{"paper":{"id":"matematyka-2012-luty-probna-podstawowa","subject":"matematyka","category":"probna","year":2012,"month":"luty","level":"podstawowa","variant":null,"exam_pdf":"matematyka-2012-luty-probna-podstawowa/matematyka-2012-luty-probna-podstawowa.pdf","key_pdf":"matematyka-2012-luty-probna-podstawowa-odpowiedzi/matematyka-2012-luty-probna-podstawowa-odpowiedzi.pdf","question_count":33,"source_label":"Matematyka · Matura próbna · luty 2012 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},"questions":[{"id":"matematyka-2012-luty-probna-podstawowa/zad/1","paper_id":"matematyka-2012-luty-probna-podstawowa","number":"1","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"probna","year":2012,"month":"luty","level":"podstawowa","text":"Zadanie 1. (1 pkt)\nCena towaru wraz z 23% podatkiem VAT jest równa 25,83 zł. Cena towaru bez podatku\nVAT jest równa\nA. 19,89 zł\nB. 19,90 zł\nC. 21,00 zł\nD. 31,77 zł","answer":"C","answer_text":"1. Jeżeli zdający przekształcając równanie 3\n5\n3\n2\nx\nx \n\notrzyma równanie liniowe, to za\ntakie rozwiązanie otrzymuje 0 punktów.","solution":null,"image":"img/matematyka-2012-luty-probna-podstawowa/zad-1.webp","solution_image":null,"topics":"algebra","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · luty 2012 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2012-luty-probna-podstawowa/zad/2","paper_id":"matematyka-2012-luty-probna-podstawowa","number":"2","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"probna","year":2012,"month":"luty","level":"podstawowa","text":"Zadanie 2. (1 pkt)\nPrzedział \n\n5,3\n\njest zbiorem rozwiązań nierówności\nA.\n4\n1\n\nx\nB.\n5\n3 \n\nx\nC.\n5\n3\n\nx\nD.\n4\n1 \n\nx","answer":"A","answer_text":"2. Jeżeli zdający zapisze równanie kwadratowe z błędem i jeden z pierwiastków będzie\nrówny 0, to za takie rozwiązanie otrzymuje 0 punktów.\n3\nZadanie 26. (2 pkt)\nWykaż, że jeśli\n0\nx \ni\n0\ny \n, to\n2\n2\nx\ny\nx\ny\ny\nx\n\n\n\nI sposób rozwiązania\nPrzekształcamy nierówność\ny\nx\nx\ny\ny\nx\n\n\n\n2\n2\ndo postaci\n0\n2\n2\n\n\n\n\ny\nx\nx\ny\ny\nx\nSprowadzamy lewą stronę otrzymanej nierówności do postaci iloczynowej, wykorzystując np.\nwzory skróconego mnożenia:\nxy\ny\nx\ny\nx\nxy\ny\nx\nxy\ny\nxy\nx\ny\nx\nxy\nxy\ny\nx\ny\nx\ny\nx\nx\ny\ny\nx\n2\n2\n2\n2\n2\n3\n3\n2\n2\n)\n)(\n(\n)\n(\n)\n)(\n(\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\nZ założenia mamy\n0\nx \ni\n0\ny \n, stąd\n0\nxy \ni\n0\nx\ny\n\n\n, natomiast nierówność\n0\n)\n(\n2 \ny\nx\njest prawdziwa dla dowolnych x i y , zatem\n2\n(\n)(\n)\n0\nx\ny x\ny\nxy\n\n\n\n. Co kończy dowód.\nUwaga\nUczeń może lewą stronę nierówności\n0\n2\n2\n\n\n\n\ny\nx\nx\ny\ny\nx\nprzekształcić do postaci\niloczynowej, grupując wyrazy:\nxy\ny\nx\ny\nx\nxy\ny\nx\ny\ny\nx\nx\nxy\nxy\ny\nx\ny\nx\ny\nx\nx\ny\ny\nx\n2\n2\n2\n2\n2\n3\n3\n2\n2\n)\n)(\n(\n)\n(\n)\n(\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\nSchemat oceniania I sposobu rozwiązania\nZdający otrzymuje 1 punkt\ngdy\n zapisze lewą stronę nierówności\n0\n2\n2\n\n\n\n\ny\nx\nx\ny\ny\nx\nw postaci\nxy\ny\nx\nxy\ny\nxy\nx\ny\nx\nxy\nxy\ny\nx\ny\nx\ny\nx\nx\ny\ny\nx\n)\n(\n)\n)(\n(\n2\n2\n2\n2\n3\n3\n2\n2\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\ni na tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy,\nalbo\n zapisze lewą stronę nierówności\n0\n2\n2\n\n\n\n\ny\nx\nx\ny\ny\nx\nw postaci\nxy\ny\nx\ny\ny\nx\nx\nxy\nxy\ny\nx\ny\nx\ny\nx\nx\ny\ny\nx\n)\n(\n)\n(\n2\n2\n2\n2\n3\n3\n2\n2\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\ni na tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy.\nZdający otrzymuje 2 punkty\ngdy przeprowadzi pełne rozumowanie.\n4\nII sposób rozwiązania\nMnożymy obie strony nierówności\ny\nx\nx\ny\ny\nx\n\n\n\n2\n2\nprzez xy (z założenia mamy\n0\nx \ni\n0\ny \n) i zapisujemy nierówność w postaci\n3\n3\n2\n2\nx\ny\nx y\nxy\n\n\n\nStosujemy wzór skróconego mnożenia i zapisujemy nierówność\n3\n3\n2\n2\nx\ny\nx y\nxy\n\n\n\nw postaci\nnp.\nxy\ny\nx\ny\nxy\nx\ny\nx\n)\n(\n)\n)(\n(\n2\n2\n\n\n\n\n\nNastępnie sprowadzamy nierówność do postaci:\n0\n)\n)(\n(\n2 \n\n\ny\nx\ny\nx\nZ założenia mamy\n0\nx \ni\n0\ny \n, stąd\n0\nx\ny\n\n\n, natomiast nierówność\n0\n)\n(\n2 \ny\nx\njest\nprawdziwa dla dowolnych x i y , zatem\n0\n)\n)(\n(\n2 \n\n\ny\nx\ny\nx\n. Co kończy dowód.\nUwaga\nUczeń może przekształcić nierówność\n3\n3\n2\n2\nx\ny\nx y\nxy\n\n\n\ndo postaci\n3\n3\n2\n2\n0\nx\ny\nx y\nxy\n\n\n\n\n,\nnastępnie\npogrupować\nwyrazy\ni\nzapisać\nlewą\nstronę\nnierówności\nw\npostaci\n0\n)\n(\n)\n(\n2\n2\n\n\n\n\ny\nx\ny\ny\nx\nx\nSchemat oceniania II sposób rozwiązania\nZdający otrzymuje 1 punkt\ngdy\n zapisze nierówność\n3\n3\n2\n2\nx\ny\nx y\nxy\n\n\n\nw postaci\nxy\ny\nx\ny\nxy\nx\ny\nx\n)\n(\n)\n)(\n(\n2\n2\n\n\n\n\n\n,\nalbo\n zapisze nierówność\n3\n3\n2\n2\nx\ny\nx y\nxy\n\n\n\nw postaci\n0\n)\n(\n)\n(\n2\n2\n\n\n\n\ny\nx\ny\ny\nx\nx\n,\ni na tym zakończy lub dalej popełnia błędy.\nZdający otrzymuje 2 punkty\ngdy przeprowadzi pełne rozumowanie.\nUwaga\nJeżeli zdający podstawi konkretne wartości w miejsce x i y , to przyznajemy 0 punktów.\nIII sposób rozwiązania\nDla dowolnych x i y , prawdziwa jest nierówność:\n0\n)\n(\n2 \ny\nx\nZ założenia mamy\n0\nx \ni\n0\ny \n, stąd\n0\nx\ny\n\n\n, zatem\n0\n)\n)(\n(\n2 \n\n\ny\nx\ny\nx\nStosujemy wzór skróconego mnożenia i redukcję wyrazów i przekształcamy lewą stronę\nnierówności\n0\n)\n)(\n(\n2 \n\n\ny\nx\ny\nx\ndo postaci:\n3\n3\n2\n2\n0\nx\ny\nx y\nxy\n\n\n\n\n, a następnie do postaci\n3\n3\n(\n)\nx\ny\nxy x\ny\n\n\n\nDzielimy obie strony nierówności\n3\n3\n(\n)\nx\ny\nxy x\ny\n\n\n\nprzez xy (z założenia mamy\n0\nx \ni\n0\ny \n, stąd\n0\nxy \n) i wnioskujemy, że\ny\nx\nx\ny\ny\nx\n\n\n\n2\n2\n5\nSchemat oceniania III sposobu rozwiązania\nZdający otrzymuje 1 punkt\ngdy korzystając z założenia\n0\nx \ni\n0\ny \n, doprowadzi nierówność\n0\n)\n(\n2 \ny\nx\ndo\nnierówności\n0\n2\n2\n3\n3\n\n\n\n\nxy\ny\nx\ny\nx\ni na tym zakończy lub dalej popełnia błędy.\nZdający otrzymuje 2 punkty\ngdy przeprowadzi pełne rozumowanie.\nUwaga\nZdający otrzymuje 1 punkt, jeśli uzasadniając daną nierówność nie zapisze, że\n0\nx\ny\n\n\ni\n0\nx y\n\n\n6\nZadanie 27. (2 pkt)\nDany jest trapez ABCD. Dłuższa podstawa AB ma długość m, pozostałe trzy boki trapezu są\nrównej długości. Przedłużenia ramion trapezu AD i BC przecinają się w punkcie E pod kątem\n\n2\n. Oblicz obwód tego trapezu.\nI sposób rozwiązania\nWprowadzamy oznaczenia AD\nBC\nCD\nx\n\n\n\ni AB\nm\n\nZauważamy, że trójkąty ADE i AGF są podobne, zatem\nADE\nAGF\n\n\n\n\n\nRóżnica między długościami podstaw trapezu jest równa\nAB\nCD\nm\nx\n\n\n\n. Stąd\n2\nm\nx\nAE\n\n\nTrójkąt ADE jest prostokątny, zatem\n2\nsin\nm\nx\nAE\nAD\nx\n\n\n\n\n. Stąd\n1\nsin\n2\n\n\n\nm\nx\nWyznaczamy obwód trapezu ABCD:\n\n\n2\nsin\n2\n2\nsin\n4\n3\n3","solution":null,"image":"img/matematyka-2012-luty-probna-podstawowa/zad-2.webp","solution_image":null,"topics":"bezwgledna","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · luty 2012 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2012-luty-probna-podstawowa/zad/3","paper_id":"matematyka-2012-luty-probna-podstawowa","number":"3","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"probna","year":2012,"month":"luty","level":"podstawowa","text":"Zadanie 3. (1 pkt)\nDana jest liczba\n4\n2log 8\nx \n. Wtedy\nA.\n2\nx \nB.\n3\nx \nC.\n64\nx \nD.\n256\nx ","answer":"B","answer_text":"3 2sin\n1\n2sin\n1\n2sin\n1\nm\nm\nm\nm\nO\nAB\nAD\nm\nx\nm\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\nSchemat oceniania I sposób rozwiązania\nZdający otrzymuje 1 punkt\ngdy\nzauważy, że trójkąty ADE i AGF są podobne oraz zapisze równość\n2\nsin\nm\nx\nx\n\n\n\nZdający otrzymuje 2 punkty\ngdy wyznaczy obwód trapezu\n\n\n2\nsin\n2\n2sin\n1\nm\nO\n\n\n\n\n\nA\nB\nC\nD\nG\nF\nE\n\n\n\n\n7\n\nA\nB\nC\nD\nG\nF\n\nE\n\nUwagi\n1. Jeżeli zdający popełni błąd rachunkowy przy wyznaczaniu x i dalej konsekwentnie\nobliczy obwód trapezu, to za takie rozwiązanie przyznajemy 1 punkt.\n2. Nie wymagamy postaci uporządkowanej w wyznaczonym obwodzie trapezu.\nII sposób rozwiązania\nZauważamy, że trójkąty ABG i DCG są podobne.\nWprowadzamy oznaczenia AD\nBC\nCD\nx\n\n\n\n, DG\nCG\ny\n\n\ni AB\nm\n\nTrójkąty ABG i DCG są podobne, zatem DC\nDG\nAB\nAG\n\n. Stąd x\ny\nm\nx\ny\n\n\nTrójkąt DFG jest prostokątny, zatem\n2\nsin\nx\nDF\nDG\ny\n\n\n. Stąd\n1\n2\nsin\n2sin\nx\nx\ny\n\n\n\n\nPodstawiamy\n2sin\nx\ny\n\n\ndo równania x\ny\nm\nx\ny\n\n\ni otrzymujemy\n1\nsin\n2\n\n\n\nm\nx\nWyznaczamy obwód trapezu ABCD:\n\n\n2\nsin\n2\n2\nsin\n4\n3\n3\n3 2sin\n1\n2sin\n1\n2sin\n1\nm\nm\nm\nm\nO\nAB\nCD\nm\nx\nm\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n8\n\nA\nB\nC\nD\nG\nF\n\nE\n\nSchemat oceniania II sposób rozwiązania\nZdający otrzymuje 1 punkt\ngdy\nzauważy, że trójkąty ABG i DCG są podobne, stąd\nx\ny\nm\nx\ny\n\n\noraz zauważy, że\n2\nsin\nx\nDF\nDG\ny\n\n\nZdający otrzymuje 2 punkty\ngdy wyznaczy obwód trapezu\n\n\n2\nsin\n2\n2sin\n1\nm\nO\n\n\n\n\n\nUwagi\n1. Nie wymagamy uzasadnienia podobieństwa trójkątów.\n2. Zdający może od razu zapisać proporcję bez stwierdzenia faktu podobieństwa\ntrójkątów.\n3. Jeżeli zdający popełni błąd rachunkowy przy wyznaczaniu x i dalej konsekwentnie\nobliczy obwód trapezu, to za takie rozwiązanie przyznajemy 1 punkt.","solution":null,"image":"img/matematyka-2012-luty-probna-podstawowa/zad-3.webp","solution_image":null,"topics":"logarytmy","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · luty 2012 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2012-luty-probna-podstawowa/zad/4","paper_id":"matematyka-2012-luty-probna-podstawowa","number":"4","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"probna","year":2012,"month":"luty","level":"podstawowa","text":"Zadanie 4. (1 pkt)\nLiczba 30 jest przybliżeniem z nadmiarem liczby a. Błąd bezwzględny tego przybliżenia jest\nrówny 2,31. Wtedy\nA.\n27,69\na \nB.\n28,31\na \nC.\n30,31\na \nD.\n32,31\na ","answer":"A","answer_text":"4. Nie wymagamy postaci uporządkowanej w wyznaczonym obwodzie trapezu.\nIII sposób rozwiązania\nZauważamy, że trójkąty ABG i DCG są podobne.\nWprowadzamy oznaczenia AD\nBC\nCD\nx\n\n\n\n, DG\nCG\ny\n\n\ni AB\nm\n\nTrójkąty ABG i DCG są podobne, zatem DC\nDG\nAB\nAG\n\n. Stąd x\ny\nm\nx\ny\n\n\n9\nTrójkąt AEG jest prostokątny, zatem\n2\nsin\nm\nAE\nAG\nx\ny\n\n\n\n. Stąd\nsin\n2\nsin\nm\nx\ny\n\n\n\n\nPodstawiamy\nsin\n2\nsin\nm\nx\ny\n\n\n\n\ndo równania x\ny\nm\nx\ny\n\n\ni otrzymujemy\n1\nsin\n2\n\n\n\nm\nx\nWyznaczamy obwód trapezu ABCD:\n\n\n2\nsin\n2\n2\nsin\n4\n3\n3\n3 2sin\n1\n2sin\n1\n2sin\n1\nm\nm\nm\nm\nO\nAB\nCD\nm\nx\nm\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\nSchemat oceniania III sposób rozwiązania\nZdający otrzymuje 1 punkt\nGdy zauważy, że trójkąty ABG i DCG są podobne, stąd x\ny\nm\nx\ny\n\n\noraz zauważy, że\n2\nsin\nm\nAE\nAG\nx\ny\n\n\n\nZdający otrzymuje 2 punkty\ngdy wyznaczy obwód trapezu\n\n\n2\nsin\n2\n2sin\n1\nm\nO\n\n\n\n\n\nUwagi\n1. Nie wymagamy uzasadnienia podobieństwa trójkątów.\n2. Zdający może od razu zapisać proporcję bez stwierdzenia faktu podobieństwa\ntrójkątów.\n3. Jeżeli zdający popełni błąd rachunkowy przy wyznaczaniu x i dalej konsekwentnie\nobliczy obwód trapezu, to za takie rozwiązanie przyznajemy 1 punkt.\n4. Nie wymagamy postaci uporządkowanej w wyznaczonym obwodzie trapezu.\n10\n\nA\nB\nC\nD\nG\nF\nE\n\n\n\nH\nIV sposób rozwiązania\nWprowadzamy oznaczenia AD\nBC\nCD\nx\n\n\n\n, DE\nh\n\ni AB\nm\n\nZauważamy, że trójkąty ADE i AGF są podobne, zatem\nADE\nAGF\n\n\n\n\n\nTrójkąt ADE jest prostokątny, zatem cos\nDE\nh\nAD\nx\n\n\ni sin\nAE\nAD\n\n. Stąd\ncos\nDE\nh\nx\n\n\n\ni\nsin\nAE\nx\n\n\nZapisujemy pole trapezu ABCD na dwa sposoby:\n\n\n1\n2\nABCD\nP\nAB\nCD\nDE\n\n\n\n\ni\n1\n1\n2\n2\nABCD\nP\nAE\nDE\nDC\nDE\nHB\nCH\n\n\n\n\n\n\n\n\nOtrzymujemy równanie:\n1\ncos\ncos\n2\nsin\ncos\n2\n2\nm\nx x\nx x\nx\nx\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\nPo przekształceniach otrzymujemy\n1\n2sin\nm\nx\n\n\nWyznaczamy obwód trapezu ABCD:\n\n\n2\nsin\n2\n2\nsin\n4\n3\n3\n3 2sin\n1\n2sin\n1\n2sin\n1\nm\nm\nm\nm\nO\nAB\nCD\nm\nx\nm\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\nSchemat oceniania IV sposób rozwiązania\nZdający otrzymuje 1 punkt\ngdy zapisze równanie\n1\ncos\ncos\n2\nsin\ncos\n2\n2\nm\nx x\nx x\nx\nx\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\nZdający otrzymuje 2 punkty\ngdy wyznaczy obwód trapezu\n\n\n2\nsin\n2\n2sin\n1\nm\nO\n\n\n\n\n\n11\nUwagi\n1. Jeżeli zdający popełni błąd rachunkowy przy wyznaczaniu x i dalej konsekwentnie\nobliczy obwód trapezu, to za takie rozwiązanie przyznajemy 1 punkt.\n2. Nie wymagamy postaci uporządkowanej w wyznaczonym obwodzie trapezu.\n12\nZadanie 28. (2 pkt)\nPrzemek w czasie ferii zimowych podjął pracę w firmie „Ulotek-express”. Pierwszego dnia\nrozniósł 900 ulotek, każdego następnego dnia o 40 mniej niż poprzedniego. Za dostarczenie\njednej ulotki firma płaci 5 groszy. Jaką kwotę zarobił Przemek w czasie 14 dni pracy?\nI sposób rozwiązania\nWyznaczamy różnicę ciągu arytmetycznego\n40\nr \n, a następnie czternasty wyraz ciągu\n\n\n14\n900 13\n40\n380\na\n\n\n\n\nObliczamy sumę czternastu wyrazów tego ciągu (czyli liczbę ulotek, jaką rozniósł Przemek)\n14\n8960\nS\n\nObliczamy jaką kwotę zarobił Przemek: 8960 5groszy\n448\n\n\nzł.\nII sposób rozwiązania\nObliczamy kwotę, którą zarobił Przemek pierwszego dnia: 900 5groszy\n45\n\n\nzł.\nWyznaczamy różnicę ciągu arytmetycznego\n40 0,05\n2\nr \n\n, a następnie czternasty wyraz\nciągu\n\n\n14\n45 13\n2\n19\na\n\n\n\n\nObliczamy sumę czternastu wyrazów tego ciągu (czyli kwotę, jaką zarobił Przemek w czasie","solution":null,"image":"img/matematyka-2012-luty-probna-podstawowa/zad-4.webp","solution_image":null,"topics":"algebra","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · luty 2012 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2012-luty-probna-podstawowa/zad/5","paper_id":"matematyka-2012-luty-probna-podstawowa","number":"5","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"probna","year":2012,"month":"luty","level":"podstawowa","text":"Zadanie 5. (1 pkt)\nDana jest liczba\n\n\n1\n1\n2\n3\n9\n8\nx\n\n\n\n. Wtedy\nA.\n2\n3\nx \nB.\n2\n3\nx \nC.\n3\n2\nx \nD.\n6\nx ","answer":"B","answer_text":null,"solution":null,"image":"img/matematyka-2012-luty-probna-podstawowa/zad-5.webp","solution_image":null,"topics":"algebra","page_from":2,"source":"matugen","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · luty 2012 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2012-luty-probna-podstawowa/zad/6","paper_id":"matematyka-2012-luty-probna-podstawowa","number":"6","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"probna","year":2012,"month":"luty","level":"podstawowa","text":"Zadanie 6. (1 pkt)\nLiczba \n\n\n3\n2\n2\n3\n\n\njest równa\nA. 1\n\nB. 0\nC. 1\nD. 2","answer":"C","answer_text":"\n2\n\n10","solution":null,"image":"img/matematyka-2012-luty-probna-podstawowa/zad-6.webp","solution_image":null,"topics":"algebra","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · luty 2012 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2012-luty-probna-podstawowa/zad/7","paper_id":"matematyka-2012-luty-probna-podstawowa","number":"7","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"probna","year":2012,"month":"luty","level":"podstawowa","text":"Zadanie 7. (1 pkt)\nDziedziną wyrażenia wymiernego\n2\n4\n25\nx\nx\n\n\njest\nA. \n\n\n\n,0\n0,\n\n\n\nB. \n\n\n\n, 4\n4,\n\n\n\nC. \n\n\n\n,5\n5,\n\n\n\nD. \n\n\n\n\n\n, 5\n5,5\n5,\n\n\n\n\n\nOkręgowa Komisja Egzaminacyjna w Łomży\nMateriały diagnostyczne z matematyki\nPoziom podstawowy\nluty 2012\n3\n\n4","answer":"D","answer_text":null,"solution":null,"image":"img/matematyka-2012-luty-probna-podstawowa/zad-7.webp","solution_image":null,"topics":"algebra","page_from":2,"source":"matugen","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · luty 2012 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2012-luty-probna-podstawowa/zad/8","paper_id":"matematyka-2012-luty-probna-podstawowa","number":"8","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"probna","year":2012,"month":"luty","level":"podstawowa","text":"Zadanie 8. (1 pkt)\nFunkcja liniowa określona wzorem\n1\n)\n5\n2\n(\n)\n(\n\n\n\n\nm\nx\nm\nx\nf\njest malejąca. Wtedy\nA.\n2\n, 5\nm\n\n\n\n\n\n\n\nB.\n\n\n,1\nm\nC.\n2 ,\n5\nm\n\n\n\n\n\n\n\n\nD.\n\n\n1,\nm\n","answer":"C","answer_text":"8 3\nh \n,\nalbo\n obliczy\n3\nsin\n2\n\ni zauważy że, trójkąt ABD jest równoboczny.\nZdający otrzymuje 2 punkty\ngdy obliczy długość dłuższej przekątnej rombu\n16 3\nAC \nIII sposób rozwiązania\nZapisujemy pole rombu korzystając ze wzoru\n2 sin\nABCD\nP\na\n\n\n.\nOtrzymujemy równanie\n2\n16\nsin\n128 3\n\n\n, stąd\n3\nsin\n2\n\n. Zatem\n60\n\n.\nKorzystamy z twierdzenia cosinusów i zapisujemy\n2\n2\n2\n2\n2\n2\n2\ncos120\n2\ncos120\nAC\nAB\nBC\nAB\nBC\na\na\na\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n, stąd\n16 3\nAC \nSchemat oceniania III sposobu rozwiązania\nZdający otrzymuje 1 punkt\ngdy obliczy\n3\nsin\n2\n\ni zapisze\n2\n2\n2\n2\n2\ncos120\nAC\na\na\na\n\n\n\n\n.\nZdający otrzymuje 2 punkty\ngdy obliczy długość dłuższej przekątnej rombu\n16 3\nAC \n18\nZadanie 31. (4 pkt)\nJulia i Dominika mają skarbonki. W skarbonce Julii znajduje się 1 banknot 50 zł, dwa\nbanknoty 20 zł i 3 banknoty 10 zł, natomiast w skarbonce Dominiki znajdują się 2 banknoty","solution":null,"image":"img/matematyka-2012-luty-probna-podstawowa/zad-8.webp","solution_image":null,"topics":"funkcje","page_from":4,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · luty 2012 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2012-luty-probna-podstawowa/zad/9","paper_id":"matematyka-2012-luty-probna-podstawowa","number":"9","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"probna","year":2012,"month":"luty","level":"podstawowa","text":"Zadanie 9. (1 pkt)\nFunkcja\n\n\n\n( )\n2\n3\n4\nf x\nx\nx\n\n\n\nprzyjmuje wartości dodatnie dla\nA.\n\n\n\n\n, 4\n3,\nx\n\n\nB.\n\n\n\n\n, 3\n4,\nx\n\n\nC.\n\n\n3,4\nx\nD.\n\n\n4,3\nx","answer":"C","answer_text":"9 1\n10\nh\n\n\n\n\n\n\n\nWektor prostopadły do prostej AB ma współrzędne:\n\n\n= 3 ,\nu\nt\nt\n\n\n, gdzie\n\n\\ 0\nt\nR\n\nZatem\n2\n2\n= 9\n10\nh\nu\nt\nt\nt\n\n\n\n\n\ni\n10\n10\nt \n\n, stąd\n1\nt  lub\n1\nt .\nProsta AD na równanie:\n2\n3\n8\nx\nt\ny\nt\n\n\n\n\n\nOtrzymujemy:\n5\nD\nx  i\n7\nD\ny  lub\n1\nD\nx  i\n9\nD\ny .\nDruga para nie spełnia warunków zadania, więc punkt D ma współrzędne:\n\n\n5, 7\nD \n\nObliczamy długości podstaw trapezu:\n160\n4 10\nAB \n\ni\n90\n3 10\nCD \n\nObliczamy pole trapezu:\n\n\n1\n4 10\n3 10\n10\n35\n2\nP \n\n\n\n\nSchemat oceniania III sposobu rozwiązania\nRozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego\nrozwiązania zadania 1 pkt\nWyznaczenie równania prostej AB: 3\n2\n0\nx\ny\n\n\n\nRozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 pkt\nObliczenie wysokości trapezu:\n10\nh \noraz zapisanie współrzędnych wektora prostopadłego\ndo prostej AB w zależności od parametru t: np.\n\n\n= 3 ,\nu\nt\nt\n\n\n, gdzie\n\n\\ 0\nt\nR\n\noraz obliczenie\nwartości t, dla których długość wektora u\n\njest równa długości wysokości trapezu.\nPokonanie zasadniczych trudności zadania 3 pkt\nWyznaczenie współrzędnych punktu\n\n\n5, 7\nD \n\noraz obliczenie długości jednej z podstaw\ntrapezu:\n160\n4 10\nAB \n\nalbo\n90\n3 10\nCD \n\nRozwiązanie prawie całkowite 4 pkt\n26\nObliczenie długości drugiej podstawy trapezu:\n90\n3 10\nCD \n\nalbo\n160\n4 10\nAB \n\nRozwiązanie pełne 5 pkt\nObliczenie pola trapezu:\n35\nP \nUwaga\nJeżeli zdający przy obliczaniu współrzędnych punktu D lub przy obliczaniu długości\npodstawy AB lub długości podstawy i lub długości wysokości trapezu popełnił błąd\nnieprzekreślający poprawności rozwiązania np. błąd rachunkowy i z tym błędem poprawnie\nobliczył pole trapezu, to za takie rozwiązanie przyznajemy 4punkty.\n27\nZadanie 33. (5 pkt)\nSzkoła zakupiła na raty serwer za kwotę 5400 zł. Będzie go spłacała w równych miesięcznych\nratach. Gdyby okres spłaty skrócić o pół roku, wówczas kwota raty wzrosłaby o 75 zł. Jaka\nbyła miesięczna wysokość raty i przez jaki okres szkoła spłacała swoje zobowiązania\nfinansowe?\nI sposób rozwiązania\nNiech x oznacza liczbę miesięcy spłacania zobowiązania i niech y oznacza wysokość\nmiesięcznej raty.\nZapisujemy układ:\n5400\n(\n6) (\n75)\n5400\nx y\nx\ny\n\n\n\n\n\n\n\n\n\nZ pierwszego równania wyznaczamy\n5400\ny\nx\n\nalbo\n5400\nx\ny\n\nPodstawiamy do drugiego równania i otrzymujemy równanie z jedną niewiadomą, np.:\n\n5400\n6\n75\n5400\nx\nx\n\n\n\n\n\n\n\n\n\nalbo\n\n\n5400\n6\n75\n5400\ny\ny\n\n\n\n\n\n\n\n\n\nPrzekształcamy to równanie do równania kwadratowego, np.:\n2\n75\n450\n32400\n0\nx\nx\n\n\n\nlub\n2\n6\n432\n0\nx\nx\n\n\n\nalbo\n2\n6\n450\n405000\n0\ny\ny\n\n\n\n\nlub\n2\n75\n67500\n0\ny\ny\n\n\n\n\nRozwiązujemy równanie kwadratowe:\n2\n1\n2\n75\n450\n32400\n0\n202500\n972000\n9922500\n3150\n450\n3150\n450\n3150\n0\nlub\n24\n150\n150\nx\nx\nx\nx\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\nlub\n2\n1\n2\n6\n432\n0","solution":null,"image":"img/matematyka-2012-luty-probna-podstawowa/zad-9.webp","solution_image":null,"topics":"rownania_i_nierownosci","page_from":4,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · luty 2012 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2012-luty-probna-podstawowa/zad/10","paper_id":"matematyka-2012-luty-probna-podstawowa","number":"10","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"probna","year":2012,"month":"luty","level":"podstawowa","text":"Zadanie 10. (1 pkt)\nDana jest funkcja określona wzorem\n\n\n\n2\n1\ndla\n, 2\n( )\n2\n1 dla\n2,\nx\nx\nf x\nx\nx\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n. Miejscem zerowym\ntej funkcji jest liczba\nA. 1\nB. 1\n2\nC.\n1\n2\n\nD. 1\n\nW zadaniach 11. i 12. wykorzystaj przedstawione poniżej wykresy funkcji f i g.\n-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1\n1\n2\n3\n4\n5\n6\n7\n8\n9\n-5\n-4\n-3\n-2\n-1\n1\n2\n3\n4\n5\nx\ny\n( )\nf x\n-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1\n1\n2\n3\n4\n5\n6\n7\n8\n9\n-5\n-4\n-3\n-2\n-1\n1\n2\n3\n4\n5\nx\ny\n( )\ng x","answer":"B","answer_text":"10 zł\n10 zł\n10 zł\n10 zł\n10 zł\nRozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 punkty\n uczeń obliczy liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych\n48\n\ni zaznaczy w tabeli\nzdarzenia sprzyjające zajściu zdarzeniu A i na tym poprzestanie lub dalej rozwiązuje\nbłędnie,\nalbo\n uczeń obliczy liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych\n48\n\ni zaznaczy w tabeli\nzdarzenia sprzyjające zajściu zdarzeniu\nA i na tym poprzestanie lub dalej rozwiązuje\nbłędnie.\nPokonanie zasadniczych trudności zadania 3 punkty\n uczeń zliczy liczbę zdarzeń sprzyjających zdarzeniu\n20\nA \ni na tym zakończy lub\ndalej rozwiązuje błędnie,\nalbo\n uczeń zliczy liczbę zdarzeń sprzyjających zdarzeniu\n28\nA \ni na tym zakończy lub\ndalej rozwiązuje błędnie.\nRozwiązanie pełne 4 punkty\nObliczenie prawdopodobieństwa zdarzenia A i zapisanie wyniku w postaci ułamka\nnieskracalnego \n5\n12\nP A \n21\n50\n20\n10\n1\n6\n2\n6\n3\n6\n2\n8\n2\n8\n50\n20\n10\n50\n20\n10\n50\n20\n10\n1\n8\n5\n8\n1\n8\n5\n8\n2\n8\n1\n8\n5\n8\nIII sposób rozwiązania (metoda drzewa)\nRysujemy\ndrzewo\nuwzględniając\ntylko\nistotne\ngałęzie\ni\nzapisujemy\nna\nnich\nprawdopodobieństwo.\nObliczamy prawdopodobieństwo zdarzenia A:\n1 2\n1 1\n1 5\n2 2\n2 1\n3 2\n2 1 5\n4\n2\n6\n20\n5\n( )\n6 8\n6 8\n6 8\n6 8\n6 8\n6 8\n6 8\n48\n12\nP A\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\nSchemat oceniania III sposobu rozwiązania\nRozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 punkty\nUczeń narysuje drzewo uwzględniającego tylko istotne gałęzie i zapisze na nich\nprawdopodobieństwo.\nUwaga\nJeżeli zdający narysuje drzewo uwzględniające tylko istotne gałęzie i nie zapisze na nich\nprawdopodobieństwa, to za takie rozwiązanie przyznajemy 0 punktów.\nPokonanie zasadniczych trudności zadania 3 punkty\nUczeń zapisze\n1 2\n1 1\n1 5\n2 2\n2 1\n3 2\n( )\n6 8\n6 8\n6 8\n6 8\n6 8\n6 8\nP A \n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\ni nie poda wyniku w postaci\nułamka nieskracalnego.\nRozwiązanie pełne 4 punkty\nObliczenie prawdopodobieństwa zdarzenia A:\n\n5\n12\nP A \nUwagi\n1. Jeśli zdający rozwiąże zadanie do końca i otrzyma\n( )\n1\nP A , to za takie rozwiązanie\nprzyznajemy 0 punktów.\n2. Jeżeli zdający obliczy prawdopodobieństwo zdarzenia metodą drzewa i otrzymany\nwynik podzieli przez 48, to za takie rozwiązanie przyznajemy 0 punktów.\n3. Jeżeli zdający opuści w rozwiązaniu niektóre gałęzie i konsekwentnie obliczy\nprawdopodobieństwo, to za takie rozwiązanie przyznajemy 1 punkt.\n4. Jeżeli zdający poprawnie obliczy prawdopodobieństwo i błędnie skróci ułamek, np.:\n6\n5\n48\n20\n)\n(\n\n\nA\nP\n, to za takie rozwiązanie przyznajemy 3 punkty.\n22\nZadanie 32. (5 pkt)\nPunkty o współrzędnych\n\n\n2, 8\nA \n\n,\n\n\n2,4\nB \n,\n\n\n2,2\nC \nsą wierzchołkami trapezu.\nRamię trapezu AD jest prostopadłe do podstaw AB i CD. Oblicz współrzędne punktu D oraz\npole powierzchni tego trapezu.\nI sposób rozwiązania\nObliczamy współczynnik kierunkowy prostej AB lub wyznaczamy równanie prostej AB:\n4\n8\n12\n3\n2\n2\n4\na\n\n\n\n\n\n, stąd\n\n\n3\n2\n8\ny\nx\n\n\n. Zatem\n3\n2\ny\nx\n\n\nWyznaczamy równanie prostej równoległej do prostej AB, przechodzącej przez punkt C:\n\n\n3\n2\n2\ny\nx\n\n\n\n, stąd\n3\n8\ny\nx\n\n.\nWyznaczamy równanie prostej prostopadłej do prostej AB i przechodzącej przez punkt A:\nWspółczynnik kierunkowy prostej AB jest równy 3, stąd współczynnik kierunkowy prostej\nAD jest równy\n1\n3\n\n. Zatem prosta AD ma równanie\n1\n26\n3\n3\ny\nx\n\n\nObliczamy współrzędne punktu D rozwiązując układ równań\n3\n8\n1\n26\n3\n3\ny\nx\ny\nx\n\n\n\n\n\n\nPunkt D ma współrzędne\n\n\n5, 7\nD \n\nObliczamy długości podstaw i wysokość trapezu:\n160\n4 10\nAB \n\n,\n90\n3 10\nCD \n\ni\n10\nAD \nObliczamy pole trapezu:\n\n\n1\n4 10\n3 10\n10\n35\n2\nP \n\n\n\n\nSchemat oceniania I sposobu rozwiązania\nRozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego\nrozwiązania zadania 1 pkt\n Wyznaczenie równania prostej AB:\n3\n2\ny\nx\n\n\nalbo\n Wyznaczenie współczynnika kierunkowego prostej AB:\n3\na \nRozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 pkt\nWyznaczenie równania prostej równoległej do prostej AB:\n3\n8\ny\nx\n\n i równania prostej\nprostopadłej do prostej AB przechodzącej przez punkt A:\n1\n26\n3\n3\ny\nx\n\n\nPokonanie zasadniczych trudności zadania 3 pkt\nWyznaczenie współrzędnych punktu\n\n\n5, 7\nD \n\noraz obliczenie jednej z wielkości:\n długości podstawy trapezu\n160\n4 10\nAB \n\n,\nalbo\n długości podstawy trapezu\n90\n3 10\nCD \n\n,\nalbo\n wysokości trapezu\n10\nAD \n23\nRozwiązanie prawie całkowite 4 pkt\nObliczenie pozostałych dwóch wielkości niezbędnych do obliczenia pola trapezu:\n długości podstawy trapezu\n90\n3 10\nCD \n\ni wysokości trapezu\n10\nAD \nalbo\n długości podstawy trapezu\n160\n4 10\nAB \n\ni wysokości trapezu\n10\nAD \nalbo\n długości podstaw trapezu\n160\n4 10\nAB \n\ni\n90\n3 10\nCD \n\nRozwiązanie pełne 5 pkt\nObliczenie pola trapezu:\n35\nP \nUwaga\nJeżeli zdający przy obliczaniu współrzędnych punktu D lub przy obliczaniu długości\npodstawy AB lub długości podstawy i lub długości wysokości trapezu popełnił błąd\nnieprzekreślający poprawności rozwiązania np. błąd rachunkowy i z tym błędem poprawnie\nobliczył pole trapezu, to za takie rozwiązanie przyznajemy 4punkty.\nII sposób rozwiązania\nObliczamy współczynnik kierunkowy prostej AB lub wyznaczamy równanie prostej AB:\n4\n8\n12\n3\n2\n2\n4\na\n\n\n\n\n\n, stąd\n\n\n3\n2\n8\ny\nx\n\n\n. Zatem\n3\n2\ny\nx\n\n\nWyznaczamy równanie prostej prostopadłej do prostej AB, przechodzącej przez punkt C:\n\n\n1\n2\n2\n3\ny\nx\n\n\n\n, stąd\n1\n4\n3\n3\ny\nx\n\n\nProsta prostopadła do AB i przechodząca przez punkt C przecina prostą AB w punkcie E.\nObliczamy współrzędne punktu E rozwiązując układ równań\n3\n2\n1\n4\n3\n3\ny\nx\ny\nx\n\n\n\n\n\n\nPunkt E ma współrzędne punktu wynoszą\n\n\n1,1\nE \nObliczamy wysokość trapezu CE:\n9 1\n10\nCE \n\n\nObliczamy długości podstaw trapezu:\n160\n4 10\nAB \n\ni CD\nAE\n\nlub CD\nAB\nEB\n\n\n(bo trapez jest prostokątny).\nZatem\n9\n81\n90\n3 10\nCD\nAE\n\n\n\n\n\nlub\n4 10\n10\n3 10\nCD \n\n\nObliczamy pole trapezu:\n\n\n1\n4 10\n3 10\n10\n35\n2\nP \n\n\n\n\nObliczamy\nwspółrzędne\npunktu\nD\n(porównując\nwektory\nEC\nAD\n\n\n\n).\nStąd\n\n\n\n3,1\n2,\n8\nD\nD\nx\ny\n\n\n\n\n. Zatem\n2\n3\nD\nx \n i y\n8\n1\nD \n, czyli\n\n\n5, 7\nD \n\n24\nUwaga\nWspółrzędne punktu D możemy obliczyć jak poniżej:\nWyznaczamy równanie prostej równoległej do prostej CE i przechodzącej przez punkt A:\n\n\n1\n2\n8\n3\ny\nx\n\n\n. Stąd współrzędne punktu\n1\n26\n,\n3\n3\nD\nD\nD\nx\nx\n\n\n\n\n\n\n\n\n\nAD\nCE\n\nwięc \n\n2\n2\n1\n2\n2\n10\n3\n3\nD\nD\nx\nx\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n, stąd \n\n\n\n2\n2\n1\n2\n2\n10\n9\nD\nD\nx\nx\n\n\n\n\nOtrzymujemy równanie\n\n2\n2\n9\nD\nx \n\n, które rozwiązaniem są\n5\nD\nx  i\n1\nD\nx .\nObliczamy drugą współrzędną punktu D:\n7\nD\ny  i\n9\nD\ny .\nDruga para nie spełnia warunków zadania, więc punkt D ma współrzędne:\n\n\n5, 7\nD \n\nSchemat oceniania II sposobu rozwiązania\nRozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego\nrozwiązania zadania 1 pkt\n Wyznaczenie równania prostej AB:\n3\n2\ny\nx\n\n\nalbo\n Wyznaczenie współczynnika kierunkowego prostej AB:\n3\na \nRozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 pkt\nWyznaczenie równania prostej prostopadłej do prostej AB, przechodzącej przez punkt C:\n1\n26\n3\n3\ny\nx\n\n\ni wyznaczenie współrzędnych punktu\n\n\n1,1\nE \nPokonanie zasadniczych trudności zadania 3 pkt\nWyznaczenie współrzędnych punktu\n\n\n5, 7\nD \n\noraz obliczenie jednej z wielkości:\n długości podstawy trapezu\n160\n4 10\nAB \n\n,\nalbo\n długości podstawy trapezu\n90\n3 10\nCD \n\n,\nalbo\n wysokości trapezu\n10\nAD \nRozwiązanie prawie całkowite 4 pkt\nObliczenie pozostałych dwóch wielkości niezbędnych do obliczenia pola trapezu:\n długości podstawy trapezu\n90\n3 10\nCD \n\ni wysokości trapezu\n10\nAD \nalbo\n długości podstawy trapezu\n160\n4 10\nAB \n\ni wysokości trapezu\n10\nAD \nalbo\n długości podstaw trapezu\n160\n4 10\nAB \n\ni\n90\n3 10\nCD \n\nRozwiązanie pełne 5 pkt\nObliczenie pola trapezu:\n35\nP \n25\nUwaga\nJeżeli zdający przy obliczaniu współrzędnych punktu D lub przy obliczaniu długości\npodstawy AB lub długości podstawy i lub długości wysokości trapezu popełnił błąd\nnieprzekreślający poprawności rozwiązania np. błąd rachunkowy i z tym błędem poprawnie\nobliczył pole trapezu, to za takie rozwiązanie przyznajemy 4punkty.\nIII sposób rozwiązania\nWyznaczamy równanie prostej AB:\n4\n8\n12\n3\n2\n2\n4\na\n\n\n\n\n\n, stąd\n\n\n3\n2\n8\ny\nx\n\n\n. Zatem 3\n2\n0\nx\ny\n\n\n\nObliczamy wysokość trapezu (wyznaczamy odległość punktu C od prostej AB):\n6\n2\n2\n10\n10","solution":null,"image":"img/matematyka-2012-luty-probna-podstawowa/zad-10.webp","solution_image":null,"topics":"funkcje","page_from":4,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · luty 2012 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2012-luty-probna-podstawowa/zad/11","paper_id":"matematyka-2012-luty-probna-podstawowa","number":"11","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"probna","year":2012,"month":"luty","level":"podstawowa","text":"Zadanie 11. (1 pkt)\nZbiorem wartości funkcji f jest\nA.\n7, 1\n\n\nB.\n\n4,\n\n\nC.\n\n3,\n\n\nD. \n,0\n","answer":"C","answer_text":null,"solution":null,"image":"img/matematyka-2012-luty-probna-podstawowa/zad-11.webp","solution_image":null,"topics":"funkcje","page_from":4,"source":"matugen","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · luty 2012 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2012-luty-probna-podstawowa/zad/12","paper_id":"matematyka-2012-luty-probna-podstawowa","number":"12","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"probna","year":2012,"month":"luty","level":"podstawowa","text":"Zadanie 12. (1 pkt)\nWykres funkcji\n( )\ng x otrzymujemy przesuwając wykres funkcji\n( )\nf x wzdłuż osi Oy. Wykres\nfunkcji g określony jest wzorem\nA.\n\n\n( )\n4\ng x\nf x\n\n\nB.\n\n( )\n4\ng x\nf x\n\n\nC.\n\n\n( )\n4\ng x\nf x\n\n\nD.\n\n( )\n4\ng x\nf x\n\n\n\nOkręgowa Komisja Egzaminacyjna w Łomży\nMateriały diagnostyczne z matematyki\nPoziom podstawowy\nluty 2012\n5\n\n6","answer":"D","answer_text":null,"solution":null,"image":"img/matematyka-2012-luty-probna-podstawowa/zad-12.webp","solution_image":null,"topics":"funkcje","page_from":4,"source":"matugen","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · luty 2012 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2012-luty-probna-podstawowa/zad/13","paper_id":"matematyka-2012-luty-probna-podstawowa","number":"13","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"probna","year":2012,"month":"luty","level":"podstawowa","text":"Zadanie 13. (1 pkt)\nW ciągu arytmetycznym \n\nna\ndane są:\n21\n2012\na\n\ni\n100\nr \n. Wtedy wyraz\n1a jest równy\nA. 12\nB. 22\nC. 50\nD. 102","answer":"A","answer_text":null,"solution":null,"image":"img/matematyka-2012-luty-probna-podstawowa/zad-13.webp","solution_image":null,"topics":"ciagi","page_from":6,"source":"matugen","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · luty 2012 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2012-luty-probna-podstawowa/zad/14","paper_id":"matematyka-2012-luty-probna-podstawowa","number":"14","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"probna","year":2012,"month":"luty","level":"podstawowa","text":"Zadanie 14. (1 pkt)\nW ciągu geometrycznym \n\nna\ndane są:\n1\n3\n4\na \ni\n2\n1\na . Wtedy wyraz\n5a jest równy\nA. 256\n81\nB. 64\n27\nC. 16\n9\nD. 9\n16","answer":"B","answer_text":"14 dni pracy)\n14\n448\nS\n\nzł.\nIII sposób rozwiązania\nWyznaczamy różnicę ciągu arytmetycznego\n40\nr \nlub\n2\nr , a następnie bezpośrednio\nsumę czternastu wyrazów tego ciągu\n14\n8960\nS\n\nlub\n14\n448\nS\n\nZapisujemy odpowiedź: Przemek zarobił 448 zł.\nSchemat oceniania I, II i III sposobu rozwiązania\nZdający otrzymuje 1 punkt\ngdy:\n zauważy, że mamy do czynienia z ciągiem arytmetycznym i wyznaczy różnicę tego\nciągu i na tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy,\nalbo\n popełni błąd rachunkowy w wyznaczeniu różnicy i konsekwentnie do popełnionego\nbłędu obliczy jaką kwotę zarobił Przemek.\nZdający otrzymuje 2 punkty\ngdy obliczy kwotę jaką w czasie 14 dni pracy: 448 zł.\nUwagi\n1. Jeśli zdający nie korzysta z własności ciągu, ale zapisze np. 900\n860\n820\n380\n\n\n\n\ni poprawnie obliczy zarobioną kwotę, to za takie rozwiązanie przyznajemy 2 punkty.\n2. Jeśli zdający nie korzysta z własności ciągu, ale zapisze np. 45\n43\n41 39\n19\n\n\n\n\n\ni poprawnie obliczy zarobioną kwotę, to za takie rozwiązanie przyznajemy 2 punkty.\n3. Jeśli zdający nie korzysta z własności ciągu (np. tak jak w uwadze 1 lub 2) i popełni błąd\nrachunkowy, to za takie rozwiązanie przyznajemy 0 punktów.\n4. Jeśli zdający zapisze poprawną odpowiedź (bez uzasadnienia) to otrzymuje 0 punktów.\n13\nZadanie 29. (2 pkt)\nDany jest kwadrat ABCD. Na przekątnej BD obrano dwa różne punkty K i L, takie że\nBK\nDL\n\n(zobacz rysunek). Uzasadnij, że czworokąt AKCL jest rombem.\nI sposób rozwiązania\nPrzekątna BD to dwusieczna kąta prostego, stąd\n45\nADL\nCDL\nCBK\nABK\n\n\n\n\n\n\n\n\n\nZ założenia mamy DL\nBK\n\noraz AB\nBC\nCD\nDA\n\n\n\nTrójkąty ADL, CDL, CBK, ABK są przystające (cecha bkb), stąd AL\nCL\nCK\nAK\n\n\n\nZatem czworokąt AKCL jest rombem.\nSchemat oceniania I sposobu rozwiązania\nZdający otrzymuje 1 punkt\ngdy:\n zapisze, że trójkąty ADL, CDL, CBK, ABK są przystające,\nalbo\n zaznaczy na rysunku równość odpowiednich boków i kątów w czterech trójkątach\nADL, CDL, CBK, ABK\ni na tym poprzestanie lub dalej popełni błędy.\nZdający otrzymuje 2 punkty\ngdy uzasadni, że wszystkie boki czworokąta AKCL są równe i zapisze, że czworokąt AKCL\njest rombem.\nD\nC\nB\nA\n\n K\nL\nD\nC\nB\nA\n\n K\nL\nO\n14\nII sposób rozwiązania\nTrójkąty AOL, AOK, COK, COL są prostokątne, bo przekątne kwadratu są prostopadłe.\nPonieważ\nDL\nKB\n\n, OD\nOB\n\ni\nLO\nOD\nDL\n\n\noraz OK\nOB\nKB\n\n\n, zatem\nLO\nOK\n\n. Wiemy, że AO\nOC\n\nTrójkąty AOL, AOK, COK, COL są przystające (cecha bkb), stąd AL\nCL\nCK\nAK\n\n\n\nZatem czworokąt AKCL jest rombem.\nSchemat oceniania II sposobu rozwiązania\nZdający otrzymuje 1 punkt\ngdy:\n zapisze, że trójkąty AOL, AOK, COK, COL są przystające,\nalbo\n zaznaczy na rysunku równość odpowiednich boków i kątów w czterech trójkątach\nADL, CDL, CBK, ABK\ni na tym poprzestanie lub dalej popełni błędy.\nZdający otrzymuje 2 punkty\ngdy uzasadni, że wszystkie boki czworokąta AKCL są równe i zapisze, że czworokąt AKCL\njest rombem.\nD\nC\nB\nA\n\n K\nL\nO\n15\nIII sposób rozwiązania\nPrzekątne czworokąta AKCL pokrywają się z przekątnymi kwadratu, zatem są prostopadłe.\nPunkt przecięcia przekątnych kwadratu O, dzieli przekątne AC i BD na połowy. Stąd\nOD\nOB\n\noraz AO\nOC\n\nZ założenia mamy DL\nKB\n\nDodatkowo LO\nOD\nDL\n\n\noraz OK\nOB\nKB\n\n\n, zatem LO\nOK\n\nW czworokącie AKCL przekątne są prostopadłe i punkt ich przecięcia O dzieli je na połowy.\nZatem czworokąt AKCL jest rombem.\nSchemat oceniania III sposobu rozwiązania\nZdający otrzymuje 1 punkt\ngdy:\n zauważy, że przekątne czworokąta AKCL są prostopadłe i zapisze, że AO\nOC\n\n,\nalbo\n zauważy, że przekątne czworokąta AKCL są prostopadłe i zaznaczy na rysunku, że\nAO\nOC\n\n,\ni na tym poprzestanie lub dalej popełni błędy.\nZdający otrzymuje 2 punkty\ngdy uzasadni, że LO\nOK\n\noraz zapisze, że w czworokącie AKCL przekątne są prostopadłe\ni ich punkt przecięcia O dzieli je na połowy. Zatem czworokąt AKCL jest rombem.\nD\nC\nB\nA\n\n K\nL\nO\n16\nA\nD\nE\nC\nB\n\nA\nD\nC\nB\n\n\nZadanie 30. (2 pkt)\nDany jest romb ABCD o boku długości 16 i polu powierzchni równym 128 3 . Oblicz\ndługość dłuższej przekątnej tego rombu.\nI sposób rozwiązania\nWprowadzamy oznaczenia\n16\nAB\nBC\nCD\nDA\na\n\n\n\n\n\n, DE\nh\n\nObliczamy wysokość rombu:\n128 3\n128 3\n8 3\n16\nh\na\n\n\n\nTrójkąt AED jest prostokątny, więc\n2\n2\n2\nAE\nh\na\n\n\n. Stąd\n=8\nAE\n. Zatem\nAE\nEB\n\nAB\nAD\n\ni AE\nEB\n\nstąd trójkąty AED i EBD są przystające, zatem trójkąt ABD jest\nrównoboczny.\nDłuższa przekątna rombu jest równa\n2\n16 3\nAC\nh\n\n\nII sposób rozwiązania\nZapisujemy pole rombu za pomocą wzoru\n2 sin\nABCD\nP\na\n\n\n, stąd\n2\n128 3\n16\nsin\n\n\n. Zatem\n3\nsin\n2\n\ni wtedy\n=60\n\n.\nAB\nAD\n\ni\n=60\n\n, zatem trójkąt ABD jest równoboczny.\nDłuższa przekątna jest równa\n2\n16 3\nAC\nh\n\n\nUwaga\nUczeń może zauważyć, że\n1\n2\nABCD\nP\nBD\nAC\n\n\n\n. Zatem\n1 16\n128 3\n2\nAC\n\n\n\n, stąd","solution":null,"image":"img/matematyka-2012-luty-probna-podstawowa/zad-14.webp","solution_image":null,"topics":"ciagi","page_from":6,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · luty 2012 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2012-luty-probna-podstawowa/zad/15","paper_id":"matematyka-2012-luty-probna-podstawowa","number":"15","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"probna","year":2012,"month":"luty","level":"podstawowa","text":"Zadanie 15. (1 pkt)\nKąt  jest ostry i\n4\ncos\n5\n\n. Wtedy\nA.\n3\ntg\n4\n\nB.\n4\ntg\n3\n\nC.\n1\nsin\n5\n\nD.\n4\nsin\n5\n","answer":"A","answer_text":null,"solution":null,"image":"img/matematyka-2012-luty-probna-podstawowa/zad-15.webp","solution_image":null,"topics":"trygonometria","page_from":6,"source":"matugen","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · luty 2012 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2012-luty-probna-podstawowa/zad/16","paper_id":"matematyka-2012-luty-probna-podstawowa","number":"16","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"probna","year":2012,"month":"luty","level":"podstawowa","text":"Zadanie 16. (1 pkt)\nWyrażenie\n\n\ncos\ncos\n1\n2\n\njest równe\nA. 1 cos\n\nB. cos\ntg\n\n\nC. sin\ncos\n\n\nD. tg\nsin\n\n\n","answer":"D","answer_text":"16 3\nAC \n17\nA\nD\nC\nB\nSchemat oceniania I i II sposobu rozwiązania\nZdający otrzymuje 1 punkt\ngdy:\n obliczy długość wysokości rombu","solution":null,"image":"img/matematyka-2012-luty-probna-podstawowa/zad-16.webp","solution_image":null,"topics":"trygonometria","page_from":6,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · luty 2012 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2012-luty-probna-podstawowa/zad/17","paper_id":"matematyka-2012-luty-probna-podstawowa","number":"17","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"probna","year":2012,"month":"luty","level":"podstawowa","text":"Zadanie 17. (1 pkt)\nDany jest okrąg o promieniu 12. Miara kąta między średnicą AB a cięciwą BC jest równa\n30. Wtedy cięciwa AC ma długość\nA. 6\nB. 6 3\nC. 12\nD. 12 3","answer":"C","answer_text":null,"solution":null,"image":"img/matematyka-2012-luty-probna-podstawowa/zad-17.webp","solution_image":null,"topics":"planimetria","page_from":6,"source":"matugen","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · luty 2012 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2012-luty-probna-podstawowa/zad/18","paper_id":"matematyka-2012-luty-probna-podstawowa","number":"18","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"probna","year":2012,"month":"luty","level":"podstawowa","text":"Zadanie 18. (1 pkt)\nDane są dwa prostokąty podobne o polach powierzchni\nIP i\nII\nP . Wiemy, że\n2\nI\nII\nP\nP \ni obwód\nwiększego prostokąta jest równy 48 cm. Obwód mniejszego prostokąta jest równy\nA. 12\nB. 12 2\nC. 24\nD. 24 2","answer":"D","answer_text":null,"solution":null,"image":"img/matematyka-2012-luty-probna-podstawowa/zad-18.webp","solution_image":null,"topics":"planimetria","page_from":6,"source":"matugen","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · luty 2012 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2012-luty-probna-podstawowa/zad/19","paper_id":"matematyka-2012-luty-probna-podstawowa","number":"19","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"probna","year":2012,"month":"luty","level":"podstawowa","text":"Zadanie 19. (1 pkt)\nBok trójkąta równobocznego ma długość 8. Promień okręgu opisanego na tym trójkącie jest\nrówny\nA. 16 3\n3\nB. 8 3\n3\nC. 4 3\n3\nD. 2 3\n3\n\nOkręgowa Komisja Egzaminacyjna w Łomży\nMateriały diagnostyczne z matematyki\nPoziom podstawowy\nluty 2012\n7\n\n8","answer":"B","answer_text":null,"solution":null,"image":"img/matematyka-2012-luty-probna-podstawowa/zad-19.webp","solution_image":null,"topics":"planimetria","page_from":6,"source":"matugen","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · luty 2012 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2012-luty-probna-podstawowa/zad/20","paper_id":"matematyka-2012-luty-probna-podstawowa","number":"20","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"probna","year":2012,"month":"luty","level":"podstawowa","text":"Zadanie 20. (1 pkt)\nWykres funkcji liniowej określonej wzorem\n( )\n0,5\n7\nf x\nx\n\n\njest prostą prostopadłą do prostej\no równaniu\nA.\n2\n7\ny\nx\n\n\nB.\n0,5\n7\ny\nx\n\n\nC.\n5\n7\ny\nx\n\n\nD.\n2\n7\ny\nx\n\n","answer":"D","answer_text":"20 zł","solution":null,"image":"img/matematyka-2012-luty-probna-podstawowa/zad-20.webp","solution_image":null,"topics":"analityczna","page_from":8,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · luty 2012 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2012-luty-probna-podstawowa/zad/21","paper_id":"matematyka-2012-luty-probna-podstawowa","number":"21","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"probna","year":2012,"month":"luty","level":"podstawowa","text":"Zadanie 21. (1 pkt)\nStyczną do okręgu\n4\n)1\n(\n)\n2\n(\n2\n2\n\n\n\n\ny\nx\njest prosta o równaniu\nA.\n4\nx \nB.\n4\nx \nC.\n0\ny \nD.\n4\ny ","answer":"A","answer_text":null,"solution":null,"image":"img/matematyka-2012-luty-probna-podstawowa/zad-21.webp","solution_image":null,"topics":"analityczna","page_from":8,"source":"matugen","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · luty 2012 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2012-luty-probna-podstawowa/zad/22","paper_id":"matematyka-2012-luty-probna-podstawowa","number":"22","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"probna","year":2012,"month":"luty","level":"podstawowa","text":"Zadanie 22. (1 pkt)\nPrzekątna sześcianu ma długość 6cm . Objętość tego sześcianu jest\nA. mniejsza niż\n3\n41cm\nB. równa\n3\n41cm\nC. równa\n3\n41,5cm\nD. większa niż\n3\n41,5cm","answer":"D","answer_text":null,"solution":null,"image":"img/matematyka-2012-luty-probna-podstawowa/zad-22.webp","solution_image":null,"topics":"stereometria","page_from":8,"source":"matugen","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · luty 2012 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2012-luty-probna-podstawowa/zad/23","paper_id":"matematyka-2012-luty-probna-podstawowa","number":"23","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"probna","year":2012,"month":"luty","level":"podstawowa","text":"Zadanie 23. (1 pkt)\nIle różnych czterocyfrowych kodów PIN, o niepowtarzających się cyfrach, można utworzyć\nz cyfr parzystych? Uwaga: zero jest też liczbą parzystą.\nA. 625\nB. 120\nC. 5\nD. 1","answer":"B","answer_text":null,"solution":null,"image":"img/matematyka-2012-luty-probna-podstawowa/zad-23.webp","solution_image":null,"topics":"kombinatoryka","page_from":8,"source":"matugen","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · luty 2012 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2012-luty-probna-podstawowa/zad/24","paper_id":"matematyka-2012-luty-probna-podstawowa","number":"24","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"probna","year":2012,"month":"luty","level":"podstawowa","text":"Zadanie 24. (1 pkt)\nO zdarzeniu losowym A, zawartym w Ω wiemy, że\n\n\n\n5\n1,64\nP A\nP A\n\n\n. Wtedy\nA.\n\n0,16\nP A \nB.\n\n0,328\nP A \nC.\n\n0,84\nP A \nD.\n\n0,94\nP A \n\nOkręgowa Komisja Egzaminacyjna w Łomży\nMateriały diagnostyczne z matematyki\nPoziom podstawowy\nluty 2012\n9\n\n10","answer":"C","answer_text":null,"solution":null,"image":"img/matematyka-2012-luty-probna-podstawowa/zad-24.webp","solution_image":null,"topics":"prawdopodobienstwo","page_from":8,"source":"matugen","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · luty 2012 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2012-luty-probna-podstawowa/zad/25","paper_id":"matematyka-2012-luty-probna-podstawowa","number":"25","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2012,"month":"luty","level":"podstawowa","text":"Zadanie 25. (2 pkt)\nRozwiąż równanie 3\n5\n3\n2\nx\nx \n\ndla\n0\nx \n\nOkręgowa Komisja Egzaminacyjna w Łomży\nMateriały diagnostyczne z matematyki\nPoziom podstawowy\nluty 2012\n11","answer":null,"answer_text":null,"solution":"$x_1 = \\dfrac{3}{2}, x_2 = 6$","image":"img/matematyka-2012-luty-probna-podstawowa/zad-25.webp","solution_image":null,"topics":"rownania_i_nierownosci","page_from":10,"source":"zadaniazmatur","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · luty 2012 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2012-luty-probna-podstawowa/zad/26","paper_id":"matematyka-2012-luty-probna-podstawowa","number":"26","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2012,"month":"luty","level":"podstawowa","text":"Zadanie 26. (2 pkt)\nWykaż, że jeśli\n0\nx \ni\n0\ny \n, to\n2\n2\nx\ny\nx\ny\ny\nx\n\n\n\n\n12","answer":null,"answer_text":null,"solution":"Dowód przeprowadzono poprawnie.","image":"img/matematyka-2012-luty-probna-podstawowa/zad-26.webp","solution_image":null,"topics":"algebra","page_from":11,"source":"zadaniazmatur","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · luty 2012 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2012-luty-probna-podstawowa/zad/27","paper_id":"matematyka-2012-luty-probna-podstawowa","number":"27","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2012,"month":"luty","level":"podstawowa","text":"Zadanie 27. (2 pkt)\nDany jest trapez ABCD. Dłuższa podstawa AB ma długość m, pozostałe trzy boki trapezu są\nrównej długości. Przedłużenia ramion trapezu AD i BC przecinają się w punkcie E pod kątem\n\n2\n. Oblicz obwód tego trapezu.\n\nOkręgowa Komisja Egzaminacyjna w Łomży\nMateriały diagnostyczne z matematyki\nPoziom podstawowy\nluty 2012\n13","answer":null,"answer_text":null,"solution":"$O = \\dfrac{2m(\\sin \\alpha + 2)}{2\\sin \\alpha + 1}$","image":"img/matematyka-2012-luty-probna-podstawowa/zad-27.webp","solution_image":null,"topics":"planimetria","page_from":12,"source":"zadaniazmatur","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · luty 2012 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2012-luty-probna-podstawowa/zad/28","paper_id":"matematyka-2012-luty-probna-podstawowa","number":"28","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2012,"month":"luty","level":"podstawowa","text":"Zadanie 28. (2 pkt)\nPrzemek w czasie ferii zimowych podjął pracę w firmie „Ulotek-express”. Pierwszego dnia\nrozniósł 900 ulotek, każdego następnego dnia o 40 mniej niż poprzedniego. Za dostarczenie\njednej ulotki firma płaci 5 groszy. Jaką kwotę zarobił Przemek w czasie 14 dni pracy?\n\n14","answer":null,"answer_text":null,"solution":"448 zł","image":"img/matematyka-2012-luty-probna-podstawowa/zad-28.webp","solution_image":null,"topics":"ciagi","page_from":13,"source":"zadaniazmatur","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · luty 2012 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2012-luty-probna-podstawowa/zad/29","paper_id":"matematyka-2012-luty-probna-podstawowa","number":"29","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2012,"month":"luty","level":"podstawowa","text":"Zadanie 29. (2 pkt)\nDany jest kwadrat ABCD. Na przekątnej BD obrano dwa różne punkty K i L, takie że\nBK\nDL\n\n(zobacz rysunek). Uzasadnij, że czworokąt AKCL jest rombem.\nD\nC\nB\nA\n\n K\nL\n\nOkręgowa Komisja Egzaminacyjna w Łomży\nMateriały diagnostyczne z matematyki\nPoziom podstawowy\nluty 2012\n15","answer":null,"answer_text":null,"solution":"Czworokąt $AKCL$ jest rombem.","image":"img/matematyka-2012-luty-probna-podstawowa/zad-29.webp","solution_image":null,"topics":"dowody_geometryczne","page_from":14,"source":"zadaniazmatur","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · luty 2012 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2012-luty-probna-podstawowa/zad/30","paper_id":"matematyka-2012-luty-probna-podstawowa","number":"30","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2012,"month":"luty","level":"podstawowa","text":"Zadanie 30. (2 pkt)\nDany jest romb ABCD o boku długości 16 i polu powierzchni równym 128 3 . Oblicz\ndługość dłuższej przekątnej tego rombu.\n\n16","answer":null,"answer_text":null,"solution":"$|AC| = 16\\sqrt{3}$","image":"img/matematyka-2012-luty-probna-podstawowa/zad-30.webp","solution_image":null,"topics":"planimetria","page_from":15,"source":"zadaniazmatur","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · luty 2012 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2012-luty-probna-podstawowa/zad/31","paper_id":"matematyka-2012-luty-probna-podstawowa","number":"31","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2012,"month":"luty","level":"podstawowa","text":"Zadanie 31. (4 pkt)\nJulia i Dominika mają skarbonki. W skarbonce Julii znajduje się 1 banknot 50 zł, dwa\nbanknoty 20 zł i 3 banknoty 10 zł, natomiast w skarbonce Dominiki znajdują się 2 banknoty\n50 zł, 1 banknot 20 zł i 5 banknotów 10 zł. Każda z dziewcząt losuje ze swojej skarbonki\njeden banknot. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wartość wylosowanych banknotów\nprzekroczy 38 zł? Wynik podaj w postaci ułamka nieskracalnego.\n\nOkręgowa Komisja Egzaminacyjna w Łomży\nMateriały diagnostyczne z matematyki\nPoziom podstawowy\nluty 2012\n17\n\n18","answer":null,"answer_text":null,"solution":"$\\dfrac{5}{12}$","image":"img/matematyka-2012-luty-probna-podstawowa/zad-31.webp","solution_image":null,"topics":"prawdopodobienstwo","page_from":16,"source":"zadaniazmatur","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · luty 2012 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2012-luty-probna-podstawowa/zad/32","paper_id":"matematyka-2012-luty-probna-podstawowa","number":"32","points":5,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2012,"month":"luty","level":"podstawowa","text":"Zadanie 32. (5 pkt)\nPunkty o współrzędnych\n\n\n2, 8\nA \n\n,\n\n\n2,4\nB \n,\n\n\n2,2\nC \nsą wierzchołkami trapezu.\nRamię trapezu AD jest prostopadłe do podstaw AB i CD. Oblicz współrzędne punktu D oraz\npole powierzchni tego trapezu.\n\nOkręgowa Komisja Egzaminacyjna w Łomży\nMateriały diagnostyczne z matematyki\nPoziom podstawowy\nluty 2012\n19\n\n20","answer":null,"answer_text":null,"solution":"$D = (-5,-7), P = 35$","image":"img/matematyka-2012-luty-probna-podstawowa/zad-32.webp","solution_image":null,"topics":"analityczna","page_from":18,"source":"zadaniazmatur","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · luty 2012 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2012-luty-probna-podstawowa/zad/33","paper_id":"matematyka-2012-luty-probna-podstawowa","number":"33","points":5,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2012,"month":"luty","level":"podstawowa","text":"Zadanie 33. (5 pkt)\nSzkoła zakupiła na raty serwer za kwotę 5400 zł. Będzie go spłacała w równych miesięcznych\nratach. Gdyby okres spłaty skrócić o pół roku, wówczas kwota raty wzrosłaby o 75 zł. Jaka\nbyła miesięczna wysokość raty i przez jaki okres szkoła spłacała swoje zobowiązania\nfinansowe?\n\nOkręgowa Komisja Egzaminacyjna w Łomży\nMateriały diagnostyczne z matematyki\nPoziom podstawowy\nluty 2012\n21\n\n22","answer":"W","answer_text":null,"solution":"Rata 225 zł, okres 24 miesiące","image":"img/matematyka-2012-luty-probna-podstawowa/zad-33.webp","solution_image":null,"topics":"rownania_i_nierownosci","page_from":20,"source":"zadaniazmatur","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · luty 2012 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"}]}