{"paper":{"id":"matematyka-2012-czerwiec-matura-rozszerzona","subject":"matematyka","category":"matura","year":2012,"month":"czerwiec","level":"rozszerzona","variant":null,"exam_pdf":"matematyka-2012-czerwiec-matura-rozszerzona/matematyka-2012-czerwiec-matura-rozszerzona.pdf","key_pdf":"matematyka-2012-czerwiec-matura-rozszerzona-odpowiedzi/matematyka-2012-czerwiec-matura-rozszerzona-odpowiedzi.pdf","question_count":12,"source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2012 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},"questions":[{"id":"matematyka-2012-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/1","paper_id":"matematyka-2012-czerwiec-matura-rozszerzona","number":"1","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2012,"month":"czerwiec","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 1. (4 pkt)\nRozwiąż nierówność\n2\n1\n3\n3\nx\nx\nx\n\n\n\n\n.\n\nPoziom rozszerzony\n3\nOdpowiedź:\n\nPoziom rozszerzony\n4\nRozwiąż nierówność |x-2|+|x+1|>=3x-3.","answer":null,"answer_text":"\n\nx\n1\n0\n\n\nx\n1\n0\n\n\nx\n1\n0","solution":"$x \\in (-\\infty, 2]$","image":"img/matematyka-2012-czerwiec-matura-rozszerzona/zad-1.webp","solution_image":"img/matematyka-2012-czerwiec-matura-rozszerzona/sol-1.svg","topics":"bezwgledna","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2012 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2012-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/2","paper_id":"matematyka-2012-czerwiec-matura-rozszerzona","number":"2","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2012,"month":"czerwiec","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 2. (4 pkt)\nWielomian\n\n4\n3\n2\n24\n9\nW x\nx\nax\nbx\nx\n\n\n\n\n\njest kwadratem wielomianu\n\n2\nP x\nx\ncx\nd\n\n\n\nOblicz a oraz b.\nOdpowiedź:\n\nPoziom rozszerzony\n5\nWielomian W(x)=x^4+ax^3+bx^2-24x+9 jest kwadratem wielomianu P(x)=x^2+cx+d. Oblicz a oraz b.","answer":null,"answer_text":"","solution":"$a = -8, b = 22$ lub $a = 8, b = 10$","image":"img/matematyka-2012-czerwiec-matura-rozszerzona/zad-2.webp","solution_image":"img/matematyka-2012-czerwiec-matura-rozszerzona/sol-2.svg","topics":"wielomiany","page_from":4,"source":"zadaniazmatur","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2012 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2012-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/3","paper_id":"matematyka-2012-czerwiec-matura-rozszerzona","number":"3","points":5,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2012,"month":"czerwiec","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 3. (5 pkt)\nKąt  jest taki, że\n4\ncos\nsin\n3\n\n\n\n\n. Oblicz wartość wyrażenia cos\nsin\n\n\n\nOdpowiedź:\n\nPoziom rozszerzony\n6\nKąt alfa jest taki, że cos alfa + sin alfa = 4/3. Oblicz wartość wyrażenia |cos alfa - sin alfa|.","answer":null,"answer_text":"6\ndla\nx\n\n1,2)","solution":"$\\dfrac{\\sqrt{2}}{3}$","image":"img/matematyka-2012-czerwiec-matura-rozszerzona/zad-3.webp","solution_image":"img/matematyka-2012-czerwiec-matura-rozszerzona/sol-3.svg","topics":"trygonometria","page_from":5,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2012 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2012-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/4","paper_id":"matematyka-2012-czerwiec-matura-rozszerzona","number":"4","points":5,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2012,"month":"czerwiec","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 4. (5 pkt)\nWyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których równanie\n\n\n2\n2\n3\n2\n1\n0\nx\nm x\nm\n\n\n\n\nma dwa różne pierwiastki\n1\n2\n,\nx\nx takie, że\n1\n2\n3\nx\nx\n\n\n\nPoziom rozszerzony\n7\nOdpowiedź:\n\nPoziom rozszerzony\n8\nWyznacz wyszystkie wartości parametru m, dla których równanie 2x^2+(3-2m)x-m+1=0 ma dwa różne pierwiastki x_1, x_2 takie, że |x_1-x_2|=3.","answer":null,"answer_text":"","solution":"$m = -\\dfrac{5}{2}$ lub $m = \\dfrac{7}{2}$","image":"img/matematyka-2012-czerwiec-matura-rozszerzona/zad-4.webp","solution_image":"img/matematyka-2012-czerwiec-matura-rozszerzona/sol-4.svg","topics":"parametr","page_from":6,"source":"zadaniazmatur","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2012 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2012-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/5","paper_id":"matematyka-2012-czerwiec-matura-rozszerzona","number":"5","points":5,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2012,"month":"czerwiec","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 5. (5 pkt)\nW ciągu arytmetycznym \n\nna\n, dla\n1\nn , dane są\n1\n2\na  oraz różnica\n3\nr . Oblicz\nnajwiększe n takie, że\n1\n2\n2012\nn\na\na\na\n\n\n\n\nOdpowiedź:\n\nPoziom rozszerzony\n9\nW ciągu arytmetycznym (a_n), dla n >= 1, dane są a_1=-2 oraz różnica r=3. Oblicz największe n takie, że a_1+a_2+ ... +a_n < 2012.","answer":null,"answer_text":"4\n\n3\nx\n\n6\n\nx\n3 1","solution":"$n = 37$","image":"img/matematyka-2012-czerwiec-matura-rozszerzona/zad-5.webp","solution_image":"img/matematyka-2012-czerwiec-matura-rozszerzona/sol-5.svg","topics":"ciagi","page_from":8,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2012 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2012-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/6","paper_id":"matematyka-2012-czerwiec-matura-rozszerzona","number":"6","points":3,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2012,"month":"czerwiec","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 6. (3 pkt)\nUdowodnij, że dla dowolnych liczb dodatnich a, b, c i d prawdziwa jest nierówność\n2\n2\n2\n2\nac\nbd\na\nb\nc\nd\n\n\n\n\n\n\nPoziom rozszerzony\n10\nUdowodnij, że dla dowolnych liczb dodatnich a, b, c i d prawdziwa jest nierówność ac+bd <= (pierwiastek z a^2+b^2) * (pierwiastek z c^2+d^2).","answer":null,"answer_text":"","solution":"Dowód","image":"img/matematyka-2012-czerwiec-matura-rozszerzona/zad-6.webp","solution_image":"img/matematyka-2012-czerwiec-matura-rozszerzona/sol-6.svg","topics":"algebra","page_from":9,"source":"zadaniazmatur","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2012 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2012-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/7","paper_id":"matematyka-2012-czerwiec-matura-rozszerzona","number":"7","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2012,"month":"czerwiec","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 7. (4 pkt)\nOkrąg jest styczny do osi układu współrzędnych w punktach\n\n\n0,2\nA \ni\n\n\n2,0\nB \noraz jest\nstyczny do prostej l w punkcie\n\n\n1,\nC\na\n\n, gdzie\n1\na . Wyznacz równanie prostej l.\n\nPoziom rozszerzony\n11\nOdpowiedź:\n\nPoziom rozszerzony\n12\nOkrąg jest styczny do osi układu współrzędnych w punktach A=(0,2) i B=(2,0) oraz jest styczny do prostej l w punkcie C=(1,a), gdzie a>1. Wyznacz równanie prostej l.","answer":null,"answer_text":"5","solution":"$y = \\dfrac{\\sqrt{3}}{3}x + 2 \\cdot \\left(1 + \\dfrac{\\sqrt{3}}{3}\\right)$ lub $x - \\sqrt{3}y + 2\\sqrt{3} + 2 = 0$","image":"img/matematyka-2012-czerwiec-matura-rozszerzona/zad-7.webp","solution_image":"img/matematyka-2012-czerwiec-matura-rozszerzona/sol-7.svg","topics":"analityczna","page_from":10,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2012 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2012-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/8","paper_id":"matematyka-2012-czerwiec-matura-rozszerzona","number":"8","points":5,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2012,"month":"czerwiec","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 8. (5 pkt)\nW czworokącie ABCD dane są długości boków:\n24\nAB \n,\n15\nCD \n,\n7\nAD \n. Ponadto kąty\nDAB oraz BCD są proste. Oblicz pole tego czworokąta oraz długości jego przekątnych.\n\nPoziom rozszerzony\n13\nOdpowiedź:\n\nPoziom rozszerzony\n14\nW czworokącie ABCD dane są długoścfi boków: |AB|=24, |CD|=15, |AD|=7. Ponadto kąty DAB oraz BCD są proste. Oblicz pole tego czworokąta oraz długości jego przekątnych.","answer":null,"answer_text":"","solution":"$|AC| = 20$","image":"img/matematyka-2012-czerwiec-matura-rozszerzona/zad-8.webp","solution_image":"img/matematyka-2012-czerwiec-matura-rozszerzona/sol-8.svg","topics":"planimetria","page_from":12,"source":"zadaniazmatur","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2012 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2012-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/9","paper_id":"matematyka-2012-czerwiec-matura-rozszerzona","number":"9","points":3,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2012,"month":"czerwiec","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 9. (3 pkt)\nOblicz, ile jest liczb naturalnych trzycyfrowych podzielnych przez 6 lub podzielnych\nprzez 15.\nOdpowiedź:\n\nPoziom rozszerzony\n15\nOblicz, ile jest liczb naturalnych trzycyfrowych podzielnych przez 6 lub podzielnych przez 15.","answer":null,"answer_text":null,"solution":"180","image":"img/matematyka-2012-czerwiec-matura-rozszerzona/zad-9.webp","solution_image":"img/matematyka-2012-czerwiec-matura-rozszerzona/sol-9.svg","topics":"kombinatoryka","page_from":14,"source":"zadaniazmatur","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2012 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2012-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/10","paper_id":"matematyka-2012-czerwiec-matura-rozszerzona","number":"10","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2012,"month":"czerwiec","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 10. (4 pkt)\nNa płaszczyźnie dane są punkty\n\n\n3,\n2\n\n\nA\ni\n\n\n11,4\nB \n. Na prostej o równaniu\n8\n10\ny\nx\n\n\nznajdź punkt P, dla którego suma\n2\n2\nAP\nBP\n\njest najmniejsza.\nOdpowiedź:\n\nPoziom rozszerzony\n16\nNa płaszczyźnie dane są punkty A=(3,-2) i B=(11,4). Na prostej o równaniu y=8x+10 znajdź punkt P, dla których suma |AP|^2+|BP|^2 jest najmniejsza.","answer":null,"answer_text":"","solution":"$P = (-1, 2)$","image":"img/matematyka-2012-czerwiec-matura-rozszerzona/zad-10.webp","solution_image":"img/matematyka-2012-czerwiec-matura-rozszerzona/sol-10.svg","topics":"analityczna","page_from":15,"source":"zadaniazmatur","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2012 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2012-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/11","paper_id":"matematyka-2012-czerwiec-matura-rozszerzona","number":"11","points":5,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2012,"month":"czerwiec","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 11. (5 pkt)\nPodstawą ostrosłupa ABCS jest trójkąt równoramienny ABC, w którym\n30\nAB \n,\n39\nBC\nAC\n\n\ni spodek wysokości ostrosłupa należy do jego podstawy. Każda wysokość\nściany bocznej poprowadzona z wierzchołka S ma długość 26. Oblicz objętość tego\nostrosłupa.\n\nPoziom rozszerzony\n17\nOdpowiedź:\n\nPoziom rozszerzony\n18\nPodstawą ostrosłupa ABCS jest trójkąt równoramienny ABC, w którym |AB|=30, |BC|=|AC|=39 i spodek wysokości ostrosłupa należy do jego podstawy. Każda wysokość ściany bocznej poprowadzona z wierzchołka S ma długość 26. Oblicz objętość tego ostrosłupa.","answer":null,"answer_text":null,"solution":"$V = 4320$","image":"img/matematyka-2012-czerwiec-matura-rozszerzona/zad-11.webp","solution_image":"img/matematyka-2012-czerwiec-matura-rozszerzona/sol-11.svg","topics":"stereometria","page_from":16,"source":"zadaniazmatur","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2012 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2012-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/12","paper_id":"matematyka-2012-czerwiec-matura-rozszerzona","number":"12","points":3,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2012,"month":"czerwiec","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 12. (3 pkt)\nZdarzenia losowe A, B są zawarte w  oraz\n\n\n0,1\n\n\n\nP A\nB\ni\n\n\n0,2\nP A\nB\n\n\n. Wykaż, że\n\n\n0,7\nP A\nB\n\n\n( Aoznacza zdarzenie przeciwne do zdarzenia A ,\n\nB oznacza zdarzenie\nprzeciwne do zdarzenia B).\n\nPoziom rozszerzony\n19\nOdpowiedź:\n\nPoziom rozszerzony\n20\nBRUDNOPIS\nZdarzenia losowe A, B są zawarte w Omega oraz P(AnB') = 0,1 i P(A'nB) = 0,2. Wykaż, że P(AnB) <= 0,7 (A' oznacza zdarzenie przeciwne do zdarzenia A, B' oznacza zdarzenie przeciwne do zdarzenia B).","answer":null,"answer_text":"","solution":"Dowód","image":"img/matematyka-2012-czerwiec-matura-rozszerzona/zad-12.webp","solution_image":"img/matematyka-2012-czerwiec-matura-rozszerzona/sol-12.svg","topics":"prawdopodobienstwo","page_from":18,"source":"zadaniazmatur","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2012 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"}]}