{"paper":{"id":"matematyka-2012-czerwiec-matura-podstawowa","subject":"matematyka","category":"matura","year":2012,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","variant":null,"exam_pdf":"matematyka-2012-czerwiec-matura-podstawowa/matematyka-2012-czerwiec-matura-podstawowa.pdf","key_pdf":"matematyka-2012-czerwiec-matura-podstawowa-odpowiedzi/matematyka-2012-czerwiec-matura-podstawowa-odpowiedzi.pdf","question_count":34,"source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2012 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},"questions":[{"id":"matematyka-2012-czerwiec-matura-podstawowa/zad/1","paper_id":"matematyka-2012-czerwiec-matura-podstawowa","number":"1","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2012,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 1. (1 pkt)\nUłamek\n5\n2\n5\n2\n\n\njest równy\nA. 1\nB.\n1\n\nC. 7\n4 5\n\nD. 9\n4 5\n\nUłamek pierwiastek z 5 + 2 / pierwiastek z 5 - 2 jest równy A. 1, B. -1, C. 7 + 4 pierwiastki z 5, D. 9 + 4 pierwiastki z 5.","answer":"D","answer_text":"Zadanie 1. (0-1)\nObszar standardów\nOpis wymagań\nPoprawna\nodpowiedź\n(1 p.)\nWykorzystanie\ni interpretowanie informacji\nUsuwanie niewymierności z mianownika\n(I.1.a)\nD","solution":null,"image":"img/matematyka-2012-czerwiec-matura-podstawowa/zad-1.webp","solution_image":"img/matematyka-2012-czerwiec-matura-podstawowa/sol-1.svg","topics":"algebra","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2012 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2012-czerwiec-matura-podstawowa/zad/2","paper_id":"matematyka-2012-czerwiec-matura-podstawowa","number":"2","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2012,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 2. (1 pkt)\nLiczbami spełniającymi równanie 2\n3\n5\nx \n\nsą\nA. 1 i 4\n\nB. 1 i 2\nC. -1 i 4\nD.\n2\n i 2\nLiczbami spełniającymi równanie |2x+3| = 5 są A. 1, -4, B. 1, 2, C. -1, 4, D. -2, 2","answer":"A","answer_text":"Zadanie 2. (0-1)\nWykorzystanie\ni interpretowanie informacji\nWykorzystanie pojęcia wartości\nbezwzględnej do sprawdzenia czy dane\nliczby są rozwiązaniami równania typu\n\n\nx\na\nb (I.1.f)\nA","solution":null,"image":"img/matematyka-2012-czerwiec-matura-podstawowa/zad-2.webp","solution_image":"img/matematyka-2012-czerwiec-matura-podstawowa/sol-2.svg","topics":"bezwgledna","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2012 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2012-czerwiec-matura-podstawowa/zad/3","paper_id":"matematyka-2012-czerwiec-matura-podstawowa","number":"3","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2012,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 3. (1 pkt)\nRównanie \n\n\n\n2\n5\n3\n1\n0\nx\nx\nx\n\n\n\n\nma\nA. dwa rozwiązania:\n5\nx ,\n3\nx \nB. dwa rozwiązania:\n3\nx ,\n5\nx \nC. cztery rozwiązania:\n5\nx ,\n1\nx ,\n1\nx ,\n3\nx \nD. cztery rozwiązania:\n3\nx ,\n1\nx ,\n1\nx ,\n5\nx \nRównanie (x+5)(x-3)(x^2+1)=0 ma A. dwa rozwiązania: x=-5, x=3, B. dwa rozwiązania: x=-3, x=5, C. cztery rozwiązania: x=-5, x=-1, x=1, x=3, D. cztery rozwiązania: x=-3, x=-1, x=1, x=5.","answer":"A","answer_text":"Zadanie 3. (0-1)\nWykorzystanie\ni interpretowanie informacji\nOdczytanie z postaci iloczynowej\nrównania wielomianowego jego\nrozwiązań (I.3.d)\nA","solution":null,"image":"img/matematyka-2012-czerwiec-matura-podstawowa/zad-3.webp","solution_image":"img/matematyka-2012-czerwiec-matura-podstawowa/sol-3.svg","topics":"rownania_i_nierownosci","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2012 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2012-czerwiec-matura-podstawowa/zad/4","paper_id":"matematyka-2012-czerwiec-matura-podstawowa","number":"4","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2012,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 4. (1 pkt)\nMarża równa 1,5% kwoty pożyczonego kapitału była równa 3000 zł. Wynika stąd, że\npożyczono\nA. 45 zł\nB. 2000 zł\nC. 200 000 zł\nD. 450 000 zł\nMarża równa 1,5% kwoty pożyczonego kapitału była równa 3000 zł. Wynika stąd, że pożyczono A. 35 zł, B. 2000 zł, C. 200000 zł, D. 450 000 zł","answer":"C","answer_text":"Zadanie 4. (0-1)\nModelowanie matematyczne\nWykonanie obliczeń procentowych\n(III.1.d)\nC","solution":null,"image":"img/matematyka-2012-czerwiec-matura-podstawowa/zad-4.webp","solution_image":"img/matematyka-2012-czerwiec-matura-podstawowa/sol-4.svg","topics":"algebra","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2012 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2012-czerwiec-matura-podstawowa/zad/5","paper_id":"matematyka-2012-czerwiec-matura-podstawowa","number":"5","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2012,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 5. (1 pkt)\nNa jednym z poniższych rysunków przedstawiono fragment wykresu funkcji\n2\n2\n3\n\n\n\ny\nx\nx\nWskaż ten rysunek.\n-4\n-3\n-2\n-1\n1\n2\n3\n4\n-4\n-3\n-2\n-1\n1\n2\n3\n4\nx\ny\n-4\n-3\n-2\n-1\n1\n2\n3\n4\n-4\n-3\n-2\n-1\n1\n2\n3\n4\nx\ny\n-4\n-3\n-2\n-1\n1\n2\n3\n4\n-4\n-3\n-2\n-1\n1\n2\n3\n4\nx\ny\n-4\n-3\n-2\n-1\n1\n2\n3\n4\n-4\n-3\n-2\n-1\n1\n2\n3\n4\nx\ny\nA.\nB.\nC.\nD.\n\nPoziom podstawowy\n3\nBRUDNOPIS\n\nPoziom podstawowy\n4\nNa jednym z poniższych rysunków przestawiono fragment wykresu funkcji y=x^2+2x-3. Wskaż ten rysunek.","answer":"A","answer_text":"Zadanie 5. (0-1)\nWykorzystanie\ni interpretowanie reprezentacji\nWskazanie wykresu funkcji kwadratowej\ndanej wzorem (II.4.a)\nA","solution":null,"image":"img/matematyka-2012-czerwiec-matura-podstawowa/zad-5.webp","solution_image":"img/matematyka-2012-czerwiec-matura-podstawowa/sol-5.svg","topics":"funkcje","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2012 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2012-czerwiec-matura-podstawowa/zad/6","paper_id":"matematyka-2012-czerwiec-matura-podstawowa","number":"6","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2012,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 6. (1 pkt)\nWierzchołkiem paraboli będącej wykresem funkcji określonej wzorem\n\n2\n4\n4\nf x\nx\nx\n\n\n\njest punkt o współrzędnych\nA. \n\n0,2\nB. \n\n0, 2\n\nC. \n\n2,0\n\nD. \n\n2,0\nWierzchołkiem paraboli będącej wykresem funkcji określonej wzorem f(x)=x^2-4x+4 jest punkt o współrzędnych A. (0,2), B. (0,-2), C. (-2,0), D. (2,0).","answer":"D","answer_text":"Zadanie 6. (0-1)\nWykorzystanie\ni interpretowanie reprezentacji\nWyznaczenie współrzędnych wierzchołka\nparaboli będącej wykresem funkcji\nkwadratowej (II.4.b)\nD","solution":null,"image":"img/matematyka-2012-czerwiec-matura-podstawowa/zad-6.webp","solution_image":"img/matematyka-2012-czerwiec-matura-podstawowa/sol-6.svg","topics":"funkcje","page_from":4,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2012 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2012-czerwiec-matura-podstawowa/zad/7","paper_id":"matematyka-2012-czerwiec-matura-podstawowa","number":"7","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2012,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 7. (1 pkt)\nJeden kąt trójkąta ma miarę 54. Z pozostałych dwóch kątów tego trójkąta jeden jest 6 razy\nwiększy od drugiego. Miary pozostałych kątów są równe\nA. 21 i 105\n\n\nB. 11 i 66\n\n\nC. 18 i 108\n\n\nD. 16 i 96\n\n\nJeden kąt trójkąta ma miarę 54. Z pozostałych dwóch kątów tego trójkąta jeden jest 6 razy większy od drugiego. Miary pozostałych kątów są równe. A. 21, 105, B. 11, 66, C. 18, 108, D. 16, 96","answer":"C","answer_text":"Zadanie 7. (0-1)\nModelowanie matematyczne\nZnalezienie związków miarowych\nw figurach płaskich. Zastosowanie\nrachunku kątów w trójkącie (III.7.c)\nC","solution":null,"image":"img/matematyka-2012-czerwiec-matura-podstawowa/zad-7.webp","solution_image":"img/matematyka-2012-czerwiec-matura-podstawowa/sol-7.svg","topics":"planimetria","page_from":4,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2012 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2012-czerwiec-matura-podstawowa/zad/8","paper_id":"matematyka-2012-czerwiec-matura-podstawowa","number":"8","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2012,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 8. (1 pkt)\nKrótszy bok prostokąta ma długość 6. Kąt między przekątną prostokąta i dłuższym bokiem\nma miarę 30. Dłuższy bok prostokąta ma długość\nA. 2 3\nB. 4 3\nC. 6 3\nD. 12\nKrótszy bok prostokąta ma długość 6. Kąt między przekątną prostokąta i dłuższym bokiem ma miarę 30 stopni. Dłuższy bok prostokąta ma długość A. 2 pierwiastki z 3, B. 4 pierwiastki z 3, C. 6 pierwiastków z 3, D. 12.","answer":"C","answer_text":"Zadanie 8. (0-1)\nWykorzystanie\ni interpretowanie reprezentacji\nZnalezienie związków miarowych\nw figurach płaskich. Zastosowanie funkcji\ntrygonometrycznych (II.7.c)\nC\nKryteria oceniania odpowiedzi - poziom podstawowy\n3","solution":null,"image":"img/matematyka-2012-czerwiec-matura-podstawowa/zad-8.webp","solution_image":"img/matematyka-2012-czerwiec-matura-podstawowa/sol-8.svg","topics":"planimetria","page_from":4,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2012 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2012-czerwiec-matura-podstawowa/zad/9","paper_id":"matematyka-2012-czerwiec-matura-podstawowa","number":"9","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2012,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 9. (1 pkt)\nCięciwa okręgu ma długość 8 cm i jest oddalona od jego środka o 3 cm. Promień tego okręgu\nma długość\nA. 3 cm\nB. 4 cm\nC. 5 cm\nD. 8 cm\nCięciwa okręgu ma długość 8 cm i jest oddalona od jego środka o 3 cm. Promień tego okręgu ma długość A. 3 cm, B. 4 cm, C. 5 cm, D. 8 cm.","answer":"C","answer_text":"Zadanie 9. (0-1)\nWykorzystanie\ni interpretowanie reprezentacji\nZnalezienie związków miarowych\nw figurach płaskich. Zastosowanie\ntwierdzenia Pitagorasa (II.7.c)\nC","solution":null,"image":"img/matematyka-2012-czerwiec-matura-podstawowa/zad-9.webp","solution_image":"img/matematyka-2012-czerwiec-matura-podstawowa/sol-9.svg","topics":"planimetria","page_from":4,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2012 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2012-czerwiec-matura-podstawowa/zad/10","paper_id":"matematyka-2012-czerwiec-matura-podstawowa","number":"10","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2012,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 10. (1 pkt)\nPunkt O jest środkiem okręgu. Kąt wpisany BAD ma miarę\n130\n60\nD\nC\nB\nA\nO\nA.\n150\nB.\n120\nC.\n115\nD.\n85\nPunkt O jest środkiem okręgu. Kąt wpisany BAD ma miarę A. 150, B. 120, C. 115, D. 85","answer":"D","answer_text":"Zadanie 10. (0-1)\nWykorzystanie\ni interpretowanie reprezentacji\nWykorzystanie związków między kątem\nwpisanym i środkowym (II.7.a)\nD","solution":null,"image":"img/matematyka-2012-czerwiec-matura-podstawowa/zad-10.webp","solution_image":"img/matematyka-2012-czerwiec-matura-podstawowa/sol-10.svg","topics":"planimetria","page_from":4,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2012 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2012-czerwiec-matura-podstawowa/zad/11","paper_id":"matematyka-2012-czerwiec-matura-podstawowa","number":"11","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2012,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 11. (1 pkt)\nPięciokąt ABCDE jest foremny. Wskaż trójkąt przystający do trójkąta ECD\nA\nB\nC\nD\nE\nG\nH\nI\nJ\nF\nA.\nABF\n\nB.\nCAB\n\nC.\nIHD\n\nD.\nABD\n\n\nPoziom podstawowy\n5\nBRUDNOPIS\n\nPoziom podstawowy\n6\nPięciokąt ABCDE jest foremny. Wskaż trójkąt przystający do trójkąta ECD A. ABF, B. CAB, C. IHD, D. ABD","answer":"B","answer_text":"Zadanie 11. (0-1)\nWykorzystanie\ni interpretowanie informacji\nWskazanie trójkąta przystający do danego\n(I.7.c)\nB","solution":null,"image":"img/matematyka-2012-czerwiec-matura-podstawowa/zad-11.webp","solution_image":"img/matematyka-2012-czerwiec-matura-podstawowa/sol-11.svg","topics":"planimetria","page_from":4,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2012 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2012-czerwiec-matura-podstawowa/zad/12","paper_id":"matematyka-2012-czerwiec-matura-podstawowa","number":"12","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2012,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 12. (1 pkt)\nPunkt O jest środkiem okręgu przedstawionego na rysunku. Równanie tego okręgu ma postać:\n-1\n1\n2\n3\n4\n5\n-2\n-1\n1\n2\n3\n4\nx\ny\nO\nA.\n\n\n\n\n2\n2\n2\n1\n9\nx\ny\n\n\n\n\nB.\n\n\n\n\n2\n2\n2\n1\n3\nx\ny\n\n\n\n\nC.\n\n\n\n\n2\n2\n2\n1\n9\nx\ny\n\n\n\n\nD.\n\n\n\n\n2\n2\n2\n1\n3\nx\ny\n\n\n\n\nPunkt O jest środkiem okręgu przedstawionego na rysunku. Równanie tego okręgu ma postać A. (x-2)^2+(y-1)^2 = 9, B. (x-2)^2+(y-1)^2=3, C. (x+2)^2+(y+1)^2=9, D. (x+2)^2+(y+1)^2=3","answer":"A","answer_text":"Zadanie 12. (0-1)\nWykorzystanie\ni interpretowanie reprezentacji\nWskazanie równania okręgu o podanym\nśrodku i promieniu (II.8.g)\nA","solution":null,"image":"img/matematyka-2012-czerwiec-matura-podstawowa/zad-12.webp","solution_image":"img/matematyka-2012-czerwiec-matura-podstawowa/sol-12.svg","topics":"analityczna","page_from":6,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2012 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2012-czerwiec-matura-podstawowa/zad/13","paper_id":"matematyka-2012-czerwiec-matura-podstawowa","number":"13","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2012,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 13. (1 pkt)\nWyrażenie 3\n1\n2\n1\n2\n3\nx\nx\nx\nx\n\n\n\n\n\njest równe\nA. \n\n\n2\n15\n1\n2\n3\nx\nx\nx\nx\n\n\n\n\nB. \n\n\n2\n2\n3\nx\nx\nx\n\n\n\nC. \n\n\n2\n3\nx\nx\nx\n\n\nD.\n2\n5\nx \n\nWyrażenie 3x+1/x-2 - 2x-1/x+3 jest równe A. x^2+15x+1 / (x-2)(x+3), B. x+2 / (x-2)(x+3), C. x / (x-2)(x+3), D. x+2 / - 5.","answer":"A","answer_text":"Zadanie 13. (0-1)\nWykorzystanie\ni interpretowanie reprezentacji\nObliczenie różnicy wyrażeń wymiernych\n(II.2.f)\nA","solution":null,"image":"img/matematyka-2012-czerwiec-matura-podstawowa/zad-13.webp","solution_image":"img/matematyka-2012-czerwiec-matura-podstawowa/sol-13.svg","topics":"algebra","page_from":6,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2012 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2012-czerwiec-matura-podstawowa/zad/14","paper_id":"matematyka-2012-czerwiec-matura-podstawowa","number":"14","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2012,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 14. (1 pkt)\nCiąg \nna\njest określony wzorem\n2\n4\nna\nn\n\n\ndla\n1\n\nn\n. Wówczas\nA.\n8\n2 5\na \nB.\n8\n8\na \nC.\n8\n5 2\na \nD.\n8\n12\na \nCiąg (a_n) jest określony wzorem a_n = pierwiastek z 2n+4 dla n >= 1. Wówczas A. a_8 = 2 pierwiastki z 5, B. a_8 = 8, C. a_8 = 5 pierwiastków z 2, D. a_8 = pierwiastek z 12","answer":"A","answer_text":"Zadanie 14. (0-1)\nWykorzystanie\ni interpretowanie informacji\nObliczenie wyrazu ciągu liczbowego\nokreślonego wzorem ogólnym (I.5.a)\nA","solution":null,"image":"img/matematyka-2012-czerwiec-matura-podstawowa/zad-14.webp","solution_image":"img/matematyka-2012-czerwiec-matura-podstawowa/sol-14.svg","topics":"ciagi","page_from":6,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2012 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2012-czerwiec-matura-podstawowa/zad/15","paper_id":"matematyka-2012-czerwiec-matura-podstawowa","number":"15","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2012,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 15. (1 pkt)\nCiąg \n\n2 2, 4, a jest geometryczny. Wówczas\nA.\n8 2\na \nB.\n4 2\na \nC.\n8\n2 2\na \n\nD.\n8\n2 2\na \n\nCiąg (2 pierwiastki z 2, 4, a) jest geometryczny. Wówczas A. a = 8 pierwiastków z 2, B. a = 4 pierwiastki z 2, C. a = 8 - 2 pierwiastki z 2, D. a = 8 + 2 pierwiastki z 2.","answer":"B","answer_text":"Zadanie 15. (0-1)\nWykorzystanie\ni interpretowanie reprezentacji\nObliczenie wyrazu ciągu geometrycznego\nz wykorzystaniem własności ciągu (II.5.c)\nB","solution":null,"image":"img/matematyka-2012-czerwiec-matura-podstawowa/zad-15.webp","solution_image":"img/matematyka-2012-czerwiec-matura-podstawowa/sol-15.svg","topics":"ciagi","page_from":6,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2012 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2012-czerwiec-matura-podstawowa/zad/16","paper_id":"matematyka-2012-czerwiec-matura-podstawowa","number":"16","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2012,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 16. (1 pkt)\nKąt  jest ostry i tg\n1\n. Wówczas\nA.\n30\n\n\nB.\n30\n\n\nC.\n45\n\n\nD.\n45\n\n\nKąt alfa jest ostry i tg alfa = 1. Wówczas A. alfa < 30, B. alfa = 30, C. alfa = 45, D. alfa > 45.","answer":"C","answer_text":"Zadanie 16. (0-1)\nWykorzystanie\ni interpretowanie informacji\nWyznaczenie miary kąta ostrego (I.6.b)\nC","solution":null,"image":"img/matematyka-2012-czerwiec-matura-podstawowa/zad-16.webp","solution_image":"img/matematyka-2012-czerwiec-matura-podstawowa/sol-16.svg","topics":"trygonometria","page_from":6,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2012 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2012-czerwiec-matura-podstawowa/zad/17","paper_id":"matematyka-2012-czerwiec-matura-podstawowa","number":"17","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2012,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 17. (1 pkt)\nWiadomo, że dziedziną funkcji f określonej wzorem\n\n7\n2\nx\nf x\nx\na\n\n\n\njest zbiór\n\n\n\n\n,2\n2,\n\n\n. Wówczas\nA.\n2\na \nB.\n2\na \nC.\n4\na \nD.\n4\na \n\nPoziom podstawowy\n7\nBRUDNOPIS\n\nPoziom podstawowy\n8\nWiadomo, że dziedziną funkcji f określonej wzorem f(x) = x-7 / 2x+a jest zbiór (-oo,2)u(2,+oo). Wówczas A. a = 2, B. a = -2, C. a = 4, D. a = -4.","answer":"D","answer_text":"Zadanie 17. (0-1)\nUżycie i tworzenie strategii\nOkreślenie wzoru funkcji o podanej\ndziedzinie (IV.4.a)\nD\nKryteria oceniania odpowiedzi - poziom podstawowy\n4","solution":null,"image":"img/matematyka-2012-czerwiec-matura-podstawowa/zad-17.webp","solution_image":"img/matematyka-2012-czerwiec-matura-podstawowa/sol-17.svg","topics":"funkcje","page_from":6,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2012 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2012-czerwiec-matura-podstawowa/zad/18","paper_id":"matematyka-2012-czerwiec-matura-podstawowa","number":"18","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2012,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 18. (1 pkt)\nJeden z rysunków przedstawia wykres funkcji liniowej\n\nf x\nax\nb\n\n\n, gdzie\n0\na \ni\n0\nb \n. Wskaż\nten wykres.\nA.\nB.\nC.\nD.\nJeden z rysunków przedstawia wykres funkcji liniowej f(x)=ax+b, gdzie a>0 i b<0. Wskaż ten wykres.","answer":"C","answer_text":"Zadanie 18. (0-1)\nWykorzystanie\ni interpretowanie reprezentacji\nZinterpretowanie znaków\nwspółczynników a i b we wzorze funkcji\nliniowej (II.4.g)\nC","solution":null,"image":"img/matematyka-2012-czerwiec-matura-podstawowa/zad-18.webp","solution_image":"img/matematyka-2012-czerwiec-matura-podstawowa/sol-18.svg","topics":"funkcje","page_from":8,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2012 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2012-czerwiec-matura-podstawowa/zad/19","paper_id":"matematyka-2012-czerwiec-matura-podstawowa","number":"19","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2012,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 19. (1 pkt)\nPunkt\n\n\n2,7\nS \njest środkiem odcinka AB, w którym\n\n\n1,3\nA \n. Punkt B ma współrzędne:\nA.\n\n\n5,11\nB \nB.\n1 ,2\n2\nB\n\n\n\n\n\n\nC.\n3 , 5\n2\nB\n\n\n\n\n\n\n\n\nD.\n\n\n3,11\nB \nPunkt S=(2,7) jest środkiem odcinka AB, w którym A=(-1,3). Punkt B ma współrzędne: A. B=(5,11), B. B=(1/2,2), C. B=(-3/2,-5), D. B=(3,11).","answer":"A","answer_text":"Zadanie 19. (0-1)\nWykorzystanie\ni interpretowanie reprezentacji\nWykorzystanie współrzędnych środka\nodcinka (II.8.f)\nA","solution":null,"image":"img/matematyka-2012-czerwiec-matura-podstawowa/zad-19.webp","solution_image":"img/matematyka-2012-czerwiec-matura-podstawowa/sol-19.svg","topics":"analityczna","page_from":8,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2012 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2012-czerwiec-matura-podstawowa/zad/20","paper_id":"matematyka-2012-czerwiec-matura-podstawowa","number":"20","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2012,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 20. (1 pkt)\nW kolejnych sześciu rzutach kostką otrzymano następujące wyniki: 6, 3, 1, 2, 5, 5. Mediana\ntych wyników jest równa:\nA. 3\nB. 3,5\nC. 4\nD. 5\nW kolejnych sześciu rzutach kostką otrzymano następujące wyniki: 6,3,1,2,5,5. Mediana tych wyników jest równa A. 3, B. 3,5, C. 4, D. 5","answer":"C","answer_text":"Zadanie 20. (0-1)\nWykorzystanie\ni interpretowanie reprezentacji\nWyznaczenie mediany zbioru danych\n(II.10.a)\nC","solution":null,"image":"img/matematyka-2012-czerwiec-matura-podstawowa/zad-20.webp","solution_image":"img/matematyka-2012-czerwiec-matura-podstawowa/sol-20.svg","topics":"prawdopodobienstwo","page_from":8,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2012 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2012-czerwiec-matura-podstawowa/zad/21","paper_id":"matematyka-2012-czerwiec-matura-podstawowa","number":"21","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2012,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 21. (1 pkt)\nRówność \n\n2\n2\n2 2\n28 2\n8\na\na\n\n\n\n\nzachodzi dla\nA.\n14\na \nB.\n7 2\na \nC.\n7\na \nD.\n2 2\na \nRówność (a + 2 pierwiastki z 2)^2 = a^2 + 28 pierwiastki z 2 + 8 zachodzi dla A. 14, B. 7 pierwiastków z 2, C. 7, D. 2 pierwiastków z 2.","answer":"C","answer_text":"Zadanie 21. (0-1)\nWykorzystanie\ni interpretowanie reprezentacji\nWykorzystanie wzoru skróconego\nmnożenia (II.2.a)\nC","solution":null,"image":"img/matematyka-2012-czerwiec-matura-podstawowa/zad-21.webp","solution_image":"img/matematyka-2012-czerwiec-matura-podstawowa/sol-21.svg","topics":"algebra","page_from":8,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2012 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2012-czerwiec-matura-podstawowa/zad/22","paper_id":"matematyka-2012-czerwiec-matura-podstawowa","number":"22","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2012,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 22. (1 pkt)\nTrójkąt prostokątny o przyprostokątnych 4 i 6 obracamy wokół dłuższej przyprostokątnej.\nObjętość powstałego stożka jest równa\nA. 96\nB. 48\nC. 32\nD. 8\nTrójkąt prostokątny o przyprostokątnych 4 i 6 obracamy wokół dłuższej przyprostokątnej. Objętość powstałego stożka jest równa. A. 96pi, B. 48pi, C. 32pi, D. 8pi","answer":"C","answer_text":"Zadanie 22. (0-1)\nModelowanie matematyczne\nObliczenie objętości stożka (III.9.b)\nC","solution":null,"image":"img/matematyka-2012-czerwiec-matura-podstawowa/zad-22.webp","solution_image":"img/matematyka-2012-czerwiec-matura-podstawowa/sol-22.svg","topics":"stereometria","page_from":8,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2012 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2012-czerwiec-matura-podstawowa/zad/23","paper_id":"matematyka-2012-czerwiec-matura-podstawowa","number":"23","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2012,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 23. (1 pkt)\nJeżeli A i B są zdarzeniami losowymi, B jest zdarzeniem przeciwnym do B,\n\n0,3\nP A \n,\n\n\n0,4\nP B\noraz A\nB\n\n, to\n\n\nP A\nB\n\njest równe\nA. 0,12\nB. 0,18\nC. 0,6\nD. 0,9\nJeżeli A i B są zdarzeniami losowymi, B' jest zdarzeniem przeciwnym do B, P(A)=0,3, P(B') = 0,4 oraz AnB = zbiór pusty, to P(AuB) jest równe A. 0,12, B. 0,18, C. 0,6, D. 0,9","answer":"D","answer_text":"Zadanie 23. (0-1)\nUżycie i tworzenie strategii\nObliczenie prawdopodobieństwa\nzdarzenia z zastosowaniem klasycznej\ndefinicji prawdopodobieństwa (IV.10.b)\nD","solution":null,"image":"img/matematyka-2012-czerwiec-matura-podstawowa/zad-23.webp","solution_image":"img/matematyka-2012-czerwiec-matura-podstawowa/sol-23.svg","topics":"prawdopodobienstwo","page_from":8,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2012 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2012-czerwiec-matura-podstawowa/zad/24","paper_id":"matematyka-2012-czerwiec-matura-podstawowa","number":"24","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2012,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 24. (1 pkt)\nPrzekrój osiowy walca jest kwadratem o boku a. Jeżeli r oznacza promień podstawy walca,\nh oznacza wysokość walca, to\nA. r\nh\na\n\n\nB.\n2\na\nh\nr\n\n\nC.\n2\na\nr\nh\n\n\nD.\n2\n2\n2\nr\nh\na\n\n\nx\ny\n0\nx\ny\n0\nx\ny\n0\nx\ny\n0\n\nPoziom podstawowy\n9\nBRUDNOPIS\n\nPoziom podstawowy\n10\nZADANIA OTWARTE\nRozwiązania zadań o numerach od 25. do 34. należy zapisać w wyznaczonych miejscach\npod treścią zadania.\nPrzekrój osiowy walca jest kwadratem o boku a. Jeżeli r oznacza promień podstawy walca, h wysokość walca, to A. r+h=a, B. h-r=a/2, C. r-h=a/2, D. r^2+h^2=a^2","answer":"B","answer_text":"Zadanie 24. (0-1)\nModelowanie matematyczne\nWyznaczenie związków miarowych\nw walcu (III.9.b)\nB\nKryteria oceniania odpowiedzi - poziom podstawowy\n5","solution":null,"image":"img/matematyka-2012-czerwiec-matura-podstawowa/zad-24.webp","solution_image":"img/matematyka-2012-czerwiec-matura-podstawowa/sol-24.svg","topics":"stereometria","page_from":8,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2012 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2012-czerwiec-matura-podstawowa/zad/25","paper_id":"matematyka-2012-czerwiec-matura-podstawowa","number":"25","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2012,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 25. (2 pkt)\nRozwiąż nierówność\n2\n3\n10\n0\nx\nx\n\n\n\nOdpowiedź:\nRozwiąż nierówność kwadratową x^2-3x-10 < 0.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 25. (0-2)\nZdający otrzymuje 1 pkt\ngdy:\n\nprawidłowo obliczy pierwiastki trójmianu kwadratowego\n1\n2\n2,\n5\nx\nx\n\n\ni na tym\npoprzestanie lub dalej popełni błędy,\nalbo\n\nrozłoży trójmian kwadratowy\n2\n3\n10\nx\nx\n\n\nna czynniki liniowe i zapisze nierówność\n\n\n\n2\n5\n0\nx\nx\n\n\n\ni na tym poprzestanie lub dalej popełni błędy,\nalbo\n\npopełni błąd rachunkowy przy obliczaniu pierwiastków trójmianu kwadratowego\ni konsekwentnie do popełnionego błędu rozwiąże nierówność, np.,\n1\n2\n2,\n5\nx\nx\n\n,\nstąd\n\n\n5,2\nx\n,\nalbo\n\ndoprowadzi nierówność do postaci\n3\n7\n2\n2\nx \n\n(na przykład z postaci\n2\n3\n49\n0\n2\n4\nx\n\n\n\n\n\n\n\n\n\notrzymuje\n2\n3\n49\n2\n4\nx\n\n\n\n\n\n\n\n\n, a następnie\n3\n7\n2\n2\nx \n\n)\ni na tym poprzestanie lub dalej popełni błędy.\nZdający otrzymuje 2 pkt\ngdy:\n\npoda zbiór rozwiązań nierówności w postaci: 2\n5\nx\n\n\nlub \n\n2,5\n\nlub\n\n\n2,5\nx \nalbo\n\nsporządzi ilustrację geometryczną (oś liczbowa, wykres) i zapisze zbiór rozwiązań\nnierówności w postaci:\n2\nx ,\n5\nx \nalbo\n\npoda zbiór rozwiązań nierówności w postaci graficznej z poprawnie zaznaczonymi\nkońcami przedziałów:\nKryteria oceniania uwzględniające specyficzne trudności w uczeniu się matematyki\n1. Jeśli zdający poprawnie obliczy pierwiastki trójmianu\n2\nx ,\n5\nx \ni zapisze np.:\n\n\n2,5\nx\n, popełniając tym samym błąd przy przepisywaniu jednego z pierwiastków, to za\ntakie rozwiązanie otrzymuje 2 punkty.\nWykorzystanie\ni interpretowanie reprezentacji Rozwiązanie nierówności kwadratowej (II.3.a)\nx\n-2\n5\nKryteria oceniania odpowiedzi - poziom podstawowy\n6\nZadania 26. (0-2)\nI sposób rozwiązania\nNiech x oznacza liczbę studentów w danej grupie. Wtedy łączna liczba lat studentów w danej\ngrupie wynosi 23x , zaś łączna liczba lat studentów i opiekuna to 23\n39\nx \n. Zatem średnia\nwieku studentów wraz z opiekunem jest równa: 23\n39\n1\nx\nx\n\n\nOtrzymujemy równanie 23\n39\n24\n1\nx\nx\n\n\n\nstąd\n\n\n23\n39\n24\n1\nx\nx\n\n\n\n, a więc\n15\nx \nOdpowiedź: W tej grupie jest 15 studentów.\nSchemat oceniania I sposobu rozwiązania\nZdający otrzymuje 1 pkt\ngdy zapisze nową średnią wieku studentów wraz z opiekunem: 23\n39\n1\nx\nx\n\n\ni na tym\npoprzestanie lub dalej popełni błędy.\nZdający otrzymuje 2 pkt\ngdy obliczy liczbę studentów w grupie: 15 osób.\nII sposób rozwiązania\nZapisujemy zależności pomiędzy liczbą studentów danej grupy, a łączną liczbą lat wszystkich\nstudentów. Niech x oznacza liczbę studentów w grupie, zaś S łączną liczbę lat studentów.\nZapisujemy układ równań:\n23\n39\n24\n1\nS\nx\nS\nx\n\n\n\n\n\n\n\n\n\nRozwiązujemy układ równań\n23\n23\n39\n24\n1\nS\nx\nx\nx\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n23\n39\n24\n1\nx\nx\n\n\n\n15\nx \nOdpowiedź: W tej grupie jest 15 studentów.\nSchemat oceniania II sposobu rozwiązania\nZdający otrzymuje 1 pkt\ngdy zapisze układ równań opisujący średnie wieku, np.\n23\n39\n24\n1\nS\nx\nS\nx\n\n\n\n\n\n\n\n\n\ngdzie x jest liczbą studentów w danej grupie, zaś S jest łączną liczbą lat studentów, i na tym\npoprzestanie lub dalej popełni błędy.\nZdający otrzymuje 2 pkt\ngdy obliczy liczbę studentów w danej grupie: 15 studentów.\nModelowanie matematyczne\nZastosowanie definicję średniej arytmetycznej\ndo wyznaczenia liczby elementów zbioru danych (III.10.a)\nKryteria oceniania odpowiedzi - poziom podstawowy\n7\nIII sposób rozwiązania\nRóżnicę wieku opiekuna i średniej wieku studentów rozdzielamy między x studentów\ni jednego opiekuna.\n Obliczamy różnicę wieku opiekuna i średniej wieku studentów 39\n23\n16\n\n\n Ponieważ średnia wieku wzrosła o 1 rok, więc te 16 lat rozdzielamy pomiędzy studentów\ni opiekuna, każdemu dodając 1 rok.\n Zatem 16\n1 1\nx\n\n, stąd\n15\nx \n Zapisujemy odpowiedź: W tej grupie jest 15 studentów.\nSchemat oceniania III sposobu rozwiązania\nZdający otrzymuje 1 pkt\ngdy obliczy różnicę lat opiekuna i średniej wieku studentów 39\n23\n16\n\n\ni słownie zapisze\nsposób rozumowania, np.: Ponieważ średnia lat wzrosła do 24 lat, więc każdemu studentowi z\ntych 16 lat dodajemy 1 rok oraz 1 rok dla opiekuna i na tym poprzestanie lub dalej popełni\nbłędy.\nZdający otrzymuje 2 pkt\ngdy obliczy liczbę studentów w danej grupie: 15 studentów.","solution":"$x \\\\in (-2,5)$","image":"img/matematyka-2012-czerwiec-matura-podstawowa/zad-25.webp","solution_image":"img/matematyka-2012-czerwiec-matura-podstawowa/sol-25.svg","topics":"rownania_i_nierownosci","page_from":10,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2012 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2012-czerwiec-matura-podstawowa/zad/26","paper_id":"matematyka-2012-czerwiec-matura-podstawowa","number":"26","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2012,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 26. (2 pkt)\nŚrednia wieku w pewnej grupie studentów jest równa 23 lata. Średnia wieku tych studentów\ni ich opiekuna jest równa 24 lata. Opiekun ma 39 lat. Oblicz, ilu studentów jest w tej grupie.\nOdpowiedź:\n\nPoziom podstawowy\n11\nŚrednia wieku w pewnej grupie studentów jest równa 23 lata. Średnia wieku tych studentów i ich opiekuna jest równa 24 lata. Opiekun ma 39 lat. Oblicz, ile studentów jest w tej grupie.","answer":null,"answer_text":null,"solution":"$15$","image":"img/matematyka-2012-czerwiec-matura-podstawowa/zad-26.webp","solution_image":"img/matematyka-2012-czerwiec-matura-podstawowa/sol-26.svg","topics":"prawdopodobienstwo","page_from":10,"source":"zadaniazmatur","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2012 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2012-czerwiec-matura-podstawowa/zad/27","paper_id":"matematyka-2012-czerwiec-matura-podstawowa","number":"27","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2012,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 27. (2 pkt)\nPodstawy trapezu prostokątnego mają długości 6 i 10 oraz tangens jego kąta ostrego jest\nrówny 3. Oblicz pole tego trapezu.\nOdpowiedź:\nPodstawy trapezu prostokątnego mają długości 6 i 10 oraz tangens jego kąta ostrego jest równy 3. Oblicz pole tego trapezu.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 27. (0-2)\nRozwiązanie\nObliczamy wysokość trapezu h, korzystając z faktu, że tangens kąta ostrego jest równy 3:\n3\n4\nh \n, stąd\n12\nh \nZatem pole trapezu jest równe \n\n6 10 12\n96\n2\n\n\n\nSchemat oceniania\nZdający otrzymuje 1 pkt\ngdy:\n obliczy wysokość trapezu\n12\nh \ni na tym poprzestanie lub błędnie obliczy pole,\nalbo\n obliczy wysokość trapezu z błędem rachunkowym i konsekwentnie do popełnionego\nbłędu obliczy pole trapezu.\nZdający otrzymuje 2 pkt\ngdy poprawnie obliczy pole trapezu\n96\nP \nUżycie i tworzenie strategii\nObliczenie pole trapezu prostokątnego. Zastosowanie\nfunkcji trygonometrycznych (IV.7.c)\n\n\n\nh\n6\n6\n4\nKryteria oceniania odpowiedzi - poziom podstawowy\n8\nZadania 28. (0-2)\nI sposób rozwiązania\n4\n2\n4\n2\nsin\nsin\ncos\ncos\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n2\n2\n2\n2\nsin\nsin\n1\ncos\ncos\n1\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n2\n2\n2\n2\nsin\ncos\ncos\nsin\n\n\n\n\n\n\n\nL\nP\n\nSchemat oceniania I sposobu rozwiązania\nZdający otrzymuje 1 pkt\ngdy przekształci lewą lub prawą stronę tej równości do postaci:\n\n\n2\n2\nsin\nsin\n1\n\n\n\nlub\n\n\n2\n2\ncos\ncos\n1\n\n\n\ni na tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy.\nZdający otrzymuje 2 pkt\ngdy przeprowadzi pełne rozumowanie i uzasadni, że tożsamość jest prawdziwa.\nII sposób rozwiązania\n4\n4\n2\n2\nsin\ncos\nsin\ncos\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n2\n2\n2\n2\n2\n2\nsin\ncos\nsin\ncos\nsin\ncos\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n2\n2\n2\n2\n1 sin\ncos\nsin\ncos\n\n\n\n\n\n\n\n\nL\nP\n\nSchemat oceniania II sposobu rozwiązania\nZdający otrzymuje 1 pkt\ngdy uzyska po lewej stronie wyrażenie \n\n\n2\n2\n2\n2\nsin\ncos\nsin\ncos\n\n\n\n\n\n\ni na tym\npoprzestanie lub dalej popełnia błędy.\nZdający otrzymuje 2 pkt\ngdy przeprowadzi pełne rozumowanie i uzasadni, że tożsamość jest prawdziwa.\nIII sposób rozwiązania\n\n\n\n\n4\n2\n2\n2\n2\n2\n2\n2\n2\n2\n2\n2\n2\n2\n2\n4\n2\n4\nsin\ncos\nsin\nsin\ncos\nsin\n1 cos\ncos\nsin\nsin\ncos\ncos\n1\n1 cos\ncos\n1 cos\ncos\nsin\ncos\nL\nP\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\nSchemat oceniania III sposobu rozwiązania\nZdający otrzymuje 1 pkt\ngdy przekształcając lewą lub prawą stronę równość uzyska wyrażenie\n2\n2\n2\n2\nsin\nsin\ncos\ncos\n\n\n\n\n\n\n i na tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy.\nZdający otrzymuje 2 pkt\ngdy przeprowadzi pełne rozumowanie i uzasadni, że tożsamość jest prawdziwa.\nRozumowanie i argumentacja\nUzasadnienie tożsamości trygonometrycznej\nz zastosowaniem prostych związków między funkcjami\ntrygonometrycznymi kata ostrego (V.6.c)\nKryteria oceniania odpowiedzi - poziom podstawowy\n9\nIV sposób rozwiązania\n2\n2\n2\n2\n4\nsin\nsin\ncos\nsin\ncos\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n2\n2\n2\n2\n4\n1 cos\n1 cos\ncos\n1 cos\ncos\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n2\n4\n2\n2\n4\n1 2cos\ncos\ncos\n1 cos\ncos\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n2\n4\n2\n4\n1 cos\ncos\n1 cos\ncos\n\n\n\n\n\n\n\n\nL\nP\n\nlub\n4\n2\n2\n2\n2\nsin\ncos\nsin\ncos\ncos\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n4\n2\n2\n2\n2\nsin\n1 sin\nsin\n1 sin\n1 sin\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n4\n2\n2\n2\n4\nsin\nsin\n1\nsin\n1 2sin\nsin\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n4\n2\n4\n2\nsin\nsin\n1\nsin\nsin\n1\n\n\n\n\n\n\n\n\nL\nP\n\nSchemat oceniania IV sposobu rozwiązania\nZdający otrzymuje 1 pkt\ngdy przekształci równość do postaci, w której występuje tylko jedna funkcja\ntrygonometryczna, np.: \n\n\n\n\n2\n2\n2\n2\n4\n1 cos\n1 cos\ncos\n1 cos\ncos\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\nlub\n\n\n\n\n\n4\n2\n2\n2\n2\nsin\n1 sin\nsin\n1 sin\n1 sin\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\ni na tym poprzestanie lub dalej\npopełnia błędy.\nZdający otrzymuje 2 pkt\njeżeli przeprowadzi pełne rozumowanie i uzasadni, że tożsamość jest prawdziwa.\nV sposób rozwiązania\nDaną równość zapisujemy w postaci\n4\n4\n2\n2\nsin\ncos\nsin\ncos\n\n\n\n\n\n\n\n. Przekształcamy:\n\n\n\n\n2\n2\n4\n4\n2\n4\n2\n4\nsin\ncos\nsin\ncos\n1\ncos\ncos\n\n\n\n\n\n\n\n\nL\n\n\n\n\n\n\n2\n4\n4\n2\n2\n2\n2\n2\n1\n2cos\ncos\ncos\n1\n2cos\n1\ncos\ncos\nsin\ncos\nP\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\nSchemat oceniania V sposobu rozwiązania\nZdający otrzymuje 1 pkt\ngdy uzyska po lewej stronie wyrażenie \n\n2\n2\n4\n1\ncos\ncos\n\n\n\n i na tym poprzestanie lub dalej\npopełnia błędy.\nZdający otrzymuje 2 pkt\ngdy przeprowadzi pełne rozumowanie i uzasadni, że tożsamość jest prawdziwa.\nKryteria oceniania odpowiedzi - poziom podstawowy\n10","solution":"$96$","image":"img/matematyka-2012-czerwiec-matura-podstawowa/zad-27.webp","solution_image":"img/matematyka-2012-czerwiec-matura-podstawowa/sol-27.svg","topics":"planimetria","page_from":11,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2012 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2012-czerwiec-matura-podstawowa/zad/28","paper_id":"matematyka-2012-czerwiec-matura-podstawowa","number":"28","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2012,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 28. (2 pkt)\nUzasadnij, że jeżeli  jest kątem ostrym, to\n4\n2\n2\n4\nsin\ncos\nsin\ncos\n\n\n\n\n\n\n\n\nPoziom podstawowy\n12\nUzasadnij, że jeżeli alfa jest kątem ostrym, to sin^4 alfa + cos^2 alfa = sin^2 alfa + cos^4 alfa.","answer":null,"answer_text":null,"solution":null,"image":"img/matematyka-2012-czerwiec-matura-podstawowa/zad-28.webp","solution_image":"img/matematyka-2012-czerwiec-matura-podstawowa/sol-28.svg","topics":"trygonometria","page_from":11,"source":"matugen","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2012 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2012-czerwiec-matura-podstawowa/zad/29","paper_id":"matematyka-2012-czerwiec-matura-podstawowa","number":"29","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2012,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 29. (2 pkt)\nUzasadnij, że suma kwadratów trzech kolejnych liczb całkowitych przy dzieleniu przez 3 daje\nresztę 2.\nUzasadnij, że suma kwadratów trzech kolejnych liczb całkowitych przy dzieleniu przez 3 daje resztę 2.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 29. (0-2)\nI sposób rozwiązania\nWeźmy trzy kolejne liczby całkowite\n1\nn , n ,\n1\nn . Wówczas\n\n\n\n\n2\n2\n2\n2\n2\n2\n2\n1\n1\n2\n1\n2\n1\n3\n2\nn\nn\nn\nn\nn\nn\nn\nn\nn\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n, więc reszta z dzielenia sumy\nich kwadratów przez 3 jest równa 2.\nSchemat oceniania I sposobu rozwiązania\nZdający otrzymuje 2 pkt\ngdy zapisze sumę kwadratów trzech kolejnych liczb całkowitych w postaci\n\n\n\n\n2\n2\n2\n2\n1\n1\n3\n2\nn\nn\nn\nn\n\n\n\n\n\n\nII sposób rozwiązania\nWeźmy trzy kolejne liczby całkowite n ,\n1\nn ,\n2\nn \nWówczas\n\n\n\n\n\n\n2\n2\n2\n2\n2\n1\n2\n3\n6\n5\n3\n2\n1\n2\nn\nn\nn\nn\nn\nn\nn\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n, więc reszta z dzielenia\nsumy ich kwadratów przez 3 jest równa 2.\nSchemat oceniania II sposobu rozwiązania\nZdający otrzymuje 1 pkt\ngdy zapisze sumę kwadratów trzech kolejnych liczb całkowitych, doprowadzi wyrażenie do\npostaci\n\n\n\n\n2\n2\n2\n2\n1\n2\n3\n6\n5\nn\nn\nn\nn\nn\n\n\n\n\n\n\n i na tym poprzestanie lub dalej popełni błąd.\nZdający otrzymuje 2 pkt\ngdy zapisze sumę kwadratów trzech kolejnych liczb całkowitych w postaci\n\n\n\n\n2\n2\n2\n2\n1\n2\n3\n6\n3\n2\nn\nn\nn\nn\nn\n\n\n\n\n\n\n\nlub\n\n\n\n\n\n\n2\n2\n2\n2\n1\n2\n3\n2\n1\n2\nn\nn\nn\nn\nn\n\n\n\n\n\n\n\n\nUwaga\nMogą się zdarzyć rozwiązania wykorzystujące kongruencje:\nwśród trzech kolejnych liczb jest jedna podzielna przez 3 (oznaczymy ją przez a), jedna\ndająca przy dzieleniu przez 3 resztę 1 (oznaczymy ją przez b) i jedna dająca przy dzieleniu\nprzez 3 resztę 2 (oznaczymy ją przez c).\nMamy zatem\n\n\n\n\n\n\n0 mod3 ,\n1 mod3 ,\n2 mod3\na\nb\nc\n\n\n\nWówczas\n\n\n2\n2\n2\n2\n2\n2\n0\n1\n2\n5\n2 mod3\na\nb\nc\n\n\n\n\n\n\n\nRozumowanie i argumentacja\nPrzeprowadzenie dowodu algebraicznego (V.1.a)\nKryteria oceniania odpowiedzi - poziom podstawowy\n11","solution":null,"image":"img/matematyka-2012-czerwiec-matura-podstawowa/zad-29.webp","solution_image":"img/matematyka-2012-czerwiec-matura-podstawowa/sol-29.svg","topics":"liczby_naturalne","page_from":12,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2012 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2012-czerwiec-matura-podstawowa/zad/30","paper_id":"matematyka-2012-czerwiec-matura-podstawowa","number":"30","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2012,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 30. (2 pkt)\nSuma\n1\n2\nn\nn\nS\na\na\na\n\n\n\n\n\npoczątkowych n wyrazów pewnego ciągu arytmetycznego \n\nna\njest określona wzorem\n2\n2\nn\nS\nn\nn\n\n\ndla\n1\nn . Wyznacz wzór na n-ty wyraz tego ciągu.\nOdpowiedź:\n\nPoziom podstawowy\n13\nSuma S_n = a_1 + a_2 + ... + a_n początkowych n wyrazów pewnego ciągu arytmetycznego (a_n) jest określona wzorem S_n = n^2-2n dla n >= 1. Wyznacz wzór na n-ty wyraz tego ciągu.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 30. (0-2)\nI sposób rozwiązania\nObliczamy wartości sum częściowych:\n1\n1\n1 2\n1\n\n\n\nS\na\n2\n1\n2\n4\n4\n0\n\n\n\n\n\nS\na\na\nZatem\n\n\n2\n0\n1\n1\na \n\n oraz\n\n\n2\n1\n1\n1\n2\nr\na\na\n\n\n\n\nKorzystamy ze wzoru na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego i otrzymujemy:\n\n\n1\n1\n1\n(\n1) 2\n2\n3\nna\na\nn\nr\nn\nn\n\n\n\n\n\n\n\n\nOdpowiedź: n-ty wyraz ciągu \n\nna\nwyraża się wzorem\n2\n3\nna\nn\n\n.\nSchemat oceniania I sposobu rozwiązania\nZdający otrzymuje 1 pkt\ngdy obliczy wartości sum częściowych:\n1\n1\n1 2\n1\n\n\n\nS\na\n2\n1\n2\n4\n4\n0\n\n\n\n\n\nS\na\na\ni na tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy.\nZdający otrzymuje 2 pkt\ngdy bezbłędnie wyznaczy n-ty wyraz ciągu \n\nna\n:\n2\n3\nna\nn\n\n.\nUwagi\n1. Zdający może od razu zapisać układ\n1\n1\n2\n1\n0\na\na\na\n\n\n\n\n\n\n2. Jeżeli zdający zapisze układ\n1\n2\n1\n0\na\na\n\n\n\n\n\n, to otrzymuje 0 punktów.\nII sposób rozwiązania\nZauważamy, że dla\n1\nn  mamy\n1\nn\nn\nn\na\nS\nS \n\n\n\n\n\n\n2\n2\n1\n1\n2\n1\n4\n3\nn\nS\nn\nn\nn\nn\n\n\n\n\n\n\n\nObliczamy\n\n\n2\n2\n1\n2\n4\n3\n2\n3\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\nn\nn\nn\na\nS\nS\nn\nn\nn\nn\nn\noraz\n1\n1\n1\na\nS\n\n.\nZauważamy ponadto, że wzór\n2\n3\nna\nn\n\n dla\n1\nn  daje otrzymaną wartość\n1\n1\na .\nZatem dla każdego\n1\nn  otrzymujemy\n2\n3\nna\nn\n\n.\nSchemat oceniania II sposobu rozwiązania\nZdający otrzymuje 1 pkt\ngdy zapisze, że\n1\nn\nn\nn\na\nS\nS \n\n\n, wyznaczy\n\n\n\n\n2\n2\n1\n1\n2\n1\n4\n3\nn\nS\nn\nn\nn\nn\n\n\n\n\n\n\n i na tym\npoprzestanie lub dalej popełni błędy.\nZdający otrzymuje 2 pkt\ngdy bezbłędnie wyznaczy n-ty wyraz ciągu:\n2\n3\nna\nn\n\n.\nModelowanie matematyczne\nZastosowanie wzoru na n-ty wyraz i sumę ciągu\narytmetycznego (III.5.c)\nKryteria oceniania odpowiedzi - poziom podstawowy\n12\nUwaga\nPrzyznajemy 2 punkty nawet wtedy, gdy zdający nie sprawdzi, czy\n1\n1\na .\nIII sposób rozwiązania\nZauważamy, że\n2\n1\n2\n2\nn\na\na\nn\nn\nn\n\n\n\n\ni wyznaczamy\n1\n2\n4\nna\nn\na\n\n\n\nObliczamy\n1\n1\n1\na\nS\n\n . Stąd otrzymujemy\n2\n4 1\nna\nn\n\n\n, czyli\n2\n3\nna\nn\n\n.\nSchemat oceniania III sposobu rozwiązania\nZdający otrzymuje 1 pkt\ngdy ze wzoru\n2\n1\n2\n2\nn\na\na\nn\nn\nn\n\n\n\n\nwyznaczy\n1\n2\n4\nna\nn\na\n\n\n\ni na tym poprzestanie\nlub dalej popełni błędy.\nZdający otrzymuje 2 pkt\ngdy wyznaczy n-ty wyraz ciągu:\n2\n3\nna\nn\n\n .\nUwagi\n1. Zdający może od razu zapisać, że\n1\n2\n4\nna\nn\na\n\n\n\n2. Jeśli zdający zapisze, że\n2\n1\n2\n2\nn\na\na\nn\nn\nn\n\n\n\n\n, wyznaczy z błędem rachunkowym\nna np.:\n1\n2\n2\nna\nn\na\n\n\n\ni z tym błędem doprowadzi rozwiązanie do końca, to otrzymuje 1 punkt.","solution":"$a_{n}=2n-3$","image":"img/matematyka-2012-czerwiec-matura-podstawowa/zad-30.webp","solution_image":"img/matematyka-2012-czerwiec-matura-podstawowa/sol-30.svg","topics":"ciagi","page_from":12,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2012 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2012-czerwiec-matura-podstawowa/zad/31","paper_id":"matematyka-2012-czerwiec-matura-podstawowa","number":"31","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2012,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 31. (2 pkt)\nDany jest romb, którego kąt ostry ma miarę 45°, a jego pole jest równe 50 2 . Oblicz\nwysokość tego rombu.\nOdpowiedź:\n\nPoziom podstawowy\n14\nDany jest romb, którego kąt ostry ma miarę 45 stopni, a jego pole jest równe 50 pierwiasteków z 2. Oblicz wysokość tego rombu.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 31. (0-2)\nI sposób rozwiązania\nZ warunków zadania otrzymujemy układ równań:\n50 2\nsin 45\na h\nh\na\n\n\n\n\n\n\nZatem\n2\nsin 45\n2\nh\na\na\n\n\n\n\noraz\n2\n50 2\n2\na\na\n\n\nUżycie i tworzenie strategii\nWykorzystanie związków miarowych w figurach płaskich\n(IV.7.c)\nKryteria oceniania odpowiedzi - poziom podstawowy\n13\nWobec tego\n2\n100\na \n,\n10\na \n,\n2\n10\n5 2\n2\nh \n\nOdpowiedź: Wysokość rombu jest równa 5 2 .\nSchemat oceniania I sposobu rozwiązania\nZdający otrzymuje 1 pkt\ngdy zapisze dwa związki między liczbami a i h i na tym poprzestanie lub dalej popełni błąd.\nZdający otrzymuje 2 pkt\ngdy poprawnie obliczy wysokość rombu\n5 2\nh \nII sposób rozwiązania\nZe wzoru na pole równoległoboku, gdy dane są jego dwa sąsiednie boki oraz kąt między nimi\nzawarty, mamy\n2 sin 45\n50 2\na \n\n\n. Zatem\n2\n2\n50 2\n2\na \n\n,\n2\n100\na \n,\n10\na \nZ innego wzoru na pole równoległoboku mamy\n50 2\na h\n\n\nWobec tego 10\n50 2\nh\n\n\noraz\n5 2\nh \nSchemat oceniania II sposobu rozwiązania\nZdający otrzymuje 1 pkt\ngdy poprawnie obliczy długość a boku rombu i na tym poprzestanie lub dalej popełni błąd.\nZdający otrzymuje 2 pkt\ngdy poprawnie obliczy wysokość rombu\n5 2\nh ","solution":"$5\\\\sqrt{2}$","image":"img/matematyka-2012-czerwiec-matura-podstawowa/zad-31.webp","solution_image":"img/matematyka-2012-czerwiec-matura-podstawowa/sol-31.svg","topics":"planimetria","page_from":13,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2012 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2012-czerwiec-matura-podstawowa/zad/32","paper_id":"matematyka-2012-czerwiec-matura-podstawowa","number":"32","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2012,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 32. (4 pkt)\nPunkty\n\n\n2,11\nA \n,\n\n\n8,23\nB \n,\n\n\n6,14\nC \nsą wierzchołkami trójkąta. Wysokość trójkąta\npoprowadzona z wierzchołka C przecina prostą AB w punkcie D. Oblicz współrzędne punktu D.\nOdpowiedź:\n\nPoziom podstawowy\n15\nPunkty A=(2,11), B=(8,23), C=(6,14) są wierzchołkami trójkąta. Wysokość trójkąta poprowadzona z wierzchołka C przecina prostą AB w punkcie D. Oblicz współrzędne punktu D.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 32. (0-4)\nI sposób rozwiązania\nWyznaczamy równanie prostej AB:\n2\n7\ny\nx\n\n\nWyznaczamy równanie prostej CD prostopadłej do prostej AB i przechodzącej przez punkt C:\n1\n17\n2\ny\nx\n\n\nZapisujemy układ równań:\n2\n7\n1\n17\n2\ny\nx\ny\nx\n\n\n\n\n\n\nRozwiązujemy układ równań i zapisujemy współrzędne punktu D:\n\n\n4,15\nD \nSchemat oceniania I sposobu rozwiązania\nRozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego\nrozwiązania zadania 1 pkt\n Wyznaczenie równania prostej AB:\n2\n7\ny\nx\n\n\nalbo\n obliczenie współczynnika kierunkowego prostej AB:\n2\na \nUżycie i tworzenie strategii\nWyznaczenie punktu przecięcia się prostych prostopadłych\n(IV.8.b, 8.c, 8.d)\nKryteria oceniania odpowiedzi - poziom podstawowy\n14\nRozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 pkt\nWyznaczenie równania prostej CD prostopadłej do prostej AB i przechodzącej przez punkt C\n1\n17\n2\ny\nx\n\n\nPokonanie zasadniczych trudności zadania 3 pkt\nZapisanie układu równań:\n2\n7\n1\n17\n2\ny\nx\ny\nx\n\n\n\n\n\n\nRozwiązanie pełne 4 pkt\nRozwiązanie układu równań i zapisanie współrzędnych punktu D:\n\n\n4,15\nD \nUwagi\n1. Jeśli zdający źle wyznaczy równanie prostej AB i konsekwentnie do popełnionego błędu\nrozwiąże zadanie do końca, to otrzymuje 3 punkty (współczynnik kierunkowy prostej AB\npowinien być jednak liczbą dodatnią).\n2. Jeśli zdający odczyta współrzędne punktu D na podstawie dokładnie sporządzonego\nrysunku to otrzymuje 4 punkty.\n3. Jeśli zdający poda współrzędne punktu D bez dokładnego rysunku lub uzasadnienia to\notrzymuje 0 punktów.\nII sposób rozwiązania\nObliczamy pole trójkąta ABC:\n15\nABC\nP\n\n. Obliczamy długość podstawy AB trójkąta ABC:\n6 5\nAB \n. Ze związku\n1\n2\nABC\nP\nCD\nAB\n\n\nobliczamy wysokość CD trójkąta ABC:\n5\nCD \n. Wyznaczamy równanie prostej AB:\n2\n7\ny\nx\n\n\n. Zapisujemy współrzędne punktu\nD w zależności od zmiennej x:\n\n\n, 2\n7\nD\nx\nx\n\n\n. Wyrażamy związek\n5\nCD \nza pomocą\nrównania \n\n\n\n2\n2\n6\n2\n7 14\n5\nx\nx\n\n\n\n\n\n, gdzie x oznacza pierwszą współrzędną punktu D.\nRozwiązujemy równanie i otrzymujemy\n4\nx \n. Zapisujemy zatem współrzędne punktu D:\n\n\n4,15\nD \nSchemat oceniania II sposobu rozwiązania\nRozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego\nrozwiązania zadania 1 pkt\nObliczenie pola trójkąta ABC:\n15\nABC\nP\n\nRozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 pkt\nObliczenie wysokości CD trójkąta ABC:\n5\nCD \nPokonanie zasadniczych trudności zadania 3 pkt\nZapisanie współrzędnych punktu D w zależności od jednej zmiennej:\n\n\n, 2\n7\nD\nx\nx\n\n\ni zapisanie równania \n\n\n\n2\n2\n6\n2\n7 14\n5\nx\nx\n\n\n\n\n\nRozwiązanie pełne 4 pkt\nRozwiązanie równania i zapisanie współrzędnych punktu D:\n\n\n4,15\nD \nUwaga\nJeżeli zdający popełni błąd rachunkowy przy obliczaniu pola trójkąta ABC i konsekwentnie\ndo popełnionego błędu rozwiąże zadanie do końca, to otrzymuje 3 punkty.\nKryteria oceniania odpowiedzi - poziom podstawowy\n15","solution":"$D=(4,15)$","image":"img/matematyka-2012-czerwiec-matura-podstawowa/zad-32.webp","solution_image":"img/matematyka-2012-czerwiec-matura-podstawowa/sol-32.svg","topics":"analityczna","page_from":14,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2012 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2012-czerwiec-matura-podstawowa/zad/33","paper_id":"matematyka-2012-czerwiec-matura-podstawowa","number":"33","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2012,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 33. (4 pkt)\nOblicz, ile jest liczb naturalnych pięciocyfrowych, w zapisie których nie występuje zero, jest\ndokładnie jedna cyfra 7 i dokładnie jedna cyfra parzysta.\nOdpowiedź:\n\nPoziom podstawowy\n16\nOblicz, ile jest liczb naturalnych pięciocyfrowych, w zapisie których nie występuje zero, jest dokładnie jedna cyfra 7 i dokładnie jedna cyfra parzysta.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 33. (0-4)\nI sposób rozwiązania\nZauważamy, że dla poprawnego rozwiązania zadania istotne są trzy grupy cyfr:\ncyfra 7, cyfry parzyste bez zera oraz cyfry nieparzyste różne od 7.\n\nMiejsce dla cyfry 7 możemy wybrać na 5 sposobów.\n\nMiejsce dla cyfry parzystej możemy wybrać na 4 sposoby.\n\nCyfrę parzystą do wpisania na wybranym miejscu możemy wybrać spośród 4 cyfr\nparzystych, czyli na 4 sposoby.\n\nNa pozostałych trzech miejscach możemy wpisać cyfry nieparzyste różne od 7.\nMożemy to zrobić na\n34\n64\n\nsposoby.\nZatem wszystkich liczb pięciocyfrowych spełniających warunki zadania jest:\n3\n5\n5 4 4 4\n5 4\n5 1024\n5120\n\n\n\n\nSchemat oceniania I sposobu rozwiązania\nRozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 pkt\nObliczenie, na ile sposobów można ustawić cyfry z dwóch grup cyfr (spośród trzech\nrozważanych).\nPokonanie zasadniczych trudności zadania 3 pkt\nObliczenie, na ile sposobów można ustawić cyfry z trzech grup cyfr:\n\nMiejsce dla cyfry 7 - na 5 sposobów.\n\nMiejsce dla cyfry parzystej - na 4 sposoby.\n\nCyfrę parzystą do wpisania na wybranym miejscu - na 4 sposoby.\n\nCyfry nieparzyste różne od 7 na pozostałych trzech miejscach - na\n34\n64\n\nsposoby.\nRozwiązanie pełne 4 pkt\nObliczenie, ile liczb pięciocyfrowych spełnia warunki zadania:\n5\n5 4\n5120\n\n\nII sposób rozwiązania\nRozpatrujemy następujące trzy warianty ustawień cyfr:\n1) na pierwszym miejscu cyfra 7, na jednym z czterech miejsc cyfra parzysta, a na każdym\nz pozostałych trzech miejsc cyfra nieparzysta różna od 7.\nKażdą z czterech cyfr parzystych możemy umieścić na jednym z czterech miejsc na 4 4\n\nsposobów, zaś każdą z czterech pozostałych cyfr nieparzystych (bez cyfry 7 ) możemy\nrozmieścić na trzech miejscach na\n3\n4 4 4\n4\n\n\nsposobów. Zatem liczba możliwych\nustawień cyfr w tym wariancie równa się:\n3\n5\n4 4 4\n4\n1024\n\n\n\n2) na pierwszym miejscu cyfra parzysta różna od 0, na jednym z czterech pozostałych miejsc\ncyfra 7, zaś na każdym z pozostałych trzech miejsc cyfra nieparzysta różna od 7.\nNa pierwszym miejscu możemy ustawić każdą z czterech cyfr parzystych różnych od\nzera, zaś na każdym z pozostałych czterech miejsc możemy umieścić cyfrę 7 , stąd\notrzymujemy 4 4\n\nmożliwości ustawień cyfry parzystej oraz cyfry 7 . Natomiast każdą\nz czterech pozostałych cyfr nieparzystych różnych od 7 możemy rozmieścić na\npozostałych trzech miejscach na\n3\n4 4 4\n4\n\n\nsposobów. Zatem liczba możliwych\nustawień cyfr w tym wariancie jest równa:\n3\n5\n4 4 4\n4\n1024\n\n\n\nUżycie i tworzenie strategii\nZliczenie obiektów w prostej sytuacji kombinatorycznej\n(IV.10.b)\nKryteria oceniania odpowiedzi - poziom podstawowy\n16\nA\nB\nC\nE\nF\nD\nG\n3) na pierwszym miejscu cyfra nieparzysta różna od 7, na jednym z pozostałych czterech\nmiejsc cyfra parzysta, na jednym z trzech pozostałych miejsc cyfra 7, a na pozostałych\ndwóch miejscach cyfra nieparzysta różna od 7.\nKażdą z czterech cyfr nieparzystych (różną od 7 ) możemy umieścić na pierwszym miejscu (4\nsposoby). Na każdym z czterech pozostałych miejsc możemy umieścić każdą z czterech cyfr\nparzystych na 4 4\n\nsposobów. Cyfrę 7 możemy umieścić na każdym z trzech pozostałych\nmiejsc, zaś każdą z czterech pozostałych cyfr nieparzystych różnych od 7 umieścimy na\ndwóch miejscach na\n2\n3 4 4\n3 4\n\n\nsposobów. Zatem, w tym wariancie, liczba możliwych\nustawień jest równa:\n2\n5\n4 4 4 3 4\n3 4\n3072\n\n\n\nLiczba wszystkich możliwych ustawień jest sumą liczb ustawień w poszczególnych\nwariantach i równa się: 1024 1024\n3072\n5120\n\n\n\nSchemat oceniania II sposobu rozwiązania\nPrzyznajemy po 1 punkcie za obliczenie liczby możliwych ustawień cyfr w każdym z trzech\nwariantów i 1 punkt za obliczenie sumy tych możliwości.","solution":"$5120$","image":"img/matematyka-2012-czerwiec-matura-podstawowa/zad-33.webp","solution_image":"img/matematyka-2012-czerwiec-matura-podstawowa/sol-33.svg","topics":"kombinatoryka","page_from":15,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2012 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2012-czerwiec-matura-podstawowa/zad/34","paper_id":"matematyka-2012-czerwiec-matura-podstawowa","number":"34","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2012,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 34. (4 pkt)\nDany jest graniastosłup prawidłowy trójkątny ABCDEF o podstawach ABC i DEF\ni krawędziach bocznych AD, BE i CF (zobacz rysunek). Długość krawędzi podstawy AB jest\nrówna 8, a pole trójkąta ABF jest równe 52. Oblicz objętość tego graniastosłupa.\nF\nE\nD\nC\nB\nA\n\nPoziom podstawowy\n17\nOdpowiedź:\n\nPoziom podstawowy\n18\nBRUDNOPIS\nDany jest graniastosłup prawidłowy trójkątny ABCDEF o podstawach ABC i DEF i krawiędziach bocznych AD, BE i CF (zobacz rysunek). Długość krawędzi podstawy AB jest równa 8, a pole trójkąta ABF jest równe 52. Oblicz objętość tego graniastosłupa.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 34. (0-4)\nI sposób rozwiązania\nNiech G będzie środkiem krawędzi AB. Rysujemy wysokość FG trójkąta ABF .\nPole trójkąta ABF jest równe:\n8\n4\n52\n2\n2\nABF\nAB\nFG\nFG\nP\nFG\n\n\n\n\n\n\n\n. Stąd\n13\nFG \nW trójkącie równobocznym ABC mamy\n4 3\nCG \n. Korzystamy z twierdzenia Pitagorasa\nw trójkącie FCG do obliczenia CF :\n2\n2\n2\nCF\nCG\nFG\n\n\n, stąd\n11\nCF \nObliczamy objętość graniastosłupa:\n2\n3\n64\n3 11\n176 3\n4\n4\nAB\nV\nCF\n\n\n\n\n\n\nUżycie i tworzenie strategii\nObliczenie objętości graniastosłupa z zastosowaniem\nzwiązków miarowych w wielościanach (IV.9.b)\nKryteria oceniania odpowiedzi - poziom podstawowy\n17\nA\nB\nC\nE\nF\nD\nG\nSchemat oceniania I sposobu rozwiązania\nRozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego\nrozwiązania zadania 1 pkt\n Narysowanie wysokości CG trójkąta ABC i obliczenie długości odcinka CG - wysokości\ntrójkąta równobocznego ABC, podstawy graniastosłupa prawidłowego:\n4 3\nCG \nalbo\n obliczenie wysokości trójkąta ABF :\n13\nFG \nRozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 pkt\n Narysowanie wysokości CG trójkąta ABC i obliczenie długości odcinka CG - wysokości\ntrójkąta równobocznego ABC, podstawy graniastosłupa prawidłowego:\n4 3\nCG \noraz\n obliczenie wysokości trójkąta ABF :\n13\nFG \nPokonanie zasadniczych trudności zadania 3 pkt\nObliczenie wysokości CF graniastosłupa prawidłowego trójkątnego ABCDEF:\n11\nCF \nRozwiązanie pełne 4 pkt\nObliczenie objętości graniastosłupa:\n176 3\nV \nII sposób rozwiązania\nNiech G będzie środkiem krawędzi AB. Rysujemy wysokość FG trójkąta ABF .\nPole trójkąta ABF:\n52\n2\nABF\nAB\nFG\nP\n\n\n\n, stąd\n13\nFG \nKorzystamy z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta AFG i obliczamy kwadrat długości\nodcinka AF:\n2\n2\n2\n13\n4\n185\nAF\n\n\n\nNastępnie korzystamy z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie ACF, aby obliczyć wysokość\ngraniastosłupa CF:\n2\n2\n2\nCF\nAC\nAF\n\n\n, czyli\n2\n185\n64\n121\nCF\n\n\n\n. Zatem\n11\nCF \nObliczamy objętość graniastosłupa:\n2\n3\n64\n3 11\n176 3\n4\n4\nAB\nV\nCF\n\n\n\n\n\n\nKryteria oceniania odpowiedzi - poziom podstawowy\n18\nSchemat oceniania II sposobu rozwiązania\nRozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego\nrozwiązania zadania 1 pkt\nObliczenie wysokości FG trójkąta ABF:\n13\nFG \nRozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 pkt\nObliczenie długości przekątnej ściany bocznej lub kwadrat jej długości:\n2\n185\nAF\n\nPokonanie zasadniczych trudności zadania 3 pkt\nObliczenie wysokości CF graniastosłupa:\n11\nCF \nRozwiązanie pełne 4 pkt\nObliczenie objętości graniastosłupa:\n176 3\nV ","solution":"$V=176\\\\sqrt{3}$","image":"img/matematyka-2012-czerwiec-matura-podstawowa/zad-34.webp","solution_image":"img/matematyka-2012-czerwiec-matura-podstawowa/sol-34.svg","topics":"stereometria","page_from":16,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2012 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"}]}