(8,6,0), (6,4,2), (8,4,2), (8,6,2), (8,6,4).\\]\nJest ich \\(10\\).\n\nPozostałe cyfry: \\(d_{1}\\) z \\(8\\) możliwości, \\(d_{2}\\) z \\(9\\). Razem \\(10\\cdot 8\\cdot 9 = 720\\).\n\n### Uwagi punktacji (CKE)\n**Pierwszy etap:**\n- \\(1\\) pkt za obliczenie liczby możliwości wyboru \\(d_{3}, d_{4}, d_{5}\\): \\(10\\).\n- \\(1\\) pkt za obliczenie liczby możliwości wyboru \\(d_{1}\\): \\(8\\).\n- \\(1\\) pkt za obliczenie liczby możliwości wyboru \\(d_{2}\\): \\(9\\).\n\n**Drugi etap:**\n- \\(1\\) pkt za zastosowanie reguły mnożenia i otrzymanie wyniku \\(720\\).\n\n**Trik:** Gdy kolejne cyfry są uporządkowane malejąco (ściśle), wybieramy zbiór cyfr (bez powtórzeń), bo każdy zbiór \\(\\{a, b, c\\}\\) daje dokładnie jedno uporządkowanie malejące. Wybieramy bez powtórzeń → \\(\\binom{5}{3}\\).","image":"img/matematyka-2011-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-32.webp","solution_image":"img/matematyka-2011-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-32.svg","topics":"kombinatoryka","page_from":13,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2011 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2011-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/33","paper_id":"matematyka-2011-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"33","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"inne","year":2011,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 33. (4 pkt)\nPodstawą ostrosłupa ABCDW jest prostokąt ABCD. Krawędź boczna DW jest wysokością\ntego ostrosłupa. Krawędzie boczne AW, BW i CW mają następujące długości:\n6\nAW =\n,\n9\nBW =\n,\n7\nCW =\n. Oblicz objętość tego ostrosłupa.\nA\nB\nC\nD\nW\n\nPoziom podstawowy\n15\nOdpowiedź:\n\nPoziom podstawowy\n16\nBRUDNOPIS\n\nMMA-Pą_ąP-114\nPESEL\nWYPEŁNIA ZDAJĄCY\nWYPEŁNIA EGZAMINATOR\nSuma za zadania otwarte\n0\n17\n25\n26\n27\n18\n19\n20\n21\n22\n23\n1\n9\n2\n10\n11\n3\n4\n12\n5\n13\n6\n14\n7\n15\n8\n16\n24\nKOD EGZAMINATORA\nCzytelny podpis egzaminatora\nKOD ZDAJĄCEGO\n1\n2\n3\n4\n5\n6\n7\n8\n9\n10\n11\n12\n13\n14\n15\n16\n17\n18\n19\n20\n21\n22\n23\nOdpowiedzi\nNr\nzad.\nMiejsce na naklejkę\nz nr PESEL\nA\nA\nA\nA\nA\nA\nA\nA\nA\nA\nA\nA\nA\nA\nA\nA\nA\nA\nA\nA\nA\nA\nA\nB\nB\nB\nB\nB\nB\nB\nB\nB\nB\nB\nB\nB\nB\nB\nB\nB\nB\nB\nB\nB\nB\nB\nD\nD\nD\nD\nD\nD\nD\nD\nD\nD\nD\nD\nD\nD\nD\nD\nD\nD\nD\nD\nD\nD\nD\nC\nC\nC\nC\nC\nC\nC\nC\nC\nC\nC\nC\nC\nC\nC\nC\nC\nC\nC\nC\nC\nC\nC\nPodstawą ostrosłupa ABCDW jest prostokąt ABCD. Krawędź boczna DW jest wysokością tego ostrosłupa. Krawędzie boczne AW, BW i CW mają następujące długości: |AW|=6, |BW|=9, |CW|=7. Oblicz objętość tego ostrosłupa.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 33. (4 punkty)\nPodstawą ostrosłupa ABCDW jest prostokąt ABCD. Krawędź boczna DW jest wysokością\ntego ostrosłupa. Krawędzie boczne AW, BW i CW mają następujące długości:\n6\nAW =\n,\n9\nBW =\n,\n7\nCW =\n. Oblicz objętość tego ostrosłupa.\nI sposób rozwiązania\nOznaczmy długości krawędzi ostrosłupa AD\na\n, AB\nb\ni DW\nh\nTrójkąty BAW i BCW są prostokątne, więc korzystając dwukrotnie z twierdzenia Pitagorasa\notrzymujemy równania\n2\n49\n81\na +\ni\n2\n36\n81\nb +\nStąd otrzymujemy\n4 2\na =\noraz\n3 5\nb =\nWysokość ostrosłupa obliczymy korzystając z twierdzenia Pitagorasa np. dla trójkąta ADW.\n(\n)\n2\n2\n6\n4 2\n36\n32\n2\nh =\nObjętość ostrosłupa jest więc równa\n1\n1 4 2 3 5 2\n8 10\n3\n3\nV\na b h\n⋅⋅⋅\n⋅\n⋅\n⋅\nSchemat oceniania\nRozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego\nrozwiązania 1 pkt\nWykorzystanie faktu, że trójkąty BAW i BCW są prostokątne i zapisanie przynajmniej\njednego równania, z którego można obliczyć długość krawędzi podstawy ostrosłupa, np.:\n2\n49\n81\na +\nalbo\n2\n36\n81\nb +\nRozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 pkt\nObliczenie długości obu krawędzi podstawy ostrosłupa:\n4 2\na =\ni\n3 5\nb =\nPokonanie zasadniczych trudności zadania 3 pkt\nObliczenie długości wszystkich odcinków potrzebnych do obliczenia objętości ostrosłupa:\n2\nh =\n,\n4 2\na =\n,\n3 5\nb =\nRozwiązanie pełne 4 pkt\nObliczenie objętości ostrosłupa:\n8 10\nV =\nA\nB\nC\nD\nW\n6\n9\n7\nh\na\nb\nSchemat oceniania - sierpień 2011\nPoziom podstawowy\n15\nII sposób rozwiązania\nOznaczmy długości krawędzi ostrosłupa AD\na\n, AB\nb\ni DW\nh\nTrójkąty ADW, CDW, BDW i BAD są prostokątne, więc korzystając czterokrotnie\nz twierdzenia Pitagorasa otrzymujemy układ równań:\n2\n2\n2\n2\n2\n2\n2\n36\n49\n81\na\nh\nb\nh\na\nb\nh\n⎧\n⎪\n⎨\n⎪\n⎩\nDodajemy pierwsze i drugie równania stronami i podstawiamy\n2\n2\n2\n85\n2\na\nb\nh\ndo trzeciego\nrównania. Otrzymamy\n2\n4\nh =\n, więc\n2\nh =\nPodstawiając\n2\nh =\ndo pozostałych równań, obliczamy\n4 2\na =\noraz\n3 5\nb =\nObjętość ostrosłupa jest więc równa\n1\n1 4 2 3 5 2\n8 10\n3\n3\nV\na b h\n⋅⋅⋅\n⋅\n⋅\n⋅\nSchemat oceniania\nRozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego\nrozwiązania 1 pkt\nZapisanie układu równań, z którego można obliczyć długości wszystkich odcinków\npotrzebnych do obliczenia objętości ostrosłupa, np.:\n2\n2\n2\n2\n2\n2\n2\n36\n49\n81\na\nh\nb\nh\na\nb\nh\n⎧\n⎪\n⎨\n⎪\n⎩\nRozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 pkt\nObliczenie z powyższego układu jednej z niewiadomych, np.:\n2\nh =\nalbo\n4 2\na =\nalbo\n3 5\nb =\nPokonanie zasadniczych trudności zadania 3 pkt\nObliczenie długości wszystkich odcinków potrzebnych do obliczenia objętości ostrosłupa:\n2\nh =\n,\n4 2\na =\n,\n3 5\nb =\nA\nB\nC\nD\nW\n6\n9\n7\nh\na\nb\nSchemat oceniania - sierpień 2011\nPoziom podstawowy\n16\nRozwiązanie pełne 4 pkt\nObliczenie objętości ostrosłupa:\n8 10\nV =\nUwaga:\nJeśli zdający błędnie zaznaczy na rysunku długości krawędzi (zamieni 9 z 6 lub 9 z 7) albo\nbłędnie zinterpretuje treść zadania pisząc np.:\n2\n2\n2\n9\n7\na +\n, to otrzymuje 0 punktów za całe\nrozwiązanie.","solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(V = 8\\sqrt{10}\\)\n\n## Sposób 1 - Układ równań ze współrzędnych\n\n**Klucz:** Skoro \\(DW\\) jest wysokością ostrosłupa, to \\(W\\) leży **prostopadle nad \\(D\\)**. Czyli \\(DW \\perp\\) płaszczyzna \\(ABCD\\).\n\nUstawiam układ współrzędnych z \\(D\\) w początku:\n\n\\[D = (0, 0, 0), \\quad A = (a, 0, 0), \\quad B = (a, b, 0), \\quad C = (0, b, 0), \\quad W = (0, 0, h)\\]\n\ngdzie \\(a = |AD|\\), \\(b = |DC|\\), \\(h = |DW|\\) (szukane).\n\nObliczam długości krawędzi bocznych ze wzoru na odległość:\n\n\\[|AW|^2 = a^2 + h^2 = 36 \\tag{1}\\]\n\\[|BW|^2 = a^2 + b^2 + h^2 = 81 \\tag{2}\\]\n\\[|CW|^2 = b^2 + h^2 = 49 \\tag{3}\\]\n\n**Wyznaczam \\(a^2\\), \\(b^2\\), \\(h^2\\):**\n\n\\[(2) - (3): \\quad a^2 = 81 - 49 = 32\\]\n\\[(2) - (1): \\quad b^2 = 81 - 36 = 45\\]\n\\[(1): \\quad h^2 = 36 - 32 = 4 \\implies \\mathbf{h = 2}\\]\n\n**Sprawdzam zgodność z (3):** \\(b^2 + h^2 = 45 + 4 = 49\\) ✓\n\nPole podstawy (prostokąt \\(ABCD\\)):\n\n\\[P = a \\cdot b = \\sqrt{32} \\cdot \\sqrt{45} = \\sqrt{32 \\cdot 45} = \\sqrt{1440} = 12\\sqrt{10}\\]\n\nObjętość ostrosłupa:\n\n\\[V = \\frac{1}{3} \\cdot P \\cdot h = \\frac{1}{3} \\cdot 12\\sqrt{10} \\cdot 2 = \\boxed{8\\sqrt{10}}\\]\n\n## Sposób 2 - Twierdzenie Pitagorasa wprost z geometrii\n\n**Obserwacja bez współrzędnych:** Ponieważ \\(DW \\perp\\) podstawa, to \\(DW \\perp DA\\), \\(DW \\perp DC\\).\n\nZ trójkąta prostokątnego \\(ADW\\) (kąt prosty przy \\(D\\)):\n\\[|AW|^2 = |AD|^2 + |DW|^2 \\implies 36 = a^2 + h^2 \\tag{1}\\]\n\nZ trójkąta prostokątnego \\(CDW\\):\n\\[|CW|^2 = |CD|^2 + |DW|^2 \\implies 49 = b^2 + h^2 \\tag{3}\\]\n\nZ trójkąta \\(ABW\\): \\(BW\\) opiera się na przekątnej \\(BD\\) podstawy. Z Pitagorasa w podstawie:\n\\[|BD|^2 = a^2 + b^2\\]\nZ trójkąta prostokątnego \\(BDW\\):\n\\[|BW|^2 = |BD|^2 + |DW|^2 = a^2 + b^2 + h^2 \\implies 81 = a^2 + b^2 + h^2 \\tag{2}\\]\n\nDalej identycznie jak w Sposobie 1:\n\\[a^2 = 32, \\quad b^2 = 45, \\quad h^2 = 4\\]\n\\[V = \\frac{1}{3} \\cdot \\sqrt{32} \\cdot \\sqrt{45} \\cdot 2 = \\frac{1}{3} \\cdot 12\\sqrt{10} \\cdot 2 = 8\\sqrt{10}\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 12 (Stereometria, s. 26-28)** - wzór na objętość ostrosłupa:\n\\[V = \\frac{1}{3} P_p \\cdot h\\]\ngdzie \\(P_p\\) = pole podstawy, \\(h\\) = wysokość. To centralny wzór całego zadania.\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 15)** - twierdzenie Pitagorasa:\n\\[a^2 + b^2 = c^2\\]\nUżyliśmy go trzykrotnie - do wyznaczenia \\(|AW|^2\\), \\(|CW|^2\\) i \\(|BW|^2\\) jako sum kwadratów odpowiednich odcinków prostopadłych do siebie.\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie zakładaj, że \\(W\\) leży nad środkiem prostokąta! Tutaj \\(W\\) leży **nad wierzchołkiem \\(D\\)**, bo \\(DW\\) jest wysokością - to kluczowe do prawidłowego ułożenia równań.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy obliczaniu \\(|BW|\\) trzeba pamiętać, że \\(B\\) jest **najdalej** od \\(D\\) - na przekątnej prostokąta, więc \\(|BW|^2 = a^2 + b^2 + h^2\\), nie samo \\(b^2 + h^2\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\(\\sqrt{32} \\cdot \\sqrt{45} = \\sqrt{1440}\\) - upraszczaj ostrożnie: \\(\\sqrt{1440} = \\sqrt{144 \\cdot 10} = 12\\sqrt{10}\\). Nie zostawiaj wyniku jako \\(\\sqrt{1440}\\).\n\n**Odpowiedź:** \\(V = 8\\sqrt{10}\\).\n\n### Sposób 1 - Dwa razy twierdzenie Pitagorasa (trójkąty \\(BAW\\) i \\(BCW\\))\nOznaczmy: \\(|AD| = a\\), \\(|AB| = b\\), \\(|DW| = h\\). Prostokąt \\(ABCD\\) + wysokość \\(DW\\) → osiem trójkątów prostokątnych.\n\n**Krok 1 - trójkąt \\(BAW\\) prostokątny (\\(WA\\) jest przeciwprostokątną, \\(AB\\) i \\(BW\\) - przyprostokątnymi):**\nW istocie: \\(AW\\) łączy \\(A\\) z \\(W\\) nad \\(D\\). Wektor \\(AW\\): pozioma część \\(=AD\\) (długość \\(a\\)), pionowa część \\(= h\\).\n\\[|AW|^{2} = a^{2} + h^{2} = 36.\\]\n\n**Krok 2 - trójkąt \\(BDW\\) prostokątny (\\(DW = h\\), \\(DB\\) - przekątna podstawy):**\n\\[|BW|^{2} = |BD|^{2} + h^{2} = a^{2} + b^{2} + h^{2} = 81.\\]\n\n**Krok 3 - trójkąt \\(CDW\\) prostokątny:**\n\\[|CW|^{2} = |CD|^{2} + h^{2} = b^{2} + h^{2} = 49.\\]\n\n**Krok 4 - układ trzech równań:**\n\\[\\begin{cases} a^{2} + h^{2} = 36 \\\\ b^{2} + h^{2} = 49 \\\\ a^{2} + b^{2} + h^{2} = 81 \\end{cases}\\]\n\nOd trzeciego równania odejmujemy pierwsze: \\(b^{2} = 45\\); od trzeciego odejmujemy drugie: \\(a^{2} = 32\\).\n\nZ pierwszego: \\(h^{2} = 36 - 32 = 4 \\Rightarrow h = 2\\).\n\nStąd \\(a = \\sqrt{32} = 4\\sqrt{2}\\), \\(b = \\sqrt{45} = 3\\sqrt{5}\\).\n\n**Krok 5 - objętość:**\n\\[V = \\dfrac{1}{3}\\cdot P_{\\text{podst.}}\\cdot h = \\dfrac{1}{3}\\cdot (a\\cdot b)\\cdot h\\]\n\\[= \\dfrac{1}{3}\\cdot 4\\sqrt{2}\\cdot 3\\sqrt{5}\\cdot 2 = \\dfrac{1}{3}\\cdot 24\\sqrt{10} = 8\\sqrt{10}.\\]\n\n### Sposób 2 - Bezpośrednio przez trójkąty \\(ADW\\), \\(CDW\\), \\(BDW\\)\n\\(ADW\\), \\(CDW\\), \\(BDW\\) i \\(BAD\\) są prostokątne. Z Pitagorasa:\n\\[\\begin{cases} a^{2} + h^{2} = 36 \\\\ b^{2} + h^{2} = 49 \\\\ a^{2} + b^{2} + h^{2} = 81 \\end{cases}\\]\nDodajemy pierwsze i drugie: \\(a^{2}+b^{2}+2h^{2} = 85\\). Podstawiamy \\(a^{2}+b^{2} = 81-h^{2}\\):\n\\[81 - h^{2} + 2h^{2} = 85 \\Rightarrow h^{2} = 4 \\Rightarrow h = 2.\\]\nStąd \\(a = 4\\sqrt{2}\\), \\(b = 3\\sqrt{5}\\). Objętość:\n\\[V = \\dfrac{1}{3}\\cdot a\\cdot b\\cdot h = \\dfrac{1}{3}\\cdot 4\\sqrt{2}\\cdot 3\\sqrt{5}\\cdot 2 = 8\\sqrt{10}.\\]\n\n### Uwagi punktacji (CKE)\n- **1 pkt:** Wykorzystanie faktu, że trójkąty są prostokątne, i zapisanie przynajmniej jednego równania z Pitagorasa.\n- **2 pkt:** Obliczenie obu krawędzi podstawy \\(a = 4\\sqrt{2}\\) i \\(b = 3\\sqrt{5}\\).\n- **3 pkt:** Obliczenie \\(h = 2\\), \\(a = 4\\sqrt{2}\\), \\(b = 3\\sqrt{5}\\).\n- **4 pkt:** Obliczenie objętości \\(V = 8\\sqrt{10}\\).\n- **Uwaga:** Zamiana wartości \\(6, 7, 9\\) → \\(0\\) pkt.\n\n**Trik:** W ostrosłupie z krawędzią boczną prostopadłą do podstawy - wszystkie boki kwadratu/prostokąta są podstawami trójkątów prostokątnych z wysokością.","image":"img/matematyka-2011-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-33.webp","solution_image":"img/matematyka-2011-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-33.svg","topics":"stereometria","page_from":14,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2011 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"}]}